EL HOMBRE QUE CALCULABA-Malba Tahan CAPÍTULO 1 En el cual encuentro, durante una excursión, un viajero singular. Qué hacía el viajero y cuáles eran las palabras que pronunciaba. ierta vez volvía, al paso lento de mi camello, por el camino de Bagdad, de una excursión a la famosa ciudad de Samarra, en las márgenes del Tigris, cuando vi, sentado en una piedra, a un viajero modestamente vestido, vestido, que parecía reposar de las fatigas de algún viaje. !isponíame a dirigir al desconocido el "zalam# $%& trivial de los caminantes, cuando con gran sorpresa le vi levantarse ' pronunciar lentamente( )n millón cuatrocientos veintitr*s mil, setecientos cuarenta ' cinco. Sentóse enseguida ' quedó en silencio, la ca+eza apo'ada en las manos, como si estuviera a+sorto en profunda meditación. e par* a corta distancia ' me puse a o+servarle como lo -a+ría -ec-o frente a un monumento -istórico de tiempos legendarios. omentos despu*s se levantó, nuevamente, el -om+re, ', con voz clara ' pausada, enunció otro número igualmente fa+uloso( !os millones, trescientos veintiún mil, oc-ocientos sesenta ' seis. así, varias veces, el extravagante viajero, puesto de pie, decía un número de varios millones, sentándose en seguida en la tosca piedra del camino. Sin sa+er refrenar la curiosidad que me aguijonea+a, me aproxim* al desconocido, desconocido, ' despu*s de saludarlo en nom+re de Alah de Alah /con /con 0l en la oración ' en la gloria1 $2&, le pregunt* el significado de aquellos números que sólo podrían figurar en proporciones proporciones gigantescas. 34orastero5, respondió el "6om+re que calcula+a#, no censuro la curiosidad que te llevó a pertur+ar la marc-a de mis cálculos ' la serenidad de mis pensamientos. , 'a que supiste ser delicado al -a+lar ' al pedir, pedir, vo' a satisfacer tu deseo. 7ara eso necesito, sin em+argo, contarte la -istoria de mi vida. narróme lo siguiente( 8otas( $%& ala! 9 ala! 9 quiere decir paz. :s una expresión de la que se sirven los ára+es en sus saludos. ;uando un ma-ometano encuentra a otro lo saluda en los siguientes t*rminos(
a paz sea contigo1. diciendo tales pala+ras lleva su mano derec-a al corazón. >a respuesta es "?lei=um essalam# /3Sea contigo la paz51. ;uando el saludo es dirigido a un cristiano toma, en general, otra forma( "3Se+ac el c-air5# /Buen día1, o +ien( "@Sa+e os ára+es designan al ;reador por cuatrocientos noventa ' nueve nom+res distintos. >os musulmanes siempre que pronuncian el nom+re de !ios aádenle una expresión de alto respeto ' adoración. /.T.1
CAPÍTULO 2 En el cual "ere!ís #a!ir, el $%o!bre que calculaba&, cuenta la historia de su vida. 'ó!o (ui in(or!ado de los prodigiosos prodigiosos cálculos que reali)aba y por qué nos hici!os co!pa*eros de viaje. e llamo Beremís Samir ' nací en la pequea aldea de C-o', en 7ersia, a la som+ra de la gran pirámide formada por el monte ?rarat. Siendo mu' joven todavía, me emple* como pastor al servicio de un rico seor de C-amat $%&. Todos Todos los días, al salir el Sol, lleva+a el gran re+ao al campo, de+iendo ponerlo al a+rigo, al atardecer. 7or temor de extraviar alguna oveja ' ser por tal neglig negligenc encia ia castig castigado ado,, contá+ contá+ala alass varias varias veces veces durant durantee el día. día. 4ui, 4ui, así, así, adqu adquir irie iend ndo, o, poco poco a poco poco,, tal tal -a+i -a+ili lida dad d para para cont contar ar que, que, a veces eces,, instantáneamente, calcula+a sin error el re+ao entero. 8o contento con eso, pas* a ejercitarme contando además los pájaros cuando, en +andadas, vola+an por el cielo. Dolvíme -a+ilísimo en ese arte. ?l ca+o de algunos meses 9gracias a nuevos ' constantes ejercicios, contando -ormigas ' otros pequeos insectos, llegu* a practicar la increí+le proeza de contar todas las a+ejas de un enjam+re. :sa -azaa de calculista nada valdría frente a las otras que más tarde practiqu*. i generoso amo, que poseía, en dos o tres oasis distantes, grandes plantaciones de dátiles, informado de mis -a+ilidades matemáticas, me encargó de dirigir su venta, contándolos 'o uno por uno en los cac-os. Tra+aj* asía al pie de los datileros cerca de diez aos. ;ontento con las ganancias que o+tuvo, mi +ondadoso patrón aca+a de concederme algunos meses de descanso, ' por eso vo' a-ora a Bagdad pues deseo visitar a algunos parientes ' admirar las +ellas mezquitas ' los suntuosos palacios de esa +ella ciudad. para no perder el tiempo, me ej*rcito durante el viaje, contando los ár+oles que dan som+ra a la región, las flores que la perfuman ' los pájaros que vuelan en el cielo, entre las nu+es. sealando una vieja ' grande -iguera que se erguía a poca distancia, prosiguió( ?quel ár+ol, por ejemplo, tiene doscientas oc-enta ' cuatro ramas. Sa+iendo que cada rama tiene, t*rmino medio, trescientas cuarenta ' siete -ojas, se deduce fácilmente que aquel ár+ol tendrá un total de noventa ' oc-o mil quinientas cuarenta ' oc-o -ojas. @Eu* le parece, amigoA 3Eu* maravilla5 9exclam* atónito. 3:s increí+le que un -om+re pueda contar todos los gajos de un ár+ol, ' las flores de un jardín5 Tal -a+ilidad puede proporcionar a cualquier persona un medio seguro de ganar envidia+les riquezas. @;ómo es esoA 9preguntó Beremís, 3Famás pasó por mi imaginación que pudiera ganarse dinero contando los millones de -ojas de los ár+oles o los enjam+res de a+ejas5 @Eui*n podría interesarse por el total de ramas de un ár+ol o por el número de pájaros que cruzan el cielo durante el díaA Duestra admira+le -a+ilidad 9 expliqu* podría ser empleada en veinte mil casos diferentes. :n una gran capital como ;onstantinopla, o aún en Bagdad, seríais útiles auxiliar para el Go+ierno. 7odríais calcular po+laciones, ej*rcitos ' re+aos. 4ácil os sería evaluar las riquezas del país, el valor de las colectas, los impuestos, las mercaderías ' todos los recursos del :stado. o os
aseguro 9por las relaciones que mantengo, pues so' +agdal í $2&, que no os sería difícil o+tener una posición destacada junto al glorioso califa ?lotacen /nuestro amo ' seor1. 7odríais, tal vez, ejercer el cargo de visir 9 tesorero o desempear las funciones de 4inanzas musulmanas $H&. Si es así, joven 9 respondió el calculista no dudo más, ' os acompao -acia Bagdad. sin más preám+ulo, se acomodó como pudo encima de mi camello /único que teníamos1, rum+o a la ciudad gloriosa. !e a-í en adelante, ligados por ese encuentro casual en medio del agreste camino, nos -icimos compaeros ' amigos insepara+les. Beremís era de genio alegre ' comunicativo. Foven aún 9pues no tendría veintis*is aos, esta+a dotado de gran inteligencia ' nota+le aptitud para la ciencia de los números$I&. 4ormu 4ormula+ la+a, a, a veces veces,, so+r so+ree los aconte acontecim cimien ientos tos más +anale +analess de la vida, vida, compa compara racio ciones nes inesperadas que denota+an gran agudeza de espíritu ' verdadero talento matemático. Beremís tam+i*n sa+ía contar -istorias ' narrar episodios que ilustra+an sus conversaciones, de por sí atra'entes ' curiosas. ? veces pasá+ase varias -oras, en -osco silencio, meditando so+re cálculos prodigiosos. :n esas oportunidades me esforza+a por no pertur+arlo, quedándome quedándome quieto, a fin de que pudiera -acer, con los recursos de su memoria privilegiada, nuevos descu+rimientos en los misteriosos arcanos de la atemática, ciencia que los ára+es tanto cultivaron ' engrandecieron. 8otas( $%& +ha!at de ar-, ar-, ciudad situada en la +ase del monte ?rarat, C-o', situada en el valle del mismo nom+re ' +aada por las aguas que descienden de las montaas de Salmas. /8ota de al+a Ta-an1 $2& "agdalí , individuo nacido en Bagdad. $H& usulmán, nom+re derivado de ouslin, ouslin, "aquel que se resigna a la voluntad de !ios#. >os musu musulm lman anes es prac practi tica can n la relig religió ión n de a a-o -oma ma ' son son actu actualm almen ente te unos unos 2IJ 2IJ millo millone nes, s, aproximadamente. $I& 8o pocos fueron los matemáticos que se -icieron nota+les por la precocidad con que revelaron sus aptitudes( "las ascal , a los %K aos escri+ió un tratado so+re las cónicasL Evaristo /alois a /alois a los %M aos comenta+a comenta+a o+ras o+ras de cálculo cálculo ' análisisL análisisL 0osé "ertrand , a los %% aos inicia+a los cursos cursos en la :scuela 7olit*cnica 7olit*cnicaLL 1icolás Enrique Abel a a los %K aos descu+ría ' demostra+a teoremas de Nlge+ra Superior. CAPÍTULO 3 #ingular aventura acerca de 23 ca!ellos que debían ser repartidos entre tres t res árabes. "ere!ís #a!ir e(ect-a una división que parecía i!posible, con(or!ando plena!ente a los tres querellantes. 4a ganancia inesperada que obtuvi!os con la transacción.
acía pocas -oras que viajá+amos sin interrupción, cuando nos ocurrió una aventura digna de ser referida, en la cual mi compaero Beremís puso en práctica, con gran talento, sus -a+ilidades de eximio alge+rista. :ncontramos, cerca de una antigua posada medio a+andonada, tres -om+res que discutían acaloradamente al lado de un lote de camellos. 4uriosos se grita+an improperios ' desea+an plagas( 38o puede ser5 3:sto es un ro+o5 38o acepto5 :l inteligente Beremís trató de informarse de que se trata+a. Somos -ermanos 9dijo el más viejo ' reci+imos, como -erencia, esos HM camellos. Según la expresa voluntad de nuestro padre, de+o 'o reci+ir la mitad, mi -ermano 6amed 8amir una tercera parte, ' 6arim, el más joven, una novena parte. 8o sa+emos sin em+argo, como dividir de esa manera HM camellos, ' a cada división que uno propone protestan los otros dos, pues la mitad de HM es %O ' medio. @;ómo -allar la tercera parte ' la novena parte de HM, si tampoco son exactas las divisionesA :s mu' simple 9respondió el "6om+re que calcula+a#. e encargar* de -acer con justicia esa división si me permitís que junte a los HM camellos de la -erencia, este -ermoso animal que -asta aquí nos trajo en +uena -ora. Trat* en ese momento de intervenir en la conversación( 38o puedo consentir semejante locura5 @;ómo podríamos dar t*rmino a nuestro viaje si nos quedáramos sin nuestro camelloA 8o te preocupes del resultado "+agdalí# 9replicó en voz +aja Beremís. S* mu' +ien lo que esto' -aciendo. !ame tu camello ' verás, al fin, a que conclusión quiero llegar. 4ue tal la fe ' la seguridad con que me -a+ló, que no dud* más ' le entregu* mi -ermoso "jamal# $%&, que inmediatamente juntó con los HM camellos que allí esta+an para ser repartidos entre los tres -erederos. Do', amigos míos 9dijo dirigi*ndose a los tres -ermanos a -acer una división exacta de los camellos, que a-ora son HK. volvi*ndose al más viejo de los -ermanos, así le -a+ló( !e+ías reci+ir, amigo mío, la mitad de HM, o sea %O ' medio. Peci+irás en cam+io la mitad de HK, o sea, %Q. 8ada tienes que reclamar, pues es +ien claro que sales ganando con esta división. !irigi*ndose al segundo -eredero continuó( Tú, 6amed 8amir, de+ías reci+ir un tercio de HM, o sea, %% camellos ' pico. Das a reci+ir un tercio de HK, o sea %2. 8o podrás protestar, porque tam+i*n es evidente que ganas en el cam+io. dijo, por fin, al más joven( ? ti, joven 6arim 8amir, que según voluntad de tu padre de+ías reci+ir una novena parte de HM, o sea, H camellos ' parte de otro, te dar* una novena parte de HK, es decir, I, ' tu ganancia será tam+i*n evidente, por lo cual sólo te resta agradecerme el resultado.
>uego continuó diciendo( 7or esta ventajosa división que -a favorecido a todos vosotros, tocarán %Q camellos al primero, %2 al segundo ' I al tercero, lo que da un resultado /%Q R %2 R I1 de HI camellos. !e los HK camellos so+ran, por lo tanto, dos. )no pertenece, como sa+en, a mi amigo el "+agdalí# ' el otro me toca a mí, por derec-o, ' por -a+er resuelto a satisfacción de todos, el difícil pro+lema de la -erencia$2&. 3Sois inteligente, extranjero5 9exclamó el más viejo de los tres -ermanos. ?ceptamos vuestro reparto en la seguridad de que fue -ec-o con justicia ' equidad. :l astuto +eremís 9el "6om+re que calcula+a# tomó luego posesión de uno de los más -ermosos "jamales# del grupo ' me dijo, entregándome por la rienda el animal que me pertenecía( 7odrás a-ora, amigo, continuar tu viaje en tu manso ' seguro camello. Tengo a-ora 'o, uno solamente para mí. continuamos nuestra jornada -acia Bagdad. 8otas( $%& 0a!al 9 una de las muc-as denominaciones que los ára+es dan a los camellos. $2& :ste curioso resultado proviene de ser la suma %2 R %H R % U %O%Q menor que la unidad. !e modo que el reparto de los HM camellos entre los tres -erederos no se -a+ría -ec-o por completoL -u+iera so+rado %%Q de HM camellos. 6a+iendo aumentado el dividendo a HK, el so+rante resultó entonces %%Q de HK, o sea los dos camellos referidos en el reparto -ec-o por el "6om+re que calcula+a#. CAPÍTULO 4 En el cual encontra!os un rico shei5, casi !uerto de ha!bre en el desierto. 4a propuesta que nos hi)o sobre los ocho panes que tenía!os y co!o se resolvió, de !anera i!prevista, el pago con ocho !onedas. 4as tres divisiones de "ere!ís6 la división si!ple, la división exacta y la división per(ecta. Elogio que un ilustre visir dirigió al $%o!bre que calculaba&. res días despu*s, nos aproximá+amos a una pequea aldea 9llamada >aza==a cuando encontramos, caído en el camino, a un po+re viajero -erido. Socorrímosle ' de su la+ios oímos el relato de su aventura. >lamá+ase Salem 8asair, ' era uno de los más ricos negociantes de Bagdad. ?l regresar, pocos días antes, de Basora, con una gran caravana, fue atacado por una tur+a de persas, nómades del desierto. >a caravana fue saqueada, pereciendo casi todos sus componentes a manos de los +eduinos. Sólo se -a+ía salvado *l, que era el jefe, ocultándose en la arena, entre los cadáveres de sus esclavos. ?l terminar el relato de sus desgracias, nos preguntó con voz angustiosa( @Ten*is, por casualidad, musulmanes, alguna cosa para comerA 3:sto' casi muri*ndome de -am+re5
Tengo solamente tres panes 9respondí. o traigo cinco 9afirmó a mi lado el "6om+re que calcula+a#. 7ues +ien 9sugirió el s-ei= $%&L juntemos esos panes ' -agamos una sociedad única. ;uando lleguemos a Bagdad os prometo pagar con oc-o monedas de oro el pan que coma. ?sí -icimos, ' al día siguiente, al caer la tarde, entramos en la c*le+re ciudad de Bagdad, la perla de Vriente. ?l atravesar una -ermosa plaza, nos enfrentamos con un gran cortejo. ?l frente marc-a+a, en +rioso alazán, el poderoso W+raim aluf, uno de los visires $2& del califa en Bagdad. ?l ver el visir a s-ei= Salem 8asair en nuestra compaía, gritó, -aciendo parar su poderosa escolta, ' le preguntó( @Eu* te -a pasado, amigo míoA @7or qu* te veo llegar a Bagdad sucio ' -arapiento, en compaía de dos -om+res que no conozcoA :l desventurado s-ei= narró, minuciosamente, al poderoso ministro todo lo que le ocurriera en el camino, -aciendo los ma'ores elogios respecto de nosotros. 7aga sin p*rdida de tiempo a esos dos forasteros, ordenó el visir. sacando de su +olsa Q monedas de oro las entregó a Salem 8asair, insistiendo( Euiero llevarte a-ora mismo al palacio, pues el ;omendador de los ;re'entes desea, con seguridad, ser informado de esta nueva afrenta que lo +eduinos practicaran, al matar a nuestros amigos saqueando caravanas dentro de nuestras fronteras. Do' a dejaros, amigos míos L dijo 8asair mas, antes deseo agradeceros el gran servicio que me -a+*is prestado. para cumplir la pala+ra, os pagar* el pan que tan generosamente me dierais. dirigi*ndose al "6om+re que calcula+a# le dijo( 7or tus cinco panes te dar* cinco monedas. volvi*ndose -acia mí, conclu'ó( a ti, "+agdalí#, te dar* por los tres panes tres monedas. ;on gran sorpresa nuestra, el ";alculista# o+jetó, respetuosamente( 37erdón, o- s-ei=5 >a división -ec-a de ese modo será mu' sencilla, mas no es matemáticamente exacta. Si 'o di M panes, de+o reci+ir O monedasL ' mi compaero, "el Bagdad# que dio tres panes, solamente de+e reci+ir una moneda. 37or el nom+re de a-oma5 $H& 9dijo el visir W+raim, interesado vivamente por el caso. @;ómo justificas, extranjero, tan disparatada forma de pagar Q panes con Q monedasA Si contri+uiste con M panes, @por qu* exiges O monedasA si tu amigo contri+u'ó con H panes, @por qu* afirmas que de+e reci+ir únicamente una monedaA :l "6om+re que calcula+a# se aproximó al poderoso ministro ' así le -a+ló( Do' a pro+aros que la división de las monedas -ec-a en la forma propuesta por mí, es más justa ' más exacta. ;uando, durante el viaje, teníamos -am+re, saca+a un pan de la caja ' lo partía en tres trozos, uno para cada uno de nosotros. Todos los panes que eran Q, fueron divididos, pues, en la misma forma. :s evidente, por lo tanto, que si 'o tenía M panes, di %M
pedazosL si mi compaero tenía H panes, dio pedazos. 6u+o, así, un total de 2I pedazos, de los cuales cada uno de nosotros comió Q. ?-ora +ienL si de mis %M pedazos comí Q, di, en realidad, OL ' mi compaero, que tenía pedazos, al comerse Q, solo dio %. >os O que di 'o ' el que suministró "el +agdalí# formaron los Q que comiera el s-ei= Salem 8asair. 7or consiguiente, es justo que 'o reci+a O monedas ' mi compaero %. :l gran visir, despu*s de -acer los ma'ores elogios al "6om+re que calcula+a#, ordenó que le fueran entregadas las O monedas, pues a mí sólo me toca+a, por derec-o, %. >a demostración lógica ' perfecta presentada por el matemático no admitía duda. :sa división 9 replicó entonces el ";alculista# es matemáticamente exacta, pero a los ojos de !ios no es perfecta. tomando las oc-o monedas en la mano las dividió en dos partes iguales. !ióme una de ellas ' se guardó la otra. :se -om+re es extraordinario 9exclamó el visir. 8o aceptó la división propuesta de las oc-o monedas en dos partes de M ' H, en la que salía favorecidoL demostró tener derec-o a O ' su compaero a %, aca+ando por dividir las Q monedas en dos partes iguales, que repartió con su amigo. aadió con entusiasmo( 3ac Alah5$I& :se joven, además de parecerme un sa+io -a+ilísimo en los cálculos de ?ritm*tica, es +ueno como amigo ' generoso como compaero. Tómolo a-ora mismo como secretario mío. 7oderoso visir 9le dijo el "6om+re que calcula+a#, veo que aca+áis de -acer, con 2 pala+ras ' un total de %IM letras, el ma'or elogio que oí en mi vida, ' 'o, para agradec*roslo, me veo en la o+ligación de emplear MQ pala+ras en las cuales figuran nada menos que 2J letras, el do+le de las vuestras$M&, precisamente. 3Eue ?la- os +endiga ' proteja5 ;on estas pala+ras el "6om+re que calcula+a# nos dejó a todos maravillados de su argucia e invenci+le talento de calculista. 8otas( $%& #hei5 9 t*rmino respetuoso que se aplica, en general, a los sa+ios, religiosos ' personas respeta+les por la edad o posición social. $2& 7isir 9 ministro 9'ali(a so+erano musulmán. >os ;alifas decíanse sucesores de a-oma. $H& aho!a nació en la eca, en el ao MO% ' allí murió., en el ao KH2. 6u*rfano desde temprana edad fue criado primeramente por su a+uelo ' luego por un tío, am+os po+resL tuvo, pues, que emplearse como pastor, pasando a servir más tarde como guía para las caravanas, entrando, por fin, al servicio de una prima viuda ' rica, llamada ;adidja. $I& 8ac Alah9 /7oderoso es !ios1. :xclamación usual entre los musulmanes. $M& :n la traducción, esta relación de duplicidad solo se -a conservado aproximadamente. CAPÍTULO 5
En el cual nos dirigi!os a una posada. alabras calculadas por !inuto. "ere!ís resuelve un proble!a y deter!ina la deuda de un joyero. 4os !édicos del rey Artajerjes y la Arit!ética. espu*s de a+andonar la compaía del s-ei= 8asair ' del visir aluf, nos encaminamos -acia una pequea posad denominada "atito :orado#, en los alrededores de la ezquita de Solimán. ?llí vendimos nuestros camellos a un cha!ir $%& de mi confianza, que vivía cerca. :n el camino dije a Beremís( a veis, amigo, tuve razón cuando afirm* que un calculista -á+il -allaría con facilidad un +uen empleo en Bagdad. 8o +ien llegasteis, fuisteis invitado a ejercer el cargo de secretario de un visir. ?-ora no necesitar*is más volver a la árida ' triste aldea de C-o'. ?unque aquí prospere me contestó el ";alculista#, aunque me enriquezca, volver*, con el tiempo a 7ersia, para ver mi tierra natal. :s ingrato aquel que olvida su patria ' los amigos de la infancia., cuando tiene la felicidad de encontrar en su vida un oasis de prosperidad ' fortuna. aadió( Diajamos juntos -asta este momento, exactamente oc-o días. !urante ese tiempo, para aclarar dudas e indagar so+re cosas que me interesa+an, pronunci* exactamente I%I.O2J pala+ras. ?-ora +ienL como en Q días -a' %%.M2J minutos, saco en conclusión que durante nuestro viaje pronunci*, t*rmino medio, HK pala+ras por minuto, o sea 2.%KJ por -ora. :stos números demuestran que -a+l* poco, fui discreto ' no ocup* tu tiempo -aci*ndote escuc-ar discursos engorrosos ' est*riles. )n -om+re taciturno, excesivamente callado, se vuelve desagrada+le, mas los que -a+lan sin parar irritan ' fastidian a sus o'entes. !e+emos, pues, evitar las pala+ras inútiles, sin caer en el laconismo, que es incompati+le con la delicadeza. 6a+ía una vez en Te-erán, 7ersia, un viejo mercader que tenía tres -ijos. )n día el mercader los llamó ' les dijo( "?quel de vosotros que pase el día sin decir pala+ras inútiles reci+irá un premio de 2H dracmas$2&#. ?l caer la noc-e, los tres -ijos se presentaron al anciano. :l primero dijo( ":vit* -o', padre mío, todas las pala+ras inútiles. :spero, por tanto, merecer, según vuestra promesa, el premio estipulado, premio de 2H dracmas, como sin duda recordareis.# :l segundo se aproximó al anciano, le +esó las manos ' se limitó a decir( "Buenas noc-es, padre mío.# :l más joven, en fin, se aproximó al anciano ' sin decir pala+ra extendió la mano para reci+ir el premio. :l mercader, al o+servar la actitud de los tres muc-ac-os, les -a+ló así( "4atigóme el primero, al llegar a mi presencia, con varias pala+ras inútiles. :l tercero se mostró demasiado lacónico. :l premio corresponde, pues, al segundo, que en su conversación fue discreto ' sin afectación.# ?l terminar, Beremís me preguntó( @8o te parece que el viejo mercader falló con justicia al juzgar a sus tres -ijosA 8o le respondí. e pareció mejor no discutir el caso de los veintitr*s dracmas con aquel -om+re prodigioso que calcula+a medidas ' resolvía pro+lemas, reduciendo todo a números.
omentos despu*s llegá+amos al "atito :orado#. :l dueo de la posada se llama+a Salim ' -a+ía sido empleado de mi padre. ?l verme, gritó sonriente( 3?la- sea contigo, mi seor5$H& ?guardo tus órdenes a-ora ' siempre. !íjele entonces que necesita+a una -a+itación para mí ' para mi amigo Beremís Samir, el calculista, secretario del visir aluf. @:se -om+re es un calculistaA exclamó el viejo Salim. Sí así es, llegó en un momento oportuno para sacarme de un apuro. ?ca+o de tener una seria divergencia con un jo'ero. !iscutimos largo rato, ' de nuestra discusión -a resultado, al final, un pro+lema que no sa+emos resolver. ?l sa+er que un calculista -a+ía llegado a la posada, varias personas se aproximaron, curiosas. :l vendedor de jo'as fue llamado, ' declaró estar interesadísimo en la resolución de ese pro+lema. @;uál es el origen de la dudaA 9preguntó Beremís. :l viejo Salim contestó( :se -om+re, ' sealó al jo'ero, vino desde Siria a vender jo'as en Bagdad, prometi*ndome pagar por el -ospedaje veinte dracmas si vendía las jo'as por %JJ dracmas, pagando HM si las vendía por 2JJ. roporción que planteó el !ercader de joyas6 2JJ ( HM U %IJ ( x El valor de x es ;<,3 ?l ca+o de varios días de ir ' venir de aquí para allá, vendió todo en %IJ dracmas. @;uánto de+e pagar, en consecuencia, ateni*ndose a lo convenido, por concepto de -ospedajeA !e+o pagar apenas 2I dracmas ' medio 9replicó el mercader sirio. Si vendiendo a 2JJ pagaría HM, vendiendo a %IJ de+o pagar 2I ' medio. :stá equivocado 9replicó irritado el viejo Salim. 7or mis cálculos son 2Q. vea usted( si por %JJ de+ía pagar 2J, por %IJ de+o reci+ir 2Q. roporción que planteó el due*o de la hospedería6 %JJ ( 2J U %IJ ( x El valor de x es ;= ;alma, mis amigos 9interrumpió el calculista es preciso encarar las dudas con serenidad ' +ondad. >a precipitación conduce al error ' a la discordia. >os resultados que los seores indican están equivocados, según vo' a demostrarlo( aclaró el caso del siguiente modo( !e acuerdo con la com+inación -ec-a, el sirio pagaría 2J dracmas si vendiese las jo'as por %JJ, ' se vería o+ligado a pagar HM si las vendiese en 2JJ. Tenemos así( Precio de venta Precio hospedaje 2JJ HM %JJ 2J
Diferencia 1 15 : V+serven que a una diferencia de %JJ en el precio de venta, corresponde una diferencia de %M en el precio del -ospedaje. @:stá claro estoA ;laro como lec-e de camello 9asintieron am+os. ?-ora 9prosiguió el calculista, si un acrecentamiento de %JJ en la venta produce un aumento de %M en el -ospedaje, un acrecentamiento de IJ /que es los dos quintos de %JJ1 de+e producir un aumento de K /que es los dos quintos de %M1 a favor del posadero. :l pago que corresponde a los %IJ dracmas es, pues, 2J más K, o sea, 2K. roporción que planteó el calculista6 2JJ ( %M U IJ ( x El valor de x es > !irigi*ndose entonces al jo'ero sirio, así le -a+ló( i amigo. >os números, a pesar de su simplicidad aparente, no es raro que engaen, aun al más capaz. >as proporciones, que nos parecen perfectas, nos conducen, a veces, a error. !e la incertidum+re de los cálculos es que resulta indiscuti+le el prestigio de la atemática. !e los t*rminos del pro+lema resulta que el seor de+erá pagar a -otelero 2K dracmas ' no 2I ' medio, como al principio sostenía. 6a' todavía una pequea diferencia que no merece ser considerada ' cu'a magnitud no puedo expresar num*ricamente, por carecer de recursos. $I& :l seor tiene razón 9asintió el jo'ero. Peconozco que mi cálculo esta+a equivocado. sin dudar, sacó de su +olsa 2K dracmas ' los entregó al viejo Salim, ofreciendo como presente al talentoso Beremís un -ermoso anillo de oro con dos piedras oscuras, acompaando el o+sequio con expresiones afectuosas. Todos los que se -alla+an en la posada admiraron la sagacidad del nuevo calculista, cu'a fama, día a día, ganaría a grandes pasos la "almenara# $M& del triunfo. omentos despu*s, cuando nos encontrá+amos a solas, interrogu* a Beremís so+re el sentido exacto de una de sus afirmaciones( "!e la incertidum+re de los cálculos es que resulta indiscuti+le el prestigio de la atemática#. :l "6om+re que calcula+a# me aclaró el concepto( Si los cálculos no estuvieran sujetos a dudas ' contradicciones, la atemática sería, al final, de una simplicidad insípida, ti+ia, apagada, sin inter*s alguno. 8o -a+ría raciocinio, ni sofismas, ni artificiosL la teoría más interesante desaparecería entre las ne+ulosidades de las nociones inútiles. 7resentándose, sin em+argo, aún en las fórmulas más perfectas ' rígidas, las dudas, incertidum+res ' contradicciones, el matemático toma del carcaj de su inteligencia, sus armas ' se apresta a com+atir. !onde el ignorante ve incertidum+re ' contradicciones, el geómetra demuestra que existe firmeza ' armonía. :l re' ?rtajerjes preguntó, cierta vez, a 6ipócrates de ;os, m*dico famoso, como de+ía proceder para com+atir de modo eficiente las epidemias que diezma+an al ej*rcito persa. 6ipócrates respondió( "V+ligad a todo vuestro cuerpo m*dico a estudiar ?ritm*tica. ?l practicar el estudio de los números ' las figuras, los doctores aprenderán
a razonar, desenvolviendo sus facultades de inteligencia, ' aquel que razona con eficacia es capaz de -allar los medios seguros para com+atir cualquier epidemia.# 8otas( $%& 'ha!ir 9 Fefe de caravana $2& :rac!a 9 moneda persa de oro $H& Alah sea contigo significa "!ios te proteja# $I& ?nalizando este pro+lema mediante la teoría de las interpolaciones, el resultado riguroso no es 2K. en efecto, o+servemos que para una venta de 2JJ el pago era HM, es decir el %O,M X del precio de ventaL ' que para una venta de %JJ el pago era de 2J, es decir el 2JX del precio de venta. 7ara cada unidad de aumento en la venta corresponde una disminución en el pago, de un $/2J %O,M1(%JJ& X. 7ara IJ dracmas de aumento en la venta corresponderá, pues, una disminución en el pago, de un J.J2MYIJU%X. :l pago que corresponde a %IJ es, pues, el 2J%U%X del precio de venta, o sea, %IJ x %(%JJU2K,K, ' no 2K como indicó nuestro protagonista. $M& Al!enara 9 torre que tienen las mezquitas. !esde las almenaras, o "minaretes#, el muecín llama a los fieles a la oración. CAPÍTULO ! En el cual va!os al palacio del visir alu(. Encontra!os al poeta ?e)id, que no reconoce los prodigios del cálculo. $El ho!bre que calculaba& cuenta, en (or!a original, una caravana nu!erosa. 4a edad de la novia y un ca!ello sin oreja. "ere!ís descubre la $a!istad cuadrática& y habla del rey #alo!ón. espu*s de la segunda oración $%&, salimos de la posada ' nos dirigimos -acia la residencia del visir W+raim aluf. ?l entrar en la -ermosa morada del visir, el calculista quedó encantado. :ra una casa principesca, de puro estilo ára+e, con un pequeo jardín som+reado por filas paralelas de naranjos ' limoneros. !el jardín se pasa+a a un patio interior por una estrec-a puerta ' un corredor que tenía apenas el anc-o de un -om+re normal. :n el fondo del patio erguíanse doce columnas +lancas, unidas por otros tantos arcos en forma de -erradura, que sostenían, a la altura del primer piso, una galería con +aranda de madera. :l piso del patio, de la galería ' de las -a+itaciones esta+a em+aldosado con espl*ndidos mosaicos de cuadritos esmaltados, de variados coloresL los arcos lucían ara+escos ' pinturas sugestivasL la +alaustrada tenía la+rados de motivos delicadosL todo esta+a diseado con una armonía ' una gracia digna de los arquitectos de la ?l-am+ra. 6a+ía en el medio del patio una fuente ', más adelante, otra, revestidas de mosaico con rosas ' estrellas ' en ella tres surtidores. !el medio de cada arco colga+a una lámpara morisca. Todo
era allí, fastuoso ' seorial. )na de las alas del edificio, que se extendía a lo largo del jardín, tenía tam+i*n un frente formado por tres arcos, ante los que susurra+a una tercera fuente. :n las salas principales, ricos tapices de oro lucían, suspendidos de las paredes. ?nte el gran ministro nos condujo un esclavo negro. >o encontramos reclinado en grandes almo-adones, -a+lando con dos de sus amigos. )no de ellos era el s-ei= Salem 8asair, nuestro compaero de aventuras en el desiertoL el otro era un -om+re +ajo, de fisonomía +ondadosa, de rostro redondo ' +ar+a ligeramente grisácea. Destía con esmerado gusto ' lucía en el pec-o, una medalla de oro de forma rectangular, que tenía una cara del color del oro ' otra o+scura como +ronce. 8os reci+ió el visir aluf con demostraciones de viva simpatía, ' dirigi*ndose al -om+re de la medalla, le dijo sonriente( ?quí está, caro Wezid, nuestro gran matemático. :l joven que lo acompaa es un "+agdalí# que lo descu+rió por casualidad cuando viaja+a por los caminos de ?la-. !irigimos un respetuoso "zalam# al no+le jefe. ás tarde supimos que se trata+a de un poeta +rillante 9Wezid ?+ul 6amid, amigo ' confidente del califa ?lotacen. >a singular medalla la -a+ía reci+ido de sus manos como premio, por -a+er escrito un poema de treinta mil doscientos versos sin emplear una sola vez, las letras "=af#, "lam# ' "a'u# $2&. ?migo aluf 9dijo el poeta Wezid, cu*stame creer las -azaas prodigiosas llevadas a ca+o por este calculista persa. ;uando se com+inan los números, aparecen, tam+i*n, los artificios del cálculo ' las mistificaciones alge+raicas. 7resentóse cierta vez un mago, que afirma+a poder leer el destino de los -om+res en la arena, al re' :l6arit, -ijo de odad. 9"@6ace usted cálculosA#, le preguntó el re'. antes de que el mago saliese de su asom+ro, continuó( "Si no -ace cálculos, sus predicciones nada valenL mas si las o+tiene por los cálculos, dudo de ellas.# ?prendí en la Wndia un prover+io que dice( ":s preciso desconfiar siete veces del cálculo ' cien del calculista.# 7ara poner fin a esas de desconfianzas 9sugirió el visir vamos a someter a nuestro -u*sped a una prue+a decisiva. diciendo así se levantó de los almo-adones ' nos condujo a una de las ventanas del palacio. !a+a esa ventana para un gran patio que, en ese momento, esta+a lleno de camellos. :ran todos mu' -ermosos, pareciendo de +uena razaL distinguí entre ellos dos o tres +lancos, de ongolia, ' varios "care-s#, de pelo claro. :s esa 9dijo el visir una -ermosa partida de camellos que -e comprado ' que pienso enviar como dote al padre de mi novia. !i, sin error, cuántos son. :l visir, para -acer más interesante la prue+a, dijo en secreto a su amigo Wezid, el número total de animales. Euiero a-ora 9prosiguió, volvi*ndose a Beremís que nuestro calculista nos diga cuántos camellos -a' en el patio, delante de nosotros.
:sper* aprensivo el resultado. >os camellos eran muc-os ' se confundían en medio de la agitación en que se -alla+an. Si mi amigo, en un descuido, errase el cálculo, terminaría nuestra visita, en consecuencia, con el más grande de los fracasos. !espu*s de dar un vistazo a todos los camellos, el inteligente Beremís dijo( Seor visir( creo que se encuentran a-ora en el patio, 2MO camellos. :s verdad 9confirmó el visir( -a acertado. :l total es ese, precisamente( 2MO. @;ómo llegó al resultado con tanta rapidez ' precisiónA 9preguntó con grandísima curiosidad el poeta Wezid. u' simplemente 9explicó Beremís. ;ontar los camellos uno por uno, sería, a mi modo de ver, tarea sin importancia, una +agatela. 7ara -acer más interesante el pro+lema, procedí de la siguiente manera( cont* primero todas las patas ' despu*s todas las orejas, -allando de ese modo un total de %.MI%. ? ese resultado sum* una unidad ' dividí por K. 6ec-a esa división, -all* como cociente exacto, 2MO. 37or el nom+re del profeta5 9exclamó el visir. Todo esto es originalísimo, admira+le. 3Eui*n i+a a imaginar que este calculista, para -acer más interesante el pro+lema, fuese capaz de contar todas las patas ' orejas de 2MO camellos5 37or la gloria de a-oma5 !e+o decir, seor ministro 9retrucó Beremís, que los cálculos se vuelven a veces complicados ' difíciles como consecuencia de un descuido o de la falta de -a+ilidad del propio calculista. ;ierta vez en C-ói, en 7ersia, cuando vigila+a el re+ao de mi amo, pasó por el cielo una +andada de mariposas. "7reguntóme, a mi lado, un pastor, si podía contarlas.# "Son oc-ocientas cincuenta ' seis# 9respondí. "3Vc-ocientas cincuenta ' seis5# respondió mi compaero, como si -u+iese exagerado el total. 94ue entonces que not* que por descuido -a+ía contado, no las mariposas, sino sus alas. !espu*s de dividir por 2, le dije el resultado verdadero. ?l oír el relato de ese caso, lanzó el visir estrepitosa carcajada, que sonó en mis oídos como si fuera una música deliciosa. 6a', sin em+argo 9insistió mu' serio el poeta Wezid una particularidad que escapa a mi raciocinio. !ividir por K es acepta+le, 'a que cada camello tiene I patas ' 2 orejas, cu'a suma /IR21 es igual a K $H&. 8o o+stante, no comprendo por qu* razón antes de dividir sumó una unidad al total. 8ada más simple 9respondió Beremís. ?l contar las orejas not* que uno de los camellos era defectuoso /sólo tenía una oreja1. 7ara que la cuenta fuese exacta era, pues, necesario aumentar uno al total o+tenido. volvi*ndose -acia el visir, preguntó( @Sería indiscreción o imprudencia de mi parte preguntaros, seor, cuál es la edad de aquella que tiene la ventura de ser vuestra noviaA !e ningún modo 9respondió sonriente el ministro. ?sir tiene %K aos. aadió, su+ra'ando las pala+ras con un ligero tono de desconfianza( 7ero no veo relación alguna, seor calculista, entre la edad de mi novia ' los camellos que vo' a ofrecer como presente a mi futuro suegro.
!eseo apenas 9refutó Beremís -aceros una pequea sugestión. Si retiraseis del conjunto, el camello defectuoso /sin oreja1, el total sería 2MK. ?-ora +ien( 2MK es el cuadrado de %K, o sea, %K veces %K. :l presente ofrecido al padre de la encantadora ?sir tomará, de ese modo, alto significado matemático. :l número de camellos que forman la dote será igual al cuadrado de la edad de la novia. ?demás el número 2MK es potencia exacta del número 2 /que para los antiguos era número sim+ólico1, mientras que 2MO es primo $I&. :sas relaciones entre los números cuadrados son +uen augurio para los enamorados. ;u*ntase que el re' Salomón, para asegurar la +ase de su felicidad, dio a la reina de Sa+a 9la famosa Bal=is una caja con M2 perlas. :s precisamente M2 el cuadrado de 2H, que era la edad de la reina. :l número M2K presenta, no o+stante, gran ventaja so+re el M2. Si sumamos los guarismos de 2MK o+tenemos %H, que elevado al cuadrado da %KL la suma de las cifras de ese número es %K, cu'o cuadrado nos reproduce precisamente, 2MK. 7or ese motivo los calculistas llaman reversi+le al número 2MK. :xiste, pues, entre los números %H ' %K curiosa relación, que podría ser llamada "amistad cuadrática#. Pealmente, si los números -a+lasen podríamos oír la siguiente conversación( :l dieciséis diría al trece( $Quiero o(recerte !i ho!enaje, a!igo. i cuadrado es ;3>, cuya su!a de guaris!os es @2.& el trece respondería( $Agrade)co tu bondad y quiero retribuirla en la !is!a (or!a. i cuadrado es @>, cuya su!a de guaris!os es @>.& :l calculista agregó( ;reo -a+er justificado plenamente la preferencia que de+e ser otorgada al número 2MK, que excede en propiedades al 2MO. Su idea es +astante curiosa 9 acordó prontamente el visir ' vo' a adoptarla, aunque caiga so+re mí la acusación de plagiario, del re' Salomón. dirigi*ndose al poeta Wezid, conclu'ó( Deo que la inteligencia de este calculista no es menos que su -a+ilidad para descu+rir analogías e inventar le'endas. :stuve mu' acertado en el momento en que decidí ofrecerle ser mi secretario. Siento decirle, ilustre mirza $M& 9replicó Beremís que sólo podría aceptar vuestra -onrosa invitación si aquí -u+iera lugar para mi +uen amigo 6an=Tadad'a 9el "+agdalí#, que se encuentra en estos momentos sin recursos ' sin empleo. Eued* encantado con la delicadeza del calculista, que procura+a, de esa manera, atraer so+re mí la valiosa protección del poderoso visir. :s mu' justo su pedido 9dijo condescendientemente el ministro, ' su compaero 6an=Tad ad'a se quedará tam+i*n aquí, ejerciendo las funciones de escri+iente, como 'a lo -e ordenado. ?cept*, sin dudar, la propuesta, expresando despu*s al visir ' tam+i*n al +ondadoso Beremís mi reconocimiento.
8otas( $%& >as oraciones o+ligatorias para los musulmanes en el día, son cinco. >a primera al amanecerL la segunda al medio díaL la tercera a las %K -oras, más o menosL la cuarta a la puesta del Sol ' la última por la noc-e. ;ada oración de+e ser precedida por a+luciones. $2& Son tres letras nota+les ' de uso corriente en el alfa+eto ára+e. >a última no puede ser pronunciada correctamente por los latinosL es una especie de "?# sorda ' gutural que sólo los orientales reproducen con perfección. $H& Si los camellos fuesen, por ejemplo, %J, el total de patas ' orejas /K para cada uno1 sería de KJ. :s por ello que el número de camellos se pueden o+tener dividiendo por K el de patas ' orejas. $I& 8úmero primo es aquel que sólo es divisi+le por sí mismo ' por la unidad. :l número 2MK es igual al producto 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2, esto es, igual a 2 elevado a la octava potencia, 2 Q. $M& ir)a 9 Doca+lo persa que quiere decir, literalmente, "nacido de visir# o sea "no+le -idalgo#. Beremís, por ser de origen persa, da+a al visir el -onroso título de !ir)a. CAPÍTULO " En el cual va!os a la calle de los !ercaderes. "ere!ís y el turbante a)ul. El caso de los cuatro cuatros. El proble!a del !ercader sirio. "ere!ís explica todo y es generosa!ente reco!pensado. %istoria de la $prueba real& del rey de Be!en. lgunos días despu*s, terminados los tra+ajos que diariamente -acíamos en el palacio del visir, fuimos a pasear por el suque$%& de los mercaderes. ?quella tarde, la ciudad presenta+a un aspecto fe+ril, fuera de lo común. :ra que por la maana -a+ían llegado dos grandes caravanas de !amasco. >os +azares aparecían llenos de genteL los patios de los almacenes esta+an atestados de mercaderíasL los fieles reza+an en las puertas de las mezquitas. 7or todas las calles se veían los tur+antes +lancos de los forasteros, ' no eran solo los tur+antes los que nos parecían +lancos, sino que todo se nos presenta+a de ese colorL da+a la impresión de que la gente caminara en puntas de pies. Todo esta+a impregnado de un fuerte aroma de áloe, de especias, de incienso, de mirraL parecía que se anduviera por una inmensa droguería. >os vendedores pregona+an sus mercaderías, aumentando su valor con elogios exagerados, para los que es tan f*rtil la imaginación ára+e. 3:ste rico tejido, es digno del profeta5 ?migo. 3:s un delicioso perfume, que aumentará el cario de vuestra esposa5 Peparad, o- s-ei=, en estas c-inelas ' en este lindo "cafetán# $2& que los dijins$H& recomiendan a los ángeles. Se interesó Beremís por un elegante ' armonioso tur+ante azul claro, que un sirio, medio joro+ado, ofrecía por I dracmas. >a tienda de ese mercader era mu' original, pues todo allí
/tur+antes, cajas, pulseras, puales, etc.1 se vendía por I dracmas. 6a+ía un letrero que, en caracteres ára+es decía( Los cuatro cuatros
?l ver a Beremís interesado en adquirir el tur+ante azul, o+jet*( Fuzgo una locura el comprar ese lujo. Tenemos poco dinero ' no -emos pagado aún el -ospedaje. 8o es el tur+ante lo que me interesa 9retrucó BeremísL o+servo que la tienda de este mercader se llama ">os cuatro cuatros#. 6a' en ello una gran coincidencia, digna de mi atención. @;oincidenciaA @7or qu*A :n este momento, "+agdalí# 9replicó Beremís la le'enda que figura en ese letrero me recuerda una de las maravillas del cálculo. 7odemos formar un número cualquiera, empleando solamente cuatro cuatros, ligados por signos matemáticos. antes de que le interrogase so+re aquel enigma, Beremís explicó, di+ujando en la fina arena que cu+ría el piso( Euiero formar el número cero. 8ada -a' más simple. Basta escri+ir( IIII U J :stán así los cuatro cuatros formando una expresión igual a cero. 7asamos a-ora al número %. :sta es la forma más cómoda(
@Euiere ver a-ora el número 2A 4ácilmente se usan los cuatro cuatros escri+iendo(
:l H es más fácil todavía. Basta escri+ir la expresión(
Pepare en que la suma de %2 dividida por I, da un cociente H. resulta así el número H formado por cuatro cuatros. @;ómo formareis el número IA 9pregunt*. u' fácilmente 9dijo Beremís. :l número cuatro puede formarse de varias manerasL una de ellas sería la siguiente(
:n la que el segundo sumando vale cero, ' su suma, por lo tanto, vale I. 8ot* entonces que el mercader sirio seguía atento, sin perder pala+ra, la explicación de Beremís, como si muc-o le interesasen las expresiones aritm*ticas formadas por los cuatro cuatros. Beremís continuó( 7ara formar el número M, por ejemplo, no -a' dificultad. :scri+imos(
:n seguida pasamos al K(
)na pequea alteración de la expresión anterior la convierte en O(
de manera más simple logramos el Q( IRIRI9IUQ :l nueve no deja de ser interesante(
a-ora una expresión igual a %J formada por los cuatro cuatros(
:n ese momento, el joro+ado, dueo de la tienda, que estuviera o'endo la explicación del calculista en actitud de respetuoso silencio e inter*s, o+servó( 7or lo que aca+o de oír, el seor es -á+il para sacar cuentas ' -acer cálculos. >e regalar* este +ello tur+ante, como presente, si se sirve explicarme cierto misterio que encontr* en una suma, ' que me tortura desde -ace dos aos. el mercader narró lo siguiente( 7rest*, cierta vez, la cantidad de %JJ dracmas( MJ a un s-ei= ' los otros MJ a un judío de :l ;airo. :l s-ei= pagó su deuda en cuatro cuotas, del modo siguiente( 2J qued de+iend H 7agó , ó o J 7agó %M qued de+iend % , ó o M 7agó %J qued de+iend M , ó o 7agó qued de+iend M, J ó o Sum M MJ Suma a J 4íjese, mi amigo continuó el mercader, en que tanto la suma de las cuotas pagadas como la de los saldos deudores es igual a MJ. :l judío pagó tam+i*n los MJ dracmas en cuatro cuotas, del modo siguiente( 2J qued de+iend H 7agó , ó o J 7agó %Q qued de+iend % , ó o 2
7agó 7agó
H, ,
qued ó qued ó
de+iend o de+iend o
J
Sum M MJ Suma a % :n este caso la primera suma es MJ /como en el caso anterior1, mientras que la segunda da un total de M%. 8o s* explicarme esa diferencia de % que se o+serva en la segunda parte del pago. Se +ien que no salí perjudicado /pues reci+í el total de la deuda1, mas @cómo justificar el -ec-o de ser la segunda suma igual a M% ' no a MJA ?migo mío 9aclaró Beremís, esto se explica con pocas pala+ras. :n las cuentas de pago, los saldos deudores nada tienen que ver con el total de la deuda. ?dmitamos que una deuda de MJ fuese pagada en tres cuotas( la primera de %J, la segunda de M ' la tercera de HM. :fectuemos las sumas( 7agó %J, quedó de+iendo IJ 7agó M, quedó de+iendo HM 7agó HM, quedó de+iendo J Suma MJ Suma OM :n este ejemplo, la primera suma es MJ, mientras que la de los saldos es OML podía tam+i*n -a+er resultado igual a QJ, , %JJ, 2KJ, QJJJ u otro número cualquiera. 7uede por casualidad dar MJ /como en el primer caso1, ó M% /como en el caso del judío1. Euedó conforme el mercader al -a+er entendido el asunto, cumpliendo su promesa de ofrecer, como presente, al calculista, el tur+ante azul que valía I dracmas. Beremís, para distraer al +uen mercader, le contó enseguida este curioso episodio( Vme'a, re' de emen, tenía un tesorero llamado Euelal, que parecía mu' cuidadoso ' pro+o. Eueriendo el monarca asegurarse de la -onestidad de su auxiliar, -izo lo siguiente( durante tres días colocó, sin decir nada, un dracma en la caja de los gastos. Pesulta+a claro que el tesorero, al finalizar el día, cuando -iciera el arqueo, -allaría el exceso de un dracma, que anotaría como saldo en el li+ro correspondiente. :l re' o+servó que en los tres días el tesorero no registra+a aquella diferencia. 9"8aturalmente que, el mu' am+icioso, se guarda el dracma excedente#, supuso el re'. "3Euien i+a a imaginar que el tesorero Euelal fuese capaz de tal proceder5# Pesolvió, sin em+argo, someterlo a una verdadera prue+a, esto es, a una " prueba real #. @ qu* -izo el re'A 7ues, durante los tres días siguientes retiró secretamente de la caja un dracma, ' esperó que el tesorero se diese cuenta ' reclamase la diferencia. 7ero eso tampoco dio resultado. ediante esas prue+as, que consideró suficientes, Vmeiá llamó su gran visir ' le dijo( ":s preciso -acer con urgencia un interrogatorio. Tengo serias razones para desconfiar de nuestro tesorero Euelal.# 9";reo, mi re', que es necesario investigar#replicó el visir. 7uedo pro+ar que el indigno Euelal no procede con -onestidad.# "@;ómoA#, preguntó el re'. 9 !ijo entonces el ministro( "Sepa Duestra ajestad que resolví, una vez, sa+er si eran exactas o no las cuentas presentadas diariamente por el tesorero de la ;orte. Sin decir nada, durante tres días, retir* de la caja la cantidad de un dracma. 7ues +ien, el tesorero nunca anotó lo que 'o
retira+a. ? continuación, ' tam+i*n durante tres días, coloqu* un dracma en la caja de Euelal, sin que *l registrara ese exceso. ?-ora +ien( cuando un tesorero no anota con exactitud las diferencias de caja, es porque su forma de proceder se aparta de los principios de la más elemental -onestidad.# ;on so+rada razón se asom+ró el re' al oír el relato del gran visir. :sta+a sí explicado el misterio del caso. >as le'es del !estino son insonda+les. 7or extraordinaria coincidencia, los mismos días en que *l ponía un dracma, el visir retira+a la misma cantidad de la caja. :l re' no -izo otra cosa, en los días siguientes, que retirar al diligente Euelal el dinero colocado por el astuto ministro. ?vergozóse entonces el digno monarca, por el espionaje a que sometiera a un funcionario tan fiel ' que tanta lealtad ' dedicación -a+ía demostrado siempre, así como de -a+er empleado esos ardides ' fraudes, que fueran anulados, empleando iguales medios, por el visir. ;uando el ministro terminó el relato, el poderoso re' se levantó ' dijo, mirándolo fijamente( "Sus pala+ras, visir, solo prue+an que nuestro tesorero Euelal es escrupuloso ' -onestísimo en sus funciones. Pesuelvo, pues, que no se -aga el interrogatorio, ' que Euelal quede en su puesto con el mismo cargo ' do+le sueldo. :l visir, al oír esa inesperada sentencia del re', tuvo un ataque al corazón ' ca'ó fulminado so+re las gradas del trono. no era para menos. 3)assalam5$I&
8otas( $%& #uque 9 >ugar o calle en la que se encuentran las tiendas ' casas de los mercaderes. $2& 'a(etán 9 Túnica galoneada. :ntre los persas era un ropaje o túnica que usa+an -a+itualmente. $H& :ijins 9 Genios +ien-ec-ores, en cu'a existencia creían los ára+es. ?ctualmente esa creencia sólo existe en las clases incultas. :xistían tam+i*n los re(rites que eran genios malignos. $I& )assalam 9 4órmula usual de despedida /.T.1 CAPÍTULO # En el cual "ere!ís habla de las (or!as geo!étricas. Encontra!os al shei5 #alen 1asair entre los vendedores de vino. "ere!ís resuelve el proble!a de los ;@ vasos y otro !ás que causa aso!bro a los !ercaderes. Cn ca!ello robado, descubierto por /eo!etría. %abla del sabio AlD%ossein, que inventó la $prueba del nueve&. sta+a Beremís satisfec-ísimo con el +ello regalo que le -iciera el mercader sirio. :stá mu' +ien arreglado 9decía, -aciendo girar el tur+ante ' examinándolo cuidadosamente por todos lados. Tiene, para mí manera de ver, un pequeo defecto que pudo ser evitado. Su forma no es rigurosamente geom*trica. Eued* atónito, sin poder disimular la sorpresa que sus pala+ras me causaran. ?quel -om+re, a más de ser un calculista original, tenía la manía de transformar las cosas más vulgares, de modo de darle forma geom*trica -asta a los tur+antes de los musulmanes.
8o le admire, amigo mío 9prosiguió el inteligente persa, que 'o quiera ver tur+antes de forma geom*trica$%&. >a geometría existe en todas partes. 7rocure o+servar las formas regulares ' perfectas que presentan algunos cuerpos. >as flores, las -ojas ' muc-os animales revelan simetrías admira+les que deslum+ran nuestro espíritu. >a Geometría, repito, existe en todas partes. :n el disco del Sol, en la -oja del datilero, en el arco iris, en la mariposa, en el diamante, en la estrella de mar ' -asta en un pequeo grano de arena. 6a', en fin, infinita variedad de formas geom*tricas presentadas por la 8aturaleza. )n cuervo, al volar lentamente por el cielo, descri+e figuras admira+lesL la sangre que circula por las venas de los camellos no escapa a los rigurosos principios geom*tricos $2&L la piedra que se tira al importuno c-acal, di+uja en el aire una curva perfecta$H&.
$El beduino ve las (or!as geo!étricas, pero no las entiende el sunita las entiende !as no las ad!ira el artista, (inal!ente, !ira la per(ección de las (iguras, co!prende lo bello y ad!ira el orden y la ar!onía&. En el dibujo que ilustra esta página se ve una (lor en la que se destaca, en (or!a i!pecable, la si!etría pentagonal. >a a+eja constru'e sus alv*olos en forma de prismas -exagonales, ' adopta esa forma geom*trica, creo, para o+tener ma'or rendimiento ' economía de material. >a Geometría existe, como dijo el filósofo, en todas partes. Sin em+argo, es preciso sa+er verla, tener inteligencia para comprenderla ' alma para admirarla. :l rudo +eduino, ve las formas geom*tricas, mas no las comprendeL el "sunita# $I& las entiende pero no las admiraL el artista, finalmente, mira la perfección de las figuras, comprende lo +ello ' admira el orden ' la armonía. !ios fue un gran geómetra. Geometrizó la Tierra ' el ;ielo $M&. :xiste en 7ersia una planta, el "saxa-ul#, mu' apreciada como alimento para los camellos ' ovejas, cu'a semillaZ W+a a proseguir el elocuente calculista con sus consideraciones so+re las formas geom*tricas de las semillas del "saxa-ul#, cuando vimos en la puerta de una tienda próxima, a nuestro protector, el s-ei= Salerm 8asair, que nos llama+a a grandes voces.
e siento feliz de -a+erlo encontrado, calculista /exclamó el s-ei= al aproximársenos1L su presencia es mu' oportuna. :sto' aquí en compaía de algunos amigos ' me -allo azorado con dos pro+lemas que sólo un gran matemático podría resolver. ?seguró Beremís que emplearía todos sus recursos para -allar la solución de los pro+lemas que interesa+an al s-ei=, pues no quería desperdiciar una sola ocasión de servir a un -om+re tan ama+le ' generoso. :l s-ei= sealó a los tres ára+es que lo acompaa+an ' dijo( :stos tres -om+res reci+irán, como pago de un servicio -ec-o, una partida de vino compuesta de 2% vasos iguales, estando O llenos, O medio llenos ' O vacíos. Euieren a-ora dividir los 2% vasos de manera que cada uno reci+a el mismo número de vasos ' la misma cantidad de vino. @;ómo -acer el repartoA :se es el primer pro+lema.
Esta (igura indica, clara!ente, la solución del proble!a de los ;@ vasos. 4os siete pri!eros rectángulos representan los vasos llenos los F siguientes rectángulos representan los vasos !edio llenos y los otros F vasos vacíos. ara que los tres !ercaderes reciban el !is!o n-!ero de vasos y cantidades iguales de vino, la división deberá e(ectuarse có!o indican las líneas punteadas del dibujo. 7asados algunos minutos de silencio, Beremís respondió( >a división que aca+áis de proponer se puede -acer de varias maneras. Wndicar* una de ellas. :l primer socio reci+irá( 2 vasos llenos, @ !edio lleno, 2 vasos vacíos. ?l segundo le corresponderán( ; vasos llenos, 2 !edio lleno, ; vasos vacíos. ?l tercero le corresponderán( ; vasos llenos, 2 !edio lleno, ; vasos vacíos.
Según ese reparto, cada socio reci+irá O vasos ' la misma cantidad de vino. a ve, s-ei=, que el pro+lema no presenta dificultad alguna, ' que si analizamos el enunciado no es difícil demostrar que *l admite otra solución rigurosamente exacta$K&.
4a espiral logarít!ica se presenta con (recuencia en la naturale)a. Así, por eje!plo, en el girasol aparece dicha curva notable. Se aproximó uno de los ára+es a Beremís ' lo saludó respetuosamente -a+lando así( :s muc-o más difícil el pro+lema que me preocupa. Tengo continuas transacciones con los cristianos que negocian en vinos de Wspa-án. Se vende ese vino en vasos pequeos ' grandes. Según nuestra invaria+le com+inación, un vaso grande lleno vale K vasos pequeos vacíosL dos vasos grandes vacíos valen uno pequeo lleno. 7rocuro a-ora sa+er cuántos vasos pequeos vacíos puedo cam+iar por la cantidad de vino contenida en dos vasos grandes. ?quel em+rollo de valores ' relaciones no intimidaron al "6om+re que calcula+a#. 6a+ituado a enfrentarse a pro+lemas difíciles ' a tra+ajar con números enormes, Beremís nos se confundía con el enunciado de cuestiones a+strusas ' aparentemente sin sentido. ?migo mío 9respondió, dirigi*ndose al vendedor de vinos. Tengo gran placer en aclarar esta cuestión que me parece tan sencilla como la primera. 7or lo que -e oído, "2 vasos grandes llenos valen %2 pequeos vacíos#. 7or otra parte, si 2 grandes vacíos valen % pequeo lleno, ' H pequeos vacíos valen tam+i*n % pequeo lleno, está claro que 2 grandes vacíos valdrán H pequeos vacíos. :s preciso a-ora, para ma'or claridad, recordar de memoria los dos resultados 'a o+tenidos( ; vasos grandes llenos valen @; peque*os vacíos ; vasos grandes vacíos valen 2 peque*os vacíos !e aquí sacamos la conclusión que la diferencia de los valores entre 2 grandes llenos ' 2 grandes vacíos es igual a pequeos vacíos. :sa diferencia se de+e precisamente, a la cantidad de vino contenida en dos vasos grandes.
Es notable la variedad de (or!as geo!étricas que se presentan en los organis!os vivos. En la (igura ve!os la $hélice cónica& rigurosa!ente dibujada en el per(il de un caracol. ;onclusión( >a cantidad de vino contenida en dos vasos grandes puede ser permutada por vasos pequeos vacíos. >a solución presentada por Beremís asom+ró a los comerciantes en vinos. 8inguno de ellos suponía que la imaginación de mi amigo fuese capaz de realizar ese prodigio. )no de los compaeros del s-ei= ofreció un poco de vino a Beremís. :ste, sin em+argo, como +uen musulmán, agradeció el ofrecimiento pero no lo aceptó. >a +e+ida es un pecado, ' perjudica grandemente la salud ' la inteligencia. , a fin de evitar que los mercaderes se sintiesen ofendidos con su rec-azo, relató lo siguiente( ?l6ossein$O&, m*dico ' matemático famoso, al llegar a Wspa-án, despu*s de una larga excursión, encontró un grupo de -om+res que c-arla+an a la som+ra de un gigantesco "+etoum# $Q&. :l sa+io, que se -alla+a en ese momento alegre ' +ien dispuesto, resolvió ensear alguna cosa útil e interesante a los desconocidos. ?cercóse a ellos, ', despu*s de saludarlos con simpatía, dijo( ?migos míos. :xiste una ciencia nota+le ' mu' útil a los -om+res. ;on la a'uda de ella se descu+re todos los secretos ' se revela la verdad. :sa ciencia es la atemática. Do' a demostraros, en pocas pala+ras, en que radica su +elleza ' su poder.
Gigura tra)ada por Avicena, !ate!ático y !édico (a!oso, con la que pretendía de!ostrar cierta proposición de Euclides, y concluyó, seg-n re)a la leyenda, descubriendo el ca!ello robado. despu*s de proferir estas pala+ras, que no fueron comprendidas por sus rudos o'entes, ?l 6ossein tomó un pedazo de car+ón ' trazó en el tronco de un ár+ol dos rectas cruzadas. 7retendía el sa+io demostrar, con auxilio de esa figura, una propiedad enunciada por :uclides, geómetra griego( "!os ángulos opuestos por el v*rtice son iguales#.
4a espiral logarít!ica puede notarse en gran n-!ero de estos seres vivos. 4as (lores, las hojas y !uchos ani!ales revelan si!etrías ad!isibles que !aravillan el espíritu. 'o!o dijo latón, $la /eo!etría existe en todas partes&. !espu*s de trazar las rectas en posición conveniente, ?l6ossein marcó con cuidado los dos ángulos cu'a igualdad pretendía demostrar con su admira+le raciocinio. 8o -a+ía terminado la figura geom*trica, cuando uno de los dos camelleros se levantó de sú+ito ' se arrojó tr*mulo a los pies del sa+io, murmurando con voz ronca, que expresa+a gran temor( 34ui 'o, seor5 34ui 'o5 3!ir* la verdad5 Pealmente sorprendido con la inesperada actitud del +eduino, ?l6ossein se dio cuenta de que -a+ía, en la confusión del camellero, un misterio que convenía conocer. !ominando, pues, la sorpresa que experimentara, dijo así( 8ada de+es temer, amigo mío. >a verdad es siempre descu+ierta. Damos, confiesa todo ' serás perdonado.
En el per(il de ciertas pal!eras se observa una curva que los !ate!áticos estudian y anali)an !inuciosa!ente6 es la curva logarít!ica. Esta (or!a es adoptada por principio de econo!ía, pues el vegetal, de ese !odo, con !enos cantidad de !aterial, resiste !ejor el i!pulso del viento. El ingeniero, después de laboriosas aplicaciones de cálculo in(initesi!al, de!uestra que la curva logarít!ica es el per(il !ás conveniente para los (aros. ?l oír estas pala+ras, el -om+re confesó al sa+io que -a+ía ro+ado, días antes, el camello predilecto del visir. Wnútil es decir que ?l6ossein ignora+a aquel -urto audaz que preocupa+a a todos ' en torno del cual se -a+ían -ec-o infructuosas pesquisas. !escu+ierto, así, el autor del ro+o, el camello fue restituido pocas -oras despu*s a su poderoso dueo ' el ladrón, amparado por el prestigio de ?l6ossein, se li+ró de severa sentencia, siendo perdonado $&. @;ómo explicar los motivos que llevaran al criminal a revelar su secretoA >o sucedido era, sin em+argo, mu' sencillo( la figura geom*trica -ec-a por el matemático para explicar la proposición de :uclides, era exactamente igual a la "marca# que tenía el camello ro+ado. :l ladrón, al ver la figura, cre'ó que ?l6ossein conocía su secreto ', lleno de indeci+le espanto, no se sintió con ánimo de ocultar la verdad. >a fama de ?l6ossein, desde ese día, se volvió, +ajo el cielo de 7ersia, cien veces ma'or. 38o era para menos5 3;on una simple figura geom*trica descu+rió al más audaz ladrón, ' encontró un camello que 'a se da+a por perdido5
8otas( $%& 7ala+ras atri+uidas a latón.
:l camello presenta una rareza. :s el único mamífero, que tiene los gló+ulos de la sangre de forma elíptica. >os naturalistas sealan esa forma como característica de las aves ' los reptiles. $H& :sa curva es la pará+ola. $I& Sunita 9 Wndividuo de una de las sectas musulmanas. ?depto a la doctrina de "Sunnat# es, en general, contrario a cualquier manifestación de arte /. T.1 $M& 4rase de 7latón. $K& >a segunda solución es la siguiente( %. er socio( H vasos llenos, % vaso medio lleno ' H vasos vacíosL al 2.o socio( H vasos llenos, % vaso medio lleno ' H vasos vacíosL ' al H. er socio( % vaso lleno, M medio llenos ' % vaso vacío. $O& 4ilósofo, matemático ' m*dico. ?l6ossein es más conocido por ?vicena. 8ació en ;-iraz, en 7ersia, en el ao QJ ' fue muerto a traición, por los alrededores de 6amadam /%JMO1. ?l 6ossein era llamado por los ára+es El príncipe de los !édicos. )na de sus o+ras de medicina fue adoptada por la :scuela de ontpellier, en tiempos de >uis YWD. ?l6ossein fue el primero en proponer la prueba del como verificación para las operaciones elementales. $Q& :specie de acacia. $& :l ;orán prescri+e cruel pena( la amputación de la mano derec-a del ladrón /. T CAPÍTULO $ En el cual recibi!os la visita del shei5 ?e)id. Extra*a consecuencia de la previsión de un astrólogo. 4a !ujer y la ate!ática. "ere!ís es invitado a ense*ar ate!ática a una joven. #ituación singular de la !isteriosa alu!na. "ere!ís habla de su antiguo !aestro, el sabio 1oDElin. n el último día de o-arran, al caer la noc-e, fuimos sorprendidos por la presencia, en la posada, del gran Wezid?+ul6amid, amigo ' confidente del califa. @?lgún nuevo pro+lema que resolverA 9 preguntó Beremís. 3?divinó5... 9respondió Wezid . e -allo en la necesidad de resolver un grave pro+lema. Tengo una -ija llamada Telassim $%&, dotada de gran inteligencia ' marcada de inclinación para los estudios. ;uando nació Telassim, consult* a un astrólogo famoso que sa+ía revelar el futuro por la o+servación de las nu+es ' las estrellas. :se mago afirmó que mi -ija viviría feliz -asta los %Q aosL a partir de esa edad se vería amenazada por un cúmulo de desgracias lamenta+les. 6a+ía, no o+stante, un medio de evitar que la desdic-a ca'ese so+re ella. Telassim 9aadió el mago de+ía aprender las propiedades de los números ' todas las operaciones que con ellos se -acen. ?-ora +ien( para dominar los números ' -acer cálculos es necesario conocer la ciencia de ?l;arismi, es decir, la atemática. Pesolví, pues, asegurar a Telassim un futuro feliz -aciendo que estudiase los misterios del ;álculo. Busqu* varios ")lemas# $2& de la ;orte, mas no logr* -allar uno solo que se sintiese capaz de ensear atemática a una joven de %O aos. )no de ellos, dotado de gran talento, intentó disuadirme de tal propósito. Euien quisiese ensear canto a una jirafa, cu'as cuerdas vocales no pueden producir el menor sonido, perdería el tiempo tra+ajando inútilmente. >a jirafa, por su propia naturaleza, no podría cantar. !el mismo modo, el cere+ro femenino $2&
/explicó el monje ma-ometano1 es incompati+le con las nociones más simples de atemática. Se +asa esa incompara+le ciencia en el raciocinio, en el empleo de fórmulas ' principios demostra+les con los poderosos recursos de la >ógica ' de las 7roporciones. @;ómo podrá una pequea, encerrada en el "-arem# $H& de su padre, aprender fórmulas de Nlge+ra ' teoremas de GeometríaA 38unca5 :s más fácil que una +allena va'a a la eca en peregrinación, que una mujer aprenda atemática. @7ara qu* luc-ar contra lo imposi+leA 3 actub5$I&. Si la desgracia de+e caer so+re nosotros, 3que se -aga la voluntad de ?la-5 :l ma'or de los desánimos se apoderó de mí al oír aquellas pala+ras. Sin em+argo, 'endo cierta vez a visitar a mi amigo Salen 8asair, el mercader, oí referencias elogiosas del nuevo calculista persa que llegara a Bagdad. 6a+lóme del episodio de los oc-o panes, ' ese caso, narrado minuciosamente, me impresionó. 7rocur* conocer al talentoso matemático ' fui con ese fin a la casa del visir aluf, quedando asom+rado con la solución dada al pro+lema de los 2MO camellos reducidos luego a 2MK.
4a /eo!etría, dijo latón, existe en todas partes. En el disco del sol, en la (or!a del datilero, en el arco iris, en el dia!ante, en la estrella de !ar, en la tela de la ara*a y hasta en un peque*o grano de arena. En la (igura de arriba ve!os la (or!a per(ecta que presenta la (lor del !aracuyá. Es ad!irable la si!etría pentagonal con que están dispuestos los ele!entos de esa (lor. 4la!a!os la atención del lector para una observación real!ente extraordinaria6 $4as si!etrías de orden i!par sólo se encuentran en los seres dotados de vida. 4a !ateria inorgánica sólo presenta si!etría par& :l jefe Wezid, irguiendo la ca+eza, miró fija ' solemnemente al calculista, ' aadió( @Será capaz, el -ermano de los ára+es, de ensear los artificios del cálculo a mi -ija TelassimA 7agar* por las lecciones el precio que me indique, pudiendo, como a-ora, seguir en el cargo de secretario del visir aluf. 3Generoso s-ei=5 9exclamó Beremís. 8o encuentro motivo para rec-azar vuestra invitación. :n pocos meses podr* ensear a vuestra -ija todas las operaciones alge+raicas ' el secreto de la Geometría. Se equivocan dos veces los filósofos cuando intentan medir con unidades negativas la capacidad intelectual de la mujer. >a inteligencia femenina, cuando es +ien orientada, puede acoger perfectamente las +ellezas ' secretos de la ciencia. Tarea fácil sería desmentir los
conceptos injustos formulados por el sacerdote. >os -istoriadores citan varios ejemplos de mujeres que se -icieron c*le+res por su cultura matemática. :n ?lejandría, por ejemplo, vivió 6ipatia, que enseó la ciencia del cálculo a centenares de personas, comentó las o+ras de !iofanto, analizó los dificilísimos tra+ajos de ?polonio ' rectificó todas las ta+las astronómicas usadas -asta entonces. 8o -a' motivo, o- s-ei=, para afligirse ni dudar. Duestra -ija aprenderá fácilmente la ciencia de 7itágoras. !eseo solamente que determin*is el día ' -ora en que de+erá iniciar las lecciones. Pespondió el no+le( >o más de prisa posi+le. Telassim cumplió 'a %O aos, ' esto' ansioso por l i+rarla de las tristes previsiones del astrólogo. aadió( !e+o advertirlo de una particularidad que no deja de tener importancia en este caso. i -ija vive encerrada en el "-arem# ' nunca fue vista por -om+res extraos a nuestra familia. Solo podrá, por lo tanto, oír sus lecciones de atemática, oculta por una espesa cortina, con el rostro cu+ierto por un "jaique# ' vigilada por dos esclavas de confianza. @?cepta, aún así, mi propuestaA ?cepto con gran satisfacción 9respondió Beremís. :s evidente que el recato ' pudor de una joven valen muc-o más que los cálculos ' las fórmulas alge+raicas. 7latón, filósofo ' matemático, mandó colocar la le'enda siguiente en la puerta de su escuela( “No entre si no es geómetra”.
7resentóse un día un joven de costum+res li+ertinas ' manifestó deseos de frecuentar la academia. :l maestro, sin em+argo, no lo admitió, diciendo( ">a Geometría es pureza ' simplicidadL tu impudicia ofende a tan pura ciencia#. :l c*le+re discípulo de Sócrates procura+a, de ese modo, demostrar que la atemática no armoniza con la depravación ' con las torpes indignidades de los espíritus inmorales. Serán, pues, encantadoras las lecciones dadas a esa joven que no conozco ' cu'o rostro candoroso jamás tendr* la ventura de admirar. Eueri*ndolo usted, podr* iniciar maana las lecciones. 7erfectamente 9asintió el jefe. )no de mis siervos vendrá maana a +uscarlo /3queriendo ?lá51, poco despu*s de la segunda oración. 3)assalam5 !espu*s que el jefe Wezid dejó la posada, interrogu* al calculista( :scuc-a, Beremís. 6a' en todo eso un punto oscuro para mí. @;ómo podrás ensear atemática a una joven, cuando, en verdad, nunca estudiaste esa ciencia en los li+ros, ni tomaste lecciones de los "ulemas#A @;ómo aprendiste el cálculo, que aplicas con tanto +rillo ' oportunidadA Bien lo s*, calculista( entre pastores persas, contando ovejas, dátiles ' +andadas de pájaros en vuelo por el cielo. :stás equivocado, "+agdalí# 9replicó con serenidad el calculista. :n el tiempo en que vigila+a los re+aos de mi amo, en 7ersia, conocí a un viejo dervic-e llamado 8o:lin, a quien, durante una tempestad de arena, salv* de la muerte. !esde ese día, el +ondadoso anciano fue mi amigo. :ra un gran sa+io ' me enseó muc-as cosas útiles ' maravillosas. 4ue con *l que aprendí las
reglas que permiten efectuar los cálculos con precisión ' rapidez. :l prudente dervic-e me decía( "la atemática se funda únicamente en la verdad, sin tener en cuenta ninguna autoridad, tradición, inter*s o preconcepto. >o mismo ocurre con cualquier ciencia, pero no de una manera tan clara como en la atemática, pues, en ma'or o menor grado, -a' en las otras ciencias alguna cosa que se +asa en la autoridad de los investigadores.# e -a+ló muc-as veces de los grandes tra+ajos que los geómetras de la antig[edad -a+ían realizado. Gracias al auxilio de ese dervic-e, llegaron a mi conocimiento las o+ras de :uclides, T-ales, 7itágoras, del gran ?rquímedes ' de muc-os otros sa+ios de la antigua Grecia. !espu*s de -acer una pequea pausa, conclu'ó Beremís( 8o:lin me ensea+a atemáticas -aciendo curiosas figuras en la arena o ra'ando, con la punta de una aguja, las -ojas de una planta llamada "idomeg# $M&. Derás como podr* ensear atemática lo mismo, sin ver el rostro de la que va a ser mi discípula.
8otas( $%& Helassi! 9 Talismán. $2& Cle!a 9 -om+re dotado de gran cultura. Sa+io. $H& %are! 9 parte de la casa en que viven encerradas las mujeres. actub /esta+a escrito1. 7articipio pasivo del ver+o cata+ /escri+ir1. :xpresión que traduce +ien el fatalismo musulmán. $I& "?do!eg# 9 planta de -ojas largas ' lisas. CAPÍTULO 1
En el cual va!os al palacio de ?e)id. El rencoroso HaraDHir no con(ía en el calculista. 4os pájaros cautivos y los n-!eros per(ectos. El $%o!bre que calculaba& exalta la caridad del shei5. Ií!os una tierna y arrebatadora canción ería poco más de las cuatro cuando dejamos la posada ' nos dirigimos a la casa del poeta Wezid ?+ul6amid. Guiados por un ama+le ' diligente criado, atravesamos de prisa las calles tortuosas del +arrio ouassan, 'endo a dar un suntuoso palacio que se erguía en medio de un +ello jardín. Beremís quedó encantado con el aspecto artístico que el rico Wezid procura+a dar a su residencia. :n el centro del parque levantá+ase una gran cúpula plateada, donde los ra'os solares se des-acían en fulgores rutilantes. )n gran patio, por fuerte portón de -ierro, ornamentado con todos los recursos del arte, da+a entrada -acia el interior. )n segundo patio interno, con un +ien cuidado jardín en su centro, dividía el edificio en dos cuerpos. )no de ellos esta+a destinado a los aposentos particulares ' el otro a las salas de reunión, así como a un comedor, en el cual el s-ei= cena+a, a veces, en compaía de poetas ' escritores. :l aspecto exterior, a pesar de la artística ornamentación del vestí+ulo, era triste ' som+río. Euien reparase en las ventanas enrejadas no podía sospec-ar la pompa ' el arte con que todos los aposentos esta+an decorados. )na galería con lindas arcadas sostenidas por nueve o diez es+eltas ' delgadas columnas de mármol +lanco con arcos recortados elegantes capiteles, con las paredes revestidas de azulejos en relieve ' el piso de mosaico, comunica+a los dos cuerpos del edificioL dos largas escalinatas, tam+i*n de mármol, conducían al jardín, donde flores de diversas formas ' perfumes +ordea+an un tranquilo lago. )n vivero lleno de pájaros, adornado con mosaicos ' ara+escos, parecía ser lo más importante del jardín. 6a+ía allí aves de exóticos cantos de variadas formas ' rutilantes plumajes. ?lgunas, de peregrina +elleza, pertenecían a especies para mí desconocidas. 8os reci+ió el dueo de casa, con muc-a simpatía, viniendo a nuestro encuentro en el jardín. Se -alla+a en su compaía un joven moreno, delgado ' de amplios -om+ros, que nos resultó simpático. Tenía un modo agresivo de mirar, ' la forma en que -a+la+a era +astante desagrada+le, llegando, en ciertos momentos, -asta ser insolente. @:s pues, *ste el calculistaA 9o+servó, su+ra'ando las pala+ras con tono de menosprecio. e admira tu +uena fe, querido Wezid. Das a permitir que un mísero encantador de serpientes se aproxime ' dirija la pala+ra a la encantadora Telassim. 38o falta+a más5 37or ?la-, que eres ingenuo5 pronunció una carcajada injuriosa. ?quella grosería me su+levó. Tuve ímpetus de repeler la descortesía de aquel atrevido. Beremís, sin em+argo, continua+a impertur+a+le. :ra posi+le, tal vez, que el alge+rista descu+riera, en las
pala+ras insultantes que o'era, nuevos elementos para -acer cálculos o para resolver pro+lemas. :l poeta, mostrándose apenado por la actitud poco delicada de su amigo, dijo( 7erdone, seor calculista, el juicio precipitado que aca+a de -acer mi primo "el-adj# TaraTir $%&. 0l no conoce, ni puede evaluar su capacidad matemática, pues está por demás ocupado por el futuro de Telassim. 8o lo conozco, es claroL no me empeo ma'ormente en conocer los camellos que pasan por Bagdad en +usca de som+ra ' alfalfa 9replicó iracundo TaraTir, con insultante desprecio. siguió -a+lando de prisa, nervioso ' atropelladamente( 7uedo pro+ar, en pocos minutos, primo mío, que estás completamente engaado respecto a la capacidad de ese aventurero. Si me lo permites, 'o lo confundir* con dos o tres simplezas que oí a un maestro de escuela en osul. Seguramente 9convino Wezid. 7uedes interrogar a nuestro calculista ' proponerle, a-ora mismo, el pro+lema que quisieras. @7ro+lemaA @7ara qu*A @Euieres confrontar a un c-acal que aúlla con un "ulema# que estudiaA 9interrumpió groseramente. Te aseguro que no será necesario inventar pro+lemas para desenmascarar al "sufi# $2& ignorante. >legar* al resultado que pretendo sin fatigar la memoria, más rápidamente de lo que piensas. , apuntando -acia el gran criadero, interpretó a Beremís, fijando en nosotros sus pequeos ojos acerados, que +rilla+an inexora+les( Pespóndame, calculista del "7atito# $H&, @cuántos pájaros -a' en ese criaderoA Beremís Samir cruzó los +razos ' se puso a o+servar con viva atención. Sería prue+a de insana, pens* tratar de contar tantos pájaros, que inquietos vola+an por todos lados, 'a cruzándose en el aire, 'a sustitu'*ndose en las perc-as con increí+le ligereza. ?l ca+o de algunos minutos se volvió el calculista -acia el generoso Wezid ' le dijo( Puego a vos, jefe, mand*is soltar inmediatamente tres pájaros cautivos. Será de ese modo más fácil ' agrada+le, para mí, enunciar el número total. ?quel pedido tenía todo el aspecto de un disparate. :stá claro que quien cuenta cierto número, podrá contar, fácilmente, ese número más H. Wezid, intrigadísimo, con el inesperado pedido del calculista, -izo comparecer al encargado del criadero ' le dio órdenes para que la solicitud del calculista fuese atendida( li+ertados prontamente, tres lindos coli+ríes volaron rápidos por el cielo -acia fuera. Se encuentran a-ora en el criadero 9declaró Beremís cuatrocientos noventa ' seis pájaros. 3?dmira+le5 9exclamó Wezid entusiasmado. :s así. i colección era de medio millar. !escontando los tres que a-ora solt* ' un ruiseor que envi* a osul, quedan precisamente IK. >a suma de los divisores de IK, menores a IK es( % 2 I
Q %K H% K2 %2I 2IQ %&'a (
4$!
?certó por casualidad 9rezongó, lleno de rencor, el terri+le TaraTir. :l poeta Wezid, instigado por la curiosidad, preguntó a Beremís( @7uede decirme, amigo mío, por qu* prefirió contar IK, cuando es tan sencillo contar IK R H, o sea IA 7uedo explicarle, o- s-ei=, la razón de mi pedido 9respondió Beremís con altivez. >os matemáticos procuran siempre dar preferencia a los números nota+les ' evitar los resultados inexpresivos o vulgares. ?-ora +ien( entre I ' IK no se puede dudar. :l número IK es un n-!ero per(ecto ' de+e merecer nuestra preferencia. @ qu* es un número perfectoA 9preguntó el poeta. 8úmero perfecto 9aclaró Beremís es el que presenta la propiedad de ser igual a la suma de sus divisores, exclu'*ndose, claro está, el propio número. ?sí, por ejemplo, el número 2Q presenta M divisores, menores que 2Q, son( %, 2, I, O ' %I. >a suma de estos divisores, % R 2 R I R O R %I U 2Q por consiguiente, 2Q pertenece a la categoría de los denominados números perfectos. :l número K, tam+i*n lo es. >os divisores de K /menores que K1 son %, 2 ' H, cu'a suma es K. ?l lado de K ' de 2Q puede figurar IK, que es tam+i*n, como 'a dije, un número perfecto $I& . :l rencoroso TaraTir, sin querer oír más explicaciones, se despidió del s-ei= Wezid ' se retiró destilando ra+ia, por la gran derrota sufrida al pretender poner en evidencia la falta de -a+ilidad del calculista. Pu*gole seor calculista 9dijo Wezid que no se ofenda por las pala+ras de mi primo TaraTir. Tiene *l, exaltado temperamento, ' desde que asumió la dirección de las minas de sal en ?l !erid, se -a vuelto irasci+le ' violento. ;omprendí que el inteligente Beremís no desea+a causar disgusto al s-ei=, cuando respondió lleno de +ondad( !ada la gran variedad de temperamentos ' caracteres, no nos es posi+le vivir en paz con el prójimo sin refrenar nuestra ira ' cultivar la paciencia. ;uando me siento -erido por la injuria, procuro seguir el sa+io precepto de Salomón( Quien de repente se en(urece, es tonto Quien es prudente, disi!ula el insulto. , despu*s de una pequea pausa, continuó( :sto', sin em+argo, mu' agradecido al poderoso TasraTir, ' no le puedo guardar rencor, pues su tur+ulento primo me ofreció la oportunidad de -acer nueve actos de caridad.
@;ómoA ;ada vez que ponemos en li+ertad un pájaro cautivo 9explicó el calculista practicamos tres actos de caridad. :l primero, para con la avecilla, restitu'*ndole la li+ertad que le -a+ía sido ro+adaL el segundo, para con nuestra conciencia, ' el tercero, para con !ios. Euiere decir, entonces, que si diera li+ertad a todos los pájaros del criaderoZ o os aseguro, o- s-ei=, que practicando mil cuatrocientos oc-enta ' oc-o actos de caridad 9 replicó prontamente Beremís, como si 'a supiese de antemano el producto de IK por H. Wmpresionado por estas pala+ras, el generoso Wezid ordenó que fueran puestas en li+ertad todas las aves que se -alla+an en el criadero. >os siervos ' esclavos quedaron aterrados al oír esa orden. >a colección, formada con paciencia ' tra+ajo, valía una fortuna. :n ella figura+an perdices, coli+ríes, faisanes multicolores, gaviotas negras, patos de adagascar, lec-uzas del ;áucaso, ' varias golondrinas rarísimas de ;-ina ' de la Wndia. 3Suelten los pájaros5 9ordenó nuevamente el s-ei=, agitando la mano resplandeciente de anillos. >as grandes puertas de tela metálica se a+rieron. :n grupos, de a pares, los cautivos deja+an la prisión ' esparcíanse por la ar+oleda del jardín. !ijo entonces Beremís( ;ada ave, con las alas extendidas, es un li+ro de dos -ojas a+ierto en el cielo. :s un gran crimen ro+ar o destruir esa pequea +i+lioteca de !ios. :n ese momento oímos el comienzo de una canciónL la voz era tan tierna ' suave, que se confundía con el trino de las golondrinas ' el arrullar de las palomas. ?l principio era una melodía afa+le ' triste, llena de melancolía ' recuerdo, como las endec-as de un ruiseor solitarioL animóse, luego, en un crescendo vivo, en gorjeos complicados, en trinos argentinos, entrecortados con gritos de amor que contrasta+an con la serenidad de la tarde, ' revolotea+an por el espacio como si fueran -ojas que llevara el viento. 7or último volvió al tono triste del principio, lanzando una nota desgarradora que quedó flotando en la límpida atmósfera, como un suspiro de virazón(
#i yo hablase las lenguas de los ho!bres y de los ángeles y no tuviese caridad, sería co!o el !etal que suena, o co!o la ca!pana que ta*e, 81ada sería9... 81ada sería9... #i yo tuviese el don de la pro(ecía y toda la ciencia, de tal !anera que transportase los !ontes, y no tuviese caridad. 81ada sería9... 81ada sería9... #i distribuyese todos !is bienes para el sustento de los pobres y entregase !i cuerpo para ser que!ado, y no tuviese caridad. 81ada sería9... 81ada sería9... :l encanto de aquella voz parecía envolver la tierra en una ola de indefini+le alegría. :l día parecía más claro, el cielo más azul ' el aire más leve. :s Telassim que canta 9explicó el jefe al reparar en la atención con que oíamos em+e+idos la extraa canción. >a +andada de pájaros que revolotea+a llena+a el espacio con sus alegres notas de li+ertad. 8o eran más que IK, pero da+an la impresión de que eran 3diez mil5... @ de qui*n son esos +rillantísimos versosA $M& 9indagu*. 8o lo s*. )na esclava cristiana los enseó a Telassim ' ella jamás los olvidó. !e+en ser de algún poeta nazareno$K&. Su+imos, ' así se inició la primera lección de atemática.
8otas( $%& >a expresión "el-adj#, cuando precede a un nom+re, indica, que la persona 'a fue en peregrinación a la eca. /.T.1 $2& #u(i 9 secta musulmana de 7ersia. $H& Peferíase, con escarnio, a la posada donde vivía Beremís.
>os números perfectos pares están dados por la siguiente expresión( 2 m% x /2m %1, en la que el factor /2 m %1 de+e ser un número primo. ?sí por ejemplo los seis primeros números perfectos que se o+tienen con la fórmula, resultan de -acer m U 2, H, M, O, %H, %O, ' son, respectivamente, los siguientes( K, 2Q, IK, Q.%2Q, HH.MMJ.HHK, Q.MQ.QK.JMK a -u+o un matemático que se tomó el tra+ajo de calcular el número perfecto que resulta -aciendo m U K, o+teniendo( 2 KMQ IMM % MK QH% OII KMI K2 K%M MH QI2 %OK $M& >as pala+ras citadas, +ajo forma de verso, son de la primera epístola de San 7a+lo a los ;orintios. /. T.1 $K& 1a)areno 9 !enominación que los ára+es da+an a los cristianos. /. T.1 CAPÍTULO 11 "ere!ís inicia su curso de ate!ática. El n-!ero y el universo. Cna (rase de latón. 4a unidad y :ios. Que !edir. 4as partes que (or!an la ate!ática. 4a Arit!ética y los n-!eros. El Jlgebra y las relaciones. 4a /eo!etría y las (or!as. 4a ecánica y la Astrono!ía. Cn sue*o del rey Aldeba)an. 4a $alu!na invisible& eleva a Alah una oración. a -a+itación en que Beremís de+ía realizar su curso de atemática era espaciosa. :sta+a dividida en el centro por una gran cortina de terciopelo rojo que descendía del tec-o -asta el suelo. :l tec-o era de colores ' las columnas doradas. :sparcidos so+re las alfom+ras se encontra+an grandes almo-adones de seda con le'endas del ;orán. ?dorna+an las paredes capric-osos ara+escos azules entrelazados con -ermosos versos de ?ntar $%&, el poeta del desierto. :n el centro, entre dos columnas, con letras de oro so+re fondo azul, se leía este nota+le dístico( $'uando Alah quiere bien a uno de sus servidores abre para él las puertas de la inspiración.& >a tarde declina+aL en el aire flota+a un suave perfume de incienso ' rosas. >as ventanas, de pulido mármol, esta+an a+iertas, dejando ver el jardín ' los frondosos pomares, que se extendían -asta el parduzco ' triste río. )na esclava morena, de clásica -ermosura circasiana, esta+a de pi*, el rostro descu+ierto, junto a la puerta. @Duestra -ija se -alla 'a presenteA 9preguntó Beremís al s-ei=. Seguramente respondió Wezid. >e orden* estar en el otro extremo de la -a+itación, detrás de la cortina, desde donde podrá ver ' oír, permaneciendo sí invisi+le para los que aquí se -allen. Pealmente, las cosas fueron dispuestas de tal manera, que ni siquiera se distinguía la som+ra de la joven que i+a a ser discípula de Beremís. :ra mu' pro+a+le que ella nos estuviera o+servando por algún pequeo orificio -ec-o en el terciopelo, e impercepti+le para nosotros. 7ienso que es oportuno comenzar 'a la primera lección 9advirtió el s-ei=. preguntó con cario( @:stás atenta, Telassim, -ija míaA Sí, padre respondió una voz femenina de agrada+le tim+re, desde el otro lado del aposento. $I&
ientras tanto Beremís se -a+ía preparado para la lecciónL cruzó las piernas, sentándose so+re un almo-adón, en el centro de la sala. o procur* ser discreto, colocándome a un ladoL junto a mí vino a sentarse el s-ei= Wezid. Toda investigación científica, es costum+re que sea precedida por una oración. 4ue, pues, así, que Beremís comenzó( 8osotros Te ?doramos, Seor, e imploramos Tu divina providencia. ;ondúcenos por el camino de la verdadL por el camino de los iluminados ' +ienamados por Ti. Terminada la oración, así -a+ló( ;uando miramos, seora, -acia el cielo, en las noc-es límpidas ' calmas, sentimos que nuestra inteligencia es pequea para conce+ir las o+ras maravillosas del ;reador. !elante de nuestra mirada sorprendida, las estrellas son una caravana luminosa que desfila por el desierto insonda+le del infinitoL las ne+ulosas inmensas ' los planetas giran según le'es eternas por los a+ismos del espacio. )na noción surge, entretanto, +ien nítida, en nuestro espíritu( la noción de n-!ero. Divió otrora, en Grecia, cuando ese país era dominado por el paganismo, un filósofo nota+le llamado 7latón. /?la- es, sin em+argo, más sa+io1. ;onsultado por un discípulo so+re las fuerzas dominantes de los destinos del -om+re, el gran sa+io respondió( " 4os n-!eros gobiernan el !undo#. Pealmente es así. :l pensamiento más simple no puede ser formulado sin que en *l se involucre, +ajo múltiples aspectos, el concepto fundamental de número. :l +eduino que en medio del desierto, en el momento de la oración, murmura el nom+re de !ios, tiene su espíritu dominado por un número( 84a Cnidad9 SíL !ios, según las verdades escritas en el >i+ro Santo ' repetidas por el 7rofeta, es Cno, eterno e inmuta+le. >uego, el número Cno aparece en el cuadro de nuestra inteligencia como el sím+olo del propio ;reador. !el número, seora, que es la +ase de la razón ' del entendimiento, surge otra noción de indiscuti+le importancia( la noción de !edida. edir, seora, es comparar. 7or lo tanto, solo son suscepti+les de medirse las magnitudes que admiten un elemento como +ase de comparación. @Será posi+le medir la extensión del espacioA !e ningún modo. :l espacio es infinito ', siendo así, no admite t*rmino de comparación. @Será posi+le avaluar la eternidadA !e ninguna manera. !entro de las posi+ilidades -umanas, el tiempo es siempre finito, ' en el cálculo de la :ternidad no puede lo efímero servir de unidad de evaluación. :n muc-os casos, sin em+argo, nos es posi+le representar una magnitud que no se adapte a los sistemas de medida, por otra que pueda ser avaluada con exactitud. :se cam+io de magnitudes, tendiente a simplificar los procesos de medidas, constitu'e el o+jeto principal de una ciencia, que los -om+res denominan ate!ática. 7ara alcanzar su o+jetivo, precisa la ate!ática estudiar los números, sus propiedades ' transformaciones. :n esa parte ella toma el nom+re de Arit!ética. ;onocidos los números, es posi+le aplicarlos a la evaluación de magnitudes que varían, o que son desconocidas, pero que se presentan expresadas por medio de relaciones '
fórmulas. Tenemos así el Jlgebra. >os valores que medimos en el campo de la realidad son representados por cuerpos materiales o por sím+olosL en cualquier caso, esos cuerpos o esos sím+olos están dotados por tres atri+utos( forma, tamao ' posición. :s necesario, pues, estudiar estos tres atri+utosL ese estudio constitu'e el o+jeto de la /eo!etría. :studia, además, la atemática, las le'es que rigen los movimientos ' las fuerzas, le'es que aparecen en la admira+le ciencia que se denomina ecánica. >a atemática pone todos sus recursos al servicio de una ciencia que eleva el alma ' engrandece al -om+re. :sa ciencia es la Astrono!ía. 6a+lan algunos de las ;iencias atemáticas, como si la ?ritm*tica, el Nlge+ra ' la Geometría fuesen partes enteramente distintas. 8o es así, sin em+argo. Todas se auxilian mutuamente, apo'ándose unas en las otras, ', en ciertos puntos, se confunden. 6a' una ciencia única, la ate!ática, la cual nadie se puede jactar de conocer, porque sus conocimientos son, por su naturaleza, infinitos, ' de la cual todos -a+lan, so+re todo los que más la ignoran. :ntre los -om+res que la estudian ' la conocen -a', sin em+argo, algunos que más se fijan en minucias que en las ideas generales, siendo, por lo tanto, sus descu+rimientos de escasa importancia. 8árrase que ois*s se encontró, cierta vez, en las pla'as de Fudea, con :lEuíder $2&, el más grande entre los sa+ios de la Tierra. Se -alla+an los dos grandes aestros conversando so+re los más altos pro+lemas de la Dida ' del !estino, cuando se acercó a ellos un pajarito que traía en el pico una gota de agua de mar. >a pequea avecilla, sin interrumpir el vuelo, dejó caer la gota so+re el -om+ro de :lEuíder. 0l, que era sa+io entre los sa+ios, dijo entonces a ois*s( "37rofeta de !ios5 :se pájaro aca+a de ensearnos una profunda verdad, mostrándonos de una manera elocuente, que la ciencia de ois*s, que es incalcula+le, acrecentada con paciencia de :lEuíder, que es +ien poca, ' la de todos los sa+ios de la Tierra 9delante de la ciencia de !ios es como una gota de agua comparada con el mar.# >a ate!ática, seora, ensea al -om+re a ser sencillo ' modestoL es la +ase de todas las ciencias ' todas las artes. ?lde+azan, re' de Wra=, descansando cierta vez en la galería de su palacio, soó que encontra+a siete jóvenes que camina+an por una ruta. :n cierto momento, vencidas por la fatiga ' por la sed, las jóvenes se detuvieron +ajo el sol calcinante del desierto. ?pareció, entonces, una -ermosa princesa que se aproximó a las peregrinas, tra'*ndoles un gran cántaro de agua pura ' fresca. >a +ondadosa princesa sació la sed que devora+a a las jóvenes, ' *stas pudieron reanudar su interrumpida jornada. ?l despertar, impresionado con ese curioso sueo, decidió ?lde+azan entrevistarse con un astrólogo famoso, llamado Sani+, a cual consultó so+re el significado de aquella escena en la que *l 9re' poderoso ' justo asistiera en el mundo de las visiones ' fantasías. !ijo Sani+, el astrólogo "3Seor5 >as siete jóvenes que camina+an por la ruta, eran las artes divinas ' las ciencias -umanas( la 7intura, la úsica, la :sculturaL la ?rquitectura, la Petórica, la !ial*ctica ' la 4ilosofía. >a princesa que las socorrió representa la grande ' prodigiosa atemática. Sin el
auxilio de la ate!ática 9prosiguió el sa+io las artes no pueden progresar, ' todas las otras ciencias perecen.# Wmpresionado el re' por lo que oía, determinó que se organizasen en todas las ciudades, oasis ' aldeas de su país, centros de estudios !ate!áticos. :locuentes ' -á+iles "ulemas#, i+an por orden del so+erano recorriendo los +azares ' caravanas, enseando ?ritm*tica a los ca+alleros ' +eduinos. :n las paredes de las mezquitas ' en las puertas de los palacios, los versos de los poetas famosos fueron sustituidos por fórmulas alge+raicas ' por cálculos num*ricos. ?l ca+o de pocos meses aconteció que el país atravesa+a por una era de prosperidad. 7aralelamente al progreso de la ciencia, crecían los recursos naturales del país, las escuelas esta+an repletasL el comercio se acrecenta+a en forma prodigiosaL multiplicá+anse las o+ras de arteL levantá+anse monumentos, ' las ciudades esta+an colmadas de turistas ' curiosos. :l país de Wra= tenía a+iertas las puertas al 7rogreso ' a la Piqueza, si no -u+iese la fatalidad, /3actu+51 puesto el t*rmino a aquel período de tra+ajo ' prosperidad. :l re' ?lde+azan, acometido por repentina enfermedad, murió, siendo llevado por el maligno ?zrail $H& para el cielo de ?la-. >a muerte del so+erano a+rió dos tum+as. )na de ellas acogió el cuerpo del glorioso onarca, ' la otra la cultura científica del pue+lo. Su+ió al trono un príncipe vanidoso, indolente ' de limitadas dotes intelectuales. >e preocupa+an más las diversiones que los pro+lemas ?dministrativos del :stado. 7ocos meses despu*s, todos los servicios pú+licos esta+an desorganizadosL las escuelas cerradas, ' los artistas ' "ulemas#, forzados -uir +ajo la amenaza de los malvados ' ladrones. :l tesoro pú+lico fue dilapidado en múltiples festines ' desenfrenados +anquetes. :l país de Wra=, llevado a la ruina por el desorden, fue atacado por enemigos am+iciosos, ' vencido. >a -istoria de ?lde+azan, seora, nos demuestra que el progreso de un pue+lo se -alla ligado al desenvolvimiento de los estudios matemáticos $I&. :n el )niverso todo es número ' medida. >a Cnidad , sím+olo del ;reador, es el principio de todas las cosas, las cuales no existen sino en virtud de inmuta+les proporciones ' relaciones num*ricas. Todos los grandes enigmas de la Dida pueden ser reducidos a simples com+inaciones de elementos varia+les o constantes, conocidos o desconocidos. 7ara que podamos conocer la ;iencia es necesario tomar un número por fase. Deremos cómo estudiarlo con la a'uda de ?la-, ;lemente ' isericordioso. 3)aasalam5 ;on estas pala+ras conclu'ó el calculista, dando por terminada su primera clase de ate!ática. ;on agrada+le sorpresa oímos, entonces a la alumna, a quien -acía invisi+le la cortina, pronunciar la siguiente oración( "3V- !ios Vmnipotente, ;reador del ;ielo ' de la Tierra5 7erdona la po+reza, pequeez ' puerilidad de nuestros corazones. 8o escuc-es nuestros pedidos, pero o'e el clamor de nuestras necesidadesL no atiendas nuestros pedidos, pero ten en cuenta nuestros silenciosos gemidos. 3;uántas veces pedimos aquello que tuvimos ' que dejamos perder5 3;uántas veces soamos poseer aquello que nunca será nuestro5 3V- !ios5 8osotros te agradecemos por este )niverso,
que es nuestro grande -ogar, por su vastedad ' riqueza, ' por la vida multiforme que en *l existe ' de la cual formamos parte. >oámoste por el esplendor del cielo azul ' por la +risa de la tarde, por las veloces nu+es ' por las constelaciones de las alturas. >oámoste por los oc*anos inmensos, por el agua que corre, por las montaas eternas, por los ár+oles frondosos, por el suave c*sped en que reposan nuestros pies. 38osotros te agradecemos los múltiples encantos con que podemos experimentar en nuestras almas las +ellezas de la Dida ' el ?mor5 3V- !ios, ;lemente ' isericordioso5 7erdona la po+reza, la pequeez ' la puerilidad de nuestros corazones.#
8otas( $%& Antar o Antara 9 poeta ára+e anterior al Wslamismo. Se -izo famoso por -a+er sido presentado como sím+olo de coraje, audacia ' ca+allerosidad en la c*le+re epope'a ára+e "Pomance de ?ntar#. ?ntar el poeta ' su apasionada ?+la, son los -*roes legendarios de ?ra+ia. $2& Quíder o Quidr , genio dotado de gran sa+iduría que, según la creencia de los ára+es, vivía en la tierra para ensear ' orientar a los profetas /. T.1 $H& Astrail 9 ?ngel de la muerte. $I& ;a+e recordar aquí la frase de 8apoleón( ":l progreso de un pue+lo depende exclusivamente del desenvolvimiento de la cultura matemática# CAPÍTULO 12 En el cual veo a "ere!ís interesado en el juego de saltar con cuerda. 4a curva del $baqD taque& y las ara*as. itágoras y el círculo. Encontra!os a %arid 1a!ur. El proble!a de los >K !elones. 'ó!o perdió el intendente la apuesta. 4a vo) del !ue)ín ciego lla!a a los creyentes para la oración de $!ogreb&. uando dejamos el -ermoso palacio del poeta Wezid, falta+a poco para la -ora del "ezzan#. ?l pasar por el "mara+ú# de Pamir oí el suave gorjeo de un pájaro entre las ramas de una vieja -iguera.
:s, con seguridad, uno de los li+ertos de -o' 9o+serv*. Peconforta oírlos traducir en melódicos cantos, la alegría de la li+ertad reconquistada. Beremís, sin em+argo, en aquel momento nos se preocupa+a por el canto del pájaro. ?+sor+ía su atención un grupo de pequeos que se divertían en la calle, a corta distancia. !os de ellos sostenían, por los extremos, un trozo de cuerda fina que de+ía tener catorce o quince palmos de extensión. >os otros trata+an de trasponer de un salto, la cuerda, colocada más o menos alta, conforme a la agilidad del saltador. ira la cuerda, "+agdalí# 9dijo el calculista, tomándome por el +razo, 3V+serva qu* curva perfecta5 @8o la -allas digna de estudioA 7ues, amigo mío 9dijo Beremís( conv*ncete de que tus ojos son ciegos para las más grandes +ellezas ' maravillas de la 8aturaleza. ;uando los nios tienen la cuerda, sosteni*ndola por los extremos, dejándola caer li+remente ' +ajo su propio peso, la cuerda forma una curva nota+le, pues surge como resultante de fuerzas naturales $%&. o tuve ocasión de o+servar esa curva 9que el sa+io 8o:lin llama+a la "+aqtaque# $2&, porque tiene la forma de la joro+a de ciertos dromedarios. @Tendrá esa curva plana alguna analogía con las derivadas de la pará+olaA :n lo futuro, si ?la- lo quiere, los matemáticos descu+rirán el medio de trazar esa curva, punto por punto, ' estudiarán rigurosamente todas sus propiedades. 6a', sin em+argo 9prosiguió, muc-as otras curvas más importantes. !e+o citar, en primer lugar, el círculo$H&. 7itágoras, filósofo ' matemático, considera+a al círculo como la figura más perfecta, relacionándolo así con la idea de perfección. :ntre todas las curvas más perfectas, el círculo es la que tiene el trazado más simple. Beremís, interrumpiendo en ese momento la disertación apenas comenzada so+re las curvas, sealó -acia un jovencito que se -alla+a a corta distancia ' gritó( 36arim 8amir5 :l joven se volvió rápidamente ' vino alegre a nuestro encuentro. e di cuenta entonces, que se trata+a de uno de los tres -ermanos que -a+íamos visto discutir en el desierto, cierto día, por causa de la -erencia de los HM camellosL reparto complicado, lleno de tercios ' novenos, que Beremís resolvió por medio de un artificio curioso, al que 'a me -e referido. 3ac ?la-5 9 exclamó 6arim, dirigi*ndose a Beremís. 6a sido el !estino quien dispuso a-ora nuestro encuentro. i -ermano 6amed se -alla atri+ulado por una cuenta de KJ melones que nadie puede resolver. 6arim nos llevó a una pequea casa en donde se encontra+a su -ermano 6amed 8amur, en compaía de varios mercaderes. ostróse 6amed mu' satisfec-o al ver a Beremís ', volvi*ndose -acia los mercaderes, les dijo( :ste -om+re que aca+a de llegar, es un gran matemático. Gracias a su valiosa a'uda pusimos -allar la solución perfecta de un pro+lema que nos parecía imposi+le( dividir HM camellos entre H personas. :sto' seguro de que *l podrá explicar, en pocos minutos, la diferencia encontrada en la venta de los KJ melones.
;omo era necesario informar minuciosamente a Beremís, uno de los mercaderes tomó la pala+ra ' dijo( >os dos -ermanos, 6arim ' 8amed, me encargaron vender en el mercado dos partidas de melones. 6arim me entregó HJ melones, que de+ían ser vendidos á razón de H por un denarioL 6amed me dio, tam+i*n, HJ melones, para los cuales fijó un precio más elevado, esto es, a razón de dos por un denario. :ra +ien claro que, terminada la venta, 6arim reci+iría %J ' su -ermano %M denarios. :l total o+tenido sería, pues, de 2M denarios. Sin em+argo, al llegar a la feria, una duda me acometió( Si 'o vendo primero los melones caros, pens*, peco de imparcialidad, ' si vendo los más +aratos primero, encontrar* dificultad para colocar los otros. >o mejor será que venda las dos partidas, al mismo tiempo. 6a+i*ndose llegado a esa conclusión, reuní los KJ melones ' comenc* a venderlos a M por 2 denarios. :l negocio se justifica+a con un simple razonamiento. Si de+ía vender H por un denario ' luego 2 por la misma suma, era más simple que vender M por 2 denarios. Dendidos los KJ melones en %2 lotes de M cada uno o+tuve 2I denarios. @;ómo pagar a los dos -ermanos, si uno de+ía reci+ir %J ' el otro %M denariosA 6a+ía una diferencia de un denario, que no sa+ía cómo explicar, pues el negocio -a+ía sido -ec-o con todo cuidado. Dender H por un denario ' 2 por %, @no es lo mismo que vender M por 2 denariosA >a cuestión no tendría importancia alguna 9intervino 6amed 8amir si no fuese por la intervención a+surda del "vequil# $I& que vigila la feria. 6a+iendo oído algo so+re el caso, ' no sa+iendo explicar la diferencia, -a apostado M denarios a que esa diferencia provenía de la falta de un melón que fuera ro+ado durante la venta. :l "vequil# no tiene razón 9afirmó Beremís ' de+e ser o+ligado a pagar la apuesta. >a diferencia que encontró el vendedor se de+e a lo siguiente( >a partida de 6arim se componía de %J lotes de H melones cada uno. ;ada lote de+ía ser vendido a un denario. :l total de la venta sería %J denarios. >a partida de 6amed se componía de %M lotes /con dos melones cada uno1 ' un total de %M denarios. V+serven que el número de lotes de una partida es diferente al de la otra. 7ara vender los melones en lotes de M cada uno, sólo los %J primeros lotes podrían ser vendidos /sin perjuicio1 por 2 denarios cada uno. Dendidos esos %J lotes, quedan todavía %J melones, que pertenecen exclusivamente a la partida de 6amed ' que, siendo de precio más elevado, de+ían ser vendidos a razón de 2 por % denario. >a diferencia de un denario resultó, pues, de la venta de los %J últimos melones. 8o -u+o ro+o alguno. !e la desigualdad de los precios e las dos partidas, resultó la p*rdida de un denario, que se verificó en el resultado final.
En esta (igura que aclara el proble!a de los >K !elones. En A están representados los 2K !elones que debían ser vendidos a ra)ón de 2 por @ denario en " los 2K !ás caros, cuyo precio era de ; por un denario. 'o!o el dibujo nos !uestra, sólo hay @K lotes de 3 cada uno Lsiendo 2 de A, y ; de "M que pueden ser vendidos sin perjuicio a ra)ón de ; denarios cada uno. :n ese momento la voz del "muecín#, cu'o eco vi+ra+a en el aire al llamar a los fieles para la oración, interrumpió nuestra reunión. 36ai al elsala-5$M& 36ai al elsala-5 ;ada uno de nosotros procuró, sin p*rdida de tiempo, -acer, según lo indica el >i+ro Santo, las "guci# de ritual. :l Sol 'a se -alla+a so+re la línea del -orizonte. 6a+ía llegado la -ora del "mogre+#. !esde la tercera almenara$K& de la mezquita de Vmar, el "muecín# ciego llama+a, con voz pausada ' ronca, a los cre'entes para la oración( ?la- es grande ' a-oma es el verdadero enviado de !ios. 3Denid a orar, musulmanes5 3Denid a orar5 >os mercaderes, precedidos por Beremís, extendieron sus tapetes de colores, se sacaron las sandalias, miraron la dirección de la ;iudad Santa ' exclamaron( 3?la-, omnipotente ' misericordioso5 >oado sea el ;reador de los mundos visi+les e invisi+les. ? ti, que eres el verdadero Sol del mundoL que siempre alum+ras, sin tener ocasoL que con tus ra'os +en*ficos ' con tu luz, alegras ' avivas todas las cosas en el ;ielo ' en la Tierra( Te rogamos que misericordiosamente +rilles en nuestros corazones, para que la noc-e ' la oscuridad del pecado, ' la nie+la del error, sean disipadas por el +rillo de Tu luz en nuestros corazones, ' nosotros por toda nuestra vida andemos sin tropezar, como de día, puros, alcanzando las +endiciones a+undantes que tienes para nosotros.
8otas( $%& :sa curva -o' es perfectamente conocidaL se llama catenaria. $2& >a traducción sería "7uerta en arcada#. :s extrao que . T. no quisiese dar a esa curva el nom+re por el cual era conocida por los ára+es del tiempo de Beremís. $H& :n lenguaje vulgar con la pala+ra círculo se designa la curva, es decir, la circunferencia. $I& Alevequil 9 Wntendente. $M& 37reparaos para la oración5 $K& Al!enara 9 Der nota del capítulo D. CAPÍTULO 13 En el cual va!os al palacio del cali(a. "ere!ís es recibido por el rey. 4os poetas y la A!istad. 4a a!istad entre los ho!bres y la a!istad entre los n-!eros. 1-!eros a!igos. El cali(a elogia al $%o!bre que calculaba&. Es exigida en palacio, la presencia de un calígra(o. uatro días despu*s, por la maana, se nos informó que seríamos reci+idos en solemne audiencia por el califa ?+ul?a+as?-med ?lotacen Billa-, :mir de los ;re'entes, Dicario de ?la-. ?quella comunicación, tan grata para cualquier musulmán, fue reci+ida por Beremís ' por mí con verdadera ansiedad. :ra mu' posi+le que el so+erano, al oír al s-ei= Wezid contar alguna de las proezas practicadas por el eximio matemático, tuviese curiosidad por conocer al "6om+re que calcula+a#. 8o se puede explicar de otra forma nuestra presencia en la ;orte, entre las figuras de más prestigio de la alta sociedad de Bagdad. Eued* asom+rado al entrar en el palacio del :mir. Darias arcadas superpuestas, formando curvas armoniosas, ' sostenidas por altas ' delgadas columnas esculpidas, tenían sus +asamentos ornados con finísimos mosaicos. 7ude notar que esos mosaicos esta+an formados por fragmentos de loza +lanca ' +ermeja, alternando con franjas de estuque. >os tec-os de los salones principales eran de color oro ' azulL las paredes de todas las -a+itaciones se presenta+an cu+iertas de azulejos en relieve, ' los pisos eran de mosaico. >as cortinas, los tapices, los divanes, todo, en fin, cuanto constituía el mo+iliario del palacio, demostra+a la magnificencia indiscuti+le de un príncipe de le'enda -indú. ?fuera, en los jardines, se nota+a la misma pompa, realzada por la mano de la 8aturaleza, perfumada por mil aromas diferentes, alfom+rada con verde c*sped, +aada por el río, refrescada por innumera+les fuentes de mármol +lanco, junto a las cuales un millar de esclavas tra+aja+an sin cesar. 4uimos conducidos por un a'udante del visir W+raim aluf -asta la Sala de las ?udiencias. Dimos al llegar, al poderoso monarca sentado en riquísimo trono de marfil ' terciopelo. 7ertur+óme algo la +elleza su+lime del salón. Todas sus paredes esta+an adornadas con inscripciones admira+les, -ec-as por el arte capric-oso de algún calígrafo genial. >as le'endas
aparecían, en relieve, so+re fondo azul claro con letra pequea ' roja. ;asi todas eran versos de los poetas más famosos de nuestra patria. Farrones con flores por todas partes, flores des-ojadas so+re los cojines, so+re las alfom+ras, o en +andejas de oro ' plata primorosamente cinceladas. 6ermosas ' numerosas columnas lucían, airosas, con sus capiteles ' +asamentos, elegantemente ornadas por el cincel de artistas ára+es, que sa+ían, como ninguno, multiplicar ingeniosamente las figuras geom*tricas asociadas con flores ' -ojas de tulipán, azucenas ' mil diversas plantas, en una armonía maravillosa de inenarra+le +elleza. Se -alla+an presentes siete visires, dos jueces, varios doctores ' diversos dignatarios de gran prestigio. ?l -onrado aluf correspondía -acer nuestra presentación. :n el desempeo de esta misión, el visir, con los codos apo'ados en la cintura ' las palmas de las manos -acia fuera, -a+ló así( 7ara satisfacer tu deseo, re' del tiempo, orden* compareciesen -o', a esta excelsa audiencia, el calculista Beremís Samir, mi actual secretario, ' su amigo 6an=Tade\ad'a, auxiliar de escri+iente ' funcionario de palacio. Sean +ienvenidos, musulmanes. 9respondió con sencillez el sultán. ?dmiro a los sa+ios. )n matemático, +ajo el cielo de este país, contará siempre con mi simpatía ', si fuera necesario, con mi decidida protección. 3?la- +adie, 'a sidi5$%& 9exclamó Beremís, inclinándose delante del re' ' +esando, respetuoso, la tierra entre las manos $2&. Eued* inmóvil, la ca+eza inclinada, los +razos cruzados, pues no -a+iendo sido aludido en los elogios por el so+erano, no podía tener el -onor de dirigirle el "zalam#. :l -om+re que tenía en sus manos el destino del pue+lo ára+e parecía +ondadoso ' desprovisto de prejuicios. Tenía el rostro delgado, quemado por el sol del desierto ' surcado de arrugas prematuras. Destía con relativa sencillez. >leva+a en la cintura, +ajo la faja de seda, un -ermoso pual, cu'o ca+o esta+a adornado con piedras preciosas. :l tur+ante era verde con pequeas listas +lancas. :l color verde es 9como todos sa+en lo que distingue a los descendientes de a-oma, el Santo 7rofeta /3con 0l -a'a paz ' gloria51. uc-as cosas importantes quiero resolver en la audiencia de -o' 9comenzó el califa. 8o quiero, sin em+argo, iniciar los tra+ajos ' discutir los grandes pro+lemas políticos, sin reci+ir una prue+a clara ' precisa que el matemático persa recomendado por mi amigo Wezid es, realmente, un gran ' -á+il calculista. Wnterpelado de ese modo Beremís por el glorioso monarca, se sintió o+ligado a corresponder +rillantemente a la confianza que el jefe Wezid, en *l depositara. !irigi*ndose, pues, al sultán, así le -a+ló( 8o so' más, ;omendador de los ;re'entes, que un rudo pastor que aca+a de ser distinguido con vuestra -onrosa atención. despu*s de corta pausa prosiguió(
?seguran, entretanto, mis generosos amigos, que es justo incluir mi nom+re entre los calculistas. Si*ntome -alagado por tan alta distinción, aunque pienso que, en general, los -om+res son +uenos calculistas. ;alculista es el pescador que cuenta los peces que -a' en su redL calculista es el soldado que avalora de una ojeada, cuando está en campaa, la distancia de una parasangaL el calculista es el poeta que cuenta las síla+as ' mide el ritmo de los versosL calculista es el músico que aplica, en la división en compases, las le'es de la perfecta armoníaL calculista es el pintor que traza las figuras según proporciones invaria+les, para o+tener perspectivaL calculista es el -umilde tejedor que dispone uno por uno, todos los -ilos de su tra+ajo. 3Todos, en fin, o- re', son +uenos ' -á+iles calculistas5 , despu*s de mirar a todos los no+les que rodea+an el trono, Beremís prosiguió( Deo, con infinita alegría, que estáis rodeado de "ulemas#, ' doctoresL que -a', a la som+ra de vuestro trono poderoso, -om+res de valor que cultivan el estudio ' engrandecen la ciencia. >a compaía de los sa+ios, o- re', es para mí el ma'or tesoro. :l -om+re sólo vale por lo que sa+e. Sa+er es poder. >os sa+ios educan por el ejemplo, ' nada -a' que conquiste al espíritu -umano más profundamente que el ejemplo. Sin em+argo, no de+e el -om+re cultivar la ciencia si no es para utilizarla en la práctica del +ien. Sócrates, filósofo griego, afirma+a con el peso de su autoridad enorme( "Sólo es útil el conocimiento que nos -ace mejores#. S*neca, otro pensador famoso, decía, incr*dulo( "@Eu* importa sa+er que es una línea recta, si no se sa+e lo que es la rectitudA# 7ermitidme, pues, re' generoso ' justo, que rinda mi -umilde -omenaje a los doctores ' "ulemas# que se -allan en esta sala. !urante los tra+ajos diarios, o+servando las cosas que ?la- sacó de la 8ada para darles vida, aprendí a valorar los números ' a transformarlos por medio de reglas prácticas ' seguras. 8o deja de preocuparme, sin em+argo, la prue+a que solicitáis. ;onfiado en vuestra prover+ial generosidad, agrádame decir que o+servo en esta Sala de ?udiencias, demostraciones admira+les ' elocuentes de que la atemática existe en todas partes. ?dornan las paredes de este +ello salón varios versos que contienen un total de MJI pala+ras, estando algunas trazadas en caracteres negros ' las restantes en rojo. :l calígrafo que di+ujó estos versos demostró tener tanto talento e imaginación al descomponer las MJI pala+ras, como los poetas que escri+ieran esas inmortales poesías. 3Pe' magnánimo5 9prosiguió Beremís( encuentro en los versos incompara+les que adornan esta Sala de ?udiencias grandes elogios so+re la ?mistad. 7uedo leer allí, cerca de la columna, la c*le+re "cassida# de "o-al-il#( $#i !is a!igos !e huyeran, de !í huirían todos los tesoros.& )n poco más a+ajo encuentro el elocuente pensamiento de Tarafa( $El encanto de la vida depende -nica!ente de las buenas a!istades que cultiva!os.& ? la izquierda se destaca el profundo concepto de 6atim, de la tri+u de Tai( $4a buena a!istad es para el ho!bre lo que el agua pura y lí!pida para el beduino sediento.& Sí, todo eso es su+lime, profundo ' elocuente. >a ma'or +elleza, sin em+argo, reside en el ingenioso artificio empleado por el calígrafo para demostrar que la amistad que los versos
exaltan, no existe solamente entre los seres dotados de vida ' sentimientos. >a amistad se -alla, tam+i*n entre los números. @;ómo descu+rir 9preguntar*is entre los números, aquellos que están unidos por los lazos de la amistad matemáticaA @!e qu* medios se vale el geómetra para sealar en la serie num*rica los elementos ligados por la estimaA :n pocas pala+ras podr* explicar en qu* consiste el concepto de los números amigos en atemática. ;onsideremos, por ejemplo, los números 22J ' 2QI. :l número 22J es divisi+le exactamente por los números( %, 2, I, M, %J, %%, 2J, 22, II, MM ' %%J. :stos son los divisores de 22J menores que 22J ' su suma( % R 2 R I R M R %J R %% R 2J R 22 R II R MM R %%J U 2QI :l número 2QI es 9a su vez divisi+le exactamente por los números( %, 2, I, O% ' %I2. Son esos los divisores de 2QI menores que 2QI ' su suma( % R 2 R I R O% R %I2 U 22J 7ues +ien. 6a' entre esos números relaciones nota+les. Si sumamos los divisores de 22J, arri+a indicados, o+tenemos una suma igual á 2QIL si sumamos los divisores de 2QI, el resultado es, precisamente, 22J. !e esa relación los matemáticos llegaron a la conclusión de que los números 22J ' 2QI son "amigos#L es decir, que cada uno de ellos parece existir para servir, alegrar, defender u -onrar al otro. el calculista conclu'ó( 37ues +ien, re' generoso ' justo5 V+servad que las MJI pala+ras que forman el elogio po*tico de la ?mistad fueron escritas en la siguiente forma( 22J en caracteres negros ' 2QI en caracteres rojos. 22J ' 2QI son, como 'a expliqu*, números amigos. V+servad, tam+i*n, una relación no menos interesante( las MJI pala+ras forman H2 le'endas diferentes. 7ues +ien, la diferencia entre 2QI ' 22J es KI, número que, además de ser cuadrado ' cu+o perfecto, es precisamente igual al do+le del número de le'endas di+ujadas. :l infiel dirá que se trata de simples coincidencias. Sin em+argo, aquel que cree en !ios ' tiene la dic-a de seguir las enseanzas del Santo 7rofeta a-oma /3con 0l en la oración ' en la paz51, sa+en que las llamadas coincidencias no serían posi+les si ?la- no las descri+iese en el li+ro del !estino. ?firmo, pues, que el calígrafo, al descomponer el número MJI en dos porciones /22J ' 2QI1, escri+ió so+re la ?mistad un poema que eleva a todos los -om+res de alma no+le ' espíritu claro. ?l oír las pala+ras del calculista, el califa quedó extasiado. Pesulta+a extraordinario. Pesulta+a extraordinario que aquel -om+re contase, de una mirada, las MJI pala+ras de los H2 versos ' que, al contarlas, verificase que -a+ía 22J en negro ' 2QI en letras rojas.
Tus pala+ras, calculista 9dijo el re' me -an dado la certeza de que eres un geómetra de gran m*rito. 6e quedado encantado con esa interesante relación que los alge+ristas denominan "amistad num*rica#, ' esto' a-ora interesado en sa+er cuál fue el calígrafo que escri+ió, al -acer el decorado de esta -a+itación, los versos que sirven de adorno a estas paredes. :s fácil verificar si la descomposición de las MJI pala+ras, en partes que formen números amigos, fue -ec-a a propósito o resultó de un capric-o del !estino /o+ra exclusiva de ?la-, el :xaltado1. -aciendo aproximar al trono a uno de sus secretarios, el sultán ?l otacen le preguntó( @Pecuerdas 8uredín o conozco mu' +ien 9respondió prontamente el s-ei=. Dive junto a la mezquita de Vtman. Traedlo aquí, "sejid# $H&, lo más pronto posi+le 9ordenó el califa. Euiero interrogarlo. 3:scuc-o ' o+edezco5 salió a prisa a cumplir la orden del so+erano.
8otas( $%& 3!ios os guíe, seor5 $2& "Besar la tierra entre las manos# es una expresión sim+ólica. $%& #ejid es un título de -onor que es concedido a los príncipes descendientes de a-oma. ?quellos que se dicen descendientes del fundador del Wslamismo se juzgan con derec-o al título de "cheri( # o "sejid #. :l c-erif, cuando ejerce cargo de gran prestigio, reci+e el título de emir. ;-erif es, en general, cualquier persona de origen no+le. /. T.1 CAPÍTULO 14 En el cual espera!os en el trono real, el regreso de 1uredín arur, el e!isario del cali(a. 4os !-sicos y las bailarinas ge!elas. 'o!o "ere!ís reconoció a ?cli!ia y Habessan. #urge un visir envidioso que critica a "ere!ís. El elogio de los teóricos so*adores hecho por "ere!ís. El rey procla!a la victoria de la teoría sobre el utilitaris!o grosero.
espu*s que el jefe 8uredin oado sea ?la-, el ]nico, que creó la Belleza para modelar con ella las seductoras formas femeninas. !e la mujer -ermosa 'a dijo el poeta( $ujer no eres solo obra de :ios, los ho!bres te están creando eterna!ente con la her!osura de sus cora)ones y sus ansias han vestido de gloria tu juventud.& $or ti labra el poeta su tela de oro i!aginaria el pintor regala a tu (or!a, día tras día, nueva in!ortalidad. or adornarte, por vestirte, por hacerte !ás preciosa, el !ar da sus perlas, la tierra su oro, su (lor los jardines del estío.& $ujer, eres !itad !ujer y !itad sue*o.& $K& Sin em+argo, me parece relativamente fácil 9 aadió el calculista distinguir a Wclinia de su -ermana Ta+essan, +asta reparar en la -ec-ura de los trajes de am+as. 3;ómo5 9dijo el sultán. 7or los trajes no se podrá descu+rir la menor diferencia, pues determin* que am+as usasen velos, +lusas ' !ha)!as $O& rigurosamente iguales. 7ido perdón, re' generoso 9 contradijo Beremís, mas las costureras no acataron vuestra orden con el de+ido cuidado. >a "m-azma# de Wclinia tiene en el +orde, H%2 franjas, mientras que la de Ta+essan sólo posee HJ franjas. :sa diferencia de H franjas es suficiente para evitar la confusión entre las dos -ermanas gemelas. ?l oír tales pala+ras, el califa +atió palmas, -aciendo parar el +aile, ' ordenó que un "-aquim# $Q& contase, una por una, todas las franjas que aparecían en las polleras de las +ailarinas. :l resultado confirmó el cálculo de Beremís.
Wclinia tenía en el vestido H%2 franjas ' Ta+essan HJ. 3ac ?la-5 9exclamó el califa. :l s-ei= Wezid, a pesar de ser poeta, no exageró. :ste calculista es realmente prodigioso. 3;ontó todas las franjas de las polleras mientras las +ailarinas danza+an rápidamente so+re el ta+lado5 >a envidia, cuando se apodera de un -om+re, a+re en su alma el camino a todos los sentimientos desprecia+les ' torpes. 6a+ía en la corte de ?lotacen un visir llamado 8a-un W+n8a-un, -om+re malo ' ruin. Diendo crecer ante el califa el prestigio de Beremís, como duna de arena formada por el simún, ' aguijoneado por el despec-o, ideó desprestigiar a mi talentoso amigo, colocándolo en situación falsa ' ridícula. ;on ese propósito se acercó al re' ' le dijo( ?ca+o de o+servar, :mir de los ;re'entes, que el calculista persa es -á+il para contar los elementos o figuras de un conjunto. ;ontó las quinientas ' tantas pala+ras escritas en las paredes del salón, citó dos números amigos, -a+ló de la diferencia KI /que es cu+o ' cuadrado1, ' terminó contando, una por una, las franjas de las polleras de las -ermosas +ailarinas djalcianas. Euedaríamos mal servidos si nuestros matemáticos se dispusieran a o+servar solamente cosas tan pueriles ' sin utilidad práctica alguna. Pealmente. @Eu* nos importa sa+er si -a' en los versos que nos engrandecen, 22J ó 2QI pala+ras, ' si esos números son amigos o noA >a preocupación de cuantos admiramos a un poeta, no es contar las letras de sus versos, ni calcular el número de ellas escritas en rojo o en negro. Tampoco nos interesa sa+er si en el vestido de esta +ella ' graciosa +ailarina -a' HJ, H%2 ó %.JJJ franjas. Todo eso es ridículo ' de mu' escaso inter*s para los -om+res de sentimiento que cultivan la Belleza ' el ?rte. :l ingenio -umano, amparado por la ciencia, de+e consagrarse a la resolución de los grandes pro+lemas de la vida. >os sa+ios 9inspirados por ?la-, el :xaltado no levantaron el deslum+rante edificio de la atemática para que esa no+le ciencia viniese a tener la aplicación que le encuentra el calculista persa. e parece, pues, un crimen, reducir la ciencia de un :uclides, de un ?rquímedes o de un maravilloso Vmar ;a'an /3?la- lo tenga en su gloria51, a esa mísera situación de evaluadora num*rica de cosas ' seres. 8os interesa, pues, ver a ese calculista aplicar las teorías /que dice poseer1 en la resolución de pro+lemas de utilidad real, esto es, pro+lemas que se relacionen con las necesidades de la vida corriente. 6a' un pequeo engao de vuestra parte, seor visir 9replicó en seguida Beremís, ' 'o tendría a gran -onra esclarecer ese pequeo error si el generoso ;alifa, nuestro amo ' seor, me concediera permiso para dirigirle más extensamente la pala+ra en esta audiencia. 8o deja de parecerme, -asta cierto punto, juiciosa 9replicó el re' la censura del visir 8a-un W+n8a-un. )na aclaración so+re el caso es indispensa+le. 6a+la, pues. Tus pala+ras orientarán la opinión de los que aquí se -allan. >os doctores ' "ulemas#, 3V- re' de los Nra+es5 9comenzó Beremís no ignoran que la atemática surgió con el despertar del alma -umanaL peor, no lo -izo con fines utilitarios. 4ue el ansia de resolver el misterio del )niverso, delante del cual los -om+res son como granos de
arena, que le dio el primer impulso. :l verdadero desenvolvimiento resultó, ante todo, del esfuerzo en penetrar ' comprender el Wnfinito. :l progreso material de los -om+res depende de las conquistas a+stractas o científicas del presente, ' es a los -om+res de ciencia que tra+ajan sin ningún designio de aplicación de sus doctrinas, a los que la 6umanidad será deudora en lo futuro$&. ;uando el matemático efectúa sus cálculos o +usca nuevas relaciones entre los números, no lo -ace con fines utilitarios. ;ultivar la ciencia por la utilidad práctica, inmediata, es desvirtuar el alma de la propia ciencia.
Aparece en la a!onita Lconcha (ósil perteneciente a un !olusco ce(alópodoM una curva considerada entre las (iguras !ás notables N la $espiral logarít!ica&. 7rivilegio grande del matemático es esa ligazón íntima ' misteriosa entre *l ' su aspiración, que, fuera de sí mismo, casi no interesa a nadieL análogamente decimos de las aplicaciones prácticas de la ciencia que apasionan a las multitudes, ' frente a las cuales *l permanece aparentemente ajeno. Eue ese acuerdo entre las especulaciones matemáticas ' la vida práctica se expliquen por medio de argumentos matemáticos o de teorías +iológicas, no importaL lo cierto es que esa relación existe ' que la 6istoria sólo -a logrado confirmarlo. :n los estudios más áridos ' a+stractos el matemático tra+aja convencido que su la+or, -o' o maana, será útil a sus semejantes. :sa certeza de la gran utilidad de su o+ra permite al matemático entregarse, sin reserva ' sin remordimiento, a los placeres de la imaginación creadora, sin pensar más que en su propio ideal de +elleza ' verdad. @>a teoría estudiada -o' tendrá aplicaciones en lo futuroA @Eui*n podrá aclarar ese enigma ni su pro'ección, a trav*s de los siglosA @Eui*n podrá, de la ecuación del presente, despejar la gran incógnita de los tiempos veniderosA Sólo ?la- sa+e la verdad. :s mu' posi+le que las investigaciones teóricas de -o' provean, dentro de mil o dos mil aos, de preciosos recursos a la práctica. :s preciso, sin em+argo, no olvidar que la atemática, además del o+jetivo de resolver pro+lemas, calcular áreas ' medir volúmenes, tiene finalidades muc-o más elevadas. 7or tener alto valor en el desenvolvimiento de la inteligencia ' del raciocinio, es la atemática uno de los caminos más seguros por donde puede llegar el -om+re a sentir el poder del pensamiento, la magia del espíritu.
:l estudio de la matemática contri+u'e, por sí sólo, a la formación de la personalidadL ante todo, ejercita singularmente la atención, ', de ese modo, desenvuelve, concomitantemente, la voluntad ' la inteligenciaL -a+itúa a reflexionar so+re una misma cosa que no ocupa los sentidos, a o+servarla en todos sus aspectos ' en todas sus variantes, a compararla con otros o+jetos análogos, a descu+rir tenues ' ocultos vínculos, ' a seguir, en todos sus pormenores, la extensa cadena de deduccionesL de -á+itos de paciencia, de precisión ' de ordenL inicia el razonamiento en los recursos de la >ógicaL eleva ' encanta por la contemplación de vastas teorías magníficamente ordenadas ' resplandecientes de claridad. >a atemática es, en fin, una de las verdades eternas ', como tal, eleva el espíritu 9del mismo modo que lo -ace la contemplación de los grandes espectáculos de la 8aturaleza, a trav*s de los cuales sentimos la presencia de !ios, :terno ' Vmnipotente. 6a', pues, ilustre visir 8a-un W+n 8a-un, como 'a dije, un pequeo error de vuestra parte. ;uento los versos de un poema, calculo la altura de una estrella, las franjas de una pollera, mido la extensión de un país, o la fuerza de un torrenteL aplico, en fin, fórmulas alge+raicas ' principios geom*tricos, sin preocuparme por el +eneficio inmediato que puedan producirme mis cálculos ' estudios. Sin los sueos ' las fantasías, la ciencia se empequeeceríaL sería una ciencia muerta. 3)assalam5 >as pala+ras elocuentes de Beremís impresionaron profundamente a los no+les ' "ulemas# que rodea+an el trono. :l re' se aproximó al calculista, ', estrec-ándole la mano, exclamó con gran autoridad( >a teoría del -om+re de ciencia soador venció ' vencerá siempre al utilitarismo grosero del am+icioso sin ideal filosófico. ?l oír tal sentencia, dictada por la justicia ' por la razón, el envidioso a-un W+u6a-un se inclinó, dirigió un "zalam# al re', ' sin decir pala+ra se retiró ca+iz+ajo de la Sala de ?udiencias.
8otas $%& :jalcianas 9 esclavas de origen espaol /. T.1 $2& Adja!is 9 significa "#joven de otras tierras. /. T.1
?cli!ia 9 nom+re atri+uido a la -ija más vieja de :va. Wclimia, según la tradición ára+e, es más joven que ;aín. /. T.1 $H& Habessan 9 pequea /. T.1 $M& Título dado exclusivamente a los descendientes de a-oma. /. T.1 $K& Oabindranath Hagore /%QK% %I%1, el gran poeta, pensador ' educador indio, nacido en ;alcuta. 4ue educado en la secta Brama 9 Sama', fundada por su padre, gran reformador religioso, que trató de unificar los principios de los Dedas con el sentimiento cristiano. :l 7remio 8o+el, que o+tuvo en %%H, mereció para *l la atención universal. Tagore fue el poeta que más -a'a -ec-o conocer la sensi+ilidad del oriente contemporáneo a las mentalidades occidentales. Su aspecto venera+le ' sus viajes contri+u'eron a difundir su o+ra, respetada en todo el mundo. :ra un extraordinario sentidor de la paz ' de la naturaleza, conceptos en los que +asó las directivas de su c*le+re escuela de Bolpur. Su principal o+ra es /itanjali />a Vfrenda >írica1. Vtras producciones( El 0ardinero, ájaros erdidos, 4a 'osecha, El Asceta #anyasi , #alón Iscuro, 'iclo de la ri!avera, 'hitra, 4a %er!ana ayor y otros cuentos. 4a Escuela del apagayo, 1acionalis!o, /ora, A 'uatro 7oces, 4a Oeligión :el %o!bre, etc., etc. $O& ha)!a 9 :specie de pollera que llevan las +ailarinas. $Q& %aqui! 9 *dico a quien el re' confía la asistencia de sus esposas /. T.1 $& a ;ondorcet o+serva+a( ":l marino, a quien la exacta determinación de la longitud preserva del naufragio, de+e la vida a una teoría conce+ida -ace veinte siglos por -om+res de genio, que sólo tenían en vista especulaciones geom*tricas#. CAPÍTULO 15 En el cual 1uredin regresa a la #ala de Audiencias. 4a in(or!ación que obtuvo de un $i!!an&. 'o!o vivía el pobre calígra(o. El cuadrado lleno de n-!eros y el tablero de ajedre). "ere!ís habla sobre los cuadrados !ágicos. 4a consulta del $ule!a&. El rey pide a "ere!ís que le cuente la leyenda del juego de ajedre). uredin no fue favorecido por la suerte al ir a desempear su misión. :l calígrafo que el re' quería interrogar con tanto empeo so+re el caso de los "números amigos#, no se encontra+a más en la ciudad de Bagdad. ? relatar las medidas que tomara para dar cumplimiento a la orden del califa, -a+ló así el no+le musulmán( Salí de este palacio, acompaado por tres guardias, -acia la mezquita de Vtman /?la- la enno+lezca cada vez más1. e informó un viejo "imman#, que vela por la conservación del templo, que el -om+re que +usca+a -a+ía, efectivamente, residido algunos meses en una casa próxima. 7ocos días antes, sin em+argo, salió para Basora, con una caravana de vendedores de tapices ' velas. Supe tam+i*n que el calígrafo /cu'o nom+re el "imman# ignora+a1 vivía sólo, ' que raras veces deja+a la pequea ' modesta -a+itación en que mora+a. ;reí necesario examinar esa -a+itación, en procura de algún indicio que facilitase la pesquisa. $H&
'uadrado !ágico de casillas :l aposento se -alla+a a+andonado desde el día en que el calígrafo lo dejara. Todo allí denota+a extraordinaria po+reza. )n lec-o +asto, colocado a un costado, era todo el mo+iliario. So+re un cajón tosco, de madera, un ta+lero de ajedrez ' unas cuantas piezas de ese juego ', en las paredes, un cuadrado lleno de números. :ncontrando extrao que un -om+re tan po+re, que lleva+a una vida llena de privaciones, cultivase el juego de ajedrez ' adornase las paredes con figuras de expresiones matemáticas, resolví traer esos o+jetos conmigo, para que nuestros "ulemas# pudieran admirar las reliquias dejadas por el viejo calígrafo. :l sultán, lleno de curiosidad por el caso, ordenó a Beremís que examinase con la atención de+ida el ta+lero ' la figura que parecía más apropiada para un discípulo de ?l;arismi $%&, que para adorno del cuarto de un po+re. !espu*s de -a+er o+servado meticulosamente el ta+lero ' el cuadro, dijo el "6om+re que calcula+a#( :sa interesante figura num*rica, encontrada en el cuarto del calígrafo, constitu'e lo que llamamos un "cuadrado mágico#. Tomemos un cuadrado ' dividámoslo en , %K, 2M ó más cuadrados iguales, que llamaremos casillas.
'uadrado !ágico chino, en el cual los n-!eros Lpor (alta de guaris!osM, son representados por objetos. arece pertenecer á ;=KK a*os A. '. :n cada una de esas casillas coloquemos un número entero. >a figura o+tenida será un cuadrado mágico cuando la suma de los números que figuran en una columna, en una fila, o en cualquiera de las diagonales, sea siempre la misma. :se resultado invaria+le se llama constante del cuadrado, ' el número de casillas de una fila, !ódulo del mismo. >os números que ocupan las diferentes casillas del cuadrado mágico de+en ser todos diferentes ' tomados en su orden natural. :l origen de los cuadrados mágicos es oscuro. Se cree que la construcción de esas figuras constituía 'a, en *pocas remotas, un pasatiempo que a+sor+ía la atención de gran número de curiosos. ;omo los antiguos atri+uían a ciertos números, propiedades ca+alísticas, era mu' natural que viesen virtudes mágicas en los arreglos especiales de esos números.
'uadrado !ágico de @> casillas, que los !ate!áticos lla!an $diabólico&. 4a constante 2< de este
cuadrado !ágico no sola!ente se obtiene su!ando los n-!eros de una !is!a colu!na, o de una !is!a (ila, o de una diagonal, sino ta!bién su!ando de otras !aneras cuatro n-!eros del cuadro, por eje!plo, P@3 2< @P@@P@>P> 2<,R y así de => !odos di(erentes. 7éanse nuestras 1otas sobre cuadrados !ágicos al (inal de este libro. >os cuadrados mágicos eran conocidos por los matemáticos c-inos que vivieron cuarenta ' cinco siglos antes de a-oma. :s imposi+le, sin em+argo, construir un cuadrado mágico con cuatro casillas. :n la Wndia muc-os re'es usa+an los cuadrados mágicos como amuletosL un sa+io de emen afirma+a que los cuadrados preserva+an de ciertas enfermedades. )n cuadrado mágico de plata, colgado del cuello, evita+a, según la creencia de cierta tri+u, el contagio de la peste. ;uando un cuadrado mágico presenta cierta propiedad 9como, por ejemplo, la de poder descomponerse en varios cuadrados mágicos 9lleva el nom+re de -ipermágico. :ntre los cuadrados -ipermágicos podemos citar los dia+ólicos. ?sí se denominan los cuadrados que continúan siendo mágicos aunque cam+ie una fila por una columna$2&. >as indicaciones -ec-as por Beremís acerca de los cuadrados mágicos fueron oídas con gran atención por el re' ' por los no+les musulmanes. )no de los "ulemas#, despu*s de dirigir elogiosas pala+ras al "eminente Beremís Samir, del país de Wrán#, aseguró que desea+a -acer una consulta al sa+io calculista. >a consulta era la siguiente( @6a+rá un m*todo especial para las investigaciones matemáticas, o los grandes principios ' las le'es admira+les de esa ciencia serán descu+iertas por casualidadA >a respuesta a esa delicada consulta la formuló Beremís en los siguientes t*rminos( 8o existe, ni puede existir, m*todo general para dirigir las investigaciones, pero es evidente que la casualidad casi no interviene. :l descu+rimiento es siempre producto de larga reflexión ' de un esfuerzo consciente en una dirección 'a determinada. :l -ec-o más interesante, entre los que o+servan entonces, es, tal vez, la aparición repentina de la solución largamente +uscada, a veces cuando el investigador 'a -ace tiempo que a+andonó el asunto. Todo permite creer que esa verdadera luz mental es el resultado de un tra+ajo su+consciente, que representaría un papel importante en el descu+rimiento. ? continuación el +rillante calculista tomó el ta+lero de ajedrez ' dijo( :ste viejo ta+lero, dividido en KI casillas negras ' +lancas, se emplea, como sa+*is, en un interesante juego que un -indú, llamado >a-ur Sessa, inventó -ace muc-os siglos, para recreo de un re' de la Wndia. :l descu+rimiento del juego de ajedrez se -alla ligado a una le'enda que encierra cálculos ' números. !e+e ser interesante oírla 9opinó el califa. :scuc-o ' o+edezco 9respondió Beremís. narró la -istoria siguiente(
8otas( $%& Al N 'aris!i 9geómetra ára+e. $2& D*anse los cuadrados mágicos que citamos en el ap*ndice de este li+ro, entre las "'uriosidades ate!áticas# CAPÍTULO 1! 4eyenda sobre el juego de ajedre), contada al cali(a de "agdad, AlDotacen "illah, E!ir de los 'reyentes, por "ere!ís #a!ir, el $%o!bre que calculaba&. ifícil, será descu+rir, dada la vaguedad de los documentos antiguos, la *poca exacta en que vivió ' reinó en la Wndia un príncipe llamado Wadava, dueo de la provincia de Taligana. Sería injusto, sin em+argo, ocultar que el nom+re de ese so+erano es mencionado por varios -istoriadores -indúes, como el de uno de los monarcas más generosos ' ricos de su tiempo. >a guerra, con su cortejo inimita+le de calamidades, amargó muc-o la vida del re' Wadava, cam+iando el ocio ' el placer de que goza+a la realeza, en las más inquietantes tri+ulaciones. 4iel al de+er que le imponía la ;orona, de velar por la tranquilidad de sus sú+ditos, se vio el -om+re +ueno ' generoso o+ligado a empuar la espada para repeler, al frente de un pequeo ej*rcito, un insólito ' +rutal ataque del aventurero Darangul, que se decía príncipe de ;alian. :l c-oque violento de los dos rivales sem+ró de muertos los campos de !acsina ' tió de sangre las aguas sagradas del río S-andú. :l re' Wadava tenía 9según lo que revela la crítica de los -istoriadores singular aptitud militarL sereno, ela+oró un plan de +atalla para impedir la invasión, ' tan -á+il ' afortunado fue al ejecutarlo, que logró vencer ' aniquilar por completo a los malintencionados pertur+adores de la paz de su reino. :l triunfo so+re los fanáticos de Darangul le costó, desgraciadamente, grandes sacrificiosL muc-os jóvenes "quic-atrias# $%& pagaron con la vida la seguridad de un trono para prestigio de una dinastíaL ' entre los muertos, con el pec-o atravesado por certera flec-a, quedó en el campo de +atalla el príncipe ?djamir, -ijo del re' Wadava, quien patrióticamente se sacrificó en el momento culminante de la luc-a, para salvar la posición que dio a los su'os la victoria final. Terminada la cruenta campaa ' asegurados los nuevos límites de su frontera, regresó el re' a su suntuoso palacio de ?ndra, pro-i+iendo, sin em+argo, las ruidosas manifestaciones con que
los -indúes festejan sus victorias. :ncerrado en sus -a+itaciones, solo salía de ellas para atender a los ministros ' sa+ios +ra-manes cuando algún grave pro+lema nacional lo o+liga+a a decidir, como jefe de :stado, en inter*s ' para la felicidad de sus sú+ditos. ;on el correr de los días, en lugar de pagarse los recuerdos de la penosa campaa, más se agrava+an la angustia ' la tristeza que, desde entonces, oprimían el corazón del re'. @!e qu* le podrían servir, en verdad, los ricos palacios, los elefantes de guerra, los tesoros inmensos, si 'a no vivía a su lado aquel que fuera la razón de su existenciaA @Eu* valor podrían tener, a los ojos de un padre inconsola+le, las riquezas materiales, que no +orrarían nunca el recuerdo del -ijo desaparecidoA >os pormenores de la +atalla en que pereciera el príncipe ?djamir no a+andona+an su pensamiento. :l infeliz monarca pasa+a largas -oras trazando, so+re una gran caja de arena, las diversas manio+ras realizadas por las tropas durante el asalto. )n surco indica+a la marc-a de la infanteríaL otro, paralelo, a su lado, mostra+a el avance de los elefantes de guerraL un poco más a+ajo, representada en pequeos círculos, dispuestos con simetría, se perfilada la temida ca+allería, comandada por un viejo "radj# $2&, que se decía +ajo la protección de Tc-andra, la diosa de la >una. ?sí, por medio de gráficos, es+oza+a el re' la colocación de las tropas, estando las enemigas desventajosamente colocadas, gracias a su estrategia, en el campo en que se li+ró la +atalla decisiva. )na vez completo el cuadro de los com+atientes, con todos los detalles que pudiera evocar, +orra+a el re' todo, ' comenza+a otra vez, como si sintiese placer en revivir los momentos de angustia ' ansiedad pasados. ? la -ora temprana de la maana, en que los +ra-manes llega+an al palacio para la lectura de los Dedas$H&, 'a se veía al re' trazando en la arena los planos de una +atalla que se reproducía indefinidamente. 3!esgraciado monarca5 9murmura+an los sacerdotes, apenados. 7rocede como un "sudra# $I& a quien !ios privó del uso de la razón. 3Sólo !-anoutara$M&, poderosa ' clemente, podrá salvarlo5 los +ra-manes eleva+an oraciones, quema+an raíces aromáticas, implorando a la diosa clemente ' poderosa, eterna patrona de los enfermos, que amparase al so+erano de Taligana. )n día, finalmente, fue informado el re' de que un joven +ra-mán 9po+re ' modesto solicita+a una audiencia que venía pidiendo desde -acía algún tiempo. ;omo estuviese en ese momento en +uena disposición de ánimo, ordenó el re' que llevaran al desconocido a su presencia. ;onducido a la gran sala del trono, fue interpelado el +ra-mán, como lo exigía la costum+re, por uno de los visires del re'. @Eui*n eres, de dónde vienes ' que deseas de aquel que, por la voluntad de Dic-nú $K&, es re' ' seor de TaliganaA i nom+re 9respondió el, joven +raman es >a-ur Sessa $O&, ' vengo de la aldea de anir, que está a treinta días de marc-a de esta +ella ciudad. ?l recinto en que vivía llegó la noticia de que nuestro +ondadoso re' arrastra+a los días, en medio de profunda tristeza, amargado por la
ausencia del -ijo que le ro+a+a la guerra. Gran mal será pare el país, me dije, si nuestro querido so+erano se encierra como un +ra-mán ciego dentro de su propio dolor. 7ens*, pues, en inventar un juego que pudiera distraerlo ' a+rir en su corazón las puertas a nuevas alegrías. :s ese insignificante o+sequio que deseo, en este momento, ofrecer a nuestro re' Wadava. ;omo todos los grandes principios citados en las páginas de la 6istoria, tenía el so+erano -indú el grave defecto de ser excesivamente curioso. ;uando le informaron del o+jeto de que el joven +racmán era portador, no pudo contener el deseo de verlo ' apreciarlo sin demora. >o que Sessa traía al re' Wadava consistía en un gran ta+lero cuadrado, dividido en sesenta ' cuatro cuadraditos igualesL so+re ese ta+lero se coloca+an dos colecciones de piezas, que se distinguían unas de otras por el color, +lancas ' negras, repitiendo sim*tricamente los motivos ' su+ordinadas a reglas que permitían de varios modos su movimiento. Sessa explicó con paciencia al re', a los visires ' cortesanos que rodea+an al monarca, en qu* consistía el juego, enseándoles las reglas esenciales( ;ada uno de los jugadores dispone de oc-o piezas pequeitas, llamadas peones. Pepresentan la infantería que avanza so+re el enemigo para dispersarlo. Secundando la acción de los peones vienen los elefantes de guerra$Q&, representados por piezas ma'ores ' más poderosasL la ca+allería, indispensa+le en el com+ate, aparece, igualmente, en el juego, sim+olizada por dos piezas que pueden saltar como dos corceles, so+re las otrasL ' para intensificar el ataque, se inclu'en 9 representando a los guerreros no+les ' de prestigio 9los dos visires $& del re'. Vtra pieza, dotada de amplios movimientos, más eficiente ' poderosa que las demás, representará el espíritu patriótico del pue+lo ' será llamada la reina. ;ompleta la colección una pieza que aislada poco vale, pero que amparada por las otras se torna mu' fuerte( es el re'. :l re' Wadava, interesado por las reglas del juego, no se cansa+a de interrogar al inventor( @ por qu* la reina es más fuerte ' poderosa que el mismo re'A :s más poderosa 9argumentó Sessa porque la reina representa, en el juego, el patriotismo del pue+lo. :l poder ma'or con que cuenta el re' reside, precisamente, en la exaltación cívica de sus sú+ditos. @;ómo podría el re' resistir los ataques de sus adversarios, si no contase con el espíritu de a+negación ' sacrificio de aquellos que lo rodean ' velan por la integridad de la patriaA :n pocas -oras el monarca aprendió las reglas del juego, consiguiendo derrotar a sus visires en partidas que se desenvolvían impeca+lemente so+re el ta+lero. Sessa, de vez en cuando, intervenía respetuoso, para aclarar una duda o sugerir un nuevo plan de ataque o de defensa. :n determinado momento el re' -izo notar, con gran sorpresa que la posición de las piezas, por las com+inaciones resultantes de diversos lances, parecía reproducir exactamente la +atalla de !acsina. V+servad 9dijo el inteligente +ra-mán que para conseguir la victoria es imprescindi+le el sacrificio de este visir.
: indicó precisamente la pieza que el re' Wadava, en el desarrollo del juego, pusiera gran empeo en defender ' conservar. :l juicioso Sessa demostra+a, de ese modo, que el sacrificio de un príncipe es a veces impuesto como una fatalidad, para que de *l resulten la paz ' la li+ertad de un pue+lo. ?l oír tales pala+ras, exclamó el re' Wadava, sin ocultar su entusiasmo( 8o creí nunca, que el ingenio -umano pudiera producir maravillas como este juego, tan interesante al par que instructivo. oviendo esas simples piezas, aprendí que un re' nada vale sin el auxilio ' la dedicación constante de sus sú+ditos, ' que, a veces, el sacrificio de un simple peón vale más, para la victoria, que la p*rdida de una poderosa pieza. , dirigi*ndose al joven +ra-mán le dijo( Euiero recompensarle, amigo mío, por este maravilloso o+sequio, que de tanto me sirvió para aliviar viejas angustias. 7ide, pues, lo que desees, para que 'o pueda demostrar, una vez más, como so' de agradecido con aquellos que son dignos de una recompensa. >as pala+ras con que el re' traducía su agradecimiento dejaron indiferente a Sessa. Su fisonomía serena no traducía la menor emoción ni la más insignificante muestra de alegría o sorpresa. >os visires mira+an atónitos ' asom+rados su apatía ante un ofrecimiento tan magnánimo. Pe' todopoderoso 9recriminó el joven con suavidad ' altivez. 8o deseo, por el presente que -o' os traje, otra recompensa que la satisfacción de -a+er proporcionado al seor de Taligana un pasatiempo agrada+le para aligerar el peso de las -oras alargadas por ago+iadora melancolía. o esto', por lo tanto, so+radamente recompensado, ' toda otra paga sería excesiva. Sonrió, desdeosamente, el +ondadoso so+erano al oír aquella respuesta, que refleja+a u desinter*s tan raro entre los -indúes. , no cre'endo en la sinceridad de las pala+ras de Sessa, insistió( e causa asom+ro tanto desamor ' desd*n por las cosas materiales, joven. >a modestia, cuando es excesiva, es como el viento que apaga la antorc-a, dejando al viandante en las tinie+las de una noc-e intermina+le. 7ara que el -om+re pueda vencer los múltiples o+stáculos que le depara la vida, precisa tener el espíritu sujeto a una am+ición que lo impulse -acia un ideal cualquiera. :xijo, por tanto, que escojas si demora, una recompensa digna de tu valioso regalo. @Euieres una +olsa llena de oroA @!eseas un arca llena de jo'asA @7ensaste en poseer un palacioA @?spiras a la administración de una provinciaA ?guardo tu respuesta, 'a que mi pala+ra está ligada a una promesa. 8o admitir vuestro ofrecimiento despu*s de vuestras últimas pala+ras respondió Sessa, más que descortesía sería deso+ediencia al re'. Do', pues, a aceptar por el juego que invent*, una recompensa que corresponda a vuestra generosidadL no deseo, sin em+argo, ni oro, ni tierras, ni palacios. !eseo mi recompensa en granos de trigo. @Granos de trigoA 9exclamó el re', sin ocultar la sorpresa que le causara semejante propuesta. @;ómo podr* pagarle con tan insignificante monedaA
8ada más simple 9aclaró Sessa. !adme un grano de trigo por la primera casilla del ta+lero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, oc-o por la cuarta ' así duplicando sucesivamente -asta la sexag*sima cuarta ' última casilla del ta+lero. Puego a vos, re' generoso, que de acuerdo con vuestra magnífica oferta, orden*is el pago en granos de trigo, ' así como te indiqu*. 8o sólo el re', sino los visires ' venera+les +ra-manes, se rieron estrepitosamente al oír la extraa solicitud del joven. >a falta de am+ición que se traducía en aquel pedido era, en verdad, como para causar asom+ro aun al que menos apego tuviese a las cosas materiales de la vida. 3:l joven +ra-mán, que pudo o+tener del re' un palacio o una provincia, se conforma+a con granos de trigo5 Wnsensato 9exclamó el re'. @!ónde aprendiste tan grande indiferencia por la fortunaA >a recompensa que me pides es ridícula. Bien sa+es que en un puado de trigo -a' un número enorme de granos. !e+es darte cuenta de que con dos o tres medidas de trigo te pagar* -olgadamente, conforme tu pedido, por las KI casillas del ta+lero. 6as elegido una recompensa que no alcanzaría ni para distraer algunos días el -am+re del último "paria# $%J& de mi reino. :n fin, 'a que mi pala+ra fue empeada, ordenar* que el pago se -aga inmediatamente conforme a tu deseo. andó llamar el re' a los alge+ristas más -á+iles de la ;orte ' les ordenó calculasen la porción de trigo que Sessa pretendía. >os sa+ios matemáticos, al ca+o de algunas -oras de profundos estudios, volvieron al salón para -acer conocer al re' el resultado completo de sus cálculos. 7reguntóles el re', interrumpiendo el juego( @;on cuántos granos de trigo podr* cumplir, finalmente, con la promesa -ec-a al joven SessaA Pe' magnánimo 9declaró el más sa+io de los geómetras( calculamos el número de granos de trigo que constituirá la recompensa elegida por Sessa, ' o+tuvimos un número cu'a magnitud es inconce+i+le para la imaginación -umana$%%&. 6allamos en seguida, ' con la ma'or exactitud, a cuántas "ceiras# $%2& correspondería ese número total de granos, ' llegamos a la siguiente conclusión( la cantidad de trigo que de+e entregarse a >a-ur Sessa equivale a una montaa que teniendo por +ase la ciudad de Taligana, fuese %JJ veces más alta que el 6imala'a. >a Wndia entera, sem+rados todos sus campos, ' destruidas todas sus ciudades, no produciría en un siglo la cantidad de trigo que, por vuestra promesa, de+e entregarse al joven Sessa. @;ómo descri+ir aquí la sorpresa ' el asom+ro que esas pala+ras causaron al re' Wadava ' a sus dignos visiresA :l so+erano -indú se veía, por primera vez, en la imposi+ilidad de cumplir una promesa. >a-ur Sessa 9refiere la le'enda de la *poca, como +uen sú+dito, no quiso dejar afligido a su so+erano. !espu*s de declarar pú+licamente que se desdecía del pedido que formulara, se dirigió respetuosamente al monarca ' prosiguió(
aldita, 3o- re'5, so+re la gran verdad que los +ra-manes prudentes tantas veces repiten( los -om+res más precavidos, eluden no solo la apariencia engaosa de los números sino tam+i*n la falsa modestia de los am+iciosos. Wnfeliz de aquel que toma so+re sus -om+ros los compromisos de -onor por una deuda cu'a magnitud no puede valorar por sus propios medios. ás previsor es el que muc-o pondera ' poco promete. despu*s de ligera pausa, continuó( ?prendemos menos con las lecciones de los +ra-manes que con la experiencia directa de la vida ' de sus lecciones diarias, siempre desdeadas. :l -om+re que más vive, más sujeto está a las inquietudes morales, aunque no quiera. 6állase ora triste, ora alegreL -o' ve-emente, maana indiferenteL 'a activo, 'a indolenteL la compostura, la corrección, alternará con la liviandad. Sólo el verdadero sa+io, instruido en las reglas espirituales, se eleva por encima de esas vicisitudes, pasando por so+re todas esas alternativas. :sas inesperadas ' sa+ias pala+ras quedaron profundamente gra+adas en el espíritu del re'. Vlvidando la montaa de trigo que, si querer, prometiera al joven +ra-mán, lo nom+ró su primer ministro. >a-ur Sessa, distra'endo al re' con ingeniosas partidas de ajedrez ' orientándolo con sa+ios ' prudentes consejos, prestó los más sealados servicios a su pue+lo ' a su país, para ma'or seguridad del trono ' ma'or gloria de su patria. :ncantado quedó el califa ?lotacen cuando Beremís terminó la singular -istoria del juego de ajedrez. >lamó al jefe de sus escri+as ' ordenó que la le'enda de Sessa fuese escrita en -ojas especiales de pergamino ' conservada en -ermoso cofre de plata. :n seguida, el generoso so+erano ordenó se entregara al calculista un manto de -onor ' %JJ sequíes de oro. ? todos causó gran alegría el acto de magnificencia del so+erano de Bagdad. >os cortesanos que permanecían en la Sala de ?udiencias eran todos amigos del visir aluf ' del poeta WezidL era, pues, con simpatía, que oían las pala+ras del calculista persa, por quien se interesa+an vivamente. Beremís, despu*s de agradecer al so+erano los presentes con que aca+a+a de ser distinguido, se retiró de la Sala de ?udiencias. :l califa i+a a iniciar el estudio ' a juzgar varios casos, oír a los "cadis# $%H& ' a dictar sus sa+ias sentencias. !ejamos el palacio real al caer la noc-e ' cuando comenza+a el mes de ;-a+and $%I&.
8otas( $%& ilitares 9 una de las cuatro castas en que se divide el pue+lo -indú /. T.1 $2& Oadj 9 9 Fefe militar. $H& 7edas 9 7edas 9 :l más antiguo monumento de la literatura sánscrita que comprende los cuatro li+ros sagrados del +racmanismo, cu'os nom+res, por orden de antig[edad, son( Pig DedaL Sama DedaL ogur Deda, ' ?tarva Deda. $I& :sclavo. $M& !iosa. $K& Segundo miem+ro de la trinidad +ra-mánica. $O& 8om+re del inventor del juego de ajedrez. Significa "natural de >a-ur.# $Q& >os elefantes más tarde fueron sustituidos por las torres. $& >os visires son las piezas llamadas al(iles. al(iles. $%J& ^n CAPÍTULO 1" En el cual el $%o!bre que calculaba& recibe innu!erables consultas. 'reencias y supersticiones. supersticiones. Cnidad y (igura. El cuentista y el calculista. El caso de las K !an)anas. 4a 'iencia y la 'aridad. partir del c*le+re día en que estuvimos, por primera vez, en la Sala de ?udiencias del ;alifa, nuestra vida sufrió profundas modificaciones. >a fama de Beremís aumentó considera+lemente. :n la modesta fonda en que vivíamos, los visitantes ' conocidos no perdían oportunidad de lisonjearlo con repetidas demostraciones de simpatía ' respetuosos saludos.
Todos Todos los días veíase o+ligado el calculista a atender decenas de consultas. )na vez era un co+rador de impuestos que necesita+a conocer el número de "ratls# impuestos en un "a+ás# ' la relación entre esa unidad ' el "cate# $%&L aparecía, en seguida, un "-equim# ansioso por oír a Beremís una explicación so+re la cura de ciertas fie+res por medio de siete nudos -ec-os en una cuerdaL más de una vez el calculista fue llamado por los camelleros que querían sa+er cuántas veces de+ía un -om+re saltar una -oguera para li+rarse del !emonio. ?parecían a veces, al caer de la noc-e, soldados turcos, de aviesa mirada, que desea+an aprender medios seguros para ganar en el juego de los dados. Tropec*, muc-as veces, con mujeres 9ocultas por espesos velos que venía venían, n, tímida tímidas, s, a consul consultar tar al matemá matemátic tico o so+re so+re los números números que de+ían de+ían tatuar tatuarse se en el ante+razo izquierdo para tener +uena suerte, alegría ' riqueza. ? todos atendía Beremís Samir con paciencia ' +ondad. ?clara+a las dudas a algunos, da+a consej consejos os a otros otros.. 7rocur 7rocura+ a+aa destr destruir uir las creen creencia ciass ' supers superstic ticion iones es de los medioc mediocre ress e ignorantes, mostrándoles que ninguna relación puede existir., por la voluntad de ?la-, entre los números ' las alegrías o tristezas del corazón. procedía así, guiado por elevado sentimiento de altruismo, sin perseguir lucro ni recompensas. Pec-aza+a sistemáticamente el dinero que le ofrecían, ' cuando algún rico "s-ei=#, a quien enseara, insistía en pagar la consulta, Beremís reci+ía la +olsa llena de denarios, agradecía la limosna ' manda+a distri+uirla íntegramente entre los po+res del +arrio. ;ierta vez un mercader, llamado ?ziz 8eman, tra'endo un papel lleno de números ' cuentas, vino a quejarse de un socio, a quien llama+a "misera+le ladrón#, "c-acal inmundo# ' otros epítetos no menos insultantes. Beremís procuró calmar el ánimo exaltado del comerciante, llamándolo al camino de la -umildad. ;uídate 9aconsejó de los juicios -ec-os en un momento de arre+ato, porque estos desfiguran desfiguran muc-as veces la verdad. ?quel que mira a trav*s de un vidrio de color, ve todas las cosas del color de ese vidrioL si el vidrio es rojo, todo le parecerá rojizoL si es amarillo, todo se le presentará amarillento. :l apasionamiento es para nosotros, lo que el color del vidrio para los ojos. Si alguien nos agrada, todo lo aplaudimos ' disculpamosL si, por el contrario, nos molesta, todo lo condenamos o interpretamos de modo desfavora+le. :n seguid seguidaa exa examin minó ó con con pacien paciencia cia las cuenta cuentas, s, ' descu+ descu+rió rió en ellas ellas vario varioss errore erroress que desvirtua+an los resultados. ?ziz se convenció de que -a+ía sido injusto con el socio, ' quedó tan encantado con la manera inteligente ' conciliadora de Beremís, que nos convidó aquella noc-e a efectuar un paseo por la ciudad. 8os llevó nuestro cumplido compaero -asta el caf* "a)arique, "a)arique, situado en el extremo de la plaza de Vtman. )n famoso cuentista, en el medio de la sala llena de espeso -umo, mantenía la atención de un numeroso grupo de o'entes. Tuvimos la suerte de llegar en el preciso momento en el que el "s-ei=# :leda- $2&, -a+iendo -a+iendo terminado la acostum+rada oración inaugural, empeza+a la narración. :ra un -om+re de más o
menos cincuenta ' seis aos, moreno, de oscurísima +ar+a ' de ojos centellantesL usa+a, como casi todos los cuentistas de Bagdad, un amplísimo pao +lanco, ceido en torno a su ca+eza con una cuerda de pelo de camello, que le da+a la majestad de un sacerdote antiguo. 6a+la+a en voz alta ' en*rgica erguido en medio del círculo de o'entes, acompaado por dos sumisos ejecutantes de laúd ' tam+or. 8arra+a, con entusiasmo, una -istoria de amor, intercalada con las vicisitudes de la vida de un sultán. >os o'entes, atentos, no perdían una sola pala+ra. :l gesto del "s-ei=# era tan arre+atado, su voz tan expresiva ' su rostro tan elocuente, que a veces da+a la impresión de que vivía las aventuras que crea+a su fantasía. 6a+la+a de un largo viajeL imita+a el paso del ca+allo cansado, ' seala+a -acia grandes -orizontes más allá del desierto. ? veces fingía ser un +eduino sediento procurando -allar a su alrededor una gota de aguaL otras deja+a caer la ca+eza ' los +razos como un -om+re postrado. Nra+es, armenios, egipcios, persas ' nómades de 6edjaz, inmóviles, sin respirar, o+serva+an atentos las expresiones del rostro del orador. :n aquel momento, deja+an traslucir, con el alma en los ojos, toda la ingenuidad ' frescura de sentimientos que oculta+an +ajo una apariencia de salvaje dureza. :l cuentista se movía para la derec-a ' para la izquierda, se cu+ría el rostro con las manos levanta+a los +razos al cielo, ', a medida que aumenta+a su entusiasmo ' levanta+a la voz, los músicos +atían ' toca+an con más fuerza. >a narración entusiasmó a los +eduinosL al terminar, los aplausos ensordecían. :l mercader ?ziz 8eman, que parecía mu' popular en aquella +arullenta reunión, se adelantó -acia el centro de la rueda ' comunicó al "s-ei=#, en tono solemne ' decidido( 36állase presente el -ermano de los ára+es, el c*le+re Beremís Samir, el calculista persa, secretario del visir aluf5 ;entenares de ojos convergieron en Beremís, cu'a presencia era un -onor para los parroquianos del caf*. :l cuentista, despu*s de dirigir un respetuoso "zalam# al "6om+re que calcula+a#, dijo con +ien tim+rada voz( is amigos( -e contado muc-as -istorias de re'es, genios ' magos. :n -omenaje al +rillante calculista que aca+a de entrar, vo' a contar una -istoria que envuelve un pro+lema cu'a solución, -asta a-ora, no fue descu+ierta. 3u' +ien5 3u' +ien5 9exclamaron los o'entes. o'entes. :l "s-ei=# evocó el nom+re de ?la- /3con *l en la oración ' en la gloria51, ' en seguida contó esta -istoria( Divía una vez en !amasco un +uen ' tra+ajador aldeano que tenía tres -ijas. )n día, conve conversa rsando ndo con con un "cadí "cadí##, declar declaró ó el campes campesino ino que sus -ijas -ijas esta+a esta+an n dotada dotadass de gran gran inteligencia ' de raro poder imaginativo. :l "cadí#, envidioso, envidioso, irritose al oír elogiar al rústico el talento de las jóvenes, ' dijo( a es la quinta vez que oigo de tu +oca elogios exagerados que exaltan la sa+iduría de tus -ijas. Do' a pro+ar si ellas son, como afirmas, tan ingeniosas ' perspicaces. andó el "cadí# llamar a las muc-ac-as ' les dijo(
?quí -a' J manzanas que ustedes de+erán vender en el mercado. 4átima, que es la ma'or, llevará MJL ;unda llevará HJ, ' la pequea Si-a venderá las %J restantes. Si 4átima vende las manzanas a O por un denario, las otras de+erán -acerlo por el mismo precio, esto es, a O por un denarioL si 4átima fija como precio para la venta, tres denarios cada una, ese será el precio por el cual ;unda ' Si-a de+erán vender las que llevan. :l negocio de+e -acerse de suerte que las tres saquen, con la venta de las respectivas manzanas, la misma cantidad. @ no puedo des-acerme de algunas manzanasA, preguntó 4átima. !e ningún modo 9o+jetó, rápidamente, el impertinente "cadí#. >a condición, repito, es esa( 4átima de+e vender MJ, ;unda HJ ' Si-a sólo podrá vender las %J que le tocan. por el precio que venda 4átima venderán las otras. 6agan las ventas de modo que al final los +eneficios sean iguales. ?quel pro+lema, así planteado, resulta+a a+surdo ' disparatado. @;ómo resolverloA >as manzanas, según la condición impuesta por el "cadí#, de+ían ser vendidas por el mismo precio. :n esas condiciones, era evidente que la venta de las MJ manzanas de+ía producir ma'or +eneficio que la venta de las HJ ó de las %J restantes. ;omo las jóvenes no atinaran con la forma de resolver el pro+lema, fueron a consultar el caso con un i!!an$H& que vivía en la cercanía. :l i!!an, despu*s de llenar varias -ojas de números, fórmulas ' ecuaciones, conclu'ó( 7equeas( ese pro+lema es de una simplicidad evidente. Dendan las J manzanas como el viejo cadí ordenó ' llegarán sin error al resultado que *l mismo determinó. >a indicación dada por el i!!an aclara+a el intrincado enigma de las J manzanas propuesto por el cadí . >as jóvenes fueron al mercado ' vendieron todas las manzanas( 4átima vendió las MJ que le correspondían, ;unda las HJ ' Si-a las %J que llevara. :l precio fue siempre el mismo para las tres, ' el +eneficio tam+i*n. ?quí termina la -istoria. Toca a-ora a nuestro calculista determinar cómo fue resuelto el pro+lema. 8o +ien terminó el narrador de -a+lar, Beremís se encaminó al centro del círculo formado por los curiosos o'entes, ' dijo así( 8o deja de ser interesante ese pro+lema, presentado +ajo forma de una -istoria. 6e oído muc-as veces lo contrarioL simples -istorias, disfrazadas de verdaderos pro+lemas de >ógica o de atemática. >a solución para el enigma con que el malicioso cadí de !amasco quiso atormentar a las jóvenes campesinas, es la siguiente( 4átima inició la venta fijando el precio de O manzanas en un denario. Dendió de ese modo, I, ' se quedó con %, sacando en esa primera venta O denarios. ;unda, o+ligada a vender las HJ manzanas por el mismo precio, vendió 2Q por I denarios, quedando con 2 de resto. Si-a, que tenía una decena, vendió O por un denario ' se quedó con H de resto. Tenemos así, como primera faz del pro+lema( 4átima vendió I ' se quedó con % ;unda vendió 2Q ' se quedó con 2 Si-a vendió O ' se quedó con H
? continuación decidió 4átima vender la manzana que le queda+a en H denarios. ;unda, según la condición impuesta por el cadí , vendió las 2 manzanas en H denarios cada una, o+teniendo K denarios, ' Si-a vendió las H su'as del resto por denarios, esto es, tam+i*n a H denarios cada una(
Terminado el negocio, como es fácil verificar, cada una de las jóvenes o+tuvo %J denarios, resolviendo así el pro+lema del cadí . Euiera ?la- que los perversos sean castigados ' los +uenos recompensados. :l shei5 :leda-, encantado con la solución presentada por Beremís, exclamó, levantando los +razos( 37or la segunda som+ra de a-oma5 :ste joven calculista es realmente un genio. :s el primer "ulema# que descu+re, sin -acer cuentas complicadas, la solución exacta ' perfecta para el pro+lema del cadí. >a multitud que llena+a el caf* de Vtman, sugestionada por los elogios del s-ei=, vitoreó( 3Bravo, +ravo5 3?la- ilumine al joven "ulema#5 :ra mu' posi+le que muc-os -om+res no -u+ieran entendido la explicación de Beremís. 8o o+stante esa pequea restricción, los aplausos eran generales ' vi+rantes. Beremís, despu*s de imponer silencio a la +arullenta concurrencia, les dijo con ve-emencia( ?migos míos( me veo o+ligado a confesar que no merezco el -onroso título de "ulema#. >oco es aquel que se considera sa+io cuando sólo mide la extensión de su ignorancia. @Eu* puede valer la ciencia de los -om+res delante de la ciencia de !iosA antes de que ninguno de los presentes lo interrogase, narró lo siguiente( 6allá+ase cierta vez, en presencia de asudí $I& , el gran -istoriador musulmán, el alquimista ?idemir +en?lí, quien se vanagloria+a de poseer todos los secretos científicos que le -acían dueo de la tierra. ?nte tan desca+ellada presunción, asudí o+servó( "?idemir +en?lí -a+la como -a+ló otrora la -ormiga que descu+riera la gran montaa de azúcar.# , a fin de curar, de una vez para siempre, la vanidad sin límite del alquimista, el gran -istoriador así le contó( "0rase una vez una -ormiguita que, vagando por el mundo, encontró una gran montaa de azúcar. u' contenta con su descu+rimiento, sacó de la montaa un grano
' lo llevó a su -ormiguero. 9"@Eu* es esoA#, preguntaron sus compaeras. 9":sto es una montaa de azúcar#, replicó orgullosa. ">a encontr* en mi camino ' resolví traerla para aquí.# 9 asudí, con maliciosa ironía, conclu'ó así( :l sa+io orgulloso es como la -ormiga. 3Trae una pequea migaja, ' casi cree llevar el propio 6imala'a5 >a ciencia es una gran montaa de azúcarL de esa montaa sólo conseguimos retirar insignificantes trocitos.# )n +arquero de -inc-adas mejillas, que se -alla+a en la rueda, preguntó a Beremís( @;uál es la ciencia de !iosA 3>a ciencia de !ios es la ;aridad5 :n ese momento me acord* de la admira+le poesía que o'era a Telassim, en los jardines del "s-ei=# Wezid, cuando los pájaros fueron puestos en li+ertad( #i yo hablase las lenguas de los ho!bres y de los ángeles y no tuviese caridad, sería co!o el !etal que suena, o co!o la ca!pana que ta*e, 81ada sería9... 81ada sería9... 6acia la media noc-e, cuando dejamos el caf* Bazarique, varios -om+res, para testimoniarnos la consideración que nos dispensa+an, vinieron a ofrecernos sus pesadas linternas, pues la noc-e era oscura ' las calles eran tortuosas ' esta+an desiertas.
8otas( $%& :l ratl vale una cent*sima parte de %M Cg. :l abás es una unidad de peso empleada en la evaluación de perlas. :l cate es una pesa usada en la ;-ina ' equivale á K2M gramos. $2& Fefe de los narradores de cuentos /Der( !e ?micis1 $H& ?!!an 9 6om+re religioso encargado de leer el ;orán en la mezquita.
asudí 9 ;uentista ára+e nota+le( amigo ' compaero de a-oma. :scri+ió( "oroudj edls !-ana+#, o+ra de larga repercusión traducida al franc*s como "7raderas de oro#. urió en el ao M%. CAPÍTULO 1# En el cual volve!os al palacio del shei5 ?e)id. Cna reunión de poetas y letrados. El ho!enaje al aharajá de 4aore. 4a ate!ática en la ?ndia. 4a perla de 4ilavati. 4os proble!as de Arit!ética de los hind-es. El precio de la esclava de ;K a*os. l día siguiente, a la primera -ora de "so+# $%&, vino un egipcio con una carta del poeta Wezid, a +uscarnos a nuestra -umilde posada. Todavía es mu' temprano para la clase /advirtió tranquilo, Beremís1. !udo que mi paciente alumna -a'a sido prevenida. :l egipcio explicó que el "s-ei=#, antes de la clase de atemática, desea+a presentar al calculista a su grupo de amigos. ;onvenía, pues, llegar más temprano al palacio del poeta. :sta vez, por precaución, fuimos acompaados por tres esclavos negros, decididos ' fuertes, pues era mu' posi+le que el terri+le ' celoso TaraTir intentase, en el camino, asaltarnos ' matar al calculista, en el cual, parece, preveía a un poderoso rival. )na -ora despu*s, sin que nada anormal ocurriera, llegamos a la magnífica residencia del "s-ei=# Wezid. :l esclavo egipcio nos condujo, a trav*s de intermina+le galería, -asta un -ermoso salón azul adornado con frisos dorados. ?lí se encontra+a el padre de Telassim, rodeado de varios letrados ' poetas. 3oare ' !el-i. $I&
Beremís con una leve inclinación de +usto -izo un "zalam# al gran ma-arajá de >aore, que era el joven del cinto de +rillantes. a sa+íamos, por las conversaciones -a+ituales con que nos entretenían los forasteros de la posada, que el príncipe -a+ía dejado sus ricos dominios de la Wndia para cumplir con uno de los de+eres de todo +uen musulmán( -acer la peregrinación a la eca, la perla del Wslam. Euedaría, por lo tanto, pocos días en Bagdad, para continuar luego, con sus numerosos siervos ' a'udantes, -acia la ;iudad Santa. !eseamos, calculista 9prosiguió Wezid tu a'uda para que podamos aclarar una deuda sugerida por el príncipe ;luzir Sc-á. @;uál fue la contri+ución con que la ciencia de los -indúes enriqueció a la atemáticaA @;uáles los principales geómetras que más se destacaron en la Wndia por sus estudios e investigacionesA Generoso s-ei= 9respondió Beremís. >a tarea que aca+áis de encomendarme es de las que exigen erudición ' serenidad. :rudición para conocer, con todos los detalles, los datos recopilados por la 6istoria de las ;iencias ' serenidad para analizarlos ' juzgarlos con elevación ' discernimiento. Duestros menores deseos, o- s-ei=, son, sin em+argo, órdenes para mí. :xpondr* en esta +rillante reunión, como -umilde -omenaje al príncipe ;luzir Sc-á /a quien reci*n -e tenido el -onor de conocer1, las pocas nociones que aprendí en los li+ros so+re el desenvolvimiento de la atemática en el país de Ganges. así comenzó el "6om+re que calcula+a#( 8ueve o diez siglos antes de a-oma, vivió en la Wndia un +racmán ilustre que se llama+a ?pastam+a. ;on el o+jeto de informar a los sacerdotes so+re los procedimientos para construir altares ' orientar los templos, escri+ió ese sa+io una o+ra intitulada #ubaD#ultra, que contiene numerosas enseanzas matemáticas. :s poco pro+a+le que esa o+ra -a'a reci+ido la influencia de los 7itagóricos$2&, pues la Geometría del sacerdote -indú no sigue el m*todo de los investigadores griegos. :n las páginas de #ubaD#ultra se encuentran varios teoremas de atemática ' pequeas reglas so+re construcciones de figuras. 7ara transformar convenientemente un altar, el prudente ?pastam+a constru'e un triángulo rectángulo cu'os lados miden, respectivamente, H, HK ' %M. ?plica en la solución de este interesante pro+lema el principio famoso atri+uido al geómetra 7itágoras( $El cuadrado construido sobre la hipotenusa es equivalente a la su!a de los cuadrados construidos sobre los catetos.& :sa proposición, seores, expresa una gran verdad. >e' eterna dictada por !ios ' que la ;iencia reveló a los -om+res. ?ntes que existiese arte, o la Tierra o el Sol, ' muc-o despu*s que dejaren de existir aquí como allá, en los mundos visi+les como invisi+les, "el cuadrado construido so+re la -ipotenusa fue ' será siempre equivalente a la suma de los cuadrados construidos so+re los catetos.# Todas nuestras teorías de la vida, todas las pueriles especulaciones nuestras so+re la muerte, todas las discusiones so+re los pro+lemas del destino 9 todo eso es polvareda que apenas se ve en un ra'o de sol, comparado con la do+le eternidad, pasada ' futura, de una verdad como aquella.
El teore!a de itágoras, tan citado en ate!ática, puede de!ostrarse de !uchísi!as !aneras. #iendo A el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa, " y ' las de los cuadrados construidos sobre los catetos, tene!os la siguiente relación6 A " P ' 4a (igura que traduce el teore!a de itágoras es clásica en ate!ática. 7ues +ienL el teorema de 7itágoras es presentado por el -indú ?pastam+a +ajo una forma mu' interesante( $4a diagonal de un rectángulo produce, por si sola, lo que los lados del rectángulo producen en conjunto.& :s posi+le sacar en conclusión, pues, que los -indúes, sin el auxilio de los griegos, 'a conocían los triángulos rectángulos, cu'os lados están expresados por números enteros. :n el primer capítulo de #ubaD#ultra -a' referencias al triángulo rectángulo nota+le, cu'os lados miden, respectivamente, H, I ' M. :l ilustre ?pastam+a menciona otros triángulos pitagóricos( %2, %K,2JL M, %2,%HL Q, %M,%O ' llega, por medio de fracciones simples a expresar el valor aproximado de la raíz cuadrada de 2. $H&
Gigura que podría servir para de!ostrar grá(ica!ente el teore!a de itágoras. 4os lados del triángulo !iden respectiva!ente 3, < y 2. 4a relación pitagórica se veri(ica con la igualdad ;3 @> P :l valor así o+tenido, ?pastam+a lo aplica en la construcción de un cuadrado por medio de un ingenioso artificio. >os sacerdotes aprendían así, por la lectura de las páginas de #ubaD#ultra, a transformar un rectángulo en un cuadro equivalente, cosa que, a veces, precisa+an al tener que a lterar la forma de un altar, sin modificar el área. Surgieron despu*s de #ubaD#ultra varias o+ras de indiscuti+le valor en la 6istoria de la atemática. 7or ejemplo, #uriaD#idanta, que contiene una ta+la de senos $I& utilizada por los astrónomos. >a pala+ra seno, en idioma -indú, significa declive.
Hriángulo rectángulo ya conocido y citado por los antiguos !ate!áticos hind-es. 'onviene observar que el cuadrado L;3M del lado !ayor es igual a la su!a de los cuadrados L P @>M de los otros dos lados #uriaD#idanta es el primer tratado que expone las reglas de la numeración decimal cada guarismo tiene un valor negativo ' emplea el cero para indicar la ausencia de unidades de cierto orden. 8o menos nota+le, para la ciencia de los +ra-manes, es el tratado de ?riaBata, que se divide en cuatro partes( " Ar!onías 'elestes#, "El Hie!po y su edida#, "4as Es(eras# ' "Ele!entos de 'álculo#. Darios son los errores que se o+servan en las páginas de ?riaBata. :se geómetra
afirma que el volumen de una pirámide se o+tiene "multiplicado la mitad de la +ase por la altura# $M& e indica como fórmulas para el cálculo de áreas de cuadriláteros, algunas que sólo son aplica+les a casos particulares. 7ara determinar el largo de la circunferencia da ?riaBata la siguiente regla( "Sumar I á %JJ, multiplicar por Q, sumar K2.JJJ#L se o+tiene así la longitud de la circunferencia para un círculo de dos miriámetros de diámetro. $K&
4os itagóricos (ueron atacados de todos !odos por sus adversarios. 'on estas caricaturas pretendían ridiculi)ar a los discípulos del célebre (ilóso(o griego. )na de las más curiosas e importantes o+ras de la literatura científica de la Wndia es "ijaganita. :se nom+re singular está formado por dos pala+ras, bija ' ganita, que significan, respectivamente, se!illa ' cuenta. >a traducción perfecta del título de la o+ra -indú sería( ":l arte de contar semillas#.
4ilavati, seg-n una curiosa leyenda, no se casó por causa de una perla desprendida de su vestido de novia, y $que hi)o detener el tie!po&. "ás5ara, el geó!etra hind-, para consolar a su hija le dijo6 $D Escribiré un libro que perpetuará tu no!bre. 7ivirás en el recuerdo de los ho!bres !ás de lo que hubieran vivido los hijos que pudieron haber nacido en tu !alogrado !atri!onio.& 4a obra de "ás5ara se hi)o célebre y el no!bre de 4ilavati surge in!ortal en la %istoria de la ate!ática. :l autor de ese tra+ajo extraordinario es el famoso matemático "ás5ara Acharia, que nació en Bidon, en la provincia de !ecan, en el ao I2 de la 6*gira. $O& ? más de "ijaganita escri+ió Bás=ara el c*le+re 4ilavati , tratado de Nlge+ra ' Geometría, ' en los últimos aos de su existencia -izo un pequeo li+ro de ?stronomía, de relativa importancia, intitulado #uo!ani .
Es curioso el arti(icio que "ás5ara, !ate!ático hind-, en su libro 4ilavati, e!pleara para la deter!inación del área del círculo. Hra)ado un diá!etro, cada uno de los se!icírculos era dividido en un !is!o n-!ero de sectores iguales. 4os sectores @, ;, 2, <, 3, >, F, = y que (or!aban uno de los se!icírculos eran colocados co!o indica la (igura, con las bases Lque se suponen recti(icadasM apoyadas sobre una recta A". 4os sectores a, b, c, d, e, (, g, h, i, que (or!aban el otro se!icírculo eran colocados entre los pri!eros en oposición Lco!o indica la (iguraM de !odo de co!pletar el paralelogra!o A"':. El área del círculo será igual al producto de la se!icircun(erencia por la altura LSM del círculo. 4a base A" de ese paralelogra!o es la se!icircun(erencia recti(icada LSM. :l origen de 4ilavati es mu' interesante. Do' a relatarlo. Bás=ara tenía una -ija llamada >ilavati. ;uando esta nació, *l consultó a las estrellas ' verificó, por la disposición de los astros, que su -ija esta+a condenada a quedar soltera toda la vida, no siendo requerida por los jóvenes no+les. Bás=ara no se conformó con esa determinación del !estino ' recurrió a los astrólogos más famosos de la *poca. @;ómo -acer para que la graciosa >ilavati pudiese encontrar esposo, ' ser feliz en el casamientoA )no de los astrólogos consultados por Bás=ara, le aconsejó casar a >ilavati con el primer pretendiente que apareciera, pero dijo que la -ora propicia para la ceremonia del enlace sería marcada, en cierto día, por el cilindro del Tiempo. >os -indúes medían, calcula+an ' determina+an las -oras del día con a'uda de un cilindro colocado en un recipiente lleno de agua. :se cilindro, a+ierto apenas en su parte superior, tenía un pequeo orificio en el centro de la +ase. >a cantidad de agua que entra+a por el orificio llena+a lentamente el cilindro que se i+a -undiendo -asta desaparecer completamente +ajo el agua a una -ora previamente determinada. ;on agrada+le sorpresa para su padre, >ilavati fue pedida en matrimonio por un joven rico ' de +uena familia. 4ijado el día ' sealada la -ora, se reunieron los amigos para asistir a la ceremonia.
Esta es 4ilavati, la heroína de la célebre leyenda de $4a perla y el tie!po&, que es lla!ada en el libro de "ás5ara $la linda peque*a de los ojos (ascinantes&. Bás=ara colocó el cilindro de las -oras ' aguardó que el agua llegase al nivel marcado. >a novia, llevada por irresisti+le ' verdaderamente femenina curiosidad, quiso o+servar la su+ida del agua en el cilindro. ?l aproximarse para acompaar la determinación del Tiempo, una de las perlas de sus vestidos se desprendió ' ca'ó dentro del vaso. 7or una fatalidad, la perla, llevada por el agua, o+stru'ó el pequeo orificio del cilindro, impidiendo que pudiese entrar el agua. :l novio ' los convidados esperaron largo rato con paciencia. 7asó la -ora fijada sin que el cilindro marcara el tiempo, como previera el sa+io astrólogo. :l novio ' los convidados se retiraron para que fuese fijada otra fec-a, despu*s de consultar los astros. :l joven +ra-mán desapareció algunas semanas despu*s, ' la -ija de Bás=ara quedó para siempre soltera. Peconoció el inteligente geómetra que era inútil luc-ar contra el !estino ' dijo a su -ija( :scri+ir* un li+ro que perpetuará tu nom+re. Divirás en el pensamiento de los -om+res más de lo que -u+ieran vivido los -ijos que pudieron -a+er nacido de tu malogrado matrimonio. >a o+ra de Bás=ara se -izo c*le+re ' el nom+re de su -ija surge inmortal en la 6istoria de la atemática. :n lo que se refiere a la ?ritm*tica, >ilavati -ace de las operaciones aritm*ticas so+re números enterosL estudia minuciosamente las cuatro operaciones, el pro+lema de elevación al cuadrado ' al cu+oL ensea la extracción de la raíz cuadrada, ' llega -asta el estudio de la raíz cú+ica de un número cualquiera. ?+orda despu*s las operaciones con números fraccionarios, aplicando la -o' tan conocida regla de reducción a común denominador. ?l final de esa parte, refiri*ndose a la reducción de un número por cero $Q&, Bás=ara dice( "8i la adición ni la sustracción, por grandes que sean, -acen disminuir o aumentar la cantidad llamada cociente por cero.#
>ilavati presenta, en seguida, reglas variadas de cálculo, algunas de carácter general, como la de inversión, que consiste, procediendo en orden inverso, en -allar un número que, sometido a una sucesión de operaciones, reproduzca un número dado, ' la regla de falsa posición, que los :gipcios ' los Griegos 'a conocían ' emplea+an. Wnteresantes por la forma, delicada algunas veces, rica ' exu+erante otras, como son presentados algunos pro+lemas, revelan, por sus enunciados, la íntima satisfacción de quien los propuso, así como la inclinación de su espíritu a lo -ermoso ' al +ien. :s este un ejemplo característico( "?ma+le ' querida >ilavati, de dulces ojos como los de la delicada ' tierna gacela, dime cuáles son los números que resultan de la multiplicación de %HM por %2.# ás adelante Bás=ara ensea a resolver la siguiente ' delicada cuestión( ">inda pequea de ojos fascinantes, tú, que conoces el verdadero m*todo de la inversión, dime cual es el número que multiplicado por H, aumentado en las tres cuartas partes del producto, dividido por O, disminuido en un tercio del cociente, multiplicado por sí mismo, disminuido en M2, despu*s de la extracción de la raíz cuadrada, adicionado en Q ' dividido por %J, sea 2.# $& 8o es menos interesante el pro+lema formulado so+re un enjam+re de a+ejas( ">a quinta parte de un enjam+re de a+ejas se posa so+re una flor de =adam+a, la tercera parte en una flor de silinda, el triple de la diferencia entre estos dos números vuela so+re una flor de =rutja, ' una a+eja vuela indecisa de una flor de pandanus a un jazmín.# Vtros pro+lemas tratan so+re el inter*s del dinero, so+re el precio de las esclavas, cu'o valor máximo, a los %K aos, correspondía al de Q +ue'es con dos aos de tra+ajo, so+re el costo de los g*neros, de los salarios, de los trasportes, etc. :l pro+lema que relatar* es uno de los incluidos en 4ilavati ' que pocos matemáticos sa+rán resolver( ")na pequea de seis aos es vendida por H2 niscas. @;uál es el precio, en niscas, de una jovencita de 2J aosA# :s mu' interesante tam+i*n, la regla que >ilivati presenta para la determinación del área del círculo.
8otas( $%& #ob parte de la maana. $2& 7itagóricos 9 geómetras griegos, discípulos de 7itágoras $H& la expresión de Su+aSultra es(
que da el valor %,I%I2%M. $I& #enos 9 números empleados en atemática ' que aparecen en TrigonometríaL el seno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es igual a la razón entre las medidas del cateto opuesto a dic-o ángulo ' la -ipotenusa. $M& :l volumen de la pirámide es un tercio de la +ase por la altura. $K& 7or la regla de ?riaBata, el valor π de los -indúes se expresa+a con la fracción K2.QH2 2J.JJJ que corresponde al número H,%I%K. $O& :ra de los ma-ometanos, que se cuenta desde la puesta del Sol del jueves %M de julio de KK2, día de la -uida de a-oma de la eca a edina, ' que se compone de aos lunares de HMI días, intercalando once de HMM en cada período de treinta. $Q& >a división por cero no tiene sentido. $& :l número es 2Q. CAPÍTULO 1$ En el cual el príncipe 'lu)ir elogia al $%o!bre que calculaba&. El proble!a de los tres !arineros. 4a generosidad del aharajá de 4aore. "ere!ís recuerda los versos de un poeta. 4a ciencia y el !ar. l elogio que Beremís -izo de la ciencia de los -indúes recordando una página de la 6istoria de la atemática, causó inmejora+le expresión en el espíritu del príncipe ;luzirSc-á. :l joven so+erano, impresionado por la disertación, declaró que considera+a al calculista un sa+io completo, capaz de ensear el arte de Bás=ara a un centenar de +ra-manes. 6e quedado encantado 9aadió al oír la le'enda de la infeliz >ilavati, que perdió el novio por causa de una perla de su vestido. >os pro+lemas de Bás=ara, citados por el elocuente calculista, son, realmente interesantes, ' presentan, en sus enunciados, ese "espíritu po*tico#, que es tan difícil de -allar en las o+ras de atemática. Siento, sin em+argo, que el ilustre matemático no -a'a citado el famoso pro+lema de los tres !arineros, que aparece en el li+ro intitulado "Gaiouentchoutin#, ' que -asta a-ora no tiene solución. 7ríncipe magnánimo 9respondió Beremís. :ntre los pro+lemas de Bás=ara por mi citados no figuró el de los tres marineros, por la simple razón que no lo conozco sino vagamente, por un relato incierto ' dudoso, ignorando su enunciado exacto. o lo conozco perfectamente 9dijo el príncipe. tendría verdadero placer en recordar a-ora esa cuestión, que tiene atri+ulados a tantos alge+ristas.
el príncipe ;luzirSc-á contó lo siguiente( )n navío que volvía de Serendi+e $%&, tra'endo gran cantidad de especias, fue alcanzado por violento temporal. >a em+arcación -a+ría sido destruida por las olas, si no fuera por el valor ' el esfuerzo de tres marineros que, en medio de la tormenta, maneja+an las velas con extremada pericia. :l capitán, queriendo recompensar a los denodados marineros, les dio cierto número de "catils#. >os "catils# $2& eran más de doscientos ' menos de trescientos. >as monedas fueron colocadas en una caja para que al día siguiente, al desem+arcar, el almojarife $H& las repartiese entre los tres valientes. Sucedió, sin em+argo, que durante la noc-e, uno de los tres marineros se despertó ' pensó( "Sería mejor que retirase mi parte. ?sí no tendr* oportunidad de discutir con mis amigos.# , sin decir nada a los compaeros, fue, en puntas de pi*, -asta donde se -alla+a guardado el dinero, lo dividió en tres partes iguales ' notó que la división no era exacta, 'a que so+ra+a un "catil#. 9"7or causa de esta mísera monedita, es pro+a+le que maana -a'a ria ' discusión. Será mejor sacarla.# el marinero la tiró al mar, retirándose cauteloso. >leva+a su parte ' deja+a las que correspondían a sus compaeros en el mismo lugar. 6oras despu*s el segundo marinero tuvo la misma idea. 4ue al arca en que se depositara el premio colectivo ' lo dividió en tres partes iguales. So+ra+a una moneda. :l marinero optó por tirarla al mar, para evitar posi+les discusiones. salió de allí llevando la parte que creía le correspondía. :l tercer marinero, ignorando, por completo, que sus compaeros se le -a+ían anticipado, tuvo el mismo pensamiento. >evantóse de madrugada ' fue a la caja de los "catils#. !ividió las monedas que en ella encontró, ' la división tampoco resultó exactaL so+ró un "catil#. 8o queriendo complicar el reparto, el marinero la tiró al mar ' regresó satisfec-o a su litera. ?l día siguiente, al desem+arcar, el almojarife encontró un puado de "catils# en la caja. Sa+iendo que esas monedas pertenecían a los marineros, las dividió en tres porciones, que repartió entre sus dueos. Tampoco fue exacta la división. So+ra+a una moneda, que el almojarife se guardó como retri+ución a su tra+ajo ' -a+ilidad. :s claro que ninguno de los marineros reclamó, pues cada uno esta+a convencido de -a+er retirado su parte. ?-ora +ien( @cuántas eran las monedasA @;uánto reci+ió cada marineroA oneda s en la caja
:ivida s entre6
:a6
Oesta 6
;<@
2
=K
@
oneda s restante s @>K
@>K
2
32
@
@K>
@K>
2
23
@
FK
:ivisión hecha por el @. er !arinero. :ividiendo ;<@ por 2 da =K y sobra @ :ivisión hecha por el ;T !arinero. :ividiendo @>K por 2 da 32 y sobra @ :ivisión hecha por el 2. er !arinero. :ividiendo @K> por 2 da 23 y sobra @
FK
2
;2
@
Ulti!a división6 dividiendo FK por 2 da ;2 y sobra @ :l "6om+re que calcula+a#, notando que la -istoria narrada por *l, el príncipe despertara gran inter*s entre los no+les presentes, cre'ó necesario dar la solución completa del pro+lema, ' así lo -izo( >as monedas eran, al principio, 2I%. :l primer marinero las dividió en tres partesL tiró un "catil# al mar ' se llevó un tercio de 2IJ, o sea, QJ monedas, dejando %KJ. :l segundo marinero -alló, por lo tanto, %KJ monedasL tiró una al mar ' dividió las restantes /%M1 en tres partes. Tomó la tercera parte, o sea, MH, ' dejó el resto, %JK. :l tercer marinero encontró en la caja %JK monedas, dividió ese resto en tres partes iguales, tirando al mar la moneda que so+ra+a. Petiró la tercera parte de %JM, o sea, HM monedas, dejando el resto, o sea OJ. :l almojarife encontró OJ monedas, las dividió en tres partes iguales, tocando 2H monedas más a cada marinero. :l reparto fue -ec-o, por lo tanto, de la manera siguiente( arinero 1T @ =KP;2 @K2 arinero 1T ; 32P;2 F> arinero 1T 2 23P;2 3= Al!ojari(e @ Hiradas al !ar 2 Hotal ;<@ ?l llegar al final de la solución $I&, ' -a+iendo dejado de -a+lar Beremís, el príncipe, para demostrar su admiración por el ingenio del calculista, le ofreció como recompensa una pequea medallita recu+ierta de ru+íes. :sta jo'a 9explicó sonriente el so+erano -indú fue gra+ada por un artista genial. :n una de las caras aparece mi nom+re entrelazado con una flor de lotoL ' la otra contiene algunos versos so+re el mar, escritos en lenguaje sim+ólico. Beremís se mostró emocionado con el presente del príncipe ', tomando la medalla entre sus manos, la examinó con vivo inter*s. :s raro 9dijo al fin, peor el artista que imaginó esta delicada o+ra de arte se equivocó, sin querer. 8o encuentro aquí, ninguna poesía so+re el mar. Solo leo pensamientos so+re el Sa+er ' la ;iencia( $El que procura instruirse es !ás a!ado por :ios que aquel que co!bate en una guerra santa.& $Aquel que educa y proporciona instrucción a los ignorantes, es co!o un vivo entre los !uertos.& $#i pasara un día sin que aprendiera alguna cosa que !e aproxi!ase a :ios, que la aurora de ese día no sea bendecida.& $Es un sacrilegio prohibir la 'iencia. edir a la 'iencia es o(recer actos de adoración a :ios ense*arla, es hacer caridad. 4a ciencia es la vida del ?sla!, la colu!na de la Ge.& ?migo mío 9dijo el poeta Wezid. ;onozco todos esos pensamientos. 4ueron dictados por a-oma /3con 0l en la oración ' en la gloria51 ' se ensean -o' en todas las escuelas. :l s-ei= sonrió ' conclu'ó(
? mi modo de ver, el artista que gra+ó esa medalla no engaó al príncipe. >a ciencia, según todos dicen, es un mar inmenso ' profundo. 7or consiguiente, esos pensamientos, desde el punto de vista sim+ólico, son "versos so+re el mar#.
8otas( $%& 8om+re antiguo de ;eilán. $2& 'atil , monedaL unidad de peso. $H& Pecaudador $M& :n el enunciado de Bás=ara, el número O resuelve el pro+lema, pero no para el caso referido, que "el número de monedas fuese más de 2JJ ' menos de HJJ#. CAPÍTULO 2 En el cual "ere!ís da la segunda clase de ate!ática. 1-!ero y sentido del !is!o. 4as di(erentes de(iniciones de n-!ero. 4os guaris!os. 4os siste!as de nu!eración. 1u!eración deci!al. El cero. Ií!os nueva!ente la vo) de la alu!na invisible. El gra!ático :oreid, cita un poeta. erminada la refección, a una seal del s-ei= Wezid, se levantó el calculista. 6a+ía llegado la -ora esta+lecida para la segunda clase de atemática. >a "alumna invisi+le# 'a se -alla+a esperando al profesor. !espu*s de saludar al príncipe ' a los s-ei=s que conversa+an en el salón, Beremís, acompaado de una esclava se encaminó -acia el aposento preparado para la lección. e levant* 'o tam+i*n, ' acompa* al calculista, 'a que tenía autorización para asistir a las lecciones dadas a la joven Telassim. )no de los presentes, el gramático !oreid, amigo del dueo de la casa, tam+i*n deseó oír la lección ', dejando la compaía del príncipe ;luzir Sc-á, nos siguió. !oreid era un -om+re de mediana edad, mu' alegre, de rostro anguloso ' expresivo. ?travesamos una suntuosa galería tapizada con go+elinos ', guiados por una esclava circasiana de esplendorosa +elleza, llegamos, al fin, a la sala de atemática. :l primitivo cortinado rojo que oculta+a a Telassim -a+ía sido sustituido por otro azul que tenía en el centro un gran -eptágono estrellado.
Oesulta interesante observar las diversas (or!as dadas a las ci(ras usuales al correr de los siglos. En el cuadro de arriba pode!os observar, a partir de la pri!era colu!na de la i)quierda, los guaris!os @, ;, 2, < y 3. En la pri!era (ila, las ci(ras son apenas iniciales de las palabras del sánscrito Lantiguo idio!a de los brac!anesM. En la tercera (ila aparecen las pri!itivas ci(ras hind-es. En las dos -lti!as (ilas se ven las usadas hasta principios del siglo V7?. :l gramático !oreid ' 'o nos sentamos a un costado de la sala, cerca de la ventana que a+ría al jardín, Beremís se acomodó como la primera vez, +ien en el centro, so+re un amplio cojín de seda.
Este cuadro !uestra la evolución de las (or!as atribuidas a los guaris!os >, F, = y durante treinta siglos. Es interesante hacer notar que el n-!ero = LochoM es el -nico que se !antuvo !ás o !enos constante durante ese largo período de tie!po. El LnueveM to!ó la (or!a que presenta actual!ente a partir del siglo V7. ? su lado, so+re una mesita de *+ano, -a+ía un ejemplar del ;orán. >a esclava circasiana, de confianza del s-ei= Wezid, ' otra persa, de ojos dulces ' sonrientes, se apostaron junto a la
puerta. :l egipcio, encargado de la guardia personal de Telassim, se recostó indolente contra una columna. !espu*s de la oración, así -a+ló Beremís(8o sa+emos, seora, cuando la atención del -om+re fue despertada por la idea de número. >as investigaciones -ec-as por los filósofos se remontan a los tiempos que solo se perci+en a trav*s de las ne+ulosas del pasado.
En @3F el !ate!ático italiano "o!belli incluyó en su Jlgebra un conjunto co!pleto de notaciones con las que pretendió si!pli(icar el cálculo y (acilitar las operaciones algebraicas. 4a raí) cuadrada era representada por las letras O, q, colocadas antes del radicando, y la raí) c-bica por un sí!bolo análogo O, c. nos nuestra la (igura adjunta, en la pri!era línea una expresión algebraica escrita por "o!belli y, debajo, la !is!a expresión escrita con sí!bolos !odernos. :ejó de ser incluida la letra p Lsigno de adiciónM antes de la segunda O. >os que estudian la evolución del número demuestran que, entre los -om+res primitivos, 'a esta+a la inteligencia -umana dotada de lo que llamaremos el "sentido de n-!ero#. :sta facultad permite reconocer, de manera puramente visual, si un conjunto de o+jetos fue aumentado o disminuido, o sea, si sufrió modificación num*rica. 8o se de+e confundir el sentido de n-!ero con la facultad de contar. Solo la inteligencia -umana es capaz de poseer el grado de a+stracción que permite contar, mientras que el sentido de número es o+servado entre muc-os animales. ?lgunos pájaros, por ejemplo, sin contar los -uevos que dejan en el nido, pueden distinguir dos de tres. ;iertas avispas llegan a distinguir cinco de die) . >os salvajes de una tri+u del norte de Nfrica conocían todos los colores del arcoDiris ' designa+an cada uno por su nom+re. 7ues +ien, esa tri+u no conocía la pala+ra correspondiente al color . ?sí tam+i*n, muc-os idiomas primitivos presentan pala+ras para designar, uno, dos, tres,Z etc., ' no encontramos, en esos idiomas, un voca+lo especial para designar el n-!ero, de un modo general. o tuve ocasión de verificar, al -acer una excursión a país de 6adjad, que el número cuatro, entre los -a+itantes de Barn-ein$%&, era designado por dos nom+res distintos( "'vart # ' "arabWah#. :l primero era empleado en la evaluación de perlas, ' el otro al contar dátiles, camellos, ovejas, etc. 7itágoras considera+a el número como la esencia de todas las cosas. ?ristóteles decía( ":l número es el movimiento acelerado o retardado.# 7ara muc-os filósofos el concepto num*rico se presenta como "la ciencia del tiempo a+soluto.# $2& :l número puede, tam+i*n, ser definido como la repetición sucesiva de la unidad $H&. uc-as son las definiciones formuladas so+re el concepto de número. Sin em+argo, ninguna de ellas satisface al espíritu del matemático. ;itar* seis de esas definiciones(
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8úmero es la expresión que determina una cantidad de cosas de la misma especie.
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8úmero es la representación de la pluralidad.
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8úmero es la pluralidad medida con la unidad.
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8úmero es el resultado de la medida de una magnitud.
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8úmero es una colección de o+jetos de cu'a naturaleza -acemos a+stracción.
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8úmero es un sím+olo creado por el espíritu -umano para caracterizar los diferentes estados de una verdad científica. $I&
Será preferi+le, seora, no interesarnos por la definición rigurosa de un número, pues tal concepto no parece tener definición. $M& @;uál es el origen del númeroA Siendo el número un concepto de relación, es +ien claro que el número surgió de una comparación entre un grupo de o+jetos ' uno de esos o+jetos aislados. ;aminando por el desierto, el +eduino ve una caravana de camellos. @;uántos sonA 7ara definir ese "cuántos#, de+e emplear los números. :l número será, pues, la pluralidad definida +ajo la forma de una pala+ra o de un sím+olo.
4as notaciones si!bólicas e!pleadas por los !ate!áticos han su(rido pro(undas !odi(icaciones a través de los siglos. 4a (igura adjunta representa una ecuación algebraica escrita por los sabios egipcios dos o tres !ilenios antes de 'risto. Esa ecuación, en sí!bolos actuales, es la siguiente6 xX; P xX< P x @K El pri!er signo de la i)quierda indica $!itad de x&. 7ara llegar a ese resultado precisa el -om+re poner en ejercicio cierta actividad, esto es, precisa contar. ?l contar relaciona cada conjunto con un determinado sím+olo( uno, dos, tresZ o sea, esta+lece una correspondencia entre la serie num*rica ' los o+jetos del conjunto que procura contar. 7ara la representación de un número cualquiera con pocos signos, era necesario inventar un siste!a de nu!eración. :l más antiguo sistema de numeración es el quinario, en el cual las unidades se agrupan de cinco en cinco.
En el pri!itivo siste!a quinario el n-!ero de discos arriba indicado sería 2;. )na vez contadas cinco unidades o+teníamos una colección llamada quina. ?sí Q unidades sería una quina más H, ' escri+iríamos %H. :s más importante decir que en este sistema el segundo guarismo de la izquierda valía M veces más que si estuviese en el primer lugar. >os matemáticos dicen, por consiguiente, que la base de ese siste!a era M. Se encuentran vestigios de dic-o sistema en los poemas antiguos. Vtro de los sistemas empleados, fue el de +ase 2J, por el cual se designa al número oc-enta por la expresión cuatro veintes. $K&
4os árabes usaron guaris!os que di(erían bastante de los actuales. Así pode!os observar que el cinco árabe era un peque*o círculo, !ientras que el cero se representaba por un punto. Surgió despu*s, seora, el sistema de +ase %J, que se presta+a más para expresar grandes cantidades. :l origen de ese sistema se explica por el número de dedos de la mano. ?lgunos pue+los, sin em+argo, demostra+an preferencia por un sistema que tenía por +ase el número %2 /una docena1. >a docena presenta so+re la decena una gran ventaja( el número %2 tiene más divisores que el número %J. $O&
4as de la (igura son las diversas (or!as presentadas por los n-!eros egipcios desde @ hasta . $En la nu!eración escrita de los egipcios el @K era representado por una herradura @KK por una hoja de pal!era enrollada en espiral6 @KKK por una (lor de loto, sí!bolo del 1ilo, a quien debían la (ertilidad del suelo @KKKK por un indicador @KKKKK por un $e!brión de rana&, porque las ranas eran encontradas en gran cantidad, en la pri!era (a) de su vida, en el lodo que las aguas del 1ilo arrastraban durante el período de las inundaciones.& :l sistema decimal fue, no o+stante, universalmente adoptado. !esde el tuareg que cuenta con los dedos -asta el matemático que maneja instrumentos de cálculo, todos contamos de %J en %J. !adas las divergencias profundas entre los pue+los, semejante universalidad es sorprendenteL no puede jactarse de lo mismo ninguna religión, código moral, forma de go+ierno, sistema económico, principio filosófico o artístico, lenguaje, ni alfa+eto alguno. ;ontar es uno de los pocos tópicos en torno al cual los -om+res no divergen, pues lo consideran lógico ' natural.
:i(ícil!ente encontrare!os un !ate!ático que sepa leer y calcular la expresión que aparece representada en la (igura de arriba. :icha expresión N a(ir!a Oouse "all N (ue incluida, junto con !uchas otras, en una obra notable de 1icolás 'hurquet publicada en @=3<. 7e!os abajo la !is!a expresión por !edio de notaciones !odernas.
V+servando las tri+us salvajes ' el modo de vivir de los nios, es o+vio que los dedos son la +ase de nuestro sistema num*ricoL por ser %J los de am+as manos es que comenzamos a contar -asta ese número ' +asemos todo nuestro sistema en grupos de %J. 8árrase que un pastor, que necesita+a estar seguro que tenía todas sus ovejas al anoc-ecer, tuvo que exceder, al contar su re+ao, a la primera decena. ;onta+a las ovejas que desfila+an por frente a *l, do+lando un dedo por cada una, ' cuando tenía do+lados diez dedos, aparta+a un guijarro plano. Terminada la tarea, los guijarros $Q& representa+an el número de "manos llenas# /decenas1, de ovejas del re+ao. ?l día siguiente podía re-acer la cuenta comparando los montones de guijarros. >uego se le ocurrió a algún cere+ro propenso a lo a+stracto, que se podía aplicar aquel proceso a otras cosas útiles, como los dátiles, el trigo, los días, las distancias ' las estrellas. -aciendo marcas, en lugar de apartar guijarros, se creó el sistema de nu!eración escrita. Todos los pue+los adoptaron en su lenguaje -a+lado, el sistema decimalL los otros sistemas fueron a+olidos ' relegados. as, la adaptación de tal sistema a la numeración escrita sólo se -izo mu' lentamente. 4ue necesario el esfuerzo de varios siglos para que la -umanidad descu+riese una solución perfecta al pro+lema de la representación gráfica de los números. 7ara representarlos, imaginó el -om+re caracteres especiales llamados guarismos, representando cada uno de esos signos los voca+los( uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho ' nueve. Vtros signos auxiliares, tales como d , c , !, etc., indica+an que el guarismo que acompaa+a representa+a decena, centena, !illar , etc. ?sí, un matemático antiguo representa+a el número OKM por la notación m, Oc, Kd, M. >os fenicios, que fueron los grandes comerciantes de la antig[edad, en vez de letras usa+an acentos( ___ O__ K_ M. >os griegos, al principio no adoptaron ese interesante sistema. ? cada letra del alfa+eto, acompaada de un acento, le atri+uían un valorL así la primera letra /alfa1 era el %L la segunda letra /+eta1 era el 2L la tercera letra /gama1 era el H, ' así por consiguiente, -asta el número %. :l K era la excepción( ese número se representa+a por un signo especial /estigma1.
;om+inando, despu*s, despu*s, las letras dos a dos, representa+an 2J, 2%, 22, etc.
#on interesantes las notaciones !ate!áticas encontradas en el papiro Ohind escrito por el sacerdote egipcio Ash!esu N o !ejor Ah!és N $hijo de un rey lla!ado Oa N a Nus&. 4os egiptólogos, después de largos y cuidadosos estudios, descubrieron que el trabajo del sabio Ah!és (ue hecho cerca de ;K siglos antes de 'risto. :l número IJJI era representado, en el sistema griego, por dos guarismosL el número 2J22 por tres guarismos diferentesL el número HHHH era representado por I guarismos que diferían por completo unos de otros. 7rue+a de menor imaginación dieron los romanos, conformándose con tres caracteres, W, D ' Y, para para formar formar los diez diez primer primeros os número números, s, ' con los caracte caracteres res > /cincu /cincuent enta1, a1, ; /cien1 /cien1,, ! /quinientos1, /mil1, que com+ina+an con los primeros. >os número númeross escri escritos tos en guaris guarismos mos roman romanos os eran eran así de una compl complica icació ción n a+surd a+surda, a, ' se presta+an tan mal a las operaciones elementales de la ?ritm*tica, que una simple adición era un tormento. ;on la escritura rúnica, la adición podía, en realidad, -acerse en el papel /antes en el papiro, porque no se conocía el papel1, disponiendo los números, unos de+ajo de otros, de tal suerte que los guarismos con el mismo valor formasen columna, lo que o+liga+a a mantener la distancia entre los guarismos para tener en cuenta los órdenes que faltaran. :sta+a la ciencia de los números en este estado -ace unos cuatrocientos aos, cuando un -indú, de quien la -istoria no conservó el nom+re, imaginó emplear un carácter especial, el cero $&, para indicar, indicar, con un número escrito, la ausencia de toda unidad de determinado orden. Gracias a esta invención, todos los signos, índices ' letras, volvi*ronse inútilesL quedaron solamente los nueve guaris guarismos mos ' el cero. cero. >a posi+ posi+ili ilidad dad de escri+ escri+ir ir un número número cualquie cualquiera ra por por medio medio de diez diez caracteres fue el primer milagro del cero. >os geómetras ára+es se apoderaron de la invención del -indú ' notaron que, agregando un cero a la derec-a de un número, se eleva+a, automáticamente, el orden decimal a que pertenecían sus diferentes guarismos. Deremos en la próxima clase /3Si ?la- lo quiere51 cuáles son las princi principal pales es opera operacio ciones nes o transf transform ormaci acione oness que pode podemos mos efect efectuar uar con con los númer números os ' las propiedades que *stos presentan. ;alló Beremís. 6a+ía terminado la segunda clase de atemática. Vímos entonces, entonados por la voz cristalina de Telassim, los siguientes versos( $:ad!e 8oh :ios9 Guer)as para volver !i a!or (értil y -til. :ad!e (uer)as para no despreciar ja!ás al pobre ni doblar la rodilla ante el poder insolente.
:ad!e (uer)as para elevar !i espíritu bien alto sobre las (utile)as de todos los días. :ad!e (uer)as para que !e hu!ille con a!or delante de ti. 1o soy !ás que un jirón de nube de oto*o, vagando por el cielo, 8oh, !i #ol glorioso9 #i es tu deseo y gusto, tó!alo, píntalo de !il colores, irísalo de oro, ha)lo (luctuar al viento, espárcelo por el cielo en !-ltiples !aravillas B después, si (uera tu deseo ter!inar, por la noche, ese juego, desaparecería desaparecería desvaneciéndo!e en la tiniebla, o tal ve) en una sonrisa de alborada, transparente de (rescura y de pure)a.& :s admira+le 9+al+uceó a mi lado, el gramático !oreid. !oreid. Sí asentí. >a atemática es admira+le. 3Eu* atemática ni que nada5 9protestó mi poco oportuno vecino. 8o vine aquí para oír esa -istoria inaca+a+le de números ' guarismos. :so no me interesa. ;alifiqu* de admira+le la voz de Telassim. como quedase asom+rado delante de aquella ruda franqueza, *l aadió( Siempre pens* que al permanecer en esta sala, durante la clase, pudiese ver el rostro de la joven. !icen !icen que es -ermosa -ermosa como la cuarta luna de Pamadán. se levantó canturreando +ajito( $#i no tienes ganas de llenar tu cántaro, si pre(ieres dejarlo (lotando en el agua, ven, ven a sentar tu pure)a en !i lago. 4a ladera está verde, y las (lores de !i ca!po son tantas que no pueden contarse. #e te irán tus pensa!ientos por tus ojos negros, co!o pájaros que vuelan de sus nidos, y tu velo se te caerá a tus pies. 7en, ven a !i lago, si no tienes ganas de llenar tu cántaro. #i, harta de tus otros juegos, quieres jugar con el agua, ven, ven a !i lago. :eja tu !anto a)ul en la orilla, que el agua a)ul te esconderá. B las olas se pondrán de puntillas por besar tu cuello y suspirar suspirar en los oídos. 7en, ven a !i lago, si quieres jugar con el agua. #i te has vuelto loca y quieres !orir, ven, ven a !i lago. i lago es (río y no tiene (ondo oscuro co!o un sue*o sin sue*os. Allá abajo, noches y días son iguales, y toda canción es silencio. 7en, ven a !i lago, si te has vuelto loca y quieres !orir.& $%J& !ejamos con melancolía ' quieta la sala llena de luz. 8ot* que Beremís no tenía más en el dedo el anillo que -a+ía ganado en la posada el día de nuestra llegada. @6a+ía perdido su jo'a predilectaA >a esclava circasiana mira+a vigilante, como si temiese el sortilegio de algún "djin# invisi+le.
8otas( $%& Wmportante centro de comercio de perlas. $2& 6amilton. $H& Cant. $I& !efiniciones dadas por matemáticos famosos( %. BaltzerL 2. Cam+l'L H. Sc-ulerL I. BrennerL M. BoutrouxL K. Sodr* da Gama. $M& :xisten, en atemática, varios conceptos que no tienen definición. agnitud , espacio, espacio, recta, recta, super(icie, super(icie, etc. $K& :n franc*s /quatre ving-1. $O& !ivisores de %2( %2, K, I, K, 2 ' %. !ivisores de %J( %M, M, 2 ' %. $Q& /uijarro, /uijarro, en latín, es cálculi . $& >a pala+ra cero, viene del ára+e si(r , vacío, que es la traducción del sánscrito sunia. sunia. :l voca+lo si(r se traduj tradujo o por ci(ra. ci(ra. >a forma forma cero se originó originó en dos voca+los voca+los )e(u ' )é(iro, )é(iro, siendo esta última encontrada en una o+ra de >eonardo 7izano, geómetra nota+le que vivió en el siglo YWW. $%J& :sos versos son de Tagore. CAPÍTULO 21 En el cual co!ien)o a copiar libros de edicina. rogreso de la alu!na invisible. "ere!ís es lla!ado para resolver un proble!a. 4a !itad de la incógnita de la vida. El rey a)in y las prisiones de +hora)an. Cn verso, un proble!a y una leyenda. 4a justicia del rey a)in. olvióse nuestra vida, en esta +ella ciudad de los califas, cada día más agitada ' la+oriosa. :l visir aluf me encargó copiar dos li+ros del filósofo Oa)es$%&. Son estos li+ros que encierran profundos conocimientos de edicina. 6a' en sus páginas indicaciones gran valor para el tratamiento del sarampión, la cura de las enfermedades de la infancia, del rión, de las articulaciones ' de mil otros males que atacan a los -om+res. Vcupado en esa tarea, qued* imposi+ilitado de asistir a las clases de Beremís, en casa del s-ei= Wezid.
7or las referencias que oía de mi amigo el calculista, la "alumna invisi+le# -a+ría -ec-o grandes progresos, en las últimas semanas, en la ciencia de Bás=ara. a conocía las cuatro operaciones con los números, los tres primeros li+ros de :uclides ' calcula+a, tam+i*n, el valor de las fracciones con numerador %, 2, ó H. $2&
;ierto día, al caer la tarde, í+amos a comenzar nuestra modesta refección, que consistía apenas en media docena de empanadas de carnero, con ce+ollas, miel, -arina ' aceitunas, cuando oímos en la calle gran tropel de ca+allos ', en seguida, gritos, voces de mando e imprecaciones de soldados turcos. e levant* un poco asustado. @Eu* -a+ía sucedidoA Tuve la impresión que la posada era cercada por tropas ' que una nueva violencia i+a a ser llevada a ca+o por orden del intolerante Fefe de 7olicía. >a inesperada algazara no impresionó a Beremís. ;ompletamente ajeno a los acontecimientos de la calle, continuó, como antes, trazando figuras geom*tricas so+re un gran ta+lero de madera. 3Eu* -om+re extraordinario5 8i las agitaciones más grandes, ni los peligros, ni las amenazas de los poderosos, conseguían desviarlo de sus estudios matemáticos. Si ?srail, el Nngel de la uerte, surgiese allí, de repente, tra'endo en la -oja de su "=angiar# la sentencia de lo Wrremedia+le, continuaría *l, impasi+le, trazando curvas ' ángulos, ' estudiando las propiedades de las figuras ' de las relaciones entre los números. :l pequeo aposento en que nos -allá+amos fue invadido por el viejo Salim, a quien acompaa+an dos esclavos negros ' un camellero. Todos se mostra+an asustadísimos, como si algo grave -u+iera sucedido. 37or ?la-5 9grit*, impaciente. 8o molesten a nuestro calculista. @Eu* algazara es *staA @6a' nuevos distur+ios en BagdadA @!esapareció la mezquita de SolimánA Seor 9+al+uceó el viejo Salim con voz tr*mula de susto. )na escoltaZ )na escolta de soldados turcos aca+a de llegar. 37or el santo nom+re de a-oma5 @Eu* escolta es esa, SalimA :s la escolta del poderoso gran visir W+raim alufelBarad /3Eue ?la- lo llene de +ondades51. >os soldados vienen con orden de llevar inmediatamente al calculista Beremís Samir. 37ara qu* tanto escándalo, c-acales5 9+ram*, excitado. :so carece de importancia. 8aturalmente el visir, nuestro +uen amigo ' protector, desea resolver, con urgencia, un pro+lema de atemática, ' necesita del valioso concurso de nuestro sa+io calculista. is previsiones fueron tan acertadas como los más perfectos cálculos de Beremís. omentos despu*s, llevados por oficiales de la escolta, llegamos al palacio del visir aluf. :ncontramos al poderoso ministro en la fastuosa sala de audiencias, acompaado de tres auxiliares de confianza. :n la mano tenía una -oja llena de números ' de cálculos. @Eu* nuevo pro+lema sería aquel que pertur+ara tan profundamente el espíritu del digno auxiliar del califaA
:l caso es grave, calculista 9comenzó el visir, dirigi*ndose a Beremís. e encuentro, en este momento, atri+ulado frente a uno de los más complicados pro+lemas que se me -an presentado en mi vida. Euiero informaros minuciosamente de los antecedentes del caso, pues solo con vuestra a'uda podremos -allar, tal vez, una solución. ;ontó el visir lo siguiente( ?nteanoc-e, pocas -oras antes que nuestro glorioso califa ?lotacen, :mir de los ;re'entes, partiera para Basora /donde quedará por tres semanas1, -u+o un incendio en la prisión. !urante muc-as -oras la violencia del fuego amenazó destruirlo todo. >os detenidos, encerrados en sus celdas, sufrieron gran suplicio, torturados por angustias indeci+les. 4rente a ese -ec-o, nuestro generoso so+erano ordenó fuera reducida a la mitad la pena de todos los condenados. ?l principio no dimos importancia alguna al caso, pues parecía mu' simple ordenar se cumpliera, con todo rigor, la sentencia del re'. ?l día siguiente, sin em+argo, cuando la caravana del 7ríncipe de los ;re'entes 'a esta+a lejos, verificamos que esa resolución de última -ora involucra+a un pro+lema extremadamente delicado, ' cu'a solución perfecta parecía imposi+le. :ntre los detenidos +eneficiados por la le' 9prosiguió el ministro -a' un contra+andista de Basora, llamado Sanadique, condenado -ace cuatro aos a prisión perpetua. >a condena de ese -om+re de+e ser reducida a la mitad. ?-ora +ienL como fue condenado a prisión por toda su vida, se deduce que, en virtud de la le', de+erá ser perdonado de la mitad de la pena, o mejor aún, de la mitad del tiempo que le resta vivir. Si llamamos " x # a la duración desconocida de su vida, @cómo dividir por dos un período de tiempo que ignoramosA @;ómo calcular la mitad de la incógnita de los aos " x # de su vidaA !espu*s de pensar durante unos minutos, Beremís respondió( :se pro+lema me parece en extremo delicado, por tratarse de un caso de atemática pura ' de interpretación de la le'. :s un caso que interesa a la justicia de los -om+res ' a la Derdad de los números. 8o puedo discutirlo, con los poderosos recursos del Nlge+ra ' del ?nálisis, antes de visitar la celda en que se -alla condenado Sanadique. :s posi+le que la " x # de su vida est* calculada por el !estino, en la pared de la celda del propio condenado. Fuzgo infinitamente extrao vuestro parecer 9o+servó el visir . 8o ca+e en mi ca+eza la relación que pueda existir entre las +lasfemias con que los locos ' los condenados adornan los muros de las prisiones, ' la resolución alge+raica de tan delicado pro+lema. Sidi 9interrumpió Beremís( se encuentran, muc-as veces, en las paredes de las prisiones, le'endas interesantes, fórmulas, versos e inscripciones que iluminan el espíritu ' nos orientan -acia pensamientos de +ondad ' clemencia. ;u*ntase que cierta vez, el re' azin, seor de la rica provincia de C-orazan, fue informado que un presidiario -indú -a+ía escrito pala+ras mágicas en las paredes de su celda. :l re' azin llamó a un escri+a inteligente ' -á+il, ' le ordenó copiase todas las letras, figuras, versos o números que encontrase en las paredes som+rías de la prisión. uc-as semanas empleó el escri+a para cumplir, íntegramente, la orden extravagante del re'. ?l final, despu*s de pacientes esfuerzos, llevó al so+erano decenas de -ojas llenas de sím+olos, pala+ras ininteligi+les, figuras disparatadas, +lasfemias de locos '
números sin significado. @;ómo traducir o descifrar aquellas páginas repletas de cosas incomprensi+lesA )no de los sa+ios del país, consultado por el monarca, dijo( "Pe', esas -ojas contienen maldiciones, +lasfemias, -erejías, pala+ras ca+alísticas, versos, le'endas ' -asta un pro+lema de atemática con cálculos ' figuras#. Pespondió el re'( ">as maldiciones, +lasfemias ' -erejías no calman la curiosidad que llena mi espíritu. >as pala+ras ca+alísticas me dejan indiferenteL no creo en el poder oculto de las letras ni en la fuerza misteriosa de los sím+olos -umanos. e interesa, sin em+argo, conocer el verso, el pro+lema ' la le'enda, pues son producciones que enno+lecen al -om+re ' pueden traer consuelo al afligido, enseanza al ignorante ' advertencia al poderoso#. ?nte el pedido del monarca, dijo el "ulema#( :stos son los versos escritos por uno de los condenados( 1o hables de tu (elicidad a alguien !enos (eli) que t-. 'uando no se tiene lo que se a!a, es preciso a!ar lo que se tiene. Y2Z 6e aquí a-ora el pro+lema escrito con car+ón en la celda de un condenado( 'olocar @K soldados en cinco (ilas teniendo cuatro soldados en cada (ila. :se pro+lema, aparentemente imposi+le, tiene una solución mu' simple indicada en la figura, en la cual aparecen cinco filas con cuatro soldados en cada una. ? continuación el "ulema#, para satisfacer el pedido del re', dio lectura a la siguiente le'enda( ";u*ntase que el joven Tzu;-ag, se dirigió un día al gran ;onfucio ' le preguntó( @;uántas veces, 3o- iluminado filósofo5, de+e un juez reflexionar antes de sentenciarA Pespondió ;onfucio( )na vez -o'L diez veces maana. ?som+róse el príncipe Tzu;-ang al oír las pala+ras del sa+io. :l concepto era oscuro ' enigmático. )na vez será suficiente 9aclaró con paciencia el aestro cuando el juez, por el examen de la causa, conclu'e perdonado. !iez veces, sin em+argo, de+erá el magistrado pensar, siempre que se sienta inclinado a li+rar sentencia condenatoria. conclu'ó, con su incompara+le sa+iduría( :rra, por cierto, gravemente, aquel quien -esita en perdonarL erra, no o+stante, muc-o más aún, a los ojos de !ios, aquel que condena sin -esitar.#
Esta (igura indica la -nica solución que puede darse al siguiente proble!a6 $'olocar @K soldados en 3 (ilas de < soldados por (ila& Se admiró el re' azin al sa+er que -a+ía, e las -úmedas paredes de los cala+ozos su+terráneos, escritas por los míseros presos, tanta cosa llena de +elleza ' curiosidad. 8aturalmente que en medio de los que pasa+an sus días llenos de amargura en el fondo de las celdas, -a+ía muc-os cultos e inteligentes. !eterminó, pues, el re', que fueran revisados todos los procesos ' juicios, ' verificó que innumera+les sentencias eran evidentemente injustas. así, gracias a la li+ertad muc-os inocentes ' reparados decenas de errores judiciales. Todo eso puede ser mu' interesante 9dijo el visir aluf. 7eor es mu' posi+le que en las prisiones de Bagdad no se pueda encontrar figura geom*trica, versos o le'enda morales. Euiero ver, sin em+argo, el resultado a que pretend*is llegar. 7ermitir*, por tanto, vuestra visita a la prisión.
8otas( $%& >a ma'or nota+ilidad de la antigua ciencia musulmana. :n sus li+ros estudiaron medicina muc-as generaciones. $2& >os matemáticos ára+es no disponían de nom+res para designar los t*rminos de las fracciones /. T.1 $H& me. Sta`lL 7itágorasL ;orneille. CAPÍTULO 22 En el cual visita!os los prisioneros de "agdad. 'ó!o resolvió "ere!ís el proble!a de la !itad de la $x& de la vida. El instante de tie!po. 4a libertad condicional. "ere!ís aclara los (unda!entos de una sentencia.
a gran prisión de Bagdad tenía el aspecto de una fortaleza persa o c-ina. Se atravesa+a, al entrar, un pequeo patio en cu'o centro se veía el famoso "7ozo de la :speranza#. ?llí era donde los condenados, al oír la sentencia, perdían, para siempre, todas las esperanzas de salvación. 8adie podría imaginar la vida de sufrimientos ' miserias de aquellos que eran encerrados en el fondo de las mazmorras de la gloriosa ciudad ára+e. ? la celda en que se -alla+a el infeliz Sanadique, que desde 'a -acía pensar en cosas espeluznantes, trágicas ' tremendas, llegamos guiados por el carcelero, ' auxiliados por dos guardias. )n esclavo nu+io, casi un gigante, conducía una gran antorc-a, cu'a luz nos permitía o+servar todos los rincones de la prisión. !espu*s de recorrer un corredor estrec-o, que apenas da+a paso a un -om+re, descendimos por una escalera -úmeda ' oscura. :n el fondo del su+terráneo se -alla+a el pequeo cala+ozo donde fuera encerrado Sanadique. :n *l no entra+a ni la más tenue claridad. 8o se podía respirar el aire pesado ' f*tido sin sentir náuseas ' va-ídos. :l suelo esta+a cu+ierto de una capa de lodo putrefacto ' no -a+ía, entre las cuatro paredes, ninguna cosa que pudiese servirse el condenado para descansar. ? la luz de la antorc-a que el -ercúleo nu+io levanta+a, vimos al desventurado Sanadique, semidesnudo, la +ar+a crecida ' enmaraada, los ca+ellos en desalio ca'*ndole so+re los -om+ros, sentado so+re una losa, las manos ' los pies sujetos a cadenas de -ierro. Beremís o+servó en silencio, con vivo inter*s, al desventurado Sanadique. :ra increí+le que un -om+re pudiese resistir cuatro aos en aquella in-umana ' dolorosa situación. >as paredes de la celda llenas de manc-as de -umedad, se -alla+an repletas de le'endas ' figuras 9extraos indicios de muc-as generaciones de infelices condenados. Beremís examinó, le'ó ' tradujo con minucioso cuidado todo aquello, deteni*ndose, de vez en cuando, para -acer cálculos que nos parecían largos ' la+oriosos. @;ómo podría el calculista, entre las maldiciones ' +lasfemias que los condenados suelen escri+ir, descu+rir la mitad de la " x # de la vidaA Grande fue la sensación de alivio que sentí al dejar la som+ría prisión, donde los detenidos eran tan cruelmente tratados. ?l llegar de vuelta a la suntuosa sala de audiencias, nos encontramos con el visir aluf rodeado de cortesanos, secretarios, jefes ' "ulemas# de la ;orte. :spera+an todos la llegada de Beremís, pues querían conocer la fórmula que emplearía el calculista para resolver el pro+lema de la mitad de prisión perpetua. 3:stamos esperándote, calculista5 9dijo el visir. :spero que presentes, sin más demoras, la solución de este gran pro+lema. Tenemos la ma'or urgencia en -acer cumplir la sentencia de nuestro gran :mir. ?l oír esa orden, Beremís se inclinó respetuoso, -izo el acostum+rado "zalam# ' -a+ló así( :l contra+andista Sanadique, de Basora, apresado -ace cuatro aos en la frontera, fue condenado a prisión perpetua. :sa pena aca+a, sin em+argo, de ser reducida a la mitad por
justa ' sa+ia sentencia de nuestro glorioso califa ?>otacen, ;omendador de los ;re'entes, som+ra de ?la- en la Tierra. !esignemos por x el período de Sanadique, período que comienza en el momento en que fue apresado ' condenado -asta el t*rmino de sus días. Sanadique fue, por lo tanto, condenado a x aos de prisión, esto es, a prisión por toda la vida. ?-ora, en virtud de la regia sentencia, esa pena de+erá reducirse a la mitad. Si dividimos el tiempo x en varios períodos, a cada período de prisión de+e corresponder igual período de li+ertad. ;ompletamente cierto 9dijo el visir. ;omprendo perfectamente su razonamiento. ?-ora +ienL como Sanadique 'a estuvo preso durante cuatro aos, es claro que de+erá quedar en li+ertad durante igual período, esto es, durante cuatro aos. :n efecto. Wmaginemos que un mago genial pudiese prever el número exacto de aos de vida de Sanadique ' nos dijese a-ora( ":se -om+re, en el momento en que fue puesto preso, tenía apenas Q aos de vida.# :n ese caso tendríamos que x es igual a Q, o sea, que Sanadique -a+ría sido condenado a Q aos de prisión, pena que a-ora quedaría reducida a I aos. ;omo Sanadique 'a está preso desde -ace I aos, 'a cumplió el total de la pena ' de+e ser considerado li+re. Si el contra+andista, por determinación del !estino, -u+iera de vivir más de Q aos, su vida x /ma'or que Q1 podrá ser descompuesta en tres períodos( uno de I aos de prisión /'a cumplido1, otro de I aos de li+ertad, ' un tercero que de+erá ser dividido en dos partes iguales /prisión ' li+ertad1. :s fácil, pues, sacar en conclusión que, para cualquier valor de x /desconocido1, el preso de+erá ser puesto en li+ertad inmediatamente, quedando li+re por cuatro aos, pues tiene perfecto derec-o a ello, como 'a demostr*, de acuerdo con la le'. ?l final de ese plazo, o mejor, terminado ese período, de+erá volver a la prisión ' quedar prisionero por un tiempo igual a la mitad del resto de su vida. $%& Sería conveniente, tal vez, encarcelarlo durante un ao ' concederle la li+ertad durante el ao siguienteL ao li+re ' pasaría, de ese modo, la mitad de su vida en li+ertad, conforme manda la sentencia del re'. :sa solución, sin em+argo, solo sería verdadera si el condenado muriese en el último día de uno de sus períodos de li+ertad. :n efecto( Wmaginemos que Sanadique, despu*s de pasar un ao en la prisión, fuese li+ertado ' muriese, por ejemplo, en el cuarto mes de li+ertad. !e esa parte de su vida /un ao ' cuatro meses1 -a+ría pasado( un ao preso ' cuatro meses en li+ertad. @8o es asíA 6u+o error en el cálculo. Su pena no fue reducida a la mitad. 7odrá parecer que la solución de este caso, consistiría, finalmente, en prender a Sanadique un día para soltarlo al día siguiente, concedi*ndole igual período de li+ertad, ' proceder así -asta el t*rmino de sus días. Tal solución no será, con todo, rigurosamente cierta, pues Sanadique como es fácil comprender puede resultar perjudicado en muc-as -oras de li+ertad. Bastaría para eso que *l muriera -oras despu*s de un día de prisión.
!etener a condenado durante una -ora ' soltarlo a la siguiente, dejándolo en li+ertad durante una -ora, ' así sucesivamente -asta la última -ora de vida del condenado sería la solución correcta, si Sanadique muriera en el último minuto de una -ora de li+ertad. !e lo contrario su pena no -a+ría sido reducida a la mitad. >a solución matemáticamente exacta consistirá en lo siguiente( 7render a Sanadique durante un instante de tiempo ' soltarlo al siguiente. :s necesario, sin em+argo, que el tiempo que est* preso /el instante1 sea infinitamente pequeo, esto es, indivisi+le. >o mismo -a de suceder con el período de li+ertad siguiente. :n la realidad, dic-a solución es imposi+le. @;ómo prender a un -om+re en un instante indivisi+le, ' soltarlo al instante siguienteA !e+emos, por tanto, apartarla de nuestros pensamientos. Sólo veo 3o- visir5 )na forma de resolver el pro+lema( Sanadique será puesto en li+ertad condicional, +ajo la vigilancia de la le'. :s esa la única manera de detener ' li+ertar un -om+re al mismo tiempo. Vrdenó el gran visir que fuese cumplida la sugestión del calculista, ' el infeliz Sanadique fue, en el mismo día "li+ertado condicionalmente# 9fórmula que los jurisconsultos ára+es adoptaron despu*s, frecuentemente, en sus sa+ias sentencias. ?l día siguiente le pregunt* qu* datos o elementos de cálculo consiguiera -allar *l, en las paredes de la prisión, durante la c*le+re visita, que lo llevaran a dar tan original solución al pro+lema del condenado. Pespondió el calculista( Sólo quien 'a estuvo, por unos momentos siquiera, entre los muros tene+rosos de una mazmorra, sa+e resolver esos pro+lemas en que los guarismos son partes terri+les de la desgracia -umana.
8otas( $%& :se resto de vida será x 9 Q /de la vida descontamos los Q aos 'a transcurridos1. CAPÍTULO 23
En el cual recibi!os una honrosa visita. alabras del príncipe 'lu)ir #chá. "ere!ís resuelve un proble!a. 4as perlas del Oajá. Cn n-!ero cabalístico. Queda resuelta nuestra partida para la ?ndia. l +arrio -umilde en que vivimos escri+ió -o' su primer día glorioso en la -istoria. Beremís, por la maana, reci+ió inesperadamente la visita -onrosa del príncipe ;luzir Sc-á. ;uando la lujosa comitiva desfiló por las calles, los +alcones ' terrazas se llenaron de curiosos. ujeres, viejos ' nios admira+an mudos ' asom+rados el maravilloso espectáculo. 7recediendo los estandartes con el escudo del príncipe /elefante +lanco so+re fondo azul1. Denían, al frente, cerca de treinta ca+alleros, montados en so+er+ios corceles ára+es, con arreos repujados ' gualdrapas de terciopelo +ordado de plata. >ucían al+os mantos ' túnicas, ' largas cimitarras sujetas con arreos de cuero lustrado, pendían a un costadoL en sus ca+ezas, +lancos tur+antes con 'elmos metálicos, relucían al sol. !espu*s seguían varios arqueros ' +atidores, todos a ca+allo. cerrando el cortejo apareció el poderoso ma-arajá, acompaado de dos secretarios, tres m*dicos ' diez pajes. :l príncipe vestía una túnica escarlata, toda adornada con -ilos de perlas. :n el tur+ante, de una riqueza fastuosa, centellea+an innumera+les zafiros ' ru+íes. ;uando el viejo Salim vio llegar a su posada, aquella majestuosa comitiva, le dio como un ataque de locura ', tirándose al suelo, comenzó a gritar( 3en ein5 3en ein5$%& and* que un aguatero arrastrase al alucinado amigo al fondo del patio, -asta que la calma volviese a su contur+ado espíritu. >a sala de la posada era pequea para dar ca+ida a los ilustres visitantes. Beremís, maravillado de la -onrosa visita, descendió al patio a reci+irlos. :l príncipe ;luzir, al llegar, saludó al calculista con un amistoso "zalam#, ' le dijo( El peor sabio es aquel que (recuenta a los ricos el !ayor rico es aquel que (recuenta a los sabios.$2& Bien s*, seor 9 respondió Beremís que vuestras pala+ras son inspiradas por el más grande sentimiento de +ondad. >a pequea e insignificante parte de ciencia que conseguí adquirir, desparece ante la generosidad infinita de vuestro corazón. i visita, calculista 9interrumpió el príncipe se de+e más al egoísmo que al inter*s en la ciencia. !espu*s que tuve el placer de oírlo, en casa del poeta Wezid, pens* en ofrecerle algún cargo de importancia en mi ;orte. !eseo nom+rarlo mi secretario o director del V+servatorio de !el-i. @?ceptaA 7artiremos dentro de pocas semanas para la eca ' de allá para la Wndia. !esgraciadamente, 3o- príncipe generoso5 9respondió Beremís, no puedo ausentarme a-ora de Bagdad. Sólo podr* irme de aquí despu*s que la -ija del ilustre Wezid -a'a aprendido atemática.
Sonrió el ma-arajá ' respondió( Se el motivo de su negativa frente a ese compromiso, ' creo que pronto llegaremos a un acuerdo. :l s-ei= Wezid me -a dic-o que la joven Telassim, dado los progresos que -a -ec-o, dentro de pocos meses estará en condiciones de ensear a los "ulemas# el famoso " proble!a de las perlas del Oajá#. o muc-o desearía 9prosiguió el príncipe conocer el complicado pro+lema que viene desafiando la sagacidad de os alge+ristas ' que se refiere, sin duda, a uno de mis gloriosos antepasados. Beremís respondió( Trátase más de una curiosidad aritm*tica que de un pro+lema, ' este es su enunciado( ")n rajá dejó a sus -ijas cierto número de perlas ' ordenó que el reparto se -iciese del siguiente modo( a la -ija ma'or correspondería una perla más un s*ptimo de las que quedasenL la segunda tomaría dos perlas ' un s*ptimo de las restantesL la tercera reci+iría tres perlas ' un s*ptimo de las que quedasen. así sucesivamente, para las restantes -ijas. >as -ijas más jóvenes presentaron su queja a un juez, alegando que por ese sistema complicado ellas serían fatalmente perjudicadas. :l juez 9dice la tradición, que era -á+il en la resolución de pro+lemas, respondió rápidamente que las demandantes esta+an equivocadas, ' que la división propuesta por el Pajá era justa ' perfecta. :l juez tenía razón. 6ec-a la división, cada una de las -ermanas reci+ió el mismo número de perlas.# Se pregunta( @;uál es el número de perlasA @;uántas las -ijas del PajáA >a solución es mu' sencilla( >as perlas eran HK ' de+ían repartirse entre K personas. >a primera sacó una perla ', además, un s*ptimo de HM, o sea ML luego, sacó K perlas ' dejó HJ. >a segunda, de las HJ que encontró sacó 2 ', además, un s*ptimo de 2Q, que es IL luego, sacó K ' dejó 2I. >a tercera, de las 2I que encontró, sacó H ', además, un s*ptimo de 2%, que es H ', además, un s*ptimo de 2%, o sea H, por lo tanto, MK ' dejó %Q.
#olución grá(ica del (a!oso proble!a de las $perlas del Oajá&.
>a cuarta, de las %Q que encontró, sacó I ', además, un s*ptimo de %I, o sea 2. Peci+ió, tam+i*n, K perlas. >a quinta encontró %2 perlasL de esas %2 sacó M ', además, un s*ptimo de O, o sea %L luego sacó K. ? la -ija más joven le tocó, por fin, las K perlas restantes. Beremís conclu'ó( ;omo veis, el pro+lema, si +ien ingenioso, nada tiene de difícil. Se llega a la solución sin artificios ni sutilezas de raciocinio.$H& :n ese momento llamó la tensión del príncipe ;luzir Sc-á, un número que se -alla+a escrito cinco veces en la pared de la -a+itación. :ra el número %I2QMO. @Eu* significado tiene ese númeroA 9preguntó. Se trata de uno de los números más curiosos en atemática 9respondió Beremís. 7resenta, con respecto a sus múltiplos, coincidencias interesantes( Si lo multiplicamos por 2, el producto será( %I2.QMO x 2 U 2QM.O%I Demos que los guarismos que constitu'en el producto son los mismos del número dado, pero en otro dueto son los mismos del número dado, pero en otro orden. :l %I, que se -alla+a a la izquierda, se encuentra a-ora a la derec-a. :fectuemos el producto del número %I2QMO por H( %I2.QMO Y H U I2Q.MO% Se o+serva aquí la misma singularidad( los guarismos del producto son los mismos del número, pero alterados, apenas, en el orden. :l %, que se -alla+a a la izquierda, pasó a la derec-aL los demás permanecieron en el orden primitivo. >o mismo ocurre cuando el número se multiplica por I( %I2.QMO Y I U MO%.I2Q Deamos a-ora lo que ocurre en el caso de la multiplicación por M( %I2.QMO Y M U O%I.2QM :l guarismo O se trasladó de la derec-a para la izquierda. >os restantes permanecieron en sus lugares. V+servemos la multiplicación por K( %I2.QMO Y K U QMO.%I2 6ec-o el producto, se nota que sólo el grupo %I2 permutó su posición con el QMO. ?l llegar al factor O nos llama la atención otra particularidad. :l número %I2.QMO, multiplicado por O, da como producto el número( . formado por seis nueves. Si lo multiplicamos por Q, el producto será( %I2QMO x Q U %.%I2.QMK
Todas las cifras aparecen en el producto, a excepción del O. :l O del número primitivo fue descompuesto en dos partes( K ' %. :l guarismo K quedó a la derec-a ' el % fue para la izquierda a completar el producto. Deamos que sucede cuando lo multiplicamos por nueve( %I2.QMO x U %.2QM.O%H V+servando con detención ese resultado, vemos que el único guarismo que no figura es el I. @Eu* -a pasado con *lA ?parece descompuesto en dos partes, el % ' el H, colocados en los extremos del producto. !el mismo modo podríamos verificar las rarezas que presenta el número %I2.QMO, multiplicándolo por %%, %2, %H, %M, %K, %Q, etc. :s por eso, que el número %I2.QMO se inclu'e entre los números ca+alísticos de la atemática. :nseóme el dervic-e 8o:linZ 38o:lin5 9repitió, lleno de vivo jú+ilo, el príncipe ;luzir Sc-á. @:s posi+le que -a'a conocido a ese sa+ioA >o conocí, ' mu' +ien, 7ríncipe 9respondió Beremís. ;on *l aprendí todos los principios que -o' aplico a mis investigaciones matemáticas. 7ues, el gran 8o:lin 9explicó el -indú era amigo de mi padre. ;ierta vez, vencido por la pena de -a+er perdido un -ijo en com+ate, durante una guerra injusta ' cruel, se ausentó de la ciudad ' nunca más fue visto. 6ice varias investigaciones para encontrarlo, mas -asta -o' no -a+ía o+tenido la menor indicación so+re su paradero. >legu* -asta pensar que -u+iese perecido en el desierto, devorado por las panteras. @Sa+rá, acaso, decirme dónde podr* encontrar a 8o :linA Beremís respondió( ;uando partí para Bagdad, dej* al sa+io 8o:lin en C-o', 7ersia, recomendado a tres amigos. 7ues, luego que 'o regrese de la eca, iremos a la ciudad de C-o' a +uscar a ese gran "ulema# 9 respondió el príncipe. Euiero llevarlo a mi palacio. @7odrá usted auxiliarme en esa magna empresa, calculistaA 3Seor5 9respondió Beremís. Si es para prestar auxilio ' -acer justicia a aquel que fue mi guía ' maestro, pronto esto' para acompaaros, si fuese preciso, -asta la Wndia. así, por causa del %I2.QMO, quedó resuelto nuestro viaje a la Wndia, a la tierra de los Pajás. 3!ic-o número es realmente ca+alístico5
8otas( $%& @7ara dóndeA /@7ara dónde me van a llevarA1 $2& >e'enda ára+e. $H& 7ara resolver alge+raicamente el pro+lema llamamos x al número de perlas a repartir, e igualando la expresión del número de perlas que le toca a la primera -ija con la de la segunda, o+tenemos la ecuación
que resuelta nos da, x HK perlas. :l número de -ijas es( HK ( K U K CAPÍTULO 24 En el cual "ere!ís, por !edio de (ór!ulas, calcula la belle)a de una joven. 4a división áurea. 'ó!o se deter!ina, sin error, el valor nu!érico de la "elle)a. no de los -om+res más populares de Bagdad es un turco, llamado 6assan uarique, quien ejerce el cargo de jefe de guardias del sultán. 6a+ía 'o o+servado que 6assan se torna+a día a día uno de los más asiduos concurrentes del "atito :orado#. Paro era el día en que el guapo capitán de policía no se presentara a -acer una consulta al calculista. 6o', al regresar de la mezquita, encontr* a uarique en animada conversación con Beremís. Se trata+a de la resolución de un nuevo pro+lema, que parecía mu' complicado, pues vi al talentoso matemático, indeciso, analizando figuras ' aplicando fórmulas sin llegar a un resultado satisfactorio. ?l final se retiró el turco con los guardias que lo acompaa+an. Sólo entonces pude oír la explicación, de la+ios de Beremís, de aquel raro inter*s del turco por la ciencia.
e contó el calculista lo siguiente( 6assan uarique, capitán de la guardia, resolvió casarse con una joven llamada a-a+e, de Basora. 8o quería, sin em+argo, arriesgarse a pedir a la jovencita en casamiento, sin asegurarse previamente de si ella era -ermosa o esta+a desprovista de encantos. a -a+ía recurrido a todos los artificios imagina+les para descu+rir el rostro de a atemática dispone de recursos maravillosos. ;on el auxilio de dic-a ciencia puede el -om+re calcular el peso de un camello, la altura de una torre o la +elleza de una mujer. como *l me mirase con ojos espantados, aclar*( "Sí, con el auxilio de una relación geom*trica, puede el matemático determinar si una joven es -ermosa o fea, es decir, si sus formas son perfectas o no. :s enteramente innecesario, para el novio, ver el rostro de su futura esposa para prevenirse contra cualquier desilusión. Basta dispones de media docena de medidas ' aplicar a ellas las $(ór!ulas !ate!áticas de belle)a& #. :xigí 9prosiguió Beremís que 6assan o+tuviese ciertas medidas del rostro de a joven a-a+e, es linda como la d*cima tercera -urí del ;ielo de ?la-#. :s increí+le 9o+serv* que pueda el Nlge+ra llegar a ese resultado. @:s posi+le sa+er en qu* consiste esa fórmula matemática de BellezaA 8ada más fácil 9replicó Beremís. 7uedo explicar una relación curiosa, de un modo elemental ' simple.
!ada cierta magnitud A" /representada en este caso por un segmento de recta1, podemos dividirla al medio, o en dos partes desiguales. >a división en dos partes desiguales puede ser -ec-a, es claro, de una infinidad de maneras diferentes.
:ntre las divisiones de A" en partes desiguales, @-a+rá alguna preferi+le a las otrasA
Sí 9contesta el matemático. :xiste una manera "simpática# de dividir un todo en dos partes desiguales. Deamos Deamos en qu* consiste esta forma de división. ;onsideremos ;onsideremos el segmento A" segmento A" dividido dividido en dos partes desiguales. ?dmitamos que esas partes desiguales representen la siguiente relación( $El seg!ento total es a la parte !ayor, co!o la parte !ayor es a la parte !enor.& $2& >a proposición es la siguiente( seg!ento total 6 parte !ayor parte !ayor 6 parte !enor :sa división corresponde a la forma si!pática que si!pática que pueden presentar las dos partes desiguales. 7odemos formular la siguiente regla( "7ara que un todo dividido dividido en dos partes desiguales desiguales parezca -ermoso -ermoso desde el punto de vista vista de la forma, de+e presentar entre la parte menor ' la ma'or la misma relación que entre *sta ' el todo.#
En el rostro (e!enino $!ate!ática!ente& her!oso, la línea ' de los ojos divide a la !edida total A", en !edia !edia y extre!a ra)ón. ra)ón. 6asta -o' no se consiguió descu+rir la razón de ser o "por qu*# de esa +elleza. >os matemáticos, que llevaran -asta mu' lejos sus estudios ' o+servaciones, exponen varios ' curiosos ejemplos que constitu'en elocuentes demostraciones para el principio de esa división que los romanos llama+an "divina proporción# o "división áurea#. 7odemos llamarla tam+i*n división en !edia y extre!a ra)ón. ra)ón . :s fácil o+servar que el título puesto por el calígrafo en la primera página de una o+ra divide, en general, la medida total del li+ro en media ' extrema razón.
4a división áurea es observada, con ad!irable nitide), en las (achadas de los edi(icios que se distinguen por la per(ección de sus líneas arquitectónicas. El (a!oso $panteón& de arís, representado en la (igura, es un eje!plo notable. #iendo A" la altura del !onu!ento, el $punto de oro& se destaca de !anera incon(undible es el punto ' por el que pasa, ya sea la línea de la base del (rontispicio, o el plano que corta corta la base de de la c-pula. >o mismo sucede con la línea de los ojos, que divide, en las personas +ien proporcionadas, la medida total del rostro en media ' extrema razón. Se o+serva tam+i*n la divina proporción en las partes en que las falanges dividen los dedos de la mano. >a división en media ' extrema razón se puede -allar tam+i*n en la úsica, en la 7intura, en la :scultura ' en la ?rquitectura. ?rquitectura. :n la división áurea la relación entre el todo ' la parte ma'or, ma'or, es igual, más o menos, a( QJ MJJ :n las líneas principales del rostro femenino "matemáticamente -ermoso# resulta constante aquella relación. V+tenidas, pues, las medidas que me parecieron necesarias, apliqu* la fórmula de la divina proporción proporción a la joven a +elleza femenina resulta, a veces, de ciertos detalles que la atemática no puede apreciar. 3;uántas veces el encanto de la mujer resulta de la mane manera ra de sonr sonreí eírr, del del tono tono de voz, voz, de cier cierta ta deli delica cade deza za de espí espíri ritu tu ' de mil mil otro otross pequeísimos detalles que, en ocasiones, para los enamorados, enamorados, son todo5 Beremís no respondió. Bajó la ca+eza ' quedó en silencio, como si estuviese preocupado por nuevas ' profundas meditaciones.$I&
8otas( $%& ujeres mu' viejas que frecuentan los -arenes ' llevan informaciones a los pretendientes so+re los atri+utos ' dotes de las jóvenes casaderas. $2& !ividamos un segmento de QJ cm /por ejemplo1 en dos partes midiendo, respectivamente, I,I cm ' HJ,K cm Tenemos, entonces( QJ ( I,I U I,I ( HJ,K !e a-í la proporción( proporción( #eg!ento total 6 arte !ayor arte !ayor 6 arte !enor :sta nota+le división se llama división áurea o áurea o división en !edia y extre!a ra)ón. ra)ón . $H& :l valor de la relación relación QJMJJ QJMJJ es un número número decimal %,%K%Q. %,%K%Q. Beremís -alló para la joven joven e -a+l* de la siniestra presencia de TaraTir ' el prudente aviso del s-ei= Wezid. Todos sus recelos son infundados 9respondió Beremís, sin -acer caso de mi aviso. 8o puedo creer en esas amenazas. >o que me interesa en el momento es la solución completa de un pro+lema, que constitu'e el epitafio del c*le+re geómetra griego !iofanto.
:l túmulo que encierra el cadáver de !iofanto es una maravilla digna de contemplarse. ;on un artificio aritm*tico la piedra indica su edad( "!ios le concedió pasar la sexta parte de su vida en la niezL un decimosegundo en la adolescencia, ' despu*s de pasada una s*ptima parte más de su existencia se casóL al ca+o de cinco aos transcurridos en un matrimonio est*ril, tuvo un -ijo que murió cuando apenas -a+ía alcanzado la mitad de la vida de su padreL cuatro aos más, mitigando su propio dolor con el estudio de la ciencia de los números, pasó !iofanto antes de llegar al t*rmino de su existencia#. $%&
:s posi+le que !iofanto, preocupado en resolver los pro+lemas indeterminados de la ?ritm*tica, no -u+iese meditado a fin de o+tener la solución perfecta para el pro+lema del re' 6ierón que no aparece indicado en su o+ra. @Eu* pro+lema es eseA 9pregunt*. Beremís relató entonces lo siguiente( 6ierón, re' de Siracusa, mandó a sus orfe+res cierta cantidad de dinero para confeccionar una corona que *l desea+a ofrecer a Fúpiter. ;uando el re' reci+ió la o+ra terminada, verificó que ella tenía el peso del metal suministrado, pero el color del oro le inspiró desconfianza que los orfe+res -u+iesen aleado plata ' oro. 7ara aclarar esta duda consultó a ?rquímedes, el gran geómetra. ?rquímedes que -a+ía verificado que el oro pierde, en el agua, M2 mil*simos de su peso, ' la plata, mil*simos, averiguó el peso de la corona sumergida en el agua ' encontró que la p*rdida de peso era de+ida en parte a cierta cantidad de plata adicionada al oro. :n el momento en que -a+lá+amos, vino a visitarnos el capitán 6assan uarique, jefe de guardia del sultán. :l turco se -a+ía casado, diez días antes, con la Foven os -om+res que le acompaan son asesinos peligrosos. ?l menor descuido, seremos apualeados por esos +andidos. 3Eu* me cuenta5 9exclamó 6assan. o no podía ni imaginar que tal cosa ocurriese. 37or ?la-5 Do' a-ora mismo a resolver ese caso. Dolví al cuarto, ' me puse a fumar tranquilo. )na -ora despu*s reci+í el siguiente recado de 6assan( $Hodo está resuelto. 4os tres asesinos (ueron ejecutados su!aria!ente. HaraDHir recibió = garrota)os, pagó una !ulta de ;F sequíes de oro y (ue inti!ado a abandonar la ciudad.&
ostr* la carta de 6assan a Beremís. Gracias a mi eficiente intervención, podríamos, a-ora, vivir tranquilos en Bagdad. :s interesante 9respondió Beremís. :sas líneas escritas por nuestro +uen amigo 6assan me -acen recordar una curiosidad num*rica relativa a los números %, Q ' 2O. como viese que 'o demostrara sorpresa al oír aquella o+servación, *l conclu'ó( %, Q ' 2O son los únicos números que son cu+os perfectos e iguales, tam+i*n, a la suma de los guarismos de sus cu+os. 7or ejemplo( %H U % QH U M%2 2OH U %.KQH >a suma de las cifras de M%2 es Q. >a suma de las cifras de %.KQH es 2O. $2& :s increí+le, amigo mío 9exclam*. 37reocupado con los cu+os ' cuadrados, olvidas que esta+as amenazado por el pual de un peligroso asesino5 >a atemática, +agdalí 9respondió ocupa tanto nuestra atención que, a veces, nos aislamos de todos los peligros que nos rodean. :n seguida me contó lo siguiente( ;uando la ciudad de Siracusa fue tomada por asalto por las fuerzas de arcelo, general romano, se -alla+a ?rquímedes a+sorto en el estudio de un pro+lema, para cu'a solución -a+ía trazado una figura geom*trica en la arena. )n legionario romano lo encontró ' le ordenó comparecer ante arcelo. :l sa+io le pidió que esperase un momento, para poder concluir la demostración que esta+a -aciendo. :l soldado insistió ' lo tomó por un +razo. 9"Dea donde pisa# 9le dijo el geómetra. "8o me +orre la figura#. Wrritado por no ser inmediatamente o+edecido, el sanguinario romano, con un golpe de espada, dejó sin vida al sa+io más grande de todos los tiempos. arcelo, que -a+ía dado órdenes en el sentido que se respetara la vida de ?rquímedes, no ocultó el pesar que sintió al sa+er la muerte del genial adversario. So+re la tum+a que mandó erigir, -izo gra+ar una esfera inscrita en un cilindro, figura que recorda+a uno de los teoremas del c*le+re geómetra.
8otas( $%& :n el lenguaje alge+raico, representando con x la edad de !iofanto, se tiene la ecuación( xK R x%2 R M R x2 R I U x, de donde x U QI aos. $2& %O, %Q ' 2K, sin ser cu+os perfectos, presentan propiedades id*nticas en relación a los guarismos de sus cu+os. CAPÍTULO 2! En el cual va!os por segunda ve) al palacio del rey. 4a extra*a sorpresa. 4os siete sabios. 4a devolución de un anillo. El sabio ohadebe y la cultura religiosa. 4as quince relaciones nu!éricas sacadas del 'orán. 0es-s es citado @ veces. Cn error de "ere!ís.
n la primera noc-e, despu*s de Pamadán $%&, luego de llegar al palacio del califa, nos informó un viejo escri+a, compaero de tra+ajo, que el so+erano prepara+a una extraa sorpresa a nuestro amigo Beremís. Se espera+a un gran acontecimiento. :l calculista i+a a ser enfrentado, en audiencia pú+lica, a siete sa+ios famosos, tres de los cuales -a+ían llegado días antes del ;airo. 3Eu* -acer5 3?la-ur ?c+ar5 $2& ?nte aquella perspectiva, procur* dar valor a Beremís, -aci*ndole comprender que *l de+ía tener confianza en su capacidad, tantas veces compro+ada. :l calculista me recordó un prover+io que o'era a su maestro 8o:lin( "Euien no desconfía de sí no merece la confianza de los demás.# :ntramos en el palacio con grandes aprensiones ' una som+ra de tristeza. >a grande ' rutilante Sala de ?udiencias profusamente iluminada, aparecía llena de cortesanos ' s-ei=s de renom+re. ? la derec-a del califa se -alla+a el joven príncipe ;luzir Sc-á, convidado de -onor, que se -acía acompaar por oc-o doctores -indúes, ostentando lujosos ropajes de oro ' terciopelo, ' ex-i+iendo elegantes tur+antes de ;ac-emira. ? la izquierda del trono se -alla+an los visires, los poetas, cadís, ' elementos de la más alta sociedad de Bagdad. So+re un estrado, donde veían varios cojines de seda, se -alla+an los siete sa+ios que de+ían interrogar al calculista. ? un gesto del califa, el s-ei= 8uredin i+ro Santo ' le'ó, con una cadencia invaria+le, separando lentamente las pala+ras, la oración de "4ati-at# $H&. D 8En no!bre de Alah, 'le!ente, isericordioso9 84oado sea el I!nipotente, creador de todos los !undos9 84a !isericordia es en :ios atributo supre!o9 81osotros He Adora!os, #e*or, e i!plora!os Hu divina gracia9 8'ond-cenos por el ca!ino verdadero9 8or el ca!ino de aquellos que son ilu!inados y bendecidos por Hí9 !espu*s que la última pala+ra del "imman# se perdió con su cortejo de ecos por las galerías del palacio, el re' caminó dos o tres pasos, se paró ' dijo( 3)alá5 8uestro amigo ' aliado, el príncipe ;luzireldinou+erec Sc-á, seor de >aore ' !el-i, me pidió proporcionara a los doctores de su comitiva una oportunidad de admirar la cultura ' la -a+ilidad del geómetra persa, secretario del visir W+raim aluf. 6u+iera sido descort*s no acceder al deseo de nuestro ilustre -u*sped. :s por eso, que siete de los más grandes "ulemas# del Wslam van a proponer sal calculista Beremís cuestiones que se relacionen con la ciencia de los
números. Si *l sa+e responder a todas las preguntas reci+irá /así lo prometió1 una recompensa tal, que lo -ará uno de los -om+res más envidiados de Bagdad. :n ese momento vimos al poeta Wezid aproximarse al califa. ;omendador de los ;re'entes 9dijo el s-ei=. Tengo en mi poder un o+jeto que pertenece al calculista. Se trata de un anillo encontrado en mi casa por una de las esclavas del "-ar*n#. Euiero devolv*rselo al calculista antes de ser iniciada la importantísima prue+a a que va a someterse. :s posi+le que se trate de un talismán, ' no deseo privarlo del auxilio de los recursos so+renaturales. 7ermitió el monarca que el anillo fuese entregado, en ese mismo momento, al calculista Beremís se mostró profundamente emocionado al reci+ir la jo'a. ? pesar de la distancia a que me -alla+a, pude notar que alguna cosa seria le ocurría en aquel momento. ?l a+rir la pequea cajita, sus ojos +rillantes se -umedecieron. Supe despu*s, que, conjuntamente con el anillo, la piadosa Telassim -a+ía colocado un papel en el cual Beremís le'ó emocionado( "Nnimo. ;onfía en !ios. Pezo por ti.# @:staría enterado el s-ei= Wezid de ese mensaje secretoA 6ízose profundo silencio. :l sa+io designado para comenzar el interrogatorio, se levantó. :ra un anciano octogenario, de venera+le figuraL larga +ar+a +lanca llegá+ale -asta el pec-o. @Eui*n es aquel ancianoA preguntó, en voz +aja, a un espectador de delgado ' +ronceado rostro que se -alla+a a mi lado. :s el c*le+re o-ade+e W+agu*?+nerPaman 9me respondió. !icen que conoce más de quince mil li+ros so+re el ;orán. :nsea Teología ' Petórica. :l sa+io o-ade+e pronuncia+a las pala+ras con un tono extrao ' sorprendente, síla+a por síla+a, como si el orador pusiese empeo en medir el sonido de su voz( Do' a interrogarle, calculista, so+re un tema de indiscuti+le importancia para la cultura de un musulmán. ?ntes de estudiar la ciencia de un :uclides o de un 7itágoras, todo musulmán de+e conoce profundamente el pro+lema religioso, pues la vida no puede conce+irse si se aparta de la Derdad ' la 4e. ?quel que no se preocupa por los pro+lemas de su existencia futura, por la salvación de su alma ' que desconoce los preceptos de !ios, no merece el calificativo de sa+io. Euiero, por ello, que nos digas, en este momento, ' sin la menor vacilación, quince referencias num*ricas, nota+les ' exactas, so+re el ;orán, el li+ro de ?la-. :l silencio fue profundo. Se espera+a con ansiedad la respuesta de Beremís. ;on una tranquilidad que asom+ra+a, el joven calculista dijo( :l ;orán, sa+io ' venera+le "mufti#, se compone de %%I suratas, de las cuales OJ fueron dictadas en la eca ' II en edina. Se divide en K%% "asc-rs# ' contiene K2HK versículos, de los cuales, O son del primer capítulo, "4ati-at#, ' Q del último, ">os -om+res#. >a surata ma'or es la segunda ' consta de 2QJ versículos. :l ;orán contiene IK.IH pala+ras ' H2H.KOJ letras, cada una de las cuales encierra diez virtudes especiales. 8uestro sagrado li+ro, cita el nom+re de 2M profetas. Wssa, -ijo de aría $I&, es citado % veces. 6a' cinco animales cu'os nom+res fueron tomados como epígrafes de cinco capítulos( la vaca, la a+eja, la -ormiga, la araa ' el elefante. >a surata %J2 tiene por título ">a contestación de los números#. :se capítulo del >i+ro Sagrado
es nota+le por la advertencia que, en sus M versículos, dirige a los que se preocupan por discusiones inútiles so+re números, que no tienen importancia alguna en el progreso espiritual del -om+re. :sos son los datos sacados del >i+ro de ?la-, para complacer nuestro pedido. 6u+o, no o+stante, en la respuesta que aca+o de dar, un error que me apresuro a confesar. :n vez de %M referencias, cit* %K. ;onfirmó el sa+io o-ade+e todas las referencias dadas por el calculistaL -asta el número de letras le >i+ro de ?la-, fue dic-o sin el menor error.
8otas( $%& es de cuaresma musulmán. $2& 3!ios es grande5 $H& Gatihat 9 7rimer capítulo del ;orán, contiene O versículos. :l voca+lo (atihat significa( "aquel que a+re# /. T.1 $I& Fesús ;risto. CAPÍTULO 2" En el cual un sabio historiador interroga a "ere!ís. El geó!etra que no podía !irar el cielo. 4a ate!ática en /recia. Elogio de Eratóstenes. clarado el primer punto con todos sus detalles, el segundo sa+io fue invitado a interrogar a Beremís. :se "ulema# era un -istoriador famoso que enseara, durante veinte aos, en ;órdo+a, ' que más tarde, por cuestiones políticas, se trasladara al ;airo, donde residía +ajo la protección del ;alifa. :ra un -om+re +ajo, cu'o rostro +ronceado aparecía enmarcado en una +ar+a de corte elíptico. ?sí fue como el sa+io -istoriador se dirigió a Beremís( :n nom+re de ?la-, ;lemente ' isericordioso. Se equivocan los que aprecian el valor de un matemático por la ma'or o menor -a+ilidad con que efectúa las operaciones ' aplica las reglas +anales del cálculo. ? mi manera de ver, el verdadero geómetra es el que conoce, con a+soluta seguridad, el
desenvolvimiento ' el progreso de la atemática a trav*s de los siglos. :studiar la 6istoria de la atemática es rendir -omenaje a los ingenios maravillosos que enaltecieran ' dignificaran las antiguas civilizaciones, ' que, por su la+or ' por su genio, pudieron revelar algunos de los profundos misterios de la 8aturaleza, consiguiendo, por la ciencia, elevar ' mejorar la misera+le condición -umana. 8os corresponde pues -onrar en las páginas de la 6istoria a los gloriosos antepasados que tra+ajaran para la formación de la atemática, ' resear las o+ras que dejaran. Euiero, pues, calculista, interrogarte so+re un -ec-o interesante en la 6istoria de la atemática( "@;uál fue el c*le+re geómetra que se suicidó de disgusto por no poder mirar al cieloA# Beremís reflexionó unos instantes ' exclamó de repente( 4ue :ratóstenes$%&, matemático oriundo de ;irenaica ' educado, al principio, en ?lejandría ', más tarde, en la :scuela de ?tenas, donde aprendió las doctrinas de 7latón. completando su respuesta prosiguió( :ratóstenes fue elegido para dirigir la gran +i+lioteca de la )niversidad de ?lejandría, cargo que ejerció -asta el fin de sus días. ? más de poseer innumera+les conocimientos científicos ' literarios que lo distinguieron entre los ma'ores sa+ios de su tempo, fue :ratóstenes, poeta, orador, filósofo ' tam+i*n atleta consumado. Basta decir que mereció el excepcional título de "pentatlos#, conferido en aquel tiempo al atleta que saliese vencedor en las cinco lunas de los Fuegos Vlímpicos. Grecia se -alla+a, en ese tiempo, en el período áureo de su desenvolvimiento científico ' literario. :ra la patria de los aedos, poetas que declama+an, con acompaamiento de música, en las refecciones ' reuniones de re'es ' jefes, los c*le+res poemas -om*ricos, largas narraciones en verso de las -azaas de los -*roes, formando un conjunto de rapsodias en que las costum+res, las lenguas ' las creencias se descri+en con admira+le simplicidad de expresión, justeza de detalles ' sinceridad de sentimientos. Brilló en Grecia el alma grande de Sócrates, quien, -a+i*ndose dedicado en la mocedad a estudios de 4ísica ' ?stronomía, sufrió más tarde la influencia del teísmo filosófico de ?naxágoras, creando la le' dominante de toda su filosofía( el Bien, considerado como efecto esencial de la inteligencia ' de la ciencia. ;om+atiendo la falsa retórica ' los sofismas, que ensea+an el arte de razonar ' de sustentar indiferentemente todas las opiniones, Sócrates tomó la moral como +ase de la 4ilosofía, enca+ezando sus preceptos con el c*le+re aforismo( ";onócete a ti mismo#, que se leía en el frente del templo de !elfos. 8o es exceso de detalles, el comentar que entre los griegos de cultura ' valor, el sa+io :ratóstenes era considerado como un -om+re extraordinario, que tira+a la ja+alina, escri+ía poemas, vencía a los grandes corredores ' resolvía pro+lemas de ?stronomía. :ratóstenes legó a la posteridad varias o+ras. 7resentó al re' 7tolomeo WWW de :gipto, una ta+la de números primos -ec-os so+re una planc-a metálica, en la cual los números compuestos eran marcados con un pequeo agujero. !iósele, por eso, el nom+re de ";ri+a de :ratóstenes# al procedimiento que utilizara el astrónomo griego para formar su ta+la de números primos. ;omo consecuencia de una oftalmia, que se le declarara durante un viaje a orillas del 8ilo, :ratóstenes quedó ciego. 0l, que cultivara la ?stronomía, se -alla+a impedido de mirar al cielo ' admirar la +elleza
incompara+le del firmamento en las noc-es estrelladas. 3>a luz eterna de "Su--el# $2& no podría vencer jamás aquella nu+e negra que cu+ría sus ojos5 ?margado por tan grande desgracia ' no pudiendo resistir al disgusto que le causara la ceguera, el sa+io se suicidó, dejándose morir de -am+re. 3V-5 9exclamó el califa. 8o me precio de sa+er si esa respuesta es más completa que la primera. poniendo su mano so+re el -om+ro del príncipe, aadió( Damos a ver, a-ora, si el tercer contendor consigue vencer a nuestro calculista.
8otas( $%& 8ació en el ao 2OM antes de ;risto. 4ue el fundador de la Geodesia. $2& #uhhel , nom+re que los ára+es dan a la estrella Sirius. >a estrella 7olar es denominada :sjudde. >a Día >áctea, para los musulmanes, es 1ahr eDudsjerra. /. T.1 CAPÍTULO 2# En el cual el tercer sabio interroga a "ere!ís. 4a (alsa inducción. 'o!o se halla la raí) cuadrada de ;K;3. "ere!ís de!uestra co!o un principio (also, puede surgir de eje!plos verdaderos. l tercer sa+io que de+ía interrogar a Beremís, era el c*le+re astrónomo ?+uW-asan?li $%&, de arruecos, venido a Bagdad invitado por el califa ?lotacen. :ra alto, flaco, ' tenía el rostro surcado de arrugas. :n su mueca lucía una gran pulsera de oro, donde dicen que se -alla+an gra+adas todas las constelaciones del as dos respuestas que terminas de formular prue+an, Beremís Samir, que posees sólida cultura. 6a+las de la ciencia de Grecia con la misma facilidad con que cuentas las letras del >i+ro Sagrado. :n el desenvolvimiento de la ciencia matemática, la parte más interesante es la que indica la forma de raciocinio que nos conduce a la verdad. )na colección de -ec-os está tan lejos de ser una ciencia, como un montón de piedras
de ser una casa. 7uedo afirmar, igualmente, que las com+inaciones inteligentes de -ec-os inexactos, o que no -a'an sido verificados, al menos en sus consecuencias, se -allan tan lejos de formar una ciencia, como un espejismo de sustituir, en el desierto, la presencia real de un oasis. >a ;iencia de+e o+servar -ec-os para de ellos deducir le'esL con el auxilio de *stas, prever otros -ec-os ' mejorar las condiciones materiales de la vida. Todo esto es ciertoL mas, @cómo deducir la DerdadA Se presenta, pues, la siguiente duda( @:s posi+le, en atemática, deducir una regla falsa de una propiedad verdaderaA Euiero conocer tu respuesta, ilustrada con un ejemplo simple ' perfecto. Beremís meditó largo rato ' luego, saliendo de su recogimiento, respondió( ?dmitamos que un alge+rista curioso desease determinar la raíz cuadrada de un número de cuatro cifras. Sa+emos que la raíz cuadrada de un número es otro número que, multiplicado por sí mismo, da un producto igual, al número dado. Damos a suponer, sin em+argo, que el calculista, al escoger los números, -iciera recaer su elección en los números( 2J2M, HJ2M, QJ%. Wniciemos la resolución del pro+lema por el número 2J2M. 6ec-os los cálculos para ese número, el investigador -allaría que la raíz cuadrada es IM. :n efecto( IM veces IM es igual a 2J2M. ?-ora +ien( como se puede verificar, IM se o+tiene por la suma de 2J R 2M, que son parte del número 2J2M, descomponi*ndolo por medio de un punto 2J.2M. >o mismo verificaría el alge+rista para el número HJ2M, cu'a raíz cuadrada es MM. $2& :s conveniente -acer notar que MM es la suma de HJ R 2M, partes del número HJ.2M. Wd*ntica propiedad se verifica con respecto al tercer número, QJ%, cu'a raíz cuadrada es , esto es, Q R J%. 4rente a esos tres caos, el desprevenido alge+rista podría enunciar la siguiente regla. "7ara calcular la raíz cuadrada de un número de cuatro cifras se divide ese número por un punto, en dos grupos de dos cifras cada uno, sumándose los grupos así formados. >a suma o+tenida será la raíz cuadrada del número dado.# :sa regla, visi+lemente equivocada, fue deducida de tres ejemplos verdaderos. :s posi+le llegar a la verdad, en atemática, por simples o+servacionesL no o+stante son necesarias precauciones esenciales para no caer en la "(alsa inducción#. :l astrónomo ?+ul-asan, sinceramente en cantado con la respuesta de Beremís, declaró que nunca -a+ía oído so+re la importante cuestión de la "falsa inducción matemática# explicación tan interesante ' sencilla. ? continuación se paró el cuarto sa+io ' se preparó para formular su pregunta. 8unca olvidar* su erguida ' venera+le figura, ni dejar* de recordar su mirada serena ' +ondadosa. ;aminó -asta el extremo del estrado ' así -a+ló al sultán( 7ara que mi pregunta pueda ser +ien interpretada, necesito aclararla contando una antigua le'enda persa. ;u*ntala, 3o- sa+io elocuente5 9respondió el califa. :stamos ansiosos de oírte.
;ruzó el sa+io las manos so+re el pec-o ' con voz firme ' cadenciosa, como el andar de una caravana, contó lo siguiente(
8otas( $%& 8ació en %2JJ ' murió, a consecuencia de la caída de un camello, en %2QJ. :scri+ió "Tratado de los instrumentos astronómicos#. $2& :l producto MM Y MM es igual a HJ2M. CAPÍTULO 2$ En el cual oí!os una antigua leyenda persa. 4o !aterial y lo espiritual. 4os proble!as hu!anos y trascendentales. 4a (a!osa !ultiplicación. El sultán repri!e con energía, la intolerancia de los shei5. ra una vez un re' que domina+a en 7ersia ' en las planicies de Wrán. :se poderoso monarca o'ó decir a un dervic-e, que un verdadero sa+io de+ía conocer con a+soluta perfección la parte espiritual ' la parte material de la vida. @Eu* -izo el re' ?storA Dale la pena recordar la forma como procedió el poderoso monarca. andó llamar a los tres más grandes sa+ios de 7ersia, le entregó a cada uno de ellos dos denarios de plata ' les dijo( 6a' en este palacio tres salas igualmente vacías. ;ada uno de vosotros de+erá llenar una sala, no pudiendo emplear en esa tarea más dinero del que aca+o de confiar a cada uno. :l pro+lema rea, realmente, difícil. ;ada sa+io de+ía llenar una sala vacía gastando apenas la insignificante suma de dos denarios. >os sa+ios partieron a cumplir la misión que les -a+ía encomendado el capric-oso re' ?stor. 6oras despu*s regresaron a la sala del trono. :l re', interesado en la solución del enigma, los interrogó. :l primero dijo( Seor, gast* dos denarios, ' la sala que me corresponde quedó completamente llena. i solución fue mu' práctica. ;ompr* varias +olsas de -eno ' con *l llene la -a+itación desde el suelo -asta el tec-o. 3u' +ien5 9exclamó el re'. Duestra solución, simple ' rápida, -a sido realmente mu' +ien conce+ida. ;onoces, a mi modo de ver, la "parte material de la vida#, ' +ajo ese aspecto puedes encarar todos los pro+lemas que un -om+re de+e enfrentar so+re la tierra. ? continuación, el segundo sa+io -a+ló así, despu*s de saludar al re'(
:n el desempeo de la tarea que me fuera encomendada, gast* apenas medio denario. :xplicar* cómo procedí. ;ompr* una vela ' la encendí en medio de la sala vacía. ?-ora, 3o- re'5, puedes o+servarla. :stá llena, enteramente llena de luz. 3Bravo5 9accedió el monarca. !escu+riste una solución +rillante para el pro+lema, la luz sim+oliza la parte espiritual de la vida. Duestro espíritu, saco en conclusión, es capaz de encarar todos los pro+lemas de la existencia desde el punto de vista espiritual. >legó finalmente, al tercer sa+io el turno de -a+lar. 6e aquí como resolvió la singular situación( 7ens* al principio, 3o- re' del Tiempo5, en dejar la sala entregada a mi cuidado, exactamente como se -alla+a. :ra fácil deducir que la sala referida, a-ora cerrada, no esta+a vacía, pues es evidente que esta+a llena de aire ' polvo. 8o quise, sin em+argo, permanecer ocioso, mientras mis dos colegas discurrían con tanta inteligencia ' -a+ilidad. !ecidí accionar 'o tam+i*n. Tom*, pues, un puado de -eno de la primera sala, quem* se -eno con la vela que se -alla+a en la otra, ', con el -umo que se desprendía, llen* enteramente la tercera sala. :s inútil aadir que no gast* la menor cantidad del dinero que me fue entregado. 3?dmira+le5 9exclamó el re' ?stor. Sois el más grande sa+io de 7ersia, ' tal vez del mundo. Sa+*is reunir con -a+ilidad mesurada, lo material ' lo espiritual para lograr la perfección. Terminada la narración, el sa+io se volvió a Beremís, a quien dijo( :s mi deseo, calculista, verificar sí, a semejanza del tercer sa+io de la le'enda, eres capaz de reunir lo material ' lo espiritual, ' llegar a resolver no sólo los pro+lemas -umanos, sino tam+i*n las cuestiones trascendentales. i pregunta es, por lo tanto, la siguiente( "@;uál fue la famosa multiplicación, recordada en la 6istoria, multiplicación que todos los -om+res cultos conocen, ' en la cual figura un solo factorA# :sa inopinada pregunta sorprendió, ' con razón, a los ilustres musulmanes. ?lgunos no disimularon pequeos gestos de desagrado e impaciencia. )n "cadi# o+eso, ricamente vestido, que se -alla+a a mi lado, murmuró, irritado( 3:so no tiene sentido5 3:s un disparate5 Beremís permaneció largo rato medita+undo. >a única multiplicación famosa, con un solo factor, citada por los -istoriadores ' que todos los -om+res cultos conocen, es la multiplicación de los panes -ec-a por Fesús, -ijo de aría. :n esa multiplicación sólo figura un factor( 3el poder milagroso de la voluntad de !ios5 ?lgunos musulmanes intolerantes, se miraron espantados. 6u+o murmullos. :l califa exclamó con energía( 3Silencio5 Deneremos a Fesús, -ijo de aría, cu'o nom+re es citado diecinueve veces en el >i+ro de ?la-. a continuación, dirigi*ndose al quinto sa+io, aadió plácidamente( ?guardamos vuestra pregunta, 3o- s-ei=5 ?l oír esas pala+ras, el quinto sa+io se levantó como si fuese impulsado por un resorte. :ra un -om+re +ajo, grueso, de +lanca ca+ellera. :n vez de tur+ante usa+a un pequeísimo gorro verde. ?l -a+lar lo -acía en forma arre+atada ' nerviosa.
:l valor de un sa+io 9comenzó con t*trica entonación sólo puede ser medido por el poder de su imaginación. 8úmeros tomados al acaso, -ec-os -istóricos recordados con oportunidad ' precisión, pueden tener momentáneo inter*s, mas al ca+o de algún tiempo caen en el olvido. @Eui*n de nosotros se acuerda a-ora del número de letras del ;oránA 6a' números, pala+ras, nom+res ' o+ras que están, por su propia naturaleza ' finalidad, condenados a irremedia+le olvido. Do', por lo tanto, a convencerme del valor ' la capacidad del calculista persa preguntándole una cuestión que no tiene que ver con pro+lemas que exijan memoria o -a+ilidad de cálculo. Euiero que el matemático Beremís Samir nos cuente una le'enda en la cual aparezca indicada una división de H por H, pero no efectuada, ' otra de H por 2, indicada ' efectuada sin dejar resto. Beremís se quedó mudo, como si la inesperada pregunta del sa+io lo atolondrase. :ra preciso tener la suerte de recordar, en el momento, una le'enda que encerrase dos divisiones num*ricas. !espu*s de algunos instantes de azaroso rememorar el calculista inició la siguiente narración.
CAPÍTULO 3 En el cual "ere!ís narra una leyenda. El tigre sugiere la división de 2 por 2. El chacal indica la división de 2 por ;. En el cual el chacal se queda con el resto de la división. 'o!o se calcula el cociente en la ate!ática del !ás (uerte. n nom+re de ?la-, ;lemente ' isericordioso. :l león, el tigre ' el c-acal, a+andonaron, cierta vez, la gruta som+ría en que vivían, ' salieron en peregrinación amistosa, a recorrer el mundo, en procura de alguna región rica en re+aos de tiernas ovejas. :n medio de la selva, el león, que dirigía, naturalmente, el grupo, se sentó, fatigado, so+re sus patas traseras, e irguiendo su enorme ca+eza soltó un rugido tan fuerte, que -izo estremecer a los ár+oles más próximos. :l tigre ' el c-acal se miraron asustados. ?quel rugido amenazador con que el peligroso monarca, de oscura cola ' garras invenci+les, tur+ara el silencio del +osque, traducido a un lenguaje al alance de todos los animales, quería decir, lacónicamente( ":sto' con -am+re.# Duestra impaciencia es perfectamente justifica+le /o+servó el c-acal, dirigi*ndose -umildemente al león1. Vs aseguro, sin em+argo, que conozco, en esta floresta, un atajo misterioso, del cual las fieras no tuvieron nunca noticia. 7or el podríamos llegar, con facilidad, a un pequeo po+lado casi en ruinas, donde la caza es a+undante, fácil, al alcance de las garras, ' exenta de cualquier peligro. Damos, c-acal 9dijo de pronto el leónL quiero conocer ' admirar ese adora+le lugar. ?l caer de la tarde, guiados por el c-acal, llegaron los viajeros a lo alto de un monte no mu' elevado, desde donde se divisa+a una pequea ' verde planicie.
:n medio del valle se -alla+an descuidados, ajenos a los peligros que los amenaza+an, tres pacíficos animales( una oveja, un cerdo ' un conejo. ?l avistar la fácil presa, el león sacudió la a+undante melena en un movimiento de incontenida satisfacción. con los ojos +rillantes de gula, se volvió -acia el tigre ' gruó, con tono posi+lemente amistoso( 3V-, tigre admira+le5 Deo allí tres -ermosos ' sa+rosos manjaresL una oveja, un cerdo ' un conejo. Tú, que eres listo ' experto, de+es sa+er dividir con talento tres entre tres. 6az, pues, con justicia ' equidad, esa operación fraternal( dividir tres entre tres cazadores. >isonjeado con semejante proposición, el vanidoso tigre, despu*s de expresar con visos de falsa modestia su incompetencia ' su poco valor, respondió así( >a división que generosamente aca+áis de proponer 3o- re'5 es mu' simple ' se puede -acer con +astante facilidad. >a oveja, que es el ma'or de los tres +ocados, ' el más sa+roso, ', sin duda, capaz de saciar el -am+re de un grupo de leones del desierto, os toca por derec-o. ?quel cerdo flaco, sucio ' maloliente, que no vale una pierna de la -ermosa oveja, será para mí, que so' modesto ' con +ien poco me conformo. , finalmente, aquel minúsculo ' desprecia+le conejo, de reducidas carnes, indigno del paladar refinado de un re', corresponderá a nuestro compaero el c-acal, como recompensa por la valiosa indicación que -ace poco nos proporcionó. 3:stúpido, egoísta5 9rugió, enfurecido, el león, lleno de indescripti+le furia. @Eui*n te enseó a -acer divisiones de esa maneraA @!ónde viste una división de tres por tres, -ec-a de ese modoA , levantando su pesada pata, descargó so+re la ca+eza del desprevenido tigre tan violento golpe, que lo tiró muerto a algunos pasos de distancia. :n seguida se volvió al c-acal, que asistiera aterrado a aquel trágico final de la división de tres por tres ' así le -a+ló( i querido c-acal. Siempre tuve de tu inteligencia el más alto concepto. S* que eres el más ingenioso ' +rillante de los animales de la floresta, ' no conozco otro que pueda aventajarte en la -a+ilidad con que sa+es resolver los más intrincados pro+lemas. Te encomiendo, pues, el -acer esa división simple ' +anal, que el estúpido tigre /como 'a aca+aste de ver1 no supo efectuar satisfactoriamente. @:stás viendo, amigo c-acal, aquellos apetitosos animales( la oveja, el cerdo ' el conejoA 7ues +ien( dividirás las tres piezas entre nosotros dos. 38ada más sencillo que dividir tres por dos5 6az los cálculos, pues deseo sa+er qu* cociente exacto me corresponde. 8o so' más que un -umilde ' rudo siervo de Duestra ajestad 9dijo el c-acal, en tono -umildísimo de respeto. !e+o, pues, o+edecer ciegamente la orden que aca+o de reci+ir. Do' a dividir, como si fuera un sa+io geómetra, aquellas tres piezas entre nosotros dos. >a división matemáticamente exacta es la siguiente. >a admira+le oveja, manjar digna de un so+erano, es para vuestros reales caninos, pues es indiscuti+le que sois el re' de los animalesL el +ello cerdo, del cual oigo los armónicos gruidos, de+e ser tam+i*n para vuestro real paladar, pues, según dicen los entendidos, la carne de puerco da más fuerza ' energía a los leonesL ' el inquieto conejo, con sus largas orejas, de+e ser sa+oreado por vos, como so+remesa, 'a que a los re'es,
por le' tradicional entre los pue+los, les pertenecen, de los opíparos +anquetes, los manjares más finos ' delicados. 3;-acal incompara+le5 9exclamó el león, encantado con el reparto que aca+a+a de oír. 3Eu* agrada+les ' sa+ias son tus pala+ras5 @Eui*n te enseó ese artificio maravilloso para dividir con tanta perfección ' acierto, tres por dosA :s zarpazo con que vuestra justicia castigó, -ace un instante, al tigre arrogante ' am+icioso, me enseó a dividir con certeza tres por dos cuando de esos dos uno es el león ' otro el c-acal. :n las matemáticas del más fuerte, pienso que el cociente es siempre exacto, ' al más d*+il, despu*s de la división, ni el resto le de+e tocar. , desde ese día en adelante, -aciendo siempre divisiones de esa manera, inspiradas en el más torpe servilismo, vivió el astuto c-acal su vida de vil adulador, regalándose con los desec-os que deja+a el león. 6e aquí, elocuente "ulema# conclu'ó Beremís, una le'enda en la cual aparecen dos divisiones. >a división de H por H fue apenas indicada, ' la otra, de H por 2, efectuada sin dejar "resto#. Euedó encantado el sultán al oír la admira+le fá+ula contada por el calculista. Vrdenó que la "!ivisión de tres por tres# fuese conservada en los arc-ivos del califato, pues la narración de Beremís, por sus elevadas finalidades morales merecía ser escrita con letras de oro en las alas transparentes de una mariposa +lanca del ;áucaso. , a continuación, tomó la pala+ra el sexto "ulema#. :l sexto sa+io era un cordo+*s. 6a+ía vivido quince aos en :spaa ' de allá -a+ía -uido por -a+er caído en desgracia con un príncipe musulmán. 6om+re de media edad, de cara redonda ' fisonomía franca ' sonriente, decían de *l sus admiradores que era mu' -á+il para escri+ir versos -umorísticos o sátiras contra los tiranos. 3:mir del undo5 9comenzó el cordo+*s, dirigi*ndose al sultán. ?ca+o de oír con verdadero placer esa admira+le fá+ula intitulada ">a división del persa#. :ncierra ella, a mi modo de ver, grandes enseanzas ' profundas verdades. Derdades claras como la luz del sol en la -ora de "eddu--r# $%&. e veo o+ligado a confesar que los preceptos matemáticos toman forma viva cuando son presentados +ajo la forma de fá+ulas o de -istorias. ;onozco una le'enda que no contiene divisiones, cuadrados o fracciones, mas encierra un pro+lema de >ógica, posi+le de resolver con un razonamiento puramente matemático. ;ontada la -istoria, veremos cómo podrá el eximio calculista resolver el pro+lema en ella contenido. el sa+io cordo+*s contó lo siguiente(
8otas( $%& Edduhhr 9 medio día. >os ára+es dividen los días en 2I -oras, que cuentan a partir del momento en que se pone el sol. ?sí, para los ára+es, la noc-e del %H es aquella que transcurre entre los días %2 ' %H. >a -ora en que el sol se pone se llama " !ogreb#L dos -oras más tarde "elascha#L la segunda -ora despu*s de "!ogreb# es llamada "el!ar(a#. >a media noc-e es, para los musulmanes, "nus(elDleil #. >a aurora "el(edsjer #. >a -ora del almuerzo / de la maana1 es llamada "elDghudda#L al medio día "eddhuhhr #L tres -oras más tarde, "elDarr #. /. T.1 CAPÍTULO 31 En el cual el sabio cordobés cuenta una leyenda. 4os tres novios de :ahi)é. El proble!a de los cinco discos. 'o!o "ere!ís reprodujo el raciocinio de un novio inteligente. asudi, el famoso -istoriador ára+e, -a+la, en los veintidós volúmenes de su o+ra, de los siete mares, de los grandes ríos, de los elefantes c*le+res, de los astros, de las montaas, de los diferentes re'es de ;-ina ' de mil otras cosas, ' no -ace la menor referencia a !a-iz*, -ija única del re' ;assim, el "Wndeciso#. 8o importa. ? pesar de todo, !a-iz* no será olvidada, pues entre los manuscritos ára+es antiguos fueron encontrados más de cuatrocientos mil versos en los cuales centenares de poetas loa+an ' exalta+an los encantos ' virtudes de la -ermosa princesa. >a tinta utilizada para descri+ir la +elleza de los ojos de !a-iz*, transformada en aceite, alcanzaría para iluminar la ciudad del ;airo durante medio siglo. 3Eu* exageración5, dir*is. 8o admito la exageración, -ermano de los ára+es. >a exageración es una forma disfrazada de mentir. 7asemos, sin em+argo, al caso que nos interesa. ;uando !a-iz* cumplió %Q aos de edad, fue pedida en matrimonio por tres príncipes cu'os nom+res perpetuó la tradición( ?radín, Benefir ' ;amozan. :l re' Bassin quedó indeciso. @;ómo elegir entre los tres ricos pretendientes, aquel que sería el novio de su -ijaA 6ec-a la elección, la consecuencia inevita+le sería que *l, el re', ganaría un
'erno, pero, en cam+io, se -aría de dos rencorosos enemigos. al negocio para un monarca sensato ' prudente, que desea+a vivir en paz con su pue+lo ' sus vecinos. ;onsultada la princesa !a-iz*, declaró que se casaría con el más inteligente de sus admiradores. >a decisión de la joven fue reci+ida con alegría por el re' ;assim. :l caso, que parecía tan complicado, tenía, sin em+argo, una solución mu' simple. :l so+erano ára+e mandó llamar a cinco de los más grandes sa+ios de la ;orte ' les dijo que sometiesen a los príncipes a un riguroso examen. Terminadas las prue+as, los sa+ios presentaron al re' un minucioso informe. >os tres príncipes eran inteligentísimos. ;onocían profundamente la atemática, >iteratura, ?stronomía ' 4ísicaL resolvían complicados pro+lemas de ajedrez, cuestiones sutilísimas de Geometría, enigmas arrevesados ' oscuras c-aradas. 8o -allamos medio alguno 9conclu'eron los sa+ios que nos permitiese llegar a un resultado definitivo a favor de uno o de otro. 4rente a ese lamenta+le fracaso de la ciencia, resolvió el re' consultar a un dervic-e que tenía fama de conocer la magia ' los secretos del ocultismo. :l sa+io dervic-e dijo al re'( Sólo conozco un medio que permitirá determinar cuál es el más inteligente de los tres. :s la prue+a de los cinco discos. 6agamos, pues, esa prue+a 9accedió el re'. >os príncipes fueron llevados al palacio. :l dervic-e, mostrándoles cinco discos de cartón, les dijo( 6e aquí cinco discos, dos de los cuales son negros ' tres +lancos. V+serven que son del mismo tamao ' del mismo peso, ' que solo difieren en el color. ? continuación un paje vendó cuidadosamente los ojos de los tres príncipes, impidi*ndoles así ver la menor luz. :l viejo dervic-e tomó entonces al azar tres de los cinco discos ' los prendió a la espada de los tres príncipes. !ijo entonces el dervic-e( ;ada uno de vosotros lleva a cuestas un disco, cu'o color ignora. Ser*is interrogados uno a uno. ?quel que descu+ra el color del disco que le cupo en suerte, será declarado vencedor ' se casará con la linda !a-iz*. :l primero que sea interrogado podrá ver los discos de los otros dos concursantesL al segundo le será permitido ver el disco del último. :ste tendrá que formular la respuesta sin ver disco alguno. ?quel que formule la respuesta exacta, para pro+ar que no fue favorecido por el azar, tendrá que justificarla por medio de un razonamiento riguroso, metódico ' simple. @;uál de vosotros desea ser el primeroA Pespondió prontamente el príncipe ;amozan( Euiero ser el primero en responder. :l paje retiro la venda que cu+ría los ojos del príncipe ;amozan, ' este pudo ver el color de los discos que se -alla+an so+re las espaldas de sus rivales.
Wnterrogado, en secreto, por el dervic-e, no acertó en su respuesta. 4ue declarado vencido, ' de+ió retirarse de la sala. :l re' anunció en voz alta, a fin de prevenir a los otros dos( :l joven ;amozan aca+a de fracasar. Euiero ser el segundo 9dijo el príncipe Benefir. !esvendados los ojos, el príncipe vio la espalda de su competidor ' vio el color de su disco. ?proximóse al dervic-e ' le dijo en secreto su respuesta( :l dervic-e sacudió negativamente la ca+eza. :l segundo príncipe -a+ía errado, ' fue, por consiguiente, invitado a dejar el salón. Eueda+a aún el tercer concursante, el príncipe ?radín. :ste, luego que el re' anunció la derrota del segundo pretendiente, se aproximó al trono, con los ojos vendados, ' dijo en voz alta el color de su disco. :l sa+io cordo+*s, dirigi*ndose al calculista, le preguntó( !eseo sa+er cuál fue la respuesta del príncipe ?radín ' cuál el razonamiento -ec-o por el príncipe, que lo llevó a resolver con seguridad el pro+lema de los cinco discos. Beremís, con grave seriedad ' sin intimidarse, -a+ló así( :l príncipe ?radín, el -*roe de la curiosa le'enda que aca+amos de oír, afirmó al re' ;assim( "i disco es +lanco#. para llegar a esa conclusión -izo, con seguridad, el siguiente razonamiento( ) )) 1egro /Benefir1 "lanco /Benefir1 1egro /o1 1egro /o1 ))) )* "lanco /o1 "lanco /o1 1egro /Benefir1 "lanco /Benefir1 :n esas diversas -ipótesis no fue incluido, por no interesar al razonamiento, el color del disco del príncipe ;amozan, primer concursante interrogado. W, -ipótesis. 1egro /Benefir1L 1egro /o1. !iría el príncipe ?radin( "?dmitida la primera -ipótesis, esto es, si mi disco fuera negro ' el de Benefir negro, el primer concursante no -a+ría errado. :n efecto( viendo dos discos negros, sa+ría /con a+soluta certeza1 que su disco era +lanco, ' -a+ría respondido acertadamente.# ?-ora +ien( si el primero se equivocó fue porque tuvo dudas, ', ello sólo sería posi+le si *l -u+iera visto un disco negro ' otro +lanco, o dos +lancos. :s evidente que la -ipótesis W no es acepta+le ' de+e ser, por consiguiente, desec-ada. Euedan, por lo tanto, las -ipótesis WW, WWW ' WD. WW, -ipótesis. 1egro /o1L "lanco /Benefir1. !iría en este caso el príncipe ?radín( "?dmitamos que la -ipótesis WW fuese verdaderaL esto es, vamos a suponer que el disco /?1 fuese negro, ' el disco /B1, de Benefir, +lanco. :l príncipe Benefir, que es mu' inteligente, sa+iendo en virtud del razonamiento /como consecuencia del error del primero1, que nuestros discos no
podían ser negros /como 'a pro+*1, concluiría diciendo que el de *l era +lanco, ' -a+ría acertado. Si Benefir erró, fue porque tuvo dudas, ' esa duda solo podría surgir del -ec-o de -a+er visto en mis espaldas un disco +lanco. # "!esec-ada la -ipótesis WW, como aca+o de pro+ar, sólo quedan las WWW ' WD. :n cualquiera de las dos -ipótesis, mi disco es +lanco.# :s ese, 3o- sa+io5 9conclu'ó Beremís el razonamiento que -a+ría -ec-o el príncipe ?radín para descu+rir, con a+soluta seguridad, el color de su disco.
CAPÍTULO 32 En el cual "anabixacar interroga a "ere!ís. Alí "abá y los cuarenta ladrones. 8'uarenta9 [or quéS 'uál es el signi(icado si!bólico de ese n-!ero. El proble!a de la piedra de adrones#. @:se número "cuarenta# -a+ría sido elegido al acaso, o fue elegido en virtud de principio o le' exclusivamente matemáticaA @Eu* relación -a+rá entre el número cuarenta ' los "ladrones#A >a cuestión propuesta era dificilísima ' delicada. >a respuesta de Beremís, sin em+argo, no se -izo esperar. :l calculista persa -a+ló de la siguiente manera( >os ladrones que figuran en la aventura del leador ?lí Ba+á, son cuarenta. !esde el punto de vista matemático, presenta este número una particularidad mu' curiosa, que justifica, plenamente, la preferencia dada por los narradores antiguos. 3;uarenta5 @Eu* -acían los ladrones para juntar riquezas ' con ellas llenar la cavernaA :llos ro+a+an, es decir, " sustraían#. ;ada ro+o correspondía a una sustracción. )na vez cometido el ro+o, los ladrones de la cuadrilla junta+an los o+jetos ro+adosL tal operación equivale a una suma, o sea, a una adición. @Eu* -acían pues los ladrones de la le'endaA Suma+an ' sustraían. 7ues +ien( el número cuarenta es el ma'or número que, descompuesto en cuatro partes desiguales, permite formar con esas partes, por medio de sumas ' sustracciones, todos los números enteros desde % -asta IJ. :sas cuatro partes, que se presentan en progresión geom*trica /siendo la razón igual a H1, son( %, H, , 2O ?sí( @ @ ;@ ;F N P 2 ; 2N@ ;; ;F N P 2 P @ 2 2 ;2 ;F N 2 N @
< 2P@ ;< ;F N 2 3 N2N@ ;3 ;F N 2 P @ > N2 ;> ;F N @ F N2P@ ;F ;F = N@ ;= ;F P @ ; ;F P 2 N @ @K P@ 2K ;F P 2 @@ P2N@ 2@ ;F P 2 P @ @; P2 2; ;F P N 2 N @ @2 P2P@ 22 ;F P N 2 @< ;F N N 2 N @ 2< ;F P N 2 P @ @3 ;F N N 2 23 ;F P N @ @> ;F N N 2 P @ 2> ;F P @F ;F N N @ 2F ;F P P @ @= ;F N 2= ;F P P 2 N @ @ ;F N P @ 2 ;F P P 2 ;K ;F N P 2 N @ a primera comienza por %L las tres siguientes por HL las nueve siguientes por L las 2O siguientes por 2OL WW1 ;ada uno de los cuatro elementos /%, H, ' 2O1 figura 2O veces en las cuarenta diferentes relaciones. :xiste otro pro+lema 'a estudiado por los matemáticos del tiempo de ?l ;arisma, ' cu'a solución se +asa en esa misma propiedad del número IJ. :se pro+lema es el siguiente( )n mercader tenía una piedra que pesa+a IJ " artales#. ;ierta vez esa piedra se ca'ó ' se partió en cuatro pedazos, causando gran contrariedad al mercader. )n calculista, que se -alla+a presente, pasó los cuatro pedazos ' dijo al mercader( ":s una división conveniente. ;on esos cuatro pedazos podrás -acer cualquier pesaje desde % -asta IJ.# Se pregunta( @;uánto pesa+an los I fragmentos de piedraA >a solución es dada precisamente por los números %, H, ' 2O. ;on esos cuatro pesos se puede -acer cualquier pesaje /en unidades enteras1 desde % -asta IJ. :l peso de %I "artales#, por ejemplo, sería o+tenido colocando el peso 2O en uno de los platos de la +alanza, ' los otros tres fragmentos menores en el otro plato. >a diferencia de peso es %I "artales#. >as cuatro partes en que fue descompuesto el número IJ, son, como 'a dije, potencias de H. :ste número aparece /' la circunstancia es digna de -acerse notar1 en casi todos los episodios de la le'enda de ?lí Ba+á. ;uando el po+re leador descu+rió la gruta de los ladrones, conducía tres +urros cargados de leaL con a'uda de esos tres +urritos trajo a su casa u tesoro fa+uloso. Todavía más( tres ladrones de la cuadrilla fueron muertos por el jefe, al -a+er sido engaados por 4u) 1octurna, que era la esclava predilecta ' preferida de ?lí Ba+á.
:l envidioso ;assim, -ermano de ?lí Ba+á, sorprendido en el interior de la gruta, fue muerto por los ladrones ' su cuerpo dividido en K pedazos. :l número K es el do+le de H, cu'as primeras potencias suman IJ. /HJ R H% R H2 R HH U IJ.1 6a' tam+i*n con respecto a la frase mágica, "N+rete, s*samo#, que -a+ría la gruta encantada, relaciones num*ricas dignas de o+servar. Vtro pro+lema famoso en el cual aparece el número IJ, es el siguiente( $El historiador 0ose(o, gobernador de /alilea, que resistió heroica!ente las legiones de 7espasiano, siendo vencido al (inal, se re(ugió en una caverna con cuarenta patriotas judíos. #itiados por los ro!anos, pre(irieron !atarse todos antes de entregarse a los ene!igos. Gor!ando rueda, contaban @, ; y 2, y cada uno de los que le tocaba el n-!ero 2 era !uerto. [En qué lugar correspondía estar a 0ose(o para escapara a esta horrible !atan)aS& >a solución de este pro+lema puede o+tenerse fácilmente con a'uda de un esquema práctico( +asta escri+ir en círculo I% números ', comenzando a contar por el primero, ir tac-ando con un trazo cada tres lugares. !espu*s de terminar toda la rueda, continuar del mismo modo, pero sin tomar en cuenta los números 'a tac-ados, porque estos pasan a ser considerados soldados muertos. Terminado el tra+ajo, se ve que solo dos judíos se salvaron de aquella masacre( fueron los que se encontra+an en los lugares %K ' H%. )no de esos lugares privilegiados lo escogió para sí el go+ernador Fosefo, el cual en vez de matar al compaero ' suicidarse despu*s, prefirió entregarse con todas las garantías a Despasiano. :l número IJ aparece entre las tradiciones más nota+les de los judíos ' cristianos $2&. ;reo, sin em+argo, -a+er explicado suficientemente la significación sim+ólica del número cuarenta en una de las le'endas más famosas de nuestro inmenso tesoro literario.
8otas( $%& ;ristianos. $2& :l diluvio duró IJ días ' IJ noc-esL IJ aos emplearon los judíos para alcanzar la Tierra de 7romisiónL IJ días estuvo Fesús en el desierto. CAPÍTULO 33 En el cual "ere!ís habla de los proble!as i!posibles. El doble del cubo. 4a trisección del ángulo. 4a cuadratura del círculo. El n-!ero ;; y el círculo. n silencio profundo siguió a las pala+ras con que Beremís terminó su original explicación so+re el significado del número IJ que aparece en la le'enda de ?lí Ba+á. :l gran astrónomo Bena+ixacar, que se -alla+a a la derec-a, despu*s de aspirar largamente el perfume de un frasco que tenía en la mano, se dirigió, respetuoso, al califa en los siguientes t*rminos( e veo forzado a confesar, re' del Tiempo, que al formular el pro+lema de los cuarenta ladrones de ?lí Ba+á, no imagina+a que el calculista persa fuese capaz de resolverlo de manera tan +rillante ' completa. 4ueron muc-os los investigadores que inclu'eron tal pro+lema entre los que de+ían permanecer sin solución, +urlando los recursos de la atemática. >a solución formulada por Beremís Samir es digna de figurar en las páginas de oro entre los versos de ">amiat eladjem#. $%& :l príncipe ;luzir Sc-á dijo, entonces al sultán( :se sa+io anciano aca+a de referirse a los "pro+lemas sin solución# de la atemática. Sería interesante que el calculista, que 'a -a aclarado tantas cuestiones difíciles, nos dijera algo so+re los pro+lemas sin solución. :s magnífico lo que propones 9interrumpió el sultán. , dirigi*ndose al calculista, le dijo( @;uáles son los pro+lemas famosos que los matemáticos consideran sin soluciónA :n el campo de la atemática, se presentan, 3o- :mir de los ;re'entes5, infinidad de pro+lemas para los cuales no se -a encontrado una solución satisfactoria. :ntre los que se -an -ec-o c*le+res, justo es citar los siguientes( •
roble!a de la duplicación del cubo.
•
roble!a de la trisección de un ángulo.
•
roble!a de la cuadratura del círculo.
Deamos en qu* consisten esos pro+lemas ' cuáles fueron los intentos -ec-os por los matemáticos en el sentido de resolverlos.
:l pro+lema de la duplicación del cubo, conocido en la antig[edad +ajo la denominación de proble!a de :elos o proble!a deliano, se explica por medio de una le'enda que no deja de ser interesante( )na terri+le epidemia diezma+a a los -a+itantes de la ciudad de ?tenas. ;onvencidos que el flagelo era castigo de los dioses, los atenienses fueron a consultar el oráculo de !elos so+re el medio que podrían valerse para aca+ar con el mal. !ijo el oráculo( "En el te!plo de Apolo existe un altar de (or!a c-bica. 4a epide!ia cesará el día en que ese altar sea sustituido por otro exacta!ente igual al doble.& 6allaron los atenienses por demás simple la condición impuesta por el oráculo ' lo sustitu'eron por otro altar de la misma forma ' cu'a arista era dos veces ma'or.
4a división de la circun(erencia en ocho partes iguales (ue un proble!a resuelto por los !ate!áticos, algunos !ilenios antes de 'risto. En la (igura que ilustra esta página, la circun(erencia de la rueda del carro egipcio está dividida en ocho partes iguales Seguros que -a+ían cumplido la indicación revelada por el oráculo, espera+an que la epidemia terminara. Se engaaron. >a peste se volvió más mortífera. ;onsultaron otra vez al oráculo ' *ste explicó( ":l nuevo altar no es el do+le del primero, sino oc-o veces ma'or.# : insistió( ":s necesario duplicar el cu+o.# 4rente a esa dificultad, los atenienses apelaron a los conocimientos de los geómetras. 7ara ser agrada+le a los dioses era necesario sa+er Geometría, pues la Geometría es la ciencia divina. 6ipócrates $2& fue el primer geómetra que estudió el pro+lema, consiguiendo, -asta cierto punto, aclarar la cuestión. ?squitas presentó una solución mu' ingeniosa, cu'a demostración geom*trica ' cinemática, sugerida por el gran filósofo 7latón, fue analizada más tarde por :udoxio. ecmeno, nota+le geómetra, de quien el conquistador ?lejandro fue el discípulo, tratando de solucionar el pro+lema deliano, descu+rió las llamadas secciones cónicas( esto es, pro+ó que las curvas llamadas elipse, pará+ola e -ip*r+ola pueden o+tenerse mediante secciones planas de un cono. ás tarde 8icomedes se dedicó tam+i*n sin resultado al pro+lema de !elos, procurando resolverlo con el auxilio de una construcción +asada en una curva llamada concoide. ?la- se compadezca de esos geómetras que tanto contri+u'eron con sus estudios, al desenvolvimiento de la gran ciencia de :uclides. Deamos, a continuación, en qu* consiste el pro+lema de la trisección de un ángulo.
En la (igura que precede ve!os un carro egipcio antiguo, con una rueda en la que la circun(erencia está dividida en @; partes iguales. !ado un ángulo cualquiera, dividirlo en tres ángulos iguales empleando únicamente la regla ' el compás. )n griego, llamado 6ipias, se -izo c*le+re en la 6istoria de la atemática, por el -ec-o de -a+erse ocupado del pro+lema de la trisección del ángulo. 6ipias imaginó una curva denominada más tarde cuadratriz, con el auxilio de la cual era posi+le resolver el pro+lema de la trisección del ángulo. >a cuadratriz es nota+le porque es la primera curva definida por vía cinemática. $H& :l filósofo 7latón no aceptó la solución dada al pro+lema por 6ipias, -aciendo ver que la cuestión geom*trica solo podía ser resuelta con el empleo exclusivo de la regla ' el compás. Si no fuese por la condición impuesta, la curva denominada concoide de 8icomedes, aplicada al pro+lema de la duplicación del cu+o, podría ser empleada, igualmente, en el caso de la trisección del ángulo.
En la (igura que precede, la cual representa a uno de los antiguos reyes, aparece una circun(erencia dividida en > partes iguales.
!e todas las cuestiones geom*tricas famosas, el pro+lema de la cuadratura del círculo es uno de los que -a despertado ma'or inter*s entre los -om+res que cultivaran la atemática. :l pro+lema de la cuadratura del círculo consiste en una construcción rigurosa, con la regla ' el compás, esto es, por un número limitado de rectas ' circunferencias, de un cuadrado de área igual a la de un círculo dado cualquiera.$I& !urante más de mil trescientos aos investigaron los matemáticos ese famoso pro+lema, tratando en vano de descu+rirle una soluciónL ' el fracaso de tantos esfuerzos 9traducido por la falta de *xito de todas las tentativas llevó, al geómetra a incluir el pro+lema de la cuadratura del círculo entre los pro+lemas imposi+les. ?sí como el alquimista, o+sesionado por la o+sesión de descu+rir la piedra filosofal, aporta+a a la Euímica nuevos e impactantes descu+rimientos, tam+i*n el matemático, investigando so+re la cuadratura del círculo, tra+aja+a para el progreso de la ciencia. 8os cuenta 7lutarco, -istoriador ateniense, que el primero que se interesó por el pro+lema de la cuadratura del círculo fue el filósofo jónico ?naxágoras, del que fue discípulo 7ericles. :l cultivo de la ciencia fue para ?naxágoras fuente de serios sinsa+ores. 7or -a+er afirmado que el Sol excedía en magnitud a la península europea, e intentando explicar diversos fenómenos que los griegos atri+uían a los dioses capric-osos del paganismo, fue condenado a prisión, ' en el silencio del presidio escri+ió un tra+ajo so+re la cuadratura del círculo. 6ipócrates 9once siglos antes de a-oma llegó a descu+rir las primeras cuadraturas de superficies limitadas por curvas, cuando su o+jetivo único era llegar a la cuadratura del círculo. :l geómetra !inastrato, -ermano de enecme ' discípulo de 7latón, reconoció que con el auxilio de una curva /cu'o descu+rimiento se atri+u'e a 6ipias1 era posi+le resolver el pro+lema de la cuadratura del círculo. !e a-í la denominación de cuadratriz dada a la curva descu+ierta por el sofista griego. :l pro+lema de la cuadratura del círculo es imposi+leL no menos imposi+le es la división euclidiana de la circunferencia en un número cualquiera de partes iguales, a causa de la relación entre la circunferencia ' el diámetro $M&. :sa relación de+e ser aproximadamente igual a 22O, como leemos en el ;apítulo DWWW del li+ro de asudi, en el cual ese autor, repitiendo los cálculos del astrónomo 6ussein, afirma que la circunferencia de la Tierra multiplicada por O ' dividida por 22, da como resultado el diámetro de la Tierra. 37ríncipe de los ;re'entes5 Todos los fieles sa+en que ?la- /3exaltado sea el ?ltísimo51 en el ;orán dice( ">os verdaderos sa+ios temen el nom+re de !ios ' adoran al ;reador#. a-oma, en cierta ocasión, afirmó con su inspirada pala+ra( "7rocurad la instrucción. ;ultivar el estudio es acción altamente meritoria a los ojos de !ios. 7ropagar la ciencia es una guerra santa.# >a instrucción permite al -om+re distinguir lo que es lícito de lo que es ilícito. :n las -oras solitarias encontramos en ella la más fiel compaeraL en los momentos de infortunio, consejera verazL en los tiempos felices, inestima+le auxiliar. ":n el día del juicio, dijo aún a-oma /3con 0l en la oración ' en la paz51, la tinta gastada por los sa+ios ' la sangre derramada por los mártires serán pesadas en la misma +alanza. )n día consagrado a las investigaciones científicas tiene
más valor, a los ojos de !ios, que cien expediciones guerreras.# ? la luz de esas enseanzas eternas de+emos, pues, exaltar a los que se dedican al estudio de la ;iencia, ' especialmente a los sa+ios que cultivan la atemática, -onra del espíritu -umano. Gloria, pues, a ?la-, ;reador del ;ielo ' de la Tierra, seor de los mundos visi+les e invisi+les.
8otas( $%& :l más admirado de los poemas ára+es antiguos. 4ue escrito por el c*le+re poeta ouaid :ddine :l-oussein +en ?lí +en o-amed +en ?+dessamad :losfi-ai :tourrai. /. T.1 $2& Divió en el ao I2J ?.;. $H& 7arte de la ecánica que estudia el movimiento de los cuerpos en sus relaciones con el espacio ' el tiempo, prescindiendo de la idea de fuerza. $I& >a solución geom*trica de un pro+lema con el uso exclusivo de la regla ' el compás, es llamada solución "euclidiana#. )n pro+lema es denominado "euclidiano# cuando solamente se puede resolver con la regla ' el compás. $M& :l número que expresa la relación entre la circunferencia ' el diámetro es designado en atemática con la letra . CAPÍTULO 34 El cali(a AlDotacen o(rece oro y palacios al calculista. "ere!ís los recha)a. Cn pedido de casa!iento. El proble!a de los ojos negros y a)ules. 'o!o deter!inó "ere!ís, por el cálculo, el color de los ojos de cinco esclavas+ erminado el relato -ec-o por Beremís so+re los pro+lemas famosos de atemática, el sultán, despu*s de conferenciar en voz +aja con sus dos consejeros, -a+ló así( 7or las respuestas dadas a todas las preguntas, calculista -as -ec-o m*ritos para reci+ir el premio que te prometí. !ejo, por tanto, a tu lección @Euieres reci+ir veinte mil denarios de oro, o prefieres poseer un palacio en BagdadA @!eseas el go+ierno de una provincia, o am+icionas el cargo de visir de mi ;orteA Pe' generoso 9respondió Beremís, profundamente emocionado. 8o am+iciono riquezas, títulos, -omenajes o regalos, porque sa+ido es que los +ienes materiales nada valenL la fama que pueda surgir de los cargos importantes no me interesa, pues mi espíritu no suea con la gloria efímera del mundo. Si es vuestro deseo -acerme, como dijiste, envidiado por todos los musulmanes, mi pedido es el siguiente( !eseo casarme con la joven Telassim, -ija del s-ei= Wezid ?+ul6amid.
:l inesperado pedido formulado por el calculista causó indeci+le asom+ro. e di cuenta, por los rápidos comentarios que pude oír, que todos los musulmanes que allí se -alla+an no tenían la menor duda so+re el estado de demencia de Beremís. 3:se calculista es un loco, decían. !esprecia la riqueza ' rec-aza la gloria para casarse con una joven que nunca vio5 ;uando el califa ?lotacen o'ó el pedido de Beremís, le dijo( 8o me opondr*, calculista, a tu casamiento con la -ermosa Telassim. :s verdad, que esa joven 'a esta+a prometida a uno de los más ricos s-ei=s de la ;orteL pero, por una vez, sin em+argo, 'a que ella desea cam+iar el rum+o de su vida 3mactu+5, 3sea -ec-a la voluntad de ?la-5 8o o+stante, impongo 9prosiguió en*rgico el so+erano una condición. Tendrás, eximio matemático, que resolver, delante de todos los no+les que aquí se -allan, un curioso pro+lema inventado por un dervic-e del ;airo. Si resuelves ese pro+lema, te casarás con TelassimL en caso contrario, tendrás que desistir, para siempre, de esa fantasía loca de +eduino que +e+ió "-ac-ís#. @Te convieneA 3:mir de los ;re'entes5 9respondió Beremís con tranquilidad ' firmeza. !eseo conocer los datos del aludido pro+lema, a fin de poder solucionarlo con los prodigiosos recursos del ;álculo ' del ?nálisis. :l poderoso califa dijo entonces( :l pro+lema, en su expresión más simple, es el siguiente( Tengo cinco -ermosas esclavas, que compr* -ace pocos meses a un príncipe mongol. !e esas cinco encantadoras jóvenes, dos tienen los ojos negros ' las cinco restantes azules. >as dos esclavas de ojos negros " dicen sie!pre la verdad #L las esclavas de ojos azules, por lo contrario, son mentirosas, esto es, " no dicen nunca la verdad #. !entro de algunos minutos, esas cinco jóvenes serán traídas a la salaL todas tendrán el rostro cu+ierto por un espeso velo oscuro. :l "Faique# que las envuelve, -ace imposi+le distinguir en cualquiera de ellas, el menor rasgo fisonómico. Tendrás que descu+rir e indicar, sin el menor error, cuales son las jovencitas de ojos negros ' cuales las de ojos azules. Te será permitido interrogar a tres de las cinco esclavas, no pudiendo -acer más de una pregunta a cada una. ;on la a'uda de las tres respuestas o+tenidas, el pro+lema de+erá ser resuelto, justificando la solución con un razonamiento matemático. ?demás, las preguntas de+en ser de tal naturaleza, que sólo puedan ser respondidas con exactitud por las esclavas. omentos despu*s, +ajo la mirada curiosa de los circunstantes, aparecían en el salón de audiencias las cinco esclavas de ?lotac*n. ;u+iertas con largos velos negros desde la ca+eza -asta los pies, parecían verdaderos fantasmas del desierto. Beremís sintió que llega+a el momento decisivo de su carrera. :l pro+lema formulado por el califa de Bagdad, a más de ser difícil ' original, podría encerrar dudas ' escollos imprevisi+les. ?l calculista le era permitido interrogar a tres de las cinco jóvenes. @;ómo descu+rir, por las respuestas, el color de los ojos de todas ellasA @? cuáles de las cinco de+ería interrogarA @;ómo eliminar las dudas que surgirían del interrogatorioA
6a+ía una indicación valiosa( las de ojos negros decían siempre la verdadL las otras tres /de ojos azules1 mentían siempre. @Bastaría esoA Damos a suponer que el calculista interrogase a una de ellas. >a pregunta de+ía ser de tal naturaleza, que solo la esclava pudiera responder. V+tenida la respuesta, continuaría la duda. @>a interrogada -a+ría dic-o verdadA @6a+ría mentidoA @;ómo llegar al resultado, si no conocía *l la respuesta exactaA :l caso era, realmente, mu' grave. >as cinco em+ozadas se colocaron en fila en el centro del suntuoso salón. Se -izo un gran silencio. >os no+les, musulmanes, s-ei=s ' visires, seguían con vivo inter*s las alternativas de aquel nuevo ' singular capric-o del re'. :l calculista se aproximó a la primera esclava /que se -alla+a en el extremo de la fila, a la derec-a1 ' le preguntó con voz firme ' reposada( @!e qu* color son tus ojosA 37or ?la-5 ? interpelada respondió en un dialecto c-ino, totalmente desconocido para los musulmanes presentes. Beremís protestó. 8o comprendió una sola pala+ra de l a respuesta dada. :l califa ordenó que las respuestas fueran dadas en ára+e, ' de una manera clara ' sencilla. ?quel inesperado fracaso, vino a agravar la situación del calculista. Euedá+anle apenas dos preguntas, pues la primera era considerada enteramente perdida para *l. Beremís, a quien el -ec-o no -a+ía logrado desalentar, se volvió a la segunda esclava ' le preguntó( @;uál fue la respuesta que tu compaera aca+a de darA >as pala+ras de ella fueron( "is ojos son azules#. :sa respuesta nada aclara+a. @>a segunda esclava -a+ría dic-o la verdad o estaría mintiendoA @ la primeraA @Eui*n podía confiar en sus pala+rasA >a tercera esclava /que se -alla+a en el centro de la fila1 fue interrogada a continuación, por Beremís, en la siguiente forma( @!e que color son los ojos de esas dos jóvenes que aca+o se interrogarA ? esa pregunta 9que era la última que bpodía formular 9la esclava respondió( >a primera tiene los ojos negros ' la segunda azules. @Sería verdadA @6a+ría mentidoA >o cierto es que Beremís, despu*s de meditar algunos minutos, se aproximó tranquilo al trono ' dijo( 3;omendador de los ;re'entes5 3Som+ra de ?la- so+re la Tierra5 :l pro+lema propuesto está resuelto por completo ' su solución puede ser anunciada con exactitud matemática. >a primera esclava /la de la derec-a1 tiene los ojos negros, la segunda azules, la tercera negros, ' las dos últimas tienen los ojos azules.
>evantados los velos ' retirados los pesados "-aics#, las jóvenes mostraron sonrientes los rostros descu+iertos. Se o'ó un 3a-5 !e asom+ro en el gran salón. :l inteligente Beremís -a+ía dic-o, con admira+le precisión, el color de los ojos de todas ellas. 37or las +ar+as de a-oma5 9exclamó el re' 3a -a+ía expuesto ese pro+lema a centenares de sa+ios, doctores, poetas ' escri+as, ' es este modesto calculista el primero que consigue resolverlo5 @;ómo fue que llegaste, joven, a la soluciónA @!e qu* modo podrás demostrar que no -a+ía en la solución la menor posi+ilidad de errorA Wnterrogado de esa manera por el generoso monarca, el "6om+re que ;alcula+a# así -a+ló( ?l formular la primera pregunta( "@;uál es el color de tus ojosA#, 'o sa+ía que la respuesta sería fatalmente la siguiente( "is ojos son negros#. :n efecto. Si ella tenía los ojos negros, diría verdad, es decir, afirmaría( "is ojos son negros#. Si tenía los ojos azules, mentiría, ', al responder, diría tam+i*n( "is ojos son negros#. >uego 'o afirmo que la respuesta de la primera esclava era única ' +ien determinada( "is ojos son negros#. 6ec-a, por lo tanto, la primera pregunta, esper* la respuesta que previamente conocía. >a esclava, respondiendo en dialecto desconocido, me auxilió de gran manera. Pealmente. ?legando no -a+er entendido el arrevesado idioma c-ino, interrogu* a la segunda esclava( @;uál fue la respuesta dada por tu compaeraA >a segunda me dijo( ">as pala+ras de ella fueron( is ojos son azules. esa respuesta vino a demostrar que la segunda mentía, pues esa no podía -a+er sido, de ninguna manera /como 'a expliqu*1 la respuesta de la primera joven. ?-ora +ien( si la segunda mentía era porque tenía los ojos azules. Pepara, 3o- re'5, en esa nota+le particularidad para resolver un enigma. !e las cinco esclavas -a+ía una, en ese momento, cu'a incógnita -a+ía despejado, con precisión matemática. :ra la segunda. 6a+iendo mentido, tenía los ojos azules. Pesta+a aún despejar cuatro incógnitas más en el pro+lema. ?provec-ando la tercera ' última pregunta, interpel* a la esclava que esta+a en el centro de la fila( "@!e qu* color son los ojos de las jóvenes que aca+o de interrogarA# esta fue la respuesta que o+tuve( ">a primera tiene los ojos negros ' la segunda los tiene azules.# ;on respecto a la segunda no tenía duda /como 'a expliqu*1. @Eu* conclusión pude sacar de la tercera respuestaA :s mu' simple. >a tercera esclava no mentía, pues afirma+a que la segunda tenía ojos azules. Si la tercera no mentía, sus ojos eran negros. Seguro, a-ora, que la primera ' la tercera tenían los ojos negros, por exclusión fue fácil sa+er que las dos últimas los tenían azules /a semejanza de la segunda1. el calculista conclu'ó( 7uedo afirmar, re' del Tiempo, que en este pro+lema, a pesar que no aparecen fórmulas, ecuaciones o sím+olos alge+raicos, la solución, por ser exacta ' perfecta, de+e ser o+tenida por medio de un razonamiento puramente matemático. :sta+a resuelto el pro+lema del califa. :n +reve, Beremís se vería forzado a resolver otro, muc-o más difícil( Telassim, el sueo de una noc-e en Bagdad. 3>oado sea ?la-, que creó a la ujer, el ?mor ' a la atemática5
,LT)-O CAPÍTULO n la tercera luna del mes de P-ege+ del ao %2MQ, una -orda de tártaros ' mongoles atacaron la ciudad de Bagdad. >os invasores eran dirigidos por Geng-is ;an. :l s-ei= Wezid /?la- lo tenga en su gloria1, murió com+atiendo junto al puente de SolimánL el califa ?l otacen, se entregó prisionero ' fue degollado por los mongoles$%&. >a ciudad fue saqueada ' duramente arrasada. >a gloriosa Bagdad, que durante quinientos aos fuera el centro de la ciencia, las letras ' las artes, quedó reducida a un montón de ruinas. 4elizmente 'o no asistí a ese crimen que los conquistadores +ár+aros practicaron contra la civilización. Tres aos antes, despu*s de la muerte del generoso príncipe ;luzir Sc-á /3?la- lo tenga en su paz51, seguí para ;onstantinopla con Beremís ' Telassim. !e+o decir que Telassim, antes de su casamiento 'a era cristiana, ' al ca+o de pocos meses logró que Beremís repudiase la religión de a-oma, ' adoptase íntegramente el :vangelio de Fesús ;risto, Salvador. Beremís quiso ser +autizado por un o+ispo que supiese atemática. Todos los días vo' a visitarlo. >lego a veces a envidiar la felicidad en que vive, en compaía de sus -ijitos ' de su cariosa esposa. 8o queda duda. !e todos los pro+lemas, el que mejor resolvió Beremís fue el da la Dida ' el del ?mor. aquí termina, sin fórmulas ' sin números, la -istoria sencilla de la vida del "6om+re que calcula+a#. >a verdadera felicidad es 9según afirma Beremís poder vivir a la som+ra de la religión cristiana.
