3/10/2015
El péndul o doble
El péndulo doble Oscilaciones Osciladores acoplados
Ecuaciones del movimiento
Dos acoplados
Modos normales de vibración
Tres acoplados
Cuando los péndulos los péndulos son iguales
Cadena monoatómica Modos normales de vibración
Actividades Referencias
Cadena diatómica Varilla que pende de dos muelles Péndulo Pén dulo de Wilberforce
El péndulo El péndulo doble doble
En esta página, se estudia un sistema de dos osciladores acoplados, el péndulo doble. Como en los ejemplos, de las páginas previas “Dos “ Dos osciladores acoplados” acoplados ” y “El péndulo de Wilberforce” Wilberforce” vamos a resolver las ecuaciones del movimiento, a calcular las frecuencias de los modos normales de oscilación, y las condiciones iniciales que hacen que el sistema describa un modo normal de oscilación.
Péndulo-mue Pé ndulo-muelle lle De las oscilaciones a la las s ondas Péndulos no acoplados Péndulos acoplados de distinta longitud longitud
El péndulo d péndulo doble oble como se muestra mu estra en la figura, está formado por dos péndulos simples de longitudes l 1 y l 2, de los que cuelgan partículas de masas m1 y m2. En un instante determinado t , los hilos inextensibles forman ángulos θ 1 y θ 2 con la vertical.
Ecuaciones del movimiento La energía del sistema es la suma de la energía potencial y de la energía cinética de las dos partículas. Situamos el nivel cero de energía potencial en el punto de suspensión del primer péndulo. La energía potencial es E =-m1∙gl 1cos θ cos θ 1-m2 g (l 1cos θ cos θ 1 +l 2cos θ cos θ 2) p=-m El módulo de la velocidad del primer péndulo es v1=l 1∙dθ 1 /dt (velocidad (velocidad angular por el radio de la circunferencia que describe), sus componentes son
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El módulo de la velocidad de la segunda partícula en un sistema de referencia que se mueve con la velocidad v1 de la primera partícula es v2=l 2∙dθ 2 /dt . Sus componentes son
La velocidad de la segunda partícula respecto al sistema de referencia inercial situado en O es la suma vectorial de ambas velocidades
Calculamos los módulos de las velocidades de las dos partículas. La energía cinética del sistema es
Si nos restringimos a pequeños valores de los ángulos θ 1 y θ 2, las ecuaciones del movimiento se hacen mucho más simples. Desarrollamos en serie de Taylor cos θ y y tomamos los dos primeros términos no nulos del desarrollo en serie
La energía potencial con esta aproximación, se expresa
La energía cinética con esta aproximación, se expresa
Las ecuaciones del movimiento de Lagrange nos llevan al sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden. La lagrangiana L lagrangiana L= = E k -E p con el símbolo
Las ecuaciones del movimiento son
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Calculamos las derivadas segundas respecto del tiempo de estas dos ecuaciones diferenciales
Entre estas cuatro ecuaciones, eliminamos θ 2, obteniendo la ecuación diferencial de cuarto orden en θ 1.
Suponiendo una solución de la forma θ 1= Asen( Asen(ωt ωt )+ )+ Bcos( Bcos(ωt ωt ) o bien, θ 1= Asen( Asen(ωt+φ ωt+φ)) Calculamos la derivada segunda y la derivada cuarta de θ 1 y las introducimos en la ecuación diferencial de cuarto orden, obteniendo la siguiente ecuación bicuadrada en ω.
Las dos raíces reales de esta ecuación son las frecuencias ω1 y ω2 de los modos normales de vibración
La forma general del ángulo θ 1 en función del tiempo t es es una combinación de los dos modos normales de vibración θ 1(t )=A1sen(ω sen(ω1t )+ B )+ B1cos(ω cos(ω1t )+ C )+ C 1sen(ω sen(ω2t )+ D )+ D1cos(ω cos(ω2t ) Lo mismo para θ 2 θ 2(t )=A2sen(ω sen(ω1t )+ B )+ B2cos(ω cos(ω1t )+ C )+ C 2sen(ω sen(ω2t )+ D )+ D2cos(ω cos(ω2t ) Las velocidades angulares son
Relacionamos los coeficientes A coeficientes A1 y A y A2, B1 y B y B2, C 1 y C 2, D1 y D y D2, calculando la derivada segunda de θ 2 , la derivada segunda de θ 1 e introduciéndolos en una de las dos ecuaciones diferenciales del movimiento http://www.sc.ehu.es/sbweb/fi sica/osci l aci ones/pendulo_doble/pendul o_dobl e.htm
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Tenemos cuatro relaciones
Las condiciones iniciales determinan los valores de los cuatro coeficientes A1, B1, C 1 y D y D1 y por tanto, de los coeficientes A coeficientes A2, B2, C 2 y D y D2, a través de las relaciones establecidas anteriormente. Desplazamos el primer péndulo un ángulo θ 10 con respecto a la vertical, y el segundo péndulo un ángulo θ 20 a continuación los soltamos. La velocidad inicial es dθ 1 /dt =0, =0, dθ 2 /dt =0 =0 en el instante t =0. =0. Tenemos que resolver el sistema de cuatro ecuaciones junto a las relaciones establecidas anteriormente. θ 10 = B1+D1 0=ω 0=ω1∙A1 + ω 2∙C 1 θ 20 = B2+D2 0=ω 0=ω1∙A2 + ω 2∙C 2 La solución de este sistema es A1=C 1=A2 =C 2=0
La posición angular en función del tiempo t de de cada una de las partículas es θ 1(t )=B1cos(ω cos(ω1t )+ D )+ D1cos(ω cos(ω2t ) θ 2(t )=B2cos(ω cos(ω1t )+ )+ D2cos(ω cos(ω2t )
Modos normales de vibración El modo 1 de frecuencia angular ω1, se obtiene cuando D cuando D2=0, la relación entre los ángulos iniciales de desviación de los dos péndulos es
B1=θ 10 , B 2=θ 20 La posición angular en función del tiempo t de de cada una de las partículas es
El modo 2 de frecuencia angular ω2, se obtiene cuando B cuando B2=0, la relación entre los ángulos http://www.sc.ehu.es/sbweb/fi sica/osci l aci ones/pendulo_doble/pendul o_dobl e.htm
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iniciales de desviación de los dos péndulos es
D2=θ 20 , y D y D1 =θ 10 La posición angular en función del tiempo t de de cada una de las partículas es
Cuando los péndulos son iguales Cuando m1=m2 y l 1=l 2 las frecuencias ω1 y ω2 de los modos normales de vibración tienen una expresión mucho más simple
Los coeficientes B coeficientes B2, B1, D2 y D y D1 valen
Es importante analizar el caso de que θ 20 =0. Se desplaza el primer péndulo un ángulo θ 10 respecto de la vertical y se suelta
Las ecuaciones del movimiento de cada unos de las partículas se escriben
En la figura, se representa en color rojo θ 1 (t ) y en color azul la amplitud modulada
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En la figura, se representa en color rojo θ 2 (t ) y en color azul la amplitud modulada
El modo 1 de frecuencia angular ω1, se obtiene cuando D cuando D2=0, la relación entre los ángulos iniciales de desviación de los dos péndulos es
B2=θ 20 , y B y B1=θ 10 La posición angular en función del tiempo t de de cada una de las partículas es
El modo 2 de frecuencia angular ω2, se obtiene cuando B cuando B2=0, la relación entre los ángulos iniciales de desviación de los dos péndulos es
D2=θ 20 , y D y D1 =θ 10 La posición angular en función del tiempo t de de cada una de las partículas es
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Actividades Se introduce La masa m2 de la partícula del péndulo inferior en kg, en el control de edición titulado Masa 2. La masa de la partícula del péndulo superior se ha fijado en m1=1 kg La longitud l 2 del péndulo inferior en m, en el control de edición titulado Longitud 2. La longitud del péndulo superior se ha fijado en l 1=1 m Se pulsa el botón titulado Inicio El ángulo de desviación inicial θ 10 del péndulo superior en grados, actuando en la barra de desplazamiento titulada Angulo 1. 1. El ángulo de desviación inicial θ 20 del péndulo inferior en grados, actuando en la barra de desplazamiento titulada Angulo 2. 2. Se pulsa el botón titulado Empieza Se observa el movimiento de los dos péndulos, y la representación gráfica del ángulo de desviación de cada péndulo θ 1 y θ 2 en función del tiempo t . En la parte superior derecha del applet, se muestra el valor de la energía total que permanece constante durante el movimiento de los péndulos.
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Referencias Lee S. M. The double-simple pendulum problem. problem . Am. J. Phys. 38 (1970) pp. 536-537
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