1. Ruedas transmisi6n 6n entre entre ejes parale paralelos los Ruedas cilindrica cilindricass de dientes rectos. rectos. La transmisi se realiza, realiza, segun segun 10 vista vista en el capitu capitulo lo XIV, XIV, par media media de ruedas ruedas cilin cilindr drica icas, s, tambien tambien llamadas llamadas ruedas ruedas fmntales fmntales.. En las figuras figuras 15-1, 15-2 y 15-3 se presentan engranaj engranajes es cilindri cilindricos cos exterior exterior,, interior interior y can can cremalle cremallera, ra, respecti respectivame vamente, nte, los cuale cualess pueden pueden tener tener diente dientess rectos rectos,, parale paralelo loss alas alas ejes, ejes, como como en las las mismas mismas,, a inclinad inclinados os un angulo "0", como como en la figur figuraa 15-4, 15-4, donde donde la linea linea centra centrall del diente diente describe describe una Mlice Mlice alrededo alrededorr de los cilindros cilindros primitiv primitivos. os. Si en las figuras figuras 15-1 y 15-2, son "d primitivos p I" Y "d p2 " los diametros primitivos de las ruedas ruedas "1" Y "2", "2", que tienen tienen "z I" y' "Z2" dientes dientes respecti respectivame vamente, nte, par el hecho hecho de engr engran anar ar entr entree si, tien tienen en el rnismo rnismo paso paso y el el mismo m6dulo, m6dulo, podemos poner que:
.
W2
r p1 p1
WI
r p2
1 = = -
la cual cual resulta, resulta, teniendo teniendo en cuenta las expresio expresiones nes 15-1: 15-1:
.
dP1
Zl
d P2
Z2
1 = = -
Si "nl" Y "n2" son los numero numeross de vuelta vueltass par minut minuto, o, de las ruedas ruedas "1" y "2" "2" respecti respectivame vamente, nte, que nos dan las velocida velocidades des angulare angulares: s:
W2
n2
WI
nl
i= =
Como Como can. can. un solo solo par par de rued rued:a :as, s, par par razo razone ness de inte interf rfer eren enci cias as en el engrane, engrane, la relac relaci6nd i6nd~tra ~transrn nsrnisi6 isi6n n esta limi limitada tada;; en los los casas casas que que es necesari necesario o utilizar utilizar un 'elevado 'elevado salta salta .de velocida velocidades, des, deben deben construi construirse rse trenes trenes de engranaje engranajess
Reempla/.alldo, Reempla/.alldo, I'll liNin, IONvnl IONvnlon'N on'N do IONdilltllol IONdilltllollON lON IHllllltl IHllllltlvON, vON,dndoN dndoN I'll I'll Iii expresi611 15-1, rl'Nlllln: rl'Nlllln:
o bien el cocie cociente nte entre entre el numer numero o de dientes dientes,, 0 del del diame diametr tro, o, de las ruedas ruedas condu conduct ctora orass sobre sobre las conduci conducidas das.. Si por ejemp ejemplo, lo, se necesi necesita ta transm transmit itir ir una relacion relacion de transmis transmision ion 1 : 12, podemos podemos descompo descomponerl nerlaa en la forma: forma: 1
1
1
12
4
3
i = = -
Hemos Hemos colocado colocado la relaci6 relaci6n n "1 : 4" para el primer primer par, pues, pues, pOI'trata pOI'tratarse rse de un meca mecanis nismo mo reduc reductor tor,, convi conviene ene usaI' usaI' la la menor menor reducc reduccion ion en el par de menor menor velocidad 0 sea en el mayor de fuerza tangencial tangencial.. Pudo, Pudo, en este caso, caso, usarse usarse otra relaci6n que satisfaga "i". La dist distan anci ciaa entr entree cent centra rass depe depend ndee del del nume numero ro de dient dientes es y de las las dime dimens nsio ione ness de esto estos, s, es deci decirr tamb tambie ien n del del paso paso y del del m6dul m6dulb; b; en efec efecto to,, como la distancia distancia entre entre ejes "C", ejes "C", vale: d p1 C=
+ d pz 2
Con respcclo respcclo a la cleC\.: cleC\.:illl illllue lue los lIullleros lIullleros de dientes, dientes, dl'hl' dl'hl' adoplalsl' adoplalsl' 1'1 de la rueda rueda 1Il. 1Il.IS ISchica chica del par "Zl ", denim denim tie las condic condicioll iolles es 1I01llla 1I01lllail' il'ss d,' funci funciona onami mien ento, to, 10 lIl lIl:is :is bajo bajo posib posible; le; cl de la olra olra rlled rlledaa "Z2" SIIljJ,1I (I dl' 1.1 relaci6n relaci6n de trallsmisi trallsmisi{m. {m. Elminim Elminimo o n(unero n(unero de dientes utili/. utili/.abk, abk, I'll I'll 1IIl'das 1IIl'das,, ,k dientes rectos, de perfil perfil envolvente es sicte, sicte, pero su uso est:.!lelega est:.!lelegado do a IIllly Ial :I', ocasio ocasiones nes,, ya que que para para un discr discreto eto funci funciona onami mient ento, o, requie requiere re lIn valor valor dl·1 dl·1 angulo angulo de presi6n presi6n de 25° como como minimo minimo y una correcci correccion on en el perfi perfil, l, qlll~h:W, qlll~h:W, posible el engrane sin interferencias; tiene muy mala razon de cOlltaclo y s(llo I':, admisib admisible le para pasos pasos muy pequenos pequenos.. Con angulo angulo de engrane de engrane de 20u, tomando tomando la altura altura de cabeza cabeza mayOl mayOl qll(' qll(' " 11 los tipos tipos de dicntes dicntes normales normales y contemplan contemplando do solamen solamente te la resis resistenc tencia, ia, sill 1"11"1 1"11"1 en cuenta cuenta 1'1dcsg 1'1dcsgaste aste,, que en este ca'iO es mucho mucho mayor, mayor, se puetle puetle 100IIaiII11 100IIaiII11 minimo minimo de diez a quince quince dientes. dientes. El mas bajo bajo valor valor que, que, para para angulo angulo de presi presion on de de 20°, puede puede adoptals,', adoptals,', mantenie manteniendo ndo la altura altura de cabeza cabeza del diente normal, normal, es diez diez y ocho tlicnles. tlicnles. Sill Sill que exista equilibr equilibrio io entre la resistenci resistenciaa y el desgaste. desgaste. Se obtiene obtiene csto (litinill (litinill recie recien n para para veinti veinticin cinco co diente dientes; s; para para angul angulos os de presion presion menor menores es de 2U", 2U", 1m valores valores de "z" minimo minimo son mayores. mayores. Si aumellta aumelltamos mos el numero numero de dientes, dientes, la resiste resistencia ncia empieza empieza a ser crit crit il':I il':I con respe respecto cto al desgas desgaste te,, princi principa palm lment entee pasand pasando o de treint treinta, a, donde donde silio silio s(' cumplen cumplen las condic condicione ioness de resisten resistencia cia si se 10hace trabajar trabajar a altas altas velociuade velociuadess sea donde donde baja 1'1valo 1'1valorr de la fuerza tangenci tangencial; al; pero pOI'otra parte parte se consijJ, consijJ,III' III' un muy buen resultado resultado en 10 que se refiere refiere al ruido ruido de la transmision transmision.. Para Para dentados dentados corregidos corregidos pueden pueden usarse usarse menos menos dientes, dientes, no obstante obstante pal:l pal:l "Va cera" perfiles "Va cera" y angulo de presion presion de 20 grados, grados, la suma de los los numcros numcros d., dientes dientes de ambas ruedas, ruedas, no puede ser nunca nunca menor menor de veinticu veinticuatro atro.. (I
2. Ruedas Ruedas cilindric cilindricas as de dientes dientes helicoida helicoidales. les. Si como como en la figura figura 15-4, 15-4, IllS dientes dientes no son paral paralelos elos a los ejes ejes de las ruedas, ruedas, sino que se encuentr encuentran an despl:w despl:wl' l' dos un angulo angulo "0", dicho dicho diente diente no puede puede ser recto, recto, sino que que al arrolla arrollarse rse soblc el cilindro primitivo genera genera .una helice, helice, tal se aprecia en la figura 15-6. En rigor rigor a la verdad verdad el angulo angulo de inc1inaci6 inc1inaci6n n del diente, diente, medido medido sobre sobre III circunferencia circunferencia primitiva primitiva "00", no es el mismo mismo que el medido medido sobre sobre la circu circunnferencia ferencia de base "0b", aunque aunque muchas muchas veces veces se 10tome como igual. Observ Observanuo anuo la figura figura 15-7,vemos 15-7,vemos que que el angulo angulo "Ob" "Ob" es Iigerament Iigeramentee menor que "00", debido a la influenc influencia ia del angulo angulo de presion. presion. La diferen diferencia cia entre entre ambos ambos crece crece a mcdida mcdida que se agranda agranda este, este, es decir cuanto cuanto mayor mayor es la difer diferenci enciaa entre entre los diamet diametros ros de las circunferellcias circunferellcias de base y primitiva, resultando: resultando: tgOb
= cosO!
tg 0 tg 0 0
El
de
ed
de di te
ct
limi limitt
la longi longitu tud d
de
l'
reduciendo la posibilidad de obtener una elevada raz6n de contacto, ademas el esfuerzo transmitido provoca choques, al tocar de golpe en todo el largo del diente; los engranajes helicoidales, en cambio, hacen que estos trabajen en un numero mas constante, sobre toda la longitud del segmento de engrane y que la carga resulte aplicada de un modo continuo y progresivo. A la menor existencia de choquesy al mayor numero de dientes en contacto, que traen aparejado un funcionamiento mas silencioso, se Ie suma la ventaja que, tal disposici6n, permite el empleo de pinones de menos dientes, posibilitando el uso de. relaciones de transmisi6n mas elevadas, el trabajo a mayores velocidades y el ahoreo de espacio, pudiendose graduar dentro de ciertos limites, la distancia entre centros. Ademas la inclinaci6n Ie da al diente, una mayor resistencia y hace posible hi utilizaci6n entre ejes no paralelos.
I I
I I
~ ~ o ~ -- -r~---
,.
I
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ferencia· de Oas.
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I I
I
I
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-,
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C e l
__
--
,."o_.
·••.•jtiva C0 0 ;"'---0 P
Sin embargo los engranajes con dientes helicoidales adolecen de los siguientes defectos: un costo ligeramente mayor, aunque su tallado puede hacerse con herramientas de forma, empleando Ias mismas que para dientes rectos y un empuje axial sobre uno de Ios soportes, originado por la componente en esa direccion, de la fuerza que transmite la potencia. Los cojinetes deben entonces disefiarse, de modo que absorban el mencionado empuje, que a su vez da pthdidas por rozamiento. En los casos en que es posible invertir el sentido de giro, debe colocarse el cojinete de doble accion. . Una buena manera de anular este inconveniente es montar, cuando es posible, sobre el mismo eje, otra rueda con angulo de inclinacion del diente de sen.tid? contrario, como se indica en la figura 15-8 0 bien usar engranajes hehcOldales dobles 0 a saeta, (conocidos como "herringbone" en los E.E.U.U. y como "a chevron" en Francia); Ios mismos fueron invent ados por Piat y se muestran en la figura 15-9.
mn
Pn
= -
Pc
= -
1T
1T
CDS 0 0 = me
cos 0 0
Longitud del diente "b" a la medida en Ia direccion de su eje. Ancho de Ia rueda "ba ", que resulta:
En general para engranajes helicoidales, Ia suma de los angulos de inclinacion de Ios dientes "00 "y "00 ", de Ias ruedas "I" y "2" respectivamente, dan el angulo que fobnan los Zejes en el espacio, y como es obvio, tratandose de ejes paralelos debe ser siempre:
cos 0 01
=
COS
Oo z
=
cos 0 0
(15-13)
Dado que la distancia entre ejes, debe ser siempre Ia semisuma de los diametros primitivos, que las ruedas deben tener el mismo modulo normal y que segtin se desprende de Ias ecuaciones 15-8, 15-9, 15-10, IS-II y 15-13, los diametros primitivos valen: mn
ZI
COS 0
01
m n Zz
cos 00z FIGURA 15-10
Observando la figura 15-10, podemos definir, en el cilindro primitivo: Angulo de la helice "00", al formado por el diente y el eje de la rueda. Paso circunferencial 0 frontal "Pc", al paso medido en el plano normal al eje de Ia rueda, de modo que se cumpla que: 1Td p
Pc= -z-
Paso normal "Pn" al paso medido sobre el plano normal al eje del diente, de modo que: Pn =Pc cos
e ;
Modulo circunferencial "me" a la relacion: Pc
mc=
1 T
C= ---
mn
2 cos 0 0
(ZI
+
zz)
Esta formula nos muestra que si bien, con esta disposicion de los ejes, pueden usarse ruedas de dientesrectos, Ias de dientes helicoid ales Ias reemplazan con ventaja, cuando la distancia entre centros est:i fijada de antemano, 'ya que puede satisfacerse esta, variando el angulo "00". Pueden considerarse los engranajes de dientes rectos, como un caso particular de los de dientes helicoidales, con ·Ios angulos de las helices nulos. Por otra parte, la relacion de transmision que puede transmitirse sin interferencias puede aumentarse, no solo agrandando el angulo de presion, como hemos visto, sino tambien aumentando el angulo de inclinacion de los dientes "00", Cuando la distancia ~ntre centros 10 permite, conviene usar los angulos "00" normalizados de 15° y de 23°. En los casos en que la distancia entre ejes esta fijada, para una determinada relacion de transmision, el angulo de la helice esta dado por el modulo adoptado; en efecto de la ecuacion IS-IS resuIta:
\ \
-
\
, \
d~~
,\\
/
0<'-
,
'\ \
\'\~
'\( ,\
I
\\\
I
I I
== d x cosOo
d x
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n
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I
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1
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I
circunferencial
\ \
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I
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I I't'\,1\
I
Piano circunferenciai
,
\ '\
\ "
1 \\.'\'
'\{
I~I I I
I
1\ I \J
FIGURA 15-11
Sabemos ademas que, en ruedas de dientes rectos, la recta de engrane nos forma, con 1a tangente,a la circunferencia primitiva, elangulo de presion. En el casu de dientes helicoid ales el hecho no es tan simple; en la figura 15-11 tenemos Un diente helicoidal, que ha sido cortado por un plano circunferencial y por otro normal al eje del diente, formando ambos el lingulo "()o". Siendo la circunferencia primitiva, la traza del cilindro primitivo 0 axoide del movimiento, sobre er plano que 10 corta, podemos, tener tangentes a aquella en los pIanos 'circunferencial y normal. Las mismas forman sobre el plano tangente al cilindro primitivo el lingulo "()o'~. Si llamamos "t n" a la tangente al cilindro primitivo, contenida en el plano normal y "te" a la tangente conte.niJia en el plano circunferencial, puede observarse que el lingulo de presi6n "a", que forma la recta de engrane con "te", 'es aistinto del angulo de presion normal "an", que determina la recta de engrane con "t n". Cabe agregar que, para que ,dos ruedas puedan engranar arm6nicamente, ademas de tener el mismo m6dulo normal, deben tener el mismo angulo de presi6n normal "an". En la figura 15-12 se demuestra que:
Si, para que un diente se yea con sus verdaderas, magnitudes normales, cortamos una rueda helicoidal, con un plano normal al eje del mismo, cuya traza es A-B, en la figura 15-13, la proyecci6n de la misma sobre dicho plano es una elipse de ejes "dp" y "dp/cos ()b'" Para hallar el numero de pasos normales
.
tga=~
d
d y
caben en la circunferencia tangente a la elipse, que es el numero virtual el numero de dientes normales "zn", interesa conocer el radio "I'" de la mericionada circunferencia. La geometria analitica nos, dice que el Indio de curvatura de la elipse en ese punta de tangencia vale: que
llc dientes 0
2
b p = a
donde "b" Y "a" son los radios mayor y menor de la elipse, que en nuestro rnso valen: d p
a = 2
Como pucdc obscrvarse de la expresion 15-7, al ser el angulo de presion relativamente pequeno, la diferencia entre "Ob" Y "00" no es muy grande, por 10 que muchas veces se toma: Como el numero de dientes es el diametro dividido el modulo, el numero virtual de dientes que contiene una circunferencia de radio "p" vale: 2p Z n = -
mn
zn
d p
y siendo
m = e
=
Z
co s 30
(15-25)
Segun la formula 14-38, tenemos que en el plano circunferencial, el numero de dientes en contacto esta represent ado por el grado de recubrimiento "8,", que es igual a la 10ngitud de engrane "eo" dividida por el paso "p". Pero en el plano normal, el engrane se produce desplazandose el diente sobre una circunferencia que instantaneamente tiene un radio "p" en vez de "d p /2" , por 10 que el grado de recubrimiento normal se ve aumentado y teniendo en cuenta la 15-20, vale: -eN r ) I!
Reemplazando las 15-20 y 15-22 en 15-21 y simplificando, resulta: zn
=
d p 2
me cos 0b cos 0 0
'!'
z, nos queda:
E"
e F
e
./0,
n co',
8,
n
=
8,z,
COS 20b
p :
." ,i'~l' •(15- 26 )
'il:
e"
"'I'
et
f
. /
- - - -----
. /
---. -.~
"
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/\/
En dientes helicoidales, el grado de recubrimiento normal no basta para tener en cuenta el contacto simultaneo de dientes, por 10 que introducimos la raz6n de solapado, que es la relaci6n entre la proyeccion del diente, en la direcci6n circunferencial de la meda y el paso en la misma direccion. Observando la figura 15-14, vemos que resulta:
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e(l5_27)
i
3. Bases para el disefio de ruedas frontales. Para el c31culo·de engranajes ciHndricos, podemos generalizar, considerando todas las ruedas como de dientes helicoidales; las de dientes rectos seran entonces' helicoidales con cingulo de inclinacion de la helice de cero grados. EI diseno debe estar orientado al caIculo del paso, 0 del m6dulo, en funci6n del cual saldnin las demas dimensiones. EI ancho del diente, en relacion al paso, puede aumentarse a medida que crecen las posibilidades de contacto a 10 largo de toda la generatriz del mismo. LIamaremos longitud relativa del diente a la relaci6n:
t/J=-
b
p
que puede adoptarse en principio, para dientes rectos, igual a dos para dientes fundidos sin maquinar; a tres para dientes fresados y con apoyos comunes; e igual a cuatro 0 cinco para dientes exactamente tallados, con ejes que no flexionan y con excelentes apoyos. En engranajes de dientes helicoidales, la longitud relativa del diente puede ser mayor, por 10 que puede tomarse:
b>~
cos ( Jo
Si son conocidos el numero de vueltas por minuto, de la rueda motora torsol "Mt", en kg em, vale: N Mt = 71.620nt "nt" y la potencia "N" en CV, sabemos que el momentor
450.000N cos 00
Pn Zt
4. Determinacion del paso. Colcula closico de resistencia del d.ente. Formula de Lewis. Dado que las dimensiones de las ruedas son funciones del mOdulo 0 del paso, el c31culo debe dirigirse a hallar uno de eIIos. Tal determinacion puede .hacerse, en primera aproximaci6n, por medio de las clasicas formulas de caIculo de engranajes. - Entre los metod os clasicos tenemos: los del caIculo basado en la resistencia del diente (entre los cuales se encuentra muy difundido el metodo de Lewis) y las verificaciones alas cargas dinamicas y al desgaste, introducidas por Buckingham. Estos estan normalizados- en los EE.UU. Entre los nuevos criterios de c31culo, que partiendo de semejantes hip6tesis, dan resultados mas precisos, como consecuencia. del anaIisis de muchos factores de importancia, se destaca el metodo, de Niemann, originario de Alemania Occidental y usado en Europa. La formula de Lewis se basa en el siguiente razonamiento: si durante el engrane, observamos el desplazamiento del punta de contacto, en un diente de una rueda, vemos que aqucH se desliza a 10 largo de casi todo el perfIl. Como la transmision del esfuerzo se realiza, en el punta de contacto en forma perpendicular al flanco, la fuerza normal "Fn" nos origina esfuerzos de flexi6n, de compresi6n y de corte, enel diente. La tension masimportante es la de flexion la cual es ·maxima cuando la fuerza "Fn" actUa en la cuspide. Si como s~ ha hecho en la figura IS-IS, prolongamos la fuena normal hasta cortar al eje del diente, en un punto tal como el "A" y descomponemos la mencionada fuerza en una tangencial "Ft" y otra radial."F,", el momenta flexor "M" sobre el diente, considerando como una viga empotrada, sera:
La fuerza tangencial "U", aplicada sobre el diente, surge de dividir el momento torsor por el radio de la rueda 0 10 que es 10 mismo: 2M t U = d pt
Introduciendo en esta el momenta diametro primitivo' por:
dado por la 15-32 y reemplazando
nt
el
450.000N
U = Pc Zt nt
t
Trata~,do solamente la flexion simple, es decir despreciando los efectos de I~ ~~mpresIOn y el corte, la tension de trabajo "aj' es el momenta flexor diVldI~Opor el modulo resistente "W", que en este casu es el de un rectangulo que hene por base el ancho "b" ypor altura la longitud "t" del diente, es deci/
M
6Ft h
W
b t 2
ar=-=--
dada en 15-33, que actua sobre el mismo. 19ualando y operando lIegamos a que, para el casu de dientes rectos, donde el paso es unico ("U" de la 15-35 con "Ft" de la 15-41) el paso en em., es igual a: p
=
, V ow
(15-39)
Don.~e "y" es u~ factor de forma, que depende del tipo de perfIl, del lingulo de preSIon y d.el numero de dientes en cuestion, y que se encuentra en las tablas 15-1 para dlentes rectos y 15-2 para dientes helicoid ales. ~i ~n formula 15.-~8, reemplazamos la tension de trabajo a flexion del matenal ar, por la tensIOn real de trabajo del diente "aw" e introducimos el valor de la 15-39, nos queda:
!~
=
aw y P b
(15-40)
Reemplazando el ancho del diente "b", por el obtenido de la 15-29, resulta: '
Ft = y
1 /J
2
p
aw
(15.41)
Expresion mas ~imple de la formula de Lewis, donde "p" representa el paso normal.
15-3.
tfJ s
(15-42)
La tension de flexion "aj' esta dada, para distintos materiales en la tabla
El factor "tfJs" tiene en cuenta el tipo de carga y de servicio y puede hallarse en la tabla 15-4. El coeficiente tomada en m/min:
"tfJv"
tfJv
=
183 183 + V
tfJv
=
366 366 + V
tiene en cuenta la velocidad y vale en funcion de esta
'
43
V> 1312 m/min y dientes rectos +vv Para quier velocidad en dientes helicoidales.
(15-44)
Formula que tambien es valida para dientes rectos, pues tomando "00 = 0" la 15-44 se hace igual a la 15-43. 5. Verificaci6n a. cargas dintimicas y a desgaste. Formulas de Buckingham. EI caIculo clasico de engranajes, se ha perfeccionado a partir de 1949, fecha en que Earle Buckingham, en su "Analytical Mechanics of Gears", introduce la verificacion de las ruedas a cargas dinamicas y a desgaste*. Para la primera de ellas parte del hecho de que el error 0 juego, entre los dientes de las ruedas, permite que el organo motor actue en vacio, durante un muy pequeno instante, imprimiendole a la conductora, una aceleracion que, multiplicada por la masa que arrastra, da una fuerza adicional dinamica "Udin" que va a golpear sobre la .rueda conducida, sumlindose a la carga tangencial "cr' Es decir que el diente sufre una solicitaci6n total "Uw" dada por: U + Udin
=
(15-45)
Establece a~mas que la carga adicional dinamica debe ser calculada mediante: 2 Udin = 0,113 V(U+ Cb c os 0) cosO 0,113 V + v'U + b cos20
Donde es: "V"la velocidad tangencial, en m/min, medida sobre la circunferencia primitiva; "U" la fuerza tangencial, dada en kg, por la 15-36; "b" el ancho del diente, en cm y "c" el factor dinamico de deformacion que, en kg/cm 2, vale:
xl
C=
1
1
£1
£2
+ -
43
tfJv=
[:76.6
U w
La tensi6n de trabajo "aw " tiene operani el engranaje y se hace igual a:
aw = ar tfJv
(15-43)
nl
1 . : ; ; : '; : , - - 1
t 2
F t
1/1 y ZI
Para el casu de dientes helicoidales, igualamos "U" de la 15-36, con "Ft" de la 15-41 y obtenemos que el paso normal en cm., vale: .
Como "t" y "h" son funciones lineales del paso, podemos poner que:
6h = Y P
-----
.3 1 . N
766
0 para
cual-
Donde "X' es una constante que vale: 0,0107 pa,ra engranajes con lingulo de presion de 14°30' 6 " de 15°; 0,0111 para engranajes con lingulo de presion de 20° y 0,0115 para engranajes con lingulo de presion de 20° y de altura de cabeza reducida; "£1" Y "£2"son los modulos de elasticidad de los materiales de las ruedas y "/" el error total que, en funcion de la precision del tallado, se da en la tabla 15-5. Este error 0 juego entre los dientes debe ser menor a medida que
UUl1\cntllIII volocldlld pUrlt no hocer cr{ticos 108fuorz08 dlnfunlcas y para ovltar que lUll engrunll.los sOlin ruldosos, En 10 tabla 15-6 se da 01valor m6.xlmo que pnodo tonor "[", en mm, para las distintas velocidades tangenciales, I,a cargll total dinamiea "Uw" hallada de este modo, debe ser resistida pOl' cI diellie 0 sea que debe ser menor que la que puede resistir el mismo "Pt" calculada segun la 15-41. La segunda verificacion propuesta por Buckingham radica en calcular que la tension de contacto entre los dientes no sea 10 suficientemente elevada como para producir un prematuro desgaste. Se ha visto en el item 5 del capitulo III, que Hertz determin6 que Iii presion entre las superficies dedos cuerpos, origina un area de contacto cuya forma depende de la curvatura de aquellos y cuyas dimensiones son proporcionales a la fuerza de compresion y a la osculacion de las superficies e inversamente proporcional a 10s modulos de elasticidad, de 10s materiales, de 10s cuerpos en contacto. Seg6n la expresion 3-56, para el caso de dos cilindros como el de la figura 3-10, la maxima tension de compresi6n esta dada por:
0,17 P
_1 +_1 R1 R2 1
b
l'
+ E1
Doride el factor "K" que vale:
=
2
u c sena 1,4
(_1_ E1
+ _1_)
6. Nuevas criterios de calculo de engranajes cilfndricos. Formulas de Niemann. La f6rmula de Lewis considera que la carga act6a en un solo diente y que 10 hace en el extremo del mismo, sin tener en cuenta el grado de recubrimiento del dent ado, 10s exfuerzos secundarios de corte y de compresion, la lubricacion, etc; todo 10 cual trae, en la mayoria de los casos, errores groseros. Por otra parte, a pesar que en el calculo elasico de engranajes, las dimensiones halladas en base de la resistencia del diente, se verifican, alas cargas dimimicas y ul desgaste, por medio de las formulas de Earle Buckingham, en la mecanica moderna se hacen necesarias verificaciones mas precisas. Para dar un metodo de calcul0, que nos de resultados compatibles con un huen funcionamiento posterior del engranaje, seguimos, el criterio presentado pOI' G. Niemann, en el V.D.I. y en su "Maschinenelemente. Entwerfen, Berechnen und." Para csto, necesitamos en primer lugar, defmir la fuerza langencial unitaria 0 indice de carga "B", que esta dada, en kgjmm2, par la liJCrza tangencial "U" dividida por el area proyectada de la rueda, "b" por "tip 1", es decir:
E 2
En ruedas dentadas, Ia presion Feal apIicada en Ios flancos, no coincide exactamente con la presion hertziana, debido a que el proceso adicional de rodadura, el movimiento deslizante en Ia direccion tangencial al perfil y el estado de lubricacion, originan cambios en la magnitud de la distribucion de la carga. No obstante ell0 como se mantiene la proporcionalidad de esta, Buckingham basa sus calculos en la expresion de Hertz, tomando como radios de curvatura 10s de cada uno de 10s perfiles, en el punto de contacto y lIega a que la carga limite de desgaste "Us", que es capaz de resistir un determinado engranaje, esta dada por:
K
Lu cllrgu "(1'/' dehe ser mayor que la fuerza total "Uw " que solicit a a la rueda. dada pOI' la 15-45.
.
E 2.
"a" es el angulo de presion, "E1 "Y "E2" son 10sm6dulos de elasticidad de 10s materiales de las ruedas en contacto y " u c" la tensi6n superficial admisible que puede hallarse, en funcion del material en la tabla 15-7. En esta ultima se da tambien ya calculado, el factor "K" para ruedas frontales. "Q" es.una razon que vale:
En ella el signo positivo de "z 1"es para engranajes exteriores y el negativo es
En los calculos, se reemplaza a "B", pOI' el indice de carga real "Bw", que vale:
I>onde "Cs ", "CD", "Cr" Y "Co" son coeficientes correctivos que analizaremos detenidamente. Te6ricamente un engranaje transmite una potencia "N", pOI media de un momenta torsor "Mt" constante y permanente durante el engrane, sin embargo aquella potencia es transmitida par media de un momenta, mas a menos variable entre deterrninados limites, segun cual sea la maquina motora y cualla lIuiquiria accionada. Es necesario entonces, tener en cuenta en 10s calculos el momenta torsor maximo instantaneo "Mtma ", en lugar del momento torsor mcdio "Mt". De ell0 surge la necesidad de aPticar un factor de variacion de la carga "C/', que valga:
y que se da en la tabla 15-8. Por otra parte, debido al error 0 juego entre los dientes de las ruedas, surge una fuerza adicional dinamica, que va a golpear sobre el diente de la rueda conducida, sumandose ala carga original. Llamando carga tangencial especifica "u", ala fuerza tangencial "u" actuante par cada mm de ancho "b",result a: u
=
U
-, ; = B d p1
La carga tangencial especifica real "uw" esta compuesta por dicha fuerza "U w din", de modo que:
"u". mas la carga adicional din8mica
Niemann ha hallado experimentalmente rclaci6n:
30
•[5 ...
que, para valores constantes de la
(donde ••/:' es el error total 0 juego maximo, del dentado), la carga adicional, dinamica "Udin" crece con el aumento de velocidad, tal como puede apreciarse (m el gflifico de la figura 15-16. En los cwculos, una vez hallada la presi6n din8mica "Udin" en funci6n de In 'Velocidad, para el valor calculado de la constante "K", debe tenerse la prccauci6n de asegurarse que aquella cumpla con 1a condici6n:
. • .II. .
~
c'
25
-f.
C./"
Para el dentado helicoidal es necesario introducir el recubrimiento de saito 0 raz6n de solapado "&s", debido a que dicho solapado, reduce proporcionalmente la fuerza adicional dinamica, resultando:
~
II
20
Udin
*
U
----
Wdin -
1 + &s
Para introducir el coeficiente din8mico "CD", que tenga en cuenta la carga adicional din8mica, se parte de que:
CD
=
B Cs + Bdin B C s
=
I
Bdin
+ --
BC s
y teniendo en cuenta la 15-59, nos queda finalmente:
CD
Ud o
= 1 +
I I I
U C
UWdin
= 1 + --
(1 + & s)
U C s
1'01llUl'I0puwjo U10 hllf(odl~lodo el diellle, dehido a UJI error ell la direcci6n del llullco "JI~" (pl'O ducido por lIl1error en el lallado 0 pOf faIta de parale1ismo de los l'les, sea por flexi6n 0 falta de alineacion de Ios mismos). Para observar esto husturll pilltar ulla de Ias ruedas con azul de Prusia y hacerlas trabajar un instante pUla ohservar cI contacto sobre Ia otra rueda. Puede verse entonces que Ia 10llgit ud de contacto, puede 0 no ser igual al ancho del diente y que, a 10largo dc la lougitud real de contacto, Ia presi6n de la carga no ha sido uniforme. Tratandose de ruedas nuevas sin asentar, la carga actua te6ricamente en 1 1 1 1 punto extremo del diente, pero en la realidad por ser el diente ehistico, con Ilila constante de restituci6n "C/' determinada, se deforma y Ia superficie de mill acto se extiende, en forma proporcional a la magnitud de la carga aplicada. Por otra parte, durante la rodadura, a medida que el diente va asentandose, la repartici6n lineal de tensiones, desde un extremo a otro, pasa a tener una Icy dc variaci6n cubica, debido a que el diente va gastandose en cada punta en IOllna proporcional a su carga. En Ias figuras 15-17 y 15-18 se presentan respectivamente las leyes de rq>artici6n de cargas especificas "u", segun que Ia longitud real de contacto "h'" sea menor 0 sea igual al ancho del diente "b". En ambos casos vemos que la presion media es: U
urned
= b
y que la carga especifica sigue una ley lineal para ruedas nuevas y una ley dlhica para ruedas rodadas. Para ·tener en cuenta este efecto, se introduce un coeficiente de repartici6n de la carga "Cr", definido como: urn
a x
C r = urned
Introduciendo la constante de restituci6n elastica del diente "C/' (fuerza de restitucion dividida por un mm de ancho, por un micron de flecha de flexion) y el error de direccion "fR" en micrones (que en el caso de ruedas asentadas se llama "fRw"), podemos poner que: urnax
=
C z fR w
-
b'
b
(15-65)
Los valores de la constante de restituci6n "C/' pueden obtenerse de la tabla 15-9 y Ios del error de direccion de f a tabla 15-10. De las ecuaciones 15-63, 15-64 y 15-65 se obtiene que: Cr =
b' Ci fR w
----
U
b fR w C z T = -
(15-66)
/J'
Or=1'
b
, ",ffllfliWI,I"
En la pnictica es conveniente calcular "CT" con el valor real "1"" de
.lItllll ""'111
"1''', obtenido como:
l'
,.
l'
= Cs C D
CT
= 1"
b'
_ .b
Si se tiene absoluta seguridad de que el diente apoya en toda su longitud, es decir "b' = = b", puede sacarse el valor de "CT" en funci6n de "1"" de la tabla 15-12. En cambio si "b' < b", se hace necesario conocer la relaci6n b' /b; para 10 CUaldebe medirse, sobre el cir.culo primitivo, cual es el contacto con una fuerza tangencial de prueba "Up". Hallada la relaci6n "b'/b" se puede calcular el coeficiente de prueba "Tp", de la tabla 15-11, que es en forma semejante a 15-67:
b fRw
Cz
Up
1"
=
Tp Up
UCs CD sutgida de igualar "b fRw C/' de las ecuaciones 15-70 y 15-71. Con el nuevo valor de "1"" puede irse recien a la tabla 15-12 y hallar "CT"· La calidad de terminaci6n y el tipo de lubricaci6n a usar, deben adoptarse, en funci6n de la velocidad tangencial de la tabla 15-10 0 del grafico de la figura 15-19. . En dientes helicoid ales, la capacidad· de carga es modlficada por las fracciones de dientes que engranan simultaneamente y por la desigual flexibilidad de los mismos, en distintas partes. En estos casos hay que tener en cuenta, ademas del grado de recubrimiento "8.", la raz6n de solapado "8.s". La repartici6n de la carga tiene forma sinusoidal, con el minimo en los extremos del segmento de engrane y la amplitud de la variaci6n disminuye a medida que aumenta el angulo de inclinaci6n del diente, haciendose nula para "00" igual a 45°. Si representamos las trazas de los dientes en contacto, 'sobre un plano tangente a los cilindros primitivos, en la generatriz de contacto, vemos como varia la longitud efectiva, con las sucesivas posiciones de las ruedas. En la figura 15-20 hemos hecho esto para un engranaje de dientes rectos, que tiene
3000
Velocidad m/min
111111 Itllljl,lIud relativa "if;" igual a 3,3 y un grado de recubrimiento "8." de 1."\ 1'01 10que el numero de dientes en contacto es uno 0dos (este ultimo en III ,,',''', lh~ los casos). hI III figura 15-21, en cambio hemos hecho 10 mismo para un engranaje 11.11101"111, que aunque tiene la misma longitud relativa del diente y el mismo .111110 th. recubrimiento, por tener los dientes inclinados un angulo "00 = 10°" V pOI I'IIlIsccuencia una raz6n de solapado, 0 recubrimiento de saito" 8. s = 0,58" III 1lIIII(ltudcfectiva de contacto varia entre "1,3b" y "2b". hi cl caso de la figura 15-22, se han mantenido constante la longitud ,,,lllllvlI dcldiente y la raz6n de contacto, pero se ha aumentado el angulo de 11l1·lhIlH'j(lI\ de los dientes a "00 = 27~", resultando una raz6n de solapado a 1,70 y podemos observar que la longitud efectiva de contacto "I~," 111,11111 "" " vllri•• entre "1,5 b" Y "1,75 b". ('01110la amplitud de la carga varia con "b'''" para cada instante del III1MIIIIl!1 y como a su vez.Jjene una distribuci6n no uniforme, a 10 largo de la 11111'11 t1(~contacto, introducimos el coeficiente de inclinacion de los dientes "( '0" que depende exclusivamente de la raz6n de contacto 0 grado de recubri11111'1110 de saIto y que se halla tabulado, en funci6n de estas, en la tabla 15-13. I, Vcrificaci6n de la carga en el pie del diente. Seguridad contra la rotura A pcsar que los metodos clasicos de caIculo consideran solamente la 1l'"INll'ucilla flexi6n del diente, sabemos que, sobre el mismo, tenemos ademas de \1\111l!lIIsi( lI1d e flexi6 n "at", originada por "Ft", una de compresi6n "ab", Ihlhltlll II "II~" Y una tension de corte, producida cuando el punto de contacto se 11,1'11'11 IIIpie del diente, "7". Ohservando la figura 15-23, vemos que aquellas valen: "'\'1/".
-
-~-~-~
C Cs
I
= 1,65 = 0
\--
'-r-'
f
r
.Q
h~
I
.
I
B--L
I = - ~ - = - +~ = - ~ A
II ":Q
.
I
I
1
.
I
I ! I J I I ll I I I I [ p - ~ 1 1 1 1 1 1 i l l = 1,65
C
I
ub
.
I
cs_= 0,58
FIGURA 15-23
Mf uf= T V
C
= 1 '6 5 l
cs=1,70
=
Ft h' b t 2 6
ub
Fr
= --
bt
Fn sen an
= ----
bt
=
Ft tgan b t
Ft
Tmed
= bt
La tensi6n maxima nominal puede ser hallada mediante:
La tensi6n de corte, en la base del diente, es mayor que la tensi6n tangencial media y vale "v = 2,5", valor que introducido, junto con los valores de las tensiones dadas en 15-73, 15-74 Y 15-75, en la ecuaci6n 15-76, nos da operando que:
Fi On =---'-r---
b t
V
,------_. __ ._-
I ( 6 6/h'
-t- - tg Oln
)
2
q ==
+ 6,25
Ahora bien, en el c31culo cliisico de Lewis, haciamos "Ft por ser:
= U',' pero
2Mt
U = d p
esta actua sobre e1 circulo primitivo, formando el angulo "
F
n
Donde "&n" es el recubrimiento normal, dado por la ecuaci6n 15-26. Por otra parte Niemann considera tambien que en virtud del error de engrane y de la velocidad, el valor de "q" se modifica a "qw", debiendo cambiarse "&n" po r "&w". Esta correccion tiene en cuenta la situacion desfavorable al principio del engrane, par 10 tanto, volviendo a observar la figura 15-24, "&w" debe tener en cuenta que, al principio del periodo de engrane singular, el brazo de aplicacion de la carga es pequeno para la rueda conductora y grande para la conducida, por 10 que, desde el punto de vista de la flexi6n, debe ser sOlo'corregido para la rueda "2". Por 1 0 tanto tendremos:
Ft
= -
COS (Xn
COS (Xn
1,4
, - - - - -- - qk lbn + 0,4
qf!'.
=
qf!'.
=
1,4 &n
&w
+ 0,4
1,404
+ ,
para la rueda conducida
F t = U
COS Olon
Rueda
motriz COS Oln
6 h' ) ( -t- - tgOln
COS (X0n
2
+ 6,25
El coeficiente "q" puede, segun esto, ser calculado de antemano para cualquier tipo de perfil y de dentado. Sin embargo, como la distancia "h'" de ataque de la fuerza es variable segun donde se produzca el engrane, el valor tabulado para el caso extremo 0 sea para el contacto de la cabeza del diente (que se denomina "qk" y que se da en la tabla 15-14), debe ser corregido para otro punto de engrane "E" cualquiera, por medio de un factor de correcci6n "qf!'.", de modo que resulte siempre:
En la figura 15-24, en "E2" esta la cabeza del diente de la rueda motriz a "se convertini en punto punto de salir del engrane y a partir de entonces "E 1 unico de contacto. La ley de variaci6n de la tension en un punto "E" con respecto de la tension de la cabeza "oElok", segfu1sea eI punta de·aplicaci6n de la carga, se aproxima con la curva que tiene por ley: OE -= 0cabeza
Ok
1,4
&n
+ 0,4
=qf!'.
Rueda conducida
1\1 vidor dtl "ll:w", uenolllinauo lulluno lII11uhlllte:
grauo de recubrimiento
+ (8)n
-
I )
+ _I) ( _1 R1 R2
V
+ n 4 f mn + 6 m
8 >w = I
eticaz, puede
= 5,8(_I
£1
+ _I ) ~= £2
k
2
introduciendo el valor "k" que tiene fundamental importancia porque tiene la ventaja de ser proporcional a la carga "B" y hace:
)onde "t" es el error en accion total 0 juego maximo y se 10 toma igual al nayor de los errores del dentado y "V" es la velocidad tangencial en m/seg. Si se toma la precaucion de empaImar el perfil del diente con la ;ircunferencia de raiz con un radio:
tiene importancia la concentracion de tensiones en esa zona, salvo que se e produzcan estrias 0 escalones durante el rectificado, por 10 que puede :omarse la tension admisible "aadm" igual a latension de fatiga "at dada en a tabla IS-IS. Por el contrario, en caso de hacerse el radio de empalme del perfil, con la ;ircunferencia de base, menor que 0,2 modulos, debe afectarse la tension de atiga con el coeficiente de concentracion de tensiones "(3k", dado en la abla 15-16, en la forma:
La experiencia dice que el picado se inicia en el pie de los flancos (zona de resbalamientos hegativos), por 10 que el maximo valor de "k" se presenta: para la rueda mas pequefia "I" en el punto "£1" de la figura 15-24, donde vale:
10.
aadm
=
k 2
=
k c
= (1 + i)
Yc B
Niemann demuestra que "Yc" ·vale: Yc=
----senao cosao
at
7 3 ;;
kc Yc = Y& =
k 1
Yl
Para tener seguridad contra la rotura del diente, es necesario comparar la ension nominal obtenida como: an'
=
z q B w
(15-90)
xpresi6n surgida de reemplazar el valor real "Bw" por el de "B" en la formula 15-80), con la tension admisible, dada por 15-89; obteniendose el factor "SB" or medio de: SB
aadm aadm = =
an
Bw z q
SB ~ 1, 5 a 2 Para servicio intermitente. SB ~ 1 ,8 a 2 Para servicio continuo. erificacion ondientes.
que debe hacerse
para ambas ruedas con los valores corres-
8. Tensiones de contacto en 10s dientes. Seguridad contra el picado de 10s 7ancos "SG". Niemann tambien basa sus caIculos de tensiones de contacto en s dientes, en las experiencias de Hertz. Para ello expresa la 3-54 (y tambien
.
21 T( I- 8> IW )
Y & = 1 zln tg ao
cuando la rueda "I" .e. s la motriz:
t>
"'IW
-
-
fu w f u n1 fu n
cuando la rueda "2" es la motriz: fu l w = = 8> n 1 Si bien estamos ya en condiciones de determinar los valores de "k" para ambas ruedas, ello es cierto si tienen dientes rectos, ya que en el caso de dientes helicoidales, hay que tener en cuenta el factor "Y8" que vale: Y8
=
cos4 8b COS
80
(e} cual ya esta dado en la tabla 15-17, para engranajes con angulo de presion normal de 20°) y hallar los valores eficaces: YcY8
Hallada la carga "k w" que solicita al diente, debe calcularse la resistencia de los flancos al poseado "kD" mediante:
El 'coeficiente "YG" tiene en cuenta los mOdulos de elasticidad de los JIIateriales en contacto y vale: YG
= 1 Para ruedas de acero.
YG = 1,5 Para YG =0,5 +
ruedas de fundicion gris.
2,1 X 106
----
Para ruedas de un material
2 E g
de modulo de
dasticidad "E g" distinto de "E = 2,1 X 106". El coeficiente "yH" tiene en cuenta la dureza superficial y vale:
('uando la dureza de los flancos difiere del valor de "HB" dado en la tabla 15-15 y cs menor de 650. El coeficiente "ys" depende de la viscosidad cinematica "p" del aceite, en ccntistokes, dada a la temperatura de funcionamiento y puede sacarse de la tabla 15-18. El coeficiente "Yv" depende de la velocidad tangencial "V" en m/seg y vale aproximadamente: 0,6
1 + (~ f Por ultimo, la tension de fatiga superficial del material "k o" puede obtenerse de la tabla 15-15. . La comparacion entre el valor "~D" que resiste el diente al picado, con cl valor "k w" que 10 solicita, nos da la seguridad "SG" SG = kD
k w
=
kD
Bw Yw
(
1
1+
) 1
Debiendo resultar, tanto para el pinon "1" como para la rueda "2" comprendido entre:
Para cstudios mas profundos, recomendamos recurrir a "Maschinenelemente. Entwcrfcn, Bcrcchnen und" de Niemann (Traducido al espanol como "Tratado tc6rico pnictico de elementos de maquinas" Editorial Labor), donde se presentan cl metodo de verificacion de la seguridad contra el engrane de los flancos, segun cllsayo de lubricantes, y la comparacion de la vida a plena carga.
TABLA: 15-1. FACTORES DE FORMA "y" PARA RUEDAS DE DIENTES RECTOS Pinones Sistema pequeiios "Stub" 0<=20° 0<=20°
Perfil N'Imero Perfil evolvente evolvente de dientes 0<=14°30' 0<=200
TABLA: 15-2. FACTURES DE FORMA "y" PARA RUEUAS DE DJENTES HELICOIDALES
Engranajes interiores 0<= 200 Pinon
Numero virtual de dientes
Engranaje
---
5
-
-
6
-
-
7
-
-
8
-
-
0,102
-
-
0,102
-
0,102
-
-
0,103
-
0,102
-
0,096
0,090 0,084
-
0,103
-
0,083
0,103
-
0,092
0,104
-
0,099
0,104
-
0,103
0,104
-
0,105
-
0,105
-
-
0,084
0,056
0,064
0,084
11
0,061
0,072
0,084
12
0,067
0,078
0,084
13
0,083
0,086
0,086
0,108
9 10
-
14
0,071 0,D75
0,088
15
0,D78
0,092
-
0,081
0,111
0,094
-
0,106
-
17
0,084
0,096
-
0,117
0,109
-
18
0,086
0,098
-
0,120
0,111
-
0,114
-
0,116
-
0,118
-
0,119
-
16
0,115
19
0,088
0,100
-
20
0,090
0,102
-
• 0,123 0,125
21
0,092
0,104
-
0,127
0,093·
0,105
-
0,095
0,107
-
0,132
0,122
-
0,098
0,110
-
0,135
0,125
-
22
24 26
28 30 34 38
43
0,127
0,139
0,129
0,216
0,104
0,118
-
0,142
0,132
0,210
0,106
0,122
-
0,145
0,135
0,205
0,108
0,126
-
0,147
0,137
0,200
0,151
0,139
0,195
0,154
0,142
0,190
0,158
0,144
0,185
0, 161.
0, 147 0,149
0,180 - ~
0,175
0,152
0,170
0,130
-
0,113
0,134
-
75
0,115 0,117
0,138 0,142
-
0,119
-
0,146
-
300
0,122
0,150
-
CremaHera.
0,124
0,154
-
0,165 0,170
0,175
-
0,203
-
-
-
0,142
-
0,204
-
-
0,142
-
0,205
-
-
-
0,142
-
0,206
'
0,113
0,132
0,207
-
0,120
0,141
0,142 0,146
0,158
13
0,208
-
14
0,127
0,149
0,209
-
15
0,132
0,156
-
0,177
0,210
-
16
0,137
0,160
-
0,184
0,211
-
0,187
0,215
-
0,192
0,218
-
0,220
0,172
0,142
0,163
-
0,146
0,166
-
19
0,150
0,170
-
0,196
0,222
-
20
0,153
0,173
-
0, 200
0, 225
-
22
0,158
0,178
-
0,206
0,230
-
24
0,162
0,182
-
0 ,211
0, 233
-
26
0,166
0,187
-
0, 216
0, 236
-
0,219
0,239
0,400
0,222
0,242
0,395
0,170
0,190
-
0,172
0,193
-
34
0,176
0,200
-
0,227
0,246
0,387
38
0,180
0,207
-
0,232
0,250
0,380
0,235
0,253
0,241
0,256
0,246
0,214
-
50
0,187
0,221
-
60
0,192
0,227
-
0,234
-
0,241
-
0,183
75
0,195
100
0,198
0,372
0,260
0,356
0 ,252
0,264
0,257
0,268
150
0,202
0,248
-
300
0,207
0,255
-
0,272
0,210
0,262
-
0,280
CremaHera t
0,164
0,149
18
43
-
-
0,202
17
30
0,137
0,110
-
-
28
-
0,153 0,142
12
-
10
0,114
60
150
Engranaje
-
11
0,112
50
100
0,129
Pinon
-
9
"
Engranajes interiores 0<= 20
Sistema "Stub" 0<= 20°
--
7 8
0,101
0,100
Perfil Pinones evolvente pequenos 0<= 20° ",=20°
Perfil evolvente 0<= 14 030'
0,264
0, 272
0, 276 -
0,364 0,348 0,340
0,332 0, 325 -
TABLA: I:H>. ImIHlI{ I':N A('('I0N "".. MAXIMO. EN 111111 EN FUNCION II!" I.A VFH)('IIlAI> I'ERISI'ERICA "V" EN Ill/mill.
Tension de rotura au
Material
Fundlcion corriente
Tension de flexion
75
V
-_ ..
at
1.400-2.100
500-600
2.100-2.400
600-800 600-750 750-850
e
0,094
]00
22~
1511
_
• •
__ _
, 375
525 600
450
O ,O H O 0.071 0,061 0,055 0,045 0,043 0,040 Q,035 .- . ---. -
," ,
Bronce fosforoso para engranajes SAE 63
2.000-2.200
Bronce fosforoso para engranajes SAE 65
2.300-2.650
Fundicion de buena mlidad
750
V
82)
900
975 1.050 1.100 1.225 1.375 1.525
--,..
Acero 1030 Tratado termicamente
4.200-4.400
Acero 1035 Tratado termicamente Acero 1045
5.000-5.300
1.650-1.950
6.000-6.300
2.100-2.200
6.500-6.800
2.500-2.800
7.000-7.400
2.600-2.900
7.100-.7.400
2.800-3.300
7.700-8.000
3.300-3.850
7.000-7.300
2.550-2.750
8.400-8.700
4.450-4.700
8.500-8.900
4.300-4.900
150
Acero
150
9.000-9.500
3.900-4.400
200
Acero
150
9.000-9.500
4.000-4.400
200
Acero
200
4.920
250
Acero
150
4.920
250
~cero
200
5.625
250
Acero
250
300
Acero
200
300
Acero
250
300
Acero
350
Acero
0,70
350
Acero
300
Acero
350
3.700-3.900
Acero 1045 Templado
Acero 1050 Templado
Acero 2320 Cementado y templado Acero 2345 Templado
Acero 3115 Cementado y templado Acero 3245 Templado
Acero 4340 Templado
Acero 5140 Cianurado
Acero6145 Iemplado
1.150-1.300 1.500-1.800
0,030 0,025 0,023 0,022 0,020 0,017 0,015 0,014 0,012
Acero 1020 Cementado y templado
e
PINON DE ACERO
Estatiea Oseilante
Minutos
1,25
Hasta 6 horas
1,20
1,15 1,10
Choques pequefios
1,05
Choques Choques medianos grandes
0,90
2,9
3,0
4,1
4,1
5,6
4,1
5,6
5,4
7,3
6.325
6,8
9,2
6,8 8,4
9,2
6.325
300
7.730
250
7.730 8.430
10,2
12,0
16,4
4,2
19,4
7.030
10,2
9.140
11,4 13,8 13,8
Acero
300
8.780
3,1
17,9
Acero
350
9.850
16,4
22,5
400
Acero
400
10.550
19,0
25,7
150
Fundici6n
-
3,1
4,3
0,80
0,70
0,60
0,55
0,70
0,65
0,55
0,50
Modulo
6
5
4
I
Fundici6n
-
4.920
250
Fundici6n
-
6.325
200 250
Bronce Fosforoso Bronce
-
FosfolOSO Bronce Fosforoso
-
3.515
3
0,120 0,100 0,080 0,060 0,055 0,050 0,043
200
150
generadoras 0,060 0,050 0,040 0,030 0,028 0,025 0,022
0
2,1
400
0,90
Creadoras
3.515 4.220
400
Fresas de forma
20°
0,60
Mas de 12 hs
=
0,65
0,80
8
0/
12
= 14°30'
0,90
25
0/
0,65
Tallado con
Kg/em 2
0,80
1,00
Dureza Brinell
0,80
1,00
De 6 a 12 hs
Material
FACTOR "K"
ae
350
24 horas
RUEDA
Dureza Brinell
Tipo de carga
Tipo de servicio diario
675
0•
6,2
8,4
10,2
13,8
3.515
3,1
4,3
4.930
6,4
8,6
9,4
14,1
5.610
I~~ I,~ " I " ' " t-!" I~' .~~ " . • • .'I j
tJl' )
'1"1
C :J
. ., .
/
(~l rt I C"J
~J I • • .• E l
n
MAQUINA
°d I
•..•I
MOTORA
(,~
Motor electrico
ACC/ONADA
Turbina
Motor Motor Multi- Mono. cilfndrico ciUndrico
•,,(1 )
••....••....
<1
+ +
~l:> Generadores. Transportadores de cinta. Ventiladores. Transportadores de cadenas. Montacargas. Ligeros compresores. Batidoras y mezcladorasde densidad uniforme.
1,00
1,20
1,25
1,5
1,05
1,25
1,25
1,5
Maquinas herramientas. Montacargas pesados. Batidores y mezcladores de densidad no uniforme. Bombas a embolo multicillndricas. Ventiladores de minas.
1,25
1,5
1,5
Balancines. Prensas. Punzonadoras. Ciza1las. Trefiladoras. Larninadoras. Dragas. Centrf- fugas pesadas.
1,75
2
2
TABLA: 15-9. VALORES DE LA CONSTANTE DE RESTITUCION DEL DIENTE "C z" Materiol de los dientes del engranaje
Acero sobre acero.
Cz
1.000
Acero'sQbre fundici6n gris.
750
Fundici6n gris sobre fundici6n gris.
550
1,75
2,25
~
""
\0
~ . 6 6
'0
I ~1
~:l,
13
6 \ 0
+ 6 < '1
.,f'
-[ \0
' 1
;'1• I ' n, to " ,! ': : I '~.04?
I
8 I ~
1 4.
"
E:: ~
...-l
+
rq
nI I
F.
13
00
(f)
~ '
t
~
~ 0 00
• . .• M .t
TABLA: 15-11. VALORES V'li "T p" PARA "b' < b"
...
h'/h
'I p a.ventado
'Ifl fll.lt'VO
. _ . _ - _ .. _~ -
2,00 2,2 0,95 0,9 2,45 0,85 2,75 0,8 3,10 I
1,33 1,50 1,60 1,85 2,05
"'/b
0,75 0,7 0,65 0,6 0,55
T p
T p
b'/b
nuevo asentado
3,50 4,05 4,70 5,50 6,60
2,35 2,70· 3,10 3,7l:l 4,30
T p T p nuevo asentado
0,5 8,00 0,45 9,90 0,4 12,20 0,35 16,10 0,33 18,00
I
5,33 6,60 8,20 10,80 12,00
I
Numero I de dientes
14 16
C T
CT
T'
nuevo
asentado
T'
C T
1,00
1,00
0,6
1,30
0,1
1,05
1,025
0,8
1,40
0,2
1,10
1,05
1,0
0
0,3
1,15
0,4
O ,S
1,25
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
1,075 1,10
1,20
0,8
~
1,125
0,9 1 ,0
2,5 2,25
1,82
1,20
3,0 2,45
2,00
1,50
1,25
4,0
2,83
2,31
, 1,2 1,60
1,30
5,0 3,17
2,59
1,5 1,75 2,00 2,0
1,41
6,0 3,47
2,83
1,64
7,0 3,75
3,05
1,6
1,7 1,8
1,9
1,03
1,01 1,00 \ ' 0 - ; 9 0 - - {},70
1,1 1,2
1,3
1,4 1,5
2,15
1,04 0,97 0,89
0,89 0,84 0,90
1,50 1,33 1,21 1,12 1,03 0,97 0,92 1,6 1,98 1,71 1,48 1,33 1,21 1,13 1,05 0,98 0,91 1,8 1,90 1,64 1,46 1,31 1,20 1,12 1,03 0,96 0,90 2,0 1,75 1,56 1,40 1,28 1,17 1,08 1,00 0,94 0,89 1,30 1,19
1 ,9 2 1 ,6 3 1,43
2 ,4
1 ,9 1 1 ,6 5 1,44 1,32
2,6 1,87 1,63 1,44 1,32 2,8 1,82
0,90
1,17
1,10
1,01 0,95
0,78 0,74 0,70 0,75 0,70
0,86 0,79
0,75 0,70
0,85
0,78 0,74 0,70
0,84 0,78 0,84
0,74 0,70
0,78 0,74 0,80
0,70
0,75 0,70
0,84 0,79 0,75
0,70
0,79 0,75 0,70 0,89 0,84 0,79 0,74 0,70
1,20 1,11 1,03 0,96 0,89
1,60 1,43 1,32 1,19
3,0 1,75 1,56 1,40 1,28
0,80 0,70
0,85 0,80
1,10 1,01 0,95 0,89 0,84
, l l 1,02 0,96 1,20 I
2,0
0,84
1,08 1,00 0,94 0,89 0,84
0,78 0,74
0,70
0,50
0,25
2,66
1,90
2,21
1,73
1,91
2,18
1,77
1,92
2,17
2,51
1,80
1,93
2,15
2,47
2,57
1,82
1,95
2,15
22
1,84
1,96
2,15
2,43 2,40
24
1,86
1,97
2,37
C. Negativa. x =
Normal
- 0,25
0 3,39
-0,50
-
-
4,00
3,00
3,73
-
2,88
3,50
-
3,14
2,80
3,34
2,72
3,20
4,08 3,86
2,68
3,10
3,66
26
1,88
1,98
2,15 2,15
2,35
2,63
3,02
28
1,89
1,99
2,15
2,33
2,59
2,95
3,42
2,00
2,15
2,32
2,56
2,90
3,32
35
1,93
2,02
2,15
2,30
2,50
2,79
3,12
40
1,96
2,04
3,00
50
2 ,00
2,07
2,82
2,04
2,10
2,63
30
1,90
70 100 200 0 0
0,95 0,88 0,81 0,76 0,70 0,90 0,85 0,79 0,75 0,70
1,4 2,06 1,73
2 ,2
CT
CT
nuevo asentado
1,15
1,26 1,19 1,12 1,09 1,06 1,04 - 1,86 1,40 1,28 1,20 1,14 1,09 1,06 - 1,77 1,49 1,32 1,22 1,17 1,12 1,03 1,96 1,68 1,48 1,32 1,22 1,14 1,05 0,97 1,75 1,56 1,40 1,28 1,17 1,08 1,00 0,94 2,10 1,73 1,47 1,31 1,20 1,11 1,02 0,96 -
T'
nuevo asentado
0,75
20
C t
1,70
18
TABLA: 15-12. VALORES DE "CT" EN FUNCION DE "T'" SEGUN G. NIEMANN
.---_._----.
Correccion positiva. x = I
ZoZn
12
Perfil del diente
3,52
2,15
2,28
2,46
2,16
2,26
2,40
2,70 2,60
2,16
2,24
2,33
2,47
2,29
2,37
2,49
2,12
2,17
2,22
2 ,12
2,15
2,18
2,21
2,24
2,26
2,33
2,20
2,20
2,20
2,20
2,20
2,20
2,20
2,08
TABI.A: 15-15. CARACTERISTlCAS DE ALGUNOS MATERIALES USAnos PARA ENGRANAJES Dureza Tension "k o "
Brinell en el flanco
MAT£RIAL
kg/mm2
HB
Tension
Tension
TABLA 151'1. VAI.ORFS DEL COEFlCIENTE "yO" PARA ENGRANAJES DE ImNTI':S IN('LlNAOOS Y ANGULO DE PRESION "an" = 20°"
de rotude rotura a ra POl' traccibn fatiga "u/' kg/mm2 kg/mm2
/ill
Yo
I" 0,999
°0
Yo
°0
Yo
16°
0,905
31°
0,684
2"
0,998
17"
0,894
32°
0,667
3°
0,997
18°
0,882
33°
0,650
l,'undici6n gris sin alear
170
0,19
18
4,5
4°
0,994
19° 0,869
34° 0,632
Fundici6n gris aleada
210
0,33
26
6,0
5°
0, 990
20°
35° 0,615
0,856
Acero fundido
150
0,22
47
15
6°
0,986
21 ° 0,842
36° 0,597
Acero SAE 1035 sin tratamiento
150
0,36
50
18,5
7°
0,981
22°
0,828
37"
0,579
Acero SAE 1045 sin tratamiento
180
0,52
60
20,5
8°
0,976
23°
0,813
38°
0,562
0,70
70
23,S
0,798
39°
0,544
0,80
90
0,80
110
Acero SAE 1060 sin tratamiento
205
Acero SAE 3230 bonificado
260
Acero SAE 4140 boiJificado
300
Acero SAE 3240 templado en bafio de cianuro
590
Acero SAE 5530 nitrurado en atm6sf. de gas.
700
9°
0,969
24°
30
10°
0,962
25° 0,783
31,5
11°
y tempIado
Acero SAE 4140 nitrurado pOI inducci6n
y templado
0,954
26° 0,767
41° 0,509
12° 0,946
27° 0,751
42°
0,492
43°
0,475
4,30
190
32
13°
0,937
28°
14° 150
0,927
3,50
45
29° 0,718
44° 0,458
15° 0,916
30°
45°
660
2,70
150
58
615
4,50
110
35
y templado
Acero SAE 4140 nitrurado en bafio.
40° 0,527
0,735 0,701
0,441
TABLA: 15-16. COEFICIENTE DE CONCENTRACION DE TENSIONES "ak" Y "{Jk" PARA EL PIE DEL DlENTE
TABLA: 15-18. COEFICIENTE "Ys" EN FUNCION DE LA VISCOSIDAD CINEMATICA "v" EN CENTISTOKES, DEL LUBRICANTE A LA TEMPERATURA
p k "
I I
"rim"
" Acero templado
"ak
up = 90 kg/mm2
DE FUNCIONAMIENTO SEGUN NIEMAN 1035 sin 1045 sin Tratamiento Tratamiento
Acero Cementado
v "Ys"
0,06
1,55
1,35
1,25
0,08
1,40
1,27
1,20
1,11
0,10
1,30
1,15
1,08
0, 12
1 ,2 1
1,20 1,15
1,15
1,11
1,07
0,14
1,16
1,11
1,08
1,07
0,16
1,10
1,08
1,06
0,18 1,05
1,04 1,00
1,03
1,03 1,02
1,00
1,00
0,20 1,00
1,13
1,10
.
1,07 1,06 1,05
1,03
1;02 1,00
6,3 0 ,7
21
37
68
100
0 ,7 5
0,8
0,9
1
145
200
1,1
1,2
265
300
1,3 1 ,3 5
350 1 ,40
SCIl
{3 !
sen ( 3 z Como St' WIIOCC sicmpre el angulo "¢", que forman los ejes en el plano que los conticllc y sus velocidades de giro "n!" Y "nz", se puede determinar la ubicaci6n de la gcncratriz de contacto en forma grafica (componiendo los vectores surgidos de llcvar, en una cierta eseala, el valor de "n!" sobre el ejc "I" y el valor de "nz" sobre el eje "II") y determinar entonces los angulos "{3!". Y "{3z"· Sill embargo es recomendable hallar "{3!" y "{3z" en forma analitica, para 1 0 cual se parte de que: 1. Ruedas cOn/cas. Cuando dos ejes coplan ares y concurrentes en un pun to; se cortan formando un lingulo "¢" cua1quiera, Se recurre al uso de un par de ruedas c6nicas, como 1as mostradas en la figura 16-1; donde "R!" y "R z" son los radios de las bases de los conos, que giran sobre los ejes "I"y "II", con velocidades "n!" Y "nz" respectivamente. Tratlindose de ruedas dentadas, la tigura nos muestra las superficies primitivas 0 axoides del movimiento. Seglin 10 visto en el capitulo XIV, la ubicaci6n del eje instantaneo de rotaci6n depende de la relaci6n de transmisi6n. En efecto si llamamos "{3!" Y "(3z" a los angulos descriptos, en la rodadura, por la generatriz de contacto alrededor de los ejes "I" y "II" respectivamente, podemos poner:
=
OK sen {3!
(16-1)
R z =OK sen { 3z
(16-2)
R!
La cual, junto con la 16-3, nos forma un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas, que resuelto nos da: tg { 3z
sen ¢
( 16-5)
i + cos ¢
sen¢ tg ( 3 1 ---,.r.----1 -:-+ cos t f>
(16-6)
I
Para el caso particular, "¢ = 90"", resulta:
en que 10s ejes son perpendiculares,
2. Engranajes c6nicos de dientes rectos. Si construimos dientes rectos, como 10s de la figura 16-2, las dimensiones deberan disminuir en forma lineal a medida' que nos acercamos donde todas las magnitudes se reducen a un punta; es decir que
por ser
las ruedas con de los dientes al centro "0", las medidas de
II
N1 fll
l:llS{i I
N 2 Y
P2
l:OS{ 32
y "i"'IlIIl: R1
Zl
= m -2
y
Z2
R2= -
2
1IIII00Iuricildo "R1" Y "R2" de las ecuaciones 16-10 en 16-9 Y 10s valores de Y de "P2" as! obtenidos, en las 16-8, se obtiene que:
"'11"
ZI
ZI- =
cos { 3 1
I
Z2 Z2"
=--I
COS {32
Ahora bien, trazado el perfil debemos proyectarlo desde el centro "0", [IIacercarnos al mismo crecen las imperfecciones mecanicas, motivo por el 1 '1 1 1 1 1 dcbe Iimitarse la longitud del diente "b" a no mas de la tercera parte del Illdill "/, " de la esfera. Es decir que si llamamos ""/" a la relaci6n entre la longitud dt' III generatriz de contacto de los conos bases "L" y la del diente "b", 1'{'It I
!t'IWlIIllS:
IllSdientes deben ser proyectados desde aquel y que tendnin iguales dimensiones aquellos ubicados a igual distancia de dicho punto, sobre un radio cualquiera de las infinitas esferas concentricas en "0". Esto nos lleva a pensar que debemos 1 razar los perfiles de los dientes sobre una de las esferas y proyectarlas desde su centro, tal como tomar como esfera base del trazado a la que circunscribe a los conos. Dada la dificultad, de trazar los dientes sobre una superficie esferica, se rccurre al metodo de Tredhold, que consiste en dibujar los perftles sobre la tangente a la esfera, en el punto en que esta es cortada par la generatriz de contacto, que une los ejes "I" y "II", figura 16-3. Durante el rodamiento de Ills conos bases, dicha tangente, al girar sobre los puntos de intersecci6n de los ejcs, nos genera dos conos complementarios, cuyas generatrices son una recta '"lIlicaalpasar par el punto "K", intersecci6n de la esfera con la generatriz de contacto. Es decir que los perftles de los dientes deblln trazarse igual que si-set ratara de ruedas de radios primitivos "P I" Y "P2", iguales a las generatrices dc los con os complementarios. Es facil ver que desarrollados estos sobre un plano, como indica la figura 164, no se nos completan los circulos de radios "P I" y, "P2", por 10 que las dimensiones de los dientes deben ser, no las correspondientes al mimero real, sino las de un mimero ideal de dientes ••z l', que nccesitariamos para completar la circunferencia. De 10 que se desprende quc debemos hacer el trazado con mimeros de dientes ideales "Z It Y " Z 2 /, quc cumplan respectivamente con las condiciones: 2 P I
ZI' I
= -- m
Y
Z2'= I
2 P 2
--
m
I
I
I
I I I
.
I
/~II--
