Electronica aplicada 3

Jacobi Diego Mat´ıas

UTN-FRP 2011

Electr´ onica onica Aplicada 3 Universidad Tecnológica ogica Nacional Nacional Facultad Regional Paran´ a

25 de junio de 2011

Tipos Tip os de Ruido Ruido y distors dist orsi´ i´ on. on. Resumen

Ruido: Perturbacion Ruido: Perturbacion electrica que tiende a interferir con la recepcion normal de la señal nal transmitida. Ruido blanco: (o t´ ermico, ermico, o de Johnson-Nyquist) Se genera por la agitaci´ on on térmica ermi ca (movimie (mov imiento nto aleatorio) de los portadores de carga en un medio cuya temperatura este arriba de 0K 0 K . Sucede con independencia del voltaje aplicado. La velocidad de este movimiento aumenta con la temperatura en forma tal que la densidad de potencia de ruido térmico ermico producida es proporcional a la resistencia del conductor y a su temperatura temp eratura absoluta, de donde proviene el nombre de ruido t´ ermico. ermico. Tiene espectro de frecuencia plano (se relaciona con 1/ 1 /1), sin embargo, resultados de mecánica anica cu´ antica antica indican que las fuentes termales de ruido f´ısico ısico decaen a cero a frecuencias arbitrariamente altas. La potencia de ruido: P ( P (n) = kB T B , voltaje cuadrático atico medio de ruido: V n2 = 4kB T RB, RB , y la 2 corriente cuadrática atica media I media I n = 4kB T GB. GB . La constante de Boltzman es k es k B = 1, 1 ,38 10−23 Ruido rojo: Es rojo: Es conocido también en como ruido flicker o ruido browniano en honor a Robert Brown, el descubridor del movimiento browniano, y como ruido marrón (por la traducci´ on on del apellido Brown, que significa marrón). on). No es un ruido muy com´ un, pero existente en la naturaleza. El ruido rojo un, está compuesto principalmente por frecuencias graves y medias y se relaciona con 1/f 1 /f 2. 2. Ruido rosa: Ruido aleatorio que posee p osee una densidad espectral de potencia que se relaciona a trav´ t rav´ es es de 1/f con /f con la frecuencia. El nombre deriva pues es un intermedio entre el ruido blanco y el ruido β rojo o browniano. Aparece solo cuando hay corriente y puede expresarse como i2n (f ) f ) = KI α f . Para disminuir el ruido 1/f se suele trabajar con corriente de polarización muy bajas. El ruido 1/f se presenta en semiconductores debido a la captura y recombinación on de portadores debido a variaciones variaciones de simetr´ simetr´ıa cristalina por las impurezas, y min´ min usculas u ´sculas fluctuaciones fluctuac iones térmicas. ermicas . Tambi´ en en se presenta ruido 1/f en lo contactos, o resistencias con falta de homogeneidad. (D)Ruido de disparo: (o ruido shot) Originado por el numero fluctuante de portadores de cargas que se emiten al azar de catado a ánodo. anodo. (T)Ruido de disparo en cada uni´ on de un T . UTN-FRP 2011

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(T)Ruido t´ ermico ermico en la resistencia de esparcido esparcido de base . (T)Ruido de partici´ on: Es on: Es la fluctuación on estad´ıstica ıstica de la l a proporc p roporci´ ión on de portadores portadores en un transistor transistor de dos o mas junturas que parten del emisor y se divide entre colector y base. (Ant)Proveniente de fuentes externas: Todo cuerpo con temperatura irradia energ´ıa ıa y esta puede ser captada por la antena. antena. Se represen representa ta como térmico ermico con una resistencia resistencia ficticia igual a la de radiaci´ on on y temperatura T temperatura T ant . ant (FET)Ruido (FET) Ruido térmico ermico generado gene rado en la resistencia resis tencia de canal . (FET)Ruido t´ ermico ermico de canal canal acoplado acoplado a la compuerta compuerta de la capacitancia capacitancia canal-compue canal-compuerta rta . (FET)Ruido 1/f o /f o rosa por debajo de 100 Hz (MOSFET)Ruido 1/f o /f o rosa por debajo de 10 kHz (JFET)Ruido de disparo por la corriente inversa peque˜ na en la uni´ on de compuerta . Saturacion: Recorta picos y genera armónicas onicas que pueden no ser deseadas.

• Voltaje de saturacion V sat on debe permanecer pequeña on na y que no supere sat : (BJTs) La excitaci´ una tensi´ on on eficaz V eficaz V eff eff . En baja frecuencia V sat sat coincide con V CEsat C Esat . En alta frecuencia NO, ya que esta relacionado con el tiempo en estado de saturacion requerido para que realmente sature.

saturacion R on : (FETs). Limita la salida máxima axima pero no afecta la operación on • Resistencias de saturacion R

en la región on activa. Se presen presenta ta cuando cuando el voltaje voltaje de drenad drenador or instan instant´ t´ aneo aneo m´ınimo ınimo es igual al producto producto de la corrien corriente te de drenador drenador por p or la resistenci resistenciaa de saturacion saturacion.. min vd (t) = V DD I dm = I dm DD dm R = I dm Ron Para evitar saturacion, V DD un V eff DD debe ser menor que un V eff .

{

}

−

Cargas reactivas: reactivas: Reduce Reduce la eficiencia, eficiencia, provocan provocan aumento aumento en la disipaci´ disipaci´ on on de energ´ energ´ıa y pueden producir la ruptura del secundario del transformador de acople. Son causadas por desintonia, variación on de la impedancia del filtro de salida con la frecuencia de operación, on, la inductancia del transformador y las variaciones de la impedancia de antena. (IMD) Distorsi´ on de intermodulacion: consiste en productos de frecuencias que resultan en armónicas cercanas a la frecuencia de la portadora.

• Proviene de la incapacidad de un sistema (como un amp.) de comportarse en forma lineal. • Causa: Efectos de cruce por cero. • Causa: Reducción on de la ganancia ante una corriente elevada. • Causa: Saturacion. on de la capacidad de juntura (como la de colector) con la tensión aplicada • Causa: Variación (tensi´ on de colector). Esta capacidad variable es inherente del dispositivo y su proceso de on fabricaci´ on, pero su efecto es pequeño on, no y se suelen poner capacidades mayores en paralelo para poder calcular y compensar el efecto.

• Medición: on: Se mide con analizador de espectro y se usan dos señales de igual amplitud con un ∆f ≈ 2kH z entre si. La medida es la razón on entre el producto mas grande de salida con la amplitud de los tonos. Hasta −30dB suele ser aceptable. Distorsi´ on de cruce: En configuración on de contrafase o de circuitos complementarios, los BJTs y FETs no son capaces de cambiar bruscamente de un modo de corte a uno activo. El cambio es gradual y no-lineal. Este periodo de cambio genera una gran distorsión que es mas notorio con se˜ nales nales de baja amplitud.

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Se puede reducir polarizando las bases y/o compuertas un offset adicional. Sin embargo, demasiada polarización on se traduce en ganancia excesiva para señales nales de baja amplitud, y la cantidad correcta se determina en forma experimental. La razón on m´ınima ınima de IMD ocurre con una corriente corriente estable de 1 al 10 % de la de pico de colector. colector. Cada dispositivo llevara corriente durante poco mas de medio ciclo. Variaci´ on de β : Una RE ayuda a eliminar las variaciones de β respecto β respecto de la corriente, la temperatura y la frecuencia: v E = (iC + iB )RE = (1 + 1/β 1/β )iC RE iC RE

≈

Retroalimentaci´ on on puede ayudar a linealizar la caracter´ caracter´ıstica de entrada de corriente a trav´ es es de la caracte cara cterr´ıstica ıst ica de d e tensi´ ten sión on de salida. Se puede usar realimentación on de corriente, de tensión on o acoplado con trafo. trafo. Ruido Err´ atico: Incluye el ruido atmosf´ erico erico y el ruido espacial, que es consecuenc consecuencia ia entre entre otras causas de la ionización on y recombinación on de mol´ eculas eculas gaseosas por acción on de la radiación on solar, cósmica, osmica, campos el´ ectricos ectricos intensos, etc. Afecta principalmente las transmisiones inalambricas. Ruido producido por el hombre: Comprende la radiación on electromagn´ etica etica emitida por artefactos empleados por el hombre. En general se origina en conmutaciones, chispas o emisión voluntaria o involuntaria de radiofrecuencia. Incluye las perturbaciones ocasionadas por la modificación de la carga en sistemas de alimentación on y por filtrado insuficiente en las fuentes de corriente continua que rectifican una corriente alterna. Este ultimo es el clásico zumbido a la frecuencia de linea en los amplificadores de audio. Ruido Circuital: Es el ruido introducido por los propios elementos del circuito y se debe a los fenómenos omenos f´ısicos ısicos que tienen lugar en ellos. Por ejemplo la agitación on térmica ermica de los electrones electron es en las resistencias resiste ncias (que (qu e da origen al a l ruido térmico), ermico), las peque˜ peq ueñas nas variaciones de temperatura con el tiempo, la naturaleza discreta de las cargas que atraviesan una barrera de potencial en los dispositivos electr´ onicos onicos y la fluctuación on de conductancia en los contactos imperfectos. El ruido electromagnético etico puede eliminarse con blindajes metálicos alicos conectados a tierra. El ruido llamado jitter consiste jitter consiste en fluctuaciones de fase aleatorias de una señal. nal. Que se traducen en variaciones de frecuencia. El PLL puede ser usado como filtro de fase para eliminar este ruido, siempre que este no provoque el desenganche. Burst noise : Los semiconductore semiconductoress dopados dopados con metales pesados como el oro exhiben breves breves ráfagas afagas de ruido de baja frecuencia con cambios de nivel entre dos o más as valores. Cuando este ruido es amplificado y emitido por altavoces percibe como el ruido que produce la cocción de ma´ız ız inflado, infl ado, raz´ on on por p or la cual se lo denomina tambi´ en en ruido de fritura (pop-corn noise).

El ruido burst está siempre siempre acompa˜ acompa˜ nado nado por el ruido 1/f 1 /f y y el ruido shot. La densidad espectral de KI c potencia del ruido de ráfaga afaga se aproxima por la expresión i on i 2n (f ) f ) = 1+( f 2 ) f c

Bibl Bi blio iogr graf´ af´ıa ıa Herbert L. Krauss, Charles W. Bostian, Frederik H. Raab: ”Estado solido en ingenier´ ingenier´ıa ıa de radiocomunicaci´ on” on”. Editorial Limusa

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Dise˜ no de radiadores de calor. Resumen P d

−→ T J

θJ C

−→ T C

θCH

−→ T H

θHA

−→ ⊥

T A

La confiabilidad de los transistores decrece al aumentar la temperatura de la unión. La presencia de reactancia en la carga aumentara la disipación m´ axima. El flujo de calor se puede analizar con un circuito térmico de la misma manera que se analiza el flujo de corriente en uno eléctrico. La potencia disipada o fuente de calor es análoga a una fuente de corriente. Las temperaturas son análogas a los voltajes y cada elemento en la trayectoria térmica tiene una resistencia térmica asociada a el. En el circuito:

• El primer elemento θ JC es la resistencia térmica de unión-base. • El segundo elemento θ CH esta asociada al montaje sobre el disipador. • El tercer elemento θHA es el disipador de calor al ambiente, que incluye los principios de radiaci´ on, conveccion y conducción. La conveccion es por lo com´ un, no lineal.

Bibliograf´ıa Herbert L. Krauss, Charles W. Bostian, Frederik H. Raab: ”Estado solido en ingenier´ıa de radiocomunicaci´ on”. Editorial Limusa

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Ruido T´ ermico Resumen La temperatura de un material provoca agitación en los electrones libres responsables de la conducci´ on eléctrica de un material. Estos provocan corrientes que idealmente deber´ıan ser estadisticamente nulas, sin embargo se observa una pequeña corriente fluctuante aleatoriamente de media cero llamado ruido térmico. Se puede sustituir una resistencia ruidosa por una fuente de tension mas una resistencia ideal del mismo valor con V n2 = 4kB T RB

•

ideal • O por una fuente de corriente con2 una4kresistencia TB en paralelo del mismo valor con I n =

B

R

El ruido térmico tiene valor medio nulo, es decir l´ımT →∞ La constante de Boltzmann es k B = 1,381 10−23 J K

1 T



T i (t)dt = 0 n

0

En termodin´ amica se demuestra que la función de autocorrelación promedio de i n (t) es ψ in in (τ ) = |τ | −

kB T e t0 R t0

que es casi un impulso a medida que t0

→ 0.

La autocorrelación promedio es igual a la antitransformada de la densidad de potencia media: F −1



 

V T (w)|2 | limT →0

I n2 (f ) donde f 0 =

T

= ψ vv (τ )

v 2 (f )

V T (w)|2 | = lim T →∞ 2 = 2F T

  ψ vv (τ )

∞ kB T e− | 0| 4kB T 1 4kB T 1 = i 2n (f ) = 2 e−j 2πf τ dτ = = 2 2 R 1 + (2πf t0 ) R 1 + ( f −∞ R t0 f 0 ) 1 2πt 0

τ t

que es del orden de 10 11 Hz .

Esto establece un limite superior para considerar a este ruido como constante. Esto es, para aplicaciones de extremadamente alta frecuencia donde la temperatura ya no existe en el concepto de la f´ısica cuántica.

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Una tension externa aplicada no modifica la fuente de ruido.

• El ruido térmico debido a su naturaleza no correlacionada, permite utilizar el principio de superposición para calcular el ruido en redes de resistencias. v o = v o1 + ··· + von • Para resistencias en serie: V n2 = 4kB T (R1 + R2) • Ademas, cada vo puede considerarse como la respuesta de un sistema lineal: V ok (w) = H k (w)V k (w).

de potencia a la salida pueden super• Por lo tanto2 las densidades 2 2 ponerse: V o = |H 1 | V 1 + ··· + |H n |2 V n2

• Teorema de Nyquist : Un dipolo pasivo, formado por resistencias

ruidosas a una misma temperatura T, capacitores e inductancias cuya funcion impedancia es Z ( jw), puede sustituirse por una impedancia ruidosa de igual valor en serie con una fuente de ruido con densidad espectral de potencia media: V n2 = 4kB T e Z ( j2πf )

 {

}

• De lo anterior se desprende que Un elemento reactivo puro carece de ruido térmico.

Ancho de banda equivalente Si conectamos una señal de ruido blanco vi2 con S ni (f ) = k B T a la entrada de un cuadripolo con función de transferencia H (w) (por ejemplo un amplificador o un filtro), el valor cuadrático medio de la salida en toda la banda de frecuencias es: V o2

=



∞

0

vi2

|H (2πf )|

2

df = vi2

 | ∞

2

H (2πf ) df

S no =

|

0

 | ∞

H (2πf ) 2 S ni (f )df

|

0

El ancho de banda equivalente es el ancho de banda de ruido blanco que produce la misma cantidad de valor cuadrático medio que el ruido/dispositivo original. Entonces: ∞ ∞ vi2 2 2 2 2 V o = vi H (2πf ) df = 4kB T RBeq Beq = H (2πf ) df 4kB T R 0 0 ∞ 1 Beq = H (2πf ) 2 df H max 0

 |

 |  | 

|

|

|

∞ kB T e− | 0| ∞ 0 − 2kB T I n2 (f ) = 2 e−j 2πf τ dτ = e− 0 e−j 2πf τ dτ + e− 0 e−j 2πf τ dτ Rt0 −∞ R t0 −∞ 0 ∞ ∞ ∞ 0 1 − 1 1 2kB T 2kB T − − − − 1− [ +j 2πf ]τ [ +j 2πf ]τ [ +j 2πf ]τ = e 0 dτ + e 0 dτ = e 0 dτ + e [ 0 j 2πf ]τ dτ Rt0 Rt0 −∞ 0 0 0

  

∞

2kB T = Rt0 2kB T = Rt0

1 t0

τ t



e−aτ dτ +

0



∞

0

1 + + j2πf

τ t



t

1 t0

       − −

t



Rt0





t





a



b

0

−

Rt0

0





−a





t

∞ e−bτ ∞ 2kB T e−aτ 2kB T 1 1 − bτ e dτ = + = 0− +0−

1 2kB T 1 = + R 1 + j2πf t0 1 j2πf

−



τ

t

−b



1 2kB T 1 + j2πf t0 + 1 j2πf t0 = j2πf t0 R (1 + j2πf t0 )(1 j2πf t0 )

− −

2kB T 1+1 4kB T 1 4kB T 1 = = = 2 R 1 + (2πf t0 )2 R 1 + (2πf t0 )2 R 1 + ( f f )

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0

6




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Ruido t´ ermico Circuito RC paralelo Enunciado:

Suponga el circuito RC paralelo de la figura. Calcular la Densidad espectral de potencia de ruido a la salida. En la entrada tendremos un ruido térmico producido por la resistencia de S ni (f ) = k B T La funci´ on de transferencia del circuito es: H (w) = 2

La densidad espectral de energ´ıa sera: H (f ) =

|

|



1 1+j wwc



2

1 1+j 2wπf c

=

1

2πf 2

|1+j |

=

wc

1 1+( 2wπf )2 c

Entonces la densidad espectral de ruido a la salida, para un sistema lineal e invariante en el tiempo como se ha visto en sistemas de comunicaciones, sera: S no (f ) = H (f ) 2 S ni (f ) = 1+( 21πf )2 kB T

|

|

wc

Para obtener la potencia total de salida para un ancho de banda B[Hz] tal que w c = 2πB, integra∞ 1π mos y aplicamos la formula de tabla 0 1+(1ax)2 dt [ a1 tg −1 (ax)]∞ 0 = a 2 S no =

 | ∞

2



←→

H (f ) S ni (f )df = k B T

0

|



∞

0

1 πf 2 1 + ( 22πB )

df = k B T B

π 2

Al producto Bn = B π2 se lo denomina ancho de banda equivalente de ruido, que es el ancho de banda requerido por una resistencia R para entregar la misma potencia de ruido térmico a la salida.

Reemplazando B =

wc 2π

=

1 2πRC y

2 V no dado que S no = , 4R

π 1 2 calculamos la tension de ruido cuadrático como: V no = k B T 2πRC 2 4R =

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kB T C

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Ruido t´ ermico Circuito pasa banda LCR serie Enunciado:

Suponga el circuito pasa banda RLC de la figura. Calcular la Densidad espectral de potencia ruido a la salida. En la entrada tendremos un ruido térmico producido por la resistencia de S ni (f ) = k B T La funci´ on de transferencia del circuito es: H (w) = donde w 02 =

1 LC

y Q =

w0 L R

=

R 1 R+jwL + jw c

=

1+jQ

1

w w0

−

w0 w



f 0 B .

2

La densidad espectral de energ´ıa sera: H (f ) =

|

|





2

1 1+jQ



w w0

−

w0 w



=

 1  1+jQ −  w w0

2

w0 w

=

1 1+Q2



w w0

−

w0 w

Entonces la densidad espectral de ruido a la salida, para un sistema lineal e invariante en el tiempo kB T 2 como se ha visto en sistemas de comunicaciones, sera: S no (f ) = H (f ) S ni (f ) = 2 1 + Q2 ww0 ww0

|

|

Suponiendo un f

≥ 0, la DEP de ruido se puede expresar como: S no(f ) = 1 +

kB T 4 B2



−



− f 0)2

(f

2 V no Dado que S no = , 4R 2 calculamos la tension de ruido cuadrático como: V no (f ) =

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4kB RT 1+

4 B2

− f 0)2

(f

8

2




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Ruido t´ ermico Circuito RL  RC

Por el método de Superposición:

V o V o2

= V 1 =

=

= V 12 V 22 V o2

1 jwC

R2 +



R1 + R2 + j wL

V 12

   

R2 +

−

1 wC

1 jwC

2

1 wC

1 (wC )2

2

= 4kB T R1 = 4kB T R2 = 4kB T

R1 R22 +



1 (wC )2

2

1 − wC

R1 + jwL R1 + R2 + j wL





 

2

1 − wC



+ R2 R12 + (wL)2 1 2 wC

= 4kB T e Z ( jw) =

{ } 4kB T e{(R1 + jwL) 

= 4kB T e

   −

1

 { 

= 4kB T e

= 4kB T

2

}

1 R2 + jwC

 }  −   −     − 

(R1 + jwL) R2 +

 { R + R + j

V o2

 



     −  1 2 − wC

(R1 + R2 )2 + wL

Por el método de Nyquist:

V o2

|

+ V 22 R21 + (wL)2

(R1 + R2 ) + wL



+

V 22

+ V 22 R1 + jwL 2

R1 + R2 + j wL

V 12 R22 +

R1 + jwL R1 + R2 + j wL

2

1 wC

R1 + R2 + j wL

V 12 R2 +

+ V 2

 −  | −  

1 jwC

  



wL

1 jwC 1 wC

(R1 + jwL) R2 +

1 jwC

R1 + R2

(R1 + R2 )2 + wL

R1 R22 +

1 (wC )2

j wL

1 2 wC

1 − wC



}

+ R2 R12 + (wL)2

(R1 + R2 )2 + wL

1 2 wC

La elección de uno u otro método depende del problema.

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Ruido en Diodos de juntura Resumen

Los diodos y transistores generan ruido shot o ruido shot o de disparo. El circuito equivalente básico del diodo de juntura incluye una resistencia serie rS (resistividad del silicio) y una resistencia shunt en paralelo con una fuente de corriente. Hay ruido térmico en la resistencia rS , por lo que se incluye un generador de tension con V n2 = 4kB T rS B. El ruido flicker y el ruido shot (i2n = 2qI ) pueden ser representados con una única fuente de corriente en paralelo con una resistencia shunt rd = q(kI B+T I 0 ) I β 2 I n = 2qI B + K α B f El ruido shot o de disparo o de emisi´ on tiene una distribución esencialmente plana y, por tanto, se considera ruido blanco. Se origina por la fluctuaci´ on estad´ıstica de los portadores de carga q que se emiten al azar en una juntura semiconductora cuando circula una corriente I .



La corriente en un diodo de juntura esta dada por: I = I 0 e

qV kB T

 − 1

q = 1,6x10−19 coulombs

La componente exponencial proviene de los portadores mayoritarios que se difunden de una regi´ on a la otra. La componente individual proviene de los portadores minoritarios generados t´ ermicamente que siempre están presentes. Al ser de distinto origen, las señales de ruido son no correlacionadas y se pueden sumar las densidades de potencia de portadores mayoritarios y minoritarios. Ej. V n2 = V n21 + V n22 + . . . . Si fueran correlacionados (provienen de la misma fuente): V n2 = V n21 + V n22 + 2KV n1 V n2 qV

Para el ruido shot: i 2n = 2qI 0 e kB T + 2qI 0 = 2q (I dc + 2I 0 ) Se puede observar que aun en la ausencia de polarización, hay ruido a la salida. Para grandes polarizaciones inversas es I =

−I 0 y por lo tanto: i 2n = 2qI 0

Para grandes polarizaciones directas I 0 es despreciable quedando: i 2n = 2qI Este modelo no es valido para los diodos que operan en la región de ruptura inversa como los zener, para estos aparecen otras fuentes de ruidos denominados ruidos microplasticos . El ruido flicker o 1/f se presenta en semiconductores debido a la captura y recombinación de portadores debido a variaciones de simetr´ıa cristalina por las impurezas, y min´ usculas fluctuaciones térmicas. Tambi´ en se presenta ruido 1/f en lo contactos, o resistencias con falta de homogeneidad.

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Ruido en transistores BJT Resumen Enunciado:

Las fuentes de ruido en transistores de unión, son el ruido de disparo en cada unión de diodo, el ruido térmico en la resistencia de esparcido de base (lla ), el ruido flicker o ruido 1/f y madas rx , rb o rbb un ruido de partici´ on .

El ruido de partici´ on se origina por la fluctuación estad´ıstica de la corrientes de colector y base, debido a como la corriente de emisor se divide en colector y base. El ruido flicker o ruido 1/f se presenta sobre los transistores y se observa en bajas frecuencias es apreciable por debajo de los 100 kHz. Se origina principalmente por una recombinación superficial de portadores minoritarios en la región de agotamiento del emisor-base. Es la fuente principal de ruido en amplificadores de CC. El modelo de la figura se llama modelo de Van der Ziel para un transistor en base común. Las fuentes de ruido se definen como sigue: 2 I en = 2qI E B

2 V bn = 4kB T rx B

2 I cm = 2qB[I CO + I C (1

− α0)]

donde I E es la corriente de emisor directa, I C es la corriente de colector directa, I CO es la corriente de colector inversa, rx es la resistencia de esparcido de base y α0 es la ganancia de corriente en cortocircuito.

√ − α

Este circuito no considera el ruido 1/f y es valido hasta frecuencias del orden f = f α 1

0

Convirtiendo las fuentes de corriente a fuentes de tension, y realizando las siguientes consideraciones nos queda: rx << α0 rc Rs + re << α0 rc I CO << I C (1 α0 )

−

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donde R s es la resistencia de fuente que se ha agregado.

2 V gn = 4kB T Rs B

2 V en = 2kB T re B

re =

kB T qI E

2 V cn =

2kB T α0 rc2 (1 re

− α0)B

El u ńico generador de ruido térmico es V bn debido a que la u ´ nica resistencia f´ısica que existe en el modelo es r x . Todos los otros generadores son de ruido de disparo. Por otro lado, un modelo h´ıbrido PI para un emisor común es el siguiente:

2 I on = 2q I C B

| |

 B 2 I in = 2q I B

| |

 = I B

−I B + 2I 

donde I  es la corriente de base en polarización inversa. Este modelo es valido hasta las frecuencias de f T /2 aproximadamente. Se puede disminuir al m´ınimo el ruido del transistor, eligiendo una R s adecuada. Las siguientes figuras muestran curvas de la figura de ruido en transistores respecto de la frecuencia, la resistencia vista desde la base R s = R1 R2 Ri y la corriente de polarización I C .

 

El aumento de la figura de ruido en alta frecuencia se debe a que la ganancia disminuye pero el ruido a la salida no. La familia de curvas de la ultima figura corresponde a los contornos de NF constante. Es muy útil para el diseño ya que indica cuales son los valores de I C y Rs para determinada cota de NF.

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25 de junio de 2011

Ruido. Ejemplo Enunciado:

 Antena

Cable Coaxil

T i = 50K SN Ri = 1857,4

−→

L1 = 0,5dB T e1

−→

Amplificador G2 = 30dB T e2 = 6K BN = 20M Hz

−→

Mezclador G3 = 16dB N F 3 = 6dB BN = 20MHz

293K −→ SNT o = Ro ≥ 30dB

Encontrar: 1. Temperatura de ruido equivalente total: T eT 2. Potencia de la antena: P ant Primero convertir todos los valores de decibeles a valores lineales con x dB = 10log10 x. Si no se indica la temperatura a la cual trabaja cada componentes por separado, se asume que están a una temperatura ambiente de T = T 0 = 293K .



Calculamos la T eT : 1 1 G1 = = = 0,89 L1 1,12 G2 = 30dB = 1000 G3 = 16dB = 39,81 N F 1 = L1 = 1,12 N F 3 T e1 T e3 T eT

= 6dB = 3,98 = (N F 1 1)T = 35,16K = (N F 3 1)T = 873,14K T e2 T e3 = T e1 + + = 42,87K G1 G1 G2

− −

Calculamos la P ant : SN Ri N F ant SN Ro

= N F ant SN Ro T eT = 1+ = 1,8574 T i = 30dB = 1000

SN Ri =

P ant N I P ant

1857,4 S i = = 1857,4 N i = S i = 1857,4N i = kB T i BN = 1,3810−14 25,63 pW

≥

Note que NO utilizamos la ultima ganancia para el calculo de la temperatura de ruido equivalente. La constante de Boltzman es k B = 1,38 10−23


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Ruido. Examen 28 de julio 2003 Enunciado:

Tx −→

Coaxil 1 L1

−→

Rep. 1 G1

−→ . . . −→

Coaxil n Ln

Rep. n Gn

−→

−→ Rx

Calcular que cantidad de repetidores N se necesita y la ganancia G a de los mismos de tal modo que la atenuaci´ on neta del conjunto sea unitaria y la figura de ruido m´ınima . G i =1 F T = min Li La distancia entre las ciudades es de l = 150[Km], la atenuación del coaxil es de A = 10[dB/Km] y la figura de ruido de cada repetidor es de F rep = 4, 75[dB].



dB km d = 150km F rep = 4,75dB A = 10

Lc

≡ 2,98

Lc = la atenuación del cable coaxial F coax = figura de ruido del cable coaxial F rep = figura de ruido del repetidor F cr = figura de ruido del conjunto coaxilrepetidor

F coax

=

F cr

= = = =

F cr

dB 150km 1500 = dB km N N 1500 150 1500 Lc = 10 10N = 10 N N F rep 1 F coax + Gcoax Lc + Lc (F rep 1) Lc + Lc F rep Lc Lc F rep

= 10

≡

−

− −

= 2,98 10

150 N

r 2 −1 La expresión de la figura de ruido total es: F T = F cr1 + F cG + F Gcr13G−21 + . . . 1 Sabiendo que las ganancias de cada conjunto CR son unitarias y las figuras de ruido iguales, y derivando e igualando a cero para encontrar el m´ınimo de la figura de ruido: 150 150 dF T 150 F T = F cr1 + (F cr2 1) + (F cr3 1) + . . . = 2,98 1 10 n + 2,98n10 n ln10( ) 1+0=0 dn n2 = F cr + (n 1)(F cr 1) 150 1 150 = 2,98 10 n 2,98 2,3 150 10 n 1= 0 = F cr + (n 1)F cr (n 1) n 150 1028,1 150 = F cr + nF cr F cr n + 1 = 2,98 10 n 10 n = 1 n F T = nF cr n + 1 150 1028,1 150 = 10 n (2,98 ) =1 F T = 2,98n10 n n+1 n El primer multiplicando es siempre mayor que cero, por lo que podemos deducir como condición que ,1 ,1 el segundo multiplicando debe ser mayor a cero. (2,98 1028 n < 1028 n ) > 0 2,98 = 345 Finalmente probamos con la calculadora para múltiples valores, y calculamos la ganancia de cada 150 repetidor con Grep = L1c = 10 − n

− −

−

−

− − − − −

−

− − −

−

−

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− −

−

→

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25 de junio de 2011

Ruido. Final 07 de diciembre de 1993 Enunciado:

 Antena −→

Cable Coaxil 50m

−→

PreAmp

Amp

−→ Mezclador −→

−→

Demod

Construir estación terrena con S N Ro m´ axima. Primero convertir todos los valores de decibeles a valores lineales con x Cable Coaxil: Cable Coaxil: 1. Att = 12dB/100m

long = 50m

dB = 10log10 x.

1. L = 6dB = 3,98

Preamplificadores:

G = 0,25

Preamplificadores:

1. G = 10dB

N F = 6dB a 290K

1. G = 10

N F = 3,98 a 290K

2. G = 20dB

N F = 10dB a 390K

2. G = 100

N F = 7,69 a 390K

Mezcladores:

Mezcladores:

1. G =

−4dB 2. G = −2dB 3. G = −6dB

N F = 3dB a 290K

1. G = 0,39

N F = 1,99 a 290K

N F = 4dB a 290K

2. G = 0,63

N F = 2,51 a 290K

N F = 8dB a 300K

3. G = 0,25

N F = 6,31 a 300K

− 1) T T 0 = 6,133 a 290K

Amplificadores:

N F 290 = 1 + (NF T

1. G = 25dB

N F = 8dB a 290K

2. G = 30dB

N F = 8dB a 290K

Amplificadores: 1. G = 316,22 2. G = 1000

N F = 6,31 a 290K N F = 6,31 a 290K

Si no se indica la temperatura a la cual trabaja cada componentes por separado, se asume que están a una temperatura ambiente de T = T 0 = 290K . Caso contrario se convierte usando las formulas : T e = T (N F T

− 1)

− 1) T T 0

N F 290 = 1 + (N F T

Lo que buscamos es el valor m´ınimo a la figura de ruido: SN Ri SNRomax N F T

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= N F T SN Ro 1 = SN Ri N F T min N F preamp = N F coax + Gcoax

−1 +

N F mezc 1 N F amp 1 + Gcoax G preamp Gcoax G preamp Gmezc

−

−

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Paso 1: Inspecci´ on Podemos ver que los amplificadores solo se diferencia en su ganancia, por lo que el segundo es la mejor opción: G = 1000 N F = 6,31 a 290K De los mezcladores podemos observar que la ultima opcion, tiene la menor ganancia y una figura de ruido mucho mayor, y sabemos que la SN Ro es inversamente proporcional a esta, por lo que la descartamos.

Paso 2: Calculo Nos quedan entonces dos opciones para preamplificador y dos opciones para mezclador. Preamp 1,Mezc 1

N F T = 21,74

Preamp 1,Mezc 2

N F T = 19,87

De aqu´ı podemos ver que la segunda opci´ on del Mezclador es la mejor. Nos queda una sola combinación para analizar: Preamp 2,Mezc 2

N F T = 31,13

Por tanto se observa que el primer preamplificador es la mejor opción. Ademas, se ve que una diferencia del doble de ganancia no compensa el doble de figura de ruido. El resultado final es: PreAmp1 ,Mezc2 y Amp 2


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25 de junio de 2011

Ruido. Final 20 de febrero de 2008 Enunciado:

En un punto Q especifico de un amplificador de RF, tiene una figura de ruido de N F = 5dB con una fuente de R s = 50Ω. Sabiendo que el ancho de banda de ruido es B N = 360kH z: 1. Determinar la temperatura de ruido de la entrada del amplificador. 2. Suponiendo que la impedancia de entrada del amplificador es resistiva, R i = 75Ω y que la fuente de se˜ nal entrega V i = 4µV a la entrada del amplificador. La fuente se encuentra a T i = 340K . Encontrar la relación se˜ nal a ruido de entrada y salida.

Punto 1 Primero convertir todos los valores de decibeles a valores lineales con x dB = 10log10 x. Como no se especifica la temperatura a la que funciona el amplificador, se supone T 0 = 290K .



N F = Te =

NF dB

10 10 T (NF

−

= 3,162 1) = 290(3,162

− 1) = 626,98

Punto 2 Calculamos la potencia de entrada de la señal. S i =

V i2 4Ri

El ruido térmico de la resistencia serie R s es: V niRs =

= 53,33f W

√ 4k

B T i Rs BN =

548,729nV

Debido a que la entrada se encuentra desacoplada, el ruido térmico de la resistencia de entrada R i se calcula: V niRi = V niRs RsR+iRi = 329,238nV El ruido en la entrada es entonces: N i =

V ni2Ri 4Ri

= 361atoW

Luego, la relación se˜ nal y ruido de entrada es: S N Ri = Y la de salida: S N Ro =

SN Ri NF

S i N i

= 84,52 = 19,27dB

= 26,73 = 14,27dB


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25 de junio de 2011

Ruido. Examen 24 de septiembre de 2004 Enunciado:

En un punto Q especifico de un amplificador de RF, tiene una figura de ruido de N F = 5dB con una fuente de R s = 150Ω. Sabiendo que el ancho de banda de ruido es B N = 200kH z: 1. Determinar la temperatura de ruido de la entrada del amplificador. 2. Suponiendo que la impedancia de entrada del amplificador es resistiva, R i = 50Ω y que la fuente de se˜ nal entrega V i = 2µV a la entrada del amplificador. La fuente se encuentra a T i = 360K . Encontrar la relación se˜ nal a ruido de entrada y salida.

Punto 1 Primero convertir todos los valores de decibeles a valores lineales con x dB = 10log10 x. Como no se especifica la temperatura a la que funciona el amplificador, se supone T 0 = 290K .



NF dB

N F = 10 10 T e = T (N F

−

= 3,162 1) = 290(3,162

− 1) = 627,061

Punto 2 Calculamos la potencia de entrada de la señal. S i =

V i2 4Ri

El ruido térmico de la resistencia serie R s es:V niRs =

= 20f W

√ 4k

B T i Rs BN =

729nV

Debido a que la entrada se encuentra desacoplada, el ruido térmico de la resistencia de entrada R i se calcula: V niRi = V niRs RsR+iRi = 182,236nV El ruido en la entrada es entonces: N i =

V ni2Ri 4Ri

= 166atoW

Luego, la relación se˜ nal y ruido de entrada es: S N Ri = Y la de salida: S N Ro =

SN Ri NF

S i N i

= 120,48 = 20,8dB

= 38,1 = 15,8dB


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25 de junio de 2011

Cristales resonadores Resumen

Calculo anal´ıtico de Z ( jw) = R ( jw) + jX ( jw) Del circuito equivalente obtenemos la ecuación de la impedancia: Z (s)

1 1 ] sC s sC p sC s Rs + s2 C s Ls + 1 1 = [ ] sC s sC p = [Rs + sLs +





2

=

s C s Ls +1 1 [ sC s Rs +sC ] sC p s 2

s C s Ls +1 [ sC s Rs +sC ]+ s

1 sC p

2

=

s C s Ls +1 [ sC s Rs +sC ] sC s 1 s 2 C L +1 + sC R s 1 s s s s sC s [ ] + sC sC p sC s

p

2

= Z ( jw)

= =

sC s Rs + s C s Ls + 1 2 s C p C s Rs + s3 C p C s Ls + sC p + sC s 1 + jwC s Rs + ( jw)2 C s Ls jw(C p + C s ) + ( jw)2 C p C s Rs + ( jw)3 C p C s Ls (1 w2 C s Ls ) + j(wC s Rs ) [ w2 C p C s Rs ] + j[w(C p + C s ) w3 C p C s Ls ]

−

−

−

La resistencia serie Rs es siempre muy pequeña en relació n a la parte reactiva (Rs X ) y su influencia es entonces despreciable, por lo que podemos hacer la aproximación: Rs 0 que simplifica mucho la expresión: (1 w2 C s Ls ) Z ( jw) = j[w(C p + C s ) w3 C p C s Ls ]

≈

−



−

De esta expresión definimos la frecuencia de resonancia serie como aquella a la cual la impedancia se hace cero. Por lo tanto : (1 ws2 C s Ls ) = 0 j[ws (C p + C s ) ws3 C p C s Ls ]

−

−

1

− ws2C sLs ws2 C s Ls

= =

0 1

ws

=

√ C 1 L s

s

Mientras que la frecuencia de resonancia paralela es aquella a la cual la impedancia tiende a infinito, por lo tanto igualamos el denominador a cero.

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(1 w p2 C s Ls ) j[w p (C p + C s ) w p3 C p C s Ls ]

−

→ ∞ − w p (C p + C s ) − w p3 C p C s Ls = 0 w p2 C p C s Ls

w p2 w p

=

(C p + C s )

=

C p + C s 1 = C p C s Ls Ls

=

  1 Ls

 

1 1 + C p C s



1 1 + C p C s

Por otro lado, las formulas de w s y w p relacionan tres parámetros. Necesitamos una tercera relación para poder resolver el sistema y encontrar los valores. Para ello asumimos que podemos medir la impedancia de un cristal real con un instrumento, de manera que Z es conocida, y esta es puramente reactiva, o su parte real despreciable: Z = X Z =

2 − j [w(C p +(1 C −sw) −C wsL3C s ) pC s Ls] 2 − w(C p +1 C −sw) −C ws L3C s p C sLs 1− w 1− w w w =− − w C C L w(C p + C s )[1 − w w(C p + C s )[1 − w(C +C ) ] w ] w ws2 w p2 w2 − ws2 1 w p2 w −1 − w(C + C )[ w − 1] w2 w2 = − w(C p + C s )[w2 − w2] w2 1 s p p s p s w 2 2 C s ) − w(C p +wC −s )[wws2 − w2] C s1Ls (C C p p + C s Ls p 2 2 1 w − ws − wC 2 2 p w − w p 1 w 2 − ws2 − wX w 2 − w p2 Z 2

=

2

2

2

s

s

3

p

p

s

2 2

s

p

s

2

=

2

s

2 2

p

= = C p

=





De aqu´ı obtenemos entonces las siguientes relaciones:

 

ws = w p =



1 1 1 [ + ] = w s Ls C p C s

1 Ls C s

→

C s =

C s ] C p

→

Ls =

[1 +

C p =

1 ws2 Ls 1 C p (w p2

−

− ws2)

1 wX Z



w2 w2

− ws2 − w p2



Finalmente, la selectividad del cristal es el factor:w L s s Qc = Rs donde R s = Z s medido con el respectivo instrumento.

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Cristales resonadores Ejemplo de Final Enunciado:

Un cristal tiene una Z ( jw) = j11000 en una frecuencia f = 498,66kH z. Su frecuencia de resonancia serie es f s = 2924210Hz y la impedancia en resonancia serie fue de Z s = 15Ω. La resonancia paralelo es de f p = 2926930Hz. Calcular : C p , C s , Ls , Rs , Q

−

Z ( jw) = j11000

−

f = 498,66kH z f s = 2924210Hz Z s = 15Ω f p = 2926930kH z ws = 2πf s C p =

−

1 wX Z



w2 w2

− ws2 − w p2



w p = 2πf p Ls =

Q =

1 C p (w p2

2πf s Ls Rs

C s =

− ws2)

1 ws2 Ls

Rs = Z s = 15Ω

Tenemos la frecuencia serie y la frecuencia de operación, entonces calculamos C p , y con este valor con este valor podemos calcular L s y luego C s : C p = 29 pF

Ls = 0,0549Hy

C s = 0,054 pF

Q = 67246,47

Un cristal no oscila ... resuena. En cualquier oscilador el cristal se pone en reemplazo de parte del circuito tanque LC, normalmente del componente que define la frecuencia de resonancia como el inductor Lt. En el oscilador entonces tendrá impedancia inductiva tal que Z C = jwLC Oscila debido al efecto piezoelectrico. Una deformación mecánica genera un campo eléctrico, y el campo eléctrico genera una deformación. El efecto depende de las dimensiones f´ısicas de un cristal, particularmente su grosor, dónde y cómo se cortó. Estas propiedades determinan las frecuencias de resonancia serie (cuando Z C = 0) y paralelo (cuando Z C ).

→ ∞

Dependiendo del punto en el que se excite entre Ws y Wp (siendo ws ¡wp), puede comportarse en forma inductiva o capacitiva. Basta pensar en la curva de impedancia del cristal. Si Z > 0 (impedancia positiva) se comporta 1 como inductor y si Z < 0, como capacitor ya que Z C = j wC . C

−

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Cristales resonadores Final 29 de febrero de 2008 Enunciado:

Un cristal tiene una Z ( jw) = j253221 en una frecuencia f = 500Hz. Su frecuencia de resonancia serie es f s = 299741Hz y la impedancia en resonancia serie fue de Z s = 45Ω. La resonancia paralelo es de f p = 300213Hz. Calcular : C p , C s , Ls , Rs , Q

−

Z ( jw) = j253221

−

f = 500Hz f s = 299741Hz Z s = 45Ω f p = 300213Hz

Resoluci´ on C p =

−

1 wX Z



w2 w2

− ws2 − w p2



Ls =

1 C p (w p2

− ws2)

C s =

1 ws2 Ls

Rs = Z s

Q =

2πf s Ls Rs

Tenemos la frecuencia serie y la frecuencia de operación, entonces calculamos C p . C p = 1,253nF Con este valor podemos calcular Ls y luego C s : Ls = 71,388mHy

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Cs = 3,95 pF

Q = 2978

∆f = 472Hz

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Osciladores LC - Esquema General Resumen

Este circuito Colpitts es de Emisor Común. Los ejercicios de practica son Base Común y ganancia de corriente y se ve en otro apartado con otro circuito equivalente. Agrupamos r o y Z 2 como Z 2 = r o Z 2 Z 2 v1 = gm v1 Z 1 Z 1 + Z 2 + Z 3 v1 Z 2 = gm Z 1 v1 Z 1 + Z 2 + Z 3 gm Z 1 ro Z 2 = ro Z 2 Z 1 + (ro +Z 2 ) + Z 3 (ro + Z 2 )



−

Si hacemos que las impedancias sean componentes reactivos puros, entonces: Z k = j X k v1 gm ro X 1 X 2 = v1 X 2 (X 1 + X 3 ) + jr o (X 1 + X 2 + X 3 )

−

Para que oscile, este cociente debe ser real a la frecuencia de oscilacion y mayor que uno: X 1 + X 2 + X 3 X 2

−

−

= =

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−gmZ 1roZ 2

Z 1 (ro + Z 2 ) + ro Z 2 + Z 3 (ro + Z 2 ) gm ro Z 1 Z 2 ro (Z 1 + Z 2 + Z 3 ) + Z 2 (Z 1 + Z 3 )

−

−

v1 = v1

= 0 = X 1 + X 3

gm ro X 1 X 2 gm ro X 1 X 2 = > 1 X 2 ( X 2 ) + jr o (0) X 22

− −

gm ro X 1 > 1 X 2

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Por lo tanto, para que esto se cumpla:

• Si gm > 0 (emisor común) y X 1 y X 2 son del mismo signo, y X 3 de signo diferente debido a •

la relación X 1 + X 2 + X 3 = 0 Si gm < 0 (base común) y X 1 y X 2 son de distinto signo, y X 3 puede ser de cualquier signo.

Entonces siempre hay dos capacitivas y una inductiva (Colpitts) o viceversa (Hartley).

Osciladores reales requieren también de una red de polarización.

Los transistores tienen capacidades parásitas en su junturas que son convenientes reducir para poder aumentar la estabilidad en frecuencia, ya que estas ademas var´ıan con la temperatura o condiciones de polarización.

Entonces los valores que efectivamente tienen efecto en sobre la frecuencia de alimentación son para el Colpitts: C 1 = C 1 + C be y C 2 = C 2 + C ce Para que el efecto de C be y C ce sea despreciable, C 1 C 2 debe ser grandes, y como X 1 +X 2 +X 3 = 0, entonces el inductor deberá ser muy peque˜ no.

∧

Ocurre aveces que es demasiado pequeña, por lo que no hay valores comerciales. Esto se puede arreglar agregando un capacitor serie C 3 . De esta forma se obtiene una reactancia inductiva muy peque˜ na de un inductor no tan peque˜ no. Debido a que X 3 = X L3 + X C 3 0, resulta que X C 3 debe ser aproximadamente igual al X L3 de forma que estén casi en resonancia, actuando como filtro para las distorsiones.

≈

Bibliograf´ıa Federico Miyara: ”Osciladores Senoidales”. Segunda Edición. A˜ no 2004

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Osciladores - Esquema General Amplitud de oscilaci´ on Resumen La amplitud de oscilaci´ on queda limitada por la no-linealidad mas próxima al punto de trabajo del circuito.

La ganancia del amplificador es mayor al tener carga mas débil en continua. Las fuentes de alimentación no tienen impedancia de salida tan baja en alta frecuencia que en continua, por lo que la corriente oscilante producir´ıa ca´ıdas de tension oscilantes en la alimentación. Las oscilaciones en la fuente de alimentación produce radiación electromagnética, ya que actúa como antena, que altera el funcionamiento del resto de los circuitos. Seg´ un como se haya elegido el punto de trabajo del circuito (V CE Q e I CQ ), la amplitud quedara determinada por el corte o la saturacion.

Si en vez de una resistencia Rc se utiliza un choque, debido a que este almacena corriente y la libera en el ciclo puesto, y que la tension en esta es la derivada de la corriente vL = L didtL , esta podrá tener tension negativa cuando la corriente es decreciente. Y la tension sobre el colector puede ser mayor que V CC . Si hay saturacion, sera siempre del transistor y no de la fuente. UTN-FRP 2011

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Analicemos este circuito con choque. La condición para que el circuito no entre en corte es que i Cmin = I CQ iCmax > 0

iC = (i1 + i2 ) iC = I CQ + I sin wt = I CQ + ic vS = V SO + vs V CC + vs

−

−

≈

Luego, estudiando el circuito en alterna queda la inductancia del choque en paralelo con la R y podemos hallar v s . vs = ic Z = ic R jwL = ic R jwL ejφ jwRL j(wRL)(R jwL) = ic = ic R + jwL R2 w2 L2 jwR2 L + w2 RL2 = ic R2 + w2 L2 2L w2 RL2 + jwR2 L j tan−1 wR w2 RL2 = ic e R2 + w 2 L2

− − − −

− |  − −



(w2 RL2 )2 + (wR2 L)2 j tan−1 R wL e R2 + w2 L2 w2 L2 R2 (w2 L2 + R2 ) j tan−1 R wL ic e R2 + w2 L2 −1 R wLR ic ej tan wL R2 + w2 L2 wRL iCmax sin(wt + φ) R2 + w2 L2

−ic

=

− − √

=

 −

  

=

= vs

−

−

√

|

Cuando ic (t) = I CQ el transistor comienza a cortarse. En ese caso: wRL vs = I CQ sin(wt + φ) 2 R + w 2 L2

−

√

Para maximizar la amplitud de salida conviene que el transistor limite por saturacion en vez de por corte. La tension máxima sobre el transistor es cuando hay tension m´ınima sobre la carga. La tension m´ınima alcanzada por v s debe ser menor que la de saturacion: v Smin < V CEsat vSmin

= V CC

− I CQ |R  jwL| wRL V CC − I CQ √ < V CEsat R2 + w2 L2 V CC − V CEsat I CQ > |R  jwL|

vSmin

=

Entonces la forma de onda resultante para cuando la saturacion se produce antes que el corte es la siguiente:


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26


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25 de junio de 2011

Estabilidad del Oscilador Resumen Estabilidad en frecuencia:

Se produce debido a los polos propios del amplificador, a capacidades parásitas que introducen defasajes adicionales, derivas térmicas, efectos de dispersi´ on, etc. La condici´ o n de Barkhausen dice que: a( jw)β ( jw) = 1

−

La condición sobre la frecuencia de oscilación es: arg(a( jw)β ( jw)) = 180◦ El argumento de un producto, es la suma de los argumentos: arg(a( jw)) + arg(β ( jw)) = 180◦ Si se produce una variació n ∆arg(a), o mas genéricamente ∆φ se deberá producir una variaci´ o n ∆arg(β ) igual y opuesta de manera que compense la fase de 180◦ . De manera que: ∆arg(β ) = ∆φ

−

Por otro lado, la fase de β es dependiente de la frecuencia, por lo tanto, una variación ∆arg(β ) lleva un cambio en la frecuencia de oscilaci´ on ∆w0 . ∆arg(β ) ∂ arg(β ) = S F = ∆w0 ∂w w0 ∆φ ∆w0 =

−



∂ arg(β ) ∂w w0



Calculo simplificado de S F R :

Si β = A + jB, entonces arg(β ) = tan−1 Derivando: B  A A B A2 +B 2

−

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∂ 1 B ∂w tan A

−

=

B A

B  A A B 1 B 2 A2 1+( A )

−

=

La derivada S F se denomina factor de estabilidad en frecuencia absoluto. Cuanto mas alto sea este valor, menos variara la frecuencia. El factor de estabilidad en frecuencia relativo es: ∆w0 ∂ arg(β ) S F R = w 0 S F = = w 0 w0 ∂w



w0

Para cumplir la condición de oscilación de β ∂ real, B debe ser cero, por lo que: ∂w arg(β ) = B A B A2 = A 

Finalmente: S F R = w 0 BA

27


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Estabilidad en amplitud:

Las causas están asociadas con la saturacion y la variación de parámetros. El oscilador se mantiene ”estable” debido a la resistencia dinámica negativa que disminuye la ganancia al aumentar la amplitud. Este proceso requiere que para conocer el punto de estabilidad se llegue a la saturacion en determinados periodos de tiempo, agregando un alto contenido armónico.

El circuito propuesto muestrea la salida de amplitud con un rectificador con filtrado suficiente para que pueda despreciarse el ripple y que maneje alg´ un dispostivo conectado a la red de oscilación, como un FET actuando como resistencia variable. La constante de tiempo es τ = (Ra + Rb )C Suponiendo que τ << 1/f 0 , tenemos que la Rb tension de regulacion es vr Ra +Rb vomax

≈

Se utiliza un circuito realimentado adicional. La amplitud de salida debe ser aquella que haga que la ganancia de lazo sea 1 y por tanto se tengan los polos exactamente sobre el eje imaginario.

−

La forma de salida debe ser senoidal con un alto grado de pureza.


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25 de junio de 2011

Oscilador Sintonizado por Colector Resumen

El circuito tanque tiende a comportarse como cortocircuito a la frecuencia de oscilaci´ on.

I 1 Y 1 = V Es la admitancia vista del primario 1 del transformador.

La resistencia de entrada al transistor rπ se incluye ya que provoca un defasaje.

Debe hallarse considerando las ecuaciones del transformador ideal: di1 di2 v 1 = L1 + M dt dt di1 di2 v2 = M + L2 dt dt V1 = L1 sI1 + MsI2 V2 = MsI1 + L2 sI2 = I 2 Ri V 2 I 2 = Ri V 2 V 2 = M sI 1 sL2 Ri L2 V 2 (1 + s ) = M sI 1 Ri M V 2 = s I 1 2 1 + sL Ri

La condición de oscilación surge de plantear el cociente: −vv12 1

≥

I 1

=

I 1 V 1

−I C C + I s

=

1

V 1

−

−gmV i C V 1 + 1 1

−

s I 1

=

−gmV i

V 2

= s

V 2 V i

= =

1



C s L1 s

M I 1 2 1 + sL Ri

−

M2 s2 Ri +sL2



+1

− C s[L1s(Ri + sL2g)m−MsM 2s2] + Ri + sL2

Mw − L2w + (M 2 − L1Lg2m)Cw 3 + jR [L Cw 2 − 1] i 1

En la frecuencia de oscilación, este cociente debe ser real y mayor que uno. Por lo tanto: L1 Cw 02

−1 = 0

w0 =

I 2 V1

= =

− RV 2i = −s Ri +M sL2 I 1



L1 s

−

M2 s2 Ri + sL2



I1

√ L1 C 1

Podemos realizar la siguiente simplificación para hacer M 2

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−

− L1L2 = 0 : 29


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L1 = K n21

L2 = K n22

M = K n1 n2

Con esto el cociente queda: gm Ri M 0 − V V 21 = gmLR2iwMw ≥1 = L2 0 O lo que es lo mismo:

− V V 21 = gm Ri nn12 ≥ 1 Bibliograf´ıa Federico Miyara: ”Osciladores Senoidales”. Segunda Edición. A˜ no 2004

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25 de junio de 2011

Oscilador por Rotaci´ on de Fase Resumen

Se utiliza un elemento activo inversor a, y una cascada de células RC que producen rotaciones de fase que juntas como máximo llegan a 270 ◦ . Pero estas celular producen un defasaje de 180 ◦ a alguna frecuencia de que sera de resonancia debido al Critero de Barkhausen . La salida se obtiene de la salida del elemento activo. V i V i = aH 1 H 2 H 3 V i V i H = H 1 = H 2 = H 3 V R R sCR = = = 1 V 1 sCR + 1 R + sC V i sCR sCR sCR = a V i sCR + 1 sCR + 1 sCR + 1 (sCR)3 = a (sCR + 1) 3 (sCR)3 = a (sCR)3 + 3(sCR)2 + 3sCR + 1

( jwCR)3 ( jwCR)3 + 3( jwCR)2 + 3 jwCR + 1 j(wCR)3 a j(wC R)3 3(wC R)2 + j3wCR + 1 j(wC R)3 j a 2 3 [1 3(wCR) ] + j[3wCR (wCR) ] j (wC R)3 a j[1 3(wC R)2 ] [3wCR (wCR)3 ] (wC R)3 a (wC R)3 3wCR + j[1 3(wCR)2 ]

= a = = = =

− − −

−

−

−

−

−

−

−

−

NO DA LO MISMO QUE EN EL LIBRO Miyara. Por mallas no me dio lo mismo. Considerando todo como una u ´ nica Z =

         1 sC

R +

1 sC

R +

1 sC

R tampoco da lo mismo.

Un PDF de autora Lucelly Reyes llamado Oscilador por rotaci´ on de fase con un subtitulo Electr´ onica y microelectr´ onica para cient´ıficos . Lo resuelve por mallas y le da muy similar. Seg´ un el libro Miyara es : V i = V i (wCR)3

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−

a(wCR)3 5wC R j[6(wC R)2

−

− 1]

31


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Para que el circuito oscile debe ser real y mayor que uno, entonces: 1 6(w0 CR)2 1 = 0 w0 = 6RC

√

−

A esa frecuencia el cociente sera: V i a(w0 CR)3 = V i w0 CR[(w0 CR)2

− 5]

=

a( √ 61RC CR)2 1 CR)2 6RC

[( √

− 5]

El circuito oscilara si esta ganancia es mayor que 1, es decir si

=

a 16 1 6

− 5

=

− 29a ≥ 1

−a > 29

Por lo tanto sera un amplificador inversor con ganancia mayor a 29.

Factor de estabilidad de frecuencia relativa:

arg(β ) = tan−1



∂ arg β ∂w w0 ,B =0 S F R

=



6(wRC )2 1 (wRC )3 5(wRC )

1 2 1 + (B A)

−

−

B  A − A B A2

 

=

√

=

√

−

−

S F R =

√ 6[12 1 − 5] = −1,0135 ≈ −1 6

w0 ,B =0

12RC (wRC ) (wRC )3 5wRC 1 12RC (wRC ) 6RC (wRC )3 5wRC 12 6[(wRC )2 5]

= w0



Este resultado significa que una variació n de fase de 1[rad] produce una variación relativa de 100% en la frecuencia, o equivalente, una variació n de 1◦ produce cerca del 2 % de variación de frecuencia.

−

−


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25 de junio de 2011

Oscilador por Puente de Wien Resumen Su estabilidad en frecuencia es pobre, haci´ endolo inviable para aplicaciones de precision. Se sustituye la red de rotación de fase por el Puente de Wien. De la figura se observa que la salida es la diferencia de dos tensiones de dos divisores. Uno dependiente de la frecuencia y el otro no. 1 R4 sC

V 2 V i

=

=

Z 4 a = a Z 3 + Z 4 R3 + a

s2 R3 C 3 R4 C 4 +

4

1 R4 + sC

1 sC 3

+

4 1 R4 sC

V 1 R2 = a V i R1 + R2

4

1 R4 + sC

4

sR4 C 3 s(R3 C 3 + R4 C 4 + R4 C 3 ) + 1

V i V 2 V 1 = = a V i V i

−



sR4 C 3 2 s R3 C 3 R4 C 4 + s(R3 C 3 + R4 C 4 + R4 C 3 ) + 1

−

R2 R1 + R2



Reemplazamos s = jw

 

V i V 2 V 1 jwR4 C 3 j = = a 2 V i V i jw(R3 C 3 + R4 C 4 + R4 C 3 ) w R3 C 3 R4 C 4 + 1 j

−

V i V 2 V 1 = = a V i V i

R2 − R1 + R2

−

−

−

wR4 C 3 w(R3 C 3 + R4 C 4 + R4 C 3 ) j[ w2 R3 C 3 R4 C 4 + 1]

− −

R2 R1 + R2

 

Para que oscile, este cociente debe ser real y mayor que uno.

−w2R3C 3R4C 4 + 1 = 0 V i = a V i



R4 C 3 τ + τ + R4 C 3



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−

w0 =

√ R C 1 R C 3

   −

R2 = a R1 + R2

R4 2R3 + R4

R2 R1 + R2

3

4

=

4

R4 C 3 2R3 C 3 + R4 C 3

√ 1τ τ = τ 1 −

R2 R1 + R2



≥ a1

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Inestabilidad debido a los polos del amplificador:

Lugar de ra´ıces del oscilador ideal. Y lugar de ra´ıces del oscilador con 3 polos agregados por el amplificador, uno de ellos dominante y dos de alta frecuencia. Si la ganancia en continua del amplificador es lo suficientemente grande, se tendrán dos modos naturales de oscilaci´ o n. Por lo cual, la salida sera vo = A1 ea1 t sin w1 t + A2 ea2 t sin w2 t. Cuando se alcance la saturacion las amplitudes se acomodaran en dos senoidales. La amplitud de la senoidal de alta frecuencia suele ser mas pequeña. La magnitud relativa de la oscilaci´ on parásita es mayor cuando la principal pasa por cero. Factor de estabilidad de frecuencia relativa:

β (s) ∂ arg β ( jw) ∂w

=

V i = a V i

=

∂ arg ∂w

=

∂ arg ∂w

 −  −

sR4 C 3 2 2 s τ + s(2τ + R4 C 3 ) + 1 1

τ 2 w2 + j(2

1

τ 2 w2

− RR )τ w 1 2

+ j3τ w

−

R2 R1 + R2





A + jB A + jD

Por condición de oscilación, para que el interior sea real, A = 0, que se reemplazara después de derivar. ∂ ∂ ∂ arg β ( jw) = arg(A + jB ) arg(A + jD) ∂w ∂w ∂w ∂ B  A BA  ∂ D A DA = arg arg ∂w A2 + B 2 ∂w A2 + D2



∂ arg β ( jw) ∂w

= =

A A + B D 2τ 2 w0 2τ 2 w0 + 1 3τ w0 (2 R R2 )τ w0

− − −−

= 2τ S F R

1

2

= w0 2τ

≡

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

−

− RR −



1 2

− RR

1 2

1 2

−

R1 R2

1 3



− 31



−

−

−



−



Se puede concluir que mientras mas próximo sea el valor de R 1 a 2R2 , mayor sera el valor de S F R ´ MAGICA ´ ALERTA DEDUCCI ON pagina 29, formula 90 del Miyara. S F R

≈ − 29 a

De esto se concluye que la estabilidad en frecuencia del oscilador, esta limitada solamente por la ganancia finita a del amplificador empleado.

1 2

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Puente de Wien controlado con FET para estabilidad en amplitud:

Para que el FET funcione en su zona de resistencia controlada por V GS , su tension V DS debe ser baja, tipicamente menor que 1V, para lo cual: R2 vomax << 1V R1 + R2 Como consecuencia, a la entrada del amplificador habrá una tension baja, y la ganancia de la parte inversora del operacional debe ser alta. Recordando la condición de oscilación, y al ser a >> 1, podemos aproximar:



R4 2R3 + R4



R2 − R1 + R

2



≥ a1 ≈ 0

R4 R2 > 2R3 + R4 R1 + R2 donde R 2 = R2

 rDS

El capacitor C  es aveces necesario para estabilizar el lazo de control de ganancia. Entonces, una solución para la condició n de oscilaci´ on es disminuir ambos t´ erminos haciendo R4 << 2R3 , y: R 2 << R1

Calculo de la amplitud de oscilaci´ on:

A medida que la tension comienza a aumentar, la tension V GS se hace mas negativa ya que el rectificador toma los semiciclos negativos. Aumentando as´ı la rDS , con lo cual el valor efectivo de R 2 aumenta. Entonces los polos descienden hacia estar sobre el eje imaginario, en la cual se alcanza la primer igualdad. La curva de entrada-salida es ahora una función recta, casi perfectamente lineal cuya pendiente va variando lentamente según la amplitud variable de la salida. El peque˜ n o ripple a la salida del rectificador provoca una leve variación de r DS que se transmite a la resistencia R 2 Cuanto mayor sea la constante de tiempo, mayor sera la variación, pero también sera mayor el tiempo requerido para que alcance el valor deseado.

FALTA PASAR Leer del apunte Miyara, pagina 40

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Puente de Wien controlado:

Controlado por termistores:

Sustituyendo R1 o R2 por resistencias variables con la temperatura. Al aumentar la amplitud de salida aumenta la corriente, por lo tanto aumenta la disipación de potencia y la disipación de temperatura. La variación de la resistencia puede ser positiva (como en cualquier resistencia, reemplazando R2 ) o negativa (como en un termistor semiconductor, reemplazando R1 ). Requieren de una corriente relativamente alta para lograr una variación apreciable de las resistencias. Esto puede solucionarse con un seguidor de emisor a la salida.

Controlado por elementos no-lineales:

Reemplazar R 1 por un elemento no lineal. Como las ventajas del Oscilador Puente de Wien se presentan con ganancia alta, se utiliza normalmente con operacionales, cuya saturacion es muy brusca. El uso de elementos con alinealidad mas gradual, mejora la forma de onda, reduciendo la ganancia en forma suave. La inestabilidad se apenas la necesaria para que el oscilador pase de inestabilidad a estable, ya que se elije R1 de modo que cuando los diodos conducen, la resistencia efectiva R1 = R 1 R1 hace que no se cumpla la condición de oscilación.



Cuando los diodos no conducen, la resistencia efectiva es R1 = R1 y se elije de forma que cumpla siempre la condici´ on de oscilación. La alinealidad es suave ya que los diodos no comienzan a conducir repentinamente si no en forma gradual.


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25 de junio de 2011

Oscilador Pierce a Cristal Resumen Es un tipo Colpitts donde se reemplaza el inductor por un cristal piezoelectrico. Dado que la frecuencia de oscilació n deberá ser tal que se cumpla X 1 + X 2 + X 3 = 0, y debido a que el inductor se comporta inductivamente solo entre las frecuencias ws y w p que son aproximadamente iguales, podemos entender que la frecuencia de oscilación sera altamente determinada por la impedancia Z C del cristal. 1 1 + = Z C (w0 ) w0 C 1 w0 C 2 1 ws < w0 < w p w0 = LC

La frecuencia exacta de oscilación sera cuando la impedancia capacitiva se iguala a la inductiva:

X (w0 ) =

A la frecuencia de oscilació n, el cristal tendr´ a impedancia inductiva (LC ).

Bibliograf´ıa

Luego se contin´ ua con los mismos pasos vistos para los circuitos anteriores.  vgs vgs

Hallar hacer la parte imaginaria igual a cero y despejar w0 . v

√

Federico Miyara: ”Osciladores Senoidales”. Segunda Edición. A˜ no 2004 Herbert L. Krauss, Charles W. Bostian, Frederik H. Raab: ”Estado solido en ingenier´ıa de radiocomunicaci´ on”. Editorial Limusa

Hallar g m para cuando vgs 1, sabiendo que gs para casos practicos se puede considerar yf s = gm + j0.

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≥

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25 de junio de 2011

Oscilador Hartley a Cristal Resumen Es un tipo Hartley donde se reemplaza uno de sus inductores por un cristal piezoelectrico, y el otro por un circuito sintonizado (tanque LC) funcionando inductivamente. El circuito tanque brinda reactancia inductiva a la frecuencia del cristal. El circuito tanque tambi´ en en filtra las componentes armónicas onicas debidas a la saturacion del FET. La inductancia variable se realiza por medio de un n´ ucleo de ferrite enrroscable a profunucleo didad variable. La capa capaci cida dad d que que se usa usa es la capa capaci cida dad d par´ asita asita del transistor.

Bibl Bi blio iogr graf´ af´ıa ıa Federico Miyara: ”Osciladores Senoidales”. Senoidales” . Segunda Edición. on. A˜ no no 2004

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25 de junio de 2011

Oscilador Colpitts Generalizado Resumen

V i V i

=

Z =

La resistenci resistenciaa R2 agrupa las resistencias de carga y salida de cualquier implementacion.

−gm Z 2  [Z 3 + Z 1] 1 1 R R = sC sC R + 1

La resistenci resistenciaa R1 agrupa las resistencias de entrada y de polarización. on.

sC

= V i V i

R sCR + sCR + 1 R2 gm sC 2 R2 + 1 R2 gm sC 2 R2 + 1

VER: VER: Este Este desarr desarroll olloo puede puede estar estar mal mal,, pero ser coinci coinciden dente. te. Deber Deber´ıa ser: ser: V i = 1 gm V i Z 2 Z 1 +Z Z 2 +Z 3

=

−

 [sL3 + sC 1RR11 + 1 ]

=

−

 [ R1 + ssC C 11RR11 +L31 + sL3 ]

−

2

R2 R1 +s2 C 1 R1 L3 +sL3 [ ] sC 1 R1 +1 2 R2 +1 gm sC R2 R1 +s2 C 1 R1 L3 +sL3 ] sC 2 R2 +1 + [ sC 1 R1 +1

=

−

=

−gm

R2 R1 + s2 C 1 R1 L3 + sL3 [ ] R2 R1 +s2 C 1 R1 L3 +sL3 sC R + 1 sC R + 1 + [ ] 2 2 1 1 sC R +1 sC R +1 1

2

2

1

1

2

=

R1 + s C 1 R1 L3 + sL3 ] −gm R2(sC 1R1 + 1)R+2[[(R [( R1 + s2 C 1 R1 L3 + sL3 )(sC )(sC 2 R2 + 1)]

=

2 L3 + R1 R2 −gm sC 1R1R2 + R2 + sC 2R2R1s +C R1R1 +1Rs23LC 31 +R1sR L3 C 2 R2 + s2 C 1 R1 L3 + s2 C 2 R2 L3 + sL3

=

1 R1 R2 L3 + sR2 L3 + R1 R2 −gm s3[C 1R1L3C 2R2] + s2[C 1Rs1LC 3 + C 2 R2 L3 ] + s[C 1 R1 R2 + C 2 R2 R1 + L3 ] + [R [ R2 + R1 ]

=

R2 L3 + sR2 L3 + R1 R2 −gm s3[C 1R1L3C 2R2] + s2Ls3[C C 11RR11 + C 2 R2 ] + s[L3 + R1 R2 (C 1 + C 2 )] + R2 + R1

2

2

2

Se puede simplificar el numerador sabiendo que las impedancias de R de R1 y de R de R2 son de mucho mayor 1 1 1 1 magnitud magnitud que sL3 o que sC 1 y sC 2 . Entonces R Entonces R 1 >> w0 C 1 y R 2 >> w0 C 2  V i gm R1 R2 = 3 2 V i s [C 1 R1 L3 C 2 R2 ] + s L3 [C 1 R1 + C 2 R2 ] + s[L3 + R1 R2 (C 1 + C 2 )] + R2 + R1

−

Los términos erminos con exponente impar, ser´ an los imaginarios. Reemplazamos s = jw 0 e igualamos a an cero para hacer el cociente real: s3 [C 1 R1 L3 C 2 R2 ] + s[L3 + R1 R2 (C 1 + C 2 )] w0 =

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

→

jw 0 [L3 + R1 R2 (C 1 + C 2 ) w02 (C 1 R1 L3 C 2 R2 )] = 0

L3 + R1 R2 (C 1 + C 2 ) = C 1 R1 L3 C 2 R2



−

1 (C ( C 1 + C 2 ) + C 1 R1 C 2 R2 C 1 L3 C 2 39


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Continuando con la simplificación on mencionada: w0 =

V i ( jw 0 ) V i

= =

(C 1 + C 2 ) = C 1 L3 C 2

−gm R1R2

− w02L3[C 1R1 + C 2R2] ≥ 1 −gmR1R2 C +C ) R2 + R1 − (C L C L3 [C 1 R1 + C 2 R2 ] −gm R1R2 +C ) +C ) R2 + R1 − [R1 (C C + R2 (C C ] −gm R1R2 C R2 + R1 − [R1 C C + R1 + R2 C + R2 ] R2 + R1

1

1

=



= = gm

≥

 C 2]

Realizando un cambio de variable x = el resultado anterior graficamos: 1 x + gm xR2 R1

C 2 C 1

en

≤

2

3

2

1

2

1

2

=

1 L[C 1



gm R1 R2 C 2 1 R1 C C 2 + R2 C 1 gm 1 C 1 1 C 2 R2 C 2 + R1 C 1

1 C 1 1 C 2 + R2 C 2 R1 C 1

2

1

1

2

2

1

≥1 El rango de valores de x = produzca produzca la oscilaci´ oscilaci´ on, on, es:

2

x R2

−

x2 R2 + R1 xR2 R1 2 x R2 + R1 gm xR2 R1 + R1

C 2 C 1

≤ ≤ ≤

para que se

gm gm xR2 R1 0

Usando Usando la resolv resolven ente te para para esta esta inecua inecuaci´ ci´ on on cuadr´ atica atica obtenemos: 1 x1 x x2 gm R1 gm R2

≈ ≤ ≤ ≈

Todos los valores de este intervalo hace que el circuito oscile. Se prefieren los valores limites ya que dan ganancia mas próxima a 1. Conviene utilizar el extremo que proporcione mayor Q, que produce un pico de resonancia mas agudo, ya que as´ as´ı sera mayor la estabilidad en frecuencia.

Bibl Bi blio iogr graf´ af´ıa ıa Federico Miyara: ”Osciladores Senoidales”. Senoidales” . Segunda Edición. on. A˜ no no 2004

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25 de junio de 2011

VCO a VARICAP Resumen

El comportamiento de los diodos Varicap depende de la formación en la zona de la unión.

Tensi´ on Máxima = Capacidad m´ınima Tensi´ on m´ınima = Capacidad M´ axima

Las capas P y N están separadas por esta uni´ on llamada zona de empobrecimiento D desprovista de cargas el´ ectricas, por lo que se comporta como un aislante (dieléctrico). Se polarizan inversamente. Tensi´ on positiva sobre el catado. Los valores de capacidad van de 1 a 500 pF Al aumentar la tension inversa aplicada aumenta el grosor de la unión D y por tanto la capacidad. df 0 df 0 dC V K V CO = = dV dC V dV C s 0,7 V s = 8π L[C T (0,7 V )]3/2

√ − √ −

f 0 =

1 √ 2π LC

C T = C OSC + C V

T

C V = C s



0,7 0,7

− V s − V



n

donde C s es la capacidad del varicap a una polarización V s , V es la tension aplicada en polarización inversa, y n = 1/2 si la juntura del diodo es abrupta o n = 1/3 si es gradual.

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df 0 dC V

= = = = = =

K V CO

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d dC V





1 2π LC T 1 d 2π LC T 2 (2π LC T ) dC V d f 02 2π LC T dC V 1 d f 02 2π (LC T )−1/2 [LC T ] 2 dC V π 2π f 02 L LC T 2π

√

− √ −

− − √ −2π2Lf 03

df 0 dC V = = dC V dV

−2π

2

    

Lf 03

nC V = 0,7 V

−

−

dC V dV



=

d 0,7 C s dV 0,7

=

C s (0,7

= = =

√



n

d − [0,7 − V ] n − V s)n dV − − C s (0,7 − V s )n (−n) [0,7 − V ] n 1 (−1) n 0,7 − V s −1 nC s [0,7 − V ] 0,7 − V





nC V 0,7 V

−

1 nC V 2π L = 3 (2π LC T ) (0,7 V ) 2

− V s − V

−

(0,7 V s )n L nC s 3/2 (0,7 V )n+1 4πL 3/2 C

−

1

T

− −

Para n = 1/2:

√ 0,7 − V √ C s 0,7 − V s s K V CO = −LC s = − √ √ 3/2 3/2 8π L[C T (0,7 − V )]3/2 8πL LC T (0,7 − V ) 1

El signo negativo indica que al incrementar la tension de error, se reducirá la frecuencia de salida. Las redes RfCf proveen de filtros para la alimentación que tienen alta impedancia a la frecuencia de operación. El gate a tierra presenta mayor estabilidad en frecuencia. La red de control de frecuencia consiste en dos parte. Una es controlada por la tension de error del PLL, o ajuste fino, mientras que la otra se utiliza para llevar la frecuencia libre del VCO al rango de captura. Para el estudio se desconecta la influencia del segundo varicap.

Bibliograf´ıa ”Fuentes varias en Internet” ”Resumen de fuente desconocida”

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VCXO con VARICAP Resumen Los VCXO no son ampliamente utilizados en sintetizadores debido a que no puede ser sintonizado sobre una amplia gama de frecuencias. Su gran estabilidad es su ventaja. El cristal se pone en lugar del inductor, funcionando a una frecuencia intermedia. A la frecuencia w 0 el cristal es supuesto de tener una impedancia inductiva y una pequeña componente resistiva. El varicap se conecta en serie con el cristal para variar la frecuencia de operación. Una alta impedancia debe conectarse entre la entrada de tension de sintonia y el varicap, de modo que no afecta la polarización del circuito. Se puede usar una resistencia grande, o un choque. C V = C s



0,7 0,7

− V s − V



n

Para hacer oscilar en un sobretono del cristal, se coloca un filtro paralelo RC en el colector sintonizado a una frecuencia impar del cristal. Una carga muy grande puede hacer que el cristal se caliente, generando mayor desgaste en el tiempo y haciendo que la frecuencia baje ligeramente.

Bibliograf´ıa ”Fuentes varias en Internet”

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VCXO con VARICAPs Espalda con Espalda Resumen El cristal se comporta inductivamente a una frecuencia entre w s y w p . El transformador y la capacidad variable se pueden ajustar de forma que la impedancia vista por el circuito sea inductiva o capacitiva, pudiendo variar as´ı la frecuencia de oscilación. El circuito de capacidad variable consiste en 2 varicaps espalda con espalda, 2 capacitores de acople, 2 capacitores de acople que a´ıslan la continua y limitan la variación de los varicaps. A muy alta frecuencias las R se reemplazan por choques. Los varicaps quedan desconectados de la continua y de la tierra. Estos quedan en serie con la impedancia inductiva del cristal y el primario del transformador. 1 gm V i Z 1 V I 1 I 1 = 1 Z 1 + sLC + sC V1 /2 + V I 1

−

V1

= L1 sI1 + MsI2

V2

= MsI1 + L2 sI2 =

I 2

=

V i = V 2

=

−I 2 sC 1 q

−sC q V 2 sM M sI 1 − s2 L2 C q V 2 = I 1 [1 + s2 L2 C q ] −gm V iZ 1 V I sM 1

=

=

1

[1 + s2 L2 C q ] Z 1 + sLC +

1 sC V / 2

+

V 1 I 1

L s+s3 (L1 L2 C q M 2 C q ) 1+s2 L2 C q L1 s+s3 (L1 L2 C q M 2 C q ) 1+s2 L2 C q

gm V i Z 1 1 sM [1 + s2 L2 C q ] Z 1 + sLC + 1 + sC V / 2

−

−

−

V 1 I 1

=

0 =

L1 s + M s

I 2 I 1 1 sC q s2 MC q = 1 + s2 L2 C q

MsI 1 + L2 sI 2 + I 2

Luego continuamos por separar los t´ erminos impares de s y reemplazar s = jw0 , despejando la frecuencia de resonancia w 0 .

I 2 I 1

=

Para la condición de oscilación terminamos por evaluar:

V 1 I 1

=

L1 s

=

L1 s + s3 (L1 L2 C q M 2 C q ) 1 + s2 L2 C q

V i V i

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

w0

> 1

−sM

sL2 +

1 sC q 3

−

2

C q − 1 s+ M 2 s L2 C q

−

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Dise˜ no de un oscilador Colpitts. Resumen Enunciado:

Encontrar: Re , re , RE , R1 , R2 , R p , C 1 , C 2 , C f , C C , C B , P T P L = 30mW RL = 4000Ω f o = 3,5M Hz Lt = 1,5µH Qc = 160 β = 50 C o = 4 pF V CC = 20V

Red de alterna Procedimiento de dise˜ no practico para cargas de alta resistencia. Para que inicien las oscilaciones, la ganancia α debe ser mayor que α min . Pero con los transistores modernos es dif´ıcil no encontrar uno que cumpla estas caracter´ısticas siempre que la frecuencia de operación sea f o = f 2T y que la R t > 1000Ω. Por otro lado la eficiencia del oscilador colpitts es de 25 %, entonces debemos elegir un transistor que disipe al menos cuatro veces la potencia que se desea. P T = 4P L = 120mW

f T = 2f o = 7M hz

El inductor RFC es un choque de RF que evita que R E disipe potencia en régimen de alterna. Por ello este inductor es tan grande como se pueda. RF C

→ ∞

Los capacitores C B y C C se comportan como cortocircuito en RF. El primero manda la base a tierra, y el segundo es un capacitor de acoplamiento de baja impedancia que evita corrientes continuas en la carga. Por tanto, son valores grandes. C B = C C = 3,3nF UTN-FRP 2011

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La resistencia Re debe hacerse lo suficientemente grande (Re 100) para eliminar la inductancia de entrada del transistor, y as´ı reducir la dependencia de la frecuencia de operación respecto de los parámetros del transistor a costo de una perdida de potencia en RF. Elegimos:

≈

Re = 50Ω

La inductancia Lt se puede calcular, dar como dato o simplemente elegir, ya que usualmente resulta en valores tan pequeños que no existen tantos valores comerciales para seleccionar. Por esa razón, si debe se elegida se suele elegir L t = 1,2µH , acompa˜ nado de un Q = 50. Pero no es este caso. Aqu´ı: Lt = 1,5µH

y

Qc = 160

El capacitor C t es la capacitancia total del circuito tanque (el de realimentacion), que esta relacionado con L t por: 1 C t = 2 = 1,378nF w0 Lt C t = C o + C s + C f El capacitor C f es un capacitor de ajuste que se coloca en el circuito tanque para variar la frecuencia de operación. Por tanto se debe elegir en el rango de un capacitor variable comercial: C f = 10 pF [2 a 20 pF ] C o es la capacitancia de salida del transistor C o C ob en el circuito equivalente de alterna, que queda en paralelo con la salida. Suele estimarse de unos pocos picofaradios.

≈

La capacidad C s no es mas que el paralelo de C 1 y C 2 . Con esta se calculan luego los valores de ambos. C s = C t C o C f = 1,378 0,004 0,01 = 1,364nF

− −

−

−

 C 2 = C C 1 +1C C 2 2

C s = C 1

El transistor en un oscilador Colpitts en base común se comporta como una fuente de corriente paralelo. Entonces la combinación de las resistencias en paralelo del circuito equivalente es Ro = R p N 2 Ri RL , en donde R i = Re + rc .





Para que exista una máxima transferencia de energ´ıa, la RL debe estar acoplada a la salida del circuito paralelo del oscilador, por tanto, R L = R p N 2 Ri , lo que implica que:



Ro = RL

 RL = R2L = 2000Ω

Luego la potencia m´ axima entregada a la carga es: 2 R I CQ L P Lmax = 8

y la potencia suministrada por la fuente: 2 2 P dc = I CQ Ro = I CQ

RL 2

lo que recordando, nos da una eficiencia de η =

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2 I CQ RL P Lmax 2 2 1 = = = = 25 % 2 P dc 8 I CQ RL 8 4

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De la P Lmax , que es un parámetro de dise˜ no, podemos despejar I CQ : I CQ =



8P L = 7,74mA RL

La resistencia serie rc de la bobina Lt es importante en la operación del circuito y se la incluye definiendo una resistencia paralelo R p = Q 2c rc . Por otro lado si este dato no es dado como en este ejercicio, la r c se puede estimar con:

≈ 40I 1CQ = 3,23Ω

rc

Teniendo la resistencia serie rc del bobinado y la selectividad deseada Qc , se puede calcular la resistencia paralelo equivalente: R p = Q 2c rc = 12,8kΩ Ri = Re + rc = 50 + 3,23 = 53,23Ω El Qc determina a R p , que junto con Ri determinaran ahora a N . El Qc debe ademas medirse directamente del inductor que se va a usar. El N es el análogo de raz´ on de vueltas de un transformador pero en el divisor capacitivo de C 1 y C 2 . Y queda dado por: RL R p N = = 10,45 Ri (R p RL )



−

Observese que R p debe ser mayor que R L . Finalmente, los valores de C s y N determinan a C 1 y C 2 . C 1 =

N C s = 1,51nF N 1

−

C 2 = N C s = 14,33nF

Para facilitar el ajuste del circuito, C 1 se constituye a menudo como un capacitor variable. En este procedimiento se han supuesto una operación lineal del transistor, y voltajes y corrientes sinusoidales. Se ignoraron ademas muchos parámetros del transistor. Sin embargo, el procedimiento darán oscilaciones que funcionan.

Red de polarizaci´ on Los datos que tenemos son: V CC = 20V

I CQ = 7,74mA

RL = 4000Ω

Re = 50Ω

Y las incógnitas: RE , V CB Q , V BQ , V BB , Rb , R1 , R2 Planteamos las ecuaciones de las mayas en continua: V BB = I BQ Rb + V BEQ + I CQ (Re + RE ) V CC = I CQ rc + V CE Q + I CQ (Re + RE )

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La RE solo es valida en el análisis de continua ya que esta precedida por un choque de RF que la desconecta del análisis de alterna. Hallamos esta resistencia despejando el valor de la segunda malla y considerando a r c despreciable: V CC V CE Q RE = Re I CQ V CC (V CB Q + 0,7) = Re I CQ RL V CB Q = I CQ Ro = I CQ = 15,5V 2 RE = 441Ω

−

−

−

−

La resistencia de base del circuito equivalente de Thevenin Rb = R1

 R2 puede aproximarse por:

≈ β Re +10RE = 2455Ω

Rb

La tensi´ on de base equivalente de Thevenin es entonces: V BB =

I CQ Rb Rb + 0,7 + I CQ (Re + RE ) = I CQ ( + Re + RE ) + 0,7 = 4,886V β β

Utilizando divisor resistivo en el circuito de base llegamos a las expresiones de R 1 y R 2 : V BB = V CC

R2 R1 + R2

V BB R2 R1 R2 Rb = = = V CC R1 + R2 R1 R1



→

R1 = Rb R2 = R b

1

V CC = 10kΩ V BB 1 = 3248Ω V BB

− V

CC

La potencia total suministrada puede calcularse entonces con: P dc = V CB Q I CQ = 0,11997W

≈ 120mW


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Dise˜ no de un oscilador Colpitts. Ejemplo de algún final Enunciado:

Dise˜ ne un oscilador Colpitts que entregue 30mW a una carga de 4kΩ en 3,5M hz. El oscilador usara una bobina de 1,5µHy con un Qc = 160 y un transistor con β = 50 y C o = 4 pF . Debe operar con una alimentación V CC = 20V . Especificar todos los resistores y capacitores, determinando las tasas m´ınimas de potencia y frecuencia. P L = 30mW RL = 4000Ω f o = 3,5M Hz Lt = 1,5µH Qc = 160 β = 50 C o = 4 pF V CC = 20V

Red de alterna Procedimiento de dise˜ no practico para cargas de alta resistencia. Realizamos el calculo para Rt > 1000Ω Potencia disipada por el transistor: P T = 4P L = 120mW Frecuencia soportada por el transistor: f T = 2f o = 7Mhz Elegimos: RF C

→ ∞

Elegimos: C B = C C = 3,3nF Elegimos: Re = 50Ω La inductancia esta dada: L t = 1,5µHy y su Q c = 160 Calculamos la capacidad de circ. tanque: C t =

1 w02 Lt

= 1,378nF

Elegimos C f como: C f = 10 pF [2 a 20 pF ] El C o esta dado: C o = 4 pF UTN-FRP 2011

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Calculamos C s = C t

− C o − C f = 1,364nF

Para que exista una máxima transferencia de energ´ıa: RL = 2000Ω 2

Ro =

Luego la potencia m´ axima entregada a la carga es: 2 I CQ RL P Lmax = 8

Despejamos: I CQ =



8P L RL

= 7,74mA

≈ 40I 1

La resistencia serie de la bobina es r c

CQ

= 3,23Ω

Calculamos la resistencia paralelo equivalente: R p = Q 2c rc = 12,8kΩ La resistencia de entrada equivalente: R i = Re + rc = 53,23Ω Y con estos calculamos la razón de vueltas : N =



RL Rp Ri (Rp RL )

−

= 10,45

Finalmente, los valores de C s y N determinan a C 1 y C 2 . N C s = 1,51nF N 1

C 1 =

C 2 = N C s = 14,33nF

−

Se han supuesto una operación lineal del transistor, y voltajes y corrientes sinusoidales. Se ignoraron ademas muchos parámetros del transistor. Sin embargo, el procedimiento dará oscilaciones que funcionan.

Red de polarizaci´ on Planteamos las ecuaciones de las mayas en continua: V BB

= I BQ Rb + V BEQ + I CQ (Re + RE )

V CC = I CQ rc + V CE Q + I CQ (Re + RE ) Calculamos: V CB Q = I CQ R2L = 15,5V

− Re = V −(V I +0,7) − Re = 441Ω R La Rb puede aproximarse por: R b ≈ β R + = 2455Ω 10 Calculamos: R E =

V CC V CEQ I CQ

−

CC

e

La V BB es entonces: V BB =

CBQ

CQ

E

I CQ β Rb + 0,7 + I CQ (Re +

RE ) = I CQ ( Rβb + Re + RE ) + 0,7 = 4,886V

Calculamos R 1 y R 2 con las formulas: R1 = Rb

V CC = 10kΩ V BB

R2 = Rb

1 1

− V V

BB

= 3248Ω

CC

Calculamos: P dc = V CB Q I CQ = 0,11997W

≈ 120mW


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Dise˜ no de un oscilador Colpitts. Ejemplo de algún final Enunciado:

Encontrar: Re , re , RE , R1 , R2 , R p , C 1 , C 2 , C f , C C , C B , P T P L = 100mW RL = 2000Ω f o = 8M Hz Lt = 5µHy Qc = 260 β = 150 C o = 4 pF V CC = 24V

Red de alterna Procedimiento de dise˜ no practico para cargas de alta resistencia. Realizamos el calculo para Rt > 1000Ω Potencia disipada por el transistor: P T = 4P L = 400mW Frecuencia soportada por el transistor: f T = 2f o = 16M hz Elegimos: RF C

→ ∞

Elegimos: C B = C C = 3,3nF Elegimos: Re = 100Ω La inductancia esta dada: L t = 5µHy y su Q c = 260 Calculamos la capacidad de circ. tanque: C t =

1 w02 Lt

= 79,16 pF

Elegimos C f como: C f = 10 pF [2 a 20 pF ] El C o esta dado: C o = 4 pF UTN-FRP 2011

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Calculamos C s = C t

− C o − C f = 65,16 pF

Para que exista una máxima transferencia de energ´ıa: RL = 1000Ω 2

Ro =

Luego la potencia m´ axima entregada a la carga es: P Lmax = Despejamos: I CQ =



8P L RL

2 I CQ RL 8

= 20mA

≈ 40I 1


CQ

= 1,25Ω

Calculamos la resistencia paralelo equivalente: R p = Q 2c rc = 84,5kΩ La resistencia de entrada equivalente: R i = Re + rc = 101,25Ω Y con estos calculamos la razón de vueltas : N =



RL Rp Ri (Rp RL )

−

= 4,498

Finalmente, los valores de C s y N determinan a C 1 y C 2 . C 1 =

N C s = 83,78 pF N 1

C 2 = N C s = 293,09 pF

−


Red de polarizaci´ on Planteamos las ecuaciones de las mayas en continua: V BB = I BQ Rb + V BEQ + I CQ (Re + RE ) V CC = I CQ R p + V CE Q + I CQ (Re + RE ) Calculamos: V CB Q = I CQ R2L = 20V

− Re = V −(V I +0,7) − Re = 265Ω R La Rb puede aproximarse por: R b ≈ β R + = 5475Ω 10 Calculamos: R E =

V CC V CEQ I CQ

−

CC

e

La V BB es entonces: V BB =

CBQ

CQ

E

I CQ β Rb + 0,7 + I CQ (Re +

RE ) = I CQ ( Rβb + Re + RE ) + 0,7 = 8,73V


V CC = 15kΩ V BB

R2 = Rb

1 1

− V V

BB

= 8605Ω

CC


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Dise˜ no de un oscilador Colpitts. Ejemplo 5.5.1 del Krauss Enunciado:

Dise˜ ne un oscilador Colpitts que entregue 15mW a una carga de 5371Ω en 10Mhz. Debe operar con una alimentació n de 17V . Especificar todos los resistores y capacitores, determinando las tasas m´ınimas de potencia y frecuencia. P L = 15mW RL = 5371Ω f o = 10M Hz V CC = 17V Este procedimiento se obtiene del ejemplo del libro y se trato de desarrollar mas prolijamente, pero esta basado en muchas suposiciones y estimaciones de origen emp´ırico.

Red de alterna Procedimiento de dise˜ no practico para cargas de alta resistencia. Realzamos el calculo para Rt > 1000Ω Potencia disipada por el transistor: P T = 4P L = 60mW Frecuencia soportada por el transistor: f T = 2f o = 20M hz Elegimos un transistor 2N3866 Elegimos: C B = C C = 3,3nF Elegimos: Re = 44Ω Calculamos estimativamente la inductancia primero debido a que es el elemento mas dif´ıcil de obtener comercialmente a estos valores. Lt =

Ro = 855nHy 50wo

→

Lt = 1,2µHy

Con un medidor de R-X encontramos que el inductor tiene un Q c = 150 UTN-FRP 2011

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Calculamos la capacidad de circ. tanque: C t =

1 w02 Lt

= 211 pF

Elegimos C f como: C f = 10 pF [2 a 20 pF ] Elegimos: C o = 4 pF Calculamos C s = C t

− C o − C f = 197 pF

Para que exista una máxima transferencia de energ´ıa: Ro =

RL = 2686Ω 2

Luego la potencia m´ axima entregada a la carga es: 2 I CQ RL P Lmax = 8

Despejamos: I CQ =



8P L RL

= 4,7mA

≈ 40I 1


CQ

= 5,3Ω

Calculamos la resistencia paralelo equivalente: R p = Q 2c rc = 119250Ω La resistencia de entrada equivalente: R i = Re + rc = 49,3Ω Y con estos calculamos la razón de vueltas : N =



RL Rp Ri (Rp RL )

−

= 14,4


N C s = 218 pF N 1

−

C 2 = N C s = 2923 pF


Red de polarizaci´ on Elegimos R E = 700Ω. Suponemos un β = 50. Suponemos una corriente de drenaje en R 2 de 1mA. La R1 es entonces 12kΩ y la R 2 = 3,7kΩ. Planteamos las ecuaciones de las mayas en continua: V BB = I BQ Rb + V BEQ + I CQ (Re + RE ) V CC = I CQ R p + V CE Q + I CQ (Re + RE )


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Dise˜ no de un oscilador Colpitts. Final 19 de julio de 2002 Enunciado:

Dise˜ ne un oscilador Colpitts que entregue 250mW a una carga de 3,3kΩ en 20Mhz. El oscilador usara una bobina de 2,7µHy con un Qc = 120 y un transistor con β = 70 y C o = 2 pF . Debe operar con una alimentación de 35V . Especificar todos los resistores y capacitores, determinando las tasas m´ınimas de potencia y frecuencia. P L = 250mW Qc = 120 RL = 3300Ω

β = 70

f o = 20M Hz

C o = 2 pF

Lt = 2,7µHy

V CC = 35V

Red de alterna Procedimiento de dise˜ no practico para cargas de alta resistencia. Realzamos el calculo para Rt > 1000Ω Potencia disipada por el transistor: P T = 4P L = 1000mW Frecuencia soportada por el transistor: f T = 2f o = 40M hz Elegimos: RF C

→ ∞

Elegimos: C B = C C = 3,3nF Elegimos: Re = 50Ω La inductancia esta dada: L t = 2,7µHy y su Q c = 120 Calculamos la capacidad de circ. tanque: C t =

1 w02 Lt

= 23,45 pF

Elegimos C f como: C f = 10 pF [2 a 20 pF ] El C o esta dado: C o = 4 pF Calculamos C s = C t

− C o − C f = 11,45 pF

Para que exista una máxima transferencia de energ´ıa: R o = Luego la potencia m´ axima entregada a la carga es: P Lmax =

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RL 2 =

1650Ω

2 I CQ RL 8

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Despejamos: I CQ =



8P L RL

= 24,6mA

Este ejercicio es algo particular. Si nos conformamos con este valor de I CQ , la RE dará negativa. Para que esto no ocurra, a partir de la primer malla encontramos RE y despejamos la condición: V CC −0,725 I CQ = 14,27mA RL

≤

Re +

2

Con este valor de corriente y recalculando la R de carga optima, la R E sera nula. Eligiendo este valor deberemos realizar una adaptación de impedancias para llevar la RL a una Rmin = I 28P L = 9821Ω de forma de poder entregar la potencia requerida. CQmax

Calculamos la adaptación por transformador a la salida con relación de vueltas M 1,725, que redondeamos a M = 2, entonces R = M 2 RL = 13,2kΩ Finalmente recalculamos el valor final de I CQ =

≈ 40I 1


CQ



8P L R

 ≥

Rmin RL

=

= 12,3mA

= 2Ω

Calculamos la resistencia paralelo equivalente: R p = Q 2c rc = 29268Ω La resistencia de entrada equivalente: R i = Re + rc = 52Ω Y con estos calculamos la razón de vueltas : N =



RL Rp Ri (Rp RL )

−

= 8,457


N C s = 12,986 pF N 1

C 2 = N C s = 96,83 pF

−


Red de polarizaci´ on Planteamos las ecuaciones de las mayas en continua: V BB = I BQ Rb + V BEQ + I CQ (Re + RE ) V CC = I CQ R p + V CE Q + I CQ (Re + RE ) Calculamos: V CB Q = I CQ R2 = 81,18V

HACER: Me va a dar la RE negativa !! Calculamos: V CE Q = V CB Q + 0,7 = xxxV De la segunda despejamos R E =

V CC V CEQ I CQ

−

− Re

Calculamos: R E = xxxΩ

≈ β R +10R

La Rb puede aproximarse por: R b La V BB es entonces: V BB =

e

E

= xxxΩ

I CQ β Rb + 0,7 + I CQ (Re +

RE ) = I CQ ( Rβb + Re + RE ) + 0,7 = xxxV


V CC = xxxkΩ V BB

R2 = Rb

1 1

− V V

BB

= xxxΩ

CC


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Condici´ on de oscilaci´ o n de un oscilador Colpitts. Resumen Enunciado:

Encontrar la RLmin necesaria para que comiencen las oscilaciones en transistores con ganancia de lazo citados en un oscilador Colpitts: C B = C C = 3,3µF R1 = 12kΩ R2 = 3,7kΩ R p = 11,3kΩ

1. α1 = 0,98

Re = 44Ω

2. α2 = 0,99

RL = 5371Ω

3. α3 = 0,999

rc = 5,3Ω

4. α4 = 1,0

Lt = 1,2µH C 1 = 218 pF C 2 = 2842 pF C f = 2,2 pF

Resoluci´ on Comenzaremos este ejercicio de atrás para adelante. Partiendo de la formula 5.18 del Krauss pagina 149: Si el circuito se encuentra optimizado para que la frecuencia de oscilación dependa solamente del circuito tanque LC, entonces la condici´ on simplificada para que principien las oscilaciones es: α

≥ αmin ≈ 1 +1 C

2

C 1

+

Ri C 2 (1 + ) Rt C 1

Calculamos los valores incluidos en la expresión: A = (1 +

C 2 ) = 14,036 C 1

Ri = Re + rc = 49,3Ω

Rt = RL

 R p

Y avanzamos despejando R L en función de α sabiendo que este es el dato.

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57


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α

α

≥

α

≥

− A1 ≥

RL

 R p ≥

RL R p RL + R p

≥

RL R p

≥

A2 Ri

RL (R p

− Aα − 1 ) ≥ RL RL

≥ ≥

1 Ri C 2 + (1 + ) C 2 Rt C 1 1 + C 1 1 Ri + A A RL R p Ri A RL R p Ri 1 A α A





−

A2 Ri Aα 1

−

A2 Ri (RL + R p ) Aα 1 A2 Ri R p Aα 1 A2 Ri 1 R p A2 Ri Aα 1 (R p Aα −1 )

− − −

−

A2 Ri R p R p (Aα 1) A2 Ri

− −

Luego con este resultado reemplazamos los valores: α1 = 0,98 α2 = 0,99 α3 = 0,999 α4 = 1,0

RLmin = 816,47Ω RLmin = 806,95Ω RLmin = 798,56Ω RLmin = 797,64Ω

→ → → →

Calculo anal´ıtico de αmin La formula de α min es imposible de recordar, por lo que se debe realizar el calculo completo. El analisis comienza del circuito equivalente en alterna del oscilador Colpitts.

Realizamos el estudio por las ecuaciones de nodos:

 I S = 0

Haciendo g i =

1 Ri

1 Ri

+ s(C 1 + C 2 ) α R1i sC 1

−

−

1 Ri

−sC 1

+ s(C 1 + C o + C f ) +

1 sLt

  V i V o

resolviendo para V o :





gi + s(C 1 + C 2 ) I S αgi sC 1 0 I S ( αgi sC 1 ) V o = = ∆(s) ∆(s)

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− −

− −

58


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Observamos que la salida tiende a infinito cuando el determinante tiende a cero. Si esto sucede, un simple ruido térmico de entrada comenzará las oscilaciones, y el sistema luego no requerirá de entrada. Puede demostrarse que cuando ∆(s) = 0, los polos del sistemas se encuentran situados sobre el eje jw. Resolviendo el determinante, y agrupando respecto de la variable s: ∆(s) = g i + s(Lt gt gi + C o ) + s2 (Lt gi C b + Lt gt C a )

− Lt C 1αgi + s3(LtC a C b − LtC 12) = 0

siendo: C a = C 1 + C 2

C b = C 1 + C o + C f

La condición limite para el establecimiento de las oscilaciones permanente es cuando las ra´ıces se encuentran sobre el eje jw, es decir, cuando s = j w ∆( jw) = g i + jw(Lt gt gi + C a )

− w2[(Lt giC b + Ltgt C a) − Lt C 1αgi] − jw 3(LtC a C b − Lt C 12) = 0

Tanto la parte real como imaginaria deben ser cero:

e{∆( jw)} = gi − w2[(Lt giC b + Lt gtC a ) − LtC 1αgi ] = 0 m{∆( jw)} = (Ltgt gi + C a ) − w2(Lt C aC b − LtC 12) = 0 Se puede observar que en la segunda expresión solo tenemos la variable w y podemos despejarla independientemente de α. Para esta frecuencia debemos hallar un α que anule también la parte real. Esta es entonces la frecuencia de resonancia w o . (Lt gt gi + C a )

wo2

= = = = = =

wo2

=

− wo2(LtC a C b − LtC 12) wo2 (Lt C a C b − Lt C 12 )

= =

0 (Lt gt gi + C a )

(Lt gt gi + C a ) (Lt C a C b Lt C 12 ) Lt gt gi + C 1 + C 2 Lt [C a C b C 12 ]

−

−

gt gi +

1 Lt (C 1 +

C 2 )

(C 1 + C 2 )(C 1 + C o + C f ) gt gi +

1 Lt (C 1 +

C 2 )

− C 12

(C 1 + C 2 )(C o + C f ) + C 1 C 2 1 gt gi Lt (C 1 + C 2 ) + (C 1 + C 2 )(C o + C f ) + C 1 C 2 (C 1 + C 2 )(C o + C f ) + C 1 C 2 1 (C 1 + C 2 ) + Rt Ri [(C 1 + C 2 )(C o + C f ) + C 1 C 2 ] Lt [(C 1 + C 2 )(C o + C f ) + C 1 C 2 ] 1 1 + Rt Ri [(C 1 + C 2 )(C o + C f ) + C 1 C 2 ] Lt [(C o + C f ) + (C C 1+C C 2 ) ] 1 2





debido al transistor

 



debido al circ. tanque LC



El primer termino se debe a la influencia de los parámetros del transistor y de la carga, mientras que el segundo se debe a los parámetros del circuito tanque LC. Esto se observa en la presencia del inductor Lt en el segundo termino. UTN-FRP 2011

59


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Para el circuito tanque domine la operación del oscilador, el segundo termino debe ser mucho mayor que el primero. Entonces: 1 Lt [(C o + C f ) + Lt [(C o + C f ) +

C 1 C 2 (C 1 +C 2 ) ]

C 1 C 2 ] (C 1 + C 2 )

Lt



1 Rt Ri [(C 1 + C 2 )(C o + C f ) + C 1 C 2 ]



Rt Ri [(C 1 + C 2 )(C o + C f ) + C 1 C 2 ]

 

Rt Ri (C 1 + C 2 )[(C o + C f ) + Rt Ri (C 1 + C 2 )

≈ L [(C + C 1) +

wo2

t

C 1 C 2 ] (C 1 + C 2 )

o

f

C 1 C 2 (C 1 +C 2 ) ]

Luego continuamos despejando α respecto de w y sustituyendo w o2 . gi

− w2[(Lt giC b + Ltgt C a) − Lt C 1αgi ] 2

w Lt C 1 αgi 2

αw Lt C 1 gi

= 0 = w2 (Lt gi C b + Lt gt C a ) =

α =

− gi w Lt gi C b + w Lt gt C a − gi w2 Lt gi C b w 2 Lt gt C a gi + 2 − 2 2 w Lt C 1 gi w Lt C 1 gi w Lt C 1 gi 2

2

C b g t (C 1 + C 2 ) 1 + C 1 C 1 gi w2 Lt C 1 C 1 + C o + C f Ri (C 1 + C 2 ) 1 = + 2 C 1 Rt C 1 w Lt C 1 C o + C f Ri C 2 1 = 1+ + (1 + ) 2 C 1 Rt C 1 w Lt C 1 =

−

−

−

α =

1+

C o + C f Ri C 2 + (1 + ) C 1 Rt C 1

−

1 1 Lt C 1 C C Lt [(C o +C f )+ (C 1+C2 ) ] 1

= = = = =

C o + C f Ri C 2 1+ + (1 + ) C 1 Rt C 1

−

Lt [(C o + C f ) +

C 1 C 2 (C 1 +C 2 ) ]

Lt C 1

C o + C f Ri C 2 (C o + C f ) 1+ + (1 + ) C 1 Rt C 1 C 1 R i C 2 C 2 1+ (1 + ) Rt C 1 (C 1 + C 2 ) Ri C 2 C 1 + C 2 C 2 (1 + )+ Rt C 1 (C 1 + C 2 ) Ri C 2 C 1 (1 + )+ Rt C 1 (C 1 + C 2 )

−

2

−

C 1 C 2 (C 1 +C 2 )

C 1

−

−

α =

Ri C 2 1 (1 + )+ 2 Rt C 1 (1 + C C 1 )


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25 de junio de 2011

PLL: Orden La ganancia de lazo abierto es: G(s)

= K θ F (s) K VsCO

=

θo θs



la

Resumen K θ

= K F (ss)

F (s)

K V CO s

A

La ganancia en lazo cerrado es: H (s) =

G(s) 1+G(s)

=

KF (s) s+KF (s)

En lazo abierto, desconectando la entrada del VCO, tendremos una diferencia de frecuencias a la salida del detector de fase de ∆f = f s f f , donde f f es la frecuencia de oscilación libre del VCO.

−

A la salida del detector de fase aparecerá armónicos y productos de intermodulación superpuestas a esta frecuencia ∆f que serán filtrados luego. Al aproximar la frecuencia del VCO a f s y disminuir ∆f , la salida oscilante desaparece y queda solamente presente una tension de continua. En ese momento cerramos el lazo. Con el lazo cerrado, cualquier corrimiento de frecuencia se compensa automáticamente con la tension de error. El VCO tiene una salida de frecuencia con una tension de entrada, por lo tanto su función de CO (V ) transferencia es K V CO = rad/s = 2πkV CO = 2π ∂f V ∂V V As´ı mismo la frecuencia es la derivada de la variación de la fase, entonces:

K V CO s

=

Θ V

Las ra´ıces de H (s) son los polos de la funci´ on del sistema y definen el comportamiento transitorio. Si se reduce el ancho de banda del filtro se incrementa su respuesta en el tiempo esto ayuda a mantener el estado fijo cuando se producen perdidas momentáneas de se˜ nal.

PLL de primer orden (sin filtro) caso ideal Describe el comportamiento un filtro pasabajos de fase: K F (s) = 1 G(s) = s Se usa para eliminar el ruido de fase.

→

→

El error de fase es entonces: e(s) = θs

H (s) =

(s) − θo = θs − sθ+KF KF (s) = θ s s



1 K = s s + K 1 + K

s+KF (s) KF (s) s+KF (s)

−



=

sθs s+KF (s)

Para mantener el error de fase pequeño se debe incrementar K pero tambi´ en incrementara el ruido. Para una entrada escalónδ de fase θ s = s θ ess (t ) = l´ıms→0 s s+sK = 0

δθ s se

obtiene:

→∞

Para una entrada rampa δde fase (tambi´ en escal´ on de frecuencia) θ s = ess (t

s θ2 s

δθ s2

=

δw s se

obtiene:

→ ∞) = l´ıms→0 s s+K = δK θ

Esto significa que ante un escalón de frecuencia a la entrada habrá un error de fase a la salida de magnitud proporcional al cambio de frecuencia. UTN-FRP 2011

61


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Puede demostrarse que para una rampa de frecuencia θ s =

δθ s3

=

δw s2 ,

el error de fase resulta infinito.

Si el error de fase es demasiado grande, no se puede asumir la linealidad para el caso del detector de fase senoidal, y entonces: ess = arcsin ess

PLL de 2◦orden El filtro no es nulo. Es una red de atraso-adelanto pasiva: 1 + τ 2 s F (s) = τ 1 = (R1 + R2 )C 1 + τ 1 s

τ 2 = R 2 C

La funci´ on de transferencia, queda entonces de segundo orden: 1 2 K τ swn 2γ wK n + wn2 τ 1 (s + τ 2 ) H (s) = 2 = s2 + 2γw n s + wn2 s + τ 1 (1 + Kτ 2 )s + τ K 1

El error de fase es:



2

−



s(1 + τ 1 s)θs e(s) = τ 1 s2 + (1 + Kτ 2 )s + K

Para una entrada escalón de fase: e ss = 0 Para una entrada rampa de fase: ess =

δw K

Para una entrada rampa de frecuencia: e ss =

∞

PLL de 2◦orden de integraci´ on perfecta Los otros sistemas no son perfectos ya que requieren un cierto error en la fase para su funcionamiento. Un PLL ideal requiere de un filtro ideal con integrador perfecto F (s) = implementar.

s+a s

que no se puede

El filtro que se usa entonces es un filtro activo con amplificador operacional amplificador inversor: 1 1 + τ 2 s τ 2 s + τ 2 F (s) = = τ 1 = R 1 C τ 2 = R 2 C τ 1 s τ 1 s

 

La funci´ on de transferencia, queda entonces de segundo orden: 1 1 2 2 K R K R θo wn2 + 2γw n s R1 (s + τ 2 ) R1 (s + τ 2 ) G(s) = H ( s) = = = KR 2 2 s2 θs s2 + 2γw n s + wn2 s2 + (K R R1 )s + R1 τ 2 El error de fase es:

e(s) =

s2 θs 2 s2 + K R R1 s +

K R2 τ 2 R1

Para una entrada escalón de fase: e ss = 0 Para una entrada rampa de fase: ess = 0 Para una entrada rampa de frecuencia: e ss =

τ 2 R2 dδw dt KR 2

Bibliograf´ıa Centro de estudiantes 2002-2003 - S.A.M.E. ”Electr´ onica Aplicada III - Capitulo N ◦ 5: Lazos de enclavamiento de fase (PLL). Sintetizadores de frecuencia”

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25 de junio de 2011

PLL: Caso ideal y caso real Resumen

La ganancia de lazo abierto es: GΘ (s) = K Θ F (s)K a =



V o Θs la

K Θ

F (s)

A

= K F (s)

La ganancia en lazo cerrado es: H (s) =

G(s) 1+G(s)

=

1+

KF (s) KF (s)

KV CO s

=

1 K V CO 1+ K

s

K V CO s

s

V CO KF (s)

En este caso estudiamos el PLL con la salida de tension. Proporcional a la diferencia de frecuencias. Expresamos la función de transferencia respecto de ws : H (s) =

V o ws



lc

=



1 V o s Θs lc

=

1 K V CO 1+ K

1

s V CO KF (s)

Con el lazo cerrado, cualquier corrimiento de frecuencia se compensa automáticamente con la tension de error. El VCO tiene una salida de frecuencia con una tension de entrada, por lo tanto su función de CO (V ) transferencia es K V CO = rad/s = 2πkV CO = 2π ∂f V ∂V V As´ı mismo la frecuencia es la derivada de la variación de la fase, entonces:

K V CO s

=

Θ V

Caso ideal (sin filtro F (s) = 1) Suponemos una entrada escalón de frecuencia: w s = La respuesta sera: V d = H (s) ∆sw =

∆w s

∆w 1 1 K V CO s 1+ K s

=

V CO K

A s

+

B s 1+ a

Que expresado en el tiempo resulta en: v d (t) = Au(t) + Be −at u(t) donde A = Finalmente: v d (t) = ∆V d [1

∆w K V CO

y B =

− K ∆w

V CO

− e−at] u(t)

• Suponiendo ahora una entrada cuya frecuencia varia senoidalmente alrededor de una frecuencia central: ws = w 0 + ∆wmax sin wm t wm es la frecuencia a la cual varia la frecuencia de la señal de entrada. La salida sera esta misma, retardada por el argumento θ = arg[H (s)] y modificada la magnitud de la variación en H (s) : w0 ∆wmax vo (t) = + H (s) sin(wm t + θ) K V CO K V CO

|

|

|

En este caso: H (s) =

|

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|

1



wm )2 V CO KD A

1+( K

y arg[H (s)] =

|

− tan−1 K

wm

V CO K D A

63


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Caso real (PLL orden 2) F (s) = H (s) =

V o ws



lc

=

1 1 + RCs

1 K V CO 1+ K

1

s V CO K

(1+RCs )

La funcion de transferencia sera de segundo orden: H (s) =

Donde: w n =

√ w

1 K V CO

1 1 1 + K V CO K s +

1 RC K V CO K y γ = 2

RC 2 K V CO K s

=

1

1

K V CO 1 + 2γ ws + n

s2 2 wn



wRC K V CO K

wn determina el ancho de banda resultante para el PLL. wRC debe ser pequeño para filtrar la frecuencia w i + wV CO

≈ 2wi

Como es sabido de sistemas de control, un sistema de segundo orden, tendrá una respuesta subamortiguada, cr´ıticamente amortiguada o sobre amortiguada dependiendo del valor de γ .

Bibliograf´ıa Federico Miyara: ”Lazos de fijaci´ on de Fase (PLL)”. Segunda Edición. A˜ no 2004

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25 de junio de 2011

PLL: Enganche y Captura Resumen Como no es posible construir un detector de fase que entregue directamente una tension proporcional a la diferencia de fase, usaremos un multiplicador acompa˜ nado de un filtro pasabajos. Llamado detector de fase multiplicativo.

K θ

Suponiendo entradas senoidales: v 1 (t) = V 1 sin(w1 t)

F (s)

K V CO s

A

v2 (t) = V 2 sin(w2 t)

La multiplicaci´ on conduce a: v 3 (t) = Lv 1 v2 = K V 12V 2 [cos(w1

− w2)t − sin(w1 + w2)t]

La componente de alta frecuencia (w1 + w2 ) se elimina con el filtro pasabajos. La diferencia (w1 w2 )t es precisamente la diferencia de fase de las señales de entrada ∆θ, de modo que v 3 = K V 12V 2 cos∆θ

−

La funci´ on coseno es bastante lineal en las proximidades de π /2, por lo que es posible aproximar a V 1 V 2 π v3 = K 2 ( 2 ∆θ) = K θ ( π2 ∆θ)

−

−

Esta aproximación no es valida si la diferencia de fase es grande. Usando una compuerta XOR se obtiene una respuesta diferente. La salida es v3 = K sg(v1 )sg(v2 ), donde sg() es la funci´ on signo.

Integrando v 3 sobre un periodo ([0, π]) calculamos el valor medio de salida. 1 T K (π ∆θ) ∆θ 2 π π V 3med = v3 (t)dt = = K ∆θ = K D T 0 π π 2 2



−

−

 −   −  ∆θ

Para diferencias de fase cercanas a π o a 0, el comparador de fase exhibe un comportamiento alineal y tiende a saturarse. La realimentación se interrumpe, las frecuencias dejan de ser iguales y entonces la fase salta periódicamente entre valores positivos y negativos tendiendo a un promedio nulo. Se dice que el PLL esta desenganchado.

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Rango de enganche El rango de enganche es el limite de variació n de (wi enganchado. Donde w f es la frecuencia libre del VCO.

− wf ) que puede tener un PLL que esta

Se determina por el limite del VCO para producir frecuencia o porque el detector de fase y amplificador no pueden suministrar la tension requerida de entrada al VCO. diferencia de frecuencia La constante del VCO es: K V CO = maxima = maxima tension de control

|w −w | i

f

V d

Con las salidas del detector de fase calculadas obtenemos las siguientes relaciones: Para un detector multiplicativo: Para un detector tipo XOR:

|w −w | i

|w −w | i

f

K V CO f

K V CO

Rango de captura

≤ K D A

≤ π2 K D A

→ |wi − wf | ≤ K D AK V CO → |wi − wf | ≤ π2 K D AK V CO

El rango de captura es mas restrictivo. Partiendo de una situación de desenganche, indica la máxima diferencia de frecuencia (wi para que se produzca el enganche.

− wf )

Cuando la diferencia (wi wf ) es demasiado grande, la salida oscilante del detector de fase v3 = K D cos(wi wf )t puede caer fuera de la banda de paso del filtro pasabajos.

−

−

En la salida del filtro pasabajos se tiene: v 3 = K D A F [ j(wi

|

− wf )]| cos[(wi − wf )t + θ]

Para que se produzca el enganche, la tension aplicada a la entrada del VCO debe ser menor que el m´ aximo. Para un detector multiplicativo: wi

| − wf | ≤ K D AK V CO |F [ j(wi − wf )]| Para un detector tipo XOR: |wi − wf | ≤ π2 K D AK V CO |F [ j(wi − wf )]| Debido a la atenuación del filtro, el rango de captura es menor que el rango de enganche. Para un filtro sencillo, la desigualdad es fácil de resolver. Entre medio del rango de enganche y captura, es posible encontrar al PLL enganchado o oscilando a frecuencia libre, dependiendo del estado anterior.

Extensi´ on del rango de captura Se usa un conversor frecuencia-tension de lazo abierto que se elige de modo que su constante sea aproximadamente la reciproca de la constante K V CO . Entonces el detector de fase tendrá un rango mas amplio de variación de la tension de salida.

Rechazo a ruido El ruido llamado jitter consiste en fluctuaciones de fase aleatorias. Que se traducen en variaciones de frecuencia. El PLL puede ser usado como filtro de fase para eliminar este ruido, siempre que este no provoque el desenganche.

Bibliograf´ıa Federico Miyara: ”Lazos de fijaci´ on de Fase (PLL)”. Segunda Edición. A˜ no 2004

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25 de junio de 2011

PLL: Filtro de ruido de fase (Jitter) Resumen

Filtros de ruido Jitter El ruido de fase es un corrimiento no deseado de la fase de alguna señal presente en el PLL. El sistema tambi´ en se comporta como un filtro pasabajos con respecto al ruido de fase. Un ejemplo se da en las grabaciones en medios digitales (CD, DAT,MD) donde la velocidad de reproducción tiene habitualmente variaciones debidas a fenómenos electromecánicos, por ejemplo, vibraciones, ruido o ripple en la alimentación de los motores, etc. Componentes mayores a f c (frecuencia de corte que se determina a B 3dB ) son atenuadas por el lazo dB con una pendiente de 6 octava . Tambi´ en puede engancharse a una frecuencia a pesar de que existan otras frecuencias simultáneamente. El PLL tendrá una acción selectiva, enganchándose solo a la frecuencia que se encuentre dentro de su rango de captura.

PLL de primer orden (sin filtro) De la función de transferencia se obtiene el ancho de banda: H (s) = K θ K V CO y B 3dB =

K θ K V CO 2π

K s+K

=

1 s 1+ K

donde K =

[Hz]

Puede demostrarse que el ancho de banda equivalente de ruido es B n =

K θ K V CO 4

PLL de 2◦orden De la función de transferencia se obtiene el ancho de banda: H (s) =

2 K τ τ 1 (s +

s2 +

1 τ 1 (1 +

1 τ 2 )

Kτ 2 )s +

K τ 2





swn 2γ wK n + wn2 = s2 + 2γw n s + wn2

−

donde τ 1 = (R1 + R2 )C , τ 2 = R 2 C y w n es la frecuencia natural de resonancia. Calculando el bode:

|H ( jw)| =



C )2

1 + (wR2 = 1 + [wC (R2 + R1 )]2

ΘH (w) = tan−1 (wτ 2 )

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

1 + ( ww1 )2 1 + [ ww2 ]2

− tan−1(wτ 1) 67


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Otros El PLL permite obtener una señal de frecuencia m´ ultiplo de la frecuencia de entrada con un divisor de frecuencia a la salida del VCO. El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito lógico basado en un contador. Existen muchos modelos, inclusive algunos cuya cuenta máxima es programable. Los PLL se usan también como demoduladores. Los anal´ ogicos requieren que el VCO sea muy lineal.

Bibliograf´ıa Centro de estudiantes 2002-2003 - S.A.M.E. ”Electr´ onica Aplicada III - Capitulo N ◦ 5: Lazos de enclavamiento de fase (PLL). Sintetizadores de frecuencia”

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25 de junio de 2011

Dise˜ no de un PLL. Resumen Teor´ıa

El lazo se mantiene a una frecuencia fija, es decir, la frecuencia del VCO esta sintonizada con la de la entrada f o = f s . Entonces la diferencia entre ambas es un voltaje proporcional a la diferencia de fase θ d = θs θo .

−

Este voltaje V e depende del tipo de PLL y suele ser sinusoidal, triangular o diente de sierra respecto de la diferencia de fase θ d . V e = 0 cuando:

• θemax = π2 si V e es sinusoidal. • θemax = π2 si V e es triangular. • θemax = π si V e es diente de sierra. El voltaje de salida máximo para cada uno es:

• V emax = A sin(θe) • V emax = π2 Aθe • V emax = π2 Aθe Con estos dos valores se obtiene el factor de ganancia del detector de fase K d =

V e V [ ]. θe rad

Cuando V e es senoidal, puede pensarse que esta relación es no lineal, pero los PLL se diseñan para valores peque˜ nos de θ d en los cuales sin(θd ) θd .

≈

El VCO tiene una frecuencia de funcionamiento fija f f y una componente variable controlada por una tensi´ on de entrada V d . La frecuencia de salida del VCO se puede expresar como f o = f f + ko V d . Donde k o es la constante del VCO, y tiene magnitud en [ Hz ]. V También conocida como K o = 2πko [rad/s/V ]. Por otro lado, la variación en el tiempo de la diferencia de fase detectada genera una componente de frecuencia que corresponde a la diferencia de frecuencia de entrada respecto de la del VCO: dθo (t) = ∆w = K o V d dt UTN-FRP 2011

69


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De aqu´ı se deduce que cuando el bucle no esta en estado fijo (como el detector de fase), el V d −f o . Esto se aplica por ejemplo para responde a la diferencia de frecuencia de sintonia V d = f sK o multiplicadores de frecuencia. Finalmente la ganancia del bucle en circuito cerrado tiene una ganancia K v = K det K amp K vco = ∆w e V d ∆w K d K a K o = V θe V e V d = θe . Con este valor también se define el par´ ametro del rango de sostén , que es el rango de frecuencias en el cual el VCO puede recuperar el sincronismo.

• Para V e senoidal, el rango de sostén ocurre cuando θ e se aproxima a ± π2 . • Para V e triangular y diente de sierra, que tienen caracter´ısticas lineales, el rango de sostén se obtiene con ±∆w = ±K v θemax , donde θ emax esπ para el triangular y π . H

La funci´ on de transferencia del detector de fase seria: H (s) =

θo K v F (s) = θs s + K v F (s)


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25 de junio de 2011

Dise˜ n o de un PLL en detector de fase. Ejemplo Enunciado:

Dise˜ nar un PLL con los siguientes elementos: Un detector de fase tipo triangular con tensión de salida máxima de V emax = 300[mV ]. Y un VCO con frecuencia de corrida libre de f f = 100[Mhz] y una f o = (100 + 15V d )[M hz] 1. El bucle se va a diseñar para tener un rango sostén de ∆wH = 5[Mhz]. Determinar los valores de K v , K d , K o , K a . 2. Si el bucle contiene un filtro pasa bajos de primer orden con R = 1[kΩ]. Cual es el valor de C necesario para tener un ancho de banda a 3[dB] de B = 0,1[M hz] en el filtro RC ? 3. Si f s = 99[Mhz], encontrar los valores de V d , V e y θ e .

Resoluci´ on La frecuencia de salida del VCO esta dada por: f o = f f + ko V d = 100 + 15V d [Mhz] De aqu´ı podemos despejar el valor de k o = 15 106 [Hz/V ] Como sabemos que el detector de fase es de tipo triangular, entonces sabemos que: θemax = Este dato, junto con V emax nos da la constante K d =

V emax θemax

La ganancia de bucle de ciclo cerrado es: K v = K d K a K o = Luego la ganancia del amplificador es: K a =

K v K d K o

π 2

= 0,19

V e V d ∆w θe V e V d

=

∆wH θemax

∆

fH = 2π θemax = 20 106

= 1,11

Para el calculo del filtro de primer orden pasabajos RC, observamos que la función de transferencia 1 a 3 dB tiene una respuesta en frecuencia F (s) = 1+sRC donde τ = RC , y C es la incógnita que queremos encontrar. Si vemos bien ademas, la frecuencia de corte del filtro, f c = 1 entonces coincide con el ancho de banda: B = RC = 0,1 106 .

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1 τ que

como es un filtro pasabajos,

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De aqu´ı podemos despejar C =

1 BR =

10 10−9 .

Dado que la frecuencia de salida del VCO debe compararse con la de entrada f s , estas deben ser de la misma frecuencia, por lo que f s = f o = f f + ko V d . De esta anterior despejamos la tensión requerida en la entrada del VCO para compensar la frecuencia − de salida: V d = f skof f = 0,066V

−

Si proyectamos este valor a la entrada del amplificador tenemos: V e = θe =

V e K d

V d K a

=

−0,06V

= 0,315[rad]


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25 de junio de 2011

Dise˜ n o de un PLL en detector de fase. Examen 13 de diciembre de 2006 Enunciado:

Dise˜ nar un PLL con los siguientes elementos: Un detector de fase tipo triangular con tensión de salida máxima de V emax = 314[mV ]. Y un VCO con frecuencia de corrida libre de f f = 120[Mhz] y una f o = (120 + 5V d )[Mhz] 1. El bucle se va a diseñar para tener un rango sostén de ∆wH = 5[Mhz]. Determinar los valores de K v , K d , K o , K a . 2. Si el bucle contiene un filtro pasa bajos de primer orden con R = 1[kΩ]. Cual es el valor de C necesario para tener un ancho de banda a 3[dB] de B = 0,1[M hz] en el filtro RC ? 3. Si f s = 122[Mhz], encontrar los valores de V d , V e y θ e .

Resoluci´ on La frecuencia de salida del VCO esta dada por: f o = f f + ko V d = 120 + 5V d [Mhz] De aqu´ı podemos despejar el valor de k o = 5 106 [Hz/V ] Como sabemos que el detector de fase es de tipo triangular, entonces sabemos que: θemax = Este dato, junto con V emax nos da la constante K d =

V emax θemax

= 0,2

La ganancia de bucle con corriente continua es: K v = K d K a K o = 2 107 Luego la ganancia del amplificador es: K a =

K v K d K o

π 2

V e V d ∆w θe V e V d

=

∆wH θemax

∆

fH = 2π θemax =

= 3,185

Para el calculo del filtro de primer orden pasabajos RC, observamos que la función de transferencia 1 a 3 dB tiene una respuesta en frecuencia F (s) = 1+sRC donde τ = RC , y C es la incógnita que queremos encontrar. Si vemos bien ademas, la frecuencia de corte del filtro, f c = 1 entonces coincide con el ancho de banda: B = RC = 0,1 106 . UTN-FRP 2011

1 τ que

como es un filtro pasabajos,

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UTN-FRP 2011

De aqu´ı podemos despejar C =

1 BR =

10 10−9 .

Dado que la frecuencia de salida del VCO debe compararse con la de entrada f s , estas deben ser de la misma frecuencia, por lo que f s = f o = f f + ko V d . De esta anterior despejamos la tensión requerida en la entrada del VCO para compensar la frecuencia − de salida: V d = f skof f = 1,6

−

Si proyectamos este valor a la entrada del amplificador tenemos: V e = θe =

V e K d

=

V d K a

=

−0,502

−2,513[rad]


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25 de junio de 2011

Dise˜ n o de un PLL en multiplicador de frecuencia. Ejemplo Enunciado:

Un PLL utiliza un divisor de frecuencia entre el VCO y el detector de fase, de tal manera que el VCO opera en f o = 10f s . La frecuencia libre del VCO es f f = 10[M hz]. Si f s = 1[Mhz], el θ e en el detector de fase es cero. Supongase ahora que la f s varia una cantidad ∆f que conduce a un θ e = 0,1[rad]. Cual es el cambio de fase θ o a la salida del VCO ? Kd = 0,5[

V ] rad

K a = 10

K o = 107 [

rad/s ] V

Resoluci´ on El VCO opera a una frecuencia fija ( f f = 10Mhz) igual a la deseada de f o = 10f s = 10Mhz. Pero se tiene una variació n de ∆f . La diferencia de fase detectada es θe = 0,1[rad], la diferencia de fase a la salida del VCO sera: θo = nθ e = 10 0,1 = 1[rad].

La tensi´ on de entrada al VCO ante una variación ∆ f de la entrada es V d =

f o f f ko

Si proyectamos este valor a la entrada del amplificador tenemos: V e = 0,1[rad].

∆f ko K a

−

=

10+∆f 10 ko

y θe =

− =

∆f ko .

∆f ko K a K d

=

Sabemos que K o = 2πko , entonces: k o = 1,6[Mhz/V ]. Despejando obtenemos que ∆f = k o θe K a K d = 0,8[M hz]


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25 de junio de 2011

Dise˜ n o de un PLL en multiplicador de frecuencia. Examen 29 de octubre de 2004 Enunciado:

Un PLL utiliza un divisor de frecuencia entre el VCO y el detector de fase, de tal manera que el VCO opera en f o = 17f s . La frecuencia libre del VCO es f f = 12,547[M hz]. Si f s = 11[M hz], el θ e en el detector de fase es cero. Supongase ahora que la f s varia una cantidad ∆f que conduce a un θ e = 0,125[rad]. Cual es el cambio de fase θ o a la salida del VCO ? Kd = 0,5[

V ] rad

K a = 10

K o = 107 [

rad/s ] V

Resoluci´ on El VCO opera a una frecuencia fija (f f = 12,547M hz) inferior a la deseada de f o = 17f s = 187Mhz. En un instante la frecuencia de entrada varia una ∆ f . La diferencia de fase detectada es θe = 0,125[rad], la diferencia de fase a la salida del VCO sera: θo = nθ e = 17 0,125 = 1,25[rad].

La tensi´ on de entrada al VCO ante una variación ∆ f de la entrada es V d =

f o f f ko

Si proyectamos este valor a la entrada del amplificador tenemos: V e = 0,125[rad].

∆f ko K a

−

=

10+∆f 10 ko

y θe =

− =

∆f ko .

∆f ko K a K d

=

Sabemos que K o = 2πko , entonces: k o = 1,6[Mhz/V ]. Despejando obtenemos que ∆f = k o θe K a K d = 1[M hz]


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25 de junio de 2011

Dise˜ n o de un PLL en multiplicador de frecuencia. Ejemplo 6.7 del Krauss Enunciado:

Un bucle PLL se diseña para proporcionar una salida de VCO fija a una referencia de oscilador de cristal con f s = 100[kH z]. La frecuencia de salida del VCO f o = nf s debe estar en el rango de 2 a 3 [Mhz]. Se usara un divisor programable con un n que vaya de 20 a 30. La frecuencia de corrida libre del VCO se elige f f = 2,5[Mhz]. Los cálculos se harán para una razón de divisor n = 20, correspondiente a f o = 2[M hz]. En la practica, los factores de ganancia de las componentes del bucle se encuentran de los datos de catálogos o por pruebas de laboratorio. Se supondrá que K d = 0,5[V/rad], K a = 10 y K o = 107 [rad/s/V ]. Se supone que el VCO tiene una caracteristica f o = f f + ko V d .

Resoluci´ on Sabemos que K o = 2πko , entonces: k o = 1,6[Mhz/V ]. El VCO opera a una frecuencia fija (f f = 2,5Mhz) por igual o por encima a la deseada de f o = 2M hz, y se la reduce a esta por medio de un divisor de frecuencia (contador) a la salida del VCO. La divisi´ on de frecuencia entre n divide tambi´ en la fase entre n. El angulo de fase de salida es θo entonces: θ n = n , por lo que la ganancia de bucle incluye ahora un termino adicional K n = n1 , tal que K v = K d K a K o K n =

0,5 10 10 7 20

= 2,5 106 .

Para n = 20 la entrada del VCO debe esta dada por: V d =

f o f f ko

−

=

2,0 2,5 1,6

−

Si proyectamos este valor a la entrada del amplificador tenemos: V e = V e K d = 0,0625[rad].

−

=

V d K a

−0,3125V . = −0,03125V y θe =

Este ultimo valor θ e es el corrimiento de fase que hay respecto del valor que tendr´ıa cuando V e = 0, es decir, cuando el VCO opera a su frecuencia fija f f . En el otro lado del divisor de frecuencia, la diferencia de fase es θ n =

−1,25[rad].

Para el calculo del filtro de atraso-adelanto pasabajos RRC, observamos que la función de transfeτ 2 s rencia a 3 dB tiene una respuesta en frecuencia F (s) = 1+(1+ τ 1 +τ 2 )s donde τ 1 = R 1 C y τ 2 = R 2 C , y C son las incógnitas que queremos encontrar y que definen a w n y γ que gobiernan el comportamiento transitorio del bucle.

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De estas consideraciones podemos elegir w n = 104 [rad/s] y γ = 0,8. De teor´ıa de control, la función de transferencia de un filtro de atraso-adelanto, tiene la frecuencia wn 1 v natural wn = τ 1K 2γw n , donde +τ 2 , y el factor de amortiguamiento γ = 2 (τ 2 + K v ), y ∆wL ∆wL



≈ ±

τ 2 = ±τ 1K +τ 2 .

De w n =

v



K v τ 1 +τ 2

obtenemos: τ 1 + τ 2 =

K v 2 wn

= 0,025[s]

±K v γw n, obtenemos: τ 2 = w2γ = 1,596 10−4[s]. Con esto también, τ 1 = 0,025 − τ 2 ≈ 0,025[s] Reemplazando en ∆wL = ±τ 1K +vτ τ 22 =

n

Ahora elegimos arbitrariamente C = 0,5µF y obtenemos los valores de R1 =

τ 1 C

= 50kΩ y R 2 =

τ 2 C =

319Ω.


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25 de junio de 2011

Detector de fase senoidal. Resumen

A trav´ es de los transformadores se a´ıslan los circuitos de VCO y fuente de RF. Los transformadores están dispuestos de tal forma que se producen 2 tensiones diferenciales desfasadas 90◦ . E 3 = E 1 + E 22 y E 4 = E 1 E 22

−

Se utilizan las impedancias R1 C 1 y R 2 C 2 para contener estas tensiones de salida. Estas están compensadas, y si se conecta una impedancia de carga muy pequeña puede descompensarlo. La diferencia entre E 3 y E 4 es la tension de error continua V e . Si las se˜ nales de entrada tienen una diferencia de fase θ, las tensiones internas E 1 y E 2 tendr´ an una diferencia de fase 90 θ, donde 0 < θ < 90 ◦ .

±

Si θ = 0, entonces: E 3 = E 4 y V e = 0

| | | |

 | | 

    − | |  | |     − | |  | | − | |  | | − | | | |   | || | | | | |   − − E 3 =

E 4 =

E 1

2

E 1

2

 

E 2 + 2

2

E 2 + 2

2

2 E 1

E 2 π cos( + θ) = 2 2

2 E 1

E 2 π cos( 2 2

V e = E 3

E 4 =

E 1 +

E 2 2 2

+ E 1 E 2 sin(θ)

Cuando E 3 = E 4 la salida se simplifica: V e = E 1

5 4 +

sin(θ)

5 4

E 1

2



E 2 + 2

− θ) = − |E 1|

La tension de salida de continua es 2

 | | 

2





2

E 2 + 2

 − | |   −| E 1 2 +

E 2 2 2

+ E 1 E 2 sin(θ)

| || |

 − | 2

E 1 E 2 sin(θ)

|| |

E 1 E 2 sin(θ)

|| |

sin(θ)

El inconveniente de este detector es que V e depende mucho del nivel de las tensiones de entrada de RF. Lo que se hace, es hacer E 2 mucho mas grande que E 1 , as´ı las variaciones de E 1 son despreciables y las de E 2 son filtradas por los pares RC .

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25 de junio de 2011

Detector de fase digital. Comparador de fase de muestra y retención.

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25 de junio de 2011

Mezclador con un Diodo Resumen vD iD

≈

vRF + vLO

≈

I 0 e V T



vD

= I 0 e V T vD

= I 0 e

 − 1

vRF +vLO V T vRF

vLO

V T = I 0 eseries: e V eT x = 1 + x + Usando el expansi´ on en

iD = I 0



x2 2!

+

x3 3!

2 3 vRF 1 vRF 1 vRF 1+ + + + ... V T 2! V T 2 3! V T 3

Del termino (iD ). = f LO )t

I 0 v v filtramos V T 2 RF LO

+ ...



2 3 v LO 1 vLO 1 vLO 1+ + + + ... V T 2! V T 2 3! V T 3



y obtenemos la salida deseada: v IF = R 2I V 02 cos2π(f RF T

−

Es evidente que sin filtrado, la salida de este mezclador tiene todas las armónicas m´ ultiplos de f RF y de f LO , perdiendo potencia en cada una de ellas y generando ruido en etapas posteriores. Debido al alto contenido armónico, la figura de ruido es muy alta. El u ´ nico aislamiento en el circuito de la figura es de RF.

Bibliograf´ıa Martin Mart´ınez Silva y Susana Ruiz Palacios: ”Modulo 5: Mezcladores, S´ıntesis de frecuencia y control de ganancia” Angel de la Torre: ”Sistemas de radiocomunicacion” - TSTC - UGR

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Mezclador a Diodo Balanceado Resumen iD1 iD2 io

≈ ≈

I 0 e

vRF V T

e

vLO V T

−vLO

vRF

I 0 e V T e V T = iD1 iD2

−

vRF V T



vLO V T

−vLO



io = I 0 e e e Utilizando la sustitución trigonométrica: sinh(x) =

−

V T

io = I 0 e Y, con el expansión en series: sinh(x) = x + iD = I 0



ex e−x 2

vRF V T

x3 3!

−

vLO ) V T + ...

2 sinh(

+

x5 5!

2 3 v RF 1 vRF 1 vRF 1+ + + + ... V T 2! V T 2 3! V T 3



3 vLO 1 vLO + + ... V T 3! V T 3



Observamos que f LO no tiene armónicas pares. Del termino (io ). =

I 0 v v filtramos V T 2 RF LO

y obtenemos la salida deseada.

Un menor numero de armónicas es un mezclador mas eficiente ya que disipa menos potencia.


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25 de junio de 2011

Mezclador a Diodo Balanceado Doble Resumen

vD1 vD2 vD3 vD4

iD1

≈ vRF + vLO ≈ vRF − vLO ≈ −vRF − vLO ≈ −vRF + vLO

≈ ≈ ≈ ≈

iD2 iD3

vD 1

vRF +vLO V T

vD 2

vRF −vLO V T

vD 3

−vRF −vLO

vD 4

−vRF +vLO

I 0 e V T = I 0 e I 0 e V T = I 0 e I 0 e V T = I 0 e

= I 0 e = I 0 e

vRF V T vRF V T

= I 0 e

V T

vLO V T

e

−

e

−vRF V T

vLO V T

−

e

−vRF

vLO V T

vLO

V T iD4 I 0 e V T = I 0 e = I 0 e V T e V T Suponiendo que el extremo derecho de la carga se conecta a masa y la corriente viene del lado izquierdo, seguimos la orientación de los diodos en conducción directa.

La corriente de salida es: io = i D1

− iD2 + iD3 − iD4 = I 0e



io = I 0 e

vRF V T

−e

−vRF V T

vRF V T



e

e

vLO V T

vLO V T

− I 0e

−e 3

vRF V T

vLO V T

+ I 0 e

 

−vLO V T

−

e

= 4I 0 sinh

−vRF V T

−

e

Del termino (iD ). =

4I 0 v v filtramos V T 2 RF LO

− I 0e

−vRF V T

e

vLO V T

    vRF V T

sinh

vLO V T

5

Usando el expansi´ on en series: sinh(x) = x + x3! + x5! + . . . 3 3 vRF 1 vRF vLO 1 vLO io = 4I 0 + + . . . + + ... V T 3! V T 3 V T 3! V T 3



vLO V T




NO hay armónicas pares de f RF y de f LO . La amplitud de salida es 4 veces mayor. El aislamiento es completo, tanto para RF, como para LO y IF.

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EXPLICACION


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25 de junio de 2011

Mezclador a Diodo Balanceado Resumen vo

≈

R1 vi R1 + R2

Para que vLO controle la conducción de los diodos, se debe asegurar v LO >> v RF . Cuando vLO > 0 se tiene V c = V d = 0V y la salida en cortocircuito. Cuando v LO < 0 los diodos están en inversa. No aparecen armónicas pares de LO a la salida.

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Bibliograf´ıa Angel de la Torre: ”Sistemas de radiocomunicacion” - TSTC - UGR Herbert L. Krauss, Charles W. Bostian, Frederik H. Raab: ”Estado solido en ingenier´ıa de radiocomunicaci´ on”. Editorial Limusa

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25 de junio de 2011

Mezclador con un BJT Resumen Similar al mezclador con un solo diodo, pero la corriente es amplificada en el colector y filtrada por el circuito RLC. vIF =

0 −R βI V RF V LO cos 2π(f RF − f LO )t 2V 2 T

La juntura base-emisor se comporta de la misma manera que un diodo. vbe iB

≈ ≈

vRF + vLO vbe

I 0 e V T

= I 0 e

vRF +vLO V T vRF

iC

= I 0 e V T e = β iB

vLO V T

Usando el expansi´ on en series: ex = 1 + x + iC = βI 0



x2 2!

+

x3 3!

2 3 v RF 1 vRF 1 vRF 1+ + + + ... V T 2! V T 2 3! V T 3

Del termino (iC ). =

βI 0 v v filtramos V T 2 RF LO

+ ...



2 3 vLO 1 vLO 1 vLO 1+ + + + ... V T 2! V T 2 3! V T 3





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25 de junio de 2011

Mezclador a BJT Balanceado Resumen Tambi´ en se denomina Multiplicador con par acoplado por emisor. La juntura base-emisor de Q3 se comporta de la misma manera que un diodo. vbe3 iC 3 iC 3

vLO β iB 3

≈ ≈ ≈ ≈ ≈

β I 0 e β I 0 e β I 0

vbe3 V T vLO V T



2 3 v LO 1 vLO 1 vLO 1+ + + + ... V T 2! V T 2 3! V T 3

La salida es v IF = R(iC 2



− iC 1)

Ademas sabemos que i C 3 = i E 1 + iE 2

≈ iC 1 + iC 2 que despejando: i C 2 = iC 3 − iC 1 Por otro lado, la tension de entrada es: vRF = vbe1 − vbe2



iC 1 + iC 2 = β I 0 e

vbe1 V T

+e

  

vbe2 V T

iC 3 = i C 2 e iC 3 = i C 1 e

vIF = R(iC 2

− iC 1) = RiC 3



= β I 0 e vRF V T

−vRF V T

1 e

vRF V T

+1

+1 +1

−

vIF = Ri C 3 tanh



e

 

vbe1 V T

e

−vRF V T

3

− x3

e

−vbe2

iC 2 =

→

iC 1 =

+1 +

   

+ 1 = β I 0 e

V T

→

1

Usando el expansi´ on en series: tanh(x) = x

 



vbe2 V T

e e



2x5 15

= RiC 3 7

− 17315x



e

vbe1 −vbe2 V T

+1



iC 3 vRF V T

   −

+1

iC 3 −vRF

e

e

vbe2 V T

V T

vRF V T

−vRF V T

+1 1

+1

= Ri C 3 tanh

  vRF 2V T

+ ...

2 3 vRF vLO 1 vLO 1 vLO = Rβ I 0 1 + + + + ... 2V T V T 2! V T 2 3! V T 3

 − x

3 5 1 vRF 2 vRF + 3 23 V T 3 15 25 V T 5

± ...

Bibliograf´ıa Martin Mart´ınez Silva y Susana Ruiz Palacios: ”Modulo 5: Mezcladores, S´ıntesis de frecuencia y control de ganancia” Wikipedia: ’’ http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function’’

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


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25 de junio de 2011

Mezclador con un FET Resumen

La juntura gate-surtidor es diferente a la juntura de un transistor o diodo. vgs iD

≈ ≈

V GSQ + vRF + vLO

−  −

I DSS 1

= I DSS 1 iIF iD

= R iD

− −  −

= I DSS 1

2

= I DSS 1 =

I DSS V p2 V p2

v gs V p

2

V GSQ + vRF + vLO V p



2

2 1 (V + v + v ) + (V GSQ + vRF + vLO )2 G SQ RF LO V p2 V p2





2 1 2 (V + v + v ) + ((V GSQ + vRF )2 + 2(V GSQ + vRF )vLO + vLO ) G SQ RF LO 2 2 V p V p

2 2 2 2V GSQ + 2vRF + 2vLO + V GSQ + 2V GSQ vRF + vRF + 2V GSQ vLO + 2vRF vLO + vLO

= I DQ + gm vRF + gm vLO +

gm gm 2 gm 2 vRF vLO + vRF + v V p 2V p 2V p LO

Donde g m es la transconductancia en el punto de trabajo, y se define por: diD 2I DSS V GSQ = 1+ gm = dvgs Q V p V p







Se observa claramente que los FETs tienen respuesta cuadrática, es decir, que los únicos armónicos generados son f LO f RF , un aporte de continua y primer armónico par de LO y RF.

±

Por esa razón tienen mejor performance respecto de espurias que uno BJT. La corriente de drenador i D tiene un exponente bastante aproximado a una ley cuadrada. I DSS es la corriente de saturacion cuando V GS = 0 y V DS = V p . V p es la tension de corte o Pinchoff , es el valor de V GS cuando I D = 0. La m´ınima tension de V DS deberá ser mayor que la V p . En corte o saturacion, el FET no tiene ley cuadrática. La mejor polarización para obtener ley cuadrática es : V GSpol = UTN-FRP 2011

− V 2

pmin

89




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Un dato u ´til conociendo la respuesta temporal del mezclador, es calcular la admitancia de transferencia directa y fs , donde y fs = g m + j 0. Entonces, se podrá hallar la respuesta del sistema con i D (t) = g m (t) V RF cos(wRF t). gm =

did dvgs

−  vGS V p

= g mo 1

donde g mo =

− 2I V

DSS p

Y la transconductancia de conversión g c se define como el cociente: g c =

I IF V RF

Mezclador a FET Balanceado Simple El circuito de la figura utiliza dos FETs en contrafase para dividir potencia y balancear el efecto de RF. io vgs1 vgs2 iD1

iD2

= iD1 iD2 = vRF + vLO = vRF + vLO

−

−

−  −  −   − −  −  −  − −  − − − − − − −  − − −  −− −   −  − −  2

= I DSS 1

v gs1 V p

= I DSS 1

v RF + vLO V p

= I DSS 1

v gs2 V p

= I DSS 1

2

2

vRF + vLO V p

2

2

io

= I DSS 1 = I DSS 1

2

= I DSS 12 = I DSS = I DSS = I DSS

v RF + vLO vRF + vLO I DSS 1 V p V p 2 1 (vRF + vLO ) + 2 (vRF + vLO )2 12 V p V p 2 1 (vRF + vLO ) + 2 (vRF + vLO )2 V p V p

2 ( vRF + vLO V p 4 1 vRF + 2 V p V p

vRF

2 1 ( vRF + vLO ) + 2 ( vRF + vLO )2 V p V p

2 12 + ( vRF + vLO ) V p

1 2 vLO ) + 2 (vRF + vLO ) V p

2 2 vRF + 2vRF vLO + vLO

4 4 vRF + 2 vRF vLO V p V p

2

2 vRF

−

−

1 ( vRF + vLO )2 2 V p

−

 





2

( vRF + vLO )

2 2vRF vLO + vLO

Se observa que LO no aparece a la salida y que no hay frecuencias múltiplos. Cabe destacar que no se considero la tension de continua de polarización V GSQ .

Bibliograf´ıa Martin Mart´ınez Silva y Susana Ruiz Palacios: ”Modulo 5: Mezcladores, S´ıntesis de frecuencia y control de ganancia”

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25 de junio de 2011

Mezcladores a FET Resumen La gráfica es una forma aproximada para seleccionar el valor de Rs , la cual establece la polarización anterior. Un dato u ´ til conociendo la respuesta temporal del mezclador, es calcular la admitancia de transferencia directa yfs , donde yfs = gm + j 0. Entonces, se podrá hallar la respuesta del sistema con i D (t) = g m (t) V RF cos(wRF t). gm =

did dvgs

− 

= g mo 1

vGS V p

donde g mo =

− 2I V

DSS p

Sea v GS = V GS + V LO cos(wLO t), la polarización mas el voltaje del oscilador local.

−

Reemplazamos en la anterior quedando: gm = g mo 1

− 

siendo gmQ = g mo 1

V GS V p

V GS +V LO cos(wLO t) V p



= g mQ

− gV

mo p

V LO cos(wLO t)

el cual es el punto g m para la polarización Q.

V p tiene un valor negativo por lo que podemos reescribir g m = g mQ + g|V mo V LO cos(wLO t) p| Si se a˜ nade una se˜ nal de RF con V RF << V LO , la salida sera: iD (t) = g m (t) V RF cos(wRF t) = g mQ V RF cos(wRF t) + g|V mo V LO cos(wLO t)V RF cos(wRF t) p| Y la transconductancia de conversión g c se define como el cociente: g c = Si el punto Q se elige en el punto medio de la curva, tal que g c =

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I IF V RF

=

gmo V LO 2 V p

| |

gmQ V LO V p

| |

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En un circuito practico la curva de gm puede ser no lineal, y la V LO puede ser lo suficientemente grande para hacer que el dispositivo entre en corte y saturacion. Aun as´ı, la salida sera periódica y lleno de armónicas, por lo que todav´ıa sera posible filtrar la componente deseada.

En el siguiente circuito de modulador de doble balance, los FETs act´ uan como conmutadores controlados por la señal de LO. LO origina inversiones de fase de RF en el puerto IF. Si la se˜ nal LO hace que el punto a sea positivo, los Q1 y Q2 se encienden, y c queda conectado a f y d a e. Se realiza el mismo análisis circuital que en el circuito a diodos.

vgs1 vgs2 vgs3 vgs4 io

io

= = = =

iD1

g mo vLO vRF V p gmo = gm2 (t) ( vRF ) = gmQ vRF vLO vRF V p g mo = gm3 (t) vRF = g mQ vRF vLO vRF V p gmo = gm4 (t) ( vRF ) = gmQ vRF + vLO vRF V p = gm1 (t) vRF = g mQ vRF +

| | − − − | | iD2 − iD3 − | | − − − iD4) iD4 − − | | −gmQvRF − g|V mo p| vLO vRF − (gmQvRF + g|V mo p | vLO vRF ) + gmQvRF − g|V mo p | vLO vRF − (−gmQvRF + g|V mo p | vLO vRF ) −gmQvRF − g|V mo p| vLO vRF − gmQvRF − g|V mo p| vLO vRF ) + gmQvRF − g|V mo p | vLO vRF + gmQvRF − g|V mo p | vLO vRF − g|V mo p | vLO vRF − g|V mo p | vLO vRF ) − g|V mo p | vLO vRF − g|V mo p | vLO vRF −4 g|V mo p | vLO vRF = = = = =

vLO vLO vLO vLO (iD2 iD1 ) + (iD3

NO aparece RF ni LO a la salida, ni múltiplos de estos.


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25 de junio de 2011

Mezcladores a MOSFET Resumen La operación con MOSFET de compuerta única es esencialmente la misma que la del JFET. Tiene una capacitancia de transferencia inversa C rss mas baja que el FET. Por lo común C rss < 0,1 pF que beneficia a la estabilidad en frecuencia. Tiene una admitancia de transferencia directa y fs mas alta. Se usan los de compuerta doble inyectando RF y LO por compuertas separadas reduciendo as´ı la interacci´ on en los mezcladores de terminación u ńica. El de compuerta dual es particularmente útil en VHF. El segundo Gate se puede usar como puerto del oscilador local, o como control de ganancia autom´ atico.

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25 de junio de 2011

Mezcladores. Ejemplo Enunciado:

Encontrar la salida del mezclador cuando la entrada es: SSB = aV m2 + aV c2 + aV m V c cos[(wm

SS B

−→

Mezclador avi2

−→ x(t)

↑

− wc )t]

V c cos(wc t + θ)

avi2 (t) a[SSB + V c cos(wc t + θ)]2 a[aV m2 + aV c2 + aV m V c cos[(wm a[aV m2 + aV c2 + aV m V c cos[(wm

x(t) x(t) x(t) x(t)

= = = =

x(t)

= a2 K 2 + 2a2 KV m V c cos[(wm wc )t] + a2 V m2 V c2 cos2 [(wm wc )t] + aV c2 cos2 (wc t + θ] + 2a2 V c K cos(wc t + θ) + 2a2 V m V c2 cos[(wm wc )t] cos(wc t + θ) = a2 K 2 + A) cos2 (A) = 1+cos(2 2a2 KV m V c cos[(wm wc )t] + 2 A−B ) 1 + cos[2(wm wc )t] cos(A)cos(B) = cos(A+B )+cos( 2 a2 V m2 V c2 + 2 1 + cos(2w t + 2θ) c aV c2 + 2 2a2 V c K cos(wc t + θ) + cos[(wm wc )t + (wc t + θ)] + cos[(wm wc )t (wc t + θ)] 2a2 V m V c2 2 2 2 2 2 a V m V c aV c = a2 K 2 + + + 2 2 2a2 KV m V c cos[(wm wc )t] + a2 V m2 V c2 cos[2(wm wc )t] + 2 aV c2 cos(2wc t + 2θ) + 2 La salida del mezclador debe ser filtrada a la fre2a2 V c K cos(wc t + θ) + cuencia diferencia, esta es: a2 V V 2 cos[w t + θ] +

− wc)t] + V c cos(wc t + θ)]2 − wc)t]]2 + a[V c cos(wct + θ)]2 + 2a[aV m2 + aV c2 + aV m V c cos[(wm − wc )t]][V c cos(wc t + θ)] − −

x(t)

−

−

−

−

x(t)

−

−

− −

2

a

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m c m 2 V m V c cos[(wm

− 2wc )t − θ]

2a2 KV m V c cos[(wm

− wc)t] 95


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25 de junio de 2011

Mezcladores. Ejemplo Enunciado:

cos(w0 t)

−→

Modulador avi2

−→ (f c , ∆f ) −→ Multiplicador −→ (f o , ∆f o ) −→ x(t) x 12

↑ V m cos(wm t) Calcule la variación de frecuencia a la salida ∆f o , el indice de modulación m f y la constante de proporción de modulación K f . f c = 5Mhz

Vm = 1V

f m = 1kH z

∆f = 10kH z

∆f o = 12∆f = 120kH z F F M (t) = A cos[wc t + mf sin(wm t)] ∆f 10kH z mf = = = 10 f m 1kH z ∆f 10kH z kH z = = 10 K f = V m 1V V

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25 de junio de 2011

Dise˜ no de un amplificador lineal de potencia Clase A. Final 03 de Agosto de 1994 Enunciado:

Se requiere diseñar un amplificador de potencia en clase A que entregue a un carga RL = 50Ω una potencia de P o = 25W a una frecuencia de f = 2M hz. La fuente de alimentaci´ on es de V CC = 28V .

La potencia de salida m´ axima que el amplificador clase A es capaz de entregar, ocurre bajo condiciones de máxima excursión simétrica. Esto es cuando el punto Q de polarización se sit´ ua de forma que la excursión en alterna sea máxima e igual para los picos positivos y negativos. En la máxima excursión simétrica V om = V CC y I om = I CQ . La potencia de salida máxima que se puede entregar sobre la carga es, por lo tanto: P o =

2 V om V 2 282 = CC = = 7,84W 2RL 2RL 2 50

Esta potencia es muy inferior a la potencia deseada de P o = 25W . Para entregar una mayor potencia es necesario aumentar la amplitud V om o reducir la resistencia de la carga R L vista por el amplificador. Esto se hace conectando un transformador con relación de vueltas N = m n entre la carga y la salida del amplificador, que eleve la tensión a un m´ınimo de V om = 2Ro P o = 2 50 25 = 50V a partir de la fuente de V CC .

√

√

Sin embargo, los valores máximos reales de tensión y corriente que se pueden entregar deben ser ligeramente menor que los ideales debido a los efectos de saturacion. Por lo tanto del lado primario del transformador elegimos V om1 = 25V , en lugar de V CC . Para dise˜ nar el transformador nos valemos de la relación de transformación: m V prim I sec V om1 V om1 25 N = = = N = = = = 0,5 n V sec I prim V om2 50 2RL P o

→

√

Ademas, podemos obtener la reflexión de RL a R como: R = R prim =

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V prim NV sec V sec = 1 = N 2 = N 2 Rsec = N 2 RL = 0,52 50 = 12,5Ω I prim I I s ec N sec

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Luego calculamos la corriente y las potencias de entrada y salida. I om2 =

V om2 50V = = 1A R 50Ω

P o =

1 1 V om2 I om2 V om2 = V om2 = 25W 2 2 R

Esta corriente se refleja a trav´ es del transformador como I om1 =

1 1 N I om2 = 0,5 1

= 2A

Nuevamente, para máxima excursión simétrica: I dc = I CQ = I om1 . Con esto, la potencia máxima de entrada se calcula como: P i = V CC I dc = V CC I omprim = 28 2 = 56W . Note que usamos V CC para este calculo. La eficiencia es entonces: η =

P o P i

25 56

=

= 0,4464 <

1 2

La potencia disipada en el transistor es la diferencia P d = P o

− P i

El circuito sintonizado paralelo, no es una parte absolutamente necesaria de un amplificador clase A, sin embargo se incluye para eliminar las alinealidades del transistor y evitar que las corriente armónicas alcancen la carga. El circuito LC paralelo se sintoniza con: X L = X C =

RL Q

w0 L =

1 RL = w0 C Q

El Q es el factor de merito que es la razón de reactancia a resistencia de una bobina. Elegimos este valor en Q = 5 dado que es un valor razonable para amplificadores clase A. C =

Qt = 31,83nF w0 R

→

L =

1

= w02 C

La reactancia de la RFC debe ser por lo menos X LRF C = w0 L 9,947µHy, para minimizar su efecto en el circuito. De manera similar para X Cb =

1 w0 C

≤ 10R

→

199nHy

≥ 10R →

LRF C

≥

10R w0

=

≥ w10R = 6,36nF .

C b

0


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25 de junio de 2011

Dise˜ no de un amplificador lineal de potencia Clase B. Final 17 de marzo de 1993 Enunciado:

Se requiere diseñar un amplificador de potencia en clase B que entregue a una carga RL = 50Ω una potencia de P o = 100W a una frecuencia de f = 2Mhz. La fuente de alimentación es de V CC = 28V .

Un amplificador Clase B funciona de manera similar al de Clase A. Salvando algunas diferencias:

• Cada transistor se excita únicamente durante medio ciclo defasados 180◦(contrafase) entre si. • Cuando un transistor se encuentra en la zona activa, el otro se encuentra en corte. • Cuando el voltaje de colector es el mas alto, la corriente de colector es cero ya que idealmente llega al borde de saturacion.

• Durante un medio ciclo solo una mitad del devanado primario lleva corriente. Durante este

medio ciclo el circuito es equivalente al clase A, exceptuando la polarizació n del punto Q (I CQ = 0).

• No hay máxima excursión simétrica, solo máxima excursión, y esta es idealmente V om = V CC . • Para evitar los efectos de saturacion V om ≤ V CC • Tenemos si o si un transformador y una relación de transformación como incógnita. La resistencia reflejada desde el transformador es: R = N 2 RL . En la máxima excursión (V om = V CC ), la potencia de salida máxima que se puede entregar sobre la carga es: 2 2 V om V CC P o = 2R 2R

≤

Para encontrar N =



R RL

debemos despejar R de la formula de P o : 2

R

CC = 3,92 ≤ V 2P o

 ≤

Entonces la relación de transformación es N

3,92 50

= 0,28

≈ 0,25 = 14

Tomamos un valor inferior para mantener un margen contra los efectos de saturacion: N y recalculamos R = N 2 RL = 3,125Ω. UTN-FRP 2011

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El voltaje de salida pico es V om =

√ 2RP = √ 2 3,125 100 = 25V o

La corriente de salida pico es: I om =

V om R

=

28V 3,125Ω

= 8A

Para máxima excursión durante medio periodo: I dc =

2 π I om =

5,09A

Con esto, la potencia máxima de entrada se calcula como: P i = V CC I dc = 142,6W La eficiencia es entonces: η =

P o P i

=

100 142,6

= 0,7012 <

La potencia disipada en cada transistor es P d =

2 V CC π2 R

2 π V CC I om =

28 5,09 =

π 4

= 25,41W y se da cuando V cm =

2 π V CC

Elegimos Q = 5 dado que es un valor razonable para amplificadores clase B. Usando un circuito resonantes paralelo, y teniendo en cuenta que este se encuentra a la salida del transformador, calculamos sus valores con X L = X C = RQL : C o =

Qt 5 = = 7958 pF w0 RL 2π 2000000 50

Lo =

1 w02 C o

= 0,795µHy


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25 de junio de 2011

Dise˜ no de un amplificador lineal de potencia Clase A. Ejemplo 12.1.1 del Krauss Enunciado:

Se requiere diseñar un amplificador de potencia en clase A que entregue a un carga RL = 50Ω una potencia de P o = 1W a una frecuencia de f = 10M hz. La fuente de alimentación es de CC = 12V . En la máxima excursión simétrica V om = V CC y I om = I CQ . La potencia de salida máxima que se puede entregar sobre la carga es: P o =

2 V om V 2 122 = CC = = 1,44W 2RL 2RL 2 50

Esta potencia es mayor a la potencia deseada de P o = 1W . El voltaje de salida pico es V om =

√ 2R P = √ 2 50 1 = 10V o o

V om R

La corriente de salida pico es: I om =

=

12V 50Ω =

200mA

Nuevamente, para máxima excursión simétrica: I dc = I CQ = I om . Con esto, la potencia máxima de entrada se calcula como: P i = V CC I dc = V CC I om = 12 0,2 = 2,4W . La eficiencia es entonces: η =

P o P i

=

1 2,4

= 0,417 <

1 2

La potencia disipada en el transistor es la diferencia P d = P o

− P i = 1,4W

Elegimos Q = 5 dado que es un valor razonable para amplificadores clase A. Los valores de C o y L o se calculan con X L = X C = C o =

RL Q :

5 Qt = = 1592 pF w0 R 2π 10000000 50

Lo =

1 w02 C o

= 0,159µHy

La reactancia X LRF C debe ser por lo menos 10R, entonces: L RF C

≥ 8µHy R De manera similar, la reactancia X C debe ser mayor que 10 , entonces: C b ≥ 3200 pF b


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25 de junio de 2011

Dise˜ no de un amplificador lineal de potencia Clase B. Ejemplo 12.2.1 del Krauss Enunciado:

Se requiere diseñar un amplificador de potencia en clase B que entregue a una carga RL = 50Ω una potencia de P o = 25W sin redes de acoplamiento sintonizadas. La fuente de alimentaci´ on de corriente continua es de V CC = 28V . En este ejercicio el filtro (Lo y C o ) no existe. La resistencia reflejada desde el transformador es: R = N 2 RL . A partir de la función de la potencia de salida máxima para máxima excursión (V om = V CC ), 2 V CC despejamos R 2P o = 15,7Ω

≤

Entonces la relación de transformación es N

≤



R RL

= 0,56

≈ 0,5 = 12

Tomamos un valor inferior para mantener un margen contra los efectos de saturacion: N 2 V CC 2R

y recalculamos R = N 2 RL = 12,5Ω y P Omax =

= 31,36W

El voltaje de salida pico para P o requerido es V om1 =

√ 2RP = √ 2 12,5 25 = 25V o

La corriente de salida pico para P o requerido es: I om1 =

V o R

Para la excursión de V o req. durante medio periodo: I dc = Para máxima excursión durante medio periodo: I dcmax =

=

25V 12,5Ω

= 2A

2 2 V om1 π I om1 = π R 2 2 V CC π I om = π R

= 1,27A

= 1,426A

La potencia de entrada para un P o de salida es: P i = V CC I dc = 28 1,27 = 35,6W Mientras que la potencia máxima de entrada es: P Imax = V CC I dcmax = 28 1,426 = 39,93W La eficiencia para un P o es entonces: η = Y la m´ axima: η max =

P Omax P Imax

=

31,36 39,93

P o P i

= 0,785

=

25 35,6

= 0,702 <

π 4

≈ π4

La potencia disipada en cada transistor es P d =

2 V CC 2 π R

= 6,35W y se da cuando V cm =

2 π V CC

Los transistores deben soportar voltajes pico de V CC + V om1 = 28 + 25V = 53V y corrientes pico de I om = 2A.

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25 de junio de 2011

Dise˜ no de un amplificador lineal de potencia Clase B con FET. Ejemplo Enunciado:

Suponer que V dd puede variar en su vida u ´ til de 24 a 28V . Dise˜ n ar un amplificador de potencia clase B para una frecuencia de f = 27M hz que entregue 16W a una carga de RL = 50Ω, dentro de este rango total de alimentación. Usar FETs con una Ron = 2,5Ω y especificar la ejecución con ambos modos extremos de V DD . Los FETs presentan algunas pequeñas diferencias:

• Poseen una resistencia de saturacion R on en vez de un voltaje de saturacion. • El ejercicio se realiza para ambos valores limite de V DD : P ara VDD = 24V

P ara VDD = 28V

La resistencia reflejada desde el transformador es: R = N 2 RL . En la máxima excursión (V om = V DD ), la potencia de salida máxima que se puede entregar sobre 2 2 V DD la carga es: P o = V 2om R 2R

≤

Despejamos R

≤

2 V DD = 18Ω 2P o

Entonces la relación de transformación es: R N = 0,6 RL

 ≤

R

≤

2 V DD = 24,5Ω 2P o

 ≤

N

R = 0,7 RL

Tomamos un valor inferior fijo para ambos niveles de V DD , ya que podemos variar este nivel pero no podremos variar la relación de vueltas una vez realizado el circuito. El valor de N debe ser inferior al ideal para mantener un margen contra los efectos de saturacion. Recalculamos también el valor de R y el de potencia de salida P o 1 N 0,5 = R = N 2 RL = 12,5Ω 2

≈

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Para evitar que el dispositivo sature reemplazamos todas las ocurrencias de V DD por V eff , excepto para P i : R R V eff = V DD = 20V V eff = V DD = 23,33V R + Ron R + Ron La potencia de salida máxima es entonces: 2 V eff P o = = 16W 2R

La corriente de salida pico es: V eff I om = = 1,6A R Para máxima excursión durante medio periodo: 2 I dc = I om = 1,02A π

2 V eff P o = = 21,77W 2R

I om =

V eff = 1,86A R

I dc =

2 I om = 1,18A π

Con esto, la potencia máxima de entrada y la eficiencia se calculan como: P i = V DD I dc = 24,44W

η =

P o π = 0,6547 < P i 4

P i = V DD I dc = 33,27W

η =

P o π = 0,6544 < P i 4

La potencia disipada en cada transistor es: 2 1 V eff P d = 2 = 3,24W π R

2 1 V eff P d = 2 = 4,49W π R

En el segundo caso, el dise˜ no esta sobre dimensionado y tiene una eficiencia muy por debajo de su potencial como amplificador clase B. Elegimos Q = 5 dado que es un valor razonable para amplificadores clase B. Se usa un circuito resonantes paralelo a la salida del transformador id´ entico para ambos casos, RL calculamos sus valores con X L = X C = Q : 1 Qt C o = = 589,41 pF Lo = 2 = 58,946mHy w0 RL w0 C o La tensi´ on y corrientes picos de drenador: V dmax = 2V eff = 40V

V dmax = 2V eff = 46,66V

I dmax = I om = 1,6A



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25 de junio de 2011

Dise˜ no de un amplificador lineal de potencia Clase B con FET. Examen 30 de junio de 2008 Enunciado:

Suponer que V dd puede variar en su vida útil de 28 a 32V . Dise˜ nar un amplificador de potencia clase B para una frecuencia de f = 48M hz que entregue 20W a una carga de RL = 100Ω, dentro de este rango total de alimentaci´ on. Usar FETs con una Ron = 2,3Ω y especificar la ejecución con ambos modos extremos de V DD . Si necesita un transformador, usar alguna de las siguientes relaciones 0,3, 0,4, 0,5 o 0,6. Los FETs presentan algunas pequeñas diferencias:

• Poseen una resistencia de saturacion R on en vez de un voltaje de saturacion. • El ejercicio se realiza para ambos valores limite de V DD : P ara VDD = 28V

P ara VDD = 32V

La resistencia reflejada desde el transformador es: R = N 2 RL . En la máxima excursión (V om = V DD ), la potencia de salida máxima que se puede entregar sobre 2 2 V DD la carga es: P o = V 2om R 2R

≤

Despejamos

2

R

DD = 19,6Ω ≤ V 2P o

Entonces la relación de transformación es: R N = 0,4427 RL

 ≤

2

R

DD = 25,6Ω ≤ V 2P o

 ≤

N

R = 0,506 RL

Tomamos un valor inferior fijo para ambos niveles de V DD , ya que podemos variar este nivel pero no podremos variar la relación de vueltas una vez realizado el circuito. El valor de N debe ser inferior al ideal para mantener un margen contra los efectos de saturacion. Recalculamos también el valor de R y el de potencia de salida P o 2 N 0,4 = R = N 2 RL = 16Ω 5

≈

Para evitar que el dispositivo sature reemplazamos todas las ocurrencias de V DD por V eff , excepto para P i : R R V eff = V DD = 24,48V V eff = V DD = 27,98V R + Ron R + Ron UTN-FRP 2011

105


UTN-FRP 2011

La potencia de salida máxima es entonces: P o =

2 V eff = 18,73W 2R

P o =

La corriente de salida pico es: V eff I om = = 1,53A R

2 V eff = 24,46W 2R

I om =

Para máxima excursión durante medio periodo: 2 I dc = I om = 0,974A π

I dc =

V eff = 1,75A R

2 I om = 1,114A π

Con esto, la potencia máxima de entrada y la eficiencia se calculan como: P i = V DD I dc = 27,272W η =

P i = V DD I dc = 35,65W

P o π = 0,6867 < = 0,7854 P i 4

η =

P o π = 0,6862 < = 0,7854 P i 4

La potencia disipada en cada transistor es: P d =

2 1 V eff = 3,795W π2 R

P d =

2 1 V eff = 4,957W π2 R

En el segundo caso, el dise˜ no esta sobre dimensionado y tiene una eficiencia muy por debajo de su potencial como amplificador clase B. Elegimos Q = 5 dado que es un valor razonable para amplificadores clase B. Se usa un circuito resonantes paralelo a la salida del transformador id´ entico para ambos casos, RL calculamos sus valores con X L = X C = Q : Qt 1 C o = = 165,8 pF Lo = 2 = 66,3mHy w0 RL w0 C o La tensi´ on y corrientes picos de drenador: V dmax = 2V eff = 49V

V dmax = 2V eff = 56V



Se observa que no se cumple el requerimiento de potencia para todo el rango de V CC , por lo que debemos recalcular para un valor de N = 0,3, o bien usarlo en un rango de R + Ron R



2RP o = 28,94 < V CC < 32V


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25 de junio de 2011

Dise˜ no de un amplificador de potencia sintonizado Clase C. Ejemplo 13.1.1 del Krauss Enunciado:

Dise˜ ne un amplificador de potencia clase C para entregar una potencia P o = 25[W ] a una carga de RL = 50[Ω] con una eficiencia del η = 85 % (Sin considerar los efectos de saturacion). La operaci´ on se har´ a en f = 50[Mhz] y la fuente de tensi´ on sera de V CC = 12[V ].

Los Clase C tienen las siguientes particularidades:

• Su comportamiento se define por conducir en un ciclo y[rad] < π2 . Menos de la mitad de medio ciclo de RF.

• Su angulo de conducción es 2y[rad]. • La relacion entre V om(salida) y I DD (entrada) es no-lineal, ya que y = − cos−1 − I I

 

es no lineal y es función de I DD . Por ello se lo utiliza en aplicaciones donde no hay variación en la amplitud de la se˜ nal. DQ

DD

• La eficiencia es mayor que en clase B debido a su menor angulo de conducción, pudiendo η → 100 % para un y → 0, pero también la P max → 0. • La saturacion se evita usando V eff = V CC − V sat en lugar de V CC , exceptuando para P i. V V La potencia de salida máxima que se puede entregar sobre la carga es: P o = 2R ≤ 2R Despejamos la resistencia R: R ≤ V 2P = 2,88Ω 2

om

2

DD

2

DD o

La red acopladora PI convierte la R L en R, por lo que usaremos el valor de R para los cálculos. El angulo de conducción y se obtiene con el dato de eficiencia necesitado, a partir de la gráfica 2y −sin 2y (o bien mediante resolución numérica) de ηmax = 4(sin y−y cos y) trazando una recta en η = 0,85 ◦ intersectando la curva y obteniendo el valor de y = 73,5 = 1,282[rad]

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Conocemos el valor de tensión pico de salida V om ya que es el mismo de la fuente V DD , por lo que de ahi despejamos I DD I DD R (2y 2π

V om =

− sin2y) = V DD

2πV DD R 2y

I DD =

→

−

1 = 12,97A sin2y

La corriente de polarización es entonces: y = − cos−1

−  I DQ I DD

I DQ =

→

La corriente de dispositivo máxima es: i Dmax = I DD

−I DD cos y = 3,70A

− I DQ = 9,27A

El voltaje de dispositivo máximo es: v Dmax = 2V DD = 24V La capacidad de salida de potencia: P max =

2y sin2y = 0,1124 8π(1 cos y)

− −

P o = 0,1124 vDmax iDmax

Esto podemos verificar con P max =

El filtro PI se calcula como dos filtros L. Asignamos las impedancias de entrada y salida Z I 1 = R y Z I 2 = R L y elegimos una resistencia intermedia inferior a ambas ( Rx = 1Ω). Esta es la resistencia virtual que situamos entre los dos filtros L. Entonces las formulas quedan: Adaptaci´ on de impedancias tipo L Z i > Z o Adaptaci´ on tipo L invertido Z i < Z o Z 1 Z 2

= =

Z I 22

− Z 22 = R2x − Z 22

Z 2

Z 2



Z I 2 (Z I2

− Z I ) = 1

 −  − Rx (Rx

R)

Z 1

=

Z 2

=





Z I 1 (Z I1 Z I 2 ) = Rx (Rx Z I 21 Z 12 R2 Z 12 = x Z 1 Z 1

−

−

−

− RL )

Para el primer filtro de izquierda a derecha: Z 2 = Z 1 =



Rx (Rx

2

Rx Z 22 Z 2

−

=

2

1

− R) =

1(1

2

−(j 1,3711) = (j 1,3711)

2,88) = j1,3711 = j wL1

1+1,88 j 1,3711

=

1 j 1,23711 ,88

=

1 j 0,476

=

1 jwC 1

→ →

L1 = 4,36nHy C 1 = 1,5151nF

Las impedancias Z 2 del primer filtro L y Z 1 del segundo están en serie, por lo que convenientemente debemos conservar el mismo tipo de elemento (inductor). Para el segundo filtro: Z 1 = Z 2 =



Rx (Rx 2

Z 12

Rx Z 1

−

− RL) =

 −

= 1+49 j7 =

1(1 1 7 j 50

=

50) = j7 = jwL2 1 j 0,14

=

→ →

1 jwC 2

L2 = 22,28nHy C 2 = 445,6 pF

El inductor en el medio del filtro PI es: L = L 1 + L2 = 26,64nHy La reactancia de la RFC debe ser por lo menos X LRF C = w 0 L 1,591µHy, para minimizar su efecto en el circuito.

≥ 10R

De manera similar para X Cb =

1 w0 C

≤ 10R

→

→

≥ 10wR =

LRF C

0

≥ w10R = 636 pF .

C b

0


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25 de junio de 2011

Dise˜ no de un amplificador de potencia sintonizado Clase C. Examen 30 de junio de 2008 Enunciado:

Dise˜ ne un amplificador de potencia clase C para entregar una potencia de P o = 50[W ] a una carga de RL = 55[Ω] con una eficiencia del η = 85% (Sin considerar los efectos de saturacion). La operación se hará en f = 60[Mhz] y la fuente de tensión sera de V CC = 12[V ]. La resistencia R que se debe obtener mediante una red acopladora PI con un: R

2

≤ V 2P

DD o

= 1,44Ω

El angulo de conducción y se obtiene con el dato de eficiencia necesitado, a partir de la gráfica 2y −sin 2y (o bien mediante resolución numérica) de ηmax = 4(sin y−y cos y) trazando una recta en η = 0,85 intersectando la curva y obteniendo el valor de y = 73,349◦ = 1,28[rad] 2πV DD 1 R 2y sin 2y

La corriente de excitación es I DD =

−

= 26,325A

La corriente de polarización es entonces: I DQ =

−I DD cos y = −7,697A La corriente de dispositivo máxima es: i Dmax = I DD − I DQ = 18,628A El voltaje de dispositivo máximo es: v Dmax = 2V DD = 24V La capacidad de salida de potencia: P max = Esto podemos verificar con P max =

2y sin2y = 0,112 8π(1 cos y)

− −


Para el filtro PI, elegimos la resistencia intermedia: R x = 1Ω. Para el primer filtro de izquierda a derecha: Z 2 = Z 1 =



Rx (Rx 2

− R) = j0,6633 = jwL1 Z 22

Rx Z 2

−

=

1 j 0,46

=

1 jwC 1

→ →

L1 = 1,7595nHy

→ →

L2 = 19,492nHy

C 1 = 1,222nF

Para el segundo filtro: Z 1 = Z 2 =



Rx (Rx

− RL) = j 7,348 = jwL2

R2x Z 12 Z 1

−

=

1 j 0,1336

=

1 jwC 2

C 2 = 354 pF

El inductor en el medio del filtro PI es: L = L 1 + L2 = 21,25nHy UTN-FRP 2011

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La reactancia de la RFC debe ser por lo menos X LRF C = w0 L 38,197nHy , para minimizar su efecto en el circuito. De manera similar para X Cb =

1 w0 C

≤ 10R →

C b

≥ 10R →

LRF C

≥

10R w0

=

≥ w10R = 18,421nF . 0


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25 de junio de 2011

Dise˜ no de un amplificador de potencia sintonizado Clase C. Examen 13 de diciembre de 2006 Enunciado: Dise˜ ne un amplificador de potencia clase C para en-

tregar una potencia de P o = 40[W ] a una carga de RL = 50[Ω] con una eficiencia del η = 80% (Sin considerar los efectos de saturacion). La operación se hará en f = 50[M hz] y la fuente de tensi´ on sera de V CC = 12[V ]. Considerar que la escala de la gr´ afica van de a 5◦ y de ser necesario utilizar una red adaptadora PI. La resistencia R que se debe obtener mediante una red acopladora PI con un: R

2

≤ V 2P

DD o

= 1,8Ω

El angulo de conducción y se obtiene con el dato de eficiencia necesitado, a partir de la gráfica 2y −sin2y (o bien mediante resolución numérica) de ηmax = 4(sin y−y cos y ) trazando una recta en η = 0,8 intersectando la curva y obteniendo el valor de y = 86,393◦ = 1,508[rad] La corriente de excitación es I DD =

2πV DD 1 R 2y sin 2y

−

= 14,995A

La corriente de polarización es entonces: I DQ =

−I DD cos y = −1,307A La corriente de dispositivo máxima es: i Dmax = I DD − I DQ = 13,688A El voltaje de dispositivo máximo es: v Dmax = 2V DD = 24V La capacidad de salida de potencia: P max =

2y sin2y = 0,122 8π(1 cos y)

− −


Esto podemos verificar con P max =

Para el filtro PI, elegimos la resistencia intermedia: R x = 1Ω. Para el primer filtro de izquierda a derecha: Z 2 = Z 1 =



Rx (Rx 2

− R) = j0,8944 = j wL1

Z 22

Rx Z 2

−

=

1 j 0,497

=

1 jwC 1

L1 = 2,847nHy

→ →

C 1 = 1,58nF




Rx (Rx

− RL) = j7 = jwL2

2 Rx Z 12 Z 1

−

=

1 j 0,14

=

1 jwC 2

→ →

L2 = 22,3nHy C 2 = 445,6 pF

El inductor en el medio del filtro PI es: L = L 1 + L2 = 25,147nHy UTN-FRP 2011

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La reactancia de la RFC debe ser por lo menos X LRF C = w0 L 57,296nHy , para minimizar su efecto en el circuito. De manera similar para X Cb =

1 w0 C

≤ 10R →

C b

≥ 10R →

LRF C

≥

10R w0

=

≥ w10R = 17,684nF . 0


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25 de junio de 2011

Dise˜ no de un amplificador de potencia de alta eficiencia Clase D Complementario. Ejemplo Enunciado:

Dise˜ nar un amplificador de potencia clase D que entregue una potencia P o = 100W a una carga de R L = 50Ω operando a una frecuencia de f = 1,8M hz. La fuente es de V CC = 48V . Los transistores utilizados tienen las siguientes especificaciones: V sat = 1V

V γ = 0,7V

β = 20

La transformación de impedancias va a efectuarse mediante el circuito sintonizado de salida. Para usar las funciones establecidas para el clase D, debemos suponer un ciclo de operación de 50 %. Hay dos formas de entregar la potencia requerida: Disminuir la resistencia con un adaptador de impedancia o aumentar la tensión de fuente. Como aqu´ı V CC esta especificado, haremos la adaptación de impedancia de la carga. El voltaje de saturacion afectan de formas diferentes según el tipo de clase D.

• Para el acoplado con transformador: V eff = V CC − V sat • Para la configuración complementaria: V eff = V CC − 2V sat • Para FET: V eff = V DD R R+R • Para el de conmutaci´ on de corriente el Ron queda en la trayectoria de I dc , por lo que queda: R R on

V eff = V DD Rdc +dcRon , donde Rdc = 8 π2

El voltaje eficaz es: V eff = V CC

− 2V sat = 46V

La potencia de salida máxima que se puede entregar sobre la carga es: P o = Despejamos la resistencia: R =

2 2 V eff 2 π P o

2 V om 2R

=

2 2 V eff 2 π R

= 4,28Ω

Calculamos la corriente de entrada en corriente continua, la cual es el promedio de la corriente que V circula por el transistor: I dc = π22 eRff = 2,17A La potencia de entrada (sin usar V eff ) es : P i = I dc V CC = 104,34W UTN-FRP 2011

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La eficiencia: η =

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P o P i

= 0,9583

La corriente pico es :I cm = πI dc = 6,81A La tensi´ on pico es: V om =

2 π V eff

= 29,28V

Para el calculo del filtro de salida, hallamos Q = Lo =

QR = 1,97µHy wo



RL R

= 3,42, pero redondeamos a Q = 5.

Co =

1 = 3,98nF wo2 Lo

Notar que estas definiciones son para el filtro de salida en serie y no en paralelo. La corriente de base pico es :I bm =

I cm β

La tensi´ on de colector pico es :vcm =

= 0,3405A

8 π I dc R =

23,65V

2 P smax = C s V eff f max = 1,083W

La potencia de la excitación es: P DR =

2 π V γ I bm =

0,1517W


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114


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25 de junio de 2011

Dise˜ no de un amplificador de potencia de alta eficiencia Clase D Complementario. Ejemplo 14.1.1 del Krauss Enunciado: Dise˜ nar un amplificador de potencia

clase D que entregue una potencia P o = 25W a una carga de R L = 50Ω. Considere los transistores utilizados como ideales. La transformación de impedancias va a efectuarse mediante el circuito sintonizado de salida. Para usar las funciones establecidas para el clase D, debemos suponer un ciclo de operación de 50 %. Hay dos formas de entregar la potencia requerida: Disminuir la resistencia con un adaptador de impedancia o aumentar la tensión de fuente. Como aqu´ı V CC NO esta especificado, calcularemos la tensión de fuente a la cual se le puede entregar la potencia requerida a la carga, y R = RL . No se calculara la V eff ya que los transistores se consideran conmutadores ideales. La potencia de salida máxima que se puede entregar sobre la carga es: P o = Despejamos la tensi´ on de fuente: V CC =



2 π 2 P o R =

2 V om 2R

=

2 π 2 V CC 2 R

78,5V

Calculamos la corriente de entrada en corriente continua, la cual es el promedio de la corriente que circula por el transistor: I dc = π22 V CRC = 0,318A La potencia de entrada (sin usar V eff ) es : P i = I dc V CC = 24,963W La eficiencia: η =

P o P i

=

24,963 25

≈1

La corriente pico es :I cm = πI dc = 1A La tensi´ on pico es: V om =

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2 π V CC

= 49,97V

115


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25 de junio de 2011

Dise˜ no de un amplificador de potencia de alta eficiencia Clase D Complementario con FET. Ejemplo Enunciado:

Dise˜ nar un amplificador de potencia clase D que entregue una potencia P o = 5W a una carga de RL = 50Ω operando a una frecuencia de f = 27Mhz. Los transistores utilizados tienen las siguientes especificaciones: Ron = 2,5Ω

gm = 0,1mv

Si es necesario la transformación de impedancias va a efectuarse mediante el circuito sintonizado de salida. Para usar las funciones establecidas para el clase D, debemos suponer un ciclo de operación de 50 %. Hay dos formas de entregar la potencia requerida: Disminuir la resistencia con un adaptador de impedancia o aumentar la tensión de fuente. Como aqu´ı V CC NO esta especificado, NO haremos la adaptación de impedancia de la carga y calcularemos el valor de la fuente de alimentación que puede entregar la potencia requerida a la carga. La potencia de salida máxima que se puede entregar sobre la carga es: P o = La tensi´ on eficaz: V eff =



π2 2 P o R =

2 2 V eff π2 R

35,124V

+R Ademas, de V eff = V DD RonR+R obtenemos V DD = V eff Ron = 36,88V Ron

Calculamos la corriente de entrada en corriente continua: I dc =

2 V eff π2 R

= 142,352mA

La potencia de entrada (sin usar V eff ) es : P i = I dc V CC = 5,2499W La eficiencia: η =

P o P i

= 0,95

La corriente pico es :I cm = πI dc = 447,212mA La tensi´ on pico es: V om =

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2 π V eff

= 22,36V

117


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Para el calculo del filtro de salida, elegimos Q = 5 con X L = X C = QRL . Lo =

QR = 1,47µHy wo

Co =

1 wo2 Lo

= 23,58 pF

Notar que estas definiciones son para el filtro de salida en serie y no en paralelo.


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25 de junio de 2011

Dise˜ no de un amplificador de potencia de alta eficiencia Clase D de conmutaci´ on de voltaje. Ejemplo Enunciado:

Dise˜ nar un amplificador de potencia clase D en conmutación de voltaje que entregue una potencia P o = 150W a una carga de RL = 50Ω operando a una frecuencia de entre 2 f 30M hz. La fuente de alimentaci´ on es V CC < 28V . Los transistores utilizados tienen las siguientes especificaciones: V sat = 1V

≤ ≤

V γ = 1V

C s = 100 pF

β = 15

Si es necesario la transformación de impedancias se realiza mediante transformador. Los clase D de conmutación de tensión son idénticos a los amplificadores clase B salvando que el filtro de salida es uno serie en este caso. Para usar las funciones establecidas para el clase D, debemos suponer un ciclo de operación de 50 %. Hay dos formas de entregar la potencia requerida: Disminuir la resistencia con un adaptador de impedancia o aumentar la tensión de fuente. Como aqu´ı V CC NO esta especificado, pero SI limitado, fijaremos el valor de la fuente en V CC = 24V y calcularemos la R = N 2 RL necesaria. La tensi´ on eficaz: V eff = V CC

− V sat = 23V

La potencia de salida máxima que se puede entregar sobre la carga es: P o = N 2 RL

2 8 V eff π2 R

donde R =

2 8 V eff Despejando la resistencia R = 2 = 2,8586Ω π P o

La razón de vueltas del transformador es: N = N 2 RL = 2Ω



R RL

= 0,239


≈ 0,2 entonces recalculamos R = 8 V eff = 9,32A π2 R

La potencia de entrada (sin usar V eff ) es : P i = I dc V CC = 223,68W que da una eficiencia muy por debajo del potencial del clase D de η = 0,67. UTN-FRP 2011

119


UTN-FRP 2011

Manteniendo fijo el N en 0,2 volvemos a variar la tensión on de alimentación on despejando esta de la formula de la potencia de salida: V salida: V eff eff =



π2 8 P o R =

19 19,,238 238V V

Elegimos entonces aproximando un V un V CC 20V V y por lo tanto V eff 19 V .. CC = 20 eff = 19V Calculamos la corriente de entrada en corriente continua: I dc dc =

8 V eff eff = 7,7A π2 R

La potencia de entrada (sin usar V usar V eff : P i = I dc 154W eff ) es : P dc V CC CC = 154W La eficiencia: η eficiencia: η =

P o P i

= 0,974 que es un resultado mucho mas satisfactorio.

La corriente de colector pico es :I : I cm cm = La tensi´ on on pico es :V :V om om =

R 4 dc N π I dc

π dc = 2 I dc

12 12A A

= 98V 98 V

La tensi´ on on de colector pico es :v : vcm =

8 dc R = π I dc

39 39,,22 22V V

2 P smax = C s V eff f max 083W W smax = C max = 1,083

La corriente de base pico es :I : I bm bm =

I cm cm β

La potencia de la excitación on es: P es: P DR DR =

= 0,8A 2 γ I bm bm = π V γ

0,41 41W W

Para el calculo del filtro de salida, elegimos Q = 5 y ∆ f = 28 28M M hz y calculamos con X L = X C C = QRL Lo =

QRL = 1,42 42µ µH y ∆w

Co =

1 = 227 pF 227 pF ∆w2 Lo



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120


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25 de junio de 2011

Dise˜ no de un amplificador de no potencia de alta eficiencia Clase D de conmutaci´ on on de voltaje. Final 19 de julio de 2002 Enunciado:

Dise˜ nar un amplificador de potencia nar clase D que entregue P entregue P o = 35 35W W a a una carga de RL = 75Ω. La operación on sera en cualquier frecuencia dentro de la banda de 2 < f < 50 50M M hz para comunicaciones marinas en SSB. Utilizar un voltaje de alimentación on menor de 30V 30V y y dispositivos de 30V 30V con V sat V , V γ V , C s = 100 pF y sat = 1V , γ = 1V , β = = 23. Los clase D de conmutación on de tensión on son id´ enticos enticos a los amplificadores clase B salvando que el filtro de salida es uno serie en este caso. Para usar las funciones establecidas para el clase D, debemos suponer un ciclo de operación de 50 50 %. Hay dos formas de entregar la potencia requerida: Disminuir la resistencia con un adaptador de impedancia o aumentar la tensión on de fuente. Como Co mo aqu´ aq u´ı V CC 30V V CC NO esta especificado, pero SI limitado, fijaremos el valor de la fuente en V CC CC = 30 2 y calcularemos la R la R = N = N RL necesaria. La tensi´ on on eficaz: V eficaz: V eff eff = V CC CC

29V − V sat V sat = 29

La potencia de salida máxima axima que se puede entregar sobre la carga es: P o = 2 N RL

2 8 V eff 2 π R

donde R =

2 8 V eff Despejando la resistencia R resistencia R = 2 = 19 19,,47Ω π P o

La razón on de vueltas del transformador es: N = N 2 RL = 18 18,,75Ω



R RL

= 0,5095

Calculamos la corriente de entrada en corriente continua: I dc dc =

≈ 0,5 entonces recalculamos R = 8 V eff eff = 1,2537 2537A A 2 π R

La potencia de entrada (sin usar V usar V eff : P i = I = I dc 37,,6W cuya cuya eficiencia resulta de η de η = = 0,93. eff ) es : P dc V CC CC = 37 Sin embargo, todav´ todav´ıa podemos adaptar la tensi´ on de la fuente para obtener un mejor resultado de on eficiencia. UTN-FRP 2011

121


UTN-FRP 2011

Manteniendo fijo N fijo N = 0,5 volvemos a variar la tensión on de alimentación on despejando esta de la formula de la potencia de salida: V salida: V eff eff =



π2 8 P o R =

28 28,,45 45V V

Entonces La mayor eficiencia la obtendremos con un V CC 29 ,45 45V V .. CC = 29, Calculamos la corriente de entrada en corriente continua: I dc dc =

8 V eff eff = 1,23 23A A 2 π R

La potencia de entrada (sin usar V usar V eff : P i = I dc 36,,22 22W W eff ) es : P dc V CC CC = 36 La eficiencia: η eficiencia: η = V eff eff . V CC CC

P o P i

= 0,966 que es un resultado mas satisfactorio y mas cercano al limite η max =

La corriente de colector pico es :I : I cm cm = La tensi´ on on pico es :V :V om om =

R 4 dc N π I dc

π dc = 2 I dc

1,932 932A A

= 58, 58 ,728 728V V

La tensi´ on on de colector pico es :v : vcm =

8 dc R = π I dc

58 58,,728 728V V

2 P smax = C s V eff f max 047W W smax = C max = 4,047 I cm cm β

= 0,084 084A A

La potencia de la excitación on es: P es: P DR DR =

2 γ I bm bm = π V γ

La corriente de base pico es :I : I bm bm =

0,05347 05347W W

Para el calculo del filtro de salida, elegimos Q = 5 y ∆ f = 48 48M M hz y calculamos con X L = X C C = QRL : Lo =

QRL = 1,2434 2434µ µH y ∆w

Co =

1 = 8,84 pF ∆w 2 Lo



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25 de junio de 2011

Dise˜ no de un amplificador de no potencia de alta eficiencia Clase D de conmutaci´ on on de corriente. Ejemplo 14.1.3 del Krauss Enunciado:

Dise˜ nar un amplificador de potencia nar clase D en conmutación on de corriente que entregue una potencia P potencia P o = 10 10W W a una carga de RL = 50Ω. Suponer que V que V CC 12V 12 V ,, N = 0,5 y R = 12 12,,5. CC Los transistores utilizados se consideran ideales.

≤

Los clase D de conmutación on de tensión on son id´ enticos enticos a los amplificadores clase B salvando que el filtro de salida es uno serie en este caso. Los de conmutaci´ conmutaci´ on de corriente tienen un filtro de salida paralelo. on Los de conmutación on de corriente tienen un inductor RFC conectado al punto medio del transformador en vez de un capacitor que impulsa una corriente constante I dc dc . Cualquiera de los dispositivos que este operando recibe la totalidad de corriente de entrada c.c. generándose corrientes de colector de onda cuadrada, cuyos niveles son 0 e I dc dc . Para usar las funciones establecidas para el clase D, debemos suponer un ciclo de operación de 50 50 %. Hay dos formas de entregar la potencia requerida: Disminuir la resistencia con un adaptador de impedancia o aumentar la tensión on de fuente. Como Co mo aqu´ aq u´ı V CC CC NO esta especificado, pero SI limitado, deberemos hallarlo. En este ejercicio tenemos la facilidad de que tenemos N y R como datos. Entonces: La resistencia que ve la fuente de alimentación on si el amplificador es ideal es: R es: R dc =

8 π 2 R =

10 10,,132Ω

Rdc La tensi´ on on eficaz: V eficaz: V eff eff = V CC CC Rdc +Ron sin embargo no la usamos ya que los transistores son ideales, por lo tanto V tanto V eff eff = V CC CC

La potencia de salida máxima axima que se puede entregar sobre la carga es: P o = N 2 RL Despejando Despejando la tensi´ on V on V eff eff = V CC CC =

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2 8 V eff 2 π R

donde R =



π2 P o R = 10 10,,1V 8

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π 2 V eff = 1,0A 8 R

En un clase D de conmutación de corriente, la corriente de colector pico es la misma que la corriente de continua: I cm = I dc La potencia de entrada (sin usar V eff ) es: P i = I dc V CC = 10,1W La eficiencia: η =

P o P i

= 0,99

La tensi´ on pico es: v Cmax = πV CC = 31,7V Para el calculo del filtro de salida, elegimos Q = 5 y como no hay especificación de frecuencia sabremos solamente las reactancias de cada una, calculando con X L = X C = RQL = 10Ω:


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25 de junio de 2011

Dise˜ no de un amplificador de potencia de alta eficiencia Clase E. Ejemplo 13.1.1 del Krauss Enunciado:

Dise˜ ne un amplificador clase E optimo para entregar una potencia P o = 25[W ] a una carga de RL = 50[Ω]. La operaci´ o n se hará en f = 52[M hz] y la fuente de tensió n sera de V CC = 12[V ]. El transistor tiene un V sat = 1V . Los Clase E tienen las siguientes particularidades:

• Un solo transistor trabaja como conmutador conectado a una red de carga pasiva. • La red de carga pasiva es un circuito sintonizado serie Lo − C o y un acoplamiento de carga opcional.

• Una capacidad C 1 inherente del transistor y una C 2 agregada para despreciar la variación de C 1 .

• La carga del capacitor de derivación C = C 1  C 2 determina la forma de onda de salida. Si el circuito usa FETs, la tensión eficaz es: V eff =

R R+1,365Ron

Si el circuito usa BJTs, la tensión eficaz es: V eff = V DD

− V sat = 11V

2 V eff 2 La potencia de salida máxima que se puede entregar sobre la carga es: P o = 1 + π 2 /4 R

Despejamos la resistencia: R =

2 V eff 2 = 2,79Ω 1 + π2 /4 P o

Una red acopladora convierte la R L en R, por lo que usaremos el valor de R para los cálculos. Calculamos la corriente de entrada en corriente continua: I dc =

2 V eff = 2,27A 2 1 + π /4 R

El voltaje de salida máximo es V om = 1,074V eff = 11,814V El voltaje de dispositivo máximo es: v Cmax = 3,56V eff = 39,16V La corriente de dispositivo máxima es: i Cmax = 2,86I dc = 6,49A La potencia de entrada es P i = V CC I dc = 27,24W

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La eficiencia: η =

P o P i

= 0,9177

En clase E se debe calcular el B (susceptancia de la capacitancia de derivación C a la frecuencia de operación B = wC = X1C ) y X (la componente reactiva añadida por el filtro de acoplamiento, de forma que la etapa de salida es R + jX y la primer armónica v 1 queda aplicada a esta impedancia). Cuando el Q de salida es muy alto, tanto que Q , podemos usar las formulas aproximadas 0,1836 B = R y X = 1,152R, pero normalmente no es el caso y para Q finito se usan las formulas emp´ıricas:

→ ∞

0,1836 B = R



0,81Q 1+ 2 Q +4



X =

1,110Q R Q 0,67

−

Eligiendo un Q = 5 obtenemos B = 0,075 y X = 3,576Ω De aqu´ı y sabiendo que B = wC = 0,075 despejamos C = 229 pF Para el calculo del filtro de salida: X L = X C = QRL Lo =

QRL wo

C o =

1 L wo2 QR wo

=

1 = 12,24 pF wo QRL

Luego, la reactancia de Lo sera X Lo = wLo = X + X C o = X + Lo = 776nHy

1 wC o

= 253,576 que da un

≥ 10wR = 116nHy

La RFC deberá tener una impedancia de al menos 10R, por lo que sera: L RF C

o

Finalmente para la red acopladora de impedancia hacemos un filtro PI y elegimos la resistencia intermedia: R x = 1Ω. Para el primer filtro de izquierda a derecha: Z 2 = Z 1 =



Rx (Rx 2

− R) = j1,3379 = j wL1

Z 22

Rx Z 2

−

=

1 j 0,7474

=

→ →

1 jwC 1

L1 = 4,095nHy C 1 = 2,2876nF




Rx (Rx 2

Rx Z 1

−

− RL) = j 7 = jwL2

Z 12

=

1 j 0,14

=

1 jwC 2

→ →

L2 = 21,4247nHy C 2 = 428,49 pF

El inductor en el medio del filtro PI es: L = L 1 + L2 = 25,52nHy


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25 de junio de 2011

Dise˜ no de un amplificador de potencia de alta eficiencia Clase E. Examen 20 de febrero de 2008 Enunciado:

Dise˜ nar un amplificador clase E optimo para la banda de aficionados en λ = 6[m]. Se requiere entregar una potencia P o = 70[W ] en una carga de RL = 50[Ω] a partir de una fuente de V CC = 12[V ], pudiendo usar un acoplamiento de salida. El transistor tiene un V sat = 1V y el filtro un Q = 15. De tener que usar un transformador usar uno exacto hasta 2 decimales. Algunas formulas:

P o =

2 0,577V eff R

V om = 1,074V eff

X C =

1,11Q R Q 0,67



0,81Q 1+ 2 Q 4

−

Otras formulas son: V eff I dc = 0,577 R

V cm = 3,56V eff

La frecuencia de operación es: f =

c λ

I cm = 2,86I dc

0,1836 B = R

−



= 300000000 = 50M hz 6


− V sat = 11V

2 V eff De la potencia de salida despejamos la resistencia: R = 0,577 = 0,931Ω P o

Un transformador de acople convierte la R L en R, su relación de vueltas es N = aproximamos a dos decimales siendo N = 0,13



R RL

= 0,136 que

Recalculamos la resistencia R = N 2 RL = 0,845Ω Recalculamos la potencia de salida máxima: P o = 0,577

2 V eff R

= 82,624W

Calculamos la corriente de entrada en corriente continua: I dc = 0,577

V eff = 7,511A R

El voltaje de salida máximo es V om = 1,074V eff = 11,814V El voltaje de dispositivo máximo es: v Cmax = 3,56V eff = 39,16V La corriente de dispositivo máxima es: i Cmax = 2,86I dc = 21,48A UTN-FRP 2011

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La potencia de entrada es P i = V CC I dc = 90,135W La eficiencia: η =

P o P i

= 0,91667

El B (susceptancia de la capacitancia de derivación C) es B = C =

B w =

0,1836 R

728 pF



0,81Q Q2 +4

1+

El X (componente reactiva a˜ nadida por el filtro de acoplamiento) es X =



= 0,2288

1,110Q Q 0,67 R =

−

→

0,9818Ω

Para el calculo del filtro de salida: X L = X C = QRL Lo =

QR wo

C o =

1 wo2 QR wo

=

1 = 251 pF wo QR

Luego, la reactancia de Lo sera X Lo = wLo = X + X Co = X + Lo = 43,47nHy

1 wC o

= 0,9818 + 12,675 que da un

≥ 10wR = 26,9nHy


o


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25 de junio de 2011

Dise˜ no de un amplificador de potencia de alta eficiencia Clase E. Examen 23 de mayo de 2008 Enunciado:

Dise˜ nar un amplificador clase E optimo para la banda de aficionados en λ = 12[m]. Se requiere entregar una potencia P o = 60[W ] en una carga de RL = 75[Ω] a partir de una fuente de V CC = 12[V ], pudiendo usar un acoplamiento de salida. El transistor tiene un V sat = 0,75V . De tener que usar un transformador usar uno exacto hasta 2 decimales. Algunas formulas:

2 0,577V eff P o = R

V om = 1,074V eff

X C =

1,11Q R Q 0,67



0,81Q 1+ 2 Q 4

−

Otras formulas son: V eff I dc = 0,577 R

V cm = 3,56V eff

La frecuencia de operación es: f =

c λ

I cm = 2,86I dc

0,1836 B = R

−



= 300000000 = 25M hz λ


− V sat = 11,25V

De la potencia de salida despejamos la resistencia: R = 0,577

2 V eff = 1,217Ω P o

Un transformador de acople convierte la RL en R, su relación de vueltas es N = que aproximamos a dos decimales siendo N = 0,12



R RL

= 0,1274

Recalculamos la resistencia R = N 2 RL = 1,08Ω Recalculamos la potencia de salida máxima: P o = 0,577

2 V eff R

= 67,617W

Calculamos la corriente de entrada en corriente continua: I dc = 0,577

V eff = 5,686A R

El voltaje de salida máximo es V om = 1,074V eff = 12,083V El voltaje de dispositivo máximo es: v Cmax = 3,56V eff = 40,05V La corriente de dispositivo máxima es: i Cmax = 2,86I dc = 16,262A

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La potencia de entrada es P i = V CC I dc = 68,232W La eficiencia: η =

P o P i

= 0,991

El B (susceptancia de la capacitancia de derivación C) es B = C =

B w

0,1836 R

= 1nF



1+

El X (componente reactiva a˜ nadida por el filtro de acoplamiento) es X =

0,81Q Q2 +4



= 0,159

1,110Q Q 0,67 R =

−

→

1,414Ω

Para el calculo del filtro de salida: X L = X C = QRL Lo =

QR wo

C o =

1 wo2 QR wo

=

1 = 348,7 pF wo QR

Luego, la reactancia de Lo sera X Lo = w Lo = X + X C o = X + Lo = 125,23nHy

1 wC o

= 1,414 + 18,257 que da un

≥ 10wR = 77,48nHy


o


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25 de junio de 2011

Dise˜ no de un amplificador de potencia de alta eficiencia Clase F con FET. Examen 29 de febrero de 2008 Enunciado:

Realizar un amplificador clase F usado en un transmisor para faro de rescate en f = 121,5M hz. Usar un FET con Ron = 15Ω y gm = 10[mho]. El voltaje de alimentación no deberá exceder los 9V de la bater´ıa. La resistencia de carga es RL = 50Ω. Los Clase F tienen las siguientes particularidades:

• Son similares a los clase B funcionando como fuente de corriente pero con una red de carga que resuena en una o mas frecuencias armónicas.

• Los amplificadores manejan una forma de onda que tiende mas a ser cuadrada pero sin saturar. • El resonador de tercera armónica, agrega la cantidad justa de esta que aplana la forma de onda del colector, dando una eficiencia mas alta.

Calculamos V eff =

R R+2Ron V DD =

5,625V

El voltaje de salida máximo es V om = 98 V eff = 6,328V En clase F la tensión V om > V CC , por lo que para el calculo de potencia solo usamos V om :. Entonces: 2 P o = V 2om R = 0,4W Ademas, en este ejercicio no tenemos un requerimiento de potencia para calcular. Si lo tuviéramos deber´ıamos hallar la resistencia R que cumple con esto y realizar la adaptación de impedancias. O bien hallar la tensión de fuente que debemos suministrar. La corriente de salida máxima es: I om =

V om R

= 0,127A

La corriente de drenador máxima es: I dm = 2I om = 0,253A La corriente de entrada en corriente continua: I dc =

I dm = 0,081A π

La potencia de entrada: P i = V DD I dc = 0,725W Y la eficiencia es entonces: η =

P o P i

=

π V om 4 V DD

= 0,55223

<

9π 84

= 0,884

La eficiencia es mucho menor a lo ideal debido a la alta resistencia de saturacion del FET.

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La tensi´ on y corriente pico de drenador son: i dmax = πI dc = 0,253 y vdmax = V eff = 5,625 Y luego la potencia disipada máxima por el transistor es: P max =

P o idmax vdmax

Para el filtro de salida elegimos un Q = 15 y calculamos: X L = X C = C o =

Qt = 392,975 pF w0 RL

Lo =

= 0,281

RL Q

1 = 4,366nHy w02 C o

Con la misma X L = X C = QRL , calculamos L 3 y C 3 sabiendo que la frecuencia es 3w0 C 3 =

1 = 582f F 3w0 Qt RL

L3 =

1 = 327,5nHy 32 w02 C 3


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25 de junio de 2011

Dise˜ no de un amplificador de potencia de alta eficiencia Clase F con FET. Examen 29 de octubre de 2004 Enunciado:

Realizar un amplificador clase F usado en un transmisor para faro de rescate en f = 135,74M hz. Usar un FET con Ron = 8 Ω y gm = 17,5[mho]. El voltaje de alimentaci´ on no deberá exceder los 12V de la bater´ıa. La resistencia de carga es RL = 50Ω. Los Clase F tienen las siguientes particularidades:

• Son similares a los clase B funcionando como fuente de corriente pero con una red de carga que resuena en una o mas frecuencias armónicas.

• Los amplificadores manejan una forma de onda que tiende mas a ser cuadrada pero sin saturar. • El resonador de tercera armónica, agrega la cantidad justa de esta que aplana la forma de onda del colector, dando una eficiencia mas alta.

Calculamos V eff =

R R+2Ron V DD =

9,23V

El voltaje de salida máximo es V om = 98 V eff = 10,3846V En clase F la tensión V om > V CC , por lo que para el calculo de potencia solo usamos V om :. Entonces: 2 P o = V 2om R = 1,0784W Ademas, en este ejercicio no tenemos un requerimiento de potencia para calcular. Si lo tuviéramos deber´ıamos hallar la resistencia R que cumple con esto y realizar la adaptación de impedancias. O bien hallar la tensión de fuente que debemos suministrar. La corriente de salida máxima es: I om =

V om R

= 0,2077A

La corriente de drenador máxima es: I dm = 2I om = 0,4154A La corriente de entrada en corriente continua: I dc =

I dm = 0,1322A π

La potencia de entrada: P i = V DD I dc = 1,5867W Y la eficiencia es entonces: η =

P o P i

=

π V om 4 V DD

= 0,679671

<

9π 84

= 0,884

La eficiencia es mucho menor a lo ideal debido a la alta resistencia de saturacion del FET.

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La tensi´ on y corriente pico de drenador son: i dmax = πI dc = 0,4153A y v dmax = V eff = 9,2308V Y luego la potencia disipada máxima por el transistor es: P max =

P o idmax vdmax

Como resonador de armónicas construimos una linea de transmisi´ on de Para el filtro de salida elegimos un Q = 15 con X L = X C = C o =

Qt = 117,25 pF w0 RL

Lo =

λ 4

=

= 0,2813 1 c 4 f

= 0,5525m

RL Q

1 = 11,725nHy w02 C o

Con la misma X L = X C = QRL , calculamos L 3 y C 3 sabiendo que la frecuencia es 3w0 C 3 =

1 = 521f F 3w0 Qt RL

L3 =

1 32 w02 C 3

= 293,2nHy


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25 de junio de 2011

Tipos de Amplificadores. Resumen

El filtro paralelo de salida Lo C o es sintonizado en la frecuencia fundamental, y tiene impedancia nula para todas las dem´ as frecuencias, por lo que se comporta como un cortocircuito a tierra para los armónicos a frecuencias distintas de la fundamental. De esta forma, la corriente sobre la carga es siempre senoidal a la frecuencia fundamental, y la tension v o = i o RL = V om sin θ Esta tensión vo se refleja a la tensión de colector o drenador del transistor. Y con la corriente instant´ anea que por este circule según el régimen de conducción del circuito, representara el consumo real del transistor. Un filtro serie hace que v o difiera de v c ya que tiene los elementos en serie. Se usa en los amplificadores conmutados para que la tensión de la carga no este en paralelo directo con la tensión de colector del transistor, ya que este esta repleto de armónicas que deben ser eliminadas antes de la carga. Exceptuando si la amplificación es de corriente (clase D conmuI) y no de tensión. En tal caso, la corriente esta llena de armónicas y el filtro debe ser paralelo. En el filtro serie, el C o evita que cualquier componente de alterna aparezca a la salida. Debe tener un muy alto Q, y con impedancia muy alta para las frecuencias armónicas (atenuandolas todas) e impedancia nula para la frecuencia fundamental. El capacitor C b manda a tierra cualquier componente de alterna de la fuente. D, E, F, G, H y S: Se emplean los dispositivos activos como conmutadores en lugar de como fuentes de corriente. Un conmutador ideal tiene cero voltaje y cero corriente en todo tiempo, lo que lleva a una reducción de potencia de entrada y por tanto un aumento de eficiencia. La eficiencia aumentada proviene de estas técnicas que reducen el promedio del producto voltajecorriente del colector(disipación de potencia). Los clase F, G y H usa técnicas como resonadores armónicos, m´ ultiples voltajes de alimentación, etc. Para los circuitos en contrafase: Cuando el Q2 esta operando coloca una tensión a la salida (V CC si es saturado) que se refleja al n n secundario multiplicando por m ( m V CC ). Cuando el Q1 se activa el Q 2 se desactiva y se utiliza la otra mitad del trafo con una corriente en n n el secundario inversa a la anterior m ( m V CC ).

− −

La resistencia vista desde los dispositivos activos es R = N 2 RL Cuando el voltaje de la base de un transistor alcanza un V γ base 0,7V .

−

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≈ 0,7V , la base del otro tendrá en su 135


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Clase A - Terminaci´ on u ´ nica

Clase B - Contrafase Muy similar al Clase D pero sin conmutación.

Clase C - Fuente de corriente El circuito es muy similar al clase A pero cambia el r´ egimen de conducci´ on, y que se suele usar FET. BJT tambi´ en es posible pero tendr´ıa inductor del filtro muy pequeño. A un clase C se lo define por conducir en un ciclo de menos de la mitad de periodo 2 y[rad] < π/2. Se lo excita con una señal alternada a la cual se le resta una I CQ . La relación entre V om (salida) y I DD (entrada) es no-lineal. Ya que V om es funció n de y[rad] = I CQ cos−1 que es una función no-lineal respecto de I DD . I DD

− 

Se usa en aplicaciones donde no hay variación de la amplitud de la señal y donde puedan usarse redes acopladoras. La eficiencia η varia con el angulo de conducción al igual que la capacidad de entregar potencia.

Clase C - Saturacion Se lo excita con bastante intensidad para que el transistor sature. En saturacion se comporta como fuente de tensión variando el voltaje de la fuente. Se utiliza en AM variando la V DD , pero si esta es muy alta, puede sacar al dispositivo de la saturacion. Para entender esto pensar en el punto Q y la zona de saturacion. El FET saturado se lo representa como una R on

Clase C - Modo Mixto El circuito es diferente a los otros clase C y usa BJT con filtro serie a la salida con muy alto Q, y se representa la capacidad inherente del transistor en paralelo con la salida. El filtro serie hace que v o difiera de v c ya que tiene los elementos en serie. En corte no circula corriente por el transistor is = 0 mientras que en saturacion la tensió n de colector es máxima v C = V sat . La resistencia de polarización R BB es opcional.

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Clase D - Conmutaci´ on de voltaje - Complementarios Es un conmutador de dos polos en sintonia complementaria con un circuito de salida serie sintonizado. Se supone una operación en un ciclo de 50 % para realizar los cálculos.

Clase D - Conmutaci´ on de voltaje - Contrafase(con trafo) Se pueden usar trafos de banda ancha con derivación central para el acople de salida. Circuito similar al clase B pero con el filtro de salida serie en vez de paralelo. El voltaje en el secundario es también una onda cuadrada v C =

n m V CC s(t)

Las corrientes de colector son medias sinusoides. La Ron de saturacion queda en serie con la R de carga a la salida haciéndose un divisor resistivo. Se usa también para modulación de AM ya que la tensión de salida es directamente proporcional al voltaje de alimentación.

Clase D - Conmutaci´ on de corriente - Contrafase(con trafo) El inductor RFC en la linea de entrada fuerza una corriente constante I dc y un voltaje en el punto medio del transformados de π2 V CC debido a que no hay ca´ıda de tensi´ on en el inductor. Fijando la tensión de colector en π V CC . Los dispositivos que est´ en operando producen una corriente conmutada de la totalidad de I dc , m generándose i(t) = n I dc s(t). La salida sintonizada paralelo puentea las armónicas de corriente a tierra. Solo la componente de corriente fundamental produce un voltaje a la salida senoidal, que se refleja 8 al primario como dos voltajes de media sinusoide con pico de v Cmax = 2 n m V om = π I dc R La Ron de saturacion queda en serie con la RFC, en consecuencia queda en serie con una Rdc = vista por la fuente de alimentación.

8 π2 R

Clase E - Terminaci´ on u ´ nica Se caracteriza por que la forma de onda de salida es la del cargado del capacitor paralelo C s . Esta se se hace cero cuando el transistor satura y puentea a masa. La potencia de salida depende de la capacidad de C s y del voltaje en ella antes de la descarga ya que es el único mecanismo de perdida. La operación optima seria que el capacitor ya este descargado en el instante que el capacitor se encienda. Esto se logra usando formulas emp´ıricas. Circuito similar al clase A o C, pero con un filtro serie de salida (debido a ser de conmutación) y un capacitor en paralelo a la capacidad intr´ınseca del transistor.

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Electronica aplicada 3

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