2013 - B
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Ing. Tito Velasteguí
Facultad de Ingeniería Mecánica Departamento de Publicaciones
Escuela Politécnica Nacional
qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq INTRODUCCIÓN
wertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmq ELEMENTOS DE MÁQUINAS wertyuiopasdfghjklzxcvbnmq
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INTRODUCCIÓN
INTRODUCCIÓN
Este folleto está destinado a estudiantes de Ingeniería Mecánica, que inician el curso de Elementos de Máquinas. Los cuales han adquirido un conjunto de instrumentos para la carrera de Ingeniería que consiste, esencialmente, en conocimientos matemáticos, conocimiento completo de Geometría lo cual constituye una aptitud de saber trazar y dibujar las diversas configuraciones que se vayan presentando. Los estudiantes también tienen conocimiento de la Física, Resistencia de Materiales, Manejo de Materiales, Procesos de Fabricación, Termofluidos y otras materias complementarias. El presente trabajo está basado principalmente en el Manual de Diseño Mecánico de Joseph Edward Shigley. Unas de las razones para elaborar el presente material es el de facilitar su didáctica y así su mejor comprensión. Debe indicarse al estudiante que no consta todos los capítulos así como tablas y gráficos del Manual, por consiguiente es necesario disponer de este libro para obtener la información faltante. El estudio se ha priorizado a doce capítulos, sin siquiera decir que los demás no sean de gran importancia. Se aspira en el futuro abordar en forma progresiva los temas no mencionados en este documento.
I
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
CONTENIDO INTRODUCCIÓN ..................................................................................................... I CONTENIDO .......................................................................................................... II 1
GENERALIDADES ............................................................................................. 1
1.1 OBJETIVO ......................................................................................................................................... 1 1.2 DISEÑAR…………………………………………………………………………………………………1 1.3 ASPECTOS DE DISEÑO.................................................................................................................... 1 1.3.1
RESISTENCIA................................................................................................................................ 1
1.4 ELEMENTO A TENSIÓN .................................................................................................................... 2 1.4.1
MATERIALES ................................................................................................................................ 2
1.4.2
DEFORMACIÓN ELÁSTICA ....................................................................................................... 3
1.5 FACTOR DE DISEÑO ....................................................................................................................... 3 1.5.1
MARGEN DE SEGURIDAD ......................................................................................................... 4
1.5.2
CASOS PARA EL FACTOR DE DISEÑO .................................................................................... 4
1.6 CÓDIGOS Y NORMAS.................................................................................................................... 5
2
ESFUERZOS ....................................................................................................... 6
2.1 ESFUERZO TRIAXIAL (elemento general) .................................................................................... 6 2.2 ESFUERZO BIAXIAL (ELEMENTO GENERAL) .................................................................................. 6 2.3 ESFUERZO UNIAXIAL (ELEMENTO GENERAL) ............................................................................... 6 2.4 ELEMENTOS ORDINARIOS PARA UNA VIGA A FLEXIÓN ........................................................... 7 2.5 CIRCULO DE MOHR........................................................................................................................ 7 2.5.1
ELEMENTO PRINCIPAL DE ESFUERZOS NORMALES Y CORTANTES ..................................... 8
2.6 EJERCICIOS RESUELTOS ................................................................................................................. 9 2.6.1
EJERCICIO 1 (Círculo de Mohr) .............................................................................................. 9
2.6.2
EJERCICIO 2 (Esfuerzos Combinados) ................................................................................ 10
3
DISEÑO ESTÁTICO ......................................................................................... 16
3.1 TEORÍAS DE FALLA PARA EL DISEÑO ESTÁTICO ....................................................................... 16 3.1.1
DETERMINACIÓN DE LA RESISTENCIA PARA EL DISEÑO ESTÁTICO ................................. 16
3.1.2
CASOS COMUNES BIAXIAL Y UNIAXIAL ............................................................................... 18
3.1.3
TEORÍAS DE LOS MATERIALES DÚCTILES (Solo gráficamente). ........................................ 18
3.1.4
TEORÍAS DE LOS MATERIALES FRÁGILES (Solo gráficamente). ........................................ 19
3.2 EJERCICIOS RESUELTOS ............................................................................................................... 20 3.2.1
EJERCICIO 3 (Diseño Estático MATERIAL DÚCTIL) ............................................................. 20
II
CONTENIDO 3.2.2
EJERCICIO 4 (Diseño Estático MATERIAL FRÁGIL) ............................................................. 24
3.2.3
EJERCICIO 5 (Diseño Estático PARA UN EJE DÚCTIL) ....................................................... 26
3.3 CONCENTRACIÓN DEL ESFUERZO ............................................................................................. 29
4
DISEÑO DINÁMICO (FATIGA) ...................................................................... 31
4.1 RESISTENCIA A LA FATIGA ........................................................................................................... 32 4.2 LÍMITE DE RESISTENCIA A LA FATIGA DEL ELEMENTO .............................................................. 35 4.2.1
FACTOR DE ACABADO SUPERFICIAL
............................................................................ 36
4.2.2
FACTOR DE CORRECCIÓN POR TAMAÑO
4.2.3
FACTOR DE CONFIABILIDAD
4.2.4
FACTOR DE CORRECCIÓN POR TEMPERATURA
........................................................... 38
4.2.5
FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS
........................................................... 38
4.2.6
FACTOR DE EFECTOS DIVERSOS
.................................................................... 36
.......................................................................................... 38
...................................................................................... 40
4.3 COMPONENTES DE LOS ESFUERZOS FLUCTUANTES................................................................. 40 4.4 RESISTENCIA EN ESFUERZOS FLUCTUANTES NORMALES.......................................................... 42 4.4.1
LINEALES .................................................................................................................................... 42
4.4.2
NO LINEALES ............................................................................................................................. 42
4.5 RESISTENCIA A LA FATIGA EN TORSIÓN .................................................................................... 44 4.6 ESFUERZOS DEBIDO A CARGAS COMBINADAS ...................................................................... 46 4.6.1
CASO BIAXIAL .......................................................................................................................... 46
4.6.2
CASO UNIAXIAL ....................................................................................................................... 47
4.7 EJERCICIOS RESUELTOS ............................................................................................................... 49 4.7.1
EJERCICIO 6 (Diseño Dinámico A PARTIR DE LOS DATOS DE ESFUERZOS) ................... 49
4.7.2
EJERCICIO 7 (Diseño Dinámico DE UN ELEMENTO COMPLETO) .................................... 53
5
DISEÑO DE ELEMENTOS ROSCADOS ............................................................ 62
5.1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................ 62 5.1.1
ELEMENTOS DE LA ROSCA ..................................................................................................... 63
5.1.2
TIPOS DE ROSCAS PARA ELEMENTOS ROSCADOS ............................................................ 63
5.2 TORNILLOS DE POTENCIA ............................................................................................................ 64 5.2.1
DETERMINACIÓN DEL TORQUE PARA ELEVAR Y BAJAR LA CARGA PARA TORNILLO DE
ROSCA CUADRADA ............................................................................................................................. 64 5.2.2
AUTOBLOQUEO ....................................................................................................................... 68
5.2.3
EFICIENCIA DE LOS TORNILLOS (e) ....................................................................................... 68
5.2.4
DETERMINACIÓN DEL TORQUE PARA ELEVAR Y BAJAR LA CARGA PARA TORNILLOS
DE ROSCA TRAPEZOIDAL ACME Y ROSCA TRIANGULAR .............................................................. 69 5.2.5
DISEÑO ESTÁTICO .................................................................................................................... 69
III
ELEMENTOS DE MÁQUINAS 5.2.6
DISEÑO DINÁMICO ................................................................................................................. 71
5.2.7
SELECCIÓN DE LA TUERCA .................................................................................................... 71
5.3 SUJETADORES ................................................................................................................................ 71 5.3.1
INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 71
5.3.2
JUNTAS ATORNILLADAS .......................................................................................................... 72
5.3.3
JUNTAS CON EMPAQUETADURA .......................................................................................... 82
5.3.4
RESISTENCIA A LA FATIGA PARA LOS SUJETADORES ......................................................... 84
5.3.5
CORTANTE EN PERNOS Y REMACHES .................................................................................. 85
5.3.6
UNIONES ATORNILLADAS Y REMACHADAS CON CARGA DE ESFUERZO CORTANTE . 87
5.4 EJERCICIOS RESUELTOS ............................................................................................................... 89 5.4.1
EJERCICIO 7 (Tornillo de Potencia) ..................................................................................... 89
5.4.2
EJERCICIO 8 (Sujetadores) .................................................................................................... 92
5.4.3
EJERCICIO 9 (Sujetadores) .................................................................................................... 94
5.4.4
EJERCICIO 10 (sujetadores-ménsula) ................................................................................. 98
5.4.5
EJERCICIO 11 (sujetadores-ménsula) ............................................................................... 102
5.4.6
EJERCICIO 12 (sujetadores-ménsula) ............................................................................... 112
6
DISEÑO DE RESORTES .................................................................................. 113
6.1 INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................... 113 6.2 RESORTES HELICOIDALES DE COMPRESIÓN ........................................................................... 113 6.2.1
ESFUERZOS EN LOS RESORTES HELICOIDALES DE COMPRESIÓN ................................... 113
6.2.2
DEDUCCIÓN DE FÓRMULAS ................................................................................................ 115
6.2.3
CÁLCULO DE RESISTENCIAS PARA MATERIALES DE LA TABLA 10-1 (SHIGLEY) ............ 117
6.2.4
DISEÑO ESTÁTICO .................................................................................................................. 117
6.2.5
DISEÑO DINÁMICO ............................................................................................................... 119
6.2.6
FRECUENCIA CRÍTICA ........................................................................................................... 121
6.2.7
PANDEO .................................................................................................................................. 122
6.3 RESORTES DE TENSIÓN O DE EXTENSIÓN................................................................................. 122 6.3.1
DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS EN EL RESORTE DE TENSIÓN ............................... 123
6.3.2
RESISTENCIAS EN LOS RESORTES HELICOIDALES DE TENSIÓN ........................................ 126
6.3.3
DISEÑO ESTÁTICO .................................................................................................................. 128
6.3.4
DISEÑO DINÁMICO ............................................................................................................... 130
6.4 RESORTES HELICOIDALES DE TORSIÓN .................................................................................... 133 6.4.1
DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS ................................................................................ 133
6.4.2
DETERMINACIÓN DE RESISTENCIAS .................................................................................... 136
6.4.3
DISEÑO ESTÁTICO .................................................................................................................. 137
6.4.4
DISEÑO DINÁMICO ............................................................................................................... 137
6.5 EJERCICIOS RESUELTOS ............................................................................................................. 139
IV
CONTENIDO 6.5.1
EJERCICIO 13 (RESORTE DE COMPRESIÓN) ...................................................................... 139
6.5.2
EJERCICIO 14 (Resorte de Tensión) ................................................................................... 144
6.5.3
EJERCICIO 15 (Resorte de Torsión) .................................................................................... 150
7
ENGRANES RECTOS ..................................................................................... 154
7.1 INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................... 154 7.2 NOMENCLATURA DE LAS RUEDAS DENTADAS ...................................................................... 154 7.2.1
DEFINICIÓN DE TÉRMINOS ................................................................................................... 154
7.3 ANÁLISIS CINEMÁTICA DE LOS DIENTES .................................................................................. 156 7.3.1
RADIO BASE ............................................................................................................................ 157
7.3.2
RELACIÓN DE CONTACTO .................................................................................................. 157
7.3.3
INTERFERENCIA ...................................................................................................................... 158
7.4 RELACIÓN DE VELOCIDADES ................................................................................................... 158 7.5 TREN DE ENGRANES ................................................................................................................... 159 7.6 SISTEMA DE DIENTES ................................................................................................................... 159 7.7 ANÁLISIS DE FUERZAS EN LOS ENGRANES DE DIENTES RECTOS .......................................... 160 7.8 DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS (FLEXIÓN) ................................................................... 161 7.9 ESFUERZOS DINÁMICOS ............................................................................................................ 163 7.10 DISEÑO ESTÁTICO ....................................................................................................................... 163 7.11 DISEÑO DINÁMICO A FLEXIÓN ................................................................................................ 164 7.12 DURABILIDAD DE LA SUPERFICIE (fatiga superficial) ............................................................ 167 7.13 RESISTENCIA SUPERFICIAL .......................................................................................................... 168 7.14 EJERCICIOS RESUELTOS ............................................................................................................. 169 7.14.1 EJERCICIO 16 (ENGRANES RECTOS) .................................................................................. 169
8
ENGRANES HELICOIDALES .......................................................................... 175
8.1 INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................... 175 8.2 NOMENCLATURA DE LAS RUEDAS DENTADAS HELICOIDALES............................................ 175 8.3 ENGRANES HELICOIDALES, DIMENSIONES DE LOS DIENTES ................................................ 178 8.4 FUERZAS EN LOS ENGRANES HELICOIDALES. ......................................................................... 178 8.5 DISEÑO DINÁMICO: FATIGA A FLEXIÓN ................................................................................. 179 8.6 DISEÑO DINÁMICO: FATIGA SUPERFICIAL .............................................................................. 180 8.7 EJERCICIOS RESUELTOS ............................................................................................................. 183 8.7.1
EJERCICIO 17 (ENGRANES HELICOIDALES) ...................................................................... 183
V
ELEMENTOS DE MÁQUINAS 8.7.2
9
EJERCICIO 18 (ENGRANES HELICOIDALES) ...................................................................... 188
ENGRANES HELICOIDALES .......................................................................... 193
9.1 INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................... 193 9.2 NOMENCLATURA DE COJINETES ............................................................................................. 193 9.3 TIPOS DE COJINETES ................................................................................................................... 194 9.4 CLASIFICACIÓN DE COJINETES ................................................................................................ 194 9.4.1
COJINETES DE BOLAS ........................................................................................................... 194
9.4.2
Cojinetes de Rodillos ............................................................................................................ 196
9.5 DURACIÓN O VIDA DE LOS COJINETES .................................................................................. 197 9.5.1
LA VIDA ................................................................................................................................... 197
9.5.2
VIDA NOMINAL ...................................................................................................................... 197
9.6 CARGAS EN LOS COJINETES .................................................................................................... 197 9.7 RESISTENCIA EN LOS COJINETES............................................................................................... 198 9.8 SELECCIÓN DE COJINETES DE BOLAS Y DE RODILLOS ......................................................... 199 9.8.1
COJINETES DE BOLAS Y RODILLOS CILÍNDRICOS ............................................................ 199
9.8.2
COJINETES DE RODILLOS CÓNICOS .................................................................................. 200
9.8.3
SELECCIÓN DE COJINETES SEGÚN CATALOGO 41 250 SA DE LA FAG ....................... 202
9.9 EJERCICIOS RESUELTOS ............................................................................................................. 205 9.9.1
EJERCICIO 19 (COJINETES) .................................................................................................. 205
9.9.2
EJERCICIO 20 (COJINETES) .................................................................................................. 207
9.9.3
EJERCICIO 21 (COJINETES) .................................................................................................. 209
10 COJINETES DE DESLIZAMIENTO .................................................................. 214 (LUBRICACIÓN EN LOS COJINETES) ................................................................. 214 10.1 INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................... 214 10.2 TIPOS DE LUBRICACIÓN ............................................................................................................. 214 10.3 VISCOSIDAD ................................................................................................................................ 215 10.4 RELACIÓN DE LA TEMPERATURA CON LA VISCOSIDAD DE ALGUNOS FLUIDOS ............. 216 10.5 RELACIÓN DE PARÁMETROS DE UN COJINETE CON LUBRICACIÓN HIDRODINÁMICA 216 10.6 LUBRICACIÓN ESTABLE .............................................................................................................. 218 10.7 LUBRICACIÓN DE PELÍCULA GRUESA ...................................................................................... 219 10.8 TEORÍA DE LA LUBRICACIÓN HIDRODINÁMICA .................................................................... 219 10.9 FACTORES DE DISEÑO................................................................................................................ 222 10.10
RELACIONES ENTRE LAS VARIABLES ......................................................................... 222
VI
CONTENIDO 10.11
ELEVACIÓN DE TEMPERATURA ................................................................................. 223
10.12
OPTIMIZACIÓN EN EL SISTEMA DE LUBRICACIÓN HIDRODINÁMICA ................. 225
10.13
COJINETES CON LUBRICACIÓN A PRESIÓN ........................................................... 225
10.14
EJERCICIOS RESUELTOS .............................................................................................. 229
10.14.1 EJERCICIO 22 (COJINETES DESLIZAMIENTO) ..................................................................... 229 10.14.2 EJERCICIO 23 (COJINETES DESLIZAMIENTO) ..................................................................... 232
11 CABLES DE ALAMBRE METÁLICOS .............................................................. 237 11.1 INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................... 237 11.2 RESISTENCIAS ............................................................................................................................... 239 11.3 CARGAS EN EL CABLE ............................................................................................................... 242 11.4 DISEÑO ESTÁTICO ....................................................................................................................... 243 11.5 DISEÑO A FATIGA ....................................................................................................................... 243 11.6 EJERCICIOS RESUELTOS ............................................................................................................. 246 11.6.1 EJERCICIO 24 (CABLES METÁLICOS) .................................................................................. 246
12 TORNILLO SIN FIN ........................................................................................ 250 12.1 INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................... 250 12.2 ANÁLISIS DE FUERZAS EN MECANISMOS DE TORNILLO SIN FIN ........................................... 253 12.3 ESFUERZOS EN UN MECANISMOS DE TORNILLO SIN FIN ....................................................... 255 12.4 DISEÑO ESTÁTICO EN MECANISMOS DE TORNILLO SIN FIN ................................................. 256 12.5 CAPACIDAD DE POTENCIA DE UN MECANISMO DE TORNILLO SIN FIN ........................... 257 12.6 EJERCICIO RESUELTO ................................................................................................................. 259 12.6.1 EJERCICIO 25 (TORNILLO SIN FIN) ...................................................................................... 259
VII
GENERALIDADES
CAPÍTULO I 1 GENERALIDADES 1.1 OBJETIVO Diseñar, dimensionar y seleccionar elementos de máquinas que funcionen de manera segura en forma individual o dentro de una máquina.
1.2 DISEÑAR Es formular un plan para satisfacer una necesidad, mediante principios científicos, métodos técnicos como matemáticos, conocimientos físicos o químicos, etc.
1.3 ASPECTOS DE DISEÑO 1. Resistencia 2. Confiabilidad 3. Condiciones térmicas 4. Corrosión 5. Desgaste 6. Utilidad 7. Costo, tamaño y forma 8. Seguridad 9. Acabado superficial 10. Mantenimiento, etc. 1.3.1
RESISTENCIA
Es una propiedad intrínseca del elemento y depende de la clase y procesamiento del material. Por ejemplo, un resorte con una resistencia , el esfuerzo en este resorte es cero hasta que se monte en un dispositivo o máquina, en el cual se aplicará fuerzas externas al resorte, las cuales originaran esfuerzos, si se desmonta el resorte de la máquina sin que hubiese sufrido daño alguno su esfuerzo volvería a ser cero; pero su resistencia seguirá siendo .
1
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
1.4 ELEMENTO A TENSIÓN
Figura 1.1Elemento a tensión
F = Carga aplicada Fu = Carga última hasta la rotura 1.4.1
MATERIALES
Los materiales se clasifican en dos grandes grupos: los dúctiles y los frágiles. DÚCTIL Material
que
FRÁGIL
puede
deformarse, Material que se rompe o quiebra con
moldearse, malearse o extenderse con facilidad. facilidad.
Ejemplo: Hierro Gris
Ejemplo: acero de bajo carbono
Figura 1.3 Curva Esfuerzo-Deformación para material Frágil
Figura 1.2 Curva Esfuerzo-Deformación para material Dúctil
A = Límite de proporcionalidad B = Límite de elasticidad C = Punto de fluencia D = Esfuerzo último o límite de resistencia E = Punto de rotura σ = Esfuerzo
= Deformación unitaria Sut = Esfuerzo de rotura Sy = Esfuerzo de fluencia 2
GENERALIDADES 1.4.2
DEFORMACIÓN ELÁSTICA
La elasticidad es la propiedad por la que un material puede recobrar su forma y dimensiones cuando se anula la carga que lo deformaba. La ley de Hooke establece que, dentro de ciertos límites, el esfuerzo en un material es directamente proporcional a la deformación que lo produce (no todos los materiales elásticos obedecen a la ley de Hooke). En el diagrama esfuerzo – deformación, la pendiente de la recta es la relación entre el esfuerzo y la deformación, se llama módulo de elasticidad (E).
E Dónde:
L
Deformación total de una barra de longitud original L
Para la condición de que el esfuerzo sea proporcional a la deformación, se tiene:
E G Dónde:
G
Módulo de elasticidad al cortante
Esfuerzo cortante
Deformación angular
La ley de Hooke expresa que el esfuerzo es proporcional a la deformación.
P E A L PL L A E E
Donde:
P
Fuerza total aplicada
A
Sección del elemento
1.5 FACTOR DE DISEÑO En elementos de máquinas la resistencia no es uniforme a lo largo de los mismos, debido a varios factores, como la variación de la sección, acabado superficial, etc. El factor de diseño es la relación que existe entre la carga última y la carga aplicada.
n
Fu F
Si n = 1
=> Fu = F (FALLA)
Si n < 1
=> F > Fu (FALLA)
3
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Si n > 1 => Fu > F (NO EXCLUYE LA FALLA), debido a que la resistencia de un elemento es una cantidad que varía estadísticamente, y el esfuerzo también es variable. 1.5.1
MARGEN DE SEGURIDAD
El margen de seguridad ( ) se define por la ecuación:
m n 1
1.5.2
CASOS PARA EL FACTOR DE DISEÑO
Existen tres casos para aplicar el factor de diseño y depende de si un factor de diseño se determina con una sola cantidad o como un conjunto de componentes. 1.5.2.1 Caso 1 El factor de diseño se aplica a la resistencia, donde
son las resistencias y , son los
y
esfuerzos de diseño normales y a corte, respectivamente.
n
S
ó
n
SS
1.5.2.2 Caso 2 El factor de diseño se aplica a la carga o a los esfuerzos, donde FP , P , P , son cargas y esfuerzos permisibles, F , , son cargas y esfuerzos de diseño.
n
FP F
P n P n
1.5.2.3 Caso 3 El factor de diseño es total o global, que puede descomponerse en varias componentes, y se utilizarán factores individuales para la resistencia y para las cargas, o bien para los esfuerzos producidos por esas cargas. Donde nS es el factor referente a la resistencia del material, n1, n2, n3,….. ni, corresponde a las incertidumbres de las cargas.
n nS n1n2 n3 ....ni ;
n1
Fp1 , F1
4
n2
Fp 2 , F2
… ni
Fp i Fi
GENERALIDADES
1.6 CÓDIGOS Y NORMAS AA
Sociedad del Aluminio
AGMA
Sociedad de engranes
AISC
Sociedad del acero
AISI
Sociedad del hierro y acero
ASTM
Sociedad de métodos de ensayo
AWS
Sociedad de soldadura
SAE
Sociedad de lubricación, etc.
5
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
CAPÍTULO II 2 ESFUERZOS 2.1 ESFUERZO TRIAXIAL (elemento general)
Figura 2.1 Elemento general sometido a Esfuerzos Triaxiales
2.2 ESFUERZO BIAXIAL (ELEMENTO GENERAL)
Figura 2.2 Elemento General sometido a Esfuerzos Biaxiales
2.3 ESFUERZO UNIAXIAL (ELEMENTO GENERAL)
Figura 2.3 Elemento General sometido a Esfuerzo Uniaxial
6
ESFUERZOS
2.4 ELEMENTOS ORDINARIOS PARA UNA VIGA A FLEXIÓN
Figura 2.4 Viga sometida a Flexión
A
=>
Compresión Simple
B
=>
Corte Simple
C
=>
Tensión Simple
Figura 2.5 Elementos ordinarios para una viga a Flexión
2.5 CIRCULO DE MOHR Sirve para determinar en base a los esfuerzos ordinarios los esfuerzos principales que son los que nos interesan para el diseño.
Figura 2.6Círculo de Mohr
7
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Del círculo de MOHR se definen las siguientes fórmulas:
y A , B x 2
x y xy2 2 2
y 1 , 2 x xy2 2 2
1
2.5.1
2
x y 2
ELEMENTO PRINCIPAL DE ESFUERZOS NORMALES Y CORTANTES
Figura 2.7 Elemento principal normal
Figura 2.8 Elemento principal de corte
8
ESFUERZOS
2.6 EJERCICIOS RESUELTOS 2.6.1
EJERCICIO 1 (Círculo de Mohr)
Dados los siguientes datos: x 70Mpa , y 30Mpa y xy 50Mpa . Determinar: a) los esfuerzos principales b) los ángulos de los esfuerzos principales c) la ubicación de los esfuerzos principales Solución: a) x y A , B 2
x y 2
2
xy2
70 30 70 30 2 50 2 2 2
x y 1 , 2 2
A 1 103.85 MPa B 3 3.85 MPa 2 0
2
xy2 1 53.85 MPa 2 53.85 MPa
70 30 2 50 2 2
1
2
x y 2
50 MPa
Figura 2.9 Gráfico del ejercicio de Círculo de Mohr
9
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
b)
tg 2
2 xy x
y
2 68.2º
2 50 70 30
34.1º
2 21.8º
10.9º
c) Elemento principal de esfuerzos normales y cortantes.
Figura 2.10 Elemento principal normal
2.6.2
Figura 2.11 Elemento principal de corte
EJERCICIO 2 (Esfuerzos Combinados)
Un eje de acero como el que se indica en la figura debe transmitir
a
desde la polea D a la polea C. Con base en los datos indicados junto al gráfico, determinar el diámetro adecuado del eje de sección uniforme.
Figura 2.12 Gráfico del ejercicio de Esfuerzos Combinados
10
ESFUERZOS Datos:
p 400 Kg / cm 2 p 420 Kg / cm 2 Pot 100CV n 500rpm f 0.22(rozamiento / polea correa) Rd 18cm Rc 20cm L 1.2m a 30cm Relación de transmisión: 1:1 ( )
Q1 Q2 e f P1 P2 e
f
Reemplazando f y
=>
P1 2 P2 Q1 2Q2
Procedimiento general a seguir para la solución de problemas:
1) Diagrama de cuerpo libre del elemento a diseñarse 2) Calculo de las reacciones y demás incógnitas. 3) Gráficos, fuerzas, momentos cortantes, torques, etc. 4) Determinar la sección crítica o las secciones críticas. 5) Determinar el punto crítico. 6) Cálculo de esfuerzos ordinarios y principales de la sección y punto crítico. 7) Determinar la resistencia de la sección crítica. 8) Relacionar esfuerzos principales con resistencias para determinar el parámetro requerido (usar teorías de falla). 1) Diagrama de cuerpo libre del eje
Figura 2.13 Diagrama de cuerpo libre del eje
11
ELEMENTOS DE MÁQUINAS 2) Cálculo de reacciones
H
T .n. 225000
Donde: H = Potencia [CV] T = Torque [kg-cm] n = velocidad angular [RPM]
T
225000.H 225000100 => n. 500
M
x
T 14331,2Kg.cm
0
( P1 P2 ) RD (Q1 Q2 ) RC TD TC 14331.2kg.cm Si P1 = 2P2 y Q1 = 2Q2 P1 = 1592.4 Kg P2 = 796.2 Kg Q1 = 1433 Kg Q2 =716.5 Kg MZ RBy RAy
My
0 (Q1 (Q1
Q2 ) 2
RBz
0 5 (P1 4
Fz
P2 )
RAz
Q2 )
2
3) Diagrama de momentos flectores
Figura 2.14 Diagrama de momentos
12
0 (P1
P2 ) 4
ESFUERZOS 4) Determinación de la sección crítica La posible sección crítica C o B.
M B P1 P2 a M B 71652 Kg .cm
Mc
M ' c 2 M c2
L Q1 Q2 Mc 2 2 M c
L P1 P2 8
M c 73774Kg.cm La sección crítica es C porque Mc > MB El momento torsor afecta a las 2 secciones de igual manera 5) Determinación del punto crítico
Mc 32M I d3
Figura 2.15 Elementos ordinarios
13
VQ b
Tr 16T J d3
ELEMENTOS DE MÁQUINAS El elemento B está sometido a la suma de esfuerzos cortantes; pero el esfuerzo cortante debido a la fuerza es despreciable frente a los esfuerzos cortantes de torsión, este esfuerzo de corte aparece en los elementos A y C, los mismos que están combinados con esfuerzos normales, por lo que se desprecia el elemento B, entonces quedarían por decidir entre el elemento A y C, por lo que se asegura que los materiales resisten más a compresión que a tensión por lo tanto el elemento crítico es el A. 6) Cálculo de esfuerzos de la sección y punto crítico
A,B
x
x xy 2 2 2
2
Esfuerzos principales a corte:
1 x xy 2 2
2
2
32 M 16T 1 3 3 2d d
2
Esfuerzos principales normales: 2
2
2
2
1
16 M 32 M 16T 3 3 3 d 2d d
1
16 M 16 M 16T 3 3 3 d d d
7) Determinar la resistencia de la sección crítica (datos del ejercicio)
p 400Kg / cm 2
p 420Kg / cm 2
14
ESFUERZOS 8) Relacionar esfuerzos principales con resistencias para determinar el parámetro requerido 8.1 Diseño por esfuerzos principales cortantes:
2
16 M 16T 3 3 d d 16 p 3 * M 2 T 2 d
2
p2
16 * M 2 T 2 d 3 p
16 d 3 p
* M 2 T 2
16 2 2 d 3 * 73774 14331.2 400 * d 9.85cm d 10cm /// 8.2 Diseño por esfuerzos principales normales:
1
16 M M 2 T 2 p 3 d
16 d 3 * p
* (M M 2 T 2 )
16 2 2 d 3 * (73774 73774 14331.2 ) 420 * d 12.17cm d 12.7cm (0.5 pu lg) CONCLUSIÓN DEL EJERCICIO El diseño por corte da un diámetro de 10 cm y el diseño por esfuerzos principales normales un diámetro de 12.7 cm. Por seguridad debe elegirse el de mayor diámetro.
15
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
CAPÍTULO III 3 DISEÑO ESTÁTICO El diseño estático de los elementos mecánicos se aplica para cuando están sometidos a cargas estáticas, entendiéndose como cargas estáticas aquellas que no varían en el tiempo: en magnitud, en su punto de aplicación y en su dirección.
3.1 TEORÍAS DE FALLA PARA EL DISEÑO ESTÁTICO Para el estudio de las teorías de falla para el diseño estático se establecen dos grupos de materiales: los dúctiles (con la resistencia a la fluencia, Sy) y los frágiles (con las resistencias de rotura a la tracción y compresión, Sut y Suc).
3.1.1
DETERMINACIÓN DE LA RESISTENCIA PARA EL DISEÑO ESTÁTICO
Para determinar las propiedades de los elementos mecánicos se debe realizar pruebas de tensión simple a una probeta en un equipo de pruebas. Probeta.- Es un elemento estandarizado con medidas, con acabados, material determinado y que está sometido a tensión simple.
Figura 3.1 Probeta de Tracción según Norma ASTM E8M
Úsese para materiales dúctiles (Aceros).
16
DISEÑO ESTÁTICO
Figura 3.2 Elemento sometido a tensión simple
Figura 3.3 Circulo de Mohr para tensión simple
máx
Para material Dúctil:
Sy 2
Para material Frágil:
Elemento Mecánico.- Es el que está sometido a diseño y sus cargas son menores a la resistencia del elemento, y puede estar sometido a: tensión simple, a torsión, a flexión, a compresión o a la combinación de ellas.
L/2 L/2 a
Figura 3.4 Elemento sometido a flexión y torsión (Eje)
17
ELEMENTOS DE MÁQUINAS 3.1.2
CASOS COMUNES BIAXIAL Y UNIAXIAL
A continuación se indica un elemento general de esfuerzos combinados para el caso biaxial, de los elementos, de acuerdo al caso se establece el elemento apropiado.
A , B
x y 2
x y 2
2
xy 2
1 2 3 3.1.3
TEORÍAS DE LOS MATERIALES DÚCTILES (Solo gráficamente).
El diseño estático de los materiales dúctiles cuenta con tres teorías, que son: del esfuerzo normal máximo, del esfuerzo cortante máximo y de la energía de la distorsión. La teoría del esfuerzo normal máximo ya no es utilizada actualmente porque es insegura en el segundo y cuarto cuadrante. La teoría del esfuerzo cortante máximo es conservadora, y se utiliza para cálculo aproximado. La teoría de la energía de la distorsión es la más utilizada en el diseño por su mayor precisión.
Figura 3.5 Teorías de Falla para los Materiales Dúctiles
18
DISEÑO ESTÁTICO
A' y B' , son los calculados con la fórmula:
, ' A
3.1.4
' B
x y 2
x y 2
2
xy 2
TEORÍAS DE LOS MATERIALES FRÁGILES (Solo gráficamente).
El diseño estático de los materiales frágiles cuenta con tres teorías, que son: del esfuerzo normal máximo, de Coulomb-Mohr y Coulomb-Mohr modificada. La teoría del esfuerzo normal máximo ya no es utilizada actualmente porque es insegura en el segundo y cuarto cuadrante, la teoría de Coulomb-Mohr es conservadora, y se utiliza para cálculo aproximado, la teoría de Coulomb-Mohr modificada es la más utilizada en el diseño por su mayor precisión.
Figura 3.6 Teorías de Falla para los Materiales Frágiles
A' y B' , son calculados con la fórmula:
, ' A
' B
x y 2
x y 2
19
2
xy 2
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
3.2 EJERCICIOS RESUELTOS 3.2.1
EJERCICIO 3 (Diseño Estático MATERIAL DÚCTIL)
Si S y S yt S yc 100 Kpsi ; determinar el factor de diseño utilizando las 3 teorías, para los casos siguientes: (a)
(b)
(c)
(d)
1 70 Kpsi 2 70 Kpsi 3 0 Kpsi
1 70 Kpsi 2 30 Kpsi 3 0 Kpsi
1 70 Kpsi 2 0 Kpsi 3 30 Kpsi
1 0 Kpsi 2 30 Kpsi 3 70 Kpsi
SOLUCIÓN: El material es dúctil debido a la fluencia Caso (a)
T.E.N.M = T.E.C.M. = T.E.D. n
OB S yt S yt OA 1 2
n
S yt
1
100 70
n 1.43
Figura 3.7 Gráfico del ejercicio 3 de Diseño Estático Caso (a)
Caso (b) T.E.N.M. = T.E.C.M.
n n
OB S yt S B OA 1 2 S yt
1 n 1.43
100 70
20
DISEÑO ESTÁTICO T.E.D. n
OC S A S B OA 1 2
n
SA 1
Cálculo de SA
S B
2 SA 1
Ec.1
S y SA SA SB SB 2
2
Ec.2
2
Ec.1 en Ec.2
Sy
SA
1 2 2 1 1 S A 115.08
2
Figura 3.8 Gráfico del ejercicio 3 de Diseño Estático Caso (b)
115.08 70 n 1.64 n
Caso (c) T.E.N.M.
n
OD S yt S B OA 1 3
n
S yt
1
100 70
n 1.43 T.E.C.M.
n
OB S A S B OA 1 3
Cálculo de SA Figura 3.9 Gráfico del ejercicio 3 de Diseño Estático Caso (c)
21
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
3 SA 1 S B 1 S A S yc S B
Ec.1 Ec.2 SA
Ec.1 en Ec.2
=>
S yc 1 3 1
S A 70
n
SA
1
70 70
n 1 T.E.D. n
OC S A S B OA 1 3
Cálculo de SA
S B
3 SA 1
S y SA SA SB SB 2
2
2
Ec.1
Ec.2
Ec.1 en Ec.2:
Sy
SA
1 3 3 1 1 S A 78.75 n
SA
1
2
1.12
Caso (d) T.E.N.M. = T.E.C.M
n
OB S yc S A OA 3 2
n
S yc
3 n 1.43
100 70
Figura 3.10 Gráfico del ejercicio 3 de Diseño Estático Caso (d)
22
DISEÑO ESTÁTICO T.E.D. n
OC S A S B OA 2 3
Cálculo de SA
S B
3 SA 2
Ec.1
S y SA SA SB SB 2
2
2
Ec.2
Ec.1 en Ec.2
SA
Sy
1 3 3 2 2 S A 49.32
n
2
S A 49.32 2 30
n 1.64
Teoría
(a)
(b)
(c)
(d)
T.E.N.M.
1.43
1.43
1.43
1.43
T.E.C.M.
143
1.43
1.0
1.43
T.E.D
1.43
1.64
1.12
1.64
Tabla 3.1 Resumen de resultados del ejercicio 3 de Diseño Estático
CONCLUSIONES DEL EJERCICIO Como se puede ver en la tabla resumida según la teoría precisa que es la T.E.D. no falla, pero según la teoría T.E.C.M. en el ejercicio (c) el elemento fallaría, por lo cual esta teoría es conservadora.
23
ELEMENTOS DE MÁQUINAS 3.2.2
EJERCICIO 4 (Diseño Estático MATERIAL FRÁGIL)
Determinar el factor de diseño utilizando las 3 teorías, para los casos siguientes. El material es un ASTM 60, donde Sut 62.5 Kpsi Suc 187.5 Kpsi a)
b)
1 50 Kpsi 2 50 Kpsi 3 0 Kpsi
1 50 Kpsi 2 30 Kpsi 3 0 Kpsi
c)
d)
1 50 Kpsi 2 0 Kpsi 3 30 Kpsi
1 0 Kpsi 2 30 Kpsi 3 50 Kpsi
Caso (a) T.E.N.M = T.C.M.M.= T.C.M.
n
Sut
n
Sut
1 1
Sut
2
62.5 50
n 1.25 Figura 3.11 Gráfico del ejercicio 4 de Diseño Estático Caso (a)
Caso (b) T.E.N.M. = T.C.M.M= T.C.M.
n n
S ut
1 S ut
1 n 1.25
SB 2
62.5 50
Figura 3.12 Gráfico del ejercicio 4 de Diseño Estático Caso (b)
24
DISEÑO ESTÁTICO Caso (c) T.E.N.M.=T.C.M.M.
n
Sut
n
Sut
1 1
SB
3 62.5 50
n 1.25 T.C.M. n
S A SB 1 3
Cálculo de SA
3 SA 1
Ec.1
S uc S A S uc S ut
Ec.2
S B S B
Figura 3.13 Gráfico del ejercicio 4 de Diseño Estático Caso (c)
Ec.1 en Ec.2
SA
S uc
S uc 3 S ut 1
S A 52 n
SA
1
1.04
Caso (d) T.E.N.M. = T.C.M.M.= T.C.M.
n n
SA
Suc
Suc
187.5 50
2
3
3
n 3.75
Figura 3.14 Gráfico del ejercicio 4 de Diseño Estático Caso (d)
25
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Teoría
(a)
(b)
(c)
(d)
T.E.N.M.
1.25
1.25
1.25
3.75
T.E.C.M.M.
1.25
1.25
1.25
3.75
T.C.M.
1.25
1.25
1.04
3.75
Tabla 3.2 Resumen de resultados del ejercicio 4 de Diseño Estático
CONCLUSIÓN DEL EJERCICIO En el caso (c) el factor de diseño para la teoría T.C.M. está cercano a la unidad, mientras en la T.E.C.M.M. que es la utilizada para estos materiales el factor es 25% mayor que 1, entonces podemos concluir que la teoría T.C.M. es conservadora.
3.2.3
EJERCICIO 5 (Diseño Estático PARA UN EJE DÚCTIL)
El eje de la figura es de un acero UNS G10350 estirado a 800 ºF, el factor de diseño sugerido para este caso es mayor o igual a 2; se pide determinar el diámetro estático del eje de sección constante.
Figura 3.15 Gráfico del ejercicio 5 de Diseño Estático
Datos: Factor de diseño ≥ 2 Pot= 100CV n= 500 rpm
26
DISEÑO ESTÁTICO
Relación de transmisión: 1:1 ( )
Q1 Q2 e f P1 P2 e
f
Reemplazando f y
P1 2 P2
=>
Q1 2Q2
SOLUCIÓN: Los pasos del 1 al 5 son los mismos del ejercicio 2. 6) Cálculo de esfuerzos de la sección y punto crítico
A,B
x xy 2 2
A, B
x
2
2
16 M M2 T2 d 3
Datos:
M 73774 Kg ·cm T 14331.2 Kg ·cm
Diseño por esfuerzos principales normales:
A, B
2
2
2
2
16 M 32 M 16T 3 3 3 d 2d d
A, B
16 M 16 M 16T 3 3 3 d d d 27
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
A, B
B 3
7023.71 kg d 3 cm 2
16 73774 73774 2 14331.2 2 3 d 758479.5 kg A 1 2 d3 cm
2 0 7) Determinar la resistencia de la sección crítica Acero de UNS G10350 estirado a 800 ºF, según la tabla A-17 del Manual de Shigley se tiene: Sy = 81 Kpsi = 81x70.3= 5694 Kg/cm2 Sut = 110 Kpsi =110x70.3= 7733 Kg/cm2 8) Relacionar esfuerzos principales con resistencias para determinar el parámetro requerido Se usa la teoría de la Energía de la Distorsión para material Dúctil.
Figura 3.16 Aplicación de la Teoría de la Distorsión para el ejercicio 4 de Diseño Estático
√
(
)
SA = 5668 d 3Kg/cm2 Si n≥2 28
(
)
DISEÑO ESTÁTICO
√
d=6.44 cm≈6.5cm
3.3 CONCENTRACIÓN DEL ESFUERZO Es difícil diseñar una máquina sin cambios en las secciones transversales de los elementos; los ejes deben tener hombros, resaltes, ranuras; los pernos tienen rosca y cabeza; esto implica cambios bruscos en la sección transversal y las ecuaciones de esfuerzo no consideran estos cambios. Estas discontinuidades se denominan concentradores de esfuerzos. Hay un factor de concentración de esfuerzo, teórico o geométrico: Kt o Kts para relacionar el esfuerzo máximo con el esfuerzo nominal, así:
Kt donde:
máx ; o
K ts
máx o
Kt
factor de concentración de esfuerzos normales
Kts
factor de concentración de esfuerzos cortantes
29
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Figura 3.17 Gráfico de distribución de esfuerzos cuando existe un concentrador.
máx o 1
2b a
2b K t 1 a
Para el caso de un círculo se tiene que a b , de donde se tiene que:
Kt 3
Los valores de teóricos de concentración de esfuerzos kt, se encuentran en el apéndice del manual de SHIGLEY, en la TABLA A-26.
30
DISEÑO DINÁMICO (FATIGA)
CAPÍTULO IV 4 DISEÑO DINÁMICO (FATIGA) Cuando las cargas en los elementos varían en el tiempo, su magnitud, dirección, sentido, punto de aplicación, pueden ser una de ellas o pueden combinarse entre estos parámetros; el problema para diseñarlos es distinto, para que resistan con seguridad tales efectos los elementos de máquinas. Ejemplo 1: A continuación se examina un eje sometido a flexión pura y con giro, se puede ver la variación de las cargas en las fibras exteriores. Ver la figura 4.1 y 4.2.
Figura 4.1 Diagrama de Momentos de una Viga sometida a Flexión
Figura 4.2 Fibra cero que pasa por esfuerzos de tensión y compresión en cada revolución del eje.
31
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Conclusión: En el eje de un motor que gira a 1750 rpm, la fibra es esforzada en tensión y compresión 1750 veces por minuto. Ejemplo 2: Para cargas combinadas, el eje está sometido a flexión y compresión (caso en que el eje esté con un engrane helicoidal o de tornillo sin fin).
Figura 4.3 Gráfico de Esfuerzos Combinados en la Sección y Punto Crítico de un elemento
Conclusión: Como se puede ver en la figura 4.3, los esfuerzos de la misma clase se suman para obtener una resultante y proceder al gráfico de esfuerzos vs tiempo. La falla por fatiga no se ve a simple vista o con instrumentos, comienza en una diminuta grieta que se origina en una discontinuidad o concentrador de tensión del material (cambio de sección) hasta la falla repentina.
4.1 RESISTENCIA A LA FATIGA Para determinar la resistencia de materiales bajo la acción de cargas de fatiga, las probetas se someten a fuerzas repetidas o variables de magnitudes especificadas y se cuentan los ciclos hasta la falla. El dispositivo más usado para ensayos de fatiga es la máquina de viga rotatoria de alta velocidad. Esta somete a la probeta a flexión pura por medio de pesos. La probeta se labra a máquina y se pule cuidadosamente, recibiendo un pulimiento final en dirección axial para evitar rayaduras circunferenciales.
32
DISEÑO DINÁMICO (FATIGA) Además, existen otras máquinas que permiten ensayos con esfuerzos combinados tipo fluctuantes.
Figura 4.4 Probeta Normalizada para Ensayo de Fatiga
Para poder observar la resistencia se necesita un gran número de pruebas, la primera prueba con un esfuerzo menor a la resistencia última Sut, y así sucesivamente. Los
resultados
se
grafican
obteniendo
un
diagrama
llamado
S-N
en
papel
semilogarítmico o log-log.
log-log
Figura 4.5 Gráfico S vs N en papel log-log
S e ' = Limite de resistencia de la fatiga para vida infinita (para la probeta). S e = Limite de resistencia de la fatiga para vida infinita (para el elemento). Deducción de la fórmula para determinar la resistencia a la fatiga para la probeta S' f para vida finita:
log S´ f
log 0.8.S u t logSe
log 10 6 log 10 3
* log N logSe 2log 0.8.S u t log Se 33
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
0.8.S u t log Se log S´ f 10 6 log 3 10
* log N 2 log 0.8.S u t Se
1 0.8.S u t log S´ f log 3 Se
log Se
0.8S u t 2 * log N log Se
log S´ f b. log N C
log S´ f log N b .10 c S ' f N b .10 c
Donde:
1 0.8S u t b log 3 Se 0.8S u t 2 c log Se
Nota: Las fórmulas deducidas para vida finita sirven también para el elemento cambiando:
→ →
Vida finita: Cuando el esfuerzo > Se´
Vida infinita: Cuando el esfuerzo < Se´
Para el elemento se cambia Se´ por Se en la ecuación anterior.
S f N b .10c
Donde:
1 0.8S u t b log 3 Se
0.8S u t 2 c log Se
Para los materiales no ferrosos y sus aleaciones nunca llegan hacer horizontales no se distingue el Se. Ejemplos de estos: aluminio, magnesio, aleaciones de cobre, latón, zinc, bronce. La relación del límite de resistencia a la fatiga de la probeta Se´ con la resistencia a la tensión Sut se indica en el gráfico siguiente según pruebas realizadas. 34
DISEÑO DINÁMICO (FATIGA)
Figura 4.6 Gráfico de la Relación entre Se´vs Sut
Para los materiales dúctiles y frágiles, se determina en base a la media estadística (50% de confiabilidad), como se indica en la siguiente Tabla: MATERIAL Dúctil
Frágil
RELACIÓN
CONDICIÓN
Se 0.5Sut
Sut 200Kpsi
Se 100Kpsi
Sut 200Kpsi
Se 0.45Sut
Su t 88Kpsi
Se 40Kpsi
Sut 88Kpsi
Tabla 4.1 Se´, Sut para Material Dúctil y Frágil
4.2 LÍMITE DE RESISTENCIA A LA FATIGA DEL ELEMENTO Se ha expresado que toda probeta para ensayo en una máquina de viga rotatoria, utilizada para determinar límites de resistencia a la fatiga, se elabora con mucho cuidado y es ensayada en condiciones controladas en forma precisa. No es realista esperar que el límite de fatiga de un elemento mecánico o estructural resulte igual a uno de los valores obtenidos en el laboratorio, sino que se encuentra afectada por ciertos factores, como se indica en la fórmula siguiente:
S e S e 'k a k b k c k d k e k f
Límite de resistencia a la fatiga del elemento mecánico
Se '
Límite de resistencia a la fatiga de la probeta
ka
Factor de superficie
kb
Factor de tamaño
Donde: S e
35
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
4.2.1
kc
Factor de confiabilidad
kd
Factor de temperatura
ke
Factor de modificación por concentración de esfuerzo
kf
Factor de efectos diversos
FACTOR DE ACABADO SUPERFICIAL
Este factor se determina en la Fig. 7-10 (pág. 309 de Shigley), el cual se muestra a continuación. Resistencia a la tensión Sut [Kpsi] Pulido
Esmerilado
Maquinado o estirado en frío
Laminado en caliente Forjado
Resistencia a la tensión Sut [Gpa] Figura 4.7
4.2.2
ka
vs.
Sut [ Kpsi, GPa]
FACTOR DE CORRECCIÓN POR TAMAÑO
4.2.2.1 Flexión, Torsión o ambos
kb 0.869.d 0.097 Si
0.3" d 10"
kb 1
d 0.3"
Si
kb 1.189.d 0.097 Si
8mm d 250mm
36
DISEÑO DINÁMICO (FATIGA) Para elementos rectangulares, se determina un diámetro equivalente:
d
0.05 h b 0.0766
h
b
kb 1.189.d 0.097 Si
kb 0.869 d 0.097
Si
0.3" d 10"
kb 1
Si
d 0.3"
8mm d 250mm
Para elementos de otras secciones ver la Fig. 7.15 del Manual de Shigley. 4.2.2.2 Carga Axial Realizando pruebas en viga axial:
Se ' 19.2 0.314 Suc
si
Suc 60 (Kpsi)
Si se emplea esta fórmula, entonces kb = 1 Realizando pruebas de viga rotatoria:
0.71 cuando se hacen pruebas 0.6 cuando no se hacen pruebas (valores de tablas )
kb =
Para este caso el valor de S e ' se determina según la siguiente Tabla:
MATERIAL Dúctil
Frágil
RELACIÓN
CONDICIÓN
Se ' 0.5 Sut
Sut 200 Kpsi
Se ' 100Kpsi
S ut 200 Kpsi
Se ' 0.45 Sut
Sut 88 Kpsi
Se ' 40 Kpsi
Sut 88 Kpsi
Tabla 4.2 Se’, Sut para Material Dúctil y Frágil, cuando se realiza pruebas de viga rotatoria
37
ELEMENTOS DE MÁQUINAS 4.2.3
FACTOR DE CONFIABILIDAD
Se determina según la siguiente Tabla: Factor de
Confiabilidad
Confiabilidad kc
0.50
1.000
0.90
0.897
0.95
0.868
0.99
0.814
0.999
0.753
0.999 9
0.702
0.999 99
0.659
0.999 999
0.620
0.999 999 9
0.584
0.999 999 99
0.551
0.999 999 999
0.520
Tabla 4.3 Factor de Confiabilidad kc (Tabla 7-7 de Shigley)
Si el problema no especifica alguna confiabilidad, se asume R = 50% y Kc = 1 4.2.4
FACTOR DE CORRECCIÓN POR TEMPERATURA
Se determina según las siguientes fórmulas: kd 1
4.2.5
T 450 1 - 3.2 10 T 840
T 450º C (840º F)
si
k d 1 - 5.8 10
-3
si
450º C T 550º C
kd
-3
si
840º F T 1020º F
FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS
Los elementos mecánicos tienen: agujeros, ranuras, muescas u otras clases de discontinuidades, los cuales aumentan el esfuerzo, de acuerdo a las fórmulas siguientes:
max Kt . o
y
max Kts . o
Los valores de Kt y Kts se determinan en la Tabla A - 26 del anexo del Manual de Shigley. En diseño estático los materiales dúctiles no experimentan concentrador de tensiones; pero,
los
aceros
de
alta
resistencia
y
baja
ductilidad,
aceros
endurecidos
superficialmente, y los materiales frágiles si les afecta el concentrador de tensiones.
38
DISEÑO DINÁMICO (FATIGA) No se aplica el valor total de Kt ó Kts directamente, sino un valor reducido de Kt ó Kts igual a Kf ó Kfs. K
f
1 qK t 1 ,
ó
K fs 1 qs Kts 1
Donde: kef
1 K
kes
f
1 K
ó
fs
4.2.5.1 A flexión o carga axial: kef
1 K
f
1 1 qK t 1
Donde, q = sensibilidad a la ranura o entalles, a flexión Si q = 0
=>
Kf = 1
Si q = 1
=>
Kf = Kt
4.2.5.2 A torsión:
kes
1 1 K fs 1 qs K ts 1
Donde, qs = sensibilidad a la ranura o entalles a torsión Si
qs = 0 =>
Kfs = 1
Si
qs = 1 =>
Kfs = Kts
En el caso de flexión y torsión, el factor sería: ke kef ·kes El valor de q se obtiene de las figuras: Fig. 7-18 (cargas axial y flexión) y qs de la Fig. 7-19 (torsión) del Manual de Shigley.
39
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Figura 4.8 Diagrama de sensibilidad a las ranuras para aceros y aleaciones de aluminio y hierro forjado sometidos a cargas flexionantes o axiales invertidas alternativamente.
Nota:
4.2.6
Para los materiales frágiles la sensibilidad es baja:
0 q 0.2
Para hierros fundidos:
q 0.2
FACTOR DE EFECTOS DIVERSOS
No se dispone de valores reales de kf de efectos residuales remanentes, corrosión, recubrimiento electrolítico, metalizado por aspersión, etc. Se considera este valor solo en el caso de análisis de engranes, como un mejoramiento al límite de resistencia a la fatiga ( K f 1 ), por lo tanto, en general se considera K f 1.
4.3 COMPONENTES DE LOS ESFUERZOS FLUCTUANTES Para el diseño dinámico, es conveniente descomponer los esfuerzos, tanto normales como cortantes, de la siguiente manera:
max , max min , min a, a m, m r, r s, s
esfuerzos máximos esfuerzos mínimos amplitud del esfuerzos esfuerzos medios int ervalo total del esfuerzo esfuerzos estáti cos
40
DISEÑO DINÁMICO (FATIGA) Estos esfuerzos se calculan así:
m
máx mín
m
2 mín a máx 2 r 2 a
máx mín
2 a máx mín 2 r 2 a
Ubicación de los componentes de los esfuerzos en los gráficos:
Figura 4.9 Esfuerzo alternante senoidal con inversión completa
Figura 4.10 Esfuerzo fluctuante
41
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Figura 4.11 Esfuerzo repetitivo
Figura 4.12 Esfuerzo fluctuante senoidal (con precarga)
4.4 RESISTENCIA EN ESFUERZOS FLUCTUANTES NORMALES Se han realizado pruebas con probetas a las cuales se han aplicado esfuerzos fluctuantes normales y se han obtenido los datos de los componentes de esfuerzos, como es la amplitud del esfuerzo y el esfuerzo medio, a y m , respectivamente; y estos valores se han graficado, obteniéndose tres diagramas lineales y cuatro no lineales: 4.4.1
LINEALES
a) Diagrama de Goodman Modificado (no es adecuada para el diseño) b) Diagrama en el que se indica la línea modificada de Goodman (es el que más se usa en el diseño). c) Soderberg
4.4.2
S S a S e 1 m S y
NO LINEALES
a) Relación parabólica de Gerber 42
DISEÑO DINÁMICO (FATIGA) S S a S e 1 m S ut
2
b) Ecuación cuadrática o elíptica
1/ 2
S 2 S a S e 1 m S ut
1/ a
S S a S e 1 m S ut
2
c) Kececioglu
;
a 2.606 2.750
d) Bagci
S S a S e 1 m S y
4
Figura 4.13 Gráfico para las teorías de falla a fatiga lineales y no lineales.
A continuación se presenta el diagrama en el que se indica la línea modificada de Goodman, para esfuerzos normales puros: tensión y compresión.
43
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Figura 4.14 Línea modificada de Goodman, para esfuerzos normales puros de tensión y compresión
Ec.1
Sa
Ec.2
Sa
Se S m Se Sut
Línea de Goodman Modificado
a S m m
Línea de Esfuerzos
Este diagrama es el que se empleará para fines de diseño; tanto para vida finita como para vida infinita. En este caso el factor de seguridad será:
Ec.2 en Ec.1
Sm
n
n
Se
a Se m S ut
Sa
a
Sy
máx
Sm
m
Fatiga
Estático
4.5 RESISTENCIA A LA FATIGA EN TORSIÓN La predicción de falla más precisa en diseño estático a torsión es la que proporciona la teoría de la energía de distorsión donde Ssy=0.577·Sy, según pruebas los resultados demuestran que esta teoría también sirve para predecir el límite de fatiga al corte (Sse, Ssf), cuando se conoce el límite de fatiga a la tensión (Se), por lo tanto la energía de la distorsión señala que Sse = 0.577 Se.
44
DISEÑO DINÁMICO (FATIGA) Según las pruebas realizadas con la amplitud del esfuerzo cortante a , un esfuerzo cortante medio torsional m , las resistencias correspondientes son el límite de fatiga por cortante Sse, la resistencia de fluencia al corte Ssy y el módulo torsional de rotura Ssu. Cuando se utiliza estas resistencias es posible elaborar un diagrama de fatiga torsional como se indica en la figura siguiente, donde se establece el factor de diseño con la siguiente relación:
n n
S se
a
S sy
máx
S sf
a
Fatiga
Estático
Figura 4.15 Diagrama de fatiga para esfuerzo torsional
A continuación se indica el gráfico de la resistencia a la fatiga por cortante vs número de ciclos, tanto para vida finita como para vida infinita y las fórmulas para determinar la resistencia a la fatiga.
Figura 4.16 Diagrama de resistencia a la fatiga por cortante vs. número de ciclos.
S sf N b 10c 45
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Dúctiles:
1 0.8 S su b log 3 S se
c log
0.8 S su 2 S se
Frágiles:
0.8 S su 1 K fs b log 3 S se
;
0.8 S su K fs c log S se
K fs 1 qs K ts 1
2
4.6 ESFUERZOS DEBIDO A CARGAS COMBINADAS Lo más común en elementos de máquinas es el diseño de elementos sometidos a cargas combinadas, para este caso se aplica la teoría de la energía de la distorsión, donde se encuentran esfuerzos equivalentes tanto para la amplitud esfuerzos como para los esfuerzos medios, y con estos esfuerzos determinar el factor de diseño en el diagrama que contiene la línea de Goodman modificada, como se indica a continuación: 4.6.1
CASO BIAXIAL
Figura 4.17 Elemento general biaxial
Esfuerzos equivalentes (según teoría de la energía de distorsión)
m 12m 1m 2m 22m
a 12a 1a 2a 22a En función de los componentes de esfuerzos ordinarios:
1m , 2 m
xm ym 2
ym xm 2 xym 2 2
46
DISEÑO DINÁMICO (FATIGA) Operando:
2 m xm xm ym ym 3 2 xym 2
1a , 2 a
xa ya 2
ya xa 2 xya 2 2
Operando:
2 a xa xa ya ya 3 2 xya 2
4.6.2
CASO UNIAXIAL
Figura 4.18 Elemento general uniaxial
Si y 0 , entonces ym 0, ya 0
m xm 3 2 xym 2
a xa 3 2 xya 2
Con las componentes de esfuerzos equivalentes
calculadas anteriormente se va al
gráfico de la línea de Goodman modificada, indicada a continuación:
47
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Figura 4.19 Gráfico de la línea de Goodman modificada
Ec.1
Sa
Ec.2
Sa
Ec.2 en Ec.1
Sm
Se S m Se Sut
Línea de Goodman Modificado
a' Sm m'
Línea de Esfuerzos
Se
a ' Se m ' S ut n
n
Sa
a'
Sm
m'
Sy
máx '
Fatiga
Estático
Donde:
x máx 3 2 xy máx máx 2
48
DISEÑO DINÁMICO (FATIGA)
4.7 EJERCICIOS RESUELTOS 4.7.1
EJERCICIO 6 (Diseño Dinámico A PARTIR DE LOS DATOS DE ESFUERZOS)
Para una barra de acero de Sut = 700 MPa, Sy = 500 MPa y Se = 200 MPa, encuéntrese el factor de seguridad ns y nd, para prevenir la falla estática y por fatiga para cada uno de los siguientes casos: a) m 140 MPa b) m 140 MPa ;
a 70 MPa
c) xym 100 MPa ;
xa 80 MPa
d) xm 60 MPa ;
xa 80 MPa
xym 70 MPa ;
xya 35 MPa
SOLUCIÓN: a) m 140 MPa Diseño Estático: Torsión pura
m xy 1 ns
S sy
m
0.577 S y 140
0.577 500 2.06 140
49
ELEMENTOS DE MÁQUINAS b) m 140 MPa ;
a 70 MPa
máx m a 140 70 210 MPa Diseño Estático:
1 max ns ns
Ss y
1
0.577 S y
1
0.577 500 1.37 210
Diseño Dinámico:
S s e 0.577 Se 0.577 200 115 MPa
nd
Ss e
a
115 1.64 70
c) xym 100 MPa ;
xa 80 MPa
Esfuerzos combinados, esfuerzos normales a fatiga
50
DISEÑO DINÁMICO (FATIGA) Diseño Estático:
2 xmáx 3 2 xymáx max 802 31002 max 191Mpa max El elemento se encuentra sometido a tensión simple
ns
Sy 500 2.62 max 191
Diseño Dinámico:
m 2 xm 3 2 xym a 2 xa 3 2 xya m (0) 2 31002 a (80) 2 302 m 173Mpa a 80 Mpa
nd
Sm 270 1.56 'm 173
51
ELEMENTOS DE MÁQUINAS d) xm 60 MPa ;
xa 80 MPa
xym 70 MPa ;
xya 35 MPa
Diseño Estático:
xmáx xm xa 60 80 140 MPa xymáx xym xya 70 35 105 MPa 2 x max 3 2 xy max max 60 2 3(105) 2 max 229 MPa max
Teoría de la distorsión
52
DISEÑO DINÁMICO (FATIGA) Diseño Dinámico: m 2 xm 3 2 xym
a 2 xa 3 2 xya
m (60) 2 3702 m 135 MPa
a (80) 2 3352 a 100 MPa
nd
4.7.2
S a 145 1.45 a 100
EJERCICIO 7 (Diseño Dinámico DE UN ELEMENTO COMPLETO)
Las condiciones son similares al ejercicio 5 planteado en el capítulo anterior en donde se diseñó estáticamente, en este ejemplo se diseñará dinámicamente.
Datos: Acero de UNS G10350 estirado a 800 ºF, según la tabla A-17 del Manual de Shigley se tiene: Sy = 81 Kpsi = 81x70.3= 5694 Kg/cm2 53
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Sut = 110 Kpsi =110x70.3= 7733 Kg/cm2 n dinámico ≥ 2
Relación de transmisión: 1:1 ( )
Q1 Q2 e f P1 P2 e
f
Reemplazando f y
=>
P1 2 P2 Q1 2Q2
PASO 1 Y PASO 2 QUEDA IGUAL COMO EN EL EJERCICIO 2. Lo primero que debe realizarse en diseño dinámico es la configuración del eje y su montaje que a continuación se indica:
CONDICIONES
Que las poleas están fijas al eje. Esto se logra colocando pines.
Deben tener cojinetes de rodamiento.
54
DISEÑO DINÁMICO (FATIGA) PASO 3: DIAGRAMA DE MOMENTOS
Variación del Esfuerzo Vs Tiempo
PASO 4: DETERMINACIÓN DE LA SECCIÓN CRÍTICA. Se debe analizar la sección B y C para determinar cuál de estas es la sección crítica; porque estas secciones se encuentran con esfuerzos combinados de flexión y torsión, y tienen momentos de flexión máximos. Se desprecia las secciones A y D porque sus momentos de flexión son pequeños, por lo tanto se va a calcular el factor de diseño para estas dos secciones, determinándose al final la sección crítica, aquella que de un factor menor.
55
ELEMENTOS DE MÁQUINAS EL PASO 5: SE REFIERE AL PUNTO CRÍTICO, SE PROCEDE IGUAL QUE EN EL EJERCICIO 2, ES DECIR ES UN ELEMENTO SOMETIDO A ESFUERZOS COMBINADOS QUE ES IGUAL PARA LAS DOS SECCIONES, COMO SE INDICA A CONTINUACIÓN.
PASO 6: DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS EN LAS SECCIONES B Y C SECCIÓN
B
x
32 M d3
xy
16 T d3
d
C
UBICACIÓN
M
FIG. A-26-11
d1 d 2 32 6 T 3 d d1 d 2 16 6 3
Donde: d
diámetro del eje
d1
diámetro del pasador (d1 = 1 cm)
(SHIGLEY) FIG. A-26-10 (SHIGLEY)
T = 14331.2 kg cm MB = 71652 kg cm MC = 73774 kg cm
PASO 7 Y 8: PARA ESTOS DOS PASOS SE REALIZA EN CONJUNTO DEBIDO A QUE EL EJERCICIO ES UN PROBLEMA ITERATIVO QUE A CONTINUACIÓN SE INDICA EN LA TABLA. SECCIÓN B
SECCIÓN C
32 M B d3
x x
x 0;
xy 0
x 0;
MC d1 d 2 d 32 6 xya 0
xy xy
16 T d3
xy xy
x x a
máx
m
m
a
máx
a ' x m'
a
m
m
3 3 2
2
xm
xa
2
xy m
xy m
máx
a ' x
2
xy a
a
máx
3
m' 56
3
T
d 16
3
d1 d 2 6
3 3 2
2
xy a
a
2
xm
xa
2
xy m
xy m
3
DISEÑO DINÁMICO (FATIGA) MÉTODO ITERATIVO: d=20cm
x 91.27 kg / cm2 a '
x 102.7 kg / cm2 a '
xy 9.12 kg / cm
xy 9.53 kg / cm2
a
a
2
m
m ' 15.79 kg / cm
m
m ' 16.5 kg / cm2
2
Se Se 'ka kb kc kd ke k f
Se Se 'ka kb kc kd ke k f
RESISTENCIAS
RESISTENCIAS
Sy = 81 Kpsi = 81x70.3= 5694 Kg/cm2
Sy = 81 Kpsi = 81x70.3= 5694 Kg/cm2
Sut = 110 Kpsi =110x70.3= 7733 Kg/cm
Sut = 110 Kpsi =110x70.3= 7733 Kg/cm
Material dúctil: Sut 200 kpsi
Material dúctil: Sut 200 kpsi
Se´=0.5 Sut=3866.5 Kg/cm2
Se´=0.5 Sut=3866.5 Kg/cm2
F 7-10
F 7-10
kb 1.189d 0.097 1.189200
0.097
kb 1.189d 0.097 1.189200
0.097
0.711
T 7-7: no existe información, suponer T 7-7:
0.711
no existe información, suponer
confiabilidad de 50 % kc 1
confiabilidad de 50 % kc 1
T 450o C
T 450o C
kd 1
kd 1
ke k ef k es kef
1 K
f
1
1 qK t 1
d1 1 0.05 ; d 20 F 7-18:
K t 2.5 F A-26.11
r=0.16”
q=0.82
Sut=110 kpsi No existen discontinuidades en la
(
)
sección ke 1
k es
1 K
fs
1
1 qs K ts 1
No existe qs porque no existe variación k de la torsión. 57
es
1
ELEMENTOS DE MÁQUINAS ke=0.45x1=0.45
k f 1 (efectos varios)
k f 1 (efectos varios)
Se=3866.5x0.52x0.711
Se=3866.5x0.52x0.711x0.45
Se =1429.52 Kg/cm2
Sm
Se Se a ' Sut m '
Se =643.28 Kg/cm2
Sm
Sm =239.72 Kg/cm2
Se Se a ' Sut m ' Sm =101.98 Kg/cm2
n =15
n =6
Conclusión: sección crítica C ; porque nC nB EJERCICIO DE APLICACIÓN: Suponiendo que el diámetro del eje fuera de 9 cm, determinar la vida del eje. Solución: Recalculando con d=9cm, únicamente para la sección crítica C como ya se conoce la misma. Por lo tanto se mantiene los pasos anteriores de 1 a 6, y a continuación se desarrolla los pasos 7 y 8.
√
√
58
DISEÑO DINÁMICO (FATIGA)
Se Se 'ka kb ke
(Los demás factores valen 1)
k a no varía porque no depende del diámetro (
K eT
ke K ef ; kef
)
1
1 1 K f 1 qK t 1 ;
F 7-18:
F A-26.11 K t 2.3
r=0.16”
q=0.82
Sut=110 kpsi (
)
Se=3866.5x0.52x0.77x0.48 Se =743 Kg/cm2
Como se tiene que a ' Se se concluye que el eje con el diámetro de 9 cm tiene vida finita y por tanto falla antes de los 106 ciclos. Entonces se puede determinar el número de ciclos que fallara este eje. A continuación se procede a calcular estos ciclos.
59
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
( (
(
)
)
( (
) )
(
)
( (
)
) )
CONCLUSIÓN El eje con el diámetro de 9 cm fallará a Se puede seguir probando con otros diámetros con el fin de obtener un factor de diseño para vida infinita con valores cercanos a 2, este ejercicio queda para que el estudiante continúe con el proceso. EJERCICIO PARA VIDA FINITA Con el diámetro de 9cm el eje fallará a los 6.17x105 ciclos, pero supóngase que el eje se desea cambiar a los 5x104 ciclos, en este caso se pide calcular el factor de diseño para esta vida finita.
60
DISEÑO DINÁMICO (FATIGA)
Las constantes c y b no varían, porque Sut y S e no varían. Entonces:
(
)
(
)
(
(
)
Conclusión: El factor de diseño para 5x104 ciclos es de 2
61
)
(
)
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
CAPÍTULO V 5 DISEÑO DE ELEMENTOS ROSCADOS 5.1 INTRODUCCIÓN La finalidad de este capítulo es estudiar el diseño estático y dinámico (fatiga), para seleccionar y especificar los tamaños normalizados y materiales los mismos que están expresados en tablas, para buscar los más adecuados de acuerdo a las cargas requeridas. Para sujetadores (pernos y tornillos), se encuentran en las Tablas A-28, A-29 y A-30 y para tuercas en la Tabla A-31, del Manual de Shigley. Para tornillos de potencia no existen especificaciones en tablas, ya que cada aplicación es un caso especial. Sin embargo existen algunas sugerencias, según el cuadro siguiente: Diámetro (plg) Paso (hilos/plg)
1/ 2
10
5/8
8
3/ 4
6
1
5
1½
4
Tabla 5.1 Paso (hilos/plg) del Tornillo de Potencia en función del Diámetro (plg)
Para diferenciar entre tornillos, pernos y espárragos; se deben tomar en cuenta las siguientes características: Tornillos:
Entra en un agujero roscado y el torque es aplicado en la cabeza o en el elemento.
Pernos:
Entra en un agujero roscado, denominado tuerca, y el torque es aplicado en la tuerca.
Espárragos: Es un elemento roscado por los dos extremos. Es la combinación de perno y tornillo.
62
DISEÑO DE ELEMENTOS ROSCADOS 5.1.1
ELEMENTOS DE LA ROSCA
La terminología usada para las roscas de tornillos se muestra en el siguiente gráfico.
Figura 5.1 Terminología para roscas de tornillos
Donde:
p
Es la distancia entre dos hilos adyacentes y está dado en pulgadas
N
Es el recíproco del paso p y está dado en hilos por pulgada
l
Avance: es la distancia que se desplaza una tuerca paralelamente al eje del tornillo cuando da una vuelta. l n p
n 5.1.2
Número de entradas. Si n>1 se tiene una rosca múltiple. TIPOS DE ROSCAS PARA ELEMENTOS ROSCADOS
Se tiene tres tipos de roscas: la rosca American Nacional o Unificada, la rosca cuadrada y la rosca Acme. Estos tipo de roscas se grafican a continuación.
Figura 5.2 Rosca Americana Nacional o Unificada (se utiliza en elementos de sujeción y tornillos de potencia).
Figura 5.3 Rosca cuadrada (se utiliza en tornillos de potencia)
63
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Figura 5.4 Rosca Acme o trapezoidal (se utiliza en tornillos de potencia)
5.2 TORNILLOS DE POTENCIA Son elementos que se utilizan en las maquinarias para convertir un movimiento angular en movimiento lineal y transmitir así fuerza o potencia. Estos tornillos se utilizan generalmente en husillos de avance de tornos, tornillos de bancos, prensas, gatos y a continuación se indica la aplicación práctica en una prensa que sirve como equipo de ensayo.
Figura 5.5 Prensa operada por tornillos de potencia
5.2.1
DETERMINACIÓN DEL TORQUE PARA ELEVAR Y BAJAR LA CARGA PARA TORNILLO DE ROSCA CUADRADA
A continuación se indica el procedimiento para determinar el torque para subir o bajar la carga en la prensa indicada en la figura anterior.
64
DISEÑO DE ELEMENTOS ROSCADOS
Figura 5.6 Tornillo, tuerca y collarín
Ts’
=>
Torque para subir la carga (vencer rozamiento de la rosca)
Tb’
=>
Torque para bajar la carga (vencer rozamiento de la rosca)
Ts
=>
Torque para subir la carga + torque para vencer rozamiento del
collarín Tb
=>
Torque para bajar la carga + torque para vencer rozamiento del
collarín 5.2.1.1 Torque para vencer rozamiento de la rosca (subir la carga)
tan
l dm
1 Ts ' d m P 2
Figura 5.7 Diagrama de cuerpo libre de un filete completo
Figura 5.8 Gráfico tornillo - tuerca.
65
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
F
vert
0
F N sen N cos 0
F
hori
N
F cos sen
1
N
P
2
0
P N cos N sen 0
sen cos
Igualando las ecuaciones (1) y (2):
PF
sen cos cos sen
Ts ' P
dm d sen cos F m 2 2 cos sen
Dividiendo la ecuación (3) entre cos y reemplazando tan
Ts ' F
3
l dm
l dm d Ts ' F m 2 l 1 d m
d m tan 2 1 tan
Ts '
F d m d m l 2 d m l
5.2.1.2 Torque para vencer rozamiento de la rosca (bajar la carga)
Figura 5.9 Diagrama de cuerpo libre de un filete Figura 5.10 Gráfico tornillo - tuerca
completo
66
DISEÑO DE ELEMENTOS ROSCADOS
F
0
vert
F N sen N cos 0
F
hori
N
F cos sen
1
N
P
2
0
P N cos N sen 0
cos sen
Igualando las ecuaciones (1) y (2), dividiendo la ecuación resultante entre cos y reemplazando tan
l se tiene: dm
Tb '
F d m d m l 2 d m l
5.2.1.3 Torque para vencer rozamiento del collarín (Tc)
Figura 5.11 Fuerza de Rozamiento en el Collarín
Donde: Frc
=>
Fuerza de rozamiento del collarín
dc
=>
Diámetro medio del collarín
Frc c F
Tc c F
5.2.1.4 Torques totales (para subir y bajar la carga)
Ts Ts 'Tc Tb Tb 'Tc
67
dc 2
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
5.2.2
Ts F
d m d m l d c F c 2 d m l 2
Tb F
d m d m l d c F c 2 d m l 2
AUTOBLOQUEO
Si el avance es grande y la fricción es pequeña; la carga puede descender por sí sola y el tornillo gira sólo, sin la acción externa. Entonces el torque sería menor o igual a cero y para algunos casos esto sería peligroso, entonces el autobloqueo se daría cuando el torque sea mayor que cero. Para este análisis se desprecia el rozamiento del collarín.
Tb ' 0
La carga se baja sola, sin acción externa
Tb ' 0
Tb ' F
El tornillo es autobloqueante o autoasegurante d m d m l 0 2 d m l
l ; dm
l tan dm
tan 5.2.3
dm l 0
Condición para autoaseguramiento
EFICIENCIA DE LOS TORNILLOS (e)
Una expresión de la eficiencia para evaluar los tornillos de potencia se obtiene como la relación entre un torque ideal y el torque real. El torque ideal To se obtiene al no considerar la fricción de la rosca, es decir:
Ts '
F d m d m l ; 2 d m l
si
0
e
To F l T 2 T
68
To
F l 2
0
DISEÑO DE ELEMENTOS ROSCADOS 5.2.4
DETERMINACIÓN DEL TORQUE PARA ELEVAR Y BAJAR LA CARGA PARA TORNILLOS DE ROSCA TRAPEZOIDAL ACME Y ROSCA TRIANGULAR
Para las roscas cuadradas se tiene que 90º . Pero en el caso de las roscas Acme y las roscas triangulares, este ángulo es diferente de 90º y esto afecta a las ecuaciones deducidas anteriormente. El efecto del ángulo es aumentar la fuerza de fricción, por lo tanto; la ecuación debe dividirse entre cos , en aquellos términos que hay rozamiento así:
5.2.5
Ts F
d m d m sec l d c F c 2 d m l sec 2
Tb F
d m d m sec l d c F c 2 d m l sec 2
DISEÑO ESTÁTICO
Figura 5.12 Tornillo-Tuerca de Potencia
69
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
TUERCA
A d Corte
TORNILLO
h 2
A dr
F 2F A d h
1 2 h A d 2 dr 4 p Compresión
h 2
F 2F A d r h
F 4pF A d 2 dr2 h
1 2 h A d 2 dr 4 p
F 4pF A d 2 dr2 h
Tabla 5.2 Esfuerzos de Corte y Compresión en la Tuerca y el Tornillo
Las secciones críticas son diferentes, es por eso que se debe separar los efectos de compresión y corte en los hilos de la tuerca y el tornillo. A continuación se determina el factor de diseño para materiales dúctiles en cada caso: ELEMENTO
Corte
Compresión
TEORÍA
TUERCA
n
T.E.D.
T.E.D.
n
S sy
xy
Sy
x
TORNILLO
0.577 S y 2F d h
Sy 4p F d 2 dr2 h
n
n
Ss y
xy
Sy
x
0.577 S y 2F d r h
Sy 4p F d 2 dr2 h
Tabla 5.3 Factor de Diseño para Materiales Dúctiles para Tuerca y Tornillo
CONDICIÓN: Para cuando se estudia el efecto de corte o de compresión, si n 2 , el elemento falla. Entonces se diseña para n 2 , y solo para materiales dúctiles.
70
DISEÑO DE ELEMENTOS ROSCADOS 5.2.6
DISEÑO DINÁMICO
El diseño dinámico no se puede considerar en este caso porque no hay ninguna información sobre los factores de tamaño k b y el factor de concentrador de esfuerzos
k e . 5.2.7
SELECCIÓN DE LA TUERCA Hilo
Fuerza Tuerca
Tornillo
1
F
F
2
2 F
2 F
3
3 1 F 3
3 1 F 3
Figura 5.13 Tornillo-Tuerca de Potencia con carga
Para seleccionar la tuerca se debe considerar que el material es de menor resistencia que del tornillo, con el objeto de que tenga mayor desgaste la tuerca que el tornillo; y ésta sea la que se remplaza. De acuerdo al gráfico anterior, los tres primeros hilos son los que soportan carga y la distribución de la carga se indica en la Tabla 5.13.
5.3 SUJETADORES 5.3.1
INTRODUCCIÓN
Los sujetadores son elementos roscados que se utilizan como su palabra la indica en la sujeción de elementos, y estos se clasifican en: tornillo, perno y espárrago.
Tornillo: Perno: Espárrago:
Se aprieta aplicando un par de torsión en su cabeza. Reaplica el par de torsión a la tuerca. Es un perno con doble rosca en sus dos extremos.
En las Tablas: A-28 y A-31, está determinado los tamaños de pernos, tornillos y tuercas.
71
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Figura 5.14 Tornillo o perno
Figura 5.15 Tuerca
Figura 5.16 Espárrago
En las Tablas: 8-1 y 8-2, se especifican los diámetros y áreas de roscas métricas de paso fino y de paso basto (en mm), y características de roscas unificadas UNC y UNF, respectivamente.
At Área de tracción At
dt
·d t 2 4
dm dr 2
Donde:
5.3.2
F ; At
y
JUNTAS ATORNILLADAS
72
Sut
Fu At
DISEÑO DE ELEMENTOS ROSCADOS Perno Arandela Sello Elemento de unión (tapa)
(p) PRESIÓN
Arandela Tuerca
Elemento de unión (base)
Figura 5.17 Cilindro empernado sometido a presión
Figura 5.18 Junta empernada con carga axial
Terminología
P
Carga externa sobre la unión del perno
p
Presión total en el cilindro
Fi
Precarga del perno debido al apriete y que existe antes de aplicar P
kb
Constante de rigidez del perno
km
Constante de rigidez de los elementos
b
Deformación del perno por Fi
m
Deformación de los elementos por Fi
m b Deformación debido a la carga P Pb
Fracción de P tomado por el perno
Pm
Fracción de P tomado por los elementos unidos
Fb
Carga resultante sobre el perno (tensión) 73
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Fm
Carga resultante sobre los elementos (compresión)
FRm
Fuerza de rozamiento de los elementos
C=
Relación de Rigidez
N
Número de sujetadores
Figura 5.19 Gráfico de la Fuerza vs. Deformación
La constante de rigidez de un elemento elástico es la relación de la fuerza aplicada al elemento a la deformación total producida por dicha fuerza.
k Si
perno elementos
F
kb k m
Deducción de fórmulas: Del gráfico anterior, se tiene que:
Fb Fi Pb (Tensión) Fm ( ) Fi Pm (Compresión) P Pm Pb (1) Además:
FRm s Fm
k
F
F k
Las deformaciones del elemento y del perno son iguales:
m b
74
Pb Pm kb k m
DISEÑO DE ELEMENTOS ROSCADOS
k Pm m Pb kb
Despejando:
(2)
Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (1):
k P m Pb Pb kb
kb P Pb kb k m
Análogamente se obtiene:
Sea
km P Pm kb k m
Pb C P
kb C kb k m
Pm 1 C P
Reemplazando en las ecuaciones del cálculo de cargas, se tiene:
Fb Fi Pb
Fb Fi C P Fm () Fi 1 C P
Determinación de fórmulas para calcular k m y k b :
Figura 5.20 Gráfico de Distribución de Presión de la Junta
75
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Determinación de k b
kb
F
F l A E
kb
A E l
F
Fuerza
L
Longitud del perno sometido
A
Sección del perno
E
Módulo de elasticidad
Determinación de K m Se tiene troncos de cono que representan dos resortes en serie.
1 1 1 1 1 ......... k m k1 k 2 k3 kn
Constante resultante para varios resortes en serie.
Para este caso particular, considerando que se trata del mismo material y la misma geometría, se tiene:
1 1 1 1 1 km k1 k 2 k k
km
k 2
A continuación se muestra el esquema de un tronco de cono y se realiza el análisis de un elemento diferencial del mismo:
Figura 5.21 Tronco de cono de Presión
De acuerdo a la Ley de Hooke:
F l A E 76
DISEÑO DE ELEMENTOS ROSCADOS
d
En término diferenciales:
Pdx A E
A ro ri 2
2
2 2 dw d x 2 2
d d d d A x w x w 2 2
P l/2 dx 0 d d d d E x w x w 2 2
Resolviendo esta ecuación se llega a la siguiente relación:
l d w d d w d P ln E d l d w d d w d
Donde d w 1.5d ; entonces:
En k
F
k
km
E d
l 0.5d P ln 5 E d l 2.5d
l 0.5d ln 5 l 2.5d
k 2
km
donde: E E de los elementos
;
E d
l 0.5d 2 ln 5 l 2.5d
Si k1 k2
k1
E1 d
l 0.5d ln 5 1 l1 2.5d
;
k2
E2 d
l 0.5d ln 5 2 l2 2.5d
km
k1 k 2 k1 k 2
Precarga (Fi): según pruebas realizadas, se sugiere esté dentro del intervalo:
0.6Fp Fi 0.9Fp ;
donde: Fp carga de prueba 77
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Tabla 8 1 At Donde: (SHIGLEY) Tabla 8 2 S p 0.85 S y Tabla 8 5
Fp At S p ;
Cuando el sujetador va a trabajar a fatiga se debe elegir el Fi más alto dentro del rango establecido y una rosca muy fina para evitar que se afloje. Torque para subir la carga (apretar)
Ts F
d m tan sec d c F c 2 1 tan sec 2
Ti torque de apriete F Fi
dc
d 1.5d 1.25d 2
Tsi Fi
d m tan sec 1.25d c Fi 2 1 tan sec 2
d tan sec 0.625 c Fi d m 2d 1 tan sec Si se iguala la expresión entre corchetes a una constante;
d m tan sec 0.625 c cte K 2d 1 tan sec Entonces se tiene: Ti K Fi d
Se ha determinado, mediante pruebas, que un valor promedio de K es de 0.2, para
c 0.15 . Entonces, finalmente se tiene: Ti 0.2 Fi d 5.3.2.1 Diseño Estático Consideraciones: material
acero dúctil 78
DISEÑO DE ELEMENTOS ROSCADOS teoría
energía de la distorsión
esfuerzo tensión simple
Figura 5.23 Círculo de Mohr para Tensión Simple
Figura 5.22 Elemento Ordinario
n
Sy
x
x
Fb Fi C P Fi C P At At At At
Donde S y , S ut , se encuentran en la Tabla A-17 (Shigley).
n
Sy Fi C P At At
n Fi S y At n C P
En la expresión n Fi de la ecuación anterior el valor del factor de seguridad es n 1 , porque se considera que se usa torcómetro y por lo tanto no hay incerteza. Entonces, finalmente se obtiene la ecuación para calcular el factor seguridad para diseño estático:
Fi S y At n C P
n
S y At Fi
79
CP
ELEMENTOS DE MÁQUINAS 5.3.2.2 Diseño Dinámico
Figura 5.24 Elemento Ordinario
Figura 5.25 Variación de la Carga Externa Vs Tiempo (Carga Repetida)
Figura 5.26 Variación del Esfuerzo Vs Tiempo (Esfuerzo Fluctuante con Precarga)
Para el sujetador se tiene:
Fb mín Fi ;
Fb máx Fi C P
a
Fa At
m
Fm At
a
Fmáx Fmín 2 At
m
Fmáx Fmín 2 At
a a
Fi
C P Fi 2 At
m
CP 2 At
m 80
Fi
C P Fi 2 At
C P 2 Fi 2 At
DISEÑO DE ELEMENTOS ROSCADOS
Figura 5.27 Gráfico de la Línea de Goodman Modificada
n
Sm
m
;
Sm
Se
a Se m Sut
Se
a Se Se Se m Sut n S m a e m C P Se 2 Fi C P Sut 2A S 2A t
CP S n e 2 At Sut
ut
t
2F C P Se i 2 A t
n
S 1 n Fi At Sut n C P ut 1 2 Se
En la expresión n Fi de la ecuación anterior el valor del factor de seguridad es n 1 , porque se considera que se usa torcómetro y por lo tanto no hay incerteza.
Finalmente se tiene:
S 1 Fi At Sut n C P ut 1 2 Se
Por lo tanto, el factor de diseño sería:
n
2 At Sut Fi S C P ut 1 Se
El límite de resistencia a la fatiga para un elemento sometido a esfuerzos axiales es:
Se S e 'k a kb k c k d k e k f Donde:
S e ' 19.2 0.314S uc
S uc 60Kpsi
si 81
(fatiga axial)
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
5.3.3
ka
Figura 7-10 (Manual de Shigley)
kb
k b 1 (se considera en el cálculo de Se’)
kc
Tabla 7-7 (Manual de Shigley)
kd
k d 1 (si T 450º C )
ke
ke
kf
k f 1 (no se tiene información)
1 ; K f : Tabla 8-6 (Manual de Shigley) Kf
JUNTAS CON EMPAQUETADURA
El empaque no confinado de una junta está sujeto a la carga de compresión total entre las piezas, su rigidez predomina y por lo tanto las características de la empaquetadita gobierna el diseño de la conexión. La Tabla 8-7 (Manual de Shigley) proporciona el módulo de elasticidad necesario para evaluar algunos tipos de materiales de empaquetaduras. Como los valores del módulo de elasticidad de estos empaques son en general pequeños en comparación con los de los metales, esto significa que la rigidez de las partes de metal (de dichos elementos) se puede considerar infinito, por lo que solo necesita utilizarse la rigidez del empaque como km, como se indica a continuación:
Figura 5.28
Figura 5.29
Figura 5.28 Empaque que recibe toda la carga de compresión de los elementos. Figura 5.29 Empaque confinad, no recibe toda la presión de los elementos.
Fb Fi C P Fm Fi 1 C P Donde
: 0.6Fp Fi 0.9Fp ;
Fp carga de prueba 82
DISEÑO DE ELEMENTOS ROSCADOS
Fp At S p ;
C
kb kb k m
kb
A E l
Tabla 8 1 At (SHIGLEY) Tabla 8 2 S p 0.85 S y Tabla 8 5
1 1 1 1 k m k1 k 2 k 3
k1 k 2
Como
k 3 k 2
1 k 0 1 1 0 k 3
1 1 1 0 0 km k2 k2
km
Además, ya se dedujo que:
km k2
E d
l 0.5d 2 ln 5 l 2.5d
En las juntas con empaquetadura se utilizan las mismas ecuaciones que se dedujeron para el caso de juntas con empaquetaduras confinadas, que se indican a continuación: 5.3.3.1 Diseño Estático
Fi S y At n C P
n
S y At Fi CP
5.3.3.2 Diseño Dinámico
S 1 n Fi At Sut n C P ut 1 2 Se
n
2 At Sut Fi S C P ut 1 Se
5.3.3.3 Condiciones de empaques Una junta con empaque debe satisfacer las condiciones de precarga de presión mínima de sellado, y de distribución de la presión del empaque con los sujetadores. a) La precarga debe ser grande para satisfacer la relación:
Fit Ag p0
83
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Fit
Precarga total de los sujetadores
Ag
Área de empaquetadura
p0
Presión mínima de sellado (dato del fabricante)
b) La compresión del empaque debe ser lo suficientemente grande para satisfacer la relación:
Fmt Ag m p
Fmt
Compresión total del empaque
Ag
Área de empaquetadura
m
Factor, varía entre 2 y 4
p
Presión total del cilindro
c) Distancia entre sujetadores, la distribución de los sujetadores debe estar separada de acuerdo a la distancia S.
Figura 5.30 Vista de la Distribución de los Sujetadores
5.3.4
RESISTENCIA A LA FATIGA PARA LOS SUJETADORES
Se Se, k a kb k c k d k e k f Según pruebas en la máquina de carga axial se determina el límite de resistencia a la fatiga de la probeta como se indica:
Se, 19.2 0.314Suc Si Suc 60 Kpsi kb 1 Para material dúctil: Suc Sut
ka Fig . 7 10 ( Shigley ) kc Tabla 7 7 ( Shigley )
84
DISEÑO DE ELEMENTOS ROSCADOS kd 1 Si
T 450º C (840º F)
kd 1 - 5.8 10- 3 * T 450 Si kd 1 - 3.2 10 * T 840 Si -3
ke
1 ; Kf
450º C T 550º C 840º F T 1020º F
K f Tabla 8 6 (Shigley )
k f 1 5.3.5
CORTANTE EN PERNOS Y REMACHES
En el presente tema se estudiará los sujetadores que están sometidos a cargas cortantes y momentos flexionantes, a continuación se presenta una viga sometida a carga excéntrica y flexionante, se fija a un miembro vertical por medio de pernos, es estáticamente indeterminada, empotrada con reacciones M y V, en el centroide O del grupo de sujetadores, y se supondrá que todos los pernos son del mismo diámetro.
Figura 5.32 Diagrama de cuerpo libre de la viga Figura 5.31 Esquema del conjunto viga y el soporte
La carga total tomada por cada uno de los pernos se calculará en tres pasos: Primer paso.- La carga cortante total V, se divide en partes iguales entre los pernos como , , , , , se indica en la siguiente fórmula: FA FB FC FD ........ Fn
n
V n
Número de pernos.
Segundo paso.- La carga del momento total se relaciona de la siguiente manera:
M FA "·rA FB "·rB FC "·rC FD "·rD ...
85
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
La carga que recibe cada perno depende de la distancia al centroide, a mayor distancia mayor carga, por lo tanto se puede relacionar de la siguiente manera; la carga con su radio:
FA " FB " FC " FD " ... rA rB rC rD
Resolviendo :
Fn "
M rn r r rC2 rD2 ... 2 A
2 B
Figura 5.33 Diagrama de cuerpo libre de los pernos
Tercer paso.- Las cargas de cortante y de momento de cada perno se suman vectorialmente para obtener la resultante individual de estos, y así obtener la carga crítica que será la que sirva para el diseño.
Figura 5.34 Diagrama de cuerpo libre de las resultantes
CENTROIDE
86
DISEÑO DE ELEMENTOS ROSCADOS n
A x A x A x A x4 ..... x 1 1 A1 2 A22 A33 3 A4 4 .... __
Ax i
i
1 n
A
i
1
n
__
y
A1 y1 A2 y 2 A3 y 3 A4 y 4 ..... A1 A2 A3 A4 ....
A y i
i
1 n
A
i
1
Figura 5.35 Centroide de Grupos de Pernos
5.3.6
UNIONES ATORNILLADAS Y REMACHADAS CON CARGA DE ESFUERZO CORTANTE
Las uniones atornilladas y las juntas remachadas con carga cortante se tratan exactamente igual al diseñarlas y analizarlas, en la figura se indica una unión con un remache cargado al cortante, el remache puede fallar por flexión, por corte directo y por aplastamiento.
Figura 5.36 Junta Remachada con carga cortante
a) Carga de flexión:
M I /c F t M 2 F t 2I / c
b) Carga cortante: A
F A
Área trasversal de todos los remaches del grupo.
c) Aplastamiento del remache: 87
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
F A A t d
Donde: t
Espesor de la placa más delgada
5.3.6.1 Diseño Estático y Diseño Dinámico Para diseñar estáticamente y dinámicamente los sujetadores que se utilizan en uniones atornilladas y remachadas, deberá seguirse las reglas para estos tipos de diseño, como esfuerzos individuales y no como combinados, estudiados en los capítulos anteriores.
88
DISEÑO DE ELEMENTOS ROSCADOS
5.4 EJERCICIOS RESUELTOS 5.4.1
EJERCICIO 7 (Tornillo de Potencia)
Un tornillo de potencia de rosca cuadrada tiene 6 hilos por pulgada, es de doble filete. Su diámetro mayor es de 1 pulg, y su aplicación es similar a una prensa. Además se conoce que:
filete collarín 0.08; dmcollarín 1.25 plg; F 1500 lb / tornillo; htuerca 2 / 3 plg ; y que los materiales son acero UNS G10100HR y ASTM No. 20, para el tornillo y para la tuerca respectivamente. Se pide determinar: a) El paso, la profundidad de rosca, el ancho de la rosca, el diámetro menor, el diámetro medio y el avance. b) El torque para subir la carga. c) El torque para bajar la carga. d) La eficiencia mínima. e) El factor de diseño.
SOLUCIÓN:
hilos pu lg 1 1 p pu lg N 6
N 6
89
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
a)
Ancho= Profundidad=
dm d
p 1 pu lg 2 12
p 1 1 0.9167 pu lg 2 12
dr d p 1 l n p 2
1 0.8333 pul g 6
1 0.333 pul g 6
b)
Ts F
d m d m l d c F c 2 d m l 2
0.9167 0.08 0.9167 0.333 1.25 0.08 1500 0.9167 0.08 0.333 2 2 Ts 136 75 211 (lb pul g ) Ts 1500
c) ( (
) ) (
) ( (
) )
El tornillo no es autobloqueante ya que el torque para vencer el rozamiento de la rosca es negativo (-24.4 lb·pulg). d)
F l 2 T 1500 0.333 e 0.377 2 211 e
e) Esfuerzos: TUERCA
A 1 Corte
TORNILLO
2 1.05 ( pu lg 2 ) 6
A 0.8333
1500 1428.6 ( psi) 1.05
90
2 0.87 ( pu lg 2 ) 6
1500 1724 ( psi) 0.87
DISEÑO DE ELEMENTOS ROSCADOS
A Compresión
1 2/3 (12 0.8333 2 ) 0.96( pu lg 2 ) 4 1/ 6
1500 1562.5 ( psi) 0.96
A 0.96 ( pu lg 2 )
1562.5 ( psi)
Resistencias: Tornillo T-A17 (Shigley) UNS G10100HR: Sy= 26 (Kpsi), Sut= 47 (Kpsi) Tuerca T-A21 (Shigley) ASTM No. 20: Sut= 22 (Kpsi), Suc= 83 (Kpsi) DISEÑO ESTÁTICO (Relación esfuerzo-resistencia) ELEMENTO
TUERCA TEORÍA
Corte
n n
Sut
TORNILLO TEORÍA
xy
n
22000 15.4 1428.6
T.C.M.M.
n
0.577 S y
xy 0.577 26000 8.7 1724
T.E.D.
n
Suc
n
83000 53.12 1562.5
Compresión
x
n n
Sy
x 26000 16.64 1562.5
Conclusión: El tornillo y la tuerca están sobre dimensionados, y como puede verse la tuerca tiene factores de diseño más alto que el tornillo, lo que no es común en este tipo de diseño.
91
ELEMENTOS DE MÁQUINAS 5.4.2
EJERCICIO 8 (Sujetadores)
La figura es un cilindro resistente a presión y debe utilizarse un total de N pernos para resistir una fuerza de separación de 0 a 36 (Klb), utilícese un n=3, y determine la Fi apropiada del perno y el N mínimo requerido para una confiabilidad del 50%, y una rosca pulida.
Datos: n=3 Confiabilidad = 50% Rosca pulida
Pt 36Klb Fi = ? N mínimo de pernos = ? Solución: Determinación del límite de resistencia del elemento:
Se Se, ka kb kc kd k e k f Tabla 8-5: para Grado SAE 4
Sut 115Kpsi ; S p 65Kpsi ; S y 100Kpsi
Según pruebas axiales:
kb 1 Sut Suc , para materiales dúctiles Figura 7-10: k a 1 , (pulido)
k c 1 , (50% de confiabilidad) k d 1 , (T<450ºC) 92
DISEÑO DE ELEMENTOS ROSCADOS Tabla 8-6: Roscas laminadas K f 3
ke
1 0.333 Kf
k f 1 , (No hay información) Se Se, ke 0.33355.31 18.4Kpsi Determinación de la relación de rigidez C:
C
Kb Kb Km
Rigidez de los pernos: Tabla A-18, Acero de alta resistencia
E 30 106 Psi l
3 3 1.5 pu lg 4 4
d 0.625 pu lg A E d 2 E 0.625 30 106 lb 6.13 106 l 4l 41.5 pu lg 2
Kb
Rigidez de los elementos: Tabla A-21, Hierro fundido Núm. 25 E 11 .5 14 .8 Mpsi E 12 10 6 Psi
Km
E d 12 106 0.625 lb 10.86 106 pu lg l 0.5d 1.5 0.5 0.625 2 ln 5 * 2 ln 5 l 2.5d 1.5 2.5 0.625
C
5 8
pu lg 11UNC
6.13 0.361 6.13 10.86
At 0 .226 pu lg 2
Tabla 8-2: Para
93
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Por lo tanto:
C Pt n Sut 1 2 N Se 0.361 36 3 115 Fi 0.226 115 1 ( Klb ) 2N 18.4 Fi At Sut
Fi 25.99
141.3 ( Klb) N
Tabla de valores:
N
6
8
9
10
12
Fi (klb)
2.44
8.32
10.29
11.86
14.21
Los valores de la tabla se contrastan con el rango que establece la precarga:
0.6Fp Fi 0.9 Fp Fp At S p 0.22665 14.69Klb
Fi mín 0.6Fp 0.614.69 8.81Klb
Fi máx 0.9 Fp 0.914.69 13.22 Klb 8.81klb Fi 13.22Klb Se elige una solución:
N 10 pernos Fi 11.86 Klb
P
36 36 3.6 Klb por perno N 10
Torque de apriete:
Ti 0.2 Fi d 0.2 11.86 0.625 1475 (lb pu lg)
5.4.3
EJERCICIO 9 (Sujetadores)
Un recipiente de presión debe sellarse empleando un empaque de asbesto con una presión mínima de sellado de 11 MPa. Empleando tornillos de maquinaria de 14 mm de diámetro y se sabe que solo la mitad de la profundidad del agujero entran los tornillos, el cilindro tiene presión interior de 2000 KPa, y un factor de seguridad de 1,5. 94
DISEÑO DE ELEMENTOS ROSCADOS a) Cuantos tornillos N de maquinaria ASTM A-325 tipo 2 deben utilizarse para impedir una falla por fatiga con confiabilidad del 90%. b) Comprobar los requisitos de sellado.
Datos:
p0 11MPa d 14mm p 2000 KPa n 1.5 SOLUCIÓN: Se asume que la presión varia de 0 a 2000 KPa. a) Cuantos tornillos N de maquinaria ASTM A-325 tipo 2 deben utilizarse para impedir una falla por fatiga con confiabilidad del 90%.
Fi At Sut
C Pt n Sut 1 2 N Se
Determinación de la relación de rigidez C:
Rigidez del tornillo
Agarre l 15 3 7.5 25.5mm A E d 2 E 14 207 MN Kb 1250 l 4l 425.5 m 2
Rigidez del empaque
Agarre l 3mm Tabla 8-7: Para empaque de asbesto E 480MPa 95
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Km
C
E d 480 14 (10) 3 MN 38.5 m l 0,5d 3 0.5 14 2 ln 5 2 ln 5 l 2.5d 3 2.5 14
Kb 1250 0.97 K b K m 1250 38.5
El sujetador carga 97% Cálculo de la carga total:
PT A p
(100)2 2000 4(10)6
15.7 KN
Determinación del límite de resistencia del elemento:
Se Se, ka kb kc kd ke k f Tabla 8-5 para ASTM A-325 tipo 2
Sut 120Kpsi 1206.89 827MPa S p 85Kpsi 85(6.89) 586MPa S y 92Kpsi 92(6.89) 633.88MPa Según pruebas axiales:
kb 1 Figura 7-10: k a 1 , (pulido) Tabla 7-7: kc 0.897 para R 90%
k d 1 , (T<450ºC) Tabla 8-6: Roscas laminadas K f 3
ke
1 0.333 Kf
k f 1 , (No hay información) Se Se, kc ke 3920.8970.333 117Mpa Tabla 8-1 At 115mm2 para paso 2mm
Fi At Sut
C PT n Sut 1 2 N Se
96
DISEÑO DE ELEMENTOS ROSCADOS Reemplazando en la fórmula los datos:
Fi 115 0.827 Fi 95.1
0.971.515.7 0.827 1 ( KN ) 2N 0.117
92.2 KN N
Tablas de valores: N
8
6
4
3
2
Fi (KN)
83.6
79.7
72.4
64.4
49
Los valores de la tabla se contrastan con el rango que establece la precarga:
0.6Fp Fi 0.9 Fp Fp At S p 1150.586 67.4KN
Fi mín 0.6Fp 0.667.4 40.4 KN
Fi máx 0.9 Fp 0.967.4 60.7 KN 40.4KN Fi 60.7KN Se elige una solución: La solución por resistencia sería suficiente con dos tornillos, pero resulta absurda ya que no se puede distribuir adecuadamente la presión para el empaque, además debe cumplir con las tres condiciones de empaque. Por consiguiente se utiliza un método iterativo de prueba con N= 6 tornillos y se elige del rango una precarga Fi 50KN :
a)
Fit Ag p0
Fit N Fi 650 300KN
N d 2 4 6 142 Ag 2102 1002 25.9 103 mm2 4 4 Ag
D 4
2
Di2
Ag p0 25.9 103 0.011 284.9KN Por lo tanto se cumple la primera condición, ya que 300KN>284.9KN. 97
ELEMENTOS DE MÁQUINAS b)
Fmt Ag m p
Fmt PT 1 C Fit Fmt 15.71 0.97 300 299.5KN Si m 2
Ag m p 25.9 103 22000 106 103.6KN Por lo tanto se cumple la segunda condición, ya que 299.5KN>103.6KN. c)
S
160 6 14
5.99d
Por lo tanto se cumple la tercera condición, ya que 5.99d<10d. CONCLUSIÓN: La solución es satisfactoria para N=6 y Fi 50KN . Recalculando los factores de diseño: Fatiga:
Fi At Sut
C PT n Sut 1 2 N Se
50 115 0.827
0.9715.7 n 0.827 1 26 0.117
n 4.4 Estático:
Fi At S y C P n n
At S y Fi
5.4.4
CP
1150.633 50 1.49 0.9715.7
EJERCICIO 10 (sujetadores-ménsula)
La figura muestra una ménsula soldada de acero que soporta una carga F de 1250 lb, ,,
con los sujetadores de
3 16UNC SAE grado 5 , los sujetadores superiores absorben toda 8
la carga del momento flector y los sujetadores inferiores toda la carga del cortante directo, la ménsula se fijará a una superficie vertical de acero liza que proporciona a los 98
DISEÑO DE ELEMENTOS ROSCADOS
sujetadores un agarre de
1 " . Se pide determinar El factor de diseño de los sujetadores 2
superiores e inferiores.
SOLUCIÓN:
Diagrama de cuerpo libre de la ménsula.
Cálculo de las cargas en cada sujetador:
M C 0
Fv 0
F 8 T 5
V F 1250lb
8 T F 2000lb 5
Carga cada tornillo inferior
Carga cada tornillo superior
V 625lb 2
T 1000lb 2
Diseño estático de los tornillos superiores: Los sujetadores superiores están sometidos a tensión simple, por lo tanto se diseñará con el procedimiento de la teoría de falla en tensión simple.
Fi At S y C P n 99
DISEÑO DE ELEMENTOS ROSCADOS Determinación de la relación de rigidez C: Rigidez del tornillo
1 1 Agarre l " " 1 pu lg 2 2 Tabla A-18, para acero E 30 10 Psi 6
A E d 2 E 3 / 8" 30 106 lb Kb 3.313 106 l 4l 41" pu lg 2
Rigidez de los elementos:
l 1pu lg Tabla A-18, para acero E 30 10 Psi 6
Km
E d 30 106 0.375 lb 15.78 106 pu lg l 0.5d 1 0.5 0.375 2 ln 5 * 2 ln 5 l 2 . 5 d 1 2.5 0.375 C
3.313 0.174 3.313 15.78
Selección de la precarga Fi : ,,
Tabla 8-5 para
3 16UNC SAE grado 5 : 8
Sut 120Kpsi S p 85Kpsi S y 92 Kpsi Tabla 8-2 At 0.0775 pu lg 2
0.6Fp Fi 0.9 Fp Fp At S p 0.077585 6.588Klb
Fi mín 0.6Fp 0.66.588 3.953Klb
Fi máx 0.9 Fp 0.96.588 5.929 Klb 3.953Klb Fi 5.929Klb Precarga elegida Fi 5Klb
Fi At S y C P n n
At S y Fi CP
0.077592 5 12.24 0.1741
101
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Diseño estático de los tornillos inferiores: Los sujetadores inferiores están sometidos a corte directo, aplastamiento y flexión, por lo que se utilizará las teorías individuales para esfuerzos puros. Corte puro
xy n
F F 4 4625 2122 psi 2 A d 0.3752
Ssy
xy
0.577S y
xy
0.57792000 25 2122
Aplastamiento
x n
F F 625 3333 psi A t d 0.50.375
Sy
x
92000 27.6 3333
Flexión
x n 5.4.5
Mc F t 32 F t 326250.5 60361 psi I I /c d3 0.3753
Sy
x
92000 1.52 60361
EJERCICIO 11 (sujetadores-ménsula)
La ménsula de acero indicada soporta una carga F como se indica en la figura, que varía de 0 a 1000 Kg, la ménsula se sujeta sobre una superficie vertical de acero con un coeficiente de fricción a determinar, con cuatro pernos. Se pide seleccionar los pernos para un factor de seguridad
dentro del siguiente rango 2 n
montados con holgura como se indica.
102
3, los pernos son
DISEÑO DE ELEMENTOS ROSCADOS
TA TB Y A YB
TA TB TA 5TB 250 50
(1)
103
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Fy 0 V F 1000Kg
M
oz
=0
TB (50) TA (250) F (500) TB 5TA 10(1000) TB 5TA 10000
(2)
(1) en (2) TB 5(5TB ) 10000 TB 25TB 10000 26TB 10000
TB
10000 T 384.615Kg B 192.3Kg 26 2
TA 5(192.3) 1923Kg
(
TA 961.5Kg 2
)
r 1502 1002 180.27mm 100 33.69º 150
tg 1
104
DISEÑO DE ELEMENTOS ROSCADOS
M r M r M 150000 208.02 Kg 2 2 2 2 2 r r r r 4r 4r 4(180.27)
F"
F´
V 1000 250Kg 4 4
90º 33.69º 56.31º F Cx 208.02Cos(56.31º ) 115.31Kg F Cy 208.02 Sen(56.31º ) 250 -76.91 Kg FC
115.312 76.91 2 138.60Kg
105
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
F Bx 208.02 Sen(33.69º ) 115.38Kg F By -208..02 Cos(33. 69º ) - 250 -423.08 . Kg F B
115.382 423..082 438.53 Kg
F Ax -208..02Cos(56.31º ) -115.38 . Kg F Ay -208.02 . Sen (56.31º) 250 - -423.08 Kg F A
115.382 423.082 438.53 Kg
106
DISEÑO DE ELEMENTOS ROSCADOS F Dx 208.02Sen(33.69º ) 115.38Kg F Dy 208.02Cos(33.69º ) 250 -79 .91Kg FD
115.382 79 .912 138.60Kg
CONCLUSIÓN: Los pernos críticos están cargados con 438.53Kgx9.8=4.29KN, esta fuerza debe ser soportada por la fuerza de rozamiento originada por la fuerza de compresión de los elementos y el rozamiento Fr Fm .
FATIGA A TENSIÓN Los pernos críticos a tensión se encuentran en la parte superior con una carga
P
TA 961.5Kg 9.8 9.42 KN 2
n
2 At Sut Fi S C P ut 1 Se
Primer intento Se prueba con un perno M14x2 Grado SAE 5.2
S ut 120 Kpsi Tabla 8 5 ( Shigley ) S p 85Kpsi S y 92 Kpsi Tabla 8 1 ( Shigley ) At 115mm 2
C
kb kb k m 107
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
A E d 2 14 300006.89 KN 795474.82 l 4l 440 m 2
Kb km
E d
l 0.5d 2 ln 5 l 2.5d
300006.8914
40 0.514 2 ln 5 40 2.514
3´980019.92
KN m
795474.82 0.17 795474.82 3´980019.92
C
0.6Fp Fi 0.9Fp Fp At S p 856.89115 103 67.35KN
40.41 KN Fi 60.61 KN Si Fi 60.61 KN , la máxima precarga para que haya una mayor fuerza de compresión en los elementos y por lo tanto mayor rozamiento.
Fm Fi 1 C P 60.61 1 0.179.42 52.79 KN
52.79 8.94KN
0.17 Se Se, ka kb kc ke
Se, 19.2 0.314Sut Si Sut 60 Kpsi kb 1 Se, 19.2 0.314120 56.88KPsi6.89 391.9Mpa
Fig . 7 10 ( Shigley ) ka 0.72 Tabla 7 7 ( Shigley ) kc 1 ke
1 kf
Tabla 8 6 ( Shigley ) k f 3 ke
1 3
1 Se 56.880.72 13.65KPsi 3 n
2115 120 6.89 103 60.61 4.4 120 0.17 9.42 1 13.65
108
DISEÑO DE ELEMENTOS ROSCADOS Segundo intento Se prueba con un perno M14x2 Grado SAE 2
Sut 74 Kpsi Tabla 8 5 ( Shigley ) Sp 55Kpsi Sy 57 Kpsi Tabla 8 1 ( Shigley ) At 115mm2
C
kb kb k m A E d 2 14 300006.89 KN 795474.82 l 4l 440 m 2
Kb km
C
E d
l 0.5d 2 ln 5 l 2.5d
300006.8914
40 0.514 2 ln 5 40 2.514
3´980019.92
KN m
795474.82 0.17 795474.82 3´980019.92
0.6Fp Fi 0.9Fp Fp At S p 556.89115 103 43.58 KN
26.15 KN Fi 39.22 KN Si Fi 39.22 KN , la máxima precarga para que haya una mayor fuerza de compresión en los elementos y por lo tanto mayor rozamiento.
Fm Fi 1 C P 39.22 1 0.179.42 31.4 KN
52.79 8.94KN
0.17 Se Se, ka kb kc ke
Se, 19.2 0.314Sut Si Sut 60 Kpsi kb 1 Se, 19.2 0.31474 42.44KPsi6.89 292.38Mpa
Fig . 7 10 ( Shigley ) ka 0.78 Tabla 7 7 ( Shigley ) kc 1
109
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
1 kf
ke
Tabla 8 6 ( Shigley ) k f 2.2 ke
1 2.2
1 Se 42.440.78 15.05KPsi 2.2 n
2115 74 6.89 103 39.22 4.1 74 0.17 9.42 1 15.05
Tercer intento Se prueba con un perno M10x1.5 Grado SAE 2
Sut 74 Kpsi Tabla 8 5 ( Shigley ) Sp 55Kpsi Sy 57 Kpsi Tabla 8 1 ( Shigley ) At 58mm2
C
kb kb k m A E d 2 10 300006.89 KN 405854.5 l 4l 440 m 2
Kb km
C
E d
l 0.5d 2 ln 5 l 2.5d
300006.8910
40 0.510 2 ln 5 40 2.510
2´614803.63
KN m
405854.5 0.13 405854.5 2´614803.63
0.6Fp Fi 0.9Fp Fp At S p 556.8958 103 21.98 KN
13.19 KN Fi 19.78 KN Si Fi 19.78 KN , la máxima precarga para que haya una mayor fuerza de compresión en los elementos y por lo tanto mayor rozamiento.
Fm Fi 1 C P 19.78 1 0.139.42 11.58 KN
110
DISEÑO DE ELEMENTOS ROSCADOS Debe ser:52.79 8.94KN
0.17 , por lo que este rozamiento es imposible y el
montaje también, en conclusión se debe adoptar otro sistema de montaje.
Se Se, ka kb kc ke Se, 19.2 0.314Sut Si Sut 60 Kpsi kb 1 Se, 19.2 0.31474 42.44KPsi6.89 292.38Mpa
Fig . 7 10 ( Shigley ) ka 0.78 Tabla 7 7 ( Shigley ) kc 1 ke
1 kf
Tabla 8 6 ( Shigley ) k f 2.2 ke
1 2.2
1 Se 42.440.78 15.05KPsi 2.2 258 74 6.89 10 3 19.78 n 2.7 74 0.13 9.42 1 15.05 DISEÑO ESTÁTICO
n n
S y At Fi CP 57 6.89 58 10 3 19.78 2.45 0.13 9.42
CONCLUSIÓN FINAL Se aconseja el siguiente montaje para la ménsula, en los pernos superiores con holgura (a tensión) y en los inferiores sin holgura (a corte). El cálculo queda como ejercicio propuesto para el estudiante.
111
ELEMENTOS DE MÁQUINAS 5.4.6
EJERCICIO 12 (sujetadores-ménsula)
112
DISEÑO DE RESORTES
CAPÍTULO VI 6 DISEÑO DE RESORTES 6.1 INTRODUCCIÓN Los resortes mecánicos se utilizan en las máquinas para ejercer fuerzas, proporcionar flexibilidad, almacenar o absorber energía. Clasificación
Seccióncircular * Helicoidales de alambre para cargas : compresión, tensióny torsión Secciónrectangular y cuadrada Cantilever RESORTES * Planos Elípticos Muellestipo reloj ) Forma de arandela ( muelle belleville
En el presente capítulo se estudiarán los resortes helicoidales de compresión, de tensión y de torsión.
6.2 RESORTES HELICOIDALES DE COMPRESIÓN 6.2.1
ESFUERZOS EN LOS RESORTES HELICOIDALES DE COMPRESIÓN
La figura que se encuentra a continuación indica un resorte helicoidal de compresión hecho de alambre redondo cargado con una fuerza axial F.
Figura 6.1
Figura 6.2
Figura 6.1 Resorte helicoidal con carga axial. Figura 6.2 Diagrama de cuerpo libre que indica que el alambre queda sometido a cortante directo y a cortante torsional.
113
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Definición de términos
De Diámetro exterior del resorte Di Diámetro interior del resorte D Diámetro medio del resorte L f Longitud libre del resorte N Número de espiras activas del resorte NT Número total de espiras del resorte N D Número de espiras inactivas del resorte F Car ga sobre resorte d Diámetro del alambre del resorte C Índice del resorte K s Factor de multliplic ación del esfuerzo cortante K Factor de corrección de Wahl k Constante del resorte A continuación se indica cualquier sección del resorte de compresión, en la cual se representan los esfuerzos existentes debido a la fuerza axial F de compresión.
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 6.3 Esfuerzos en cualquier sección del resorte de compresión
debido a la fuerza axial de compresión.
a) Esfuerzos debido a la torsión (T).
b) Esfuerzos debido al corte directo (F). c) Suma de esfuerzos en el interior y el exterior de la sección. d) Resultante total de los esfuerzos sin concentración y con concentración de esfuerzos.
114
DISEÑO DE RESORTES 6.2.2
DEDUCCIÓN DE FÓRMULAS
6.2.2.1 Punto Crítico De acuerdo a la sección crítica analizada anteriormente con sus respectivos esfuerzos, se puede establecer que el punto crítico es en el interior del alambre, donde se presenta el máximo esfuerzo cortante.
Figura 6.4 Elemento ordinario de esfuerzo
F D 2 d r 2 d 4 J 32 d 2 A 4
xy
D d 6 C 12
xy
xy
T
xy
16 T 4 F d 3 d 2 8F D 4 F 2 d 3 d 8F D 0.5 1 3 d D d
C
8 F D 0 .5 1 d3 C 0 .5 ks 1 C 8 FD xy k s d 3
6.2.2.2 Esfuerzo por el efecto de curvatura El efecto de curvatura origina un concentrador de tensiones en el interior del alambre del resorte, el mismo que aumenta los esfuerzos, como puede verse en la figura siguiente.
Figura 6.5 Resultante total de los esfuerzos sin concentración y con concentración de esfuerzos
115
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
K s Factor de multliplic ación del esfuerzo cortante K Factor de corrección de Wahl K c Factor por Curvatura (existe cuando hay fatiga ) K K s Kc D d 4C 1 0.615 K 4C 4 C 0 .5 Ks 1 C K Kc Ks
C
6.2.2.3 Constante del resorte K
K
F
Donde:
Deformación del resorte U Energía de deformació n a corte G Módulo del resorte a corte
T 2 l 2G J 4F 2 D 3 N U d 4 G U 8F D 3 N F d 4 G U
l DN D 2 d4 J 32
T F
K
d 4 G 8D 3 N
6.2.2.4 Tipos de asientos para resortes
Figura 6.6 Tipos de asientos para resortes
116
DISEÑO DE RESORTES a) b) c) d)
Extremos Simples. ND = ½ Extremos Cerrados. ND = 1 Extremos Cerrados y Aplanados. ND = 2 Extremos Simples y Aplanados. ND = 1
N NT ND 6.2.3
CÁLCULO DE RESISTENCIAS PARA MATERIALES DE LA TABLA 10-1 (SHIGLEY)
Los resortes se manufacturan mediante procesos de trabajo en frío o en caliente, dependiendo del tamaño del material, se dispone de muy diversos materiales para diseños de resortes, incluso los aceros al carbono simples, aleados y resistentes a la corrosión, así como materiales no ferrosos, como bronce fosforado, latón para resortes, cobre, berilio y diversas aleaciones de níquel. En la Tabla 10-1 de Shigley se tienen descripciones de los aceros más comúnmente utilizados, los cuales para determinar su resistencia se utiliza las siguientes fórmulas:
Sut
A dm
Los valores de A, m se encuentran en la Tabla 10-2 de SHIGLEY.
Sy 0.75 Sut Aplicando la teoría de la energía de la distorsión: Ssy 0.577Sy
Ssu 0.6 Sut Donde: Ssu Resistencia última al corte Nota: Las resistencias para los demás materiales se encuentran en las tablas del apéndice (Shigley). 6.2.4
DISEÑO ESTÁTICO
El resorte helicoidal de compresión se encuentra sometido a esfuerzos cortantes puros.
Figura 6.7 Elemento ordinario de esfuerzo
117
ELEMENTOS DE MÁQUINAS 6.2.4.1 Cálculo de esfuerzos
Figura 6.8 Según el círculo de Mohr para corte puro
Según el círculo de Mohr para corte puro, se tiene:
1 3 xy k s
8F D d 3
Cálculo de resistencias:
Sut
A ; dm
S y 0.75 Sut
Los valores de A, m se encuentran en la Tabla 10-2 de SHIGLEY.
6.2.4.2 Relación esfuerzos resistencia
Figura 6.9 Gráfico de la teoría de falla (Energía de la distorsión)
n
Ss y
Para elementos de material dúctil, con la Teoría de la energía de la distorsión se tiene:
Ss y 0.577 S y
xy k s
8F D d 3
118
DISEÑO DE RESORTES Entonces, el factor de seguridad para diseño estático es:
n
6.2.5
0.577 S y 8F D ks d 3
DISEÑO DINÁMICO
Para el diseño dinámico se tiene básicamente dos posibilidades de variar el esfuerzo. A continuación se indica el elemento ordinario de esfuerzos y las posibles variaciones del esfuerzo.
Figura 6.10 Elemento ordinario de esfuerzo
Figura 6.11 Esfuerzo repetitivo
Figura 6.12 Esfuerzo fluctuante senoidal (con precarga)
m
máx mín
2 a máx mín 2 119
ELEMENTOS DE MÁQUINAS 6.2.5.1 Cálculo de resistencias.
Sse Sse 'ka kb kc kd ke k f
Donde:
Sse ' 45 kpsi 310 MPa
para resortes graneados.
Sse ' 67.5 kpsi 465 MPa
para resortes no graneados.
Estos resultados son válidos para todos los aceros de resorte de la Tabla 10-2 de Shigley. No se corrigen por acabado de superficie y tamaño, pero sí por confiabilidad, temperatura o concentración de esfuerzos.
Sse Sse 'kc kd ke
k a kb k f 1
Los factores se obtienen de las siguientes Tablas y fórmulas:
kc
Tabla 7-7 de Shigley k d 1 Si
T 450º C (840º F)
k d k d 1 - 5.8 10-3 T 450 Si k d 1 - 3.2 10
ke
1 ke ; kc
-3
T 840
Si
450º C T 550º C 840º F T 1020º F
4C 1 0.615 k 4 C 4 C kc 0.5 ks 1 C
Es necesario utilizar el diagrama S-N cuando los resortes han de diseñarse para una vida finita.
Figura 6.13 Diagrama S-N
120
DISEÑO DE RESORTES
Ss f N b 10 c
N Ss f 10 c
1/ b
1 0.8S u b log 3 Ss e c log
0.8S u 2
10 3 N 10 6
;
Ss e
6.2.5.2 Relación Esfuerzo-Resistencia (Teoría de falla)
Figura 6.14 Teoría de falla
n 6.2.6
Sse
a
FRECUENCIA CRÍTICA
El efecto de la frecuencia crítica se asemeja a la acción de una ola en una piscina, una perturbación en un extremo se desplaza sobre la superficie hasta que cese esto ocurre también en un resorte y se denomina oscilación elástica en el resorte, lo cual podría ocurrir una resonancia que da origen a esfuerzos perjudiciales, debido al material del resorte, que tiene una baja amortiguación interna, de esta manera se han establecido las siguientes relaciones para calcular la frecuencia en los distintos resortes. ciclos Fórmula seg f
1 2
Kg w
Resorte apoyado entre dos placas planas paralelas
1 Kg Resorte apoyado en el un extremo con una placa plana y el otro libre 4 w w A L f
w
d2 D N
4 K cte del resorte
d Diámetro del alambre D Diámetro medio del alambre N Número de espiras activas
Peso específico g gravedad
121
ELEMENTOS DE MÁQUINAS La frecuencia calculada con la fórmulas anteriores debe ser de 15 a 20 veces la frecuencia real del resorte en caso contrario se debe rediseñar el resorte
f frecuencia real del resorte; si cumple no hay resonancia 20 6.2.7
PANDEO
Los resortes helicoidales largos que tengan una longitud libre de más de 4 veces su diámetro puede fallar por pandeo; puede corregirse si se monta el resorte sobre una barra redonda o un tubo, la Figura 10-4 (Shigley), sirve para verificar si un resorte de compresión puede fallar por pandeo.
Figura 6.15 Gráfico para verificar el pandeo en resortes helicoidales de compresión cuyos extremos son cerrados y aplanados, la curva A está entre una superficie plana y una redondeada, la curva B está entre dos superficies planas y paralelas.
6.3 RESORTES DE TENSIÓN O DE EXTENSIÓN Los resortes helicoidales de tensión son construidos con ganchos en sus extremos que sirven para transmitir la carga, esto hace que el costo aumente, además debe considerarse el efecto de concentración del esfuerzo debido al doblez agudo en el gancho, además los experimentos indican que aquí hay un concentrador de tensiones cuyo factor se calcula con la fórmula siguiente: K
rm . En la figura que se indica a ri
continuación se representa un resorte de tensión con sus espiras en contacto que son de tipo cerrado y que en el momento del enrollado se importa cierta tensión inicial.
122
DISEÑO DE RESORTES
Figura 6.16 Resorte de tensión
A continuación se representa el resorte de tensión cargado con una fuerza F, esta fuerza debe exceder a “Fi” antes de que experimente una deformación “y”, como se indica en la figura:
Figura 6.17 Resorte de tensión y el gráfico F Vs y
6.3.1
DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS EN EL RESORTE DE TENSIÓN
En este tipo de resorte se encuentran tres zonas importantes de verificación: Zona uno en el cuerpo del resorte, zona dos y tres en el gancho del resorte.
123
ELEMENTOS DE MÁQUINAS 6.3.1.1 Esfuerzos en el cuerpo del resorte. Los esfuerzos en el cuerpo del resorte de tensión se realiza de la misma manera que en los resortes de compresión, como se indica en la siguiente figura:
Figura 6.18 Esfuerzos en el cuerpo del resorte
xy k s
8F D d 3
Rigidez en el cuerpo del resorte Para determinar la rigidez en el cuerpo del resorte de tensión se deduce de la misma manera que los resortes de compresión, por lo que tiene la misma relación.
K
d 4 G 8D 3 N
6.3.1.2 Esfuerzos en el gancho (sección B-B) En la sección B-B los esfuerzos que predominan son los de torsión por lo que se utilizará la misma fórmula definida para el cuerpo del resorte, con la única variación que el k s se
124
DISEÑO DE RESORTES
r '
reemplaza por el factor de concentrador de tensiones k s k m , por lo tanto se ri ' obtiene la siguiente fórmula:
rm ' 8F D ri ' d 3
Figura 6.19 Esfuerzos en el gancho (sección B-B)
6.3.1.3
Esfuerzos en el gancho (sección A-A)
En la sección A-A del gancho se encuentran esfuerzos normales debido al momento flector y a la fuerza de tensión, como se indica en las siguientes figuras:
125
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Figura 6.20 Esfuerzos en el gancho (sección A-A)
El esfuerzo crítico se encuentra en el interior de la sección A-A cuya fórmula es la siguiente:
6.3.2
rm 32 F rm 4 F 2 ri d 3 d
RESISTENCIAS EN LOS RESORTES HELICOIDALES DE TENSIÓN
Las resistencias para los resortes helicoidales de tensión, para los materiales de la Tabla 10-1 de Shigley, se determina de la misma manera que para los resortes de compresión.
Sut
A ; dm
S y 0.75 Sut
Los valores de A, m se encuentran en la Tabla 10-2 de Shigley. Resistencia a la fatiga (para el cuerpo y la sección B-B del gancho).
Sse Sse 'ka kb kc kd ke k f
Donde:
Sse ' 45 kpsi 310 MPa
para resortes graneados.
Sse ' 67.5 kpsi 465 MPa
para resortes no graneados.
Estos resultados son válidos para todos los aceros de resorte de la Tabla 10-2 de Shigley. 126
DISEÑO DE RESORTES No se corrigen por acabado de superficie y tamaño, pero sí por confiabilidad, temperatura o concentración de esfuerzos.
Sse Sse 'kc kd ke
k a kb k f 1 ;
Los factores se obtienen de las siguientes Tablas y fórmulas:
kc
Tabla 7-7 de Shigley k d 1 Si
T 450º C (840º F)
k d k d 1 - 5.8 10-3 T 450 Si k d 1 - 3.2 10
ke
-3
T 840
Si
450º C T 550º C 840º F T 1020º F
r ke 1 ; porque ya está considerado en el factor k m (solo para el gancho) ri
Es necesario utilizar el diagrama S-N cuando los resortes han de diseñarse para una vida finita.
Figura 6.21 Diagrama S-N
Ss f N b 10 c
N 10 c Ss f
1/ b
1 0.8S u b log 3 Ss e c log
0.8S u 2
;
10 3 N 10 6
Ss e
6.3.2.1 Resistencia a la fatiga (para la sección A-A del gancho). Los esfuerzos en esta sección son normales y el material es dúctil, por lo tanto:
Se Se 'ka kb kc kd ke k f Donde, los factores se obtienen de las siguientes Tablas y fórmulas:
Se ' 0.5 Sut ;
si Sut 200 kpsi
Se ' 100kpsi ;
si Sut 200 kpsi
Se '
ka
Fig. 7-10 de Shigley 127
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
kb
kc
kb 0.869.d 0.097
si
0.3" d 10"
kb 1
si
d 0.3"
kb 1.189.d 0.097
si
8mm d 250mm
Tabla 7-7 de Shigley k d 1 Si
kd
k d 1 - 5.8 10-3 T 450 Si
450º C T 550º C
-3
840º F T 1020º F
k d 1 - 3.2 10
ke ke
T 840
1 1 ; k f 1 qkt 1
k es kf
T 450º C (840º F) Si
para esfuerzos normales
1 1 ; para esfuerzos de torsión k fs 1 qs k ts 1
k f 1 ; porque no existe información.
Nota: Las resistencias estáticas se determinan de la misma manera que para los casos anteriores 6.3.3
DISEÑO ESTÁTICO
6.3.3.1 En el cuerpo
Figura 6.22 Elemento ordinario de esfuerzo
ks
8F D d 3
Según la teoría de la Energía de la Distorsión:
Figura 6.23 Gráfico de la teoría de falla (Energía de la distorsión)
128
DISEÑO DE RESORTES
Ss y 0.557 S y
n
Ss y
n
máx
0.557 S y 8F D k s máx 3 d
6.3.3.2 En el gancho: sección B-B.
Figura 6.24 Elemento ordinario de esfuerzo
rm ' 8F D ri ' d 3
Según la teoría de la Energía de la Distorsión:
Figura 6.25 Gráfico de la teoría de falla (Energía de la distorsión)
Ss y 0.557 S y
n
Ss y
n
máx
0.557 S y rm ' 8Fmáx D ri ' d 3
En el gancho: sección A-A
Figura 6.26 Elemento ordinario de esfuerzo
x 1
rm 32 F rm 4 F 2 ri d 3 d
129
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Según la teoría de la Energía de la Distorsión:
Figura 6.27 Gráfico de la teoría de falla para material dúctil
n
Sy
máx
6.3.4
Sy
n
1
Sy rm 32 Fmáx rm 4 Fmáx ri d 3 d 2
DISEÑO DINÁMICO
6.3.4.1 En el cuerpo. En el cuerpo existe un precarga debido al enrollamiento, es por eso que el esfuerzo mínimo es diferente de cero. En este caso se tienen dos posibles gráficos que indican la variación del esfuerzo en el tiempo. A continuación se indica el elemento de esfuerzos y la variación de estos esfuerzos.
Figura 6.28 Elemento ordinario de esfuerzo
Figura 6.29 Esfuerzo fluctuante con precarga de enrollado y sin precarga de montaje
Figura 6.30 Esfuerzo fluctuante con precarga de enrollado y con precarga de montaje
130
DISEÑO DE RESORTES
m
máx mín
2 a máx mín 2
Figura 6.31 Teoría de falla
Sse Sse 'kc kd
a ks
8Fa D 8Fa D ; d 3 d 3
k s 1
0.5 D y C C d Sse
n
a
6.3.4.2 En el gancho: sección B-B El análisis es similar que para el cuerpo, excepto que se cambia k por k s .
Figura 6.32 Elemento ordinario de esfuerzo
Sse Sse 'kc kd
a k
8Fa D r ' ; k m 3 d ri ' n
Sse
a
6.3.4.3 En el gancho: sección A-A.
Figura 6.33 Elemento ordinario de esfuerzo
131
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Figura 6.34 Esfuerzo repetitivo
Figura 6.35 Esfuerzo fluctuante senoidal (con precarga)
El esfuerzo normal x varía entre un valor mínimo y un valor máximo
m x :
mín máx
a
máx mín 2
máx mín 2
rm 32 Fm rm 4 Fm 2 ri d 3 d
rm 32 Fa rm 4 Fa 2 ri d 3 d
Figura 6.36 Línea de Goodman
Donde, según la línea de Goodman, se establece que:
Sm
Se Se a Sut m
n
Sm
m
132
DISEÑO DE RESORTES
6.4 RESORTES HELICOIDALES DE TORSIÓN Los resortes helicoidales de torsión están diseñados para transmitir momento torsionante a través de sus extremos, durante el enrollado se proporcionan esfuerzos residuales que están en el mismo sentido que los esfuerzos de trabajo. Estos esfuerzos remanentes se utilizan para hacer más fuerte el resorte por oposición, siempre que la carga aplicada produzca un efecto de enrollado, es por esta razón que este tipo de resortes se diseñan con factor de diseño igual a uno (n = 1), se usan en bisagras de puertas, arrancadores de automóviles, binchas para el pelo de las damas, etc.
Figura 6.37 Muestras de resortes helicoidales de torsión
6.4.1
DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS
A continuación se representa el diagrama de cuerpo libre de un resorte helicoidal de torsión y la determinación de sus esfuerzos.
Resultante sin concentrador de tensiones
Resultante con concentrador de tensiones
Figura 6.38 Gráficos para determinar los esfuerzos
133
ELEMENTOS DE MÁQUINAS La sección crítica está determinada que es la A-A, pero el punto crítico no es tan evidente de acuerdo al gráfico final de esfuerzos, debe realizarse el cálculo de Ki y Ko, el que tenga mayor valor será el que determina el punto crítico. A continuación se da la relación de estos puntos:
4C 2 C 1 4C (C 1)
Ki
4C 2 C 1 4C (C 1) Donde : Ko
C
D d
6.4.1.1 Constante de rigidez del resorte helicoidal de torsión K Para determinar la rigidez del resorte helicoidal de torsión se debe recordar que la fuerza aplicada es para enrollar al resorte, por consiguiente aumentar el número de espiras, a continuación se determina la constante de rigidez en base al gráfico indicado.
Figura 6.39 Gráfico que indica la deformación θ
Fr , lb pul g K ; θ= Deformación angular del resorte en radianes. rad M
K
2F r , lb pul g vueltas
134
DISEÑO DE RESORTES 6.4.1.2 Determinación de la deformación angular θ Teorema de Castigliano
S r,
U F
Donde: U= Energía de deformación en la flexión
M2 U dx 2 EI Por lo tanto:
2
2 , DN F r dx U S r * 0 F F 2 EI ,
Donde: N= Número de espiras del resorte E= Módulo de elasticidad del resorte I= Momento de inercia
2
2
2
, DN F * r dx U F * r , * * D * N 64 F * r , * D * N S r * 0 F EI EI d4 *E ,
I
d 4 64 64 F * r , * D * N d4 *E
K
2Fr ,
d 4E 10.2 D * N
lb pu lg vueltas
Por el efecto de curvatura
K
d 4 * E lb pu lg 10.8D * N vueltas
135
ELEMENTOS DE MÁQUINAS 6.4.1.3 Determinación del diámetro de la guía del resorte
Di,
N Di N,
Donde: N= Número de vueltas o espiras en el resorte sin carga Di= Diámetro interior del resorte sin carga N´= Número de vueltas o espiras en el resorte con carga D´i= Diámetro interior del resorte con carga 6.4.2
DETERMINACIÓN DE RESISTENCIAS
Las resistencias para los resortes helicoidales a torsión, para los materiales de la Tabla 10-1 de Shigley, se determina de la misma manera que para los resortes de compresión.
Sut
A ; dm
S y 0.75 Sut
Los valores de A, m se encuentran en la Tabla 10-2 de SHIGLEY. Resistencia a la fatiga (para el cuerpo y la sección B-B del gancho).
Se Se 'ka kb kc kd ke k f Donde:
Se ' ka
Se ' 0.5Sut
si Sut 200Kpsi
Se ' 100kpsi si Sut 200Kpsi
Tabla 7-10 de Shigley kb 0.869.d 0.097 Si
kb
kb 1
Si
kb 1.189.d 0.097 Si
kc
d 0.3" 8mm d 250mm
Tabla 7-7 de Shigley k d 1 Si
kd
0.3" d 10"
T 450º C (840º F)
k d 1 - 5.8 10-3 T 450 Si k d 1 - 3.2 10
-3
T 840
Si
450º C T 550º C 840º F T 1020º F
ke
ke 1 ; porque ya está considerado en el factor
kf
kf 1
rm ri
Es necesario utilizar el diagrama S-N cuando los resortes han de diseñarse para una vida finita. 136
DISEÑO DE RESORTES
Figura 6.40 Diagrama S-N
S f N b 10 c
N 10 c S f
1/ b
10 3 N 10 6
1 0.8S f b log 3 Se
0.8S c log
2
f
Se
6.4.3
DISEÑO ESTÁTICO
El efecto predominante como se pudo ver en el análisis de esfuerzos es debido a la flexión, por lo tanto se diseñará a tensión simple o compresión simple.
Figura 6.41 Gráficos que indican el elemento, círculo de Mohr y teoría de falla para diseño estático en tensión simple
n 6.4.4
Sy
1
DISEÑO DINÁMICO
Figura 6.42 Elemento ordinario de esfuerzos
137
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Figura 6.43 Esfuerzo repetitivo
Figura 6.44 Esfuerzo fluctuante senoidal (con precarga)
m
máx mín
K i ,o
2 mín a máx K i ,o 2
32 Fm r , d 3 32 Fa r , d 3
Figura 6.45 Línea de Goodman
Donde, según la línea de Goodman, se establece que:
Sm
Se Se a Sut m
n
Sm
m
138
DISEÑO DE RESORTES
6.5 EJERCICIOS RESUELTOS 6.5.1
EJERCICIO 13 (RESORTE DE COMPRESIÓN)
Un resorte de compresión de alambre para Instrumento musical calibre número 13 (0.091”), diámetro exterior De
9" 1" , Lf 3 , N T 23 espiras , precar ga Fi 10lb , 16 8
Fmáx 50lb , confiabilidad 99%, extremos escuadrados y esmerilados. Se pide: a) Resistencia a la fluencia a torsión. b) La carga máxima estática que soporta. c) Constante del resorte. d) La deformación originada con la carga del literal b. e) Calcular la longitud maciza del resorte. f) Cuál debe ser la longitud del resorte para que se produzca cambio permanente en la longitud libre. g) Verifique el pandeo para el literal f. h) Determinar el factor de diseño para N 50103 ciclos .
a)
S ut
A ; dm
d 0.091"
139
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Tabla 10-2 (alambre para instrumento musical):
S ut
196 0.0910.146
A 196 kpsi m 0.146
Sut 278 kpsi
S y 0.75 S ut 0.75 278
S y 208.5 kpsi
Según la Teoría de la energía de la distorsión:
Ss y 0.577 S y 0.577 208.5
Ss y 116 kpsi
b) Si F Fmáx
n 1
n 1
Ss y
máx
Fmáx
Ss y 8F D k s máx3 d
d 3 8k s D
Ss y
D De d 9 / 16 0.091
D 0.4715"
C D / d 0.4715 / 0.091
C 5.19
ks 1
0.5 0.5 1 C 5.19
Fmáx
0.0913 8 1.096 0.4715
k s 1.096
116000
Fmáx 66.4 lb
140
DISEÑO DE RESORTES c)
K
d 4 G ; 8 D3 N
N NT N D
Extremos escuadrados y esmerilados:
ND 2
(Fig. 10.8)
N 23 2 21espiras K
0.0914 11.5 106 8 0.47153 21
K 44.78 lb / pl g
d)
Fmáx 66.4 K 44.78 y 1.48 pl g
y
e)
Lmaciza N T d 23 0.091
Lmaciza 2.093 plg
f)
LF y Lmaciza 1.48 2.093
LF 3.573 pl g
g)
L F 3.573" y 0.4" D 0.4715"
L / D 7.6 F y / LF 0.4
En el gráfico (figura 10-4 de Shigley), este punto queda fuera de la curva, entonces: Si existe pandeo y por lo tanto se debe colocar guías. h)
141
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Fmáx 50 lb Fi Fmín 10 lb
Fa 20 lb Fm 30 lb 8Fa D 8 20 0.4715 1.096 3 d 0.0913 8F D 8 30 0.4715 m k s m 3 1.096 d 0.0913
a ks
a 34.9 kpsi m 52.4 kpsi
Sse Sse 'k c k d Sse ' Sse ' 45 kpsi kc
R 99% ; ke
ke
1 kc
4 C 1 0.615 4 5.19 1 0.615 k 4 C 4 C 4 5.19 4 5.19 1.186 kc ks 1.096 1.096
ke
1 1.186
Sse 45 0.814 0.843
n
Tabla 7-7: k c 0.814
Sse
a
30.9 34.9
k e 0.843
Sse 30.9 kpsi
n 0.885 142
Tiene vida finita
DISEÑO DE RESORTES
Ciclos a los que ocurre la falla:
N Ssf 10c
1/ b
Ssf N b10c
1 0.8S su 1 0.8 167 log b log 3 S se 3 30.9
b 0.212
0.8S su 2 0.8 167 2 c log log S se 30.9
c 2.764
N 34.9 102.764
1/ 0.212
N 5.76 105 ciclos
Cálculo del factor de seguridad para una vida de N 50 103 ciclos
S sf 50000
0.212
n
S sf
a
58.6 34.9
10 2.764
S sf 58.6 kpsi
n 1.68 ;
143
(en vida finita)
ELEMENTOS DE MÁQUINAS 6.5.2
EJERCICIO 14 (Resorte de Tensión)
Un resorte de tensión D = 10mm, d = 1.8mm, N = 122 espiras, longitud sin carga entre ganchos = 244mm, rm 5mm , rm, 2.5mm , precarga del enrollado Fi 25N , material del resorte es de alambre estirado duro. Se pide: a) El Sy y Ssy. b) El esfuerzo de la precarga del enrollado i . c) La constante del resorte K. d) La fuerza máxima de fluencia en el cuerpo del resorte. e) La fuerza máxima de fluencia al corte en el gancho. f) La fuerza máxima de fluencia normal en el gancho. g) La distancia entre ganchos que tendría al aplicarse la Fmax menor de los anteriores. h) Factor de diseño estático ns y dinámico nd para una fuerza externa F que varía de 30 a 60 Newton.
D 10 mm d 1.8 mm N 122 espiras Datos: L f 244 mm
rm 5 mm rm ' 2.5 mm Fi 25 N Material del resorte = alambre estirado duro
F 30 a 60N
144
DISEÑO DE RESORTES Solución: a) Tabla 10-2 A 1750Mpa;
Su t
m 0.192
A 1750 1560Mpa m d 1.80.192
S y 0.75Sut 0.751560 1170Mpa
Ss y 0.577S y 0.5771170 675Mpa b)
C
D 10 5.56 d 1.8
i Ks
8.Fi .D .d 3
Ks 1 i Ks
0.5 0.5 1 1.09 C 5.56
8Fi D 1.0982510 .d 3 1.83
i 119 MPa
c)
G 11.5Mpsi 79.3Gpa
(Tabla A7)
Gd 4 79.3 106 1.8 N 853 3 3 8D N m 810 122 4
K d)
Fmáx
d 3 Ssy 8K s D
(1.8) 3 675 8(1.09)(10)
141.8N (en el cuerpo) 145
ELEMENTOS DE MÁQUINAS e)
rm ' 2.5 1.8 1.6 2 r ' 2.5 k m 1.56 ri ' 1.6 ri ' 2.5
Fmáx
d 3 Ss y 8k s D
(1.8) 3 675 8(1.56)(10)
99.1N (en la base del gancho)
f)
k
rm 5 1.22 ri 5 1.8 2 Sy
n 1
Sy k Fmáx
32 Fmáxrm 4 Fmáx rm 32.Fmax rm 4 Fmax d 3 d 2 ri d 3 d 2
Sy 1170 106 N ; (Esf. normales en el gancho) 32k rm 4 32(1.22)(5) 4 2 d 3 d (1.8)3 (1.8)2
g)
Fmáx 99.1N Fi 25N
y
F 99.1 25 3 10 86.9mm K 853
l li y 244 86.9
l 331mm
h) Cuerpo del resorte. Diseño estático
146
DISEÑO DE RESORTES
n
Ss y
xy
xy K S
n
0.577 Sy
xy
8Fmáx D 83510 1.09 166.578MPa 3 d 1.83
675 166.578
n 4.052
Diseño dinámico
a ks
8Fa D 81510 1.09 71.39 MPa 3 d (1.8)3
Sse Sse 'kc kd ke ;
( k a kb k f 1 )
Sse ' Sse ' 45Kpsi kc
R = 90%
kd
T 450º C
ke
Tabla 7-7 (Shigley) kd 1
4C 1 0.615 4(5.56) 1 0.615 k 4C 4 C 4(5.56) 4 (5.56) 1.17 kc 0.5 0.5 ks 1 1 C (5.56)
ke
1 ; kc
ke
1 0.855 1.17
kc 0.897
Sse 450.8970.855 34.3Kpsi 237.7Mpa
147
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
n
Sse
a
237.7 71.39
n 3.33 1
tiene vida in finita
Gancho del resorte Diseño estático (sección A-A)
x 1
rm 32 Fmáx rm 4 Fmáx ri d 3 d 2
1.22
n
Sy
x
32 60 5 4 60 3 (1.8) (1.8)2
1170 662.818
x 1 662.818 MPa
n 1.765
Diseño dinámico (sección A-A)
a
rm 32 Fa rm 4 Fa 32 15 5 4 15 2 1.22 3 3 ri d d (1.8) (1.8)2
m
rm 32 Fm rm 4 Fm 32 45 5 4 45 2 1.22 3 3 ri d d (1.8) (1.8)2
Se Se 'kb kc 148
a 165.7 MPa m 479.11 MPa
DISEÑO DE RESORTES
Se ' Sut 1560 MPa 226 kpsi 200Kpsi
Se ' 100kpsi 689MPa
kb
d 1.8 mm 8 mm
kb 1
kc
R=90%: Tabla 7-7 (Shigley) kc 0.897
Se 689 0.897 618.033 MPa
Sm
n
618.033 618.033 165.7 1560 419.11
780.8 479.11
Sm 780.8 MPa
n 1.63
Diseño estático (sección B-B)
n
Ss y
xy
xy k
n
0.577 Sy
xy
8F D 2.5 86010 409.35MPa d 3 1.6 1.83
675 409.35
n 1.649
Diseño dinámico (sección B-B)
149
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
a k
8Fa D 2.5 81510 102.34 MPa d 3 1.6 1.83
Sse Sse 'kb kc
( k f 1 porque ya se consideró k en el cálculo de esfuerzos)
Sse ' Sse ' 45kpsi 310.05MPa kb
d 1.8 mm 8 mm
kb 1
kc
R=90%: Tabla 7-7 (Shigley) kc 0.897
Sse 310.05 0.897 278.12 MPa
n
Sse
a
6.5.3
278.11 102.34
n 2.72
EJERCICIO 15 (Resorte de Torsión)
Un resorte de torsión, como se ilustra en la figura, está hecho de alambre para instrumento musical de 0.070” de diámetro. Tiene un total de 4¼ vueltas y, según el fabricante del resorte, un momento de 7.5 lb/plg. Se pide: a) Obtener el momento máximo de torsión efectivo y la rotación o desplazamiento angular. b) Calcular el diámetro interior correspondiente al resultado anterior. c) El momento máximo de torsión efectivo y desplazamiento para número indefinido de ciclos.
a) Estáticamente
D 0.593 0.07
D 0.523" 150
DISEÑO DE RESORTES
C D / d 0.523 / 0.07
vueltas
C 7.47
M máx F r K K
Diseño estático con seguridad:
n 1
Sy
n 1
Sy;
ki ,o
32 F r d 3
4C 2 C 1 47.47 7.47 1 4C (C 1) 4 7.47 (7.47 1)
Ki 1.111
4C 2 C 1 47.47 7.47 1 Ko 4C (C 1) 4 7.47 (C 1)
Ko 0.903
2
Ki
2
Punto crítico es el punto interno ki
ki ko
A 196 kpsi Alambre para instrumento musical : Tabla 10 2 m 0.146 A 196 m d 0.070.146 S y 0.75 Sut 0.75 289 Sut
Sut 289 kpsi S y 217 kpsi
ki
M máx K
d 3 32ki
Sy
0.073 32 1.11
217000
M máx 6.577 lb pl g
d 4E 0.074 30 106 10.8D N 10.8 0.523 4.25
vueltas
M máx 6.577 K 30
M máx F rmáx
F
32 F rmáx 32 M máx ki Sy 3 d d 3
K 30 lb pl g / vuelta
0.219 vueltas 78.84º
M máx 6.577 rmáx 1 0.523 2
F 5.2 lb
b)
Di 'N 'con carga Di N sin carga 151
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
N ' N vueltas 4.25 0.219
N ' 4.469 vueltas
Di De 2d 0.593 20.07
Di '
Di 0.453"
Di N 0.453 4.25 N' 4.469
Di ' 0.431"
c)
Mm Ma
1 M máx 2
1 2
m a máx 1
m a ki 2
32F r máx 1 32F r máx 1 . 11 d 3 2 0.073
m a 16496 F r máx
Se Se 'ka kb kc kd ke k f
Se ' Sut 289 kpsi 200Kpsi
Se ' 100kpsi
ka
Suponer alambre estirado en frío: Tabla 7-10 (Shigley) ka 0.63
kb
d 0.07" 0.3"
kc
Suponer R=50%: Tabla 7-7 (Shigley) kc 1
kd
T 450º C
ke
ke 1 ; porque ya está considerado en el factor ki
kf
kf 1
kb 1
kd 1
; porque no existe información.
Se 100 0.63 63 kpsi
152
DISEÑO DE RESORTES
Sm
Se 63 S 63 1 e 1 Sut 289
n 1
Sm
Sm m
m
vueltas
Sm 51.72 kpsi
51.72 16496 F r máx
F r máx 3.1348 K
30
F r máx 3.1348 lb pl g
0.1045 vueltas 37.6º
153
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
CAPÍTULO VII 7 ENGRANES RECTOS 7.1 INTRODUCCIÓN Las ruedas dentadas de diente recto al engranarse en pares forman los engranes rectos, los cuales sirven para dar movimiento de rotación de eje a otro, en el presente capítulo el estudio de estos elementos se la hará de la siguiente manera: Nomenclatura de las ruedas dentadas, análisis cinemática de los dientes, relación de velocidades, sistema de dientes, análisis de fuerzas, determinación de los esfuerzos, diseño estático (flexión), diseño dinámico (flexión) y diseño a fatiga superficial.
7.2 NOMENCLATURA DE LAS RUEDAS DENTADAS En el gráfico indicado a continuación se determina los elementos importantes en la nomenclatura de las ruedas dentadas de dientes rectos. 7.2.1
DEFINICIÓN DE TÉRMINOS
Circunferencia de paso.- Es aquella en la que se basa los cálculos, las circunferencias de paso de los engranes rectos conectados son tangentes como se indica en la figura. Paso circular (p).- Es la medida del arco sobre la circunferencia de paso entre puntos homólogos entre dos dientes consecutivos.
p
d N
m , donde:
d= Diámetro de paso de la rueda. N= Número de dientes por pulgada. m= Módulo, que se define como el diámetro de paso expresado en milímetros para el número de dientes. Paso diametral (P).- Es la relación del número de dientes al diámetro de paso expresado en pulgadas.
P
N d
Relación del p y P:
p
d N
P p
N d
P
154
ENGRANES RECTOS
Figura 7.1 Nomenclatura de la rueda de diente recto
Figura 7.2 Gráfico que indica la línea de presión y la tangente común
Forma del diente El perfil del diente de las ruedas dentadas de diente recto para su mejor contacto entre dientes tiene un perfil definido por la curva de la evolvente del círculo que se indica en la siguiente figura, imaginase que enrolla una cuerda en sentido antihorario alrededor del cilindro base del engrane y se traza la evolvente empezando en “a” luego en “b” y terminando en el punto “c”, la circunferencia sobre la que se genera la evolvente se llama circunferencia de base. 155
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Figura 7.3 Generación de una evolvente
7.3 ANÁLISIS CINEMÁTICA DE LOS DIENTES En la figura siguiente se indica el contacto que ocurre entre un par de dientes del piñón y engrane a lo largo de la línea de presión, el contacto inicia en el flanco del diente del piñón con la punta del diente del engrane y se va realizando el contacto a lo largo de la línea de presión para finalmente abandonar el contacto en la punta del diente del piñón con el flanco del diente del engrane.
Figura 7.4 Contacto entre dientes a través de la línea de acción
156
ENGRANES RECTOS 7.3.1
RADIO BASE
Figura 7.5 Gráfico que indica el radio base
7.3.2
RELACIÓN DE CONTACTO
El contacto entre dientes principia y termina en las interacciones de la dos circunferencias de adendo con la línea de presión “a” inicial y “b” final, el arco AB es igual al arco de acción “qt” donde, si p qt , significa que un diente y su espacio ocupan todo el arco AB, cuando un par de dientes comienza el contacto en “a”, el inmediato anterior termina simultáneamente su contacto en “b”, entonces siempre hay un par en contacto. Si qt 1.2 p , es que un par entra en contacto mientras que otro par ya en contacto no llega aún al punto de abandono “b”, en un corto lapso hay dos pares de dientes en contacto. Si mC es la relación de contacto mC
qt , los engranes de diente recto se debe diseñarse p
con la siguiente relación: mC 1.2 , para que siempre haya en contacto dos pares de dientes y no se produzca impacto en los dientes. 157
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Figura 7.6 Gráfico que indica el arco de acción
7.3.3
INTERFERENCIA
Se produce interferencia entre el diente del engrane y el diente piñón. Debajo de las circunferencias bases por cuanto la curva no es una evolvente, este problema se elimina mediante la construcción de los dientes con proceso de generación lo que hace más débil al diente de la rueda más pequeña.
7.4 RELACIÓN DE VELOCIDADES Cuando se embonan dos ruedas dentadas, las circunferencias de paso ruedan una sobre otra sin resbalar, por lo tanto tienen velocidad tangencial común.
Figura 7.7 Gráfico que indica la velocidad tangencial común
158
ENGRANES RECTOS
V rG G rP P
G rP d P nG N P P rG d G nP N G El piñón y la rueda de un engrane deben tener el mismo paso diametral o el mismo módulo.
NP P N dG G P dP
Donde: G , P = Velocidades angulares del engrane-piñón rG , rP = Radios de paso engrane-piñón d G , d P = Diámetros de paso engrane-piñón
nG , nP = Número de revoluciones por tiempo engrane-piñón N G , N P = Número de dientes engrane-piñón
7.5 TREN DE ENGRANES
Figura 7.8 Tren de engranes
N N N n6 2 3 5 n2 N3 N4 N6
7.6 SISTEMA DE DIENTES El sistema de dientes para los engranes rectos constituye una norma, lo que especifica las relaciones entre: adendum, dedendum, paso diametral, altura de trabajo, grueso del 159
ELEMENTOS DE MÁQUINAS diente y ángulo de presión, con el fin de que haya intercambiabilidad de engranes de cualquier número de dientes, con igual paso diametral y ángulo de presión, en el sistema inglés Shigley trae la Tabla 13-1 que se puede utilizar para la selección de estos engranes, para los pasos diametrales de uso común Shigley trae la Tabla 13-2.
7.7 ANÁLISIS DE FUERZAS EN LOS ENGRANES DE DIENTES RECTOS Para el estudio de las fuerzas en los engranes de dientes rectos se le asigna el número 1 al bastidor, el 2 al engrane de entrada y por el número 3,4,…etc, a los demás engranes, los ejes con las letras a,b,c,…,etc, las fuerzas F23, fuerza del engrane 2 contra el engrane 3, la fuerza Fa2, fuerza del árbol contra el engrane 2, Torque Ta2, es el torque del eje “a” sobre el engrane 2, etc, las reacciones entre dientes ocurren a lo largo de la línea de presión, como se indica en las figuras siguientes:
Figura 7.9 Diagramas de cuerpo libre en engranes rectos
160
ENGRANES RECTOS
7.8 DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS (FLEXIÓN) Los esfuerzos en una rueda de diente recto se lo estudia en el diente como se indica a continuación, se desprecia los esfuerzos producidos por la fuerza radial, y solo se diseña el diente a flexión, a cambio de esto se eleva el factor de diseño, se establece una fórmula para el diseño estático a flexión y otra expresión para el diseño dinámico.
Fig. a)
Fig. b)
Figura 7.10 Diagramas de cuerpo libre para un diente de un engrane recto
Según Fig. b)
M I /C Ft 2 I /C 6 M 2 (1) Ft 6
Según Fig. a)
x t/2 t/2 l 2 t 4 x l ( 2)
161
ELEMENTOS DE MÁQUINAS (2) en (1)
M 2 F xl 3 M Wt l
Si
Wt l Wt 2 2 F xl F x 3 3
Multiplicando el numerador y el denominador por el paso diametral P:
Y
Sea:
2 xP 3
Donde:
Wt P 2 F xP 3
Wt P F Y
Factor de forma de Lewis (Tabla 13-3, Manual de Shigley).
Debido a los efectos dinámicos que generan los engranes por las velocidades variadas que emiten ruido, se debe considerar un factor K v por efectos dinámicos en la fórmula del esfuerzo anterior, donde:
Kv
V d n
1200 ; 1200 V
V
d n 12
pies / minuto pl g rpm
Así:
Wt P kv F Y
Esta fórmula es utilizada para engranes cortados o fresados, sin mucha exactitud, para diseño estático.
162
ENGRANES RECTOS
7.9 ESFUERZOS DINÁMICOS Debido a la concentración de esfuerzos en la base del diente se aumenta el esfuerzo a un esfuerzo máximo, que en este caso se le va a considerar en la fórmula de los esfuerzos, como se indica a continuación:
J
Factor geométrico de concentración de esfuerzos, determinado en base a la
geometría del diente del engrane.
J
Y kf
Donde:
Y kf
Factor de forma de Lewis Concentrador de esfuerzo Tablas 13-4 a 13-7 del Manual de Shigley.
J
Por lo tanto:
Wt P Kv F J
(Fórmula utilizada para diseño a fatiga)
Donde:
Kv
1 50 50 V 78 78 V
V
para engranes de alta presión, alisados o esmerilados y que no existe car ga dinámica apreciable para engranes con dientes acabados por herramientas sinfín , cremallera o alisados para engranes con dientes de alta presión, alisados o esmerilados, con car ga dinámica apreciable
pies / minuto
7.10 DISEÑO ESTÁTICO
Figura 7.11 Elemento ordinario de esfuerzos y círculo de Mohr
163
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Considerando un material dúctil y la Teoría del la Energía de la Distorsión, se tiene:
Figura 7.12 Gráfico de la teoría de falla para material dúctil
n
Sy
x
;
x
Wt P F Y Kv
n
F
Sy Wt P F Y Kv
n Wt P S y Y Kv
Ancho de cara n 3 Factor de seguridad
F
3p F 5p ;
p P
7.11 DISEÑO DINÁMICO A FLEXIÓN
Figura 7.13 Elemento ordinario de esfuerzos
Figura 7.14 Esfuerzo repetitivo
a m 164
máx 2
ENGRANES RECTOS
nG
Se
x
nG Factor de diseño para engranes
;
nG ko k m n
ko
Factor de sobrecarga (Tabla 13-12 de Shigley) Factor de la distribución de la carga (Tabla 13-13 de Shigley)
km n Factor ordinario de seguridad
Se S e 'k a kb k c k d k e k f Considerando material dúctil:
Se ' ka
kb
Se ' 0.5Sut
si Sut 200Kpsi
Se ' 100kpsi si Sut 200Kpsi
Tabla 7-10 de Shigley
kb 0.869.d 0.097
Si
0.3" d 10"
kb 1
Si
d 0.3"
kb 1.189.d 0.097
Si
8mm d 250mm
d eq p
kc
si
P 12
kb 1
si
P 12
Tabla 7-7 ó 13-10 de Shigley k d 1 Si
kd
k b (Tabla 13 9)
T 450º C (840º F)
k d 1 - 5.8 10-3 T 450 Si
450º C T 550º C
-3
840º F T 1020º F
k d 1 - 3.2 10
T 840
Si
ke 1 ; porque ya está considerado en el concentrador de esfuerzos J para
ke
kf
Tabla 13-11 de Shigley k f 1
determinar el esfuerzo normal.
Determinación de k f Para determinar
kf
será en base a la probeta.
165
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
a m
Figura 7.15 Esfuerzo repetitivo
máx 2
Figura 7.16 Línea de Goodman
n
Sm
m
Sm
1
S e,
a S m Sut ,
1
e
Sm m
máx 2
S e,
S e,
S e, Sut Sut S e,
Sut
S e, Sut Sut S e,
Si S e ' 0.5Sut para Sut 200Kpsi Entonces S ut 2S e ' Reemplazando máx Entonces k f 1.33
4S 2S S 3
2 S e, 2S e, ,
,
e
e
, e
1.33S e,
(Tabla 13-11, Manual de Shigley)
Factor de diseño dinámico nG para engranes
nG
Se
nG K0 Km n 166
ENGRANES RECTOS Donde: n
Factor ordinario de seguridad
K0
Factor de sobrecarga Tabla 13-12 de Shigley
Km
Factor de distribución de carga Tabla 13-13 de Shigley
7.12 DURABILIDAD DE LA SUPERFICIE (fatiga superficial)
Figura 7.17 Contacto entre un par de ruedas dentadas
b
2 F (1 12 ) / E1 (1 22 ) / E2 l 1 / d1 1 / d 2
1 , 2 , E1 , E2 Constantes elásticas Diámetros de los cilindros
d1 , d 2 Para engranes.
F
Wt Cos
d 2r l F Ancho de cara
pmáx H Esfuerzo de compresión
H2
Wt (1 / r1 ) (1 / r2 ) F Cos (1 12 ) / E1 (1 22 ) / E2
Operando 167
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Wt 1 2 Fdp 1 p 1 G2 CosSen mG E E 2 mG 1 G P N d mG G G Re lación de velocidad N P dp
H
Cp
1 1
2 p
EP
1 G2 EG
Cp T 13 14 de Shigley, Coeficiente elástico
I
CosSen mG 2 mG 1
Factor de configurac ión geométrica
H Cp
Wt F dp I
H Cp
Wt Cv F dp I
7.13 RESISTENCIA SUPERFICIAL SC 0.4HB 10 kPsi 108 ciclos
HB Dureza Brinell de la superficie más suave en contacto SH
CL CH SC CT CR
SH
CL CH SC CT CR
S H Límite de fatiga sup erficial CL Factor de duración o vida T 13 15 de Shigley CH Factor de relación de dureza CH 1 para engranes rectos CT Factor de temperatur a CT 1 si T 250º C CR Factor de confiabili da T 13 15 de Shigley
nG
Wtp Factor de seguridad de los engranes Wt
Wtp Carga tangencial permisible 168
ENGRANES RECTOS
Wt Carga tangencial nG Co Cm n Ko Co T 13 12 de Shigley Cm Km T 13 13 de Shigley La ecuación anterior se puede escribir de la siguiente manera:
S H Cp
Wtp Cv F dp I 2
S Wtp H Cv F dp I Cp
7.14 EJERCICIOS RESUELTOS 7.14.1 EJERCICIO 16 (ENGRANES RECTOS) Un sistema de transmisión de engranes rectos, tiene un par de ruedas conectadas con una relación de transmisión de 4:1, los dos son de acero UNS G10400 tratados térmicamente y estirados a 1000 ºF, con un ángulo de presión de Ф=20º, un juego entre dientes c
0.25 , los dientes se generan con cortador cremallera, con condiciones p
medias de montaje y choque ligero en la máquina impulsada y una confiabilidad del 95%, la potencia suministrada al piñón es de 100 HP a 1120 rpm. Se pide determinar el tipo de diseño (Calcular el factor de diseño). SOLUCIÓN:
169
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
P 20 T 13-1 Npmín= 18 dientes para Altura completa 20º
Rt
NG NP
N G 4(18) 72 dientes El piñón y engrane son de igual material, el diente del piñón es el más débil por el mayor rebaje para evitar la interferencia, por lo tanto el diseño se lo realiza únicamente para el piñón.
20º a 1 T 13 3 b 1.25 N P 18 dientes
y 0.29327 TA 17 S y 86Kpsi, Sut 113Kpsi Tabla para cálculo iterativo mediante Diseño Estático, para determinar F y P Datos: Factor de diseño estático n= 4 Np= 18 n2= 1120rpm H= 100HP
Cantidades
Resultados
Fórmulas
dientes pul g
3
4
5
d p pu lg
6
4.5
3.6
pies V min
1759
1319
1056
Wtlb
1876
2501
3126
Kv
0.4055
0.47038
0.5319
F pul g
2.2
3.33
4.66
P
170
NP P dP n V 12 33000 H Wt V 1200 Kv 1200 V Wt P F S Kv y y n dP
ENGRANES RECTOS
Fmín 3 p pu lg
3.14
2.36
1.88
Fmáx 5 p pu lg
5.24
3.93
3.14
F 3 P F 5 P
Conclusión: La solución adecuada es F 3.33 pu lg Redondeando F 3.5 pu lg
y
P4
P4
y
dientes pu lg
dientes pu lg
La solución anterior es para el sistema inglés, pero no contamos con herramientas en este sistema sino en el sistema internacional por lo tanto se puede realizar una transformación al sistema internacional, como se indica en el cuadro siguiente:
Cuadro de equivalencia del sistema Ingles con el sistema Internacional
171
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Diseño a fatiga (flexión)
nG
Se
nG K 0 K m n
Wt P Kv F J
Generado con cortador cremallera
Kv
Kv
50 50 V
50 0.579 50 1319
N P 18 dientes J T 13 5 a 1 N 72 dientes P G
Interpolando J 0.34810
2501(4)103 14.18KPsi 0.579(3.5)(0.34810)
Se Se 'ka kb kc k f
Se ' 0.5Sut 0.5(113) 56.5KPsi ka 0.725 Fig .13 25 kb 0.89 T 13 9 P 4 k c 0 .868 R 95 % k f 1 .33 T 13 11
Se 56.5(0.725)(0.890)(0.868)(1.33) 42.087kpsi Choque moderado, impulsado uniforme en la motriz T13 12 K 0 1.25
T13 13 K m 1.7 nG 1.25(1.7)n 2.125n
n
nG 2.97 1.4 2.125 2.125
172
ENGRANES RECTOS Según las recomendaciones debe ser n 2 para un buen funcionamiento a vida infinita, en este caso se puede rediseñar los engranes mejorando el material. Diseño a fatiga superficial Datos:
P 4 dientes / pul g d P 4.5 pul g d G 18 pul g V 1319 pies / min Wt 2501 lb
50 50 V
Cv Kv 0.579 F 3.5"
20º Material de ambos engranes es acero UNS G10400, tratado térmicamente y estirado a 1000ºF TA 17 HB 235
nG n
Wtp Wt
nG Co C m 2
S Wtp H Cv F d p I Cp Ko Co 1.25 T 13 12 de Shigley Cm Km 1.7 T 13 13 de Shigley SC 0.4HB 10 0.4(235) 10 84Kpsi
106 ciclos T 13 15 CL 1.1 C 0.8 hasta una confiabili dad de R 99% R CT CH 1
SH
1.11 84 115.5kpsi 1 0.8
mG
d G 18 4 dp 4.5
173
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
I
CosSen mG Cos20º Sen 20º 4 0.129 2 mG 1 2 4 1 T 13 14 Cp 2300
Acero sobre acero: 2
115.5 10 3 0.579(3.5)(4.5)(0.129) 2967 lb Wtp 2300
Wtp 2967 1.19 Wt 2501 nG 1.19 n 0.560 Co Cm 1.25 1.7
nG
Como se puede ver los engranes son más críticos a fatiga superficial ya que el factor de diseño es menor a uno, se puede mejorar el diseño eligiendo un material de mayor resistencia.
174
ENGRANES HELICOIDALES
CAPÍTULO VIII 8 ENGRANES HELICOIDALES 8.1 INTRODUCCIÓN Los engranes helicoidales, que se estudiarán en este capítulo, se utilizan para transmitir movimientos entre ejes paralelos. En el anterior capítulo, el análisis de las fuerzas en los engranes rectos actúan en un solo plano, en este tema se estudiarán las fuerzas que actúan en las tres dimensiones, la razón es que los engranes helicoidales, los dientes ya no son paralelos al eje de rotación. El análisis presentado en este capítulo se apoyará básicamente en los principios fundamentales expuesto para el capítulo de engranes rectos, en cuanto se refiere a Tablas, Diagramas y Gráficas; y se empleará el mismo plan general de presentación.
8.2 NOMENCLATURA DE LAS RUEDAS DENTADAS HELICOIDALES
Denominación
Símbolo H. Rectos
H. Helicoidales
Forma del diente
Evolvente
Helicoide de la evolvente
Ángulo de la hélice
---
Ángulo de presión
t Ángulo de presión tangencial n Ángulo de presión normal pt Paso circular tangencial
Paso circular
pn Paso circular normal
p
p X Paso circular axial Pt Paso diametral tangencial
Paso diametral
P
Número de dientes
N
Pn Paso diametral normal
N
Tabla 8.1 Nomenclatura de las ruedas dentadas helicoidales
175
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Figura 8.1 Esquema de un par de engranes helicoidales
A continuación se ilustra cómo se forma el perfil de los engranes helicoidales. Este perfil se conoce como helicoide de evolvente y se forma así: si se enrolla una tira de papel cortada en forma de paralelogramo oblicuo o bien se le aplica alrededor de un cilindro, entonces el borde inclinado de la tira se convierte en una hélice. Al desenrollar la tira, cada punto del borde mencionado genera la helicoide de evolvente.
Figura 8.2 Helicoide de evolvente
La siguiente figura representa una fracción de la cremallera obtenida al “abrir” un engrane helicoidal (vista superior).
176
ENGRANES HELICOIDALES
Figura 8.3 Vista y cortes de una cremallera Helicoidal
Del triángulo obtenido de la cremallera de un engrane helicoidal (mostrado en la figura anterior) se puede deducir las siguientes relaciones:
pn pt cos
px
pt p x cos
pt tg
Muchos estudiosos sugieren que el ancho de cara sea al menos dos veces el paso axial
* caja de cambio de vehículos F 2 px F 2 px ; excepto: * engranes marinos F 2 px FÓRMULAS:
1 2 3
pt Pt
igualando (2) y (3)
pn
p n Pn p n pt cos t
Finalmente se obtiene:
de (1)
Pn
Pt cos t 177
Pn
Pn
pt cos t
Pt
cos t
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Para el cálculo del paso diametral tangencial se tiene las siguientes fórmulas:
N Pt P dP N Pt d Pt N G dG
8.3 ENGRANES HELICOIDALES, DIMENSIONES DE LOS DIENTES Los engranes helicoidales se utilizan en forma intercambiable, como guía general las dimensiones de los dientes se basan en ángulo de presión normal de 20º. Entonces puede utilizarse la mayor parte de las proporciones tabuladas en la Tabla 13-1. Las dimensiones deben calcularse el paso diametral normal. Estas proporciones son adecuadas para ángulos de hélice de 0 a 30º y todos pueden cortarse con la misma herramienta. El paso diametral normal de piñón y el engrane deben ser iguales. Otra consideración para los engranes helicoidales es que el ángulo de hélice puede tomar valores de 15º, 23º, 30º ó 45º, no son recomendables ángulos mayores.
8.4 FUERZAS EN LOS ENGRANES HELICOIDALES.
Figura 8.4 Fuerzas sobre un diente de engrane helicoidal
W
Carga total
Wt
Carga transversal
Wr Carga radial Wa Carga axial 178
ENGRANES HELICOIDALES
Wt
33000 H V
W Wa Wr Wt 2
2
2
Del gráfico anterior se obtienen los siguientes triángulos, en cada uno de los planos:
(1)
(2)
(3)
Figura 8.5 Triángulos de fuerzas
Del triángulo (1): Wt
Wr tan t
Del triángulo (2): Wat
(1)
Wr tan n
(2)
Wt Wat
(3)
Del triángulo (3): cos
Sustituyendo las fórmulas (1) y (2) en (3), se tiene:
Wr W tan t cos t Wr Wat tan n
cos
tan n tan t
8.5 DISEÑO DINÁMICO: FATIGA A FLEXIÓN Para el diseño dinámico de los engranes helicoidales, se considera, el comportamiento de los esfuerzos, del mismo modo, que para los engranes de dientes rectos, esto es a flexión simple, por tanto se indica a continuación.
Donde:
Kv
78 ; 78 V
V
Wt Pt Kv F J
d p n pies 12
min
F 2 px 179
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
J factor geométrico Si n 20º ; N 75 dientes :
J Figura 14-8a (Shigley)
Si N 75 dientes : factor de corrección Figura 14-8b (Shigley) El factor de diseño para los engranes helicoidales, se indica a continuación:
nG
Se
Donde:
Wt Pt Kv F J
Límite de resistencia a la fatiga:
Se Se 'ka kb kc k f Donde: Se ' Se ' 0.5Sut
si Sut 200 kpsi
Se ' 100kpsi si Sut 200 kpsi ka kb kc kf
Figura 13-25 de Shigley kb (Tabla 13 9) si Pn 12 d eq Pn
kb 1
si
Pn 12
Tabla 13-10 de Shigley Tabla 13-11 de Shigley
Factor de diseño ordinario n
n Donde: K o
nG Ko Km
Factor de sobrecarga (Tabla 13-12 de Shigley)
K m Factor de la distribución de la carga (Tabla 14-1 de Shigley) n
Factor ordinario de seguridad
8.6 DISEÑO DINÁMICO: FATIGA SUPERFICIAL La fatiga superficial para los engranes helicoidales, se analiza de idéntica forma que para los engranes rectos, con pequeñas variaciones, que se indican a continuación:
H C p
Wt Cv F d p I 180
ENGRANES HELICOIDALES Cambiando esta relación con las resistencias del esfuerzo y de la fuerza se tiene la siguiente fórmula:
SH C p
Wtp Cv F d p I 2
S Wtp H C v F d p I C p SH
CL CH Sc CT CR
Sc 0.4 H B 10 kpsi
Constante elástica (Tabla 13-14 de Shigley)
Donde: C p
C L Tabla 13-15 de Shigley C H Figura 14-9 de Shigley
CT 1 si T 250º C
CT
C R Tabla 13-15 de Shigley 78 ; 78 V
d p n pies
Cv
Cv K v
F
F 2 px
dp
P Diámetro de paso del piñón: d p p t
I
Factor geométrico de durabilidad de la superficie
V
12
min N
I
p
Relación de diámetros: mG
mG
r
p
2m N
mG mG 1
N Relación de compartición de carga: mN 0.95 Z Z 1
Donde: mN
Z
sent cos t
dG dp
pN
Paso circular base normal: pN pn cos n
pn
Paso circular normal
a rbp 2
2
rG a 2 rbG2 rp rG sent
Z A B C 181
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Si A ó B C Z C Donde: rp , rG
Radios de paso del piñón y del engrane, respectivamente
rbp , rbG Radios bases del piñón y del engrane, respectivamente
A
A
r
B
B
rG a 2 rbG2
C
p
a rbp 2
2
C rp rG sent
A continuación se determina el factor de diseño a fatiga superficial para engranes helicoidales:
nG
Wtp W
y el factor ordinario para engranes helicoidales:
n
nG Co Cm
Conclusión Los factores de modificación de los engranes helicoidales son iguales a los engranes rectos excepto en Km y Cm que se obtienen de la Tabla 14-1 y CH en la Figura 14-9 de Shigley.
182
ENGRANES HELICOIDALES
8.7
EJERCICIOS RESUELTOS
8.7.1
EJERCICIO 17 (ENGRANES HELICOIDALES)
El banco de pruebas que se indica en la figura entre sus elementos, consta con un sistema de transmisión de ruedas helicoidales, el piñón tiene 18 dientes y el engrane 36 dientes. Los engranes tiene un ángulo de hélice de 30º, un ángulo de presión normal de 20º, un paso diametral normal de 12 dientes por pulgada. El motor proporciona una potencia de 1HP a 1800 rpm. El eje del piñón está soportado en cojinetes en los puntos A y B. Los engranes son de acero UNS G10400, estirado a 1000ºF. Se ha detectado que hay choque moderado en la rueda impulsada y uniforme en la rueda impulsora. Las condiciones de montaje son de tipo medio. Se pide determinar las reacciones en el eje del piñón y los factores de diseño para una confiabilidad del 90% y para una vida de 10 8 ciclos. Datos:
Material: acero UNS G10400, estirado a 1000ºF
Choque moderado en impulsada, uniforme en impulsora
Condiciones medias de montaje
Confiabilidad = R = 90%
Calcular:
Fuerzas en los puntos Ay B del eje
nG , n
Figura 8.6 Banco de pruebas con tornillos de potencia
183
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Figura 8.7 Motor y engranes helicoidales del banco de pruebas
SOLUCIÓN: A continuación se indica el DCL del eje del motor:
Wt
33000 H V
Pt Pn cos 12 cos 30º
dp
V
Np Pt
d n 12
18 10.4
Pt 10.4 dte / pl g
d p 1.73 pl g
1.73 1800 12
V 815 pie / min 184
ENGRANES HELICOIDALES
Wt
33000 1 815
Wt 40.5 lb
tan n tan t
cos
tan t
tan n tan 20º 0.42 cos cos 30º
Wr Wt tant 40.5 0.42
Wr 17.1lb
Wa Wt tan 40.5 tan 30º
Wa 23.4 lb
W Wa Wr Wt 23.42 14.12 40.52 2
2
W 49.8 lb
2
F 0 M 0 F 0 M 0 F 0 M 0 x
Az
y
Ay
z
Ax
t 22.8º
FAx Wa 23.4 lb FBy 20 lb FAy 2.9 lb FBz 52.6 lb FAz 12.1lb T 35 lb pl g
Fatiga a flexión:
Wt Pt Kv F J
nG n
78 78 V
Kv pt
px
Pt
10.4
pt 0.3 tan tan 30º
F 2 px 2 0.52
30º
78 78 815
Se
nG ko k m
K v 0.8536 pt 0.3"
p x 0.52" F 1.04" 1"
Figura 14.8a (Shigley): J 75 0.43 ; (para NG 75 dtes ; n 20º ) 185
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
N G 36 dtes
n 20º
Figura 14.8b (Shigley): Factor 0.97
J 36 J 75 * Factor 0.43 * 0.97
J 36 0.417
40.5 10.4 0.8536 1 0.417
1.18 kpsi
Se Se 'ka kb kc k f Acero UNS G10400, estirado a 1000ºF
Se ' Sut 113 200 kpsi
Sut 113 kpsi H B 235 H B
Tabla A-17
Se ' 0.5 Sut 56.5 kpsi
ka
Sut 113 kpsi
kb
Pn 12
kc
R 90% Tabla 13-10: kc 0.897
kf
Sut 200 kpsi ; laminada
ko
km
Montaje tipo medio, F 1
Figura 13-25: ka 0.73
Tabla 13-9: kb 0.99
Tabla 13-11: k f 1.33
Choque moderado en impulsada, uniforme en impulsora Tabla 13-12: ko 1.25
Se 56.5 0.73 0.99 0.897 1.33
nG n
Tabla 14-1: km 1.5
Se 48.7 kpsi
48.7 1.18
nG 41.3
41.3 1.25 1.5
n 22
n 1 El elemento está sobredimensionado. Fatiga superficial: 2
Wt , p
S H C v F d p I C p SH
CL CH Sc CT CR 186
ENGRANES HELICOIDALES
Sc 0.4 H B 10 0.4 235 10
Sc 84 kpsi
C p Contacto: acero sobre acero Tabla 13-14: C p 2300 8 C L N 10
H
Bp k H 1 1.2 BG
CH
T 250º C
CT
C R R 90%
SH
Tabla 13-15: CL 1
Figura 14-9: CH 1
CT 1
Tabla 13-15: CR 0.8
CL CH 1(1) SC 84 105KPsi CT CR 1(0.8) 2
S Wtp H Cv F dp I Cp
I
CosSen mG 2 mN mG 1
rbp rpCost
1.73 Cos22.8º 0.8" 2
rbG rGCost
NG 36 Cost Cos22.8º 1.6" 2 Pt 2(10.4)
1.73 0.865" 2 N 36 rG G 1.73" 2 Pt 2(10.4) rp
Z
0.865 0.082 0.82 1.73 0.082 1.62 0.865 1.73 sen22.8
Z 0.50 0.846 1 A y BC Z 0.346
pN pnCosn
12
Cos20º 0.246 187
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
mN I
pN 0.246 0.7484 0.95·Z 0.95(0.346)
Cos22.8º Sen 22.8º 2 0.16 2(0.7484) 2 1 2
2
SH 105 103 Wtp Cv F dp I (0.8536)(1)(1.73)(0.16) 493.6 lb Cp 2300 nG n
493.6 12.2 40.5
12.2 6.5 1.25(1.5)
8.7.2
EJERCICIO 18 (ENGRANES HELICOIDALES)
La figura indica un engrane helicoidal de doble reducción se impulsa a través del eje “a” y recibe 7.5 HP, a una velocidad de 900 rpm. Las ruedas 2 y 3 tienen un Pt = 10 dte/pulg, el 30º , y un t 20º . El piñón 2 se forma con 16 dientes, sesgo a la izquierda, la rueda 3 tiene 80 dientes. Cada engrane del segundo par del tren, 4 y 5, tiene un Pt = 6 dte/pulg, un 23º , y un t 20º . El engrane 4 es de sesgo a la izquierda y tiene 20 dientes, mientras que el 5 tiene 60. Los engranes están sostenidos por cojinetes localizados como se indica en la figura. El buen diseño establece que el cojinete de empuje debe situarse de manera que la carga sobre el eje sea de compresión. Luego ese cojinete resistirá la carga radial y axial, en tanto que el segundo cojinete del eje está sometido a carga radial pura. Utilizando este supuesto, determínese la magnitud y la dirección de las cargas radiales y axiales que los cojinetes C y D ejercen sobre el eje b.
188
ENGRANES HELICOIDALES
Datos:
Rueda 2 y 3 N 2 16
H 7.5 HP
Rueda 4 y 5 Pt 6 dte / pul g
N 3 80 Pt 10dte / pul g
23º t 20º
30º t 20º n2 900 rpm
SOLUCIÓN:
Diagrama de cuerpo libre del eje “a”
189
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Diagrama de cuerpo libre del eje “b”
Diagrama de cuerpo libre para el cálculo del torque Cálculo de las cargas:
33000 H V d 2 n V 12 Wt2
d2 V
N 2 16 1.6" Pt 10
1.6900 12
Wt2
377
pies min
330007.5 656.5 lb Wt3 377
Wa2 Wt2 tg 656.5 tg 30º 379 lb Wa3 Wr2 Wt2 tgt 656.5 tg 20º 239 lb Wr3
d3
N 3 80 8" Pt 10 190
ENGRANES HELICOIDALES
Mx 0
T3 T4 Wt3 r3 656.54 2626 lb pu lg
N 4 20 3.333 Pt 6 r4 1.666
d4
Wt4
T4 2626 1575.6 lb Wt5 r4 1.67
Wr4 Wr5 Wt4 tgt 1575.6 tg 20º 573.5 lb Wa4 Wa5 Wt4 tg 1575.6 tg 23º 668.8 lb
d5
N 5 60 10" Pt 6
n5 n2
V5 H
N4 N2 20 16 900 60rpm N5 N3 60 80
1060 12
157
pies min
1575.6(157) 7.5HP , aquí se indica que la potencia transmitida es la misma, no se 33000
consideran pérdidas. Cálculo de reacciones
191
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Mz 0 RDy (5.25) 668.8(1.67) 573.5(2) 656.5(4) RDy 931.4 lb
Fy 0 RCy 573.5 656.5 931.4 298.6 lb
My 0 RDz (5.25) 1575.6(2) 379(4) 239(4) RDz 1071 lb
Fz 0 RCz 1575.6 239 1071 743.6 lb
Fx 0 RDx 668.8 239 907.8 lb
Frc RCy2 RCz2 (298.6)2 (743.6)2 801.3 lb 2 FrD R2Dy RDz (931.4)2 (1071)2 1419.3 lb
192
ENGRANES HELICOIDALES
CAPÍTULO IX 9 ENGRANES HELICOIDALES 9.1 INTRODUCCIÓN Un cojinete, también denominado rodamiento, es un elemento mecánico que reduce la fricción entre un eje y las piezas conectadas a éste, sirviéndole de apoyo y facilitando su desplazamiento. De acuerdo al tipo de contacto que exista entre las piezas, este es principalmente de rodadura. El elemento rotativo que puede emplearse en la fabricación pueden ser: bolas, rodillos o agujas. Los rodamientos de movimiento rotativo, según el sentido del esfuerzo que soporta, los hay radiales, axiales, y axiales-radiales. Un rodamiento radial es el que soporta cargas radiales, que son cargas de dirección normal a la dirección que pasa por el centro de su eje, como por ejemplo una rueda, es axial si soporta cargas en la dirección de su eje, ejemplo de axial-radial, es generada por ejes que contienen engranes helicoidales.
9.2 NOMENCLATURA DE COJINETES
Figura 9.1 Nomenclatura de cojinetes
193
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
9.3
TIPOS DE COJINETES
Cada tipo de cojinete muestra propiedades características, que dependen de su diseño y que lo hace más o menos apropiado para una aplicación dada, de acuerdo al tipo de carga, como se detalla a continuación:
de bolas * RADIALES COJINETE de rodillos ( cilíndrico s y cóni cos) de agujas o barriletes TIPOS DE CARGA * AXIALES COJINETE AXIAL DE BOLAS de bolas * COMBINADAS COJINETE de rodillos cónico s de barriletes
9.4 CLASIFICACIÓN DE COJINETES Los cojinetes se clasifican por sus elementos rodantes en cojinetes de bolas, cojinetes de rodillos y cojinetes de agujas. 9.4.1
COJINETES DE BOLAS
Figura 9.2 Clasificación de cojinetes de bolas
194
ENGRANES HELICOIDALES a) Ranura profunda Son cojinetes estandarizados son de ranura profunda y una sola hilera de bolas, soportan carga radial y cierta carga axial. Para introducir las bolas en las ranuras se desplaza el anillo interior a una posición excéntrica, luego se separan, después de ponerlas todas y se coloca el separador. b) Con ranura de entrada para las bolas Cuando se emplea una ranura de llenado, se logra introducir un mayor número de bolas aumentando la capacidad de carga radial pero disminuyendo la capacidad de carga axial. c) De contacto angular Este tipo de rodamiento tiene mayor capacidad de carga axial. Pueden obtenerse con cubiertas de protección en uno o ambos lados, para proteger del polvo y la suciedad. d) y e) Protegido y sellado Muchos cojinetes se fabrican con sellos en uno o ambos lados, en este caso se lubrican en la fábrica, pero a veces se cuenta con un medio de relubricación. f) Auto alineación externa Los cojinetes resisten cierto grado de desalineamiento o desviación del eje, pero si tal el efecto es muy intenso deben usarse cojinetes autoalineantes. g) Con doble fila Estos cojinetes deben obtenerse en diferentes tipos y tamaños para soportar mayores cargas radiales y axiales. h) Autoalineante Estos cojinetes permiten mayores cargas y además absorber las desalineaciones de los ejes. i)
De empuje
Son para soportar carga axial, y se fabrican en muchos tipos y tamaños. j)
De empuje, autoalineante
Son para soportar carga axial y además absorben las desalineaciones de los ejes. 195
ELEMENTOS DE MÁQUINAS A continuación se indica el montaje completo de los cojinetes de rodamiento de bolas.
Figura 9.3 Montaje de cojinetes de bolas en un eje
9.4.2
Cojinetes de Rodillos
Figura 9.4 Clasificación de cojinetes de rodillos
a) Rodillos Cilíndricos Soportan más carga que los cojinetes de bolas del mismo tamaño por su mayor área de contacto, pero no aceptan cargas axiales, su montaje debe ser sin mayores desalineaciones.
196
ENGRANES HELICOIDALES b), c) Rodillos Esféricos, y Cónicos de empuje Sirven para cargas grandes y para desalineamiento, al aumentar la carga aumenta el área de contacto. e) , f) Rodillos Cónicos ordinarios y Contacto angular Estos pueden aceptar cargas radiales o axiales o una combinación de ambos.
9.5 DURACIÓN O VIDA DE LOS COJINETES 9.5.1
LA VIDA
Es el número total de revoluciones u horas de trabajo a una velocidad constante requeridas para que se desarrollen los criterios de falla. La norma de asociación de fabricantes de cojinetes de rodamiento AFBMA establece que el criterio de falla es la primera manifestación de la fatiga. Según C. Timken la picadura de una área (agrietamiento o descascarado de una superficie), de 0.01 pulg2 es la manifestación para indicar que ha fallado el cojinete, sin embargo la vida útil puede ser algo mayor. 9.5.2
VIDA NOMINAL
El concepto autorizado por AFBMA de vida nominal, es el número de horas de trabajo o (número de revoluciones) a una velocidad constante que pueda completar el 90% del grupo de cojinetes antes que se desarrolle el criterio de falla (área de 0.01 pulg 2), también se le define como vida mínima o vida L10 . Mischke establece la confiabilidad con la fórmula:
Re
1.17 L 6 . 84 L 10
Donde:
R Confiabilidad en decimal
L Vida requerida para el diseño L10 Vida nominal con la confiabilidad del 90%
9.6 CARGAS EN LOS COJINETES Mediante pruebas para dos grupos idénticos de cojinetes probados con cargas F1 y F2 tienen vidas L1 y L2 . 197
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
L1 F2 L2 F1
a
a 3 , si es cojinete de bolas
a
10 , si es cojinete de rodillos 3
9.7 RESISTENCIA EN LOS COJINETES Si C es la capacidad básica de carga radial, y se define como la carga radial constante que puede soportar un grupo de cojinetes, aparentemente idénticos, para una vida nominal de un millón de revoluciones del anillo interior (carga estacionaria y anillo exterior fijo). Relación de la resistencia con las cargas y la vida de diseño a
C L 106 F L L1 Vida deseada F1 F L2 106 Ciclos (Fatiga) F2 C Si L en millones de revoluciones: a
C L C F L1 / a F Los fabricantes acostumbran a especificar la carga radial nominal o capacidad básica de carga de un cojinete en correspondencia con una cierta velocidad (rpm) o cierta vida L10 en horas. Timken tabula las capacidades de carga a L10 3000 horas y n 500rpm . A continuación se indica las ecuaciones para calcular la capacidad de carga, con la cual se va al catálogo de Timken para seleccionar el cojinete adecuado, la primera ecuación posee la confiabilidad del 90%, en la segunda ecuación la confiabilidad se puede mejorar a partir del 90%. 1
L n a C R F D D LR n R
1
L n 1 a 1 C R F D D 1 LR n R 6,84 1 1.17a ln R
Para una confiabilidad del 90%
Para una confiabilidad mayor que 90%
198
ENGRANES HELICOIDALES
A las ecuaciones anteriores se les puede mejorar al considerar la carga F como una carga equivalente radial y aplicar un factor de diseño que a continuación se indica:
L n C R n Fe D D LR n R
1 a
Donde:
CR
Capacidad de carga radial
LR
Vida nominal = 3000horas
nR
Velocidad = 500rpm
LD
Vida nominal en horas para el diseño
nD
Velocidad en rpm para el diseño
Fe
Fuerza radial equivalente
n
Factor de diseño (Tabla 11-7; Manual de SHIGLEY)
La siguiente ecuación se utiliza para mejorar la confiabilidad, a partir del 90%: 1
L n 1 a 1 C R n Fe D D 1 LR n R 6,84 1 1.17a ln R Donde:
R
Confiabilidad en decimal
9.8 SELECCIÓN DE COJINETES DE BOLAS Y DE RODILLOS 9.8.1
COJINETES DE BOLAS Y RODILLOS CILÍNDRICOS
Para definir la carga radial equivalente Fe , las cargas radial y axial que tengan los cojinetes y que den el mismo efecto, la AFBMA recomienda las fórmulas siguientes en el caso de cojinetes de bolas y de rodillos:
Fe V Fr Fe X V Fr Y Fa Donde:
Fe
Carga equivalente
Fr
Carga radial aplicada 199
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Fa
Carga axial aplicada
X
Factor radial
Y
Factor de empuje axial
X e Y dependen de la configuración geométrica del cojinete, esto es: número de bolas y diámetros de estas, en la Tabla 11-2 de SHIGLEY se obtiene los valores de X e Y para cojinetes de bolas, se usa el par que da la mayor carga equivalente.
V 1 Anillo int erior rotatorio V Factor de rotación V 1.2 Anillo exterior rotatorio V 1 Para cojinetes autoalinea ntes sin importar el anillo que gire Los cojinetes se designan con códigos o llamado clave o símbolo de series de dimensiones, que cada fabricante establece según su criterio, Shigley trae un extracto de las tablas de Timken para cojinetes de bolas y de rodillos cilíndricos y rodillos cónicos (Tablas 11-3, 11-4, 11-5 y Fig. 11-11). 9.8.2
COJINETES DE RODILLOS CÓNICOS
Para determinar la carga equivalente Fe en los cojinetes de rodillos cónicos, primero se establece un estudio previo de estos cojinetes que soportan cargas radiales o axiales o la combinación de las dos, estos cojinetes aun cuando no actúe ninguna carga externa de empuje, la carga radial induce una reacción de empuje dentro del cojinete a causa de la conicidad, por lo tanto para evitar la separación entre pistas y rodillos debido a este empuje tiene que haber otra fuerza opuesta, es así que se monta los ejes con pares de cojinetes de rodillo cónico, a continuación se indica el montaje de estos cojinetes.
200
ENGRANES HELICOIDALES
Figura 9.5 Figura para indicar el montaje de los cojinetes de rodillos cónicos, elementos y cargas
En la figura anterior se indica el montaje de los cojinetes de rodillo cónico donde se distingue el Cojinete A y el Cojinete B, en este caso, el Cojinete A soporta la carga radial “FrA” y la carga de empuje “Te” que son originadas por el engrane helicoidal de dicho eje, en cambio el Cojinete B únicamente está cargado por la carga radial “FrB”, en los cojinetes de rodillo cónico la carga radial induce a una carga axial dentro del cojinete
Fa
0.47 Fr , donde 0.47 es la suma de los componentes de empuje de los rodillos, K K
toman valores de 1.5 y 0.75, normalmente se usan el K 1.5 y para cojinetes de gran ángulo K 0.75 , los valores de K se usan en el cálculo preliminar para verificar si corresponden a los valores exactos, se contrasta con el valor de K de la Fig.11-11. FrA y FrB se ubican en el diagrama de cuerpo libre en el centro de carga efectivo “G” a una distancia “a” del frente del cojinete como se indica en la figura. De esta manera se obtienen las cargas equivalentes radiales para la figura indicada.
201
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
0.47 FrB F eA 0.4 FrA K A Te KB 0.47 FrA F eB 0.4 FrB K B Te KA Condición especial: Si en el cálculo resulta que:
FeA FrA
FeA FrA
Si en el cálculo resulta que:
FeB FrB
FeB FrB
Donde:
F eA
Carga radial equivalente del cojinete A
F eB
Carga radial equivalente del cojinete B
FrA
Carga radial exterior del cojinete A
FrB
Carga radial exterior del cojinete B
Te
Carga axial exterior dirigida al cojinete A
K A KB 1.5 ó 0.75
Para el cálculo preliminar
Luego de determinar las cargas radiales equivalentes se procede a determinar la capacidad básica de carga “CR” para luego con este valor entrar en la Fig.11-11 del Manual de Shigley y determinar el cono y la copa.
L n C R n Fe D D LR n R
1 a
1
L n 1 a 1 C R n Fe D D 1 LR n R 6,84 1 1.17a ln R
Para una confiabilidad del 90%
9.8.3
Para una confiabilidad mayor que 90%
SELECCIÓN DE COJINETES SEGÚN CATALOGO 41 250 SA DE LA FAG
Según el catálogo de la FAG para determinar el tamaño de cojinete en las tablas se debe previamente determinar la capacidad de carga estática si el rodamiento va a estar en reposo o ejecuta movimientos muy lentos y/o la capacidad de carga dinámica si el cojinete va a estar sometido a movimientos rápidos. 9.8.3.1 Rodamientos solicitados estáticamente El tamaño del rodamiento se calcula mediante la fórmula:
CO f S PO Kg 202
ENGRANES HELICOIDALES Donde:
CO
Capacidad de carga estática (kg) indicada en las tablas para cada rodamiento. Esta es, en los rodamientos radiales una carga radial, en los axiales, una carga axial tal, que la deformación permanente producida en los puntos de contacto en los cuerpos rodantes y los caminos de rodadura se igual a 1/10.000 del diámetro de dichos cuerpos rodantes.
fS
PO
Factor de esfuerzos estáticos. Los valores usuales son:
f S 1.2 hasta 2.5
Para solicitaciones elevadas
f S 0.8 hasta 1.2
Para solicitaciones normales
f S 0.5 hasta 0.8
Para solicitaciones pequeñas
Carga estática equivalente (Kg). Esta, es en los rodamientos radiales, una carga radial ficticia, en los rodamientos axiales, una carga axial ficticia que, referida a la deformación permanente, tiene el mismo efecto que la carga real que actúa sobre el rodamiento. Se calcula mediante la fórmula:
PO X O Fr YO Fa Kg Fr
Carga radial (kg)
Fa
Carga axial (kg)
XO
Factor radial, ver Tablas (catálogo FAG)
YO
Factor axial, ver Tablas (catálogo FAG)
9.8.3.2 Rodamientos solicitados dinámicamente El tamaño de un rodamiento se determina con ayuda de la fórmula:
C
fL P Kg fn fH
Donde:
C
Capacidad de carga dinámica (kg), que se indica para cada rodamiento en las tablas.
fL
Factor de esfuerzos dinámicos. Si reinan condiciones de servicio análogas a 203
ELEMENTOS DE MÁQUINAS la de un banco de pruebas y se conocen exactamente las cargas que actúan, puede deducirse de este factor el tiempo probable de funcionamiento a la fatiga. Para los diversos casos de aplicación práctica, este factor tiene que incluir la seguridad necesaria y tener en cuenta las características propias de la máquina (pág. 262 y 263 del catálogo FAG)
fn
Factor de velocidad. Este factor depende únicamente del número de revoluciones, pero es distinto para rodamientos de bolas (pág. 264, Catálogo FAG) y para rodamientos de rodillos (pág. 265, Catálogo FAG).
fH
Factor de dureza, que depende de la temperatura de servicio (pág. 249, Catálogo FAG)
P
Carga dinámica equivalente (kg). Esta carga es, en los rodamientos radiales, una carga radial ficticia, en los rodamientos axiales, una carga axial ficticia, que produce los mismos efectos respecto a la fatiga que la carga combinada. La carga dinámica equivalente se determina con ayuda de la fórmula:
P X Fr Y Fa Kg Donde:
Fr
Carga radial (Kg)
Fa
Carga axial (Kg)
X
Factor radial, ver Tablas (catálogo FAG)
Y
Factor axial, ver Tablas (catálogo FAG)
Si en un eje van montados dos rodamientos de bolas de contacto angular o dos rodamientos de rodillos cónicos y está cargado radialmente, aparecen fuerzas axiales de reacción que han de tenerse en cuenta al calcular la carga dinámica equivalente. Para el cálculo, se denomina con A el rodamiento que absorbe la carga axial exterior, con B el otro rodamiento. YA es el factor axial del rodamiento A, YB el del rodamiento B. Se toma: Para rodamientos de bolas de contacto angular de la serie 173:
Y = 0.87
Para rodamientos de bolas de contacto angular de las series 72B y 73B: Y = 0.57 Para rodamientos de rodillos cónicos: Y, según Tablas (catálogo FAG)
204
ENGRANES HELICOIDALES
9.9 EJERCICIOS RESUELTOS 9.9.1
EJERCICIO 19 (COJINETES)
Un rodillo de impresión movida por engranes gira a 300 rpm impulsado por F = 200 lb, sobre la superficie inferior del rodillo 3 actúa una carga uniformemente distribuida W = 20 lb/pulg en dirección positiva de “y”, seleccione cojinetes de bolas de la serie 02, que se instalarán en “O” y en “A”, el factor de diseño o aplicación es 1.2, L10 = 30 kh, determinar el tamaño de los cojinetes de rodamiento, que deben ser iguales.
205
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Mox 0 FR (2) 200Cos20º (1.5) FR 141 lb
Moy 0 AZ (11.5) FR (5.75) FCos 20º (14.25) 0 AZ 303.4 lb
Fz 0 OZ FR AZ FCos 20º 0 OZ 25.54 lb
Moz 0 R(5.75) Ay (11.5) FSen 20º (14.25) 0 Ay 4.8l b
Fy 0 O y R Ay FSen 20º 0 O y 96.4 lb FO 96.4 2 25.54 2 100 lb FA 4.82 303.4 2 303.44 lb La fórmula adecuada para este caso es con confiabilidad del 90%. 1
L n a CR n Fe D D LR nR
Se seleccionará el cojinete de rodamiento de bolas para el que tiene carga mayor. 1
30000 300 3 CR 1.2(303.44) 661.7 lb 2.95KN 3000 500
206
ENGRANES HELICOIDALES SEGÚN T11-3 SHIGLEY SERIE 02
C R 3.58KN Di 10mm De 30mm B 9mm
SEGÚN FAG Para carga dinámica
fL P Kg fn fH
C
P F R 303 .44 lb Pág. 262 FAG, engranes universales de tipo medio f L 3.5 Pág. 264 FAG, para cojinete de bolas y n= 300 rpm f n 0.481 Pág. 249 FAG, Temperatura de servicio menor a 120ºC f H 1
C
3.5 303.44 2207.98 lb 1003.6 kg 0.481 1
Pág. 14 FAG, Rodamientos FAG rígidos de bola. Rodamientos en ejecución normal, lubricación con grasa 62 04
C 1000kg d 20mm D 47 mm B 14mm 9.9.2
EJERCICIO 20 (COJINETES)
La figura muestra un contraeje engranado, provisto de un piñón en voladizo en C . Se pide seleccionar un cojinete de bolas simple de contacto radial para mantenerlo en O , y un cojinete de rodillos cilíndricos para instalarlo en B .
207
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Datos: FA 600 lb
n 480 rpm
RO 388 j 471k lb RB 317 j 1620k lb
n 1.4
L10 50 kh
Serie 02 FrO 3882 4712
FrO 610 lb
FrB 3172 16202
FrB 1650.7 lb
Para el punto O : 1
CRO
1
L n a 480 50000 3 n Fe D D 1.4 610 500 3000 LR nR
Tabla 11-3 (Shigley):
CRO 9.6 kN
d i 25 mm C 10.8 kN d e 52 mm B 15 mm
Para el punto B : 1
CRB
3
L n a 480 50000 10 n Fe D D 1.4 1650.7 500 3000 LR nR 208
CRB 26.6 kN
ENGRANES HELICOIDALES
Tabla 11-5 (Shigley):
9.9.3
d i 35 mm * SERIE 02 C 26 kN d e 72 mm B 17 mm d i 30 mm * SERIE 03 C 30.3 kN d e 72 mm B 19 mm
EJERCICIO 21 (COJINETES)
La figura muestra un eje utilizado en un reductor de velocidad con engrane helicoidal, en
el que se aplica una fuerza F 1700i 6400 j 2300k lb al engrane B , como se ilustra. Las fuerzas FA y FC , de igual magnitud, oponen resistencia a la fuerza aplicada.
Las direcciones de ambas indican los vectores unitarios FˆA 0.47i 0.342 j 0.814k lb y
FˆC 0.47i 0.342 j 0.814k lb . La notación Fˆ significa F / F . En este problema se
desea determinar las capacidades radiales que se requieren de cojinetes de rodillos cónicos que se montarán en los alojamientos O y D . Las dimensiones del árbol mostrado en la figura sitúan los centros de carga efectiva de los engranes y de los cojinetes. Estos últimos deben tener una vida L10 de 60 kh . Empléese un factor de aplicación unitario y una K 1.5 . La velocidad de árbol es de 1200 rpm y el diámetro del cojinete es de 3.5 plg, aproximadamente.
209
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
0.47i 0.342 j 0.814k lb 0.47i 0.342 j 0.814k lb
Datos: F 1700i 6400 j 2300k lb B
FˆA FˆC
FA FC
L10 60 kh N árbol 1200 rpm Dcojinete 3.5 pl g Cojinetes de rodillos a 10 / 3
M 0 F 0 M 0 F 0 F 0
FDy 511.1 lb
z
FOy 511.1 lb
y
FDz 5250 lb
y
z
FOz 5250 lb
x
FOx Te 1700 lb
FrO FrD 511.12 52502
FrO FrD 5274.28 lb
Para el punto 0: 1
CRO
L n a n FeO D D LR nR
0 .47 FrD 0 .47 5274 .28 Te 0 .4 5274 .28 1 .5 1700 FeO 0 .4 FrO K O K 1 . 5 D FeO 7138 lb 7 .14 klb
FeO FrO
FeO 7.138 klb
3
CRO
60000 1200 10 7.138 500 3000
CRO 22.8 klb
La Figura 11-11 de Shigley, no cuenta con esta carga como se puede ver.
210
ENGRANES HELICOIDALES Para el punto D: 1
CRD
L n a n FeD D D LR nR
0 .47 FrO 0 .47 5274 .28 Te 0 .4 5274 .28 1 .5 1700 FeD 0 .4 FrD K D KO 1 .5 FeD 2038 .6 lb 2 .04 klb
FeD FrD
FeD 5.27 klb
3
CRD
60000 1200 10 5.27 500 3000
CRD 16.83 klb
La Figura 11-11 de Shigley, no cuenta con esta carga como se puede ver.
SEGÚN FAG Para carga dinámica
C
fL P kg fn fH
Selección de cojinete de rodillos cónicos para punto “O”. Datos:
Fr 5.27 klb Fa 1.7 klb
Fa 0.323 Fr Pág. 97 e 0.26 , Y 2.3 entonces
Fa e Fr
P 0.4Fr Y Fa 0.4(5.27) 2.3(1.7) 2735.5 Kg Pág. 262 FAG, grandes engranajes para barcos f L 3.3 Pág. 265 FAG, para cojinete de rodillos y n= 1200rpm f n 0.341 Pág. 249 FAG, Temperatura de servicio menor a 120ºC f H 1
211
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
C
3.3 2735.5 26473 Kg 0.341 1
Por lo tanto de tablas C 35500 Kg , si cumple.
Denominación 303 22
C 35500 Kg d 110mm D 240mm B 50mm
c 42mm T 54.5mm r 4mm r1 1.5mm a 47mm Selección de cojinete de rodillos cónicos para punto “D”. Datos:
Fr 5.27 klb Fa 0 klb
Fa 0 Fr P Fr 5.27 klb 2395.5 kg Pág. 262 FAG, grandes engranajes para barcos:
f L 3.3
Pág. 264 FAG, para cojinete de rodillos y n = 1200 rpm:
f n 0.341
Pág. 249 FAG, Temperatura de servicio menor a 120ºC:
fH 1
C
3.3 2395.5 23182.3 kg 0.341 1
Por lo tanto de tablas C 24000 kg .
Denominación 323 13A
212
ENGRANES HELICOIDALES
C 24000 kg d 65mm D 140mm B 48mm c 39mm T 51mm r 3.5mm r1 1.2mm a 33mm
213
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
CAPÍTULO X 10 COJINETES DE DESLIZAMIENTO (LUBRICACIÓN EN LOS COJINETES) 10.1 INTRODUCCIÓN En un soporte de muñón (o chumacera) el extremo de un eje, o muñón, gira u oscila dentro de un buje (o cojinete), el movimiento relativo es deslizante, el desgaste y el calentamiento de estos es evidente, esto hace necesario la lubricación para reducir el rozamiento, desgaste y el calentamiento. El área de aplicación de los cojinetes de deslizamiento es muy amplia. Los cojinetes de cigüeñal y las bielas de un motor de automóvil tienen que trabajar durante miles de kilómetros de recorrido a temperaturas elevadas y en condiciones de cargas variables. Los cojinetes de deslizamiento de las turbinas de vapor de las plantas generadoras de energía deben tener confiabilidades próximas al ciento por ciento. En definitiva hay miles de aplicaciones en las que las cargas son ligeras y el servicio relativamente de poca importancia. Se requiere un cojinete simple, fácil de instalar y que utilice poco o nada de lubricante. En tales casos citados anteriormente el cojinete de rodamiento puede ser una solución inadecuada por su alto costo, los alojamientos muy elaborados, las tolerancias estrechas, el espacio radial, las altas velocidades o los más intensos efectos de inercia. En vez de ello puede lograrse una solución satisfactoria con cojinetes de fricción lubricados o cojinetes que no requieren lubricación.
10.2 TIPOS DE LUBRICACIÓN Para los cojinetes de fricción se utilizan cinco tipos de lubricación que son: Hidrodinámica.- Aquella en que la superficie del cojinete y el eje están separadas por una capa de lubricante gruesa a manera de impedir el contacto entre metal y metal. Puede introducirse lubricante a presión o no, por lo tanto existen dos tipos de lubricación hidrodinámica:
LUBRICACIÓN
HIDRODINÁMICA
HIDRODINÁMICA CON PRESIÓN.
214
SIN
PRESIÓN
Y
LUBRICACIÓN
(LUBRICACIÓN EN LOS COJINETES) Hidrostática.- Esta lubricación se obtiene introduciendo el lubricante (aire o agua) en el área de soporte de la carga a una presión suficientemente elevada para separar las superficies con una capa suficientemente gruesa, no se requiere del movimiento de una superficie con respecto a otra. Elastohidrodinámica.- Se introduce el lubricante entre las superficies que están entre contacto rodante como los engranes y los cojinetes de rodamiento. De película mínima o a límite.- En esta lubricación se impide la formación de una película de lubricante suficientemente gruesa para que haya lubricación fluida o de película completa debido a la insuficiente área de contacto que reduce la cantidad de lubricante suministrado al cojinete. Con material sólido.- Cuando los cojinetes tienen que trabajar a temperaturas extremas debe usarse un lubricante de película sólida, como el grafito o el disulfuro de molibdeno, porque los aceites ordinarios de origen mineral no dan resultados satisfactorios.
10.3 VISCOSIDAD La figura muestra dos placas: la placa fija B y la placa móvil A, que se mueve con una velocidad U, sobre una película de lubricante de espesor h, la cual se considera que está formada por una serie de capas horizontales, en las que la fuerza F ocasiona su deformación o deslizamiento de una sobre otras, como lo hacen los naipes de una baraja. También se supondrá que las capas que están en contacto con la placa móvil tienen la velocidad U y que las que están en contacto con la superficie fija, tienen velocidad nula (0). La ley de Newton para el movimiento de un fluido viscoso establece que el esfuerzo cortante que se genera en el fluido es proporcional al régimen de variación de la velocidad con respecto a y; en consecuencia:
F du A dy
Donde:
es la constante de proporcionalidad que define la llamada viscosidad (viscosidad absoluta), en consecuencia la viscosidad es una medida de la resistencia al rozamiento interno en fluidos. La unidad de medida de la viscosidad en el Sistema Inglés es llbf seg / pl g , lo cual es esfuerzo por tiempo. Esta unidad se conoce como reyn. La 2
215
ELEMENTOS DE MÁQUINAS viscosidad en el Sistema Internacional se expresa en Pa s , que equivale a
1Newton seg / m2 ; 6890reyn 1Pa s
Figura 0.1 Deslizamiento entre una placa fija y otra móvil y una película de lubricante.
10.4 RELACIÓN DE LA TEMPERATURA CON LA VISCOSIDAD DE ALGUNOS FLUIDOS A continuación se indica el gráfico de la variación de los, lubricantes más utilizados versus la temperatura.
Figura 0.2 Comparación de las viscosidades de diversos fluidos
10.5 RELACIÓN DE PARÁMETROS DE UN COJINETE CON LUBRICACIÓN HIDRODINÁMICA A continuación se indica el gráfico con los parámetros que intervienen en un cojinete con lubricación hidrodinámica, también se determina el coeficiente de rozamiento en función de estos parámetros. 216
(LUBRICACIÓN EN LOS COJINETES)
Figura 0.3 Parámetros que intervienen en un cojinete con lubricación hidrodinámica
Donde:
c
Holgura radial pl g
r
Radio del eje pl g
U
Velocidad periférica: U 2 r N plg / seg
Esfuerzo de corte:
U 2 r N h c
W Fuerza sobre el cojinete lbf
P Presión (fuerza por unidad de superficie):
F A
W ( psi) 2r l
f
Coeficiente de rozamiento
Fr
Fuerza de rozamiento: Fr f W lbf
T
Torque de rozamiento: T Fr r f W r lbf pl g
Torque debido a la viscosidad del fluido Si
P
F A;
2 r N T F r A r 2 r l r c T
4 2 r 3 N l c
Torque debido al rozamiento
T Fr r f W r f 2r l P r
T 2r 2 f l P Como los torques son iguales: 217
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
4 2 r 3 N l 2r 2 f l P c
r N f 2 2 c P
10.6 LUBRICACIÓN ESTABLE La lubricación hidrodinámica o de película gruesa se puede explicar observando la siguiente figura. Esta gráfica indica la variación del coeficiente de rozamiento en función
N , del cojinete; la cual define estabilidad en la lubricación y P
de la característica
ayuda a entender la lubricación de película delgada. Supóngase que se analiza lo que está a la derecha de la ordenada BA y que, por ejemplo; ocurre un aumento en la temperatura del lubricante. Esto da origen a un descenso de la viscosidad y, por lo tanto, a un valor menor de
N . El coeficiente de rozamiento disminuye, no se genera tanto P
calor por el esforzamiento del lubricante y, en consecuencia, desciende si temperatura. Por lo tanto, la región situada a la derecha de la ordenada de A define la lubricación estable porque las variaciones se corrigen por sí solas. A la izquierda de la ordenada de A una adisminución de la viscosidad haría aumentar la fricción. Por consiguiente, se produciría un aumento de temperatura y la viscosidad se reduciría aún más. En consecuencia, esta región representa la lubricación inestable de película delgada y habrá posibilidad de que exista cierto contacto directo metal-metal.
Figura 0.4 Variación del coeficiente de fricción con
218
N P
(LUBRICACIÓN EN LOS COJINETES)
10.7 LUBRICACIÓN DE PELÍCULA GRUESA La figura que se indica a continuación representa el muñón de un eje que está a punto de comenzar a girar en sentido horario. En las condiciones iniciales del movimiento el cojinete estará seco o, por lo menos parcialmente, de manera que el muñón ascenderá o rodará en sentido ascendente sobre el lado derecho del cojinete, como se ilustra en la figura. Ahora, supóngase que se introduce un lubricante en la parte superior del lubricante como se indica en la figura. La acción del muñón giratorio es impulsar el lubricante alrededor del cojinete en sentido horario. El lubricante es introducido a un espacio en forma de cuña y empuja al muñón hacia el otro lado. Se forma una película de espesor mínimo ho , no en la parte inferior del muñón sino desplazado en el sentido de la rotación. Esto se explica por el hecho de que, en la mitad convergente de la película, la presión alcanza un máximo en un punto situado a la izquierda del centro del cojinete.
Figura 0.5 Formación de la película
10.8 TEORÍA DE LA LUBRICACIÓN HIDRODINÁMICA La teoría para la lubricación hidrodinámica está basada en la ecuación de Reynolds que a continuación se indica.
219
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Figura 0.6 Gráfico de la lubricación hidrodinámica (Diagrama de cuerpo libre de un elemento)
Consideraciones que deben tomarse en cuenta para la deducción de la ecuación de Reynolds.
Las películas de fluido son tan delgadas en comparación con el radio del cojinete, que su curvatura se desprecia. Esto permite sustituir al cojinete con un plano llamado plano de deslizamiento.
El lubricante obedece a la Ley de Newton de un fluido viscoso. Las fuerzas debido a la inercia del lubricante son despreciables.
El lubricante es incompresible.
La viscosidad es constante en toda la película.
La presión no varía en la dirección axial.
El cojinete y el muñón se prolongan indefinidamente en la dirección z (no hay flujo en esa dirección).
La presión solo varía en el eje x 220
(LUBRICACIÓN EN LOS COJINETES) La velocidad de un partícula cualquiera del lubricante en el seno de la película
depende solo de las coordenadas x e y. Para el análisis se determina un elemento de lubricante de dimensiones dx, dy, dz .
F
x
0
Como
u y
dp dx y
dp 2u 2 dx y
Realizando las operaciones del caso se llega a determinar la ecuación de la velocidad:
u
1 dp U y 2 hy y 2 dx h
El caudal Q se define como el volumen del lubricante que fluye en la dirección x:
1 dp U Q dy y 2 hy y dy 2 dx h 0 0 h
h
Operando se llega a la siguiente expresión para el flujo del lubricante:
U h h 3 dp Q 2 12 dx Como el fluido es incompresible:
dQ 0 dx
d U h h 3 dp 0 dx 2 12 dx
Operando:
d h 3 dp dh ; Ecuación de Reynolds para flujo unidimensional sin fugas laterales. 6U dx dx dx
h 3 p h 3 p h ; Ecuación de Reynolds para flujo unidimensional 6U x x z z x considerando las fugas laterales.
221
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Una de las soluciones a la ecuación anterior es la denominada ecuación de Sommerfield:
S
r 2 N r f c c P
Donde indica una relación funcional.
10.9 FACTORES DE DISEÑO Parámetros independientes (valores dados o controlados por el diseñador). Nombre
Símbolo
Observación
Viscosidad
Se puede elegir el lubricante
Presión
P
Se puede calcular las cargas sobre unidad de área
rpm
N
Se conoce las revoluciones a las que va a girar el eje
Dimensiones
r, c, l ,
Estas dimensiones son conocidas
Parámetros dependientes (valores que el diseñador no puede controlar directamente) Nombre
Símbolo
Observación
f
Resulta del cálculo
Coeficiente de rozamiento
Se puede medir la Diferencia de temperaturas
T
temperatura de entrada pero no de salida
Caudal de lubricante
Q
Resulta del cálculo
h0
Resulta del cálculo
Espesor mínimo de película
10.10 RELACIONES ENTRE LAS VARIABLES A través de la técnica de la iteración se resuelve la ecuación de Reynolds, mediante una computadora digital, obteniéndose datos extensos que se encuentran a disposición. Los investigadores Raimondi y Boyd, han publicado tres partes, 45 diagramas y 6 tablas, Shigley trae algunos gráficos para una relación de la longitud del cojinete al diámetro del eje l / d , para los siguientes valores: ¼, ½, 1 y ; para cojinete completo 360º , 222
(LUBRICACIÓN EN LOS COJINETES) estos gráficos tienen como abscisa el número característico del cojinete de Sommerfield:
r N S , y como ordenadas los parámetros dependientes que se van a determinar. c P 2
También se tiene los gráficos de la viscosidad vs la temperatura en las figuras 12-11, 12-12 y 12-13 (Shigley) para los diferentes aceites lubricantes. La figura 12-14 sirve para optimizar el sistema de lubricación y determinar el espesor mínimo de película. La figura 12-15 sirve para determinar la posición del espesor mínimo de película. La figura 12-16 indica la distribución y posición de la presión en el lubricante. La figura 12-17 sirve para determinar el coeficiente de rozamiento. La figura 12-18 trae los valores del caudal total. La figura 1219 determina los valores del flujo lateral. La figura 12-20 determina el valor de la presión, máxima del lubricante. La figura 12-21 determina la posición de las presiones que hay en el lubricante. Fórmula para interpolar y
l l l 1 l l 1 l l 1 l l 1 8 1 d 1 2 d 1 4 d y 3 1 2 d 1 4 d y1 4 1 d 1 4 d y1/ 2 24 1 d 1 2 d y1/ 4 l d 1
3
Donde y es la variable deseada dentro del intervalo
1 l ; y y , y1 , y1/ 2 , y1/ 4 son las 4 d
1 1 l de , 1, , ; respectivamente. 2 4 d
variables correspondientes a relaciones
10.11 ELEVACIÓN DE TEMPERATURA El eje efectúa trabajo sobre el lubricante. Esto produce calor, el cual se disipa por conducción, convección y radiación y es tomado por el flujo de aceite, el cual absorbe y transporta todo el calor generado. A continuación se presenta un enfoque analítico para la determinación del aumento de temperatura del lubricante. Parámetros y fórmulas utilizados:
J
Equivalente mecánico del calor: J 9336 lbf plg / Btu
CH
Calor específico del lubricante:
CH 0.42 Btu / lbf º F
Densidad del lubricante para una densidad relativa media de
0.86: 0.0311 lbf / pl g
3
TF Incremento de temperatura º F
223
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
X
Variable de fricción: X c f
Y
Variable de flujo:
r
H
El calor generado es:
Y
Q r c N l
2 T N 2 f W r N J J
Pero también se puede determinar en función de T :
(1)
H CH Q T
Consideraciones:
1 T º F 2 absorbe T º F
El flujo lateral Qs absorbe
El flujo Q Qs
Por lo tanto el calor total generado en todo el flujo es:
T H CH Q Qs T CH Qs 2 T
H
(2)
1 Q CH Q 1 s 2 Q
Reemplazando (1) en (2):
T
r X f c
Y
Q r c N l
2 f W r N 1 Q CH J Q 1 s 2 Q
(3)
c f X r
Q r c N l Y
Reemplazando en (3):
W X 2 r l T 1 Q C H J Y 1 s 2 Q 4
Reemplazando X e Y y los valores de , C H y J , y operando se tiene:
T º F
0.103 P 1 Qs 1 2 Q
r f c ; Q r c N l 224
P psi
(LUBRICACIÓN EN LOS COJINETES) ( )
( ) (
[
]
)
10.12 OPTIMIZACIÓN EN EL SISTEMA DE LUBRICACIÓN HIDRODINÁMICA En el diseño de un cojinete por lubricación de película gruesa, el diseñador debe seleccionar el grado de aceite y P, r, N , c, l . Una selección impropia de estos valores o un control no adecuado de los mismos da origen a valores de h0 demasiado delgado, el cojinete se sobrecalienta y falla. Además es difícil mantener exacta la holgura radial, y puede aumentar por desgaste. A continuación se índica el rango adecuado de valores de
c para el diseño.
Figura 0.7 Gráfica de algunas de las características de funcionamiento del cojinete
10.13 COJINETES CON LUBRICACIÓN A PRESIÓN Cuando un flujo normal se calienta demasiado se necesita aceite adicional suministrado a presión, para que todo el flujo pase por el cojinete y se consiga el máximo enfriamiento y además el mayor soporte de carga sin que haya sobrecalentamiento. A continuación se indica este tipo de sistema.
225
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Figura 0.8 Cojinete con canal para lubricación
Figura 0.9 Cojinete y eje con lubricación a presión
Fx 0 2 y ( p dp ) 2 y p 2 dx 0
y
dp dx
226
(LUBRICACIÓN EN LOS COJINETES)
Figura 0.10 Gráfico para determinar el flujo lateral
QS Flujo lateral total
PS r c 3 1 1.5 2 3 l´
QS
Donde:
e c
P
W /2 W 2r l´ 4r l´
T
H
H CH QS
(1)
2 f W r N J
(2)
(2) en (1) y QS
T º F
2 f W r N J CH QS
2 f W r N 6 l´ f W N 3 P r c J CH PS c 3 1 1.5 2 J CH S 1 1.5 2 3 l´
Reemplazando los valores de : J , , CH
T º F 0.0492
l´ f W N PS c 3 1 1.5 2
(3)
r N S c P 2
227
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Si P
W 4r l´
r 4r l´ N S W c 2
r S W c l´ N 4r
2
(4)
Reemplazando (4) en (3)
T º F
0.0123 r / c f S W 2 1 1.5 2 PS r 4
W lb PS Psi r pu lg
T º C
978(10)6 r / c f S W 2 1 1.5 2 PS r 4
Donde:
W KN PS KPa r mm Para la lubricación a presión se utilizan las Fig. 12-14 a Fig. 12-17 y Fig. 12-20 de SHIGLEY, a la presión máxima de película dada por la Fig. 12-20, debe sumarse la presión de suministro PS , con el fin de obtener la presión total de la película, PT Pmáx PS , para
l´ r 4r l´ N entrar dentro de estas figuras se utiliza , y S , la Fig. 12-18 y Fig. 12-19 d W c 2
de SHIGLEY no se utilizan para este tipo de lubricación por obvias razones.
228
(LUBRICACIÓN EN LOS COJINETES)
10.14 EJERCICIOS RESUELTOS 10.14.1
EJERCICIO 22 (COJINETES DESLIZAMIENTO)
Un cojinete de lubricación un soporte de muñón completo 360º tiene 30 RPS , una carga W 500 lb , un radio r 0.75" , la holgura c 0.0015" , la longitud l 1.5" , se ha medido que T1 100º F , el aceite utilizado es un SAE 20 . Se pide determinar si es un sistema óptimo, y de serlo se pide determinar cuáles son los valores de la temperatura de salida, el coeficiente de rozamiento, el torque, la pérdida de potencia, la pérdida de calor, el caudal de lubricante, la presión máxima en el lubricante, la posición de la presión máxima y la posición de la presión cero Po ; para el diseño del sistema de lubricación. Datos
Incógnitas
360º
Temperatura de salida: T2
N 30 RPS
Coeficiente de rozamiento: f
W 500 lb
Torque: Tr
r 0.75"
Pérdida de potencia: H
c 0.0015"
Pérdida de calor: H
l 1.5"
Caudal de lubricante: Q
T1 100º F
Presión máxima en el lubricante: Pmáx
Aceite SAE 20 Posición de la presión máxima: Pmáx Posición de la presión cero: Po
Solución: (Sin presión de entrada)
l 1.5 d 1.5 W 500 P 2r l 2 0.75 1.5 2 2 r N 0.75 30 S c P 0.0015 222
l 1 d
P 222 psi S 33780
Primera suposición (A):
Suponer T 30º F
1 1 Tm T1 T 100 30 115º F 2 2 229
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Tm 115º F :
Figura 12-11 (Shigley) 5.8 10 reyn 6
S 33780 5.8 106 S 0.196 r Fig . 12 17 c f 4.5 l Q 1 d Fig . 12 18 4.1 r c N l S 0.196 Qs Fig . 12 19 Q 0.57 r f 0.103 P 0.103 222 4.5 c T º F T º F 35.19 º F Q 1 Qs 1 4.1 1 1 0.57 2 Q r c N l 2 1 1 Tm A 117.6º F Tm supuesto Tm A T1 T 100 35.19 2 2 Los valores de y de Tm determinados constituyen el punto A de la figura 12-11. Para
determinar los valores reales de y de Tm se procede a suponer una valor de para el cual se puede determinar la Tm (punto B de la figura). Los valores requeridos se encuentran en la intersección de la recta formada por los puntos A y B y la curva de la figura para el aceite SAE 20 .
Según figura 12-11 (Shigley) Nueva suposición (B):
Suponer 4 10 reyn 6
S 33780 4 106
S 0.135
230
(LUBRICACIÓN EN LOS COJINETES)
Fig . 12 17 Fig . 12 18 Fig . 12 19
r f 3.2 c Q 4.28 r c N l Q s 0.66 Q
l 1 d S 0.135
r f 0.103 P 0.103 222 3.2 c T º F Q 1 Qs 1 4.28 1 1 0.66 2 Q r c N l 2
1 1 Tm B T1 T 100 25.5 2 2
T º F 25.5 º F
Tm B 112.75º F Tm supuesto 6 5.5 10 reyn Tm real 117º F
La solución se obtienen en la intersección de AB con la curva:
T 2Tm T1 2117 100 T T2 T1 T2 100 34 S 33780 5.5 106 Fig . 12 14 l 1 d Fig . 12 15 S 0.185 Fig . 12 17
T 34º F T2 134º F S 0.185
EL DISEÑO ES ÓPTIM Odentro del área sombreada h0 0.51 c 0.49 0.51
58º
r f 4.15 c
h0 0.51 h0 0.51 0.0015 0.000765" c e c 0.49 0.0015 e 0.000735" r 0.0015 f 4.15 f 4.15 0.0083 c 0.75 T W f r 500 0.0083 0.75 T 3.11lb plg T N 3.11 30 H 0.089 HP Pérdida de potencia: H 1050 1050 2 T N 2 3.11 30 H 0.063Btu / s Pérdida de calor: H 9336 9336
231
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
l 1 d S 0.185
Fig . 12 18 Fig . 12 19 Fig . 12 20 Fig . 12 21
Q 4.13 r c N l Q s 0.58 Q P 0.45 Pmáx
Pmáx 17.75º Po 82º
Q 4.13 r c N l
Q 4.13r c N l 4.13 0.75 0.0015 30 1.5 0.208 pl g 3 / s
Qs 0.58 Q
Qs 0.58 Q 0.58 0.208 0.12 pl g 3 / s
P 0.45 Pmáx
Pmáx
10.14.2
P 222 493.3 psi 0.45 0.45
EJERCICIO 23 (COJINETES DESLIZAMIENTO)
Un cojinete de casquillo de ¾” de diámetro y 2” de largo tiene una ranura circunferencial central de ¼” de ancho por la que suministra aceite SAE 10 a 120º F y 30 psi . La holgura radial es de 0.0015”, el muñón gira a 3000 RPM y la carga media es de 600 psi de área proyectada. Calcúlese el aumento de temperatura, el espesor mínimo de película y la presión máxima en ésta. Datos
Incógnitas
l ' 1 1/ 8 0.875"
Aumento de temperatura: T
d 0.75 2(0.0015) 0.747" Espesor mínimo de película: h0 r 0.5d 0.3735"
Presión máxima: Pmáx
Aceite SAE 10
T1 120º F
ps 30 psi c 0.0015"
N 3000 RPM P 600 psi
Solución: (Con presión de entrada) 232
(LUBRICACIÓN EN LOS COJINETES)
l ' 0.875 l' 1.17 d 0.747 d W P W P4r l ' 6004 0.3735 0.875 784.35lb 4r l ' 2 2 r N 0.3735 50 S S 5166.75 c P 0.0015 600
Fórmula para interpolar:
y
l l l 1 l l 1 l l 1 l l 1 8 1 d 1 2 d 1 4 d y 3 1 2 d 1 4 d y1 4 1 d 1 4 d y1/ 2 24 1 d 1 2 d y1/ 4 l d 1
3
l l' por 1.17 : d d
Sustituyendo
1 1 1 1 1.17 1 2 1.17 1 4 1.17 y 1 2 1.17 1 4 1.17 y1 1 1.17 1 4 1.17 y1 / 2 1 8 3 4 y 3 1 1.17 1 1.171 2 1.17 y 1/ 4 24
y1.17 0.62440.1048 y 1.644 y1 0.1564 y1 / 2 0.0095 y1 / 4 Primera suposición (A):
1 1 Tm T1 T 120 30 135º F 2 2 6 Figura 12-11 (Shigley) 2.38 10 reyn
Suponer T 30º F
Tm 135º F :
S 5166.75 2.38 106
Resumen de los valores de S 0.0125
Figura
12-14
12-17
r f c
y
0.89
0.8
y1
0.93
0.88
y1 / 2
0.945
1.05
y1 / 4
0.965
1.15
y1.17
0.926
0.86
Denom.
Figura
S 0.0125 y , y1 , y1/ 2 , y1/ 4
determinados de los gráficos, para
Observación
Valores que se encuentran en los gráficos respectivos
Valor calculado mediante la ecuación (22a), con los valores de y , y1 , y1/ 2 , y1/ 4 determinados.
233
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
r 2 f S W 0.0123 c 0.0123 0.86 0.0125 784.352 T º F 1 1.5 2 pS r4 1 1.5 0.9262 30 0.37354
T º F 60.94º F 61º F
1 1 Tm A T1 T 120 61 2 2
Tm A 150.5º F Tm supuesto
Según figura 12-11 (Shigley) Nueva suposición (B): Suponer 1.6 10 reyn 6
S 5166.75 1.6 106
Resumen de los valores de
y , y1 , y1/ 2 , y1/ 4
S 0.00827
Figura
12-14
12-17
r f c
y
0.918
0.59
y1
0.94
0.63
y1 / 2
0.95
0.66
y1 / 4
0.97
0.69
Denom.
Figura
y1.17
S 0.00827
0.938
0.625
determinados de los gráficos, para
Observación
Valores que se encuentran en los gráficos respectivos
Valor calculado mediante la ecuación (22a), con los valores de y , y1 , y1/ 2 , y1/ 4 determinados.
r 2 f S W 0.0123 c 0.0123 0.625 0.00877 784.352 T º F 1 1.5 2 pS r4 1 1.5 0.9382 30 0.37354 234
(LUBRICACIÓN EN LOS COJINETES)
T º F 30.625º F 31º F
1 1 Tm B T1 T 120 31 2 2
Tm B 135.5º F Tm supuesto
6 2 10 reyn Tm real 145º F
La solución se obtienen en la intersección de AB con la recta:
T 2Tm T1 2145 100 T T2 T1 T2 120 90 S 5166.75 2 106
Resumen de los valores de
y , y1 , y1/ 2 , y1/ 4
S 0.01033
Figura
12-14
12-17
r f c
y
0.92
0.64
y1
0.942
0.78
y1 / 2
0.96
0.82
y1 / 4
0.97
0.86
y1.17
0.939
0.768
Denom.
Figura
T 90º F T2 210º F S 0.01033 determinados de los gráficos, para
Observación
Valores que se encuentran en los gráficos respectivos
Valor calculado mediante la ecuación (22a), con los valores de y , y1 , y1/ 2 , y1/ 4 determinados.
r 2 f S W 0.0123 c 0.0123 0.768 0.01033 784.352 T º F 1 1.5 2 pS r4 1 1.5 0.9392 30 0.37354
T º F real 44.27º F 44º F
235
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Resumen de los valores de
y , y1 , y1/ 2 , y1/ 4
S 0.01033
Denom.
Figura
Figura
12-14
12-20
h0 c
P Pmáx
y
0.08
0.323
y1
0.057
0.202
y1 / 2
0.04
0.143
y1 / 4
0.03
0.102
y1.17
0.06
0.215
h0 0.06 c P 0.215 Pmáx
determinados de los gráficos, para
Observación
Valores que se encuentran en los gráficos respectivos
Valor calculado mediante la ecuación (22a), con los valores de y , y1 , y1/ 2 , y1/ 4 determinados.
h0 0.06 c 0.06 0.0015 0.00009 Pmáx
P 600 2790.7 psi 0.215 0.215
PT Pmáx ps 2790.7 30
PT 2820.7 psi
236
CABLES DE ALAMBRE METÁLICOS
CAPÍTULO XI 11 CABLES DE ALAMBRE METÁLICOS1 11.1 INTRODUCCIÓN Se fabrican con alambre de acero estirado en frío que enrollan primero en torones; luego se enrollan los torones en hélices alrededor de un elemento central o núcleo, que usualmente es de cáñamo, pulpa o alma de cable metálico que puede ser (IWRC), en este último, el cable es mucho más resistente al aplastamiento, alta temperatura que puede destruir un núcleo de cáñamo, la resistencia es un 7.5% mayor, y menor alargamiento bajo carga.
Figura 11.1 Gráfico de cables que indica las secciones con núcleo y sin núcleo central
Figura 11.2 Tipos de cables metálicos
1
Todo el Capítulo es tomado del texto “Diseño de Máquinas de FAIRES”
237
ELEMENTOS DE MÁQUINAS El cable se fabrica con torcido normal en que los alambres y los torones se retuercen en sentidos contrarios y torcidos lang en que los alambres y los torones se retuercen en el mismo sentido. Actualmente la mayoría de cables metálicos son preformados, dándose en primer lugar mecánicamente a los torones individuales la forma de hélice que tiene en el cable. Los cables preformados son más flexibles y su bobinado más fácil. Cuanto mayor es el número de alambres en el torón, más flexible es el cable y cuanto menor es el número de alambres más rígido es el cable. Los cables construidos por alambres delgados son adecuados para dobleces pronunciados, sin embargo los alambres exteriores están sometidos a desgaste cuando rozan superficies (pasando sobre una polea), y los alambres pequeños se desgastan más rápidamente que los grandes, la disposición de construcción está indicada por dos números, de los cuales el primero da el número de torones, y el segundo el número de alambres de cada torón, por ejemplo un cable de 6x19 tiene 6 torones de 19 alambres cada uno. Existen muchos tipos de secciones transversales como se indica en la figura siguiente, y de acuerdo a esta las aplicaciones.
238
CABLES DE ALAMBRE METÁLICOS
Figura 11.3 Cables de acero estándar fabricados bajo normativa DIN/ISO
11.2 RESISTENCIAS Los materiales corrientes para los cables metálicos son acero de alto contenido de carbono y la mayoría son de acero mejorado para arados, a continuación se indican las resistencias de las distintas calidades de los alambres para los cables. IPS tienen una máxima resistencia a la tracción “ Su ”
16870 Su 19680
Kg cm 2
240 Su 280KPsi
Acero para arado (PS)
14760 Su 16870
Kg cm 2
210 Su 240KPsi
Acero dulce para arado (MPS)
12650 Su 14760
Kg cm 2
180 Su 210KPsi 239
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Hierro con bajo contenido de carbono (0.1%), para situaciones no peligrosas.
Su 7030
Kg cm 2
Su 100KPsi Acero de muy alta resistencia (VHS), para situaciones peligrosas.
19680 Su 23900
Kg cm 2
280 Su 340KPsi También se usa cables de alambre galvanizado, bronce fosforoso y acero inoxidable. La resistencia del cable es siempre menor que la suma de las resistencias de los alambres. Se ha elaborado una tabla para algunos tipos de cables con los valores de los parámetros siguientes:
W Peso por longitud de cable
Ds Diámetro de la polea Dw Diámetro del alambre (para el tipo de cable en que todos los alambres tienen el mismo diámetro).
Am Sección transversal de metal en cada cable Er Módulo de elasticidad del cable Dr Diámetro del cable
240
CABLES DE ALAMBRE METÁLICOS Cable metálico 6x7
w 0.35Dr2 Kg / m
o del cable
Dr cm
Cable metálico 6x37
w 0.357 Dr2 Kg / m
w 0.37 Dr2 Kg / m
DS mín 42 Dr cm
Diámetr
Cable metálico 6x19
DS mín 30Dr cm
DS mín 18 Dr cm
DS deseable 72 Dr cm DS deseable 45Dr cm DS deseable 27 Dr cm DW 0.111Dr cm
914000 Kg / cm
Am 0.38Dr2 cm 2 Er
DW 0.048Dr cm
DW 0.067 Dr cm
2
843700 Kg / cm
Am 0.4 Dr2 cm 2 Er
2
IWRC : w 0.405Dr2 Kg / m
843700 Kg / cm
Am 0.4 Dr2 cm 2 Er
2
IWRC : w 0.394 Dr2 Kg / m
RESISTENCIA NOMINAL A LA ROTURA EN TONELADAS MÉTRICAS,
Fu
I .P.S.
P.S.
M .P.S.
I .P.S.
P.S.
M .P.S.
I .P.S.
P.S.
0.63
2.39
2.08
1.81
2.48
2.16
1.87
2.35
2.04
0.79
3.71
3.22
2.81
3.86
3.36
2.92
3.65
3.17
0.95
5.31
4.62
4.01
5.53
4.81
4.18
5.24
4.56
1.11 1.27
7.19 9.10
6.25 8.12
5.44 7.06
7.51 9.71
6.52 8.47
5.66 7.37
7.09 9.25
6.16 8.03
1.43
11.79
10.25
8.90
12.24
10.71
9.25
11.70
10.15
1.59
14.42
12.61
10.88
15.16
13.14
11.42
14.32
12.42
1.90 2.22
20.59 27.85
17.96 24.22
15.60 21.05
21.59 29.20
18.77 25.40
16.32 22.1
20.47 27.7
17.78 24.1
2.54
36.01
31.29
27.21
37.90
33.01
28.6
36.1
31.3
2.86
45.17
39.28
34.20
47.71
41.45
36.1
45.4
39.4
3.17 3.49
55.3 66.3
48.0 57.6
41.7 50.1
58.6 70.4
51.1 61.2
44.3 53.3
55.7 67.2
48.5 58.5
3.81
78.1
68.0
59.1
83.4
72.5
63.1
79.6
69.2
4.13
97.1
84.6
73.6
93.4
80.9
4.44 4.76
112.4 127.9
98.0 111.6
84.9 97.0
107.9 123.2
93.5 107.0
5.08
145.1
126.1
109.8
139.7
121.5
5.40
162.3
141.4
156.9
136.0
5.71 6.35
181.4 221.3
157.8 192.2
175.0 214.0
152.3 185.9
6.98
264.8
230.2
257.6
224.0
Tabla 11.1 Tabla de Propiedades de los Cables Metálicos (Unidades Métricas)
241
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
11.3 CARGAS EN EL CABLE Hay numerosas aplicaciones en que el proyectista deberá atenerse a un código y frecuentemente a requisitos o especificaciones legales, por ejemplo ascensores. Siendo así el proyectista cumple los
requisitos del código, pero aquí se indica las
consideraciones básicas partiendo del diagrama de cuerpo libre; que se indica Ft Fuerza de tracción debido a la carga que soporta (incluyendo la inercia). A demás como lo frecuente es que el cable se doble sobre una polea, el esfuerzo se incrementó por esta causa. Ecuación del momento para doblar elásticamente un alambre.
M
EI r
Esfuerzo de flexión en el alambre.
M c I
M
b I c
Donde:
Er Módulo de elasticidad del cable
E Módulo de elasticidad del alambre (30MPsi) 2´109000 kg/cm2
I Momento de inercia r Radio de doblez del cable r
DS 2
b Esfuerzo sobre el alambre
c Distancia entre eje neutro a la fibra más alejada c E I b I r c E c E Dw / 2 E Dw Kg b , Psi r DS / 2 DS cm 2 M
Fb b Am Donde:
Fb Carga equivalente de flexión del cable
242
Dw 2
CABLES DE ALAMBRE METÁLICOS Para determinar el alargamiento del cable se utiliza
L Er
F L cm , pu lg Am Er
Donde:
L Longitud del cable Er E
11.4 DISEÑO ESTÁTICO n
Ft admisible Ft aplicada
Fu Fb Ft
Donde:
Ft admisible Fu Fb
Fu Fuerza de resistencia a la rotura en el cable (Tablas). Ft Carga de tensión máxima aplicada al cable. Según el manual de Roebling recomienda los siguientes factores de diseño:
APLICACIÓN Tensores o vientos
n 3.5
Equipo diverso de elevación
5
Cables de tracción (grúas y cabrias)
6
Polipastos pequeños
7
Grúas de colada
8
Tabla 11.2 Factores de diseño recomendados
11.5 DISEÑO A FATIGA La rotura a la fatiga puede ser pronosticada mediante la relación
p en función del Su
número de ciclos de flexión, y se determina en la figura que se indica a continuación: Donde:
p Presión de apoyo por unidad de superficie de área proyectada de cable sobre la polea, su ángulo de contacto es 180º.
Su Resistencia máxima de los alambres.
p
2 Ft Dr DS 243
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
n
p admisible p aplicada
Donde:
p p
p Su Su
admisible
aplicada
2 Ft Dr DS
p p Su Su Dr DS Su Su n 2 Ft 2 Ft Dr DS
Figura 11.4 Gráfico para determinar la presión de apoyo p del cable sobre la polea
Figura 11.5 Gráfico para determinar
p Su
Vs Núm. de ciclos para vida finita e infinita, para 4 diferentes cables
244
CABLES DE ALAMBRE METÁLICOS
En el gráfico anterior observa p Su una vida infinita cuando
p Vs Número de ciclos se observa que puede obtenerse Su p
0.001
Su
0.001
,y
tendrá una duración limitada.
La garganta de la polea deberá ser suficientemente ancha para no oprimir el cable, y así evitar un excesivo desgaste debido a la presión. También debe tomarse en cuenta las siguientes presiones recomendadas, para cable de 6x19 y una polea de hierro fundido la presión es de 35kg/cm2, y con polea de acero moldeado la presión es 63kg/cm2, y con polea de acero al manganeso la presión es de 75 kg/cm2. Es importante también realizar todos los procedimientos de mantenimiento adecuados para evitar el deterioro prematuro del cable, así como si se descubre alambres rotos debe ser el cable reemplazado inmediatamente.
245
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
11.6 EJERCICIOS RESUELTOS 11.6.1 EJERCICIO 24 (CABLES METÁLICOS) Un montacargas de cajón destinado a una mina, pesa 900Kg y debe elevar una carga máxima de 1370Kg desde una profundidad de 300 metros. Se alcanza en 5 segundos la máxima velocidad de 6 m/s. Se pide: a) Qué tamaños de cable IPS 6x19 y de poleas se deben utilizar para vida infinita y para n=1.3 a base de la resistencia estática. b) Cuál es el factor de diseño estático. c) Cuáles son las dimensiones del cable y de la polea que se necesitan si el número de ciclos (flexión y enderezamiento) durante el tiempo de vida útil que se desea es 200 000 ciclos. Cuál es el correspondiente factor de diseño estático. d) Cuál es el alargamiento del cable hallado según el literal c) si se añade la carga de 1370Kg mientras el gancho del cabrestante cuelga libre en el fondo. Solución: a) Diseño a Fatiga
F ma 2270 111Dr2 1.2 Ft 2270 111Dr2 9.8 2 Ft 2548 124.6 Dr Si Su 16870
Kg cm 2
(mínimo)
n 1.3
p 0.0015 (vida inf inita ) Su
246
CABLES DE ALAMBRE METÁLICOS
p Su Dr DS Su n 2 Ft
2n Ft 2(1.3) 2548 124.6 Dr2 Dr DS 0.001516870 p Su Su
Usando el valor deseable DS 45Dr cable largo (Tabla)
Dr 45Dr 261.798 12.8Dr2 45Dr2 12.8Dr2 261.798 32.2 Dr2 261.798 Dr
261.798 1 2.85cm 1 " 32.2 8
DS 45(2.85) 128cm Recalculando
DS 130cm
n
0.0015168702.85130 2 2 2548 124.62.85 n 1.31 n
Se utiliza un cable
1 Dr 1 " 2.85cm 8 Una polea de DS 130cm
b) Diseño Estático
n
Fu Fb Ft
Tabla
Fu 47.71 Toneladas Dr 2.86cm
247
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
6 19 IPS DW 0.067 Dr Am 0.4 Dr2
Fb b Am Fb
b
E DW DS
E DW 21090000.067 Dr 0.4 Dr2 Am DS 130
Fb 10150 Kg
Ft 2548 124.62.857 3560Kg 2
47710 10150 3560 n 10.5 n
Este resultado indica que si se hubiese efectuado el cálculo a base de la condición estática con un factor de diseño de la tabla (por ejemplo 5), podría esperarse que la resistencia no fuese suficiente para soportar un número indefinido de ciclos. c) Para este caso se supone que el cable va a tener 6 ciclos de trabajo por hora y que trabaja durante las 8 horas diarias y durante 300 días por año y que el cable se diseña para una vida útil de 7 años por lo tanto el número de ciclos totales sería igual a
N 683007 100800 ciclos , pero hay que prevenir los casos en que se acelera la velocidad de casos de operaciones con circunstancias no usuales como el doble de ciclos que sería en total NT 2100800 201600 ciclos , por lo que redondeando se tendría el diseño para 200 000 ciclos . En la figura correspondiente con 200 000 ciclos, hallamos valor y DS 45Dr .
45Dr2
2 N Ft 2 1.32548 124.6Dr2 0.002816870 p Su Su
Donde:
3 Dr 1.91cm adoptamos 1.905cm " 4 248
p 0.0028 y sustituimos este Su
CABLES DE ALAMBRE METÁLICOS
DS 451.905 85.7cm 85cm Probamos por medio de la tabla
Fu 21.59 Toneladas o 21590Kg E DW Am 21090000.067 Dr 0.4 Dr2 Fb 4595Kg DS 85 Ft 2548 124.6Dr2 2548 124.61.905 3000Kg 2
n
Fu Fb 21590 4595 5.66 Ft 3000
Este valor está más cercano con el de la tabla que es 5. d)
FL 1370300100 33.5cm Am Er 0.4 1.905 2 843700
249
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
CAPÍTULO XII 12 TORNILLO SIN FIN 12.1 INTRODUCCIÓN La siguiente figura muestra un mecanismo de tornillo sin fin (engrane-tornillo o gusano), los ejes se cortan a un ángulo de 90º lo cual es muy usual en los mecanismos, y el estudio se realizará para este tipo de sistema, entornillo puede ser de una o más entradas. Un gusano de un diente se asemeja a un hilo de rosca de tronillo ACME. Los mecanismos de tornillo sin fin son de simples o doblemente evolventes, la diferencia más importante que hay entre los dos es el tipo de contacto, los de simple evolvente el contacto es una línea, los de doble evolvente el contacto es una superficie. Tanto el tornillo como el engrane tienen el mismo sesgo de hélice, pero los ángulos de hélice suelen ser completamente diferentes. Generalmente el ángulo de hélice del tornillo es bastante grande y el de la rueda muy pequeño. Debido a esto es usual especificar el ángulo de avance para el gusano λ y el ángulo de hélice G para el engrane; estos dos ángulos son iguales para este diseño.
Figura 12.1 Mecanismo de Tornillo Sin Fin
En la siguiente figura se indica la nomenclatura de un mecanismo de tornillo sin fin, al especificar el paso en mecanismos de tornillo sin fin se acostumbra a enunciar el paso 250
TORNILLO SIN FIN axial p x del tronillo, y el paso circular transversal del engrane conectado p t . Estos pasos son iguales en el caso presente p x = p t . El diámetro de paso del engrane es el diámetro medido sobre un plano que contiene al eje del gusano como se indica en la figura y vale:
dG
N G pt
Donde:
dG
Diámetro de paso del engrane
NG
Número de dientes del engrane
pt
Paso circular transversal del engrane
El diámetro de paso del tornillo sin fin puede tener cualquier diámetro porque no tiene relación con el número de dientes, sin embargo este debe ser igual al diámetro de paso de la fresa utilizada para formar los dientes del engrane. Por lo general se establece un rango para este diámetro, como se indica:
C 0.875 C 0.875 dW 3.0 1.7
Donde:
dW
Diámetro de paso del sin fin
C
Distancia entre centros
C
dW d G 2
251
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Figura 12.2 Mecanismo de Tornillo Sin Fin-Nomenclatura
El avance “L” tiene las siguientes relaciones:
L px N W tg
L dW
Los ángulos de presión normales n empleados dependen de los ángulos de avance λ. Una altura de dientes satisfactoria puede obtenerse dando a la altura un valor en proporción al del paso circular axial, como se indica en la siguiente tabla: Ángulo de λ= G ,
Ángulo de presión
Adendo
Dedendo
Avance grados
n , grados
a
bG
0-15
14 1/2
0.3683px
0.3683 px
15-30
20
0.3683 px
0.3683 px
30-35
25
0.3683 px
0.3314 px
35-40
25
0.3683 px
0.2947 px
40-45
30
0.3683 px
0.2578 px
Tabla 12.1 Relación de parámetros para mecanismos de tornillo sin fin
252
TORNILLO SIN FIN El ancho de cara FG de la rueda debe ser igual a la longitud de una tangente a la circunferencia de paso de sin fin como se indica en la figura:
Figura 12.3 Gráfico del tornillo sin fin que indica el ancho de cara del engrane
12.2 ANÁLISIS DE FUERZAS EN MECANISMOS DE TORNILLO SIN FIN En la siguiente figura se indica el diagrama de cuerpo libre del sin fin que tiene tres componentes ortogonales que son: la tangencial, radial y axial, y además el movimiento relativo entre los dientes del gusano y la rueda es un deslizamiento puro que genera fricción produciendo una fuerza de fricción adicional, a continuación se determina las ecuaciones para las distintas componentes de las fuerzas:
Figura 12.4 Diagrama de cuerpo libre del tornillo sin fin
En las siguientes fórmulas se desprecia la fricción:
W x WCosn Sen
WWt WGa W x
W y WSenn
WWr WGr W y
W z WCosn Cos
WWa WGt W z
Donde:
W x Fuerza tangencial W y Fuerza radial W z Fuerza radial 253
ELEMENTOS DE MÁQUINAS El subíndice w es para el tornillo sin fin, y el subíndice G es para el engrane. La fricción tiene una función importante en un mecanismo de sinfín, la fuerza tota W, normal al perfil del diente del sinfín, produce una fuerza de fricción W f W , que tiene una componente en el eje de las x W fx W Cos y en el eje y W fy W Sen , por lo tanto las ecuaciones se convierten en:
W x W (Cosn Sen Cos ) W y WSenn W z W (Cosn Cos Sen ) La fuerza de fricción tiene la relación:
W f W
WGt
Sen Cosn Cos
Una relación útil puede ser la siguiente:
WWt WGt
Cosn Sen Cos Sen Cosn Cos
La eficiencia del tornillo se obtiene de la siguiente manera:
WWt ( Sin fricción ) WWt (Con fricción )
Cosn tg Cosn Cot
La ecuación anterior se puede resolver para los datos: un valor típico
0.05 , ángulos de
presión y avance de la Tabla 12.1, cuyos resultados se indican en la siguiente tabla:
Ángulo de hélice
Eficiencia η,
G =λ, grados
%
1.0
25.2
2.5
46.8
5.0
62.6
7.5
71.2
10.0
76.8
15.0
82.7
20.0
86.0
25.0
88.0
30.0
89.2
Tabla 12.2 Eficiencia de mecanismos de tornillo sin fin para
254
0.05
TORNILLO SIN FIN En la figura siguiente se indica vectorialmente las velocidades en la línea de paso del engrane VG , del sin fin VW y la velocidad relativa o de deslizamiento VS , donde vectorialmente se tiene: VW VG VS , por lo tanto:
VS
VW Cos
Figura 12.5 Componentes de velocidad en un mecanismo de sin fin
El diagrama que se indica a continuación sirve para determinar el coeficiente de fricción para mecanismos de sin fin en función de la velocidad de deslizamiento.
Figura 12.6 Valores representativos del coeficiente de fricción para mecanismos de sin fin basados en la existencia de una buena lubricación, la curva B para materiales de alta calidad (un sin fin con temple de superficie conectado a un engrane de bronce fosforado), la curva A se emplea es de esperar mayor fricción (en sin fin y engrane de hierro colado)
12.3 ESFUERZOS EN UN MECANISMOS DE TORNILLO SIN FIN Buckingham adapta la ecuación de Lewis para el esfuerzo de flexión en el engrane del mecanismo de tornillo sin fin y se tiene: 255
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
WGt pn FG y
pn pxCos Donde:
Esfuerzo por flexión, Psi
WGt
Carga transmitida, lb
pn
Paso circular normal, pulg
px
Paso circular axial, pulg
FG
Ancho de cara de la rueda, pulg
y
Factor de forma de Lewis relacionado con el paso circular
Angulo de avance
Para el tornillo sin fin es difícil determinar el esfuerzo por flexión porque sus dientes son gruesos y cortos en los bordes de la cara y delgados en el plano central.
12.4 DISEÑO ESTÁTICO EN MECANISMOS DE TORNILLO SIN FIN La resistencia a la flexión de los dientes del engrane puede llegar a ser el factor de diseño principal, la ecuación del esfuerzo es una aproximación no se considera concentración de esfuerzos y no existe información al respecto, solo se diseñará estáticamente. Los dientes del sin fin son intrínsecamente más resistentes que los de su engrane. Diseño estático para el engrane
Figura 12.7 Elemento ordinario de esfuerzos y círculo de Mohr
Considerando un material dúctil y la Teoría de la Energía de la Distorsión, se tiene:
256
TORNILLO SIN FIN
Figura 12.8 Gráfico de la teoría de falla para material dúctil
n
Sy
x
x
;
WGt n pn FG y
Angulo de
Factor de
presión normal
forma
n , grados 14 ½
0.100
20
0.125
25
0.150
30
0.175
Tabla 12.3 Valores de factor de forma
Sy WGt pn FG y
y
y
para mecanismos de tornillos sin fin
12.5 CAPACIDAD DE POTENCIA DE UN MECANISMO DE TORNILLO SIN FIN La ecuación de la AGMA para la potencia nominal de entrada en HP de un mecanismo de tornillo sin fin es:
H Donde:
WGt d G nW 126000 mG VS W f 33000
WGt d G nW VS W f 126000 mG 33000
Potencia de salida
Pérdida de potencia
WGt K S d G0.8 Fe K m K v
WGt
Carga a transmitir, lb
dG
Diámetro de paso del engrane, pulg
nW
Velocidad de tornillo, rpm
mG
Relación de transmisión
257
NG NW
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Velocidad de deslizamiento en el diámetro medio del
VS
tornillo, pie/min
Wf
Fuerza de fricción, lb
KS
Factor de corrección por tamaño y materiales (Tabla 12.4) Ancho de cara efectivo. Esta dimensión es el ancho de
Fe
cara del engrane o dos tercios del diámetro de paso del sinfín. Se usa el menor de estos dos valores. Factor de corrección de la relación de velocidades
Km
(Tabla 12.5) Factor de velocidad (Tabla 12.6)
Kv
Ancho de cara del
Bronce de
Bronce de
Bronce de colado
colado en arena
frío estático
Hasta 3
700
800
1000
4
665
780
975
5
640
760
940
6
600
720
900
7
570
680
850
8
530
640
800
9
500
600
750
engrane
FG , pulg
Tabla 12.4 Factor de materiales
Relación
Ks
colado centrifugo
para mecanismos de tornillo sinfín cilíndricos
Relación
Relación
mG
Km
mG
Km
mG
Km
3.0
0.500
8.0
0.724
30.0
0.825
3.5
0554
9.0
0.744
40.0
0.815
4.0
0.593
10.0
0.760
50.0
0.785
4.5
0.620
12.0
0.783
60.0
0.745
5.0
0.645
14.0
0.799
70.0
0.687
6.0
0.679
16.0
0.809
80.0
0.622
7.0
0.706
20.0
0.820
100.0
0.490
258
TORNILLO SIN FIN Tabla 12.5 Factor de corrección de la relación de velocidades
Velocidad
Velocidad
Km
Velocidad
Vs , pie/min
Kv
Vs , pie/min
Kv
Vs , pie/min
Kv
1
0.649
300
0.472
1400
0.216
1.5
0.647
350
0.446
1600
0.200
10
0.644
400
0.421
1800
0.187
20
0.638
450
0.398
2000
0.175
30
0.631
500
0.378
2200
0.165
40
0.625
550
0.358
2400
0.156
60
0.613
600
0.340
2600
0.148
80
0.600
700
0.310
2800
0.140
100
0.588
800
0.289
3000
0.134
150
0.558
900
0.269
4000
0.106
200
0.528
1000
0.258
5000
0.089
250
0.500
1200
0.235
6000
0.079
Tabla 12.6 Factor de velocidad
Kv
12.6 EJERCICIO RESUELTO 12.6.1 EJERCICIO 25 (TORNILLO SIN FIN) Un tornillo sin fin de material acero ASSAB 705 tratado térmicamente de sesgo a la derecha y 2 entradas transmite 1HP a 1200 rpm a un engrane con 30 dientes. Este tiene un diámetro de paso transversal de 6 dientes por pulgada y un ancho de cara de 1 pulg
y su material es bronce fosfórico Sut 22.4KPsi, S y 14.9KPsi . El sin fin tiene un diámetro de paso de 2 pulg y una anchura de cara de 2 ½ pulg. El ángulo de presión normal es de 14 ½ º. Determine: a) Hállese el paso axial, la distancia entre centros, el avance y el ángulo de avance. b) El esquema del ejercicio es un croquis del mecanismo con respecto al sistema de coordenadas descrito en esta sección. A la rueda del sinfín la soportan los cojinetes A y B. Calcúlese las fuerzas que ejercen los cojinetes sobre el eje del engrane y el momento de torsión de salida. c) Calcule el factor de diseño. d) Determine la capacidad de potencia a transmitir.
259
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Figura 12.9 Mecanismo de tornillo sin fin
SOLUCIÓN: a)
p X pt
dG
C
N G 30 5 pt 6
dW d G 2 5 3.5 pu lg 2 2
L p X NW (0.5236)(2) 1.0472 pu lg
tg 1
L 1.0472 tg 1 9.47 dW (2)
b)
Vw nG VG
dW nW 12
(2)(1200) 12
628 pie / min
2 1200 80RPM 30
dG nG 12
(5)(80) 12
105 pie / min 260
TORNILLO SIN FIN
VS
VW 628 638 pie / min cos cos 9.47
Según la Figura 12.6. se halla
WWt
0.03
33000 H (33000)(1) 52.5lb VW 628
52.5 278 lb Wx W cos14.5 sen9.47 0.03 cos9.47 cos n sen cos W y Wsen n 278sen14.5 69.6lb
W z W (cos cos sen )
278(cos14.5 cos9.47 0.03sen9.47 ) 266.9 lb
WGa W x 52.5lb WGr W y 69.6lb WGt W z 266.9 lb
Cálculo de reacciones:
Figura 12.10 Diagrama de cuerpo libre del eje de la rueda
Se considerará que B es el cojinete de empuje para que el eje de la rueda esté en compresión.
261
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Fx 0 FBx 52.5 lb
Mz 0 (52.5)( 2.5) (68.6)(1.5) 4 FBy 0 FBy 58.6 lb
My 0 (264)(1.5) 4 FBz 0 FBz 99 lb
Fy 0 68.6 58.6 FAy 0 FAy 10 lb
Fz 0 264 99 FAz 0 FAz 165 lb
Mx 0 ( 264)( 2.5) T 0 T 660 lb pu lg
c) Diseño estático para el engrane
Considerando un material dúctil y la Teoría del la Energía de la Distorsión, se tiene: 262
TORNILLO SIN FIN
n
Sy
x
n
S y pn FG y WGt
Datos:
S y 14.9kpsi WGt 264 lb FG 1 pu lg
n 14.5º y 0.1 Tabla 12.3 pn p X Cos 9.47º p X 0.5236 pu lg
pn 0.5236 Cos(9.47º ) 0.52 pu lg n
14.9 103 0.52 1 0.1 2.93 264
d)
H
WGt d G nW VS W f 126000 mG 33000
WGt K S d G0.8 Fe K m K v W f W
WGt
Sen Cosn Cos
Datos:
d G 5 pu lg Fe 1 pu lg nW 1200 RPM VS 638
pie min
0.03 n 14.5º 9.47º
263
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
mG
N G 30 15 NW 2
K S 700 para FG 1 (Bronce de colado en arena) Tabla 12.4 K m 0.8 para mG 15 Tabla 12.5 K v 0.33 para VS 638
pie Tabla 12.6 min
WGt 700(50.8 )(1)(0.8)(0.33) 669.7lb Wf
0.03(669.7) 21.15 lb 0.03Sen(9.47º ) Cos(14.5)Cos(9.47)
Potencia de salida:
WGt d G nW 669.7(5)(1200) 2.13HP 126000 mG 126000(15)
Pérdida de potencia:
VS W f 33000
638(21.15) 0.41HP 33000
H 2.13 0.41 2.54HP
264