Electr Circuits (Ēriks Priednieks

ĒRIKS PRIEDNIEKS

ELEKTRISKĀS ĖĒDES un to vienādojumi

RĪGA – 2009

PRIEKŠVĀRDS ................................................................................................................................ 7 AIZVIETOŠANAS SHĒMU VIENĀDOJUMI .................................................................... 9 AIZVIETOŠANAS SHĒMU ELEMENTI .............................................................................. 10 ELEKTRISKIE LIELUMI UN TO APZĪMĒŠANA ............................................................ 10

• Elektriskie lielumi....................................................................................................................... 10 Spriegumu skaits shēmā ............................................................................................................. 11 Spriegumu apzīmēšana .............................................................................................................. 12 Strāvu apzīmēšana ..................................................................................................................... 12 ELEMENTU VIENĀDOJUMI .................................................................................................. 13 EDS loma shēmā. EDS vienādojums .......................................................................................... 13 Elementu R, L un C vienādojumi ................................................................................................ 13 SPRIEGUMU UN STRĀVU VIENĀDOJUMI ...................................................................... 14 Shēmu topoloăijas pamatjēdzieni ............................................................................................... 14 Vienkāršākie slēgumu veidi ........................................................................................................ 15 Spriegumu vienādojumu sastādīšana ......................................................................................... 16 Strāvu vienādojumu sastādīšana ................................................................................................ 17 DIVPOLA MOMENTĀNĀ JAUDA......................................................................................... 18

LĪDZSTRĀVAS ĖĒDES ............................................................................................................. 19 LĪDZSTRĀVAS ĖĒŽU VIENĀDOJUMI............................................................................... 19 Elementu vienādojumi ................................................................................................................ 19 Spriegumu un strāvu vienādojumi .............................................................................................. 20 Divpola jaudas formulas ............................................................................................................ 22 Ekvivalenti pārveidojumi līdzstrāvas ėēdēs................................................................................ 22 LĪDZSTRĀVAS ĖĒŽU AR VIENU AVOTU ANALĪZE ................................................... 23 LĪDZSTRĀVAS ĖĒŽU UN REŽĪMU PIEMĒRI ................................................................. 24 Sprieguma dalītājs...................................................................................................................... 24 Līdzstrāvas tilta shēma ............................................................................................................... 25 Aktīva divpola darba režīmi ....................................................................................................... 26 LĪDZSTRĀVAS ĖĒŽU AR VIENU AVOTU ANALĪZE (TURPINĀJUMS).......................................................... 28 Trīsstūra un zvaigznes slēgumu pārveidošana ........................................................................... 28 Ėēdes ar induktīviem un kapacitīviem elementiem..................................................................... 30 LĪDZSTRĀVAS ĖĒDES AR VAIRĀKIEM AVOTIEM: APRĒĖINA METODES .................................................. 31 Kirhofa vienādojumu metode...................................................................................................... 31 Kontūrstrāvu metode .................................................................................................................. 32 Mezglu sprieguma metode .......................................................................................................... 33 Jaudu bilances sastādīšana ........................................................................................................ 34 Ekvivalentā ăeneratora metode .................................................................................................. 34

MAIĥSTRĀVAS ĖĒDES ........................................................................................................... 37 PAMATJĒDZIENI UN PIEĥEMTIE APZĪMĒJUMI ........................................................ 37 Sinusoīdas fāzes.......................................................................................................................... 37 Sinusoidāla sprieguma (strāvas, EDS) parametri ...................................................................... 38 Fāžu nobīde ................................................................................................................................ 39

MATEMĀTISKĀS DARBĪBAS AR SINUSOĪDĀM MAIĥSTRĀVAS ĖĒŽU VIENĀDOJUMOS ........................................................................................................................ 40 Sinusoīdu atvasināšana: fāžu nobīde ......................................................................................... 40 Sinusoīdu reizināšana: jaudas formula ...................................................................................... 41 Sinusoīdu saskaitīšana: vektoru diagrammas ............................................................................ 42 MAIĥSTRĀVAS ĖĒŽU VIENĀDOJUMI ............................................................................. 43 Elementu vienādojumi ................................................................................................................ 43

1. nodaĜa

8

Spriegumu un strāvu vienādojumi .............................................................................................. 44 Divpola aktīvās jaudas formula.................................................................................................. 44 VEKTORU DIAGRAMMAS UN PRETESTĪBU TRĪSSTŪRI ........................................ 45 Trīs elementu vektoru diagrammas ............................................................................................ 45 Vektoru diagrammu zīmēšana .................................................................................................... 46 Virknes slēguma pretestību trīsstūris.......................................................................................... 47 Vektoru diagrammas shēmām ar paralēliem zariem .................................................................. 48 Aktīvās un reaktīvās komponentes .............................................................................................. 49 JAUDAS MAIĥSTRĀVAS ĖĒDĒ............................................................................................ 50 VEKTORU DIAGRAMMU METODES IZMANTOŠANAS ROBEŽAS ............................................................... 51 TOPOGRĀFISKĀS DIAGRAMMAS ..................................................................................... 51 Jēdziens par topogrāfisko diagrammu........................................................................................ 51 Kā uzzīmēt topogrāfisko diagrammu .......................................................................................... 52

MAIĥSTRĀVAS ĖĒŽU APRĒĖINĀŠANA AR VEKTORU DIAGRAMMU METODI (PIEMĒRI) .................................................................................................................. 52 MAIĥSTRĀVAS ĖĒŽU PRAKTISKI PIEMĒRI ................................................................ 56 Induktīvas spoles parametru noteikšana .................................................................................... 56 Aktīvās jaudas mērīšana............................................................................................................. 56 Spriegumu rezonanse.................................................................................................................. 57 Jaudas koeficienta uzlabošana ................................................................................................... 59

SIMBOLISKĀ METODE ........................................................................................................... 62 KOMPLEKSU PLAKNE UN DARBĪBAS AR KOMPLEKSIEM SKAITěIEM....................................................... 62 SINUSOIDĀLU SPRIEGUMU (STRĀVU, EDS) ATTĒLOŠANA KOMPLEKSU PLAKNĒ ................................... 63 ELEMENTA VAI ELEMENTU VIRKNES SLĒGUMA KOMPLEKSĀ PRETESTĪBA ............................................ 64 AIZVIETOŠANAS SHĒMU PAMATFORMULAS KOMPLEKSĀ FORMĀ.......................................................... 65 Elementu vienādojumi ................................................................................................................ 65 Spriegumu un strāvu vienādojumi .............................................................................................. 65 Divpola kompleksā jauda ........................................................................................................... 66 Ekvivalento pārveidojumu formulas ........................................................................................... 66 SIMBOLISKĀS METODES LIETOŠANAS PIEMĒRI ..................................................................................... 66

TRĪSFĀŽU MAIĥSTRĀVAS ĖĒDES .................................................................................. 71 TRĪSFĀŽU SISTĒMAS AIZVIETOŠANAS SHĒMAS ELEMENTI…………………..71 Trīsfāžu ăeneratora topogrāfiskā diagramma............................................................................ 71 Pārvades līnija............................................................................................................................ 72 Trīsfāžu patērētājs ...................................................................................................................... 73 TRĪSFĀŽU PATĒRĒTĀJA VEKTORU DIAGRAMMA UN ANALĪZE ...................... 73 Vektoru diagrammas zīmēšanas plāns........................................................................................ 71 Trīsfāžu patērētāja topogrāfiskā diagramma ............................................................................. 72 TRĪSFĀŽU PATĒRĒTĀJS ZVAIGZNES SLĒGUMĀ....................................................... 73 Zvaigznes slēgums ar neitrāles vadu .......................................................................................... 73 Zvaigznes slēgums bez neitrāles vada ........................................................................................ 76 Avārijas režīmi trīsvadu sistēmā................................................................................................. 77 TRĪSFĀŽU PATĒRĒTĀJS TRĪSSTŪRA SLĒGUMĀ....................................................................................... 77 SIMETRISKA TRĪSFĀŽU PATĒRĒTĀJA AKTĪVĀ JAUDA ........................................ 79 TRĪSFĀŽU PATĒRĒTĀJA AKTĪVĀS JAUDAS MĒRĪŠANA........................................ 79 TRĪSFĀŽU PATĒRĒTĀJA APRĒĖINA PIEMĒRI ........................................................... 80 Simetriska trīsfāžu patērētāja aprēėina piemēri......................................................................... 80 Zvaigznē slēgta nesimetriska patērētāja aprēėina piemēri......................................................... 81 Trīsstūrī slēgta nesimetriska patērētāja aprēėina piemēri ......................................................... 85

PĀREJAS PROCESI LĪDZSTRĀVAS ĖĒDĒS ................................................................ 88 PAMATJĒDZIENI UN PIEĥEMTIE APZĪMĒJUMI ........................................................ 88 PĀREJAS PROCESA DIFERENCIĀLVIENĀDOJUMS .................................................. 89 KOMUTĀCIJAS LIKUMI ......................................................................................................... 90

Ē.Priednieks. Elektriskās ėēdes un to vienādojumi.

Aizvietošanas shēmu vienādojumi

9

PĀREJAS PROCESU PIEMĒRI RL- UN RC ĖĒDĒS....................................................... 91 Pārejas procesa analīzes plāns .................................................................................................. 91 Pārejas process, pieslēdzot līdzspriegumam ėēdi ar induktīvu spoli.......................................... 91 Kondensatora uzlādes process RC- ėēdē.................................................................................... 93 Laika konstantes noteikšana....................................................................................................... 94 Kondensatora izlādes process RC- ėēdē..................................................................................... 95 Līdzstrāvas ėēdes ar induktīvu spoli pārtraukšana .................................................................... 96 PĀREJAS PROCESU APRĒĖINA PIEMĒRI ..................................................................... 98 PĀREJAS PROCESU ANALĪZE RLC-ĖĒDĒS ................................................................. 104

PIELIKUMI ................................................................................................................................... 107


Priekšvārds Šī grāmata adresēta galvenokārt tiem Rīgas Tehniskās universitātes studentiem, kuri apgūst kursu “Elektrotehnika un elektronika”. Mērėis ir dot priekšstatu un attīstīt izpratni par elektriskajām ėēdēm un to teorijas pamatiem, bez kā nav iedomājama jebkuru elektrotehnikas un elektronikas jautājumu tālāka studēšana. Grāmatas nosaukums “Elektriskās ėēdes un to vienādojumi” pasvītro priekšmeta konkrētu, ne tik daudz aprakstošu, raksturu. Materiāla izklāsta līmenis izvēlēts, ievērojot, ka students ir apguvis fizikas un matemātikas kursu pamatus. Iepazīšanās ar pašiem elektrotehnikas jautājumiem gan sākas gandrīz “no nulles” – šeit priekšzināšanas vēlamas, bet nav nepieciešamas. Studiju disciplīna “Elektrotehnika un elektronika” tradicionāli ieĦēmusi pienācīgu vietu tehnisko augstskolu un vidējo speciālo mācību iestāžu studiju programmās. Te nevarētu būt argumentu pret auditoriju stundu skaita samazināšanu, paaugstinot patstāvīgo studiju lomu. Tomēr pavisam negaidīti var parādīties arī jauna motivācija patstāvīgām studijām: var rasties nepieciešamība likvidēt robus tehniskajā izglītībā, kas neizbēgami radīsies apstākĜos, kad daudzās programmās (elektronikas laikmetā!) netālredzīgi tiek samazināts pat elektrotehnikas un elektronikas laboratorijas un praktisko nodarbību apjoms. Šajā ceĜā mūsu universitāte ir ārpus konkurences – nekur Eiropā vēl nav aizdomājušies līdz tam, ka vispārtehnisko specialitāšu studentiem elektrotehnikas (kopā ar elektroniku!) kursa apjomu varētu samazināt līdz 2 KP… Šī grāmata jau sākotnēji bija iecerēta tā, lai studējošais varētu strādāt patstāvīgāk, arī bez biežām pasniedzēju konsultācijām. Lai to panāktu, izvēlēta racionāla un viegli pārskatāma studiju materiāla struktūra. Izrādās, ka visu turpmāko informāciju iespējams grupēt ap sekojošu tabulu, kas izveidota uz septiĦu elektrisko shēmu pamatvienādojumu bāzes.

Vienādojumi

Momentānām vērtībām

Līdzstrāvai

Vektoru diagrammu metode

Simboliskā metode

u = −e

U = −E

Ū = −Ē

Elementu

u=Ri

U=RI

U = R I , ϕ = 0°

vienādojumi

u = L di/dt

U=0

U = XL I , jϕ = 90°°

i = C du/dt

I=0

U = XC I , ϕ = −90° °

u13 = u12 + u23

U13 = U12 + U23

Ū13= Ū12 + Ū23

U 13 = U 12 + U 23

S∑±i=0

S ±S ∑ ± I = 0

∑±Ī=0

∑ ± I = 0=

p=ui

P=UI

Spriegumu un strāvu vienādojumi

U = −E U= ZI

P = U I cos ϕj Divpola jauda

Q = U I sin ϕj

S= UI

*

S=UI

Grāmatas pirmā nodaĜa iepazīstina ar elektrisko ėēžu aizvietošanas shēmu elementiem, topoloăiju, elektriskajiem lielumiem un septiĦiem “tabulas vienādojumiem”, kas saista šo lielumu momentānās vērtības un ir spēkā jebkurai lineārai ėēdei. Pat pārtraucot lasīšanu pēc iepazīšanas ar šo nodaĜu (arī tā gadās) būsiet uzzinājuši pašu svarīgāko par elektriskajām ėēdēm. Tiem, kas ir lieliski matemātiėi, ar šīm zināšanām principā pietiktu, lai, arī nepazīstot nākošajās nodaĜās iztirzātās inženiermetodes, varētu aprēėināt gandrīz jebkuru no nākošajās nodaĜās aplūkotajām ėēdēm. Pārējās nodaĜās parādīts, kā un kāpēc izveidota elektrisko ėēžu teorijas pamati – galvenokārt, lai standarta situācijās izvairītos no diferenciālvienādojumu sastādīšanas. Aplūkoti principi, kas atĜauj iztikt bez diferenciālvienādojumiem līdzstrāvas, vienfāzes un trīsfāžu maiĦstrāvas ėēdēs. Pēdējā nodaĜa veltīta pārejas procesiem līdzstrāvas ėēdēs. Doti uzdevumu risināšanas plāni un piemēri Piemēram, lai apgūtu trīsfāžu maiĦstrāvas ėēžu analīzi, pietiek ar 1., 3. un 5. nodaĜas saturu. Pārejas procesu analīzei noderēs 1., 2. un 6. nodaĜas materiāls utt. Strādājot ar grāmatu, būs iespēja izsekot, kā no formulu tabulas otrās kolonas formulām 2., 3. un 4. nodaĜās izriet visas pārējās. Novērojiet formulu izcelsmi, to savstarpējo saistību un lietošanas noteikumu nianses. Atsevišėi tabulas fragmenti būs sastopami katrā grāmatas nodaĜā. Pilnīgāka tabulas versija ar kopā ar komentāriem dota vienā no pielikumiem grāmatas beigās. Par to, kā šajā grāmatā nav. Elektrotehnikas nodaĜa “Elektriskās ėēdes” sākas tur, kur beidzas fizikas nodaĜa “Elektrība” - kad atsevišėu fizikas un elektrotehnikas kopējo objektu - rezistoru, induktīvo spoĜu un kondensatoru īpašības var uzskatīt par izzinātām. Elektrotehnhika vairs

1. nodaĜa

8

nenodarbojas ar šo elementu fizikālajām īpašībām. Tā pēta elektrisko shēmu – dažādu elementu savienojumu, kas pieslēgti dažāda rakstura avotiem – līdzstrāvas, maiĦstrāvas, trīsfāžu maiĦstrāvas u.c. – īpašības. Lai ar minimāliem līdzekĜiem matemātiski pareizi aprakstītu visu šo kopumu, elektrotehnikai ir savs jēdzienu loks, kas fizikas kursos atsevišėu elementu un pat pazīstamās “pilnās ėēdes” aprakstīšanai nebija nepieciešams. Grāmatā aplūkotas tikai tādas lineāras elektriskās ėēdes, kuru aizvietošanas shēmās pietiek ar četriem elementu tipiem (E, R, L un C). Nav izmantots elements “strāvas avots”, kuru lieto dažu nelineāru ėēžu analīzei, taču maiĦstrāvas ėēdēs, nemaz jau nerunājot par trīsfāžu ėēdēm, to praktiski nelieto. Grāmatā, ievērojot tās nelielo apjomu, gandrīz nav aprakstošā materiāla – to lielā daudzumā var atrast tehniskajā literatūrā. Priekšroka dota galveno ideju skaidrojumam, plāniem-algoritmiem un metodēm. Nobeigumā daži vārdi tiem, kam šīs grāmatas tematika ir jau sen noiets posms. Konservatīvās aprindās “formulu tabula” var izraisīt, saudzīgi izsakoties, nepatiku. Uzskats, ka “elektrotehnika ir Oma likums un divi Kirhofa likumi” ne tikai eksistē, bet arī ilgstoši ir ietekmējis elektrotehnikas mācīšanu Divi Kirhofa likumi - spriegumu vienādojums (2.5a) un (4.5a), un strāvu vienādojums -(1.5), (2.5), (3.5) vai (4.5) - ir neatvietojami, aprēėinot sazarotas elektriskās ėēdes ar Kirhofa vienādojumu metodi vai ar no tās atvasināto kontūrstrāvu metodi. Taču tie nebūt nav sistēmu veidojoši. Piemērām, trīsfāžu trīsvadu ėēdes strāvu vienādojums (5.2) tieši neizriet no pirmā Kirhofa likuma – to var iegūt, tikai izmantojot vispārīgāku principu, kas formulēts ne tikai elektriskās ėēdes mezglam. Interesanti ir notikumi ap otro Kirhofa likumu (2.5a). Tas sākotnēji bija izveidots tikai līdzstrāvas ėēdēm ar 2 elementu tipiem (E un R): “EDS algebriskā summa kontūrā ir vienāda spriegumu kritumu algebrisko summu”. Šo likumu ar līdzīgu formulējumu (4.5a) vēlāk pareizi attiecināja arī uz maiĦstrāvas ėēdēm ar diviem elementu tipiem (kompleksie E un Z). Taču pēc tam mācību literatūrā formulējums tika daudzkārt variēts, lai par jebkuru spriegumu vienādojumu varētu teikt, ka tas ir sastādīts saskaĦā ar otro Kirhofa likumu. Var minēt divus samērā korektus formulējumus: 1) “spriegumu algebriskā summa uz visiem kontūra elementiem ir vienāda ar nulli”, 2) “spriegumu uz visiem kontūra posmiem algebriskā summa ir vienāda ar nulli”, taču pirmais no tiem neĜauj sastādīt jebkuru spriegumu vienādojumu, bet otrs ir visai tālu no sākotnējā formulējuma, bez tam skaidri jādefinē jēdziens "kontūra posms". Par nesistēmiskumu šajā jautājumā (atvainojet, formulu pārbagātību) liecina kaut vai tas, ka kādā savulaik autoritatīvas Maskavas augstskolas mācību grāmatā līdztiesīgi eksistē pat vairāki otrā Kirhofa likuma formulējumi un bez tam vēl firmas lepnums: “vispārinātais Oma likums aktīvam ėēdes posmam”. Protams, speciālistu, kas vienādojumu sastādīšanu apguvis un pats tos var pārbaudīt, maz interesēs, cik formulējumu ir likumam. ViĦu neuztrauks arī tas, ka likums ir formulēts tikai samērā ticami. Taču piedāvāt iesācējam-studentam ar visu šo bagātību – tā vietā, lai parādītu, cik vienkārši ir, piemēram, sastādīt jebkuru spriegumu vienādojumu – nozīmē vai nu metodiėu bezspēcību vai arī necieĦu pret patērētāju, apzināti piedāvājot tam lietošanai neērtu produktu.

Šajā grāmatā lietota sistēmiska pieeja: pamatvienādojumu skaitam jābūt minimālam! Taču pietiekamam, lai no tiem atvasinātu visas vajadzīgās formulas. Sistēmu veido četru elementu vienādojumi un trīs struktūras vienādojumi, no kuriem atvasina visus vienādojumus līdzstrāvas un maiĦstrāvas ėēdēm. Kirhofa spriegumu vienādojums lietots tikai sākotnējā, pilnīgi korektā formā (2.5a) un (4.5a) un tikai shēmām ar diviem elementu tipiem. Jāpiezīmē, ka otrā Kirhofa likuma izteiksmi var iegūt ar šo spriegumu vienādojumu līdzstrāvas ėēdei (2.5) kopā ar elementu vienādojumiem (2.1) un (2.2). Arī “vispārināto Oma likumu aktīvam ėēdes posmam” ikviens bez pūlēm iegūs patstāvīgi no minētajiem vienādojumiem. Tradicionālā mācību literatūra nav bez grēka arī shēmu topoloăijas jautājumos – tā atteikusies no shēmu topoloăijas pamatjēdziena “punkts”. Šeit šī jēdziena tiesības atjaunotas, kas atĜaus izvairīties no neskaidrībām un neprecizitātēm, skaidrojot citus topoloăijas jēdzienus. Šeit izvēlētās pieejas mērėis: atvieglot elektrotehnikas pamatu apgūšanu patstāvīgi, arī bez konsultantu palīdzības. Pirmais solis šajā virzienā bija šo rindu autora 1982. gadā sarakstītā “Elektrisko ėēžu aprēėina metodika”, kas sekmīgi iztur laika pārbaudi. Šajā grāmatā metodika pilnveidota, teorētiskais materiāls papildināts ar laboratorijas darbu tematiku. Autors cer, ka grāmata studentiem atvieglos elektrotehnikas pamatu apgūšanu.



9

1. NODAěA

AIZVIETOŠANAS SHĒMU VIENĀDOJUMI Vispirms aplūkosim elektrisko ėēžu un tajās notiekošo procesu klasifikāciju. Reālās elektriskās ėēdēs ir sastopami visdažādākie enerăijas avoti un patērētāji, enerăijas vai informācijas pārveidotāji, mērīšanas un cita aparatūra. Atkarībā no avotu sprieguma veida izšėir līdzstrāvas, maiĦstrāvas, trīsfāžu maiĦstrāvas u.c. ėēdes. Piemēram, elektriskajās spēkstacijās elektrisko enerăiju ražo ar trīsfāžu maiĦstrāvas ăeneratoriem. Trīsfāžu pārvades līnijas, kurās spriegumu paaugstina un vairākkārt pazemina ar trīsfāžu transformatoriem, enerăiju nogādā līdz patērētājiem, tajā skaitā, līdz pat dzīvojamām ēkām. DzīvokĜos enerăija nonāk vienfāzes maiĦstrāvas formā. Līdzspriegumu, ko lieto, piemēram, elektronikas shēmu barošanai, dažos tehnoloăiskos procesos un visur, kur nepieciešams plašās robežās regulēt elektrodzinēju griešanās ātrumu, galvenokārt iegūst, ar pusvadītāju taisngriežu shēmām pārveidojot vienfāzes vai trīsfāžu maiĦspriegumu. Nelielas jaudas ėēžu barošanai lieto elektroėīmiskus līdzstrāvas avotus, piemēram, akumulatoru baterijas. Elektriskajās ėēdēs sastopami gan nostabilizējušies jeb stacionāri režīmi, gan pārejas procesi. Pēdējie novērojami īslaicīgi: pieslēdzot vai atslēdzot avotu vai atsevišėus ėēdes elementus. Elektriskās ėēdes iedalās lineārās un nelineārās. Par lineāru uzskata ėēdi, kuras visu elementu parametrus var uzdot skaitliski. Ėēde ir nelineāra, ja tajā ir kaut viens elements, kura parametrs ir atkarīgs, piemēram, no strāvas vai sprieguma. Aprēėinot režīmus elektriskajās ėēdēs (analīzes uzdevums) vai izveidojot ėēdes ar vēlamām īpašībām (sintēzes uzdevums), reālo elektrisko ėēdi aizstāj ar tās matemātisko modeli, ko veido ėēdes aizvietošanas shēma kopā ar tās vienādojumiem. Neraugoties uz reālo elektrisko ėēžu sastāva daudzveidību, daudzus teorētiskos rezultātus var iegūt, analizējot vienkāršas aizvietošanas shēmas ar nelielu elementu tipu skaitu. Turpmāk aplūkosim galvenokārt lineāru ėēžu aizvietošanas shēmas ar četriem idealizētu elementu tipiem (elektrodzinējspēku e, rezistīvo elementu R, induktīvo elementu L un kapacitīvo elementu C). Izrādās, ka ar četriem elementu tipiem ir pietiekami, lai modelētu visai dažādus reālo ėēžu elementus līdzstrāvas, vienfāzes un trīsfāžu maiĦstrāvas ėēdēs stacionāros režīmos un pārejas procesos. Nelielais elementu tipu skaits atĜauj jebkurai aizvietošanas shēmai ar šādiem elementiem izveidot vienkāršu matemātisko modeli uz septiĦu pamatvienādojumu (1.1)...(1.7) bāzes. Lūk, septiĦu pamatvienādojumu izteiksmes - fragments no priekšvārdā dotās formulu tabulas: Vienādojumi


Elementu

u = −e u=Ri

vienādojumi

u = L di/dt

(1.3)

i = C du/dt

(1.4) (1.5)


u13 = u12 + u23 ∑±i=0

Divpola jauda

p=ui

(1.1) (1.2)

(1.6) (1.7)

Vienādojumu tabulā ir trīs atšėirīgas grupas: • četru elementu vienādojumi (1.1)...(1.4), • spriegumu un strāvu vienādojumi (1.5) un (1.6) - sakarības starp dažādu elementu vai shēmas daĜu spriegumiem (strāvām), • jaudas formula (1.7), kas nosaka ėēdes daĜas (divpola) momentāno jaudu. Katram, kas reiz rakstījis špikeri, labi zināms, ka formulu pieejamība vēl ne tuvu negarantē to pareizu lietošanu. Tāpēc šajā nodaĜā arī paskaidrots, kā šie pamatvienādojumi lietojami. Iepazīsimies ar elementu un elektrisko lielumu apzīmēšanu shēmās un tekstā, aplūkosim jautājumu par zīmēm formulās un noskaidrosim aizvietošanas shēmu topoloăijas jēdzienus. Viss tas nepieciešams, jo elektrotehnika ir precīza (nevis tikai aprakstoša) disciplīna. Tas dos jums iespēju atšėirt pēc izskata ticamus vienādojumus no pareizi sastādītiem, lai elektrisko ėēžu aprēėinos lietotu tikai pēdējos. Vienādojumi (1.1)…(1.7) ir spēkā gan stacionāriem režīmiem līdzstrāvas un maiĦstrāvas ėēdēs, gan arī pārejas procesiem. Ir pielietojumi, kad tos izmanto nepārveidotus, piemēram, pārejas procesu aprēėinos. Taču vienmēr, kad jāaprēėina stacionāri režīmi, pamatvienādojumus vienkāršo, izveidojot tā Ē.Priednieks. Elektriskās ėēdes un to vienādojumi.

1. nodaĜa

10

sauktās. inženiermetodes (piemēri: līdzstrāvas ėēdes, maiĦstrāvas ėēdes ar vektoru diagrammu metodi, maiĦstrāvas ėēdes ar simbolisko metodi). Arī šajos trīs gadījumos vienādojumu tabulas struktūra (elementu vienādojumi, spriegumu un strāvu vienādojumi, divpola jaudas formula) paliks bez izmaiĦām, kaut arī paši vienādojumi var izmainīties līdz nepazīšanai. Elektrotehnika kĜūs daudz saprotamāka, ja ievērosiet, ka tās daudzie vienādojumi ir tie paši 7 pamatvienādojumi - pārveidotā formā, bet ar tiem pašiem lietošanas noteikumiem. Tā dēvētā teorija būtībā ir ceĜš no pamatvienādojumiem līdz inženiermetodēm. Izsekojiet šim ceĜam!

Aizvietošanas shēmu elementi Četru idealizētu elementu (EDS, rezistīva, induktīva un kapacitīva elementa) apzīmējumi, parametri un mērvienības parādītas tabulā (sk. zemāk). Elementus (e, R, L vai C) shēmā un tekstā apzīmē tāpat kā to parametrus (e, R, L vai C). Ja shēmā ir vairāki viena tipa elementi, to apzīmējumiem pievieno individuālus indeksus: R1, R2, Ri, utt. EDS (elektrodzinējspēks). Parasti tam reālā shēmā atbilst enerăijas avots, kura Elements "e" uzdevums ir neelektriskās enerăijas (mehāniskās, ėīmiskās, gaismas u.c) pārveidošana elektriskajā. Vispārīgāk - ar EDS dažkārt raksturo arī elektriskās enerăijas pārveidošanos citā enerăijas formā, piemēram, mehāniskajā. Termina "elektrodzinējspēks” vietā literatūrā ir lietots arī visai veiksmīgs jaunvārds: "pirmspriegums". Parametri, to apzīmējumi

Mērvienības, to apzīmējumi

EDS

EDS (elektrodzinējspēks), e

volts, V

rezistīvs

pretestība, R

oms, Ω

induktīvs

induktivitāte, L

henrijs, H, [Ω s]

kapacitīvs

kapacitāte, C

farāds, F, [Ω−1 s]

Elementu tipi

Grafiskie apzīmējumi

EDS mērvienība ir volts (V). Apzīmējums shēmā: EDS bultiĦa aplī. EDS ir vienīgais elementa tips shēmā, kas pastāvīgi varētu būt enerăijas avots. Pārējos elementu tipus sauc par pasīviem elementiem, jo tie enerăiju var tikai patērēt (elements R) , vai arī to uzkrāt, lai pēc tam piedalītos ėēdē notiekošajā enerăijas apmaiĦā (elementi L un C) . Elements "R" - rezistīvs elements. Reālā elektriskā ėēdē tam atbilst neatgriezenisks process: elektriskās enerăijas pārveidošanās siltuma enerăijā. Rezistīva elementa parametrs ir pretestība R, tās mērvienība - oms (Ω). Elements "L" - induktīvs elements. Šāds idealizēts elements shēmā raksturo magnētisko lauku reālā ėēdē. Piemēram, induktīvas spoles magnētiskajā laukā uzkrātā enerăija ir proporcionāla strāvas kvadrātam (i2). Šī enerăija nekādos apstākĜos nevar mainīties strauji (ar lēcienu). Citiem vārdiem, induktīviem elementiem piemīt inerce attiecībā pret strāvas izmaiĦām: elektriskās strāvas vērtība šādā elementā nevar mainīties lēcienveidīgi. Induktīva elementa parametrs ir induktivitāte L, tās mērvienība ir henrijs (H). Elements "C" - kapacitīvs elements. Ar šādu idealizētu elementu shēmā raksturo reālās ėēdēs radīto elektrisko lauku. Piemēram, kondensatora elektriskajā laukā uzkrātā enerăija ir proporcionāla sprieguma kvadrātam (u2). Šī enerăija arī nekādos apstākĜos nevar mainīties ar lēcienu. TādēĜ kapacitīvi elementi ir inerciāli attiecībā pret sprieguma izmaiĦām: spriegums uz kapacitīvā elementa nekad nemainās ar lēcienu. Šī elementa parametrs ir kapacitāte C, tās mērvienība ir farads (F). Terminus “rezistīvais elements”, “kapacitīvais elements”, “induktīvais elements” dažkārt aizstāj ar ikdienišėākiem apzīmējumiem: “rezistors”, “kondensators”, “ideāla spole”.

Elektriskie lielumi un to apzīmēšana Elektriskie lielumi Formulu tabulā elementu parametri (E, R, L un C) ir sastopami tikai četros pirmajos vienādojumos. Pārējos 3 vienādojumos ir tikai elektriskie lielumi: spriegums (u), strāva (i) un jauda (p). Elektrisko lielumu grupai pieder arī EDS parametrs e. Elektrisko lielumu mērvienības ir: strāvai - ampēri (A), Ē.Priednieks. Elektriskās ėēdes un to vienādojumi.


11

spriegumam un EDS - volti (V), bet jaudai - vati (W) vai voltampēri (VA). Vispār, elektriskie lielumi ir laika funkcijas . Ar mazajiem burtiem (e, i, u, p) apzīmē elektrisko lielumu momentānās vērtības. Aprēėinos un mērījumos gandrīz vienmēr lieto vidējās vai vidējās kvadrātiskās vērtības – formulās un tekstā tās apzīmē ar lielajiem burtiem: EDS E, strāva I, spriegums U, jauda P. Pievērsiet uzmanību tam, ka vienādojumi (1.1)...(1.7) satur tikai elektrisko lielumu momentānās vērtības.

Automātiski nomainīt tajos momentānās vērtības ar kaut kādām vidējām vērtībām būtu rupja kĜūda. Taču vienādojumus būs iespējams pārveidot tā, lai aprēėinos varētu lietot vidējās vai vidējās kvadrātiskās vērtības. Otra vienādojumu īpatnība ir tā, ka divi no tiem - (1.3) un (1.4) - satur strāvas un sprieguma atvasinājumus. Ja tos lietotu nepārveidotus, tad shēmas galu galā aprakstītu diferenciālvienādojumi. Dažos gadījumos, piemēram, pārejas procesu aprēėinos, no diferenciālvienādojumu risināšanas izvairīties neizdodas. Taču lielāko daĜu uzdevumiem pieeja ir vienkāršāka. Jebkurā no tehniskajām disciplīnām cenšas samazināt tipveida uzdevumu risināšanas darbietilpību, izveidojot t.s. inženiermetodes. Elektrotehnika nav izĦēmums - te inženiermetodes izveidotas tā, lai elektrisko lielumu momentāno vērtību vietā būtu iespējams lietot vidējās vai vidējās kvadrātiskās vērtības, un lai diferenciālvienādojumu vietā varētu iztikt ar algebriskiem vienādojumiem. Elektrisko ėēžu analīzes un aprēėina inženiermetodes, kā arī to izveidošanas principus uz minēto septiĦu pamatvienādojumu bāzes, aplūkosim nākošajās nodaĜās.

Spriegumu skaits shēmā Ja kādai shēmai jāsastāda vienādojumi, tad vispirms tajā pareizi jāapzīmē strāvas un spriegumi. Tāpēc vispirms jānoskaidro, cik shēmā ir spriegumu un strāvu. Tas ir svarīgāk nekā varētu likties. Nepareizi nosakot, piemēram, spriegumu skaitu shēmā, tie arī tiks apzīmēti nepareizi, un turpmākā vienādojumu sastādīšana jau no paša sākuma būs kĜūdaina. Strāvu skaita noteikšana izraisa mazāk kĜūdu: zināms, ka virknē slēgtos elementos plūst viena un tā pati strāva. Tiesa gan, priekšstats par virknes slēgumu bieži vien ir kĜūdains - to novērsīsim vēlāk šajā nodaĜā. Noteikt spriegumu skaitu nav sarežăīti. No fizikas kursa zināms, ka spriegums ir divu shēmas punktu potenciālu starpība. Tas nozīmē, ka spriegumu skaitu nosaka punktu skaits shēmā. 1.1. att. Spriegumu skaitu nosaka punktu skaits shēmā: a) 2 punkti - 1 spriegums: uAB , b) 3 punkti - 3 spriegumi: uab , ubc , uac , c) 4 punkti - 6 spriegumi: u12 , u13 , u14 , utt. .

Ja shēmā ir tikai 2 punkti A un B (katru punktu shēmā var apzīmēt ar ciparu vai burtu), tad, saskaĦā ar sprieguma definīciju (potenciālu starpība), shēmā ir jārēėinās tikai ar vienu spriegumu: . (Pretēja virziena spriegums uBA nav kaut kas īpaši atšėirīgs - tas vienkārši ir vienāds ar −uAB. Ja shēmā ir 3 punkti (piemēram, a, b un c), tad tajā ir 3 spriegumi (šajā piemērā: uab , ubc , uac). Ja shēmā ir 4 punkti, tad neatkarīgi no tā, kādi ir elementi, un kā tie savienoti, shēmā ir 6 spriegumi (sk. 1.1. att.). Pārbaudiet, vai shēmai ar 5 punktiem spriegumu skaits ir 10. Pamēăiniet atbildēt uz šādu jautājumu: vai ir iespējama shēma, kurā būtu tikai 2 spriegumi ?

Tātad jebkuras shēmas izpēti vajadzētu sākt ar jautājumu: cik punktu ir šajā shēmā? Tas palīdzēs noteikt spriegumu skaitu. Tāpēc vispirms vienosimies, ko shēmā uzskatīt par punktu. Elektriskās ėēdes veido, savstarpēji savienojot elementus. Atšėirībā no vadiem reālās elektriskās ėēdēs, aizvietošanas shēmās savienotājvadus uzskata par ideāliem (bez elektriskās pretestības). Citiem vārdiem, uz savienotājvada visā tā garumā ir viens un tas pats elektriskais potenciāls. Tātad: ja vairāku elementu izvadi ir savienoti, tie iegūst vienu un to pašu potenciālu un tos var uzskatīt par vienu un to pašu punktu. 1.1. piemērs (1.2 att.). Shēmā (a) ir 4 elementi. Katram no tiem ir 2 izvadi: punktu skaits varētu būt 8. Taču daži no tiem ir savstarpēji savienoti, tādēĜ shēmā ir tikai 2 punkti - tas nozīmē, ka tajā ir nevis vairāki, bet tikai viens spriegums! Shēmā (b) ir trīs punkti ar dažādiem potenciāliem, tātad 3 spriegumi. Arī shēmā (c) ir 3 spriegumi. Protams, shēmas punktu (ar dažādiem potenciāliem) skaitam nav nekā kopēja ar shēmā redzamo punktu (tos liek katrā shēmas sazarojuma vietā) skaitu. Piemēram 1.2.,c att. shēmā iezīmēti 6 šādi “punkti”: 1, 1, 2, 2, 3 un 3. Taču tajā ir tikai 3 punkti, kuru potenciāli varētu atšėirties - tātad 3 spriegumi (u12, u23 un u13).


1. nodaĜa

12

a)

b)

1

c)

1

1

1

1

2

2

2

3

2

1

3

3

2

3

1.2. att. Punktu skaits shēmā: visam kopā savienotajam ir viens un tas pats potenciāls!

Spriegumu apzīmēšana Lai vienādojumos vai paskaidrojošā tekstā varētu pazīt konkrētus spriegumus vai strāvas, tie shēmā ir jāapzīmē, katram no tiem piešėirot individuālu indeksu, piemēram, u1, uab, u, i1, iL. Protams, kādam vienam spriegumam un vienai strāvai indeksa var nebūt. Tā kā spriegums ir divu shēmas punktu potenciālu starpība, tad, apzīmējot spriegumu, noteikti jānorāda: 1) uz kuru divu punktu potenciāliem attiecas šis spriegums, 2) kurš (no diviem iespējamiem) ir šī sprieguma pieĦemtais pozitīvais virziens. Abas šīs prasības apmierina jebkurš no šiem diviem sprieguma apzīmēšanas paĦēmieniem: ar diviem indeksiem (piemēram, u12, uBC) vai ar brīvi izvēlētiem indeksiem (piemēram, u1, uL, u). Pirmajā gadījumā shēmā jāapzīmē abi punkti, bet formulās un tekstā sprieguma apzīmējumā jābūt diviem indeksiem - pieĦemto pozitīvo virzienu tad nosaka indeksu secība. Otrā gadījumā sprieguma pieĦemto pozitīvo virzienu parāda ar sprieguma bultiĦu shēmā, kuras gali norāda uz abiem punktiem. Shēmā līdzās bultiĦai jāparāda arī sprieguma apzīmējums (indeksu tad var izvēlēties brīvi), kas tiks lietots arī formulās un tekstā. a) 1. 3.att. Ilustrācija sprieguma apzīmēšanai: a) divi indeksi sprieguma apzīmējumā (uab) - shēmā jāapzīmē tikai abi punkti, b) brīvi izvēlēts indekss (uL) - shēmā jāparāda sprieguma bultiĦa un arī tā apzīmējums. Abos gadījumos apzīmēts tas pats spriegums: starp induktīvā elementa.izvadiem, ar pieĦemto pozitīvo virzienu: pa labi.

b)

Shēmās katrā ziĦā jāapzīmē tie spriegumi (vai strāvas), kuri tiks izmantoti formulās, diagrammās vai paskaidrojošā tekstā. Apzīmēt pārējos spriegumus vai strāvas tikai apzīmēšanas dēĜ nevajag.

Strāvu apzīmēšana Salīdzinot ar spriegumu - tas eksistē (vai to var izmērīt) starp diviem shēmas punktiem (nekad nelietojiet vārdus: “spriegums plūst...”) - strāva ir pavisam citāda rakstura lielums: tā raksturo elektrisko lādiĦu plūsmu caur elementiem un savienotājvadiem, saglabājot savu vērtību nesazarotā ėēdes posmā. Starp citu, arī strāvas un sprieguma mērīšana principā atšėiras. Spriegumu izmērīt ir vienkāršāk – abus mēraparāta (voltmetra) izvadus (neiejaucoties shēmā) pievieno diviem shēmas punktiem; voltmetrs uzrāda šo punktu potenciālu starpību. Tāpēc voltmetrus (un vatmetru sprieguma ėēdes) pieslēdz, kad visa pārējā shēma jau saslēgta. Strāvas mērīšana prasa iejaukšanos shēmā: ampērmetru nevis pieslēdz shēmai, bet gan ieslēdz paredzamajā strāvas ceĜā.

Strāvu apzīmē šādi - shēmā blakus elementam vai savienotājvadam parāda strāvas bultiĦu, kuras virziens norāda strāvas pieĦemto pozitīvo virzienu (nevis īsto virzienu; pret to ir vismaz divi argumenti: strāvas īsto virzienu parasti var noskaidrot tikai aprēėina gaitā, un otrkārt, strāvas virziens vispār var būt laikā mainīgs). Pārējais - līdzīgi sprieguma apzīmēšanai ar brīvi izvēlētiem indeksiem: shēmā bultiĦas tuvumā pieraksta strāvas apzīmējumu, ko lieto arī formulās. Piemērs: strāva i1 1.3.,b attēlā. Abos virknē slēgtajos elementos plūst viena un tā pati strāva, kuru apzīmēt divreiz, protams, būtu nepareizi.



13

Elementu vienādojumi EDS loma shēmā. EDS vienādojums Ja shēma ir pieslēgta elektriskās enerăijas avotam, tad avota EDS darbības rezultātā divi shēmas punkti iegūst dažādus potenciālus. Šī potenciālu atšėirība ir par cēloni tam, ka elementos un savienotājvados plūst strāva, un pārējie shēmas punkti iegūst dažādus potenciālus - shēmā izveidojas dažādi spriegumi. EDS avota pamatīpašība aizvietošanas shēmās ir šāda: elements, kura EDS vērtība ir e volti, paaugstina potenciāla vērtību EDS bultiĦas virzienā par e voltiem. Piemēram, 1.4 att. punkta B potenciāls ir par e voltiem augstāks par punkta A potenciālu. Izmantojot šo EDS pamatīpašību un sprieguma definīciju (potenciālu starpība), var iegūt elementa vienādojumu (1.1): 1.4. att

Ievērojiet, ka šis vienādojums būs pareizs tikai tad, ja sprieguma pieĦemtais pozitīvais virziens (šeit: no A uz B) sakritīs ar EDS bultiĦas virzienu. Ar līdzīgiem nosacījumiem jārēėinās arī pārējo elementu vienādojumos, tādēĜ šeit vienādojumi paskaidroti ar shēmas fragmentiem, kas satur vienošanos par virzieniem. Lai tos būtu vieglāk atcerēties, visos 4 gadījumos (e, R, L, C) abu elektrisko lielumu (u un e, u un i) virzieni shēmā izvēlēti vienādi. Piemēram, Elementa e (EDS) vienādojums:

Šī elementa vienādojums (1.1) kopā ar zīmējumu satur vismaz 3 idejas: • Formulā lietojamā zīme attiecas tikai uz situāciju, kad EDS bultiĦas virziens sakrīt ar sprieguma pieĦemto pozitīvo virzienu. Ja šie virzieni nesakrīt, jālieto pretējā (plusa) zīme. • Spriegums formulā ir nevis jebkurš, bet tikai spriegums uz šī konkrētā elementa. • Zīmi šajā formulā nosaka EDS un sprieguma virzieni, bet tā šeit nav atkarīga no strāvas virziena.

Elementu R, L un C vienādojumi Pārējo trīs elementu (R, L un C) vienādojumu izteiksmes ir pazīstamas no fizikas kursa. Lai tos pareizi lietotu elektriskajās ėēdēs, kad shēmā ir vairāki spriegumi un strāvas, nevar ignorēt arī to pieĦemtos pozitīvos virzienus. Tāpēc katram no elementu vienādojumiem pievienots zīmējums. Rezistīvā elementa (R) vienādojums

u

.

i

R

Formulā ir šāda (plusa) zīme tikai tad, ja sprieguma un strāvas pieĦemtie pozitīvie virzieni shēmā sakrīt.Vienādojums (tāpat kā sekojošie induktīvā un kapacitīvā elementa vienādojumi), saista dotā elementa strāvu ar spriegumu uz šī elementa (nevis kādu citu, kaut vieglāk pieejamu spriegumu!). Induktīvā elementa (L) vienādojums .


1. nodaĜa

14

Vienādojums (1.3) rāda, ka spriegums uz induktīvā elementa atkarīgs no strāvas i izmaiĦas ātruma. Piemēram, ja strāva nemainās, spriegums uz šī elementa ir vienāds ar nulli. Ja strāva laikā lineāri aug, tad shēmas fragmentā parādītais spriegums ir pozitīvs ar konstantu vērtību, utt. Atgādināsim šī vienādojuma fizikālo jēgu. Induktivitāte L ir viens no induktīvas spoles parametriem. Spolē ar vijumu skaitu w plūstošā strāva i rada magnētisko lauku, kura magnētiskās indukcijas plūsma Φ šėērso spoles vijumus. SaskaĦā ar elektromagnētiskās indukcijas likumu spolē inducējas pašindukcijas EDS e, kura vērtība ir atkarīga no magnētiskās plūsmas izmaiĦas ātruma:

. Šī izteiksme raksturo EDS, kura pozitīvais virziens sakrīt ar strāvas pieĦemto pozitīvo virzienu. Aizstāsim EDS ar tāda paša virziena spriegumu, izmantojot formulu (1.1):

. Spoles induktivitāte L ir atkarīga no tās vijumu skaita, izmēriem un magnētiskajām īpašībām. Tā ir proporcionalitātes koeficients starp spoles strāvu un tās radīto magnētisko plūsmu: . No pēdējām divām sakarībām tad arī izriet induktīvā elementa vienādojums (1.3).

Kapacitīvā elementa (C) vienādojums

u C

i

Vienādojums (1.4) rāda, ka kapacitīvajā elementā plūstošās strāvas i vērtība ir atkarīga no sprieguma izmaiĦas ātruma. Kondensatorā uzkrātās elektrības daudzums q ir proporcionāls kapacitātei C un spriegumam u. Tas attiecas arī uz kondensatora lādiĦa izmaiĦu un sprieguma izmaiĦu: dq = Cdu . Vienādojums (1.4) rāda, ka kapacitīvajam elementam pienākošā strāva (t.i., lādiĦa izmaiĦas ātrums) ir proporcionāla sprieguma u izmaiĦas ātrumam:

i=

dq du =C . dt dt

Jebkura formula ir pareiza tikai kopā ar tās lietošanas noteikumiem. Lietojot elementu (e, R, L un C) vienādojumus (1.1) ... (1.4), jāievēro sekojošais:

• formulas ir spēkā tikai elektrisko lielumu (u, i, e) momentānajām vērtībām, (bet ne vidējām vai vidējām kvadrātiskajām vērtībām),

• lietojot formulu, jāpārliecinās, ka tā tiešām saista viena konkrēta elementa lielumus (bet ne jebkurus viegli pieejamus spriegumus un strāvas!),

• zīme formulā atbilst zīmējumā parādītajai situācijai, kad abu elektrisko lielumu bultiĦu (t.i., pieĦemtie pozitīvie) virzieni sakrīt. Ja šie virzieni ir savstarpēji pretēji, zīme formulā ir jāmaina uz pretējo. Šie četru elementu vienādojumi, ievērojot zīmējumos parādītos nosacījumus, ir spēkā jebkurai aizvietošanas shēmai ar lineāriem elementiem R, L un C jebkurā režīmā (līdzstrāvas, maiĦstrāvas, trīsfāžu maiĦstrāvas, u.c. ėēdēs; stacionāros režīmos un pārejas procesos). Tos nepārveidotus izmanto, aprēėinot pārejas procesus. Uz vienādojumu (1.1) ... (1.4) pamata iegūst vienkāršākas, atvasinājumus nesaturošas sakarības līdzstrāvas un maiĦstrāvas ėēžu aprēėinam stacionāros režīmos.

Spriegumu un strāvu vienādojumi Shēmu topoloăijas pamatjēdzieni Lai aprēėinātu kādu konkrētu shēmu, nepietiek ar atsevišėu elementu vienādojumiem: ir jāprot arī apvienot vienādojumos dažādu elementu vai shēmas daĜu strāvas un spriegumus. Šai nolūkā iepazīsimies ar jēdzieniem, kurus lieto, lai aprakstītu shēmas savienojumu struktūru jeb topoloăiju. Shēmas īpašības nosaka nevis elementu izkārtojums vai savienotājvadu garums, bet tikai elementu Ē.Priednieks. Elektriskās ėēdes un to vienādojumi.


15

sastāvs, to parametri un shēmas topoloăija. Biežāk sastopamie topoloăiskie jēdzieni ir punkts, mezgls, zars, kontūrs un divpols. Punkts - jēdziens, bez kura elektrotehnikā vispār nav iespējams iztikt (mācību literatūrā gan - no tā visas nelaimes!). Ar šī jēdziena uzdevumu jau iepazināmies, aplūkojot spriegumu apzīmēšanu. Definēsim punktu šādi: 1) punkts ir jebkurš no diviem elementa (e, R, L vai C) izvadiem (vai poliem, reālā elektriskā ėēdē - spailēm), 2) divus vai vairākus punktus savienojot, to potenciāli neatšėiras, tāpēc tos var uzskatīt par vienu punktu. Piemēram, 1.5.,a att. shēmā ir 5 punkti. Atrodiet tos! Apzīmēti ir tikai divi no tiem, bet vajadzības gadījumā katram shēmas punktam varētu piešėirt savu simbolu-apzīmējumu. Mezgls - trīs un vairāk vadu savienojuma vieta. Kopā savienotus mezglus var uzskatīt par vienu mezglu. 1.5.,a att. shēmā no 5 tās punktiem divi (1 un 2) ir mezgli. Zars - shēmas daĜa ar vienu elementu vai ar vairākiem virknē slēgtiem elementiem, kas pievienota diviem mezgliem. 1.5.,a zīm. shēmā ir 3 zari, katrs no tiem ieslēgts starp mezgliem 1 un 2: 1) ar elementu E1, 2) ar elementiem R1, C un R2, 3) ar elementiem E2 un L. Šeit atkal lietots šėietami viegli saprotamais virknes slēguma jēdziens. Pieredze rāda, ka priekštati par slēgumu veidiem shēmās nereti ir kĜūdaini un tie jākoriăē. Šie jautājumi iztirzāti nedaudz vēlāk.

Kontūrs - noslēgts ceĜš shēmā, kas iet caur elementiem (e, R, L, C) un pa savienotājvadiem. Shēmā (1.5.,a att.) ir 3 kontūri: 1) ar elementiem E1, R1, C un R2, 2) ar elementiem R1, C, R2, L un E2, 3) ar elementiem E1, E2 un L. Dažkārt kontūru saista ar izvēlētu tā apejas virzienu. Piemēram šo 3 kontūru elementu minētā secība nozīmē, ka 1. un 3. kontūram apejas virziens pieĦemts pulksteĦa rādītāja kustības virzienā, bet 2. kontūram - pretēji tam. Divpols - shēmas daĜa, kas pieslēgta pārējai shēmai divos punktos. Vienkāršākie divpoli ir aizvietošanas shēmu elementi e, R, L un C. Divpolu, kas satur vismaz vienu EDS, sauc par aktīvu divpolu. Piemērs 1.5.,a att. shēmā: divpols ar elementiem E2 un L. Ja divpola sastāvā nav neviena EDS - par pasīvu divpolu. Divpola jēdzienu ieved, lai vienkāršotu shēmas analīzi, jo katram divpolam ir tikai 2 punkti, un to raksturo viens spriegums un viena strāva. Ja sprieguma un divpolā plūstošās strāvas pieĦemtie pozitīvie virzieni (bultiĦu virzieni) sakrīt, divpols nosacīti tiek uzskatīts par patērētāju. Ja tie ir savstarpēji pretēji - par avotu. Piemēram, 1.5.,b att. 1. divpolā strāvas i bultiĦas virziens (uz augšu) ir pretējs sprieguma uab bultiĦas virzienam. Šādi virzieni nozīmē pieĦēmumu, ka 1. divpols ir avots (ăenerators). Savukārt, 2. divpols nosacīti ir patērētājs, jo tajā strāvas un sprieguma bultiĦu virzieni ir savstarpēji pretēji. Iebilde “nosacīti “ nozīmē, ka aprēėinā iegūtas negatīvas jaudas p (sk. nodaĜas beigās) vērtības nozīmē, ka patiesais divpola režīms ir pretējs pieĦemtajam (divpols tad ir nevis avots, bet patērētājs - vai otrādi).

a)

b)

1.5. att. Ilustrācijas shēmu topoloăijas pamatjēdzieniem: a) shēma ar 5 punktiem, 2 mezgliem, 3 zariem un 3 kontūriem, b) divpola avota un patērētāja režīms.

Vienkāršākie slēgumu veidi Pamēăiniet atrast atbildes uz jautājumiem par elementu slēgumiem 1.6 att. parādītajā shēmā. Kā slēgti elementi R1 un R7: virknē, paralēli vai ne virknē, nedz arī paralēli? Pierakstiet atbildi. Pēc tam tāds pats jautājums attiecībā uz elementu pāriem: R1 un R2; R2 un R3; R2 un R5; R5 un R7; R5 un R8; R6 un R8; R1 un R9. Pēc tam saskaitiet rezultātus: cik virknes slēgumus un cik paralēlslēgumus aplūkotajos elementu pāros atradāt? Ja atbilde ir: “vienu virknes slēgumu un divus paralēlslēgumus”, tad pārejiet pie nākošā virsraksta. Pretējā gadījumā vajadzētu iepazīties ar divām sekojošām definīcijām.


1. nodaĜa

16

1.6.att. Atrodiet šajā shēmā virknē un paralēli slēgtus elementus!

Elementi ir savienoti paralēli, ja tiem ir 2 kopēji punkti. Piemēram, R3 un R6 nav slēgti paralēli, jo tiem ir tikai viens kopējs punkts (d). Turpretī elementi R6 un R8 ir slēgti paralēli, jo tiem ir 2 kopēji punkti (c un d). Acīmredzot, ja elementi ir slēgti paralēli, uz tiem ir viens un tas pats spriegums. Elementi ir savienoti virknē, ja shēmā eksistē ceĜš no viena elementa līdz otram (pa savienotājvadiem un caur elementiem), kurā nav mezglu. Piemēram, R1 nav slēgts virknē ar R7, jo nekādi nav iespējams nokĜūt no elementa R1 līdz R7, izvairoties no mezgliem (a, b, c vai d). Ja elementi ir slēgti virknē, caur tiem plūst viena un tā pati strāva. Tas jāievēro, nosakot strāvu skaitu shēmā un apzīmējot tās: pietiek apzīmēt strāvu vienā no virknē slēgtajiem elementiem. Pamēăiniet vēlreiz atbildēt uz iepriekšējiem jautājumiem, bet izmantojot dotās virknes un paralēlslēguma definīcijas. Tagad nebūs grūti atrast, ka paralēli slēgti ir tikai R5 ar R7 (kopēji punkti a un c), kā arī R6 ar R8. Vienīgais elementu pāris shēmā, kas atbilst virknes slēguma noteikumam ir R1 un R9.

Spriegumu vienādojumu sastādīšana Jebkurai shēmai, kurā ir vismaz 3 punkti, var sastādīt vismaz vienu spriegumu vienādojumu. Jebkuru spriegumu iespējams izteikt ar divu citu spriegumu summu šādi:

. kur 1, 2 un 3 - jebkuru izvēlētu shēmas punktu apzīmējumi. Šo sakarību, kuru mācību literatūrā droši vien neatradīsiet (!), nebūs grūti pierādīt, izmantojot tikai sprieguma definīciju:

a)

b)

1 2

u15

3

4

5 1.7.att. Ilustrācija spriegumu vienādojumu sastādīšanai: a) spriegums starp punktiem 1 u 3 ir vienāds ar divu citu spriegumu summu, b) spriegums u15 kā četru spriegumu summa.

Līdzīgi var parādīt, kā spriegumu izteikt ar vairākiem spriegumiem. Ja izvēlētie punkti apzīmēti ar secīgiem cipariem (1, 2, … , n-1, n), tad spriegumu vienādojumu varētu uzrakstīt šādā formā:

Piemēram, jebkurai shēmai ar vismaz 5 punktiem pareizs būs šāds vienādojums: Vienādojumu izveidošanas principu ilustrē 1.7.att. Ja spriegums vienādojuma kreisajā pusē ir, piemēram, u15 , tad labajā pusē 1) pirmā sprieguma bultiĦai jāsākas punktā 1, 2) katra nākošā sprieguma bultiĦai jāsākas punktā, uz kuru norāda iepriekšējā sprieguma bultiĦa, 3) pēdējā sprieguma bultiĦai jānorāda uz punktu 5. Tas pats citiem vārdiem: vienādojuma labajā pusē katra sprieguma (sākot ar otro) pirmais indekss sakrīt ar iepriekšējā sprieguma otro indeksu.



17

Strāvu vienādojumu sastādīšana Strāvu vienādojumu sastādīšanai var lietot sekojošu principu. Aplūkosim brīvi izvēlētu shēmas daĜu (ko ierobežo iedomāta noslēgta līnija, kas šėērso savienotājvadus, bet ne shēmas elementus). Tad jebkurā momentā šai shēmas daĜai pienākošo strāvu summa ir vienāda ar aizejošo strāvu summu. Praktiski gandrīz vienmēr strāvu vienādojumus nāksies sastādīt, izmantojot pirmo Kirhofa likumu, kas būtībā ir minētais princips, attiecināts uz mezgla punktu: jebkurā mezglu punktā strāvu momentāno vērtību algebriskā summa ir vienāda ar nulli.

Ievērojiet, ka zīmes vienādojumā nosaka strāvu pieĦemtie pozitīvie virzieni (t.i., bultiĦu virzieni shēmā), neatkarīgi no faktiskajiem virzieniem (tie, sastādot vienādojumu, nav jāzina). “Algebriskā summa” šeit nozīmē: strāvas, kuru bultiĦas shēmā ir vērstas uz apskatāmo mezglu, vienādojumā ieiet ar vienu zīmi (teiksim, “+”), bet tās strāvas, kuru bultiĦas vērstas prom no šī mezgla ar pretēju zīmi (“ −“). a)

b)

1.8. att. Shēmas fragmenti: mezgli ar pienākošām un aizejošām strāvām. 1.2. piemērs. 1.8.,a att. shēmā strāvu i1 un i3 bultiĦas vērstas mezgla A virzienā, strāva i2 vērsta prom no tā, tāpēc: 1.8.,b att. shēmā redzams shēmas fragments, kur punkti (a un a’) faktiski ir viena mezgla divas daĜas. Vispirms pavingrināsimies, uzrakstot strāvu vienādojumu izteiksmes katrai no tām: Praktiskos aprēėinos šo mezglu “savelk vienā punktā”. Tad strāva i2 shēmā un vienādojumā neparādās:

Divpola momentānā jauda Elektriskajā ėēdē notiek enerăijas pāreja no viena veida otrā. Piemēram, pat līdzstrāvai plūstot rezistorā, elektriskā enerăija nepārtraukti un neatgriezeniski pārveidojas siltuma enerăijā. No fizikas kursa zināms, ka induktīvas spoles magnētiskajā laukā uzkrātā enerăija ir proporcionāla strāvas kvadrātam, bet kondensatora elektriskā lauka enerăija ir proporcionāla sprieguma kvadrātam. Tas nozīmē, ka mainoties strāvām vai spriegumiem atsevišėās ėēdes daĜās, notiks arī enerăijas apmaiĦa un pārveidošanās citā enerăijas formā. Tā kā enerăijas izmaiĦa ir atkarīga no laika intervāla ilguma, kurā to novēro, tad ērtāks lielums enerăētisko procesu intensitātes raksturošanai ir jauda - enerăijas izmaiĦas ātrums, enerăijas izmaiĦa laika vienībā. Jaudas momentāno vērtību apzīmē ar p. Divpola ăenerētā vai patērētā momentānā jauda p ir proporcionāla abiem divpolu raksturojošiem lielumiem: sprieguma un strāvas momentānajām vērtībām:

Lietojot vienādojumu (1.7), jāievēro sekojošais: ja shēmā divpola strāvas un sprieguma pieĦemtie pozitīvie virzieni sakrīt - tad divpols nosacīti ir patērētājs. Ja šie virzieni nesakrīt, tad divpolu nosacīti uzskata par avotu (ăeneratoru). Dotā divpola režīms var būt pretējs pieĦemtajam un pat mainīties. Piemēram, ja kādā momentā divpola, kas nosacīti ir avots, momentānā jauda ir negatīva, tas nozīmē, ka tas dotajā momentā darbojas patērētāja režīmā. 1.3. piemērs. PieĦemsim ka induktīvā elementa L sprieguma u un strāvas i pieĦemtie virzieni sakrīt. Ar to šis elements nosacīti tiek uzskatīts par patērētāju. PieĦemsim, ka dotajā brīdī pozitīva strāvas i vērtība samazinās - tātad induktīvā elementā uzkrātā enerăija (tā proporcionāla strāvas kvadrātam) samazinās, tā tiek atdota pārējai ėēdei. Tas nozīmē, ka tagad induktīvais elements darbojas avota režīmā.


1. nodaĜa

18

Izmantojot vienādojumus (1.3) un (1.7) pie šāda secinājuma varētu nonākt arī tīri formāli. Tiešām, strāvai induktīvajā elementā samazinoties, spriegums uz tā ir negatīvs, jo saskaĦā ar vienādojumu (1.3) tas ir proporcionāls strāvas atvasinājumam. Sprieguma un strāvas reizinājums p (1.7) ir negatīvs - tas nozīmē, ka induktīvā elementa režīms ir pretējs pieĦemtajam - elements dotajā laika momentā darbojas kā avots.


2. NODAěA

LĪDZSTRĀVAS ĖĒDES Līdzstrāvas ėēdēs avotu EDS vai spriegumi laikā nemainās: u(t) = const. Tad stacionārā režīmā arī visas strāvas un spriegumi ėēdē ir laikā nemainīgi lielumi. Šādus konstantus EDS, spriegumus, strāvas un jaudas apzīmē ar lielajiem burtiem: E, U, I un P. Līdzstrāvas ėēžu vienādojumus var iegūt no pirmajā nodaĜā apskatītajiem. Vienādojumi vienkāršojas - tāpēc, ka laikā nemainīgu strāvu un spriegumu atvasinājumi ir vienādi ar nulli (di/dt = 0, du/dt = 0). Šajā nodaĜā aplūkotas līdzstrāvas ėēdes tikai stacionārā režīmā: to vienādojumi, aprēėina metodes, kā arī daži pielietojumi - vienkāršākās shēmas un režīmi. Pārejas procesi līdzstrāvas ėēdēs - 6. nodaĜā.

Līdzstrāvas ėēžu vienādojumi Iepriekšējā nodaĜā iepazināmies ar septiĦiem aizvietošanas shēmu vienādojumiem: četru elementu vienādojumiem, spriegumu un strāvu vienādojumiem un divpola jaudas formulu. Tie attiecas uz elektrisko lielumu momentānām vērtībām (e, u, i, p) un ir spēkā jebkurai lineārai elektriskai ėēdei. Līdzstrāvas ėēdēs EDS, spriegumu, strāvu un jaudu vērtības (E, U, I, P) vienlaikus ir arī momentānās vērtības. Tomēr vienādojumu pielāgošana līdzstrāvas ėēdēm neaprobežojas tikai ar apzīmējumu nomaiĦu. Šajā nodaĜā parādīts arī, kā atbrīvoties no induktīviem un kapacitīviem elementiem, kas ir otrais Kirhofa likums (2.5a), un dotas ekvivalento pārveidojumu formulas. Līdzstrāvas ėēžu vienādojumi kopā ar 1. nodaĜas pamatvienādojumiem parādīti sekojošā tabulā. Zemāk būs paskaidrota to iegūšana un lietošanas noteikumi. 2.1. tabula. Līdzstrāvas ėēžu pamatformulas.

Vienādojumi Elementu vienādojumi Spriegumu


Līdzstrāvai

u = −e

U = −E

u=Ri

U=RI

u = L di/dt

U=0

i = C du/dt

I=0

u13 = u12 + u23

U13 = U12 + U23

(1.1), (2.1) (1.2), (2.2) (1.3), (2.3) (1.4), (2.4) (1.5), (2.5)

un strāvu vienādojumi

-

∑±E= ∑±RI

S∑±i=0

S ±S ∑ ± I = 0

(2.5a) (1.6), (2.6)

Divpola jauda

p=ui

P=UI

(1.7), (2.7)

Elementu vienādojumi Lai pielāgotu EDS un rezistīva elementa R vienādojumus lietošanai līdzstrāvas ėēdēs, vienādojumos (1.1) un (1.2) tikai nomainīsim apzīmējumus: momentānās vērtības (u, i, e) aizstāsim ar konstantām vērtībām (U, I, E). Blakus katram no elementu vienādojumiem parādīts arī shēmas fragments, lai uzsvērtu, ka formula un zīme tajā attiecas tikai uz šādu situāciju.

U E U I

R

Elementa E vienādojumā (2.1) mīnusa zīme ir tad, ja EDS un sprieguma U pieĦemtie virzieni sakrīt. Ievērojiet, ka zīme formulā nav atkarīga no pieĦemtā strāvas virziena. (2.2) ir rezistīvā elementa R vienādojums. Šādu formu, kurā izteiksmes pretējās pusēs ir strāva un spriegums, kā arī koeficients - pretestība vai vadītspēja, elektrotehnikā sauc par Oma likuma izteiksmi.

Induktīvā vai kapacitīvā elementa vienādojums satur strāvas (sprieguma) atvasinājumu.

2. nodaĜa

20

Induktīvā elementa vienādojumā (1.3) atvasināmā strāva ir laikā nemainīga - tāpēc līdzstrāvas ėēdē (protams, stacionārā režīmā, bet ne pārejas procesos) spriegums uz induktīva elementa ir vienāds ar nulli:

Vienādojuma (2.3) fizikālā jēga ir šāda. Pašindukcijas EDS spolē var rasties tikai magnētiskā lauka izmaiĦu rezultātā. Spolē plūstoša līdzstrāva rada laikā nemainīgu magnētisko lauku, tāpēc EDS idealizētā spolē (neievērojot tās pretestību R) un spriegums uz tās ir nulle. No kapacitīvā elementa vienādojuma (1.4), ja spriegums u laikā nemainās, varam secināt, ka līdzstrāvas ėēdē strāva caur kondensatoru neplūst:

i

C

du dt

I = 0.

(2.4)

Elementu L un C vienādojumus var padarīt uzskatāmākus, izdarot izmaiĦas shēmā (2.1.att). Vienādojums (2.3) nozīmē arī to, ka līdzstrāvas ėēdē stacionārā režīmā induktīvu elementu var aizstāt ar savienotājvadu (jo arī starp tā galiem spriegums ir vienāds ar nulli). Vienādojums (2.4) nozīmē, ka kapacitīvu elementu shēmā var aizstāt ar ėēdes pārtraukumu - arī pa to strāva neplūst.

2.1.att. Induktīvā un kapacitīvā elementa aizstāšana shēmā.

Tātad līdzstrāvas ėēdēs četru elementu vietā ir jārēėinās vairs tikai ar diviem elementu tipiem (E un R). Arī vienādojumi ir vienkāršāki – tie vairs nesatur atvasinājumus. Un beidzot, visbiežāk sastopamais vienādojuma (2.1) pielietojums parādīts 2.2.att. Ja ėēdē ir tikai viens avots, tad shēmā to parasti attēlo nevis ar EDS, bet ar tā spriegumu U. EDS aizstāts ar pretēja virziena spriegumu U = E. Tas saskan ar vienādojuma (2.1) noteikumiem: ja sprieguma un EDS virzieni nesakrīt, tad formulā mīnusa zīmi nomaina ar plusa zīmi. 2.2.att. Tā EDS aizstāj ar spriegumu.

Spriegumu un strāvu vienādojumi Pielāgosim spriegumu un strāvu vienādojumus (1.5), (1.5’) un (1.6) līdzstrāvas ėēdēm. Bez tam iepazīsimies citu spriegumu vienādojumu sastādīšanas principu - izmantojot otro Kirhofa likumu. Spriegumu vienādojums Spriegumu vienādojumā (1.5) tikai jānomaina apzīmējumi:

kur 1, 2, 3 ir brīvi izvēlētu shēmas punktu apzīmējumi. Piemēram, daži spriegumu vienādojumi 2.3. att. shēmai: Shēmās ar lielāku punktu skaitu vienu spriegumu var aprēėināt kā vairāku spriegumu summu:


Līdzstrāvas ėēdes

21

Pirmais spriegums vienādojuma labajā pusē sākas punktā 1, katrs nākošais spriegums - punktā, uz kuru vērsts iepriekšējais spriegums, bet pēdējais spriegums vērsts uz punktu n. Piemēram, 2.3. att. shēmai spēkā ir sekojoši spriegumu vienādojumi:

Tas ir spriegumu vienādojums, kuru lieto, aprēėinot līdzstrāvas ėēdes ar Kirhofa vienādojumu metodi vai ar tai radniecīgo kontūrstrāvu metodi. Ārzemju literatūrā otrais Kirhofa likums ir pazīstamāks ar nosaukumu “Kirhofa spriegumu vienādojums”. Otrais Kirhofa likums

Noslēgtā kontūrā visu EDS algebriskā summa vienāda ar spriegumu kritumu uz rezistīvajiem elementiem (RI) algebrisko summu. Algebriskā summa nozīmē, ka vienādojumā ar plusa zīmi ievieto tos EDS un strāvas, kuru pieĦemtie virzieni sakrīt ar kontūra apejas virzienu. Pārējos EDS un strāvas ar mīnusa zīmi. a) b)

1 R4

R1 I4 I1

6

R3 5

2

E1 3

I2 I3 E2

R2 4

2.3.att. a) otrā Kirhofa likuma pielietojums, b) kontūrs vienādojuma izvedumam.

Piemērs. Uzrakstām otrā Kirhofa likuma izteiksmi, apejot 2.3.,a att. shēmā parādīto kontūru pulksteĦa rādītāja kustības virzienā. Vienādojumā ar plusa zīmi ieiet tikai tie lielumi, kuru pieĦemtie pozitīvie virzieni sakrīt ar kontūra apejas virzienu: E2, un I2: Parādīsim, kā iegūt otrā Kirhofa likuma izteiksmi, izmantojot līdzstrāvas ėēžu pamatvienādojumus (2.1), (2.2) un (2.6). Visiem avotiem shēmā (2.3.,b att.) jābūt attēlotiem ar EDS (nevis ar spriegumiem). Sākumā uzskatīsim, ka visu EDS un strāvu virzieni sakrīt ar izvēlēto kontūra apejas virzienu (šeit - pulksteĦa rādītāja kustības virzienā). Apzīmēsim visus kontūra punktus ar secīgiem cipariem 1…n. Spriegums U11, protams ir nulle. Izteiksim to ar kontūra elementu spriegumu summu, izejot no punkta 1 un atgriežoties tajā. Tātad summēsim.visu izvēlētā kontūra spriegumus: . Tas nozīmē, ka visu kontūra elementu spriegumu summa ir vienāda ar nulli, ja visu spriegumu virzieni izvēlēti kontūra apejas virzienā. Piemēram, 2.3.,b attēlā parādītajam kontūram ir spēkā vienādojums:

Līdzstrāvas ėēdē jārēėinās tikai ar diviem elementu tipiem, tādēĜ, apejot kontūru, sastapsim tikai spriegumus uz elementiem E un R. Aizvietosim šos spriegumus, izmantojot elementu vienādojumus (2.1) un (2.2): . Atsakoties no sākotnējā pieĦēmuma, ka visu EDS un strāvu pieĦemtie virzieni sakrīt ar kontūra apejas virzienu, iegūstam otrā Kirhofa likuma izteiksmi (2.5a). Strāvu vienādojums

Piemērojot strāvu vienādojumu jeb pirmo Kirhofa likumu (1.6) līdzstrāvas Ē.Priednieks. Elektriskās ėēdes un to vienādojumi.

2. nodaĜa

22

ėēdei stacionārā režīmā, pietiek tikai izmainīt apzīmējumus. Momentānās vērtības aizstājot ar konstantām; tās apzīmē ar lielajiem burtiem:

Strāvu vienādojuma formulējums ir tāds pats kā iepriekšējā nodaĜā: strāvu algebriskā summa shēmas mezglā ir vienāda ar nulli; summē tikai mezglam pienākošās un no tā aizejošās strāvas; “algebriskā summa” nozīmē to, ka strāvas, kuru bultiĦas (t.i., pieĦemtie pozitīvie virzieni) vērstas uz šo mezglu, vienādojumā ieiet ar vienu (piemēram, plusa) zīmi, bet pārējās strāvas - ar pretēju zīmi.

Divpola jaudas formulas Piemērojot divpola jaudas formulu (1.7) līdzstrāvas ėēdei, tajā tikai jānomaina apzīmējumi: Šo jaudas formulu var konkretizēt speciālgadījumiem: ja divpols ir viens no elementiem - EDS E vai rezistīvs elements R. TādēĜ vienādojumā (2.7) ievieto elementu vienādojumus (2.1) un (2.2). Rezistīvs elements R var būt tikai enerăijas patērētājs. No (2.7) un (2.2) iegūstam visbiežāk lietojamo formulu rezistīvā elementā izdalītās jaudas aprēėināšanai: Elements E var darboties ne tikai kā avots, bet arī kā patērētājs. Atcerēsimies, ka divpola režīmu noteicām, salīdzinot sprieguma un strāvas virzienus: ja tie sakrīt, tad divpols ir patērētājs. SaskaĦā ar (2.1) spriegumam atbilst pretējas polaritātes EDS. Tātad dotā EDS režīmu var noteikt, salīdzinot EDS un strāvas virzienus: ja tie sakrīt, tad elements E darbojas kā avots. Un otrādi, ja strāvas virziens šajā elementā ir pretējs EDS virzienam, tad elements E ir patērētājs. Citiem vārdiem, avota režīmā strāva plūst tā, kā to norāda paša avota EDS. Patērētāja režīmā ārējā ėēde uzspiež citu strāvas virzienu - pretēju EDS virzienam.

Abos gadījumos ăenerētā vai patērētā jauda saskaĦā ar (2.1) un (2.7) ir skaitliski vienāda ar EDS un strāvas reizinājumu: . Šajā formulā jālieto absolūtās vērtības, jo zīmes jau reiz izmantotas - novērtējot, vai EDS darbojas avota vai patērētāja režīmā. Jaudu P līdzstrāvas ėēdēs mērī vatos (W).

Ekvivalenti pārveidojumi līdzstrāvas ėēdēs Aprēėina gaitā atsevišėas shēmas daĜas nākas pārveidot, lai shēmu vienkāršotu. Shēmas daĜas pārveidojums ir ekvivalents, ja tā rezultātā pārējās (nepārveidotās) daĜas režīms (t.i., visas strāvas un spriegumi) neizmainās. Zemāk aplūkotas dažu rezistīvo elementu slēgumu ekvivalento pārveidojumu formulas. 2.4.,a att. parādīts ėēdes posms AB ar virknē slēgtiem rezistīviem elementiem R1, R2, R3. Aizstāsim tos ar vienu pretestību R - tādu, lai pārveidojums būtu ekvivalents.

Virknes slēguma ekvivalentā pretestība

2.4. att. Pretestību virknes slēguma ekvivalenta pārveidošana.

Tad abos gadījumos strāvai I jābūt vienai un tai pašai. Tā kā arī spriegumam UAB abās shēmās jābūt vienam un tam pašam, varam pielīdzināt šī sprieguma izteiksmes:

U AB = R I = ( R1 + R 2 + R3 ) I . No tām izriet, ka virknes slēguma ekvivalentā pretestība ir vienāda atsevišėo pretestību summu:

Paralēlslēguma ekvivalentā pretestība

PieĦemsim, ka vairāki rezistīvi elementi R1, R2, R3 (2.5.att.) slēgti paralēli. PieĦemot, ka spriegums UAB abās shēmās ir



23

viens un tas pats, arī strāvas vērtībai abās ekvivalentās shēmās jābūt tai pašai.

2.5.att. Pretestību paralēlslēguma ekvivalenta pārveidošana.

Uzrakstām strāvas izteiksmes abām shēmām un pielīdzinām tās:

Tāpēc paralēlslēguma ekvivalentā vadītspēja (1/R) ir vienāda ar atsevišėo zaru vadītspēju summu:

Ievērosim, ka pretestībai pievienojot paralēli vēl kādu pretestību, ekvivalentā pretestība samazinās. Šo faktu var izmantot aprēėinu pareizības kontrolei: paralēlslēguma ekvivalentajai pretestībai ir jābūt mazākai pat par vismazāko no paralēli slēgtajām pretestībām. Ievērību pelna arī sekojošie divi speciālgadījumi. 1. Paralēli slēgti ir tikai divi zari. Tā ir pārāk bieži sastopama situācija, lai katru reizi nodarbotos ar formulas (2.9) pārveidošanu. Izdarīsim to vienreiz, un turpmāk lietosim šādu izteiksmi: R ⋅R R= 1 2 . R1 + R2 Ievērojiet: šī formula derēs tikai gadījumā ar 2 paralēliem zariem! Neriskējiet ar līdzīgu formulu (varat pārbaudīt!) trīs un vairāk paralēlu zaru gadījumā! 2. Posms ar īsslēgumu: viena no paralēli slēgtajām pretestībām ir vienāda ar 0. Tad visa šī posma ekvivalentā pretestība ir nulle (jo tā taču nevar būt lielāka par vismazāko no pretestībām). Spriegums uz šāda īsslēgta posma ir vienāds ar 0 (jo abi posma mezgli savienoti ar zaru bez pretestības). Nedrīkst neredzēt, ka strāva zaros ar pretestībām neplūst (I = 0/R = 0); visa strāva caur šo posmu plūst zarā bez pretestības, jo tikai tur strāva (I = 0/0: nenoteiktība!) var nebūt vienāda ar nulli.

Līdzstrāvas ėēžu ar vienu avotu analīze Līdzstrāvas ėēdes ar vienu avotu aprēėina, izmantojot ekvivalentus pārveidojumus. Shēmu pakāpeniski vienkāršo, kamēr iegūst viegli aprēėināmu shēmu. Tajā atrod visu strāvu un spriegumu vērtības. Pēc tam rezultātus pakāpeniski pārnes atpakaĜ uz sākotnējo shēmu, ievērojot, ka visi pārveidojumi ir ekvivalenti - tātad katrām divām secīgām shēmām ir kopēja nepārveidota daĜa. Uz jautājumu, ko uzskatīt par viegli aprēėināmu shēmu, atbilde ir pavisam konkrēta: shēma vairs nav jāvienkāršo, ja iegūts viens no diviem šādiem shēmas tipiem: 1) virknes slēgums, 2) shēma, kurā ir tikai 2 mezgli, t.i., shēma, kas satur tikai paralēlus zarus. Virknes slēgumam (piemēram, 2.4.,a att), kam pielikts spriegums U, strāvu I aprēėina, spriegumu U dalot ar ekvivalento pretestību. Spriegumu uz atsevišėiem elementiem atrod, izmantojot rezistīvā elementa vienādojumu (2.2):

Virknes slēgums

Mazāk acīmredzami, ka tālāk nav jāpārveido arī shēma, kas sastāv tikai no paralēliem zariem. Lieki būtu aprēėināt visas shēmas ekvivalento pretestību, ja iespējams uzreiz atrast strāvu katrā zarā (izdalot spriegumu, kas kopējs visiem zariem, ar katra zara pretestību - zarā var būt elements R vai šo elementu virknes slēgums). Shēmas kopējo strāvu atrod, summējot visu zaru strāvas.

Shēma ar diviem mezgliem


2. nodaĜa

24

Piemēram, 2.6. att. shēmu aprēėina šādi:

2.6. att. 2.1. piemērs. Šis ir vienkāršākais gadījums, kad shēma ir ekvivalenti jāpārveido. Dotie lielumi 2.7.,a att. shēmā: U = 200 V, R1 = 20 Ω, R2 = 400 Ω, R3 = 100 Ω. Aprēėināt visas strāvas. Atrisinājums. Pārveidojam shēmu, aizstājot elementu R2 un R3 paralēlslēgumu ar ekvivalento pretestību R23:

Izveidojas shēma (2.7.,b att.), kurā ir tikai virknes slēgums. Tālāk tā vairs nav jāpārveido. Aplūkojot abas shēmas, ievērosim, ka to kopējā, nepārveidotā daĜa ir - avots ar spriegumu U, rezistors R1 ar strāvu I1 , kā arī punkti A un B, starp kuriem abās shēmās ir viens un tas pats spriegums UAB. a)

b)

R1

A

I1 R23

U B 2.7. att. Piemērs ar shēmas ekvivalentu pārveidojumu. Aprēėinām tos lielumus, kurus pārnesīsim atpakaĜ uz pirmo shēmu:

Tagad arī pirmajā shēmā spriegums UAB ir zināms. Tas atĜauj aprēėināt strāvas posmā AB:

. Tā, lūk, aprēėina šo vienkāršo shēmu. Katru gadu eksāmenā ne viens vien mēăina to aprēėināt vēl “vienkāršāk”. Piemēram, strāvu I1 “aprēėina”, izdalot spriegumu U ar R1. No šādām idejām (teiksim, I2 = U / R2 ?) uzmanieties! Izpētiet, kāpēc tās ir visrupjākās kĜūdas! Vienmēr pārbaudiet iegūtos rezultātus! Sastādiet aprēėinātajai shēmai vienādojumus, izmantojot pamatvienādojumus (2.1), (2.2), (2.5) un (2.6), pārbaudot ievietojiet tajos skaitliskās vērtības.

Līdzstrāvas ėēžu un režīmu piemēri Sprieguma dalītājs Virknē slēgti rezistīvi elementi veido sprieguma dalītāju.. 2.8.,a att. shēmā tie ir R1 un R2. Ja ėēdei pieslēgts spriegums, abos elementos plūst viena un tā pati strāva I. Vienādojumi (2.5) un (2.2) atĜauj saskatīt, ka spriegums U sadalās proporcionāli elementu pretestībām:

Uz rezistora R2 var iegūt jebkuru sprieguma vērtību U2, kas mazāka par avota spriegumu U. Taču jārēėinās ar jaudas zudumiem rezistorā R1, tādēĜ sprieguma dalītāju lieto tikai nelielas jaudas ėēdēs.



25

Pārliecināsimies par to. Par lietderīgu uzskatīsim tikai jaudu, kas izdalās rezistorā R2. Shēmas lietderības koeficients η ir atkarīgs no spriegumu sadalījuma:

Piemēram, izvēloties tādu pretestību attiecību , lai uz elementa R2 spriegums būtu 5 reizes mazāks par spriegumu U, - lietderības koeficients būtu tikai 0,2, kas lielas jaudas ėēdēs nebūtu pieĦemami. 2.8.,b att. parādīta populāra mazas jaudas shēma: reostats potenciometra slēgumā. Te izmanto reostata 3 punktus: atkarībā no slīdkontakta stāvokĜa mainās attiecība R1 / R2 - tātad arī spriegums uz potenciometra posma R2. Slodzes pretestību R pieslēdz paralēli šim posmam. Tad spriegums U sadalās ne vairs attiecībā R1 / R2, bet to iespaido arī R vērtība: . Pēdējās izteiksmes saucējs ir paralēli slēgto R un R2 ekvivalentā pretestība, kas maz atšėirsies no R2 tikai pie nosacījuma, ka R >> R2 . Tāpēc izmantojot potenciometru, jāĦem vērā, slodzes pretestība R neietekmēs spriegumu sadalījumu tikai tad, ja tās vērtība ievērojami pārsniegs potenciometra pretestības vērtību. a)

b)

c)

2.8.att .a) sprieguma dalītājs, b) potenciometrs ar maināmu slodzes pretestību R, c) aizvietošanas shēmā.

Līdzstrāvas tilta shēma Līdzstrāvas tilts ir 2.8.att. parādītā shēma, kas izveidota no diviem sprieguma dalītājiem - R1 / R2 un R3 / R4 , kuru viduspunktus savieno zars ar rezistoru R0. Sprieguma dalītāji sadalīs spriegumu U vienādi, ja to pretestību attiecības būs vienādas:

Pastāvot šādam nosacījumam, punktu a un b potenciāli būs vienādi (t.i., Uab = 0), tāpēc elementā R0 strāva neplūdīs. Šo režīmu sauc par tilta līdzsvaru, un pēdējo izteiksmi - par tilta līdzsvara nosacījumu. a) b)

R1 U

a

R0

R3 b

R2 I0

R4

2.9. att. a) līdzstrāvas tilta shēma, b) pretestības R4 mērīšana.

Viens no tilta shēmas pielietojumiem: to izmanto pretestību mērīšanai. PieĦemsim, ka jānosaka pretestības R4 vērtība, bet divu pretestību vērtības (piemēram, R1 un R2 ) ir zināmas. Trešai pretestībai (R3) jābūt maināmai, pie tam ar nolasāmu vērtību (tādas ir laboratorijās lietojamās pretestību magazīnas). Strāvu zarā ab kontrolē ar jutīgu ampērmetru. Regulējot maināmās pretestības R3 vērtību, panāk tilta līdzsvaru (I0 = 0). Tad nezināmo pretestību R4 aprēėināt ar izteiksmi, kas izriet no tilta līdzsvara nosacījuma: R4 = R2 R3/ R1. Ē.Priednieks. Elektriskās ėēdes un to vienādojumi.

2. nodaĜa

26

Aktīva divpola darba režīmi Aplūkosim gadījumu, kad līdzstrāvas ėēdē ir patērētājs (slodze) ar maināmu pretestību. Izrādās, ka visu pārējo ėēdi - neatkarīgi no tās konfigurācijas un avotu skaita tajā - var ekvivalenti aizstāt ar tādu vienkāršu aktīvu divpolu kā EDS un rezistīvā elementa virknes slēgums. PaĦēmienu, kā to izdarīt, šeit vēl neapskatām; šim nolūkam izmanto vienu no elektrisko ėēžu aprēėina metodēm - ekvivalentā ăeneratora metodi. 2.10.,a att. shēmā abi aktīvā divpola parametri E un R1 ir konstanti. Maināmā slodzes pretestība apzīmēta ar R2. 2.10.,b att. parādīta shēma aktīvā divpola režīmu eksperimentālai pētīšanai. Atšėirība no iepriekšējās shēmas: EDS aizvietots ar līdzvērtīgu pretēji vērstu spriegumu U = E. Dažādus režīmus iegūst, patērētāja pretestību R2 mainot no bezgalības līdz nullei. Abiem galējiem režīmiem ir nosaukumi (sk. 2.11.,a att). Režīmu, kad ėēde ir pārtraukta (I = 0) – tad uzskatīsim, ka maināmā pretestība R2 ir bezgalīgi liela -, sauc par tukšgaitas režīmu. Vislielāko iespējamo strāvas vērtību iegūst, ja slodzes pretestība R2 samazināta līdz nullei. Šo režīmu sauc par īsslēguma režīmu, un strāvu - par īsslēguma strāvu Iīs = U/R1. a)

b)

R1 E

R2

2.10. att. a) aktīvs divpols (E un R1) ar slodzi (R2), b) EDS aizstāts ar spriegumu U.

Atradīsim, kā, mainot ėēdes darba režīmu no tukšgaitas līdz īsslēgumam, mainās spriegumi un jaudas ėēdē, pievēršot vērību šādiem jautājumiem: 1) kā mainās spriegums uz patērētāja UBC? 2) kurā režīmā patērētājā izdalīsies vislielākā jauda? 3) kā mainās ėēdes lietderības koeficients? Visos grafikos 2.10. att. uz abscisu ass būs strāva I diapazonā no nulles līdz īsslēguma strāvas vērtībai. a)

b)

2.11. att. Spriegumu un jaudu grafiki

Spriegumu atkarība no strāvas

2.10.,b att. shēma ir sprieguma dalītājs ar vienu maināmu pretestību. Aplūkosim trīs sakarības, kas raksturo spriegumus:

UAB R1 I , UBC

R2 I , UBC U UAB .

Pirmā no tām nozīmē, ka spriegums UAB uz konstantās pretestības R1 ir proporcionāls strāvai - tā grafiks aug lineāri līdz ar strāvu. Otrā izteiksme nav ērta analīzei, jo tajā abi lielumi (R2 un I) ir mainīgi, tāpēc dosim priekšroku trešajai sakarībai. Tā ir ērta, lai atrastu spriegumu UBC kā divu zināmo spriegumu starpību. Starp citu, šāda situācija būs sastopama bieži: ja kādu spriegumu nevar atrast, izmantojot Oma likumu, paliek iespēja izmantot spriegumu vienādojumu. Spriegumu grafiki atkarībā no strāvas redzami 2.11.,a att. Pievērsiet uzmanību sprieguma UBC grafikam: pieaugot strāvai, spriegums uz maināmās slodzes pretestības samazinās. Līdzīgu parādību var novērot, ja slogo jebkuru līdzstrāvas avotu.



27

Īpašs nosaukums dots vēl vienam režīmam (skat. 2.11.,a att.): saskaĦotais režīms. To iegūst, ja abas sprieguma dalītāja pretestības ir vienādas: R2 = R1. Kopējā pretestība (R1+R2) tad ir 2 reizes lielāka nekā īsslēguma režīmā, tāpēc strāva ir 2 reizes mazāka par īsslēguma strāvu. Spriegums U sadalās divās vienādās daĜās. Arī abu rezistoru patērētās jaudas saskaĦotajā režīmā ir vienādas. Ar ko šis režīms ievērojams - redzēsim, analizējot jaudu grafikus.. Jaudu atkarība no strāvas

Jaudas 2.10.,b shēmā apraksta šādas sakarības:

P UI , PAB

R1 I 2 , PBC

R2 I 2 , PBC

P PAB .

Pirmā no tām ir taisnes vienādojums, jo U = const. Tātad kopējā patērētā jauda, pieaugot slodzes strāvai, pieaug lineāri. Otrā izteiksme parāda, ka jaudai PAB, kas izdalās nemainīgajā pretestībā R1, grafiks ir parabola. Tukšgaitā arī šī jauda vienāda ar nulli. Otru parabolas punktu atrodam saskaĦotajā režīmā: katra no pretestībām tad patērē pusi no kopējās jaudas P. Trešais parabolas punkts: īsslēguma režīmā R2 = 0, tāpēc PAB = P. Jaudas PBC grafika raksturu novērtēsim izmantojot ceturto no izteiksmēm. No 2.10.,b att. grafika saprotams, kāpēc saskaĦotajam režīmam ir īpašs nosaukums: saskaĦotajā režīmā maināmajā slodzes pretestībā izdalītā jauda sasniedz maksimumu. Strāvas vērtību, pie kuras lietderīgā jauda sasniedz maksimālo vērtību, varētu atrast arī analītiski, pielīdzinot nullei jaudas izteiksmes atvasinājumu pēc strāvas:

Redzam, ka šī strāvas vērtība ir puse no īsslēguma strāvas - tātad tiešām saskaĦotajā režīmā. Uzskatīsim, ka jaudas lietderīgā daĜa ir slodzes pretestībai R2 piegādātā jauda. Tad lietderības koeficients η ir slodzes patērētās jaudas attiecība pret kopējo jaudu. Pēc pārveidojuma iegūstam:

Lietderības koeficienta atkarība no strāvas

Tā kā U = const, tad lietderības koeficienta grafiks ir līdzīgs sprieguma UBC grafikam. Mērogu atradīsim, zinot, ka saskaĦotajā režīmā lietderīgā jauda ir tieši puse no kopējās jaudas. η 1,0

2.12. att. Lietderības koeficienta grafiks.

1

0,5

tukšgaita

2

saskaĦotais režīms

īsslēgums

I

Grafiks 2.11. att. rāda, ka tuvojoties tukšgaitas režīmam lietderības koeficients tuvojas 100% vērtībai. Un otrādi, palielinot slodzes strāvu, jaudas zudumi pieaug un lietderības koeficients samazinās līdz pat nullei īsslēguma režīmā.

Iegūtos rezultātus var attiecināt uz jebkuru līdzstrāvas ėēdi, kurā ir maināma slodze, jo ikvienu šādu ėēdi var aprakstīt ar šo aizvietošanas shēmu (2.10. att.): aktīvs divpols ar maināmu slodzes pretestību R2 . Piemērs: līdzstrāvas pārvades līnija - tad spriegums U nozīmē spriegumu līnijas sākumā, UBC spriegumu līnijas beigās, UAB - sprieguma kritumu līnijā. R1 - pārvades līnijas vadu pretestību; PAB jaudas zudumus līnijā, PBC - slodzes pretestībā izdalīto jaudu. Vai secinājums: “šādā veidā enerăijas pārvade lielos attālumos nav iespējama” ir pareizs?. Atbildi varat pārbaudīt 3. nodaĜas sākumā. Otrs piemērs: iegūtos secinājumus var attiecināt uz līdzstrāvas avotu (piemēram, līdzstrāvas ăeneratoru vai akumulatoru bateriju), uzskatot, ka U attēlo avota EDS, UBC - spriegumu uz avota spailēm, bet R1 - avota iekšējo pretestību. Grafiks UBC=f(I) - pareizāk, tā sākuma daĜa, - ir tipiska līdzstrāvas avota ārējā raksturlīkne. Šos rezultātus izmanto arī, saskaĦojot elektronikas shēmu divas pakāpes, lai no vienas nākošajai pievadītu vajadzīgo spriegumu vai jaudu: tādā gadījumā U - iepriekšējās pakāpes EDS, R1 - tās izejas pretestība, UBC - spriegums nākošās pakāpes ieejā, bet R2 - nākošās pakāpes ieejas pretestība, u.t.t. Jautājumā par visizdevīgāko režīmu viennozīmīga atbilde nav iespējama. Piemēram, enerăētikā lielu jaudu gadījumā - noteicošais ir lietderības koeficients, un darba režīmi jāizvēlas daudz tuvāk Ē.Priednieks. Elektriskās ėēdes un to vienādojumi.

2. nodaĜa

28

tukšgaitai nekā saskaĦotajam režīmam (punkts 1 lietderības koeficienta grafikā 2.12. att.) - Ĝoti tālu no īsslēguma režīma. Šādu režīmu iegūst, ja, piemēram, avota pretestība R1 ir daudzkārt mazāka par slodzes pretestību R2. Turpretī nelielas jaudas ėēdēs - piemēram, automātikā vai radiotehnikā - bieži vien ir nepieciešams nodot no vienas shēmas daĜas otrā maksimāli iespējamo jaudu, nerēėinoties ar zudumiem - tad izvēlas režīmu saskaĦotā režīma rajonā (2.12. att. - punkts 2). Nobeigumā nedaudz kuriozs fakts. 19. gs. otrajā pusē viens no ievērojamiem fiziėiem deklarēja, ka līdzstrāvas avota lietderības koeficients principā nevarot pārsniegt 50% vērtību. Pamatojums tam acīmredzot bija apstāklis, ka režīmā ar maksimālo patērētājam nododamo jaudu lietderības koeficients tiešām ir 50%. Aplūkojiet uzmanīgi 2.11.,b. att. un 2.12. att. grafikus, un varēsiet viegli novērtēt, vai minētais izteikums ir pareizs.

Līdzstrāvas ėēžu ar vienu avotu analīze (turpinājums) Līdz šim aplūkojām tikai vienkāršākos aprēėina paĦēmienus, lai tos izmantotu vienkāršāko shēmu un režīmu analīzei. Galvenās tēzes bija sekojošas: 1) shēmas ar vienu avotu aprēėina, izmantojot ekvivalentus pārveidojumus, 2) tālāku pārveidošanu neprasa shēmas ar virknes slēgumu un shēmas ar diviem mezgliem. Turpinājumā aplūkosim shēmas ar elementu trīsstūra un zvaigznes slēgumiem, kā arī līdzstrāvas ėēdes ar induktīviem un kapacitīviem elementiem. Tie nav pirmās nepieciešamības jautājumi, tāpēc pirmajā lasījumā tos varētu izlaist, uzreiz pārejot pie ėēžu ar vairākiem avotiem aprēėina metodēm.

Trīsstūra un zvaigznes slēgumu pārveidošana Shēmas ekvivalenti pārveidojot, var izveidoties situācija, kad shēmā nav ne virknes ne paralēlslēgumu Lai tomēr shēmu varētu vienkāršot, iepazīsimies ar trīsstūra un zvaigznes slēgumiem un to ekvivalentu pārveidošanu. Trīs elementus var savienot zvaigznē (2.12.,a att.) vai trīsstūrī (2.12.,b att.). a) b) 2.13. att. 3 elementu slēgumu veidi. Zvaigznes slēgumā 3 elementiem ir kopējs punkts (N). Šādu slēgumu pārējai shēmas daĜai pievieno 3 punktos: A, B un C. Trīsstūra slēgumā elementus savieno cikliski. Arī trīsstūri pieslēdz 3 punktos (A, B un C).

Rezistoru zvaigznes slēgumu var pārveidot trīsstūrī, kas pieslēgts tiem pašiem punktiem (šeit: A, B un C). Pārveidojums ir ekvivalents, ja izpildīti nosacījumi:

. Pretējais pārveidojums “trīsstūris - zvaigzne” ir ekvivalents, ja izpildīti nosacījumi.

. 2.2. piemērs. Atrodiet zvaigznes un trīsstūra slēgumus tilta shēmā (2.14. att.). Shēmā nav ne virknes, ne arī paralēlslēgumu. Tajā var atrast 2 zvaigznes un 2 trīsstūra slēgumus.

a R1 b

R0

R3 c R4

R2 d 2.14. att. Tilta shēma.

Zvaigznes slēgums: rezistori R1, R2 un R0. Kopējais punkts: b. Pievienojuma punkti shēmai: a, c un d. Otrs zvaigznes slēgums: R3, R0 un R4. Kopējais punkts: c. Pievienojuma punkti shēmai: a, b un d. Trīsstūra slēgums: rezistori R1, R0 un R3. Pievienojuma punkti: a, b un c. Otru trīsstūra slēgumu atrodiet patstāvīgi.



29

2.3. piemērs. Tilta shēmas aprēėins. Aprēėināt visas strāvas 2.15.,a att. parādītajā shēmā. Doti shēmas parametri : U = 130 V, R1 = R3 = R0 = 30 Ω, R2 = 10 Ω, R5 = 70 Ω. Atrisinājums. 1. Apzīmējam shēmā visus punktus un strāvas. Līdzstrāvas ėēdēs ar vienu avotu nav grūti noteikt gandrīz visus strāvu īstos virzienus - tos nosaka avota sprieguma virziens. Piemēram, šajā shēmā ne tik skaidrs ir vienīgi strāvas I0 virziens. To izvēlamies brīvi. 2. Shēmu var vienkāršot tikai ar pārveidojumu “zvaigzne - trīsstūris” vai “trīsstūris - zvaigzne”. Pārveidosim trīsstūra slēgumu, kuru veido rezistori R1, R0 un R3. Pārejot uz 2.15.,b att. shēmu, vispirms atbrīvosimies no šiem rezistoriem. Visa pārējā shēmas daĜa, ieskaitot arī punktus a, b un c, paliek nepārveidota. Tas nozīmē, ka strāvas tajā (I, I2 un I4), kā arī punktu a, b, c un d potenciāli (vai visi spriegumi starp šiem punktiem) paliek bez izmaiĦām. Punktiem a, b un c pievieno rezistoru Ra, Rb un Rc zvaigznes slēgumu. Ievērojiet, ka pārveidojuma rezultātā shēmā parādās jauns punkts e, kurā šie rezistori savienoti. Abas shēmas būs ekvivalentas, ja zvaigznes slēguma pretestību vērtības būs šādas:

. 3. Tagad visi 2.15.,b att. shēmas parametri zināmi. Šo shēmu var vienkāršot: pretestības Rb un R2 ir slēgtas virknē, tāpat arī Rc un R4. Aizstājam šos virknes slēgumus ar ekvivalentām pretestībām Rb2 un Rc4: Šīs pretestības ir slēgtas paralēli. Aizstājam tās ar posma ed ekvivalento pretestību:

4. Beidzot iegūta 2.15.,c att. shēma, kuru var aprēėināt, tālāk nepārveidojot:

, a)

b)

.

c)

a

I

R1

I1

R3

R0

b

U

I3

c

I2

R2

I0

I4

R4

d 2.15. att. a) tilta shēma, b) shēma pēc trīsstūra pārveidošanas zvaigznē, c) pēc nākošā pārveidojuma. 5. Izsekosim, kā rezultātus pakāpeniski pārnes atpakaĜ uz sākotnējo shēmu. Ievērosim, ka strāva I atrodas visu 3 shēmu nepārveidotajā daĜā, tāpēc to var pārnest atpkaĜ līdz pat sākotnējai shēmai. Tā kā abās pēdējās shēmās spriegums Ued ir viens un tas pats, var aprēėināt strāvas 2.15.,b att. shēmas paralēlajos zaros:

Šīs strāvas atrodas 1. un 2. shēmas kopējā daĜā, tāpēc arī tās var pārnest uz 1. shēmu (2.15.,a att.). 6. Tagad var atrast šo strāvu radītos sprieguma kritumus: un pēc tam arī visus pārējos spriegumus sākotnējā. shēmā:

. Tagad spriegumi uz visām pretestībām zināmi, un pārējās strāvas var atrast, izmantojot Oma likumu (2.2):

Rezultātus pārbaudām, uzrakstot strāvu vienādojumus mezgliem a, b un c:


2. nodaĜa

30

.

Ėēdes ar induktīviem un kapacitīviem elementiem Induktīvie un kapacitīvie elementi (L un C) būtiski ietekmē pārejas procesu (tie aplūkoti 6. nodaĜā) raksturu. Katra pārejas procesa sākumā un beigās ir stacionārs režīms. Tāpēc jau šeit aplūkosim dažos piemēros, kā aprēėināt stacionārus režīmus līdzstrāvas ėēdēs, kuros ir induktīvi vai kapacitīvi elementi. 2.4. piemērs. 2.16.,a att. parādīta līdzstrāvas ėēde ar induktīvu elementu L. Avota spriegums U = 60 V. Tam pieslēgta shēma ar parametriem: R1 =R2 = 20 Ω, L = 0,5 H. Aprēėināt strāvas. Atrisinājums. SaskaĦā ar (2.3), induktīvo elementu aizstājot ar savienotājvadu, iegūstam 2.16.,b att. shēmu. a)

b)

2.16. att.: a) līdzstrāvas ėēde ar induktīvu elementu, b) induktīva elementa aizstāšana ar īsslēgumu. Shēmā ir posms a-a’ ar īsslēgumu. Tā kā spriegums uz tā Uaa’ = 0, tad viss spriegums U ir pielikts rezistoram R1. Tad, zinot spriegumus uz rezistoriem, var atrast strāvas tajos:

Strāva I3 induktīvajā elementā saskaĦā ar strāvu vienādojumu mezglam a ir vienāda ar I1: . Strāva īsslēgtajā posmā aa’ plūst tikai pa zaru ar induktīvo elementu, kura pretestība vienāda ar nulli. 2.5. piemērs. 2.17.,a att. parādītā shēma pieslēgta spriegumam U = 60 V. Dots: R1 = 10 Ω, R2 = 20 Ω, C = 0,5 µF. Aprēėināt strāvas un spriegumu uz kapacitīvā elementa (Uab). a)

b)

R1

a

I3=0

I1

U

R2

I2 b

2.17. att.: a) līdzstrāvas ėēde ar kapacitīvu elementu, b) kondensatora aizstāšana ar pārtraukumu. Atrisinājums. SaskaĦā ar vienādojumu (2.4) kapacitīvo elementu var aizstāt ar pārtraukumu shēmā (t.i., ar bezgalīgi lielu pretestību) - 2.17.,b att. Tā kā strāva I3 ir vienāda ar nulli, tad strāvas I1 un I2 ir vienādas. Spriegums U ir vienāds ar sprieguma kritumu summu uz abiem rezistoriem; atrodam strāvas un spriegumu uz kondensatora:

U

R1 I1

R2 I2

( R1 R2 ) I1

I1

I2

U R1 R2

60 2 A, 10 20

.



31

Līdzstrāvas ėēdes ar vairākiem avotiem: aprēėina metodes Šeit aplūkosim dažas no metodēm, kuras lieto, risinot elektrisko ėēžu aprēėina uzdevumu: doti visu avotu spriegumi vai EDS, visu pārējo elementu parametri; jāaprēėina visas strāvas, kā arī atsevišėu ėēdes daĜu spriegumi un jaudas. Jebkuru ėēdi var aprēėināt ar Kirhofa vienādojumu metodi: vienādojumus konkrētai ėēdei sastāda, izmantojot abus Kirhofa likumus. Iegūst vienādojumu sistēmu, kurā vienādojumu skaits sakrīt ar nezināmo strāvu skaitu (vai, citiem vārdiem, ar ėēdes zaru skaitu). Jebkuras shēmas aprēėinam var lietot arī kontūrstrāvu metodi, kas ir Kirhofa vienādojumu metodes moidifikācija. Shēmām ar diviem mezgliem (neatkarīgi no nezināmo strāvu skaita) vispār var iztikt bez vienādojumu sistēmas risināšanas, ja izvēlas mezglu sprieguma metodi. Protams, lietojot kontūrstrāvu vai mezglu sprieguma metodi, kopējais izmantojamo vienādojumu skaits nesamazināsies, taču daĜa no tiem vairs nebūs vienādojumu sistēmas sastāvā. Vēl jāatzīmē metode, kurā izmanto superpozicijas principu - vienkārša, bet samērā darbietilpīga metode: vienas shēmas vietā aprēėina vairākas - atbilstoši avotu skaitam - un katru spriegumu vai strāvu atrod, algebriski summējot atsevišėās shēmās iegūtos rezultātus. Un beidzot, situācijā, kad jāpēta shēmas režīmi, mainoties vienai no shēmas pretestībām, ir iespējams iztikt bez sarežăītas shēmas vairākkārtēja aprēėina. Tam kalpo ekvivalentā ăeneratora metode: jebkuru shēmu var reducēt līdz aktīvam divpolam (2.10.,a att.), kam pievienota maināmu slodzes pretestība, un vajadzīgos rezultātus iegūt, analizējot šo vienkāršo shēmu. Visu minēto metožu, kas šajā nodaĜā aplūkotas līdzstrāvas ėēžu gadījumā, lietošanas principi (bet ne vienmēr formulas) ir izmantojami arī, aprēėinot maiĦstrāvas ėēdes.

Kirhofa vienādojumu metode Vienādojumu sistēmu sastāda, izmantojot abus Kirhofa vienādojumus. • Shēmā apzīmē visas nezināmās strāvas, brīvi izvēloties to pozitīvos virzienus. • Visiem shēmas mezgliem, izĦemot vienu no tiem, sastāda strāvu vienādojumus pēc pirmā Kirhofa likuma. • Izmantojot otro Kirhofa likumu, sastāda vienādojumus visiem neatkarīgiem kontūriem, brīvi izvēloties kontūra apejas virzienus. Par neatkarīgu sauc kontūru, kurā ir viens iepriekšējos vienādojumos neizmantots zars. • Izveidojas vienādojumu sistēma ar vajadzīgo vienādojumu skaitu. Atrisinot to, atrod visas nezināmās strāvas. Ja kādas strāvas vērtība ir negatīva, tas nozīmē, ka patiesais šīs strāvas virziens ir pretējs pretējs sākotnēji pieĦemtajam (t. i., strāvas bultiĦas virzienam). 2.6. piemērs.

R3

a I2 R1

R2

1

b

I3

E2

2 E1

I1 c

3 R4

I5 R5

I4 c

2.18.att. Shēma aprēėinam ar Kirhofa vienādojumu metodi. 2.18. att. shēmā doti avotu EDS: E1 = 90 V, E2 = 90 V. Pretestību vērtības: R1 = 40 Ω, R2 = 10 Ω, R3 = 29,3 Ω, R4 = 10 Ω, R5 = 20 Ω. Jāaprēėina visas strāvas. Atrisinājums. 1. Shēmā ir 5 zari. Apzīmējam strāvas visos zaros, brīvi izvēloties to pozitīvos virzienus. 2. Shēmā ir 3 mezgli, apzīmējam tos (a, b, c). Diviem no tiem sastādām strāvu vienādojumus pēc pirmā Kirhofa likuma (mezgliem a un b): 3.

. Izvēlamies 3 neatkarīgus kontūrus 1, 2 un 3. Brīvi pieĦemam to apejas virzienus - 2.17. att. ar bultiĦām parādīts, ka visus kontūrus apejam pulksteĦa rādītāja kustības virzienā. Šiem kontūriem sastādām vienādojumus pēc otrā Kirhofa likuma:


2. nodaĜa

32

4.

Atrisinot 5 vienādojumu sistēmu, atrodam visas strāvas:

Kontūrstrāvu metode Kontūrstrāvu metodi lieto, lai vienkāršotu vienādojumu sistēmu, salīdzinot ar Kirhofa vienādojumu metodi. Kontūrstrāvu metodes priekšrocības pieaug shēmās ar lielu mezglu skaitu. Ja shēmā ir n mezgli, tad, neatkarīgi no zaru skaita, vienādojumu skaits sistēmā ir par n−1 mazāks, nekā izmantojot Kirhofa vienādojumu metodi. Kontūrstrāvu metodes būtība ir sekojoša: faktisko zaru strāvu vietā meklē fiktīvas - t.s. kontūrstrāvas. PieĦem, ka katrā no neatkarīgiem kontūriem plūst kontūrstrāva. To aprēėināšanai sastāda vienādojumus, izmantojot tikai otro Kirhofa likumu un tikai netkarīgiem kontūriem. Katrs zars var piederēt vienam vai vairākiem no šiem kontūriem, tāpēc katra zara strāvu atrod kā visu šī zara kontūrstrāvu algebrisko summu. Kontūrstrāvu metodes lietošana: • Izvēlas shēmā neatkarīgos kontūrus. Brīvi pieĦem kontūrstrāvu virzienus un atzīmē tos shēmā. Brīvi pieĦem un parāda shēmā arī zaru strāvu virzienus. • Katram neatkarīgam kontūram, apejot to kontūrstrāvas virzienā, sastāda vienādojumu pēc otrā Kirhofa likuma. Vienādojuma kreisajā pusē rakstāma visu kontūra EDS algebriskā summa. Vienādojuma labajā pusē - sprieguma kritumu (RI) algebriskā summa. Jāievēro, ka sprieguma kritumu katrā rezistīvajā elementā izsauc visas tajā plūstošās kontūrstrāvas. “Algebriskā summa” nozīmē, ka jāsalīdzina EDS vai kontūrstrāvas virziens ar kontūra apejas virzienu. • Iegūstam vienādojumu sistēmu ar mazāku vienādojumu skaitu, salīdzinot ar Kirhofa vienādojumu metodi - jo neatkarīgo kontūru skaits vienmēr ir mazāks par zaru skaitu. Atrisinot sistēmu, atrod kontūrstrāvu vērtības. • Ar to aprēėins vēl nav pabeigts - jāatrod zaru strāvas. Zarā, kurš pieder tikai vienam kontūram, strāva ir vienāda ar kontūrstrāvu (ja to pieĦemtie virzieni sakrīt). Strāvas pārējos zaros atrod kā to kontūrstrāvu, kas plūst attiecīgajā zarā, algebrisko summu. 2.7. piemērs. Iepriekšējā piemēra shēmas aprēėins ar kontūrstrāvu metodi. 2.19.att. parādītajā shēmā doti avotu EDS: E1 = 90 V, E2 = 90 V, pretestību vērtības: R1 = 40 Ω, R2 = 10 Ω, R3 = 29,3 Ω, R4 = 10 Ω, R5 = 20 Ω. Jāaprēėina visas strāvas.

R3

a I2 R1

R2

IA

b

I3

E2

IB E1

I1 c

IC R4

I5 R5

I4 c

2.19. att. Shēma aprēėinam ar kontūrstrāvu metodi. Atrisinājums. 1. Izvēlamies tos pašus neatkarīgos kontūrus. Divu pirmo kontūru apejas virzieni 2.19.att. izmainīti, pielāgojot tos zaru strāvu I1 un I3 virzieniem. Kontūrstrāvu apzīmējumi: IA , IB un IC . Nezināmo (zaru strāvu) skaits paliek iepriekšējais, taču vienādojumu sistēmā vienādojumu skaits samazinās līdz kontūrstrāvu skaitam. 2. Neatkarīgiem kontūriem sastādām spriegumu vienādojumus pēc otrā Kirhofa likuma. Kontūrus apejam kontūrstrāvu virzienā. Piemēram, 1. kontūra visās pretestībās (R1 + R2) plūst kontūrstrāva IA - pie tam kontūra apejas virzienā, bet pretestībā R2 - arī kontūrstrāva IB (shēmā uz leju, tātad pretēji 1. kontūra apejas virzienam). Tāpēc 1. kontūra spriegumu vienādojumā pirmais saskaitāmais ir ar plusa zīmi, bet otrais - ar mīnusa zīmi. 3. kontūra vienādojumā kontūrstrāva IB ir ar plusa zīmi, jo pretestībā R4 šī kontūrstrāva plūst uz augšu, kas sakrīt ar 3. kontūra apejas virzienu. Tātad šie vienādojumi ir:



33

3. Atrisinot šo 3 vienādojumu sistēmu, atrodam kontūrstrāvu vērtības:

. 4. Zinot kontūrstrāvu vērtības, aprēėinām zaru strāvas:

.

Mezglu sprieguma metode Mezglu sprieguma metode ir sevišėi efektīva, aprēėinot shēmu, kurā ir tikai 2 mezgli - neatkarīgi no zaru skaita tajā. Izrādās, ka tad vienādojumu sistēmas vietā ir iespējams risināt katram zaram sastādītu vienādojumu. Ja spriegums starp abiem mezgliem ir zināms, tad katrā vienādojumā ir tikai viens nezināmais - attiecīgā zara strāva. Risinājuma plāns ar mezglu sprieguma metodi. • Apzīmē shēmā abus mezglus. Brīvi izvēlas zaru strāvu virzienus un atzīmē tos shēmā. • Atrod mezglu spriegumu (mezglu apzīmējumi šeit: A un B), izmantojot formulu:

kur n - shēmas zaru skaits, E - zara EDS algebriskā summa; ja EDS vērsts mezgla A virzienā, to uzskata par pozitīvu, g - zara vadītspēja, t.i. zara pretestību summai apgriezts lielums (1/R). Gadījumam, kad shēmā ir kāds zars bez rezistīvā elementa, formula (2.10) nav piemērota, jo nav pieĜaujama dalīšana ar nulli. Bet tad šī formula nemaz arī nav vajadzīga: zarā ir tikai EDS, un sprieguma UAB vērtību var atrast, izmantojot vienādojumu (2.1). • Pēc tam katram zaram uzraksta spriegumu vienādojumu - izmantojot (2.5). Spriegumus tajā aizstāj ar EDS (2.1) vai strāvas un pretestības reizinājumu (2.2). Katrā šādā vienādojumā ir viens nezināmais - zara strāva. • Atrisinot atsevišėi katru no šiem vienādojumiem, atrod visas zaru strāvas. Formula mezglu sprieguma UAB aprēėināšanai iegūta šādi. Izvedumā pieĦem, ka visu strāvu pozitīvos virzieni vērsti uz mezglu A. Spriegumu vienādojumi zariem: . Vienādojumos - saskaĦā ar (2.2) - visas strāvas ir ar mīnusa zīmi, jo tās vērstas pretī sprieguma virzienam. Tie EDS, kuri vērsti sprieguma UAB virzienā (no A uz B) - saskaĦā ar (2.1), - ir ar mīnusa zīmi, bet tie EDS, kuru bultiĦas vērstas mezgla A virzienā - ar plusa zīmi. Izsakot zaru strāvas no spriegumu vienādojumiem:

. Ar g apzīmēta katra zara vadītspēja - pretestībai apgriezts lielums. SaskaĦā ar pirmā Kirhofa likuma izteiksmi mezglam A visu zaru strāvu summa vienāda ar nulli, tāpēc: n

n

n

∑ I i = ∑ ± E i gi − U AB ∑ gi = 0 i =1

i =1

i =1

Izsakot no šī vienādojuma mezglu spriegumu UAB, iegūsim izteiksmi (2.10). Tās skaitītājā ir algebriska summa, kurā katrs saskaitāmais ir viena zara EDS reizinājums ar šī zara vadītspēju. Ja EDS bultiĦa vērsta mezgla A virzienā, to izteiksmē ievieto ar plusa zīmi, ja mezgla B virzienā - ar mīnusa zīmi. Izteiksmes saucējā ir visu zaru vadītspēju aritmētiskā summa.


2. nodaĜa

34 2.8. piemērs.

2.20. att. Shēma 2.8. piemēram. 2.20. att. parādītajā shēmā doti avotu EDS: E1 = 100 V, E3 = 15 V, E4 = 35 V, pretestību vērtības: R1 = 2,5 Ω, R2 = 25 Ω, R3 = 30 Ω, R4 = 10 Ω. Aprēėināt visas strāvas un sastādīt jaudu bilanci.

Atrisinājums. 1. Apzīmējam shēmā visu zaru strāvas. Tā kā virzieni nav zināmi, tad tos pieĦem brīvi. 2. Shēmā ir 2 mezgli (a un b). Spriegumu starp tiem atrodam, izmantojot formulu (2.10):

. EDS E3 šajā izteiksmē ir ar mīnusa zīmi, jo tā bultiĦas virziens vērsts prom no mezgla a. Ievērojiet, ka saucējā ir visu zaru (arī to zaru, kuros EDS nav) vadītspēju aritmētiskā summa. 3. Sastādām spriegumu vienādojumu (2.5) katram zaram, mezglu spriegumu UAB izsakot ar spriegumiem uz visiem attiecīgā zara elementiem. Uzskatāmības dēĜ visi punkti zaros apzīmēti (c, d, e). Spriegumus izteiksmes labajā pusē aizstājam ar E vai RI, izmantojot elementu vienādojumus (2.1) un (2.2).

. Zīmes šajos vienādojumos nosaka elementu vienādojumi (2.1) un (2.2). Jāievēro, ka "tabulas vienādojumi" doti kopā ar.zīmējumu (2.1) vai (2.2), kurā abu elektrisko lielumu (U un E vai U un I) pieĦemtie pozitīvie virzieni sakrīt. Piemēram, 1. zara spriegumu vienādojums satur spriegumu Uac, kura pozitīvais virziens shēmā vērsts uz leju. Aizstājot to ar E1, kura bultiĦa vērsta pretēji šim virzienam, zīme būs pretēja nekā vienādojumā (2.1) - pozitīva. Aizstājot spriegumu Ucb (vērsts uz leju) ar R1I1 (strāvas bultiĦa vērsta uz augšu), arī jāmaina zīme, salīdzinot ar elementa vienādojumu (2.2). 4. No vienādojumiem izsakām un aprēėinām zaru strāvas:

. Mīnusa zīme strāvai I4 nozīmē, ka tās patiesais virziens ir pretējs shēmā parādītajam. Iegūto rezultātu pārbaudei var izmantot, piemēram, pirmo Kirhofa likumu. Uzrakstām to mezglam a un pārliecināmies, ka aprēėina rezultāti saskan ar to:

Jaudu bilances sastādīšana Jaudu bilances sastādīšana ir darbietilpīgāks pārbaudes veids, taču tas atĜauj novērtēt enerăētiskos procesus shēmā. Sastādīt jaudu bilanci nozīmē noteikt, kuri no EDS darbojas kā avoti, un aprēėināt to kopējo ăenerēto jaudu. Šai jaudai jābūt vienādai ar visu patērētāju (tie ir pārējie EDS un visi rezistīvie elementi) kopējo patērēto jaudu.

2.9. piemērs. Sastādīsim jaudu bilanci iepriekšējā piemērā aprēėinātajai shēmai. Vispirms noteiksim katra EDS darba režīmu. E1 un E3 ir avoti (ăeneratori), jo E1 un I1 pieĦemtie pozitīvie virzieni (bultiĦu virzieni shēmā) sakrīt, tāpat arī E3 un I3 bultiĦu virzieni. Šie pieĦemtie pozitīvie virzieni ir arī patiesie, jo strāvu I1 un I3 aprēėinātās vērtības ir pozitīvas. Spriežot pēc E4 un I4 bultiĦu virzieniem shēmā, arī E4 nosacīti darbojas avota režīmā. Tomēr tas, ka jauda P4=E4I4=35·(–4) nozīmē, ka šī EDS režīms ir pretējs pieĦemtajam: E4 patiesībā ir patērētājs. EDS un strāvu zīmes jau izmantojām, nosakot elementu E1, E3 un E4 darba režīmu, tāpēc jaudu bilancē ievērosim tikai reizinājumu EI absolūto vērtību. Avotu (ăenerētā) jauda:



35 .

Patērētāji ir visi rezistīvie elementi un EDS E4. Kopējā patērētā jauda:

Patērētā jauda ir vienāda ar ăenerēto jaudu, tātad aprēėins ir izdarīts pareizi.

Ekvivalentā ăeneratora metode Ekvivalentā ăeneratora metodi lieto, aprēėinot un analizējot elektriskās ėēdes, kurās ir maināma slodzes pretestība. Pārējo ėēdes daĜu, kurā ir avots vai avoti, aizstāj ar ekvivalentu ăeneratoru (2.21.,b att.) - vienkāršu aktīvu divpolu: EDS E virknē ar iekšējo pretestību R. Tādu shēmu (2.21.,a att.) aprēėināt ir vienkārši. Arī šīs shēmas analīze ikreiz nav jāatkārto – to jau izdarījām šīs nodaĜas apakšnodaĜā “Aktīva divpola darba režīmi”. Atliek vienīgi noskaidrot, kā atrast aktīvā divpola parametrus: EDS un pretestību R. 2.21.,b att. parādīts aktīvs divpols tukšgaitas režīmā: tā izejā maināmā rezistora vietā ir ėēdes pārtraukums, atbilstoši tukšgaitas nosacījumam (I = 0). Vienādojums rāda, ka EDS vērtību var uzzināt, aprēėinot vai izmērot ekvivalentā ăeneratora spriegumu tukšgaitā. Ekvivalentā ăeneratora pretestību R nosaka, izveidojot īsslēgumu maināmās slodzes pretestības vietā (2.21.,c att.). Ja strāva šajā shēmā būtu zināma, tad pretestību R varētu atrast, izmantojot sakarību: EDS E ir jau zināms no tukšgaitas režīma. Tātad, lai aprēėinātu pretestības R vērtību, jānosaka īsslēguma strāva. a)

b)

c)

R

I=0

R U

E

U=0

E

2.21. att. a) vienkāršākais aktīvais divpols (E virknē ar R), slogots ar maināmu pretestību, b) šis divpols tukšgaitas režīmā, c) īsslēguma režīmā.

Aplūkotais princips attiecināms arī uz jebkuru (ne tikai vienkāršāko) aktīvo divpolu. Tātad aktīvā divpola parametrus var noteikt šādi: ekvivalentais EDS E ir spriegums aktīvā divpola tukšgaitas režīmā, bet ekvivalento pretestību R iegūst, izdalot šo EDS ar īsslēguma režīmā aprēėināto strāvu divpola izejā. Ekvivalento pretestību R iespējams atrast arī vienkāršāk. Maināmo slodzes pretestību Rsl aizstāj ar pārtraukumu, visus EDS aizvieto ar savienotājvadiem un nosaka ekvivalento pretestību attiecībā pret slodzes pretestības izvadiem. 2.10. piemērs. Dota shēma (2.21.,a att.) ar šādām parametru vērtībām: E1=40 V, E2=10 V, R1=10 Ω, R2=40 Ω. Aprēėināt strāvu slodzes rezistorā R3 un spriegumu uz tā 3 režīmos: ja pretestības R3 vērtības ir 10 Ω, 20 Ω un 30 Ω.


2. nodaĜa

36 a)

b)

c)

2.22. att.: a - aktīvs divpols ar maināmu slodzi R3, b - tukšgaitas režīmā, c - īsslēguma režīmā. Atrisinājums. Shēmu ārpus maināmā rezistora R3 aizstāsim to ar ekvivalentu ăeneratoru un noteiksim tā parametrus E un R. 1) Izveidojam shēmā tukšgaitas režīmu (2.21.,b att.). Ievērojam, ka šajā shēmā I1 = I2. Uzrakstām vienādojumu pēc otrā Kirhofa likuma, no tā atrodam strāvu I1.

. Ekvivalento EDS atrodam, izmantojot spriegumu vienādojumu (2.5) un vienādojumus (2.1) un (2.2):

E

U AB

E1

E1 R1

40 10

4 A , I2

R1 I1

40 10 1 30 V .

. 2) Izveidojam shēmā īsslēguma režīmu (2.21.,c att.). Lai noteiktu īsslēguma strāvu, atrodam strāvas I1 un I2 . Visvieglāk to izdarīt, sastādot otrā Kirhofa likuma izteiksmes diviem shēmas kontūriem, no kurienes seko:

I1

E2 R2

10 0, 25 A . 40

Īsslēguma strāvu atrodam, sastādot strāvu vienādojumu: 3) Zinot ekvivalento EDS un īsslēguma strāvu, varam atrast otru divpola parametru - pretestību R:

A Aplūkosim arī vienkāršāku paĦēmienu, lai noteiktu ekvivalento pretestību R:

R1 I1 R2

shēmā (2.22.,a att.) slodzes pretestību R3 aizstāj ar ėēdes pārtraukumu un katru EDS aizstāj ar savienotājvadu. Iegūst 2.23.att. parādīto shēmu. Pretestības R1 un R2 ir slēgtas paralēli, tāpēc to ekvivalentā pretestība ir

I2 B

2.23.att. 4 ) Tagad abi ekvivalentā ăeneratora (2.21.,b att.) parametri zināmi: E = 30 V un R = 8 Ω. Rezistoru R3 (ar maināmu pretestības vērtību), pieslēdz ăeneratora izejai - punktiem A un B (2.21.,a att.). Šajā shēmā viegli aprēėināt strāvu un spriegumu ăeneratora izejā pie jebkuras R3 vērtības. Piemēram, ja divpols slogots ar pretestību R3 = 10 Ω: . Ievietojot šajās izteiksmēs citas R3 vērtības, varam aprēėināt jebkuru režīmu, piemēram:

ja R3 = 20 Ω: ja R3 = 30 Ω:

I = 1,07 A, UAB = 21,4 V; I = 0,79 A, UAB = 23,7 V.


3. NODAěA

MAIĥSTRĀVAS ĖĒDES Konkurences cīĦā ar līdzstrāvu maiĦstrāvas sistēmas izrādījās pārākas jau 19. gs. beigās, kad bija radīti priekšnoteikumi elektriskās enerăijas pārvadīšanai lielākos attālumos. Enerăijas piegāde patērētājiem lielā attālumā bez pārmērīgiem jaudas un sprieguma zudumiem pārvades līnijā iespējama tikai, ja ievērojami samazina strāvu pārvades līnijā - tātad, ievērojami paaugstinot spriegumu. Transformatoru, kuru uzdevums ir spriegumu paaugstināt pārvades līnijas sākumā un pazemināt līnijas beigās, darbības principa pamatā ir mainīgs magnētiskais lauks, tādēĜ tie var būt tikai maiĦstrāvas aparāti. Visplašāk sastopami ir elektriskās enerăijas avoti, kuru EDS vai spriegums laikā mainās pēc sinusa likuma. Elektriskās ėēdes ar šādiem avotiem sauc par sinusoidālas maiĦstrāvas (vai turpmāk vienkārši par maiĦstrāvas) ėēdēm. Visbiežāk maiĦstrāvas ėēdēs avotu EDS mainās ar 50 hercu (Hz) frekvenci. Ėēdēs ar lineāriem elementiem (R, L, C) tad arī visas strāvas un spriegumi mainās sinusoidāli - ar tādu pašu frekvenci. MaiĦstrāvas ėēžu aprēėini un analīze ir sarežăītāki, salīdzinot ar līdzstrāvas ėēdēm. Ja līdzstrāvas ėēdē katru elektrisko lielumu pilnībā raksturo tā skaitliskā vērtība, tad aprēėinot maiĦstrāvas ėēdi, nepietiek zināt tikai sinusoidālu spriegumu (strāvu) amplitūdas vērtības. Piemēram, sinusoīdu saskaitīšanu vai reizināšanu - (1.5), (1.6), (1.7) - būtiski iespaido šo sinusoīdu fāžu nobīde (savstarpējā nobīde laikā). Lai efektīvāk veiktu darbības ar sinusoidāliem spriegumiem un strāvām (saskaitīšanu, reizināšanu un atvasināšanu) un vispār izvairītos no diferenciālvienādojumu risināšanas, ir izveidotas divas maiĦstrāvas ėēžu analīzes pamatmetodes. Pirmā no tām, vektoru diagrammu metode pamatojas uz sinusoidālu strāvu un spriegumu aizstāšanu ar vektoriem (tad diviem sinusoīdas parametriem - amplitūdai un sākuma fāzei - atbilst divi vektora parametri: modulis un virziens). Šī metode atĜauj sastādīt formulas konkrētās shēmas aprēėinam, izmantojot šai shēmai uzzīmētu vektoru diagrammu. Vektoru diagrammu metode paredzēta vienkāršāko shēmu analīzei, taču ir uzskatāma, un tās paĦēmienus var izmantot, aprēėinot arī sarežăītākas maiĦstrāvas ėēdes. Otra, t.s. simboliskā metode ir tīri analītiska, un to var izmantot jebkuras sarežăītības pakāpes maiĦstrāvas shēmu aprēėinam. Šeit spriegumu un strāvu sinusoīdas, kā arī elementu pretestības un divpolu jaudas attēlo ar kompleksiem lielumiem (kompleksam skaitlim arī ir divi parametri: modulis un arguments). Aprēėinos jālieto komplekso skaitĜu algebra, toties pati pieeja ievērojami vienkāršojas: iespējams pilnībā lietot līdzstrāvas ėēžu aprēėina metodiku. Šajā nodaĜā aplūkota vektoru diagrammu metode. Simboliskā metode - nākošajā nodaĜā.

Pamatjēdzieni un pieĦemtie apzīmējumi Sinusoīdas fāzes Lūk, daži sinusoidālu funkciju piemēri: sin x, sin 314t, sin (ωt+π/3), sin(ωt −45o). Sinusoīdas fāze ir tās argumenta vērtība - minētajos piemēros attiecīgi: x, 314t, ωt+π/3, ωt−45o. Neatkarīgi no argumenta rakstura jebkura sinusoīda ir periodiska funkcija ar periodu 2π vai 360o, visi tās periodi ir identiski. Tāpēc novērtēt fāzi kādā sinusoīdas punktā, būs ērtāk, ja uzskatīsim, ka šis punkts atrodas argumenta galvenajā intervalā: diapazonā no −π līdz π (jeb no −180o līdz 180o). sin 0o sin 30o sin 45o sin 60o sin 90o

3.1 att. Jēdziens par sinusoīdas fāzēm

= = = = =

0,000 0,500 0,707 0,866 1,000

3. nodaĜa

38

Pamatjēdzienu "fāze" ilustrē 3.1. att. Redzam, ka (neatkarīgi no ordinātu ass novietojuma!) negatīvā pusperioda laikā sinusoīdas fāze mainās no −π līdz 0 (radiānos) vai no −180o līdz 0o (grādos). Pozitīvā pusperioda laikā - attiecīgi no 0 līdz π vai no 0 o līdz 180 o. Pozitīvam sinusoīdas maksimumam atbilst fāze π/2 (vai 90o), bet punktā ar lielāko negatīvo vērtību fāze ir −π/2 (vai −90 o). Ievērojiet, ka fāze ir vienāda ar nulli vienīgi punktā, kur sinusoīda šėērso abscisu asi pieaugot, t.i., pozitīvā pusperioda sākumā,. Blakus 3.1. attēlam dotas dažām fāzes vērtībām atbilstošās sinusu vērtības pozitīvajā pusperiodā. Kā redzēsim vēlāk, uz fāzes jēdzienu pamatojas tādi jēdzieni kā “sinusoīdas sākuma fāze” un “fāžu nobīde”. Pēdējam no tiem ir vissvarīgākā loma maiĦstrāvas ėēžu teorijā.

Sinusoidāla sprieguma (strāvas, EDS) parametri Sinusoidāli laikā mainīgu elektrisku lielumu (piemēram, spriegumu) analītiski pieraksta tā: Piemēram, 220 voltu maiĦsprieguma (U=220 V) momentānās vērtības izteiksme ir:

Šeit u – sprieguma momentānā vērtība, U – efektīvā vērtība, Um - maksimālā vērtība (jeb amplitūdas vērtība). Jau minēts, ka sinusoīdas argumentu - izteiksmi iekavās: (ωt + ψ) - sauc par fāzi. Fāzes sākuma vērtība laika momentā t=0 ir ψ − to sauc par sākuma fāzi. Viens no lielumiem, kas raksturo sinusoīdas izmaiĦas ātrumu ir ω - leĦėfrekvence.

Laikā mainīgus elektriskus lielumus attēlo ar laika diagrammām - uz abscisu ass atliek laiku t (vai lielumu ωt, kuru mērī radiānos vai grādos). Diagrammā redzama sinusoidāla sprieguma u(t) maksimālā vērtība Um, periods T un sākuma fāze ψ . 3.2.att. Sprieguma laika diagrammas piemērs.

Sinusoīdas parametrus var iedalīt trīs grupās. Parametri, kas raksturo sinusoīdas frekvenci:

periods T, frekvence f un leĦėiskā frekvence ω.

Periods T atrodams laika diagrammā (3.2. att.) - tas ir mazākais laika intervāls starp diviem punktiem ar vienādām fāzēm. Piemēram, starp divu pozitīvo pusperiodu sākuma punktiem. Ja abscisu asi graduē sinusoīdas argumenta mērvienībās (laika t vietā - reizinājums ωt), tad periodam T atbilst šī lieluma izmaiĦa par 2π. Periodu skaitu sekundē sauc par frekvenci, to apzīmē ar f un mērī hercos (Hz). Daudzās valstīs ar metrisko mērvienību sistēmu, tajā skaitā Latvijā, pieĦemtā rūpnieciskā frekvence ir 50 Hz. Sinusoīdas fāzes izmaiĦas ātrums - radiāni sekundē (to sauc par leĦėisko frekvenci un apzīmē ar ω) - ir 2π reizes lielāks par frekvenci f. Sakarības starp trīs frekvenci raksturojošiem parametriem ir: (3.0.1) Parametri, kas raksturo sinusoīdas amplitūdu:

maksimālā vērtība Um un efektīvā vērtība U.

Maksimālā (amplitūdas) vērtība (Um, Im vai Em) sastopama sinusoīdas izteiksmē un arī redzama laika diagrammā. Tomēr aprēėinos un elektriskajos mērījumos visbiežāk lieto efektīvās vērtības (U, I vai E). Par efektīvo vērtību sauc strāvas, sprieguma vai EDS vidējo kvadrātisko vērtību perioda laikā. Mainīga lieluma vidējo kvadrātisko vērtību kādā intervālā nosaka šādi: nosaka šī lieluma kvadrāta vidējo vērtību dotajā intervālā un Ħem šīs vērtības kvadrātsakni. Piemēram, sinusoidālas strāvas i =Im sin ωt kvadrāta izteiksme ir


MaiĦstrāvas ėēdes

39

Izteiksmes vidējo vērtību (tā ir meklējamās efektīvās vērtības kvadrāts) aprēėina, integrējot izteiksmi perioda robežās un izdalot ar perioda garumu (T vai 2π):

3.3 atttēlā formulas izvedums parādīts vienkāršāk un pietiekami uzskatāmi: lūk, sinusoīdas i(t) kvadrāta grafiks, redzama tā maksimālā vērtība, atrasta vidējā vērtība, kas ir efektīvās vērtības kvadrāts. Izvelkot tā kvadrātsakni, iegūstam sakarību starp efektīvo un maksimālo vērtību. 3.3.att. Funkcijas i2(t) grafiks.

Tātad sinusoidālas strāvas vidējā kvadrātiskā jeb efektīvā vērtība ir 1,41 reizes mazāka par maksimālo vērtību. Tas attiecas arī uz sprieguma un EDS vērtībām: (3.0.2) Elektriskie mēraparāti – ampērmetri un voltmetri - uzrāda strāvu un spriegumu efektīvās vērtības. Arī aprēėinos lieto avota sprieguma efektīvo vērtību (piemēram, U = 220 V) un risinājuma gaitā meklē strāvu un spriegumu efektīvās (bet nevis maksimālās) vērtības. . Par sākuma fāzi ψ sauc sinusoīdas fāzi (ωt + ψ) laika momentā t = 0. Sākuma fāze parādīta arī sinusoīdas grafikā (3.2. att.). Aprēėinot maiĦstrāvas ėēdes, parasti viena sprieguma vai strāvas sākuma fāzi pieĦem patvaĜīgi, piemēram, vienādu ar 0, un pēc tam attiecībā pret to nosaka pārējo spriegumu un strāvu fāžu nobīdes.

Sinusoīdas sākuma fāze

Fāžu nobīde Par fāžu nobīdi sauc divu sinusoidālu lielumu fāžu starpību. Visbiežāk nāksies noteikt kāda divpola (arī elementa) sprieguma un strāvas sinusoīdu fāžu nobīdi. To pieĦemts apzīmēt ar ϕ. PieĦemsim, ka kāda divpola spriegums un strāva mainās sinusoidāli, ar vienu un to pašu frekvenci, bet ar dažādām sākuma fāzēm: Fāžu nobīdi noteiksim, no sprieguma fāzes vērtības atĦemot strāvas fāzes vērtību: (3.0.3) Fāžu nobīde laikā nemainās un ir vienāda ar sākuma fāžu starpību. Fāžu nobīdi raksturo ar vārdiem “apsteidz fāzē”, “atpaliek fāzē” vai “sakrīt fāzē”. Ja sprieguma fāze ir lielāka par strāvas fāzi (ϕ > 0), tad saka, ka spriegums apsteidz fāzē strāvu, vai arī - ka strāva atpaliek fāzē no sprieguma par leĦėi ϕ. 2

3 3.1. piemērs.

1 t2

t t1

3.4.att. Piemērs: sinusoīdu fāžu salīdzināšana.

Lai novērtētu divu sinusoīdu fāžu nobīdi 3.4. att. laika diagrammā, salīdzināsim to fāzes kādā laika momentā. Momentā t1 pirmās sinusoīdas fāze ir 45o, bet otras sinusoīdas fāze ir 0o. Tātad pirmā sinusoīda apsteidz fāzē otro par 45o. To pašu rezultātu iegūsim arī, salīdzinot abu sinusoīdu fāzes jebkurā citā laika momentā. Piemēram, laika momentā t2 tās ir 0 o un −45o. Otrā un trešā sinusoīda sakrīt fāzē, jo to fāzes ikvienā laika momentā ir vienādas.


3. nodaĜa

40

Darbības ar sinusoīdām maiĦstrāvas ėēžu vienādojumos 3.1.tabula . Elektrisko ėēžu pamatformulas.

(1.1) (1.2) (1.3) (1.4)

u = −e u=Ri u = L di/dt i = C du/dt

Reizināšana ar konstanti Sinusoīdu atvasināšana

(1.5) (1.6)

u13 = u12 + u23 S∑±i=0

Saskaitīšana (vai atĦemšana)

(1.7)

p=ui

Reizināšana

Tabulā parāditie septiĦi elektrisko ėēžu pamatvienādojumi (skat. 1. nodaĜu), ir spēkā arī sinusoidālas maiĦstrāvas ėēdēm. Taču tie attiecas uz strāvu, spriegumu, EDS un jaudu momentānajām vērtībām, bet nekādā ziĦā ne uz efektīvajām vai vidējām vērtībām. Taču aprēėini ar sinusoīdu momentānajām vērtībām, t.i., ar sinusoīdu izteiksmēm, prasītu lielu laika patēriĦu un tādēĜ nav racionāli. TādēĜ nepieciešams piemērot pamatvienādojumus maiĦstrāvas ėēdēm, lai tajās varētu izmantot efektīvās vērtības. Ar to arī nodarbosimies. Zemāk parādīts, kāpēc rodas fāžu nobīde, kā tā ietekmē maiĦstrāvas aktīvo jaudu P, un kā efektīvi veikt sinusoīdu saskaitīšanu. Elektrisko ėēžu pamatvienādojumos sastopamas četras matemātiskās darbības: sinusoīdas reizināšana ar konstanti (1.1), (1.2), atvasināšana (1.3), (1.4), vairāku sinusoīdu saskaitīšana/atĦemšana (1.5), (1.6) un reizināšana (1.7). MaiĦstrāvas ėēžu teorijas metodes izriet tieši no nepieciešamības efektīvi veikt šīs darbības vai atrast tām alternatīvas metodes.

Sinusoīdas reizināšana ar konstanti Viegli iegūt divus secinājumus.

• Ja vienādojuma (1.1) labajā pusē EDS mainās sinusoidāli, tad sprieguma fāze ir pretēja EDS fāzei atšėiras no pēdējās par 180o. • Spriegums, ko iegūst (1.2), pareizinot sinusoidālu strāvu ar pretestību R, sakrīt fāzē ar strāvu (ϕ=0). Sprieguma sinusoīdas amplitūda ir Um = R Im.

Sinusoīdu atvasināšana: fāžu nobīde Uzzīmēsim kādas sinusoīdas (3.5. att.) atvasinājuma grafiku, zinot, ka atvasinājums ir funkcijas pieauguma ātrums.

3.5.att. Sinusoīda un tās atvasinājums

Sinusoīdas maksimuma un minimuma punktos atvasinājuma vērtība ir 0 atliekam laika diagrammā punktus “1”. Tur, kur sinusoīda pieaugot šėērso abscisu asi, izmaiĦas ātrums ir vislielākais atvasinājumam ir vislielākā pozitīvā vērtība - punkti “2”. Katra sinusoīdas pozitīvā pusperioda beigās tā vērtība samazinās visstraujāk. Punktos “3” sinusoīdas atvasinājumam ir vislielākā negatīvā vērtība. Tātad atvasinājuma grafiks arī ir sinusoīda, tikai nobīdīta fāzē.

Novērtēsim fāžu nobīdi 3.5. att. grafikā. Piemēram, punktos, kur sinusoīdas fāze ir 0o, atvasinājuma fāze ir 90o. Tātad sinusoīdas atvasinājums apsteidz fāzē šo sinusoīdu par 90o. Šis secinājums atĜaus izprast divus sekojošus nozīmīgus faktus maiĦstrāvas ėēžu teorijā. Atvasinājumu satur induktīvā elementa L vienādojums (1.3): u = L di/dt . Spriegums uz šī elementa ir proporcionāls strāvas atvasinājumam (t.i., šeit strāva i ir sinusoīda, bet spriegums u - atvasinājums). Tas nozīmē, ka spriegums uz induktīvā elementa apsteidz fāzē šī elementa strāvu par 90 o:



41

Līdzīgi tam, no kapacitīvā elementa vienādojuma (1.4): i = C du/dt , pieĦemot, ka spriegums mainās sinusoidāli, izriet, ka strāva (kas proporcionāla sprieguma atvasinājumam) apsteidz spriegumu fāzē par 90 o. Tāpēc otra svarīga sakarība, ko izmanto tā vietā, lai ikreiz nodarbotos ar atvasināšanu: spriegums uz kapacitīva elementa C atpaliek fāzē no strāvas par 90 o: Kā jau redzējām, rezistīvais elements R - saskaĦā ar vienādojumu (1.2): u = R i. - fāžu nobīdi neizraisa: rezistīva elementa sprieguma un strāvas sinusoīdas sakrīt fāzē:

Sinusoīdu reizināšana: aktīvās jaudas formula Ăenerēto vai patērēto enerăiju maiĦstrāvas ėēdēs ērtāk raksturot nevis ar jaudas momentānām vērtībām p(t), bet ar laikā nemainīgu un ērti izmērāmu lielumu - jaudas vidējo vērtību P. Momentānās jaudas p vidējo vērtību sauc par aktīvo jaudu (P). Aktīvo jaudu mērī vatos (W). Lai iegūtu aktīvās jaudas formulu, nosaka momentāno jaudu ar formulu (1.7) p=ui un atrod tās vidējo vērtību. Apskatīsim vispārīgu gadījumu ar brīvi izvēlētu fāžu nobīdi ϕ. PieĦemsim, ka kāda divpola strāva mainās sinusoidāli, bet spriegums apsteidz strāvu par ϕ (3.6.,a att. ): Vispirms atrodam momentānās jaudas izteiksmi:

Momentānās jaudas vidējo vērtību noteiksim, novērtējot katru no pēdējās izteiksmes locekĜiem. Pirmais no tiem ir laikā konstants. Otrs ir sinusoidāla funkcija - tās vidējā vērtība perioda laikā ir 0. Tātad divpolam ar fāžu nobīdi ϕ momentānās jaudas p vidējā vērtība jeb aktīvā jauda P ir Šis rezultāts nozīmē, ka divpola aktīvā jauda P ir visai atkarīga no fāžu nobīdes. Piemēram, induktīvs elements L (ϕ=90°) vai kapacitīvs elements C (ϕ=–90°) aktīvo jaudu nepatērē. a)

b)

u

u ,i

i

t p=ui

+

+ _

P=UI cos φ t _

3.6.att. Momentānās jaudas p laika diagrammas: a) vispārīgā gadījumā, b) kapacitīvam elementam C.

Zīmējot momentānās jaudas p laika diagrammas (3.6.att), vispirms atrod tos laika momentus, kuros viens no sareizināmiem lielumiem (u vai i) ir nulle - tad arī momentānā jauda p = 0. Redzam, ka momentānās jaudas p līkne šėērso abscisu asi divreiz biežāk nekā ar strāva vai spriegums - citiem vārdiem, momentānā jauda mainās ar divkāršu frekvenci, salīdzinot ar strāvu vai spriegumu. 3.6.,a att. attbilst vispārīgam gadījumam, kad divpola strāva i atpaliek no sprieguma u par leĦėi ϕ. Redzams, ka laikā, kad strāva un spriegums vienlaicīgi ir pozitīvi vai negatīvi, momentānai jaudai ir pozitīva vērtība. Ja tikai viens no šiem lielumiem ir pozitīvs – jauda p ir negatīva.


3. nodaĜa

42

3.6.,b att. parādīts viens no robežgadījumiem, kad divpols ir kapacitīvs elements C. Zinām, ka tad fāžu nobīde ϕ=–90°, un strāva apsteidz spriegumu. PieĦemsim, ka shēmā divpola sprieguma un strāvas pieĦemtie pozitīvie virzieni sakrīt - pirmās nodaĜas beigās vienojāmies, ka tad divpols uzskatāms par patērētāju. Vispirms jau redzams, ka momentānā jaudas p, vidējā vērtība ir 0, jo elements C pusi no perioda ir avots, otru pusi – patērētājs. Citiem vārdiem, kondensators aktīvo jaudu nepatērē. To var teikt arī par induktīvo elementu jeb ideālu spoli. Momentānās jaudas grafiks (3.6.,b att.) rāda, ka ėēdē notiek enerăijas svārstības, kondensatoram periodiski uzlādējoties un izlādējoties. Piemēram, perioda pirmajā un trešajā ceturtdaĜā, kondensatoram uzlādējoties, tā sprieguma absolūtā vērtība un elektriskā laukā uzkrātā enerăija (Cu2/2) pieaug - tas nozīmē, ka elements C ir patērētājs. Perioda otrajā un ceturtajā ceturtdaĜā kondensatoram pakāpeniski izlādējoties (jo spriegums samazinās), tā enerăija samazinās - kondensators tagad ir avots, kas atdod enerăiju tīklam vai citiem ėēdes elementiem. Pārliecināsimies, ka režīmu (avots/patērētājs) var novērtēt arī, nelietojot fizikālus apsvērumus, bet tīri formāli - ievērojot pieĦemtos pozitīvos virzienus shēmā (tie šeit nozīmē pieĦēmumu, ka divpols ir patērētājs) un jaudas p zīmi (skat. 3.6. att). 1. un 3. ceturtdaĜperiodā kondensatora patērētā momentānā jauda p ir pozitīva - tātad pieĦēmums par patērētāja režīmu apstiprinās. 2. vai 4. ceturtdaĜperiodā, kad p < 0, režīms ir pretējs pieĦemtajam - tagad kapacitīvais elements darbojas kā avots. Aktīvās jaudas formula un laika diagrammas (3.6.att.) rāda, ka maiĦstrāvas ėēdēs vienīgais aktīvās jaudas patērētājs ir tikai rezistīvais elements. Acīmredzot tādēĜ tā pretestību R maiĦstrāvas ėēdēs pieĦemts saukt par aktīvo pretestību. Elementi L un C aktīvo jaudu nepatērē. Tie tikai piedalās enerăijas svārstībās, kas notiek, periodiski pieaugot un samazinoties spoles magnētiskā lauka vai kondensatora elektriskā lauka enerăijai. Elementiem L un C lieto kopēju apzīmējumu: reaktīvie elementi.

Sinusoīdu saskaitīšana: vektoru diagrammas Un beidzot, pati sarežăītākā darbība ar sinusoīdām - saskaitīšana. PieĦemsim, ka jāsaskaita divas sinusoidālas strāvas: 3.7.,a att. laika diagrammā parādītas abas sinusoīdas un to saskaitīšanas rezultāts – strāva i(t). Pārliecinieties, ka jebkurā laika momentā ir spēkā sakarība i = i1 + i2. Taču uzdevums ir atrast strāvas i(t) analītisku izteiksmi – to nosaka strāvas efektīvā vērtība I un sākuma fāze ψ. b) a)

i i1 i i2

ωt

0º

90º

180º

-90º

0º

3.7.att. a) sinusoidālu strāvu saskaitīšana, b) sinusoīdu attēlošana ar vektoriem.

Matemātikas rokasgrāmatās (nodaĜā “Trigonometrija - Sinusoidāli lielumi”) parādīts, ka katru sinusoidālu lielumu var attēlot ar vektoru plaknē. Tiešām, ja visi lielumi mainās ar kopēju frekvenci ω, tad sinusoīdu tāpat kā vektoru raksturo 2 parametri. Proti, vektora garums (modulis) atbilst sinusoīdas amplitūdai, bet virziens (leĦėa arguments) – tās sākuma fāzei. Sinusoīdu vietā summē attiecīgos vektorus, un rezultējošā vektora modulim un leĦėa argumentam atbilst meklējamās sinusoīdu summas amplitūda un sākuma fāze. Šo principu plaši izmanto arī elektrotehnikā, aprēėinot maiĦstrāvas ėēdes. 1. Sinusoidālu lielumu, kura efektīvā vērtība ir U un sākuma fāze ir ψ, attēlo ar vektoru Ū, kura modulis atbilst sinusoīdas efektīvajai vērtībai, bet virziens - sākuma fāzei. Ē.Priednieks. Elektriskās ėēdes un to vienādojumi.


43

Piemēram, 3.7. attēlā strāvu i1(t) attēlo ar vektoru Ī1. Tā modulis I1= 5 atbilst attēlojamās strāvas efektīvajai vērtībai I1, bet virziens ar horizontāli pa labi vērstu līniju veido leĦėi ψ1 = 45º, kas atbilst šīs strāvas sākuma fāzei. Tāpat kā polārajās koordinātās matemātikā, pozitīvs ir leĦėis pulksteĦa rādītāja kustības virzienā. Pēc `minētā principa zīmēts arī vektors Ī2. Strāvas i2(t) sākuma fāze ψ2 = –30º ir negatīva, tas nosaka vektora Ī2 virzienu. 2. Dotās shēmas spriegumus un strāvas attēlo vektoru diagrammā, lai tajā veiktu darbības ar vektoriem un iegūtu aprēėina formulas. Vektoru diagrammas piemērs redzams 3.7.,b attēlā. Tajā izpildīta divu vektoru summēšana. Iegūtā vektora Ī modulis ir I = 6,5, bet leĦėa arguments ψ = 18º. Rezultāti pagaidām iegūti, izmērot vektora parametrus. Aprēėina formulu izveidošanu aplūkosim šīs nodaĜas turpinājumā. Uzrakstām vektoram Ī atbilstošās sinusoīdu summas izteiksmi: 3. Vektoru diagrammā, tāpat kā laika diagrammā, fāžu nobīdes ir svarīgākas nekā sākuma fāzes. Piemēram, 3.7.,b att. diagrammā svarīgi, ka strāvas i1 vektors apsteidz fāzē strāvas i2 vektoru par 75º. Piemēram, pārbīdot laika diagrammā (3.7.,a att.) ordinātu asi vai pagriežot vektoru diagrammu (3.7.,b att.) strāvu summas i(t) efektīvā vērtība I neizmainīsies. 3. MaiĦstrāvas ėēdēs, spriegumu un strāvu vienādojumi (1.5) un (1.6), protams, joprojām ir spēkā. Taču tie liek summēt momentānās vērtības, kas būtu pārāk sarežăīti. Tāpēc maiĦstrāvas ėēdēs spriegumu un strāvu vienādojumus formulē spriegumu un strāvu vektoriem: (3.5) un (3.6). Ar tiem iepazīsimies vēlāk. Šeit jāaizrāda, un tas vēl tiks atkārtots vairākkārt, ka spriegumu un strāvu vienādojumi nav domāti efektīvo vērtību summēšanai. Tātad: drīkst saskaitīt momentānās vērtības (tas sarežăīti), vektorus (visnotaĜ veicināma rīcība), bet nekādā ziĦā ne efektīvās vai maksimālās vērtības (kauna lieta)! 4. Spriegumu vai strāvu saskaitīšanai nebūt nav jāizpilda precīzas grafiskas konstrukcijas ar vektoriem. Tā vietā pirms aprēėina uzskicē konkrētās shēmas vektoru diagrammu - tās zīmēšanai izmanto strāvu un spriegumu vienādojumus. Pēc tam no vektoru diagrammas, izmantojot trigonometrijas formulas, izveido izteiksmes ar spriegumu vai strāvu efektīvajām vērtībām, kuras diagrammā pārstāv vektoru moduĜi. 5. Šāda pieeja, kad ar vienādojumus iegūst no iepriekš uzzīmētas vektoru diagrammas, tad arī ir vektoru diagrammu metodes pamatā. Vēlāk redzēsim, ka virknes slēguma gadījumā vienādojumus iegūst vienkāršāk -no pretestību trīsstūriem. Vektoru diagrammu metodi galvenokārt lieto samērā vienkāršām shēmām (elementu virknes slēgumam vai shēmai ar avotam pieslēgtiem paralēliem zariem), taču to iespējams piemērot arī sarežăītāku ėēžu analīzei, ja tajās izdodas atrast vienkāršākās daĜas ar zināmu strāvu vai spriegumu. Tādas, piemēram, ir 5. nodaĜā aplūkotās trīsfāžu maiĦstrāvas ėēdes.

MaiĦstrāvas ėēžu vienādojumi Iepazināmies ar principiem, kas izriet no sinusoidālu lielumu atvasināšanas, reizināšanas un saskaitīšanas. Tie jāievēro, piemērojot elektrisko ėēžu pamatvienādojumus (1.1)…(1.7) maiĦstrāvas ėēdēm. Šeit apkoposim un precizēsim iegūtos rezultātus.

Elementu vienādojumi Arī uz sinusoīdu momentānajām vērtībām attiecas vienādojums (1.1): u = −e. Tas nozīmē, ka sprieguma u fāze ir pretēja EDS fāzei - fāzes atšėiras par 180 o. Šādus lielumus attēlo pretējos virzienos vērsti vektori Ē un Ū: (3.1)

Elementa EDS vienādojums

Pamatvienādojumi (1.2), (1.3) un (1.4) ir sakarības starp elementa R, L vai C sprieguma un strāvas momentānajām vērtībām. Divas pēdējās no tām satur atvasinājumus (d/dt). Lai izvairītos no tiem - tas novestu pie diferenciālvienādojumu risināšanas -, katru no šīm izteiksmēm aizstāj ar divām: 1) sakarību starp sprieguma un strāvas efektīvajām vērtībām, 2) elementam raksturīgo fāžu nobīdi ϕ. Sakarībai starp efektīvajām vērtībām piešėir Oma likuma formu: spriegums, strāva un pretestība. Iegūst reaktīvo pretestību (induktīvās un kapacitīvās) formulas. a) rezistīvā elementa R vienādojums Sinusoidālas strāvas izteiksmi ievietojot rezistīvā elementa R vienādojumā (1.2), iegūst sprieguma sinusoīdas izteiksmi: Elementu R, L un C vienādojumi


3. nodaĜa

44

1) Sprieguma izteiksmē atrodam efektīvo vērtību: U=RI. 2) Sprieguma un strāvas sinusoīdas sakrīt fāzē. Tātad rezistīvu elementu R maiĦstrāvas ėēdē raksturo šādas divas sakarības:

b) induktīvā elementa L vienādojums

Sinusoidālas strāvas izteiksmi ievietojot induktīvā elementa L vienādojumā (1.3), iegūst sprieguma sinusoīdas izteiksmi:

1) Sprieguma izteiksmē atrodam efektīvo vērtību: U=ωLI. Lai piešėirtu elementa L vienādojumam Oma likuma formu, ieved jēdienu „induktīvā pretestība“: XL=ωL. 2) Sprieguma izteiksmē fāze ir par 90º lielāka nekā strāvai. Tad induktīvu elementu L maiĦstrāvas ėēdē raksturo šādas divas sakarības:

c) kapacitīvā elementa C vienādojums

Sinusoidāla sprieguma izteiksmi ievieto kapacitīvā elementa C vienādojumā (1.4) un iegūst strāvas sinusoīdas izteiksmi:

1) Strāvas sinusoīdas izteiksmē sameklējam tās efektīvo vērtību: I=ωC U. Lai piešėirtu elementa C vienādojumam Oma likuma formu, ieved jēdzienu „kapacitīvā pretestība“: XC=1/ωC. 2) Strāvas izteiksmē fāze ir par 90º lielāka nekā spriegumam. Fāžu nobīde ir sprieguma fāze mīnus strāvas fāze, tātad šeit tā ir negatīva. Tātad kapacitīvu elementu C maiĦstrāvas ėēdē raksturo šādas divas sakarības: Aplūkosim induktīvās pretestības XL un kapacitīvās pretestības XC formulas:

To kopējais nosaukums - reaktīvās pretestības. (kopējais apzīmējums: X). Atšėirībā no aktīvās pretestības R reaktīvās pretestības ir atkarīgas no frekvences (ω vai f), pie tam dažādi. Pieaugot frekvencei, induktīvā pretestība XL pieaug, bet kapacitīvā pretestība XC samazinās. Tas nozīmē, ka viena un tā pati ėēde pie dažādām frekvencēm var iegūt atšėirīgas īpašības.

Spriegumu un strāvu vienādojumi Spriegumu vienādojums vektoriālā formā, kas aizstāj vienādojumu (1.5): Vienādojumā (3.5) indeksi 1,2 un 3 ir brīvi izvēlētu shēmas punktu apzīmējumi.

Vienādojums (3.6) ir pirmais Kirhofa likums maiĦstrāvai. Vienādojumu sastāda shēmas mezglam. Strāvas, kas nosacīti pienāk mezglam (spriežot pēc to bultiĦu virzieniem shēmā), vienādojumā raksta ar plusa zīmi, bet no mezgla nosacīti aizejošās strāvas - ar mīnusa zīmi. Sastādīto vienādojumu izmanto, zīmējot vektoru diagrammu. Vienādojumi (3.5) un (3.6) ir vienīgie no maiĦstrāvas ėēžu pamatvienādojumiem, kuri nav domāti, lai tajos ievietotu skaitĜus. Šie vienādojumi palīdz uzzīmēt vektoru diagrammu, ko savukārt izmanto, lai sastādītu vienādojumus ar spriegumu (strāvu) efektīvām vērtībām. Kā zīmēt vektoru diagrammas tas ir viens no svarīgākajiem turpmāk apskatāmiem jautājumiem.

Divpola aktīvās jaudas formula Katru shēmas elementu vai divpolu raksturo viena strāva un viens spriegums. Ja shēmā abu šo lielumu pieĦemtie pozitīvie virzieni sakrīt, tad šāds divpols nosacīti ir patērētājs (pretējā gadījumā avots). Divpola patērētās jaudas momentāno vērtību p var noteikt ar vienādojumu (7): p = ui. MaiĦstrāvasėēdē divpola patērētā aktīvā jauda P (t.i., momentānās jaudas vidējā vērtība) ir atkarīga ne tikai no sprieguma un strāvas, bet to ietekmē arī fāžu nobīde ϕ:



45

Lielumu cos ϕ sauc par jaudas koeficientu. Tam ir svarīga nozīme enerăētikā: piemēram, jaudu P pa līniju ar spriegumu U var pārvadīt ar mazāku strāvas I vērtību, ja cos ϕ vērtība ir lielāka (t.i., tuvāka lielākai iespējamai vērtībai cos ϕ =1). Iepazināmies ar pamatvienādojumiem maiĦstrāvas ėēžu gadījumā. Tie satur ievērojami vairāk jēdzienu nekā 1. nodaĜā aplūkotie vienādojumi, taču tajos nav ne atvasināšanas darbību, ne sinusoidālu laika funkciju!. Šie pamatvienādojumi kopā ar dažiem citiem sakopoti sekojošā tabulā. 3.2.tabula. Formulas maiĦstrāvas ėēžu aprēėinam ar vektoru diagrammu metodi.

Vienādojumi


Ar vektoru diagrammu metodi

Elementam E Elementam R Elementam L Elementam C Virknes slēgumam

u = −e

Ū = −Ē

u=Ri

U = R I , ϕ = 0°

u = L di/dt

U = XL I , jϕ = 90°°

i = C du/dt

U = XC I , ϕ = −90° ° U = Z I, ϕ

•

(1.5), (3.5)

Spriegumiem

u13 = u12 + u23

Ū13 = Ū12 + Ū23

Strāvām

S∑ ±i = 0

∑ ± Ī=0

(1.6), (3.6)

P = U I cos ϕj

Divpola jaudai

p=ui

(1.7), (3.7) (3.7a) (3.7b)

Q = U I sin ϕj S=UI

•

(1.1), (3.1) (1.2), (3.2) (1.3), (3.3) (1.4), (3.4) (3.8)

Tabulā nav parādītas induktīvās un kapacitatīvās pretestības izteiksmes (3.3a) un (3.4a). Tabulā ir formulas, kuru iegūšanas principi līdz šim vēl nav aplūkoti. Vienādojums (3.8) ir piektā “elementa” – virknes slēguma - vienādojums. Zemāk parādīts, ka elementu virknes slēgumam var zīmēt pretestību trīsstūri, lai no tā iegūtu formulās (3.8) sastopamos lielumus. MaiĦstrāvas ėēdēs pazīstami arī šādi jaudas raksturojoši lielumi: Q - reaktīvā jauda un S - pilnā jeb šėietamā jauda - to formulas ir (3.7a) un (3.7b), saskaĦā ar jaudu trīsstūri.

Vektoru diagrammas un pretestību trīsstūri Vektoru diagrammu zīmē pirms shēmas aprēėina - tāpēc, ka formulu tabulā (3.2.tabula) nav formulu spriegumu vai strāvu efektīvo vērtību saskaitīšanai. Vienādojumi (3.5) un (3.6) atĜauj ne vairāk kā tikai zīmēt dotai shēmai vektoru diagrammu. No tās tad arī varēs iegūt formulas strāvu vai spriegumu saskaitīšanai, kā arī fāžu nobīdes noteikšanai. Šādu pieeju sauc par vektoru diagrammu metodi un to lieto samērā vienkāršu shēmu aprēėinam un analīzei: virknes slēgumam un shēmām ar paralēliem zariem. Tomēr nevajadzētu nenovērtēt vektoru diagrammu metodi divu iemeslu dēĜ. Pirmkārt, vektoru diagrammu metodi lieto sarežăītākās shēmās, ja tājās atsevišėi spriegumi. Otrkārt, metodi var izmantot jebkuras shēmas aprēėina starprezultātu kontrolei. Zīmējot vektoru diagrammu, izmanto: • trīs elementu (R, L un C) vektoru diagrammas, • spriegumu un strāvu vienādojumus, • arī sarežăītāka “elementa” - virknes slēguma - vektoru diagrammu.

Trīs elementu vektoru diagrammas Zīmējot vektoru diagrammas, jāzina 3.8.att. parādītās 3 elementu vektoru diagrammas (EVD). Katra no tām rāda konkrēta elementa R, L vai C strāvas un sprieguma vektoru savstarpējo novietojumu. Piemēram, ja viena vektora (strāvas vai sprieguma) virziens izvēlēts, tad EVD viennozīmīgi nosaka otra vektora virzienu. Izmantojot EVD un zīmējot vektoru diagrammas, jāievēro sekojošais: • EVD attiecas uz konkrēta elementa spriegumu un strāvu. Ē.Priednieks. Elektriskās ėēdes un to vienādojumi.

3. nodaĜa

46

• Elementa strāvas un sprieguma bultiĦu virzieniem shēmā jāsakrīt. • Fāžu nobīdes leĦėi –90º<φ<90º vienmēr atliek no strāvas vektora līdz sprieguma vektoram. • Tāpat kā matemātikā pozitīvs leĦėa virziens ir pretējs pulksteĦa rādītāja kustības virzienam. •

Ja leĦėis φ ir pozitīvs: strāva atpaliek fāzē no sprieguma, divpolam ir induktīvs raksturs. Ja leĦėis φ ir negatīvs: strāva apsteidz fāzē spriegumu, divpolam ir kapacitīvs raksturs. Vektoru diagrammā virs vektora apzīmējuma „garumzīmi“ neliek (tekstā vai formulās tas ir obligāti), jo tāpat ir saprotams, ka diagrammā ir tikai vektori.

3.8.att. Elementu R, L un C vektoru diagrammas.

Vektoru diagrammu zīmēšana Vektoru diagrammu konkrētai shēmai zīmē, lai iegūtu aprēėina formulas spriegumu vai strāvu saskaitīšanai. Protams, pirms aprēėina strāvu un spriegumu vērtības vēl nav zināmas, un tātad nav zināmi arī to vektoru moduĜu vērtības - tādēĜ diagrammā mērogam nav sevišėas nozīmes. Taču noteikti jāievēro vektoru virzieni, ko nosaka EVD (3.8.att) - formulas visbiežāk (uzmanieties: ne vienmēr!) varēs iegūt no taisnleĦėa trīsstūriem vektoru diagrammās. Vektoru diagrammas zīmē, izmantojot 3 EVD (3.8 att), kā arī strāvu un spriegumu vienādojumus (3.5) un (3.6). Pēdējos, kā jau uzsvērts, var izmantot tikai vektoru diagrammu zīmēšanai.. • Shēmā apzīmē strāvas un spriegumus - arī tāpēc, lai novērtētu, cik vektoru būs diagrammā. • Pirmo sprieguma (vai strāvas) vektoru diagrammā atliek brīvi izvēlētā virzienā. Shēmai ar virknes slēgumu ieteicams sākt ar strāvas vektoru - tāpēc, ka šī strāva plūst vairākos elementos. Ja elementi slēgti paralēli, tad sāk ar sprieguma vektoru, jo tas ir kopējs vairākiem elementiem. • Ja pirmais vektors izvēlēts pareizi, tad elementu vektoru diagrammas atĜauj noteikt vismaz 2 spriegumu (strāvu) vektoru virzienus un papildināt diagrammu ar šiem vektoriem. • Nākošo vektoru atrod, saskaitot vektorus saskaĦā ar spriegumu vai strāvu vienādojumu. • Ja visi vektori vēl nav atrasti, tad diivas minētās darbības atkārto. • Parāda fāžu nobīdes leĦėi (ϕ) starp avota spriegumu un strāvu. Atcerēsimies, ka leĦėi atliek no strāvas vektora līdz sprieguma vektoram. Šo plānu vēlāk pilnveidosim. Shēmām ar paralēliem zariem vektoru diagrammu būs iespējams vienkāršot, uzskatot virknes slēgumus shēmas zaros par divpoliem. Tad shēmā būs jārēėinās tikai ar vienu kopēju spriegumu. 3.2. piemērs. Uzzīmēsim vektoru diagrammu 3.9.,a att. parādītajai shēmai. 1. Shēmā ir viens spriegums (jo shēmā ir tikai 2 punkti). Izvēlamies apzīmējumu spriegumam un strāvām (U, I1 un I2). Pozitīvos virzienus shēmā izvēlas tā, lai tie sakristu ar pieĦemto sprieguma virzienu - lai varētu korekti lietot elementu vektoru diagrammas (3.8. att.). Shēmā vēl ir trešā strāva I - tās virzienu pieĦemam tā, lai vieglāk uzrakstītu strāvu vienādojumu. Tātad vektoru diagrammā - tāpat kā shēmā - būs viens spriegums un trīs strāvas.

a)

b) 3.9. att. a) shēma: ar RC paralēlslēgumā, b) vektoru diagramma.



47

2. Vektoru diagrammu sākam zīmēt ar sprieguma U vektoru - tādēĜ, ka šis spriegums ir kopējs abiem elementiem. 3. Izmantojot elementu R un C vektoru diagrammas (3.8. att.), zīmējam strāvu I1 un I2 vektorus. Strāva I1 sakrīt fāzē ar spriegumu U, tāpēc tās vektoru atliek sprieguma virzienā. Strāva I2 apsteidz fāzē spriegumu U par 90o, tāpēc tās vektoru atliek uz augšu. Diagrammās vektorus var brīvi pārvietot, saglabājot to virzienus. Strāvas I2 vektoru zīmējam vektora I1 galapunktā, paredzot sekojošu vektoru saskaitīšanu. 4. Nākošo vektoru zīmējam, izmantojot strāvu vienādojumu (3.6) dotajai shēmai: Ī = Ī1 + Ī2 . Diagrammā saskaitām attiecīgos vektorus. 5. Atliekam fāžu nobīdes leĦėi ϕ (atcerēsimies: vienmēr no strāvas vektora sprieguma vektora virzienā). Te ϕ vērtība ir negatīva – tātad ėēdes raksturs ir kapacitīvs; strāva apsteidz spriegumu par leĦėi ϕ. Diagrammu zīmējām, lai no tās iegūtu strāvu vienādojumu ar efektīvajām vērtībām, ko, atšėirībā no (3.6), var lietot aprēėinā. Diagramma atĜauj noteikt arī jaudas koeficientu vai fāžu nobīdes leĦėi.

Virknes slēguma pretestību trīsstūris Katra shēmas elementa (R, L vai C) vienādojumus (3.2), (3.3) vai (3.4) veido divas sakarības: Oma likuma izteiksme un fāžu nobīdes φ vērtība. Uzskatot jebkuru elementu virknes slēgumu par divpolu, arī to var raksturot ar divām minētajām sakarībām. Pretestību Z Oma likuma izteiksmē sauc par virknes slēguma pilno pretestību. Formulas pilnās pretestības Z un fāžu nobīdes φ noteikšanai iegūst no pretestību trīsstūra. Vispirms zīmējam vektoru diagrammu shēmai ar elementu R, L un C virknes slēgumu (3.10.,a att.). Ėēdei pielikts avota spriegums U. Visos elementos plūst viena un tā pati strāva I. Uz elementiem rodas spriegumi UR , UL un UC. Visi minētie lielumi jāattēlo diagrammā. a)

b)

c)

3.10.att. a) RLC virknes slēgums, b) vektoru diagramma, c) virknes slēguma pretestību trīsstūris.

Diagrammu (3.10.,b att.) sākam zīmēt ar strāvas I vektoru, jo tā ir kopēja visiem elementiem. Izmantojot trīs elementu vektoru diagrammas (3.8. att.), atrodam trīs spriegumu vektoru virzienus. Kopējā sprieguma vektoru atrodam, izmantojot spriegumu vienādojumu (3.5): Diagrammas zīmēšanu pabeidzam, apzīmējot fāžu nobīdes leĦėi ϕ. Ievērojiet, ka visi spriegumi vektoru diagrammā ir proporcionāli strāvai I:

UR R I , UL XL I , UC XC I - saskaĦā ar elementu vienādojumiem (3.2), (3.3) un (3.4), un pat arī U = ZI (3.8) - kā to pieĦēmām, ievedot pagaidām nezināmu divpola pilno pretestību Z. Izdalot katru no spriegumiem ar strāvu I, iegūsim vektoru diagrammai līdzīgu pretestību trīsstūri (3.10.,c att.). BultiĦas te nav vektori, tie tikai parāda zīmēšanas secību. No pretestību trīsstūra izriet formulas elementu virknes slēguma pilnās pretestības Z un fāžu nobīdes leĦėa ϕ vai jaudas koeficienta cos ϕ noteikšanai, piemēram:

Pretestību trīsstūri: izdalot vektoru diagrammas spriegumus ar kopējo strāvu. Tātad zīmēt pretestību trīsstūri un lietot formulas (3.8) un (3.8a) drīkst nevis jebkurai shēmai vai shēmas daĜai, bet gan tikai virknes slēgumam, jo tikai virknes slēguma visos elementos plūst viena un tā pati strāva. Ē.Priednieks. Elektriskās ėēdes un to vienādojumi.

3. nodaĜa

48

Pretestību trīsstūri zīmē šādā secībā (3.10.,c att.): • horizontāli pa labi atliek virknes slēguma rezistīvajai pretestībai R atbilstošu nogriezni (ja slēgumā ir vairākas šādas pretestības - atbilstošu to summai), • šī nogriežĦa galapunktā uz augšu atliek induktīvajai pretestībai XL atbilstošu nogriezni, • no šī nogriežĦa galapunkta uz leju - kapacitīvajai pretestībai XC atbilstošu nogriezni, • savienojot zīmējuma sākuma un beigu punktus, iegūst nogriezni, kas attēlo pilno pretestību Z, • - ϕ ir leĦėis starp horizontālo kateti R un hipotenūzu Z; leĦėi ϕ atliek virzienā no horizontāles (R). Ja induktīvā pretestība ir lielāka par kapacitīvo, tad ϕ >0, pretējā gadījumā ϕ ir negatīvs. Pretestību trīsstūris ir uzskatāmāks par formulām (3.8), ja kāda no slēguma pretestībām ir maināma. Tad izsekot izmaiĦām pretestību trīsstūrī ir ērtāk nekā izanalizēt tās ar formulām (3.8a). 3.3. piemērs. 3.11. attēlā redzami pretestību trīsstūru piemēri dažādiem shēmu fragmentiem ar elementu virknes slēgumu: 3.11.,a att. - shēmai ar virknē slēgtiem elementiem R un C, 3.11.,b att. - shēmai ar virknē slēgtiem elementiem R, L un C, ja induktīvā pretestība XL ir mazāka par kapacitīvo pretestību Xc. 3.11.,c attēlā parādīts, kā rīkoties, ja virknes slēgumā ir tikai elementi L un C. Tīri formāli Z un ϕ var noteikt ar formulām (3.8a), taču ērtāk ir aizstāt šo virknes slēgumu ar vienu elementu L vai C, kā parādīts 3.11.,c att. Piemēram, ja XL>XC, tad virknes slēgumu aizstāj ar induktīvu elementu L, kam saskaĦā ar (3.3) fāžu nobīde ϕ=90o. Un otrādi, ja pārsvarā ir kapacitīvā pretestība, tad slēgumu aizvieto ar elementu C, kam saskaĦā ar (3.4) fāžu nobīde ϕ=−90o Ievērojiet, ka leĦėi ϕ atliek no horizontāles. Ja induktīvā pretestība ir lielāka par kapacitīvo, tad ϕ >0, pretējā gadījumā ϕ ir negatīvs.

a)

b)

c)

8

XL R XC

3

Z

3 φ = 90º

R φ

φ Z

5

5

XC

2 φ = –90º

3.11.att. Pretestību trīsstūru piemēri: a) RC ėēdei, b) RLC ėēdei, c) ja R=0.

Vektoru diagrammas shēmām ar paralēliem zariem Uzskatīsim, ka ikvienā šādas shēmas zarā ir divpols: viens elements vai virknes slēgums. Ar to shēma vienkāršojas – tajā ir tikai viens spriegums, kas pielikts karam no zariem. Pilno pretestību Z un fāžu nobīdi ϕ zaram ar virknes slēgumu nosaka, izmantojot pretestību trīsstūri - formulas (3.8a). Ja zarā ir tikai viens elements - izmanto elementu vienādojumus (3.2), (3.3) vai (3.4). Vektoru diagrammu zīmē saskaĦā ar nedaudz izmainītu plānu: • apzīmē shēmā spriegumu U un visu zaru strāvas (tā, lai to pozitīvie virzieni sakristu ar sprieguma pieĦemto virzienu), • brīvi izvēlētā virzienā atliek sprieguma vektoru, jo šis spriegums ir pielikts visiem zariem, • attiecībā pret sprieguma U vektoru atliek visas zaru strāvas: zaram ar vienu elementu strāvas vektora virzienu nosaka šī elementa vektoru diagramma (3.10. att.), bet zaram ar virknes slēgumu fāžu nobīdi ϕ var uzzināt no pretestību trīsstūra, • saskaĦā ar strāvu vienādojumu avota strāvas I vektoru atrod, summējot visu zaru strāvu vektorus,. • diagrammā parāda fāžu nobīdi starp avota strāvas un sprieguma sinusoīdām: leĦėi ϕ atliek no strāvas vektora. 3.4. piemērs. Uzzīmēsim vektoru diagrammu 3.12.,a att. shēmai, uzskatot virknes slēgumu pirmajā zarā par divpolu. 1. Apzīmējam spriegumu un visas strāvas shēmā (3.12.,a att.). 2. Vektoru diagrammā (3.13.,c att.) vispirms zīmējam sprieguma U vektoru. 3. Lai novērtētu strāvas I1 vektora virzienu, uzzīmējam šī zara pretestību trīsstūri (3.12.,b att.). Zarā ir induktīvā pretestība, tāpēc leĦėis ϕ1 ir pozitīvs. Atcerēsimies, ka trīsstūrī leĦėi ϕ atliek no horizontāles. bet vektoru



49

diagrammā - no strāvas vektora līdz sprieguma vektoram. Diagrammā parādītais strāvas I1 vektors atpaliek no sprieguma par leĦėi ϕ1. Otrā zara strāvas I2 vektora virzienu nosaka elementa R vektoru diagramma (3.8. att): elementam R tas sakrīt fāzē ar spriegumu U. 4. Kopējās strāvas I vektoru atrodam, saskaĦā ar strāvu vienādojumu: Ī = Ī1 + Ī2 saskaitot attiecīgos vektorus. 5. Parādām fāžu nobīdes leĦėi ϕ, atliekot to no avota strāvas I vektora līdz sprieguma U vektoram. a) b) c)

Z1

XL φ1 R1

3.12. att. a) shēma ar paralēliem zariem, b) 1. zara pretestību trīsstūris, c) vektoru diagramma.

Strāvu aktīvās un reaktīvās komponentes Vektoru diagramma shēmai ar paralēliem zariem izmanto, lai, summējot zaru strāvu vektorus, atrastu avota strāvu I un tās fāzes nobīdi attiecībā pret avota spriegumu U. Lieto šādu paĦēmienu: katru no strāvu vektoriem sadala divās savstarpēji perpendikulārās komponentēs. Izvēlas divus savstarpēji perpendikulārus virzienus (viens no tiem sakrīt ar sprieguma U vektora virzienu) un projicē uz tiem strāvu vektorus. 3.13. att. Parādīti divu strāvu I1 un I2 vektori un šo strāvu sinusoīdu summas I vektors. Vektori sadalīti komponentēs. Strāvas vektora aktīvā komponente Ia ir strāvas vektora projekcija uz sprieguma vektora virziena. Atcerēsimies, ka projekcijai atbilst reizināšana ar leĦėa kosinusu:

Reaktīvā komponente Ir ir perpendikulāra sprieguma vektora virzienam, tās izteiksme satur sinusu:

3.13. att. Strāvu vektori un to komponentes.

Tā kā visi fāžu nobīdes leĦėi atrodas diapazonā no −90° līdz 90° (cos ϕ tad ir pozitīvs) , tad visas saskaitāmo vektoru aktīvās komponentes būs pozitīvas.

Lai atrastu vektoru summas reaktīvo komponenti, atsevišėo strāvu reaktīvās komponentes arī jāsaskaita, taču šeit saskaitāmo zīmes var būt dažādas. Induktīva rakstura (ϕ >0, sin ϕ >0) reaktīvās komponentes būs pozitīvas, bet tās, kuru raksturs ir kapacitīvs (ϕ <0, sin ϕ <0) - negatīvas. Lai šeit izvairītos no kĜūdām, ieteicams rezultātu pareizību pārbaudīt, ielūkojoties arī vektoru diagrammā. Sprieguma vektors vērsts pa labi, tad induktīva rakstura reaktīvā strāvas (I2) komponente būs vērsta uz leju (atpaliek no sprieguma, ir pozitīva), bet, ja raksturs ir kapacitīvs (I1) - vērsta uz augšu (apsteidz fāzē spriegumu, ir negatīva). Šādi atrod strāvu vektoru summas Ī abas komponentes Ia un Ir. Strāvas vektora komponentes Ia un Ir kopā ar vektoru Ī veido taisnleĦėa trijstūri, no kura tad arī iegūst vajadzīgās formulas:


3. nodaĜa

50

Dažos gadījumos arī spriegumus sadala komponentēs (piemēram, 3.14. att.) Tad sprieguma aktīvā komponente Ua ir sprieguma vektora projekcija uz strāvas vektora virziena.

Jaudas maiĦstrāvas ėēdē Līdz šim aplūkojām tikai aktīvās jaudas jēdzienu. Atcerēsimies, ka divpola vai elementa aktīvā jauda P ir momentānās jaudas p vidējā vērtība. MaiĦstrāvas ėēdē aktīvo jaudu apraksta formula (3.7): Aktīvā jauda P

. Aktīvās jaudas avoti var būt tikai EDS. Aktīvo jaudu patērē tikai rezistīvie elementi (R), to var patērēt arī atsevišėi EDS. Reaktīvie elementi (L un C) aktīvo jaudu nepatērē. Koeficientu cos ϕ aktīvās jaudas formulā sauc par jaudas koeficientu. Aktīvās jaudas mērvienība ir vats (W). Tā raksturo enerăijas svārstības ėēdē. Enerăijas svārstības notiek reaktīvo elementu (L un C) klātbūtnes dēĜ, un tajās var piedalīties arī avots. Izteiksme reaktīvās jaudas aprēėināšanai (3.7a) ir šāda:

Reaktīvā jauda Q

. Reaktīvās jaudas mērvienība ir reaktīvais voltampērs (var). Tā apzīmējums: var. Pilno jeb šėietamo jaudu S definē kā sprieguma un strāvas reizinājumu (3.7b): Pilnā jauda S . Šim lielumam, atšėirībā no P un Q, nav fizikālas jēgas. Pilnās jaudas S vērtība ir dažu elektroiekārtu (piemēram, transformatoru) raksturojošs lielums. a)

b)

3.14. att. a) pretestību trīsstūris, b) jaudu trīsstūris.

Jaudu formulas

Jaudas formulu iegaumēšanai izmanto jaudu trīsstūri. To iegūst no spriegumu trīsstūra virknes slēguma vektoru diagrammā (3.11.,a att.), pareizinot spriegumus ar strāvas I vērtību. Jaudu formulas (3.7) atĜauj aprēėināt jebkura divpola jaudas. Izmantojot elementu vienādojumus (3.2), (3.3) un (3.4), formulas var piemērot atsevišėiem elementiem. Rezistīvam elementam R , zinot, ka cos φ=1: Induktīvam elementam L (sin φ =1): Kapacitīvam elementam C (sin φ =−1): Izmantojot divpola vienādojumu (3.8), var iegūt arī jaudas formulas virknes slēgumam:

Pēdējās 3 formulas var lietot, piemēram, aprēėinot strāvas atsevišėos shēmas zaros, ja zināma kāda no jaudām un zara pretestības. Formulu P=RI2 bieži lieto, lai noteiktu rezistora pretestību R, ja dota tā patērētā jauda un strāva tajā.



51

Vektoru diagrammu metodes izmantošanas robežas Piemērotība Vektoru diagrammu metode ir piemērota vienkāršu maiĦstrāvas ėēdes ar vienu avotu aprēėiniem: • shēmām, kurās visi elementi slēgti virknē (skat. zemāk 3.8.piemēru), • shēmām ar avotam pieslēgtiem paralēliem zariem - katrā zarā var būt viens vai vairāki virknē slēgti elementi (3.9.piemērs). • arī sarežăītāku shēmu analīzei, ja atsevišėu shēmas divpolu spriegumi ir zināmi - tad shēmu aprēėina pa daĜām. Piemēram, trīsfāžu ėēdes 5. nodaĜa analizēsim galvenokārt ar vektoru diagrammu metodi. Un vēl viens apsvērums. Jebkuru sarežăītu maiĦstrāvas ėēdi var aprēėināt ar simbolisko metodi, kas aplūkota nākošajā nodaĜā. Tikai pieredzes, kas iegūta ar vektoru diagrammām dos iespējuu kontrolēt aprēėinu starprezultātus. Lietojot simbolisko metodi, ieteicams reizē ar aprēėiniem zīmēt arī vektoru diagrammu. Nepiemērotība Vektoru diagrammu metode nav piemērota pat Ĝoti vienkāršām shēmām ar jauktu slēgumu. Piemēram, 3.15. att. shēmas aprēėināšanai būtu nepieciešams ekvivalenti pārveidot elementu paralēlslēgumu. Literatūrā šādas formulas ir pazīstamas no laikiem, kad simboliskā metode šėita visai sarežăīta. Taču to lietošanai ir nepieciešams apgūt virkni jaunu jēdzienu (aktīvās, reaktīvās un pilnās vadītspējas). Nemēăiniet šādas formulas veidot patstāvīgi - iespējamas rupjas kĜūdas. Piemēram, zara aktīvā vadītspēja ne vienmēr ir apgriezts lielums aktīvajai pretestībai. Apgūt vadītspēju jēdzienus un to lietošanu ekvivalentos pārveidojumos nebūtu racionāli, Ħemot vērā, ka jebkuru sarežăītāku shēmu var aprēėināt ar universālu simbolisko metodi. Lūk, shēma, kur posmam a-b nedrīkst atrast ekvivalento pretestību tāpat kā to dara līdzstrāvas ėēdēs:

Formula ir nepareiza kaut vai tāpēc, ka tās rezultāts ir viena skaitliska vērtība, nevis pretestības trīsstūra parametrus Z un φ. Līdzīgu formulu drīkst veidot tikai ar komplekso pretestību vērtībām, kad rezultātā iegūsim kompleksu lielumu. Šāda pieeja aplūkota nākošajā nodaĜā “Simboliskā metode”.

3.15. att.

Topogrāfiskās diagrammas PieĦemsim, ka ir shēma ar 5 punktiem - tātad shēmā ir 10 dažādi spriegumi. Kā visērtāk uzglabāt informāciju par tiem? Līdzstrāvas ėēdē pietiktu uzrādīt tikai četru punktu potenciālu, piektā punkta potenciālu pieĦemot vienādu ar nulli. Katru spriegumu tad varētu atrast kā divu punktu potenciālu starpību. Ar ko atšėiras maiĦstrāvas ėēde? Ar to, ka katru spriegumu raksturo ne tikai skaitliskā vērtība, bet arī sākuma fāze. Katram no diviem sprieguma vektora galiem varētu atbilst shēmas punkta potenciāls. Šis princips tad arī ir topogrāfisko diagrammu pamatā: katra shēmas punkta potenciālam atbilst punkts topogrāfiskajā diagrammā. Katram spriegumam - potenciālu starpībai – atbilst vektors, kas savieno divus topogrāfiskās diagrammas punktus.

Jēdziens par topogrāfisko diagrammu Topogrāfiskā diagramma atšėiras no vektoru diagrammas ar to, ka 1) tajā nav strāvu vektoru, 2) topogrāfiskajā diagrammā ir punkti: katrs no tiem raksturo kāda shēmas punkta potenciālu. Jebkuram spriegumam shēmā atbilst vektors, kas savieno divus diagrammas punktus (3.16.att.).. Pastāv vienošanās par sprieguma vektora virzienu topogrāfiskajā diagrammā: sprieguma vektora bultiĦa vērsta “uz. pirmo indeksu”. Viegli atcerēties: pretēji tam, kā spriegumu apzīmē shēmā!. Piemēram, ja shēmās spriegumu UAB apzīmē ar bultiĦu, kas vērsta no shēmas punkta A punta B virzienā, bet topogrāfiskajā diagrammā vektora UAB bultiĦa vērsta uz punktu A. 3.16. att. Tas nav UBA!


3. nodaĜa

52

Kā uzzīmēt topogrāfisko diagrammu Lai uzzīmētu maiĦstrāvas ėēdei topogrāfisko diagrammu: • Apzīmē shēmā visus tās punktus. • Zīmē vektoru diagrammu. • Pārnes spriegumus no vektoru diagrammas uz topogrāfisko diagrammu (saglabājot katra vektora garumu un virzienu). Pārnesot pirmo vektoru, saskaĦā ar 3.16.att. parādīto principu iegūst pirmos divus topogrāfiskās diagrammas punktus. Katru nākošo spriegumu izvēlas tā, lai iegūtu jaunu punktu diagrammā.

3.5. piemērs. Uzzīmēt topogrāfisko diagrammu 3.17.,a att. parādītajai shēmai. PieĦemsim, ka spriegumu efektīvās vērtības ir zināmas: UAB = 20 V, UBC = 30 V, UCD = 30 V, UDE = 15 V. a)

c)

b)

UAB

B

A

UAD

E

UBC D

UCD

C

3.17. att.: a) shēma, b) vektoru diagramma, c) topogrāfiskā diagramma Shēmā punkti (A...E) jau apzīmēti. Izvēlamies strāvas I virzienu. Zīmējam vektoru diagrammu (3.17.,b att.). Brīvi izvēlētā virzienā atliekam strāvas vektoru. Elementu vektoru diagrammas (3.8.att.) nosaka visu spriegumu vektoru virzienus. Vektoru izvietojums diagrammā var būt patvaĜīgs. Zīmējot topogrāfisko diagrammu, ieteicams shēmu apiet pretēji pieĦemtajam strāvas virzienam. Piemēram, dotajā shēmā vispirms sastopam spriegumu UDE. Pārnesam tā vektoru uz topogrāfisko diagrammu (skat. 3.17.,c att.)- tajā iegūstam punktus E un D. Pārnesot nākošo vektoru ŪCD, diagrammā parādās jauns punkts C, utt. Topogrāfiskā diagramma ir parocīgs veids, kā glabāt informāciju par visiem spriegumiem shēmā. Tajā var viegli atrast jebkuru sprieguma vektoru. Piemēram, diagrammā ar raustītu līniju parādīts spriegums UAD. Bez topogrāfiskajām diagrammām nav iedomājama trīsfāžu maiĦstrāvas ėēžu analīze. Piemēram, svarīga ir topogrāfiskā diagramma 5. nodaĜas sākumā (5.2.att).

MaiĦstrāvas ėēžu aprēėināšana ar vektoru diagrammu metodi (piemēri) Zemāk apskatīti divi tipiski piemēri aprēėinam ar vektoru diagrammu metodi: shēma ar virknes slēgumu un shēma ar paralēliem zariem. Turpmāk ievērojiet šādu principu: shēmai vai tās fragmentam aprēėina formulas var iegūt: virknes slēgumam - no pretestību trīsstūra, bet shēmai ar paralēliem zariem - no uzzīmētas vektoru diagrammas. 3.6. piemērs. Dota maiĦstrāvas ėēde ar virknes slēgumu (3.18.,a att.). Avota sprieguma efektīvā vērtība: U = 200 V. Ėēdes elementu parametri: R1 = 10 Ω, R2 = 20 Ω, R3 = 30 Ω, XC = 40 Ω, XL = 120 Ω. Aprēėināt strāvu ėēdē, spriegumu starp punktiem a un b, kā arī patērēto aktīvo un reaktīvo jaudu.

a)

b)

c)

3.18.att. a) shēma ar virknes slēgumu, b) pretestību trīsstūris, c) pretestību trīsstūris shēmas fragmentam.



53

Dotajai shēmai uzzīmē pretestību trīsstūri. No tā atrod pilno pretestību Z un arī ϕ vērtību. Tas atĜauj aprēėināt strāvu I un jaudas P un Q. Sprieguma Uab atrašanai arī zīmē pretestību trīsstūri divpolam ab un atrod tā pilno pretestību Zab.

Risinājuma plāns

Zīmējam pretestību trīsstūri (3.18.,b att.), no kura atrodam ėēdes pilno pretestību un fāžu nobīdes leĦėi ϕ. Atcerēsimies, ka leĦėi pretestību trīsstūrī atliek no horizontāles (R). Šeit leĦėa vērtība ir pozitīva (citiem vārdiem, ėēdei ir induktīvs raksturs), jo induktīvā pretestība ir lielāka par kapacitīvo pretestību.

Atrisinājums

Tas nozīmē, ka ėēdei fāžu nobīdes leĦėis ϕ = 53°. Izmantojot Oma likumu maiĦstrāvas ėēdes virknes slēgumam (3.8), atrodam strāvas vērtību:

I

U Z

220 100

2, 2 A .

Izmantojot divpola jaudas formulas, atrodam patērēto aktīvo un reaktīvo jaudu:

Pārliecināsimies, ka šos rezultātus iespējams iegūt arī citādi:

Lai aprēėinātu spriegumu Uab, zīmējam pretestību trīsstūri posmam ab (3.18.,c att.), no kura atrodam šī divpola pilno pretestību: . Spriegumu Uab, atrod, pielietojot Oma likumu (3.8) posmam ab: Ievērojiet, ka šādas shēmas - virknes slēguma - aprēėinā nav nepieciešama vektoru diagramma: formulas iespējams iegūt no pretestību trīsstūriem.

3.7. piemērs. MaiĦsprieguma avotam ar spriegumu U = 100 V pieslēgta ėēde ar 3 paralēliem zariem (3.19.,a att.). Dotie lielumi: U = 100 V, R11 = 10 Ω, R12 = 20 Ω, XC1 = 40 Ω, R2 = 80 Ω, XL2 = 100 Ω, XC2 = 40 Ω, XC3 = 100 Ω . Aprēėināt visas strāvas, patērēto aktīvo un reaktīvo jaudu, un spriegumu starp punktiem a un b. b) c) a)

I

XL2

I1 U

R11 C1

I2

L2

XC2

I3

b C3

a

Z2

R2 R12

f C2

d

φ2 R2

3.19.att. a) shēma ar paralēliem zariem, b) pirmā zara pretestību trīsstūris, c) otrā zara pretestību trīsstūris. Šāda tipa shēmu - ar paralēliem zariem - aprēėina secība ir sekojoša. 1. Atrod katram zaram strāvas efektīvo vērtību (I1, I2, …) un fāžu nobīdes leĦėi (ϕ1, ϕ2, …). Ja zarā ir tikai viens elements, tad strāvas vērtību un fāžu nobīdi nosaka attiecīgā elementa vienādojums (3.2), (3.3) vai (3.4). Ja zarā ir vairāki elementi, tad zara pilno pretestību Z un fāžu nobīdi ϕ noteic šī zara pretestību trīsstūris: (3.8a). Zara strāvas vērtību atrod, izdalot spriegumu ar zara pilno pretestību Z. 2. Lai atrastu kopējās strāvas (tā nav abstrakta strāvu summa, bet shēmā tā plūst no avota) I vērtību, zīmē vektoru diagrammu. Vispirms zīmē sprieguma U vektoru. Fāžu nobīdes ϕ nosaka visu zaru strāvu vektoru virzienus. Avota strāvas vektoru atrod, summējot zaru strāvu vektorus saskaĦā ar vienādojumu (3.6):

Risinājuma plāns


3. nodaĜa

54

3. Vektoru diagramma nepieciešama, lai izveidotu algebriskas formulas avota strāvas un fāžu nobīdes noteikšanai. Šim nolūkam katru strāvu sadala divās savstarpēji perpendikulārās komponentēs. Aktīvā komponente ir strāvas vektora projekcija uz sprieguma vektora virziena. Strāvas I aktīvā komponente ir vienāda ar zaru strāvu aktīvo komponenšu aritmētisko summu: Kopējās strāvas reaktīvo komponenti atrod, summējot zaru strāvu reaktīvās komponentes. Jāievēro, ka atsevišėu zaru strāvu reaktīvajām komponentēm var būt dažādas zīmes (±): ja induktīvā pretestība zarā ir lielāka par kapacitīvo, tad fāžu nobīde ϕ ir pozitīva un zaram ir induktīvs raksturs, utt. 4. Avota strāva I un tās abas komponentes - aktīvā un reaktīvā - veido strāvu trīsstūri. Tas ir taisnleĦėa trīsstūris, un no tā viegli iegūt formulas ne tikai avota strāvas, bet arī fāžu nobīdes vai jaudas koeficienta noteikšanai:

Starp citu, aktīvās jaudas P aprēėinam var izmantot arī strāvas aktīvo komponenti: .

Atrisinājums

1. Pretestību trīsstūri 1. un 2. zaram parādīti 3.19.,b, c att. No tiem atrodam zaru pilnās pretestības: ,

Nosakām fāžu nobīdes leĦėus un to sinusu un kosinusu vērtības. Tās noderēs, aprēėinot strāvu reaktīvās un aktīvās komponentes. 1. un 2. zara virknes slēgumiem formulas iegūst no pretestību trīsstūriem (3.8a):

. No pretestību trīsstūriem redzams, ka šeit ϕ1<0, bet ϕ2>0. Ievērojam to, nosakot fāzes nobīdes leĦėus: ϕ1=−53°, ϕ2=37°. Trešajam zaram izmanto elementa vienādojumu (3.4): ϕ3=−90°. Nosaka 1. un 2. zara strāvas efektīvās vērtības:

3. zara strāvu atrod, izmantojot kapacitīvā elementa vienādojumu (3.4): . 2. Zīmējam vektoru diagrammu. Sprieguma U vektoru atliek brīvi izvēlētā virzienā. Strāvu vektoru virzienus nosaka fāžu nobīde (ϕ1, ϕ2, ϕ3) katram zaram. Piemēram, ja spriegums U atlikts pa labi, tad katra zara strāvas vektoru atliek vienā no 5 virzieniem: uz augšu (ja zara pretestībai ir tīri kapacitīvs raksturs: ϕ = −90o), uz leju (tīri induktīvs raksturs), sprieguma virzienā (ja ϕ = 0), slīpi pa labi uz augšu (kapacitīvs raksturs: −90o < ϕ < 0o) vai slīpi pa labi uz leju (induktīvs raksturs: 90o > ϕ > 0o). Ja vektoru diagrammu lieto tikai formulu izveidošanai, kas arī ir tās galvenais uzdevums, tad lielāka precizitāte nav nepieciešama. Vektoru diagrammu (3.20.,a att) sākam zīmēt ar sprieguma U vektoru. 1. zarā fāžu nobīdes leĦėis ir negatīvs (citiem vārdiem, zaram ir kapacitīvs raksturs - strāva apsteidz fāzē spriegumu par 53o). Tāpēc strāvu I1 atliek slīpi uz augšu - tad leĦėis ϕ1 (atcerēsimies, ka vektoru diagrammā leĦėi atliek no strāvas vektora) tiešām būs negatīvs. Otrā zara raksturs ir induktīvs - tāpēc strāvu I2 atliek slīpi uz leju. Trešā zara strāva kapacitīvajā elementā apsteidz fāzē spriegumu U par 90o, tāpēc to atliek uz augšu. Kopējo strāvu I atrod, vektorus summējot saskaĦā ar pirmo Kirhofa likumu dotajai shēmai: Summēšanas rezultāts redzams 3.20.,c att. diagrammā. 3. Nosakām zaru strāvu aktīvās komponentes: Nosakām zaru strāvu reaktīvās komponentes:



55

. Zaru strāvu komponentes parādītas ar raustītām līnijām 3.20.,b att., bet avota strāvas komponentes - tāpat 3.20.,c attēlā. Strāvas I aktīvā komponente: Strāvas I reaktīvā komponente: a)

b)

c)

I

I3=I3r

I

I1 φ φ2

I1 φ

I1r

I2a

I3

U

Ia

Ir U

I2r

I2

I1a

I2

3.20. att. Vektoru diagramma: a) sprieguma un zaru strāvu vektori, b) parādītas zaru strāvu komponentes,c) vektoru diagrammā parādītas kopējās strāvas komponentes. Šeit negatīva reaktīvās komponentes Ir zīme un negatīva fāžu nobīde φ rāda, ka strāva I apsteidz fāzē spriegumu U. Citiem vārdiem, šai ėēdei kopumā ir kapacitīvs raksturs. 4. Zinot strāvas I komponentes, varam atrast tās efektīvo vērtību un jaudas koeficientu:

Atrodam arī fāžu nobīdes leĦėi ϕ visai shēmai. Tā kā apgrieztās trigonometriskās funkcijas dod tikai galveno leĦėa vērtību 1. kvadrantā, tad papildus izmantojam iepriekš teikto par ėēdes kapacitīvo raksturu: Uzmanību! Ar arccos funkcijas palīdzību pareizu ϕ zīmi nevar iegūt – minusa zīme bija iegūta jau iepriekš ar vektoru diagrammas palīdzību. Pareizu ϕ zīmi automātiski iegūsim, lietojot arcsin funkciju. Tiešām, leĦėa ϕ sinusu atrod, izdalot strāvas I reaktīvo komponenti (−2) ar strāvu I (2,82). Rezultātā sin ϕ = −0,707, kam atbilst fāžu nobīdes leĦėis ϕ=−45°. 5. Aprēėinām atsevišėu zaru un visas ėēdes aktīvo jaudu:

Aprēėinām atsevišėu zaru un visas ėēdes reaktīvo jaudu:

Reaktīvās jaudas plusa/mīnusa zīmes norāda uz to, ka 1., 3. zars un visa ėēde kopumā patērē kapacitīva rakstura reaktīvo jaudu, bet 2. zara patērētā reaktīvā jauda ir induktīva.


3. nodaĜa

56

MaiĦstrāvas ėēžu praktiski piemēri Aktīvās jaudas mērīšana Aktīvo jaudu P mērī ar vatmetru. Vatmetra apzīmējums shēmās parādīts 3.21.,a att. Atšėirībā no ampērmetra vai voltmetra vatmetram ir 4 pieslēgu spailes (3.21.,b att.), jo tam ir strāvas ėēde ar izvadiem 1 un 2 un sprieguma ėēde ar izvadiem 3 un 4. Lieto arī terminus "strāvas spole" un "sprieguma spole", jo elektrodināmiskās sistēmas vatmetra darbība pamatojas uz divu spoĜu radītu magnētisko lauku mijiedarbību. Atšėirībā no ampērmetra un voltmetra, vatmetram ir 2 mērapjomi: strāvai un spriegumam. Aprēėinot vatmetra iedaĜas vērtību, šos mērapjomus sareizina un izdala ar vatmetra skalas iedaĜu skaitu. a)

b) 3

I

I

1

W

3.21. att. a) vatmetra spoĜu polaritāte, b) patērētāja aktīvās jaudas mērīšana.

W

U 2

U

4

Vatmetrs uzrāda sprieguma un strāvas momentāno vērtību reizinājuma (t. i., momentānās jaudas p = u i) vidējo vērtību. Atcerēsimies, ka tā definē arī aktīvo jaudu P. Tātad pareizi ieslēgts vatmetrs uzrādīs aktīvās jaudas P vērtību. Lai izmērītu kāda divpola patērēto vai ăenerēto aktīvo jaudu, abas vatmetra ėēdes jāpieslēdz šī divpola strāvai un spriegumam, pie tam, ievērojot pareizu polaritāti. Sprieguma un strāvas polaritāti, strādājot ar vatmetru, ievēro šādi. Vienu no sprieguma vai strāvas spoles izvadiem ("sākumu") shēmā apzīmē ar punktu (uz vatmetra korpusa tas apzīmēts zvaigznīti pie attiecīgās spailes): piemēram, 3.21.,a att. spoĜu sākumi ir attiecīgi spailes 1 un 3. Tad pieĦemtie pozitīvie sprieguma un strāvas virzieni vatmetrā skaitāmi no spailes, kas apzīmēta ar punktu. Atcerēsimies, ka par patērētāju uzskata tādu divpolu, kura sprieguma un strāvas pieĦemtie pozitīvie virzieni sakrīt. Tātad, lai izmērītu divpola patērēto aktīvo jaudu, vatmetra spoĜu polaritāte jāizvēlās tā, kā parādīts 3.21.,b att. Un otrādi, ja divpola sprieguma un strāvas pieĦemtie pozitīvie virzieni shēmā nesakrīt, tad divpolu uzskata par ăeneratoru. Ja vajadzētu izmērīt shēmā parādītā divpola ăenerēto aktīvo jaudu, vienai no vatmetra ėēdēm (ne abām!) būtu jāizmaina polaritāte, salīdzinot ar 3.21.,b att. parādīto.

Induktīvas spoles parametru noteikšana Reālai induktīvai spolei atšėirībā no idealizēta induktīva elementa ar parametru L, ir arī vijumu aktīvā pretestība R. Piemēram, izmērot maiĦsprieguma avotam pieslēgtas spoles patērēto aktīvo jaudu, izrādītos, ka tā nav vienāda ar nulli. Induktīvas spoles apzīmējums parādīts 3.22.,a att. Aizvietošanas shēmās spoli parasti aizstāj ar idealizētu elementu R un L virknes slēgumu (3.22.,b att.), kura pretestību trīsstūris redzams 3.22.,c att. Trīsstūra malas attēlo spoles pretestības: aktīvo pretestību R, induktīvo pretestību XL un pilno pretestību Z. a)

c)

b)

3.22.att.

3.23.att.

Eksperimentāli spoles parametrus nosaka, kā parādīts 3.23. att. Ėēdē ieslēdz mēraparātus: ampērmetru, voltmetru un vatmetru strāvas I, sprieguma U un aktīvās jaudas P mērīšanai. Shēmu



57

pieslēdz maiĦsprieguma avotam. Izmantojot mērījumu rezultātus, iespējams atrast divus lielumus pretestību trīsstūrī, piemēram, pilno pretestību un fāžu nobīdes leĦėi ϕ:

Z

U, I

cos

P . UI

Ja divi lielumi spoles pretestību trīsstūrī zināmi, tas ir pilnīgi noteikts, un citu parametru aprēėināšanai pietiek ar trigonometrijas formulām, piemēram: Ja jāaprēėina spoles induktivitātes L vērtība, izmanto induktīvās pretestības izteiksmi (3.3a):

Spriegumu rezonanse Kā zināms, līdzsprieguma avotam pieslēgta ėēde ar virknē slēgtiem rezistīviem elementiem ir sprieguma dalītājs. Stacionārā režīmā neviens no spriegumiem šādā ėēdē nevar pārsniegt avota sprieguma vērtību. Pavisam citādi tas ir maiĦstrāvas ėēdē, ja tajā ir virknē slēgti abu tipu reaktīvie elementi – spole un kondensators. Šādās ėēdēs iespējami režīmi, kad spriegums kādā ėēdes daĜā pārsniedz (reizēm pat ievērojami) avota spriegumu. Lai izpētītu šo parādību, maiĦsprieguma avotam pievienota induktivitātes spole (R, L) virknē ar kondensatoru bateriju (3.24. att.). Noskaidrosim, kā kapacitātes C izmaiĦa iespaido strāvas I vērtību, spriegumus uz atsevišėiem shēmas elementiem un ėēdes jaudas koeficientu cos ϕ. Kondensatora kapacitīvā pretestība XC ir apgriezti proporcionāla kapacitātei (3.4a):

Kapacitāti C pakāpeniski palielinot, kapacitīvā pretestība XC, kas sākumā ir bezgalīgi liela, pakāpeniski samazinās. Kapacitīvās pretestības izmaiĦa iespaido strāvu ėēdē un jaudas koeficientu:

Ir izvēle: analizēt šīs formulas vai arī aplūkot izmaiĦas shēmas pretestību trīsstūrī (3.25.att). a) b)

Zsp

XL R

3

φ 2

Z

1

XC 3.24.att. RLC virknes slēgums

3.25.att. Pretestību trīsstūris: a) pirms, b) pēc rezonanses

Pie mazām C vērtībām, kad kapacitīvā pretestība ir liela (XC > XL) - ėēdes raksturs pagaidām ir kapacitīvs (ϕ < 0). Kā izmainās shēmas pretestību trīsstūris (3.25.,a att.), kapacitātei C pieaugot, kad XC samazinās? NogriežĦa XC galapunkts nokĜūst punktā 1, pēc tam punktā 2, utt. Tātad ϕ absolūtā vērtība samazinās, jaudas koeficients cos ϕ pieaug, bet pilnā pretestība Z samazinās. Tas nozīmē: kapacitāti palielinot, strāva ėēdē I = U/Z pieaug. Kādai jābūt XC vērtībai, lai pilnā pretestība Z kĜūtu minimāla, un strāvas I vērtība - maksimāla? Atbilde: tādai, lai nogriežĦa XC galapunkts atrastos punktā 3, t.i., izpildoties rezonanses nosacījumam: Šo situāciju sauc par spriegumu rezonanses režīmu - sakarā ar to, ka tajā arī spriegumi uz ėēdes reaktīvajiem elementiem ir vienādi: Ē.Priednieks. Elektriskās ėēdes un to vienādojumi.

3. nodaĜa

58

Spriegumu rezonanses režīmu raksturo arī šādas pazīmes: pilnās pretestības Z minimālā vērtība un strāvas I maksimālā vērtība ir

bet jaudas koeficienta vērtība ir maksimāli iespējamā: Eksperimentā rezonanses režīmu atrod, novērojot ėēdē ieslēgta ampērmetra rādījumus: spriegumu rezonanses režīmā strāvai ir vislielākā vērtība. Ja pēc rezonanses režīma turpina palielināt kapacitāti C, kapacitīvā pretestība (punkti 4 un 5 3.25.,b att.) kĜūst mazāka par induktīvo pretestību (XC < XL). Tagad ėēdes raksturs ir induktīvs (ϕ > 0), pretestību trīsstūrī hipotenūza Z palielinās, strāvas vērtība I = U/Z no jauna samazinās. Fāžu nobīdes leĦėis ϕ palielinās, bet jaudas koeficients cos ϕ samazinās. a)

b)

3.26.att. a) strāvas grafiks, b) spriegumu atkarība no kapacitātes

Strāvas izmaiĦa atkarībā no kapacitātes I = f(C) parādīta 3.26.,a att. Ja C=0, tad kapacitīvā pretestība XC ir bezgalīgi liela un strāva I = 0. Strāvas līkne maksimumu sasniedz rezonanses režīmā. Pēc rezonanses strāva I samazinās, asimptotiski tiecoties uz vērtību, ko nosaka spriegums U un spoles parametri R un XL:

Spriegumu UC un UL grafiki parādīti 3.26.,b att. Ja C=0, tad ėēdē strāvas nav, un arī spriegumi uz elementiem R un L ir vienādi ar nulli: tāpēc viss spriegums U ir pielikts kondensatoram C (UC=U). Spriegums UL mainās, sākot no nulles, līdzīgi strāvas grafikam (tāpat mainās arī spriegums UR ). Rezonanses režīmā UC = UL. Spriegumu rezonanse enerăētikā visbiežāk ir nevēlama parādība, jo maiĦstrāvas ėēdē režīmos, kas ir tuvu rezonansei, uz atsevišėiem ėēdes elementiem var parādīties spriegumi, kas var ievērojami pārsniegt tīkla spriegumu. Tas redzams arī 3.26.,b grafikā – ar horizontālu līniju parādīts tīkla spriegums U, bet rezonanses režīma tuvumā spriegums uz kondensatora ievērojami pārsniedz tā vērtību. No sprieguma izteiksmes rezonanses režīmam

redzams, ka sevišėi bīstams ir gadījums, ja R<
a)

b)

c)



59

UL UC U UR

φ I

3.27.att. Vektoru diagrammas: a) pirms rezonanses, b) rezonases režīmā, c) pēc rezonanses.

Jaudas koeficienta uzlabošana Rūpniecībā un transportā lietojamās iekārtās plašāk izplatīti ir aktīvi induktīva rakstura patērētāji, jo spoles (piemēram, elektrisko mašīnu un transformatoru tinumi) sastopamas daudz biežāk nekā kondensatori. SaskaĦā ar aktīvās jaudas formulu (3.7) strāva I, kas nepieciešama, lai pievadītu patērētājam jaudu P pie zināmas sprieguma U vērtības, ir atkarīga no jaudas koeficienta vērtības:

Aktīvi induktīvu patērētāju jaudas koeficients cos ϕ ir mazāks par 1. Tātad doto jaudu P patērētājiem varētu pievadīt ar mazāku strāvas patēriĦu, ja izdotos paaugstināt cos ϕ vērtību. Viens no izplatītākajiem paĦēmieniem jaudas koeficienta uzlabošanai ir šāds: aktīvi induktīvu patērētāju grupai paralēli pieslēdz kondensatoru bateriju ar regulējamu kapacitāti C, kā tas redzams 3.28.att. aizvietošanas shēmā. Aplūkosim vispirms shēmas darbību gadījumā, ja kondensatori nav pieslēgti (C = 0). Tad I2 = 0, un pirmajā zarā plūst visa avota strāva (I1 = I).

a)

b)

U I1a φ1

Z1

XL φ1

I1r

I=I1

R 3.28 att.

3.29. att. Pirmā zara pretestību trīsstūris un vektoru diagramma

Pirmā zara pretestību trīsstūris (3.29.,a att.) nosaka, ka strāva I1 atpaliks fāzē no sprieguma U par leĦėi ϕ1. Attēlojam to vektoru diagrammā (3.29.,b). Diagrammā parādītas arī strāvas vektora komponentes - aktīvā un reaktīvā. Šeit dažreiz aizmirst, ka visā pirmajā zarā plūst viena un tā pati strāva strāva I1 un strāvas I1a un I1r uzskata par elementos R un L plūstošām strāvas. Īstenībā strāvu komponentes ir tikai aprēėina lielumi un nepārstāv reālas strāvas shēmā. Palielinot kapacitāti C, pieaug strāva I2, kas tieši proporcionāla C vērtībai:


3. nodaĜa

60

Pirmā zara strāvas vērtība I1, protams, neizmainās, jo to nosaka spriegums U un konstanta pretestība Z1. Neizmainās arī šīs strāvas fāžu nobīde ϕ1 attiecībā pret spriegumu. Strāva I2, kas apsteidz fāzē spriegumu par 90o ietekmē kopējo strāvu I: un fāžu nobīdi ϕ. Kamēr C vērtības ir mazas (3.30.,a att. - strāvas I2 vektora galapunkts atrodas punktos 1 vai 2), ėēdes raksturs vēl ir induktīvs, (ϕ > 0). Pievērsiet uzmanību tam, kā strāvai I2 palielinoties, kopējās strāvas vektora garums nevis pieaug, bet samazinās! Samazinās arī fāžu nobīdes leĦėis ϕ, tātad cos ϕ pieaug. Režīmu, kurā strāva I ir vismazākā, sauc par strāvu rezonanses režīmu. No 3.30.,a att. vektoru diagrammas redzams, ka tas iestāsies tad, kad strāvas I2 vektora galapunkts būs punktā 3. Kādai jābūt strāvas I2 vērtībai, lai iegūtu šo režīmu? Atbilde: vienādai ar pirmā zara strāvas reaktīvo komponenti (sk. 3.30.,b att). Tātad rezonanses iegūšanai aktīvi induktīva patērētāja reaktīvo komponenti (ar induktīvu raksturu) kompensē ar tikpat lielu kapacitīva rakstura strāvu otrā zarā. Lūk, rezonanses noteikums 3.28. att. shēmai: Strāvu rezonanses režīma pazīmes redzamas vektoru diagrammā 3.30.,b att.: 1) strāvas I vērtība ir minimāla un vienāda ar pirmā zara strāvas aktīvo komponenti, 2) strāvas un sprieguma sinusoīdas sakrīt fāzē, tātad jaudas koeficientam ir maksimālā vērtība: Turpinot palielināt kapacitāti C pēc rezonanses režīma, izmaiĦas redzamas 3.30.,c att.: ėēdes raksturs kĜūst kapacitīvs (ϕ < 0). Strāvai I2 palielinoties (punkti 4 un 5), kopējās strāvas I vektora garums tagad pieaugs, bet fāžu nobīdes leĦėis ϕ pēc absolūtās vērtības pieaug, tātad jaudas koeficients cos ϕ samazinās. a) b) c)

5

U

3

φ

φ

4 3

U

I I2

I2

2

I1

1

I1

3.30. att. Vektoru diagrammas: a) pirms rezonanses, b) rezonanses režīmā, c) pēc rezonanses.

Mainot C vērtību, kopējās strāvas aktīvā komponente Ia paliek nemainīga un vienāda ar pirmā zara strāvas aktīvo komponenti I1a. Arī sekojošā izteiksme apstiprina, ka pie jebkuras C vērtības shēma patērē vienu un to pašu aktīvo jaudu P: Tas arī saprotams, jo shēmā vienīgais aktīvās jaudas patērētājs ir elements R - reaktīvie elementi L un C aktīvo jaudu nepatērē.



61

a)

b)

I2

I I1r

Crez

I Ir I1a

C

3.31. att. Strāvu un jaudas koeficienta atkarība no pieslēgtās kapacitātes vērtības.

Strāvu grafiki atkarībā no kapacitātes C parādīti 3.31.,a att. Redzams, ka strāva I2 pieaug lineāri. No avota patērētās strāvas I aktīvā komponente nemainās, ir tāda pati kā pirmā zara aktīvā komponente I1a, bet reaktīvā komponente I1a (grafikā parādīta tās absolūtā vērtība, neievērojot raksturu) rezonanses režīmā ir vienāda ar nulli - tāpēc rezonanses režīmā ėēdes patērētā strāva I ir vismazākā. Jaudas koeficienta grafiks redzams 3.33.,b att. Pareizi izvēloties kapacitātes C vērtību, iespējams iegūt režīmus, kas tuvi strāvu rezonanses režīmam. Jaudas koeficients tad tuvs maksimālai vērtībai cos ϕ =1.


4. NODAěA

SIMBOLISKĀ METODE Atšėirībā no vektoru diagrammu metodes, simbolisko metodi var lietot jebkuras sarežăītības pakāpes maiĦstrāvas ėēžu aprēėināšanai. Simboliskās metodes pamatā ir visu aprēėinā lietojamo lielumu - EDS, spriegumu, strāvu, pretestību un jaudu - attēlošana ar kompleksiem lielumiem. Ar to aprēėina tehnika gan kĜūst sarežăītāka, taču aprēėina metodika ievērojami vienkāršojas - maiĦstrāvas ėēdes var aprēėināt ar 2. nodaĜā aplūkotajām līdzstrāvas ėēžu aprēėina metodēm. Formulu iegūšanai vairs nav jāzīmē vektoru diagrammas - gluži otrādi, risinājuma gaitā iegūtos rezultātus - kompleksos skaitĜus attēlojot kompleksu plaknē, veidojas vektoru diagramma, kuru iespējams izmantot rezultātu pareizības kontrolei. Tā kā risinot jebkuru uzdevumu, svarīgi ir pārbaudīt katru starprezultātu, tad sekmīgai simboliskās metodes lietošanai vēlams pārzināt arī vektoru diagrammu metodi. Šajā nodaĜā vispirms atkārtosim no matemātikas kursa pazīstamos jēdzienus par kompleksiem skaitĜiem un darbībām ar tiem. Pēc tam noskaidrosim, kā ar kompleksiem lielumiem attēlot sinusoidālus elektriskus lielumus (spriegumus un strāvas), kā arī aktīvo un reaktīvo elementu pretestības. Iepazīsimies ar elektrisko ėēžu aprēėina pamatformulām kompleksā formā, kas ir līdzīgas līdzstrāvas ėēžu formulām, kā arī ar to izmantošanu maiĦstrāvas ėēžu analīzei.

Kompleksu plakne un darbības ar kompleksiem skaitĜiem Kompleksu plaknē ir divas savstarpēji perpendikulāras koordinātu asis: horizontāla reālo skaitĜu ass un vertikāla imagināro skaitĜu ass. Imagināro vienību (matemātikā i = − 1 ) elektrotehnikā, tāpat kā citās tehniskās disciplīnās, pieĦemts apzīmēt ar "j". Kompleksu skaitli var uzskatīt par kompleksu plaknē novietotota vektora (ar sākumu koordinātu sākumpunktā) analītisku pierakstu. 4.1. attēlā parādīta kompleksu plakne, kurā attēlots komplekss lielums A. Šī kompleksā lieluma trīs pieraksta formas (algebriskā, trigonometriskā un eksponenciālā) redzamas sekojošā izteiksmē: A = a + j b = A (cos α + j sin α ) = A e jα . algebriskā forma

trigonometriskā forma

eksponenciālā forma

4.1. att. a) komplekss lielums A kompleksu plaknē, b) saistītais komplekss A* .

Apzīmējumi šajā izteiksmē un arī 4.1. attēlā: A - komplekss lielums (īsāk: komplekss), a - kompleksā lieluma reālā daĜa; to pieraksta šādi: Re(A) = a, b - kompleksā lieluma imaginārā daĜa; to pieraksta šādi: Im(A) = b, A - kompleksā lieluma modulis, α - kompleksā lieluma leĦėa arguments, e - naturālo logaritmu bāze (protams, ne EDS). 4.1.,b att.zīmējums ilustrē jēdzienu "saistītais komplekss". Saistīto kompleksu A* iegūst, ja kompleksā skaitĜa A imaginārās daĜas zīmi (vai eksponenciālajā formā - kompleksa leĦėa argumenta zīmi) maina uz pretējo. Komplekso skaitĜu algebriskā forma ir visai ērta to saskaitīšanai vai atĦemšanai. Minētās darbības izpilda atsevišėi ar abu lielumu reālajām daĜām un imaginārajām daĜas, piemēram: (1 + j 2) − (3 + j 4) = (1 − 3) + j (2 − 4) = −2 − j 2 . Algebrisko formu var lietot arī, izpildot reizināšanu vai dalīšanu, piemēram,

Simboliskā metode maiĦstrāvas ėēžu analīzei

63

(1 + j 2)(3 + j 4) = 1 ⋅ 3 + j 2 2 ⋅ 4 + j 2 ⋅ 3 + j1 ⋅ 4 = (3 − 8) + j (6 + 4) = −5 + j 10 . Ja komplekso skaitĜu algebrisko formu izmanto dalīšanai, tad raksturīgs ir šāds paĦēmiens, lai atbrīvotos no imaginārās daĜas saucējā: izteiksmes saucēju un skaitītāju pareizina ar saucēja saistīto kompleksu: 1 − j2 1 − j2 1 = = = 0,2 − j 0,4 . 1 + j 2 (1 + j 2)(1 − j 2) 1 + 4 Komplekso skaitĜu eksponenciālā forma ir ērta to reizināšanai vai dalīšanai: o

o

10 e j30 ⋅ 5 e j45 = (10 ⋅ 5) e j ( 30 o

o

o

+ 45o )

o

o

= 50 e j75 ,

o

o

10 e j30 : 5 e j45 = (10:5) e j ( 30 − 45 ) = 2 e - j15 . Ievērojiet, ka pareizinot ar ejα , kompleksā skaitĜa arguments pieaug par leĦėi α - tas nozīmē, ka kompleksam skaitlim atbilstošais vektors tiek pagriezts par leĦėi α pozitīvā virzienā (t. i., pretēji pulksteĦa rādītāja kustības virzienam). Šo novērojumu ieteicams lietot, lai pārbaudītu reizināšanas vai dalīšanas rezultāta pareizību. Piemēram, pareizināt ar (−2 + j2) - t.i., ar kompleksu skaitli, kura leĦėa arguments ir 135o- nozīmē pagriezt kompleksu plaknē novietotu vektoru par 135o pozitīvā virzienā. Komplekso skaitĜu trigonometrisko formu lieto, lai pārveidotu algebrisko formu eksponenciālajā vai otrādi. Lai pārietu no eksponenciālās formas uz algebrisko, kompleksā lieluma reālo un imagināro daĜu atrod, sareizinot moduli A ar leĦėa argumenta α kosinusu vai sinusu: a = Re (A) = A cos α , b = Im (A) = A sin α . Lai pārietu no algebriskās formas uz trigonometrisko, formulas moduĜa A un leĦėa argumenta α aprēėināšanai iegūst no taisnleĦėa trijstūra ar katetēm a, b un hipotenūzu A (4.1. att.), piemēram: A = Re 2 ( A) + Im 2 ( A) = a 2 + b 2 ,

α = arctg

Im( A) b = arctg Re( A) a

vai

α = arccos

Re( A) Re 2 ( A) + Im 2 ( A)

= arccos

b A

.

Pēdējās divas formulas dod tikai leĦėa argumenta galvenās vērtības. Pie tam formula, kurā izmantota arctg funkcija, nebūs korekta gadījumā, ja kompleksā lieluma reālā daĜa ir 0. Tāpēc, nosakot argumentu α, sekojiet tā novietojumam kompleksu plaknē (piemēram, ja reālā un imaginārā daĜa ir negatīvas, arguments meklējams 3. kvadrantā - robežās no −180o līdz −270o). Starp citu, aplūkojot sinusoīdu attēlojošo vektoru kā kompleksu skaitli, varam vēlreiz pārliecināties par vektora un sinusoīdas savstarpējo atbilstību. PieĦemsim, ka spriegums mainās sinusoidāli: u = Um sin (ωt + ψ). Iedomāsimies, ka šis spriegums būtu attēlots ar šādu kompleksu lielumu:

U m e j (ωt +ψ ) . Lai noskaidrotu šīs izteiksmes jēgu, izdalīsim no tās sprieguma kompleksu:

U m e j (ωt +ψ ) = U m e jψ ⋅ e jωt = U m e jωt . Šajā izteiksmē ir sprieguma vektoram atbilstošais komplekss Um (tiešām, tā modulis ir Um, bet virzienu nosaka sākuma fāzes leĦėis ψ), kas pareizināts ar e jωt. Atcerēsimies, ka pareizināt ar ejα nozīmē pagriezt vektoru kompleksu plaknē par leĦėi α. Tas savukārt nozīmē to, ka apskatāmais kompleksais lielums būtībā ir spriegumu attēlojošais vektors, kas rotē ap koordinātu sākuma punktu. Pārveidosim izteiksmi tā, lai būtu redzama arī šī rotējošā vektora saistība ar sinusoīdu. Šai nolūkā pāriesim no eksponenciālās formas uz trigonometrisko:

U m e j ( ωt +ψ ) = U m cos( ω t + ψ ) + j U m sin ( ω t + ψ ). Redzams, ka izteiksmes imaginārā daĜa: Um sin (ωt + ψ) ir sinusoīdas momentānās vertības izteiksme. Tas vēlreiz apstiprina jau zināmo par attēlojošā vektora atbilstību sinusoīdai: ja tas rotētu ap savu sākumpunktu, tad tā projekcija uz vertikālās ass mainītos sinusoidāli. Lai attēlojošais vektors nebūtu rotējošs, bet gan fiksēts sākuma stāvoklī, kompleksa izteiksmē reizinātājs e jωt atmests, atstājot tikai U m .

Sinusoidālu spriegumu (strāvu, EDS) attēlošana kompleksu plaknē Atcerēsimies, kā sinusoidālu spriegumu (strāvu) aizstāj ar vektoru: sinusoīdas efektīvo vērtību (vai dažreiz arī tai proporcionālo amplitūdas vērtību) attēlo ar vektora garumu, bet sinusoīdas sākuma fāze nosaka vektora virzienu. Simboliskā metode izmanto to pašu principu, tikai vektoru zīmē no kompleksu plaknes koordinātu sākuma un apraksta ar kompleksu skaitli. Kompleksā sprieguma (strāvas, EDS) moduli nosaka efektīvā vērtība U, I vai E (vai amplitūdas vērtība Um, Im vai Em), bet leĦėa argumentu tā sākuma fāze ψ. Komplekso spriegumu, strāvu vai EDS pieĦemts apzīmēt ar attiecīgo lielo burtu, to pasvītrojot, piemēram: U, I, E vai Um Im, Em.


4. nodaĜa

64

4.1. piemērs. Doti trīs elektriskie lielumi: e = 10 sin (ωt + 30o), i = 5 2 sin (ωt + 90o), u = Um sin (ωt + ψ). Uzrakstīt attēlojošo kompleksu Em, I, U izteiksmes.

Atbilde: o

E m = 10 e j 30 = 10(cos 30 o + j sin 30 o ) = 8,66 + j5, o

I = 5 e j 90 = 5(cos 90 o + j sin 90 o ) = 0 + j5 = j5, U U U = m e jψ = m (cos ψ + j sin ψ ). 2 2

Elementa vai elementu virknes slēguma kompleksā pretestība Ja EDS, sprieguma vai strāvas kompleksu varam uzskatīt par kompleksu plaknē novietotu vektoru, tad kompleksā pretestība būtībā ir kompleksu plaknē novietots pretestību trīsstūris. Atcerēsimies, kā zīmē pretestību trīsstūri (3.14. att.): horizontāli pa labi atliek nogriezni, kas attēlo aktīvo pretestību R, pēc tam uz augšu - induktīvo pretestību XL, pēc tam uz leju - kapacitīvo pretestību XC. Ja zīmējumu veic kompleksu plaknē, tad rezultātā atrod komplekso pretestību Z - trīsstūra hipotenūzu. Tā kā kompleksās pretestības reālā daĜa ir vienāda ar R, imaginārā daĜa - ar reaktīvo pretestību X = XL − XC, bet leĦėa arguments ir fāžu nobīdes leĦėis ϕ, tad Z var aprakstīt ar formulām: Z = R + j ( X L − X C ) = Z (cos ϕ + j sin ϕ ) = Ze jϕ . Kompleksā pretestība Z (tāpat kā pretestību trīsstūris) ir jēdziens, kas attiecināms nevis uz jebkuru shēmas daĜu, bet tikai uz elementu virknes slēgumu. Kompleksās pretestības moduĜa Z vērtība ir vienāda ar virknes slēguma pilno pretestību (arī to apzīmējumi sakrīt). Aizvietošanas shēmai ar kompleksām pretestībām to izteiksmes atrod ar formulu: Z = R + j ( X L − X C ). (4.0) Virknes slēguma speciālgadījums ir atsevišės elements (R, L vai C). Tātad ar komplekso pretestību var aprakstīt arī atsevišėus elementus. Lietojot simbolisko metodi, kompleksā pretestība ir vienīgais pretestības tips, tāpēc shēmā tās apzīmēšanai izmanto aktīvās pretestības apzīmējumu. 4.2. piemērs. Sagatavot 4.2.,a att. parādīto shēmu aprēėinam ar simbolisko metodi. Uzrakstīt komplekso pretestību izteiksmes. Shēmas parametri: R1 = R2 = R3 = R4 = 10 Ω, XL1 = XL2 = 12 Ω, XC1 = XC2 = 5 Ω.

a)

b) R1

C1 R2 L1

U

R3 C2

R4 L2

4.2. att. a) aprēėināmā shēma, b) aizvietošanas shēma ar kompleksām pretestībām. Atrisinājums. Dotajā shēmā ir 4 elementu grupas, kas satur virknes slēgumu vai vienu atsevišėu elementu: 1) R1, C1 un R2, 2) R3, 3) C2 un L1, 4) L2 un R4. Tāpēc aizvietošanas shēmā (4.2.,b att.) ir 4 kompleksās pretestības ar šādām vērtībām: Z1 = R 1 + R 2 - j X C1 = 10 + 10 - j5 = 20 - j5 ,

Z 2 = R 3 = 10 , Z 3 = j X L1 - j X C2 = j12 - j5 = j7 , Z 4 = R 4 + j X L2 = 10 + j12 .

Aizvietošanas shēmu pamatformulas kompleksā formā Pēc tam, kad aizvietošanas shēma ar kompleksām pretestībām izveidota, un dotie spriegumi vai EDS aizstāti ar kompleksām vērtībām, doto maiĦstrāvas ėēdi aprēėina ar tām pašām metodēm kā līdzstrāvas



65

ėēdi. Šādu iespēju nosaka tas apstāklis, ka elementu tipu skaits un pamatvienādojumu struktūra ir tāda pati kā līdzstrāvas ėēdēs (skat. 4.1. tabulu). Zemāk šīs formulas komentētas. 4.1. tabula. MaiĦstrāvas ėēžu pamatformulas kompleksā formā (salīdzināšanai).

Vienādojumi

Līdzstrāvai

Simboliskā metode

Elementu vienādojumi

U = −E

(2.1), (4.1) (2.2), (4.2) (2.5), (4.5) (2.5a), (4.5a) (2.6), (4.6)

U=RI

U = −E U=ZI


U13 = U12 + U23

U 13 = U 12 + U 23

∑±E=∑±RI ∑±I=0

∑ ± E == ∑ ± Z I

Divpola jauda

P=UI

S = U I*=P ± jQ

∑±I =0

(2.7), (4.7)

Elementu vienādojumi Simboliskā metode samazina aizvietošanas shēmu elementu tipu skaitu - tāpat kā līdzstrāvas gadījumā tagad arī maiĦstrāvas ėēdē ir tikai divi elementu tipi - kompleksais EDS E un kompleksā pretestība Z. Elementa E vienādojums ir tāds pats kā vektoru diagrammu metodē, tikai vektorus aizstāj kompleksie lielumi: U = −E . (4.1) Visus pretestību tipus (R, XL un XC), kā arī elementu virknes slēgumu aizstāj viens elements kompleksā pretestība Z,. Kompleksās pretestības vienādojumam ir Oma likuma forma: U=ZI. (4.2) Salīdzinot ar vektoru diagrammu metodi, ieguvums ir acīmredzams: viens pats vienādojums (4.2) aizstāj veselas astoĦas sakarības (četras Oma likuma izteiksmes un četras izteiksmes, kas parāda fāžu nobīdi katram no elementiem un virknes slēgumam). Pierādīt vienādojuma (4.2) pareizību var šādi. PieĦemsim, ka divpolam pielikts sinusoidāls spriegums u, un tajā plūst strāva i: u = U m sin (ω t + ψ U ) , i = I m sin (ω t + ψ I ) . Ievērosim, ka fāžu nobīde starp sprieguma un strāvas sinusoīdām šeit ir: ϕ =ψ U −ψI . Attēlosim divpola spriegumu un strāvu ar kompleksiem lielumiem. Eksponenciālā forma izvēlēta, zinot ka tā ir vispiemērotākā, lai veiktu komplekso lielumu dalīšanu. U = U e jΨU , I = I e jΨI . Izdalot komplekso spriegumu ar komplekso strāvu, tiešām iegūstam divpola komplekso pretestību: U Ue jψ U U j (ψ U −ψ I ) = = e = Z e jϕ = Z . I I I e jψ I

Spriegumu un strāvu vienādojumi Atcerēsimies, ka vektoru diagrammu metode atĜauj spriegumu un strāvu vienādojumos (1.5) un (1.6) spriegumu (strāvu) sinusoīdu momentāno vērtību vietā summēt attēlojošos vektorus - vienādojumi (3.5) un (3.6). Līdzīgi tam, lietojot simbolisko metodi, sinusoīdu vietā saskaita spriegumu (strāvu) kompleksus. Piemēram, spriegumu vienādojums: U 13 = U 12 + U 23 , (4.5) kur 1, 2 un 3 - trīs shēmas punktu apzīmējumi. Strāvu vienādojums (pirmais Kirhofa likums) kompleksā formā: ∑ ± I = 0.

(4.6)

To formulē līdzīgi visiem strāvu vienādojumiem: strāvu kompleksu algebriskā summa shēmas mezgla punktā ir vienāda ar nulli. “Algebriskā summa” nozīmē sekojošo: ja strāvas bultiĦa shēmā (tā norāda strāvas pieĦemto pozitīvo virzienu) vērsta attiecīgā mezgla virzienā, tad to ievieto vienādojumā, teiksim, ar plusa zīmi, bet ja tā vērsta prom no mezgla - ar pretēju zīmi. Tā kā simboliskā metode aplūko tikai divus elementu tipus (E un Z), tad, tāpat kā līdzstrāvas ėēdēs, iespējams korekti formulēt arī otrā Kirhofa likuma izteiksmi kompleksā formā:.


4. nodaĜa

66

∑ ± E =∑ ± Z I .

(4.5a)

Tas nozīmē: noslēgtā kontūrā EDS kompleksu algebriskā summa ir vienāda ar komplekso sprieguma kritumu (Z I) algebrisko summu. “Algebriskā summa” jāsaprot šādi: strāva vai EDS vienādojumā ir ar plusa zīmi, ja šīs strāvas (vai EDS) pieĦemtais pozitīvais virziens sakrīt ar pieĦemto kontūra apejas virzienu.

Divpola kompleksā jauda Kompleksā jauda S ir komplekss lielums, kura reālā daĜa ir aktīvā jauda P, bet imaginārā daĜa reaktīvā jauda Q. Formula divpola kompleksās jaudas aprēėināšanai izveidota mākslīgi, ievērojot, ka vienkārši sareizinot sprieguma un strāvas kompleksus, rezultāts būtu nepareizs. PieĦemsim, ka divpola spriegums un strāva savstarpēji nobīdīti fāzē par leĦėi ϕ un attēloti ar kompleksiem U un I. U = U e jΨU , I = I e jΨI . ϕ =ψ U −ψI Apskatīsim šo reizinājumu, lai redzētu, kādai jābūt pareizai kompleksās jaudas formulai. U I = Ue jψ U ⋅ I e jψ I = UI e j (ψ U +ψ I ) = UI cos (ψ U + ψ I ) + j UI sin (ψ U + ψ I ) . Ja pēdējā izteksmē abās iekavās būtu nevis sākuma fāžu summa, bet to starpība - t.i., fāžu nobīde ϕ, tad iegūtā rezultāta reālā daĜā būtu vienāda ar aktīvo jaudu P = UI cos ϕ, bet imaginārā daĜa - ar reaktīvo jaudu Q = UI sin ϕ. Šādu pareizu rezultātu varētu iegūt, piešėirot strāvas sākuma fāzei ψI negatīvu zīmi - t.i., aizstājot jaudas formulā strāvas kompleksu ar tā saistīto kompleksu I*: U I * = Ue jψ U ⋅ I e − jψ I = UI e j (ψ U −ψ I ) = UI e jϕ = UI cos ϕ + j UI sin ϕ . Tas nozīmē, ka divpola kompleksās jaudas formula ir sekojoša: S =U I*= P± jQ. (4.7) Tātad sareizinot sprieguma kompleksu ar strāvas saistīto kompleksu, iegūstam jaudas kompleksu S, kura reālā daĜa ir divpola aktīvā jauda P = UI cos ϕ, bet imaginārā daĜa - reaktīvā jauda Q. Ja divpols-patērētājs ir induktīva rakstura (ϕ > 0), tad kompleksās jaudas imaginārā daĜa ir pozitīva, bet, ja divpolam ir kapacitīvs raksturs - negatīva. Tātad pēc kompleksās jaudas imaginārās daĜas var spriest par patērātās reaktīvās jaudas raksturu. Redzam, ka, arī aprēėinot jaudu, simboliskajai metodei ir zināmas priekšrocības, salīdzinot ar vektoru diagrammu metodi: aktīvo un reaktīvo jaudu var aprēėināt vienā paĦēmienā.

Ekvivalento pārveidojumu formulas Salīdzinot (4.1.tabulā) aizvietošanas shēmu vienādojumus simboliskā formā (elementu vienādojumus, spriegumu un strāvu vienādojumus, otrā Kirhofa likuma un divpola jaudas izteiksmes) ar atbilstošiem līdzstrāvas ėēžu vienādojumiem, redzēsim, ka tās ir gandrīz analoăiskas. Līdzīgas ir arī pretestību ekvivalento pārveidojumu formulas. Pretestību virknes un paralēlslēguma ekvivalentas pārveidošanas formulās atliek nomainīt pretestības R ar kompleksām pretestībām: 1 1 1 virknes slēgumam: Z = Z 1 + Z 2 + L (4.8) - paralēlslēgumam: = + + K (4.9) Z Z1 Z 2 Vēlreiz jāuzsver, ka pēdējā formula ir spēkā tikai kompleksām pretestībām Z (bet nekādā gadījumā ne to moduĜiem Z!). Arī iepriekšējā nodaĜā aplūkotā vektoru diagrammu metode neatĜauj tik vienkārši pārveidot paralēlslēgumu!

Simboliskās metodes lietošanas piemēri Aprēėinot maiĦstrāvas ėēdi ar simbolisko metodi: • katru no virknes slēgumiem, ko veido pasīvie elementi R, L un C (vai atsevišėu šādu elementu) shēmā attēlo ar attiecīgu komplekso pretestību Z, izmantojot formulu (4.0), • dotos avotu spriegumus vai EDS attēlo ar kompleksiem lielumiem, • aprēėina strāvu, jaudu un spriegumu kompleksās vērtības, izmantojot kādu no 2. nodaĜā aplūkotās līdzstrāvas ėēžu aprēėina metodēm, • atrod aprēėinātajiem kompleksiem atbilstošās strāvas, jaudas un spriegumus.

4.3. piemērs. Aprēėināsim vienu no iepriekšējā nodaĜā atrisinātajiem uzdevumiem ar simbolisko metodi. Salīdzināsim risinājuma metodes un rezultātus.



67

MaiĦsprieguma avotam ar spriegumu U = 100 V pieslēgta ėēde ar 3 paralēliem zariem (4.3.,a att.). Dotie lielumi: U = 100 V, R11 = 10 Ω, R12 = 20 Ω, XC1 = 30 Ω, R2 = 80 Ω, XL2 = 100 Ω, XC2 = 40 Ω, XC3 = 100 Ω . Aprēėināt visas strāvas, patērēto aktīvo un reaktīvo jaudu katrā zarā un visā ėēdē, kā arī spriegumu starp punktiem a un b.

a)

b)

4.3. att.: a) maiĦstrāvas ėēde ar paralēliem zariem, b) aizvietošanas shēma aprēėinam ar simbolisko metodi. 1. Shēmā ir trīs zari. Katru no tiem aizstājam ar komplekso pretestību (4.3.,b att.). Komplekso pretestību vērtības: Z 1 = R11 + R12 − j X C1 = 30 − j 40 , Z 2 = R2 + j X L 2 − j X C 2 = 80 + j 100 − j 40 = 80 + j 60 ,

Z 3 = − j X C 3 = − j 100 . 2. Doto spriegumu U aizstājam ar kompleksu lielumu U. Sprieguma sākuma fāzi varam izvēlēties brīvi, tāpēc visvienkāršāk pieĦemt to vienādu ar nulli. Citiem vārdiem, uzskatām, ka kompleksajam spriegumam ir tikai reālā daĜa: U = 100 + j0. 3. Aizvietošanas shēmu aprēėinām līdzīgi līdzstrāvas ėēdei: tā kā spriegums uz katras pretestības ir zināms, atrodam zaru strāvas, un pēc tam kopējo strāvu. Vienīgā atšėirība: aprēėinus izdarām ar kompleksiem skaitĜiem:

I1 =

100 (30 + j 40) 100 (30 + j 40) U 100 = = = = 1,2 + j 1,6 , Z 1 30 − j 40 (30 − j 40)(30 + j 40) 900 + 1600

I2 =

100 (80 − j 60) 100 (80 − j 60) U 100 = = = = 0,8 − j 0,6 , Z 2 80 + j 60 (80 + j 60)(80 − j 60) 6400 + 3600 I3 =

U 100 1 = = = + j1 . Z 3 − j 100 − j

Iegūtas zaru strāvu kompleksās izteiksmes algebriskā formā. Salīdziniet to reālās daĜas (1,2; 0,8; 0) un imaginārās daĜas (1,6; -0,6; 1) ar strāvu aktīvajām un reaktīvajām komponentēm, ko ieguvām, risinot šo uzdevumu 3. nodaĜā. Ievērojiet, ka te tie paši rezultāti iegūti vienkāršāk - bez fāžu nobīdes leĦėu aprēėina. Kopējo strāvu kompleksā formā atrodam, izmantojot pirmo Kirhofa likumu: I = I 1 + I 2 + I 3 = (1,2 + j 1,6) + (0,8 − j 0,6) + j 1 = 2 + j 2 . Kompleksās jaudas atrodam, sareizinot sprieguma kompleksu ar attiecīgā zara strāvas saistīto kompleksu:

S 1 = U I 1* = 100 (1,2 − j 1,6) = 120 − j 160 , S 2 = U I *2 = 100 (0,8 + j 0,6) = 80 + j 60 , S 3 = U I *3 = 100 ( − j1) = − j100 . S = S 1 + S 2 + S 3 = 120 − j 160 + 80 + j 60 − j 100 = 200 − j 200 . Ievērojiet, ka simboliskā metode automatizē arī jaudu aprēėinu - arī te nav jānosaka fāžu nobīdes leĦėi. 4. Atrodam strāvu efektīvās vērtības - tās ir komplekso strāvu moduĜi (tos atrod līdzīgi kā vektoru moduĜus): I 1 = Re 2 ( I 1 ) + Im 2 ( I 1 ) = 1,2 2 + 1,6 2 = 2 A , I 2 = Re 2 ( I 2 ) + Im 2 ( I 2 ) = 0,8 2 + 0,6 2 = 1 A , I 3 = Re 2 ( I 3 ) + Im 2 ( I 3 ) = 0 2 + 12 = 1 A , I = Re 2 ( I ) + Im 2 ( I ) = 2 2 + 2 2 = 2,83 A . Aktīvā jauda P ir kompleksās jaudas reālā daĜa. Reaktīvā jauda Q ir kompleksās jaudas imaginārā daĜa. Pozitīva imaginārā daĜa nozīmē reaktīvās jaudas induktīvu raksturu, bet negatīva - kapacitīvu raksturu. P1 = Re( S 1 ) = 120 W , P2 = Re( S 2 ) = 80 W , P3 = Re( S 3 ) = 0 W , P = Re( S ) = 200 W ,

Q1 = Im( S 1 ) = 160 VAr (kapacitīva rakstura reaktīvā jauda), Q2 = Im( S 2 ) = 60 VAr (induktīva), Ē.Priednieks. Elektriskās ėēdes un to vienādojumi.

4. nodaĜa

68

Q3 = Im( S 3 ) = 100 VAr (kapacitīva), Q = Im( S ) = 200 VAr (kapacitīva). 5. Spriegumu starp jebkuriem diviem shēmas punktiem atrodam līdzīgi tam, kā to darītu līdzstrāvas ėēdes shēmā. No punkta a līdz punktam b ved ceĜš a-d-f-b. Ievērosim, ka šajā ceĜā ir posms a-d, kurā plūst strāva I1 un posms d-f-b ar strāvu I2. Izsakām meklējamo spriegumu ar abu posmu spriegumiem: U ab = U ad + U db . Posmā a-d ir aktīvā pretestība R12, bet posmā d-f-b ir virknē slēgti rezistors R2 un kondensators C2. Abu posmu kompleksās pretestības tātad ir šādas: Z ad = R12 = 20 , Z db = R2 − j X C 2 = 80 − j 40 . Izsakām abu posmu spriegumus ar posma strāvas un pretestības reizinājumu (ievērojot, ka sprieguma Udb un strāvas I2 pieĦemtie pozitīvie virzieni nesakrīt, izteiksmē parādīsies mīnusa zīme): U ab = U ad + U db = Z ad I 1 − Z db I 2 = 20 (1,2 + j 1,6) − (80 − j 40)(0,8 − j 0,6) = −16 + j 112 . To pašu rezultātu iegūtu arī, uzrakstot komplekso spriegumu Uab kā posmu a-e un e-b komplekso spriegumu summu: U ab = U ae + U eb = − Z ae I 1 + Z eb I 2 = − (10 − j 40) (1,2 + j 1,6) + j 100 (0,8 − j 0,6) = −16 + j 112 . Atrodam aprēėinātā sprieguma efektīvo vērtību:

U ab = Re 2 (U ab ) + Im 2 (U ab ) = 16 2 + 112 2 = 112,3 V . Starp citu, ar vektoru diagrammu metodi šo spriegumu aprēėināt būtu visai neparocīgi: vajadzētu vektoru diagrammā noteikt vairāku leĦėu vērtības. 6. Vektoru diagramma. Simboliskās metodes priekšrocība ir tā, ka jebkuru strāvu, jaudu vai spriegumu iespējams atrast, neizmantojot tādus vektoru diagrammu metodes atribūtus kā fāžu nobīdes leĦėus, jaudas koeficientu un vektoru diagrammu. Vēl vairāk, vektoru diagrammu iespējams uzzīmēt, vienkārši attēlojot iegūtos rezultātus kompleksu plaknē. Ar to iegūst labāku priekšstatu par fāžu nobīdēm shēmā. Bieži vien vektoru diagrammu zīmē reizē ar aprēėinu,tā kontrolējot katra aprēėinu soĜa pareizību. Uzzīmējiet vektoru diagrammu aprēėinātajai shēmai, atliekot kompleksu plaknē aprēėinātos lielumus: sprieguma un visu strāvu kompleksus un salīdziniet to ar 3.20. att. vektoru diagrammām. 4.4. piemērs. MaiĦsprieguma avotam ar spriegumu U = 50 V pieslēgta 4.4.,a att. shēma. Dotie lielumi: R1 = R2 =10 Ω, XL1 = XL2 = 30 Ω, XC1 = XC2 = 20 Ω. Aprēėināt visas strāvas, patērēto aktīvo un reaktīvo jaudu.

a)

b) a

R1

C1

b

R2

I1 U

a

I2

L1

I3

U

L2

Z1 I1

b

I2 Z3

Z2

I3

C2 c

c

4.4. att.: a) maiĦstrāvas ėēde ar jauktu slēgumu, b) shēma ar kompleksām pretestībām.

Atrisinājums. 1. Shēmā ir 3 zari. Uzrakstām komplekso pretestību izteiksmes: Z 1 = R1 − j X C1 = 10 − j 20 , Z 2 = R2 + j X L1 − j X C 2 = 10 + j 30 − j 20 = 10 + j 10 ,

Z 3 = j X L 2 = j 30 . Aizvietošanas shēma ar kompleksām pretestībām redzama 4.4.,b att. Shēmas struktūra ir tāda pati kā līdzstrāvas ėēdei 2.6. attēlā, tāpēc arī aprēėina metode ir līdzīga, tikai jālieto kompleksie lielumi. 2. Doto spriegumu pārveidojam kompleksā formā: U = 50. 3. Vispirms ekvivalenti pārveidojam pretestību paralēlslēgumu posmā bc. Pēc tam atrodam visas ėēdes kopējo ekvivalento pretestību Z:

Z = Z 1 + Z 23 = Z 1 +

Z2Z3 Z2 + Z3

= 10 − j 20 +

(10 + j 10) j 30 = 10 − j 20 + 5,3 + j 8,8 = 15,3 − j 11,2 . 10 + j 10 + j 30

Strāvu nesazarotajā ėēdes daĜā atrodam, izdalot avota spriegumu ar ėēdes kopējo pretestību:

I1 =

U 50 = = 2,131 + j 1,557 . Z 15,3 − j 11,2



69

Lai aprēėinātu abu zaru strāvas posmā bc, vispirms atrodam šī posma spriegumu:

U bc = Z 23 I 1 = (5,3 + j 8,8)(2,12 + j 1,56) = −2,46 + j 27,05 . Aprēėinām arī spriegumu posmā ab:

U ab = U − U bc = 50 − ( −2,4 + j 26,8) = 52,46 − j 27,05 . Strāvas posmā bc:

I2 =

U bc Z2

=

− 2,4 + j 26,8 = 1,230 + j 1,475 , 10 + j 10

I3 =

U bc Z3

=

− 2,4 + j 26,8 = 0,901 + j 0,082 . j 30

Kompleksā jauda, ko ăenerē avots vai patērē visas kompleksās pretestības:

S = U I 1* = 50 (2,12 − j 1,56) = 106,6 − j 77,9 . Pēdējais rezultāts nozīmē, ka shēma patērē aktīvo jaudu P = 106,6 W un reaktīvo jaudu Q = 77,9 VAr. Reaktīvā jauda ir kapacitīva rakstura, uz ko norāda mīnusa zīme kompleksās jaudas izteiksmē. 4. Pārejam no strāvu un spriegumu kompleksiem uz to efektīvajām vērtībām, piemēram:

I 1 = Re 2 ( I 1 ) + Im 2 ( I 1 ) = 2,1312 + 1,557 2 = 2,640 A . Līdzīgi tam atrodam arī pārējās efektīvās vērtības:

I2 = 1,921 A, I3 = 0,905 A, Uab = 59,0 V , Ubc = 27,2 V . 5. Aprēėinātās shēmas vektoru diagramma parādīta 4.5. att. Diagrammu zīmē, vispirms izvēloties strāvas un sprieguma mērogus, un pēc tam aprēėinātos kompleksos lielumus atliekot kompleksu plaknē. Vispār, aprēėinot shēmu ar simbolisko metodi, vektoru diagramma paaugstina uzskatāmību iegūto +j rezultātu pārbaudei. Piemēram, kompleksā I2 I1 Ubc pretestība Z1 ir ar aktīvi kapacitīvu raksturu, tātad strāvai I1 jāapsteidz fāzē spriegums Uab. Uzzīmējot posmam ab pretestību trijstūri, iespējams pat novērtēt leĦėi, par kuru šī strāva apsteidz spriegumu Uab, un arī to izmantot pārbaudei. Vēl, I3 U piemēram, pretestība Z3 ir tīri induktīva, tāpēc − + strāvai I3 jāatpaliek no sprieguma Ubc tieši par 90o. Pretestības Z2 raksturs ir aktīvi induktīvs, tāpēc vektoru diagramma noder, lai pārliecinātos, vai tiešām strāva I2 atpaliek fāzē no sprieguma Ubc par leĦėi, ko nosaka attiecīgā zara (R2, L2 un C2) −j pretestību trīsstūris. U ab

4.5. att. Vektoru diagramma kompleksu plaknē.

4.5. piemērs. Šajā piemērā parādīts, kā maiĦstrāvas ėēdes aprēėinam izmanto vienu no 2. nodaĜā apskatītajām līdzstrāvas ėēžu aprēėina metodēm. Atšėirība tikai tāda, ka visi elektriskie lielumi jāapraksta ar kompleksiem skaitĜiem. 4.6.,a att. shēmā trīs patērētāji pieslēgti trīsfāžu ăeneratoram. Šādiem avotiem ir trīs EDS ar vienādām efektīvajām vērtībām - dotajā gadījumā EA = EB = EC = 127 V. EDS savstarpēji nobīdīti fāzē par 120o:

e A = 127 2 sin ωt , e B = 127 2 sin(ωt − 120° ) , eC = 127 2 sin(ωt + 120° ) . Dotas patērētāja pretestības: R1 = 30 Ω, XL = 40 Ω, XC = 100 Ω, R2 = 50 Ω. Šāda shēma sastopama trīsfāžu ėēdēs, kuras sistemātiski aplūkotas nākošajā nodaĜā. Pagaidām aprobežosimies ar šādu uzdevumu: noteikt spriegumu starp shēmas punktiem n un N, kā arī visas strāvas. Atrisinājums. 1. Aizvietošanas shēmā (4.6.,b att.) jāparāda trīs kompleksās pretestības ar šādām vērtībām: Z A = R1 + j X L = 30 + j 40 , Z B = − j X C = − j 100 , Z C = R2 = 50 . 2. Pārveidojam dotos EDS kompleksā formā. Sekojošās izteiksmēs redzamas visas trīs komplekso skaitĜu formas: eksponenciālā, trigonometriskā un algebriskā: E A = 127 ,

E B = 127e − j120° = 127(cos 120°− j sin 120° ) = −63,5 − j 110 , E C = 127e j120° = 127(cos 120°+ j sin 120° ) = −63,5 + j 110 .

a)

b) Ē.Priednieks. Elektriskās ėēdes un to vienādojumi.

4. nodaĜa

70

4.6. att.: a) aprēėināmā shēma, b) aizvietošanas shēma ar kompleksiem lielumiem 3. Aizvietošanas shēmā ir 2 mezgli, tādēĜ tās aprēėinam piemērota ir mezglu spriegumu metode. Mezglu sprieguma aprēėināšanai izmantosim no līdzstrāvas ėēžu aprēėina pazīstamo formulu (2.10), aizstājot tajā visus lielumus ar kompleksiem:

U nN =

E AY A + E BY B + E CY C Y A +Y B +YC

.

Izteiksmē visi kompleksie EDS Ħemti ar plusa zīmi, jo to bultiĦas vērstas uz punktu n (mezglu sprieguma pirmais indekss). Ar Y pieĦemts apzīmēt komplekso vadītspēju - tā ir kompleksajai pretestībai Z apgriezts lielums. Aprēėinām visu trīs zaru kompleksās vadītspējas:

30 − j 40 1 1 = = = 0,012 − j 0,016 , Z A 30 + j 40 (30 + j 40)(30 − j 40) 1 1 1 1 YB = = = j 0,01 , Y C = = = 0,02 . Z B − j 100 Z C 50

YA =

Ievietojam šīs vērtības mezglu sprieguma izteiksmē un aprēėinām to:

U nN =

127 (0,012 − j 0,016) + ( −63,5 − j 110) j 0,01 + ( −63,5 + j 110) 0,02 = 43,5 − j 6,42 = 44 e − j 9° . 0,012 − j 0,016 + j 0,01 + 0,02

Ar pēdējo darbību sprieguma kompleksa algebrisko formu pārveidojām par eksponenciālo, atrodot, ka mezglu sprieguma UnN efektīvā vērtība ir 44 V, bet sākuma fāze: −9o. Lai atrastu strāvas, jāzina spriegums, kas pielikts katram no patērētājiem. Ievērojiet, ka tas nebūt nav mezglu spriegums UnN ! Aprēėinām spriegumus uz kompleksajām pretestībām, izmantojot spriegumu vienādojumu (4.5) un EDS vienādojumu (4.1): U An = U AN + U Nn = E A − U nN = 127 − 43,5 + j 6,43 = 83,5 + j 6,43 ,

U Bn = U BN + U Nn = E B − U nN = −63,5 − j 110 − 43,5 + j 6,43 = −107 − j103,6 , U Cn = U CN + U Nn = E C − U nN = −63,5 + j 110 − 43,5 + j 6,43 = −107 + j116,4 . Patērētāju strāvas kompleksā formā:

IA =

U An ZA

=

U 83,5 + j 6,43 − 107 − j 103,6 = 1,10 − j 1,26 , I B = Bn = = 1,04 − j 1,07 , 30 + j 40 ZB − j100 U − 107 + j 116,4 I C = Cn = = −2,14 + j 2,33 . ZC 50

Atrodam strāvas vērtību patērētājā ZA:

I A = Re 2 ( I A ) + Im 2 ( I A ) = 1,10 2 + 1,26 2 = 1,68 A . līdzīgi atrodam arī pārējās strāvas: I B = 1,49 A, I C = 3,16 A. Šis piemērs ir vēl viena ilustrācija tam, ka simboliskā metode atĜauj reducēt maiĦstrāvas ėēžu aprēėinu līdz daudz vienkāršākam līdzstrāvas ėēžu aprēėinam. Redzējām, ka ne tikai elementu, spriegumu un strāvu vienādojumi ir līdzīgi līdzstrāvas ėēžu vienādojumiem, bet arī iespējams lietot līdzstrāvas ėēžu aprēėina metodes, šeit – mezglu sprieguma metodi.


5. NODAěA

TRĪSFĀŽU MAIĥSTRĀVAS ĖĒDES Iepriekšējās nodaĜās iepazināmies ar vienfāzes maiĦstrāvas ėēdēm. Atzīmējām, ka maiĦstrāvas galvenā priekšrocība, salīdzinot ar līdzstrāvu, ir iespēja to transformēt (paaugstināt un pazemināt sprieguma vērtību), kas nepieciešams, elektrisko enerăiju pārvadot lielākos attālumos. Gandrīz visas elektriskās sistēmas, kuru uzdevums ir ražot, pārvadīt un sadalīt patērētājiem elektrisko enerăiju, ir nevis parastās vienfāzes, bet trīsfāžu maiĦstrāvas sistēmas. Trīsfāžu sistēmā elektriskās enerăijas avotiem, piemēram, sinhronajam ăeneratoram elektriskajā spēkstacijā, ir trīs vienādas daĜas - “fāzes”. Ievērojiet, ka terminam “fāze” ir arī cita nozīme nekā līdz šim lietotā - to attiecina uz katru no trīsfāžu avota, patērētāja vai pārvades līnijas 3 daĜām. EDS visu ăeneratora statora fāžu tinumos mainās sinusoidāli ar vienu un to pašu frekvenci un vienādām amplitūdas vērtībām. Šie trīs EDS ir savstarpēji nobīdīti fāzē par 120o . Trīsfāžu maiĦstrāvas sistēmu galvenās priekšrocības salīdzinājumā ar vienfāzes maiĦstrāvu ir šādas: • trīsfāžu sistēma ir kā radīta, lai iegūtu rotējošu magnētisko lauku, - šis apstāklis savā laikā deva iespēju izveidot visai vienkāršas konstrukcijas trīsfāžu asinhronos elektrodzinējus, kas arī mūsdienās ir visizplatītākā elektriskā mašīna, • trīsfāžu pārvades līnijās iespējams panākt vadu materiāla ekonomiju (līdz 25%), salīdzinot ar tādas pat jaudas vienfāzes maiĦstrāvas līnijām, • trīsfāžu sistēmā iespējams izmantot jebkuru no diviem pieejamiem spriegumiem, piemēram: 380/660, 220/380, 127/220 V. Šajā nodaĜā iepazīsimies ar trīsfāžu maiĦstrāvas ėēžu analīzes principiem. Tajās ir spēkā visi maiĦstrāvas ėēžu vienādojumi. Aprēėinos var lietot kā vektoru diagrammu metodi, tā arī (sarežăītākiem gadījumiem) simbolisko metodi. Jaunais materiāls šajā nodaĜā būs saistīts galvenokārt ar trīsfāžu maiĦstrāvas ėēžu topoloăijas īpatnībām. Vienkāršots trīsfāžu ėēdes modelis, kuru lietosim aprēėinos, sastāv no trīsfāžu maiĦstrāvas avota, idealizētas pārvades līnijas un trīsfāžu patērētāja.

Trīsfāžu sistēmas aizvietošanas shēmas elementi Trīsfāžu ăeneratora topogrāfiskā diagramma Trīsfāžu ăenerators ir elektriskā mašīna ar statorā novietotiem trīs tinumiem (fāzēm). Ăeneratora rotorā ar līdzstrāvu rada magnētisko lauku. Rotoru griež, t.i., pievada tam mehānisko enerăiju. Magnētiskais lauks pārvietojas attiecībā pret statora tinumiem un inducē tajos EDS. Statora tinumu izvietojums un magnētiskās ėēdes konfigurācija ir tādi, lai tinumos inducētie EDS būtu sinusoidāli un savstarpēji nobīdīti fāzē par 120o:

a)

b)

e

eA

eB

EA

eC

A

ωt

EB B

N

EC 120º

120º

120º

C

5.1. att. a) trīsfāžu ăeneratora EDS (spriegumu) laika diagramma, b) shēma zvaigznes slēgumā.

Trīsfāžu ăeneratora fāzes iespējams savienot trīsstūra vai zvaigznes slēgumā. Turpmāk vienmēr pieĦemsim, ka ăeneratora fāzes ir savienotas zvaigznē - kā tas redzams 5.1.,b att. aizvietošanas shēmā. Shēmā ir četri punkti: punktiem A, B un C pieslēdz pārvades līnijas vadus, kas ăeneratoru savieno ar patērētāju. Ceturto punktu N, kurā savienoti visi trīs fāžu tinumi, sauc par ăeneratora neitrāli.

5. nodaĜa

72

Shēmā ir 6 spriegumi: UAN, UBN, un UCN ir spriegumi uz ăeneratora fāzēm, no tā arī cēlies termins: ăeneratora fāžu spriegumi (kopējais apzīmējums: Uf). Spriegumus starp pārvades līnijas vadiem UAB, UBC un UCA sauc par līnijas spriegumiem (kopējais apzīmējums: Ul). Trīsfāžu ėēžu analīze kĜūs saprotamāka, ja lietosim topogrāfiskās diagrammas. Atcerēsimies, ka katrs punkts šādā diagrammā raksturo kāda shēmas punkta potenciālu, bet attālums starp diviem punktiem - attiecīgā sprieguma vērtību. Tādējādi topogrāfiskā diagramma visai kompakti satur informāciju par visiem shēmas spriegumiem. Lai iegūtu trīsfāžu ăeneratora topogrāfisko diagrammu, vispirms uzzīmējam EDS laika diagrammai (5.1.,a att.) atbilstošo vektoru diagrammu (5.2.,a att.). A-fāzes EDS vektora virziens šeit pieĦemts patvaĜīgi. Parasti fāžu secība ir tāda, ka B-fāzes EDS no tā atpaliek fāzē par 120o , utt. Pēc tam, izmantojot elementa E vienādojumu (3.1), fāžu EDS aizstājam ar spriegumiem: Pārnesot spriegumu ŪAN no vektoru diagrammas (saglabājot virzienu) uz topogrāfisko diagrammu (5.2.,b), tajā iegūstam pirmos divus punktus (A un N). Pārnesot arī pārējos divus spriegumus, topogrāfiskajā diagrammā parādās arī punkti B un C. Pabeigta topogrāfiskā diagramma redzama 5.2.,c att. Punkti A, B un C ir izvietoti vienādmalu trīsstūra virsotnēs, bet punkts N - tā simetrijas centrā. Šāda diagramma ir raksturīga jebkuram (zvaigznē slēgtam - saskaĦā ar pieĦemto vienošanos) trīsfāžu ăeneratoram - diagrammas atšėiras vienīgi ar mērogu. Topogrāfiskajā diagrammā ir divi spriegumu tipi. Visi fāžu spriegumi UAN, UBN, un UCN ir vienāda lieluma. Savstarpēji vienādi ir arī līnijas spriegumi UAB, UBC, un UCA. Topogrāfiskā diagramma rāda, ka līnijas sprieguma Ul vērtība ir lielāka par ăeneratora fāzes sprieguma Uf vērtību. Tā kā diagrammā sastopamās leĦėu vērtības ir tikai 30o, 60o un 120o, tad viegli iegūt sakarību starp līnijas spriegumu un ăeneratora (ne patērētāja!) fāzes spriegumu: (5.1) Ul 3 Uf . a)

b)

c)

A

EA=UAN

N

EC=UCN

EB=UBN

C

B

5.2.att.: a) ăeneratora vektoru diagramma, b), c) topogrāfiskā diagramma.

Kas jāzina, lai kāda trīsfāžu ăeneratora topogrāfiskā diagramma būtu pilnīgi noteikta? Izrādās, ka tikai viens lielums - piemēram, līnijas sprieguma vērtība, jo šo avotu topogrāfiskās diagrammas (5.2.,c) atšėiras tikai ar mērogu.

Pārvades līnija Trīsfāžu sistēmā ăeneratoru (avotu) ar patērētājiem savieno pārvades līnija, kuru veido 3 vai 4 vadi. Abi varianti ar pieĦemtajiem apzīmējumiem parādīti 5.3. att. Vadus AA, BB un CC sauc par līnijas vadiem, bet strāvas tajos (IA, IB un IC) - par līnijas strāvām. Četrvadu sistēmā pārvades līnijai ir arī neitrāles vads N ar strāvu IN . Aizvietošanas shēmās pieĦemtie pozitīvie virzieni līnijas strāvām: no avota uz patērētāju, bet strāvai neitrāles vadā - pretējā virzienā. No 5.3. att. redzams, ka (neatkarīgi no patērētāja slēguma veida), sakarības starp strāvām trīsfāžu sistēmā ir šādas: trīsvadu sistēmā: (5.2)

četrvadu sistēmā:

(5.3)

Vienkāršojot trīsfāžu sistēmas analīzi un aprēėinus, pārvades līniju uzskata par ideālu (bez pretestības), t.i., bez sprieguma krituma līnijā. Tas nozīmē, ka punktiem A, B un C līnijas sākumā (pie ăeneratora) un beigās (pie patērētāja) ir vienādi potenciāli, un topogrāfiskajā diagrammā šie punkti sakrīt. a) b)


Trīsfāžu ėēdes

EA EB N

EC

73 A B C

IA IB IC

A B

Patērētājs C

Ăenerators 5.3. att. Strāvas trīsfāžu pārvades līnijā: a) trīsvadu sistēmā, b) četrvadu sistēmā.

Trīsfāžu patērētājs Trīsfāžu sistēmā arī patērētājam parasti ir trīs daĜas (fāzes), kuras var būt slēgtas zvaigznē (5.4.,a att.) vai trīsstūrī (5.4.,b att.). Zvaigznē slēgta patērētāja fāzes apzīmē ar burtiem A, B un C. Šos indeksus lieto, apzīmējot patērētāja fāžu pretestības (ZA, ZB un ZC) un patērētāja fāžu strāvas (IA, IB un IC). Trīsstūrī slēgta patērētāja fāzes apzīmē citādi: AB, BC un CA, jo katra patērētāja fāze šeit pieslēgta diviem līnijas punktiem. Fāžu pretestību (ZAB, ZBC un ZCA) un fāžu strāvu apzīmējumos (IAB, IBC un ICA) lieto šos indeksus. Aplūkojot 5.4.,a att., redzēsim, ka zvaigznes slēgumā patērētāja fāzēs plūst līnijas strāvas. TādēĜ arī fāžu strāvām ir apzīmējumi IA, IB,un IC. Trīsstūra slēgumā (5.4.,b att) līnijas strāvu atrašanai, ja zināmas fāzes strāvas, lieto mezgla punktiem A, B un C uzrakstītus strāvu vienādojumus: (5.4) a)

b)

5.4. att. Trīsfāžu patērētāja slēgumi: a) zvaigznē, b) trīsstūrī.

Spriegumus uz patērētāja fāzēm (atrodiet tos 5.4 att.!) sauc par patērētāja fāžu spriegumiem. Ievērojiet, ka trīsstūra slēgumā patērētāja fāzēm ir pievadīti līnijas spriegumi: UAB, UBC un UCA. Zvaigznes slēgumā patērētāja fāžu spriegumi ir: UAn, UBn un UCn . Pēdējos dažreiz apzīmē vienkāršāk (UA, UB un UC), taču tad pastāv iespēja tos sajaukt ar tāpat apzīmētiem ăeneratora fāžu spriegumiem. Patērētājs var būt simetrisks vai nesimetrisks. Simetrijas noteikums: visu trīs patērētāja fāžu pretestībām jābūt vienādām ne tikai skaitliski (ZA = ZB = ZC - zvaigznē slēgtam patērētājam vai ZAB = =ZBC = ZCA - trīsstūrī slēgtam), bet arī pēc rakstura (ϕA = ϕB = ϕC vai ϕAB = ϕBC = ϕCA).

Trīsfāžu patērētāja vektoru diagramma un analīze Vektoru diagrammas zīmēšanas plāns PieĦemsim, ka dota trīsfāžu maiĦstrāvas ėēde un jārisina parastais uzdevums: doti avotu spriegumi (šeit pietiekami zināt tikai vienu lielumu - līnijas spriegumu, jo ar to ir norādīts mērogs ăeneratora topogrāfiskajai diagrammai), dota arī patērētāja slēguma shēma un tā fāžu pretestības. Jāatrod visas strāvas. Aprēėinot trīsfāžu ėēdes, zīmējot vektoru diagrammas vai izsekojot trīsfāžu patērētāja darba režīmu analīzei, der ievērot, ka vienmēr izmanto sekojošu plānu: 1) patērētāja topogrāfiskā diagramma, 2) fāžu spriegumi tajā, 3) fāžu strāvas, 4) pārējās strāvas. Tas nozīmē, ka vektoru diagrammas zīmēšanu vai aprēėinu sāk ar dotā patērētāja topogrāfisko diagrammu. Pēc tam, kad fāžu spriegumi tajā ir noteikti, katru patērētāja fāzi var aplūkot atsevišėi kā


5. nodaĜa 74 vienfāzes maiĦstrāvas ėēdi ar zināmu spriegumu, un atrast tajā attiecīgās fāzes strāvu. Pārējās strāvas (strāvu neitrāles vadā, līnijas strāvas - ja tādas shēmā ir) atrod, izmantojot attiecīgās shēmas strāvu vienādojumus (5.3) vai (5.4). Ievērojiet tikai, ka tajos jāizmanto vektori no uzzīmētās diagrammas, bet nekādā gadījumā ne skaitliskās vērtības.

Trīsfāžu patērētāja topogrāfiskā diagramma Trīsfāžu patērētāja topogrāfiskajā diagrammā parāda visu patērētāja punktu potenciālus. Zvaigznes slēgumā patērētājam ir 4 punkti: A, B, C un n (skat. 5.4.,a att. shēmu), trīsstūra slēgumā - 3 punkti: A, B un C (5.4.,b att.). Patērētāja topogrāfisko diagrammu zīmē, izmantojot ăeneratora topogrāfisko diagrammu (5.2.,c att). Tā kā pārvades līniju mēs vienojāmies uzskatīt par ideālu (bez pretestības), tad pamatprincips šeit ir vienkāršs: ja shēmā attiecīgie ăeneratora un patērētāja punkti ir savienoti (ar līnijas vai neitrāles vadu), tad to potenciāli ir vienādi un arī topogrāfiskajā diagrammā šiem punktiem jāsakrīt. Citiem vārdiem, patērētāja topogrāfiskajā diagrammā ir zināmi tik punkti, cik vadu savieno patērētāju ar ăeneratoru. Jebkurā normālā režīmā patērētājam no avota pienāk vismaz 3 līnijas vadi. Tas nozīmē, ka patērētāja topogrāfiskajā diagrammā punkti A, B un C atrodas turpat, kur ăeneratora topogrāfiskajā diagrammā - vienādmalu trīsstūra virsotnēs (5.5.,a,b,c att.). Jāatrod vēl tikai patērētāja neitrāles n (ja tāda ir) atrašanās vieta diagrammā. Apskatīsim visus 3 iespējamos gadījumus, parādot diagrammā arī patērētāja fāžu spriegumus. 1) Patērētājs slēgts trīsstūrī - tad shēmā (5.4.,b att.) ceturtā punkta nav, un patērētāja topogrāfiskajā diagrammā (5.5.,a att.) visi 3 punkti ir zināmi. Katras fāzes spriegumu attēlo vektors starp tiem diviem diagrammas punktiem, starp kuriem shēmā ieslēgta šī fāze. Piemēram AB-fāzes sprieguma vektors ŪAB savieno diagrammas punktus A un B (jāatceras, ka topogrāfiskajā diagrammā vektora bultiĦa norāda “uz pirmo indeksu” - šajā gadījumā uz punktu A). 2) Patērētājs slēgts zvaigznē ar neitrāles vadu (5.4.,a att.). Tagad visi četri patērētāja punkti ir savienoti ar attiecīgajiem ăeneratora punktiem. Patērētāja topogrāfiskā diagramma (tāda pati kā ăeneratoram) parādīta 5.5.,b att. Patērētāja fāžu spriegumi UAN, UBN un UCN ir tādi paši kā ăeneratora fāžu spriegumi: tagad arī patērētājam ir spēkā sakarība (5.1). a)

b)

c)

5.5. att. Patērētāja topogrāfiskā diagramma: a) trīsstūra slēgumam, b) zvaigznes slēgumam ar neitrāles vadu, c) nesimetriskam patērētājam zvaigznē bez neitrāles vada.

3) Patērētājs slēgts zvaigznē bez neitrāles vada (5.4.,a att.). Tad patērētāja neitrāles n potenciāls un ăeneratora neitrāles N potenciāls topogrāfiskajā diagrammā nesakrīt. Attālumam Nn atbilstošo spriegumu ŪnN sauc par neitrāles nobīdi. Topografiskā diagramma šādam gadījumam parādīta 5.5.,c att. Fāžu spriegumu UAn, UBn un UCn vērtības tagad nav vienādas. Neitrāles nobīde atkarīga no patērētāja fāžu nesimetrijas pakāpes: fāžu nesimetrijai pieaugot, neitrāles nobīde pieaug. Īpašā gadījumā - ja patērētājs ir simetrisks - arī zvaigznē slēgtam patērētājam bez neitrāles vada neitrāles nobīdes nav. Tad diagramma ir tāda pati kā četrvadu sistēmai (5.5.,b att.).

Secinājumi. Ir viens gadījums, kad patērētāja fāžu spriegumu noteikšana nav vienkārša nesimetrisks patērētājs zvaigznes slēgumā bez neitrāles vada. Tā ir vienīgā situācija (5.5.,c att.), kad aprēėināt neitrāles nobīdi un patērētāja fāžu spriegumus iespējams tikai ar simbolisko metodi .Visos pārējos gadījumos patērētāja fāžu spriegumus iespējams noteikt ar topogrāfiskās diagrammas palīdzību, t.i., bez sarežăīta aprēėina. No aplūkotajām diagrammām ir saprotama neitrāles vada nozīme: shēma ar neitrāles vadu nodrošina arī zvaigznē slēgtam nesimetriskam patērētājam vienādus (simetriskus) fāžu spriegumus. Lai aprēėinātu vai novērtētu trīsfāžu patērētāja darba režīmu, zīmē patērētāja vektoru diagrammu, kas atkarīga no slēguma shēmas un patērētāja parametriem. Zemāk aplūkotas vektoru diagrammas dažādiem patērētāja slēgumiem (zvaigznē ar neitrāles vadu vai bez tā, vai trīsstūrī) ar nesimetrisku vai simetrisku patērētāju. Katrā no gadījumiem zīmē patērētāja vektoru diagrammu, realizējot doto plānu (patērētāja topogrāfiskā diagramma - fāžu


Trīsfāžu ėēdes

75

spriegumi - fāžu strāvas - pārējās strāvas). Vairumā gadījumu patērētāja topogrāfiskā diagramma un tā fāžu spriegumi jau zināmi (5.5.,a vai 5.5.,b att.).

Trīsfāžu patērētājs zvaigznes slēgumā Zvaigznē slēgtam patērētājam (5.6. att.) ir 4 punkti: A, B, C, kuriem pievienota pārvades līnija, un patērētāja neitrāles punkts n. Patērētāja fāžu pretestības apzīmē ar ZA, ZB un ZC, patērētāja fāžu strāvas ar IA, IB un IC. Patērētāja fāzēs plūst līnijas strāvas. Spriegumi uz fāzēm UAn, UBn un UCn (patērētāja fāžu spriegumi) vispārīgā gadījumā var nebūt vienādi ar attiecīgo ăeneratora fāžu spriegumiem UAN, UBN un UCN. 5.6. att.

Zvaigznes slēgums ar neitrāles vadu Četrvadu sistēmā (5.7. att.) patērētāja neitrāli n un ăeneratora neitrāli N savieno neitrāles vads. TādēĜ spriegumi uz atsevišėām fāzēm UAn, UBn un UCn (patērētāja fāžu spriegumi) ir vienādi ar ăeneratora fāžu spriegumiem UAN, UBN un UCN, jo visi četri patērētāja punkti ir savienoti ar ăeneratora punktiem Strāvu neitrāles vadā apzīmē ar IN. 5.7. att.

5.8. att. ilustrē patērētāja vektoru diagrammas zīmēšanas plāna realizāciju šai shēmai. Vispirms zīmē patērētāja topogrāfisko diagrammu (5.8.,a att., skat. arī 5.5.,b att.). Tajā redzams, ka visas patērētāja fāzes saĦem skaitliski vienādus, bet fāzē savstarpēji par 120° nobīdītus spriegumus UAn, UBn un UCn , kas ir skaitliski vienādi ar ăeneratora fāzes spriegumu Uf:

U An a)

U Bn b)

UCn

U AN

U AN

U AN

Uf

Ul . 3

c)

5.8. att. Vektoru diagrammas zīmēšanas gaita patērētājam četrvadu sistēmā.

Patērētāja topogrāfiskā diagramma ar tajā parādītiem patērētāja fāžu spriegumiem redzama 5.8.,b att. Nākošais solis: diagrammā iezīmē fāžu strāvu vektorus. Vispārīgā gadījumā, t.i., ja patērētājs ir nesimetrisks, fāžu strāvas ir dažāda lieluma un dažādi nobīdītas fāzē pret attiecīgo fāžu spriegumiem. Zinot fāžu sprieguma vērtību un patērētāja fāžu pretestības, var aprēėināt fāžu strāvu efektīvās vērtības:

Zinot fāžu nobīdes leĦėus ϕA , ϕB un ϕC , fāžu strāvu vektorus atliek diagrammā (5.8.,b att.).


5. nodaĜa

76

Un pēdējais solis, zīmējot vektoru diagrammu: tajā parāda strāvu neitrāles vadā . Strāvu vienādojums šai shēmai (5.3): Saskaitot diagrammā (tikai ne skaitliski!) fāžu strāvu vektorus, atrodam neitrāles vada strāvas vektoru (5.8.,c att.). Ja patērētājs ir simetrisks, t.i., ja visu trīs fāžu A pretestības ir vienādas (pēc lieluma un rakstura):

UAn

IA

tad visās fāzēs strāvas ir vienāda lieluma un vienādi nobīdītas pret attiecīgo fāžu spriegumiem. Summējot šādu fāžu strāvu vektorus (5.3), iegūsim nulli. 5.9. att. parādīta simetriska zvaigznē slēgta patērētāja vektoru diagramma. No šiem diviem piemēriem izriet, ka četrvadu sistēmā patērētāja fāzes vienmēr saĦem vienāda lieluma spriegumus, bet strāva neitrāles vadā ir atkarīga no patērētāja fāžu pretestību nesimetrijas pakāpes. Ja patērētājs ir simetrisks, tad neitrāles vadā strāva neplūst: IN = 0.

φ IC φ UCn

N

UBn

φ

C

B

IB 5.9.att. Simetriska patērētāja vektoru diagramma.

Zvaigznes slēgums bez neitrāles vada EA

A

IA

ZA

EB

B

IB

ZB

C

IC

N

EC

n

ZC

5.10. att. Trīsvadu sistēma ar patērētāju zvaigznē.

Slēguma shēma parādīta 5.10. att. Atšėirībā no četrvadu sistēmas šeit neitrāles vada nav, un patērētāja neitrāles n potenciāls vispārīgā gadījumā nav vienāds ar ăeneratora neitrāles N potenciālu. Topogrāfiskajā diagrammā patērētāja neitrāle n vispārīgā gadījumā ir nobīdīta (5.5.,c att.) un patērētāja fāžu spriegumi UAn, UBn un UCn būs dažāda lieluma. Vispirms aplūkosim vienīgo izĦēmumu - ja patērētājs ir simetrisks.

a) Zvaigznē slēgts simetrisks patērētājs bez neitrāles vada. Tā kā visu patērētāja fāžu pretestības ir vienādas pēc lieluma un rakstura, tad nav pamata domāt, ka uz kādas no tām sprieguma vērtība atšėirtos no citām. Patērētāja topogrāfiskā diagramma ir tāda pati kā iepriekšējā gadījumā (arī simetrisks patērētājs, bet četrvadu sistēmā). Turpinot zīmēt patērētāja vektoru diagrammu pēc plāna (... - fāžu spriegumi - fāžu strāvas - pārējo strāvu šeit nav), iegūstam to pašu vektoru diagrammu kā 5.9. att. No tā, ka diagrammas abiem gadījumiem pilnīgi sakrīt, var secināt: ja zvaigznē slēgts patērētājs ir simetrisks, tad neitrāles vads nav nepieciešams. b) Zvaigznē slēgts nesimetrisks patērētājs bez neitrāles vada. Ja patērētāja fāžu pretestības nav vienādas, tad topografiskajā diagrammā punkts n nesakrīt ar N tas nozīmē, ka starp šiem shēmas punktiem pastāv spriegums UnN (neitrāles nobīde), kas ir jo lielāks, jo lielāka ir patērētāja fāžu nesimetrija. Lai aprēėinātu neitrāles nobīdes vektoru, nepieciešams lietot kompleksos lielumus (simbolisko metodi), kā tas parādīts 4. nodaĜā. Šeit aprobežosimies ar aptuvenu norādījumu par patērētāja neitrāles n nobīdes virzienu: ja kādā no fāzēm (A, B vai C) pretestību samazina, punkts n topografiskajā diagrammā pārvietojas attiecīgās fāzes punkta virzienā. Piemērs: ja fāzē B pretestību samazina līdz nullei, tad punkts n diagrammā sakrīt ar punktu B. Pēc tam, kad neitrāles nobīde atrasta, patērētāja fāžu spriegumu vektorus atliek, savienojot diagrammā punktu n ar punktiem A, B un C. BultiĦas - punktu A, B un C virzienā (5.11. att.).


Trīsfāžu ėēdes

77 Atšėirībā no visiem iepriekšējiem gadījumiem aprēėinā tagad fāžu spriegumu vērtības ir dažādas, kas jāievēro, aprēėinot fāžu strāvu vērtības:

5.11. att.

Zinot fāžu nobīdes leĦėus ϕA , ϕB un ϕC , zīmē fāžu strāvu vektorus. Ievērojiet, ka leĦėis ϕA nozīmē fāzes strāvas IA nobīdi attiecībā pret patērētāja fāzes sprieguma UAn. vektoru (nevis ăeneratora fāzes sprieguma UAN. vektoru!).

Avārijas režīmi trīsvadu sistēmā Aplūkosim divus robežgadījumus ar nesimetrisku patērētāju - ja vienas fāzes pretestība ir bezgalīgi liela (fāzes pārtraukums) vai vienāda ar nulli (fāzes īsslēgums) - trīsvadu sistēmā. Četrvadu sistēmā patērētāja fāzes saĦem ăeneratora fāžu spriegumus, tāpēc vienas fāzes pārtraukuma gadījumā abu pārējo fāžu spriegumi paliek bez izmaiĦām, bet fāzes īsslēgums būtu bīstams avārijas režīms (izsekojiet shēmā strāvas ceĜam bez pretestības!). Turpretī trīsvadu sistēmā (5.12.,c,d att.), vienas fāzes īsslēguma gadījumā patērētājs varētu darboties – gan ar pārspriegumiem abās pārējās fāzēs. Izpētīsim, kas notiek ar fāžu spriegumiem abos minētajos avārijas gadījumos ar zvaigznē slēgtu patērētāju trīsvadu sistēmā. 5.12.,a att. shēmā C-fāze ir pārtraukta (t.i., fāzes pretestība ZC ir bezgalīgi liela). Tad topogrāfiskajā diagrammā (5.12.,b att.) punkts n attālinās no C. Ja visas patērētāja pretestības ir rezistīvas, tad tas atrodas uz taisnes AB. Topogrāfiskā diagramma rāda, ka spriegumi uz pārējām fāzēm ir samazināti. Starp citu, šajā slēgumā patērētāja fāzes pārtraukums nozīmē to pašu, ko pārrāvums vienā līnijas vadā. Pārējās divas fāzes tagad faktiski ir pieslēgtas vienfāzes avotam ar spriegumu UAB un veido virknes slēgumu (sprieguma dalītāju). a)

b)

c)

d)

5.12. att. Patērētāja topogrāfiskā diagramma avārijas režīmos: b) fāzes pārtraukuma gadījumā, d) īsslēgumā.

5.12.,c att. shēmā C-fāzē ir īsslēgums (t.i., šīs fāzes pretestība ZC ir nulle). Topogrāfiskā diagramma parādīta 5.12.,d att. Shēmas punkti n un C tagad savienoti, tiem ir vienādi potenciāli, tāpēc diagrammā tie sakrīt. Redzam, ka spriegums uz C-fāzes ir vienāds ar nulli, bet spriegumi uz abām pārējām fāzēm palielinās 1,73 reizes - kĜūst vienādi ar līnijas spriegumu. Vēl viena ilustrācija neitrāles vada nozīmei četrvadu sistēmā avarējusī fāze (teiksim, viena dzīvokĜa patērētāji) tiktu atslēgta, bet pārējās divas turpinātu normāli darboties.

Trīsfāžu patērētājs trīsstūra slēgumā Spriegumu skaita ziĦā trīsstūra slēgums (5.13.,a att.) ir vienkāršāks nekā zvaigznes slēgums, jo patērētājam ir tikai 3 punkti: A, B, C. Katrai no fāzēm tieši pievadīts līnijas spriegums, tātad patērētāju fāžu pretestību izmaiĦas šos spriegumus ietekmēt nevar. Toties strāvu skaits ir ievērojami lielāks: ir 3 fāžu strāvas un 3 līnijas strāvas. Patērētāja fāžu pretestības te apzīmē ar ZAB, ZBC un ZCA, patērētāja fāžu strāvas - ar tiem pašiem indeksiem: IAB, IBC un ICA. Līnijas strāvas apzīmē kā parasti: IA, IB un IC. Patērētāja vektoru diagrammu zīmēsim, vadoties no iepriekš lietotā plāna (patērētāja topogrāfiskā diagramma - fāžu spriegumi - fāžu strāvas - pārējās strāvas). Tā kā topogrāfiskā diagramma ar tajā parādītiem fāžu spriegumiem ir zināma no iepriekšējā (5.5.,a, atkārtoti parādīta 5.13.,b att.), tad atliek vektoru diagrammu papildināt ar fāžu strāvu vektoriem, un, tos saskaitot saskaĦā ar strāvu vienādojumiem (5.4):


5. nodaĜa

78 atrast līniju strāvu vektorus. a)

b)

5.13. att. Patērētājs trīsstūra slēgumā: a) shēma, b) topogrāfiskā diagramma ar fāžu spriegumiem tajā.

Sāksim ar vispārīgāku gadījumu, kad patērētājs ir nesimetrisks, t.i., tā fāžu pretestības nav vienādas. Lai padarītu ērtākas turpmākās darbības ar strāvu vektoriem, vispirms no patērētāja topogrāfiskās diagrammas (5.13.,b att.) fāžu spriegumu vektorus pārnesīsim uz vektoru diagrammu tā, lai tie izietu no viena kopēja punkta (5.14.,a att.). Fāžu strāvu efektīvās vērtības atrod, izdalot fāzes sprieguma Uf (kas vienāds ar līnijas spriegumu Ul) efektīvo vērtību ar fāzes pilno pretestību:

Fāžu strāvu vektori ir nobīdīti fāzē attiecībā pret fāžu spriegumiem par leĦėiem ϕAB, ϕBC, ϕCA, kurus nosaka fāžu pretestību vērtības un raksturs. Turpinot zīmēt vektoru diagrammu, atliekam fāžu strāvu IAB, IBC, ICA vektorus. Fāžu strāvu vērtības un nobīdes leĦėi šeit izvēlēti brīvi (5.14.,a att.). Vektoru diagrammas zīmēšanu pabeidz, atrodot līnijas strāvu vektorus (5.14.,b att.). Visi trīs fāžu strāvu vektori sākas kopējā punktā. Katra līnijas strāva ir divu fāžu strāvu vektoriāla starpība (5.4). Šo vektoru starpību viegli atrast, savienojot abu vektoru galapunktus, kā tas redzams 5.14.,b,c attēlā. a)

b)

c)

5.14. att. Trīsstūrī slēgta patērētāja vektoru diagramma: a) spriegumi un fāžu strāvas, b) parādītas arī līnijas strāvas, c) speciālgadījums: vektoru diagramma simetriskam patērētājam.

Simetriskam patērētājam fāžu pretestības ir vienādas pēc lieluma un rakstura: ZAB = ZBC = ZCA un ϕAB = ϕBC = ϕCA = ϕ. Vektoru diagramma (5.14.,c att.) atšėiras no iepriekš aplūkotās tikai ar to, ka fāžu strāvu vektori ir vienāda garuma un vienādi nobīdīti pret attiecīgo fāžu spriegumiem. Trīsstūrī, ko veido divu fāžu strāvu (IAB un IBC) un līnijas strāvas IB vektori, leĦėis starp fāzes strāvu vektoriem ir 120o. Zinot to, var iegūt sakarību starp fāzes un līnijas strāvām: (5.5) Ievērosim, ka šī sakarība ir spēkā tikai trīsstūrī slēgtam simetriskam patērētājam.

Simetriska trīsfāžu patērētāja aktīvā jauda Atsevišėu fāžu aktīvās jaudas nosaka, sareizinot attiecīgās fāzes strāvu ar spriegumu un jaudas koeficientu (3.7), piemēram, zvaigznē slēgtam patērētājam:


Trīsfāžu ėēdes

79

Trīsfāžu patērētāja aktīvā jauda ir vienāda ar atsevišėo fāžu aktīvo jaudu summu: Bieži sastopami ir simetriski trīsfāžu patērētāji - tādi ir, piemēram, maiĦstrāvas elektriskās mašīnas: asinhronie un sinhronie dzinēji. Izrādās, ka simetriskam trīsfāžu patērētājam, neatkarīgi no slēguma veida (zvaigznē vai trīsstūrī), var lietot vienu un to pašu aktīvās jaudas formulu. Lūk, tās izvedums zvaigznē slēgtam simetriskam patērētājam:

Pārveidojumos izmantota sakarība starp zvaigznē slēgta simetriska patērētāja līnijas un fāzes spriegumiem, ievērojot to, ka visu fāžu patērētās jaudas ir vienādas. Izrādās, ka to pašu rezultātu iegūst arī trīsstūrī slēgta patērētāja gadījumā, kad vienādi ir līnijas un fāzes spriegumi, bet līnijas strāva ir 3 reizes lielāka par fāzes strāvu (5.5):

Literatūrā simetriska trīsfāžu patērētāja aktīvās jaudas formula bieži sastopama šādā formā: (5.6) kur U, I - līnijas (ne fāzes!) sprieguma un strāvas efektīvās vērtības, cos ϕ - jaudas koeficients, ko nosaka patērētāja fāzes pretestība. Starp citu, pastāv vienošanās: ja trīsfāžu ėēdes sprieguma un strāvas apzīmējumā nav indeksa “f” vai “l”, tad ar to ir domāts līnijas spriegums vai strāva.

Trīsfāžu patērētāja aktīvās jaudas mērīšana Principā trīsfāžu patērētāja patērēto aktīvo jaudu P var izmērīt ar trīs vatmetriem: katru vatmetru ieslēdz vienas fāzes jaudas mērīšanai. Vatmetru strāvas spoles ieslēdz tā, lai tajās plūstu fāžu strāvas, bet spriegumu spoles pieslēdz fāžu spriegumiem. Patērētāja aktīvā jauda tad ir vienāda ar visu trīs vatmetru rādījumu summu. Ja patērētājs ir simetrisks, tad pietiek ar vienu vatmetru: ar to izmēra vienas fāzes jaudu, un kopējo jaudu iegūst, mērījuma rezultātu pareizinot ar 3. Visai izplatīta ir divu vatmetru metode trīsfāžu patērētāja aktīvās jaudas mērīšanai. Tiesa, šī metode ir piemērota tikai trīsvadu sistēmai, t.i., ja dotais patērētājs pievienots avotam, neizmantojot neitrāles vadu. Taču tā ir derīga patērētāja zvaigznes un trīsstūra slēgumiem, un neatkarīgi no tā, vai patērētājs ir simetrisks vai nesimetrisks. Divu vatmetru metodes īpatnība ir tā, ka nevienam no abu vatmetru rādījumiem neatbilst kāda konkrēta jauda ėēdē, taču abu rādījumu algebriskā summa ir trīsfāžu patērētāja aktīvā jauda. a)

b)

5.15. att. Trīsfāžu patērētāja aktīvās jaudas mērīšana ar divu vatmetru metodi: a) shēma, b) vektoru diagramma simetriska patērētāja gadījumā.


5. nodaĜa

80

Lai uzzinātu, kā trīsfāžu līnijai jāpieslēdz abu vatmetru strāvas un sprieguma ėēdes, aplūkosim gadījumu, kad patērētājs slēgts zvaigznē. Parādīsim, ka, izmantojot strāvu vienādojumu - uzmanību: izteiksme (5.2) ir pareiza tikai trīsvadu, bet ne četrvadu sistēmai! -: trīsfāžu patērētāja momentānās jaudas izteiksmi iespējams pārveidot par divu reizinājumu summu: Pēdējā izteiksme rāda, kā jāpieslēdz abi vatmetri: to strāvas ėēdes ieslēdz līnijas vados A un C, bet sprieguma ėēdes pieslēdz attiecīgi spriegumiem UAB un UCB (5.15.,a att.) Pirmais vatmetrs uzrādīs strāvas IA un sprieguma UAB sinusoīdu reizinājuma vidējo vērtību, kam, tāpat kā otra vatmetra rādījumam, neatbilst kāda konkrēta jauda. Taču, kā var spriest no iepriekšējās izteiksmes, vatmetru rādījumu summa (algebriskā) būs vienāda ar trīsfāžu patērētāja momentānās jaudas p vidējo vērtību, t.i., tā aktīvo jaudu P. Līdzīgi varētu pierādīt, ka šāds vatmetru slēgums pareizi uzrādītu trīsfāžu patērētāja aktīvo jaudu arī tad, ja patērētājs būtu slēgts trīsstūrī. Speciālgadījumā, ja patērētājs ir simetrisks (piemēram, trīsfāžu asinhronais dzinējs), ar divu vatmetru metodi var netieši novērtēt tā jaudas koeficientu cosϕ . 5.15.,b att. parādīta zvaigznē slēgta simetriska patērētāja vektoru diagramma, kurā izcelti tie lielumi (skat. nākošo formulu), no kuriem ir atkarīgi vatmetru rādījumi. Tāpēc patērētāja topogrāfiskajā diagrammā parādīti spriegumu UAB un UCB. Līnijas strāvas IA un IC vienlaicīgi ir arī fāžu strāvas. TādēĜ diagrammā šo strāvu vektorus atliek attiecībā pret fāžu spriegumiem. Pēdējie simetriska patērētāja gadījumā ir simetriski. Piemēram, visbiežāk sastopamais simetrisks trīsfāžu patērētājs - asinhronais dzinājs - patērē aktīvo jaudu, kā arī induktīva rakstura reaktīvo jaudu - magnētiskā lauka radīšanai. Mainot dzinēja noslodzi, patērētā aktīvā jauda un arī fāžu nobīde mainās plašās robežās. Pirmais vatmetrs, kura strāvas ėēdē plūst strāva IA, uzrāda šīs strāvas un sprieguma UAB momentāno vērtību reizinājuma vidējo vērtību. Kā zināms, ja šādi lielumi laikā mainās sinusoidāli, tad vidējā vērtība ir vienāda ar strāvas un sprieguma efektīvo vērtību reizinājumu un atkarīga no šo sinusoīdu fāžu nobīdes. Tāpēc pirmā vatmetra rādījums (apzīmēsim to ar W1) ir Ja fāžu nobīdes leĦėis ϕ = 60o, tad leĦėis starp vektoriem UAB un IA (α) ir 90o, (punktlīnija 5.15.,b attēlā), un pirmā vatmetra rādījums vienāds ar nulli. Tātad, ja šī vatmetra uzrādītā aktīvā jauda W1 ir pozitīva, tas norāda, ka ϕ < 60o (t.i., jaudas koeficients ir lielāks par 0,5). Turpretī, ja patērētājs darbojas ar zemāku jaudas koeficientu (ϕ > 60o), tad šī vatmetra rādījums ir negatīvs. Uzmanīgi aplūkojot vektoru diagrammu, redzēsim, ka, mainoties fāžu nobīdei (0 < ϕ < 90o), leĦėis, ko veido vektori UCB (nevis UBC!) un IB, vienmēr paliek šaurs. Tāpēc otrā vatmetra rādījums vienmēr paliek pozitīvs.

Trīsfāžu patērētāja aprēėina piemēri Simetriska trīsfāžu patērētāja aprēėina piemēri 5.1. piemērs. Dots līnijas spriegums: Ul = 380 V. Simetriska patērētāja fāzes pretestība Z = 20 Ω. Patērētājs ir aktīvi induktīva rakstura ar fāžu nobīdi ϕ = 30o. Aprēėināt strāvas un patērēto aktīvo jaudu, ja patērētājs slēgts zvaigznē (shēma: 5.6. att.). Atrisinājums. Simetriska patērētāja topogrāfiskajā diagrammā (neatkarīgi no tā, vai neitrāles vads ir vai nav) patērētāja neitrāle atrodas simetrijas centrā (5.8.,a att.), un visi patērētāja fāžu spriegumi ir vienādi:

Uf =

Ul

=

3

380

= 219,4 V .

3

Simetriska patērētāja visu fāžu strāvas (zvaigznes slēgumā tās ir arī līnijas strāvas) ir vienādas:

I f = Il =

Uf Z

=

219,4 = 11 A . 20

Patērēto aktīvo jaudu aprēėinām saskaĦā ar simetriska trīsfāžu patērētāja jaudas formulu (5.6):

P = 3 U l I l cos ϕ = 3 ⋅ 380 ⋅ 11⋅ 0,866 = 6270 W .


Trīsfāžu ėēdes

81

5.2. piemērs. Aprēėināt strāvas un patērēto aktīvo jaudu, ja iepriekšējā piemērā dotais trīsfāžu patērētājs slēgts trīsstūrī (shēma: 5.13.,a att.). Salīdzināt patērētās jaudas vērtību trīsstūra un zvaigznes slēgumā. Atrisinājums. Lai aprēėinātu patērētāja fāzes strāvu, jāuzzina patērētāja fāzes spriegums. Trīsstūra slēgumā tas ir vienāds ar līnijas spriegumu U: U f = U l = 380 V . Patērētāja fāzes strāva tagad ir 1,73 reizes lielāka nekā zvaigznes slēgumā:

If =

Uf Z

=

380 = 19 A . 20

Sekojošais rezultāts nozīmē, ka trīsstūrī slēgta simetriska patērētāja gadījumā līnijas strāva ir 3 reizes lielāka nekā tad, ja šis patērētājs būtu slēgts zvaigznē:

I l = 3 I f = 3 ⋅ 19 = 33 A . Simetriskam patērētājam jaudas formula trīsstūra un zvaigznes slēgumam ir viena un tā pati. SaskaĦā ar uzdevuma noteikumiem līnijas spriegums abos gadījumos ir viens un tas pats. Tātad, patērētāju savienojot trīsstūrī, jārēėinās ar to, ka ne tikai līnijas strāva, bet arī patērētā jauda P pieaugs 3 reizes:

P = 3 U l I l cos ϕ = 3 ⋅ 380 ⋅ 33 ⋅ 0,866 = 18810 W . Tas nozīmē, ka patērētājam, kas normāli paredzēts darbam zvaigznes slēgumā ar līnijas spriegumu 380 V, fāzes pie šī sprieguma nedrīkst savienot trīsstūra slēgumā, jo tad tajā izdalīsies 3 reizes lielāka jauda. Tādam režīmam šis patērētājs, protams, nav piemērots. 5.3 piemērs. Aprēėināsim iepriekšējos piemēros aplūkotā simetriskā patērētāja režīmu, ja tas slēgts trīsstūrī, bet darbojas ar pazeminātu spriegumu (tagad U = 220 V). Atrisinājums. Patērētāja fāzes spriegums, fāzes strāva un līnijas strāva jaunajos apstākĜos:

U f = U l = 220 V ,

If =

Uf Z

=

220 = 11 A , 20

I l = 3 I f = 3 ⋅ 11 = 19 A .

Salīdzinot šos rezultātus ar iepriekšējā piemērā (patērētājs zvaigznes slēgumā ar 380 V līnijas spriegumu), redzams, ka patērētāja fāze atrodas tieši tādos pat apstākĜos: fāzes spriegums abos gadījumos ir 220 V, bet fāzes strāva ir 11 ampēru! Acīmredzot, katras fāzes patērētā jauda šeit būs tāda pati kā iepriekšējā piemērā. Pārliecināsimies par to, lietojot trīsfāžu simetriska patērētāja jaudas formulu:

P = 3 U l I l cos ϕ = 3 ⋅ 220 ⋅ 19 ⋅ 0,866 = 6270 W . Trīsfāžu maiĦstrāvas patērētājiem ir raksturīgi, ka tie paredzēti normālai darbībai ar divām dažādām tīkla sprieguma vērtībām. Piemēram, trīsfāžu asinhronā dzinēja pases datos norādītas divas dažādas līnijas sprieguma vērtības, piemēram, 220/380 V un tiem atbilstošie slēguma veidi: ∆/Y (trīsstūris/zvaigzne). Tas norāda, ka patērētāja fāzes savieno trīsstūrī, ja līnijas spriegums tīklā ir 220 V vai zvaigznē, ja līnijas spriegums ir 380 V. Kā redzējām apskatītajos piemēros, patērētāja fāzes abos gadījumos atrodas vienādos apstākĜos, piemēram, fāžu strāvas abos režīmos ir vienādas (11 A). Atkarībā no tīkla sprieguma atšėirsies līnijas strāvas. Patērētāja pases datos uzrādītas līnijas strāvas, mūsu piemēros tas būtu šādi: 19/11 A. Tas rāda, ka trīsstūra slēgumā ar 1,73 reizes zemāku līnijas spriegumu līnijas strāva ir 1,73 reizes lielāka. Trīsfāžu patērētāja pasē uzrāda arī nominālo aktīvo jaudu P - tās vērtība attiecas uz darbu pareizā slēgumā ar jebkuru no abām sprieguma vērtībām..

Zvaigznē slēgta nesimetriska patērētāja aprēėina piemēri Aprēėinot zvaigznē slēgta nesimetriska trīsfāžu patērētāja režīmus, abi iespējamie gadījumi - ar neitrāles vadu un bez tā - ir ar atšėirīgām grūtības pakāpēm. Atcerēsimies, ka jebkurā gadījumā darbību secība ir viena un tā pati: patērētāja topogrāfiskā diagramma - fāžu spriegumi tajā - fāžu strāvas pārējās strāvas. Realizējot šo plānu, patērētāja fāžu spriegumus ir viegli atrast tikai tad, ja shēmā ir neitrāles vads.Tad četrvadu sistēmā patērētāja topografiskā diagramma ir tāda pati kā trīsfāžu ăeneratoram (5.2.,b att.): visi fāžu spriegumi ir skaitliski vienādi un savstarpēji nobīdīti fāzē par 120o. Trīsvadu sistēmā turpretī patērētāja topografiskajā diagrammā zināmi tikai 3 punkti, bet patērētāja neitrāles nobīde no diagrammas simetrijas centra vēl jāatrod. Tikai pēc tam būs iespējams atrast patērētāja fāžu spriegumus un aprēėināt strāvas. Neitrāles nobīdes atrašana ir pietiekami sarežăīts uzdevums, tādēĜ šim nolūkam lieto tikai simbolisko metodi.


5. nodaĜa

82

5.4. piemērs. 5.16. att. parādīts zvaigznē slēgts nesimetrisks patērētājs, kas enerăiju saĦem no trīsfāžu avota pa četrvadu līniju (līnijas vadi A, B un C; neitrāles vads N). Dots līnijas spriegums U = 220 V. Patērētāja A-fāzē paralēli savienotas aktīvā un induktīvā pretestība: R1 = 2 Ω, XL = 5 Ω. B-fāzē virknē slēgtas aktīvā un kapacitīvā pretestība: R2 = 5 Ω, XC1 = 2 Ω. C-fāzē ir kondensators ar kapacitīvo pretestību XC1 = 3 Ω. Aprēėināsim visas strāvas shēmā, kā arī patērēto aktīvo jaudu.

5.16. att. Nesimetrisks patērētājs četrvadu sistēmā. Atrisinājums. Uzdevumu risināsim ar vektoru diagrammu metodi. 1. Patērētāja topogrāfiskā diagramma ir tāda pati (5.2.,c att.) kā ăeneratoram, jo pārvades līnijai ir 4 vadi, kas patērētājam piegādā visu ăeneratora punktu A, B, C un N potenciālus. Tas nozīmē, ka patērētāja neitrāles n potenciāls sakrīt ar ăeneratora neitrāles N potenciālu . 2. Patērētāja topogrāfiskajā diagrammā parādām patērētāja fāžu spriegumus. 5.17. att. redzams, ka šeit arī visu patērētāja A fāžu spriegumi (UAn, UBn, UCn) ir tādi paši kā ăeneratora fāžu spriegumi: UAn

Uf =

UCn

N,n

C

UBn B

5.17. att. Patērētāja topogrāfiskā diagramma ar fāžu spriegumiem.

Ul 3

220

≈ 127 V .

3

Tagad visu fāžu spriegumi ir zināmi, tāpēc nākošajā risinājuma posmā varēsim risināt trīs atsevišėus vienfāzes maiĦstrāvas uzdevumus. Trīsfāžu specifika no jauna parādīsies tikai aprēėina nobeigumā - aprēėinot strāvu neitrāles vadā. 3. Atrodam fāžu strāvas un to nobīdes leĦėus attiecībā pret saviem spriegumiem. a) A-fāzē ir 2 paralēli zari. Ja spriegums uz paralēliem zariem zināms, tad vienmēr aprēėina atsevišėo zaru strāvas, lai pēc tam tās (korekti!) saskaitītu. Tātad zaru strāvu vērtības:

I A1 = I A2 =

5.18.att.

=

Uf XL Uf R1

=

127 = 25,4 A , 5

=

127 = 63,5 A . 2

Ar strāvu (sinusoīdu!) saskaitīšanu jābūt uzmanīgiem. Pareizas formulas (strāvas vērtībai un fāžu nobīdei) var iegūt tikai no vektoru diagrammas. Formulas izveidošanai zīmē atsevišėu diagrammu A-fāzei, atliekot tajā fāzes sprieguma vektoru un attiecībā pret to - zaru strāvas vektorus (5.18. att.). A-fāzes strāvas vektors ir abu zaru strāvu vektoru summa, bet formula būs atkarīga no vektoru virziena. Šajā gadījumā (bet ne vienmēr!) vektori veido taisnu leĦėi, tāpēc formula būs sekojoša:

I A = I A1 2 + I A2 2 = 25,4 2 + 63,5 2 = 68,4 A . Vai formula būtu tāda pati, ja šīs fāzes abos zaros būtu induktīva un kapacitīva pretestība? Ja ne, tad kāda tā būs?


Trīsfāžu ėēdes

83 b) B-fāzē elementi slēgti virknē. Šādā gadījumā slēguma pilno pretestību atrod no pretestību trīsstūra (5.19. att.):

ZB =

R2 2 + X C1 2 = 5 2 + 2 2 = 5,4 Ω .

Pretestību trīsstūrī leĦėis ϕB ir negatīvs, jo reaktīvā pretestība ir kapacitīva. Šī leĦėa skaitlisko vērtību arī atrod no šī pretestību trīsstūra:

|ϕ B | = arctg 5.19.att.

X C1 2 = arctg = 22 o . 5 R2

B-fāzes strāvas efektīvā vērtība:

IB =

Uf ZB

=

127 = 23,6 A . 5,4

c) C-fāzē ieslēgts kondensators, tāpēc šīs fāzes strāva apsteidz šīs fāzes spriegumu par 90o. Strāvas vērtība:

IC =

Uf X C2

=

127 = 42,3 A . 3

Papildinām vektoru diagrammu ar aprēėināto fāžu strāvu vektoriem (5.20. att.), ievērojot, kā katrs no tiem nobīdīts fāzē pret savas fāzes spriegumu. Tā kā diagrammu lietosim vektoru saskaitīšanai, tad strāvas vektorus atliekam mērogā. 4. Strāvu neitrāles vadā atrod, izmantojot strāvu vienādojumu mezglam n (5.3):

5.20. att.

I N = I A + I B + IC . Vienādojumā, protams, nedrīkst ievietot skaitĜus, jo jāsaskaita taču trīs strāvu sinusoīdas, un to realizē, summējot vektorus. Ja diagramma uzzīmēta mērogā, tad neitrāles strāvu aptuveni var noteikt, izmērot vektora IN garumu, kam atbilst IN efektīvā vērtība 74 ampēri.

Arī ja vektoru diagramma uzzīmēta aptuveni, var iegūt precīzu neitrāles vada strāvas vērtību analītiski. Var izmantot sekojošu ideju. Visu strāvu vektoru virzieni ir zināmi precīzi, jo zināmi fāžu spriegumu virzieni un visi fāžu nobīdes leĦėi. Izvēlamies diagrammā koordinātu asis - divus savstarpēji perpendikulārus virzienus. Atrodam visu 3 fāžu strāvu vektoru projekcijas uz vienas no šīm asīm. Saskaitot (algebriski) šīs projekcijas, iegūstam strāvas IN vektora vienu projekciju. Līdzīgi atrod arī tā otru projekciju. Abas šīs projekcijas atbilst taisnleĦėa trīsstūra katetēm, tāpēc strāvu IN atrod kā šī trīsstūra hipotenūzu. 5. Patērēto aktīvo jaudu atradīsim kā visu 3 fāžu aktīvo jaudu summu. Protams, nevietā būtu lietot simetriska patērētāja aktīvās jaudas formulu (kāpēc ne, un kāpēc vispār to neizdotos pielietot?). Sekojošā aprēėinā parādīts, ka aktīvo jaudu (to patērē tikai rezistīvie elementi) var aprēėināt arī kā rezistīvā elementa strāvas un sprieguma (ja tas zināms) reizinājumu vai strāvas kvadrāta reizinājumu ar aktīvo pretestību: PA = U A I A cos ϕ A = U A I A2 = 127 ⋅ 63,5 = 8065 W ,

PB = U B I B cos ϕ B = R2 I B 2 = 127 ⋅ 23,6 ⋅ 0,93 = 5 ⋅ 23,6 2 = 2780 W , PC = U C I C cos ϕ C = 127 ⋅ 42,3 ⋅ 0 = 0 W , P = PA + PB + PC = 8065 + 2780 + 0 = 10845 W . a)

b)

5.21. att. a) zvaigznē slēgts patērētājs trīsvadu sistēmā, b) aizvietošanas shēma ar kompleksām pretestībām.

5.5. piemērs. 5.21. att. parādīts zvaigznē slēgts nesimetrisks patērētājs shēmā bez neitrāles vada. Dots līnijas spriegums


5. nodaĜa

84

U = 220 V. Patērētāja A-fāzē ir virknē slēgtas aktīvā un induktīvā pretestība: R1 = 30 Ω, XL = 40 Ω. B-fāzē ir kondensators ar kapacitīvo pretestību: XC = 100 Ω. C-fāzes aktīvā pretestība R2 = 5 Ω. Aprēėināt visas strāvas shēmā, kā arī patērēto aktīvo jaudu. Uzdevumu risināsim, ievērojot tradicionālo plānu: patērētāja fāzes spriegumi - fāzes strāvas - pārējās strāvas (pēdējo gan šeit nav). Shēma nepieder pie vienkāršākajām, kuras iespējams atrisināt ar vektoru diagrammu metodi, tāpēc jālieto simboliskā metode. Taču arī tad nepieciešams kontrolēt risinājuma gaitu, izmantojot tās zināšanas, kas iegūtas, apgūstot vektoru diagrammu metodi. Atrisinājums. 1. Izveidojam aizvietošanas shēmu, aizstājot katru elementu vai elementu virknes slēgumu ar kompleksu pretestību. Fāžu komplekso pretestību vērtības: Z A = R1 + j X L = 30 + j 40 , Z B = − j X C = − j 100 , Z C = R2 = 50 . 2. Lai pareizi aizstātu ăeneratora EDS ar to kompleksiem, labi jāpārzina ăeneratora topogrāfiskā diagramma (5.2.,b,c att.). Ievērojot, ka ăeneratora EDS ir vienādi ar tā fāžu spriegumiem (5.2.,a att.), varam atrast to skaitlisko vērtību:

E =Uf =

Ul 3

=

220

≈ 127 V .

3

Tāda būs arī moduĜa vērtība visiem EDS kompleksiem. Vēl jāparāda, ka EDS savstarpēji nobīdīti fāzē par 120o. PieĦemot, ka A-fāzes EDS sākuma fāze ir 0: E A = 127 , un, zinot, ka, piemēram B-fāzes EDS atpaliek fāzē par 120o, uzrakstām trigonometriskā formā visus EDS kompleksus, ko pēc tam pārveidojam algebriskā formā:

E B = 127[cos( −120 o ) + j sin( −120 o )] = −63,5 − j 110 , E C = 127(cos 120 o + j sin 120 o ) = −63,5 + j 110 . Attēlojiet šos EDS kā vektorus kompleksu plaknē. Ar ko šī diagramma atšėiras no 5.2.,a att. diagrammas? Vai atšėirība ir principiāla? 3. Tagad aizvietošanas shēmas (5.21.,b) dati sagatavoti. Varam sākt tās aprēėinu. Pirmo aprēėina posmu jau aplūkojām 4. nodaĜā. Aprēėinājām mezglu sprieguma UnN kompleksu:

U nN =

E A Z A + E B ZB + EC ZC 1 Z A +1 Z B +1 Z C

= 43,5 − j 6,42 .

Atliekam arī šo komplekso spriegumu (tas atbilst neitrāles nobīdei) kompleksu plaknē (5.22. att.). Koordinātu sākuma punkts un visu četru vektoru galapunkti (N, A, B, C un n) veido shēmas topogrāfisko diagrammu. 5.22. att. parādīti arī fāžu spriegumu UAn, Ubn un UCn vektori. Izmantosim šo diagrammu, lai kontrolētu sekojošo aprēėinu pareizību. 4. Aprēėinām fāžu spriegumus, izmantojot spriegumu vienādojumu (4.5) un EDS vienādojumu (4.1): U An = U AN + U Nn = E A − U nN = 127 − 43,5 + j 6,43 = 83,5 + j 6,43 ,

U Bn = U BN + U Nn = E B − U nN = −63,5 − j 110 − 43,5 + j 6,43 = −107 − j103,6 , U Cn = U CN + U Nn = E C − U nN = −63,5 + j 110 − 43,5 + j 6,43 = −107 + j116,4 . Uzzīmētā topogrāfiskā diagramma atĜauj pārbaudīt, vai iegūtie rezultāti atbilst spriegumu vektoru virzieniem. 5. Tagad zināmi spriegumi uz visām fāžu pretestībām, un varam aprēėināt fāžu strāvu kompleksus:

IA =

U

An

ZA

=

U 83,5 + j 6,43 − 107 − j 103,6 = 1,10 − j 1,26 , I B = Bn = = 1,04 − j 1,07 , 30 + j 40 ZB − j100 U − 107 + j 116,4 I C = Cn = = −2,14 + j 2,33 . ZC 50

Šo darbību pareizību aprēėina gaitā kontrolē šādi: piemēram, aprēėinot A-fāzes strāvu, sprieguma UAn komplekss jādala ar pretestību (30 + j40). Novērtējam, ka šīs pretestības leĦėa arguments varētu būt apmēram 55o. Dalīt ar šādu kompleksu nozīmē pagriezt A-fāzes sprieguma vektoru par šādu leĦėi negatīvā virzienā. Pārbaudīsim: vektora UAn virziens ir daži grādi pozitīvā virzienā, dalot iegūstam strāvas IA kompleksu (1,10 - j 1,26) - tas atbilst virzienam aptuveni (-50o). Tātad acīmredzamas kĜūdas nav. Aprēėinām komplekso strāvu moduĜus - tie ir attiecīgo fāžu strāvu efektīvās vērtības:

I A = Re 2 ( I A ) + Im 2 ( I A ) = 110 , 2 + 1,26 2 = 1,68 A, līdzīgi atrodam arī I B = 1,49 A,

I C = 3,16 A.


Trīsfāžu ėēdes

85

Kā pārbauda rezultātu pareizību: vai mezglā n komplekso strāvu summai, vai varbūt to efektīvo vērtību summai jābūt vienādai ar nulli? Vai varbūt abām? Pārbaudiet to. .

+j

C

UCn EC N

UnN n

A

EA

+

UAn

EB UBn B 5.22. att. EDS, neitrāles nobīde un fāžu spriegumi kompleksu plaknē. 6. Aprēėinām patērētāja katras fāzes un kopējo patērēto jaudu.

SA =U

An

I *A = (83,5 + j 6,43)(110 , + j1,26) = 84,1 + j 112,2 ,

S B = U Bn I *B = ( −107 − j 103,6)(1,04 + j1,07) = − j 221,8 , S C = U Cn I *C = ( −107 + j 116,4)( −2,14 + j 2,33) = 500,2 , S = S A + S B + S C = 84,1 + j 112,2 − j 221,8 + 500,2 = 584,3 − j 109,6 . Aktīvā jauda P ir kompleksās jaudas reālā daĜa. Iegūtie rezultāti nozīmē, ka patērētāja A-fāzes patērētā aktīvā jauda PA = 84,1 W, B-fāzē aktīvās jaudas patērētāju nav (PB = 0), bet C-fāze patērē jaudu PC = 500,2 W. Kopējā patērētā aktīvā jauda ir 584,3 W. Rezultātu pareizību visvienkāršāk pārbaudīt šādi. Aktīvo jaudu patērē tikai rezistīvie elementi. Katram no tiem aktīvo jaudu var atrast sareizinot tā pretestību ar strāvas efektīvās vērtības kvadrātu.

Trīsstūrī slēgta nesimetriska patērētāja aprēėina piemēri Trīsstūra slēgums spriegumu ziĦā ir vienkāršāks nekā zvaigznes slēgums: patērētājam ir nevis 4, bet tikai 3 punkti. Tāpēc shēmā ir nevis 6, bet tikai 3 spriegumi: katrai patērētāja fāzei tieši pieslēgts viens no līnijas spriegumiem. Tā kā visi spriegumi ir zināmi, uzdevumu iespējams risināt ar vektoru diagrammu metodi. Risinājuma plāns, kā parasti: patērētāja fāžu spriegumi - fāžu strāvas - pārējās strāvas (šeit tās ir 3 līnijas strāvas). 5.6. piemērs. Nesimetrisks trīsfāžu patērētājs (5.23. att.) pieslēgts trīsfāžu līnijai ar līnijas spriegumu U = 220 V. Patērētāja ABfāzē ir rezistora un kondensatora virknes slēgums: R1 = 4 Ω, XC = 3 Ω. BC-fāzē ir tikai induktīvā pretestība: XL1 = 5 Ω, CA-fāzē ir paralēlslēgums: R2 = 3 Ω, XL2 = 3 Ω. Aprēėināt fāžu un līniju strāvas, kā arī katras fāzes un kopējo patērēto aktīvo jaudu. 5.23.att. Atrisinājums. 1. Patērētāja topogrāfiskajā diagrammā (5.24.,a att.) visi punkti (A, B un C) sakrīt ar trīsfāžu ăeneratora topogrāfiskās diagrammas (5.2.,c att.) attiecīgajiem punktiem. Diagrammā parādīti patērētāja fāžu spriegumi (UAB, UBC, UCA). Katra fāze saĦem attiecīgo līnijas spriegumu:


5. nodaĜa

86

U f = U l = 220 V . 2. Aprēėinām fāžu strāvu efektīvās vērtības un atrodam visas fāžu nobīdes: a) AB-fāzes pilno pretestību un fāžu nobīdi atrodam no pretestību trīsstūra:

Z AB = R1 2 + X C 2 = 4 2 + 32 = 5 Ω ,

|ϕ AB | = arccos

R1 4 = arccos ≈ 37 o . Z AB 5

Tā kā AB-fāzes pretestībai ir aktīvi-kapacitīvs raksturs, tad šī leĦėa vērtībai jābūt negatīvai: ϕAB.=−37°. Tas redzams arī pretestību trīsstūrī, kas līdzīgs 5.19. att. parādītajam. Negatīva ϕ vērtība nozīmē, ka AB-fāzē strāva apsteidz spriegumu par 37°. AB-fāzes strāvas efektīvā vērtība:

I AB =

Uf Z AB

=

220 = 44 A . 5

b) BC-fāzes strāvas efektīvā vērtība:

I BC =

Uf X L1

=

220 = 44 A . 5

c) CA-fāzē ir divi zari. Aprēėinām strāvas efektīvās vērtības katrā no tiem:

I1 =

Uf X L2

=

220 = 73,3 A , 3

I2 =

Uf R2

=

220 = 73,3 A . 3

Formulu šo strāvu saskaitīšanai var iegūt tikai, uzzīmējot posmam CA vektoru diagrammu. Izdariet to patstāvīgi: sprieguma UCA vektoru var atlikt jebkurā virzienā; strāvas I2 vektors sakrīt ar šo virzienu; strāva I1 zarā ar induktīvu pretestību atpaliek fāzē no sprieguma; saskaitot abus vektorus, iegūstam taisnleĦėa trīsstūri, no kura seko formulas:

I CA = I 1 2 + I 2 2 = 73,32 + 73,32 = 102,8 A ,

| ϕ CA | = arccos

I2 73,3 = arccos ≈ 45o . I CA 102,8

Vektoru diagrammā būtu redzams arī, ka šī leĦėa vērtība ir pozitīva. Tas arī atbilst aktīvi induktīvam pretestības raksturam CA-fāzē. Vēlreiz jāuzsver, ka paralēlslēguma gadījumā formulas vienmēr iegūst no vektoru diagrammas. Piemēram, ja paralēli būtu slēgti induktīvs elements un kondensators, formulas būtu pavisam citādas. Kādas?

a)

b)

c)

A

UCA C

UAB UBC

B

5.24. att.: a) topogrāfiskā diagramma ar fāžu spriegumiem, b) vektoru diagramma (pagaidām bez līnijas strāvām), c) līnijas strāvu vektoru noteikšana. 3. Lai atrastu līnijas strāvas, jāzīmē vektoru diagramma. Vispirms pārvieto fāžu spriegumu vektorus no topogrāfiskās diagrammas uz vektoru diagrammu (5.24.,b att.) - tā, lai tie sāktos vienā punktā (tad ērtāk būs izpildīt vektoru atĦemšanas darbību). Zinot visas fāžu nobīdes, var atlikt fāžu strāvas attiecībā pret fāžu spriegumiem. AB-fāzes pretestību raksturs ir aktīvi kapacitīvs, tāpēc strāva apsteidz spriegumu par 37o. BCfāzē strāva atpaliek no sprieguma par 90o. CA-fāzē pretestībām ir aktīvi induktīvs raksturs, tāpēc strāva no sprieguma par 45o atpaliek. Vienādojumus līnijas strāvu vektoru atrašanai uzraksta, izmantojot pirmā Kirhofa likuma izteiksmes mezgliem A, B un C (5.4):

I A = I AB − I CA , I B = I BC − I AB , I C = I CA − I BC . 5.24.,c att. atsevišėi parādīti fāžu strāvu vektori, kas Ħemti no 5.24.,b att. Tagad redzams, ka vektoru atĦemšana ir visai vienkārša, ja visi fāžu strāvu vektori sākas vienā punktā - tad atliek tikai savienot to galapunktus. Pārbaudiet patstāvīgi līniju strāvu vektoru virzienus! Ja strāvu vektori zīmēti, ievērojot izvēlētu mērogu, un sevišėa aprēėina precizitāte nav nepieciešama, tad līnijas strāvu vērtības atrod, izmērot to vektoru garumu. Rūpīgāk izpildot augstāk minētās darbības, no 5.24.,c att. diagrammas iegūtu aptuvenus rezultātus:


Trīsfāžu ėēdes

87

I A ≈ 74 A, I B ≈ 74 A, I C ≈ 103 A . Starp citu, arī vektoru diagrammu metodes ietvaros iespējams rezultātu precizitāti paaugstināt. Tā kā fāžu strāvu vērtības un virzieni 5.24.,c att. ir pilnīgi noteikti, tad nebūtu sarežăīti izveidot arī formulas līnijas strāvu aprēėināšanai. Pamēăiniet patstāvīgi izveidot formulu, lai aprēėinātu, piemēram, fāžu strāvu IAB un ICA vektoru starpības moduĜa vērtību, t.i., līnijas strāvas IA efektīvo vērtību. 4. Aktīvo jaudu patērē rezistors R1 un rezistors R2.Aktīvās jaudas aprēėina šādi:

4 = 4 ⋅ 44 2 = 7744 W , 5 73,3 = U CA I CA cos ϕ CA = R2 I 2 2 = 220 ⋅ 102,8 ⋅ = 3 ⋅ 73,32 = 16126 W , 102,8 P = PAB + PCA = 7744 + 16126 = 23870 W .

PAB = U AB I AB cos ϕ AB = R1 I AB 2 = 220 ⋅ 44 ⋅ PCA

5.7. piemērs. Aprēėināsim iepriekšējā piemēra shēmu (5.23. att) ar simbolisko metodi. 1. Pierakstām dotos spriegumus kompleksā formā. Lai to izdarītu pareizi, jāzina sprieguma vektoru novietojums diagrammā. 5.24.,a att. redzams, ka spriegumu UAB , UBC un UCA vektoru sākuma fāzes ir attiecīgi 150°, 0° un 150°. Visu šo spriegumu vērtības ir 220 V, tāpēc: U AB = 220(cos 150°+ j sin 150° ) = −110 + j 190,5 ; U BC = 220,

U CA = 220 [cos( −150° ) + j sin( −150° )] = −110 − j 190,5. 2. Šie spriegumi pielikti četriem zariem, kuru kompleksās pretestības ir šādas: Z AB = 4 − j 3, Z BC = j5, Z 1 = j3 ,

Z 2 = 3.

3. Aprēėinām strāvas šajos zaros. Divas no tām ir fāžu strāvas: I AB = U AB Z AB = ( −110 + j190,5 ) ( 4 − j 3 ) = −40,5 + j17 ,3 ,

I BC = U BC Z BC = 220 j5 ) = − j 44 . Pārejam no kompleksiem uz strāvu efektīvajām vērtībām:

I AB = Re 2 ( I AB ) + Im 2 ( I AB ) = 40,52 + 17 ,3 2 = 44 ( A ),

I BC = 44 ( A ).

CA-fāzē var atrast abu zaru strāvu kompleksus:

I 1 = U CA Z 1 = ( −110 − j190,5 ) j 3 = −63,5 + j 36,7 , I 2 = U CA Z 2 = ( −110 − j190,5 ) 3 = −36,7 − j 63,5 . CA-fāzes strāvu atrodam pēc strāvu vienādojuma (4.6) mezglam C:

I CA = I 1 + I 2 = −63,5 + j 36,7 − 36,7 − 63,5 = −100,2 − j 26,8 . Efektīvā vērtība:

I CA = Re 2 ( I CA ) + Im 2 ( I CA ) = 100,2 2 + 26,8 2 = 103,7 ( A ) . 4. Līnijas strāvas, vispirms kompleksā formā:

I A = I AB − I CA = −40,5 + j17 ,3 − ( −100,2 − j 26,8 ) = 59 ,7 + j 44 ,1, I B = I BC − I AB = − j 44 − ( 40,5 − j17 ,3 ) = 40,5 − j 61,3, I C = I CA − I BC = −100,2 − j 26,8 − ( − j 44 ) = −100,2 + j17 ,2 . Pēc tam atrodam efektīvās vērtības:

I A = Re 2 ( I A ) + Im 2 ( I A ) = 59 ,7 2 + 44 ,12 = 74 ,2 ( A ) , I B = Re 2 ( I B ) + Im 2 ( I B ) = 40,5 2 + 61,32 = 73,4 ( A ) , I C = Re 2 ( I C ) + Im 2 ( I C ) = 100,2 2 + 17 ,2 2 = 101,6 ( A ) . Šie rezultāti ir precīzāki, salīdzinot ar tiem, ko būtu iespējams iegūt ar vektoru diagrammu metodi.


6. NODAěA

PĀREJAS PROCESI LĪDZSTRĀVAS ĖĒDĒS Iepriekšējās nodaĜās aplūkojām tikai stacionārus režīmus, kad strāvas un spriegumi vai nu vispār nemainās (līdzstrāvas ėēdēs), vai arī mainās periodiski pēc .vienas un tās pašas likumsakarības (maiĦstrāvas ėēdēs). Noskaidrojām arī, kādas metodes lieto, lai stacionārus režīmus aprēėinātu, izvairoties no diferenciālvienādojumu risināšanas. Pārejas procesi rodas, elektriskai ėēdei pārejot no viena stacionāra režīma otrā. Šāda pāreja notiek, piemēram, ja ėēdi pieslēdz sprieguma avotam vai atslēdz no tā. Pārejas process notiek arī, pieslēdzot vai atslēdzot atsevišėas ėēdes daĜas, kā rezultātā izmainās shēmas parametri. Tāpēc shēmās, kurās aplūko pārejas procesus, parasti ir sastopams slēdzis. Darbību ar slēdzi (noslēgšanu vai atslēgšanu) pieĦemts saukt par komutāciju. Ja ėēdē ir tikai rezistīvi elementi, tad visas strāvas (spriegumi) jaunās stacionārās vērtības sasniedz uzreiz – pakāpeniska pārejas procesa praktiski nav. Turpretī, ja ėēdē ir kaut viens no enerăijas uzkrājējiem - spole vai kondensators - tad pāreja uz jauno stacionāro režīmu prasa zināmu laiku (piemēram, dažas sekundes desmitdaĜas vai simtdaĜas), jo spoles magnētiskajā laukā vai. kondensatora elektriskajā laukā uzkrātā enerăija nevar izmainīties momentā, lēcienveidīgi. Kā zināms, induktīvā (vai kapacitīvā) elementa elektromagnētiskajā laukā uzkrātā enerăija ir proporcionāla spoles strāvas (vai kondensatora sprieguma) kvadrātam: un minētie divi lielumi - induktīvā elementa strāva un spriegums uz kapacitīvā elementa nekad, arī pārejas procesa sākumā, nevar mainīties lēcienveidīgi. Visi pārējie spriegumi un strāvas (tai skaitā visu rezistīvo elementu spriegumi un strāvas, spriegumi uz visiem induktīvajiem elementiem un visu kapacitīvo elementu strāvas) principā var mainīties lēcienveidīgi. Piemēram, pirmajā brīdī pēc komutācijas shēmā var rasties pārspriegumi - tādas sprieguma vērtības uz atsevišėiem elementiem, kas ievērojami pārsniedz avota spriegumu.

Stacionāros režīmos elektrisko lielumu mērīšanai izmanto ampērmetrus, voltmetrus un vatmetrus tie uzrāda konstantās vai attiecīgās vidējās (vai vidējās kvadrātiskās) vērtības. Pārejas procesā strāvas un spriegumi nav nedz konstanti, nedz arī periodiskas laika funkcijas. Pārejas procesa novērošanai minētie mēraparāti nav piemēroti, tāpēc šim nolūkam izveido iekārtu pārejas procesa periodiskai atkārtošanai, un strāvu un spriegumu izmaiĦas līknes novēro osciloskopa ekrānā. Šajā nodaĜā iztirzāsim pārejas procesu analīzes un aprēėina metodiku. Galveno uzmanību veltīsim līdzstrāvas ėēdēm ar vienu enerăijas uzkrājēju (spoli vai kondensatoru). Šādas shēmas (RL- vai RC ėēdes) apraksta pirmās kārtas diferenciālvienādojumi. Atrisinājumos sastopamas eksponenciālas laika funkcijas. Nedaudz pievērsīsimies arī līdzstrāvas ėēdēm ar diviem enerăijas uzkrājējiem (RLC ėēdēm). Tās apraksta otrās kārtas diferenciālvienādojumi, un zināmos apstākĜos atrisinājumos var parādīties rimstošas sinusoidālas svārstības.

Pamatjēdzieni un pieĦemtie apzīmējumi Jebkura pārejas procesa analīze nav iedomājama bez laika diagrammas, kurā parāda shēmas spriegumu un strāvu abas stacionārās vērtības, lēcienveida izmaiĦas (ja tādas ir) pārejas procesa sākumā un pakāpeniskās izmaiĦas pārejas procesa laikā.

i i(0)

I(-0) Pirmskomutācijas stacionārais režīms Pirmskomutācijas shēma

i(t) Pārejas process

Iuz Uzspiestais režīms

Pēckomutācijas shēma

6.1.att. Pārejas procesa laika diagrammas piemērs.

t

2 shēmas atkarībā no slēdža stāvokĜa: • pirmskomutācijas shēma, • pēckomutācijas shēma. 3 režīmi: • pirmskomutācijas stacionārais režīms, • pārejas process, • uzspiestais režīms pēc pārejas procesa. 3 raksturīgās vērtības un to apzīmējumi: • pirmskomutācijas vērtība: I(-0) - īsi pirms komutācijas, • sākuma vērtība: i(0) - uzreiz pēc komutācijas, • uzspiestā vērtība: Iuz - pēc pārejas procesa.

Pārejas procesi līdzstrāvas ėēdēs

89 Pārejas procesu pamatjēdzienus paskaidrosim, izmantojot 6.1. attēlā parādīto kādas strāvas izmaiĦas laika diagrammu i(t) kādā līdzstrāvas ėēdē notiekošā pārejas procesā. Pārejas process sākas komutācijas brīdī: pieĦem, ka komutācija notiek momentā t = 0. Līdzstrāvas ėēdēs abas stacionārās vērtības apzīmē kā parasti: ar lielajiem burtiem. Zīmējot laika diagrammu kādam spriegumam, piemēram, u1(t), apzīmējumi tā pirmskomutācijas vērtībai, pārejas procesa sākuma vērtībai un beigu vērtībai būs attiecīgi: U1(−0), u1(0) un U1uz. 6.1. attēls rāda, ka laika momentā t=0 pirmskomutācijas shēmu nomaina cita (pēckomutācijas) shēma ar citiem parametriem. Stacionāro režīmu pēckomutācijas shēmā īsāk sauc par uzspiesto režīmu. Lai atrastu strāvu un spriegumu stacionārās vērtības (pirmskomutācijas un uzspiesto), jāaprēėina katra no minētajām shēmām kā līdzstrāvas ėēde. Kā to izdarīt (arī līdzstrāvas ėēdēs ar elementiem L un C), aplūkojām 2. nodaĜā. Šajā nodaĜā iemācīsimies aprēėināt mainīgās strāvu un spriegumu vērtības pārejas procesa laikā, noteikt iespējamās lēcienveida izmaiĦas komutācijas brīdī un uzzīmēt pārejas procesa laika diagrammu.

Pārejas procesu analīze RL- un RC-ėēdēs Pārejas procesa diferenciālvienādojums un tā atrisinājums Vispirms noskaidrosim, kas ir kopējs visiem pārejas procesus līdzstrāvas ėēdēs ar vienu enerăijas uzkrājēju (L vai C). Tad iegūtie secinājumi atvieglos jebkuras RL- vai RC-ėēdes analīzi un aprēėinu neatkarīgi no shēmas konfigurācijas. Spriegumu vai strāvu - apzīmēsim to ar y(t) - pārejas procesā šādās ėēdēs apraksta 1. kārtas nehomogēns (labā puse atšėiras no nulles) diferenciālvienādojums ar konstantiem koeficientiem: (6.2) Aplūkosim šī vienādojuma atrisinājuma y(t) grafiku. PieĦemsim, ka iepriekš aprēėinātas divas tā vērtības: sākuma vērtība y(0) un uzspiestā vērtība Yuz.

6.2.att. laika diagramma ilustrē vienu no pārejas procesa parametriem - laika konstanti τ. Laika konstantes vērtību grafiski nosaka, kā parādīts attēlā: velkot pieskari funkcijas grafikam punktā, kas atbilst sākuma vērtībai y(0). 6.2.att. Pārejas procesa laika konstante.

Laika konstante τ rāda, cik ilgā laikā funkcija y(t) sasniegtu beigu vērtību Yuz, mainoties ar sākotnējo izmaiĦas ātrumu (momentā t=0), kad atvasinājuma vērtība ir:

Var parādīt, ka vienādojumu (6.2) var pārveidot tā, lai tajā būtu redzama laika konstante τ: (6.2a) Izvedumā izmanto to, ka 1) pēc pārejas procesa (t = ∞) dy/dt = 0 un y = Yuz, 2) pārejas procesa sākumā (t = 0) funkcijas izmaiĦas ātrums ir dy/dt = [Yuz – y(0)]/τ un funkcijas vērtība ir y = y(0). No matemātikas kursa zināms, ka šāda pirmās kārtas nehomogēna diferenciālvienādojuma ar konstantiem koeficientiem atrisinājumu meklē formā: (6.3) No matemātikas viedokĜa pirmais saskaitāmais ir homogēnā diferenciālvienādojuma vispārīgais atrisinājums. Tas satur pagaidām nezināmu integrācijas konstanti A un eksponenti, kuras pakāpes rādītājā koeficients p ir diferenciālvienādojuma raksturīgā vienādojuma sakne. Otrs saskaitāmais ir attiecīgā nehomogēnā vienādojuma partikulārais atrisinājums. Raksturīgo vienādojumu iegūst no diferenciālvienādojuma, pirmo atvasinājumu aizstājot ar p, bet nezināmo y aizstājot ar 1. Lūk, šī diferenciālvienādojuma raksturīgais vienādojums un tā sakne p:


6. nodaĜa

90

(6.4) Tagad, kad raksturīgā vienādojuma sakne p ir zināma, diferenciālvienādojuma atrisinājuma izteiksmi var nedaudz pārveidot, iesaistot tajā laika konstanti τ: (6.3.a) Pārejas procesu terminoloăijā atrisinājuma (6.3.a) pirmo saskaitāmo pieĦemts saukt par brīvo komponenti, bet otro - par uzspiesto komponenti: pēdējā ir tā pati uzspiestā vērtība. Ievērosim, ka brīvā komponente - atrisinājuma mainīgā daĜa - ir dilstoša eksponenciāla funkcija, jo tās pakāpes rādītājs ir negatīvs. Brīvā komponente A e–t/τ laika momentos t = τ, 2τ, 3τ, 4τ, 5τ ir attiecīgi 0,368; 0,135; 0,050; 0,018 un 0,007 no tās sākuma vērtības A. Citiem vārdiem, līdz norādītajiem laika momentiem notiek attiecīgi 63,2%, 87,5%, 95%, 98,2%, 99,3% izmaiĦu. Tāpēc ar precizitāti līdz 2% var vērtēt, ka pārejas procesa ilgums ir aptuveni 4τ. Integrācijas konstanti A noteikšanai uzraksta izteiksmi (6.3a) laika momentam t=0: no kurienes izriet: (6.5) Iegūtās sakarības turpmāk izmantosim pārejas procesu analīzei un aprēėiniem līdzstrāvas ėēdēs ar vienu enerăijas uzkrājēju (L vai C). • Ikvienam spriegumam vai strāvai var uzrakstīt aprēėināmu pārejas procesa izteiksmi (6.3a) ar (6.5), ja ir zināma sākuma vērtība un uzspiestā vērtība. • Iegūtie secinājumi atĜaus veikt aprēėinus, izvairoties no diferenciālvienādojumu lietošanas. Diferenciālvienādojumu lietosim, tikai lai novērtētu laika konstanti τ, salīdzinot vienādojumu ar izteiksmi (6.2a). Vienkāršāku laika konstantes noteikšanas paĦēmienu apskatīsim vēlāk.

Komutācijas likumi Kā zināms, divi elektriski lielumi - strāva induktīvā elementā un spriegums uz kapacitīvā elementa nekad nevar mainīties ar lēcienu. Piemērojot to komutācijas momentam t = 0, var formulēt divus komutācijas likumus. 1. Strāva induktīvajā elementā (vai spolē) komutācijas momentā saglabā savu pirmskomutācijas vērtību. Šīs strāvas izmaiĦa pārejas procesā sākas tieši ar šo vērtību. (6.6a)

2. Spriegums uz kapacitīvā elementa (vai kondensatora) komutācijas momentā saglabā savu pirmskomutācijas vērtību. Šī sprieguma izmaiĦa pārejas procesā sākas tieši ar šo vērtību. (6.6b) Te jāuzsver, ka komutācijas likumi neattiecas uz citiem lielumiem, piemēram, uz kondensatora strāvu vai spriegumu uz spoles utt. Šos lielumus, tāpat arī rezistīvu elementu spriegumu un strāvas var noteikt aprēėina ceĜā, vispirms izmantojot induktīva elementa strāvas vai kapacitīva elementa sprieguma vērtību. Komutācijas likumiem ir svarīga loma pārejas procesu aprēėinos: tie dod vienīgo iespēju noteikt nepieciešamo viena lieluma sākuma vērtību pārejas procesa shēmā.

Pārejas procesa aprēėina plāns Aplūkojam pārejas procesu līdzstrāvas ėēdē ar vienu enerăijas uzkrājēju (L vai C). Uzskatām, ka dots avota spriegums un shēmas parametri. Shēmā jābūt slēdzim un norādei, kāda konkrēti ir komutācija: vai slēdzi pārejas procesa sākumā noslēdz vai atslēdz. PieĦemsim, ka jāaprēėina kāda viena sprieguma vai strāvas laika diagramma y(t) pārejas procesā. Izmantojamās formulas sakopotas 6.1.tabulā. Vispārēji apzīmējumi y(t), y(0), Y(-0), Yuz šeit izvēlēti, lai tos varētu nomainīt ar konkrētu uzdevumā aprēėināmu strāvu vai spriegumu apzīmējumiem, piemēram, i3(t), i3(0), I3(-0), I3uz,utt).

6.1. tabula. Pārejas procesu aprēėinos lietojamās formulas.



91

Vienādojumi

Pārejas procesā

Stacionāros režīmos


u=Ri u = L di/dt i = C du/dt

U=RI U=0 I=0

(1.2), (2.2) (1.3), (2.3) (1.4), (2.4)


u13= u12 + u23

U13=U12 + U23

(1.5), (2.5)

S∑±i=0

∑±I=0

(1.6), (2.6)

Risinājuma plāns. • Uzzīmē aizvietošanas shēmu pirmskomutācijas stacionārajam režīmam: saskaĦā ar (2.3) induktīvo elementu aizstāj ar savienotājvadu (U=0), vai saskaĦā ar (2.4) kapacitīvo elementu aizstāj ar pārtraukumu (I=0). Izmantojot vienādojumus (2.2), (2.5) un (2.6), aprēėina meklējamā sprieguma vai strāvas pirmskomutācijas vērtību Y(-0). Sameklē shēmā lielumu, uz kuru var attiecināt komutācijas likumu (KL) - strāvu spolē vai kondensatora spriegumu. Jāaprēėina arī šī lieluma pirmskomutācijas vērtība YKL(-0). • Uzzīmē aizvietošanas shēmu uzspiestajam režīmam - pēc pārejas procesa. Arī te induktīvo elementu L aizstāj ar vadu, kapacitīvo elementu C aizstāj ar pārtraukumu. Izmantojot vienādojumus (2.2), (2.5) un (2.6), aprēėina meklējamā sprieguma vai strāvas uzspiesto vērtību Yuz. • Uzzīmē pilnu pēckomutācijas shēmu, lai atrastu meklējamā sprieguma vai strāvas sākuma vērtību y(0). Šėiet, ka aprēėinam trūkst datu - no vienādojumiem (1.3) vai (1.4) nav jēgas, jo atvasinājumu vērtības nav zināmas. Situāciju glābj tas, ka shēmā viena vērtība ir zināma: saskaĦā ar komutācijas likumu yKL(0) = YKL(-0). Lūk, tāpēc pirmskomutācijas shēmā šī vērtība bija jāaprēėina. Izmantojot vienādojumus (1.2), (1.5) un (1.6), aprēėina meklējamā sprieguma vai strāvas sākuma vērtību y(0). • Tagad, kad meklējamā lieluma sākuma vērtība un uzspiestās vērtības zināmas, izmantojot (6.3a) un (6.5), varam uzrakstīt meklējamā sprieguma vai strāvas izteiksmi:

• Lai uzzīmētu funkcijas y(t) laika diagrammu, pieĦem t=0, t=τ, t=2τ, t=3τ, t=4τ, aprēėina attiecīgās y vērtības un attēlo grafikā. Tajā parāda arī pirmskomutācijas vērtību Y(-0) un iespējamo lēcienu pārejas procesa sākumā.

Pārejas procesu piemēri RL- un RC-ėēdēs Pārejas process, pieslēdzot līdzspriegumam ėēdi ar induktīvu spoli Aplūkosim pārejas procesu 6.3.,a att. shēmā, kurā ir virknē slēgti elementi R un L, ja to pieslēdz līdzsprieguma avotam ar spriegumu U. a) b) c)

6.3.att. a) pieslēdzamā RL- ėēde, b) uzspiestā režīma shēma, c) pārejas procesa shēma.

Shēmā ir 3 aprēėināmi lielumi: i, uR un uL. Vispirms aprēėināsim to vērtības abos stacionāros režīmos. 1. Pirms komutācijas avots ir atslēgts. Tāpēc visu spriegumu un strāvas pirmskomutācijas vērtības ir vienādas ar nulli:


6. nodaĜa 92 2. Uzspiestajā režīmā (6.3.,b att.) induktīvo elementu aizstāj ar savienotājvadu bez pretestības, tāpēc aprēėinātās uzspiestās vērtības ir šādas:

3. Pārejas process notiek pēckomutācijas shēmā (6.3.,c att.). Aplūkosim šo shēmu pārejas procesa sākuma momentā t=0. SaskaĦā ar komutācijas likumu, strāva spolē (šeit: i) saglabā savu pirmskomutācijas vērtību: Tas atĜauj aprēėināt arī pārējās sākuma vērtības:

4. Nosakām integrācijas konstantes (6.5) strāvas un spriegumu izteiksmēm:

5. Tagad varam uzrakstīt strāvas un spriegumu izteiksmes pārejas procesā (pēc 6.3a):

6. Pārliecināsimies, ka procesu tiešām apraksta 1. kārtas diferenciālvienādojums un atradīsim tajā - skat. izteiksmi (6.2a) - laika konstanti τ. Shēmai, kurā notiek pārejas process (6.3.,c att.), sastādām spriegumu vienādojumu un pēc tam izmantojam rezistīvā un induktīvā elementa vienādojumus: Pēc vienādojuma normalizēšanas: salīdzinām to ar diferenciālvienādojuma formu (6.2a) un atrodam laika konstantes formulu pārejas procesa shēmai (6.3.,c att.): (6.7) τ= L/R. 7. Zīmējam strāvas un spriegumu laika diagrammas. a) b)

6.4. att. Pārejas procesa laika diagrammas: a) strāva, b) spriegumi.

Secinājumi. Pievienojot ėēdi ar RL virknes slēgumu līdzsprieguma avotam: • Strāva i, kas nevar mainīties ar lēcienu, pakāpeniski pieaug, sākot no nulles vērtības. Sākumā strāvas pieauguma ātrums ir vislielākais, bet vēlāk, tuvojoties uzspiestajai vērtībai U/R, tas samazinās. • Pārejas procesa ilgumu raksturo laika konstante τ=L/R: pārejas process notiek lēnāk, ja palielina L vai samazina R. • Ievērojiet! Augošai eksponentei pārejas procesu izteiksmēs raksturīgs reizinātājs ir (1–e-t/τ). Piemēram, skat. strāvas i(t) līkni 6.4.,a attēlā. Dilstošai eksponentei – reizinātājs e-t/τ. Piemēram sprieguma uL(t) grafiks 6.4.,b attēlā. Šīs divas eksponenšu izteiksmes turpmāk būs sastopamas bieži.



93

Kondensatora uzlādes process RC ėēdē Aplūkosim pārejas procesu 6.4,a att. shēmā ar virknē slēgtiem elementiem R un C, ja to pieslēdz līdzsprieguma avotam ar spriegumu U. a)

b)

c)

6.5. att. a) pieslēdzamā RC- ėēde, b) uzspiestā režīma shēma, c) shēma pārejas procesa analīzei.

Kā vienmēr, dota avota sprieguma U vērtība, kā arī ėēdes parametri R un C. Taču uzlādēts kondensators ėēdē ar atslēgtu avotu var ilgstoši saglabāt elektrisko lādiĦu, tātad spriegumu. Tā vērtībai jābūt zināmai. Šeit dots, ka kondensators ir iepriekš izlādēts: UC(-0)=0. Shēmā ir 3 aprēėināmi lielumi: i, uR un uC. Vispirms aprēėināsim to vērtības abos stacionāros režīmos. 1. Pirms komutācijas avots ir atslēgts. Tāpēc arī no 6.5.,a redzams, ka strāva ėēdē neplūst, tāpēc spriegums uz rezistīvā elementa ir 0, bet spriegums uz kondensatora ir dots. Tātad pirmskomutācijas vērtības ir: 2. Uzspiestajā režīmā (6.5.,b att.) kapacitīvo elementu aizstāj ar pārtraukumu, tāpēc uzspiestās vērtības ir šādas: 3. Pārejas process notiek pēckomutācijas shēmā (6.5.,c att.). Aplūkosim šo shēmu pārejas procesa sākuma momentā t=0. SaskaĦā ar komutācijas likumu, spriegums uz kondensatora saglabā savu pirmskomutācijas vērtību: Tas atĜauj aprēėināt arī pārējo lielumu sākuma vērtības: 4. Nosakām integrācijas konstantes (6.5)strāvas un spriegumu izteiksmēm:

5. Uzrakstām strāvas un spriegumu izteiksmes pārejas procesā (pēc 6.4):

6. Pārliecināsimies, ka procesu tiešām apraksta 1. kārtas diferenciālvienādojums un atradīsim tajā - skat. izteiksmi (6.2a) - laika konstanti τ. Shēmai, kurā notiek pārejas process (6.5.,c att.), uzrakstām spriegumu vienādojumu un pēc tam izmantojam rezistīvā un kapacitīvā elementa vienādojumus: Pēc vienādojuma normalizēšanas iegūstam: Salīdzinām to ar diferenciālvienādojuma formu (6.2a) un atrodam formulu laika konstantes noteikšanai: (6.8) 7. Zīmējam strāvas un spriegumu laika diagrammas (6.6. att.)


6. nodaĜa

94

Secinājumi. Pieslēdzot ėēdi ar virknē slēgtiem elementiem R un C līdzsprieguma avotam: • Spriegums uC uz kondensatora pakāpeniski pieaug, sākot no nulles vērtības. Sākumā sprieguma izmaiĦas ātrums ir vislielākais, bet vēlāk, tuvojoties uzspiestajai vērtībai U, spriegums pieaug arvien lēnāk. a)

b)

6.6. att. Pārejas procesa laika diagrammas: a) spriegumi, b) kondensatora uzlādes strāva.

• Pārejas procesa ilgumu raksturo laika konstante τ = RC. Tas nozīmē: palielinot jebkuru no parametriem (R un C), pārejas process noritēs ilgāk. • Kondensatora uzlādes strāva sākumā ir vislielākā, bet pakāpeniski spriegumu starpībai U−uC=uR samazinoties, arī uzlādes strāva pakāpeniski samazinās līdz nullei. • Pārejas procesa sākumā uz rezistīvā elementa veidojas sprieguma impulss: spriegums uR lēcienveidā pieaug līdz sprieguma U vērtībai.

Laika konstantes noteikšana Aplūkojām divus pārejas procesu piemērus. Iepazināmies ar plānu, ko ieteicams lietot RL- un RC shēmu aprēėināšanai. Centrālā ideja, kas jāievēro, aprēėinot jebkuru pārejas procesu, bija šāda. Pārejas procesu iespējams aprēėināt tikai tad, ja shēmā pārejas procesa sākumā (t=0) bez avota sprieguma un shēmas parametriem ir zināma vēl viens lielums - tā vienīgā strāva vai tas vienīgais spriegums, uz kuru attiecas komutācijas likums. Palika neatbildēts jautājums: kā aprēėināt laika konstanti, nesastādot pārejas procesa diferenciālvienādojumu. Apskatītajos piemēros redzējām, ka vienkāršākajās shēmās ar induktivitāti L laika konstantes formula ir τ = L/R (6.7), bet shēmas ar kapacitīvo elementu C: τ = RC (6.8). Arī sarežăītākās shēmās lieto šīs formulas. Laika konstante ir tieši proporcionāla L vai C vērtībai, bet konkrētai shēmai jāaprēėina tās ekvivalentā pretestība R. To nosaka šādi: • Laika konstantes noteikšanai izvēlas, protams, pārejas procesa shēmu (pēc komutācijas). • Sprieguma avotu aizstāj ar savienotājvadu. • Shēmas daĜu, kas pievienota kondensatora C vai induktīvā elementa L izvadiem, uzskata par divpolu un aprēėina tā ekvivalento pretestību. Tā tad arī ir pretestība R, ko ievietot laika konstantes izteiksmē (6.7) vai (6.8). a) b)

6.7. att. a) shēma, kurā paredzams pārejas process, b) ekvivalentās pretestības R noteikšana. 6.1. piemērs. 6.7.,a att. shēmā dots: R1=20 Ω, R2=30 Ω, C=10 µF. Noteikt laika konstanti τ. Uzzīmējam pēckomutācijas shēmu, kurā avotu aizstājam ar vadu (6.7.,b att.). Atrodam kondensatoram pievienotā divpola ekvivalento pretestību. Rezistori R1 un R2 ir paralēlslēgumā, un ekvivalentā pretestība ir R= R1R2/( R1+ R2) = 20•30/(20+30)=12 Ω. Atrodam laika konstanti:



95 -6

-6

τ = RC = 12•10•10 = 120•10 s = 0,12 ms.

Kondensatora izlādes process RC ėēdē Shēmā (6.8.,a att.) ar kondensatoru C, kas iepriekš uzlādēts līdz spriegumam U, noslēdz slēdzi. Notiek pārejas process, kurā kondensators pakāpeniski izlādējas. a) b) c)

6.8. att. a) komutējamā ėēde, b) shēma pēc pārejas procesa, c) shēma pārejas procesa laikā.

1. Pirmskomutācijas shēmā ėēde ir pārtraukta, strāva neplūst, un pirmskomutācijas vērtības ir šādas: 2. Pēckomutācijas shēmā (6.8.,b att.) uzspiestās vērtības nosaka tas, ka stacionārā režīmā līdzstrāva caur kondensatoru neplūst. Pierakstām to ar pieĦemtajiem apzīmējumiem: 3. Aplūkojam pēckomutācijas shēmu (6.8.,c att.) pārejas procesa sākumā (t=0), lai noteiktu visu lielumu sākuma vērtības. Shēmu var aprēėināt tikai tāpēc, ka šajā momentā papildus dotajiem parametriem ir zināma arī viena lieluma (šeit tas ir kondensatora spriegums) vērtība - saskaĦā ar komutācijas likumu: Tad pārējos lielumus atrast vienkārši: 4. Nosakām integrācijas konstantes strāvas un spriegumu izteiksmēm (pēc 6.5)

5. Uzrakstām strāvas un spriegumu izteiksmes pārejas procesā (pēc 6.4):

6. Sastādīsim 6.8.,c att. shēmai diferenciālvienādojumu, lai atrastu tajā τ izteiksmi.

Uzmanību! Mīnusa zīme izteiksmē ir tādēĜ, ka shēmā kondensatora sprieguma un strāvas i pieĦemtie pozitīvie virzieni nesakrīt. Atcerēsimies, ka elementu vienādojumi, tajā skaitā (1.4), ir definēti situācijai, kad sprieguma un strāvas virzieni sakrīt.

Izdalot vienādojuma abas puses ar RC, iegūstam diferenciālvienādojumu šādā formā: Salīdzinot ar (6.2a), iegūstam laika konstantes vērtību: 7. Izmantojot iegūtos rezultātus, zīmējam laika diagrammas (6.9. att.). Secinājumi. Uzlādētam kondensatoram pieslēdzot rezistoru: • Spriegums uC uz kondensatora pakāpeniski samazinās līdz nullei - sākumā strauji, pēc tam arvien lēnāk. • Pārejas procesa laika konstante: τ = RC. Palielinot jebkuru no parametriem (R un C), pārejas process norisināsies lēnāk.


6. nodaĜa 96 • Kondensatora izlādes strāva sākumā ir vislielākā, bet spriegumam uC = uR sama-zinoties, arī strāva pakāpeniski samazinās līdz nullei. • Pārejas procesa sākumā spriegums uz rezistīvā elementa uR lēcienveidīgi pieaug, kas nav pretrunā ar komutācijas likumiem. b) a)

6.9. att. Pārejas procesa laika diagrammas: a) spriegumi, b) izlādes strāva.

Līdzstrāvas ėēdes ar induktīvu spoli pārtraukšana Pārtraucot līdzstrāvas ėēdi, kurā ir induktīva spole (6.10.,a att), spolē inducējas pašindukcijas EDS, kas ir proporcionāls strāvas samazināšanās ātrumam. Uz to norāda arī induktīvā elementa vienādojums: Ja ėēdi izdotos pārtraukt momentāni, tad šis EDS vai spriegums uz induktīvā elementa būtu bezgalīgi liels. Taču tas pat teorētiski nav iespējams sekojošas pretrunas dēĜ: saskaĦā ar komutācijas likumu strāvai spolē pirmajā brīdī pēc komutācijas jāsaglabā iepriekšējā vērtība, bet tajā pat laikā shēmā nav noslēgta ceĜa, pa kuru strāva varētu plūst. Tāpēc reālu ėēdi ar induktivitāti atslēgt uzreiz neizdodas, jo ėēdē izveidojies pārspriegums (spriegums, kas ir ievērojami lielāks par tīkla spriegumu) jonizē telpu starp atslēdzamā slēdža poliem, kā rezultātā rodas elektriskais loks, pa kuru tad arī vēl zināmu laiku turpina plūst strāva. Atslēdzot līdzstrāvas ėēdēs ar induktīviem elementiem, ir jārēėinās ar bīstamu pārspriegumu iespēju, kas var bojāt spoles izolāciju. Nevēlama ir arī elektriskā loka izraisīta kontaktu apdegšana. Viena no iespējām samazināt pārspriegumu ir šāda: shēmā izveido ceĜu, pa kuru varētu plūst strāva arī pēc sprieguma atslēgšanas. TādēĜ paralēli spolei (R, L aizvietošanas shēmā 6. 10.,b att.) vienmparedz t.s. izlādes pretestību Ri. a)

b)

c)

R ui Ri

i

usp L

6.10. att. a) nekorekts uzdevums, b) pirmskomutācijas shēma ar izlādes Ri, c) pārejas procesa shēma.

Ievērojiet, ka strāva izlādes pretestībā plūdīs arī ilgstošā darba režīmā . No vienas puses, izlādes pretestības vērtībai jābūt pietiekami lielai, lai samazinātu tajā ilgstoši plūstošās strāvas Ii radītos jaudas zudumus. Novērtēsim, kādas būs sekas, ja izlādes pretestība būs lielāka par spoles aktīvo pretestību R (Ri/R >1). Atradīsim, kā mainās strāva spolē un spriegums uz tās. 1. Pirmskomutācijas vērtības nosaka 6.10.,b att. aizvietošanas shēmā. Spoles induktivitāte tajā aizstāta ar vadu. Spolē plūstošās līdzstrāvas vērtību nosaka tās pretestība R. Spolei tieši pielikts avota spriegums U: 2. Uzspiestā režīma shēmu nezīmējam, jo avots tagad atslēgts, bet atlikušā shēmas daĜā (6.9.,c att.) avotu nav. Visi spriegumi un strāvas vienādi ar nulli:



97

3. Strāva spolē pakĜaujas komutācijas likumam, un pārejas procesa sākumā (t=0, shēma 6.10.,c att.) tā saglabā savu pirmskomutācijas vērtību:

Atrodam sākuma vērtību spriegumam uz spoles:

Tas nozīmē, ka pirmajā brīdī pēc komutācijas uz spoles parādīsies pretēja virziena spriegums. Šī sprieguma vērtība var pat vairākkārt pārsniegt avota sprieguma vērtību. 4. Nosakām integrācijas konstantes:

5. Atrodam pārejas procesa izteiksmes:

6. Iegūtos rezultātus ilustrē sekojošas laika diagrammas: a)

b)

u I(-0)

i Usp(-0)=U

t i(t)

usp(t)

t usp(0) 6.11.att. Pārejas procesa laika diagrammas: a) strāva, b) spriegums uz spoles.

Sastādām diferenciālvienādojumu pārejas procesa shēmai (6.10.,c att.) attiecībā pret strāvu i(t), lai redzētu laika konstanti τ.

Salīdzinot iegūto izteiksmi ar diferenciālvienādojuma formu (6.2a), varam atrast atrodam formulu šī pārejas procesa laika konstantes noteikšanai: Secinājumi. Atslēdzot līdzstrāvas ėēdi ar spoli, kurai paralēli pieslēgta izlādes pretestība Ri: 1. Strāva i eksponenciāli samazinās līdz nullei. 2. Pārejas process būs ilgāks, ja induktivitāte L būs lielāka. Pārejas process noritēs ātrāk, ja pretestību summa R + Ri būs lielāka. 3. Spriegums usp uz spoles (R, L) pirmajā brīdī pēc spoles atslēgšanas ar lēcienu mainās līdz negatīvai vērtībai usp(0). Šis spriegums var pārsniegt tīkla spriegumu U, ja izlādes pretestība Ri pārsniegs spoles pretestības R vērtību. Tas ierobežo izlādes pretestības vērtību, taču tad pirms komutācijas izlādes pretestībā plūdīs relatīvi liela strāva, kas nebūtu ekonomiski. Mūsdienās vairs nav jārisina problēma, kādu izlādes pretestības vērtību izvēlēties - lielu vai mazu. Ir visai asprātīgs risinājums: paralēli spolei slēdz nevis rezistoru, bet pusvadītāju diodi, pie tam ar 6.12.,a attēlā. parādīto polaritāti. Diodes pretestība pirms komutācijas ir Ĝoti liela, jo diodei pielikts sprostspriegums (t.i., diodes anoda potenciāls zemāks par katoda potenciālu). Pārejas procesa laikā spoles strāva samazinās, tātad spriegums uz induktīvā elementa (L di/dt) ir negatīvs. Diodei tas ir


6. nodaĜa 98 caurlaides virziena spriegums, un tad tās pretestība ir niecīga. Tātad stacionārā režīmā diode strāvu nepatērē, bet pārejas procesā neizraisa pārspriegumu.

a)

b)

Ri=∞

R I

U

6.12. att. a) shēma ar izlādes diodi, b) shēma pārejas procesa sākumā.

Pārejas procesu aprēėina piemēri 6.2. piemērs. 6.13.att. shēmā noslēdzot slēdzi, kondensatoram C paralēli pieslēdz rezistoru R2. Dota līdzsprieguma vērtība U = 12 V un parametri: R1 = 20 Ω, R2 = 30 Ω, C = 10 µF. Aprēėināt visu strāvu un spriegumu izmaiĦu pārejas procesa laikā. Pēc tam aplūkosim arī, kā rīkoties, ja jāaprēėina tikai viena lieluma, piemēram strāvas i1 laika diagramma.

6.13.att.

1. Pirmskomutācijas vērtības. Uzzīmējam pirmskomutācijas shēmu (6.14.,a att.). SaskaĦā ar elementa C vienādojumu līdzstrāvas ėēdē, to aizstāj ar pārtraukumu. Pievienojam norādi uz režīmu: (-0). I2(-0)=0, I1(-0)=IC(-0)=0, UR(-0)=R•I1(-0)=0, UC(-0)=U–UR(-0)=12–0=12 V. a)

b)

c)

6.14.att: a) pirmskomutācijas shēma, b) uzspiestais režīms, c) pārejas procesa sākums.

2. Uzspiestās vērtības. Uzzīmējam pēckomutācijas shēmu (6.14.,b). Arī tajā kapacitīvo elementu aizstājam ar pārtraukumu. Strāvu un spriegumu apzīmējumiem pievienosim uzspiestā režīma indeksu „uz”. Aprēėinām uzspiestās vērtības: Icuz=0, I1uz=I2uz=U/(R1+R2)=12/(20+30)=0,24 A, UR1uz=R1•I1uz=20•0,24=4,8 V, UCuz=U–UR1uz=12–20•0,24=7,2 V.



99

3. Sākuma vērtības. Uzzīmējam shēmu (6.14.,c att.) pārejas procesa sākumam (t=0). To aprēėināt var tikai tāpēc, ka viena sprieguma vērtība ir zināma saskaĦā ar komutācijas likumu: uC(0)=UC(-0)=12 V. Šis spriegums pielikts arī rezistoram R2. Atrodam strāvu tajā: i2(0)= uC(0)/R2=12/30=0,4 A. Atrodam spriegumu uz rezistora R1 un strāvu tajā: uR1(0)=U–uC(0)=12–12=0, i1(0)= uR1(0)/R1=0. Izmantojot strāvu vienādojumu, atrodam arī iC sākuma vērtību: iC(0)=i1(0)–i2(0)=0–0,4=–0,4 A. 4. Pārejas procesa izteiksmes. Uzrakstām tās, zinot katras strāvas (sprieguma) sākuma vērtību un uzspiesto vērtību: A1=i1(0)–I1uz=0–0,24=–0,24 , i1(t)=A1e-t/τ+I1uz=–0,24 e-t/τ+0,24, A2=i2(0)–I2uz=0,4–0,24=0,16 , i2(t)=A2e-t/τ+I2uz=0,16 e-t/τ+0,24, iC(t)=A3e-t/τ+ICuz=–0,4 e-t/τ+0, A3=iC(0)–ICuz=–0,4–0=–0,4 , A4=uC(0)–UCuz=12–7,2=4,8 , uC(t)=A4e-t/τ+UCuz=4,8 e-t/τ+7,2, u R1(t)=A5e-t/τ+UR1uz=–7,2 e-t/τ+4,8. A5=uR1(0)–UR1uz =0–7,2=–7,2 , 5. Laika konstante τ. Shēmās ar kapacitīvo elementu laika konstanti nosaka formula (6.8): τ = RC. Pēckomutācijas shēmā avotu aizstāj ar vadu un nosaka ekvivalento pretestību R attiecībā pret kapacitīvā elementa izvadiem a-b. Tad pretestības R1 ar R2 izrādās slēgtas paralēli, un ekvivalentā pretestība ir: R = R1R2/(R1+R2) =20•30/(20+30)=12 Ω. τ = RC = 10•10-6•12 s = 120•10-6 s = 0,12 ms. 6.15.att. Shēma τ aprēėināšanai.

6. Rezultātu tabula. Izvēlamies t vērtības diapazonā 0...5τ un aprēėinām 4.p. iegūtās strāvu izteiksmes. Rezultāti sakopoti 6.2. tabulā. Tajā parādītas arī pirmskomutācijas un uzspiestās vērtības. 6.2. tabula.

t/τ t, ms i1(t), A i2(t), A iC(t), A uC(t), V u R1 (t),V

(–0) 0 0 0 12 0

0 0 0,00 0,40 -0,40 12,0 0,00

1 0,25 0,15 0,30 -0,15 8,97 3,03

2 0,50 0,21 0,26 -0,05 7,85 4,15

3 0,75 0,23 0,25 -0,02 7,44 4,56

4 1,00 0,24 0,24 -0,01 7,29 4,71

5 1,25 0,24 0,24 -0,00 7,23 4,77

7. Laika diagrammas. a)

b)


∞ 0,24 0,24 0 7,20 4,80

6. nodaĜa

100

6.16.att. Spriegumu un strāvu laika diagrammas.

Spriegumu grafiki (6.16,a att.) rāda, ka spriegums uz kondensatora samazinās no 12 līdz 7,2 voltiem. Tā kā spriegumu uR1 un uC summa vienmēr ir vienāda ar avota spriegumu U, bet uC nevar mainīties ar lēcienu, tad šoreiz arī sprieguma uR1 grafikā lēciena nav. Strāvu grafikā (6.16,b att.) tikai strāvai i1 nav lēcienveida izmaiĦas. Pēc slēdža noslēgšanas kondensators C ir pieslēgts paralēli rezistoram R2. Momentā t=0, kad spriegums uz kondensatora vēl ir vienāds ar 12 V, spriegums uz rezistora R1 ir nulle, un strāva tajā neplūst: (i1 = 0). Spriegums uC pielikts arī rezistoram R2, tāpēc strāva tajā ar lēcienu pieaug līdz sākuma vērtībai i2(0) = 0,4 A. Tā kā i1(0)=0, tad iC(0) = −i2(0) = −0,4 Α. Pārejas procesa laikā visas strāvas pakāpeniski mainās no sākuma vērtībām līdz uzspiestajām vērtībām: iC samazinās līdz nullei, bet abas pārējās strāvas tiecas uz vērtību 0,24 A. Noslēgumā aplūkosim risinājumu, ja būtu jāaprēėina tikai strāvas i1 laika diagramma. 1. Pirmskomutācijas vērtības. Uzzīmējam shēmu (6.14.,a att.). Tajā atrodam strāvas i1 pirmskomutācijas vērtību: I1(-0) = 0. Svarīgi, ka šajā režīmā, saskaĦā ar plānu (91. lpp.) jāaprēėina arī tā lieluma vērtība, kas saglabāsies pārejas procesa sākumā. Komutācijas likums šeit attiecas uz kondensatora spriegumu – atrodam tā pirmskomutācijas vērtību: UR(-0)=R•I1(-0)=0, UC(-0)=U–UR(-0)=12–0=12 V. 2. Uzspiestā vērtība. Uzzīmējam pēckomutācijas shēmu (6.14.,b). Tajā aprēėina tikai strāvas I1 uzspiesto vērtību: I1uz=I2uz=U/(R1+R2)=12/(20+30)=0,24 A. 3. Sākuma vērtība. Uzzīmējam shēmu (6.14.,c att.) pārejas procesa sākumam (t=0). To aprēėināt var tikai tāpēc, ka viena sprieguma vērtība ir zināma saskaĦā ar komutācijas likumu: uC(0)=UC(-0)=12 V. Šis spriegums pielikts arī rezistoram R2. Atrodam strāvu tajā: i2(0)= uC(0)/R2=12/30=0,4 A. Atrodam spriegumu uz rezistora R1 un strāvu tajā: uR1(0)=U–uC(0)=12–12=0, i1(0)= uR1(0)/R1=0. 4. Pārejas procesa izteiksme. Uzrakstām to, zinot strāvas i1 sākuma vērtību un uzspiesto vērtību: A=i1(0)–I1uz=0–0,24=–0,24 , i1(t)=A e-t/τ + I1uz= –0,24 e-t/τ+0,24. 5. Laika konstante τ. Pēckomutācijas shēmā avotu aizstāj ar vadu un nosaka ekvivalento pretestību R attiecībā pret kapacitīvā elementa izvadiem a-b (6.15. att.). Iegūtā formula, protams, attiecas tikai uz šo konkrēto shēmu: R = R1R2/(R1+R2) =20•30/(20+30)=12 Ω. τ = RC = 10•10-6•12 s = 120•10-6 s = 0,12 ms. 6. Rezultātu tabula.



101 Izvēlamies t vērtības diapazonā 0...5τ un aprēėinām 4.p. iegūto strāvas i1(t) izteiksmi. Rezultāti sakopoti sekojošā tabulā: . 6.4. tabula. 0 1 2 3 4 5 t/τ t, ms 0 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 (–0) ∞ i1(t), A 0,00 0,15 0,21 0,23 0,24 0,24 0,24 0 6.3. piemērs.

Shēmā (6.17.att.) ir 120 V līdzsprieguma avots. Rezistoru pretestības: R1=20 Ω, R2=R3=10 Ω. Ideālas spoles induktivitāte: L=50 mH. Shēmā pēc rezistora R2 pieslēgšanas notiek pārejas process. Noteikt, kā mainās strāva i2 šajā rezistorā. 6.17.att.

1. Pirmskomutācijas vērtības. Uzzīmējam pirmskomutācijas shēmu (6.18.,a). SaskaĦā ar elementa L vienādojumu līdzstrāvas ėēdē, to aizstāj ar vadu. Apzīmējot tekstā strāvas, lietosim norādi uz režīmu: (-0). Rezistors pirms komutācijas atvienots, tāpēc meklējamās strāvas vērtība ir I2(-0) = 0. Komutācijas likumam pakĜaujas strāva spolē I3, tāpēc jāatrod arī tās vērtība: I1(-0)= I3(-0)= U/(R1+ R3)=120/(20+10)=4 A. a)

b)

c)

6.18.att. Shēmas: a) pirms komutācijas, b) uzspiestajam režīmam, c) pārejas procesa sākuma momentam.

2. Uzspiestā vērtība. Uzzīmējam pēckomutācijas shēmu (6.18.,b). Arī tajā induktīvais elements aizstāts ar vadu. Strāvu un spriegumu apzīmējumiem pievienosim uzspiestā režīma indeksu „uz”. Shēmu aprēėinām ar ekvivalento pārveidojumu metodi (2. nodaĜā, 2.6.att.shēma). Vispirms aprēėinām ekvivalento pretestību, lai noteiktu strāvu I1: R=R1+R2•R3/(R2+R3)=20+(10•10/(10+10)=25 Ω, I1uz =U/R=120/25=4,8 A. Atrodam spriegumu uz paralēli slēgtajiem rezistoriem: Uab=U–R1•I1uz=120–20•4,8=24 V. Tikai tagad iespējams aprēėināt strāvu I2: I2uz= Uab/R3=24/10=2,4 A. 3. Sākuma vērtība. 6.18.,c parādīta shēma pārejas procesa sākumam (t=0). To aprēėināt var tikai tāpēc, ka viena lieluma vērtība ir zināma saskaĦā ar komutācijas likumu: i3(0)=i3(-0)=4 A. Vienu no nezināmajām strāvām var izteikt, izmantojot strāvu vienādojumu: i2(0)=i1(0) –i3(0). Sastādām spriegumu vienādojumu: U=R1i1(0)+R2(i1(0)–i3(0)). Tā kā i3(0) vērtība zināma, var atrast sākuma vērtību strāvai i1:


6. nodaĜa

102 i1(0)=(U+R2i3(0))/(R1+R2)=(120+10•4)/(20+10)=5,33 A. Strāvas i2 sākuma vērtība: i2(0)=i1(0)–i3(0)=5,33–4=1,33 A. 4. Pārejas procesa izteiksme, zinot strāvas i2 sākuma vērtību un uzspiesto vērtību: i2(t)=A2e-t/τ+I2uz=–1,07 e-t/τ+2,4. A = i2(0)–I2uz=1,33–2,4=–1,07 ,

5. Laika konstante τ. Shēmās ar induktīvo elementi laika konstanti nosaka formula (6.7): τ = L/R. Pēckomutācijas shēmā avotu aizstāj ar vadu un nosaka ekvivalento pretestību R attiecībā pret induktīvā elementa izvadiem a-b. Tad pretestība R3 izrādās slēgta virknē ar pretestību R1 un R2 paralēlslēgumu. R = R3 + R1R2/(R1+R2) =10+20•10/(20+10)=16,7 Ω. τ = L/R = 50•10-3/16,7 = 3•10-3 s = 3 ms. 6.19.att. Shēma τ aprēėināšanai.

6. Rezultātu tabula. Izvēlamies t vērtības diapazonā 0...5τ un aprēėinām šiem laika momentiem atbilstošās strāvas i2 vērtības. Rezultāti sakopoti sekojošā tabulā. 6.4. tabula.

t/τ t, ms i2(t), A

(-0) 0

0 0 1,33

1 3 2,01

2 6 2,26

3 9 2,35

4 12 2,38

5 15 2,39

∞ 2,40

7. Laika diagrammas piemērs.

i, A

I2uz

6.20.att. Strāvas i2(t) laika diagramma

i2(t)

2

Strāvas i2 laika diagrammai vērtības Ħemtas no rezultātu tabulas. Zīmējot grafiku, tajā parāda arī aprēėināto strāvas pirmskomutācijas vērtību I2(-0).

i2(0) 1

I2(-0)

t, ms 0

3

6

9

12

6.4. piemērs. Shēmā (6.21.att.) ir 120 V līdzsprieguma avots. Rezistoru pretestības: R1 = 25 Ω, R2 = R3 = 10 Ω. Kondensatora kapacitāte: C =.35 µF. Noteikt strāvas i3 izmaiĦas pārejas procesa laikā pēc slēdža noslēgšanas.

6.21. att.

6.22. att.

6.23. att

1. Pirmskomutācijas vērtības. Uzzīmējam shēmu (6.22.att.) pirmskomutācijas režīma aprēėināšanai. SaskaĦā ar kondensatora C vienādojumu līdzstrāvas ėēdē, strāva caur to neplūst. Pievienojam lielumiem norādi uz režīmu: (-0). I1(-0)= I3(-0) = 0. Komutācijas likumam pakĜaujas spriegums uz kondensatora uC. Tā pirmskomutācijas vērtība saglabāsies pārejas procesa sākumā. TādēĜ aprēėinām to, izmantojot spriegumu vienādojumu (2.5).



103

UC(-0) = U – (R1+R2) I1(-0) = 120 – 0 = 120 V. 2. Uzspiestā vērtība. Uzzīmējam shēmu (6.23.att.) stacionāram režīmam pēc pārejas procesa (uzspiestajam režīmam). Apzīmējumiem pievienosim indeksu „uz”. Līdzstrāva caur kondensatoru neplūst (2.3): I3uz=0.

6.24.att. a) shēma sākuma vērtību aprēėinam, b) zināmie spriegumi aizstāti ar EDS.

3. Sākuma vērtība. 6.24.,a attēlā parādīta shēma pārejas procesa sākumam (t=0). To aprēėina, lai atrastu sākuma vērtību i3(0). Ievērojiet, ka tas iespējams tikai tāpēc, ka komutācijas likums dod vēl viena lieluma vērtību: uC(0)=UC(-0)=120 V. Šis kondensatora sākuma spriegums uzskatāms par otru avotu. TādēĜ, aprēėinot 6.24.,a att. shēmu, jālieto kāda no 2. nodaĜā aplūkotajām aprēėina metodēm, kas paredzētas shēmām ar vairākiem avotiem. Vispirms jāpārveido shēma (6.24.,b att.), visus zināmos spriegumus aizstājot ar EDS - saskaĦā ar vienādojumu (2.1): E1=U, e2(0)= uC(0). Aprēėinām shēmu ar Kirhofa vienādojumu metodi. Lai atrastu 3 nezināmās strāvas vajadzīgi 3 vienādojumi. Vienam no mezglu punktiem (a) sastādām strāvu vienādojumu pēc 1. Kirhofa likuma: (2.6): i1(0) = i2(0) + i3(0). Divus pārējos vienādojumus dod 2. Kirhofa likums (2.5.,a) diviem kontūriem. Apejot kontūrus 1 un 2 pulksteĦa rādītāja kustības virzienā, iegūstam: E1=R1i1(0)+R2i2(0), –e2(0) = R3i3(0) – R2i2(0). Atrisinot vienādojumu sistēmu, atrodam strāvu sākuma vērtības: i1(0)=2 A, i2(0)=7 A, i3(0) = –5 A. 4. Pārejas procesa izteiksme. Uzrakstām to, zinot strāvas i3 sākuma vērtību un uzspiesto vērtību: i3(t) = A3e-t/τ + I3uz = –5 e-t/τ+0 . A = i3(0) – I3uz = –5 – 0 = –5 , 5. Laika konstante τ. Shēmās ar kapacitīvo elementu laika konstanti nosaka formula (6.8): τ = RC. Pēckomutācijas shēmā (6.24.,a att.) avotu aizstāj ar vadu un nosaka ekvivalento pretestību R attiecībā pret kapacitīvā elementa izvadiem a-b. Tad pretestība R3 izrādās slēgta virknē ar pretestību R1 un R2 paralēlslēgumu. R = R3 + R1R2/(R1+R2) =10+25•10/(25+10)=17,4 Ω. τ = RC = 35•10-6•17,4 s = 250•10-6 s = 0,25 ms. 6.25. Shēma τ aprēėināšanai.

6. Rezultātu tabula. Izvēlamies t vērtības diapazonā 0...5τ un aprēėinām 4.p. iegūto strāvas izteiksmi. Rezultāti sakopoti tabulā. Tajā parādītas arī pirmskomutācijas un uzspiestās vērtības. 6.4. tabula.

t/τ t, ms i3(t), A

(–0) 0

0 0 -5,00

1 0,25 -1,84

2 0,50 -0,68

3 0,75 -0,25

4 1,00 -0,09

5 1,25 -0,03


∞ 0

6. nodaĜa

104

Pārejas procesu analīze RLC ėēdēs Noslēgumā aplūkosim no analīzes viedokĜa sarežăītāku pārejas procesu. Ja ėēdē ir nevis viens, bet divi enerăijas uzkrājēji (spole un kondensators), tad pārejas procesu apraksta nevis pirmās, bet otrās kārtas diferenciālvienādojums. Izpētīsim, kā notiek kondensatora C uzlāde, ja shēmā bez rezistīvā elementa R ir arī ideāla spole L. Līdzsprieguma avotam pieslēdz 6.25. att. parādīto shēmu ar sākumā neuzlādētu kondensatoru C. Noskaidrosim, kāpēc kondensatora uzlāde RLC ėēdē principiāli atšėiras no iepriekš aplūkotās kondensatora uzlādes RC ėēdē. 6.26. att. RLC ėēdi pieslēdz līdzspriegumam

Pirms komutācijas, kad avots vēl nav pieslēgts, strāvas un spriegumu uz visiem elementiem nav: I(-0) = 0, UR(-0) = 0, UL(-0) = 0, UC(-0) = 0. Uzspiestās vērtības pēc pārejas procesa nosaka tas apstāklis, ka līdzstrāva caur kondensatoru neplūst, tāpēc sprieguma kritums uz rezistora R ir nulle, savukārt spriegums uz induktīvā elementa L līdzstrāvas stacionārā režīmā vienmēr ir nulle. Tāpēc pārejas procesa beigās kondensators būs uzlādēts līdz spriegumam U: Iuz = 0, URuz = R•Iuz = 0, ULuz = 0, UCuz = U – URuz – ULuz = U. .Sastādīsim diferenciālvienādojumu pēckomutācijas shēmai attiecībā pret spriegumu uC. Sāksim ar spriegumu vienādojumu, kurā spriegumus uz elementiem R un L aizstājam, izmantojot elementu vienādojumus (1.2) un(1.3): U = uR + uL + uC = Ri + L di/dt + uC. Izslēdzam no vienādojuma arī strāvu, izmantojot elementa C vienādojumu (1.4), un iegūstam diferenciālvienādojumu:

. Tas ir 2. kārtas nehomogēns diferenciālvienādojums ar šādu raksturīgo vienādojumu:

, . Šeit ievesti apzīmējumi: α - rimšanas koeficients un ω0 - kontūra pašsvārstību leĦėiskā frekvence:

Kondensatora uzlāde no UC(−0) = uC(0) = 0 līdz UCuz = U var notikt divējādi - atkarībā no tā, vai raksturīgā vienādojuma saknes ir reālas vai kompleksas. Ja α > ω0 , tad abas saknes ir reālas, un kondensatora uzlādes process ir aperiodisks - tas notiek bez svārstībām. Ja α < ω0 , tad abas saknes ir saistīti kompleksi skaitĜi, un kondensatora uzlādes procesā parādās rimstošas svārstības. Aplūkosim vispirms gadījumu, kad raksturīgā vienādojuma abas saknes ir reālas. Šāda situācija ir ėēdē ar pietiekami lielu pretestības R vērtību, kas lielāka par kritisko vērtību: .

tad, kā zināms, diferenciālvienādojuma atrisinājumu meklē kā divu eksponenšu summu:

Izteiksmē ir divas nezināmas konstantes A1 un A2. Lai tās noteiktu, ir vajadzīgs vēl viens vienādojums. Izmantojot elementa vienādojumu (1.4), uzrakstām strāvas izteiksmi, kas arī satur abas nezināmās konstantes:



105

Nepieciešami arī divi sākuma nosacījumi – tos iegūstam, izmantojot abus komutācijas likumus: attiecībā uz kondensatora spriegumu uC un strāvu induktīvajā elementā (šeit i). Tā kā pirms komutācijas abu šo lielumu vērtības vienādas ar nulli, tad uC (0) = U C ( −0) = 0 un i (0) = I ( −0) = 0 . Atrisinot 2.kārtas diferenciālvienādojumu attiecībā pret spriegumu pie minētajiem diviem sākuma nosacījumiem, varētu iegūt šādas analītiskas izteiksmes: - aperiodiskam režīmam:

- svārstību režīmam:

Šie rezultāti nav sevišėi ērti analīzei, tāpēc tā vietā aplūkosim sprieguma uC laika diagrammas, kas iegūtas, risinot doto diferenciālvienādojumu pie dotajiem sākuma nosacījumiem ar skaitliskām metodēm. 6.15. att. ir ilustrācija tam, kā ėēdes parametra izmaiĦa ietekmē pārejas procesa raksturu. Līdzsprieguma avotam ar spriegumu U = 10 V pieslēdz RLC ėēdi šādiem parametriem: kapacitāti C = 1 µF un induktivitāti L = 0,25 H. Abos gadījumos kondensators uzlādējas līdz avota sprieguma vērtībai U = 10 V. 6.15.,a att. parādīta pārejas procesa laika diagramma gadījumam, kad ėēdes pretestība R = 210 Ω ir ievērojami mazāka par kritisko vērtību:

Kondensatora uzlādei ir rimstošu svārstību raksturs. 6.15.,a att. parādīts svārstību periods T:

.

a)

b)

6.15. att. Kondensatora uzlādes laika diagrammas, RLC ėēdi pieslēdzot līdzspriegumam: a) rimstošas svārstības, b) gandrīz aperiodisks režīms._

Palielinot pretestības vērtību, svārstību amplitūda samazinās. 6.15.,b att. parādīta tā pati laika diagramma gadījumam ar lielāku pretestības vērtību R = 800 Ω - tā izvēlēta tikai nedaudz mazāka par kritisko. Kondensatora uzlādei joprojām ir (gan Ĝoti vāji izteikts) svārstību raksturs, jo pārejas procesā spriegums uz kondensatora, kā redzams, zināmu laiku ir lielāks par U = 10 V. Arī šajā gadījumā vēl var aprēėināt perioda vērtību ar iepriekšējo formulu. Iegūsim lielāku perioda vērtību: T = 5,23•10-3 s.


6. nodaĜa

106

Kā redzams 6.15.,b att. grafikā, ar pretestības vērtību R = 800 Ω procesa raksturs nav tālu no aperiodiska režīma, kas iestātos, ja pretestība R būtu lielāka par kritisko Rkr =1000 Ω. Aperiodiskā procesā spriegums uz kondensatora tiecas uz avota sprieguma vērtību, nepārsniedzot to. Laika diagrammu raksturs tad atgādina RC ėēdes pārejas procesu. Nelielas atšėirības nosaka tas, ka spriegumu (strāvu) izteiksmēs ir nevis eksponente, bet divu eksponenšu summa. RC-ėēdē izmaiĦas ir visstraujākās pārejas procesa sākumā. RLC ėēdē, kā redzams 6.15.,b att., sākumā spriegums uC(t) pieaug lēnāk - tā grafikam ir pārliekuma punkts. Piemēram, salīdzinām kondensatora uzlādi divos gadījumos: RLC ėēdē ar kritisko pretestību Rkr un RC ėēdē ar tiem pašiem parametriem. Ja RC ėēdē sākumā spriegums uC(t) pieaug ātrāk, tad aptuveni pie t =1,25 τ šī sprieguma vērtība abos procesos jau ir vienāda, un pārejas process RLC ėēdē turpinās straujāk. Ja shēmā nebūtu pretestības (R = 0), svārstības tajā būtu nerimstošas. Noteiksim šo pašsvārstību periodu T0, kas ir apgriezts lielums frekvencei f0. Aizstājot pēdējo ar leĦkfrekvenci ω0, iegūstam:

. Ja pretestības R vērtība maza, svārstību periods T daudz neatšėiras no pašsvārstību perioda. Piemēram, ja apskatāmajā ėēdē R=100 Ω, tas ir, 10 reizes mazāka par Rkr, svārstību periods būtu 3,16•10-3 s; ja R=300 Ω, Τ=3,29•10-3 s, utt.


Pielikumi

107

PIELIKUMI 1. KOMENTĀRI FORMULU TABULAI Zemāk redzama priekšvārdā dotā formulu tabula ar pirmajās 4 nodaĜās izdarītajiem papildinājumiem. Vienādojumi




Līdzstrāvai

Vektoru diagrammu metode

U = −e

U = −E

Ū = −Ē

u=Ri

U=RI

U = R I , ϕ = 0°

Simboliskā metode U = −E

u = L di/dt

U=0

U = XL I , jϕ = 90°°

i = C du/dt

I=0

U = XC I , ϕ = −90° °

-

-

U =Z I , ϕ

u13 = u12 + u23

U13 = U12 + U23

Ū13= Ū12 + Ū23

U 13 = U 12 + U 23

U= ZI

-

∑±E= ∑±RI

-

∑± E= ∑± ZI

S∑±i=0

S ±S ∑ ± I = 0

∑±Ī=0

∑ ± I = 0=

p=ui

P=UI

P = U I cos ϕj Divpola jauda

Q = U I sin ϕj

S = U I*

S=UI

1. Formulas ailē “Momentānām vērtībām” ir derīgas jebkurai lineārai ėēdei. Formulas satur strāvu, spriegumu, EDS un jaudu momentānās vērtības (i, u, e, p).

2. Formulas ailē “Līdzstrāvai” attiecas uz līdzstrāvas ėēdēm stacionārā režīmā. Tabulā nav parādītas ekvivalento pārveidojumu formulas (2.8), (2.9).

3. Formulas ailē “Vektoru diagrammu metode” lietojamas, analizējot sinusoidālas maiĦstrāvas ėēdes ar vektoru diagrammu metodi. Apzīmējumi formulās: I, U - strāvu un spriegumu efektīvās vērtības, Ī, Ū, Ē - strāvu, spriegumu un EDS sinusoīdu attēlojošie vektori, ϕ - fāžu nobīde starp elementa vai divpola spriegumu un strāvu. Z - virknes slēguma pilnā pretestība. Tabulā nav parādītas reaktīvo pretestību izteiksmes (3.3a), (3.4a). 4. Formulas ailē “Simboliskā metode” lietojamas, analizējot sinusoidālas maiĦstrāvas ėēdes ar simbolisko metodi. Apzīmējumi formulās: I, U, E - strāvu, spriegumu un EDS attēlojošie kompleksie lielumi, Z kompleksā pretestība, S - kompleksā jauda, I* - strāvas saistītais komplekss. 5. Elementu vienādojumi: sakarības starp spriegumu un strāvu (vai EDS) katram no elementiem (E, R, L un C). Formulas ir spēkā, ja abu elektrisko lielumu pieĦemtie pozitīvie virzieni shēmā sakrīt. MaiĦstrāvas ėēdēs arī jebkuru virknes slēgumu var raksturot tāpat kā atsevišėu elementu - ar sakarību starp sprieguma un strāvas efektīvajām vērtībām (U, I) un ar fāžu nobīdi ϕ starp strāvas un sprieguma sinusoīdām. Virknes slēgumam pilno pretestību Z un fāžu nobīdi ϕ atrod no pretestību trīsstūra. Lietojot simbolisko metodi, elementiem R, L, C un jebkuram šo elementu virknes slēgumam ir spēkā viena un tā pati izteiksme, kas satur komplekso pretestību Z. 6. Spriegumu vienādojumos indeksi 1, 2 un 3 ir brīvi izvēlētu shēmas punktu apzīmējumi. 7. Aprēėinot līdzstrāvas ėēdes ar Kirhofa vienādojumu metodi, izmanto otro Kirhofa likumu shēmas kontūram: EDS algebriskā summa ir vienāda ar spriegumu kritumu algebrisko summu. EDS un strāvu zīmes vienādojumā nosaka. salīdzinot to bultiĦu virzienus shēmā ar izvēlēto kontūra apejas virzienu. Teiktais attiecas arī uz maiĦstrāvas ėēžu aprēėinu, lietojot kompleksos lielumus. 8. Strāvu vienādojumus sastāda pēc pirmā Kirhofa likuma shēmas mezglu punktam: strāvu algebriskā summa mezglā ir vienāda ar nulli. Vienādojumā tās strāvas, kuru bultiĦas pienāk apskatāmajam mezglam, jāĦem ar plusa zīmi. 9. Divpola jaudas formulās apzīmējumi ir šādi: p - momentānā jauda, P - aktīvā jauda, Q - reaktīvā jauda, S pilnā (šėietamā) jauda. Ja strāvas un sprieguma pieĦemtie pozitīvie virzieni shēmā sakrīt, tad formulas dod divpola patērēto jaudu. Kompleksās jaudas S reālā daĜa ir aktīvā jauda P, imaginārā daĜa - reaktīvā jauda Q. Reaktīvās jaudas pozitīva vērtība nozīmē tās induktīvu raksturu. 10. Tabulā nav iekĜautas ekvivalento pārveidojumu formulas. Līdzstrāvas ėēdēs tās ir (2.8), (2.9). MaiĦstrāvas ėēdēs ar simbolisko metodi tām atbilst formulas (4.8) un (4.9). Jāievēro, ka vektoru diagrammu metode nesatur ekvivalento pārveidojumu formulas: veidojot pēc analoăijas šādas formulas ar pretestību skaitliskām vērtībām (bet ne kompleksām pretestībām) pazustu visa informācija par pretestību raksturu.


Pielikumi

108 2. UZDEVUMI AR ATRISINĀJUMIEM (saraksts)

Nr.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.

Uzdevuma tēma (saturs)

Lpp

Līdzstrāvas ėēdes Shēmas ekvivalenta pārveidošana ........... Tilta shēmas aprēėins. Pārveidojums “trīsstūris - zvaigzne” ............. Līdzstrāvas ėēde ar induktīvu elementu.............................................. Līdzstrāvas ėēde ar kapacitīvu elementu .......................................... Shēma ar vairākiem avotiem. Kirhofa vienādojumu metode ............. Kontūrstrāvu metode........................................................................... Mezglu sprieguma metode ................................................................. Jaudu bilances sastādīšana ................................................................. Ekvivalentā ăeneratora metode .......................................................... MaiĦstrāvas ėēdes. Vektoru diagrammu metode Shēma ar vienu avotu, virknes slēgums ............................................. Shēma ar vienu avotu, ar paralēliem zariem ...................................... MaiĦstrāvas ėēdes. Simboliskā metode Shēma ar vienu avotu, ar paralēliem zariem ...................................... Shēma ar vienu avotu, jaukts slēgums ............................................... Shēma ar vairākiem avotiem. Mezglu sprieguma metode ................. Trīsfāžu maiĦstrāvas ėēdes Simetrisks patērētājs zvaigznes slēgumā ........................................... Simetrisks patērētājs trīsstūra slēgumā .............................................. Nesimetrisks patērētājs zvaigznes slēgumā ar neitrāles vadu ............ Nesimetrisks patērētājs zvaigznes slēgumā bez neitrāles vada .......... Nesimetrisks patērētājs trīsstūra slēgumā .......................................... Tas pats, ar simbolisko metodi ........................................................... Pārejas procesi Laika konstantes noteikšana Pārejas process shēmā ar kondensatoru ............................................. Pārejas process shēmā ar spoli ............................................. Pārejas process shēmā ar kondensatoru .............................................

24 28 30 30 31 32 34 34 35 52 53 67 68 69 80 81 82 84 86 87 94 98 101 102

3. ALGORITMU (paĦēmienu, metožu, plānu) SARAKSTS Tabulā doti paĦēmieni, metodes un plāni, kurus bieži lieto, aprēėinot elektriskās ėēdes. Norādīts algoritma saturs, lappuse, kur to atrast, kā arī uzdevums, kurā algoritmu lieto (numerācija - 2. pielikumā).

Nr.

Algoritma saturs

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Ekvivalento pārveidojumu metode ....... Elementu L un C izslēgšana no līdzstrāvas ėēdes Kirhofa vienādojumu metode .............................. Kontūrstrāvu metode ............................................ Mezglu sprieguma metode............. Jaudu bilances sastādīšana .................................. Ekvivalentā ăeneratora metode ........................... Sinusoidāla lieluma attēlošana ar vektoru ........... Vektoru diagrammas zīmēšana ...........................

Uzdevumu numuri

Lpp.

23 30 31 32 33 34 35 42 46

1, 2, 13 3, 4, 21 5 6 7, 14 8 9 10, 11, 17, 19


Pielikumi

10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

109

Pretestību trīsstūra zīmēšana................................ Topogrāfiskās diagrammas zīmēšana ................. Strāvu, spriegumu un EDS kompleksi ................ Komplekso pretestību sastādīšana ...................... MaiĦstrāvas ėēžu analīze ar simbolisko metodi .. Trīsfāžu patērētāja analīzes plāns ....................... Pārejas procesa analīzes plāns ..........

48 52 63 65 66 73 91

10, 11, 17, 19 17, 19 12, 13, 14 12, 13, 14, 18, 20 12, 13, 14, 18, 22, 23, 24


Electr Circuits (Ēriks Priednieks

Recommend Documents