Guía para la resolución de problemas de
ELECTROMAGNETISMO Problemas resueltos
Guía para la resolución de problemas de
ELECTROMAGNETISMO Problemas resueltos
José Luis Fernández Fernández Universidad de Vigo, España
Mariano Jesús Pérez-Amor Universidad de Vigo, España
Barcelona · Bogotá · Buenos Aires · Caracas · México
Registro bibliográfico (ISBD) José Luis Fernández Fernández. Guía para la resolución de problemas de electromagnetismo : problemas resueltos / José Luis Fernández Fernández, Mariano Jesús Pérez-Amor. – Barcelona : Reverté, 2012. XI, 465 p. : il. ; 24 cm. Índice. DL B-6557-2012. – ISBN 978-84-291-3062-1 1. Electromagnetismo. I. Pérez-Amor, Mariano Jesús, coaut. II. Título. 537
© José Luis Fernández Fernández, Mariano Jesús Pérez-Amor Esta edición:
© Editorial Reverté, S. A., 2012 ISBN: 978-84-291-3062-1
Propiedad de: EDITORIAL REVERTÉ, S. A. Loreto, 13-15, Local B 08029 Barcelona Tel: (34) 93 419 33 36 Fax: (34) 93 419 51 89
[email protected] www.reverte.com Reservados todos los derechos. La reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio o procedimiento, comprendidos comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos, queda rigurosamente prohibida sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas por las leyes. Impreso en España - Printed in Spain ISBN: 978-84-291-3062-1 Depósito legal: B-6557-2012 Impresión y encuadernación: Liberdúplex, S.L.U. # 1375
Índice de problemas PROBLEMAS PROBLEMAS DE ELECTROST ELECTROSTÁ ÁTICA En el vacío acío
PROBLEMAS PROBLEMAS DE MAGNETO MAGNETOST STÁ ÁTICA En el vací acío
Problema 2. 2.1 .. .. .. . .. .. .. .. .. 11 1111 Problema 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Problema 2.3 .. .. .. . .. .. .. .. .. 11 Problema 2.4 .. .. .. . .. .. .. .. .. 18 Problema 2.6 .. .. .. . .. .. .. .. .. 30 Problema 2.7 .. .. .. . .. .. .. .. .. 35 Problema 2.8 .. .. .. . .. .. .. .. .. 45 Problema 2.9 .. .. .. . .. .. .. .. .. 74
Problema 4.1 .. . . . . . . . . . . . . . . . 21 210 Problema 4.2 .. . . . . . . . . . . . . . . . 21 215 Problema 4.3 .. . . . . . . . . . . . . . . . 21 219
En pres presen enci ciaa de diel dieléc éctri trico coss Problema 2.5 .. .. .. . .. .. .. .. .. 21 Problema 2.10 .. .. .. .. .. .. .. .. 79 Problema 2.11 .. .. .. .. .. .. .. .. 86 Problema 2.12 .. .. .. .. .. .. .. .. 91 Problema 2.13 .. .. .. .. .. .. .. .. 99 Problema 2.14................105 Problema 2.15................111 Problema 2. 2.16 . . . . . . . . . . . . . . . .11 .119
Energía Energía electrostáti electrostática ca Problema 2.17................125 Problema 2.18................134 Problema 2. 2.19 . . . . . . . . . . . . . . . .13 .137 Problema 2. 2.20 . . . . . . . . . . . . . . . .15 .150 Problema 2. 2.21 . . . . . . . . . . . . . . . .15 .153 Problema 2.22................159
Conduct Conductore oress en equilibr equilibrio io Problema 2.23................164
PROBLE PROBLEMAS MAS DE CORRIE CORRIENTE NTESS ELÉCTRICAS ELÉCTRICAS ESTACIO ESTACIONARIA NARIASS Problema 3.1 .. . . . . . . . . . . . . . . . 17 170 Problema 3.2 .. . . . . . . . . . . . . . . . 17 174 Problema 3.3 .. . . . . . . . . . . . . . . . 17 177 Problema 3.4 .. . . . . . . . . . . . . . . . 18 183 Problema 3.5 .. . . . . . . . . . . . . . . . 18 189 Problema 3.6 .. . . . . . . . . . . . . . . . 19 195 Problema 3.7 .. . . . . . . . . . . . . . . . 20 201 Problema 3.8 .. . . . . . . . . . . . . . . . 20 205
En prese presenci nciaa de materia materiales les magnéti magnéticos cos Problema 4.4 .. . . . . . . . . . . . . . . . 22 228 Problema 4.5 .. . . . . . . . . . . . . . . . 23 232 Problema 4.6 .. . . . . . . . . . . . . . . . 23 236 Problema 4.7 .. . . . . . . . . . . . . . . . 24 241 Problema 4.8 .. . . . . . . . . . . . . . . . 24 245 Problema 4.9 .. . . . . . . . . . . . . . . . 25 250
PROB PROBLE LEMA MASS DE ONDA ONDASS ELECTROMAGNÉTICAS En medios medios dieléc dieléctric tricos os Problema 6.1 .. . . . . . . . . . . . . . . . 25 255 Problema 6.2 .. . . . . . . . . . . . . . . . 25 258 Problema 6.3 .. . . . . . . . . . . . . . . . 26 263
En medios medios conduct conductor ores es Problema 6.4 .. . . . . . . . . . . . . . . . 26 268 Problema 6.5 .. . . . . . . . . . . . . . . . 27 270 Problema 6.6 .. . . . . . . . . . . . . . . . 27 273 Problema 6.7 .. . . . . . . . . . . . . . . . 27 277
En pres presen enci ciaa de front fronter eras as Problema 6.8 .. . . . . . . . . . . . . . . . 28 283 Problema 6.9 .. . . . . . . . . . . . . . . . 28 288 Problema 6.10................292 Problema 6.11................299 Problema 6.12................303 Problema 6.13................307
PROB PROBLE LEMA MASS DE CAMP CAMPOS OS CUASIESTACIONARIOS Campos Campos cuasimagnetos cuasimagnetostáticos táticos en medios medios conducto conductore ress Problema 7.1 .. . . . . . . . . . . . . . . . 31 311 Problema 7.2 .. . . . . . . . . . . . . . . . 32 322
Problema 7.3 .. . . . . . . . . . . . . . . . 325 Problema 7.4 .. . . . . . . . . . . . . . . . 328 Problema 7.5 .. . . . . . . . . . . . . . . . 335 Problema 7.6 .. . . . . . . . . . . . . . . . 342 Problema 7.7 .. . . . . . . . . . . . . . . . 351
Inducción electromagnética en régimen cuasiestacionario Problema 7.8 .. . . . . . . . . . . . . . . . 356 Problema 7.9 .. . . . . . . . . . . . . . . . 369 Problema 7.10................374 Problema 7.11................383 Problema 7.12................390 Problema 7.13................396
ÍNDICE DE PROBLEMAS
Campos cuasielectrostáticos Problema 7.14................405 Problema 7.15................417 Problema 7.16................423
Circuitos cuasiestacionarios Problema 7.17................439 Problema 7.18................444 Problema 7.19................449
Energía magnética Problema 7.20................455
Prólogo
La presente obra es fruto de una experiencia de más de 30 años en la docencia del electromagnetismo en diversas titulaciones de ciencias e ingenier ía. Teniendo en cuenta la gran cantidad de libros de electromagnetismo disponibles, cabe preguntarse si es todav ía posible aportar algo a la literatura en este campo. Por este motivo, en lo que sigue argumentaremos las razones que nos movieron a escribirla. Un análisis somero de la bibliograf ía en el área nos ha conducido a clasificar los libros existentes, atendiendo a su nivel de exposici ón y contenidos, en cuatro categor ías: a ) los que, sin abordar propiamente los fundamentos del electromagnetismo,
tratan leyes eléctricas y magnéticas limitadas a modelos de circuitos, lo que los hace adecuados a un curso introductorio de f ísica en grados en ciencias e ingeniería, b ) los que tratan los campos electromagnéticos y sus leyes fundamentales (las ecuaciones de Maxwell) con el formalismo del análisis vectorial, pero con un alcance limitado a los casos más básicos en cuanto a reg ímenes temporales (estático y estacionario sinusoidal) y medios materiales (lineales e is ótropos), resultando apropiados para cursos intermedios de las mencionadas titulaciones, c ) los que utilizan modelos de campos electromagnéticos a nivel de posgraduado (típicamente dan soporte a estudios de master y doctorado) profundizando en las relaciones de los campos con las cargas y corrientes, en la radiación y otros aspectos, utilizando herramientas matemáticas a un nivel superior (cuadrivectores, variable compleja, transformadas integrales, etc.) y, finalmente, d ) libros especializados que tratan campos específicos (v.g. radar, antenas, fibras ópticas, etc.) y que asumen que el lector dispone ya de una base en la teoría del electromagnetismo. Especialmente en los pertenecientes a las categor ías a ) y b ) es usual encontrar numerosos ejemplos y problemas propuestos, siendo la t ónica dominante que de un pequeño porcentaje de los mismos se incluya una resoluci ón más o menos extensa, mientras que de una considerable fracci ón solo se incluya la soluci ón final.
PRÓLOGO
En estas categor ías de libros encontramos también textos espec íficos de problemas resueltos en los que la parte te órica se reduce al m ínimo necesario para establecer la notación e incluir las leyes más importantes; siendo de empleo habitual para el trabajo aut ónomo de los estudiantes como complemento a los libros de texto, es indudable su capacidad formativa ya que no se conoce bien una teor ía mientras no se aplica a la resoluci ón de problemas concretos. La presente obra tiene ese carácter de “libro de problemas” y está dirigida a quienes han de trabajar el electromagnetismo al nivel b ) mencionado. A pesar de su vocación marcadamente formativa, es muy habitual que en los libros de problemas no se dé la debida importancia ni se expliquen con suficiente detalle los primeros pasos del proceso de resoluci ón, es decir, lo que podríamos denominar el planteamiento y que incluye la elección del modelo y la propuesta de hipótesis simplificadoras. Así, frecuentemente se adoptan, sin mayores explicaciones, proposiciones esenciales para la resoluci ón y que no son evidentes. Este tipo de planteamientos suele ser fuente de frustraci ón para los estudiantes puesto que les transmite la sensaci ón de que se está resolviendo el problema mediante una idea feliz o apartada de una l ógica de procedimiento. También pueden inducir a la creencia err ónea de que el esfuerzo debe concentrarse principalmente en las destrezas matemáticas y en la obtención de la solución de ecuaciones y no fomenta la práctica de detenerse a pensar cr íticamente en los aspectos f ísicos de los problemas. En la fase de planteamiento se pasa de una situaci ón más o menos real a un modelo f ísico-matemático. Esta es, en nuestra opini ón, una de las etapas más delicadas de la resoluci ón, que no es fácilmente reducible a una mera sucesi ón de pasos programables debido, entre otras cosas, a la diversidad de situaciones con que nos podemos encontrar y a la complejidad de los problemas reales. Ello hace que esta fase sea resuelta de una manera artesanal en la que la intervenci ón humana es imprescindible. Entendemos que es posible desarrollar aptitudes para el planteamiento de problemas mediante ejemplos seleccionados que aporten al lector unos caminos de razonamiento sistemático y que salven la brecha entre los fundamentos te óricos y la aplicación concreta ya que, como no podr ía ser de otra manera, es en el entendimiento de la teor ía en lo que se basa el desarrollo de capacidades para su aplicaci ón. Ésta ha sido la motivaci ón fundamental que nos ha animado a escribir la presente obra. En lo que sigue se explican su estructura y aspectos más destacables. La obra se ha estructurado en dos partes. La primera parte incluye un compendio de la teoría electromagnética en el que se catalogan los diferentes conceptos y proposiciones dentro de alguna de las siguientes clases:
PRÓLOGO
i ) definiciones, ii ) leyes f ísicas o matemáticas que relacionan entre s í los conceptos definidos en i ) y, finalmente, iii ) hipótesis, tanto en la forma de condiciones previas como de proposiciones
cuyo cumplimiento no está demostrado, que delimitan las condiciones de validez de las definiciones y leyes referidas en i ) y en ii ). En nuestro campo de aplicaci ón del conocimiento formal consideramos que, a la hora de postular un modelo, es de suma importancia hacer expl ícitas todas las hipótesis adoptadas con objeto de, por una parte, verificar la adecuaci ón del modelo a la situación real y, por otra, tener constancia de sus l ímites de aplicabilidad. Por ello, hemos puesto un gran cuidado en acompañar las definiciones y leyes de las correspondientes hip ótesis bajo las cuales son válidas. Cabe objetar que, en la mayoría de las ocasiones, este trabajo es poco ventajoso, bien porque las condiciones de validez son obvias o bien porque ello hace más farragosas las exposiciones, pero nuestra experiencia nos ha animado a hacerlo de esta manera en la creencia de que el sistematismo seguido en la parte te órica dará pautas al lector a la hora de enfrentarse a la resolución de los problemas. Aunque el carácter de esta parte te órica es el propio de un manual, con pocos ejemplos ilustrativos y dando prioridad al sistematismo y a la concisi ón, hemos dado al tema 7 un tratamiento más extenso, incluyendo la descripci ón de algunos casos teóricos de interés (v.g., la definici ón y tipos de campos cuasiestacionarios o el establecimiento, a partir de las leyes de Maxwell bajo la aproximaci ón cuasiestacionaria, de los modelos de circuitos), pues hemos detectado que son temas raramente detallados en la literatura existente y no es fácil encontrar explicitadas las hipótesis de validez de los mismos. Hemos puesto también un gran cuidado en que la notaci ón fuese sistemática e inequívoca. Por ejemplo, las fuentes de los campos electromagnéticos (cargas y corrientes) se designan genéricamente con una misma letra ( ρ para las cargas y J para las corrientes) y es en los sub índices en donde se matiza su grado de concentración espacial (volumétrica, superficial, lineal) y su naturaleza (libre, de polarización, de magnetización, etc.). Por otra parte, siempre indicamos con el s ímbolo del acento circunflejo las magnitudes complejas empleadas, tanto vectoriales como escalares. La segunda parte de esta obra es una colección de problemas resueltos. En ella se focaliza la atenci ón del lector en dos aspectos esenciales del proceso de resolución de problemas de electromagnetismo: la utilizaci ón de una metodología de resolución sistemática y el establecimiento de una clara conexi ón con los fundamentos teóricos. Incluye 73 problemas clasificados en cinco grupos según
PRÓLOGO
su modelo electromagnético, recorriendo los tipos más representativos de los problemas clásicos de la disciplina. En cada problema se explica con sumo detalle los pasos importantes del planteamiento, qué hip ótesis relevantes son de aplicaci ón y se justifica el modelo electromagnético escogido. También en cada problema se identifican claramente las expresiones te óricas a aplicar utilizando la misma numeración que tienen en el compendio de teor ía. La estructura de cada problema es como sigue: El tratamiento de cada problema comienza con la fase de planteamiento, que hemos desglosado en dos apartados. En el primer apartado, “Elecci ón del modelo”, dedicamos un espacio a hacer inventario de las posibles fuentes de los campos y, en funci ón de su dependencia temporal, establecer a qué modelo electromagnético se ajusta el problema concreto. Hacemos un análisis teniendo en cuenta qué datos se dan en el enunciado y cuáles son las magnitudes inc ógnita y qué ley o conjunto de leyes (que, l ógicamente, pertenecerán al antedicho modelo electromagnético) permiten la resolución del problema. El segundo apartado, “Búsqueda de posibles simplificaciones”, incluye la reducción del número de variables espaciales aplicando razonamientos basados en las simetrías y en los tamaños relativos ( órdenes de magnitud) de las magnitudes que intervienen. También se incluyen en este apartado otros razonamientos que puedan permitir una simplificaci ón del problema o facilitar su resoluci ón, tales como la aplicación del principio de superposición. A continuación de la fase de planteamiento viene la que denominamos “Resolución”. Se incluye aquí la escritura de las ecuaciones de los campos, eventualmente la de sus proyecciones sobre los ejes coordenados y la reducci ón y obtención de la solución del sistema de ecuaciones resultantes. En esta etapa intentamos establecer claramente cuáles son las ecuaciones de partida, pero no insistimos demasiado en el detalle de los desarrollos matemáticos, dando algunos resultados intermedios donde pensamos que ello puede facilitar al lector el seguimiento de los cálculos. Además, el empleo exhaustivo de numeraci ón de las expresiones y de la indicación de cuáles se están utilizando en cada paso hace diáfano el proceso. Cuando existen varios caminos posibles de resoluci ón de un problema los indicamos e, incluso, resolvemos detalladamente algunos problemas por cada uno de esos caminos, lo cual creemos enriquecedor ya que permite al lector su comparación. En una última fase se incluye una “Discusión del resultado” cuando estimamos que aporta ideas o contribuye a desarrollar en el lector herramientas de análisis y hábitos de crítica. Por ejemplo, ocasionalmente se analiza la coherencia dimensio-
PRÓLOGO
nalyseverificasilasoluci ón obtenida converge, dando valores extremos a algunos de los parámetros de la soluci ón, a la de casos más simples conocidos. Como requisitos previos para abordar esta obra con pleno aprovechamiento, es aconsejable que el lector disponga ya de los conocimientos de f ísica del nivel a ) mencionado, as í como de las herramientas matemáticas propias de un curso básico de análisis vectorial y de ecuaciones diferenciales. Quedan fuera del alcance de esta obra los temas que habitualmente se inclu yen tras el estudio de las ondas en medios semiinfinitos: l íneas de transmisi ón, guías de onda y antenas, as í como temas más propios de cursos de f ísica teórica como la teor ía de la relatividad, el estado s ólido, radiación, etc. En los apéndices se han incluido tablas sobre notaciones, unidades y operadores matemáticos de uso frecuente. También se incluye una recopilaci ón de todas las hipótesis empleadas a lo largo de la obra, cada una identificada con una numeración que indica la secci óndelaparteteórica en que fue utilizada por primera vez, seguida del número de orden de aparici ón dentro de la secci ón. Los autores expresan su agradecimiento a los compañeros del Departamento de Física Aplicada de la Universidad de Vigo con los que compartieron la docencia del electromagnetismo por sus contribuciones y apoyo para la consecuci ón de la presente obra, especialmente a los profesores José Carlos L ópez Vázquez y Ángel Manuel Fernández Doval. También agradecen al profesor Virgilio Rodríguez de Miguel sus útiles comentarios sobre la convergencia de las series del Problema 2.8, a D. Jesús del Val García la ejecución de las figuras del Apéndice 4 y a Dña. Mar ía J. Villar Alonso la asistencia técnica en la edici ón del texto. Hacen constar igualmente su gratitud al equipo de producción de la Editorial Reverté, S.A. y en particular a D. Julio Bueno y a Mercè Aicart por su exquisito y minucioso trabajo de revisi ón y maquetaci ón. Finalmente y de forma especial, agradecen a todos los que han sido sus alumnos a lo largo de estas tres décadas el proporcionarles la raz ón de ser de su actividad docente as í como la oportunidad de realimentarla y el est ímulo para mejorarla.
Problemas resueltos PROBLEMA 2.1 Una carga Q f está repartida uniformemente sobre una media corona circular de radio interior R i y radio exterior R e . Si el medio que la circunda es el vacío, se pide: Hallar el campo eléctrico en los puntos del eje de revolución.
S
Figura 1
1. Elección del modelo 1.1. Análisis de las fuentes Por ser el medio el vacío cumple las hipótesis: H1.5−1 (m edio is ótr o po y l in ea l) y H1.5−3 (m edio h om o g éneo ) ,
por lo que la permitividad eléctrica tiene el mismo valor en todos los puntos del medio:
2
PROBLEMA 2.1
= o , ∀r del
medio
[1]
lo cual asegura que no va a existir carga de polarizaci ón: ρp = 0 , ∀t , ∀r del medio
[2]
También cumple la hip ótesis: H1.11−1 (m edio die léctr ic o pe rf e ct o ) ,
es decir, su conductividad eléctrica es nula: σ = 0 , ∀r del medio
[3]
lo cual asegura que la distribuci ón de carga libre no va a variar con el tiempo: ∂ ρ f ∂ t
= 0 , ∀t , ∀r
interior al dominio
[4]
1.2. Análisis de las condiciones de contorno En este problema, por no existir fronteras entre diferentes medios, consideraremos la distribución superficial de carga como interior al dominio, dominio que ocupa todo el espacio. Por ello, las únicas condiciones de contorno aplicables son las de regularidad en el infinito puesto que las fuentes ocupan un dominio finito. 1.3. Identificación del tipo de problema Como ni las fuentes ρt en el interior del dominio ni las condiciones de contorno dependen del tiempo, el problema cumple la hip ótesis: H2.1−3 (pr ob l e ma e le c tr os tát ic o ).
En este caso, como se conoce el valor de la carga en todos los puntos del espacio, podemos abordar la soluci ón del problema mediante la aplicaci ón directa de la ecuación [2-17] o de la [2-18]. El problema se reduce, en ambos casos, al planteamiento directo de una simple integral y su consiguiente integraci ón.
2. Búsqueda de posibles simplificaciones En la resolución de esa integral conviene tener en cuenta las simetr ías del problema. En particular, la simetr ía con respecto al plano z y dado que las proyecciones sobre el eje x de los campos eléctricos debidos a dos elementos diferenciales de
3
PROBLEMA 2.1
carga simétricos con respecto a ese plano se anulan entre s í puesto que tienen el mismo módulo y direcciones contrarias.
3. Resolución Como la carga libre Q f se reparte uniformemente sobre la superficie de la media corona, la densidad superficial de carga ρ f s será: Q f =
1 π R e2 − R i2 ρ f s 2
[5]
Por tanto, teniendo en cuenta el sistema de ejes de coordenadas elegido en la Figura 1, tomamos como elemento diferencial de carga: [6]
d q f = ρ f s r d r d φ
En la misma figura se deduce que el campo eléctrico d E en un punto genérico P del eje z debido a ese elemento diferencial de carga puede descomponerse, en el plano definido por ese eje z y el vector de posici ón del elemento diferencial de carga, en sendas componentes según el eje z y paralela al plano x y : d E z , y d E . 3.1. Cálculo de la componente E z 3.1.1. M edia nt e l a i nt eg ra c i ó n di re ct a de l c am po
Según [2-18], la expresión de la componente d E z es: d E z ( 0,0, z ) =
ρ f s r d r d φ d q = γ cos 4πo z 2 + r 2 4πo z 2 + r 2
R e
E z ( 0,0, z ) =
z 2 + r 2
π
ρ f s r z
R i
=
z
4πo
3/2 z 2 + r 2
1
ρ f s z
4o
z 2 + R i2
d r d φ =
−
0
1
z 2 + R e2
[7]
en donde sustituyendo el valor de ρ f s de la ecuaci ón [5]:
E z (0,0, z ) =
Q f
2πo R e2 − R i2
1
R i2 1+ 2 z
−
1
R e2 1+ 2 z
[8]
4
PROBLEMA 2.1
3.1.2. M edia nt e l a i nt eg ra c i ó n de l a e xpr esi ón de l po t en c ia l
Teniendo en cuenta la ecuaci ón [2-5] , en el punto genérico P del eje z se tiene:
E z ( 0,0, z ) d z = −d V ( 0,0, z ) = − V x = y = 0, z + d z − V x = y = 0, z
∂ V x = y = 0, z ⇒ E z ( 0,0, z ) = − ∂ z
⇒ [9]
El potencial en el punto (0,0, z ) se puede obtener mediante la integraci óndela ecuación [2-17]: d V =
ρ f s πr d r
4πo
⇒
r 2 + z 2
R e
V ( 0,0, z ) =
ρ f s
4o
R i
por lo que el campo será:
E z (0,0, z ) = −
r
r 2 + z 2
d r =
∂ V ρ f s z = ∂ z 4o
ρ f s
4o
R e2 + z 2 −
1
z 2 + R i2
−
R i2 + z 2
[10]
[11]
1
z 2 + R e2
La ventaja de este camino para hallar el valor de E z estriba en que la integral [7] es, en general, más dificultosa de resolver que la doble operaci ón de integrar la [10] y derivar su resultado para obtener el campo. 3.2. Cálculo de la componente E y mediante la integración directa del campo Con respecto a la otra componente, E , de la Figura 2 se desprende que, teniendo en cuenta que la carga tiene simetr ía respecto al plano z y , la componente E x se anula y la componente E y viene dada por:
Figura 2
5
PROBLEMA 2.2
d E y ( 0,0, z ) = d E (0,0, z ) sen φ = d E (0,0, z ) sen γ sen φ = ρ f s r d r d φ r = sen φ 2 2 + π z r 4 o z 2 + r 2
R e
ρ f s
E y (0,0, z ) =
R i
=
E y ( 0,0, z ) =
4πo
ρ f s
2πo
Q f
π2 o R e2 − R i2
π
r 2
3/2 z 2 + r 2
ln
R e +
[12]
sen φ d φ =
d r
0
R e2 + z 2
+
R i
−
R e
R e2 + z 2 R i + R i2 + z 2 R i2 + z 2 R e + R e2 + z 2 R i R e − + ln R e2 + z 2 R i + R i2 + z 2 R i2 + z 2
[13]
[14]
El cálculo de la componente E y v ía integración de la expresión del potencial resulta muy laborioso puesto que habr ía que calcular el potencial en puntos fuera del eje z .
PROBLEMA 2.2 Una cáscara esférica metálica, aislada y descargada, tiene en su interior una carga puntual de valor Q a una distancia d de su centro. Se pide: Hallar el valor del potencial en todos los puntos del espacio.
S
Figura 1
1. Elección del modelo 1.1. Análisis de las fuentes Existen tres dominios: Dominio 1: r < a
125
PROBLEMA 2.17
PROBLEMA 2.17 Un condensador de placas planoparalelas de longitud L , ancho b y separación entre placas h tiene la región entre éstas llena con una plancha dieléctrica de permitividad eléctrica relativa r constante. El condensador se carga mientras está conectado a una batería que proporciona una diferencia de potencial V 0 , desconectándose de la misma una vez cargado. A continuación se extrae parcialmente la plancha dieléctrica hasta que la porción que queda entre las placas tenga una longitud x m . Se pide: a) Calcular la ddp entre las placas del condensador. b) Calcular la fuerza eléctrica sobre la plancha dieléctrica, tanto para un proceso elemental a carga constante como a potencial constante.
S
Figura 1
1. Elección del modelo Dado que el enunciado dice que la permitividad eléctrica del dieléctrico introducido es constante, supondremos que, tanto este medio como el aire, cumplen las hipótesis: H1.5−1 (m edio is ótr o po y l in ea l) y H1.5−3 (m edio h om o g éneo ) ,
por lo que las permitividades eléctricas de la plancha dieléctrica m = o r y del aire a = o , tienen el mismo valor en todos los puntos de cada medio a
, m = C t e , ∀r de cada medio
También supondremos que cumplen la hip ótesis: H1.11−1 (m edio die léctr ic o pe rf e ct o ) ,
[1]
126
PROBLEMA 2.17
es decir, sus conductividades eléctricas respectivas son nulas: σa = σm = 0 , ∀r de cada medio
[2]
El enunciado nada dice acerca de los momentos en los que se realizan las mediciones de los potenciales, antes y después de sacar parcialmente la placa dieléctrica. Denominaremos al estado inicial, Figura 1, con sub índice 0 y al genérico con la plancha desplazada, Figura 2, sin sub índice. Supondremos que dichas mediciones tienen lugar una vez que el sistema haya alcanzado el estado estacionario. Bajo esta suposici ón el problema cumple, en cada estado, la hip ótesis: H2.1−3 (pr ob l em a e le c tr os tát ic o ) .
La fuerza sobre un elemento, dieléctrico o conductor, en un campo electrostático puede obtenerse mediante el cálculo del gradiente de la energía electrostática W e tal como se expuso en la Subsecci ón 2.4.4. de la parte te órica. En nuestro caso esa fuerza puede calcularse mediante las expresiones [2-58] o [2-64], según se escoja un proceso virtual a carga o a potencial constante respectivamente. En este problema discutiremos la conveniencia de una u otra elecci ón. La energía W e se puede hallar en funci ón de los campos mediante la expresión [ 2-50]. Las cargas libres se encuentran en la superficie de las placas con una distribución ρ f s desconocida y, además, existirá una distribuci ón de carga de polarización superficial ρp s también desconocida, por lo que no es posible obtener el campo E mediante la integraci ón directa de la ecuaci ón [2-15]. No obstante, se trata de un problema electrostático muy similar a otros resueltos anteriormente (véase, p. ej., el Problema 2.14), que está totalmente determinado mediante los potenciales de las placas del condensador y cuya soluci ón se puede hallar mediante la integracióndelaecuaci ón de Laplace [2-32] para V ( r). Conocido este potencial, el campo se hallaría a través de la ecuaci ón [2-5].
2. Búsqueda de posibles simplificaciones El enunciado nada indica acerca de las relaciones entre las dimensiones del condensador. Cuando la distancia entre placas, h , no es pequeña respecto a las dimensiones L y b de las mismas, las líneas del campo eléctrico tendrán una distribuci ón del tipo representado en la Figura 1. a ). En ese caso, la integraci ón de la ecuaci ón de Laplace no es sencilla, siendo uno de los caminos más recurridos el de la utilización de métodos numéricos. Las condiciones de frontera que deben verificar los campos son las [2-7] y [2-8.a ] que, en el caso de la frontera entre los dieléctricos y la placa superior, Figura 2, quedan:
127
PROBLEMA 2.17
D az = ρ f s a
[3]
D mz = ρ f s m
[4]
E ax = E mx = 0
[5]
donde el primer subíndice de cada campo, a o m , indica el medio y el segundo subíndice (z o x ) indica la componente del campo. Además, ρ f s a es la densidad superficial de carga libre en la zona de la placa superior en contacto con el aire y ρ f s m la correspondiente al contacto con la plancha. Por otra parte, las condiciones en la frontera entre los dieléctricos serán: D ax = D mx
[6]
E az = E mz
[7]
Para el estado inicial se obtendr ía un conjunto de ecuaciones similar. Las condiciones [5] y [6] se verifican si se cumple que el campo eléctrico es, en todos los puntos del espacio entre las placas del condensador, perpendicular a dichas placas, es decir: E (r) = E z (x , z ) a z
[8]
tal como se muestra en la Figura 2. Aunque, tal como se ve en la Figura 1. a ), este no es el caso, la resolución exacta de la ecuación de Laplace demostraría que la aproximación propuesta es aceptable en todo el volumen entre placas excepto en una zona periférica de anchura similar a la distancia h entre las mismas (zona en la que se manifiestan los denominados efectos de borde). Si imponemos a la aproximaci ón [ 8] que el potencial resultante satisfaga la ecuaci ón de Laplace, resulta que E es uniforme en todo el espacio entre las placas ya que, ∇E (r) = 0
⇒
∂ E z (x , z ) = 0 ⇒ E (r) = E z (x ) a z ∂ z
[9]
y, al ser la caída de potencial entre placas V P independiente de x , placa inferior
V P =
E (r) · d r = h E z (x ) = f (x ) ⇒
placa superior
⇒
E (r) = E z a z , con E z = C t e
[10]
Para que sea aceptable la aproximaci ón [10], es necesario que se verifique el resto de las condiciones de frontera: efectivamente, [10] garantiza que la condición
128
PROBLEMA 2.17
[7] se cumple y el cumplimiento de [ 3] y [ 4] nos permitirá obtener
las densidades
superficiales de carga. Para obtener una soluci ón analítica aproximada del problema supondremos: h L , b
[11]
Entonces, el volumen donde son apreciables los efectos de borde es pequeño y no se comete un gran error si se desprecian dichos efectos, lo cual es lo mismo que suponer que el campo E es perpendicular a las placas y constante en m ódulo en todo el volumen entre las mismas y nulo fuera de ese dominio, tal como se representa en la Figura 1.b ) y en la Figura 2. Entonces, a partir de ahora, prescindiremos del subíndice z en las expresiones de los campos E y D y de los subíndices a y m en las de los campos E: E mz 0 = E 0 = C t e ,
E az = E mz = E = C t e
D mz 0 = D m0 ,
D mz = D m
D az 0 = D a0 ,
D az = D a
[12]
[13]
3. Resolución 3.1. Apartado a) De acuerdo con lo anterior, la aplicación de [4], [10], [ 12] y [2-21] y al caso representado en la Figura 1. b ), conduce a: V 0 = E 0 h ⇒ E 0 =
V 0 D m0 ρ f s m0 = = h m m
[14]
habiéndose utilizado el sub índice m para indicar que se trata de un punto interior a la plancha dieléctrica y el sub índice 0 para indicar que corresponde al estado inicial. De [14] se deduce: Q 0 =
ρ f s m0 d s = ρ f s m0b L = m
placa superior
Figura 2
b L V 0 h
[15]
129
PROBLEMA 2.17
y la capacidad del condensador será: C 0 =
Q 0 b L = m V 0 h
[16]
Cuando se desconecta la bater ía, esta carga libre Q 0 sobre las placas del condensador se mantiene, incluso después de desplazada la plancha dieléctrica la distancia x m , Figura 2. Lo que ya no se puede asegurar es que dicha carga se distribuya uniformemente sobre toda la superficie de la armadura del condensador. De [ 3], [ 4], [ 10], [ 12], [13] y [2-21] se obtiene: ρ f s a = D a = a E = a
V P h
ρ f s m = D m = m E = m
V P h
[17.a ] [17.b ]
Por estar el condensador aislado, la carga libre en la placa superior no ha variado: Q 0 =
ρ f s d s = Q a + Q m = ρ f s a (L − x m ) b + ρ f s m x mb =
placa superior
= [a (L − x m ) + m x m ]
b V P h
[18]
De [16] y [18] se tiene: V P =
L V 0 L + (r − 1) x m
[19]
V P h
[20]
r
y de [10] y [12]: E =
viniendo V P dado por [19]. 3.2. Apartado b) 3.2.1. M edia nt e l a de ri vada de l a e ne rg í a e léctr ic a t ot al a c ar ga c o ns t an t e
En la posición de la plancha dieléctrica correspondiente a la Figura 2, la energ ía del condensador en este caso será, de [12], [19], [20], [2-21] y [2-50]:
130
PROBLEMA 2.17
W e =
1 2 1 1 2 2 E d v = o E b h ( L − x m ) + o r E b hx m = 2 2 2
sistema 2 2 2 L V b 1 b 0 r 2 1 = o [L + (r − 1) x m ] V P = o 2 h 2 h L + (r − 1) x m
[21]
Otra forma de calcular W e es mediante [2-49.a]: 1 2
W e = C V P2
[22]
siendo C la capacidad del condensador, que se deduce de [18]: Q 0 b b = [a (L − x m ) + m x m ] = o [ L + (r − 1) x m ] C = V P h h
[23]
La fuerza a la que está sometida la plancha dieléctrica se obtendrá mediante: ∂ W e F = − ∂ x m =
b 2 L 2 1 2 = o r ( r − 1) V 0 2 = h 2 − [ + ( ) ] L x 1 m r Q
b 2 1 V o (r − 1) h P 2
[24]
siendo el sentido de F el del movimiento de la plancha para valores de x m crecientes, es decir, el de la Figura 2. Por tanto, la fuerza eléctrica F tiende a introducir el dieléctrico en la región entre placas. Otra forma de obtener F es utilizando [2-58], [22] y [23]: ∂ W e F = − ∂ x m =−
Q
Q 02 ∂
=−
1
2 ∂ x m C
∂
1 C V P2 2
∂ x m
=−
=−
Q
Q 02
2
∂
1 Q 02 2 C
∂ x m
=
Q
(r − 1)
h
[ L + (r − 1) x m ]2 b
[25]
o
que, teniendo en cuenta [16] o [18], coincide con [24]. 3.2.2. M edia nt e e l cálcul o di re c t o de l a va ri a ci ó n de e ne rg í a e léctr ic a t o ta l a c ar g a 3.2.2. c on s t an t e
En la Figura 3 se representan dos posiciones infinitamente pr óximas de la plancha dieléctrica: en el estado 1 la plancha está introducida una distancia x m y en el estado 2 una x m + d x m .
131
PROBLEMA 2.17
Figura 3 La energía de todo el sistema en el estado 1 será la integral de la densidad de la energía electrostática, w e . De [2-50], [2-21] y [12]: W e1 =
w e1 (r) d v =
sistema
=
1 2 o E d v + 2
aire
=
1 1 1 2 2 2 m E d v = o E b h ( L − x m ) + m E b hx m = 2 2 2
plancha
1 2 o b h E [ L + (r − 1) x m ] 2
[26]
y la energía en el estado 2 será: W e2 = W e1 + δW e = =
w e2 (r) d v =
sistema
=
1 2 o ( E + d E ) d v + 2
aire
1 2 m (E + d E ) d v = 2
plancha
1 2 o ( E + d E ) b h [ L + (r − 1) x m + (r − 1) d x m ] = 2
1 = o E 2 + 2E d E b h [L + (r − 1) x m + (r − 1) d x m ] 2
[27]
donde en el último paso se ha despreciado el infinitésimo proporcional a d E 2 por ser de orden superior.
132
PROBLEMA 2.17
La variación de energía, por tanto, será: 1 δW e = o b h E 2 (r − 1) d x m + 2E d E [ L + (r − 1) x m ] + 2E d E (r − 1) d x m 2
[28]
expresión en la que es despreciable el último sumando frente a los otros dos (por tratarse de un infinitésimo de orden superior) y en la que habrá que hallar d E , ya que éste depende de x m y de d x m . Como el proceso es a carga constante y teniendo en cuenta que en la superficie de las armaduras del condensador ρ f s viene dado por [17], [29]
Q 0 = Q a + Q m = Q a + d Q a + Q m + d Q m Q a + d Q a = a (E + d E ) (L − x m − d x m ) b Q m + d Q m = m (E + d E ) (x m + d x m ) b
[30.a ] [30.b ]
de donde: E [ L + (r − 1) x m ] = o E [ L + (r − 1) x m ] + o E (r − 1) d x m +
o
+ o d E [ L + (r − 1) x m ] + o d E ( r − 1) d x m
[31]
de donde, despreciando el último sumando, fácilmente se deduce: d E = −E
(r − 1) d x m
L + (r − 1) x m
[32]
Sustituyendo este valor de d E en la expresión [28] de δW e se obtiene: δW e = −
1 2 o b h E (r − 1) d x m 2
[33]
La fuerza pedida se obtendrá, finalmente: ∂ W e F = − ∂ x m
Q
=−
δW e 1 b = o (r − 1) V P2 d x m 2 h
[34]
3.2.3. M edia nt e l a de ri vada de l a e ne rg í a e léctr ic a t o ta l a po te nc ia l c on s t an t e
Calcularemos la fuerza de manera análoga a como se ha hecho en el Punto 3.2.1, pero empleando [2-64] en lugar de [2-58]. La expresióndelaenerg ía es, como en el caso anterior, la [22]. Sustituyendo en ella el valor de la capacidad dado por [23], resulta:
133
PROBLEMA 2.17
1 2
W e (x ) = C V P2 =
y la fuerza será: F =
∂ W e ∂ x m
1 b [L + (r − 1) x m ] V P2 o 2 h
V
=
b 2 1 o (r − 1) V h P 2
[35]
[36]
3.2.4. M edia nt e e l cálcul o di re ct o de l a va ri a ci ó n de e ne rg í a e léctr ic a t ot al 3.2.4. a po te n c ia l c o ns ta n t e
Siguiendo el proceso llevado a cabo en el Punto 3.2.2 pero, en este caso, a potencial constante tenemos que: * El estado 1 será igual que en el Punto 3.2.2, * En el estado 2, teniendo en cuenta [20]: V P2 = V P1 ⇒ d V P = 0 ⇒ d E = 0
[37]
y de [37], [2-21] y [2-51] se puede escribir: 1 2
w e2 (r) − w e1 (r) = E 2 [2 (r) − 1 (r)]
[38]
de donde queda claro que la densidad de energ ía electrostática permanece invariable en el desplazamiento virtual excepto en el elemento diferencial de volumen d v en que la permitividad ha variado al ser invadido el aire por la plancha dieléctrica. Por tanto, podemos escribir: δW e = ( w e2 − w e1 ) b h d x m =
1 2 o ( r − 1) E b h d x m 2
[39]
La fuerza, entonces, será: ∂ W e F = ∂ x m
δW e 1 b 1 = = o (r − 1) E 2b h = o (r − 1) V P2 d x m 2 h 2 V
[40]
4. Discusión del resultado Como se ha demostrado, los cuatro métodos expuestos en los Puntos 3.2.1 a 3.2.4 dan el mismo valor de la fuerza F , resultado lógico puesto que F es la superposición de fuerzas de Coulomb y éstas s ólo dependen de la configuración de las cargas en el estado en el que se calcula F y no de cómo se hace evolucionar el sistema para calcularla. Aunque a la vista de la expresi ón [24] la fuerza depende de x m , esto solo es as í si el condensador se mantiene aislado. En la misma expresi ón [24] se demuestra
134
PROBLEMA 2.18
que, si se expresa en funci ón del potencial actual V P , la fuerza es independiente de x m . Por tanto, si se mantuviese el potencial entre placas constante, observar íamos que para extraer el dieléctrico har ía falta una fuerza constante. De todas formas, debemos tener en cuenta una limitaci ón del modelo empleado para resolver el problema, consistente, según se expuso en el Apartado 2, en que hemos despreciadolos efectos de borde. Por ello, noes de esperar que la expresi óndelafuerzaobtenida siga siendo válida cuando el elemento de volumen en el que hay variaci ón de energía al efectuar un desplazamiento virtual está contenido en las zonas donde tienen lugar los efectos de borde. Concretamente, esos casos son cuando el dieléctrico está totalmente introducido (lógicamente la fuerza es cero, en desacuerdo total con la expresión [24]) y cuando está a punto de ser totalmente extra ído (en cuyo caso la fuerza adquiere un valor no nulo pero es más complicada de evaluar). Comparando los cuatro métodos de resolución, parece claro que, para la geometría de este problema, resulta más sencillo el cálculo mediante un proceso virtual a potencial constante. En general, cuando el campo eléctrico es paralelo a la frontera que se desplaza, suele resultar más sencillo el método de los desplazamientos virtuales a potencial constante.
PROBLEMA 2.18 En la figura se muestra un condensador de placas planoparalelas rectangulares, idénticas, de dimensiones a × b y cuyo dieléctrico es el aire. La armadura inferior está fija sobre un plano horizontal (plano X Y ), mientras que la superior tiene posibilidad de trasladarse tanto en la dirección OX como en la OY , manteniéndose constante la distancia entre placas h (siendo h a , b ) y la ddp V o entre ellas. Se pide:
Calcular, para una posición x , y dada de la armadura superior y suponiendo que está en reposo, la componente paralela al plano X Y de la fuerza sobre dicha armadura.
S
1. Elección del modelo Como la armadura que puede desplazarse está en reposo y como en todo instante la ddp entre armaduras es constante, el problema cumple la hip ótesis: H2.1−3 (pr ob l em a e le c tr os tát ic o ) .
150
PROBLEMA 2.20
PROBLEMA 2.20 El sistema de la figura representa un voltímetro electrostático que consiste en un disco dieléctrico de radio R 1 al que está unido el electrodo A, constituido por dos sectores opuestos de ángulo θ o y radio externo R 2 . El conjunto puede rotar alrededor de su eje de revolución. El otro electrodo, B, rodea al anterior sin tocarlo y consiste en una caja cilíndrica de altura interior h a la que se le han vaciado dos sectores del mismo ángulo θ o así como dos discos de radio R 1 en los centros de sus tapas. El plano del electrodo A equidista de los planos de las tapas de B y el medio que rodea a ambos electrodos es el aire. Suponiendo que se aplica una diferencia de potencial constante V o entre ambos electrodos y que, en una primera aproximación, se pueden despreciar los efectos de borde, se pide: Calcular, para la posición mostrada en la figura, el par de fuerzas a que está sometido el electrodo A, indicando claramente su sentido.
S
Figura 1
1. Elección del modelo Puesto que el enunciado nos pide calcular unas fuerzas de origen electrostático, supondremos que se cumple la hip ótesis: H2.1−3 (pr ob l e ma e le c tr os tát ic o ).
Para calcular las fuerzas y los pares de fuerzas se puede utilizar el método de los desplazamiento virtuales, método que está relacionado con la energ ía electrostática y cuya teor ía se expuso en la Subsección 2.4.4. Allí se obtuvieron las expresiones
151
PROBLEMA 2.20
de las acciones mecánicas para desplazamientos virtuales en los casos de carga y potencial constantes, por lo que se debe intentar discernir cuál de los dos caminos es el más apropiado en este caso. Para ello calcularemos primero la energ ía y después razonaremos la conveniencia de emplear uno u otro camino. La energía W e se puede hallar en funci ón de los campos mediante la expresi ón [2-50]:
1 1 E D · W e = d v = 2 2 V
E 2 d v
[1]
o
V
puesto que el dieléctrico es el aire.
2. Búsqueda de posibles simplificaciones Al despreciar los efectos de borde, puede considerarse que el campo eléctrico es nulo en todo el espacio excepto en los cuatro volúmenes cil índricos de base los sectores de ángulo θ y radio limitado por R 1 < r < R 2 , correspondientes al solape entre los electrodos A y B, y de altura h /2. En estos volúmenes el campo E es uniforme y perpendicular al electrodo A, Figura 1.
3. Resolución 3.1. Método 1 De la expresión [2-6] se obtiene: B
V A − V B = V o =
E · d r =E
h
2
⇒ E =
2 V o h
= C t e
[2]
A
Aunque el campo que nace en el electrodo A tiene sentidos opuestos a uno y otro lado de esa placa metálica, como la expresión de la energía depende del módulo del campo y no de su sentido, la densidad de energ ía es uniforme en todo el volumen donde existe campo y, a la vista de la mencionada figura, se podrá escribir: W e =
1 2V o o h 2
2
d v =
V
=
R 2
2o V o 2 R 22 − R 12 h
1 2V o o h 2
2
4 r θ d r
h
2
=
R 1
θ
[3]
152
PROBLEMA 2.20
Para calcular el par mecánico pedido, podemos aplicar las expresiones [2-60] o [2-65] pero, dada la forma de la expresi ón [3], es más directo el aplicar la [2-65]: τ=
∂ W e ∂ θ
El par pedido será, consecuentemente: τ=
[4]
V
2o R 22 − R 12 h
V o 2
[5]
3.2. Método 2 Al resultado obtenido en la expresión [3] se puede llegar obteniendo la energ ía del condensador mediante la capacitancia del sistema utilizando la expresi ón [2-49.a ]. En efecto, el sistema es equivalente a cuatro capacitores en paralelo, los correspondientes a los cuatro volúmenes antedichos en los que el campo no es nulo. Teniendo en cuenta que el área de la secci ón recta de cada uno de ellos es S =
R 22 − R 12 θ
2
[6]
la capacidad total será:
[7]
[8]
R 22 − R 12 θ o S o =4 C = 4 h /2 h
y la energía: 2− 2 R R 1 θ o 2 1 1 2 2 W e = C V = 4 V o h 2 2
que coincide, l ógicamente, con la obtenida anteriormente en [3]. A partir de aquí el cálculo del par mecánico seguiría los pasos dados en el método 1.
153
PROBLEMA 2.21
PROBLEMA 2.21 Se tienen dos placas metálicas delgadas muy extensas, conectadas ambas a tierra y situadas paralelamente a una distancia 3 L entre sí. En el espacio que queda entre ellas y equidistante de las placas hay una plancha dieléctrica, también muy extensa, de espesor L y permitividad 2 . Los espacios que quedan entre la plancha y las placas están rellenos de sendos líquidos de permitividades respectivas 1 y 3 . La entrecara de los dieléctricos 1 y 2 se ha rociado con una distribución uniforme de carga que, debido a su delgadez, se puede considerar superficial y de valor ρ f s 12 . Se pide: a) Calcular los campos eléctricos en todos los puntos de la región entre placas. b) Calcular la fuerza eléctrica por unidad de área que actúa sobre la plancha dieléctrica.
S
Figura 1
1. Elección del modelo 1.1. Análisis de las fuentes Para modelar el problema supondremos que todas las placas son doblemente infinitas. Los planos conductores a íslan una región del espacio en la que existen tres dominios que son los de interés en este problema: Dominio 1: 0 < x < L Dominio 2: L < x < 2L Dominio 3: 2 L < x < 3L
154
PROBLEMA 2.21
Dado que el enunciado nada dice acerca de la naturaleza de los dieléctricos que rellenan el espacio entre las dos placas metálicas, supondremos que esos medios materiales cumplen las hip ótesis: H1.5−1 (m edio is ótr o po y l in ea l) y H1.5−3 (m edio h om o g éneo ) ,
por lo que las permitividades eléctricas los puntos de cada medio i
= C t e , ∀r del
1
, 2 y 3 tienen el mismo valor en todos
medio i , siendo i = 1,2,3
[1]
También supondremos que cumple la hip ótesis: H1.11−1 (m edio die léctr ic o pe rf e ct o ) ,
es decir, sus conductividades eléctricas son nulas: σi = 0 , ∀r del medio i , siendo i = 1,2,3
[2]
lo cual asegura que la distribuci ón de carga libre interior a cada dominio no va a variar con el tiempo: ∂ ρ f i ∂ t
= 0 , ∀t , ∀r
interior al dominio i , siendo i = 1,2,3
[3]
El enunciado permite suponer, también, que: ∂ i = 0, ∀t , siendo i = 1,2,3 ∂ t
[4]
Teniendo en cuenta las expresiones de la teor ía [1-18], [1-24] y [1-49] y la anterior expresión [1] se deduce que existe proporcionalidad entre ρp v y ρ f v :
ρp v i = − 1 −
o i
ρ f v i , ∀t , ∀r del medio i , siendo i = 1,2,3
[5]
y también: ρt v i =
o
ρ f v i , ∀t , ∀r del medio i , siendo i = 1,2,3
i
[6]
De [3], [4] y [6] se deduce que: ∂ ρt i = 0 , ∀t , ∀r interior al dominio i , siendo i = 1,2,3 ∂ t
[7]
PROBLEMA 2.21
155
independientemente del valor que tomen las densidades superficiales ρ f s y ρp s de carga en las fronteras (tanto en las placas metálicas como en las fronteras dieléctricas) y de que el potencial a que están sometidas las placas metálicas sea o no función del tiempo. 1.2. Análisis de las condiciones de contorno Las condiciones de contorno corresponden a la distribuci ón de potencial en los planos metálicos y en las fronteras dieléctricas x = L y x = 2L . El análisis de los fenómenos que suceden dentro de los materiales conductores se efectuará en el cap ítulo que trata de la conducci ón estacionaria. En este caso, sucede que: a) la distribución de carga total en el interior de los tres dieléctricos no depende del tiempo, ecuaci ón [7], b) tampoco depende del tiempo la carga libre superficial ρ f s 12 , y c) los potenciales de referencia a los que están conectadas ambas placas no dependen del tiempo, por lo que se puede suponer que todas las distribuciones de carga inducida serán independientes del tiempo y que no existen corrientes en los conductores. Por tanto, el potencial en todo el volumen de cada conductor es uniforme e independiente del tiempo. Concretamente, el valor de ese potencial en ambas placas metálicas es nulo. Lo dicho en el párrafo anterior permite asegurar también que los potenciales en las fronteras x = L y x = 2L tampoco dependerán del tiempo. Por todo ello, las condiciones de contorno del problema no dependerán del tiempo. 1.3. Identificación del tipo de problema Según acabamos de ver, en los dominios 1, 2 y 3 ni las fuentes ρt en el interior de dichos dominios ni las condiciones de contorno dependen del tiempo. Por todo ello, el problema cumple la hip ótesis: H2.1−3 (pr ob l em a e le c tr os tát ic o ).
Los campos eléctricos pedidos se pueden resolver, dada la gran simetr ía del problema, aplicando directamente la ley de Gauss [2-2]. La fuerza sobre un elemento, dieléctrico o conductor, en un campo electrostático puede calcularse mediante el método de los desplazamientos virtuales tal
156
PROBLEMA 2.21
como se expuso en la Subsección 2.4.4. Esa fuerza puede calcularse mediante expresiones correspondientes a procesos virtuales a carga o a potencial constante, elección que efectuaremos posteriomente.
2. Búsqueda de posibles simplificaciones Debido a la simetr ía de traslación en las direcciones y , z tanto de las fuentes (cargas totales en el interior de los dominios) como de las condiciones de contorno, puede asegurarse que el potencial en todos los dominios va a ser independiente de las coordenadas y , z : V i ( r) = V i (x ) ,
i = 1,2, 3
[8]
y de [8] y [2-5], el campo eléctrico en los tres dominios debe ser de la forma: Ei (r) = E i (x ) a x , i = 1,2, 3
[9]
Di ( r) = D i (x ) a x , i = 1,2, 3
[10]
De [9] y [2-21]:
3. Resolución 3.1. Apartado a) La forma del campo Di ( r) dada por [10] posibilita el aplicar directamente la ley de Gauss, ecuación [2-2]
Di · d s = Q f i , i = 1,2, 3
[11]
S i
sin más que escoger convenientemente las superficies gaussianas de manera que se pueda aprovechar la simetr ía en D. Por ello se escogerán cilíndricas o prismáticas con las generatrices perpendiculares a las placas metálicas, unas enteramente en un mismo dieléctrico, superficies S 1 , S 2 y S 3 , tal como se muestra en la Figura 1, y otras con las bases a ambos lados de las fronteras, superficies S 12 y S 23 . La aplicaci ón de la ley de Gauss a cada una de ellas conduce a:
D · d s = [D i (x 2 ) − D i (x 1 )] ∆S = 0 ⇒
S i
⇒ D i (x 2 ) = D i (x 1 ) , i = 1,2, 3
siendo x 2 y x 1 las coordenadas de las bases de la superficie S i .
[12]
157
PROBLEMA 2.21
Teniendo en cuenta [12] y [2-21] resulta: [13]
E i (x 2 ) = E i (x 1 )
es decir, el campo eléctrico es uniforme dentro de cada dominio. Por otra parte, en la superficie S 12 que abarca dos dieléctricos se tendrá:
D · d s = (D 2 − D 1 ) ∆S = ρ f s 12 ∆S ⇒
S 12
[14]
⇒ D 2 − D 1 = ρ f s 12
Teniendo en cuenta [14] y [2-21] resulta: ρ f s 12 = 2 E 2 − 1 E 1
[15]
y en la superficie S 23 :
D · d s = (D 3 − D 2 ) ∆S = 0 ⇒ D 3 = D 2
[16]
S 23
Teniendo en cuenta [16] y [2-21] resulta: 3
[17]
E 3 = 2 E 2
Por otra parte, la aplicaci ón de la ecuación [2-6] a un segmento rectil íneo perpendicular a las placas y con sus extremos en ellas, l ínea A B C D de la Figura 1, y considerando [13] permite escribir:
E · d r = 0 = E 1 L + E 2 L + E 3 L ⇒ E 1 + E 2 + E 3 = 0
[18]
A BC D
De las ecuaciones [15], [17] y [18] se deducen fácilmente las expresiones de los distintos campos E 1 , E 2 y E 3 : E 1 = − E 2 = E 3 =
2 1 2
+ 3
3 1 2
[19]
ρ f s 12
[20]
ρ f s 12
[21]
+ 2 3 + 3 1 2
1 2
ρ f s 12
+ 2 3 + 3 1
+ 2 3 + 3 1
158
PROBLEMA 2.21
3.2. Apartado b) Para el cálculo de la fuerza por unidad de área que actúa sobre la plancha dieléctrica, y teniendo en cuenta que se trata de un s ólido rodeado de líquidos dieléctricos, utilizaremos, como se justific ó en la Subsección 2.4.4, el método de los desplazamientos virtuales, desplazando el s ólido (y, por tanto, las fronteras 1-2 y 2-3) una distancia d x y evaluando la variaci ón de energía electrostática entre los estados inicial y final.
Figura 2 La densidad de energía electrostática en cada estadoha de calcularse empleando el valor de los campos en dicho estado y los valores de las permitividades eléctricas también en dicho estado, valores que, como se ha dicho en la Subsección 2.4.4, por tratarse de un sólido lineal, homogéneo e isótropo en contacto conlíquidos dieléctricos descargados y también lineales, homogéneos e is ótropos, pueden considerarse constantes en cada medio con el desplazamiento virtual. Para facilitar el cálculo de la variaci ón de energía, interesa escoger unas condiciones para el desplazamiento virtual en las que la densidad de energ ía se mantenga invariable en todo el espacio excepto en el volumen barrido por las fronteras en el desplazamiento virtual. De esta manera, el incremento de energ ía entre los estados inicial (i) y final (f ) se reduce al habido en dicho volumen y, en cada estado, la energía correspondiente a ese volumen, por ser de espesor infinitesimal, se puede calcular simplemente multiplicando la densidad de energ ía por dicho volumen. Para que este cálculo sea válido es necesario que exista un volumen suficientemente extenso de cada l íquidoenlaregión exterior a las placas (por ejemplo, disponiendo las placas en una cubeta) de modo que, al realizar el desplazamiento virtual, la diferencia de volumen del l íquido barrido por la frontera m óvil entre placas sea suministrada (o absorbida) por la regi ón del líquido más alejada de las placas, en la que el campo eléctrico de borde ha ca ído a valores despreciables y,
159
PROBLEMA 2.22
conél,laenergíaasociadaalvolumendelíquido travasado a la región barrida entre placas. En nuestro caso, la condici ón antedicha se verifica si se supone el desplazamiento virtual a carga constante, ya que, en ese proceso, el vector D, en cada medio, no varía con el desplazamiento virtual. Entonces, aplicando [2-56] al volumen barrido por una secci ón de área ∆S , Figura 2: [22]
∆ F d x = − (W ef − W ei ) = −δW e
siendo ∆F la fuerza eléctrica sobre la porcióndelaplanchadeárea ∆S y su sentido el mismo que el del desplazamiento d x , es decir, del medio 2 hacia el 3. El incremento de energía será, de [2-51] y teniendo en cuenta que existe volumen barrido a ambos lados de la plancha dieléctrica: δW e = (w e1f − w e2i ) ∆S d x + (w e2f − w e3i ) ∆S d x
[23]
De [23] y [2-51]:
2 2 D 2i 1 D 1f − δW e = 2 1 2
1 D 12 D 32 − = 2 1 3
2 2 D 3i 1 D 2f − ∆S d x + 2 2 3
∆S d x = [24]
∆S d x
Despejando la fuerza de la expresi ón [ 22] y utilizando la [ 24] se obtiene la expresión de la fuerza por unidad de área: 1 =− =− ∆S ∆S d x 2
∆F
1 δW e
D 12 1
−
D 32 3
1 2 3 22 − 1 (2 + 3 )2 = ρ f s 12 Σ 2 2
[25]
siendo: Σ = 1 2 + 2 3 + 3 1
[26]
PROBLEMA 2.22 Una esfera conductora de radio a , inmersa en un líquido dieléctrico de permitividad que ocupa todo el espacio exterior a la esfera, está conectada a una fuente de fem V o y a una distancia D de su centro (D > a ) hay una carga libre puntual de valor Q . Se pide: Calcular el valor de la fuerza que actúa sobre la carga Q .
383
PROBLEMA 7.11
PROBLEMA 7.11 En el espacio vacíosetieneunalínea conductora rectilínea indefinida recorrida por una corriente I ( t ) y una espira cuadrada conductora de lado a , resistencia R y autoinductancia L , tal como se indica en la Figura 1. La espira se mueve perpendicularmente a la línea con una velocidad constante v , siendo ambas, en todo momento, coplanarias. Se pide: Hallar la ecuación diferencial que liga la intensidad I (t ) con la i (t ) que circula por la espira cuadrada.
Figura 1 S
1. Elección del modelo En el presente problema se plantea calcular cuál será la relaci ón entre la corriente i (t ) que circula por la espira y la corriente I (t ) que circula por la línea. Esta relación deberá buscarse en las leyes del electromagnetismo que encajen con los datos dados en el enunciado. En el caso más general debe tomarse el modelo ondulatorio, modelo que corresponde al conjunto de ecuaciones de Maxwell [1-4]-[1-7] y bajo el cual los conductores soportarán unas ciertas distribuciones de cargas y corrientes, pudiendo comportarse como sistemas radiantes o antenas. Dado que en el alcance impuesto a esta obra expresado en su Pr ólogo se ha excluido esa parte del electromagnetismo, haremos la suposición de que el sistema trabaja en régimen cuasiestacionario, en el que ya no tienen cabida los conceptos de radiaci ón ni de antena. Por tanto se asumirá la hip ótesis: H7.1−1 ( ap r ox i m ac i ó n cu asies ta c i o na ri a ).
384
PROBLEMA 7.11
En el marco cuasiestacionario el comportamiento de la espira puede describirse mediante la teor ía de circuitos aplicando el modelo expuesto en el Apartado 7.5.2.3 de la Parte Teórica con las matizaciones que se exponen a continuaci ón. En primer lugar, en este caso no son aplicables las hip ótesis:
σg = ∞ de f em si nu soida l de a mpl it u d εgo ) H7.5−6 (c ap a ci t or idea l de c ap a ci dad C ) H7.5−5 ( ge ne ra do r idea l
por no existir generadores ni capacitores en la espira. En segundo lugar, aunque adoptaremos la hip ótesis: H7.5−9 (l a fr e cu en c ia es s ufic ie nt em e n t e b a j a c o mo pa ra pode r s upo ne r qu e l a
de nsidad de c or r ie nt e J f v se dis tr ib uy e uni f or m e me n t e e n t oda l a se cc ió n de l c on d uct o r)
que es la definición de régimen de baja frecuencia, si fuese necesario se podr ía considerar el comportamiento en alta frecuencia: en ese caso habr ía que tener en cuenta que R y L serán funciones de la frecuencia tal como se expone en el Apartado 7.5.2.4 y, para una variaci ón temporal arbitraria de las magnitudes electromagnéticas, la asignaci ón de un único valor de R y L dejaría de tener sentido. En tercer lugar y finalmente, es necesario tener en cuenta que, por existir movimiento relativo entre la espira y la l ínea, no se verifica la hip ótesis: H7.5−4 ( e l c on junt o es rí gido y es ta c i o na r io e n e l m edio qu e l o r odea ).
Si los campos producidos por la l ínea fuesen despreciables, podr ía resolverse el problema en un referencial ligado a la espira respecto al cual todas las fuentes de campos electromagnéticos, cargas y corrientes, estar ían en reposo ya que el vac ío no aporta fuentes al campo. Como no es este el caso, será necesario considerar conjuntamente los campos creados por dos sistemas de fuentes, la l ínea y la espira, en movimiento relativo. Como el sistema más complejo es la espira y como, además, los parámetros R y L deben entenderse siempre como medidos en el referencial espira, es l ógico plantear las ecuaciones de circuito en el referencial espira considerando exclusivamente las cargas y corrientes por ella soportadas (modelo expuesto en el Apartado 7.5.2.3 de la Parte Te órica) y ampliar este modelo introduciendo los términos asociados con los campos producidos por la l ínea. Por otra parte, y por motivos de limitaci ón del alcance de esta obra, asumiremos la hipótesis: H5.1−1 (t odas l as ve lo c i dades qu e i nt er v ie ne n so n much o m e no re s qu e l a ve lo -
c idad de l a luz e n e l va cí o )
385
PROBLEMA 7.11
que garantiza que, para calcular los campos producidos por la l ínea en el referencial espira (que denotaremos con el subíndice “l” y el superíndice prima), es aplicable la transformación galileana, Sección5.2delaParteTeórica, a dichos campos tal como se ven desde el referencial l ínea (que denotaremos con el subíndice “l”), cuya obtención es fácil. Una vez conocidos los campos debidos a la l ínea medidos en el referencial espira, su efecto sobre la corriente i (t ) puede tratarse de la misma forma que los campos producidos por la propia espira ya que lo único relevante es el valor de los campos y no qué fuentes los han creado. En consecuencia, la modificaci ón a aplicar consiste en tomar como campo eléctrico E(r) en la expresión [ 7-113] la suma de los debidos a la espira Ee (r, t ) y a la línea E l (r, t ): E(r, t ) = Ee (r, t ) + E l (r, t )
[1]
lo que nos indica que a la hora de calcular la circulaci ón de [7-113] aparecerán dos términos, correspondientes a cada uno de los campos, en la expresi ón de la fem ε (t ) de la ecuación [7-138]: ε (t ) =
Ee (r, t ) + E l (r, t ) · d r =
Γ
E l (r, t ) · d r
Ee (r, t ) · d r +
Γ
[2]
Γ
εL
εl
La primera integral es la contribuciónalafemsobrelaespiradebidaaloscampos por ella generados y corresponde a la f órmula [7-135] del modelo expuesto en el Apartado 7.5.2.3 de la Parte Te órica, de donde se puede escribir: d i (t ) εL (t ) = −L d t
[3]
en donde los valores positivos de la fem corresponden al sentido de i (t ), es decir, dextrógiro. La segunda integral es justamente el término adicional no contemplado en el modelo. Para calcularla obtendremos la expresi ón del campo E l (r, t ). Aplicando la transformación galileana [5-18]: E l (r, t ) = El (r, t ) + v ∧ Bl (r, t )
[4]
Los campos El (r, t ) y Bl (r, t ) son los siguientes: a) Campo El (r, t ). Atendiendo a [7-16], este campo consta de dos términos: El (r, t ) = −∇V l (r, t ) −
∂ A l (r, t ) ∂ t
[5]
386
PROBLEMA 7.11
El primer sumando es el gradiente del potencial escalar V l (r, t ) que, según [7-1], queda completamente determinado por la distribuci ón de cargas en todo el espacio. El enunciado del problema no da datos suficientes para obtener este término del campo pero, por tratarse de un gradiente, su circulación es nula y no contribuirá a la fem en la espira cuadrada, por lo que su valor no influye en i (t ). El segundo sumando, la derivada temporal del potencial vector A l (r, t ), es el campo de inducci ón, que tendrá, en general, una circulaci ón no nula sobre la espira que denominaremos εI ( t ), y tenderá a producir corrientes en el material conductor del que está formada la misma. Según [7-2], A l (r, t ) queda completamente determinado por la distribuci ón de corrientes en todo el espacio, las cuales están, a su vez, completamente definidas al ser datos la geometr ía de la línea e I ( t ). b) Campo Bl (r, t ). En principio, la componente de la fuerza de Lorentz que depende del campo magnético, expresi ón [1-1], es irrelevante a la hora de determinar i (t ) ya que las causas de las corrientes en circuitos son las fem, ya sean provenientes de campos electromotores de generadores externos o resultantes de los campos eléctricos generados por las cargas y corrientes del propio sistema a analizar. Sin embargo, en muchos casos es más fácil calcular la mencionada fem externa ε I ( t ) a partir del campo magnético B l (r, t ) creado por la l ínea mediante la expresi ón [5-23] en lugar de a partir de A l (r, t ), que exigiría calcular la integral sobre las corrientes [7-2] y que, además, en el caso particular que nos ocupa, es una integral divergente.
2. Búsqueda de posibles simplificaciones Las simplificaciones pertinentes ya se han introducido en el modelo expuesto anteriormente.
3. Resolución 3.1. Basándose en la circulación de los campos eléctricos Según la expresión [ 7-138], teniendo en cuenta que en el circuito formado por la espira no existen generadores ni capacitores, resulta: 0 = R i ( t ) − ε (t )
[6]
387
PROBLEMA 7.11
donde ε (t ) viene dado por [2]. La contribución εl en dicha expresion puede escribirse, teniendo en cuenta [4] y [5]:
∂ A l (r, t ) · d r + v ∧ Bl (r, t ) · d r ∂ t
εl (t ) = −
Γ
[7]
Γ
εI
εM
donde εI es la contribución a la fem sobre la espira, supuesta en reposo respecto a la línea, debida exclusivamente a la corriente I ( t ) que circula por ésta. Su cálculo lo plantearemos a partir del campo Bl (r, t ) por los motivos expuestos en el punto b) del apartado anterior. Análogamente a como se oper ó en [7-129]:
∂ A l (r, t ) ∂ · d r = − ∂ t ∂ t
εI = −
Γ
= −
∇ ∧ A l (r, t ) · d s
S
∂ ∂ t
Bl (r, t ) · d s
∂ Bl (r, t ) · ∂ t
=−
S
=
v =0
[8]
S
ΦI
v =0
donde Φ I es el flujo abrazado por la espira debido a la corriente I ( t ) que circula por la línea. Para el cálculo del campo Bl (r, t ), aún dentro del marco cuasiestacionario, existen dos posibles modelos a utilizar: el cuasielectrostático, descrito en la Subsección 7.1.1 de la Parte Teórica, y el cuasimagnetostático, descrito en la 7.1.2. En este caso debe descartarse el modelo cuasielectrostático ya que los efectos de inducción son claramente no despreciables. Una vez adoptado el modelo cuasimagnetostático, las expresiones de B l (r, t ) en función de sus fuentes son idénticas a las del modelo magnetostático con la excepción de que ahora las fuentes y los campos dependen del tiempo. El cálculo del campo magnético de una l ínea indefinida puede obtenerse muy fácilmente aplicando la ley de Ampère [7-15] integrándola sobre una trayectoria circular concéntrica con la línea: B l (x , t ) =
µo I ( t ) 2πx
[9]
siendo su direcci ón azimutal y su sentido el dado por la regla de la mano derecha en función de I ( t ), estando representados ambos por los signos x en la Figura 1.
388
PROBLEMA 7.11
De [8] y [9]: r +a
εI = −
µo d I ( t ) 2π d t
a d x x
=−
a µo d I ( t )
2π
d t
r + a
ln
[10]
r
r
habiéndose escogido d s en el mismo sentido que Bl (hacia dentro del papel) por lo que εI será positiva en sentido dextr ógiro. De [7] y [9], y tomando para la fem sentido dextr ógiro:
µo I ( t ) 1 1 − εM = [v B l (r ) − v B l (r + a )] a = v a r r + a 2π
[11]
Finalmente, de [2], [3], [7],[10] y [11]:
a µo r + a d I ( t ) v a d i (t ) − ln ε (t ) = I ( t ) − L + r d t r ( r + a ) d t 2π
[12]
La ecuación diferencial pedida se deduce de [6] y [12] que, escribiendo ya la dependencia expl ícita: r (t ) = r ( 0) + v t
[13]
quedaría:
a µo r ( t ) + x d I ( t ) v a d i ( t ) − ln − R i ( t ) = 0 + I ( t ) − L r ( t ) d t r ( t ) [r (t ) + a ] d t 2π
[14]
3.2. Basándose en la derivada total del flujo magnético Un método alternativo de resoluci ón del problema consistir ía en, una vez adoptado el modelo cuasiestacionario e identificado el carácter de circuito de la espira, ecuación [6], calcular la fem total en la misma mediante la expresi ón: ε (t ) = −
d Φ (t ) d t
[5-22]
siguiendo el procedimiento indicado en la Secci ón 5.4 de la Parte Teórica. Dado que los parámetros R y L deben entenderse siempre como medidos en el referencial espira, es l ógico escoger como referencial uno ligado a ella. El campo total B (r, t ) que contribuye al flujo es: B(r, t ) = Be (r, t ) + B l (r, t )
[15]
389
PROBLEMA 7.11
donde B l (r, t ) es el campo magnético debido a la l ínea medido en el referencial espira, que puede calcularse aplicando la transformaci ón galileana [5-19]: B l (r, t ) = Bl (r, t )
[16]
habiéndose ya calculado Bl (r, t ) en el punto anterior, expresi ón [9]. El flujo Φ (r , t ) será la suma de los debidos a los campos Be (r, t ) y B l (r, t ): ΦL (t ) =
Be (r, t ) · d s =L i (t )
[17]
S
Φl (r , t ) =
r +a
B l (r, t ) · d s =
µo I ( t ) µo I ( t ) r + a = a d x = a ln r 2πx 2π
r
S
[18]
= M (r ) I ( t )
donde, con objeto de simplificar la notaci ón, se ha utilizado el s ímbolo M para expresar el coeficiente de inducción mutua dado por [7-27] en la Parte Teórica en vez del L i I que estaría más acorde con la nomenclatura all í dada. De [18]: M (r ) =
Φ l (r , t ) µo r + a = a ln I ( t ) r 2π
[19]
Por tanto, la fem será: ε (t ) = −
d ΦL (t ) d Φl (r , t ) d [ L i (t )] d [ M (r ) I ( t )] − − =− = d t d t d t d t
εL
εl
d i ( t ) d I ( t ) d M (r ) d r −M (r ) −I ( t ) = d t d t d r d t
= −L
εL
εI
d i ( t ) µo − = −L a d t 2π
εM
r + a d I ( t ) a − I ( t ) v ln r d t r ( r + a )
[20]
que coincide con la expresión [ 12]. Se han indicado mediante llaves inferiores las distintas contribuciones a la fem siguiendo la misma nomenclatura que en el Punto 3.1. El resto de los cálculos serían idénticos a los realizados en el mencionado Punto 3.1.
390
PROBLEMA 7.12
PROBLEMA 7.12 Se tiene una línea conductora cilíndrica infinitamente larga, recorrida por una corriente I (t ) y dispuesta horizontalmente, Figura 1. Por debajo de ella se dispone una espira cuadrada de lado a construida con un alambre delgado de conductividad σ, densidad másica ρm y sección recta S de manera que su plano sea vertical, contenga al eje del cilindro y su lado más próximo sea paralelo a dicho eje y esté a una distancia r o de él. En el instante t = t o se abandona la espira a la acción de la gravedad. Despreciando la autoinductancia del circuito, se pide: Obtener la ecuación diferencial del movimiento de la espira.
Figura 1 S
1. Elección del modelo Cabe hacer aquí las mismas consideraciones que las que se han hecho en la elección del modelo del Problema 7.11. Como all í, admitiremos la hipótesis: H7.1−1 ( ap r ox i m ac i ó n cu asies ta c i o na ri a )
y el carácter de circuito de la espira con las matizaciones all í expuestas. No obstante, existe una diferencia entre ambos problemas: en el presente, la espira está sujeta a una aceleraci ón, mientras que en el otro la velocidad era constante. Teniendo en cuenta que se plantearán las ecuaciones del electromagnetismo desde un referencial inercial, no será posible en este caso escoger un referencial ligado
391
PROBLEMA 7.12
a la espira, por lo que, por razones obvias, se escogerá uno ligado a la l ínea. Desde ese referencial, las cargas soportadas por la espira estarán sujetas a la aceleraci ón del propio movimiento de la espira, lo que supone que, en general, serán fuentes de radiación. No entra en el alcance de esta obra el discutir las condiciones en las que dichos efectos ser ían despreciables, de modo que, para poder admitir el modelo cuasiestacionario, nos limitaremos simplemente a suponer que lo son. En definitiva, se despreciarán todos los efectos de radiaci ón, tanto provenientes de las cargas y corrientes soportadas por los conductores como del movimiento de arrastre de la espira. Por otra parte, asumiremos la hip ótesis: H5.1−1 (t odas l as ve lo c i dades qu e i nt er v ie ne n so n much o m e no re s qu e l a ve lo -
c idad de l a luz e n e l va cí o )
que garantiza que es aplicable la transformaci ón galileana, Sección 5.2 de la Parte Teórica, y la expresión [5-25] que permite calcular la fem en la espira a partir de los campos vistos desde el referencial ligado a la l ínea. Abordaremos ahora la identificaci ón de la cadena de causas-efectos que determinarán el comportamiento del sistema, Figura 2. La corriente I ( t ) de la línea produce un campo magnético Bl (r, t ) que contribuye al flujo total Φ (r , t ) abrazado por la espira. La parte de Φ (r , t ) debida a Bl (r, t ) variará en el tiempo debido a la variaci óndelacorriente I (t ) y debido también, por no ser uniforme el campo Bl (r, t ), al movimiento relativo de la espira respecto a la línea. Por otra parte, la corriente de la espira i (t ) produce a su vez un campo magnético BL (r, t ) que también contribuye al flujo Φ (r , t ). La variación temporal de Φ (r , t ) produce una fuerza electromotriz ε (t ) en la espira que está relacionada con la corriente i (t ) a través del modelo de circuito correspondiente. La conjunci ón de esta corriente con el campo magnético exterior Bl (r, t ) producirá una fuerza mecánica que se superpondrá a la de la gravedad. Esa fuerza resultante y la masa de la espira nos permitirán plantear la ecuación de la dinámica del movimiento pedida.
Figura 2
392
PROBLEMA 7.12
Es de destacar que en la expresi ón de la fuerza magnética entre dos circuitos filiformes, [4-51], debe excluirse del campo magnético que aparece en dicha f órmula la contribución BL (r, t ) debida al propio circuito, tal como se detalla en la Subsección 4.3.4 de la Parte Teórica. Por ello, para calcular la fuerza sobre la espira, debe considerarse solamente el campo de la l ínea Bl (r, t ).
2. Búsqueda de posibles simplificaciones Aunque ya se han realizado varias simplificaciones en el apartado anterior, todav ía no se ha utilizado la informaci ón dada en el enunciado relativa a poder despreciar la autoinductancia de la espira. Esta hip ótesis implica despreciar el bucle de realimentación de la Figura 2 que une el campo propio de la espira BL (r, t ) con el flujo Φ (r , t ), de modo que para el cálculo de este último y de la fem en la espira solo se considerará el campo de la l ínea Bl (r, t ).
3. Resolución Lo primero que haremos es calcular la expresi ón del campo Bl (r, t ) en todo el espacio y particularizarlo posteriormente a la región de la espira. Para el cálculo del campo Bl (r, t ), aún dentro del marco cuasiestacionario, existen dos posibles modelos a utilizar: el cuasielectrostático, descrito en la Subsección 7.1.1 de la Parte Teórica, y el cuasimagnetostático, descrito en la 7.1.2. En este caso debe descartarse el modelo cuasielectrostático ya que los efectos de inducción son claramente no despreciables. Una vez adoptado el modelo cuasimagnetostático, las expresiones de Bl (r, t ) en función de sus fuentes son idénticas a las del modelo magnetostático con la excepción de que ahora las fuentes y los campos dependen del tiempo. El cálculo del campo magnético producido por una l ínea indefinida puede obtenerse muy fácilmente aplicando la ley de Ampère [7-15] integrándola sobre una trayectoria circular C concéntrica con la l ínea, Figura 1:
B l ρ , t =
µo I ( t ) 2πρ
[1]
siendo su dirección azimutal y su sentido el dado por la regla de la mano derecha en función de I ( t ). La expresión general de la fem inducida se obtiene de [5-25] particularizándola a este caso: ∂ Bl (r, t ) · d s + u (t ) ∧ Bl (r, t ) · d r [2] ε (t ) = −
Σ
∂ t
C
393
PROBLEMA 7.12
Figura 3 en donde: u (t ) =
d r ( t ) d t
a x
[3]
y el segundo sumando representa la aportaci ón a esa fem del movimiento relativo entre la línea y la espira. Teniendo en cuenta [1] y la Figura 3 podemos escribir, tomando como sentido positivo de la fem el sentido dextr ógiro: r +a
−
C
∂ µo I µo a d I r + a a d ρ = − ln ∂ t 2πρ r 2π d t
[4]
r
Σ
∂ Bl · d s = − ∂ t
(u ∧ Bl ) · d r =
d r B l (r ) d l − d t
N P
d r B l (r + a ) d l = d t
QM
d r µo I µo I d r µo I a 2 − = a = d t 2πr 2π (r + a ) d t 2π r ( r + a )
[5]
De [2], [4] y [5] se llega a:
µo a d r a d I r + a − ε= I ln d t r ( r + a ) d t r 2π
[6]
Por su parte, teniendo en cuenta el tratamiento de circuitos cuasiestacionarios expuesto en el Apartado 7.5.2.3 de la Parte Te órica, puede dibujarse el circuito equivalente mostrado en la Figura 4 en el que ε (t ) es la fem sobre la espira calculada en [6] y R es su resistencia.
394
PROBLEMA 7.12
Figura 4 La ecuación de circuito a aplicar se deduce de [7-138] eliminando los términos de la fem del generador y de la capacidad ya que en la espira no hay ni generadores ni capacitores: [7]
ε (t ) = R i (t )
La resistencia R de la espira es la suma de las de sus cuatro lados, que se deducen de [7-125]: R = 4
a σS
[8]
De [6]-[8]:
ε (t ) µo σS d r a d I r + a − = i (t ) = I ln R d t r (r + a ) d t r 8π
[9]
La fuerza sobre la espira debida a la conjunci ón de esa corriente y el campo Bl viene dada por [4-51]:
F (t ) = i ( t ) d r ∧ Bl (r, t ) = C
= i
d r ∧ Bl + i
M N
d r ∧ Bl + i d r ∧ Bl + i
N P
= FM N + FN P + FPQ + FQM
PQ
d r ∧ Bl =
QM
[10]
Todas estas fuerzas, teniendo en cuenta los sentidos de Bl y de d r, tienden a abrir la espira, Figura 5. Debido a la simetr ía, las contribuciones a las fuerzas FM N y FPQ tienen el mismo m ódulo para cada valor de ρ , por lo que no contribuyen al movimiento de la espira. La resultante, por tanto, es:
395
PROBLEMA 7.12
z
F NP
N
a x
P
F MN
F PQ
Bl
i(t )
M
Q
F QM
Figura 5 a
a
F (t ) = −i ( t ) a x B l (r , t ) d l + i ( t ) a x B l (r + a , t ) d l = 0
= −i ( t ) a
0
µo I ( t ) a a x 2π r ( r + a )
[11]
y de [11] y [9]:
µo a F (t ) = − 4π
2
σSI d r a d I r + a − I ln a x = F a x r ( r + a ) d t r ( r + a ) d t r
[12]
z r (t ) N
P
a x F
M
Q mg a x
Figura 6 La ley dinámica, teniendo en cuenta la Figura 6, será:
d 2 r F x = F + m g = m 2 d t
[13]
y, finalmente, la ecuaci ón diferencial del movimiento de la espira pedida será, de [12] y [13]: