ELASTICIDAD
ELASTICIDAD
Excepto por nuestros estudios acerca de resortes, hemos supuesto que los objetos permanecen rígidos cuando sobre ellos actúan fuerzas externas. En realidad, todos los objetos son deformables, es decir, es posible cambiar la forma o el tamaño, o ambos, si se aplica aplican n fuerza fuerzas s extern externas as al cuerpo cuerpo.. Cuando Cuando estos estos cambio cambios s tienen tienen lugar lugar no obstante, fuerzas internas dentro del cuerpo resisten la deformación.
1
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ELASTICIDAD
ELASTICIDAD Estudiaremos la deformación de los sólidos en términos de los conceptos de esfuerzo y deformación unitaria. unitaria. una cant cantid idad ad que que es Esfuerzo s (Fue (Fuerz rza a por por unid unidad ad de área área): ): es una proporcional a la fuerza que causa una deformación; más específicamente, un esfuerzo es la fuerza externa que actúa sobre un cuerpo por unidad de área de sección transversal. Esfu Esfuer erzo zo s
F A
El resultado de un esfuerzo es una deformación unitaria, que es medida del grado de deformación. e; (Deformación unitaria) Def Defor orma maci ción ón e
L
L
Se encuen encuentra tra que, que, para para esfue esfuerzo rzos s sufici suficient enteme emente nte pequeñ pequeños, os, la defor deforma mació ción n es proporcional al esfuerzo, la constantes de proporcionalidad proporcionalidad depende el material que se deforme y de la naturaleza de la deformación. deformación. A esta constante de proporcionalidad se le da el nombre de coeficiente de elasticidad. El coeficiente de elasticidad se define, por lo tanto, como la razón entre el esfuerzo y la deformación resultante. resultante.
coeficient e _ de _ elasticida d =
esfuerzo deformacio n _ unitaria
El coeficiente de elasticidad en general relaciona lo que se hace a un cuerpo sólidos, con la forma en el que el cuerpo responde.
ESFUERZO Y DEFORMACIÓN Experimentalmente: L: Longitud A: sección transversal L
A
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ELASTICIDAD
L
F
F
F
F
∆L=Li-L
Se observa:
→ Los ∆L van a depender de las F y A {siempre en régimen elástico} → Los ∆L dependen de L REGIMEN ELASTICO s 1 E → s Me M M e
D =
D
D
E
M ∼ 1010
N m
2
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ELASTICIDAD
1.
MODULO DE ELASTICIDAD, que mide la resistencia de un sólido a cambiar en su longitud.
2.
COEFICIENTE DE RIGIDEZ, que mide la resistencia al movimiento de los planos dentro de un sólido, paralelos entre ellos.
3.
MODULO DE VOLUMEN, que mide la resist resisten encia cia de sólido sólidos s o líquid líquidos os a cambios en sus volúmenes.
1. MODULO MODULO DE ELASTICIDA ELASTICIDAD: D: ELASTIC ELASTICIDAD IDAD EN LONGIT LONGITUD UD Definiremos la resistencia a la tensión como la razón entre la magnitud de la fuerza externa F y el área A de sección transversal. La deformación por tensión en este caso se define como la razón entre el cambio en longitud ∆ L y la longitud original Li definimos el concepto de elasticidad como una combinación de estas dos razones.
Y =
esfuerzo deformacion _ unitaria
=
F A ∆ L Li
N/m2
“Modulo de Young (Y): Describe la resistencia del material a las deformaciones longitudinales.”
El modulo de elasticidad suele emplearse para caracterizar a una barra o alambre comprensión . Nótese que debido a la sometidos a esfuerzo, ya sea bajo tensión o comprensión. deformación es una cantidad adimensional adimensional
Para esfuerzos esfuerzos relativam relativamente ente pequeños, pequeños, la barra barra regresara regresara a su longitud longitud original original cuando la fuerza se retire. El límite elástico de una sustancia se define como el máximo esfuerzo que puede aplicarse a la sustancia antes de que esta se deforme de forma permanente y no regrese a su longitud inicial. Es posible exceder el limite elástico, si el esfuerzo es grande.
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ELASTICIDAD
Otra tipo de deformación se presenta cuando un cuerpo se somete a una fuerza paralela a una de sus caras, mientras que la cara opuesta es mantenida fija por otra fuerza. El esfuerzo en este caso se denomina esfuerzo cortante resulta en una forma cuya sección transversal es un paralelogramo.
Definimos el esfuerzo esfuerzo cortante como F/A, la razón entre la fuerza tangencial tangencial y el área A de la cara que se somete a esfuerzo cortante. La deformación por esfuerzo cortante se define como la razón ∆ x / h, donde ∆ x es la distancia horizontal en que se mueve la cara sometida sometida a esfuerzo esfuerzo cortante cortante y es la altura del cuerpo. cuerpo. En término término a esta cantidad, el coeficiente de rigidez es:
A
F h
f
∆x
F h
tg θ =
∆ x
h
θ f
S =
esfuerzo _ cor tan te deformacio n _ por _ esfuerzo _ cor tan te
=
F A ∆ x h
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S
Fh Ax
3. MODULO MODULO DE VOLUMEN: VOLUMEN: ELASTICIDA ELASTICIDAD D DE VOLUMEN VOLUMEN Caracteriza la respuesta de u cuerpo a cambios en una fuerza de magnitud uniforme aplicada perpendicularmente perpendicularmente sobre toda la superficie de un cuerpo.
El esfuerzo de volumen se define como la razón entre la magnitud de la fuerza total F ejercida ejercida sobre sobre una super superficie ficie y el área área A de la la superficie superficie.. La cantidad cantidad P=F/A se denomina presión, si cambia la presión sobre un cuerpo en una cantidad ∆ P = ∆ F
A
entonces el cuerpo va a experimentar un cambio de volumen.
F
A
F
F
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El modulo de volumen se define como:
F = − A B = − ∆V deformacio n _ de _ volumen V i esfuerzo _ de _ volumen
=−
∆ P ∆V
V i
Se inserta el signo negativo en esta ecuación para que B sea un número positivo. El reciproco del modulo de volumen se denomina comprensibilidad del material
B
p V / V
“Modulo volumétrico (B): Describe la resistencia del material a deformaciones volumétricas”.
Compresión: ∆p > 0 ∧ ∆V < 0→ B > 0. Dilatación o expansión: ∆p < 0 ∧ ∆V > 0→ B > 0.
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EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio 1: 1° Ideal v2(0) ≡ 0
y
→ MRUV
Polea ideal
Cuerda ideal,
∃m
m1,m2 , puntuales L = 2 m1 = 3, m2 = 5
φ = 4 x 10-3 ¿? t
m2
h2 ≡1m
2° Polea olea real real → a afectada → I=I (m,r) , f ← polea
m1
⇒ CR ⇒ MRUV 3° Cuer Cuerda da real eal → Deformación → CR → MRUV
4°→1º) a≡
g 4
t ≡¿?
= 2,5 2, 5 → t(y2 ≡0) ≡?
y(t) y (0)+ v(0) t -
1
at2
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≡ 50 – 5 x 2,5 T ≡ 37,5 F/ A
FL
L/ L Yacero 20 x 1010
YA
Y
L
→ ∆ L ≡ t
F
T
37,5 x 2 10
20 x 10
π
( 2 x 10 ) −3
2
= 27,6 µ m
¿?
Ejercicio 2: La deformación causada a la barra de longitud L, x, mediante la aplicación adecuada de la fuerza F, es decir, el trabajo efectuado por F sobre el sistema sistema elástico, elástico, queda queda almacena almacenado do como como energía energía potencial potencial elástica en el sistema
A
-F
F
-L
u
0
1 F AL 2 A
Y
L
x
x
E p, el id d d
lu
≡
→ L
F/ A x/
AY x ≡ F L
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W F el
L 0
L
AY x dx
L
A1Yx 2 / L E E 2 0 p, el p, el
AY 1 L
L2 E p,el 2
1 AY L2 E p,el 2 L
1
A
2
L
1 2
u
( L / L )
L2 E p,el
F L Ep ,el
1 F L 2
( F / A )
AL
E p, el
u
AL
1 L F 2 A L
S1P10) Se cuenta con una barra troncocónica maciza cuya sección circular varía uniformemente a lo largo de su longitud L, entre
1 2
s e u
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De
L
FL YA
dL d L
Fdx , Y y 2
y d
D d
2
x
2L
2 LF 2 Fdx dx FL dL L 2 2 Y 0 D d D d Y dD Y d L x d L x 2 0 1 4 4 4 2 4 4 43 43 I I ? D d x u d L D d dx du L
I
L D d
D
d
du
L
2 u dD
I *
I *
L
2 FL0
Y dD
L L
1 1 u d d D 1
D
2 F
Y dD
S1P8) Una masa de 1 kg cuelga de un cable de acero de 2 m de longitud (longitud sin estirar) con un diámetro de 0,1 mm.
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T
θ m w Datos: m=1, l=2, d=φ=10-4, Yacero = 21x 1010. Del equilibrio en la vertical,
T cos mg
T mg s ec ...
Y de la dinámica circular,
Fcp
Tsen macp
De α y β,
mg tan m
vt 2 m R
vt 2 l 'sen
R l' sen , l' l l...
...
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2 m g se sen w
2 g
l'
m l ' sen w2
l ' l l
w
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l l
l 0 , 0242
Con lo que el T queda,
T 2
l l 2 g
0, 6
w
S1P2) Una barra homogénea de longitud L, área A, masa M, módulo módulo de Young Y, gira libremente libremente con velocidad velocidad angular w = cte, sobre una mesa horizontal sin fricción y pivoteando en uno de sus extremos. Determine:
a) La deformación producida en la barra b) En donde se produce el esfuerzo máximo
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: F r
Mw2
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2
M2w, por lo tanto, en en r=L, r 2 LA