Elektronika Knjiga i Zadaci

Julijan Šribar Julijana Divković-Pukšec

ELEKTRONIČKI ELEMENTI zbirka riješenih zadataka i izvoda I dio

Zagreb, 1996.

Sva prava pridržana. Nijedan dio ovog teksta ne smije se preslikavati niti umnažati na bilo koji način, bez pismenog dopuštenja nakladnika. Za dodatne obavijesti o dopuštenju, kontaktirajte autore: Julijan Šribar ili Julijana Divković Pukšec Copyright © 1997 by Julijan Šribar and Julijana Divković Pukšec

All rights reserved. No part of this text may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronical, mechanical, photocopying, recording or otherwise, without prior written permission of the publisher. For more information on getting permission, contact the authors: Julijan Šribar or Julijana Divković Pukšec Copyright © 1997 by Julijan Šribar and Julijana Divković Pukšec

http://www2.zemris.fer.hr/~uli/zbirkaEng.html

Predgovor Ova zbirka zadataka prvenstveno je namijenjena studenticama i studentima Fakulteta elektrotehnike i računarstva u Zagrebu za lakše savladavanje gradiva iz predmeta Elektronički elementi koji se na toj ustanovi predaje već niz godina. U tom predmetu studenti stječu osnovna znanja o fizikalnim svojstvima poluvodiča, te svojstvima pn-dioda, bipolarnih i unipolarnih tranzistora. Ova zbirka pokriva polovicu gradiva, podijeljenu u dvije cjeline: 1. Osnovna svojstva poluvodiča i 2. PN-spoj i pndioda. U prvoj cjelini obrađena su osnovna fizikalna svojstva intrinsičnih i dopiranih poluvodiča. Iako se cijela zbirka bavi praktički samo silicijem kao najraširenijim poluvodičem, u prvom dijelu spominju se i neka svojstva germanija i galij-arsenida. Pri kraju prve cjeline ukratko su obrađeni osnovni postupci pri izradi poluvodičkih komponenti. Drugi dio zbirke analizira osnovna svojstva pn-spoja i pn-dioda. Na kraju svakog poglavlja u zbirci nalazi se obično po nekoliko jednostavnijih zadataka samo s konačnim rješenjima, tematski vezanih uz poglavlje, a namijenjenih za utvrđivanje prijeđenog gradiva. Oba dijela zaključuju nizovi složenijih zadataka za samostalno rješavanje, koji studentici ili studentu trebaju poslužiti za provjeru stečenog znanja. Na kraju zbirke navedena je literatura koja je korištena pri sastavljanju zadataka i pisanju Zbirke. Popis literature podijeljen je na knjige i na članke u časopisima, a oba dijela su svrstana po abecednom slijedu prezimena autora. Često se u tekstu pozivamo na neki podatak, tvrdnju ili cijeli zadatak iz literature. To referiranje označeno je uglatom zagradom unutar koje je navedeno prezime prvog autora i zadnje dvije znamenke godine izdanja (npr. [Shockley49]). Budući da je literatura svrstana po abecedi, ovakav način označavanja olakšava pronalaženje reference. Kako već dulje vrijeme ne postoji udžbenik niti zbirka zadataka na hrvatskom jeziku za navedeni predmet (posljednje izdanje vrlo dobre knjige prof. B. Juzbašića Elektronički elementi tiskano je prije više od deset godina), nastojali smo da ovo ne bude klasična zbirka zadataka sa suhoparnim matematičkim postupcima rješavanja, pa su rješenja zadataka popraćena komentarima kroz koje smo pokušali dočarati i fizikalnu sliku. Neki od zadataka su potpuno teoretske naravi i uključuju matematičke izvode važnijih formula. Iako svako poglavlje započinje kratkim teoretskim uvodom, glavnina fizikalnih objašnjenja sadržana je u tekstu rješenja. Uz rješenja zadataka često su priloženi izvorni crteži kojima smo nastojali učiniti fizikalnu sliku što zornijom. Cjelokupni brojčani proračuni pri sastavljanju zadataka napravljeni su pomoću džepnog računala, s točnošću na više od deset znamenki. Radi preglednosti, svi međurezultati i konačni rezultati u zbirci iskazani su samo sa tri znamenke, pri čemu je treća znamenka zaokružena prema uobičajenim matematičkim pravilima. Ponegdje u tekstu mogu se naći napomene (fusnote) označene križićem († ili ‡). Zvjezdicom (*) su označeni zadaci ili cijela poglavlja koji se pri prvom čitanju mogu preskočiti, jer nisu neophodni za daljnje razumijevanje gradiva. Jedan od glavnih problema pri sastavljanju zbirke bio je odabir empiričkih konstanti. Često rezultati neke formule koju daje teorija ne odgovaraju stvarnim J. Šribar, J. Divković-Pukšec: Elektronički elementi - zbirka zadataka

i

ii

Predgovor

vrijednostima, bilo zbog namjernih zanemarenja pri izvodu formule, bilo zbog nepoznavanja svih faktora koji utječu na određenu veličinu. Tendencija u predmetu Elektronički elementi, pa i u mnogim knjigama iz ovog područja je da se kod rješavanja problema koriste formule koje daju rezultate u skladu sa stvarnim, eksperimentalnim rezultatima. Stoga se često koriste potpuno empirijske formule ili formule čiji se funkcijski oblik zasniva na teorijskim postavkama, ali su faktori u tim formulama prilagođeni eksperimentalnim podacima. U zbirci smo nastojali koristiti aproksimacije koje su najrasprostranjenije u literaturi, pri čemu je ponekad trebalo raditi kompromis između točnosti aproksimacije i njene glomaznosti za “svakodnevnu” upotrebu. Također, ponekad se te aproksimacije temelje na bitno različitim eksperimentalnim rezultatima, pa je bilo teško odlučiti se koji izraz koristiti i pitanje je da li je odabrana aproksimacija ona prava. Pri označavanju fizikalnih veličina i jedinica nastojali smo koristiti oznake uobičajene u literaturi iz ovog područja i usklađene s preporukama međunarodnih organizacija za standardizaciju navedenim u knjižici: T. Cvitaš, N. Kallay, Fizičke veličine i jedinice međunarodnog sustava, Hrvatsko kemijsko društvo, Zagreb, 1975. Izuzetak je oznaka za električno polje; da bi se razlikovala od uobičajene oznake za energiju korištena je nestandardna oznaka , koja se često koristi u knjigama iz ovog područja (npr. [Grove67, Lindmayer65, Sze81, Ghandi68]). Simboli za fizikalne veličine pisani su kurzivom (kosa slova), simboli za vektorske veličine kosim polumasnim slovima (polumasni kurziv), dok su jedinice pisane uspravnim slovima. Formule i oznake fizikalnih veličina na slikama, odnosno u tablicama također su pisane u skladu s preporukama iz navedene knjižice, tako da odgovaraju ustaljenim pravilima algebre. Na primjer, osi na grafovima ili naslovi stupaca u tablicama označavani su razlomcima, tako da se u brojniku obično nalazi fizikalna veličina, a u nazivniku njena jedinica. Brojčane vrijednosti na osi ili u tablici su onda bezdimenzionalni brojevi. Iako je ovaj način označavanja rijedak u literaturi, on je matematički jedini korektan. Nadamo se da će ova zbirka poslužiti svojoj svrsi. Iako je ovo već treće izdanje Zbirke u kojem su ispravljene pogreške uočene u prvim izdanjima, svjesni smo da ima još dosta grešaka. Zbog toga će svaka opaska, ispravka ili kritika čitatelja dobro doći boljoj kvaliteti sljedećih izdanja. Zahvaljujemo se svima koji su izravno ili posredno pomogli pri izradi ove zbirke. Posebno se zahvaljujemo doc. dr. sc. Željku Butkoviću na korisnim diskusijama, prijedlozima, kao i na pomoći pri nabavci literature. Kolega Butković je i autor nekoliko zadataka u zbirci. Zahvaljujemo se studentima Minei Filipec, Borisu Motiku i Aljoši Šribaru koji su provjerili rješenja zadataka i dali vrlo korisne primjedbe na prvu verziju teksta. Također se zahvaljujemo kolegama sa Zavoda za elektroniku, mikroelektroniku, računalne i inteligentne sustave na iskazanoj podršci: mr. sc. Goranu Zeliću, mr. sc. Ivanu Seksi, Igoru Kroisu dipl. inž., Krunoslavu Martinčiću dipl. inž. i Mladenku Vukiću dipl. inž. Kolega Dalibor Grgec uočio je i upozorio nas na niz pogrešaka u prvim izdanjima, na čemu mu se zahvaljujemo. Značajnu pomoć pri dobavi literature pružili su nam osim navedenih kolega i dr. sc. Željka Matutinović (Princeton University), dr. sc. Branimir Pejčinović (Portland State University), Tin Ilakovac dipl.

iii

Predgovor

inž. (Institut “Ruđer Bošković”), mr. sc. Jožef Ferčec (RIZ), te mr. sc. Željka Perković i dr. sc. Ratko Magjarević (Fakultet elektrotehnike i računarstva). Izrada crteža 1.1a ne bi bila moguća bez pomoći mr. sc. Davora Grgića, Tomislava Bajsa dipl. inž. i Srđana Špalja dipl. inž. s Fakulteta za elektrotehniku i računarstvo, koji su pritom dali na raspolaganje neophodnu opremu. Cjelokupnu tehničku pripremu zbirke, uključujući pripremu i upis teksta, pripremu i izradu svih crteža, te pripremu za tisak napravio je Julijan Šribar. Završni tekst je pročitala, te mnoge pravopisne i gramatičke pogreške ispravila prof. Lolita Šribar, na čemu joj se posebno zahvaljujemo. Autori

Sadržaj 1. OSNOVNA SVOJSTVA POLUVODIČA

1

1.0.

Uvod ......................................................................................................1

1.1.

Širina zabranjenog pojasa ..................................................................6

1.2.

Raspodjele elektrona i šupljina po energijama.................................9

1.3.

Koncentracije elektrona i šupljina....................................................16 1.3.1. Zakon termodinamičke ravnoteže.......................................................16 1.3.2. Zakon električne neutralnosti..............................................................21

1.4.

Položaj Fermijevog nivoa..................................................................36 1.4.1. Elektrokemijski i elektrostatski potencijali...........................................45

1.5.

Gibanje nosilaca ................................................................................49 1.5.1. Driftna i difuzijska struja nosilaca........................................................50 1.5.2. Pokretljivost nosilaca i difuzijska konstanta ........................................53 1.5.3. Električna provodnost i električna otpornost poluvodiča.....................58

1.6.

Rekombinacijski procesi...................................................................71 1.6.1. Izravna rekombinacija između valentnog i vodljivog pojasa ...............71 1.6.2. Rekombinacija kroz energetske zamke u zabranjenom pojasu..........72 1.6.3. Površinska rekombinacija ...................................................................81

1.7.

Temeljne jednadžbe u poluvodičima ...............................................83 1.7.1. Poissonova jednadžba........................................................................83 1.7.2. Transportne jednadžbe.......................................................................86 1.7.3. Jednadžbe kontinuiteta.......................................................................91

1.8. 1.9.

Nehomogeni poluvodiči ..................................................................105 Degeneracijski efekti .......................................................................112 1.9.1. Suženje zabranjenog pojasa ............................................................112 1.9.2. Transportne jednadžbe u degeneriranom poluvodiču ......................114

1.10. Osnove planarne tehnike na siliciju...............................................118 1.10.1. Difuzijski postupak ............................................................................121 1.10.2. Ionska implantacija ...........................................................................135

Zadaci za samostalno rješavanje.............................................................139 Rješenja ........................................................................................................144

2. pn-SPOJ I pn-DIODA

147

2.0.

Uvod ..................................................................................................147

2.1.

Kontaktni potencijal.........................................................................148

2.2.

Raspodjela potencijala i električnog polja u barijeri ....................153

J. Šribar, J. Divković-Pukšec: Elektronički elementi - zbirka zadataka

v

vi

Sadržaj

2.3. 2.4.

Barijerni kapacitet............................................................................166 Strujno-naponske karakteristike ....................................................176 2.4.1. Shockleyeva jednadžba....................................................................176 2.4.2. Utjecaj ugrađenog električnog polja na strujno-naponske karakteristike.....................................................................................212 2.4.3. Utjecaj degeneracijskih efekata na strujno-naponske karakteristike.....................................................................................216

2.5.

Dinamička svojstva pn-diode .........................................................218 2.5.1. Dinamički otpor .................................................................................218 2.5.2. Nakrcani naboj manjinskih nosilaca .................................................226 2.5.3. Difuzijska admitancija i difuzijski kapacitet .......................................234

2.6.

Prijelazne pojave u pn-diodi ...........................................................248

Zadaci za samostalno rješavanje.............................................................258 Rješenja ........................................................................................................267

Prilog A: Određivanje korijena jednadžbe iteracijskim postupkom ........273 Prilog B: Rješenja difuzijske jednadžbe za difuzije iz neograničenog i ograničenog izvora..........................................276 Difuzija iz ograničenog izvora........................................................................277 Difuzija iz neograničenog izvora....................................................................277

Prilog C: Komplementarna funkcija pogreške...........................................279

LITERATURA

281

Knjige ........................................................................................................281 Članci u časopisima.................................................................................283

Popis češće korištenih oznaka† C

kapacitet

CB

barijerni kapacitet

Cd

difuzijski kapacitet

D

difuzijska konstanta nosilaca naboja

D

difuzijski koeficijent primjesnih atoma

dB

širina barijere

E

energija

EA

energija akceptorskog nivoa

Ea

energija aktivacije

Ec

energija dna vodljivog pojasa

ED

energija donorskog nivoa

EF

energija Fermijevog nivoa

EG

širina zabranjenog pojasa

ET

energetski ekvivalent temperature

Ev

energija vrha valentnog pojasa

električno polje

F1/2

Fermijev integral reda 1/2

f

Fermi-Diracova funkcija vjerojatnosti

f

frekvencija

G

mjera za generaciju parova elektron-šupljina

gd

dinamička vodljivost

h

Planckova konstanta, h = 6,626⋅10–34 Js

I

jakost električne struje

Id

jakost difuzijske struja

If

jakost driftne struja

IS

reverzna struja zasićenja

J

gustoća električne struje

Jd

gustoća difuzijske struje

Jf

gustoća driftne struje

k

Boltzmannova konstanta, k = 1,381⋅10–23 J/K

†

Ako nije posebno navedeno, indeksi n i p se odnose na veličine vezane uz elektrone i šupljine, odnosno n-tip i p-tip.


vii

viii

Popis češće korištenih oznaka

L

difuzijska duljina nosilaca naboja

m

masa

m0

masa mirovanja elektrona, m0 = 9,109⋅10–31 kg

mc*

efektivna masa elektrona u vodljivom pojasu

mv*

efektivna masa šupljina u valentnom pojasu

N

neto koncentracija primjesa

N0

površinska koncentracija primjesnih atoma

NA

koncentracija akceptorskih atoma

NA–

koncentracija jednostruko ioniziranih akceptorskih atoma

Nc

efektivna gustoća kvantnih stanja u vodljivom pojasu

ND

koncentracija donorskih atoma

ND+

koncentracija jednostruko ioniziranih donorskih atoma

Nv

efektivna gustoća kvantnih stanja u valentnom pojasu

n

koncentracija elektrona

n0

ravnotežna koncentracija elektrona

n0p

ravnotežna koncentracija elektrona u p-tipu poluvodiča

ni

intrinsična koncentracija nosilaca naboja

np0

koncentracija elektrona u p-tipu poluvodiča uz površinu ili uz rub pn-barijere

p

koncentracija šupljina

p0

ravnotežna koncentracija šupljina

p0n

ravnotežna koncentracija šupljina u n-tipu poluvodiča

pn0

koncentracija šupljina u n-tipu poluvodiča uz površinu ili uz rub pn-barijere

Q

naboj

Q

površinska gustoća primjesnih atoma tijekom redistribucije

q

elementarni naboj (naboj elektrona), q = 1,602⋅10–19 C

R

mjera neto generacije/rekombinacije nosilaca naboja

rd

dinamički otpor

rs

serijski otpor

S

površina

s

brzina površinske rekombinacije nosilaca

T

temperatura

t

vrijeme

U

napon

UK

kontaktni potencijal

UT

naponski ekvivalent temperature

Popis ~e{}e kori{tenih oznaka

UTOT

ukupni napon na pn-spoju

v

brzina

vf

driftna brzina nosilaca naboja

w

širina

xj

dubina pn-spoja

yd

difuzijska admitancija

ε εr ε0 µ ρ ρ ρc ρv σ τ ϕ χ ψ ω

permitivnost (dielektrična konstanta) relativna permitivnost permitivnost vakuuma, ε0 = 8,854⋅10–14 F/cm pokretljivost nosilaca naboja električna otpornost (specifični električni otpor) prostorna gustoća naboja funkcija gustoće kvantnih stanja u vodljivom pojasu funkcija gustoće kvantnih stanja u valentnom pojasu električna provodnost (specifična električna vodljivost) vrijeme života nosilaca naboja Fermijev (elektrokemijski) i kvazi-Fermijev potencijal afinitet elektrona elektrostatski potencijal kružna frekvencija

Oznake hiperbolnih funkcija sinh

sinus hiperbolni

cosh

kosinus hiperbolni

tanh

tangens hiperbolni

coth

kotangens hiperbolni

arsinh

area sinus hiperbolni

arcosh area kosinus hiperbolni artanh

area tangens hiperbolni

arcoth

area kotangens hiperbolni

ix

x

Popis češće korištenih oznaka

Grčki alfabet Α Β Γ ∆ Ε Ζ Η Θ

α β γ δ ε ζ η ϑ

alfa beta gama delta epsilon zeta eta theta

Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π

ι κ λ µ ν ξ ο π

jota kapa lambda mi ni ksi omikron pi

Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω

ρ σ τ υ ϕ χ ψ ω

ro sigma tau ipsilon fi hi psi omega

1. OSNOVNA SVOJSTVA POLUVODIČA 1.0. Uvod Valentni elektroni u metalima su slabo vezani za matične atome, te se pod utjecajem i najmanjeg električnog polja slobodno gibaju kroz materijal. U energetskom dijagramu to se predočava preklapanjem valentnog i vodljivog pojasa. Naprotiv, kod izolatora atomi materijala formiraju čvrstu kovalentnu vezu, koju je veoma teško razbiti. Da bi se elektron mogao osloboditi od matičnog atoma potrebno je uložiti relativno velik iznos energije (veći od približno 3 eV), pa u energetskom dijagramu između valentnog i vodljivog pojasa postoji relativno široki zabranjeni pojas. Sva energetska stanja u valentnom pojasu su popunjena, dok su energetska stanja u vodljivom pojasu potpuno prazna. U poluvodičima je kovalentna veza među susjednim atomima umjereno jaka. Na temperaturi apsolutne nule (T = 0 K) svi elektroni u valentnim ljuskama su vezani za svoje matične atome, pa nema slobodnih elektrona koji bi omogućili protok struje. U energetskom prikazu sva su energetska stanja u valentnom pojasu popunjena, dok je vodljivi pojas potpuno prazan. Na slici 1.1a prikazana je osnovna ćelija kristalne rešetke najraširenijeg poluvodiča - silicija. Svaki atom silicija vezan je sa četiri susjedna atoma

Slika 1.1a. Osnovna ćelija plošno-centrirane kubne kristalne rešetke silicija (prema [Blakemore74, Kittel76]). J. Šribar, J. Divković-Pukšec: Elektronički elementi - zbirka zadataka

1

2

1. Osnovna svojstva poluvodiča

b)

c)

Slika 1.1. b) Dvodimenzionalni prikaz kristalne rešetke silicija. c) Atom silicija sa četiri valentna elektrona.

(na slici je jedan od atoma zajedno sa četiri susjeda prikazan tamnije, unutar crtkane kocke) i dijeli s njima svoja četiri valentna elektrona, ostvarujući tako kovalentnu vezu. Na slici 1.1b dan je plošni prikaz kristalne rešetke silicija u kojem su nacrtana i po četiri valentna elektrona pojedinih atoma silicija (slika 1.1c). Jednaku kristalnu strukturu ima i germanij, dok ostali poluvodiči, poput galij-arsenida ili indij-fosfida, imaju vrlo sličnu kristalnu strukturu. Na temperaturama različitim od temperature apsolutne nule termička titranja kristalne rešetke dovoljna su da se neke veze među atomima razbiju. Razbijanjem veze elektron se oslobađa od matičnog atoma, što će omogućiti protok električne struje. Istovremeno, prekinutoj kovalentnoj vezi nedostaje elektron, što se simbolizira šupljinom, nosiocem pozitivnog jediničnog naboja. Valentni elektroni iz susjednih kovalentnih veza mogu uskočiti na mjesto šupljine, dodatno doprinoseći električnoj vodljivosti poluvodiča. Opisani proces nastanka elektrona i šupljine naziva se generacija nosilaca. Na slici 1.2 simbolički je prikazana generacija para elektronšupljina (oznaka 1). S porastom temperature, raste energija termičkih titraja kristalne rešetke, pa raste i broj termički generiranih parova elektron-šupljina, a time i električna vodljivost poluvodiča. Tijekom gibanja kroz kristalnu rešetku (2 na slici 1.2), oslobođeni elektron će negdje u kristalnoj rešetki naletjeti na prethodno razbijenu valentnu vezu koju će dopuniti. Time će poništiti šupljinu koja je na tom mjestu u tom trenutku postojala. Taj proces naziva se rekombinacija nosilaca (označeno s 3 na slici 1.2). Uvođenje šupljine kao pozitivno nabijene čestice omogućava da se umjesto gibanja velikog broja elektrona u valentnom pojasu, prati gibanje relativno malog broja šupljina u suprotnom smjeru†. †

Gibanje šupljina može se usporediti s gibanjem mjehurića zraka u tekućini: iako je tekućina ta koja se giba, jednostavnije je promatrati gibanje mjehurića u suprotnom smjeru [Grove67].

3

1.0. Uvod

šupljina

1 2'

vodljivi pojas

2

elektron

Ec

2

zabranjeni pojas

3

EG

1

3

Ev valentni pojas a)

2' smjer gibanja šupljine

šupljina

b)

Slika 1.2. Generacija i rekombinacija para elektron-šupljina: a) prikaz u dvodimenzionalnoj kristalnoj rešetki; b) u energetskom dijagramu.

U energetskom dijagramu, oslobađanje elektrona od matičnog atoma predočava se preskokom elektrona iz valentnog pojasa u vodljivi pojas (slika 1.2b). Elektron pri dnu vodljivog pojasa ima samo potencijalnu energiju. Pod djelovanjem električnog polja on će dobiti određeni iznos kinetičke energije, što će omogućiti protok električne struje. Porast kinetičke energije elektrona u energetskom dijagramu odgovara udaljavanju elektrona od dna vodljivog pojasa prema gore. Naprotiv, porast kinetičke energije šupljina odgovara udaljavanju od vrha valentnog pojasa prema dolje. Ako je poluvodič potpuno čist, tj. ako je koncentracija drugih atoma u kristalu poluvodiča zanemariva, tada slobodni elektroni i šupljine nastaju isključivo opisanim postupkom generacije parova elektron-šupljina. Stoga su ravnotežne koncentracije elektrona i šupljina u takvom poluvodiču međusobno jednake, a takav poluvodič zovemo intrinsičnim poluvodičem. Dodavanjem određenih primjesa u kristalnu rešetku poluvodiča, mijenjaju se i njegova električna svojstva. Ako te primjese povećavaju koncentraciju slobodnih elektrona, onda govorimo o donorskim primjesama, a za poluvodič u kojem je koncentracija elektrona veća od koncentracije šupljina kažemo da je (ekstrinsični) poluvodič n-tipa. U siliciju i germaniju, koji su četverovalentni elementi (tj. imaju četiri elektrona u valentnoj ljusci), koncentraciju elektrona povećavaju peterovalentni elementi, npr. fosfor ili arsen. Budući da oni u valentnoj ljusci imaju pet elektrona, a četiri su im dovoljna za formiranje kovalentne veze sa susjednim atomima poluvodiča, peti (“suvišni”) elektron će biti vrlo slabo vezan za matični atom, te će biti dovoljna vrlo mala energija ionizacije da se on oslobodi (slika 1.3a). Naravno, kada ga elektron napusti, primjesni atom će postati pozitivni (donorski) ion. On je na sobnoj temperaturi “zamrznut” u kristalnoj rešetki silicija, pa ne doprinosi vodljivosti poluvodiča.

4


slobodni elektron nastao ionizacijom donora energija ionizacije pokretni elektroni

Ec ED

donorski ion

Ev

donorski ioni

a)

b)

Slika 1.3. Poluvodič n-tipa: a) pojednostavljeni dvodimenzionalni prikaz kristalne rešetke; b) energetski dijagram.

Prisutnost donorskog atoma u poluvodiču predočava se u energetskom dijagramu diskretnim stanjima unutar zabranjenog pojasa poluvodiča, vrlo blizu vrhu zabranjenog pojasa (slika 1.3b). Budući da je za tipične donorske primjese energija ionizacije neophodna da bi elektroni uskočili u vodljivi pojas vrlo mala (10 do 50 meV), na sobnoj temperaturi (T = 300 K) su gotovo svi primjesni atomi ionizirani. Poluvodič p-tipa, u kojem je koncentracija šupljina veća od koncentracije elektrona, dobiva se dodavanjem akceptorskih primjesa. U siliciju i germaniju akceptorske primjese su uglavnom trovalentni elementi, npr. bor. Kako ti elementi imaju samo tri elektrona u valentnoj ljusci, za ostvarivanje čvrste kovalentne veze sa susjednim atomima poluvodiča nedostaje jedan elektron. Takav atom će stoga vezati za sebe jedan od elektrona koji bi inače preskočio iz valentnog u vodljivi pojas, odnosno onemogućit će generiranje slobodnog elektrona u paru elektron-šupljina (slika 1.4a). Prihvaćanjem dodatnog elektrona, akceptorski atom postaje negativni ion. Za tipične akceptorske primjese je energija ionizacije vrlo mala (10 do 50 meV), pa su na sobnim temperaturama gotovo svi akceptori ionizirani. U energetskom dijagramu poluvodiča akceptori unose stanja u zabranjeni pojas, vrlo blizu dna zabranjenog pojasa (slika 1.4b). U složenim poluvodičima (engl. compound semiconductors), koji se sastoje od spojeva tro- i peterovalentnih elemenata (III-V poluvodiči, poput galij-arsenida GaAs, galij-fosfida GaP), odnosno dvo- i šesterovalentnih elemenata (II-VI poluvodiči, poput cink-sulfida ZnS), kemijska veza ostvaruje se tako da atom komponente koja ima veći broj elektrona u valentnoj ljusci ustupa višak valentnih elektrona komponenti s nižom valentnošću (slika 1.5a). Donorske primjese u složenim poluvodičima su elementi koji imaju višu valentnost od komponente koju nadomještaju u kristalnoj rešetki, a akceptorske primjese imaju nižu valentnost od komponente koju nadomještaju. Na slici 1.5b prikazan je donorski atom šesterovalentnog sumpora koji je nadomjestio

5

1.0. Uvod

šupljina nastala ionizacijom akceptora

akceptorski ioni

Ec

akceptorski ion

EA Ev pokretne šupljine energija ionizacije

a)

b)

Slika 1.4. Poluvodič p-tipa: a) pojednostavljeni dvodimenzionalni prikaz kristalne rešetke; b) energetski dijagram.

peterovalenti arsen u kristalnoj rešetki galij-arsenida. Šesti valentni elektron sumpora je u kemijskoj vezi s okolnim atomima galija slabo vezan za matični atom i lako se može osloboditi. Zanimljivo je uočiti da četverovalentni elementi, poput silicija i germanija, mogu u III-V poluvodičima biti i donorske primjese (ako nadomjeste trovalentnu komponentu) i akceptorske primjese (ako nadomjeste peterovalentnu komponentu). peti elektron kojeg je arsen "posudio" galiju

donorski ion sumpora

As+ Ga-

a)

S ++

b)

Slika 1.5. Pojednostavljeni dvodimenzionalni prikaz kristalne rešetke galij-arsenida: a) intrinsični poluvodič; b) poluvodič n-tipa.

6


1.1. Širina zabranjenog pojasa Širine zabranjenog pojasa za najčešće korištene poluvodiče (silicij, germanij i galijarsenid) navedene su u tablici 1.1. Temperaturna ovisnost širine zabranjenog pojasa za te poluvodiče može se opisati funkcijom [Thurmond75]

α ⋅T2 , (1.1) T+β gdje su α i β empiričke konstante, dane u tablici 1.1. Kako se iz grafičkog prikaza funkcije (1.1) na slici 1.6 vidi, zabranjeni pojas silicija, germanija i galij-arsenida se s E G (T ) = E G (0) −

Tablica 1.1. Širine zabranjenog pojasa za silicij, germanij i galijarsenid [Thurmond75].

β K

poluvodič

E G (0 K) eV

E G (300 K) eV

α eV K −1

Si

1,170

1,12

4,73⋅10−4

Ge

0,7437

GaAs

0,66

1,519

1,42

636

4,774⋅10

−4

235

5,405⋅10

−4

204

porastom temperature sužava. Kod nekih drugih poluvodiča (npr. olovo-sulfid PbS) širina zabranjenog pojasa raste s temperaturom [Sze81]. 1,6

GaAs

1,4

EG eV

Si

1,2 1,0 0,8 0,6

Ge

0

200

400

600

800

T/K Slika 1.6. Temperaturna ovisnost širine zabranjenog pojasa za silicij, germanij i galij-arsenid [Thurmond75].

7

1.1. Širina zabranjenog pojasa

Za silicij ovisnost širine zabranjenog pojasa silicija o temperaturi najčešće se aproksimira točnijim izrazima [Gaensslen79, Selberherr89] 2 ì æTö æTö , − 1,059 ⋅ 10 −5 ⋅ ç ÷ − 6,05 ⋅ 10 − 7 ⋅ ç ÷ , za T ≤ 170 K ï 117 E G (T ) ï è Kø è Kø . (1.2) =í 2 eV −5 æ T ö −7 æ T ö ï 11785 , − 9,025 ⋅ 10 ⋅ ç ÷ − 3,05 ⋅ 10 ⋅ ç ÷ , za T > 170 K ïî è Kø è Kø Uvrštavanjem temperature u kelvinima, dobit ćemo širinu zabranjenog pojasa u elektronvoltima.

Zadatak 1.1 Odrediti promjenu širine zabranjenog pojasa silicija sa temperaturom u rasponu temperatura od 0 K do 500 K. Linearizirati ovisnost širine zabranjenog pojasa o temperaturi u okolišu temperature T = 300 K, te utvrditi u kojem intervalu temperatura je odstupanje od točnih vrijednosti manje od 1%. Rješenje: Pomoću izraza (1.2) dobivene su vrijednosti za traženo područje temperatura u tablici 1.2, na osnovu kojih je nacrtana krivulja na slici 1.7. Na temperaturi T = 300 K povučena je tangenta na krivulju EG (T). Dobiven je pravac (1.3) E G′ (T ) = E G′ 0 + a ⋅ T , pri čemu je a nagib tangente na krivulju EG (T) u T = 300 K, a E'G 0 = E'G (T = 0 K) je presjecište tangente s osi energije. Deriviranjem funkcije (1.2) i uvrštavanjem vrijednosti za T = 300 K, dobiva se linearna aproksimacija za širinu zabranjenog pojasa u okolišu temperature od 300 K E G′ ( T ) æTö = 1,206 − 2,733 ⋅ 10 −4 ⋅ ç ÷ . è Kø eV

(1.3a)

Tablica 1.2. Temperaturna ovisnost širine zabranjenog pojasa silicija.

T K

EG eV

E G′ eV

E G′ − E G EG

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

1,170 1,169 1,165 1,158 1,148 1,137 1,124 1,110 1,094 1,076 1,057

1,206 1,192 1,179 1,165 1,151 1,138 1,124 1,110 1,097 1,083 1,069

3,073 % 1,991 % 1,169 % 0,603 % 0,266 % 0,067 % 0% 0,069 % 0,279 % 0,638 % 1,154 %

U tablici 1.2 dane su i vrijednosti E'G (T), kao i postotno odstupanje ovih vrijednosti u odnosu na EG (T). Kao što se iz tablice, odnosno sa slike 1.7 vidi, u području temperatura od 150 K do 450 K možemo sa zadovoljavajućom točnošću u proračunima koristiti i mnogo jednostavniju linearnu ovisnost širine zabranjenog pojasa o temperaturi. Stoga ćemo u svim daljnjim proračunima za silicij koristiti izraz (1.3). Da smo umjesto funkcije (1.2) koristili funkciju (1.1), deriviranjem bismo dobili koeficijent smjera α ⋅T a=− ⋅ (T + 2 ⋅ β ) , (1.4) (T + β ) 2

Zadatak 1.1

8


pa bismo za ekstrapoliranu širinu zabranjenog pojasa na T = 0 K dobili

α ⋅T2 ⋅ (T + 2 ⋅ β ) . (1.5) (T + β ) 2 Uvrštavanjem vrijednosti iz tablice 1.1, za T = 300 K dobili bismo koeficijente prema tablici 1.3. E G′ 0 = E G (T ) +

1,25

E'G0

tangenta na krivulju

1,20

EG eV

Tablica 1.3. Koeficijenti linearnih aproksimacija širina zabranjenog pojasa silicija, germanija i galij-arsenida.

1,15 1,10 1,05

0

100 200 300 400 500

T/K Slika 1.7. Linearna aproksimacija promjene širine zabranjenog pojasa silicija s temperaturom.

Zadatak 1.1

poluvodič

E G′ 0 eV

eV K −1

Si Ge GaAs

1,196 0,776 1,556

–2,546⋅10–4 –3,853⋅10–4 –4,519⋅10–4

a

9

1.2. Raspodjele elektrona i šupljina po energijama

1.2. Raspodjele elektrona i šupljina po energijama Raspodjele koncentracija slobodnih elektrona u vodljivom i šupljina u valentnom pojasu po energijama opisane su Fermi-Diracovom raspodjelom

dn( E ) = ρc ( E ) ⋅ f n ( E ) ⋅ dE ,

(1.6)

dp ( E ) = ρ v ( E ) ⋅ f p ( E ) ⋅ dE .

(1.7)

ρc(E) i ρv(E) su funkcije gustoće kvantnih stanja u vodljivom, odnosno valentnom pojasu, a fn(E) i fp(E) su Fermijeve funkcije za elektrone u vodljivom, odnosno šupljine u valentnom pojasu energija. Funkcije gustoća kvantnih stanja

ρc ( E ) =

8 2 ⋅ π ⋅ (mc* ) 3 2 ⋅ E − Ec , h3

(1.8)

8 2 ⋅ π ⋅ (mv* ) 3 2 (1.9) ⋅ Ev − E , h3 iskazuju broj dozvoljenih kvantnih stanja u vodljivom, odnosno valentnom pojasu po jedinici volumena i po jedinici energije. mc* i mv* su efektivne mase elektrona u vodljivom pojasu, odnosno šupljina u valentnom pojasu, Ec i Ev su energije dna vodljivog, odnosno vrha valentnog pojasa, a h je Planckova konstanta.

ρv ( E ) =

Fermijeva funkcija fn (E) =

1 æ E − E Fn ö 1 + expç ÷ è ET ø

(1.10)

izražava vjerojatnost da je neko dozvoljeno stanje na energiji E popunjeno elektronom, dok je 1 f p (E) = (1.11) E æ Fp − E ö 1 + expç ÷ è ET ø vjerojatnost da je neko dozvoljeno stanje na energiji E nepopunjeno elektronom, odnosno popunjeno šupljinom. U stanju neravnoteže, Fermijeve energije EFn i EFp u izrazima (1.10) i (1.11) razlikuju se za elektrone u vodljivom i šupljine u valentnom pojasu. Međutim, kako će se u većini zadataka analizirati stanja ravnoteže ili stanja vrlo bliska ravnoteži, uzimat će se isti iznos Fermijeve energije za oba tipa nosilaca, tj. EFn = EFp = EF . U tom slučaju vrijedi da je f p (E) = 1− fn (E) ,

(1.12)

tj. Fermijeve funkcije vjerojatnosti za elektrone i šupljine su međusobno komplementarne - zbroj vjerojatnosti da na nekom kvantnom stanju postoji elektron i da elektrona nema (postoji šupljina) mora biti jednak 1.

10


Energetski ekvivalent temperature ET određen je izrazom ET = k ⋅ T ,

(1.13)

gdje je T temperatura u kelvinima, a k je Boltzmannova konstanta. Nama će redovito biti prikladnije energetski ekvivalent temperature izračunavati u elektronvoltima (eV), te ćemo koristiti jednostavnu formulu da je æTö ç ÷ è Kø ET = eV . (1.14) 11605 Uvrštavanjem temperature u kelvinima u (1.14), dobit ćemo energetski ekvivalent temperature u elektronvoltima. Za sobnu temperaturu (T = 300 K) ET = 25,8 meV.

Zadatak 1.2 Polazeći od izraza za funkcije raspodjela, izvesti izraze za ravnotežne koncentracije slobodnih elektrona u vodljivom pojasu i šupljina u valentnom pojasu intrinsičnog poluvodiča. Rješenje: Na slici 1.8 prikazani su energetski dijagram, funkcije gustoća kvantnih stanja u vodljivom i valentnom pojasu, Fermijeve funkcije za elektrone i šupljine, te rezultantne raspodjele elektrona i šupljina po energijama. Kao što je označeno na slici, koncentracije elektrona i šupljina odgovaraju površinama ispod funkcija njihovih raspodjela po energijama. Prema tome, da bismo izračunali ravnotežnu koncentraciju elektrona u vodljivom pojasu treba funkciju raspodjele (1.6) integrirati preko svih energija u vodljivom pojasu, od dna vodljivog pojasa (E = Ec ) do njegova vrha. S obzirom da funkcija raspodjele, zbog eksponencijalnog karaktera Fermijeve funkcije vjerojatnosti, vrlo brzo teži nuli, može se za gornju granicu integracije uzeti energija E = ∞ , pa se dobiva

E

vodljivi pojas

Ec EF Ev

Ec EG

EF Ev

E

ρc ρv

T >> 0 K

Ec

x

EF

E

T= 0 K

=

valentni pojas x

EF Ev

fn gustoće kvantnih stanja

dn dE

Ec

Ev

0

n

fp

p

dp dE

1

Fermijeva funkcija

=

raspodjele elektrona i šupljina

Slika 1.8. Raspodjele koncentracija elektrona i šupljina po energijama u intrinsičnom poluvodiču. Zadatak 1.2

11


∞

n=

ò ρc ( E ) ⋅ f n ( E ) ⋅ dE =

Ec

∞

=

8 2 ⋅ π ⋅ (mc* ) 3 2 ⋅ ò E − Ec ⋅ h3 E c

1 dE . æ E − EF ö 1 + exp ç ÷ è ET ø

(1.15)

Primjenom supstitucije

η=

E − Ec dE , dη = , dE = ET ⋅ dη , ET ET

(1.16)

dobivamo ∞

n=

η 8 2 ⋅ π ⋅ (mc* ) 3 2 3/ 2 ⋅ ET ⋅ ò dη , 3 1 + exp(η − ηF ) h 0

(1.17)

što se može pisati kao n = Nc ⋅

2 π

⋅ F1/ 2 (ηF ) ,

(1.18)

pri čemu je

ηF =

E F − Ec ET

(1.19)

udaljenost Fermijevog nivoa od vrha zabranjenog pojasa normirana na ET . Nc je efektivna gustoća kvantnih stanja u vodljivom pojasu æ 2 ⋅ π ⋅ ET ⋅ mc* ö ÷ Nc = 2 ⋅ ç h2 è ø

3/ 2

,

(1.20)

a F1/2(ηF) je Fermijev integral reda 1/2, ∞

t dt . 1 t + exp( − ηF ) 0

F1/ 2 (ηF ) = ò

(1.21)

Za Fermijev integral (1.21) ne postoji općenito analitičko rješenje, ali za pojedina područja vrijednosti argumenta ηF , postoje analitičke aproksimacije rješenja [Shockley50, Kireev78] ì π ⋅ exp(ηF ) za ηF << −1 ïï F1/ 2 (ηF ) = í 2 . (1.22) ï 2 ⋅ η 3/ 2 za η >> 1 F F ïî 3 Na slici 1.9 prikazan je graf Fermijevog integrala, te obiju aproksimacija (1.22), u ovisnosti o parametru ηF . Osim ovih najjednostavnijih i najčešće korištenih funkcija, u literaturi se mogu naći još i druge aproksimacije Fermijevog integrala (npr. [Blakemore82]).

Prva aproksimacija se kod poluvodiča može primijeniti u slučaju kada je E − Ec << −1 , ηF = F ET

(1.23a)

odnosno

Zadatak 1.2

12


10

10

2

π exp(ηF) 2

1

1

F1/2 (ηF ) 10

–1

10

–2

10

2 3/2 η 3 F

–3

–5

0

5

10

ηF Slika 1.9. Fermijev integral i njegove aproksimacije.

E F − Ec << − ET .

(1.23b)

U našem primjeru to znači da Fermijeva energija mora biti barem za nekoliko ET niža od svih energija na kojima se elektroni mogu nalaziti. Drugim riječima, Fermijev nivo se mora nalaziti unutar zabranjenog pojasa i to barem za nekoliko ET udaljen od vrha zabranjenog (dna vodljivog) pojasa. Za većinu praktičnih proračuna dovoljno je da ta udaljenost iznosi barem 3⋅ET , tj. Ec – EF ≥ 3⋅ET . Ova aproksimacija rješenja odgovara slučaju nedegeneriranih poluvodiča, kod kojih se raspodjela elektrona u vodljivom pojasu sasvim dobro može prikazati Maxwell-Boltzmannovom raspodjelom. Matematički gledano, kao da je rep Fermi-Diracove funkcije (1.10) koji ulazi u vodljivi pojas aproksimiran eksponencijalnom funkcijom fn (E ) =

æ E − EF ö = exp ç − ÷. ET ø æ E − EF ö è 1 + exp ç ÷ è ET ø

1

Naprotiv, druga aproksimacija za F1/2(ηF) u (1.22) odgovara slučaju potpuno degeneriranog poluvodiča, kada se Fermijev nivo nalazi duboko unutar vodljivog pojasa. Po električnim svojstvima takvi poluvodiči su slični metalima. Budući da ćemo se u daljnjoj analizi svojstava poluvodiča uglavnom baviti nedegeneriranim poluvodičima, rabit ćemo isključivo MaxwellBoltzmannovu statistiku. Za intrinsičan poluvodič uvjeti (1.23) su zadovoljeni, pa za ravnotežnu koncentraciju elektrona u vodljivom pojasu dobivamo æ E − Ec ö n = N c ⋅ exp ç F ÷. è ET ø

Zadatak 1.2

(1.24)

13


Na sličan način dobiva se ravnotežna koncentracija šupljina u valentnom pojasu integriranjem raspodjele koncentracije šupljina (1.7) preko svih energija u valentnom pojasu, od E = – ∞ do E = Ev pri vrhu valentnog pojasa Ev

p=

ò ρv ( E ) ⋅ f p ( E ) ⋅ dE =

−∞

E

=

8 2 ⋅ π ⋅ (mv* ) 3 2 v ⋅ ò Ev − E ⋅ h3 −∞

Supstitucijom

η=

1 dE . æ EF − E ö 1 + exp ç ÷ è ET ø

Ev − E dE , dη = − , dE = − ET ⋅ dη , ET ET

(1.25)

(1.26)

integral (1.25) prelazi u ∞

p=

η 8 2 ⋅ π ⋅ (mv* ) 3 2 3/ 2 ⋅ ET ⋅ ò dη , 3 1 + exp (η − ηF ) h 0

(1.27)

odnosno p = Nv ⋅ pri čemu je

ηF =

2 π

⋅ F1/ 2 (ηF ) ,

(1.28)

Ev − E F ET

(1.29)

udaljenost Fermijevog nivoa od dna zabranjenog pojasa normirana na ET , ali je sada referentni (pozitivni) smjer suprotan nego u izrazu (1.19). Nv efektivna gustoća kvantnih stanja u valentnom pojasu æ 2 ⋅ π ⋅ ET ⋅ mv* ö ÷÷ N v = 2 ⋅ çç h2 è ø

3/ 2

.

(1.30)

Koristeći prvu aproksimaciju (1.22) za Fermijev integral, za ravnotežnu koncentraciju šupljina u valentnom pojasu dobivamo æ E − Ev ö p = N v ⋅ exp ç − F ÷. ET ø è

(1.31)

I ovaj izraz vrijedi samo za nedegenerirane poluvodiče, tj. ako je Fermijeva energija unutar zabranjenog pojasa i to barem za nekoliko ET udaljena od vrha valentnog pojasa. Važno je uočiti da umnožak ravnotežnih koncentracija elektrona u vodljivom pojasu (1.24) i šupljina u valentnom pojasu (1.31) æ E − Ev ö æ E ö n ⋅ p = N c ⋅ N v ⋅ exp ç − c ÷ = N c ⋅ N v ⋅ exp ç − G ÷ ET ø è è ET ø

(1.32)

ne ovisi o položaju Fermijevog nivoa, već je za neki poluvodič na određenoj temperaturi konstantan. EG u gornjem izrazu je širina zabranjenog pojasa poluvodiča. U intrinsičnom poluvodiču nosioci nastaju isključivo generacijom parova elektron-šupljina. Stoga je ravnotežna koncentracija elektrona jednaka koncentraciji šupljina. Ako su funkcije

Zadatak 1.2

14


gustoća kvantnih stanja u vodljivom i valentnom pojasu međusobno simetrične, tada je i funkcija raspodjele elektrona po energijama u vodljivom pojasu zrcalno simetrična funkciji raspodjele šupljina u valentnom pojasu. Ravnina zrcaljenja tih dviju funkcija nalazi se na sredini zabranjenog pojasa (vidi sliku 1.8), iz čega možemo zaključiti da se i Fermijeva energija nalazi na sredini zabranjenog pojasa. Znači da su zadovoljene pretpostavke koje smo uveli prilikom aproksimacije Fermi-Diracove raspodjele Maxwell-Boltzmannovom, da se Fermijev nivo nalazi unutar zabranjenog pojasa, udaljen nekoliko ET od njegovih rubova. Iako kod realnih poluvodiča funkcije gustoća kvantnih stanja nisu simetrične, kod silicija, germanija i galij-arsenida ta je nesimetrija za većinu primjena zanemariva (vidi poglavlje 1.4. Položaj Fermijevog nivoa). Treba naglasiti da slika 1.8 zbog preglednosti nije nacrtana u mjerilu i da prikazana Fermijeva funkcija odgovara vrlo visokoj temperaturi. Da bismo predočili realno stanje, razmotrit ćemo silicij na T = 300 K. Širina zabranjenog pojasa silicija na toj temperaturi je EG = 1,12 eV. Vjerojatnost da se u kvantnom stanju pri dnu vodljivog nalazi elektron je, prema izrazu (1.10) 1 1 f n ( Ec ) = = = 3,62 ⋅ 10−10 . æ Ec − E F ö æ EG ö 1 + exp ç ÷ 1 + exp ç ÷ è ET ø è 2 ⋅ ET ø Prema višim energijama ta će se vjerojatnost još smanjivati. Da smo sliku 1.8 crtali u mjerilu, Fermijeva funkcija bi se uz rubove zabranjenog pojasa poklapala s osi energije, pa bi isto bilo i s funkcijom raspodjele koncentracije elektrona po energijama. Iako su vjerojatnosti popunjenja kvantnih stanja vrlo male, zahvaljujući velikoj gustoća kvantnih stanja dobivaju se primjetne koncentracije elektrona. Na primjer, u siliciju na sobnoj temperaturi koncentracija elektrona je reda veličine 1010 cm–3. Isto razmatranje vrijedi i za šupljine. Pri računanju vjerojatnosti mogli smo primijetiti da je u nazivniku vrijednost eksponencijalne funkcije puno veća od jedinice, što je dokaz da se stvarno može primijeniti Maxwell-Boltzmannova statistika. Očigledno je da kod poluvodiča ne možemo primijeniti definiciju Fermijeve energije koju primjenjujemo kod metala, a po kojoj je Fermijeva energija maksimalna energija koju elektroni mogu imati pri temperaturi apsolutne nule (T = 0 K). Matematička vjerojatnost postojanja elektrona na toj energiji na nekoj temperaturi T ≠ 0 K jednaka je 1 / 2. S obzirom da unutar zabranjenog pojasa intrinsičnih poluvodiča nema dozvoljenih kvantnih stanja, niti jedan elektron ne može imati tu energiju. Najviša energija koju elektroni imaju na temperaturi apsolutne nule jednaka je energiji vrha valentnog pojasa Ev . Ukoliko bismo uzeli da se Fermijeva energija poklapa s vrhom valentnog pojasa, onda bi Fermijeve funkcije na slici 1.8 bile translatirane prema nižim energijama, pa koncentracije elektrona i šupljina ne bi bile međusobno jednake, što je u suprotnosti s pretpostavkom da se radi o intrinsičnom poluvodiču. Stoga možemo za Fermijevu energiju u nedegeneriranim poluvodičima uvesti slijedeću definiciju (izrečenu u duhu matematičkih teorema): Neka je EF neki energetski nivo. Vjerojatnost postojanja elektrona u vodljivom pojasu u nekom kvantnom stanju s energijom EF + ∆E označimo kao fn(EF + ∆E), a vjerojatnost postojanja šupljine (nepostojanja elektrona) u valentnom pojasu u nekom kvantnom pojasu s energijom EF − ∆E označimo kao fp(EF − ∆E). Ako su u uvjetima ravnoteže te vjerojatnosti međusobno jednake, f n ( E F + ∆E ) = f p ( E F − ∆ E ) , tada je EF Fermijeva energija. Fermijeva energija je os simetrije Fermijeve funkcije za elektrone i njoj zrcalno simetrične Fermijeve funkcije za šupljine, što i proizlazi iz izraza (1.12).

Zadatak 1.2

15


Zadatak 1.3 Odredite energiju na kojoj se nalazi maksimum raspodjele elektrona u vodljivom, odnosno šupljina u valentnom pojasu, ako se raspodjele ravnaju po MaxwellBoltzmannovoj statistici. Rješenje: Maksimum u raspodjeli elektrona u vodljivom pojasu je na energiji E = Ec + ET / 2, a maksimum u raspodjeli šupljina u valentnom pojasu na E = Ev – ET / 2. Ovi rezultati dobivaju se deriviranjem funkcija raspodjela elektrona, odnosno šupljina, po energiji, te izjednačavanjem s nulom. Zanimljivo je uočiti da položaj maksimuma ne ovisi o položaju Fermijevog nivoa (barem dok vrijedi Maxwell-Boltzmannova statistika, tj. dok je Fermijev nivo dovoljno duboko unutar zabranjenog pojasa).

Zadatak 1.4 Odredite kolike su postotne pogreške pri izračunavanju koncentracija nosilaca preko Maxwell-Boltzmannove statistike, ako je Fermijev nivo unutar zabranjenog pojasa, udaljen od njegovog ruba 3⋅ET , 2⋅ET , ET , odnosno ako se Fermijev nivo poklapa s rubom zabranjenog pojasa. Uputa: Fermijev integral (1.21) rastavite na dva integrala ∞

ò 0

1

b

0

1

f ( x ) ⋅ dx = ò f ( x ) ⋅ dx + ò f ( x ) ⋅ dx ,

a svaki od njih računajte primjenom trapezne formule, podjelom na 16 podintervala. Za gornju granicu integracije uzmite b = 11 + ηF . Rješenje: U tablici 1.4 navedene su vrijednosti Fermijevog integrala računate gornjim postupkom (F Σ1/2), aproksimacijom Maxwell-Boltzmannovom raspodjelom (F MB1/2), te pripadajuća relativna pogreška (ε1). Radi usporedbe navedene su i točne vrijednosti Fermijevog integrala (F1/2) s relativnim pogreškama Maxwell-Boltzmannove statistike (ε2). Tablica 1.4. Pogreške pri aproksimaciji Maxwell-Boltzmannovom raspodjelom.

ηF

–3

–2

–1

0

F Σ1/2

0,0433

0,115

0,291

0,679

0,0441

0,120

0,326

0,886

ε1

–1,90 %

–4,66 %

–12,1 %

–30,6 %

F1/2

0,0434

0,115

0,291

0,678

ε2

–1,74 %

–4,67 %

–12,2 %

–30,7 %

F

MB 1/2

Zadatak 1.3

16


1.3. Koncentracije elektrona i šupljina Ravnotežne koncentracije elektrona i šupljina u poluvodičima jednoznačno su određene koncentracijama donorskih i akceptorskih primjesa preko zakona termodinamičke ravnoteže, te zakona električne neutralnosti. 1.3.1. Zakon termodinamičke ravnoteže Prema zakonu termodinamičke ravnoteže, umnožak ravnotežnih koncentracija elektrona i šupljina u poluvodiču na nekoj temperaturi je konstantan (vidi izraz (1.32) na str. 13, u zadatku 1.2), tj. n0 ⋅ p0 = ni2 (1.33) gdje su n0 i p0 ravnotežne koncentracije slobodnih elektrona, odnosno šupljina, a ni je intrinsična koncentracija nosilaca. Koncentracije elektrona i šupljina u čistom (intrinsičnom) poluvodiču međusobno su jednake i jednake intrinsičnoj koncentraciji, budući da u takvom poluvodiču slobodni nosioci postoje isključivo zbog termičke generacije parova elektron-šupljina. Intrinsična koncentracija ovisi o temperaturi na kojoj se poluvodič nalazi i o širini njegovog zabranjenog pojasa. Izjednačavanjem izraza (1.32) i (1.33) dobiva se da je

ni =

æ E ö N v ⋅ N c ⋅ exp ç − G ÷ . è 2 ⋅ ET ø

(1.34)

Kako je æ 2 ⋅ π ⋅ ET ö Nv ⋅ Nc = 2 ⋅ ç ÷ è h2 ø

32

⋅ (mc* ⋅ mv* ) 3 4 ,

(1.35)

æ E ö ⋅ T 3 2 ⋅ expç − G ÷ , è 2 ⋅ ET ø

(1.36)

možemo izraz (1.34) pisati kao

æ m* ⋅ m* ö ni = C ′ ⋅ ç c 2 v ÷ è m0 ø

34

pri čemu je m0 masa mirovanja elektrona, a æ 2 ⋅ π ⋅ k ⋅ m0 ö C′ = 2 ⋅ ç ÷ è ø h2

32

= 4,83 ⋅ 1015 cm−3 K −3 2

(1.37)

je fizikalna konstanta. Efektivne mase elektrona u vodljivom pojasu i šupljina u valentnom pojasu za silicij, galij-arsenid i germanij rastu s porastom temperature [Thurmond75]. Za galijarsenid i za germanij je ta ovisnost vrlo slaba, pa se u tim poluvodičima može uzeti da su mc* i mv* konstantni za cijelo temperaturno područje, od 0 K do tališta. Na slici 1.10 prikazane su temperaturne ovisnosti efektivnih masa elektrona i šupljina u siliciju normiranih na masu slobodnog elektrona, te njihove geometrijske sredine. Kako je sa slike uočljivo, u okolišu sobne temperature (300 K), promjene efektivnih masa su

17

1.3. Koncentracije elektrona i šupljina

mc* m0

1,2

Tablica 1.5. Normirane efektivne mase nosilaca u siliciju, galij-arsenidu i germaniju na T = 300 K [Selberherr84].

1,0 1/2

(m*c mv* ) 0,8 m0

mv* m0

0,6 0

100

200

300

poluvodič

mc* / m0

mv* / m0

Si

1,18

0,81

GaAs

0,068

0,5

Ge

0,55

0,3

T /K Slika 1.10. Temperaturna ovisnost normiranih efektivnih masa elektrona i šupljina u siliciju [Barber67, Gaensslen79].

Tablica 1.6. Intrinsične koncentracije nosilaca na T = 300 K [Morin54, Morin54a, Thurmond75].

relativno male, pa za većinu proračuna možemo poluvodič ni / cm–3 računati s konstantnim vrijednostima. U tablici 1.5 navedene su tipične vrijednosti za efektivne mase Si 1,38⋅1010 nosilaca u siliciju, galij-arsenidu i germaniju na GaAs ∼ 9⋅108 T = 300 K. Međutim, čak i ako se u izraz (1.36) uvrste efektivne mase, dobivene vrijednosti za Ge 2,33⋅1013 intrinsične koncentracije nosilaca neće odgovarati rezultatima mjerenja. Stoga se najčešće predeksponencijalni članovi u (1.36) odabiru na temelju eksperimentalno određenih vrijednosti za intrinsične koncentracije, danih u tablici 1.6.

Zadatak 1.5 Na temelju poznatih vrijednosti intrinsičnih koncentracija na T = 300 K u tablici 1.6, te uz linearnu aproksimaciju promjene širine zabranjenog pojasa s temperaturom, izvesti brojčane izraze za intrinsične koncentracije u siliciju, galij-arsenidu i germaniju. Rješenje: Da bismo odredili brojčane izraze za intrinsične koncentracije nosilaca u okolišu temperature T = 300 K, polazimo od izraza (1.36) æ m* ⋅ m* ö ni = C ′ ⋅ çç c 2 v ÷÷ è m0 ø

34

æ EG ö ⋅ T 3 2 ⋅ exp ç − ÷. è 2 ⋅ ET ø

Ovisnost intrinsične koncentracije nosilaca o temperaturi u tom izrazu proizlazi iz: 1. ovisnosti efektivnih masa elektrona i šupljina o temperaturi, 2. člana T 3/2 ispred eksponencijalne funkcije, 3. temperaturne ovisnosti širine zabranjenog pojasa EG , te 4. člana ET u nazivniku argumenta eksponencijalne funkcije.

Zadatak 1.5

18


Kao što je maloprije rečeno, efektivne mase nosilaca relativno slabo ovise o temperaturi, pa ćemo ih za područje sobnih temperatura uzimati konstantnima. To znači da (1.36) možemo napisati kao æ EG ö ni = C ′′ ⋅ T 3 2 ⋅ exp ç − ÷. è 2 ⋅ ET ø

(1.38)

Promjena širine zabranjenog pojasa u nekom uskom temperaturnom intervalu može se opisati pravcem (vidi zadatak 1.1) E G = E G′ 0 + a ⋅ T , gdje je E'G0 ekstrapolirana vrijednost širine zabranjenog pojasa na T = 0 K uz linearnu aproksimaciju temperaturne ovisnosti širine zabranjenog pojasa. Uvrštavanjem u (1.38) dobivamo æ E′ ö a ö æ ni = C ′′ ⋅ T 3 2 ⋅ exp ç − G 0 ÷ ⋅ exp ç − ÷, è 2⋅kø è 2 ⋅ ET ø

(1.39)

æ E′ ö ni = C ⋅ T 3 2 ⋅ exp ç − G 0 ÷ . è 2 ⋅ ET ø

(1.40)

odnosno

Izračunamo li, preko izraza (1.1), odnosno (1.2) za silicij, vrijednosti za E'G 0 , te uvrstimo poznate intrinsične koncentracije nosilaca na 300 K u gornji izraz, moći ćemo izračunati predeksponencijalne faktore C (tablica 1.7). Na slici 1.11 prikazani su grafovi ovisnosti Tablica 1.7. Faktori za izračunavanje intrinsičnih koncentracija.

poluvodič

C″ / (K–3/2 cm–3)

E'G 0 / eV

C / (K–3/2 cm–3)

Si

7,33⋅1015

1,206

3,58⋅1016

GaAs

1,54⋅1015

1,558

2,12⋅1016

Ge

1,67⋅1015

0,779

1,57⋅1016

intrinsičnih koncentracija nosilaca o temperaturi za silicij i germanij†. Kako pouzdani podaci za intrinsičnu koncentraciju nosilaca u galij-arsenidu nisu dostupni, krivulja za njega je nacrtana samo na desnom dijagramu. Intrinsična koncentracija raste eksponencijalno s porastom temperature po zakonu exp (1 / T ) (mjerilo na osi ordinate je logaritamsko!). To je još očitije na

†

Budući da su ovdje izvedeni faktori u tablici 1.7 dobiveni uzimanjem u obzir promjene širine zabranjenog pojasa i optimirani za područje oko T = 300 K, oni se razlikuju od eksperimentalno određenih faktora danih u [Morin54], odn. [Morin54a]. Na primjer, za silicij je u [Morin54a], na temelju rezultata mjerenja na temperaturama između 450 K i 1100 K, dobivena formula æ n / cm−3 ö æ 1,21 eV + ∆EG ö ÷ ni2 = 1,5 ⋅ 1033 ⋅ T 3 ⋅ expç − ÷ cm−6 , ∆EG = −7,1 ⋅ 10−10 ⋅ ç i ET è ø è T/K ø

Zadatak 1.5

12

eV .

19


T/K 17

15

10 10 16

10 14 10

13

10 12 10

Si

11

ni

17

10

16

Ge

9

cm −3 10 8 10

10 14 10 13 10 12

10 6 10

10

10 12

cm −3

10 10 10

10

300

400

500

T /K

Ge

13

ni

10 9 10

5

200

15

10 11 10

7

300 250

10 10 14

15

10 10 10

10 4 10 200

10

500 400

Si

11

9

10 10 8

GaAs

7

10 6 10

2

3

4

5

1000 K / T

Slika 1.11. Temperaturna ovisnost intrinsične koncentracije nosilaca u siliciju, germaniju i galijarsenidu.

desnom dijagramu, koji prikazuje ovisnost intrinsične koncentracije o recipročnoj vrijednosti temperature. Intrinsična koncentracija nosilaca na istim temperaturama je u siliciju za dva do tri reda veličine manja nego u germaniju (vrijednosti na osi ordinate su na lijevom dijagramu različite za germanij, odnosno silicij!) zbog veće širine zabranjenog pojasa. Kod galij-arsenida ta koncentracija je još manja. Na desnom dijagramu crtkano je prikazana ovisnost intrinsične koncentracije nosilaca u siliciju uzimajući u obzir i temperaturnu ovisnost efektivnih masa nosilaca [Selberherr89]. Kao što se vidi, utjecaj temperature na efektivnu masu odražava se na intrinsičnoj koncentraciji tek na temperaturama iznad 400 K.

Zadatak 1.6 Izračunati koncentracije slobodnih nosilaca u intrinsičnom siliciju na T = 350 K i promjenu te koncentracije ako se temperatura promijeni za: a) 0,2 %, b) 20 %. Rješenje: Korištenjem izraza (1.40), uz uvrštene konstante iz tablice 1.7 dobiva se intrinsična koncentracija nosilaca u siliciju na T = 350 K ni = 4,86⋅1011 cm–3.

Zadatak 1.6

20


a) Za vrlo male promjene temperature, za koje će unatoč eksponencijalnoj ovisnosti i promjena intrinsične koncentracije biti mala, može se linearizirati ovisnost intrinsične koncentracije o temperaturi. Postupak je slijedeći: Logaritmiranjem izraza (1.40) æ E′ ö ni = C ⋅ T 3 2 ⋅ exp ç − G 0 ÷ è 2 ⋅ ET ø

dobiva se jednadžba ln(ni ) = ln(C ) +

E′ 3 ⋅ ln(T ) − G 0 , 2 2 ⋅ ET

(1.41)

koja se derivira po temperaturi dni æ 3 E ′ ö dT = ç + G0 ÷ ⋅ . 2 2 ⋅ ET ø T ni è

(1.42)

Za male promjene temperature, derivacije se mogu nadomjestiti konačnim prirastima ∆ni æ 3 E ′ ö ∆T = ç + G0 ÷ ⋅ . 2 2 ⋅ ET ø T ni è

Za zadanu promjenu ∆T / T = 0,2 % = 0,002 dobiva se ∆ni = 0,0430 = 4,30 % . ni

Usporedimo li veličine pribrojnika u izrazu (1.42), možemo se uvjeriti koliko je utjecaj člana T 3/2 na temperaturne promjene intrinsične koncentracije slabiji od eksponencijalne funkcije. Drugi pribrojnik u (1.42), koji slijedi iz eksponencijalne funkcije u izrazu (1.40), na zadanoj temperaturi je E G′ 0 = 20,0 , 2 ⋅ ET pa je, dakle, puno veći od prvog pribrojnika (3/2 bez obzira na temperaturu), koji je proizišao iz člana T 3/2 u izrazu (1.40). Tek kod vrlo visokih temperatura prevladava utjecaj člana T 3/2. Na primjer, prvi i drugi pribrojnik u (1.42) bili bi jednaki tek na temperaturi T = 4665 K. Naravno, ovaj rezultat nije korektan, budući da izraz (1.40) pretpostavlja linearnu promjenu širine zabranjenog pojasa s temperaturom (osim toga, talište silicija je na oko 1420 °C), ali nam može poslužiti za ilustraciju odnosa. Da smo koristili izraz (1.36) i njega derivirali po temperaturi, koristeći točniju parabolnu aproksimaciju temperaturne ovisnosti širine zabranjenog pojasa (prema izrazu (1.2)) EG = a + b ⋅ T + c ⋅ T 2 ,

ali zanemarujući temperaturnu ovisnost efektivnih masa nosilaca, dobili bismo izraz dni æ 3 a − c ⋅ T 2 ö dT ÷⋅ =ç + . ni 2 ⋅ ET ø T è2

(1.43)

Konstante a = 1,1785 eV i c = – 3,05⋅10–7 eV / K2 su koeficijenti u aproksimaciji širine zabranjenog pojasa silicija o temperaturi u izrazu (1.2). Zamjenom diferencijala konačnim prirastima, te uvrštavanjem zadanih vrijednosti, dobit ćemo ∆ni / ni = 0,0433 = 4,33 %. Kao što se vidi, razlika u rezultatima oba postupka je zanemariva. Zadatak 1.6

21


b) Za velike promjene temperature ne smije se više koristiti linearizirana funkcija ovisnosti intrinsične koncentracije, već treba računati intrinsične koncentracije za temperature T1 i T2 = T1 + ∆T , odnosno pripadne intrinsične koncentracije ni1 = ni (T1) i ni 2 = ni (T2) . Iz omjera intrinsičnih koncentracija

ni 2 æ T2 ö =ç ÷ ni1 è T1 ø

32

éE′ æ 1 1 öù ⋅ exp ê G 0 ⋅ ç − ÷ú , êë 2 è E T 1 E T 2 ø úû

(1.44)

može se odrediti njena promjena ∆ni ni 2 − ni1 æ T2 ö = =ç ÷ ni ni1 è T1 ø

32

éE′ æ 1 1 öù ⋅ exp ê G 0 ⋅ ç − ÷ú −1 . 2 E E è T1 êë T2 ø ú û

(1.45)

Za promjenu temperature ∆T / T = 20 % = 0,2 vrijedi da je T2 = 1,2⋅T1 . Stoga se za T1 = 350 K dobiva T2 = 420 K, te pripadajući prirast intrinsične koncentracije ∆ni = 35,5 = 3550 % . ni

Zbog praktički eksponencijalnog rasta intrinsične koncentracije s temperaturom, promjena temperature od 20 % uzrokovala je puno veću relativnu promjenu intrinsične koncentracije! Intrinsična koncentracija je narasla na ni2 = 1,79⋅1013 cm–3. Kao što ćemo kasnije vidjeti, ovako jaka ovisnost intrinsične koncentracije o temperaturi može značajno utjecati na električna svojstva poluvodiča.

1.3.2. Zakon električne neutralnosti

U uvjetima električne neutralnosti zbroj pozitivnog naboja (pokretne šupljine i nepokretni ionizirani atomi donora) jednak je zbroju negativnog naboja (pokretni elektroni i nepokretni ionizirani atomi akceptora) u poluvodiču, što se može pisati kao + ND

p + N D+ = n + N A− .

(1.46)

– NA

i su koncentracije ioniziranih donora, odnosno akceptora. Ako koncentracije primjesa nisu previsoke, na sobnim temperaturama će uglavnom svi donorski i akceptorski atomi biti ionizirani, pa se može uzeti da su koncentracije ioniziranih primjesa jednake stvarnim koncentracijama. Kod vrlo visokih koncentracija primjesa, svi primjesni atomi ne uspijevaju zauzeti mjesto u kristalnoj rešetki, te dio njih ostaje električno neaktivan.

Kod vrlo niskih temperatura (tipično T < 200 K) energija titranja kristalne rešetke nije dovoljna da bi se svi primjesni atomi ionizirali, pa se ovo područje ponekad naziva područje nepotpune ionizacije. Ako je poznata koncentracija donora ND koji u zabranjeni pojas unose energetski nivo ED , tada je koncentracija ioniziranih donora N D+ =

ND , æ EF − ED ö 1 + 2 ⋅ exp ç ÷ è ET ø

(1.47)

Zadatak 1.6

22


dok je, za poznatu koncentraciju akceptora NA koji u zabranjeni pojas unose energetski nivo EA , koncentracija ioniziranih akceptora N A− =

NA . æ E A − EF ö 1 + 4 ⋅ exp ç ÷ è ET ø

(1.48)

Faktor ispred eksponencijalne funkcije u nazivniku izraza (1.47) iznosi 2 zato jer svaki donorski nivo može primiti elektron s jednim od dva suprotna smjera vrtnje (spina). U (1.48) taj faktor jednak je 4, jer svaki akceptorski nivo može primiti šupljinu s jednim od dva suprotna smjera vrtnje, a u siliciju, germaniju i galij-arsenidu uz to postoje dvostruki degenerirani valentni pojasevi pri vrijednost valnog vektora k = 0 [Sze81]. Za vrlo niske temperature, kada je EF – ED >> ET u (1.47), odnosno EA – EF >> ET u + (1.48), eksponencijalni članovi u nazivnicima su puno veći od jedinice, pa ND , odnosno – NA , teže nuli. Prema višim temperaturama, eksponencijalne funkcije teže nuli, a koncentracije ioniziranih primjesa teže ukupnim koncentracijama primjesa. U tablici 1.8 dane Tablica 1.8. Energije ionizacije donorskih su vrijednosti energija ionizacije za naji akceptorskih primjesa u siliciju [Sze68]. značajnije primjese u siliciju. Energija ionizacije je energija potrebna da peteroenergija primjesa tip ionizacije valentni donor otpusti peti valentni elektron, odnosno da trovalentni akceptor uhvati fosfor, P donor 0,045 eV slobodni elektron. Prema tome, za arsen, As donor 0,054 eV peterovalentne primjese energija ionizacije antimon, Sb donor 0,039 eV jednaka je udaljenosti donorskog nivoa koji bor, B akceptor 0,045 eV unosi primjesa od vrha zabranjenog pojasa, dok je za trovalentne primjese jednaka udaljenosti akceptorskog nivoa od dna zabranjenog pojasa (vidi slike 1.3b i 1.4b). Obično pojedine primjese unose više energetskih stanja u zabranjeni pojas, ali su za primjese u tablici 1.8 navedena stanja dominantna. Ostali podaci za silicij, te podaci za germanij i galij-arsenid mogu se naći u članku [Sze68].

Zadatak 1.7 Izvesti izraze za koncentracije slobodnih nosilaca u poluvodiču kojem su dodane donorske i akceptorske primjese. Odrediti tip poluvodiča, te izračunati koncentracije nosilaca u siliciju na T = 300 K, ako su koncentracije primjesa: a) NA = 1016 cm–3 >> ND , b) ND = 1016 cm–3 >> NA , c) ND = NA = 1016 cm–3. Pretpostaviti da su sve dodane primjese ionizirane. Rješenje: Iz zakona termodinamičke ravnoteže (1.33)

Zadatak 1.7

23


n ⋅ p = ni2

i zakona električne neutralnosti (1.46) n + N A− = p + N D+ ,

dobivamo da je

n=

N D+ − N A− + ( N D+ − N A− ) 2 + 4 ⋅ ni2 2

,

(1.49)

odnosno

p=

N A− − N D+ + ( N A− − N D+ ) 2 + 4 ⋅ ni2

. (1.50) 2 Ako su sve primjese ionizirane, ND+ i NA– možemo u izrazima (1.49), odnosno (1.50) nadomjestiti stvarnim koncentracijama ND , odnosno NA .

a) U slučaju kada je NA > ND poluvodič je p-tipa, te je koncentracija šupljina veća od koncentracije elektrona. Stoga kažemo da su šupljine većinski nosioci, a elektroni manjinski nosioci. Koncentraciju većinskih šupljina izračunat ćemo preko izraza (1.50). Kako je na zadanoj temperaturi od T = 300 K zadana neto-koncentracija primjesa NA – ND = 1016 cm–3 puno veća od intrinsične koncentracije u siliciju, pod korijenom izraza bit će (NA – ND)2 >> 4⋅n2i , pa se (1.50) pojednostavljuje u p = NA − ND , tj. koncentracija većinskih nosilaca određena je isključivo neto-koncentracijom primjesa i u zadanom primjeru iznosi p = 1016 cm–3. Koncentracija manjinskih nosilaca može se izračunati pomoću zakona termodinamičke ravnoteže (1.33)

n=

ni2 ni2 = . p N A − ND

Uvrstimo li intrinsičnu koncentraciju nosilaca u siliciju na 300 K (ni = 1,38 ⋅ 1010 cm–3) i izračunatu koncentraciju većinskih šupljina, dobit ćemo n = 1,90 ⋅ 104 cm–3.

b) Poluvodič kod kojeg je ND > NA je poluvodič n-tipa, pa su u njemu elektroni većinski, a šupljine manjinski nosioci. Ako vrijedi da je ND – NA >> ni , prema izrazu (1.49), kao u a) dijelu zadatka koncentracija većinskih nosilaca bit će određena neto-koncentracijama dodanih primjesa n = ND − N A , a koncentracija manjinskih šupljina je

ni2 ni2 = . n ND − N A Za zadane vrijednosti dobit ćemo n = 1016 cm–3 i p = 1,90⋅104 cm–3. p=

Iako smo i koncentracije manjinskih nosilaca u oba slučaja mogli izračunati koristeći općenite izraze (1.49), odnosno (1.50), u konkretnim računima se to izbjegava. Naime, za manjinske nosioce su članovi u brojniku (neto koncentracija primjesa i kvadratni korijen) suprotnog predznaka, a redovito vrlo bliski po iznosu (u nekim slučajevima mogu se razlikovati tek na desetom, pa i na višem decimalnom mjestu), pa bismo imali oduzimanje dva po iznosu vrlo Zadatak 1.7

24


bliska broja, što može unijeti znatnu brojčanu pogrešku u računu. Štoviše, pri računanju zbroja pod kvadratnim korijenom, može član 4⋅n2i biti toliko manji od kvadrata neto koncentracije da se, zbog računanja s konačnim brojem znamenki “izgubi”. U tom slučaju bi oba člana u brojniku bila jednaka, te bismo dobili da je koncentracija manjinskih nosilaca jednaka nuli. Postavlja se razumno pitanje zašto nam je uopće bitna koncentracija manjinskih nosilaca, kada je ona obično desetak redova veličine manja od koncentracije većinskih nosilaca; ako pogriješimo u računu za dva-tri reda veličine, to se ionako neće primijetiti u odnosu na koncentraciju većinskih nosilaca. U slijedećim poglavljima naučit ćemo da upravo zato što ih je puno manje od većinskih nosilaca, manjinskih nosioci često diktiraju svojstva većinskih nosilaca. To se prvenstveno odnosi na generacijsko-rekombinacijske pojave, u kojima uvijek sudjeluje međusobno jednak broj elektrona i šupljina, pa očito svojstva manje dostupnih nosilaca ograničavaju proces generacije ili rekombinacije para elektron-šupljina. Na osnovu dobivenih rezultata možemo zaključiti da će kod poluvodiča u kojem ima i akceptorskih i donorskih primjesa, tip poluvodiča određivati primjesa veće koncentracije. Ako je neto koncentracija primjesa uz to i po iznosu puno veća od intrinsične koncentracije, koncentracija većinskih nosilaca bit će određena isključivo koncentracijom dodanih primjesa. U tom slučaju koncentracija većinskih nosilaca je puno veća od koncentracije manjinskih nosilaca i takav poluvodič je ekstrinsičan. Zanimljivo je uočiti da se povećavanjem koncentracije primjesa određenog tipa koncentracija manjinskih nosilaca smanjuje. To se najjednostavnije može objasniti pomoću energetskog dijagrama poluvodiča koji je dopiran samo donorskim atomima, prikazanog na slici 1.12a. Elektroni koje su otpustili donorski atomi uskaču u vodljivi pojas poluvodiča, čineći time većinske elektrone. Ti elektroni popunjavaju energetska stanja pri dnu vodljivog pojasa. Da bi u ovim uvjetima nastao slobodni elektron termičkom generacijom para elektron-šupljina, elektron iz valentnog pojasa poluvodiča mora preskočiti ne samo cijeli zabranjeni pojas, već i popunjeno dno vodljivog pojasa. Naravno, na određenoj temperaturi broj elektrona koji mogu savladati tu veću razliku energija (označenu na slici kao E*G) je manji, pa će se zbog toga smanjiti broj termički generiranih parova, a time i koncentracija manjinskih nosilaca. Kada je koncentracija primjesa puno veća od intrinsične koncentracije, broj valentnih elektrona koji mogu savladati veću energetsku barijeru je zanemariv, pa je broj elektrona praktički jednak broju elektrona koje su otpustili donorski atomi. Identično vrijedi i za poluvodič dopiran samo akceptorima (slika 1.12b). Smanjenje koncentracije manjinskih nosilaca može se objasniti i povećanom vjerojatnošću

+ + + + +

Ec

Ec *

EG

*

EG

_ _

_

EG _

Ev

a)

+ + + + + Ec

_

_ _

_

_

b)

_

Ev

Ev

c)

Slika 1.12. Prikaz generacije parova elektron-šupljina u energetskom dijagramu: a) poluvodič dopiran samo donorima, b) poluvodič dopiran samo akceptorima, c) kompenzirani poluvodič. Zadatak 1.7

25


rekombinacije s većinskim nosiocima. Pretpostavimo da se termičkom generacijom uspio stvoriti broj parova elektron-šupljina jednak intrinsičnoj koncentraciji na promatranoj temperaturi. Zbog velikog broja većinskih nosilaca nastalih ionizacijom primjesnih atoma, po svakom manjinskom nosiocu postojat će mnoštvo većinskih nosilaca. Statistički gledano, to će povećati vjerojatnost da dođe do rekombinacije s većinskim nosiocima, jer će se među većim brojem većinskih nosilaca lakše naći onaj koji će zadovoljiti uvjete potrebne za rekombinaciju s raspoloživim manjinskim nosiocima (vidi poglavlje 1.6. Rekombinacijski procesi). Krajnja posljedica bit će pad koncentracije manjinskih nosilaca.

c) Ako su poluvodiču dodane jednake koncentracije donora i akceptora, poluvodič je kompenziran. Iz zakona električne neutralnosti (1.46) n + N A = p + ND dobivamo da su koncentracije slobodnih nosilaca međusobno jednake, odnosno prema zakonu termodinamičke ravnoteže (1.33) n ⋅ p = ni2 , jednake intrinsičnoj koncentraciji nosilaca n = p = ni . U siliciju je na 300 K intrinsična koncentracija ni = 1,38⋅1010 cm–3, pa su tolike i tražene koncentracije većinskih i manjinskih nosilaca u našem zadatku. Ovakav poluvodič je kvazi-intrinsičan; koncentracije elektrona i šupljina su jednake intrinsičnoj koncentraciji, ali su električna svojstva (električna provodnost, vremena života nosilaca), zbog nazočnosti primjesa različita nego poluvodiču u kojem nema primjesa. Fizikalno objašnjenje zašto je koncentracija nosilaca kod potpuno kompenziranog poluvodiča jednaka intrinsičnoj koncentraciji iako su primjese prisutne, može se jednostavno dati pomoću energetskog dijagrama na slici 1.12c. Radi jednostavnosti pretpostavit ćemo da će svi elektroni koje otpuste donorski atomi uskočiti i popuniti sva akceptorska stanja. Tada je energetska barijera koju vide valentni elektroni ponovno jednaka širini zabranjenog pojasa, pa je i koncentracija termički generiranih parova elektron-šupljina jednaka kao kod intrinsičnog poluvodiča. Iako ovakvo razmatranje nije potpuno korektno, jer je daleko manja vjerojatnost da će elektron iz donorskog nivoa uskočiti u akceptorski nivo nego u puno bliži vodljivi pojas, zbog simetrije sustava energetska bilanca je sačuvana, pa je objašnjenje prihvatljivo.

Zadatak 1.8 Odrediti koncentraciju akceptorskih primjesa i tip silicija, ako na temperaturi T = 300 K koncentracija elektrona iznosi 5 ⋅ 1011 cm–3, a koncentracija donorskih primjesa je 1015 cm–3. Rješenje: Na T = 300 K intrinsična koncentracija nosilaca u siliciju iznosi ni = 1,38 ⋅ 1010 cm–3. Kako je zadana koncentracija elektrona n = 5 ⋅ 1011 cm–3 veća od intrinsične koncentracije, elektroni su većinski nosioci, odnosno radi se o poluvodiču n-tipa. Stoga mora biti ND > NA . Preko zakona termodinamičke ravnoteže (1.33) i zakona električne neutralnosti (1.46) dobiva se

NA =

ni2 − n + N D = 9,995 ⋅ 1014 cm −3 . n

Zadatak 1.8

26


Zadatak 1.9 Siliciju je dodana koncentracija akceptora NA = 10l4 cm–3. Izračunati koncentracije elektrona i šupljina na temperaturama: a) 0 °C, b) 27 °C, te c) 175 °C. Rješenje: Za sve tri zadane temperature možemo uzeti da su sve akceptorske primjese ionizirane, pa je koncentracija ioniziranih primjesa konstantna i jednaka koncentraciji NA = 1014 cm–3.

a) Na temperaturi od T = 0 °C = 273 K intrinsična koncentracija u siliciju iznosi æ E′ ö , ⋅ 10 9 cm − 3 . ni = C ⋅ T 3 2 ⋅ exp ç − G 0 ÷ = 119 è 2 ⋅ ET ø

S obzirom da je ispunjen uvjet NA >> ni , koncentracija većinskih šupljina je p = N A = 1014 cm −3 ,

dok je koncentracija manjinskih elektrona

n=

ni2 = 1,42 ⋅ 10 4 cm −3 . p

b) Kod temperature T = 27 °C = 300 K, ni = 1,38⋅10l0 cm–3. Još uvijek je NA >> ni , pa koncentracije većinskih i manjinskih nosilaca možemo računati kao p = N A = 1014 cm -3 ,

n=

ni2 = 1,90 ⋅ 10 6 cm − 3 . p

c) Na temperaturi T = 175 °C = 448 K intrinsična koncentracija je ni = 5,59⋅10l3 cm–3, što je usporedivo s koncentracijom primjesa. Kako više nije NA >> ni , koncentraciju većinskih šupljina moramo računati pomoću općenitog izraza (1.50)

p=

N A + N 2A + 4 ⋅ ni2

2 dok je koncentracija manjinskih elektrona

n=

= 1,25 ⋅ 1014 cm − 3 ,

ni2 = 2,50 ⋅ 1013 cm − 3 . p

Usporedba rezultata dobivenih u gornja tri slučaja pokazuje da kako s porastom temperature raste intrinsična koncentracija, rastu i koncentracije većinskih i manjinskih nosilaca. Kako do porasta koncentracija dolazi zbog porasta broja termički generiranih parova elektron-šupljina, koncentracije elektrona i koncentracije šupljina povećavaju se za isti iznos! Zbog toga je razlika

Zadatak 1.9

27


koncentracija većinskih i manjinskih nosilaca uvijek (izuzevši područje vrlo niskih temperatura) konstantna i jednaka neto koncentraciji primjesa. To uostalom proizlazi iz zakona električne neutralnosti p − n = N A − ND , budući da su NA i ND neovisni o temperaturi. Prirast koncentracije termički generiranih parova naročito se ispoljava u brzom porastu koncentracije manjinskih nosilaca, jer oni nastaju isključivo termičkom generacijom. Na temperaturama za koje je intrinsična koncentracija dovoljno niska u usporedbi s neto koncentracijom primjesa, prirast koncentracije termički generiranih nosilaca je zanemariv u odnosu na koncentraciju većinskih nosilaca nastalih ionizacijom primjesa, pa je koncentracija većinskih nosilaca gotovo konstantna i jednaka neto koncentraciji primjesa. Poluvodič je ekstrinsičan, a ovo temperaturno područje naziva se ekstrinsičnim temperaturnim područjem (to su slučajevi pod a) i b)). S daljnjim porastom temperature broj termički generiranih parova postaje usporediv s koncentracijom većinskih nosilaca nastalih ionizacijom primjesa, pa koncentracija manjinskih nosilaca postaje sumjerljiva s koncentracijom većinskih nosilaca. Iako je razlika između koncentracija većinskih i manjinskih nosilaca konstantna, ona se prema višim temperaturama gubi u sve većoj koncentraciji termički generiranih 3 nosilaca. Prema visokim temperaturama koncentracije i većinskih i manjinskih nosilaca teže k intrinsičnoj koncentraciji, a poluvodič teži kvazi-intrinsičnom stanju (slučaj c)).

NA =10 14cm –3

intrinsično područje

2

n, p NA

područje nepotpune ionizacije

ekstrinsično područje

p

1 Na slici 1.13a grafički je prikazana ovisnost koncentracija ni većinskih i manjinskih nosilaca o n temperaturi za zadani poluvodič. 0 0 100 200 300 400 500 600 Na niskim temperaturama vidljivo je područje nepotpune ionizacije T/K termička titranja kristalne rešetke Slika 1.13a. Temperaturna ovisnost normiranih koncennisu dovoljna da se svi primjesni tracija nosilaca za silicij dopiran s NA = 1014 cm–3. atomi ioniziraju. Temperaturna granica između pojedinih područja nije jednoznačna, a njen položaj ovisi o neto koncentraciji primjesa i vrsti poluvodiča. Što je neto koncentracija primjesa veća, bit će područje nepotpune ionizacije i ekstrinsično temperaturno područje šire, a poluvodič će preći u kvaziintrinsično stanje pri višoj temperaturi. To se može zamijetiti na slici 1.13b, na kojoj je docrtana temperaturna ovisnost koncentracija nosilaca i za poluvodič dopiran s NA = 1016 cm–3 (svjetlije krivulje). Na slici 1.14 ponovo su nacrtane krivulje sa slike 1.13a, ali s recipročnom vrijednošću temperature na apscisi i logaritamskim mjerilom na osi ordinate. Budući da je intrinsična koncentracija jednaka geometrijskoj sredini koncentracija većinskih i manjinskih nosilaca, tj. ni = (n ⋅ p)1/2, u logaritamskom prikazu na slikama 1.13b i 1.14 krivulja intrinsične koncentracije nalazi se točno na sredini između krivulja koncentracija oba tipa nosilaca.

Zadatak 1.9

28


1017

NA =1016 cm −3

1016

n, p cm

−3

1015

NA =1014 cm −3

p

1014 1013 10

ni

n

12

0

100

200

300

400

500

600

700

T/K Slika 1.13b. Temperaturna ovisnost koncentracija nosilaca za silicij dopiran s NA = 1014 cm–3, odnosno s NA = 1016 cm–3 (mjerilo na ordinati je logaritamsko!).

Za intrinsične (čiste) poluvodiče i za potpuno kompenzirane poluvodiče (kod kojih je koncentracija donora jednaka koncentraciji akceptora) ekstrinsično temperaturno područje uopće ne postoji. Da bi se još zornije predočila ovisnost temperature prelaska u kvazi-intrinsično stanje o koncentraciji primjesa, nacrtana je slika 1.15. Na ordinati se nalazi intrinsična temperatura na kojoj je intrinsična koncentracija upravo jednaka neto koncentraciji primjesa. Radi usporedbe, krivulje su dane za silicij, galij-arsenid i za germanij. Očigledno, poluvodič s manjom širinom zabranjenog pojasa (germanij) će, uz istu neto koncentraciju primjesa, preći u kvazi-intrinsično stanje pri nižim temperaturama. Ova slika najbolje ilustrira zašto elektroničke komponente izrađene od poluvodiča s većom širinom zabranjenog pojasa imaju šire temperaturno područje 1017 10

16

10

15

intrinsično područje ekstrinsično područje

n, p 1014 cm–3 10

~ T 3/4exp(−

p

13

10 12 10

NA = 10 14cm –3

~T 3/2 exp(−EG / 2 ET )

područje nepotpune ionizacije

n ni

11

0

EA − Ev ) 2 ET

10

20

30

40

1000 K / T Slika 1.14. Koncentracije nosilaca u ovisnosti o recipročnoj vrijednosti temperature. Zadatak 1.9

29


rada. Treba primijetiti da u ekstrinsičnom području koncentracija većinskih nosilaca nije konstantna, već raste zajedno s porastom koncentracije manjinskih nosilaca, iako to nije zorno sa slika 1.13 i 1.14. Međutim, broj termički generiranih većinskih nosilaca uslijed generacije parova elektron-šupljina je zanemariv u odnosu na ukupnu masu većinskih nosilaca. Na primjer, u b) dijelu zadatka, koncentracija termički generiranih većinskih šupljina (jednaka koncentraciji manjinskih elektrona) iznosi 1,41 ⋅ 104 cm–3, što je puno manje od 10l4 cm–3 šupljina nastalih od ioniziranih akceptora.

1000 800

GaAs T K

Si

600

Ge

400 200 13 10

1014

1015

1016

1017

1018

–3

N / cm

Slika 1.15. Intrinsična temperatura u ovisnosti o neto koncentraciji primjesa.

Zadatak 1.10 Silicij je dopiran samo donorima koncentracije ND = 5 ⋅ 1015 cm–3. Izračunati koncentracije elektrona i šupljina na T = 300 K, te postotne promjene koncentracija pri porastu temperature za 1 K. Rješenje: Na T = 300 K zadana neto koncentracija primjesa je puno veća od intrinsične koncentracije, pa je koncentracija većinskih elektrona jednaka neto koncentraciji primjesa n = N D = 5 ⋅ 1015 cm −3 ,

dok je koncentracija manjinskih šupljina

p=

ni2 = 3,81 ⋅ 10 4 cm − 3 . n

Prvo ćemo izračunati relativnu promjenu Logaritmiranjem zakona termodinamičke ravnoteže

p=

koncentracija

manjinskih

nosilaca.

ni2 , n

dobit ćemo ln( p) = 2 ⋅ ln(ni ) − ln(n) .

Diferenciranjem po temperaturi dn dp dn = 2⋅ i − . (1.51) p ni n U ovom izrazu možemo zanemariti relativnu promjenu koncentracije većinskih nosilaca dn/n, jer je koncentracija većinskih nosilaca puno veća od prirasta koncentracije termički generiranih parova elektron šupljina. Korištenjem izraza (1.42) i nadomještanjem diferencijala konačnim prirastima, dobivamo ∆p ∆n æ E ′ ö ∆T = 2 ⋅ i = ç 3 + G0 ÷ ⋅ = 0,166 = 16,6 % . p ni ET ø T è Zadatak 1.10

30


Prema tome, koncentracija manjinskih šupljina povećala se za ∆p ∆p = ⋅ p = 6,30 ⋅ 10 3 cm −3 . p

Budući da do porasta koncentracije manjinskih nosilaca dolazi samo zbog porasta broja termički generiranih parova elektron-šupljina, za isti iznos se mora povećati i koncentracija većinskih nosilaca, pa je ∆n ∆p = = 1,26 ⋅ 10 −12 = 1,26 ⋅ 10 −10 % . n n Iako ovaj postupak nije do kraja korektan, jer smo pri računanju prirasta koncentracije manjinskih nosilaca u izrazu (1.51) zanemarili prirast koncentracije većinskih nosilaca, rezultati su točni. Da smo prirast koncentracije većinskih elektrona izveli iz općenitog izraza n=

N D + N D2 + 4 ⋅ ni2 2

,

dobili bismo da je ∆n 1 1 = ⋅ ⋅ 8 ⋅ ni ⋅ ∆ni = n n 4 ⋅ N 2 + 4 ⋅ n2 D i

2⋅ p

N D2

+ 4 ⋅ ni2

⋅

∆ni = 1,26 ⋅ 10 −12 , ni

što je potpuno isti rezultat kao i prije! Naravno, gornji pojednostavnjeni postupak vrijedi samo u ekstrinsičnom temperaturnom području, kada je koncentracija većinskih nosilaca puno veća od koncentracije manjinskih nosilaca. Usporedimo li priraste koncentracija nosilaca koje smo izračunali (∆p = ∆n = 6,30⋅103 cm–3) s prirastom intrinsične koncentracije ∆ni =

∆ni E ′ ö ∆T 1 æ ⋅ ni = ⋅ ç 3 + G 0 ÷ ⋅ ⋅ ni = 114 , ⋅ 10 9 cm −3 , ni ET ø T 2 è

vidimo da je prirast intrinsične koncentracije (jednak prirastu koncentracije nosilaca kada bi poluvodič bio intrinsičan) puno veći od prirasta koncentracija nosilaca - objašnjenje je identično kao i objašnjenje uz sliku 1.12. Prelaskom u kvaziintrinsično temperaturno područje, ti će se prirasti međusobno izjednačiti.

Zadatak 1.11 * [Blakemore62, Kireev78] Izvesti izraz za ravnotežnu koncentraciju elektrona u poluvodiču n-tipa koji je dopiran i donorskim i akceptorskim primjesama koncentracija ND , odnosno NA za područje niskih temperatura. Rješenje: Uvrštavanjem izraza (1.47) i (1.48) za koncentracije ioniziranih donora, odnosno akceptora N D+ =

Zadatak 1.11

ND , æ EF − ED ö 1 + 2 ⋅ exp ç ÷ ET ø è

31


NA , æ E A − EF ö 1 + 4 ⋅ exp ç ÷ è ET ø

N A− =

te izraza za koncentracije elektrona, odnosno šupljina æ E − Ec ö n = N c ⋅ exp ç F ÷, è ET ø æ E − EF ö p = N v ⋅ exp ç v ÷, è ET ø

u zakon električne neutralnosti (1.46) p + N D+ = n + N A− ,

dobivamo æ E − EF ö N v ⋅ exp ç v ÷+ è ET ø

æ E − Ec ö ND NA = N c ⋅ exp ç F . ÷+ æ EF − ED ö æ E A − EF ö è ET ø 1 + 2 ⋅ exp ç 1 + 4 ⋅ exp ç ÷ ÷ è ET ø è ET ø (1.52)

Kako se radi o poluvodiču n-tipa, Fermijev nivo se nalazi iznad sredine zabranjenog pojasa, pa možemo zanemariti eksponencijalnu funkciju u nazivniku zadnjeg pribrojnika izraza (1.52). To zapravo znači da su praktički sve akceptorske primjese ionizirane, bez obzira što se radi o niskim temperaturama. Također možemo zanemariti koncentraciju šupljina, prvi pribrojnik u gornjem izrazu. Uz ova zanemarenja, (1.52) prelazi u æ E − Ec ö ND = N c ⋅ exp ç F ÷ + NA . æ E − ED ö è ET ø 1 + 2 ⋅ exp ç F ÷ ET è ø

(1.53)

Eksponencijalnu funkciju u nazivniku rastavit ćemo na dva člana æ E − Ec ö ND = N c ⋅ exp ç F ÷ + NA. æ E F − Ec ö æ Ec − E D ö è ET ø 1 + 2 ⋅ exp ç ÷ ⋅ exp ç ÷ è ET ø è ET ø

(1.54)

Budući da se energija ionizacije ED – Ec neznatno mijenja s promjenom temperature, možemo uzeti da je konstantna, pa ćemo radi preglednosti uvesti supstitucije æ E − ED ö K = 2 ⋅ exp ç c ÷, è ET ø

te N c* =

Nc . K

Sređivanjem gornjeg izraza, dobiva se 2

é æ E F − Ec ö ù æ E − Ec ö ÷ ú + ( N c* + N A ) ⋅ N c ⋅ expç F ÷ + N c* ⋅ ( N A − N D ) = 0 , ê N c ⋅ expç E è ø è ET ø êë úû T što je zapravo kvadratna jednadžba po koncentraciji elektrona

(1.55)

Zadatak 1.11

32


n 2 + ( N c* + N A ) ⋅ n + N c* ⋅ ( N A − N D ) = 0 ,

(1.56)

čije je rješenje 1 1 ⋅ ( N c* + N A ) + ⋅ ( N c* + N A ) 2 + 4 ⋅ N c* ⋅ ( N D − N A ) = 2 2 1 1 = − ⋅ ( N c* + N A ) + ⋅ ( N c* ) 2 + N 2A + 2 ⋅ N c* ⋅ (2 ⋅ N D − N A ) . 2 2

n=−

(1.57)

Za vrlo niske temperature Ec – ED >> ET , pa je æ E − ED ö K = 2 ⋅ exp ç c ÷ >> 1 , è ET ø

(1.58)

zbog čega je Nc* puno manji od efektivne gustoće kvantnih stanja Nc . Pod korijenom rješenja (1.57) možemo stoga zanemariti prvi pribrojnik (Nc*)2, koji je puno manji od ostalih članova. Za kvadratni korijen može se primijeniti aproksimacija prvim članovima razvoja u red potencija (vidi npr. [Abramowitz64, Bronštejn75]) 1 1 1 5 7 21 1 + x = 1+ ⋅ x − ⋅ x2 + ⋅ x3 − ⋅ x4 + ⋅ x5 − ⋅ x 6 +K , x ≤ 1 , 2 8 16 128 256 1024 što u našem slučaju, uzevši u obzir samo prva dva člana, daje 2⋅ ND − N A 1 1 ⋅ ( N c* + N A ) + ⋅ N A ⋅ 1 + 2 ⋅ N c* ⋅ = 2 2 N A2

n=− =−

æ 2⋅ ND − N A ö 1 1 ÷÷ . ⋅ ( N c* + N A ) + ⋅ N A ⋅ çç 1 + N c* ⋅ 2 2 N A2 è ø

(1.59)

Sređivanjem gornjeg izraza dobiva se konačni izraz za koncentraciju elektrona n=

æ E − ED ö ND − N A N − NA ⋅ N c* = D ⋅ N c ⋅ exp ç − c ÷. NA 2⋅ NA ET ø è

(1.60)

Ovaj izraz vrijedi za poluvodič koji sadrži i donorske i akceptorske primjese, ali samo kada je Nc* << NA . Praktično to znači da vrijedi za djelomično kompenzirane poluvodiče na temperaturama od apsolutne nule do neke temperature koja ovisi o koncentraciji akceptora (preko uvjeta da je NA >> Nc*). Kada je NA << Nc* << ND , (npr. kada je poluvodič dopiran samo donorima) kvadratna jednadžba (1.56) prelazi u oblik n 2 + N c* ⋅ n − N c* ⋅ N D = 0 .

Rješenje ove kvadratne jednadžbe bit će 1 1 n = − ⋅ N c* + ⋅ ( N c* ) 2 + 4 ⋅ N c* ⋅ N D = 2 2 =−

1 1 ⋅ N * + N c* ⋅ N D ⋅ 1 + N c* ⋅ . 2 c 4⋅ ND

Aproksimacijom kvadratnog korijena, dobiva se n = −

Zadatak 1.11

1 1 1 ⋅ N * + N c* ⋅ N D + ⋅ N c* ⋅ ⋅ N c* = 2 c 8 ND

(1.61)

33


=

N c* ⋅ N D =

æ E − ED ö Nc ⋅ N D ⋅ exp ç − c ÷. 2 2 ⋅ ET ø è

(1.62)

Kao što se može zapaziti iz izraza (1.60), odnosno (1.62), pri vrlo niskim temperaturama koncentracija većinskih nosilaca raste eksponencijalno s porastom temperature. Efektivna gustoća kvantnih stanja u predeksponencijalnim članovima mijenja se znatno slabije s temperaturom, pa se njen utjecaj može zanemariti. Kod viših temperatura, kada prestaje vrijediti pretpostavka (1.58), koncentracija većinskih elektrona (prema izrazu (1.57)) asimptotski teži neto koncentraciji primjesa. Pri korištenju izraza (1.60), odnosno (1.62), treba voditi računa o pretpostavkama koje su uvedene tijekom izvođenja, odnosno uvjete koji moraju biti zadovoljeni da bi one vrijedile. U tablici 1.9 navedene su koncentracije elektrona na različitim temperaturama u siliciju dopiranom s 1014, odnosno s 1016 fosfornih atoma / cm3, dobivene pomoću izvedenih izraza. Tablica 1.9. Koncentracije većinskih elektrona u siliciju dopiranom fosforom na niskim temperaturama.

ND = 1014 cm–3

ND = 1016 cm–3

T/K

n / cm–3

n* / cm–3

n* / ND

n / cm–3

n* / cm–3

n* / ND

25

1,97⋅1011

1,65⋅1011

1,65⋅10–3

1,97⋅1012

1,65⋅1012

1,65⋅10–4

50

4,54⋅1013

4,06⋅1013

0,406

5,96⋅1014

5,14⋅1014

5,14⋅10–2

75

9,59⋅1013

9,48⋅1013

0,948

3,75⋅1015

3,39⋅1015

0,339

100

9,95⋅1013

9,94⋅1013

0,994

7,30⋅1015

6,96⋅1015

0,696

125

9,99⋅10

13

9,98⋅10

13

0,998

8,97⋅10

15

8,82⋅10

15

0,882

1,00⋅10

13

9,99⋅10

13

9,56⋅10

15

9,50⋅10

15

0,950

1,00⋅10

13

1,00⋅10

14

9,78⋅10

15

9,75⋅10

15

0,975

1,00⋅10

13

1,00⋅10

14

9,87⋅10

15

9,86⋅10

15

0,986

150 175 200

0,999 1,00 1,00

Korištena je energija ionizacije fosfora iz tablice 1.8 (Ec – ED = 0,045 eV). Efektivne gustoće kvantnih stanja izračunate su pomoću izraza N c = C ′′ ⋅ T 3 2 ,

(vidi poglavlje 1.4. Položaj Fermijevog nivoa) pri čemu je C″ = 7,33⋅1015 K–2/3cm–3 empirička konstanta iz tablice 1.7. Ovaj izraz za efektivne gustoće kvantnih stanja ne uzima u obzir ovisnost efektivnih masa nosilaca o temperaturi, pa je točan samo za temperature oko sobne. Budući da se u ovom zadatku radi o vrlo niskim temperaturama, efektivne mase nosilaca se znatno razlikuju od onih na sobnim temperaturama, što utječe na točnost efektivnih gustoća kvantnih stanja. Zato su, radi usporedbe navedene i koncentracije nosilaca n* uzimanjem u obzir temperaturne ovisnosti efektivnih masa nosilaca [Selberherr89]. Te su koncentracije niže, ali je ta razlika svugdje manja od 20 %. Na slici 1.16 grafički su prikazani rezultati iz tablice 1.9.

Zadatak 1.11

34


1

ND =

0,8

1014 cm–3

0,6

n ND 0,4

1016 cm–3 1018 cm–3

0,2 0

0

50

100

150

200

T/K Slika 1.16. Temperaturna ovisnost koncentracije elektrona na vrlo niskim temperaturama.

Iz rezultata u tablici 1.9, odnosno na slici 1.16 zanimljivo je primijetiti da će na sobnoj temperaturi gotovo sve primjese biti ionizirane, iako je termička energija ET dosta manja od energije ionizacije! Također, uočimo kako je za veće koncentracije primjesa područje nepotpune ionizacije šire; dok su na T = 200 K za ND = 1014 cm–3 praktički svi donori ionizirani (vrijednosti u tablici su zaokružene na tri znamenke!), za ND = 1016 cm–3 je ionizirano oko 98,6 % donorskih atoma. I za ovu pojavu se najjednostavnije tumačenje može dati razmatranjem energija potrebnih da elektron u energetskom dijagramu preskoči iz donorskog u vodljivi pojas (vidi sliku 1.12). Pri niskim koncentracijama dovoljno je da elektron ima energiju Ec – ED da bi uskočio iz donorskog nivoa u vodljivi pojas. Povećanjem koncentracije primjesa, kvantna stanja uz dno vodljivog pojasa se popunjavaju, tako da kod viših koncentracija primjesa neki elektroni moraju imati i znatno veće energije da bi uskočili u vodljivi pojas. Tu energiju moći će očito steći tek na višim temperaturama. Za veće koncentracije primjesa izvedene formule bi dale još niže postotke ioniziranih donora. Na primjer, za ND = 1018 cm–3 dobili bismo da je na 300 K ionizirano svega oko 80 % fosfornih atoma (za ilustraciju, na slici 1.16 ucrtana je krivulja i za tu koncentraciju). Međutim, kod tako visokih koncentracija već dolazi do cijepanja donorskog nivoa u pojas energija, te njegovog stapanja s dnom vodljivog pojasa, pa energija ionizacije nije više jednoznačna (vidi poglavlje 1.9. Degeneracijski efekti). Slični rezultati se mogu dobiti i za poluvodič p-tipa. Pomoću tih izraza nacrtane su krivulje u području nepotpune ionizacije na slikama 1.13 i 1.14.

Zadatak 1.12 Uz pretpostavku da se može zanemariti promjena predeksponencijalnog člana T 3/2, procijenite za koliko treba povećati temperaturu silicija iznad 300 K da bi se intrinsična koncentracija udvostručila. Rješenje: ∆T = 9,19 °C.

Zadatak 1.12


35

Zadatak 1.13 Odredite koncentraciju donora kojom mora biti dopiran silicij da bi na 300 K imao koncentraciju elektrona dvostruko veću od koncentracije šupljina. Rješenje: ND = 9,76⋅109 cm–3.

Zadatak 1.14 Odredite tip i neto koncentraciju primjesa kojom mora biti dopiran silicij da bi na 400 K sadržavao 2·1012 slobodnih elektrona / cm3. Rješenje: NAnetto = 2,41·1013 cm–3.

Zadatak 1.15 Silicij je dopiran s 1014 atoma akceptora / cm3. Odredite tip i koncentraciju primjese koju treba pridodati da bi na 300 K: a) koncentracija elektrona bila dvostruko veća nego prije drugog dopiranja; b) koncentracija elektrona bila peterostruko manja nego prije drugog dopiranja; c) koncentracija elektrona bila četiri puta manja nego koncentracija šupljina prije drugog dopiranja. Rješenja: a) ND = 5·1013 cm–3, b) NA = 4·1014 cm–3, c) ND = 1,25·1014 cm–3.

Zadatak 1.15

36


1.4. Položaj Fermijevog nivoa Položaj Fermijevog nivoa određen je koncentracijama nosilaca. Ako su koncentracije nosilaca puno niže od efektivnih gustoća kvantnih stanja, raspodjele slobodnih nosilaca po energijama dovoljno točno su opisane Maxwell-Boltzmannovom raspodjelom, pa se Fermijev nivo može izraziti preko (1.24) i (1.31) kao

æN ö E F = Ec − ET ⋅ ln ç c ÷ , è n ø

(1.63)

æN ö E F = E v + E T ⋅ ln ç v ÷ . è p ø

(1.64)

odnosno

Efektivne gustoće kvantnih stanja, određene izrazima (1.20), odnosno (1.30), općenito se međusobno razlikuju zbog različitih efektivnih masa elektrona u vodljivom, odnosno šupljina u valentnom pojasu. To znači da krivulje raspodjele gustoća kvantnih stanja na slici 1.8 nisu potpuno simetrične, a Fermijev nivo u intrinsičnom poluvodiču nije točno na sredini zabranjenog pojasa. Međutim, radi jednostavnosti, redovito se pretpostavlja da su efektivne gustoće kvantnih stanja međusobno jednake, te se koristi vrijednost koja se određuje na temelju izmjerene intrinsične koncentracije, pomoću izraza (1.34), a koja je jednaka geometrijskoj sredini efektivnih gustoća kvantnih stanja

æ E ö N c ⋅ N v = ni ⋅ exp ç G ÷ . è 2 ⋅ ET ø

(1.65)

Uz ove pretpostavke, za efektivne gustoće kvantnih stanja dobiva se

N c = N v = C ′′ ⋅ T 3 2 ,

(1.66)

gdje je C" predeksponencijalni faktor iz izraza (1.39). On ovisi o temperaturi, ali je ta ovisnost vrlo slaba, pa se može uzeti da je C" za neki poluvodič u određenom temperaturnom području konstanta. Vrijednosti za C" u području sobnih temperatura za silicij, galij-arsenid i germanij navedene su u tablici 1.7 na str. 18.

Zadatak 1.16 Izračunati udaljenost Fermijevog nivoa od dna zabranjenog pojasa EF − Ev za intrinsični silicij u stanju ravnoteže na temperaturama od 0 °C, 27 °C i 100 °C. Rješenje: Da bismo odredili položaj Fermijevog nivoa, polazimo od izraza za ravnotežne koncentracije elektrona u vodljivom i šupljina u valentnom pojasu poluvodiča za koji vrijedi MaxwellBoltzmannova statistika æ E − Ec ö ÷, n = N c ⋅ exp ç F è ET ø

Zadatak 1.16

37

1.4. Položaj Fermijevog nivoa

æ E − EF ö ÷. p = N v ⋅ exp ç v è ET ø

Kao što već znamo, u intrinsičnom poluvodiču ravnotežne koncentracije elektrona i šupljina su međusobno jednake, pa izjednačavanjem gornja dva izraza dobivamo æ E − EF ö æ E − Ec ö ÷, ÷ = N v ⋅ exp ç v N c ⋅ exp ç F è ET ø è ET ø

odnosno, nakon izlučivanja Fermijeve energije, E F = E Fi =

æN ö E c + Ev E T + ⋅ ln ç v ÷ . 2 2 è Nc ø

(1.67)

Kako se izrazi za gustoće kvantnih stanja u valentnom i vodljivom pojasu razlikuju samo u efektivnim masama šupljina, odnosno elektrona, tj. N v ∝ (mv* ) 3 2 , N c ∝ (mc* ) 3 2

uvrštavanjem u (1.67) dobiva se E Fi =

æ m* ö Ec + Ev 3 + ⋅ E T ⋅ ln çç v* ÷÷ . 2 4 è mc ø

(1.68)

Iz dobivenih izraza vidljivo je da se Fermijev nivo u intrinsičnom poluvodiču na temperaturi apsolutne nule nalazi točno na sredini zabranjenog pojasa. Porastom temperature Fermijev nivo će se praktički linearno odmicati od sredine prema vrhu ili dnu zabranjenog pojasa, ovisno o omjeru efektivnih masa mv*/ mc*. Efektivne mase elektrona i šupljina na T = 27 °C = 300 K dane su u tablici 1.5 na str. 17, iz čega možemo odrediti i pripadajući omjer. Iako iznosi efektivnih masa rastu s porastom temperature, njihov omjer je praktički konstantan. Stoga možemo za sve tri zadane temperature za silicij računati s omjerom mv* 0,81 = = 0,686 . , mc* 118

Uvrštavanjem u (1.68), dobivamo da se Fermijev nivo u intrinsičnom siliciju nalazi pri sredini zabranjenog pojasa, pomaknut od sredine prema dnu zabranjenog pojasa za energiju 0,282 ET . Tražene udaljenosti Fermijevog nivoa od dna zabranjenog pojasa dobit ćemo iz izraza (1.68) kao E Fi − Ev =

æ m* ö EG 3 + ⋅ E T ⋅ lnçç v* ÷÷ . 2 4 è mc ø

Izračunate vrijednosti navedene su, zajedno s neophodnim širinama zabranjenog pojasa, u tablici 1.10. Kod računanja udaljenosti Fermijevog nivoa od dna zabranjenog pojasa može se primijetiti da je za sve tri zadane temperature drugi član u (1.69) puno manji od prvoga. Zato je i približavanje Fermijevog nivoa dnu zabranjenog pojasa s porastom temperature prvenstveno

(1.69)

Tablica 1.10. Rezultati u zadatku 1.16.

EG

EF − Ev

0 °C = 273 K

1,13 eV

0,559 eV

27 °C = 300 K

1,12 eV

0,555 eV

100 °C = 373 K

1,10 eV

0,543 eV

T

Zadatak 1.16

38


posljedica smanjenja širine zabranjenog pojasa. Prema tome, za intrinsični silicij možemo uvijek uzimati da se Fermijev nivo nalazi na sredini zabranjenog pojasa. Također, u daljnjim proračunima pretpostavljat ćemo da su efektivne mase elektrona i šupljina međusobno jednake. Iako su omjeri efektivnih masa elektrona i šupljina u germaniju i galij-arsenidu po iznosu veći nego kod silicija, još uvijek su dovoljno mali da se drugi pribrojnik u (1.69) može zanemariti za relativno široko temperaturno područje. Stoga se može uzeti da je i za njih Fermijev nivo u intrinsičnom materijalu praktički na sredini zabranjenog pojasa. Valja uočiti da će za galij-arsenid intrinsični Fermijev nivo biti malo iznad sredine zabranjenog pojasa, budući da je efektivna masa šupljina veća od efektivne mase elektrona.

Zadatak 1.17 Izračunati ravnotežni položaj Fermijevog nivoa na T = 300 K za silicij koji je: a) dopiran samo donorima koncentracije ND = 5 ⋅ 1015 cm−3, b) dopiran samo akceptorima koncentracije NA = 5 ⋅ 1015 cm−3, c) dopiran i donorima i akceptorima koncentracija ND = NA = 5 ⋅ 1015 cm−3. Rješenje: a) Pri T = 300 K, intrinsična koncentracija u siliciju je puno manja od zadane koncentracije donora. Stoga će na toj temperaturi silicij n-tipa biti ekstrinsičan, a koncentracija većinskih nosilaca bit će jednaka koncentraciji donora. Položaj Fermijevog nivoa bit će æ N ö æN ö E F = E c − E T ⋅ ln ç c ÷ = Ec − ET ⋅ ln ç c ÷ . è n ø è ND ø

Efektivnu gustoću kvantnih stanja u siliciju na T=300 K izračunat ćemo pomoću izraza (1.66) N c = C ′′ ⋅ T 3 2 = 3,81 ⋅ 1019 cm −3 .

Konstantu C" smo uvrstili iz tablice 1.7 na str. 18: za silicij C" = 7,33 ⋅ 1015 K−3/2cm−3. Uvrštavanjem izračunatih brojeva dobiva se udaljenost Fermijevog nivoa od dna vodljivog pojasa Ec − EF = 0,231 eV. Fermijev nivo se nalazi iznad sredine zabranjenog pojasa.

b) Kao i u a) dijelu zadatka, ali sada koristeći izraz za većinske šupljine æN ö æN ö E F = E v + ET ⋅ ln ç v ÷ = E v + ET ⋅ ln ç v ÷ è p ø è NA ø

,

dobit ćemo da je EF − Ev = 0,231 eV. Sada je Fermijev nivo bliže valentnom pojasu. Uspoređujući rezultate a) i b) dijela zadatka, možemo uočiti da je u oba slučaja udaljenost Fermijevog nivoa od sredine zabranjenog pojasa, odnosno od Fermijeve energije za intrinsični poluvodič ista! Kod n-tipa silicija u a) dijelu Fermijev nivo je pomaknut prema vrhu zabranjenog pojasa za isti iznos energije koliko je u b) dijelu zadatka, za p-tip silicija, Fermijev nivo pomaknut

Zadatak 1.17

39


prema dnu zabranjenog pojasa†. Ako izrazimo položaj Fermijevog nivoa prema Fermijevoj energiji intrinsičnog poluvodiča EFi , gornje relacije možemo pisati kao æ nö E F = E Fi + ET ⋅ ln ç ÷ , è ni ø

(1.70)

æ pö E F = E Fi − ET ⋅ ln ç ÷ . è ni ø

(1.71)

Kako je iz ovih relacija očigledno, jednaki pomaci Fermijevog nivoa posljedica su međusobno jednakih neto koncentracije primjesa u oba slučaja, a time i jednakih koncentracija većinskih nosilaca. Položaj Fermijevog nivoa može se odrediti i uvrštavanjem koncentracija manjinskih nosilaca u gornje izraze, ali kako nam je redovito lakše izračunati koncentraciju većinskih nosilaca, taj pristup se rijetko koristi.

c) Za potpuno kompenzirani poluvodič vrijede iste relacije kao i u prethodnom zadatku. Koncentracije elektrona i šupljina su jednake intrinsičnoj koncentraciji. Prema tome, Fermijev nivo će se nalaziti pri sredini zabranjenog pojasa E Fi − Ev =

æ m* ö EG 3 + ⋅ ET ⋅ ln çç v* ÷÷ = 0,555 eV . 2 4 è mc ø

Na slici 1.17 prikazane su funkcije gustoća kvantnih stanja, Fermijeve funkcije vjerojatnosti i raspodjele nosilaca po energijama za a) i b) slučaj iz ovog zadatka. Za poluvodič n-tipa Fermijev nivo je pomaknut od intrinsičnog Fermijevog nivoa EFi prema vrhu zabranjenog pojasa. Zato je i Fermijeva funkcija vjerojatnosti pomaknuta prema višim energijama, pa će u vodljivom pojasu biti veća vjerojatnost popunjenosti kvantnih stanja nego za slučaj intrinsičnog poluvodiča. Naprotiv, kod poluvodiča p-tipa Fermijev nivo, a time i Fermijeva funkcija vjerojatnosti pomaknuti su prema dnu zabranjenog pojasa. Sada je veća vjerojatnost nepopunjenosti valentnog pojasa elektronima (tj. popunjenosti šupljinama). Za poluvodič iz c) dijela zadatka slika je potpuno jednaka slici 1.8 na str. 10 za potpuno intrinsični poluvodič.

Zadatak 1.18 Odrediti položaj Fermijevog nivoa silicija kojemu je dodana neto koncentracija primjesa a) NA − ND = 1014 cm−3, odnosno b) ND − NA = 1014 cm−3, na temperaturama od 0 °C, 27 °C, 100 °C i 175 °C. Rezultate prikazati grafički.

†

Obično se govori o “pomicanju” Fermijevog nivoa prema valentnom ili vodljivom pojasu, iako položaji dna vodljivog i vrha valentnog pojasa nisu fiksni - cijeli energetski dijagram “lebdi u zraku”. Zbog toga o pomicanju Fermijevog nivoa možemo govoriti samo u smislu relativnih pomaka prema valentnom, odnosno vodljivom pojasu [Selberherr84]. To je glavnim razlogom da nismo definirali referentnu energiju, kao što je u nekim knjigama uobičajeno. Zadatak 1.18

40


E

vodljivi pojas

E

E

n dn dE

fp Ec EF EFi Ev

+ + +

ED

Ec ED EF

ρv

Ev

T = 0 K Ec EF

Ec EF

ρc

Ev T >>0 K

Ev

valentni pojas

0

dp dE

p

fn 1

a) E

vodljivi pojas

Ec EFi EF Ev

---

EA

E

E n

T >> 0 K

Ec

ρc

Ec

EF EA Ev

ρv

EF Ev

Ec T= 0 K

fn

valentni pojas

0

dn dE

fp

1

EF Ev p

dp dE

b) Slika 1.17. Raspodjele koncentracija elektrona i šupljina po energijama: a) poluvodič n-tipa, b) poluvodič p-tipa.

Rješenje: a) Kako u poluvodiču prevladavaju akceptorske primjese, radi se o p-tipu poluvodiča. Udaljenost Fermijevog nivoa od dna zabranjenog pojasa možemo izračunati iz (1.64) kao æN ö E F − Ev = ET ⋅ ln ç v ÷ . è p ø U tablici 1.11 nalaze se položaji Fermijevog nivoa izračunati za sve četiri zadane temperature, zajedno s pripadajućim intrinsičnim koncentracijama, koncentracijama većinskih nosilaca, te efektivnim gustoćama kvantnih stanja u valentnom pojasu. Kao što je iz tablice vidljivo, intrinsične koncentracije su za sve zadane temperature, osim za 175 °C puno manje od neto koncentracije primjesa, pa je koncentracija većinskih nosilaca jednaka neto koncentraciji primjesa p = N A − N D = 1014 cm−3 .

Na T = 175 °C = 448 K intrinsična koncentracija ni = 5,59⋅1013 cm−3, što je sumjerljivo s neto koncentracijom NA − ND . Stoga koncentraciju većinskih šupljina moramo računati preko općenitog izraza Zadatak 1.18

41


Tablica 1.11. Fermijeve energije u zadatku 1.18a.

T 0 °C = 273 K 27 °C = 300 K 100 °C = 373 K 175 °C = 448 K

ni / cm−3

p / cm−3

Nv / cm−3

EF − Ev

1,19 ⋅ 109

1014

3,31 ⋅ 1019

0,299 eV

10

14

3,81 ⋅ 10

19

0,332 eV

10

14

5,28 ⋅ 10

19

0,424 eV

6,95 ⋅ 10

19

0,511 eV

1,38 ⋅ 10

10

1,84 ⋅ 10

12

5,59 ⋅ 10

13

1,25 ⋅ 10

14

N A − N D + ( N A − N D ) 2 + 4 ⋅ ni2

= 1,25 ⋅ 1014 cm− 3 . 2 Efektivne gustoće kvantnih stanja računaju se pomoću izraza (1.66) p=

N v = C ′′ ⋅ T 3 2 , 15

−3/2

gdje je za silicij C" = 7,33 ⋅ 10 K

cm−3.

b) U slučaju da prevladavaju donorske primjese, radi se o poluvodiču n-tipa. Položaj Fermijevog nivoa dobit ćemo iz izraza (1.63) kao æN ö Ec − E F = ET ⋅ ln ç c ÷ . è n ø

Kako su zadani podaci identični kao i u a) dijelu zadatka, zbog sličnosti izraza dobivaju se slični rezultati, dani u tablici 1.12. Tablica 1.12. Fermijeve energije u zadatku 1.18b.

T 0 °C = 273 K

ni / cm−3

n / cm−3

Nc / cm−3

Ec− EF

1,19 ⋅ 109

1014

3,31 ⋅ 1019

0,299 eV

10

14

3,81 ⋅ 10

19

0,332 eV

10

14

5,28 ⋅ 10

19

0,424 eV

6,95 ⋅ 1019

0,511 eV

1,38 ⋅ 10

10

100 °C = 373 K

1,84 ⋅ 10

12

175 °C = 448 K

5,59 ⋅ 1013

27 °C = 300 K

1,25 ⋅ 1014

Na slici 1.18 prikazana je ovisnost položaja Fermijevog nivoa o temperaturi za poluvodiče u a), odnosno b) dijelu zadatka, te za silicij dopiran s 1016 cm−3 i 1018 cm−3 atoma primjesa oba tipa. Kao referentna energija uzeta je sredina zabranjenog pojasa EFi , pa se na ordinati zapravo nalazi udaljenost Fermijevog nivoa od sredine zabranjenog pojasa EF − EFi . Budući da se s porastom temperature smanjuje širina zabranjenog pojasa, u sliku su ucrtane i funkcije udaljenosti rubova valentnog, odnosno zabranjenog pojasa od EFi . Na osnovu rezultata zadatka, te uvidom u sliku, možemo zaključiti da s porastom temperature Fermijev nivo teži sredini zabranjenog pojasa. Za ekstrinsično područje udaljenost

Zadatak 1.18

42


dno vodljivog pojasa

0,6

1018 cm–3

0,4

1016 cm–3

0,2

EF – E Fi eV

ND = 1014 cm–3

0

NA = 1014 cm–3

–0,2

1016 cm–3

–0,4

1018 cm–3

–0,6 150

vrh valentnog pojasa 200

250

300

350

400

450

500

T/ K Slika 1.18. Ovisnost položaja Fermijevog nivoa u siliciju o temperaturi za različite koncentracije primjesa.

Fermijevog nivoa od rubova zabranjenog pojasa (EF − Ev , odnosno Ec − EF ) proporcionalna je temperaturi, jer prevladava utjecaj člana ET ispred logaritamske funkcije u izrazima (1.63), odnosno (1.64). Na slici ta linearna ovisnost nije očita, jer su nacrtane funkcije položaja Fermijevog nivoa (EFi − Ev , odnosno Ec − EFi ) zakrivljene zbog nelinearnog suženja zabranjenog pojasa. Ulaskom u intrinsično temperaturno područje, počinje značajno rasti nazivnik u argumentima logaritamskih funkcija u (1.63), odnosno (1.64), pa Fermijev nivo asimptotski teži sredini zabranjenog pojasa. Za iste neto koncentracije primjesa, ali suprotnog tipa, Fermijev nivo je jednako udaljen od dna, odnosno od vrha zabranjenog pojasa, tj. postoji simetrija s obzirom na sredinu zabranjenog pojasa. Iako se širina zabranjenog pojasa smanjuje s temperaturom, sa slike možemo uočiti da je pomicanje Fermijevog nivoa s porastom temperature puno brže (osim za vrlo visoke koncentracije primjesa). Dakle, pomicanje Fermijevog nivoa prema sredini zabranjenog pojasa nije posljedica suženja zabranjenog pojasa. Prema niskim temperaturama, Fermijev nivo se pomiče prema donorskom, odnosno akceptorskom nivou. Za vrlo niske temperature, za poluvodič n-tipa koji je djelomično kompenziran akceptorima, iz izraza (1.60) dobiva se æ N − NA ö ÷. Ec − E F = E c − E D − ET ⋅ ln ç D è 2⋅ NA ø

(1.72)

Kao što se vidi iz (1.72), na temperaturi apsolutne nule u djelomično kompenziranom poluvodiču n-tipa Fermijev nivo će se poklapati s donorskim nivoom! Ako je za poluvodič n-tipa ND − N A >> 1 , 2⋅ NA

vrijednost logaritamske funkcije u (1.72) će biti pozitivna, pa će se s porastom temperature Fermijev nivo pomicati prema vodljivom pojasu proporcionalno s temperaturom. Izraz (1.60) vrijedi samo za područje vrlo niskih temperatura - Fermijev nivo će se prema višim Zadatak 1.18

43


temperaturama, nakon što dosegne najviši položaj, početi približavati sredini zabranjenog pojasa (kao što je prikazano na slici 1.18). U poluvodiču koji sadrži samo donorske primjese, koncentracija nosilaca određena je izrazom (1.62), na osnovu kojeg se dobiva da je Ec − E F =

æ 2 ⋅ Nc ö E c − E D ET ÷, + ⋅ ln ç 2 2 è ND ø

(1.73)

odnosno EF =

æ 2 ⋅ Nc ö E c + E D ET ÷. − ⋅ ln ç 2 2 è ND ø

(1.74)

Znamo da je prema izrazu (1.66) Nc ∝ T 3/2, pa je é ET æ 2 ⋅ Nc ö ù ⋅ ln ç ÷ ú = lim C1 ⋅ T ⋅ ln (C ′′ ⋅ T 3 2 ) = 0 . lim ê 2 è N D ø úû T → 0

T →0 ê ë

[

]

Dakle, prema izrazu (1.74), na temperaturi apsolutne nule, Fermijev nivo će se nalaziti točno na sredini između donorskog nivoa i dna vodljivog pojasa (vidi sliku 1.19, krivulje a i b). Neposredno iznad apsolutne nule, vrijednost logaritamske funkcije u (1.74) 0 bit će negativna, jer je Nc << ND , te će se i u ovakvom poluvodiču s porastom b temperature Fermijev nivo do neke temperature pomicati prema vodljivom c pojasu. Nakon što dosegne najviši EF – Ec ED –50 položaj, Fermijev nivo će se početi d meV približavati sredini zabranjenog pojasa. a Na temperaturi na kojoj je 2 ⋅ Nc = ND , Fermijev nivo će se ponovno nalaziti na Ec – ED = 45 meV sredini između donorskog nivoa i –100 vodljivog pojasa. U poluvodiču koji 0 50 100 sadrži i akceptorske primjese, Fermijev nivo se na temperaturi apsolutne nule T/K poklapa s donorskim nivoom. Pomak Slika 1.19. Položaj Fermijevog nivoa na niskim Fermijevog nivoa u takvom poluvodiču temperaturama u siliciju n-tipa dopiranom s: ovisi i o koncentraciji akceptora čak i 14 −3 16 −3 (a) ND = 10 cm , (b) ND = 10 cm , kada je ona puno niža od koncentracije (c) ND = 1016 cm−3 i NA = 1014 cm−3, 16 −3 16 −3 donora (krivulje b, c i d na slici 1.19 (d) ND = 2⋅10 cm i NA = 10 cm . odnose se na silicije s jednakim neto koncentracijama primjesa!).

Zadatak 1.19 Na temperaturi T = 300 K Fermijev nivo u siliciju udaljen je 0,3 eV od vrha valentnog pojasa. Odrediti tip i iznos koncentracije primjesa, kao i koncentracije većinskih i manjinskih nosilaca. Pretpostaviti da je silicij dopiran samo jednim tipom primjese.

Zadatak 1.19

44


Rješenje: Kako vrh valentnog pojasa odgovara dnu zabranjenog pojasa, to je prema tekstu zadatka EF − Ev = 0,3 eV. Na T = 300 K širina zabranjenog pojasa silicija je EG = 1,12 eV, a kako je Fermijev nivo udaljen od dna zabranjenog pojasa za manje od EG / 2 = 0,562 eV, zaključujemo da se radi o poluvodiču p-tipa, odnosno da je dodana primjesa akceptor. Koncentraciju šupljina (većinskih nosilaca) možemo odrediti iz Fermijeve energije poluvodiča æ E − EF ö ÷ = 3,47 ⋅ 1014 cm− 3 . p = N v ⋅ exp ç v è ET ø

S obzirom da je ova koncentracija mnogo veća od intrinsične koncentracije na zadanoj temperaturi (ni = 1,38 ⋅ 1010 cm−3), koncentracija većinskih nosilaca je praktički jednaka neto koncentraciji primjesa, pa je NA = p = 3,47 ⋅ 1014 cm−3. Koncentracija manjinskih nosilaca, elektrona n=

ni2 = 5,46 ⋅ 105 cm− 3 . p

Zadatak 1.20 Izračunajte položaj Fermijevog nivoa na 350 K za silicij koji je dopiran s: a) ND = 1016 cm–3, b) NA = 1016 cm–3, c) ND = NA = 1016 cm–3. Rješenja: a) Ec – EF = 0,256 eV, b) EF – Ev = 0,256 eV, c) EF – Ev = 0,555 eV.

Zadatak 1.21 Izračunajte udaljenost Fermijevog nivoa od dna zabranjenog pojasa za silicij koji na T = 300 K ima 108 šupljina / cm3. Rješenje: EF – Ev = 0,689 eV.

Zadatak 1.22 Ekstrinsični silicij je prvobitno dopiran nekom primjesom koncentracije N1. Pridodavanjem neke koncentracije N2 primjese istog tipa, na T = 300 K Fermijev nivo se pomakao za 28,4 meV bliže vrhu valentnog pojasa, a koncentracija većinskih nosilaca se promijenila na 3 ⋅ 1015 cm–3. Odredite tipove i koncentracije primjesa. Rješenje: NA1 = 1015 cm–3, NA2 = 2 ⋅ 1015 cm–3.

Zadatak 1.20

45


1.4.1. Elektrokemijski i elektrostatski potencijali*

Kod izvođenja strujno-naponskih karakteristika komponenti prikladnije je umjesto energija koristiti potencijale. Veza između energija i potencijala dana je relacijama E F = −q ⋅ ϕ , E Fi = − q ⋅ ψ , E c = −q ⋅ ϕ c , E v = −q ⋅ ϕ v , pri čemu je ϕ Fermijev ili elektrokemijski potencijal, a ψ je elektrostatski potencijal. U tom slučaju izraze (1.24) i (1.31) za ravnotežne koncentracije nosilaca možemo pisati æϕ −ϕ ö n0 = N c ⋅ exp ç c ÷, è UT ø

(1.75)

æ ϕ − ϕv ö p0 = N v ⋅ exp ç ÷, è UT ø

(1.76)

dok za intrinsične koncentracije vrijedi æϕ −ψ ö ni = N c ⋅ exp ç c ÷, è UT ø

(1.77)

æ ψ − ϕv ö pi = N v ⋅ exp ç ÷. è UT ø

(1.78)

UT je naponski ekvivalent temperature

ET k ⋅ T = , q q koji ćemo uglavnom računati preko brojčanog izraza UT =

(1.79)

æTö ç ÷ è Kø V. (1.80) UT = 11605 Uvrštavanjem temperature u kelvinima u gornji izraz, dobiva se naponski ekvivalent temperature u voltima. Iz gornjih izraza, ravnotežne koncentracije nosilaca mogu se izraziti preko razlika elektrostatskih i elektrokemijskih potencijala æψ −ϕ ö n0 = ni ⋅ exp ç ÷, è UT ø

(1.81)

æ ϕ −ψ ö p0 = ni ⋅ exp ç ÷, è UT ø

(1.82)

što je ekvivalent izrazima (1.70) i (1.71).

46


U uvjetima neravnoteže, Fermijevi potencijali razlikovat će se od ravnotežnih vrijednosti, pa je æ ψ − ϕn ö n = ni ⋅ exp ç (1.83) ÷, è UT ø æ ϕ p −ψ ö p = ni ⋅ exp ç ÷. è UT ø

(1.84)

ϕn i ϕp su kvazi-Fermijevi potencijali elektrona, odnosno šupljina. Kombiniranjem gornjih izraza dobiva se veza između ravnotežnih i neravnotežnih koncentracija nosilaca izražena razlikama Fermijevog i kvazi-Fermijevih nivoa elektrona i šupljina æ ϕ − ϕn ö n = n0 ⋅ exp ç ÷, è UT ø

(1.85)

æϕp −ϕ ö p = p0 ⋅ exp ç ÷. è UT ø

(1.86)

Kako se iz (1.85) vidi, pri porastu koncentracija elektrona iznad ravnotežne koncentracije doći će do pomaka kvazi-Fermijevog nivoa za elektrone od ravnotežnog Fermijevog nivoa prema vodljivom pojasu. Obrnuto, smanjivanjem koncentracije elektrona ispod ravnotežne koncentracije, kvazi-Fermijev nivo će se pomicati prema dnu zabranjenog pojasa. Slično vrijedi i za šupljine, odnosno njihov kvazi-Fermijev nivo. Iz umnoška izraza (1.85) i (1.86) æ ϕ p − ϕn ö æ ϕ p − ϕn ö 2 n ⋅ p = n0 ⋅ p0 ⋅ exp ç ÷ = ni ⋅ exp ç ÷, è UT ø è UT ø

vidi se da je umnožak neravnotežnih koncentracija nosilaca proporcionalan umnošku ravnotežnih koncentracija i razlici kvazi-Fermijevih potencijala. U uvjetima ravnoteže ϕn = ϕp , te gornji izraz prelazi u zakon termodinamičke ravnoteže.

Zadatak 1.23 Odrediti ugrađeni potencijal silicija koji je homogeno dopiran s NA = 1016 cm−3 i ND = 7⋅1015 cm−3 atoma primjesa na T = 300 K. Koliki će biti kvazi-Fermijevi nivoi, ako se koncentracije i elektrona i šupljina povećaju za a) 108 cm−3, odnosno b) 5⋅1016 cm−3. Rješenje: Ugrađeni potencijal poluvodiča ψb je elektrostatski potencijal električki neutralnog poluvodiča. Zbog toga polazimo od zakona električne neutralnosti n + N A = p + ND . Uvrstimo li u njega izraze (1.81) i (1.82), dobit ćemo

Zadatak 1.23

47


æψ −ϕ ö æ ϕ −ψb ö ÷ + N A = ni ⋅ exp ç ÷ + ND . ni ⋅ exp ç b è UT ø è UT ø

Izlučimo li traženi ugrađeni potencijal, dobit ćemo izraz æ N − NAö ψ b = ϕ + U T ⋅ arsinh ç D ÷. è 2 ⋅ ni ø

(1.87)

Ako je koncentracija jedne od primjesa puno veća od koncentracije druge primjese, tada se gornji izraz može aproksimirati kao æ N ö ψ b = ϕ + U T ⋅ ln ç D ÷ , za N D >> N A , è 2 ⋅ ni ø

(1.88)

æ N ö ψ b = ϕ − U T ⋅ ln ç A ÷ , za N A >> N D . è 2 ⋅ ni ø

(1.89)

Koncentracije primjesa zadane u tekstu zadatka su sumjerljive, te moramo ugrađeni potencijal računati pomoću općenitog izraza (1.87). Uvrštavanjem zadanih vrijednosti dobiva se ψb = ϕ − 0,318 V, što znači da je Fermijev nivo pomaknut 0,318 eV od sredine zabranjenog pojasa prema valentnom pojasu. Na slici 1.20a i 1.20b prikazani su elektrostatski i kvazi-Fermijevi potencijali za intrinsični poluvodič, odnosno za zadani poluvodič u stanju ravnoteže. Treba uočiti da je referentni (pozitivni) smjer za potencijal suprotan referentnom smjeru energija.

a) Pri promjeni koncentracija nosilaca s ravnotežne koncentracije, kvazi-Fermijevi potencijali više neće biti jednaki ravnotežnim Fermijevim potencijalima. Koncentracija većinskih šupljina je uz prirast ∆p = 108 cm−3 p = p0 + ∆p = N A − N D = 3 ⋅ 1015 cm−3

ostala praktično nepromijenjena, budući da je prirast koncentracije zanemariv u odnosu na ravnotežnu koncentraciju šupljina. Naprotiv, koncentracija manjinskih elektrona

ϕc

ϕc

ϕ=ψ

ψ ϕn = ϕp = ϕ

+ϕ

a)

n>n0 p>p0

ϕc

ψb−ϕ

ϕc

ψ

ϕn

.

ϕ p =ϕ ϕv

ϕv

ϕv

. n>n0 p=p0

n=n0 p=p0

n=p=ni

b)

ϕn

ψ ϕ

ϕp

ϕv c)

d)

Slika 1.20. Elektrostatski i kvazi-Fermijevi potencijali: a) intrinsični poluvodič, b) poluvodič ptipa u ravnoteži, c) u uvjetima niske injekcije, d) u uvjetima visoke injekcije. Zadatak 1.23

48


n = n0 + ∆n =

ni2 + ∆n = 108 cm− 3 p0

jednaka je prirastu koncentracije elektrona. Zbog toga je promjena kvazi-Fermijevog potencijala za šupljine (prema izrazu (1.86)) æ pö ϕ p − ϕ = U T ⋅ ln ç ÷ = 0 , è p0 ø a promjena Fermijevog potencijala za elektrone (prema (1.85)) ænö ϕ n − ϕ = −U T ⋅ ln ç ÷ = −0,190 V . è n0 ø

Koncentracija elektrona se povećala iznad ravnotežne, pa se kvazi-Fermijev nivo približio vodljivom pojasu (vidi sliku 1.20c)

b) Uz prirast koncentracije većinskih šupljina ∆p = 5 ⋅ 1016 cm−3, doći će do značajne promjene koncentracije većinskih nosilaca p = p0 + ∆p = 5,3 ⋅ 1016 cm−3 , pa pomak kvazi-Fermijevog nivoa za šupljine u odnosu na ravnotežni položaj više neće biti zanemariv æ pö ϕ p − ϕ = U T ⋅ ln ç ÷ = 74,2 mV . è p0 ø Kvazi-Fermijev nivo za šupljine se približio valentnom pojasu, budući da se koncentracija šupljina povećala. Pomak kvazi-Fermijevog nivoa za elektrone bit će ænö ϕ n − ϕ = −U T ⋅ ln ç ÷ = −0,708 V . è n0 ø

Kvazi-Fermijev nivo za elektrone je prešao u polovicu zabranjenog pojasa bližu vodljivom pojasu, što se i moglo očekivati, jer se koncentracija manjinskih elektrona povećala iznad intrinsične koncentracije. U a) dijelu zadatka koncentracija manjinskih elektrona je, čak uz relativno veliki prirast, puno manja od ravnotežne koncentracije većinskih šupljina - poluvodič je u režimu niske injekcije. U b) dijelu zadatka prirast koncentracije manjinskih nosilaca je toliko velik da je koncentracija manjinskih nosilaca sumjerljiva s koncentracijom većinskih nosilaca - poluvodič je u režimu visoke injekcije. Na slici 1.20c i 1.20d prikazani su elektrostatski i kvazi-Fermijevi potencijali za razmatrani poluvodič u a), odnosno b) dijelu zadatka.

Zadatak 1.24 U silicij dopiran s 1015 atoma bora / cm3 injektiraju se elektroni i šupljine u jednakim koncentracijama. Odredite priraste tih koncentracija, ako se radi o visokoj injekciji (∆p = ∆n = p0), a kvazi-Fermijevi nivo elektrona i šupljina su razmaknuti 0,57 eV. T = 300 K. Rješenje: ∆p = ∆n = 4,84⋅1014 cm–3.

Zadatak 1.24

49

1.5. Gibanje nosilaca

1.5. Gibanje nosilaca Da bi kroz neki materijal potekla struja mora postojati gibanje naboja. U poluvodičima pokretni naboj čine elektroni i šupljine, dok su ionizirane primjese na sobnim temperaturama “zamrznute” u kristalnoj rešetki, pa ne doprinose električnoj struji. Pokretni nosioci naboja uslijed termičkih titranja kristalne rešetke poluvodiča na temperaturi različitoj od apsolutne nule prolaze kroz niz sudara s atomima kristalne rešetke, te se stoga gibaju kaotično. Srednja brzina kojom se elektroni pritom gibaju naziva se termička brzina

vth =

3⋅ ET

. (1.90) m* Pretpostavimo li da je efektivna masa jednaka masi mirovanja elektrona, možemo dobiti da termička brzina na 300 K iznosi 1,17⋅107 cm/s. Ako na poluvodič ne djeluje vanjska sila, statistički će zbroj svih komponenti tog gibanja biti jednak nuli, te će i ukupna struja u poluvodiču biti jednaka nuli (slika 1.21a). 6 7

6

5

5

7

4

4 1

efektivni pomak elektrona

3 2

1 3 2

kaotično gibanje

a)

driftna komponenta gibanja

b)

Slika 1.21. Prikaz gibanja elektrona u poluvodiču: a) kaotično gibanje, b) usmjereno gibanje pod djelovanjem električnog polja.

Pod djelovanjem neke vanjske sile, na termičku komponentu gibanja superponirat će se dodatna komponenta gibanja koja će uzrokovati rezultantno gibanje nosilaca u smjeru djelovanja sile (na slici 1.21b prikazan je utjecaj električnog polja na gibanje elektrona). Dva najznačajnija uzroka gibanja nosilaca u poluvodičima su: 1. električno polje koje uzrokuje driftnu struju nosilaca, te 2. razlika u koncentracijama koja uzrokuje difuzijsku struju nosilaca.

50


1.5.1. Driftna i difuzijska struja nosilaca

Pod djelovanjem električnog polja, bilo vanjskog ili ugrađenog, na termičku komponentu gibanja superponirat će se i dodatna driftna komponenta u smjeru tog polja. Zbog toga će postojati rezultantno gibanje šupljina u smjeru električnog polja i elektrona u suprotnom smjeru, pa će zbog toga teći rezultantna driftna struja. Na slici 1.22 predočeno je gibanje nosilaca u energetskom dijagramu, kada na Ec poluvodič n-tipa djeluje električno polje. Pod EF utjecajem tog polja elektroni se u vodljivom pojasu ubrzavaju, te se njihova potencijalna energija Ev pretvara u kinetičku. To se na slici očituje udaljavanjem elektrona od dna vodljivog pojasa. Ukupna energija pri tome je stalna, pa je i staza na slici horizontalna. Prilikom sudara elektroni gube kinetičku energiju, predajući dio energije kristalnoj rešetki. Ta se energija uglavnom pretvara u toplinu. Nakon toga elektroni se ponovo ubrzavaju i proces Slika 1.22. Prikaz driftnog gibanja se ponavlja. Pri tome se elektron kreće prema mjestu nosilaca u energetskom dijagravišeg potencijala, odnosno niže potencijalne mu n-tipa poluvodiča [Grove67]. energije, što se očituje u nagibu energetskog dijagrama. Isto vrijedi i za šupljine u valentnom pojasu. Valja se podsjetiti da su referentni smjerovi energija za šupljine suprotni referentnim smjerovima energija za elektrone. U valentnom pojasu se elektroni gibaju u istom smjeru kao i u vodljivom pojasu, pa je smjer gibanja šupljina suprotan. Gustoća driftne struje proporcionalna je jakosti električnog polja J = σ ⋅ , (1.91) pri čemu je σ električna provodnost poluvodiča. Kako je gustoća električne struje jednaka količini naboja koja u jedinici vremena prođe kroz jedinični presjek, za driftnu struju elektrona možemo također pisati J = − q ⋅ n ⋅ v fn ,

(1.92)

vfn = − µn ⋅ .

(1.93)

J = q ⋅ p ⋅ vfp ,

(1.94)

vfp = µ p ⋅ .

(1.95)

gdje je vfn driftna brzina elektrona Slično, za driftnu struju šupljina gdje je vfp driftna brzina šupljina Faktori proporcionalnosti µn i µp u (1.93) i (1.95) su pokretljivosti elektrona, odnosno šupljina. Na osnovu slike 1.21 može se zaključiti da driftna brzina nije jednaka stvarnoj brzini kojom se pojedini elektroni gibaju između sudara, već je to “efektivna”

51


brzina kojom se gibaju svi elektroni pod djelovanjem električnog polja. Za iznose električnog polja manje od 103 - 104 V/cm, termička brzina gibanja pojedinih elektrona između dva sudara je puno veća od driftne brzine, te je pokretljivost nosilaca u (1.93), odnosno (1.95) neovisna o iznosu električnog polja. Stoga su driftne brzine nosilaca, a time i struje, proporcionalne električnom polju. Kod većih iznosa električnog polja dolazi do pojave zasićenja driftne brzine. Driftna brzina ne raste više linearno s jakošću električnog polja, nego sporije, odnosno dolazi do pada pokretljivosti u (1.93) i (1.95) [Ryder53]. Ako nosioci nisu jednoliko raspodijeljeni u poluvodiču, pojavit će se rezultantno gibanje nosilaca s mjesta više k mjestu niže koncentracije - sustav teži k stanju ravnoteže. To gibanje uzrokovat će difuzijsku struju nosilaca

Jdn = q ⋅ Dn ⋅ grad n

(1.96)

Jdp = −q ⋅ D p ⋅ grad p

(1.97)

za elektrone, odnosno

za šupljine. Dn i Dp su difuzijske konstante nosilaca. Za jednodimenzionalni slučaj gornje jednadžbe možemo pisati kao dn Jdn = q ⋅ Dn ⋅ , (1.96a) dx Jdp = −q ⋅ D p ⋅

dp . dx

(1.97a)

I elektroni i šupljine se gibaju u smjeru padajuće koncentracije - negativnog gradijenta. Kako je smjer gibanja elektrona suprotan smjeru struje koju to gibanje uzrokuje tj. struja elektrona je u smjeru rastuće koncentracije, na desnoj strani jednadžbi (1.96), odnosno (1.96a) nema negativnog predznaka. Naprotiv, smjer gibanja šupljina A' B' C' jednak je smjeru struje šupljina, pa je zato potreban negativan predznak na desnoj strani jednadžbi (1.97), odnosno (1.97a), inače bismo dobili da i struja šupljina teče u smjeru rastuće koncentracije. Zanimljivo je uočiti da je kod difuzijskog gibanja nosilaca i dalje za svaku pojedinu česticu na bilo kojem mjestu vjerojatnost gibanja u svim smjerovima A B C jednaka. To znači da će se neke čestice Slika 1.23. Prikaz rezultantnog difuzijskog gibati i prema mjestu više koncentracije. gibanja čestica. Međutim, zbog razlika u koncentracijama više će se čestica gibati s mjesta više prema mjestu niže koncentracije nego u suprotnom smjeru - postojat će rezultantno gibanje u smjeru padajuće koncentracije. To je uočljivo sa slike 1.23 na kojoj su prikazana dva susjedna prostorna segmenta s različitim koncentracijama čestica. U segmentu AB nalazi

52


se više čestica nego u susjednom segmentu BC, pa je broj čestica koji će preći iz AB u BC veći nego broj čestica koje će ići u suprotnom smjeru - postojat će rezultantno gibanje čestica iz volumena AB u volumen BC.

Zadatak 1.25 Silicij p-tipa dopiran je s 1015 atoma bora / cm3. Pod djelovanjem električnog polja jakosti 10 V/cm, kroz silicij će teći struja od 710 mA/cm2. T = 300 K. Odrediti: a) električnu provodnost silicija; b) driftnu brzinu i pokretljivost većinskih šupljina, te c) driftnu brzinu i driftnu struju manjinskih elektrona, ako je pokretljivost elektrona trostruko veća od pokretljivosti šupljina.

Rješenje: a) Električnu provodnost poluvodiča izračunat ćemo iz zadane gustoće struje i jakosti električnog polja, pomoću izraza (1.91) J σ = = 71 mS / cm .

b) Koncentracija šupljina u zadanom poluvodiču (p ≈ NA = 1015 cm−3) je oko deset redova veličine veća od koncentracije manjinskih elektrona

n=

ni2 = 1,90 ⋅ 105 cm − 3 , NA

pa je ukupna struja kroz silicij praktički jednaka driftnoj struji većinskih šupljina. Prema tome, driftnu brzinu šupljina možemo lako izračunati pomoću (1.94), tj. J J v fp = = = 4,43 ⋅ 10 3 cm / s , q⋅ p q⋅ NA

dok pokretljivost šupljina možemo izračunati preko izraza (1.95)

µp =

v fp

= 443 cm 2 / Vs .

c) Prema tekstu zadatka, pokretljivost elektrona je tri puta veća od pokretljivosti šupljina

µ n = 3 ⋅ µ p = 1330 cm 2 / Vs , pa je i driftna brzina elektrona trostruko veća. Međutim, zbog vrlo niske koncentracije elektrona driftna struja elektrona je zanemariva J fn = q ⋅ v fn ⋅ n = q ⋅ µ n ⋅ ⋅ n = 4,06 ⋅ 10 −10 A / cm 2 . Kako se vidi iz ovog zadatka, driftnu struju u ekstrinsičnim poluvodičima određuju većinski nosioci.

Zadatak 1.25

53


1.5.2. Pokretljivost nosilaca i difuzijska konstanta

Tri su najizraženija mehanizma koja utječu na pokretljivost nosilaca u poluvodičima [Bennett83]: - raspršenje nosilaca na atomima kristalne rešetke (fononsko raspršenje). Ovo raspršenje je dominantno u siliciju kada su koncentracije primjesa niže od 1016 cm–3. Doprinos tog raspršenja u pokretljivosti obično se označava s µl i za njega vrijedi [Shockley50]

µl ∝ (m* ) −5 2 ⋅ T −3 2 (indeks l dolazi od engl. lattice - rešetka). Pri porastu temperature raste frekvencija titranja kristalne rešetke, a time se povećava vjerojatnost sudara nosilaca s atomima rešetke, pa zbog toga pokretljivost opada. - raspršenje nosilaca na ioniziranim primjesama (ionsko raspršenje) koje u siliciju prevladava ako su koncentracije primjesa veće od 1015 cm–3. Pri prolasku kraj ioniziranih primjesa doći će do otklona putanje nosilaca uslijed elektrostatskog djelovanja naboja donorskog ili akceptorskog iona. Za doprinos ovog raspršenja u ukupnoj pokretljivosti vrijedi [Shockley50]

µi ∝ N −1 ⋅ T 3 2 . Pri većim koncentracijama primjesa veća je vjerojatnost raspršenja pa zato pokretljivost pada. Valja naglasiti da je N ukupna koncentracija ioniziranih primjesa, tj. zbroj donorskih i akceptorskih primjesa, budući da i jedni i drugi uzrokuju otklon putanja nosilaca, samo u suprotnim smjerovima. S porastom temperature raste kinetička energija nosilaca, pa je manja vjerojatnost raspršenja, te stoga ova komponenta pokretljivosti raste. - međusobno raspršenje nosilaca na nosiocima. Ovo raspršenje je značajno samo kod vrlo visokih koncentracija nosilaca, većih od približno 1018 cm–3. Ne treba naglašavati da će u intrinsičnim poluvodičima postojati isključivo raspršenje nosilaca na atomima kristalne rešetke. Ovisnost pokretljivosti nosilaca o koncentraciji primjesa obično se aproksimira izrazom [Caughey67]

µ = µmin +

µmax − µmin æ N + ND ö ÷÷ 1 + çç A è N ref ø

α

.

(1.98)

Konstante µmin , µmax , Nref i α za elektrone i šupljine u siliciju na T = 300 K navedene su u tablici 1.13. Ovisnost pokretljivosti o temperaturi može se uključiti u (1.98) preko temperaturne ovisnosti konstanti µmin , µmax , Nref i α [Henning87, Selberherr89]

54


Tablica 1.13. Konstante za određivanje pokretljivosti nosilaca u siliciju u ovisnosti o koncentraciji primjesa na T = 300 K [Henning87].

nosioci

µ min cm 2 / Vs

µ max cm 2 / Vs

cm −3

elektroni

80

1430

1,12⋅1017

0,72

šupljine

45

460

2,23⋅1017

0,72

N ref

α

2

æ 300 K ö µn,max (T ) = µn0,max ⋅ ç ÷ , è T ø æ 300 K ö µ p ,max (T ) = µ p 0,max ⋅ ç ÷ è T ø æ 300 K ö µmin (T ) = µ0,min ⋅ ç ÷ è T ø æ 300 K ö N ref (T ) = N 0,ref ⋅ ç ÷ è T ø æ 300 K ö α (T ) = α 0 ⋅ ç ÷ è T ø

(1.99)

2 ,18

,

(1.100)

0,45

,

(1.101)

,

(1.102)

−3,2

−0,065

.

(1.103)

U izraze (1.99) - (1.103) temperatura se uvrštava u kelvinima. Indeksom 0 su označene vrijednosti odgovarajućih parametara na T = 300 K, dane u tablici 1.13. Ovi izrazi vrijede za temperature veće od 200 K. Korekcije za niže temperature mogu se naći u referencama [Henning87, Selberherr89]. Valja naglasiti da su gornji brojčani izrazi izvedeni iz eksperimentalnih rezultata i odnose se na pokretljivosti većinskih nosilaca. Pokretljivosti manjinskih nosilaca u visokodopiranom siliciju su nešto veće budući da je raspršenje nosilaca na ioniziranim primjesama s istim nabojem slabije nego na primjesama sa suprotnim nabojem (npr. raspršenje šupljina na donorskim ionima je slabije nego na akceptorskim) [Bennett83]. Ipak, radi jednostavnosti, mi ćemo sve navedene izraze koristiti i za manjinske nosioce. Za germanij i galij-arsenid kvalitativne ovisnosti pokretljivosti su slične kao i za silicij, ali su vrijednosti parametara druge (vidi npr. referencu [Selberherr84]). Uz pokretljivost nosilaca vezana je i difuzijska konstanta elektrona Dn , odnosno šupljina Dp . U uvjetima termičke ravnoteže [Smith78]

55


æ E − Ec ö F1 2 ç F ÷ è ET ø Dn = 2 ⋅ µn ⋅ U T ⋅ , æ E − Ec ö F−1 2 ç F ÷ è ET ø

(1.104)

æ E − EF ö F1 2 ç v ÷ è ET ø Dp = 2 ⋅ µ p ⋅U T ⋅ , æ Ev − E F ö F−1 2 ç ÷ è ET ø

(1.105)

gdje su F1/ 2 i F−1/ 2 Fermijevi integrali reda 1/2 i −1/2 [Blakemore82] ∞

tj ⋅ dt . 1 + exp(t − η ) 0

F j (η ) = ò

(1.106)

Izrazi (1.104) i (1.105) mogu se razviti u red potencija [Kroemer78]. Na primjer, za (1.104) 2 é æ n ö −3 æ n ö Dn = µn ⋅ U T ⋅ ê1 + 0,35355 ⋅ ç − 9 , 9 ⋅ 10 ⋅ ÷ ç ÷ + è Nc ø è Nc ø ê ë 3 4 ù æ n ö −5 æ n ö + 4,452 ⋅ 10 −4 ⋅ ç (1.107) ÷ − 1,772 ⋅ 10 ⋅ ç ÷ +Lú . è Nc ø è Nc ø ú û gdje je n koncentracija elektrona, a Nc je efektivna gustoća kvantnih stanja u vodljivom pojasu. Za nedegenerirane poluvodiče (n << Nc , p << Nv) izrazi (1.104) i (1.105) prelaze u poznate Einsteinove relacije (1.108a) Dn = µn ⋅ U T , Dp = µ p ⋅U T .

(1.108b)

Da bi vrijedile Einsteinove jednadžbe, prema (1.107) mora biti koncentracija nosilaca mnogo manja od gustoće kvantnih stanja. Kako su na 300 K za silicij gustoće kvantnih stanja oko 1019 cm−3, znači da (1.108a), odnosno (1.108b) možemo koristiti kada su koncentracije primjesa manje od oko 1018 cm−3. Očito je da za manjinske nosioce Einsteinove relacije vrijede uvijek, budući da je njihova koncentracija uvijek puno manja od gustoća kvantnih stanja.

Zadatak 1.26 Grafički prikazati ovisnosti pokretljivosti i difuzijskih konstanti elektrona i šupljina o koncentraciji primjesa u siliciju na T = 300 K.

Rješenje: Korištenjem izraza (1.98) te Einsteinovih relacija (1.108a) i (1.108b) dobivene su pokretljivosti i difuzijske konstante u tablici 1.14 za koncentracije primjesa od 1014 cm−3 do Zadatak 1.26

56


1020 cm−3. Budući da se radi o rasponu koncentracija od šest redova veličina, mjerilo na osi apscise u grafičkom prikazu će biti logaritamsko i pokretljivosti će biti računate na počecima dekada. Kako se pokretljivosti traže na T = 300 K, parametri iz tablice 1.13 se uvrštavaju izravno u (1.98), bez Tablica 1.14. Ovisnost pokretljivosti i difuzijskih konstanti nosilaca o koncentraciji primjesa za temperaturnih korekcija (1.99) - (1.103). siliciji na 300 K.

Na osnovu rezultata danih u tablici 1.14 nacrtane su krivulje na slici 1.24. Na µp Dp µn Dn N njima možemo uočiti slijedeće: −3 2 2 2 cm cm / Vs cm / Vs cm / s cm 2 / s 1. za vrlo niske koncentracije primjesa krivulje asimptotski teže pokretljivosti µmax i ona je zapravo jednaka komponenti pokretljivosti uslijed raspršenja na atomima kristalne rešetke µl (vidi str. 1014 1421 458 36,7 11,8 53). Prema tome, pokretljivost nosilaca 1015 1386 452 35,8 11,6 će biti najveća u poluvodiču bez 1016 1228 420 31,8 10,9 primjesa; 17 10 783 311 20,2 8,03 2. za vrlo visoke koncentracije primjesa 18 10 311 150 8,05 3,88 krivulje asimptotski teže pokretljivosti 1019 131 70,2 3,39 1,82 µmin , kada prevladava mehanizam 1020 90,1 50,1 2,33 1,29 raspršenja na ioniziranim primjesama; 3. krivulje imaju točku infleksije kod koncentracije Nref ; 4. pokretljivost elektrona u siliciju je za sve koncentracije primjesa dva do tri puta veća od pokretljivosti šupljina. Slično vrijedi i za germanij i galij-arsenid, s time da je kod galijarsenida taj omjer još i veći (kreće se i do 20). Radi usporedbe, na slici 1.24 svjetlijom crtom su narisane i ovisnosti difuzijskih konstanti računate egzaktnim izrazima (1.104) i (1.105). Kao što se vidi, Einsteinova relacija daje dovoljno točne difuzijske konstante i za većinske nosioce do koncentracija oko 1019 cm−3.

µ cm2 / Vs

1400

35

1200

30

1000

n

800 600 400

p

200

25 20 15

D cm2 / s

10 5 0

0 14 15 16 17 18 19 20 10 10 10 10 10 10 10

N / cm–3 Slika 1.24. Ovisnost pokretljivosti i difuzijskih konstanti nosilaca o koncentraciji primjesa za silicij na 300 K. Zadatak 1.26

57


Zadatak 1.27 Grafički prikazati ovisnost pokretljivosti nosilaca o temperaturi za silicij koji je dopiran s 1014, 1017 i 1020 atoma primjesa/cm3, u intervalu temperatura od 200 K do 500 K.

Rješenje: Zadatak je sličan prethodnom, s time da se sada pokretljivosti traže na temperaturama različitim od 300 K, pa prije uvrštavanja koncentracija u (1.98) trebamo provesti temperaturnu korekciju parametara µmin , µmax , Nref i α prema formulama (1.99) - (1.103). Na primjer, pri T = 200 K, za elektrone dobivamo µmax = 3218 cm2/Vs (prema izrazu (1.99)), µmin = 96,0 cm2/Vs (1.101), Nref = 3,06⋅1016 cm−3 (1.102), odnosno α = 0,701 (1.103). S tim vrijednostima parametara možemo sada računati pokretljivosti elektrona na T = 200 K za Tablica 1.15. Ovisnost pokretljivosti nosilaca u sve zadane koncentracije primjesa prema siliciju o temperaturi za različite ukupne izrazu (1.98). Za šupljine su parametri na koncentracije primjesa. temperaturi od 200 K: µmax = 1113 cm2/Vs 2 (prema izrazu (1.100)), µmin = 54,0 cm /Vs N (1.101), Nref = 6,09⋅1016 cm−3 (1.102), 1014 1017 1020 1014 1017 1020 cm −3 odnosno α = 0,701 (1.103). Opisanim postupkom dobivene su brojčane vrijednosti u tablici 1.15, prema T kojima su nacrtane krivulje na slici 1.25. K Kako se sa slika vidi, s porastom temperature pokretljivost nosilaca opada. 200 To je izraženije kod slabo dopiranih 250 poluvodiča gdje prevladava mehanizam 300 raspršenja nosilaca na atomima kristalne 350 rešetke. Kod jako dopiranih materijala 400 prevladava mehanizam raspršenja na 450 ioniziranim primjesama koji ima suprotan 500 temperaturni koeficijent, pa se stoga oba mehanizma temperaturno kompenziraju. Kod nižih temperatura i viših koncentracija primjesa temperature pokretljivost nosilaca raste.

3000

14

–3

N=10 cm

µn 2000 cm / Vs 1017 1000 2

20

0 200

10

300

400

T/ K a)

µn

µp

cm 2 / Vs

cm 2 / Vs

3162 1044 107 1102 2039 910 97,1 681 1421 783 90,1 458 1046 669 84,5 328 802 570 80,0 245 634 487 76,3 190 514 418 73,1 151

493 391 311 248 200 163 135

59,9 54,2 50,1 46,7 44,0 41,7 39,8

može se dogoditi čak i da s porastom

1200 1000 N =1014 cm–3 800 µp 600 17 cm2 / Vs 400 10 200 1020 0 200 300 400 500

500

T/ K b)

Slika 1.25. Ovisnost pokretljivosti nosilaca u siliciju o temperaturi: a) elektroni, b) šupljine. Zadatak 1.27

58


1.5.3. Električna provodnost i električna otpornost poluvodiča

Na temelju poznatih koncentracija nosilaca i njihovih pokretljivosti možemo odrediti električnu provodnost (specifičnu vodljivost) poluvodiča koja je općenito

σ = q ⋅ ( n ⋅ µn + p ⋅ µ p ) .

(1.109)

Električna otpornost (specifični otpor) jednak je recipročnoj vrijednosti električne provodnosti 1 1 ρ= = . (1.110) σ q ⋅ ( n ⋅ µn + p ⋅ µ p )

Zadatak 1.28 Grafički prikazati ovisnost električne otpornosti silicija na T = 300 K o koncentraciji primjesa, ako je silicij dopiran samo donorskim, odnosno samo akceptorskim primjesama.

Rješenje: Ako je neto koncentracija primjesa u poluvodiču znatno veća od intrinsične koncentracije, tada će koncentracija većinskih nosilaca biti jednaka neto koncentraciji primjesa. Koncentracija većinskih nosilaca bit će puno veća od koncentracije manjinskih nosilaca, pa u izrazu za električnu provodnost (1.109) prevladava komponenta provodnosti većinskih nosilaca. Na primjer, za silicij n-tipa koji je dopiran samo donorskim primjesama, ako je ND >> ni , tada će biti n = ND , a električna provodnost σ = σ n = q ⋅ n ⋅ µn , odnosno električna otpornost

ρ=

1 . q ⋅ n ⋅ µn

Na T = 300 K intrinsična koncentracija ni = 1,38 ⋅ 1010 cm−3. Da bismo dobili traženi grafički prikaz, mijenjat ćemo koncentracije primjesa od 1014 cm−3 do 1020 cm−3, pa će koncentracija većinskih nosilaca biti uvijek jednaka koncentraciji primjesa. Za više koncentracije nema smisla provoditi račun budući da kod vrlo visokih koncentracija raste broj primjesnih atoma koji ne uspijevaju nadomjestiti matične atome u kristalnoj rešetki, tako da ukupni broj ne odgovara broju električki aktivnih primjesnih atoma. Kako se koncentracije primjesa mijenjaju u intervalu od nekoliko redova veličina, za prikaz ćemo koristiti logaritamsko mjerilo. Pri određivanju električne otpornosti poluvodiča prvo trebamo za odabranu koncentraciju primjesa odrediti pokretljivost većinskih nosilaca. Pokretljivost u ovisnosti o koncentraciji primjesa računamo iz (1.98)

µ = µ min +

µ max − µ min æ N + ND ö ÷ 1 + çç A ÷ è N ref ø

α

.

Za T = 300 K uvrštavamo parametre µmin , µmax , Nref i α izravno iz tablice 1.13. Tako na primjer, za ND = 1014 cm−3 dobivamo µn = 1421 cm2/Vs, n = ND = 1014 cm−3, σ = 22,8 mS/cm, a ρ = 1 / σ = 43,9 Ω cm. Zadatak 1.28

59


U tablici 1.16 navedene su električne provodnosti za niz koncentracija primjesa, a na slici 1.26 grafički su prikazani dobiveni rezultati. Kao što se sa slike vidi, električna otpornost poluvodiča pada gotovo obrnuto proporcionalno s porastom koncentracije primjesa, što je posljedica proporcionalnog porasta koncentracija većinskih nosilaca. Pad pokretljivosti nosilaca s koncentracijom primjesa uzrokuje neznatno odstupanje od ove (obrnute) proporcionalnosti. Najveća nelinearnost je Tablica 1.16. Ovisnost električoko točaka infleksije funkcija pokretljivosti nosilaca ne otpornosti silicija o koncentraciji primjesa na T = 300 K. (N = 2⋅1017 cm–3). Također, uočljivo je da je električna otpornost silicija p-tipa pri istoj koncentraciji primjesa veća nego silicija n-tipa. Uzrok tome je, naravno, manja ρ / Ωcm N pokretljivost šupljina. –3 cm n-tip p-tip Kada su koncentracije primjesa veće od približno 1019 cm−3, sve primjese ne uspiju nadomjestiti matične 1014 43,9 136 atome u kristalnoj rešetki silicija. Ti primjesni atomi će 1015 4,50 13,8 ostati električki neaktivni, pa će efektivna koncentracija 1016 0,508 1,49 primjesa biti niža od stvarne koncentracije. Ova je pojava 1017 0,0797 0,201 naročito izražena kod silicija dopiranog fosforom, te je električna otpornost silicija dopiranog s više od 1020 atoma 1018 0,0200 0,0416 19 fosfora po kubnom centimetru čak i veća od silicija 10 0,00476 0,00889 dopiranog s istom koncentracijom bora (vidi npr. [Irvin62, 1020 0,000693 0,00125 Beadle85]), iako je pokretljivost šupljina manja od pokretljivosti elektrona. Prema tome, na slici 1.26 je na apscisi efektivna koncentracija primjesa.

100

10

1

ρ Ωcm

p-tip 10

–1

n-tip

10 –2

10 –3 1014

1015

1016

1017

1018

1019

1020

N / cm–3 Slika 1.26. Ovisnost električne otpornosti silicija o koncentraciji primjesa na 300 K.

Zadatak 1.28

60


Zadatak 1.29 Izračunati električne provodnosti silicija na temperaturama od 300 K, 350 K, 400 K, 450 K i 500 K, ako je silicij: a) intrinsičan; b) dopiran s akceptorskom primjesom koncentracije NA = 1015 cm−3; c) dopiran s donorskom primjesom koncentracije ND = 1015 cm−3; d) dopiran i donorima i akceptorima, pri čemu su koncentracije NA = ND = 1015 cm−3.

Rješenje: a) Za intrinsični poluvodič dobiva se iz općenitog izraza (1.109) da je električna provodnost σ = q ⋅ ni ⋅ ( µ n + µ p ) . (1.111) Intrinsična koncentracija ovisi o temperaturi, dok pokretljivosti nosilaca ovise i o temperaturi i o koncentraciji primjesa u poluvodiču. Pokretljivosti ćemo računati pomoću izraza (1.98) - (1.103) navedenih na str. 53. Za T = 300 K intrinsična koncentracija je ni = 1,38 ⋅ 1010 cm−3. Kako je poluvodič intrinsičan (bez primjesa), u izrazima za ovisnost pokretljivosti o koncentraciji primjesa (1.98) µ max − µ min µ = µ min + α æ NA + ND ö ÷ 1 + çç ÷ è N ref ø ukupna koncentracija primjesa NA + ND = 0 . Zbog toga će pokretljivosti nosilaca biti jednake maksimalnim pokretljivostima µmax na pripadajućoj temperaturi. Parametri za računanje ovisnosti pokretljivosti nosilaca o koncentraciji primjesa u tablici 1.13 (str. 54) dani su upravo za 300 K, pa ne treba vršiti temperaturne korekcije parametara (1.99), odnosno (1.100), već tražene pokretljivosti dobivamo izravno iz tablice µn = µn,max (T = 300 K) = 1430 cm2/Vs, µp = µp,max (T = 300 K) = 460 cm2/Vs, a električna provodnost σ = 4,17 µS / cm. Na T = 350 K intrinsična koncentracija je ni = 4,86 ⋅ 1011 cm−3. Budući da se temperatura sada razlikuje od referentne temperature T = 300 K za koju su konstante u tablici 1.13 dane, moramo izvršiti temperaturne korekcije maksimalnih pokretljivosti. Pomoću izraza (1.99) dobiva se µn = 1051 cm2/ Vs, a pomoću (1.100) µp = 330 cm2/ Vs. Uvrštavanjem inTablica 1.17. Temperaturna ovisnost električne trinsične koncentracije i pokretljivosti provodnosti intrinsičnog silicija u zadatku 1.29a. nosilaca u (1.111) dobiva se µp σ = 108 µS / cm. µn ni T σ −3 2 2 K S / cm Isti postupak treba ponoviti i za cm cm / Vs cm / Vs preostale tri tražene temperature. U 300 1,38 ⋅ 1010 1430 460 4,17 ⋅ 10−6 tablici 1.17 dani su rezultati za sve 11 zadane temperature, zajedno s 350 4,86 ⋅ 10 1051 330 1,08 ⋅ 10−4 12 −3 pripadnim intrinsičnim koncentracija400 4,23 ⋅ 10 804 247 1,22 ⋅ 10 ma nosilaca i njihovim 13 −3 450 6,03 ⋅ 10 636 192 7,99 ⋅ 10 pokretljivostima, a na slici 1.27 13 −2 500 3,34 ⋅ 10 515 153 3,57 ⋅ 10 grafički je prikazana ovisnost

Zadatak 1.29

61


električne provodnosti o temperaturi. Kako se iz rezultata vidi, električna provodnost raste s porastom temperature. Uzrok tome je eksponencijalni porast koncentracije nosilaca nasuprot vrlo blagog pada pokretljivosti nosilaca.

10

−1

10 −2 10 −3 10 −4

intrinsični silicij

10 −5

σ 10 −6 S / cm 10

kompenzirani silicij

ND =NA = 1017 cm−3

−7

10 −8 10 −9 10 −10 10 −11 200

300

400

500

T/ K Slika 1.27. Temperaturna ovisnost električne provodnosti intrinsičnog silicija.

b) da je

Kod poluvodiča p-tipa koji je potpuno ekstrinsičan, tj. kod kojega je NA − ND >> ni , vrijedi p = N A − N D >> n ,

pa električna provodnost ovisi isključivo o većinskim nosiocima, te se u (1.109) može zanemariti komponenta električne provodnosti manjinskih nosilaca, tj. σ = σ p = q ⋅ p ⋅ µp . (1.112) Prema vrijednostima intrinsičnih koncentracija izračunatih u a) dijelu zadatka, vidimo da je za temperature niže od 450 K zadovoljen uvjet da je NA − ND = 1015 cm−3 >> ni , te je p = N A − N D = 1015 cm −3 .

U ovom primjeru zadano je da je prisutna samo akceptorska primjesa, pa u izrazu za određivanje pokretljivosti u ovisnosti o koncentraciji primjesa za ukupnu koncentraciju primjesa uvrštavamo N A + N D = N A = 1015 cm −3

Na T = 300 K pokretljivost većinskih šupljina dobit ćemo izravno iz (1.98) uz parametre iz tablice 1.13

µ p = 452 cm 2 / Vs , pa električna provodnost iznosi σ = 72,4 mS / cm. Zadatak 1.29

62


Za ostale temperature trebamo izvršiti temperaturnu korekciju parametara za formulu (1.98). Tako ćemo za T = 350 K pomoću formula (1.100) - (1.103) dobiti

µ p ,max = 330 cm 2 / Vs , µ p ,min = 42,0 cm 2 / Vs , N p ,ref = 3,65 ⋅ 1017 cm −3 ,

α p = 0,727 . Uvrštavanjem tih vrijednosti i zadane koncentracije primjesa u (1.98) dobit ćemo pokretljivost šupljina µp = 326 cm2/ Vs, a električnu provodnost σ = 52,2 mS / cm. Slično, za T = 400 K dobit ćemo


α p = 0,734 , pa je µp = 245 cm / Vs, a σ = 39,3 mS / cm. 2

Pri T = 450 K intrinsična koncentracija ni = 6,02 ⋅ 1013 cm−3 manja je od neto koncentracije primjesa za nešto više od reda veličine, pa ćemo koncentracije slobodnih nosilaca računati koristeći općenite izraze dobivene iz zakona termodinamičke ravnoteže i električke neutralnosti. Dobit ćemo

p=

N A + N A2 + 4 ⋅ ni2 2

n=

= 1,004 ⋅ 1015 cm − 3 ,

ni2 = 3,62 ⋅ 1012 cm −3 . p

Kako se koncentracije elektrona i šupljina razlikuju manje od dva reda veličine, električnu provodnost ćemo računati općenitim izrazom (1.109) σ = q ⋅ (n ⋅ µ n + p ⋅ µ p ) . Pokretljivosti šupljina i elektrona računat ćemo istim postupkom kao što smo u ovom dijelu zadatka već određivali pokretljivost šupljina. Za pokretljivost šupljina


α p = 0,739 , pa je µp = 191 cm / Vs, a šupljinska komponenta električne provodnosti σp = 30,6 mS / cm. Slično, za pokretljivost elektrona µ n ,max = 636 cm 2 / Vs , 2

µ n ,min = 66,7 cm 2 / Vs , N n ,ref = 4,10 ⋅ 1017 cm −3 ,

Zadatak 1.29

63


α n = 0,739 , pa je µn = 629 cm / Vs, a elektronska komponenta električne provodnosti σn = 365 µS / cm. Ukupna električna provodnost bit će σ = σ p + σ n = 31,0 mS / cm . 2

S obzirom da je i ovdje koncentracija bila p >> n , mogli smo kod određivanja električne provodnosti uzeti u obzir samo šupljinsku komponentu provodnosti. Greška koju bismo pri tome napravili bila bi oko 1,18 %. Međutim, općenito kod zanemarenja elektronske komponente treba voditi računa o činjenici da je pokretljivost elektrona dva do tri puta veća od pokretljivosti šupljina, pa treba gledati odnos između umnožaka p ⋅ µp i n ⋅ µn , a ne samo odnos koncentracija nosilaca. Na T = 500 K intrinsična koncentracija ni = 3,34 ⋅ 1014 cm−3 je istog reda veličine kao i neto koncentracija primjesa, pa trebamo uzeti u obzir obje komponente električne provodnosti. Postupkom identičnim kao i za T = 450 K dobit ćemo: - za šupljinsku komponentu provodnosti p = 1,10 ⋅ 1015 cm −3 ,

µ p ,max = 153 cm 2 / Vs , µ p ,min = 35,8 cm 2 / Vs , N p ,ref = 114 , ⋅ 1018 cm −3 ,

α p = 0,744 , µ p = 152 cm 2 / Vs , σ p = 8,30 mS / cm ; - za elektronsku komponentu provodnosti n = 1,01 ⋅ 1014 cm −3 ,

µ n ,max = 515 cm 2 / Vs , µ n ,min = 63,6 cm 2 / Vs , N n ,ref = 5,74 ⋅ 1017 cm −3 ,

α n = 0,744 ,

µ n = 511 cm 2 / Vs , σ n = 26,8 mS / cm ; - za ukupnu električnu provodnost σ = σ p + σ n = 35,1 mS / cm . Na temelju rezultata b) dijela zadatka vidimo da u ekstrinsičnom području s porastom temperature električna provodnost poluvodiča opada. Naime, električna provodnost je određena praktički samo komponentom provodnosti većinskih nosilaca, čije se koncentracije u ekstrinsičnom području gotovo ne mijenjaju, a njihove pokretljivosti opadaju s temperaturom. Pri prelasku u kvazi-intrinsično područje koncentracije nosilaca rastu, što se naročito odražava na koncentraciji manjinskih nosilaca, koja se svojim iznosom približava koncentraciji većinskih

Zadatak 1.29

64


nosilaca. Porast koncentracija nosilaca s temperaturom je u kvazi-intrinsičnom području znatno brži od pada njihovih pokretljivosti, pa električna provodnost počinje rasti i postepeno teži električnoj provodnosti intrinsičnog silicija (vidi sliku 1.28 na str. 66).

c) Kod poluvodiča n-tipa sva razmatranja i proračuni provode se na isti način kao i u slučaju poluvodiča p tipa, s time da u ekstrinsičnom području možemo zanemariti šupljinsku komponentu provodnosti. Za T = 300 K n = N D − N A = 1015 cm −3 >> ni , p ,

pa je ukupna električna provodnost jednaka elektronskoj komponenti σ = σ n = q ⋅ n ⋅ µn .

(1.113)

Za pokretljivost elektrona iz (1.98) dobivamo µn = 1386 cm / Vs, te je σ = 222 mS/cm. 2

Za T = 350 K još uvijek je n = N D − N A = 1015 cm −3 >> ni , p .

Temperaturne korekcije (1.99) i (1.101) - (1.103) parametara za formulu ovisnosti pokretljivosti o koncentraciji (1.98) daju µ n ,max = 1051 cm 2 / Vs ,

µ n ,min = 74,6 cm 2 / Vs , N n ,ref = 1,83 ⋅ 1017 cm −3 ,

α n = 0,727 , pa je µn = 1030 cm / Vs, a σ = σn = 165 mS / cm. 2

Za T = 400 K n = N D − N A = 1015 cm −3 >> ni , p .


α n = 0,734 , µ n = 792 cm 2 / Vs , σ = σ n = 127 mS / cm . Za T = 450 K n = N D − N A = 1015 cm −3 >> ni , p .


α n = 0,739 ,

Zadatak 1.29

65


µ n = 629 cm 2 / Vs , σ = σ n = 101 mS / cm . Zanemarenje šupljinske komponente električne provodnosti uzrokovalo je pogrešku od oko 0,16 %. Za T = 500 K više ne možemo zanemariti šupljinsku komponentu vodljivosti jer je n = N D − N D = 1015 cm −3 = ni , p .

Zbog toga moramo koncentracije nosilaca računati preko potpunih izraza

n=

N D + N D2 + 4 ⋅ ni2 2

= 110 , ⋅ 1015 cm − 3 ,

ni2 = 1,01 ⋅ 1014 cm − 3 . n Pri računanju elektronske komponente provodnosti dobivamo p=


α n = 0,744 , µ n = 511 cm 2 / Vs , σ n = 90,1 mS / cm , a pri računanju šupljinske komponente

µ p ,max = 153 cm 2 / Vs , µ pn ,min = 35,8 cm 2 / Vs , N p ,ref = 114 , ⋅ 1018 cm −3 ,

α p = 0,744 , µ p = 152 cm 2 / Vs , σ p = 2,47 mS / cm , tako da je ukupna provodnost

σ = σ n + σ p = 92,6 mS / cm .

I za ovaj dio zadatka vrijede slična razmatranja kao i u b) dijelu. Kako su većinski nosioci elektroni, električna provodnost poluvodiča n-tipa veća je od električne provodnosti poluvodiča p-tipa na istoj temperaturi i za istu koncentraciju primjesa, zbog toga što je pokretljivost elektrona veća od pokretljivosti šupljina. Također, budući da pokretljivost elektrona brže opada s temperaturom (vidi sliku 1.25), porast električne provodnosti pri prelasku u kvazi-intrinsično područje nastupa pri višim temperaturama nego za poluvodič p-tipa. To se može uočiti i na grafičkom prikazu temperaturnih ovisnosti električne provodnosti, slika 1.28. Radi usporedbe, na slici su nacrtane i krivulje za poluvodiče n- i p-tipa koji su dopirani nižom koncentracijom primjesa (1014 cm−3), kao i za intrinsični poluvodič. Kako se i vidi, prelaskom u kvazi-intrinsično temperaturno područje, električna provodnost postepeno teži provodnosti intrinsičnog poluvodiča Zadatak 1.29

66


1

n-tip 10

−1

σ S / cm

p- tip

15

10 cm

n- tip

10

−2

–3

p-tip 14

10 cm

-3

intrinsični silicij 10

−3

200

300

400

500

600

T/K Slika 1.28. Temperaturna ovisnost električne provodnosti za dopirani silicij.

- oblik krivulje je isti, ali su vrijednosti za dopirane poluvodiče niže, jer je i pokretljivost nosilaca u njima manja. To se na slici odražava u presijecanju krivulja za dopirane poluvodiče p-tipa sa krivuljom za intrinsični poluvodič. Sa slike 1.28 stječe se dojam da prema visokim temperaturama (iznad presjecišta s intrinsičnom provodnošću) provodnost poluvodiča dopiranih akceptorima počinje rasti prema intrinsičnoj provodnosti, međutim taj je privid posljedica logaritamskog mjerila na ordinati.

d) Poluvodič kojemu su dodane i donorske i akceptorske primjese istih iznosa imat će n = p = ni . Radi se dakle o potpuno kompenziranom, kvazi-intrinsičnom poluvodiču. Zbog prisutnosti ukupne koncentracije primjesa N A + N D = 2 ⋅ 1015 cm −3 , pokretljivosti nosilaca, a time i električne provodnosti σ = q ⋅ ni ⋅ ( µ n + µ p ) , na pojedinim temperaturama će biti niže nego kod potpuno intrinsičnog poluvodiča. Na T = 300 K ni = 1,38 ⋅ 1010 cm−3. Pokretljivosti nosilaca dobit ćemo uvrštavanjem parametara iz tablice 1.13 izravno u (1.98): µn = 1359 cm2/ Vs, µp = 447 cm2/ Vs, te je σ = 3,99 µS / cm. Za preostale temperature pri izračunavanju pokretljivosti nosilaca prvo trebamo provesti temperaturnu korekciju parametara za izraz (1.98). Kako smo u a) dijelu zadatka za navedene temperature već provodili temperaturne korekcije parametara i računali intrinsične koncentracije nosilaca, postupak nećemo ponavljati, već ćemo rezultate dati u tablici 1.18.

Zadatak 1.29

67


Može se uočiti da i za kompenzirani poluvodič električna provodnost s porastom temperature raste. Eksponencijalni porast koncentracije nosilaca u potpunosti nadvisuje prilično blagi pad pokretljivosti s porastom temperature. Kako se električne provodnosti za ovaj poluvodič i za potpuno intrinsičan poluvodič ne razlikuju puno, krivulje temperaturne ovisnosti električne provodnosti praktički se poklapaju. Zbog toga je na slici 1.27 ucrtana krivulja za kompenzirani poluvodič sa znatno višom koncentracijom primjesa (NA = ND = 1017 cm−3).

Tablica 1.18. Temperaturna ovisnost električne provodnosti kompenziranog silicija u zadatku 1.29d.

T K 300 350 400 450 500

µp µn 2 cm / Vs cm 2 / Vs

ni cm

−3

1,38 ⋅ 1010 4,86 ⋅ 1011 7,23 ⋅ 1012 6,03 ⋅ 1013 3,34 ⋅ 1015

1359 1015 785 625 508

447 323 244 190 152

σ S / cm 3,99 ⋅ 10−6 1,04 ⋅ 10−4 1,19 ⋅ 10−3 7,86 ⋅ 10−3 3,53 ⋅ 10−2

Zadatak 1.30 Na komadić silicija p-tipa oblika kvadra, dopiranog s NA = 1016 cm−3, priključen je napon U = 5 V, prema slici 1.29. Duljina kvadra L = 50 µm, a površina njegovog presjeka S = 10 µm2. T = 300 K. Izračunati: a) struju koja teče kroz otpornik; b) električnu otpornost silicija i otpor kvadra; c) koncentraciju donora ND kojom bi morao biti dopiran komadić silicija n-tipa istih geometrijskih dimenzija, da bi kroz njega u istom strujnom krugu tekla jednaka struja.

0

L

x S

I

+ U Slika 1.29. Strujni krug u zadatku 1.30.

Rješenje: a) Radi se o ekstrinsičnom poluvodiču, pa će struja kroz poluvodič biti pretežno driftna struja većinskih nosilaca (šupljina) dU I fp = − S ⋅ q ⋅ p ⋅ µ p ⋅ = S ⋅q ⋅ p⋅µp ⋅ . dx Iz zadane koncentracije akceptora možemo izračunati koncentraciju šupljina p = NA = 1016 cm−3, te njihovu pokretljivost µp = 420 cm2/ Vs, a iz poznatog priključenog napona i duljine poluvodiča možemo izračunati jakost električnog polja (uz pretpostavku da je polje u poluvodiču homogeno) U = − = −1 kV cm . L Na temelju ovih podataka dobivamo da je struja Ifp = − 67,3 µA. Struja i električno polje su negativni, jer je njihov smjer suprotan referentom smjeru na slici 1.29.

Zadatak 1.30

68


b) Električna provodnost zadanog silicija je σ = q ⋅ µ p ⋅ p = q ⋅ µp ⋅ N A = 0,673 S / cm , tako da je električna otpornost

ρ=

1

σ

=

1 = 1,49 Ωcm . q ⋅ µp ⋅ N A

Stoga je otpor kvadra

R = ρ⋅

L = 74,3 kΩ . S

c) Ako se navedeni komadić silicija zamijeni komadićem silicija n-tipa, uz sasvim realnu pretpostavku da će i taj silicij biti ekstrinsičan, najveći dio struje kroz njega će biti driftna struja elektrona I fn = S ⋅ q ⋅ µ n ⋅ n ⋅ . Da bi driftne struje u oba slučaja bile jednake, tj. S ⋅ q ⋅ µ p ⋅ p ⋅ = S ⋅ q ⋅ µn ⋅ n ⋅ , slijedi da mora biti zadovoljena jednakost q ⋅ µ p ⋅ p = q ⋅ µn ⋅ n , pri čemu su p i µp s lijeve strane znaka jednakosti, odnosno n i µn s desne strane znaka jednakosti koncentracije i pokretljivosti za prvi odnosno drugi komadić silicija. Lijeva strana gornje jednadžbe je električna provodnost izračunata u b) dijelu zadatka (σ = 0,673 S/cm). Uz pretpostavku da je i drugi poluvodič ekstrinsičan, tj. da koncentracija većinskih elektrona odgovara koncentraciji donora, gornji izraz možemo pisati kao σ = q ⋅ µn ⋅ N D . Izlučivanjem tražene koncentracije donora, dobiva se σ ND = . q ⋅ µn Ipak, koncentraciju donora još uvijek ne možemo izračunati, jer nam nedostaje pokretljivost elektrona, a ona ovisi o koncentraciji donora µ n ,max − µ n ,min µ n = µ n ,min + . α æ ND ö ÷ 1 + çç ÷ è N n ,ref ø Uvrštavanjem pokretljivosti elektrona u prethodni izraz i sređivanjem, dobivamo jednadžbu

ND =

Zadatak 1.30

σ ⋅ q

æ ND 1 + çç è N n ,ref

1 σ = ⋅ µn ,max − µn ,min q æ N µn ,min + α µn ,min ⋅ çç D æ ND ö è N n ,ref ÷ 1 + çç ÷ è N n ,ref ø

α

ö ÷ ÷ ø

α

ö ÷ + µn ,max ÷ ø

,

69


iz koje se koncentracija donora ne da eksplicitno izlučiti. Takva jednadžba naziva se transcedentnom jednadžbom i ona se može riješiti samo numerički, npr. postupkom sekante, postupkom tangente (Newton-Raphsonov postupak) [Dahlquist74, Demidovich81]. Mi ćemo primijeniti iteracijski postupak (vidi Prilog A na kraju Zbirke). Prvo ćemo pretpostaviti neko moguće rješenje i njega ćemo uvrstiti u desnu stranu gornje jednadžbe. Kako je pokretljivost elektrona u siliciju oko dva do tri puta veća od pokretljivosti šupljina, logično je pretpostaviti da će tražena koncentracija donora u drugom komadiću silicija biti oko dva do tri puta manja od poznate koncentracije akceptora u prvom komadiću silicija. Stoga ćemo za početak pretpostaviti rješenje ND = 1015 cm−3, te ćemo ga uvrstiti u desnu stranu gornje jednadžbe. Izračunavanjem desne strane, dobit ćemo novu vrijednost koncentracije donora ND = 3,029 ⋅ 1015 cm−3, koju ćemo ponovo uvrstiti u desnu stranu jednadžbe. Postupak iteracije ponavljamo sve dok se u dvije uzastopne iteracije tražene vrijednosti razlikuju više od nekog unaprijed zadanog (relativnog) iznosa. Za naš zadatak mi ćemo se zadovoljiti točnošću na dvije decimalne znamenke, pa ćemo iteraciju ponavljati sve dok promjena treće decimalne znamenke ne bude manja od 5. Naime, ako postupak konvergira, za očekivati je da se tada vrijednost druge znamenke neće više mijenjati. Iz podataka u tablici 1.19, u kojoj su dane međuvrijednosti za cijeli naš postupak iteracije, vidimo da je već nakon druge iteracije promjena treće decimalne znamenke jednaka 5. Zbog toga smo proveli još jedan korak, u kojem se vrijednost na trećoj znamenki nije promijenila (vrijednosti su zaokružene na tri decimalna mjesta!), pa možemo reći da smo dobili traženo rješenje ND = 3,15 ⋅ 1015 cm−3. Tablica 1.19. Postupak iteracije u zadatku 1.30.

korak

0

1

2

3

4

N D / cm −3

1015

3,029 ⋅ 1015

3,142 ⋅ 1015

3,147 ⋅ 1015

3,147 ⋅ 1015

Zadatak 1.31 Izračunajte kolika je na 300 K električna provodnost silicija dopiranog s 1017 atoma akceptora / cm3. Kolika će biti električna provodnost ako se taj silicij: a) dodatno dopira jednakom koncentracijom akceptora, ili b) dodatno dopira dvostruko većom koncentracijom donora?

Rješenja: σ = 4,98 S/cm, a) σ = 8,35 S/cm, b) σ = 8,41 S/cm.

Zadatak 1.32 Izračunajte koncentraciju bora kojom je dopiran silicij koji na 300 K ima električni otpor 2 Ωcm. Rješenje: NA = 7,30⋅1015 cm–3.

Zadatak 1.31

70


Zadatak 1.33 Odredite koje se sve koncentracije i tipovi primjesa mogu pridodati siliciju iz prethodnog zadatka, da bi se električna otpornost na 300 K: a) smanjila dva puta, b) udvostručila.

Rješenja: a) NA = 8,02⋅1015 cm–3 ili ND = 1,28⋅1016 cm–3, b) ND = 3,57⋅1015 cm–3 ili ND = 8,64⋅1015 cm–3.

Zadatak 1.34 Silicij je dopiran s 1016 fosfora / cm3. Odredite koje primjese (tip i koncentraciju) treba dodati u najmanjoj količini da bi mu se električna provodnost na 300 K: a) udvostručila, odnosno b) prepolovila.

Rješenja: a) ND = 1,21⋅1016 cm–3, b) NA = 4,77⋅1015 cm–3.

Zadatak 1.35 Izračunajte koncentraciju primjesa u siliciju koji na 350 K ima električnu otpornost 0,1 Ωcm, ako je silicij dopiran: a) samo donorskim primjesama; b) samo akceptorskim primjesama.

Rješenja: a) ND = 9,13·1016 cm–3, b) NA = 3,27·1017 cm–3.

Zadatak 1.36 Izračunajte električnu otpornost silicija dopiranog s ND = 3⋅1016 cm–3 na temperaturi T = 300 K. Odredite kolika je postotna promjena elektronske komponente električne provodnosti (σn = q⋅µn⋅n), a kolika šupljinske komponente električne provodnosti (σp = q⋅µp⋅p) poveća li se temperatura za 1 °C, ako se: a) zanemari temperaturna ovisnost pokretljivosti nosilaca; b) uzme u obzir temperaturna ovisnost pokretljivosti.

Rješenja: ρ = 0,198 Ωcm, a) ∆σn / σn = 3,78⋅10–12 %, ∆σp / σp = 17,9 %, b) ∆σn / σn = −0,451 %, ∆σp / σp = 17,4 %

Zadatak 1.33

71

1.6. Rekombinacijski procesi

1.6. Rekombinacijski procesi* U uvjetima termodinamičke ravnoteže broj generiranih parova elektron-šupljina jednak je broju rekombiniranih parova - generacija nosilaca uravnotežena je njihovom rekombinacijom. To znači da ako se na nekom mjestu u kristalnoj rešetki oslobodi jedan valentni elektron (iskoči iz valentnog u vodljivi pojas), nekako u isto vrijeme negdje u blizini mora se neki slobodni elektron rekombinirati. U protivnom bi došlo do porasta ili do pada koncentracija nosilaca od ravnotežnih vrijednosti. Kada se u poluvodiču pod nekim vanjskim utjecajem poremeti termodinamička ravnoteža, tj. kada je p⋅n ≠ ni2, procesi generacije, odnosno rekombinacije nastojat će vratiti sustav u stanje ravnoteže. Ako je p⋅n < ni2, tj. kada su koncentracije nosilaca manje od ravnotežnih koncentracija, generacija nosilaca prevladavat će nad rekombinacijom. Naprotiv, kada su koncentracije nosilaca veće od ravnotežnih (p⋅n > ni2), prevladavat će rekombinacija nosilaca. Radi jednostavnosti, u daljnjem ćemo tekstu govoriti uglavnom o rekombinaciji, iako sva razmatranja vrijede i za generaciju nosilaca. 1.6.1. Izravna rekombinacija između valentnog i vodljivog pojasa Najjednostavniji primjer rekombinacije je izravna rekombinacija elektrona iz vodljivog i šupljine iz valentnog pojasa. Taj je proces suprotan procesu generacije para elektron-šupljina koji smo dosada spominjali. Pri rekombinaciji elektron gubi energiju, te stoga dolazi do emisije svjetla ili topline (tzv. radijacijska rekombinacija), ili se ta energija prenosi na neki slobodni elektron ili šupljinu povećavajući njihovu kinetičku energiju (tzv. Augerova rekombinacija). U poluvodičima poput galij-arsenida, u kojima se vrh valentnog i dno vodljivog pojasa nalaze pri istoj vrijednosti valnog vektora k (tzv. poluvodiči s direktnim zabranjenim pojasom, slika 1.30a), za generaciju para elektron-šupljina dovoljno je elektronu iz valentnog pojasa dati energiju jednaku širini zabranjenog pojasa. Tu

E

E vodljivi pojas

b

EG

EG

a

a

k

k valentni pojas

a)

b)

Slika 1.30. Energetski dijagram: a) poluvodiča s direktnim zabranjenim pojasom; b) poluvodiča s indirektnim zabranjenim pojasom.

72


energiju u većini slučajeva osigurava vanjsko zračenje (npr. svjetlo), odnosno kvanti tog zračenja - fotoni. Pri rekombinaciji, tj. pri povratu elektrona u valentni pojas, doći će do oslobađanja energije, npr. do zračenja svjetla. U poluvodičima s indirektnim zabranjenim pojasom, poput silicija i germanija (slika 1.30b), osim što elektronu iz vodljivog pojasa treba dodati energiju EG (korak a na slici 1.30b), treba mu promijeniti i moment (korak b na slici 1.30b). Moment koji mogu dati fotoni je znatno manji od momenta koji imaju kvanti mehaničke energije (npr. titranja kristalne rešetke) - fononi. S druge strane, energija koju mogu dati fononi je puno manja od energija fotona, pa možemo naslutiti da je vjerojatnost izravne rekombinacije u siliciju i germaniju vrlo mala [Lindmayer65, Blakemore74, Kittel76]. 1.6.2. Rekombinacija kroz energetske zamke u zabranjenom pojasu Kako smo vidjeli u slučaju donorskih i akceptorskih primjesa, defekti u kristalnoj rešetki† redovito unose energetska stanja u zabranjeni pojas poluvodiča. Kod donora i akceptora ta su stanja vrlo blizu vrhu, odnosno dnu zabranjenog pojasa, pa uzrokuju porast koncentracija elektrona, odnosno šupljina. Energetska stanja unutar zabranjenog pojasa (tzv. zamke, engl. traps) olakšavaju prelazak elektrona iz valentnog u vodljivi pojas tijekom generacije, odnosno iz vodljivog u valentni pojas tijekom rekombinacije, jer služe kao međupostaje u procesu prelaska elektrona. Energetska stanja blizu sredine zabranjenog pojasa naročito pogoduju rekombinacijskim procesima, te se obično nazivaju rekombinacijskim centrima (engl. recombination centers). Teoriju generacije i rekombinacije kroz energetska stanja u zabranjenom pojasu uspješno su razradili Shockley i Read [Shockley52], te Hall [Hall52], pa se često ta teorija naziva Shockley-Hall-Readova (SHR) teorija. Iako SHR teorija pretpostavlja da se sve zamke nalaze na istoj energiji Et (tzv. monoenergetske zamke), ona se uspješno može primijeniti i na poluvodiče dopirane primjesama koje unose više zamki na različitim energijama. Na slici 1.31 prikazana su četiri osnovna procesa generacije - rekombinacije kroz jednu energetsku zamku u zabranjenom pojasu: a) hvatanje elektrona iz vodljivog pojasa u zamku, b) emisija elektrona iz zamke u vodljivi pojas (proces suprotan prethodnom), c) hvatanje šupljine iz valentnog pojasa u zamku i d) emisija šupljine iz zamke u valentni pojas (proces suprotan prethodnom). Procesi c) i d) mogu se shvatiti i kao prijelaz elektrona iz zamke u valentni pojas, odnosno elektrona iz valentnog pojasu u zamku. Da bi se pomoću zamke generirao par elektron-šupljina, prvo mora doći do emisije šupljine iz zamke u valentni pojas (odnosno emisije elektrona iz valentnog pojasa u zamku, proces d)), a zatim do emisije elektrona iz zamke u vodljivi pojas (proces b)). Za rekombinaciju para elektron-šupljina pomoću zamke, prvo treba doći do hvatanja elektrona iz vodljivog pojasa u zamku (proces a)), a †

I donorski, odnosno akceptorski atomi su defekti jer poremećuju periodičnost kristalne rešetke!

73


Ec en

cn

Et

prije

cp

ep Ev

Ec Et

poslije

Ev a)

b)

c)

d)

Slika 1.31. Rekombinacijski procesi kroz jednu energetsku zamku: a) hvatanje elektrona, b) emisija elektrona, c) hvatanje šupljine, d) emisija šupljine [Shockley52].

zatim do hvatanja šupljine iz valentnog pojasa u zamku (tj. prelaska elektrona iz zamke u valentni pojas - proces c)). Tijekom ovih procesa zamka je popunjena. Shockley-Hall-Readova teorija pretpostavlja da postoji koncentracija Nt zamki koje unose samo jedan energetski nivo Et unutar zabranjenog pojasa. Vjerojatnost da je ta energetska zamka zauzeta, tj. popunjena elektronom određena je Fermi-Diracovom funkcijom vjerojatnosti

ft =

1 æ E − EF ö 1 + exp ç t ÷ è ET ø

,

(1.114)

dok je vjerojatnost da je zamka popunjena šupljinom (prazna) jednaka 1 − ft . Kako je Nt koncentracija zamki, umnožak Nt ⋅f t jednak je koncentraciji rekombinacijskih centara popunjenih elektronom, dok je Nt ⋅(1 − f t ) koncentracija nepopunjenih centara. Hvatanje elektrona (rekombinacijski proces a)) proporcionalno je koncentraciji elektrona i koncentraciji energetskih zamki koje nisu popunjene elektronima Rn = vth ⋅ σ n ⋅ n ⋅ N t ⋅ (1 − f t ) .

(1.115)

Rn je mjera za hvatanje (engl. electron capture rate) - broj uhvaćenih elektrona u jedinici vremena i jedinici volumena, vth je termička brzina nosilaca elektrona†

†

Prijevod mjera je upotrebljen umjesto ponegdje korištenog prijevoda brzina, budući da postoji druga veličina koja se naziva brzina rekombinacije (engl. recombination velocity), a koja stvarno ima dimenziju brzine (cm/s). Doslovni prijevod bi bio stopa, ali on zvuči previše “bankarski”.

74


vth =

3⋅ ET

, (1.116) m* a σn presjek hvatanja elektrona (engl. electron capture cross section), mjera koliko elektron mora biti blizu rekombinacijskog centra da bi bio uhvaćen. Presjek hvatanja je dimenzije reda veličine atoma. Emisija elektrona (proces b)) proporcionalna je koncentraciji zamki koje su popunjene elektronima Gn = en ⋅ N t ⋅ f t ,

(1.117)

gdje je Gn mjera emisije elektrona (engl. electron emission rate), a en vjerojatnost emisije elektrona iz popunjene zamke u vodljivi pojas. Ona će biti to veća što je energija zamke bliža vodljivom pojasu. Na sličan način mogu se definirati mjera hvatanja šupljina (za proces c)) i mjera emisije šupljina (za proces d))

R p = vth ⋅ σ p ⋅ p ⋅ N t ⋅ f t ,

(1.118)

G p = e p ⋅ N t ⋅ (1 − f t ) .

(1.119)

Kao što vidimo, mjera hvatanja šupljina proporcionalna je koncentraciji šupljina i koncentraciji energetskih zamki popunjenih elektronima budući da u ovom procesu dolazi zapravo do emisije elektrona iz zamke u valentni pojas. σp je presjek hvatanja šupljina. Mjera emisije šupljine iz prazne zamke u valentni pojas (a zapravo emisije elektrona iz valentnog pojasa u zamku) proporcionalna je vjerojatnosti emisije šupljina ep i koncentraciji nepopunjenih zamki. Vjerojatnost emisije šupljina bit će to veća što je zamka bliža valentnom pojasu. Mjera za neto rekombinaciju/generaciju jednaka je razlici mjera za generaciju i rekombinaciju elektrona (izrazi (1.115) i (1.117)), odnosno šupljina (izrazi (1.118) i (1.119)) R = Rn − Gn = R p − G p ,

(1.120)

budući da se elektroni i šupljine uvijek rekombiniraju i generiraju u paru. Ovo ne vrijedi kod naglih promjena koncentracija nosilaca, međutim ponašanje rekombinacijskih procesa pod tim uvjetima nije potpuno razjašnjeno, te se obično taj utjecaj zanemaruje [Selberherr84]. Ako rekombinacija prevladava nad generacijom nosilaca, neto rekombinacija R će biti pozitivna veličina. Naprotiv, prevladava li generacija nosilaca, R će biti negativna veličina. Uz rekombinacijske procese vezano je i vrijeme života manjinskih nosilaca prosječno vrijeme od generacije nosioca do njegove rekombinacije. Vrijeme života proporcionalno je vremenu potrebnom da se nakon poremećaja stanja ravnoteže koncentracija manjinskih nosilaca vrati na ravnotežnu vrijednost. Na primjer, za manjinske elektrone

75


τn =

n p − n0 p R

.

(1.121)

Zadatak 1.37 [Shockley52, Grove67] Izvesti izraz za mjeru neto rekombinacije/generacije preko jedne energetske zamke u zabranjenom pojasu poluvodiča u ovisnosti o koncentracijama nosilaca. Rješenje: Mjera neto rekombinacije/generacije nosilaca definirana je izrazom (1.120). Da bismo ga mogli upotrijebiti, trebamo mjere za emisiju elektrona (1.117), odnosno šupljina (1.119) izraziti preko istih fizikalnih veličina kao i mjere za hvatanje elektrona (1.115), odnosno šupljina (1.118). U stanju ravnoteže proces emisije elektrona (a)) mora biti uravnotežen procesom hvatanja elektrona (b)) (Rn = Gn), a proces emisije šupljina (c)) uravnotežen procesom hvatanja šupljina (d)) (Rp = Gp). Kada to ne bi vrijedilo, došlo bi do promjene koncentracija elektrona, odnosno šupljina. Izjednačimo li mjeru za hvatanje elektrona (1.115)

Rn = v th ⋅ σ n ⋅ n ⋅ N t ⋅ (1 − f t ) = v th ⋅ σ n ⋅ n ⋅ N t ⋅

æ E − EF ö exp ç t ÷ è ET ø æ E − EF ö 1 + exp ç t ÷ è ET ø

,

(1.122)

s mjerom za emisiju elektrona (1.117)

Gn = en ⋅ N t ⋅ f t = en ⋅ N t ⋅

1 æ E − EF ö 1 + exp ç t ÷ è ET ø

,

dobit ćemo da je vjerojatnost emisije elektrona æ E − EF ö en = v th ⋅ σ n ⋅ n ⋅ exp ç t ÷. è ET ø

(1.123)

Uvrstimo li u (1.123) izraz za koncentraciju elektrona æ E − E Fi ö n = ni ⋅ exp ç F ÷ ET è ø

dobit ćemo æ E − E Fi ö en = v th ⋅ σ n ⋅ ni ⋅ exp ç t ÷ = v th ⋅ σ n ⋅ n1 , è ET ø

(1.124)

gdje je æ E − E Fi ö n1 = ni ⋅ exp ç t ÷ è ET ø

ravnotežna koncentracija elektrona u poluvodiču kojem se Fermijev nivo poklapa s energetskim nivoom zamke EF = Et .

76


Na sličan način, izjednačavanjem mjera za hvatanje šupljina (1.118) i mjera za emisiju šupljina (1.119), uz uvrštenu koncentraciju šupljina æ E − EF ö p = ni ⋅ exp ç Fi ÷ ET è ø

dobili bismo æ E − Et ö e p = v th ⋅ σ p ⋅ ni ⋅ exp ç Fi ÷ = v th ⋅ σ p ⋅ p1 . è ET ø

(1.125)

æ E − Et ö p1 = ni ⋅ exp ç Fi ÷ è ET ø

je ravnotežna koncentracija šupljina u poluvodiču kojem se Fermijev nivo nalazi na energiji rekombinacijske zamke. Kao što se vidi iz izraza (1.124) i (1.125), vjerojatnosti emisija pripadajućih nosilaca rastu što su energetske zamke bliže vodljivom, odnosno valentnom pojasu, jer rastu vrijednosti eksponencijalnih funkcija. Pretpostavimo sada da zbog djelovanja svjetla dolazi do generacije parova elektron-šupljina jednoliko, po cijelom volumenu poluvodiča. Broj generiranih parova po jedinici volumena i jedinici vremena označit ćemo kao GL . U stacionarnim uvjetima, broj elektrona koji uđu u vodljivi pojas bit će jednak broju elektrona koji će ga napustiti, tj. koncentracija elektrona se ne mijenja s vremenom dn = G L − ( Rn − G n ) = 0 . (1.126) dt Isto vrijedi i za šupljine dp = GL − (Rp − Gp ) = 0 . (1.127) dt Ovdje valja uočiti razliku između stacionarnog stanja, kada se koncentracije nosilaca ne mijenjaju s vremenom, ali nisu jednake ravnotežnima, i stanja ravnoteže. Izjednačavanjem (1.126) s (1.127) dobivamo izraz (1.120) R = Rn − G n = R p − G n , pa ćemo nadalje mjeru za razliku između rekombinacije i generacije (neto rekombinaciju/ generaciju) nosilaca označavati jedinstvenim simbolom R. Uvrštavanjem (1.115), (1.117), (1.118), i (1.119) u gornju jednakost dobiva se v th ⋅ σ n ⋅ n ⋅ N t ⋅ (1 − f t ) − en ⋅ N t ⋅ f t = v th ⋅ σ p ⋅ p ⋅ N t ⋅ f t − e p ⋅ N t ⋅ (1 − f t ) . Iskoristimo li izraze (1.124) i (1.125) koje smo izveli, dobit ćemo v th ⋅ σ n ⋅ n ⋅ N t ⋅ (1 − f t ) − vth ⋅ σ n ⋅ n1 ⋅ N t ⋅ f t = v th ⋅ σ p ⋅ p ⋅ N t ⋅ f t − v th ⋅ σ p ⋅ p1 ⋅ N t ⋅ (1 − f t ) , iz čega možemo izraziti funkciju vjerojatnosti popunjena energetske zamke u neravnotežnim uvjetima ft =

σ n ⋅ n + σ p ⋅ p1 σ n ⋅ (n + n1 ) + σ p ⋅ ( p + p1 )

,

(1.128)

odnosno vjerojatnost da je zamka prazna 1− ft =

Zadatak 1.37

σ p ⋅ p + σ n ⋅ n1 σ n ⋅ ( n + n1 ) + σ p ⋅ ( p + p1 )

.

(1.129)

77


Gornje funkcije vjerojatnosti popunjenosti energetske zamke razlikuju se od ravnotežne funkcije vjerojatnosti! Pošto smo odredili i funkcije vjerojatnosti popunjenja zamki, možemo završiti izvod izraza za neto rekombinaciju. Kako su mjere za neto rekombinaciju elektrona i šupljina međusobno jednake (koliko se elektrona rekombiniralo, toliki mora biti i broj šupljina s kojima su se ti elektroni rekombinirali), svejedno je za koje ćemo nosioce izvesti izraz - rezultat mora biti isti. Mi ćemo ovdje koristiti izraze za elektrone, pa ćemo u definicijsku jednadžbu (1.120) uvrstiti izraze za mjeru hvatanja elektrona (1.115) i mjeru emisije elektrona (1.117) R = Rn − Gn = v th ⋅ σ n ⋅ n ⋅ N t ⋅ (1 − f t ) − en ⋅ N t ⋅ f t = = v th ⋅ σ n ⋅ n ⋅ N t ⋅ (1 − f t ) − v th ⋅ σ n ⋅ n1 ⋅ N t ⋅ f t .

(1.130)

U drugom retku izraza (1.130) iskoristili smo izraz (1.124). Ako uvrstimo još i funkcije vjerojatnosti (1.128) i (1.129), nakon svođenja na zajednički nazivnik i sređivanja dobit ćemo

n ⋅ p − n1 ⋅ p1 = σ n ⋅ (n + n1 ) + σ p ⋅ ( p + p1 )

R = σ n ⋅ σ p ⋅ vth ⋅ N t ⋅ = σ n ⋅ σ p ⋅ v th ⋅ N t ⋅

n ⋅ p − ni2 . σ n ⋅ (n + n1 ) + σ p ⋅ ( p + p1 )

(1.131)

Umnožak n1 ⋅ p1 smjeli smo nadomjestiti kvadratom intrinsične koncentracije budući da se radi o ravnotežnim koncentracijama. Iz brojnika ovog izraza vidimo da će rekombinacija (odnosno generacija) biti to veća što je veće odstupanje od stanja termodinamičke ravnoteže. Ako je umnožak koncentracija n⋅p > n2i , razlomak će biti pozitivan, pa će i neto rekombinacija biti pozitivna, tj. rekombinacija nosilaca prevladavat će nad generacijom. Obrnuto, za n⋅p < n2i prevladavat će generacija nosilaca. Kada je n⋅p = n2i , brojnik u (1.131) jednak je nuli, pa je i neto rekombinacija jednaka nuli. Izraz (1.131) možemo pisati kao R=

n ⋅ p − ni2 , τ p 0 ⋅ (n + n1 ) + τ n 0 ⋅ ( p + p1 )

(1.132)

pri čemu su

τ p0 =

1 , N t ⋅ σ p ⋅ v th

(1.133)

vrijeme života manjinskih šupljina injektiranih u izrazito ekstrinsični poluvodič n-tipa, a 1 τ n0 = , N t ⋅ σ n ⋅ v th

(1.134)

vrijeme života elektrona injektiranih u izrazito ekstrinsični poluvodič p-tipa [Shockley52]. Pretpostavimo da su presjeci hvatanja elektrona i šupljina jednaki (σn = σp = σ ). Tada (1.131) prelazi u R = σ ⋅ vth ⋅ N t ⋅

n ⋅ p − ni2 = σ ⋅ v th ⋅ N t ⋅ n + n1 + p + p1

n ⋅ p − ni2 . æ E − E Fi ö n + p + 2 ⋅ ni ⋅ coshç t ÷ è ET ø

(1.135)

Iako izraz (1.135) vrijedi samo uz pretpostavku da su presjeci hvatanja za elektrone i šupljine međusobno jednaki, iz njega se mogu izvući neki zaključci. Nazivnik izraza (1.135) može se shvatiti kao “otpor” rekombinaciji [Grove67]. Taj otpor raste što je veći zbroj koncentracija

Zadatak 1.37

78


nosilaca (n + p), te što je treći član u nazivniku veći. Koncentracije nosilaca određene su koncentracijama primjesa te koncentracijama injektiranih nosilaca. Kako funkcija hiperbolnog kosinusa ima minimum za vrijednost argumenta 0, očigledno će treći član u nazivniku rasti što je energija zamke udaljenija od Fermijeve energije intrinsičnog poluvodiča. U tom slučaju raste vjerojatnost emisije nosilaca iz zamke, što će bitno smanjiti efikasnost rekombinacijskog centra. Naime, nakon što je elektron uhvaćen u zamku, u tu zamku mora biti uhvaćena i šupljina (tj. taj elektron mora skočiti u valentni pojas) da bi proces rekombinacije bio upotpunjen. Međutim, ako je zamka vrlo blizu vodljivog pojasa, vrlo je vjerojatno da će elektron biti ponovno odaslan u vodljivi pojas, onemogućavajući time rekombinaciju. Prema tome, rekombinacijski centri će biti to efikasniji što su vjerojatnosti hvatanja elektrona i šupljina međusobno bliže po iznosu. To znači da energetske zamke moraju biti što bliže sredini zabranjenog pojasa. Do ovakvog zaključka mogli smo doći i intuitivno, razmatrajući energije potrebne da bi se npr. elektron iz valentnog pojasa prebacio u vodljivi pojas. Za izravni skok (uz zanemarenje razlika u valnim vektorima minimuma vodljivog i maksimuma valentnog pojasa), potrebna je energija koja odgovara širini zabranjenog pojasa EG . Ako se unutar zabranjenog pojasa nalazi dozvoljeno stanje na nekoj energiji Et , tada će za upotpunjenje procesa generacije para elektronšupljina prvo biti potrebna energija Et − Ev , da bi došlo do emisije šupljine iz zamke u valentni pojas, a zatim energija Ec − Et da bi došlo do emisije elektrona iz zamke u vodljivi pojas. Iako je zbroj tih energija jednak širini zabranjenog pojasa EG , puno je veća vjerojatnost da će elektron steći manje iznose energija, potrebne za postupni prijelaz pomoću zamke. Očigledno je da će najveći iznos energije potreban za postupni prijelaz biti najmanji ako se zamka nalazi pri sredini zabranjenog pojasa†. Na primjer, zlato u siliciju znatno pospješuje rekombinaciju, budući da unosi energetski nivo u zabranjeni pojas 0,54 eV od vrha zabranjenog pojasa. Primjese koje unose energetska stanja blizu sredine zabranjenog pojasa nazivaju se duboke primjese, dok se primjese koje uzrokuju stanja blizu rubova zabranjenog pojasa (poput donorskih i akceptorskih primjesa) nazivaju plitke primjese.

Zadatak 1.38 [Shockley52] Izvesti izraz za vrijeme života nosilaca u poluvodiču u uvjetima niske injekcije za slučaj rekombinacije preko zamki koje unose kvantno stanje u zabranjeni pojas na energiji Et . Rješenje: Vrijeme života nosilaca je proporcionalno vremenu potrebnom da se, nakon poremećaja koncentracija nosilaca vrati na ravnotežnu vrijednost. Vrijeme života šupljina definira se kao p − p0 , (1.136) R Ako je zadovoljena električka neutralnost, prirast koncentracije elektrona mora biti jednak prirastu koncentracije šupljina, tj.

τp =

∆p = p − p 0 = ∆n = n − n 0 .

†

Rekombinacijsko-generacijski proces može se poistovjetiti sa preskakanjem potoka. Najteže je preskočiti cijeli potok odjednom. Međutim, ako iz vode izviruje kamen, poslužit ćemo se njime kao međustaništem pri prelasku. Najlakše ćemo potok prijeći ako se taj kamen nalazi na sredini potoka!

Zadatak 1.38

79


Uz zanemarenje promjene naboja u zamci, tj. ako pretpostavimo da se nosilac zadržava u zamci zanemarivo kratko prije no što je ponovno odaslan iz zamke, mjera rekombinacije većinskih i manjinskih nosilaca mora biti jednaka. Dakle, vrijeme života elektrona n − n0 τn = (1.137) R mora biti jednako vremenu života šupljina. Zbog toga ćemo vremena života elektrona i šupljina označavati jedinstvenim simbolom τ . Uvrštavanjem mjere za rekombinaciju (1.132) u (1.136) dobit ćemo

τ = ( p − p0 ) ⋅

τ p 0 ⋅ (n + n1 ) + τ n 0 ⋅ ( p + p1 ) n ⋅ p − ni2

.

(1.138)

Kako je p = p0 + ∆p, n = n0 + ∆n, a prirasti koncentracija elektrona i šupljina moraju biti međusobno jednaki, tj. ∆p = ∆n, gornji izraz će, nakon odgovarajućih uvrštavanja i sređivanja prijeći u

τ=

τ p 0 ⋅ ( n0 + ∆p + n1 ) + τ n 0 ⋅ ( p0 + ∆p + p1 ) n 0 + p 0 + ∆p

.

(1.139)

Iz ovog izraza vidimo da vrijeme života nosilaca ovisi o: 1. vrsti rekombinacijske zamke i njenoj koncentraciji (preko članova τp0 i τn0), 2. koncentraciji primjesa (preko ravnotežnih koncentracija n0 i p0), 3. energetskom položaju zamke Et (preko članova n1 i p1), 4. ekscesnim koncentracijama nosilaca ∆n i ∆p. U temperaturnim ovisnostima svih navedenih članova sadržana je ovisnost vremena života nosilaca o temperaturi. Ravnotežno vrijeme života dobit ćemo iz (1.139) kada ∆p → 0

τ=

τ p 0 ⋅ (n0 + n1 ) + τ n 0 ⋅ ( p0 + p1 )

Razmotrimo kako ravnotežno vrijeme života (1.140) ovisi o koncentracijama primjesa, odnosno položaju Fermijevog nivoa. Pretpostavimo da je energetski nivo zamke iznad sredine zabranjenog pojasa (slika 1.32). U ekstrinsičnom poluvodiču p-tipa (područje označeno s (a) na slici 1.32) ravnotežna koncentracija šupljina p0 je puno veća od svih ostalih koncentracija u izrazu (1.140), te je vrijeme života nosilaca praktički konstantno, neovisno o koncentracijama nosilaca i jednako τn0 . Fermijev nivo se nalazi znatno niže od energije zamke Et , pa su gotovo sve zamke prazne i stoje na raspolaganju elektronima da budu uhvaćeni u njih. Koncentracija većinskih šupljina je dovoljno velika da se, istog časa kada elektron bude uhvaćen

n0 + p 0

10 −2 10 −3

.

(1.140)

(a)

(b)

(c)

10 −4

τ s

10

−5

10 −6 10

τp0 τp0

10 −8 10 −9

Et =Ev+0,6 EG Et =EFi

τn0

−7

−0,4

(d)

n1 p0

−0,2

τp0 0

EF− EFi

0,2

n1 n0 0,4

EG Slika 1.32. Ovisnost vremena života o položaju Fermijevog nivoa za zamku na Et = Ev + 0,6 ⋅ EG , odnosno na Et = EFi . τn0 = 1,1 µs, τp0 = 0,35 µs.

Zadatak 1.38

80


u zamku, nađe šupljina “raspoložena” da rekombinira sa uhvaćenim elektronom. Zbog toga je vrijeme života nosilaca određeno samo vremenom života manjinskih elektrona. Ovdje se prvi puta suočavamo sa situacijom u kojoj manjinski nosioci određuju karakteristike poluvodiča. Kada je poluvodič slabiji p-tip (područje (b)), vrijeme života počinje rasti

τ = τ n 0 + τ p 0 ⋅

n1 n = τ p 0 ⋅ 1 , p0 p0

jer više nema dovoljno šupljina na raspolaganju da bi se trenutno rekombinirale s elektronima prije no što je dio elektrona ponovno odaslan u vodljivi pojas. Kada je poluvodič slabi n-tip, sve dok je EF < Et , zamke su uglavnom prazne, pa je rekombinacija ograničena činjenicom da prazne zamke ne mogu uhvatiti šupljinu (tj. odaslati elektron u valentni pojas). Kod izrazito ekstrinsičnog poluvodiča n-tipa (područje (d)), sve zamke će biti popunjene i spremne da uhvate šupljinu, jer je EF > Et . Vrijeme života nosilaca ograničeno je vremenom života manjinskih šupljina, budući da, nakon hvatanja šupljine u zamku, postoji dovoljno visoka koncentracija (većinskih) elektrona da bi se oni trenutno rekombinirali sa šupljinom uhvaćenom u zamku. Vrijeme života je najveće u intrinsičnom poluvodiču i tada je é æ æ E − E Fi ö ù n + p1 ö τ = τ p0 ⋅ ç1 + 1 ÷ = τ p 0 ⋅ ê1 + coshç t ÷ú . 2 ⋅ ni ø è è E T ø úû êë

Prema tome, najveća promjena vremena života nosilaca određena je udaljenošću energije zamke od sredine zabranjenog pojasa (Et − EFi ). Ako je energija zamke upravo pri sredini zabranjenog pojasa, maksimalna promjena vremena života će biti jednaka 2 (vidi donju krivulju na slici 1.32). Oblik krivulje na slici 1.32 bio bi sličan i kada bi energija zamke bila ispod sredine zabranjenog pojasa, samo što bi krivulja u područjima (b) i (c) bila τn0 ⋅ p1 / n0 , odn. τn0 ⋅ p1 / p0 .

Zadatak 1.39 Silicij je dopiran s 1,1 ⋅ 1017 cm–3 atoma fosfora i s 1017 cm–3 atoma indija. Procijeniti vrijeme života manjinskih nosilaca na T = 300 K, ako se može pretpostaviti da se rekombinacija odvija isključivo preko indija. Površine presjeka hvatanja elektrona i šupljina su σn = 3,7 ⋅ 10−17 cm2 i σp = 1,7 ⋅ 10−14 cm2, a akceptorska zamka koju unosi indij udaljena je 0,16 eV od dna zabranjenog pojasa [Milnes73]. Rješenje: Kako je koncentracija donorskih atoma (fosfora) veća od koncentracije akceptora (indij), silicij će biti n-tipa. Ravnotežna koncentracija većinskih elektrona bit će n0n = N D − N A = 1016 cm −3 ,

dok je ravnotežna koncentracija manjinskih šupljina p0 n =

ni2 = 1,90 ⋅ 10 4 cm −3 . n0 n

Za izračunavanje vremena života manjinskih šupljina poslužit ćemo se izrazom (1.140)

τp =

Zadatak 1.39

τ p 0 ⋅ (n0n + n1 ) + τ n 0 ⋅ ( p0n + p1 ) n0 n + p0 n

.

81


Ako u izraz za termičku brzinu uvrstimo masu mirovanja elektrona, dobit ćemo da je na 300 K v th = a vremena života τn0 i τp0 bit će

3 ⋅ ET = 117 , ⋅ 10 7 cm s , m0

τ n0 =

1 = 23,1 ns , N t ⋅ σ n ⋅ v th

τ p0 =

1 = 50,3 ps . N t ⋅ σ p ⋅ v th

odnosno

Očito bi s porastom koncentracije rekombinacijskih centara Nt vremena τn0 i τp0 padala, što bi rezultiralo i kraćim vremenom života manjinskih šupljina τp . Indij unosi u zabranjeni pojas energetski nivo na 0,16 eV od dna zabranjenog pojasa. Kako je širina zabranjenog pojasa silicija na 300 K EG = 1,12 eV, a EG / 2 = 0,56 eV, to je udaljenost energetskog nivoa zamke od sredine zabranjenog pojasa Ei − Et = 0,4 eV. Prema tome æ E − Ei ö n1 = ni ⋅ exp ç t ÷ = 2,63 ⋅ 10 3 cm − 3 , è ET ø æ E − Et ö p1 = ni ⋅ exp ç i ÷ = 7,24 ⋅ 1016 cm − 3 . è ET ø

Energetski nivo indija nije dovoljno blizu sredine zabranjenog pojasa, pa je p1 čak i veće od koncentracije većinskih nosilaca. Zbog toga na vrijeme života manjinskih šupljina bitno utječe i član vezan uz τn0 . Uvrštavanjem izračunatih vrijednosti u početni izraz za vrijeme života manjinskih šupljina dobit ćemo τp = 168 ns.

1.6.3. Površinska rekombinacija

U dosadašnjim analizama rekombinacije pretpostavljali smo da su rekombinacijski centri jednoliko raspoređeni po cijelom volumenu poluvodiča. Međutim, u stvarnosti postoji pojačana rekombinacija na površini poluvodiča. Uzrok tome je u prvom redu prekid periodičnosti kristalne rešetke, ali i defekti koji nastaju na površini poluvodičke pločice pri tehnološkim postupcima izrade poluvodičkih komponenti. Zbog pojačane rekombinacije na površini dolazi do difuzije nosilaca iz volumena poluvodiča, čime se nadoknađuje gubitak nosilaca zbog rekombinacije. Za difuzijski tok manjinskih šupljina k površini n-tipa poluvodiča može se pisati Dp ⋅

dpn dx

x =0

= s p ⋅ ( ps − p0n ) ,

(1.141)

gdje je sp tzv. brzina površinske rekombinacije šupljina (engl. surface recombination velocity, jedinica je cm / s), a ps je koncentracija šupljina uz površinu poluvodiča. Ako na površini ne postoje dodatni naboji (na žalost, često to nije slučaj), analiza površinske rekombinacije može se svesti na dosad opisanu analizu rekombinacije s velikom koncentracijom zamki u tankom sloju poluvodiča uz površinu. Zadatak 1.39

82


Zadatak 1.40 [Grove67] Izvesti izraz za mjeru rekombinacije manjinskih šupljina na površini poluvodiča n-tipa, ako se rekombinacija na površini može aproksimirati rekombinacijskim centrima koncentracije Nt* u tankom sloju debljine x1 uz površinu. Rješenje: Slično kao kod rekombinacije u volumenu (izraz (1.131)), za mjeru površinske rekombinacije možemo pisati da je Rs = σ n ⋅ σ p ⋅ v th ⋅ N st ⋅

n s ⋅ p s − ni2 . σ n ⋅ (n s + n1 ) + σ p ⋅ ( p s + p1 )

(1.142)

Umnožak Nst = N*t ⋅ x1 je površinska gustoća rekombinacijskih zamki, a ns i ps su koncentracije elektrona, odnosno šupljina uz površinu. Ako su energetske zamke blizu sredine zabranjenog pojasa, n1 ≈ ni i p1 ≈ ni , pa je Rs = σ n ⋅ σ p ⋅ v th ⋅ N st ⋅

n s ⋅ p s − ni2 . σ n ⋅ (n s + ni ) + σ p ⋅ ( ps + ni )

(1.143)

Pretpostavimo li da je σn = σp = σ, (1.143) se pojednostavljuje u Rs = σ ⋅ vth ⋅ N st ⋅

p s ⋅ n s − ni2 . n s + p s + 2 ⋅ ni

(1.144)

U uvjetima niske injekcije, površinska koncentracija većinskih nosilaca je mnogo veća od koncentracije manjinskih nosilaca svugdje u poluvodiču (pa prema tome i od površinske koncentracije) i mnogo veća od intrinsične koncentracije nosilaca. Znači da se u nazivniku (1.144) mogu zanemariti drugi i treći pribrojnik Rs = σ ⋅ vth ⋅ N st ⋅

p s ⋅ n s − ni2 = σ ⋅ v th ⋅ N st ⋅ ( p s − p0n ) . ns

(1.145)

Budući da u stacionarnom stanju tok šupljina k površini mora biti jednak broju rekombiniranih šupljina na površini u jedinici vremena i jedinici površine, izjednačavanjem izraza (1.141) i (1.145) dobivamo za brzinu površinske rekombinacije s p = σ p ⋅ v th ⋅ N st . (1.146) Uvrstimo li ovaj izraz u (1.144) dobit ćemo Rs = s p ⋅

ns ⋅ p s − ni2 . n s + p s + 2 ⋅ ni

(1.147)

Dakle, mjera površinske rekombinacije proporcionalna je brzini površinske rekombinacije, te razlici umnoška koncentracija većinskih i manjinskih nosilaca na površini i intrinsične koncentracije, a obrnuto proporcionalna zbroju koncentracija nosilaca i dvostruke intrinsične koncentracije. Nazivnik gornjeg izraza će biti najmanji (odnosno rekombinacija najbrža) za slučaj kada je poluvodič intrinsičan. Brzina površinske rekombinacije je za neki poluvodič obično konstanta određena tehnološkim postupcima obrade površine.

Zadatak 1.40

1.7. Temeljne jednadžbe u poluvodičima

83

1.7. Temeljne jednadžbe u poluvodičima Do sada izložene zakonitosti opisivale su poluvodički materijal u uvjetima ravnoteže, kada nije bilo nikakvog vanjskog utjecaja ili je taj utjecaj bio toliko slab da smo mogli analizirati poluvodič kao da se nalazi u uvjetima ravnoteže. Međutim, pri radu poluvodičkih komponenti često su odstupanja od stanja ravnoteže znatna. Temeljne jednadžbe u poluvodičima opisuju statičke i dinamičke uvjete u kojima se nalaze nosioci u poluvodičima pod utjecajem vanjskog polja koje uzrokuje odstupanje od stanja termodinamičke ravnoteže [Sze81]. Čine ih Poissonova jednadžba, jednadžbe kontinuiteta i transporte jednadžbe nosilaca [Roosbroeck50, Gummel64]. Poissonova jednadžba omogućuje određivanje raspodjele električnog polja, odnosno potencijala, posebice u osiromašenim područjima unutar pn-barijera. Rješavanjem jednadžbi kontinuiteta uz poznate rubne uvjete mogu se odrediti vremenske i prostorne raspodjele nosilaca. Iz transportnih jednadžbi dobivaju se raspodjele struja. 1.7.1. Poissonova jednadžba Poissonova jednadžba je u suštini treća Maxwellova jednadžba (odnosno Gaussov zakon) preinačena za primjenu u poluvodičima [Selberherr84]. U općenitom, trodimenzionalnom obliku može se pisati kao (1.148) div(ε ⋅ grad ψ ) = − ρ , gdje je ψ elektrostatski potencijal, ε je permitivnost (dielektrična konstanta) materijala, a ρ je prostorna gustoća naboja

ρ = q ⋅ ( p − n + N D+ − N A− ) . (1.149) Ako je permitivnost skalarna konstantna veličina, tada se Poissonova jednadžba može pisati kao (1.150) ε ⋅ div =ρ, pri čemu je vektor jakosti električnog polja = − grad ψ . U jednodimenzionalnom slučaju Poissonova jednadžba tada glasi d ε⋅ = ρ( x) , (1.150a) dx odnosno d 2ψ ε ⋅ 2 = − ρ( x) . (1.151) dx Poissonova jednadžba izriče činjenicu da je ukupni izlazni tok (razlika izlaznog i ulaznog toka) vektora električnog polja iz nekog volumena proporcionalan naboju sadržanom u tom volumenu. U dijelu poluvodiča gdje je zadovoljen zakon električne neutralnosti, prostorni naboj jednak je nuli, pa tamo niti nema smisla rješavati Poissonovu jednadžbu.

84


Zadatak 1.41* [Valkó91] NA

Odrediti raspodjelu potencijala i skicirati energetski dijagram u stanju ravnoteže za intrinsični poluvodič u kojem postoji lokalna nehomogenost na mjestu x = 0, kako je prikazano na slici 1.33. Rješenje: Da bismo dobili raspodjelu potencijala, prvo ćemo gustoću prostornog naboja, odnosno koncentracije nosilaca izraziti preko elektrokemijskih i elektrostatskih potencijala (vidi poglavlje 1.4.1. Elektrokemijski i elektrostatski potencijali), kao

0

x

Slika 1.33. Raspodjela primjesa u zadatku 1.41.

æ ψ −ϕö p = ni ⋅ exp ç − ÷, è UT ø æψ −ϕ ö n = ni ⋅ exp ç ÷. è UT ø Uvrstimo li to u Poissonovu jednadžbu (1.151), dobit ćemo ù æψ −ϕö æ ψ −ϕö d 2ψ q é = ⋅ êni ⋅ exp ç ÷ − ni ⋅ exp ç − ÷ + N A − NDú = dx 2 ε ëê è UT ø è UT ø úû =

æ ψ − ϕ ö N A − ND ù 2 ⋅ ni ⋅ q é ⋅ êsinhç ÷+ ú. ε 2 ⋅ ni úû è UT ø êë

(1.152)

U intrinsičnom području poluvodiča nema primjesa. Zbog toga je drugi pribrojnik u uglatoj zagradi jednak nuli, pa (1.152) prelazi u d 2ψ dx 2

=

æψ −ϕ ö 2 ⋅ ni ⋅ q ⋅ sinhç ÷. ε è UT ø

(1.153)

Ovu jednadžbu ćemo normirati na UT æψ − ϕ ö d 2 æ ψ ö 2 ⋅ ni ⋅ q ⋅ sinhç ç ÷= ÷, 2 U ε ⋅U T è UT ø dx è T ø

(1.154)

što možemo pisati u obliku d 2u dx 2

=

2 ⋅ ni ⋅ q ⋅ sinh(u − u0 ) , ε ⋅U T

gdje je

u=

(1.155)

ψ ϕ , u0 = . UT UT

Faktor ispred funkcije hiperbolnog sinusa ima dimenziju recipročne vrijednosti kvadrata duljine, pa se definira veličina

LD =

Zadatak 1.41

ε ⋅UT , 2 ⋅ q ⋅ ni

85


tzv. intrinsična Debyeva duljina [Shockley49]. Relativna permitivnost silicija je εr = 11,9, pa za T = 300 K možemo izračunati LD = 24,8 µm. Njeno fizikalno značenje saznat ćemo iz rješenja zadatka. Sada (1.155) možemo napisati kao d 2u (1.156) L2D ⋅ 2 = sinh(u − u0 ) . dx Ovu diferencijalnu jednadžbu općenito nije moguće analitički riješiti. Pretpostavimo li da je koncentracija akceptora na x = 0 toliko niska da je |ψ − ϕ | << UT svugdje u razmatranom području, za hiperbolni sinus može se upotrijebiti aproksimacija sinh(u − u0 ) = u − u0 . Jednadžba (1.156) u tom slučaju postaje

L2D ⋅

d 2u

= u − u0 , dx 2 što je linearna diferencijalna jednadžba čije općenito rješenje je oblika æ x ö æ x ö u( x ) = C1 ⋅ exp ç ÷ + C2 ⋅ exp ç − ÷. è LD ø è LD ø

(1.157)

(1.158)

Kada x → ∞ , normirani potencijal u mora težiti ravnotežnom u0 (jer EFi → EF , odnosno ψ → ϕ), pa za x > 0 otpada prvi dio rješenja (1.158). Isto tako, kada x → − ∞ mora u → u0 , pa za x < 0 otpada drugi pribrojnik u rješenju (1.158). Na osnovu toga može se nacrtati raspodjela potencijala (slika 1.34a). Kako je EFi = − q ⋅ ψ , energetski dijagram se može odrediti izravno iz raspodjele potencijala (slika 1.34b). Kao što je prikazano na slici, iako je poluvodič za x ≠ 0 intrinsičan, ψ lokalna nehomogenost utječe na njegova električna x −LD 0 +LD ϕ svojstva, tako da koncentracija nosilaca nije jednaka intrinsičnoj koncentraciji. Širina prijelaznog područja u kojem se osjeća djelovanje nehomogenosti (i u kojem nije zadovoljen zakon električne neutralnosti) određena je Debyevom duljinom. Prema tome, gdje god postoje a) nagle promjene koncentracija primjesa, postojat će područja prostornog naboja u kojima nije zadovoljen E zakon električne neutralnosti, tj. u kojima koncentracije nosilaca ne prate prostorne promjene koncentracija primjesa. Ec Iako je pri izvodu rješenja uvedena pretpostavka da je odstupanje potencijala od ravnotežne vrijednosti EFi zanemarivo (|ψ − ϕ | << UT), ovo razmatranje može se proširiti i na slučaj znatnih odstupanja. Ako je EF |ψ − ϕ | >> UT , funkcija hiperbolni sinus može se aproksimirati eksponencijalnom funkcijom. Lijeva Ev strana jednadžbe (1.155) je mjera promjene gradijenta potencijala, pa je očigledno da će kod većih odstupanja x od ravnoteže potencijal puno brže težiti ravnotežnoj vrijednosti. Stoga će odstupanje od električne b) neutralnosti uvijek biti zanemarivo već nakon nekoliko Slika 1.34. Raspodjela potencijala i Debyevih duljina [Adler64]. energetski dijagram u zadatku 1.41.

Zadatak 1.41

86

1. Osnovna svojstva poluvodi~a

1.7.2. Transportne jednadžbe

Transportne jednadžbe za elektrone i šupljine izražavaju gustoće struja elektrona, odnosno šupljina u poluvodičima. U općenitom slučaju

1 é ù J n = q ⋅ µn ⋅ n ⋅ ê + ⋅ grad(n ⋅ U T ) ú , n ë û

(1.159)

ù é 1 J p = q ⋅ µ p ⋅ p ⋅ ê − ⋅ grad( p ⋅ U T ) ú . (1.160) p û ë Ako je svugdje u promatranom volumenu temperatura ista, (1.159) i (1.160) možemo pisati kao J n = q ⋅ µn ⋅ n ⋅ + q ⋅ Dn ⋅ grad n , (1.161)

J p = q ⋅ µ p ⋅ p ⋅ − q ⋅ D p ⋅ grad p ,

(1.162)

ili, u jednodimenzionalnom slučaju dn , dx dp . J p = q ⋅ µ p ⋅ p ⋅ − q ⋅ Dp ⋅ dx J n = q ⋅ µn ⋅ n ⋅ + q ⋅ Dn ⋅

(1.161a) (1.162a)

Prvi pribrojnik u transportnim jednadžbama opisuje gibanje nosilaca uslijed električnog polja u poluvodiču. To polje može biti posljedica vanjskog utjecaja (npr. priključenog vanjskog napona) ili zbog ugrađene razlike potencijala (npr. zbog nehomogenosti u poluvodiču). Zbog toga se prva komponenta u strujama elektrona, odnosno šupljina obično naziva driftnom komponentom. Drugi pribrojnik u transportnim jednadžbama opisuje gibanje nosilaca uslijed nejednolike raspodjele koncentracije nosilaca; zbog statističke prirode gibanja nosilaca, uvijek će postojati rezultantno gibanje nosilaca s mjesta više na mjesto niže koncentracije. Zato se ta komponenta u transportnim jednadžbama obično zove difuzijskom komponentom. Predznaci difuzijskih komponenti struja elektrona i šupljina razlikuju se zato što je smjer gibanja nosilaca uvijek u smjeru padajuće koncentracije (negativnog gradijenta), ali je za elektrone smjer električne struje suprotan smjeru gibanja nosilaca, tj. u smjeru pozitivnog gradijenta. Iako se transportne jednadžbe redovito koriste u ovom obliku, postoji čitav niz ograničenja koja omeđuju područje valjanosti primjene jednadžbi (1.161) i (1.162). Tako na primjer, transportne jednadžbe u gornjem obliku vrijede samo kod relativno slabih iznosa električnog polja, kada su pokretljivosti nosilaca µn i µp neovisne o električnom polju; kod većih iznosa polja treba članove µ ⋅ nadomjestiti driftnim brzinama nosilaca [Sze81]. Osim toga, prostorne raspodjele primjesa i električnog polja ne smiju imati prevelike promjene. Također, u gornjim jednadžbama nije obuhvaćen utjecaj magnetskog polja na gibanje nosilaca, niti utjecaj promjene širine zabranjenog pojasa s prostornim koordinatama, odnosno degeneracijski efekti. To su samo neka značajnija ograničenja, dok se ostala mogu naći u referenci [Selberherr84].

87


Zadatak 1.42 Pod djelovanjem svjetla, uz površinu poluvodiča n-tipa debelog 10 µm generiraju se ekscesni parovi elektronšupljina. Rezultantna raspodjela manjinskih nosilaca može se aproksimirati pravcem prema slici 1.35†, pri čemu je: a) pn0 = 108 cm−3; b) pn0 = 1,8 ⋅ 1016 cm−3. Odrediti gustoće difuzijskih i driftnih komponenti struja elektrona i šupljina uz površinu za oba slučaja, ako su ravnotežne koncentracije nosilaca n0n = 2 ⋅ 1016 cm−3 i p0n = 104 cm−3, pokretljivosti nosilaca µn = 1000 cm2/ Vs i µp = 400 cm2/ Vs, a UT = 25 mV.

pn(x) pn0

p0n

x 0

10 µm

Slika 1.35. Raspodjela manjinskih nosilaca u zadatku 1.42.

Rješenje: Fotoni svjetla koje upada na kristal poluvodiča predaju svoju energiju valentnim elektronima, omogućavajući generaciju dodatnih parova elektron-šupljina. Time se koncentracije i elektrona i šupljina povećavaju iznad ravnotežnih za iste iznose. Kako postoji razlika u koncentracijama nosilaca unutar poluvodiča, nosioci će imati tendenciju izjednačavanja tih koncentracija, tj. postojat će difuzijski tok nosilaca s mjesta više prema mjestu niže koncentracije. U ovom slučaju to je od površine u volumen poluvodiča. Naravno, kako svjetlo kontinuirano generira nove parove elektron-šupljina, u uvjetima ravnoteže oblik raspodjele koncentracija nosilaca se s vremenom neće mijenjati. Budući da poluvodič nije priključen na vanjski električni krug, zbroj svih struja koje teku u poluvodiču mora biti jednak nuli, pa se preko transportnih jednadžbi dobiva dn dp J n + J p = q ⋅ Dn ⋅ + q ⋅ n ⋅ µn ⋅ − q ⋅ D p ⋅ + q ⋅ p ⋅ µ p ⋅ = 0 , (1.163) dx dx iz čega možemo odrediti jakost električnog polja koje nastaje u poluvodiču dp dn Dp ⋅ − Dn ⋅ x d dx . = (1.164) n ⋅ µn + p ⋅ µ p Kako su prirasti i elektrona i šupljina međusobno jednaki ∆n = ∆p = p n 0 − p 0 n ,

(1.165)

to će i za gradijente vrijediti

dn dp ∆p , = = dx dx x1

(1.166)

pri čemu je x1 = 10 µm debljina poluvodiča. Diferencijale smo bez ustezanja zamijenili konačnim prirastima, jer je raspodjela koncentracija nosilaca linearna. Uvrštavanjem (1.166) u izraz za električno polje (1.164), dobiva se

†

U stvarnosti raspodjela nije linearna, ali se za ovakve slučajeve može aproksimirati pravcem. Vidi zadatak 1.44 na str. 94. Zadatak 1.42

88


dp dx . = n ⋅ µn + p ⋅ µ p ( D p − Dn ) ⋅

(1.167)

Ovaj ćemo izraz koristiti za izračunavanje električnog polja, odnosno driftnih komponenti struja za oba dijela zadatka.

a) U prvom dijelu zadatka, koncentracija manjinskih nosilaca uz površinu pn 0 = 108 cm−3, pa je ∆n = ∆p = pn 0 − p0n = 108 cm −3 − 10 4 cm −3 ≈ 108 cm −3 ,

a gradijenti koncentracija većinskih elektrona i manjinskih šupljina bit će dn dp − ∆p = = = −1011 cm −4 dx dx x1 Iz zadanih pokretljivosti nosilaca i poznatog naponskog ekvivalenta temperature UT , pomoću Einsteinove relacije možemo izračunati difuzijske konstante Dn = µ n ⋅ U T = 25 cm 2 / s ,

D p = µ p ⋅ U T = 10 cm 2 / s , što nam omogućuje da izračunamo difuzijske komponente struje elektrona, odnosno šupljina dn J dn = q ⋅ Dn ⋅ = −400 nA / cm 2 , dx dp = 160 nA / cm 2 . dx Kako su gradijenti koncentracija nosilaca svugdje isti, i difuzijske struje će svugdje imati isti iznos. J dp = − q ⋅ D p ⋅

Da bismo odredili driftne komponente, moramo izračunati električno polje. Kako je koncentracija elektrona svugdje u poluvodiču mnogo veća od koncentracije šupljina, u nazivniku jednadžbe (1.167) možemo zanemariti drugi pribrojnik, a budući da je relativna promjena koncentracije elektrona s udaljenošću od površine zanemariva, za električno polje možemo reći da je svugdje dp dp ( D p − Dn ) ⋅ ( µ p − µn ) ⋅ x d dx = 75 nV / cm . = = UT ⋅ n ⋅ µn n ⋅ µn Stoga će i driftna komponenta struje elektrona svugdje biti J fn = q ⋅ n ⋅ µ n ⋅ = 240 nA / cm 2 . Koncentracija manjinskih šupljina se mijenja značajno, od vrijednosti pn0 = 108 cm−3 uz površinu prema vrijednosti p0n = 104 cm−3 na drugom kraju poluvodiča. Zato će se i driftna komponenta mijenjati. Uz površinu J fp = q ⋅ p ⋅ µ p ⋅ = 4,81 ⋅ 10 −7 nA / cm 2 , dok je na drugom kraju poluvodiča Jfp = 4,81 ⋅ 10−11 nA / cm2. Pozitivne vrijednosti struja i električnog polja znače da te veličine imaju smjer jednak referentnom smjeru (+x koordinatna os, tj. u dubinu poluvodiča), a negativna vrijednost struje Jdn znači da ona teče u suprotnom smjeru od referentnoga.

Zadatak 1.42

89


Usporedbom brojčanih rezultata dolazimo do vrlo važne spoznaje: dok su driftna i difuzijska struja većinskih nosilaca međusobno usporedive po iznosu, driftna struja manjinskih nosilaca je zanemariva u odnosu na difuzijsku struju manjinskih nosilaca. Jakost električnog polja je mala, a kako je i koncentracija manjinskih nosilaca mala, njihov umnožak u izrazu za driftnu struju manjinskih nosilaca daje komponentu struje koja je zanemariva prema ostalim komponentama. Naravno, električno polje je jednako i za većinske nosioce, ali je njihova koncentracija puno veća, što daje i znatnu driftnu struju. Ova činjenica će nam poslužiti kod izvođenja strujno-naponskih karakteristika pn-spojeva, jer omogućuje da se ukupne struje kroz pn-spojeve računaju preko zbroja difuzijskih struja manjinskih nosilaca.

b) Uz površinu poluvodiča sada je pn0 = 1,8⋅1016 cm−3, što je blizu ravnotežnoj koncentraciji većinskih nosilaca n0n = 2⋅1016 cm−3. Kako je prirast većinskih elektrona jednak prirastu manjinskih šupljina ∆n = ∆p = pn 0 − p0n = 1,8 ⋅ 1016 cm −3 − 10 4 cm −3 = 1,8 ⋅ 1016 cm −3 ,

koncentracija pn0 je isto tako sumjerljiva s koncentracijom većinskih elektrona uz površinu nn0 = n0n + ∆n = 3,8⋅1016 cm−3. Da bismo izračunali difuzijske struje elektrona i šupljina, trebamo prethodno odrediti gradijente koncentracija nosilaca. dn dp − ∆p = = = −1,8 ⋅ 1019 cm −4 , dx dx x1 pa su J dn = q ⋅ Dn ⋅

dn = −72,1 A / cm 2 , dx

dp = 28,8 A / cm 2 . dx Opet su, zbog linearne raspodjele koncentracija manjinskih nosilaca, difuzijske struje konstantne, neovisne o prostornoj koordinati. J dp = −q ⋅ D p ⋅

Za proračun driftnih struja neophodno nam je električno polje. Budući da su koncentracije većinskih i manjinskih nosilaca sumjerljive, moramo računati sa cjelokupnim izrazom (1.167) dp dp ( D p − Dn ) ⋅ ( µ p − µn ) ⋅ d dx = 5,97 V cm . x = = UT ⋅ n ⋅ µn + p ⋅ µ p n ⋅ µn + p ⋅ µ p Kako se sada nazivnik u izrazu za električno polje znatno mijenja s udaljenošću od površine, mijenjat će se i jakost električnog polja; budući da se iznos nazivnika smanjuje udaljavanjem od površine poluvodiča, znači da jakost električnog polja raste. Stoga treba paziti da se u gornji izraz, kao i u izraze za driftne komponente zaista uvrste koncentracije nosilaca uz površinu poluvodiča. Za driftne struje uz površinu poluvodiča se dobiva Jfn = q ⋅ n ⋅ µn ⋅ = 36,4 A / cm2 , J fp = q ⋅ p ⋅ µ p ⋅ = 6,89 A / cm 2 . Osim što su iznosi svih struja znatno veći nego u a) dijelu zadatka, vidimo da su sada sve komponente struja međusobno sumjerljive, vrlo bliske po iznosu. Električno polje je dovoljno jako da potjera i znatnu driftnu struju manjinskih nosilaca. Zadatak 1.42

90


4 .10

n, p cm−3

2 .10

16

4 .10

n n0

nn0

16

16

n, p cm−3

nn n 0n

2 .10

n 0n

16

pn0

pn

0

nn pn

p 0n

0

80

nV/cm

12

60

V/cm

40 20

4

0

0 80

500 − Jdn

400

J 2 nA/cm

8

300 200

J fn

J

J dp

A/cm

2

J fn

40

J dp

20

100 0

− Jdn

60

J fp

J fp 0

5

10

0

0

5

x / µm a)

10

x / µm b)

Slika 1.36. Raspodjele koncentracija nosilaca, električnog polja i struja u zadatku 1.42. a) niska injekcija, b) visoka injekcija.

Na slici 1.36 prikazani su za oba slučaja dijagrami prostornih raspodjela koncentracija većinskih i manjinskih nosilaca, raspodjela električnog polja i raspodjela struja. U a) dijelu zadatka koncentracija manjinskih šupljina je toliko mala prema koncentraciji većinskih nosilaca, da se njena raspodjela poklapa s osi apscise. Slično vrijedi i za driftnu struju manjinskih nosilaca. Treba uočiti da mjerila na dijagramima raspodjela električnog polja i struja za a) dio zadatka nisu ista kao za b) dio zadatka, te da je struja Jdn ucrtana s promijenjenim predznakom. Čitatelju prepuštamo da razmotri i objasni prostornu ovisnost struja za b) dio zadatka. U a) dijelu zadatka radilo se o režimu niske injekcije, kada su svugdje koncentracije ubačenih nosilaca puno manje od ravnotežnih koncentracija većinskih nosilaca. Električno polje je relativno slabo i neovisno o prostornoj koordinati. Naprotiv, u b) dijelu zadatka koncentracije injektiranih nosilaca su usporedive s ravnotežnim koncentracijama većinskih nosilaca, pa govorimo o režimu visoke injekcije. Električno polje je sada relativno jako i značajno se mijenja s

Zadatak 1.42

91


prostornom koordinatom. Sve komponente struja su međusobno sumjerljive i ne možemo više zanemariti driftnu struju manjinskih nosilaca (zbog toga u ovakvim uvjetima kod pn-spoja struje nećemo više moći računati samo preko difuzijskih struja manjinskih nosilaca). Napomenimo još da je tako visoku koncentraciju generiranih parova-elektron šupljina kakva je zadana u b) dijelu zadatka praktički nemoguće ostvariti djelovanjem svjetla.

1.7.3. Jednadžbe kontinuiteta

Jednadžbe kontinuiteta slijede izravno iz [Selberherr84] i u općenitom slučaju glase ∂n 1 = − R + ⋅ div J n , ∂t q

prve

Maxwellove

jednadžbe (1.168)

∂p 1 (1.169) = − R − ⋅ div J p . ∂t q Kao što slijedi iz samog naziva, jednadžbe kontinuiteta izriču tvrdnju o očuvanju materije: brzina prirasta koncentracije nosilaca u nekom volumenu jednaka je zbroju neto-generiranih nosilaca u tom volumenu (prvi pribrojnik) i ukupnog ulaznog toka (razlika ulaznog i izlaznog toka) nosilaca u promatrani volumen (drugi pribrojnik). Mjera neto generacije nosilaca R jednaka je razlici broja rekombiniranih i broja generiranih elektrona, odnosno šupljina po jedinici volumena u jedinici vremena (ima dimenziju cm−3/ s). Pozitivne vrijednosti za R znače da prevladava rekombinacija, dok negativne vrijednosti znače da prevladava generacija pripadajućih nosilaca. Taj faktor zapravo izražava brzinu kojom koncentracije nosilaca teže ravnotežnim vrijednostima. Poveća li se, na primjer koncentracija nosilaca iznad ravnotežne koncentracije (npr. zbog ubačenih nosilaca iz vanjskog električnog kruga), povećat će se stupanj rekombinacije koji će nastojati dovesti poluvodič u ravnotežno stanje. U uvjetima niske injekcije, tj. kada je koncentracija ubačenih nosilaca puno manja od ravnotežnih koncentracija, ta brzina je za manjinske nosioce obrnuto proporcionalna vremenu života nosilaca, pa možemo pisati da je

R= R=

n p − n0 p

,

(1.170)

pn − p0n . τp

(1.171)

τn

Uvrštavanjem (1.170) u (1.168), odnosno (1.171) u (1.169) dobiva se

n p − n0 p 1 ∂n =− + ⋅ div Jn , τn ∂t q

(1.172)

p − p0n 1 ∂p =− n − ⋅ div J p , τp ∂t q

(1.173)

ili, za jednodimenzionalni slučaj Zadatak 1.42

92


∂ np

n p − n0 p

1 ∂ Jn ⋅ , q ∂x

(1.172a)

∂ pn p − p0n 1 ∂ J p . =− n − ⋅ τp ∂t q ∂x

(1.173a)

∂t

=−

τn

+

Zadatak 1.43 [Grove67] Tanki kristal silicija n-tipa jednoliko je osvijetljen tako da se u cijelom njegovom volumenu generira jednaka koncentracija ekscesnih parova elektron-šupljina (slika 1.37). U nekom trenutku t0 izvor svjetla se prekida. Odrediti vremensku ovisnost koncentracije manjinskih šupljina nakon prekida toka svjetla, ako je vrijeme života manjinskih šupljina τp , a koncentracija ekscesnih šupljina pod djelovanjem svjetla je pnL . Pretpostaviti da je rekombinacija nosilaca na površini zanemariva.

pn

upadni snop svjetla

pnL

p0n

x a)

b)

Slika 1.37. Uz zadatak 1.43. a) upadni snop svjetla, b) prostorna raspodjela manjinskih nosilaca.

Rješenje: Zbog pojačane generacije parova elektron-šupljina, koncentracije elektrona i šupljina se povećavaju iznad ravnotežnih, određenih zakonom termodinamičke ravnoteže, tj. n ⋅ p > ni2 .

Stoga će se pojačati rekombinacija nosilaca, koja će nastojati vratiti koncentracije na ravnotežne vrijednosti. Pod djelovanjem stalnog snopa svjetla oba procesa (generacija parova uslijed svjetla i rekombinacija) biti će u ravnoteži, te će koncentracija manjinskih nosilaca biti konstantna, tj. ∂ pn =0. ∂t Budući da su prirast koncentracije elektrona i prirast koncentracije šupljina međusobno jednaki, zakon električke neutralnosti je i dalje svugdje zadovoljen. Također, budući da su u cijelom volumenu poluvodiča koncentracije nosilaca iste, neće postojati razlike potencijala i neće biti nikakvog toka struje u poluvodiču. Zbog toga će rješenja Poissonove jednadžbe i transportnih

Zadatak 1.43

93


jednadžbi biti jednaka nuli. Trebamo dakle riješiti samo jednadžbu kontinuiteta za manjinske šupljine. U trenutku t0 isključujemo izvor svjetla. Prekida se proces generiranja parova elektronšupljina, pa zbog prevladajućeg procesa rekombinacije koncentracija manjinskih šupljina počinje padati od početne vrijednosti pnL u trenutku t0 prema ravnotežnoj vrijednosti p0n . Vremensku raspodjelu koncentracije manjinskih nosilaca dobit ćemo rješavanjem jednadžbe kontinuiteta za manjinske šupljine (1.173a). Divergencija gustoće struje šupljina jednaka je nuli (∂ Jp / ∂ x = 0), jer je i struja u poluvodiču cijelo vrijeme jednaka nuli, pa jednadžba (1.173a) prelazi u d pn p − p0n =− n . dt τp

(1.174)

Radi se o diferencijalnoj jednadžbi prvog reda sa separiranim varijablama za koju je opće rješenje (za t ≥ t0) æ t − t0 ö ÷. pn (t ) − p0n = C ⋅ expçç − ÷ è τp ø

(1.175)

Konstantu C u (1.175) odredit ćemo pomoću rubnog uvjeta: pn (t = t 0 ) = pnL , što kao rješenje daje vremensku raspodjelu koncentracije šupljina za bilo koju točku u poluvodiču (slika 1.38) æ t − t0 ö ÷. pn (t ) = p0n + ( pnL − p0n ) ⋅ expçç − ÷ è τp ø

(1.176)

Zanimljivo je na slici uočiti geometrijsko značenje vremena života manjinskih nosilaca kao odsječka tangente na vremenskoj osi.

pn pnL

p0n t0

t0 + τ p

t

Slika 1.38. Vremenska raspodjela koncentracije šupljina u zadatku 1.43.

Zadatak 1.43

94


Zadatak 1.44 [Grove67] Odrediti prostornu raspodjelu manjinskih nosilaca u dubinu homogeno dopiranog poluvodiča n-tipa kojem je površina trajno osvijetljena, zbog čega se u vrlo tankom sloju uz površinu generiraju ekscesnih parovi elektron-šupljina. Rješenje: Kao i u prethodnom zadatku, uz vremenski nepromjenljivi izvor svjetla, koncentracije nosilaca će u svakoj pojedinoj točki poluvodiča biti vremenski konstantne, tj. ∂ pn =0. ∂t Međutim, kako se nosioci generiraju samo na površini poluvodiča, očevidno će postojati gradijent koncentracije nosilaca koji će proizvesti difuzijsku struju nosilaca s mjesta veće koncentracije (površine poluvodiča gdje se ekscesni parovi stvaraju) prema mjestu niže koncentracije (u dubini poluvodiča gdje se ekscesni nosioci rekombiniraju i njihove koncentracije teže ravnotežnima) (vidi zadatak 1.42 na str. 87). Ako je električno polje u poluvodiču dovoljno slabo da se driftna komponenta struje manjinskih šupljina može zanemariti (ova pretpostavka odgovara uvjetima niske injekcije), struja šupljina bit će jednaka difuzijskoj komponenti dp . (1.177) J p = Jdp = − q ⋅ D p ⋅ dx Uvrstimo li (1.177) u jednadžbu kontinuiteta (1.173) za manjinske šupljine, za stacionarne uvjete (∂ pn / ∂ t = 0) ćemo dobiti običnu diferencijalnu jednadžbu Dp ⋅

d 2 pn dx

2

−

p n − p0 n =0. τp

(1.178)

Supstitucijom p = pn − p0n i sređivanjem, (1.178) se može napisati u jednostavnijem obliku L2p ⋅

d2 p dx 2

− p=0,

(1.179)

gdje je Lp =

Dp ⋅ τ p

difuzijska duljina šupljina.

Jednadžba (1.179) je linearna diferencijalna jednadžba drugog reda, kojoj je opće rješenje oblika æ x ö æ x ö ÷ + C2 ⋅ expç − ÷ p( x ) = C1 ⋅ expçç ÷ ç L ÷. è Lp ø è pø

(1.180)

Konstante integracije C1 i C2 određuju se iz rubnih uvjeta. Pretpostavimo da su rubni uvjeti zadani koncentracijama nosilaca na površini poluvodiča (1.181) p( x = 0) = pn 0 − p0n = p0 , te na stražnjoj strani poluvodiča p( x = w) = pnw − p0n = p w ,

gdje je w debljina promatranog poluvodiča. Zbog rubnog uvjeta (1.181) vrijedi da je C1 + C2 = p0 ,

Zadatak 1.44

(1.182)

95


dok je zbog (1.182) æ wö æ wö ÷ + C2 ⋅ exp ç − ÷ C1 ⋅ exp çç ÷ ç L ÷ = pw . è Lp ø è pø

Iz ove dvije jednadžbe dobivaju se konstante

C1 = −

æ wö ÷ − pw p0 ⋅ expçç − ÷ è Lp ø æ wö ÷ 2 ⋅ sinhçç ÷ è Lp ø

, C2 =

æ wö ÷ − pw p0 ⋅ expçç ÷ è Lp ø æ wö ÷ 2 ⋅ sinhçç ÷ è Lp ø

.

Uvrstimo li dobivene konstante u opće rješenje (1.180), nakon sređivanja dobit ćemo

p( x ) =

æ x ö æ w − xö ÷ + p0 ⋅ sinhç ÷ p w ⋅ sinhçç ÷ ç L ÷ è Lp ø è p ø æ wö ÷ sinhçç ÷ è Lp ø

,

(1.183)

odnosno

pn ( x ) = p0n +

æ x ö æ w − xö ÷ + ( pn 0 − p0n ) ⋅ sinhç ÷ ( pnw − p0n ) ⋅ sinhçç ÷ ç L ÷ è Lp ø è p ø æ wö ÷ sinhçç ÷ è Lp ø

.

(1.184)

Pretpostavimo da su dimenzije poluvodiča tako velike da se svi ekscesni nosioci rekombiniraju prije no što stignu do stražnje plohe. Tada je koncentracija pnw = p0n , te isčezava prvi član u brojniku izraza (1.184), pa je

pn ( x ) = p0n + ( pn 0 − p0 n ) ⋅

æ w − xö ÷ sinhçç ÷ è Lp ø æ wö ÷ sinhçç ÷ è Lp ø

.

(1.185)

Rastavljanjem hiperbolnog sinusa razlike argumenata u brojniku gornje funkcije, nakon sređivanja ćemo dobiti é æ wö æ x öù ÷ ⋅ sinhç ÷ ê coshçç ÷ ç L ÷ úú L æ x ö ê è pø è pø ç ÷ pn ( x ) = p0n + ( pn 0 − p0n ) ⋅ êcoshç ú. ÷− æ wö è Lp ø ú ê ç ÷ sinhç ú ê ÷ L è pø úû êë Budući da su dimenzije poluvodiča velike, možemo uzeti da je w >> Lp . Prema tome, raspodjelu primjesa dobit ćemo kao limes gornje funkcije kada w/Lp → ∞ . Budući da je æ cosh x ö lim ç ÷ = 1, sinh x ø

x →∞ è

Zadatak 1.44

96


nakon sređivanja dobit ćemo traženu raspodjelu æ x ö ÷. pn ( x ) = p0n + ( pn 0 − p0n ) ⋅ exp çç − ÷ è Lp ø

(1.186)

Na slici 1.39a nacrtana je funkcija (1.186) i prikazana geometrijska interpretacija difuzijske duljine kao odsječka tangente na funkciju raspodjele. Da bismo spoznali fizikalni smisao difuzijske duljine, izračunat ćemo srednji put koji pređu ekscesni nosioci ∞

x=

ò x ⋅ ( pn − p0n ) ⋅ dx = ò ( pn − p0n ) ⋅ dx

æ

x ö

ò x ⋅ ( pn 0 − p0n ) ⋅ exp ççè − L p ÷÷ø ⋅ dx 0

∞

ò ( pn 0 0

æ x ö ÷ ⋅ dx − p0n ) ⋅ exp çç − ÷ è Lp ø

.

Integral u brojniku može se riješiti primjenom pravila parcijalne integracije ∞

æ x ö ò x ⋅ exp ççè − L p ÷÷ø ⋅ dx = 0

∞

∞ é æ x öù æ x ö 2 ÷ ú + L p ⋅ ò exp ç − ÷ ê− L p ⋅ x ⋅ exp çç − ÷ ç L ÷ ⋅ dx = L p , L êë ú è è p øû pø 0 0

dok je integral u nazivniku elementaran. Dobiva se da je x = Lp , tj. difuzijska duljina je jednaka srednjem putu koji nosioci pređu difuzijom, prije nego što se rekombiniraju. Funkcija raspodjele (1.186) vrijedi samo ako su dimenzije poluvodiča mnogo veće od difuzijskih duljina manjinskih nosilaca, te se svi ekscesni nosioci rekombiniraju prije nego što

pn

pn pn0

pn0

w =2 Lp p0n 0

0,1 1

p0n

x

Lp a)

w

0

x

b)

Slika 1.39. Prostorna raspodjela koncentracije šupljina u zadatku 1.44. a) Dimenzije poluvodiča su puno veće od difuzijske duljine manjinskih nosilaca. b) Geometrijske dimenzije su usporedive s difuzijskom duljinom manjinskih nosilaca.

dospiju do drugog kraja poluvodiča. Ako je debljina poluvodiča usporediva s difuzijskom duljinom, svi ekscesni nosioci se neće stići rekombinirati prije nego što stignu do stražnje plohe, pa će raspodjela manjinskih šupljina općenito biti određena funkcijom (1.184).

Zadatak 1.44


97

Svaka površina kristala predstavlja defekt, budući da na površini dolazi do prekida periodičnosti kristalne rešetke. Takav defekt povećava rekombinaciju na tom mjestu, te time izvlači ekscesne nosioce. Ako je brzina rekombinacije dovoljno velika, koncentracija nosilaca na tom mjestu će biti jednaka ravnotežnoj koncentraciji (možemo pretpostaviti da se na stražnjoj plohi nalazi metalna priključnica, na kojoj je brzina površinske rekombinacije vrlo velika, tipično 106 cm / s), pa će raspodjela nosilaca biti opisana funkcijom (1.185). Na slici 1.39b ta je funkcija prikazana za tri različita omjera w/Lp . Kao što se i sa slike vidi, za izuzetno male debljine, tj. za w << Lp , mogu se zanemariti članovi razvoja funkcije hiperbolnog sinusa u (1.185) u redove potencija viši od linearnog, tj. sinh( x ) = x , te se raspodjela manjinskih nosilaca može aproksimirati pravcem w− x pn ( x ) = p0 n + ( pn 0 − p0 n ) ⋅ . w

(1.187)

Obično se postavlja pitanje kako izgleda raspodjela koncentracija većinskih nosilaca, ako je poznata raspodjela manjinskih nosilaca. Po izravnoj analogiji sa slikom 1.39a, poneki čitatelj bi mogao zaključiti da će se većinski nosioci raspodijeliti također po eksponencijalno padajućoj funkciji sa difuzijskom duljinom većinskih nosilaca u nazivniku argumenta eksponencijalne funkcije æ x ö nn ( x ) = n0n + (nn 0 − n0n ) ⋅ exp ç − ÷, è Ln ø

pri čemu bi difuzijska duljina bila Ln = Dn ⋅ τ n = µ n ⋅ U T ⋅ τ n . Međutim, budući da se difuzijske duljine elektrona i šupljina međusobno razlikuju, takva bi raspodjela poremetila električku neutralnost u poluvodiču. Nastalo bi električno polje koje bi se suprotstavljalo tom poremećaju, a kako u poluvodiču postoji velika koncentracija većinskih nosilaca, oni bi se bez većih poteškoća preraspodijelili i poništili to polje. Prema tome, raspodjela većinskih nosilaca se uvijek nastoji prilagoditi raspodjeli manjinskih nosilaca tako da zakon električke neutralnosti bude zadovoljen. U ovom zadatku mogli smo to zaključiti i na temelju činjenice da se svi ekscesni većinski nosioci koji su nastali uz površinu generacijom parova elektron-šupljina, moraju rekombinirati s ekscesnim manjinskim šupljinama, prije no što njihova koncentracija dosegne ravnotežnu koncentraciju. Koncentracija šupljina koje stoje na raspolaganju za rekombinaciju je puno manja, pa će one, odnosno njihovo vrijeme života diktirati rekombinaciju (a time i raspodjelu) većinskih elektrona. Ovo naravno ne znači da jednadžbe kontinuiteta ne vrijede za većinske nosioce. Međutim, električno polje, čiji smo utjecaj na raspodjelu manjinskih nosilaca zanemarili (izraz (1.178)), kao što smo vidjeli u zadatku 1.42, ima značajan utjecaj na raspodjelu većinskih nosilaca. Prema tome, za točnu raspodjelu većinskih nosilaca treba poznavati raspodjelu električnog polja, a to zahtijeva istovremeno rješavanje Poissonove jednadžbe, jednadžbi kontinuiteta i transportnih jednadžbi. Iscrpnije detalje o rješenjima jednadžbe kontinuiteta zainteresirani čitatelji mogu naći u literaturi [Adler64].

Zadatak 1.44

98


Zadatak 1.45 Odredite funkciju raspodjele manjinskih šupljina u poluvodiču iz prethodnog zadatka, ako u poluvodiču djeluje konstantno električno polje , a dimenzije poluvodiča su puno veće od difuzijske duljine manjinskih nosilaca. Rješenje: Uvrštavanjem transportne jednadžbe za šupljine (1.162a) u jednadžbu kontinuiteta za šupljine (1.173a), dobit ćemo za stacionarne uvjete (∂ Jp / ∂ t = 0) linearnu diferencijalnu jednadžbu Dp ⋅

d 2 pn dx

2

− µ p ⋅ ⋅

dpn pn − p0n − = 0. dx τp

Rješenje ove jednadžbe uz odgovarajuće rubne uvjete je pn ( x ) = ( pn 0

ìé ü 2ù 2 æ 1 ö ú ï æ ö ïê ç ÷ − p0n ) ⋅ exp íê − ç ÷ +ç ÷ ú ⋅ x ý + p0n . è 2 ⋅U T ø è Lp ø ú ï ïê 2 ⋅ U T û þ îë

Zanimljivo je uočiti da je ovo rješenje oblikom slično rješenju (1.186) iz prethodnog zadatka. Kvadratni korijen u gornjem izrazu je po iznosu uvijek veći od člana ispred njega, pa je argument eksponencijalne funkcije uvijek negativan. Napišemo li gornje rješenje kao

æ x ö pn ( x ) = ( pn 0 − p0n ) ⋅ expçç − * ÷÷ + p0n , è Lp ø pri čemu je 2

2 æ 1 ö æ ö ÷ − = + çç , ç ÷ ÷ * 2 ⋅U T è 2 ⋅U T ø Lp è Lp ø

1

vidimo da će električno polje samo razvlačiti ili stezati eksponencijalnu raspodjelu u smjeru x-osi, ovisno o smjeru električnog polja. upadno svjetlo

Zadatak 1.46 * [Shive59, Adler64] Lokalni kratkotrajni impuls svjetla obasjao je homogeno dopirani poluvodič n-tipa, generirajući pri tome lokalni “paket” ekscesnih nosilaca (slika 1.40). Odrediti funkcije raspodjela manjinskih nosilaca u ovisnosti o vremenu za slučaj kada a) nema vanjskog električnog polja, odnosno b) na nosioce djeluje stalno električno polje duž x osi.

n - tip

pn − p0n = n n −n 0n

0

x

Slika 1.40. Injekcija nosilaca u zadatku 1.46. Zadatak 1.46

99


Rješenje: Lokalni impuls svjetla generirat će ekscesne parove elektron-šupljina na malom prostoru. Ti ekscesni nosioci difundirat će prema mjestima niže koncentracije, pa će doći do “razlijevanja” paketa.

a) Kada nema vanjskog električnog polja, jednadžbu kontinuiteta za manjinske šupljine možemo pisati kao ∂ pn p − p 0n ∂ 2 pn =− n + Dp ⋅ , ∂t τp ∂x2

(1.188)

odnosno, primjenom supstitucije p = pn − p0n , ∂p p ∂2 p =− + Dp ⋅ 2 . τp ∂t ∂x

(1.189)

Da bismo riješili ovu parcijalnu diferencijalnu jednadžbu, prvo ćemo potražiti rješenje uz pretpostavku da je vrijeme života manjinskih nosilaca beskonačno (τp → ∞). To rješenje ćemo označiti kao p∞(x , t ). U tom slučaju, jednadžbu (1.189) možemo pisati kao ∂2p ∂p = Dp ⋅ 2 . (1.190) ∂t ∂x Time pretpostavljamo da nema rekombinacije nosilaca, pa je ukupni broj nosilaca u poluvodiču konstantan za cijeli promatrani vremenski interval. Površine ispod funkcija raspodjela nosilaca u bilo kojem trenutku će biti jednake! Kako je mjera za rekombinaciju R=

pn − p 0 p = τp τp

proporcionalna razlici stvarne i ravnotežne koncentracije, rješenje jednadžbe (1.189) za konačno vrijeme života će se razlikovati od rješenja jednadžbe (1.190) samo po tome što će se koncentracija nosilaca u bilo kojoj točki eksponencijalno smanjivati s vremenom (vidi zadatak 1.43), tj. æ tö p( x , t ) = p∞ ( x , t ) ⋅ expç − ÷ . (1.191) è τø Jednadžba (1.190) je difuzijska jednadžba (II Fickov zakon) budući da opisuje statističko gibanje čestica u nekom sredstvu. U literaturi se vrlo često parcijalna diferencijalna jednadžba ovakvog oblika zove i jednadžba vođenja topline, jer je njome opisana i raspodjela temperature u čvrstim tijelima. Primjenom Laplaceove transformacije, parcijalna diferencijalna jednadžba (1.190) prijeći će u običnu diferencijalnu jednadžbu drugog reda Dp ⋅

∂2p

− s ⋅ p + p(t = 0) = 0 , (1.192) ∂x2 gdje je p Laplaceova transformacija funkcije raspodjele elektrona, a s je varijabla u donjem (transformiranom) području. Pretpostavimo da se početna raspodjela šupljina može aproksimirati Diracovom delta-funkcijom p(t = 0) = δ ( x ) ,

Zadatak 1.46

100


koja je jednaka nuli za sve vrijednosti prostorne koordinate osim ishodišta. Zbog toga možemo (1.192) napisati kao ∂2p Dp ⋅ − s⋅ p = 0 . (1.193) ∂ x2 Opće rješenje ove diferencijalne jednadžbe glasi ö æ æ s p = C1 ⋅ expç ⋅ x÷ + C2 ⋅ expç − ç ç Dp ÷ ø è è

ö s ⋅ x÷ . D p ÷ø

(1.194)

Konstante integracije C1 i C2 odredit ćemo iz rubnih uvjeta. Budući da za x → ∞ koncentracija nosilaca teži ravnotežnoj koncentraciji, konstanta C1 = 0 . Konstantu integracije C2 odredit ćemo sada iz uvjeta da je ukupan broj ekscesnih nosilaca cijelo vrijeme konstantan (rekombinaciju smo zanemarili!)

åp=

∞

ò p( x ) ⋅ dx = konst. ,

−∞

odnosno, u donjem području

åp=

åp = s

∞

ò p ( x) ⋅ dx = 2 ⋅ C2 ⋅

Dp

−∞

Prema tome, C2 =

åp

2 ⋅ s ⋅ Dp

s

.

,

pa je rješenje jednadžbe (1.192) u donjem području, za pretpostavljene rubne uvjete p=

åp

æ ⋅ expç − ç 2 ⋅ s ⋅ Dp è

ö s ⋅ x÷ . D p ÷ø

(1.195)

Inverzna Laplaceova transformacija dat će nam vremensku ovisnost raspodjele manjinskih nosilaca p∞ ( x , t ) =

åp

æ x2 ö ÷. ⋅ expçç − ÷ 2 ⋅ π ⋅ Dp ⋅ t è 4 ⋅ Dp ⋅ t ø

(1.196)

Podsjetimo se da ovo rješenje odgovara slučaju zanemarive rekombinacije nosilaca. Ako je vrijeme života nosilaca konačno, raspodjelu nosilaca dobit ćemo iz (1.196) korištenjem izraza (1.191) kao pn ( x , t ) =

åp

æ x2 t ö ⋅ exp çç − − ÷÷ + p0n . 2 ⋅ π ⋅ Dp ⋅ t è 4 ⋅ Dp ⋅ t τ p ø

(1.197)

Kako se uočava iz (1.197) koncentracije nosilaca ravnaju se po Gaussovoj raspodjeli, što je i prikazano na slici 1.41a. Razlijevanje paketa posljedica je kaotičnog gibanja ekscesnih nosilaca i rezultantne difuzije.

Zadatak 1.46

101


pn

pn t=0

t=0

t1

t1 t2 > t1

t2 > t1

p0n

p0n

x

0

0 µp t1 µp t2

a)

x

b)

Slika 1.41. Vremenska ovisnost raspodjela manjinskih nosilaca u zadatku 1.46. a) bez električnog polja, b) pod utjecajem električnog polja.

b) Ako na poluvodič djeluje stalno električno polje, u jednadžbi kontinuiteta za manjinske šupljine osim difuzijske komponente pojavit će se i driftna komponenta struje manjinskih šupljina, pa je ∂ pn p − p 0n ∂p ∂ 2 pn =− n − µ p ⋅ ⋅ n + Dp ⋅ . τp ∂t ∂x ∂x2

(1.198)

Osim što će se razlijevati, paket ekscesnih nosilaca će se pod djelovanjem električnog polja pomicati duž x-osi driftnom brzinom vfp = µp ⋅ (slika 1.41b). Uvođenjem supstitucija p = pn − p0 n , y = x + µ p ⋅ ⋅ t , jednadžba (1.198) prelazi u ∂p p ∂ 2p =− + Dp ⋅ 2 , τp ∂t ∂y

(1.199)

što je identično jednadžbi (1.189). Stoga se može primijeniti isti postupak rješavanja kao u a) dijelu zadatka, te se nakon povratnih supstitucija dobiva raspodjela pn ( x , t ) =

åp

é ( x − µ p ⋅ ⋅ t )2 t ù ⋅ exp ê− − ú + p0n , 4 ⋅ Dp ⋅ t τ p úû 2 ⋅ π ⋅ Dp ⋅ t êë

(1.200)

U osnovi, ovaj zadatak je poznati pokus Haynesa i Shockleya [Haynes49, Haynes51, Haynes52] u kojem su mjerili driftnu pokretljivost i vrijeme života nosilaca u poluvodičima (slika 1.42). Zbog značaja tog eksperimenta [Shockley50] posvetit ćemo mu još malo prostora. Umjesto svjetla, kao izvor manjinskih nosilaca korišten je metalni šiljak prislonjen na poluvodič (označen s E na slici 1.42a). Drugi šiljak (označen kao C) bio je priključen na osciloskop, na kojem je dobiven valni oblik prema slici 1.42b. Izvor U1 priključen na krajeve poluvodiča osiguravao je konstantno električno polje u poluvodiču, kako je prikazano na slici. U trenutku t1 izvor uE generira pravokutni impuls koji traje do trenutka t3 , zbog čega dolazi do injekcije nosilaca iz šiljka E u poluvodič. Pod djelovanjem električnog polja injektirani većinski elektroni će se gibati

Zadatak 1.46

102


uE

osciloskop

E B1

C

+

poluvodič n-tipa

+

U2

B2

U1

+

uC

−

a)

u

uE uC

t1

t2

Slika 1.42. Haynes-Shockleyev [Shockley50].

t3 pokus:

t4 a)

b)

t uređaj,

b)

mjereni

napon

prema lijevom kraju (priključnica B1), a injektirane šupljine prema desnom kraju poluvodiča (priključnica B2) na slici. Kao što možemo uočiti sa slike 1.42b, odmah u trenutku t1 (na prednji brid impulsa) promijenit će se napon na šiljku C. Ta promjena napona rezultat je prirasta pada napona na dijelu poluvodiča između šiljka C i priključnice B2 zbog struje većinskih nosilaca. Ovaj signal se prenosi od emitera E do kolektora C trenutno, praktički brzinom svjetlosti, jer brzina prijenosa tog signala nije uvjetovana brzinom većinskih nosilaca. Slično kao i u vodičima, promjena koncentracije elektrona na jednom mjestu uzrokovat će električno polje koje se širi brzinom svjetlosti i uzrokuje istovremene pomake elektrona u cijelom materijalu, a time i tok struje na priključnicama† . Ubačeni manjinski nosioci će poremetiti ravnotežu i uzrokovati prostorni naboj. Međutim, kako je koncentracija elektrona puno veća, taj prostorni naboj bit će brzo neutraliziran strujom elektrona. Kao što vidimo, u ekstrinsičnim poluvodičima je gotovo nemoguće povećati koncentraciju većinskih nosilaca injekcijom nosilaca istog tipa. Naprotiv, injekcija manjinskih nosilaca može bitno utjecati na koncentraciju većinskih nosilaca, budući da ovi nastoje neutralizirati prostorni naboj manjinskih nosilaca [Shockley50]. Iako će se uspostaviti električka

†

Struja u metalima (kao i struja većinskih nosilaca u poluvodičima) može se poistovjetiti s uvježbanim vojničkim postrojem. Na zapovjed (ekvivalent poremećaju električnog polja), svi vojnici će gotovo istovremeno zakoračiti i trenutno popuniti prazno mjesto koje je npr. nastalo negdje na čelu stroja.

Zadatak 1.46

103


neutralnost, termodinamička ravnoteža će biti poremećena budući da će koncentracije i elektrona i šupljina biti veće od ravnotežnih. Pod djelovanjem vanjskog električnog polja injektirane manjinske šupljine će se gibati prema priključnici B2 i počet će stizati do kolektora tek u trenutku t2 . Zbog kaotičnog gibanja šupljina sve šupljine neće stići istovremeno do kolektora, pa je porast mjerenog pada napona postepen. Potpuno analogno razmatranje može se primijeniti i za preostali dio valnog oblika na slici 1.42b, nakon isključenja izvora uE u trenutku t3 . Prema tome, ovakav valni oblik je dokaz da u poluvodiču postoje dva tipa nosilaca naboja, te da injekcija manjinskih nosilaca može značajno utjecati na svojstva poluvodiča [Shockley50]. Na temelju razmaka između trenutaka t1 i t2 može se odrediti driftna brzina manjinskih šupljina L µ= , ⋅ ( t 2 − t1 ) gdje je L prostorna udaljenost između emitera i kolektora. Na osnovu amplituda napona u trenutku t2 za različite razmake emitera i kolektora može se odrediti vrijeme života manjinskih nosilaca [Haynes51]. Što je vrijeme života kraće, više će se nosilaca rekombinirati, prije no što stignu do kolektora, pa će i amplituda napona biti manja. Ostale detalje vezane uz rezultate Haynes-Shockleyevog pokusa zainteresirani čitatelj može naći u literaturi [Shockley50, Haynes51].

Zadatak 1.47 * [Grove67] Kristal homogeno dopiranog poluvodiča n-tipa jednoliko je obasjan izvorom svjetla tako da je svugdje u volumenu poluvodiča ekscesna koncentracija manjinskih nosilaca pnL . Odrediti raspodjelu manjinskih nosilaca uz površinu ako je poznata brzina površinske rekombinacije sp . Rješenje: Pod djelovanjem svjetla generiraju se dodatni parovi elektron-šupljina, uzrokujući porast koncentracije manjinskih šupljina na iznos pnL . Ako je izvor svjetla stalan, i koncentracije će biti stalne, tj. ∂ pn =0 ∂t i veće od ravnotežnih. S druge strane, površina pojačanom rekombinacijom nastoji vratiti koncentracije na ravnotežne vrijednosti. Zbog toga će uz površinu promatranog poluvodiča koncentracije nosilaca biti niže (točnije: bliže ravnotežnim koncentracijama) od onih u volumenu poluvodiča, te će nosioci difundirati prema površini. Svi nosioci koji stignu do površine rekombinirat će se tamo - u protivnom bi došlo do porasta koncentracija nosilaca uz površinu. Znači da je difuzijska struja manjinskih šupljina uz površinu uravnotežena “strujom” rekombinacije (koja je proporcionalna odstupanju koncentracije od ravnotežne), što možemo pisati kao

q ⋅ Dp ⋅

∂ pn ∂x

x=0

= q ⋅ s p ⋅ ( pn 0 − p 0n ) .

(1.201)

Faktor proporcionalnosti u (1.201) je brzina površinske rekombinacije sp (ima dimenziju cm/ s). Drugi rubni uvjet za jednadžbu kontinuiteta bit će Zadatak 1.47

104


pn ( x → ∞) = pnL .

(1.202)

Jednadžba kontinuiteta u stacionarnom stanju (∂ pn / ∂ t = 0), uz pretpostavku da se nosioci gibaju isključivo difuzijom, glasi Dp ⋅

∂ 2 pn pn − p0n − =0, τp ∂x2

(1.203)

što je linearna diferencijalna jednadžba drugog reda. Opće rješenje je oblika æ x ö æ x ö ÷ + C2 ⋅ expç − ÷ pn ( x ) = C1 ⋅ expçç ÷ ç L ÷. è Lp ø è pø

Primjenom gornjih rubnih uvjeta, mogu se odrediti konstante integracije C1 i C2 , pa se dobiva pn ( x ) = pnL −

æ x ö pnL − p0n ÷. ⋅ expçç − ÷ Lp è Lp ø +1 τ p ⋅ sp

(1.204)

Na slici 1.43 prikazano je rješenje (1.204) za neke konačne vrijednosti brzina površinske rekombinacije. U slučaju da je brzina površinske rekombinacije jednaka nuli, (1.204) prelazi u (1.202) za svaki x. U drugoj krajnosti, za sp → ∞ æ x ö ÷, pn ( x ) = pnL − ( pnL − p0n ) ⋅ expçç − ÷ è Lp ø

(1.205)

a koncentracija manjinskih nosilaca uz površinu teži ravnotežnoj koncentraciji.

0

1 0,8

pn − p0n pnL − p0n

0,6 0,4 0,2 0

0

0,2 1 5 sp τ p Lp = ∞ 1

2

3

4

5

x / Lp Slika 1.43. Ravnotežne raspodjele manjinskih nosilaca za različite brzine površinske rekombinacije.

Zadatak 1.47

105

1.8. Nehomogeni poluvodiči

1.8. Nehomogeni poluvodiči U nehomogeno dopiranim poluvodičima koncentracija primjesa se mijenja s prostornim koordinatama. Zbog toga će se mijenjati i koncentracije većinskih i manjinskih nosilaca, budući da u uvjetima ravnoteže moraju za svaku točku u poluvodiču vrijediti zakon električke neutralnosti i zakon termodinamičke ravnoteže. Zbog difuzije nosioci će se nastojati gibati s mjesta više k mjestu niže koncentracije. Kada bi postojala samo ta difuzijska struja nosilaca, ona bi tekla sve dok se koncentracije nosilaca ne bi izjednačile svugdje u volumenu poluvodiča, što bi očito poremetilo ravnotežu sistema. Na mjestima s nižom neto koncentracijom primjesa koncentracije većinskih nosilaca bi bile veće od ravnotežnih, a koncentracije manjinskih nosilaca bi bile manje od ravnotežnih. Obrnuto bi bilo za mjesta s višom neto koncentracijom primjesa. Kako poluvodič mora biti u uvjetima ravnoteže, očito mora teći driftna komponenta struje u suprotnom smjeru koja će poništiti difuzijsku komponentu. Jakost ugrađenog električnog polja koje nastaje u poluvodiču zbog nehomogene dopiranosti poluvodiča i koje tjera driftnu komponentu struje možemo odrediti preko transportnih jednadžbi bilo za većinske, bilo za manjinske nosioce. Izjednačavanjem elektronske, odnosno šupljinske struje s nulom (transportne jednadžbe za elektrone (1.161a), odnosno šupljine (1.162a)), dobivamo za jakost električnog polja u jednodimenzionalnom slučaju U dn (1.206) =− T ⋅ 0 , n0 dx

=

U T dp0 . ⋅ p0 dx

(1.207)

Kako nam je redovito poznata raspodjela primjesa, a njoj obično odgovara i raspodjela većinskih nosilaca, za određivanje električnog polja prikladnije je koristiti transportnu jednadžbu za većinske nosioce. Kako u nehomogenim poluvodičima postoji električno polje, očito će i elektrostatski potencijali pojedinih točaka biti različiti. Razliku potencijala između pojedinih točaka možemo dobiti preko poznatih pripadajućih koncentracija većinskih ili manjinskih nosilaca é n ( x2 ) ù U x 2 ,x1 = U T ⋅ ln ê (1.208) ú, ë n( x1 ) û é p( x 2 ) ù U x 2 ,x1 = −U T ⋅ ln ê ú. ë p( x1 ) û

(1.209)

106


Zadatak 1.48 Izvesti izraze za ugrađeno električno polje i ugrađenu razliku potencijala koji se javljaju u poluvodiču n-tipa s nehomogenom raspodjelom primjesa. Rješenje: Radi jednostavnosti, pretpostavit ćemo da je raspodjela donorskih primjesa u poluvodiču strogo padajuća funkcija, tj. da koncentracija donora opada s udaljavanjem od površine poluvodiča, kako je prikazano na slici 1.44a. To je realan slučaj za većinu poluvodiča u kojima su raspodjele primjesa dobivene difuzijskim postupkom ili ionskom implantacijom. ND

n, p

n, p

+

difuzijski tok elektrona

driftni tok elektrona

Jdn

Jfn n

driftni tok šupljina

difuzijski tok šupljina

Jdp 0

x a)

Jfp

p

0

x b)

_

n p

0

x c)

Slika 1.44. Nehomogeni poluvodič n-tipa: a) raspodjela koncentracije primjesa, b) difuzijske struje nosilaca, c) ugrađeno električno polje i driftne struje.

Ravnotežna koncentracija većinskih elektrona također opada sa dubinom, dok ravnotežna koncentracija manjinskih šupljina raste, budući da u svakoj točki moraju biti zadovoljeni zakoni električke neutralnosti i termodinamičke ravnoteže. Zbog nejednolikih raspodjela koncentracija nosilaca, postojat će difuzija nosilaca s mjesta više k mjestu niže koncentracije. U našem primjeru elektroni će difundirati u volumen poluvodiča, pa bi se trebao pojaviti višak elektrona (iznad ravnotežne koncentracije) u dubini poluvodiča, odnosno manjak pri površini. Primjesni ioni su na sobnoj temperaturi nepokretni, pa bi, uslijed difuzije većinskih nosilaca u volumen poluvodiča, uz površinu poluvodiča pozitivni naboj ioniziranih donora ostao nekompenziran. Naprotiv, šupljine difundiraju k površini poluvodiča, te bi se po tome koncentracija šupljina uz površinu trebala povećati iznad ravnotežne, a u volumenu poluvodiča smanjiti ispod ravnotežne. Posljedica svega ovoga bila bi neravnoteža sustava (slika 1.44b), što je u suprotnosti s početnom pretpostavkom. Očigledno mora postojati proces suprotan difuziji nosilaca, koji će osigurati da sustav ostane u ravnoteži. Sa slike 1.44b možemo uočiti da će se uslijed difuzije pojaviti neravnoteža naboja. U volumenu poluvodiča postoji višak negativnog naboja (elektroni koji su difundirali od površine), a uz površinu postoji višak pozitivnog naboja (nekompenzirani naboj donorskih iona, te naboj manjinskih šupljina koje difundiraju iz volumena). Ta neravnoteža naboja uzrokuje električno polje, koje tjera nosioce naboja u smjeru suprotnom od smjera difuzije nosilaca. U našem slučaju to je polje usmjereno od površine u volumen poluvodiča, pa će driftni tok elektrona biti usmjeren prema površini poluvodiča, a driftni tok šupljina u volumen poluvodiča, kako je prikazano na slici 1.44c. Da bi ravnoteža bila osigurana, zbroj svih struja u poluvodiču mora biti jednak nuli,

Zadatak 1.48

107


Jn + J p = 0 . Uvrštavanjem transportnih jednadžbi za elektrone odn. šupljine, gornji izraz postaje dn dp q ⋅ Dn ⋅ + q ⋅ n ⋅ µn ⋅ − q ⋅ D p ⋅ + q ⋅ p ⋅ µp ⋅ = 0 . dx dx Iz ovog izraza možemo izlučiti jakost električnog polja dn dp Dn ⋅ − Dp ⋅ x d dx . =− n ⋅ µn + p ⋅ µ p

(1.210)

Pomoću zakona termodinamičke ravnoteže izrazit ćemo koncentraciju manjinskih nosilaca preko koncentracije većinskih nosilaca, n2 p= i , n pa je gradijent koncentracije manjinskih nosilaca (ni je konstantan) n 2 dn dp = − i2 ⋅ . dx n dx

Uvrštavanjem u (1.210), dobiva se

=−

æ n 2 ö dn çç Dn + D p ⋅ i2 ÷÷ ⋅ n ø dx è n ⋅ µn +

ni2 ⋅µp n

=−

æ n 2 ö dn U T ⋅ çç µ n + µ p ⋅ i2 ÷÷ ⋅ n ø dx è æ ö n2 n ⋅ çç µ n + i2 ⋅ µ p ÷÷ n è ø

1 dn . = −U T ⋅ ⋅ n dx

=

(1.211)

Lako je dokazati da se električno polje može odrediti i iz raspodjele manjinskih nosilaca. Da smo u gornjem postupku izrazili koncentracije i gradijente koncentracija većinskih elektrona preko koncentracija manjinskih šupljina, te njih uvrstili u (1.210), umjesto (1.211) dobili bismo 1 dp = UT ⋅ ⋅ . (1.212) p dx

Do potpuno istih izraza za jakost električnog polja došli bismo i da smo razdvojili elektronsku komponentu struje od šupljinske komponente i postavili uvjet da ukupna struja elektrona mora biti jednaka nuli, odnosno da ukupna struja šupljina mora biti jednaka nuli. Naime, da u uvjetima ravnoteže driftna struja elektrona (šupljina) ne poništava difuzijsku struju elektrona (šupljina), postojalo bi neto strujanje elektrona (šupljina) s jednog na drugo mjesto, što bi značilo poremećaj pretpostavljenog početnog stanja ravnoteže. Naravno, prikazi na slici 1.44 su bitno pojednostavljeni, jer se difuzijska i driftna komponenta međusobno poništavaju već na mikroskopskim razmacima. Ugrađeni potencijal između dviju točaka x1 i x2 dobiva se integriranjem raspodjele električnog polja U x 2 , x1 = ψ ( x 2 ) − ψ ( x1 ) =

ψ ( x2 )

ò

ψ ( x1 )

x2

dψ = − ò ⋅ dx . x1

Uvrstimo li izraz (1.211) i integriramo, dobit ćemo izraz (1.208) Zadatak 1.48

108


n ( x2 )

U x 2 , x1 = U T ⋅

é n( x 2 ) ù dn = U T ⋅ ln ê ú. n ë n( x1 ) û n( x )

ò

1

Kako je koncentracija elektrona uz površinu veća od one u volumenu poluvodiča, točke uz površinu su na višem potencijalu od točaka u volumenu poluvodiča. Ovo se može zaključiti i po smjeru električnog polja na slici 1.44c. Zanimljivo je primijetiti da razlika potencijala između dvije točke ne ovisi o obliku raspodjele električnog polja, odnosno primjesa između tih točaka, već isključivo o omjeru koncentracija nosilaca u te dvije točke. Da smo umjesto (1.211) uvrstili (1.212), dobili bismo izraz (1.209). Iako u nehomogenom poluvodiču postoji razlika potencijala, taj napon je nemoguće izmjeriti - razlike radova izlaza poluvodiča i metalnih priključnica će poništiti razliku ugrađenog potencijala u poluvodiču. Kada ne bi bilo tako, kroz vodič spojen između dvije točke poluvodiča bi potekla struja, što je u suprotnosti s početnom pretpostavkom da je poluvodič u ravnoteži, tj. da kroz poluvodič ne teče struja.

Zadatak 1.49 Skicirati energetski dijagram, raspodjelu električnog polja i elektrostatskog potencijala u stanju ravnoteže na 300 K za silicij u kojem se raspodjela donora može prikazati funkcijom ND = ND0 ⋅ exp(–x2/ a), pri čemu je ND0 = 1017 cm−3, a a = 0,1 µm2. Rješenje: Budući da se koncentracija primjesa mijenja s prostornom koordinatom, mijenjat će se i položaj Fermijevog nivoa u odnosu na rubove zabranjenog pojasa. Da bismo mogli skicirati energetski dijagram, prvo moramo utvrditi kako se mijenja položaj Fermijevog nivoa s prostornom koordinatom. U uvjetima ravnoteže, ukupne struje nosilaca su jednake nuli. Za većinske elektrone transportna jednadžba glasi dn dψ dn J n = q ⋅ µ n ⋅ n ⋅ + q ⋅ Dn ⋅ = −q ⋅ µn ⋅ n ⋅ + q ⋅ Dn ⋅ =0. (1.213) dx dx dx Da bismo dobili prostornu ovisnost položaja Fermijevog nivoa, izrazit ćemo i elektrostatski potencijal i koncentracije elektrona preko Fermijevog nivoa: E ψ = − Fi , (1.214) q æ E − EF ö n = ni ⋅ exp ç − Fi ÷. ET è ø

(1.215)

Uvrstimo li (1.214) i (1.215) u (1.213), dobit ćemo æ E − E F ö 1 dE Fi q ⋅ µ n ⋅ ni ⋅ exp ç − Fi + ÷⋅ ⋅ ET è ø q dx æ E − E F ö 1 æ dE Fi dE F ö + q ⋅ Dn ⋅ ni ⋅ exp ç − Fi ⋅ç− + ÷⋅ ÷ = 0. ET dx ø è ø E T è dx

Nakon kraćenja, ostaje nam

Zadatak 1.49

(1.216)

109


æ E − E F ö 1 dE F q ⋅ Dn ⋅ ni ⋅ exp ç − Fi ⋅ = 0, ÷⋅ ET è ø E T dx

(1.217)

iz čega slijedi da mora vrijediti dE F = 0, dx budući da su svi ostali članovi u umnošku (1.217) različiti od nule. Prema tome, položaj Fermijevog nivoa je u ravnotežnim uvjetima konstantan! Koristeći ovu činjenicu, izraz za razliku elektrostatskih potencijala dobit ćemo vrlo jednostavno, pomoću izraza (1.214) i (1.215)

é n( x 2 ) ù é n( x1 ) ù é n( x 2 ) ù U x 2 , x1 = ψ ( x 2 ) − ψ ( x1 ) = U T ⋅ ln ê ú − U T ⋅ ln ê ú = U T ⋅ ln ê ú, n n ë i û ë i û ë n( x1 ) û što je potpuno jednako izrazu za razliku ugrađenih potencijala (1.208) koji smo izveli u prethodnom zadatku.

Raspodjelu električnog polja možemo odrediti na isti način kao i u prethodnom zadatku. Na slici 1.45 nacrtani su rezultantni dijagrami. Na slici 1.45a prikazana je raspodjela primjesa, a na slici 1.45b je energetski dijagram razmatranog poluvodiča. Kako se i sa slike vidi, zbog promjene koncentracija elektrona, odn. šupljina s dubinom, mijenjat će se i položaj Fermijevog nivoa u odnosu na rubove zabranjenog pojasa. Na mjestu više ravnotežne koncentracije elektrona, gdje je poluvodič “jači” n-tip (uz površinu), Fermijev nivo očito mora biti bliži vrhu zabranjenog pojasa, nego u volumenu poluvodiča. Naravno, u uvjetima ravnoteže, Fermijev nivo je svugdje na istoj energiji, a zapravo se valentni odn. vodljivi pojas savijaju, kako je i prikazano na slici. Poluvodič je po cijeloj dubini n-tipa vodljivosti, te je Fermijev nivo svugdje iznad sredine zabranjenog pojasa. Jakost električnog polja =−

[

]

U T dn UT d 2⋅x ⋅ =− ⋅ N D 0 ⋅ exp ( − x 2 / a ) = U T ⋅ , a n dx N D 0 ⋅ exp ( − x 2 / a ) dx

(1.218)

E

10 17

Ec EF EFi Ev

ND

cm−3 0

0

1

x / µm

2

0 a)

6000

1

x / µm

2 b)

0

ψ V

−1 Vcm 0

0

1

x / µm

–0,5

2 c)

0

1

x / µm

2 d)

Slika 1.45. Uz zadatak 1.49: a) raspodjela primjesa, b) energetski dijagram, c) raspodjela električnog polja, d) raspodjela električnog potencijala.

Zadatak 1.49

110


u ekstrinsičnom području raste linearno s dubinom (slika 1.45c) budući da je koncentracija elektrona praktički jednaka koncentraciji primjesa, pa se eksponencijalne funkcije u brojniku i nazivniku gornjeg izraza međusobno krate. Približavanjem intrinsičnom dijelu poluvodiča, koncentracija većinskih elektrona (nazivnik prve formule u (1.218)) više nije jednaka koncentraciji primjesa, već je n=

N D + N D2 + 4 ⋅ ni2

, (1.219) 2 te teži intrinsičnoj koncentraciji. Naprotiv, derivacija funkcije raspodjele elektrona (brojnik prve formule u (1.218)) æ 2 2 dn d ç N D + N D + 4 ⋅ ni = 2 dx dx ç è

=

ö ÷ = 1 ⋅ dN D + 1 ⋅ N 2 + 4 ⋅ n 2 D i ÷ 2 dx 4 ø

æ 1 dN D ç ⋅ ⋅ ç1 + 2 dx è

(

)

−1 2

⋅2⋅ ND ⋅

dN D = dx

ö ÷ 2 2 ÷ N D + 4 ⋅ ni ø

ND

(1.220)

teži nuli, jer derivacija dN / dx za zadanu eksponencijalnu raspodjelu teži nuli. Zbog toga će kvocijent izraza (1.220) i (1.219), a time i električno polje, težiti nuli. Raspodjela potencijala (prikazana na slici 1.45d) dobivena je iz poznate raspodjele većinskih elektrona pomoću izraza (1.211) é n( x ) ù U ( x ) = U T ⋅ ln ê ú, ë n(0) û pri čemu je potencijal površine uzet kao referentni.

Zadatak 1.50 U poluvodiču dopiranom samo jednom primjesom koncentracija te primjese mijenja se po eksponencijalnom zakonu N(x) = N0 ⋅ exp(–x / a), pri čemu je konstanta a = 5 µm. Potencijal točke A prema točki B UAB = +25 mV (slika 1.46). Odrediti kakvom je primjesom poluvodič dopiran, te iznos i smjer ugrađenog električnog polja, ako se zna da je koncentracija primjesa puno veća od intrinsične koncentracije nosilaca u cijelom promatranom području. Na zadanoj temperaturi UT = 25 mV.

N

0

B

A

x

Slika 1.46. Raspodjela primjesa u zadatku 1.50.

Rješenje: S obzirom da je u promatranom području koncentracija primjesa N(x) >> ni , slijedi da je koncentracija većinskih nosilaca u svakoj promatranoj točki jednaka koncentraciji primjesa. Točka A je na pozitivnijem potencijalu od točke B (UAB > 0), što znači da je električno polje u smjeru −x osi (prema površini poluvodiča, vidi sliku 1.47a), a to je ujedno i smjer driftne struje nosilaca, bez obzira radi li se o elektronima ili šupljinama. Difuzijska struja teče u suprotnom smjeru, tj. u smjeru +x osi (u volumen poluvodiča, slika 1.47b). Difuzijom se nosioci gibaju od mjesta više koncentracije prema mjestu s nižom koncentracijom nosilaca. U našem slučaju

Zadatak 1.50

111


N

N

UAB > 0

−

+

B

Jd

Jf

0

N

Jd

A

0

x

a)

B

smjer difuzijskog gibanja

A

x

0

B

A

b)

x

c)

Slika 1.47. Određivanje tipa primjese u zadatku 1.50: a) smjer ugrađenog električnog polja, b) smjer driftne i difuzijske struje, c) smjer difuzijskog gibanja većinskih nosilaca.

većinski nosioci se gibaju od točke B prema točki A. Kako je smjer gibanja većinskih nosilaca isti kao i smjer difuzijske struje (slika 1.47c), zaključujemo da su većinski nosioci šupljine, a nepoznata primjesa je akceptorskog tipa. Za raspodjelu primjesa, prema tome možemo pisati N A ( x ) = N A0 ⋅ exp ( − x / a ) . Ugrađeno električno polje dobit ćemo pomoću izraza (1.207) =

U T dp U T dN A . ⋅ = ⋅ p dx N A dx

Uvrštavanjem poznate raspodjele akceptora, dobit ćemo = UT ⋅

U 1 æ 1ö ⋅ N A0 ⋅ exp ( − x / a ) ⋅ ç − ÷ = − T , è aø N A0 ⋅ exp ( − x / a ) a

odnosno, brojčano = − 50 V/cm.

E

Zadatak 1.51 Energetski dijagram nehomogenog silicija na 300 K prikazan je na slici 1.48. Ugrađeno električno polje u prikazanom području, u kojem je poluvodič ekstrinsičan, je konstantno i iznosi 100 V/cm. Odredite funkciju raspodjele primjesa. Rješenje: ND = 1,66 ⋅ 1016⋅ exp(–x / 2,59 µm) cm–3.

Ec

0,3 eV EF

Ev 10 µm x Slika 1.48. Energetski dijagram nehomogenog silicija u zadatku 1.51.

Zadatak 1.51

112


1.9. Degeneracijski efekti 1.9.1. Suženje zabranjenog pojasa

Dosadašnja analiza svojstava silicija bila je ograničena na silicij u kojem se stvarna, Fermi-Diracova statistika mogla dobro aproksimirati Maxwell-Boltzmannovom raspodjelom. Praktično to znači da koncentracije primjesa ne bi smjele biti veće od oko 1018 cm−3. Međutim, osim što Maxwell-Boltzmannova statistika više ne opisuje dobro raspodjele nosilaca po energijama, kod visokih koncentracija primjesa dolazi do 22 dodatnih pojava koje utječu na 10 −3 15 21 N =10 cm D koncentracije nosilaca. Jedna od njih je 10 20 efektivno suženje zabranjenog pojasa vodljivi valentni 10 pojas pojas 19 E poluvodiča. Kod niskih koncentracija ρv ,ρc 10 G −3 −1 18 primjesa, primjesni atomi unose cm eV 10 donorska 17 pojedinačna stanja u zabranjeni pojas kvantna 10 stanja poluvodiča koja imaju za posljedicu 10 16 povećanje koncentracija većinskih 10 15 −0,6 −0,3 0 0,3 0,6 nosilaca (slika 1.49a). S porastom (E − EFi ) / eV koncentracija primjesa, broj tih stanja u jedinici volumena postaje toliko velik, da a) se zbog međudjelovanja primjesnih iona Slika 1.49. Raspodjele gustoća kvantnih stanja ona cijepaju i stvaraju kontinuirani pojas za silicij n-tipa dopiran različitim energija (slika 1.49b). Kod vrlo visokih koncentracijama primjesa. koncentracija primjesa taj se pojas stapa sa vodljivim ili valentnim pojasom (ovisno o tipu primjesa) uzrokujući time efektivno suženje zabranjenog pojasa (slika 1.49c). Suženi zabranjeni pojas olakšat će generaciju parova elektron-šupljina, te će doći do porasta efektivne intrinsične koncentracije nosilaca. Istovremeno, kod visokih 10 22 ND =1016 cm−3 10 21 valentni vodljivi 10 20 pojas pojas 19 ρv ,ρc 10 EG cm−3eV −1 10 18 donorska 10 17 kvantna stanja 10 16 10 15 –0,6 –0,3 0 0,3 0,6

10 22 ND =1019 cm−3 10 21 valentni vodljivi 10 20 pojas pojas 19 ρv ,ρc 10 EG cm−3eV−1 10 18 E*G 10 17 10 16 10 15 –0,6 –0,3 0 0,3 0,6

(E − EFi ) / eV

(E − EFi ) / eV

b)

c) Slika 1.49. (nastavak).

113

1.9. Degeneracijski efekti

koncentracija primjesa većinski nosioci značajno utječu na periodični potencijal koji vide elektroni vanjske ljuske. Zbog toga dolazi do dodatnog suženja zabranjenog pojasa [Kleppinger71, Lee83]. Utjecaj degeneracijskih efekata na koncentracije nosilaca može se prikazati preko efektivnog suženja zabranjenog pojasa [Slotboom76, Slotboom77, Slotboom77a] é æ Nö ù æ Nö ∆E G0 = E1 ⋅ êln ç ÷ + ln 2 ç ÷ + 0,5 ú , è N1 ø ê è N1 ø ú ë û odn. efektivne intrinsične koncentracije ni

(1.221)

ì é æ Nö ù üï æ ∆E ö æ Nö ï E ni = ni 0 ⋅ exp ç G 0 ÷ = ni 0 ⋅ exp í 1 ⋅ êln ç ÷ + ln 2 ç ÷ + 0,5 ú ý . (1.222) è 2 ⋅ ET ø è N1 ø úï ïî 2 ⋅ E T êë è N 1 ø ûþ E1 = 9 meV i N1 = 1017 cm−3 u gornjim izrazima su konstante određene na osnovu eksperimentalnih rezultata, a ni0 je intrinsična koncentracija u nedegeneriranom siliciju na promatranoj temperaturi. Na slici 1.50 prikazan je graf ove funkcije u ovisnosti o koncentraciji primjesa. Kao što se vidi, za koncentracije primjesa manje od oko 1017 cm−3, degeneracijski efekti se u potpunosti mogu zanemariti, a efektivna 100 intrinsična koncentracija praktično je T = 300 K jednaka intrinsičnoj koncentraciji nosilaca u ni nedegeneriranom siliciju. S porastom 10 ni 0 koncentracije primjesa iznad 1017 cm−3 efektivna intrinsična koncentracija počinje rasti iznad vrijednosti za nedegenerirani 1 silicij. Zato će i koncentracija manjinskih 1016 10 17 10 18 10 19 10 20 10 21 nosilaca, npr. šupljina u siliciju n-tipa N / cm−3 p=

ni2 , ND

Slika 1.50. Ovisnost normirane efektivne intrinsične koncentracije o koncentraciji primjesa u siliciju.

biti veća nego u slučaju da nema degeneracijskih efekata, tj. da u ovaj izraz uvrstimo koncentraciju ni0 . Glede koncentracija manjinskih nosilaca, situacija se može poistovjetiti sa nedegeneriranim silicijem u kojem je prisutna neka niža koncentracija primjesa. Zato se ponekad govori o efektivnoj koncentraciji primjesa, iako ona ima smisla samo za manjinske nosioce. Napomenimo da izrazi (1.221) odn. (1.222) vrijede samo za nekompenzirane poluvodiče, tj. ako je koncentracija primjesa jednog tipa puno veća od koncentracije primjesa drugog tipa [Selberherr84].

114


Zadatak 1.52 Izračunati efektivne širine zabranjenog pojasa, efektivne intrinsične koncentracije, te koncentracije većinskih i manjinskih nosilaca na temperaturama 300 K i 350 K, ako je silicij dopiran primjesama koncentracija 1017 cm−3, 1018 cm−3 i 1019 cm−3. Kolike su pri tome efektivne koncentracije primjesa? Rješenje: Tražene vrijednosti koncentracija nosilaca dobivaju se uvrštavanjem zadanih vrijednosti u formule (1.221) i (1.222). Efektivne koncentracije primjesa računate su kao 2

æn ö N eff = N ⋅ ç i 0 ÷ . è ni ø

(1.223)

Svi rezultati navedeni su u tablici 1.20. Tablica 1.20. Rezultati zadatka 1.52.

N / cm−3

1017

1018

1019

T/K

300

350

300

350

300

350

∆EG0 / meV

6,36

6,36

42,4

42,4

83,4

83,4

EG / eV

1,12

−3

ni / cm

1,56 ⋅ 10

1,10 10

5,40 ⋅ 10

1,08 11

3,13 ⋅ 10

1,07 10

9,82 ⋅ 10

1,04 11

6,91 ⋅ 10

1,03 10

1,94 ⋅ 1012

konc.već.nos. / cm−3

1017

1017

1018

1018

1019

1019

konc.manj.nos. / cm−3

2,43 ⋅ 103

2,92 ⋅ 106

9,79 ⋅ 102

9,64 ⋅ 105

4,78 ⋅ 102

3,75 ⋅ 105

Neff / cm−3

7,81 ⋅ 1016 8,10 ⋅ 1016 1,94 ⋅ 1017 2,45 ⋅ 1017 3,97 ⋅ 1017 6,30 ⋅ 1017

1.9.2. Transportne jednadžbe u degeneriranom poluvodiču*

U nedegeneriranom poluvodiču vrijede transportne jednadžbe koje smo naveli u poglavlju 1.7.2. dp dψ J p = −q ⋅ Dp ⋅ − q ⋅ µ p ⋅ p ⋅ , (1.224) dx dx

dn dψ − q ⋅ µn ⋅ n ⋅ . (1.225) dx dx U ravnotežnim uvjetima struja elektrona, odnosno struja šupljina moraju biti jednake nuli - pomoću tog uvjeta određivali smo ugrađeno električno polje u nehomogenim poluvodičima. J n = q ⋅ Dn ⋅

Zadatak 1.52

115


Razmotrimo manjinske šupljine u nehomogeno dopiranom poluvodiču n-tipa. Iz (1.224) dobiva se za jakost električnog polja =−

dψ D p 1 dp 1 dp = ⋅ ⋅ = UT ⋅ ⋅ . dx µ p p dx p dx

(1.226)

Šupljine su manjinski nosioci, pa njihovu koncentraciju možemo odrediti kao

p=

ni2 , ND

(1.227)

pri čemu se koncentracija donora, općenito, mijenja s prostornom koordinatom. Ako je koncentracija donora tako visoka da dolaze do izražaja degeneracijski efekti, zbog promjene koncentracije donora s prostornom koordinatom mijenjat će se i širina zabranjenog pojasa, a time i efektivna intrinsična koncentracija. Prema tome, u (1.227) će i brojnik i nazivnik biti funkcije prostorne koordinate. Uvrštavanjem (1.227) u (1.226) dobivamo da je električno polje

é 2 dni ( x ) dN ( x ) ù 1 = UT ⋅ ê ⋅ − ⋅ D ú. ( ) d ( ) dx û n x x N x D ë i

(1.228)

Uz već poznati član koji je posljedica nehomogenosti u raspodjeli primjesa (drugi član u uglatoj zagradi), u izrazu za ugrađeno električno polje pojavio se i član koji je posljedica nejednolike intrinsične koncentracije, tj. različito izraženih degeneracijskih efekata na mjestima s različitim koncentracijama primjesa. Iako se taj član pojavio u izrazu za električno polje, to električno polje ne postoji! Usporedimo energetske dijagrame nehomogenog poluvodiča u kojem ne postoji suženje zabranjenog pojasa (slika 1.51a), odnosno u kojem postoji suženje zabranjenog pojasa (slika 1.51b). U nedegeneriranom poluvodiču nagib svih energetskih pojasa je isti, pa je vanjska sila (npr. električno polje) koja djeluje na elektrone i na šupljine

E

E

− q .

Ec

Ec

Ev

− q .n

Ev q .p

q .

x a)

x b)

Slika 1.51. Utjecaj električnog polja na nosioce u poluvodiču: a) stvarno električno polje; b) kvazi-električno polje [Kroemer57].

jednaka, ali suprotnog smjera. U poluvodiču kojem se širina zabranjenog pojasa mijenja prema slici, sila koja djeluje na elektrone bit će manja nego na šupljine. Da su sile različite, mogli bismo uočiti i usporedbom izraza (1.228) s odgovarajućim izrazom za

116


električno polje izvedenim iz transportne jednadžbe za većinske elektrone. Budući da električno polje u istom prostoru ne može biti različito za elektrone i šupljine, očito je da silu koja djeluje na nosioce ne uzrokuje samo električno polje. Na silu koju uzrokuje električno polje superponira se i sila koja je posljedica promjene funkcija gustoća kvantnih stanja s prostornom koordinatom [Overstraeten73]. Međutim, u želji da je gibanje nosilaca i dalje opisano Newtonovim zakonom, ta se sila obično uključuje u izraz za električno polje. Stoga se doprinos prvog člana u izrazu (1.228) naziva kvazielektrično polje [Kroemer57]. Umetanjem izraza (1.228) u transportnu jednadžbu (1.224), dobit ćemo transportnu jednadžbu za šupljine u degeneriranom poluvodiču n-tipa [Overstraeten73]

J p = −q ⋅ D p ⋅

é 2 dni ( x ) dN ( x ) ù dp 1 + q ⋅ Dp ⋅ p ⋅ ê ⋅ − ⋅ D ú. N D ( x) dx dx dx û ë ni ( x )

Zadatak 1.53 Skicirati raspodjelu električnog i kvazi-električnog polja za manjinske šupljine u siliciju n-tipa u kojem se koncentracija donorskih primjesa mijenja prema funkciji ND (x) = ND0⋅exp(–x 2 / a), pri čemu je ND0 = 1019 cm–3, a a = 3 µm2. T = 300 K. Rješenje: Analizu ćemo ograničiti na sloj poluvodiča do dubine x = 5 µm, jer nas prvenstveno zanima utjecaj degeneracijskih efekata uz površinu, gdje je koncentracija primjesa najviša. Jakost električnog polja može se odrediti iz transportne jednadžbe za većinske elektrone 0 = −U T ⋅

dN D 2 ⋅ U T 1 dn 1 ⋅ = −U T ⋅ ⋅ = ⋅x. n( x ) dx N D ( x ) dx a

Kvazi-električno polje za manjinske šupljine odredit ćemo iz izraza (1.228) kao kvazi = U T ⋅

dn ( x ) 2 ⋅ i . ni ( x ) dx

Efektivno polje bit će jednako zbroju gornjih komponenti. Kao što se vidi sa slike 1.52, kvazi-električno polje je na površini jednako nuli budući da je gradijent koncentracije primjesa, a time i gradijent efektivne intrinsične koncentracije jednak nuli. Uz površinu poluvodiča koncentracija primjesa je puno veća od 1017 cm–3. Zbog toga je kvadrat logaritamske funkcije pod korijenom izraza za efektivno suženje zabranjenog pojasa (1.221) puno veći od 1/ 2, pa za efektivno suženje zabranjenog pojasa možemo pisati da je ü ì é N ( x) ù é N D ( x) ù ï ï 2 é N D ( x) ù ln , ∆E G 0 = E1 ⋅ íln ê D + + 0 5 ý = 2 ⋅ E1 ⋅ ln ê ú. ú ê ú N1 û ë N1 û ë N1 û þï îï ë

Uvrstimo li zadanu Gaussovu raspodjelu, dobit ćemo funkciju promjene širine zabranjenog pojasa é æ N ö x2 ù ∆E G 0 = 2 ⋅ E1 ⋅ êlnç D 0 ÷ − ú. êë è N 1 ø a úû

Zadatak 1.53

117


ND cm

−3

10

20

10

19

10

18

10

17

10

16

10

15

0

10

ND

8 6 4

ni 1

2

ni

10

−3

10 cm

2 3

4

0 5

x / µm 1000 800 600

0

400 −1 Vcm 200

eff

0

kvazi

–200 –400 0

1

2

3

4

5

x / µm Slika 1.52. Raspodjela električnog i kvazielektričnog polja u poluvodiču n-tipa s Gaussovom raspodjelom donora.

Efektivno suženje zabranjenog pojasa se smanjuje s kvadratom udaljenosti od površine silicija. Stoga ćemo za raspodjelu efektivne intrinsične koncentracije dobiti éE æ x2 ö æ ∆E G 0 ö æ N öù ÷. ni = ni 0 ⋅ exp ç ÷ = ni 0 ⋅ exp ê 1 ⋅ ln ç D 0 ÷ ú ⋅ exp ç − è 2 ⋅ ET ø è N 1 ø úû è a ø êë E T

Vidimo da se efektivna intrinsična koncentracija mijenja s prostornom koordinatom po Gaussovoj funkciji, isto kao i koncentracija primjesa. Prema tome možemo očekivati da će jakost kvazi-električnog polja također rasti linearno s udaljenošću od površine, kao što raste i jakost električnog polja, samo što će oni biti međusobno suprotnih smjerova. Ovaj linearni porast vrijedi sve dok je koncentracija primjesa puno veća od 1017 cm–3, odnosno dok je é N ( x) ù ln 2 ê D ú >> 0,5 ë N1 û

U našem slučaju, to je zadovoljeno za dubine manje od oko 3 µm. Za veće dubine pada gradijent intrinsične koncentracije, jer iščezavaju degeneracijski efekti, pa kvazi-električno polje teži nuli. Efektivno električno polje asimptotski teži električnom polju (vidi sliku 1.52).

Zadatak 1.53

118


1.10. Osnove planarne tehnike na siliciju Planarnu tehniku čine tehnološki postupci za ostvarivanje poluvodičkih komponenti kao što su pn-diode, bipolarni tranzistori, unipolarni tranzistori. Osnovni postupci su†: - postupak rasta monokristala, te dobivanje i priprema poluvodičke pločice; - epitaksijalni rast; - oksidacija površine silicija; - postupci definiranja kontura (litografski postupci); - difuzijski postupci; - ionska implantacija; - nanošenje vodljivih slojeva; - naknadna mehanička obrada pločice (brušenje, rezanje), montaža i zatvaranje pojedinih komponenti u kućište. Kako su postupci za ostvarivanje poluvodičkih komponenti na osnovi silicija najrazvijeniji i najrašireniji, bavit ćemo se isključivo tim postupcima, iako ih se većina može primijeniti i na ostale poluvodiče. Jedan od tipičnih postupaka ostvarivanja pn-diode prikazan je na slici 1.53. Kao polazni materijal koristi se monokristalna pločica silicija n-tipa (slika 1.53a). Rastom iz rastaljenog silicija dobiva se blok monokristala koji se reže u pločice, koje se zatim mehanički obrađuju (bruse, poliraju). Pločice su obično homogeno dopirane, što se postiže dodavanjem primjesa u rastaljeni silicij tijekom rasta monokristala. Debljina pločica je oko 0,5 mm, a diktirana je mehaničkom čvrstoćom potrebnom pri rukovanju u daljnjim postupcima. Promjer pločica ovisi o stupnju razvoja tehnologije izvlačenja monokristala i danas se kreće oko 15 - 30 cm. Pločice moraju biti monokristalne (tj. moraju imati što pravilniju kristalnu strukturu) za većinu poluvodičkih komponenti, jer prekidi periodičnosti kristalne rešetke predstavljaju defekte koji kvare električka svojstva komponenti. Obično se na istoj pločici istovremeno ostvaruje nekoliko desetaka do nekoliko tisuća istovjetnih komponenti ili integriranih sklopova. Na početnu pločicu prvo se epitaksijalnim rastom nanosi sloj slabo dopiranog materijala debljine 5 - 10 µm (slika 1.53b). Naime, za daljnje tehnološke postupke, a i zbog električkih svojstava komponenti, poželjno je da poluvodič u koji će se obavljati slijedeći postupci bude što slabije dopiran. Međutim, kada bi cijela početna pločica bila slabo dopirana, zbog velike električne otpornosti materijala bio bi serijski otpor od aktivne komponente do stražnjeg kontakta prevelik, što bi kvarilo karakteristike komponenti. Epitaksijalni sloj se može nanijeti na površinu pločice epitaksijalnim rastom iz plinovite faze (engl. vapor-phase epitaxy, VPE). Silicijske pločice se tijekom epitaksijalnog rasta nalaze u reaktoru pod vrlo niskim tlakom, u atmosferi koja sadrži neki spoj silicija (npr. silicij-tetraklorid SiCl4) koji se kemijski raspada na silicij i na †

Ovdje će biti spomenuti i ukratko obrađeni samo neki od postupaka. Zainteresirani čitatelji mogu više o tome naći u literaturi, npr. [Biljanović82, Burger67, Ghandi68, Grove67, Sze88, Wang81] ili časopis Solid-State Technology.

119

1.10. Osnove planarne tehnike na siliciju

silicijski spoj (npr. SiCl 4 ) + spoj donorske primjese u plinu SiO2

n+ podloga

n - epitaksijalni sloj


n+ - podloga

n+ - podloga

osnovna pločica

epitaksijalni rast

oksidacija

a)

b)

c)

maska

spoj akceptorske primjese u plinu prednji metalni kontakt (anoda)

foto-rezist p - difuzija n - epitaksijalni sloj


n+ - podloga

n+ - podloga

p - difuzija n - epitaksijalni sloj n+ - podloga stražnji metalni kontakt (katoda)

fotolitografija

difuzija

metalizacija

d)

e)

f)

Slika 1.53. Postupak ostvarivanja pn-diode u planarnoj tehnici difuzijom u epitaksijalnom sloju.

dodatne spojeve. Pri tome se silicij taloži na površini pločice. Ako je temperatura dovoljno visoka (oko 1000 - 1200 °C), atomi silicija koji se talože na osnovnu pločicu imat će dovoljnu energiju da se smjeste u odgovarajuće položaje tako da kristalna struktura naraslog sloja prati kristalnu strukturu podloge. Brzina rasta sloja je tipično oko 1 µm / min. U epitaksijalni reaktor se tijekom procesa osim kemijskog spoja koji daje atome silicija po potrebi dodaje i neki spoj koji sadrži primjesne atome kojima narasli epitaksijalni sloj treba biti dopiran. Koncentracija primjesa može se mijenjati tijekom rasta, tako da se dobije promjenjiva koncentracija primjesa u epitaksijalnom sloju, ali se najčešće drži konstantnom. Osim epitaksijalnog rasta iz plinovite faze, danas se često koristi i epitaksijalni rast iz tekuće faze (engl. liquid-phase epitaxy, LPE), te epitaksijalni rast molekularnim snopom (engl. molecular-beam epitaxy, MBE). Poslije epitaksijalnog rasta obično slijedi termička oksidacija površine silicija (slika 1.53c). Silicijske pločice se na povišenoj temperaturi (tipično 900 - 1200 °C) izlažu oksidirajućoj atmosferi, pri čemu dolazi do spajanja atoma kisika iz okolice s atomima

120


silicija na površini pločice, te na površini nastaje sloj silicij-dioksida SiO2 . Debljina sloja silicij-dioksida ovisi o trajanju i temperaturi oksidacije, te uvjetima u kojima se provodi, a tipično iznosi 0,1 − 1 µm. Taj sloj štiti površinu silicija od vanjskih utjecaja, ali se isto tako koristi kao zaštitna barijera za difuziju i ionsku implantaciju primjesa. Naime, u tom sloju silicijevog dioksida se litografskim postupcima rade otvori kroz koje se vrši selektivna difuzija ili ionska implantacija primjesa. Litografski postupci sastoje se u selektivnom osvjetljavanju osjetljivih slojeva (rezista) nanesenih na površinu pločice, selektivnom odstranjivanju tako osvijetljenih područja, te odstranjivanju (jetkanju) slojeva unutar nastalih otvora u rezistu. Rezisti su organski materijali koji mijenjaju svoja kemijska i fizikalna svojstva pod djelovanjem vidljivog ili ultraljubičastog svjetla, snopa elektrona ili rentgenskog zračenja. Prosvjetljavanjem kroz staklenu masku na kojoj su zatamnjena odgovarajuća područja, foto-osjetljivi rezist se osvjetljava samo na mjestima gdje želimo da se mijenjaju njegova svojstva (slika 1.53d), te time ta područja postaju jače ili slabije osjetljiva na djelovanje organskih otapala. Organskim otapalima uklanja se nepotrebni rezist, a zatim se nekim jetkalom “napada” ogoljelo područje pločice, npr. jetka se silicij-dioksid da bi se napravio otvor za difuziju primjesa (slika 1.53e). Nakon toga se uklanja preostali rezist da ne bi unio organska onečišćenja u pločicu tijekom slijedećih visokotemperaturnih postupaka. Slijede postupci dopiranja poluvodiča difuzijom ili ionskom implantacijom. Difuzija je visokotemperaturni proces unošenja primjesa u poluvodičku pločicu. Pločice se u difuzijskim pećima na temperaturama od 800 - 1200 °C izlažu atmosferi koja sadrži neki spoj primjese (npr. POCl3 za difuziju fosfora ili BBr3 za difuziju bora). Taj spoj se kemijski razlaže, a primjesni atomi se talože na površinu pločice, te difundiraju u njen volumen. Zbog visoke temperature primjesni atomi su dovoljno pokretljivi, tako da se uz tipična trajanja difuzija od nekoliko minuta do nekoliko sati dobivaju dubine difundiranih slojeva od nekoliko desetina mikrometra do nekoliko desetaka mikrometara. Difuzija se redovito provodi selektivno, kroz otvor u sloju silicij-dioksida koji je prethodno napravljen litografskim postupkom. Silicij-dioksid ima naime svojstvo da vrlo slabo propušta većinu primjesa, pa primjese iz okolne atmosfere ulaze u pločicu samo na mjestima gdje nema silicij-dioksida. Umjesto difuzije, danas se za kontrolirano dopiranje poluvodiča često koristi ionska implantacija. Pod djelovanjem jakog električnog polja, ioni primjesa se ubrzavaju i ubacuju u poluvodičku pločicu. Dubina prodiranja primjesnih iona kontrolira se jakošću električnog polja, ali to polje ne smije biti prejako, jer kada ioni imaju preveliku kinetičku energiju uzrokuju oštećenja kristalne rešetke. Energije iona tipično su od 10 − 400 keV. Nakon implantacije slijedi tzv. kaljenje ili napuštanje (engl. annealing). To je kratkotrajno zagrijavanje pločice na temperaturi od oko 700 °C da bi se implantirani ioni aktivirali, tj. uskočili na odgovarajuća mjesta u kristalnoj rešetki i postali električno aktivni. Osnovne prednosti ionske implantacije nad difuzijom su: niže temperature na kojima se implantacija provodi, preciznija kontrola broja i raspodjele unesenih primjesa, te mogućnost selektivne implantacije bez posebne maske (uski snop iona se može otklanjati kontrolirano poput zrake u katodnoj cijevi). Glavni nedostatak

121


ionske implantacije je dulje trajanje postupka, budući da relativno uski snop iona mora “šarati” po površini cijele pločice. Ovisno o vrsti poluvodičke komponente koja se želi dobiti, mogu slijediti daljnji postupci kojima se uzastopno ostvaruju područja n- i p-tipa vodljivosti. Nakon što su obavljeni svi postupci dopiranja, slijedi nanošenje vodljivih slojeva za kontakte i vodljive staze. Na mjestima gdje se žele ostvariti spojevi poluvodiča “s vanjskim svijetom”, treba napraviti otvore u sloju silicij-dioksida. Zatim se najčešće naparava sloj metala (obično aluminij) preko cijele pločice, a litografskim postupkom uklanja suvišni metal, te se tako dobivaju željeni oblici vodljivih staza. Pločica se zatim reže na pojedinačne čipove (engl. chip - iver), tj. na komadiće na kojima se nalazi po jedna komponenta ili integrirani sklop, te se vrši montaža komponenti u kućišta. 1.10.1. Difuzijski postupak Proces difuzije opisan je Fickovim zakonima. Prvi Fickov zakon izriče tvrdnju da je gustoća toka atoma primjese u nekoj točki proporcionalna gradijentu koncentracije te primjese u toj točki. Za jednodimenzionalni slučaj (tj. za difuziju samo u smjeru osi x) prvi Fickov zakon se može pisati kao

∂N ( x , t ) , (1.229) ∂x pri čemu je f gustoća toka atoma primjesa, N je koncentracija primjesa, a D je difuzijski koeficijent atoma primjesa. f ( x, t ) = − D ⋅

Drugi Fickov zakon iskazuje činjenicu da je brzina prirasta koncentracije atoma primjesa u određenom volumenu proporcionalna razlici ulaznog i izlaznog toka u taj volumen, tj. divergenciji vektora toka. U jednodimenzionalnom slučaju drugi Fickov zakon se može pisati kao ∂N ( x , t ) ∂2 N ( x, t ) = −D⋅ . ∂t ∂x 2

(1.230)

Difuzijski koeficijent primjese u prvoj aproksimaciji ovisi samo o temperaturi, vrsti primjese i vrsti poluvodiča, te je određen izrazom æ E ö D = D0 ⋅ exp ç − a ÷ . è ET ø

(1.231)

Veličine D0 i Ea ovise o vrsti primjese. Određuju se na temelju eksperimentalnih rezultata, a za najvažnije primjese u siliciju najčešće korištene vrijednosti dane su u tablici 1.21. ET je energetski ekvivalent temperature na kojoj se difuzija provodi.

122


Rješavanjem drugog Fickovog zakona uz odgovarajuće rubne i početne uvjete, dobivaju se raspodjele primjesa tijekom difuzijskih postupaka. Dva su oblika difuzije posebno važna: difuzija iz neograničenog izvora i difuzija iz ograničenog izvora†.

Tablica 1.21. Parametri za difuzijske koeficijente primjesa u siliciju [Fuller56].

primjesa

D0 / cm2s−1

Ea / eV

bor, B fosfor, P arsen, As antimon, Sb

10,5 10,5 0,32 5,6

3,69 3,69 3,56 3,92

Prilikom difuzije iz neograničenog izvora, koncentracija primjesa uz površinu (x = 0) se tijekom cijelog postupka drži konstantnom. Rezultantna raspodjela je (vidi Prilog B na kraju Zbirke) æ ö x N ( x , t ) = N 0 ⋅ erfc ç (1.232) ÷, è 2⋅ D⋅t ø pri čemu je N0 koncentracija primjesa uz površinu, a erfc(z) je komplementarna funkcija pogreške. Definicija kao i osnovna svojstva komplementarne funkcije pogreške navedena su u tablici 1.22, a njen oblik prikazan je na slici 1.54. U Prilogu C dane su aproksimirajuće formule za približno izračunavanje komplementarne funkcije pogreške i njenog inverza, te tablica funkcije. Važno je naglasiti da je površinska koncentracija N0 prema gore ograničena topivošću primjesa u poluvodiču (engl. solid solubility) [Trumbore60]. To je maksimalna koncentracija određene primjese koja može ući u poluvodič na nekoj temperaturi. Stoga se topivost koristi kao graničnik koji, ako je koncentracija primjesa u Tablica 1.22. Definicija i osnovna svojstva komplementarne funkcije pogreške [Abramowitz64].

erfc ( x ) =

2 π

∞

⋅ ò exp ( − t 2 ) ⋅ dt x

erfc (0) = 1

erfc( ∞) = 0

d 2 erfc( x ) = − ⋅ exp ( − x 2 ) dx π ∞

ò erfc( x )⋅dx = 0

†

1 π

Niz analitičkih rješenja za različite rubne i početne uvjete može se naći u knjigama [Carslaw59, Burger67, Grove67, Ghandi68], te u člancima [Kennedy64, Kennedy65, Smits58].

123


1 2 Dt = 1 µ m 0,5 µ m 0,2 µm

N 0,5 N0

0

0

1

2

x / µm Slika 1.54. Komplementarna funkcije pogreške.

difuzijskoj peći dovoljno visoka, osigurava konstantnost koncentracije primjesa na površini. Kod difuzije iz ograničenog izvora, ukupan broj atoma primjesa koji se nalaze u poluvodičkoj pločici tijekom difuzijskog postupka je konstantan. To znači da se primjese u pločici samo preraspodjeljuju, gibajući se s mjesta više na mjesto niže koncentracije, nastojeći pri tome izjednačiti koncentracije primjesa. Raspodjela primjesa u tom slučaju može se opisati Gaussovom funkcijom (vidi Prilog B)

N ( x, t ) =

æ x2 ö ÷, ⋅ exp ç − π⋅ D⋅t è 4⋅ D⋅t ø Q

(1.233)

gdje je Q površinska gustoća atoma primjesa, tj. broj atoma primjesa koji se nalazi u pločici po jedinici njene površine (jedinica za površinsku gustoću je cm−2). Član ispred eksponencijalne funkcije je površinska koncentracija primjesa N 0 (t ) = N ( x = 0, t ) =

Q

. (1.234) π⋅ D ⋅ t Važno je primijetiti da kako teče difuzija iz ograničenog izvora (t raste), dolazi do pada koncentracije primjesa uz površinu, kao što se može vidjeti na slici 1.55. Radi usporedbe, komplementarna funkcija pogreške i Gaussova funkcija normirane na površinsku koncentraciju prikazane su u istim dijagramima u linearnom i logaritamskom mjerilu na slici 1.56. Difuzija primjesa u silicij se obično izvodi kao difuzija u dva koraka: 1) predepozicija, tj. početno unošenje primjesa difuzijom iz neograničenog izvora; 2) redistribucija (preraspodjela) primjesa unesenih tijekom predepozicije, difuzijom iz ograničenog izvora. Općenito, nakon difuzije u dva koraka raspodjela primjesa ne odgovara Gaussovoj funkciji, budući da početni uvjeti kojima je dobivena Gaussova raspodjela ne odgovaraju raspodjeli primjesa nakon predepozicije. Međutim, za velike omjere karakterističnih duljina D⋅t tijekom redistribucije i tijekom predepozicije (što je u većini

124


6 . 10 4 2 Dt = 0,2 µm

N Q 0,5 µm 1 µm 0

1

0

2

x / µm Slika 1.55. Gaussova funkcija.

slučajeva zadovoljeno) stvarna raspodjela se dobro može aproksimirati Gaussovom funkcijom [Kennedy64].

1 Gaussova funkcija

N N0

0,5 erfc

0

0

1

2

3

x / 2 Dt 1

N N0

10

−1

10

−2

10

−3

Gaussova funkcija erfc

10 −4 −5

10 0

1

2

3

x / 2 Dt Slika 1.56. Normirani prikaz komplementarne funkcije pogreške i Gaussove funkcije.


125

Kada u poluvodiču postoji više primjesa, difuzija svake primjese može se razmatrati zasebno, neovisno o raspodjelama drugih primjesa. Ukupnu raspodjelu dobit ćemo superpozicijom pojedinih raspodjela. Tako ćemo dubinu pn-spoja xj , tj. mjesta gdje poluvodič mijenja tip vodljivosti, dobiti iz uvjeta da na tom mjestu mora zbroj svih akceptorskih primjesa biti jednak zbroju svih donorskih primjesa. Odnosno, netokoncentracija primjesa na tom mjestu mora biti jednaka nuli,

å N D (x j ) − å N A (x j ) = 0 .

(1.235)

Kada su koncentracije primjesa veće od oko 1019 cm−3, zbog malog razmaka između pojedinih primjesnih atoma dolazi do izražaja njihovo međudjelovanje, tako da ovaj princip superpozicije ne daje više točne rezultate. Raspodjele primjesa više se ne ravnaju po analitičkim rješenjima (1.232), odnosno (1.233), jer difuzijski koeficijent postaje ovisan i o koncentraciji primjesa, pa se drugi Fickov zakon ne može koristiti u danom obliku (1.230) [Burger67, Wang81]. Iako stvarne raspodjele kod vrlo visokih koncentracija primjesa mogu znatno odstupati od analitičkih izraza, dobivene dubine pnspojeva su zadovoljavajuće, jer su vrijednosti parametara difuzijskih koeficijenata u tablici 1.21 dobivene na temelju eksperimentalnih rezultata, mjerenjem dubina pnspojeva.

Zadatak 1.54 U pločicu silicija n-tipa homogeno dopiranu s ND = 2⋅1016 atoma donora / cm3, difundirani su atomi bora difuzijom u dva koraka (predepozicija + redistribucija). Predepozicija je bila na temperaturi od T1 = 950 °C u trajanju od t1 = 20 minuta, dok je redistribucija bila na T2 = 1100 °C u trajanju od t2 = 1 sata. Odrediti: a) dubinu pn-spoja nakon predepozicije, ako topivost bora na 950 °C iznosi N0A = 2⋅1020 cm−3 [Trumbore60]; b) dubinu pn-spoja nakon redistribucije. Rješenje: a) Dubinu pn-spoja izračunat ćemo pomoću uvjeta (1.235). U našem slučaju koncentracija donora je konstantna (ND = 2 ⋅ 1016 cm−3), dok se akceptorski atomi bora tijekom predepozicije ravnaju po komplementarnoj funkciji pogreške

ö æ x ÷, N A ( x ) = N 0 A ⋅ erfc ç ç 2⋅ D ⋅t ÷ è 1 1 ø gdje je N0A površinska koncentracija difundiranih primjesa tijekom predepozicije, jednaka zadanoj topivosti bora na temperaturi predepozicije, D1 je difuzijski koeficijent bora na temperaturi predepozicije (T1 = 950 °C = 1223 K) æ E ö D1 = D0 ⋅ exp ç − a ÷ = 6,53 ⋅ 10 −15 cm 2 / s , è E T1 ø

126


a t1 je trajanje predepozicije (t1 = 20 min = 1200 s). Prema tome, dubinu pn-spoja izvest ćemo iz uvjeta ö æ xj ÷=N , N 0 A ⋅ erfc ç D ç 2⋅ D ⋅t ÷ è 1 1 ø iz čega slijedi da je æ N ö x j1 = 2 ⋅ D1 ⋅ t1 ⋅ erfc −1 ç D ÷ . è N0A ø

Inverz komplementarne funkcije pogreške možemo izračunati koristeći tablicu komplementarne funkcije pogreške ili aproksimaciju inverza komplementarne funkcije pogreške (obje se nalaze u Prilogu C). Uvrštavanjem koncentracija dobiva se ND / N0A = 10−4, pa je æ N ö erfc −1 ç D ÷ = 2,75 . è N0A ø

Zbog toga će dubina pn-spoja nakon predepozicije biti xj1 = 1,54⋅10−4 cm = 0,154 µm.

b) Tijekom redistribucije, difundirani akceptori se ravnaju po Gaussovoj funkciji N A ( x) =

æ x2 ö ÷, ⋅ expç − π ⋅ D2 ⋅ t2 è 4 ⋅ D2 ⋅ t2 ø QA

gdje je D2 difuzijski koeficijent atoma bora, ali sada na temperaturi redistribucije (T2 = 1100 °C = 1373 K) æ E ö D2 = D0 ⋅ exp ç − a ÷ = 2,99 ⋅ 10 −13 cm 2 / s , è ET 2 ø

dok je t2 trajanje redistribucije (t2 = 1 sat = 3600 s). QA je površinska gustoća atoma bora unesenih u silicijsku pločicu tijekom predepozicije. Prema svojstvima komplementarne funkcije pogreške u tablici 1.22 ∞ æ ö x ÷ ⋅ dx = 2 ⋅ N 0 A ⋅ D1 ⋅ t1 . QA = ò N 0 A ⋅ erfc çç ÷ ⋅ D ⋅ t 2 π è 1 1ø 0

U gornjem integralu ispravno bi bilo kao gornju granicu uzeti debljinu pločice. Međutim, kako komplementarna funkcija vrlo brzo teži nuli, jednostavnije je kao gornju granicu uzeti beskonačno, a da je pri tome pogreška zanemariva. Uvrštavanjem vrijednosti dobiva se QA = 6,32⋅1014 cm−2. Dobro je uočiti jedinicu za površinsku gustoću, jer se površinska gustoća, zbog iste oznake, često zamjenjuje s električnim nabojem iako s njim nema nikakve veze. Dubinu pn-spoja nakon redistribucije dobit ćemo izjednačavanjem funkcije raspodjele akceptora s konstantnom koncentracijom donora æ x 2j ö ÷ = ND , ⋅ expçç − ÷ π ⋅ D2 ⋅ t2 è 4 ⋅ D2 ⋅ t2 ø QA

iz čega se dobiva

Zadatak 1.54

127


æ QA x j = 2 ⋅ D2 ⋅ t2 ⋅ lnçç è N D ⋅ π ⋅ D2 ⋅ t2

ö ÷ = 1,65 µm . ÷ ø

Na slici 1.57 prikazane su raspodjele primjesa nakon predepozicije i nakon redistribucije u linearnom, te u logaritamskom mjerilu na osi ordinate. Na linearnom prikazu može se uočiti jednakost površina ispod obiju krivulja. Primjese unesene tijekom predepozicije su se za vrijeme 2 .10 20

N −3

cm

10

10 21

−3

cm

predepozicija

0

10 19

N

20

redistribucija

0

0,5

1

x / µm

redistribucija

10 17 10 15

predepozicija

0

1

2

x / µm

Slika 1.57. Raspodjele primjesa nakon predepozicije i nakon redistribucije u zadatku 1.54.

redistribucije samo preraspodijelile, dok je njihov ukupan broj u pločici (tj. površinska gustoća) ostao isti. Zbog toga se koncentracija uz površinu smanjila na N A (0) =

QA π ⋅ D2 ⋅ t2

=

2 ⋅ N0 A D1 ⋅ t1 ⋅ = 1,09 ⋅ 1019 cm− 3 , D2 ⋅ t2 π

a primjese su se pomakle dublje u volumen poluvodiča. Koncentracija donora kojima je poluvodič početno bio dopiran je četiri reda veličine manja od površinske koncentracije tijekom predepozicije, pa se u linearnom mjerilu ona praktički poklapa s osi apscise. U logaritamskom prikazu raspodjela primjesa crtkanom linijom su dane raspodjele netokoncentracija primjesa nakon oba postupka. Kako se u logaritamskom mjerilu ne mogu prikazivati negativne veličine, ucrtane su apsolutne vrijednosti neto-koncentracija. Jasno se mogu razlučiti dubine pn-spoja (xj1 = 0,154 µm i xj2 = 1,65 µm), odnosno njegov pomak tijekom redistribucije.

Zadatak 1.55† U silicijsku pločicu homogeno dopiranu s ND = 5⋅1015 atoma donora / cm−3, difundiraju se atomi bora difuzijom iz ograničenog izvora. Površinska gustoća atoma bora QA = 1015 cm−2, temperatura difuzije T = 1100 °C, a vrijeme trajanja difuzije t = 90 min. Izračunati dubinu pn-spoja, te postotne promjene dubine pn-spoja, ako se: a) produlji trajanje difuzije za 1 %; b) povisi apsolutna temperatura difuzije za 1 %.

†

autor teksta zadatka je Željko Butković. Zadatak 1.55

128


Rješenje: Dubinu pn-spoja odredit ćemo preko uvjeta (1.235), koji u ovom slučaju možemo pisati kao N A(x j ) =

æ x 2j ö ÷ = ND , ⋅ exp çç − ÷ π ⋅ D⋅t è 4⋅ D⋅t ø

QA

odakle dobivamo æ ö QA ÷ . x j = 2 ⋅ D ⋅ t ⋅ ln çç ÷ è ND ⋅ π⋅ D⋅t ø

(1.236)

Prethodno moramo izračunati difuzijski koeficijent bora tijekom difuzije na T = 1100 °C = 1373 K. Uvrštavanjem u (1.231) dobiva se D = 2,99⋅10−13 cm2/ s, pa je dubina pnspoja xj = 2,27 µm.

a) Da bismo odredili relativnu promjenu dubine pn-spoja s promjenom trajanja difuzije, najjednostavnije bi bilo za novo trajanje difuzije uvrstiti vrijednosti u izraz (1.236), te izračunati novu dubinu pn-spoja, a zatim i relativnu promjenu dubine. Međutim, u ovom ćemo slučaju derivirati izraz (1.236) po vremenu trajanja difuzije, da bismo dobili analitički izraz koji će nam olakšati da uočimo koje veličine i kako utječu na relativnu promjenu dubine pn-spoja s promjenom trajanja difuzije. Kako se vrijeme trajanja difuzije u izrazu (1.236) javlja na dva mjesta, pod kvadratnim korijenom i u argumentu eksponencijalne funkcije, izraz ćemo derivirati kao produkt dviju funkcija ovisnih o vremenu t. Prethodno ćemo izraz napisati u obliku preglednijem za deriviranje 12

é æ N ⋅ π⋅ D 1 2öù x j = 2 ⋅ D ⋅ t ⋅ ê− ln çç D ⋅ t ÷÷ ú QA êë è ø úû Deriviranjem ovog izraza po vremenu dobiva se 12

t −1 2 = 2⋅ D ⋅ dt 2

dx j

.

12

é æ N ⋅ π ⋅ D 1 2ö ù ⋅ ê− ln çç D ⋅ t ÷÷ ú QA êë è ø úû −1 2

+ −1

æ N ⋅ π ⋅ D 1 2ö ù æ N ⋅ π ⋅ D 1 2ö 1 é N ⋅ π ⋅ D t −1 2 + 2 ⋅ D ⋅ t 1 2 ⋅ ⋅ ê− ln çç D ⋅ t ÷÷ ú . ⋅ çç − D ⋅ t ÷÷ ⋅ D ⋅ 2 ê 2 QA QA QA è ø úû è ø ë Izlučivanjem dubine pn-spoja (izraz (1.236)) na desnoj strani, gornji izraz prelazi u

dx j dt

=

xj 2⋅t

−

xj æ N ⋅ π ⋅ D 1 2ö 4 ⋅ t ⋅ ln çç D ⋅ t ÷÷ QA ø è

.

Prebacivanjem xj na lijevu stranu gornje jednadžbe i izlučivanjem dt / t na desnu stranu dobiva se

Zadatak 1.55

129


é ù ê ú dx j 1 ê ú dt 1 = ⋅ ê1 + ú⋅ t . ö æ xj 2 ê QA ÷÷ ú 2 ⋅ ln çç ê è N D ⋅ π ⋅ D ⋅ t ø úû ë

(1.237)

Na slici 1.58. prikazan je član u uglatoj zagradi u ovisnosti o omjeru površinske koncentracije difundiranih primjesa prema koncentraciji primjesa u volumenu poluvodiča

QA

π ⋅ D ⋅ t N A0 . = ND ND

Vidimo da će za zadanu relativnu promjenu vremena dt / t, relativna promjena dubine pn-spoja u (1.237) biti to veća što je zbroj unutar uglate zagrade veći po iznosu. Za realne difuzijske procese površinska koncentracija difundiranih primjesa (član QA

π ⋅ D ⋅ t ) uvijek je veća od

koncentracije primjesa koje već postoje u podlozi (ND), jer difuzijom želimo natkompenzirati poluvodič i promijeniti mu tip. Ako je koncentracija difundiranih primjesa puno 15 veća od koncentracije primjesa u podlozi, i vrijednost logaritamske funkcije će biti 1 velika, pa će drugi član u uglatoj zagradi 1+ 2 ln( N /N ) 0 A0 D težiti nuli, a relativna promjena dubine pn-spoja će biti −15 dx j 1 dt 0,01 0,1 1 10 100 = ⋅ . 2 t xj NA0 / ND Naprotiv, ako je površinska koncentracija Slika 1.58. Grafički prikaz člana u izrazu (1.237). difundiranih primjesa jednaka koncentraciji primjesa u podlozi, argument logaritamske funkcije će biti jednak jedinici, a vrijednost logaritamske funkcije će biti jednaka nuli. Drugi član u uglatoj zagradi u izrazu (1.237) bit će neodređen, tj. težit će u beskonačno, pa će i relativna promjena dubine pn-spoja biti beskonačna. Prema tome vidimo da je sa stajališta kontrole procesa (u ovom slučaju dubine pn-spoja) poželjno da koncentracija difundiranih primjesa bude što veća u odnosu na već prisutnu koncentraciju primjesa u podlozi. U tom slučaju dubina pn-spoja bit će diktirana praktički isključivo parametrima difuzijskog procesa, tj. neće bitno ovisiti o raspodjeli primjesa u podlozi. U tekstu zadatka zadana je relativna promjena trajanja difuzijskog postupka. Kako se radi o vrlo maloj promjeni, možemo u (1.237) diferencijale zamijeniti konačnim prirastima é ù ê ú ∆x j 1 ê ú ∆t 1 = ⋅ ê1 + ⋅ . ö úú t xj æ 2 ê QA ÷÷ 2 ⋅ ln çç ê è N D ⋅ π ⋅ D ⋅ t ø úû ë Uvrstivši zadanu promjenu vremena ∆t / t = 1 % = 0,01, dobit ćemo relativnu promjenu ∆xj / xj = 0,00531 = 0,531 %. Kao što se vidi, difuzijski postupak je relativno slabo osjetljiv na promjenu trajanja, jer zadana relativna promjena trajanja difuzije uzrokuje puno manju promjenu dubine pn-spoja.

Zadatak 1.55

130


Naravno da se relativna promjena dubine pn-spoja mogla izračunati i tako da se izračunala dubina spoja uz početne uvjete (uz t1 = 90 min dobili bismo xj1 = 2,2653 µm) i za produljenu difuziju (za t2 = 1,01⋅t1 = 90,9 min dobili bismo xj2 = 2,2759 µm). Dobili bismo ∆x j x j 2 − x j1 = = 4,67 ⋅ 10 − 3 = 0,467 % , xj x j1 što je gotovo isti rezultat kao gore.

b) Slično kao i u a) dijelu zadatka derivirat ćemo izraz (1.236), ali sada po temperaturi. Temperatura nije eksplicitno sadržana u (1.236), nego je uključena preko difuzijskog koeficijenta, pa ćemo prvo naći derivaciju po difuzijskom koeficijentu. Na potpuno isti način kao i u a) dijelu zadatka dobivamo é ù ê ú dx j 1 ê ú dD 1 = ⋅ ê1 + ⋅ . (1.238) ö úú D xj 2 ê æ QA ÷÷ 2 ⋅ ln çç ê è N D ⋅ π ⋅ D ⋅ t ø úû ë Da bismo našli relativnu promjenu difuzijskog koeficijenta dD / D, trebamo derivirati formulu (1.231) za difuzijski koeficijent po temperaturi E 1 dD æ E ö Ea = D⋅ a ⋅ . = D0 ⋅ exp ç − a ÷ ⋅ è k ⋅Tø k ⋅T2 dT ET T Sređivanjem, dobivamo

dD E a dT = ⋅ , D ET T pa kad se to uvrsti u (1.238), dobiva se é ù ê ú dx j 1 ê ú Ea dT 1 = ⋅ ê1 + ú⋅ E ⋅ T . ö xj æ 2 ê QA T ÷÷ ú 2 ⋅ ln çç ê ú N D t π ⋅ ⋅ ⋅ ø è D ë û

(1.239)

Kvalitativno gledano, (1.239) je sličan izrazu (1.237), osim što se razlikuju u faktoru proporcionalnosti Ea / ET koji je posljedica eksponencijalne ovisnosti difuzijskog koeficijenta o temperaturi. Kako je taj faktor za većinu realnih slučajeva prilično velik (u našem slučaju Ea / ET = 31,2), to će i difuzijski proces, odnosno dubina pn-spoja biti puno osjetljivija na promjenu temperature nego na promjenu trajanja procesa. Opet, za male relativne promjene temperature možemo diferencijale u (1.239) nadomjestiti konačnim prirastima. Za zadanu promjenu temperature ∆T / T = 1 % = 0,01, dobiva se ∆xj / xj = 0,136 = 13,6 %. Dakle, za relativno malu promjenu temperature, dobiva se znatna promjena dubine pn-spoja, što je posljedica eksponencijalne ovisnosti difuzijskog koeficijenta o temperaturi.

Zadatak 1.55

131


Zadatak 1.56 U silicij homogeno dopiran s 1016 donora / cm3 difuzijom u dva koraka unesene su akceptorske primjese. Raspodjela akceptora nakon difuzije dana je Gaussovom funkcijom NA(x) = 1019⋅ exp(−x2/ a) cm−3, gdje je a = 2,6 µm2. Izračunati ugrađeno električno polje na mjestu x = 1,5 µm, te ugrađeni potencijal između točaka x1 = 0 i x2 = 1,5 µm pri T = 300 K, a) računajući sa stvarnom raspodjelom primjesa; b) aproksimirajući raspodjelu primjesa između zadanih točaka eksponencijalnom funkcijom NA (x) = NA 0 ⋅ exp (−x / b). Rješenje: a) Površinska koncentracija difundiranih primjesa (NA0 = 1019 cm−3) je veća od koncentracije donora u siliciju (ND = 1016 cm−3), pa je od površine (x = 0) do pn-spoja poluvodič p-tipa. Kako je neto-koncentracija primjesa opisana funkcijom N ( x ) = N D − N A ( x ) = N D − N A0 ⋅ exp ( − x 2 / a ) ,

dubina pn-spoja je æN ö x j = a ⋅ lnç A0 ÷ = 4,24 µm . è ND ø

U intervalu od x = 0 do x = 1,5 µm poluvodič je potpuno ekstrinsičan, pa je koncentracija većinskih nosilaca određena neto-koncentracijom primjesa p = N A ( x) − N D . Jakost ugrađenog električnog polja dobit ćemo preko transportne jednadžbe za većinske šupljine iz poznate raspodjele većinskih nosilaca 1 dp( x ) 1 d ( x) = U T ⋅ ⋅ = UT ⋅ ⋅ [ N A ( x) − N D ] . p ( x ) dx N A ( x ) − N D dx Kako je koncentracija donora konstantna, ona se deriviranjem gubi, te ćemo uvrštavanjem funkcije raspodjele primjesa u gornji izraz dobiti

( x) = U T ⋅

æ x2 ö æ 2 ⋅ xö ÷ ⋅ç− N A0 ⋅ exp ç − ÷ a ø è a ø è æ x2 ö ÷ − ND N A0 ⋅ exp ç − è a ø

.

U dijelu poluvodiča u kojem je NA >> ND može se koncentracija donora u nazivniku gornjeg izraza zanemariti, pa skraćivanjem brojnika i nazivnika dobivamo 2⋅x , ( x ) = −U T ⋅ a tj. polje linearno raste s udaljenošću od površine. Polje ima negativni predznak, jer ima smjer prema površini (tj. −x os). Uvrstimo li brojčane vrijednosti, za x = 1,5 µm dobit ćemo da je polje = −298 V / cm. Da bismo izračunali ugrađenu razliku potencijala između zadanih točaka

Zadatak 1.56

132


x

2 é p( x 2 ) ù U x 2 , x1 = − ò ( x ) ⋅ dx = −U T ⋅ ln ê ú, ë p( x1 ) û x1

moramo prethodno izračunati pripadajuće koncentracije nosilaca. Za x1 = 0: p( x1 ) = N A0 − N D = N A0 = 1019 cm −3 ,

a za x2 = 1,5 µm: æ x2 ö p( x 2 ) = N A0 ⋅ exp çç − 2 ÷÷ − N D = 4,20 ⋅ 1018 cm −3 . è a ø

Ugrađeni potencijal točke x2 prema točki x1 na 300 K iznosi Ux2,x1 = 22,4 mV.

b) Ponekad se stvarne raspodjele difundiranih primjesa u određenom intervalu áx1 , x2 ñ aproksimiraju eksponencijalnom raspodjelom æ xö N ( x ) = N 1 ⋅ expç − ÷ , è bø

pri čemu je N 1 = N ( x1 ) ,

x2 − x1 ∆x . = é N ( x1 ) ù η ln ê ú ë N ( x2 ) û ∆x = x2 − x1 je širina intervala u kojem se vrši aproksimacija, a b=

é N ( x1 ) ù η = ln ê ú ë N ( x2 ) û

je normirani ugrađeni potencijal. U našem slučaju imamo ∆x = 1,5 µm, a η = 0,865, pa je b = 1,30 µm. Ugrađeno električno polje određujemo na osnovu istog izraza kao i u a) dijelu zadatka. Međutim, kako je sada pretpostavljena raspodjela primjesa, odnosno nosilaca eksponencijalna, konačni rezultat će se razlikovati. Krećemo od općenitog izraza za električno polje dobiveno iz transportne jednadžbe za većinske šupljine 1 dp ( x ) ( x) = U T ⋅ ⋅ . p ( x ) dx Kako raspodjela šupljina u ekstrinsičnom području odgovara raspodjeli neto-koncentracije primjesa æ xö p( x ) = N A ( x ) − N D = N A1 ⋅ expç − ÷ − N D , è bø N ( x) dp( x ) dN A æ xö æ xö = = N A1 ⋅ exp ç − ÷ ⋅ ç − ÷ = − A , è bø è bø dx dx b dobivamo da je ( x ) = −U T ⋅

Zadatak 1.56

N ( x) 1 ⋅ A . N A ( x) − N D b

133


U posebnom slučaju, ako je NA(x) >> ND , UT U = − T ⋅η , b ∆x tj. električno polje je konstantno, neovisno o prostornoj koordinati. ( x) = −

Za zadane podatke, na x = 1,5 µm, dobit ćemo električno polje = −199 V / cm. Ugrađeni potencijal računamo po istom izrazu kao i u a) dijelu zadatka é p( x 2 ) ù U x 2 , x1 = U T ⋅ ln ê ú = UT ⋅η , ë p( x1 ) û a kako su sve vrijednosti iste, dobit ćemo i isti rezultat Ux2,x1 = 22,4 mV.

Kao što se iz brojčanih rezultata može vidjeti, eksponencijalnom aproksimacijom Gaussove raspodjele dobiveno je električno polje koje se prilično razlikuje od egzaktnog rješenja. Međutim, odabirom užeg intervala aproksimacije dobile bi se točnije vrijednosti, a kako je eksponencijalnom funkcijom prikladnije rukovati (integrira se i derivira jednostavno), eksponencijalna aproksimacija se često koristi pri analitičkim proračunima. Isto vrijedi i za aproksimaciju komplementarne funkcije pogreške.

Zadatak 1.57 Energetski dijagram silicija na T = 300 K prikazan je na slici 1.59. Raspodjela primjesa dobivena je difuzijom u dva koraka (predepozicija + redistribucija) u homogeno dopirani poluvodič. Ugrađeno električno polje na x = 2 µm iznosi 470 V / cm. Odrediti: a) koncentracije primjesa na površini i u volumenu poluvodiča (x → ∞ ); b) jakost i smjer električnog polja na površini poluvodiča nakon predepozicije i nakon redistribucije, ako je predepozicija izvršena na T = 950 °C, u trajanju od 3 min. Primjese su bor i fosfor.

E Ec

0,3 eV EF

Ev 0,2 eV 2 µm

x

Slika 1.59. Energetski dijagram u zadatku 1.57.

Rješenje: a) Uz površinu je Fermijev nivo bliži valentnom pojasu, pa je tamo poluvodič p-tipa. U volumenu poluvodiča Fermijev nivo je bliži vodljivom pojasu, pa zaključujemo da je tamo poluvodič n-tipa. Prema tome, raspodjela primjesa je dobivena difuzijom akceptora (bor) u silicij homogeno dopiran donorima (fosfor). Iz položaja Fermijevog nivoa na slici, možemo odrediti pripadajuće koncentracije nosilaca. U volumenu poluvodiča Ec − EF = 0,3 eV, pa je æ E − EF ö n = N c ⋅ exp ç − c ÷ = 3,41 ⋅ 1014 cm − 3 . ET ø è

Zadatak 1.57

134


Kako je ta koncentracija puno veća od intrinsične koncentracije nosilaca u siliciju na 300 K, zaključujemo da je neto koncentracija primjesa jednaka koncentraciji većinskih nosilaca, N D = n = 3,41 ⋅ 1014 cm −3 .

Koncentracija akceptorskih primjesa u volumenu poluvodiča jednaka je nuli, budući da smo vršili difuziju akceptora u silicij dopiran samo donorima. Na x = 2 µm od površine pločice EF − Ev = 0,2 eV, iz čega možemo odrediti pripadnu koncentraciju većinskih šupljina æ E − Ev ö p = N v ⋅ exp ç − F ÷ = 1,63 ⋅ 1016 cm −3 . ET ø è

Kako je i ovdje koncentracija većinskih šupljina puno veća od intrinsične koncentracije, neto koncentracija primjesa će biti jednaka koncentraciji nosilaca, N A ( x = 2 µm) − N D = p = 1,63 ⋅ 1016 cm−3 ,

pa je N A ( x = 2 µm) = p + N D = 1,66 ⋅ 1016 cm−3 .

Jakost električnog polja na p-strani dobiva se iz transportne jednadžbe za većinske šupljine, ( x) = U T ⋅

dN A ( x ) dN A ( x ) 1 dp( x ) 1 1 ⋅ = UT ⋅ ⋅ = U T ⋅ ⋅ . p( x ) dx N A ( x) − N D N A ( x) dx dx

Budući da se točka x = 2 µm nalazi u ekstrinsičnom području, u gornjem smo izrazu derivaciju funkcije raspodjele većinskih šupljina odmah nadomjestili derivacijom funkcije raspodjele akceptora (koncentracija donora je konstantna). Također, na mjestu x = 2 µm koncentracija donora je znatno manja od koncentracije akceptora, pa smo u nazivniku gornjeg izraza izostavili koncentraciju donora. Funkcija raspodjele akceptora nam je poznata, jer znamo da se radi o difuziji u dva koraka, æ ö x2 ÷, N A ( x ) = N A0 ⋅ exp ç − è 4 ⋅ D2 ⋅ t 2 ø

pa izraz za jakost električnog polja glasi ( x) = U T ⋅

æ ö æ 2 ⋅UT ⋅ x x2 2⋅ x ö ÷ ⋅ç− ⋅ N A0 ⋅ exp ç − . ÷=− 2 D t ⋅ D ⋅ t 4 ⋅ ⋅ 4 4 ⋅ D2 ⋅ t 2 æ ö è ø è ø x 2 2 2 2 ÷ N A0 ⋅ exp ç − è 4 ⋅ D2 ⋅ t 2 ø 1

Iz zadane vrijednosti električnog polja (x = 2 µm) = − 470 V / cm (polje je negativno, jer je usmjereno prema površini poluvodiča), možemo sada izračunati 4 ⋅ D2 ⋅ t 2 = −

2 ⋅UT ⋅ x = 2,2 ⋅ 10 −8 cm 2 , ( x)

odnosno koncentraciju primjesa na površini æ ö x2 ÷ = 1017 cm − 3 . N A0 = N ( x ) ⋅ exp ç è 4 ⋅ D2 ⋅ t 2 ø

b) Jakost električnog polja na površini nakon redistribucije je

Zadatak 1.57

135


( x = 0) = −

2 ⋅UT ⋅ x =0, 4 ⋅ D2 ⋅ t 2

jer je i gradijent koncentracije nosilaca na površini, zbog oblika Gaussove funkcije, jednak nuli. Zato uz površinu nema difuzijske struje nosilaca, pa i driftna komponenta, odnosno jakost električnog polja, mora biti jednaka nuli. Jakost električnog polja uz površinu nakon predepozicije dobit ćemo uvrštavanjem komplementarne funkcije pogreške u opći izraz za električno polje ( x) = U T ⋅

æ öù x d é 1 ÷ú . ⋅ ê N A0 p ⋅ erfc ç ç æ ö dx ê 2 ⋅ D1 ⋅ t1 ÷ø ú è x ë û ÷ N A0 p ⋅ erfc çç ÷ D t ⋅ ⋅ 2 è 1 1 ø

Koristeći svojstva komplementarne funkcije pogreške iz tablice 1.22, dobivamo é ù æ 2 x2 ö 1 UT ÷⋅ ú=− . ⋅ ê− N A0 p ⋅ ⋅ exp ç − 4 ⋅ D ⋅ t π π 2 ⋅ D ⋅ t ⋅ D1 ⋅ t1 è êë 1 1ø 1 1ú û Temperatura predepozicije je zadana T1 = 950 °C = 1223 K, pa možemo izračunati difuzijski koeficijent D1 = 6,53⋅10−15 cm2/ s. Uvrstimo li to i zadano vrijeme t = 3 min = 180 s, dobivamo ( x = 0) = −13,5 kV cm . ( x = 0) =

UT N A0 p

Zadatak 1.58† Difuzijom fosfora iz ograničenog izvora u podlogu p-tipa s homogenom koncentracijom akceptora NA = 1016 cm–3, formiran je pn-spoj. Površinska gustoća atoma fosfora QD = 5 ⋅ 1015 cm–2, vrijeme trajanja difuzije t = 150 min, a temperatura T = 1000 °C. Izračunajte za koliko posto treba promijeniti površinsku gustoću QD da dubina pn-spoja ostane nepromijenjena uz povišenje temperature difuzije (u °C) za 1 %. Rješenje: ∆QD / QD = –88,2 %. 1.10.2. Ionska implantacija

Prilikom ionske implantacije ioni primjesa se pod djelovanjem električnog polja ubrzavaju i usmjeravaju na poluvodičku pločicu. Tako ubrzani ioni imaju dovoljnu kinetičku energiju da prodru u poluvodičku pločicu do određene dubine. Dubina prodiranja iona ovisi o atomskoj masi i o kinetičkoj energiji iona koji se implantira, te o atomskoj masi atoma u koji se obavlja implantacija. Energije iona bora, fosfora, arsena ili antimona (koji se najčešće koriste za implantaciju u silicij) kreću se u rasponu od 3 keV do 400 keV i dovoljne su za implantacije do dubina od 10 nm do 1 µm ispod površine silicija. Ionska implantacija omogućuje vrlo precizno praćenje količine implantiranih primjesa, puno preciznije nego kod termičke difuzije, tako da se mogu dobiti ponovljive koncentracije implantiranih primjesa u rasponu od 1014 do 1021 cm−3.

†

autor zadatka je Željko Butković Zadatak 1.58

136


Kod termičke difuzije je vrlo teško dobiti ponovljive koncentracije ispod 1018 atoma primjesa / cm3. Nakon što je uletio u pločicu, ion prolazi kroz niz procesa raspršenja na elektronima i atomima u pločici, pri čemu gubi energiju. Dubina na kojoj će se ion zaustaviti naziva se projecirani domet (ili kraće samo domet, engl. projected range), Rp . Statistički, neki ioni će proći kroz manji broj procesa raspršenja, te će se zaustaviti na većoj dubini. Naprotiv, neki ioni će se zaustaviti na manjoj dubini. Ovo kolebanje u dubinama prodiranja iona opisuje se rasipanjem dometa (engl. range straggle) ∆Rp . Naravno, pri raspršenju iona doći će i do otklona putanje iona u smjeru okomitom na upadnu putanju, što se opisuje poprečnim rasipanjem (engl. transverse straggle) ∆RT . Iznosi projeciranog dometa, rasipanja projeciranog dometa i poprečnog rasipanja ovise o atomskim masama iona (što znači o vrsti primjese), o kinetičkoj energiji iona koji se implantira (odnosno o jakosti električnog polja kojim se ioni ubrzavaju), te o atomskoj masi atoma u koji se obavlja implantacija. Ako je površina kroz koju se ioni jednoliko implantiraju puno veća od poprečnog rasipanja, komponente poprečnih raspršenja pojedinih iona u suprotnim smjerovima se poništavaju, pa se raspodjela zaustavljenih iona po dubini pločice može dobro opisati Gaussovom funkcijom† 2ù é æ x − Rp ö ú Q ê ÷ , N ( x) = ⋅ exp − ç (1.240) ê çè 2 ⋅ ∆R ÷ø ú 2 ⋅ π ⋅ ∆R p p ëê ûú kojoj se maksimum nalazi na dubini Rp . U izrazu (1.240) Q je ukupna količina implantiranih iona po jedinici površine (engl. dose), a predeksponencijalni član Q / ( 2 ⋅ π ⋅ ∆Rp) jednak je vršnoj koncentraciji na mjestu x = Rp . Iako je raspodjela primjesa opisana istom funkcijom kao i kod difuzije iz ograničenog izvora, za razliku od svih difuzijskih postupaka, kod ionske implantacije maksimum raspodjele primjesa ne mora se nalaziti uz površinu pločice. To je jedna od osnovnih prednosti ionske implantacije u odnosu na termičku difuziju. Nadalje, primjenom niza uzastopnih implantacija s različitim parametrima procesa, mogu se dobiti praktički proizvoljne raspodjele primjesa. Kod ionske implantacije u monokristalne poluvodiče treba paziti pod kojim kutom u odnosu na orijentaciju kristalne rešetke će se ubacivati ioni. Uleti li ion u materijal paralelno s nizom atoma u kristalnoj rešetki, doći će do tzv. kanaliranja (engl. channeling) - klizanja iona kroz međuatomni kanal. Takvi će ioni imati nekoliko puta veću dubinu prodiranja od dubine prodiranja u amorfnom materijalu, a ponovljivost dobivenih raspodjela bit će vrlo slaba. Pojava kanaliranja izbjegava se zakretanjem pločice za neki vrlo mali kut u odnosu na glavne kristalografske osi (osi simetrija kristalne rešetke).

†

Pregled točnijih aproksimacija stvarnih raspodjela, te pregled eksperimentalnih rezultata zainteresirani čitatelj ili čitateljica može naći u literaturi, npr. [Wang81, Sze88].

Zadatak 1.58

137


Tijekom ionske implantacije redovito nastaju defekti kristalne rešetke, npr. zbog toga što implantirani ioni izbiju matične atome iz njihovih položaja u kristalnoj rešetki. Broj tih defekata je veći pri većim energijama implantacije. Da bi se uklonili defekti, nakon implantacije mora se provesti odžarivanje (engl. annealing) pločice, tj. kratkotrajno zagrijavanje pločice na 600 - 800 °C. Iako je postupak napuštanja redovito kratkotrajan, zbog visoke temperature dolazi do preraspodjele primjesa koje se već nalaze u poluvodiču. Danas se često, umjesto termičkog zagrijavanja, koristi lasersko napuštanje - jakim laserskim snopom pločica se lokalno zagrijava. Preraspodjela primjesa koje se već nalaze u poluvodiču pri tome će u većini slučajeva biti zanemariva.

Zadatak 1.59 Ioni arsena implantirani su u silicij p-tipa homogeno dopiran s NA = 1015 cm−3. Energija implantacije iznosila je 80 keV, a površinska gustoća unesenih iona arsena je QD = 1,6 ⋅ 1012 cm−2. Odrediti dubinu pn-spoja i vršnu koncentraciju implantiranih iona arsena, te skicirati raspodjelu primjesa u poluvodiču nakon implantacije. Projecirani domet arsena u silicij pri zadanoj energiji implantacije Rp = 47 nm, a rasipanje projeciranog dometa je ∆Rp = 17 nm [Beadle85]. Rješenje: Raspodjela implantiranog arsena po dubini poluvodiča opisana je Gaussovom funkcijom (1.240) 2ù é æ x − Rp ö ú ê ç ÷ N D ( x) = ⋅ exp − . ê ç 2 ⋅ ∆R ÷ ú 2 ⋅ π ⋅ ∆R p pø ú êë è û Vršna koncentracija implantiranih primjesa bit će na mjestu x = Rp , QD N D ( x = Rp ) = = 3,75 ⋅ 1017 cm−3 . 2 ⋅ π ⋅ ∆R p

QD

Dubinu pn-spoja dobit ćemo izjednačavanjem koncentracije implantiranog arsena i koncentracije akceptora kojom je poluvodič homogeno dopiran ND(xj ) =

2ù é æ x j − Rp ö ú ê ç ÷ ⋅ exp − = NA , ê ç 2 ⋅ ∆R ÷ ú 2 ⋅ π ⋅ ∆R p pø ú êë è û

QD

iz čega se dobiva æ ö QD ÷ . x j = R p ± ∆R p ⋅ 2 ⋅ ln çç ÷ è 2 ⋅ π ⋅ ∆R p ⋅ N A ø

(1.241)

U općenitom slučaju, kada bi drugi član u (1.241) bio manji od prvoga, mogle bi se dobiti dvije različite dubine pn-spoja, budući da se vrh raspodjele implantiranih primjesa nalazi u volumenu poluvodiča. U ovom slučaju drugi član

Zadatak 1.59

138


æ ö é N ( x = Rp ) ù QD ÷ = ∆R p ⋅ 2 ⋅ ln ê D ∆R p ⋅ 2 ⋅ ln çç ú = 58,5 nm , ÷ NA û ë è 2 ⋅ π ⋅ ∆R p ⋅ N A ø

pa bi rješenje s negativnim korijenom dalo negativnu dubinu pn-spoja, što je fizikalno neprihvatljivo. Preostaje nam samo æ ö QD ÷ = 106 nm . x j = R p + ∆R p ⋅ 2 ⋅ ln çç ÷ è 2 ⋅ π ⋅ ∆R p ⋅ N A ø

Izračunamo li Gaussovu funkciju za različite dubine, moći ćemo nacrtati raspodjelu implantiranog arsena, kao i raspodjelu neto-koncentracije primjesa (slika 1.60). Da je količina implantiranog arsena bila oko deset puta manja, sa slike možemo vidjeti da bi uz površinu poluvodiča također postojao pn-spoj. Tijekom odžarivanja, doći će do termičke difuzije (preraspodjele) implantiranih primjesa. Iako se u tom slučaju radi o difuziji iz ograničenog izvora (ukupna količina atoma primjesa u poluvodiču ostaje konstantna), rezultantna raspodjela primjesa neće u općenitom slučaju biti više opisana Gaussovom funkcijom. Rubni uvjet zahtijeva da tok atoma primjesa kroz površinu, odnosno gradijent koncentracije primjesa, na tom mjestu bude jednak nuli. Zbog toga će doći do izobličenja Gaussove funkcije uz površinu. Za kratkotrajna odžarivanja preraspodjela primjesa će biti vrlo slaba, pa će i odstupanje raspodjele primjesa od Gaussove funkcije biti zanemarivo. 10 18 10 17

N 10 16 cm−3 10 15 10 14 0

NA

implantirani arsen neto-koncentracija

50

100

150

x / nm Slika 1.60. Raspodjele implantiranog arsena i netokoncentracije primjesa u zadatku 1.59.

Zadatak 1.59

Zadaci za samostalno rješavanje

139

Zadaci za samostalno rješavanje 1.60 Silicij je dopiran s 1015 atoma bora / cm3. Odredite tip i koncentraciju primjese koju treba dodati da bi koncentracija šupljina na 300 K bila: a) 2·1015 cm–3; b) 5·1014 cm–3; c) 105 cm–3. 1.61 Vjerojatnost da je bilo koji energetski nivo u valentnom pojasu silicija na 300 K popunjen elektronom je f (E) ≥ 0,998. Ako se poluvodič još dodatno dopira, omjer koncentracija slobodnih nosilaca naboja bit će p / n = 100. Odredite: a) tip i iznos prvog dopanda; b) tip drugog dopanda, te njegov iznos u odnosu na prvi dopand. 1.62 Silicij homogeno dopiran trovalentnom primjesom nalazi se na temperaturi od 300 K. Ako se temperatura promijeni za 0,1 °C, koncentracije nosilaca se promijene za 103 cm–3. Nakon toga dodana mu je peterovalentna primjesa koncentracije 2⋅1015 cm–3. Odredite: a) koncentraciju trovalentne primjese; b) ravnotežne koncentracije većinskih i manjinskih nosilaca. 1.63 Prirastom temperature za 0,1 K, u siliciju dopiranom samo jednim tipom primjese koncentracija šupljina povećala se za 1,24 %, a koncentracija elektrona za 3,26·10–11 %. Odredite: a) temperaturu na kojoj je silicij bio prije prirasta, b) koncentracije većinskih i manjinskih nosilaca. 1.64 Fermijev nivo u siliciju na T = 300 K udaljen je 0,244 eV od dna zabranjenog pojasa. Izračunajte: a) koncentraciju i tip dodane primjese; b) koncentracije većinskih i manjinskih nosilaca; c) postotne promjene koncentracija većinskih i manjinskih nosilaca, ako se temperatura smanji za 0,2 °C. 1.65 Homogeno dopirani silicij ima na T = 300 K Fermijev nivo 0,25 eV udaljen od vrha valentnog pojasa. Nakon još jednog dopiranja, Fermijev nivo je na istoj temperaturi udaljen 0,25 eV od vrha zabranjenog pojasa. Izračunajte tipove i koncentracije dodanih primjesa, te koncentracije slobodnih nosilaca nakon drugog dopiranja. 1.66 Silicij je dopiran donorskom primjesom koncentracije ND = 5⋅1015 cm–3. Izračunajte: a) položaj Fermijevog nivoa na 300 K; b) tip i koncentraciju primjese koju treba dodati da bi Fermijev nivo pri porastu temperature na 350 K ostao jednako udaljen od dna zabranjenog pojasa.

140


1.67 Kroz silicij p-tipa homogeno dopiran samo jednom primjesom, površine presjeka 0,5 mm2 teče struja od 10 mA. Driftna brzina većinskih nosilaca je 2,5⋅104 cm / s. T = 300 K. Izračunajte: a) jakost električnog polja koje djeluje na poluvodič; b) difuzijske konstante većinskih i manjinskih nosilaca; c) koncentracije većinskih i manjinskih nosilaca. 1.68 Homogeno dopirani silicij n-tipa površine 1 mm2, pod djelovanjem električnog polja jakosti 40 V/m, na temperaturi od 300 K vodi struju od 20 mA Izračunajte: a) koncentraciju, driftnu brzinu i difuzijsku konstantu većinskih nosilaca; b) Fermijevu energiju na 300 K i 325 K. 1.69 Silicij je dopiran s 1015 atoma bora / cm3. Koliku koncentraciju fosfora treba dodati da bi koncentracija elektrona na 100 °C bila 6,2·1011 cm–3? Odredite položaj Fermijevog nivoa i električnu otpornost silicija na 300 K i na 100 °C nakon dopiranja fosforom. 1.70 Nedegenerirani silicij ima na T = 350 K Fermijev nivo udaljen 0,8 eV od vrha valentnog pojasa. Uz pretpostavku da je silicij dopiran samo jednom vrstom primjesa, treba odrediti električnu provodnost na: a) 350 K; b) 300 K. 1.71 Komadić silicija homogeno je dopiran fosforom koncentracije 2·1016 cm–3 i borom koncentracije 8·1015 cm–3. Za T = 300 K odredite: a) položaj Fermijevog nivoa; b) koncentracije većinskih i manjinskih nosilaca; c) električnu otpornost materijala. 1.72 Na silicij površine 5 mm2, koji na 50 °C ima Fermijev nivo udaljen 0,35 eV od vrha valentnog pojasa, djeluje električno polje od 10 V/cm. Izračunajte: a) koncentracije većinskih i manjinskih nosilaca; b) struju kroz poluvodič; c) postotnu promjenu koncentracije manjinskih nosilaca, ako se temperatura povisi na 100 °C. 1.73 Silicij p-tipa površine 1 mm2 homogeno je onečišćen samo jednim tipom primjese. Pod djelovanjem električnog polja jakosti 30 V/m vodi na T = 300 K struju od 10 mA. Izračunajte: a) koncentraciju primjesa; b) driftnu brzinu većinskih nosilaca na 300 K; c) struju i driftnu brzinu većinskih nosilaca uz isto polje na T = 330 K. 1.74 Komadić silicija homogeno je dopiran primjesama koncentracija N1 = N2 = 1015 cm–3 i N3 = 5·1014 cm–3. Odredite: a) kojih tipova moraju biti primjese N1 , N2 i N3 da bi električna otpornost silicija bila najveća (obrazložite!); b) električnu otpornost na 300 K;


141

c) položaj Fermijevog nivoa na 190 °C. 1.75 Homogeno dopirani silicij ima na 300 K električnu otpornost ρ = 230 Ωcm, a vjerojatnost da se u bilo kojem kvantnom stanju unutar valentnog pojasa nalazi šupljina manja je ili 2,5⋅10–13. Odredite: a) koncentracije i tip primjesa dodanih poluvodiču; b) koncentracije većinskih i manjinskih nosilaca na T = 400 K. 1.76 Silicij homogeno dopiran akceptorima i donorima, ima na T = 300 K električnu otpornost ρ = 73 Ωcm, a na T = 450 K Fermijev nivo udaljen od dna vodljivog pojasa 0,51 eV. Kolike su koncentracije elektrona i šupljina na 300 K, te koncentracije akceptora i donora? 1.77 Silicij koji je jednoliko onečišćen na T = 410 K ima Fermijev nivo udaljen 0,488 eV od dna vodljivog pojasa, te električnu otpornost (uz zanemarenje komponente struje manjinskih nosilaca) 241 Ω cm. Odredite koncentracije primjesa te električnu otpornost tog silicija i položaj Fermijevog nivoa na 300 K. 1.78 Silicij je homogeno dopiran akceptorima koncentracije NA = 5⋅1014 cm–3. Koji tip i koju koncentraciju primjesa treba dodati da bi koncentracija elektrona na T = 400 K iznosila 1013 cm–3 ? Odredite električnu provodnost i položaj Fermijevog nivoa na zadanoj temperaturi nakon drugog dopiranja! 1.79 Na silicij homogeno dopiran akceptorima koncentracije 1015 cm–3 i još nekom primjesom djeluje električno polje jakosti 10 V / cm. Porastom temperature sa 300 K na 350 K struja kroz poluvodič kontinuirano raste. Odredite koncentracije slobodnih nosilaca naboja i gustoće struje na: a) T = 300 K; b) T = 350 K. 1.80 Ako se homogeno dopiranom siliciju temperatura poveća za 0,2 °C, šupljinska komponenta struje se poveća za 2,92 %, dok se elektronska komponenta smanjuje. Odredite: a) tip silicija i temperaturu na kojoj se nalazi; b) koncentracije većinskih i manjinskih nosilaca, ako je Fermijev nivo na toj temperaturi udaljen 0,329 eV od sredine zabranjenog pojasa. Za zadanu promjenu temperature, promjena pokretljivosti nosilaca u računu je zanemariva! 1.81 Na siliciju koji je homogeno dopiran akceptorima koncentracije NA i donorima koncentracije ND , pri promjeni temperature sa 300 K na 300,1 K, izmjeren je prirast električne provodnosti za 30 nS / cm. Izračunajte električnu provodnost na 300 K. Promjena pokretljivosti s temperaturom je zanemariva. 1.82 Komadić silicija jednoliko je dopiran s 3⋅1017 atoma neke primjese / cm3, a zatim još jednom s 1017 atoma neke primjese / cm3. Odredite kojeg tipa mora biti prva, a kojeg tipa druga primjesa da bi električna otpornost nakon drugog dopiranja bila: a) najveća; b) najmanja.

142


Za oba slučaja izračunajte električnu otpornost i položaje Fermijevog nivoa na 300 K. 1.83 Silicij homogeno dopiran s 1016 atoma primjesa / cm–3, dodatno je homogeno dopiran s 2⋅1016 atoma primjesa / cm–3, pri čemu mu se električna otpornost povećala. Odredite: a) tip primjese na početku, te tip primjese koja je naknadno dodana u silicij (obrazložite!); b) električnu otpornost silicija na početku, te poslije drugog dopiranja za T = 300 K. 1.84 Siliciju koji je homogeno dopiran nekom primjesom koncentracije N1 , dodana je ista koncentracija neke druge primjese, pri čemu se Fermijev nivo na T = 350 K pomakao prema vrhu valentnog pojasa za 0,25 eV, a otpor tog silicija se povećao. Odredite: a) koncentraciju i tip prve, odnosno druge primjese (obrazložite!); b) električnu otpornost nakon drugog dopiranja na zadanoj temperaturi. 1.85 Komadić silicija homogeno dopiran samo jednim tipom primjese ima električnu otpornost 0,13 Ωcm. Doda li se u taj silicij neka druga primjesa, električna otpornost će se povećati, a Fermijev nivo će se pomaknuti za 0,77 eV prema valentnom pojasu. Sve vrijednosti su zadane za T = 300 K. Odredite tip i koncentraciju prve, odnosno druge primjese. 1.86 Raspodjela primjesa u pločici silicija mijenja se po zakonu N(x) = N0⋅exp (–x / a), pri čemu je a = 6 µm, a N(x) >> ni za cijelo promatrano područje. T = 20 °C. Odredite: a) tip poluvodiča i iznos ugrađenog električnog polja, ako se zna da polje ima smjer +x osi; b) razliku ugrađenog potencijala između točaka x1 = 10 µm i x2 = 5 µm; c) za koliko se promijeni iznos ugrađenog polja ako se temperatura poveća na 78 °C. 1.87 Energetski dijagram silicija na T = 300 K prikazan je na slici 1.61. Ugrađeno električno polje je u ekstrinsičnom dijelu poluvodiča konstantno i iznosi 51,5 V/cm. a) Odredite koncentracije većinskih nosilaca na dubini od 20 µm. b) Ponovite to za silicij kojem je dodana još i homogena koncentracija akceptora iznosa 3⋅1016 cm–3. Izračunajte iznos ugrađenog električnog polja na x = 20 µm i skicirajte energetski dijagram za taj slučaj!

E Ec EF

0,3 eV

Ev 0

20 µm

x

Slika 1.61. Energetski dijagram silicija u zadatku 1.87.


143

1.88 Silicij koji je prvobitno bio homogeno onečišćen akceptorom koncentracije 1015 cm–3, eksponencijalno je dopiran novom primjesom. Pri T = 300 K, na 5 µm od površine koncentracija elektrona je 1,2·105 cm–3, a ugrađeno električno polje iznosi 5,7 V / cm i usmjereno je prema površini silicija. Odredite: a) površinsku koncentraciju i tip novododane primjese; b) smjer i jakost ugrađenog polja u istoj točki i na istoj temperaturi kada bi novododana primjesa bila suprotnog tipa. 1.89 U silicijsku pločicu homogeno dopiranu s ND = 5⋅1015 cm–3 difundirani su atomi bora u dva koraka (predepozicija + redistribucija). Predepozicija je izvršena na 950 °C u trajanju od 90 minuta, uz topivost bora od 2⋅1020 cm–3. Redistribucija je obavljena na 1200 °C kroz 2 sata. Odredite: a) dubinu dobivenog pn-spoja; b) koncentracije nosilaca na x = 5 µm, pri T = 300 K; c) koncentracije nosilaca na x = 10 µm, pri T = 300 K. 1.90 Atomi bora difundirani su u dva koraka (predepozicija + redistribucija) u pločicu silicija jednoliko dopiranu s 1015 cm–3 atoma fosfora, te je dobivena dubina pnspoja xj = 5 µm. Na dubini od 3 µm, gdje je koncentracija bora puno veća od koncentracije fosfora, jakost ugrađenog električnog polja na T = 300 K iznosi 280 V/cm. Odredite: a) koncentraciju bora na površini pločice nakon redistribucije; b) jakost i smjer ugrađenog električnog polja na površini pločice i na dubini od 6 µm pri T = 300 K. 1.91 Predepozicijom na 900 °C u trajanju od 10 min i redistribucijom na 1100 °C u trajanju od 2 sata provedena je difuzija fosfora u dva koraka u pločicu jednoliko dopiranu borom koncentracije 1015 cm–3. Nakon difuzije izmjerena je dubina pnspoja od 2 µm. Odredite: a) površinsku gustoću atoma fosfora Qp tijekom redistribucije i površinsku koncentraciju fosfora Np0 za vrijeme predepozicije; b) jakost i smjer ugrađenog električnog polja uz površinu silicija na temperaturi od 300 K nakon predepozicije, te nakon redistribucije. 1.92 U silicij homogeno dopiran s 2⋅1015 atoma primjesa / cm3, difundirana je primjesa kojoj se raspodjela može aproksimirati izrazom N(x) = N0 ⋅exp (–x / a). pn-spoj je ostvaren na dubini xj = 3 µm, dok je na dubini x = 2,5 µm pri T = 300 K, Fermijev nivo udaljen 0,86 eV od dna zabranjenog pojasa. Izračunajte: a) koncentracije i tipove većinskih i manjinskih nosilaca na x = 2,5 µm i x = 3,5 µm, b) električnu otpornost i ugrađeno električno polje na x = 3,5 µm.

144


1.93 Struktura čiji je energetski dijagram prikazan na slici 1.62, dobivena je difuzijom primjesa u dva koraka u silicijsku pločicu homogeno dopiranu s 1015 atoma primjesa / cm3. T = 300 K. Odredite: a) površinsku gustoću i tip atoma primjesa unesenih difuzijom; b) koncentracije većinskih i manjinskih nosilaca, te iznos i smjer ugrađenog električnog polja na x = 6 µm.

E

Ec E Fi EF Ev

0,17 eV 0

5 µm

x

Slika 1.62. Energetski dijagram u zadatku 1.93.

1.94 U pločicu silicija difundirani su postupcima predepozicije i redistribucije bor i fosfor. Njihove konačne raspodjele mogu se opisati izrazima: za bor NB = 1018⋅exp (–x2/ aB) cm–3, za fosfor NP = 1016⋅exp (–x2/ aP) cm–3. Redistribucija je obavljena na 1200 °C, dok je ukupno trajanje redistribucije za bor bilo 90 minuta, a za fosfor 120 minuta. Odredite iznos i smjer ugrađenog električnog polja na dubini od 1 µm pri T = 300 K. 1.95 U silicij homogeno dopiran donorima koncentracije ND = 1016 cm–3 difundirana je akceptorska primjesa, čija se raspodjela ravna po funkciji NA(x) = 1017⋅exp(–x/a). Površinska gustoća difundiranih primjesa iznosi Q = 3,2⋅1013 cm–2. T = 300 K. Odredite: a) parametar a u funkciji raspodjele; b) iznos i smjer ugrađenog električnog polja u točki x1 = 1 µm od površine; c) potencijal te točke prema površini. Rješenja 1.60 a) NA = 1015 cm–3, b) ND = 5⋅1014 cm–3, c) ND = 2,90⋅1015 cm–3. 1.61 a) Akceptor, NA = 7,63⋅1016 cm–3, b) donor, ND = NA – 9,9 ⋅ ni = NA – 1,37⋅1011 cm–3. 1.62 a) NA = 3,15⋅1015 cm–3; b) p = 1,15⋅1015 cm–3, n = 1,65⋅105 cm–3. 1.63 a) T = 348 K, b) n = 8,52⋅1016 cm–3, p = 2,24⋅106 cm–3. Uputa: Iz diferencijala kvadrata intrinsične koncentracije (vidi zadatak 1.10) 2 ⋅ ni ⋅ ∆ni = ∆n ⋅ p + n ⋅ ∆p dobiva se 2⋅

∆ni ∆p ∆n ∆p , = + = ni p n p

2⋅

∆ni æ E ′ ö ∆T = ç 3 + G0 ÷ ⋅ ni ET ø T è

što zajedno s izrazom

daje kvadratnu jednadžbu po temperaturi. Prirasti koncentracija većinskih i manjinskih nosilaca s porastom temperature su međusobno jednaki ∆n = ∆p (koncentracije nosilaca rastu zbog porasta broja termički generiranih parova elektron-šupljina), pa je

145


2

∆p ∆n æ ∆n ö ⋅ =ç ÷ , p n è ni ø

iz čega se lako mogu izračunati koncentracije elektrona i šupljina. 1.64 a) NA = 3,03⋅1015 cm–3, b) p = NA = 3,03⋅1015 cm–3, n = 6,29⋅104 cm–3, c) ∆p / p = –6,74·10–13 ≈ 0, ∆n / n = –3,26 %. 1.65 Prva primjesa NA = 2,40 ⋅ 1015 cm–3, druga primjesa ND = 4,81⋅1015 cm–3, n = 2,40⋅1015 cm–3, p = 7,92⋅104 cm–3. 1.66 a) Ec – EF = 0,231 eV; b) ND 2 = 3,05⋅1016 cm–3. 1.67 a) = 55,0 V/ cm; b) Dp = 11,8 cm2/ s, Dn = 36,3 cm2/ s; c) p = 4,99⋅1014 cm–3, n = 3,82⋅105 cm–3. 1.68 a) n = 2,95⋅1016 cm–3, vf = 422 cm / s, Dn = 27,3 cm2/ s; b) EF – Ev(300 K) = 0,939 eV, EF – Ev(350 K) = 0,913 eV. 1.69 ND = 9,95·1014 cm–3, EF – Ev(300 K) = 0,411 eV, ρ(300 K) = 2,90 kΩ cm, EF – Ev(100 °C) = 0,517 eV, ρ (100 °C) = 2,99 kΩ cm. 1.70 a) σ = 0,267 S / cm; b) σ = 0,358 S / cm. 1.71 a) EF – Ev = 0,916 eV; b) n = 1,2⋅1016 cm–3, p = 1,59⋅104 cm–3; c) ρ = 0,488 Ω cm. 1.72 a) p = 1,47⋅1014 cm–3, n = 4,46·107 cm–3; b) I = 4,60 mA; c) ∆n / n = 51200 %. 1.73 a) NA = 6,06⋅1016 cm–3; b) vf = 103 cm / s ; c) I = 8,60 mA, vd = 88,5 cm / s . 1.74 a) NA1 = ND = 1015 cm–3, NA2 = 5⋅1014 cm–3; b) ρ = 28,1 Ω cm; c) EF – Ev = 0,473 eV.

Uputa: Da bi električna otpornost bila najveća, poluvodič mora biti što bliži intrinsičnom poluvodiču (koncentracija većinskih nosilaca određena neto koncentracijom primjesa mora biti što manja), a većinski nosioci moraju biti šupljine (zbog manje pokretljivosti) 1.75 a) ND = 9,29⋅1014 cm–3, NA = 9,09⋅1014 cm–3; b) n = 2,23⋅1013 cm–3, p = 2,35⋅1012 cm–3. 1.76 n = 1,09⋅1014 cm–3, p = 1,75⋅106 cm–3, ND = 4,974⋅1016 cm–3, NA = 4,963⋅1016 cm–3.

Uputa: Iz položaja Fermijevog nivoa izračunaju se koncentracije nosilaca, odnosno neto koncentracije primjesa. Iz električne otpornosti izračuna se pokretljivost većinskih nosilaca (na T = 300 K poluvodič je ekstrinsičan), a iz nje zbroj koncentracija donora i akceptora. 1.77 ND = 1,21⋅1017 cm–3, NA = ND – 5,88⋅1013 cm–3, ρ = 185 Ω cm, EF – Ev = 0,778 eV. 1.78 ND = 5,0477⋅1014 cm–3, σ = 1,47 mS / cm, Ec – EF = 0,537 eV. 1.79 a) n = p = 1,38⋅1010 cm–3, J = 39,9 µA / cm2, b) n = p = 4,86⋅1010 cm–3, J = 1,04 mA / cm2.

Uputa: Porast struje, odnosno električne provodnosti s temperaturom moguć je samo ako je poluvodič (kvazi-)intrinsičan. 1.80 a) silicij n-tipa, T = 320 K, b) n = 9,91⋅1015 cm–3, p = 4,29⋅105 cm–3. 1.81 σ = 3,63 µS / cm.

Uputa: Deriviranjem električne provodnosti intrinsičnog poluvodiča po temperaturi dobiva se æ3 æ3 dn E′ ö 1 E′ ö 1 dσ = q ⋅ ( µn + µ p ) ⋅ i = q ⋅ ( µn + µ p ) ⋅ ni ⋅ ç + G 0 ÷ ⋅ = σ ⋅ ç + G 0 ÷ ⋅ , ⋅ ⋅ ET ø T dT dT 2 2 2 2 E T è è T ø

146


iz čega se može izlučiti i izračunati električna provodnost. 1.82 a) NA = 3⋅1017 cm–3, ND = 1017 cm–3, ρ = 0,149 Ω cm, EF – Ev = 0,136 eV; b) obje primjese donori, ρ = 0,0335 Ω cm, Ec – EF = 0,118 eV. 1.83 a) prva primjesa - donorska, druga - akceptorska, b) ρ1 = 0,508 Ω cm, ρ2 = 1,64 Ω cm.

Uputa: Neto koncentracije primjesa, a prema tome i koncentracije većinskih nosilaca, su u oba slučaja jednake. Da bi se električna otpornost povećala, u prvom slučaju većinski nosioci moraju biti elektroni, a u drugom šupljine, jer je pokretljivost elektrona veća. Utjecaj koncentracija primjesa na pokretljivost u ovom razmatranju može se zanemariti. 1.84 a) Prva primjesa donor, druga akceptor: ND = NA = 1,94⋅1015 cm–3, b) ρ = 9,77 kΩ cm.

Uputa: Na osnovu pomaka Fermijevog nivoa nakon drugog dopiranja zaključujemo da je druga primjesa akceptor, a kako se dodavanjem druge primjese električna otpornost povećava, prva primjesa mora biti suprotnog tipa. 1.85 Prva primjesa donorska: ND = 5,10⋅1016 cm–3, a druga akceptorska: NA = 8,32⋅1016 cm–3. 1.86 a) = 42,1 V / cm, n-tip poluvodiča; b) Ux1,x2 = –21,0 mV; c) ∆ / = +19,8 %. 1.87 a) n = 3,47⋅1014 cm–3, p = 5,48⋅105 cm–3; b) p = 2,96⋅1016 cm–3, n = 6,42⋅103 cm–3, = 0,603 V/cm.

Uputa: Budući da je električno polje konstantno, zaključujemo da je funkcija raspodjele primjesa eksponencijalna. 1.88 a) p-tip, NA 0 = 7,91⋅1014 cm–3; b) = + 21,9 V / cm. 1.89 a) xj = 7,09 µm; b) p = 1,67⋅1017 cm–3, n = 1,14⋅103 cm–3; c) n = 4,99⋅1015 cm–3, p = 3,81⋅104 cm–3. 1.90 a) NA0 = 9,12⋅1016 cm–3; b) (x = 0) = 0, (x = 6 µm) = –89,1 V / cm. 1.91 a) Qp = 8,53⋅1012 cm–2, N0p = 8,06⋅1018 cm–3; b) p(x = 0) = +15,5 kV / cm, r(x = 0) = 0. 1.92 a) Na x = 2,5 µm: n = 1,40⋅1015 cm–3, p = 1,36 ⋅ 105 cm–3. Na x = 3,5 µm: p = 8,24⋅1014 cm–3, n = 2,31⋅105 cm–3; b) ρ = 17,1 Ω cm, = 392 V / cm. 1.93 a) Difundirani su donori, QD = 1,20⋅1013 cm–2; b) p = 8,27⋅1014 cm–3, n = 2,30⋅105 cm–3, = +103 V / cm. 1.94 = –96,5 V / cm. 1.95 a) a = 3,2 µm2, b) = –93,6 V/cm, c) U1,0 = +9,14 mV.

2. pn-SPOJ I pn-DIODA 2.0. Uvod U prvom dijelu razmatrali smo osnovna fizikalna svojstva poluvodiča p-, odnosno n-tipa. Međutim, najvažnije primjene poluvodiča u elektronici zasnivaju se na svojstvima spoja poluvodiča različitih tipova vodljivosti (kako se takav spoj ostvaruje vidjeli smo u poglavlju 1.10. Osnove planarne tehnike u siliciju, slika 1.53). Poluvodička dioda je najjednostavnija komponenta koja se sastoji od samo jednog pnspoja; karakteristike tog pn-spoja izravno određuju svojstva diode. Ali osim pn-diode, na svojstvima pn-spoja temelji se rad i drugih poluvodičkih komponenti, u prvom redu bipolarnog tranzistora i spojnog unipolarnog tranzistora s efektom polja (spojnog FETa). Stoga je razumijevanje fizikalnih pojava oko pn-spoja neophodno za razumijevanje rada tih elemenata. Na slici 2.1 prikazan je tehnološki presjek jedne poluvodičke diode dobivene termičkom difuzijom donora u poluvodič p-tipa. Na slici su označene i tipične dimenzije, koje variraju shodno namjeni i željenim svojstvima diode. U našim analizama uglavnom ćemo se ograničavati na idealnu diodu, opisanu Shockleyevom jednadžbom [Shockley49]. Pretpostavljat ćemo da je tok struje kroz diodu jednodimenzionalan, okomit na plohu pn-spoja, te ćemo zanemarivati padove napona između spoja i vanjskih priključnica. U većini slučajeva pretpostavljat ćemo da je pn-spoj skokovit, tj. da su koncentracije primjesa na p-strani i na n-strani spoja konstantne do samog spoja. Iako su raspodjele primjesa u realnim diodama bitno drugačije, analiza skokovitog pn-spoja je najjednostavnija, a rezultirajući izrazi najpregledniji. prednji kontakt katode

∅ 100 - 500 µm

2 - 5 µm

katoda

SiO2

n- tip

pn- spoj

100 µm anoda

p- tip stražnji kontakt anode Slika 2.1. Tehnološki presjek pn-diode. J. Šribar, J. Divković-Pukšec: Elektronički elementi - zbirka zadataka

147

148

2. PN-spoj i pn-dioda

2.1. Kontaktni potencijal Oko pn-spoja promjena koncentracije primjesa (a time i nosilaca) je tako nagla da ugrađeno električno polje, koje nastaje zbog nejednolike raspodjele primjesa, nije dovoljno da spriječi dio većinskih nosilaca da prijeđu na drugu stranu spoja. Prelaskom nosilaca koji su se nalazili uz pn-spoj na drugu stranu, oko spoja nastaje osiromašeno područje (engl. depletion region) unutar kojeg nema slobodnih nosilaca naboja, već samo nepokretni naboj ioniziranih primjesa (slika 2.2a). To područje prostornog naboja, unutar kojeg više nije zadovoljen zakon električke neutralnosti, naziva se barijera. Naboj ioniziranih primjesa unutar barijere uzrokuje električno polje čiji je smjer od nstrane prema p-strani, te se suprotstavlja difuziji većinskih elektrona s n-strane na pstranu i difuziji većinskih šupljina s p-strane na n-stranu. Budući da postoji električno polje unutar barijere, znači da postoji i razlika potencijala na rubovima barijere gdje poluvodič prelazi iz osiromašenog područja u područje električne neutralnosti. Smjer električnog polja u barijeri je od n-strane prema p-strani, pa je očigledno potencijal nstrane viši od potencijala p-strane. U ravnotežnim uvjetima razlika potencijala jednaka je kontaktnom potencijalu (engl. built-in potential) i može se odrediti pomoću elektrostatskih potencijala neutralnih područja poluvodiča na obje strane barijere (slika 2.2c) æn ö ψ n − ϕ = U T ⋅ ln ç 0n ÷ , è ni ø

(2.1)

æ p0 p ö ϕ − ψ p = U T ⋅ ln ç ÷, è ni ø

(2.2)

æ n0n ⋅ p0 p ö ÷. U K = ψ n − ψ p = U T ⋅ ln ç 2 è ni ø

(2.3)

kao†

n0n i p0p su ravnotežne koncentracije većinskih nosilaca na n- odnosno p-strani, uz rubove barijere. Na slici 2.2b prikazan je energetski dijagram pn-spoja u ravnoteži s ucrtanim raspodjelama nosilaca po energijama. Fermijev nivo je u ravnotežnim uvjetima svugdje jednak, pa dolazi do savijanja energetskog dijagrama u području unutar barijere. Savijanje energetskih nivoa u barijeri proporcionalno je kontaktnom potencijalu. Iako su koncentracije većinskih nosilaca puno veće od koncentracija istovjetnih manjinskih nosilaca na suprotnoj strani, tek mali dio većinskih nosilaca s dovoljno velikom kinetičkom energijom uspije savladati električno polje u barijeri koje ih vraća nazad, te prijeći na drugu stranu barijere. Na slici su ti nosioci označeni tamnije sjenčanom površinom ispod funkcije raspodjele nosilaca po energijama. Naprotiv, manjinske †

U ravnotežnim uvjetima Fermijev nivo, a time i elektrokemijski potencijal, je svugdje u poluvodiču jednak, pa se u izrazu za kontaktni potencijal on krati.

149

2.1. Kontaktni potencijal

p- tip

ionizirane primjese unutar barijere − − + + − − ++ + − − − − ++ + − − + − − ++ + − − − − ++ + − − + +

n0p

n- tip a)

pn- spoj

n0n

I dn

I nS

q .UK Ec EF E Fi Ev I dp

p0p

dB

ψ

I pS

p0n

b)

ψn UK

ϕ ψp

x

c)

Slika 2.2. pn-spoj u ravnoteži: a) naboj ioniziranih primjesa u barijeri, b) energetski dijagram [Juzbašić75], c) raspodjela potencijala.

nosioce električno polje privlači na drugu stranu, pa za njih obično kažemo da “ne vide” potencijalnu barijeru. U uvjetima ravnoteže, kada nema priključenog vanjskog napona, difuzijske struje većinskih nosilaca (na slici označene s Idn i Idp) bit će poništene driftnim strujama istovjetnih manjinskih nosilaca (InS , odnosno IpS). U daljnjoj analizi pn-spojeva uglavnom ćemo pretpostavljati da je prijelaz sa n- na p-stranu skokovit, tj. da je koncentracija primjesa na obje strane spoja konstantna do samog spoja i jednaka NA na p-strani spoja, odnosno ND na n-strani spoja. Takav spoj se naziva skokoviti pn-spoj i najjednostavnije ga je analizirati. Ponekad se pn-spojevi dobiveni planarnim postupcima mogu pri analizi nadomjestiti skokovitim spojem.

150


Zadatak 2.1 Silicijski pn-spoj ima skokoviti prijelaz s p-strane na n-stranu. Koncentracija donorskih atoma na n-strani je ND = 5 ⋅ 1016 cm–3, a koncentracija akceptorskih atoma na p-strani je NA = 1015 cm–3. Izračunati kontaktni potencijal pn-spoja na temperaturama T = 300 K i T = 350 K. Rješenje: Kontaktni potencijal izračunat ćemo pomoću izraza (2.3) æ n0 n ⋅ p0 p ö ÷÷ . U K = U T ⋅ ln çç 2 è ni ø

Kod skokovitog pn-spoja koncentracije primjesa na obje strane spoja su konstantne. Zbog toga će koncentracije većinskih nosilaca n0n i p0p uz rubove barijere biti jednake koncentracijama u područjima izvan barijere, gdje vrijedi zakon električke neutralnosti, te ih možemo odrediti pomoću zakona električke neutralnosti i termodinamičke ravnoteže. Na T = 300 K intrinsična koncentracija nosilaca (ni = 1,38⋅1010 cm–3) je puno manja od koncentracija primjesa na obje strane, pa su koncentracije većinskih nosilaca izvan barijere praktički jednake koncentracijama primjesa. U tom slučaju (2.3) možemo pisati kao æN ⋅N ö U K = U T ⋅ ln çç D 2 A ÷÷ . è ni ø Uvrštavanjem zadanih vrijednosti, dobit ćemo da je UK = 0,680 V.

(2.4)

Pri T = 350 K intrinsična koncentracija nosilaca ni = 4,86⋅1011 cm–3 je još uvijek puno manja od koncentracija primjesa na obje strane, pa je æ N ⋅N ö U K = U T ⋅ ln çç D 2 A ÷÷ = 0,578 V . è ni ø

Kao što vidimo, s porastom temperature kontaktni potencijal se smanjuje. Iako naponski ekvivalent temperature UT raste linearno s temperaturom, pad logaritamskog člana pri porastu temperature je brži. Na slici 2.3 prikazani su energetski dijagrami za dvije zadane temperature. Kontaktni E potencijal u energetskom dijagramu pn-spoja odgovara Ec razlikama energija između vrhova, odnosno razlikama između dna zabranjenog pojasa na suprotnim stranama q ⋅UK spoja. Na slici 2.3 može se uočiti da je smanjenje kontaktnog potencijala prvenstveno posljedica pomicanja EF Fermijevih nivoa bliže sredini zabranjenog pojasa. Kako Ev je u ravnotežnim uvjetima n0n ⋅ p0n = n0p ⋅p0p = n2i , izraz (2.3) možemo napisati kao T=300 K æn ö æ p0 p ö U K = U T ⋅ ln ç ÷ = U T ⋅ ln çç 0n ÷÷ . (2.5) T=350 K è p0 n ø è n0 p ø

x

Slika 2.3. Energetski dijagram skokovitog pn-spoja za dvije temperature.

Zadatak 2.1

Iz ovog izraza se vidi da kontaktni potencijal raste što je veći omjer koncentracije većinskih nosilaca i koncentracije istovrsnih manjinskih nosilaca na suprotnoj strani pn-spoja. Veći omjer tih koncentracija znači da će biti

151

2.1. Kontaktni potencijal

veći gradijent koncentracije, što znači i veća difuzijska struja. Zbog toga se mora povećati i električno polje u barijeri koje se suprotstavlja toj difuzijskoj struji, a time i kontaktni potencijal. S porastom temperature poluvodič teži k intrinsičnom stanju. Prirast koncentracije manjinskih nosilaca je pri tome znatno brži od prirasta koncentracije većinskih nosilaca, pa se navedeni omjeri koncentracija smanjuju, što rezultira smanjenjem kontaktnog potencijala. Zanimljivo je 1 na slici 2.3 uočiti kako je pomak Fermijevog nivoa prema sredini zabranjenog pojasa veći na slabije dopiranoj p-strani. Također se može uočiti suženje 0,8 UK zabranjenog pojasa s temperaturom, zbog čega pomaci dna vodljivog i vrha valentnog pojasa u V 0,6 odnosu na Fermijev nivo nisu međusobno jednaki. Slika 2.4 prikazuje ovisnost kontaktnog potencijala o temperaturi za ovaj pn-spoj u temperaturnom 0,4 području od 200 K do 400 K. 200 300 400 Određivanje kontaktnog potencijala kod T / K ovakvog skokovitog pn-spoja je jednostavno, budući da je koncentracija primjesa, a time i Slika 2.4. Ovisnost kontaktnog potencijala o temperaturi za skokoviti pn-spoj većinskih nosilaca, na obje strane spoja konstantna, iz zadatka 2.1. pa je koncentracija većinskih nosilaca uz rub barijere ista, neovisno o širini barijere. Međutim, ako je poluvodič nehomogen, koncentracije većinskih nosilaca uz rubove barijere koje treba uvrstiti u (2.3) ovise o položaju ruba barijere, što znači da treba znati širinu barijere, pa je postupak izračunavanja složeniji (vidi zadatak 2.5).

Zadatak 2.2 Nacrtati ovisnost kontaktnog potencijala o koncentraciji primjesa za pn-spoj iz prethodnog zadatka, ako se koncentracija akceptora mijenja u intervalu od NA = 1014 cm–3 do 1017 cm–3. T = 300 K. Rješenje: Kako je na T = 300 K intrinsična koncentracija puno manja od najniže zadane koncentracije akceptora NA = 1014 cm–3, pri računanju kontaktnog potencijala za sve koncentracije akceptora moći ćemo se koristiti izrazom (2.4) æN ⋅N ö U K = U T ⋅ ln çç D 2 A ÷÷ . è ni ø

Iz njega je očito da će s porastom koncentracija primjesa na bilo kojoj strani, rasti i kontaktni potencijal. U tablici 2.1 navedeni su iznosi kontaktnog potencijala za nekoliko vrijednosti koncentracija akceptora, a na slici 2.5 grafički je prikazana ta ovisnost. Radi usporedbe, nacrtane su istovjetne krivulje za još dvije različite koncentracije donora na n-strani. Pri crtanju grafova zanemaren je utjecaj degeneracijskih efekata, tj. suženja zabranjenog pojasa do kojeg dolazi pri visokim koncentracijama primjesa. Tada prestaje vrijediti MaxwellBotzmannova statistika, a time i gornji izrazi za kontaktni potencijal. Budući da zbog visoke dopiranosti dolazi do suženja zabranjenog pojasa, u energetskom dijagramu skokovitog pn-spoja vrh i/ili dno zabranjenog pojasa neće biti kontinuirani, već postoji diskontinuitet na mjestu gdje se Zadatak 2.2

152


Tablica 2.1. Kontaktni potencijali skokovitog pnspoja u zadatku 2.2

NA / cm–3

UK / V

1014 1015 1016 1017

0,620 0,680 0,739 0,799

mijenja širina zabranjenog pojasa, kao što je prikazano na slici 2.6 za skokoviti spoj slabo dopirane p- i jako dopirane n-strane. Spomenuti diskontinuitet je na slici označen s ∆Ec . Iako su obje strane pn-spoja od istog poluvodiča, u biti se radi o heterospoju, tj. spoju dvaju različitih materijala. Kako su sada visine potencijalnih barijera različite za elektrone u vodljivom, odnosno za šupljine u valentnom pojasu, kontaktni potencijal se ne može definirati preko njih, već se mora računati preko razlika radova izlaza poluvodiča na obje strane spoja U K = Φ1 − Φ2 .

1 nivo vakuuma

19 –3 ND = 5 .10 cm

0,9

UK V

0,8

UK

1018 cm–3

Φ1 Ec

0,7 0,6 14 10

5.1016 cm–3 10 15

10 16

10 17

NA / cm–3 Slika 2.5. Ovisnost kontaktnog potencijala skokovitog pn-spoja o koncentraciji primjesa.

∆ Ec

Φ2

EF Ev

Slika 2.6. Energetski dijagram skokovitog pnspoja s jako dopiranom (degeneriranom) nstranom.

Zadatak 2.3 Izračunajte kontaktni potencijal pri T = 300 K za silicijski skokoviti pn-spoj koji ima na n-strani koncentraciju donora ND = 1017 cm–3, dok je p-strana dopirana i s akceptorima NAp = 7 ⋅ 1015 cm–3 i s donorima NDp = 2 ⋅ 1015 cm–3. Rješenje: UK = 0,739 V.

Zadatak 2.3

2.2. Raspodjela potencijala i električnog polja u barijeri

153

2.2. Raspodjela potencijala i električnog polja u barijeri Raspodjela potencijala i električnog polja unutar barijere dobiva se rješavanjem Poissonove jednadžbe koja se u jednodimenzionalnom obliku može pisati kao

ε⋅

d 2ψ

= − ρ ( x) . dx 2 ε je permitivnost poluvodiča, a ρ (x) je gustoća prostornog naboja

(2.6)

ρ = q ⋅ ( p − n + N D+ − N A− ) . (2.7) Područje barijere osiromašeno je nosiocima, tj. koncentracija slobodnih nosilaca je zanemariva u odnosu na koncentracije primjesa. Postoji samo relativno mala koncentracija nosilaca koji prolijeću kroz barijeru. Zbog toga je prostorni naboj unutar barijere praktički ρ = q ⋅ ( N D+ − N A− ) . (2.8) Prema tome, raspodjela električnog polja i električnog potencijala, te oblik energetskog dijagrama u barijeri ovise isključivo o raspodjeli neto-koncentracije primjesa. Da bi se dobilo potpuno rješenje Poissonove jednadžbe, neophodno je definirati rubne uvjete. Za raspodjelu električnog polja, rubni uvjet zahtijeva da jakost električnog polja na rubovima barijere, na granicama između osiromašenog područja i kvazineutralnog područja n-, odnosno p-strane, bude jednaka nuli. Unutar barijere postoji električno polje koje uzrokuju ionizirane primjese. Radi jednostavnosti prilikom rješavanja Poissonove jednadžbe, pretpostavlja se da su prijelazi iz osiromašenog područja u barijeri u kvazi-neutralna područja poluvodiča skokoviti, tj. da je područje unutar barijere potpuno osiromašeno po cijelom svom volumenu do rubova barijere, a na samom rubu barijere postoji skokovita promjena koncentracije nosilaca. Za analitičko rješavanje Poissonove jednadžbe najzanimljiviji su pn-spojevi kod kojih su raspodjele primjesa opisane skokovitom funkcijom (skokoviti pn-spoj, engl. abrupt junction ili step junction) i pravcem (linearno-postepeni pn-spoj, engl. linearlygraded junction). Većina stvarnih pn-spojeva dobivenih difuzijskim postupkom ili ionskom implantacijom može se aproksimirati jednim od tih oblika. Skokovitim pnspojem obično se aproksimiraju vrlo plitke strukture kod kojih se raspodjela primjesa mijenja vrlo naglo s dubinom. Naprotiv, linearno-postepenim pn-spojem se aproksimiraju duboki pn-spojevi kod kojih se raspodjela primjesa mijenja polagano. Za raspodjele primjesa po komplementarnoj funkciji pogreške i po Gaussovoj funkciji u literaturi postoje sređeni grafovi osnovnih svojstava takvih pn-spojeva [Lawrence60, Philips62].

154


Zadatak 2.4 Silicijski skokoviti pn-spoj ima koncentracije primjesa na p- i n-strani NA = 1015 cm−3, odnosno ND = 5⋅1016 cm−3. T = 300 K. Izračunati širine barijera na p- i n-strani, ukupnu širinu barijere i maksimalnu jakost polja u barijeri za slučaj ravnoteže, te uz vanjske napone U = 0,6 V i U = −5 V. Rješenje: Kod skokovitog pn-spoja koncentracije donora na n-strani odnosno akceptora na p-strani su konstantne do samog spoja. Na mjestu pn-spoja dolazi do skokovite promjene neto koncentracije primjesa s ND na NA . Postavimo ishodište koordinatnog sustava na mjesto pn-spoja. Lijevo od ishodišta (x < 0) neka je poluvodič p-tipa, a desno od ishodišta (x > 0) n-tipa ì− N A , za x < 0 . N ( x) = í î N D , za x > 0 Pretpostavimo li da su sve primjese unutar barijere ionizirane, a da je koncentracija slobodnih nosilaca zanemariva, raspodjela gustoće prostornog naboja unutar barijere bit će (vidi sliku 2.8a na str. 158) ì− q ⋅ N A , za x p ≤ x < 0 ρ( x) = í , î q ⋅ N D , za 0 < x ≤ x n gdje su xp i xn koordinate rubova barijere na p- odnosno n-strani.

(2.9)

Da bismo odredili širinu barijere u ovisnosti o vanjskom naponu, treba riješiti Poissonovu jednadžbu d 2ψ

ρ ( x) d =− x d ε dx za područje unutar barijere, koristeći odgovarajuće rubne uvjete. Integriranjem Poissonove jednadžbe dobit ćemo raspodjelu električnog polja dψ 1 ( x) = − = ⋅ ò ρ ( x ) ⋅ dx . ε dx Kako funkcija raspodjele prostornog naboja nije jedinstvena analitička funkcija, integraciju ćemo provesti po odsječcima, zasebno za p-stranu, a zasebno za n-stranu barijere. Uvrštavanjem gustoće naboja za xp ≤ x < 0 dobiva se 2

=−

q⋅NA 1 ⋅ − q ⋅ N A ⋅ dx = − ⋅ x + C1 . ε ò ε Konstantu integracije određujemo iz uvjeta da je uz rub barijere električno polje jednako nuli, ( xp) = 0 : q⋅ NA C1 = ⋅ xp , ε pa je q⋅ NA ( x) = − ⋅ (x − x p ) . (2.10) ε Slično, za 0 < x ≤ xn q ⋅ ND 1 ( x ) = ⋅ ò q ⋅ N D ⋅ dx = ⋅ x + C2 . ε ε ( x) =

Zadatak 2.4

155


Iz rubnog uvjeta (xn) = 0 dobiva se C2 = −

q ⋅ ND ⋅ xn , ε

pa je ( x) =

q ⋅ ND ⋅ ( x − xn ) . ε

(2.11)

Na mjestu pn-spoja, jakost električnog polja dobivena integracijom prostornog naboja ioniziranih akceptora (2.10) na p-strani barijere q⋅ NA ⋅ xp , (2.12) ε mora biti jednaka jakosti električnog polja dobivenog integracijom prostornog naboja ioniziranih donora (2.11) na n-strani barijere ( x = −0) =

q ⋅ ND ⋅ xn . (2.13) ε Naime, funkcija raspodjele električnog polja mora biti kontinuirana. Iz gornjih izraza očigledno je da električno polje na mjestu pn-spoja ima najveću vrijednost, što je i potpuno jasno, ako znamo da sve silnice električnog polja u barijeri koje izviru na pozitivnom naboju ioniziranih donora na n-strani barijere moraju proći kroz plohu pn-spoja da bi mogle skončati na negativnom naboju ioniziranih akceptora na p-strani barijere (slika 2.7). Smjer tih silnica je od n- prema p-strani barijere. U našem slučaju je to u smjeru negativne xkoordinatne osi, te je električno polje negativno. Označimo li pn- spoj sa dBn = |xn| i dBp = |xp| širine barijera na n-, odnosno p-strani, ionizirani ionizirani izjednačavanjem gornja dva izraza dobivamo da je akceptori donori ( x = +0) = −

d Bn N A = , d Bp N D

(2.14)

tj. omjer širina barijera na n- i p-strani obrnuto je proporcionalan pripadajućim koncentracijama primjesa. Napišemo li gornji izraz kao d Bn ⋅ N D = d Bp ⋅ N A (2.14a)

p

n

barijera

i uočimo da su umnošci na lijevoj i desnoj strani proporcioSlika 2.7. Ionizirane primjese i električno polje u barijeri. nalni prostornom naboju na n-, odnosno p-strani barijere, možemo vidjeti da ti prostorni naboji moraju biti međusobno jednaki po iznosu. Kada to ne bi bilo zadovoljeno, npr. kada bi pozitivni naboj ioniziranih donora bio veći, ne bi sve silnice električnog polja ponirale na negativnom naboju ioniziranih akceptora unutar p-strane barijere, već bi ih dio izlazio izvan barijere, čime bi bila narušena pretpostavka da izvan barijere nema električnog polja. Raspodjelu potencijala unutar barijere dobit ćemo integracijom izraza za raspodjelu električnog polja. Za xp ≤ x < 0

ψ ( x ) = − ò ( x ) ⋅ dx =

ö q⋅ NA q ⋅ N A æ x2 ⋅ ò ( x − x p ) ⋅ dx = ⋅ç − x p ⋅ x + C3 ÷ . ε ε è 2 ø

(2.15)

Pretpostavimo li da je potencijal p-strane pn-spoja jednak referentnom potencijalu ψ (xp) = 0 , dobit ćemo da je konstanta C3 = xp2/ 2 , pa je

Zadatak 2.4

156


ψ ( x) =

q⋅NA ε

æ x2 x 2p ö ç ÷. − x ⋅ x + p ç 2 2 ÷ø è

(2.15a)

Identično, raspodjelu potencijala na n-strani barijere ( 0 < x ≤ xn) dobit ćemo integracijom izraza za raspodjelu električnog polja u tom području ö q ⋅ ND q ⋅ ND æ x2 ψ ( x ) = − ò ( x ) ⋅ dx = − ⋅ ò ( x − x n ) ⋅ dx = − ⋅ç − x n ⋅ x + C4 ÷ . (2.16) 2 ε ε è ø Konstantu integracije C4 odredit ćemo iz uvjeta da funkcija raspodjele potencijala mora biti svugdje kontinuirana, pa prema tome i na mjestu pn-spoja gdje se izmjenjuju funkcije raspodjela gustoća prostornog naboja (2.15) i (2.16). To znači da na mjestu pn-spoja potencijal dobiven izrazom (2.15a) mora biti jednak potencijalu dobivenom izrazom (2.16)

ψ ( −0) =

2 q ⋅ N A xp q ⋅ ND ⋅ = ψ ( +0) = − ⋅ C4 , ε 2 ε

iz čega slijedi da je C4 = −

x 2p 2

⋅

NA , ND

pa je raspodjela potencijala na n-strani barijere

ψ ( x) = −

q ⋅ ND ε

æ x2 x 2p N A ö ÷. ⋅ çç − xn ⋅ x − ⋅ 2 N D ÷ø è 2

Totalni napon na barijeri jednak je razlici potencijala između n- i p-strane spoja q U TOT = ψ ( x n ) − ψ ( x p ) = ⋅ ( N D ⋅ x n2 + N A ⋅ x 2p ) . 2⋅ε Pomoću izraza (2.14) i činjenice da je ukupna širina barijere d B = d Bn + d Bp ,

(2.16a)

(2.17)

dobiva se da je d Bp = d B ⋅

ND , N A + ND

(2.18)

d Bn = d B ⋅

NA , N A + ND

(2.19)

što uvrštavanjem u izraz za totalni napon (2.17) daje U TOT =

N ⋅ ND q ⋅ A ⋅d2 . 2⋅ε NA + ND B

(2.20)

Izlučimo li širinu barijere, dobit ćemo da je dB =

2⋅ε N A + ND ⋅ ⋅ U TOT = q N A ⋅ ND

2⋅ε æ 1 1 ö ⋅ç + , ÷ ⋅U q è N A N D ø TOT

(2.21)

tj. širina barijere raste s kvadratnim korijenom totalnog napona. Također možemo uočiti da će pri višoj koncentraciji primjesa, uz isti totalni napon, širina barijere biti manja, budući da pri porastu koncentracije nazivnik u članu

Zadatak 2.4


157

NA + ND 1 1 = + NA ⋅ ND N A ND raste brže nego njegov brojnik. Uvrstimo li (2.18) u (2.12) ili (2.19) u (2.13), dobit ćemo da je maksimalno polje u barijeri sa skokovitim pn-spojem 2 ⋅ U TOT q N ⋅ ND . max = − ⋅ A ⋅d = − dB ε NA + ND B Razlika potencijala između n- i p-strane povezana je s koncentracijama nosilaca na odgovarajućim stranama preko izraza (vidi poglavlje 1.8. Nehomogeni poluvodiči) é n( x n ) ù é p( x n ) ù U xn , x p = U TOT = U T ⋅ ln ê ú = U T ⋅ ln ê ú. n ( x ) êë êë p( x p ) úû p ú û U ravnotežnim uvjetima vanjski priključeni napon jednak je nuli, te je totalni napon jednak kontaktnom potencijalu. Koncentracije nosilaca jednake su ravnotežnim koncentracijama n ( x n ) = n0 n , p ( x p ) = p0 p , n( x p ) = n0 p =

ni2 n2 , p( x n ) = p 0 n = i , p0 p n 0n

pa uvrštavanjem u gornji izraz dobivamo izraz (2.3) æn ö æ p0 p ö U K = U T ⋅ ln çç 0n ÷÷ = U T ⋅ ln ç ÷= è p 0n ø è n0 p ø æ n0 n ⋅ p0 p ö ÷÷ . = U T ⋅ ln çç 2 è ni ø

Kako su redovito na obje strane barijere koncentracije primjesa znatno veće od intrinsične koncentracije nosilaca, za skokovite pn-spojeve najčešće se koristi izraz (2.4) æN ⋅N ö U K = U T ⋅ ln çç D 2 A ÷÷ . è ni ø

Vanjski priključeni napon U pribraja se kontaktnom potencijalu, tako da je općenito U TOT = U K − U . Kada je na p-stranu priključen pozitivniji pol vanjskog izvora, pn-spoj je propusno polariziran. Električno polje koje uzrokuje vanjski izvor, tjera šupljine s p- prema n-strani, a elektrone u suprotnom smjeru, tj. pospješuje difuziju većinskih nosilaca. Stoga se potencijalna barijera koju vide većinski nosioci snižava, a totalni napon se smanjuje (vanjski napon U > 0). Naprotiv, ako se vanjski izvor spoji tako da je negativniji pol izvora na p-strani, on će odvlačiti većinske nosioce od barijere. Oni će u tom slučaju trebati veću energiju da bi prešli barijeru, što znači da će potencijalna barijera rasti. Totalni napon također raste, jer je vanjski napon U < 0. Uvrstimo li zadane koncentracije primjesa u izraz (2.4), dobit ćemo da je na T = 300 K UK = 0,680 V. Uvrštavanjem dobivenog kontaktnog potencijala u izraze za širine barijere (relativna permitivnost silicija εr = 11,9), uz vanjski napon U = 0, dobiva se dB = 0,955 µm, dBn = 0,0187 µm, dBp = 0,936 µm. Kao što vidimo, praktično se cijela barijera širi na znatno slabije dopiranu p-stranu spoja, tj. Zadatak 2.4

158


2⋅ε 1 ⋅ ⋅ U TOT q NA

d B = d Bp =

Takvi pn-spojevi se obično nazivaju jednostrani pn-spojevi. Maksimalno električno polje u barijeri je max = − 14,2 kV / cm. Polje je negativno budući da ima smjer negativne x-koordinate, od n-strane barijere prema p-strani. Na slici 2.8 prikazane su raspodjele električnog polja i električnog potencijala, te energetski dijagram za razmatrani pn-spoj u uvjetima ravnoteže. Električno polje u barijeri koje nastaje uslijed naboja ioniziranih donora i akceptora unutar barijere ima takav smjer da se suprotstavlja difuziji većinskih nosilaca. Ako zbog termičkog titranja kristalne rešetke neki elektron s n-strane

ρ (x)

q . ND

0

~

xp

0

xp

kVcm−1

x xn − q . NA

−16

xn

max −1

−0,5

0

x / µm

a)

b)

E 0,8

xp

xn UK

ψ V

xp

xn

Ec

q .UK

EFi

EF

Ev

0

−1

−0,5

0

x / µm

−1 c)

−0,5

x / µm

0 d)

Slika 2.8. Skokoviti pn-spoj: a) raspodjela prostornog naboja, b) raspodjela električnog polja, c) raspodjela električnog potencijala, d) energetski dijagram.

čak i uleti u područje prostornog naboja, električno polje u barijeri će ga vratiti na n-stranu. Tek će nekolicina elektrona imati dovoljnu brzinu (odnosno energiju) da savlada polje u barijeri i prijeđe na p-stranu. Slično vrijedi i za većinske šupljine na p-strani spoja. Prema tome, za većinske nosioce postoji potencijalna barijera koju oni moraju savladati da bi prešli na drugu stranu spoja. Naprotiv, ako manjinski nosioci kojim slučajem uđu u područje barijere, njih će električno polje povući na suprotnu stranu. Zato se obično kaže da manjinski nosioci “ne vide” potencijalnu barijeru, te jednostavno “skliznu” niz nju. U uvjetima ravnoteže, difuzijska struja većinskih nosilaca i driftna struja manjinskih nosilaca se međusobno dokidaju, pa je ukupna struja kroz pn-spoj jednaka nuli. Fermijev nivo je u ravnotežnim uvjetima svugdje na istoj energiji, a mijenja se položaj dna i vrha zabranjenog pojasa. Visina energetske barijere za većinske nosioce je q ⋅ UK . Na slici 2.8 uočljiva je sličnost

Zadatak 2.4

159


funkcije raspodjele potencijala i energetskog dijagrama. Zbog toga Fermijev nivo u energetskom dijagramu ne siječe sredinu zabranjenog pojasa na mjestu pn-spoja. Naime, dok se raspodjela potencijala, a time i energetski dijagram, u kvazineutralnom poluvodiču određuju iz raspodjele nosilaca preko transportnih jednadžbi, raspodjela potencijala unutar barijere određena je raspodjelom primjesa preko Poissonove jednadžbe. Kada je pn-spoj propusno polariziran naponom U = 0,6 V, totalni napon bit će UTOT = 0,0797 V, pa je dB = 0,327 µm, dBn = 0,00641 µm, dBp = 0,321 µm, a maksimalna jakost polja max = − 4,97 kV / cm. Pri propusnoj polarizaciji totalni napon se smanjuje, a time i širine barijera, te maksimalno polje u barijeri. Fermijev nivo na n-strani pomiče se za energetski ekvivalent napona q ⋅ U (p-strana je referentna), pa se energetski dijagram “izravnava”, odnosno smanjuje se energetska barijera q⋅UTOT . Na slici 2.9b prikazan je energetski dijagram zadanog pnspoja pri propusnoj polarizaciji naponom U = + 0,6 V. Visina energetske barijere je tako mala da, radi preglednosti, na slici nije niti označena. q .UK

dB

E Ec Ev

q .U

dB

E Ec Ev

dB

E Ec Ev

q .UTOT

q .U

xj a)

x

xj b)

x

xj

x

c)

Slika 2.9. Energetski dijagram pn-spoja: a) stanje ravnoteže, b) propusna polarizacija, c) reverzna polarizacija.

Pri nepropusnoj polarizaciji pn-spoja naponom U = − 5 V, totalni napon bit će UTOT = 5,68 V, pa je dB = 2,76 µm, dBn = 0,0541 µm, dBp = 2,71 µm, a maksimalna jakost električnog polja max = − 41,1 kV / cm. Pri nepropusnoj polarizaciji totalni napon, širine barijere i maksimalno električno polje u barijeri rastu. Fermijev nivo na n-strani se pomiče za q ⋅ U u odnosu na ravnotežno stanje, a kako je U < 0, energetski dijagram se još više zakrivljuje, odnosno povećava se energetska barijera q ⋅ UTOT . To se može uočiti i na energetskom dijagramu za taj slučaj na slici 2.9c.

Zadatak 2.5 Izračunati širine barijera i maksimalnu jakost električnog polja u linearno-postepenom pn-spoju za slučaj ravnoteže, te pri vanjskim naponima U = 0,6 V i U = − 5 V, ako je gradijent koncentracije primjesa u pn-spoju a = 5⋅1019 cm−4. T = 300 K. Rješenje: Postupak rješavanja identičan je postupku u prethodnom zadatku. Međutim, kako je funkcija raspodjele primjesa kod linearno-postepenog pn-spoja pravac, tj. analitička funkcija u cijelom

Zadatak 2.5

160


području razmatranja, pri rješavanju Poissonove jednadžbe neće trebati rastavljati integral po odsječcima, pa će integracija biti jednostavnija. Radi jednostavnosti, opet ćemo pretpostaviti da se pn-spoj nalazi u ishodištu koordinatnog sustava. S lijeve strane ishodišta (x < 0) neka je poluvodič p-tipa, a s desne strane n-tipa. U tom slučaju, funkcija neto-koncentracije primjesa bit će ( N D − N A )( x ) = a ⋅ x , a funkcija gustoće prostornog naboja (vidi sliku 2.10 na str. 162) ρ( x ) = q ⋅ a ⋅ x, x p ≤ x ≤ xn . Raspodjelu električnog polja dobit ćemo, prema Poissonovoj jednadžbi, integriranjem raspodjele prostornog naboja dψ 1 ( x) = − = ⋅ ò ρ ( x ) ⋅ dx . dx ε Uvrstimo li funkciju raspodjele prostornog naboja, dobit ćemo 1 q ⋅a ( x ) = ⋅ ò q ⋅ a ⋅ x ⋅ dx = (2.22) ⋅ ( x 2 + C1 ) . ε 2⋅ε Konstantu integracije C1 možemo odrediti iz uvjeta da jakost električnog polja na rubovima barijere (tj. za x = xp i x = xn) mora pasti na nulu. Iz rubnog uvjeta ( xp) = 0, dobiva se C1 = −

x 2p 2

,

a iz uvjeta ( xn) = 0 x n2 , 2 iz čega slijedi da su širine barijera na n- i p-strani međusobno jednake. Kako je zbroj širina barijera dBn + dBp = dB , slijedi da je C1 = −

dB . 2 Ovo je očito pogleda li se raspodjela gustoće prostornog naboja i ako se zna da površine ispod funkcije moraju biti međusobno jednake, budući da naboj ioniziranih donora iz kojih silnice električnog polja izviru mora biti jednak naboju ioniziranih akceptora na kojima silnice poniru (vidi sliku 2.7 na str. 155). d Bn = d Bp =

Uvrštavanjem konstante integracije (2.22) prelazi u ( x) =

q ⋅ a æ 2 d B2 ö ÷. ⋅çx − 2 ⋅ ε çè 4 ÷ø

(2.22a)

Raspodjelu potencijala unutar barijere dobit ćemo integracijom raspodjele električnog polja

ψ ( x ) = − ò ( x ) ⋅ dx = −

q ⋅a 2⋅ε

æ x 3 d B2 ö ⋅ çç − ⋅ x + C2 ÷÷ . 3 4 è ø

Kako smo p-stranu uzeli kao referentnu, tj. ö q ⋅ a æ d B3 d B3 æ d ö ψ (xp ) = ψ ç− B ÷ = − ⋅ çç − + + C2 ÷÷ = 0 , è 2 ø 2 ⋅ ε è 24 8 ø

Zadatak 2.5

(2.23)

161


slijedi da je

ψ ( x) = −

d3 ö q ⋅ a æ x 3 d B2 ⋅ çç − ⋅ x − B ÷÷ . 2⋅ε è 3 4 12 ø

Totalni napon jednak je razlici potencijala na rubovima barijere q ⋅a U TOT = ψ ( x n ) − ψ ( x p ) = ⋅d3 , 12 ⋅ ε B pa je širina barijere dB = 3

12 ⋅ ε ⋅ U TOT . q ⋅a

(2.24)

Maksimalno električno polje je na mjestu pn-spoja. Iz (2.22a) uvrštavanjem (2.24) dobiva se max = −

3 ⋅ U TOT . 2 ⋅ dB

Kontaktni potencijal određen je koncentracijama nosilaca uz rub barijere u ravnotežnim uvjetima (izraz (2.3)) æ p 0 p ⋅ n 0n ö ÷÷ . U K = U T ⋅ ln çç 2 è ni ø

Budući da je poluvodič oko pn-spoja nehomogeno dopiran, ravnotežne koncentracije nosilaca uz rubove barijera neće biti konstantne kao kod skokovitog pn-spoja, već će njihov iznos ovisiti o položaju ruba barijere, odnosno o širini barijere p0 p = N Aneto ( x = x p ) = a ⋅

dB , 2

n0n = N Dneto ( x = x n ) = a ⋅

dB . 2

NAneto i NDneto su neto koncentracije primjesa N Aneto = N A − N D , N Dneto = N D − N A .

Što je barijera šira, za linearno-postepeni spoj će ravnotežne koncentracije manjinskih nosilaca uz rub barijere biti više. Uvrštavanjem u (2.3), dobiva se æ a 2 ⋅ d B2 ö æ a ⋅ dB ö ÷ = 2 ⋅ U T ⋅ ln ç U K = U T ⋅ ln çç ÷. 2 ÷ è 2 ⋅ ni ø è 4 ⋅ ni ø

Uvrstimo li sada izraz (2.24), uz UTOT = UK , dobit ćemo UK =

æ 3 ε ⋅ a2 ö 2 ⋅ U T ⋅ ln çç ⋅ ⋅ U K ÷÷ , 3 3 2 è q ⋅ ni ø

(2.25)

transcedentnu jednadžbu koja se ne može analitički riješiti. Stoga ćemo primijeniti postupak iteracije. U tablici 2.2 dat je niz rješenja u postupku iteracije uz početno pretpostavljeno rješenje UK = 0,7 V (navedena rješenja su zaokružena na tri decimalna mjesta). Kao što vidimo prema tablici 2.2, već nakon dva prolaza kroz (2.25) dobivamo traženo rješenje na tri točne znamenke: UK = 0,626 V. Zadatak 2.5

162


Tablica 2.2. Iteracija u zadatku 2.5.

korak

0

1

2

3

4

UK / V

0,7

0,6277

0,6258

0,6257

0,6257

Ukupna širina barijere u ravnotežnim uvjetima, kada je U = 0, bit će dB = 0,996 µm, dok su širine na obje strane međusobno jednake xn = –xp = dB / 2 = 0,498 µm. Maksimalno električno polje je max = –9,42 kV / cm. Na slici 2.10 prikazane su funkcije raspodjela gustoće prostornog naboja, električnog polja i električnog potencijala, te energetski dijagram za zadani linearno-postepeni pn-spoj u ravnotežnim uvjetima. Treba uočiti da je pri crtanju dijagrama zanemareno električno polje izvan

ρ (x) q . a .x

n

0 xp 0

xn

x

kVcm−1 −10 −0,8

− q . a . xp

xp

max

E

0,7

xp

xn UK

ψ V

0

xp

0

x / µm

0,8

q .UK

EFi

c)

−0,8

b) xn

EF

Ev 0 −0,8

0,8

x / µm

a) Ec

xn

0

x / µm

0,8 d)

Slika 2.10. Linearno-postepeni pn-spoj: a) raspodjela prostornog naboja, b) raspodjela električnog polja, c) raspodjela električnog potencijala, d) energetski dijagram.

područja barijere koje postoji zbog nejednolike raspodjele primjesa, tj. pretpostavljeno je da se sav pad napona nalazi na barijeri. U većini slučajeva ovo zanemarenje nema značajnijeg utjecaja na točnost rješenja. Pri propusnoj polarizaciji vanjskim naponom U = 0,6 V, totalni napon će se smanjiti na UTOT = UK – U = 25,7 mV, pa će se smanjiti i širine barijera na dB = 0,344 µm, odnosno xn = –xp = 0,172 µm. Maksimalna jakost električnog polja će se smanjiti na max = –1,12 kV / cm.

Zadatak 2.5

163


Nepropusnom polarizacijom naponom U = –5 V, totalni napon će se povećati na UTOT = 5,63 V, širine barijera će biti dB = 2,07 µm, odnosno xn = –xp = 1,04 µm, a maksimalna jakost električnog polja max = –40,8 kV / cm. U dosadašnjoj analizi pretpostavljali smo da je prijelaz iz osiromašenog područja barijere u kvazineutralno područje izvan barijere skokovit. U stvarnosti postoji područje konačnih dimenzija u kojem se koncentracija nosilaca mijenja od nule do ravnotežne koncentracije (slika 2.11). Širina tog područja određena je ekstrinsičnom Debyevom duljinom

ε ⋅UT , q⋅N

LD =

(2.26)

gdje je N neto koncentracija primjesa u promatranom dijelu poluvodiča. Do ekstrinsične Debyeve duljine dolazi se sličnim putem kao i do intrinsične Debyeve duljine (vidi zadatak 1.41 uz

ρ

ρ

xp

xn

x

xp

a)

xn

x

b)

Slika 2.11. Stvarne raspodjele prostornog naboja kod a) skokovitog i b) linearno-postepenog pn-spoja.

poglavlje 1.7.1. Poissonova jednadžba). Za kvazineutralno područje poluvodiča vrijedi zakon električke neutralnosti, pa je gustoća prostornog naboja jednaka nuli ρ = − q ⋅ (n − p + N A − N D ) = 0 . Kako su koncentracije nosilaca (vidi poglavlje 1.4.1. Elektrokemijski i elektrostatski potencijali) æ ψ −ϕö p = ni ⋅ exp ç − ÷, è UT ø

(2.27)

æψ − ϕ ö n = ni ⋅ exp ç ÷. è UT ø

(2.28)

æψ −ϕ ö N D − N A = 2 ⋅ ni ⋅ sinhç 0 ÷ = 2 ⋅ ni ⋅ sinh( u0 ) , è UT ø

(2.29)

slijedi da je

gdje je ψ0 ravnotežni elektrostatski potencijal kvazineutralnog područja poluvodiča, a u0 ravnotežni potencijal normiran na naponski ekvivalent temperature

ψ −ϕ ψ −ϕ , u0 = 0 . UT UT Podsjetimo se da je Fermijev potencijal ϕ u uvjetima ravnoteže svugdje jednak! u=

Zadatak 2.5

164


Razmotrimo stanje na n-strani skokovitog pn-spoja u kvazineutralnom području blizu ruba barijere. Elektrostatski potencijal ψ unutar barijere neće više biti jednak ravnotežnom potencijalu ψ0 , jer unutar barijere nije zadovoljen zakon električne neutralnosti. Budući da je kod skokovitog pn-spoja neto koncentracija primjesa na n-strani konstantna, u Poissonovu jednadžbu d 2u

q ⋅ (n − p + N A − N D ) ⋅ UT ε dx možemo umjesto koncentracija primjesa uvrstiti (2.29), dok ćemo umjesto koncentracija nosilaca uvrstiti (2.27) i (2.28) [Adler64] =

2

d 2u dx =

2

=

2 ⋅ ni ⋅ q ⋅ [sinh(u) − sinh(u0 )] = ε ⋅UT

4 ⋅ ni ⋅ q æ u + u0 ö æ u − u0 ö ⋅ coshç ÷ ⋅ coshç ÷. è 2 ø è 2 ø ε ⋅U T

(2.30)

Za mala odstupanja od ravnoteže u ≈ u0 , pa možemo koristiti aproksimacije æ u − u0 ö u − u0 sinhç , ÷ = è 2 ø 2

ND − N A æ u + u0 ö 2 coshç . ÷ = cosh(u0 ) = 1 + sinh (u0 ) = è 2 ø 2 ⋅ ni

Ova posljednja aproksimacija slijedi iz (2.29), a vrijedi samo ako je poluvodič potpuno ekstrinsičan (ND – NA >> ni). Sada (2.30) možemo napisati kao L2D ⋅

d 2u

= u − u0 , dx 2 što je potpuno ista diferencijalna jednadžba kao i u zadatku 1.41 u poglavlju 1.7.1. Poissonova jednadžba, samo što je LD sada ekstrinsična Debyeva duljina, čiji iznos ovisi o koncentraciji primjesa. Prema tome, za rješenje ove jednadžbe vrijede sva razmatranja vezana za rješenje navedenog zadatka. Na slici 2.12 prikazana je ovisnost ekstrinsične Debyeve duljine o koncentraciji primjesa u siliciju na T = 300 K. Sa grafa možemo očitati da za silicij koji je dopiran, na primjer, s 1 −1

LD µm

10

−2

10

−3

10 14 15 16 17 18 19 10 10 10 10 10 10 N / cm−3 Slika 2.12. Ekstrinsična Debyeva duljina u siliciju na T = 300 K.

Zadatak 2.5

165


N = 1015 cm−3 na temperaturi od 300 K LD = 0,130 µm, što je usporedivo sa širinama barijera koje smo dobili u ovom i prethodnom zadatku. Prema tome bi se i eksperimentalni rezultati razlikovali od računski dobivenih uz pretpostavku skokovitog prijelaza u osiromašeno područje [Chawla71, Johnson71, Wu75]. Naravno, to odstupanje je manje za veće reverzne napone kada su širine barijera veće. Ipak, radi jednostavnosti, i dalje ćemo uvijek računati s izvedenim izrazima.

Zadatak 2.6 Skokoviti pn-spoj ima jednake koncentracije primjesa na obje strane spoja. Odredite koncentracije primjesa, ako je pri nekom vanjskom naponu U širina barijere dB = 1,2 µm, a maksimalno polje u barijeri max = 95 kV/cm. Koliki je pritom vanjski napon U? T = 300 K. Rješenja: NA = ND = 1,04 ⋅ 1016 cm–3, U = –5 V.

Zadatak 2.7 Raspodjela primjesa u nekoj pn-diodi opisana je funkcijom ND(x) – NA = 1018⋅exp(– x/a) – 1015 cm–3, pri čemu je a = 0,5 µm. Izračunajte: a) dubinu pn-spoja, b) maksimalnu jakost polja, ako je širina barijere na p-strani dBp = 1 µm, c) širinu barijere na n-strani, te d) totalni napon na barijeri. Rješenja: a) xj = 3,45 µm, b) max = +8,63 kV/cm, c) dBn = 0,603 µm, d) UTOT = 0,900 V. Uputa: Maksimalna jakost električnog polja dobiva se integriranjem Poissonove jednadžbe od poznatog ruba barijere (xp = xj + dBp) do pn-spoja. Položaj ruba barijere na n-strani dobiva se iz uvjeta da električno polje na rubovima barijere mora biti jednako nuli, odnosno da prostorni naboj na n-strani barijere mora biti po iznosu jednak prostornom naboju na p-strani barijere: xj

xp

ò N ( x ) ⋅ dx = − ò N ( x ) ⋅ dx ,

xn

xj

gdje su xn = xj – dBn i xp = xj + dBp koordinate rubova barijere na n- odnosno p-strani.

Zadatak 2.6

166


2.3. Barijerni kapacitet Pri promjeni napona na pn-spoju mijenja se i širina osiromašenog područja barijere, pa zbog toga dolazi i do promjene naboja ioniziranih primjesa unutar barijere. Ta promjena naboja s priključenim naponom očituje se kao barijerni kapacitet. Općenito je S CB = ε ⋅ , (2.31) dB pri čemu je S površina pn-spoja, dB je širina barijere, a ε je permitivnost poluvodiča. Izraz (2.31) vrijedi uvijek, neovisno o obliku raspodjele primjesa oko pn-spoja.

Zadatak 2.8 Izvesti izraze za barijerni kapacitet za slučajeve kada je: a) raspodjela primjesa oko pn-spoja proizvoljna funkcija, b) pn-spoj skokovit, te c) pn-spoj linearno-postepen. Skicirati ovisnost barijernog kapaciteta o priključenom naponu za skokoviti pn-spoj iz zadatka 2.4, odnosno linearno-postepeni spoj iz zadatka 2.5, ako su površine oba spoja S = 1 mm2. Rješenje: a) Pretpostavimo da je na diodu priključen neki napon U, pa je totalni napon U TOT = U K − U . Širina barijere pri tom naponu je dB , kako je prikazano na slici 2.13a. Raspodjela primjesa, odnosno gustoće prostornog naboja, je nekakva proizvoljna funkcija, prikazana na slici 2.13b. Prema Poissonovoj jednadžbi d ( x ) ρ ( x ) = , dx ε jakost električnog polja proporcionalna je obuhvaćenom prostornom naboju, odnosno površini ispod funkcije raspodjele prostornog naboja. Integracijom funkcije raspodjele prostornog naboja od referentne točke (u našem slučaju od ruba barijere na n-strani) x

( x) =

1 ⋅ ρ ( x ) ⋅ dx , ε xò

(2.32)

n

dobit ćemo raspodjelu električnog polja (slika 2.13c). Povećamo li totalni napon na barijeri, barijera će se proširiti na dB + ddB (slika 2.13a). Zbog toga će se povećati obuhvaćeni prostorni naboj u barijeri. Budući da se prirast širine barijere raspodjeljuje na prirast barijere na n-strani ddBn i na prirast barijere na p-strani ddBp , povećat će se i obuhvaćeni naboj ioniziranih donora na n-strani barijere (za iznos dQn) i obuhvaćeni naboj ioniziranih akceptora (dQp , vidi sliku 2.13b). Prirasti ovih naboja moraju biti međusobno jednaki po iznosu, jer u protivnom jakost električnog polja na rubovima barijere ne bi padala na nulu.

Zadatak 2.8

167

2.3. Barijerni kapacitet

UTOT

n

p

UTOT + dUTOT dB dB + d dB

a)

ρ d Qn S

d Qp S xj

d dBn

x d dBp

dB

b)

dQ d = . εS

dUTOT xn1 xn

xj

d

x n1 x n

xp xp1

x

c)

dUTOT xj

x p x p1

x d)

Slika 2.13. Prikaz promjene prostornog naboja sa promjenom napona na barijeri.

Pojavio bi se višak pozitivnog ili negativnog naboja u barijeri. Barijera, gledana kao cjelina, ne bi bila električki neutralna i silnice električnog polja bi prolazile kroz zamišljenu plohu koja obuhvaća područje barijere. Budući da je do prirasta naboja došlo samo uz rubove barijere, prirast jakosti električnog polja svugdje unutar početne barijere bit će isti (označen kao d na slici 2.13c). Prirast pozitivnog naboja ioniziranih donora na jednom kraju barijere povećat će broj silnica električnog polja koje iz tog naboja izviru, ali sve te silnice poniru na novonastalom negativnom naboju ioniziranih akceptora na

p

ddBp

n

dB

ddBn

Slika 2.14. Prirast električnog polja pri proširenju barijere.

Zadatak 2.8

168


suprotnom kraju barijere (slika 2.14). Matematički gledano, u izrazu (2.32), podintegralna funkcija je ostala nepromijenjena, samo se promijenila donja granica integracije, tj. x

x

( x) =

x

1 1 n 1 ⋅ ò ρ ( x ) ⋅ dx = ⋅ ò ρ ( x ) ⋅ dx + ⋅ ò ρ ( x ) ⋅ dx ε x ε x ε x n1

n1

n

što rezultira prirastom električnog polja za konstantan iznos za sve x iz intervala áxn , xp ñ. Prirast električnog polja unutar barijere bit će, prema tome dρ dQ d = = , (2.33) ε ε ⋅S gdje je dQ = dQn = dQp prirast naboja ioniziranih primjesa u barijeri, a S je površina poprečnog presjeka barijere. Budući da je po definiciji dψ dU dU TOT =− = , dx dx dx razlika potencijala između rubova barijere dobiva se integracijom raspodjele električnog polja =−

xp

U TOT = ò ( x ) ⋅ dx , xn

što odgovara površini ispod funkcije raspodjele električnog polja. Prirast totalnog napona bit će proporcionalan prirastu te površine x p1

dU TOT =

ò d ( x) ⋅ dx ,

x n1

tj. površini ispod funkcije raspodjele prirasta električnog polja d, prikazanoj na slici 2.13d. Kao što vidimo na slici, gornji integral se može razbiti na tri integrala dU TOT =

xn

xp

x n1

xn

ò d ( x) ⋅ dx + ò d ( x) ⋅ dx +

x p1

ò d ( x) ⋅ dx .

xp

od kojih se prvi i treći integral mogu zanemariti, a kako je d u drugom integralu konstantan, možemo pisati da je dQ dU TOT = d B ⋅ d = d B ⋅ , (2.34) ε ⋅S pa je barijerni kapacitet dQ S CB = =ε⋅ . dU TOT dB

b) Kod skokovitog pn-spoja, prirast naboja ioniziranih primjesa proporcionalan je prirastu širine barijere, jer je koncentracija primjesa konstantna. Tako će prirast naboja ioniziranih donora biti (2.35) dQ = S ⋅ q ⋅ N D ⋅ dd Bn , gdje je ddBn prirast barijere na n-strani spoja. Kako je širina barijere na n-strani

Zadatak 2.8

169


d Bn = d B ⋅

NA , N A + ND

prirast dd Bn =

NA ⋅ dd B N A + ND

(2.36)

je proporcionalan prirastu ukupne širine barijere. Budući da je širina barijere za skokoviti pn-spoj dB =

2⋅ε N A + ND ⋅ ⋅ U TOT , q N A ⋅ ND

prirast širine barijere zbog prirasta napona bit će dd B =

2⋅ε N A + ND 1 ⋅ ⋅ ⋅ (U TOT ) −1 2 ⋅ dU TOT . q N A ⋅ ND 2

(2.37)

Uvrstimo li (2.37) u (2.36), a zatim dobiveni izraz u (2.35) dobit ćemo da je dQ = S ⋅ q ⋅

N A ⋅ ND 2⋅ε N A + ND 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (U TOT ) −1 2 ⋅ dU TOT , NA + ND q N A ⋅ ND 2

iz čega slijedi da je CB =

N ⋅ ND dQ 2⋅ε N A + ND 1 = S ⋅q ⋅ A ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (U TOT ) −1 2 = dU TOT N A + ND q N A ⋅ ND 2 =

ε ⋅S 2⋅ε N A + ND ⋅ ⋅ U TOT q N A ⋅ ND

.

Nazivnik posljednjeg izraza upravo je jednak širini barijere, što znači da je ovaj izraz istovjetan izrazu (2.31). Iako smo računali s totalnim naponom, isti rezultat se dobiva i za vanjski napon, jer je promjena totalnog napona jednaka promjeni vanjskog napona, samo suprotnog predznaka. U tablici 2.3 date su vrijednosti barijernog kapaciteta za nekoliko vrijednosti vanjskog napona, a na slici 2.15a nacrtana je funkcija ovisnosti barijernog kapaciteta o vanjskom naponu. Prema velikim reverznim naponima širina barijere raste, a barijerni kapacitet teži nuli. Maksimalna vrijednost reverznog napona ograničena je pojavom proboja u barijeri. Pri propusnoj polarizaciji barijera se sužava, pa barijerni kapacitet raste. Prema navedenoj jednostavnoj teoriji, kod propusnog napona U = UK , širina barijere trebala bi biti jednaka nuli (UTOT = 0!), a barijerni kapacitet bi trebao težiti u beskonačnost. Ovakvu polarizaciju u stvarnosti nije moguće ostvariti, jer kada je širina barijere jako mala i visina potencijalne barijere za većinske nosioce je mala. Struja kroz diodu bi u tom slučaju bila tako velika da bi uzrokovala pregrijavanje i uništenje diode (vidi poglavlje 2.4. Strujnonaponske karakteristike). Kao što je spomenuto u prethodnom poglavlju, kod stvarnih pn-spojeva širina prijelaznog područja između barijere i kvazineutralnog

Tablica 2.3. Barijerni kapaciteti skokovitog pn-spoja.

U V

dB µm

CB pF

–30 –20 –10 –5 –2 –1 0 0,2 0,4 0,6

6,42 5,27 3,79 2,76 1,90 1,50 0,955 0,802 0,613 0,327

16,4 10,0 27,8 38,2 55,6 70,2 110 131 172 322

Zadatak 2.8

170


4 .10 −3 200

CB pF

/ CB2 −2

1 pF

100 0 −30

−20

−10

3 .10 −3 2 .10 −3 UK

10−3 0

0

−5 −4 −3 −2 −1 0

U/V

1

U/V

a)

b)

Slika 2.15. Naponska ovisnost barijernog kapaciteta skokovitog pn-spoja.

područja je pri propusnim polarizacijama usporediva sa širinom barijere, pa to uzrokuje odstupanje stvarnih od teorijskih rezultata [Morgan60, Chawla71]. Međutim, kako kod većih napona propusne polarizacije prevladava difuzijski kapacitet koji postoji zbog nakrcanog naboja manjinskih nosilaca uz rubove barijere, utjecaj barijernog kapaciteta pri propusnim polarizacijama redovito se može zanemariti. Na slici 2.15b prikazana je ovisnost kvadrata recipročne vrijednosti barijernog kapaciteta o priključenom naponu 1 C B2

=

2 q ⋅ε ⋅S2

⋅

NA + ND ⋅ U TOT . NA ⋅ ND

(2.38)

Ona je proporcionalna totalnom naponu na barijeri, pa je graf funkcije (2.38) pravac. Nagib tog pravca ovisi o koncentraciji primjesa, a presjecište pravca s naponskom osi nalazi se kod vanjskog napona U = UK . Koncentracija primjesa na n-strani zadanog skokovitog pn-spoja je znatno veća od koncentracije primjesa na p-strani, pa se praktično cijela barijera širi na slabije dopiranu pstranu - radi se o jednostranoj barijeri. Kako je u (2.38) ND >> NA, možemo pisati da je 1 2 1 = ⋅ ⋅ U TOT , (2.39) C B2 q ⋅ ε ⋅ S 2 N A tj. nagib pravca ovisi izravno o koncentraciji primjesa slabije dopirane strane skokovitog pnspoja. Kako je kod većina stvarnih raspodjela primjesa u poluvodičima koncentracija primjesa jedne strane puno veća od koncentracije primjesa druge strane, izraz (2.39) nam omogućuje da na temelju izmjerenih vrijednosti barijernog kapaciteta odredimo koncentraciju primjesa na slabije dopiranoj strani. Štoviše, izraz (2.39) vrijedi i kad koncentracija na slabije dopiranoj strani nije konstantna već se mijenja s dubinom poluvodiča, s time da tada graf funkcije (2.39) više nije pravac već krivulja čiji oblik ovisi o raspodjeli primjesa [Hilibrand60]. Da bi se izbjegla potreba za kontaktnim potencijalom u (2.39), on se derivira po naponu (podsjetimo se da je promjena totalnog napona jednaka promjeni priključenog vanjskog napona, samo suprotnog predznaka) d æ 1 ö 2 1 ÷=− ç ⋅ , dU è CB2 ø q ⋅ ε ⋅ S 2 N A (d B )

pri čemu je sada koncentracija akceptora uzeta kao funkcija prostorne koordinate, odnosno širine barijere. Iz ovog izraza slijedi da je

Zadatak 2.8

171


N A (d B ) = −

2 ⋅ q ⋅ ε ⋅ S2 d dU

1 , æ 1 ö ç 2÷ è CB ø

dok širinu barijere možemo odrediti izravno iz barijernog kapaciteta ε ⋅S dB = . CB Naravno, mjerenja barijernog kapaciteta se moraju provesti pri reverznim naponima da bi se izbjegao utjecaj difuzijskog kapaciteta. Vrijednost kontaktnog potencijala također se može odrediti mjerenjem barijernog kapaciteta, tako da se mjerni podaci za reverzne napone ekstrapoliraju u područje propusne polarizacije i da se nađe presjecište ekstrapolirane krivulje s osi apscise.

c) Naboj ioniziranih primjesa u n-strani barijere linearno-postepenog pn-spoja proporcionalan je površini ispod pravca raspodjele prostornog naboja s koeficijentom smjera a, od pn-spoja do ruba barijere na n-strani dBn , Q = S ⋅q⋅a⋅

2 d Bn . 2

Prirast naboja pri promjeni širine barijere bit će dQ = S ⋅ q ⋅ a ⋅ d Bn ⋅ dd Bn .

(2.40)

Prirast širine barijere ddBn izazvan je prirastom napona dUTOT . Iz izraza za širinu barijere linearno-postepenog spoja dB = 3

12 ⋅ ε 3 ⋅ U TOT , q⋅a

dobiva se prirast širine barijere na n-strani spoja 1 12 ⋅ ε 1 æd ö 1 dd Bn = d ç B ÷ = ⋅ dd B = ⋅ 3 ⋅ ⋅ (U TOT ) −2 3 ⋅ dU TOT . è 2 ø 2 q ⋅a 3 2

(2.41)

Uvrštavanjem u (2.40), dobiva se 2

æ 1 12 ⋅ ε ö 1 1 ÷ ⋅ ⋅ C B = S ⋅ q ⋅ a ⋅ çç ⋅ 3 = q ⋅ a ÷ø 3 3 U TOT è2 S

=ε⋅ 3

.

12 ⋅ ε 3 ⋅ U TOT q⋅a

Kako nazivnik ovog izraza odgovara širini barijere, slijedi da smo opet dobili izraz (2.31). Možemo zaključiti da taj izraz vrijedi neovisno o obliku raspodjele primjesa oko pn-spoja. Prema (2.31) barijerni kapacitet jednak je kapacitetu pločastog kondenzatora koji ima površinu jednaku površini poprečnog presjeka barijere, razmak ploča jednak širini barijere, a dielektrik između ploča ima istu permitivnost kao i poluvodič. Ovo je samo matematička analogija, budući da se kod pločastog kondenzatora mijenja naboj na pločama kondenzatora, dok se kod barijere mijenja obuhvaćeni naboj ioniziranih primjesa unutar barijere.

Zadatak 2.8

172


Tablica 2.4. Barijerni kapaciteti linearno-postepenog pnspoja.

U V

dB µm

CB pF

–30 –20 –10 –5 –2 –1 0 0,2 0,4 0,5 0,6

3,64 3,19 2,56 2,07 1,61 1,37 0,996 0,876 0,709 0,583 0,344

28,9 33,0 41,2 50,9 65,6 77,0 106 120 149 181 307

U tablici 2.4 navedene su brojčane vrijednosti širine barijere i barijernog kapaciteta za različite priključene napone, na temelju kojih su nacrtani dijagrami na slici 2.16. Opet se treba podsjetiti da su izrazi u zadatku izvedeni uz pretpostavku skokovitog prijelaza iz osiromašenog u kvazineutralno područje. Širina prijelaznog područja određena je ekstrinsičnom Debyevom duljinom koja je pri propusnim polarizacijama pn-spoja usporediva s širinama barijera. Zbog toga bi pri proračunu barijernog kapaciteta za propusne polarizacije trebalo provesti korekciju (vidi npr. [Sze81]). Također, ekstrapolirano presjecište s osi apscise na 1/CB2 - U dijagramu u tom slučaju ne odgovara kontaktnom potencijalu [Chawla71]. Odstupanja od jednostavne teorije su naročito izražena kod linearno-postepenih spojeva, odnosno spojeva sa sličnom raspodjelom primjesa (npr. difundirani pn-spojevi). Kod većih reverznih napona širina barijere je obično puno veća od Debyeve duljine, pa su navedeni izrazi dovoljno točni. 4 .10 −3

200

CB pF

/ CB2 −2

1 pF

100 0 −30

−20

−10

0

U/V

3 .10 −3 2 .10 −3 UK

10−3 0

−5 −4 −3 −2 −1 0

1

U/V

a)

b)

Slika 2.16. Naponska ovisnost barijernog kapaciteta linearno-postepenog pn-spoja.

Zadatak 2.9* Odrediti oblik raspodjele primjesa u pn-diodi koji će dati najveću promjenu barijernog kapaciteta s priključenim naponom. Pretpostaviti funkciju raspodjele primjesa oblika N ( x) = a ⋅ xb . Rješenje: Svojstvo barijernog kapaciteta pn-spoja koristi se kod kapacitivnih dioda (koristi se i naziv varikap dioda, od engl. variable capacitance). Za razliku do klasičnih promjenjivih kondenzatora kod kojih se promjena kapaciteta dobiva mehaničkim zakretanjem - uvlačenjem ploča kondenzatora, kod varikap dioda kapacitet se mijenja promjenom istosmjernog napona reverzne polarizacije na diodi. Ako je takva dioda spojena u seriju sa zavojnicom, promjenom istosmjernog

Zadatak 2.9

173


napona mijenjat ćemo rezonantnu frekvenciju tog serijskog titrajnog kuta. Dioda mora biti reverzno polarizirana da bi struja kroz nju bila zanemariva. Poželjno je da promjena kapaciteta varikap diode s promjenom napona bude što veća [Norwood68]. Za skokoviti pn-spoj dobili smo da je C B = konst ⋅ (U TOT ) −1 2 ,

iz čega se, nakon logaritmiranja, dobiva diferencijal dC B dU TOT 1 dU TOT =− ⋅ = −K ⋅ . CB U TOT 2 U TOT

(2.42)

Slično, za linearno-postepeni pn-spoj C B = konst ⋅ (U TOT ) −1 3 ,

pa je dC B dU TOT 1 dU TOT =− ⋅ = −K ⋅ . CB U TOT 3 U TOT

(2.43)

Kao što vidimo, izrazi (2.42) i (2.43), koji iskazuju relativnu promjenu kapaciteta za neku relativnu promjenu napona, razlikuju se samo u faktorima K = 1/2 odnosno K = 1/3 na desnim stranama (negativan predznak znači samo da se povećanjem totalnog napona kapacitet smanjuje). Budući da je za diodu sa skokovitim pn-spojem taj faktor veći, možemo zaključiti da će se takva dioda prije koristiti ND − NA kao promjenjivi kapacitet.

a .x

Razmotrimo sada općeniti slučaj diode u kojoj je raspodjela neto koncentracije primjesa opisana funkcijom N = a ⋅ xb . (2.44) Radi jednostavnosti pretpostavit ćemo da se radi o jednostranoj diodi koja ima p-stranu puno jače dopiranu od n-strane (slika 2.17). Zbog toga će se sva barijera širiti gotovo isključivo na slabije dopiranu n-stranu, pa će raspodjela primjesa na toj strani (opisana funkcijom (2.44)) određivati oblik funkcije barijernog kapaciteta o naponu. Ishodište koordinatnog sustava postavit ćemo na mjesto pn-spoja.

0

dB

b

x

NA Slika 2.17. Raspodjela primjesa u jednostranom pn-spoju.

Integracijom Poissonove jednadžbe na n-strani barijere d 2ψ 2

d 2U TOT

q ⋅ a ⋅ xb . ε

(2.45)

æ x b +1 ö dψ q = ⋅a ⋅ç + C1 ÷ . + b 1 ε dx è ø

(2.46)

=−

dx dx 2 dobit ćemo raspodjelu električnog polja

=−

=−

Konstantu integracije C1 možemo odrediti iz rubnog uvjeta da je jakost električnog polja na nstrani ruba barijere jednaka nuli. Budući da se cijela barijera širi na n-stranu, rub barijere na nstrani nalazit će se na mjestu x = dB , pa je (x = d B ) = 0 . Uvrštavanjem ovog rubnog uvjeta u (2.46) dobivamo konstantu integracije

Zadatak 2.9

174


d Bb+1 , b +1 pa je raspodjela električnog polja na n-strani barijere q a = ⋅ ⋅ ( x b +1 − d Bb+1 ) . ε b +1 C1 = −

(2.46a)

Integracijom raspodjele električnog polja dobiva se raspodjela potencijala

ψ =−

ö q a æ x b+ 2 ⋅ ⋅ç − d Bb+1 ⋅ x + C2 ÷ . ε b +1 èb + 2 ø

(2.47)

Širenje barijere na p-stranu je zanemarivo, te možemo zanemariti pad napona na p-strani barijere. Zato možemo, uz pretpostavku da je p-strana barijere na referentnom potencijalu, pisati da je ψ (0) = 0 , iz čega slijedi da je konstanta C2 = 0. Drugi kraj barijere bit će na potencijalu ψ (d B ) = U TOT , što nam, uvrštavanjem u (2.47) daje vezu između napona i širine barijere U TOT =

d b+2 q ⋅a⋅ B , b+2 ε

odnosno 1

æε b+2 ö b+2 dB = ç ⋅ ⋅ U TOT ÷ . èq a ø

(2.48)

Barijerni kapacitet je općenito određen izrazom (2.31) S CB = ε ⋅ . dB Logaritmiranjem tog izraza, te uvrštavanjem širine barijere prema izrazu (2.48), dobiva se

ln(C B ) = ln(ε ⋅ S ) − ln(d B ) = ln(ε ⋅ S ) −

æε b+2 ö 1 ⋅ lnç ⋅ ⋅ U TOT ÷ . b+2 èq a ø

Diferenciranjem dobivamo traženu promjenu barijernog kapaciteta s naponom dC B dU TOT 1 dU TOT =− ⋅ = −K ⋅ . CB b + 2 U TOT U TOT

(2.49)

Za skokoviti pn-spoj koncentracija primjesa na n-strani je konstantna, pa je b = 0, dok za linearno-postepeni spoj koncentracija linearno raste udaljavanjem od spoja, pa je b = 1. Prema (2.49), za što veću relativnu promjenu kapaciteta s naponom faktor K mora biti što veći, odnosno potencija b u izrazu za neto koncentraciju primjesa (2.44) što bliža – 2. Raspodjele primjesa koje se približavaju takvoj raspodjeli nazivaju se hiper-strme raspodjele (engl. hyper-abrupt), a mogu se dobiti nizom uzastopnih ionskih implantacija s različitim energijama implantacija.

Zadatak 2.9

175


Zadatak 2.10 Na slici 2.18 prikazana je funkcijska ovisnost kapaciteta o priključenom naponu za neki jednostrani skokoviti pn-spoj površine 2 mm2. Odredite: a) kontaktni potencijal spoja, b) koncentraciju primjesa na slabije dopiranoj strani, c) maksimalno polje u barijeri za obje radne točke prikazane na slici. Rješenja: a) UK = 0,667 V, b) N = 4,94⋅1015 cm–3, c) max(U = –5 V) = 92,2 kV/cm, max(U = –10 V) = 127 kV/cm,

1 CB2 64 .10 18 F

−2

18 34 .10 F

−2

U/V −10

−5

Slika 2.18. Ovisnost barijernog kapaciteta o naponu za diodu u zadatku 2.10.

Zadatak 2.11 Na nekoj silicijskoj diodi s linearno-postepenim pn-spojem je kod reverznog napona od 20 V izmjeren barijerni kapacitet iznosa 5 pF. Izračunajte kontaktni potencijal tog pnspoja, te maksimalno električno polje u barijeri (pretpostavite da je priključeni napon po iznosu puno veći od kontaktnog potencijala). Površina spoja je 0,1 mm2, T = 300 K. Rješenja: UK = 0,668 V, max = 141 kV/cm.

Zadatak 2.11

176


2.4. Strujno-naponske karakteristike 2.4.1. Shockleyeva jednadžba Strujno-naponska karakteristika idealnog pn-spoja opisana je Shockleyevom jednadžbom [Shockley49]

é æU ö ù I = I S ⋅ êexp ç (2.50) ÷ − 1ú , è U T ø úû êë gdje je IS reverzna struja zasićenja pn-spoja. Za diodu kojoj su efektivne duljine obiju strana puno veće od difuzijskih duljina nosilaca reverzna struja zasićenja može se računati kao æ n0 p ⋅ Dn p0n ⋅ D p ö ÷, I S = S ⋅ q ⋅ çç + L p ÷ø è Ln

(2.51)

pri čemu je S površina pn-spoja, n0p i p0n su ravnotežne koncentracije manjinskih nosilaca, a Dn , Dp , Ln i Lp su njihove difuzijske konstante, odnosno difuzijske duljine. Ako su efektivne duljine obiju strana diode puno manje od pripadnih difuzijskih duljina manjinskih nosilaca, tada reverznu struju zasićenja možemo računati kao æ n0 p ⋅ Dn p0n ⋅ D p ö ÷. I S = S ⋅ q ⋅ çç + wn ÷ø è wp

(2.52)

wp i wn su efektivne širine p-, odnosno n-strane spoja. One su jednake udaljenostima pnspoja od vanjskih priključnica umanjenima za širine barijera na pripadnim stranama. Strujno-naponske karakteristike stvarnih dioda redovito odstupaju od Shockleyeve jednadžbe. Ta odstupanja obično se uključuju u Shockleyevu jednadžbu preko dodatnog empiričkog parametra m é æ U ö ù I = I S ⋅ êexp ç (2.53) ÷ − 1ú . è m ⋅ U T ø úû êë Vrijednost parametra m ovisi o diodi. Teoretski, njegov iznos se kreće između 1 i 2 , tj. 1 ≤ m ≤ 2 , s time da za neku diodu on nije konstantan, već se mijenja ovisno o položaju radne točke, odnosno o iznosu struje kroz diodu. Na primjer, dok je za srednje razine struja, kada je dioda u režimu niske injekcije m = 1, u režimu visoke injekcije m = 2.

2.4. Strujno-naponske karakteristike

177

Zadatak 2.12 Izvesti Shockleyevu jednadžbu za diodu kojoj su geometrijske dimenzije obiju strana puno veće od difuzijskih duljina manjinskih nosilaca. Rješenje: Da bismo odredili strujno-naponsku karakteristiku pn-spoja razmotrimo prethodno što se događa s raspodjelama nosilaca prilikom promjene napona na diodi. U ravnotežnim uvjetima električno polje u barijeri koje nastaje zbog naboja ioniziranih primjesa i čiji smjer je od n-strane prema p-strani spoja, upravo je toliko da sprečava difuziju većinskih nosilaca - elektrona s nstrane na p-stranu, odnosno šupljina s p-strane na n-stranu. Iako u ravnotežnim uvjetima nema struje, ako struju prema transportnim jednadžbama rastavimo na difuzijsku i driftnu komponentu, možemo uzeti da driftna struja manjinskih nosilaca kroz pn-barijeru (InS , odnosno IpS na slici 2.19a) poništava difuzijsku struju većinskih nosilaca (Idn , odnosno Idp). U energetskom dijagramu na slici 2.19a ucrtane su funkcije raspodjela većinskih i manjinskih nosilaca po energijama. Tamnije sjenčana područja ispod funkcija raspodjela većinskih nosilaca odgovaraju koncentracijama nosilaca koji imaju dovoljnu kinetičku energiju da savladaju električno polje u barijeri (odnosno potencijalnu barijeru q⋅UK) i prijeđu na drugu stranu barijere. Narinemo li na diodu napon propusne polarizacije, tj. ako p-stranu spoja spojimo na viši potencijal od n-strane, uzrokovat ćemo električno polje koje će imati smjer od p- prema n-strani diode. Zbog suprotnog smjera, to će vanjsko polje oslabiti polje u barijeri, pa će porasti broj većinskih nosilaca koji difuzijom prelaze na drugu stranu spoja. U energetskom dijagramu slabljenje električnog polja u barijeri odražava se u smanjenoj potencijalnoj barijeri, kako je prikazano na slici 2.19b. Na slici uočavamo porast tamnijih površina ispod funkcija raspodjela većinskih nosilaca u odnosu na ravnotežno stanje, što odgovara porastu broja nosilaca s energijom dovoljnom da savladaju potencijalnu barijeru. Valja naglasiti da su funkcije raspodjela većinskih i manjinskih nosilaca na slici 2.19 radi preglednosti nacrtane neproporcionalno. Ovako velike koncentracije manjinskih nosilaca prema koncentraciji većinskih nosilaca postoje samo u poluvodiču koji je gotovo intrinsičan. U stvarnosti su koncentracije nosilaca koji prelaze barijeru redovito zanemarive u odnosu na ukupnu koncentraciju većinskih nosilaca. Dakle, pri propusnoj polarizaciji povećat će se broj većinskih nosilaca koji difuzijom prelaze na drugu stranu spoja. Nosioci koji uspiju proći kroz barijeru, naći će se na suprotnoj strani barijere kao manjinski nosioci - zbog toga govorimo o injekciji manjinskih nosilaca (vidi sliku 2.20a). Injektirani nosioci će povećati koncentraciju manjinskih nosilaca uz rub barijere (np0 , odnosno pn0 na slici 2.20b) iznad ravnotežne koncentracije, pa će doći do difuzije nosilaca od barijere prema volumenu te strane spoja, gdje je koncentracija nosilaca jednaka ravnotežnoj (n0p , odnosno p0n). Tijekom te difuzije, nosioci se rekombiniraju s većinskim nosiocima, tako da njihova koncentracija opada udaljavanjem od barijere i postupno teži ravnotežnoj koncentraciji. Pri reverznoj polarizaciji pn-spoja, kada je n-strana spojena na pozitivniji potencijal od pstrane, vanjsko električno polje potpomaže električno polje unutar barijere - potencijalna barijera u energetskom dijagramu će narasti (slika 2.19c). Stoga će se smanjiti broj većinskih nosilaca koji bi difuzijom prešao na suprotnu stranu spoja. Već kod relativno malih reverznih napona broj većinskih nosilaca koji uspijevaju savladati barijeru bit će zanemariv, pa će kroz pn-spoj prolaziti samo manjinski nosioci koje je zahvatilo polje unutar barijere. Ti nosioci će se na drugoj strani barijere “izgubiti” u visokoj koncentraciji istovrsnih većinskih nosilaca.

Zadatak 2.12

178


p

n n0p

InS

Idn n0n

q .UK

EF p0p Idp

IpS

p0n

Ec EFi Ev a)

InS

Idn q .UTOT Ec EFi Ev

EF Idp

IpS b)

InS

Idn q .UTOT

EF

Idp

IpS

Ec EFi Ev c)

Slika 2.19. Energetski dijagram i raspodjele nosilaca po energijama: a) pn-spoj u ravnoteži, b) propusna polarizacija, c) reverzna polarizacija [Juzbašić75].

Budući da polje u barijeri izvlači manjinske nosioce iz kvazineutralnih područja izvan barijere, uz rubove barijere će nastati manjak manjinskih nosilaca, tj. njihova koncentracija će se smanjiti ispod ravnotežne (vidi sliku 2.21). Difuzijom iz volumena pripadajućih strana, gdje je koncentracija manjinskih nosilaca jednaka ravnotežnoj, te pojačanom generacijom parova elektron-šupljina nastojat će se nadoknaditi taj manjak nosilaca uz rubove barijere. Kao što ćemo kasnije vidjeti, upravo ova dva spomenuta mehanizma, a ne brzina prolaska nosilaca kroz barijeru, ograničavaju struju kroz reverzno polariziranu diodu. Iz gornjeg opisa može se naslutiti da se manjinski nosioci izvan barijere uglavnom gibaju difuzijom. Pretpostavimo da je električno polje koje uzrokuje vanjski napon izvan barijere dovoljno slabo da se driftna komponenta struje manjinskih nosilaca može zanemariti (vidi zadatak 1.42). U tom slučaju svi injektirani manjinski nosioci udaljavat će se od barijere (u slučaju

Zadatak 2.12

179


rekombinacija elektrona s većinskim šupljinama

injekcija elektrona

difuzija elektrona od barijere

struja elektrona

p n rekombinacija šupljina s elektronima

struja šupljina

difuzija šupljina od barijere

injekcija šupljina

np

a)

pn

np0

n0p pn0 p0n xp

xn

x

b)

Slika 2.20. Propusno polarizirani pn-spoj: a) simbolički prikaz injekcije [Valkó91], b) raspodjele manjinskih nosilaca.

propusne polarizacije), odnosno približavati barijeri (u slučaju reverzne polarizacije) isključivo difuzijom. Difuzijske struje manjinskih nosilaca su najveće uz rubove barijere, jer su i odstupanja od ravnotežnih koncentracija, a time i gradijenti koncentracija tamo najveći (vidi slike 2.20b i 2.21b). Kako struja manjinskih nosilaca mora ujedno proći i kroz pn-spoj, možemo zaključiti da struja kroz pn-spoj mora biti jednaka difuzijskoj struji manjinskih nosilaca uz rubove barijere. Udaljavanjem od barijere difuzijska struja manjinskih nosilaca opada, a budući da ukupna struja kroz poprečni presjek diode na bilo kojem mjestu mora biti ista, te istovremeno jednaka vanjskoj struji kroz diodu, slijedi da udaljavanjem od barijere struju preuzimaju većinski nosioci. Prema tome, odredimo li difuzijske struje manjinskih nosilaca uz rubove barijere, znat ćemo kolika je ukupna struja kroz pn-spoj. Da bismo izveli strujno-naponsku karakteristiku pn-spoja trebamo:

Zadatak 2.12

180


driftno gibanje manjinskih elektrona kroz barijeru difuzija manjinskih elektrona prema barijeri

p

generacija parova elektron-šupljina

n

driftno gibanje manjinskih šupljina kroz barijeru difuzija manjinskih šupljina prema barijeri

a)

np

pn

n0p np0 p0n

pn0 xp

xn

x b)

Slika 2.21. Reverzno polarizirani pn-spoj: a) izvlačenje manjinskih nosilaca [Valkó91], b) raspodjele manjinskih nosilaca.

a) riješiti jednadžbe kontinuiteta za manjinske elektrone, odnosno šupljine, da bismo dobili raspodjele nosilaca, iz kojih se mogu odrediti struje u diodi. b) definirati rubne uvjete. Jednadžbe kontinuiteta su diferencijalne jednadžbe čija rješenja ovise o rubnim uvjetima - koncentracijama nosilaca na granicama promatranih područja. Kako želimo struje kroz diode izraziti preko napona, moramo rubne koncentracije izraziti preko priključenog napona. c) odrediti difuzijske struje manjinskih nosilaca iz dobivenih raspodjela. Radi preglednosti, cijeli izvod ćemo razdvojiti prema gornjim točkama. U izvodu strujnonaponske karakteristike idealne pn-diode uvode se slijedeće pretpostavke [Shockley49, Shockley50]:

Zadatak 2.12

181


1. funkcija raspodjele koncentracija većinskih nosilaca na prijelazu iz područja barijere u kvazineutralna područja izvan barijere je skokovita, što znači da je cjelokupni pad napona na samoj barijeri, dok su područja izvan barijere električki neutralna i u njima nema pada napona, 2. vrijedi Maxwell-Boltzmannova statistika za raspodjele nosilaca po energijama, 3. dioda radi u režimu niske injekcije, tj. koncentracija injektiranih manjinskih nosilaca svugdje je puno manja od koncentracije većinskih nosilaca, 4. ne postoji generacija niti rekombinacija nosilaca unutar barijere, što znači da su gustoće struja elektrona, odnosno šupljina, konstantne svugdje unutar barijere. Odnosno, svi nosioci koji krenu kroz barijeru, stići će do njene druge strane. Ove pretpostavke su neophodne da bi se dobivena strujno-naponska karakteristika mogla izraziti analitičkim funkcijama.

a) Jednadžba kontinuiteta manjinskih šupljina na n-strani za jednodimenzionalni slučaj glasi ∂ pn p − p0n ∂ ∂p ∂ 2 pn =− n − pn ⋅ µ p ⋅ − µ p ⋅ ⋅ n + Dp ⋅ . ∂t ∂x ∂x τp ∂ x2

(2.54)

Ovaj je oblik jednadžbe kontinuiteta dobiven uvrštavanjem transportne jednadžbe za elektrone. Budući da izvan barijere nema električnog polja†, drugi i treći pribrojnik na desnoj strani (2.54) jednaki su nuli. U stacionarnim uvjetima, kada je na diodu priključen samo istosmjerni napon, nema vremenske promjene raspodjele nosilaca ( ∂pn / ∂t = 0 ), pa je lijeva strana jednadžbe jednaka nuli. Prema tome, (2.54) u ovom slučaju možemo napisati kao d 2 pn dx 2

−

p n − p 0n = 0. Dp ⋅ τ p

(2.55)

Opće rješenje ove nehomogene linearne diferencijalne jednadžbe je oblika (vidi zadatak 1.44 u poglavlju 1.7.3 Jednadžbe kontinuiteta) æ x ö æ x ö ÷ ÷ + C2 ⋅ exp ç − pn ( x ) = C1 ⋅ exp çç ç L ÷ + p0 n , ÷ è è Lp ø pø gdje je Lp = Dp ⋅ τ p

difuzijska duljina manjinskih šupljina. Konstante integracije C1 i C2 odredit ćemo iz rubnih uvjeta. Zbog injekcije s p-strane povećat će se koncentracija manjinskih šupljina uz rub barijere na n-strani spoja (x = xn) na neku vrijednost pn0 (slika 2.22). Ovaj lokalni porast koncentracije pozitivnih nosilaca iznad ravnotežne vrijednosti privući će većinske elektrone, koji će nastojati poništiti pozitivni naboj injektiranih šupljina. Prirast koncentracije većinskih elektrona po iznosu je jednak prirastu koncentracije injektiranih šupljina p n 0 − p 0n = n n 0 − n 0 n , †

Preciznije rečeno, zbog pretpostavke niske injekcije električno polje izvan barijere je dovoljno slabo da nema utjecaja na raspodjelu manjinskih nosilaca (vidi zadatak 1.42 u poglavlju 1.7.2. Transportne jednadžbe). Zadatak 2.12

182


log( p )

p

n

pp0 p(x) za U > 0 p(x) za U = 0 xp

pn0 0

p0n

xn

x

difuzijsko gibanje šupljina kroz barijeru

driftno gibanje šupljina kroz barijeru

Slika 2.22. Raspodjela šupljina oko barijere pri propusnoj polarizaciji.

jer sustav nastoji održati električku neutralnost. Međutim, kako je koncentracija većinskih nosilaca puno veća od koncentracije manjinskih nosilaca, njen relativni prirast u uvjetima niske n0n). Koncentracija injekcije je zanemariv (nn0 = šupljina povećala se iznad ravnotežne, te će one difundirati od ruba barijere u volumen n-tipa poluvodiča. Zbog poremećene termodinamičke ravnoteže (n⋅p > n2i ) pojačana je rekombinacija šupljina s većinskim elektronima, pa udaljavanjem od ruba barijere koncentracija šupljina pada i teži ravnotežnoj koncentraciji. Ako je širina n-strane puno veća od difuzijske duljine šupljina, sve injektirane šupljine će se rekombinirati prije nego što stignu do vanjske priključnice. Dobili smo dakle dva rubna uvjeta: pn = pn 0 , za x = x n , pn = p0n , za x → ∞ .

Iz drugog rubnog uvjeta slijedi da je C1 = 0. Prvi rubni uvjet definiran je za x = xn , pa treba translatirati koordinatni sustav. Konačno rješenje bit će æ x − xn ö ÷. pn ( x ) = p0n + ( pn 0 − p0n ) ⋅ exp çç − L p ÷ø è

(2.56)

Pretpostavili smo da izvan barijere nema električnog polja, zbog čega se manjinski nosioci gibaju isključivo difuzijom od ruba barijere u volumen kvazineutralnog područja. Ako nema niti rekombinacije niti generacije nosilaca u barijeri, ukupna struja šupljina kroz pn-spoj (a time i ukupna struja šupljina kroz diodu) jednaka je difuzijskoj struji manjinskih šupljina na n-strani uz rub barijere. Tu struju možemo izračunati deriviranjem funkcije raspodjele (2.56) po prostornoj koordinati. Prije toga, izrazit ćemo koncentraciju nosilaca uz rub barijere pn0 kao funkciju priključenog napona.

b) Ako je zadovoljena pretpostavka da je područje izvan barijere električki neutralno, sav priključeni vanjski napon propusne polarizacije raspodijelit će se na područje barijere, uzrokujući smanjenje potencijalne barijere, odnosno “izravnavanje” energetskog dijagrama (vidi sliku 2.19). Značajno je uočiti da će pri tome doći do porasta energija većinskih nosilaca u odnosu na ravnotežno stanje kada je U = 0 . Taj porast je, ako vrijedi Maxwell-Boltzmannova raspodjela, proporcionalan s æ ∆E ö æ ∆U ö exp ç ÷ = exp ç ÷. è ET ø è UT ø Za očekivati je da će se zbog toga i broj većinskih nosilaca koji prelaze potencijalnu barijeru povećati eksponencijalno s prirastom napona, pa će se eksponencijalno povećati i koncentracija istovrsnih manjinskih nosilaca na suprotnoj strani barijere. Da bismo dobili točan izraz, razmotrimo energetski dijagram i raspodjele potencijala oko pnspoja u ravnoteži, te kada je na spoj priključen napon. Na slici 2.23a nacrtani su energetski

Zadatak 2.12

183


p

n

p

Ec E Fi EF Ev

n

Ec EFi EF Ev

ψn

ψ,ϕ UTOT

q .U

ψn

ψ,ϕ

ϕn = ϕp = ϕ

UTOT

ϕp

U

ψp

U

ϕn

ψp

x a)

x b)

Slika 2.23. Energetski dijagram, te raspodjele elektrostatskih i kvazi-Fermijevih potencijala pndiode: a) stanje ravnoteže, b) propusna polarizacija [Shockley49, Nanavati63].

dijagram i raspodjele potencijala u stanju ravnoteže. U ravnotežnim uvjetima koncentracije većinskih i manjinskih nosilaca su svugdje izvan barijere jednake ravnotežnim koncentracijama, pa se kvazi-Fermijevi potencijali za elektrone i šupljine æ nö ϕ n = ϕ − U T ⋅ lnç ÷ , è n0 ø

(2.57a)

æ pö ϕ p = ϕ + U T ⋅ lnç ÷ , è p0 ø

(2.57b)

poklapaju s Fermijevim potencijalom. Razlika potencijala između p- i n-strane spoja (odnosno totalni napon na pn-spoju) u ravnoteži jednaka je kontaktnom potencijalu i određena je ravnotežnim koncentracijama većinskih nosilaca uz rubove barijere æ n 0 n ⋅ p0 p ö ÷÷ . U K = U T ⋅ ln çç 2 ø è ni

(2.58)

Priključivanjem vanjskog napona U dolazi do savijanja energetskog pojasa za iznos q⋅U, kao što je prikazano na slici 2.23b. Zbog toga će se promijeniti visina potencijalne barijere q⋅UTOT za iznos priključenog napona (2.59) U TOT = U K − U . Razlika elektrostatskih potencijala između dviju točaka u poluvodiču određena je omjerima koncentracija nosilaca. U našem slučaju, tražimo razliku potencijala između obaju rubova barijere, pa možemo pisati da je æn ö U TOT = U T ⋅ ln çç n 0 ÷÷ , è n p0 ø

(2.60a)

Zadatak 2.12

184


æ p p0 ö ÷. U TOT = U T ⋅ ln ç è pn 0 ø

(2.60b)

Uvrštavanjem (2.58) i (2.60a) u (2.59), nakon sređivanja ćemo dobiti æn ö æ n 0 n ⋅ p0 p ⋅ n p 0 ö æ n 0 n ⋅ p0 p ö ÷÷ . ÷÷ − U T ⋅ ln çç n 0 ÷÷ = U T ⋅ ln çç U = U K − U TOT = U T ⋅ ln çç 2 2 è ni ⋅ nn 0 ø ø è ni è n p0 ø

(2.61)

Na n-strani spoja elektroni su većinski nosioci. Sve dok je zadovoljen uvjet niske injekcije, tj. dok je relativan prirast koncentracije većinskih nosilaca zanemariv, koncentracija većinskih elektrona uz rub barijere na n-strani spoja bit će praktički jednaka njihovoj ravnotežnoj koncentraciji, tj. nn 0 = n0n , pa se mogu pokratiti odgovarajući članovi u (2.61), tako da se dobije æ p0 p ⋅ n p 0 ö ÷÷ . U = U T ⋅ lnçç 2 ø è ni

(2.62)

Primjenom zakona termodinamičke ravnoteže za nosioce na p-strani spoja

ni2 = p0 p ⋅ n0 p ,

(2.63)

nakon kraćenja, izraz (2.62) prelazi u æ n p0 ö ÷, U = U T ⋅ lnçç ÷ è n0 p ø odnosno, u Boltzmannovu relaciju za manjinske elektrone na p-strani barijere æ U ö n p 0 = n0 p ⋅ exp ç ÷. è UT ø

(2.64a)

Na sličan način, pomoću izraza (2.60b), dobili bismo Boltzmannovu relaciju za manjinske šupljine na n-strani æ U ö pn 0 = p0n ⋅ exp ç ÷. è UT ø

(2.64b)

Prema Boltzmannovim relacijama, koncentracije injektiranih manjinskih nosilaca uz rub barijere rastu eksponencijalno s priključenim vanjskim naponom. U gornjem izvodu prešutno smo uzeli da u režimu niske injekcije nema pada napona izvan područja barijere, tj. da se sav narinuti napon nalazi samo na barijeri. Međutim, kada je dioda propusno polarizirana, kroz kvazineutralna područja teče struja koja uzrokuje dodatni pad napona. Nameće nam se pitanje koliko pad napona u kvazineutralnim područjima utječe na valjanost Boltzmannovih relacija. Da bismo to provjerili, odredit ćemo raspodjele kvaziFermijevih potencijala, te na osnovu njih izvesti Boltzmannove relacije [Shockley49, Shockley50, Nanavati63]. Raspodjele kvazi-Fermijevih potencijala unutar barijere odredit ćemo pomoću transportnih jednadžbi. Uvrstimo li u transportnu jednadžbu za šupljine u jednodimenzionalnom slučaju dp , (2.65) J p = q ⋅ µ p ⋅ p ⋅ − q ⋅ Dp ⋅ dx

Zadatak 2.12

185


izraz za koncentraciju šupljina æϕp −ψ ö ÷, p = ni ⋅ expç è UT ø

(2.66)

dobit ćemo struju šupljina kao æ ϕ p − ψ ö 1 æ dϕ p dψ ö æ dψ ö ÷⋅ ÷= J p = q ⋅ µ p ⋅ p ⋅ ç− ⋅ç − ÷ − q ⋅ µ p ⋅ U T ⋅ ni ⋅ exp ç è dx ø dx ø è U T ø U T è dx

= −q ⋅ µ p ⋅ p ⋅

dϕ p

. (2.67) dx Prema jednadžbi (2.67) ukupna struja šupljina proporcionalna je gradijentu kvazi-Fermijevog potencijala. Ovaj oblik transportne jednadžbe je često prikladan, jer u jednom članu objedinjava i driftnu i difuzijsku komponentu struje. U uvjetima ravnoteže ukupna struja šupljina kroz pn-spoj je jednaka nuli, pa je prema (2.67) kvazi-Fermijev potencijal i unutar barijere konstantan. Na sličan način mogli smo izvesti transportnu jednadžbu za elektrone dϕ n , (2.68) dx iz koje se može izvući isti zaključak i za kvazi-Fermijev potencijal elektrona unutar barijere. J n = −q ⋅ µ n ⋅ n ⋅

Pri propusnoj polarizaciji pn-spoja smanjuje se razlika elektrostatskih potencijala između p- i n-strane spoja za iznos priključenog napona U. Zbog toga se smanjuje visina potencijalne barijere, što ima za posljedicu spuštanje Fermijevog potencijala na n-strani u odnosu na položaj Fermijevog potencijala na p-strani. Zbog injekcije nosilaca, koncentracije nosilaca u kvazineutralnim područjima uz barijeru su više od ravnotežnih (n ⋅ p > n2i ), pa se kvazi-Fermijevi potencijali u tim područjima neće međusobno poklapati. Tek na dovoljno velikoj udaljenosti od barijere gdje su se koncentracije nosilaca zbog rekombinacije izjednačile s ravnotežnim koncentracijama, kvazi-Fermijevi potencijali će se izjednačiti s Fermijevim potencijalima. Da bismo mogli odrediti približnu raspodjelu kvazi-Fermijevih potencijala u području oko i unutar barijere, izjednačit ćemo struju šupljina (2.67) na p-strani uz rub barijere dϕ p ( x p ) J p ( x p ) = −q ⋅ µ p ⋅ p p0 ⋅ dx sa strujom šupljina na n-strani uz rub barijere dϕ p ( x n ) J p ( x n ) = − q ⋅ µ p ⋅ pn 0 ⋅ . dx Te dvije struje su međusobno jednake, jer smo pretpostavili da nema rekombinacije nosilaca unutar barijere. Iz ovih jednadžbi dobivamo da je omjer dϕ p ( x n )

p p0 dx . = dϕ p ( x p ) pn 0 dx Koncentracija manjinskih šupljina na n-strani je puno manja od koncentracije većinskih šupljina na p-strani, pa će i gradijent kvazi-Fermijevog potencijala šupljina biti puno veći na n-strani spoja. Štoviše, možemo uzeti da je kvazi-Fermijev potencijal šupljina na p-strani konstantan! Ovo slijedi iz činjenice da je koncentracija većinskih nosilaca u uvjetima niske injekcije praktički p0p) i iz izraza (2.57b) za kvazi-Fermijev potencijal konstantna (pp0 =

Zadatak 2.12

186


n,p cm−3 10

16

10

12

10

8

10

4

nn

pp

np

pn n0p

p0n xj

x

10

16

10

12

10

8

10

4

n,p cm −3 p

nn

p

np pn n0p

a)

p0n xp

xj xn

x

b)

Slika 2.24. Raspodjele nosilaca oko propusno polariziranog pn-spoja uz dva različita mjerila na prostornoj koordinati: a) obuhvaćeni svi ekscesni nosioci izvan barijere, b) obuhvaćena samo barijera.

æ pö ϕ p = ϕ + U T ⋅ lnç ÷ . è p0 ø

Širina propusno polarizirane barijere je obično vrlo mala u odnosu na difuzijsku duljinu šupljina, što je najzornije prikazano na slici 2.24 za jedan skokoviti pn-spoj, pa promjene kvazi-Fermijevog potencijala u barijeri ne mogu biti velike [Butković78]. Prema tome, najveći dio promjene kvaziFermijevog potencijala šupljina nalazi se na n-strani spoja uz rub barijere. Odgovarajući zaključci vrijede i za kvazi-Fermijev potencijal elektrona. Gornje činjenice navode nas na zaključak da su kvazi-Fermijevi nivoi većinskih nosilaca na objema stranama skokovitog spoja u uvjetima niske injekcije konstantni do same barijere (vidi sliku 2.23b), na osnovu čega možemo zaključiti da je pad napona izvan barijere zanemariv. Sa slike 2.23b je razvidno da uz rubove barijere vrijedi U = ϕ p − ϕn (n-strana je uzeta kao referentna za vanjski napon U). Zato će umnožak koncentracija nosilaca uz rubove barijere æϕp −ψ ö ÷, pn 0 = ni ⋅ expç è UT ø æ ψ − ϕn ö nn 0 = ni ⋅ expç ÷, è UT ø

biti æ ϕ p − ϕn ö æ U ö ÷ = ni2 ⋅ expç pn 0 ⋅ nn 0 = ni2 ⋅ expç ÷, è UT ø è UT ø

što nas opet dovodi do Boltzmannove relacije za manjinske šupljine.

c) Prema rezultatima zadatka 1.42 (poglavlje 1.7.2. Transportne jednadžbe), u uvjetima niske injekcije (podsjetimo se pretpostavke 3. s početka rješenja zadatka) manjinski nosioci se izvan barijere gibaju praktički isključivo difuzijom. Ako unutar barijere nema niti rekombinacije niti generacije nosilaca (pretpostavka 4), tj. ako je struja nosilaca konstantna kroz cijelu barijeru,

Zadatak 2.12

187


struja šupljina uz rub barijere na p-strani bit će jednaka ukupnoj struji šupljina kroz pn-spoj. Prema tome, ako možemo izračunati difuzijsku struju manjinskih šupljina uz rub barijere na nstrani, znat ćemo kolika je ukupna struja šupljina. Difuzijska struja šupljina je dpn , dx pa uvrštavanjem funkcije raspodjele manjinskih šupljina na n-strani (2.56), dobivamo I dp = − S ⋅ q ⋅ D p ⋅

æ 1 ö æ x − xn ö ÷ ⋅ expç − ÷. I dp = − S ⋅ q ⋅ D p ⋅ ( pn 0 − p0n ) ⋅ çç − ÷ ç L p ÷ø è Lp ø è

(2.69)

(2.70)

Difuzijska struja eksponencijalno pada s udaljenošću od ruba barijere, budući da je i raspodjela eksponencijalno padajuća funkcija. Na dovoljno velikoj udaljenosti od ruba barijere (x – xn >> Lp), difuzijska struja je jednaka nuli, jer su se sve injektirane šupljine rekombinirale i osim električne neutralnosti uspostavljena je i termodinamička ravnoteža. Uz rub barijere (x = xn) difuzijska struja je najveća i jednaka je traženoj struji šupljina kroz pn-spoj Dp I p = I dp ( x = x n ) = S ⋅ q ⋅ ⋅ ( p n 0 − p 0n ) . (2.71) Lp Da bismo dobili ovisnost te struje o priključenom naponu, moramo izraziti koncentraciju pn0 kao funkciju napona. Zato ćemo u (2.71) uvrstiti Boltzmannovu relaciju (2.64b) ù Dp é D p ⋅ p 0n æ U ö ⋅ ê p0n ⋅ expç ÷ − p0 n ú = S ⋅ q ⋅ Lp L p êë è UT ø úû Potpuno identično može se dobiti za struju elektrona

Ip = S ⋅q ⋅

é æ U ö ù ⋅ êexpç ÷ − 1ú . êë è U T ø úû

Dn ⋅ n0 p é æ U ö ù ⋅ êexpç ÷ − 1ú . Ln êë è U T ø úû Zbroj struja elektrona i šupljina dat će ukupnu struju In = S ⋅ q ⋅

æ n0 p ⋅ Dn p0n ⋅ D p ö é æ U ö ù ÷ ⋅ êexpç I = I n + I p = S ⋅ q ⋅ çç + ÷ − 1ú . L p ÷ø êë è U T ø úû è Ln Iz (2.74) izravno slijedi Shockleyeva jednadžba é æ U ö ù I = I S ⋅ êexpç ÷ − 1ú , êë è U T ø ûú u kojoj je IS reverzna struja zasićenja

æ n0 p ⋅ Dn p0n ⋅ D p ö ÷. I S = I nS + I pS = S ⋅ q ⋅ çç + L p ÷ø è Ln

(2.72)

(2.73)

(2.74)

(2.75)

(2.76)

Na slici 2.25 prikazana je normirana Shockleyeva jednadžba. Naponska os je normirana na naponski ekvivalent temperature, a strujna os na reverznu struju zasićenja. Proučimo još malo izraz (2.75). Za propusne polarizacije (U > 0) u uglatoj zagradi prevladava eksponencijalna funkcija. Za veće vrijednosti napona, kada je U >> UT , eksponencijalna funkcija je mnogo veća od jedan, pa struja kroz diodu raste praktički eksponencijalno s priključenim naponom

Zadatak 2.12

188


6

I / IS

4

−4

4

10

3

10

2 −6

10

U / UT

−2 −1

2

I / IS propusna polarizacija

2

10 1 nepropusna polarizacija

1 10

−1

0

a)

2

4

6

8

U / UT

b)

Slika 2.25. Normirana strujno-naponska karakteristika idealnog pn-spoja: a) linearno mjerilo, b) logaritamsko mjerilo na ordinati.

æ U ö I = I S ⋅ expç ÷, è UT ø

što se vidi i po linearnom porastu dijela karakteristike diode na slici 2.25b. Zbog eksponencijalne ovisnosti struje o naponu, presjecište ekstrapoliranog linearnog dijela karakteristike diode s osi ordinate (crtkana linija na slici 2.25b) nalazi se pri struji I = IS . Nagib linearnog dijela određen je naponskim ekvivalentom temperature UT . Kada je vanjski napon U = 0 , eksponencijalna funkcija ima vrijednost jednaku 1, pa je struja kroz diodu I = 0 . Driftne struje manjinskih nosilaca kroz barijeru poništene su difuzijskim strujama većinskih nosilaca. Za reverzne napone (U < 0) eksponencijalna funkcija teži nuli, a struja asimptotski teži reverznoj struji zasićenja (I = – IS). Kako se može uočiti na slici 2.25, struja kroz diodu je praktički jednaka reverznoj struji zasićenja već kod reverznih napona U = – 3 ⋅ UT . Već smo prije uočili da pri reverznoj polarizaciji raste potencijalna barijera za većinske nosioce, pa kod velikih reverznih napona kroz barijeru teče samo driftna struja manjinskih nosilaca koji ne vide potencijalnu barijeru (njih električno polje unutar barijere povlači na drugu stranu). Dakle, gledano sa stezaljki diode, reverzna struja zasićenja je struja koja teče kroz diodu kada je ona reverzno polarizirana dovoljno velikim naponom†. Reverzna struja zasićenja, osim o površini pn-spoja, ovisi i o ravnotežnim koncentracijama manjinskih nosilaca, te u manjoj mjeri o njihovim difuzijskim konstantama i difuzijskim duljinama. Što je koncentracija primjesa na nekoj strani pn-spoja viša, to će koncentracija manjinskih nosilaca biti niža, pa će i reverzna struja zasićenja biti manja. Omjer difuzijske konstante i difuzijske duljine

µ ⋅UT D D = = (2.77) τ τ D ⋅τ slabo ovisi o koncentraciji primjesa. Promjena pokretljivosti s koncentracijom je znatno slabija od promjene koncentracije manjinskih nosilaca, a kao što vidimo iz (2.77) omjer D / L mijenja se s kvadratnim korijenom pokretljivosti. Osim toga, pad pokretljivosti u brojniku pod korijenom (2.77) djelomično je kompenziran skraćenjem vremena života manjinskih nosilaca u nazivniku istog razlomka. D = L

†

Ovo vrijedi samo ako nema proboja i nema generacije nosilaca u barijeri, što kod realnih pnspojeva nije slučaj! [Sah57, Moll58]

Zadatak 2.12

189


Zadatak 2.13 Silicijska dioda sa skokovitim pn-spojem površine 0,1 mm2 ima koncentracije primjesa na n- i p-strani ND = 5 ⋅ 1016 cm–3, odnosno NA = 1016 cm–3. Difuzijske konstante manjinskih nosilaca su Dn = 32 cm2/ s , Dp = 9 cm2/ s , njihove difuzijske duljine su Ln = 720 µm, Lp = 63 µm, a geometrijske duljine obiju strana su puno veće od difuzijskih duljina manjinskih nosilaca. T = 300 K. Izračunati reverznu struju zasićenja, te nacrtati strujno-naponsku karakteristiku diode. Skicirati raspodjele koncentracija manjinskih nosilaca i struja kroz diodu za slučaj propusne polarizacije, te za slučaj nepropusne polarizacije. Rješenje: Reverznu struju zasićenja izračunat ćemo preko izraza (2.51) æ n0 p ⋅ Dn p0n ⋅ D p ö ÷. I S = S ⋅ q ⋅ çç + L p ÷ø è Ln

Koncentracije primjesa na objema stranama pn-spoja su puno veće od intrinsične koncentracije nosilaca na zadanoj temperaturi T = 300 K, pa ravnotežne koncentracije manjinskih elektrona i šupljina možemo izraziti preko zakona termodinamičke ravnoteže kao n0 p =

ni2 n2 = i , p0 p NA

p0 n =

ni2 n2 = i . n0n ND

Uvrstimo li gornje izraze, reverznu struju zasićenja možemo izraziti preko koncentracija primjesa æ n0 p ⋅ Dn p0n ⋅ D p ö æ Dn Dp ö ÷ = S ⋅ q ⋅ ni2 ⋅ ç ÷ I S = S ⋅ q ⋅ çç + + ÷ ÷ ç Lp ø è Ln è N A ⋅ Ln N D ⋅ L p ø

(2.78)

Uvrštavanjem zadanih vrijednosti u (2.78), dobit ćemo da je IS = 2,22 ⋅ 10–15 A. Usporedimo li elektronsku komponentu reverzne struje zasićenja n0 p ⋅ Dn Dn I nS = S ⋅ q ⋅ = S ⋅ q ⋅ ni2 ⋅ = 1,36 ⋅ 10 −15 A Ln N A ⋅ Ln i šupljinsku komponentu

I pS = S ⋅ q ⋅

p0n ⋅ D p Lp

= S ⋅ q ⋅ ni2 ⋅

Dp N D ⋅ Lp

= 8,72 ⋅ 10 −16 A ,

vidimo da su one približno jednake, iako je koncentracija primjesa na n-strani peterostruko veća od koncentracije primjesa na p-strani, odnosno iako je koncentracija manjinskih elektrona na pstrani pet puta veća od koncentracije manjinskih šupljina na n-strani. Omjer difuzijskih konstanti i difuzijskih duljina djelomično kompenzira razliku u koncentracijama. Međutim, da je razlika u koncentracijama veća (više od reda veličine), prevladavala bi komponenta struje većinskih nosilaca jače dopirane strane (odnosno manjinskih nosilaca slabije dopirane strane), budući da pripadajući omjer D / L ne može kompenzirati tako velike razlike u koncentracijama nosilaca. Za različite vrijednosti priključenog napona možemo sada izračunati pripadajuće vrijednosti struja (tablica 2.5), te na temelju tih vrijednosti skicirati strujno-naponsku karakteristiku (slika Zadatak 2.13

190


I / mA 1,2 1,0

Tablica 2.5. Struje diode u zadatku 2.13.

U/V

I/A

– 0,3 – 0,1 – 0,05 – 0,01 0,5 0,6 0,65 0,7

– 2,22 ⋅ 10–15 – 2,18 ⋅ 10–15 – 1,91 ⋅ 10–15 – 7,15 ⋅ 10–16 5,60 ⋅ 10–7 2,68 ⋅ 10–5 1,85 ⋅ 10–4 1,28 ⋅ 10–3

0,8 0,6 0,4 0,2 −1

−0,8 −0,6 −0,4 −0,2

U/ V 0,2

0,4

0,6

0,8

−12 −2 .10 −12

−4 .10

Slika 2.26. Strujno-naponska karakteristika pn-spoja u zadatku 2.13. (uočiti različita mjerila na ordinati!)

2.26). Valja uočiti da je mjerilo na strujnoj osi na slici 2.26 različito za propusnu, odnosno za nepropusnu polarizaciju. Kao što se sa slike vidi, struja kroz diodu je zanemariva za napone manje od U ≈ 0,6 V, dok za veće napone eksponencijalno raste. Položaj “koljena” u karakteristici ovisi o reverznoj struji zasićenja diode, o temperaturi, kao i o mjerilu u kojem se I - U karakteristika diode crta, ali je za većinu silicijskih dioda tipično na 0,6 - 0,7 V. Za pn-spojeve u drugim poluvodičima, položaj koljena je različit i ovisi o iznosu reverzne struje zasićenja, odnosno posredno o širini zabranjenog pojasa poluvodiča. Kod poluvodiča sa širim zabranjenim pojasom reverzne struje zasićenja su manje, jer su i intrinsične koncentracije niže, pa je i koljeno pri višim naponima. U reverznom području, struja postiže vrijednost reverzne struje zasićenja već kod vrlo malih napona. Zanimljivo je usporediti dobivene iznose struja kroz diodu s difuzijskim, odnosno driftnim strujama koje prema transportnim jednadžbama teku kroz barijeru u ravnotežnim uvjetima. Kada nema priključenog napona, koncentracije nosilaca uz rubove barijera jednake su ravnotežnim koncentracijama: koncentracija većinskih elektrona na n-strani je n0n = ND = 5 ⋅ 1016 cm–3, dok je koncentracija manjinskih elektrona na p-strani

n0 p =

ni2 = 1,90 ⋅ 10 4 cm -3 . NA

Širina barijere zadanog pn-spoja u ravnotežnim uvjetima iznosi (vidi zadatak 2.4) dB = 0,955 µm. Pretpostavimo li da koncentracija elektrona u barijeri linearno pada od vrijednosti n0n na n-strani prema vrijednosti n0p na p-strani barijere, te da je difuzijska konstanta Dn = 32 cm2/ s , dobit ćemo da je difuzijska struja elektrona kroz barijeru n 0n − n0 p n dn I dn = S ⋅ q ⋅ Dn ⋅ = S ⋅ q ⋅ Dn ⋅ = S ⋅ q ⋅ Dn ⋅ 0n = 2,68 A . dB dB dx

Zadatak 2.13

191


Naravno, tu difuzijsku struju u ravnotežnim uvjetima poništava driftna struja elektrona istog iznosa, ali suprotnog smjera. Sličan rezultat bismo dobili i za šupljine. Usporedbom sa dobivenim “neto” strujama kroz diodu (tablica 2.5), zapažamo da su difuzijske struje koje teku kroz pn-spoj u ravnotežnim uvjetima nekoliko redova veličina veće. Prema tome, struja koja teče kroz diodu uz priključeni vanjski napon izaziva tek neznatnu promjenu difuzijskih struja koje inače teku unutar barijere u stanju ravnoteže. Ovo vrijedi sve dok napon na diodi nije prevelik, odnosno dok je dioda u režimu niske injekcije. Na slici 2.27 nacrtane su raspodjele koncentracija manjinskih nosilaca i gustoća struja oko pn-spoja. Ishodište koordinatnog sustava postavljeno je na mjesto pn-spoja, p-strana je postavljena lijevo od ishodišta, a n-strana desno od ishodišta† . Raspodjele manjinskih nosilaca dobivaju se rješavanjem jednadžbi kontinuiteta (vidi prethodni zadatak) æ xp − xö ÷, n p ( x ) = n0 p + (n p 0 − n0 p ) ⋅ exp ç − Ln ø è

(2.79)

æ x − xn ö ÷. pn ( x ) = p0n + ( pn 0 − p0n ) ⋅ exp çç − L p ÷ø è

(2.80)

Koncentracije manjinskih nosilaca uz rubove barijere ovise o priključenom naponu i o ravnotežnim koncentracijama manjinskih nosilaca uz rubove barijera, prema Boltzmannovim relacijama æ U ö n p 0 = n0 p ⋅ exp ç ÷. èUT ø

(2.81)

æ U ö pn 0 = p0n ⋅ exp ç ÷, è UT ø

(2.82)

Radi dosljednosti, u (2.79) i (2.80) prostorna x-koordinata je zajednička za obje strane, iako je često jednostavnije uzeti x-koordinatu pozitivnu za obje strane barijere, jer bi tada izrazi (2.79) i (2.80) bili sličniji. Da bi slike bile preglednije, širina barijere je nacrtana neproporcionalno veća; ona je za zadani pn-spoj pri propusnim polarizacijama manja od 0,34 µm, što je zanemarivo u odnosu na difuzijske duljine Ln i Lp . Difuzijska duljina manjinskih elektrona na p-strani je puno veća od difuzijske duljine manjinskih šupljina na n-strani, pa injektirani elektroni u prosjeku prodiru dublje u p-stranu prije nego što se rekombiniraju s većinskim šupljinama. Kako je koncentracija primjesa na n-strani peterostruko veća od koncentracije primjesa na p-strani, i ravnotežna koncentracija, odnosno koncentracija manjinskih šupljina uz rub barijere, su pet puta manje od odgovarajućih koncentracija manjinskih elektrona na p-strani spoja. Kada dioda radi u režimu niske injekcije, električno polje u kvazineutralnom području poluvodiča izvan barijere, koje nastaje uslijed vanjskog priključenog napona i uslijed injekcije nosilaca, je dovoljno slabo da struje manjinskih nosilaca budu gotovo isključivo difuzijske (slika 2.27b): æ xp − xö æ xp − xö D dn ÷ = J n ( x p ) ⋅ exp ç − ÷ , (2.83) J n ( x ) = q ⋅ Dn ⋅ = q ⋅ n ⋅ (n p 0 − n0 p ) ⋅ exp ç − dx Ln Ln ø Ln ø è è

†

Ovakav raspored je odabran namjerno, da bi se smjer pozitivne x-koordinate poklapao s referentnim smjerom struje kroz pn-spoj. U protivnom bi dobivene struje imale za propusnu polarizaciju negativne predznake, a za nepropusnu polarizaciju pozitivne predznake. Zadatak 2.13

192


np

pn

n p0

n0p

Ln

pn0 xp x n

Lp

p0n

x a)

Jd

Jdn

Jdp xp xn

x b)

J Jp+Jn

Jn

Jp xp xn

x c)

Slika 2.27. Propusno polarizirani pn-spoj: a) raspodjele manjinskih nosilaca, b) raspodjele difuzijskih struja manjinskih nosilaca, c) raspodjele ukupnih struja.

J p ( x ) = −q ⋅ D p ⋅

æ x − xn ö æ x − xn ö Dp dp ÷ = J p ( x n ) ⋅ exp ç − ÷ , (2.84) = q⋅ ⋅ ( pn 0 − p0n ) ⋅ exp çç − ÷ ç L p ÷ø L Lp dx è è p ø

Kao što vidimo iz gornjih izraza (2.83) i (2.84), iznosi struja padaju eksponencijalno od maksimalnih vrijednosti uz rubove barijera D Jn ( x p ) = q ⋅ n ⋅ (n p 0 − n0 p ) , Ln

Zadatak 2.13

193


J p ( xn ) = q ⋅

Dp Lp

⋅ ( p n 0 − p 0n ) .

Iako su smjerovi difuzijskih gibanja manjinskih nosilaca suprotni, smjer struje elektrona je suprotan smjeru njihovog gibanja, pa su obje struje pozitivne i međusobno se zbrajaju. Udaljavanjem od barijere, difuzijska struja manjinskih nosilaca teži nuli jer se injektirani ekscesni manjinski nosioci rekombiniraju s većinskim nosiocima i teže ravnotežnoj koncentraciji. Isto vrijedi i za većinske nosioce, odnosno za njihovu difuzijsku struju. Zbog visoke koncentracije većinskih nosilaca, driftna komponenta struje većinskih nosilaca u kvazineutralnim područjima nije zanemariva. Struja većinskih nosilaca sastoji se dakle i od driftne i od difuzijske komponente, koje su međusobno bliske po iznosu. Zato bismo za njeno izračunavanje morali prethodno odrediti raspodjelu jakosti električnog polja, što je očigledno znatno složeniji postupak†. Driftna struja većinskih nosilaca teče u smjeru polja koje je uzrokovano vanjskim naponom i taj smjer se poklapa sa smjerom difuzijske struje manjinskih nosilaca, dok difuzijska struja većinskih nosilaca teče u suprotnom smjeru, pa se one djelomično poništavaju. Uz rub barijere je difuzijska struja većinskih nosilaca najveća, jer je i za većinske nosioce odstupanje koncentracije od ravnotežne tamo najveće. Vidjeli smo da udaljavanjem od barijere ukupna struja manjinskih nosilaca (koja je jednaka difuzijskoj struji) opada. Budući da ukupna struja kroz diodu na bilo kojem mjestu mora biti ista, a istovremeno i jednaka vanjskoj struji, slijedi da ukupna struja većinskih nosilaca udaljavanjem od barijere mora rasti (vidi sliku 2.27c). Smjer driftne struje većinskih nosilaca poklapa se sa smjerom vanjske struje, dok je smjer difuzijske struje većinskih nosilaca suprotan, što upućuje na zaključak da je difuzijska struja većinskih nosilaca svugdje manja od driftne struje većinskih nosilaca. Udaljavanjem od barijere koncentracija većinskih nosilaca teži ravnotežnoj koncentraciji, pa difuzijska komponenta struje većinskih nosilaca teži nuli. Na dovoljno velikoj udaljenosti od barijere struja većinskih nosilaca će biti isključivo driftna‡. Pri nepropusnoj polarizaciji električno polje u barijeri sprečava difuziju većinskih nosilaca. Naprotiv, manjinske nosioce to električno polje povlači kroz barijeru. Kako nema injekcije nosilaca s druge strane barijere, uz rub barijere nastaje manjak manjinskih nosilaca. Ako vrijedi zakon električne neutralnosti u području izvan barijere, slijedi da se i koncentracija većinskih nosilaca mora smanjiti za isti iznos koliko se smanjila koncentracija manjinskih nosilaca. Budući da je narušena termodinamička ravnoteža, tj. n ⋅ p < ni2, u ovom području poluvodiča prevladavat će generacija parova elektron-šupljina. Raspodjela manjinskih nosilaca i dalje je određena izrazima (2.79) odnosno (2.80) æ xp − xö ÷, n p ( x ) = n0 p + (n p 0 − n0 p ) ⋅ exp ç − Ln ø è

æ x − xn ö ÷, pn ( x ) = p0n + ( pn 0 − p0n ) ⋅ exp çç − L p ÷ø è † ‡

Za kvantitativnu analizu odnosa struja, čitatelja podsjećamo na zadatak 1.42 u poglavlju 1.7.2. Transportne jednadžbe. Tok struje kroz kvazineutralno područje može se poistovjetiti sa štafetnom utrkom koju manjinski nosioci započinju difuzijom na rubu barijere. Tijekom utrke manjinski nosioci pojedinačno predaju štafetne palice većinskim nosiocima, koji ih driftom odnose do cilja vanjske priključnice [Valkó91]. Zadatak 2.13

194


ali su sada koncentracije nosilaca uz rub barijere, prema Boltzmannovim relacijama æ U ö n p 0 = n0 p ⋅ exp ç ÷, èUT ø æ U ö pn 0 = p0n ⋅ exp ç ÷, è UT ø

niže od ravnotežnih koncentracija, jer je U < 0 (slika 2.28a).

np pn Ln n 0p np0 xp

p0n

pn0 xn

x Lp

a)

Jd xp

xn

Jdn

Jdp

x

b)

J xp Jn

xn Jp

Jp+Jn

x

c)

Slika 2.28. Reverzno polariziran pn-spoj: a) raspodjela manjinskih nosilaca, b) raspodjela difuzijskih struja manjinskih nosilaca, c) raspodjela ukupnih struja.

Zbog gradijenta koncentracije manjinskih nosilaca uz rubove barijere, manjinski nosioci će difundirati prema barijeri (slika 2.28b). Kad uđu u barijeru, električno polje u barijeri će te nosioce povući na suprotnu stranu spoja. U ekstremnom slučaju, kada je priključeni reverzni napon dovoljno velik, koncentracije manjinskih nosilaca uz rub barijere su zanemarive (np0 = 0, pn0 = 0). Difuzijske struje manjinskih nosilaca uz rub barijere bit će (prema (2.83) i (2.84)) D J n ( x p ) = −q ⋅ n ⋅ n0 p , (2.85a) Ln

Zadatak 2.13

195


J p ( xn ) = −q ⋅

Dp Lp

⋅ p0n ,

(2.85b)

iz čega izravno slijedi izraz za reverznu struju zasićenja (2.51). Nakon što prijeđu barijeru, nosioci (sada većinski) se od barijere gibaju djelomično driftom, a djelomično difuzijom, s time da udaljavanjem od barijere difuzijska komponenta opada, a preostaje samo driftna komponenta struje većinskih nosilaca. Naravno, ukupna struja kroz poprečni presjek na bilo kojem mjestu mora biti ista (slika 2.28c). Obratimo još jednom pažnju na izraze (2.85a) i (2.85b). Napišimo npr. (2.85a) u nešto izmijenjenom obliku J n ( x p ) = −q ⋅

Dn ⋅ n = −q ⋅ Ln 0 p

Dn Dn ⋅ τ n

⋅ n0 p = − q ⋅

Dn

τn

⋅ n0 p .

(2.86)

Pomnožimo li brojnik i nazivnik s kvadratnim korijenom iz vremena života, nakon sređivanja možemo napisati da je n0 p J n ( x p ) = −q ⋅ ⋅ Ln . (2.87) τn Razlomak n0p / τn je mjera za generaciju elektrona (vidi poglavlje 1.6. Rekombinacijski procesi)! Prema ovom izrazu dakle slijedi da je maksimalna struja koja može teći u reverznom smjeru (tj. reverzna struja zasićenja) proporcionalna brzini generacije manjinskih nosilaca u volumenu čija je širina jednaka difuzijskoj duljini manjinskih nosilaca Ln . Iako električno polje u barijeri uzrokuje driftnu struju manjinskih nosilaca, iznos te struje nije određen jakošću tog polja, već generacijom manjinskih nosilaca uz rubove barijere i difuzijom tako generiranih nosilaca prema barijeri!

Zadatak 2.14 Skicirati ovisnost reverzne struje zasićenja o koncentraciji primjesa za silicijsku diodu sa skokovitim pn-spojem, ako je ND >> NA , a koncentracija akceptora mijenja se od NA = 1014 cm−3 do NA = 1017 cm−3. Geometrijske dimenzije diode su puno veće od difuzijskih duljina manjinskih nosilaca. Pretpostaviti da je temperatura 300 K. Ovisnost vremena života manjinskih elektrona na p-strani o koncentraciji primjesa može se opisati funkcijom [Fossum76]

τn =

τ n,max , N 1+ N ref

gdje je τn,max = 395 µs, Nref = 7,1⋅1015 cm−3, a N je koncentracija primjesa u poluvodiču. Rješenje: Koncentracija donora na n-strani spoja je puno veća od koncentracije akceptora na p-strani, pa će u reverznoj struji zasićenja prevladavati struja elektrona, tj. J S = q ⋅

ni2 Dn n2 µn ⋅ U T ⋅ = q⋅ i ⋅ . τn N A Ln NA

Zadatak 2.14

196


Površina spoja nije zadana, pa računamo gustoću reverzne struje zasićenja. Budući da se koncentracija akceptora mijenja za nekoliko redova veličina, za prikaz ćemo koristiti logaritamsko mjerilo. U tablici 2.6 navedene su vrijednosti pokretljivosti i vremena života manjinskih elektrona na p-strani, te gustoće reverzne struje zasićenja za nekoliko vrijednosti koncentracija akceptora. Prema tim podacima nacrtana je slika 2.29. U dijagramu je isprekidanom linijom ucrtan i pravac koji bismo dobili da smo zanemarili promjenu pokretljivosti i vremena života manjinskih nosilaca 10

Tablica 2.6. Reverzne struje zasićenja za različite koncentracije primjesa na p-strani diode u zadatku 2.14.

cm − 3

µn cm 2 / Vs

τn µs

A /cm 2

1014

1421

390

9,93⋅10−16

1015

1386

346

9,48⋅10−17

1016

1228

164

6,94⋅10−18

1017

783

26,2

3,55⋅10−19

1018

311

2,78

2,57⋅10−20

NA

JS

10

JS

10

−15 −16 −17

Acm−2 10 −18 10 10

−19 −20

10

14

10

15

10

16

10

17

10

18

NA / cm−3 Slika 2.29. Ovisnost elektronske komponente reverzne struje zasićenja o koncentraciji akceptora.

s porastom koncentracije, te uzeli vrijednosti tih parametara za NA = 1014 cm−3 iz prvog retka u tablici 2.6. Možemo uočiti da reverzna struja zasićenja pada praktički obrnuto proporcionalno s porastom koncentracije primjesa NA (crtkani pravac). Prema višim koncentracijama taj je pad nešto brži zbog pada pokretljivosti u brojniku razlomka pod korijenom u izrazu za reverznu struju zasićenja. Za koncentracije akceptora NA > 1018 cm−3 ovisnost pokretljivosti elektrona o koncentraciji slabi. Vrijeme života manjinskih nosilaca za tako visoke koncentracije, kao što je vidljivo prema aproksimaciji iz teksta zadatka, pada obrnuto proporcionalno s koncentracijom primjesa. Zbog toga će karakteristika prema višim koncentracijama padati sporije i bit će otprilike obrnuto proporcionalna korijenu iz koncentracije, 1 IS ∝ . NA Možemo zaključiti da reverzna struja zasićenja pada s porastom koncentracije primjesa. Za široki interval koncentracija reverzna struja zasićenja obrnuto je proporcionalna koncentraciji. Slični rezultati bi se dobili i za šupljinsku komponentu reverzne struje zasićenja. Iznos reverzne struje zasićenja pn-spoja naročito je važan ako se poluvodičke diode koriste u digitalnim sklopovima kao strujne sklopke ili u ispravljačima napona. Kada je takva sklopka isključena, ne bi smjela teći struja kroz nju. Budući da kroz reverzno polarizirani pn-spoj teče reverzna struja zasićenja, da bi dioda po karakteristikama bila što bliža idealnoj sklopki, reverzna struja zasićenja mora biti što manja. Kod stvarnih dioda struja koja teče kroz reverzno polarizirani pn-spoj je veća od one koja se dobiva pri izvodu Shockleyeve jednadžbe. Uzrok tome je generacija parova elektron-šupljina unutar barijere. U ravnotežnim uvjetima raspodjela elektrona i šupljina unutar barijere je takva da je svugdje zadovoljen zakon termodinamičke ravnoteže (n ⋅ p = n2i ). To je prikazano i na slici 2.30 Zadatak 2.14

197


log( p ), log( n ) nn

pp ni np

pn wG dB

x

Slika 2.30. Raspodjela nosilaca unutar reverzno polarizirane barijere [Valkó91].

svjetlijom krivuljom. Mjerilo na osi ordinate je logaritamsko, tako da umnožak koncentracija odgovara geometrijskom zbroju krivulja raspodjela elektrona i šupljina na slici, a intrinsična koncentracija se poklapa sa simetralom između funkcija ravnotežnih raspodjela elektrona i šupljina. Pri reverznoj polarizaciji koncentracije nosilaca u barijeri će se smanjiti tako da će umnožak koncentracija elektrona i šupljina biti n ⋅ p < n2i (tamna krivulja na slici 2.30). Zbog toga će prevladavati generacija nosilaca. Nakon što nastane par elektron-šupljina, pod djelovanjem električnog polja ioniziranih primjesa u barijeri ti nosioci će se razdvojiti. Šupljina će se gibati u smjeru polja, prema p-strani barijere, povećavajući time šupljinsku komponentu, a elektron u suprotnom smjeru povećavajući elektronsku komponentu reverzne struje zasićenja. Pokušajmo izvesti što jednostavniji izraz za doprinos generacijske struje reverznoj struji zasićenja. Analizu ćemo ograničiti na dio barijere u kojem je koncentracija obaju tipova nosilaca manja od intrinsične koncentracije (označeno kao wG na slici 2.30) i u kojem je generacija nosilaca najveća [Valkó91]. Umnožak koncentracija elektrona i šupljina bit će puno manji od kvadrata intrinsične koncentracije (n ⋅ p << n2i ), pa se izraz za mjeru rekombinacije (vidi poglavlje 1.6. Rekombinacijski procesi) R=

n ⋅ p − ni2 τ p 0 ⋅ (n + n1 ) + τ n 0 ⋅ ( p + p1 )

(2.88)

G=

ni2 . τ p 0 ⋅ (n + n1 ) + τ n 0 ⋅ ( p + p1 )

(2.89)

može pisati kao

Radi jednostavnosti pretpostavimo da se sve rekombinacijske zamke nalaze na sredini zabranjenog pojasa Et = EFi , tako da su koncentracije n1 = p1 = ni . Koncentracije nosilaca su praktički u cijelom promatranom području znatno manje od intrinsične koncentracije, pa prethodni izraz možemo napisati kao G =

ni2 ni = . τ p 0 ⋅ ni + τ n 0 ⋅ ni τ p 0 + τ n 0

(2.90)

Ukupnu generacijsku struju dobit ćemo množenjem mjere za generaciju nosilaca (2.90) sa širinom područja wG

Zadatak 2.14

198


J G = q ⋅ G ⋅ wG = q ⋅

ni ⋅w . τ p0 + τ n0 G

(2.91)

Širina područja wG proporcionalna je širini barijere, a za velike reverzne napone možemo čak uzeti da je wG = dB . Budući da je širina barijere skokovitog pn-spoja dB =

2⋅ε N A + ND ⋅ ⋅ U TOT , q NA ⋅ ND

možemo zaključiti da će generacijska struja rasti s porastom širine barijere, odnosno s korijenom priključenog reverznog napona. Zbog toga struja kroz zaporno polariziranu diodu neće biti konstantna (tj. jednaka reverznoj struji zasićenja), već će rasti s naponom. Pretpostavimo za diodu iz zadatka da je τn0 = 390 µs, a τp0 = 34,7 µs. Uz koncentraciju akceptora NA = 1014 cm−3, pri totalnom naponu od UTOT = 10 V, širina barijere bit će dB = 11,5 µm, uz pretpostavku da je wG = dB , dobili bismo JG = 5,98 nA / cm2.

Ova struja je puno veća od teoretski dobivene reverzne struje zasićenja ( JS = 9,93 ⋅ 10−16 A / cm2). Iako se radi samo o vrlo gruboj aproksimaciji, ovaj proračun nam može poslužiti kao ilustracija odnosa vrijednosti. Točniji izvod za generacijsku struju može se naći u članku [Sah57]. Unatoč činjenici da je generacijska komponenta struje nekoliko redova veličine veća od reverzne struje zasićenja koju daje teorija (ponekad se ta struja naziva difuzijskom strujom), obje struje su za većinu primjena kod silicijskih dioda zanemarive, te ćemo stoga radi jednostavnosti računati samo sa reverznom strujom zasićenja koju daje jednostavna teorija.

Zadatak 2.15 Silicijska dioda sa skokovitim pn-spojem površine 0,1 mm2 ima koncentracije primjesa na n- i p-strani ND = 5 ⋅ 1015 cm−3, odnosno NA = 1016 cm−3. Difuzijske konstante manjinskih nosilaca su Dn = 32 cm2/ s , Dp = 11 cm2/ s , a difuzijske duljine Ln = 720 µm, Lp = 150 µm. Udaljenost kontakta na n-strani spoja puno je veća od difuzijske duljine manjinskih šupljina (wn >> Lp), dok je kontakt na p-strani udaljen 40 µm od pn-spoja. T = 300 K. Izračunati struju kroz diodu pri naponu U = 0,6 V. Skicirati raspodjele koncentracija manjinskih nosilaca i struja kroz diodu. Rješenje: Za razliku od diode u prethodnim zadacima, kod ove diode je udaljenost između priključnice na p-strani i pn-spoja manja od difuzijske duljine elektrona. Zbog toga se neće svi elektroni injektirani s n-strane stići rekombinirati s većinskim šupljinama, nego će ih većina stići do vanjske priključnice. Kako je brzina (površinske) rekombinacije na metalnoj priključnici jako velika, svi ekscesni elektroni će se na tom mjestu rekombinirati, te će koncentracija manjinskih elektrona biti praktički jednaka ravnotežnoj koncentraciji†. Da bismo izračunali struju kroz pn-spoj, moramo prethodno riješiti jednadžbe kontinuiteta. Rješenje će dati raspodjele manjinskih nosilaca na obje strane spoja, a iz njih ćemo izračunati

†

Površina poluvodiča se inače ponaša kao ponor za ekscesne nosioce (vidi poglavlje 1.6.3. Površinska rekombinacija, te zadatak 1.47 uz poglavlje 1.7.3. Jednadžbe kontinuiteta).

Zadatak 2.15

199


difuzijske struje. Ovaj put ćemo definirati dvostruki koordinatni sustav, za svaku stranu pn-spoja posebno, tako da je udaljenost od pn-spoja uvijek pozitivna za svaku stranu spoja. Ishodišta oba koordinatna sustava postavit ćemo na mjesto pn-spoja. Rješenje jednadžbe kontinuiteta za manjinske šupljine na n-strani je istovjetno kao i u prethodnom zadatku æ x − xn ö ÷, pn ( x ) = p0n + ( pn 0 − p0n ) ⋅ exp çç − (2.92) L p ÷ø è pa je difuzijska struja manjinskih šupljina na n-strani J p ( x ) = −q ⋅ D p ⋅

æ x − xn ö dp ÷, = J p ( x n ) ⋅ exp çç − dx L p ÷ø è

(2.93)

gdje je J p ( xn ) = q ⋅

D p ⋅ ( p n 0 − p0 n )

(2.94)

Lp

difuzijska struja šupljina uz rub barijere na n-strani. Za manjinske elektrone definirat ćemo rubni uvjet na mjestu priključnice ( x = xpw) kao n p ( x pw ) = n0 p , tj. pretpostavit ćemo da je koncentracija nosilaca na priključnici jednaka ravnotežnoj. Uz rub barijere n p ( x p ) = n p0 . Opće rješenje za te rubne uvjete glasi (vidi zadatak 1.44 u poglavlju 1.7.3. Jednadžbe kontinuiteta) æ x pw − x ö ÷ sinhç è Ln ø n p ( x ) = n0 p + ( n p 0 − n0 p ) ⋅ , (2.95) æ wp ö ÷ sinhç è Ln ø pa je difuzijska struja manjinskih elektrona

J n ( x ) = − q ⋅ Dn ⋅

dn = q ⋅ Dn ⋅ (n p 0 dx

æ x pw − x ö ÷ coshç è Ln ø 1 . − n0 p ) ⋅ ⋅ Ln æ wp ö ÷ sinhç è Ln ø

(2.96)

Negativni predznak u (2.96) ubacili smo da bismo dobili korektan predznak struje, nakon što smo obrnuli smjer prostorne koordinate na p-strani. Inače bismo dobili negativnu struju koja bi se poništavala sa strujom šupljina, umjesto da joj se pribraja. Uz rub barijere ( x = xp) difuzijska struja je najveća po iznosu æ wp ö 1 ÷, J n ( x p ) = q ⋅ Dn (n p 0 − n0 p ) ⋅ ⋅ cothç (2.97) Ln è Ln ø a prema priključnici postepeno pada. U gornjim izrazima wp je efektivna širina p-strane wp = xpw − xp , tj. širina kvazineutralnog područja izvan barijere. Za vrlo male širine p-strane, kada je Ln >> wp , funkcije hiperbolnog sinusa u (2.95) mogu se nadomjestiti prvim članovima u razvoju u red potencija, pa (2.95) prelazi u Zadatak 2.15

200


n p ( x ) = n0 p + ( n p 0 − n0 p ) ⋅

x pw − x wp

,

(2.98)

tj. raspodjela se može aproksimirati pravcem. Kako je u tom slučaju gradijent koncentracije manjinskih šupljina konstantan, i difuzijska struja manjinskih šupljina na n-strani je konstantna J n ( x ) = q ⋅ Dn ⋅

n p 0 − n0 p wp

= konst.

(2.99)

Koncentracije manjinskih nosilaca uz rubove barijere i dalje su određene Boltzmannovim relacijama æ U ö pn 0 = p0n ⋅ expç ÷, è UT ø æ U ö n p 0 = n0 p ⋅ expç ÷, èUT ø

pa opet dobivamo izraz za strujno-naponsku karakteristiku diode é æ U ö ù I = I s ⋅ êexpç ÷ − 1ú , êë è U T ø úû gdje je sada reverzna struja zasićenja određena izrazom

æ D p ⋅ p0n Dn ⋅ n0 p ö ÷. I S = S ⋅ q ⋅ çç + w p ÷ø è Lp

(2.100)

Prvi član unutar zagrade u (2.100) predstavlja šupljinsku komponentu struje kroz diodu. Kako je širina n-strane puno veća od difuzijske duljine manjinskih nosilaca, difuzijska struja šupljina određena je rekombinacijom šupljina u volumenu poluvodiča na n-strani spoja D p ⋅ p 0n Dp I pS = S ⋅ q ⋅ = S ⋅ q ⋅ ni2 ⋅ = 4,47 ⋅ 10 −15 A . (2.101) Lp N D ⋅ Lp Drugi član u (2.100) predstavlja elektronsku komponentu struje kroz diodu. Širina p-strane puno je manja od difuzijske duljine manjinskih elektrona, pa je difuzijska struja određena rekombinacijom elektrona na priključnici p-strane spoja Dn ⋅ n0 p Dn I nS = S ⋅ q ⋅ = S ⋅ q ⋅ ni2 ⋅ . (2.102) wp N A ⋅ wp Efektivna širina p-strane jednaka je geometrijskoj širini p-strane umanjenoj za širinu barijere na toj strani wp = wp0 − dBp. Budući da širina barijere ovisi o priključenom naponu, s priključenim naponom će se mijenjati i efektivna širina p-strane. Zato elektronska komponenta u izrazu za reverznu struju zasićenja neće biti konstantna, već će ovisiti o priključenom naponu. Da smo umjesto linearne aproksimacije raspodjele elektrona na p-strani uvrstili stvarnu raspodjelu, pomoću izraza (2.97) dobili bismo da je elektronska komponenta reverzne struja zasićenja I nS = S ⋅ q ⋅

Zadatak 2.15

Dn ⋅ n0 p Ln

æ wp ö æ wp ö n2 D ÷ = S ⋅ q ⋅ i ⋅ n ⋅ cothç ÷. ⋅ cothç N A Ln è Ln ø è Ln ø

(2.103)

201


Da bismo odredili širinu barijere pri zadanom naponu od 0,6 V, moramo prvo odrediti kontaktni potencijal zadanog skokovitog pn-spoja: UK = 0,680 V. Ukupni napon UTOT = UK − U = 79,7 mV, pa je ukupna širina barijere dB = 0,177 µm, a širina barijere na p-strani dBp = 0,0591 µm. Prema tome, efektivna širina p-strane je w p = w p 0 − d Bp = 39,9 µm . PN-spoj je propusno polariziran, pa je širina barijere zanemariva u odnosu na efektivnu širinu. Zato kod propusnih polarizacija u većini slučajeva možemo zanemariti širinu barijere i računati s geometrijskom širinom odgovarajuće strane spoja. Time svi izrazi za raspodjele nosilaca i struje postaju jednostavniji. Druga mogućnost je da se ishodišta koordinatnih sustava za n-, odnosno pstranu postave na rub barijere. Izrazi će biti jednaki izrazima dobivenima uz zanemarenje širina barijera, samo će umjesto geometrijskih širina figurirati efektivne širine kvazineutralnih područja. U ovom slučaju treba voditi računa da se ishodište koordinatnog sustava općenito pomiče kako se mijenja širina barijere. Pri propusnim polarizacijama ta pomicanja su obično zanemariva (osim ako se radi o diodi s izuzetno uskim kvazineutralnim područjima). Uvrstimo li zadane i izračunate vrijednosti u (2.102), dobit ćemo InS = 2,44 ⋅ 10−14 A. Vidimo da sada prevladava elektronska komponenta struje, jer je nazivnik u (2.101) puno veći od nazivnika u (2.102), tj. wp << Lp . Ukupna reverzna struja zasićenja je IS = IpS + InS = 2,89 ⋅ 10−14 A. Uvrštavanjem vrijednosti u Shockleyevu jednadžbu, dobit ćemo da je struja kroz diodu pri zadanom naponu I = 348 µA. Na slici 2.31 prikazane su raspodjele manjinskih nosilaca, te raspodjele struja u diodi kada je dioda propusno polarizirana. Kako je širina barijere zanemariva u odnosu na ostale dimenzije, barijera nije ni ucrtana. U grafu raspodjele manjinskih nosilaca ucrtan je i dio eksponencijalne raspodjele po kojoj bi se ravnali injektirani elektroni da je p-strana puno šira od difuzijske duljine manjinskih elektrona. U tom slučaju elektronska komponenta reverzne struje zasićenja bila bi Dn = 1,36 ⋅ 10 −15 A . N A ⋅ Ln (2.104) Očigledno je da se smanjivanjem širine pstrane gradijent koncentracije elektrona bitno povećao, pa je elektronska komponenta struje nadvisila šupljinsku komponentu. Na slici 2.32 prikazana je funkcijska ovisnost elektronske struje kroz diodu o efektivnoj širini p-strane. Struja je normirana na vrijednost struje kada je širina p-strane puno veća od difuzijske duljine elektrona (izraz

np pn pn0

eksponenc. funkcija

np0

p0n

n0p

x wp 0

x a)

J Jn+Jp

I nS = S ⋅ q ⋅ ni2 ⋅

Jn

Jp

x wp 0

x

b)

Slika 2.31. Propusno polarizirani pn-spoj s uskom p-stranom: a) raspodjele manjinskih nosilaca, b) raspodjele struja.

Zadatak 2.15

202


10

Jn Jn0

1

0,1 0,1

1

10

wp / L n Slika 2.32. Ovisnost struje kroz pn-spoj o efektivnoj širini kvazineutralnog područja.

æ U ö n2 pn 0 = p0n ⋅ exp ç ÷= i è UT ø N D

(2.104)), a širina je normirana na difuzijsku duljinu elektrona, pa ovaj graf vrijedi i za elektronsku i za šupljinsku komponentu struje bilo koje diode. Kao što se vidi, s porastom efektivne širine (argument funkcije hiperbolnog kotangensa u izrazu (1.103)) smanjuje se iznos pripadajuće komponente struje i ona asimptotski teži vrijednosti određenoj izrazom (2.104) za široku diodu (u biti je ovo graf funkcije hiperbolnog kotangensa). Za male efektivne širine (linearno-padajući dio krivulje) funkcija (2.103) se poklapa s funkcijom (2.102), koja je prikazana na grafu crtkanim pravcem, budući da je coth(x) = 1 / x.

Zanimljivo je uočiti da je koncentracija manjinskih šupljina na n-strani uz rub barijere æ U ö ⋅ exp ç ÷ = 4,58 ⋅ 1014 cm -3 è UT ø

svega oko deset puta manja od ravnotežne koncentracije većinskih elektrona n0n = ND = 5 ⋅ 1015 cm−3. Da je napon propusne polarizacije veći ili da je neto koncentracija primjesa na n-strani niža, ta bi razlika bila još manja. Dioda tada više ne bi bila u režimu niske injekcije, već bi prešla u režim visoke injekcije, kada više ne vrijede sve pretpostavke iz izvoda Shockleyeve jednadžbe. Injektirani nosioci uzrokuju električno polje u kvazineutralnom području koje u uvjetima visoke injekcije nije zanemarivo (vidi zadatak 1.42 u poglavlju 1.7.2. Transportne jednadžbe). To električno polje uzrokuje dodatni pad napona u diodi, tako da napon na samom pn-spoju neće biti jednak priključenom naponu već će biti manji†. Osim toga, za koncentraciju manjinskih nosilaca ne vrijedi više Boltzmannova relacija. Umnožak koncentracija elektrona i šupljina uvijek je [Gummel67] æ U ö n ⋅ p ≤ ni2 ⋅ exp ç (2.105) ÷. è UT ø Uz pretpostavku niske injekcije iz izvoda Shockleyeve jednadžbe, u (2.105) je između lijeve i desne strane znak jednakosti. Razmotrimo gornju relaciju za n-stranu spoja. U uvjetima niske injekcije koncentracija manjinskih šupljina je puno manja od koncentracije većinskih elektrona. Pri porastu priključenog napona U rastu koncentracije i većinskih i manjinskih nosilaca, jer mora biti zadovoljen uvjet električke neutralnosti. Prirasti tih koncentracija su međusobno jednaki, ali je koncentracija većinskih nosilaca puno veća, pa je njen relativni prirast zanemariv tj. nn0 = n0n . Prema tome

pn 0 =

†

æ U ö æ U ö ni2 ⋅ exp ç ÷ = p0n ⋅ exp ç ÷, n0 n è UT ø è UT ø

Ovaj pad napona javlja se samo u kvazineutralnom području oko barijere gdje je koncentracija nosilaca veća od ravnotežne i treba ga razlikovati od pada napona na serijskom otporu (otporu poluvodiča od aktivnog dijela diode do vanjskih priključnica).

Zadatak 2.15

203


što je Boltzmannova relacija. Kod visoke injekcije koncentracija injektiranih manjinskih nosilaca postaje sumjerljiva s koncentracijom većinskih nosilaca ( pn0 = nn0), pa iz (2.105) slijedi æ U ö pn 0 = ni ⋅ exp ç ÷, è 2 ⋅U T ø

tj. koncentracija manjinskih nosilaca uz rub barijere raste sporije nego u uvjetima niske injekcije. Posljedica toga je sporiji porast struje s priključenim naponom nego u uvjetima niske injekcije. Strujno-naponska karakteristika diode u uvjetima visoke injekcije može se opisati Shockleyevom jednadžbom, ako se uvede faktor m, koji u uvjetima visoke injekcije na obje strane diode† teži vrijednosti 2 é æ U ö ù I = I S ⋅ êexp ç ÷ − 1ú . è m ⋅ U T ø úû êë Na slici 2.33 prikazane su karakteristike realne diode za područje propusne polarizacije. Valja primijetiti da se pojave koje se na grafu s logaritamskim mjerilom na ordinati (slika 2.33b) mogu uočiti, na grafu s linearnim mjerilom (slika 2.33a) ne mogu sve obuhvatiti. Kod vrlo malih napona propusne polarizacije na diodi (dio karakteristike na slici 2.33b označen s a), značajan udio u struji kroz diodu ima komponenta struje uslijed rekombinacije nosilaca unutar barijere, koja raste s exp ( U / 2UT) [Sah57], pa je ukupna struja kroz diodu u tom području

10 8

I

idealna dioda

realna dioda

10

6

d c

idealna dioda

I IS

I . rs

10 4

b

10 2

a

1

U a)

0

10

20

30

U / UT b)

Slika 2.33. Strujno-naponska karakteristika realne diode: a) linearno mjerilo, b) logaritamsko mjerilo na ordinati: (a) rekombinacija nosilaca unutar barijere, (b) niska injekcija, (c) visoka injekcija, (d) djelovanje serijskog otpora [Sah57, Moll58].

†

Ako su koncentracije primjesa na pojedinim stranama pn-spoja različite, svaka od tih strana će ući u režim visoke injekcije kod različitih napona; slabije dopirana strana će ući u režim visoke injekcije kod manjeg napona. Zadatak 2.15

204


æ U ö I ∝ exp ç ÷, è m ⋅U T ø

(2.106)

pri čemu je 1 ≤ m ≤ 2 . Faktor proporcionalnosti u izrazu (2.106) nije jednak reverznoj struji zasićenja dobivenoj pri izvodu Shockleyeve jednadžbe (koja zanemaruje generaciju i rekombinaciju nosilaca u barijeri), već je uvećan za struju generiranih nosilaca. U području niske injekcije (b) teče uglavnom difuzijska struja manjinskih nosilaca, pa je karakteristika diode dobro opisana Shockleyevom jednadžbom. U području visoke injekcije (c) dolaze do izražaja efekti koje smo maloprije opisali, te je struja kroz diodu opisana jednadžbom (2.106). Kod velikih struja kroz diodu treba uzeti u obzir i dodatni pad napona na serijskim otporima poluvodiča od pn-spoja do vanjskih priključnica (d dio karakteristike). Taj pad napona uzrokuje izravnavanje karakteristike diode na slici 2.33a, jer je ukupni napon na diodi jednak naponu na “intrinsičnoj” diodi, uvećan za pad napona na linearnom otporniku rs . U semilogaritamskom prikazu (slika 2.33b) pad napona na serijskom otporu očituje se kao savijanje strujno-naponske karakterisitike prema logaritamskoj funkciji. Ako nije posebno naglašeno, u zadacima će se podrazumijevati da je vrijednost faktora m = 1.

Zadatak 2.16

D1

I1

Dvije pn-diode spojene su na neki napon prema slici 2.34. Omjer struja dioda u ovakvom spoju je I1 /I2 = 5. Ako se dioda D2 obrne, omjer tih struja bit će 2. Odredite napon na koji su diode spojene, ako je UT = 25 mV. Rješenje:

D2

+

I2 U

−

Obje diode spojene na isti napon, ali su simboli dioda Slika 2.34. Spoj dviju međusobno zaokrenuti, pa je razvidno jedna dioda propusno, a dioda u zadatku 2.16 druga zaporno polarizirana. S obzirom da napon U tražimo, pretpostavit ćemo da je on pozitivan; ova pretpostavka ne utječe na točnost rješenja, ali nam je neophodna da bismo utvrdili koja je od dioda propusno, a koja nepropusno polarizirana. Taj podatak je pak neophodan da bismo znali s kojim ćemo polaritetom uvrštavati struje I1 i I2 u Shockleyevu jednadžbu. anoda

ID +

p

UD n

− katoda

Slika 2.35. Simbol pn-diode s referentnim smjerom struje i referentnim polaritetom napona.

Zadatak 2.16

Na slici 2.35 prikazan je simbol pn-diode s označenim priključnicama, te s referentnim smjerom struje kroz diodu i referentnim polaritetom pada napona na diodi. Referentni smjer struje odgovara smjeru kojim struja teče kada je dioda propusno polarizirana, tj. kada je anoda (p-strana diode) na pozitivnijem potencijalu od katode (n-strane diode). Ako se smjer struje koju vanjski krug tjera u diodu ili polaritet napona priključenog na diodu poklapaju s referentnim smjerom na slici 2.35, tada ih u Shockleyevu jednadžbu uvrštavamo s pozitivnim predznakom. U protivnom ih trebamo uvrštavati s negativnim predznakom.

205


Čitatelj će lako zapamtiti koji je referentni smjer struje kroz simbol pn-diode, ako uoči da se strelica u simbolu diode podudara s referentnim smjerom, iako po podrijetlu strelica u simbolu ima potpuno drugi smisao†. Pogledamo li spoj na slici 2.34 i usporedimo s referentnim smjerovima na slici 2.35, možemo zaključiti da je dioda D1 propusno, a D2 nepropusno polarizirana. To znači da će struja kroz diodu D1 biti pozitivna, a struja kroz diodu D2 negativna. Radi bolje razumljivosti, nacrtajmo ponovno sklop sa slike 2.34, ali sa označenim referentnim strujama i naponima pojedinih struja, slika 2.36a. Ovako označene struje (ID1 i ID2) i napone (UD1 i UD2) uvrštavat ćemo u Shockleyeve jednadžbe za obje diode é æU ö ù é æU ö ù I D1 = I S 1 ⋅ êexpç D1 ÷ − 1ú , I D 2 = I S 2 ⋅ êexpç D 2 ÷ − 1ú U êë è U T ø úû êë è T ø úû

(2.107)

Da bismo razlikovali struje i napone u ovom spoju od struja i napona u drugom spoju, u indekse ćemo dodati slovo a.

I1

I2 +

+ U D1a −

I1

+ U D1b −

I D1a

I D1b

− U D2a +

+ U D2b − I2

ID2a −

U

+

a)

I D2b −

U b)

Slika 2.36. Referentne struje i naponi za diode: a) u prvom spoju zadatka 2.16; b) kada se obrne dioda D2.

Sa slike 2.36a je očito da struja ID1a mora biti pozitivna, jer se njen smjer poklapa sa smjerom vanjske struje I1, dok struja ID2a mora biti negativna, jer je njen smjer suprotan smjeru vanjske struje I2. Stoga će omjer struja ID1a i ID2a biti negativan: I D1a I D2a

†

é æU ö ù I S 1 ⋅ êexpç D1a ÷ − 1ú êë è U T ø ûú = −5 . = é æ U D2a ö ù I S 2 ⋅ êexpç ÷ − 1ú êë è U T ø úû

(2.108)

Prve poluvodičke diode (otkrio F. Brown, 1874) dobivale su se zabadanjem metalnog šiljka u komadić poluvodiča. Šiljak je bio najčešće od volframa, a poluvodič je bio germanij n-tipa. Strelica simbolizira taj metalni šiljak, a pravokutnik (koji se često crta samo kao ravna linija) simbolizira poluvodič. Zadatak 2.16

206


Shodno gornjim predznacima struja jasno je da napon UD1a mora biti pozitivan, a UD2a negativan (Shockleyeva jednadžba će dati pozitivnu struju samo za pozitivne napone, a negativnu za negativne napone!). Pritom su oni međusobno jednakih iznosa, te je U D1a = −U D 2 a = U , tako da omjer (2.108) možemo pisati kao I D1a I D2a

é æU ö ù I S 1 ⋅ êexpç ÷ − 1ú êë è U T ø úû = = −5 . é æ −U ö ù I S 2 ⋅ êexpç ÷ − 1ú êë è U T ø úû

(2. 108a)

Obrnemo li diodu D2 (veličine za tu konfiguraciju ćemo označiti dodatnim slovom b u indeksima), promijenit će se referentni smjerovi struja i polariteti napona za tu diodu (slika 2.36b). U tom slučaju bit će omjer struja ID1 i ID2 pozitivan: I D1b I D2b

é æU ö ù I S 1 ⋅ êexpç D1b ÷ − 1ú êë è U T ø úû =2, = é æ U D 2b ö ù I S 2 ⋅ êexpç ÷ − 1ú êë è U T ø úû

(2.109)

a kako su naponi U D1b = U D 2b = U ,

omjer struja je sada I D1b I D 2b

é æU ö ù I S 1 ⋅ êexpç ÷ − 1ú êë è U T ø úû =2. = é æU ö ù I S 2 ⋅ êexpç ÷ − 1ú êë è U T ø úû

(2.109a)

Budući da su članovi u uglatim zagradama brojnika i nazivnika sada međusobno jednaki, nakon njihova kraćenja dobit ćemo da je omjer reverznih struja zasićenja I S 1 I D1b = =2. I S 2 I D 2b Uvrstimo li ovaj omjer u (2.108a), nakon sređivanja dobit ćemo jednadžbu æ U ö æU ö 2 ⋅ expç 2 ⋅ ÷ − 7 ⋅ expç ÷ +5= 0, è UT ø è UT ø

(2.110)

2 ⋅ t2 − 7 ⋅ t + 5 = 0

(2.110a)

æU ö t = expç ÷. è UT ø

(2.110b)

što je kvadratna jednadžba po parametru

Rješenja te kvadratne jednadžbe su

Zadatak 2.16

207


t1,2 =

7 ± 3 ì2,5 =í , 4 î1

odnosno ì22,9 mV U = U T ⋅ ln(t ) = í . 0 î Drugo rješenje (U = 0) ćemo odbaciti, jer je za to rješenje struja kroz obje diode jednaka nuli.

Zadatak 2.17 Izračunati temperaturne koeficijente propusno polarizirane silicijske pn-diode pri konstantnoj vrijednosti a) napona na diodi, odnosno b) struje kroz diodu. Napon na diodi U = 0,7 V, reverzna struja zasićenja diode IS = 1 nA, temperatura T = 300 K. Pretpostaviti da je u zadanoj radnoj točki faktor m = 1,7. Rješenje: Kako je zadan faktor m, koristit ćemo modificiranu Shockleyevu jednadžbu é æ U ö ù I = I S ⋅ êexp ç ÷ − 1ú . è m ⋅ U T ø úû êë Dioda je propusno polarizirana naponom U = 0,7 V >> UT , pa u gornjem izrazu prevladava eksponencijalna funkcija u uglatoj zagradi, tj.

æ U ö I = I S ⋅ exp ç ÷. è m ⋅UT ø

(2.111)

a) Da bismo odredili temperaturni koeficijent struje kroz diodu pri konstantnoj vrijednosti napona, derivirat ćemo (2.111) po temperaturi. Uočimo da u izrazu (2.111) ovisnost struje o temperaturi proizlazi iz temperaturne promjene reverzne struje zasićenja IS , te iz naponskog ekvivalenta temperature u nazivniku argumenta eksponencijalne funkcije. Zbog toga (2.111) treba derivirati kao umnožak dviju temperaturno ovisnih funkcija æ U ö æ U ö æ ö dI dI U = S ⋅ exp ç ÷ + I S ⋅ exp ç ÷ ⋅ç − ÷= dT dT è m ⋅UT ø è m ⋅UT ø è m ⋅UT ⋅ T ø

=

dI S I U ⋅ −I⋅ . dT I S m ⋅UT ⋅ T

(2.112)

U gornjem izrazu (2.112) poznate su nam sve veličine, osim struje kroz diodu I i derivacije dIS / dT. Struju kroz diodu izračunat ćemo jednostavno pomoću Shockleyeve jednadžbe æ U ö I = I S ⋅ exp ç ÷ = 8,27 mA . è m ⋅U T ø

Zadatak 2.17

208


Derivaciju reverzne struje zasićenja po temperaturi izvest ćemo uz pretpostavku da dioda ima obje strane puno šire od difuzijskih duljina manjinskih nosilaca, pa je æ n0 p ⋅ Dn p0n ⋅ D p ö æ Dn Dp ö ÷ = S ⋅ q ⋅ ni2 ⋅ ç ÷ I S = S ⋅ q ⋅ çç + ÷ çN ⋅L + N ⋅L ÷. L L ø è è A n n p D pø

(2.113)

Zbog temperaturne ovisnosti pokretljivosti i (u manjoj mjeri) vremena života manjinskih nosilaca, difuzijske konstante (Dn , Dp) i difuzijske duljine (Ln , Lp) mijenjaju se s promjenom temperature. Međutim, temperaturne promjene tih članova u (2.113) imaju puno slabiji utjecaj nego što ga ima promjena kvadrata intrinsične koncentracije n2i . Štoviše, temperaturne promjene difuzijskih konstanti u brojnicima djelomično poništavaju temperaturne promjene difuzijskih duljina u nazivnicima. Navedene činjenice nam dozvoljavaju da (2.113) napišemo u obliku I S = C ⋅ ni2 .

(2.114)

Kod dioda s uskim stranama umjesto difuzijskih duljina u nazivnicima izraza za reverznu struju zasićenja nalaze se temperaturno neovisne efektivne širine kvazineutralnih područja pn-diode. Difuzijska konstanta jednaka je umnošku naponskog ekvivalenta temperature koji raste proporcionalno s temperaturom, te pokretljivosti koja pada s porastom temperature. Dakle, i za takve diode možemo uzeti da u temperaturnoj promjeni reverzne struje zasićenja prevladava porast kvadrata intrinsične koncentracije, te možemo koristiti izraz (2.114). Logaritmiranjem ovog izraza, dobiva se ln I S = ln C + 2 ⋅ ln ni , a kada to deriviramo po temperaturi dI S dn = 2⋅ i . IS ni

(2.115)

Prema (2.115), za male promjene temperature relativna promjena reverzne struje zasićenja dvostruko je veća od relativne promjene intrinsične koncentracije. Relativnu promjenu intrinsične koncentracije dni / ni već smo računali u prvom poglavlju (zadatak 1.6), te smo dobili izraz (1.42) dni E ′ ö dT 1 æ = ⋅ ç 3 + G0 ÷ ⋅ , 2 è ni ET ø T

(2.116)

dI S æ E ′ ö dT = ç 3 + G0 ÷ ⋅ , IS ET ø T è

(2.117)

dI S æ E′ ö I = ç 3 + G0 ÷ ⋅ S . dT è ET ø T

(2.118)

što, uvrštavanjem u (2.115), daje

odnosno traženu derivaciju

Za male promjene temperature derivacije u gornjim izrazima mogu se nadomjestiti konačnim prirastima. Razmotrimo malo izraz (2.117). Za područje sobnih temperatura za većinu poluvodiča drugi član u zagradi prevladava, pa će za istu relativnu promjenu temperature relativna promjena reverzne struje zasićenja biti veća kod poluvodiča s većom širinom zabranjenog pojasa E'G0 (podsjetimo se da je E'G0 širina zabranjenog pojasa dobivena linearnom ekstrapolacijom na temperaturu apsolutne nule). Međutim, kako su reverzne struje zasićenja pn-spojeva u

Zadatak 2.17

209


poluvodičima s većom širinom zabranjenog pojasa znatno manje, apsolutne promjene reverzne struje zasićenja (izraz (2.118)) su manje. Na primjer, za silicij (E'G0 = 1,206 eV) na T = 300 K, za promjenu temperature od 1 K, relativna promjena intrinsične koncentracije, prema izrazu (2.116), iznosi ∆ni = 0,0828 ≅ 8,28 % , ni

dok je relativna promjena reverzne struje zasićenja, prema izrazu (2.117), ∆I S ∆n = 2 ⋅ i = 0,116 ≅ 16,6 % . IS ni

Za germanij (E'G0 = 0,779 eV) se dobiva ∆ni = 0,0552 ≅ 5,52 % , ni

odnosno ∆I S ∆n = 2 ⋅ i = 0,110 ≅ 11,0 % . IS ni

Iako je relativna promjena reverzne struje zasićenja u siliciju nešto veća, sama reverzna struja zasićenja je u silicijskom pn-spoju (pretpostavimo li jednake pokretljivosti i vremena života nosilaca u siliciju i germaniju, te jednake površine spojeva) za oko šest redova veličine manja, jer je intrinsična koncentracija u siliciju oko tri reda veličine manja (vidi tablicu 1.6), a reverzna struja zasićenja je prema izrazu (2.114) proporcionalna kvadratu intrinsične koncentracije. Zbog toga su poluvodičke komponente u siliciju, odnosno općenito u poluvodičima sa širim zabranjenim pojasom, manje osjetljive na promjene temperature, pa je i temperaturno područje primjene tih komponenti šire. Sada se možemo vratiti izrazu (2.112), u koji ćemo uvrstiti izvedeni izraz (2.118) æ E′ ö I E′ dI æ U U ö I = ç 3 + G0 ÷ ⋅ − I ⋅ = ç 3 + G0 − ÷⋅ . dT è ET ø T m ⋅UT ⋅ T è ET m ⋅UT ø T

Uvrštavanjem brojčanih vrijednosti u (2.119) dobit ćemo traženu vrijednost temperaturnog koeficijenta struje dI = 930 µA / K . dT Temperaturni koeficijent struje je pozitivan, što znači da ako napon na diodi držimo konstantnim, struja kroz diodu pri porastu temperature raste. Uzrok tome je porast intrinsične koncentracije nosilaca. Taj porast umanjen je padom iznosa eksponencijalne funkcije (treći pribrojnik u zagradi u (2.119)). I na slici 2.37 koja prikazuje strujno-naponske karakteristike diode za dvije različite temperature uočljiv je porast struje kroz diodu pri konstantnom naponu (pomak označen s a)).

I

(2.119)

T2 > T1 T1 a) U= konst. b) I= konst.

U Slika 2.37. Temperaturne promjene napona i struje pn-diode.

b) Za izračunavanje temperaturnog koeficijenta napona prethodno moramo iz Shockleyeve jednadžbe izlučiti napon na diodi. Budući da je I >> IS ,

Zadatak 2.17

210


æ I ö æ I ö U = m ⋅ U T ⋅ ln ç + 1÷ = m ⋅ U T ⋅ ln ç ÷ . è IS ø è IS ø

Deriviranjem po temperaturi, uz konstantnu struju æ I ö dU T dU d é æ IS öù = m⋅ ⋅ ln ç ÷ + m ⋅ U T ⋅ ê− lnçè ÷ø ú = dT dT dT ë I û è IS ø

= m⋅

æ I ö æ I ö 1 dI UT ⋅ ln ç ÷ + m ⋅ U T ⋅ ç − ÷ ⋅ ⋅ S = T I è Sø è I S ø I dT

=

U m ⋅ U T dI S − ⋅ . T IS dT

(2.120)

Uvrstimo li u (2.120) izraz za dIS / dT koji smo izveli u a) dijelu zadatka E′ ö dU U m ⋅ U T æ = − ⋅ ç 3 + G0 ÷ , dT T T ET ø è

(2.121)

što s uvrštenim vrijednostima daje dU = −4,94 mV / K . dT Temperaturni koeficijent napona je negativan, budući da prevladava utjecaj promjene intrinsične koncentracije s temperaturom (drugi član u (2.121)), pa će se pri porastu temperature, držimo li struju kroz diodu konstantnom, napon na diodi smanjiti (slika 2.37, promjena b)). Rezultate ovog zadatka dobro je imati na umu pri spajanju dioda, ali i drugih poluvodičkih komponenti koje rade s propusno polariziranim pn-spojevima (npr. bipolarni tranzistori), u elektroničkim sklopovima. U a) dijelu zadatka smo vidjeli da pri konstantnom naponu na diodi (naponska pobuda) struja kroz diodu raste pri porastu temperature. Porast struje uzrokovat će dodatno zagrijavanje diode, jer raste disipacija snage (umnožak konstantnog napona i rastuće struje), zbog čega će struja kroz diodu još više porasti. Ovaj samopobuđujući proces može dovesti do pregrijavanja i uništenja diode. Nasuprot tome, u b) dijelu zadatka, pri konstantnoj struji kroz diodu (strujna pobuda) napon na diodi pada s porastom temperature. Zbog toga će se smanjiti disipacija topline (umnožak konstantne struje i opadajućeg napona), što se suprotstavlja početnom porastu temperature koji je izazvao poremećaj. Dakle, dioda spojena izravno na naponski izvor s malim unutarnjim otporom bit će temperaturno nestabilna i vrlo vjerojatno će doći do njena uništenja. Ako želimo diodu zaštititi, moramo je pobuđivati strujno, tj. u seriju s diodom moramo umetnuti otpornik dovoljno velikog otpora da pad napona na tom otporu bude puno veći od pada napona na diodi.

Zadatak 2.18 Reverzna struja zasićenja neke diode je 1 pA. Odredite napone na diodi kod kojih će struja kroz diodu iznositi: a) 0,5 pA, b) 2 pA. UT = 30 mV. Rješenja: a) U = 12,2 mV ili U = −20,8 mV, b) U = 33,0 mV.

Zadatak 2.18

211


Zadatak 2.19 Dioda sa skokovitim pn-spojem površine 0,1 mm2 ima koncentracije primjesa na pojedinim stranama spoja: NA = 1015 cm–3, odnosno ND = 5⋅1016 cm–3. Vremena života manjinskih nosilaca su τn = 5 µs i τp = 0,2 µs. Izračunajte reverznu struju zasićenja te diode na 300 K, te napon koji mora biti priključen na diodu da bi struja kroz diodu bila 0,1 mA. Geometrijske duljine obiju strana diode su puno veće od difuzijskih duljina manjinskih nosilaca. Rješenja: IS = 8,58⋅10–14 A, U = 0,540 V.

Zadatak 2.20 Izračunajte reverznu struju zasićenja diode iz prethodnog zadatka, ako je efektivna širina n-strane wn = 1 µm. Rješenje: IS = 1,38⋅10–13 A.

n cm−3

Zadatak 2.21 Na slici 2.38 su nacrtane raspodjele manjinskih nosilaca u silicijskoj diodi sa skokovitim pn-spojem. Izračunajte napon priključen na diodu i struju kroz diodu, ako su pokretljivosti manjinskih nosilaca: µn = 1300 cm2/Vs, µp = 350 cm2/Vs. Temperatura je 300 K, a površina spoja 0,01 mm2. Rješenja: U = 0,500 V, I = 5,67 µA.

50 µm

5.10

p cm−3

13

2.105 4.10 3 5 µm

x

Slika 2.38. Raspodjele manjinskih nosilaca u diodi iz zadatka 2.21.

Zadatak 2.22 Za diodu iz zadatka 2. 21 izračunajte postotne promjene: a) napona na diodi uz konstantnu struju kroz diodu, b) struje kroz diodu uz konstantni napon na diodi, ako se temperatura povisi za 0,1 °C. Rješenja: a) ∆U / U = – 0,0523 %; b) ∆I / I = 1,01 %.

Zadatak 2.23 Dvije diode s jednakim karakteristikama spojene su prema slici 2.39. Pad napona između krajeva ovog serijskog spoja iznosi 35 mV. Izračunajte koliki su naponi na pojedinim diodama i napon U nakon obrtanja diode D1, ako je pritom struja kroz diode ostala nepromijenjena. UT = 25 mV. Rješenja: UD1 = +10,2 mV, UD2 = –17,5 mV, U = –27,7 mV

I +

D1

D2 U

−

Slika 2.39. Spoj dviju dioda u zadatku 2.23.

Zadatak 2.19

212


2.4.2. Utjecaj ugrađenog električnog polja na strujno-naponske karakteristike* Pri izvodu Shockleyeve jednadžbe pretpostavili smo da je električno polje izvan barijere dovoljno slabo da nema utjecaja na struje manjinskih nosilaca. Driftne struje manjinskih nosilaca su u tom slučaju zanemarive, a ukupna struja kroz pn-spoj može se izraziti preko difuzijskih struja manjinskih nosilaca. Jedan od uvjeta da nema električnog polja izvan barijere jest da su p- i n- strana spoja homogeno dopirane, tj. da su koncentracije primjesa na obje strane spoja konstantne. Dok je u poluvodičkim komponentama kojima je pn-spoj ostvarivan postupkom legiranja taj uvjet bio zadovoljen, kod komponenti dobivenih planarnim postupcima raspodjele primjesa u pojedinim područjima su vrlo rijetko homogene. Zbog toga i u području izvan barijere postoji ugrađeno električno polje (vidi poglavlje 1.8. Nehomogeni poluvodiči) koje će uzrokovati značajne driftne struje manjinskih nosilaca.

Zadatak 2.24 Izvesti izraz za strujno-naponsku karakteristiku pn-diode u kojoj n- i p-strana spoja nisu homogeno dopirane. Rješenje: [Valkó91] Razmotrit ćemo utjecaj ugrađenog električnog polja na šupljinsku komponentu struje, tj. na struju manjinskih šupljina na n-strani spoja. Podsjetimo se da rješavanjem jednadžbe kontinuiteta za manjinske šupljine, uz pripadajuće rubne uvjete dobivamo raspodjelu šupljina. Na osnovu dobivene raspodjele, transportna jednadžba će nam dati šupljinsku struju kroz pn-spoj. Jednadžba kontinuiteta za šupljine u jednodimenzionalnom slučaju glasi ∂ pn p − p0n 1 ∂ J p =− n − ⋅ . ∂t q ∂x τp

(2.122)

U stacionarnim uvjetima ∂ pn / ∂ t = 0, pa jednadžba kontinuiteta prelazi u običnu diferencijalnu jednadžbu −

1 ∂ J p pn − p0 n ⋅ − =0. q ∂x τp

(2.123)

Valja uočiti da u gornjim jednadžbama ravnotežna koncentracija p0n nije konstantna, već se mijenja s prostornom koordinatom kao posljedica nehomogene raspodjele primjesa! Prema transportnoj jednadžbi struja šupljina je u jednodimenzionalnom slučaju dpn , dx pa ako to uvrstimo u (2.123), dobit ćemo diferencijalnu jednadžbu J p = q ⋅ µ p ⋅ p ⋅ ( x) − q ⋅ D p ⋅

Dp ⋅

d 2 pn dx

2

− µp ⋅

d ( pn ⋅ ) p n − p 0 n − = 0. dx τp

odnosno, primjenom Einsteinove relacije Dp = µp⋅UT ,

Zadatak 2.24

(2.124)

(2.125)

213


d 2 pn dx

2

p 1 d ( pn ⋅ ) pn ⋅ − 2 = − 02n , UT dx Lp Lp

−

(2.126)

pri čemu je Lp difuzijska duljina šupljina Lp = Dp ⋅ τ p .

Rješenje ove diferencijalne jednadžbe daje nam raspodjelu manjinskih šupljina na n-strani. Valja uočiti da se općenito i jakost električnog polja mijenja s prostornom koordinatom. Međutim, nas zanima raspodjela manjinskih nosilaca uz rub barijere da bi iz te raspodjele mogli izračunati gradijent neophodan za transportnu jednadžbu. Stoga ćemo analizu ograničiti na rub barijere, pa možemo jakost električnog polja uz rub barijere izlučiti ispred derivacije po prostornoj koordinati. Prema tome (2.126) možemo napisati kao d 2 pn dx

2

−

p p ( x) (0) dpn ⋅ − 2n = − 0n2 , U T dx Lp Lp

(2.127)

što je nehomogena linearna diferencijalna jednadžba drugog reda. Ona vrijedi za bilo koji x samo ako je jakost električnog polja izvan barijere konstantna, dakle za slučaj eksponencijalne raspodjele primjesa! Opće rješenje jednadžbe (2.127) sastoji se od rješenja homogene jednadžbe i partikularnog rješenja. U uvjetima ravnoteže driftna i difuzijska komponenta struje šupljina (prvi i drugi član u jednadžbi (2.127)) međusobno se poništavaju. Zbog toga partikularno rješenje gornje jednadžbe mora odgovarati ravnotežnoj raspodjeli šupljina pnP ( x ) = p0n ( x ) . Opće rješenje jednadžbe homogenog oblika jednadžbe (2.127) d 2 pn dx 2

−

p (0) dpn ⋅ − 2n = 0 U T dx Lp

je oblika pnH ( x ) = C1 ⋅ exp ( k1 ⋅ x ) + C2 ⋅ exp ( k 2 ⋅ x ) ,

(2.128)

pri čemu su k1 i k2 korijeni karakteristične jednadžbe, 2

k1 =

é (0) ù 1 (0) − ê ú + 2 , 2 ⋅UT Lp ë 2 ⋅UT û 2

(2.129)

é (0) ù 1 (0) k2 = + ê ú + 2 . 2 ⋅UT Lp ë 2 ⋅UT û

a C1 i C2 su konstante integracije koje treba odrediti iz rubnih uvjeta. Kako je korijen u gornjim izrazima uvijek po iznosu veći od člana ispred korijena, vrijedi da je k1 < 0, a k2 > 0. Pretpostavimo da je duljina n-strane puno veća od difuzijske duljine manjinskih šupljina, tako da su se na dovoljno velikoj udaljenosti od barijere sve injektirane šupljine rekombinirale, a raspodjela manjinskih šupljina se poklapa s ravnotežnom raspodjelom. Ako je ishodište koordinatnog sustava na rubu barijere, a +x-os okrenuta u volumen n-strane, gornju pretpostavku možemo pisati kao lim pnH = 0 , x →∞

Zadatak 2.24

214


pa je konstanta C2 = 0, te otpada drugi član u općem rješenju (2.128). Preostali dio općeg rješenja (2.128) bit će (2.130) pnH ( x ) = C1 ⋅ exp( k1 ⋅ x ) = C1 ⋅ p ( x ) , pa rješenje jednadžbe kontinuiteta (2.127) možemo napisati kao pn ( x ) = pnH + pnP = C1 ⋅ p ( x ) + p0n ( x ) .

(2.131)

Rješenje homogene jednadžbe p ( x ) odgovara raspodjeli ekscesnih šupljina, tj. raspodjeli šupljina iznad ravnotežne. Podsjećamo da gornja funkcija ne daje točnu raspodjelu manjinskih šupljina za bilo koji x, već samo u blizini barijere, jer smo zanemarili promjenu električnog polja s prostornom koordinatom. Konstantu integracije C1 odredit ćemo preko rubnog uvjeta na barijeri. Koncentracija manjinskih šupljina uz rub barijere određena je Boltzmannovim relacijama, pa je æ U ö pn 0 = pn (0) = p0n (0) + C1 ⋅ p (0) = p0n (0) ⋅ exp ç ÷, è UT ø iz čega slijedi da je C1 =

æ U ö ù p0n (0) é ⋅ êexp ç ÷ − 1ú . p(0) êë è U T ø ûú

(2.132)

Uvrstimo li dobiveno rješenje (2.131) u transportnu jednadžbu za šupljine, dobit ćemo da je struja šupljina uz rub barijere

J p (0) = q ⋅ µ p ⋅ p0n (0) ⋅ ( 0) − q ⋅ D p ⋅

dp0n dx

x =0

+ q ⋅ µ p ⋅ C1 ⋅ p (0) ⋅ (0) − q ⋅ D p ⋅ C1 ⋅

dp dx

. x =0

(2.133) Prva dva člana u (2.133) se poništavaju, budući da u uvjetima ravnoteže, kada se raspodjela šupljina poklapa sa ravnotežnom raspodjelom, tj. kada je pn ( x ) = p 0n ( x ) , ukupna struja šupljina kroz pn-spoj mora biti jednaka nuli. Preostaju samo treći i četvrti član dp J p = q ⋅ µ p ⋅ C1 ⋅ p (0) ⋅ (0) − q ⋅ D p ⋅ C1 ⋅ . (2.134) dx x =0 Uvrstimo li (2.132) u ovaj izraz, dobit ćemo, koristeći Einsteinove relacije, é 1 dp J p = q ⋅ p0n (0) ⋅ ê µ p ⋅ (0) − D p ⋅ ⋅ p (0) dx êë

ù é æ U ö ù ÷ − 1ú = ú ⋅ êexpç x=0 ú û êë è U T ø úû

é (0) d ù é æ U ö ù = q ⋅ p0n (0) ⋅ D p ⋅ ê − ln ( p ) (2.135) ÷ − 1ú . ú ⋅ êexpç dx êë U T x=0 ú û êë è U T ø úû Kako su svi članovi ispred i unutar uglate zagrade neovisni o naponu na barijeri†, možemo reći da je dobivena strujno-naponska karakteristika oblikom slična šupljinskoj komponenti struje u Shockleyevoj jednadžbi

†

Ovo je točno samo ako je promjena širine barijere s naponom zanemariva. U protivnom se pri promjeni položaja ruba barijere mijenjaju i jakost ugrađenog polja uz rub barijere (osim u slučaju eksponencijalne raspodjele primjesa) i ravnotežna koncentracija p0n (0) uz rub barijere.

Zadatak 2.24

215


é æ U ö ù J p = J pS ⋅ êexpç ÷ − 1ú . êë è U T ø ûú Razlika je samo u izrazu za reverznu struju zasićenja. Sličan izraz bi se dobio i za elektronsku komponentu struje.

Prvi član unutar uglate zagrade u izrazu (2.135) odgovara driftnoj, a drugi difuzijskoj komponenti reverzne struje zasićenja. Budući da koncentracija manjinskih nosilaca uz rub barijere eksponencijalno pada (vidi izraz (2.130)), difuzijska komponenta će biti pozitivna po predznaku. Kako za realne pn-spojeve koncentracija donora na n-strani raste udaljavanjem od pn-spoja, električno polje će biti negativno (vidi poglavlje 1.8. Nehomogeni poluvodiči), pa će driftna komponenta struje dijelom poništavati difuzijsku komponentu. Za homogeno dopiranu n-stranu, polje uz rub barijere (0) = 0. Funkcija p (x) odgovara poznatoj eksponencijalnoj raspodjeli æ x ö ÷, p ( x ) = expçç − ÷ è Lp ø

pa "općeniti" izraz (2.135) prelazi u klasični izraz za šupljinsku komponentu struje kroz pn-spoj J p = q ⋅ p0 n ⋅

Dp é æ U ö ù ⋅ êexpç ÷ − 1ú . L p êë è U T ø úû

Valja uočiti da električno polje u kvazineutralnom području osim što izravno ulazi u izraz za reverznu struju zasićenja (2.135), utječe i na raspodjelu manjinskih nosilaca (vidi zadatak 1.45 u poglavlju 1.7.3. Jednadžbe kontinuiteta), a time posredno i na difuzijsku komponentu! Možemo zaključiti da oblik raspodjele primjesa ne utječe na funkcijski oblik strujno-naponske karakteristike, ali može imati značajan utjecaj na iznos reverzne struje zasićenja. Za ilustraciju odnosa driftne i difuzijske komponente, razmotrimo najjednostavniji slučaj koji se može analitički riješiti - eksponencijalnu raspodjelu primjesa. Pretpostavimo da koncentracija donora na n-strani spoja udaljavanjem od pn-spoja raste eksponencijalno æ xö N D ( x ) = exp ç ÷ . è aø

Zbog toga će električno polje u ekstrinsičnom dijelu n-strane biti konstantno =−

UT . a

(2.136)

Ako pretpostavimo da je difuzijska duljina injektiranih šupljina konstantna (unatoč nejednolikoj raspodjeli koncentracije primjesa), raspodjela injektiranih šupljina bit će određena funkcijom (vidi zadatak 1.45) æ x ö pn ( x ) = [ pn 0 − p0n (0)] ⋅ expç − * ÷ − p0n ( x ) = ç L ÷ è pø æ x ö æ U ö = p0n (0) ⋅ expç ÷ ⋅ expçç − * ÷÷ − p0n ( x ) , è UT ø è Lp ø pri čemu je (usporedi s (2.129))

Zadatak 2.24

216


2

æ ö 1 = ç . ÷ + 2 − * U UT ⋅ ⋅ 2 2 è ø Lp Lp T 1

Uvrstimo li dobivenu raspodjelu u (2.135), dobit ćemo da je šupljinska komponenta reverzne struje zasićenja é ù 2 æ ö 1 ⋅ê + ç + 2 ú, ÷ ê 2 ⋅UT è 2 ⋅UT ø Lp ú úû ëê odnosno, nakon uvrštavanja izraza za električno polje (2.136), é 1 ù J pS = q ⋅ p0n (0) ⋅ D p ⋅ ê + * ú = q ⋅ p0n (0) ⋅ D p êë U T L p úû

é ù 2 1 1 æ 1 ö J pS = q ⋅ p0n (0) ⋅ D p ⋅ ê− + ç ÷ + 2 ú. ê 2⋅a è 2⋅aø Lp ú ë û

Za vrlo strme raspodjele primjesa a << Lp , te će pod kvadratnim korijenom prvi pribrojnik biti puno veći od drugoga. Cijeli izraz u uglatoj zagradi težit će nuli, tj. driftna komponenta će potpuno poništiti difuzijsku komponentu struje. Naprotiv, za homogeno dopiranu n-stranu a → ∞, pa je driftna komponenta jednaka nuli, a izraz za reverznu struju zasićenja prelazi u "klasični" difuzijski. Za drugačije raspodjele primjesa izrazi su složeniji i ne mogu se izraziti preko analitičkih funkcija [Klein61, Kennedy63].

2.4.3. Utjecaj degeneracijskih efekata na strujno-naponske karakteristike* Kod pn-dioda dobivenih planarnim postupcima nerijetko su koncentracije primjesa u pojedinim područjima tako visoke da dolaze do izražaja degeneracijski efekti. Kao što smo vidjeli u poglavlju 1.9. Degeneracijski efekti, u siliciju dopiranom s više od 1017 primjesa / cm3, dolazi do efektivnog suženja zabranjenog pojasa, a time i do porasta koncentracije manjinskih nosilaca. Kako je struja kroz pn-spoj određena difuzijskom strujom manjinskih nosilaca, možemo odmah naslutiti da će zbog degeneracijskih efekata struja kroz pn-spoj biti veća nego kada bi se degeneracijski efekti zanemarili.

Zadatak 2.25 Odrediti reverznu struju zasićenja diode sa skokovitim pn-spojem površine S = 0,1 mm2, kod kojeg su koncentracije primjesa na n- i p-strani ND = 5⋅1018 cm–3, odnosno NA = 1015 cm–3. Parametri manjinskih nosilaca su: Dn = 10 cm2/s, Dp = 2 cm2/s, τn = 10 µs, τp = 0,5 µs. Geometrijske širine obiju strana su puno veće od difuzijskih duljina manjinskih nosilaca. T = 300 K. Rješenje: Zadana je dioda sa skokovitim pn-spojem kod kojeg je p-strana slabije dopirana, pa elektronsku komponentu reverzne struje zasićenja možemo računati kao i dosad I nS = q ⋅ S ⋅ ni2 ⋅

Zadatak 2.25

Dn = 3,05 ⋅ 10 −14 A , N A ⋅ Ln

(2.137)

217


pri čemu je difuzijska duljina manjinskih elektrona Ln =

Dn ⋅ τ n = 100 µm .

Međutim, koncentracija donora na n-strani spoja je znatno viša od 1017 cm–3. Zbog toga će na n-strani doći do efektivnog suženja zabranjenog pojasa 2 ì ü é æ N öù ï æN ö ï ∆E G 0 = E1 ⋅ ílnç D ÷ + êlnç D ÷ ú + 0,5 ý = 71,0 meV , êë è N 1 ø úû ï è N1 ø ï î þ što će uzrokovati da efektivna intrinsična koncentracija bude veća od intrinsične koncentracije koju smo izveli na osnovu Maxwell-Boltzmannove statistike. Omjer efektivne intrinsične koncentracije i "klasične" intrinsične koncentracije ni0 je

æ ∆E G 0 ö ni = exp ç ÷ = 3,95 , ni 0 è 2 ⋅ ET ø

pa je efektivna intrinsična koncentracija ni = 5,45⋅1010 cm–3. Sada možemo pomoću izraza I pS = q ⋅ S ⋅ ni2 ⋅

Dp N D ⋅ Lp

(2.138)

izračunati šupljinsku komponentu reverzne struje zasićenja, s time da umjesto "klasične" uvrstimo efektivnu intrinsičnu koncentraciju. Izračunamo li prethodno difuzijsku duljinu manjinskih šupljina Lp =

dobit ćemo IpS = 1,90⋅10

–16

D p ⋅ τ p = 10 µm ,

A, odnosno ukupnu reverznu struju zasićenja

I S = I nS + I pS = 3,07 ⋅ 10 −14 A . Da smo zanemarili degeneracijske efekte, tj. da smo u (2.138) uvrstili intrinsičnu koncentraciju nedegeneriranog silicija, dobili bismo oko šesnaest puta manju vrijednost šupljinske komponente struje. Međutim, kako je šupljinska komponenta puno manja od elektronske komponente, čak i tako velika pogreška ne bi imala značajnijeg utjecaja na konačni rezultat. Općenito se može zaključiti da je utjecaj degeneracijskih efekata na strujno-naponske karakteristike skokovitih pn-spojeva koji imaju samo jednu stranu visoko dopiranu redovito zanemariv. Naime, komponenta struje manjinskih nosilaca jače dopirane strane je puno manja od druge komponente, pa točnost njenog izračunavanja ne utječe presudno na točnost ukupne struje. Međutim, kod bipolarnih tranzistora je bitno znati točan omjer pojedinih komponenti struja kroz pn-spoj emiter-baza, pa tamo treba uzeti u obzir i utjecaj degeneracijskih pojava. Osim što dolazi do porasta koncentracije manjinskih nosilaca, u nehomogenim visokodopiranim poluvodičima postoji i kvazi-električno polje, koje dodatno djeluje na manjinske nosioce (vidi poglavlje 1.9.2. Transportne jednadžbe u degeneriranom poluvodiču). Utjecaj tog polja na struju manjinskih nosilaca može se obuhvatiti na sličan način kako je prikazano u prethodnom poglavlju 2.4.2.

Zadatak 2.25

218


2.5. Dinamička svojstva pn-diode 2.5.1. Dinamički otpor Strujno-naponska karakteristika diode je nelinearna, te je analiza sklopova koji sadrže diode složena. Kada su amplitude izmjeničnih napona i struja na diodi dovoljno male, karakteristika diode oko statičke radne točke može se aproksimirati pravcem tangentom na karakteristiku diode u statičkoj radnoj točki. Električki to odgovara nadomještanju diode njenim dinamičkim otporom

rd =

UT dU = . dI I + Is

(2.139)

Iznos dinamičkog otpora ovisi o položaju statičke radne točke, tj. o istosmjernoj komponenti napona na diodi i o istosmjernoj komponenti struje kroz diodu.

Zadatak 2.26 Za sklop na slici 2.40 treba skicirati valni oblik napona na diodi, ako je na istosmjernu struju kroz diodu ID = 10 mA superponirana sinusna struja

+ ID

id (t)

D

uD (t)

id (t) = Idm⋅ sin(ω⋅ t)

− amplitude: a) Idm = 1 mA, odnosno Slika 2.40. Sklop s diodom u zadatku 2.26. b) Idm = 9 mA. Temperatura T = 300 K, reverzna struja zasićenja diode IS = 10−12 A. Frekvencija signala je dovoljno niska da ne dolazi do izražaja djelovanje kapaciteta diode.

Rješenje: Strujno-naponska karakteristika diode je nelinearna, pa valni oblik napona na diodi neće biti jednak valnom obliku struje kroz diodu. U sklopu na slici 2.40 kroz diodu tjeramo istosmjernu struju ID = 10 mA, na koju je superponirana sinusna struja id ( t ) = Idm⋅ sin ( ω ⋅t)† . Dakle, ukupna struja kroz diodu je

†

Pri označavanju napona i struja nastojat ćemo se držati slijedećeg dogovora [IRE56]: 1. veliko slovo veličine i veliko slovo u indeksu (npr. ID) koristi se za istosmjerne veličine, 2. malo slovo veličine i malo slovo u indeksu (npr. id) koristi se za izmjenične veličine, 3. malo slovo veličine i veliko slovo u indeksu (npr. iD) koristi se za trenutne ukupne vrijednosti, 4. veliko slovo veličine i malo slovo u indeksu (npr. Idm) koristi se za amplitude. Na primjer: iD = ID + id = ID + Idm ⋅sin (ω⋅ t). Radi preglednosti ovaj dogovor ćemo koristiti i pri označavanju elektronske, odnosno šupljinske komponente struje diode, tako da će se negdje pojavljivati mali indeksi n i p, a negdje veliki indeksi N i P.

Zadatak 2.26

219

2.5. Dinamička svojstva pn-diode

i D (t ) = I D + I dm ⋅ sin (ω ⋅ t ) .

Napon na diodi uD ( t ) sastojat će se također od istosmjerne komponente UD i na nju superponirane izmjenične komponente ud ( t ) . Zbog nelinearne strujno-naponske karakteristike izmjenična komponenta napona na diodi bit će manje ili više izobličena sinusna funkcija (isto bi se dogodilo s valnim oblikom struje kada bi diodu pobuđivali naponom). Točan valni oblik napona na diodi, tj. vremenski prikaz trenutne vrijednosti napona, možemo odrediti jedino tako da za svaki trenutak izračunamo trenutnu vrijednost ukupne struje kroz diodu, kao zbroj istosmjerne vrijednosti ID = 10 mA i trenutne vrijednosti sinusne struje id ( t ) = Idm⋅ sin ( ω ⋅ t ). Zatim, pomoću izraza za napon na diodi é i (t ) ù uD (t ) = U T ⋅ ln ê D + 1ú , û ë IS izračunamo trenutni napon na diodi. Grafičkim povezivanjem izračunatih vrijednosti dobit ćemo valni oblik napona. Kako u zadatku nije zadana frekvencija signala, umjesto za različite trenutke t postupak ćemo provesti za nekoliko različitih kuteva ω ⋅t .

Prije nego što pređemo na sam proračun treba odrediti polarizaciju diode, da bismo znali s kojim ćemo predznakom uvrštavati iznose struja i napona. Smjer struje istosmjernog strujnog izvora ID na slici 2.40 poklapa se s referentnim smjerom struje, pa će istosmjerna struja ulaziti u Shockleyevu jednadžbu s pozitivnim predznakom. Naravno, ovako velika struja niti ne može teći kroz diodu u reverznom smjeru, budući da je za idealnu diodu, čija je strujno-naponska karakteristika određena Shockleyevom jednadžbom, maksimalna struja koja može teći kroz diodu u reverznom smjeru jednaka reverznoj struji zasićenja. Kod realnih dioda ovako velika reverzna struja može teći samo ako je dioda u području proboja. Kada je ω ⋅ t = 0 , sin(ω ⋅ t ) = 0 , pa je ukupna struja kroz diodu jednaka istosmjernoj komponenti, tj. iD (ω ⋅ t = 0) = I D = 10 mA . Napon na diodi u tom trenutku bit će æI ö uD (ω ⋅ t = 0) = U D = U T ⋅ ln ç D + 1÷ = 0,595 V . è IS ø Par vrijednosti UD i ID definira točku na strujno-naponskoj karakteristici diode u kojoj su napon, odnosno struja, jednaki vrijednosti kada nema izmjenične komponente napona, odnosno struje. Zbog toga se ta točka zove statička radna točka. Ona je kod pn-diode jednoznačno određena naponom na diodi i strujom kroz diodu. Za ω ⋅ t = π / 6, sin ( ω ⋅ t ) = 1/ 2 . Uz amplitudu sinusnog signala od 1 mA, kako je zadano u a) dijelu zadatka, dobivamo ukupnu vrijednost struje kroz diodu iD (ω ⋅ t = π / 6) = I D + I dm ⋅ sin (ω ⋅ t = π / 6) = 10,5 mA , pa je u tom trenutku uD (ω ⋅ t = π / 6) = 0,597 V .

Izmjenična komponenta trenutnog napona na diodi jednaka je razlici ukupne trenutne vrijednosti i istosmjerne komponente ud (ω ⋅ t = π / 6) = uD (ω ⋅ t = π / 6) − U D = 1,26 mV .

Zadatak 2.26

220


Tablica 2.7. Trenutne vrijednosti napona i struja u zadatku 2.26.

a) I dm = 1 mA

b) I dm = 9 mA

ω ⋅t rad

iD mA

uD V

ud mV

iD mA

uD V

ud mV

0 π /6 π /4 π /3 π /2 2 π /3 3 π /4 5 π /6

10,00 10,50 10,71 10,87 11,00 10,87 10,71 10,50

0,59524 0.59650 0,59700 0,59739 0,59770 0,59739 0,59700 0,59650

0 1,26 1,77 2,15 2,46 2,15 1,77 1,26

10,00 14,50 16,36 17,79 19,00 17,79 16,36 14,5

0,59524 0,60484 0,60797 0,61014 0,61183 0,61014 0,60797 0,60484

0 9,61 12,7 14,9 16,6 14,9 12,7 9,61

π 7 π /6 5 π /4 4 π /3 3 π /2 5 π /3 7 π /4 11 π /6

10,00 9,50 9,29 9,13 9,00 9,13 9,29 9,50

0,59524 0,59391 0,59334 0,59290 0,59252 0,59290 0,59334 0,59391

0 −1,33 −1,90 −2,34 −2,72 −2,34 −1,90 −1,33

10,00 5,50 3,64 2,21 1,00 2,21 3,64 5,50

0,59524 0,57978 0,56909 0,55617 0,53572 0,55617 0,56909 0,57978

0 −15,5 −26,2 −39,1 −59,5 −39,1 −26,2 −15,5

Na isti način možemo izračunati i vrijednosti napona za ostale kuteve. U tablici 2.7 dane su vrijednosti ukupne struje kroz diodu iD , ukupnog napona na diodi uD , te vrijednosti izmjenične komponente napona ud za neke vrijednosti kuta ω ⋅ t . Na slici 2.41 tamnom punom linijom prikazani su dobiveni valni oblici. Možemo uočiti da je za veću amplitudu izmjenične komponente struje izobličenje napona značajno. Međutim, kada je amplituda struje 1 mA, izobličenje sinusnog signala je zanemarivo (uvećani dio karakteristike na slici 2.41). Nelinearnost strujno-naponske karakteristike diode pri malim amplitudama signala ne dolazi do izražaja, te se ona može aproksimirati tangentom na karakteristiku diode u statičkoj radnoj točki (tanki svijetli pravac na slici 2.41). Valni oblici napona i struje bit će jednaki, a omjer amplituda struje i napona određen je nagibom tangente. Nagib tangente ima dimenziju vodljivosti i naziva se dinamičkom vodljivošću, a njegova recipročna vrijednost dinamičkim otporom. Dinamičku vodljivost dobit ćemo iz Shockleyeve jednadžbe deriviranjem struje kroz diodu po naponu na diodi ìï é æ U D ö ù üï I S æU ö (2.140) ÷ − 1ú ý = ⋅ exp ç D ÷ . í I S ⋅ êexp ç U U è ø è UT ø êë úû þï T T îï Brojnik u ovom izrazu možemo izraziti preko statičke struje kroz diodu, pa (2.140) prelazi u I +I gd = D S . (2.141) UT gd =

Zadatak 2.26

∂ ID ∂ = ∂ U D ∂U D

221


id Idm

Idm = 1 mA

π

0

2π

ω .t

− Idm

ud

π statička radna točka

ω .t

(UD , ID )

2π

i D / mA

tangenta

id

20

Idm

10

0

0 0,5

0,6

0,55

uD / V

Idm = 9 mA π

2π

ω .t

− Idm

ud

π

ω .t

2π

Slika 2.41. Valni oblici napona i struja u zadatku 2.26.

Osim o karakteristikama diode (reverzna struja zasićenja u brojniku) i o temperaturi, iznos dinamičke vodljivosti ovisi o položaju statičke radne točke. Iz izraza (2.140) vidi se da dinamička vodljivost raste eksponencijalno s istosmjernim naponom, odnosno, prema izrazu (2.141),

Zadatak 2.26

222


linearno s istosmjernom strujom. Znači da će, uz istu amplitudu izmjenične struje, amplituda izmjeničnog napona U dm = rd ⋅ I dm , pri većim istosmjernim strujama kroz diodu, odnosno većim istosmjernim naponima (propusne polarizacije) na diodi, biti manja. Za vrijednosti iz teksta zadatka, dobit ćemo da je gd = 0,387 S, odnosno rd = 1 / gd = 2,59 Ω, pa će za amplitudu struje od 1 mA, amplituda izmjeničnog napona na diodi biti U dm = I dm ⋅ rd = 2,59 mV . Usporedimo to s najvećim i najmanjim vrijednostima izmjeničnih napona na diodi danim u tablici 2.7! Kod kuta ω ⋅ t = π / 2 , kada je napon na diodi najveći (maksimum pozitivne poluperiode napona), ud = 2,46 mV. Za ω ⋅ t = 3π / 2 , kada je napon na diodi najmanji (maksimum negativne poluperiode napona), ud = − 2,72 mV. Amplitude pozitivne i negativne poluperiode se malo razlikuju od amplitude napona dobivene uz linearnu aproksimaciju strujno-naponske karakteristike diode. Relativna razlika je oko 5 % i ona će za manje amplitude izmjeničnog signala biti još manja. Na slici 2.41 svijetlim linijama su nacrtane tangente na karakteristiku diode, te valni oblici napona dobiveni uz linearnu aproksimaciju karakteristike diode. Koji uvjet mora biti zadovoljen da bi tangenta predstavljala dovoljno dobru aproksimaciju nelinearne karakteristike diode? Uvrstimo li ukupni napon uD ( t ) = UD + ud ( t ) u Shockleyevu jednadžbu, dobit ćemo é é æu ö ù æU +u ö ù iD = I S ⋅ êexp ç D ÷ − 1ú = I S ⋅ êexp ç D d ÷ − 1ú = U è T ø úû è U T ø úû êë êë é æU ö æu ö ù = I S ⋅ êexp ç D ÷ ⋅ exp ç d ÷ − 1ú . U è Tø è U T ø úû êë Razvijemo li funkciju exp ( ud / UT) u Taylorov red, nakon sređivanja moći ćemo napisati 2 ù é æU ö ù æU ö é u 1 æu ö iD = I S ⋅ êexp ç D ÷ − 1ú + I S ⋅ exp ç D ÷ ⋅ ê d + ⋅ ç d ÷ +Kú = ú è U T ø úû è U T ø ê U T 2! è U T ø êë ë û 2 ù æU ö é u 1 æu ö = I D + I S ⋅ exp ç D ÷ ⋅ ê d + ⋅ ç d ÷ +Kú . ú è U T ø ê U T 2! è U T ø ë û Da bi se mogli zanemariti članovi razvoja viši od linearnog (koji obuhvaćaju nelinearnost karakteristike), odnosno da bi izobličenje signala bilo zanemarivo, amplituda izmjeničnog napona ud na diodi mora biti puno manja od naponskog ekvivalenta temperature ( Udm << UT).

Zadatak 2.26

223


Zadatak 2.27 Za sklop na slici 2.42 treba odrediti valne oblike napona na diodi, ako je na istosmjerni napon UG = 12 V superponiran sinusni napon ug( t ) = Ugm⋅ sin (ω⋅ t), pri čemu je Ugm = 50 mV. Reverzna struja zasićenja diode IS = 10−14 A, serijski otpor diode rs = 20 Ω, faktor m = 1,5. Temperatura je 300 K

ug(t)

Rješenje:

Slika 2.42. Elektronički zadatku 2.27.

R=1 kΩ

UG

~

+

D

+ uD (t) − sklop

u

U sklopu na slici 2.42, na istosmjerni napon izvora UG = 12 V superponiran je izmjenični napon amplitude 50 mV. Pretpostavit ćemo da je amplituda izmjeničnog napona na diodi dovoljno mala (manja od naponskog ekvivalenta temperature) da se nelinearna karakteristika diode oko statičke radne točke može nadomjestiti pravcem, tj. da se za izmjenični signal umjesto nelinearne strujnonaponske karakteristike diode može koristiti dinamički nadomjesni sklop za režim maloga signala. Tada se za analizu sklopa može primijeniti princip superpozicije: 1. Izračunaju se istosmjerni naponi i struje. Sve izvore izmjeničnih veličina pri tome treba ugasiti (naponske izvore kratko spajamo, strujne odspajamo). 2. Na osnovu dobivenih istosmjernih vrijednosti, odnosno na temelju položaja statičke radne točke, izračunaju se parametri dinamičkog nadomjesnog sklopa (dinamička vodljivost), te se dioda u sklopu zamijeni linearnim dinamičkim nadomjesnim sklopom. 3. Pristupa se analizi sklopa pod djelovanjem izmjeničnih izvora (gase se svi izvori istosmjernih veličina). Konačno rješenje dobiva se zbrajanjem istosmjernih i izmjeničnih komponenti traženih veličina. Istosmjernu struju kroz diodu dobit ćemo preko Kirchoffovog zakona za napone u zatvorenoj petlji. Pri tome treba voditi računa o padu napona ID ⋅ rs na serijskom otporu diode (otpor od vanjskih priključnica do samog pn-spoja) æI ö U G = I D ⋅ R + I D ⋅ rs + m ⋅ U T ⋅ ln ç D + 1÷ . è IS ø

Naponski izvor propusno polarizira diodu, budući da je pozitivniji kraj izvora spojen preko otpornika R na anodu diode, a negativniji kraj na njenu katodu. Struja kroz diodu bit će æI ö U G − m ⋅ U T ⋅ ln ç D + 1÷ è IS ø ID = . R + rs

Dobili smo transcedentnu jednadžbu u kojoj je struja ID izlučena na lijevu stranu znaka jednakosti, ali se nalazi i u argumentu logaritamske funkcije na desnoj strani. Kako se ova jednadžba ne može analitički riješiti, primijenit ćemo postupak iteracije (vidi tablicu 2.8) koji će nam dati ID = 10,7 mA. Napon na intrinsičnoj diodi, tj. napon na pn-barijeri i na kvazineutralnim područjima oko barijere, bez pada napona na serijskom otporu poluvodiča je æI ö U D ,int = m ⋅ U T ⋅ ln ç D + 1÷ = 1,07 V , I è S ø Zadatak 2.27

224


Tablica 2.8. Iteracija pri proračunu istosmjerne struje u zadatku 2.27.

korak

0

1

2

3

ID / mA

0

11,76

10,71

10,71

dok je pad napona na serijskom otporu I D ⋅ rs = 0,214 V . Napon na intrinsičnoj diodi je za faktor m veći od napona æI ö U Dpn = U T ⋅ ln ç D + 1÷ = 0,716 V , è IS ø

koji bi na idealnom pn-spoju (m = 1) bio pri istoj struji kroz diodu. Faktor m veći od 1 uzrokuje položeniju karakteristiku diode, nego što ju daje Shockleyeva jednadžba za slučaj kada je m = 1. Zato će kod iste struje i pad napona na diodi biti veći nego kod idealne diode. Dobro je još jednom se podsjetiti da je teoretski maksimalni mogući napon propusne polarizacije kod idealne diode jednak njenom kontaktnom potencijalu. Serijski otpor uzrokuje dodatni pad napona, tako da je ukupni napon na vanjskim priključnicama diode æI ö U D = I D ⋅ rs + m ⋅ U T ⋅ ln ç D + 1÷ = 1,29 V . è IS ø

Dinamička vodljivost za zadanu radnu točku bit će m ⋅UT rd = = 3,62 Ω . I D + IS Napon na diodi je puno manji od napona napajanja, tj. najveći dio pada napona je na otporniku R. Zbog toga struja u strujnom krugu vrlo slabo ovisi o promjenama pada napona na diodi, što znači da diodu pobuđujemo strujno. To nam dozvoljava da umjesto gornjeg iteracijskog postupka primijenimo jednostavniji postupak za izračunavanja istosmjerne struje kroz diodu. Unaprijed ćemo pretpostaviti da je napon istosmjernog izvora dovoljno velik da napon na propusno polariziranoj diodi bude 0,6 - 0,7 V (napon koljena karakteristike silicijskih dioda). Struja kroz diodu bit će U −UD ID = G = 111 , mA , R + rs pri čemu smo uzeli da je napon na diodi UD = 0,7 V. Da smo uzeti neku drugu vrijednost, npr. 0,6 V, ne bi bilo značajne razlike, jer struja kroz diodu slabo ovisi o tom naponu. Naime, u brojniku gornjeg izraza prevladava prvi član ( UG >> UD). Na temelju ovako dobivene struje, dinamički otpor će biti rd = 3,50 Ω. Razlika između točnih i približno izračunatih vrijednosti struje kroz diodu, odnosno dinamičkog otpora, je vrlo mala i bila bi još manja da je napon istosmjernog izvora još veći. Pošto smo izračunali dinamičku vodljivost, možemo prijeći na dinamičku analizu. Istosmjerni izvor napona kratko spajamo, a diodu zamjenjujemo njenim nadomjesnim sklopom za režim malog signala, pa sklop sa slike 2.42 prelazi u sklop prikazan na slici 2.43 Kako se radi o lineariziranom modelu (pretpostavlja se da je amplituda signala dovoljno mala da ne dolaze do izražaja nelinearnosti strujno-naponske karakteristike diode, tj. da dioda radi u režimu maloga

Zadatak 2.27

225


signala), valni oblik napona je vjerna kopija valnog oblika struje. Pomoću nadomjesnog sklopa na slici 2.43 dobivamo amplitudu napona na diodi kao r +r U dm = U gm ⋅ s d = 115 , mV . R + rs + rd Da nismo za dinamičku analizu koristili nadomjesni sklop za režim maloga signala, trebali bismo, kao u prethodnom zadatku, za svaki pojedini trenutak rješavati Kirchoffove jednadžbe za zadani sklop, tj. za svaku vremensku točku trebali bismo provesti iteraciju. Za ovaj jednostavni sklop to i ne iziskuje puno računa, ali se stvari znatno kompliciraju za sklopove sa više dioda.

R = 1 kΩ

+ rs

ug(t)

~

D

ud (t) rd −

Slika 2.43. Nadomjesni sklop za dinamičku analizu sklopa sa slike 2.42.

Zadatak 2.28 Dioda ima reverznu struju zasićenja IS = 10–12 A. Izračunajte dinamički otpor te diode na T = 300 K ako je napon na diodi: a) U = +0,5 V, b) U = 0, c) U = – 0,5 V. Rješenja: a) rd = 103 Ω, b) rd = 2,59⋅1010 Ω, c) rd = 6,49⋅1018 Ω.

Zadatak 2.29 Dioda ima na nekoj radnoj temperaturi IS = 10–11 A. Kada kroz diodu teče struja od 1 mA, njen dinamički otpor je 25 Ω. Izračunajte napon na diodi, te postotne promjene dinamičkog otpora, ako se za 10 % poveća: a) struja kroz diodu, b) napon na diodi. Rješenja: U = 0,461 V, a) ∆rd / rd = – 9,09 %, b) ∆rd / rd = – 84,2 %.

Zadatak 2.28

226


2.5.2. Nakrcani naboj manjinskih nosilaca

Kada je pn-dioda propusno polarizirana, dolazi do injekcije nosilaca preko spoja, što povećava koncentracije manjinskih nosilaca iznad ravnotežnih vrijednosti. U područjima oko barijera nastaje ekscesni naboj manjinskih nosilaca koji ima značajan utjecaj na dinamička svojstva diode, posebice na visokim frekvencijama. Budući da taj naboj nastaje kao posljedica injekcije nosilaca, njegov iznos ovisit će o istosmjernoj struji kroz diodu. Za diodu sa širokom n-stranom ekscesni naboj manjinskih šupljina bit će

Qp = I P ⋅ τ p ,

(2.142)

gdje je Ip struja šupljina kroz pn-spoj. Slično, za diodu s uskom n-stranom

Qp = I P ⋅ t p ,

(2.143)

gdje je tp vrijeme proleta manjinskih šupljina kroz usku n-stranu. To je prosječno vrijeme potrebno šupljinama da prođu od ruba barijere do vanjske priključnice na nstrani. Vrijeme proleta kroz homogeno dopiranu n-stranu širine wn može se računati preko izraza

tp =

wn2 , 2 ⋅ Dp

(2.144)

u kojem je Dp difuzijska konstanta manjinskih šupljina.

Zadatak 2.30 Silicijska dioda sa skokovitim pn-spojem površine 0,5 mm2 ima n-stranu dopiranu s ND = 1017 donora / cm3, a p-stranu dopiranu s NA = 5⋅ 1015 akceptora / cm3. Geometrijska širina n-strane je 2 µm, dok je širina p-strane puno veća od difuzijske duljine manjinskih elektrona. Temperatura T = 300 K i na njoj su vremena života manjinskih nosilaca τn = 170 µs, τp = 2,3 µs. Izračunati struju kroz diodu i nakrcane naboje manjinskih nosilaca na obje strane spoja kada je napon na diodi a) U = 0,6 V, b) U = − 50 V. Rješenje: Na temelju zadanih koncentracija primjesa i vremena života manjinskih nosilaca izračunat ćemo prvo parametre manjinskih nosilaca potrebne za računanje reverzne struje zasićenja. Pomoću izraza za ovisnost pokretljivosti nosilaca o koncentraciji primjesa za zadanu koncentraciju donora na n-strani ND = 1017 cm−3 možemo izračunati pokretljivost šupljina µp = 311 cm2/ Vs, odnosno difuzijsku konstantu i difuzijsku duljinu šupljina

Dp = µ p ⋅ U T = 8,03 cm2 / s , L p = Dp ⋅ τ p = 43,3 µm .

Zadatak 2.30

227


Kao što vidimo, difuzijska duljina manjinskih šupljina je puno veća od geometrijske širine nstrane, pa se radi o uskoj n-strani. Slično možemo odrediti parametre manjinskih elektrona na p-strani. Dobit ćemo:

µn = 1300 cm2 / Vs , Dn = 33,6 cm2 / s , Ln = 756 µm .

a) Da bismo mogli izračunati reverznu struju zasićenja diode i raspodjelu manjinskih šupljina na p-strani, trebamo prethodno izračunati efektivnu širinu te strane. Kontaktni potencijal zadanog pn-spoja dobit ćemo kao æ N ⋅N ö U K = U T ⋅ ln çç D 2 A ÷÷ = 0,739 V , è ni ø

Ukupna širina barijere pri naponu U = 0,6 V je dB =

2 ⋅ε ND + N A ⋅ ⋅ (U K − U ) = 0,196 µm , q ND ⋅ N A

a širina barijere na n-strani je d Bn = d B ⋅

NA = 9,34 nm . ND + N A

Koncentracija primjesa na n-strani je puno veća od neto koncentracije primjesa na p-strani, te se barijera praktički cijela širi na p-stranu spoja. Dioda je propusno polarizirana, pa je barijera uska i možemo zanemariti njenu širinu (odnosno njenu širinu na n-strani) u odnosu na geometrijsku širinu n-strane. Šupljinska komponenta reverzne struje zasićenja za usku n-stranu bit će I pS = S ⋅ q ⋅ ni2 ⋅

Dp N D ⋅ wn

= 6,13 ⋅ 10−14 A ,

dok je elektronska komponenta I nS = S ⋅ q ⋅ ni2 ⋅

Dn = 1,36 ⋅ 10−14 A , N A ⋅ Ln

pa je ukupna reverzna struja zasićenja IS = IpS + InS = 7,48 ⋅10−14 A. Za zadani napon U = 0,6 V, struja kroz diodu bit će I = 900 µA. Funkcije raspodjela manjinskih nosilaca prikazane su na slici 2.44. Nakrcani naboji manjinskih nosilaca proporcionalni su površinama ispod funkcija raspodjela manjinskih nosilaca, a iznad ravnotežnih koncentracija, kako je označeno sjenčanim površinama na slici. Prema tome, nakrcani naboj manjinskih nosilaca dobit ćemo integracijom raspodjele ekscesnih manjinskih nosilaca po cijeloj širini kvazineutralnog područja. Ekscesna koncentracija manjinskih nosilaca jednaka je stvarnoj koncentraciji manjinskih nosilaca umanjenoj za ravnotežnu koncentraciju, tj. to je koncentracija manjinskih nosilaca iznad ravnotežne, pa će nakrcani naboj manjinskih elektrona na p-strani biti

Zadatak 2.30

228


x pw

Qn = S ⋅ q ⋅

ò [n p ( x) − n0 p ] ⋅ dx .

(2.145)

xp

Opet ćemo definirati dva koordinatna sustava, za svaku stranu spoja zasebno. Ishodišta oba koordinatna sustava postavit ćemo uz pripadajuće rubove barijere (širina barijere je zanemariva), te ćemo za obje strane uzeti da je prostorna koordinata pozitivna, kao što je i nacrtano na slici 2.44. Donja granica integrala (2.145) postat će 0, a gornja granica wp . Raspodjela manjinskih elektrona uz ovako postavljene koordinatne sustave bit će općenito æ wp − x ö sinhç ÷ è Ln ø n p ( x ) = n0 p + (n p 0 − n0 p ) ⋅ . æ wp ö sinhç ÷ è Ln ø

np

(2.146)

pn np0

Qn pn0 n0p

Qp

p0n

pnw

0

x

wn

x

Slika 2.44. Nakrcani naboj manjinskih nosilaca u propusnopolariziranoj diodi.

Za široku p-stranu ( wp >> Ln) gornji općeniti izraz prelazi u æ xö n p ( x ) = n0 p + (n p 0 − n0 p ) ⋅ expç − ÷ , è Ln ø

(2.147)

a za usku p-stranu (wp << Ln) u n p ( x ) = n0 p + ( n p 0 − n0 p ) ⋅

wp − x wp

.

Uvrstimo li (2.146) u (2.145), dobit ćemo Qn = S ⋅ q ⋅ (n p 0 − n0 p ) ⋅

Zadatak 2.30

1 ⋅ æ wp ö sinhç ÷ è Ln ø

wp

æ wp − x ö ÷ ⋅ dx = Ln ø

ò sinhçè 0

(2.148)

229


= S ⋅ q ⋅ (n p 0 − n0 p ) ⋅

é æ wp ö ù Ln ⋅ êcoshç ÷ − 1ú . w æ p ö êë è Ln ø úû sinhç ÷ è Ln ø

(2.149)

Za široke p-strane, kada je wp >> Ln, vrijedi da je cosh ( wp/ Ln) >> 1, te je æ wp ö ÷ = S ⋅ q ⋅ (n p 0 − n0 p ) ⋅ Ln . Qn = S ⋅ q ⋅ (n p 0 − n0 p ) ⋅ Ln ⋅ tanhç è Ln ø

(2.150)

Do jednakog rezultata došli bismo da smo umjesto općenite u (2.145) uvrstili raspodjelu (2.147). Za gornju granicu integracije se u tom slučaju može uzeti beskonačno, budući da se svi ekscesni elektroni rekombiniraju prije no što stignu do priključnice, pa koncentracija ekscesnih nosilaca teži nuli. Za uske p-strane, hiperbolne funkcije u (2.149) se mogu aproksimirati prvim članovima razvoja u red potencija

cosh( x ) = 1 +

x2 , 2!

sinh( x ) = x ,

pa je nakrcani naboj manjinskih elektrona Qn = S ⋅ q ⋅

(n p 0 − n0 p ) ⋅ w p

. (2.151) 2 Za usku p-stranu mogli smo umjesto općenite raspodjele (2.146) integrirati linearnu raspodjelu (2.148) - rezultat bi bio isti. Kako se za male širine p-strane raspodjela manjinskih elektrona može aproksimirati pravcem koji od ruba barijere do vanjske priključnice pada sa vrijednosti np0 na ravnotežnu vrijednost n0p , nakrcani naboj manjinskih nosilaca bit će proporcionalan površini pravokutnog trokuta čija je osnovica jednaka efektivnoj širini p-strane, a visina jednaka ekscesnoj koncentraciji manjinskih elektrona uz rub barijere ( np0 − n0p). Sada možemo zadane vrijednosti uvrstiti u izraze za nakrcani naboj koje smo izveli. Za naboj manjinskih šupljina nakrcanih u uskoj n-strani koristit ćemo izraz ekvivalentan izrazu (2.151). Ravnotežna koncentracija manjinskih šupljina je p0n =

ni2 = 1900 cm− 3 . ND

Koncentraciju šupljina uz rub barijere dobit ćemo pomoću Boltzmannove formule æU ö ÷ = 2,29 ⋅ 1013 cm− 3 . pn 0 = p0n ⋅ exp ç è UT ø

Nakrcani naboj manjinskih šupljina Qp = S ⋅ q ⋅

( pn 0 − p0n ) ⋅ wn = 1,83 pC . 2

Ravnotežna koncentracija manjinskih elektrona na p-strani je n0 p =

ni2 = 3,81 ⋅ 104 cm− 3 , NA

a koncentracija uz rub barijere

Zadatak 2.30

230


æU ö ÷ = 4,58 ⋅ 1014 cm− 3 . n p 0 = n0 p ⋅ exp ç è UT ø

Nakrcani naboj manjinskih elektrona dobit ćemo uvrštavanjem vrijednosti u izraz (2.150): Qn = 27,4 nC. Nakrcani naboj manjinskih šupljina na n-strani je puno manji od nakrcanog naboja manjinskih elektrona na p-strani prvenstveno zbog male širine n-strane. Kada bi efektivna širina n-strane bila puno veća od difuzijske duljine šupljina, dobiveni naboj manjinskih šupljina uz zadane vrijednosti bio bi (iz izraza ekvivalentnog izrazu (2.150)) Qp = 1,71 nC. Promotrimo malo vezu između nakrcanog naboja i struje kroz diodu. Upotrijebit ćemo općenite izraze za nakrcani naboj (2.149) Qn = S ⋅ q ⋅ (n p 0 − n0 p ) ⋅

é æ wp ö ù Ln ⋅ êcoshç ÷ − 1ú æ w p ö êë è Ln ø úû sinhç ÷ è Ln ø

i za struju (2.97) I N = S ⋅ q ⋅ Dn (n p 0 − n0 p ) ⋅

æ wp ö 1 ÷. ⋅ cothç Ln è Ln ø

Podijelimo li ta dva izraza dobit ćemo Qn L2n = ⋅ I N Dn

æ wp ö æ wp ö coshç coshç ÷ −1 ÷ −1 è Ln ø è Ln ø = τn ⋅ . æ wp ö æ wp ö coshç coshç ÷ ÷ è Ln ø è Ln ø

(2.152)

Kao što vidimo, omjer nakrcanog naboja i pripadajuće komponente struje proporcionalan je vremenu života manjinskih nosilaca i članu čiji iznos ovisi o efektivnoj širini pripadajuće strane normiranoj na difuzijsku duljinu manjinskih nosilaca. Za neku diodu ovaj član će biti konstantan, zanemarimo li utjecaj napona na efektivne širine kvazineutralnih područja. Za velike omjere wp / Ln razlomak u (2.152) teži k 1, pa možemo pisati da je (2.153) Qn = I N ⋅ τ n , tj. omjer nakrcanog naboja i pripadajuće komponente struje diode sa širokom p-stranom ovisi isključivo o vremenu života nosilaca. Za diodu s uskom p-stranom ( wp / Ln << 1 ) možemo kosinus hiperbolni aproksimirati prvim članovima razvoja u red potencija cosh( x ) = 1 +

x2 , 2!

pa dobivamo da je 2

tn =

w2p Qn τ n æ w p ö = ⋅ç . ÷ = IN 2 è Ln ø 2 ⋅ Dn

(2.154)

tn je vrijeme proleta elektrona, prosječno vrijeme potrebno da manjinski elektroni prođu kroz usku p-stranu. Iz prvog izraza u (2.154) vidimo da je vrijeme proleta za diodu s uskom stranom puno manje od vremena života. Na primjer, za zadanu diodu vrijeme proleta manjinskih šupljina kroz usku n-stranu je

Zadatak 2.30

231


tp =

wn2 = 2,49 ns . 2 ⋅ Dp

b) Pri nepropusnoj polarizaciji pn-spoja naponom U = − 50 V, ukupna širina barijere je dB = 3,74 µm, a širina barijere na n-strani je dBn = 0,178 µm. Širina barijere na n-strani nije više zanemariva u odnosu na geometrijsku širinu te strane, pa moramo izračunati efektivnu širinu wn = wn 0 − d Bn = 1,82 µm . Zbog smanjene efektivne širine n-strane promijenit će se i elektronska komponenta reverzne struje zasićenja I nS = S ⋅ q ⋅ ni2 ⋅

Dp N D ⋅ wn

= 6,72 ⋅ 10−14 A .

Šupljinska komponenta reverzne struje zasićenja nije se promijenila ( IpS = 1,31 ⋅10−14 A) budući da je efektivna širina p-strane puno veća od difuzijske duljine manjinskih šupljina. Promjene širine barijere, iako su dosta velike, nemaju utjecaja na iznos te struje. Ukupna reverzna struja zasićenja je I S = I nS + I pS = 8,03 ⋅ 10−14 A . Dioda je polarizirana velikim reverznim naponom, pa je struja kroz nju jednaka reverznoj struji zasićenja I = − I S = −8,03 ⋅ 10−14 A .

Pri reverznoj polarizaciji koncentracije nosilaca su manje od ravnotežnih i zato nema nakrcanog naboja manjinskih nosilaca.

Zadatak 2.31 Dvije silicijske diode koje imaju ND >> NA = 1016 cm−3 spojene su u seriju. Jedna dioda ima usku (wp << Ln), a druga široku p-stranu (wp >> Ln). Vremena života elektrona na pstranama su za obje diode ista, površine dioda su 2 mm2. Difuzijske struje manjinskih nosilaca na udaljenosti 5 µm od barijere za diodu D1 iznosi 10 mA, a za diodu D2 10,6 mA. T = 300 K. Odrediti: a) širinu uske p-strane, ako je u njoj nakrcan naboj ekscesnih elektrona 200 puta manji od naboja nakrcanog u širokoj p-strani, b) napone na diodama. Rješenje: Za obje diode je koncentracija donora puno veća od koncentracije akceptora, pa se struja kroz diode sastoji gotovo isključivo od elektronske komponente, tj. I = In . Na temelju zadanih difuzijskih struja na 5 µm od barijere odredit ćemo koja dioda je s uskom, a koja dioda sa širokom p-stranom. Diode su spojene u seriju, pa ukupne struje kroz njih moraju biti međusobno jednake. To znači da i difuzijske struje manjinskih elektrona uz rubove barijera moraju biti međusobno jednake. Za diodu sa širokom p-stranom ta struja će eksponencijalno padati od maksimalne vrijednosti uz rub barijere

Zadatak 2.31

232


æ xö I N ( x ) = I N ( x = 0) ⋅ exp ç − ÷ , è Ln ø

pa će difuzijska struja na 5 µm od barijere biti manja od struje koja teče kroz pn-spoj. Naprotiv, kod diode s uskom p-stranom difuzijska struja manjinskih elektrona je praktički konstantna budući da koncentracija elektrona linearno pada od barijere prema priključnici, tj. I N ( x ) = I N ( x = 0) = konst. Zaključujemo da veća od zadanih struja odgovara difuzijskoj struji uske diode, a to je ujedno i ukupna struja kroz diode, dok je manja struja difuzijska struja široke diode na 5 µm od ruba barijere. Dakle, dioda D2 je dioda s uskom p-stranom I N 2 ( x ) = 10,6 mA = I N , a dioda D1 je dioda sa širokom p-stranom u kojoj je æ xö I N 1 ( x ) = I N ⋅ exp ç − ÷ . è Ln ø

a) Budući da znamo difuzijsku struju elektrona na 5 µm od ruba barijere široke diode D1 I N 1 (5 µm) = 10 mA , te difuzijsku struju elektrona uz rub barijere za tu diodu I N 1 ( 0) = I N = 10,6 mA , pomoću poznate (eksponencijalne) raspodjele možemo izraziti i izračunati difuzijsku duljinu x Ln = = 85,8 µm . é ù IN ln ê ú ë I N 1 (5 µm) û Na osnovu zadane koncentracije akceptora na p-strani (NA = 1016 cm−3) možemo izračunati pokretljivost elektrona µn = 1230 cm2/ Vs, a potom i njihovu difuzijsku konstantu Dn = 31,8 cm2/ s. Iz ovih podataka izračunat ćemo vrijeme života elektrona

τn =

L2n = 2,32 µs . Dn

Sada, pošto znamo vrijeme života, možemo izračunati nakrcani naboj manjinskih elektrona u diodi D1 sa širokom p-stranom Qn1 = I N ⋅ τ n = 24,6 nC . Prema tekstu zadatka, nakrcani naboj manjinskih elektrona u diodi s uskom p-stranom je 200 puta manji Q Qn 2 = n1 = 123 pC , 200 a kako je za usku diodu Qn 2 = I N ⋅ tn = I N ⋅

w 2p 2 ⋅ Dn

,

(tn je vrijeme proleta elektrona) dobivamo za traženu efektivnu širinu uske p-strane

Zadatak 2.31

233


wp =

Qn 2 ⋅ 2 ⋅ Dn = 8,58 µm . IN

b) Napone na diodama odredit ćemo izrazom izvedenim iz Shockleyeve jednadžbe æ I ö U = U T ⋅ ln ç + 1÷ . I è S ø

(2.155)

Prethodno trebamo izračunati reverzne struje zasićenja obiju dioda. Za diodu D1 (sa širokom pstranom) Dn I S 1 = S ⋅ q ⋅ ni2 ⋅ = 2,49 ⋅ 10 −13 A , N A ⋅ Ln pa se uvrštavanjem u (2.155) dobiva U1 = 0,633 V. Za diodu D2 Dn I S 2 = S ⋅ q ⋅ ni2 ⋅ = 2,49 ⋅ 10−12 A . N A ⋅ wp te je U2 = 0,573 V. Usporedbom dobivenih napona zapažamo da je napon na diodi s uskom p-stranom manji. Naime, pri istom naponu, u diodi s uskom p-stranom bio bi veći gradijent koncentracije elektrona uz rub barijere, a time i veća struja kroz tu diodu (ako su parametri manjinskih nosilaca obiju dioda jednaki). Kako su diode u zadatku spojene u seriju, struje kroz njih, odnosno gradijenti koncentracija manjinskih elektrona moraju biti jednaki, pa je napon na diodi D2 manji.

Zadatak 2.32 Dioda sa skokovitim pn-spojem ima koncentracije primjesa ND = 1017 cm–3 i NA = 5 ⋅ 1015 cm–3. Efektivna širina p-strane je puno veća od difuzijske duljine manjinskih elektrona, dok je efektivna širina n-strane puno manja od difuzijske duljine manjinskih šupljina i iznosi 1 µm. Vrijeme života manjinskih nosilaca je 5 µs, a njihove pokretljivosti su µn = 1250 cm2/Vs i µp = 310 cm2/Vs. T = 300 K. Izračunajte vrijeme proleta manjinskih šupljina kroz n-stranu, te omjere komponenti struja i nakrcanih naboja manjinskih nosilaca. Rješenja: tp = 624 ps, IN / IP = 0,634, Qn / Qp = 5084.

Zadatak 2.33 Dvije silicijske diode jednakih geometrijskih dimenzija, koje imaju specifične vodljivosti p-strane puno veće od specifične vodljivosti n-strane, spojene su paralelno na isti napon. Kroz diodu D1 teče struja od 1 mA, pri čemu je u njoj nakrcani naboj manjinskih šupljina 10 nC. Izračunajte struju koja teče kroz diodu D2 . Koncentracija donora na n-strani diode D1 je ND = 1016 cm–3, a diode D2 ND = 5 ⋅ 1016 cm–3. Vrijeme života manjinskih nosilaca u diodi D1 je 10 µs, a u diodi D2 je 8 µs. T = 300 K. Površina spoja je 1 mm2. Rješenje: I2 = 0,204 mA. Zadatak 2.32

234


2.5.3. Difuzijska admitancija i difuzijski kapacitet

Osim barijernog kapaciteta koji je posljedica naboja ioniziranih primjesa unutar barijere, na dinamička svojstva diode utječe i difuzijski kapacitet koji je rezultat nakrcanog naboja manjinskih nosilaca u kvazineutralnim područjima oko barijere. Točnije, difuzijski kapacitet je posljedica tromosti nakrcanog naboja manjinskih nosilaca, odnosno konačnog vremena potrebnog da se taj naboj preraspodijeli pri promjenama napona na pn-spoju. Pri nepropusnim polarizacijama pn-spoja difuzijski kapacitet je zanemariv u odnosu na barijerni, ali je kod propusnih polarizacija difuzijski kapacitet redovito puno veći. Iznos difuzijskog kapaciteta ovisi o frekvenciji priključenog izmjeničnog signala. Isto tako, i dinamički otpor općenito ovisi o frekvenciji izmjeničnog signala. Kako se dioda za dinamičke uvjete može nadomjestiti paralelnom kombinacijom dinamičkog otpora i difuzijskog kapaciteta, govorimo o difuzijskoj admitanciji. Za diodu koja ima obje strane široke (puno šire od difuzijskih duljina manjinskih nosilaca) difuzijska admitancija dana je izrazom

yd =

(

)

1 ⋅ I N ⋅ 1 + j⋅ ω ⋅ τn + I P ⋅ 1 + j ⋅ω ⋅ τ p . UT

(2.156)

Difuzijska admitancija se sastoji od realnog dijela - dinamičke vodljivosti, te imaginarnog dijela - difuzijske susceptancije j ⋅ ω⋅ Cd . Kao što vidimo, vrijednost difuzijske admitancije ovisi o položaju statičke radne točke i o vremenima života manjinskih nosilaca. Ovisnost o položaju statičke radne točke proizlazi iz članova IN (elektronska) i IP (šupljinska komponenta istosmjerne struje kroz diodu).

Zadatak 2.34 Izvesti izraz za difuzijsku admitanciju pn-spoja koji je propusno polariziran naponom UD >> UT . Rješenje: [Valkó91] Pretpostavimo da je na pn-spoj narinut napon koji se sastoji od istosmjerne komponente UD i izmjeničnog sinusnog napona ud ( t ) male amplitude Udm . Izmjenični napon prikazat ćemo u kompleksnom obliku, pa ukupni napon možemo napisati kao uD (t ) = U D + ud (t ) = U D + U dm ⋅ e jω t .

(2.157)

Taj napon uzrokovat će struju id ( t ) kroz diodu koja se također sastoji od istosmjerne komponente ID i izmjenične komponente id ( t ) amplitude Idm iD (t ) = I D + id (t ) = I D + I dm ⋅ e j⋅(ω t +ϕ ) .

(2.158)

Naravno, pretpostavlja se da je amplituda napona na diodi dovoljno mala da se karakteristika diode oko radne točke može aproksimirati pravcem, tj. da ne dolazi do izražaja nelinearnost strujno-naponske karakteristike diode. Zbog tromosti nakrcanog naboja manjinskih nosilaca uz barijeru, naboj ne može pratiti visokofrekvencijske promjene napona, pa izmjenični napon na diodi i izmjenična struja kroz diodu općenito nisu u fazi već postoji fazni pomak ϕ. Difuzijska admitancija jednaka je omjeru izmjenične struje i izmjeničnog napona

Zadatak 2.34

235


yd (ω ) =

id (t ) . ud (t )

(2.159)

Prema tome, da bismo izveli izraz za difuzijsku admitanciju moramo naći vezu između izmjeničnih napona i struja diode, a za to moramo riješiti jednadžbu kontinuiteta. Tijek postupka bit će slijedeći: 1. odredit ćemo rubne uvjete koji su nam neophodni za rješavanje jednadžbe kontinuiteta. Te rubne uvjete izrazit ćemo preko napona na barijeri; 2. riješit ćemo jednadžbu kontinuiteta, što će nam dati raspodjele manjinskih nosilaca u kvazineutralnim područjima poluvodiča; 3. iz dobivenih raspodjela moći ćemo odrediti struje kroz diodu preko gradijenta manjinskih nosilaca uz rubove barijere. Radi jednostavnosti ograničit ćemo razmatranje na šupljine na n-strani. Naravno, za manjinske elektrone na p-strani vrijede identična razmatranja, a ukupna struja kroz diodu, odnosno difuzijska admitancija, dobiva se zbrajanjem doprinosa elektronske i šupljinske komponente struje kroz diodu. Ovisnost koncentracija manjinskih nosilaca uz rub barijere o priključenom naponu opisana je Boltzmannovim relacijama. Za manjinske šupljine na n-strani æ U + U dm ⋅ e jω t ö é u (t ) ù ÷÷ = pn 0 (t ) = p0n ⋅ exp ê D ú = p0n ⋅ exp çç D UT è ø ë UT û æU ö æU ö = p0n ⋅ exp ç D ÷ ⋅ exp ç dm ⋅ e jω t ÷ . è UT ø è UT ø

(2.160)

Pretpostavili smo da je amplituda izmjeničnog signala dovoljno mala da dioda radi u režimu maloga signala, tj. da je Udm << UT . Tada se zadnja eksponencijalna funkcija u gornjem izrazu može aproksimirati s prva dva člana razvoja eksponencijalne funkcije u red potencija, tj. exp ( x ) = 1 + x , pa dobivamo da je æU ö æ U ö U pn 0 (t ) = p0n ⋅ exp ç D ÷ ⋅ ç1 + dm ⋅ e jω t ÷ = pn 0 + pn 0 ⋅ dm ⋅ e jω t , UT UT è UT ø è ø

(2.161)

gdje je æU ö pn 0 = p0n ⋅ exp ç D ÷ è UT ø

koncentracija manjinskih šupljina uz rub barijere u stacionarnim uvjetima, kada nema izmjeničnog signala. Kao što je vidljivo iz (2.161), trenutna koncentracija šupljina sinusoidalno titra oko vrijednosti pn 0 . Pošto smo odredili rubnu vrijednost koncentracije nosilaca, možemo prionuti rješavanju jednadžbe kontinuiteta ∂ pn p ∂ 2 pn = − n + Dp ⋅ . ∂t τp ∂ x2

(2.162)

U (2.162) namjerno je u brojniku prvog člana na desnoj strani izostavljena ravnotežna koncentracija p0n . U biti smo tim zanemarenjem translatirali os ordinate za iznos ravnotežne

Zadatak 2.34

236


koncentracije, pri čemu se ta translacija u parcijalnim derivacijama izgubila. Ova translacija neće imati značajnijeg utjecaja na konačno rješenja zbog dva bitna razloga: 1. pretpostavljamo da je dioda propusno polarizirana dovoljno velikim naponom da je koncentracija manjinskih nosilaca uz rub barijere puno veća od ravnotežne. Kako nam za određivanje struje elektrona kroz pn-spoj treba samo gradijent koncentracije uz rub barijere, greška koja će nastati u dobivenoj raspodjeli dalje od barijere, gdje nije zadovoljen uvjet pn( x ) >> p0n , neće imati bitnog utjecaja; 2. zanimaju nas dinamičke veličine, tj. promjene struje, pa položaj ishodišta koordinatnog sustava nema utjecaja na točnost rješenja. Zbog navedene translacije osi ordinate, drugi rubni uvjet pri rješavanju jednadžbe kontinuiteta glasit će pn ( x → ∞) = 0 za diodu sa širokom n-stranom, odnosno pn ( wn ) = 0

za diodu s uskom n-stranom, efektivne širine wn . Možemo očekivati da će opće rješenje jednadžbe (2.162) biti oblika p ( x, t ) = p ( x) + ~ p ( x ) ⋅ e jω t . n

n

n

(2.163)

Prvi član ( pn ( x ) ) je stacionarna raspodjela šupljina, dok je drugi član superponirana vremenski promjenjiva komponenta. ~ pn ( x ) je kompleksna amplituda te izmjenične komponente. Jednadžba (2.162) je homogena linearna parcijalna diferencijalna jednadžba, pa se opće rješenje može izraziti kao linearna kombinacija linearno nezavisnih rješenja. U našem slučaju jedno linearno nezavisno rješenje ( pn ( x ) u (2.163)) odgovara stacionarnom stanju kada je ∂ pn =0, ∂t iz čega slijedi obična homogena linearna diferencijalna jednadžba drugog reda Dp ⋅

∂ 2 pn pn − =0, ∂x2 τ p

(2.164)

koju možemo pisati i kao d 2 pn dx 2

−

pn L2p

=0,

(2.165)

gdje je Lp difuzijska duljina manjinskih šupljina. Rješenje ove diferencijalne jednadžbe nam je poznato iz izvoda Shockleyeve jednadžbe. Drugo linearno nezavisno rješenje odgovara vremenski promjenjivoj komponenti raspodjele šupljina. Na osnovu pretpostavljene vremenske ovisnosti rješenja (e jω t ), vremensku derivaciju možemo nadomjestiti operatorom jω ∂ = jω , ∂t tako da dobivamo običnu diferencijalnu jednadžbu ~ d2 ~ p p Dp ⋅ 2n − n ⋅ (1 + j ⋅ ω ⋅ τ p ) = 0 . (2.166) τp dx

Zadatak 2.34

237


Ovu diferencijalnu jednadžbu možemo napisati u obliku ~ d2 ~ pn p − *n 2 = 0 , 2 ( Lp ) dx

(2.167)

pri čemu je L*p =

Lp 1 + j⋅ω ⋅τ p

.

(2.168)

Diferencijalne jednadžbe (2.165) i (2.167) su identične, a jedina suštinska razlika je u parametru Lp* koji je frekvencijski ovisan. Rješenje jednadžbe (2.165) u općenitom slučaju bit će æ w − xö ÷ sinhçç n ÷ è Lp ø pn ( x ) = pn 0 ⋅ . æ wn ö sinhçç ÷÷ è Lp ø

(2.169)

Za slučaj diode sa širokom n-stranom (wn >> Lp), ovo rješenje prelazi u poznatu eksponencijalnu raspodjelu æ x ö ÷. pn ( x ) = pn 0 ⋅ exp çç − ÷ è Lp ø

(2.170)

Analogno, opće rješenje jednadžbe (2.167) glasi æ w − xö sinhçç n * ÷÷ è Lp ø ~ pn ( x ) = ~ pn 0 ⋅ . æw ö n÷ ç sinhç * ÷ è Lp ø

(2.171)

Uvrštavanjem rješenja (2.169) i (2.171) u (2.163) dobit ćemo vremensku i prostornu funkciju raspodjele koncentracije manjinskih šupljina æ w − xö æ w − xö ÷ sinhçç n * ÷÷ sinhçç n ÷ è Lp ø è L p ø jω t U pn ( x , t ) = pn 0 ⋅ + pn 0 ⋅ dm ⋅ ⋅e , UT æw ö æw ö n n sinhçç ÷÷ sinhçç * ÷÷ è Lp ø è Lp ø

(2.172)

pomoću koje sada možemo odrediti struju šupljina kroz pn-spoj kao difuzijsku struju manjinskih šupljina uz rub barijere i PD (t ) = − S ⋅ q ⋅ Dp ⋅

∂ pn . ∂ x x=0

(2.173)

Uvrstimo li (2.172) u (2.173), dobit ćemo vremensku ovisnost struje kroz pn-spoj ép ù æw ö æw ö p U i PD (t ) = S ⋅ q ⋅ Dp ⋅ ê n 0 ⋅ cothçç n ÷÷ + n*0 ⋅ dm ⋅ cothçç *n ÷÷ ⋅ e jω t ú . ê Lp ú è Lp ø L p U T è Lp ø ë û

(2.174)

Zadatak 2.34

238


U ovom izrazu možemo razlučiti istosmjernu komponentu struje (prvi pribrojnik u uglatoj zagradi) I PD = S ⋅ q ⋅ Dp ⋅

æw ö pn 0 ⋅ cothçç n ÷÷ , Lp è Lp ø

(2.175)

te izmjeničnu komponentu struje (drugi pribrojnik u zagradi)

i pd = S ⋅ q ⋅ D p ⋅

æw ö Lp U pn 0 U dm ⋅ ⋅ cothçç *n ÷÷ = I PD ⋅ * ⋅ dm * Lp U T L Lp U T è pø

æw ö cothçç *n ÷÷ è Lp ø . ⋅ æ wn ö cothçç ÷÷ è Lp ø

(2.176)

U (2.176) smo izmjeničnu komponentu izrazili preko istosmjerne struje kroz diodu (2.175) da bismo i doprinos struje šupljina difuzijskoj admitanciji,

y pd =

i pd ud

=

I PD ⋅ 1 + j⋅ω ⋅τ p ⋅ UT

æw ö tanhçç n ÷÷ è Lp ø æ w ö tanhçç 1 + j ⋅ ω ⋅ τ p ⋅ n ÷÷ Lp ø è

,

(2.177)

dobili izražen preko istosmjerne struje, odnosno preko položaja statičke radne točke. Za diodu sa širokom n-stranom vrijedi da je wn >> Lp , pa desni razlomak u (2.177) teži k 1, a cijeli izraz (2.177) postaje y pd =

i pd ud

=

I PD ⋅ 1 + j⋅ω ⋅τ p . UT

(2.178)

Ukupna difuzijska admitancija jednaka je zbroju doprinosa struje šupljina (izrazi (2.177) odnosno (2.178)) i istovjetnih izraza za doprinos struje elektrona. Kao što je uočljivo iz izraza (2.177) odnosno (2.178), difuzijska admitancija je proporcionalna istosmjernoj struji kroz pn-spoj. Ako je jedna komponenta (elektronska ili šupljinska) u toj struji zanemariva, tada se redovito može zanemariti i doprinos pripadajuće komponente difuzijskoj admitanciji. Također možemo primijetiti da difuzijska admitancija raste s porastom frekvencije izmjeničnog signala.

Zadatak 2.35 Silicijska pn-dioda ima n-stranu mnogo veće specifične vodljivosti od p-strane. Vrijeme života elektrona na p-strani iznosi τn = 20 µs. Kroz diodu teče istosmjerna struja iznosa I = 1 mA. Izračunati difuzijsku admitanciju diode, ako je na zadanu istosmjernu struju superponirana izmjenična struja male amplitude i frekvencije: a) f = 500 Hz, b) f = 10 kHz, te c) f = 500 kHz. Naponski ekvivalent temperature UT = 25 mV. Pretpostaviti da je p-strana nekoliko puta šira od difuzijske duljine elektrona.

Zadatak 2.35

239


Rješenje: Difuzijska admitancija za diodu kojoj su obje strane puno šire od difuzijskih duljina manjinskih nosilaca određena je izrazom (2.156) 1 yd = ⋅ I N ⋅ 1 + j⋅ω ⋅τn + I P ⋅ 1 + j⋅ω ⋅τ p UT

(

)

gdje su IN i IP elektronska, odnosno šupljinska komponenta istosmjerne struje kroz diodu. Zadana dioda ima specifičnu vodljivost n-strane puno veću od specifične vodljivosti p-strane, što znači da će u struji kroz diodu prevladavati struja elektrona I N = I = 1 mA . Zato difuzijsku admitanciju možemo računati kao I yd = N ⋅ 1 + j ⋅ ω ⋅ τ n . UT Član ispred kvadratnog korijena jednak je “elektronskoj komponenti” dinamičke vodljivosti, a kako ona kod ove diode prevladava, možemo reći da je ukupna dinamička vodljivost za niske frekvencije (kada ω = 0 ) I g0 = N . UT Korijen kompleksnog broja je općenito kompleksan broj, pa se difuzijska admitancija može prikazati kao zbroj realnog dijela (dinamičke vodljivosti g ) i imaginarnog dijela (difuzijske susceptancije b) g0 ⋅ 1 + j ⋅ ω ⋅ τ n = g + j ⋅ b .

(2.179)

Kvadriramo li gornju jednadžbu (2.179) dobit ćemo g02 + j ⋅ g02 ⋅ ω ⋅ τ n = g 2 − b 2 + j ⋅ 2 ⋅ g ⋅ b ,

iz čega, izjednačavanjem realnih, odnosno imaginarnih članova na obje strane, dobivamo sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice g02 = g 2 − b 2 , (2.180) g02 ⋅ ω ⋅ τ n = 2 ⋅ g ⋅ b. Razmotrimo drugu jednadžbu u (2.180). Lijeva strana te jednadžbe je uvijek pozitivna. Kako je realno očekivati da će dinamička vodljivost g na desnoj strani biti također pozitivna veličina, zaključujemo da će i susceptancija b biti pozitivna veličina. Pozitivna susceptancija znači da u imaginarnom dijelu difuzijske admitancije prevladava kapacitivna komponenta - difuzijski kapacitet. Prema tome, izmjenična komponenta napona na diodi će kasniti u fazi za izmjeničnom komponentom struje kroz diodu. Rješenjem sustava (2.180) (treba riješiti bikvadratnu jednadžbu) dobit ćemo g= b=

g0 2 g0 2

⋅ 1 + 1 + (ω ⋅ τ n ) 2 , ⋅

ω ⋅τn

.

(2.181) (2.182)

1 + 1 + (ω ⋅ τ n ) 2

Budući da smo zaključili da susceptancija ima kapacitivni karakter, tj. b = ω ⋅ Cd , iz (2.182) slijedi da je općenito difuzijski kapacitet Zadatak 2.35

240


Cd =

g0 2

τn

⋅

.

(2.183)

1 + 1 + (ω ⋅ τ n ) 2

Dakle, difuzijska admitancija se može prikazati kao paralelni spoj frekvencijski ovisne difuzijske vodljivosti† i frekvencijski ovisnog difuzijskog kapaciteta yd (ω ) = gd (ω ) + j ⋅ ω ⋅ Cd (ω ) . Na slici 2.45 prikazan je cjelokupni nadomjesni sklop diode za režim maloga signala. gd i Cd su difuzijska vodljivost odnosno difuzijski kapacitet, koji zajedno čine difuzijsku admitanciju yd . Njima paralelno je priključen barijerni kapacitet CB , a u seriju je spojen serijski otpor rs . Kako se radi o lineariziranom nadomjesnom sklopu diode, svejedno je kako ćemo sklop okrenuti, pa priključnice anode i katode nisu označene. Nakon što smo izveli sve potrebne izraze za difuzijsku vodljivost i difuzijski kapacitet, možemo pristupiti računanju njihovih vrijednosti.

yd

gd Cd

rs

CB Slika 2.45. Nadomjesni sklop diode za režim malog signala.

a) Pri frekvenciji f = 500 Hz, odnosno ω = 2⋅π ⋅f = 3,14 ⋅103 rad / s, frekvencije i vremena života manjinskih elektrona je puno manji od 1, tj. ω ⋅ τ n = 0,0628 << 1 .

umnožak kružne

Kvadrat tog umnoška će biti još manji po iznosu, pa je dvostruki korijen u brojniku (2.181) praktički jednak kvadratnom korijenu iz 2, što se krati s nazivnikom, te je g0

⋅ 1 + 1 + (ω ⋅ τ n ) 2 = g0 = 40 mS . 2 Isto vrijedi i za dvostruki korijen u nazivniku izraza (2.183) za difuzijski kapacitet, pa je τn g g Cd = 0 ⋅ = 0 ⋅ τ n = 400 pF . 2 2 1 + 1 + (ω ⋅ τ n ) 2 gd =

Općenito možemo reći da su za niske frekvencije, kada je ω << 1 / τ , gd (ω ) = g0 , Cd (ω ) =

g0 ⋅τ , 2

(2.184) (2.185)

frekvencijski neovisni.

c) Kada je frekvencija izmjeničnog signala f = 10 kHz, ω = 2⋅π ⋅ f = 62,8 ⋅103 rad / s. Umnožak kružne frekvencije i vremena života manjinskih elektrona je ω ⋅τn = 1,26 što je po iznosu blizu 1,

†

Ovdje je namjerno upotrijebljen izraz difuzijska vodljivost, a ne dinamička vodljivost, da bi se naglasila razlika u odnosu na dinamičku vodljivost g0 za niske frekvencije.

Zadatak 2.35

241


pa u izrazima (2.181) i (2.183) ne možemo vršiti nikakva zanemarenja, već moramo računati sa cjelokupnim izrazima. Uvrstimo li vrijednosti, dobit ćemo gd = Cd =

g0 2 g0 2

⋅ 1 + 1 + (ω ⋅ τ n ) 2 = 45,7 mS ,

τn

⋅

= 350 pF .

1 + 1 + (ω ⋅ τ n ) 2

d) Kada je frekvencija signala f = 500 kHz, ω = 2 ⋅ π ⋅ f = 3,14 ⋅ 106 rad / s, pa je ω ⋅ τn = 62,8 >> 1. Zbog toga možemo pod dvostrukim korijenima u izrazima (2.181) i (2.183) zanemariti jedinice, te su gd = Cd =

g0 2 g0 2

⋅ 1 + 1 + (ω ⋅ τ n ) 2 = g0 ⋅ ⋅

τn 1 + 1 + (ω ⋅ τ n )

2

= g0 ⋅

ω ⋅τn = 224 mS , 2 τn = 71,4 pF . 2 ⋅ω

Opet možemo uočiti da je za vrlo visoke frekvencije, kada je ω >> 1 / τ , umjesto općih izraza (2.181) i (2.183) prikladnije koristiti približne izraze gd = g0 ⋅

ω ⋅τ n , 2

(2.186)

Cd = g0 ⋅

τn . 2 ⋅ω

(2.187)

Na slici 2.46 nacrtane su frekvencijske ovisnosti difuzijske vodljivosti i difuzijskog kapaciteta. Karakteristike su normirane na vrijednosti difuzijskih vodljivosti, odnosno kapaciteta za niske frekvencije. Kako se iz rezultata zadatka i sa slike vidi, difuzijska vodljivost i difuzijski kapacitet su za niske frekvencije (ω << 1 / τ ) praktički neovisni o frekvenciji. Za visoke 10 frekvencije (ω >> 1 / τ ) difuzijska vodljivost raste, dok difuzijski kapacitet opada s gd difuzijska frekvencijom. Fizikalno objašnjenje za vodljivost g0 ovakvu frekvencijsku ovisnost dat ćemo pomoću slike 2.47. Pretpostavimo da je na 1 istosmjerni napon na diodi superponiran Cd sinusni napon male amplitude i promjenjive difuzijski kapacitet frekvencije, te razmotrimo što će se dogoditi Cd0 s raspodjelom elektrona za vrijeme pozitivne 0,1 poluperiode sinusnog napona, kada napon 0,1 1 10 100 raste od istosmjerne vrijednosti prema . ωτ maksimalnoj. Zbog te promjene koncentracija manjinskih elektrona uz rub barijere povećat će se s iznosa np01 na np02 .

Slika 2.46. Normirana frekvencijska karakteristika difuzijske vodljivosti i difuzijskog kapaciteta. Zadatak 2.35

242


Pri polaganim promjenama napona, tj. ako je frekvencija izmjeničnog signala niska, raspodjela manjinskih elektrona može pratiti te promjene napona po cijeloj dubini p-strane (slika 2.47a). Injektirani elektroni stići će “popuniti” raspodjelu do nove stacionarne raspodjele np2( x ) prije nego što napon na barijeri počne padati s maksimalne vrijednosti. U ovom slučaju za zadanu

np

np n p02

np02 dQn

np01

n p2(x)

Ln

n p01

dQn n p1 (x) n p2(x)

n p1(x)

tangente na raspodjele

x

x a)

b)

Slika 2.47. Promjena nakrcanog naboja manjinskih elektrona pri promjeni napona: a) polagana promjena napona, b) brza promjena napona.

promjenu napona na barijeri imamo maksimalnu moguću promjenu nakrcanog naboja dQn . Međutim, ako je frekvencija sinusnog napona previsoka, promjene napona na barijeri bit će tako brze da će napon na barijeri početi padati prije no što injektirani elektroni “popune” raspodjelu do nove stacionarne raspodjele (slika 2.47b), pa će promjena nakrcanog naboja biti manja. Kako se difuzijski kapacitet definira kao promjena nakrcanog naboja manjinskih nosilaca s promjenom napona dQ Cd = n , dU a pretpostavljene promjene napona na barijeri su u oba slučaja bile jednake, možemo zaključiti da će difuzijski kapacitet biti manji kada je frekvencija signala visoka. S porastom frekvencije signala, promjena naboja je sve manja. Da bi diode bile primjenjive u području visokih frekvencija, difuzijski kapacitet mora biti što manji. Izvedeni izrazi (npr. (2.187)) nas upućuju na zaključak da će difuzijski kapacitet na nekoj frekvenciji signala biti to manji što je vrijeme života manjinskih nosilaca manje, jer će u tom slučaju i “tromost” naboja pri gore opisanim promjenama napona biti manja. Pomoću slike 2.47 možemo objasniti i frekvencijsku ovisnost difuzijske vodljivosti. Znamo da je struja kroz diodu proporcionalna gradijentu koncentracije manjinskih nosilaca uz rub barijere, što na slici 2.47 odgovara nagibu tangente na krivulju raspodjele uz rub barijere. Difuzijska (dinamička) vodljivost se definira kao promjena struje s promjenom napona dI gd = . dU Usporedbom slika 2.47a i 2.47b možemo uočiti da je promjena nagiba tangente na krivulju raspodjele, a time je i promjena struje kroz diodu, odnosno difuzijska vodljivost, veća u drugom slučaju, iako su promjene napona po iznosu jednake.

Zadatak 2.35

243


Zgodno je uočiti da je za promjenu struje kroz pn-spoj dovoljno da se promijeni gradijent koncentracije manjinskih nosilaca uz rub barijere. Čak i za veću promjenu gradijenta, vrlo mala promjena nakrcanog naboja može biti dostatna. Pritom se napon na pn-spoju ne mora značajno promijeniti. Naprotiv, za značajniju promjenu napona treba velika promjena nakrcanog naboja. Dakle, nakrcani naboj se suprotstavlja promjenama napona, što je svojstveno kapacitetima. Uočimo da izraz za difuzijski kapacitet koji dobivamo deriviranjem funkcije nakrcanog naboja manjinskih nosilaca po naboju dQ dQn dI Cd = n = ⋅ = τ n ⋅ gd (2.188) dU dI dU daje dvostruko veće iznose kapaciteta nego izraz (2.185), dobiven rješavanjem jednadžbe kontinuiteta. Uzrok tome je što izraz Qn = I N ⋅ τ n , koji smo derivirali u (2.188), vrijedi samo za istosmjerne uvjete. Njime je pretpostavljeno da se sav nakrcani naboj injektiranih nosilaca rekombinira s većinskim nosiocima. Međutim, pri promjenama napona na barijeri, dio nakrcanih nosilaca će biti izvučen preko pn-spoja, pa će rezultantna promjena struje biti manja.

Zadatak 2.36 Silicijska dioda sa skokovitim pn-spojem ima koncentracije primjesa NA = 5 ⋅ 1017 cm−3 i ND = 1015 cm−3. Odrediti napon kod kojeg je barijerni kapacitet diode jednak difuzijskom kapacitetu za niske frekvencije, ako je širina n-strane: a) puno veća od difuzijske duljine manjinskih šupljina; b) wn = 4 µm. Vrijeme života manjinskih nosilaca je 2 µs, T = 300 K. Rješenje: a) Barijerni kapacitet diode sa skokovitim pn-spojem određen je izrazom CB = ε ⋅

S q ⋅ε N ⋅N q ⋅ε =S⋅ ⋅ A D = S ⋅ ⋅N , 2 ⋅ (U K − U ) N A + N D 2 ⋅ (U K − U ) D dB

(2.189)

dok je difuzijski kapacitet za niske frekvencije, prema izrazu (2.185) Cd = g0 ⋅

τp 2

=

Qp IP τ p ⋅ = . U T 2 2 ⋅U T

(2.190)

U ovom izrazu već smo zanemarili elektronsku komponentu struje, jer nam je zadano da je NA >> ND , pa u struji kroz diodu prevladava šupljinska komponenta. Zbog istog razloga, u izrazu (2.189) mogli smo zanemariti širenje barijere na jače dopiranu p-stranu (jednostrana barijera!) i upotrijebiti nešto jednostavniji izraz. Uvrstimo li u (2.190) izraz za nakrcani naboj manjinskih šupljina izražen preko priključenog napona na diodi é æU ö ù Q p = S ⋅ q ⋅ ( pn 0 − p0n ) ⋅ L p = S ⋅ q ⋅ L p ⋅ p0n ⋅ êexp ç ÷ − 1ú , è U T ø úû êë Zadatak 2.36

244


dobit ćemo S ⋅ q ⋅ L p ⋅ p0n é æU ö ù ⋅ êexp ç (2.191) ÷ − 1ú . 2 ⋅U T è U T ø úû êë Izjednačavanjem (2.189) sa (2.191) i izlučivanjem napona U dobivamo transcedentnu jednadžbu po naponu é UT ù 2 ⋅ε U = U T ⋅ ln ê ⋅ ⋅ N D + 1ú . (2.192) êë L p ⋅ p0n q ⋅ (U K − U ) úû budući da se on pojavljuje i u argumentu logaritamske funkcije na desnoj strani jednadžbe. Cd =

Da bismo mogli pristupiti proračunu, trebamo prethodno izračunati kontaktni potencijal (UK = 0,739 V), ravnotežnu koncentraciju manjinskih nosilaca (p0n = 1,90 ⋅ 105 cm−3), te pokretljivost i difuzijsku duljinu manjinskih šupljina (µp = 452 cm2/ Vs, Lp = 48,3 µm). Nekim numeričkim postupkom, na primjer iteracijom (tablica 2.9), dobit ćemo traženu vrijednost napona U = 0,401 V. Tablica 2.9. Iteracija pri određivanju napona u a) dijelu zadatka 2.36.

korak

0

1

2

3

4

U/V

0

0,3913

0,4010

0,4014

0,4014

Na slici 2.48 prikazane su ovisnosti difuzijskog i barijernog kapaciteta po jedinici površine o priključenom naponu za zadani pn-spoj. Difuzijski kapacitet eksponencijalno raste s priključenim naponom, tako da kod većih propusnih napona on prevladava. Za manje propusne napone i u području reverzne polarizacije difuzijski kapacitet je zanemariv, pa je ukupni kapacitet diode jednak barijernom kapacitetu. Pogledamo li izraz (2.190), možemo uočiti da će, za iste vrijednosti napona, difuzijski kapacitet diode s višom koncentracijom primjesa biti manji, jer će biti niža koncentracija manjinskih nosilaca p0n . Naprotiv, iz izraza (2.189) slijedi da će barijerni kapacitet biti veći, jer je proporcionalan kvadratnom korijenu koncentracije primjesa. Prema tome, za diode s višim koncentracijama primjesa, C/S presjecište krivulja na slici 2.48 nalazilo bi se 2 nF / cm 1 kod viših vrijednosti napona. Međutim, pomaci presjecišta s promjenom koncentracija primjesa 0,8 su vrlo mali, što je i očito iz izraza (2.192). Možemo zaključiti da će za većinu dioda Cd 0,6 difuzijski kapacitet prevladavati za napone CB propusne polarizacije veće od 0,4 - 0,5 V, dok će 0,4 za manje napone prevladavati barijerni kapacitet.

b)

0,2 −0,2

U/V 0

0,2

0,4

0,6

0,8

Slika 2.48. Ovisnost barijernog i difuzijskog kapaciteta o naponu.

Zadatak 2.36

Da bismo postupak ponovili za diodu s uskom n-stranom, moramo prethodno izvesti izraz za difuzijski kapacitet takve diode [Lindmayer65]. Polazimo od općenitog izraza (2.177), koji ćemo prepisati u obliku

245


y pd =

æw ö æ I PD w ö ⋅ 1 + j ⋅ ω ⋅ τ p ⋅ tanhçç n ÷÷ ⋅ cothçç 1 + j ⋅ ω ⋅ τ p ⋅ n ÷÷ = UT Lp ø è Lp ø è

2 ù é æw ö I PD w2ú ê æw ö ⋅ 1 + j ⋅ ω ⋅ τ p ⋅ tanhçç n ÷÷ ⋅ coth ê çç n ÷÷ + j ⋅ ω ⋅ n ú . (2.193) UT L Dp è Lp ø ú ê è pø û ë Taj izraz moramo rastaviti na realni i imaginarni dio, da bismo iz imaginarnog dijela mogli izlučiti izraz za difuzijski kapacitet. Da bi se dobio jednostavan analitički izraz, morat ćemo pretpostaviti da su argumenti funkcija hiperbolnog tangensa i hiperbolnog kotangensa dovoljno mali, tako da se oni dovoljno točno mogu aproksimirati prvim članovima razvoja u redove potencija. Ako je zadovoljen uvjet da je wn << Lp , tada se hiperbolni tangens može aproksimirati prvim članom razvoja u red potencija tanh( x ) = x ,

=

pa (2.193) prelazi u 2

ù ú ú= ú û

2

ù ú ú = ú û

é I PD w ê ⋅ 1 + j ⋅ ω ⋅ τ p ⋅ n ⋅ coth ê UT Lp ê ë

æ wn ö w2 ç ÷ + j⋅ω ⋅ n çL ÷ Dp è pø

2 é I PD æ wn ö wn 2 ê ç ÷ = ⋅ ç ÷ + j⋅ω ⋅ ⋅ coth ê UT L D è pø p ê ë

æ wn ö w2 ç ÷ + j⋅ω ⋅ n çL ÷ Dp è pø

y pd =

é I PD w2 w2ù ⋅ j ⋅ ω ⋅ n ⋅ coth ê j ⋅ ω ⋅ n ú . (2.194) UT Dp Dp ú ê ë û Za dovoljno niske frekvencije, argument hiperbolnog kotangensa će biti dovoljno mali da hiperbolni kotangens možemo nadomjestiti s prva dva člana razvoja u red potencija 1 x coth( x ) = + , x 3 tako da izraz (2.194) prelazi u

=

y pd

é I w 2 êæ w2 = PD ⋅ j ⋅ ω ⋅ n ⋅ êç j ⋅ ω ⋅ n ç UT Dp è Dp êë

=

I PD UT

ö ÷ ÷ ø

−1

ù 1 w2ú + ⋅ j⋅ω ⋅ n ú = Dp 3 úû

æ w2 ö ⋅ çç1 + j ⋅ ω ⋅ n ÷÷ . 3 ⋅ Dp ø è

(2.195)

Realni dio u (2.195) je difuzijska (dinamička) vodljivost i ona je jednaka difuzijskoj vodljivosti koju smo dobili za široku diodu. Iz imaginarnog dijela izraza (2.195) možemo izlučiti difuzijski kapacitet uslijed nakrcanog naboja šupljina na n-strani Cd = g0 ⋅

wn 2 2 = ⋅ g0 ⋅ t p , 3 ⋅ Dp 3

(2.196)

Zadatak 2.36

246


gdje je tp vrijeme proleta šupljina kroz n-stranu diode. Izrazimo li difuzijski kapacitet u (2.196) preko nakrcanog naboja manjinskih šupljina, dobit ćemo Cd =

2 Qp ⋅ . 3 UT

(2.197)

Da smo, kojim slučajem, difuzijski kapacitet izveli deriviranjem izraza za nakrcani naboj po naponu (slično kao kod izraza (1.188)), dobili bismo da je Cd = t p ⋅ g0 , tj. 1,5 puta veću vrijednost. Zašto je ovaj izraz netočan, već je objašnjeno kod izvođenja izraza (2.188). Pri pisanju izraza (2.196) pretpostavili smo da je utjecaj nakrcanog naboja manjinskih elektrona na p-strani, odnosno difuzijskog kapaciteta koji on uzrokuje, zanemariv, jer je koncentracija akceptora puno veća od koncentracije donora. Međutim, u ovakvim situacijama treba biti oprezan; iako se koncentracije primjesa, pa prema tome i koncentracije manjinskih nosilaca razlikuju 500 puta ( NA = 500 ND , odnosno p0n = 500 n0p), omjer nakrcanih naboja manjinskih nosilaca je svega 42,8. Naime, nakrcani naboj manjinskih elektrona na širokoj p-strani je proporcionalan difuzijskoj duljini elektrona, a ona je oko 10 puta veća od efektivne širine nstrane, kojoj je proporcionalan nakrcani naboj manjinskih šupljina na uskoj p-strani. Da bismo mogli pristupiti proračunu, naboj nakrcanih manjinskih nosilaca u izrazu (2.197) izrazit ćemo kao funkciju napona é æU ö ù æU ö w ⋅p ⋅ êexp ç ÷ − 1ú = S ⋅ q ⋅ n 0n ⋅ exp ç ÷. 2 è UT ø êë è U T ø úû U gornjem izrazu smo zanemarili 1 u uglatoj zagradi iza eksponencijalne funkcije, jer prema rezultatu a) dijela zadataka, realno možemo očekivati da će dobiveni napon biti U >> UT . Uvrštavanjem u (2.197) dobit ćemo

Qp = S ⋅ q ⋅

wn ⋅ p0n 2

Cd =

æU ö 1 S ⋅ q ⋅ wn ⋅ p0n ÷, ⋅ ⋅ exp ç UT 3 è UT ø

(2.198)

što izjednačavanjem s izrazom (2.189) za barijerni kapacitet daje transcedentnu jednadžbu po naponu é 3⋅UT ù ε U = U T ⋅ ln ê ⋅ ⋅ ND ú . êë wn ⋅ p0n q ⋅ (U K − U ) úû Iteracijom (tablica 2.10) dobit ćemo da je traženi napon U = 0,489 V. Taj napon je veći nego u a) dijelu zadatka, jer je i nakrcani naboj manjinskih nosilaca u uskoj n-strani manji. Zato je potreban nešto veći napon da bi se difuzijski kapacitet izjednačio s barijernim, koji ne ovisi o geometrijskoj širini kvazineutralnih područja poluvodiča. Tablica 2.10. Iteracija pri određivanju napona u b) dijelu zadatka 2.36.

Zadatak 2.36

korak

0

1

2

3

4

5

U/V

0,4014

0,4853

0,4890

0,4891

0,4892

0,4892


247

Zadatak 2.37 Dioda je spojena na izvor napajanja tako da kroz nju teče istosmjerna struja od 5 mA. Na tu istosmjernu komponentu struje superponirana je sinusna komponenta struje amplitude 100 µA i frekvencije 100 kHz. Izračunajte: a) difuzijsku vodljivost i difuzijski kapacitet za zadanu frekvenciju signala, te b) amplitudu izmjenične komponente napona na diodi, ako su efektivne širine obiju strana diode puno veće od difuzijskih duljina manjinskih nosilaca, a vremena života manjinskih nosilaca 1 µs. UT = 25 mV. Rješenja: a) gd = 0,209 S, Cd = 95,8 nF, b) Udm = 460 µV.

Zadatak 2.38 Dioda sa skokovitim pn-spojem ima koncentracije primjesa NA = 1016 cm–3 i ND = 5 ⋅ 1015 cm–3. Efektivna širina n-strane je puno veća od difuzijske duljine manjinskih šupljina, dok je efektivna širina p-strane puno manja od difuzijske duljine manjinskih elektrona i iznosi 2 µm. Vrijeme života manjinskih nosilaca je 1 µs, a njihove pokretljivosti su µn = 1380 cm2/Vs i µp = 350 cm2/Vs. T = 300 K. U nekoj radnoj točki struja kroz diodu je 10 mA. Izračunajte: a) omjer elektronske i šupljinske komponente struje; b) vrijeme proleta manjinskih elektrona kroz p-stranu, c) nakrcane naboje manjinskih nosilaca na n-, odnosno p-strani; d) difuzijski kapacitet diode za niske frekvencije. Rješenje: a) In / Ip = 2965; b) tn = 561 ns, c) Qn = 5,60 pC, Qp = 3,37 pC, Qp 2 Q d) Cd = + ⋅ n = 210 pF . 2 ⋅UT 3 UT

Zadatak 2.37

248


2.6. Prijelazne pojave u pn-diodi PN-dioda se često koristi u impulsnim sklopovima gdje postoje velike skokovite promjene napona. Zbog naboja ioniziranih primjesa unutar barijere i zbog nakrcanog naboja manjinskih nosilaca uz barijeru, odziv diode na takve promjene neće biti trenutačan. To se može uočiti na slici 2.49, na kojoj je prikazan jednostavan sklop sa diodom, te + vremenski oblici napona i struja u sklopu, ako napon R izvora ima oblik pravokutnog impulsa + uG uD D U početku je napon izvora takav da reverzno polarizira diodu - struja kroz diodu jednaka je (zanemarivoj) reverznoj struji zasićenja, pa je napon − na diodi jednak naponu izvora. Uključenjem impulsa napon na diodi počinje padati po iznosu, tj. dioda u postaje slabije reverzno polarizirana. Pritom se uG smanjuje širina barijere, pa se smanjuje i naboj ioniziranih primjesa unutar barijere. Da bi se uspostavila nova širina barijere, odnosno novi napon t uD na pn-spoju, treba kompenzirati promjenu naboja ioniziranih primjesa unutar barijere. Kako je struja tr ts tf kroz diodu ograničena serijskim otpornikom, bit će potrebno konačno vrijeme da se dovede potrebni naboj i da se uspostavi novi napon na pn-barijeri. i Situacija se može poistovjetiti sa nabijanjem kondenzatora preko otpornika, ali treba uočiti da kapacitet tog kondenzatora nije konstantan već se mijenja s naponom, budući da je on jednak barijernom kapacitetu pn-barijere. Zbog toga je bez t značajnijih zanemarenja nemoguće dobiti analitičke ts tf izraze. Kada dioda provede, počinje rasti nakrcani naboj manjinskih nosilaca uz rubove barijera, te će brzina kojom se taj naboj može povećavati, određivati odziv diode. Oba mehanizma uzrokuju da promjena napona na diodi nije trenutna, već treba proteći neko konačno vrijeme da se uspostavi novo stacionarno stanje. To vrijeme (označeno kao tr na slici 2.49) naziva se vrijeme porasta (engl. rise-time). Slika 2.49. Odziv diode skokovite promjene napona.

na

Prilikom isključivanja diode, tj. nakon završetka impulsa, struja kroz diodu ne pada trenutno na reverznu struju zasićenja. Nakrcanom naboju manjinskih nosilaca potrebno je konačno vrijeme da bi se uklonio, što omogućava da kroz strujni krug teče znatna struja. Ta struja je neko vrijeme (na slici označeno kao ts) praktički konstantna, nakon čega počinje padati. Vrijeme tijekom kojeg je struja konstantna naziva se vrijeme

249

2.6. Prijelazne pojave u pn-diodi

zadržavanja (engl. storage-time), dok se vrijeme tijekom kojeg struja kroz diodu pada prema reverznoj struji zasićenja naziva vrijeme pada (engl. fall-time, tf ). Zbroj vremena zadržavanja i vremena pada naziva se vrijeme oporavka diode (engl. recovery-time).

Zadatak 2.39 Izvesti izraz za vrijeme zadržavanja silicijske pn diode kojoj je n-strana puno veće specifične vodljivosti od p-strane. Izračunati vrijeme zadržavanja ts diode u sklopu na slici 2.50, te skicirati valne oblike napona i struja, ako dioda ima NA = 1016 cm−3, vrijeme života elektrona na p-strani τn = 5 µs, a duljina p-strane je puno veća od difuzijske duljine manjinskih elektrona. Površina pn-spoja je 1 mm2. T = 300 K.

uG + uG(t)

R = 1 kΩ

+5 V

+ uD

D −

0

t

–5 V

Slika 2.50. Elektronički sklop i valni oblik napona naponskog izvora u zadatku 2.39.

Rješenje: Za t < 0 dioda je propusno polarizirana, da bi se u trenutku t = 0 promijenio polaritet napona. Iako se promijenila polarizacija diode, zbog nakrcanog naboja manjinskih nosilaca struja kroz diodu neće trenutno pasti na reverznu struju zasićenja, već će biti potrebno konačno vrijeme da se ukloni nakrcani naboj manjinskih nosilaca i da se uspostavi nova stacionarna raspodjela manjinskih nosilaca. Na slici 2.51a prikazana je početna raspodjela manjinskih elektrona na pstrani diode u trenutku t = 0 i konačna raspodjela kada t → ∞ . Naboj manjinskih elektrona koji treba ukloniti označen je sjenčanom površinom između tih raspodjela. Kada bi se u trenutku t = 0 prekinuo strujni krug, nakrcani naboj manjinskih nosilaca uklonio bi se isključivo rekombinacijom s većinskim nosiocima. Međutim, u našem primjeru će negativni napon izvora potjerati struju kroz diodu u suprotnom smjeru, te će se dio nakrcanog naboja manjinskih nosilaca ukloniti izvlačenjem preko pn-spoja Prvi će biti povučeni nosioci najbliži barijeri, pa će pasti koncentracije nosilaca uz rubove barijere. Zbog toga će nastati progib u raspodjeli manjinskih nosilaca - maksimum koncentracije manjinskih nosilaca više neće biti uz rubove barijere već dublje u kvazineutralnom području (slika 2.51b). Nosioci će difundirati od mjesta maksimalne koncentracije prema rubu barijere, nastojeći nadoknaditi gubitak koncentracije manjinskih nosilaca uz rubove. Kao što znamo, struja kroz pn-spoj jednaka je difuzijskoj struji manjinskih nosilaca uz rubove barijera, pa će zbog suprotnog polariteta gradijenta koncentracije struja kroz diodu teći u suprotnom smjeru od smjera kojim je tekla kada je dioda bila propusno polarizirana.

Zadatak 2.39

250


np

np t

t=0 Qn

t

∞

x

x

a)

np

b)

np

t=t s

t

t=t s

x

x c)

d)

Slika 2.51. Raspodjele manjinskih nosilaca nakon isključenja diode: a) početna i konačna raspodjela, b) raspodjele tijekom faze konstantne struje, c) raspodjela u trenutku t = ts, d) raspodjele tijekom pada struje kroz diodu (t > ts).

U svakom slučaju, koncentracija manjinskih nosilaca će još neko vrijeme nakon promjene vanjskog napona biti veća od ravnotežne, pa prema Boltzmannovim relacijama slijedi da će napon na pn-spoju biti propusan. Ako je napon izvora po iznosu puno veći od napona na diodi, struja kroz diodu bit će određena elementima vanjskog kruga, te će uz konstantan napon izvora i struja biti praktički konstantna. Naravno, gradijent koncentracije (tj. nagib tangente) uz rub barijere je konstantan cijelo vrijeme dok je struja konstantna. Nosioci bliže barijeri će difundirati prema barijeri gdje će ih električno polje u barijeri zahvatiti i povući na drugu stranu barijere. Nosioci dalje od barijere uglavnom će rekombinirati s većinskim nosiocima. U trenutku t = ts koncentracija manjinskih nosilaca uz rub barijere jednaka je ravnotežnoj koncentraciji (slika 2.51c). Od tog trenutka dioda je reverzno polarizirana i napon na njoj vrlo brzo počinje rasti u reverznom smjeru. Zbog toga ni struja kroz diodu više neće biti konstantna, već će početi opadati. Raspodjela nosilaca postepeno teži konačnoj stacionarnoj raspodjeli (slika 2.51d). Nakon dovoljno vremena, struja u strujnom krugu past će na reverznu struju zasićenja diode. Pad napona na otporniku bit će zanemariv, te će na stezaljkama diode biti cjelokupni napon naponskog izvora. Budući da nakon trenutka ts struja kroz pn-spoj počinje padati prema reverznoj struji zasićenja, ekscesni naboj će se sve više uklanjati rekombinacijom s većinskim nosiocima, a sve manje izvlačenjem preko barijere. Na slici 2.52 prikazane su vremenske ovisnosti napona i struja. Vrijeme tijekom kojeg je struja kroz diodu konstantna nakon promjene napona (0 < t < ts) naziva se vrijeme zadržavanja. Kvantitativna analiza vremena zadržavanja može se provesti na dva načina: a) rješavanjem jednadžbe kontinuiteta [Kingston54] ili b) nabojskom analizom [Gray64].

Zadatak 2.39

251


Zadatak ćemo riješiti na oba načina, s time da ćemo ih razdvojiti, pa ćemo u a) dijelu zadatak riješiti preko jednadžbe kontinuiteta, a u b) dijelu nabojskom analizom. Na kraju ćemo usporediti rezultate obaju postupaka.

u UF uD

t

Za oba pristupa moramo znati stanje u diodi prije promjene napona. Napon izvora UF = + 5 V. Napišemo li Kirchoffov zakon za strujni krug na slici 2.50, dobit ćemo da je struja kroz diodu

IF =

UF −UD R

–UR

uG

iD

æI ö U F − U T ⋅ lnç F + 1÷ è IS ø = . R

IF

t

(2.199) –I R

Ovu transcedentnu jednadžbu riješit ćemo iteracijom, no prethodno moramo izračunati reverznu struju zasićenja. Iz zadane koncentracije primjesa na slabije dopiranoj p-strani (NA = 1016 cm−3) možemo izračunati pokretljivost manjinskih elektrona, te njihove difuzijske konstante, odnosno difuzijske duljine:

ts

tf

Slika 2.52. Napon i struja diode pri skokovitoj promjeni napona izvora.

µn = 1228 cm2/Vs, Dn = 31,8 cm2/s, Ln = 126 µm, na temelju čega dobivamo IS = 7,69 ⋅ 10−14 A. Iteracijom, (tablica 2.11) dobiva se struja IF = 4,36 mA, odnosno napon na diodi UD = 0,640 V. Tablica 2.11. Iteracija u zadatku 2.39.

korak

0

1

2

IF / mA

5

4,36

4,36

UD / V

0,644

0,640

0,640

U trenutku t = 0, napon na naponskom izvoru se skokovito mijenja na vrijednost UR = − 5 V. Struja kroz diodu odmah nakon promjene napona bit će U R + U D (t = +0) = 5,64 mA . R Budući da je napon na diodi mali, struja u strujnom krugu praktički je jednaka kvocijentu napona izvora i otpora. Zanimljivo je na osnovu gornjeg izraza uočiti da se dioda ponaša kao izvor! Ona otpušta naboj nakrcanih manjinskih nosilaca, doprinoseći struji strujnog kruga. IR =

Sve dok ima dovoljno nakrcanog naboja manjinskih nosilaca koji omogućuje održavanje gradijenta koncentracije uz rub barijere, struja kroz diodu bit će praktički konstantna (promjenu

Zadatak 2.39

252


napona na diodi ćemo zanemariti). Stoga ćemo u daljnjem tekstu taj vremenski interval zvati fazom konstantne struje.

a) Da bismo odredili izraz za vrijeme zadržavanja preko jednadžbe kontinuiteta, moramo riješiti jednadžbu kontinuiteta uz rubni uvjet da je (za 0 < t < ts) difuzijska struja manjinskih nosilaca uz rub barijere konstantna. Rješenje će nam dati prostorne raspodjele manjinskih nosilaca u ovisnosti o vremenu. U trenutku t = ts raspodjela mora biti takva da nam daje koncentraciju manjinskih nosilaca uz rub barijere jednaku ravnotežnoj vrijednosti. Pomoću tog uvjeta iz dobivene raspodjele ćemo izlučiti vrijeme zadržavanja. Jednadžba kontinuiteta za manjinske elektrone glasi ∂ np ∂t

=−

n p − n0 p

τn

+ Dn ⋅

∂ 2n p ∂x 2

,

odnosno L2n ⋅

∂2 n p

−τn ⋅

∂ np

− ( n p − n0 p ) = 0 ∂t ∂x Da bi pojednostavnili gornju jednadžbu, uvest ćemo supstituciju n = np − n0p , čime (2.200) prelazi u 2

L2n ⋅

∂ 2n ∂n − τn ⋅ −n=0 . ∂t ∂x2

(2.200)

(2.201)

Normiranjima

~ t t = , τn

x ~ , x= Ln

(2.201) prelazi u ∂2n ∂ n − ~−n=0. ∂ x~ 2 ∂ t

(2.202)

Primjenom Laplaceove transformacije, parcijalnu diferencijalnu jednadžbu (2.202) svodimo na običnu diferencijalnu jednadžbu drugog reda d 2n − s ⋅ n + n(t = 0) − n = 0 , dx~ 2

(2.203)

gdje je n Laplaceova transformacija funkcije raspodjele koncentracije manjinskih elektrona, a s je varijabla u donjem (transformiranom) području. Početnu raspodjelu izrazit ćemo preko struje IF n(t = 0) =

I F ⋅ Ln ⋅ exp( − x~ ) = C F ⋅ exp( − ~ x) . S ⋅ q ⋅ Dn

(2.204)

Uvrstimo li to u (2.203) i sredimo, dobit ćemo d 2n − ( s − 1) ⋅ n = − C F ⋅ exp( − x~ ) . d~ x2

(2.205)

Ovo je nehomogena linearna diferencijalna jednadžba drugog reda. Opće rješenje pripadajuće homogene jednadžbe bit će

Zadatak 2.39

253


(

)

nH ( ~ x , s) = C1 ⋅ exp

(

)

s + 1 ⋅ x~ + C2 ⋅ exp − s + 1 ⋅ x~ .

(2.206)

Iz uvjeta da za x → ∞ rješenje mora biti konačno, slijedi da je konstanta integracije C1 = 0 . Konstantu C2 odredit ćemo iz rubnog uvjeta, nakon što odredimo partikularno rješenje nehomogene jednadžbe. Partikularno rješenje jednadžbe (2.205) glasi C n P ( x~ , s) = F ⋅ exp( − x~ ) , s tako da je rješenje diferencijalne jednadžbe (2.205)

(

(2.207)

)

C n ( x~ , s) = n H ( x~ , s) + n P ( x~ , s) = C2 ⋅ exp − s + 1 ⋅ x~ + F ⋅ exp( − x~ ) . (2.208) s Konstantu C2 odredit ćemo iz rubnog uvjeta da je difuzijska struja uz rub barijere jednaka struji IR

dn d~ x

= x =0

IR = CR , q ⋅ S ⋅ Dn

odnosno, primjenom Laplaceove transformacije dn d~ x

= x=0

IR C 1 ⋅ = R . s q ⋅ S ⋅ Dn s

(2.209)

Deriviramo li (2.208) po prostornoj koordinati i izjednačimo s (2.209), dobit ćemo C2 = −

C R + CF s⋅ s +1

,

pa (2.208) prelazi u

(

)

C + CF C n ( x~ , s) = − R ⋅ exp − s + 1 ⋅ x~ + F ⋅ exp( − ~ x) . s s⋅ s +1

(2.210)

Da bismo proveli inverznu Laplaceovu transformaciju rješenja (2.210), rješenje homogene jednadžbe prikazat ćemo u obliku 1 1 1 nH ( ~ x , s) = −( C R + C F ) ⋅ ⋅ ⋅ exp − s + 1 ⋅ x~ = − (C R + C F ) ⋅ ⋅ F ( s − α ) , (2.211) s s +1 s

(

)

gdje je

(

1

)

⋅ exp − s ⋅ x~ . s Inverzna Laplaceova transformacija funkcije (2.212) glasi (npr. [Abramowitz64]) æ ~ 1 x2 ö ÷, ⋅ expç − f (t ) = π ⋅t è 4⋅t ø F ( s) =

(2.212)

tako da se, uz primjenu teorema o pomaku (prigušenju), inverznom Laplaceovom transformacijom funkcije (2.211) dobiva raspodjela ~ t

~ nH ( ~ x , t ) = ò exp( −u) ⋅ 0

æ ~ x2 ö ÷ ⋅ du . ⋅ expç − π⋅u è 4⋅uø 1

Supstitucijom v2= u , gornji izraz možemo napisati u nešto preglednijem obliku

Zadatak 2.39

254


~

t æ x~ 2 ö 2 ~ ÷ nH ( x~ , t ) = − (CR + CF ) ⋅ ⋅ ò exp( −v 2 ) ⋅ expç − 2 ⋅ dv = π 0 è 4⋅v ø

=−

(

)

( I R + I F ) ⋅ Ln ~ ⋅ℑ ~ x, t . q ⋅ S ⋅ Dn

(2.213)

Inverzna Laplaceova transformacija partikularnog rješenja (2.207) daje I ⋅L ~ nP (~ x , t ) = C F ⋅ exp( − ~ x ) = F n ⋅ exp( − x~ ) . q ⋅ S ⋅ Dn

(2.214)

Prema tome, raspodjela manjinskih elektrona na p-strani za 0 ≤ t ≤ ts mijenjat će se kao n p ( x , t ) = n0 p +

æ x ö ( I R + I F ) ⋅ Ln æ x I F ⋅ Ln t ö ÷÷ . ⋅ expç − ⋅ ℑçç , ÷− q ⋅ S ⋅ Dn q ⋅ S ⋅ Dn è Ln ø è Ln τ n ø

(2.215)

Na slici 2.53 prikazane su raspodjele manjinskih nosilaca u fazi konstantne struje za zadani omjer struja IF i IR . Os apscise normirana je na difuzijsku duljinu, a os ordinate na koncentraciju nosilaca u trenutku t = 0. Kako je početni propusni napon na diodi dosta velik, početna koncentracija nosilaca uz rub barijere je puno veća od ravnotežne koncentracije. Zbog toga se u prikazanom mjerilu ravnotežna koncentracija praktički poklapa s osi apscise. Vrijeme zadržavanja ts odredit ćemo iz (2.215) preko uvjeta da u trenutku t = ts koncentracija manjinskih nosilaca uz rub barijere mora pasti na ravnotežnu vrijednost, tj. n p (0, t s ) = n0 p +

æ I F ⋅ Ln I ⋅L t ö − R n ⋅ ℑçç 0, s ÷÷ . τn ø q ⋅ S ⋅ Dn q ⋅ S ⋅ Dn è

(2.216)

Budući da je 1

t= 0 0,0125 τn 0,025 τn

n n p0 (t= 0)

IF IR

= 0,773

0,05 τn

0,5

0,1 τn ts

0 0

1

2

x / Ln Slika 2.53. Normirane raspodjele koncentracije nosilaca u fazi konstantne struje. Zadatak 2.39

255


~ t

2 ~ ~ ℑ(0, t ) = ⋅ ò exp( − u 2 ) ⋅ du = erf( t ) , π 0

dobiva se da je æ t ö 1 erf çç s ÷÷ = , I τ + 1 è nø R IF

odnosno é æ 1 t s = τ n ⋅ êerf −1 ç è1+ IR IF êë

2

öù ÷ú . ø úû

(2.217)

Prema izrazu (2.217), vrijeme zadržavanja ovisi o vremenu života manjinskih nosilaca, te o omjeru struja IR i IF . Što je vrijeme života manjinskih nosilaca dulje, bit će i vrijeme zadržavanja veće, budući da će biti potrebno više vremena da se ekscesni naboj rekombinira s većinskim 10 nosiocima. Ovisnost o omjeru struja I i I R

F

dana je preko inverza funkcije pogreške. Za veće omjere IR/ IF bit će argument inverzne funkcije pogreške manji, a kako je funkcija pogreške monotono rastuća funkcija bit će i vrijeme zadržavanja kraće. Da bi ovisnost vremena zadržavanja o strujama bila zornija, može se zamisliti da struja IF “puni” diodu ekscesnim nabojem, a struja IR ju “prazni” ako je struja IF veća, bit će veći ekscesni naboj koji će trebati ukloniti, a ako je struja IR veća, brže će se taj ekscesni naboj ukloniti. Na slici 2.54 grafički je prikazana ovisnost vremena zadržavanja (normiranog na vrijeme života) o omjeru IR/ IF .

1

ts τ

0,1 0,01 0,001 0,1

10

1

IR / IF Slika 2.54. Ovisnost vremena zadržavanja o omjera struja kroz diodu.

Vrijeme života manjinskih elektrona je zadano u tekstu zadatka (τn = 5 µs), dok smo struje IF i IR izračunali u uvodnom dijelu rješenja (IF = 4,36 mA, IR = 5,64 mA). Znamo da je erfc( x ) = 1 − erf( x ) ,

pa možemo upotrijebiti aproksimaciju inverza komplementarne funkcije pogreške iz Priloga C. Uvrštavanjem 1 1− = 1 − 0,436 = 0,564 1+ IR IF u aproksimaciju inverza komplementarne funkcije pogreške, dobit ćemo da je æ ö æ ö 1 1 erf −1 ç ÷ = erfc −1 ç 1 − ÷ = 0,406 , è1+ IR IF ø è 1+ IR IF ø

pa je traženo vrijeme zadržavanja ts = 0,824 µs. Izrazi koji se dobivaju za diodu s uskom stranom su puno složeniji i nepregledniji [Kingston54], te ovdje neće biti navedeni.

Zadatak 2.39

256


b) Kod određivanja vremena zadržavanja nabojskom analizom, polazi se također od jednadžbe kontinuiteta za manjinske elektrone, ali u obliku ∂ (n p − n0 p )

=−

n p − n0 p

+

1 ∂ jn ⋅ , q ∂x

(2.218) τn gdje je jn gustoća difuzijske struje elektrona. Pomnožimo li (2.218) s nabojem elektrona i površinom pn-spoja, te integriramo po cijeloj duljini p-strane, dobit ćemo ∂t

wp

wp

q⋅S ∂ ⋅ ò q ⋅ S ⋅(n p − n0 p ) ⋅ dx = − ò ⋅ (n p − n0 p ) ⋅ dx + τn ∂t 0 0

wp

ò 0

∂ in ⋅ dx . ∂x

(2.219)

Kod određivanja granica integracije zanemarili smo širinu barijere, pa je donja granica integracije na mjestu pn-spoja (x = 0). Integral na lijevoj strani jednadžbe (2.219) jednak je ekscesnom naboju manjinskih elektrona wp

Qn =

ò q ⋅ S ⋅ (n p − n0 p ) ⋅ dx , 0

pa (2.219) možemo napisati kao dQn Q = − n − in ( x = 0) + in ( x = w p ) . dt τn

(2.220)

Difuzijska struja in(x = 0) je ujedno i struja elektrona kroz pn-spoj, dok je za diodu sa širokom p-stranom, difuzijska struja manjinskih elektrona na mjestu kontakta in ( x = w p ) = 0 . Stoga (2.220) možemo pisati kao dQn Qn + = i (t ) , dt τn

(2.221)

što je nehomogena linearna diferencijalna jednadžba prvog reda. Nakon promjene napona izvora, struja kroz diodu i (t ) = − I R , pa za određivanje vremena zadržavanja trebamo riješiti diferencijalnu jednadžbu dQn Qn + = −I R , dt τn

(2.222)

uz početni uvjet da je Qn(t = 0) = IF⋅ τn . Rješenje za zadane uvjete dat će nam promjenu nakrcanog naboja s vremenom u fazi konstantne struje kroz diodu æ t ö Qn (t ) = ( I F + I R ) ⋅ τ n ⋅ expç − ÷ − I R ⋅ τ n . (2.223) è τn ø Preko uvjeta da je nakrcani naboj manjinskih nosilaca u trenutku t = ts Qn (t = t s ) = 0 , možemo iz (2.223) izraziti vrijeme zadržavanja

Zadatak 2.39

(2.224)

257


æI ö t s = τ n ⋅ lnç F + 1÷ . è IR ø

(2.225)

Uvrstimo li zadane i izračunate vrijednosti, dobit ćemo ts = 2,86 µs. Ovaj rezultat je oko tri puta veći od onoga u a) dijelu zadatka, iako smo krenuli od iste jednadžbe kontinuiteta i istog rubnog uvjeta za struju kroz pn-spoj! Razliku u rezultatima uzrokovali su različito definirani rubni uvjeti u trenutku t = ts . Prema uvjetu (2.216), koncentracija nosilaca uz rub barijere u trenutku ts jednaka je ravnotežnoj koncentraciji (što odgovara stvarnoj situaciji), dok je prema uvjetu (2.224) nakrcani naboj manjinskih nosilaca u tom trenutku jednak nuli. Pogledamo li sliku 2.53 koja prikazuje raspodjele manjinskih nosilaca tijekom faze konstantne struje, možemo uočiti da u trenutku ts , kada je koncentracija nosilaca uz rub barijere pala na ravnotežnu vrijednost, postoji znatan nakrcani naboj manjinskih nosilaca. Zbog toga će rubni uvjet (2.224) uvijek davati dulje vrijeme zadržavanja. Na slici 2.55 grafički su prikazane ovisnosti vremena zadržavanja dobivene na oba načina, u ovisnosti o omjeru struja IR i IF . Kao što se vidi sa slike, prema manjim omjerima IR/ IF , razlika između oba rješenja je manja, jer se tada veći dio ekscesnih nosilaca gubi rekombinacijom, pa je funkcija raspodjele manjinskih nosilaca u trenutku ts položenija, a time ekscesni naboj manji odnosno bliži rubnom uvjetu Q = 0.

10

1

b)

ts τ 0,1

0,01 0,1

a)

1

10

IR / IF Slika 2.55. Usporedba dobivenih a) rješavanjem b) nabojskom analizom.

vremena jednadžbe

zadržavanja kontinuiteta,

Zadatak 2.39

258


Zadaci za samostalno rješavanje 2.40 Skokoviti silicijski pn-spoj formiran je na podlozi p-tipa koncentracije akceptora 1016 cm–3, dodavanjem nepoznate koncentracije donorskih primjesa. Na T = 300 K, pri promjeni temperature za 0,5 K kontaktni potencijal se promijeni za 1 mV. Odredite kontaktni potencijal, koncentraciju dodanih donorskih primjesa na n-strani, te ravnotežne koncentracije većinskih i manjinskih nosilaca na obje strane barijere. 2.41 Neka silicijska dioda sa skokovitim pn-spojem ima širinu barijere na n-strani dBn = 2 µm, a na p-strani dBp = 1,2 µm. Na T = 300 K kontaktni potencijal iznosi 0,65 V. Izračunajte ravnotežne koncentracije većinskih i manjinskih nosilaca na obje strane diode, te napon priključen na diodu. 2.42 Neki linearno-postepeni pn-spoj ima gradijent koncentracije primjesa 1020 cm–4. Za T = 300 K izračunajte: a) kontaktni potencijal i širinu barijere u ravnotežnim uvjetima, b) napone priključene na diodu uz širinu barijere od 0,5 µm i 1 µm. 2.43 Silicijski skokoviti pn-spoj ima površinu 1 mm2. Kod nekog napona U na T = 300 K barijerni kapacitet iznosi 70 pF, a maksimalno polje u barijeri 7 kV/cm. Koncentracija akceptora na p-strani iznosi 1015 cm–3, dok je n-strana dopirana s 1015 akceptora / cm3 i nepoznatom koncentracijom donorskih primjesa ND . Odredite: a) koncentraciju donorskih primjesa ND , b) ravnotežne koncentracije većinskih i manjinskih nosilaca na n- i p-strani spoja, c) napon U priključen na pn-spoj. 2.44 Silicijskoj diodi sa skokovitim pn-spojem izmjereni su pri naponima od 4,96 V i 10,2 V kapaciteti od 51 pF i 71 pF (odredite koji kapacitet odgovara kojem naponu!). Izračunajte koncentracije primjesa na obje strane spoja, ako je površina pn-spoja S = 2 mm2, a T = 300 K. NA 2.45 U silicij homogeno dopiran donorima koncentracije 1015 cm–3 izvršeno je dopiranje akceptorima čija se raspodjela može aproksimirati linearnom raspodjelom prema slici 2.56. Na slici je za neku radnu točku označeno područje barijere na T = 300 K. Odredite: a) dubinu pn-spoja i njegov kontaktni potencijal, b) iznos i polaritet priključenog napona, te c) iznos i smjer maksimalnog polja u barijeri.

x / µm 0

4

6

10

Slika 2.56. Raspodjela akceptora u zadatku 2.45.

2.46 Raspodjela primjesa u silicijskoj diodi može se aproksimirati linearnom raspodjelom kod koje, idući od pn-spoja, koncentracija donora na n-strani raste s aD = 1020 cm–4, a koncentracija akceptora na p-strani s aA = 2,5⋅1019 cm–4.

259


Odredite ukupnu širinu barijere i širine barijere na svaku stranu, ako je maksimalno polje u barijeri 100 kV/cm. 2.47 Kod nekog napona barijerni kapacitet silicijske diode iznosi 5,3 nF/cm2. Odredite položaj pn-spoja, širine barijera na n- i p-stranu, te maksimalno električno polje u barijeri kod tog napona, ako je raspodjela primjesa dana kao np / cm–3 NA – ND = 1018⋅ exp(–x / a) – 1015 cm–3, 14 . 5 10 pri čemu je a = 1 µm. 2.48 Raspodjela manjinskih nosilaca na p-strani diode prikazana je na slici 2.57. Vodljivost n-strane je puno veća od vodljivosti pstrane. T = 300 K. Izračunati: a) napon priključen na diodu, b) gustoću struje kroz diodu.

10 4 0

25 µm

x

Slika 2.57. Raspodjela manjinskih elektrona u zadatku 2.48.

2.49 Silicijska dioda sa skokovitim pn-spojem ima ND >> NA , površine 1 mm2 15 NA = 3⋅10 cm–3. T = 300 K. Geometrijske dimenzije obiju strana su puno veće od difuzijskih duljina manjinskih nosilaca, a vrijeme života elektrona τn = 1 µs. Izračunajte: a) reverznu struju zasićenja, b) struju kroz diodu kada je koncentracija elektrona na p-strani neposredno uz rub barijere 1010 cm–3. 2.50 Silicijska dioda sa skokovitim pn-spojem površine S = 1 mm2 ima koncentraciju donora na n-strani ND = 1016 cm–3. Pri naponu na diodi iznosa 0,55 V izmjerena je struja kroz diodu od 2,5 mA. T = 300 K, vremena života manjinskih nosilaca su τn = 2 µs, τp = 0,5 µs, a širine obiju strana diode su puno veće od difuzijskih duljina manjinskih nosilaca. Izračunajte: a) koncentraciju akceptora na p-strani diode, te b) iznos i smjer (od p- prema n- ili od n- prema p-strani diode) maksimalnog električnog polja pri naponu na diodi iznosa 10 V. 2.51 Silicijska dioda sa skokovitim pn-spojem ima NA = 1015 cm–3 i ND = 5⋅1017 cm–3. Maksimalno polje u barijeri je max = 104 V/cm. T = 300 K. Izračunajte: a) vanjski napon priključen na diodu, b) koncentracije manjinskih nosilaca na obje strane diode uz rubove barijere, c) koncentracije manjinskih nosilaca u točkama udaljenim 4 µm od rubova barijere, uz pretpostavku da su Lp = 20 µm i Ln = 25µm. 2.52 Silicijska dioda sa skokovitim pn-spojem ima ND = 100⋅NA . Za T = 80 °C odredite: a) koncentracije manjinskih nosilaca ako je kontaktni potencijal pn-spoja 0,458 V; b) koncentraciju šupljina na n-strani spoja neposredno uz barijeru, ako je na diodu priključen reverzni napon od 2 V;

260


c) koncentraciju elektrona na p-strani na udaljenosti x = Ln od barijere kod istog reverznog napona. 2.53 Na silicijskoj diodi sa skokovitim pn-spojem mjerenjem je dobivena strujno-naponska karakteristika prema slici 2.58 (mjerilo na ordinati je logaritamsko!). Odredite reverznu struju zasićenja diode i temperaturu diode prilikom mjerenja, ako se pretpostavi da dioda radi u režimu niske injekcije (m = 1).

I / mA 12 0,44

U/V 0,6 0,7 Slika 2.58. Strujno-naponska karakteristika diode u zadatku 2.53.

2.54† Raspodjela manjinskih nosilaca u pn / cm−3 np / cm−3 nekoj silicijskoj diodi prikazana je 4 na slici 2.59. S = 1 mm2, 5 .10 2 T = 300 K. Odredite: 10 a) koncentracije primjesa na obje −2 10 strane diode, zanemarujući x x degeneracijske efekte, 2 µm 25 µm 0 0 b) napon na diodi i struju kroz Slika 2.59. Raspodjele manjinskih nosilaca u diodu, oko barijere u zadatku 2.54. c) tehnološku širinu p-strane, d) postotnu promjenu reverzne struje zasićenja pri promjeni polariteta napona, e) struju kroz diodu ako napon promijeni polaritet. 2.55 Koncentracija donora na n-strani silicijskog pn-spoja površine 0,01 cm2 je 4 puta manja od koncentracije akceptora na p-strani. Širina n-strane je puno veća od difuzijske duljine šupljina. Uz neki napon U na pn-spoju, širina barijere na nstrani iznosi 8,854 µm. a) Izračunajte barijerni kapacitet pn-spoja pri tom naponu. b) Kolika je reverzna struja zasićenja, ako se uz propusnu polarizaciju naponom od 0,4 V, pri promjeni temperature s 300 K za 0,033 %, struja poveća za 0,5 mA? c) Koliko puta je veća difuzijska struja šupljina na n-strani neposredno uz rub barijere od difuzijske struje na udaljenosti 3 ⋅ Lp od ruba barijere? 2.56 Silicijska dioda sa skokovitim pn-spojem ima koncentracije primjesa NA = 5 ⋅ 1015 cm–3 i ND = 1018 cm–3. Kroz diodu teče struja od 10 mA. Difuzijska struja elektrona na p-strani na udaljenosti 13 µm od barijere iznosi 7,5 mA. T = 300 K, S = 0,5 mm2. Izračunajte: a) nakrcani naboj elektrona na p-strani, b) napon priključen na diodu, c) maksimalnu jakost polja u barijeri. †

Autor zadatka je Adrijan Barić.


261

2.57 Silicijska dioda sa skokovitim pn-spojem ima koncentracije primjesa NA = 5 ⋅ 1016 cm–3 i ND = 1015 cm–3. Površina diode je 2 mm2, vremena života manjinskih nosilaca su 2,5 µs, T = 300 K. Izračunajte: a) struju kroz diodu uz napon U = 0,6 V, c) naboj ekscesnih manjinskih nosilaca na obje strane diode, b) promjenu napona na diodi, da bi uz promjenu temperature za 2,5 °C struja kroz diodu ostala nepromijenjena. 2.58 Dvije silicijske diode sa skokovitim pn-spojevima površina 1 mm2, imaju koncentracije primjesa NA = 5 ⋅ 1017 cm–3 i ND = 1015 cm–3. Dioda D1 ima geometrijske dimenzije obiju strana puno veće od difuzijskih duljina manjinskih nosilaca, a dioda D2 ima širinu p-strane 1 µm. T = 300 K. Vrijeme života manjinskih nosilaca je 2 µs. Izračunajte: a) reverzne struje zasićenja obiju dioda, b) nakrcane naboje manjinskih nosilaca obiju dioda kod U = 0,6 V, te c) omjer struja obiju dioda kod istog napona. 2.59 Silicijska dioda sa skokovitim pn-spojem ima koncentracije primjesa NA >> ND = 1016 cm–3. Površina diode je 1 mm2. Kada kroz diodu teče struja od 5 pA, na n-strani diode nakrcan je naboj manjinskih nosilaca iznosa 2 ⋅ 10 –20 C. Difuzijska duljina manjinskih nosilaca na toj strani je 30 µm, T = 300 K. Provjerite radi li se o diodi s uskom ili širokom n-stranom, izračunajte reverznu struju zasićenja te napon priključen na pn-spoj. 2.60 Silicijska dioda ima homogeno dopiranu n-stranu pn-spoja. Na diodu je narinut istosmjerni napon U1. Poveća li se taj istosmjerni napon za ∆U, ekscesni naboj manjinskih nosilaca na n-strani se udvostruči. Koliki je prirast napona ∆U, ako je širina n-strane puno veća od difuzijske duljine šupljina na toj strani. Izvedite izraz, te na temelju njega izračunajte ∆U, ako je UT = 25 mV, a U1 >> 25 mV. 2.61 Silicijska dioda sa skokovitim pnnp / cm−3 pn / cm−3 prijelazom površine 1 mm2 ima u nekoj radnoj točki A raspodjelu 10 4 manjinskih nosilaca prikazanu slikom 2.60. U toj radnoj točki se na T = 300 K, uz promjenu temperature −14 za 1 °C struja promijeni za 0,2 pA. U 10 nekoj drugoj radnoj točki B na p30 µm 0 0 x x strani je nakrcan naboj elektrona iznosa 1 nC. Pokretljivosti manjinSlika 2.60. Raspodjele manjinskih nosilaca u zadatku 2.61. skih nosilaca su µn = 991 cm2/Vs i µp = 360 cm2/Vs. Izračunajte tehnološku širinu n-strane, te naboj šupljina nakrcan na n-strani diode u radnoj točki B.

262


2.62† Dvije silicijske diode koje imaju ND >> NA = 2 ⋅ 1016 cm–3 spojene su serijski i kroz njih teče struja od 8 mA. Difuzijska struja manjinskih nosilaca na 8 µm od barijere u diodi D1 je 7 mA. Vremena života elektrona na p-stranama su za obje diode ista, površine dioda su 1 mm2, jedna dioda ima usku, a druga široku p-stranu. T = 300 K. Izračunajte: a) širinu p-strane diode s uskom p-stranom, ako je u njoj nakrcan naboj ekscesnih elektrona 100 puta manji nego u diodi sa širokom p-stranom. b) reverzne struje zasićenja obiju dioda. 2.63 Dvije jednake diode sa širokim n- i p-stranama priključene su na izvor napona prema slici 2.61. Reverzne struje zasićenja obiju dioda su 1 nA. T = 300 K. Dinamički otpor diode D1 je 17 MΩ. Odredite dinamički otpor diode D2 , napone na svakoj od dioda, te ukupni napon na diodama.

D2

D1 + U

2.64 Silicijska pn-dioda ima efektivne duljine obiju strana Slika 2.61. Spoj dviju dioda u zadatku 2.63. mnogo veće od difuzijskih duljina manjinskih nosilaca. U radnoj točki A, kod istosmjernog napona na diodi UDA = + 0,1 V, dinamička je vodljivost 4 ⋅ 10 –9 S. Promjenom istosmjernog napona na diodi za 0,1 V (radna točka B), dinamička vodljivost se promijenila na 10 –10 S. Odredite: a) temperaturu na kojoj dioda radi, b) polaritete i vrijednosti napona i struja u obje radne točke. 2.65 Dvije silicijske diode jednakih karakteristika spojene su prema slici 2.62. Pad napona između točaka A i B iznosi 0,05 V. Temperatura je 55 °C. Odredite: a) napone na pojedinim diodama, b) omjer dinamičkih otpora dioda. c) Skicirajte raspodjele manjinskih nosilaca na n- i p-stranama dioda. Izračunajte rubne vrijednosti u odnosu na ravnotežne koncentracije.

D2

D1 A

B + +

U1

−

+ U

U2

− −

Slika 2.62. Diode u zadatku 2.65.

2.66 Silicijska dioda u nekoj radnoj točki ima dinamički otpor rd = 360 Ω. Ako se napon na diodi poveća za 20 mV, struja kroz diodu će se udvostručiti, a ako se temperatura poveća za 0,5 °C, uz isti napon na diodi struja će se povećati za 3 µA. Izračunajte reverznu struju zasićenja diode na zadanoj temperaturi. 2.67 Silicijska pn-dioda ima u nekoj radnoj točki na 300 K dinamički otpor rd za signal niske frekvencije. Promijeni li se temperatura za 0,1 %, dinamički otpor će se uz konstantnu vrijednost napona na diodi promijeniti za 2,6 %. Izračunajte napon na diodi. †

Autor zadatka je Ivan Sekso.

263


2.68 Na silicijsku diodu sa skokovitim pnnp / cm–3 pn / cm–3 spojem površine 0,1 mm2 pri T = 300 K narinut je istosmjerni napon U. Rezultirajuće raspodjele manjinskih nosilaca prikazane su na 2 .105 slici. Poveća li se temperatura za 3 x x 10 0,1 K, dinamička vodljivost diode za 2 µm 28 µm 0 0 izmjenični signal niske frekvencije Slika 2.63. Raspodjele manjinskih nosilaca se, uz konstantnu vrijednost struje u zadatku 2.68. kroz diodu, promijeni za 0,21 %. Za T = 300 K izračunajte: a) reverznu struju zasićenja, te b) istosmjerni napon na diodi i struju kroz diodu. Pokretljivosti manjinskih nosilaca su µn = 1350 cm2/Vs, µp = 300 cm2/Vs. 2.69 Silicijska pn-dioda ima na temperaturi T1 pri struji I1=1,25 mA i naponu U1 dinamički otpor rd 1 = 20 Ω. Ako se temperatura promijeni na T2 , pri istoj struji I = I1 dinamički otpor će iznositi rd 2 = 20,01 Ω, a pri istoj vrijednosti napona U = U1 rd 3 = 19,7 Ω. m = 1. a) Skicirajte U-I karakteristiku diode za ove dvije temperature i označite na njima zadane radne točke. b) Izračunajte temperaturu T1 i napon U1 . 2.70 Dvije jednake silicijske diode sa skokovitim pn-spojevima, koncentracija ND = 5 ⋅ 1018 cm–3 i NA = 1015 cm–3, spojene su serijski na izvor napona. Dinamička vodljivost diode D1 je za 47 pS veća od dinamičke vodljivosti diode D2 , a pad napona na diodi D1 je 3,9 mV. T = 300 K, S = 1 mm2. Kolika struja teče kroz diode i koliki je napon na diodi D2? Izračunati nakrcani naboj ekscesnih nosilaca za obje diode, ako su geometrijske dimenzije dioda puno veće od difuzijskih duljina manjinskih nosilaca. 2.71 Tri silicijske diode priključene su na izvor napona prema slici 2.64. Reverzne struje zasićenja dioda D2 i D3 su međusobno jednake, dok je za diodu D1 ona dvostuko veća. Dinamička vodljivost diode D2 u zadanoj radnoj točki iznosi 1,7 ⋅ 10–14 S, a diode D3 90 nS. T = 300 K. Odredite polarizacije, struje i napone za svaku od dioda, te ukupni napon. 2

+

D1 U

D3

D2

−

Slika 2.64. Spoj tri diode u 2.72 Kod silicijske pn-diode površine 1 mm izmjerena je zadatku 2.71. na T = 300 K pri naponu na diodi U = 0,65 V struja od 5 mA. Vodljivost n-strane je puno veća od vodljivosti p-strane, NA = 1016 cm–3, a efektivna duljina p-strane je puno veća od difuzijske duljine manjinskih elektrona. Izračunajte: a) naboj elektrona nakrcanih na p-strani diode,

264


b) udaljenost od barijere do koje se nalazi 75 % nakrcanog ekscesnog naboja elektrona, c) difuzijsku admitanciju diode na frekvenciji 500 kHz u istoj radnoj točki. 2.73 Silicijska pn-dioda kojoj su p- i n-strane puno šire od difuzijskih duljina manjinskih nosilaca, ima neto koncentracije primjesa na p- i n-strani međusobno jednake. Difuzijske duljine manjinskih nosilaca iznose 45 µm, odnosno 30 µm, i puno su manje od efektivnih duljina pripadajućih strana, a vremena života manjinskih nosilaca iznose τn = 1,5 µs, odnosno τp = 2 µs. Na nekoj temperaturi mjereni su dinamički otpori za napone na diodi od 0,6 V i 0,58 V, te su dobivene vrijednosti od 2 Ω i 1 Ω. Uz pretpostavku niske injekcije odredite: a) reverznu struju zasićenja diode, b) omjer elektronske i šupljinske komponente struje kroz diodu, c) difuzijsku admitanciju diode na niskim frekvencijama pri U = 0,6 V. 2.74 Silicijska dioda sa skokovitim pn-spojem ima obje strane široke po 5 µm, koncentraciju donora na n-strani 1016 cm–3, dok su struje elektrona i šupljina međusobno jednake. Površina diode je 2 mm2, T = 300 K, vremena života manjinskih nosilaca su 5 µs. Izračunajte koncentraciju akceptora na p-strani diode, te napone na diodi i ukupne kapacitete diode: D1 a) kada kroz diodu teče struja od 1 mA,

b) kada je napon na diodi istog iznosa, ali suprotnog predznaka od onog u a) dijelu zadataka. 2.75 Dvije silicijske diode jednakih koncentracija primjesa na identičnim stranama, koje imaju površinu S = 1 mm2 i vodljivost n-strane puno veću od vodljivosti p-strane, spojene su prema slici 2.65a. Raspodjela manjinskih nosilaca na p-strani diode D1 prikazana je na slici 2.65b. Temperatura je 300 K. a) Izračunajte napon U, te struju kroz svaku od dioda D1 i D2. b) Nacrtajte raspodjelu manjinskih elektrona na p-strani diode D2. c) Odredite difuzijsku admitanciju paralelnog spoja dioda za niske frekvencije.

D2

I = 1 mA + − U

10 13

a)

np / cm−3

10 4 0

40 µm

x b)

Slika 2.65. Uz zadatak 2.75.


265

2.76 Silicijska dioda sa dugačkim stranama ima na p- i n-strani koncentracije primjesa NA = ND = 5 ⋅ 1015 cm–3. Difuzijske duljine manjinskih nosilaca na pojedinim stranama su: na n-strani 20 µm, a na p-strani 40 µm. Temperatura je 300 K, površina diode 1 mm2. U nekoj radnoj točki na p strani je nakrcan naboj manjinskih nosilaca iznosa 10–17 C. Za zadanu radnu točku odredite: a) struju i napon, b) dinamički otpor, difuzijski i barijerni kapacitet (za niske frekvencije). c) Nacrtajte energetski dijagram i označite karakteristične veličine. 2.77 Silicijska pn-dioda ima jednake iznose koncentracija primjesa na obje strane spoja. Obje strane diode su puno šire od difuzijskih duljina manjinskih nosilaca. U nekoj radnoj točki difuzijska struja manjinskih nosilaca na jednoj strani, na udaljenosti jednakoj difuzijskoj duljini manjinskih nosilaca od ruba barijere iznosi 5 mA, a do iste udaljenosti nalazi se nakrcani naboj ekscesnih nosilaca iznosa 8,6 nC. U istoj radnoj točki na niskim frekvencijama dinamički otpor je 1,25 Ω. Uz pretpostavke da je UT = 25 mV, In > Ip i µn = 3 ⋅ µp , odredite: a) nakrcani naboj manjinskih nosilaca na n- i p-strani, b) difuzijski kapacitet na niskim frekvencijama. 2.78 Silicijska dioda sa skokovitim pn-spojem površine 0,1 mm2 ima koncentracije primjesa na n- i p-strani ND = 1018 cm–3 i NA = 1015 cm–3. Dioda vodi struju od 7,5 mA, pri čemu je izmjeren dinamički otpor od 4 Ω i difuzijski kapacitet od 0,25 µF. ω << 1/τ. Odredite: a) kontaktni potencijal, b) napon koji je priključen na diodu, c) širinu barijere u zadanoj radnoj točki. 2.79 Silicijska dioda sa skokovitim pn-spojem ima ND >> NA = 5 ⋅ 1015 cm–3. Vrijeme života manjinskih nosilaca je 5 µs, površina diode je 1 mm2. Izračunajte temperaturu na kojoj dioda radi te reverznu struju zasićenja diode i difuzijski kapacitet diode kod napona U = 0,4 V, ako je na istoj temperaturi u toj radnoj točki dinamički otpor za signal niske frekvencije 856 Ω, a kod I = 0 rd = 2,72 GΩ. Zanemarite promjenu širine barijere između ovih dviju radnih točaka i promjenu difuzijske konstante u odnosu na 300 K. 2.80 Na silicijsku diodu sa skokovitim pn-spojem, koja ima ND >> NA = 1015 cm–3, priključen je istosmjerni napon U, a na njega je superponiran sinusni napon amplitude 1 mV i frekvencije 2 ⋅ 104 Hz. Taj izmjenični napon uzrokuje izmjeničnu struju, koja na T = 300 K ima amplitudu 56 µA. Odredite istosmjerni napon U, te difuzijski kapacitet diode za zadani signal, ako je vrijeme života manjinskih nosilaca 5 µs, p-strana je puno šira od difuzijske duljine manjinskih nosilaca, a površina pn-spoja je 1 mm2. 2.81 Silicijska dioda sa skokovitim pn-spojem ima širine obiju strana puno veće od difuzijskih duljina manjinskih nosilaca. Vremena života manjinskih nosilaca su τn = 2 µs i τp = 1 µs. Na neki istosmjerni napon propusne polarizacije na diodi U >> UT , superponiran je izmjenični napon male amplitude. Pri frekvenciji tog

266


napona od 10 MHz, difuzijski kapacitet diode je 50 nF, a kada je frekvencija 100 Hz difuzijski kapacitet diode je 350 nF. UT = 25 mV. Izračunajte elektronsku i šupljinsku komponentu istosmjerne struje kroz diodu, te dinamičku vodljivost diode za signal frekvencije 250 kHz u istoj radnoj točki. 2.82 Silicijska dioda ima električnu provodnost n-strane puno veću od provodnosti p-strane, te efektivne duljine obje strane puno veće od difuzijskih duljina manjinskih nosilaca. U radnoj točki A, prikazanoj na slici 2.66, dinamički otpor za izmjenični signal male amplitude i frekvencije 150 kHz iznosi 2,5 Ω. Izračunajte koliki je u točki A: a) difuzijski kapacitet za signal iste frekvencije, b) nakrcani naboj manjinskih elektrona na p-strani spoja. 2.83 Silicijska dioda ima koncentracije primjesa na n- i p-strani ND >> NA = 1015 cm–3, površinu pn-spoja 1 mm2 i vrijeme života nosilaca na p-strani 1 µs. Dinamički nadomjesni sklop diode u nekoj radnoj točki za signal niske frekvencije prikazan je na slici 2.67. T = 300 K. Odredite napon na diodi između točaka A i B.

I / mA

10

A U/V

0

0,57 0,6

Slika 2.66. Strujno-naponska karakteristika diode u zadatku 2.82.

10 Ω

1,5 Ω

A

B

1,5 nF Slika 2.67. Nadomjesni sklop diode u zadatku 2.83.

2.84 Silicijska dioda sa skokovitim pn-spojem ima ND >> NA , a efektivne širine obiju strana su puno veće od difuzijskih duljina manjinskih nosilaca. Na gornjoj graničnoj frekvenciji za difuzijsku admitanciju fg = 200 kHz difuzijska admitancija u nekoj radnoj točki iznosi 100 mS. Izračunajte difuzijsku vodljivost i difuzijski kapacitet na gornjoj graničnoj frekvenciji u istoj radnoj točki. 2.85 Mjerenjem odziva silicijske pn-diode na A I skokovitu promjenu napona dobivena je 4 mA vremenska promjena struje prikazana na slici t 2.68. Poznate su neto koncentracije primjesa na –5 pA obje strane pn-spoja: NDneto = 2 ⋅ 1015 cm–3 i B NAneto = 1016 cm–3, te površina spoja 2 mm2. Na temperaturi od 300 K pokretljivosti manjinskih nosilaca su 400 cm2/ Vs i 1000 cm2/ Vs, dok su Slika 2.68. Strujni odziv diode vremena života manjinskih nosilaca na obje na skokovitu promjenu napona u zadatku 2.85. strane 1 µs. Širina p-strane puno je veća od difuzijske duljine manjinskih nosilaca, a efektivne širine n-strane u radnim točkama A i B odnose se kao 5:4.

267


a) Odredite napon na pn-spoju u točki A (pretpostavite nisku injekciju), b) Nacrtajte na istoj slici raspodjele manjinskih nosilaca na obje strane diode za točke A i B. 2.86 Silicijska dioda sa skokovitim pn-spojem površine 1 mm2 ima koncentracije primjesa na p- i n-strani NA = 5 ⋅ 1015 cm–3 << ND . Vrijeme života elektrona na pstrani je 1 µs, a širina p-strane wp >> Ln . Temperatura je 300 K. Dioda je spojena u seriju s izvorom napona uG(t) i otpornikom R = 1 kΩ, prema slici 2.69. Na slici je prikazana i vremenska ovisnost napona izvora. a) Nacrtajte promjenu i(t) i uD(t) u vremenskom intervalu 0 < t < 10 ⋅ ts . b) Izračunajte i na slikama označite vrijednosti struje i(t) za t < 0, 0 < t < ts , te t > 10 ⋅ ts . c) Izračunajte vrijeme zadržavanja ts . d) Izračunajte naboj manjinskih nosilaca koji je uklonjen iz diode tijekom prijelazne pojave, te naboj koji je izvučen iz diode u intervalu 0 < t < ts . R

uG (t)

uG (t) +

+2 V

uD(t)

0

i(t)

−

t

–5 V

Slika 2.69. Strujni krug i valni oblik napona u zadataku 2.86.

Rješenja 2.0

UK = 0,684 V, neto koncentracija primjesa na n-strani ND – NA = 5,80 ⋅ 1015 cm–3, ND = 1,58 ⋅ 1016 cm–3, n0n = 5,78 ⋅ 1015 cm–3, p0n = 3,28 ⋅ 104 cm–3, p0p = 1016 cm–3, n0p = 1,90 ⋅ 104 cm–3. Uputa: Ne zaboravite staviti da je ∆UK / ∆T < 0!

2.41 n0n = ND = 3,08 ⋅ 1015 cm–3, p0n = 6,18 ⋅ 104 cm–3, p0p = NA = 5,14⋅ 1015 cm–3, n0p = 3,71 ⋅ 104 cm–3, U = – 14,3 V. 2.42 a) U = 0,650 V, dB = 0,801 µm; b) U ( dB = 0,5 µm) = 0,492 V, U ( dB = 1 µm) = – 0,617 V. 2.43 a) ND = 1,44 ⋅ 1015 cm–3; b) p0p = 1015 cm–3, n0p = 1,90 ⋅ 105 cm–3, n0n = 4,41 ⋅ 1014 cm–3, p0n = 4,32 ⋅ 105 cm–3; c) U = 30,6 mV. 2.44 N1 = 9,57 ⋅ 1014 cm–3, N2 = 6,48 ⋅ 1015 cm–3. 2.45 a) xj = 5 µm, UK = 0,511 V; b) U = + 0,309 V; c) max = – 1,52 kV / cm. 2.46 dB = 3,44 µm, dBp = 2,29 µm, dBn = 1,15 µm. 2.47 xj = 6,91 µm, dBn = 1,15 µm, dBp = 0,839 µm, max = 7,21 kV / cm. 2.48 a) U = 0,637 V; b) J = 0,940 A / cm2.

268


2.49 a) IS = 0,598 pA; b) I = 94,2 nA. 2.50 a) NA = 9,96 ⋅ 1014 cm–3; b) max = 54,1 kV / cm, od n- prema p-strani. 2.51 a) U = 0,410 V; b) np0 = 1,46 ⋅ 1012 cm–3, pn0 = 2,91 ⋅ 109 cm–3; c) np = 1,24 ⋅ 1012 cm–3, pn = 2,38 ⋅ 109 cm–3. 2.52 a) n0p = 3,14 ⋅ 109 cm–3, p0n = 3,14 ⋅ 107 cm–3; b) pn0 = 8,74 ⋅ 10–22 cm–3; c) np = 1,98 ⋅ 109 cm–3. 2.53 IS = 1,07 pA, T = 351 K. 2.54 a) NA = 3,81⋅1015 cm–3, ND = 1,90⋅1018 cm–3; b) U = –0,399 V, I = –13,7 pA; c) wp0 = 2,65 µm; c) I = 60,3 µA; d) ∆I / I = –11,9 %. Uputa: Zbog znatne promjene efektivne širine p-strane, mijenja se i reverzna struja zasićenja u Shockleyevoj jednadžbi. 2.55 a) CB = 9,52 pF; b) IS = 8,45 nA; c) Idn( 0 ) / Idn( 3 ⋅Lp) = 20,1. 2.56 a) Qn = 6,08 nC; b) U = 0,634 V; c) max = 15,8 kV / cm. 2.57 a) I = 16,3 mA; b) Qn = 1,15 nC, Qp = 39,6 nC; c) ∆U = – 5,70 mV. 2.58 Široka dioda: a) IS = 0,739 pA, b) Q = 17,8 nC = Qp ; uska dioda: a) IS = 0,822 pA, b) Q = Qp = 17,7 nC; c) Iuska / Iširoka = 1,11. 2.59 wn = 2,95 µm, IS = 1,12 pA, U = 43,8 mV. 2.60 ∆U = 17,3 mV. Uputa: Preko proporcionalnosti nakrcanog naboja manjinskih nosilaca æ U ö Q p ∝ exp ç ÷ − 1, è UT ø dobiva se iz zadanog omjera nakrcanih naboja traženi prirast napona kao ∆U = U T ⋅ ln (2) . 2.61 wn0 = 1,64 µm, Qp = 26,3 pC. Uputa: Na osnovi zadane promjene reverzne struje zasićenja, dobiva se ∆I S = 1,21 ⋅ 10 −12 A , æ E G′ 0 ö ∆T ÷⋅ ç3 + ET ø T è iz čega se izračuna efektivna širina uske n-strane u radnoj točki A (wnA = 1,39 µm). Pomoću ravnotežne koncentracije manjinskih nosilaca zadane na slici izračuna se koncentracija primjesa (NA = ND = 1,90 ⋅ 1016 cm–3), a pomoću koncentracije manjinskih nosilaca uz rubove barijere napon na diodi u radnoj točki A (UA = –1,07 V). Odatle se izračuna širina barijere, a zatim i tehnološka širina n-strane (wn0 = 1,64 µm). Iz zadanog naboja manjinskih elektrona na p-strani u radnoj točki B izračuna se napon (UB = 0,614 V), nova širina barijere, te nova efektivna širina n-strane (wnB = 1,58 µm) i konačno traženi nakrcani naboj. Zanemari li se širina barijere u točki B, dobiva se Qp = 27,2 pC. IS =

2.62 a) wp = 8,47 µm; b) IS1 = 7,42 ⋅ 10–14 A; IS2 = 5,25 ⋅ 10–13 A 2.63 rd2 = 53,9 MΩ, U1 = 10,8 mV, U2 = – 19,0 mV, U = 29,8 mV. 2.64 a) T = 314 K; b) radna točka A: U = + 0,1 V, I = 1,06 ⋅ 10 –10 A; radna točka B: UD = 0, ID = 0.

269


2.65 a) U1 = 15,1 mV, U2 = 34,9 mV (reverzno polarizirana dioda); b) rd1 / rd2 = 0,17, c) rubne vrijednosti su za diodu D1 np0 / n0p = pn0 / p0n = 1,7, a za D2 np0 / n0p = pn0 / p0n = 0,29. 2.66 IS = 2,16 ⋅ 10–13 A. Uputa: Na temelju iznosa dinamičkog otpora možemo zaključiti da je U >> UT, pa je I = IS ⋅ exp (U / UT). Iz zadanog omjera struja odredimo temperaturu (T = 335 K), a zatim i sve ostale veličine. 2.67 U = 0,586 V. Uputa: Iz izraza za dinamički otpor UT , æ U ö I S ⋅ expç ÷ è UT ø logaritmiranjem i diferenciranjem dobiva se rd =

æ ∆r E′ ö T U = UT ⋅ç d ⋅ + 2 + G0 ÷ . ET ø è rd ∆T Pri uvrštavanju treba voditi računa da relativne promjene dinamičkog otpora i temperature imaju međusobno suprotne predznake! 2.68 a) IS = 4,06 ⋅ 10–13 A, U = 49,6 mV; b) I = 2,35 pA. Uputa: Dinamička vodljivost diode određena je izrazom I + IS . UT Logaritmiranjem i deriviranjem po temperaturi (struja I je konstantna), dobiva se gd =

æ U ö dT ∆g d dg d 1 dT dI S = ⋅ dI S − = ⋅ expç − = . ÷− T IS gd gd I + IS è UT ø T

Budući da se može izračunati æ ∆I S ∆n E ′ ö ∆T = 2 ⋅ i = ç 3 + G0 ÷ ⋅ = 0,0166 , IS ni ET ø T è iz gornje formule može se izlučiti i izračunati napon æ ∆g d ∆T ö + ç ÷ gd T ÷ ç U = −U T ⋅ ln , ç ÷ ∆I S ç ÷ IS è ø a potom i struja. 2.69 a) vidi sliku 2.70; b) T1 = 290 K, U1 = 0,494 V. 2.70 I = 6,07 ⋅ 10 –13 A, U2 = – 4,59 mV, Qn1 = 1,46 ⋅ 10 –19 C, Qn2 = 0 (n-strana je puno jače dopirana, pa je nakrcani naboj manjinskih šupljina zanemariv).

I

T1

T2 3 2 1

U Slika 2.70. Strujno-naponske karakteristike diode u zadatku 2.69.

2.71 D2 je nepropusno, D1 i D3 su propusno polarizirane. U1 = + 0,182 V, U2 = – U3 = – 0,200 V, U = – 0,382 V. 2.72 a) Qn = 40,9 nC; b) x = 223 µm; c) yd = 0,707 + j ⋅ 0,680 S.

270


2.73 a) IS = 26,9 pA; b) In / Ip = 2; c) yd = 1 + j ω ⋅ 0,833 ⋅ 10 –6 S. 2.74 a) Cd = 206 pF, CB = 1,07 nF, Cuk = Cd + CB = 1,28 nF; b) Cuk = CB = 444 pF. 2.75 a) U = 0,536 V, ID1 = 118 µA, ID2 = 882 µA; b) wp2 = 5,33 µm; c) gd = 38,7 mS, Cd = 1,40 nF. 2.76 a) I = 3,50 ⋅ 10–11 A, U = 96,6 mV; b) rd = 720 MΩ, Cd = 2,90 ⋅ 10–16 F, CB = 193 pF. 2.77 a) Qn = 13,6 nC, Qp = 9,62 nC; b) Cd = 464 nF. 2.78 a) UK = 0,672 V; b) U = 0,539 V; c) dB = 0,419 µm. 2.79 T = 310 K, IS = 9,82 pA, Cd = 13,0 pF (dioda je s uskom p-stranom, širine wp = 10,8 µm) 2.80 U = 0,548 V, Cd = 123 nF. Uputa: Zadane su amplitude izmjeničnog napona na diodi (Udm = 1 mV) i amplitude izmjenične struje kroz diodu (Idm = 56 µA), koje općenito, zbog difuzijskog kapaciteta, nisu međusobno u fazi. Izjednačavanjem izraza za apsolutnu vrijednost difuzijske admitancije (koji treba izvesti) s kvocijentom amplituda napona i struja, tj. I I 4 ⋅ 1 + (ω ⋅ τ ) 2 = dm , UT U dm može se odrediti istosmjernu struju kroz diodu. yd =

2.81 Ip = 5,86 mA, In = 5,82 mA, gd = 0,622 S. Uputa: Račun se može pojednostaviti: općeniti izraz za difuzijski kapacitet é I p ⋅τ p In ⋅τn ê + ê 2 UT 2 1 + 1 + (ω ⋅ τ p ) 2 ê 1 + 1 + (ω ⋅ τ n ) êë za f1 = 10 MHz prelazi u Cd =

1

Cd 1 =

1 UT

æ çI ç n è

ù ú ú, ú úû

τp ö τn ÷, + Ip 2 ⋅ ω1 2 ⋅ ω 1 ÷ø

a za f2 = 100 Hz u

1 ⋅ (In ⋅τn + I p ⋅τ p ) . 2 ⋅UT Iz dobivenog sustava dviju jednadžbi s dvije nepoznanice izračunaju se tražene komponente struja. Uz ove aproksimacije dobiva se: Ip = 5,59 mA, In = 5,95 mA, gd = 0,617 S. Cd 2 =

2.82 a) Cd = 235 nF; b) Qn = 16,9 nC. 2.83 UAB = 0,701 V.

Uputa: Na temelju iznosa dinamičkog otpora na slici (rd = 1,5 Ω) vidimo da je dioda propusno polarizirana dovoljno velikim naponom da je kapacitet na slici difuzijski kapacitet diode. Umnožak dinamičkog otpora i difuzijskog kapaciteta daje vremensku konstantu 2,25 ns, što upućuje na to da se radi o diodi s uskom p-stranom. 2.84 gd = 86,6 mS, Cd = 39,8 nF.

271


Uputa: Gornja granična frekvencija ωg za difuzijsku admitanciju je frekvencija na kojoj je iznos (modul) difuzijske admitancije faktor frekvencijama, tj.

2 puta veći od admitancije na niskim

y d (ω g ) = 2 ⋅ y d (0) = 2 ⋅ g d (0) = 2 ⋅

I . UT

Kada se izračuna modul admitancije, y d (ω ) =

I 4 ⋅ 1 + (ω ⋅ τ n ) 2 , UT

uvrštavanjem u prethodni izraz izračuna se (ωg⋅τn)2, a zatim se, preko općenitih izraza za difuzijsku vodljivost (2.177) i difuzijski kapacitet (2.179), odrede tražene veličine. 2.85 a) U=0,535 V; b) vidi sliku 2.71. 2.86 a) i b) vidi sliku 2.72 (uočiti promjene širina barijere na obje strane spoja!); c) ts = 32,9 ns; d) Qn = 1,43 nC, Qn (0 < t < ts ) = 183 pC.

uD

np pn

0,572 V

A

t

A B

B x p x j xn

−5 V

wn x

Slika 2.71. Raspodjele nosilaca u zadatku 2.85.

iD 1,43 mA –0,354 pA

t

–5,57 mA Slika 2.72. Valni oblici napona i struja u zadatku 2.86.

272


Prilog A: Određivanje korijena jednadžbe iteracijskim postupkom Jedan od najvažnijih postupaka numeričkog rješavanja jednadžbi je iteracijski postupak, koji se ponekad naziva i metoda postupnih približenja (engl. method of successive approximations) [Dahlquist74, Demidovich81]. Pretpostavimo da zadana jednadžba f ( x) = 0 , (A.1) gdje je f (x) konačna i neprekinuta funkcija na nekom intervalu a < x < b , ima rješenje unutar intervala áa , bñ . Dovoljan uvjet za to jest da funkcija f (x) ima različite predznake u točkama a i b. Treba odrediti realne korijene te jednadžbe, odnosno naći nul-točke funkcije f (x).

Napišimo (A.1) u obliku

x = ϕ ( x) . (A.2) Pretpostavimo neku vrijednost za korijen gornje jednadžbe i označimo ga kao x0 . Uvrstimo li tu vrijednost u desnu stranu jednadžbe (A.2), dobit ćemo novu vrijednost x1 = ϕ ( x 0 ) . Uvrštavanjem te vrijednosti x1 u desnu stranu (A.2), dobit ćemo x 2 = ϕ ( x1 ) , itd. Općenito

x n = ϕ ( x n −1 ), (n = 1,2,K ) .

(A.3)

Ponavljajući postupak (iteriranjem), dobiva se niz brojeva (x0 , x1 ,..., xn ,...) čiji limes lim x n = ϕ æç lim x n −1 ö÷ , ø è n→∞

n→∞

uz zadovoljen uvjet konvergencije, teži traženom rješenju, tj. ξ = lim x n . n→∞

Konkretno, nakon određenog broja iteracija dobit ćemo rješenje na željenu točnost. Na slici A.1 prikazane su geometrijske interpretacije iteracijskog postupka. Kao što vidimo, određivanje korijena funkcije (A.1) odgovara nalaženju apscise presjecišta pravca y = x s

y

y y=x y=ϕ (x )

y=ϕ (x )

y=x 2'

2 1'

2'

1

2

4

ϕ (x0)

ϕ (x2) ϕ (x1) ξ x 2 x1

4'

3'

3 1

1'

3

x0

x

a)

x1 x 3 ξ x 4 x 2

ϕ (x0) x0 x

b)

Slika A.1. Geometrijska interpretacija određivanja korijena jednadžbe iteracijskim postupkom [Demidovich81]. J. Šribar, J. Divković-Pukšec: Elektronički elementi - zbirka zadataka

273

274

Prilog A

funkcijom y = ϕ (x). Na slici A.1a prikazan je slučaj kada niz brojeva (A.3) monotono teži konačnom rješenju, dok je na slici A.1b prikazan slučaj kada niz brojeva alternira oko konačnog rješenja, približavajući mu se postupno. Očigledno je da će broj potrebnih iteracija biti to manji što je početno pretpostavljeno rješenje bliže traženom rješenju. Na slici A.2 prikazan je slučaj kada dobiveni niz rješenja divergira. Možemo uočiti da je za razliku od primjera na slici A.1a, nagib funkcije ϕ (x) oko traženog rješenja veći od jedan, tj. ϕ ′( x ) > 1 . Dovoljan uvjet za konvergenciju iteracijskog postupka može se definirati slijedećim teoremom:

y=ϕ (x )

y

2

1

y=x 2'

1'

ξ x0 x1

x2

x

Slika A.2. Grafički prikaz divergencije rješenja iteracijskog postupka [Demidovich81]

Teorem† . Neka je funkcija ϕ (x) određena i derivabilna za sve vrijednosti x iz nekog intervala áa , b ñ . Ako postoji broj q takav da je

ϕ ′( x ) ≤ q < 1 , za a < x < b, tada: 1. postupak iteracije

x n = ϕ ( x n −1 ), (n = 1, 2 ,K )

konvergira neovisno o početnoj vrijednosti x0∈áa , b ñ ; 2. limes niza

ξ = lim x n n→∞

je jedini korijen jednadžbe

x = ϕ ( x)

na intervalu áa , b ñ . Prednost iteracijskog postupka je svojstvo samokorekcije. Unutar područja konvergencije, pogreška u računu u nekoj od iteracija (npr. zbog pogrešno utipkanih međuvrijednosti u računalo) neće utjecati na točnost konačnog rješenja, već će samo povećati broj potrebnih iteracija. U konkretnim primjenama postupak iteracije se obično ponavlja sve dok razlika između dva uzastopna rješenja u nizu (xn i xn–1) ne postane manja od nekog unaprijed definiranog iznosa ε (npr. ako se xn i xn–1 podudaraju na prvih m znamenki), a rezultat posljednje iteracije xn se uzima kao aproksimacija traženog rješenja. Međutim, ako je derivacija ϕ ′ ( x ) blizu jedinici, razlika između rezultata dvije uzastopne iteracije može biti vrlo mala, a da je traženo rješenje vrlo daleko (vidi sliku A.3). Stoga je sigurnije iteraciju ponavljati sve dok nije zadovoljen uvjet 1− q x n − x n −1 ≤ ⋅ε , (A.4) q

gdje je q gornja ograda apsolutne vrijednosti derivacije funkcije ϕ (x) unutar promatranog intervala áa , b ñ .

†

Dokaz teorema zainteresirani čitatelj može naći u knjigama [Dahlquist74, Demidovich81].

275

Određivanje korijena jednadžbe iteracijskim postupkom

Važno je primijetiti da se jednadžba (A.1) uvijek dade na više načina prikazati u obliku (A.2). Pri tome uvjet teorema neće biti uvijek ispunjen. Međutim, dovoljno je jednadžbu prepisati u drugom obliku, da bi bio zadovoljen uvjet konvergencije za razmatrani interval. Na primjer, za jednadžbu x = exp( x ) − 2 (A.5) želimo naći pozitivni korijen (ξ = 1,146). Uvjet konvergencije iz gornjeg teorema oko tog korijena nije zadovoljen. Provedemo li ipak iteraciju, dobit ćemo niz koji će divergirati (za x0 ≥ 1,146) ili konvergirati negativnom korijenu ξ = –1,841 (za x0 < 1,146). Da bismo dobili pozitivni korijen (A.5) ćemo napisati u obliku x = ln( x + 2) . (A.6)

y

y=x y=ϕ (x )

ξ

xn

ε

x n −1

x

Slika A.3. Funkcija kod koje se rezultati dvije susjedne iteracije neznatno razlikuju daleko od traženog korijena [Demidovich81].

Pomoću ove jednadžbe dobit ćemo traženi korijen, uz početni x0 > –1,841.

Prilog B: Rješenja difuzijske jednadžbe za difuzije iz neograničenog i ograničenog izvora Raspodjele primjesa tijekom difuzije dobivaju se rješavanjem difuzijske jednadžbe (II Fickov zakon)† ∂N ∂ 2N , (B.1) = D⋅ ∂t ∂ x2 za odgovarajuće rubne i početne uvjete. Primjenom Laplaceove transformacije na vrijeme, gornja parcijalna diferencijalna jednadžba prelazi u običnu diferencijalnu jednadžbu [Lindmayer65] s ⋅ N − N (0) = D ⋅

d2 N

. dx 2 Ako na početku difuzije nije bilo primjesa u poluvodiču, tada je N (0) = 0 ,

(B.2)

pa diferencijalnu jednadžbu (B.2) možemo napisati kao d2 N

s − ⋅N =0. (B.3) D dx 2 N u gornjim jednadžbama je koncentracija primjesa u transformiranom području. Opće rješenje linearne diferencijalne jednadžbe (B.3) je oblika æ s ö æ N = C1 ⋅ exp çç ⋅ x÷÷ + C2 ⋅ exp çç − D è ø è

s ö ⋅ x÷ . D ÷ø

(B.4)

I za difuziju iz neograničenog izvora kao i za difuziju iz ograničenog izvora pretpostavljamo da prije difuzije nije bilo primjesa u pločici. Iz toga proizlazi jedan rubni uvjet koji zahtijeva da koncentracija duboko u volumenu poluvodiča teži nuli tijekom cijelog difuzijskog procesa, tj.

lim N = 0 .

x →∞

Zato je konstanta integracije u (B.4) C1 = 0, pa je æ N = C2 ⋅ exp çç − è

s ö ⋅ x÷ . D ÷ø

(B.5)

Konstantu integracije C2 odredit ćemo iz rubnog uvjeta na površini, koji se razlikuje za difuziju iz neograničenog, odnosno ograničenog izvora.

†

Ovaj oblik II Fickovog zakona vrijedi samo ako je difuzijski koeficijent D neovisan o prostornoj koordinati. U protivnom, pravilno je pisati ∂N ∂ æ ∂N ö = çD⋅ ÷, ∂t ∂x è ∂x ø a dobivene raspodjele primjesa odstupaju od ovdje navedenih analitičkih raspodjela. Ovo je redovito slučaj kod difuzije primjesa u vrlo visokim koncentracijama, većim od 1018 cm–3.

276


Rješenja difuzijske jednadžbe za difuzije iz neograničnog i ograničenog izvora

277

Difuzija iz ograničenog izvora Tijekom difuzije iz ograničenog izvora ukupna količina primjesa koja se nalazi u pločici je konstantna ∞

ò N ( x) ⋅ dx = Q = konst.

(B.6)

0

Primijenimo li Laplaceovu transformaciju na taj rubni uvjet, dobit ćemo Q =

Q = s

∞

D , s

(B.7)

s ö ⋅ x÷ . D ÷ø

(B.8)

ò N ⋅ dx = C2 ⋅ 0

iz čega se dobiva raspodjela u transformiranom području N =

æ ⋅ exp çç − s⋅D è

Q

Primjenom inverzne Laplaceove transformacije (B.8) prelazi u konačno rješenje - Gaussovu raspodjelu N ( x, t ) =

æ x2 ö ÷. ⋅ exp ç − π ⋅ D⋅t è 4⋅ D⋅t ø Q

(B.9)

Difuzija iz neograničenog izvora Za difuziju iz neograničenog izvora drugi rubni uvjet zahtijeva da je koncentracija primjesa na površini tijekom difuzije konstantna (B.10) N ( x = 0, t > 0) = N 0 . Primijenimo li Laplaceovu transformaciju na taj rubni uvjet, dobit ćemo N0 . s Uvrštavanjem u (B.5), dobivamo rješenje u transformiranom području N ( x = 0) =

N =

æ N0 ⋅ exp çç − s è

s ö ⋅ x÷ . D ÷ø

(B.11)

(B.12)

Budući da se derivacija ovog rješenja po prostornoj koordinati æ N0 dN =− ⋅ exp çç − dx s⋅ D è

s ö ⋅ x÷ D ÷ø

(B.13)

i rješenje (B.8) razlikuju samo u konstantama Q, odnosno –N0 , ispred eksponencijalne funkcije, možemo zaključiti da će inverzna Laplaceova transformacija (B.13) biti æ æ x2 ö dN N0 x2 ö 2 ⋅ N0 ÷=− =− ⋅ exp ç − ⋅ exp ç − 2 ÷ . dx λ⋅ π π ⋅ D⋅t è 4⋅ D⋅t ø è λ ø

Konačnu raspodjelu dobit ćemo integracijom (B.14)

(B.14)

278

Prilog B

x

N =ò a

x æ x2 ö dN 2 ⋅ N0 ⋅ dx = − ⋅ ò exp ç − 2 ÷ ⋅ dx = dx λ⋅ π a è λ ø

x /λ

b é æ x ö2ù æ x ö 2 exp ê− ç ÷ ú ⋅ d ç ÷ = N 0 ⋅ ⋅ ò exp( − y 2 ) ⋅ dy . (B.15) π a π x êë è λ ø úû è λ ø Gornju granicu b = λ ⋅ a u zadnjem integralu odredit ćemo iz uvjeta da koncentracija duboko u volumenu poluvodiča mora težiti nuli N ( ∞) = 0 ,

= − N0 ⋅

2

⋅

ò

iz čega dobivamo da je b = ∞ , odnosno N ( x) =

2 ⋅ N0 π

∞

⋅ ò exp( − y 2 ) ⋅ dy .

(B.16)

x

Ovaj posljednji izraz je upravo tražena komplementarna funkcija pogreške (vidi Prilog C, definiciju (C.1))!

Prilog C: Komplementarna funkcija pogreške - definicija ∞

2

erfc( x ) =

π

⋅ ò exp( −t 2 ) ⋅ dt

(C.1)

x

- osnovna svojstva erfc (0) = 1 erfc( ∞) = 0 erfc( x ) = 1 − erf ( x ) = 1 −

x

2

⋅ ò exp( −t 2 ) ⋅ dt

π

(C.2)

0

2 d erfc( x ) = − ⋅ exp ( − x 2 ) dx π x

[

1

ò erfc(t ) ⋅ dt = x ⋅ erfc( x) +

⋅ 1 − exp( − x 2 )

π

0

∞

ò erfc(t ) ⋅ dt = 0

(C.3)

]

1

(C.4)

(C.5)

π

- aproksimacija racionalnom funkcijom [Abramowitz64] erfc( x ) = (a1 ⋅ t + a 2 ⋅ t 2 + a 3 ⋅ t 3 + a 4 ⋅ t 4 + a 5 ⋅ t 5 ) ⋅ exp( − x 2 ) + ε(erfc)

t=

1 , 1+ p⋅ x

(C.6)

ε (erfc) ≤ 1,5 ⋅ 10 −7

p = 0,3275911 a1 = 0,254829592 a 2 = −0,284496736 a 3 = 1,421413741 a 4 = −1,453152027 a5 = 1,061405429

- aproksimacija inverza racionalnom funkcijom [Abramowitz64] x=t−

a 0 + a1 ⋅ t 1 + b1 ⋅ t + b2 ⋅ t 2

æ 2 ö t = lnç ÷ , è erfc( x ) ø

+ ε( x ) ,

(C.7)

ε( x ) < 2 ⋅ 10 -3

a 0 = 1,63167 a1 = 0,27061 b1 = 1,40331 b2 = 0,08962


279

280

Prilog C

- tablica vrijednosti x

erfc(x)

x

erfc(x)

x

erfc(x)

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00

9,436·10–1 8,875·10–1 8,320·10–1 7,773·10–1 7,237·10–1 6,714·10–1 6,206·10–1 5,716·10–1 5,245·10–1 4,795·10–1 4,367·10–1 3,961·10–1 3,580·10–1 3,222·10–1 2,888·10–1 2,579·10–1 2,293·10–1 2,031·10–1 1,791·10–1 1,573·10–1

1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00

1,376·10–1 1,198·10–1 1,039·10–1 8,969·10–2 7,710·10–2 6,599·10–2 5,624·10–2 4,771·10–2 4,030·10–2 3,389·10–2 2,838·10–2 2,365·10–2 1,962·10–2 1,621·10–2 1,333·10–2 1,091·10–2 8,889·10–3 7,210·10–3 5,821·10–3 4,678·10–3

2,05 2,10 2,15 2,20 2,25 2,30 2,35 2,40 2,45 2,50 2,55 2,60 2,65 2,70 2,75 2,80 2,85 2,90 2,95 3,00

3,742·10–3 2,980·10–3 2,362·10–3 1,863·10–3 1,463·10–3 1,143·10–3 8,894·10–4 6,886·10–4 5,307·10–4 4,070·10–4 3,107·10–4 2,361·10–4 1,785·10–4 1,344·10–4 1,007·10–4 7,505·10–5 5,568·10–5 4,112·10–5 3,022·10–5 2,211·10–5

LITERATURA Knjige [Abramowitz64] M. Abramowitz, I. A. Stegun (eds.), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables, National Bureau of Standards, New York, 1964 [Adler64] R. B. Adler, A. C. Smith, R. L. Longini, Introduction to Semiconductor Physics, Wiley, New York, 1964. [Anselm81] A. Anselm, Introduction to Semiconductor Theory, Mir Publishers, Moskva, 1981. [Antognetti88] P. Antognetti, G. Massobrio (eds.), Semiconductor Modeling with SPICE, McGraw-Hill, New York, 1988. [Böer90] K. W. Böer, Survey of Semiconductors Physics, Van Nostrand Reinhold, New York, 1990. [Beadle85] W. E. Beadle, J. C. C. Tsai, R. D. Plummer (eds.), Quick Reference Manual for Silicon Integrated Circuit Technology, Wiley, New York, 1985. [Biljanović70] P. Biljanović, Zbirka zadataka iz elektroničkih elemenata, Sveučilište u Zagrebu, Zagreb, 1970. [Biljanović82] P. Biljanović, Mikroelektronika - integrirani elektronički sklopovi, Školska knjiga, Zagreb, 1982. [Blakemore62] J. S. Blakemore, Semiconductor Statistics, Pergamon Press, Oxford, 1962. [Blakemore74] J. S. Blakemore, Solid State Physics, Saunders, Philadelphia, 1974. [Bronštejn75] I. N. Bronštejn, K. A. Semendjajev, Matematički priručnik za inženjere i studente, Tehnička knjiga, Zagreb, 1975. [Burger67] R. M. Burger, R. P. Donovan (eds.), Fundamentals of Silicon Integrated Device Technology - Volume I, Prentice-Hall, New Jersey, 1967. [Butković78] Ž. Butković, Numerička analiza poluvodičkih bipolarnih tranzistora, magistarski rad, Elektrotehnički fakultet, Zagreb, 1978. [Carslaw59] H. S. Carslaw, J. C. Jaeger, Conduction of Heat in Solids, Oxford University Press, Oxford, 1959. [Cvekić75] V. Cvekić, Poluprovodničke diode i tranzistori, Tehnička knjiga, Beograd, 1975. [Dahlquist74] G. Dahlquist, Ĺ. Björck, Numerical Methods, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1974. [Demidovich81] B. P. Demidovich, I. A. Maron, Computational Mathematics, Mir Publishers, Moskva, 1981. [Elliot89] D. J. Elliott, Integrated Circuit Fabrication Technology, McGraw-Hill, New York, 1989. [Gärtner60] W. W. Gärtner, Transistors: Principles, Design and Applications, Van Nostrand, Princeton, 1960. [Ghandi68] S. K. Ghandi, The Theory and Practice of Microelectronics, Wiley, New York, 1968. [Graaff90] H. C. de Graaff, F. M. Klaassen, Compact Transistor Modeling for Circuit Design, Springer-Verlag, Wien, 1990.


281

282

[Gray64] [Grove67] [Juzbašić75] [Kendall69] [Kireev78] [Kittel76] [Lindmayer65] [Linvill63] [Millman72] [Milnes73] [Moll64] [Nanavati63] [Phillips62] [Piskunov74] [Ruska88] [Selberherr84] [Shive59] [Shockley50] [Singh94] [Smith78] [Sze81] [Sze88] [Valkó91] [Wang81] [Wolf67] [Wolf71] [Yepifanov74]

Literatura

P. E. Gray, D. DeWitt, A. R. Boothroyd, J. F. Gibbons, Physical Electronics and Circuit Models of Transistors, Wiley, New York, 1964. A. S. Grove, Physics and Technology of Semiconductor Devices, Wiley, New York, 1967. B. Juzbašić, Elektronički elementi, Školska knjiga, Zagreb, 1975. E. J. M. Kendall, Transistors, Pergamon Press, Oxford, 1969. P. S. Kireev, Semiconductor Physics, Mir Publishers, Moskva, 1978. C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York, 1976. J. Lindmayer, C. Y. Wrigley, Semiconductor Devices, Van Nostrand, Princeton, 1965. J. G. Linvill, Models of Transistors and Diodes, McGraw-Hill, New York, 1963. J. Millman, C. C. Halkias, Integrated Electronics: Analog and Digital Circuits and Systems, McGraw-Hill Kogakusha, Tokyo, 1972. A. G. Milnes, Deep Impurities in Semiconductors, Wiley, New York, 1973. J. L. Moll, Physics of Semiconductors, McGraw-Hill, New York, 1964. R. P. Nanavati, An Introduction to Semiconductor Electronics, McGraw-Hill, New York, 1963. A. B. Phillips, Transistor Engineering, McGraw-Hill, New York, 1962. N. Piskunov, Differential and Integral Calculus, Mir Publishers, Moskva, 1974. W. S. Ruska, Microelectronic Processing - An Introduction to the Manufacture of Integrated Circuits, McGraw-Hill, New York, 1988. S. Selberherr, Analysis and Simulation of Semiconductor Devices, SpringerVerlag, Wien, 1984. J. N. Shive, Semiconductor Devices, Van Nostrand, Princeton, 1959. W. Shockley, Electrons and Holes in Semiconductors, Van Nostrand, Princeton, N. J., 1950. J. Singh, Semiconductor Devices - An Introduction, McGraw-Hill, New York, 1994. R. A. Smith, Semiconductors, Cambridge University Press, Cambridge, 1978. S. M. Sze, Physics of Semiconductor Devices, Wiley, New York, 1981. S. M. Sze, VLSI Technology, McGraw-Hill, New York, 1988. I. P. Valkó, K. Tarnay, V. Székely, Elektronikus eszközök I., Tankönyvkiadó, Budapest, 1991. F, F, Wang (ed.), Impurity Doping Processes in Silicon, North-Holland, Amsterdam, 1981. H. F. Wolf, Silicon Semiconductor Data, Pergamon Press, Oxford, 1967. H. F. Wolf, Semiconductors, Wiley, New York, 1971. G. Yepifanov, Physical Principles of Microelectronics, Mir Publishers, Moskva, 1974.

Članci u časopisima

283

Članci u časopisima [Alamo85]

J. del Alamo, S. Swirhun, R. M. Swanson, “Measuring and Modeling Minority Carrier Transport in Heavily Doped Silicon, Solid State Electron., vol. 28, pp. 47 - 54, January 1985. [Arora82] N. D. Arora, J. R. Hauser, D. J. Roulston, “Electron and Hole Mobilities in Silicon as a Function of Concentration and Temperature”, IEEE Trans. Electron Devices, vol. ED-29, pp. 292 - 295, February 1982. [Baccarani75] G. Baccarani, P. Ostoja, “Electron Mobility Empirically Related to the Phosphorus Concentration in Silicon”, Solid-State Electron., vol. 18, pp. 579 580, 1975. [Barber67] H. D. Barber, “Effective Mass and Intrinsic Concentration in Silicon,” Solid State Electron., vol. 10, pp. 1039 - 1051, November 1967. [Bennett83] H. S. Bennett, “Hole and Electron Mobilities in Heavily Doped Silicon: Comparison of Theory and Experiment”, Solid State Electron., vol. 26, pp. 1157 - 1166, December 1983. [Bennett90] H. S. Bennett, J. R. Lowney, “Physics for Numerical Simulation of Silicon and Gallium Arsenide Transistors”, Solid State Electron., vol. 33, pp. 675 - 691, June 1990. [Blakemore82] J. S. Blakemore, “Approximations for Fermi-Dirac Integrals, Especially the Function 1/2(η) Used to Describe Electron Density in a Semiconductor,” Solid State Electron., vol. 25, November 1982. [Canali75] C. Canali, G. Majni, R. Minder, G. Ottaviani, “Electron and Hole Drift Velocity Measurements in Silicon and Their Empirical Relation to Electric Field and Temperature”, IEEE Trans. Electron Devices, vol. ED-22, pp. 1045 - 1047, November 1975. [Caughey67] D. M. Caughey, R. E. Thomas, “Carrier Mobilities in Silicon Empirically related to Doping and Field”, Proc. IEEE, vol. 55, pp. 2192 - 2193, December 1967. [Chang67] Y. F. Chang, “The Capacitance of p-n Junctions”, Solid-State Electron., vol. 10, pp. 281 - 287, April 1967. [Chawla71] B. R. Chawla, H. K. Gummel, “Transition Region Capacitance of Diffused p-n Junctions”, IEEE Trans. Electron Devices, vol. ED-18, pp. 178 - 195, March 1971. [Chelikowsky76] J. R. Chelikowsky, M. L. Cohen, “Nonlocal Pseudopotential Calculations for the Electronic Structure of Eleven Diamond and Zinc-Blende Semiconductors”, Phys. Rev., vol. B14, pp. 556 - 582, 15th July 1976. [Chen92] Y.-W. Chen, J. B. Kuo, “Two-Dimensional Analysis of a BiNMOS Transistor Operating at 77 K Using a Modified PISCES Program,” IEEE Trans. Electron Devices, vol. ED-39, pp. 348 - 355, February 1992. [Conwell52] E. M. Conwell, “Properties of Silicon and Germanium”, Proc. IRE, vol. 40, pp. 1327 - 1337, November 1952. [Dorkel81] J. M. Dorkel, Ph. Leturcq, “Carrier Mobilities in Silicon Semi-Empirically Related to Temperature, Doping and Injection Level,” Solid State Electron., vol. 24, pp. 821 - 825, September 1981. [Fossum76] J. G. Fossum, “Computer-Aided Numerical Analysis of Silicon Solar Cells”, Solid-State Electron., vol. 19, pp. 269 - 277, April 1976.

284

[Fossum82] [Fossum83] [Fuller56] [Gaensslen79] [Gummel64] [Gummel67] [Hall52] [Hall52a] [Haynes49] [Haynes51] [Haynes52] [Hauser71] [Henning87]

[Hilibrand60] [IRE56] [Irvin62] [Johnson71] [Kennedy63] [Kennedy64] [Kennedy65]

Literatura

J. G. Fossum, D. S. Lee, “A Physical Model for the Dependence of a Carrier Lifetime on Doping Density in Nondegenerate Silicon”, vol. 25, pp. 741 - 747, August 1982. J. G. Fossum, R. P. Mertens, D. S. Lee, J. F. Nijs, “Carrier Recombination and Lifetime in Highly Doped Silicon”, vol. 26, pp. 569 - 576, June 1983. C. S. Fuller, J. A. Ditzenberger, “Diffusion of Donor and Acceptor Elements in Silicon”, J. Appl. Phys., vol. 27, pp. 544 - 553, May 1956. F. H. Gaensslen, R. C. Jaeger, “Temperature Dependent Threshold Behavior of Depletion Mode MOSFETs”, Solid State Electron., vol. 22, pp. 423 - 430, April 1979. H. K. Gummel, “A Self-Consistent Iterative Scheme for One-Dimensional Steady State Transistor Calculations”, IEEE Trans. Electron Devices, vol. ED11, pp. 455 - 465, October 1964. H. K. Gummel, “Hole - Electron Product of p-n Junctions”, Solid State Electron., vol. 10, pp. 209 - 212, March 1967. R. N. Hall, “Electron - Hole Recombination in Germanium”, Phys. Rev., vol. 87, p. 387, September 1, 1952. R, N. Hall, “Power Rectifiers and Transistors”, Proc. IRE, vol. 40, pp. 1512 1518, November 1952. J. R. Haynes, W. Shockley, “Investigation of Hole Injection in Transistor Action”, Phys. Rev., vol. 75, p. 691, 1949. J. R. Haynes, W. Shockley, “The Mobility and Life of Injected Holes and Electrons in Germanium”, Phys. Rev., vol. 81, pp. 835 - 843, March 1, 1951. J. R. Haynes, W. C. Westphal, “The Drift Mobility of Electrons in Silicon”, Phys. Rev., vol. 85, p. 850, 1952. J. R. Hauser, “Boundary Condition at p-n Junctions”, Solid State Electron., vol. 14, pp. 133 - 139, February 1971. A. K. Henning, N. N. Chan, J. T. Watt, J. D. Plummer, “Substrate Current at Cryogenic Temperatures: Measurements and a Two-Dimensional Model for CMOS Technology,” IEEE Trans. Electron Devices, vol. ED-34, pp. 64 - 74, January 1987. J. Hilibrand, R. D. Gold, “Determination of the Impurity Distribution in Junction Diodes from Capacitance-Voltage Measurements”, RCA Review, pp. 245 - 252, June 1960. “IRE Standards on Letter Symbols for Semiconductor Devices”, Proc.IRE, vol. 44, pp. 934 - 937, July 1956. J. C. Irvin, “Resistivity of Bulk Silicon and Diffused Layers in Silicon”, Bell System Tech. J., vol. 41, pp. 387 - 410, March 1962. W. C. Johnson, P. T. Panousis, “The Influence of Debye Length on the C-V Measurement of Doping Profiles”, IEEE Trans. Electron Devices, vol. ED-18, pp. 965 - 973, October 1971. D. P. Kennedy, P. C. Murley, “Minority Carrier Injection Characteristics of the Diffused Emitter Junction”, IRE Trans. Electron Devices, vol. ED-9, pp. 136 142, March 1963. D. P. Kennedy, P. C. Murley, “Impurity Atom Distribution from a Two-Step Diffusion Process”, Proc. IEEE, vol. 52, pp. 620 - 621, May 1964. D. P. Kennedy, R. R. O'Brien, “Analysis of the Impurity Atom Distribution Near the Diffusion Mask for a Planar p-n Junction”, IBM J. Res. Devices, vol. 9, pp. 179 - 186, May 1965.

Članci u časopisima

[Kingston54]

285

R. H. Kingston, “Switching Time in Junction Diodes and Junction Transistors”, Proc. IRE, vol. 42, pp. 829 - 834, May 1954. [Klein61] M. Klein, “Injection Efficiency in Double Diffused Transistors”, Proc. IRE., vol. 49, p. 1708, November 1961. [Kleppinger71] D. D. Kleppinger, F. A. Lindholm, “Impurity Concentration Dependent Density of States and Resulting Fermi Level for Silicon”, Solid-State Electron., vol. 14, pp. 407 - 416, 1971. [Kroemer57] H. Kroemer, “Quasi-Electric and Quasi-Magnetic Fields in Nonuniform Semiconductors”, RCA Rev., vol. 18, pp. 332 - 342, September 1957. [Kroemer57a] H. Kroemer, “Theory of a Wide-Gap Emitter for Transistors”, Proc. IRE, vol. 45, pp. 1535 - 1537, November 1957. [Kroemer78] H. Kroemer, “The Einstein Relation for Degenerate Carrier Concentration”, IEEE Trans. Electron Devices, vol. ED-25, p. 850, July 1978. [Lawrence60] H. Lawrence, R. M. Warner, “Diffused Junction Depletion Layer Calculations”, Bell System Tech. J., vol. 39, pp. 389 - 403, March 1960. [Lee83] D. S. Lee, J. C. Fossum, “Energy-Band Distortion in Highly Doped Silicon”, IEEE Trans. Electron. Devices, vol. ED-30, pp. 626 - 634, June 1983. [Mari68] A. De Mari, “An Accurate Numerical Steady-State One-Dimensional Solution of the p-n Junction” , Solid-State Electron., vol. 11, pp. 33 - 58, February 1968. [Masetti83] G. Masetti, M. Severi, S. Solmi, “Modeling of Carrier Mobility Against Carrier Concentration in Arsenic-, Phosphorus- and Boron-Doped Silicon”, IEEE Trans. Electron Devices, vol. ED-30, pp. 764 - 769, July 1983. [Mock73] M. S. Mock, “Transport Equations in Heavily Doped Silicon, and the Current Gain of a Bipolar Transistor”, Solid-State Electron., vol. 16, pp. 1251 - 1259, 1973. [Moll58] J. L. Moll, “The Evolution of the Theory of the Current-Voltage Characteristics of p-n Junctions”, Proc. IRE, vol. 46, pp. 1076 - 1082, June 1958. [Morgan60] S. P. Morgan, F. M. Smits, “Potential Distribution and Capacitance of a Graded p-n Junction”, Bell System Tech. J., vol. 39, pp. 1573 - 1602, November 1960. [Morin54] F. J. Morin, J. P. Maita, “Conductivity and Hall Effect in the Intrinsic Range of Germanium”, Phys. Rev., vol. 94, pp. 1525 - 1529, June 15, 1954. [Morin54a] F. J. Morin, J. P. Maita, “Electrical Properties of Silicon Containing Arsenic and Boron”, Phys. Rev., vol. 96, pp. 28 - 35, October 1, 1954. [Norwood68] M. H. Norwood, “Voltage Variable Capacitor Tuning: A Review”, Proc. IEEE, vol. 56, pp. 788 - 798, May 1968. [Nussbaum69] A. Nussbaum, “Boundary Conditions for Space-Charge Region of a p-nJunction”, Solid State Electron., vol. 12, pp. 177 - 183, 1969. [Omar87] M. A. Omar, L. Reggiani, “Drift and Diffusion of Charge Carriers in Silicon and Their Empirical Relation to the Electric Field,” Solid State Electron., vol. 7, pp. 693 - 697, July 1987. [Overstraeten73] R. J. van Overstraeten, H. J. DeMan, R. P. Mertens, “Transport Equations in Heavy Doped Silicon”, IEEE Trans. Electron Devices, vol. ED-20, pp. 290 298, March 1973. [Putley58] E. H. Putley, W. H. Mitchell, “The Electrical Conductivity and Hall Effect of Silicon”, Proc. Phys. Soc., vol. 72, pp. 193 - 200, July 1958. [Roosbroeck50] W. Van Roosbroeck, “Theory of the Flow of Electrons and Holes in Germanium and Other Semiconductors”, Bell Syst. Tech. J., vol. 29, pp. 560 607, October 1950.

286

[Roulston82]

[Ryder53] [Sah57] [Selberherr89] [Shigyo90] [Shockley49] [Shockley52] [Slotboom76] [Slotboom77] [Slotboom77a] [Smits58] [Sze68] [Thurmond75] [Trumbore60] [Tyagi83] [Warner83] [Wu75]

Literatura

D. J. Roulston, N. D. Arora, S. G. Chamberlain, “Modeling and Measurement of Minority-Carrier Lifetime versus Doping in Diffused Layers of n+-p Silicon Diodes”, IEEE Trans. Electron Devices, vol. ED-29, pp. 284 - 291, February 1982. E. J. Ryder, “Mobility of Holes and Electrons in High Electric Fields”, Phys. Rev., vol. 90, pp. 766 - 769, June 1953. C. T. Sah, R. N. Noyce, W. Shockley, “Carrier Generation and Recombination in p-n Junction and p-n Junction Characteristics”, Proc. IRE, vol. 45, pp. 1228 1243, September 1957. S. Selberherr, “MOS Device Modeling at 77 K,” IEEE Trans. Electron Devices, vol. ED-36, pp. 1464 - 1474, August 1989. N. Shigyo, H. Tanimoto, M. Norishima, S. Yasuda, “Minority Carrier Mobility Model for Device Simulation”, Solid State Electron., vol. 33, pp. 727 - 731, June 1990. W. Shockley, “The Theory of p-n Junctions in Semiconductors and p-n Junction Transistors”, Bell Syst. Tech. J., vol. 28, pp. 435 - 489, 1949. W. Shockley, W. T. Read, “Statistics of the Recombination of Holes and Electrons”, Phys. Rev., vol. 87, 835 - 842, September 1, 1952. J. W. Slotboom, H. C. de Graaff, “Measurements of Bandgap Narrowing in Si Bipolar Transistors,” Solid State Electron., vol. 19, pp. 857 - 862, October 1976. J. W. Slotboom, “The pn-Product in Silicon,” Solid-State Electron., vol. 20, pp. 279 - 283, April 1977. J. W. Slotboom, H. C. de Graaff, “Bandgap Narrowing in Silicon Bipolar Transistors”, IEEE Trans. Electron Devices, vol. ED-24, pp. 1123 - 1125, August 1977. F. M. Smits, “Formation of Junction Structures by Solid-State Diffusion”, Proc. IRE, vol. 46, pp. 1049 - 1061, June 1958. S. M. Sze, J. C. Irvin, “Resistivity, Mobility and Impurity Levels in GaAs, Ge and Si at 300°K”, Solid State Electron., vol. 11, pp. 599 - 602, 1968. C. D. Thurmond, “The Standard Thermodynamic Functions for the Formation of Electrons and Holes in Ge, Si, GaAs and GaP”, J. Electrochem. Soc., vol. 122, pp. 1133 - 1141, August 1975. F. A. Trumbore, “Solid Solubility of Impurity Elements in Germanium and Silicon”, Bell System Tech. J., vol. 39, pp. 205 - 233, January 1960. M. S. Tyagi, R. Van Overstraeten, “Minority Carrier Recombination in HeavilyDoped Silicon”, Solid-State Electron., vol. 26, pp. 577 - 597, June 1983. R. M. Warner, R. P. Jindal, “Replacing the Depletion Approximation”, Solid State Electron., vol. 26, pp. 335 - 342, 1983. C. P. Wu, E. C. Douglas, C. W. Mueller, “Limitations of the CV Technique for Ion-Implanted Profiles”, IEEE Trans. Electron Devices, vol. ED-22, pp. 319 329, June 1975.

Elektronika Knjiga i Zadaci

Recommend Documents