Cuaderno de Actividades: Física II
“año de la promoción de la industria responsable y del compromiso climático”
UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLÓGICA DEL CONO SUR DE LIMA (UNTECS) FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA ASIGNATURA: FÍSICA II PROFESOR: Mg. Perc V!c"#r C$%#"e F$&$r'# ALUMNO:
• RODRÍGUEZ RONCAL, HERBERT.
V$ e *$+$'#r, -/0
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo
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/) ELASTICIDAD
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/) ELASTICIDAD
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/,/) I1"r#'2cc31 Hasta ahora se han considerado los cueros co!o s"lidos r#$idos %&ue no se de'or!an al alicarles 'uer(as) ero esto es una ideali(aci"n &ue no ocurre en los cueros reales &ue s# se de'or!an. Un c2er4# *e 'e5#r6$ cuando al alicarle 'uer(as *ste ca!+ia de 'or!a o de ta!ao. La E$*"c'$' estudia estudia la relaci"n relaci"n entre las 'uer(as 'uer(as alicadas alicadas a los cueros las corresondientes de'or!aciones.
C2er4# e7*"c# A&u*l &ue cuando desaarecen las 'uer(as o !o!entos e/teriores recueran su 'or!a o ta!ao ori$inal. desaarecen las 'uer(as o !o!entos no C2er4# 1e7*"c# A&u*l &ue cuando desaarecen retorna er'ecta!ente a su estado inicial.
C#64#r"$6e1"# 47*"c# Cuando las 'uer(as alicadas son $randes - al cesar cesar estas estas 'uer(as el cuero no retorna a su estado inicial - tiene una de'or!aci"n er!anente. Los cueros reales ueden su'rir ca!+ios de 'or!a o de 0olu!en %e incluso la rutura) aun&ue la resultante de las 'uer(as e/teriores sea cero. La de'or! de'or!aci aci"n "n de estruc estructur turas as %estira %estira!ie !iento ntos, s, acorta acorta!ie !iento ntos, s, 'le/io 'le/iones nes,, reto retorc rced edur uras as,, etc. etc.)) de+i de+ido do a la acci acci"n "n de 'uer 'uer(a (ass i!l i!lic ica a la aar aaric ici" i"n n de es'uer(os &ue ueden lle0ar hasta la rutura. La E$*"c'$' estudia la relaci"n entre las 'uer(as - las de'or!aciones, so+re todo en los cueros el1sticos. La de'or!aci"n est1 #nti!a!ente li$ada a las 'uer(as e/istentes entre los 1to!os o !ol*culas ero a&u# se i$norar1 la naturale(a at"!ica o !olecular de la !ateria considerando el cuero co!o un continuo - tendre!os en cuenta las !a$nitudes !edi+les 'uer(as e/teriores - de'or!aciones. Las 52er8$* 'e 6$*$ est1n asociadas con el cuero considerado %a'ectan a todas las artes del !is!o) - no son consecuencia de un contacto directo con otros cueros - entre ellas ode!os citar las 'uer(as $ra0itacionales, las de inercia, las !a$n*ticas, etc. 2e eseci'ican en t*r!inos de 'uer(as or unidad de 0olu!en. Las co!onentes de la intensidad de estas 'uer(as se$3n los e4es coordenados, son 5 / , 5- - 5( . Las 52er8$* 'e *24er5ce son de+idas al contacto '#sico entre dos cueros. 2i a!lia!os el conceto odr#a!os incluir en dicho conceto las 'uer(as &ue una suer' suer'ici icie e i!a$in i!a$inari aria a dentro dentro de un cuer cuero o e4erce e4erce so+re so+re la suer suer'ic 'icie ie ad-acente, lo &ue resulta !u- r1ctico ara esta+lecer ecuaciones de e&uili+rio - otras. Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo
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/.-) E*52er8# 'e5#r6$c31 E94er6e1"$6e1"e: Li ≡ L L
A F
A secci"n trans0ersal
- F F
∆L L - F
F
Se #*er+$:
→ Los ∆L 0an a deender de las F - A {2ie!re en r*$i!en el1stico } → Los ∆L deenden de L Se 'e51e:
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E*52er8#, *: %5uer(a or unidad de 1rea)
Esfuerzo = s =
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F A
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De5#r6$c31, e %De'or!aci"n unitaria)
Deformación = e =
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∆ L L
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Con estas de'iniciones se o+ser0a relaci"n directa entre los es'uer(os - las de'or!aciones.
M"dulo el1stico 6 Es'uer(o7De'or!aci"n
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D
s 1 = E → s ≡ Me → M ≡ M e
8 ∼ 9:9:
N m2
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;P#'r!$ 'e*crr c2r+$* *
En las cur0as es'uer(o ; de'or!aci"n de un !aterial ha- un tra!o de co!orta!iento er'ecta!ente el1stico en el &ue la relaci"n es'uer(o < de'or!aci"n es lineal %untoA). De ah# hasta otro unto B %de l#!ite el1stico) el !aterial si$ue un co!orta!iento el1stico %si$ue ha+iendo una relaci"n entre es'uer(o - de'or!aci"n, aun&ue no es lineal, - si se retira el es'uer(o se recuera la lon$itud inicial). 2i se si$ue au!entando la car$a %or enci!a del unto + hasta el unto B=), el !aterial se de'or!a r1ida!ente - si se retira el es'uer(o no se recuera la lon$itud inicial, &uedando una de'or!aci"n er!anente - el cuero tiene un co!orta!iento l1stico. 2i se si$ue au!entando la car$a %or enci!a del unto B=), el !aterial lle$a hasta un estado en el &ue se ro!e %unto C). Cueros 'r1$iles Los &ue se ro!en al suerar el l#!ite el1stico. Cueros d3ctiles Los &ue se si$uen de'or!ando al suerar el l#!ite el1stico, si$uiendo un co!orta!iento l1stico. 5ati$a el1stica Alteraci"n de las caracter#sticas el1sticas tras !uchas de'or!aciones.
;P#'r!$ 'e*crr c2r+$* * ESFUER?O Y DEFORMACIÓN El es'uer(o se de'ine a&u# co!o la intensidad de las 'uer(as co!onentes internas distri+uidas &ue resisten un ca!+io en la 'or!a de un cuero. El
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es'uer(o se de'ine en t*r!inos de 'uer(a or unidad de 1rea. E/isten tres clases +1sicas de es'uer(os tensi0o, co!resi0o - corte. El es'uer(o se co!uta so+re la +ase de las di!ensiones del corte trans0ersal de una ie(a antes de la alicaci"n de la car$a, &ue usual!ente se lla!an di!ensiones ori$inales. La de'or!aci"n se de'ine co!o el ca!+io de 'or!a de un cuero, el cual se de+e al es'uer(o, al ca!+io t*r!ico, al ca!+io de hu!edad o a otras causas. En con4unci"n con el es'uer(o directo, la de'or!aci"n se suone co!o un ca!+io lineal - se !ide en unidades de lon$itud. En los ensa-os de torsi"n se acostu!+ra !edir la de'or!aci"n c"!o un 1n$ulo de torsi"n %en ocasiones lla!ados detrusi"n) entre dos secciones eseci'icadas. Cuando la de'or!aci"n se de'ine co!o el ca!+io or unidad de lon$itud en una di!ensi"n lineal de un cuero, el cual 0a aco!aado or un ca!+io de es'uer(o, se deno!ina de'or!aci"n unitaria de+ida a un es'uer(o. Es una ra("n o n3!ero no di!ensional, - es, or lo tanto, la !is!a sin i!ortar las unidades e/resadas %'i$ura 9>), su c1lculo se uede reali(ar !ediante la si$uiente e/resi"n 6 e 7 L (/0)
e
Donde, es la de'or!aci"n unitaria
e
e es la de'or!aci"n L es la lon$itud del ele!ento
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Re$c31 e1"re $ 'e5#r6$c31 21"$r$ $ 'e5#r6$c31.
2i un cuero es so!etido a es'uer(o tensino o co!resi0o en una direcci"n dada, no solo ocurre de'or!aci"n en esa direcci"n %direcci"n a/ial) sino ta!+i*n de'or!aciones unitarias en direcciones erendiculares a ella %de'or!aci"n lateral). Dentro del ran$o de acci"n el1stica la co!resi"n entre las de'or!aciones lateral - a/ial en condiciones de car$a unia/ial %es decir en un solo e4e) es deno!inada relaci"n de ?oisson. La e/tensi"n a/ial causa contracci"n lateral, - 0ice0ersa.
/.=) M3'2#* e7*"c#*
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) M#'2# 'e Y#21g, Y
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Descri+e la resistencia del !aterial a las de'or!aciones lon$itudinales.
Y ≡
F / A
∆ L / L
N7!@
) M#'2# 'e c#r"e, S Descri+e la resistencia del !aterial al desla(a!iento de sus lanos or e'ecto de 'uer(as alicadas se$3n sus caras %'uer(as tan$enciales o de corte)
A F
h '
∆x
F
tg θ
=
∆ x
h
h θ
'
?ara e&ueas 'uer(as 5 la cara de 1rea A se desla(a relati0a!ente una e&uea distancia ∆/ hasta &ue las 'uer(as internas del cuero lo$ran e&uili+rar dicha 'uer(a. La resistencia al desla(a!iento ∆/ se descri+ir1 en +ase al !odelo 2,
S ≡
Esfuerzo de corte Deformación de corte
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≡
F /A
∆x / h
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→ S ≡
Fh A∆x
) M#'2# +#26@"rc#, Descri+e la resistencia del !aterial a de'or!aciones 0olu!*tricas. F
A
F
F
F
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2uon$a!os &ue el cu+o de 1rea A esta so!etido a las 'uer(as 5 so+re cada una de sus caras. El cu+o est1 so!etido a c#64re*31, el !odulo 0olu!*trico esta de'inido or,
B ≡ −
F / A
∆V / V
≡−
F/A
∆V / V
2i esta resi"n, p ≡ de resi"n, ∆ p ,
B ≡ −
F A
, se escri+e co!o una 0ariaci"n
∆ p ∆V / V
En estas condiciones se introduce el ; ara o+tener un B :.
C#64re*31 ∆ : ∧ ∆ :→ B :. D$"$c31 # e94$1*31 ∆ : ∧ ∆ :→ B :.
;E9*"r71 #"r#* 63'2#* e7*"c#*> 2i e/isten otros !"dulos
8"dulo de co!resi+ilidad % ) 8"dulo de oun$ % ) ?ri!er ar1!etro de La!* % ) 8"dulo de ci(alladura % ) Coe'iciente de ?oisson % ) 8"dulo de onda ? % )
E&ercc# /: /B I'e$
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0@%:) ≡ :
-
!@ h@ ≡9! !9
F 8RU
?olea ideal Cuerda ideal, ∃ m
!9,!@ , untuales L 6 @ !9 6 , !@ 6
φ 6 I / 9:; JK t
-B P#e$ re$ F a a'ectada F 6 %!,r) , ' ← olea ⇒ CR ⇒ 8RU =B C2er'$ re$ F De'or!aci"n F CR F 8RU 0B→/) a ≡
g 4
t ≡JK
= 2,5 → t%-@ ≡:) ≡K
-%t) ≡- %:)M 0%:) t ; 0
1 2
at@
≡ 1 + 0 − 2,5 t 2 2
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t ≡
2,5
→=B) Considerando s"lo de'or!aci"n de la cuerda, T6K, t6K Acero
@ < T 6 !@ a T 6 @ < !@ a ≡ : < / @, T ≡ >,
Y
≡
F / A
∆ L / L
→ ∆L =
FL YA
¬ F=
T
acero ≡ @: / 9: 9:
→ ∆ L ≡ "
37,5 x 2 20 x 10
10
π
( 2 x 10 ) −3
2
= 27,6 µ m
;>
E&ercc# -: La de'or!aci"n causada a la +arra de lon$itud L, /, !ediante la alicaci"n adecuada de la 'uer(a 5, es decir, el tra+a4o e'ectuado or 5 so+re el siste!a el1stico, &ueda al!acenado co!o ener$#a otencial el1stica en el siste!a0ea!os &ue es asi,
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Cuaderno de Actividades: Física II
A ;5
5
;L
:
/
/
8ostrare!os &ue en el siste!a &ueda al!acenada ener$#a otencial el1stica &ue uede e/resarse de esta !anera, u≡
1 F AL 2 A
×
unidad de !oumen
L
E p ,e
Al alicar la 'uer(a 5, tal co!o !uestra la 'i$ura, roducir1 una de'or!aci"n /, descrita or, Y ≡
F / A x / L
→
AY
÷ x ≡ F
L
De tal 'or!a &ue la 'uer(a del siste!a ser1,
→ Feast ≡ −
AY L
x PEn todo !o!ento la 'uer(a alicada 5 es tan intensa co!o
la resuesta el1stica del siste!a, sie!re &ue el roceso se realice !u- lenta!ente, e*"$'# c2$*e*"$c#1$r#Q Ahora, calculando el tra+a4o de esta 'uer(a, F e " {
"
F e
→
≡ −∆E p ,e ≡ − E p ,e , f + E p ,e ,i ≡ − E p ,e , f ≡ − E p ,e
AY AY 1 x 2 / ∆ L ≡ −∆E ≡ −E ≡ ∫ 0 − x÷ ×dx ≡ − p , e p , e 0 L 2 L ∆ L
AY 1 L
× × ∆ L2 ≡ E p,e 2
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1 AY → ∆ L2 ≡ E p,e 2 L
→ 1 × A × 2
→
→
1 2
L
( F / A ) ( ∆ L / L)
× ∆ L2 ≡ E p ,e
F ∆L ≡ E p ,e
1 F ∆L 2 AL
≡
E p ,e AL
≡u
1 F ∆L → u ≡ ÷ ÷ 2 A L
1 2
s e ≡ u
;> A4c$c#1e* "ec1#3gc$* 'e $ 'e5#r6$c31 'e #* c2er4#* e1 *2* "re* 5$*e* 1#"$e*: e7*"c$, 47*"c$ 'e r24"2r$.
d7@
D7@
5
5 L
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S/P/) 2e cuenta con una +arra troncoc"nica !aci(a cu-a secci"n circular 0ar#a uni'or!e!ente a lo lar$o de su lon$itud L, entre los di1!etros d - D. Los e/tre!os est1n su4etos a una 'uer(a a/ial 5, deter!ine la de'or!aci"n unitaria " esec#'ica de+ido a dicha 'uer(a. SOLUCION: +7@ d7@
A%/) D7@ d7@ :
L
5-
/
De
∆ L ≡
FL YA
→ dL ≡
Fdx Y π #
, # 2
d
( D − d )
2
2L
≡ +
5 A/
L
x
L Fdx 2F dx 2FL ≡→ ∆L ≡ ∫ 0 ≡ dL ≡ 2 2 Yπ ( D − d ) ( D − d ) Y π dD Y π d x d + + x 2 L0 L 1 4 4 4 2 4 4 43 $ → $ ≡ ? u≡d
+
D − d L
÷x
D − d dx ÷ L
du ≡
→ $ ≡
D du ≡ L ( D − d ) ∫ d u 2 dD L
$ *
→ $ * ≡ −
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1 − 1 ≡ ÷ u ∫ d d D 1
D
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Cuaderno de Actividades: Física II
→ ∆ L ≡
2 FL0
Y π dD
→
∆ L L
≡
2 F
Y π dD
S/P) Una !asa de 9 S$ cuel$a de un ca+le de acero de @ ! de lon$itud %lon$itud sin estirar) con un di1!etro de :,9 !!. El siste!a es uesto en !o0i!iento co!o un *ndulo c"nico con un 1n$ulo θ en el 0*rtice.
θ !
$) Calcule la de'or!aci"n del ala!+re. ) El eriodo del !o0i!iento rotacional cuando la tensi"n en el ala!+re en dos 0eces el eso de la !asa % acero 6 @9 / 9:9: ?a). SOLUCION:
T
θ ! Datos !69, l6@, d6 φ69:;I, acero 6 @9/ 9:9:. Del e&uili+rio en la 0ertical,
T cos θ ≡ mg
→ T ≡ mg sec θ ...α
de la din1!ica circular, 2
Fcp
≡ Tsenθ ≡ macp ≡ m
!t
%
¬ %≡
' senθ , '≡ + ∆ ...β
2
De - , mg tan θ ≡ m
!t
' senθ
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...γ
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Cuaderno de Actividades: Física II
$) Del !odulo de oun$, Y
≡
FL
∆ LA
∆ ≡
→Y ≡
T
d ∆ π ÷ 2 2
→ ∆ ≡
4T 2
2
Y π d
¬ T≡
mg sec θ
4mg sec θ
Y π 2 d 2
) T %eriodo)6K, con la condici"n T
T ( periodo) ≡
≡ 2mg → θ ≡
π 3
% T tensi"n)
2π
&
La 'recuencia an$ular la o+tene!os de β,
Fcp
≡ Tsenθ ≡ 2 m g senθ ≡
→&≡
2 g
'
m ' senθ &2
¬ '≡ + ∆ → &≡
2 g
+ ∆
Con lo &ue el T &ueda,
T ≡ 2π
+ ∆ 2 g
usando ∆ ≡ 0,0242 → T ≡ 0,6π
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Cuaderno de Actividades: Física II
+arra L
@
S/P/) La +arra !ostrada, en la 'i$ura tiene las si$uientes caracter#sticas eso 6 , 1rea trans0ersal 6 A, lon$itud 6 L - !"dulo de oun$ 6 . 2i una esa de eso @ es colocado en la arte in'erior, halle la de'or!aci"n de la +arra considerando la de'or!aci"n or eso roio. SOLUCION: ?ri!ero deter!inare!os la de'or!aci"n causada or el eso roio de la +arra, ara lo cual to!a!os un ele!ento de la +arra de lon$itud in'initesi!al d/, co!o se !uestra en la 'i$ura, so+re la cual act3a la 'uer(a %/), es decir, la 'uer(a de+ido al eso del tro(o de +arra de lon$itud /,
X
dx (x) x 0
(x)
& &( x) ≡ ÷ x L
Esta 'uer(a roducir1 un ele!ento de de'or!aci"n dado or,
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Cuaderno de Actividades: Física II
Y ≡
FL A∆ L
& x { dx} &( x){ dx} L ÷ → d (∆L) ≡ ≡ ≡ AY
AY
& LAY
xdx
?ara calcular la de'or!aci"n total inte$ra!os ara toda la +arra,
L
∆ L ≡ ∫ 0
& LAY
xdx → ∆ L ≡ ∆L1 ≡
&L 2 AY
Ahora, ara la de'or!aci"n total, considera!os la de'or!aci"n &ue roduce la esa @,
∆ L2 ≡
(2&) L
AY
≡
2&L
AY
Con lo &ue la de'or!aci"n total es,
∆ L ≡
∆ L ≡ ∆L1 + ∆L2 ≡
&L 2 AY
+
2 &L
AY
5&L 2 AY
S/P0) Una 0arilla de co+re de 9,I: ! de lar$o - 1rea trans0ersal de @,:: c! @ se su4eta or un e/tre!o al e/tre!o de una 0arilla de acero de lon$itud L - secci"n de 9,:: c! @. La 0arilla co!uesta se so!ete a tracciones i$uales - ouestas de V,:: / 9: I N en sus e/tre!os. $) Calcule L si el alar$a!iento de a!+as 0arillas es el !is!o ) JWu* es'uer(o se alica a cada 0arillaK c) JWu* de'or!aci"n su're cada 0arillaK 8odulos de oun$ Co+re 99 / 9:9: ?a Acero @: / 9:9: ?a SOLUCION: Reresenta!os a la 0arilla co!uesta en el si$uiente dia$ra!a,
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Cuaderno de Actividades: Física II
5
A9
L9
L
A@
5
$) Deter!ina!os L de la condici"n ∆ L1 ≡ ∆L2 ≡ ∆L . 8ostra!os DCL de cada 0arilla en la direcci"n de inter*s - alica!os la condici"n,
5
∆L9
5
5
∆ L1 ≡
FL1 AY 1 1
≡ ∆L2 ≡ ∆L ≡
Calculando, L ≡
L1 A2Y 2 AY 1 1
≡
F L A2Y 2
→ L ≡
L1 A2Y 2 AY 1 1
( 1, 40 ) ( 1 × 10 −4 ) ( 20 × 1010 )
( 2 × 10 ) ( 11 × 10 ) −4
∆L 5
10
≡ 1,27
L ≡ 1, 27
) Calculando los es'uer(os,
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s ≡
F A
→ s1 ≡
s2
s1
≡
F A1 F A2
≡
≡
6,00 × 10 2,00 × 10 6,00 × 10 1,00 × 10
4
≡ 3 × 108 ∧
−4
4
−4
≡ 6,00 × 108
≡ 3 × 108 ∧ s2 ≡ 6 × 108
c) Calculando las de'or!aciones,
Y
s
≡ ≡ e
s ∆ L
≡
s ∆L
→ ∆L ≡
L
L
∆ L1 ≡
s1L1
∆ L2 ≡
s2 L2
Y 1
Y 2
sL Y
( 3 × 10 ) ( 1, 40) 8
≡
11× 10
10
( 6 × 10 ) ( 1, 27 )
≡ 3,81× 10−3
8
≡
20 × 10
10
≡ 3,81× 10−3
∆ L1 ≡ ∆L2 ≡ 3,81× 10−3
S/P/0) 2i el es'uer(o de corte en el acero e/cede aro/i!ada!ente I,: / 9: X, el acero se ro!e. Deter!ine la 'uer(a de corte ara, $) cortar un erno de acero de 9 c! de di1!etro, - ) hacer un ho-o de 9 c! de di1!etro en una lancha de acero de :,: c! de esesor.
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Cuaderno de Actividades: Física II
SOLUCION: $)
Deter!inaci"n de la 'uer(a de corte, 5
d
De la ecuaci"n del es'uer(o de corte,
s ≡
F
F A
≡
4 F 2
π d
→ F ≡
sπ d 4
−2
( 4 × 10 ) π ( 1× 10 ) 8
2
→ F ≡
2
4
≡ 31,4 'N
?or lo tanto, una 'uer(a !a-or &ue 5 cortara al erno.
)
Ahora, deter!ina!os la 'uer(a de corte ara hacer el ho-o,
' F
s ≡
F A
≡
F
( π d & )
→ F ≡ sπ d &
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Cuaderno de Actividades: Física II
→ F ≡ ( 4 × 108 ) π ( 1 ×10 −2 ) ( 0,5 ×10 −2 ) F
≡ 62,8 'N
S/P-) Una +arra ho!o$*nea de lon$itud L, 1rea A, !asa 8, !"dulo de oun$ , $ira li+re!ente con 0elocidad an$ular 6 cte, so+re una !esa hori(ontal sin 'ricci"n - i0oteando en uno de sus e/tre!os. Deter!ine $) La de'or!aci"n roducida en la +arra ) En donde se roduce el es'uer(o !1/i!o SOLUCION:
8
L d! 'Fc4 r dr O
≡ dF ≡ { dm} &2 r M dm ≡ dr L
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Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo
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