Yunus A. çengel
Termodinamica e trasmissione del calore edizione italiana a cura di Ettore Cirillo
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Indice Presentazione dell'edizione italiana Prefazione Titolo originale: lntroduction To Thermodynamics and heat transfer Copyright© 1997 McGraw-Hill Companies, !ne. Copyright© 1998 McGraw-Hill Libri Italia srl Piazza Emilia, 5 20129Milano I diritti di traduzione, di riproduzione, di memorizzazion e elettronica e di adattamento totale e parziale con qualsiasi mezzo (compresi i microfilm e le copie fotostatiche) sono riservati per tutti i paesi. Nomi e marchi citati nel testo sono generalmente depositati o registrati alle rispettive case produttrici.
McGraw-Hill
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Editor: Alberto Kratter Thaler Redazione: Chiara Tartara, Giovanni Malafarina Produzione: Gino La Rosa Traduzione: Ubaldo Ayr, Emilia Conte, Ida Fato, Giuseppe Starace, Pietro Stefanizzi Realizzazione editoriale: Omnibook, Bari Stampa: Arti Grafiche Stefano Pinelli, Milano
ISBN 88 386 0767-2 1' edizione ottobre 1998 Printed in ltaly 1234567890PINPIN921098
1 lii 1.1 1.2 1.3 1.4 l.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.1 O
1.11
I CONCETTI FONDAMENTALI DELLA TERMODINAMICA 1 La termodinamica e l'energia 2 Le grandezze fisiche e le unità di misura 4 I sistemi chiusi e i sistemi aperti 7 Le forme di energia 8 Le proprietà di un sistema termodinamico 11 Lo stato e l'equilibrio 12 Le trasformazioni e i cicli termodinamici 13 Il postulato di stato 16 La pressione 16 La temperatura e il principio zero della termodinamica 20 Sommario 24
2 li LE PROPRIETÀ DELLE SOSTANZE PURE 2.1 Le sostanze pure 2.2 Le fasi di una sostanza pura 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
xi xm
I cambiamenti di fase delle sostanze pure Diagrammi cli stato per trasformazioni con cambiamento di fase La superficie p-v-T Le tabelle delle proprietà L'equazione di stato dei gas perfetti
27 28 28 30 33
39 40 46
VI Indice
Il fattore di compressibilità. Una misura dello scostamento dal comportamento di gas perfetto 2.9 Le altre equazioni di stato 2.10 Sommario 2.8
3 li IL PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA: I SISTEMI CHIUSI
49 52 57 59 60 60 67 71 78
Introduzione al primo principio della termodinamica La trasmissione di calore Il lavoro Le forme meccaniche del lavoro Il primo principio della termodinamica I calori specifici Energia interna, entalpia e calori specifici dei gas perfetti Energia interna, entalpia e calori specifici di solidi e liquidi Gli aspetti termodinamici dei sistemi biologici Sommario
85 93 95 101
4 lii IL PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA: I VOLUMI DI CONTROLLO 4.1 L'analisi termodinamica dei volumi di controllo 4.2 I processi a flusso stazionario 4.3 Alcuni dispositivi a flusso stazionario 4.4 Sommario
105 106 l1l 115 126
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10
84
5 Il 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12
IL SECONDO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA Introduzione al secondo principio della termodinamica I serbatoi di energia termica I motori termici ·Macchine frigorifere e pompe di calore Le macchine a moto perpetuo Trasformazioni reversibili e irreversibili Il ciclo di Carnot I teoremi di Carnot La scala termodinamica di temperatura Il motore termico di Carnot La macchina frigorifera e la pompa dì calore di Carnot Sommario
129 130 131 131 137 143 145 150 152 153 155 158 160
6 lii 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6
L'ENTROPIA La diseguaglianza di Clausius L'entropia Il principio dell'aumento dell'entropia Il bilancio di entropia Che cos'è l'entropia? Il diagramma T-s
163 164 165 167 169 173 176
La valutazione della variazione di entropia La variazione di entropia di solidi e liquidi La variazione di entropia dei gas perfetti Il lavoro per trasformazioni reversibili in condizioni di flusso stazionario 6.11 Sommario
6.7 6.8 6.9 6.10
178 180 182 186 189
7 lct 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12 7.13 7.14 7.15 7.16 7.17 7.18 7.19
CICLI DIRETTI E CICLI INVERSI Considerazioni fondamentali nell'analisi dei cicli diretti Il ciclo di Carnot come ciclo di confronto I cicli ad aria standard Descrizione dei motori alternativi Il ciclo Otto: ciclo ideale dei motori ad accensione comandata Il ciclo Diesel: ciclo ideale dei motori ad accensione spontanea Il ciclo Brayton: ciclo ideale degli impianti a turbina a gas Il ciclo Brayton con rigenerazione Il ciclo ideale della propulsione a getto Il ciclo di Carnot a vapore Il ciclo Rankine: ciclo ideale degli impianti motori a vapore Il ciclo Rankine ideale con risurriscaldarnento Macchine frigorifere e pompe di calore Il ciclo inverso di Carnot Il ciclo inverso a compressione di vapore ideale Proprietà dei refrigeranti Le pompe di calore La refrigerazione termoelettrica Sommario
193 195 197 199 200 202 209 213 219 223 230 231 239 243 244 246 250 252 253 255
sm
LE MISCELE DI GAS La composizione delle miscele di gas Comportamento p-v-T delle miscele di gas: gas perfetti e gas reali Le proprietà delle miscele di gas: gas perfetti e gas reali Sommario
261 262
8.1 8.2 8.3 8.4
9 i1 MISCELE GAS-VAPORE E CONDIZIONAMENTO DELL'ARIA 9.1 Aria secca e aria atmosferica 9.2 Umidità assoluta e umidità relativa 9.3 La temperatura dì rugiada 9.4 La temperatura di saturazione adiabatica e la temperatura di bulbo umido 9.5 Il diagramma psicrometrico 9.6 Il benessere termoigrometrico e il condizionamento dell'aria 9.7 Trasformazioni per il condizionamento dell'aria 9.8 Sommario
264 269 277 281 282 283 285
287 290 292 294 307
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VII 4t711rW~
Indice
VIII Indice
1 Oim LA CONDUZIONE TERMICA IN REGIME .- . 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 1O.7 10.8 10.9 10.10 10.11
STAZIONARIO La termodinamica e la trasmissione del calore, Le modalità di trasmissione del calore La conducibilità termica La conduzione termica stazionaria nelle pareti piane Le reti di resistenze termiche La conduzione termica in cilindri e sfere Il raggio critico di isolamento La generazione di calore in un corpo solido La trasmissione di calore da superfici alettate La trasmissione di calore nelle configurazioni comuni. Sommario · ··~ e:;• }(,i·,;?" ><
, r , -·
311 312 313 319 328 339 342 349 351 354 363 368
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11 ilil LA CONDUZIONE TERMICA IN REGIME VARIABILE 373 11.1 Lo studio dei sistemi a parametri concentrati 374 11.2 La conduzione termica in regime variabile per ampie 380 pareti piane, lunghi cilindri e sfere 11.3 La conduzione termica in regime variabile nei solidi semi-infiniti 391 11.4 La conduzione termica in regime variabile per sistemi multidimensionali 395 11.5 Sommario 402 12 ili 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7
LA CONVEZIONE FORZATA Il fenomeno fisico della convezione forzata Lo strato limite di velocità Lo strato limite termico Il flusso su piastra piana Il flusso su cilindri e sfere Il flusso ali' interno di tubi Sommario
405 406 408 412 413 419 425 444
13 fll 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6
LA CONVEZIONE NATURALE Il fenomeno fisico della convezione naturale La convezione naturale su superfici La convezione naturale all'interno di cavità La convezione naturale su superfici alettate La convezione naturale e la convezione forzata Sommario
449 450 454 459 466 469 471
1411 LA TRASMISSIONE DI CALORE PER IRRAGGIAMENTO 14.1 Introduzione 14.2 La radiazione termica 14.3 La radiazione di corpo nero
473 474 475
477
14.4 14.5 14.6 14.7 14.8
Le proprietà radiative La radiazione solare e atmosferica Il fattore di vista La trasmissione di calore per irraggiamento: superfici nere La trasmissione di calore per irraggiamento: superfici grigie e diffondenti 14.9 Gli schermi di radiazione e l'influenza dell'irraggiamento 14.10 Sommario
512 525 529
15 !9 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7
533 534 537 544 547 556 566 570
GLI SCAMBIATORI DI CALORE I diversi tipi di scambiatori di calore Il coefficiente globale di scambio termico Il dimensionamento degli scambiatori di calore La differenza media logaritmica di temperatura Il metodo e-NTU La scelta di uno scambiatore di calore Sommario
483 492 497 510
16 ~ IL RAFFREDDAMENTO DELLE APPARECCHIATURE 16.l 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 16.10 16.11 16.12
ELETTRONICHE Introduzione e cenni storici Costruzione delle apparecchiature elettroniche Il carico termico delle apparecchiature elettroniche L'ambiente termico Il raffreddamento delle apparecchiature elettroniche in differenti applicazioni Il raffreddamento per conduzione Il raffreddamento ad aria: la convezione naturale e l'irraggiamento Il raffreddamento ad aria: la convezione forzata Il raffreddamento a liquido Il raffreddamento a immersione I tubi di calore Sommario
573 575 576 582 584
LETTURE CONSIGLIATE
641
APPENDICE 111111 TABELLE DELLE PROPRIETÀ E DIAGRAMMI
643
585 588 603 610 625 628 633 638
Presentazione dell'edizione italiana Mi sono accinto a curare la traduzione del libro di Yunus A. çengel, introduction to thermodynamics and heat transfer (McGraw-Hill, 1997), nella versione italiana Termodinamica e trasmissione del calore, perché convinto eh&, possa costituire un valido supporto didattico per tutti i corsi universitari di Ingegneria e di Architettura in cui gli allievi devono affrontare lo stµdio della termodinamica e dei fenomeni di scambio termico. Il testo, infatti, affronta i principi fondamentali della termodinamica e della trasmissione del calore, riportando anche numerose applicazioni tecniche, in maniera chiara e intuitiva senza far ricorso a complesse elaborazioni matematiche. Inoltre la materia di studio è presentata in modo da suscitare l'interesse degli studenti, cercando di coinvolgerli attraverso la soluzione di numerosi problemi pratici ampiamente illustrati. Anche se gli argomenti riportati sono numerosi e tali da non poter essere affrontati in un solo corso di studi, non sarà difficile per il docente suggerire agli studenti le parti del libro da studiare ed eventualmente approfondire e quelle che possono essere tralasciate. Alla termodinamica è dedicata la prima parte del testo. I Capitoli 1 e 2 si riferiscono ai concetti base della termodinamica e alle proprietà delle sostanze pure. I Capitoli 3 e 4 sono dedicati al primo principio della termodinamica. Nei Capitoli 5 e 6 si affrontano il secondo principio della termodinamica e lentropia. Il Capitolo 7 tratta dei cicli diretti a gas e a vapore per la produzione di potenza meccanica e dei cicli inversi delle pompe di . calore. Per maggior completezza, e in modo da fornire le basi per lo studio degli impianti di trattamento del!' aria, sono stati aggiunti rispetto al testo
XII Presentazione dell'edizione italiana
originario i Capitoli 8 e 9 che riguardano le miscele dei gas e le trasformazioni ~ell'a;ia umida. Que.sti capitoli sono ricavati da Thermodynamics: an engmeermg approach, di Yunus A. çengel e Michael A. Boles (McGrawHill, 1998). La seconda parte del volume è dedicata alla trasmissione del calore. Nei <;:a~itoli 10 e 11 si st~dia la cond~zione di calore in regime stazionario e vanabII:: per ~assare poi alla c~nvezione naturale e forzata nei Capitoli 12 e 13 e. ali Irraggiamento nel Capitolo 14. Per la particolare importanza tecnologica dell'argomento, l'intero Capitolo 15 è dedicato allo studio e al dimensionamento degli scambiatori di calore. Nell'ultimo capitolo viene affrontato lo studio del raffreddamento dei componenti e~ettronici, argomento di particolare attualità e importanza. Questo cap1tolo, che affronta problematiche abbastanza specializzate, è co_mpletamente autono~o, a conferma della impostazione modulare del hbro, che permette d1 trattare alcuni argomenti tralasciandone altri e quindi di costruire il percorso didattico più consono alle esigenze del docente.
Prefazione
Ettore Cirillo
:•
La termodinamica e la trasmissione del calore sono due discipline strettamente correlate, che costituiscono ormai un elemento imprescindibile del bagaglio culturale di un ingegnere. Questo testo è dedicato soprattutto agli studenti di corsi universitari in cui è previsto un solo esame relativo a queste discipline. L'attenzione è focalizzata sui principi fondamentali della termodinamica e della trasmissione del calore, con un occhio di riguardo per le relative applicazioni ingegneristiche. Il materiale che costituisce il volume è tale da permettere una selezione e una impostazione in base alle proprie preferenze o alle necessità dettate dal corso: il docente può dedicare alla termodinamica un terzo, metà o due terzi del corso e il tempo rimanente ad argomenti specifici di trasmissione del calore. Prerequisito del testo è un'adeguata conoscenza della fisica e del calcolo infinitesimale; non è richiesta la conoscenza delle equazioni differenziali, e comunque il livello matematico non va mai al di là degli integrali. L'accento è mantenuto sui temi fisici allo scopo di contribuire a sviluppare una comprensione intuitiva degli argomenti. Ritengo che sia sempre più necessaria, da parte dello studente di ingegneria, una perfetta comprensione dei meccanismi della trasmissione del calore, dato che questa svolge un ruolo essenziale nella progettazione - solo per fare qualche esempio - di schede circuitali, dispositivi elettronici, edifici, finanche di ponti; ma per la maggior parte dei corsi non vi è la possibilità di predisporre un ulteriore esame specifico. In tali casi risulta dall'esperienza - ed è questa la motivazione principale per cui ho affrontato questo progetto editoriale - che va maggiormente incontro alle necessità
XIV Prefazione
dello studente un esame che combini termodinamica e trasmissione del calore piuttosto che un esame di termodinamica soltanto, e quindi un testo esplicitamente progettato con questa impostazione; un volume, insomma, che eviti di dover adottare un testo per la termodinamica e di ricorrere ad appunti o a letture consigliate per quanto riguarda la trasmissione del calore. Un altro problema didattico cui si intende trovare soluzione è rappreS\)ntato dalla limitata disponibilità di tempo; è materialmente impossibile coprire con il necessario approfondimento tutti gli argomenti come sarebbe opportuno, per cui è importante che la selèzione - mai facile per il docente - sia favorita da un'adeguata struttura del manuale. Gli studenti del corso "combinato" possono acquisire una conoscenza di base di energia e interazioni energetiche, e di vari meccanismi di trasmissione del calore. Il libro, in qualche modo, è una versione condensata dei testi standard di termodinamica e di trasmissione del calore; il contenuto è costituito da quegli argomenti che gli studenti di ingegneria si troveranno a fronteggiare nella· loro professione. Il Capitolo 1 presenta i concetti fondamentali della termodinamica. Il Capitolo 2, sulle proprietà delle sostanze pure, limita l'uso delle tavole delle proprietà alle tavole di saturazione, utilizzate solo per facilitare la discussione dei cambiamenti di fase. I fattori di compressibilità e altre equazioni di stato vengono presentati per completezza, ma, se necessario, possono essere saltati. I Capitoli 3 e 4 sul primo principio della termodinamica si concentrano sulle interazioni energetiche per liquidi, solidi e gas (ma non per le miscele a due fasi) in sistemi chiusi e in regime stazionario. Nell'analisi dei gas viene usata l'approssimazione di gas ideale con calori specifici costanti, e solidi e liquidi sono approssimati a sostanze incompressibili. L'ultimo paragrafo del Capitolo 3 è dedicato all'argomento - di interesse quotidiano "diete ed esercizio fisico", ed è accompagnato da tabelle relative al contenuto energetico dei cibi e al consumo di energia durante le attività fisiche. Il Capitolo 5 è dedicato al secondo principio della termodinamica, mentre nel Capitolo 6, che riguarda l'entropia, l'attenzione è rivolta al significato fisico del!' entropia e alle relazioni isoentropiche dei gas ideali con uso di gas specifici costanti. Il Capitolo 7 sui cicli termodinamici descrive i principali cicli diretti e inversi, nonché i generatori termoelettrici e la refrigerazione termoelettrica. Se è necessario dedicare uno spazio maggiore alla trasmissione del calore, i Capitoli 6 e 7 possono essere saltati. I Capitoli 8 e 9 riguardano le miscele dei gas e il condizionamento dell'aria". I Capitoli 1O e 11 riguardano la conduzione termica rispettivamente in regime stazionario e in regime variabile; viene adottato un approccio fenomenologico, senza equazioni differenziali e relative condizioni al contorno, dando particolare spazio al concetto di resistenza termica. I Capitoli 12 e 13 riguardano rispettivamente la convezione naturale e forzata; l'impo• I Capitoli 8 e 9 non erano presenti sul testo originale; sono stati appositamente aggiunti nell'edizione italiana per una maggiore aderenza con i contenuti tipici di nostri corsi universitari e sono ripresi fedelmente da Thennodynamics: An Engineering Approach, di cui engel è co-autore assieme a M.A. Boles. [N.d.R]
stazione didattica è ancora di impronta ingegneristica, con dovizia di spiegazioni fisiche e riferimenti empirici. La trasmissione di calore per irraggiamento è trattata nel Capitolo 14, mentre gli scambiatori di calore sono l'argomento del Capitolo 15. Nel Capitolo 16 si può trovare una rassegna delle principali tecniche di raffreddamento delle a~parecc.hia~re. elettroniche. I capitoli sulla trasmissione del calore sono m pratica md1pendenti l'uno dal!' altro, e possono essere affrontati in un ordine qualsiasi. I paragrafi finali, inoltre, possono essere considerati facoltativi. L'impostazione data al volume è quella che ho sempre priv~legiato ~el la didattica: ci si rivolge direttamente al lettore in modo semplice ma ngoroso, incoraggiando la riflessione e l'approfondimento. Scopo di questo progetto didattico è fornire allo studente un manuale che venga lett_c> con interesse ed entusiasmo anziché considerato come uno strumento d1 consultazione per la risoluzione dei problemi. Si è pertanto operato uno sforzo particolare per stimolare le menti più curiose e guidarle in un viaggio nel mondo affascinante della termodinamica e della trasmissione del calore. Queste ultime in genere sono considerate materie ostiche, ma uno studente attento non dovrebbe trovare difficile la loro comprensione. Dopo tutto, i principi di termodinamica e di trasmissione del calore sono basati sulla nostra esperienza quotidiana e su osservazioni sperimentali. Entrambe le discipline sono mature, e gli argomenti affrontati nei testi introduttivi sono ben consolidati; i testi differiscono solo per l'impostazione didattica. Come detto, in questo libro si è scelto di seguire un approccio fenomenologico e intuitivo, che si giova spesso di riferimenti e confronti con la realtà quotidiana, in modo da far presa su conoscenze già acquisite da parte dello studente. L'ingegnere di qualche anno fa passava molto tempo a sostituire valori nelle formule per ottenere risultati numerici. Oggi si lascia che siano i computer a gestire le formule e le elaborazioni numeriche. L'ingegnere di domani, piuttosto, dovrà avere una sicura padronanza dei principi di base che gli consenta di comprendere i problemi più complessi, darne una formulazione utile alla risoluzione e interpretarne i risultati. L'obiettivo esplicito di questo volume è stato dunque di indirizzare gli studenti in tale direzione. Le figure sono strumenti importanti nella didattica, perché aiutano il lettore a farsi un quadro immediato dei concetti esposti. Le figure attirano lattenzione, e stimolano curiosità e interesse. Questo libro contiene probabilmente un apparato grafico più ricco degli altri testi analoghi. Viene utilizzato anche un popolare personaggio dei fumetti, Blondie, per fissare il punto su alcuni concetti essenziali in modo divertente e per creare momenti di distensione. Ogni capitolo contiene molti esempi risolti che chiariscono meglio la teoria e illustrano l'uso dei principi fondamentali. Nella risoluzione di tali esempi viene seguito un approccio intuitivo e s!stematico. ~I t~rmine de! capitoli è presentato un sommario che può serv1re a un rapido npasso dei concetti e delle relazioni principali. Vorrei ringraziare per i numerosi e preziosi commenti, critiche e suggerimenti le seguenti persone: Dr J.L. Goddis, Clemson University, Dr A. Beyene, San Diego State University, Dr E.J. Drummond, University of Akron, Dr W.G. Rieder, North Dakota State University, Dr L.J. Johnsen,
xv Prefazione
XVI Prefazione
University of Portland, Dr A. Aziz, Gonzaga University, L. Witte, University of Houston. I loro consigli sono stati di grande aiuto per il miglioramento della qualità del presente testo. Vorrei poi ringraziare lamministrazione della University of Nevada, Reno per avermi agevolato nella preparazione del volume. Vorrei, infine, esprimere la mia riconoscenza a mia moglie Zebra e ai miei figli per la pazienza, la comprensione e l'incoraggiamento dimostratemi nelle fasi di stesura del libro.
Yunus A. çengel
I concetti fondamentali della termodinamica In termodinamica, come in ogni altra scienza, una precisa definizione dei concetti fondamentali permette di evitare possibili incomprensioni e di sviluppare gli argomenti con sicurezza. Oltre ai richiami sul sistema di unità di misura, in questo capitolo saranno presentati concetti fondamentali per la termodinamica, quali: sistema, energia, proprietà, stato, trasformazione, ciclo termodinamico. Lo studio accurato di questi concetti è essenziale per una buona comprensione degli argomenti trattati nei capitoli successivi.
1 I
1.1
2
~
LA TERMODINAMICA E L'ENERGIA
~
CAPITOLO 1 I concetti fondamentali della termodinamica
Energia
potenziale
Energia cinetica
FIGURA 1.1
L'energia non può essere né creata né distrutta: può soltanto essere trasformata (primo principio della termodinamica).
!'nergia . unmag•• . ~•mara (I unuAJ
FIGURA 1.2
Il principio di conservazione dell'energia per il corpo umano.
La termodinamica può essere definita come la scienza dell'energia, concetto fondamentale difficile da precisare, sebbene molti pensino di sapere cosa sia lenergia. L'energia può essere definita come capacità di produrre cambiamenti. Il termine tennodinamica deriva dalle parole greche OepµTJ (calore) e 8vvaµzç (potenza), e richiama in maniera efficace i primi tentativi di convertire il calore in lavoro meccanico. Oggi lo stesso termine viene impiegato in senso più generale, in modo da abbracciare tutte le forme di energia e le sue trasformazioni, nonché la produzione di lavoro meccanico, la refrigerazione e le relazioni esistenti tra le proprietà della materia. Una delle leggi fondamentali della natura è il principio di conservazione dell'energia, secondo il quale durante un'interazione, intesa come generico scambio energetico, l'energia può trasformarsi da una forma in un'altra, rimanendo nel suo complesso costante. In altri termini, l'energia non può essere né creata né distrutta: per esempio, un masso che cade da una rupe acquista velocità in conseguenza della conversione della sua energia potenziale in energia cinetica (Figura 1.1 ). Sul principio di conservazione dell'energia si basa, pure, la moderna dietetica: una persona che assume energia (tramite il cibo) maggiore di quella che cede (per esercizio fisico) aumenterà di peso (accumulo di energia sotto forma di grasso), mentre una persona che assume energia in quantità minore di quella ceduta perderà peso (Figura 1.2). Il primo principio della termodinamica, che può essere considerato semplicemente come un'espressione del principio di conservazione dell'energia, afferma che l'energia è una proprietà termodinamica. Il secondo principio della termodinamica afferma che lenergia ha qualità oltre che quantità e che i processi reali tendono a una riduzione della qualità dell'energia: per esempio, una tazza di caffè caldo (a temperatura superiore a quella dell'ambiente) lasciata su un tavolo finisce sicuramente per raffreddarsi, mentre una tazza di caffè freddo, sullo stesso tavolo, non diventerà mai calda spontaneamente (cioè non raggiungerà mai una temperatura superiore a quella dell'ambiente) (Figura 1.3); una volta trasferita all'ambiente circostante, l'energia termica del caffè viene degradata, trasformata, cioè, in una forma meno utilizzabile, perché disponibile a temperatura inferiore. La termodinamica emerse come scienza con la costruzione delle prime macchine a vapore realizzate da Thomas Savery nel 1697 e da Thomas Newcomen nel 1712 in Inghilterra: tali macchine erano molto lente e inefficienti. Il primo e il secondo principio della termodinamica furono definiti contemporaneamente intorno al 1850 a opera di William Rankine, Rudolf Clausius e Lord Kelvin (già William Thomson). In particolare il termine tennodinamica fu utilizzato per la prima volta da Lord Kelvin in una pubblicazione del 1849, mentre il primo testo di termodinamica fu scritto nel 1859 da William Rankine, docente all'università di Glasgow. È noto che le sostanze sono composte da un grande numero di particelle, chiamate molecole, e che le loro proprietà dipendono dal comportamento di tali particelle: per esempio, la pressione di un gas ali' interno di
un contenitore è il risultato del trasferimento di quantità di moto dalle molecole alle pareti del contenitore. Tuttavia, non è necessario conoscere il comportamento delle particelle del gas per determinare la pressione all'interno del contenitore, poiché è sufficiente collegare un manometro al contenitore stesso. Questo approccio macroscopico allo studio della termodinamica, che non richiede la conoscenza del comportamento delle singole particelle, costituisce la termodinamica classica, che fornisce un metodo diretto e semplice per la soluzione dei problemi ingegneristici. Un approccio più complesso, che considera il comportamento medio di un gran numero di particelle, è alla base invece della termodinamica statistica. Tale approccio microscopico, piuttosto complicato, verrà utilizzato in questo testo soltanto con un ruolo di supporto.
I campi di applicazione della termodinamica
3 La termodinamica e l'energia
Calore
CAFFÈ CALDO
FIGURA 1.3
Il calore si trasmette spontaneamente da un corpo caldo a uno freddo (secondo principio della termodinamica).
Ogni attività ingegneristica comporta azioni reciproche tra energia e materia; di conseguenza, è difficile immaginare campi che non siano legati in qualche modo alla termodinamica. Per questo motivo una buona conoscenza dei principi della termodinamica è da sempre parte essenziale della formazione dell'ingegnere. Applicazioni della termodinamica si possono incontrare ovunque, anche proprio lì dove si vive. Infatti, una normale casa è, per così dire, un'esposizione di meraviglie termodinamiche, poiché molti apparecchi domestici sono progettati, in tutto o in parte, utilizzando i principi della termodinamica: per esempio, la cucina elettrica o a gas, i sistemi di riscaldamento e di condizionamento dell'aria, il frigorifero, l'umidificatore, la pentola a pressione, lo scaldacqua, la doccia, il ferro da stiro e persino il computer, il televisore e il videoregistratore. Su scala più ampia, la tennodinamica gioca un ruolo fondamentale nella progettazione e nell'analisi di motori per autotrazione, razzi, motori a reazione e centrali termoelettriche convenzionali o nucleari (Figura 1.4).
FIGURA 1.4
Alcuni campi di applicazione della termodinamica.
Condizionatori d'aria Aeroplani
Corpo umano
Motori per automobili
Centrali elettriche
Frigoriferi
----------------- - ---- -- Si potrebbe citare anche il corpo umano come un interessante campo di applicazione della termodinamica.
4 CAPITOLO 1 I concetti fondamentali della termodinamica
1.211 LE GRANDEZZE FISICHE E LE UNITÀ DI MISURA
TABELLA 1.1 Le sette grandezze fondamentali e le loro unità di misura nel Sistema Internazionale (SI) Grandezza Lunghezza Massa Tempo Temperatura Intensità di corrente Intensità luminosa Quantità di materia
Unità di misura
metro (m) kilogrammo (kg) secondo (s) grado kelvin (K) ampere (A) candela (cd) mole (mo!)
TABELLA 1.2 Prefissi delle unità di misura nel Sistema Internazionale (SI) Multipli
Prefissi
1012 109 10' 1Cl'
tera, T giga, G mega, M kilo, k
1()-2
canti, e
10" 10"" 1CT' 10-12
mllli,m mlcro, µ nano, n
pico, p
Le grandezze fisiche possono essere classificate in categorie di grandezze tra di loro confrontabili. Una di tali categorie è costituita, per esempio, da lunghezze, diametri, distanze, altezze, lunghezze d'onda e così via. Grandezze tra di loro confrontabili sono dette grandezze della stessa specie od omogenee. Se una particolare grandezza appartenente a una di tali specie è scelta come riferimento ed è denominata unità di misura, ogni altra grandezza a essa omogenea può essere espressa in termini di questa unità, come prodotto dell'unità di misura per un numero; tale numero è detto valore numerico della grandezza. Alcune grandezze basilari, come la massa m, la lunghezza L, il tempo t e la temperatura T, sono scelte come grandezze fondamentali (Tabella 1.1), fissandone le unità di misura, mentre altre, come la velocità w, l'energia E e il volume V, vengono espresse mediante le grandezze fondamentali e, pertanto, sono chiamate grandezze derivate. Negli anni, sono stati sviluppati diversi sistemi di unità di misura. La diffusione di più sistemi ha comportato una certa difficoltà nello scambio e nella gestione dei dati; pertanto, pur con enormi sforzi, si è giunti alla definizione di un unico sistema di unità di misura, denominato Sistema Internazionale (SI), che è stato accettato, per convenzione internazionale, dall'intera comunità scientifica. Il sistema di unità di misura SI è un sistema semplice e razionale, che utilizza potenze in base dieci per la definizione dei multipli e dei sottomultipli, espressi mediante i prefissi riportati nella Tabella 1.2. Gli sforzi sistematici per sviluppare un sistema di unità di misura universalmente accettabile risalgono al 1790, quarido l'Assemblea nazionale francese dette tale incarico ali' Accademia francese delle scienze. Una prima versione di sistema metrico fu subito sviluppata in Francia, ma essa non trovò generale accoglienza fino al 1875, quando fu stilato e firmato il Trattato sulla convenzione metrica da diciassette nazioni. In questo trattato internazionale, il metro e il grammo furono fissati come unità di misura rispettivamente per la lunghezza e la massa e si stabilì che una Conferenza generale di pesi e misure si tenesse ogni sei anni. Nel 1960, la Conferenza generale di pesi e misure sviluppò il Sistema Internazionale basato su sei grandezze fondamentali le cui unità di misura erano state adottate nel 1954 alla X Conferenza generale di pesi e misure: il metro (m) per la lunghezza, il kilogrammo (kg) per la massa, il secondo (s) per il tempo, l'ampere (A) per I' intensità di corrente elettrica, il grado kelvin (°K) per la temperatura termodinamica e la candela (cd) per l'intensità luminosa. Nel 1971, la Conferenza generale di pesi e misure aggiunse una settima grandezza fondamentale con la sua unità di misura: la mole (mol) per la quantità di materia. In base alla simbologia introdotta nel 1967, il simbolo di grado (0 ) fu ufficialmente eliminato dal! 'unità di misura della temperatura termodinamica
---
FIGURA 1.5 I prefissi delle unità di misura nel Sistema Internazionale sono usati in tutti i campi della scienza e dell'ingegneria.
.......
e si stabilì, inoltre, di scrivere in minuscolo i nomi delle unità di misura anche se derivati da nomi propri. In questo ultimo caso tuttavia il simbolo dell'unità di misura deve essere scritto in maiuscolo: per esempio, l'unità di misura SI della forza è, in onore di sir lsaac Newton, il newton (e non Newton) e il suo simbolo è N. Inoltre, il nome intero di una unità di misura può essere reso al plurale, tranne se di derivazione da nome proprio, ma non il suo simbolo: per esempio, la lunghezza di un oggetto può essere indicata come 5 m o 5 metri. Infine, i simboli delle unità di misura non vanno fatti seguire dal punto: per esempio, il simbolo corretto del metro è m (non m.) (Figura 1.5).
a= 1 m/s 2
I
m=lkg:
• F=lN
FIGURA 1.6 L'unità di misura della
Alcune unità di misura SI Nel sistema SI, essendo state fissate le unità cli misura della massa, della lunghezza e del tempo, l'unità di misura della forza risulta il newton (N), definito come la forza richiesta per accelerare una massa cli I kg di I m/s2 (Figura 1.6): IN=lkg·m/s2
La bilancia misura la gravitazionale che agisce su un
(1.1)
Spesso il termine peso viene utilizzato per indicare una massa, erroneamente, poiché diversamente dalla massa il peso P è una forza. Più precisamente il peso è la forza gravitazionale che agisce su di un corpo (Figura 1.7), quantificabile con la seconda legge di Newton:
P=mg (N)
(1.2)
dove m è la massa del corpo e g è l'accelerazione locale di gravità (g = 9.807 m/s2 a livello del mare e 45° di latitudine). Il peso dell'unità di volume di una sostanza è detto peso specifico yed è determinato dalla relazione pg, dove p è la densità della sostanza. La massa di un corpo rimane la stessa indipendentemente dalla sua posizione nell'universo, mentre il suo peso varia al variare dell'accelerazione gravitazionale: per esempio, un corpo pesa meno sulla cima di una montagna poiché l'accelerazione di gravità diminuisce con l'altitudine; un astronauta sulla superficie della Luna pesa circa un sesto di quanto pesa normalmente sulla Terra (Figura 1.8). L'accelerazione di gravità g varia da 9.807 m/s 2 a livello del mare a 9.804, 9.800, 9.791, 9.776 e 9.745 m/s2 ad altitudini di 1000, 2000, 5000, 10000 e 20000 m rispettivamente. Pertanto, per i casi pratici più comuni, l'accelerazione di gravità può essere assunta costante e pari a 9.8 m/s2• A livello del mare, come illustrato in Figura 1.9, una massa di I kg pesa pertanto 9.807 N.
r=
Un corpo che sulla Terra pesa 68 sulla Luna peserebbe solo li
~
1g=9.807 rn/s
2
P =9.807 kg · rn/s2 =9.807 N
Peso dell'unità di a livello del
6 CAPITOLO I I concetti fondamentali della termodinamica
Il lavoro, che è una fonna di energia, può essere definito semplicemente come il prodotto di una forza per uno spostamento; pertanto la sua unità di misura è il "newton per metro (N · m)", pari a un joule (J): lJ=lN·m Poiché 1 J è una quantità molto piccola di energia, nel sistema SI è molto utilizzato il kilojoule (1 kJ = 103 J).
L'omogeneità dimensionale Tutte le equazioni devono essere dimensionalmente omogenee, vale a dire tutti i loro termini devono avere le stesse unità di misura (Figura 1.10). Il controllo dimensionale è utile per individuare errori. Infatti, se, in fase di analisi, si rileva che ci si trova a sommare due quantità aventi differenti unità di misura, questo è segno evidente di un errore commesso precedentemente. ESEMPIO 1.1 FIGURA 1.10 Per essere dimensionalmente omogenei, tutti i termini di un'equazione devono avere le stesse unità di misura.
Durante la soluzione di un problema si giunge alla seguente equazione: E= 25 kJ + 7 kJ/kg
dove E, che è l'energia totale, ha come unità di misura il kilojoule. Si determini l'errore che può essere stato commesso. Soluzione I due termini al secondo membro.non hanno le stesse unità di misura e pertanto non possono essere sommali per ottenere l'energia totale. L'errore può essere stato causato dall'aver dimenticato di moltiplicare l'ultimo termine dell'equazione per una massa. Infatti, cosl facendo, verrebbero eliminali i kilogrammi al denominatore e l'intera equazione diventerebbe dimensionalmente omogenea.
Le unità di misura possono creare grandi difficoltà durante la soluzione dei problemi, se non vengono adoperate con la dovuta attenzione. Tuttavia, con un po' di accortezza ed esperienza, l'analisi dimensionale può essere utilizzata vantaggiosamente, poiché pennette di controllare le fonnule o addirittura di ricavarle, come viene spiegato nel seguente esempio. ESEMPIO 1.2 OLIO
V=2m3 P= 850 kg/m3
m=?
FIGURA 1.11 Schema per l'Esempio 1.2.
Un serbatoio avente un volume V= 2 m3 contiene olio di densità p = 850 kg/m3. Si determini la massa contenuta nel serbatoio. Soluzione Il sistema descritto è schematizzato in Figura 1.11. Si supponga di non ricordare la formula che lega la massa alla densità e al volume, ma di sapere che la massa ha come unità di misura il kilogrammo. Quindi, qualunque sia il calcolo da effettuarsi, il risultato deve essere espresso in kg. Tenendo conto dei dati: p=850kg/m3 V=2m3
risulta evidente che si possono semplificare i m3 e ottenere i kg moltiplicando tra loro queste due grandezze. Pertanto, la formula cercata è:
7 ~~:;
I sistemi chiusi
m=pV
e i sistemi aperti
Sostituendo i valori numerici si ottiene:
s
AMBIENTE
m =850 X 2 = 1700 kg
Si deve tener presente, comunque, che una fonnula non dimensionalmente omogenea è sicuramente errata, mentre una formula dimensionalmente omogenea non è necessariamente corretta.
1.3 1'] I SISTEMI CHIUSI E I SISTEMI APERTI Si definisce sistema termodinamico, o semplicemente sistema, la quantità di materia o la regione di spazio che si prende in considerazione. La massa o la regione al di fuori del sistema è detta ambiente, mentre la superficie reale o immaginaria che separa il sistema dall'ambiente è detta contorno del sistema. Questi tennini sono illustrati in Figura 1.12. Il contorno di un sistema può essere fisso o mobile. Si noti che il contorno è la superficie di contatto condivisa dal sistema e dall'ambiente. In termini matematici il contorno ha spessore nullo e pertanto non può né contenere massa né occupare volume. . . I sistemi possono risultare chiusi o aperti a seconda che s1 scelga d1 considerare una fissata quantità di materia o un fissato volume. . Un sistema chiuso, detto anche massa di controllo, è costituito da uua determinata quantità di materia ed è caratterizzato dal fatto che il suo contorno non pennette il passaggio di materia. Mentre la massa non può né entrare né uscire da un sistema chiuso, come mostrato in Figura 1.13, l'energia, invece, può attraversare il suo contorno sotto fonna di calore o di lavoro. Nel caso particolare in cui anche all'energia non sia consentito attraversare il contorno il sistema è detto isolato. Si consideri il dispositivo cilindro-pistone mostrato in Figura 1.14 e si ipotizzi di voler scoprire ciò che accade al gas contenuto nel cilindro quando viene riscaldato. In questo caso, poiché si sta focalizzando lattenzione sul gas esso costituisce il sistema. Le superfici interne del pistone e del cilindr~ costituiscono il contorno del sistema, che, poiché nessuna massa può attraversare il contorno, è un sistema chiuso. Si noti che l'energia, invece, può attraversare il contorno e che una parte di quest'ultimo (la superficie interna del pistone, in questo caso) può muoversi. Tutto ciò che è esterno al gas, pistone e cilindro inclusi, costituisce l'ambiente. Un sistema aperto, o, come spesso viene chiamato, volume di controllo, è una regione dello spazio delimitata da un contorno, detto superficie di controllo, che almeno parzialmente pennette il passaggio di materia come illustrato in Figura 1.15. Tra i sistemi aperti vanno inclusi i dispositivi interessati da un flusso di massa come compressori, turbine o ugelli. Il flusso attraverso questi dispositivi viene analizzato meglio individuando come volume di controllo la regione interna al dispositivo. Come esempio di si-
CONTORNO
FIGURA 1.12 Sistema, ambiente e contorno.
Dm!:;
--
-- ---
'
I I I I I I I SISTEMA I I CHIUSO I I I I I I m =costante I I I I I I!._ __________ J
massa NO
: !
energ ia si
FIGURA 1.13 La massa, al contrario dell'energia. non può attraversare il contorno di un sistema chiuso.
Contorno: parte mobile
GAS 2 kg 3 m3
I I I I I
I I I I
I I I 1_._ ________ I1
FIGURA 1.14 Sistema chiuso con contorno mobile.
8 CAPITOLO 1
I concetti fondamentali della termodinamica Superficie di controllo
r-- - ------1 I I I
....i.::c=m-a-s-sa
sl
I
I I I I
i i
VOLUMEDI CONTROLLO
I I
I !I___________ _
sl
energia
FIGURA 1.15
Sia la massa sia l'energia possono attraversare il contorno di un volume di controllo. Superficie di controllo
Acqua calda in
uscita
sterna a~erto si consi~eri lo scaldacqua, mostrato in Figura 1.16, e si supponga d1 voler detemunare la potenza termica da trasferire all'acqua contenuta nel serbatoio perché fornisca una portata costante di acqua calda. Poiché lacqua calda lascia il serbatoio e viene sostituita da acqua fredda, non è opportuno assumere come sistema una fissata massa. Conviene, invece, porre lattenzione sul volume racchiuso dalle superfici interne del serbatoi? e considerare i flussi di acqua fredda e calda come flussi di massa rispettivamente entranti e uscenti dal volume di controllo. Le superfici interne del serbatoio costituiscono la superficie di controllo che è attraversata dai flussi di massa in due zone. Le relazioni termodinamiche che si possono applicare ai sistemi chiusi e ai sistemi aperti sono differenti tra loro. Pertanto, è estremamente importante individuare il tipo di sistema prima di iniziare ad analiz· zarlo. In tutte le analisi termodinamiche, il sistema deve essere accuratamente definito. Molto. spesso il sistema da studiare è talmente semplice e ovvio che la sua defimz1one può sembrare un lavoro tedioso e inutile. In altri casi !nvece, il sistema da analizzare può essere piuttosto complesso e una su~ idonea scelta può semplificare molto l'analisi.
1.4 l!ì!l LE FORME DI ENERGIA
I I
I
I
I
I
I
i SCALDACQUA : I t i (volume di I Acqua i controllo) I fredda in I I ingresso
L'energia di un sistema può esistere in numerose forme: eneroia termica 0 cinetica, potenziale, elettrica, magnetica, chimica e nucleare, la cui somm~ è l'ener~ia t?tal.e E del sistema. L'en~rgia totale di un sistema per unità di massa viene md1cata con e ed è definita dalla relazione:
somma di tutte le forme microscopiche dell'energia è detta energia interna del sistema ed è indicata con V. Il termine energia fu coniato da Thomas Young nel 1807 e il suo uso in termodinamica fu proposto da Lord Kelvin nel 1852. Il termine energia interna e il suo simbolo V apparvero per la prima volta nei lavori di Rudolf Clausius e William Rankine nella seconda metà del XIX secolo. L'energia macroscopica di un sistema è legata al movimento e all'influenza di alcuni fenomeni esterni come la gravità, il magnetismo, l'elettricità e la tensione superficiale. L'energia che un sistema possiede per effetto del suo moto, riferito a un fissato sistema di riferimento, è detta energia cinetica E<" Se tutte le parti di un sistema si muovono con la stessa velocità, l'energia cinetica è espressa dalla relazione:
e, per unità di massa:
dove il simbolo w rappresenta la velocità del sistema nel riferimento fissato. L'energia che un sistema possiede per effetto della sua quota in un campo gravitazionale è detta energia potenziale EP ed è espressa dalla relazione: ,,,,,.,.,
-·""
~
,,,.
.
-·----~-·,_.~-- ~;,= nig~~~QL .._.
.
e, per unità di massa:
I I _,...__ 1I____________ 1
FIGURA 1.16
o
Sistema aperto (volume di controllo) con un ingresso e un'uscita.
FIGURA 1.17 Le forme macroscopiche di energia
di un oggetto cambiano con la velocità e con la quota.
La termodinamica non fornisce nessuna informazione circa il valore assoluto dell'energia totale di un sistema, perché tratta esclusivamente le ~ariazio~i ~e~l'e~ergia totale, le uniche ad avere importanza nei problemi mgegn~nst1c~. S1 p~ò, allora, assegnare valore nullo (E= 0) all'energia t~tal~ d1 un sistema m un conveniente stato di riferimento, poiché le variaz1om dell'energia totale del sistema sono indipendenti dallo stato di riferimento scelto: per esempio, la diminuzione di energia potenziale di un masso in caduta libera dipende soltanto dalla differenza di quota e non dal livello di riferimento scelto. Nell'analisi termodinamica spesso è utile classificare le varie forme di energia che costituiscono l'energia totale di un sistema in due gruppi: macroscopiche e microscopiche. Le forme macroscopiche dell'energia sono q.uelle che un sistema possiede nel suo complesso, rispetto a un qualche s1stem~ este~o di riferimento: per esempio, l'energia cinetica o l'energia potenziale (Figura 1.17). Invece le forme microscopiche dell'energia sono quelle legate alla struttura molecolare del sistema e al grado di attività molecolare; esse sono indipendenti dal sistema di riferimento esterno. La
dove g è l'accelerazione di gravità e z è la quota del centro di massa del sistema rispetto a un piano di riferimento arbitrariamente scelto. Gli effetti dovuti a fenomeni magnetici, elettrici e di tensione superficiale sono significativi soltanto in alcuni casi particolari e non sono considerati in questo testo. Trascurando questi effetti lenergia totale di un sistema è data dalla somma dell'energia cinetica, dell'energia potenziale e dell'energia interna:
e, per unità di massa:
Durante una trasformazione la maggior parte dei sistemi chiusi non subisce variazioni della propria energia cinetica e potenziale. I sistemi chiusi,
~
Le forme di
la cui velocità e quota del centro di massa restano costanti durante una trasformazione, sono spesso chiamati sistemi in regime stazionario. La variazione di energia totale !:i.E di un sistema in regime stazionario coincide con la variazione della sua energia interna l!i.U. In questo testo un sistema chiuso verrà ritenuto in regime stazionario se non altrimenti specificato.
10 CAPITOLO I I concetti fondamentali della termodinamica
Alcuni approfondimenti sull'energia interna
-o
ENERGIA CINETICA DI TRASLAZIONE
o
ENERGIA CINETICA DI ROTAZIONE
Q'
ENERGIA CINETICA
..!~t)I VIBRAZIONE
FIGURA 1.18 Varie fonne di energia delle molecole che danno luogo ali' energia interna sensibile.
ENERGIA SENSIBILE ELATENTE
ENERGIA CHIMICA
ENERGIA NUCLEARE
FIGURA 1.19 L'energia interna di un sistema tennodinamico è la somma di tutte le fonne microscopiche di energia.
L'energia interna di un sistema è stata definita precedentemente come la somma di tutte le forme microscopiche di energia di un sistema. Essa è legata alla struttura molecolare e al grado di attività molecolare e può essere vista come la somma delle energie cinetica e potenziale delle molecole. Per una migliore comprensione del concetto di energia interna, si consideri un sistema a livello molecolare. In generale, le singole molecole del sistema, durante il loro moto casuale, traslano con una certa velocità, vibrano l'una relativamente all'altra e ruotano attorno a un asse. A questi moti sono associate le energie cinetiche di traslazione, vibrazione e rotazione, la cui somma costituisce !'energia cinetica di una molecola. La parte dell' energia interna di un sistema che è legata all'energia cinetica delle molecole è detta energia sensibile (Figura 1.18). Poiché la velocità media e il grado di attività delle molecole sono proporzionali alla temperatura, ne consegue che al crescere della temperatura aumenta l'energia cinetica delle molecole e quindi anche l'energia interna del sistema. L'energia interna è legata anche alle forze intermolecolari, ovvero alle forze che legano tra loro le molecole di un sistema che, come ci si può aspettare, sono più intense nei solidi e più deboli nei gas. Se una sufficiente quantità di energia viene fornita alle molecole di un solido o di un liquido, queste forze intermolecolari saranno vinte, con il risultato di rompere il legame tra le molecole e di determinare il passaggio del sistema alla fase gassosa: questa è una trasformazione di cambiamento di fase. A causa di questa fornitura di energia, un sistema in fase gassosa è a un li vello di energia interna più elevato rispetto al corrispondente livello del sistema in fase solida o liquida. L'energia interna legata alla fase del sistema è detta energia latente. Le trasformazioni suddette possono verificarsi senza variazione della composizione chimica del sistema. La maggior parte dei problemi termodinamici rientra in questa categoria e, in tal caso, non è necessario porre attenzione alle forze che legano gli atomi in una molecola. L'energia interna associata ai legami atomici all'interno di una molecola è detta energia chimica o di legame. Durante una reazione chimica, come in un processo di combustione, alcuni legami chimici vengono distrutti mentre altri se ne formano, con il risultato che lenergia interna varia. Si deve anche accennare all'enorme quantità di energia interna associata ai legami all'interno del nucleo dello stesso atomo (Figura 1.19). Questa energia è detta energia nucleare ed è rilasciata durante le reazioni nucleari. Per lo più in termodinamica non è necessario considerare !'energia nucleare, tranne nei casi di fusione o fissione nucleare. Le forme di energia discusse precedentemente, che costituiscono l' energia totale di un sistema, sono quelle contenute o immagau.inate in un siste-
ma e perciò possono essere considerate come forme statiche di energia. Invece, le forme di energia che non sono immagazzinate all'interno di un sistema possono essere considerate come forme dinamiche di energia o energia scambiata. Queste si manifestano al contorno del sistema nel momento in cui lo attraversano e rappresentano lenergia ricevuta o persa dal sistema durante una trasformazione. Per un sistema chiuso vi sono soltanto due forme di energia scambiata: il calore e il lavoro. Il calore è una forma dinamica di energia che si scambia sotto lazione di una differenza di temperatura. Per tutte le altre forme dinamiche di energia si tratterà di lavoro, come verrà spiegato in dettaglio nel Capitolo 3. I sistemi aperti possono scambiare energia anche mediante il trasferimento di massa dal momento che, ogni qual volta il sistema scambia massa con l'ambiente, lenergia contenuta nella massa viene trasferita. Nella vita quotidiana si è abituati a riferirsi alle forme di energia interna sensibile e latente con il termine calore e si parla di contenuto di calore dei corpi; in termodinamica, invece, è preferibile riferirsi all'energia interna sensibile e latente con il termine energia termica per evitare confusioni con il calore che è, piuttosto, una forma dinamica di energia.
11 Le proprietà di un sistema termodinamil'o
1.5 9l! LE PROPRIETÀ DI UN SISTEMA TERMODINAMICO Ogni caratteristica di un sistema termodinamico è chiamata proprietà; per esempio: la pressione p, la temperatura T, il volume Ve la massa m. L'elenco può essere esteso a proprietà meno familiari come la viscosità, la conducibilità termica, il modulo di elasticità, il coefficiente di dilatazione termica, la resistività elettrica e anche la velocità e la quota. Nop tutte le proprietà sono indipendenti, poiché alcune di esse sono definite in funzione di altre: per esempio, la densità è definita come la massa dell'unità di volume:
m
p= V
(kg/ml)
(1.10)
A volte, la densità di una sostanza è espressa relativamente alla densità di una sostanza più nota: in tal caso prende il nome di densità relativa ed è definita come il rapporto tra la densità della sostanza e la densità p0 di una sostanza di riferimento in un detenninato stato (usualmente acqua a 4°C e 101325 Pa, per la quale p0 1000 kg/m3):
V= 12m3 m=3 kg
...
=
d= ..E_
Po
(1.11)
Si noti che la densità relativa è una grandezza adimensionale. Una proprietà più frequentemente utilizzata in termodinamica è il volume specifico, definito come il volume dell'unità di massa e pari al reciproco della densità (Figura 1.20):
p = 0.25 kg/m3 v=l=4m3/kg
p
FIGURA 1.20 La densità è la massa dell'unità di volume; il volume specifico è il volume dell'unità di massa.
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CAPITOLO 1 I concetti fondamentali della termodinamica
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p, kg/m3 V,
m3/kg
e, J/kg u, J/kg
FIGURA 1.21 Le proprietà intensive sono indipendenti dalle dimensioni del sistema.
Nella termodinamica classica la struttura atomica di una sostanza (e quindi gli spazi all'interno e tra le molecole) non viene considerata e la sostanza viene vista come una materia continua, omogenea senza vuoti microscopici, vale a dire un continuum. Questa schematizzazione è valida fintantoché si lavora con volumi, aree e lunghezze grandi rispetto alle dimensioni intermolecolari. Le proprietà dei sistemi possono essere classificate in intensive ed estensive. Le proprietà intensive sono quelle che non dipendono dalle dimensioni del sistema: per esempio, la temperatura, la pressione e la densità (Figura 1.21). Le proprietà estensive, invece, sono quelle che dipendono dalle dimensioni - o estensione - del sistema: per esempio, la massa m, il volume V e l'energia totale E. Un metodo semplice per stabilire se una proprietà è intensiva o estensiva consiste nel dividere il sistema in due parti uguali con un divisorio, come mostrato in Figura 1.22. Le proprietà che, in ciascuna delle due parti, conservano gli stessi valori del sistema originario sono intensive, mentre quelle che assumono valore ridotto alla metà sono estensive. Generalmente, per indicare le proprietà estensive si usano lettere maiuscole (tra le poche eccezioni vi è la massa m); mentre per le proprietà intensive si usano lettere minuscole (la temperatura T fa eccezione).
[Tl
FIGURA 1.22 Criterio per distinguere le proprietà intensive da quelle estensive.
LU-
I
I
2m I
tv T p
p
I I I I I I
I
2m
tv T p
p
Proprietà ) esten_sive Proprietà } intensive
Le proprietà estensive riferite all'unità di massa vengono chiamate proprietà specifiche: per esempio, il volume specifico (V= Vlm), l'energia totale specifica (e= Elm) e l'energia interna specifica (u = Ulm).
1.6 11 LO STATO E L'EQUILIBRIO
(a) Stato 1
(b) Stato 2
FIGURA 1.23 Sistema in due differenti stati di equilibrio.
Se un sistema non è soggetto ad alcun cambiamento, tutte le proprietà possono essere misurate o calcolate ovunque al suo interno, per cui si può ottenere un insieme di proprietà per descrivere completamente la condizione, o lo stato, del sistema stesso. In uno stato ben preciso, tutte le proprietà di un sistema assumono valori ben determinati. Se il valore anche di una sola proprietà cambia, varia lo stato del sistema. In Figura 1.23 è mostrato un sistema in due stati differenti. La termodinamica tratta dei sistemi in stato di equilibrio. Il termine equilibrio indica uno stato di bilanciamento. In uno stato di equilibrio non ci sono potenziali non bilanciati (o forze motrici) ali' interno del sistema.
Le trasformazioni e i cicli termodinamici
FIGURA 1.24 Un sistema che si modifica nel tempo non è in equilibrio.
2o·c
23•c
30"C 35•c
4o•c 42'C
(a) Prima
32•c 32•c 32•c 32•c n•c 32•c (b) Dopo
Un sistema in uno stato di equilibrio non è soggetto ad alcun cambiamento quando è isolato dal suo ambiente. Esistono diversi tipi di equilibrio. Un sistema è in equilibrio termodinamico se sono soddisfatte le condizioni di tutti i tipi di equilibrio (Figura 1.24), tra cui quelle di equilibrio termico, meccanico, di fase e chimico. Un sistema è in equilibrio termico se la temperatura è la stessa in ogni punto del sistema, come mostra la Figura l.25b; in altri termini, se il sistema non presenta gradienti di temperatura che sono la causa del flusso di calore. Un sistema è in equilibrio meccanico se in nessun punto vi sono variazioni di pressione nel tempo. Tuttavia, la pressione può variare all'interno del sistema con la quota, per effetto della gravità, poiché la pressione più elevata in uno strato inferiore è bilanciata dal maggiore peso che questo deve sopportare, per cui non c'è squilibrio di forze. Va osservato, però, che la variazione della pressione conseguente alla gravità nella maggior parte dei sistemi termodinamici è relativamente piccola e perciò viene generalmente trascurata. Un sistema che comprende più fasi è in equilibrio di 'fase quando la massa di ciascuna fase raggiunge uno stato di equilibrio e vi permane. Infine, un sistema è in equilibrio chimico se la sua composizione chimica non varia nel tempo, cioè se non si verificano reazioni chimiche.
1.7111'!1 LE TRASFORMAZIONI E I CICLI TERMODINAMICI Ogni cambiamento che un sistema subisce passando da uno stato di equilibrio a un altro si chiama trasformazione e la serie di stati attraverso cui il sistema passa durante una trasformazione è detta linea della trasformazio-
FIGURA 1.25 Sistema chiuso che tende all'equilibrio ternùco.
I
14 CAPITOLO I I concetti fondamentali della termodinamica Stato 2
A
della trasformazione
Stato l
FIGURA 1.26
Una trasformazione tra gli stati I e 2 e la linea che la rappresenta.
'"~tir-
.';.
(a) Compressione lenta (quasi-statica)
· :·. :.···.f -, , _ <:-<~ .
~"·(-;;.
(b) Compressione molto rapida (non-quasi-statica)
FIGURA 1.27
Trasformazioni di compressione: a) quasi-statica; b) non-quasi-statica.
ne (Figura 1.26). Per descrivere completamente una trasformazione, se ne devono specificare gli stati iniziale e finale, come pure la linea seguita e le interazioni con l'ambiente. Quando una trasformazione avviene in modo che, in ogni istante, il sistema rimanga infinitesimamente vicino al precedente stato di equilibrio, essa è detta trasformazione quasi-statica o di quasi-equilibrio. Una trasformazione quasi-statica può essere vista come una trasformazione sufficientemente lenta, tale da permettere al sistema di modificarsi internamente in modo che le proprietà in una parte del sistema non varino più velocemente di quelle nelle altre parti. Questo concetto è illustrato in Figura 1.27. Quando un gas, all'interno di un sistema cilindro-pistone, viene compresso rapidamente, le molecole vicine alla faccia del pistone non hanno sufficiente tempo per allontanarsi e finiscono per addensarsi in una piccola zona in vicinanza del pistone, dove determinano una zona di maggiore pressione. A causa di questa differenza di pressione, il sistema non può più dirsi in equilibrio e ciò rende lintera trasformazione non-quasi-statica. Invece, se il pistone viene mosso lentamente, le molecole del gas hanno tempo sufficiente per ridistribuirsi senza determinare un addensamento davanti al pistone. Ne consegue che la pressione all'interno del cilindro si mantiene sempre uniforme e aumenta con la stessa velocità in ogni punto. Poiché in ogni istante lo stato del sistema è uno stato di equilibrio, la trasformazione è quasi-statica. Si deve precisare che una trasformazione quasi-statica è una trasformazione ideale e non trova corrispondenza in alcun processo reale; tuttavia molti processi reali si avvicinano a essa e perciò possono essere considerati trasformazioni quasi-statiche con un errore trascurabile. Gli ingegneri sono interessati alle trasformazioni quasi-statiche per due ragioni: la prima è la semplicità con cui possono essere analizzate; la seconda è che le macchine producono il massimo lavoro quando operano secondo trasformazioni quasi-statiche (Figura 1.28). Pertanto le trasformazioni quasi-statiche sono il riferimento con cui confrontare le trasformazioni reali. I diagrammi delle trasformazioni, costruiti impiegando come coordinate le proprietà termodinamiche, sono molto utili nella visualizzazione delle trasformazioni stesse. Alcune proprietà comunemente utilizzate come co-
15
p /
~~tt;_:-..;;
Stato finale
Le trasfonm1zh1ni e i cidi termodinamid
2 Linea della
/trasformazione Stato iniziale
11 I
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Sistema
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(l)
r
FIGURA 1.29
Trasformazione di compressione rappresentata sul piano p- V.
ordinate sono la temperatura T, la pressione p e il volume. V (o il volume specifico v). In Figura 1.29 è riportato il diagramma p-V d1 una trasformazione di compressione di un gas. . Si noti che la linea della trasformazione indica una sene d1. stati. d1. equilibrio attraverso i quali il sisteJ?a passa ?ur~te la trasformazi.one e ha significato soltanto per trasforma.z1om quas1-sta~1c.he. Nel caso d1 trasf?rmazioni non-quasi-statiche non s1 può parlare d1 lmea della tr~s'.of1?az10ne, poiché non è possibile individuare gli st~ti ~!traverso ~u1 1~ sistema passa durante la trasformazione. Le trasform~1oru non-q~as1-stal!~he_ vengono pertanto rappresentate mediante una lmea tratteggiata anz1che una linea continua. Il prefisso iso- è usato di sol!t
p
'\ j l
FIGURA 1.28
Le macchine motrici producono il massimo lavoro quando operano
secondo trasformazioni quasi-statiche.
(a) Ciclo composto da due trasformazioni
V
(b) Ciclo composto da
quattro trasformazioni
V
FIGURA 1.30
Due cicli termodinamici rappresentati sul piano p-V.
16 CAPITOLO I I concetti fondamentali deHa termodinamica
Si dice che un sistema segue un ciclo se alla fine del processo ritorna nel suo stato iniziale, vale a dire se gli stati iniziale e finale coincidono. Il ciclo di Figura l.30a è composto da due trasformazioni, mentre quello di Figura l .30b consiste in quattro trasformazioni (è il ciclo ideale del motore a scoppio che sarà analizzato nel Capitolo 7).
1.8 ~ IL POSTULATO DI STATO
Azoto 7 T= 2s 0 c : 11 = 0.9 m3/kg
FIGURA 1.31 Lo stato dell'azoto è individuato da due
proprietà intensive indipendenti.
Come si è detto precedentemente, lo stato termodinamico di un sistema è descritto dalle sue proprietà. Dall'esperienza è noto che per individuare uno stato non è necessario specificare tutte le proprietà, poiché, determinato un numero sufficiente di esse, le restanti proprietà assumono automaticamente certi valori. In altri termini è sufficiente specificare un certo numero di proprietà per fissare uno stato. Il numero di proprietà richiesto per individuare lo stato di un sistema è dato dal postulato di stato: Lo stato di un sistema semplice comprimibile è completamente determinato da due proprietà intensive indipendenti.
Un sistema è detto sistema semplice comprimibile se possono essere trascurati, come accade per la maggior parte dei problemi ingegneristici, gli effetti dei fenomeni elettrici, magnetici, gravitazionali, di moto e di tensione superficiale. Nel caso in cui tali effetti non siano trascurabili è necessario specificare un'ulteriore proprietà per ognuno di essi: per esempio, se si deve tener conto degli effetti gravitazionali occorre specificare la quota z, in aggiunta alle due proprietà richieste dal postulato di stato. Il postulato di stato richiede che le dUe proprietà necessarie a determinare lo stato di un sistema oltre a essere intensive siano indipendenti. Due proprietà sono indipendenti se una di esse può essere variata mantenendo costante l'altra: per esempio, temperatura e volume specifico sono sempre proprietà indipendenti e, poiché sono anche intensive, insieme possono individuare lo stato di un sistema semplice comprimibile (Figura I.31). Temperatura e pressione, invece, sono proprietà indipendenti per sistemi a una sola fase, ma sono proprietà dipendenti nel caso di sistemi a più fasi. A livello del mare (p•tm = 101325 Pa), l'acqua bolle a l00°C, ma in cima a una montagna, dove la pressione atmosferica è minore, l'acqua bolle a una temperatura inferiore. In altri termini, T = f(p) durante una trasformazione di cambiamento di fase; perciò temperatura e pressione sono insufficienti per individuare lo stato di un sistema bifase. Le trasformazioni di cambiamento di fase saranno discusse in dettaglio nel prossimo capitolo.
fluido, come mostrato in Figura I.32. Questo è dovuto al fatto che ai livelli più bassi il fluido sopporta un peso maggiore che ai livelli più alti. La pressione varia in direzione verticale per effetto della gravità, mentre non c'è nessuna variazione in direzione orizzontale. La pressione in un serbatoio contenente un gas può essere considerata uniforme, poiché il peso del gas è troppo piccolo per produrre differenze significative (Figura 1.33). Poiché la pressione è la forza agente su una superficie di area unitaria, la sua unità di misura è il newton su metro quadrato (N/m 2), detto pascal (Pa):
17 La pressione
l Pa = l N/m2
Il pascal è una unità di misura troppo piccola per i casi che si incontrano nella pratica, perciò sono comunemente utilizzati i suoi multipli, il kilopascal (I kPa = 103 Pa), il megapascal (l MPa = 106 Pa) e il bar (I bar = 105 Pa), per cui:
l bar= 105 Pa =O.I MPa = 100 kPa
FIGURA 1.32
La pressione effettiva in un determinato punto è detta pressione assoluta e si misura relativamente al vuoto assoluto, cioè alla pressione assoluta nulla. La maggior parte degli strumenti di misura della pressione, invece, è calibrata per indicare zero in corrispondenza della pressione atmosferica (Figura 1.34). Pertanto essi indicano la differenza tra la pressione assoluta e la pressione atmosferica locale. Questa differenza è chiamata pressione al manometro. Pressioni inferiori alla pressione atmosferica si chiamano pressioni al vacuometro e si misurano con vacuometri che indicano la differenza tra pressione atmosferica e pressione assoluta. Pressione assoluta al manometro e al vacuometro sono quantità tutte positive e, correlate tra loro come riportato in Figura 1.35, sono espresse dalle relazioni:
= P.,. 7~~:;: ~~ ~~s!~~. ~u~~o~ àp~:~!~*:"~\1·131: = p_ ..::p,i. ; (pèr pressiçmi inferion a p.;;.) · /, ~ · >(I.14)
.l
- - - Patm
La pressione in un fluido aumenta con la profondità per effetto del maggiore peso del fluido.
p superiore= 1 atm ARIA (Ambiente alto 5 m)
p inferiore: = 1.006 atm
FIGURA 1.33
In un serbatoio contenente gas la variazione della pressione con la quota è trascurabile.
.~
----L.----- -----'
Pvac
La pressione è la forza esercitata da un fluido su una supeificie di area unitaria. Si parla di pressione soltanto nel caso di gas e di liquidi; nei solidi la grandezza corrispondente alla pressione è la tensione. Per un fluido in quiete, la pressione in un dato punto è la stessa in tutte le direzioni. La pressione in un fluido aumenta con la profondità per effetto del peso del
FIGURA 1.34
Pau
1.9 lii LA PRESSIONE Patm
Su un manometro la lettura della pressione atmosferica è zero.
Pa1m
Pau Vuoto -••.:..:.o:;;l;;;:ut;_o....1.-----L----p ass
FIGURA 1.35
=o----'-----'-.-...;;.o;.;lu-toVuoto
Pressione assoluta al manometro e al vacuometro.
18
19
mn
llF"
CAPITOLO I I concetti fondumentali della termodinamica
ESEMPIO 1.3
ESEMPIO 1.4
Un vacuometro collegato a un recipiente indica 40 kPa, mentre la pressione almo· sferica è 100 kPa. Si determini la pressione assoluta nel recipiente.
PE'.r misurare la pressione in un serbatoio è utilizzato un manometro differenziale 11 fluido adoperato ha una densità relativa all'acqua d =0.85 e l'altezza della colon~a ~el manometr~ è h = 55 cm, come mostrato in Figura 1.38. Se la pressione atmosfenca locale è d1 96 kPa, determinare la pressione assoluta all'interno del serbatoio.
Soluzione
La pressione assoluta si determina facilmente con l'Equazione 1.14: P.,. =P,..,. - P,,. =100 - 4Q =60 kPa
Gas
1-
_J___
-2
FIGURA 1.36 Manometro differenziale.
Patm
In termodinamica, sia nelle relazioni sia nelle tabelle, è utilizzata quasi sempre la pressione assoluta; pertanto in questo testo con il simbolo p si denota sempre, se non diversamente specificato, la pressione assoluta.
Piccole e modeste differenze di pressione si misurano, spesso, con uno strumento conosciuto come manometro differenziale, che consiste essenzialmente in un tubo a forma di U, in vetro o plastica, contenente un fluido come mercurio, acqua, alcool oppure olio. Per misurare differenze di pressione elevate mantenendo maneggevole il manometro si impiegano fluidi pesanti, come il mercurio. Si consideri il manometro differenziale mostrato in Figura 1.36, utilizzato per misurare la pressione ali' interno di un serbatoio contenente un gas. Poiché gli effetti gravitazionali nei gas sono trascurabili, la pressione in ogni punto del serbatoio e la pressione nel punto 1 sono uguali. Inoltre, poiché la pressione in un fluido non varia in direzione orizzontale, la pressione nel punto 2 è uguale a quella nel punto 1: p 2 =p 1• La colonna differenziale di fluido di altezza h è in equilibrio statico e il suo diagramma di corpo libero è mostrato in Figura 1.37. Il bilancio delle forze, in direzione verticale, fornisce: dove:
FIGURA 1.37 Diagramma di corpo libero di una colonna di fluido di altezza h.
P =mg= pVg
=pAhg
Pertanto: r
.
"I.
P1 = Parm + pgh
". (Pa)
Nelle precedenti relazioni, P è il peso della colonna fluida, p la densità del fluido che si assume essere costante, g laccelerazione locale di gravità, A l'area della sezione trasversale del tubo e p la pressione atmosferica. La differenza di pressione può essere espressa 7ome:
Si osservi che l'area della sezione trasversale del tubo non ha alcuna influenza sull'altezza differenziale h e quindi sulla misura della pressione esercitata dal fluido.
h = 55 cm
.Non essendo spec.ificato il valore dell'accelerazione locale di gravi11 valore standard d1 9.807 mls'. La densità del fluido si ottiene moltiplicando la densità relativa per la densità dell'acqua che si ipotizza sia 1000 kg!m•: p
Dall'Equazione
I
___t_
=dp =0.85 X 1000 =850 kg/m 3
d = 0.85
0
1.15, FIGURA 1.38 Schema dell"Esempio 1.4.
=100.6 kPa
Il barometro
e
La pressione atmosferica si misura con uno strumento chiamato barometro e, pertanto, prende anche il nome di pressione barometrica. Come fu scoperto da Evangelista Torricelli (1608-1647) alcuni secoli fa, la pressione atmosferica può essere misurata capovolgendo un tubo chiuso a un'estremità e riempito di mercurio, in una vaschetta, anch'ess~ contenen.te mercurio, esposta all'atmosfera, come mostrato in Figura 1.39. La p~ess1~ne nel punto B è uguale alla pressione atmosferica, mentre la pressione m C può essere assunta nulla poiché, superiormente, vi è soltanto v.apore di merc~rio eh~, in eq~ili?rio ~on la fase liquida, esercita una press10ne trascurabile. Scnvendo 11 b1lanc10 delle forze nella direzione verticale si ottiene: P,tm = pgh (Pa) -F
P1
-l
p =?
~ol~zione ta~ s1 assume
P =P,,,, + pgh ~ 96 + (850 x 9.807 x 0.55 x 1/1000)
Il manometro differenziale
Paim = 96 kPa
'.-<-.,_,...,_ ..
~...
"
p = pgltA
l
FIGURA 1.39 Barometro di Torricelli.
(1.17)
:,_,,,
dove p è la densità del mercurio, g l'accelerazione locale di gravità e h 1' altezza della colonna di mercurio al di sopra del pelo libero della vaschetta. Si osservi che la lunghezza del tubo e l'area della sua sezione trasversale non hanno alcun effetto sull'~t~zz~ d~lla colonna fluida del barometro (Figura 1.40). Una unita d1 m1su;a frequentemente utilizzata per la pressione, ma non f~cente parte del sistema SI, è latmosfera standard, definita come la pressione prodotta da una colonna di mercurio di 760 mm di altezza a 0°C
FIGURA 1.40 La lunghezza del tubo e !"area della sua sezione trasversale non hanno alcun effetto sull'altezza della colonna fluida del barometro.
...----------- ----------- ----·--
----
Poiché la pressione atmosferica in un luogo dipende dal peso dell'aria soprastante la superficie di area unitaria, si osservi che essa varia non solo con l'altitudine ma anche con le condizioni meteorologiche locali.
20 CAPITOLO I
J concetti fondamentali della termodinamica
ESEMPIO 1.5 Si determini la pressione atmosferica in una località dove la lettura barometrica è 740 mmHg e l'accelerazione di gravità è g =9.7 m/s2 • Si assuma che la temperatura del mercurio sia 10°c, cui corrisponde la densità di 13 570 kg/m3 • Soluzione
Dall'Equazione 1.17, la pressione atmosferica risulta essere:
Patrn = pgh = 13570 x 9.7 x 0.740 = 97 405 Pa
=
2 g 9.8 m/s p aim = 0.97 bar m =60 kg
= 0.04 m2
".
p =?
ESEMPIO 1.6 Un cilindro contenente un gas è munito di un pistone avente l'area della sezione trasversale di 0.04 m2 e una massa di 60 kg, come mostrato in Figura 1.41. La pressione atmosferica locale è 0.97 bar e l'accelerazione di gravità è 9.8 m/s2 • a) Si determini la pressione all'interno del cilindro. b) Si dica se la somministrazione di calore al gas fino a raddoppiarne il volume fa variare la pressione all'interno del cilindro.
FIGURA 1.41 Schema per l'Esempio 1.6.
Soluzione a) La pressione del gas all'interno del cilindro dipende dalla pressione atmosfertca e dal peso del pistone. Disegnando il diagramma di corpo libero del pistone (Figura 1.42) e facendo il bilancio delle forze in direzione verticale, si ottiene:
pA=p,""A+ P e quindi:
Patm
p =P,trn +mg/A= 0.97 x 105 + 60 x 9.8/0.04 = 111700 Pa = 1.117 bar b) La vartazione di volume non ha alcun effetto sul diagramma di corpo libero disegnato in a) e quindi la pressione all'interno del cilindro non varia. p P=mg
FIGURA 1.42 Diagramma del corpo libero del pistone.
1.1011 LA TEMPERATURA E IL PRINCIPIO ZERO DELLA TERMODINAMICA Sebbene la temperatura, quale misura della sensazione di freddo o di caldo, sia familiare a tutti, non è facile darne una precisa definizione. Sulla base della sensazione fisiologica personale, un corpo a seconda della sua temperatura viene detto gelido,freddo, tiepido, caldo e rovente. Basandosi soltanto sulla sensazione personale, non è possibile assegnare alla temperatura dei valori numerici. Inoltre, i sensi possono essere ingannati: per esempio, una sedia metallica viene giudicata molto più fredda di una in legno anche se tutte e due sono alla stessa temperatura. Fortunatamente numerose
-
proprietà dei materiali variano con la temperatura in maniera ripetibile e prevedibile, fenomeno questo che costituisce la base per una misura accurata della temperatura: per esempio, il comune termometro a mercurio si basa sulla dilatazione del mercurio con l'aumentare della temperatura. È esperienza comune che una tazza di caffè caldo lasciata su un tavolo finisce per raffreddarsi e che, invece, una bevanda fredda finisce per riscaldarsi. Quando, cioè, un corpo è messo in contatto con un altro corpo a differente temperatura, si ha un trasferimento di calore dal corpo a temperatura maggiore a quello a temperatura minore fino a che i due corpi non raggiungono la stessa temperatura (Figura 1.43). Raggiunta tale condizione, il trasferimento di calore termina e si dice che i due corpi hanno raggiunto lequilibrio termico. L'uguaglianza delle temperature è l'unico requisito per l'equilibrio termico. Il principio zero della termodinamica afferma che due corpi, ognuno in equilibrio termico con un terzo corpo, sono anche in equilibrio termico tra loro. Può sembrare sorprendente che un fatto così ovvio costituisca uno dei principi fondamentali della termodinamica, tuttavia esso non può essere dedotto dagli altri principi della termodinamica e costituisce la base di validità per la misura di temperatura. Sostituendo il terzo corpo con un termometro, il principio zero può essere riformulato affermando che due
corpi, anche non in contatto tra loro, sono in equilibrio tennico se hanno la stessa temperatura letta (su un tennometro). Il principio zero fu così chiamato da R.H. Fowler, che per primo lo formulò nel 1931. Questo principio, la cui importanza come principio fisico fondamentale fu riconosciuta più di mezzo secolo dopo la formulazione del primo e del secondo principio della termodinamica, fu chiamato principio zero in quanto avrebbe dovuto precedere gli altri due.
Le scale termometriche Nel corso degli anni sono state introdotte molte scale termometriche e tutte si basano sulla scelta di alcuni stati facilmente riproducibili, come i punti di fusione e di ebollizione dell'acqua. Alla pressione di 101325 Pa, una miscela di acqua e ghiaccio in equilibrio con aria satura di vapore è detta essere al punto di fusione normale mentre una miscela di acqua e di vapore (in assenza di aria) in equilibrio alla pressione di IO 1 325 Pa si dice essere al punto di ebollizione nonnale. La scala termometrica attualmente utilizzata nel sistema SI è la scala Celsius (precedentemente chiamata scala centigrada e rinominata nel 1948 in onore dell'astronomo svedese Anders Celsius, 1701-1744, che la inventò). Sulla scala Celsius, ai punti di fusione del ghiaccio e di ebollizione dell'acqua sono assegnati i valori di O e I 00°C rispettivamente, il che giustifica il nome di scala a due puntifissi. In termodinamica è auspicabile disporre di una scala termometrica che sia indipendente dalle proprietà delle sostanze impiegate. Tale scala è detta s~la della temperatura termodinamica e sarà trattata nel Capitolo 5 insieme al secondo principio della termodinamica. Nel sistema SI la scala della temperatura termodinamica è la scala Kelvin, così chiamata in onore
21 La temperatura e il principio zero della termodinamica
FERRO
FERRO
150'C
60°C
li'J------m-----M ·RAME:
RAME
.2o•c·, . ~--::·
\.
60'C
FIGURA 1.43 Due corpi, inizialmente a temperature differenti, raggiungono l'equilibrio tennico una volta in contatto in un contenitore tennicamente isolato.
22
di Lord Kelvin (1824-1907). L'unità di misura della temperatura su questa scala è il kelvin che è indicato con K. La più bassa temperatura sulla scala Kelvin è O K. Utilizzando tecniche di refrigerazione non convenzionali, è stato possibile avvicinarsi allo OK raggiungendo nel 1989 la temperatura di 0.000000002 K. Una scala termometrica può essere costruita utilizzando un termometro a gas a volume costante, costituito essenzialmente da un bulbo rigido contenente un gas, usualmente idrogeno o elio, a bassa pressione. Questo termometro si basa sul principio che a basse pressioni e a volume costante la temperatura di un gas è proporzionale alla sua pressione. In altri termini, a pressioni sufficientemente basse, la temperatura di un prefissato volume di gas varia secondo la relazione:
CAPITOLO I I concetti fondamentali della termodinamica
p
Punti Gas A
Gas B
GasC Gas D
T(°C)
FIGURA 1.44
Diagrammi p-T ottenuti sperimentalmente da un tennometro a gas a volume costante usando quattro gas diversi a differenti (ma sempre basse) pressioni.
dove i valori delle costanti a e b vanno determinati sperimentalmente. Note le costanti, la temperatura di un sistema può essere calcolata con la precedente relazione, mettendo a contatto il bulbo del termometro a gas con il sistema e misurando la pressione del gas quando si sia stabilito lequilibrio termico tra il sistema e il gas nel bulbo, a volume costante. Per ottenere la scala termometrica del gas perfetto si può procedere misurando le pressioni del gas nel bulbo in corrispondenza di due stati riproducibili (come i punti di fusione normale e di ebollizione normale), ai quali si assegnano idonei valori di temperatura. Considerando poi che in un piano esiste una sola retta che passa per due punti assegnati, queste due misure sono sufficienti per determinare le costanti a e b dell'Equazione 1.18 e quindi per calcolare la temperatura T corrispondente alla pressione letta p. I valori delle costanti a e b sono differenti per ogni termometro, poiché dipendono dal tipo e dalla quantità di gas nel bulbo, nonché dai valori di temperatura assegnati ai due stati di riferimento. Se ai punti di fusione normale e di ebollizione normale dell'acqua vengono assegnati i valori di Oe 100 rispettivamente, allora la scala termometrica dei gas perfetti coincide con la scala Celsius. In tal caso il valore della costante a (che rappresenta la temperatura corrispondente a una pressione assoluta nulla) vale -273.15°C indipendentemente dal tipo e dalla quantità di gas contenuto nel bulbo del termometro a gas. Pertanto su un diagramma p-T tutte le linee passanti per i punti sperimentali, una volta estrapolate, intersecano l'asse delle temperature a-273.15°C (Figura 1.44). Questa è la più bassa temperatura che può essere ottenuta con un termometro a gas perfetto. Si può definire, allora, la scala assoluta di temperatura del termometro a gas perfetto assegnando il valore zero alla costante a nell'Equazione 1.18. In questo caso, l'Equazione 1.18 si riduce a T = bp per cui, per definire la scala, basta specificare il valore della temperatura in un solo punto, che viene scelto nel punto triplo dell'acqua (lo stato in cui coesistono in equilibrio tutte e tre le fasi dell'acqua), cui viene assegnato il valore di 273.16 K. Si deve osservare che la scala assoluta di temperatura del termometro a gas non è una scala termodinamica poiché non può essere utilizzata né a temperature molto basse a causa della condensazione dei gas, né a temperatu-
re molto elevate perché i gas si dissociano e si ionizzano. Tuttavia, nell' intervallo di temperature in cui il termometro a gas può essere utilizzato, la temperatura assoluta fornita è identica a quella termodinamica. Pertanto la scala termodinamica della temperatura può essere vista come una scala assoluta di temperatura del termometro a gas che utilizza un gas "ideale" o "immaginario" che si comporta sempre come un gas perfetto. Se esistesse un termometro a gas perfetto, esso, alla pressione nulla, segnerebbe zero kelvin che corrisponde -273.15°C sulla scala Celsius (Figura 1.45). La scala Kelvin è legata alla scala Celsius dalla relazione:
23 ~-iijl!~
La temperatura e il principio zero della termodinamica T('C)
T(K)
p(kPa)
Vuoto assoluto
È pratica comune arrotondare la costante nell'Equazione 1.19 a 273. In Figura 1.46 è riportato un confronto tra la scala Celsius e la scala Kelvin. Nel 1954 in occasione della X Conferenza di pesi e misure la scala Celsius fu ridefinita in termini di un singolo punto fisso e della scala assoluta di temperatura. Il punto fisso scelto fu il punto triplo dell'acqua, al quale si assegnò il valore di O.O 1°C. L'ampiezza del grado venne assunta della stessa grandezza del kelvin. Come precedentemente detto, il punto di ebollizione dell'acqua alla pressione di 1OI 325 Pa corrisponde a I00°C, per cui la nuova scala Celsius è essenzialmente la stessa di prima. Nella scala Kelvin l'unità di misura della temperatura, il kelvin, è definita come 1/273.16 della temperatura termodinamica del punto triplo dell'acqua, fissata a 273.16 K. Il punto di fusione normale dell'acqua sulle scale Celsius e Kelvin corrisponde a 0°C e 273.15 K rispettivamente.
'C 100.00
O.O 1
-273.15
V= costante
FIGURA 1.45
Un tennometro a gas perfetto fornirebbe la lettura -273.IS'C o OK per pressione assoluta nulla.
K 373.15
Punto di ebollizione dell'acqua a 101 325 Pa
273.16
Punto triplo dell'acqua
O
Zero assoluto
FIGURA 1.46
Confronto tra scale di temperatura: Celsius e Kelvin.
24 CAPITOLO I I concetti fondamentali della termodinamica
IK
l 0C
1.8 R
l.8°F
FIGURA 1.47 Le ampiezze delle divisioni nelle scale Celsius e Kelvin coincidono. Le altre due scale sono la Rankine e la Fahrenheit.
Nelle scale Celsius e Kelvin le ampiezze delle divisioni coincidono (Figura 1.47), pertanto, quando si opera con differenze di temperatura D.T, lintervallo di temperatura nelle due scale è lo stesso. Alcune relazioni termodinamiche contengono la temperatura T per cui spesso si pone il problema se essa debba essere espressa in K o in °C. Se la relazione contiene differenze di temperatura (come a= bD.1) il risultato è identico se si utilizza l'una o l'altra scala; se la relazione, invece, contiene solo temperature anziché differenze di temperatura (come a= b1) allora si deve usare la scala Kelvin. Nel dubbio è sempre preferibile utilizzare la scala Kelvin, poiché in pratica non vi sono situazioni in cui l'uso della scala Kelvin sia errato, mentre vi sono molte relazioni termodinamiche che forniscono risultati sbagliati se si utilizza la scala Celsius.
Durante una trasfonnazione quasi-statica o di quasi-equilibrio il sistema rimane praticamente in equilibrio in ogni istante. Lo stato di un sistema semplice comprimibile è completamente individuato da due proprietà intensive indipendenti. La pressione è la forza esercitata da un fluido su una superficie di area unitaria e la sua unità di misura è il pascal. La pressione assoluta, la pressione atmosferica, la pressione al manometro e quella al vacuometro sono legate dalle relazioni:
Pm = P.,, -
Patm
(Pa)
P•.,, = P.tm - P.., (Pa) Differenze di pressione piccole o modeste vengono misurate con il manometro differenziale, per il quale un'altezza differenziale h della colon-
ESEMPIO 1.7 Durante un processo di riscaldamento, la temperatura di un sistema aumenta di 10°c. Si esprima l'aumento di temperatura in K. Soluzione Questo problema tratta variazioni di temperatura, che sono Identiche nelle scale Kelvin e Celsius, quindi dall'Equazione 1.19 si ottiene: L\T{K)
=L\T{°C) =10 K
na fluida corrisponde a una differenza di pressione data dalla relazione:
D.p = pgh (Pa) dove p è la densità del fluido e g laccelerazione locale di gravità. La pressione atmosferica è misurata con il barometro utilizzando la relazione:
P,tm
1.11 il SOMMARIO In questo capitolo sono stati presentati e .discussi i concetti fondamentali della tennodinamica, scienza che tratta essenzialmente l'energia. Il primo principio della tennodinamica è semplicemente un'espressione del principio di conservazione dell'energia. Il secondo principio della tennodinamica afferma che l'energia ha qualità oltre che quantità e che i processi reali avvengono nella direzione di una riduzione della qualità dell'energia. Un sistema costituito da una determinata quantità di materia prende il nome di sistema chiuso, o massa di controllo, mentre un sistema interessato da trasferimenti di massa attraverso il suo contorno è chiamato sistema aperto, o volume di controllo. Le proprietà di un sistema che dipendono dalle dimensioni - o estensione - del sistema sono dette proprietà estensive mentre le altre si chiamano proprietà intensive. La densità è la massa dell'unità di volume di un sistema mentre il volume specifico è il volume dell'unità di massa del sistema. La somma di tutte le forme di energia di un sistema si chiama energia totale. Essa è costituita dalle energie interna, cinetica e potenziale. L' energia interna di un sistema è l'energia molecolare del sistema stesso e può esistere nelle forme sensibile, latente, chimica e nucleare. Un sistema è in equilibrio tennodinamico se mantiene l'equilibrio termico, meccanico, di fase e chimico. Ogni cambiamento da uno stato a un altro prende il nome di trasfonnazione tennodinamica. Una trasformazione che ha gli stati iniziale e finale coincidenti si chiama ciclo.
=pgh
(Pa)
dove h è laltezza della colonna fluida al di sopra del pelo libero. Il principio zero della tennodinamica afferma che due corpi, anche non in contatto tra loro, sono in equilibrio termico se hanno la stessa temperatura (letta con un termometro). II sistema SI adotta come scala termometrica la scala termodinamica della temperatura, scala Kelvin. Viene anche usata la scala Celsius. La temperatura misurata con la scala Kelvin è legata a quella misurata con la scala Celsius dalla relazione: T(K) = T( 0 C) + 273.15 Il grado Celsius è uguale al kelvin e quindi: A.T(K)
=A.T( C) 0
25
Le proprietà delle sostanze pure In questo capitolo si prenderanno in considerazione le sostanze pure, i vari tipi di fasi e la fisica delle trasfonnazioni con cambiamento di fase. Si illustreranno, poi, vari diagrammi di stato e le superfici caratteristiche p· v-T delle sostanze pure, approfondendo il concetto di sostanza ideale "gas perfetto" attraverso lesplicitazione della sua equazione di stato. Sarà presentato anche il fattore di compressibilità che permette di valutare lo scostamento del comportamento dei gas reali da quello del gas perfetto e se ne illustrerà l'uso. Si presenteranno, infine, alcune tra le più note equazioni di stato.
28
2.1 i'.4l LE SOSTANZE PURE
CAPITOL02 Le proprietà
Una sostanza la cui composizione chimica non varia in tutta la massa presa in considerazione è detta sostanza pura: per esempio, sono sostanze pure l'acqua, l'azoto, l'elio e l'anidride carbonica. Tuttavia, una sostanza pura non è necessariamente costituita da un unico elemento chimico o composto chimico, poiché anche una miscela di più elementi o composti chimici, purché omogenea, può essere considerata sostanza pura: per esempio l'aria, che è una miscela di diversi gas, spesso viene considerata sostanza pura, poiché ha una composizione chimica uniforme (Figura 2.1). Una miscela di olio e acqua, invece, non è sostanza pura poiché lolio, non essendo solubile in acqua, si raccoglie superiormente all'acqua stessa formando due zone chimicamente differenti. Una miscela di due o più fasi di una sostanza pura è ancora sostanza pura se la composizione chimica di tutte le fasi è la stessa (Figura 2.2): per esempio, una miscela di ghiaccio e acqua liquida è sostanza pura perché entrambe le fasi hanno uguale composizione chimica. Una miscela di aria liquida e aria in fase aeriforme, invece, non è sostanza pura, poiché la miscela non è chimicamente omogenea, essendo differenti le composizioni chimiche delle due fasi. Ciò accade perché a una determinata pressione i gas presenti nell'aria hanno differenti temperature di condensazione.
delle sostanze pure
AZOTO
ARIA
FIGURA 2.1
L'azoto e l'aria sono sostanze pure.
i7LIQUIDO (b)ARIA
però che le forze di attrazione tra le molecole si trasformano in forze repulsive non appena la distanza tra le molecole tende ad annullarsi, impedendo così che queste si compenetrino l'un l'altra. Anche se le molecole di un solido non possono muoversi l'una verso l'altra, esse oscillano continuamente intorno alla loro posizione di equilibrio con una velocità che dipende dalla temperatura. A temperature sufficientemente elevate la velocità e, quindi, la quantità di moto delle molecole possono raggiungere valori tali da vincere le forze di attrazione intermolecolari, per cui gruppi di molecole si separano dando inizio al processo di fusione (Figura 2.5). Le distanze intermolecolari nella fase liquida non sono molto diverse da quelle nella fase solida, ma le molecole non sono più in posizioni fisse tra loro. Infatti, in un liquido gruppi di molecole si muovono l'uno rispetto all'altro, anche se all'interno di ogni gruppo le molecole, conservando le loro posizioni iniziali le une rispetto alle altre, mantengono una struttura
29
FIGURA 2.4
In un solido le molecole si mantengono a distanze relativamente costanti l'una dall'altra a causa delle forze di attrazione e di repulsione.
FIGURA 2.2
Una miscela di acqua liquida e vapore è una sostanza pura, mentre non lo è una miscela di aria liquida e aeriforme.
FIGURA 2.3
In un solido le molecole mantengono la loro posizione a causa delle forze intermolecolari che agiscono come molle.
2.2 ~ LE FASI DI UNA SOSTANZA PURA È noto, per esperienza, che le sostanze pure esistono in diverse fasi: a temperatura e pressione ambiente, il rame è solido, il mercurio è liquido e l'azoto è aeriforme. Va notato, però, che in condizioni diverse, ciascuna di queste sostanze può presentarsi in una fase differente. Le fasi principali sono tre: solida, liquida e aeriforme. Tuttavia una sostanza può avere numerose fasi ali' interno di una fase principale, ognuna caratterizzata da una diversa struttura molecolare: per esempio, il carbonio può esistere in fase solida sia come grafite sia come diamante; lelio ha due fasi liquide; il ferro ha tre fasi solide; il ghiaccio a pressioni elevate può esistere, addirittura, in sette fasi diverse. Una fase è caratterizzata dall'avere una struttura molecolare omogenea ovunque, distinta e separata da quella delle altre fasi attraverso superfici di contorno facilmente identificabili: per esempio, le due fasi dell'HP nella miscela di acqua e ghiaccio. Nello studio termodinamico delle fasi e delle trasformazioni con cambiamento di fase non è necessario preoccuparsi della struttura molecolare e del comportamento delle diverse fasi; tuttavia è molto utile avere una certa conoscenza dei fenomeni molecolari che caratterizzano ogni fase. Spesso si afferma che i legami molecolari nei solidi sono i più forti e nei gas i più deboli, poiché nei solidi le molecole sono molto vicine l'una ali' altra, mentre nei gas sono separate da grandi distanze. Le molecole di un solido sono disposte in un reticolo tridimensionale che si ripete in tutto il corpo (Figura 2.3). Poiché le distanze tra le molecole sono piccole, le forze di attrazione sono grandi, tanto da mantenere le molecole in posizioni fisse all'interno del solido (Figura 2.4). Va notato
(a)
(b)
FIGURA 2.5
La disposizione delle molecole nelle differenti fasi: a) in fase solida le molecole sono in posizioni fisse luna relativamente all'altra; b) in fase liquida gruppi di molecole scorrono tra loro; e) in fase aeriforme le molecole vanno e vengono in modo casuale. (e)
30
,
wrzw
CAPITOLO 2 Le proprietà delle sostanze pure
STATO 1
p = 101325 Pa
T= 20'C
~Calore FIGURA2.6 Alla pressione di I OI 325 Pa e alla temperatura di 20'C l'acqua si trova in fase liquida (liquido sottoraffreddato).
ordinata. Generalmente le distanze tra le molecole subiscono un leggero incremento passando dalla fase solida a quella liquida, tranne rare eccezioni come nel caso dell'acqua. La fase aeriforme è caratterizzata da molecole lontane le une dalle altre e da assenza di qualsiasi struttura molecolare ordinata. Infatti, le molecole dei gas si muovono casualmente urtando l'una contro l'altra e contro le pareti del recipiente che le contiene. Se la densità di un aeriforme è molto bassa, le forze intermolecolari sono talmente piccole che gli urti sono per le molecole l'unico modo di interagire. Va notato però che le molecole di una sostanza in fase aeriforme hanno un livello energetico considerevolmente più elevato di quello che hanno in fase liquida o solida, per cui ali' atto della condensazione o solidificazione viene rilasciata una grande quantità di energia.
2.3
~
I CAMBIAMENTI DI FASE DELLE SOSTANZE PURE
Molto spesso due fasi di una sostanza pura coesistono in equilibrio: per esempio, sia nella caldaia sia nel condensatore di un impianto motore a vapore l'acqua è presente come miscela di liquido e vapore, analogamente a quanto accade per il fluido refrigerante nell'evaporatore e condensatore di una macchina frigorifera. In questo capitolo saranno trattate in particolare le fasi liquida e vapore di una sostanza pura e la loro miscela con riferimento all'acqua, perché sostanza particolarmente familiare. Va notato, però, che tutte le sostanze pure presentano io stesso comportamento generale.
Liquido sottoraffreddato e liquido saturo
STAT02
p ="toqiSPa
;,,.T': JOo;C,i[F
~Calore FIGURA 2.7 Alla pressione di 101325 Pa e alla temperatura di I 00°C lacqua liquida è in procinto di vaporizzare (liquido saturo).
Si consideri un sistema cilindro-pistone contenente acqua alla temperatura di 20°C e alla pressione di 101 325 Pa (stato 1 in Figura 2.6): in queste condizioni l'acqua si trova in fase liquida e, poiché non è in procinto di evaporare, si parlerà di liquido sottoraffreddato. Se si trasferisce una certa quantità di calore all'acqua, la temperatura aumenta, per esempio sino a 40°C, e si ha un piccolo aumento del volume specifico dell'acqua liquida, che tende a espandersi. Il pistone si solleva leggermente per consentire che questa espansione avvenga a pressione costante, in quanto questa dipende dalla pressione atmosferica e dal peso del pistone, entrambi costanti. In queste condizioni, lacqua è ancora liquido sottoraffreddato, non essendo ancora iniziata l'evaporazione. Se si fornisce ancora calore in quantità tale da far raggiungere all'acqua la temperatura di 100°C (stato 2 in Figura 2.7), si può constatare che l'acqua è ancora liquida, ma ogni ulteriore somministrazione di calore, in quantità anche piccola, determinerà la vaporizzazione di una parte dell'acqua e, quindi, l'inizio del cambiamento di fase da liquido a vapore. Al liquido che è in procinto di vaporizzare si dà il nome di liquido saturo, pertanto lo stato 2 nell'esempio considerato è uno stato di liquido saturo.
Vapore saturo e vapore surriscaldato STATO 3
Si può osservare che una volta iniziata lebollizione, pur continuando a somministrare calore, la temperatura rimane costante fino a quando il liquido non è completamente evaporato. In effetti, la temperatura rimane costante durante l'intero cambiamento di fase soltanto se la pressione è mantenuta costante. Ciò può essere facilmente verificato ponendo un termometro a contatto con l'acqua che bolle su un fornello: a livello del mare, cioè alla pressione di 101 325 Pa, il termometro segnerà sempre 100°C se la pentola è scoperchiata o munita di un coperchio leggero. Durante il processo di vaporizzazione, le uniche variazioni di parametri fisici che si osservano sono un notevole aumento del volume e una diminuzione costante del livello del liquido per effetto della trasformazione in vapore. Durante il processo di vaporizzazione (stato 3 in Figura 2.8), la somministrazione continua di calore fa aumentare la quantità di vapore contenuta nel cilindro fino alla vaporizzazione dell'ultima goccia di liquido (stato 4 in Figura 2.9). A questo punto, il cilindro contiene esclusivamente vapore e una qualunque sottrazione di calore determinerà l'inizio della condensazione di una parte del vapore (cambiamento di fase da vapore a liquido). Al vapore in condizioni di incipiente condensazione si dà il nome di vapo· re saturo, pertanto lo stato 4 nell'esempio considerato è uno stato di vapore saturo. A una sostanza in uno stato compreso tra 2 e 4 si dà il nome di miscela satura di liquido e vapore, poiché 1afase liquida e il vapore coesistono in
equilibrio. Completato il processo di vaporizzazione, il sistema torna ad avere un 'unica fase, questa volta vapore, con la conseguenza che ogni ulteriore somministrazione di calore determinerà un aumento sia della temperatura sia del volume specifico (Figura 2.10): per esempio, nello stato 5, alla temperatura di 300°C, una sottrazione di calore comporterà una diminuzione della temperatura del vapore, ma non si verificherà alcuna condensazione fintantoché la temperatura rimane al di sopra di 100°C (se la pressione rimane costante a 101325 Pa). Al vapore che non è in procinto di condensare (cioè non saturo) si dà il nome di vapore surriscaldato, pertanto nel!' esempio considerato lo stato 5 è uno stato di vapore surriscaldato. La trasformazione con cambiamento di fase a pressione costante, descritta nell'esempio, è rappresentata sul diagramma T-v in Figura 2.11. Riferendosi sempre allo stesso esempio, se, invece di fornire, si sottra· esse calore al sistema a pressione costante, l'intero processo verrebbe percorso in senso inverso; infatti, l'acqua ritornerebbe allo stato !, cedendo, peraltro, all'ambiente esattamente la stessa quantità di calore acquisita durante il processo iniziale.
Temperatura di saturazione e pressione di saturazione Comunemente si afferma che l'acqua bolle a l00°C; in termini rigorosi questa affermazione è per lo meno incompleta, poiché si dovrebbe dire "alla pressione di 101325 Pa, l'acqua bolle a l00°C". Nell'esempio prece-
p = 101 325 Pa T= loo·c
fil
Calore
FIGURA 2.8 Il liquido saturo vaporizza assorbendo calore (miscela satura di liquido e vapore).
STAT04
p = 101325 Pa T= 100°c
~Calore FIGURA 2.9 Alla pressione di 101 325 Pa la temperatura rimane costante a 100°C fino alla vaporizzazione dell'ultima goccia di acqua liquida (vapore sawro).
STAT05
p = 101325 Pa T=300°c
~Calore FIGURA 2.10 Somministrando calore, la temperan1ra inizia ad aumentare
(vapore surriscaldato).
")2 ' 32
Variazione con la quota della pressione atmosferica e della temperatura di ebollizione
CAPITOLO 2 Le proprietà delle sostanze pure
Quota, m
300
o
100
2
1 000 2000 5000 10 000 20 000
Miscela sacura di liquido e vapore
FIGURA 2.11
Diagramma T· v di un processo di riscaldamento dell'acqua a pressione costante.
20 V
p~t· kPa
600
400
200
FIGURA 2.12
Anè:miento della curva di saturazione liqu:do-vapore per una sostanza pura (i valori riportati si riferiscono all'acqua).
33
TABELLA 2.1
T, °C
dente, utilizzato per descrivere il cambiamento di fase liquido-vapore, l'acqua iniziava a bollire a 100°C solo perché la pressione veniva mantenuta costante a 101 325 Pa. Se, infatti, la pressione ali' interno del cilindro fosse stata mantenuta costante a 500 kPa, aggiungendo sul pistone pesi in quantità opportuna, l'ebollizione del!' acqua sarebbe iniziatà a l 5 l .9°C anziché a 100°C. Vale a dire, la temperatura alla quale inizia l'ebollizione dell'acqua dipende dalla pressione; se la pressione rimane costante anche la temperatura di ebollizione rimane costante. La temperatura alla quale una sostanza pura, fissata la pressione, inizia a evaporare è detta temperatura di saturazione T..; analogamente, la pressione alla quale una sostanza pura, fissata la temperatura, inizia a evaporare è detta pressione di saturazione p,.,. Per esempio, alla pressione di 101 325 Pa, la temperatura di saturazione dell'acqua è 100°C e, viceversa, alla temperatura di 100°C, la pressione di saturazione dell'acqua è 101325 Pa. Da quanto precedentemente illustrato si deduce che durante una trasformazione con cambiamento di fase, pressione e temperatura sono proprietà dipendenti, poiché tra loro esiste una relazione T , = f (p ). La rappresentazione di tale funzione, come quella riportata in Figu~ 2.12 per l'acqua, è detta curva di saturazione liquido-vapore. Ogni sostanza pura ha una curva caratteristica di questo tipo. Dall'esame della Figura 2.12 si ricava che la temperatura di saturazione aumenta con la pressione di saturazione, per cui una sostanza evaporerà a una temperatura crescente all'aumentare della pressione cui è soggetta. In cucina temperature di ebollizione più elevate comportano minori tempi di cottura e risparmio di energia. Infatti, mentre per la cottura di uno stufato di manzo occorrono 1-2 ore se si usa una normale pentola a pressione atmosferica, sono sufficienti soltanto 20-30 minuti se si adopera una pentola a pressione operante a 202 kPa (cui corrisponde una temperatura di ebollizione dell'acqua di 120°C). La pressione atmosferica (e dunque la temperatura di ebollizione dell'acqua) diminuisce con l'altitudine. Pertanto, rifacendosi all'esempio precedente, ad altitudini più elevate occorrono tempi di cottura più lunghi che non a livello del mare (a meno che non si usi una pentola a pressione). A
Pressione atmosferica, kPa 101.33 89.55 79.50 54.05 26.50 5.53
Temperatura di ebollizione, °C 100.0 96.3 93.2 83.0 66.2 34.5
un'altitudine di 2000 m la pressione atmosferica standard è 79.50 kPa, cui corrisponde una temperatura di ebollizione dell'acqua di 93.2°C contro i 100°C al livello del mare. La variazione della temperatura di ebollizione dell'acqua con l'altitudine, in condizioni atmosferiche standard, è indicata in Tabella 2.1. Si può notare che per ogni aumento dell'altitudine di 1000 m, la temperatura di ebollizione dell'acqua diminuisce di poco più di 3°C. Le condizioni meteorologiche locali influiscono sulla pressione atmosferica e quindi sulla temperatura di ebollizione dell'acqua, la cui variazione, comunque, non supera 1°C.
2.4 !!lii DIAGRAMMI DI STATO PER TRASFORMAZIONI CON CAMBIAMENTO DI FASE Le variazioni delle proprietà delle sostanze pure, durante le trasformazioni con passaggio di fase, possono essere studiate più facilmente con lausilio dei diagrammi di stato. Pertanto è necessario illustrare e approfondire i diagrammi di stato delle sostanze pure nei piani T-v, p-v e p-T.
1 Il diagramma T-v Nel paragrafo precedente il passaggio di stato liquido-vapore dell'acqua alla pressione di 1O1 325 Pa è stato descritto e rappresentato in Figura 2.11 sul diagramma T-v. Ripetendo il processo per diversi valori della pressione si ottiene il diagramma T-v dell'acqua. Se la pressione all'interno del cilindro aumenta sino a 1 MPa, a parità di temperatura lacqua ivi contenuta ha un volume specifico più piccolo di quello che aveva alla pressione di 101 325 Pa. Inoltre, se si somministra calore, il processo avviene secondo un percorso simile a quello seguito alla pressione di 101325 Pa, pur con qualche differenza (Figura 2.13). Va notato, innanzitutto, che l'acqua inizia a bollire a una temperatura molto più elevata, 179.9°C, e che, rispetto ai corrispondenti valori alla pressione di 101 325 Pa, il volume specifico del liquido saturo aumenta, mentre quello del vapore saturo diminuisce. Ne consegue che il segmento congiungente gli stati di liquido saturo e di vapore saturo è molto più corto. Un ulteriore aumento della pressione renderà sempre più corto questo segmento, fino a ridurlo a un.punto, cosa che nel caso dell'acqua si verifica quando la pressione raggiunge 22.09 MPa. Questo punto, che viene detto
Diagrammi di stato per trasformazioni con cambiamento di fase
T
34
T, 'C
35
Punto critico
CAPITOLO 2
../~.:/·
Diagrammi di stato per trasformazioni con cambiamento di fase
CJ0~~11
Le proprietà deHe sostanze pure
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374.14
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LIQUIDO
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FREDDATO/
------------------- VAPORE MISCELA SATURA "'~ SURRISCALDATO / / ., DI LIQUIDO E VAPORE ~1
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I
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1
I I
Vapore FIGURA 2.13
Diagramma T· v di un processo di cambiamento di fase per una sostanza pura per vari valori di pressione (i valori rip
T
FIGURA 2.14
A pressioni superiori a quella critica (p > p.) il cambiamento di fase non avviene più in maniera distinta.
FIGURA 2.15
saturo
Diagramma T· v di una sostanza pura.
saturo
V
0.003155
punto critico, è caratteriu.ato dalla coincidenza dei punti rappresentativi dello stato di liquido saturo e dello stato di vapore saturo. La temperatura, la pressione e il volume specifico di una sostanza pura che si trovi al punto critico sono chiamati, rispettivamente, temperatura critica T"''pressione critica p.,. e volume specifico critico v : per l'acqua la pressione critica è p = 22.09 MPa, la temperatura critica è"'T = 374.14 °C e il volume specific; critico è v"' = 0.003155 m3/kg; per l'eli; la pressione critica è p =0.23 MPa, la temperatura critica è T = -267.85°C e il volume specifico ~ritico è u"' =0.01444 m3/kg. Le proprletà di altre sostanze nel punto critico sono indicate in Tabella A. l dell'Appendice. A pressioni superiori alla pressione critica il cambiamento di fase non avviene più in maniera distinta (Figura 2.14), poiché il volume specifico della sostanza aumenta continuamente e in ogni istante esiste sempre un'unica fase. Alla fine del passaggio di fase la sostanza pura è costituita tutta da vapore, ma non è possibile stabilire quando sia avvenuto il cambiamento di fase: in altri tennini, a pressioni superiori a quella critica non esiste una linea che separi la zona del liquido sottoraffreddato da quella del vapore surriscaldato. È consuetudine considerare una sostanza pura come vapore surriscaldato se la sua temperatura è maggiore di quella critica e come liquido sottoraffreddato se, invece, è minore. In Figura 2.13, gli stati di liquido saturo possono essere connessi con una linea che prende il nome di curva limite inferiore; analogamente, la linea che collega gli stati di vapore saturo prende il nome di curva limite superiore. Queste due linee si incontrano nel punto critico determinando una forma a cupola (Figura 2.15).
Tutti gli stati di liquido sottoraffreddato si trovano nella zona a sinistra della curva limite inferiore che prende il nome di zona del liquido sottoraffreddato. Tutti gli stati di vapore surriscaldato si trovano, invece, a destra della curva limite superiore e costituiscono la zona dei vapori surriscaldati. In queste due zone, le sostanze pure si trovano in un'unica fase, o come liquido o come vapore. Gli stati, invece, caratterizzati dalla coesistenza di entrambe le fasi in equilibrio si trovano nella zona al di sotto della curva a cupola, costituita dalle due curve limite, che prende il nome di zona della miscela satura liquido-vapore.
2 Il diagramma p-v Nel piano p-v la forma generale del diagramma di stato di una sostanza pura è molto simile a quella del diagramma nel piano T-v. Va notato, però, che nel piano p- v le linee a T =costante sono decrescenti, come mostra la Figura 2.16. Si consideri il sistema cilindro-pistone (Figura 2.17), contenente acqua alla pressione di 1 MPa e alla temperatura di 150°C. In questo stato l'acqua esiste come liquido sottoraffreddato. Si tolgano, successivamente e uno alla . volta, i pesi disposti sul pistone in modo che la pressione all'interno del cilindro decresca gradualmente. Se il sistema può scambiare calore con l' esterno in modo da mantenere costante la temperatura dell'acqua, al diminuire della pressione l'acqua aumenta leggermente di volume e, raggiunta la pressione di saturazione di 0.4758 MPa, corrispondente alla temperatura di 150°C, inizia a bollire. Il processo di evaporazione si realizza, quindi, a pressione e temperatura costanti mentre si ha un aumento di volume specifico. Quando l'ultima goccia di liquido è evaporata, la trasformazione a temperatura costante avviene con variazione sia del volume specifico sia della pressione.
36 CAPITOLO 2 Le proprietà delle sostanze pure
37
p
p Punto
I I I I
critico
Diagrammi di stato per trasformazioni con cambiamento di fase
Punto
critico
I
I I I
I I
o
I
o
I
LIQUIDO I !; SOTTORAF- \ .§ FREDDATO 1 ~
~
VAPORE
::l
"'
+
'
SATURA ~ ',, e~ DIMISCELA LIQUIDO E VAPORE ~o ',, ......... ~
./~
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........ ..,:
o o
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7'
~
Cl)
',,
I
Linea del punto triplo
Diagramma p-v di una sostanza pura.
p=IMPa T= ISO'C
i Calore FIGURA 2.17
In un dispositivo cilindro-pistone la pressione può essere ridotta riducendo 1l peso sul pistone.
FIGURA 2.18
SOLIDO +VAPORE
FIGURA 2.16
Diagramma p-v di una sostanza pura che solidificando si riduce di volume.
V
Nell'esempio precedente è importante che durante il cambiamento di fase non venga rimosso nessuno dei pesi disposti sul pistone, perché, altrimenti, diminuirebbe la pressione e quindi anche la temperatura (essendo T,., = f (p,,.,) ), per cui la trasformazione non sarebbe più isoterma. Se il processo viene ripetuto ad altre temperature, si ottengono curve simili a quella analizzata. Congiungendo, allora, i punti degli stati di liquido saturo e quelli degli stati di vapore saturo, si ottengono rispettivamente le curve limite inferiore e superiore di una sostanza pura nel piano p-v (Figura 2.16).
L'estensione dei diagrammi alla fase solida I due diagrammi sin qui descritti rappresentano gli stati di equilibrio unicamente tra le fasi liquida e vapore, tuttavia essi possono essere facilmente estesi, in modo da includere sia la fase solida sia le zone di saturazione solido-liquido e solido-vapore. I principi basilari relativi al passaggio di fase liquido-vapore si applicano ugualmente ai cambiamenti di fase solido-liquido e solido-vapore. Mentre la maggior parte delle sostanze si contrae durante un processo di solidificazione, altre, invece, come l'acqua si espandono. Va notato che i diagrammi p-v dei due gruppi di sostanze, riportati nelle Figure 2.18 e 2.19, differiscono soltanto nella zona di saturazione solido-liquido. I diagrammi T-v sono molto simili a quelli p-v, specialmente per le sostanze che si contraggono durante la solidificazione. L'espansione dell'acqua durante la solidificazione ha vitali conseguenze in natura. Infatti, se 1' acqua solidificando si contraesse, come accade per la maggior parte delle sostanze, il ghiaccio formatosi sarebbe più pesante dell'acqua liquida e, perciò, si depositerebbe sui fondali dei fiumi, dei laghi
V
e degli oceani anziché galleggiare in superficie. In queste condizioni i raggi del sole non riuscirebbero mai a raggiungere il ghiaccio, che ricoprirebbe per tutto l'anno il fondo di molti fiumi, laghi e oceani, sconvolgendo seriamente questi ecosistemi. In ben determinate condizioni tutte e tre le fasi di una sostanza pura possono coesistere in equilibrio (Figura 2.20). Sui diagrammi p-v e T-v, l'insieme di tutti questi stati trifasi costituiscono una linea, cui si dà il nome di linea del punto triplo. Gli stati corrispondenti alla linea del punto triplo di una sostanza hanno la stessa pressione e la stessa temperatura ma p I I I I I
Punto critico
~ 8 ~ 5
10
~ ::l I
+
VAPORE
~~ I c5 ~..,,
§\ O
I I
"'
I/
I
Linea del punto triplo
~-+-~~~-'-~--~~~~_,,,,_,
FIGURA 2.19 SOLIDO+ VAPORE V
Diagramma p-v di una sostanza pura che solidificando aumenta di volume {come l'acqua).
T 38 CAPITOLO 2 Le proprietà delle sostanze pure
VAPORE LIQUIDO
FIGURA 2.20
Al punto triplo le tre fasi di una sostanza pura coesistono in equilibrio.
differenti volumi specifici. Nel diagramma p-T, la linea del punto triplo appare come un punto che prende il nome di punto triplo. La temperatura e la pressione del punto triplo di varie sostanze sono indicate nella Tabella 2.2: per esempio, per lacqua i valori della temperàtura e della pressione del punto triplo sono 0.01°C e 0.6113 kPa, rispettivamente. Soltanto se la temperatura e la pressione hanno esattamente questi valori, tutte e tre le fasi dell'acqua possono coesistere in equilibrio. Va notato che nessuna sostanza può esistere in equilibrio stabile in fase liquida a pressioni inferiori a quella del punto triplo e che, analogamente, nessuna sostanza che si contragga durante la solidificazione può esistere in fase liquida a temperature inferiori a quella del punto triplo. Le sostanze, invece, che si espandono durante la solidificazione, possono esistere in fase liquida a temperature inferiori a quella del punto triplo se la pressione è sufficientemente elevata: per esempio, l'acqua a pressione atmosferica non può esistere in fase liquida in equilibrio stabile a temperature inferiori a 0°C, ma può esistere come liquido alla temperatura di -20°C se la pressione è 200 MPa. Una sostanza pura può passare dalla fase solida alla fase vapore secondo due modalità differenti: dapprima fonde e successivamente evapora o evapora direttamente senza prima fondere. Quest'ultima possibilità sussiste soltanto a pressioni inferiori a quella del punto triplo, poiché a tali pressioni una sostanza pura non può esistere in fase liquida (Figura 2.21 ). Il passaggio di fase diretto da solido a vapore prende il nome di sublimazione. TABELLA2.2
FIGURA 2.21
A pressioni inferiori a quella del punto triplo una sostanza pura evapora senza prima fondere (sublimazione).
Acetilene Acido cloridrico Acqua Ammoniaca Anidride carbonica Argon Azoto Biossido di zolfo Carbonio (grafite) Deuterio Elio 4 (punto .1.) Esafloruro di uranio Etano Etilene Idrogeno Mercurio Metano Monossido di carbonio Neon Ossido di azoto Ossigeno Palladio Platino Protossido di azoto lltanlo Xenon Zinco
T.., K
C2H2 HCI H,O NH 3 C02 Ar N,
192.40 158.96 273.16 195.40 216.55 83.81 63.18 197.69 3900 18.63 2.19 337.17 89.89 104.00 13.84 234.20 90.68 68.1 O 24.57 109.50 54.36 1825 2045 182.34 1941 161.3 692.65
Sostanze che solidificando
p
so,
C 02 He UF8 C2 H8 C,H, H, Hg CH, CO Ne NO 02 Pd Pt N.O 11 Xe Zn
Fonte: Nati. Bur. Stand. (U.S.) Circ., 500, 1952.
Sostanze che
solidificando diminuiscono ../di volume
aumentano
\ di volume
\/
,q, kPa
\
Punto
\
120 13.9 0.61 6.076 517 68.9 12.6 1.67 10100 17.1 5.1 151.7 8 X 1()"' 0.12 7.04 1.65 X 10-7 11.7 15.37
\
critico
\<'Si \
"" \\.
\:~ \ \
SOLIDO
'
' VAPORE
FIGURA 2.22 T
43.2 21.92 0.152 3.5 X 1()-3 2.0 X 10" 87.85 5.3 X 10-0 81.5 0.065
La superficie p-v-T
Nella Figura 2.22 è riportato il diagramma p-T di una sostanza pura. Questo diagramma è chiamato diagramma delle fasi, poiché sono presenti le tre fasi, separate tra loro da tre linee: la linea di sublimazione, che separa le zone della fase solida e della fase vapore; la linea di evaporazione, che separa le zone della fase liquida e della fase vapore; la linea di liquefazione o fusione, che separa le zone della fase solida e della fase liquida. Queste tre linee si incontrano nel punto triplo, dove tutte e tre le fasi coesistono in equilibrio. Va notato che la linea di evaporazione termina al punto critico, perché nessuna distinzione può essere fatta tra le fasi liquida e vapore al di sopra del punto critico, e che i diagrammi p-T delle sostanze che si espandono e si contraggono durante la solidificazione differiscono soltanto nella linea di fusione.
,
Formula
~
3 Il diagramma p- T
Temperatura e pressione del punto triplo per varie sostanze
Sostanza
39
Alla pressione atmosferica la sublimazione è l'unico modo di passare dalla fase solida alla fase vapore per quelle sostanze che hanno la pressione del punto triplo superiore alla pressione atmosferica, come l'anidride carbonica, C02, che allo stato solido viene anche denominata ghiaccio secco.
2.5 11 LA SUPERFICIE p-v-T Come si è detto nel Capitolo 1, lo stato di una sostanza semplice, comprimibile, è individuato da una coppia di proprietà intensive indipendenti. Fissate opportunamente due proprietà, tutte le altre diventano dipendenti da queste. Ricordando che una funzione di due variabili indipendenti del
Diagramma p-T per una sostanza pura.
tipo z = z(x,y) rappresenta una superficie nello spazio, è possibile descrivere il comportamento delle sostanze pure mediante una superficie nello spazio delle tre proprietà p-v-T (Figure 2.23 e 2.24), dove Te v possono essere assunte come variabili indipendenti e p come variabile dipendente. Tutti i punti della superficie p-v-T rappresentano stati di equilibrio e, viceversa, tutti gli stati attraverso cui passa un sistema durante una trasformazione quasi statica, essendo stati di equilibrio, sono rappresentati da punti che giacciono sulla superficie p-v-T. Le zone monofase appaiono come superfici curve, mentre le regioni bifase sono superfici cilindriche perpendicolari al piano p-T, per cui le loro proiezioni su tale piano sono linee, come già mostrato nel diagramma p-T. I diagrammi di stato bidimensionali, precedentemente mostrati, sono semplicemente la proiezione della superficie caratteristica p-v-T sul piano indicato: il diagramma p-v è la proiezione della superficie caratteristica pv-T sul piano p-v e, analogamente, il diagramma T-v ne è la proiezione sul piano T-v. Anche se le superfici caratteristiche p-v-T forniscono una gran quantità di informazioni, va notato che è più agevole utilizzare diagrammi di stato bidimensionali come i diagrammi p-v e T-v.
40 CAPITOLO 2 Le proprietà delle sostanze pure
vapore surriscaldato, del liquido sottoraffreddato e delle miscele sature. Prima di iniziare.a esaminare le tabelle delle proprietà, è opportuno definire una nuova proprietà termodinamica denominata entalpia.
L'entalpia: una combinazione di proprietà termodinamiche
che solidificando si riduce di volume.
FIGURA 2.24
Superficie p-v-T per una sostanza pura che solidificando aumenta di volume (come lacqua).
H= U
+ pV (J)
Poiché le relazioni tra le proprietà termodinamiche per la maggior parte delle sostanze sono troppo complesse per essere espresse da semplici equazioni, i valori delle proprietà termodinamiche misurati, o calcolati utilizzando relazioni che legano tali proprietà a grandezze fisiche facilmente misurabili, vengono riportati in forma di tabelle. Nella trattazione successiva saranno utilizzate le tabelle del vapor d'acqua per mostrarne l'uso, che è analogo nel caso di altre sostanze. Le proprietà termodinamiche di ogni sostanza sono riportate in più di una tabella, ciascuna per una determinata zona di interesse: la tabella del
FIGURA 2.25
Combinazione di proprietà termodinamiche u + pv che si incontra molto spesso nello studio dei volumi di controllo.
(2.1)
oh, se riferita all'unità di massa:
1 Liquido saturo e vapore saturo
2.6 iii LE TABELLE DELLE PROPRIETÀ
· Volume di controllo -
Nell'analisi di alcune trasformazioni termodinamiche, in particolare nella generazione di potenza meccanica e nella refrigerazione (Figura 2.25), si incontra spesso la combinazione di proprietà termodinamiche U + pV. Pertanto, è utile definire questa combinazione come una nuova proprietà termodinamica, a cui si dà il nome di entalpia e il simbolo H, se riferita alla massam:
In genere, sia lentalpia totale H sia quella specifica h sono dette semplicemente entalpia, poiché è il contesto a chiarire a quale delle due grandezze si fa riferimento. Si osservi che i termini delle espressioni precedenti sono omogenei dal punto di vista dimensionale, poiché il prodotto pressione-volume ha le stesse dimensioni dell'energia interna (Figura 2.26): per esempio, si può vedere facilmente che 1 Pa · 1 m3 = I J. In alcune tabelle delle proprietà delle sostanze pure lenergia interna u non è presente, tuttavia la si può sempre determinare con la relazione u = h - pv. L'uso esteso dell'entalpia è dovuto a Richard Mollier che riconobbe l'importanza della quantità u + pv nello studio delle turbine a vapore e nella rappresentazione delle proprietà del vapor d'acqua sia in forma tabellare sia in forma grafica (diagramma di Mollier). Alla quantità u + pv, denominata da Mollier contenuto calorico o calore totale, nel 1930 con la moderna terminologia termodinamica fu dato il nome di entalpia, derivante dalla parola greca ev8aÀ.1l"El V che significa riscaldare.
i'IGURA 2.23 Superficie p-v-T per una sostanza pura
41 ?%~
Le proprietà dell'acqua, nelle fasi di liquido saturo e di vapore saturo, sono riportate nella Tabella A.4, il cui uso è illustrato in Figura 2.27. Il pedice l indica le proprietà del liquido saturo mentre il pedice v quelle del vapore saturo. Un altro pedice lv è comunemente utilizzato per indicare la differenza tra i valori del vapore saturo e del liquido saturo di una stessa proprietà. Per esempio:.
v1 è il volume specifico del liquido saturo
v. è il volume specifico del vapore saturo v1• è la differenza tra v ve vi< v1• v v - v1 )
=
kPa·m3 e kJ ·kPa-m3Jkge kJ/kg bar·m3 e 100 kJ MPa · m3 e 1000 kJ
FIGURA 2.26
li prodotto pressione x volume ha le dimensioni di un'energia.
Press. Temp. sat.
c 'f 0
kPa
ss 90 95
t
Volume specifico ml/kg Liquido
. Vapore saturo
saturo ,
-·-~
P ..:·'.
V1 .
vv
57.83 70.14 84.55
0.001 033 0.001 036 0.001 040
2.828 2.361 1.982
Temperatura scelta
Corrispondente valore della pressione di
saturazione
t
Volume specifico del liquido saturo Volume
specifico del vapore saturo
FIGURA 2.27
Particolare della Tabella A.4.
La quantità h1v è chiamata entalpia di vaporizzazione o calore latente di vaporizzazione. Essa rappresenta la quantità di energia necessaria per vaporizzare l'unità di massa di un liquido saturo a una data temperatura o pressione, e decresce all'aumentare della temperatura o della pressione fino a ridursi a zero nel punto critico.
42 CAPITOLO 2 Le proprietà delle sostanze pure
T,°C T= 90°c
ESEMPIO 2.1
Liquido saturo
Un recipiente rigido contiene 50 kg di acqua in condizioni di liquido saturo alla temperatura di 90°C. Determinare la pressione nel recipiente e il suo volume.
v,
V
Soluzione Lo stato dell'acqua è mostrato sul diagramma T-v in Figura 2.28. Poiché l'acqua è in condizioni di saturazione, la pressione nel recipiente è quella di saturazione dell'acqua a 90°C: p= P..,owo= 70.14 kPa (Tabella A.4) Il volume specifico del liquido saturo a 90°C per l'acqua è: v =u, 0 90"0 =0.001036 m3/kg (Tabella A.4) Il volume totale del recipiente è:
FIGURA 2.28
V= mv= 50 x 0.001036
Schema e diagramma T-v per l'Esempio 2.1.
=0.0518 m'
ESEMPIO 2.2
Una massa di 200 g di acqua, inizialmente in condizioni di liquido saturo, è completamente vaporizzala alla pressione costante di 100 kPa. Determinare: a) la variazione di volume; b) la quantità di calore fornita all'acqua. Soluzione a) La trasformazione subita dall'acqua è riportata sul diagramma p-v in Figura 2.29. La variazione del volume specifico durante il processo di vaporizzazione è v,., pari alla differenza tra v e u, Ricavando questi due valori dalla Tabella A.4 in corrispondenza della pressione di 100 kPa, si ottiene: v,. = v. - v, = 1.6940 - 0.001043 = 1.6930 m3/kg e quindi:
p,kPa
·' p
Liquido
Vapore
saturo
saturo 100 kPa p
=100 kPa
=
Si osservi che sono state considerate soltanto le prime quattro cifre di v, e trascurate le altre, perché u. è fornito soltanto con quattro cifre significative. Se si fossero utilizzate tutte le cifre di u, si sarebbe dovuto assumere u. =1.694000, cosa che non è necessariamente vera. Infatti potrebbe benissimo essere v = 1.694038, visto che Il troncamento del valore a quattro cifre decimali dà sempre 1.6940. Nel risultato ottenuto, tutte le cifre sono significative; se, invece, non si approssimasse v,. a 4 cifre decimali si otterrebbe v,. = 1.692957 che indicherebbe, erroneamente, un risultato accurato alla sesta cifra decimale.
1 ì FIGURA 2.29 Schema e diagramma p-v per l'Esempio 2.2.
Durante un processo di vaporizzazione, una sostanza esiste in parte come liquido e in parte come vapore, costituendo una miscela di liquido saturo e di vapore saturo (Figura 2.30). Per analizzare correttamente questa miscela è necessario conoscere le proporzioni della fase liquida e della fase vapore nella miscela. A tal fine si definisce una nuova proprietà, chiamata titolo, pari al rapporto tra la massa di vapore e la massa totale della miscela:
V
b) La quantità di calore necessaria per vaporizzare l'unità di massa di una sostanza in condizioni di liquido saturo a una certa pressione è l'entalpia di evaporazione a quella pressione. Dalla Tabella A.4 in corrispondenza della pressione di 100 kPa è h,. =2258.0 kJ/kg; pertanto si ha che la quantità di calore fornita è:
Le t:ibelle delle proprietà
poT
Punto critico
q,
"'~
x=!5!... m, ..
"~· ~·
(2.3)
"'"'~
m, =m, +mv
dove
Il titolo, che ha significato soltanto nelle zone delle miscele sature, assume valori compresi tra ò e 1. Infatti, il titolo di un sistema costituito solo da liquido saturo è O (o 0%), mentre quello di un sistema costituito solo da vapore saturo è I (o I 00% ). Va notato che il titolo può essere una delle due proprietà intensive indipendenti necessarie per descrivere lo stato termodinamico delle miscele sature. Le proprietà di un liquido saturo sono le stesse sia che si trovi da solo sia che si trovi in una miscela con il suo vapore saturo. La stessa cosa si può dire per le proprietà del vapore saturo. Durante il processo di vaporizzazione, variano soltanto le quantità di liquido saturo e di vapore saturo, ma non le loro proprietà. Una miscela satura può essere trattata come un insieme di due sottosistemi, il liquido saturo e il vapore saturo. Tuttavia, è più comodo immaginare che le due fasi siano miscelate tra loro in modo da formare un miscuglio omogeneo (Figura 2.31), le cui proprietà sono i valori medi delle proprietà della miscela satura liquido-vapore. Infatti, si consideri un recipiente che contenga una miscela di liquido e vapore saturi: se il volume occupato dal liquido saturo è V1 e il volume occupato dal vapore saturo è Vv, il volume totale V è la loro somma: V=
AV= 0.2 x 1.6930 = 0.3386 m3
~i
v,
La miscela satura liquido-vapore
~~.
Vapore
o,,..ci
saturo Liquido
saturo
V
FIGURA 2.30 In una miscela satura liquido-vapore le quantità di liquido e di vapore definiscono il titolo x.
v; + Vv
Riferendosi ai volumi specifici, si ha:
m,vmed =mlv,+ mvvv e sostituendo l'espressione m1 =m, - mv si ha:
m,vmed =(m,-m,) vi+ mvvv Infine, dividendo per m,:
Vmed
v, Liquido saturo
vmed= (1-x) V1 +xvv dove x =mJ(m1 + m). Quest'ultima relazione può anche essere espressa nella forma:
mh,. = 0.2 X 2258 = 451.6 kJ vmcd
= v, + xv,v (m3/kg)
Miscela satura .. liquido-vapore
FIGURA 2.31 In una miscela satura si può immaginare che le due fasi siano miscelate tra loro in modo da formare un miscuglio omogeneo.
44
dove
CAPITOLO 2 Le proprietà delle sostanze pure
Prima di ripetere per le altre proprietà termodinamiche il ragionamento sin qui fatto per il volume specifico, è opportuno soffermarsi sul titolo. Esso è legato, sia sul diagramma p-v sia sul diagramma T-v, alla distanza del punto rappresentativo della miscela satura dai punti rappresentativi del liquido saturo e del vapore saturo sulle due curve limite. Infatti, se si risolve la relazione precedente rispetto a x si ottiene: X= l)med - 1)1
V1v Questa relazione permette di affermare che a una determinata temperatura o pressione il titolo di una miscela satura, avente volume specifico vm, è dato dal valore della frazione avente per numeratore la distanza del punto rappresentativo dello stato della miscela da quello rappresentativo del liquido saturo e per denominatore la distanza tra i punti degli stati del liquido saturo e del vapore saturo: per esempio, il punto rappresentativo dello stato di una miscela satura con un titolo del 50 per cento si trova al centro del segmento congiungente i punti rappresentativi del liquido saturo e del vapore saturo. Ripetendo per l'energia interna e l'entalpia la stessa analisi fatta per il volume specifico, si hanno: umed = (1 -x) u1+ xuv = u1+ x (u 0- u1) = u1+ xu 10 (J/kg) hmed = (1 -x) h1+ xh 0 =h1+X (h 0 - h1) =h1+ xh 10 (J/kg) Le espressioni precedenti hanno tutte la stessa forma: Ymed =(I -X) Y1 + xyv =Y1 +X (yv-Y1)
poT
dove y può essere v, u o h. Il pedice "med" (che indica il valore "medio") è generalmente tralasciato per semplicità. Va notato che i valori medi delle
Liquido saturo
proprietà delle miscele sono sempre compresi tra i valori delle proprietà del liquido saturo e quelli del vapore saturo (Figura 2.32):
V1
Y1 :s;ymed s;yv
Le relazioni precedenti sono particolarmente utili quando, per una maggiore precisione nel valutare le proprietà delle miscele sature, si usano tabelle anziché diagrammi. V
FIGURA 2.32
A una detenninata temperatura o pressione i valori di v di una miscela satura liquido-vapore sono compresi tra i valori di V1 e V,.
2 Il vapore surriscaldato Nei diagrammi p-v e T-v, a destra della curva limite superiore le sostanze esistono come vapori surriscaldati. In tale zona temperatura e pressione non sono più proprietà dipendenti e perciò possono essere convenientemente utilizzate per rappresentare lo stato termodinamico di una sostanza pura. A pressioni sufficientemente inferiori a quella critica o a temperature suffi-
45 Le tabelle delle
prui,i11dù
3 Il liquido sottoraffreddato Le proprietà di un liquido sottoraffreddato si possono ritenere indipendenti dalla pressione poiché un aumento della pressione pari a 100 volte spesso causa variazioni minori dell' 1 per cento. In mancanza di dati, con buona approssimazione si può considerare il liquido sottorajfreddato come liquido saturo alla stessa temperatura (Figura 2.33), poiché le proprietà del liquido sottoraffreddato dipendono dalla temperatura più che dalla pressione. Per liquidi sottoraffreddati in generale si ha:
Fissati i valori di p e T Vi= Vl@T U=i Ul@T
h = hl@T
Y"'Y1@r
dove y può essere v, u o h. Di queste tre proprietà, lentalpia h è quella più sensibile alle variazioni di pressione, tanto che la precedente approssimazione, mentre dà luogo a errori trascurabili nella valutazione di v e u, può comportare a volte errori inaccettabili nella valutazione di h. Tuttavia a pressioni molto elevate l'errore nella valutazione dell'entalpia può essere ridotto significativamente con la relazione: h"' hl@ T + v, (p - P,,)
dove p ,., è la pressione di saturazione alla temperatura considerata.
=Y1 + xylv
Vapore saturo
u.
cientemente superiori a quella critica, i vapori surriscaldati possono essere trattati come gas peifetti, il cui comportamento verrà ampiamente discusso nel prossimo paragrafo. Se non è possibile fare questa approssimazione, è necessario utilizzare i diagrammi di stato o le tabelle delle proprietà.
Gli stati termodinamici di riferimento e i valori di riferimento Poiché i valori dell'energia interna, dell'entalpia e dell'entropia non possono essere misurati direttamente, essi vengono calcolati partendo da proprietà misurabili mediante opportune relazioni tra proprietà termodinamiche. Va notato che tali relazioni forniscono le variazioni delle suddette proprietà e non i valori che queste assumono nello stato termodinamico d'interesse. I valori delle proprietà possono essere ricavati fissando un opportuno stato di riferimento e assegnando valore nullo a una o più proprietà in questo stato: per esempio, lo stato di riferimento per lacqua è quello del liquido saturo a O.O l °C, cui si assegna il valore zero sia ali' energia interna sia ali' entropia. Si può osservare che in base allo stato di riferimento scelto alcune proprietà possono assumere anche valori negativi e tabelle delle proprietà di una stessa sostanza possono fornire valori differenti di u, h e s nello stesso stato come conseguenza della scelta di un diverso stato di riferimento. Poiché in termodinamica interessano le variazioni delle proprietà, la scelta dello stato di riferimento non ha conseguenze nei calcoli purché si utilizzino tabelle e/o diagrammi aventi lo stesso stato di riferimento.
FIGURA 2.33
Un liquido sottoraffreddato può essere considerato come un liquido saturo alla stessa temperatura.
2.7111 L'EQUAZIONE DI STATO DEI GAS PERFETTI
46
I valori delle proprietà delle sostanze pure sono elencati in corrispondenza di vari stati termodinamici in apposite tabelle, che sicuramente forniscono dati molto accurati ma spesso sono poco pratiche da utilizzare. Sarebbe più agevole disporre di semplici relazioni tra le proprietà, che siano anche suf. ficientemente generali e precise. Nel caso di sistema termodinamico costituito da una sostanza pura le equazioni che legano tre proprietà termodinamiche intensive (per esempio: pressione, temperatura e volume specifico) sono chiamate equazioni di stato. Tra le numerose equazioni di stato, la più semplice e più nota è quella dei gas perfetti che permette di correlare temperatura, pressione e volume specifico di un gas con buona precisione in una zona opportunamente individuata. I termini gas e vapore sono spesso utilizzati come sinonimi: per consuetudine la fase aeriforme di una sostanza prende il nome di gas quando la sua temperatura è superiore a quella critica per cui essa non può essere condensata a temperatura costante; in caso contrario si parla, invece, di vapore. Nel 1662, l'inglese Robert Boyle, durante i suoi esperimenti, osservò che a temperatura costante la pressione dei gas è inversamente proporzionale al loro volume specifico. Successivamente, nel 1802, i due francesi Jacques Charles e Joseph Gay-Lussac determinarono, sempre sperimentalmente, che a basse pressioni il volume specifico di un gas è proporzionale alla sua temperatura assoluta. Pertanto, tenendo conto di queste variazioni, si ottiene:
CAPITOLO 2 Le propriclà delle sostanze pure
p=R(~) ovvero: py_=l.ff;
. (2.4)
dove p è la pressione assoluta, T la temperatura assoluta, v il volume specifico e Runa costante di proporzionalità detta costante del gas. All'Equazione 2.4 si dà il nome di equazione di stato dei gas perfetti, per cui si dirà che un gas è perfetto se obbedisce a questa relazione. La costante del gas R è differente per ogni gas (Tabella 2.3) ed è pari a:
di azoto è 28 kg. Da questa definizione deriva immediatamente che la massa di un sistema è pari al prodotto della massa molare M per il numero di kilomoli N: m
=MN
(kg)
47 '!WfS_· !S
L'equazione di stato dei gas perfetti
(2.7)
I valori di R e M per numerose sostanze sono riportati nella Tabella A. I .
L'equazione di stato dei gas perfetti può essere scritta in varie forme: V V=m mR=MNR=NRu V=Nff.
Per unità di mole
' Per unità di massa
pV=mRT
(2.8)
~
pV=NR T
(2.9)
~
pfJ = RJ
(2.10)
~
"
dove fJ è il volume di una kilomole, detto volume specifico molare (m3/kmol). Nel testo, tutte le grandezze riferite a 1 kilomole verranno indicate sempre con un simbolo soprassegnato (Figura 2.34 ). Se si scrive l'Equazione 2.8 per una determinata massa di un gas perfetto in due stati termodinamici differenti, si può verificare che le proprietà sono legate tra loro dalla relazione: Pi°Vi = P2V2 T2 7;
v,m3/kg u,kJ/kg h, kJ/kg
'
ii, ni'ikmol u,kJ/kmol
li,kJ/kmol
FIGURA 2.34
Le grandezze riferite alla kilomole sono indicate con un simbolo soprassegnato.
(2.11)
Un gas perfetto, che, come si è detto, obbedisce all'equazione Pv =RT, è una sostanza ideale (Figura 2.35). È stato rilevato sperimentalmente che l'equazione di stato dei gas perfetti approssima il comportamento p-v-T dei gas reali solo a bassa densità, vale a dire nel caso di basse pressioni ed elevate temperature. Questo argomento sarà oggetto del prossimo paragrafo. Nelle applicazioni pratiche molte sostanze aeriformi come laria, lazoto, lossigeno, lidrogeno, lelio, largon, il neon, il kripton e persino alcuni gas più pesanti, come l'anidride carbonica, possono essere trattati come gas perfetti senza commettere errori significativi (spesso inferiori ali' 1 per cento), al contrario, nel caso di sostanze aeriformi dense, come il vapor d'acqua negli impianti a vapore e il vapore dei refrigeranti negli impianti frigoriferi, è necessario utilizzare le tabelle delle proprietà.
FIGURA 2.35
L'equazione di stato dei gas perfetti spesso non è applicabile ai gas reali: quindi occorre usarla con accortezza
ESEMPIO 2.3 Determinare la massa di aria contenuta in un ambiente confinato di dimensioni 4 m x 5 mx 6 m, alla pressione di 100 kPa e alla temperatura di 25°C (Figura 2.36).
dove: TABELLA 2.3 Valori della costante R per alcuni gas
Gas Aria Elio
Argon Azoto
R, kJ/(kg . K) 0.2870 2.0769 0.2081 0.2968
Ru
= 8314
J/(krnol K)
(2.6)
ha lo stesso valore per tutti i gas ed è detta costante universale dei gas perfetti; M è la massa molare del gas. La massa molare M può semplicemente essere definita come la massa, in kg, di una kilomole di sostanza: per esempio, dire che la massa molare dell'azoto è M = 28 kg/kmol significa che la massa di 1 kmol
Soluzione Nelle condizioni assegnate l'aria può essere trattata come un gas perfetto. Poiché la costante del gas è R = 287 J/(kg · K) (Tabella A.1 ), la temperatura assoluta è T =25 273 =298 K e il volume è V= 120 m'. sostituendo questi valori nell'equazione di stato dei gas perfetti si ricava la massa di aria contenuta nell'ambiente: 100x120 pV 143.3kg m RT 0.287x198
+
=- =
=
p=IOOkPa T 25'C m=?
=
FIGURA 2.36
Schema per l'Esempio 2.3.
48
Il vapor d'acqua è un gas perfetto?
CAPITOLO 2 Le proprietà delle sostanze pure
A questa domanda non si può rispondere con un semplice sì o no, perché occorre valutare l'errore che si commette nel trattare il vapor d'acqua come un gas perfetto. Questo errore è calcolato e riportato in Figura 2.37. Si può notare che a pressioni inferiori a 10 kPa il vapor d'acqua può essere trattato come un gas perfetto indipendentemente dalla temperatura con un errore trascurabile (minore dello 0.1 per cento). A pressioni più elevate, invece, l'approssimazione comporta errori inaccettabili (anche oltre il 100 per cento), in particolare in vicinanza del punto critico e della curva limite superiore. Per esempio, il vapor d'acqua contenuto nell'aria può essere trattato come un gas perfetto, senza commettere errori significativi, nelle applicazioni che riguardano il condizionamento dell'aria, poiché la pressione del vapor d'acqua è molto bassa, mentre questo non è possibile negli impianti a vapore dove la pressione generalmente è molto elevata.
T i
2.8 ~ IL FAITORE DI COMPRESSIBILITÀ. UNA MISURA DELLO SCOSTAMENTO DAL COMPORTAMENTO DI GAS PERFEITO*
49 Il fattore di compressibilità. Una misura dello scoshlmcnto dal comportamento dì f;!:
L'equazione di stato dei gas perfetti è molto semplice e, quindi, comoda da usarsi. Purtroppo, come mostra la Figura 2.37, i gas reali in vicinanza della zona delle miscele sature liquido-vapore e del punto critico si allontanano in maniera significativa dal comportamento dei gas perfetti. Questo scostamento, assegnate la temperatura e la pressione, può essere accuratamente calcolato introducendo un fattore di correzione, chiamato fattore di compressibilità Z e definito dall'espressione:
·2:ptf
. (2.12)
pv=ZRT
(2.13)
RT_ _
ovvero da:
Il fattore di compressibilità può anche essere espresso dalla relazione: T, C
\ \
1.3
o.o
0.8 I \ \ \ I I I I \ \
o.o
o.o
O.I
PER ETTO
GA
o.o
O.I
o.o
\ \ \ \ \
2.6
o._2•• ... o.o
\ \
\ \
o.o . "
I \ \ I \ \
o.o
0.5 \
.
dove v,. RT/p è il volume specifico che si ottiene applicando l'equazione dei gas perfetti. Si può notare che Z vale I per un gas perfetto, mentre per un gas re(lle può essere maggiore o minore di 1 (Figura 2.38): in particolare, quanto più il valore di Z differisce dall'unità, tanto maggiore è lo scostamento del gas dal comportamento dei gas perfetti. In pratica il comportamento di un gas si può approssimare a quello dei gas perfetti in condizioni di pressioni basse e di temperature elevate rispetto alla pressione e alla temperatura critiche. Inoltre gas differenti assumono un comportamento molto simile tra loro se si fa riferimento ai valori di pressione e di temperatura normalizzati rispetto ai valori critici. A parità di temperatura e di pressione, i valori del volume specifico e, quindi, di Z possono variare notevolmente da gas a gas. Definite, invece, la pressione e la temperatura normalizzate rispetto ai valori critici: ·-
'
--
~
,
,..-..
"'?'~~-,,,..,._,_
o.o
'
'~- ;;--
FIGURA 2.37
o.o
'
FIGURA 2.38
Il fattore di compressibilità vale 1 per i gas perfetti.
___:____
·e ;'TR··= r."',..
'· PR =L ·0 Pa
\ \
Errore in percentuale Jv - v,""' J/ v commesso nel considerare il vapor d'acqua come gas perfetto e regione in cui il vapor d"acqua pub essere trattato come gas perfetto con un errore inferiore al!" I per cento.
(2.14)
=
\
7.4
o.o
o.o
0.5 \ \ \ \ \ \ l \ \
:Z:cr ·.
che prendono i nomi, rispettivamente, di pressione ridotta e di temperatura ridotta, risulta valida la legge degli stati corrispondenti, secondo cui, a parità di temperatura e pressione ridotte, tutti i gas hanno approssimativamente Io stesso valore del fattore di compressibilità Z e, quindi, eguale volume specifico (Figura 2.39). Esaminando la Figura 2.40, che riporta i valori di Z ricavati sperimentalmente per numerose sostanze in funzione di pR e di TR' si può notare"Che
* Il paragrafo può essere saltato senza perdere la continuità della trattazione.
p p=R Per
valore
Z
}
= pertutt1 identic? i gas
FIGURA 2.39
A parità di temperatura e pressione ridotte tutti i gas hanno lo stesso valore del fattore di compressibilità (legge degli stati corrispondemi).
51
I.I
ESEMPIO 2.4 SI determini il volume specifico del refrigerante R-134a alla pressione di 1 MPa e alla temperatura di so•c utilizzando: a) l'equazione di stato dei gas perfetti; b) il diagramma generalizzato del fattore di compressibilità. Si confrontino poi i risultati ottenuti con il valore effettivo di 0.02171 m3/kg determinando gli errori commessi.
R-
TR=!l.50
•
0.8 X
Soluzione Dalla Tabella A.1 si ricavano la costante del gas, la pressione critica e la temperatura critica del refrigerante R-134a: T
•
1x X!
R = 81.5 J/(kg K) p" = 4.067 MPa
0.7
li fattore di compressibilità. Vna misura dello scostamento dal comportamento di gas perfotto
COMPORTAMENTO DA GAS PERFETTO COMPORTAMENTO DA GAS NON PERFETIO
T"=374.3K
~'~ Il
a) Ipotizzando il comportamento di gas perfetto, il volume specifico risulta:
0.6
N
RT p
V=-= 0.5
81.5x323 106
3
-0.02632m /kg
e, quindi, l'errore commesso vale in questo caso:
x Metano o Etilene
0.3
A.
• Isopentano n-Eptano
Q
Etano
Il Azoto
o Propano on-Butano
0.2
O.I
(0.02632-0.02171) =0.212=21.0% 0.02171
Legenda:
0.4
o
0.5
I.O
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
e Anidride carbonica •Acqua
I
I
6.0
6.5
7.0
Pressione ridotta pR
b) Utilizzando il diagramma generalizzato del fattore di compressibilità per determinare il fattore correttivo Z, è necessario calcolare la pressione e la temperatura ridotte:
p
1
PR =-=--=0.246 Pa 4.067 T =R
T
T,,
V
FIGURA 2.42 Il comportamento dei gas reali si allontana da quello del gas perfetto soprattuno in prossimità del punto critico.
323 = - - = 0.863 374.3
Dal grafico di Figura A.13 si ricava Z = 0.84 e quindi:
v = Zv~ = 0.84 x 0.02632 = 0.02211 FIGURA 2.40 Valori del fattore di compressibilità Z per vari gas (Gour-Jen Su, "Modified Law of Corresponding States", lnd. Eng. Chem., lntem. Ed., 38: 803, 1946).
p...,O
i gas obbediscono ragionevolmente bene alla legge degli stati corrispondenti. II diagramma generalizzato del fattore di compressibilità, utilizzabile per tutti i gas (Figura A.13), si ottiene poi dalla interpolazione di tutti i dati sperimentali. L'uso del diagramma generalizzato del fattore di compressibilità richiede la conoscenza delle proprietà della sostanza nel punto critico e fornisce risultati con un errore massimo di qualche unità per cento. Esaminando questo diagramma si possono fare le seguenti osservazioni: 1 A pressioni molto basse (pR << 1), i gas si comportano come gas perfetti indipendentemente dalla temperatura (Figura 2.41).
FIGURA 2.41 A pressioni molto basse tutti i gas si comportano come gas perfetti (indipendentemente dalla loro temperatura).
2 A temperature elevate (TR > 2), i gas si comportano come gas perfetti indipendentemente dalla pressione. 3 Lo scostamento del comportamento di un gas reale da quello dei gas perfetti è massimo in vicinanza del punto critico (Figura 2.42).
m'lk~
L'errore, in questo caso, risulta inferiore al 2 per cento. Questo esempio mostra come in mancanza di dati tabellati esatti si può utilizzare il diagramma generalizzato del fattore di compressibilità, ottenendo risultati abbastanza prossimi alla realtà.
Se invece di p e T sono noti p e v, o T e v, si può comunque usare il diagramma generalizzato del fattore di compressibilità per determinare la terza proprietà facendo ricorso a un tedioso procedimento iterativo. Si può notare però che sul diagramma generalizzato del fattore di compressibilità sono riportate anche le linee a v'R, volume specifico ridotto ideale costante, che permettono di determinare Te p senza calcoli iterativi. Questa n~ova proprietà ridotta, legata a T" e p" anziché a vcr, è definita dalla relaz10ne:
FIGURA 2.43 Il valore del fattore di compressibilità può essere calcolato anche in funzione dip,e v,.
52 CAPITOLO 2 Le proprietà delle sostanze pure
H,0 T= V=
315.6°C
0.032 m3/kg
p =?
FIGURA 2.44 Schema per l'Esempio 2.5.
ESEMPIO 2.5 Si determini la pressione del vapor d'acqua alla temperatura di 315.6°C e di volume specifico pari a 0.032 m'/kg utilizzando: a) l'equazione di stato dei gas perfetti; b) il diagramma generalizzato del fattore di compressibilità. Si confrontino i risultati con il valore effettivo di 6.89 MPa. Soluzione Uno schema del sistema è mostrato in Figura 2.44. Dalla Tabella A.1 si ricavano la costante del gas, la pressione critica e la temperatura critica del vapor d'acqua:
R = 0.4615 kJ/(kg · K) P., = 22.09 MPa T., =647.3K
riportano di seguito tre: l'equazione di van der Waals, una delle prime; l'equazione di Beattie-Bridgeman, una delle più note che fornisce risultati di precisione sufficiente; l'equazione di Benedict-Webb-Rubin, una delle più recenti in grado di dare risultati molto precisi.
53 Le altre equazioni di stato
L'equazione di stato di van der Waals L'equazione di stato di van der Waals, proposta nel 1873, contiene due costanti che possono essere determinate conoscendo le proprietà della sostanza nel punto critico. La sua forma è:
p
a) Assumendo valido il comportamento dei gas perfetti, la pressione risulta essere:
P= RT = 461.5x588.8 = 8 .4 9 MPa V 0.032 Pertanto, considerando il vapor d'acqua come gas perfetto, si ha un errore pari a
(8.49 - 6.89)/6.89 = 0.232 = 23.2%. b) Utilizzando il diagramma generalizzato del fattore di compressibilità per determinare il fattore correttivo Z è necessario calcolare la temperatura ridotta e il volume specifico ridotto ideale: p,MPa Effettivo 6.89 Diagramma generalizzato 7.07 Gas perfetto 8.49 (Esempio 2.5)
FIGURA 2.45 li diagramma generalizzato del fattore di compressibilità permette di avere risultati che in generale si discostano di qualche percento dai valori sperimentali.
van der Waa/s Berthelet Redlich-Kwang
T 588.8 T = - = - - =0.9 R r;, 647.3 V 0.032 v' = - - - = =2.4 R RT.,lp" 461.5x647.3/22.09x106
Dal diagramma di Figura A.13 si ricava pR = 0.32, per cui la pressione del vapor d'acqua risulta:
Viriate
FIGURA 2.46 Alcune delle equazioni di stato proposte.
dPÌ -O e ( dV )i.=Ta=cost -
(2.18)
Utilizzando l'equazione di van der Waals per calcolare le derivate ed eliminando v'"', si ottiene:
P = PRPa =0.32 X 22.09 X 106 = 7.069 X 106 Pa 2
Utilizzando il diagramma generalizzato del fattore di compressibilità, l'errore si ri· duce dal 23 al 2.6 per cento, valore accettabile nella maggior parte delle applica· zioni nel settore dell'ingegneria (Figura 2.45). Si noti che un diagramma di più grandi dimensioni potrebbe fornire una migliore precisione riducendo gli errori di lettura. Si osservi, inoltre, che in questo problema non è stato determinato il valore di Z poiché sul diagramma si può leggere direttamente il valore di pR.
2.911 LE ALTRE EQUAZIONI DI STATO*
Beattie·Bridgeman Benedict-W ebb-Rubin Strobridge
Van der Waals volle migliorare l'equazione di stato dei gas perfetti considerando gli effetti delle forze intermolecolari e del volume occupato dalle molecole. Infatti, il termine alv2 tiene conto delle forze di attrazione intermolecolari, mentre il termine b tiene conto del volume occupato dalle molecole del gas. Per la determinazione delle due costanti contenute nell'equazione di van der Waals si può osservare che nel diagramma p- v le isoterme critiche hanno un flesso con tangente orizzontale nel punto critico (Figura 2.47) e che, quindi, le derivate prima e seconda di p rispetto a v nel punto critico devono essere nulle:
L'equazione di stato dei gas perfetti è molto semplice, ma ha un campo di applicabilità limitato. Sarebbe utile, invece, disporre di equazioni di stato in grado di rappresentare con buona precisione il comportamento delle sostanze in una zona più grande della superficie p-v-T. Tra le tante equazioni proposte, più complicate di quella dei gas perfetti (Figura 2.46), se ne
* Il paragrafo può essere saltato senza perdere la continuità della trattazione.
a = 27 R T~ 64 Per
e b = RT,,, (2.19) 8 Per relazioni che permettono .di calcolare le costanti a e b di ogni sostanza di . cui si conoscano le proprietà termodinamiche nel punto critico. La precisione dell'equazione di stato di van der Waals è spesso inadeguata, ma può essere migliorata calcolando i valori di a e di b con riferimento alle reali caratteristiche del gas in un campo più esteso anziché nel solo punto critico. Malgrado le sue limitazioni, l'equazione di van der Waals ha un valore storico poiché costituì uno dei primi tentativi di espressione analitica del comportamento dei gas reali.
L'equazione di stato di Beattie-Bridgeman L'equazione di Beattie-Bridgeman, proposta nel 1928, contiene cinque costanti determinate sperimentalmente:
V
FIGURA 2.47 Per una sostanza pura l'isoterma critica presenta un flesso con tangente orizzontale in corrispondenza del punto critico.
-------------------·-··
··-.
----
54
T.K
t!:
~
CAPITOLO 2
o
Le proprietà
N
delle sostanze pure
(2.21)
dove:
t!:
~
52
t!:
~
t!:
~
t!:
~
a:
~ N
o
t!:
~
''
w:~·"e';~,_:.,,.
o 0.0%-van dcr Waals (in alto) 0.0%-Beanie-Bridgeman (in mezzol 0.0%-Benedict-Webb-Rubin (in bass(l1
300
· Nella Tabella A.12a sono riportate le costanti dell'equazione di BeattieBridgeman per varie sostanze. L'equazione dì Beattie-Bridgeman è su~fi cientemente precisa per densità dei gas sino all'80 per cento della densità nel punto critico. 200
L'equazione di stato di Benedict-Webb-Rubin Nel 1940 Benedict, Webb e Rubin portarono a otto il numero delle costanti dell'equazione di Beattie-Bridgeman, che assunse l'espressione: van der Waals: 2 costanti. Precisa in un campo limitato Beatrie-Bridgeman: S costanti. Precisa per p S O.Spcr
Benedici· Webb-R11bin: 8 costanti. Precisa per p S 2.Sp.,
Strobridge: 16 costanti. Più utile per elaborazioni al calcolatore
.. P~· R?'+(~).:/~!f:~Tc~} "22' : ~~~3~a'(+ ~~ ·.· V
.: "";<,~ç·,;._1-,_::·-
(1
~
V.
V
<
:«· '.·.
100
i;:;?$~;;
>1001<
+ L)e-"rft7'·
>100%
; uz . '.· .. ,\
>IOO'ìé
Nella Tabella A. l 2b sono riportati i valori delle costanti dell' equazione di Benedict-Webb-Rubin, che può essere utilizzata per descrivere il comportamento dei gas reali per densità fino .a 2.5 volte la densità ~e! punto critico. Nel 1962, Strobridge estese ultenormente questa equaz10ne portando il numero delle costanti a 16 (Figura 2.48).
L'equazione di stato del viriale FIGURA 2.48
Equazioni di stato complesse rappresentano il comportamento dei gas con maggior precisione e in un campo più vasto della superficie caratteristica p-v-T.
L'equazione di stato di una sostanza può essere espressa in forma di serie con una relazione del tipo:
!
Questa equazione è chiamata equazione di stato del viriale, e coefficienti a(T), b(T), c(T) ecc., funzioni soltanto della temperatura, s1 chiamano coefficienti del viriale. Questi coefficienti possono essere determinati sperimentalmente oppure teoricamente co~ !a mecc~nic~ stati~t!ca. Si può notare che, se la pressione tende a zero, tutti 1coeffic1ent1 del vmale si annullano e lequazione di stato si riduce a quella dei gas perfetti. Con un sufficiente numero di termini lequazione di stato del viriale può rappresentare con buona precisione il comportamento di una sostanza in un'ampia zona della superficie· caratteristica p-v-T. Può essere utile ricordare che tutte le equazioni di stato presentate possono essere applicate soltanto alla fase aeriforme delle sostanze e
pertanto non possono essere usate per i liquidi o per le miscele sature liquido-vapore. Le equazioni di stato complesse, che descrivono abbastanza bene il comportamento p-v-T delle sostanze, possono essere facilmente utilizzate con l'uso di calcolatori elettronici, mentre per calcoli manuali è preferibile usare le tabelle delle proprietà o equazioni di stato più semplici. Ciò è particolarmente vero quando si debba calcolare il volume specifico delle sostanze poiché il calcolo va fatto per tentativi, essendo tutte le equazioni analizzate implicite in v. La precisione delle equazioni di stato di van der Waals, di Beattie-Bridgeman e di Benedict-Webb-Rubin è illustrata nella Figura 2.49. Risulta evidente dalla figura che l'equazione di stato che fornisce risultati più precisi è quella di Benedict-Webb-Rubin.
ESEMPIO 2.6 Si determini la pressione dell'azoto avente alla temperatura T = 175 K il volume specifico 0.00375 m3/kg, utilizzando: a) l'equazione di stato dei gas perfetti; b) l'equazione di stato di van der Waals; e) l'equazione di stato di
v=
FIGURA 2.49
jv-v.,jtv
Errore in percentuale per tre diverse equazioni di stato nel caso di azoto.
56 CAPITOLO 2 Le proprietà delle sostanze pure
Beattie-Bridgeman; d) l'equazione di sta!o di Benedict -We.bb·Rubin .. Si con· frontino i risultati ottenuti con il valore d1 10 MPa, determin ato sperimen tai· mente. Soluzion e a) Utilizzando l'equazione di stato dei gas perfetti, la pressione del gas risulta essere:
P= RT =
~
= 13.860 MPa
0.00375
V
con un errore del 38.6 per cento.
b) Con l'Equazione 2.19 si determinano, per t'azoto, i parametr i dell'equazione di van der Waals:
a= 175 m• Pa/kg b = 0.00138 m3ikg Dall'Equazione 2.17 si ottiene poi:
RT a p= - - - - = 9.465 MPa v-b v 2
mvapore
mrotate
e) Dalla Tabella A.12a si ricavano i parametri dell'equazione di
Beattie-Bridgeman:
A= 102.29 8=0.053 78 C=4.2x 104
v
=
Poiché =Mv= 28.013 x 0.00375 0.10505 m3/kmol, sostituendo i valori così determinati nell'Equazione 2.20, si ottiene:
R.T(1-~)(v+B)-~ u2
57
Una sostanza pura è una sostanza che in ogni suo punto ha la stessa composizione chimica. Una sostanza pura può esistere in different i fasi a seconda del suo contenuto di energia. Una sostanza in fase liquida che non sia in procinto di evaporare prende il nome di liquido sottoraff reddato, mentre una sostanza in fase vapore che non sia in procinto di condensare prende il nome di vapore surriscaldato. Durante un cambiamento di fase, la temperatura e la pressione di una sostanza pura sono proprietà dipendenti l'una dall'altra. Infatti, fissata la pressione, una sostanza evapora a una temperatura ben precisa che si chiama temperatura di saturazione; analogamente, fissata la temperatura, una so· stanza evapora a una ben precisa pressione, detta pressione di saturazio ne. Durante il cambiamento di fase, il liquido e il vapore coesistono in equilibrio e prendono i nomi, rispettivamente, di liquido saturo e di vapore saturo. In una miscela satura liquido-vapore, la frazione massica della fase vapore prende il nome di titolo ed è pari a:
x=--
con un errore del 5.4 per cento.
P=
2.1 O u SOMMARIO
vr'
v
=10.110 MPa
·
con un errore dell'1.1 per cento.
d) Dalla Tabella A.12b si ricavano i parametri dell'equazione di Benedict·Webb· Rubin: a 2.54 A0 = 106.73 b = 0.002328 = o.04074 C = 7.379 X 104 C0 = 8.164 X 105 a 1.212 x 1o-< = 0.0053
=
s.
=
r
Sostituendo questi valori nell'Equazione 2.22, si ottiene:
)1
1 Y)
2 RT ( C bR0 T-a aa _....!!. - + - - - + - + 3e P =-"-+ 2 ( +-=;- e.,/u u2 BRT-A ou or2u 2 va usur v
= 10.009 MPa con un errore di 0.09%, che dimostra la notevole precision e dei risultati forniti dal· l'equazione di stato di Benedict-Webb·Rubin.
Il titolo può assumere valori compresi tra O (solo liquido saturo) e 1 (solo vapore saturo) e non ha alcun significato nelle zone di liquido sottoraffreddato e di vapore surriscaldato. In assenza di dati sui liquidi sottoraffreddati, un'approssimazio ne di carattere generale è quella di trattare il liquido sottoraffreddato come liquido saturo alla stessa temperatura:
dove y sta per v, u o h. Lo stato in cui la vaporizzazione di una sostanza non è più un processo distinguibile prende il nome di punto critico. A pressione costante , superiore a quella critica, le sostanze passano dalla fase liquida alla fase vapore in maniera graduale e uniforme. Tutte e tre le fasi di una sostanza coesistono in equilibrio lungo la linea tripla, individuata da un ben preciso valore sia della temperatura sia della pressione. Un liquido sottoraffreddato ha valori di v, u e h inferiori a quelli del liquido saturo alla stessa temperatura o pressione. Analogamente, un vapore surriscaldato ha valori di v, u e h superiori a quelli del vapore saturo alla stessa temperatura o pressione. Nel caso di un sistema termodinamico costituito da una sostanza pura, le equazioni che legano tre proprietà termodinamiche intensiv e (per esempio: pressione, temperatura e volume specifico) sono chiamat e equazioni di stato: la più semplice e nota è lequazione di stato dei gas perfetti:
pv=RT dove R è la costante del gas. Questa equazione può essere usata per i gas perfetti, che sono sostanze ideali.
~
Sommario
I 58 CAPITOLO 2 Le proprietà dl'lle sostanze pure
I gas reali hanno un comportamento simile a quello dei gas perfetti soltanto a pressioni relativamente basse e temperature elevate. Per tenere conto dello scostamento del comportamento dei gas reali da quello dei gas perfetti si può utilizzare il fattore di compressibilità Z, definito da:
Z= pV RT
o Z=~ Vi
Il fattore di compressibilità Z è approssimativamente lo stesso per tutti i gas a parità di pressione ridotta e temperatura ridotta, che sono definite dalle espressioni:
TR =I_ e PR = ..!!_ T.:r Per dove p" e T" sono, rispettivamente, la pressione e la temperatura critiche. Quanto appena affermato è il contenuto della legge degli stati corrispondenti. Per determinare la pressione o la temperatura di una sostanza, di cui è noto il volume specifico, si usa il diagramma generaliv.ato del fattore di compressibilità, che riporta anche i valori del volume specifico ridotto ideale, definito come:
Il primo principio
della termodinamica: i sisteIUi chiusi
V V'R----
- RJ;,r/Per.
Il comportamento p-v-T delle sostanze può essere rappresentato, con più precisione, da equazioni di stato più complesse dell'equazione di stato dei gas perfetti, tra le quali vi sono:
(p+ :
van der Waals:
2
)
27 R 2T 2 RT.:r a= _ __ er e b= -864 Per Per
dove
c_)
Beattie-Bridgeman:
P = R"T ( 1__
dove:
A=A0 (1-~)
vi
VT3 e
B=B0 (1-~)
Benedict-Webb-Rubin: p=
~; + (B RuT-A ~~) vi 0
aa
+-
u6
0 -
bRuT-a
+
v3
c r ,-, + - - (1 + - ) e-Y V v3T2 vi
Nella Tabella A.12 sono riportate per varie sostanze le costanti delle equazioni di Beattie-Bridgeman e di Benedict-Webb-Rubin.
Il primo principio d:lla termodinamica, che può essere considerato sem-
~hcement~ un en~nc1ato de.1prin~ipio di conservazione dell'energia, assensce che 1.energ~a totale d1 un sistema è una proprietà termodinamica. In
questo capitolo s1 studierà il trasferimento di energia sotto forma di calore e la~oro, le modalità di trasmissione del calore e del lavoro; si arriverà in m~m:ra ~radu~e alla relazione che esprime il primo principio per i sistemi chiusi; s1 defimranno i calori specifici e si otterranno relazioni per espri~er~ l'energia interna e l'entalpia dei gas perfetti per mezzo di calori spec~fic1 e tem?era~re. Tale app~occio sarà applicato anche ai solidi e ai liquidi: appro.ss1mat1 ~ sostanze 111compressibili. Saranno, infine, considerati gh asp:ttl termodmamici dei sistemi biologici per fornire alcuni chiarimenti sulle diete e sull'esercizio fisico.
3.1 !! INTRODUZIONE AL PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA
60 CAPITOLO 3 U primo principio della termodinamica: i sistemi chiusi
Contorno del sistema
f
;r-&---------;I I I :l il !,
I
:
SISTEMA
CHIUSO
Calore
......-:-Lavoro
(m =costante)
,I ,I
L_____________
I I I
FIGURA 3.1
L'energia può attraversare il contorno di un sistema chiuso sotto fonna di calore e lavoro.
FIGURA 3.2
Il calore è trasmesso dai corpi caldi " quelli più freddi in virtù Ji una differenza di temperatura.
ARIA AMBIENTE
FIGURA 3.3
L'energia è riconosciuta come calore ;olo quando attraversa il contorno Jel sistema.
Nel Capitolo 1 si è fatto notare che l'energia non può essere né creata né distrutta, ma può solo cambiare forma: questo principio, che si basa su osservazioni sperimentali, è noto come primo principio della termodinamica o principio di conservazione dell'energia. Si può, quindi, semplicemente affermare che: durante un'interazione tra un sistema e l'ambiente, la quantità di energia guadagnata dal sistema deve essere esattamente uguale alla quantità di energia persa dall'ambiente. A tal fine va osservato che l'energia può attraversare il contorno di un sistema chiuso sotto due forme distinte: calore e lavoro (Figura 3.1).
il s!stema e l'ambiente sono alla stessa temperatura, per cui non si può venficare alcuna trasmissione di calore. Un processo adiabatico non va confuso con un processo isotermo; infatti, sebbene durante un processo adiabatico non vi .sia trasmissione di calore, il contenuto di energia e, quindi, la temperatura del sistema possono ancora modificarsi, ad esempio a seguito di uno scambio di lavoro. Per i! cal?re, in .quanto e.nergia, si usa come unità di misura il joule, J. La qua~t~tà ~1 energia trasfenta durante la trasformazione tra due stati (stato 1 e 2) s1 md1ca con Q12 , o solo con Q; mentre il calore trasmesso per unità di massa di un sistema si indica con q ed è dato dalla relazione:
q=Sl.
(J/kg)
m
3.2 l!1;1 LA TRASMISSIONE DI CALORE Per esperienza si sa che una lattina di bibita fredda lasciata su un tavolo alla fine si riscalda e che una patata calda cotta al forno lasciata sullo stesso tavolo si raffredda (Figura 3.2). Infatti, quando un corpo è immerso in un mezzo a temperatura differente, si verifica un trasferimento di energia tra il corpo e il mezzo circostante, finché non si stabilisce l'equilibrio termico, vale a dire finché il corpo e il mezzo non raggiungono la stessa temperatura. Il trasferimento di energia avviene spontaneamente sempre dal corpo a temperatura più alta verso quello a temperatura più bassa. Nel caso della patata al forno, l'energia continuerà ad abbandonare la patata finché essa non si sarà raffreddata fino alla temperatura ambiente; una volta stabilita leguaglianza di temperatura tra patata e ambiente, il trasferimento di energia terminerà. Nei processi appena descritti, si dice che l'energia si trasferisce sotto forma di calore. Il calore è definito come la forma di energia che si trasferisce tra due sistemi (o tra un sistema e l'ambiente) in virtù di una differenza di temperatura: ne consegue, quindi, che non può esistere alcuna trasmissione di calore tra due sistemi alla stessa temperatura. Nella vita quotidiana correntemente si fa riferimento alle forme sensibile e latente di energia interna usando il termine calore e si parla di contenuto di calore dei corpi. In termodinamica, invece, tali forme di energia vengono chiamate energia termica per evitare qualsiasi confusione con il calore, inteso come energia che si trasferisce. Infatti, il calore è energia in transito, riconoscibile solo al momento in cui attraversa il contorno di un sistema. Si consideri ancora una volta la patata cotta al forno calda: essa contiene energia, che si configura come trasmissione di calore solo quando passa attraverso la buccia della patata (il contorno del sistema) per raggiungere l'aria, come mostrato in Figura 3.3. Una volta nell'ambiente, il calore trasmesso diventa parte dell'energia interna dell'ambiente. Un processo durante il quale non vi è trasmissione di calore è detto processo adiabatico (Figura 3.4). Il termine adiabatico deriva dalla parola greca aouxf3awc;, che significa non valicabile. Un processo può risultare adiabatico quando il sistema è ben isolato termicamente, cosicché solo una quantità trascurabile di calore può attraversare il contorno, oppure quando
(3.1)
61 ~-t-J'E'~.~::~
La trasmissione di calore
/Isolamento
r-------------, 1
:
'•
SISTEMA ADIABATICO
L_____________ J FIGURA 3.4
Durante un processo adiabatico. un sistema non scambia calore con l'ambiente.
Q nell'intervallo di tempo considerato:
Q= f'Qdt
..,,-- Q=O
I I I I I
. La potenza termica, Q (il punto sopra il simbolo sta per la derivata nspetto al tempo o "riferito all'unità di tempo"), cioè la quantità di calore trasmessa nell'unità di tempo (Figura 3.5), ha come unità di misura il J/s, che equivale a W. Quando Q varia nel tempo, il calore trasmesso durante un processo si determina integrando
I I
I I
:
(J)
Calore
(3.2)
Quando Q rimane costante durante un processo, la precedente relazione si riduce a:
Q=Qti.t (J)
Q=6kW q 15 kJ/kg
(3.3)
dov~ ti.t =t2 - 11 è l'intervallo di tempo durante il quale avviene la trasformazione. . II calore è una quantità vettoriale; quindi, l'equazione Q = 5 kJ non dice nulla sul verso del flusso di calore a meno che non si adotti una con~enzione di ~e_gno. La conve~~ione di segno universalmente accettata per Il calore stab1hsce che: è positivo il calore trasferito dall'ambiente al sistema, mentre è negativo quello trasmesso in verso opposto (Figura 3.6). Perciò, qualunque quantità di calore che incrementa l'energia di un sistema è positiva e vicevers.a qualunque quantità di calore che decrementa . I' energia di un sistema è negativa.
=
FIGURA 3.5
Relazioni tra q. Q e
Q.
·----------, Calore fornito J
Cenni storici
30kJ
Q=30kJ m= 2 kg di= 5 s
1
I I
: SISTEMA
Il calore è sempre stato percepito come qualcosa che produce sull'uomo una sensazione di caldo, per cui si potrebbe pensare che la natura del calore sia stata una delle prime cose comprese dal genere umano. Invece, solo alla metà del XIX secolo si è avuta la vera spiegazione fisica della natura del calore: infatti, grazie allo sviluppo della teoria cinetica, che tratta le molecole come corpuscoli in movimento dotati di energia cinetica, il calore fu correttamente interpretato come energia associata al moto casuale di atomi e molecole.
I
i
Q=-5 kJ
I I I
FIGURA 3.6
Convenzione di segno per le quantità di calore: positive se entranti nel sistema, negative all'opposto.
62 CAPITOLO 3
Il primo principio della termodinamica:
i sistemi chiusi
FIGURA 3.7 All'inizio del XIX secolo, si immaginava il calore come un fluido invisibile chiamato calorico che fluiva dai corpi più caldi a quelli più freddi.
Fino alla metà del XIX secolo l'interpretazione prevalente del calore si basava sulla teoria del calorico, proposta dal chimico francese Antoine Lavoisier (1743-1794) nel 1789, secondo la quale il calore era una sostanza fluida, detta calorico, senza massa, senza colore, senza odore e senza sapore, caratterizzata dal fatto che si poteva riversare da un corpo all'altro (Figura 3.7). Quando il calorico veniva aggiunto a un corpo, la sua t~mpe . ratura aumentava; quando il calorico veniva sottratto da un corpo, la sua temperatura diminuiva. Se un corpo non pote.va contenere altro calorico, pressappoco allo stesso modo in cui l'acqua contenuta in un bicchiere non poteva sciogliere altro sale, il corpo si diceva saturo di calorico. Questa terminologia dette origine ai termini liquido saturo e vapore saturo, ancora in uso al giorno d'oggi. La teoria del calorico fu criticata subito dopo la sua proposizione, perché asseriva che il calore era una sostanza e non poteva essere creato o distrutto, mentre si sapeva che il calore poteva essere generato ali' infinito strofinandosi le mani o strofinando insieme due pezzi di legno. Nel 1798, infatti, Benjamin Thompson (conte di Rumford, 1753-1814) dimostrò che il calore poteva essere generato in continuazione per attrito. La validità della teoria del calorico fu sfidata anche da diverse altre teorie; ma gli esperimenti dell'inglese James P. Joule (1818-1889), pubblicati nel 1843, definitivamente convinsero gli scettici che dopo tutto il calore non era una sostanza, per cui la teoria del calorico fu abbandonata, avendo dato, comunque, un notevole contributo allo sviluppo della termodinamica.
Diverse modalità di trasmissione del calore
FIGURA 3.8 Tra•missione di calore per conduzione dall'aria calda a una bibita fredda attraverso la parete del contenitore in alluminio.
Il calore si può trasmettere in tre diversi modi: per conduzione, per convezione e per irraggiamento, modalità che verranno studiate più avanti nel testo. Tuttavia, qui di seguito si descrive brevemente ciascuna modalità per far sì che il lettore familiarizzi con i meccanismi di base della trasmissione del calore. Va comunque ribadito che tutti i modi di trasmissione del calore richiedono lesistenza di una differenza di temperatura e che si verificano spontaneamente da un sistema a temperatura più alta verso uno a temperatura più bassa. La conduzione è il trasferimento di energia che si verifica per effetto dell'interazione delle particelle di una sostanza dotate di maggiore energia con quelle adiacenti dotate di minore energia. La conduzione può avvenire nei solidi, nei liquidi o nei gas: nei gas e nei liquidi è dovuta alle collisioni tra le molecole durante il loro moto casuale; nei solidi è dovuta alle vibrazioni delle molecole all'interno del reticolo e al trasporto di energia da parte degli elettroni liberi. Una bibita fredda in lattina in un ambiente caldo, ad esempio, alla fine si riscalda fino alla temperatura ambiente, come risultato della trasmissione di calore per conduzione attraverso la lattina di alluminio (Figura 3.8). . Si osservi che la potenza termica trasmessa per conduzione Qcond attraverso una lastra piana di spessore costante fil è proporzionale alla differenza di temperatura ilT attraverso lo strato e all'area A della sezione normale alla direzione della trasmissione di calore ed è inversamente proporzionale allo spessore dello strato. Quindi,
63 dove la costante di proporzionalità À è la conducibilità termica del materiale, che misura la capacità del materiale a condurre calore (Tabella 3.1). Materiali quali il rame e l'argento, che sono buoni conduttori elettrici sono anche buoni conduttori di calore e perciò hanno alti valori di À; ma;eriali quali la gomma, il legno e il polistirene sono cattivi conduttori di calore e perciò hanno bassi valori di À. Nel caso limite di !lx~ O, la precedente equazione si riduce all'espressione differenziale: · Q.,ond
dT =- ÀA-d X
(W)
(3.5)
nota come postulato di Fourier per la conduzione di calore, secondo il quale la potenza termica per unità di superficie trasmessa per conduzione in una determinata direzione è proporzionale al gradiente di temperatura in quella direzione. Per rendere positiva la potenza termica trasmessa nel verso positivo di x nell'Equazione 3.5 viene aggiunto il segno negativo, poiché il calore si trasmette per conduzione nel verso delle temperature decrescenti e il gradiente di temperatura diventa negativo quando la temperatura diminuisce per x crescente. La trasmissione di calore per conduzione in un liquido o gas è dovuta allo scambio di energia cinetica· tra molecole dotate di moto casuale ma anche di moti vibratori e rotazionali. Nei solidi la trasmissione di calore per conduzione è dovuta alle vibrazioni delle molecole ali' interno del reticolo e al trasporto di energia da ~arte degli elettroni liberi. La conducibilità termica di un solido si può ntenere come la somma di due componenti, reticolare ed elettronica: nel caso di metalli puri prevale quella elettronica, mentre per le sostanze non metalliche prevale quella reticolare. La componente reticolare della conducibilità termica dipende fortemente dalla disposizione delle molecole: per esempio, la conducibilità termica di un diamante, che è un solido cristallino estremamente ordinato, è molto più alta di quella dei metalli puri. La convezione è il trasferimento di energia tra una superficie solida e il liquido o gas adiacente in movimento e implica gli effetti combinati di conduz_ione e trasporto di massa. Si noti che il calore trasmesso per convezione aumenta con la velocità del fluido, che, inoltre, in assenza di trasporto di massa, la trasmissione di calore tra una superficie solida e il fluido adiacente avviene soltanto per conduzione e che, infine, la presenza di trasporto di massa aumenta la quantità di calore trasmesso tra la superficie solida e il fluido, ma complica anche la determinazione della potenza termica trasmessa. Si consideri il raffreddamento di un blocco caldo per mezzo di aria fredda soffiata sulla sua superficie superiore (Figura 3.9): il calore, trasferito, dapprima, per conduzione allo strato d'aria adiacente alla superficie del blocco, viene, quindi, allontanato dalla superficie per convezione. Nel
La trasmissione di calore
TABELLA 3.1 Conducibilità termiche di alcuni materiali a temperatura ambiente
Materiale
Conducibilità termica W/(m·K)
Diamante 2300 Argento 429 Rame 401 Oro 317 Alluminio 237 Ferro 80.2 Mercurio {f) 8.54 Vetro 1.4 Mattone 0.72 Acqua (f) 0.613 Pelle umana 0.37 Legno (quercia) 0.17 Elio (g) 0.152 Gomma soffice 0.13 Refrigerante-12 (f) 0.072 Fibra di vetro 0.043 Aria(g) 0.026 Uretano, schiuma rigida 0.026
Variazione
della velocità dell'aria T
T,
BLOCCO CALDO
FIGURA 3.9 Trasmissione di calore per convezione da una superficie calda all'aria.
64 ~
~
CAPITOL03 Il primo principio della tcrhlodim1mica: 1 sistemi chiusi
Convezione
Convezione
forzata
naturale
ARIA
.Wfc;J?t FIGURA 3.10 Raffreddamento di un uovo sodo per 'onvezione forzata e naturale.
fenomeno descritto si hanno gli effetti combinati di conduzione nell'aria, dovuta al moto casuale delle molecole d'aria, e di trasporto di massa, che in prossimità della superficie rimuove laria riscaldata sostituendola con aria più fredda. La convezione è detta convezione forzata se il fluido è forzato a scorrere in un tubo o su una superficie da mezzi esterni quali un ventilatore, una pompa o il vento. Al contrario, la convezione è detta convezione naturale (o libera) se il moto del fluido è causato da forze ascensionali che sono indotte dalle differenze di densità dovute alla variazione di temperatura del fluido in un campo gravitazionale (Figura 3.10): per esempio, in assenza di ventilatore la trasmissione di calore dalla superficie del blocco caldo in Figura 3.9 avviene per convezione naturale, poiché il movimento dell'aria è dovuto all'ascesa di aria più calda (e quindi più leggera) in prossimità della superficie e alla discesa di aria più fredda (e quindi più pesante) che prende il suo posto. Se la differenza di temperatura tra laria e la superficie del blocco non è sufficiente a vincere la resistenza dell'aria a muoversi e dare così inizio alle correnti convettive naturali, la trasmissione di calore tra il blocco e l'aria circostante avverrà per conduzione. I processi di trasmissione del calore che implicano cambiamenti di fase di un fluido sono considerati convettivi a causa del moto del fluido indotto durante la trasformazione, come l'ascesa di bolle di vapore durante l' ebollizione o la caduta di goccioline di liquido durante la condensazione. La potenza termica trasmessa per convezione Qconv è espressa dalla relazione:
dove h è il coefficiente di scambio termico convettivo, A è l'area della superficie attraverso cui la trasmissione ha luogo, T, è la temperatura della superficie e T è la temperatura del fluido a distanza sufficientemente grande dalla supefficie (all'interfaccia le temperature del fluido e della superficie del solido sono eguali). Il coefficiente di trasmissione del calore per convezione h non è una proprietà del fluido, ma è un parametro determinato sperimentalmente, il cui valore dipende da tutte le variabili che influenzano la convezione, quali la geometria della superficie, la natura del moto, le proprietà e la velocità del fluido. Valori caratteristici di h, in W/(m2 · K), sono 2 + 25 per la convezione libera nei gas, 50 + 1000 per la convezione naturale nei liquidi, 25 + 250 per la convezione forzata nei gas, 50 + 20 000 per la convezione forzata nei liquidi, 2500 + 100 000 per la convezione nei processi di ebollizione e condensazione. L'irraggiamento è il trasferimento di energia che avviene attraverso le onde elettromagnetiche (o fotoni), prodotte da variazioni nelle configurazioni elettroniche degli atomi o delle molecole. La trasmissione di calore per irraggiamento non richiede la presenza di un mezzo interposto diversamente dalla conduzione e dalla convezione, avviene alla velocità della luce e non subisce attenuazioni nel vuoto. Questo è esattamente il modo in cui l'energia del Sole raggiunge la Terra.
Negli studi sulla trasmissione del calore si definisce radiazione termica la radiazione emessa dai corpi a causa della loro temperatura, che differisce da altre forme di radiazione elettromagnetica quali i raggi X e gamma, le microonde, le onde radio e televisive, non correlate alla temperatura. Tutti i corpi a temperatura superiore allo zero assoluto emettono radiazione termica. L'irraggiamento è un fenomeno volumico, tuttavia si considera di solito un fenomeno superficiale per i solidi opachi alla radiazione termica, metalli, legno e rocce, poiché l'irraggiamento emesso dalle regioni interne di tali materiali non può mai raggiungere la superficie e l'irraggiamento incidente su tali corpi è di solito assorbito entro pochi micron dalla superficie. La massima potenza termica emessa per irraggiamento da una superficie a temperatura assoluta T, è data dalla legge di Stefan-Boltzmann: Qemis.max
=
(j
4
AT,
è la costante dove A è l'area della superficie e cr= 5.67 x 10-s di Stefan-Boltzmann. La superficie ideale che emette per irraggiamento tale potenza è detta corpo nero e l'irraggiamento emesso da un corpo nero è detto radiazione di corpo nero. La potenza emessa per irraggiamento da qualsiasi superficie reale è minore di quella emessa dal corpo nero a parità di temperatura e può essere calcolata con la relazione: 4
= eaAT,
(W)
La trasmissione di calore
(3.7)
(W)
W/(m 2 • K4)
Qemis
65 ~~.:;;&~~
(3.8)
dove e è I' emissività della superficie, il cui valore, compreso nell'intervallo O $ e$ 1, è una misura di quanto il comportamento di una superficie si approssima a quello del corpo nero per cui e= 1. I valori delle emissività di alcuni materiali sono riportati nella Tabella 3.2. Altra importante proprietà di una superficie è il suo coefficiente di assorbimento, a, cioè la frazione di energia radiante incidente sulla superficie che viene assorbita dalla superficie stessa. Come I' emissività, il suo valore è compreso nell'intervallo O ::;; a::;; I. Un corpo nero assorbe completamente l'energia radiante su esso incidente; cioè, un corpo nero è un perfetto assorbitore (a= 1) tanto quanto un perfetto emettitore. In generale, sia l'emissività sia il coefficiente di assorbimento di una superficie dipendono dalla temperatura e dalla lunghezza d'onda della radiazione. La legge di Kirchhoff dell'irraggiamento enuncia che l'emissività e il coefficiente di assorbimento di una superficie sono uguali àlla stessa temperatura e lunghezza d'onda. Nella maggior parte delle applicazioni pratiche, si ignora la dipendenza di e e a dalla temperatura e dalla lunghezza d'onda e il coefficiente di assorbimento medio di una superficie si considera uguale alla sua emissività media. La potenza termica assorbita per radiazione è determinata da (Figura 3.11)
Q;nc è la potenza termica radiante che incide sulla superficie e a è il
dove coefficiente di assorbimento della superficie. Per le superfici opache (non
TABELLA 3.2 Emisshità di alcuni materiali a 300 K
Emissività
Materiale Foglio d'alluminio Alluminio anodizzato Rame lucido Oro lucido Argento lucido Acciaio Inossidabile lucido Pittura nera Pittura bianca Carta bianca Pavimentazione In asfalto Mattone rosso Pelle umana Legno Terreno Acqua Vegetazione
Qa~s
0.07 0.82 0.03 0.03 0.02 0.17 0.98 0.90 0.92-0.97 0.85-0.93 0.93-0.96 0.95 0.82-0.92 0.93-0.96 0.96 0.92-0.96
= aQlnc
FIGURA 3.11 Assorbimento della radiazione incidente su una superficie opaca con coefficiente di assorbimento a.
I 66
trasparenti), la parte di radiazione incidente non assorbita dalla superficie viene riflessa. La differenza tra la potenza termica radiante emessa e quella assorbita da una superficie è la potenza termica netta trasmessa per irraggiamento. Se la potenza termica radiante assorbita è maggiore di quella emessa, si dice che la superficie guadagna energia per irraggiamento; in caso contra. rio, si dice che la superficie perde energia per irraggiamento. In generale, la determinazione della potenza termica netta scambiata per irraggiamento tra due superfici è materia complicata, poiché dipende dalle proprietà delle superfici, dal loro orientamento relativo e dalle caratteristiche del mezzo tra le due superfici che irraggiano. Tuttavia, nel caso particolare di una superficie relativamente piccola, di emissività e e area A, a temperatura assoluta T,. completamente contenuta da una superficie molto più grande, a temperatura assoluta T,, separate da un gas (quale laria) che non interferisce con le radiazioni (quindi, l'ammontare di radiazioni emesse, assorbite o disperse nel mezzo è trascurabile), la potenza termica netta scambiata per irraggiamento tra le due superfici è determinata da (Figura 3.12)
~
CAPITOLO 3 Il primo principio della termodinamica: i sistemi chiusi
Qconv = hA (T,
67
- T,)
~~3.:t .=.~--~
= (6) (1.6) (29 - 20) = 86.4
11 la\oro
w
La persona cederà calore anche per irraggiamento verso le superfici delle pareti circostanti. Nel caso in studio, si assume, per semplicità, che le temperature delle superfici delle pareti, del soffitto e del pavimento siano uguali alla temperatura dell'aria, ma si riconosce che in effetti non dovrebbe essere così; tali superfici, infatti, possono trovarsi a una temperatura più alta o più bassa della temperatura media dell'aria nella stanza, in funzione delle condizioni esterne e della struttura delle pareti. Considerando che l'aria non interferisce con l'irraggiamento e che la persona è completamente circondata dalle superfici della stanza, la potenza termica trasmessa per irraggiamento dalla persona alle pareti, al soffitto e al pavimento circostanti è, dall'Equazione 3.1 O,
Ci;. =E<1A (r,' - T~4 ) = (0.95) (5.67
X
1O-
-
(20 + 273)4]
=81.7W
~N}-->; ....
4
. Qi~ :="s~A.~'.["t-T: L~)
.. ___. «-··'""V -~~.IO)
Si noti che nei calcoli radiativi bisogna utilizzare le temperature assolute. Si noti anche che per la pelle e il vestiario si è utilizzato il valore di emissività alla temperatura della stanza, poiché si ritiene che l'emissività non cambi significativamente a una temperatura leggermente più alta. Quindi, la potenza termica totale scambiata dal corpo è determinata, sommando le due quantità, da
In questo caso particolare, l'emissività e l'area della superficie circostante non hanno alcun effetto sulla trasmissione finale di calore per irraggiamento. FIGURA 3.12 Trasmissione di calore per irraggiamento tra un corpo e la superficie interna di un contenitore molto più grande che lo circonda completamente.
ARIA AMBIENTE
... =o.,.,, +o,. =(86.4+81.1i=1s8.1 w
CONTENITORE GRANDE
o~
La potenza termica trasmessa sarebbe molto maggiore se la persona non fosse vestita, poiché la temperatura della superficie corporea esposta sarebbe più alta. Perciò, una funzione importante degli abiti è quella di servire da barriera contro la trasmissione del calore. Nei calcoli precedenti, si trascura la trasmissione di calore per conduzione dai piedi al pavimento, perché generalmente molto piccola, e non si considera la trasmissione di calore per traspirazione dalla pelle, modalità dominante della trasmissione di calore negli ambienti severi caldi.
20°c
3.3
ESEMPIO 3.1 Si consideri una persona in piedi in una stanza ventilata a 20°c. Si determini la potenza termica totale scambiata con l'ambiente nel caso in cui l'area della superficie esposta e la temperatura superficiale esterna media della persona siano, rispettivamente, 1.6 m 2 e 29°C e il coefficiente di scambio termico convettivo sia 6 W/(m2.°C) (Figura 3.13).
FIGURA 3.13 Potenza termica trasmessa dalla persona descritta nell'Esempio 3.1.
Soluzione La trasmissione di calore tra la persona e l'aria ambiente avverrà per convezione, poiché si può pensare che l'aria in prossimità della pelle o del vestiario si riscalderà e ascenderà, come risultato della trasmissione termica dal corpo, dando origine a correnti convettive naturali. In questo caso, il valore determinato sperimentalmente della potenza termica trasmessa per convezione tra la persona e l'aria è 6 W per unità di superficie (m2) e per una differenza di temperatura unitaria (in K o °C). Quindi, la potenza termica trasmessa per convezione dalla persona all'aria ambiente è, dall'Equazione 3.6,
j
~
IL LAVORO
Il lavoro, come il calore, è un'interazione di energia tra un sistema e I' ambiente. Come precedentemente affermato, lenergia può attraversare il contorno di un sistema chiuso sotto forma di calore o lavoro; perciò, se l'energia che attraversa il contorno di un sistema chiuso non è calore, deve essere lavoro. Il calore è facile da riconoscere: si scambia per differenza di temperatura tra il sistema e l'ambiente. Viceversa si può dire che uno scambio di energia che non sia causato da una differenza di temperatura tra un sistema e l'ambiente è lavoro; più precisamente, il lavoro è il trasferimento di energia associato all'effetto combinato di una forza e di uno spostamento. Un pistone in movimento, un'elica collegata a un albero rotante e un filo metallico percorso da corrente elettrica che attraversano il contorno di un sistema sono tutti associati a scambi di lavoro.
T 68
Il lavoro, come il calore, è una forma di energia scambiata e ha le unità di misura dell'energia quali il joule, J. Il lavoro scambiato durante una trasformazione tra gli stati 1 e 2 si indica con L 12 , o semplicemente L. Il lavoro scambiato per unità di massa di un sistema si indica con l ed è dato da
~
CAPITOLO 3 Il primo principio
della termodinamica: i sistemi chiusi
L l =- (J/kg) L=30kJ m = 2 kg tH= 5 s
m
30kJ lavoro
L =6kW I= 15 kJ/kg =1GURA 3.14
{elazioni tra /, Le L. Ambiente
(+)
Q
H Sistema
"IGURA 3.15
·anvenzione di segno per calore lavoro.
(3.11)
Il lavoro scambiato per unità di tempo è detto potenza e si indica con L (Figura 3.14). L'unità di misura della potenza è il J/s, o W. La produzione di lavoro da parte di un sistema è considerata un effetto positivo, desiderabile, e il consumo di lavoro un effetto negativo, indesiderabile. La convenzione di segno adottata in questo testo riflette la seguente filosofia: il lavoro fornito da un sistema all'ambiente è positivo e al contrario è negativo il lavoro fornito dall'ambiente al sistema (Figura 3.15). Secondo tale convenzione, il lavoro prodotto dai motori automobilistici e da turbine a gas, idrauliche o a vapore, è positivo, e il lavoro consumato da compressori e pompe è negativo. In altri termini, il lavoro prodotto da un sistema durante un processo è positivo e il lavoro consumato è negativo. Si noti che l'energia di un sistema diminuisce quando il sistema compie lavoro e aumenta quando il lavoro è compiuto sul sistema. Il lettore ricordi che alcuni testi usano per il lavoro la convenzione di segno opposta. A volte, al posto dei segni negativo e positivo, si utilizzano i pedici entrata e uscita per indicare la direzione di qualsiasi scambio di calore o lavoro. Se il calore fornito a un sistema si indica con Q e il calore ceduto dal sistema con Qu, una perdita di calore di 5 kJ si può esprlmere o come Q = -5 kJ o come Q. =5 kJ. Allo stesso modo, una produzione di ·lavoro di 5 kJ si può esprimere come L =5 kJ o L. =5 kJ. Quando si tratta di macchine operatrici, quali compressori e pompe, il segno negativo associato al termine lavoro può convenientemente evitarsi parlando di lavoro assorbito (o potenza) piuttosto che di lavoro fornito dal sistema (per esempio, L, =2 kW inveèe di i = -2 kW). Calore e lavoro sono interazioni tra un sistema e lambiente e hanno molte caratteristiche comuni: 1 entrambi si riconoscono al contorno del sistema quando lo attraversano; cioè, entrambi sono fenomeni di contorno; 2 entrambi sono forme di energia di scambio, in quanto i sistemi possiedono energia, ma non calore o lavoro; 3 entrambi sono associati a una trasformazione e non a uno stato; diversamente dalle proprietà, il calore e il lavoro non hanno significato in uno stato; 4 entrambi sono funzioni di linea (vale a dire, la loro entità dipende dal percorso seguito durante una trasformazione così come dagli stati iniziale e finale). Le funzioni di linea hanno differenziali non esatti indicati dal simbolo 8. Quindi, una quantità infinitesima di calore o lavoro è rappresentata, rispettivamente, da 8Q o 8L invece che da dQ o dL. Le proprietà, tuttavia, sono
I I
funzioni di punto o di stato (vale a dire, dipendono solo dallo stato e non da come il sistema raggiunge quello stato) e hanno differenziali esatti indicati dal simbolo d. Una variazione infinitesima di volume, per esempio, è rappresentata da dV e la variazione totale di volume durante una trasformazione tra gli stati I e 2 è
69 11 la\"oro p
Cioè, la modificazione di volume durante una trasformazione 1-2 corrisponde sempre al volume nello stato 2 meno il volume nello stato I, indipendentemente dal percorso seguito (Figura 3.16). Il lavoro totale scambiato durante la trasformazione 1-2, invece, è
fi~L = L12
(non M)
Cioè, il lavoro totale è ottenuto seguendo la linea di trasformazione e sommando le quantità infinitesime di lavoro (8L) scambiate lungo la trasformazione.
2m 3
5 m3
FIGURA 3.16
Le proprietà sono funzioni di punto; ma il calore e il lavoro sono funzioni di linea (la loro entità dipende dal percorso seguito).
ESEMPIO 3.2 Una candela brucia in una stanza ben isolata termicamente. Considerando la stanza (l'aria più la candela) come sistema, si determini a) se vi è scambio termico durante la trasformazione di combustione e b} se vi è variazione di energia interna del sistema. Soluzione a) Le superfici interne della stanza costituiscono il contorno del sistema, come indicato dalla linea tratteggiata in Figura 3.17. Come evidenziato in precedenza, il calore si riconosce quando attraversa il contorno; poiché la stanza è ben isolata termicamente, si ha un sistema adiabatico e nessuna quantità di calore attraverserà il contorno. Quindi, in questo caso Q"' O. b) Come discusso nel Capitolo 1, l'energia interna comprende energie di vario tipo (sensibile, latente, chimica, nucleare). Durante la trasformazione descritta in precedenza, parte dell'energia chimica si converte in energia sensibile, cioè parte dell'energia interna del sistema passa da una forma a un'altra. Poiché non vi è aumento o diminuzione dell'energia interna totale del sistema, risulta !J.LJ;Q. .
V
(Isolamento)
r-----1 STANZA
I I I
iL I I
L_____________ J FIGURA 3.17
Schema per l'Esempio 3.2. (Isolamento) FORNO Calore
ESEMPIO 3.3 Una patata, che si trova inizialmente a temperatura ambiente (25°C}, viene cotta in un forno mantenuto a 200°C, come mostrato in Figura 3.18. Esiste qualche scambio termico durante tale processo di cottura? Soluzione Questo problema non è ben definito poiché il sistema non è stato specificato. Se si assume la patata come sistema, allora la buccia della patata può considerarsi come il contorno del sistema e parte dell'energia del forno lo attraverserà. Poiché il trasferimento di energia awiene a causa di una differenza di temperatura, si tratta di un processo di trasmissione termica.
2oo·c FIGURA 3.18
Schema per l'Esempio 3.3.
T 70
Quando sia V sia l rimangono costanti durante l'intervallo di tempo llt, tale equazione si riduce a
ESEMPIO 3.4
CAPJTOL03 Il primo principio della termodinamica: i sistemi chiusi
L,, = VI llt (J)
Un forno elettrico ben isolato termicamente è riscaldato attraverso il suo elemento scaldante. Considerando l'intero forno, compreso il suo elemento scaldante, quale sistema, si stabilisca se vi è uno scambio di calore o di lavoro.
71 ~/~lì
Le forme meccaniche del hnoro
(3.14)
Contorno del sistema
r----- - -----,
I
I
: FORNO ELETTRICO: I I
I I
I
I
:
Elemento/ scaldante I
I
I
1 I
. Soluzione In questo problema, le superfici interne del forno costituiscono il contorno del sistema, come mostrato in Figura 3.19. L'energia interna del forno owiamente aumenta durante la trasformazione, poiché aumenta la temperatura. Il trasferimento di energia al forno non è causato da una differenza di temperatura tra il forno e l'aria circostante, ma da particelle caricate negativamente chiamate elettroni che attraversano il contorno del sistema, compiendo così lavoro. Quindi, si tratta di uno scambio di lavoro.
I
______________ JI ESEMPIO 3.5 FIGURA 3.19 Schema per l'Esempio 3.4. Contorno del sistema
r----- - -----,
I
I
/ FORNO ELETTRICO/ I
I
I I I
I I I
: Elementol 1 scaldante\ L____ ----, I
c=========.!.. ___ J FIGURA 3.20 Schema per l'Esempio 3.5.
Si risponda alla domanda dell'Esempio 3.4, nel caso in cui il sistema sia costituito solo dall'aria nel forno senza l'elemento scaldante. Soluzlone Questa volta il contorno del sistema include la superficie esterna dell'elemento scaldante e non la attraversa, come mostrato in Figura 3.20; quindi, nessun elettrone attraversa il contorno del sistema in nessun punto. Invece l'energia generata internamente all'elemento scaldante si trasferisce all'aria intorno a esso come risultato della differenza di temperatura tra l'elemento scaldante e l'aria nel forno. Quindi, si tratta di un processo di trasmissione di calore. Con questi due ultimi esempi, in cui la quantità di energia trasferita all'aria è uguale, si è voluto mostrare che l'energia scambiata può essere calore o lavoro a seconda di come si sceglie il sistema.
Il lavoro elettrico Nell'Esempio 3.4 si è fatto notare come gli elettroni che attraversano il contorno di un sistema svolgono lavoro elettrico sul sistema, poiché si muovono in un campo elettrico sotto l'effetto di forze elettromotrici. Quando elettroni corrispondenti a una carica di N coulomb si muovono per effetto di una differenza di potenziale V, il lavoro elettrico fatto è:
e, riferendosi all'unità di tempo, la potenza elettrica è: R
= 12R
= V 2/R
FIGURA 3.21 Potenza elettrica in termini di resistenza R, intensità di corrente elettrica le differenza di potenziale V.
(Isolamento) '"'~'- ··~c~l"-;;:':; l
I
-1
: Sistema B: : I ACQUAE I :GHIACCIO IN:
IEQ~RIOI
L--------1
Soluzione Il contorno di ciascun sistema è indicato dalle linee tratteggiate nella figura. Si noti che il contorno del sistema B costituisce anche la parte interna del contorno del sistema A. Sistema A: quando la resistenza viene percorsa da corrente, gli elettroni attraversano il contorno esterno del sistema A, compiendo lavoro elettrico. Tale lavoro è fornito al sistema e perciò LA= -10 kJ. A causa della somministrazione di tale energia, la temperatura dell'olio aumenta, creando un gradiente di temperatura, che determina un flusso di calore dall'olio all'acqua ghiacciata, attraverso il contorno in comune. Poiché l'olio è riportato alla sua temperatura iniziale di o•c. l'energia persa come calore deve eguagliare l'energia guadagnata come lavoro; quindi, QA = -10 kJ (o QAu 10 kJ). Sistema B: l'unico scambio di energia al contorno del sistema B è costituito dal flusso di calore proveniente dal sistema A. Tutto il calore perso dall'olio è guada· gnato dall'acqua ghiacciata; perciò, L = O e 0 8 = + 1O kJ. 8 Sistema combinato: il contorno esterno del sistema A costituisce l'intero con· torno del sistema combinato. L'unico scambio di energia in corrispondenza di questo contorno è il lavoro elettrico; infatti, poiché il serbatoio è ben isolato, nessuna quantità di calore attraversa il contorno. Quindi, L"""'• = -1 O kJ e Qcom• O. Si noti che il flusso di calore dall'olio all'acqua ghiacciata e per il sistema combinato un processo interno e, perciò, non si riconosce come calore; si tratta semplicemente di ridistribuzione dell'energia interna.
FIGURA 3.22 Schema per l'Esempio 3.6.
=
=
3.4 ~ LE FORME MECCANICHE DEL LAVORO
L,, = VN (J) i, 1=VI
ESEMPIO 3.6 Un piccolo serbatoio contenente acqua e ghiaccio in equilibrio a 0°C è posto al centro di un grande serbatoio, ben isolato, riempito con olio, come mostrato in Figura 3.22. Inizialmente, l'intero sistema è in equilibrio termico a 0°C. Si accende quindi la resistenza elettrica nell'olio e si svolge un lavoro elettrico di 10 kJ sull'olio. Dopo un po' di tempo, si nota che l'intero sistema è di nuovo a o•c, ma parte del ghiaccio nella tanica si è sciolto. Considerando l'olio come sistema A e l'acqua ghiacciata come sistema B, si discutano gli scambi di calore e lavoro per il sistema A. il sistema Be il sistema combinato (olio e acqua e ghiaccio in equilibrio).
dove i., è la potenza elettrica e I il numero di elettroni che si muovono nell'unità di tempo, cioè l'intensità della corrente elettrica (Figura 3.21). In generale, sia V che I variano nel tempo e il lavoro elettrico compiuto durante un intervallo di tempo llt si esprime come (3.13)
Vi sono modi molto diversi di compiere lavoro, ciascuno in qualche maniera correlato all'effetto di una forza e di uno spostamento (Figura 3.23). II lavoro compiuto da una forza costante F su un corpo che viene spostato di s nella direzione della forza è dato dalla relazione:
L =Fs
(J)
(3.15)
Se la forza F non è costante, il lavoro compiuto è dato dalla somma (integrale) di infinite quantità infinitesime di lavoro (forza per lo spostamento infinitesimo ds):
L = i);-ds
(J)
(3.16)
~
r---1 I1___ .J1·
I
I FIGURA 3.23 Il lavoro fatto è proporzionale alla forza applicata (F) e allo spostamento (s).
72
FIGURA 3.24 Se non esiste movimento, non si compie alcun lavoro.
Naturalmente per eseguire tale integrazione è necessario sapere come varia la forza con lo spostamento. Le Equazioni 3.15 e 3.16 forniscono solo lentità del lavoro; il segno si determina facilmente sulla base di considerazioni fisiche: il lavoro compiuto su un sistema da una forza esterna agente nella direzione del moto è negativo e il lavoro compiuto da un sistema contro una forza esterna agente in direzione opposta al moto è positivo. Affinché vi sia uno scambio di lavoro tra un sistema e lambiente occorre che:(!) ci sia una/orza agente sul contorno; (2) il contorno si possa m,uovere. La presenza, quindi, di forze sul contorno senza alcuno spostamento del contorno stesso non costituisce scambio di lavoro; analogamente lo spostamento del contorno senza alcuna forza che si opponga o favorisca tale movimento (come l'espansione di un gas in uno spazio vuoto) non comporta scambio di lavoro. In molti problemi termodinamici l'unica forma di lavoro presente è il lavoro meccanico, associato al movimento del contorno o al movimento dell'intero sistema nel suo complesso (Figura 3.24). Nel seguito vengono presentate alcune forme comuni di lavoro meccanico.
Il lavoro di variazione di volume Contorno mobile
'IGURA 3.25
lavoro associato a una variazione di olume è chiamato lavoro di variazione i volume.
A
nmnf p
GAS
GURA 3.26 gas compie una quantità infinitesima di ;oro 8L,, quando forza il pistone a ostarsi di una quantità infinitesima ds.
Un tipo di lavoro meccanico che si incontra frequentemente nella pratica è quello associato con lespansione o la compressione di un gas in un sistema cilindro-pistone, prodotta dallo spostamento di parte del contorno (la faccia interna del pistone si muove avanti e indietro). Il lavoro di espansione e compressione, spesso definito lavoro dì variazione dì volume (Figura 3.25), è il principale tipo di lavoro che caratterizza il funzionamento dei motori alternativi; infatti, durante l'espansione, i gas di combustione forzano il pistone a muoversi e, quindi, l'albero motore a ruotare. II lavoro di variazione di volume associato a motori o a compressori reali non può essere determinato con esattezza dalla sola analisi termodinamica, poiché, a causa della velocità del pistone, non è possibile individuare gli stati attraverso cui passa il sistema durante la trasformazione e tracciare la linea della trasformazione, non essendo questa quasi-statica. D'altra parte, essendo il lavoro una funzione di linea, questo non può essere determinato analiticamente senza la conoscenza della linea della trasformazione; il lavoro di variazione di volume nei motori o compressori reali si determina, quindi, attraverso misurazioni dirette. In questo paragrafo si analizza il lavoro di variazione di volume per un processo quasi-statico, al quale si può approssimare il funzionamento dei motori reali, quando il pistone si muove a basse velocità. Si consideri il gas contenuto nel dispositivo cilindro-pistone mostrato in Figura 3.26. La pressione iniziale del gas sia p, il volume totale V e l'area della sezione trasversale del pistone A. Se al pistone è consentito di spostarsi di una quantità ds in modo quasi statico, il lavoro elementare compiuto durante la trasformazione è dato dalla relazione:
OL" =Fds =pAds =pdV
(3.17)
Cioè, il lavoro di variazione di volume in forma infinitesima è dato dal
prodotto della pressione p per la variazione infinitesima di volume dV del sistema. Si noti che nell'Equazione 3.17 p è la pressione assoluta ed è sempre positiva; mentre, la variazione di volume dV è positiva durante un processo di espansione (incremento di volume) e negativa durante un processo di compressione (decremento di volume). Di conseguenza, il lavoro di variazione di volume è positivo durante un processo di espansione e negativo durante un processo di compressione, il che è coerente con la convenzione di segno adottata per il lavoro. Il lavoro totale di variazione di volume fatto durante lintero processo in cui il pistone si muove si ottiene integrando il lavoro elementare tra lo stato iniziale e lo stato finale:
73 ~2:;:eJ
p
I V') I I
\I
(3.18) ·~
,~J
Tale integrale si può calcolare solo se si conosce la relazione tra p e V durante la trasformazione, cioè la funzione p f (V) vale a dire l'equazione della linea della trasformazione nel piano p-V. La trasformazione di espansione quasi statica su descritta è mostrata nel piano p-V in Figura 3.27. In tale diagramma, l'area infinitesima dS, che è uguale apdV, rappresenta il lavoro elementare. L'area totale S sottesa dalla linea della trasformazione 1-2 si ottiene integrando le aree infinitesime dS:
=
area =S = fi~s =
FIGURA 3.27 L'area sottesa dalla linea della trasformazione in un diagramma p-V rappresenta il lavoro di variazione di volume. p
l~dV
Dal confronto di tale equazione con l'Equazione 3.18 si ottiene che l'area sottesa dalla linea della trasformazione nel piano p-V rappresenta il lavoro di variazione di volume compiuto durante una trasformazione quasi-statica di espansione o compressione di un sistema chiuso (in un diagramma p-v, essa rappresenta il lavoro di variazione di volume riferito all'unità di massa). Un gas può seguire linee di trasformazione differenti quando si espande dallo stato I allo stato 2; in generale, ogni linea di trasformazione sottenderà un'area differente e poiché tale area rappresenta il lavoro, il lavoro fatto sarà differente per ogni trasformazione (Figura 3.28). Questo risultato dipende dal fatto che il lavoro è una funzione di linea, caratteristica che permette ai dispositivi ciclici (motori automobilistici, impianti di potenza) di produrre lavoro. Infatti, come mostrato in Figura 3.29, per mezzo di un ciclo si ha una produzione di lavoro netto perché il lavoro compiuto dal sistema durante il processo di espansione (larea sottesa dalla linea A) è maggiore del lavoro compiuto sul sistema durante la fase di compressione del ciclo (larea sottesa dalla linea B). Se la relazione tra p e V durante un processo di espansione o compressione è fornita in termini di dati sperimentali, invece che in forma di funzione, non potendosi eseguire analiticamente l'integrazione, il lavoro potrà essere determinato calcolando graficamente larea sottesa dal diagramma p-V tracciato interpolando i dati sperimentali. L'uso della relazione del lavoro di variazione di volume (Equazione 3.18) non è limitata ai processi quasi-statici dei gas soltanto, ma si può usare anche per i solidi e i liquidi.
FIGURA 3.28 Il lavoro di variazione di volume fatto durante una trasformazione dipende dal percorso seguito e dagli stati iniziale e finale. p
V
FIGURA 3.29 Il lavoro netto prodotto durante un ciclo è la differenza tra il lavoro compiuto dal sistema e il lavoro compiuto sul sistema.
74
sia la pressione atmosferica che il peso del pistone sono costanti. Quindi, si tratta di una trasformazione a pressione costante, e, con l'Equazione 3.18,
ESEMPIO 3.7
CAPITOL03 Il primo principio deJla termodinamica: i slt;tcmi chiusi
Un serbatoio rigido contiene aria a 150°C e 500 kPa. Come risultato dello scambio termico con l'ambiente, la temperatura e la pressione all'interno del serbatoio si abbassano rispettivamente a 65°C e 400 kPa. Si determini il lavoro di variazione di volume durante tale processo. p. kPa
ARIA
Calore
5
oo
p 1 = 500 kPa T1 =150'C
FIGURA 3.30
Schema e diagramma p-V per l'Esempio 3.7.
p 2 = 400 kPa T2 65'C
-----]t
400 - - - - -
=
75 ~.!
Le forme
Approssimando il vapore a un gas perfetto, i suoi volumi iniziale e finale sono determinati da:
V= mRT, = 0.05x461.5x433 ' P, 140000
0.
0714
m'
V= mRT,. = 0.05x461.5x473 =0. 0780 m' 2 3p, 140000 e sostituendo si ha:
2
L,;,, 140 000 (0.0780 - 0.0714) = 924 J V,m3
Soluzione Uno schema del sistema e il diagramma p-Vdel processo sono mostrati in Figura 3.30. Assumendo che la trasformazione sia quasi-statica, il lavoro di variazione di volume si può determinare con l'Equazione 3.18:
f
o
L,= p_pQ =O Ciò era prevedibile, poiché un serbatoio rigido ha volume costante e quindi nella suddetta equazione dV = O; perciò, durante tale processo non si compie alcun lavoro di variazione di volume. Il lavoro di variazione di volume compiuto durante un processo a volume costante è sempre nullo, come risulta evidente dalla rappresentazione del processo sul diagramma p-V (l'area sottesa dalla linea di trasformazione è nulla).
Tale risultato è però approssimato, poiché il comportamento del vapor d'acqua si discosta considerevolmente da quello di un gas perfetto, eccetto che a pressioni basse o a temperature elevate.
ESEMPIO 3.9 Un dispositivo cilindro-pistone contiene inizialmente 0.4 m3 di aria a 100 kPa e 80°C. L'aria viene successivamente compressa fino a 0.1 m3 in modo tale che la temperatura all'interno del cilindro rimanga costante. Si determini il lavoro fatto sul sistema durante tale trasformazione. p
ESEMPIO 3.8
2
Un dispositivo cilindro-pistone senza attrito contiene 0.05 kg di vapore d'acqua a 140 kPa e 160°C. Si fornisca calore al vapore finché la temperatura raggiunge 200°C. Se il pistone è libero di muoversi e la sua massa è costante, si determini il lavoro fatto dal vapore durante il processo. p, kPa
ro = so·c = cost. ARIA
v1 = 0.4 rn 3
p 1 = IOOkPa T0 = SO'C =cosi.
FIGURA 3.32 0.4
O.I
140
Calore
p 0 = 140 kPa
v. 01 3
Soluzione Uno schema del sistema e il diagramma p-V del processo sono mostrati in Figura 3.32. Alle condizioni specificate, l'aria può considerarsi un gas perfetto poiché è ad alta temperatura e bassa pressione in relazione ai suoi valori critici (T" = -147°C, p" = 3390 kPa per l'azoto, principale costituente dell'aria). Per un gas perfetto a temperatura costante T0 ,
Area= I Lvi
FIGURA 3.31
Schema e diagramma p-V per l'Esempio 3.8.
pV= mRT,,=
V, Soluzione Uno schema del sistema e il diagramma p-Vdel processo sono mostrati in Figura 3.31. Sebbene non sia affermato esplicitamente, si può ritenere che la pressione del vapore nel cilindro rimanga costante durante il processo, poiché
e
o
e
P= V
dove C è una costante. Sostituendo questo nell'Equazione 3.18, si ha
f' f'C f'dV V, L,= J,pdV= J, -dV=CJ, -=Gin -V, =P,V,lnV
V
V,
V,
(3.20)
meccanich~
del laYoro
(3.19)
Schema e diagramma p-V per l'Esempio 3.9.
76 CAPITOLO 3 li primo principio della termodinamica: i sistemi chiusi
Nella precedente equazione, p, V, può sostituirsi con p~~· o mRT • In questo caso, 0 anche V/V, può sostituirsi con p/p2 , poiché P, V, P v.. 2 Sostituendo i valori numerici nell'equazione preceJente, si ottiene
=
L
"
0.1) =(100) (0.4) ( In-
Il lavoro elastico
77
Se applicando una forza, F, a una molla, la lunghezza della molla cambia (Figura 3.34) di una quantità infinitesima dx, il lavoro elementare compiuto è dato dalla relazione:
0.4
Il segno negativo indica che il lavoro è compiuto sul sistema, come sempre accade nelle trasformazioni di compressione.
Per determinare il lavoro totale della molla, è necessario conoscere la relazione tra F e x, che per molle a comportam ento lineare è di semplice proporzionalità (Figura 3.35):
F=k,x (N)
La trasformazione politropic a Un processo durante il quale pressione e volume sono correlati dalla relazione p V"= C, dove ne C sono costanti, è detto trasformaz ione politropica . Per sviluppare un'espressi one generale per il lavoro scambiato durante una trasformazione politropica s.i faccia riferimento al sistema e al diagramma p-V della trasformazione mostrati in Figura 3.33. La pressione per una trasformazione politropica può esprimersi come
p = cv-n
(3.21)
Sostituendo questa relazione nell'Equazione 3.18, si ottiene 2
v-n+I
2
Lv=f,pdV =J,cv-"d V=C z 1
poiché C
1
i>- >-i
(3.24)
= -55.45 kJ
V'.-n+l
- i -n+l
V
_P2 2-Pi
V:
I-n
i
(3.22)
= Pi Vi" = P2 V2". Per un gas perfetto (pV = mRT) si ha:
II caso speciale di n = I corrisponde alla trasformazione isoterma discussa nell'esempi o precedente.
~~--~~:;j"~'c;{~!fi: i~. ---~···--=-~-'=:_:i~~
Posizione
~
mm[
r
I
FIGURA 3.33 Schema e diagramma p-V per una trasformazione politropica.
pV"
=C = cost.
P2
--t-------
FIGURA 3.35 L'allungamento di una molla a comportamento lineare è doppio quando la forza è raddoppiata.
1
I
200 p 1 =200 kPa
2
V1 =0.05 m3
I I
I)
V
0.05
Calore
O.I
V,m 3
x 2 =2mm
F2 = 600 N
P1
GAS
Posizione di riposo
F 1 =300N
320
I I I I I
F
<
p,kPa
p
r
FIGURA 3.34 Allungamento di una molla per effetto di una forza.
x 1 =1
Un dispositivo cilindro-pistone contiene 0.05 m' di un gas inizialmente a 200 kPa. In tale stato, una molla a comportamento lineare, con costante elastica pari a 150 kN/m, è collegata al pistone senza esercitare forza su di esso. Viene quindi trasferito del calore al gas, causando l'innalzamento del pistone e la compressione della molla finché il volume nel cilindro si raddoppia. Se l'area della sezione trasversale del pistone è 0.25 m2, si determini a) la pressione finale nel cilindro, b) il lavoro totale compiuto dal gas e e) la frazione di tale lavoro compiuto contro la molla per comprimerla.
~
X
dove x, e x 2 sono rispettivamente gli spostamenti iniziale e finale della molla, entrambi misurati rispetto alla posizione di riposo della molla. Si noti che il lavoro fatto su una molla eguaglia la variazione dell'energia immagazzinata nella molla.
ESEMPIO 3.10
>>>
di riposo ---!dx ..-
(3.25)
dove k (Nlm) è la costante elastica della molla e lo spostamento x è misurato a partire dalla posizione indisturbata della molla (x = O per F = 0). Sostituendo l'Equazione 3.25 nell'Equazione 3.24 e integrando, si ottiene la relazione:
<
::$:'.
§
FIGURA 3.36 Schema e diagramma p- V per l'Esempio 3.10.
---------~-----------
---------------------
78
-
Soluzione a) Lo schema del sistema e il diagramma p-~ del processo sono mostrati in Figura 3.36. Allo stato finale, il volume contenuto e:
CAPITOL03 Il primo principio della termodinamica: i sistemi eh iusl
----
V2 =2V,
=(2) (0.05) = 0.1 m
3
Perciò, lo spostamento del pistone (e della molla) diventa X=
L\V = (0.1-0.05) =0. m 2
A 0.25 Allo stato finale, la forza esercitata dalla molla lineare è determinata dall'Equazione 3.25: F= k.x= (150) (0.2) = 30 kN
In tale stato, la pressione aggiuntiva esercitata sul gas dalla molla è
F
30 0.25
p= -=--=12 0kPa
A
Senza la molla, la pressione del gas mentre il pistone si solleva rimarrebbe costante a 200 kPa; ma sotto l'effetto della molla, la pressione aumenta linearmente da 200 kPa sino al valore: 200 + 120 = 320 kPa corrispondente allo stato finale. b) li lavoro compiuto si può facilmente determinare disegnando la trasformazione sul piano p-Ve calcolando l'area sottesa dalla linea della trasformazione. Dalla Figura 3.36, per l'area sottesa (un trapezio) si ha:
ILI
=area=
(200 + 320) (0:1- 0.05) = 13 kJ 2
Il segno del lavoro è positivo poiché il lavoro è compiuto dal sistema. e) Il lavoro rappresentato dall'area rettangolare (regione I) è compiuto contro il pistone e l'atmosfera, e il lavoro rappresentato dall'area triangolare (regione Il) è compiuto contro la molla. Cosl
Lm = ~ (320 - 200) (0.05) = 3 kJ
Tale risultato si potrebbe ottenere anche dall'Equazione 3.26:
3.5 ID IL PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA Finora sono state considerate singolarmente varie forme di energia, quali il calore Q, il lavoro Le lenergia totale E, ma non è stato fatto alcun tentativo di correlarle tra loro durante un processo. Il primo pn'ncipio della termodinamica o principio di conservazione dell'energia, sulla base di osservazioni speri-
mentali, afferma che lenergia non può essere né creata né distnma, ma può solo cambiare fomza. Questo principio non può essere dimostrato matematicamente, ma si può ritenere prova sufficiente della sua validità la constatazione che non si conosce alcun processo in natura che rabbia violato. È noto che una roccia a una determinata .altezza possiede energia potenziale che si converte parzialmente in energia cinetica durante la caduta (Figura 3.37). Dati sperimentali mostrano che, quando la resistenza dell'aria è trascurabile, la diminuzion e di energia potenziale (mg Liz) eguaglia esattamente l'aumento di energia cinetica [m (wi - w2)/2], confermand o 1 così il principio di conservazione dell'energia . Si consideri un sistema sottoposto a varie trasformazioni adiabatiche tra lo stato I e lo stato 2. Essendo adiabatici, in tali processi naturalmen te non avviene scambio di calore ma possono scambiarsi diversi tipi di lavoro. Sperimentalmente si verifica che: per un sistema chiuso, tutte le trasformazioni adiabatiche tra due stati di equilibrio avvengono in modo che il lavoro netto compiuto è lo stesso indipendentemente dalla natura del sistema chiuso e dalla particolare trasformazione adiabatica. Tale affermazione, in gran parte basata sugli esperiment i di Joule condotti nella prima metà del XIX secolo, non può essere dedotta da nessun altro principio fisico noto e costituisce quindi un principio fondamenta le, detto primo principio della termodina mica o sempliceme nte primo principio. Un'importa nte conseguenz a del primo principio è l'esistenza e la definizione della proprietà energia totale E. Poiché il lavoro netto è lo stesso per tutte le trasformazioni adiabatiche di un sistema chiuso tra due stati di equilibrio determinati, l'entità del lavoro netto deve dipendere solo dagli stati iniziale e finale del sistema e pertanto deve corrisponde re alle variazioni di una proprietà del sistema: lenergia totale. Si noti che il primo principio non fa riferimento al valore dell'energia totale di un sistema chiuso in uno stato' di equilibrio, ma afferma sempliceme nte che la variazione dell'energia totale del sistema durante una trasformazi one adiabatica deve essere uguale al lavoro scambiato con l'ambiente. Cioè, all'energia totale può assegnarsi qualsiasi convenient e valore arbitrario in corrisponde nza di un determinato stato, assunto come stato di riferimento. Sebbene lessenza del primo principio sia lesistenza della proprietà energia totale, il primo principio è spesso considerato come un'afferma zione del principio di conservazione dell'energia, che è implicita nel suo enunciato. Di seguito si illustra il primo principio per i sistemi chiusi, con l'aiuto di alcuni esempi familiari, usando argomentazioni intuitive. Si considerino innanzitutt o alcune trasformaz ioni che implicano trasmissione di calore ma non scambio di lavoro: la patata al forno precedentemente considerata ne è un buon esempio (Figura 3.38). Come risultato della somministr azione di calore alla patata, l'energia totale della patata aumenterà. Se non si considera alcun trasferimen to di massa (l'umidità persa dalla patata), l'aumento di energia totale della patata è eguale alla quantità di calore assorbita. Cioè, se 5 kJ sotto forma di calore sono somministr ati alla patata, l'aumento di energia totale della patata sarà anche di 5 kJ. Quindi, il principio di conservazio ne dell'energia può essere espresso in questo caso come Q = M.
79 Il primo principio della termodinamica
EP 2
=7 kJ
Ec2
= 3 kJ
FIGURA 3.37 L'energia non può essere né creata né distrutta; può solo cambiare fonna.
Q= 5 kJ
FIGURA 3.38 L'incremento dell'energia di una patata in un forno è uguale alla quantità di calore a essa somministrata.
·T. ·-· · -
80 Q, = -3 kJ
(---
'I I
iI I
I \I
llE=Q.=1 2kJ
_____ _ Q,
Q = /::;.E quando L = O
=15 kJ
FIGURA 3.39
In assenza di qualsiasi scambio di lavoro, la variazione di energia totale di un sistema è uguale alla quantità di calore netta scambiata.
FIGURA 3.40 li lavoro (elettrico) fornito a un sistema adiabatico è uguale ali' incremento dell'energia del sistema.
(Adiabatico)
ll
Si consideri ora, come sistema, una stanza ben isolata termicamente (vale a dire adiabatica) riscaldata da una resistenza elettrica (Figura 3.40). Come risultato del lavoro elettrico fornito, l'energia del sistema aumenterà. Poiché il sistema è adiabatico e non può avere alcuno scambio di calore con l'ambient e circostante (Q = 0), per il principio di conservazione dell'energ ia il lavoro elettrico fornito al sistema deve eguagliare l'aumento dell'energ ia totale del sistema: -L, =/::;.E. Il segno meno è dovuto 1 al fatto che un lavoro compiuto sul sistema, negativo in base alla convenzione precedentemente definita, assicura un aumento dell'energ ia del sistema. Si sostituisca ora la resistenza elettrica con un'elica (Figura 3.41 ). Come risultato del processo di rimescolamento, lenergia del sistema aumenterà. Poiché non c'è scambio di calore tra il sistema e l'ambient e (Q = 0), il lavoro dell'elica fatto sul sistema deve ritrovarsi sotto forma di un aumento dell'energia totale del sistema: -L,nca = D.E. Molti avranno probabilmente notato che quando l'aria viene compressa, la sua temperatura aumenta (Figura 3.42). Ciò accade perché dell'energia è fornita all'aria sotto forma di lavoro di variazione di volume. In assenza di qualsiasi scambio di calore (Q = 0), l'intero lavoro di variazione di volume sarà immagazzinato nell'aria come parte della sua energia totale. Ancora una volta per il principio di conservazione dell'energia si ha -L 0 = D.E. ' Dagli esempi precedenti risulta chiaro che, per le trasforma zioni adiabatiche, il lavoro scambiato è uguale alla variazion.e dell'energ ia totale di un sistema chiuso:
-L = D.E quando Q =O
j llE= 8 kJ
Come altro esempio si consideri il riscaldamento dell'acqua in una pentola su di un fornello (Figura 3.39). Se 15 kJ di calore sono trasferiti all'acqua e 3 kJ sono dispersi dall'acqua nell'aria circostante, l'aumento dell'energia dell'acqua sarà uguale al calore netto fornito all'acqua, che è 12 kJ. Cioè, Q = Q = D.E. Le conclusi~ni precedenti possono essere riassunte come segue: in assenza di lavoro scambiato, la quantità di calore netto scambiata con l'ambiente eguaglia la variazione dell'energia totale di un sistema chiuso:
Lclica = -8 kJ
I
=1GURA 3.41 11 lavoro (d'elica) fatto su un sistema 1diabatico è uguale all'incremento lell' energia del sistema.
Passando a considerare scambi simultanei di calore e lavoro si può intuire che, quando un sistema implica scambio sia di calore sia di lavoro durante una trasformazione, i loro contributi si vanno semplicemente a sommare. Quindi, se un sistema riceve 12 kJ di calore mentre un'elica fornisce 6 kJ di lavoro al sistema, l'aumento complessivo di energia del sistema per tale trasformazione sarà 18 kJ (Figura 3.43). Generalizzando le conclusioni, il primo principio della termodin amica, o principio di conservazione dell'energ ia per un sistema chiuso, si può esprimere come segue:
i[
l
81
scambio netto di energia · variazione tra sistema e ambiente = dell'energia totale [ sotto forma di calore e lavoro del sistema
o
Q-L=D.E (J)
Il primo principio della termodinamica
(3.27)
dove Q = calore netto scambiato attraverso il contorno del sistema(= ~. L =lavoro netto scambiato in tutte le forme(= U) D.E =variazio ne dell'energia totale del sistema, E - E •
u. 2
~)
1
Come è stato detto nel Capitolo I, l'energia totale E di un sistema si considera composta da tre parti: l'energia interna U, lenergia cinetica E, e l'energia potenziale E. Pertanto la variazione dell'energia totale di un sistema durante un proc"esso può esprimersi come la somma delle variazioni delle sue energie interna, cinetica e potenziale:
(Adiabatico)
FIGURA 3.42 Il lavoro (di variazione di volume) fatto su un sistema adiabatico è uguale all'incremento dell'energia del sistema.
sostituendo questa relazione nell'Equazione 3.27, si ottiene Q, = -3 kJ
--,
I I
i
llE=(15-3 )+6 = 18 kJ I I
I
/ Lelic:1.= -6 kJ ______I1
La maggior parte dei sistemi chiusi che si incontrano nella pratica sono stazionari; cioè non implicano alcuna variazione della propria velocità o dell'altezza del proprio centro di gravità durante una trasformazione (Figura 3.44). Pertanto, per i sistemi chiusi stazionari , le variazioni delle energie cinetica e potenziale sono trascurabili (cioè D.E, = D.E = 0) e la relazione del primo principio si riduce a P
Q-L=/::;.U (J) (3.30) Le energie interne specifiche 11 e u, possono essere facilmente determina1 te dalle tabelle delle proprietà o da alcune relazioni termodinamiche, noti gli stati iniziale e finale della trasformazione. A volte conviene scomporre il termine lavoro in due parti: L. e L , dove L 0 rappresenta tutte le forme di lavoro diverse dal lavoro di varia-0 zione di volume (questa distinzione è importante per il secondo principio della termodinamica). Così facendo il primo principio assume la seguente espressione: (3.31)
Q1=15kJ
FIGURA 3.43 La variazione di energia di un sistema durante una trasfonnazione è uguale alla quantità di lavoro e di calore netta scambiata tra il sistema e l'ambiente.
Sistemi stazionari Z1 =i:,--+Mp= O w1= w2--+llEc =O M=llU
FIGURA 3.44 Per i sistemi stazionari, AE, = AE, = O; cosl, AE = ti.U.
82
È estremamente importante osservare la convenzione di segno per gli scambi di calore e lavoro, poiché soltanto nel caso del lavoro di variazione di volume calcolato con l'Equazione 3.18 non occorre preoccuparsi del segno che sarà sempre corretto.
CAPITOL03 Il primo principio della termodinamica: i sistemi chiusi
Altre formulazioni del primo principio
dove E, e E. corrispondono all'energia totale che rispettivamente entra nel sistema ed esce dal sistema durante una trasformazione. Ma dal punto di vista della seconda legge, il calore e il lavoro sono molto differenti, come si vedrà nei capitoli successi vi.
La forma del primo principio in termini di potenza si ottiene dividendo l'Equazione 3.27 per l'intervallo di tempo tJ.t, che viene fatto tendere a zero. Si ottiene così FIGURA 3.45 Varie fonnulazioni del primo principio per i sistemi chiusi.
Un serbatoio rigido contiene un fluido caldo che si raffredda mentre viene rimescolato da un'elica. All'inizio, l'energia interna del fluido è 800 kJ. Durante la trasformazione di raffreddamento, il fluido perde 500 J sotto forma di calore e l'elica compie un lavoro di 100 kJ sul fluido. Si determini l'energia Interna finale del fluido, trascurando l'energia immagazzinata nell'elica. Soluzione Scelto come sistema il fluido nel serbatoio, I contorni del sistema sono quelli indicati in Figura 3.47. Poiché nessuna massa attraversa il contorno si tratta di un sistema chiuso. Inoltre, poiché non si è detto nulla sul moto del sistema, si assume che il sistema chiuso sia stazionario e che le variazioni di energia potenziale e cinetica siano nulle. Applicando a tale sistema il principio di conservazione dell'energia come dato dall'Equazione 3.29, U2 si determina come
Q-L=t.U+ j>l!;
dove Q è la potenza termica netta, Ì è la potenza netta e dE/dt è la variazione di energia totale nell'unità di tempo. Le Equazioni 3.27 e 3.32 possono esprimersi in forma differenziale come:
Il primo principio della termodinamica
Q =-500 kl
ESEMPIO 3.11
La relazione del primo principio per i sistemi chiusi può essere scritta in vari modi (Figura 3.45). Per esempio, dividendo l'Equazione 3.27 per la massa del sistema, si ottiene la relazione del primo principio riferita all'unità di massa:
83 ~
o
+faE';
r-------'I
I u1 = soo k1 I
U2=?
I
l
I I I l I
I
I lclica = -100 kJ
I
I
i
--,
FLUIDO
Ii;;~,;;:.;;;;iOj;;;w;;;z
1_____________1
FIGURA 3.47 Schema per l'Esempio 3.11.
o
=u.- u, =u -soo u.= 400 kJ
-500 - (-100)
2
Si noti che il calore scambiato è negativo poiché ceduto dal sistema; così anche il lavoro, poiché esso è compiuto sul sistema.
ESEMPIO 3.12 Poiché per un processo ciclico gli stati iniziale e finale coincidono, essendo tJ.E = E2 - E 1 = O, il primo principio per un ciclo si semplifica assumendo l'espressione:
Q-L= O (J)
p
V
FIGURA 3.46 Per un ciclo, t.E= O => Q
=L
Si può, quindi, affermare che il calore netto scambiato e il lavoro netto compiuto durante un ciclo sono eguali (Figura 3.46). Il calore e il lavoro, dal punto di vista quantitativo, non sono poi così differenti e probabilmente ci si domanda perché si continua a tenerli distinti; dopo tutto, la variazione del contenuto di energia di un sistema è uguale alla quantità di energia che attraversa il contorno del sistema e non fa differenza se l'energia attraversa il contorno come calore o lavoro. Le relazioni del primo principio sarebbero molto più semplici se si avesse solo una quantità a rappresentare sia il calore sia il lavoro, che si potrebbe chiamare energia scambiata. Ebbene, dal punto di vista del primo principio, il calore e il lavoro non sono affatto differenti e il primo principio può semplicemente esprimersi come
Si consideri l'espansione o la compressione quasi-statica di un gas in un dispositivo cilindro-pistone. Per tale sistema, sottoposto a una trasformazione a pressione costante, si dimostri che il lavoro di variazione di volume L e la variazione di energia interna t.U nella relazione del primo principio possono combinarsi in un unico termine t.H. Soluzione Trascurando le variazioni nelle energie cinetica e potenziale ed esprimendo il lavoro come somma del lavoro di variazione di volume e di altre forme di lavoro, l'Equazione 3.29 si semplifica in
Q-L=W+~
(3.36)
+~
________ J l!.H
Per una trasformazione a pressione costante, il lavoro di variazione di volume è dato da!l'Equazione 3.19 come L, p0 V,). Sostituendo questo nella relazione sopra s1 ha
Q-L.~ Q-L 0
= (V.-
Q- L. - Po (V2 -
Essendo H
Po= P2 = P1 ~ 0-L.
=U + pV, si ha:
V,) = U2 - U,
=(U + P V,,)-(U, + p V 2
2
I I
= cost. :
o
Q-L. - L,= U2 - U,
Ma
E, -E.= tJ.E
o
p
1
) 1
=l!.H
FIGURA 3.48 Per un sistema chiuso sottopos10 a una trasfonnazione quasi-statica a p costante, l!.U - L, = t.H.
=
T 84
O- L, = H, - H, (J)
(3.37)
che è la relazione desiderata (Figura 3.48). Questa equazione è molto utile nell'analisi dei sistemi chiusi sottoposti a una trasformazione quasi-statica a pressione costante, non essendo più necessario determinare separatamente il lavoro di variazione di volume.
CAPITOLO 3 U primo principio della termodinamica: ; sistemi chiusi
s.imilmente, si può ott~nere un'espressione per il calore specifico a press10ne costante c : considerando una trasformazione a pressione costante (l 0 + Àll = Llh) ~i ha:
85 ~~~,EcJ
Energia interna. entalpia e calori specifici dei gns perfetti
(3.39) I kg FERRO
I kg ACQUA
20~3oòc
20730-'c,
.-
-~!
,'
., -'-J\'
41.8 kJ
4.5 kJ
::1GURA 3.49
Differenti quantità di calore necessarie per innalzare della stessa quantità la temperatura di differenti sostanze.
m=lkg ilT= l"C
Calore specifico = 5 kJ/(kg ·"C)
I
5 kJ
'lGURA 3.50
I calore specifico è l'energia richiesta 1er innalzare di un grado la temperatura !ella massa unitaria di una sostanza .econdo un processo ben definito.
3.6 ~ I CALORI SPECIFICI Si sa per esperienza che occorrono differenti quantità di energia per innalzare di un grado la temperatura di masse identiche di sostanze differenti: per esempio, occorrono circa 4.5 kJ di energia per innalzare la temperatura di I kg di ferro da 20 a 30°C, laddove occorre circa nove volte tale energia (per essere esatti 41.8 kJ) per ottenere lo stesso innalzamento di temperatura di 1 kg di acqua (Figura 3.49). Perciò, è desiderabile avere una proprietà che permetta di confrontare la capacità di accumulo di energia di varie sostanze: tale proprietà è il calore specifico. Il calore specifico è definito come lenergia richiesta per innalzare di un grado la temperatura della "!assa unitaria di una sostanza (Figura 3.50). In generale, tale energia dipende da come il processo viene eseguito. In termodinamica interessano principalmente due tipi di calori specifici: il calore specifico a volume costante c 0 e il calore specifico a pressione costante c. Fisicaiiiente, il calore specifico a volume costante c può essere visto come l'energia richiesta per innalzare di un grado la t~mperatura della massa unitaria di una sostanza mantenendone costante il volume. L'energia richiesta per ottenere lo stesso innalzamento di temperatura a pressione costante è il calore specifico a pressione costante c . Come illustrato in Figura 3.51, il calore specifico a pressione costa"nte c è sempre maggiore di c 0 , perché a pressione costante al sistema è co"nsentito di espandersi con la conseguenza che per compiere tale lavoro di espansione deve essere fornita al sistema altra energia. I calori specifici possono essere espressi in termini di altre proprietà termodinamiche. A tal fine si consideri un sistema chiuso stazionario sottoposto a una trasformazione a volume costante (l = O). La relazione del primo principio per tale trasformazione può esprin';ersi in forma differenziale come:
8q- &. = du Il primo membro di tale equazione ( 8q - ol ) rappresenta la quantità di energia trasferita al sistema sotto forma di cal~re e/o lavoro. Per la definizione di c0 , tale energia deve essere uguale a c0 dT, dove dT è la variazione infinitesima di temperatura, pertanto si ha: 3.13 kJ
5.2 kJ
'IGURA 3.51
:alori specifici c. e e, a volume costante a pressione costante (i valori riportati ì riferiscono al gas elio).
ciT = du a volume costimte
!--e Equazi~ni 3.38 e 3.39 sono le equazi9ni che definiscono c0 e c e la loro mterpretaz1one è data in Figura 3.52. P Si n~ti che_c0 e cP_sono espressi in termini di altre proprietà; pertanto sono ~ss1 stessi propi;età. Come ogni altra pro~rietà, i calori specifici c 0 e cP d1 una sostanza dipendono dallo stato che, m generale è individuato ?a due proprietà intensive indipendenti. Quindi, l'energi~ richiesta per mnalzare d1 un grado la temperatura della sostanza in una data trasformazione sarà differente a temperature e pressioni differenti (Figura 3 53)· · ' ma, di s~lito, tale differenza non è molto grande. Considerando le Equazioni 3.38 e 3.39 si può osservare che: sono relazio~i tra proprie~à ~ come tali sono indipendenti dal tipo di processo; sono valide ~r qualsiasi sostanza sottoposta a qualsiasi processo. Per una trasformaz.1one a vol?m~ costante, c0 risulta essere l'energia trasferita al sistema d1 massa umtan~ per i?nalza;rie di u_n grado la temperatura: in questo modo s~ ne deterrmnano 1 valon e da ciò trae anche origine il nome di calore specifico a volume costante. Similmente, durante una trasformazione a pres~io~e cost.ante, cP risulta essere l'energia trasferita al sistema di massa umtan~ per 1_nnalza;rie di u? grado la temperatura: in questo modo se ne deterrmnano 1 valon e da ciò trae anche origine il nome di calore specifico a pressione costante. Considerando le Equazioni 3.38 e 3.39 si può ancora osservare che c è correlato alle variazioni dell'energia interna e c alle variazioni d;l1',entalpia. Di fatto, sarebbe molto più appropriato definire c come la vanazione dell'energia interna specifica di una sostanza corrlspondente a una variazione unitaria di temperatura a volume costante. Allo stesso modo cP si pu~ definire come la variazione dell'entalpia specifica di una sostanza cornspondente a una variazione unitaria di temperatura a pressione costan~e. In altre parole, c 0 è una misura della variazione dell'energia interna d1 una sostanza con la temperatura e c è una misura della variazione . di entalpia di una sostanza con la temperat~ra. ~·u~tà di misura per i calori specifici è il J/(kg . 0 C) o J/(kg. K). I calori ~pecific1 su base molare sono denotati da Cv e e e hanno per unità di misura 11 J/(kmol · 0 C) o J/(kmol · K). P
3.7 ili ENERGIA INTERNA, ENTALPIA E CALORI SPECIFICI DEI GAS PERFETTI Nel Capit~lo 2, un gas perfett~ è stato definito come un gas la cui temperatura, pressione e volume specifico soddisfano la relazione: pv=RT
e =fòu),
o \òT u
= variazione dell'energia interna specifica per variazione unitaria della temperatura a volume s
iflco costante
cp=(~~)P =variazione dell'entalpia specifica per variazione unitaria deUa
temperatura a pressione costante
o
FIGURA 3.52
Definizioni di e u e ep.
ARIA
ARIA
m= I kg
m =I kg
300->301 K
1000 ->1001 K
0.718 kJ
0.855 kJ
FIGURA 3.53
Il calore specifico di una sostanza cambia con la temperatura.
86
È stato dimostrato matematicamente e sperimentalmente (Joule, 1843) che per un gas perfetto l'energia interna è funzione della sola temperatura, per cui si ha
CAPITOl.03 Il primo principio della termodinamica: i sistemi chiusi
ACQUA
Vuoto
(ad alta pressione)
FIGURA 3.54 Schema dell'apparato sperimentale usato da Joule.
11(7)
Energia interna, entalpia e calori specifici dei gas perlHti
(3.40)
Nel suo esperimento classico, Joule immerse in un bagno d'acqua due · recipienti collegati da un tubo dotato di val vola, come mostrato in Figura 3.54. All'inizio, in un serbatoio vi era aria ad alta pressione e nell'altro era stato fatto il vuoto. Una volta ottenuto lequilibrio termico, egli aprì la valvola per consentire all'aria di passare da un serbatoio all'altro finché la pressione si eguagliò. Joule non osservò alcuna variazione nella temperatura del bagno d'acqua e assunse che nessuna quantità di calore era stata scambiata con l'aria. Poiché non era stato nemmeno compiuto lavoro, egli concluse che l'energia interna dell'aria non si era modificata, anche se il volume e la pressione erano cambiati, deducendo che l'energia interna è funzione della sola temperatura e non della pressione o del volume specifico (in seguito, Joule dimostrò che per i gas che si discostano significativamente dal comportamento dei gas perfetti, l'energia interna non è funzione della sola temperatura). Combinando insieme la relazione che definisce l'entalpia e l'equazione di stato del gas perfetto si ha:
50
40
Ar. He, Ne. Kr, Xe. Rn
20
1000
h=u+ pV} h=u+RT pv=RT u = u(1) h= h(1)
c0
87
60 li=
Termometro
ARIA
~o
kJ/(kmol · K)
=c~(1)
Poiché R è costante e u = 11(7), ne consegue che anche !'entalpia di un gas perfetto è funzione della sola temperatura: h
e,= c,(1)
FIGURA 3.55 Per i gas perfetti, u, h, e, e e, sono funzione della sola temper~tura.
=h(1)
(3.41)
Poiché per un gas perfetto u e h dipendono solo dalla temperatura, anche i calori specifici cv e c dipendono dalla sola temperatura. Quindi, a
una data temperatura, u, h, ~ve c di un gas perfetto avranno valori indipendenti dal volume specifico o d~lla pressione (Figura 3.55). Quindi per i gas perfetti le derivate parziali nelle Equazioni 3.38 e 3.39 possono essere sostituite dalle derivate totali e le variazioni infinitesime dell'energia interna e dell'entalpia di un gas perfetto saranno:
La variazione di energia interna o di entalpia per un gas perfetto durante un pr.ocesso dallo stato 1 allo stato 2 si determina integrando le equazioni precedenti:
1 (T)dT h = f c (T)dT
llu =u2 - u 1 = e
Ah = h2 -
1
2
2000
3000
Temperatura, K
Cv
(J/kg)
(3.44)
P
(J/kg)
(3.45)
Per risolvere tali integrazioni, occorre avere le relazioni che esprimono
cv e cP in funzione della temperatura. A basse pressioni, tutti i gas reali si avvicinano al comportamento di un gas perfetto e perciò i loro calori specifici dipendono dalla temperatura soltanto. I calori specifici dei gas reali a basse pressioni sono detti calori specifici a pressione zero, e spesso sono denotati c 0 e c • Sono disponibili 0 espressioni analitiche accurate per i calori specifici"dei g~s perfetti, derivate da misurazioni dirette o da calcoli basati sul comportamento statistico delle molecole, e sono fornite per diversi gas, sotto forma di polinomio di ~rzo grado, nell'Appendice (Tabella A.2c). Una rappresentazione dei dati cpo(1) per alcuni gas comuni è fornita in Figura 3.56. Si noti che l'uso dei calori specifici dei gas perfetti è limitato alle basse pressioni, anche se tali dati possono utilizzarsi con ragionevole accuratezza a pressioni relativamente alte, finché il comportamento del gas non si discosta in modo significativo da quello di un gas perfetto. Considerando la Figura 3.56 si può osservare che: i calori specifici dei gas con molecole complesse (biatomiche o poliatomiche) sono più elevati e aumentano con la temperatura; la variazione dei calori specifici con la temperatura ha un andamento curvilineo poco accentuato tanto che per intervalli di temperatura sino a poche centinaia di gradi o meno può approssimarsi a lineare. Sulla base di queste considerazioni nelle Equazioni 3.44 e 3.45 i calori specifici possono essere sostituiti dai valori medi costanti, per cui, eseguendo le integrazioni, si ha:
FIGURA 3.56 Calori specifici a pressione costante per alcuni gas (si veda la Tabella A.2c per le equazioni
e,, ).
88
u2 - u 1 = c 0, mcd (T2 -T1) (J/kg)
(3.46)
=cp. mcd (T2 .:_ TI)
(3.47)
89
AR!Aa300K
CAPITOL03
h2 - hl
Il primo principio
della termodinamica: i sistemi chiusi
Approssimazione
T
FIGURA 3.57 Per piccoli intervalli di temperatura si può assumere che i calori specifici variano linearmente con la temperatura.
(J/kg)
I valori del calore specifico per alcuni gas comuni sono elencati in funzione della temperatura nella Tabella A.2b. In tale tabella, i calori specifici medi cp. m•d e cv. mcd sono valutati alla temperatura media (T, + T )/2, come 2 mostrato in Figura 3.57. Se la temperatura finale T non è nota, i calori 2 specifici possono essere valutati a T1 o alla temperatura media prevista. Poi, T2 può essere detenninata usando i valori del calore specifico così calcolati. Se necessario, il valore di T2 può essere affinato valutando i calori specifici alla nuova temperatura media. Un altro modo di determinare i calori specifici medi è di valutarli a T e T 1 2 e quindi prendere la loro media. Di solito, entrambi i metodi forniscono risultati ragionevolmente buoni e l'uno non è necessariamente migliore dell'altro. Osservando la Figura 3.56 si noti che i calori specifici a pressione zero dei gas monoatomici quali l'argon, il neon e l'elio rimangono costanti in funzione della temperatura, per cui ti.u e ti.h dei gas monoatomici possono essere valutati facilmente con le Equazioni 3.46 e 3.47. Si noti, inoltre, che le relazioni ti.u e ti.h fornite sopra non sono limitate a un certo tipo di processo, ma sono valide per tutti i processi. La presenza del calore specifico a volume costante c0 nell'Equazione 3.46 non deve portare a credere che quella equazione sia valida solo per una trasfonnazione a volume costante, al contrario, la relazione ti.11 =e cdli.Tè valida per ogni gas perfetto sottoposto a ogni processo (Figura Una simile argomentazione può essere fatta anche per cP e ti.h.
3.SS).
ARIA V= cost. T 1 =20 C T2 = 30 C
òu=cJ>T = 7.18 kJ/kg
ARIA p = cost. T1 = 20 C T2 = 30 C 6u =cvtl.T = 7.18 kJ/kg
=1GURA 3.58 :.a relazione ll.u c~"""'ll.Tè valida ier qualsiasi tipo di trasformazione, 1 volume costante o meno.
Le relazioni tra i calori specifici dei gas perfetti Nel caso dei gas perfetti differenziando la relazione h
=u + RT si ha:
dh=du+RdT e sostituendo dh con ciT e du con c 0 dT e dividendo lespressione risultante per dT si ha:
=
cv= 0.718 kJ/(kg · K)} R = 0.287 kJ/(kg · K) oppure:
eR. = 20.80 kJ/(kmol . K)}_ kJ/(kmol V=
cP = c + R. 0
[J/(kmol · K)]
(3.49)
Si può, quindi, introdurre un'altra proprietà del gas perfetto detta rapporto dei calori specifici k, definito dalla relazione:
----·:;~,--:~-----~-:·:k~:~::-- ---~--·--·-·-·--·~
· K)
8 314
e,-- 29.114 kJ/(kmol . K)
Si osservi che anche il rapporto dei calori specifici varia con la temperatura, ma tale variazione è molto piccola: per i gas monoatomici k può essere considerato costante e pari a 1.667; per molti gas biatomici, inclusa laria, k è circa 1.4 a temperatura ambiente. ·
ESEMPIO 3.13 Aria inizialmente a 300 K e 200 kPa è riscaldata a pressione costante fino a 600 K. Si determini la variazione dell'energia interna dell'aria per unità di massa, usando a) l'espressione polinomiale del calore specifico (Tabella A.2c) e b} il valore medio del calore specifico (Tabella A.2b). Soluzione Alle condizioni indicate, l'aria può considerarsi un gas perfetto, poiché è ad alta temperatura e bassa pressione in relazione ai suoi valori critici (T., = -147°C, P., = 3390 kPa per l'azoto, principale costituente dell'aria). La variazione di energia interna ll.u dei gas perfetti dipende solo dalle temperature iniziale e finale e non dal tipo di processo; pertanto, la soluzione fornita di seguito è valida per qualsiasi tipo di processo. a) La variazione dell'energia interna dell'aria, usando l'espressione polinomiale del calore specifico si determina come segue. li cp(Tl dell'aria è fornito nella Ta· bella A.2c in forma di un polinomio di terzo grado espresso come
c.(T) =a+ bT + cT' + cfT3 dove a= 28.11, b= 0.1967 x 10"'2, e= 0.4802 x 10-0 ed= -1.966x10-S. Dall'Equa· zione 3.49,
c,(T)
Questa relazione valida per i gas perfetti è importante poiché consente di determinare e noti che siano e e la costante del gas R. Quando i ~alori specifici soÒo fomiti su base molare, sostituendo R nella precedente equazione con la costante universale dei gas R. (Figura 3.59) si ha:
e,= l.OOS kJ/(kg . K)
Energia interna, entalpia e calori specifici dei gas perfetti
= c.(T)
-R.=(a-R.)+bT+c T'+cfT3
Dall'Equazione 3.44,
au=fc,(T}dT
=J' [(a-R )+bT+cT 2 T. I
u
2
+dT']dT
Integrando e sostituendo i valori, si ottiene
Il.ii =6447.15 kJ/kmol La variazione dell'energia interna dell'unità di massa si determina dividendo tale valore per la massa molare dell'aria (Tabella A.1 ):
FIGURA 3.59 Per un gas perfetto, e può essere determinato apartire da ev e R.
90
o _,ef -
Aii
6447.15 = - - - = 222.55 kJ/kg 28.97 Tale risultato è sufficientemente accurato e si può considerare esatto. AU = -
CAPITOLOJ
M
Il primo principio dt:lla termodinamica: i sistemi chiusi
b) Il valore medio del calore specifico a volume costante e,, med è determinato dalla Tabella A.2b alla temperatura media (T, + T,)12 = 450 K come
e,, med = c,04SOK = O. 733 kJ/(kg · K) Così,
o
L.,._ - )!:
- L...
-(-27000)
Soluzione Si assuma come sistema il gas elio nel serbatoio, si tratta quindi di un sistema chiuso stazionario. Uno schema del sistema e il diagramma p-V del processo sono mostrati in Figura 3.60. Alle con.dizioni specificate, l'elio può considerarsi un gas perfetto, poiché è a una temperatura molto alta in relazione alla sua temperatura critica (T., = 5.3 K per l'elio). p, kPa
P2
He
m =0.7 kg T1 =27 C
Schema e diagramma p-V per l'Esempio 3.14.
o
=mc,,.,.. ('T, -
91 Energia interna, entalpia e calori specifici dei gas perfrtti
T,)
=0.7 X 3116 (T,-27)
T, = 39.4°C b) La pressione finale si determina con l'equazione dei gas perfetti:
p,V, T,
Un serbatolo rigido isolato termicamente contiene inizialmente O. 7 kg di elio a 27"C e 350 kPa. Si fa quindi girare nel serbatoio, per 30 min, un'elica fornendo una potenza di 15 W. Si determini a) la temperatura finale e b) la pressione finale del gas elio.
350 kPa ('
,tJl',
= Jl:!V2
T2
dove V, e V2 sono identici e si possono semplificare. Quindi la pressione finale diventa:
ESEMPIO 3.14
FIGURA 3.60
u,)
+
=
=
P1=
=m (u, -
o
Come precedentemente indicato, i calori specifici a pressione nulla dei gas monoatomici (essendo l'elio uno di essi) sono costanti. li valore c 3.116 kJ/(kg ·K) per l'elio si ricava dalla Tabella A.2a. Sostituendo questa e le altre quantità note nell'equazione dell'energia sopra scritta, si ha:
Au = e,, med ( T, - T,) = (O. 733) (600 - 300) 219.9 kJ/kg
Tale risultato differisce solo dell'1.2 per cento dal precedente; la stretta concordanza non sorprende poiché l'assunto che e varia linearmente con la temperatura è del tutto ragionevole per intervalli di temperatura di solo poche centinaia di gradi. Se si fosse usato il valore di e, a T, = 300 K invece che a T.,... il risultato sarebbe stato 215.4 kJ/kg, con un errore di circa il 3 per cento. Errori di tale portata sono accettabili per la maggior parte degli scopi ingegneristici.
=W + jxè.
Lclica
350
---1 ---
P:!
350000x312.4
=
300
=364 467
Pa
ESEMPIO 3.15 Un dispositivo cilindro-pistone contiene inizialmente 0.5 m' di azoto a 400 kPa e 27°C. Si alimenti una resistenza elettrica posta all'interno del dispositivo per 5 minuti con una tensione di 120 V in modo da far passare una corrente di 2 A. L'azoto si espande a pressione costante cedendo una quantità di calore di 2800 J. Si determini la temperatura finale dell'azoto. Soluzione Questa volta, si prenda come sistema l'azoto nel dispositivo cilindropistone. Uno schema del sistema e il diagramma p-V del processo sono mostrati in Figura 3.61. Alle condizioni indicate l'azoto può considerarsi un gas perfetto poiché
I p,
\,
kPa
a) Il lavoro compiuto sul sistema dall'elica è
L,,.,
=
L0 ..,M=-15x30x60=-270 00J
Poiché il contorno è rigido, il lavoro di variazione di volume è zero (L, = O) e le perdite di calore si possono trascurare visto che il sistema è ben isolato (Q =O). Il sistema si è assunto come stazionario; allora, anche le variazioni delle energie cinetica e potenziale sono pari a zero (AE AE, = O). Quindi, l'equazione di conservazione dell'energia per tale sistema chiuso si riduce a
=
f-----N _____ ì 2soo J 2
2A
J
p =cast.
400
2 -·--.-----~
1
---+--. v1 =0.5 m' I 120V
p 1 =400kPa/
r 1 = 21 e
I
FIGURA 3.61
I
0.5
V,m 3
Schema e diagramma p- V per l'Esempio 3.15.
92
è ad alta temperatura e bassa pressione in relazione ai suoi valori critici ( T" = -147°C, P" = 3390 kPa).
alta temperatura e bassa pressione in relazione ai suoi valori critici (T" = -147°C, P" = 3390 kPa per l'azoto, costituente principale dell'aria). Tale processo può considerarsi costituito da due parti: una trasformazione a volume costante durante la quale la pressione sale a 350 kPa e una trasformazione a pressione costante durante la quale il volume si raddoppia.
Per prima cosa, si determini il lavoro elettrico compiuto sull'azoto:
CAPITOLO 3 Il primo principio della termodinamica: i sistemi chiusi
1 L 1 =- Vlt>T=-(120) (2) (5 x60) ( -- ) =-72 kJ • 1000
=
RT,
p,V, = p3 V, T, T,
(400)(0.5) = 2.25 k (0.2968) (300) g
Assumendo che non vi sia alcuna variazione delle energie cinetica e potenziale
Q-L~-L.=.C.U
Perciò si ha:
=.C.H= mc.(T -T,) 2
c) Lo scambio totale di calore può essere calcolato con la relazione del primo principio riferita agli stati iniziale e finale. Assumendo e.E. = e.E. = O si ha:
(T,,- 27)
=
m= _p,_V,"'
ESEMPIO 3.16
RT,
Un dispositivo cilindro-pistone contiene inizialmente aria a 150 kPa e 27°C. In tale stato, il pistone è appoggiato su una coppia di supporti, come mostrato in Figura 3.62, e il volume contenuto è 400 I. La massa del pistone è tale che per muoverla è richiesta una pressione di 350 kPa. Si riscaldi l'aria finché il suo volume non sia raddoppiato. Si determini a) la temperatura finale, b) il lavoro compiuto dall'aria e e) il calore totale somministrato.
Q 13 -140 kJ = (0,697) [0.823/(4
.........~-'"'I'
A I
I 0.8
V.m 3
4)] (1400 - 300)
3.8 li ENERGIA INTERNA, ENTALPIA E CALORI SPECIFICI DI SOLIDI E LIQUIDI
350--·---~--~
0.4
X
0,,=771 kJ
p, kPa
150----
(l 50)(0.4) =0.697kg (0.287) (300 K)
Usando il calore specifico dell'aria fornito dalla Tabella A.2a alla temperatura media di (1400 + 300)/2 = 850 K e sostituendo le quantità note, per il calore totale scambiato si ha:
Soluzione L'aria contenuta nel dispositivo cilindro-pistone costituisce il sistema, che è chiuso poiché nessuna massa attraversa il suo contorno. Alle condizioni indicate, si può assumere che l'aria si comporti come un gas perfetto poiché è ad
Q
=
0 13 - L, 3 U3 - U, mc,(T,- T,) La massa del sistema può essere calcolata con l'equazione di stato dei gas perfetti:
r, = 56.6°C
Schema e diagramma p- V per !"Esempio 3.16.
L13 = 140 kJ
Il lavoro è compiuto dal sistema (per sollevare il pistone e spostare l'aria atmosferica), quindi è positivo.
Usando i valori del calore specifico a temperatura ambiente forniti dalla Tabel· la A.2a e sostituendo le quantità note, la temperatura finale dell'azoto è:
FIGURA 3.62
1400K
A= (V2 - V,) · p2 = (0.4) (350) = 140 m' · kPa
Per una trasformazione a pressione costante di un sistema chiuso, L + .C.U equivale a .C.H, per cui si ha: •
2
T,
300
b) Il lavoro compiuto si può determinare con l'Equazione 3.18 per integrazione o graficamente come l'area sottesa dalla finea della trasformazione sul diagramma p-V, mostrato in Figura 3.62:
può scriversi come
(- 2.8) - (- 72) = (2.25) (1.039)
-+ (150)(V,) = (350)(2 V,)
T,=
(e.E.= ilE• =O), l'equazione di conservazione dell'energia per tale sistema chiuso
Q- L,,
Energia interna, e calori specifici di solidi e
a) La temperatura finale può determinarsi facilmente usando l'equazione dei gas perfetti tra gli stati 1 e 3 nella seguente forma:
Il segno negativo è aggiunto perché il lavoro è compiuto sul sistema. La massa di azoto è determinata dall'equazione dei gas perfetti:
m = P, V,
93
I
Una sostanza il cui volume specifico (o densità) è costante è detta sostanza incompressibile. I volumi specifici dei solidi e dei liquidi rimangono praticamente cbstanti durante un processo (Figura 3.63); perciò, i liquidi e i solidi possono approssimarsi a sostanze incompressibili senza perdere troppo in accuratezza. L'ipotesi di volume costante ha come conseguenza che lenergia associata alla variazione di volume, quale il lavoro di variazione di volume, è trascurabile se confrontata con altre fonne di energia. Quest'ipotesi non è più valida se si studiano le sollecitazioni tenniche nei solidi (causate dalla variazione di volume con la temperatura) o se si analizza il comportamento dei tennometri a bulbo.
FIGURA 3.63
I volumi specifici di sostanze incompressibili rimangono costanti durante qualsiasi processo.
T I
Si può dimostrare matematicamente che per le sostanze incompressibili
94
i calori specifici a volume costante e a pressione costante sono identici (Figura 3.64). Perciò per i solidi e i liquidi, tralasciando i pedici e rappresentando entrambi i calori specifici con l'unico simbolo e, si ha:
CAPITOLO 3 Il primo principio deUa termodinamica: i sistemi chiusi
strato in Figura 3.65. Poiché il serbatoio è isolato termicamente, non ci sarà dissipazione di calore (Q = O). Inoltre, poiché il contorno è rigido (L, =O) e non esiste alcuna indicazione di altre forme di lavoro (L = O), per tale processo il lavoro è nullo (L = O). L'equazione di conservazione dell'énergia per tale processo è:
o o /J -,,(. =6.U o Tale risultato potrebbe dedursi anche direttamente dalle definizioni dei calori specifici a volume costante e a pressione costante. I valori del calore specifico per diversi liquidi e solidi comuni sono fomiti nella Tabella A.3. Come nel caso dei gas perfetti, i calori specifici di sostanze incompressibili dipendono dalla sola temperatura, per cui la derivata parziale nell'equazione di definizione di e" (Equazione 3.38) può essere sostituita da quella totale, ottenendo: du
FIGURA 3.64
I valori e" e e, di sostanze incompressibili sono identici e sono indicati con la lettera c.
=c,dT =c(1)dT
(3.52)
(3.53)
Per effettuare tale integrazione dovrebbe essere nota la variazione del calore specifico e con la temperatura, tuttavia per piccoli intervalli di temperatura si può usare un valore di e costante, determinato alla temperatura media, ottenendo
La variazione di entalpia delle sostanze incompressibili (solidi o liquidi) durante un processo 1-2 può essere determinata ricordando la definizione di entalpia (h = 11 + pv): (3.55) poiché v 1 = v2 :=
v. Questa equazione scritta in forma più compatta diventa:
Si noti che il secondo termine (vtlp) nell'Equazione 3.56 è spesso piccolo in confronto al primo termine (tlu) e può trascurarsi senza commettere un errore significativo.
ESEMPIO 3.17 Un blocco di ferro di 50 kg alla temperatura di 80°C è immerso in un serbatoio isolato termicamente che contiene 0.5 m3 di acqua a 25°C. Si determini la temperatura quando sia stato raggiunto l'equilibrio termico. Soluzione Si assumano come sistema il blocco di ferro e l'acqua. Le superfici interne delle pareti del serbatoio costituiscono il contorno del sistema, come mo-
ACQUA
2s c 0
0.5 m3
Il volume specifico dell'acqua a temperatura ambiente può essere assunto pari a 0.001 m3/kg, per cui la massa dell'acqua è: FIGURA 3.65
m
acqua
(J/kg)
Gli aspetti tennodinamid dei sistemi biologici
6.U=O
Poiché l'energia interna totale U è una proprietà estensiva e può esprimersi come la somma delle energie interne delle parti del sistema, si avrà che la variazione di energia interna totale del sistema è
La variazione dell'energia interna tra gli stati 1 e 2 si ottiene per integrazione:
tlu = 11 2 -11 1 = [c(T)dT
95
V 0.05 =-=--=500kg V 0.001
Determinando con la Tabella A.3 i calori specifici del ferro e dell'acqua e,,""= 0.45 kJ/(kg . °C) e c_. = 4.184 kJ/(kg . °C) e sostituendoli nell'equazione dell'energia, si ottiene: (50) (0.45) (T2 -80) + (500) (4.184) (T2 - 25) =O T2 = 25.6°C Una volta stabilito l'equilibrio termico, sia l'acqua che il ferro saranno a 25.6°C. Il piccolo innalzamento di temperatura dell'acqua è dovuto alla sua grande massa e al suo grande calore specifico.
3.9
~
GLI ASPETTI TERMODINAMICI DEI SISTEMI BIOLOGICI
La termodinamica si applica ai sistemi biologici, in quanto soggetti a complessi e interessanti processi di trasformazione e scambio di energia. I sistemi biologici, però, non sono in equilibrio termodinamico e quindi non sono facili da analizzare. Malgrado la loro complessità, i sistemi biologici sono essenzialmente costituiti da quattro elementi semplici: idrogeno, ossigeno, carbonio e azoto: per esempio, nel corpo umano, lidrogeno costituisce il 63 per cento, I' ossigeno il 25.5, il carbonio il 9.5el'azotoI'1.4 di tutti gli atomi; il rimanente 0.6 per cento degli atomi è costituito da altri 20 elementi essenziali per la vita. In massa, circa il 72 per cento del corpo umano è costituito da acqua. I blocchi costitutivi degli organismi viventi sono le cellule, che, racchiuse da una parete semipermeabile, svolgono le diverse funzioni vitali. La cellula costituisce anche il sistema biologico più semplice: il corpo umano contiene circa 100 trilioni di cellule con un diametro medio di 0.01 mm. In una cellula ogni secondo accadono migliaia di reazioni chimiche, durante le quali alcune molecole si decompongono, rilasciando energia, e
Schema per l'Esempio 3.17.
- - - - - - · · - - - · ----·-··· ..... -·
)6 .~:o-~;§
APITOLO 3 I
primo principio
dia termodinamica: sistemi chiusi
ARIA AMBIENTE
GURA 3.66
media una persona a riposo dissipa rso lambiente circostante la potenza nnica di 84 W.
1.2 kJ/s
I kJ/s
3URA 3.67
e persone che ballano velocemente
___
..
altre molecole nuove si formano. Questa alta attività chimica, che permette di mantenere il corpo umano a una temperatura di 37°C mentre svolge le necessarie funzioni corporee, è detta metabolismo. In termini semplici, il metabolismo si riferisce ali' ossidazione dei carboidrati, grassi e proteine, che costituiscono il cibo. La potenza metabolica nello stato di riposo è detta potenza metabolica basale, e corrisponde alla potenza metabolica richiesta per svolgere funzioni necessarie come la respirazione e la circolazione del sangue, a un livello di attività esterna pari a zero. La potenza metabolica coincide con il consumo di energia nell'unità di tempo. Per un maschio medio (30 anni di età, 70 kg, area della superficie corporea 1.8 m 2), la potenza metabolica basale è 84 W, vale a dire che il corpo umano dissipa energia verso l'ambiente al tasso di 84 W, convertendo l'energia chimica del cibo (o del grasso corporeo se la persona non ha mangiato) (Figura 3.66). La potenza metabolica aumenta con il livello di attività e può superare di IO volte la potenza metabolica basale quando si compie un esercizio fisico faticoso. Si noti che due persone, impegnate in un'attività fisica pesante, possono fornire ali' ambiente più energia di una stufa elettrica della potenza di 1 kW (Figura 3.67). Il calore è emesso dal corpo sotto forma sensibile, variabile tra il 40 per cento circa del totale nel caso di lavoro pesante e il 70 per cento circa nel caso di lavoro leggero, e sotto forma latente per effetto della traspirazione. La potenza metabolica basale varia con il sesso, le dimensioni corporee, le condizioni generali di salute ecc. e diminuisce considerevolmente con letà; questa è una delle ragioni per cui la gente tende a ingrassare a cominciare dalla fine dei venti anni anche se non aumenta la quantità di cibo ingerito. Il cervello e il fegato sono i luoghi principali dell'attività metabolica: tali due organi sono responsabili per almeno il 50 per cento della potenza metabolica basale di un corpo umano adulto, sebbene costituiscano solo il 4 per cento della massa corporea. È straordinario che nei bambini piccoli circa la metà dell'attività metabolica basale avviene nel solo cervello. La potenza metabolica può essere misurata direttamente (calorimetria diretta) o indirettamente (calorimetria indiretta). Nella calorimetria diretta, si fa ricorso a una struttura sperimentale costituita da un ambiente chiuso ben isolato termicamente e dotato di un sistema di circolazione d'acqua su tutte le pareti, soffitto e pavimento. L'energia metabolica, sviluppata dalla persona posta ali' interno dell'ambiente, viene trasferita ali' acqua e può essere determinata misurando l'innalzamento di temperatura dell'acqua durante il periodo di osservazione. Benché semplice nel concetto, la calorimetria diretta è difficile da realizzare in pratica; perciò praticamente tutte le misurazioni metaboliche oggigiorno sono fatte tramite la calorimetria indiretta, molto più semplice e non meno accurata della calorimetria diretta. Nella calorimetria indiretta, la potenza metabolica è determinata dalla misurazione dei tassi di consumo di 0 2 e di produzione di C0 del corpo. Il 2 rapporto del numero di moli di C0 2 prodotte sul numero di moli di 0 2 consumate è detto quoziente respiratorio (RQ) e dipende dal tipo di cibo consumato: per esempio, si ha RQ I.O per il glucosio (C H p ) poiché 6 1 6 un uguale numero di moli di 0 2 e C02 sono prodotte quando il glucosio si ossida; RQ 0.84 per le proteine e RQ 0.707 per i grassi. In pratica nel
=
=
=
calcolo della potenza metabolica le proteine dell'alimentazione vengono ignorate, poiché si commette un errore trascurabile visto che le proteine costituiscono solo una piccola frazione dell'alimentazione e hanno un RQ compreso tra quello dei carboidrati e quello dei grassi. Considerando che in condizioni basali il quoziente respiratorio medio di un maschio adulto è RQ = 0.80, valore corrispondente a 20.l kJ/l di 0 2 consumato, la potenza metabolica basale media di una persona si può stimare con buona approssimazione misurando il numero di litri di O, consumati nell'unità di tempo e moltiplicando tale valore per 20.l kJ/l di 0 : per esempio, un maschio 2 adulto a riposo, che consuma in media 0 2 a un tasso di 0.250 l/min, ha una potenza metabolica basale di 84 W. Le reazioni biologiche nelle cellule fondamentalmente avvengono a temperatura, pressione e volume costanti. La temperatura della cellula tende ad aumentare quando dell'energia chimica è convertita in calore, ma tale energia è rapidamente trasferita al sistema circolatorio, che la trasporta verso le parti esterne del corpo per cederla infine ali' ambiente attraverso la pelle. Le cellule dei muscoli funzionano come un motore che converte energia chimica in energia meccanica (lavoro) con un rendimento prossimo al 20 per cento. Quando il corpo non compie lavoro netto sull'ambiente (come sollevare pesi), l'intero lavoro è convertito in calore, trasferito infine all'ambiente. Il fenomeno è analogo a quello che avviene in un apparecchio TV della potenza di 300 W, che in condizioni di funzionamento continuo cede all'ambiente 300 W sotto forma di potenza termica indipendentemente da ciò che avviene sullo schermo. Si noti che accendere un apparecchio TV di 300 W o tre lampadine da 100 W per il principio di conservazione dell'energia produce nell'ambiente lo stesso effetto scaldante di una stufa elettrica della potenza di 300 W (Figura 3.68), poiché l'energia entrante in un sistema deve eguagliare l'energia uscente se 1' energia totale del sistema rimane costante durante un processo.
Cibo ed esercizio fisico Il fabbisogno energetico di un corpo è soddisfatto dal cibo, i cui nutrienti sono classificati in tre categorie principali: carboidrati, proteine e grassi. Il pane e lo zucchero sono ,le principali fonti di carboidrati, caratterizzati dall'avere nelle loro molecole atomi di idrogeno e di ossigeno in rapporto 2 : I. Quanto a complessità le molecole dei carboidrati variano da molto · semplici (come nello zucchero) a molto complesse o grandi (come nell'amido). Le proteine, molecole molto grandi che contengono carbonio, idrogeno, ossigeno e azoto, sono essenziali per la costruzione e la rigenerazione dei tessuti corporei e sono costituite da blocchi costitutivi più piccoli chiamati aminoacidi. Le proteine complete, contenute in carne, latte e uova, hanno tutti gli aminoacidi necessari a costruire i tessuti corporei, mentre quelle vegetali, derivate dalle piante e contenute in frutta, verdure e cereali, sono carenti di uno o più aminoacidi e sono dette proteine incomplete. I grassi, oli vegetali e grassi animali, hanno molecole relativamente piccole costituite da carbonio, idrogeno e ossigeno. Molti cibi contengono
97 Gli aspetti termodinamici dei sistemi biologici
Un frigorifero da 300 W
Una resistenza elettrica da 300 W
Un TV da 300\V
Un computer da 100 W con un monitor da 200 W
Energia solare 300\V
FIGURA 3.68 Alcune situazioni che forniscono a una stanza la stessa quantità di energia di una stufa elettrica della potenza di 300 W.
98 CAPITOL03 Il primo principio della termodinamica: i sistemi chiusi
Miscelatore e motore
Acqua
Bomba (camera di combustione) Isolamento
Campione
di cibo FIGURA 3.69 Schema di una bomba calorimetrica usata per determinare il contenuto di energia di campioni di cibo.
3 biscotti (32 g) Grassi: (8 g} (9.3 Cal/g) = 74.4 Cal
=
Proteine: (2 g) (4.1 CaVg} 8.2 Cal Carboidrati: (21 g) (4.1CaVg)=86.1 Cal Altro: (I g) (0 CaVg) O
=
TOTALE (per 32 g): 169 Cal
FIGURA 3.70 Valutazione del contenuto di calorie di una porzione di biscotti con schegge di cioccolato (i valori si riferiscono ai biscotti Chips Ahoy della Nabisco).
tutti e tre i gruppi di nutrienti in diversa quantità: l'alimentazione americana tipica consiste nel 45 per cento di carboidrati, 40 di grassi e 15 di proteine, sebbene per un'alimentazion e salutare si raccomanda di limitare i grassi al 30 per cento delle calorie totali. Il contenuto di energia di un dato cibo si determina bruciando un piccolo campione in un dispositivo chiamato bomba calorimetrica, costituita .da un contenitore rigido ben isolato termicamente (Figura 3.69), contenente una piccola camera di combustione circond.ata da acqua. Il campione di cibo viene bruciato nella camera di combustione in presenza di eccesso di aria. L'energia termica, sviluppata dalla combustione e trasferita all'acqua circostante, è il contenuto di energia del cibo, che per il principio di conservazione dell'energia viene determinato misurando l'aumento di temperatura dell'acqua. Inoltre, poiché la combustione del cibo produce le stesse reazioni chimiche che avvengono nel corpo (conversione del carbonio in C02 e dell'idrogeno in Hp), l'energia misurata è la stessa che si sviluppa nel corpo. Per campioni secchi (privi di acqua) i contenuti medi di energia dei tre gruppi di base del cibo, determinati con la bomba calorimetrica, corrispondono a 18.0 MJ/kg per i carboidrati, 22.2 MJ/kg per le proteine e 39.8 MJ/ kg per i grassi. Questi gruppi di nutrienti non sono interamente metabolizzati nel corpo umano, poiché la frazione del contenuto di energia che può essere metabolizzata è 95.5 per cento per i carboidrati, 77.5 per le proteine e 97.7 per i grassi. Si noti che i grassi sono quasi totalmente metabolizzati, mentre quasi un quarto delle proteine che si mangiano è rilasciato dal corpo senza essere bruciato: ciò corrisponde a 4.1 Calorie/g per le proteine e i carboidrati e 9.3 Calorie/g per i grassi (Figura 3.70), dati comunemente riscontrabili nei libri sulla nutrizione e sulle etichette dei cibi. I contenuti di energia dei cibi che si mangiano normalmente sono molto più bassi dei valori su menzionati a causa del grande contenuto d'acqua (!'acqua aggiunge massa al cibo ma non può essere metabolizzata o bruciata e quindi non ha valore energetico): per esempio, la maggior parte delle verdure, della frutta e delle carni consiste per lo più in acqua. I contenuti medi di energia metabolizzabile dei tre gruppi di base del cibo sono 4.2 MJ/kg per i carboidrati, 8.4 MJ/kg per le proteine e 33. l MJ/kg per i grassi. Si noti che 1 kg di grassi naturali contiene circa 8 volte l'energia metabolizzabile di I kg di carboidrati naturali: una persona che si riempie lo stomaco di cibi grassi assume molta più energia di una persona che si riempie lo stomaco di carboidrati mangiando pane o riso. Il contenuto di energia metabolizzabile dei cibi è di solito espresso dai nutrizionisti in termini di Caloria (con la maiuscola) o kilocaloria (1000 calorie), per le quali valgono le seguenti relazioni: I Caloria= 1000 calorie= 1 kcal (kilocaloria) = 4.1868 kJ La caloria spesso causa confusione nelle tabelle o negli articoli sulla nutrizione: in generale, si può dire che, quando l'argomento è cibo o buona forma fisica, per caloria, che sia scritta con la maiuscola oppure no, si intende kilocaloria. Il fabbisogno di energia o di calorie delle persone varia molto con
letà, il sesso, lo stato di salute, il livello di attività e le dimensioni corporee: una persona piccola ha bisogno di meno calorie di una persona grande dello stesso sesso ed età. Poiché mediamente un uomo ha bisogno di circa 2400 + 2700 Calorie al giorno e una donna di 1800 + 2200 Calorie al giorno, le calorie assunte in più sono di solito immagazzinate sotto forma dì grasso, che serve come energia di scorta quando l'assunzione di energia nel corpo è inferiore alla quantità' necessaria. Come altri grassi naturali, I kg di grasso del corpo umano contiene circa 33. I MJ di energia metabolizzabile: perciò una persona che non mangia (assunzione di energia pari a zero), se consuma 2200 Calorie (9211 kJ) al giorno, può soddisfare la sua richiesta giornaliera di energia bruciando solo 9211/33 100 0.28 kg di grasso corporeo. Una persona, quindi, può sopravvivere oltre 100 giorni senza mangiare (ha comunque bisogno di bere acqua per compensare la perdita d'acqua attraverso i polmoni e la pelle, ed evitare la disidratazione che può avvenire invece in pochi giorni). Sebbene il desiderio di liberarsi dal grasso in eccesso in un mondo di magri possa essere a volte opprimente, le diete da fame non sono raccomandate perché il corpo, in aggiunta al grasso, comincia a consumare subito anche il proprio tessuto muscolare. Una dieta salutare dovrebbe implicare quindi regolare esercizio fisico e contemporaneamente permettere una assunzione di cibo ragionevole. I contenuti medi di energia metabolizzabile dei vari cibi e il consumo di energia durante varie attività sono riportati nelle Tabelle 3.3 e 3.4. Considerando che non esistono due hamburger uguali come non esistono due persone che camminano esattamente nello stesso modo, esiste qualche incertezza in tali valori, come è d'altra parte prevedibile; perciò, in altri libri o riviste, si possono incontrare valori piuttosto differenti. Si noti che i valori della potenza metabolica riportati nella Tabella 3.4 si riferiscono a un adulto di 68 kg. Nel caso di adulti più piccoli o più grandi la potenza metabolica può essere determinata usando il criterio di proporzionalità con le dimensioni corporee: per esempio, poiché la potenza metabolica per un ciclista di 68 kg riportata nella Tabella 3.4 è 639 Calorie/h, la potenza metabolica per un ciclista di 50 kg è:
=
50kg
639 Calorie/h 68 kg
=470 Calorie/h
Seguendo lo stesso criterio per un ciclista di I 00 kg la potenza metabolica è 940 Calorie/h. L'analisi termodinamica del corpo umano è piuttosto complicata poiché implica scambio di massa (durante la respirazione, la traspirazione ecc.) e scambio di energia. Il corpo umano dovrebbe essere trattato, quindi, come un sistema aperto, ma, poiché lo scambio di energia con la massa è difficile da quantificare, per semplicità è trattato come un sistema chiuso, considerando l'energia trasportata con la massa come semplice scambio di energia: per esempio, il cibo ingerito è considerato come un trasferimento di energia nel corpo umano pari al contenuto di energia del cibo metabolizzabile.
99 ~::-:-~
Gli aspetti termodinamici dei sistemi biologici
TABELLA 3.3 Contenuto approssimato di energia metabolizzabile dì alcuni cibi (1Caloria=4.1868 k.Jl Cibo
Calorie
Bibita (200 ml) Burro (un cucchiaino da tè) Gelato (100 ml, 10% di grassi) Hamburger Hamburger con formaggio Hol dog Insalata di lattuga con condimenlo tipo francese Latte (intero, 200 ml) Latte (scremalo, 200 ml) Mela (una, media) Pane (bianco, una fetta) Patata al forno (non condita) Patata al forno con formaggio Patatine fritte (porzione normale) Pesca (una, media) Pizza (con formaggio, una fetta. 1/8 di un formato grande) Tavoletta di cioccolato (20 g) Torta (una fetta, 1/8 di 23 cm di diametro) Tramezzino al tonno Uovo (uno)
87 35 110 275 325 300 150 136 76 70 70 250 550 250 65 350 105 300 450 80
TABELLA 3.4 Potenza termica dissipata da un adulto di 68 kg durante alcune atthità (1 Caloria= 4.1868 k.JJ Attività
Calorie/h
Andare in bicicletta (21 km/h) Ballare velocemente Camminare (7.2 km/h) Correre velocemente (13 km/h) Fare jogging (8 km/h) Giocare a basket Giocare a tennis (avanzato) Giocare a tennis (principiante) Guardare la TV Guidare un'auto Mangiare Metabolismo basale Nuotare (piano) Nuotare (veloce) Praticare sci di fondo (13 km/h)
639 600 432 936 540 550 480 288 72 180 99 72 288 860 936
100 CAPITOL03 li primo principio della termodinamica: i sistemi chiusi
ESEMPIO 3.18 Un uomo di 90 kg ha pranzato con due hamburger, una porzione normale di patatine fritte e una Coca di 200 ml (Figura 3.71). Si determini quanto tempo gli occorrerà per consumare le calorie del pranzo a) guardando la TV e b) nuotando velocemente. Quale sarebbe invece la soluzione per un uomo di 45 kg? Soluzione a) Si assuma il corpo umano come sistema chiuso, il cui contenuto di energia rimane costante. Per il principio di conservazione dell'energia, l'energia entrante nel corpo deve essere uguale all'energia in uscita. In questo caso, l'energia netta entrante è il contenuto di energia metabolizzabile del cibo ingerito; esso è determinato dalla Tabella 3.3 come f:e
=2 X f:halnbu'll" + f:pata""' + (;coca =(2 X 275 + 250 + 7) =887 Calorie
FIGURA 3.71 Un pranzo tipico descritto nell'Esempio 3.18.
Allora, r= =,i;, = 887 Calorie. La potenza metabolica, É, per un uomo di 68 kg che guarda la è fornita dalla Tabella 3.4 in 72 Calorie/h. Per un uomo di 90 kg, essa diventa
n:l
r=.
u
72 . /h = (90)- = 95.3 Calorie 68
Quindi, occorrerà un tempo l!.t= 887 =9.3h 95.3
per consumare le calorie del pranzo guardando la TV.
b) In maniera simile, si può dimostrare che occorrono solo 47 minuti per consuma-
re le calorie del pranzo nuotando velocemente. Poiché l'uomo di 45 kg è la metà dell'uomo di 90 kg, per spendere la stessa quantità di energia sarà necessario un tempo doppio: 18.6 h guardando la TV e 94 minuti nuotando velocemente.
Molte diete sono basate sul calcolo delle calorie; cioè sul principio di conservazione dell'energia: una persona che assume sotto forma di cibo più calorie di quante il suo corpo ne brucia guadagnerà peso, al contrario perderà peso, se consuma meno calorie di quante il suo corpo ne brucia. Tuttavia, le persone che mangiano qualunque cosa vogliono, tutte le volte che vogliono, senza guadagnare alcun peso sono prove viventi che la tecnica di calcolo basata sulle calorie da sola non funziona nella dietetica; perciò per la dietetica non è sufficiente tenere il conto delle calorie. Si dovrebbe notare che le espressioni aumento di peso e perdita di peso non sono appropriate; più correttamente si dovrebbe parlare di aumento di massa e perdita di massa: un uomo che va nello spazio praticamente perde tutto il suo peso, ma nulla della sua massa. È bene ricordare che quando si parla di cibo e di buona forma fisica, per peso si intende la massa. I ricercatori sulla nutrizione hanno proposto diverse teorie sulla dietetica. Una teoria suggerisce che alcune persone hanno corpi davvero "cibo-efficienti", tanto da avere bisogno di meno calorie di altre per svolgere la
! I
L
r
stessa attività, proprio come un'auto a elevato rendimento necessita di meno carburante per percorrere una data distanza. È interessante notare che, mentre dalle auto si pretende un rendimento elevato, non altrettanto accade per il proprio corpo: durante la dieta il corpo, interpretando la dieta come mancanza di cibo, utilizza maggiormente le proprie riserve di energia. Si è osservato, infatti, che riducendo l'alimentazione da un valore normale di 2000 Calorie/giorno a 800 Calorie/giorno, in assenza di esercizio fisico la potenza metabolica basale si riduce del 10-20 per cento. Sebbene la potenza metabolica ritorni normale terminata la dieta, diete prolungate a basso numero di calorie senza adeguato esercizio fisico possono concludersi con una perdita considerevole di tessuto muscolare oltre che di grasso. Quando il tessuto muscolare in grado di bruciare calorie si riduce, la potenza metabolica del corpo diminuisce e rimane sotto il valore normale anche dopo che è cessata la dieta; come conseguenza, la persona riguadagna più del peso perso, sotto forma di grasso, durante la dieta. La potenza metabolica basale rimane all'incirca la stessa soltanto se si compie un adeguato esercizio fisico durante la dieta. Un'altra teoria suggerisce che è molto più probabile che guadagnino peso quelle persone troppo grasse già durante l'infanzia o l'adolescenza. A tal proposito alcuni ritengono che il contenuto di grasso dei corpi sia regolato da un meccanismo di controllo, simile a quello della temperatura di una casa con un termostato; altri ritengono che i problemi ormonali causino eccessivo aumento o perdita di peso; altri ancora incolpano dei problemi di peso semplicemente i geni. Considerando anche che 1'80 per cento dei bambini di genitori in sovrappeso è in sovrappeso, l'ereditarietà può davvero essere parzialmente responsabile del modo in cui un corpo immagazzina i grassi.
3.1 O ~ SOMMARIO Il primo principio della termodinamica è essenzialmente un enunciato del principio di conservazione dell'energia. L'energia può attraversare il contorno di un sistema chiuso sotto forma di calore o lavoro. Quando lo scambio di energia è dovuto a una differenza di temperatura tra il sistema e l'ambiente, si parlerà di calore; negli altri casi si tratterà di lavoro. La quantità di calore fornita lii sistema e il lavoro compiuto dal sistema sono positivi; la quantità di calore ceduta dal sistema e il lavoro compiuto sul sistema sono negativi. Il calore si trasmette in tre modi differenti: per conduzione, per convezione e per irraggiamento. La conduzione è il trasferimento di energia che si ottiene dall'interazione delle particelle di una sostanza dotate di maggior energia con quelle adiacenti dotate di minor energia. La convezione è il trasferimento di energia tra una superficie solida e il liquido o gas adiacente in movimento e implica gli effetti combinati di conduzione e trasporto di massa. L'irraggiamento è il trasferimento di energia che avviene per effetto delle onde elettromagnetiche (o fotoni), prodotte da variazioni nelle configurazioni elettroniche degli atomi o delle molecole. Le tre diverse modalità di trasmissione del calore sono esprimibili con le seguenti relazioni:
Sommario
102
·
CAPITOLO 3 Il primo principio della termodinamica: i sistemi chiusi
Q,ond
=- AA dT dx
(W)
Qconv
= hA (T, -TI)
(W)
tih = h2 - hl=
!~p(T) dT
""'cp.mod(T, -
103 TI) Sommario
.
4
Per i gas perfetti cv e cP sono correlati dalla relazione:
4
cP =cv+ R [Jl(kg · K)]
Q;rr =so-A (T, -Te ) (W)
Le varie forme di lavoro sono espresse come segue: Lavoro elettrico
L,1 =VI t'it
(J)
Lavoro di variazione di volume L = fpdV v I
(J)
Lavoro elastico
Lm=
tk.(xi-xn
(J)
Per la trasformazione politropica (p1J' =costante) dei gas reali, il lavoro di variazione di volume è espresso dalla seguente relazione:
dove R è la costante del gas. Il rapporto dei calori specifici k è definito dalla relazione:
Per le sostanze incompressibili (liquidi e solidi) il calore specifico a pressione costante è egmlle al calore specifico a volume costante, entrambi semplicemente rappresentati da c:
cP =c.= c [Jl(kg · K)] Le variazioni dell'energia interna specifica e dell'entalpia specifica, tiu e
Il primo principio della termodinamica per un sistema chiuso è espresso dalla relazione: Q - L = tiU + tlE, + tlEP (J)
dove
L=La +Lv tiU=m (u 2 -u 1)
-wn
tm (wi tlEP =mg <; - z M, =
1)
Per una trasformazione a pressione costante, Lv+ tiU =!::Jf, per cui si ha:
Q - L. = !::Jf + tlE, + tlEP (J) La quantità di energia necessaria per innalzare di un grado la temperatura dell'unità di massa di una sostanza è detta calore specifico a volume costante cv per una trasformazione a volume costante e calore specifico a pressione costante c per una trasformazione a pressione costante. Essi sono definiti dalle relazioni: c = ( Òu V
òT
l
e c = ( Òu ) p
ÒT
p
Per i gas perfetti u, h, c. e c sono funzioni della sola temperatura. Le variazioni di energia interna sGecifica e di entalpia specifica, tiu e !!Jz, per i gas perfetti sono espresse dalle relazioni:
tiu = u2 - u1 =
!~u (T) dT
"' cv. mod (T2 - T1)
tih, per le sostanze incompressibili sono espresse dalle relazioni: tiu =
l~(T) dT :: cmcd (T, -'.li) !!Jz
=tiu + vt::.p
(Jlkg)
(J/kg)
Il primo principio della termodinamica: i volumi di controllo In questo capitolo si studieranno i sisterrù che comportano flusso di massa attraverso il proprio contorno, cioè i volumi di controllo. Poiché l'equazione di conservazione dell'energ ia per un generico volume di controllo è piuttosto complessa, si fornirà dapprima una descrizione generale delle equazioni di conservazione della massa e dell'energia, per concentrarsi poi sul processo stazionario, assunto come modello per molti dispositivi, quali turbine, compressori, scambiatori di calore, condotti e tubazioni.
106 ~K§jlf~
CAPITOL 04 IJ primo principio della termodinamica: i \·oJumi di controllo
r------- --1
/
1
I i
Volume di controllo
---j-- Massa I
l
(VC)
uscente
/
I I
Massa --1-.. entrante L_______
I I
1
_J
FIGURA 4.1
La massa può fluire attraverso un volume di controllo.
Conromo immaginario
Contorno reale
\~
l -+'
t_r~
I
I
+-
ve
(ugello)
I
!~ --~
FIGURA 4.2
Contorno reale e immaginario di un volume di controllo.
4.1 :;1 L'ANAL ISI TERMO DINAM ICA DEI VOLUMI DI CONTR OLLO Molti dispositiv i tecnici comport ano flusso di massa tra ingresso e uscita del sistema, per cui possono essere assimilat i a volumi di co11trollo (Figura 4.1): uno scaldacq ua, un rndiatore d'automo bile, una turbina o un turbocompress ore, poiché comporta no flusso di massa, devono essere analiz·zati come volumi di controllo (sistemi aperti) piuttosto che come masse di controllo (sistemi chiusi). In generale , og11i regione arbitrari a dello spazio può essere assimilata a un volume di co11trollo. Pur non esistendo regole pratiche per l'individ uazione dei volumi di controllo , si può certamente affermar e che una scelta appropri ata ne rende molto più facile l'analisi: per esempio, per analizzar e il flusso di aria attravers o un ugello è utile scegliere come volume di controllo la regione all'intern o dell'ugel lo. Il contorno del volume di controllo è detto superficie di colltrollo e può essere reale o immagin aria: nel caso dell'ugel lo, la superficie interna di questo costituisce la parte reale dcl contorno , mentre le sezioni di ingresso e di uscita ne costituisc ono la parte immagin aria, poiché non corrispon dono a superfici fisiche (Figura 4.2). Un volume di controllo può avere dimensio ne e forma fisse, come nel caso di un ugello, o avere un contorno mobile, come mostrato in Figura 4.3; in generale la maggior parte dei volumi di controllo ha contorno fisso e quindi, fatta eccezion e per il lavoro di variazione di volume, possono essere interessati da scambi di calore e lavoro, proprio come un sistema chiuso. Poiché in questo capitolo saranno ampiame nte utilizzati i termini stazionario e unifonne, è importante precisarne la definizione: per stazionario si intende invan'allte nel tempo, per cui H contrario di stazionar io è non stazionario o transitorio; per uniforme, invece, si intende invariante con la posizione in una determinata regione dello spazio.
Il princip io di conser vazione della massa
1\---------: /
Contorno
1
mobile
I
:
I
I
:
I
ve
: I
-----rI ___________ I: FIGURA 4.3
Alcuni volumi di controllo hanno un contorno mobile.
La conserva zione della massa è uno dei principi fondamentali in natura, soddisfat to anche dalle equazioni chimiche (Figura 4.4): per esempio, dalla reazione tra 16 kg di ossigeno e 2 kg di idrogeno si ottengon o 18 kg di acqua e dalla successiv a elettrolisi dei 18 kg di acqua si otterrann o di nuovo 2 kg di idrogeno e 16 kg di ossigeno. Infatti, la massa, come l'energia ,è una proprietà che si conserva e non può essere né creata né distrutta. Tuttavia la massa me l'energia E possono essere convertite l'una nell'altra in accordo con la famosa relazione di Einstein tra massa ed energia:
E=mc 2
(4.1)
dove c è la velocità della luce. Si noti, però, che in pratica, fatta eccezion e per le reazioni nucleari, le interazioni energetiche comporta no variazion i di massa estremam ente piccole, tanto da non essere rilevate nemmen o dai dispositiv i più sensibili: per esempio, quando nella reazione tra ossigeno e idrogeno si forma I kg di acqua, la quantità di energia liberata è pari a 15 879 kJ, che corrispon de alla massa di 1.76 x 10-io kg. valore che va oltre
laccurate zza richiesta da ogni tipo di calcolo ingegneristico e che perciò si può trascurare. Per i sistemi chiusi, il principio di conserva zione della massa viene richiamato implicitamente nella definizione stessa di sistema chiuso quando si richiede che la massa del sistema rimanga costante durante un processo. Per i volumi di controllo, invece, la massa può attraversare il contorno , per cui bisogna tenere conto della massa che entra nel volume di controllo e di quella che lo lascia (Figura 4.5). Il principio di conserva zione della massa per un volume di controllo (VC) sottoposto a una trasforma zione può esprimersi con la relazione: massa totale ) ( massa totale ) ( variazione netta ) entrante nel uscente dal = di massa nel ( volume di controllo volume di controllo volume di controllo
107 ~$;!"''~
L'analisi termodinamica dci l'olumi di controllo
iz;l+~-~ ~~~ FIGURA 4.4
La massa si conserva anche nelle reazionì chìmiche.
dove i pedici e, u e VC stanno rispettivamente per entrante, uscente e volume di controllo. Questa equazione rappresenta l'enuncia to del principio di
conservazione della massa per un generico volume dì controllo sottopost o a un qualsiasi processo. In meccanica dei fluidi l'equazio ne di conserva zione della massa viene detta equazione di continuità.
Le portate massica e volumetrica La massa che scorre attraverso una sezione nell'unità di tempo è detta portata massica ed è indicata da m: come in precedenza, il punto sul simbolo è usato per indicare una grandezza riferita all'unità di tempo. La portata massica di un fluido che scorre in una tubazion e o in un condotto è proporzionale all'area A della sezione trasversale della tubazione o del condotto, alla densità p e alla velocità w del fluido. Nel caso di superficie di area infinitesima d4 la portata massica può esprimersi con la seguente relazione: (4.3) dove w. è la componente della velocità nella direzione normale alla superficie d4. La portata massica, che attraversa l'intera superficie della sezione trasversale della tubazione o del condotto, si ottiene per integrazione con la relazione:
m=
Lpw.M
(kg/s)
(4.4)
Nella maggior parte delle applicazioni pratiche, il flusso di un fluido attraverso una tubazione o un condotto, se riferito ai valori medi delle proprietà nella generica sezione normale alla direzione del flusso, si può approssimare a un flusso unidimen sionale, poiché le proprietà variano in una sola direzione (la direzione del flusso). Nel caso di flusso unidimensionale tutte le proprietà risultano unifonni per ogni sezione trasversa le normale alla direzione del flusso, ma, in generale, non stazionarie, poiché i
FIGURA 4.5
Principio di conservazione della massa per un volume dì controllo.
T---108 CAPITOL04 Il primo principio della termodinamica: l ,.. oJumi di controllo
(a) Reale
valori delle proprietà per una determinata sezione trasversale possono cambiare nel tempo. Schematizzare il flusso in un condotto o in una tubazione come flusso unidimensionale influisce poco sulla maggior parte delle proprietà del fluido, quali temperatura, pressione, densità, che di solito rimangono costanti sulla sezione trasversale; lo stesso non si può dire per la velocità, il cui valore varia da zero in prossimità delle pareti a un massimo in corrispondenza dell'asse a causa degli effetti viscosi (attrito fra strati fluidi). Nell'ipotesi di flusso unidimensionale si può assumere la velocità costante sull'intera sezione trasversale e pari a un valore medio equivalente (Figura 4.6). Riferendosi all'Equazione 4.4 ed eseguendo l'integrazione si ottiene per un flusso unidimensionale:
(b)Media
dove 'IGURA 4.6
'rofili delle velocità reale e media ·er il flusso in una tubazione (la panata ·1assica è la stessa nei due casi).
p
=densità, kg/m3 (= Ilv);
wmcd = velocità media del fluido nella direzione normale ad A, mls; A =area della sezione trasversale normale alla direzione del flusso, m2• Il volume del fluido che scorre attraverso una sezione trasversale riferito all'unità di tempo è detto portata volumetrica V (Figura 4.7) ed è dato dalla relazione:
f~ .r~~~.:=:~~.1.·;~~:~s.~~~t-~---~;il,ti~~;,~
r---------, l
entrante
~~~
:
I 1 I I
Q
109
l
Massa--:-:-+..
L'analisi termodinamica dei \'Olumi di controllo
Volume di controllo
Q I
L_________J---Massa uscente
discorso analogo vale quando è la massa a uscire dal volume di controllo, facendone diminuire conseguentemente l'energia: per esempio, quando I' acqua calda asportata da uno scaldacqua è sostituita dalla stessa quantità di acqua fredda, si ha come risultato dello scambio di massa una diminuzione dell'energia contenuta nello scaldacqua (volume di controllo). L'equazione di conservazione dell'energia per un volume di controllo sottoposto a una trasformazione può essere espressa dalla relazione:
l[
l[
energia totale energia totale che attraversa della massa il contorno + entrante nel [ come calore e lavoro volume di controllo =
variazione netta dell'energia nel ( volume di controllo
FIGURA 4.8
L'energia di un volume di controllo può essere modificata dal flusso di massa così come dagli scambi di calore e lavoro.
l
energia totale della massa uscente dal volume di controllo
J
Le portate massica e volumetrica sono correlate dalla relazione: Sezione tiasversale IGURA 4.7
panata volumetrica è il volume .·I fluido che scorre attraverso 1a sezione trasversale nell'unità di tempo.
.t
~~1:?: =:;,e,V; J;.; · Si noti che questa relazione è analoga alla relazione m = Vlv tra massa e volume di un fluido. Per semplicità si tralascia il pedice della velocità media; a meno che non sia specificato diversamente, w indica la velocità media nella direzione del flusso e A indica larea della sezione trasversale normale alla direzione del flusso.
Il principio di conservazione dell'energia Come si è detto nel Capitolo 3, per un sistema chiuso l'energia può modificarsi solo attraverso scambi di calore e/o lavoro, per cui la variazione di energia durante un processo è uguale allo scambio netto di calore e lavoro attraverso il contorno del sistema:
Q-L=t!.E Per i volumi di controllo, invece, l'energia di un sistema può variare a causa del flusso di massa attraverso il volume di controllo (Figura 4.8). Quando una certa quantità di materia entra in un volume di controllo, l'energia di quest'ultimo aumenta perché la massa entrante trasporta con sé energia; un
Naturalmente se nessuna quantità di materia entra o esce dal volume di controllo, il secondo e terzo termine si annullano e l'equazione si riduce a quella valida per i sistemi chiusi. Pur nella sua semplicità, l'Equazione 4.8 è applicabile a qualsiasi volume di controllo sottoposto a qualsiasi trasformazione. Il calore scambiato da un volume di controllo non deve confondersi con l'energia trasportata con la massa attraverso il volume di controllo. Si ricordi che il calore è la forma di energia scambiata in conseguenza di una differenza di temperatura tra un volume di controllo e l'ambiente. Analogamente a quanto accade per un sistema chiuso, un volume di controllo può essere soggetto contemporaneamente a più forme di lavoro (Figura 4.9). Nel caso in cui; come spesso accade, il contorno del volume di controllo sia rigido e fisso, poiché il lavoro di variazione di volume è nullo,. il lavoro scambiato sarà tutt'al più lavoro d'elica e lavoro elettrico per i sistemi compressibili semplici. Lo scambio termico, invece, è nullo quando il volume di controllo è termicamente isolato. Il lavoro che occorre compiere su un fluido affinché questo attraversi un volume di controllo è detto lavoro di pulsione e fa parte dell'energia trasportata dal fluido.
Il lavoro di pulsione Il lavoro di pulsione è il lavoro necessario a mantenere il flusso di massa attraverso il volume di controllo e può essere quantificato facendo riferi-
FIGURA 4.9
Un volume di controllo può componare lavoro di variazione di volume in aggiunta a lavoro elettrico e d'elica.
T 110 eAPITOL04 11 primo principio della termodinamica: i \'olumi di controllo
A
r-------i
--""""""=v"""iI
:I
I I
F=pA
I I
---1,==:::.:
ve
:I
I I I I I I I 1I ________ I1
Pistone immaginario
mento a un elemento fluido di volume V, come mostrato in Figura 4.10. Il fluido immediatamente a monte, comportandosi come un pistone immaginario, forzerà l'elemento fluido, scelto sufficientemente piccolo in modo da avere proprietà uniformi in ogni sua parte, a entrare nel volume di controllo. Se la pressione del fluido è p e larea della sezione trasversale è A (Figura 4.11), la forza applicata dal pistone immaginario sull'elemento fluido è data dalla relazione: (4.9)
Il lavoro di pulsione, fatto per spingere lelemento fluido attraverso il contorno dalla forza definita dall'Equazione 4.9 lungo uno spostamento d, è dato dalla relazione: (4.10)
FIGURA 4.10 Schema per il lavoro di pulsione.
~
~ Fluido immobile
e= 11+
~~ Energia
~
·T~P
w2
2 +gz
-cnergrn , "
"'fili,
111
et~ Flui'.lo ili
w2
9 = pv +Il+ -
111ov1111e111JJl!!19!!ij;;,( Energia
~
..;
I processi a flusso stazionario
+ gz
d
~~~, iJlO.al?/
FIGURA 4.13 L'energia totale nel caso di un fluido immobile e di un fluido in movimento.
e= pv + e= pv + (u + ec + ep) Poiché la combinazione pv + 11 è l'entalpia h, la relazione precedente diventa:
Il lavoro di pulsione riferito all'unità di massa si ottiene dividendo entram-
Mass~3oo;c--::--250~.Ì
bi i membri dell'equazione per la massa dell'elemento fluido (Figura 4.12):
II i
entrante
FIGURA 4.11 In assenza di accelerazione la forza esercitata da un pistone su un fluido è uguale alla forza esercitata dal fluido sul pistone.
li p
1,
V
I I I I I I I I
ve
(a) Prima dell'ingresso
1,
(b)
liI _...,.I I I I I I
La relazione che esprime il lavoro di pulsione è la stessa se il fluido è spinto dentro o fuori del volume di controllo. Si noti che, diversamente da altre forme di lavoro, il lavoro di pulsione è espresso in termini di proprietà, essendo il prodotto di due proprietà del fluido. Per questa ragione, taluni ritengono il lavoro di pulsione una proprietà combinata (come l'entalpia), che definiscono energia di pulsione. Altri, invece, si oppongono a questa definizione argomentando che il prodotto pv rappresenta energia solo per i fluidi che scorrono e non per i sistemi chiusi. Tale controversia non sembra volgere al termine, ma è confortante sapere che le due argomentazioni portano agli stessi risultati per quanto riguarda l'equazione dell'energia. Nella trattazione seguente il lavoro di pulsione sarà considerato parte dell'energia di un fluido che scorre, poiché così facendo si ricava molto più semplicemente l'equazione dell'energia per i volumi di controllo.
L'energia totale di un fluido che scorre L'energia totale di un sistema compressibile semplice, somma di energia interna, cinetica e potenziale (Figura 4.13), riferita all'unità di massa, è data dalla relazione:
p V
ve
Dopo !"ingresso
FIGURA 4.12 Il lavoro di pulsione è l'energia necessaria per spingere un fluido attraverso un volume di controllo ed è uguale apu.
dove w è la velocità e z è la quota del sistema rispetto a un riferimento esterno. Se al fluido che attraversa un volume di controllo si aggiunge il lavorò di pulsione pv, l'energia totale del fluido che scorre riferita all'unità di massa (indicata con fJ) è fornita dalla relazione:
Si noti che, usando l'entalpia piuttosto che l'energia interna, non è necessario preoccuparsi del lavoro di pulsione, poiché lenergia associata allo spostamento del fluido attraverso il volume di controllo è automaticamente tenuta in conto dall'entalpia. Da ora in poi, l'energia di una corrente fluida attraverso un volume di controllo sarà rappresentata dall'Equazione 4.13, per cui non verrà fatto alcun riferimento al lavoro di pulsione.
2 Nessuna proprietà al contorno del volume di controllo cambia con il
I
:
::--!:::::.
L_2~~~----~~~~_I Ore 13.00
Massa uscente
Massa--l-3oO-;ç---250~-l
II Volume di controllo I I I 22s e I
4.2:,; I PROCESSI A FLUSSO STAZIONARIO
1 Nessuna proprietà (intensiva o estensiva) entro il volume di controllo cambia con il tempo: il volume V, la massa m e il contenuto di energia totale E del volume di controllo rimangono costanti (Figura 4.15). Come diretta conseguenza si ha che per i sistemi a flusso stazionario il lavoro di variazione di volume è nullo (poiché Vvc =costante) e la massa o l'energia totale che entra nel volume di controllo è uguale alla massa o ali' energia totale che esce (poiché mvc =costante ed Evc =costante).
I
i
225°e
I
entrante
Molti dispositivi, quali turbine, compressori e ugelli, operano in condizioni che non cambiano per lunghi periodi di tempo, per cui possono essere considerati dispositivi a flusso stazionario. I processi secondo i quali operano i dispositivi a flusso stazionario possono essere schematizzati con un processo alquanto idealizzato, detto pro· cesso a flusso stazionario, definito come un processo durante il quale un fluido scorre attraverso un volume di controllo in modo stazionario (Figura 4.14): durante tale processo le proprietà del fluido possono cambiare da punto a punto all'interno del volume di controllo, ma rimangono le stesse durante l'intero processo per ogni punto fissato (si ricordi che stazionario significa invariante nel tempo). Un processo a flusso stazionario ha le seguenti caratteristiche.
Volume ·di controllo :
0
I I
I I
I'--------------' 200°e 150°~ Ore 15.00
Massa
uscente
FIGURA 4.14 Durante un processo a flusso stazionario le proprietà di un fluido nel volume di controllo possono cambiare con la posizione, ma non con il tempo.
r---------------i
Mass~volume di controllo \ entrante
I
/
1 1
:
I
=cost. Evc =cost.
mvc
I II 1
Massa uscente
~ I
1------ -------'
FIGURA 4.15 In condizioni di flusso stazionario. la massa e l'energia di un volume di controllo rimangono costanti.
112 CAPITOL04 Il primo principio della termodinamica: i Yolumi di controllo
1Ìì1
__J:--------- J:::
'[h,
I I h -
/ /
1i12
I
Volume di controllo
•
/ /
I
I . ~m3
I
~-------------J
h
FIGURA 4.16
In condizioni di flusso stazionario, le proprietà del fluido ali' ingresso o all'uscita rimangono costanti (non cambiano nel tempo).
r----------1 I .Volume f - m,.=me / di controllo I
/ I
I
J
mvc = cost.
I I I m---!.. e
tempo: le proprietà del fluido entrante o uscente rimangono le stesse durante l'intero processo. Le proprietà possono, comunque, essere diverse per differenti ingressi e uscite e possono anche variare sulla sezione trasversale di un ingresso o di un'uscita, ma tutte le proprietà, incluse la velocità e la quota, devono rimanere costanti con il tempo in ogni determinata posizione. Come conseguenza si ha che, durante un processo a flusso stazionario, la portata massica in corrispondenza di un ingresso o un 'uscita deve rimanere costante (Figura 4.16). Inoltre, si può semplificare ulteriormente il fenomeno considerando le proprietà del fluido in corrispondenza di un ingresso o di un'uscita uniformi sulla sezione trasversale e coincidenti con i valori medi.
II I I I I
L__________ J
FIGURA 4.17
Durante un processo a flusso stazionario, la quantità di massa entrante nel volume di controllo eguaglia la quantità di massa uscente.
.Volume •.. di controllo
3 Le quantità di energia scambiate sotto forma di calore e lavoro tra un sistema a flusso stazionario e l'ambiente non cambiano con il tempo, ma rimangono costanti. Dispositivi ciclici, quali motori e compressori alternativi, non soddisfano alcune delle caratteristiche sopra enunciate, poiché il flusso entrante e uscente è pulsante e non stazionario. Tuttavia questi dispositivi possono essere schematizzati come operanti secondo un processo a flusso stazionario utilizzando valori mediati nel tempo per le proprietà e i flussi di calore attraverso il contorno, poiché le proprietà del fluido variano con il tempo in modo periodico. Possono essere considerati a tutti gli effetti dispositivi a flusso stazionario turbine, pompe, caldaie, condensatori e scambiatori di calore, dispositivi tutti che operano con continuità di flusso. Per questi dispositivi o simili, una volta terminato il transitorio iniziale e stabilitosi il regime stazionario, potranno essere usate le equazioni che saranno sviluppate in seguito.
La conservazione della massa Durante un processo a flusso stazionario la massa totale contenuta nel volume di controllo non cambia nel tempo (mvc =costante), con la conseguenza che per il principio di conservazione della massa la massa totale entrante nel volume di controllo deve eguagliare quella uscente (Figura 4.17). Riferendosi alla massa che attraversa il dispositivo nell'unità di tempo, vale a dire alla portata massica m, il principio di conservazione della massa per un generico sistema a flusso stazionario con ingressi e uscite multipli (Figura 4.18) è espresso dalla relazione:
J
riz 3 =riz 1 +m 2 = 5 kg/s
portata massica totale (portata massica totale entrante nel _ uscente dal ( volume di controllo volume di contr01lo
J
a due ingressi e un 'uscita.
113 I processi a flusso stazionario
m, = 2 kg/s
dove p = densità, kg/m3; v =volume specifico, m3/kg (= l!p); w = velocità media nella direzione del flusso, m/s; A =area della sezione trasversale normale alla direzione del flusso, m 2• Si noti che, al contrario di quanto avviene per le portate massiche, le portate volumetriche (V = wA, m3/s) in corrispondenza dell'ingresso e dell'uscita di un dispositivo a flusso stazionario possono essere differenti: per esempio, nel caso di un compressore d'aria, a causa della più alta densità dell'aria all'uscita, la portata volumetrica uscente è molto minore di quella entrante, anche se la portata massica è costante (Figura 4.19). Solo nel caso di liquidi le portate volumetriche rimangono costanti al pari delle portate massiche, poiché i liquidi sono sostanze essenzialmente incompressibili (a densità costante).
V2 =0.Sm 3/s
I
I
m, =2kg/s \Ì 1 = l.4 m3/s
FIGURA 4.19
La conservazione dell'energia Durante un processo a flusso stazionario, poiché l'energia totale di un volume di controllo rimane costante (Evc =costante), la variazione dell'energia totale di un volume di controllo è nulla (Mvc O), con la conseguenza che, in ogni intervallo di tempo, la quantità di energia entrante in un volume di controllo sotto qualsiasi forma (calore, lavoro, trasferimento di massa) deve essere uguale alla quantità di energia uscente: per esempio, il flusso di acqua continuo di portata massica m attraverso uno scaldacqua elettrico (volume di controllo) in regiIµe stazionario (Figura 4.20), che cede all'ambiente la potenza termica Q e riceve dalla resistenza elettrica scaldante la potenza elettrica L, subisce un incremento della sua energia totale pari all'energia elettrica fornita ·all'acqua meno le perdite di calore. Il primo principio della termodinamica o principio di conservazione. dell'energia per un generico sistema a flusso stazionario con ingressi e uscite multipli è espresso dalla relazione:
Durante un processo a flusso stazionario le ponate volumetriche non si conservano necessariamente.
=
potenza totale che attraversa il contorno sotto forma di calore e lavoro [ riferiti all'unità di tempo
l[ =
l[
l
potenza totale potenza totale uscente dal entrante nel volume di controllo - volume di controllo con la massa con la massa
Elemento elettrico scaldante ~,-~-=="""=='= i I
Acqua calda in uscita
I I I
:
• Volume
/ :
di controllo (serbatoio di
I
i
:... _ _ _ acquacalda) _ _ _ _ _ _ _ _ .J
~
Acqua
fredda
FIGURA 4.18
Principio di conservazione della massa per un sistema a flusso stazionario
pedice 1 e lo stato di uscita con il pedice 2 ed eliminando i segni di sommatoria, si ottiene la relazione:
dove il pedice e sta per entrante e il pedice u per uscente. Per i dispositivi quali ugelli, diffusori, turbine, compressori e pompe, che hanno un flusso singolo (solo un ingresso e una uscita), indicando lo stato di ingresso con il
o
(4.18)
in entrata
dove Oè l'energia totale del fluido che scorre, incluso il lavoro di pulsione, riferita all'unità di massa (Figura 4.21). Poiché O= h +e.+ eP (Equazio-
Uno scaldacqua in regime stazionario.
FIGURA 4.20
114
ne 4.13), la fonnulazione più generale del principio di conservazione del-
CAPITOLO 4 IJ primo principio della termodinamica: i volumi di controllo
!' energia per un sistema a flusso stazionario è la seguente: _--!
(4.I9j
,,----
_ _ __.,
i
1h • kg/s 6 •• kJ!kg . . . . . '
I
Il
j
ve
n.,e, (kW)
Dall'Equazione 4.19, nel caso di sistemi. con un ingresso e una uscita, eliminando i simboli di sommatoria, riferendosi all'ingresso e all'uscita con i pedici I e 2 e indicando con rh la portata massica attraverso lintero volume di controllo ( 1 rh 2 rh ), si ottiene lequazione di conservazione dell'energia per i sistemi a flusso stazionario con un ingresso e una uscita:
m= =
L = potenza. Poiché nei dispositivi a flusso stazionario non vi è lavoro di variazione di volume, perché quest'ultimo è costante, e se si tiene conto del lavoro di pulsione con l'entalpia, L rappresenta le rimanenti fonne di lavoro fatto nell'unità di tempo (Figura 4.22). Si noti che: L rappresenta la potenza d'elica per turbine, turbocompressori e turbopompe; L rappresenta la potenza elettrica se la superficie di controllo è attraversata da fili.elettrici collegati a una resistenza elettrica percorsa da corrente elettrica; L O se non vi è scambio né di potenza d'elica né di potenza elettrica.
115 Akuni dispositivi a flusso stazionario
~--
=
ti.h = h - h . La variazione di entalpia di un fluido si detennina come differe~za d~i valori dell'entalpia negli stati di uscita e ingresso ricava-
ve
ti dalle tabelle; per i gas perfetti con buona approssimazione si ha ti.li = cp. med (T2 - T,).
FIGURA 4.21 li prodotto 8, è la potenza trasportata nel volume di controllo con la massa.
m,
wi
Dividendo queste equazioni per rh , si ottiene la relazione del primo principio riferita all'unità di massa:
o
. . ,... ., . .... wi .._ w2 ·' . .· . . . . . ·e·,·· .. ., 2 1 " q-l=h,_-1; +-. - +g (z2 --z1 )(J/kg) .·· :· (422) ,; ·· 2 ,;j •::;;'i·;;•"b e ':;'.[•; ;·; '~/,:C°i')<•'.:;'ii;j q-i=(M:i-D.ec'.f.MP) (J/kg) ·. (4.23)
, ~"< ,,....,. >,. "'~
dove
e
--~,-~..,,,·. ·~ ,__,. -
--·~- ._,,,~·~--' :,.. ...,., ..._,·-_;,,_...,,_,_
'" •. :;;;,;·$.;:...,,.,_~:,,.~~_.,,,,.~,$
Q
q =-;- (calore scambiato per unità di massa, J/kg) m
L
l =rh
(lavoro scambiato per unità di massa, J/kg)
(4.24) (4.25)
Se la variazione delle energie cinetica e potenziale del fluido che scorre attraverso il volume di controllo è trascurabile (cioè ile "' O, ti.e "'0), l'equazione dell'energia per un sistema a flusso stazionario ~on un iÒgresso e una uscita assume un'espressione ancora più.semplice:
Si noti che questa espressione del primo principio per volumi di controllo è simile alla relazione che esprime il primo principio per sistemi chiusi, fatta eccezione per ~ che viene sostituita da M. Soffennandosi sull'Equazione 4.21 si noti quanto segue.
Q =potenza termica scambiata tra il volume di controllo e l'ambiente.
Q è negativo se il volume di controllo cede calore (come nel caso dello scaldacqua); (adiabatico).
Q = O se il
volume di controllo è ben isolato termicamente
D.ec =( -w~ )/2. Si noti che l'energia cinetica riferita all'unità di massa si misura in m2/s2, che equivale a J/kg (Figura 4.23). Considerando che alla velocità di 45 m/s corrisponde il valore dell'energia cinetica di 1 kJ/kg soltanto, un valore piccolo se confrontato con i valori di entalpia che si incontrano in pratica, ne consegue che a basse velocità il termine energia cinetica può essere trascurato. Quando un fluido attraversa un dispositivo a flusso stazionario con velocità di ingresso pressoché eguale a quella in uscita (w 1 "' w2), la variazione dell'energia cinetica è quasi nulla indipendentemente dalla velocità. Soltanto alle alte velocità si deve fare attenzione, poiché piccole variazioni di velocità possono causare significative variazioni di energia cinetica (Figura 4.24).
ti.e
FIGURA 4.22 In regime stazionario, il lavoro d'elica e il lavoro elettrico sono le uniche forme di lavoro che un sistema compressibile semplice può comportare.
=
g(z_, - z1). Considerando che una variazione di energia potenziale pari a (kJ/kg-si ha con una differenza di quota di 102 me che la differenza di quota tra l'ingresso e l'uscita della maggior parte delle turbine e dei compressori è ben al di sotto di tale valore, si può affermare che per questi dispositivi la variazione di energia potenziale è trascurabile. La variazione di energia potenziale va presa in considerazione solo quando il processo comporta il pompaggio di un fluido ad altezze elevate con scambio di calore trascurabile.
4.3 !l!il ALCUNI DISPOSITIVI A FLUSSO STAZIONARIO Molti dispositivi, che operano praticamente alle stesse condizioni per lunghi periodi di tempo, possono essere studiati come dispositivi a flusso stazionario: per esempio, i componenti di un impianto motore a vapore (turbine, scambiatori di calore e pompe) funzionano per mesi senza sosta prima che il sistema venga fennato per manutenzione (Figura 4.25).
FIGURA 4.23 Le unità m 2/s 2 e J/kg sono equivalenti.
w, mls
"2
m/s
o
40
50 100 200 500
llO 205 502
A
67
1 Ugelli e diffusori Gli ugelli e i diffusori sono comunemente utilizzati nei motori turbogetto, nei razzi e nei veicoli spaziali: un ugello è un dispositivo che incrementa la velocità di un fluido a spese della pressione, mentre un diffusore è un dispositivo che incrementa la pressione di un fluido a spese della velocità.
FIGURA 4.24 A velocità molto alte, variazioni di velocità anche piccole possono causare significative variazioni dell'energia cinetica del fluido.
T 116 CAPITOL04 11 primo principio della termodinamica: i volumi di controllo
velocità d'ingresso. Si determini a) la portata massica dell'aria e b) la temperatura dell'aria che lascia il diffusore.
~
-'-.Ugello ..
,
~-'-
Soluzione Si consideri come sistema la regione all'interno del diffusore, il cui contorno è mostrato in Figura 4.28. Poiché l'aria attraversa il contorno, si tratta di un volume di controllo e, poiché non vi sono variazioni entro il volume di controllo osservabili nel tempo, si tratta di un sistema a flusso stazionario. Nelle condizioni indicate l'aria può essere considerata gas perfetto poiché è ad alta temperatura e bassa pressione in relazione ai suoi valori critici ( T,,, = -147°C e p" = 3390 kPa per l'azoto, principale costituente dell'aria) .
,•l
~
~ •
.
... j
- .- .• ·Diffusore--;--
~
FIGURA 4.25 I dispositivi a flusso stazionario operano in modo stazionario per lunghi periodi.
~
I
Ugello
I
-+I
~
~
I
I
-J1
Diffusore
-lI
~
'IGURA 4.26 ;chema di un ugello e di un diffusore 'er flussi subsonici.
~
11· 1
1·
1
j
I I
Ugello
l
Valvola di laminazione
I I
1i12
» w1
' Scambiatore di calore
Q""O. La potenza termica scambiata tra il fluido e l'ambiente è di solito molto piccola, anche quando tali dispositivi non sono isolati termicamente a causa principalmente delle alte velocità possedute dal fluido. Infatti, il fluido permane all'interno del dispositivo per un periodo di tempo molto breve, che non permette scambi di calore significativi. Tenendo conto di ciò, in assenza di informazioni sullo scambio termico il flusso attraverso ugelli e diffusori può essere considerato adiabatico.
L =O. La potenza è nulla poiché ugelli e diffusori sono fondamentalmente condotti rigidi opportunamente sagomati e non sono dotati né di eliche né di resistenze elettriche percorse da corrente.
~
r--
!!.e "' O. La variazione di energia potenziale può essere trascurata, essendo pic"cola o addirittura nulla la variazione di quota che il fluido subisce tra ingresso e uscita.
~ --+- Diffusore -lI I
I
I
w2
<< w1
~
!GURA 4.27 gelli e diffusori sono sagomati in modo 1 causare grandi variazioni delle velocità ;l fluido e quindi delle energie cinetiche.
RT,
(0.287)(283)
P,
80
V= - -
l!.ec *O. Le variazioni di energia cinetica devono essere considerate, poiché nel passaggio attraverso l'ugello o il diffusore il fluido subisce grandi variazioni di velocità (Figura 4.27).
I
Alcuni disposiri\ i a flusso stazionario
p 1 =80kPa,~ r, = 10°C
-
O 'tk 1• 15m g
e successivamente, mediante l'Equazione 4.5, si ha:
m. = -1 w,A, = -1- (200)(0.4) = 78.8 kg/s v,
1.015
Poiché il flusso è stazionario, la portata massica attraverso l'intero diffusore rimane costante e pari a tale valore.
b} Poiché un diffusore in generale comporta scambio di calore trascurabile (q =O), nessun lavoro d'elica o elettrico (/=O) e una piccola variazione (se esiste) di quota tra l'ingresso e l'uscita (.6.9• = O}, applicando la relazione del principio di conservazione dell'energia per un sistema a flusso stazionario a un ingresso e un'uscita riferita all'unità di massa (Equazione 4.23) si ha:
o= h. -
w:-w:
h, + - - 2 W2 - W2
O= c.Cf,-T,)+ ~ Poiché la velocità di uscita del fluido dal diffusore è di solito molto bassa in confronto alla velocità di ingresso (w2 « w,}, trascurando l'energia cinetica all'uscita e usando i calori specifici a temperatura ambiente, per la temperatura dell'aria in uscita si ha: 2
2
-w-1 =10- 0-(200)'(-1- ) T.2 = T- -w2 =29.9°C '
2c.
2x1.005
1000
Si noti che la temperatura dell'aria aumenta di circa 20°c a causa principalmente della conversione di energia cinetica in energia interna nel passaggio attraverso il diffusore.
ESEMPIO 4.1 Nel diffusore di un motore turbogetto entra in modo stazionario aria a 1o•c e 80 kPa con una velocità di 200 m/s; l'area della sezione d'ingresso del diffusore è 0.4 m2 • L'aria lascia il diffusore con una velocità molto piccola in confronto alla
2 Turbine e turbocompressori Le turbine negli impianti motori a vapore, a gas o idroelettrici, sono dispositivi atti a far ruotare il generatore elettrico: quando il fluido passa
:
ARIA
w 1 =200mlsi
A1 :0.4m
&-®-~
L'area della sezione trasversale di un ugello diminuisce nella direzione del flusso per flussi subsonici e aumenta per flussi supersonici; il contrario si verifica nei diffusori (Figura 4.26). Applicando lequazione di conservazione dell'energia agli ugelli e ai diffusori si può osservare quanto segue.
I
+
a) Per determinare la portata massica, innanzitutto occorre calcolare il volume specifico dell'aria, applicando la relazione dei gas perfetti alle condizioni d'ingresso:
117
2
I
,;,='!
~--
:
iIr., -_.,·
!-
--~
FIGURA 4.28 Schema per l'Esempio 4.1.
T 118 CAPITOL04 li primo principio della termodinamica:
i volumi di controllo
Ricavando dalla Tabella A.2a il valore del calore specifico dell'aria alla temperatura media di (400 + 280)/2 = 340 K e sostituendo le quantità note, si determina il lavoro del compressore:
attraverso la turbina viene compiuto lavoro contro le pale collegate all'asse, con il risultato che l'asse ruota e la turbina produce lavoro. Si noti che il lavoro prodotto da una turbina è positivo poiché è compiuto dal fluido. I turbocompressori, le turbopompe e i ventilatori sono dispositivi usati per aumentare la pressione di un fluido: questo effetto si ottiene fornendo lavoro attraverso un asse rotante. Si noti che il lavoro fornito a questi dispositivi è negativo perché compiuto sul fluido e che, pur funzionando in modo simile, tali dispositivi differiscono nei compiti che eseguono: un ventilatore aumenta leggermente la pressione di un gas e viene usato prevalentemente per muovere in continuazione il gas; un turbocompressore è capace di comprimere un gas a pressioni elevate; le turbopompe funzionano in modo molto simile ai turbocompressori, ma con liquidi invece che gas. Applicando lequazione di conservazione dell'energia alle turbine e ai turbocompressori si può osservare quanto segue.
Moltiplicando il lavoro fatto sull'unità di massa di aria per la portata massica si ottiene la potenza da fornire al compressore: L=ml=(0.02)(-136.8) =-2.74kW
ESEMPIO 4.3 Una turbina a gas adiabatica fornisce la potenza di 5 MW alle condizioni di ingres· so e uscita indicate in Figura 4.30. Considerando i gas che attraversano la turbina come aria, si chiede di: a) calcolare e confrontare tra loro D.h, D.e , D.e ; b) determinare il lavoro compiuto per unilà di"massa dai gas caldi; c) calcolare la portata massica dei gas.
piccola in confronto al lavoro d'elica, a meno che non ci sia un raffreddamento intenzionale (come nel caso di un turbocompressore). La potenza termica scambiata può essere stimata utilizzando valori ricavati da studi sperimentali, oppure trascurata, se non vi è raffreddamento intenzionale.
Soluzione Si scelga come sistema la regione all'interno della turbina, il cui contorno è indicato dalle linee tratteggiate in Figura 4.30. Poiché i gas attraversano il contorno, si tratta di un volume di controllo e, poiché non vi sono indicazioni di variazioni entro il volume di controllo nel tempo, si tratta di un sistema a flusso stazionario.
L *O. L rappresenta la potenza di elica fornita dalle turbine o assorbita da pompe e turbocompressori.
ti.e "' O. La variazione di energia potenziale che un fluido subisce quando scÒrre attraverso turbine, turbocompressori, ventilatori e turbopompe è di solito molto piccola e normalmente si trascura.
D.e = '
t.e.=
q-1= D.h+ ;.€, + ~
o
=c.(T
2-
T,)
w~ -w: 2
z, =IO m
2
= (180) -(50) (-1-)= 14.95 kJik 2 1000 I g
1 g(z,-z,)=(9.807)(6-10) ( --)=-0.04kJ/kg 1000
Si noti che la variazione dell'energia potenziale è insignificante in confronto alle variazioni dell'entalpia e dell'energia cinetica, che, come effetto della bassa pressione di uscita e quindi dell'alto volume specifico, la velocità del gas all'uscita della turbina è molto alta, e che la variazione dell'energia cinetica è una piccola frazione della variazione dell'entalpia tanto da essere spesso trascurata.
Un turbocompressore comprime in modo stazionario aria da 100 kPa e 280 K sino a 600 kPa e 400 K. Supponendo che la portata massica dell'aria sia 0.02 kg/s, che si verifichi una perdita di calore di 16 kJ/kg durante il processo e che le variazioni delle energie cinetica e potenziale siano trascurabili, si determini la potenza da fornire al compressore.
o
=1200K
w 1 = 50 m/s
ll.h=h2 -h, =CP (T, -T,) = (1.121)(600-1200) = -672.6kJ/kg
ESEMPIO 4.2
FIGURA 4.29 Schema per l'Esempio 4.2.
p 1 =2 MPa
T1
a) Le variazioni dell'entalpia, dell'energia cinetica e dell'energia potenziale per de· finizione sono:
t:J.ec"' O. A eccezione delle turbine, le velocità del fluido implicate sono di solito basse, tali da non causare significative variazioni dell'energia cinetica; queste ultime vengono trascurate anche nel caso di turbine, perché piccole rispetto alle variazioni di entalpia.
Soluzione Si scelga come sistema la regione interna al compressore, il cui contorno è indicato dalle linee tratteggiate in Figura 4.29. Poiché l'aria attraversa il contorno, si tratta di un volume di controllo e, poiché non vi sono variazioni entro il volume di controllo osservabili nel tempo, si tratta di un sistema a flusso stazionario. Nelle condizioni indicate l'aria può essere considerata gas perfetto, poiché è ad alta temperatura e bassa pressione rispetto ai suoi valori critici (T" = -147°C e P., = 3390 kPa per l'azoto, principale costituente dell'aria). Poiché D.ec =O e D.e =O, l'equazione di conservazione dell'energia (Equazione 4.23) per questo slstem'a a flusso stazionario a un ingresso e una uscita diventa:
Alcuni dispositi\ i a flusso stazionario
I= q-c.(T2 - T,) = (-16)- (1.007) (400- 280) = -136.8 kJ/kg
Q"'O. La potenza termica scambiata tra fluido e ambiente è generalmente
q = -16 kJ/kg
119
b) li lavoro compiuto da questo dispositivo a un ingresso e una uscita riferito all'uni· là di massa si può determinare con l'Equazione 4.23:
~-I
.,f
=D.h+D.e,+t.e.
I= - (-672.6 + 14.95 - 0.04) = 657.61 kJ/kg c) La portata massica necessaria per ottenere una potenza di 5 MW è:
. L 5000 m= - = - - =7.60kg/s I 657.61
w.,= ISO m/s z;:::: 6 m FIGURA 4.30 Schema per l'Esempio 4.3.
I
'
3 Le valvole di laminazione
120 CAPITOLO 4 Il primo principio della termodinamica: i ,·olumi di controllo
(a) Valvola regolabile
(b) Setto poroso
(e) Tubo capillare
FIGURA 4.31 Le valvole di laminazione sono dispositivi che provocano significative riduzioni della pressione del fluido.
Allo stato iniziale, il refrigerante è un liquido saturo e perciò la sua temperatura iniziale è pari alla temperatura di saturazione alla pressione iniziale, che si determina con la Tabella 4.1:
Le valvole di laminazione sono dispositivi che attraverso il brusco restringimento della sezione di passaggio del fluido provocano una significativa riduzione della pressione del fluido: per esempio, le comuni valvole di regolazione, i h1bi capillari e i setti porosi (Figura 4.31). Diversamente dalle turbine, con le valvole di laminazione si ha una riduzione di pressione senza alcuna produzione di lavoro. Poiché la riduzione di pressione del fluido è spesso accompagnata da una notevole diminuzione di temperatura, le valvole di laminazione sono comunemente usate nelle applicazioni di refrigerazione. La diminuzione di temperatura (o, talvolta, l'aumento di temperatura) durante un processo di laminazione è governata da una proprietà espressa dal coefficiente di Joule-Thomson. Le valvole di laminazione di solito per le loro ridotte dimensioni possono essere considerate adiabatiche (q"' 0), poiché non vi sono né tempo né superfici di scambio sufficienti a far avvenire significativi scambi di calore; inoltre non scambiano lavoro (I= 0) e la variazione dell'energia potenziale, se esiste, è molto piccola (ti.e "' 0); infine, anche se la velocità in uscita spesso è considerevolmente più afta della velocità in ingresso, in molti casi la variazione di energia cinetica è insignificante (ti.e."' 0). Da quanto precede, l'equazione di conservazione dell'energia per le valvole di laminazione considerate come dispositivi a flusso stazionario a un ingresso e una uscita diventa: -·~1i;.:iz;~{ìikg) -~--
.
T, =
u1 +p1v1
La variazione di temperatura del refrigerante durante il processo di laminazione è: il T = T2 -
T, = -22.36 -
31.33 = -53.69°C
Si osservi che, durante questo processo di laminazione, la temperatura del refrigerante diminuisce di 53.69°C; circa un terzo di esso evapora e l'energia necessaria per l'evaporazione è fornita dal refrigerante stesso.
4a Le camere di miscelazione La camera di miscelazione è un dispositivo o una semplice sezione in cui avviene il mescolamento di due o più correnti fluide: per esempio, un raccordo a T o a Y in una doccia funziona come camera di miscelazione per i flussi di acqua calda e fredda (Figura 4.33). Per il principio di conservazione della massa nel caso di camere di miscelazione la somma delle portate-massiche in entrata deve essere eguale alla portata massica della miscela in uscita. Per le camere di miscelazione - che di solito sono ben isolate termicamente (q"' 0) e non comportano alcun tipo di lavoro (/=O) - verificandosi anche che le energie cinetica e potenziale dei fluidi di solito sono trascurabili (ee "' O, e. "' 0), applicando !'equazione che esprime il principio di conservazione dell'energia (Equazione 4.19) si ha che l'energia totale dei flussi in entrata deve essere eguale ali' energia totale della miscela in uscita. In questo caso l'equazione di conservazione dell'energia diventa analoga ali' equazione di conservazione della massa.
-
.
=u2 +p2v2
energia interna + energia di pulsione = costante
Si osservi che, se durante il processo di laminazione il lavoro di pulsione aumenta (p 2 V2 > p 1V 1), l'incremento avviene a spese dell'energia interna, la cui diminuzione produce un abbassamento di temperatura; al contrario, se durante il processo di laminazione il lavoro di pulsione diminuisce, l'energia interna aumenta con conseguente aumento della temperatura del fluido. Quanto detto vale per i gas reali, perché nel caso di gas perfetto, essendo h h(T), la temperatura rimane costante durante il processo di laminazione (Figura 4.32).
P, MPa 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 0.24 0.28 0.32 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.2
~at'oc -26.43 -22.36 -18.80 -15.62 -12.73 -10.09 -5.37 -1.23 2.48 8.93 15.74 21.58 26.72 31.33 35.53 39.39 46.32
ESEMPIO 4.5 Si consideri una doccia in cui acqua calda a 60°C sia miscelata con acqua fredda a 10°C. Si determini il rapporto tra le portate massiche dell'acqua calda e freqda nel caso in cui si desideri un flusso stazionario di acqua tiepida a 40°C. Si assuma che le perdite di calore dalla camera di miscelazione siano trascurabili e la miscela abbia luogo alla pressione di 140 kPa.
ESEMPIO 4.4
'IGURA 4.32 .a temperatura di un gas perfetto .on cambia durante un processo :; laminazione (h =costante), ·oiché h = h(T).
TABELLA 4.1 Temperatura di saturazione a varie pressioni del refrigerante R-134a
T2 = T,.,co.12MPo = -22.36oC
=
Valvola di laminazione
Alcuni disposith i a flusso stazionario
r..,co.BMP• = 31.33°C
La temperatura del refrigerante in uscita è pari alla temperatura di saturazione alla pressione in uscita, poiché esso allo stato finale consiste di una miscela satura:
Da questa equazione si ottiene che i valori di entalpia all'ingresso e all'uscita di una valvola di laminazione sono gli stessi. L'Equazione 4.27 può anche essere scritta nella forma seguente:
o
121 ~
Soluzione
Il refrigerante R· 134a entra nel tubo capillare di un frigorifero come liquido saturo alla pressione di 0.8 MPa e viene laminato uscendo alla pressione di 0.12 MPa. Parte del refrigerante evapora durante tale processo e allo stato finale esso consiste di una miscela satura liquido-vapore. Si determini la riduzione di temperatura del refrigerante durante tale processo.
--
Acqua fredda
Si consideri come sistema la camera di miscelazione, il cui contorno
è indicato dalle linee tratteggiate in Figura 4.34. Poiché l'acqua attraversa il contor-
no, si tratta di un volume di controllo e, poiché non vi sono indicazioni di variazioni entro il volume di controllo nel tempo, si tratta di un sistema a flusso stazionario. L'equazione di conservazione della massa (Equazione 4.14) per questo siste· ma a flusso stazionario a ingressi multipli è:
Soluzione Poiché il flusso attraverso un tubo capillare subisce un processo di laminazione, l'entalpia del refrigerante in uscita avrà lo stesso valore che aveva in ingresso.
o {
\
I.m.=I.m. m,+m, =m,
Acqua calda
FIGURA 4.33 Un raccordo a T di una doccia funziona come camera di miscelazione per i flussi di acqua fredda e calda.
122 ··'""""'""'~ CAPITOL04
Poiché nessuna potenza sotto forma di calore o lavoro viene scambiata attraverso (O =O , i. = O ) e le energie cinetica e potenziale possono essere con· siderale trascurabili (e.= O, e.= O), l'equazione di conservazione dell'energia per questo sistema a flusso stazionario è:
il contorno
li primo principio della termodinamica: i \'Olumi di controllo
T, = 60°c
\~
1Elr1
T3 = 4o•c
T 2 = 10°c
m2
m3
m,h, + m2 h2 = m,h,
o
m,h, +m,h,
Dividendo questa equazione per
FIGURA 4.34
=
msi ottiene 2
Per il principio di conservazione della massa in uno scambiatore di calore in regime stazionario la somma delle portate massiche entranti deve eguagliare la somma delle portate massiche uscenti, vale a dire: in condizioni stazionarie, la portata massica di ogni corrente fluida che scorre attraverso uno scambiatore di calore rimane costante. In generale gli scambiatori di calore comportano variazioni di energia cinetica e potenziale trascurabili (l1e, = O, t1e = 0) per ciascuna delle dl!e correnti fluide e nessuno scambio di lavoro (I!:: 0), mentre la potenza termica trasmessa dipende dalla scelta del volume di controllo. In ogni caso per massimizzare la potenza termica scambiata tra i due fluidi va minimizzata la dispersione termica verso l'ambiente, isolando termicamente il mantello. Scegliendo l'intero scambiatore di calore come volume di controllo, Q diventa nulla, poiché il contorno si trova proprio al di sotto dell'isolamento termico, che impedisce ogni scambio termico (Figura 4.36). Se, invece, come volume di controllo viene scelta la regione in cui scorre un solo fluido, il calore attraverserà il contorno trasferendosi da un fluido ali' altro e Q non è più pari a zero; infatti, in questo caso Q è la potenza termica che si trasmette tra i due fluidi.
yh,+h,=(y+1)h,
Schema per l'Esempio 4.5.
f~=rvi
y= m, I m. è il rapporto tra le portate massiche richiesto. Risolvendo rispetto
dove ay,siha
h, -h, Y=-h,-h,
Fluido A
--+
[,
e, assumendo i calori specifici per l'acqua costanti, si ottiene:
Calore
'
123 Alcuni disposith i a flusso stazionario
J-- Fluido A
----~~-i
FIGURA 4.36 In uno scambiatore di calore lo scambio
termico può essere uguale a zero
y-
c,(T,-T,) T,-T, (40-10) ---=---=1.5 e, (T,-T,) T,-T3 (60-40)
La portata massica dell'acqua calda deve essere 1.5 volte la portata massica del· l'acqua fredda perché la miscela esca a 40°C. Fluido B
1o•c
I\' I . I \~::.' ì~ f, ., Calore'.
5 o•c
. • . .. . •. ·
· Fluido A
3s•c FIGURA 4.35 Uno scambiatore di calore nella forma più semplice è fatto da due rubi concentrici di differente diametro.
4b Gli scambiatori di calore Gli scambiatori di calore sono dispositivi in cui due fluidi in movimento scambiano calore senza mescolarsi. Le camere di miscelazione, di cui si è appena detto, talvolta sono classificate come scambiatori di calore a contatto diretto. La configurazione più semplice è costituita dallo scambiatore di calore a tubi coassiali (detto anche a tubo e mantello), mostrato in Figura 4.35. Esso è composto da due tubi concentrici di differente diametro: tra i fluidi, che scorrono uno nel tubo interno (a volte il tubo interno fa un paio di giri all'interno del mantello per incrementare la superficie di scambio termico e quindi la potenza termica trasmessa) e laltro nello spazio anulare tra i due tubi, si ha scambio di calore attraverso la parete di separazione.
(a) Sislema: intero scambiatore di calore (Q ve= 0)
(b) SiSlerna: fluido A CQvc ;o 0)
ESEMPIO 4.6 In uno scambiatore di calore olio lubrificante viene raffreddato con acqua; l'olio entra a 70°C con una portata massica di 0.1 kg/s a 1 MPa ed esce a 35°C. L'acqua di raffreddamento entra a 300 kPa e 1s•c ed esce a 25°C. Si determinino a) la portata massica dell'acqua di raffreddamento e b) la potenza termica trasmessa dall'olio lubrific~nte all'acqua. Soluzione Non vi è lavoro scambiato al contorno e le energie cinetica e potenziale si possono considerare trascurabili. a) Per determinare la portata massica dell'acqua conviene assumere come volu· me di controllo l'intero scambiatore di calore, come mostrato in Figura 4.37, poiché in tal modo le equazioni comporteranno una sola incognita: la portata massica. Il principio di conservazione della massa richiede che la portata massica di ogni corrente fluida rimanga costante:
m, = rh2 = ma.equa ma = m4 = molio
o diverso da zero a seconda del modo in cui viene individuato il sistema.
l24 'APITOLO 4 I primo principio della termodinamica: \'Olumi di controllo
Poiché gli scambiatori di calore di solito sono ben isolati termicamente e il contorno del volume di controllo scelto si trova proprio al di sotto dell'isolamento termico, non essendoci scambio di calore attraverso il contorno l'equazione di conservazione dell'energia diventa:
.o .o jf' -r,.;r =I.rii.
/.
[
o
h +-..!!.. +,a(, u2 o u
Iril.h.
o
l[ l - I.rii.
h /{ (I
2o
+,gf_
o
fl
=Iril.h.
maequa h1 +mollo ~ = macqua h2 + rholio h4
.
h.-h, .
m,"'"" =---m,., 25°C
IGURA 4.37 :hema per l'Esempio 4.6.
h,-h,
Assumendo i calori specifici sia per l'olio sia per l'acqua costanti e pari ai loro valori alla temperatura media, la portata massica dell'acqua è: •
m"".,=
CP·"'° (T3
-
T,) .
cp,...,..(T, - 7;)
m~~=
(2.016)(70 -35) (4.18)(25-15)
(6)
= 10.1 kg/min = 0.17 kg/s
,.,110
,,.,,o
o
0-,L =ril""""(tJ.h+..ere, +P
=(0.17) (4.18) (25-15) =7.11 kW
Se il volume di controllo comprende un elemento scaldante (resistenza elettrica), un ventilatore o una turbopompa, si deve considerare la potenza scambiata (trascurabile nel caso di ventilatore) (Figura 4.40); se il volume di controllo non comprende alcuno di questi dispositivi, la potenza scambiata è nulla.
!!e
Ambiente 20°C
~
I
'
-fl
10°c Fluido caldo
Ì 1
TI
L------------------~
FIGURA 4.39 Le perdite di calore da un fluido caldo, che scorre attraverso una tubazione o un condotto non isolato termicamente, verso l'ambiente più freddo possono essere notevoli.
=O. Le velocità dei fluidi in tubazioni e condotti sono relativamente
b~se e le variazioni di energia cinetica di solito sono insignificanti; ciò è
b) Per determinare la potenza termica scambiata tra l'olio e l'acqua, bisogna scegliere un volume di controllo il cui contorno comprende la superficie di scambio termico tra i due flussi, poiché il calore viene riconosciuto quando attraversa il contorno. Come volume di controllo, si può scegliere il volume occupato dall'uno o dall'altro fluido: scegliendo il volume occupato dall'acqua, tutte le ipotesi stabilite in precedenza restano valide, tranne che il flusso di calore non è più nullo. L'equazione di conservazione dell'energia (Equazione 4.21) per questo sistema a flusso stazionario a un ingresso e una uscita diventa: •
Q '#O. In condizioni operative normali, la quantità di calore guadagnato o perso dal fluido può essere notevole, particolarmente se la tubazione o il condotto è lungo (Figura 4.39). Alcune volte lo scambio termico è un effetto utile, come accade nel caso del flusso d'acqua attraverso le tubazioni ali' interno di una caldaia, del flusso del refrigerante in un congelatore e del flusso negli scambiatori di calore. Altre volte, lo scambio termico non è utile, per cui le tubazioni o i condotti vengono isolati termicamente con particolare cura per grandi differenze di temperatura tra fluido e ambiente. L '# O.
e risolvendo rispetto a rii...,.. si ha:
@
Studiando il flusso attraverso tubazioni e condotti conviene tener presente quanto segue.
- 7;)
Se si fosse scelto come volume di controllo il volume occupato dall'olio (Figura 4.38), si sarebbe ottenuto lo stesso risultato con il segno opposto, poiché la quantità di calore guadagnato dall'acqua è uguale a quella persa dall'olio.
5 Il flusso in tubazioni e condotti Il flusso di liquidi o gas in tubazioni e condotti di solito soddisfa le condizioni di flusso stazionario e perciò, escludendo i transitori iniziale e finale, può essere studiato come un processo a flusso stazionario. Il volume di controllo va scelto in modo tale da avere come contorno la superficie interna della porzione di tubazione o di condotto che interessa analizzare.
particolarmente vero quando il diametro della tubazione o del condotto è costante e gli scambi termici trascurabili. Tuttavia le variazioni dell 'energia cinetica possono essere significative per flussi di gas in condotti con aree delle sezioni trasversali variabili.
*
!!e O. Nelle tubazioni e nei condotti, il fluido può essere sottoposto a una cohsiderevole variazione di quota e, quindi, subire una variazione notevole dell'energia potenziale, in particolare nel caso di flusso attraverso tubazioni e condotti isolati termicamente nei quali la trasmissione di calore non è predominante sugli altri effetti.
FIGURA 4.40 li flusso in una tubazione o un condotto può comportare più di una forma di lavoro allo stesso tempo.
ESEMPIO 4.7 Un sistema elettrico di riscaldamento è costituito da un condotto in cui passa l'aria che viene riscaldata da una resistenza elettrica della potenza di 15 kW. Se la portata volumetrica dell'aria a 100 kPa e 17°C è 2.5 m•/s, si determini la temperatura dell'aria In uscita, supponendo che nel passaggio attraverso il condotto si abbiano dispersioni termiche quantificabili in 200 W. Soluzione Si scelga come volume di controllo la sezione scaldante del condotto, come mostrato in Figura 4.41. Trascurando le variazioni di energia cinetica e potenziale, l'equazione di conservazione dell'energia per questo sistema a flusso stazionario a un ingresso e un'uscita diventa:
à-i=ril (tJ.h+ ~
o
o
Q=-20~_'::'__ I
t__ __ ,
1
I
T2 =?
I
I I I
II :I r, =11°c
Lc 1=-15kW
: p,= IOOkPa
l----i----
+µ;, )
v, =2.5 m /s 3
=ril(h,-h,) Poiché l'aria può essere considerata come un gas perfetto essendo ad alta temperatura e a bassa pressione in relazione ai suol valori critici (T., -147°C e P.,
=
=
FIGURA 4.41 Schema per l'Esempio 4. 7.
T 126
3390 kPa per l'azoto, principale costituente dell'aria), il volume specifico dell'aria in ingresso è:
CAPITOL04 li primo principio della termodinamica: i \'olumi di controllo
V,=
RT, p,
1.27 Somm:.1d11
3/
(0.287)(290) - - - - =0.832 m kg 100
La portata massica dellaria attraverso il condotto è:
ARIA da-20 a 70°C M
=J.00511.T (kJ/kg)
FIGURA 4.42 Nel calcolo di 6h
\i.
2.5
.
=...! =- =3.0 kg/s v, 0.832
Poiché alla temperatura che normalmente si ha nei sistemi di riscaldamento e di condizionamento dell'aria si può ritenere, con un errore trascurabile, Ll.h = c,t:i. T, dove e•= 1.005 kJ/(kg · °C) (valore alla temperatura ambiente) (Figura 4.42), l'equazione dell'energia diventa: à-l=mc.(T,-T,)
=
c,t:i.T, con c, 1.005 kJ/(kg · 0 C), si commette un errore inferiore allo 0.5 per cento per un intervallo di temperatura deJr aria da -20 a 70°C.
=
rii
Sostituendo i valori noti, si ha che la temperatura dell'aria in uscita è data da:
per ogni ingresso
per ognì uscita
dove il pedice e sta per entrante e il pedice 11 per uscente. Queste sono le espressioni più generali delle equazioni per i processi a flusso stazionario. Per i sistemi a un ingresso e un'uscita, quali ugelli, diffusori, turbine, turbocompressori e turbopompe, esse si semplificano:
--0.2 - (-15) = (3) (1.005) (T,-17)
m1 = rhi
r.= 21.9°C
da cui
(kg/s)
o
4.4 ~ SOMMARIO In questo capitolo si sono studiati i principi di conservazione della massa e di conservazione dell'energia per i volumi di controllo. Poiché la massa trasporta con sé energia, il contenuto di energia varia al passaggio di materia attraverso un volume di controllo: La massa che attraversa una sezione trasversale riferita all'unità di tempo è detta portata massica e, indicata con è espressa dalla relazione:
e
(W) w2-w2
q-1 =li;. -h1 +~+ g (::: 2 -z1)
m,
m= pwmedA
(kg/s)
dove p =densità, kg/m3 (= 1/v); wmcd= velocità media del fluido nella direzione normale ad A, mls; A area della sezione trasversale normale alla direzione del flusso, m2•
o dove
=
e Il volume del fluido che scorre attraverso la sezione trasversale riferito all'unità di tempo è detto portata volumetrica V ed è dato dalla relazione:
V=
L
w.dA = wmedA
(m3/s)
Le portate massica e volumetrica sono correlate tra loro dalla relazione:
. v
m=pV=-
v
I processi termodinamici studiati con l'impiego dei volumi di controllo possono essere suddivisi in due gruppi: processi a flusso stazionario e pro-
(J/kg)
q-l=(M+D.ec+D.eP) (J/kg) q
=.f!-m i
/=-
m
(calore scambiato per unità di massa, J/kg) (lavoro scambiato per unità di massa, J/kg)
Nelle relazioni precedenti i pedici 1 e 2 indicano rispettivamente la sezione di ingresso e quella di uscita. Il processo a flusso stazionario permette di studiare il flusso attraverso ugelli, diffusori, turbine, turbocompressori, ventilatori, turbopompe, tubazioni, valvole di laminazione, camere di miscelazione e scambiatori di calore.
Il secondo
principio della terlllodinamica In questo capitolo si studierà il secondo principio della tennodinamica, il quale affenna che le trasfonnazioni procedono secondo un certo verso e che lenergia ha qualità oltre che quantità. Perché una trasfonnazione possa avere luogo, è necessario che siano soddisfatti entrambi i principi della tennodinamica. Partendo dalla definizione dei concetti di riserve di calore, di reversibilità e irreversibilità delle trasfonnazioni, si passerà alla descrizione dei motori tennici, dei refrigeratori e delle pompe di calore. Ai diversi enunciati del secondo principio della tennodinamica seguirà la presentazione delle macchine a moto perpetuo e della scala tennodinamica assoluta di temperatura. In seguito verranno trattati il ciclo e i teoremi di Camot, per finire con i motori termici, le macchine frigorifere e le pompe di calore ideali a ciclo di. Camot.
130
5.1
CAPITOLOS Il secondo principio della termodinamica
FIGURA 5.1 Una tazza di caffè caldo non si riscalda in un ambiente più freddo. Calore
'1=0
~ FIGURA5.2
La fornitura di calore a un cavo elettrico non provoca la produzione di tensione ai suoi capi.
,
Calore
FIGURA 5.3 La fornitura di calore a un'elica
non ne causa la rotazione.
FIGURA5.4 Le trasformazioni avvengono spontaneamente secondo un certo verso e non secondo quello opposto.
~J
INTRODUZIONE AL SECONDO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA
Il primo principio della tennodinamica affenna che l'energia è una grandezza che si conserva (cioè si mantiene complessivamente costante). Poiché esso non è mai stato contraddetto dall'esperienza, perché una trasformazione possa avvenire deve essere necessariamente verificato. Tuttavia la soddisfazione del primo principio di per sé non assicura che la trasfonnazione avvenga realmente. È esperienza comune che una tazza di caffè caldo lasciata in un ambiente più freddo finisce per raffreddarsi (Figura 5.1): questa trasfonnazione soddisfa il primo principio della tennodinamica dal momento che la quantità di energia persa dal caffè eguaglia quella ricevuta dall'aria circostante. Analogamente, è esperienza comune che non si verifica mai il processo inverso, cioè quello del riscaldamento della stessa tazza di caffè caldo in un ambiente più freddo per trasferimento spontaneo di una certa quantità di calore dal!' aria al caffè. Eppure, anche questa trasfonnazione non violerebbe il primo principio della tennodinarnica se la quantità di energia persa dall'aria dell'ambiente fosse pari a quella ricevuta dal caffè. Per fare riferimento ancora una volta a un esempio di vita comune, si consideri il riscaldamento di un ambiente ottenuto tramite una stufa a resistenza elettrica (Figura 5.2): per il primo principio della tennodinamica si ha che la quantità di energia elettrica fornita ai capi della resistenza è uguale alla quantità di energia ceduta sotto fonna di calore all'ambiente. Si cerchi, ora, di invertire questa trasfonnazione, fornendo calore alla stufa elettrica: come tutti sanno, non si provoca la generazione di una pari quantità di energia elettrica ai morsetti della resistenza, anche se ciò non è in contrasto con il primo principio della tennodinamica. Si consideri.infine, un'elica che, mossa dalla caduta di un grave (Figura 5.3), produce il mescolamento del fluido all'interno di un contenitore isolato termicamente. Come risultato della trasfonnazione si ha che l'energia potenziale del grave diminuisce, mentre, in accordo con il principio di conservazione dell'energia, l'energia interna del fluido aumenta. Il processo inverso, cioè quello di sollevare il grave trasferendo calore dal fluido all'elica, non avviene spontaneamente in natura, anche se in accordo con il primo principio della tennodinamica. Per quanto detto risulta chiaro che le trasfonnazioni avvengono secondo un certo verso e non in quello opposto (Figura 5.4). Poiché il primo principio della tennodinamica non pone alcuna restrizione al verso di una trasfonnazione e la sua soddisfazione non assicura che la trasfonnazione avvenga nella realtà, si sopperisce a questa inadeguatezza con un nuovo principio generale, il secondo principio della termodinamica. Come sarà più evidente in seguito, le trasfonnazioni inverse di cui si è detto in precedenza non possono avvenire perché violano il secondo principio della tennodinamica. Si può, quindi, affennare che una trasfonnazione può av-
venire soltanto se soddisfa contemporaneamente il primo e il secondo principio della termodinamica (Figura 5.5).
Il secondo principio della tennodinamica non si limita alla sola individuazione del verso di una trasfonnazione, ma fornisce i mezzi necessari per detenninare la qualità dell'energia e per quantificarne il degrado a seguito
di una trasfonnazione, pennettendo inoltre di detenninare i limiti teorici per la prestazione dei dispositivi di trasfonnazione dell'energia, come i motori tennici e le macchine frigorifere, e di predire il grado di completamento delle reazioni chimiche.
131 I motori termid 0
I principio 2° principio
5.2
~
o " ~ .,/' __,.,/_ '\./v
I SERBATOI DI ENERGIA TERMICA
TRASFORMAZIONE
Per affrontare lo studio del secondo principio della tennodinamica è utile definire il serbatoio di energia termica o serbatoio di calore, come un corpo di capacità termica (massa x calore specifico) relativamente grande in grado di fornire o assorbire una qualsiasi quantità finita di calore senza subire alcuna variazione di temperatura. In pratica, gli oceani, i laghi, i fiumi e la stessa atmosfera possono essere considerati serbatoi di calore a causa della loro enorme capacità di immagazzinamento di energia termica (Figura 5.6). Si noti che l'atmosfera nel suo complesso non si riscalda per effetto delle perdite di calore degli edifici residenziali in inverno e che i cascami di energia smaltiti nei grandi fiumi dagli impianti di potenza non causano variazioni apprezzabili della temperatura dell'acqua. Anche un sistema bifase può essere considerato come serbatoio di calore, dal momento che esso può immagazzinare e rilasciare grandi quantità di calore rimanendo rigorosamente a temperatura costante. Per essere considerato un serbatoio di calore, un corpo non deve essere necessariamente di grandi dimensioni, ma è sufficiente che la sua capacità tennica sia grande in relazione alle quantità di energia che esso fornisce o assorbe: per esempio, laria contenuta in una stanza può essere considerata un serbatoio di calore quando si stimano le dispersioni termiche di un televisore posto al suo interno, dal momento che lo scambio termico tra I' apparecchio televisivo e l'aria ambiente non provoca apprezzabili variazioni della sua temperatura. I serbatoi di calore che forniscono energia sotto fonna di calore sono anche detti sorgenti, mentre quelli che lo assorbono sono detti pozzi (Figura 5.7).
FIGURA 5.5 Una trasformazione può avvenire solo se soddisfa il primo e il secondo principio della termodinamica.
ATMOSFERA
FIGURA 5.6 Corpi di capacità termica relativamente grande possono essere considerati serbatoi di energia termica. SORGENTE
di energia tennica .. lt:ALORE
/'CALORE
5.3 ~ I MOTORI TERMICI
POZZO
...;~~ca
Come precedentemente detto, il lavoro può essere facilme~te convertito i~ altre forme di energia, ma, al contrario, la conversione dt altre forme dt energia in lavoro non è spontanea né tanto meno semplice: per esempio, il lavoro d'elica, come rappresentato in Figura 5.8, convertito dapprima in Lavoro
FIGURA 5.7 Una sorgente termica fornisce energia sotto forma di calore, mentre un pozzo la assorbe.
Nessun lavoro
I
I I
I
I
I I
ACQUA .I ________
I
Calore
I
I I
ACQUA .I ________
FIGURA 5.8 Il lavoro può essere interamente convertito in calore; non è vero il contrario.
132
energia interna dell'acqua, finisce per essere ceduto sotto forma di calore all'ambiente circostante. Poiché è impossibile invertire questo processo, vale a dire far ruotare l'elica fornendo calore all'acqua, si può osservare che il lavoro può essere trasformato completamente in calore, mentre, per convertire il calore in lavoro c'è bisogno di dispositivi appositamente progettati, detti motori termici. I motori termici differiscono considerevolmente l'uno dall'altro per particolarità costruttive e per modalità di funzionamento, ma tutti sono caratterizzati dal fatto che (Figura 5.9):
CAPITOLOS Il secondo principio della termodinamica SORGENTE ad alta temperatura
1 ricevono calore da una sorgente ad alta temperatura (collettori solari, bruciatori alimentati da combustibili fossili, reattori nucleari ecc.); 2 convertono parte di questo calore in lavoro (principalmente sotto forma di rotazione di un albero); 3 cedono la parte rimanente di calore ricevuta a un pozzo a bassa temperatura (l'atmosfera, i fiumi ecc.); 4 funzionano secondo un ciclo.
Q,
POZZO a bassa temperaturn ..: ··~~/
'IGURA 5.9
·arie del calore fornito a un motore :rmico viene convertita in lavoro; 1 parte restante viene scaricata erso un pozzo.
I motori termici e gli altri dispositivi ciclici di solito sfruttano un fluido, detto fluido evolvente, al quale e dal quale il calore viene trasferito per il compimento del ciclo termodinamico. In un senso più ampio con la dizione motori termici vengono indicati anche dispositivi per la produzione di lavoro che non sfruttano un ciclo termodinamico: per esempio, i motori nei quali si verifica una combustione interna come le turbine a gas o i motori alternativi. Questi dispositivi funzionano secondo un ciclo meccanico e non secondo un ciclo termodinamico, dal momento che il fluido evolvente (i gas di combustione) viene espulso e sostituito da una nuova carica di miscela aria-combustibile alla fine del ciclo, invece che essere raffreddato fino a raggiungere la temperatura di ingresso nel ciclo.
Sorgente di energia
(_bruciatore).
Il sistema di produzione di lavoro che meglio si adatta alla definizione di motore termico è limpianto motore a vapore. Come mostrato nello schema semplificato di Figura 5.10, in un impianto a vapore l'energia termica sviluppata dal processo di combustione viene trasferita al fluido evolvente sotto forma di calore. Per una migliore comprensione dello schema si riportano di seguito i significati dei simboli rappresentati nella Figura 5.10:
133 I motori t('rmki
Q =
quantità di calore fornita al fluido evolvente in caldaia da una sorgente ad alta temperatura (bruciatore); Qu quantità di calore ceduta dal vapore nel condensatore a un pozzo a bassa temperatura (atmosfera, fiume ecc.); L quantità di lavoro fornita dall'espansione del vapore in turbina; = quantità di lavoro richiesta per portare lacqua alla pressione di regime della caldaia.
'
=
L:
Si noti che i versi dello scambio di calore e lavoro sono indicati dai pedici e e u; pertanto, tutte e quattro le quantità appena descritte sono po-
FIGURA 5.11
Una parte del lavoro prodotto da un motore termico viene utilizzata all'interno del motore stesso per assicurarne il funzionamento continuo.
sitive. Il lavoro netto fornito da questo impianto è semplicemente la differenza tra il lavoro totale ottenuto e quello fornito (Figura 5.11):
'(5.1) Il lavoro netto può essere calcolato anche come differenza tra le quantità di calore assorbita e ceduta. Infatti, i quattro componenti dell'impianto motore a vapore, che, considerati singolarmente, sono sistemi aperti perché includono flussi di massa in ingresso e in uscita, nel loro complesso, collegati tra loro per mezzo di opportune tubazioni, possono essere considerati come un unico sistema chiuso, che contiene sempre lo stesso fluido (trascurando le perdite di vapore per la non perfetta tenuta), Figura 5.11. Poiché per un sistema chiuso, funzionante secondo un ciclo termodinamico, la variazione di energia interna llU è pari a zero, il lavoro netto in uscita dal sistema è anche uguale alla differenza tra le quantità di calore in ingresso e in uscita dal sistema stesso:
SORGENTE
Calore fornito IOOkJ IOOkJ
/9ntomo del sistema
Q, Caldaia
Rendimento termico
FIGURA 5.10
ichema di un impianto motore a vapore per la produzione di energia.
. . Pozzo di energia
.
~
Poiché nell'Equazione 5.2 Q. rappresenta la quantità di calore di scarico, che permette di completare il ciclo, ed essa è sempre diversa da zero, il lavoro netto fornito da un motore termico è sempre inferiore alla quantità di calore fornita al sistema: soltanto una parte del calore fornito al motore termico viene convertito in lavoro. Si può, quindi, qualificare lefficienza di un motore termico attraverso il rendimento tennico 771, definito come il rapporto tra il lavoro netto ottenuto e la qUl!ntità di calore assorbita (Figura 5.12). L'efficienza o il rendimento, come concetti generali, possono essere espressi in termini di effetto utile rapportato alle risorse impiegate (Figura 5.13), con la relazione:
FIGURA 5.12
Alcuni motori termici hanno prestazioni migliori di altri (trasformano una parte più consistente del calore fornito in lavoro).
----------------------------------------------~~~-~~,----~-~~~----
r '
134 i'i' '*!5il CAPITOLO 5 Il secondo principio della termodinamica
efficienza= energia ottenuta energia fornita
(5.3)
Poiché per i motori termici leffetto utile è costituito dal lavoro netto ottenuto e le risorse impiegate sono rappresentate dalla quantità di calore ceduta al fluido evolvente, il rendimento termico di un motore termico può essere espresso con la relazione:
circa il 20 per cento dell'energia chimica contenuta nella benzina; il rendimento termico sale al 30 per cento per i motori Diesel e per le grandi turbine a gas; arriva sino al 40 per grandi impianti a vapore. Si noti che, anche con il più efficiente dei motori termici attualmente disponibile, più della metà del calore fornito finisce nei fiumi, nei laghi o nell'atmosfera come energia di scarico oramai non più utilizzabile (Figura 5.15).
È possibile ridurre il calore scaricato nell'ambiente? o anche, dal momento che Ln," = Q, - Q•• con la relazione:
FIGURA 5.13 La definizione di efficienza non si limita al campo della termodinamica.
I motori termici, le macchine frigorifere e le pompe di calore sono apparecchiature di interesse pratico che funzionano secondo un ciclo e lavorano con scambi di energia tra una sorgente a temperatura T e un pozzo a teI?peratur~ T;; Se si definiscono le seguenti quantità positi~e da impiegarsi m relaz1om che tengono conto del verso dello scambio termico:
Q, = entità della quantità di calore scambiata tra il dispositivo ciclico e la sorgente ad alta temperatura T; Q1 = entità della quantità di calore ;cambiata tra il dispositivo ciclico e il pozzo a bassa temperatura J;; il lavoro netto fornito e il rendimento tefmico del motore termico (schematizzato in Figura 5.14) possono essere espressi dalle relazioni:
Serbatoio di energia tennica ad alta temperatura
Poiché in un impianto motore a vapore il componente deputato allo smaltimento del calore di scarico verso il pozzo termico è il condensatore, si potrebbe pensare di risparmiare tutta lenergia di scarico eliminando il condensatore stesso. Purtroppo ciò non è possibile per il semplice motivo che, in assenza del raffreddamento del fluido evolvente, processo di pertinenza del condensatore, il ciclo non può essere portato a termine (le apparecchiature cicliche come gli impianti a vapore non possono essere fatte funzionare continuativamente senza che si completi il loro ciclo di lavoro). Infatti, si consideri un semplice motore termico usato per sollevare alcuni pesi (Figura 5.16), costituito da un pistone che scorre in ur. cilindro dotato di due risalti di fine-corsa. Il fluido evolvente sia costituito dal gas contenuto nel cilindro e inizialmente la temperatura sia di 30°C. Il pistone, caricato con i pesi, sia appoggiato sul risalto di fine-corsa situato più in basso. A questo punto, si forniscano al gas 100 kJ di energia sotto forma di calore attinto da una sorgente alla temperatura di 100°C provocando l'espansione del gas e il sollevamento dei pesi situati sul pistone fino al risalto superiore di fine-corsa. Alla rimozione dei pesi si proceda alla misura della temperatura del gas ottenendo un valore di 90°C. Poiché il lavoro fatto sui pesi durante il processo di espansione è uguale all'aumento della loro energia potenziale, 15 kJ, anche in condizioni ideali (pistone di peso trascurabile, assenza di attrito e di perdite di calore ed espansione in condizioni di quasiequilibrio) il calore fornito è superiore al lavoro fatto dal momento che parte del primo è servito a innalzare la temperatura del gas.
135 I motori termid
L11 • 11 ==40MJ ;,_.>-+---~"'->
.·· Atmosfera ~~~~--=~···">'
FIGURA 5.15 Anche il motore termico più efficiente scarica la maggior parte del calore fornitogli verso il pozzo. senza utilizzarlo.
-Cl5kJ)
._;, ..~rbatoio ai energia
~~Z°Jw':/ FIGURA 5.14 Schema di un motore termico.
Si noti che il rendimento di un motore termico è sempre minore dell'unità dato che sia Q, sia Q, sono per definizione quantità positive. Il rendimento termico è una misura dell'efficienza con la quale un motore termico riesce a convertire lenergia fornitagli sotto forma di calore in lavoro, che è lo scopo per cui viene realizzato. Convertire la massima frazione possibile di energia termica in lavoro significa migliorare il rendimento dei motori termici, con il risultato di avere un minor consumo di combustibile e, quindi, costi di esercizio inferiori. I rendimenti termici dei motori termici sono, però, sorprendentemente bassi: per esempio, motori ordinari ad accensione comandata per autovettura hanno rendimenti termici che si aggirano attorno al 20 per cento, che vuol dire che un motore per autovettura converte in lavoro utile, in media,
GAS
GAS
30'C
30'C
Calore in entrata Serbatoio . calore (I 00 kJ) ~~.,r
Calore in entrata (85kJ)
,«~~:lo1i,· _,:
FIGURA 5.16 Un ciclo di un motore termico non può completarsi senza che una parte del calore ricevuto venga scaricata verso un pozzo.
1 136 Bi&&? CAPITOL05 Il secondo principio della termodinamica 31§f
s
BRUCIATORE
FIUME
'
IGURA 5.17 chema per l'Esempio 5. l.
Per fornire questa potenza termica, la portata di combustibile necessaria è di: . m comb
Il secondo principio della termodinamica: l'enunciato di Kelvin-Planck Con riferimento al generico motore termico in Figura 5.16, in precedenza si è dimostrato che, anche in condizioni ideali, per completare il suo ciclo termodinamico, esso deve scaricare in un pozzo una parte dell'energia fornitagli; il motore, quindi, non può convertire interamente in lavoro utile l'energia fornitagli sotto forma di calore. Questa limitazione nel rendimento termico costituisce la base dell'enunciato di Kelvin-Planck del secondo principio della termodinamica, che si esprime così:
In F!g~ra 5.17 _è rip~rtato lo schema di questo motore termico. Il bruciatore e rl frume costrturscono rrspettrvamente la sorgente e il pozzo. Dai dati si ha:
Soluzi.o~e
=80MW
e
Per qualsiasi apparecchiatura che operi secondo un ciclo è impossibile ricevere calore da una sola sorgente e produrre una quantità di lavoro utile.
O, =50MW
Ciò significa che un motore termico, per funzionare e fornire lavoro utile, ha bisogno di cedere calore verso un pozzo oltre che riceverlo da una sorgente. L'enunciato di Kelvin-Planck si può esprimere anche come segue: Nessun motore termico può avere un rendimento del 100 per cento (Figura 5.19), oppure perché un impianto motore funzioni, il suo fluido evolvente
~rascurando le perdite di calore conseguenti al passaggio del fluido evolvente al-
l'interno delle tubazioni e degli altri componenti, la potenza netta prodotta da que· sto motore è data dall'Equazione 5.5 e risulta:
/'",;Jcomb Camera di combustione
Ln.u
= Ò, - Ò, = (80 - 50) = 30 MW
deve scambiare calore sia con una sorgente, sia con un pou.o.
11 rendimento termico si determina facilmente con l'Equazione 5.7:
Lnu
30
a,
00
208.33 =--=0.0047kg/s 44000
dal momento che per ogni kg di combustibile bruciato vengono rilasciati 44 MJ di energia sotto forma di calore.
Un bruciatori: for~isce ~na potenza termica di 80 MW a un motore termico. Se la P?tenza termica dr scarico ceduta all'acqua di un fiume è pari a 50 MW si determi' nino la potenza netta prodotta e il rendimento termico del motore.
O,
Si noti che l'impossibilità di avere un rendimento del 100 per cento, per un motore termico, non dipende dalla presenza di attrito o di altri effetti dissipativi, poiché questa limitazione, imposta dal secondo principio della termodinamica, vale per tutti i motori termici sia reali sia ideali.
1), =-.-· =-=0.375(37.5%)
11 motore termico converte in lavoro utile il 37.5 per cento del calore fornitogli.
l
ESEMPI@ Atmosfera
~~~
1URA 5.18 1ema per l'Esempio 5.2.
Un motore per auto.vettura c:o.n una potenza utile di 50 kW ha un rendimento termico del 24 per cento. Sr d7termrnr la portata di combustibile consumato da questa autovettura sapendo che rl combustibile utilizzato ha un potere calorifico di 44 MJ/kg. In Figura 5.18 è riportato uno schema del motore dell'autovettura Soluzione c~e ~onv~rte in lavoro.meccanico il 24 per cento dell'energia chimica del combusti'.
brle rrlascrata durante rl processo di combustione. La potenza termica ricl}iesta per
Macchine frigorifere e pompe di calore
kW o• = L1J1•.• =~=208.33 0.24
ESEMPI08 ""-.......::.~~:,~-.:-,,~
137
produrre una potenza meccanica di 50 kW si determina ricorrendo alla definizione di rendimento termico (Equazione 5.7):
Se fosse possibile trasferire 85 kJ dell'energia del gas in eccesso alla temperatura di 90°C_ n~ovamente a~la sorgente a I00°C in modo da impiegarla nuovamente, s1 disporrebbe d1 un motore termico con un rendimento del 100 p7r cento. Purtroppo ciò è impossibile per il semplice motivo che il caloi:e flmsce spontaneamente sempre dai corpi ad alta temperatura verso i corpi a bassa temperatura e mai nel verso contrario: non è possibile raffreddare_ il gas da 90°C a 30°C scambiando calore con la sorgente a I00°C. Per scancare l'energia del gas, tanto da consentirgli di ritornare alle sue condizioni iniziali, si dovrebbe, per esempio, scambiare calore con un pozzo a temperatura di 20°C. Questa energia, allora, non può essere più utilizzata e, per questo, essa prende il nome di energia di scarico. Si può, quindi, affermare che, al fine di completare il suo ciclo termodinamico, qualsiasi motore termico, anche se ideale deve scaricare e?ergia a. un pozzo a bassa temperatura. La necessità per u~ motore termico d1 scambiare calore con almeno due serbatoi di energia termica costituisce la base. dell'enunciato di Kelvin-Planck del secondo principio della termodinanuca.
I \
I
5.4 ~ MACCHINE FRIGORIFERE E POMPE DI CALORE È noto dal!' esperienza che il calore fluisce spontaneamente nel verso delle temperature decrescenti, vale a dire dai corpi a temperatura più alta verso quelli a temperatura più bassa. Questo processo di scambio termico avviene naturalmente, senza che si abbia bisogno di particolari dispositivi. Poiché il processo contrario non avviene spontaneamente, lo scambio di calore da corpi a bassa temperatura verso altri a più alta temperatura necessita di apparecchiature speciali, dette macchine frigorifere.
Serbatoio di energia tennica
MOTORE TERMICO
FIGURA 5.19 Un motore termico in contrasto con l'enunciato di Kelvin-Planck del secondo principio della termodinamica.
--------
r-----· --
- ----
--
r
138
freddare a spese della fornitura di una quantità di lavoro pari a L . Il COP di una macchina frigorifera può essere, pertanto, espresso dalla ~~!azione:
Ambiente esterno
CAPITOL05 Il secondo principio
Q,
della tem1odinamica
CONDENSATORE
frigorifere e pompe di calore
Ambiente riscaldato
800kPa
30'C VALVOLA DI LAMINAZIONE
139 ~;;S;?".-~~-z:1
~tacchine
ln.e
120kPa
Questa relazione può essere anche espressa in termini di potenza sostituendo rispettivamente alle quantità Q, e L"" i valori Q1 e L"". Poiché il principio di conservazione dell'energia applicato a un ciclo termodinamico prevede che
-25°C EVAPORATORE
FIGURA 5.20 Componenti fondamentali di una macchina frigorifera e tipiche condizioni di funzionamento.
Ambiente esterno . a T3 :? J:~ ~---r. . ,,
Ambiente refrigerato
~!e~) FIGURA 5.21 Obiettivo di una macchina frigorifera è asportare la quantità di calore Q. ' dall'ambiente refrigerato.
il COPF può essere espresso anche dalla relazione:
, Ambi~me refrigerato """"'-.if..,. --~·~.,,~"ti..;-;?'
. L~ m~cchine frigori~ere, come i motori termici, operano secondo un c1clo, 1mp1egand?.un fluido ~etto r~frigerante. Il ciclo termodinamico più comunemente utilizzato per li funz10namento delle macchine frigorifere è quellofrigorife;o ~ co~np~essione di vapore che si realizza impiegando quattro componenti pnnc1pah: un compressore, un condensatore una valvola ' di laminazione e un evaporatore (Figura 5.20). Il refrigerante, che entra nel compressore allo stato di vapore e viene ~ompresso fino alla pressione di ingresso nel condensatore, quando lascia li compressore ha una temperatura relativamente alta per cui, giunto nel condensatore, condensa cedendo calore all'ambiente circostante. Nel successivo passaggio ?tt~averso un tub~ capillare la temperatura e la pressione del refngerante s1 nducono drasticamente a seguito dell •effetto della laminazione. Il refrigerante passa poi nell'evaporatore dove evapora assorbendo ca~or: dall:ambiente refriger~to, più caldo del fluido evaporante. ~la fine li ciclo SI completa quando 11 refrigerante lascia l'evaporatore per nentrare nel compressore nelle stesse condizioni iniziali. In un frigorifero peruso domestico levaporatore è ubicato nella cella dove avviene la refrigerazione, cioè nel compartimento dal quale viene asportato calore, mentre il condensatore è lo scambiatore che dissipa il calore nell'aria. Con riferimento allo schema di macchina frigorifera riportato in Figura 5.21, Q, è la quantità di calore asportata dall'ambiente da refrigerare alla temperatura T,. Q, è la quantità di calore scaricata all'ambiente caldo alla temp~ratura T, e Ln. , è il lavoro netto fornito al compressore. Come già d~tto m precedenza, Q1 e Q, sono quantità positive da impiegarsi in relazioni che tengono conto del verso dello scambio termico. Efficienza frigorifera
L'efficienza di una macchina frigorifera viene espressa in termini di coeffi~iente. di ~restazione CO,P. indican~ola con COPF. II compito di una macchma fngonfera è quello d1 asportare li calore Q1 dall'ambiente da raf-
Si noti che il valore di COPF può essere maggiore dell'unità, vale a dire che la quantità di calore asportata dall'ambiente freddo può essere maggiore della quantità di lavoro speso, a differenza del rendimento termico di un motore termico che è sempre minore di !.
Ambiente freddo ·~~~_.}'·
FIGURA 5.22 Obiettivo di una pompa di calore è fornire la quantità di calore Q, all'ambiente più caldo.
Pompe di calore Un'apparecchiatura che trasferisce calore da un ambiente a bassa temperatura a uno ad alta temperatura è detta pompa di calore (Figura 5.22). Le macchine frigorifere e le pompe di calore lavorano secondo lo stesso ciclo termodinamico perseguendo obiettivi differenti. L'obiettivo di una macchina frigorifera è di conservare la temperatura bassa nell'ambiente da refrigerare asportando da esso calore, scaricandolo in un pozzo ad alta temperatura. Quest'ultimo effetto è una parte necessaria del funzionamento di una macchina frigorifera, ma non ne rappresenta Io scopo. L'obiettivo di una pompa di calore, invece, è di mantenere caldo l'ambiente ad alta temperatura (un'abitazione o un ufficio, Figura 5.23), fornendogli il calore assorbito da una sorgente a bassa temperatura (ad esempio, acqua o aria fredda all'esterno in inverno). Un frigorifero domestico inserito nella finestra di casa con la sua porta aperta verso l'aria fredda all'esterno funzionerà come una pompa di calore dato che cercherà di raffreddare l'esterno assorbendo calore da esso cedendolo ali' interno tramite il condensatore posizionato nella parte posteriore (Figura 5.24). La prestazione di una pompa di calore è espressa anch'essa in termini di coefficiente di prestazione COPPdC' definito dalla relazione:
Ambiente interno caldo a20'C
Ambiente esterno
~~~ FIGURA 5.23 Il lavoro fornito a una pompa di calore viene utilizzato per asportare calore dall'ambiente esterno freddo e per fornire calore all'ambiente interno più caldo.
140
esprimibile anche come
Il secondo principio della termodinamica
I-QJQ,
(5.13~
Dal confronto tra le Equazioni 5.9 e 5.12 per eguali valori di Q1 e Q, si ha: (5.14)
FIGURA 5.24 Installato nel verso opposto, un condizionatore d'aria funziona come pompa di calore.
Cucina
i.,.= 2 kW
Q1 =6 kW Cella frigorifera
4•c
Si noti che l'efficienza di una pompa di calore è sempre maggiore dell'unità essendo il COPF una quantità positiva, vale a dire che, nel peggiore dei casi, una pompa di calore funzionerà come una stufa elettrica fornendo all'ambiente da riscaldare una quantità di calore pari all'energia che consuma durante il suo funzionamento. In realtà, parte del calore Q, viene dissipata ali' esterno per le perdite delle tubazioni e degli altri organi e, per questo, il COPPdC è soggetto a diminuire drasticamente al di sotto dell'unità quando la temperatura all'esterno è molto bassa. In questo caso, è utile prevedere un sistema di commutazione automatico che fa funzionare le pompe di calore come semplice stufa a resistenza elettrica. Il COPPdC della maggior parte delle pompe di calore in esercizio ha un valore medio stagionale compreso tra 2 e 3. I condizionatori d'aria sono fondamentalmente macchine frigorifere il cui ambiente freddo è costituito da una stanza o da un edificio invece che dalla cella dove viene conservato il cibo: per esempio, a un condizionatore da finestra si affida il compito di raffreddare una stanza assorbendo calore dall'aria dell'ambiente interno per scaricarlo all'esterno. Si osservi che lo stesso condizionatore d'aria può essere usato come pompa di calore in inverno installandolo al contrario; infatti, in questo modo il condizionatore assorbirà calore dall'aria fredda esterna rilasciandolo all'interno. Sistemi di refrigerazione dell'aria dotati di controlli appropriati e di valvole reversibili possono funzionare da condizionatori d'aria d'estate e da pompe di calore durante linverno, senza bisogno di variarne ia posizione di installazione.
ESEMPIO,~, Il cibo all'internò del frigorifero in Figura 5.25 viene mantenuto alla temperatura di 4°C asportando dalla cella in cui esso è contenuto la potenza termica di 6 kW. Se la potenza elettrica richiesta dal frigorifero per il suo funzionamento è di 2 kW, si determini a) l'efficienza del frigorifero e b) la potenza termica scaricata nell'am· biente.
Soluzione a) Il coefficiente di prestazione di un frigorifero definito dall'Equazione 5.9 è:
a, s
COP,. =-=-=3 =1GURA 5.25 ;chema per l'Esempio 5.3.
141
O, =à,+i... =6+2=8kW
CAPITOLO 5
L...
2
b) La potenza termica scaricata nell'ambiente, determinata con l'Equazione 5.10, è:
Macchine frigorifere e pompe di calore
Si noti che sia l'energia asportata dall'ambiente f~eddo sotto form~ di calore sia l'energia fornita al compressore come lavor? elettri~o yengono s~ar~ci;te sotto lor· ma di calore nell'ambiente e si trasformano m energia interna dell aria 1n essa con· tenuta. Ciò a ulteriore dimostrazione del fatto che l'energia si ~rasform~ ~a una forma a un'altra, si trasferisce da un corpo a un altro, ma non viene mai distrutta durante una qualsiasi trasformazione.
r"
ESEMPIO 5.4) ·~
Per sopperire al fabbisogno termico di una cas~ e mantenerne ~a temperatura in· terna a 20°c si ricorre all'uso di una pompa d1 calore. In un giorno nel quale la temperatura esterna cala fino a -2°c, si stima che la casa dissipi ~n.a ~otenza termica di 20 kW. Sapendo che la pompa di calore in queste cond1z10.n1 ha un COP di 2.5, si determini a) la potenza elettrica assorbita dalla pompa d1 calore e b) la Potenza termica assorbita dall'aria esterna. a) La potenza assorbita dalla po!llpa di calore (Figura 5._26) pu.ò es· Soluzione sere determinata ricorrendo alla definizione d1 coefficiente d1 prestazione d1 una pompa di calore (Equazione 5.12):
i
•.•
=~~~=8kW COPNC 2.5
co11-dC = 2.s
Aria esterna a -2,°C '·~.~~,·.......;.;!:./
b) La casa dissipa la potenza termica di 20 kW. Se la temperatura della casa deve essere mantenuta costante a 20°c, la pomP.a di calore deve fornire alla casa una potenza termica pari a quella persa, 20 k":'f. ~ ~s~ibil?, allora, cal~olare la potenza termica assorbita dall'aria esterna con 11 princ1p10 d1 conservazione dell energia applicato alle macchine cicliche (Equazione 5.10):
O, =Ò, -i•.• = 20-8 =12
kW
Questa relazione sottolinea che 12 kW su 20 kW fomiti alla casa provengono dal· l'aria fredda esterna e che solo 8 kW provengono dal lavoro elettrico del compressore (cioè si ottengono 20 kW spe~dendo per soli ~ kW). Nel ~so di una stufa elettrica si sarebbe dovuta fornire l'intera potenza dt 20 kW attingendo solo alla rete elettrica con un costo per il riscaldamento più alto di 2.5 volte. Per questa ragione le pompe di calore si sono diffuse come si~temi di rlscalda~ento e ~?ngo· no preferite alle semplici stufe a resistenze elettriche nonostante 11 loro p1u alto costo iniziale.
Il secondo principio della termodinamica: l'enunciato di Clausius L'enunciato di Ciausius del secondo principio della termodinamica afferma che:
È impossibile realizzare una macchina conftmzionamento ciclico il cui unico effetto sia il trasferimento di una quantità di calore da un corpo a bassa temperatura a un altro a temperatura più alta.
FIGURA 5.26 Schema per l'Esempio 5.4.
142
Ambiente caldo
re pari a Q. (differenza tra Q. + Q e Q ). La combinazione delle due macchine descritta è equivalent~ nel 'suo insieme a una macchina frigorifera (Figura 5.28b), che riesce a trasferire calore nella quantità di Q1 da un corpo più freddo a uno più caldo senza richiedere alcun lavoro in entrata dal1' esterno: ciò rappresenta una palese violazione del secondo principio della tennodinamica secondo l'enunciato di Clausius. Si è così dimostrato che la violazione del secondo principio della tennodinamica come enunciato da Kelvin-Planck comporta anche la violazione del secondo principio della termodinamica come enunciato da Clausius. Analogamente si può dimostrare che la violazione del secondo principio della termodinamica di Clausius comporta la violazione del secondo principio della tennodinamica di Kelvin-Planck. Sulla base di queste osservazioni si può affennare che i due enunciati sono espressioni equivalenti del secondo principio della termodinamica.
Il tr~sferimento di calore da un corpo più freddo a uno più caldo, che non avviene spontaneamente, può realizzarsi impiegando una macchina termica (macchina frigorifera o pompa di calore). L'enunciato di Clausius non nega l~ possibilità di co.struire una tale macchina, ma affenna che questa macchina oltre al trasfenmento del calore dovrà avere altri effetti, come ad esempio l'assorbimento di energia (quella fornita al compressore da un motore, Figura 5.27) che inevitabilmente lascia tracce nell'ambiente. . Entr~mbi gli enun7iati d~I secondo principio della tennodinamica, quello d1 Clausms e quello d1 Kelvm-Planck, stabiliscono un'impossibilità e come tali non possono essere dimostrati. Tuttavia, essi non sono mai stati contraddetti dal!' esperienza.
Equivalenza dei due enunciati Q, =5kJ
FIGURA 5.27 Una macchina frigorifera in contrasto con l'enunciato di Clausius del secondo principio della termodinamica.
I due enunciati del secondo principio della tennodinamica, di Kelvin-Planck e di. ~la?sius, sono equival~nti nel!e loro conseguenze, e possono essere u~~u ind1fferentem_ente:. ogm macchina che dovesse violare il secondo princ1p10 della tennodmam1ca secondo l'enunciato di Kelvin-Planck lo violerebbe anche secondo Clausius, e viceversa. Si consideri la combinazione di un motore tennico e di una macchina frigorif~ra (~igura 5.28a)_ che funzionino con scambi tennici tra gli stessi serbat01, e s1 assuma che il motore termico abbia, in violazione al secondo principio della tennodinamica enunciato da Kelvin-Planck, un rendimento del 100 per cento, cioè che converta l'intera quantità di calore Q che riceve in lavoro Ln. u· Si fornisca il lavoro così ottenuto alla macchinas frigorifera c~e assorbe l_a,quantità di calore Q; dal serbatoio a bassa temperatura e scanca la ~uanttta + Qs al serbatoio ·ad alta temperatura. Durante questo processo, 11 serbat010 ad alta temperatura riceve una quantità netta di calo-
q,,
Serbatoio di calore ad alta. temperatura (T,)
Serbatoio di calore ad alta tempe~ra (1,;j __
'""_......
Serbatoio di calore
5.5 ~ LE MACCHINE A MOTO PERPETUO
I.
I
I '
I
Si definisce macchina a moto perpetuo ogni dispositivo in contrasto con i principi della tennodinamica. Non risulta che nessuna macchina a moto perpetuo sia mai riuscita a funzionare, nonostante i numerosi tentativi di altrettanto numerosi inventori. Un dispositivo in contrasto con il primo principio della tennodinamica (tale da creare energia) viene definito macchina a moto perpetuo di prima specie, mentre uno che violi soltanto il secondo principio della tennodinamica macchina a moto perpetuo di seconda specie. Si consideri l'impianto motore a vapore rappresentato in Figura 5.29, nel quale l'energia tennica viene fornita al vapore in caldaia per mezzo di resistenze elettriche, senza fare ricorso all'energia chimica di un combustibile fossile o all'energia nucleare. Parte della energia elettrica prodotta dal1' alternatore dell'impianto è usata per alimentare le resistenze, mentre il resto alimenta la rete e costituisce il lavoro netto dell'impianto. L'inventore di questo impianto affenna che, una volta partito, l'impianto è capace di autosostenersi all'infinito con l'energia elettrica da esso stesln,u
Q,
FIGURA 5.28 Qualora non fosse valido l'enunciato di Kelvin-Planck del secondo principio della termodinamica, non lo sarebbe neanche quello di Clausius.
143 Le m:.tt.•chim· a moto perpetuo
~Contorno
.
"~:!~'~' (a) Una macchina frigorifera comandata da un motore tennico con rendimento del 100%
Serbatoio di calore
~. • a bassa temperalUnl (?;)
del sistema
_ '>.
~~
'
(b) La macchina frigorifera equivalente Q.
FIGURA 5.29 Una macchina a moto perpetuo in contrasto con il primo principio della termodinamica (di prima specie).
144 /
/Contorno del sistema
Qe
CAPITOLO 5
Il secondo principio della termodimunica
CALDAIA
FIGURA 5.30
Una macchina a moto perpetuo in contrasto con il secondo principio della tennodinamica (di seconda specie).
so prodotta, senza più bisogno di energia esterna, risolvendo definitivamente il problema energetico mondiale. Un attento esame di questa invenzione naturalmente porta a concludere che il sistema contenuto nell'area ombreggiata in Figura 5.29 fornisce con continuità al suo esterno la potenza di Qu + in,u· Poiché il sistema non riceve alcuna energia, esso crea energia corrispondente alla potenza Qu + Ln.u, in palese violazione del primo principio della termodinamica. Questo impianto è una macchina a moto perpetuo di prima specie e non merita alcun'altra considerazione. Si consideri, ora, l'impianto schematicamente riportato in Figura 5.30, privo di condensatore per evitare che più della metà del calore fornito in caldaia venga scaricato nell'ambiente. Se l'impianto potesse funzionare, tutto il calore fornito al vapore in caldaia potrebbe essere convertito in lavoro e l'impianto finalmente potrebbe vantare un rendimento del 100 per cento. Tutto ciò è impossibile e l'impianto è una macchina a moto perpetuo di seconda specie, in contrasto con il secondo principio della termodinamica, perché, pur non in contrasto con il primo principio della termodinamica, in funzionamento ciclico essa fornisce lav.oro netto scambiando calore con una sola sorgente (bruciatore). Moltissime macchine a moto perpetuo sono state e saranno ancora proposte. Molti inventori si sono adoperati alacremente per brevettare le loro invenzioni per poi giungere alla conclusione che tutto ciò che avevano in mano era un inutile pezzo di carta. Alcuni sono stati tanto bravi da trovare finanziamenti per le loro invenzioni come J.W. Kelly, carpentiere di Philadelphia, che raccolse milioni di dollari tra il 1874 e il 1898 per il suo progetto di motore idropneumatico, in grado di spingere un treno per 5000 km utilizzando l'energia di un solo litro d'acqua. Naturalmente ciò non si è mai verificato e dopo la sua morte si scoprì che la macchina dimostrativa era mossa da un motore nascosto. Recentemente un gruppo di investitori è stato contattato da un inventore per investire 2.5 milioni di dollari in un misterioso moltiplicatore di energia, che avrebbe dovuto moltiplicare qualsiasi potenza gli fosse stata fornita. Messo a confronto con gli scienziati, l'inventore ha finito col dileguarsi senza nemmeno tentare di mettere in moto la sua macchina dimostrativa. Nel 1918 il National Bureau of Standards decretò che non avrebbe mai più considerato proposte di macchine a moto perpetuo; ciononostante molti
brevetti sono stati ancora richiesti e alcuni rilasciati senza che l'Ufficio se ne accorgesse. Alcuni richiedenti, ai quali fu data risposta negativa, hanno anche tentato le vie legali: nel 1982 il National Bureau of Standards, sostenendo che si trattava di una macchina a moto perpetuo, rifiutò di prendere in considerazione un'enorme apparecchiatura, che, costituita da molti chili di maaneti rotanti e chilometri di cavi di rame, avrebbe dovuto generare più ene~gia di quanta ne consumasse, attingendo da un pace~ di b~tterie. L'inventore, però, impugnò la decisione e finalmente nel 1985 11 National Bureau of Standards testò la macchina e certificò che funzionava come un normale dispositivo a batteria. Ma questo non fu sufficiente a convincere linventore.
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145 ~mw:::r-~
Trasformazioni
re'ersibili e irre\'Crsibili
5.6 lZl3 TRASFORMAZIONI REVERSIBILI E IRREVERSIBILI Le trasformazioni che avvengono in modo tale che non si possa ritornare spontaneamente a ritroso per ristabili~e ~e condizioni inizi~li sono dett~ trasformazioni irreversibili: per esempio, Il raffredd~ento d1 una tazza di caffè caldo cui non farà mai seguito uno spontaneo nscaldamento con assorbimento di calore dal!' aria circostante è una trasformazione irreversibile. Se ciò fosse possibile e la tazza di caffè ritornasse nelle condizioni iniziali, si avrebbe, al contrario, una trasformazione reversibile. . Una trasformazione reversibile è definita come una trasformazione
che può essere ripercorsa in senso inverso senza che se ne trovi traccia nell'ambiente circostante (Figura 5.31), cioè in modo che, alla fine della trasformazione inversa, sia l'ambiente sia il sistema ritornino nelle loro condizioni iniziali. Ciò è possibile solo se il calore e il lavoro netti scambiati tra il sistema e !'ambiente sono uguali in valore e di segno opposto per le trasformazioni diretta ed inversa. Le trasformazioni che non sono reversibili si dicono trasformazioni irreversibili. Si osservi che un sistema può essere riportato allo stato iniziale seguendo una o più trasformazioni, che possono essere reversibili o. i~e~~rs.i~ili: Nel caso di trasformazioni reversibili, il ripristino delle condIZiom mIZiah avviene senza scambio netto di energia con l'ambiente; mentre, nel caso di trasformazioni irreversibili, si verifica che lambiente di solito compie lavoro sul sistema, per cui non ritorna nelle sue c~ndizioni inizi~li. . .. Poiché tutte le trasformazioni che avvengono m natura sono ITTevers1b1h, le trasformazioni revérsibili sono semplicemente idealizzazioni dei processi reali, il cui particolare interesse deriva dal fatto eh.e sono sempl~ci d.a analizzare, dal momento che, durante una trasformazione rever~1bile, il sistema passa attraverso una serie di stati di equilibrio: E~se so.no d1 gran~e utilità come strumento di confronto per le trasformaz1om reali; le macchine motrici operanti secondo cicli reversibili (i motori alternat~vi, le turbi~~ a gas o a vapore) rilasciano il massimo di lavoro; le macchme operatnc1 operanti secondo cicli reversibili (i compressori, i ventilat~ri e le pompe) necessitano del minimo di lavoro (Figura 5.32). Nel caso d1 macchine reali, quanto più ci si avvicina a un ciclo rev~rsibile, tant? maggi?r~ sarà il lavoro netto ottenuto da una macchina motnce e tanto nunore sara ti lavoro richiesto da una macchina operatrice.
(a)
Pendolo senza attrito
(b) Trasfonnazioni di espansione e compressione quasi~stitiche di un ga
FIGURA 5.31
Due comuni trasfonnazioni reversibili.
146 CAPITOLOS Il secondo principio della tennodinamica
Espansione
Compressione
(a) Trasformazione lenia (reversibile)
la maggiore quantità possibile di lavoro e assorbono la minore quantità possibile di calore.
Una frazione considerevole della potenza prodotta da un motore automobilistico viene impiegata per vincere la forza di attrit~ (la resis~enza aerodinamica) tra l'aria e le superfici esterne dell'automobile, contn~uend? ~d ~u mentare l'energia interna dell'aria ambiente. Purtroppo non e poss1b.1~e invertire questo processo, cioè riottenere la potenza perdut~, anc.he se c10 non sarebbe in contrasto con il primo principio della termodmam1ca. .
Compressi~e
Distribuzione di pressione Acqua
FIGURA5.32 Le trasformazioni reversibili forniscono
Espansione
Acqua
La definizione di trasformazione reversibile permette di definire il rendimento isoenrropico per processi reali, che rappresenta il grado di appros-
simazione del processo in esame al corrispondente processo reversibile. Il rendimento isoentropico dà la possibilità di paragonare le prestazioni di due apparecchiature differenti progettate per svolgere lo stesso compito sulla base del loro rendimento: migliore sarà il progetto, minori le irreversibilità, più alto il rendimento isoentropico.
Le irreversibilità
L'attrito
FIGURA 5.33
L'attrito rende una trasformazione irreversibile.
L'attrito è un'irreversibilità associata al moto dei corpi: quando due corpi in contatto vengono forzati a muoversi l'uno relativamente all'altro (per esempio, un pistone in un cilindro come in Figura 5.33), all'interfaccia tra i due corpi si sviluppa una forza che si oppone al moto e che può essere vinta solo compiendo del lavoro. L'energia fornita a tale scopo, sotto forma di lavoro, alla fine del processo risulta convertita in calore e viene trasferita ai corpi in contatto l'uno con l'altro. Entrambi i corpi, infatti, risultano più caldi sulla loro superficie di contatto. Quando la direzione del moto viene invertita e i corpi riportati nelle loro posizioni originarie, le loro superfici non si raffreddano affatto e il calore non viene riconvertito in lavoro. Al contrario, parte del lavoro speso per ripristinare le posizioni originarie viene convertita nuovamente in calore per superare I' opposizione della forza di attrito al moto inverso. Dal momento che il sistema (i corpi in movimento) e l'ambiente non possono essere riportati nelle loro condizioni iniziali, il processo è irreversibile. Per quanto detto ogni trasformazione che avviene in presenza di attrito è certamente irreversibile: quanto maggiore è il lavoro di attrito sviluppatosi, tanto maggiore sarà l'irreversibilità della trasformazione. L'attrito è presente anche nel moto relativo di un fluido e di un solido, o anche tra strati adiacenti dello stesso fluido dotati di velocità differenti.
Trasformazioni reversibili e irreversibili
Espansioni e compressioni non-quasi-statiche
(b) Trasformazione rapida (irreversibile)
Le irreversibilità sono tutti quei fenomeni che rendono una trasformazione irreversibile. Essi sono l'attrito, l'espansione libera, la miscelazione di due gas, lo scambio termico attraverso una differenza finita di temperatura, la resistenza elettrica, le deformazioni anelastiche dei solidi e le reazioni chimiche. Poiché la presenza di uno qualsiasi di questi fenomeni rende la trasformazione irreversibile, in una trasformazione reversibile non si deve verificare nulla di quanto appena elencato.
147 ~"';~-y·ij
I
l
l
Una trasformazione quasi-statica è stata definita. co~e una tras'.o.rmazion~ durante la quale in ogni istante il sistema rimane mfimtamente v1cmo a st~t~ di equilibrio. In un sistema ideale a~iab~tico pi~tone-c~lindro senza attntl contenente al suo interno un gas, se il pistone viene spmto lentamente all'interno del cilindro la pressione e la temperatura aumen_ter'.°1no len~amen te e uniformemente in tutto il gas. Dal momento che il sistema s1 trova sempre vicino a uno stato di equilibrio, la trasformazione descritta è una trasformazione quasi-statica. . . Se poi si diminuisce lentamente la forza sul pistone, la trasformazione di espansione risulterà anch'essa quasi-statica e il g~~ si e~p:U:derà lent~ mente. Quando il pistone sarà ritornato nella sua pos1Z1one m1z1ale, tutto 11 lavoro fatto sul pistone dall'ambiente ÙpdV) durante la fase di compressione sarà stato restituito all'ambiente stesso durante quella di espansione: il lavoro netto per il processo nel suo insieme risulterà pari ~ ~ero. Inoltre, poiché nella trasformazione diretta non è possibile osservare alcuno scambio di calore, sia il sistema sia l'ambiente ritorneranno nel loro stato iniziale al termine della trasformazione inversa. Si può, quindi, affermare che le espansioni e le compressioni lente, adiabatiche e senza attrito sono trasformazioni reversibili. Si ripeta ora la trasformazione appena descritta in una maniera nonquasi-statica (Figura 5.34), spingendo il p~s~one molto rapid'.1111ente '.111'interno del cilindro. Le molecole del gas v1cme alla superficie del pistone non avranno il tempo sufficiente per allontanarsi da esso e s~ adden_serann~ nelle sue immediate vicinanze, provocando un aumento d1 pressione nei pressi della superficie del pistone rispetto alle altre parti del ~ilin_dro c~e rimarranno nello stesso istante a pressione più bassa. Questa d1sumform1tà di pressioni rende la trasformazione non-qua~i-statica. Poich~ il lav?ro effettivamente compiuto dall'ambiente è funz10ne della pressione misurata immediatamente al di là della superficie del pistone, la compressione nonquasi-statica richiede maggior lavoro della corrisp~mde?te comp~essione quasi-statica. Quando si procederà alla trasf~rm~1one mvers~ d1. espansione rapida, poiché le molecole del gas non nusc!fanno ~ segmr~ 11 p1st~ ne, la regione immediatamente a contatto con la superficie del pistone nmarrà a una pressione più bassa del resto del ~ilindro, con I~ conseguenza che dall'espansione si otterrà minore lavoro d1 quanto non s1 sarebbe ottenuto se la trasformazione fosse stata quasi-statica. Nel caso di trasformazioni non-quasi-statiche il lavoro ottenuto in fase di espansione è minore di quello speso in fase di compressione: quest? deficit di lavoro eguaglia l'aumento dell'.e?e.rgia intern~ del gas. Mentre il sistema può essere riportato al suo stato m1Z1ale scambiando questo ecces-
(a) Compressione rapida
( b) Espansione rapida
50kPa
(e) Espansione libera
FIGURA 5.34
Trasformazioni irreversibili di compressione ed espansione.
148 ".-\PITOLO 5 I secondo principio dia termodinamica
. ·. 20'Cil;IB
Calore
'!;'.
·
o
.1)
•
.
Processo irreversibile di scambio termico
:, ) Processo impossibile di scambio termico
GURA 5.35
) Lo scambio termico attraverso un Lito finito di temperatura è una lSformazione irreversibile e (b) la Jsformazione inversa è impossibile.
so di energia interna sotto forma di calore con l'ambiente, l'unico modo per riportare l'ambiente alle sue condizioni iniziali è quello di trasformare questo calore in lavoro, il che sarebbe possibile se si avesse a disposizione un motore termico con un rendimento del 100 per cento. Questo, purtroppo, risulta impossibile, anche solo teoricamente, dal momento che si violerebbe il secondo principio della termodinamica. Poiché solo il sistema, ma non l'ambiente, può essere riportato allo stato iniziale, si può concludere che le espansioni o le compressioni adiabatiche che non siano quasi-statiche sono trasformazioni irreversibili. Un altro esempio di trasformazione non-quasi-statica è quella di espansione libera, che può realizzarsi in un serbatoio costituito da due volumi separati da una membrana, in uno dei quali sia contenuto un gas e nell'altro sia stato praticato il vuoto (Figura 5.34c). Se la membrana si rompe e il gas riempie l'intero serbatoio, l'unica maniera per far ritornare il sistema al suo stato iniziale è quella di ricomprimere il gas al suo volume iniziale sottraendogli calore fino a riportarlo aJia sua temperatura iniziale. Per il principio di conservazione dell'energia si può facilmente dimostrare che la quantità di calore da sottrarre al gas eguaglia il lavoro di compressione fatto sul sistema dall'ambiente. Il ripristino delle condizioni iniziali dell'ambiente è subordinato alla conversione completa di questa quantità di calore in lavoro, processo che costituirebbe una violazione del secondo principio della termodinamica. Anche l'espansione libera di un gas è una trasformazione irreversibile. Lo scambio termico Un'altra irreversibilità è costituita dallo scambio termico attraverso un salto finito di temperatura. Si consideri, ad esempio, una lattina di bevanda fredda in un ambiente caldo (Figura 5.35).11 calore fluirà dall'aria calda dell'ambiente alla bevanda. L'unica maniera di invertire la trasformazione è quella di ripristinare la temperatura originaria della bevanda attraverso un raffreddamento, processo che richiede una fornitura di lavoro dal!' esterno. Alla fine del processo inverso, la bevanda sarà nelle sue condizioni originarie, ma non l'ambiente. L'energia interna dell'aria sarà più alta esattamente di una quantità pari al lavoro fornito alla macchina frigorifera. Per riportare l'ambiente alle sue condizioni originarie occorrerebbe convertire completamente l'eccesso di energia interna in lavoro, cosa impossibile da farsi senza violare il secondo principio della termodinamica. Dal momento che solo il sistema e non anche l'ambiente può ritornare alle sue condizioni iniziali, lo scambio termico attraverso un salto finito di temperatura è una trasformazione irreversibile. Poiché uno scambio termico può avvenire solo se vi è una differenza di temperatura tra il sistema e lambiente, è fisicamente impossibile realizzare una trasformazione reversibile di scambio termico. Per differenze di temperatura infinitesime gli scambi temiici possono considerarsi in pratica trasformazioni reversibili.
Trasformazioni internamente ed esternamente reversibili Poiché una trasformazione è una interazione tra sistema e ambiente, una trasformazione reversibile esclude qualsiasi irreversibilità sia nel sistema sia nell'ambiente.
J
J
I
Una trasformazione viene detta internamente reversibile se durante il suo svolgimento nessuna irreversibilità si verifica all'interno del suo contorno. Durante una trasformazione internamente reversibile, un sistema procede lungo una serie di stati di equilibrio, e quando essa viene invertita, il sistema passa esattamente attraverso gli stessi stati di equilibrio fino a ritornare nelle sue condizioni originarie: per trasformazioni internamente reversibili le linee delle trasformazioni diretta e inversa coincidono. La trasformazione quasi-statica di cui si è detto in precedenza è un esempio di trasformazione internamente reversibile. Una trasformazione viene detta esternamente reversibile se durante il suo svolgimento nessuna irreversibilità si verifica ali' esterno del suo contorno. Lo scambio termico tra un serbatoio di calore e un sistema è una trasformazione esternamente reversibile, se la superficie di contatto tra di essi è alla stessa temperatura del serbatoio di calore. Una trasformazione è detta totalmente reversibile, o semplicemente reversibile, se non implica alcuna irreversibilità sia all'interno sia ali' esterno del sistema (Figura 5.36). Per quanto detto, una trasformazione totalmente reversibile deve escludere scambi termici attraverso salti finiti di temperatura, attriti o altri effetti dissipativi e deve essere quasi-statica. Per una migliore comprensione del concetto di reversibilità si faccia riferimento alla Figura 5.37, dove sono riportati due sistemi alla stessa temperatura soggetti a un processo di cambiamento di fase a pressione costante (la temperatura è anch'essa costante). Entrambe le trasformazioni sono internamente reversibili, dal momento che entrambe hanno luogo isotermicamente e passano attraverso gli stessi stati di equilibrio. Soltanto la prima trasformazione, però, può considerarsi esternamente reversibile, poiché il sistema scambia calore con l'ambiente che si trova a una temperatura molto prossima alla sua. La seconda trasformazione, invece, è esternamente irreversibile, poiché il sistema scambia calore con l'ambiente attraverso un salto finito di temperatura, l:!.T.
~-di
Trasformnzioni reversibili e irreversibili
Nessuna irreversibilità fuori dal sistema
FIGURA 5.361 Una trasformazione reversibile avviene senza irreversibilità né interne né esterne.
Contorno a20°C I
I l---
I
I
I
------'
------'
Calore
I
Calore
Serbatoio di calore a 20.0 •..•Ol'C
Serbatoio di calore a30°C
(a) Totalmente reversibile
(b) Internamente rever.;ibile
I
FIGURA 5.37 Trasformazioni internamente e totalmente reversibili.
5.7 ~ IL CICLO DI CARNOT
150 CAPITOLO 5 Il secondo principio della termodinamica
Sorgente tennìca a T,
8 Il f ..'
Q, (a)
I motori termici sono macchine cicliche nelle quali il fluido evolvente, percorso il suo ciclo, ritorna nello stato originario fornendo lavoro netto, pari alla differenza tra il lavoro prodotto dal fluido evolvente durante una fase del ciclo e quello assorbito durante un'altra fase. Il lavoro netto e così anche il rendimento possono essere massimizzati utilizzando trasformazioni che richiedono la minore possibile, e producono la maggiore possibile, quantità di lavoro, cioè utilizzando trasformazioni
i~
I.
reversibili.
Trasformazione 1-2
lb 11 (b) Trasformazione 2-3
i ;Pozzo \termico : a T;
/p (e) Trasformazione 3-4
I cicli più efficienti sono quelli reversibili, cioè quelli composti per intero da trasformazioni reversibili, che però in pratica sono irrealizzabili non potendosi eliminare completamente le irreversibilità associate con ciascuna trasformazione. Tuttavia, poiché le prestazioni dei cicli reversibili costituiscono il limite per le prestazioni dei cicli reali, i motori termici e le macchine frigorifere ideali sono i modelli con i quali confrontare i dispositivi reali. Il ciclo di Carnot, proposto per la prima volta nel 1824 dall'ingegnere francese Sadi Camot, è il ciclo reversibile secondo il quale funziona il motore termico ideale detto motore di Carnot. Questo ciclo ideale si compone di quattro trasformazioni reversibili - due isoterme e due adiabatiche - e può essere utilizzato con riferimento sia a un sistema chiuso, sia a uno a flusso stazionario. Si consideri un sistema chiuso costituito da un gas racchiuso in un dispositivo cilindro-pistone adiabatico (Figura 5.38), realizzato in modo tale che l'isolamento termico della sua testa possa essere eliminato permettendo il contatto e la trasmissione del calore con i serbatoi di calore. Le quattro trasformazioni reversibili che costituiscono il ciclo di Camot sono: Espansione isoterma reversibile (trasformazione 1-2, T, = cost). Inizialmente (punto 1) la temperatura del gas è T, e la testa del cilindro è in stretto contatto con una sorgente a temperatura r,. Al gas è permesso di espandersi lentamente, compiendo lavoro sull'ambiente. Con l'espansione, la temperatura del gas tende a diminuire. Non appena la temperatura si abbassa di una quantità infinitesima dT, una quantità di calore fluisce dalla sorgente verso il gas, facendo risalire la temperatura al valore T e consentendo, quindi, che essa rimanga in pratica costante al valore Dal momento che la differenza di temperatura tra il gas e la sorgente non supera mai il valore infinitesimo dT, questa trasformazione è una trasformazione reversibile di scambio termico, che continua finché il pistone non raggiunge la posizione 2. Il calore trasferito al gas durante tutto il processo è Q,.
r,.
(d) Trasformazione 4-1
FIGURA 5.38 Il ciclo di Carnot per un sistema chiuso.
Espansione adiabatica reversibile (trasformazione 2-3, la temperatura diminuisce da T, a T1). Al punto 2 la sorgente, che era in contatto con la testa del cilindro, viene sostituita con una guaina termicamente isolante tale da rendere adiabatico il sistema. Il gas continua ad espandersi lentamente compiendo lavoro sull'esterno finché la sua temperatura diminuisce da T, a T1 (punto 3). Nell'ipotesi di contatto tra pistone e cilindro senza attriti e di trasformazione quasi-statica, la trasformazione descritta si può considerare tanto reversibile quanto adiabatica.
15
Compressione isoterma reYersibile (trasformazione 3-4, T, = cost). Al punto 3, rimossa la guaina isolante, la testa del cilindro viene portata a stretto contatto con il pozzo a temperatura Tr Il pistone viene spinto all'interno del cilindro da una forza esterna compiendo lavoro sul gas. Con la compressione la temperatura del gas tende a salire, ma, non appena aumenta di una quantità infinitesima dT, il calore che fluisce dal gas verso il pozzo riporta la temperatura del gas al valore T, che così viene mantenuta costante. Poiché durante il processo di scambio termico la differenza di temperatura tra il gas e il pozzo non supera mai il valore infinitesimo dT, questa trasformazione è una trasformazione reversibile, che continua finché il pistone non raggiunge la posizione 4. Il calore ceduto dal gas all'esterno durante la trasformazione è Qr
li ciclo di Cani
Compressione .adiabatica reversibile (trasformazione 4-1, la temperatura aumenta da T. a T). Al punto 4 del ciclo, eliminato il contatto con il pozzo e riposizio~ata I~ guaina isolante sulla testa del cilindro, il gas può essere compresso adiabaticamente per ritornare al suo stato iniziale (punto 1). Durante questa compressione adiabatica reversibile, che chiude il ciclo, la temperatura raggiunge nuovamente il valore r,. La rappresentazione di questo ciclo nel diagramma p-v è riportata in Figura 5.39. Ricordando che nel diagramma p-v l'area sottesa dalla linea della trasformazione rappresenta il lavoro di variazione di volume per le trasformazioni quasi-statiche internamente reversibili, si può osservare che l'area sottesa dalla curva 1-2-3 rappresenta proprio il lavoro fatto dal gas durante le fasi di espansione del ciclo e analogamente larea sottesa dalla curva 3-4-1 rappresenta il lavoro assorbito per la compressione del gas. L'area compresa nel ciclo (area 1-2-3-4) è la differenza tra le due aree appena citate e rappresenta il lavoro netto prodotto dal motore di Camot. Si noti che una volta giunti al punto 3 se, nel tentativo di risparmiare Q1, si fosse provveduto a comprimere il gas adiabaticamente invece che isotermicamente, si sarebbe ritornati al punto 2, ripercorrendo la trasformazione 3-2. Così facendo, però, al risparmio di Q, si sarebbe accompagnata lassenza di fornitura di lavoro netto da parte del motore. Questa osservazione evidenzia ancora una volta la necessità per un motore termico di operare lo scambio termico con almeno una sorgente e un pozzo a temperature differenti per completare un ciclo con la produzione di lavoro netto. Il ciclo di Camot può essere anche applicato a sistemi a flusso stazionario, ma questo verrà considerato nel Capitolo 7 insieme ad altri cicli di macchine motrici. Essendo un ciclo reversibile, quello di Camot è il ciclo a più alto rendimento che lavori tra due prefissati valori di temperatura, rendimento limite superiore e irraggiungibile per i cicli reali.
Il ciclo di Carnot inverso Poiché il ciclo di Camot è reversibile, tutte le trasformazioni che esso comprende possono essere invertite. Così facendo si ottiene il ciclo inverso di Carnot, che è eguale a quello diretto tranne che nel verso delle trasforma-
p
FIGURA 5.3 Il ciclo di Carnot rappresentato s diagramma p-
zioni che viene invertito. Oltre al verso delle trasformazioni cambia anche il verso del calore e del lavoro che il sistema scambia con l'esterno: il calore Q. viene assorbito da parte del gas dal serbatoio di calore a bassa temperatu'ra; il calore Q viene ceduto al serbatoio di calore ad alta temperatura; il lavoro L è fo~ito al sistema. La rappresentazione del ciclo inverso di Carnot n~i" diagramma p-v è riportata in Figura 5.40.
!52 ffe
jhfi
APITOLO 5 secondo principio dia termodinamica
153
Serbatoio di calore ad alta temperatura (T,) '°l'.~_,;::F
'""'""'""'
Q,
termodinamk di temper:.Hu
Q,
5.8 ili I TEOREMI DI CARNOT
V
IGURA 5.40
dclo inverso di Camot rappresentato ,I diagramma p-v.
Il secondo principio della termodinamica come enunciato da Clausius e da Kelvin-Planck pone alcune limitazioni al funzionamento delle macchine termiche che operano secondo un ciclo. Infatti, un motore termico non può fornire lavoro netto scambiando calore con un solo serbatoio di calore e una macchina frigorifera non può funzionare senza fornitura di lavoro da parte di una fonte di energia esterna. I teoremi di Carnot, che si riferiscono al rendimento dei motori termici reversibili e irreversibili (Figura 5.41), si possono esprimere nella seguente forma:
1 Il rendimento di un motore termico irreversibile è sempre inferiore a quello di uno reversibile che operi tra le due stesse riserve di calore. 2 I rendimenti di tutti i motori termici reversibili che operino tra le due stesse riserve di calore sono gli stessi.
Serbatoio di calore
~.a,~~~"""' GURA 5.41
eoremi di Camot.
La validità di questi due enunciati può essere provata mostrando che la loro negazione è in contrasto con il secondo principio della termodinamica. Per provare la validità del primo enunciato, si prendano in considerazione due motori termici, uno reversibile e laltro irreversibile, che funzionino tra gli stessi serbatoi di calore (Figura 5.42). A ognuno dei due motori si fornisca la stessa quantità di calore Q,. La quantità di lavoro prodotta dal motore reversibile sia L,.v• mentre quella prodotta dal motore irreversibile L. . Si faccia l.'fPotesi che il motore irreversibile sia più efficiente di quello reversibile ( 71 . > 71 ) e cioè che fornisca una maggiore quantità di lavoro netto rls~tto a q~~llo reversibile. Si provveda, quindi, a invertire il ciclo del motore reversibile facendolo diventare una macchina frigorifera che cede calore al serbatoio di calore ad alta temperatura e che assorbe il lavoro L . Poiché il serbatoio di calore ad alta temperatura riceve dalla macchin;frigorifera e cede al motore termico irreversibile la stessa quantità di calore Q , essa può essere eliminata trasferendo direttamente la quantità di calore Q dalla macchina frigorifera al motore termico irreversibile. Considerando il sistema che comprende entrambe le macchine, si può notare che esso è equivalente a un motore che produce un lavoro netto pari a L. - L , scambiando calore con un solo serbatoio di calore in contrasto coni,venm~~iato di Kelvin-Planck del secondo principio della termodinamica. Ciò significa che lipotesi iniziale, 77~ irrcv > 11,. rcv' è errata, poiché nessun motore termico irreversibile può essere più efficiente di uno reversibile che funzioni scambiando calore con gli stessi serbatoi di calore.
Qi,irrev
(assunzione) Serbatoici-di calore a
Q;,rcv
bassa _ ~. ~\
t~~~ (a) Due motori tennici, l"uno reversibile, !"altra irreversibile, che funzionano tra due stessi serbatoi di calore (quello reversibile viene poi invenito per funzionare come macchina frigorifera)
(b) Il sistema combinato equivalente
FIGURA 5.42
Dimostrazione del primo teorema di Camot.
Il secondo teorema di Carnot può essere provato in una maniera simile, sostituendo il motore termico irreversibile con un altro reversibile, più efficiente di quello reversibile già utilizzato nell'esempio precedente, e che, perciò, riesca a fornire più lavoro del primo. Seguendo lo stesso ragionamento, si finirà con l'avere un motore che produce una quantità di lavoro netto scambiando calore con un solo serbatoio di calore in contrasto con il secondo principio della termodinamica. Si può allora concludere che tutti i motori reversibili, che funzionano tra gli stessi due serbatoi di calore, hanno lo stesso rendimento indipendentemente dal ciclo e dal fluido evolvente.
5.9 Il LA SCALA TERMODINAMICA DI TEMPERATURA Una scala di temperatura indipendente dalle proprietà delle sostanze che vengono utilizzate per la sua determinazione è chiamata scala termodinamica di temperatura e offre grandi vantaggi nei calcoli termodinamici. · Per il secondo teorema di Carnot, secondo il quale tutti i motori termici reversibili hanno lo stesso rendimento se operano tra le stesse riserve di calore (Figura 5.43) indipendentemente dal ciclo seguito e dalle caratteristiche del fluido evolvente, si ha che il rendimento dei motori termici reversibili dipende dalle caratteristiche dei serbatoi di calore. Poiché i serbatoi di calore sono caratterizzati dalla loro temperatura, si ha che il rendimento dei motori termici reversibili dipende soltanto dalle temperature dei serbatoi tra i quali essi funzionano: 1]~ rev
= g(T,, T)
Setbatoio di calore ad alta temperatura T, = IOOOK -,._,e,,-..,""'·":;,,,>",/
-
FIGURA 5.43
Tutti i motori tennici che operino tra gli stessi serbatoi di calore hanno lo stesso rendimento.
Q, =J(T,.T;)
oppure
Sorgente tennica a T1
Q;
(5.15)
dato che 7), = 1- Q; /Q,. In queste relazioni T, e I; sono le temperature dei due serbatoi di calore, rispettivamente della sorgente e del pozzo. . La funzione f (T,, T1) può essere esplicitata _con l'aiuto dei tre moton termici reversibili riportati in Figura 5.44: i moton A e C assorbono lo stesso calore Q dalla sorgente a temperatura T1; il mùtore C cede Q3 al pozzo a temperarura T3; il motore B riceve il calore Q2 scaricato dal ,motor~ A al~a temperatura T2 e cede il calore Q3 al ~ozzo a temperatura Tr L energia scancata sotto forma di calore dai moton B e C deve necessanamente essere la stessa dato che i motori A e B possono essere visti come un unico motore reversibile che opera tra gli stessi serbatoi del motore C con lo stesso rendimento di quest'ultimo. Dal momento che il calore in ingresso al motore C ~ lo stesso di quello del motore ottenuto combinando i motori A e B, entrambi i sistemi devono scaricare lo stesso calore. Applicando l'Equazione 5.15 a tutti e tre i motori termici separatamente, si ha:
Si consideri ora l'identità:
Esaminando questa equazione si ha che, se il termine a sinistra dell'e_qu~ zione è funzione solo di T e T , lo deve essere anche quello a destra md1pendentemente da T2• Queita c~ndizione di indipendenza è soddisfatta solo se la funzione/ha la forma:
1/1(7;) ( ) l/l(Ti) f (Ti.Ti )=l/l(T2) e f Ti, T3 =l/l(T3) 1fJ (T2)
Questa scala di temperatura viene chiamata scala Kelvin e le temperature lette su di essa temperature assolute. Sulla scala Kelvin, i rapporti di temperatura dipendono dai rapporti delle quantità di calore scambiate tra un motore termico reversibile e le riserve di calore, indipendentemente dalle proprietà fisiche di qualsiasi sostanza. Su questa scala la temperatura varia da zero all'infinito. Si noti che la scala termodinamica di temperatura non è completamente definita dall'Equazione 5.18, poiché questa fornisce solo i rapporti tra le temperature e non definisce il grado kelvin. Essendo stato attribuito al punto triplo dell'acqua (lo stato al quale coesistono in equilibrio tutte e tre le fasi dell'acqua) il valore di 273.16 K, il kelvin è definito come 1/273.16 dell'intervallo di temperatura tra questa temperatura e lo zero assoluto. Si noti che le ampiezze delle divisioni nelle scale Kelvin e Celsius coincidono (I K 1°C) e che il valore della temperatura tra queste due scale differisce soltanto per una costante: T(°C) = T(K) - 273.15
J(T.., TJ)= J(T..,T2)· J(T2, 13)
si semplifica nel prodotto tra/ (TI' T2) e f (T2, T3), si ha: Q, -J(T. r.)-
(5.16)
Questa relazione è più esplicita dell'Equazione 5.15 per la forma della funzione di Q/Q3 in termini di T1 e T3'. . . Per un motore termico che open tra due serbat01 d1 calore alle temperature T, e T1, l'Equazione 5.16 diventa: Q, Q; -
(5.17)
155 ~~-=
Il motore termit·o di Carnot
Serbatoio di calore ad alta temperatura (T,)
f IQ,
(5.18)
=
che corrisponde alla relazione:
Poiché
Questa è l'unica condizione che il secondo principio della termodinamica pone al rapporto tra le quantità di calore fomite e cedute dai motori termici. Molte funzioni 1/1(7) possono soddisfare questa condizione, per cui la scelta può essere completamente arbitraria. Lord Kelvin per primo, al fine di definire una scala termodinamica di temperatura, propose di adoperare la funzione fil)= T (Figura 5.45), ottenendo:
(5.19)
Anche se la scala termodinamica di temperatura è stata definita ricorrendo ali' aiuto dei motori termici reversibili, la validità dell'Equazione 5.18 può essere dimostrata con considerazioni fisiche su un ciclo reversibile che sfrutti un gas ideale come fluido evolvente. Inoltre, poiché non è possibile, o comunque non è pratico, operare realmente con questo tipo di motori per determinare i valori numerici sulla scala di temperatura, le temperature assolute possono essere misurate accuratamente ricorrendo ad altri mezzi, come il termometro a gas ideale a volume costante di cui si è trattato nel Capitolo I.
5.1 OrtJ IL MOTORE TERMICO DI CARNOT Il rendimento termico dei motori termici, qualsiasi essi siano, reversibili o irreversibili, è dato dall'Equazione 5.8:
7),
=I-
Q
Q:
dove Q, è il calore assorbito da una sorgente a temperatura T, e Q, è il calore scaricato verso un pozzo a temperatura r,. Poiché per i motori termi-
.
' "
Q,
T,
Q; =r; I I I I
Serbatoio di calore a bassa
·"~~~<:;l FIGURA 5.45 Per cicli reversibili, il rapporto Q/Q, tra le energie scambiate sotto forma di calore può essere sostituito con il rapporto tra le temperature assolute T/T,
!56 '.\PITOLO 5 ;;ccondo principio ella termodinamica
ci reversibili, in base all'Equazione 5.18, il rapporto tra le quantità di calore indicate nella relazione precedente può essere sostituito con il rapporto tra le temperature assolute dei due serbatoi di calore, il rendimento di un motore di Carnot, o di qualsiasi motore termico reversibile, è dato dalla relazione:
Serbatoio di calore ad alta temperatura .• •], .= 100,0 ~" Q,
Il rendimento termico definito dalla relazione precedente è detto rendimento di Carnot, dal momento che il più noto tra i motori reversibili è quello di Camot, ed è il più alto rendimento di un motore termico che compia il suo ciclo tra due serbatoi di calore alle temperature di T, e T, (Figura 5.46). Tutti i motori termici irreversibili (vale a dire reali), che funzionano scambiando calore alle temperature T, e T1, hanno un rendimento termico inferiore: per un motore termico reale questo rendimento termico è irraggiungibile perché è praticamente impossibile eliminare completamente tutte le irreversibilità associate al ciclo reale. Si noti che T, e T1 nell'Equazione 5.20 sono temperature assolute. I rendimenti termici dei motori termici che funzionano tra le stesse due temperature devono soddisfare la seguente relazione (Figura 5.47):
'IGURA 5.46 ! motore tennico di Carnot è il più
fficiente tra tuui i motori tennici he operino tra la stessa sorgente lo stesso pozzo.
11,
l
< 171,rev motori irreversibili
= >
171,rev 171,rev
motori reversibili
(5.21)
motori impossibili
Poiché la maggior parte delle macchine motrici (motori termici) attualmente in funzione ha rendimenti termici inferiori al 40 per cento, questo valore potrebbe sembrare basso rispetto all'idea di piena conversione del!' energia termica in lavoro netto. Si osservi, però, che le macchine reali si devono confrontare non con il valore del 100 per cento, ma con il rendimento di un motore termico reversibile che operi tra le stesse temperature massima e minima: per esempio, il massimo rendimento di un impianto
motore a vapore che funziona tra le temperature di T = 750 K e T. = 300 K è pari al 60 per cento, valore che va confrontato co~ un rendim~nto reale del 40 per cento, non poi così basso, anche se notevolmente migliorabile. Soffermandosi sull'Equazione 5.20, si noti che il rendimento di un motore termico di Camot aumenta all'aumentare di Te al diminuire di T.: in particolare, al diminuire di T, diminuisce la quantità' di calore scaricata ~I' esterno e al tendere di T, a zero il rendimento tende all'unità. Quanto appena detto è vero anche per i motori termici reali: il rendimento termico dei motori ter-
li motore termico di Carnot
mici reali può essere ottimizzato fornendo calore alla più alta temperatura possibile (limitata dalla resistenza meccanica dei materiali) e scaricando calore alla più bassa temperatura (limitata dalla temperatura del mezzo di raffreddamento utilizzato, cioè fiumi, laghi o latmosfera).
ESEMPIO 5.5 Il motore termico di Carnot mostrato in Figura 5.48 riceve 500 kJ sotto forma di calore per ogni ciclo da una sorgente ad alta temperatura a 652°C e scarica verso u~ pozzo a 30°C. Si d~te~inino a) il rendimento termico di questo motore termico d1 Camot e b) la quantità d1 calore scaricata per ogni ciclo verso il pozzo. Soluzione a) Il motore termico di Carnot è un motore reversibile, e perciò il suo rendimento può essere determinato ricorrendo all'Equazione 5.20:
T,
30+273
T,
652+273
7J, 0 =!).,.., =1--=1-
-0.672
11 che significa che questo motore di Carnot converte il 67.2 per cento del calore ricevuto in lavoro.
b) 11 calore O, scaricato da questo motore termico reversibile può essere facilmente
Serbatoio di calore
~~~·'"~·· FIGURA 5.48 Schema per l'Esempio 5.5.
determinato con l'Equazione 5.18:
QJ, rev
=~O T. s, rev
30+273 ---x500=163.8 kJ 652+273
Perciò questo motore di Camot scarica 163.8 kJ dei 500 kJ assorbiti sotto forma di calore durante ogni ciclo di lavoro.
La qualità dell'energia
FIGURA 5.47 Nessun motore tennico può avere un rendimento più alto di quello di un motore tennico reversibile che operi tra gli stessi serbatoi di calore ad alta e a bassa temperatura.
157
Il motore termico ?i Camot dell'Esempio 5.5 riceve calore da una sorgente alla temperatura d1 925 K convertendone il 67.2 per cento in lavoro e scaricando il resto (32.8 per cento) verso un pozzo alla temperatura di 303 K. Si esamini ora la variazione del rendimento termico con la temperatura della sorgente mantenendo costante quella del pozzo: ciò può essere fatto ricorrendo all'Equazione 5.20 (Figura 5.49). Il rendimento termico diminuisce al diminuire della temperatura della sorgente termica: per esempio, se si fornisse calore a 500 K invece che a 925 K il rendimento passerebbe dal 67.2 al 39.4 per cento; se si scendesse
Serbatoio di calore
T,[K]
I).[%]
925 800 700 500 350
67.2 62.1 56.7 39.4 13.4
FIGURA 5.49 Frazione del calore fornito che può essere convenito in lavoro, in funzione della temperatura della sorgente.
158 CAPITOLO 5 li secondo principio della termodinamica
T, K
2000
Qualità
1500
1000 500
FIGURA 5.50 Piil alta è la temperatura del corpo, migliore è la qualità dell'energia in esso contenuta.
ulterionnente fino a 350 K, il rendimento tennico sarebbe appena del 13.4 per cento. Questi valori del rendimento tennico mostrano che per l'energia si può parlare di qualità oltre che di quantità. Infatti, considerando i valori di rendimento tennico riportati in Figura 5.49, si può notare che può essere convertita in lavoro una quantità maggiore dì calore se essa è fornita ad alta temperatura: piiì alta è la temperatura della sorgente pìiì alta è la qualità de/l'energia (Figura 5.50). Per esempio, la grande quantità di energia solare, immagazzinata in grossi corpi d'acqua, chiamati stagni solari, alla temperatura di circa 350 K, può essere trasfonnata in lavoro da un motore tennico, ma ciò avviene con un rendimento termico molto basso (inferiore al 5 per cento) a causa della bassa qualità dell'energia immagazzinata. Il lavoro, invece, è una fonna di energia di qualità molto più alta del calore dal momento che il 100 per cento di esso può essere convertito in calore. Si osservi che, quando il calore viene scambiato da un corpo ad alta a uno a bassa temperatura, esso subisce un inevitabile degrado dal momento che, alla fine del processo, una minor parte di esso potrà essere nuovamente convertita in lavoro.
5.11 "1 LA MACCHINA FRIGORIFERA E LA POMPA DI CALORE DI CARNOT Una macchina frigorifera (o una pompa di calore) che operi secondo il ciclo inverso di Carnot viene definita macchina frigorifera di Carnot (o pompa di calore di Carnot). Il coefficiente di prestazione delle macchine frigorifere e delle pompe di calore, reversibili o irreversibili, è dato rispettivamente dalle Equazioni 5.11 e 5.13:
Q,/Q;-1
e
COPPdC =
I
l-Q; Q,
dove Q1 è la quantità di calore assorbita dal corpo a bassa temperatura e Q, quello scaricato al corpo ad alta temperatura. Per l'Equazione 5.18, poiché i COP di tutte le macchine frigorifere e delle pompe di calore reversibili (come quelle di Carnot) possono essere calcolati sostituendo ai rapporti tra le quantità di calore quelli tra le temperature assolute dei serbatoi di calore a bassa e ad alta temperatura, si avrà:
159
Ambiente caldo a T,=300K
La macchina frigorifera e la pompa di calore di Carnot
i' .
I
FIGURA 5.51 Nessuna macchina frigorifera può avere un COP• più alto di una macchina frigorifera reversibile che operi tra gli stessi serbatoi di calore ad alta e a bassa temperatura.
Ambiente refrigerato
calore reali operanti tra gli stessi valori di temperatura (T e T.) avranno ' ' coefficienti di prestazione più bassi (Figura 5.51). Confrontando i coefficienti di prestazione di macchine frigorifere reali e reversibili che operino tra le stesse temperature si ha:
COPF
l
< COPf,rev macchine frigorifere irreversibili = COPF.rev macchine frigorifere reversibili > COPF.rev macchine frigorifere impossibili
(5.24)
Considerazioni simili si possono fare per le pompe di calore sostituendo ai COPF i COPPdC' I valori di COP per le macchine frigorifere reali possono avvicinarsi a quelli ideali ma non possono mai raggiungerli. Inoltre, i valori di COP delle macchine frigorifere, come quelli delle pompe di calore, diminuiscono al diminuire di T,. per cui, per assorbire calore dall'ambiente refrigerato, occorre una quantità di lavoro tanto maggiore quanto più bassa è la temperatura. Ambiente caldo
ESEMPIO 5.6 Un inventore sostiene di aver realizzato un frigorifero che mantiene la temperatura della cella a 0°C, installato in un ambiente alla temperatura di 25°C, con un COP • di 13.5. Si verifichi questa affermazione. La prestazione di questo frigorifero (Figura 5.52) può essere valutaSoluzione ta confrontandola con quella di una macchina frigorifera di Carnai (o anche con quella di una qualsiasi altra macchina frigorifera reversibile) che opera tra le stesse temperature:
COP,, ,max
Queste relazioni forniscono i valori dei coefficienti di prestazione pìiì alti che possono avere le macchine frigorifere e le pompe dì calore che operino tra le temperature di T, e T;, poiché tutte le macchine frigorifere o pompe di
1 = COP,,,.., = - - T, -1 '
/T,
Ambiente refrigerato
298/273 -1
- 10.9
Questo rappresenta il più alto COP, che una macchina frigorifera può avere tra queste due temperature. Dal momento che il valore del COP, indicato dall'inventore è superiore a questo valore, la sua affermazione è falsa.
~~""'"""' FIGURA 5.52 Schema per l'Esempio 5.6.
160 ESEMPIO 5.7
CAPITOLO 5 Il secondo principio
:lella termodinamica
37.5 kW
Casa T,=21°C
Si intende usare una pompa di calore durante l'inverno per riscaldare una casa (Figura 5.53). Se per mantenere la temperatura della casa a 20°C, con una temperatura esterna di -5°C, occorre fornire una potenza termica di 37.5 kW, si determini la minima potenza meccanica richiesta dalla pompa di calore per soddisfare questo fabbisogno di energia termica. Per mantenere una casa alla temperatura di 20°C, la pompa di caloSoluzione re deve fornire tanta energia termica quanto ne perde la casa, cioè 37.5 kW. La potenza richiesta sarà quella minima se si pensa di utilizzare una pompa di calore reversibile. Il COP,40 di una pompa di calore reversibile che operi tra le temperature indicate ( T. 21 + 273 294 K e T, -5 + 273 268 K) è (Equazione 5.23):
=
=
1 = - -1 - T,
COP.
/T,
roc ...,
=
=
1 1 - (268/294)
-11.3
""°
La potenza meccanica della pompa di calore reversibile, dalla definizione di COP (Equazione 5.12), è:
L "·'
:1GURA 5.53 Schema per l'Esempio 5.7.
37 5 = _3_ = · = 3.32 kW COPPdC 11 .3
La pompa di calore può soddisfare il fabbisogno termico della casa assorbendo una potenza meccanica di soli 3.32 kW, che si può ritenere con buona approssimazione pari alla potenza elettrica assorbita. Se per il riscaldamento di questa casa si fosse pensato a una semplice stufa elettrica, il consumo di energia sarebbe stato di 11.3 volte superiore perché una stufa elettrica assorbe potenza elettrica trasformandola in potenza termica con un rapporto unitario. Si noti che con una pompa di calore l'energia termica viene assorbita dall'esterno e trasferita all'interno attraverso un ciclo inverso: la pompa di calore non crea energia, ma semplicemente la trasporta da una sorgente (ambiente esterno freddo) a un pozzo (ambiente interno caldo).
5.12 lflii SOMMARIO Il secondo principio della termodinamica afferma che le trasformazioni avvengono spontaneamente seguendo un verso ben preciso. Una trasformazione non può avvenire se non soddisfa sia il primo sia il secondo principio della termodinamica. I corpi che possono assorbire o cedere quantità finite di calore isotermicamente sono detti serbatoi di calore. Il lavoro può essere convertito direttamente e completamente in calore, mentre il calore può essere convertito in lavoro solo per mezzo di apparecchiature chiamate motori termici. Il rendimento di un motore termico è definito dalla relazione:
- L•. u --1- Q; T/ ,Q, Q, dove L. " è il lavoro netto prodotto dal motore termico, Q, è la quantità di calore fornita al motore termico e Q; è la quantità di calore scaricata.
Le macchine frigorifere e le pompe di calore sono macchine operatrici che assorbono una quantità di calore da una sorgente a bassa temperatura e ne scaricano un'altra a un pozzo ad alta temperatura. L'efficienza di una macchina frigorifera o di una pompa di calore viene espressa in termini di coefficienti di prestazioni, definiti dalle relazioni:
COPF=J1_= L.,,
COPPdc=~= Ln,e
I
Q,/Q; -I l 1-Q;/Q,
L'enunciato .di Kelvin-Planck del secondo principio della termodinamica stabilisce che nessun motore termico può produrre una quantità netta di lavoro scambiando calore con un solo serbatoio di calore. L'enunciato di Clausius del secondo principio della termodinamica stabilisce che nessuna apparecchiatura che trasferisca calore da un corpo più freddo a uno più caldo riesce a farlo senza produrre effetti sull'ambiente circostante. Ogni macchina che violi il primo o il secondo principio della termodinamica viene detta macchina a moto perpetuo. Una trasformazione è detta reversibile se sia il sistema sia lambiente possono essere riportati alle condizioni originarie. Ogni altra trasformazione che non abbia questa caratteristica è irreversibile. Gli effetti come l'attrito, le espansioni o le compressioni non-quasi-statiche e lo scambio termico attraverso un salto finito di temperatura rendono una trasformazione irreversibile e sono detti irreversibilità. Il ciclo di Camot è un ciclo reversibile composto di quattro trasformazioni reversibili, due isoterme e due adiabatiche. I teoremi di Camot affermano che i rendimenti termici di tutti i motori termici reversibili che funzionino tra gli stessi due serbatoi di calore sono gli stessi, e che nessun motore termico è più efficiente di uno reversibile che operi tra gli stessi due serbatoi. Questi enunciati formano la base per stabilire una scala assoluta di temperatura, detta anche scala Kelvin, che è legata allo scambio termico tra una macchina reversibile e i due serbatoi ad alta e a bassa temperatura dalla relazione:
Il rapporto Q/Q1 può essere sostituito da T/T, per tutte le macchine reversibili. Un motore termico che funzioni secondo il ciclo di Carnot viene chiamato motore termico di Camot. Il rendimento termico di un motore così fatto, così come quello di tutti gli altri motori reversibili, è il massimo rendimento al quale può tendere un motore reale che scambi calore con serbatoi di calore alle temperature T, e i; ed è dato dalla relazione:
T T/1.rev -1--L T, -
162 CAPITOL05 Il secondo principio della termodinamica
I COP delle macchine frigorifere e delle pompe di calore reversibili sono i più ~ti coefficienti di prestazione che una macchina frigorifera e una pompa d1 calore possono raggiungere se operano tra i serbatoi a temperature T e T1 e sono fomiti dalle relazioni: '
COR
F,rev
1 = --
T,/T; - I I
.
CORPdc, rev = -I -1; /T,
L'entropia In questo capitolo studieremo il secondo principio della termodinamica applicato alle trasformazioni termodinamiche, arrivando a definire una nuova grandezza detta entropia. Partendo dalla diseguaglianza di Clausius si passerà al principio del!' aumento del!' entropia, che, al contrario dell'energia, è una grandezza che non si conserva. In seguito, analizzeremo le variazioni di en.tropia per le trasformazioni delle sostanze pure, di quelle incompressibili e dei gas perfetti. Verrà studiata, poi, una classe speciale di trasformazioni ideali, quella delle trasformazioni isoentropiche, per finire con la determinazione del lavoro reversibile in condizioni di flusso stazionario.
164
6.1
CAPITOL06 L'entropia
Con il secondo principio della termodinamica si ottengono spesso espressioni che contengono diseguaglianze: per esempio, un motore termico irreversibile (vale a dire reale) è meno efficiente di uno reversibile che funzioni scambiando calore con gli stessi serbatoi di calore, come avviene anche per le macchine frigorifere e le pompe di calore reali e ideali. Un'importante diseguaglianza, che ha notevoli conseguenze in termodinamica, è la diseguaglianza di Clausius, dal nome del fisico tedesco Rudolf Emanuel Clausius (1822-1888) che per primo la propose:
Dispositiv ciclico
reversibile
LA DISEGUAGLIANZA DI CLAUSIUS
indicando con Lcomb l'integrale ciclico di del ciclo combinato, si ha:
I I
I
T
I I
I I
I I I
I ·-:;:--:-::-~'.'>8Lsi1
_____ \ ____________ ,II Sistema combinato (sistema e dispositivo ciclico)
'IGURA 6.1 :istema utilizzato per ricavare la .iseguaglianza di Clausius.
Questa relazione afferma che l'integra/e ciclico di 8Q/T è sempre inferiore o al più uguale a zero, diseguaglianza valida per tutti i cicli reversibili o irreversibili. Poiché lo scambio di calore da o verso il sistema può essere considerato come la somma di scambi di calore infinitesimi, l'integrale ciclico di 8Q/Tpuò essere visto come la somma di questi apporti di calore divisa per la temperatura assoluta misurata alla superficie di scambio. Per dimostrare la validità della diseguaglianza di Clausius, si consideri un sistema collegato a una sorgente di calore alla temperatura assoluta costante T, attraverso una macchina termica ciclica reversibile (Figura 6.1). Questa riceve una quantità di calore 8Q, dalla sorgente, fornisce la quantità di calore 8Q al sistema, la cui temperatura in corrispondenza della superficie di scambio è T (variabile) e produce il lavoro oL , mentre il sistema produce il lavoro oL,,, per effetto dello scainbio te~ico. Applicando il principio di conservazione dell'energia al sistema combinato (delimitato in Figura 6.1 dalla linea tratteggiata) si ha: &comb
=8Q, -
L'entropia
Questa relazione, che esprime la diseguaglianza di Clausius, è valida per tutti i cicli termodinamici, reversibili o irreversibili, diretti o inversi. Nel caso in cui all'interno del sistema non si riscontrasse alcuna irreversibilità, così come avviene per un dispositivo reversibile, allora, il ciclo al quale è sottoposto il sistema combinato sarebbe internamente reversibile e, come tale, potrebbe essere invertito. In quest'ultimo caso, poiché tutte le grandezze avrebbero lo stesso valore, ma segno opposto, il lavoro Lcomb' che nel caso precedente non potev.a essere positivo, non può essere negativo; dovendo essere allora necessanamente Lcomb. '"'· ,., = O, per i cicli internamente reversibili si ha:
oEcomb
(6.2)
è il lavoro complessivo del sistema combinato (oL. + 8L ) e oEcomb è variazione di energia totale del sistema combinato. Per la ;;acchina ciclica reversibile si ha (Equazione 5.18): dove oL
y;
b
8Q, = 8Q T, T dove il segno di 8Q si determina con riferimento al sistema (positivo se entrante nel sistema, negativo se uscente dal sistema) e il segno di 8Q, con riferimento alla macchina termica ciclica. Eliminando 8Q dalle due precedenti relazioni si ha: '
8Q
8Lcomb
=T, T- dEcomb
Se il sistema compie un ciclo termodinamico mentre la macchina termica ciclica reversibile percorre un numero intero di suoi cicli (diretti e inversi),
165
vale a dire il lavoro netto
poiché l'integrale ciclico della variazione di energia totale del sistema ~om binato è nullo (lenergia è una proprietà che si conserva durante un ciclo). Si noti che il sistema combinato scambia calore con un singolo serbatoio di energia termica mentre produce o consuma il lavoro Lcomb durante tutto un ciclo. In base all'enunciato di Kelvin-Planck del secondo principio della termodinamica, poiché nessun sistema può produrre una quantità di lavoro netto se funziona secondo un ciclo e, nel contempo, scambia calore con un solo serbatoio termico, L b non può rappresentare lavoro prodotto e dunque non può essere una qu;~tità positiva; inoltre, considerando che T, è una temperatura assoluta e, come tale, necessariamente positiva, si ha:
I
oQ
BLcomb'
I
I
I
I, \
Il segno di eguaglianza nell'Equazione 6.1 vale solo per i cicli totalmente o almeno internamente reversibili, mentre la diseguaglianza per i cicli irreversibili ..
6.2 11!1 L'ENTROPIA Si consideri l'Equazione 6.2, che contiene una grandezza il cui integrale ciclico è nullo: questa grandezza non può essere funzione di linea, cioè dipendere dalla modalità con la quale evolve la trasformazione, come il lavoro o il calore scambiato. Proprio perché non dipende dal percorso della trasformazione seguito per raggiungere un determinato stato, questa grandezza è una grandezza di stato. Si consideri, infatti, il ciclo al quale viene sottoposto un gas contenuto in un dispositivo cilindro-pistone (Figura 6.2). Se alla fine del ciclo il pistone ritorna nella sua posizione iniziale, il gas occuperà lo stesso volume
[E [I [E fdV=àV"''° =0 FIGURA 6.2 La variazione netta di volume ("grandezza di stato") durante un ciclo è pari a zero.
166
iniziale. La variazione netta di volume calcolata sul ciclo è nulla. Quanto detto si può esprimere matematicamente con la relazione:
CAPITOLO 6 L'entropia
(6.3)
L'integrale ciclico del volume, come di ogni altra grandezza di stato, è nullo. Ne cons~gue quindi che la quantità (8Q,/T)int,revdeve rappresentare una grandezza d1 stato espressa in forma differenziale. Questa nuova grandezza di stato, da Clausius detta entropia e generalmente indicata con il simbolo S, è definita dalla relazione:
~~~;;j
Il principio
Trasfonnazione 1-2 (reversibile~ ... irreversibile) ....~ .........
f°i2 so
f t
OQ + T
f'(OQ)
I
J2
Poiché il secondo integrale nella relazione precedente esprime chiaramente la variazione di entropia s, - s2, si ha:
l I
28Q -+S1 -S 2 SO
(6.6)
T
T[K)
AS=S2 -S 1 =0.4 kJ/K
Trasfonnazione\ irreversibile
,.. . "'.,,.
--- 2
;
,/ I
i
I
: I I I
I
Trasfonnazion~ reversibile
0.3
J
0.7
s [kJ/K]
FIGURA 6.3 La variazione di entropia tra due stati detenninati è la stessa per una trasfonnazione reversibile o irreversibile.
(8Q)
(6.5)
(6.7)
Si noti che, in realtà, si è definita la variazione di entropia e non lentropia come grandezza assoluta, proprio come si è fatto per l'energia interna quando è stata ricavata la relazione del primo principio della termodinamica per sistemi chiusi. Per stabilire i valori assoluti dell'entropia si dovrà fare ricorso al terzo principio della termodinamica, di cui si tratterà in seguito. Poiché in pratica interessano le variazioni di entropia, si può, assegnato arbitrariamente il valore zero di entropia a un qualsiasi stato di riferimento, valutare ogni altro valore con l'Equazione 6.5, che può essere integrata conoscendo la relazione funzionale tra Q e T durante la trasformazione. Questa relazione spesso non è nota, per cui nella maggior parte dei casi il calcolo della variazione di entropia viene fatto utilizzando i dati in forma di tabulato. Ciò è possibile perché, essendo l'entropia una grandezza di stato, i cui valori, cioè, dipendono solo dallo stato del sistema, la variazion.e ~i entropia /:;.Stra due stati del sistema considerato è la stessa qualunque sia Il percorso della trasformazione, reversibile o irreversibile, che ha portato il sistema da uno stato all'altro (Figura 6.3). Si noti che lintegrale di OQIT fornisce il valore della variazione di entropia solo se è calcolato facendo riferimento al percorso di una trasformazione internamente reversibile tra i due stati di partenza e di arrivo. Nel caso di trasformazione irreversibile, la variazione di entropia tra due stati di un sistema può essere calcolata come integrale di OQ!T solo ricorrendo a una conveniente trasformazione immaginaria internamente reversibile tra i due stati considerati.
L'Equazione 6.7, che può essere considerata come una formulazione matematica del secondo principio della termodinamica, in forma differenziale assume la seguente espressione:
l
T
(J/K)
I
,,/
,
~,
\...
che può anche essere espressa dalla relazione:
2 L!.S=S2-S1 =l
dell'aumento dell'entropia
Si consideri un ciclo composto da due trasformazioni (Figura 6.4): la prima 1-2, arbitraria (reversibile o irreversibile), e la seconda 2-1, internamente reversibile. Dalla diseguaglianza di Clausius risulta che:
oppure che:
L'entropia S, detta anche entropia totale, è una grandezza estensiva, mentre l'entropia per unità di massa, indicata con il simbolo s, è una grandezza intensiva e si misura in J/(kg · K). La variazione di entropia di un sistema può essere calcolata ricorrendo alla integrazione dell'Equazione 6.4 tra gli stati iniziale e finale:
167
6.3 ~! IL PRINCIPIO DELL'AUMENTO DELL'ENTROPIA
nt,rev
(6.8)
dove leguaglianza si ha solo per trasformazioni internamente reversibili, mentre la diseguaglianza per trasformazioni irreversibili. Si può, quindi, affermare che la variazione di entropia di un sistema chiuso durante una trasformazione irreversibile è maggiore dell'integrale della grandezza oQJT valu-
tato lungo quella trasformazione. Solo nel caso di una trasformazione reversibile, queste due quantità diventano uguali. Si ricordi che Tè la temperatura assoluta valutata in corrispondenza del contorno attraverso il quale vengono scambiate le quantità di calore infinitesime 8Q tra il sistema e lambiente. La variazione di entropia del sistema L!.S =S2 - S, solo per una trasformazione reversibile è pari a J12 OQ/T ; questa quantità, invece, rappresenta lentropia scambiata per scambio termico dal sistema. La variazione di entropia durante una trasformazione irreversibile è sempre maggiore dell'entropia scambiata e ciò·implica che, durante una trasformazione irreversibile, vi sia la creazione o generazione di entropia a
Trasformazione 2-1 (internamente reversibile)
FIGURA 6.4 Un ciclo composto da una trasfonnaiione reversibile e da una irreversibile.
r 168 CAPITOLO 6
causa delle irreversibilità. L'entropia generata, la cui entità è indicata con il simbolo Sg••' permette di scrivere la relazione 6.7 come eguaglianza:
L'entropia
Si noti che S eo' quantità sempre positiva o al più nulla, ha un valore che dipende dalla partTcolare trasformazione, per cui non è una grandezza di stato. Per un sistema isolato o soltanto chiuso e adiabatico, poiché lo scambio di calore con l'esterno è nullo, la relazione 6.7 diventa: ~isola
(6.10)
Da questa equazione si ricava il principio dell'aumento dell'entropia secondo il quale durante una trasformazione l'entropia di un sistema isolato non diminuisce mai e al più rimane costante se la trasformazione è reversibile. Si noti che in assenza di scambio termico l'aumento di entropia è dovuto alle sole irreversibilità. Dal momento che nessuna trasformazione reale è reversibile, si può affermare che ogni trasformazione comporta la generazione di una quantità di entropia e l'aumento dell'entropia dell'universo considerato come sistema isolato. L'entropia generata aumenta con l'irreversibilità della trasformazione e si annulla solo per trasformazioni reversibili (S = O). Il principio dell'aumento dell'entropia dei sistemi isolati ~~n esclude che l'entropia di un sistema o del suo ambiente possa diminuire; tale principio implica soltanto che (Figura 6.5), durante una trasformazione, vi sia la generazione di una quantità di entropia. Il principio dell'aumento .di entropia può essere così sintetizzato:
l
2 L'entropia si conserva solo durante trasformazioni reversibili e non si conserva durante tutte le trasformazioni reali. L'entropia dell'universo è sempre in aumento. 3 L'entropia generata misura lentità delle irreversibilità dei processi termodinamici reali, che limitano le prestazioni dei complessi sistemi di produzione di energia.
6.4 Ifa IL BILANCIO DI ENTROPIA Il secondo principio della termodinamica afferma che l'entropia, la quale, come si vedrà in seguito, misura il disordine molecolare di un sistema, può essere creata ma non distrutta. Poiché la variazione di entropia di un sistema è sempre maggiore dell'entropia scambiata di una quantità pari all'entropia generata all'interno del sistema durante la trasformazione, il principio dell'aumento dell'entropia può essere espresso in termini di bilancio di entropia: Variazione di entropia =Entropia scambiata + Entropia generata
Questa relazione può essere applicata a qualunque tipo di trasformazione che interessi un sistema. Per il bilancio di entropia appena riportato la variazione di entropia di un sistema durante una trasformazione è uguale alla somma dell'entropia scambiata attraverso il contorno e dell'entropia generatasi all'interno del sistema stesso a causa delle irreversibilità presenti.
> O trasformazione irreversibile
S gcn = O trasformazione reversibile
< O trasformazione impossibile
Questa relazione può risultare utile per valutare la reversibilità di una trasformazione e la possibilità che essa avvenga. Il principio dell'aumento dell'entropia impone che l'entropia di un sistema isolato aumenti fino a che l'entropia del sistema stesso non abbia raggiunto un valore massimo; in queste condizioni, il sistema ha raggiunto uno stato di equilibrio, poiché non è possibile alcuna trasformazione che possa determinare la diminuzione di entropia.
1 La variazione di entropia Poiché l'entropia è una grandezza di stato, la variazione di entropia di un sistema durante una trasformazione è data dalla differenza tra i valori iniziale e finale: Variazione cli entropia= Entropia nello stato finale - Entropia nello stato iniziale
2 L'entropia scambiata Alcune note sull'entropia 'IGURA S-.5 .a variazione di entropia di un sistema ·uò essere negativa; non può ssere negati va. al contrario, ·entropia generata.
Da quanto precede si può affermare che:
L'entropia può essere trasferita da o a un sistema per scambio termico oppure per trasporto di massa e, come ogni grandezza scambiata, può essere rilevata al contorno del sistema.
1 Le trasformazioni possono avyenire spontaneamente solo in un certo verso che sia in accordo con il principio dell'aumento dell'entropia, vale a dire in modo tale che si abbia S <':O. Non sono possibili trasformazioni in contrasto con il principio dell'f~mento dell'entropia.
Scambio termico Poiché il calore è una forma disorganizzata di energia e parte della disorganizzazione (entropia) fluisce insieme a esso, la somministrazione di calore a un sistema ne fa aumentare l'entropia inducendo
169 Il bilancio
di entropia
I 170
un aumento del suo disordine. Quando, invece, viene sottratto calore al sistema, l'entropia diminuisce e ciò rappresenta l'unica maniera perdiminuire lentropia di un sistema. Il rapporto tra la quantità di calore scambiata e la temperatura viene chiamata entropia scambiata; si esprime in generale come
CAPITOLO 6 L'entropia
· Entropia scambiata
S. · =
.. ca!
J0QT
(6.13)
La quantità Scai rappresenta l'entropia scambiata per scambio termico e, dal momento che la temperatura assoluta T è una quantità sempre positiva, il suo verso è lo stesso di quello dello scambio termico: positivo se entrante nel sistema, negativo se uscente dal sistema. Poiché l'entropia si scambia soltanto con le quantità di calore e non con il lavoro, il secondo principio della termodinamica permette di stabilire una precisa differenza tra calore e lavoro, considerati forme equivalenti di energia dal primo principio della termodinamica. Infatti, per il secondo principio della termodinamica si può affermare che: un'interazione energetica è accompagnata da scambio di entropia se essa avviene sotto forma di scambio di calore; un 'interazione energetica non è accom-
Generazione di entropia
mediante attrito
L'entropia non si scambia con il lavoro
FIGURA 6.6
Nessuno scambio entropico accompagna lo scambio di lavoro attraverso i confini di un sistema. L'entropia può essere generata internamente al sistema quando una parte di energia sotto forma di lavoro viene dissipata trasformandosi in una forma di energia di qualità inferiore.
pagnata da scambio di entropia se avviene sotto forma di scambio di lavoro. Se l'interazione tra sistema e ambiente avviene sotto forma di scambio di lavoro c'è solo scambio di energia, mentre, se avviene sotto forma di scambio di calore, sono presenti scambi di energia e anche di entropia (Figura 6.6). Trasporto di massa L'entropia di un sistema, come l'energia, è proporzionale alla sua massa: per esempio, quando la massa di un sistema viene raddoppiata, raddoppiano lenergia e lentropia associate a esso. Poiché l'entropia, come lenergia, viene trasportata ali' interno o ali' esterno del sistema attraverso flussi di materia, quando una massa m avente entropia specifica s entra o esce da un sistema, lentropia del sistema aumenta o diminuisce della quantità m · s.
3 L'entropia generata è lentropia che si genera durante le trasformazioni per effetto di irreversibilità come l'attrito, la miscelazione, le reazioni chimiche, lo scambio termico attraverso un salto finito di temperatura, le espansioni libere, le compressioni o le espansioni non-quasi-statiche. Poiché per una trasformazione reversibile lentropia generata è nulla, lungo una trasformazione reversibile la variazione di entropia è eguale ali' entropia scambiata. Nel caso di processi reversibili il bilancio di entropia è analogo al bilancio energetico, che esprime l'eguaglianza tra la variazione di energia di un sistema e lenergia scambiata durante una trasformazione. Si noti, però, che, mentre la variazione di energia di un sistema eguaglia lenergia scambiata per qualsiasi trasformazione, la variazione di entropia eguaglia l'entropia scambiata solo nel caso di trasformazioni resgen
versibili.
Il bilancio entropico per sistemi chiusi
171
Per un sistema chiuso, la variazione di entropia è dovuta allo scambio di entropia, che accompagna il trasferimento di energia sotto forma di calore, e alla generazione di entropia al suo interno, per cui l'Equazione 6.9 espri-
Il bilancio di entropia
me il bilancio entropico di un sistema chiuso. Se si considera la generica quantità di calore Qk scambiata alla temperatura Tk nell'intorno del punto k del contorno del sistema lungo un trattò della generica trasformazione nel quale si possa ritenere costante la temperatura, la variazione di entropia del sistema è data dalla relazione: (J/K)
(6.14)
Il bilancio entropico appena scritto sta a significare che la variazione di entropia di un sistema chiuso durante una trasformazione è uguale alla somma dell'entropia scambiata attraverso il contorno per effetto dello scambio termico e del/' entropia generatasi all'interno del sistema stesso. La relaFIGURA 6.7
zione precedente, riferita all'unità di tempo, può assumere anche la forma:
dS "Qk dt = L., Tk
+S
(W/K)
(6.15)
gen
La generazione di entropia al di fuori dei confini di un sistema può essere tenuta in conto operando un bilancio entropico per un sistema composto dal sistema originario più le sue immediate vicinanze.
dove dS/dt è la variazione di entropia nell'unità di tempo del sistema e Qk rappresenta la potenza termica scambiata attraverso il contorno alla temperatura Tk. Nel caso di trasformazione adiabatica, poiché Q O, la variazione di entropia del sistema chiuso è eguale alla sola entropia generatasi all'interno del sistema stesso:
=
Ambiente
(6.16) Si noti che, poiché S8,. rappresenta soltanto lentropia generata ali' interno del sistema, una trasformazione per cui valga S •• = O è internamente e non necessariamente totalmente reversibile. La qufuJtità totale di entropia generatasi a seguito di una trasformazione può essere calcolata ricorrendo al bilancio entropico per un sistema esteso, che includa oltre al sistema quelle zone dell'ambiente ad esso circostanti, dove le irreversibilità esterne possono essere presenti (Figura 6.7). Così facendo la variazione di entropia è pari alla variazione di entropia del sistema più quella dell'ambiente nelle zone più vicine al sistema.
,----------1
I
I l
Volume di controllo
I
Q
I
me~ Se
!_ ________
!_-:
ASvc = ~+mese± musu + Sgeo
Tenninediscambio Tennine di entropico legato traspono allo scambio entropico termico con la massa
Bilancio entropico per i volumi di controllo Il bilancio entropico per volumi di controllo deve tenere conto del trasporto di massa attraverso il contorno del volume di controllo (Figura 6.8). Il bilancio entropico riferito all'unità di tempo per un volume di controllo
FIGURA 6.8
L'entropia di un volume di controllo varia a seguito del traspono di massa e dello scambio termico.
172
può essere ottenuto dalla relazione per sistemi chiusi aggiungendo un termine dovuto alla entropia scambiata per trasporto di massa:
CAPITOLO 6
s"' + s....
I
dSmu .. dt =
"Q
Uentropia
Che cos'è l'entropia?
.
0= ~-+Soen.mum T 1035
1035
293.15
278.15
173
mu..
.
0=-----+S
,.,,.m""'
L'entropia generata nell'unità di tempo all'interno del muro è:
Questa relazione di bilancio entropico afferma che la variazione di entropia nell'unità di tempo a/l'interno del volume di controllo dSvJdt durante una trasfonnazione è uguale alla somma dell'entropia scambiata per scambio tennico attraverso il contorno del volume di controllo, dell'entropia scambiata per trasporto di massa e dell'entropia generata nell'unità di tempo per la presenza di irreversibilità all'interno del volume di controllo. La relazione, che esprime il bilancio entropico per una generica trasformazione in condizioni di flusso stazionario, può essere ottenuta dall'Equazione 6.17 ponendo dS!dt O:
=
s, FIGURA 6.9 L'entropia di una sostanza aumenta sempre (oppure rimane costante in caso di trasformazioni reversibili) nell'attraversamento di un dispositivo a flusso stazionario con un solo ingresso e una sola uscita.
Questa relazione nel caso di sistemi ad una sola entrata e una sola uscita diventa:
W/K
Si noti che: la variazione di entropia del muro è nulla dal momento che lo stato e, così, l'entropia del muro non variano in nessun punto del muro stesso; l'entropia scambiata per scambio termico è pari a Q/T; la direzione dello scambio di entropia è la stessa di quella dello scambio termico. Per determinare l'entropia generata nell'unità di tempo per scambio termico è utile estendere il sistema alle regioni nelle immediate vicinanze del muro, da entrambe le parti, dove si registra una variazione di temperatura. La superficie che delimita il sistema verso l'interno assume la temperatura dell'aria interna, mentre la superficie che si rivolge dalla parte opposta la temperatura dell'aria esterna. Il bi· lancio entropico per questo sistema esteso è:
"Q
.
o= .t_,-:;: + s........~ 1035 1035 . 0=-----+S 300.15 273.15 ..........
Nel caso di adiabaticità, la relazione che esprime il bilancio di entropia diventa
-s.): l'entropia specifica del fluido deve aumentare mentre fluisce attraverso un dispositivo adiabatico poiché è Sgen ;::: O (Figura 6.9). sgen
=rii (su
ESEMPIO 6.1 Si consideri un flusso termico stazionario attraverso un muro di mattoni pieni delle dimensioni di 5 m x 6 m e di spessore pari a 30 cm, di conducibilità termica pari a 0.69 W/(m°C). Se la temperatura dell'aria all'esterno è di o•c e all'interno di 27°C, mentre le temperature delle superfici interna ed esterna del muro sono rispettivamente di 20°c e 5•c, si determinino la potenza termica scambiata attraverso il muro, l'entropia generata nell'unità di tempo all'interno del muro e l'entropia totale generata nell'unità di tempo con riferimento al sistema esteso (Figura 6.10). Soluzione Conoscendo le temperature delle superfici del muro, il flusso termico dovuto alla conduzione termica è:
FIGURA 6.10 Schema per lEsempio 6.1.
S.,,,.,.,,. =0.191
2 5 O=kA(/J.TL =0.69x(5x6)x ( o- ) =1035 W L 0.3 Considerando il muro come sistema, il bHancio entropico riferito
all'un~à
di tempo è:
L'entropia generata nell'unità di tempo è:
S.,.,...., =0.341
W/K
Si noti che anche la variazione di entropia di questo sistema esteso è pari a zero, dato che lo stato dell'aria in qualsiasi punto del sistema non varia durante questa trasformazione. Le differenze tra i due valori di entropia generata è pari a 0.150 W/K e ciò rappresenta l'entropia generata negli strati di aria da entrambe le parti del muro. La generazione di entropia, in questo caso, è interamente dovuta all'irreversibilità costituita dallo scambio termico attraverso un salto fini· to di temperatura.
6.511 CHE COS'È L'ENTROPIA? L'entropia è una grandezza termodinamica atta a misurare il disordine molecolare: più un sistema è disordinato, più è difficile prevedere la posizione delle molecole che lo compongono e più è alta l'entropia. Per quanto detto, lentropia di una sostanza allo stato solido è più bassa di quella allo stato gassoso (Figura 6.11 ), poiché in fase solida le molecole oscillano continuamente intorno alle loro posizioni di equilibrio, ma non si possono muovere relativamente le une rispetto alle altre. È possibile, quindi, nel
Entropia [J/(kgx K)J
e
e e FIGURA 6.11 Il disordine molecolare (entropia) di una sostanza aumenta se essa fonde o evapora.
T caso di un solido prevedere con una certa precisione la posizione delle molecole all'interno del reticolo di cui fanno parte, al contrario di quanto accade per i gas. A livello microscopico un sistema, isolato e in equilibrio dal punto di vista macroscopico, può rivelare un altissimo livello di attività dovuto al continuo movimento delle molecole. A ogni stato di equilibrio macroscopico, infatti, corrisponde un elevato numero di possibili stati di equilibrio microscopici o di configurazioni molecolari che dir si voglia. L'entropia è legata al numero totale dei possibili stati' micròscopici del sistema, vale a dire alla probabilità termodinamica p, dalla relazione di Boltzmann:
174 CAPITOLO 6 L'entropia
FIGURA 6.12
L'energia in forma disorganizzata non produce un effetto utile, a prescindere dalla sua quantità.
L
Albero
,-- --, I
/
L--
I
___ , I I
l
FIGURA 6.13
In assenza di attrito, sollevare un peso ruotando un albero non crea nessun disordine molecolare (entropia) e per questo, durante una tale trasformazione, l'energia non subisce degrado.
FIGURA 6.14 li lavoro d'elica effettuato su di un gas ne aumenta il livello di disordine (entropia) e per questo l'energia subisce un degrado.
s=kln p dove k = 1.3806 x 10-23 kJ/(kmol x K) è la costante di Boltzmann. Le molecole allo stato gassoso possiedono una grande energia cinetica, ma da tanta energia così poco organizzata non si riesce a ottenere lavoro (per esempio, quello necessario a far girare un'elica posta in un contenitore). Si può, infatti, immaginare che a causa del disordine in ogni istante il numero di molecole che cerca di far girare in un senso lelica è pari al numero di quelle che cerca di farla girare nel senso opposto con il risultato che essa rimane ferma (Figura 6.12). Si consideri lo schema in Figura 6.13: questa volta l'energia delle molecole, completamente organizzata, dato che le molecole dell'albero girano tutte insieme nella stessa direzione, può essere utilizzata per sollevare un grave o per generare energia elettrica. Il lavoro è una forma di energia organizzata, priva di disordine, per cui non c'è alcuno scambio di entropia associato al trasferimento di energia sotto forma di lavoro: in assenza di attriti, il sollevamento di un grave per mezzo di un albero rotante (o di una puleggia o di un volano) non genera entropia. Poiché non si ha generazione di entropia, la trasformazione è reversibile, per cui può essere invertita riportando il grave fino alla sua posizione di partenza. Nel caso, invece, in cui l'albero provvede a far girare l'elica all'interno di un contenitore pieno di gas (Figura 6.14), il lavoro fatto per mezzo del!' elica viene convertito in energia interna del gas aumentandone il disordine molecolare iniziale. Questa trasformazione è sensibilmente differente dalla precedente dal momento che una forma organizzata di energia, quella dell'elica, non viene convertita in una forma altrettanto organizzata di energia, quella potenziale del peso sollevato, ma al contrario trasformata in una forma disorganizzata di energia, dalla quale non sarà possibile riottenere lenergia cinetica di rotazione dell'albero. Sarà possibile sfruttare nuovamente solo parte di questa energia, riorganizzandola parzialmente attraverso l'uso di un motore termico. Alla fine del processo descritto si ha un degrado dell'energia, una riduzione, cioè, della possibilità di compiere lavoro, un aumento del disordine molecolare e, quindi, un aumento dell'entropia del sistema. Durante una trasformazione reale, mentre la quantità di energia presente nel sistema si conserva (primo principio della termodinamica), la qualità diminuisce (secondo principio della termodinamica) con conse-
guente aumento di entropia: per esempio, se IO kJ di energia sotto forma di calore vengono scambiati tra un corpo caldo e uno più freddo, alla fine della trasformazione quella stessa quantità di energia è soltanto stata trasferita a un altro corpo a più bassa temperatura. Quella stessa quantità di energia (IO kJ), allora, a più bassa temperatura è meno utilizzabile. Poiché il calore è una forma disorganizzata di energia, che trasporta con sé la sua disorganizzazione (Figura 6.15), l'entropia del corpo caldo diminuisce, mentre lentropia del corpo più freddo aumenta. Il secondo principio stabilisce che l'aumento di entropia del corpo freddo è maggiore della diminuzione dell'entropia di quello caldo, per cui il sistema combinato (corpo caldo e corpo più freddo) alla fine della trasformazione si trova in uno stato di disordine maggiore rispetto a quello che aveva inizialmente. Si può concludere, allora, che le trasformazioni avvengono solo nel verso di un complessivo aumento dell'entropia o del disordine molecolare. Da un punto di vista statistico, l'entropia è la misura del disordine molecolare inteso come l'indeterminazione nella posizione di ogni molecola di un gas. Anche nello stato solido le molecole oscillano continuamente intorno alle loro posizioni di equilibrio, creando una certa indeterminazione sulla loro posizione. Queste oscillazioni, tuttavia, si riducono al diminuire della temperatura, tanto da annullarsi alla temperatura di O K quando si raggiunge uno stato di perfetto ordine molecolare (e di minima energia). L'entropia di una sostanza cristallina pura alla temperatura dello zero assoluto è nulla dal momento che non v'è alcuna indeterminazione sulla posizione delle sue molecole (Figura 6.16). Questa affermazione è nota come il terzo principio della termodinamica, che fornisce un valore di riferimento assoluto per la determinazione dell'entropia. L'entropia il cui valore faccia riferimento allo zero assoluto è detta entropia assoluta ed è estremamente utile nell'analisi termodinamica delle reazioni chimiche. Si noti che l'entropia di una sostanza a O K che non sia pura (per esempio, una soluzione solida) non è nulla, perché esistendo più di una configurazione molecolare possibile si ha indeterminazione sul suo stato microscopico.
175
r{~~\
l
CALDO
·
80'C
•ir
CORPO · FREDDO
20'C
t
\(L'entropia \!liminuisce).
FIGURA 6.15
Durante un processo di scambio termico il disordine netto (l'entropia) aumenta. (L'aumento del disordine del corpo freddo compensa e supera la diminuzione del disordine del corpo caldo.)
FIGURA 6.16
Una sostanza pura allo zero assoluto è in perfeno ordine e la sua entropia è nulla (terzo principio della termodinamica). REl-lDI CONTO
T"t
CHE'
P.VME'NTI l!él'JTROPfA 00.NI
VoLT'A CHE f;o./
G.V&l.L.COSA
tN Q,UE'..SìA
Cfl.SA
7?
L'entropia nella vita quotidiana Il concetto di entropia non viene adoperato di frequente nella vita quotidiana, al contrario di ciò che avviene per il concetto di energia, anche se potrebbe essere applicato senza troppe limitazioni e precisazioni. Le persone efficienti, altamente organizzate, conducono una vita a bassa entropia: hanno un posto per tutto ciò che possiedono (minima incertezza) e impiegano poca energia per localizzare ogni cosa. Le persone inefficienti, disorganizzate, conducono, invece, una vita ad alta entropia: trovare qualcosa di cui hanno bisogno porta loro via del tempo prezioso con la probabilità che durante le ricerche il disordine aumenti, dal momento che anche la ricerca sarà condotta in maniera disorganizzata (Figura 6.17). Una biblioteca con un buon sistema di indicizzazione e di ordine negli scaffali può essere vista come una biblioteca a bassa entropia per l'elevato livello di organizzazione. Analogamente, una biblioteca che sia dotata di
FIGURA 6.17
L'uso del concetto di entropia (disorganizzazione. incertezza) non si limita al campo della termodinamica.
T un sistema di indicizzazione e archiviazione non rigorosamente ordinato può essere vista come una biblioteca ad alta entropia, dato il basso livello di organizzazione. Quest'ultima biblioteca è senza valore, dato che i libri che non possono essere trovati non possono essere consultati.
176 ~h&%4#&4
.\PITOLO 6 ·entropia
6.6
òQ,.,, "'' =T dS (J)
= BQin1.rev I
I
I
1
I
I
s
Dall'esame della Figura 6.18, poiché òQ"' corrisponde a un'area infinitesima del diagramma T-S, la quantità totale di calore scambiata durante una trasformazione internamente reversibile si calcola per integrazione con la relazione:
IGURA 6.18 u di un diagramma T-s larea sottesa Jlla curva di trasfonnazione rappresenta • scambio tennico per una asfonnazione internamente reversibile a gli stati iniziale e finale della asfonnazione stessa.
177 Il dh1gramma T-s T
l/
1
:rasfonnazione 1soentrop1ca
2 T["C]
I I I
1
500
(6.20)
2
!Area=J,'TdS=Qi I
IL DIAGRAMMA T-s
I diagrammi di stato sono estremamente utili per l'analisi delle trasformazioni termodinamiche. Con il secondo principio della termodinamica, a seguito dell'introduzione dell'entropia, sono disponibili due nuovi diagrammi per la rappresentazione delle trasformazioni termodinamiche: temperatura-entropia ed entalpia-entropia. L'equazione di definizione dell'entropia (Equazione 6.4) può essere scritta nella forma:
Trasfonnazione
I I I I
~
Nelle relazioni sopra riportate, T è la temperatura assoluta, sempre positiva, per cui lo scambio di calore durante una trasformazione internamente reversibile procede nel verso positivo se l'entropia aumenta, mentre procede nel verso negativo se l'entropia diminuisce. Si noti che nel diagramma T-s un segmento verticale rappresenta una trasformazione isoentropica, e non coinvolge alcuno scambio termico essendo l'area sottesa nulla (Figura 6.19). In Figura 6.20 nel diagramma T-s sono riportate le regioni di esistenza di una sostanza pura allo stato liquido e allo stato gassoso.
FIGURA 6.19
400
Durante una trasfonnazione internamente reversibile e adiabatica (cioè isoentropica) lentropia del sistema rimane costante.
300
Linea del liquido saturo
(6.21) 200
e corrisponde ali' area sottesa dalla linea della trasformazione tracciata nel diagramma T-S. In generale si può affermare che l'area sottesa dalla linea
della trasformazione internamente reversibile tracciata nel diagramma T-S rappresenta la quantità di calore scambiata durante la stessa trasformazione. Si noti che l'area cosl determinata rappresenta la quantità di calore scambiata per trasformazioni internamente (o totalmente) reversibili, mentre non ha alcun significato per trasformazioni irreversibili. Le Equazioni 6.20 e 6.21 riferite all'unità di massa diventano: òqint, ""
e
= T ds (J/kg)
(6.22a)
l}- ds
(6.22b)
qin~rev =
Linea del vapore
saturo
100
FIGURA 6.20 Il diagramma T-s per l'acqua.
o
4
6
7
8
s [kJ/(kg • K)] T
T,
(J/kg)
Per effettuare l'integrazione nelle Equazioni 6.21 e 6.22b bisogna conoscere le relazioni che legano T e s durante le trasformazioni. Un caso speciale per il quale l'integrazione. risulta facile è rappresentato da una trasformazione isoterma internamente reversibile; infatti, essendo T = T0 costante, si ha:
dove t::.S è la variazione di entropia del sistema.
ESEMPIO 6.2 Si disegni il ciclo di Camo! nel diagramma T-S e si indichino le aree che rappresentano il calore fornito O,. quello scaricato O, e il lavoro netto fornito L,. •. Soluzione Il ciclo di Camo! si compone di due isoterme reversibili (T = cosi) e due isoentropiche (S= cosi). Queste quattro trasformazioni formano un rettangolo nel diagramma T-S, come mostrato in Figura 6.21. Poiché nel diagramma T-S l'area sottesa dalla curva di trasformazione rappresenta il calore scambiato durante la trasformazione stessa, l'area A128 rappresenta O,, l'area A438 rappresenta O, e la differenza tra queste due (la zona colorata in Figura) rappresenta il lavoro netto in uscita, poiché:
L,..= 0,-0,
~
r.------~3 I
41 I 1 1 I
Al
1 I 1 1 I
IB
S, =S4
FIGURA 6.21 Il ciclo di Camot rappresentato sul diagramma T-S (Esempio 6.2).
I 6.7 Il LA VALUTAZIONE DELLA VARIAZIONE
178 CAPITOLO 6 L'entropia
In fonna differenziale il principio di conservazione dell'energia per un sistema chiuso e stazionario contenente una sostanza semplice e comprimibile per trasfonnazioni internamente reversibili si esprime con la relazione: ()Q;n1. rev - ()L;ni. rev
=dU
Poiché
()Qincrev
=T dS
e
8Lin_crev
= p dv
si ha la relazione, nota come prima equazione del T dS:
TdS=dU+pdV che riferita all'unità di massa assume la fonna:
Tds=du +pdv
(6.23)
Si noti che lunica fonna di lavoro che un sistema semplice comprimibile può scambiare, quando è sottoposto a una trasfonnazione internamente reversibile, è il lavoro di variazione di volume. L'Equazione 6.23 può essere trasfonnata adoperando l'entalpia, in modo da ottenere la relazione nota come seconda equazione del TdS:
h =u + pV-'> dh =du+ pdv+vdp} Tds=dh-vdp Equazione 6.23 -'> T ds = du + p dv
I
: Sistema 1 chiuso l__
(6.24)
Le Equazioni 6.23 e 6.24 sono molto utili, poiché legano la variazione di entropia di un sistema alla variazione delle proprietà che ne definiscono completamente lo stato, indipendentemente dal tipo di trasfonnazione. Le equazioni del TdS sono state ricavate per trasfonnazioni internamente reversibili dal momento che la variazione di entropia, per essere valutata, necessita di essere calcolata lungo tali trasfonnazioni, ma i risultati ottenuti sono validi per trasfonnazioni sia reversibili sia irreversibili, dato che l'entropia è una grandezza di stato. Le Equazioni 6.23 e 6.24 si riferiscono all'unità di massa di un sistema chiuso semplice comprimibile sottoposto a una trasfonnazione, ma possono essere applicate anche a sistemi aperti (Figura 6.22). Dalle Equazioni 6.23 e 6.24 si possono ottenere relazioni esplicite per la variazione infinitesima di entropia ds:
Tds=du+p dv Tds=dh-vdp
FIGURA 6.22 Le relazioni T ds sono valide allo stesso
modo per trasformazioni reversibili e per trasformazioni irreversibili, per sistemi aperti e per sistemi chiusi.
per far~ ciò bisogna conoscere le relazioni tra du o dh e la temperatura T (per esempio, du dh dT" per i gas perfeiti) e l'equazione di stato della sostanza (per esempio, I' eqÒazione di stato per i gas perfetti pv RT). Pertanto per le sostanze per le quali queste relazioni esistono, come ad esemP!O ~ gas perfetti e sostan_ze incompressibili, lintegrazione delle Equaz1om 6.25 o 6.26 e IIDmediata, mentre per le altre sostanze si deve far ricorso a dati sperimentali tabulati. Le equazioni del T dS per sistemi non semplici, come possono essere i sistemi che coinvolgono più di un modo di scambio di lavoro con trasformazioni quasi-statiche, si possono ottenere in una maniera simile tenendo conto di tutte le fonne di lavoro scambiato. Le equazioni del T dS appena sviluppate non si limitano a particolari sostanze in una fase particolare, ma sono valide per tutte le sostanze pure in ogni fase o combinazione di fasi. ' Per una sostanza pura· i valori dell'entropia s, calcolati con riferimento ai valori di grandezze misurabili, sono in genere riportati in tabelle o su diagrammi alla stessa maniera delle grandezze v, 11 e h. Nelle tabelle delle proprietà di una sostanza pura i valori dell'entropia riportati sono riferiti a un valore arbitrario di riferimento: per esempio, nelle tavole del vapor d'acqua all'entropia del liquido saturo, s a 0.01°C, viene assegnato il valore nullo; per il fluido refrigerante R-134~. lo zero è assegnato al liquido saturo a -40°C. Si noti che per temperature inferiori al valore di riferimento si hanno valori di entropia negativi. Usando i dati tabellari la variazione di entropia di una sostanza pura durante una trasfonnazione è data molto semplicemente dalla differenza tra i valori di entropia valutati negli stati finale e iniziale della trasfonnazione stessa:
=e.are =e
DI ENTROPIA
La variazione di entropia durante una trasfonnazione può essere determinata integrando entrambe queste equazioni tra gli stati iniziale e finale:
=
!e.
DS = m (s2 oppure
lis
=s
2
-
(J/kg)
(6.27)
s 1 [J/(kg · K)]
(6.28)
s 1)
L'Equazione 6.28 è applicabile sia all'unità di massa di un sistema chiuso sia all'unità di massa che transiti attraverso un volume di controllo.
Le trasformazioni isoentropiche Poiché lentropia di una determinata massa non varia se essa viene sottoposta a una trasfonnazione adiabatica internamente reversibile, questa trasfonnazione è detta isoentropica (a entropia costante) e viene rappresentata con una linea verticale nel diagramma T-s. Le tras!o1'.llazi?ni isoentropiche costituiscono un modello utile per le trasfonnaz1oru reah che avvengono in molti dispositivi quali pompe, turbine, ugelli e diffusori, che funzionano in modo pressoché adiabatico e offrono le prestazioni migliori quando le irreversibilità, legate al loro funzionamento, sono ridotte al massimo. Per le sostanze pure soggette a una trasfonnazione isoentropica vale la relazione:
179 La valutazioOl' della ,·ariaziont:' di entropia
180 APITOLO 6 ·entropia
ossia: una sostanza pura sottoposta a una trasformazione isoentropica conserva nel suo stato finale lo stesso valore di entropia che aveva nel suo stato iniziale. Si noti che una trasformazione reversibile adiabatica è necessariamente isoentropica (s2 s 1), ma una trasformazione isoentropica non è necessariamente adiabatica e reversibile: per esempio, durante una trasformazione l'aumento di entropia di una sostanza generato dalla presenza di irreversibilità può essere compensato da una contemporanea sua diminuzione dovuta a perdite di calore. Tuttavia la dizione trasformazione isoentropica è comunemente adoperata in termodinamica per indicare trasformazioni adiabatiche internamente reversibili.
=
Soluzione Per determinare la variazione di entropia del blocco di ferro e del lago si deve innanzitutto conoscere la temperatura finale di equilibrio. Posto che I~ capacità t~rmica del lago è molto superiore a quella del blocco di ferro, si può n.ten.ere che ti lago assorba tutto il calore cedutogli dal blocco senza subire alteraz10ni della sua temperatura. Poiché il blocco di ferro si raffredda fino a 285 K mentre la temperatura del lago rimane invariata, le variazioni di entropia possono essere calcolate come di seguito riportato. a) Per il blocco di ferro, considerato come una sostanza incompressibile, si ha:
AS,,00 = m (s, -s,) =mcm,. ln2!_
T,
=50x0.45xln
500
6.8 li LA VARIAZIONE DI ENTROPIA DI SOLIDI E LIQUIDI
=-12.65 kJ/K b) 11 lago si comporta come un pozzo termico e la sua variazione di entropia può
Poiché le sostanze solide e liquide possono essere considerate sostanze incompressibili, per esse, essendo dv= Oe du = ct:lf con c =c.= c, l'Equazione 6.25 diventa: P
ds= du = cdT T -T
[J/(kg · K)]
e~sere determinata con l'Equazione 6.6. Prima, però, bisogna valutare la quantità
dt calore scambiata con il blocco di ferro. Se si considera il blocco di ferro come siste~a e si tra~curano le variazioni di energia cinetica e potenziale, per l'equazione dt conservazione dell'energia si ha: 0=AU
(6.30)
Da questa relazione si ottiene, per integrazione, la variazione di entropia tra gli stati iniziali e finali del sistema:
S2 -si =f.2 c(T)dT T
(6.31)
dato che
In generale il calore specifico c di liquidi e solidi dipende dalla temperatura. Tuttavia, in molti casi, la variazione di entropia per solidi e liquidi può essere calcolata con sufficiente precisione attribuendo al calore specifico c il valore costante valutato alla temperatura media. Così facendo l'integrazione dell'Equazione 6.31 porta alla relazione:
L =o, AE, =o e aE. =o
allora
0,000 = mc.... (r,,- T,) = 50 x 0.45 x (285 - 500) = - 4837.5 kJ
Di conseguenza
O,... =- 0,000 =4837.5 kJ
e
o..., 4837.s IK as..., =-=--=16.97kJ
I
r...,
285
e) La variazione totale di entropia per questo processo di scambio termico è la somma di queste due variazioni dato che, insieme, il blocco e il lago formano un sistema adiabatico:
as.. = as_ + as,... =-12.65 + 16.97 = 4.32 kJ/K 11 segno pos~ivo per la variazione totale di entropia indica che questo
so irreversibile.
mK.
LAGO
GURA 6.23 hema per l'Esempio 6.3.
285
Si noti che, con le semplificazioni fatte, la variazione di entropia di una sostanza reale incompressibile dipende solo dalla sua temperatura.
Le trasformazioni isoentropiche dei solidi e dei liquidi Una relazione per trasformazioni isoentropiche di solidi e liquidi può essere ottenuta eguagliando a zero la variazione di entropia nell'Equazione 6.32
T2
ESEMPIO 6.3 Un blocco di ferro di 50 kg alla temperatura di 500 K viene gettato in un grande lago alla temperatura di 285 K, come mostrato in Figura 6.23. Il blocco al termine del suo raffreddamento raggiunge l'equilibrio termico con l'acqua del lago. Assumendo un calore specifico medio di 0.45 kJ/(kg · K) per il ferro, si determinino a) la variazione di entropia del blocco metallico, b) la variazione di entropia dell'acqua del lago e e) la variazione totale di entropia a seguito di questo processo di scambio termico.
è un proces-
che fornisce
cmcdln-=0
7;
(6.33)
T2=T1
(6.34)
~oi.ché .secondo l'Equazione 6.34 la temperatura di una sostanza incompress1b1le nmane costante durante una trasformazione isoentropica, la trasformazione isoentropica di una sostanza incompressibile è anche isoterma, fenomeno che con buona approssimazione si riscontra nei solidi e liquidi reali.
181 La Yariazione di entropia di solidi e liquidi
182
6.9 li LA VARIAZIONE DI ENTROPIA DEI GAS PERFETil
CAPITOLO 6 L'entropia
Dalle Equazioni 6.25 e 6.26 e dall'equazione di stato dei gas perfetti si può ottenere un'espressione per la variazione di entropia di un gas perfetto (Figura 6.24). Infatti, sostituendo du =c"dT e p =RT/v nell'Equazione 6.25, la variazione infinitesima di entropia del gas perfetto è data dalla relazione: dv dT ds=c - + R -
" T
zione di entropia del gas durante la sua compressione usando un calore specifico medio costante. Uno schema del sistema è riportato in Figura 6.26. Nelle condizioni Soluzione indicate l'azoto può essere considerato gas perfetto dato che si trova a temperatura più alta e a pressione più bassa rispetto ai suoi valori critici ( T, = -147°C e p = "' ' 3390 kPa). La variazione di entropia dell'azoto durante la trasformazione indicata si può calcolare in maniera approssimata adoperando l'Equazione 6.38 con un e medio • costante valutato alla temperatura media di 37°C (Tabella A.2b):
s -s =e 2
(6.35) Analogamente sostituendo dh = e dT e v = RT/p nell'Equazione 6.26 e f integrando si ha la relazione:
s -s = 2
cP
cpmedio
__, ----..... eP·"~
reale
\
~T
FIGURA 6.25 Per calore specifico costante si intende il valore del calore specifico di una sostanza lungo una trasformazione calcolato alla temperatura media ed esteso a tutta la trasformazione.
I
2 - - R l npe T )dT Pi T p
1 2
I
(
La variazione di entropb dei gas perfetti
p2 = 600 kPa
T,= 330 K
V
La variazione di entropia si ottiene, poi, integrando questa relazione tra gli stati iniziale e finale:
FIGURA 6.24 Una trasmissione del canale GI.
183
(6.36)
Poiché il calore specifico dei gas perfetti, ad eccezione di quello dei gas monoatomici, dipende dalla temperatura, gli integrali nelle Equazioni 6.35 e 6.36 non possono essere calcolati senza conoscere la dipendenza di e" e di e da T. Tuttavia, poiché l'integrazione potrebbe non essere facile, si preferisce o assumere il calore specifico costante al variare della temperatura oppure calcolare lintegrale tma volta per tutte e tabularne i risultati. Assumere il calore specifico costante con la temperatura quando si ha a che fare con gas perfetti è praùca comune, poiché ciò comporta notevoli semplificazioni con piccoli errori: per esempio, per gas perfetti monoatoinici come l'elio non si commette alcun errore, poiché il calore specifico è indipendente dalla temperatura; per gas perfetti il cui calore specifico varia con la temperatura in modo pressoché lineare nel campo di interesse, limitato al massimo a qualche centinaia di gradi, lerrore può essere ridotto utilizzando un calore specifico medio costante, il cui valore deve essere valutato alla temperatura media della trasformazione (Figura 6.25). Sostituendo, quindi, nelle Equazioni 6.35 e 6.36 i simboli cu.""'1 e cp.med rispettivamente a c"(T) e a c/T) e integrando si hanno le relazioni:
ESEMPIO 6.4 Una certa quantità di azoto è compressa dallo stato iniziale corrispondente a 100 kPa e 17°C allo stato finale corrispondente a 600 kPa e 57°C. Si determini la varia-
t
p.mec1
ln.1.-Rln P,
T,
Pi
600 330 =1.094xln--0.297xln100 290
p 1 =100 kPa
= -0.3978 kJ/(kg · K)
T1 =290K
FIGURA 6.26 Schema per l'Esempio 6.4.
Le trasformazioni isoentropiche dei gas perfetti Le equazioni per le trasformazioni isoentropiche dei gas perfetti, nell'ipotesi di calore specifico costante con la temperatura, si ottengono eguagliando a zero i termini a destra del segno di eguaglianza nelle Equazioni 6.37 e 6.38. Nel caso dell'Equazione 6.37 si ha: (6.39) oppure
dal momento che R =cP -e", k =c/cu e cioè Rie"= k- 1. L'Equazione 6.41 rappresenta la prima equazione della trasformazione isoentropica per i gas perfetti nell'ipotesi di calore specifico costante con la temperatura. La seconda equazione della trasformazione isoentropica per i gas perfetti nell'ipotesi di calore specifico costante con la temperatura si ottiene analogamente dall'Equazione 6.38:
La terza equazione della trasformazione isoentropica per i gas perfetti nel!' ipotesi di calore specifico costante con la temperatura si ottiene sostituendo l'Equazione 6.42 nell'Equazione 6.41 e semplificando:
184
La temperatura finale per questa trasformazione si determina con l'Equazio· ne 6.41 assumendo un calore specifico costante per l'aria:
CAPITOLO 6
185 La variazione di entropia dei gas perfetti
L'entropia
Le Equazioni dalla 6.41 alla 6.43 possono essere espresse anche in forma compatta con le relazioni:
(!3)
=
T1 s=cost
(!!3)<';'> = (~ P1
\(k-1)
UJ
VALIDA *gas perfetti * trasfonnazioni isoentropiche PER
* calore specifico costante
b==;;::i:========~ =1GURA 6.27 Le relazioni isoentropiche per gas perfetti
Tvk-I =cost
(6.44)
l-k Tp k =cost
(6.45)
pvk =cost
(6.46)
Poiché il rapporto k varia con la temperatura, per esso si deve adoperare il valore corrispondente ai calori specifici medi. Tuttavia, poiché l'incognita del problema è proprio la temperatura finale della trasformazione, non si può calcolare il calore specifico medio se non procedendo per tentativi adoperando per k il valore relativo allo stato iniziale oppure quello a una temperatura media prevedibile e raffinando il calcolo in un secondo momento. Poiché durante una compressione adiabatica la temperatura del gas sale sensibilmente, si può ragionevolmente assumere 450 K come valore medio di temperatura per la prima iterazione. Cosl facendo, dalla Tabella A.2b si ottiene k =1.391, per cui la temperatura finale è:
Poiché il rapporto k tra il calore specifico -a pressione costante e quello a volume costante, in generale, varia con la temperatura, anche per questa grandezza nell'integrazione delle relazioni precedenti è utile usare il suo
T,
Non è necessario ripetere i calcoli, perché alla temperatura T, calcolata corrispon· de una temperatura media di 480.1 K, sufficientemente vicina ai 450 K inizialmente assunti.
valore medio. Si noti che le relazioni appena ricavate valgono solamente per trasformazioni isoentropiche di gas perfetti e solo nell'ipotesi di calore specifico costante con la temperatura (Figura 6.27).
ESEMPIO 6.6
sono valide solo per le trasformazioni isoentropiche dei gas perfetti.
I~ un compressore adiabatico si comprime reversibilmente una quantità di elio ini· z1almente a 0.1 MPa e 10°C fino a raggiungere i 160°C. Si determini la pressione di uscita dell'elio.
ESEMPIO 6.5 Si comprime reversibilmente aria in un dispositivo adiabatico pistone-cilindro par· tendo dallo stato individuato da 22°C e 95 kPa. Se il rapporto di compressione V/V2 del dispositivo è pari a 8, si determini la temperatura finale del gas.
T[°CJ r,
In Figura 6.28 è riportato lo schema del sistema e la linea della Soluzione trasformazione nel diagramma T-s. Nelle condizioni indicate l'aria può conside· rarsi gas perfetto essendo a temperatura più alta e a pressione più bassa del suo punto critico (T,, -147°C e p,, = 3390 kPa sono i valori critici per l'azoto che è il maggior costituente dell'aria). Si possono allora. applicare le relazioni valide per i gas perfetti. La trasformazione descritta si può considerare isoentropica dal momento che è reversibile e adiabatica.
=
!
I ...
ARIA
Pi =95kPa =295K
FIGURA 6.28
=160°C 160
··.•.·.·11
Schema e diagramma T-s per la trasformazione dell'Esempio 6.5.
=295x8'·,.,_, =665.2K
IO
FIGURA 6.29
Schema e diagramma T·s per la trasformazione dell'Esempio 6.6.
P1 =O.I MPa r, = 10°c
In Figura 6.29 è riportato lo schema del sistema e la linea della Soluzione t~asformazione nel diagramma T·s. Nelle condizioni indicate, l'elio può considerar· s1 gas perfetto poiché si trova a una temperatura molto più alta di quella del suo punto critico (per l'elio è T,, = -267.8°C). Applicando le relazioni sviluppate per i gas perfetti si ha che il rapporto k dei calori specifici a pressione e a volume costan· te è pari a 1.667 ed è indipendente dalla temperatura, poiché il gas si comporta come gas perfetto. La pressione finale è data dall'Equazione 6.42:
=8
T. P2 = P, -l.. ( T,
J;:,
J': .
5 -- . = 10 x (433 283
= 0.289 MPa
186 CAPITOL06 L'entropia
Il lavoro e il calore scambiati durante una trasformazione sono, in generale, funzioni della linea della trasformazione, oltre che del valore delle proprietà del sistema negli stati iniziale e finale. Per i sistemi chiusi, il lavoro di variazione di volume lungo una trasformazione quasi-statica è dato dalla relazione:
Sarebbe utile avere una relazione analoga per i sistemi aperti in condizioni di flusso stazionario, esprimibile in funzione soltanto di grandezze di stato. L'equazione di conservazione di energia per una macchina a flusso stazionario nel caso di trasformazioni internamente reversibili espressa in forma differenziale è:
&irev -olrev =dh+dec +dep ma
°'1rev =T ds T ds=dh-vdp
}
&irev =dh-v dp
Sostituendo quest'ultima nella relazione precedente e semplificando il termine dh si ha:
-81,.. =1J dp +dee+ deP
La relazione precedente è nota in fluidodinamica come equazione di Bernoulli. L'Equazione 6.51 è stata sviluppata per trasformazioni internamente reversibili e per questo è applicabile a fluidi incompressibili sottoposti a trasformazioni prive di irreversibilità come attrito o superfici d'urto. L'Equazione 6.49 ha implicazioni importanti sia per le macchine motrici sia per quelle operatrici che funzionino in condizioni di flusso stazionario come turbine, turbocompressori e turbopompe. Si noti, infatti, che il lavoro reversibile in condizioni di flusso stazionario dipende notevolmente dal volume specifico del fluido evolvente: più grande è il volume specifico del fluido evolvente, più alto sarà il lavoro reversibile fornito o ottenuto dal dispositivo in condizioni di flusso stazionario (Figura 6.31). Que~ta conclusione è valida anche per apparecchiature a flusso stazionario reali. E utile, quindi, impiegare fluidi con piccolo volume specifico nel caso di compressione (spesa minima di lavoro) e con alto volume specifico nel caso di espansione (massima produzione di lavoro), come avviene negli impianti motori a vapore per la produzione di energia, dove l'acqua liquida viene sottoposta ad aumento di pressione e il vapore ad espansione.
(6.47)
ESEMPIO 6.7
(6.48)
Si determini il lavoro necessario per comprimere isoentropicamente una quantità di vapore da 100 kPa a 1 MPa, assumendo che esso, nella sua condizione iniziale, sia a) allo stato di liquido saturo e b) allo stato di vapore saturo. Si trascurino le variazioni di energia cinetica e potenziale.
Infine integrando si ottiene:
(a) Sistema a flusso stazionario
187
Per un flusso stazionario che attraversi un dispositivo senza scambi di lavoro con lesterno (per esempio, ugelli o sezioni di tubazioni), poiché il termine relativo al lavoro è nullo, l'equazione precedente assume la forma:
6.10 Ili IL LAVORO PER TRASFORMAZIONI REVERSIBILI IN CONDIZIONI DI FLUSSO STAZIONARIO
Quando le variazioni dell'energia cinetica e potenziale sono trascurabili, questa equazione si riduce a:
li lavoro per trasformazioni re\·ersibili in condizioni di flusso stazionario
L =-f'vdp I L
=-f'vdp
FIGURA 6.31
Più è grande il volume specifico del fluido evolvente, maggiore sarà il lavoro prodotto o consumato da un dispositivo a flusso stazionario.
In Figura 6.32 sono rappresentati schematicamente la pompa e il Soluzione compressore necessari per le trasformazioni descritte. Nell'ipotesi di trasformazione reversibile e di variazioni di energia cinetica e potenziale trascurabili, si può applicare l'Equazione 6.49. T
(b) Sistema chiuso
FIGURA 6.30
Relazioni per calcolare il lavoro reversibile per sistemi chiusi e a flusso stazionario.
Le Equazioni 6.48 e 6.49 permettono di valutare il lavoro lungo una trasformazione internamente reversibile in un sistema aperto in condizioni di flusso stazionario. Bisogna porre grande attenzione a non confondere i termini vdp e pdv dal momento che quest'ultimo è il lavoro reversibile di variazione di volume per i sistemi chiusi (Figura 6.30). Nell'Equazione 6.48 per calcolare l'integrale bisogna conoscere la relazione che intercorre tra v e p durante la trasformazione in esame. Se il fluido evolvente è incompressibile, poiché il suo volume specifico rimane costante durante tutta la trasformazione, portando fuori dal segno di integrale il termine v, l'Equazione 6.48 si semplifica e si ottiene:
P2= I MPa
i
~ 1
P1
= IOOkPa
(a) Compressione di un liquido
p 1 = IOOkPa (b) Compressione di un vapore
I
L =-f'Vdp I
FIGURA 6.32
Schema e diagramma T-s per l'Esempio 6. 7.
'.88
a) Poiché il fluido evolvente è allo stato di liquido saturo, il volume specifico è:
APITOLO 6
V1
·entropia
=V'°''°""' =0.001043m
3
/kg
Dato che esso rimane sostanzialmente costante lungo la trasformazione, si ha:
I,., =-J:vdp=v,(p,-p2 )
6.11 il SOMMARIO Il secondo principio della termodinamica porta alla definizione di una nuova grandezza di stato chiamata entropia che rappresenta una misura del disordine molecolare di un sistema. La definizione dell'entropia si basa sulla diseguaglianza di Clausius:
= 0.001043 X (100-1000)
fi
= -0.94kJ/kg
b) All'inizio il fluido è allo stato di vapore saturo e durante la compressione rimane sempre allo stato di vapore. Dato che il volume specifico di un gas varia considerevolmente durante una compressione, bisognerebbe conoscere la sua legge di variazione in funzione della pressione ( v in funzione di p) per calcolare l'integrale nell'Equazione 6.49. Questa relazione per trasformazioni isoentropiche, però, si ricava dalla seconda equazione del Tds ponendo ds = O:
Tds=dh-vdp
}
da cui
ds-(CQ) T
2
I,., =-f, vdp=-f:dh=h,-h2
La variazione di entropia durante una trasformazione si ottiene integrando la relazione precedente:
stato 1
I,.,
stato2
p1 =1MPa} h2 =3195.5 kJ/kg _
h,
(Tabella A.5)
f. CQ) 2
D.S =S2 - S1 =
(Tabella A.6)
I,..,
=2675.5 -3195.5 = -520
kJ,'kg
Si noti che, comprimendo il fluido tra le stesse pressioni, allo stato di vapore occorre un lavoro 500 volte maggiore di quello necessario allo stato liquido.
(
I
$2 -$1
da cui
(J/K)
mt.rev
I valori dell'entalpia nei due stati sono:
=-J,'v dp =-I,' dh = h, -
(J/K)
dove il segno di eguaglianza vale soltanto per trasformazioni internamente o totalmente reversibili e la diseguaglianza per trasformazioni irreversibili. Poiché qualsiasi grandezza il cui integrale ciclico è nullo è una grandezza di stato, l'entropia definita dalla relazione seguente è una grandezza di stato:
vdp=dh
ds =O (isoentropica)
!>O
T
n~rev
(J/K)
La diseguaglianza di Clausius, assieme alla definizione di entropia, porta al principio del!' aumento del!' entropia:
dS~CQ T
Il minimo lavoro di compressione Il lavoro di compressione è nùnimo se si procede alla trasformazione in maniera internamente reversibile. Quando le variazioni di energia cinetica e potenziale sono trascurabili, il lavoro di compressione è dato dall'Equazione 6.49: lrev
=-J,~dp 1
In pratica, per ridurre al nùnimo il lavoro di compressione si cerca di realizzare una trasformazione che approssinù quanto più è possibile una trasformazione internamente reversibile, riducendo nei dispositivi reali le irreversibilità proprie del processo (attriti, turbolenze, compressioni nonquasi-statiche). La possibilità di ridurre le irreversibilità si scontra, però, con i fattori economici. Si può, allora, ridurre il lavoro di compressione mantenendo il più possibile basso il volume specifico del gas durante la trasformazione, cosa che è possibile fare raffreddando continuamente il gas durante la compressione.
oppure
D.Si>Olato
~o
Per i processi reali lentropia generata è una quantità sempre positiva, mentre per i processi reversibili essa risulta nulla. La variazione totale di entropia durante una trasformazione è pari all'entropia generata S cn' somma delle variazioni di entropia del sistema e di quella dell'ambienle. L'entropia di un sistema, sia esso chiuso sia esso un volume di controllo, o dell'ambiente può dinùnuire durante una trasformazione, ma ciò non può avvenire per l'insieme dei due. La variazione di entropia è causata dallo scambio termico, dai flussi di . massa e dalle irreversibilità legate a un processo. La somnùnistrazione di una quantità di calore a un sistema ne fa aumentare l'entropia, mentre la sottrazione di una quantità di calore la fa dinùnuire. Le irreversibilità producono sempre un aumento di entropia. Il principio dell'aumento dell'entropia per un sistema chiuso è dato dalla relazione:
190
oppure dalla relazione:
dS=~Qk+s
CAPITOL06 L'entropia
Per sostanze incompressibili: . " . . traS10rmaz10ne: Per quaIStaSI s2 -
191
2
dt
,L.,
Tk
(W/K) gcn
dove dS/dt rappresenta la variazione di entropia nell'unità di tempo del sistema e Qk la potenza termica scambiata attraverso il contorno del sistema a temperatura Tk e S800 è l'entropia generata nell'unità di tempo. Il principio dell'aumento dell'entropia per i volumi di controllo è dato dalla relazione: (W/K)
Per dispositivi coll"un solo ingresso e una sola uscita si ha:
S.gen =m. (Su -se ) -
Iok Tk
(W/K)
S1
T, =Cmed In-=-
Per trasformazioni isoentropiche: T2 =T1
3
[J/(kg · K)]
'.fi
Per gas perfetti (calore specifico costante):
Per qualsiasi trasformazione:
e
Per trasformazioni isoentropiche: T2
(Ti J
s=cost
_
v1
k-1
( J V2
Il valore di S '" permette di sapere se una trasformazione è reversibile, irreversibile opp~re impossibile:
> O trasformazione irreversibile
S gcn
l
=O
trasformazione reversibile
Il terzo principio della termodinamica afferma che l'entropia di una sostanza pura cristaUina alla temperatura di O K è pari a zero. Questo principio fornisce un punto di riferimento assoluto per la determinazione del valore di entropia. L'entropia determinata in relazione a questo punto è definita entropia assoluta. L'entropia è una grandezza di stato, che può essere espressa in funzione di grandezze di stato di più comune e semplice impiego attraverso le
equazioni del T dS: prima equazione del TdS Tds =du + pdv seconda equazione del T dS T ds = dh - vdp Le relazioni che esprimono la variazione di entropia di un sistema a seguito di una generica trasformazione o di una trasformazione isoentropica possono essere così riassunte:
1 Generali: Per qualsiasi trasformazione: !lS =s2 - s, Per trasformazioni isoentropiche: s2 =s,
[J/(kg · K)]
Il lavoro in condizioni di flusso stazionario nel caso di trasformazione reversibile è dato dalla relazione:
Per sostanze incompressibili (v = cost), la relazione precedente diventa: l,.v =V (p 1 - p2) - /:;,.e. - /:;,.eP
(J/kg)
Il lavoro in condizioni di flusso stazionario è proporzionale al volume specifico.
Sommarii
Cicli diretti e cicli inversi Due importanti campi di applicazione della termodinamica sono la conversione di calore in lavoro e la refrigerazione; entrambe, infatti, vengono realizzate mediante sistemi che, in genere, operano secondo cicli termodinamici. I dispositivi o i sistemi che forniscono lavoro netto sono chiamati di solito motori; i cicli termodinamici che essi eseguono sono detti cicli diretti. I dispositivi o i sistemi che realizzano la refrigerazione prendono il nome di macchine frigorifere; i cicli termodinamici secondo cui operano sono detti cicli inversi. I cicli termodinamici possono essere suddivisi anche in cicli a gas e cicli a vapore, in base allafase del fluido evolvente che subisce le trasformazioni del ciclo. Nei cicli a gas il fluido evolvente rimane sempre in fase aeriforme durante l'interò ciclo, mentre nei cicli a vapore il fluido evolvente si trova in fase di vapore in una parte del ciclo e in fase liquida nella parte restante. Gli impianti che operano secondo cicli termodinamici possono essere suddivisi in impianti a circuito chiuso e a circuito aperto. Nei primi, il fluido evolvente ritorna nel suo stato iniziale alla fine del ciclo e successivamente viene rimesso in circolo; negli impianti a circuito aperto, invece, il fluido evolvente non è rimesso in circolo ma viene rinnovato alla fine dell'insieme delle trasformazioni eseguite: per esempio, nei motori automobilistici, i gas combusti sono scaricati e sostituiti da nuova miscela di aria e combustibile alla fine di ogni ciclo; il motore opera secondo un ciclo meccanico, ma il fluido evolvente non segue un ciclo termodinamico completo.
I 194 CAPITOLO 7 Cicli diretli
e cicli inversi
I motori termici possono essere suddivisi in motori a combustione interna e motori a combustione esterna, in base al modo in cui il calore viene fornito al fluido evolvente. Nei motori a ·combustione esterna l'energia viene fornita al fluido evolvente da una sorgente esterna al sistema, come un bruciatore, una fonte geotermica, un reattore nucleare o, anche, il sole. Nei motori a combustione interna, invece, il calore viene fornito bruciando 'un combustibile all'interno del sistema. In questo capitolo verranno analizzati, pur con qualche semplificazione, diversi cicli diretti a gas. Il vapor d'acqua è il fluido evolvente più comunemente utilizzato nei cicli diretti a vapore per le sue molteplici caratteristiche utili: il basso costo, la grande disponibilità e lelevata entalpia di vaporizzazione. Tra le altre sostanze utilizzate come fluido evolvente vi sono il sodio, il potassio e il mercurio, per le applicazioni ad alta temperatura, e alcuni fluidi organici, come il benzene e il freon, per le applicazioni a bassa temperatura. Gli impianti motori a vapore vengono comunemente chiamati impianti a carbone, impianti nucleari o impianti a gas naturale, in relazione al tipo di combustibile utilizzato per fornire calore al fluido evolvente. In ogni caso, però, il fluido esegue lo stesso ciclo, per cui tali impianti possono essere studiati nello stesso modo. Il ciclo inverso più frequentemente utilizzato è il ciclo inverso a compressione di vapore, in cui il fluido evolvente è vaporizzato e condensato alternatamente e viene compresso nella fase di vapore. Si tratterà anche la refrigerazione termoelettrica, dove leffetto refrigerante è prodotto dal passaggio di una corrente elettrica attraverso la giunzione tra due materiali diversi.
7.1 ~CONSIDERAZIONI FONDAMENTALI NELL'ANALISI DEI CICLI DIRETTI La maggior parte delle macchine motrici funziona secondo cicli termodinamici, il cui studio costituisce parte importante e avvincente della termodinamica. I cicli delle macchine reali sono difficili da analizzare sia per la presenza di fenomeni complessi, come l'attrito, sia per l'assenza di condizioni di equilibrio, che non possono instaurarsi a causa dell'elevata velocità con cui si realizzano le trasformazioni del ciclo stesso. Pertanto, per rendere fattibile lo studio analitico di un ciclo reale, si deve ricorrere ad alcune idealizzazioni e semplificare per quanto possibile i complessi fenomeni presenti (Figura 7.1). Eliminando dal ciclo reale tutte le complessità e le irreversibilità interne, si ottiene un ciclo, detto ciclo ideale, che assomiglia molto al ciclo reale ma è costituito soltanto da trasformazioni internamente reversibili (Figura 7.2). I cicli che verranno studiati in questo capitolo sono in qualche modo idealizzati, ma nondimeno conservano le caratteristiche generali dei cicli reali che rappresentano, e le conclusioni che si ottengono dal loro studio, spesso, risultano valide anche per i cicli reali; per esempio, il rendimento termico di un ciclo Otto, il ciclo ideale di un motore automobilistico ad accensione comandata, aumenta con il rapporto di compressione e ciò risulta vero anche per i motori automobilistici reali. Tuttavia, i valori numerici ottenuti dall'analisi di un ciclo ideale non sono necessariamente rappresentativi del ciclo reale, per cui si deve porre molta attenzione nella loro interpretazione (Figura 7.3). L'analisi semplificata presentata in questo capitolo per diversi cicli diretti di interesse pratico può anche servire come punto di partenza per uno studio più approfondito. I motori termici sono progettati con lo scopo di convertire in lavoro altre forme di energia (normalmente il calore), prestazione espressa dal rendimento termico 11,. cioè dal rapporto tra il lavoro netto prodotto dal motore e la quantità totale di calore che gli viene fornita:
195 ~;;,::.;:oc:
FORNO &-REALE
.. ns•c · ACQUA
-
IDEALE
FIGURA 7.1 L'uso di modelli fornisce semplici descrizioni a fronte di una certa perdita di precisione. p
... FIGURA 7.2 Lo studio di processi complessi può essere semplificato
ricorrendo a idealizzazioni.
HMHH' >( lt .>1 '11'<\l.IAI<() lt f'LI. L.P.
Nel Capitolo 5 è stato affermato che i motori termici che funzionano con un ciclo totalmente reversibile, come il ciclo di Carnot, hanno il rendimento termico più elevato tra tutti quelli che funzionano fra gli stessi due serbatoi termici. In altri termini, non è possibile sviluppare un ciclo di maggior rendimento termico del ciclo di Carnot. È ovvio, allora, porsi la seguente domanda: se il ciclo di Carnot è il ciclo di massimo rendimento, perché non viene utilizzato in tutti i motori termici al posto dei tanti cicli ideali? La risposta a questa domanda è legata alle caratteristiche dei motori che si costruiscono nella realtà. La maggior parte dei cicli dei motori reali differisce in maniera significativa dal ciclo di Carnot, per cui questo non risulta adatto per studiare le loro caratteristiche. Ognuno dei cicli ideali trattati in questo capitolo è legato a uno specifico motore termico ed è una versione idealizzata del ciclo reale.
Mo~A
01\ICNf"~
.>OA0/11,1
FIGURA 7.3 I risultati dei cicli ideali devono essere interpretati con molta attenzione.
196 CAPITOLO 7 Cicli diretti e cicli inversi
-
(a) Compressione reale (non-quasi-statica)
p"' uniforme in ogni istante (b) Compressione ideale (quasi-statica e internamente reversibile)
FIGURA 7.4 Le trasfonnazioni di compressione e di espansione nei cicli ideali sono considerate quasi-statiche e internamente reversibili.
I cicli ideali sono internamente reversibili, ma, diversamente dal ciclo di Carnot, non sono di necessità esternamente reversibili, poiché possono presentare irreversibilità esterne al sistema, come scambi termici attraverso differenze finite di temperatura. Per tale motivo il rendimento termico di un ciclo ideale è, in generale, minore di quello di un ciclo totalmente reversibile che funzioni tra gli stessi serbatoi termici. Tuttavia, esso è significativamente più elevato del rendimento termico di un ciclo reale a causa delle idealizzazioni contenute. Le idealizzazioni e le semplificazioni che di solito vengono fatte nel!' analisi dei cicli diretti possono essere riassunte nei seguenti punti: 1 Tutti gli attriti sono trascurati. Pertanto, il fluido evolvente non subisce perdite di carico quando scorre in tubazioni o in dispositivi quali gli scambiatori di calore. 2 Tutte le trasformazioni di espansione e di compressione sono considerate quasi-statiche e internamente reversibili (Figura 7.4). 3 Le tubazioni che collegano i vari componenti di un sistema sono considerate isolate termicamente in modo da poter trascurare gli scambi termici attraverso di esse. Un'altra semplificazione che di solito viene fatta nell'analisi dei cicli diretti è quella di trascurare le variazioni dell'energia cinetica e dell' energia potenziale del fluido evolvente. Questa è un'assunzione ragionevole poiché nelle macchine interessate a lavoro di elica, come turbine, turbocompressori e turbopompe, le energie cinetica e potenziale sono solitamente molto piccole rispetto agli altri termini presenti nell'equazione dell'energia. In dispositivi come condensatori, caldaie e camere di miscelazione, le velocità del fluido sono tipicamente basse e, in più, sono soggette a piccole variazioni, per cui le variazioni di energia cinetica possono essere considerate senz'altro trascurabili. Gli unici dispositivi in cui le variazioni di energia cinetica sono significative sono gli ugelli e i diffusori, che vengono progettati specificamente per produrre elevate variazioni della velocità. Nei capitoli precedenti i diagrammi di stato delle sostanze pure, come i diagrammi p-v e T-s, sono stati utilizzati quale efficace strumento di studio delle trasformazioni termodinamiche. In entrambi i diagrammi, p-v e T-s, larea racchiusa dai cicli ideali rappresenta il lavoro netto che si produce durante il ciclo (Figura 7.5), o la quantità netta di calore scambiata p
T
FIGURA 7.5 Nei diagrammi p-v e T-s l'area racchiusa da un ciclo rappresenta il lavoro netto del ciclo stesso.
durante il ciclo. Il diagramma T-s è particolarmente utile come strumento visivo nell'analisi dei cicli diretti poiché l'area sottesa sull'asse dell'entropia dalla linea di trasformazioni reversibili rappresenta la quantità di calore scambiata dal sistema nella trasformazione stessa. Ne consegue che, in assenza di irreversibilità interne, una trasformazione con somministrazione di calore segue il verso crescente dell'entropia, mentre una trasformazione con sottrazione di calore segue il verso decrescente dell'entropia e, infine, una trasformazione adiabatica è tracciata a entropia costante (isoentropica). Inoltre, se si considerano tutte le trasformazioni di un ciclo ideale che avvengono con somministrazione di calore, larea sottesa rappresenta la quantità totale di calore q fornita al sistema durante il ciclo, mentre se si considerano tutte le trasf~rmazioni che avvengono con sottrazione di calore, l'area sottesa rappresenta la quantità totale di calore ceduta q" dal sistema durar.te il ciclo. La differenza tra queste due aree, pari all'area racchiusa dal ciclo, rappresenta la quantità netta di calore somministrata al sistema, pari anche al lavoro netto prodotto durante il ciclo. Pertanto, sul diagramma T-s, il rapporto tra l'area racchiusa da un ciclo ideale e l'area sottesa sull'asse dell'entropia dalle linee delle trasformazioni che avvengono con somministrazione di calore dall'ambiente rappresenta il rendimento termico del ciclo, e quindi ogni modifica del ciclo che comporti l'aumento del
rapporto tra queste due aree determinerà anche un aumento del rendimento termico del ciclo. Benché in un ciclo diretto ideale il fluido evolvente operi a circuito
Il ciclo di Carnot come ciclo di confronto
p
chiuso, l'analisi delle singole trasformazioni che lo costituiscono dipende dai particolari dispositivi utilizzati per eseguire il ciclo stesso. Nel ciclo Rankine, che è il ciclo ideale degli impianti motori a vapore, il fluido evolvente scorre attraverso dispositivi, come la turbina e il condensatore, schematizzabili come sistemi aperti a flusso stazionario, mentre nel ciclo Otto, che è il ciclo ideale dei motori automobilistici ad accensione comandata, il fluido evolvente viene alternatamente espanso e compresso in un dispositivo cilindro-pistone. Pertanto, nell'analisi del ciclo Rankine devono essere utilizzate le equazioni dei sistemi aperti a flusso stazionario, mentre nel!' analisi del ciclo Otto devono essere utilizzate le equazioni dei sistemi chiusi.
V
T
7.2 llìll IL CICLO DI CARNOT COME CICLO DI CONFRONTO Il ciclo di Carnot, la cui rappresentazione sui diagrammi p-V e T-s è riportata in Figura 7.6, è composto da quattro trasformazioni totalmente reversibili: una somministrazione di calore isoterma, un'espansione isoentropica, una sottrazione di calore isoterma e una compressione isoentropica. Il ciclo di Camot può essere eseguito sia in un sistema chiuso, come un dispositivo cilindro-pistone, sia in un sistema aperto a flusso stazionario, costituito da due turbine e due compressori (Figura 7.7), adoperando, come fluido evolvente, o un gas o un vapore. Il ciclo di Carnot è il ciclo di maggior efficienza che possa essere eseguito tra una sorgente termica a temperatura T, e un pozz? termico a temperatura 'I';- Il suo rendimento termico è espresso dalla relazione:
FIGURA 7.6 Il ciclo di Carnot sui diagrammi p-v e T-s.
V
----~--~-------·-~-------------~
198
la quantità di calore scambiata nelle trasformazioni stesse. Il calore viene fornito al sistema nella trasformazione 1-2 e ceduto dal sistema nella trasformazione 3-4. Pertanto le quantità rispettivamente di calore fornita e quella sottratta al sistema nel ciclo di Carnot possono essere espresse dalle relazioni:
CAPITOL07 Cicli diretti e cicli inversi
q• = T, (s2 - s,) e
q" = T, (s,- s,) =T, (s2 - s,)
in cui si è posto s =s2 e s, =s,. essendo le trasformazioni 2-3 e 4-1 isoentropiche. Sostituendo tali d'ue espressioni nell'Equazione 7.1 b, si ottiene l'espressione del rendimento termico del ciclo di Carnot: 1J,
FIGURA 7.7 Motore di Carnot a flusso stazionario.
=~ =1-~ =1 T,(s, -s,) =1-,I q,
q.
r,(s2 -s,)
r.
che dimostra quanto richiesto. Si noti che il rendimento termico del ciclo di Carnot è indipendente dalla particolare sostanza utilizzata come fluido evolvente (gas ideale, vapor d'acqua ecc.) e dal fatto che il ciclo sia eseguito in un sistema chiuso o in un sistema aperto a flusso stazionario. Uno scambio termico reversibile a temperatura costante è molto difficile da realizzare nella pratica perché richiederebbe uno scambiatore di calore molto grande e una durata del processo molto lunga (quando, in realtà, un ciclo diretto di un tipico motore viene completato in una frazione di secondo). Pertanto, non è praticamente possibile costruire un motore funzionante secondo un ciclo che approssimi il ciclo di Carnot. Tuttavia, l'utilità del ciclo di Carnot deriva dal!' essere il ciclo di riferimento con il quale confrontare le prestazioni di altri cicli ideali o di quelli reali. Il rendimento termico del ciclo di Carnot è funzione delle sole temperature della sorgente termica e del pozzo termico con cui il sistema scambia calore; la sua espressione (Equazione 7.2) consente un'importante deduzione che può essere applicata sia ai cicli ideali sia ai cicli reali: il rendimento termico aumenta all 'aumentare della temperatura media alla quale il calore viene fornito al siste-
ma e al diminuire della temperatura media alla quale il calore viene ceduto dal sistema. T
:::::t:J: I I I
q.
I I I
FIGURA 7.8 Il ciclo di Carnot sul diagramma T-s per l'Esempio 7. I.
Tuttavia, le temperature delle sorgenti e dei pozzi che possono essere utilizzati nella pratica non sono prive di limitazioni. La temperatura più alta in un ciclo è limitata dalla massima temperatura che i componenti dei motori termici, come i pistoni di un motore alternativo o le pale di una turbina, possono tollerare senza perdere la necessaria resistenza meccanica. La temperatura più bassa, invece, è limitata dalla temperatura dei pozzi termici disponibili, come laghi, fiumi o l'atmosfera.
ESEMPIO 7.1 Dimostrare che il rendimento termico del ciclo di Camot eseguito tra la temperatura T di una sorgente termica e la temperatura T, di un pozzo termico è funzione soltànto di queste due temperature ed è fornito dalla Equazione 7.2. Soluzione Il ciclo di Carnot è riportato su un diagramma T-s in Figura 7.8. Tutte e quattro le trasformazioni che lo costituiscono sono reversibili e pertanto l'area sottesa sull'asse dell'entropia dalle linee delle trasformazioni rappresenta
7.3 lii CICLI AD ARIA STANDARD Nei cicli diretti a gas il fluido evolvente rimane sempre in fase aeriforme in tutto il ciclo. Esempi di motori che funzionano con cicli a gas sono i motori automobilistici ad accensione comandata, i motori diesel e gli impianti convenzionali a turbina a gas. In questi motori, l'energia viene fornita al fluido evolvente bruciando un combustibile all'interno del sistema e, per questo motivo, sono detti motori a combustione interna. A causa del processo di combustione, la composizione del fluido evolvente si modifica durante il ciclo da quella dell'aria, o aria e combustibile, a quella dei prodotti della combustione. Tuttavia, poiché l'aria è costituita prevalentemente da azoto, che in camera di combustione difficilmente subisce reazioni chimiche, la composizione del fluido evolvente rimane comunque molto vicina a quella dell'aria. Anche se i motori a combustione interna funzionano secondo un ciclo meccanico (il pistone ritorna nella sua posizione iniziale alla fine di ogni giro dell'albero motore), il fluido evolvente non subisce un ciclo termodinamico completo, poiché non ritorna nello stato iniziale ma viene espulso dal motore in un certo punto del ciclo (come gas di scarico) e sostituito con l'immissione di nuovo fluido. Questo modo di funzionamento è detto a circuito aperto ed è caratteristico di tutti i motori a combustione interna. Poiché i cicli diretti a gas che vengono realmente eseguiti nei motori a combustione interna sono piuttosto complessi, per semplificarne lo studio si fa riferimento ai cicli ad aria standard, caratterizzati dalle seguenti approssimazioni:
1 Il fluido evolvente è aria che circola continuamente in un circuito chiuso e si comporta sempre come un gas perfetto con i calori specifici assunti costanti, valutati a temperatura ambiente (25°C). 2 Tutte le trasformazioni che costituiscono il ciclo sono internamente reversibili.
199 Cicli ad aria standard
200
ARIA Camera di combustione
CAPITOLO 7
Cicli diretti : cicli inversi
COMBUSTIBILE (a) Reale
CALORE
FIGURA 7.9
Nei cicli ideali il processo di combustione è sostituito da un processo di somministrazione di calore.
ARIA
Scambiatore di calore
ARIA
(b) Ideale
FIGURA 7.11 (a) Cilindrata
(b) Spazio
morto
3 Il processo di combustione è sostituito da una somministrazione di calore da una sorgente esterna (Figura 7.9).
nimo (spazio morto) si chiama rapporto volumetrico di compressione del motore (p): ·
La cilindrata e lo spazio morto dei motori alternativi. p
4 Il rinnovò del fluido evolvente è sostituito da una sottrazione di calore che ripristina il fluido evolvente nello stato iniziale. Le approssimazioni contenute nei cicli ad aria standard semplificano notevolmente l'analisi dei cicli e consentono di studiare almeno qualitativamente l'influenza dei principali parametri sulle prestazioni dei motori reali.
7.4 Il DESCRIZIONE DEI MOTORI ALTERNATIVI
alvola di Valvola pirazione di scarico
······;;:j;~~ggi~·····
········r..
PMS
Corsa
, · · · · · · . . . . L.
rM1
'3URA 7.10
cune definizioni nei motori alternativi.
Malgrado la sua semplicità, il motore alternativo (fondamentalmente un dispositivo cilindro-pistone) è una delle poche invenzioni che si è mostrata molto versatile e con un vasto campo di applicazioni; è il propulsore utilizzato nella stragrande maggioranza delle automobili, autocarri, aeroplani leggeri, navi, generatori di energia elettrica e di tanti altri dispositivi. I componenti fondamentali di un motore alternativo sono mostrati in ~igu.ra 7.10. ~l pistone si muove alternatamente nel cilindro tra due posiz1om fisse chiamate punto morto superiore (PMS) - la posizione del pistone quando esso racchiude il volume più piccolo all'interno del cilindro e punto morto inferiore (PMI) - la posizione del pistone quando esso racchiude il volume più grande all'interno del cilindro. La distanza tra il PMS e il PMI è la lunghezza del percorso massimo che il pistone può compiere in ognuno dei due versi e prende il nome di corsa del motore. II diametro del pistone si chiama, invece, alesaggio. L'aria, o una miscela di aria e combustibile, è immessa nel cilindro attraverso la valvola di aspirazione, mentre i prodotti della combustione sono espulsi dal cilindro attraverso la valvola di scarico. Il minimo volume racchiuso nel cilindro quando il pistone è al PMS si chiama spazio morto (Figura 7.11), mentre il volume spostato dal pistone quando si muove tra il PMS e il PMI prende il nome di cilindrata. Il rapporto tra il volume massimo racchiuso nel cilindro e il volume mi-
Si noti che il rapporto volumetrico di compressione è un rapporto di volumi e non deve essere confuso con un rapporto di pressioni. Un altro parametro frequentemente utilizzato nello studio dei motori alternativi è la pressione media effettiva (p,,). Essa è una pressione fittizia che, se agisse sul pistone durante l'intera corsa di espansione, produrrebbe lo stesso lavoro netto che si produce durante il ciclo reale (Figura 7.12):
L.
=p
me
X
area pistone X corsa
=p
me
X
cilindrata
V~a:t
V
I
PMI
e quindi:
La pressione media effettiva può essere utilizzata per confrontare le prestazioni di motori alternativi di uguali dimensioni: più grande è il suo valore, maggiore è il lavoro sviluppato a ogni ciclo. I motori alternativi vengono suddivisi in motori ad accensione comandata (AC) e motori ad accensione spontanea (AS), in base al modo in cui il processo di combustione viene innescato. Nei motori ad accensione comandata, la combustione della miscela di aria e combustibile è innescata da una scintilla, mentre nei motori ad accensione spontanea il combustibile si autoaccende quando, iniettato nel cilindro, viene a contatto con l'aria che per effetto della compressione precedente si trova a una temperatura superiore a quella di autoaccensione. Nei prossimi due paragrafi verranno discussi il ciclo Otto e il ciclo Diesel, i cicli ideali dei motori alternativi, rispettivamente, ad accensione comandata e ad accensione spontanea.
FIGURA 7.12
Definizione di pressione media effettiva.
7.5 t1l IL CICLO OTTO: CICLO IDEALE DEI MOTORI AD ACCENSIONE COMANDATA
202 CAPITOLO 7 Cicli diretti e cicli in\'ersi
FIGURA 7.13 Ciclo reale e ciclo ideale dei motori ad accensione comandata, nel diagramma p-v.
Il ciclo Otto è il ciclo ideale dei motori alternativi ad accensione comandata. Il suo nome deriva da Nikolaus A. Otto che, nel 1876 in Germania, realizzò con successo un motore a quattro tempi utilizzando il ciclo proposto dal francese Beau de Rochas nel 1862. Nella maggior parte dei motori ad accensione comandata il ciclo termodinamico si compie mentre il pistone ese"ue quattro corse complete ali' interno del cilindro (due cicli meccanici), cloè mentre l'albero motore compie due giri. Questi motori sono .detti motori a combustione interna a quattro tempi. In Figura 7.13a sono nportati la rappresentazione del ciclo su un diagramma p-v e lo schema delle quattro corse in un motore reale ad accensione comandata a quattro tempi. Inizialmente, sia la valvola di aspirazione sia quella di scarico sono chiuse e il pistone si trova al punto morto inferiore (PMI). Durante lafase di compressione, il pistone si muove verso il punto morto superiore (PMS) comprimendo la miscela di aria e combustibile. Poco prima che il pistone raggiunga il PMS, una candela fa scoccare una scintilla che accende la miscela, provocando un aumento de!la pre~sione e. dell~ te.mperatura ~ I' interno del cilindro. L'elevata pressione dei gas spmge 11 pistone verso Il PMI mettendo, così, in rotazione l'albero motore e producendo un lavoro utile (fase di espansione o di lavoro). Alla fine di questa corsa, il pistone si trova al PMI (si è completato il primo ciclo meccanico) e il cilindro contie-
Miscela di aria e combustibile
Gas di scarico
---ì--
---ì--
:J
Aspirazione
PMS
Fase di compressione
PMI
Fase di espansione
lJ
Fase di aspirazione
Fase di scarico
V (a) Motore reale ad accensione comandata a quattro tempi
p
ARIA ~ ::.:.,-,-_-_-
(2)
lJ
~
. PMS
PMI
V
ARIA
---ì--
lJ
::::.1J:.:.-
Compressione
Somministrazione
Espansione
isoentropica
di calore a V= cost
isoentropica
(b} Ciclo Otto ideale
i'
4
)
i.---l'll..__-l (4) + (I )
Sottrazione di calore a v = cost
ne al suo interno i prodotti sviluppati dalla combustione. Il pistone, poi, si muove nuovamente verso il PMS espellendo i gas combusti attraverso la valvola di scarico (fase di scarico) e, successivamente, ancora verso il PMI aspirando nuova miscela di aria e combustibile attraverso la valvola di aspirazione (fase di aspirazione). Si osservi che la pressione all'interno del cilindro è leggermente superiore a quella atmosferica durante la fase di scarico ed è, invece, leggermente inferiore a quella atmosferica durante la fase di aspirazione. _ Nei motori a due tempi le quattro fasi descritte si compiono in due sole corse del pistone: quella di compressione e quella di aspirazione. In questi motori le valvole di aspirazione e di scarico sono sostituite da aperture, dette luci, realizzate nella parte inferiore della parete del cilindro. Inoltre, il carter, che è la camera che contiene il manovellismo, è sigillato in modo da poter utilizzare il moto del pistone verso il PMI per innalzare opportunamente la pressione della miscela di aria e combustibile contenuta nello stesso carter, come mostrato in Figura 7.14, e consentire, così, il riempimento del cilindro. Infatti, nella parte finale della corsa di espansione, il pistone scopre dapprima le luci di scarico, permettendo ai gas combusti di essere in buona parte espulsi, e successivamente scopre le luci di aspirazione permettendo l'ingresso di nuova miscela di aria e combustibile, che spinge al di fuori del cilindro la maggior parte dei rimanenti gas combusti. Quando, poi, il pistone si muove verso il PMS, durante la corsa di compressione, la miscela si comprime e successivamente viene accesa dalla scintilla di una candela. I motori a due tempi sono generalmente meno efficienti dei corrispondenti motori a quattro tempi a causa dell'incompleta espulsione dei gas combusti e della parziale fuoriuscita di miscela fresca di aria e combustibile con i gas combusti. Tuttavia, essi sono relativamente semplici e poco costosi, hanno elevati rapporti potenza/peso e potenza/volume per cui risultano molto adatti per quelle applicazioni che richiedono modesti ingombri e limitato peso, come motociclette, motoseghe e motofalciatrici. I progressi conseguiti in numerose tecnologie - come l'iniezione diretta di combustibile, la combustione a carica stratificata e il controllo elettronico - hanno apportato un rinnovato interesse per i motori a due tempi perché potrebbero offrire elevate prestazioni con ridotti consumi di combustibile, soddisfacendo le stringenti limitazioni future sulle emissioni. Per un peso e una cilindrata assegnati, un motore a due tempi ben progettato può fornire una potenza significativamente maggiore di quella di un corrispondente motore a quattro tempi perché sviluppa lavoro utile a ogni giro dell'albero motore anziché ogni due giri come fanno i motori a quattro tempi. Nei nuovi motori a due tempi in fase di sviluppo il combustibile brucia in maniera molto più completa perché viene finemente nebulizzato, sotto forma di spray, e iniettato nell'aria compressa ali' interno del cilindro mentre si sta concludendo la corsa di compressione. L'iniezione del combustibile avviene solo dopo che la luce di scarico si è chiusa, per cui non è possibile che combustibile non ancora bruciato possa fuoriuscire nell'atmosfera. Con la combustione a carica stratificata si ottiene una combustione molto più pulita poiché la fiamma, che viene innescata accendendovici-
203 Il ciclo Otto: ciclo ideale dei motori ad accensione comandata
Candela
Luce di scarico
FIGURA 7.14 Schema di un motore ad accensione comandata a due tempi.
------- ---- ---------
!04 \PITOLO 7 idi diretti ddi imersi
ciclo Ono ideale sul diagramma T-s.
r-···
no alla candela una piccola quantità di miscela ricca di aria e combustibile, riesce a propagarsi ali' interno della camera di combustione anche in presenza di una miscela molto povera. Infine, i progressi fatti dal!' elettronica consentono di assicurare continuamente le condizioni ottimali, anche in situazioni di carico e velocità variabili. I principali costruttori di automobili hanno avviato programmi di ricerca sui motori a due tempi da cui si attendono risultati positivi nel prossimo futuro. L'analisi termodinamica dei cicli reali dei motori a quattro tempi e a due tempi sin qui descritti non è facile. Tuttavia, lo studio può essere notevolmente semplificato riferendosi al ciclo ad aria standard, che descrive abbastanza bene le reali condizioni di funzionamento dei motori e prende il nome di ciclo Otto ideale ad aria standard. Esso consiste di quattro trasformazioni internamente reversibili: 1-2 2-3 3-4 4-1
GUAA 7.15
-
compressione isoentropica; somministrazione di calore a volume specifico costante; espansione isoentropica; sottrazione di calore a volume specifico costante.
In Figura 7. l 3b sono riportate sia la rappresentazione del ciclo Otto sul diagramma p-v sia le fasi di funzionamento del dispositivo cilindro-pistone in cui si esegue il ciclo, mentre in Figura 7.15 è riportato il ciclo sul diagramma T-s. Poiché il ciclo Otto è eseguito in un sistema chiuso, l'equazione del primo principio della termodinamica riferita all'unità di massa assume, per ognuna delle trasformazioni, la seguente espressione:
q - l = /lu
(7.5)
(J/kg)
Inoltre, il sistema non scambia lavoro durante le due trasformazioni di scambio termico, poiché esse avvengono a volume specifico costante. Pertanto, per le ipotesi fatte per i cicli ad aria standard, la quantità di calore fornita e quella sottratta al fluido evolvente possono essere espresse, rispettivamente, dalle relazioni:
q, =q23 =U3 - 112 =cv (T3 - T2) q• = -q41 = -(u1 - u4) =cv (T4 - T1)
'· uo
q,
T3-1ì
T2(T3IT2-l)
Tenendo presente, poi, che le trasformazioni 1-2 e 3-4 sono isoentropiche e che, inoltre, risulta v2 v3 e v4 v1, si ottiene:
=
comandata
è il rapporto volumetrico di compressione e k è il rapporto dei calori specifici cple. V L'Equazione 7.8 dimostra che, con le ipotesi fatte per il ciclo ad aria standard, il rendimento termico di un ciclo Otto ideale dipende dal rapporto volumetrico di compressione del motore e dal rapporto dei calori specifici del fluido evolvente; più precisamente, è funzione crescente di entrambi i rapporti. Ciò risulta vero anche per i motori reali a combustione interna ad accensione comandata. In Figura 7.16 è riportato il diagramma del rendimento termico in funzione del rapporto volumetrico di compressione, per k 1.4 che è il valore del rapporto dei calori specifici dell'aria a temperatura ambiente. Per un dato rapporto volumetrico di compressione, il rendimento termico di un motore reale ad accensione comandata è inferiore a quello di un ciclo Otto ideale a causa delle irreversibilità, come lattrito, e di altri fattori, come la combustione incompleta.
=
0.7 0.6 0.5
8 0.4
_,;.-Valori ,...-.::.....; tipici dip nei motori
0.3
a benzina
i
FIGURA 7.16
0.2
6
8
IO
12
14 P
=
(7.7) Sostituendo, allora, queste equazioni nell'espressione del rendimento termico e semplificando si ricava:
Rendimento termico del ciclo Otto ideale in funzione del rapporto volumetrico di compressione p (k 1.4).
=
Dalla Figura 7.16 si può osservare che la curva del rendimento termico
è piuttosto ripida per piccoli valori del rapporto volumetrico di compres-
=~=1- q. =1-T4 -Ti =1- 7ì(T4/7ì-l) q,
Il ciclo Otto: ciclo ideale dei motori ad accensione
4
(7.6a) (7.6b)
per cui il rendimento termico del ciclo Otto ideale risulta:
11 o
205
sione ma tende ad appiattirsi a partire da un rapporto volumetrico di compressione di circa 8. Pertanto, l'incremento del rendimento termico con il rapporto di compressione volumetrico non è particolarmente pronunciato quando quest'ultimo è già elevato. Inoltre, quando il rapporto volumetrico di compressione è elevato, la temperatura della miscela di aria e combustibile può innalzarsi, durante il processo di combustione, al di sopra della temperatura di autoaccensione (la temperatura alla quale il combustibile si accende spontaneamente senza necessità di una scintilla) causando una prematura e rapida accensione del combustibile in uno o più punti non ancora raggiunti dal fronte di fiamma e la successiva quasi istantanea combustione della rimanente miscela (Figura 7 .17). Questa autoaccensione prematura del combustibile, chiama-
Miscela di aria e combustibile
3o•c
FIGURA 7.17
Innalzamento della temperatura al di sopra di quella di autoaccensione del combustibile per effetto di un elevato rapporto volumetrico di compressione p.
-'
.~-----
I ta detonazione, produce un rumore udibile noto come battito in testa del motore. La detonazione nei motori ad accensione comandata non può essere tollerata perché nuoce alle prestazioni del motore e può provocare danni; per questo motivo è necessario limitare superiormente il valore del rapporto ·volumetrico di compressione che può essere utilizzato. Adoperando miscele di benzina e particolari sostanze capaci di aumentare la resistenza alla detonazione, come il piombo tetraetile, è stato possibile migliorare il rendimento termico dei motori a benzina elevando il rapporto di compressione volumetrico, fino a circa 12, senza che si verificasse il problema dell'autoaccensione. Il piombo tetraetile veniva addizionato alla benzina sin dagli anni Venti perché permette di aumentare, nel modo più economico, il numero di ottano che è una misura del potere antidetonante di un combustibile. Tuttavia, la benzina addizionata di piombo ha un effetto collaterale assai indesiderabile poiché, durante la combustione, forma composti dannosi per la salute e inquinanti per lambiente. Per combattere l'inquinamento atmosferico, la benzina al piombo è stata messa definitivamente al bando a partire dalla metà degli anni Settanta, per cui le raffinerie sono state costrette a sviluppare altre tecniche più complesse per migliorare il potere antidetonante della benzina. La maggior parte delle automobili costruite dopo il 1975 sono state progettate per utilizzare benzina senza piombo, per cui, per evitare il problema della detonazione, è stato necessario utilizzare valori più bassi per il rapporto volumetrico di compressione. In conseguenza di ciò, il rendimento termico è diminuito, tuttavia, per i progressi conseguiti in altri settori (riduzione del peso dell'autoveicolo, migliore progetto aerodinamico ecc.), le automobili odierne hanno minori consumi di combustibile (e, conseguentemente, percorrono più chilometri con un litro di combustibile). Quanto detto dimostra come le scelte progettuali siano il risultato di più compromessi e che lefficienza è soltanto uno degli aspetti presi in considerazione. Il secondo parametro da cui dipende il rendimento termico di un ciclo Otto ideale è il rapporto dei calori specifici k. Per un dato rapporto volumetrico di compressione, un ciclo Otto ideale che utilizzi un gas monoatomico (come l'argon o l'elio, per i quali k = 1.667) come fluido evolvente ha il rendimento termico più elevato (Figura 7.18). Il rapporto dei calori specifici k, e quindi il rendimento termico del ciclo Otto ideale,
206 CAPITOLO 7 Cicli diretti e cicli inversi
Un ciclo Otto ideale ha un rapporto volumetrico di compressione pari a 8. All'inizio della trasformazione di.compressione l'aria si trova alla pressione di 100 kPa e alla te~peratura di 17°C; durante la trasformazione a volume costante viene fornita al fluido evolvente una q~antità di ~alore pari !i kJ/kg. Determinare a) la massima temperatura e la massima pressione che s1 raggiungono nel ciclo· b) il lavoro netto prodotto; e) il rendimento termico; cf'J la pressione media effettiv~. Soluzion~ .
Il ciclo Otto des.~ritto è rappresentato sul diagramma p-v in Figura 7.19. Lana contenuta nel c1lmdro costituisce un sistema chiuso e di ciò si deve tE'.ne'.e conto nell'applicare I principi della termodinamica alle singole trasformazion~. 81 assumono costanti i calori specifici dell'aria, valutandoli a temperatura ambiente: c.= 1005 J/(kg · K), c.= 718 J/(kg·K), k= 1.4. a) In un elci? Otto la massima t~mperatura e la massima pressione vengono ragg1~nte alla Ime della trasformazione a volume costante in cui si fornisce calore al fluido (~t~to 3). Dapprima, però, è ne?ess~rio calcol.are I~ temperatura e la pressione dell aria alla fine della trasformazione 1soentrop1ca d1 compressione (stato 2):
T, = T, ( :: pv
p,v,
T,
T,
-2 -2 = -
~
r
= T,p
•-i =290x8
1
1 '·
=666.2 K
T, v, 666.2 P, =p,--=100x--x8=1837.8 kPa T, v,
/23
290
= u3 - u2 = c. (T3 - T,)
=O): q
800
c.
0.718
T, = T, +~= 666.2+--= 1780.4 K
Rendimento termico del ciclo Otto in funzione del rapporto volumetrico di compressione p, per alcuni valori del rapporto k tra i calori specifici del fluido evolvente.
""
0.4 0.2
I
I I
I Isoentropica 100 --r-------------1 I
FIGURA 7.19
Dall'equazione del primo principio della termodinamica applicata alla trasformazio· ne a volume costante 2-3:
0.8
FIGURA 7.18
p, kPa
aoo.
q23 -
~
Il ciclo Otto: ciclo ideale dei motori ad accensione comandata
ESEMPI00
si ricava (123
0.6
207
diminuisce all'aumentare delle dimensioni delle molecole del fluido evolv~nte. A ~emperatura ambiente esso vale 1.4 per l'aria, 1.3 per il biossido d1 carbonio e 1.2 per l'etano. Nei motori reali il fluido evolvente contiene molec?l~ pi~ gra~di rispe.tto a ~nelle d.ell'aria, come ad esempio le moleco~e d1 b1oss1do d1 carbonio, e, moltre, 11 rapporto dei calori specifici diminu1s.ce con la tei:11peratura; queste sono alcune delle ragioni per cui i cicli reali hanno rendimenti termici inferiori rispetto al ciclo Otto ideale ad aria standard. Il rendimento termico dei motori ad accensione comandata reali varia all'incirca tra il 25 e il 30 per cento.
e quindi:
pv pv T. v 1780.4 ...1.2.=.2.2.. ~ P3 = P, -2-...!.= 1837.8x---x1=4911.5 kPa T, T, T, v. 666.2 b) 11 lavoro netto prodotto può essere determinato sia sommando i lavori di variazione di volume
II ciclo Otto dell'Esempio 7.2 sul diagramma p· v.
------ "-· ------208 CAPITOL07 Cicli diretti
T
ro netto prodotto. Scegliendo la seconda via, è necessario calcolare prima la temperatura dell'aria nello stato 4 per poter valutare la quantità di calore ceduta dal sistema q". Tenendo presente che la trasformazione 3-4 è un'espansione isoentropica di gas perfetto si ha:
e cicli inversi
T.
= T,
(~: J,_, T, (-; J'"' =
= 1780.4
(i )1.4-1 = 775.0 K
Applicando il primo principio della termodinamica alla trasformazione 4· 1 (sottrazione di calore a volume costante}, si ottiene:
q., - 141
=u
1-
u, =c" ( T, - T,)
da cui (/41 = O):
qu = -q41 = Cu (T, - T,) = 0.718 X (775 - 290) = 348.2 kJ/kg e quindi il lavoro netto prodotto risulta:
In= qn = q• - qu = 800 - 348.2 = 451.8 kJ/kg e) Il rendimento termico del ciclo viene determinato, in base alla sua definizione, con l'Equazione 7.1: I 451.8 1) =...!!..=--=0.565=56.5% ' q. 800
Nell'ipotesi di ciclo ad aria standard, il rendimento termico può essere determinato anche con l'Equazione 7.8:
1J
t,Otto
1 1 =1-- = 1- p ·• =1-0 1-"1·• =0.565 = 56.5% pk-1
ottenendo lo stesso valore.
d) La pressione media effettiva può essere determinata, in base alla sua definizione, con l'Equazione 7.4:
p __In____.___ me -
dove
In
v,-v, - v, -v,tp - v,(1-l!p)
RT, 0.287x290 3 v, = - = =O. 832 m /kg P1 100
Per cui: p me
=
451.8 0.832x(1-1/8)
- 620.6 kPa
Ciò significa che una pressione di 620.6 kPa, mantenuta costante durante tutta la corsa di espansione, produrrebbe lo stesso lavoro netto sviluppato durante l'intero ciclo.
7.6 ml IL CICLO DIESEL: CICLO IDEALE DEI MOTORI AD ACCENSIONE SPONTANEA II ciclo Diesel è il ciclo ideale dei motori alternativi ad accensione spontanea. Il motore ad accensione spontanea, proposto per la prima volta da Rudolf Diesel intorno al 1890, è molto simile al motore ad accensione comandata, differendo sostanzialmente solo nel modo in cui avviene l'accensione del combustibile. Nei motori ad accensione comandata (detti anche motori a benzina), la miscela di aria e combustibile viene compressa fino a una temperatura inferiore a quella di autoaccensione del combustibile e la combustione viene innescata dalla scintilla di una candela. Invece, nei motori ad accensione spontanea (detti anche motori diesel), laria viene compressa fino a raggiungere una temperatura superiore a quella di autoaccensione del combustibile e la combustione inizia spontaneamente non appena il combustibile, iniettato nel cilindro, viene a contatto con laria calda. Quindi, la candela e il carburatore dei motori ad accensione comandata sono sostituiti, nei motori diesel, dal!' iniettore di combustibile (Figura 7 .20). Nei motori a benzina, durante la fase di compressione, il cilindro contiene una miscela di aria e combustibile e ciò limita il rapporto volumetrico di compressione onde evitare il problema dell'autoaccensione e della detonazione. Nei motori diesel, invece, durante la fase di compressione il cilindro contiene soltanto aria, per cui non esiste possibilità di autoaccensione. Pertanto, i motori diesel possono essere progettati per funzionare con rapporti volumetrici di compressione molto più elevati, tipicamente tra 12 e 24. Inoltre, non essendo soggetti al problema dell'autoaccensione, i motori diesel hanno un altro vantaggio: molte delle stringenti limitazioni poste sul combustibile nei motori a benzina possono essere rimosse per cui si possono utilizzare combustibili meno raffinati (e quindi meno costosi). Nei motori diesel l'iniezione del combustibile inizia quando il pistone si avvicina al PMS e continua durante la prima parte della fase di espansione. Pertanto, la combustione ha una durata maggiore rispetto ai motori a benzina e ciò comporta che la trasformazione in cui avviene la somministrazione di calore possa essere considerata, nel ciclo Diesel ideale, a pressione costante. Questa è l'unica trasformazione in cui il ciclo Otto e il ciclo Diesel differiscono; le rimanenti tre trasformazioni sono, invece, le stesse (Figura 7.21), per cui la trasformazione 1-2 è una compressione isoentropica, la trasformazione 3-4 è una espansione isoentropica e la trasformazione 4-1 è una sottrazione di calore a volume specifico costante. La somiglianza tra i due cicli è evidente confrontando le loro rappresentazioni sui diagrammi p-v e T-s. Una misura delle prestazioni dei cicli diretti è fornita dal rendimento termico. Di seguito verrà ricavata, utilizzando le assunzioni del ciclo ad aria standard, lespressione del rendimento termico del ciclo Diesel che consentirà di esaminare gli effetti dei principali parametri sulle prestazioni dei motori diesel. Il ciclo Diesel, come il ciclo Otto, viene eseguito in un dispositivo cilindro-pistone, che costituisce un sistema chiuso per cui nell'analisi delle singole trasformazioni devono essere utilizzate le equazioni sviluppate per questo tipo di sistemi. Con le assunzioni del ciclo ad aria standard, la
209 llll!lllill1l!ili!ililii!l!'!i
Iniettore di combustibile
Motore a benzina
Motore diesel
FIGURA 7.20 Nei motori diesel la candela è sostituita da un iniettore di combustibile. Nella fase di compressione il cilindro contiene soltanto aria. p q,
V
(a) Diagramma p·V
T q, 4
(b) Diagramma T-s
FIGURA 7.21 Il ciclo Diesel ideale nei diagrammi p-v e T-s.
T
I
L
210
quantità di calore fornita al fluido evolvente a pressione costante e quella sottratta a volume costante possono essere espresse come segue:
CAPITOL07 Cicli diretti e cicli inversi
q,
=qn =In+ (ili1)23 =p2 (v3 -
qu =-q.,
=-/41 -
(fiu)4t
= 114 -
v2) + (113 - u2)
=h3- h2 =cP (T3-T2)
11, = Cv (T4 - T,)
211 0.7
Il ciclo Diesel: ciclo ideale dei motori ad accensione
0.6
spontanea
(7.lOa) (7.lOb)
'li
Il rendimento termico del ciclo Diesel ideale risulta allora:
Se si definisce una nuova quantità, il rapporto volumetrico di introduzione '!", come il rapporto tra i volumi del cilindro alla fine e ali' inizio del processo di somministrazione del calore:
e se si tiene conto che per un gas perfetto le trasformazioni isoentropiche, come la 1-2 e la 3-4, sono politropiche di esponente k, il rendimento termico si riduce ali' espressione:
dove p è il rapporto volumetrico di compressione definito dall'Equazione 7 .9. Osservando attentamente l'Equazione 7 .12, si può notare che il remlimento termico del ciclo Diesel ad aria standard differisce da quello del ciclo Otto ad aria standard per il solo termine in parentesi che, pari a l nel caso limite di'!"= 1, è funzione crescente di'!". Pertanto, a parità di rapporto volumetrico di compressione p, risulta:
0.5
'5
0.4
"'
0.3
Valori tipici di p nei motori diesel
2 4 6 8 IO 12 14 16 18 20 22 24p
dimostra quanto grande possa essere un motore diesel è il motore realizzato nel 1964 dalla Fiat, che aveva 12 cilindri con alesaggio di 90 cm, una corsa di 91 cm e produceva una potenza di 18.8 MW alla velocità di rotazione di 122 giri al minuto. Si noti che approssimare il processo di combustione in un motore a combustione interna con una somministrazione di calore a volume specifico costante o a pressione costante è alquanto semplicistico e non abbastanza realistico. Probabilmente un modello migliore (ma leggermente più complesso) si ottiene considerando il processo di combustione, sia nei motori a penzina sia nei motori diesel, come una combinazione di due processi di scambio termico, uno a volume costante e l'altro a pressione costante. Il ciclo ideale che si basa su questo modello è il ciclo misto di Sabathè, rappresentato sul diagrammap-v in Figura 7.23. Le quantità di calore fomite nelle due trasformazioni possono essere stabilite in modo da avere la migliore approssimazione al ciclo reale. Sia il ciclo Otto sia il ciclo Diesel possono essere considerati come casi particolari del ciclo Sabathè.
(7.13) Inoltre, poiché il termine in parentesi aumenta con '!", il rendimento termico del ciclo Diesel diminuisce all'aumentare del rapporto volumetrico di introduzione '!", diventando sempre più piccolo rispetto al rendimento termico del ciclo Otto (Figura 7 .22). Si ricordi, tuttavia, che i motori diesel funzionano con rapporti volumetrici di compressione molto più elevati rispetto ai motori a benzina e perciò, di solito, hanno un rendimento termico più elevato. Inoltre, i motori diesel reali bruciano il combustibile in maniera più completa poiché normalmente funzionano con una minore velocità di rotazione rispetto ai motori reali ad accensione comandata. Il rendimento termico dei motori diesel varia all'incirca tra il 35 e il 40 per cento. Per il rendimento termico più elevato e per il minor costo del combustibile, i motori diesel risultano particolarmente adatti nelle applicazioni che richiedono potenze relativamente elevate, come locomotive, generatori elettrici di emergenza, grandi navi e autocarri pesimti. Un esempio che
ESEMPlo'è Un ciclo Diesel ideale ad aria standard ha un rapporto volumetrico di compressione pari a 18 e un rapporto volumetrico di Introduzione pari a 2. All'Inizio della trasformazione di compressione Il fluido evolvente si trova alla pressione di 101 3 350 Pa, alla temperatura di 27°C e occupa un volume di 1800 cm • Determinare a) la temperatura e la pressione dell'aria alla fine di ogni trasformazione; b) il lavoro netto prodotto e Il rendimento termico; e) la pressione media effettiva. Soluzione In Figura 7.24 è riportata la rappresentazione del ciclo sul diagramma p-V. Il ciclo Diesel ideale viene eseguito in un dispositivo cilindro-pistone contenente una fissata quantità di aria e pertanto tutte le trasformazioni devono essere analizzate come trasformazioni di un sistema chiuso. f\lell'ipotesi di ciclo ad aria standard, il fluido evolvente (aria) viene considerato come un gas perfetto avente I calori specifici costanti, pari ai valori a temperatura ambiente. Per l'aria, la costante del gas è R = 287 J/(kg · K), e i calori specifici a temperatura ambiente valgono c.= 1.005 kJ/(kg · K) e c.= 0.718 kJ/(kg · K) (Tabella A.2a).
FIGURA 7.22 Rendimento termico del ciclo Diesel ideale in funzione del rapporto volumetrico di compressione p e del rapporto volumetrico di introduzione r (k 1.4).
=
p
q,
V
FIGURA 7.23 Il ciclo misto Sabathè sul diagramma p- v.
T 212
p, kPa
CAPITOLO 7 Cicli diretti
b) Il lavoro netto sviluppato durante un ciclo è pari al calore netto scambiato, cioè alla differenza tra il calore totale fornito e il calore totale ceduto. Ma prima occorre determinare la massa di aria contenuta nel cilindro:
q,
e cicli inversi I
I
FIGURA 7.24 II ciclo Diesel ideale dell"Esempio 7.3 sul diagramma p-V.
P,V,
101350x1800
RT,
287x300
m=-=
I
I I
"1
101.350 ---1------4--- -----1
a turbina a
-0.00212 kg
La trasformazione 2-3 è una somministrazione di calore a pressione costante, per la quale il lavoro di variazione di volume e la variazione di energia interna possono essere combinati tra loro come variazione di entalpia. Pertanto, la quantità di calore fornita al fluido evolvente risulta:
l4 I o~..,~ II %è-,
I
Qe = 0 23 =
a) I valori della temperatura e della pressione alla fine di ogni trasformazione possono essere determinati applicando alle trasformazioni 1-2 e 3-4 l'equazione dell'isoentropica, che per i gas perfetti coincide con una politropica di esponente k. Prima, però, è necessario determinare i volumi occupati dal fluido evolvente alla fine di ogni trasformazione, utilizzando le definizioni del rapporto volumetrico di compressione e del rapporto volumetrico di introduzione:
m (h3 - h,) = mcp (T, - T,) = 0.00212 X 1.005 X (1906 -
953) = 2.029 kJ
La trasformazione 4-1 è una sottrazione di calore a volume costante (senza scambio di lavoro) per cui la quantità di calore ceduta risulta:
Qu=-0., = m(u,-u,) =mc.
rr.-T,> = 0.00212x 0.718x (791-300) =0.747 kJ
e quindi:
Ln =
a. - Q" =2.029 -
0.747
=1.281 kJ
Infine, il rendimento termico risulta:
V.
2
=V,= 1800 =100 p
cm•
18
v.=V,=1800cm
3
Il rendimento termico del ciclo Diesel ad aria standard può essere determinato anche con l'Equazione 7.12.
3
Per la compressione isoentropica 1-2 si ha:
2
1
(~ Jk-l = T. p k-l = 300X181·'"1= 953 K Va 1
c) La pressione media effettiva si determina mediante l'Equazione 7.4 con cui è stata definita:
p me
p2
=P{~
J
=p1 p' =101350x18
1 -'
=5.797 MPa
·Per la trasformazione isobara di somministrazione di calore risulta:
p 3 = p 2 = 5.797 MPa =953x2=1906K
Per l'espansione isoentropica 3-4 si ha:
V. Jk-1 ( 200 T,=T, .2. =1906x - - ) ( V. 1800 200 ) ~ • = 5.797 x ( ( V. ) 1800
L, Ln =---=--=
V...,-V,,,.
V,-V,
1.281 (1800-100)x10... ,
=753.5 kPa
Ciò significa che una pressione di 753.5 kPa, mantenuta costante durante tutta la corsa di espansione, produrrebbe lo stesso lavoro netto in uscita sviluppato durante l'intero ciclo Diesel.
7.71111 IL CICLO BRAYTON: CICLO IDEALE
P,\I, =p•V, ~T. =T. V,, =T.r T, T, 3 •v,, 2
p, = p,
1.281
2.029
1), =-=--=0.631 =63.1%
V,, =rii,= 2x100 = 200 cm
T. = T.
Ln
a.
1
1 ·•-
=791K
1 ·'
= 267.5 kPa
DEGLI IMPIANTI A TURBINA A GAS Il ciclo Brayton, che fu proposto per la prima volta da George Brayton intorno al 1870 con lo sviluppo di un motore alternativo a petrolio, oggi viene utilizzato soltanto negli impianti motori a turbina a gas, dove sia la trasformazione di compressione sia quella di espansione sono realizzate mediante turbomacchine. Gli impianti motori a turbina a gas funzionano, di solito, a circuito aperto come mostrato in Figura 7.25: l'aria prelevata dall'ambiente viene immessa nel compressore dal quale esce a pressione e a temperatura più elevate per entrare in camera di combustione, dove viene bruciato del combustibile a pressione costante; i gas combusti ad alta temperatura entra-
-
213 Il ciclo Brayton: ideale degli im
-----------------~··--------
------
ciclo Brayton sono realizzate con dispositivi schematizzabili come sistemi aperti a flusso stazionario, per cui esse devono essere analizzate con le equazioni valide per questi sistemi. Quando le variazioni dell'energia cinetica e dell'energia potenziale sono trascurabili, l'equazione del primo principio della termodinamica per i sistemi aperti a flusso stazionario, riferita all'unità di massa, assume l'espressione:
214 CAPITOL07 Cicli diretti e cicli inversi
q-l=M FIGURA 7.25 Impianto motore a turbina a gas a circuito aperto.
215 Il ciclo Brayton: ciclo ideale degli impianti a turbina a ga'i T
(7.14)
Assumendo i calori specifici costanti, valutati a temperatura ambiente, così come richiesto dalle assunzioni del ciclo ad aria standard, le quantità di calore scambiate dal fluido evolvente risultano: no in turbina, dove producono lavoro espandendosi fino alla pressione atmosferica, e all'uscita vengono scaricati nell'atmosfera senza essere rimessi in circolo, motivo per cui limpianto è detto a circuito aperto. L'impianto motore a turbina a gas a circuito aperto può essere schematizzato come un impianto a circuito chiuso (Figura 7.26), se si utilizzano le assunzioni del ciclo ad aria standard. In tal caso le trasformazioni di compressione ed espansione rimangono invariate, mentre il processo di combustione è sostituito da una somministrazione di calore a pressione costante da parte di una sorgente esterna, e il processo di rinnovo del fluido evolvente è sostituito da una sottrazione di calore a pressione costante verso l'all).biente. q,
= =hJ - h2 = qu =-q =h h, = q,
q23
41
4-
cP
(T3 - T2)
(7.15a)
cP
(T4 -T1)
(7.15b)
Per cui il rendimento termico del ciclo Brayton ideale è espresso dalla relazione:
- In -
(a) Diagramma T-s
p
q. -
11t.Brayton - - - 1 - - -1
q,
q,
Tenendo presente che le trasformazioni 1-2 e 3-4 sono isoentropiche e che P 2 = P3 e P4 =pi' si può scrivere:
Tz
1ì
=(P2 J(k-1)1k =(p3 J(k-1)1k =T3 P1
P4
T4
dove k è il rapporto dei calori specifici. Sostituendo tali equazioni nell' espressione del rendimento termico, si ottiene:
(b) Diagramma p·v
V
FIGURA 7.27 Il ciclo Brayton ideale sui diagrammi T·s e p· V. FIGURA 7.26 Impianto motore a turbina a gas a circuito chiuso.
Il ciclo ideale che il fluido evolvente esegue in questo circuito chiuso prende il nome di ciclo Brayton ed è costituito da quattro trasformazioni internamente reversibili: 1-2 2-3 3-4 4-1
compressione isoentropica; somministrazione di calore a pressione costante; espansione isoentropica; sottrazione di calore a pressione costante.
Le rappresentazioni del ciclo Brayton ideale nei diagrammi T-s e p-V sono riportate in Figura 7.27. Si osservi che tutte e quattro le trasformazioni del
è il rapporto manometrico di compressione. L'Equazione 7.16 dimostra che, nell'ipotesi di ciclo ad aria standard, il rendimento termico del ciclo Brayton ideale dipende soltanto dal rapporto manometrico di compressione e dal rapporto dei calori specifici del fluido evolvente. Il rendimento termico aumenta con entrambi questi rapporti e ciò risulta vero anche per gli impianti motori a turbina a gas reali. In Figura 7.28 è riportato il diagramma del rendimento termico del ciclo Brayton in funzione del rapporto manometrico di compressione nel caso in cui k = 1.4, che è il valore del rapporto dei calori specifici dell'aria a temperatura ambiente. Nel ciclo Brayton la più alta temperatura viene raggiunta alla fine del processo di combustione (stato 3) ed è limitata dalla massima temperatura che le pale della turbina possono sopportare. Questa limitazione pone una
------- ------- -----·
-~----
~16 T71.Bray1on
\PITOLO 7 0.7
icli diretti
dcli inversi
0.6
0.5 OA
Valori tlpici di/3 negli impianti motore a turbina a gas
FIGURA 7.28
Rendimento termico del ciclo Brayton ideale in funzione del rapporto manometrico di compressione [3.
T
3URA 7.29 sate T . e T , il lavoro netto
I ciclo 'B'rayt;' prima cresce n il rapporto manometrico oompressione fino a raggiungere nassimo per f3 =(T../Tm;,)"IU•-u1, •oi decresce.
O.I IO
15
20
25 f3
soglia anche al rapporto manometrico di compressione che può essere utilizzato nel ciclo e conseguentemente al rendimento termico del ciclo stesso. Infatti, fissata la temperatura di ingresso in turbina T3, il lavoro netto prodotto a ogni ciclo aumenta con il rapporto manometrico di compressione fino a raggiungere un massimo, e poi decresce abbastanza rapidamente come mostrato in Figura 7.29. Al diminuire del lavoro netto prodotto a ogni ciclo, è necessario aumentare la portata massica del fluido evolvente, e quindi le dimensioni del sistema, per poter mantenere la stessa potenza richiesta, e ciò potrebbe risultare economicamente svantaggioso. Pertanto, il valore del rapporto manometrico di compressione deve derivare necessariamente da un compromesso tra rendimento termico e lavoro netto prodotto. Di solito, il rapporto manometrico di compressione varia tra 11 e 16. Negli impianti motori a turbina a gas, l'aria svolge due importanti funzioni: fornisce il necessario comburente per la combustione del combustibile e agisce da refrigerante per mantenere la temperatura dei vari componenti entro i limiti di sicurezza. Questa seconda funzione viene assolta utilizzando una quantità di aria molto maggiore di quella strettamente necessaria per una completa combustione del combustibile: è abbastanza comune che il rapporto aria-combustibile sia 50 o anche più. In conseguenza di ciò, considerare nell'analisi del ciclo i prodotti della combustione come se fossero aria non comporta un errore significativo. Inoltre, la portata massica di fluido evolvente che attraversa la turbina è maggiore di quella che attraversa il compressore a causa della portata di combustibile che si aggiunge in camera di combustione. Si noti, però, che, considerando costante la portata massica di fluido che descrive l'intero ciclo di un impianto motore a turbina a gas a circuito aperto, si ottengono risultati prudenziali. Il rendimento termico di un impianto motore a turbina a gas reale dipende anche dalla temperatura all'ingresso in turbina. Aumentando tale temperatura da 900°C a 1200°C, il rendimento termico aumenta del 26 per cento e il lavoro netto prodotto del 71 per cento. I significativi progressi conseguiti negli ultimi venti anni, come il rivestimento delle pale della turbina con strati ceramici e il raffreddamento delle pale con aria prelevata
dal turbocompressore, permettono alle turbine odierne di tollerare temperature di ingresso di 1425°C e di ottenere rendimenti termici ben oltre il 30 per cento. Un impianto motore a turbina a gas a ciclo semplice, costruita recentemente dalla Generai Electric, ha un rapporto manometrico di compressione di 13.5 e genera 135.7 MW di potenza netta con un rendimento termico del 33 per cento. L'aria è compressa da un turbocompressore assiale a 18 stadi e i gas provenienti dalla camera di combustione a 1260°C si espandono in una turbina a tre stadi uscendo alla temperatura di 593°C. I due principali campi di applicazione dei motori a turbina a gas sono la propulsione aerea e la produzione di energia elettrica. Nella propulsione aerea, la turbina a gas produce la potenza meccanica sufficiente per muovere soltanto il turbocompressore e un piccolo generatore che alimenta i dispositivi ausiliari, mentre i gas combusti, scaricati ad alta velocità, producono la spinta necessaria per la propulsione dell'aeromobile. Gli impianti motori a turbina a gas sono utilizzati anche come impianti fissi per la produzione di energia elettrica. Per produrre energia elettrica si utilizzano principalmente grandi impianti motori a vapore, che saranno trattati nei Paragrafi 7.11 e 7.12, mentre gli impianti motori a turbina a gas sono utilizzati, per lo più, per fornire energia soltanto nelle emergenze e nei periodi di punta, in virtù dei costi relativamente bassi e dei tempi di avviamento piuttosto rapidi. Gli impianti motori a turbina a gas sono anche utilizzati insieme con gli impianti motori a vapore per realizzare un impianto a ciclo combinato. In questi impianti i gas di scarico della turbina a gas vengono utilizzati come sorgente di calore per il ciclo a vapore. Il ciclo dell'impianto motore a turbina a gas può anche essere eseguito a circuito chiuso come accade negli impianti nucleari. In questo caso, il fluido evolvente non è circoscritto ali' aria e anzi si possono utilizzare gas con migliori caratteristiche, come lelio. La maggior parte delle flotte navali del mondo occidentale già utilizza motori a turbina a gas sia per la propulsione sia per la produzione di energia elettrica. In confronto con i sistemi di propulsione con turbina a vapore o con motori diesel, le turbine a gas offrono maggiore potenza a parità di ingombro e di peso, maggiore affidabilità e maggiore durata. Il periodo di avviamento di un impianto motore a turbina a gas ha una durata anche inferiore a due minuti contro le quattro ore richieste da un sistema di propulsione a vapore. Molti sistemi moderni di propulsione marina utilizzano impianti a turbina a gas insieme con motori diesel: in tal caso, il motore diesel fornisce lenergia ai bassi regimi e al regime della velocità di crociera mentre la turbina a gas, a causa dell'elevato consumo di combustibile degli impianti a ciclo semplice, viene messa in funzione solo quando sono necessari alti regimi, corrispondenti a velocità elevate. Negli impianti motori a turbina a gas, il rapporto tra il lavoro di compressione e il lavoro fornito dalla turbina è molto elevato (Figura 7.30): di solito, più della metà del lavoro fornito dalla turbina viene utilizzato per muovere il compressore, situazione che diventa ancora più penalizzante se i rendimenti isoentropici del compressore e della turbina sono bassi. Ciò è in netto contrasto con quanto accade negli impianti motori a vapore, dove il rapporto tra il lavoro di compressione e il lavoro fornito dalla turbina è
217 Il ciclo Brayto-n:
ciclol
ideale degli impianti a turbina a gas
FIGURA 7.30
Pane del lavoro fornito dalla turbina è utilizzata dal compressore.
218 CAPITOL07 Cicli diretti e cicli inversi
soltanto di qualche percento. Tuttavia, ciò non deve sorprendere, poiché negli impianti motori a vapore viene compresso un liquido invece che un gas, e il lavoro per una trasformazione reversibile in un sistema aperto a flusso stazionario è proporzionale al volume specifico del fluido evolvente (l =-J vdp) se le variazioni di energia cinetica e di energia potenziale sono .trascurabili.
e quindi 41.8 per cento del lavoro fornito dalla turbina viene utilizzato per muovere il compressore.
li ciclo Braytt> con rigenerazio11
e) 11 rendimento termico è il rapporto tra il lavoro netto prodotto e la quantità totale di calore fornita al sistema: q• = h3 - /J, = e, (T3 - T2) = 1.005 x (1300 - 543.4) =760.4 kJ/kg
'· = 1. - 1. = 585.2 - 244.6 = 362.7 kJ/kg per cui:
/"-
\ ESEMPI0'7.4 ·....._/ Un impianto motore fisso funzionante secondo un ciclo Brayton ideale ha un rapporto manometrico di compressione pari a 8. La temperatura del gas all'ingresso del compressore è di 300 K mentre quella all'ingresso della turbina è di 1300 K. Con riferimento al ciclo ad aria standard, determinare a) la temperatura del gas all'uscita del compressore e all'uscita della turbina; b) il rapporto tra lavoro di compressione e lavoro fornito dalla turbina; e) il rendimento termico.
FIGURA 7.31 Il ciclo Brayton dell'Esempio 7.4 sul diagramma T-s.
21
Soluzione Il ciclo è rappresentato sul diagramma T-s in Figura 7.31. Con riferimento al ciclo ad aria standard, il fluido evolvente è aria che si comporta come un gas perfetto e le quattro trasformazioni che costituiscono il ciclo sono internamente reversibili; inoltre, il processo di combustione e quello di rinnovo dei gas combusti sono sostituiti rispettivamente da una somministrazione e da una sottrazione di calore entrambe a pressione costante e, infine, i calori specifici dell'aria sono assunti costanti, valutati a temperatura ambiente: c,= 1.005 kJ/(kg · K), c.= 0.718 kJ/ (kg· K), k= 1.4. a) Le temperature dell'aria all'uscita del compressore e all'uscita della turbina possono essere determinate applicando alle trasformazioni 1-2 e 3-4 l'equazione dell'isoentropica che, per un gas perfetto, è una politropica di esponente k. Trasformazione 1-2 (compressione isoentropica di un gas perfetto):
T, = T, ( ::
f
'P' = 300x8°""' =543.4 K
Trasformazione 3-4 (espansione isoentropica di un gas perfetto): T =T.
•
(p, )(•-'P' =1300x~ """
' P.
0
=717.7
K
11, 11
362.7 I = ..!!,_ = - - - = 0.448 =44.8% q. 851.62
rendimento termico potrebbe essere determinato anche con l'Equazione 7.16: 1
'
11, -
= 1-
p<•-•P•
1 = 1- é·'-'P'" = 0.448
7.8 il IL CICLO BRAYTON CON RIGENERAZIONE Nei motori a turbina a gas, la temperatura dei gas combusti all'uscita della turbina è spesso considerevolmente più elevata della temperatura dell'aria all'uscita del compressore. Pertanto, l'aria a pressione elevata in uscita dal compressore può essere riscaldata mediante uno scambio di calore con i gas combusti ancora caldi, realizzato in uno scambiatore di calore controcorrente che prende il nome di rigeneratore o ricuperatore. Lo schema di un impianto motore a turbina a gas con rigeneratore e la rappresentazione del ciclo termodinamico sul diagramma T-s sono riportati rispettivamente nelle Figure 7.32 e 7.33. Per effetto della rigenerazione, il rendimento termico del ciclo Brayton aumenta perché l'energia dei gas combusti di scarico, che nel ciclo semplice è ceduta all'ambiente, viene ora utilizzata in parte per preriscaldare l'aria prima che entri in camera di combustione. In tal modo si riduce la quantità di calore (e quindi di combustibile) che deve essere fornita al fluido evolvente per produrre lo stesso lavoro netto. Si osservi tuttavia che la rigenerazione è da raccomandare soltanto se la temperatu;a dei ga~
8
b) Per determinare il rapporto tra il lavoro di compressione e il lavoro fornito dalla turbina è necessario calcolare i due lavori. Se si trascurano le variazioni dell'energia cinetica e dell'energia potenziale, l'equazione del primo principio della termodinamica per sistemi aperti a flusso stazionario si semplifica nell'Equazione 7.14: ~.
= Il, - h1 = e, (T2 - T,) = 1.005 x (543.4 - 300) = 244.6 kJ/kg
1,. = h3 - h, =e, (T,- T,) = 1.005 x (1300 - 717.7) = 585.2 kJ/kg
4
per cui il rapporto tra il lavoro di compressione e il lavoro fornito dalla turbina vale: FIGURA 7.32 Impianto motore a turbina a gas con rigeneratore.
;20 APITOLO 7 icli diretti dcli im-·ersi
combusti all'uscita della turbina è maggiore della temperatura dell'aria ali' uscita del compressore perché, in caso contrario, il calore sarebbe scambiato in verso opposto (dall'aria ai gas combusti) con conseguente diminuzione del rendimento termico. Questo caso può verificarsi nei motori a turbina a gas che funzionano con un rapporto manometrico di compressione molto elevato. La più alta temperatura dei fluidi che attraversano il rigeneratore è la temperatura T4 dei gas combusti che escono dalla turbina ed entrano nel rigeneratore, per cui non è possibile preriscaldare laria nel rigeneratore a temperature superiori a T4 • Normalmente, l'aria esce dal rigeneratore a una temperatura T5 < T4 e solo nel caso limite ideale può aversi T = T 4 5 (rigenerazione totale). Assumendo che il rigeneratore sia ben isolato termicamente e che siano trascurabili le variazioni di energia cinetica e di energia potenziale, le quantità di calore scambiate tra i gas combusti e laria nel caso reale e nel caso limite ideale sono rispettivamente: qrig qrig.max
GUAA 7.33
-:iclo Brayton con rigenerazione sul Jgramma
=h5-h2
(7.18)
=hs. - h2 =h• - h2
(7.19)
Un parametro che esprime la misura in cui un rigeneratore approssima un rigeneratore ideale è la sua efficacia E, definita come:
T-s.
Nell'ipotesi di ciclo ad aria standard, l'espressione dell'efficacia diviene:
Ts-T2
e"'---
r. -T2
(7.21)
Un rigeneratore con una maggiore efficacia consente.un minor consumo di combustibile poiché preriscalda laria fino a una temperatura maggiore prima dell'ingresso in camera di combustione. Tuttavia, ottenere una più elevata efficacia significa utilizzare un rigeneratore con una maggiore superficie di scambio termico con conseguente aumento del costo e delle perdite di carico. Per questo motivo, l'utilizzo di un rigeneratore avente un'efficacia molto elevata può non essere economicamente giustificato a meno che il risparmio sul costo del combustibile non superi i costi che il rigeneratore comporta. La maggior parte dei rigeneratori utilizzati nella pratica ha un' efficacia inferiore a 0.85. Nell'ipotesi di ciclo ad aria standard, il rendimento termico di un ciclo Brayton ideale con rigenerazione totale vale:
221
Con rigenerazione totale
-· T1!T3 = 0.25 ••• ••• T,IT3 = 0.33
FIGURA 7.34
O.I IO
15
20
25
p
evolvente, anche dal rapporto tra la temperatura minima e la temperatura massima nel ciclo. Il diagramma di Figura 7.34, che riporta il rendimento termico del ciclo Brayton ideale senza rigenerazione e con rigenerazione totale in funzione del rapporto manometrico di compressione e per vari valori del rapporto tra le temperature minima e massima del ciclo, dimostra che la rigenerazione è più efficace per bassi valori sia del rapporto manometrico di compressione sia del rapporto tra le temperature minima e massima T. K
ESEMPIO 7.5 Determinare il rendimento termico dell'impianto motore a turbina a gas descritto nell'Esempio 7.4 nel caso in cui si installi un rigeneratore avente un'efficacia dell'SO per cento.
1300
Soluzione In Figura 7.35 è riportata la rappresentazione del ciclo sul diagramma T-s. Si determina prima l'entalpia dell'aria all'uscita del rigeneratore utilizzando la definizione di efficacia:
h5 -h2 E=---= h4 -h2
300 -- I
c.(T.-T,) T.-T, =---
c.(T. -T,) T. -T,
Per cui:
0.80
=
r. -543.4 717.7-543.4
Q8
= h3 -
h5
FIGURA 7.35
T. "'
5
=682.8 K
= CP ( T, - 'f.) =1.005 X (1300 -
682.8)
=620.3 kJ/kg
Si ha, quindi, un risparmio della quantità di calore da fornire in camera di combustione di 140.1 kJ/kg. L'installazione di un rigeneratore, se si trascurano le perdite di carico, non modifica il lavoro netto fomite dall'impianto. Per cui:
Come si può osservare, il suo valore dipende, oltre che dal rapporto manometrico di compressione e dal rapporto dei calori specifici del fluido
Rendimento termico del ciclo Brayton ideale con rigenerazione totale e senza rigenerazione, in funzione del rapporto manometrico di compressione {3.
11,
340.6 =-'· =- =0.549 =54.9%
q.
620.3
Il ciclo Brayton rigenerativo dell'Esempio 7.5 sul diagramma T-s.
.-
222 CAPITOLO 7
Cicli diretti e cicU inversi
Dunque, l'installazione di un rigeneratore determina, per effetto del recupero ~i ,. parte dell'energia dei gas combusti all'uscita della turbina, un aumento del rendimento termico dell'impianto motore dal 44.8 al 54.9 per cento.
--·---·--------- -----
223 IO Il ciclo ideale della propulsione a getto
Il lavoro netto in un ciclo Brayton è la differenza tra il lavoro fornito dalla turbina e il lavoro richiesto dal compressore. Esso può essere aumentato sia diminuendo il lavoro assorbito dal compressore sia aumentando il lavoro fornito dalla turbina o con entrambe le mQdalità. Il lavoro richiesto per comprimere un gas tra due pressioni assegnate può essere ridotto frazionando la compressione in più stadi ed effettuando tra questi la refrigerazione del gas, cioè realizzando una compressione multistadio interrefrigerata: All'aumentare del numero di stadi, il processo di compressione tende a diventare isotermo alla temperatura di ingresso nel compressore e il lavoro di compressione diminuisce. Analogamente, il lavoro fornito da una turbina che funzioni tra due valori assegnati di pressione può essere aumentato frazionando I' espansione in più stadi ed effettuando tra questi il riscaldamento del gas, cioè realizzando un'espansione multistadio interriscaldata. L'espansione viene effettuata senza superare la massima temperatura T3 del ciclo e all'aumentare del numero di stadi tende a diventare isoterma. Le suddette considerazioni si basano su un semplice ragionamento: il lavoro di compressione e quello di espansione in sistemi aperti a flusso stazionario sono proporzionali al volume specifico del fluido evolvente, per cui, per conseguire gli obiettivi di cui si è detto, questo deve essere mantenuto il più piccolo possibile nelle trasformazioni di compressione e il più grande possibile nelle trasformazioni di espansione, effetti che si realizzano, rispettivamente, con l' interrefrigerazione e l' interriscaldamento. Quando si utilizza I' interrefrigerazione e I' interriscaldamento, il fluido evolvente esce dal compressore a una minore temperatura e dalla turbina a una maggiore temperatura, per cui esistono più ampi margini di s.fruttamento della rigenerazione: a causa della più elevata temperatura dei gas combusti uscenti dalla turbina, laria che esce dal compressore può essere preriscaldata fino a una temperatura più elevata prima che entri in camera di combustione. Ciò spiega il motivo per cui, negli impianti motori a turbina a gas, l'interrefrigerazione e l'interriscaldamento sono sempre utilizzati insieme con la rigenerazione. In Figura 7.36 è riportato lo schema di un impianto motore a turbina a gas a due stadi, con interrefrigerazione, interriscaldamento e rigenerazione. Il gas entra nel primo stadio del compressore nello stato 1, viene compresso isoentropicamente fino a una pressione intermedia p 2, quindi raffreddato a pressione costante fino allo stato 3 e nuo.vamente compresso isoentr~ picamente, nel secondo stadio, fino alla pressione finale p4 • Nello stato 4, ti gas entra nel rigeneratore dove viene riscaldato a pressione costante fino alla temperatura T . Se il rigeneratore fosse ideale, il gas uscirebbe alla stessa temperatura ~he si ha all'uscita della turbina, risulterebbe, cioè, T5 = T. La somministrazione di calore primaria (o la combustione primaria) si rti1alizza tra gli stati 5 e 6, successivamente il gas entra nel primo stadi~ della turbina per espandersi isoentropicamente fino allo stato 7 con cm entra nel riscaldatore (o nel ricombustore). Qui, a pressione costante rag-
9
lnterrefrigeratore
giunge lo stato 8, poi entra nel secondo stadio della turbina per espandersi isoentropicamente fino allo stato 9 e, infine, entra nel rigeneratore dove viene raffreddato a pressione costante fino allo stato 10. Il ciclo si completa raffreddando il gas fino allo stato iniziale (o rinnovando i gas combusti). All'aumentare del numero di stadi in cui si frazionano la compressione e lespansione del fluido evolvente, il ciclo ideale dell'impianto motore a turbina a gas con interrefrigerazione, interriscaldamento e rigenerazione tende al ciclo Ericsson, come mostrato in Figura 7.37, e il rendimento termico tende al limite teorico rappresentato dal rendimento di Carnot. Tutta~ via, il contributo al rendimento termico di ogni stadio aggiunto diventa sempre più piccolo, per cui l'impiego di un numero di stadi maggiore di due o tre può non essere giustificato dal punto di vista economico.
i
7.9 Il IL CICLO IDEALE DELLA PROPULSIONE A GETTO I motori a turbina a gas sono diffusamente utilizzati nella propulsione aerea perché sono leggeri, compatti e hanno un elevato rapporto potenza/peso. Il loro funzionamento è a circuito aperto secondo un ciclo ideale chiamato ciclo della propulsione a getto. Il ciclo ideale della propulsione a getto differisce dal ciclo ideale Brayton semplice per il fatto che i gas in turbina non si espandono fino alla pressione ambiente ma fino a una pressione tale che la potenza prodotta dalla turbina sia quella sufficiente per muovere il compressore e i dispositivi ausiliari (essenzialmente un piccolo generatore di energia elettrica e alcune pompe idrauliche). Pertanto, il lavoro netto prodotto in un ciclo di propulsione a getto è zero, e la spinta propulsiva per l'aeromobile viene ottenuta accelerando in un ugello i gas a pressione rela-
FIGURA 7.36 Impianto motore a turbina a gas con compressione interrefrigerata in due stadi, espansione interriscaldata in due stadi e rigenerazione.
T
6
FIGURA 7.37 All'aumentare del numero degli stadi della compressione e dell'espansione. il ciclo dell'impianto a turbina a gas con interrefrigerazione, interriscaldamento e rigenerazione approssima il ciclo Ericsson.
224 CAPITOLO? Cicli diretti e cicli inversi
-~ \
Temperatura e pressione elevate
FIGURA 7.38 Nei motori a getto i gas ad alta pressione e ad alta temperatura all'uscita dalla turbina sono accelerati attraverso un ugello per fornire la spinta.
FIGURA 7.39 Componenti principali di un motore turbogetto e ciclo ideale sul diagramma T-s. [Fonte: The Aircraft Gas Turbine Engine and its Operation. © United Technologies Corp., 1951, 1974.]
tivamente elevata che escono dalla turbina (Figura 7.38). Inoltre, le turbine a gas per aeromobili funzionano con più elevati rapporti manometrici di compressione, tipicamente tra IO e 25, e il fluido, prima di entrare nel compressore, passa attraverso un diffusore dove viene decelerato con conseguente aumento della pressione. Gli aeromobili sono spinti accelerando un fluido nel verso opposto al moto, effetto che può essere ottenuto o accelerando leggermente una grande massa di fluido (motore a elica) o accelerando notevolmente una piccola massa di fluido (motore a getto o motore turbogetto) o con entrambi i sistemi (motore turboelica). Lo schema di un motore turbogetto e la rappresentazione del ciclo sul diagramma T-s sono riportati in Figura 7.39. Nel diffusore, la pressione dell'aria, prelevata dall'esterno, aumenta leggermente per effetto della decelerazione del flusso. Successivamente, l'aria viene compressa nel turbocompressore e miscelata con il combustibile in camera di combustione, dove la miscela brucia a pressione costante. In turbina i gas combusti ad alta pressione e ad alta temperatura si espandono solo parzialmente per produrre la potenza sufficiente a muovere il compressore e alcuni dispositivi ausiliari. Infine, i gas si espandono attraverso un ugello fino a raggiungere la pressione ambiente e lasciano l'aeromobile con velocità molto elevata. Nel caso ideale il lavoro della turbina viene assunto uguale a quello di compressione e, inoltre, le trasformazioni che avvengono nel diffusore, nel compressore, nella turbina e nell'ugello sono considerate isoentropiche. Nell'analisi dei cicli reali, invece, devono essere considerate le irreversibilità associate con questi dispositivi, che riducono la spinta fornita dal motore turbogetto. La spinta sviluppata da un motore turbogetto è la forza determinata dalla differenza tra la quantità di moto dell'aria che entra a bassa velocità nel motore e quella dei gas combusti che escono ad alta velocità dal motore. Essa può essere calcolata con la seconda legge di Newton, per cui, tenendo presente che le pressioni ali' ingresso 'e ali' uscita del motore turbogetto sono uguali (pressione ambiente), la spinta netta sviluppata dal motore è:
dove w. è la velocità di uscita dei gas combusti e w, è la velocità di ingresso dell'aria nel motore, entrambe relative all'aeromobile per cui, nel caso di aria ferma, w, è pari proprio alla velocità dell'aeromobile. La portata massica dei gas all'uscita del motore è diversa da quella all'ingresso a causa della portata massica di combustibile che si aggiunge. Poiché di solito il rapporto tra la portata massica di aria e quella di combustibile è molto grande, la differenza tra le due portate risulta molto piccola, per cui nell'Equazione 7.23 si considera come la portata massica di aria che attraversa il motore. Poiché un aeromobile che viaggia a velocità costante utilizza la spinta per vincere la resistenza aerodinamica, gli aeromobili impiegati sui voli commerciali di lungo percorso volano ad altitudini molto elevate, dove laria, più rarefatta, esercita una minore resistenza aerodinamica sul velivolo. La potenza sviluppata dalla spinta del motore è chiamata potenza di spinta ed è pari alla spinta per la distanza lungo cui essa agisce nell'unità di tempo, cioè alla spinta per la velocità dell'aeromobile w0 (Figura 7.40):
Il ciclo ideale dcli propulsione a geu
m
_!_~ I I I
F
,~
----~~::" I
w.,
I I
m/s
FIGURA 7.40 è il prodott della spinta F per la distanza w, perco dall'aeromobile nell'unità di tempo.
La potenza di spinta
i,.
Un motore turbogetto sviluppa un lavoro netto nullo, per cui il suo rendimento termico non può essere definito nello stesso modo dei motori a turbina a gas fissi. È necessario, invece, utilizzare la definizione generale di efficienza quale rapporto tra effetto utile e risorse impiegate. L'effetto utile di un motore turbogetto è la potenza sviluppata dalla spinta sull'aeromobile 4r,, mentre le risorse impiegate sono la potenza termica rilasciata dal
combustibile durante il processo di combustione Q, . Il rapporto tra queste due quantità prende il nome di rendimento globale del motore turbogetto:
Il rendimento globale esprime una misura dell'efficienza con cui l'energia rilasciata durante il processo di combustione viene convertita in energia di propulsione. La restante parte dell'energia rilasciata la si ritrova come energia cinetica dei gas di scarico rispetto a un punto fisso a terra e come aumento di entalpia degli stessi.
T
ESEMPIO 7.6 Un aeromobile con motore turbogetto viaggia alla velocità di 260 m/s a un'altezza dove l'aria ha la pressione di 34 500 Pa e la temperatura di -40°C. Il compressore ha un rapporto manometrico di compressione pari a 10 ed è attraversato da una portata massica d'aria di 45 kg/s. La temperatura dei gas che entrano in turbina è 11 oo•c. Nell'ipotesi di ciclo ad aria standard, detenninare a) la temperatura e la pressione dei gas all'uscila della turbina; b) la velocità dei gas all'uscila dell'ugello· c) il rendimento globale. '
Diffusore
Compressore
Combustore
Turbina
Ugello
Soluzione La rappresentazione del ciclo sul diagramma T-s è riportata in Figura 7.41. Nell'ipotesi di ciclo ad aria standard, tutte le trasformazioni sono considerate internamente reversibili e il fluido evolvente è aria che si comporta come un
6
-40
FIGURA 7.41 Il ciclo del motore turbogetto dell'Esempio 7.6 sul diagramma T-s.
226 CAPITOL07 Cicli diretti e cicli inversi
gas perfetto avente i calori specifici costanti, valutati a temperatura ambiente: c.= 1.005 kJ/(kg . K) e k = 1.4 (Tabella A.2a). Inoltre il processo di combustione è sostituito da una somministrazione di calore a pressione costante.
T,;
=T,
1 (•- }•
p
....!.
( P, )
22i ( 345000 )(u-1}u =621.5K =1124.9x - - 275191.9 2
2
a) Prima di determinare la temperatura e la pressione ~ei. gas ~n·u~cita ~ella turbina è necessario calcolare le temperature e le preSS1ont negh altn punti del ciclo:
q,.-1,.
2
q,,-1,,
w2 -w1
Ws -Ws --=h,-h, +
2
2
O=c.(T,-T,)+~
- trasformazione 1-2 (compressione isoentropica'di un gas perfetto attravers~ u~ diffusore): per semplicità, si può assumere che l'aeromobile sia ferm~ e. che r.a~1a s1 muova verso l'aeromobile alla velocità di w1 = 260 mls. Idealmente, I ana usctra dal diffusore con una velocità trascurabile ( w, = O):
2
w, = J2c.(r. - T,) = ~2x1005x (1124.9-621.5) = 1005.9 m/s e) Il rendimento globale di un motore turbogetto è Il rapporto tra la potenza di spinta
2
=h,-h1+---
L.,. e la potenza termica totale trasferita al fluido evolvente:
2
' O=cp (T2 -T)-~ 2 1
L,. = m(w. - w.)w. = 45x (1005.9-260)x260=8.727
MW
O,= m(h4 -h,)= mc. (T4 -T,)=45x1005x(1373-514.7)= 38.817 2
w'1
260 T2 =T + - =233+---=266.6K 2x1005 2c. '
p,=p1
"i,T (
1 (266.6) '"(1.4-l)
)N(•-l)
=34500x
=55282.0Pa
233
- trasformazione 2-3 (compressione isoentropica di un gas perfetto in un compressore):
p3 = {3p, = 10 x 55 282.0 = 552 820 Pa T -T s-
2
(p, )(•-•Y• P,
=2666x10<1·•·1}u =514.7K ·
- trasformazione 4-5 (espansione isoentropica di un gas Pl!lrfetto in una turbina): trascurando le variazioni di energia cinetica attraverso Il compressore e I~ turbina e assumendo che il lavoro fornito dalla turbina sia uguale al lavoro richiesto' dal compressore, la temperatura e la pressione all'uscita della turbina risultano:
r. = r. -T, + T, =1373-514.7 +266.6 =1124.9K 1 )
1 .
(1124.9 ) .,(u-1) T )•(•=275191.9 Pa =552820x - p5 =P4 ...!. 1373 (
r.
b) Per calcolare la velocità dell'aria all'uscita dell'ugello è necessario ?et.ei:minare prima la temperatura di uscita e poi utilizzare l'equazione del primo pnnc1p10 della termodinamica per i sistemi aperti a flusso stazionario.
- trasformazione 5-6 (espansione isoentropica di un gas perfetto attraverso un ugello):
Il ciclo ideale delht propulsione a gett<
MW
L
8.727 7J, = ~ = - - - = 0.225 = 22.5% 38.817
o.
Così, solo il 22.5 per cento dell'energia termica fornita viene utilizzata per vincere la resistenza aerodinamica esercitata dall'aria e spingere l'aeromobile. Si osservi, inoltre, che:
. w.'
E•• =m-=45x 2
(1005.9-260)
2
isp (potenza
2
=12.518 MW
di spinta)
(32.2%)
o.= m(h, -h,)= mc. (T, -T,)=45x1005x(621.5-233)= 17.570
MW (45.3%)
quindi una quota pari al 32.2 per cento dell'energia termica fornita la si ritrova come energia cinetica dei gas rispetto a un punto fisso a terra; per avere il più elevato rendimento globale, la velocità dei gas di scarico rispetto a un punto fisso a terra w dovrebbe essere nulla (energia cinetica assoluta allo scarico nulla), cioè i gas cfi scarico dovrebbero uscire dall'ugello alla stessa velocità dell'aeromobile. La rimanente parte dell'energia termica fornita, pari al 45.3 per cento, la si ritrova come aumento di entalpia dei gas che escono dal motore.. Queste due ultime forme di energia diventano alla fine parte integrante dell'energia interna dell'aria atmosferica (Figura 7.42).
Sviluppi del motore turbogetto I primi aeromobili erano tutti del tipo ad elica, equipaggiati con motori si-
mili ai motori automobilistici. Il più importante passo avanti dell'aviazione commerciale si verificò con lintroduzione del motore turbogetto nel 1952. Sia i motori a elica sia quelli a getto hanno punti di forza e punti deboli, pertanto numerosi sono stati i tentativi fatti per combinare le caratteristiche positive dei due motori in un unico motore. Due di tali tentativi sono costituiti dal motore turboelica e dal motore turbogetto a doppio flusso.
FIGURA 7.42 L'energia fornita a un motore turbogetto (con la combustione di un combustibile) assume diverse forme.
--------------------- -----------------228
229
Soffiante
CAPITOLO 7 Cicli diretti e cicli inversi
Il ciclo ideale della propulsione a getto
FIGURA 7.45 Schema di un motore turboelica. [Fonte: The Aircraft Gas Turbine Engine . and its Operation. © United Technologies Corp., 1951, 1974.]
FIGURA 7.43 Schema di un motore turbogetto a doppio flusso. [Fonte: The Aircraft Gas Turbine Engine and its Operation. © United Technologies Corp., 1951, 1974.]
Il motore più diffusamente utilizzato nella propulsione aerea è il moto· re turbogetto a doppio flusso, dove una soffiante mossa da una turbina forza una notevole quantità di aria attraverso un condotto che avvolge il motore, come mostrato nelle Figure 7.43 e 7.44. L'aria forzata dalla soffiante lascia il condotto a una velocità più elevata, determinando un aumento significativo della spinta totale del motore. Il primo motore turbogetto a doppio flusso commerciale fu collaudato con successo nel 1955. Il motore turbogetto a doppio flusso di un aeromobile può essere distinto da un meno efficiente motore turbogetto per il voluminoso cofano che avvolge la soffiante. Mentre la spinta di un motore turbogetto è determinata soltanto dai gas combusti che lasciano il motore a una velocità circa doppia della velocità del suono, in un motore turbogetto a doppio flusso la spinta è dovuta sia ai gas combusti ad alta velocità sia all'aria a bassa velocità forzata dalla soffiante. La miscelazione dei due flussi determina anche una notevole riduzione del rumore. Nuove tecniche di raffreddamento hanno consentito di ottenere considerevoli aumenti della efficienza grazie alla possibilità di raggiungere temperature più elevate per i gas all'uscita del combustore, fin oltre 1500°C,
'IGURA 7.44 ·lotore turbogetto a doppio flusso. Fonte: Allied-Signal Aerospace :ompany, Garret Engine Division.]
cioè più di 100°C al di sopra del punto di fusione dei materiali con cui vengono realizzate le pale della turbina. I motori turbogetto a doppio flusso hanno contribuito in gran parte al successo dei jumbo jet, che pesano 400 000 kg e sono capaci di trasportare oltre 400 passeggeri fino a 1O000 km di distanza, a velocità superiore a 950 km/h e con il minor consumo di combustibile per kilometro a passeggero. Si definisce rapporto di bypass il rapporto tra la portata massica di aria che non attraversa la camera di combustione e quella che, invece, I' attraversa. Se si rimuove il cofano che racchiude la soffiante si ottiene il moto· r~ turboelica CF!gura 7.45), che differisce da un motore turbogetto a doppio flu~so essenzialmente nel rapporto di bypass: 5 o 6 nei motori turbogetto a doppio flusso e circa 100 nei turboelica. In generale, i propulsori a elica sono più efficienti dei motori a getto, ma le loro applicazioni sono limitate al funzionamento a bassa velocità e a basse quote poiché l'efficienza diminuisce all'aumentare della velocità e dell'altitudine. I vecchi motori turboelica venivano utilizzati fino a velocità di circa 0.62 Mach e altitudini di circ~ 9100 m. I nuovi motori turboelica in fase di sviluppo dovrebbero raggmngere velocità di circa 0.82 Mach e altitudini di circa 12 200 me gli a~romobili commerciali spinti dai nuovi motori turboelica dovrebbero viaggiare al~e stesse quote e velocità degli aeromobili spinti dai motori turbogetto a doppio flusso ma con un consumo di combustibile inferiore del 30 per cento. Un'altra modifica che si può apportare al motore turbogetto, molto dif· fusa sugli aerei militari, è l'inserimento di un postbruciatore tra la turbina e l'ugello. Quando si ha l'esigenza di una maggiore spinta, come in occasione di rapidi decolli o di combattimenti, si inietta ulteriore combustibile nei gas combusti uscenti dalla turbina, ancora ricchi di ossigeno, in modò da aumentare la velocità di uscita dei gas di scarico e quindi la spinta. Un autoreattore, o statoreattore, è un motore privo di compressore e tur_bin~, costituito da un condotto opportunamente sagomato, come mostrai~ m_F1gura 7.46, ed è utilizzato, a volte, per la propulsione ad alta velocità d1 rrussili e aeroplani. L'aumento di pressione nel motore è fornito dall'effetto dinamico prodotto in un diffusore dall'elevata velocità relativa del1' aria. Per questo motivo, un autoreattore necessita sempre di essere porta!? a una _velocità sufficientemente elevata da un motore esterno, prima del! accensione, e fornisce le migliori prestazioni su aeromobili che viaggiano con una velocità pari a 2-3 Mach. In questi motori si rallenta l'aria fino a
--- -- -
-----
----~-----------------
------------------------------'
230
~.,.,._.i~~~~·-~i,t:~n?·d•i•co•m•b•os~·ti~b.ilelllllllllllllllllllll..
CAPITOLO 7 Cicli e cicli inversi
ta•
diretti
FIGURA 7.46
Schema di un autoreattore, [Fonte: The Aircraft Gas Turbine Engine and its Operation. © United Technologies Corp., 1951, 1974.]
~~~*::~~~G~_.................UF...gello
l::__"":""a""ri•a
4
\
Stabilizzatori di fiamma
circa 0.2 Mach nel diffusore, vi si aggiunge il combustibile, si accende la miscela e i gas combusti vengono accelerati espandendoli in un ugello. Un motore scramjet è essenzialmente un autoreattore in cui l'aria fluisce a velocità supersoniche. Autoreattori che si convertono in motori scramjet a velocità superiori a Mach 6 sono stati collaudati con successo fino a velocità dì circa Mach 8. Infine, un razzo è un dispositivo in cui sia il combustibile, solido o liquido, sia il comburente sono portati a bordo. I gas combusti ad alta pressione prodotti in camera di combustione dalla reazione chimica tra il combustibile e il comburente si espandono in un ugello e vengono scaricati a velocità molto elevate, producendo la spinta necessaria per muovere il razzo.
7.10 I.iii IL CICLO DI CARNOT A VAPORE Poiché il ciclo dì Camot è il ciclo di maggior rendimento termico tra tutti quelli funzionanti fra due stessi serbatoi termici di temperature assegnate, sarebbe naturale considerare proprio il ciclo di Camot come ciclo ideale per un impianto motore a vapore ma, come si vedrà di seguito, esso presenta molti problemi nella realizzazione pratica. Si consideri un ciclo di Camot eseguito in un sistema aperto a flusso stazionario, all'interno della zona delle miscele sature liquido-vapore dì una sostanza pura come l'acqua, la sostanza dì gran lunga più utilizzata come fluido evolvente nei cicli diretti a vapore (Figura 7.47a). L'acqua T
T
viene riscaldata reversibìlmente e isotermicamente in una caldaia (trasformazione 1-2), espansa isoentropicamente in una turbina (lrasformazione 2-3), condensata reversibilmente e isotermicamente in un condensatore (trasformazione 3-4) e, infine, compressa isoentropìcamente da un compressore in modo da riportarla nello stato iniziale (trasformazione 4-1). I problemi che si incontrano nel realizzare questo ciclo sono: 1 In un sistema bifasico, uno scambio termico isotermo, quali le trasformazioni 1-2 e 3-4, non è difficile da realizzare, poiché mantenendo costante la pressione si mantiene costante anche la temperatura (al valore di saturazione). Operare però con sistemi bifasici significa limitare severamente la massima temperatura che può essere raggiunta nel ciclo, dovendo essere inferiore alla temperatura del punto critico (per l'acqua, 374°C), e conseguentemente anche il rendimento termico del ciclo. 2 La trasformazione isoentropica di espansione 2-3 può essere approssimata utilizzando una turbina ben progettata; tuttavia, poiché il titolo del vapore diminuisce durante questa trasformazione, come mostrato in Figura 7.47a su un diagramma T-s, la turbina si trova ad espandere vapor d'acqua con un elevato contenuto di liquido in equilibrio, per cui gli urti delle gocce di liquido sulle pale della turbina ne determinano logoramento per erosione. In generale, durante il funzionamento degli impianti motori, il titolo del vapore non deve scendere al di sotto del 90 per cento. 3 Esistono due difficoltà nel realizzare la trasformazione isoentropica di compressione 4-1: innanzitutto, non è facile riuscire a conlrollare il processo di condensazione in modo così preciso da arrestarlo al titolo richiesto nello stato 4, e poi, un compressore che possa operare con una miscela bifasica è di difficile realizzazione. Alcuni di questi problemi potrebbero essere superati eseguendo il ciclo di Camot in un modo differente, come mostrato in Figura 7.47b. In tal caso, però, il ciclo presenta allri problemi come la realizzazione di una compressione isoentropica fino a pressioni estremamente elevate e quella di uno scambio termico isotermo a pressione variabile. Per quanto detto, si deve concludere che il ciclo di Camot non può essere eseguito con adeguata approssimazione nelle macchine reali e, quindi, non può costituire un modello per i cicli diretti a vapore reali.
---'--2
7.11 li IL CICLO RANKINE: CICLO IDEALE DEGLI IMPIANTI MOTORI A VAPORE
FIGURA 7.47
Due cicli di Carnot a vapore sul diagramma T-s.
(a)
(b)
Le difficoltà che si incontrano nella realizzazione pratica del ciclo di Camot possono essere superate surriscaldando il vapore d'acqua in caldaia e condensandolo completamente nel condensatore, come mostrato schematicamente su un diagramma T-s in Figura 7 .48. Il ciclo che si ottiene è il ciclo Rankine, il ciclo ideale degli impianti motori a vapore, costituito dalle seguenti quattro trasformazioni internamente reversibili:
231 @
%§fux~]
Il ciclo Rankine: ciclo ideale degli impianti motori a vapore
232 CAPITOLO? Cicli diretti
e cicli inversi T
sottesa dalla linea della trasfonnazione 2-3 rappresenta la quantità di calore trasferita ali' acqua in caldaia e che larea sottesa dalla linea della trasformazione 4-1 rappresenta il calore che viene ceduto nel condensatore all'ambiente. La differenza tra le due aree (l'area racchiusa dal ciclo) rappresenta il lavoro netto prodotto durante il ciclo.
3
Analisi energetica del ciclo Rankine ideale Tutti e quattro i componenti che eseguono il ciclo Rankine (la pompa, la caldaia, la turbina e il condensatore) sono dispositivi a flusso stazionario e pertanto tutte e quattro le trasfonnazioni che costituiscono il ciclo Rankine devono essere analizzate come trasfonnazioni di sistemi aperti a flusso stazionario. Le variazioni di energia cinetica e di energia potenziale del vapor d'acqua sono di solito piccole rispetto al lavoro e alle quantità di calore scambiati e perciò trascurabili. Allora, l'equazione del primo principio della termodinamica per sistemi aperti a flusso stazionario, riferita all'unità di massa, si riduce ali' espressione:
Pompa
FIGURA 7.48
Il ciclo Rankine semplice ideale.
1-2 2-3 3-4 4-1
compressione isoentropica in una pompa; somministrazione di calore a pressione costante in una caldaia; espansione isoentropica in una turbina; sottrazione di calore a pressione costante in un condensatore;
L'acqua entra nella pompa nello stato 1 come liquido saturo e viene compressa isoentropicamente fino alla pressione di funzionamento della caldaia. La temperatura dell'acqua aumenta leggermente durante questa trasformazione isoentropica di compressione in conseguenza alla piccola diminuzione del volume specifico dell'acqua. La distanza lungo l'asse delle temperature tra gli stati 1 e 2, sul diagramma T-s, è stata esageratamente aumentata per chiarezza di rappresentazione. L'acqua, poi, entra in caldaia come liquido sottoraffreddato nello stato 2 ed esce come vapore surriscaldato nello stato 3. La caldaia è fondamentalmente uno scambiatore di calore dove il calore che deriva da gas combusti, reazioni nucleari o altre sorgenti, viene trasferito ali' acqua essenzialmente a pressione costante. La caldaia, insieme con il surriscaldatore, spesso prende il nome di generatore di vapore. II vapore surriscaldato, nello stato 3, entra in turbina e si espande isoentropicamente producendo lavoro meccanico con la messa in rotazione di un albero, che spesso è. collegato a un generatore elettrico. La pressione e la temperatura del vapore scendono, durante questa trasformazione, ai valori dello stato 4, che corrisponde, di solito, a una miscela satura di liquido e vapore di elevato titolo. In questo stato il vapore entra nel condensatore, che fondamentalmente è uno scambiatore di calore, e viene condensato a pressione costante cedendo calore a un pozzo termico costituito da un lago, un fiume o latmosfera. Infine, il vapore esce dal condensatore come liquido saturo ed entra nella pompa per ripetere il ciclo. Ricordando che, su un diagramma T-s, l'area sottesa sull'asse dell'entropia dalla linea di una trasformazione reversibile rappresenta il calore scambiato nella trasformazione stessa, si può osservare che l'area
Tenendo· presente che la caldaia e il condensatore non sono soggetti a scambi di lavoro e che le trasformazioni nella pompa e in turbina si assumono essere isoentropiche, il bilancio di energia per ognuno dei componenti risulta:
pompa (q = 0): o anche dove:
caldaia (l = 0):
lp.• = h2 -hl lp.• = V (pi - Pi) h1=hf@p, e V=V 1=VJ@p,
(7.29)
q, = h3-h2
(7.30)
(7.27) (7.28)
turbina (q =O):
l,.• = h3 -h.
(7.31)
condensatore (I = 0):
q.=h.-hl
(7.32)
Il rendimento termico del ciclo Rankine può essere determinato con la relazione:
Il rendimento termico può anche essere interpretato graficamente come il rapporto tra larea racchiusa dal ciclo sul diagramma T-s e larea sottesa sul!' asse dell'entropia dalla linea della trasformazione in cui si fornisce calore al sistema. L'analisi dei cicli a vapore, sia diretti sia inversi, richiede la conoscenza delle proprietà del fluido evolvente nei vari stati, che possono essere determinate in maniera precisa dalle tabelle delle proprietà o, in maniera approssimata, dai diagrammi di stato riportati in Appendice.
233 Il ciclo Rankine: ciclo ideale degli impianti motori a Yaporc
I 234 CAPITOL07 Cicli diretti e cicli inversi
surriscaldato. La temperatura, allora, va determinata per interpolazione con la tabella delle proprietà del vapore surriscaldato. Risulta:
ESEMPIO 7.7
T = 254.2°c
Determinare le proprietà mancanti e la fase dell'acqua nei seguenti casi:
n·c>
(a)
1600
125
2950
1000
(e)
Descrizione fase
X
0.6
200
(a) (b)
h(kJ/kg)
p(kPa)
500
75
=Tsato200kPa =120.23°C
(Tabella A.5)
Inoltre, dalla Tabella A.5 alla pressione di 200 kPa si ricava l'entalpia del liquido saturo h, 504.70 kJ/kg e l'entalpia di vaporizzazione h,. 2706.7 kJ/kg. Ne conse· gue che l'entalpia media della miscela risulta:
=
=
h = h1 + Xh,. = 504.70 + 0.6 X 2706.7
=2128.72 kJ/kg
b) Questa volta sono assegnate la temperatura e l'energia interna, ma non si cono· sce quale tabella deve essere utilizzata per determinare le altre proprietà, poiché non è nota la fase della sostanza, se si tratta, cioè, di miscela satura, di liquido sottoraffreddato o di vapore surriscaldato. Per stabilire la fase della sostanza, si determinano, prima di tutto, i valori dell'entalpia del liquido e del vapore saturi alla temperatura assegnata, con la Tabella A.4. Alla temperatura di 125°C risulta h, = 524.99 kJ/kg e h. = 2713,5 kJ/kg. Quindi si confronta il valore assegnato h dell'entalpia con h, e h.., tenendo presente che:
se h, s h s h,
si tratta di liquido sottoraffreddato; si tratta di miscela satura di liquido e vapore;
se h > h.
si tratta di vapore surriscaldato.
se h < h,
Lo stesso ragionamento può farsi se si conosce, invece che l'entalpia, il volume specifico, l'energia interna o l'entropia. Nel caso in esame il valore assegnato dell'entalpia è h 1600 kJ/kg che cade tra i valori di h, e h. a 125°C, per cui si tratta di una miscela satura di liquido e vapore. Allora la pressione è quella di saturazione alla temperatura assegnata:
=
=
P P,., 0125-c = 232.1 kPa
(Tabella A.4)
Il titolo, inoltre, risulta essere: X=
co~os.ce qu~le tabella deve essere utilizzata per determinare le altre proprietà, po1che non e nota la fase della sostanza, se si tratta di miscela satura, di liquido sottoraffreddato o di vapore surriscaldato. Per determinare la fase della sostanza si determina, con la Tabella A.5, la temperatura di saturazione alla pressione assegnata. Alla pressione di 500 kPa risulta T,., = 151.86°C. Quindi si confronta tale valore con la temperatura assegnata T, tenendo presente che:
h-h1 h,.
se T = T,.,
si tratta di liquido sottoraffreddato; si tratta di miscela satura di liquido e vapore;
se T> T,.,
si tratta di vapore surriscaldato.
se T < T,.,
a) Il titolo è pari a x = 0.6 e ciò significa che il 60 per cento della Soluzione massa è vapore e che il rimanente 40 per cento è in fase liquida. Pertanto, il fluido è una miscela satura di liquido e vapore alla pressione di 200 kPa. La temperatura, allora, deve essere quella di saturazione alla pressione assegnata: T
dJ In questo caso sono assegnate la pressione e la temperatura, e, di nuovo, non si
o.o
850
(e)
1600-524.99 - - - - - = 0.491 2188.5
e) Questo caso è simile al caso b), tranne per il fatto che è assegnata la pressione invece della temperatura. Seguendo lo stesso ragionamento, si determinano alla pressione assegnata di 1 MPa, h, = 762.81 kJ/kg e h.= 2778.1 kJ/kg. Il valore assegnato dell'entalpia, h = 2950 kJ/kg, è maggiore di h.., per cui si tratta di vapore
(Tabella A.6)
Nel caso in esame il valore assegnato della temperatura, T = 75°C, è minore della temperatura di saturazione alla stessa pressione, per cui si tratta di liquido sottoraffreddato. Il valore dell'entalpia, allora, deve essere determinato con la tabella .~elle proprietà del liquido sottoraffreddato che, però, non è disponibile nel testo. Utthzzando l'approssimazione di considerare il liquido sottoraffreddato come il liquido saturo alla stessa temperatura (non alla stessa pressione), si ottiene:
h = h, 075 -c = 313.93 kJ/kg
{Tabella A.4)
In questo caso non si determina il titolo perché esso non ha alcun significato nella zona del liquido sottoraffreddato. e) 11 titolo è assegnato pari a x = O.O per cui si tratta di liquido saturo alla pressione assegnata di 850 kPa. La temperatura, allora, è quella di saturazione alla pressione data e l'entalpia è quella del liquido saturo:
T = T,.10850 " '
=172.96 •e
h = h, ceso kP• = 732.22 kJ/kg
{Tabella A.5)
ESEMPI09 Si consideri un impianto motore a vapore funzionante secondo il ciclo Rankine semplice ideale. Il vapor d'acqua entra in turbina alla pressione di 3 MPa e alla temperatura di 350°C, e si condensa alla pressione di 75 kPa. Determinare il rendimento termico del ciclo. Lo schema dell'impianto e la rappresentazione del ciclo sul diagramSoluzione ma T-s sono riportati in Figura 7.49. Poiché l'impianto motore funziona secondo il ciclo Rankine ideale, si assume che le trasformazioni in turbina e nella pompa siano ~s~entropic~e. che in caldaia e nel condensatore non vi siano perdite di cari~o. e, 1nf1ne, che il vapore esca dal condensatore ed entri nella pompa nello stato di liquido saturo alla pressione di condensazione. Inizialmente occorre determinare l'entalpia nei vari punti del ciclo utilizzando le tabelle delle proprietà del vapor d'acqua (Tabelle A.4, A.5 e Figura A.7):
P, =75kPa } Stato 1: Stato 2:
liquido saturo P2 =3MPa
h1 =h, 075 .., =384.39 kJ/kg
3 v, = v, 01,,p, = 0.001037 m /kg
235 Il ciclo Rankine: ciclo ideale degli impianti motori a vapore
----- -
236
- -
--
Si osservi che in questo impianto motore il rapporto tra il lavoro di compressio ne e il lavoro fornito dalla turbina (IJI,) risulta 0.004, cioè solo lo 0.4 per cento del lavoro fornito dalla turbina viene utilizzato per far funzionare la pompa. Valori cosl bassi di tale rapporto, solitamente inferiori all'1 per cento, sono caratteristic i dei cicli diretti a vapore a differenza dei cicli diretti a gas che, tipicamente, hanno valori del s_uddetto rapporto molto elevati (40-80 per cento). E interessante osservare, inoltre, che il rendimento termico di un ciclo di Carnot funzionante tra gli stessi limiti di temperatura risulta:
q,
CAPITOLO 7 Cicli diretti e cicli hnersi
é~Idaia:
3MPa 350°C
T, 'C
3 MPa
7J Pompa
tcamot
T...,, T...,
=1--=1
Il ciclo Rankìne: ideale degli motori a rnpore
91.78+273 ----=0 .414 350+273
La differenza tra i valori dei due rendimenti è dovuta alle notevoli differenze di temperatura esistenti tra il vapor d'acqua e i gas combusti durante il processo di somministrazione del calore nel ciclo Rankine.
I 75 kPa
Metodi per aumentare il rendimento termico del ciclo Rankine
75 kPa
'··· = v, (p. - P,) = 0.001037 X (3000 - 75) = 3.03 kJ/kg h2 = h1 + /AB= 384.39 + 3.03 = 387.42 kJ/kg
FIGURA 7.49 Schema dell'impianto nell'Esempio 7.8 e ciclo termodinamico sul diagramma T-s.
p 3 =3MPa} h3 = 3115.3 kJ/kg T, =350°C 53 = 6.7428 kJ/(kg·K)
Stato 3: Stato4:
p4 = 75 kPa s, = s3 (miscela satura) X = 5 4 -S1 = 6.7428-1.2 13
•
s1v
886
fornito al fluido evolvente in caldaia, e diminuire il più possibile la temperatura media alla quale il calore viene sottratto al fluido evolvente nel condensatore.
2278.6 = "2403.2 kJ/kg
Di seguito sono illustrati tre metodi per realizzare nel ciclo Rankine semplice ideale quanto appena detto.
0.
6.2434
h4 = h1 + X4hlv = 384.39 + 0.886
X
La maggior parte dell'energia elettrica consumata in tutto il mondo viene prodotta con impianti motori a vapore, per cui anche un piccolo aumento del rendimento termico può comportare un notevole risparmio dei consumi di combustibile. Per questo motivo, si cerca in tutti i modi di migliorare il rendimento del ciclo con cui funzionano tali impianti. Fondamentalmente l'idea che è alla base di tutti i metodi attu§.ti per migliorare il rendimento termico di un ciclo diretto è sempre la stessa: aumentare il più possibile la temperatura media alla quale il calore viene
Per cui:
q. =h. - h.= 3115.3 - 387.42 = 2727.88 kJ/kg qu = h4 - h1 = 2403.2 - 384.39 = 2018.81 kJ/kg 1) =1- Q. =1- 2018.81 =0.26=26 .0%
Q.
I
2727.88
Il rendimento termico può essere determinato anche per altra via:
'··=h. - h, = 3115.3- 2403.2 = 712.1 kJ/kg
=1, " - '•· • =712.1 - 3.03 = 709.07 kJ/kg =q• - qu =2727.88 - 2018.81 =709.07 kJ/kg
In In
=~ = 709·07
7J I
Q.
2727.88
= 0.26
=26.0%
Pertanto in questo ciclo diretto, solo il 26 per cento del calore fornito in caldaia al fluido evolvente viene convertito in lavoro netto. Un impianto motore reale funzionante tra gli stessi limiti di temperatura e di pressione avrà un rendimento termico ancora più basso a causa delle irreversibilità come !'attrito.
1 Abbassamento della pressione di condensazione Nel condensatore il fluido evolvente si trova come miscela satura di liquido e vapore alla temperatura di saturazione corrispondente alla pressione esistente. Pertanto, abbassando la pressione si diminuisce anche la temperatura del fluido evolvente e quindi la temperatura alla quale il calore viene sottratto nel condensatore. L'effetto prodotto dall'abbassamento della pressione nel condensatore lasciando invariato il punto d'ingresso in turbina è illustrato su un diagramma T-s in Figura 7.50. L'area colorata sul diagramma rappresenta l'aumento del lavoro netto ottenuto per effetto dell'abbassamento della pressione di condensazione da p a p .. Anche la quantità di calore 4 4 fornita al fluido aumenta, ma molto poco (area sottesa dalla linea 2'-2 sull'asse dell'entropia). Pertanto, l'effetto globale dèll 'abbassamento della pressione di condensazione è un aumento del rendimento termico del ciclo.
FIGURA 7.50 Effetto dell'abbassamento della pressione di condensazione nel ciclo Rankine ideale.
238 CAPITOL07 Cicli diretti e cicli inversi
T
Per ottenere un aumento considerevole del rendimento termico, il condensatore degli impianti motori a vapore, di solito, funziona a pressioni ben al di sotto di quella atmosferica. Ciò non costituisce un grosso problema, poiché gli impianti motori a vapore fu~ziona~o a circuito.chiuso. !ut: tavia esiste un limite inferiore alla pressione d1 condensazione, p01che non può essere inferiore alla pressione di saturazione. corrispon?ente _alla temperatura del pozzo termico cui deve essere ceduto 11 calore. S1 c~ns1de ri, per esempio, un condensatore che debba. essere raffre?dato dall ~equa di un vicino fiume a 15°C di temperatura. Fissando una differenza d1 temperatura di J0°C per poter realizzare effettivamente lo scambio te~c~, la temperatura del vapor d'acqua nel conden~atore dovrà essere no? mf~nore a 25°C, per cui la pressione di condensazione non potrà essere mfenore a 3.2 kPa, che è la pressione di saturazione dell'acqua a 25°C. . . L'abbassamento della pressione di condensazione non è, tuttavia, pnvo di effetti collaterali. Esso può determinare linfiltrazione di aria nel condensatore e, problema più importante, aumenta il contenuto della fase liquida negli ultimi stadi della turbina (diminuisce, cioè, il titolo del. va~r:: x4• < x4 ), come si può vedere in Figura 7.50. La presenza della fase hqmda e dannosa nelle turbine perché ne diminuisce il rendimento e ne erode le pale; questo problema, però, può essere risolto come verrà spiegato in seguito.
2 Aumento della temperatura di surriscaldamento del vapore Incremento di In
FIGURA 7.51 Effetto dell'innalzamento della temperatura di surriscaldamento nel ciclo Rankine ideale.
La temperatura media alla quale il calore viene fornito al fluido evolvente può essere aumentata, senza aumentare la pressio~: in caldaia, ~ffettuando un surriscaldamento del vapore a temperatura p1u elevata. L effetto del surriscaldamento a temperatura più elevata sulle prestazioni degli impianti motori a vapore è illustrato su un diagramma T-s, in Figura 7.51. L'area colorata sul diagramma rappresenta laumento del lavoro netto ottenuto, mentre l'area sottesa dalla linea 3-3' sull'asse dell'entropia rappresenta J' aumento della quantità di calore fornita al vapore. Si noti che, per effetto del surriscaldamento spinto a temperature maggiori, aumentano sia il lavoro netto ottenuto sia la quantità di calore fornita; tuttavia, l'effetto globale è un aumento del rendimento termico, poiché aumenta la temperatura media alla quale viene fornito il calore. II surriscaldamento del vapor d'acqua a temperature più elevate produce, come ulteriore effetto positivo, la diminuzio~e de.I c?ntenuto della fase liquida all'uscita della turbina (fa aumentare, c10è, 11 utolo del vapore: x4• > x 4 ). • Tuttavia, la massima temperatura alla quale il vapore può essere surriscaldato è limitata da considerazioni metallurgiche. Allo stato attuale la temperatura più elevata con cui il vapore pu? ent.rare in turbin_a è circa 620°C e la possibilità di superare questo hmite dipende dal miglioramento della resistenza meccanica dei materiali utilizzati, o dal~a disponibilità di nuovi materiali in grado di. toller~re. temp~ratu~e. p1~ elevate. A questo riguardo, molto promettenti sono 1 nsultatl fornltl dai materiali ceramici.
3 Aumento della pressione in caldaia Si può verificare che, in un usuale ciclo Rankine, ali' aumentare della pressione in caldaia corrisponde un aumento della temperatura media alla quale il calore viene somministrato al fluido evolvente e quindi un aumento del rendimento. L'effetto prodotto dall'aumento della pressione in caldaia sulle prestazioni degli impianti motori a vapore è illustrato su un diagramma T-s, in Figura 7.52. Si osservi che per una fissata temperatura di ingresso in turbina, ali' aumentare della pressione in caldaia il ciclo si sposta verso sinistra aumentando il contenuto della fase liquida all'uscita della turbina. Tuttavia, questo indesiderato effetto collaterale può essere eliminato risurriscaldando il vapor d'acqua, come illustrato nel prossimo paragrafo. Nel corso degli anni la pressione di funzionamento delle caldaie è aumentata da circa 2.7 MPa nel 1922 a oltre 30 MPa negli impianti attuali di potenza netta superiore anche a 1000 MW. Molti moderni impianti motori a vapore funzionano oggi a pressioni supercritiche (superiori a quella critica: p > 22.09 MPa) e hanno rendimenti termici di circa il 40 per cento nel caso di impianti a carbone e 34 per cento nel caso di impianti nucleari. I valori più bassi del rendimento termico degli impianti motori nucleari dipendono dalle più basse temperature massime utilizzate in questi impianti per motivi di sicurezza.
7.12 E;J IL CICLO RANKINE IDEALE CON RISURRISCALDAMENTO Nel precedente paragrafo è stato osservato che aumentando la pressione in caldaia aumenta il rendimento termico del ciclo Rankine e che, però, si ha anche un incremento, a livelli inaccettabili, del contenuto della fase liquida all'uscita della turbina. Vi sono due possibilità per evitare un eccessivo contenuto della fase liquida negli stadi finali della turbina:
1 Surriscaldare il vapor d'acqua a una temperatura sufficientemente elevata prima che esso entri in turbina. Questa soluzione, che aumenterebbe ulteriormente la temperatura media alla quale il calore viene fornito al fluido evolvente e conseguentemente anche il rendimento termico del ciclo, non è, però, percorribile poiché richiede un innalzamento della temperatura del vapore a valori superiori ai limiti consentiti dalla resistenza dei materiali. 2
Frazionare l'espansione in turbina del vapore in due stadi ed effettuare risurriscaldamento del vapore. Questa soluzione, che è praticabile e frequentemente utilizzata nei moderni impianti motori a vapore, determina anche un ulteriore aumento della temperatura media alla quale il calore viene fornito al fluido evolvente e quindi un ulteriore aumento del rendimento termico del ciclo. tra di essi un
La rappresentazione su un diagramma T-s del ciclo Rankine ideale con risurriscaldamento e lo schema di un impianto motore funzionante con tale ciclo sono riportati in Figura 7.53. Il ciclo Rankine ideale con risurriscalda-
239 Il ciclo Rankine ideale
con risurriscaldamento T
Incremento
3•
3
difn
FIGURA 7.52 Effetto dell'innalzamento della pressione in caldaia nel ciclo Rankine ideale.
r 240
T
T
241
* ·ii:l'm! Il ciclo Rankine ideale f
CAPITOLO? Cicli diretti
con risurriscaldaml·nto
e cicli in\'ersi
FIGURA 7.54 All'aumentare del numero di risurriscaldamenti aumenta la temperatura media alla quale si ha la somministrazione del calore.
FIGURA 7.53 Il ciclo Rankine ideale con risurriscaldamento:
mento differisce dal ciclo Rankine ideale semplice per il fatto che I' espansione è frazionata in due stadi. Nel primo stadio (turbina di alta pressione), il vapore si espande isoentropicamente fino a una pressione intermedia e, poi, viene inviato nuovamente in caldaia dove è risurriscaldato a pressione costante, di solito fino alla stessa temperatura di ingresso nel primo stadio della turbina. Successivamente il vapore si espande isoentropicamente nel secondo stadio della turbina (turbina di bassa pressione) fino alla pressione di condensazione. La quantità di calore totale fornita al fluido evolvente e il lavoro totale fornito dalla turbina sono:
L'inserimento di un solo risurriscaldatore in un moçlerno impianto motore a vapore fa aumentare il rendimento termico del 4-5 per cento, per effetto dell'incremento della temperatura media alla quale si ha la somministrazione del calore al fluido. La temperatura media durante il processo di somministrazione del calore può essere incrementata aumentando il numero degli stadi in cui viene frazionata l'espansione in turbina e il numero dei risurriscaldatori. In tal modo, il processo complessivo di espansione e risurriscaldamento approssima una trasformazione isoterma alla massima temperatura del ciclo, come mostrato in Figura 7.54. Tuttavia, l'uso di più di due stadi di risurriscaldamento non trova applicazione pratica, poiché l'incremento teorico del rendimento termico che si ottiene da un secondo stadio di risurriscaldamento è circa la metà di quello ottenuto con un solo stadio. Inoltre, se la pressione del fluido ali' ingresso della turbina non è molto elevata, già con due stadi di risurriscaldamento può accadere che il vapore all'uscita della turbina sia surriscaldato. ~uesto fatto è da evitare perché determina un aumento della temperatura media durante il processo di sottrazione del calore e quindi una diminuzione del rendimento termico. Per questo motivo, il doppio risurriscaldamento viene utilizzato soltanto negli impianti a pressione supercritica (p > 22.09 MPa).
Un terzo stadio di risurriscaldamento farebbe aumentare il rendimento termico del ciclo di circa la metà dell'incremento prodotto dal secondo stadio, aumento troppo piccolo per giustificare il maggior costo e la complessità del!' impianto. Il ciclo con risurriscaldamento fu introdotto verso la metà degli anni Venti e abbandonato negli anni Trenta a causa delle difficoltà operative. Il costante incremento avutosi nel corso degli anni della pressione in caldaia rese necessario reintrodurre il singolo risurriscaldamento verso la fine degli anni Quaranta e il doppio risurriscaldamento ali' inizio degli anni Cinquanta. Le temperature di risurriscaldamento sono uguali o molto vicine alla temperatura di ingresso nel primo stadio della turbina. La pressione ottimale di risurriscaldamento è circa un quarto della pressione massima del ciclo: per esempio, la pressione ottimale di risurriscaldamento per un ciclo avente la pressione in caldaia di 12 MPa è circa 3 MPa. Si ricordi che lo scopo principale del risurriscaldamento è quello di ridurre il contenuto della fase liquida negli stadi finali dell'espansione in turbina ESEMPIO 7.9 Si consideri un Impianto motore a vapore funzionante con un ciclo Rankine ideale con risurriscaldamento. Il vapor d'acqua entra nella turbina di alta pressione a 15 MPa e alla temperatura di 600°C, e si condensa alla pressione di 10 kPa. Sapendo che il contenuto della fase liquida all'uscita della turbina non deve eccedere il 10.4 per cento, determinare a) la pressione alla quale il vapore deve essere risurriscaldato; b) il rendimento termico del ciclo. Si assuma che il vapor d'acqua venga risurriscaldato fino alla stessa temperatura di ingresso nella turbina di alta pressione. Soluzione Lo schema dell'impianto e la rappresentazione del ciclo su un diagramma T-s sono riportati in Figura 7.55. Poiché l'impianto motore funziona secondo un ciclo ideale, si assume che le trasformazioni in entrambi gli stadi della turbina e nella pompa siano isoentropiche, che in caldaia e nel condensatore non vi siano perdite di carico e che, infine, il vapore esca dal condensatore ed entri nella pompa nello st~to di liquido saturo alla pressione di condensazione.
T.
242
•e
qu = h6 - h,
Risurriscaldamento
=2335.8 -
191.83
=2143.97 kJ/kg
2-B ~~
e quindi:
Macchine frigorifere e pompe di calore
q,
2143.97 17, =1--=1----=0.450=45.0% q, 3895.46
7.13 i1S MACCHINE FRIGORIFERE E POMPE DI CALORE
FIGURA 7.55 Schema dell'impianto dell'Esempio 7.9 e ciclo tennodinamico sul diagramma T-s.
a) La pressione di risurriscaldamento è determinata dalla condizione che i valori dell'entropia negli stati 5 e 6 devono essere uguali:
Stato 6:
p6 =10kPa} h, = 2335.8 kJ/kg x. =0.896 s 6 = 7.370 kJ/(kg·K)
per cui: Stato5:
T,:600°c} p, = 4.0 MPa h, = 3674.4 kJ/kg
Ss-Sa
Il vapor d'acqua, quindi, deve essere risurriscaldato a una pressione inferiore o al più uguale a 4 MPa se si vuole limitare il contenuto della fase liquida all'uscita della turbina al valore massimo del 10.4 per cento.
È noto che il calore si trasferisce nel verso in cui la temperatura diminuisce, cioè da zone a temperatura più elevata verso zone a temperatura minore. Questo processo di trasferimento del calore si verifica spontaneamente in natura, senza richiedere l'intervento di alcuna macchina. Il processo inverso, invece, cioè il trasferimento del calore da zone a temperatura più bassa verso zone a temperatura maggiore, non si verifica spontaneamente e richiede l'impiego di speciali macchine dette macchine frigorifere. Le macchine frigorifere sono sistemi che operano secondo un ciclo termodinamico inverso in cui il fluido evolvente prende il nome di refrige· rante. In Figura 7 .56a è riportato Io. schema di una macchina frigorifera: Q, è la quantità di calore in modulo che viene sottratta a una sorgente a temperatura inferiore T,, Q, è la quantità di calore in modulo ceduta a un pozzo a temperatura superiore T, e L è il lavoro netto fornito alla macchina frigorifera. Come detto nei'CapitC:!o 5, Q. e Q rappresentano i moduli delle quantità di calore scambiate e perciò s~no grandezze posJtive. Un'altra macchina capace di trasferire calore da una sorgente a più bassa temperatura a un pozzo a temperatura maggiore è la pompa di calore.
b) Per calcolare il rendimento termico del ciclo, è necessario determinare prima i valori dell'entalpia in tutti gli altri stati:
p,=10kPa Stato 1: Stato2'.
Ambiente riscaldato
}
h,=h, 010 kP,=191.83 kJ/kg 3 liquido saturo v, v, 010 '", = 0.00101 O m /kg
a temperatura
Ts > 1i
=
P2 =15MPa 52
=
fp.e
s,
=V
1
Q,
(p2 -p1) = 0.001010 X (15 000-10) = 15.11 kJ/kg
h, = h, + 1... = 191.83 + 15.11 = 206.94 kJ/kg Stato 3:
Stato4:
p3 = 15 Mpa
r. = 5oo·c
h3 = 3582.3 kJ/kg s3 = 6.6776 kJ/(kg K)
h, = 3154.3 kJ/kg T, = 375.5°C
Le quantità di calore scambiate sono:
q. = (h3 - h,) + (h, - h,) = (3582.3- 206.94) + (3674.4 - 3154.3) = 3895.46 kJ/kg
Ambiente refrigerato
a temperatura 1j
(a) Macchina frigorifera
(b) Pompa di calore
FIGURA 7.56 Lo scopo di una macchina frigorifera è rimuovere calore (Q,) da un ambiente refrigerato; lo scopo di una pompa di calore è fornire calore (Q,) a un ambiente riscaldato.
r 244 CAPITOLO 7 Cicli diretti
e cicli inversi
Una macchina frigorifera e una pompa di calore sono fondamentalmente la stessa macchina poiché differiscono soltanto in ciò che viene considerato come effetto utile. Lo scopo di una macchina frigorifera è mantenere l'ambiente refrigerato a una temperatura relativamente bassa sottraendogli calore, che viene, poi, ceduto a un pozzo a temperatura maggiore. Lo scopo di una pompa di calore, invece, è mantenere un ambiente riscaldato a una temperatura relativamente elevata fornendogli il calore sottratto a una sorgente a temperatura inferiore, come lacqua di bacini, fiumi o laria atmosferica (Figura 7 .56b). La prestazione delle macchine frigorifere e delle pompe di calore è espressa dal coefficiente di prestazione ( COP), definito come:
Queste relazioni possono essere espresse anche in termini di potenze sostituendo rispettivamente Q., Q e L con Q., Q e L . Si osservi che entr~bi co;fflcienti di p;estazlÒ~e. COPF e COPPdC' possono essere maggiori di l e che dalle Equazioni 7.36 e 7.37, per assegnati valori di Q1 e Q,, si ricava:
245 T Il ciclo im·erso di Carnot
T,
l
(7.38) Questa relazione dimostra che il coefficiente di prestazione di una pompa di calore è sempre maggiore di I (COPPdC >I) poiché COPF è una quantità positiva. Ciò significa che, teoricamente, una pompa di calore funziona al peggio come una stufa elettrica, fornendo ali' ambiente riscaldato una quantità di energia uguale a quella che richiede per funzionare. In realtà, invece, se la temperatura dell'aria esterna è molto bassa, una parte dell'energia termica Q, da fornire all'ambiente riscaldato si può disperdere verso l'aria esterna, attraverso tubazioni e altri componenti, per cui il valore di COP Pdc può scendere anche sotto l'unità. Quando ciò accade, la pompa di calore si pone, di solito, in modalità di funzionamento di stufa elettrica.
in Figura 7.57. All'interno di un evaporatore il refrigerante assorbe isotermicamente la quantità di calore Q, da una sorgente a temperatura relativamente bassa T, (trasformazione 1-2), viene poi compresso isoentropicamente fino allo stato 3 (con aumento della temperatura a T ), cede isotermicamente la quantità di calore Q, ad un pozzo a una temperaÙira superiore T (trasformazione 3-4), e, infine, si espande isoentropicamente fino allo st~to l (con diminuzione della temperatura a T1). Durante la trasformazione 3-4, il refrigerante cambia fase passando da vapore saturo a liquido saturo all'interno di un condensatore. I coefficienti di prestazione della macchina frigorifera di Camot e della pompa di calore di Camot sono espressi, come visto nel Paragrafo 5.11, dalle relazioni:
FIGURA 7.57 Schema di una macchina frigorifera di Carnot e un ciclo inverso di Carnot sul diagramma T-s.
7.1411 IL CICLO INVERSO DI CARNOT Poiché il ciclo di Camot è completamente reversibile, tutte e quattro le trasformazioni che lo costituiscono possono essere invertite con la conseguenza che anche gli scambi di calore e di lavoro avvengono nei versi opposti. Con l'inversione delle trasformazioni si ottiene un ciclo percorso in senso antiorario, detto ciclo inverso di Carnot; una macchina frigorifera e una pompa di calore che funzionino secondo il ciclo inverso di Camot sono chiamate, rispettivamente, macchina frigorifera di Carnot e pompa di calore di Carnot. Si consideri un ciclo inverso di Camot eseguito all'interno della zona delle miscele sature di liquido e vapore di un refrigerante, come mostrato
Si osservi che entrambi i coefficienti aumentano al diminuire della differenza tra le due temperature T, e T,. Come regola pratica si può dire che il
COP aumenta del 2-4 per cento per ogni grado Celsius di diminuzione della differenza tra la temperatura di condensazione T e quella di evaporazione T.. . ' . Il ciclÒ inverso di Camot è il ciclo inverso di maggior efficienza fra tutti quelli funzionanti tra due stessi serbatoi termici di assegnate temperature. Pertanto, sarebbe naturale considerare proprio il ciclo inverso di Camot
--
~---- -
-"-~----~---·--·---------~
r 246 e cicli
come ciclo ideale per le macchine frigorifere e le pompe di calore ma, come si vedrà di seguito, esso presenta molti problemi nella realizzazione pratica. I due processi isotermi di scambio termico, quali le trasformazioni 1-2 e 3-4, non sono difficili da realizzare nella pratica poiché, in un sistema bifasico, mantenendo costante la pressione si mantiene costante anche la temperatura (al valore di saturazione). Invece, le trasformazioni 2-3 e 4-1 non possono essere realizzate con un adeguato grado di approssimazione, poiché la prima, compressione di una miscela di liquido e vapore, richiederebbe un compressore capace di trattare contemporaneamente le due fasi, mentre la seconda presenta le difficoltà relative all'espansione del refrigerante in presenza di un elevato contenuto di fase liquida. Si potrebbe pensare di risolvere questi problemi eseguendo il ciclo inverso di Carnot al di fuori della zona delle miscele sature, ma, in questo caso, sarebbe difficile realizzare i processi isotermi di scambio termico. Si deve concludere, allora, che il ciclo inverso di Carnot non può essere approssimato nelle macchine reali, per cui non può costituire un modello per i cicli inversi reali ma soltanto un riferimento con cui confrontare le prestazioni.
inH~rsi
7.15 Zl IL CICLO INVERSO A COMPRESSIONE DIVAPORE IDEALE FIGURA 7.58 Schema di una macchina frigorifera a compressione di vapore e il suo ciclo termodinamico ideale.
Le difficoltà che si incontrano nella realizzazione pratica del ciclo inverso di Carnot possono essere superate vaporizzando completamente il refrigerante prima che sia compresso e sostituendo l'espansione in turbina con un processo di laminazione in una valvola o ìn un tubo capillare. Il ciclo che si
, Pozzo termico
Condensatore
h
Valvola di laminazione Compressore
T
ottiene, detto ciclo inverso a compressione di vapore ideale, è rappresentato schematicamente su un diagramma T-s in Figura 7.58, ed è costituito da quattro trasformazioni:
2-ti Il ciclo imersu a compressiont
di ,·apore idealt:
1-2 2-3 3-4 4-1
compressione isoentropica in un compressore; cessione di calore a pressione costante in un condensatore; laminazione in una valvola o in un tubo capillare; assorbimento di calore a pressione costante in un evaporatore.
Il refrigerante entra nel compressore come vapore saturo nello stato 1 e viene compresso isoentropicamente fino alla pressione del condensatore con la conseguenza che la sua temperatura aumenta a un valore superiore a quella del pozzo termico, rappresentato, ad esempio, dal!' aria atmosferica circostante. Successivamente, il refrigerante entra nel condensatore come vapore surriscaldato nello stato 2 ed esce, a seguito della cessione di calore verso il pozzo termico, come liquido saturo nello stato 3. In questo stato, il refrigerante viene laminato fino alla pressione dell'evaporatore passando attraverso una valvola o un tubo capillare, e in conseguenza di ciò la sua temperatura scende al di sotto della temperatura dell'ambiente refrigerato. Il refrigerante entra, poi, nell'evaporatore nello stato 4, come miscela satura di liquido e vapore a basso titolo, ed evapora completamente assorbendo calore dal!' ambiente refrigerato. Infine, il refrigerante che esce dal!' evaporatore come vapore saturo torna nel compressore per ripetere il ciclo. In un frigorifero domestico il refrigerante assorbe calore dalla cella frigorifera mediante un evaporatore costituito da una serpentina posta nella stessa cella, mentre cede calore all'aria circostante attraverso un condensatore costituito da una serpentina posta nella parte retrostante del frigorifero (Figura 7 .59). Si ricordi che in un diagramma T-s l'area sottesa sull'asse dell'entropia dalla linea di una trasformazione internamente reversibile rappresenta il calore scambiato in quella trasformazione. Pertanto, larea sottesa dalla linea 4-1 rappresenta il calore assorbito dal refrigerante nell'evaporatore, mentre l'area sottesa dalla linea 2-3 rappresenta il calore ceduto nel condensatore. Un altro diagramma frequentemente utilizzato nello studio dei cicli inversi a compressione di vapore è il diagramma p-h, mostrato in Figura 7.60. Su
l
.....!-
capillare
Freezer
Aria ambiente 25°C
Q,
5°C
FIGURA 7.59 Schema di un ordinario frigorifero domestico.
248 CAPITOLO 7 Cicli diretti e cicli inversi
p
FIGURA 7.60
Il ciclo inverso a compressione di vapore ideale sul diagramma p-h.
questo diagramma tre delle quattro trasformazioni sono rappresentate da linee rette e le quantità di calore scambiate nel condensatore e nel1' evaporatore sono proporzionali alla lunghezza delle corrispondenti linee di trasformazione. Si osservi che, diversamente dai cicli ideali discussi fin qui, il ciclo inverso a compressione di vapore ideale non è un ciclo internamente reversibile, poiché il processo di laminazione è irreversibile. Se la valvola di laminazione fosse sostituita da una turbina in cui il refrigerante si espandesse isoentropicamente (Figura 7 .58), lingresso nell'evaporatore avverrebbe nello stato 4' anziché 4, per cui l'effetto utile aumenterebbe dell'area sottesa dalla linea 4'-4 e il lavoro netto assorbito diminuirebbe del lavoro fornito dalla turbina. Tuttavia, la sostituzione della valvola di laminazione con una turbina non trova applicazione pratica perché i benefici ottenuti non giustificano i costi aggiuntivi e la maggiore complessità. Tutti e quattro i componenti in cui si realizza il ciclo inverso a compressione di vapore sono a flusso stazionario, perciò tutte e quattro le trasformazioni che costituiscono il ciclo devono essere analizzate come processi di sistemi aperti a flusso stazionario. Poiché le variazioni di energia cinetica e di energia potenziale del refrigerante sono, di solito, trascurabili rispetto alle quantità di calore e lavoro scambiate, l'equazione dell'energia per sistemi aperti a flusso stazionario, riferita all'unità di massa, si riduce all'espressione:
q-l=Mz
(7.41)
mancavano di controlli automatici ed erano mossi da motori a vapore; però, già nel 1890 macchine più piccole, mosse da motori elettrici e munite di controllo automatico, iniziarono a sostituire gli impianti più vecchi, e i sistemi di refrigerazione cominciarono ad apparire nei negozi di macelleria e nelle abitazioni. Dal 1930, i continui miglioramenti hanno reso possibile avere sistemi di refrigerazione a compressione di vapore relativamente efficienti, affidabili, di piccole dimensioni e poco costosi.
ESEMPI08
Soluzione Il ciclo frigorifero è mostrato in Figura 7.61 su un diagramma T-s. In un ciclo inverso a compressione di vapore ideale, la trasformazione di compressione è isoentropica e il refrigerante entra nel compressore come vapore saturo alla pressione dell'evaporatore. Inoltre, il refrigerante esce dal condensatore come liquido saturo alla pressione del condensatore. Utilizzando le tabelle del refrigerante R-134a, le entalpie nei quattro punti del ciclo possono essere determinate come di seguito: FIGURA 7.61
Il ciclo inverso a compressione di vapore ideale dell'Esempio 7.10 sul diagramma T-s.
P, =0.14MPa} h, =h, 00., 4 MPa =236.04 kJ/kg vapore saturo s, =s, 00 _,•M•• =0.9322 kJ/(kg·K) Stato2".
p2 =0.8MPa} -
s3 -s1
h, = 272.05 kJ/kg
Stato 3:
p, =0.8MPa} • • h, = h, 00.BMP• = 93.42 kJ/kg
1Iqu1do saturo Stato 4:
dove, nel caso ideale, h1 =h,, ®p, e "3 =h1®f>i. La refrigerazione a compressione di vapore fu introdotta nel 1834, quando l'inglese Jacob Perkins ottenne il brevetto per una macchina del ghiaccio a circuito chiuso che utilizzava come refrigerante etere o altri fluidi molto volatili. Di questa macchina fu realizzato anche un modello funzionante, ma essa non fu mai prodotta commercialmente. Nel 1850, Alexander Twinning iniziò la progettazione e la costruzione di macchine del ghiaccio a compressione di vapore che utilizzavano l'etere etilico come refrigerante. Inizialmente, gli impianti a compressione di vapore erano ingombranti e venivano utilizzati principalmente per produzione di ghiaccio, per la preparazione della birra e per la conservazione a bassa temperatura. Inoltre,
di vapore ideale
Un frigorifero utilizza il refrigerante R-134a come fluido evolvente e funziona con un ciclo inverso a compressione di vapore ideale tra le pressioni di 0.14 MPa e 0.8 MPa. Se la portata del refrigerante è 0.05 kg/s, determinare a) la potenza termica sottratta all'ambiente refrigerato e la potenza richiesta dal compressore; b) la po· tenza termica ceduta all'ambiente che si considera come pozzo termico; c) il COP del frigorifero.
Stato 1:
Tenendo presente che il condensatore e l'evaporatore non sono soggetti a scambi né di calore né di lavoro e che il compressore può essere considerato adiabatico, i coefficienti di prestazione degli impianti frigoriferi e delle pompe di calore funzionanti con il ciclo inverso a compressione di vapore sono espressi dalle relazioni:
249 Il ciclo im·erso a compressione
h,
=h, =93.4;! kJ/kg
(laminazione)
a) La potenza termica sottratta all'ambiente refrigerato e la potenza richiesta dal compressore sono: O,= m(h, -h.)= 0.05x(236.04-93.42) = 7.13 kW
L. = m(h, -h.)=0.05x(272.05-236.04 J =1.80
kW
b) La potenza termica ceduta dal refrigerante all'ambiente che si considera come pozzo termico vale: O,= m(h, -h,)=0.05x(272.05-93.42) = 8.93 kW Essa potrebbe essere determinata anche con la relazione:
6, =0, + L, =7.13 +1.80 =8.93
kW
250 CAPITOLO 7 Cicli diretti
e cicli inYersi
e) Il coefficiente di prestazione del frigorifero è determinato in base alla sua definizione:
ò,
7.13 COP,, =-:-=- =4.0 L, 1.80 Ciò significa che il frigorifero sottrae all'ambiente refrigerato 4 unità di energia termica per ogni unità di energia meccanica consumata.
7.16 ~'.11 PROPRIETÀ DEI REFRIGERANTI Tra le numerose sostanze che possono essere scelte come fluido refrigerante, vi sono i clorofluorocarburi (CFC), lammoniaca, gli idrocarburi (propano, etano, etilene ecc.) e persino l'acqua (in applicazioni in cui le temperature siano superiori al punto di congelamento). La scelta del refrigerante più idoneo dipende dalle particolari condizioni di impiego anche se i clorofluorocarburi, come l'R-11, R-12, R-22 e l'R-502, costituiscono oltre il 90 per cento del mercato mondiale. Il primo refrigerante utilizzato commercialmente in impianti a compressone di vapore fu, nel 1850, l'etere etilico seguito, tra gli altri, dal!' ammoniaca, il biossido di carbonio, il cloruro di metile, il biossido di zolfo, il butano, l'etano, il propano, l'isobutano, la benzina e i clorofluorocarburi. Nel settore industriale e in quello del commercio all'ingrosso era particolarmente diffuso l'uso dell'ammoniaca e lo è, in parte, tuttora nonostante la sua tossicità. I vantaggi dell'ammoniaca sugli altri refrigeranti sono il più basso costo, il più elevato COP che si ottiene (e quindi la minore spesa per l'energia consumata), migliori proprietà di scambio termico (per cui richiede più piccoli e meno costosi scambiatori di calore), la maggiore facilità di recupero in caso di fughe e lassenza di effetti nocivi sullo strato di ozono. Il principale difetto dell'ammoniaca, invece, è la sua tossicità che la rende inadatta per un uso domestico. L'ammoniaca è utilizzata principalmente nella refrigerazione dei prodotti alimentari, come, ad esempio, frutta fresca, vegetali, carne e pesce; nella refrigerazione delle bevande e dei prodotti caseari, come birra, vino, latte e formaggi; nella congelazione di gelati e altri prodotti; nella produzione di ghiaccio e nella refrigerazione a bassa temperatura nell'industria farmaceutica e in altre industrie di trasformazione. I refrigeranti utilizzati un tempo nel settore del commercio al dettaglio e in quello domestico, come il biossido di zolfo, il cloruro di etile e il cloruro di metile erano notevolmente tossici. Negli anni Venti, a seguito di alcuni incidenti in cui si verificarono notevoli fughe di refrigerante e che provocarono non poche vittime, tali refrigeranti furono messi al bando e sorse la necessità di sviluppare refrigeranti sicuri per il settore domestico. Nel 1928, su richiesta della Frigidaire Corporation, il laboratorio di ricerca della Generai Motors sviluppò, in soli tre giorni, l'R-21, il primo refrigerante della famiglia dei clorofluorocarburi (CFC). Tra i numerosi CFC, cui fu dato il nome commerciale di "Freon", l'R-12 venne considerato il refrigerante più adatto per l'uso commerciale. La produzione commerciale dell'R-11 e dell'R-12 fu iniziata nel 1931 da una società costituita dalla Generai Motors e dalla E. I. duPont deNemours and Co. Inc.
L'R-11 viene utilizzato oggi principalmente nelle macchine frigorifere degli impianti di condizionamento dell'aria di edifici. L'R-12 e l'R-134a sono utilizzati nei frigoriferi e nei congelatori domestici come pure nei condizionatori d'aria per auto. L'R-23 viene usato nei condizionatori d'aria da finestra, nelle pompe di calore, nei condizionatori d'aria di edifici commerciali e negli impianti industriali di refrigerazione di grandi dimensioni, ed è molto competitivo con l'ammoniaca. L'R-502 (una miscela di R-115 e R-22) è il refrigerante principalmente utilizzato negli impianti di refrigerazione commerciali, come quelli usati nei supermercati, perché permette di mantenere basse temperature negli evaporatori pur utilizzando compressori monostadio. Il problema connesso con il buco dell'ozono ha determinato la maggiore rivoluzione nell'industria della refrigerazione e del condizionamento dell'aria per le numerose critiche che si sono scatenate contro i refrigeranti attualmente in uso. Verso la metà degli anni Settanta si realizzò che l'immissione dei CFC nell'atmosfera distrugge lo strato di ozono, consentendo, così, ai raggi ultravioletti nocivi di giungere più facilmente sulla superficie terrestre, e impedisce, inoltre, alla radiazione infrarossa di allontanarsi dalla terra, aumentando, così, leffetto serra che causa un innalzamento globale della temperatura. In conseguenza di ciò, in molti paesi l'uso di alcuni CFC è stato bandito. I CFC che arrecano il maggior danno allo strato di ozono sono quelli completamente alogenati, come l'R-11, l'R-12 e l'R-115, mentre i CFC non completamente alogenati, come l'R-22, hanno solo il 5 per cento circa della capacità distruttiva dell'ozono rispetto ai precedenti. Oggi sono allo studio CFC che non danneggiano lo strato di ozono e che non contribuiscono all'effetto serra: l'R-134a, sviluppato recentemente, è privo di cloro e attualmente sta sostituendo l'R-12. Due importanti parametri che devono essere considerati nella scelta di un refrigerante sono le temperature dei sistemi con i quali il refrigerante scambia calore. Per avere uno scambio termico con una potenza ragionevole, deve esistere una differenza di temperatura di 5-10°C tra il refrigerante e il sistema con cui scambia calore: per esempio, se lambiente refrigerato deve essere mantenuto alla temperatura di -10°C, la temperatura del refrigerante dovrebbe essere di circa -20°C quando nell'evaporatore assorbe calore. Inoltre, la pressione minima, che in un ciclo frigorifero si verifica all'interno dell'evaporatore, dovrebbe essere superiore alla pressione atmosferica per impedire l'infiltrazione di aria all'interno dell'impianto frigorifero. Pertanto, nell'esempio precedente il refrigerante dovrebbe avere alla temperatura di -20°C una pressione di saturazione di 101 325 Pa o superiore. L'ammoniaca, l'R-134a e l'R-22 sono tre refrigeranti che soddisfano questa condizione. La temperatura (e quindi la pressione) che un refrigerante deve avere ali' interno del condensatore dipende dalla temperatura del sistema che funge da pozzo termico al quale deve essere ceduto il calore. Si possono mantenere temperature più basse nel condensatore (e quindi ottenere più elevati COP) se il refrigerante viene raffreddato con acqua invece che con aria. Tuttavia, l'uso di acqua di raffreddamento non si giustifica economicamente eccetto che negli impianti industriali di grandi dimensioni. La tem-
25 Proprietà dl refrigeran'
l 252 CAPITOL07 Cicli diretti
e cicli inversi
peratura del refrigerante nel condensatore non può scendere al di sotto della temperatura del mezzo di raffreddamento (circa 20°C per un frigorifero domestico) e la pressione di saturazione a questa temperatura dovrebbe essere ben al di sotto della pressione critica del refrigerante se si vuole che la sottrazione del calore sia per lo più isoterma. Se non si riesce a trovare nessun refrigerante che soddisfi le suddette condizioni sulle due temperature, si può fare ricorso agli impianti frigoriferi a cascata, che utilizzano due o più cicli frigoriferi in cascata con refrigeranti differenti. Un refrigerante, inoltre, non deve essere tossico, corrosivo o infiammabile, deve avere stabilità chimica, elevata entalpia di vaporizzazione (per minimizzare la portata di refrigerante) e, naturalmente, deve essere disponibile a basso costo. Nel caso delle pompe di calore, la temperatura del refrigerante nell 'evaporatore (e quindi la pressione) può essere considerevolmente più elevata poiché il calore viene sottratto a sorgenti termiche che di solito hanno temperature ben superiori rispetto al caso degli impianti frigoriferi.
I I
POMPA DI CALORE IN MODALITÀ DI RISCALDAMENTO
Scambiatore di calore esterno
!!!,., ~Ventilatore
Ventilatore
~
Valvola di laminazione -
La refrigerazione
~
termoelettrica
,,,q ,,,
1
l•!
..._~--~~~~~~~~~--'
Liquido ad alta pressione Liquido-vapore a bassa pressione Vapore a bassa pressione Vapore ad alta pressione
POMPA DI CALORE IN MODALITÀ DI RAFFRESCAMENTO
Scambiatore di c~qre esterno
I'n ! I! ~ L
La sorgente termica più comunemente utilizzata dalle pompe di calore è l'aria atmosferica (sistemi aria-aria), ma sono usati anche l'acqua di grandi bacini e il terreno. Il principale problema nei sistemi che utilizzano aria come sorgente termica è l'accumulo di brina sulla serpentina dell'evaporatore, che si verifica nei climi umidi quando la temperatura scende sotto i 2-5°C e determina una riduzione dell'efficienza poiché ostacola lo scambio termico. Tuttavia, la serpentina dell'evaporatore può essere facilmente sbrinata invertendo il ciclo della pompa di calore, cioè facendola funzionare da condizionatore d'aria. I sistemi che utilizzano acqua come sorgente termica di solito operano nel sottosuolo, in profondità fino a 80 m, con intervalli di temperatura di 5-18°C e non sono soggetti ai problemi di accumulo della brina. Tali sistemi hanno valori tipici del COP più elevati ma sono più complessi e richiedono un facile accesso a grandi corpi d'acqua come quelli presenti nel sottosuolo. I sistemi che utilizzano il terreno come sorgente termica sono anch'essi piuttosto complessi poiché richiedono lunghe tubazioni posizionate in profondità nel terreno, dove la temperatura è relativamente costante. Il COP delle pompe di calore di solito varia tra 1.5 e 4 in base al particolare sistema utilizzato e alla temperatura della sorgente. Recentemente è stato sviluppato un nuovo tipo di pompa di calore che utilizza motori elettrici a velocità variabile e ha un'efficienza almeno doppia rispetto ai tipi precedenti. Poiché sia la potenzialità sia lefficienza delle pompe di calore diminuiscono significativamente alle basse temperature, la maggior parte di quelle che utilizzano aria come sorgente termica possiede un sistema di riscaldamento supplementare, del tipo a resistenza elettrica, a petrolio o a gas. Invece, nelle pompe di calore che utilizzano l'acqua o il terreno come sorgente termica, il sistema di riscaldamento supplementare può non essere necessario, poiché le temperature di queste sorgenti non variano molto.
Scambiatore
di calore interno
I'
Valvola ~i inversione Scambiatore di calore interno
'J
7.1711 LE POMPE DI CALORE
Valvola di inversione
Ventilatore
_J
FIGURA 7.62
Pompa di calore utilizzata sia per il riscaldamento invernale sia per il raffrescamento estivo.
Le pompe di calore e i condizionatori d'aria hanno gli stessi componenti meccanici, per cui uno stesso sistema può essere utilizzato sia come pompa di calore in inverno sia come condizionatore d'aria in estate semplicemente inserendo nell'impianto una valvola di inversione, come mostrato in Figura 7.62. Quando in estate si effettua l'inversione, il condensatore della pompa di calore (posizionato all'interno dell'abitazione) funziona come evaporatore del condizionatore d'aria, e viceversa l'evaporatore della pompa di calore (posizionato all'esterno) funziona come condensatore del condizionatore d'aria. Questa peculiarità delle pompe di calore ne aumenta considerevolmente la competitività. Le pompe di calore sono particolarmente indicate in zone caratterizzate da un elevato carico tei;mico di Illffrescamento durante la stagione calda e da un carico termico di riscaldamento relativamente basso durante la stagione fredda. In queste zone le pompe di calore possono soddisfare interamente i carichi termici di riscaldamento e di raffrescamento in edifici sia residenziali sia commerciali. Al contrario, le pompe di calore sono meno indicate in zone caratterizzate da un significativo carico termico di riscaldamento e un carico termico di raffrescamento piccolo o nullo.
7.1811 LA REFRIGERAZIONE TERMOELETTRICA I sistemi di refrigerazione fin qui illustrati presentano organi in movimento e pesanti componenti anche complessi. È, però, possibile utilizzare energia
I
r 254 CAPITOL07 Cicli diretti e cicli im1ersi
FIGURA 7.63 Quando una delle giunzioni tra due metalli diversi è riscaldata, una corrente elettrica percorre il circuito. Metallo A
FIGURA 7.64 Quando un circuito termoelettrico è interrotto, si genera una differenza di potenziale elettrico.
FIGURA 7.65 Schema di un semplice generatore termoelettrico.
elettrica più direttamente per ottenere un effetto refrigerante senza necessità di un fluido evolvente o di organi in movimento. Di seguito verrà illustrato un tale sistema, noto con il nome di refrigeratore termoelettrico. Si considerino due fili conduttori di metalli diversi uniti a entrambe le estremità (giunzioni) in modo da forn1are un circuito chiuso. Se una delle due giunzioni viene riscaldata, accade che una corrente elettrica fluisce con continuità nel circuito, come mostrato in Figura 7.63, dando luogo a quello che si chiama effetto Seebeck, in onore di Thomas Seebeck che lo scop~ ?el 1821.. Un circu.it~ che. incorpori sia gli effetti termici sia quelli elettnc1 prende Il nome d1 c1rcmto termoelettrico, mentre un dispositivo che funzioni utilizzando un tale circuito è detto dispositivo termoelettrico. L'effetto Seebeck ha due principali applicazioni: la misurazione della temperatura e la produzione di energia elettrica. Se il circuito termoelettrico v!ene interr~tto, c01i;ie mostrato in Figura 7.64, la corrente non può più circolare e s1 può rrusurare con un voltmetro la forza elettromotrice o la tensione elettrica che si genera nel circuito. Poiché la tensione risulta essere funzione della differenza di temperatura tra le due giunzioni, oltre che dei materiali costituenti i due conduttori, ne consegue che misure di temperatura possono essere effettuate mediante semplici misure di tensione elettrica. In tal caso, i due conduttori utilizzati per misurare la temperatura con questo sistema costituiscono una termocoppia, che è attualmente il sensore di temperatura più versatile e più utilizzato. Una comune termocoppia tipo T, per esempio, è costituita da un filo di rame e uno di c?st~tana e g~nera una tensione elettrica di circa 40 µV per grado Celsius d1 differenza d1 temperatura tra le due giunzioni. L'effetto Seebeck è anche alla base della produzione di eneroia elettrica per via termoelettrica. Lo schema di un generatore termoclettrico è mostrato in Figura 7.65: una quantità di"calore Q viene trasferita da una sorgente a temperatura relativamente più elevata alÌa giunzione calda, mentre la quantità di calore Q; viene ceduta dalla giunzione fredda a un pozzo a temperatura relativamente più bassa; la differenza tra le due quantità di calore è pari al lavoro elettrico netto prodotto, cioè L = Q - Q .. È evidente dalla Figura 7 .65 che il ciclo di funzionamento di '~n g~neratore termoelettric~ assomiglia molto a q~ello di un ~rdinario motore termico, con gli elettrom che svolgono la funz10ne del flmdo evolvente. Pertanto, il rendimento termico di un generatore termoelettrico funzionante tra due limiti di temperatura T e T. risulta essere limitato dal rendimento termico del ciclo di ~~ot funzi~nante tra gli stessi limiti di temperatura. Così, in assenza d1. mev~rsibilità (come le dissipazioni di calore per effetto Joule, PR, con I mtens1tà della corrente elettrica e R resistenza elettrica totale dei due conduttori), il generatore termoelettrico avri:ibbe lo stesso rendimento di Carnot. Il principale difetto dei generatori termoelettrici è la loro bassa efficienza. Il futuro successo di questi dispositivi dipende dalla ricerca di materiali aventi più favorevoli caratteristiche: per esempio, la tensione fornita dai dispositivi termoelettrici è stata aumentata di molte volte passando da coppie di metalli a coppie di semiconduttori; in Figura 7.66 è mostrato un genera~~re te?Uoelettrico ~he utilizz~ semiconduttori di tipo-n e di tipop collegati m sene. Malgrado 1loro bassi rendimenti, i generatori termoelet-
255
FIGURA 7.66 Schema di un generatore termoelettrico a semiconduttori.
trici hanno una specifica importanza e affidabilità, e sono attualmente utilizzati in aree rurali e in applicazioni spaziali. Per esempio, generatori termoelettrici a base di silicio e germanio alimentano le sonde spaziali Voyager sin dal 1980 e continueranno a farlo ancora per molti anni. Seebeck non era esperto di termodinamica, altrimenti avrebbe pensato di poter ottenere un effetto refrigerante invertendo il flusso di elettroni nel circuito termoelettrico applicando dal!' esterno una differenza di potenziale in verso opposto. Invece, questo onore appartiene a Jean Charles Athanase Peltier che scoprì il fenomeno nel 1834: durante i suoi esperimenti osservò che quando una corrente attraversava la giunzione tra due fili di materiali diversi, la giunzione si raffreddava, come mostra la Figura 7.67. Questo fenomeno, chiamato effetto Peltier, è alla base della refrigerazione termoelettrica. In Figura 7.68 è mostrato un refrigeratore termoelettrico che utilizza materiali semiconduttori: una quantità di calore Q. viene sottratta all'ambiente refrigerato mentre una quantità Q, viene ceduta all'ambiente a maggior temperatura; la differenza tra le due quantità di calore è il lavoro elettrico netto che occorre fornire al refrigeratore, cioè L 1 = Q - Q .. Attualmente, i refrigeratori termoelettrici non possono comp~tere 'con 'i sistemi a compressione di vapore a causa del loro basso coefficiente di prestazione; tuttavia, essi sono disponibili sul mercato e sono utilizzati in alcune applicazioni per le loro piccole dimensioni, la semplicità, la silenziosità e r affidabilità.
Calore Calort: ceduto~assorbitc>
'
7
~
-
II
/
+
/"'
'
FIGURA 7.67 Quando una corrente elettrica percorre un circuito costituito da due materiali differenti si mantiene una differenza di temperatura tra le due giunzioni.
7.19 ;J SOMMARIO Un ciclo con il quale si produce un lavoro netto è detto ciclo diretto. Un ciclo diretto in cui il fluido evolvente rimane sempre in fase aeriforme prende il nome di ciclo diretto a gas. Il ciclo di maggior rendimento termico funzionante tra una sorgente termica a temperatura T, e un pozzo termico a
FIGURA 7.68 Schema di un refrigeratore termoelettrico a semicondunori.
256 CAPITOLO?
temperatura ~ è il ciclo di Camot, il cui rendimento termico è espresso dalla relazione:
Cicli diretti e cicli inversi 7)1.Camot
T; =I -T
di calore a pressione costante, un'espansione isoentropica (in una turbina) e una sottrazione di calore a pressione costante. Nell'ipotesi di ciclo ad aria standard, il rendimento termico risulta:
I
s
I cicli reali a gas sono piuttosto complessi. Le semplificazioni che si fanno per facilitare la loro analisi portano a definire il ciclo ad aria standard che ha le seguenti caratteristiche: tutte le trasformazioni sono internamente reversibili; il fluido evolvente è aria a comportamento da gas perfetto con i calori specifici costanti, valutati a temperatura ambiente; il processo di combustione e quello di rinnovo dei gas combusti sono sostituiti rispettivamente da una somministrazione di calore e da una sottrazione di calore. Nei motori alternativi si definiscono il rapporto volumetrico di compressione p e la pressione media effettiva p me:
7)1,Brayton
=1- 13(k-l)ik
dove f3 = p /p . è il rappono manometrico di compressione. II rendimento termicomdel~iclo Brayton ideale semplice aumenta con il rapporto manometrico di compressione. Nei motori a turbina a gas la temperatura dei gas combusti che escono dalla turbina è, spesso, considerevolmente più elevata di quella dell'aria che esce dal compressore; perciò laria ad alta pressione che esce dal compressore può essere riscaldata trasferendole calore dai gas combusti caldi mediante uno scambiatore di calore in controcorrente, detto rigeneratore. La misura di quanto un rigeneratore reale approssima un rigeneratore ideale è lefficacia e, definita come:
e=~ qrig, max
II ciclo Otto è il ciclo ideale dei motori alternativi ad accensione comandata e consiste di quattro trasformazioni internamente reversibili: una compressione isoentropica, una somministrazione di calore a volume specifico costante, una espansione isoentropica e una sottrazione di calore a volume specifico costante. Nell'ipotesi di ciclo ad aria standard, il rendimento termico del ciclo Otto ideale è espresso dalla relazione: T)t. Ouo
I = 1- pk-1
dove p è il rapporto volumetrico di compressione e k il rapporto dei calori specifici c le 0 • Il ciclb Diesel è il ciclo ideale dei motori alternativi ad accensione spontanea. È molto simile al ciclo Otto differendo soltanto per il fatto che la somministrazione di calore è a pressione costante, invece che a volume specifico costante. Nell'ipotesi di ciclo ad aria standard, il rendimento termico del ciclo Diesel è:
7),, Diesel
=I- p!-1
[
k(: =~J
dove rè il rappono di introduzione, definito come rapporto tra i volumi nel cilindro all'inizio e alla fine del processo di somministrazione del calore. II ciclo ideale dei moderni impianti motori a turbina a gas è il ciclo Brayton, costituito da quattro trasformazioni internamente reversibili: una compressione isoentropica (in un turbocompressore), una somministrazione
Nell'ipotesi di ciclo ad aria standard, il rendimento termico di un ciclo Brayton ideale con rigenerazione totale (e I) diventa:
=
7)
. t.ns
=l-(7; r
ÌR(k-l)lk
TJ
dove T1 e T3 sono, rispettivamente, la minima e la massima temperatura nel ciclo. Oltre che con la rigenerazione, il rendimento termico di un ciclo Brayton ideale può essere aumentato ricorrendo alla compressione multistadio interrefrigerata e all'espansione multistadio con interriscaldamento. Si ottiene, così, la minimizzazione del lavoro richiesto dal turbocompressore quando in tutti gli stadi il rapporto manometrico di compressione è lo stesso; analogamente con questa stessa condizione si ottiene la massimizzazione del lavoro fornito dalla turbina. I motori a turbina a gas sono diffusamente utilizzati nella propulsione aerea perché sono leggeri, compatti e hanno un elevato rapporto potenza/ peso. II ciclo ideale della propulsione a getto differisce dal ciclo Brayton ideale semplice per il fatto che in turbina i gas vengono espansi solo parzialmente, in modo che, uscendo dalla turbina a una pressione relativamente elevata, possano essere accelerati in un ugello per fornire la spinta necessaria alla propulsione dell'aeromobile. La spinta netta sviluppata dal motore vale:
F=rit(w.-w,)
(N)
dove mè la portata massica dei gas, w. è la velocità di uscita dei gas di scarico e w, è la velocità di ingresso dell'aria, entrambe relative all'aeromobile.
257 Sommario
-----------------·--· - - - ·--
lè
258 CAPITOLO 7 Cicli diretti e cicli inversi
r
.
La potenza sviluppata dalla spinta del motore viene chiamata potenza di spinta i,P , ed è pari a:
i,P =Fwa = riz (w,, - w, )wa
(W)
Il rendimento globale è una misura dell'efficienza con cui l'energia rilasciata durante il processo di combustione viene convertita in energia di propulsione, ed è definito dalla relazione: T/ = g
~p Q,
L'energia non utilizzata per la propulsione la si ritrova come aumento di entalpia e come energia cinetica dei gas rispetto a un punto fisso a terra. Il ciclo di Carnot non è un modello idoneo per i cicli diretti a vapore, perché non può essere realizzato nella pratica con adeguata approssimazione. Il ciclo di riferimento per i cicli diretti a vapore reali è, invece, il ciclo Rankine, che è composto di quattro trasformazioni internamente reversibili: una somministrazione di calore a pressione costante in una caldaia, un'espansione isoentropica in una turbina, una sottrazione di calore a pressione costante in un condensatore e, infine, una compressione isoentropica in una pompa. Nel ciclo Rankine, il vapore esce dal condensatore come liquido saturo alla pressione di condensazione. Il rendimento termico di un ciclo Rankine ideale può essere aumentato sia incrementando la temperatura media alla quale viene fornito il calore al fluido evolvente sia diminuendo la temperatura media alla quale il calore viene ceduto al pozzo termico, in genere rappresentato da un lago o un fiume. La temperatura media durante la sottrazione di calore può essere diminuita abbassando la pressione nel condensatore, ma tenendo presente che la temperatura non può essere inferiore a quella del pozzo termico utilizzato. Invece, la temperatura media durante la somministrazione di calore può essere aumentata sia innalzando la pressione in caldaia sia surriscaldando il fluido a temperature più elevate, senza superare, però, il limite rappresentato dalla resistenza dei materiali. Il surriscaldamento ha l'ulteriore vantaggio di ridurre il contenuto della fase liquida nel fluido evolvente all'uscita della turbina; al contrario, l'abbassamento della pressione nel condensatore e l'innalzamento di quella in caldaia determinano un aumento del contenuto della fase liquida all'uscita della turbina, per cui tali pratiche sono sempre accompagnate dal risurriscaldamento del vapore dopo una parziale espansione (nella turbina di alta pressione). Ciò viene fatto inviando il vapore all'uscita dalla turbina di alta pressione nuovamente in caldaia, dove viene risurriscaldato a pressione costante per poi completare l'espansione fino alla pressione di condensazione nella turbina di bassa pressione. Il trasferimento di calore da sorgenti termiche a più bassa temperatura a pozzi termici a più elevata temperatura prende il nome di refrigerazione. Macchine che realizzano la refrigerazione sono dette macchine frigorifere, mentre i cicli con cui essi funzionano sono detti cicli inversi (o frigoriferi). Il fluido evolvente utilizzato nei cicli inversi è chiamato refrigerante. Mac-
chine frigorifere utilizzate con lo scopo di riscaldare un ambiente attraverso il trasferimento di calore prelevato da una sorgente termica a minore temperatura sono chiamate pompe di calore. La prestazione fornita da macchine frigorifere e pompe di calore è espressa dal coefficiente di prestazione (COP), definito dalle relazioni:
Q.
COPF=-'L,,,e COPPdC =Jb_ Ln.e Il ciclo di confronto dei cicli inversi è il ciclo inverso di Carnot. Una macchina frigorifera o una pompa di calore che funzioni secondo il ciclo inverso di Carnot è detta macchina frigorifera di Carnot o pompa di calore di Carnot e i rispettivi COP sono espressi dalle relazioni: 1
COP.F. Carnot = -Ts/1ì - I 1
COP.Pdc. Carnot = l _T/T, Il ciclo inverso più diffusamente utilizzato è il ciclo inverso a compressione di vapore. In un ciclo inverso a compressione di vapore ideale, il refrigerante entra nel compressore come vapore saturo e all'uscita è raffreddato fino allo stato di liquido saturo nel condensatore. Viene poi laminato fino alla pressione dell'evaporatore, dove evapora assorbendo calore dall'ambiente refrigerato. Un effetto refrigerante può essere ottenuto anche senza avere organi meccanici in movimento ma semplicemente facendo circolare una corrente elettrica in un circuito chiuso costituito da due materiali differenti. Questo effetto è chiamato effetto Peltier e un refrigeratore che funzioni su questo principio è detto refrigeratore termoelettrico.
259 Sommario
T I
Le miscele di gas In questo capitolo si tratterà delle miscele di gas che non reagiscono tra loro e che quindi possono essere considerate come sostanze pure essendo semplicemente miscugli omogenei di più gas. Analogamente a quanto succede per i singoli gas componenti, per le proprietà delle miscele di gas, in particolare dell'aria, si potrebbero utilizzare tavole e diagrammi che risulterebbero numerosissimi a causa delle infinite possibilità di composizione. È più utile, invece, sviluppare alcuni criteri che permettano di determinare le proprietà delle miscele partendo dalla conoscenza delle proprietà dei singoli costituenti. Nel fare ciò si inizierà dalle miscele di gas perfetti per passare poi alle miscele di gas reali.
T
I 8.1 Il LA COMPOSIZIONE DELLE MISCELE DI GAS
262
263
~~
CAPITOLO 8 Le miscele di gas
[;J FIGURA 8.1 La massa di una miscela di gas è pari alla somma delle masse dei suoi componenti.
Per determinare le proprietà di una miscela, è necessario conoscere sia la sua composizione sia le proprietà dei suoi componenti. Per individuare la composizione di una miscela o si indica il numero di moli di ciascun componente, analisi molare, o si indica la massa di ciascun componente, analisi gravimetrica. Si consideri una miscela di gas composta di k componenti: poiché certamente la massa della miscela mm è pari alla somma delle masse dei singoli componenti e il numero di moli della miscela N'" è pari alla somma dei numeri di moli dei singoli componenti1 (Figure 8.1 e 8.2) si ha: k
mm= _Lm; . __
k
e
J=l~w: +;~
_-, , .
•
Nm = LN;
;
.
(8.la, b~
~~fiz,,~-:1
ESEMPIO 8.1
La composiziont'
o,.
Si consideri una miscela di gas composta da 3 kg di 5 kg di N2 e 12 kg di CH 4 (Figura 8.4). Si determini a) la frazione ponderale del singolo componente, b) la sua frazione molare e e) la massa molare media e la costante del gas della miscela. Soluzione Lo schema della miscela è riportato in Figura 8.4. Si noti che questa è una miscela composta da tre gas di massa nota.
mm= m02 + mN2 + m0 H4 = 3+5+12 = 20kg La frazione ponderale di ogni componente è:
mf
=
=
mf
= m°" =
°"
=0.25
y Oz
J.00
.:
La massa molare apparente (o media) di una miscela è:
Y:ll .t~~1r· ·1;~]
;;·i~:ri5l L~;:·~1v;M;·2~f
FIGURA 8.3 La somma delle frazioni molari dei componenti di una miscela è pari a l.
.!fiJ!:?i!fJ:/Jf:J!nl.~J.1.o;I
20
2- = 0.094
kmol
32
28
mC"4 12 N0 "" =--=-=0.750 kmol MC"4 16
Poiché Nm = N02 + N., + N0 " 4 = 0.094 + 0.179 + 0.750 = 1.023 kmol si ha:
°"
N0 2 0.094 ==--=0.092 Nm 1.023
"'
N., 0.179 =-=--=0.175 Nm 1.023
y
y In tutto questo capitolo il pedice m si riferisce alla miseela di gas, mentre il pedice i è relativo al singolo componente della miscela.
=~=0.60
m., =~=0.179 kmol
y
1
Mo,
N = "' M.,
. ;.~. ~;;; k;:i.c;;J;, ~: ••• ;'..J
La costante apparente (o media) del gas propria della miscela può essere determinata con la relazione:
mm
b) Per trovare le frazioni molari è necessario determinare prima il numero di moli di ogni componente: N
La massa di una sostanza può essere espressa nei termini del numero di moli N e della massa molare M della sostanza con la relazione:
20
=mc""
C"4
20
m., =~=0.25 mm
"2
H2 +0i YH, =0.75
%, =~=0~15 mm
"2
mf
Dividendo l'Equazione 8.la per mm o l'Equazione 8.lb per Nm si può facilmente dimostrare che la somma delle frazioni ponderali o delle frazioni molari per una miscela è pari all'unità (Figura 8.3):
3kg0 2
SkgN2 12 kgCh.,
a) La massa totale della miscela è:
Il rapporto tra la massa di un componente e la massa complessiva della miscela è chiamato la frazione ponderale (mf), mentre quello tra il numero di moli di un componente e il numero di moli complessivo è chiamato frazione molare y:
FIGURA 8.2 Il numero di moli di una miscela di gas che non reagiscono tra loro è pari alla somma del numero di moli dei suoi componenti.
delle miscele di gas
CH,
NCH4 0.750 =--=--=0.733 Nm 1.023
e) La massa molare media e la costante del gas per la miscela si determinano applicando le rispettive definizioni:
FIGURA 8.4 Schema per l'Esempio 8.1.
264
causa delle rilevanti forze intermolecolari presenti nei gas reali in condizioni di alta densità. Per i gas perfetti queste due leggi sono identiche e portano agli stessi risultati. Le leggi di Dalton e di Amagat possono esprimersi con le relazioni:
mm
20 Mm = - = - - = 19.6 kg/kmol Nm 1.023
CAPITOLOS Le miscele di gas
oppure
Mm= Iy1M1 =Yo,Mo, + Y...,M..., + YcH,MC"4 = 0.092x32+ 0.175x28 + 0.733x16
= =
19
8.2 ili COMPORTAMENTO p-v-T DELLE MISCELE DI GAS: GAS PERFETTI E GAS REALI In precedenza si è definito gas perfetto un gas le cui molecole, essendo molto distanti l'una dall'altra, non si influenzano reciprocamente, condizione che si verifica in un gas a bassa densità volumetrica. Si è anche detto che un gas reale ha un comportamento molto vicino a quello di un gas perfetto se in condizioni di bassa pressione o di alta temperatura nei confronti del suo punto critico. Inoltre, mentre il comportamento p-v-T di un gas perfetto si esprime con la semplice relazione pv RT, detta equazione di stato dei gas perfetti, il comportamento p:v-T di un gas reale si esprime con equazioni più complesse oppure ricorrendo alla relazione pv = ZRT, dove Z è il fattore di compressibilità. Quando due o più gas perfetti vengono miscelati, poiché il comportamento di una molecola in condizioni normali non .è influenzato dalla presenza delle altre sia che esse siano dello stesso tipo sia che esse siano di tipo diverso, la miscela di gas perfetti che non reagiscono fra di loro si comporta come un gas perfetto. Alquanto più complessa è la previsione del comportamento p-v-T di una miscela di gas reali (non perfetti). La previsione del comportamento p-v-T delle miscele di gas si basa normalmente su due leggi: la legge di Da/ton della somma delle pressioni e la legge di Amagat della somma dei volumi.
=
JI T
+
La legge di Dalton della somma delle pressioni afferma che la pressione di una miscela di gas è eguale alla somma delle pressioni che
=
A
IGURA 8.6 egge di Amagat della somma ~i volumi per una miscela due gas perfetti.
Pm = ~>(Tm,Vm)
(8.6)
i=l
vm =Lv;(rm,Pm) ~
R, 8.314.424kJ/( Rm =-=--=0 kg·K )
.=1GURA 8.5 Legge di Dalton della somma Jelle pressioni per una miscela li due gas perfetti.
r·r- T
k
legge di Da/ton: legge di Amagat:
La costante del gas della miscela è:
{~}
Comportamen to
delle miscele di ga~: gas perfetti e gas rt!;.11i
k
= 19.6 kg/kmol
Mm
265 fah'\il:l!
ognuno dei gas costituenti avrebbe se da solo fosse nelle stesse condizioni di temperatura e di volume della miscela (Figura 8.5).
La legge di Amagat della somma dei volumi afferma che il volume di una miscela di gas è uguale alla somma dei volumi che ognuno dei gas
costituenti occuperebbe da solo nelle stesse condizioni di pressione e temperatura della miscela (Figura 8.6). Le leggi di Dal ton e di Amagat valgono in maniera esatta per le miscele di gas perfetti, ma solo approssimativamente per miscele di gas reali a
<
i=l
(8.7)
,
In queste relazioni p, è detta pressione component e e V, volume componente (Figura 8.7). Si noti che V, è il volume che !'i-esimo gas componente occuperebbe se esistesse da solo alla temperatura Tm e alla pressione Pm e non il volume reale occupato dal gas componente. Infatti, in un recipiente che contiene una miscela di gas, poiché ogni componente riempie l'intero volume, il volume effettivamente riempito dal singolo gas componente è l'intero volume del recipiente. Inoltre vengono definiti i rapporti P/Pm e ~/Vm detti rapporto in pressione e rapporto in volume del componente i-esimo della miscela.
1 Miscele di gas perfetti Per i gas perfetti p, e V sono legati a y, dalla relazione dei gas perfetti 1 applicata a tutti i componenti della miscela di gas:
p,(Tm.Vm) -_ N;RuTm/Vm - N, ---y. Pm NmRuTm/Vm Nm ' V;(Tm,pJ N,RuTm!Pm N, Vm NmRuTm/ Pm Nm = Y; Si ottiene, quindi, che il valore del rapporto in pressione e del rapporto in volume dell'i-esimo componente coincidono con la frazione molare:
. (8.8) ~.
;:;et jj";'. J .••~J
Si noti che l'Equazione 8.8 è valida per miscele di gas perfetti dal momento che essa è stata ricavata nell'ipotesi di comportamento ideale per la miscela di gas nel suo complesso e per ogni gas componente. La grandezza y.p è definita come pressione parziale (coincidente con la pressione compo~ente per i gas perfetti). Si noti che per una miscela di gas perfetti, la frazione molare, il rapporto in pressione e il rapporto in volume di un
componente assumono gli stessi valori. La composizione di una miscela di gas perfetti (come quella dei gas di
scarico in uscita da una camera di combustione) viene determinata di frequente con l'Equazione 8.8 ricorrendo a una analisi volumetrica: un cam-
FIGURA 8.7
Volume componente: volume che il gas componente occuperebbe da solo nelle condizioni di pressione e temperatura della miscela (per i gas perfetti esso è uguale al volume parziale yy).
266 CAPITOLO 8 Le miscele di gas
pione del gas da esaminare, di volume, pressione e temperatura noti, viene fatto passare in un recipiente contenente un reagente che assorbe uno solo dei gas della miscela; quindi, si misura il volume del gas rimanente alla pressione e alla temperatura originarie; dal rapporto di riduzione di volume rispetto al volume originario si ottiene la frazione molare di quel particolare gas.
· 2 Miscele di gas reali La legge di Dalton della somma delle pressioni e quella di Amagat della somma dei volumi può essere utilizzata anche per i gas reali e, spesso, anche con una buona precisione, ma in questo caso le pressioni componenti o i volumi componenti dovrebbero essere valutati con le relazioni che tengono conto della differenza di comportamento di ciascuno dei gas reali rispetto al gas perfetto. Per fare ciò si possono utilizzare relazioni di stato più precise (van der Waals, Beattie-Bridgeman, Benedict-Webb-Rubin ecc.) della semplice equazione di stato per i gas perfetti, oppure usare il fattore di compressibilità (Figura 8.8)
Il fattore di compressibilità della miscela z., può essere espresso attraverso i fattori di compressibilità dei singoli gas componenti applicando l'Equazione 8.9 nelle equazioni che esprimono la legge di Dalton e di Amagat e successivamente semplificando. Si ottiene, infatti, la relazione:
z,
Si noti che il fattore di compressibilità della miscela Z., può essere facilmente determinato utilizzando queste proprietà pseudocritiche. Adottando la regola di Kay si Ottengono risultati affetti d~ ei;ori contenuti nel 1O p~r cento in un largo campo di temperature e press1om, cosa peraltro accettabile per la maggior parte delle applicazioni ingegneristiche. Le miscele di gas possono essere trattate come una sostanza pseudopura utilizzando equazioni di stato come quelle di van der Waals, BeattieBridgeman o Benedict-Webb-Rubin e determinando i coefficienti costanti in funzione dei coefficienti dei gas componenti. Nell'equazione di van der Waals, per esempio, le due costanti 'per la miscela si determinano con le relazioni:
b.,= 2,y,b,
(8.12a, b)
i=I
dove a, e b, sono i coefficienti dell'i-esimo gas componente. dove, per ogni singolo componente, Z. si determina alla temperatura T e al volume v.. per la legge di Dalton e ~Ila temperatura T., e alla pressio"'ne p., per la legge di Amagat. Occorre fare attenzione al fatto che il risultato che si ottiene dalle due relazioni non è lo stesso. Infatti, utilizzando il fattore di compressibilità, in generale, si ottengono risultati più precisi se i valori di nella Equazione 8. IO vengono valutati utilizzando la legge di Amagat in luogo di quella di Dalton. Ciò avviene perché la legge di Amagat, e non quella di Dalton, utilizzando la pressione della miscela P.,• tiene in considerazione anche le forze intermolecolari che si sviluppano all'interno della miscela tra molecole di gas diversi. Tuttavia, poiché la legge di Dalton tende a sottostimare la pressione di una miscela di gas, noti che siano V., e T.,, è conveniente utilizzarla per miscele a bassa pressione. Per miscele ad alta pressione continuerà ad essere conveniente utilizzare la legge di Amagat. Si noti che c'è una differenza significativa nell'utilizzazione del fattore di compressibilità per un gas singolo o per una miscela di gas. Esso non descrive con la stessa precisione il comportamento p-v-T dei singoli gas e delle miscele di gas. Quando si utilizza il fattore di compressibilità per i componenti di una miscela di gas si tiene conto soltanto delle influenze dell'interazione tra molecole simili e molto poco di quelle tra molecole
z,
~;.;'"'7;:ef~
Comportamento p·i·· T delle miscele di gas: gas perfetti e gas reali
Sostmza pseudopura
\-
,·'
k
e FIGURA 8.8 Descrizione del comportamento p-v-T di una miscela di gas reali usando i fattori di compressibilità.
267
diverse tra loro, con la conseguenza che i risultati possono essere significativamente diversi da quelli sperimentali. Per valutarne il comportamento p-v-T, le miscele di gas possono essere considerate come una sostanza pseudopura (Figura 8.9), applicando il metodo, proposto da W.B. Kay nel 1936 e detto regola di Kay, che utilizza la pressione pseudocritica P'cr.m e la temperatura pseudocritica T'.cr_.m defi~ nite per la miscela in funzione delle pressioni e temperature cotiche dei gas componenti con le relazioni:
FIGURA 8.9 Descrizione del comportamento p-r-T di una miscela di gas reali considerata come una sostanza pseudopura con proprietà pseudocritiche p'" e T'.-.
ESEMPIO 8.2 Un serbatoio rigido contiene 2 kmol di N e 6 ,kmol ~i C02 .a 300 K ~ 15 MPa. ~i stimi il volume del serbatoio sulla base a) dell equazione d1 stato dei gas perfetti, b) della regola di Kay, e) del metodo dei fattori di compressibilità prima utilizzando la legge di Amagat e poi cfJ la legge di Dalton. Soluzione Uno schema del serbatoio che contiene la miscela di gas è riportato in Figura 8.1 Si noti che il serbatoio contiene una miscela di due gas di massa nota a temperatura e pressione note.
o.
a) Quando si fa l'ipotesi che la miscela s! comporti come un g~s pe~etto, il vo!ume occupato dalla miscela si determina facilmente con la equazione d1 stato dei gas perfetti applicata alla miscela: :."' .. 2 lanol N2
V = NmRuTm _ 8x8.314x300 = 1.SSOm' m Pm 15000 dato che Nm
=N.,. +Neo,.= 2+6 = Skmol.
b) Per utilizzare la regola di Kay è nece~_sario determina~e !a t~~peratur~ e I~ pressione pseudocritiche della miscela utilizzando le propneta critiche dei singoli
"'' / '6 iauOi. Co, • ,·300K
·'"~-~· FIGURA 8.10 Schema per l'Esempio 8.2.
T 268
gas riportate nella Tabella A.1 e ancora prima la frazione molare di ciascun componente.
CAPITOLO 8 Le miscele di gas
N"
2
Nm
8
Y. = - ' =-=0.25 '
e
y
co,
N00 6 = - - ' =-=0.75
Nm
8
T'.,,m = I.y,T,,,, = Y., T.,,., + Yco, T.,,co, = 0.25x126.2+0.75x304.2 = 259.7K P",,m= LY,P.,,, = Y.,P"·"' + Yco,P.,,co, =0.25x3.39+0.75x7.39 = 6.39MPa Si ottiene allora:
T, = l = T',,,m
zm = 0.49
(Figura A.23) V CO, -
'·
vco,
---=,---R• . Ta, CO,/P.,, CO,
u
m _zmv_ =0.49x1.330=0.652m 3
Pm e) Se si sc"'.glie di usar~ la legge di Amagat insieme ai fattori di compressibilità, il fattore Zm viene determinato con l'Equazione 8.1 O risalendo ai valori dei fattori di compressibilità Z, di ogni gas componente per mezzo della legge di Amagat.
T,,.,
Tm 300 ) =--=--=2.38 T'.,,"' 126.2
p
=___&_=~=4.42
N,:
'·"'
CO,:
p',,,"'
.
z., =1.02
(Figura A.23)
t,CO,
=_&_=~=2.03 p',,, co,
Zco, =0.30
Vm = ZmNmRuTm _zmv....,. =0.48x1.330=0.638m' Pm Questo valore è più basso del 33 per cento rispetto a quello assunto per ipotesi. Perciò, è necessario ripetere i calcoli utilizzando il nuovo valore di Vm. Procedendo in questa maniera si ottengono rispettivamente per la seconda, per la terza e per la quarta iterazione i valori di V., pari a O. 738 , 0.678 e 0.648. Questi valori non variano più iterando ancora. Il volume della miscela è perciò:
(Figura A.23)
7.39
Zm = 'Ly,Z, = y.,z., + Yco,Zco, = 0.25x1.02+0.75x0.30 =0.48 E quindi: m=
r.,.z;., + Yco,Zco, =0.25x0.99+0.75x0.56 =0.67
Si noti che i risultati dei punti b), c) e d), pur essendo tra loro molto vicini, sono molto distanti dai valori ottenuti con l'equazione dei gas perfetti applicata alla miscela di gas. Quindi, trattare una miscela di gas come fosse un gas perfetto può portare a considerevoli errori di valutazione specialmente alle alte pressioni.
Per la miscela si ottiene:
V
=0.99 e che Zco, = 0.56 . Quindi:
Vm=0.648 m3
3.39
T,co, =_!m_= 300 =0.99) . T'.,, CO, 304.2
p
Zm = 'Ly,Z, =
I 1.33/6 = = 0.648 co,/ co, 8.314x304.2/7390
vm Neo, R, · T.,, P,,,
---'"'---"=--
Dalla Figura A.23, si legge che z.,
Z N RT m m
delle miscele di gas: gas perfetti e gas n·ali
v., Vm/N., 1.33/2 v,_.,-R T / = =2.15 ,· "·"' P.,.., R,·T.,,.,/P.,,., 8.314x126.2/3390
Dal valore del fattore di compressibilità della miscela Zm si ottiene infine:
vm -
269
--~ Le proprietà
In maniera analoga:
300 =1.16) 259.7
Pm 15 P, =--=--=2.35 P'.,,m 6.39
d) Se si utilizza la legge di Dalton con i fattori di compressibilità, Zni viene determinato nuovamente ricorrendo all'Equazione 8.1 O. Questa volta, però, ra Zper ognuno dei gas componenti deve essere determinata con riferimento al volume e alla temperatura della miscela, il primo dei quali non è noto. E necessario, quindi, un calcolo iterativo, .che inizia dal calcolo facendo l'ipotesi che il volume della miscela di gas sia di 1.330 m3, valore determinato come se la miscela fosse un gas perfetto. I valori di T in questo caso sono identici a quelli ottenuti al punto c) e rimangono costanti. Il volume pseudoridotto è determinato dalla sua relazione di definizione, Equazione 2.16:
ZmNmRuTm z 3 - mV..,.,.=0.48x1.330=0.638m Pm
In questo caso, il fattore di compressibilità sembra essere molto vicino a quello calcolato con la regola di Kay, ma In generale non è cosl.
8.3111 LE PROPRIETÀ DELLE MISCELE DI GAS: GAS PERFETTI E GAS REALI Si consideri una miscela di gas di 2 kg di N2 e di 3 kg di C02• Ovviamente, la massa (proprietà estensiva) di questa miscela è di 5 kg, pari alla somma della massa di ogni componente. Questo esempio suggerisce una maniera semplice per valutare le proprietà estensive delle miscele dei gas perfetti che non reagiscono tra di loro e dei gas reali: si effettua la somma dei contributi dei singoli componenti della miscela (Figura 8.11). Applicando questo criterio al calcolo dell'energia interna, dell'entalpia e dell'entropia di una miscela di gas si ottiene:
2kmol A 6kmol B
uA=toookJ ';;,UàidtSOOkJ
;· *
~· ''U.;= 2800 kJ
FIGURA 8.11
Determinazione delle proprietà estensive di una miscela attraverso la somma delle proprietà dei singoli componenti.
-270
.
k
•
k
' k
Um= 2:,U1 = L,m;U; =' Lin;U;'
CAPITOL08
Le miscele di gas
i=l 'k
.
i=l
"
ii' ." ..
.
i=l 'k .
H,,;= 2:,H1 = L,m;h1 =2:,m;ii; .
i=l k .
i=l k.
(8.14)
k
i=l
(J/K)
i=l
Seguendo una logica simile, le variazioni di energia interna, di entalpia e di entropia di una miscela di gas conseguenti ad una trasformazione possono essere calcolate rispettivamente con le seguenti espressioni: k
. .k
k
AUm=2:,AU1 =L~;ÀU; ::;:2:,m;A~' i=I 1=1 i:·'. >: i=~ ·k · ···>i;-'f.--·i :
·.-.:;·c.:••, ••
k ·: •
·ÀHm= 2:,MI;= L,m;Aii';='L,m1Aii;· A:=i_,~::~- i~::1 1~/,~:3_;~. :: :e:: :i '~\ ·._ ASm =2:,6.s'; =L,m;ÀS; =L,m;6S; •
< -::
~ -"-~-- <,c,.,...,_;J=!~w-,/,.;;,,..-"-.-.,.J::_::J
knÌ.ol A
uA ii8
kmol B
S00k1/kmol 600 kJ/kmol •
*:
il.,= 560 kJ~ol
271 Le proprietà delle miscele di gas: gas perfetti e gac; reali
Le relazioni riportate sono vahde m generale e sono apphcab1h sia alle miscele di gas perfetti sia a quelle di gas reali (sono anche applicabili alle soluzioni di liquidi e di solidi che non reagiscono tra di loro).
l:::::J
,,'.
Sm = 2:,S; =L,m;S; = L,m;S; i=!_
Si noti che le proprietà riferite all'unità di massa coinvolgono le/razioni ponderali (mf) e le proprietà espresse r:iferjte alla mole, lefrazion! mo!~ri_(y).
•
-~
-~ i~l,, _
Si consideri nuovamente la miscela di gas e si assuma che sia l'N 2 sia il col siano alla temperatura di 25°C: la temperatura (proprietà intensiva) della miscela continua ad essere di 25°C. Si noti che non si procede alla somma delle temperature per individuare la temperatura della miscela, poiché per determinare una proprietà intensiva della miscela si effettua una sorta di media (Figura 8.12). L'energia interna, l'entalpia e l'entropia di una miscela di gas riferite all'unità di massa o per mole della miscela possono essere determinate dividendo i membri delle relazioni appena riportate per la massa o per il numero di moli della miscela (mm o N,):
1 Miscele di gas perfetti Se i gas che compongono una miscela sono ad alta temperatura e a bassa pressione rispetto alla temperatura e alla pressione critica .di ogni singolo gas, la miscela ed i suoi componenti possono essere trattati come gas perfetti con errore trascurabile. Nell'ipotesi di comportamento da gas perfetto, le proprietà di un gas non sono influenzate dalla presenza di un altro gas: oonuno dei componenti della miscela si comporta cioè come se fosse da sol~ alla temperatura T e al volume V della miscela. Questo principio è noto come il principiomdi Gibbs-DaltOn e rappresenta un'estensione della legge di Dalton della somma delle pressioni. Inoltre h, u, e~ e e, di un gas perfetto dipendono solo dalla temperatura e sono indipendenti dalla pressione e dal volume della miscela. Infine la pression~ parziale di un componente di una miscela di gas perfetti si calcola semplicemente con la relazione P; = Y;Pm dove Pm è la pressione della miscela. Anche la valutazione di Au e di Ah dei componenti di una miscela di gas perfetti durante una trasformazione è relativamente facile, ?~l ~omen~ to che essa richiede soltanto la conoscenza della temperatura mlZlale e d1 quella finale. Invece si dovrebbe porre particolare attenzione alla valutazione della variazione As dei componenti di una miscela poiché lentropia di un gas perfetto dipende dalla pressione o dal volume del componente stesso oltre che dalla sua temperatura. La variazione di entropia di un singolo gas in una miscela di gas ideali durante una trasformazione può essere determinata con la relazione:
o
'
FIGURA 8.12 Determinazione delle proprietà intensive di una miscela attraverso la media pesata delle quantità dei componenti.
- -O -s. -O -R ln--=Cp;ln-Pi.2 - i:.2 R In-Pi.2 /!lS.=s 11 2 1
oppure
,
;,
'·
"
P;,1
.
7;,1
Pt.1
. ' .. ·•·
o '
R · P;,2 ; 1n - P;,1
(8.25)
dove p. 2 = y. 2 p 2 e p. 1 = y. iPm 1 • Si noti che è la pressione parziale p. di ogni ~omp~ne;te ad e~~ere ~·tiliz~ata per la valutazione della variazion~ di entropia, non la pressione pm della miscela (Figura 8.13). 1
In maniera analoga, i calori specifici di una miscela possono essere espressi dalle relazioni:
,ò
l!.s. =s,z.-S;1 -
ESEMPIO 8.3 Un serbatoio rigido isolato è diviso in due compartimenti da un setto. Un compartimento contiene 7 kg di ossigeno a 40°C e 100 kPa, l'altro contiene 4 kg di azoto a 20°c e 150 kPa. Alla rimozione del setto di separazione si determinino a) la temperatura e b) la pressione della miscela una volta raggiunto l'equilibrio.
FIGURA 8.13 Valutazione delle variazioni di entropia delle miscele di gas perfetti utilizzando le pressioni parziali (e non la pressione della miscela).
----···-------
272
Soluzione Il sistema è rappresentato in Figura 8.14; si tratta di un sistema chiuso dato che nessun flusso di massa attraversa i suoi confini. Si noti che il volume del serbatoio non varia essendo le sue pareti rigide e cioè V = V,; non v'è, 2 perciò, lavoro di variazione di volume. Si supponga che: 1) entrambi i gas sono perfetti così come fa miscela che essi formano (l'ipotesi è ragionevole dato che le condizioni di temperatura e di pressione dei due gas componenti sono sufficientemen te lontane dai rispettivi valori critici); 2) il serbatoio è isolato e, perciò, non c'è scambio termico con l'esterno; 3) non si scambia alcun'altra forma di lavoro.
CAPITOLO 8 Le miscele di gas
o, 7 kg 40"C IOOkPa
N, 4kg
2o·c
a) In assenza di una qualsiasi forma di scambio energetico attraverso le pareti del serbatoio, l'equazione di conservazione dell'energia si esprime con la relazione:
150kPa
-setto
E, -E. =t.E., FIGURA 8.14 Schema per l'Esempio 8.3.
O= t.U = t.U,., + 1!.U°'
[mc. (rm - T, ),., ]+[mc. (Tm - T, )o,]= O Utilizzando i valori di finale della miscela è:
c. a
temperatura ambiente (Tabella A.2a), la temperatura
4x0.743x(Tm -20)+ 7x0.658x(rm -40)= O Tm
=32.2°C
b) La pressione finale della miscela si determina con la relazione di stato dei gas perfetti:
Si potrebbe determinare anche la pressione della miscela utilizzando la relazione = mmRmT,,. dove Rm è la costante dei gas apparente della miscela. Ciò non sarebbe tuttavia facile dal momento che il calcolo di quest'ultima costante implicherebbe il calcolo delle frazioni molari dei componenti.
M02
N
"'
=
Soluzione li sistema nel suo complesso è rappresentato in Figura 8.15. Esso rappresenta un sistema chiuso, dato che nessun flusso di massa attraversa i suoi confini. Non intervengono né scambi di lavoro, né di calore tra il sistema e l'ambiente, dato che il serbatoio è rigido e isolato. Inoltre, i due gas inizialmente sono alla stessa temperatura e pressione. Si supponga che entrambi i gas siano perfetti. Quando i due gas nelle stesse condizioni di temperatura e pressione si miscelano la miscela risultante conserverà la stessa temperatura e la stessa pressione. (Si potrebbe dimostrare?' Ciò sarebbe egualmente valido per due gas reali?) Perciò. la temperatura e la pressione nel serbatoio saranno ancora rispettivamente di 25°C e di 100 kPa. La variazione di entropia di ognuno dei gas componenti può essere determinata con le Equazioni 8.18 e 8.26:
=2_=0.219km ol 32
m"2 =~=0.143kmof
M.2
28
Nm =No, +N,.,
e V. =(NR.T,
°'
P,
V. =(NR.T, "'
p,
l l
=0.219+0.143 =0.362kmol
= 0.219x8.314x 313 _ _ om' 57 100 = 0.143x8.314x 293 _ _ m' 2 32 150
Vm =V,,,+ V°'= 5.70+2.32 =8.02m 3
Quindi si ottiene:
™ Le proprietà delle miscele di gas: gas perfetti e gas reali
ESEMPIO 8.4 Un serbatoio rigido e isolato è diviso in due compartimenti da un setto di separazione come in Figura 8.15. Un compartimento contiene 3 kmol di ossigeno e l'altro 5 kmol di anidride carbonica. Entrambi i gas sono inizialmente a 25°C e 200 kPa. L'ambiente circostante si trova a 25°C. Quando si rimuove il setto di separazione, i gas (considerati perfetti) si miscelano. Si calcolino la variazione di entropia e la distruzione di exergia associate a questa trasformazione .
dove:
N02 =mo,
273
PmV
dal momento che Pm,, = P,,, = 200 kPa. Ovviamente in questo caso la variazione di entropia è indipendente dalla composizione della miscela e dipende solo dalla frazione molare dei gas nella miscela. Quello che non è owio, invece, è che se lo stesso gas in due camere separate viene miscelato a pressione e temperatura costanti, la variazione di entropia è pari a zero. Sostituendo i valori noti; si vede che la variazione di entropia è pari a:
Nm =No, +Neo,
=3+5=8kmo l
N 3 Yo, =-2L=-=0.3 75 Nm 8 Yco,
N
7
=_s=-=0.6 25
Nm
8
l!.Sm = -R. (No,lnyo, + Nco,lnyco,) = -8.314x(3xln0 .375 +5xln0.625 )= 44.0 kJ/K
o, 25"C 200kPa
FIGURA 8.15 Schema per l'Esempio 8.4.
La distruzione di exergia associata con questo processo di miscelazione si determina dalla relazione:
274 CAPITOLO 8 Le miscele di gus
x.... =
r,s,. r{ti.s•• +~o)= r;,ti.s,,, =
= 298x 44.0=13.112 kJ Questo risultato mostra che i processi di miscelazione sono altamente irreversibili.
2 Miscele di gas reali Gas reale A 25'C
0.4m' !OOkPa
FIGURA 8.16 È difficile descrivere il comportamento di
una miscela di gas non perfetti data l'influenza reciproca delle molecole di gas differenti le une dalle altre.
Quando i componenti di una miscela di gas non si comportano come gas perfetti lo studio della miscela diventa più complesso poiché le proprietà di un gas reale (non perfetto) come u, h e i calori specifici dipendono dalla pressione (e dal volume specifico) oltre che dalla temperatura. In questi casi si dovrebbe tenere in considerazione lo scostamento delle proprietà della miscela dal comportamento ideale. Si considerino due gas reali contenuti in due compartimenti separati di un serbatoio rigido e adiabatico a 100 kPa e 25°C. Il setto di separazione tra i due compartimenti venga rimosso in maniera da pennettere la fonnazione della miscela. Quale sarà la pressione finale? Si è certamente tentati di rispondere 100 kPa, cosa vera considerando due gas ideali. Questo non è altrettanto vero per i gas reali poiché vi è leffetto di interazione delle molecole di uno dei due gas con quelle dell'altro (scostamento dalla legge di Dalton, Figura 8.16). Quando si parla di miscele di gas reali può essere necessario considerare leffetto del comportamento non ideale sulle proprietà della miscela come l'entalpiae l'entropia. Un modo per farlo è quello di usare i fattori di compressibilità insieme con le equazioni generalizzate e le tabelle dei· gas reali. Si consideri la seguente relazione Tds per una miscela di gas:
dhm =Tmdsm +vmdPm che può essere espressa anche con le relazioni:
d(J:,mf;h; )= Tmd(I,mf;s; )+ (I,mf;v; )dpm oppure
I,mf;(dh;-Tmds1 -v;dpm)=O
che porta a
Si è ottenuto un risultato importante, perché l'Equazione 8.26 rappresenta lequazione iniziale per lo sviluppo delle relazioni generalizzate e per trovare i valori tabellati dell'entalpia e dell'entropia. Infatti essa affenna che le relazioni generali ottenute per le proprietà dei gas reali possono essere applicate anche ai singoli componenti delle miscele di gas reali. La temperatura ridotta T, e la pressione ridotta p, per il singolo componente dev?no, però, essere valutate con riferimento alla temperatura Tm e alla pressione
pm della miscela. Infatti l'Equazione 8.26 reca il tennine p e non p., pres-
275
sione parziale del gas componente. "' ' L'approccio appena descritto ricorda in un certo senso la legge di Amagat della somma dei volumi (valutazione delle proprietà della miscela dei gas alla temperatura e alla pressione della miscela), che vale in maniera esatta per miscele di gas ideali e in maniera approssimata per miscele di gas reali. Per questo motivo, questo approccio non sarà esatto ma sufficientemente approssimato se applicato ai gas reali per la maggior parte degli scopi pratici. Se sono noti il volume della miscela e la sua temperatura, invece della temperatura e della pressione, si adotta la legge di Dalton della somma delle pressioni e si usa il valore trovato (solo approssimato) come pressione della miscela di gas. Un altro modo di valutare le proprietà delle miscele di gas reali è quello di trattare la miscela come una sostanza pseudopura che presenta proprietà pseudocritiche determinabili con riferimento alle proprietà critiche dei gas componenti con la regola di Kay. L'approccio è abbastanza semplice e la precisione in generale accettabile.
~~z:r-~,
Le proprietù delle miscele di e:h: gas pl·rf'ctti e gas l:l·ali
ESEMPIO 8.5 L'aria è una miscela di N2 e di O~ e di piccoli quantitativi di altri gas; essa può essere approssimata come una miscela composta dal 79 per cento di N2 e dal 21 per cento di 0 2 in termini di moli. Durante una trasformazione a flusso stazionario, l'aria viene raffreddata da 220 a 160 K alla pressione costante di 10 MPa (Figura 8.17). Si determini la quantità dì calore scambiata per kmol di aria durante questa trasformazione, usando a) l'approssimazione di gas perfetto, b) la regola di Kay e c) la legge di Amagat. Soluzione Si consideri la sezione di raffreddamento come il sistema (Figura 8.17), rappresentabile come un volume di controllo che una certa quantità di massa attraversa i suoi confini durante la trasformazione. Si noti che una quantità di calore lascia il sistema. Si supponga che 1) questo sia un processo stazionario poiché in ogni punto del sistema che sia dipendente dal tempo non v'è variazione di alcuna grandezza e, cioè, Dm,,0 =O e DEvc =O e che 2) le variazioni di energia potenziale e cinetica siano trascurabili. Le proprietà critiche sono T" = 126.2 K e p" = 3.39 MPa per N2 e T = 154.8 K e P., = 5.08 MPa per 1'02 • Entrambi i gas rimangono ben al di sopra delia loro temperatura critica, ma anche al di sopra della loro pressione critica. Allora, l'aria devierà dal comportamento ideale e, quindi, sarà necessario trattarla come un gas reale. Il bilancio energetico per questo sistema a flusso stazionario può essere riferito all'unità di mole con le relazioni:
'ii.= 'ii, -li,= Y.,. (ii, -ii,).,+ Yo, (ii, -ii2 )0, dove la variazione di entalpia per il singolo componente può essere determinata dalla tabella generalizzata dello scostamento entalpico (Figura A.24) e con l'equazione:
Calore
~I T =220K: . ARIA I
....
p1 =IO Mpa:
79%N, 21 % O,
T = !60K : ' • I p2 =IO Mpa
----------1
FIGURA 8.17 Schema per l'Esempio 8.5.
276 CAPITOLO 8 Le miscele di gas
h, -"fi. =(h, -"fi.l-• -RJ"(Z., -Z,,)
(8.27)
La quantità di calore scambiata riferita alla kmole è:
si ha che
'fiu
"fi.-h2 = "fi. ..,.•• -ti,_,...,. -R T.,(Z,, -Z.,) 0
I primi due termini alla destra del segno di eguaglianza rappresenlano la variazione entalpica per il gas componente considerato perfetto, mentre i termini in pa· rentesi rappresentano la deviazione dal comportamento del gas perfetto. Per valutare questi ultimi è necessario conoscere la pressione ridotta P, e la temperatura T, che vengono calcolate alla temperatura Tm e alla pressione Pm della miscela.
T
= Tm.1 = 220 = 1.74 126.2
''·"' r......
ti, ......,..., = 6391 kJ/kmol h...,.... o, = 6404 kJ/kmol
Pm 10 z,, ..., = 0.9 P"··<~ =P~~--=--=2.95 ....., P'....., 3.39 z., .. ., = 2.4 T
= Tm.2 = 160 =1.27 126.2
,,_..., r ... ..,
= 4648 kJ/kmol
ti,,....,•. o, = 4567 kJ/kmol
T 'l·"2
Ci =Y., (h, -ti,)...,+ Yo, (h, -ti.)°'
T,., 220 =-·-=--=1.42 T'0 .o, 154.8
0
= 0.79x (6391-4648 )+0.21x(3404 -4657)=1744 kJ/kmol b) La regola di Kay è basata sull'ipotesi che la miscela di gas possa essere tratta· ta come una sostanza pseudopura le cui proprietà critiche, temperatura e pressione, sono:
r., = :Er,T,,,, = r...,T.,_..., + y°'T"·"' =
Tm.1 T'",m
T "'
=
Tm.2 T'.,,m
10
T
2
2
= T.,., = 160 =1.03
T'"·"' Dall'Equazione 8.27 si ottiene: ' ·"'
z.,.o, = 1.3 z.,.o, =4.0
154.8
("fi.-ti,)°' =(ti,_..,..-ti,...... )°' -R T.,(z,,-z.,)°' 0
= (6404 -4657)-8.314x154.8 x (1.3 - 4.0) = 5222 kJ/kmol La quantità di calore scambiata riferita alla kmole è:
= 220 =1.66 132.2
p =_..&._=~ =2.67 ' p'".m 3.74
P,.
''·°' =P' ·°' --=-=1.97 p'.,,o, 5.08
= (6391-4648)-8.314x126.2x (o.9-2.4)= 3317 kJ/kmol
= 0.79x3.39+0.21x5.08 = 3.74MPa Si ottiene, quindi: =
P
0
p'., = LY,P.,,, = Y...,P,,,..., + Yo,P".o' =
"'
o,:
(ti, - ti,).., = (ti, __ - "fi,.-)..., - R T., (z,, - z., )..,
= 0.79x126.2+0.21x154.8=132.2 K
T
Sommario
e) La pressione e la temperatura ridotte per l'azoto e l'ossigeno allo stato iniziale e finale e i corrispondenti valori di scostamento entalpico sono (Figura A.24):
N,:
T, = 160 K ~ h,....... ...,
= hm,,kloale -~ 2 .ldeale -Rurer(zh1 -zh2t = (6394-4650 )-8.314x132.2x(1.0-2.6 )= 3503 kJ/kmol
a) Se la miscela di azoto e di ossigeno viene considerata una miscela di gas perfetti, l'entalpia della miscela dipende solo dalla temperatura e i valori di entalpia all'inizio e alla fine della trasformazione possono essere determinati dalle tabelle dei gas perfetti per l'azoto e per l'ossigeno (Tabelle A.25 e A.26):
T, = 220 K ~
277
z,,,m =1.0 z.,,m =2.6
= 160 =1.21 132.2
Ci"= YN, ("fi.-ti,)..., + Yo, ("fi. -"fi,)o, = 0.79x3317 +0.21x5222 = 3717kJ/kmol Quest'ultimo risultato è maggiore di circa il 6 per cento rispetto a quello ottenuto nella parte (b) utilizzando la regola di Kay, ma è più del doppio del valore ottenuto facendo l'ipotesi di una miscela di gas perfetti.
e anche:
hm, .....,. =r...,h,,..,..,..., + Yo,h. ........ o, = 0.79x6391+0.21x6404=6394 kJ/kmol
tim,,ldeale = r...,"fi............ + yO,ti•.-.o, = 0.79 x 4648 + 0.21x4657 = 4650 kJ/kmol
8.4 !Il SOMMARIO La composizione di una miscela di gas è individuata se si indicano la/ra-
zione ponderale o la frazione molare di ogni componente. Queste due grandezze sono definite dalle relazioni: .
dove Z1 si determina a Tm e Vm per la legge di Dalton e a Tm e Pm per la legge di Amagat per ogni singolo gas componente. Il comportamento p-v-T della miscela di gas può essere descritto con buona approssimazione anche con la regola di Kay, che tratta la miscela di gas come una sostanza pura con proprietà pseudocritiche che si determinano con le relazioni:
278 e CAPITOLO 8 Le miscele di gas
e
dove
La massa molare apparente (o media) e la costante del gas per una miscela sono espresse dalle relazioni:
m k M.. = Nm =LY1M1 m
(kglkmol)
i=l
Le proprietà estensive di una miscela di gas, in generale, possono essere determinate sommando i contributi di ogni componente della miscela. La valutazione delle proprietà intensive di una miscela di gas, comunque, implica che si effettui una media pesata sulle masse o sulle moli: k
[J/(kg · K)] La legge di Da/ton della somma delle pressioni afferma che la pressione di una miscela di gas è uguale alla somma delle pressioni che ognuno dei gas eserciterebbe nelle stesse condizioni di volume e temperatura della miscela. La legge di Amagat della somma dei volumi afferma che il volume di una miscela di gas è pari alla somma dei volumi che ogni singolo componente occuperebbe da solo nelle stesse condizioni di pressione e temperatura della miscela. Le leggi di Amagat e di Dalton valgono in maniera esatta per i gas perfetti, ma soltanto in maniera approssimata per le miscele di gas reali. Esse possono essere espresse dalle seguenti relazioni:
k
i=l k
i=l k
k
Sm
=Lm1ii;
i=l
i=l
(J)
i=l
k
k
=LS1 =Lm1s1 =Lmis1 i=l
(J)
J::;l k
Hm= LH; =Lm1hi
i=l
(J/K)
i=l
e k
k
um= :Limr1u1
e
iim = LY;fi;
i=l k
legge di Da/ton:
k
u .. =:Liu1 =:Limiu1 =:Limiui
k
Pm = LP;(Tm.Vm)
k
h.. =:Limf1h1
i=l
(J/kg o J/kmol)
i=l
e
h.. = LYihi
1~1
(J/kg o J/kmol)
i=l
k
legge di Amagat:
vm =
LV;(Tm•Pm) i=l
dove p1è detta pressione componente e Vi volume componente. Ai rapporti pif Pm e V;/Vm ci si riferisce rispettivamente con i nomi di rapporto in pressione e di rapporto in volume del componente i. Per i gas perfetti pi e Vi sono legati a yi dalle:
k
s.. =:Limf1s1
k
e
sm = LY;S;
i=t k
cv,m
= L,mficv,i
k
e
cv,m
i:::l
=L,mficp,I i=l
Le quantità yipm e y1Vm vengono definite rispettivamente come pressione parziale e volume parziale. Il comportamento p-v-T delle miscele di gas reali può essere descritto utilizzando i diagrammi generalizzati di compressibilità. Il fattore di compressibilità della miscela può essere espresso in funzione dei corrispondenti fattori di compressibilità dei singoli gas componenti con la relazione: k
z.. =LY;Zi i=t
= LY1Cv,i
[J/(kg · 0 C) O J/(kmol · 0 C)]
i=l
k
cp,m
[J/(kg · K) o J/(kmol · K)]
i=l
k
e
cp,m
=LYlp,I
[J/(kg · 0 C) O J/(kmol · 0 C)]
i=l
Queste relazioni sono applicabili sia alle miscele di gas perfetti sia a quelle di gas reali. Le proprietà o le variazioni delle proprietà dei singoli componenti possono essere determinate dalle relazioni dei gas perfetti o dei gas reali sviluppate nei capitoli precedenti.
27'l S1unnrnri11
Miscele gas-vapore e condizionamento dell'aria A temperature inferiori alla temperatura critica, la fase gassosa di una sostanza viene definita molto spesso come vapore, Il termine vapore indica uno stato gassoso vicino alla regione di saturazione ed evidenzia la possibilità di una condensazione a seguito di una trasformazione. Nelle miscele gas-vapore la possibilità che quest'ultimo condensi rende la trattazione termodinamica molto complicata, per cui queste miscele vengono trattate con un metodo differente dalle miscele di gas. Delle diverse miscele gas-vapore che si incontrano nella pratica, quella di maggiore interesse è la miscela di aria e vapore d'acqua. In questo capitolo si tratterà anche .del condizionamento dell'aria che rappresenta l'applicazione primaria delle miscele gas-vapore.
282
9.1 f.'!! ARIA SE'::CA E ARIA ATMOSFERICA
CAPITOLO 9 i\lisct!'lc gas-vapore
L'aria è una miscela di azoto, ossigeno e di piccoli quantitativi di altri gas, mentre l'aria dell'atmosfera, l'aria atmosferica, contiene anche vapore d'acqua (o umidità). Nel caso in cui l'aria non contenga vapore essa viene definita aria secca. Risulta spesso conveniente trattare l'aria come una miscela di vapore d'acqua e di aria secca, dal momento che la composizione di quest'ultima rimane press.oché costante, mentre la quantità di vapore d'acqua contenuta cambia a seguito della condensazione e dell'evaporazione dell'acqua degli oceani, dei laghi, dei fiumi, delle piogge e addirittura della sudorazione del corpo umano. Sebbene la quantità di acqua contenuta nell'aria ambiente sia piccola, essa riveste importanza fondamentale per il benessere dell'uomo. Per questo motivo lo studio dell'aria atmosferica come miscela gas-vapore è alla base delle applicazioni di condizionamento dell'aria. La temperatura dell'aria nelle applicazioni di condizionamento dell'aria varia tra circa -10°C e circa 50°C. In questo campo di variazione laria secca può considerarsi come un gas ideale con calore specifico a pressione costante c = 1.005 kJ/(kg · K) commettendo un errore trascurabile (entro lo 0.2 ~r cento), come si può vedere dalla Figura 9.1. Se si prende 0°C come temperatura di riferimento, la variazione di entalpia del!' aria secca può determinarsi dalla relazione:
e condizionamento dcll'arh1
ARIA SECCA
e,. kJ/(kg · °C)
T, °C
-10
1.0038 1.0041 l.004S 1.0049 l.OOS4 l.OOS9 l.006S
o
10 20 30 40
so
FIGURA 9.1 Il calore specifico del!' aria può essere considerato costante e pari a 1.005 kJ/(kg · K) nel campo di variazione di temperatura compreso tra -10 e 50°C con un errore massimo dello 0.2 per cento.
e
t:i.ha =c/1T =1.005·6T
(kJ/kg)
FIGURA 9.2 A temperature al di sotto di 50°C, le linee a h costante coincidono con quelle a T costante nella regione del vapore surriscaldato.
=
=
=h,, (T)
(kJ/kg)
(9.lb)
Alla pressione parziale del vapore d'acqua ci si riferisce di solito come alla pressione del vapore; essa è uguale alla pressione che il vapore eserciterebbe se occupasse da solo lo stesso volume alla stessa temperatura della miscela. Dal momento che si considera il vapore d'acqua come un gas perfetto, la sua entalpia è solo funzione della temperatura, cioè è h = h(T). Infatti osservando il diagramma T-s dell'acqua riportato in Figura 9.2, le curve a entalpia costante coincidono con le curve a temperatura costante per temperature inferiori a 50°C, per cui l'entalpia del vapore d'acqua contenuto
nell'aria si può considerare uguale all'entalpia del vapore saturo alla stessa temperatura. Si può cioè scrivere:
28.~
(9.3)
l'midità a-.snlut: e umidit:ì rchith:
Poiché l'entalpia del vapore d'acqua a 0°C è di 250!,3 kJ/kg e il valore medio di e del vapore d'acqua nel campo di temperature compreso tra -1 O e 50°C è 1:s2 kJ/(kg · K), l'entalpia del vapore d'acqua nel campo di variazione appena indicato può essere determinata con un errore trascurabile con la relazione (Figura 9.3): h,,(T)=2501.3+l.82T
Tin °C
[kJ/kg · K]
VAPORE D'ACQUA
(9.4)
Differenza
9.2 ~UMIDITÀ ASSOLUTA E UMIDITÀ RELATIVA
T, °C
Tab.A.4
Eq. 9.4
-10
2482.9 2501.3 2519.8 2538.1 25S6.3 2574.1 2592.1
2483.1 2501.3 2519.5 2537.7 2555.9 2574.1 2592.3
o
La quantità di vapore d'acqua contenuta nell'aria può essere definita direttamente come la massa di vapore d'acqua presente nell'unità di massa di aria secca; viene detta umidità assoluta (o anche titolo dell'aria umida) e indicata con il simbolo x:
10 20
30 40
50
kJ/kg
--0.2
o.o
0.3 0.4 0.4 0.2 --0.2
·l
(9.5) L'umidità assoluta può esprimersi anche con la relazione:
(9.la)
(9.2)
so
'
hy (T, bassa p)
(9.6)
· h4 =cpT=l.005·T
dove Tè la temperatura in gradi centigradi (°C) e 6T la variazione di temperatura. Nelle trasformazioni proprie del condizionamento dell'aria si avrà a che fare con le variazioni di entalpia òh, ovviamente indipendenti dal riferimento scelto. Poiché anche il vapore d'acqua contenuto nell'aria può essere trattato come un gas perfetto con una perdita di precisione trascurabile inferiore allo 0.2 per cento, l'aria atmosferica può essere trattata come una miscela di gas perfetti la cui pressione è la somma delle pressioni parziali dell'aria secca pa e di quella del vapore p.:
T, °C
r
FIGURA 9.3 Nel campo di temperature compreso tra -IO e so•c, l'entalpia specifica del vapore d'acqua in condizioni di saturazione può essere calcolata con l'Equazione 9.4 con un errore trascurabile.
oppure con:
x= 0.622p. ... p-p. '·
(kgH,O /kgariasecca)
(9.7)
ARIA
2s•c, 100 kPa
dove p è la pressione totale. Si consideri I kg di aria secca che per definizione non contiene vapore d'acqua e ha titolo nullo. Si aggiunga ora del vapore d'acqua all'aria secca: l'umidità assoluta aumenterà con l'aggiunta di acqua. Quando l'aria non sarà più in grado di contenere altro vapore d'acqua si dirà che è satura. In queste condizioni qualunque ulteriore quantità di vapore d'acqua che si dovesse aggiungere all'aria condenserà. La quantità di vapore d'acqua contenuta nell'aria satura in ogni condizione di temperatura e pressione può essere determinata dalla Equazione 9. 7 sostituendo p. con p 0 , che rappresenta la pressione di saturazione dell'acqua a quella data temperatura (Figura 9.4). La quantità di vapore d'acqua contenuta nell'aria ha effetto sul benessere delle persone, ma il livello di benessere dipende principalmente dalla quantità di vapore che l'aria contiene (m) rapportato alla massima quantità che essa potrebbe contenere alla stessa temperatura (m). Il rapporto tra queste due grandezze prende il nome di umidità relativa U.R. (Figura 9.5): (9.8)
CP..,, H,O <> 2S"C"' 3.169 kPa) Pv = O - aria secca Pv < 3.169 kPa - aria insatura Pv=3.169kPa -aria satura
FIGURA 9.4 Per l'aria satura, la pressione del vapore è eguale alla pressione di saturazione dell'acqua.
284
dove si intende
CAPITOLO 9 Miscele gas-vapore e condizionamento dell'aria
(9.9)
Pv = Psai@T
dove
285 P, = U.R.· P,.1g 25•c = 0.75x3.169 = 2.38kPa
Combinando opportunamente le Equazioni 9.7 e 9.8, l'umidità relativa si può esprimere anche come:
Si ottiene, quindi:
La temperatura di rugiada
P. = 100 - 2.38 = 97.62 kPa b) Il titolo dell'aria umida si determina con l'Equazione 9.7:
FIGURA 9.5 L'umidità assoluta è la quantità di vapore d'acqua effettivamente presente in I kg di aria secca, mentre l'umidità relativa è il rapporto tra la quantità effettiva di vapore d'acqua contenuta nell'aria e il massimo quantitativo che l'aria può contenere a una data temperatura.
L'umidità relativa varia tra O (aria secca) e 1 (aria satura). Si noti che, poiché la quantità di vapore contenuta nell'aria varia con la temperatura, l'umidità relativa dell'aria varia anche se rimane costante il suo titolo (la sua umidità assoluta). Poiché l'aria atmosferica è una miscela di aria secca e di vapore d'acqua, la sua entalpia può essere espressa come somma delle entalpie dell'aria e del vapore d'acqua. Poiché nella maggior parte delle applicazioni pratiche la quantità di aria secca rimane costante mentre varia la quantità di vapore, l'entalpia dell'aria atmosferica è riferita all'unità di massa di aria secca invece che all'unità di aria umida. L'entalpia totale (proprietà estensiva) dell'aria atmosferica è la somma delle entalpie dell'aria secca e del vapore d'acqua:
X=
!
I
=c.T+xh.
= 1.005 X 25 + 0.00152 X 2547.2
FIGURA 9.7 Schema per l'Esempio 9.1.
= 63.8 kJ,'kg..,."""'
=2501.3+ 1.82x25 = 2546.8 kJ/kg
cl) Poiché sia l'aria che il vapore d'acqua riempiono l'intero ambiente si hçi:
ma
oppure:
!
V. =V:. =V.,.. =5x5x3=75m3
f
Le masse dell'aria secca e del vapore d'acqua si determinano con la relazione dei gas perfetti applicata a ciascuno dei due gas separatamente:
I.
L'entalpia dell'aria atmosferica (umida) si esprime con riferimento all'unità di aria secca e non all'unità di aria umida.
h=h. +xh,
h,.,@•s·c
H m h=-=h. +-!i..hv =h. +xh.
FIGURA 9.6
e) L'entalpia dell'aria riferita all'unità di massa di aria secca è per l'Equazione 9.11 (con il valore di h, ricavato dalla Tabella A.4):
Questo valore si awicina molto a quello ottenuto ricorrendo alla Tabella A.4.
e dividendo per m. si ottiene:
h = h,, +xh, __k1 __ kg aria secca
j
kg"'° kg •.,.,_,
L'entalpia del vapore d'acqua (2547.2 kJ/kg) potrebbe essere anche determinata con la relazione approssimata data dall'Equazione 9.4:
H =H. +Hv =m.h. +mvh,
ma
0.622p, = 0.622x2.38 _ _ 0 0152 P-P, 100-2.38
dal momento che hv =h., (Figura 9.6). La temperatura dell'aria atmosferica misurata con i normali termometri è detta temperatura di bulbo secco.
ESEMPIO 9.1 L'ambiente-rappresentato in Figura 9.7 ha le dimensioni di 5 x 5 x 3 e contiene aria a 25°C e 1oo kPa avente umidità relativa pari al 75 per cento. Si determinino a) la pressione parziale dell'aria secca; b) il titolo dell'aria; c) l'entalpia totale riferita all'unità di massa di aria secca e d) re masse di aria secca e vapore d'acqua contenute nell'ambiente. m3
Soluzione Sia l'aria secca sia il vapore riempiono l'intero ambiente e, quindi, il volume per entrambi è pari al volume dell'ambiente. Si supponga che l'aria e il vapore siano assimilabili a gas perfetti. a) La pressione parziale dell'aria secca si ricava dalla Equazione 9.2:
P.=P-P,
l
P.V.
97.62x75
R.T
0.287x298
m. =--=
k =85.61 g
P,V:,
2.38x75
R,T
0.4615x298
m, =--=
-1.3kg
La massa del vapore d'acqua nell'aria poteva essere determinata anche con la Equazione 9.5: m,= x·m. = 0.0152 x 85.61 = 1.3 kg
9.3 Il LA TEMPERATURA DI RUGIADA In condizioni meteorologiche di forte umidità, può capitare di svegliarsi nelle mattine d'estate e trovare l'erba bagnata senza che durante la notte ci sia stata pioggia, poiché il vapore d'acqua in eccesso nell'aria si è condensato su di una superficie fredda e ha formato quella che si chiama rugiada. Infatti, in estate la considerevole quantità di acqua evaporata durante il giorno, con il diminuire della temperatura dell'aria al calare della notte,
"-----------------"" ____
"
____ ------------- ------------- ------------- ---'
286
tende a eguagliare la massima quantità di vapore d'acqua che può essere contenuta nell'aria, cioè quella quantità di vapore che rende laria satura e porta l'umidità relativa al 100 per cento. A questo punto una ulteriore diminuzione della temperatura della miscela provoca la condensazione di parte del vapore d'acqua contenuto e la formazione di rugiada. La temperatura di rugiada TR è definita come quella temperatura
T
alla quale inizia la condensazione quando si impone ali'aria un raffreddamento isobaro. In altre parole TR è la temperatura di saturazione dell'acqua alla pressione parziale del vapore:
dove
28" i· F&AA La temperatura di saturazion. adiabatica e la temperaturo di bulbo umid.
P, = U.R.· p,.. 020 « = 0.75 x2.339 = 1.754 kPa
Quindi TR = r..to1.754kP• = 15.3°C ~i noti che per evitare la formazione di condensa sulle superfici interne delle finestre la temperatura dell'aria in prossimità delle pareti perimetrali dovrebbe essere mantenuta al di sopra dei 15.3°C.
(9.12),
FIGURA 9.8
Raffreddamento a pressione costante per l'aria unùda e temperatura di rugiada sul diagramma T-s dell'acqua.
ARIA UMIDA -
Gocce d'acqua (rugiada)
FIGURA 9.9
Quando la temperatura di una bevanda contenuta in una lattina fredda è sotto la temperatura di rugiada dell'aria atmosferica, la lattina "trasuda".
Tutto ciò è rappresentato in Figura 9.8. Poiché il raffreddamento avviene a pressione costante, la pressione parziale del vapore pv rimane costante. Partendo dal punto 1, quando il vapore raggiunge il punto 2, intersezione della linea di raffreddamento isobaro con la curva limite superiore, la temperatura raggiunge il valore di TR. Se l'aria viene raffreddata ulteriormente, si ha la condensazione del vapore, con la conseguenza che la quantità di vapore contenuta nell'aria diminuisce e, con essa, anche la pressione p, L'aria rimane satura durante la condensazione conservando l'umidità relativa al 100 per cento. In questo caso la temperatura dell'aria e la temperatura di rugiada coincidono. In una giornata calda e umida sulla lattina di una bibita fredda si forma immediatamente la rugiada, poiché la temperatura della lattina è inferiore a quella di rugiada dell'aria circostante (Figura 9.9). Da questa osservazione può derivarsi un metodo per determinare la temperatura di rugiada del!' aria contenuta in un ambiente: se si raffredda l'acqua in un contenitore metallico aggiungendo piccoli quantitativi di ghiaccio e mescolando, la temperatura della superficie esterna del contenitore, all'incipiente formarsi della rugiada, rappresenta la temperatura di rugiada dell'aria.
9.4 fJ LA TEMPERATURA DI SATURAZIONE ADIABATICA E LA TEMPERATURA DI BULBO UMIDO Poiché l'umidità relativa e quella assoluta sono grandezze utilizzate di frequente nell'ingegneria e nello studio dell'atmosfera, è utile che esse siano correlate a grandezze fisiche facilmente misurabili come la temperatura o la pressione. Un modo per determinare l'umidità relativa è quello di misurare la temperatura di rugiada dell'aria. Infatti, conoscendo il valore della temperatura di rugiada si può determinare la pressione parziale del vapore P, e •. di qui, l'umidità relativa. Questo approccio è semplice ma non risulta pratico. Un'altra maniera per determinare l'umidità relativa e quella assoluta è legata ad una trasformazione di saturazione adiabatica, riportata a titolo ?i esempio _su di un diagramma T-s in Figura 9.11. In un lungo canale isolato tenrucamente contenente una quantità d'acqua fluisce una corrente stazionaria di aria di titolo x 1 e temperatura T1• Mentre l'aria scorre in pros-
ESEMPIO 9.2 Quando fuori fa freddo, si ha la formazione di condensa in prossimità delle superfici interne delle finestre, più fredde rispetto alla temperatura dell'aria interna. Si consideri una casa (Figura 9.1 O) che contenga aria a 20°C e al 75 per cento di umidità relativa. A quale temperatura della finestra il vapore d'acqua contenuto nell'aria comincerà a condensare sulla superficie interna delle finestre? La distribuzione della temperatura in una casa non è, in generale, Soluzione uniforme. Quando la temperatura esterna In inverno è bassa, è bassa anche la temperatura interna in prossimità delle pareti perimetrali. L'aria vicino alle finestre, Infatti, è più fredda di quella ai centro della casa anche se la pressione totale e la pressione parziale del vapore rimangono le stesse per tutta la casa. L'aria In prossimità delle pareti perimetrali è sottoposta ad un raffreddamento a pressione P, =costante fino a che non comincia la condensazione, che inizia quandq l'aria raggiunge la sua temperatura di rugiada T". La temperatura del punto di rugiada si determina con l'Equazione 9.12 ed è:
FIGURA 9.10
Schema per l'Esempio 9.2.
T,. =T,.,.,.
IAcqua aT 2
T
FIGURA 9.11
La trasformazione di saturazione adiabatica e la sua rappresentazione sul diagramma T-s dell'acqua.
288 CAPITOLO 9 Miscele gas-vapore e condizionamento
dell'aria
simità della superficie dell'acqua, l'acqua evapora e si miscela con la stessa corrente d'aria. Durante questo processo il contenuto di vapore d'acqua nell'aria aumenta e la temperatura diminuisce dal momento che parte del calore latente di evaporazione dell'acqua che evapora viene fornito dal!' aria. Se il canale è abbastanza lungo, laria ne esce satura ( U.R. = I 00%) alla temperatura T2 chiamata temperatura di saturazione adiabatica. Se lacqua di reintegro viene immessa nel canale con la stessa portata dell'acqua che evapora alla temperatura T,, la trasformazione di saturazione adiabatica appena descritta può essere· considerata un processo stazionario. Poiché la trasformazione non coinvolge scambi termici o scambi di lavoro e, come al solito, le variazioni di energia cinetica e potenziale possono essere trascurate, le equazioni di conservazione della massa e del!' energia per questo sistema stazionario a due ingressi e ad un'uscita si riducono alle relazioni seguenti:
Bilancio di massa:
ma,
=tha2 =rha
(la portata in massa di aria secca è costante)
mv,
+m, =m,,
(la portata in massa del vapore contenuto nell'aria aumenta di una quantità pari alla portata di evaporazione m1 )
Si ha quindi:
"'-
m1 =m.(Xz -x,) Bilancio di energia: I,m,h, = I,m.h. oppure:
(dalmomentoche
Q=O e i=O)
m.,h1+m1h1, =m.hz m.,h1+m.(x2 -x1)h1, =m.hz
Dividendo per
m si ottiene: 0
fii +(Xz -X1)h1, =hz oppure, anche:
(cp"T,. +x/111,)+(x2 -x1)h1, =(cPT2+x2hv,)
da cui si ottiene:
zioni 9.13 e 9.14 misurando la pressione e la temperatura dell'aria all'ingresso e all'uscita di un sistema che realizza la trasformazione di saturazione adiabatica. Se laria che entra nel canale è già satura, la temperatura di saturazione adiabatica T2 sarà identica alla temperatura T1• In questo caso l'Equazione 9.13 diventa x2 =x 1• In generale, la temperatura di saturazione adiabatica è compresa tra quella di ingresso e la temperatura di rugiada. Il processo di saturazione adiabatica appena descritto permette di realizzare uno strumento per determinare l'umidità relativa e quella assoluta dell'aria, ma richiede un lungo canale oppure un meccanismo di spruzzamento di acqua nella corrente d'aria per raggiungere le condizioni di saturazione all'uscita. Un approccio più pratico consiste nell'uso di un termometro il cui bulbo sia coperto da una garza di cotone imbevuta d'acqua sulla quale venga inviata una corrente d'aria, come rappresentato in Figura 9.12. La temperatura così misurata viene definita temperatura di bulbo umido Tbu ed è correntemente adoperata nelle applicazioni di condizionamento dell'aria. Il principio. alla base di questa applicazione è lo stesso di quello adoperato per la determinazione della temperatura di saturazione adiabatica. L'aria, non satura, attraversando la garza di cotone bagnata, fa evaporare l'acqua, cedendo calore sensibile. La temperatura diminuisce e quando si stabilizza sul termometro si legge la temperatura di bulbo umido. Questa può anche essere misurata ponendo il termometro dotato di garza bagnata su di una apparecchiatura dotata di un manico che ne permette la rotazione veloce, così da muovere il termometro invece di investire il termometro fermo con una corrente d'aria. Un apparecchio che lavori secondo queste modalità è detto psicrometro a fionda ed è rappresentato in Figura 9.13. Di solito viene montato sullo stesso apparecchio anche il termometro per la misura della temperatura di bulbo secco, così che si possano avere le due misure contemporaneamente. Gli sviluppi recenti nelle apparecchiature elettroniche permettono di misurare l'umidità direttamente in maniera veloce ed affidabile utilizzando apparecchi portatili elettronici che, funzionando sul principio della variazione capacitiva di sottili lamine di materiali polimerici in presenza di vapore nell'aria, forniscono in pochi secondi il valore dell'umidità relativa con una precisione dell' 1 per cento. In generale la temperatura di saturazione adiabatica e la temperatura di bulbo umido non sono le stesse, ma per miscele di aria e vapore alla pressione atmosferica esse sono molto vicine. Per questo motivo, la temperatura di bulbo umido Tbu può essere utilizzata nell'Equazione 9.13 al posto di T2 per determinare l'umidità assoluta dell'aria.
289 La temperatura di saturazione adiabatica e la temperatura
di bulbo umido
Tennometro ordinario
Temperatura di bulbo umido
FIGURA 9.12 Un modo molto semplice di misurare la temperatura di bulbo umido.
dove, dalla Equazione 9.lOb: ESEMPIO 9.3
dal momento che U.R. = 100%. Si'può concludere, quindi, che l'umidità assoluta (e quella relativa) dell'aria si possono determinare con le Equa-
Le temperature di bulbo secco e di bulbo umido dell'aria atmosferica alla pressione di 101.325 kPa misurate con uno psicrometro a fionda sono rispettivamente 25 e 15°C. Si determinino a) l'umidità assoluta; b) l'umidità relativa e c) l'entalpia dell'aria.
FIGURA 9.13 Psicrometro a fionda.
I Soluzione
290
a) L'umidità assoluta x, si determina con l'Equazione 9.13:
CAPITOL09 ~fti;cele
X=
ga'•M'npore
e condiziomunenlo dell'uria
c.('r, - T,) + x2 h1.., h,,,-h,,
I
dove T2 è la temperatura di bulbo umido e x2 è determinato con il ricorso alla Equazione 9.14: 0.622p..,
0.622x1.705
x, = p2 -p.., = 101.325-1.705 = 0.01065 kg""'lkg.,,.,_
Si ottiene quindi: X
= 1.005 X (15 - 25) + 0.01065 X 2465.9
2547.2-62.99
,
=0.00653 kg""'/kg,,,....,,. b) L'umidità relativa U.R. determinata con l'Equazione 9.10a è: U.R.=
x,p, (0.622+x,)p,,,
. % 0.00653X101.325)12' _ 0. O 332 33 2 (0.622 + 0.00653) X 3.169
e) L'entalpia dell'aria per unità di massa di aria secca si ricava dall'Equazione 9.11:
h,
=h~ + x,h,, =c,T, + x,h,,, = = 1.005x25+0.00653 x2547.2 =
ordinate, dal momento che per un determinato valore di pressione totale p c'è una corrispondenza biunivoca tra il titolo di vapore x e la pressione p ,.. come può riscontrarsi dalla Equazione 9.7). Sulla parte sinistra del diagramma è rappresentata una curva (detta curva di saturazione) al posto di una linea retta: poiché tutti gli stati dell'aria satura giacciono su questa curva, essa può essere vista anche come la curva al l 00 per cento di umidità relativa. Le altre curve ad umidità relativa costante hanno la stessa forma. Le linee a temperatura di bulbo umido costante hanno andamento decrescente verso destra. Le curve a volume specifico costante (m3/kg di aria secca) hanno lo stesso andamento ma sono più ripide. Le curve ad entalpia costante (kJ/kg di aria secca) sono molto prossime a quelle a temperatura di bulbo umido costante, tanto che in alcuni diagrammi psicrometrici sono coincidenti. Per laria satura, la temperatura di bulbo umido, quella di bulbo secco e quella di rugiada sono identiche (Figura 9.15). Ciò implica che la temperatura di rugiada su di un diagramma psicrometrico può essere individuata tracciando una .linea orizzontale (a x =costante o P,. =costante) dal punto rappresentativo dello stato dell'aria fino alla curva di saturazione: il valore di temperatura letto nel punto di intersezione rappresenta la temperatura di rugiada. Il diagramma psicrometrico rappresenta un valido aiuto nella visualizzazione delle trasformazioni necessarie nel condizionamento del!' aria. Su questo diagramma una normale trasformazione di riscaldamento o di raffreddamento dell'aria, per esempio, apparirà come una linea orizzontale se non si verifica alcuna variazione di umidità assoluta (x = costante). Un qualsiasi scostamento dalla linea orizzontale indica che la quantità di vapore d'acqua nell'aria è variata (in aumento o in diminuzione).
291
--~ Il diagnunnrn psicrometrico
Linea di saturazione___..
lS'C
FllàURA 9.15 Per laria satura. le temperature di bulbo secco, di bulbo umido e di rugiada coincidono.
=41.8 kJlkg .... ~
ESEMPIO 9.4
9.5 li IL DIAGRAMMA PSICROMETRICO
FIGURA 9.14 Rappresentazione schematica di un diagramma psicrometrico.
Lo stato dell'aria atmosferica ad una data pressione è individuato in maniera completa da due proprietà intensive indipendenti. Il resto delle proprietà può essere facilmente determinato ricorrendo alle relazioni appena riportate. Poiché il dimensionamento di un tipico impianto di condizionamento dell'aria comporta numerosi calcoli, è utile fare questi calcoli una volta sola e presentare i risultati in una forma facilmente leggibile come quella grafica. I diagrammi che forniscono le condizioni dell'aria umida si chiamano diagrammi psicrometrici e vengono molto utilizzati nel dimensionamento degli impianti di condizionamento dell'aria. In Figura A.27 è riportato un diagramma psicrometrico per la pressione di 101.325 kPa. Sono disponibili anche diagrammi psicrometrici ad altre pressioni (si ricorre al loro uso ad altitudini considerevolmente più elevate del livello del mare). In Figura 9.14 sono riportati i parametri che compaiono in un diagramma psicrometrico. Sull'asse delle ascisse è riportata la temperatura di bulbo secco, mentre su quello delle ordinate l'umidità assoluta (alcuni diagrammi riportano anche la pressione parziale del vapore d'acqua sull'asse delle
Si consideri un ambiente che contenga aria a 101.325 kPa, 35°C e al 40 per cento di umidità relativa. Utilizzando il diagramma psicrometrico si determinino: a) l'umidità assoluta; b) l'entalpia (in kJ/kg di aria secca); e) la temperatura di bulbo umido; d) la temperatura di rugiada ed e) il volume specifico dell'aria (in m3/kg di aria secca). Soluzione A una determinata pressione totale, lo stato dell'aria atmosferica è completamente noto se sono note due sue proprietà Intensive indipendenti come la temperatura di bulbo secco e l'umidità relativa. Una volta individuato lo stato aria atmosferica sul diagramma psicrometrico si possono leggere i valori delle altre proprietà. a) L'umidità assoluta si determina tracciando una linea orizzontale dal punto rappresentativo dello stato di partenza verso destra fino ad intersecare l'asse del titolo x, come rappresentato in Figura 9.16. Al punto di intersezione si legge: X=
0.0142 kgH,Jkgorio-..
L'entalpia dell'aria riferita all'unità di aria secca si determina tracciando una linea parallela alle linee a h =costante dal punto rappresentativo dello stato di partenza fino ad intersecare la scala delle entalpie (Figura 9.16). Al punto di intersezione si legge: h =71.5 kJ/kg,,,...,.. b)
r.
T= 35'C
FIGURA 9.16 Schema per l'Esempio 9.4.
292
e) La temperatura di bulbo umido si determina tracciando una linea parallela alle linee a T costante dal punto rappresentativo dello stato di partenza fino alla curva di ~aturazione (Figura 9.16). Al punto di intersezione si legge:
=
CAPITOLO 9 Miscele gaswyapore e condizionamento dell'aria
T., = 24°C d) La temperatura di rugiada si determina tracciando una linea orizzontale dal punto rappresentativo dello stato di partenza verso sinistra fino alla curva di saturazione (Figura 9.16). Al punto di intersezione si legge:
T"
=19.4°c
e) Il volume specifico riferito all'unità di massa di aria secca si determina individuando le distanze tra il punto rappresentativo dello stato di partenza e le linee a v = costante da entrambi i lati del punto (Figura 9.16). Il volume specifico si calcola per interpolazione ed è: V=
0.893
m3/kgaria "'°"'
9.6 Ili IL BENESSERE TERMOIGROMETRICO E IL CONDIZIONAMENTO DELL'ARIA
BmoB FIGURA 9.17 Non potendo cambiare le condizioni climatiche, si può pensare di cambiare le condizioni di temperatura e di umidità di un ambiente confinato per mezzo · del condizionamento dell'aria.
Gli esseri umani desiderano vivere in un ambiente che non sia né caldo né freddo, né umido né secco. Molto spesso le condizioni climatiche non permettono di raggiungere il benessere termoigrometrico, cosa che richiede il controllo continuo della temperatura dell'aria e dell'umidità. Poiché non è possibile variare le condizioni climatiche di un'intera regione della terra, bisogna cercare di cambiare le condizioni climatiche solo in ambienti confinati, come la propria abitazione o il proprio ufficio (Figura 9.17). Nel passato, ciò veniva realizzato ricorrendo a semplici sistemi di riscaldamento. Oggi, invece, i moderni impianti di condizionamento dell'aria possono riscaldare, raffreddare, deumidificare, umidificare e addirittura rimuovere gli odori da un ambiente: in altre parole, condizionare l'aria secondo i desideri delle persone che ci vivono. Gli impianti di condizionamento sono progettati e realizzati per soddisfare le esigenze del corpo umano; per questo motivo è essenziale comprendere quali siano gli aspetti termodinamici legati al nostro corpo. Il corpo umano può essere visto come un motore termico alimentato dal cibo. Come ogni motore termico esso, per continuare a lavorare, scarica il calore in eccesso nell'ambiente. La potenza termica prodotta dipende dal livello di attività: per un individuo maschio adulto essa è pari mediamente a circa 87 W mentre dorme, a 115 W mentre riposa o svolge lavoro d'ufficio, a 230 W mentre gioca a bowling e a 440 W mentre svolge un lavoro fisico pesante. I valori corrispondenti per un individuo femmina sono mediamente inferiori di circa il 15 per cento (questa differenza è dovuta alle differenti dimensioni del corpo e non alla differente temperatura corporea: la temperatura corporea di una persona in salute si mantiene costante intorno ai 37°C). Da quanto detto consegue che una persona è in condizioni di benessere in ambienti nei quali può dissipare facilmente il calore in eccesso (Figura 9.18).
Poiché lo scambio termico è proporzionale alla differenza di temperatura, in ambienti freddi il corpo perde più calore di quanto non ne produce normalmente, con la conseguente sensazione di malessere. Il corpo tenta di ridurre questa perdita di calore riducendo "la circolazione sanguigna superficiale, con la conseguenza che con l'abbassamento della temperatura della superficie corporea, che per soggetti normali è di 34 °C, si riduce lo scambio termico. Una bassa temperatura della pelle, però, genera malessere: si prova una notevole sensazione di freddo alle mani quando l'ambiente raggiunge una temperaru·ra di 10°C. Le perdite di calore dal corpo umano si possono ridurre anche interponendo barriere (vestiti, coperte ecc.) lungo il percorso del flusso termico oppure aumentando la produzione di energia per unità di tempo, vale a dire svolgendo una attività fisica: per esempio, il benessere di una persona ferma in tenuta invernale in un ambiente a 10°C è grosso modo lo stesso di una persona che svolge una moderata attività fisica in un ambiente a -23°C. Negli ambienti caldi, si ha il problema opposto: non si riesce a dissipare velocemente tutto il calore prodotto e si ha la sensazione che la temperatura corporea salga considerevolmente. Ci si veste allora in maniera molto più leggera per rendere più facile lo scambio termico con l'ambiente e si riduce il livello di attività per minimizzare la generazione di calore in eccesso da parte del nostro corpo. In più si tiene acceso il ventilatore in maniera da rimuovere continuamente lo strato di aria calda che circonda il nostro corpo (aria riscaldata dal ni!IStro corpo) sostituendolo con l'aria più fresca presente nello stesso ambiente. Mentre si compiono lavori leggeri o si passeggia lentamente, circa la metà del calore prodotto dal nostro corpo viene dissipato attraverso la traspirazione come calore latente, mentre l'altra metà si dissipa per convezione e irraggiamento come calore sensibile. Quando si è fermi o si svolge lavoro d'ufficio, la maggior parte del calore (circa il 70 per cento) viene dissipato sotto forma di calore sensibile, mentre quando si svolge un lavoro fisico pesante la maggior parte del calore prodotto (circa il 60 per cento) si dissipa come calore latente. Il corpo si aiuta con la traspirazione o con il sudore. Perché il sudore evapori è necessario che assorba il calore di evaporazione dal corpo che si deve necessariamente raffreddare. Comunque, la traspirazione non aiuta molto in presenza di umidità relativa vicina al 100 per cento. Sudorazioni prolungate senza reintegro dei fluidi provocano la disidratazione e il conseguente abbassamento della sudorazione stessa, cosa che può portare a un innalzamento della temperatura e ai colpi di calore. Un altro fatto importante che influisce sul benessere dell'uomo è l'irraggiamento tra il corpo stesso e le superfici circostanti come i muri e le finestre. I raggi del sole viaggiano attraverso lo spazio sotto forma di radiazioni: ci si riscalda davanti. a un caminetto anche se l'aria tra il corpo e il fuoco non è calda. Alla stessa maniera si sente freddo se, nonostante si sia in un ambiente caldo, il soffitto e le pareti sono a temperatura considerevolmente più bassa. Ciò è dovuto allo scambio termico radiativo diretto tra il corpo e le superfici circostanti. Le stufe radianti vengono utilizzate di frequente per riscaldare luoghi difficilmente riscaldabili, come le officine per auto.
293 IJ benessere termoigrornctrko e il condizionamento dell'aria
FIGURA 9.18 Le persone provano una sensazione di benessere quando possono smaltire esattamente la quantità di calore in eccesso che producono.
..--------------------------------------------
I
~-----------------·--~--
-294
CAPITOLO 9 Miscele gas-vapore e condizionamento dell'aria
. FIGURA 9.19 Un ambiente in condizioni di benessere è un ambiente confortevole.
FIGURA 9.20 Rappresentazione di varie trasformazioni utili al condizionamento dell'aria.
-- -
-------------------
-- - - - - - - - - - - -
-
Il benessere umano dipende primariamente da tre fattori: la temperatura (di bulbo secco), l'umidità relativa e la ventilazione (Figura 9.19). La temperatura dell'ambiente è il più importante dei fattori di benessere: per molti le condizioni di benessere corrispondono a una temperatura dell'ambiente compresa tra 22 e 27°C. L'umidità relativa ha anch'essa un effetto considerevole sul benessere, dal momento che influisce sulla quantità di calore che il corpo umano smaltisce per evaporazione. L'umidità relativa è una misura della possibilità dell'aria di assorbire ancora vapore d'acqua: alti valori di umidità relativa abbassano la quota di calore dissipato per evaporazione, bassi valori, invece, la innalzano. La maggior parte delle persone preferisce un'umidità relativa compresa tra il 40 e il 60 per cento. La ventilazione gioca anch'essa un ruolo importante nel benessere umano, poiché si rimuove l'aria calda e umida in prossimità del corpo e la si sostituisce con quella più fresca dell'ambiente migliorando lo smaltimento del calore in eccesso sia per convezione che per evaporazione. La ventilazione deve rimuovere laria calda e umida dalle vicinanze del corpo senza recare fastidio alle persone. La maggior parte delle persone si sente a proprio agio in presenza di una velocità dell'aria di circa 15 m/min. Una ventilazione esagerata causa malessere invece che benessere: per esempio, in un ambiente a 10°C con un vento di 48 km/h si avverte la. stessa sensazione di freddo che si prova in un ambiente a -7°C con un vento di 3 km/h.
9.7 ~TRASFORMAZIONI PER IL CONDIZIONAMENTO DELL'ARIA Il mantenimento di una certa temperatura e di un certo grado di umidità ali' interno di un'abitazione o di un fabbricato industriale richiede che si compiano determinate trasformazioni di condizionamento dell'aria. Queste trasformazioni includono il semplice riscaldamento dell'aria (innalzamento della temperatura), il semplice raffreddamento (abbassamento della temperatura), l'umidificazione (aggiunta di vapore d'acqua) e la deumidificazione (sottrazione di vapore d'acqua). A volte sono necessarie due o più di queste trasformazioni per portare l'aria nelle condizioni desiderate di temperatura e umidità. Sul diagramma psicrometrico in Figura 9.20 si riportano varie trasformazioni usate nella pratica del condizionamento dell'aria. Si noti che il semplice riscaldamento e raffreddamento dell'aria appaiono come linee orizzontali su questo diagramma, dal momento che in trasformazioni come questa il contenuto di vapore d'acqua rimane costante (x =costante). L'aria viene comunemente riscaldata e umidificata in inverno, mentre raffreddata e deumidificata in estate. Le trasformazioni per il condizionamento dell'aria possono essere quasi sempre considerate come processi stazionari; perciò, la relazione di bilancio di massa = può essere espressa per aria secca e acqua con le relazioni:
m, m.
T
bilancio di massa per l'aria secca: bilancio di ma5sa per lacqua: ·
L,mH,o.e = L,mH,o,u I_
i
.
_,
oppure .
_ •
L,m•.• = L,ma,u
(kg/s)
295
(9.15)
~~l
Trasformazioni
per il condizion:.tmt:'nto
L,m•.• x. = L,m
0 ••
i
_
_I
ddl"ariu
x.
(kg/s)
(9.16)
_-
dove i pedici u ed e si riferiscono agli stati all'uscita e all'entrata rispettivamente. Trascurando le variazioni di energia potenziale e cinetica, I' equazione di bilancio energetico É, = É,. può essere espressa in questo caso da: (9.17) Si noti che il lavor_o è di solito fornito per mezzo del ventilatore, in generale piccolo rispetto agli altri termini presenti nell'equazione di bilancio energetico. Nei prossimi paragrafi si esamineranno alcune più comuni trasformazioni riscontrabili nella pratica del condizionamento dell'aria.
Semplice riscaldamento e raffreddamento (x = costante) Molti sistemi di riscaldamento per ambienti a uso residenziale consistono in stufe a gas, in pompe di calore o in stufe elettriche. Con questi sistemi laria viene riscaldata'iacendola circolare attraverso un condotto che contiene le tubazioni p~r i fluidi caldi o le resistenze elettriche (Figura 9.21) . La quantità di vapore d'acqua nell'aria durante queste semplici trasformazioni di riscaldamento o di raffreddamento senza umidificazione né deumidificazione ~mane costante, dal momento che non si aggiunge né si sottrae acqua all'aria trattata. Questo si traduce in termini matematici nella costanza del parametro x. Sul diagramma psicrometrico la trasformazione di semplice riscaldamento procede nel verso delle temperature di bulbo secco crescenti mantenendosi su di una linea orizzontale (a titolo costante). Si noti che durante il riscaldamento l'umidità relativa dell'aria decresce anche se l'umidità assoluta rimane costante. Questo è dovuto al fatto che l'umidità relativa è il rapporto tra il contenuto di vapore d'acqua nell'aria ed il massimo contenuto di vapore d'acqua che l'aria può contenere in quelle condizioni di temperatura e pressione: quest'ultimo crescente con la temperatura. L'umidità relativa dell'aria riscaldata, a seguito di un riscaldamento senza umidificazione, può, quindi, risultare molto al di sotto dei valori corrispondenti al benessere termoigrometrico causando secchezza della pelle, difficoltà respiratorie e un aumento dell'accumulo di cariche elettrostatiche sulle superfici solide. Una trasformazione di semplice raffreddamento a titolo costante è simile a quella di riscaldamento appena vista eccetto per il fatto che la temperatura di bulbo secco decresce e l'umidità relativa aumenta, come rappresentato in Figura 9.22. Il raffreddamento può essere eseguito facendo passare l'aria su delle batterie attraverso le quali scorre un fluido freddo. La relazione di conservazione della massa per trasformazioni di riscaldamento o di raffreddamento che non coinvolgano anche umidificazione e
Batteria riscaldante
-
-
r,
Aria
X 2=X1
T1.x1,U.R.,
U.R.,
FIGURA 9.21 Durante un semplice riscaldamento l'umidità assoluta rimane costante, ma l'umidità relativa diminuisce.
. -R·'~
Raffreddamento:
:
I
I
12°C
30°C
FIGURA 9.22 Durante un semplice raffreddamento l'umidità assoluta rimane costante, ma l'umidità relativa aumenta.
T 296
deumidificazione si riduce a riz = m = m per l'aria e a x, = x2 per l'acqua. Trascurando il lavoro del ~~ntila~~re, s~ presente, l'equazione di conservazione dell'energia in questo caso si riduce a:
CAPITOLO 9 :\Iiscele gas-vapore e condizionamento dell'aria
-
297
~~"'""I
Trasformazioni per il condizionamento
dell'aria
•l
dove h 1 e h2 sono le entalpie riferite all'unità di massa di aria secca all'ingresso e all'uscita del dispositivo di riscaldamento o raffreddamento rispettivamente.
I
Riscaldamento con umidificazione
I i
Aria
Sezione
Sezione
riscaldante
di unùdifi.cazione
FIGURA 9.23
Riscaldamento e umidificazione.
Ai problemi legati ai bassi valori di umidità relativa che si raggiungono con un semplice riscaldamento si può ovviare umidificando l'aria appena riscaldata. In pratica si fa passare l'aria prima attraverso una sezione di riscaldamento (trasformazione 1-2) e poi attraverso una sezione di umidificazione (trasformazione 2-3), come rappresentato in Figura 9.23. Le condizioni dell'aria nel punto 3 dipendono dal processo di umidificazione. Se si introduce vapore caldo nella sezione di umidificazione, si avrà una umidificazione con contemporaneo ulteriore riscaldamento (T3 > T2). Se, invece, l'umidificazione viene realizzata spruzzando acqua neila corrente d'aria, parte del calore latente di evaporazione sarà sottratto all'aria, che si raffredderà (T3 < T2). L'aria, in questo caso, do-.rebbe essere riscaldata fino ad una temperatura più alta nella sezione di riscaldamento per ovviare al raffreddamento presente nella sezione di umidificazione.
ESEMPIO 9.5 Un sistema di condizionamento dell'aria deve trattare una portata di 45 m 3/min di aria esterna a 10°C e 30 per cento di umidità relativa per portarla nelle condizioni di 25°C e 60 per cento di umidità relativa. L'aria proveniente dall'esterno viene prima portata fino a 22°C nella sezione di riscaldamento e poi umidificata tramite l'iniezione di vapore caldo nella sezione di umidificazione. Facendo l'ipotesi che l'intero processo abbia luogo a una pressione di 100 kPa, si determinino: a) il flusso termico da fornire nella sezione di riscaldamento e b) la portata in massa di vapore richiesta nella sezione di umidificazione.
IO'C
22°C
25°C
Batteria riscaldante
1 I
I
T 1 =10°C 1 3~%--1+-ARIA V 1 =45m /min 1____
1'.-R., =
:, :_2;c_
1
bilancio di massa per l'acqua: bilancio di energia:
T3 =25°C U.R.,=60% .1~ -1 I
2
3
m.,x, = m.,x. ~ x, = x.
a,+ rh,h, = rh,h, ~a,= rh,(h. -h,)
11 diagramma psicrometrico aiuta notevolmente nella determinazione delle proprietà dell'aria umida. Tuttavia il suo uso è limitato a una sola pressione; a pressioni diverse si possono utilizzare altri diagrammi disponibili oppure le relazioni sviluppate in precedenza. In questo caso si ha:
P, = U.R.p~ = U.R.· P,.,011,.c = 0.3x1.2276 =0.368kPa
P., = P, - P.,, = 100-0.368 = 99.632 kPa
R,T,
v, =--=
0.287x283
P., ·
, =0.815m /kg,,,....,..
99.32
Soluzione Il sistema di condizionamento dell'aria è costituito dalla sezione di riscaldamento o di umidificazione. Lo schema del sistema e il diagramma psicrometrico sono riportati in Figura 9.24. Si noti che la quantità di vapore d'acqua nell'aria rimane costante nella sezione di riscaldamento (x, = x2), mentre aumenta nella sezione di umidificazione (x3 > x_). Si faccia l'ipotesi che 1) questo sia un processo stazionario poiché la portata in massa dell'aria secca rimane costante lungo tutte le trasformazioni; 2) l'aria secca e il vapore d'acqua possano essere considerati come gas perfetti; 3) le variazioni di energia cinetica e potenziale siano trascurabili.
h, = c,T, + x,h~ = 1.005x10+0.0023x2519.8=15.8 kJlkg•.,."""'
a) Applicando i bilanci di massa ed energia alla sezione di riscaldamento si ottiene:
h, =
bilancio di massa per l'aria secca:
m., =m., = rh,
.
V,
45
m, = - = - - =55.2 kg/min v, 0.815 0.622p,,
0.622 x0.368
P, - P.,,
100 - 0.368
X = ----
'
- 0.0023 kg
/kg H,0
•<14•-
c;r, + x h., = 1.005x22+0.0023x2541.7 =28.0 kJ/kg,<14...,.. 2
~al momento che x, = X.· La potenza termica trasferita all'aria nella sezione di riscaldamento è quindi pari a:
FIGURA 9.24
Schema e diagramma psicrometrico per l'Esempio 9.5.
298
0, = fh, (h2 -
CAPITOLO 9 ~liscclc gas•\'Dporc e condizionamento de11'aria
h,) = 55.2 X (28.0 -15.8) = 673.4 kJ/min
b) Il bilancio di massa per l'acqua nella sezione di umidificazione si esprime come:
m.2x2+mHiO = m.3X3 oppure come:
m...., = m,(x, - x,) dove x,
0.622 U.R.. p
= P,-U.R.·p,,"' =
0.622 X 0.60 X 3.169 - 0.01206 kg /kg . 100-0.60x3.169
"'° ,.,....,,.
Si ottiene quindi:
m...., = 55.2x (0.01206-0.0023) = 0.539 kg/min Raffreddamento con deumidificazione L'umidità assoluta dell'aria rimane costante durante un semplice raffredda~ento. ~a la ~ua u~i.dità relativa aumenta. Se l'umidità relativa raggiunge hvel~1 1?de~1d,erab1h _P~ò essere necessario rimuovere del vapore d'acqua dall ana, c10e deum1d1ficare. Questa pratica richiede un raffreddamento dell'aria sotto il suo punto di rugiada. La trasformazione di raffreddamento con deurnidiflcazione è illustrata schematicamente in Figura 9.25. Al passaggio attraverso la batteria di raf-
ESEMPIO 9.6
Una portata d'aria esterna di 1O m3/min entra in un condizionatore da finestra a 101.325 kPa, 30°C e all'80 per cento di umidità relativa e lo lascia in condizioni di saturazione a 14°C. La parte di vapore d'acqua che condensa a seguito delle trasformazioni lascia il condizionatore a 14°C. Si determinino la potenza termica e la quantità di vapore separatasi dall'aria. Soluzione Si prenda come sistema la sezione ·di raffreddamento. Lo schema del sistema ed il relativo diagramma psicrometrico sono rappresentati in Figura 9.25. Si noti che la quantità di vapore d'acqua nell'aria diminuisce a seguito delle trasformazioni (x, < x,) e ciò è dovuto alla deumidificazione. Si ipotizza che 1) il processo sia stazionario e, perciò, la portata in massa di aria secca rimanga costante durante l'intero processo; 2) l'aria secca e il vapore d'acqua siano gas perfetti; 3) le variazioni di energia cinetica e potenziale siano trascurabili. Applicando le relazioni di bilancio della massa e dell'energia alle sezioni di raffreddamento e di deumidificazione si ottiene:
U.R. 1 =80% I
~I
freddamento, l'aria vede diminuire la sua temperatura e aumentare la sua umidità relativa a titolo costante. Se la batteria di raffreddamento è sufficientemente lunga, laria raggiunge il suo punto di rugiada. Un ulteriore raffreddamento dell'aria provoca la condensazione di parte del vapore in essa contenuto. Poiché l'aria rimane satura durante l'intero processo di condensazione, la linea rappresentativa della trasformazione è quella del 100 per cento di umidità relativa. Ii vapore d'acqua condensato che si separa dall'aria durante questo processo viene allontanato dalla sezione di raffreddamento attraverso un canale separato. Di solito si fa l'ipotesi che il condensato lasci la sezione di raffreddamento a temperatura Tr L'aria fredda, satura al punto 2, viene di norma direttamente inviata ali' ambiente da raffreddare dove si mescola ali' aria che vi è contenuta. In alcuni casi le condizioni dell'aria al punto 2 possono essere giuste per quanto riguarda lumidità ma non per la temperatura. In questi casi laria viene fatta passare attraverso una sezione di riscaldamento dove la temperatura aumenta prima di essere immessa nell'ambiente.
1
bilancio di massa per l'aria secca:
bilanCiO di massa per /'acqua: fh~X, = fh,, X,+ fhH,O--) fhH,O = fh,(X2 - X,)
I
14°c
bilancio di energia: I.m,h,
ilMOòò[Q~OooJ-: r, = :rvl I
-,:..,~~·~~·-~n2e.!1~a__ - .... _ __.,.:....
I
U.R.,=100%1
'-'-
FIGURA 9.25 Schema e diagramma psicrometrico per l'Esempio 9.6.
I
'a'r-:-..._
-
ARJA
h, = 85.4 kJ/kg,,,.,_
Jo c
~
••• ~
0
UR -80%
x, =0.0216 kg"20/kg,... ,.,,..
.' ·1-
=
10m3tmin
3
v, = 0.889 m /kg,,,.,..,.
C':'~~~J":.
14oc
Scarico
della condensa
=a.+ I.m.h,-->.a.= m,(h, -h,)-m" 'oh,, 'o
Poiché gli stati di entrata e di uscita dell'aria sono perfettamente noti e la pressione totale è di 101.325 kPa, si possono determinare le proprietà dell'aria sia con le relazioni analitiche, sia con il ricorso al diagramma psicrometrico. Esse sono:
Batteria di raffreddamento
r, =wc :
m,, = m,, = m,
e h, =39.3kJlkg.,,.,_
299 MPH&ì%%&~
Trasfornrnzionl per il condizionanu:ntn delrari:I
300
301
x, = 0.0100 kg"'°/kg,,,.,""' CAPITOL09
Inoltre:
ì\liscele gas-vapore e condizionamento dell'aria
!\..,o = h,0 ,..0 = 58.8 . V, 10 m,
=-
v,
Trasformazioni per il condizionamento dell'aria
kJ/kg (Tabella A.4) /~J'bu=COS[ ~h scost
= - - = 11.25 kg/min 0.889
.... 2
m""' = 11.25x(0.0216-0.00100) = 0.131kg/min ò" = 11.25 x (85.4 -
~I
39.3) -0.131 x (58.8) = 511 kg/min
Perciò, questa unità di condizionamento dell'aria riesce a rimuovere una portala di vapore d'acqua dall'aria di 0.131 kg/mine una potenza termica di 511 kJ/min.
Acqua
Raffreddamento per evaporazione
Aria secca
e calda
Acqua di trasudorazione
FIGURA 9.26 Una quantità d'acqua raccolta all'interno di un otre lasciata in un ambiente aperto e ventilato subisce un raffreddamento per evaporazione.
I sistemi tradizionali di condizionamento dell'aria operano per mezzo di un ciclo di refrigerazione e possono essere usati in qualsiasi parte del mondo. Tuttavia per la loro prima installazione è necessario effettuare una spesa iniziale consistente. Con il clima del deserto (caldo e secco) si può evitare il costo iniziale del raffreddamento utilizzando i refrigeratori a evapo-
razione.
Il raffreddamento per evaporazione si basa su di un semplice principio: per evaporare lacqua deve assorbire il calore latente di evaporazione dal1' acqua stessa o dall'aria circostante. Entrambe, l'aria e l'acqua, si raffreddano durante il processo di evaporazione. Questo fenomeno è stato utilizzato per migliaia di anni per raffreddare l'acqua: se un otre di materiale poroso viene riempito dell'acqua da raffreddare e lasciato in una zona aperta in ombra, la piccola quantità d'acqua che trasuda attraverso i pori del contenitore, evaporando in un ambiente secco, raffredda l'acqua rimasta nel!' otre (Figura 9.26). In un giorno caldo e secco l'aria sembra molto più fresca se si innaffia il giardino: questo accade perché lacqua assorbe calore dal!' aria mentre evapora. Un refrigeratore a evaporazione lavora seguendo lo stesso principio. Il processo di raffreddamento per evaporazione è mostrato schematicamente sul diagramma psicrometrico in Figura 9.27. L'aria calda e secca entra nel refrigeratore (punto I) e qui viene "innaffiata" da uno spray di acqua. Parte dell'acqua evapora durante questa trasformazione e per questo assorbe calore. dall'aria. Il risultato è che la temperatura dell'aria diminuisce, ma aumenta la sua umidità (punto 2). Nel caso limite, l'aria lascerà il refrigeratore nel punto 2', cui corrisponde la temperatura più bassa che può essere raggiunta con questo processo. Il raffreddamento per evaporazione è un processo essenzialmente identico alla trasformazione di saturazione adiabatica, dal momento che lo scambio termico tra la corrente d'aria e l'ambiente circostante è di solito trascurabile. Per questo motivo il processo di raffreddamento per evaporazione viene rappresentato sul diagramma psicrometrico come una linea a temperatura di bulbo umido costante (si noti che ciò non è esatto se l'acqua viene spruzzata a una temperatura
....
I - ARIA FREDD."--L. E UMI™I
•
ARIA SECCA . . , - E CAL™I
1
FIGURA 9.27 Raffreddamento evaporativo.
,
-1
AR!A-+1
1 T 1 =35°C _,-U.R. 20% 101.325 kPa
FIGURA 9.28 Schema e diagramma psicrometrico per l'Esempio 9.7.
diversa da quella di uscita dell'aria). Dal momento che le linee a temperatura di bulbo umido sono praticamente coincidenti con quelle a entalpia costante si può assumere che anche l'entalpia durante questo processorimanga costante:
Questa approssimazione è ragionevole e perciò viene utilizzata comunemente nei calcoli per il condizionamento dell'aria. ESEMPIO 9.7 L'aria entra in un refrigeratore a evaporazione a 101.325 kPa, 35°C e al 20 per cento di umidità relativa e ne esce all'80 per cento di umidità relativa. Si determinino: a) la temperatura di uscita dell'aria e b) la temperatura minima alla quale l'aria potrebbe essere portala per mezzo di questo refrigeratore. Soluzione Lo schema del refrigeratore a evaporazione e la trasformazione nel diagramma psicrometrico sono riportali in Figura 9.28. a) Se si fa l'ipotesi che l'acqua allo stato liquido venga fornita ad una temperatura non molto differente da quella della corrente d'aria, Il raffreddamento per evaporazione è una trasformazione a temperatura di bulbo umido costante. Cioè:
=
I 302 CAPITOLO 9 i\liscelc gas-\·apore e condizionamento deWnriu
T.., =cosi
La temperatura di bulbo umido a 35°C e al 20 per cento di umidità relativa si determina sul diagramma psicrometrico ed è pari a 18.88°C. L'intersezione delle linee a T.., = 18.88°C e a U.R. = 80 per cento è il punto rappresentativo dello stato finale dell'aria. Il valore di temperatura per questo punto è: T, = 21.33°C b) Nel caso limite, l'aria lascerà il refrigeratore in condizioni di saturazione (U.R. 100%) ad una temperatura di 18.88°C (intersezione della linea a tem-
=
peratura di bulbo umido costante e di quella di saturazione). Poiché per l'aria satura le temperature di bulbo secco e di bulbo umido sono le stesse, la minima temperatura alla quale l'aria può venire fuori dal refrigeratore è: rm. = r;. = 18.88°C
adiabaticamente, il punto rappresentativo della miscela (punto 3) sul diagramma psicrometrico si trova sulla retta congiungente i due punti originari 1e2 e che il rapporto delle distanze 2-3 su 3-1 è pari al rapporto tra le portate m., e 1iz., . Il fatto che la curva di saturazione sia concava sul diagramma psicrometrico e la conclusione appena tratta conducono ad una interessante possibilità. Quando i punti I e 2 si trovano vicino alla curva di saturazione la retta congiungente i due punti attraversa la curva di saturazione e il punto 3 potrebbe trovarsi alla sinistra della curva di saturazione. In questo caso ci sarà certamente la condensazione di parte del vapore d'acqua contenuto nel!' aria.
303 ~~
Trasformazioni per il condizionaml'ntu
dell':.iri:.1
ESEMPIO 9.8
Miscelazione adiabatica di correnti d'aria Molti sistemi per il condizionamento dell'aria richiedono la miscelazione di più flussi d'aria: in particolare per le applicazioni ai grandi edifici, alla maggior parte degli impianti industriali di produzione e di processo e agli ospedali è necessario miscelare laria trattata con una certa quantità di aria esterna prima dell'immissione nell'ambiente da condizionare. La miscelazione viene effettuata semplicemente mescolando due correnti d'aria, come rappresentato in Figura 9.29. Poiché lo scambio termico con l'ambiente è solitamente trascurabile, il processo di miscelazione può considerarsi adiabatico. Inoltre, i processi di miscelazione normalmente non coinvolgono scambi energetici sotto forma di lavoro, e, se sono presenti variazioni di energia cinetica e potenziale, esse risultano certamente trascurabili. In queste condizioni i bilanci di massa e di energia per la miscelazione adiabatica di due correnti d'aria possono essere espressi con le rclàzioni: FIGURA 9.29 Quando due correnti d'aria nelle condizioni I e 2 vengono miscelate adiabaticamente, il punto rappresentativo dello stato della miscela giace sulla retta congiungente i due punti sul diagramma psicrometrico.
massa di aria secca:
m., + m., = m.
Una portata di 50 m3/min di aria satura in uscita dalla sezione di raffreddamento di un impianto di condizionamento dell'aria a 14°C viene miscelata adiabaticamente con una portata d'aria esterna di 20 m3/min a 32°C e 60 per cento di umidità relativa. Facendo l'ipotesi che il processo di miscelazione awenga alla pressione di 101.325 kPa si determinino il titolo dell'aria, l'umidità relativa, la temperatura di bulbo secco e la portata volumetrica della miscela. Soluzione Si prenda la sezione di miscelazione come sistema. Lo schema del sistema e le trasformazioni sul diagramma psicrometrico sono rappresentati in Figura 9.30. Si noti che questo è un processo stazionario. Si ipotizza che: 1) il flusso sia stazionario; 2) l'aria secca e il vapore d'acqua siano gas perfetti; 3) le variazioni di energia cinetica e potenziale siano trascurabili; 4) la sezione di miscelazione sia adiabatica.
- -I
(9.20)
x 1m., + x2 m., = x3ma
(9.21)
energia:
m.,h1 +m.,hz =m.h:i
(9.22)
= 0.010 kgH,0/kg,.,.,..,..
v, = 0.826 m3/kg,.,.,_ h, = 79.0 kJ/kg,,,,..,,. X2
=0.0182 kgH
20 /kg'""'"""
IJ' V,
x:
1\V ~ezion~ di ,,..nuscelaz1one-r-- f) R. T . ., p = 101.325 kPa I
,
h, = 39.4 kJ/kg,.,.,.çoa X1
massa di vapore d'acqua:
Ariasatura~
Le proprietà di ognuna delle due portate in ingresso, determinate dal diagramma . T1 =14:c. \.!J/"" ....... ........ " v.=50m"/nu~ psicrometrico, sono:
~~-·)
\
~
- 32°C\!I T.1-
\
...:: ...::
~....::
U.R.,=60%
V,
=ÌOm'lmin
v, =0.889m 3 /kg,,.,_
Eliminando ma, dalle relazioni appena scritte si ottiene:
Le portate in massa di aria secca per ognuno dei flussi sono:
.
m.,
Questa equazione permette un'interessante interpretazione geometrica sul diagramma psicrometrico: il rapporto di x 2 - x 3 e x 3 - x 1 è eguale al rapporto tra m. e m0 , e i punti che soddisfano questa condizione si trovano sulla linea tratteggiata CD. L'unico punto che soddisfa entrambe le condizioni è lintersezione tra le due linee tratteggiate, ed è posizionato sulla retta che congiunge i punti I e 2. Si può concludere, allora, che quando due flussi d'aria in due differenti condizioni (punti 1 e 2) vengono miscelati
=-V,
v,
50 = - - = 60.5 kg/min 0.826
. v, =-20- = 22.5 kg/min ., v, 0.889
m =-
Dall'equazione di bilancio della massa dell'aria secca si ottiene:
m., = m., + m., = 60.5 + 22.s = 83 kg/min
FIGURA 9.30 Schema e diagramma psicrometrico per l'Esempio 9.8.
Il titolo e l'entalpia della miscela pos~o~o ~s~ere .determinati con.
304
9.23 e si ottengono combinando le relazioni d1 bilancio d1 massa e d1 l'Equa_zione energia per
USCITA DELL'ARIA
la miscelazione adiabatica dei due flussi:
CAPITOLO 9 Miscele gas-vapore e condizionamento dell'aria
305
I I I I Il
m., m.,
Trasformazioni per il condizionamento
= x, - x, = h, -h, X3 -X1 h3 -h1
dell'aria
60.5 = 0.0182- x, - 79.0 -h, x3 - O.o1 O h, -39.4
22.5 Si ottiene, quindi:
ACQUA CALDA
-
h, = 50.1 kJ/kg,,,.""""
x, =0.0122
kg"'°/kg,... """
FIGURA 9.32 Torre evaporativa controcorrente a circolazione naturale.
Queste due proprietà fissano lo stato della miscela. Le altre proprietà della miscela si possono dedurre dal diagramma psicrometrico e sono:
r, =19.0°C U.R.=89%
v, = 0.844 m'/kg,..,,_ Infine, la portata volumetrica della misci:la è molto vici~a_ alla somma ~elle po~a: te volumetriche delle due correnti d'aria. Questo è t1p1co delle apphcaz1om d1 condizionamento dell'aria.
Torri evaporative
USCITA DELL'ARIA
111 I Il ACQUA CALDA
ACQUA FREDDA
FIGURA 9.31 Torre evaporativa controcorrente a circolazione forzata.
INGRESSO DELL'ARIA
Gli impianti di produzione di potenza, i grandi impianti di condizionamento dell'aria e alcune industrie generano grosse quantità di calore di scarico che spesso viene smaltito ricorrendo ali' acqua di fiumi e di laghi vicini. In alcuni casi, tuttavia, la disponibilità di acqua è limitata oppure vi son? vincoli ambientali stringenti che ne impediscono l'utilizzo. In questi casi 11 calore di scarico deve essere smaltito nell'atmosfera utilizzando lacqua come vettore termico tra il fluido da raffreddare e il pozzo termico (l'atmosfera). Un modo per operare in tal senso è quello di utilizzare una torre evaporativa. . Una torre evaporativa è essenzialmente un refrigeratore a evaporazione semichiuso. In Figura 9.31 è rappresentata una torre evaporativa a pioggia controcorrente: laria è immessa nella torre dal basso e lascia la torre dall'alto, mentre l'acqua calda, che proviene dal condensatore, viene fatta uscire dall'alto della torre e spruzzata all'interno della corrente d'aria. L'acqua viene spruzzata per aumentare la superficie di scambio tra lacqua e laria. Quando le goccioline di acqua cadono verso il basso per I' effett~ della gravità, una piccola frazione (di norma una modesta percentuale) d1 esse evapora e raffredda lacqua che rimane liquida. Durante questo processo la temperatura e il contenuto di umidità dell'aria aumentano. L'a~ qua raffreddata si raccoglie in basso e viene pompata nuovamente verso il condensatore per assorbire ancora il calore di scarico. L'acqua che fa da
vettore termico deve essere reintegrata per ovviare alle perdite per evaporazione e per trasporto con laria legate al processo. Per minimizzare la quantità d'acqua che laria porta via con sé, si installano raccoglitori di condensa al di sopra degli ugelli polverizzatori. Poiché la circolazione di aria nelle torri evaporative appena descritte viene assicurata da un ventilatore, questo tipo di torri viene detto a circolazione forzata. Un altro tipo di torre evaporativa è quello a circolazione naturale: ha laspetto di un grande camino e funziona proprio come un normale camino. L'aria nella torre contiene una grande quantità di vapore d'acqua e per questo, essendo più leggera dell'aria ambiente, tende a salire, mentre quella più pesante ali' esterno tende a riempire gli spazi vuoti lasciati dalla prima creando un flusso d'aria dal basso verso la sommità della torre. La portata d'aria nella torre viene controllata dalle condizioni dell'aria atmosferica. Le torri a circolazione naturale non richiedono potenza esterna per funzionare, ma la loro costruzione è molto più costosa di quelle a circolazione forzata. Le torri a circolazione naturale hanno profilo iperbolico (Figura 9.32), e alcune anivano a 100 m di altezza. Il profilo iperbolico serve a rinforzare la struttura della torre e non ha alcuna funzione termodinamica. L'idea delle torri di raffreddamento nacque con l'utilizzo dello stagno evaporativo dove l'acqua calda viene spruzzata nell'aria e raffreddata dall'aria nel bacino d'acqua (Figura 9.33). Alcuni stagni evaporativi sono ancora oggi in uso. Essi però richiedono da 25 a 50 volte la superficie di · una torre evaporativa e ciò è dovuto alle perdite dal lato acqua per la pre-
ARIA
IN -·•
IN:::~:w; CALDA
I N dbi ARIA
==usCITA
u · ,. ··· ACQUA
I FREDDA
FIGURA 9.33 . Stagno evaporativo.
T 306
senza di condensa trasportata dall'aria; in più, essi non hanno alcuna protezione contro la polvere e l'accumulo di sporco. Si potrebbe anche smaltire il calore di scarico in un bacino di raffred· damento, che altro non è se non un grande lago aperto all'atmosfera. Ma la potenza termica scambiata tra la superficie del bacino e l'atmosfera è veramente bassa, e ci sarebbe bisogno di una superficie di scambio di almeno 20 volte superiore per avere gli stessi risultati in termini di potenza termica scambiata con uno stagno evaporativo.
~~ CAPITOLO 9
~liscele gas~Yapore
e condizionamento dell'uria
307
energia:
~~-i.-ZC~':-1
m3 h3 = m,(h2 -h,1+(m, -m,.,,..,,.lh, Risolvendo per rh, si ottiene:
m, _
·
m.(h• -h,) (h,-h,)-(x,-x,)h,
Dal diagramma psicrometrico si ottiene: h, = 42.2kJ/kg,,,._,
ESEMPIO 9.9
x, = 0.0087 kg""'/kg.,,.,""'
Una portata d'acqua di raffreddamento di 100 kg/s di un impianto di produzione di energia esce dal condensatore ed entra in una torre evaporativa a 35°C. L'acqua viene raffreddata fino a 22°c nella torre per mezzo di aria che entra a 101.325 kPa, 20°c e 60 per cento di umidità relativa ed esce in condizioni di saturazione. Trascurando la potenza del ventilatore si determinino a) la portata volumetrica di aria che passa attraverso la torre di raffreddamento e b) la portata in massa dell'acqua necessaria al reintegro.
v, = 0.842 m'/kg.,,.,_
Soluzione Si prenda l'intera torre come sistema (Figura 9.34). Si noti che la portata massica di acqua diminuisce di una quantità pari all'acqua che evapora durante il processo di raffreddamento. L'acqua cosl perduta deve essere reintegrata nel ciclo per conservare la stazionarietà del processo. Si faccia l'ipotesi che 1) Il flusso sia stazionario: le portate di aria secca rimangano le stesse durante tutto il processo; 2) l'aria secca e il vapore d'acqua siano gas perfetti; 3) le variazioni di energia cinetica e potenziale siano trascurabili; 4) la torre di raffreddamento sia adiabatica. Applicando le relazioni di conservazione della massa e dell'energia alla torre di raffreddamento si ottiene: massa di aria secca:
m., + m., = m.
massa di vapore d'acqua:
m, + x,m., = m, + x,m.,
h,,.35, 0 = 146.68 kJ/kgH:!O
h3
E;
h,
=h,
022, 0
=92.33 kJ/kg"'°
Sostituendo si ottiene: .
m8 =
100x(146.68-92.33) - 96.9 kg/s (100- 42.2) - (0.0273 -0.0087) X 92.33
La portata volumetrica di aria nella torre di raffreddamento è:
li,= m,v, = 96.9x0.842 = 81.6m3 /S La portata in massa dell'acqua di reintegro è:
rii,,,,,,,.. = m,(x, -x) = 96.9x(0.0273-0.0087) = 1.80kg/s Si noti, in questo caso, che più del 98 per cento dell'acqua di raffreddamento si conserva e viene riutilizzata per il trasporto di quantità di calore.
9.8 ~ SOMMARIO
ACQUA CALDA
35°C e==!:;;:::;;::::;;:::;:=;;=;;:>; 100 kg/s
(i)ARIA
101.325 kRl 20°c U.R. 1 =60%
v,
100 kg/s ACQUAFREDDA
FIGURA 9.34
x, = 0.0273 kg""'/kg,,,."""
b)
rh3 + rh4 = rh_(x2. - x,) = rhf'Qlntegro
Schema per l'Esempio 9.9.
h, = 100.0 kJ/kg,,,.,_
ACQUA DI REINTEGRO
In questo capitolo si è discusso della miscela di aria e vapore d'acqua, miscela che si incontra molto spesso nella pratica. L'aria dell'atmosfera contiene normalmente vapore d'acqua e a essa ci si riferisce con l'espressione aria atmosferica. Al contrario, l'aria che non contiene traccia di vapore d'acqua è definita aria secca. Nel campo di variazione della temperatura che si incontra nelle applicazioni di condizionamento dell'aria sia l'aria secca sia il vapore d'acqua possono essere trattati come fossero gas perfetti. La variazione di entalpia dell'aria secca durante una trasformazione si può determinare con la relazione: Maria secca
= Ci1T = 1.005LlT
(kJ/kg)
Sommario
308 CAPITOLO 9 )liscele gas~vapore
L'aria atmosferica può essere trattata come una miscela di gas perfetti la cui pressione è la somma delle pressioni parziali dell'aria secca pa e del vapore d'acquap,:
e condizionamento dell'aria
P =Pa + Pv
pera tura che laria raggiunge dopo avere attraversato un lungo canale adiabatico ed aver raggiunto le condizioni di saturazione:
Sommario
x-
(Pa)
cP(T2
=
h., (T, bassa p) h,, (T) =2501.3+1.82T
(kJ/kg)
Tin °C
nel campo di temperature che va da -10 a 50°C. La massa di vapore d'acqua presente in una massa unitaria di aria secca è definita come umidità assoluta o titolo di vapore x:
m. - = 0.622p. X= --m. p-p.
(kgH 0 /kgariasecca ) 2
dove p è la pressione totale dell'aria e p,è la pressione parziale del vapore. C'è un limite nella quantità di vapore che l'aria può contenere ad una data temperatura. Nelle condizioni di massimo contenuto di umidità, l'aria viene detta satura. Il rapporto tra la massa di vapore effettivamente presente nell'aria (m) e quella che nelle stesse condizioni di temperatura l'aria può contenere (m,,) è definito come umidità relativa U.R.:
U.R.= mv= Pvvl(R,T) 11Zv PvVl(RvT) dove si intende
dove
Pv Pv
Pv = Psat@T
L'umidità relativa e il titolo di vapore possono esprimersi anche come: 0.622 U.R. · Pv xp e X (0.622 + X)Pv p-U.R.· Pv L'umidità relativa varia in un campo che va da O per l'aria secca a l per l'aria satura. L'entalpia dell'aria atmosferica si riferisce all'unità di aria secca, invece che all'unità di massa di miscela di aria e vapore d'acqua, ed è:
U.R.-
-7;) + x2h1.,, .
h.. -hl,
I
L'entalpia del vapore d'acqua può essere considerata uguale a quella del vapore saturo alla stessa temperatura:
0.622p.,, X2=---·
P2 - Pv, e T2 è la temperatura di saturazione adiabatica. Un approccio più pratico nelle applicazioni di condizionamento dell'aria è quello di usare un termometro il cui bulbo sia messo a stretto contatto con una garza di cotone imbevuta di acqua e di investirlo con una corrente d'aria. La temperatura misurata in queste condizioni viene definita temperatura di bulbo umido Tb• e viene adoperata in sostituzione della temperatura di saturazione adiabatica. Le proprietà del!' aria atmosferica ad una data pressione totale possono essere agevolmente rappresentate ricorrendo al diagramma psicrometrico. Le linee a entalpia costante e le linee a temperatura di bulbo umido costante su questi grafici sono quasi parallele. Le esigenze del corpo umano e le condizioni dell'ambiente non sono sempre compatibili. Per questo motivo diventa necessario variare le condizioni di un ambiente nel quale si vive in maniera da raggiungere le condizioni di benessere. Mantenere la temperatura e l'umidità di un ufficio o di un impianto industriale ai valori corrispondenti alle condizioni di benessere può richiedere un semplice riscaldamento (innalzamento della temperatura), un semplice raffreddamento (abbassamento della temperatura), una umidificazione (aggiunta di vapore d'acqua all'aria) oppure una deumidificazione (sottrazione di vapore d'acqua dalJ'aria). Talvolta sono necessarie due o più di queste trasformazioni per raggiungere le condizioni di temperatura e di umidità richieste. La maggior parte delle trasformazioni di condizionamento dell'aria possono essere trattate come processi stazionari e perciò possono essere analizzate applicando i bilanci di massa e di energia (per l'aria e per il vapore d'acqua) per sistemi aperti a flusso stazionario:
bilancio di massa per l'aria secca:
L,m.,, =L,m•.
u
I
H = m0 h0 + mvh,,
(J/kgariuccca)
bilancio di massa per il vapore d'acqua:
La temperatura ordinaria dell'aria atmosferica è detta temperatura di bulbo secco per distinguerla dalle altre temperature significative. La temperatura alla quale comincia la condensazione se laria viene raffreddata a pressione costante si definisce come temperatura di rugiada TR:
bilancio di energia: L'umidità relativa e quella assoluta dell'aria possono essere determinate misurando la temperatura di saturazione adiabatica dell'aria, che è la tem-
309
Q, +i, + L,m,h, = Q. +i. + L,m.h.
dove i pedici u ed e si riferiscono agli stati all'uscita e all'entrata rispettivamente. Le variazioni di energia cinetica e potenziale si assumono trascurabili.
.,.----------~~-----------------------·--------,~~---------
310 CAPITOLO 9 Miscele gas.vapore e condizionamento
dell'aria
Durante una trasformazione di semplice riscaldamento o raffreddamento, l'umidità assoluta rimane costante, ma la temperatura e l'umidità relativa cambiano. Talvolta l'aria è umidificata dopo il riscaldamento e alcune trasformazioni di raffreddamento coinvolgono una deumidificazione. Nei climi secchi, l'aria può essere raffreddata per raffreddamento evaporativo, passando attraverso una sezione dove viene a contatto con acqua liquida finemente polverizzata. In luoghi poveri d'acqua, si possono smaltire grandi quantità di calore con piccoli consumi di acqua ricorrendo all'utilizzo delle torri evaporative.
La conduzione terlllica in regime stazionario La trasmissione del calore, di cui si parlerà in questo capitolo e nei successivi, permette di calcolare, oltre alla quantità di calore scambiato, la rapidità con cui avviene questo scambio e la distribuzione della temperatura all'interno di un sistema. In questo capitolo si fornisce una descrizione del fenomeno fisico della conduzione e della conducibilità termica dei materiali. Sarà quindi trattata la conduzione termica stazionaria monodimensionale in una parete piana, in un cilindro e in una sfera e verrà introdotto il concetto di resistenza termica. Tale concetto sarà applicato a problemi di conduzione termica in pareti piane multistrato, cilindri e sfere e, infine, a geometrie multidimensionali. Si proseguirà con l'analisi di problemi di conduzione termica comprendenti la generazione interna di calore. Infine si discuterà la trasmissione di calore stazionaria da superfici alettate e per alcune geometrie complesse che si incontrano comunemente in pratica, tramite l'uso dei fattori di forma per conduzione.
I
1
T 312
10.1 Id LA TERMODINAMICA E LA TRASMISSIONE DEL CALORE
CAPITOLO IO La conduzione termica in regime stazionario
FIGURA 10.1 Il tempo necessario affinché il caffè bollente in un thennos si raffreddi fino a una certa temperatura può essere detenninato soltanto con uno studio tennodinamico del fenomeno.
50°C
...
20°C
Q
Con l'analisi termodinamica si può determinare la quantità di calore trasferito per un qualunque sistema e un qualunque processo senza avere alcuna informazione sulla durata di quest'ultimo, poiché la termodinamica si occupa della quantità di calore scambiato da un sistema con l'ambiente nel passaggio da uno stato di equilibrio a un altro, scambio termico che deve avvenire nel rispetto del principio di conservazion e del1' energia. Nei problemi pratici, quello che interessa maggiormente è la rapidità con cui avviene lo scambio termico, piuttosto che la quantità di calore scambiato: per esempio, se del caffè bollente all'interno di un thermos si raffredda da 90°C a 80°C, con l'analisi termodinamica si può valutare 'la quantità di calore scambiato tra thermos e ambiente; di solito però chi prog_etta o fa uso di un thermos vuole sapere in quanto tempo il caffè bollente s1 raffredda fino a 80°C, problema al quale l'analisi termodinamica non può dare risposta. La determinazione della velocità di propagazione del calore verso o da un sistema e quindi i tempi di raffreddamento o di riscaldamento, cosl come la variazione di temperatura costituiscono l'oggetto della trasmissione del calore (Figura 10.1 ). I principi della termodinamica sono alla base della trasmissione del calore: il primo principio secondo il quale la quantità di calore trasferito in un sistema uguaglia l'entità dell'incremento di energia del sistema; il secondo principio secondo il quale il calore si propaga nella direzione delle t~mperature decrescenti da una regione ad alta temperatura a un'altra regrnne a temperatura inferiore (Figura 10.2) in maniera del tutto analoga al!' automobile che, parcheggiata lungo una strada in pendenza, scende lunoo la china quando i suoi freni vengono rilasciati. "' Requisitò essenziale della trasmissione del calore è l'esistenza di una differenza di temperatura: essa costituisce per la trasmissione di calore la forza motrice, cosl come la differenza di tensione lo è per un flusso di corrente elettrica e la differenza di pressione per una corrente fluida. L' entità dello scambio termico in una certa direzione dipende dalla grandezza del gradiente termico in quella direzione: più grande è la differenza di temperatura, maggiore è la potenza termica scambiata. Quando si conosce la potenza termica scambiata Q , la quantità totale di calore scambiato Q durante un intervallo di tempo l:i.t si può determinare con la relazione:
rAt .
Q= lo Qdt
Flusso di calore
Nel caso particolare in cui FIGURA 10.2 li calore fluisce nel verso delle temperature decrescenti.
(J)
Q=costante, l'Equazione Q = Q!:i.t
(J)
(IO.I)
IO.I si riduce a:
(10.2)
Se definiamo come flusso termico o densità supeificiale di potenza termi-
ca la potenza termica riferita a una supeificie di area unitaria il flusso termico medio su una superficie si esprime (Figura 10.3): '
q=gA
313 Le modalità
(W/m2)
di trm;mi!;sio1ne
(10.3)
del calore
10.2 ~ LE MODALITÀ DI TRASMISSIONE DEL CALORE Q=24W
Nel Capitolo 3 è stata definita la trasmissione del calore come la forma di
=COSt
energia.che si trasferisce da un sistema a un altro a seguito di una differenza dc temperatura tra i due sistemi. Si è inoltre accennato al fatto che il calore si può trasferire in tre modi diversi: per conduzione, per convezione e per irraggiamento. Tutti i modi di trasmissione del calore richiedono
lesistenza di una differenza di temperatura e si manifestano da una regione ad alta temperatura a un'altra a temperatura inferiore. La conduzione termica è il trasferimento di energia che si verifica per effett? dell'interazione delle particelle di una sostanza dotate di maggiore energia con quelle adiacenti dotate di minore energia. La conduzione può avvenire nei solidi, nei liquidi o nei gas: nei gas e nei liquidi è dovuta alle collisioni tra le molecole durante il loro moto casuale; nei solidi è dovuta a~le vibrazioni delle molecole all'interno del reticolo e al trasporto di ener~1a da parte degli elettroni liberi. Una bibita fredda, ad esempio, alla fine si nscalda fino alla temperatura ambiente come risultato della trasmissione di calore per conduzione attraverso le pareti del contenitore. La qum:tità di calore che si propaga per conduzione tra due regioni di un corpo dipende dalla geometria e dalle caratteristiche del corpo, cosl c?me.dalla differenza di tef!Zpe;atura tra le due regioni del corpo: per esemp10, nvestendo un serbatom d1 acqua bollente con lana di vetro (materiale isolante) si riduce l'entità della perdita di calore dal serbatoio tanto più quanto maggiore è lo spessore dell'isolante. Si osservi, inoltre, che un serbatoio di acqua bollente perderà calore tanto più rapidamente quanto più bassa è la temperatura dell'ambiente circostante e quanto più grande è l'area della sua superficie. Si consideri la conduzione termica stazionaria, vale a dire in regime di t~mper~ture che non variano nel tempo, attraverso una grande parete piana dt spessore !:i.x L e area superficiale A, soggetta alla differenza di temperatura tra le due facce che la delimitano !:i.t T - T , come mostrato in 2 1 Figura 10.4. Dal!' esperienza si sa che la potenza termica Q attraverso la parete si raddoppia quando la differenza di temperatura !:i.t o quando larea A della superficie normale alla direzione del trasferimento di calore si radd?ppia, ?1entre si dimezza quando lo spessore L della parete viene raddoppiato. S1 può pertanto affermare che la potenza termica trasmessa per conduzione attraverso uno strato di spessore costante /:i.x è proporzionale
=
q=Q= 24 W2 =4W/m2 A
6m
FIGURA 10.3 Il flusso termico è il calore trasmesso nell'unità di tempo da una superficie di area unitaria.
=
alla differenza di temperatura l:i.t attraverso lo strato e all'area A della supeificie normale alla direzione della trasmissione di calore ed è inversamente proporzionale allo spessore dello strato: potenza termica (area della superficie)(differenza di temperatura) trasmessa per conduzione"" spessore
FIGURA 10.4 Conduzione di calore attraverso un'ampia parete piana di spessore ~ e area A.
T \
314
.
~
!:J.T
Q,ond = /I. A !:J.x
(W)
(10.4)
CAPITOLO IO
La conduzione termica in regime stazionario
dove la costante di proporzionalità Il è la conducibilità termica del materiale, che misura la capacità del materiale a condurre calore (Figura 10.5). Nel caso limite di /:J.x ~O, la precedente equazione si riduce all'espressione differenziale:
30°C 20°C
·
dT
Qcond =-/I. A dx
(W)
(10.5)
• • • • q=4010W/m2
lm
(a) Rame (,l = 401 W/m·'C)
30°C 20°C
• • • • q= 1480W/m 2 lm
(b) Silicio(,!= 148 W/m·'C)
FIGURA 10.5 Potenza tennica trasmessa per conduzione attraverso un solido direttamente propor>ionale alla sua conducibilità termica.
.T.- :::::...-Q
l
A=WXH
~
FIGURA 10.6 Nello studio della conduzione tennica. A rappresenta la superficie nonna/e alla direzione della trasmissione del calore.
nota come postulato di Fourier per la conduzione dal nome di Joseph Fourier, che la formulò per la prima volta nel 1822 nel suo testo sulla trasmissione del calore. Si noti che nell'Equazione 10.5 dT!dx è il gradiente di temperatura, vale a dire la pendenza della curva di temperatura su u~ diagramma T-x (l'entità della variazione di T con x), in corrispondenza di un'ascissa x. Si noti inoltre che la potenza termica per conduzione è proporzionale al gradiente di temperatura. Poiché il calore si trasmette spontaneamente nel verso delle temperature decrescenti e il gradiente di temperatura diventa negativo quando la temperatura diminuisce all'aumentare di x, nell'Equazione 10.5 viene aggiunto il segno negativo per rendere positiva la potenza termica trasmessa nel verso positivo di x. L'area A della superficie di scambio termico è sempre normale alla direzione secondo cui avviene la trasmissione del calore: per esempio, se si considera la dispersione termica attraverso una parete lunga 5 m, alta 3 m e dello spessore pari a 0.25 m, !'.area della superficie di scambio termico è A = 15 m'. Si noti che lo spessore della parete non ha alcuna influenza su A (Figura 10.6). La convezione è il trasferimento di energia tra una superficie solida e il liquido o gas adiacente in movimento e implica gli effetti combinati di conduzione e trasporto di massa. Si noti che il calore trasmesso per convezione aumenta con la velocità del fluido, che, in assenza di trasporto di massa, la trasmissione di calore tra una superficie solida e il fluido adiacente avviene soltanto per conduzione e che la presenza di trasporto di massa aumenta la quantità di calore trasmesso tra la superficie solida e il fluido. La convezione è chiamata convezione forzata se il fluido è forzato a fluire sulla superficie da disposi ti vi esterni come un ventilatore, una pompa, o il vento. Al contrario, si parla di convezione naturale (o libera) se il movimento del fluido è causato da forze ascensionali indotte da differenze di densità legate alle variazioni di temperatura nel fluido. Nonostante la complessità del fenomeno fisico, la potenza termica trasmessa per convezione è direttamente proporzionale alla differenza di temperatura come evidenziato dalla legge di Newton per la convezione:
= hA (T, -T~)
1.
temperatura del fluido a distanza sufficientemente grande dalla superficie (all'interfaccia le temperature del fluido e della superficie del solido sono eguali). Il coefficiente di trasmissione del calore per convezione h non è una proprietà del fluido, ma è un parametro determinato sperimentalmente, il cui valore dipende da tutte le variabili che influenzano la convezione, quali la geometria della superficie, la natura del moto, le proprietà e la velocità del fluido. Valori caratteristici di h sono riportati nella Tabella 10.1. L'irraggiamento è l'energia emessa da una sostanza sotto forma di onde elettromagnetiche (o fotoni) come risultato delle modificazioni nelle configurazioni elettroniche degli atomi o delle molecole. La trasmissione di calore per irraggiamento non richiede la presenza di un mezzo interposto diversamente dalla conduzione e dalla convezione, avviene alla velocità della luce e non subisce attenuazioni nel vuoto. Questo è esattamente il modo in cui lenergia del sole raggiunge la terra. Negli studi sulla trasmissione del calore per irraggiamento interessa la radiazion~ termica, vale a dire la radiazione emessa dai corpi a causa della loro temperatura. Tutti i corpi a temperatura al di sopra dello zero assoluto emettono una radiazione termica, la cui massima quantità, riferita alla superficie di area unitaria, alla temperatura assoluta T, è data dalla legge di 4 Stefan-Boltzmann: ii max = oT, dove a= 5.67 X lQ-8 W/(m 2 • K4) è la costante di Stefan-Boltzmann. La superficie ideale che emette per irraggiamento tale potenza massima è detta corpo nero (Figura 10.7). La radiazione emessa da qualsiasi superficie reale è minore di quella emessa dal corpo nero a parità di temperatura e può essere calcolata come q = eoT,4 , dove e è l' emissività della superficie, il cui valore, compreso nell'intervallo O :;::; e :;: ; 1, è una misura di quanto il comportamento di una superficie si approssima a quello del corpo nero per cui e = 1. La differenza tra la potenza termica radiante emessa e quella assorbita da una superficie è la potenza termica netta trasmessa per irraggiamento. Se la potenza termica radiante assorbita è maggiore di quella emessa, si dice che la superficie guadagna energia per irraggiamento; in caso contrario, si dice che la superficie perde energia per irraggiamento. In generale, la determinazione della potenza termica netta scambiata per irraggiamento tra due superfici è materia complicata, poiché dipende dalle proprietà delle superfici, dal loro orientamento relativo e dalle caratteristiche del mezzo tra le due superfici che irraggiano. Nel caso di due superfici, separate da un gas (quale l'aria) che non interferisce con la radiazione, di cui una di emissività e e area A, a temperatura assoluta T,. completamente contenuta dall'altra di area molto più grande (o nera), a temperatura assoluta T,, la potenza termica netta scambiata per irraggiamento è data dalla relazione (Figura 10.8):
(10.6)
(10.7)
dove h è il coefficiente di trasmissione del calore per convezione in W/(m 2 • 0 C), A è l'area della superficie attraverso cui la trasmissione di calore per convezione ha luogo, T, è la temperatura della superficie e T~ è la
dove a= 5.67 x 10-s La trasmissione di calore per irraggi
Oconv
(W)
W/(m2 •
K4).
31: ~~
Le modalit. di trasmission del calor
TABELLA 10.1 Tipici valori del coefficiente di scambic termico convettivo
Tipo di convezione Convezione libera dei gas Convezione libera dei liquidi Convezione forzata dei gas Convezione forzata dei liquidi Ebollizione e condensazione
h, W/(m 2 ·'C) 2 + 25 10 + 1000 25 + 250 50 + 20 000 2500 + 100 000
4max, cmis =Ci
T/
=1452Wlm·
FIGURA 10.7 La radiazione di corpo nero rappresenta la quantità massima di radiazione che una superficie può emettere a una data temperatura. Superfici
FIGURA 10.8 Scambio tennico per irraggiamento tra una superficie e l'ambiente circostante.
·----------------------
T 316 CAPITOLO 10 La conduzione termica in regime stazionario
T1 <:.SOLIDO~ T2 ,·OPACO·.
-:··
.......
I modalità
2 modalità
I modalità
FIGURA 10.9 5ebbene vi siano tre modalità di
T_=25°C
essendo
ESEMPIO 10.1
Si noti che il flusso termico può variare con la posizione sulla superficie e che, quindi, il valore calcolato rappresenta il flusso termico medio sull'intera superficie della palla.
Una sfera di rame di 10 cm di diametro mostrata in Figura 10.10, immersa in aria a 25°C, si raffredda da 150°C a una temperatura di 1oo•c in 30 min. Si determini a) la quantità totale di calore trasmesso dalla sfera di rame, b) la potenza termica media trasmessa dalla sfera, c) il flusso termico medio e d) il coefficiente di scam· bio termico convettivo all'inizio del raffreddamento. Soluzione Le proprietà termofisiche della maggior parte dei materiali variano con la temperatura. Per tenere conto di questa variazione, quindi, di solito vengono usate le proprietà corrispondenti a una temperatura media. La temperatura media della sfera di rame durante il suo raffreddamento è
I
=KD'
T """
"IGURA 10.10 >chema per l'Esempio IO.I.
ragionevole usare questi valori delle proprietà per il rame, trattandole come costanti.
convezione se vi è trasporto di massa) tra la superficie e il gas. La potenza termica complessiva, quindi, si determina sommando i contributi di entrambe le modalità di scambio termico. L'irraggiamento, di solito, prevale sulla conduzione o convezione naturale, ma risulta trascurabile rispetto alla convezione forzata. Per questo, nelle applicazioni di convezione forzata, la radiazione normalmente si trascura, specie quando le superfici in gioco hanno elevate emissività e temperature basse o moderate. Le modalità di trasmissione del calore sono tre, ma esse possono non essere contemporaneamente presenti: per esempio, nei solidi opachi si ha trasmissione di calore solo per conduzione, mentre nei solidi semitrasparenti si ha conduzione e irraggiamento. In un solido la trasmissione di calore avviene per conduzione e irraggiamento e non per convezione, mentre in un fluido in quiete (in assenza di movimento della massa fluida) avviene per conduzione ed eventualmente per irraggiamento, e per convezione e irraggiamento in un fluido in movimento. In assenza di irraggiamento, la trasmissione di calore in un fluido avviene per conduzione o per convezione in funzione della presenza o dell'assenza di movimento nella massa fluida. La convezione può essere vista come un meccanismo combinato di conduzione termica e movimento di un fluido, e d'altra parte la conduzione in un fluido può essere vista come un caso particolare di convezione corrispondente all'assenza di qualunque movimento del fluido (Figura 10.9). Pertanto, nel caso di trasmissione di calore in un fluido, si tratterà di conduzione o convezione, non di entrambe. I gas sono praticamente trasparenti alla radiazione, tranne alcuni noti per la capacità di assorbire fortemente la radiazione in corrispondenza di determinate lunghezze d'onda: per esempio, lozono che assorbe fortemente la radiazione ultravioletta. Di solito un gas· tra due superfici solide non interferisce con la radiazione e si comporta praticamente come il vuoto, mentre i liquidi assorbono fortemente la radiazione termica. Si osservi che nel vuoto si ha trasmissione di calore solo per irraggiamento, dal momento che la conduzione e la convezione richiedono la presenza di un mezzo materiale.
= T,+T, = 2
a) Osservando che la trasmissione di calore costituisce l'unica forma di scambio di energia, il principio di conservazione dell'energia richiede che la quantità di calore trasmesso dalla sfera di rame uguagli la variazione dell'energia interna di quest'ultima, Q m c, T,)
cr. -
=
3
m = p V =!!...p 0 =!!...x8950x0.1= 4.69kg 6 6
Dove Sostituendo,
Q = 4.69
X
0.393 X (100 -150) = -92.2 kJ
Il segno negativo indica che la sfera di rame cede calore. Nello studio della tra· smissione di calore, spesso si assume lo scambio termico positivo indicandone chiaramente la direzione. In questo caso si può dire che la quantità di calore Q = 92.2 kJ è ceduta dalla sfera di rame all'ambiente. b) Normalmente la potenza termica trasmessa durante un processo varia nel tempo, allo stesso modo in cui la velocità di un'automobile varia nel tempo nella guida normale. Si può comunque determinare la potenza termica trasmessa media dividendo la quantità di calore trasmesso per l'intervallo di tempo, nello stesso modo in cui si può determinare la velocità media di un'automobile dividendo la distanza percorsa per il tempo impiegato a percorrerla. Perciò: .
Q
O.,.. =-;g=
92.2 =0.0512kJ/s=51.2W 1800
c) Si definisce flusso termico lo scambio termico riferito all'unità di tempo e alla superficie di area unitaria owero la potenza termica per una superficie di area unitaria. In questo caso, il flusso termico medio risulta: .
q_,
=
2 Q,.,. =~=1631W/ A 0.0314 m
A= n:CP = n (0.1) 2 = 0.0314 m2
d) La legge di Newton per lo scambio termico convettivo è:
Ò =hA(T,-TJ Trascurando qualunque scambio termico per irraggiamento e quindi assumendo che l'intera perdita di calore della palla abbia luogo per convezione, il coefficiente di scambio termico convettivo all'inizio del raffreddamento è:
h
Ò 51.2W 13 W/( , oc) = A(T, -T.) - 0.0314x(150-25) m ·
150 1
+ 2
oo =125°C=398K
Il calore specifico del rame a 400 K, riportato in Tabella A.14, è c, = 0.393 kJ/(kg -_ Kl: La densità del rame è fornita solo a 20°C e risulta essere p = 8950 kg/m3. È qUindl
11 coefficiente di scambio termico convettivo alla fine del raffreddamento, usando 100°C per la temperatura superficiale anziché 150°C, è 21.7 W/(m'. °C). La precisione di questi valori dipende dall'approssimazione di flusso termico costante.
--------------------
317 Le modalità di trasmissione del calore
318 La conduzione termica
b
in regime stazionario
;,-•OOK
200K
300K
300K
319
200K
~'.h'-.
ESEMPIO 10.2
CAPITOLO IO
Q
~ ""'OOK
L= lcm
<=l
La condm;ibilitù termi1.:1.1
Si consideri uno scambio termico stazionario tra due ampi piani paralleli a temperature costanti T, = 300 K e T2 = 200 K posti a distanza uno dall'altro di L = 1 cm, come mostrato in Figura 10.11. Assumendo che le superfici siano nere (emissività E = 1), si determini la potenza termica trasmessa tra i piani per una superficie di area unitaria, ipotizzando che lo spazio tra i piani sia a) riempito con aria atmosferica, b) vuoto, c) riempito di materiale isolante tipo uretano e cf'J riempito con un superisolante di conducibilità termica apparente pari a 0.00002 W/(m·· °C) .. Soluzione a) La conducibilità termica dell'aria alla temperatura media di 250 K è 0.0223 W/(m · °C). Trascurando qualunque corrente convettiva naturale che può avere luogo nell'aria, le potenze termiche trasmesse per conduzione e radiazione tra i piani attraverso lo strato di aria sono
.
FIGURA 10.11
T.-T.
o.,... =ÀAy=o.0223x1x
Schema per l'Esempio 10.2.
e
300-200
=223W
w
Q totale = Q lrr '= 368 c) Un materiale solido opaco posizionato tra due piani ostacola lo scambio termico radiativo diretto tra i piani. La conducibilità termica del poliuretano che tiene conto dello scambio termico radiativo che si può avere attraverso i vuoti nel materiale isolante è 0.026 W/(m · °C), come riportato nella Tabella A.16. La potenza termica trasmessa è quindi:
.
T.T. 1
300-200 0.01
(e) Isolante
convezione. In un forno tradizionale, dapprima l'aria nel torno viene riscaldata alla temperatura desiderata dall'elemento scaldante elettrico o a gas. Si ha quindi trasmissione di calore dall'aria alla pelle del pollo per convezione naturale, nella maggior parte dei forni, o per convezione forzata, nei più recenti forni a convezione che utilizzano un ventilatore (il movimento dell'aria nei forni a convezione aumenta il coefficiente di scambio termico convettivo riducendo i tempi di cottura). Successivamente si ha trasmissione di calore per conduzione verso le parti interne come nei forni a microonde. I forni a microonde sostituiscono il lento processo di scambio termico convettivo dei forni tradizionali con lo scambio termico radiativo istantaneo, trasferiscono energia al cibo a piena potenza nel momento in cui sono accesi, cucinano più velocemente consumando meno energia.
=260 W
Si osservi che la trasmissione di calore attraverso il poliuretano è inferiore a quella attraverso l'aria calcolata in a), sebbene la conducibilità termica dell'isolante sia molto maggiore di quella dell'aria. Questo accade perché l'isolante ostacola la radiazione mentre l'aria la trasmette.
cf'J Lo strato del superisolante impedisce qualunque scambio termico diretto di tipo radiativo tra i due piani. In ogni caso, si avrà scambio termico radiativo tra i vari strati del superisolante e di questo tiene conto la conducibilità termica apparente del superisolante. Si ha quindi:
T,- r;. 300-200 o. ..,.,. =ÀA-L-=0.00002x1x
(b) Vuoto
Soluzione Il cibo cuoce in un forno a microonde assorbendo l'energia della radiazione elettromagnetica generata dal tubo a microonde chiamato magnetron. Tale radiazione non è una radiazione termica, dal momento che la sua emissione non è dovuta alla temperatura del magnetron; essa è, piuttosto, dovuta alla conversione di energia elettrica in radiazione elettromagnetiea di una ben precisa lunghezza d'onda. La lunghezza d'onda della radiazione è tale da essere riflessa dalle superfici metalliche, trasmessa dai tegami di vetro, ceramica o plastica, e infine assorbita e convertita in energia interna dalle molecole del cibo (specialmente dall'acqua, dallo zucchero e dal grasso). In un forno a microonde, la radiazione che investe il pollo è assorbita dalla pelle del pollo e dagli strati esterni. Di conseguenza, la temperatura del pollo sulla pelle e in prossimità della pelle aumenta. Per effetto di questo aumento di temperatura superficiale si avrà una trasmissione di calore verso le parti più interne del pollo per conduzione e naturalmente verso l'aria all'interno del forno per
b) Quando lo spazio tra i piani viene evacuato, non vi sarà né conduzione né convezione e l'unico scambio termico tra i piani sarà di tipo radiativo. In questo caso si avrà:
.
(a) Intercapedine
(d) Superisolante
La cottura rapida ed efficiente nei forni a microonde ha reso questo elettrodomestico essenziale nelle moderne cucine (Figura 10.13). Si considerino le modalità di trasmissione del calore che si hanno durante la cottura di un pollo nei forni a microonde e in quelli tradizionali, spiegando anche perché cucinare in un forno a microonde è più efficiente.
La potenza termica trasmessa in realtà sarà maggiore a causa delle correnti convettive naturali che verosimilmente si avranno nell'intercapedine d'aria tra i piani.
2 0 101.,. =0- =ÀA-- =0.026x1x L
lcm
FIGURA 10.12
0.01
= 223 + 368 = 591
lcm
ESEMPIO 10.3
= 1 X 5.67 X 10-8 X 1 X (300 4 - 2004) = 368 W
a,"''' = a.,... + a,,
Q=368W
d'aria
c'J,. = EaA(7;' - T,,')
Risulta quindi:
Q=59IW
0.2W
0.01
10.3 Il LA CONDUCIBILITÀ TERMICA
che è 1/1840 dello scambio termico attraverso il vuoto. I risultati di questo esempio sono riepilogati in Figura 10.12.
La conducibilità termica A. è una misura della capacità di un materiale di condurre calore: per esempio, poiché a temperatura ambiente A. = 0.608
I
Modi diversi per la riduzione della trasmissione del calore tra due piani isotermi e relativa efficacia.
FIGURA 10.13
Un pollo durante la cottura in un forno a microonde (Esempio 10.3).
320 CAPITOLO IO La conduzione termica in regime stazionario
e,=
TABELLA 10.2
Conducibilità termiche di alcuni materiali a temperatura ambiente
Materiale Diamante Argento Rame Oro Alluminio Ferro Mercurio (1) Vetro Mattone Acqua (I) Pelle umana Legno (quercia) Elio (g) Gomma soffice
W/(m · 0 C) per l'acqua e À. = 60 W/(m · 0 C) per il ferro, quest'ultimo conduce calore all'incirca 100 volte più dell'acqua. Per questo motivo si dice che l'acqua è un cattivo conduttore di calore rispetto al ferro, pur essendo un mezzo eccellente per accumulare calore: 4.18 kJ/(kg · 0 C) per l'acqua, e = 0.45 kJ/(kg · °C) per il ferro. L'Equazio"ne 10.4 per calcolare la potenza termica che si trasmette per conduzione in condizioni stazionarie può servire anche per definire la conducibilità termica. Si può pertanto definire la conducibilità termica di un materiale come la potenza termica che si trasmette attraverso uno spes-
A, W/(m·°C) 2300
429 401 317 237 80.2 8.54
Aria (g)
0.78 0.72 0.613 0.37 0.17 0.152 0.13 0.072 0.043 0.026
Schiuma uretanica rtgida
0.026
R-12 Fibra di vetro
Resistenza elettrica
Campione del
materiale
A
FIGURA 10.14
Un dispositivo sperimentale semplice "'" misurare la conducibilità termica li un materiale.
CRISTALLI NON METALLICI
lOOOr-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~IJ:Ìi~~ METALLI PURI
À
W/rn.•c
Grafite
321 &ti Uii La conducibilità termka
sore unitario del materiale per unità di superficie e per differenza di temperatura unitaria. Un valore elevato di una conducibilità termica indica che il materiale è un buon conduttore di calore, mentre un basso valore indica che il materiale è un cattivo conduttore di calore ovvero è un isolante. Le conducibilità termiche di alcuni materiali di comune impiego sono riportate nella Tabella 10.2: per esempio, la conducibilità termica del rame puro a temperatura ambiente è À. = 401 W/(m · 0 C), il che sta a indicare che uno strato di rame dello spessore di l m è in grado di trasmettere per conduzione 40 l W per m 2 di superficie soggetto a una differenza di temperatura di l grado. Si noti che materiali come il rame e l'argento, che sono buoni conduttori elettrici, sono anche buoni conduttori termici e hanno quindi valori elevati di conducibilità termica, mentre materiali come la gomma, il legno e il polistirolo sono cattivi conduttori elettrici e hanno anche bassi v.alori di conducibilità termica. L'Equazione 10.4 può essere anche usata per valutare la conducibilità termica di un materiale. Uno strato di materiale di spessore e area noti può essere riscaldato da una parte da una resistenza elettrica di potenza nota. Se la superficie esterna del riscaldatore è ben isolata termicamente, tutto il calore generato dal riscaldatore a resistenza si trasmetterà attraverso il materiale di cui si vuole determinare la conducibilità. Misurando le due temperature superficiali del materiale quando si raggiungono condizioni stazionarie e sostituendole nell'Equazione 10.4 insieme ad altre quantità note si otterrà la conducibilità termica (Figura 10.14). La conducibilità termica dei materiali varia in un campo vasto, come mostrato in Figura 10.15: per esempio, la conducibilità termica dei metalli puri come il rame è IO'' volte maggiore di quella dei gas come l'aria. Si noti che i metalli hanno le conducibilità termiche più elevate e i gas e i materiali isolanti le più basse. La temperatura è una misura della energia cinetica delle particelle quali molecole o atomi di una sostanza. In un liquido o un gas, l'energia cinetica delle molecole è dovuta al movimento casuale delle molecole, nonché ai movimenti di vibrazione e rotazione. Quando due molecole che possiedono energie cinetiche differenti collidono, una parte dell'energia cinetica della molecola più energetica (a temperatura più elevata) si trasferisce alla molecola meno energetica (a temperatura inferiore), pressappoco allo stesso modo in cui, quando due palle elastiche delta stessa massa e velocità differente collidono, una parte dell'energia cinetica della palla più veloce si trasferisce a quella più lenta. Maggiore è la temperatura, più velocemente le molecole si muovono e più elevato è il numero di tali collisioni e migliore è la trasmissione di calore.
O.I
GAS 'Idrogeno'· EliO·····.· :; )_>-/i;~Jiifr'
" .•.•,,..
·;·;.,!
--~~;-:i~~~;,r ~~~J"l"_.J!H
~i~~ 0.01~---------------------------l
La teoria cinetica dei gas prevede e gli esperimenti confermano che la conducibilità termica dei gas è proporzionale alla radice quadrata della temperatura assoluta T ed è inversamente proporzionale alla radice quadrata della massa molare M. Pertanto, la conducibilità termica di un gas aumenta all'aumentare della temperatura e al diminuire della massa molare: per esempio, la conducibilità termica dell'elio (M =4) è molto più elevata di quelle di aria (M =29) e argon (M =40). I valori di conducibilità termica dei gas alla pressione di IO 1 325 Pa sono riportati in Tabella A.19. Essi, comunque, possono essere usati anche a pressioni diverse da 101325 Pa, dal momento che la conducibilità termica dei gas nella pratica può essere ritenuta indipendente dalla pressione. Il meccanismo della conduzione di calore in un liquido è complicato dal fatto che le molecole sono disposte più vicine tra loro, creando un campo di forze più intenso. Le conducibilità termiche dei liquidi hanno valori compresi tra quelli dei solidi e quelli dei gas. La conducibilità termica di una sostanza è normalmente più elevata nella fase solida e più bassa nella fase gassosa. A differenza dei gas, le conducibilità termiche della maggior Parte dei liquidi diminuiscono al crescere della temperatura, tranne che per l'acqua che costituisce un'importante eccezione. Analogamente ai gas, la
FIGURA 10.15
Campo di variazione della conducibilità termica di alcuni materiali a temperatura ambiente.
322
"""'"'"""""'"""'ID CAPITOLO
IO La conduzione termica in regime stazionario
•Collisioni
molecolari • Diffusione molecolare
FIGURA 10.16 Meccanismi della conduzione di calore in fasi differenti di una sostanza.
TABELLA 10.3 Conducibilità termica di una lega e dei metalli che la compongono
Metallo puro o lega
.<., W/(m·'C) a 300 K
Rame Nickel Costantana (55% Cu, 45% Ni)
401 91 23
Rame Alluminio Bronzo commerciale (90% Cu, 10% Al)
401 237 52
conducibilità dei liquidi diminuisce all'aumentare della massa molare. Metalli liquidi come mercurio e sodio hanno conducibilità termiche elevate e il loro impiego risulta molto conveniente in quelle applicazioni dove si vuole trasferire una elevata potenza termica a un liquido, come negli impianti di potenza nucleari. La conducibilità termica nei solidi si ottiene sommando gli effetti della conduzione di calore dovuta alle onde di vibrazione del reticolo, prodotte dal movimento vibratorio delle molecole che occupano posizioni relativamente fisse, componente di reticolo, e all'energia trasportata dal flusso libero di elettroni, componente elettronica (Figura 10.16). Le conducibilità termiche dei metalli puri dipendono essenzialmente dalla componente di reticolo, a sua volta fortemente dipendente dalla disposizione delle molecole: per esempio, il diamante, solido cristallino altamente ordinato, ha la più elevata conducibilità termica, a temperatura ambiente. Diversamente dai metalli, buoni conduttori di elettricità e di calore, i solidi cristallini quali diamante e semiconduttori come il silicio sono buoni conduttori di calore ma cattivi conduttori elettrici e per questo trovano largo impiego nell'industria elettronica: per leccellente conducibilità termica del diamante, nonostante il prezzo elevato, i dissipatori di diamante vengono usati nel raffreddamento di componenti elettronici particolarmente delicati; oli e guarnizioni di silicio si usano comunemente nell'assemblaggio di componenti elettronici, perché assicurano buona conduzione di calore e buon isolamento elettrico. Poiché i metalli puri hanno elevate conducibilità termiche, ci si aspetterebbe che anche le leghe metalliche abbiano conducibilità elevate e comprese tra le conducibilità dei metalli costituenti. Esaminando i valori riportati in Tabella 10.3, si può osservare che.la conducibilità termica di una lega di due metalli è solitamente molto più bassa di quella di ciascun metallo, poiché in un metallo puro anche piccole quantità di molecole "estranee", anche se di materiali buoni conduttori, perturbano gravemente il flusso di calore: per esempio, la conducibilità termica dell'acciaio contenente appena l' l per cento di cromo è 62 W/(m · 0 C), mentre le conducibilità termiche di ferro e cromo sono, rispettivamente, 83 e 95 W/(m · 0 C). Le conducibilità termiche dei materiali variano con la temperatura (Tabella 10.4); tale variazione in determinati intervalli di temperatura è trascurabile per alcuni materiali, ma significativa per altri, come mostrato in Figura 10.17. Le conducibilità termiche di alcuni solidi mostrano un notevole incremento a temperature prossime allo zero assoluto, dove questi solidi diventano superconduttori: per esempio, la conducibilità del rame raggiunge un valore massimo di 20 000 W/(m · 0 C) a 20 K, corrispondente a circa 50 volte la conducibilità a temperatura ambiente. Le conducibilità termiche di vari materiali sono riportate nelle Tabelle da A.14 fino ad A.20. Poiché la dipendenza dalla temperatura della conducibilità termica complica in modo considerevole lanalisi della conduzione, in pratica si adopera un valore di conducibilità termica À. costante, calcolato a una temperatura media. Nello studio della trasmissione del calore normalmente si assume il materiale come isotropo, cioè con proprietà costanti in tutte le direzioni.
323
10000
---Solidi -----Liquidi
La conducibilitù termica
-- - - - - - Gas
Tipo Ila Tipollb Tipo!
Argento Rame
IO . Vetro piroceram.ico
Quarzo fuso limpido ---------~~ua
O.I
Elio --------------·
---
- - - -. .....T~tracloruro di car~~i~ _ •• Vapore •• ~ •••••
-:~~:_-:-:--:.·~-----·::::. -
~~r:!a•••
-----: . ----:;.~g~n- ----
:.:::"
0.01 ~------------------200 400 600 800 1000 1200 1400
T,K
FIGURA 10.17 Variazione della conducibilità termica di alcuni solidi, liquidi e gas con la temperatura.
Tale assunzione è realistica per la maggior parte dei materiali tranne che per quelli che dimostrano caratteristiche strutturali diverse nelle diverse direzioni, come i materiali compositi laminati e il legno: per esempio, la conducibilità termica del legno perpendicolarmente a una venatura è diversa rispetto a quella parallela alla venatura.
TABELLA 10.4
T,K
Rame
I materiali isolanti
100 200 300 400 600 800
482 413 401 393 379 366
Gli isolanti termici sono usati essenzialmente per opporre resistenza al flusso termico. La maggior parte degli isolanti è costituita da materiali eterogenei di bassa conducibilità termica e cavità d'aria, caratterizzata quest'ultima da una delle più basse conducibilità termiche: per esempio, il polistirolo, comunemente usato come materiale di imballaggio, è anche un eccellente isolante. II flusso termico tra due corpi a temperature diverse può essere rallentato ponendo "barriere" sul suo percorso, costituite da isolanti termici particolarmente importanti nella progettazione e fabbricazione di tutti i dispositivi e i sistemi "energy-efficient". Uno studio del 1991 della Drexel University sulle industrie statunitensi "energy-intensive" ha rivelato che negli Stati Uniti l'isolamento fa risparmiare all'industria circa due miliardi
Conducibilità termiche dei materiali in funzione della temperatura
J., W/(m·'C) Alluminio 302 237 237 240 231 218
l 324 CAPITOLO IO
La conduzione tem1ica in regime stazionario
di barili di petrolio all'anno, valutati in termini di costi energetici in 60 miliardi di dollari all'anno. Si noti che l'isolamento termico si paga da solo, perché fa risparmiare energia. Infatti, l'isolamento termico richiede un investimento iniziale di capitale, ma i suoi effetti a lungo termine sono sensazionali. Il tempo di ammortamento dell'isolamento solitamente è inferiore a due anni; in altri termini, i risparmi dell'isolamento monetizzati durante i primi due anni sono di solito maggiori del costo iniziale del materiale posto in opera. In una più ampia prospettiva, l'isolamento termico migliora anche l'ambiente e riduce l'inquinamento dell'aria e l'effetto serra attraverso la riduzione della quantità di combustibile bruciato e quindi la produzione di e di altri gas nocivi rilasciati nell'atmosfera. Il risparmio di energia conseguibile con l'isolamento non si limita alle superfici calde. È possibile risparmiare energia e denaro, infatti, isolando superfici fredde (superfici la cui temperatura è più bassa della temperatura ambiente) quali tubazioni di acqua refrigerata, serbatoi di riserva criogenica, autocarri frigoriferi e canali del condizionamento dell'aria, poiché il "freddo" è prodotto dalla macchina frigorifera che per funzionare richiede energia, fornita di solito sotto forma di elettricità. In assenza di isolamento termico il calore si trasferisce dal!' ambiente alle superfici fredde con la conseguenza che la macchina frigorifera deve lavorare in maniera più gravosa e più a lungo per compensare questo guadagno di calore, consumando più energia elettrica: per esempio, un frigorifero con pareti ben isolate consumerà molto meno elettricità di un altro simile con isolamento termico ridotto o nullo; una casa ben isolata termicamente avrà un carico termico per il suo raffrescamento, e di conseguenza un consumo elettrico per il condizionamento dell'aria, minore di un'altra simile non isolata termicamente. L'isolamento termico sotto forma di fango, argilla, paglia, stracci e strisce di legno fu usato per la prima volta nel XVIII secolo su macchine a vapore, per evitare che gli operai fossero ustionati da superfici bollenti. Come risultato, le temperature nella sala macchina diminuirono e si rilevò anche una riduzione del consumo di combustibile, che stimolò la ricerca di materiali con migliore efficienza termica. Uno dei primi materiali impiegati per l'isolarnento termico fu la lana minerale che, come spesso accade, fu scoperto per caso, intorno al 1840, quando un produttore di ferro nel Galles indirizzò un getto di vapore ad alta pressione in corrispondenza della scoria di un altoforno. Successivamente, questa lana di roccia, sottoprodotto della fabbricazione dei cannoni per la Guerra Civile, si fece strada rapidamente in diversi usi industriali. A partire dal 1880 i costruttori cominciarono a installare la lana minerale anche nelle case. La crisi energetica degli anni 1970 aumentò notevolmente la consapevolezza pubblica sull'importanza dell'energia e sulla limitatezza delle riserve, promuovendo il risparmio energetico. Da allora si è assistito allo sviluppo di materiali per l'isolamento nuovi e più efficaci e a un notevole incremento nel ricorso all'isolamento: le pareti delle abitazioni sono spesso riempite con isolanti termici e il tetto è protetto da uno strato spesso di isolamento; nelle pareti del frigorifero domestico è inserito uno strato isolante tra due strati di lamiera metallica.
co2
I
Risparmiare energia riducendo il flusso termico costituisce il principale motivo per l'impiego dell'isolamento termico, per cui si dispone di materiali di prestazioni soddisfacenti nell'intervallo di temperatura da-268°C a l000°C. L'isolamento termico comporta anche la protezione e il benessere personale, la conservazione della temperatura di processo, il contenimento della variazione e dell.e fluttuazioni di temperatura, la prevenzione di fenomeni di condensazione e di corrosione, la protezione dal fuoco, la protezione dal congelamento e la riduzione di rumore e vibrazioni. La maggior parte degli isolanti si ottiene mescolando fibre, polveri o fiocchi di materiale isolante con aria. Questi isolanti, poiché la propagazione di calore avviene per conduzione attraverso il materiale solido e per conduzione o per convezione e per irraggiamento attraverso l'aria, sono caratterizzati da una conducibilità termica apparente che tiene conto del più complesso fenomeno di trasmissione del calore (Figura 10.18). Isolanti con conducibilità termica apparente estremamente bassa (circa un milionesimo di quella del!' aria), chiamati superisolanti, si ottengono usando strati altamente riflettenti separati da fibre di vetro nel vuoto.
La conducibilità
termica
Conduzione
Materiale isolante
I superisolanti
poroso
=
Materiali isolanti, come per esempio il poliuretano o la schiuma rigida [A. 0.026 W/(m ·°C)] o la fibra di vetro [A.= 0.035 W/(m · 0 C)], hanno bassissime conducibilità termiche e sono ampiamente disponibili, economici e facili da mettere in opera. Poiché la conducibilità termica dell'aria, a temperatura ambiente pari a 0.026 W/(m · °C), è più bassa delle conducibilità praticamente di tutti i comuni materiali isolanti, si può pensare a una intercapedine d'aria efficace tanto quanto uno qualunque tra i materiali isolanti comuni, a parità di spessore. Purtroppo, la trasmissione termica attraverso l'intercapedine d'aria sarà maggiore di quanto la sola conduzione potrebbe indicare, a causa degli effetti della convezione e della radiazione. Poiché la conducibilità termica dell'aria è praticamente indipendente dalla pressione, tranne che a pressioni estremamente elevate o estremamente basse, si può quindi ridurre la trasmissione di calore per conduzione praticando il vuoto nell'intercapedine. Infatti, nel caso limite di vuoto assoluto, la conducibilità termica dell'intercapedine sarà nulla poiché non vi saranno particelle atte a "condurre" calore da una superficie ali' altra. Il vuoto non è il migliore isolante termico, perché lo scopo dell'isola" mento è quello di ridurre la trasmissione "totale" di calore, non solo quella per conduzione. Il vuoto, infatti, elimina totalmente la conduzione, ma offre una resistenza nulla alla radiazione la cui entità può essere confrontabile alla conduzione o alla convezione naturale nei gas (Figura 10.19). L'isolamento alla trasmissione di calore per irraggiamento tra due superfici si ottiene collocando tra esse "barriere" costituite da strati metallici sottili altamente riflettenti. Così facendo la trasmissione di calore per irraggiamento sarà inversamente proporzionale al numero degli strati metallici interposti. Isolamenti molto efficaci si ottengono usando sottili strati ben pressati altamente riflettenti di alluminio (di solito 25 strati per cm) separati da un materiale isolante come la fibra di vetro (Figura 10.20) e realiz-
FIGURA 10.18
LA conducibilità termica apparente di un materiale isolante tiene conto della conduzione attraverso il materiale solido e della conduzione o della convezione attraverso l'aria, cosl come dell'irraggiamento.
FIGURA 10.19
Il vuoto nello spazio tra due superfici elimina completamente lo scambio termico per conduzione o convezione, ma non l'irraggiamento.
.....-------------- ----------326 CAPITOLO IO La conduzione termica in regime stazionario
··-
-- - -··--
zando un vuoto al di sotto di O. I Pa. Il materiale per isolamento descritto ha una conducibilità tem1ica apparente inferiore a 2 x 10-5 W/(m. 0 C), un milione di volte inferiore alla conducibilità termica dell'aria o di un qualsiasi altro materiale isolante comune. Questi particolari isolanti artificiali sono chiamati superisolanti e vengono impiegati comunemente in applicazioni spaziali e in criogenia, per la liquefazione, lo stoccaggio e il trasporto di gas, quali elio, idrogeno, azoto e ossigeno, a temperature al di sotto di 200 K.
I valori di diffusività termica di alcuni materiali comuni a 20°C sono riportati nella Tabella 10.5. Si noti che la diffusività termica varia da a= 0.14 x J0-6 m2/s per lacqua a un valore circa I 000 volte maggiore per l'argento a= 174 x JQ-6 m 2/s. Si noti pure che le diffusività termiche della carne di manzo e dell'acqua sono uguali, il che non sorprende dal momento che la carne così come la verdura e la frutta fresca sono costituite soprattutto da acqua.
La resistenza termica specifica dei materiali isolanti
ESEMPIO 10.4
Le caratteristiche dei materiali per isolamento termico in edilizia sono sintetizzate dalla resistenza termica specifica, vale a dire riferita a una superficie di area unitaria:
Un modo comune di misurare la conducibilità termica di un materiale è quello di inserire un riscaldatore elettrico a termolamina tra due campioni identici del materiale, come mostrato nella Figura 10.22. Lo spessore del riscaldatore a resistenza, compresa la sua copertura, fatta di una sottile gomma siliconica, è di solito inferiore a 0.5 mm. Un fluido circolante tipo acqua di rubinetto mantiene le estremità esposte dei campioni a temperatura costante. Le superfici laterali dei campioni sonò ben isolate per assicurare che la trasmissione di calore attraverso i campioni sia monodimensionale. Due termocoppie sono inserite in ogni campione a una certa distanza L una dall'altra. Un termometro differenziale fornisce la caduta di temperatura I!. T lungo questa distanza per ogni campione. Quando si raggiungono condizioni stazionarie, la potenza termica trasmessa complessivamente attraverso entrambi i campioni uguaglia la potenza elettrica emessa dal riscaldatore, che si determina moltiplicando la corrente elettrica per la tensione. In un certo esperimento, vengono usati campioni cilindrici di 5 cm di diametro e 10 cm di lunghezza. Le due termocoppie in ogni campione sono posizionate a 3 cm di distanza. Dopo un periodo transitorio iniziale, il risealdatore elettrico assorbe 0.4 A a 110 V ed entrambi i termometri differenziali forniscono una differenza di temperatura di 15°C. Si determini la conducibilità termica del campione.
r= FIGURA 10.20 Superisolanti realizzati usando sottili strati ben pressati altamente riflettenti di metallo separati dal vuoto.
L
I
(m2.oc/W)
(10.8)
dove L è lo spessore e ..1. la conducibilità termica del materiale (Figura 10.21). Si noti che il valore della resistenza termica specifica è proporzionale allo spessore.
La diffusività termica Il prodotto pc,,, che si incontra di frequente nello studio della trasmissione di calore, è chiamato capacità termica di un materiale e, come il calore specifico c , esprime la capacità di accumulo termico di un materiale: c J/(kg · °C) la esprime per unità di massa, pc J/(m 3 • 0 C) la espriP me pefunità di volume. Un'altra proprietà di un materiale che interviene nello studio della conduzione termica transitoria è la diffusività termica, definita dalla relazione:
ew
327 ?f
,,.-s;f~~~.;.::::.:
La conducibilità termica
TABELLA 10.5
Diffusività termiche di alcuni materiali a temperatura ambiente Materiale
cx, m'ls
Argento Oro
149 X 10"6 127 X 10"6 113 X 1()-6 97.5 X 10"6 22.8 X 10"6 4.7x 10"6 1.2x 10"6 1.2x1o-6 0.75 X 10"6 0.52 X 1()-6 0.52 X 1()-6 0.34 X 10"6 0.23 X 1()-6 0.14 X 1()-6 0.14 X 1()-6 0.13 X 10"6
Rame Alluminio Ferro Mercurio (I) Marmo Ghiaccio Calcestruzzo Mattone Terreno pesante (secco) Vetro Lana di vetro Acqua (I) Carne di manzo Legno (quercia)
I dati forniti sono acquisiti quando il dispositivo sperimentale ha Soluzione raggiunto le condizioni di funzionamento stazionario, dal momento che le letture sugli strumenti non variano nel tempo. La potenza elettrica assorbita dal riscaldatore a resistenza, convertita in calore, è:
i.~= V/=110x0.4 =44W
a=
FIGURA 10.21
Resistenza tennica specifica r di un materiale isolante: rapporto dello spessore del materiale rispetto alla sua conducibilità termica.
calore trasmesso per conduzione calore immagazzinato
..1. = - (m2/s) pc P
(10.9)
dove f! è la densità, ..1. è la conducibilità termica e cP è il calore specifico del matenale. Poiché la conducibilità termica ..1. rappresenta l'attitudine di un materiale a condurre calore e la capacità termica pc la quantità di energia che un materiale è in grado di accumulare per unit'à di volume, la diffusività termica di un materiale può essere vista come il rapporto del calore trasmesso per conduzione rispetto al calore accumulato per unità di volume. Un materiale con una elevata conducibilità termica oppure con una bassa capacità termica ovviamente avrà una grande diffusività termica. Un alto valore di diffusività termica indica una veloce propagazione del calore mentre un valore basso di diffusività termica indica che il calore è prevalentemente accumulato nel materiale.
Essendo le superfici laterali dell'intera apparecchiatura fortemente isolate, si fa l'ipotesi che tutto il calore generato dal riscaldatore si trasmette attraverso i campioni per conduzione. Inoltre, per motivi di simmetria solo metà del calore generato fluirà attraverso ciascun campione e quindi la potenza termica attraverso ciascun campione è:
O=iL,, =ix44=22W Leggendo la stessa differenza di temperatura alla stessa distanza in ciascun campione si ha una conferma che il dispositivo sperimentale possiede simmetria termica. La superficie di scambio termico è la superficie normale alla direzione del flusso termico, che costituisce in questo caso la sezione trasversale del cilindro: 2
A= tiro'= tir(0.05) = 0.00196 m'
FIGURA 10.22 Apparecchiatura per misurare la conducibilità termica di un materiale usando due campioni identici e un sottile riscaldatore a resistenza (Esempio 10.4).
Osservando che la temperatura diminuisce di 15°C in 3 cm nella direzione del flusso termico, la conducibilità termica del campione si determina essere:
328 CAPITOLO IO La conduzione termica in regime stazionario
. tiT ÒL 22x0.03 O=À.AL~À. = MT = 0.00196x15
22.4W/(m·'C)
Il secondo campione, che potrebbe essere sostituito dall'isolamento, serve a verificare le misure di temperatura sul primo campione e assicura la simmetria termica, riducendo l'errore sperimentale.
10.4 ij LA CONDUZIONE TERMICA STAZIONARIA NELLE PARETI PIANE
II'C 3°C
3°C
20°C
ll'C
3'C
3°C
3°C
3°C
3'C
3°C
3°C
3°C
3°C
3°C
3°C ll'C
20°C
.
11°C 20°C
ll'C 20'C
3°C.
3'
A
Q
Attraverso le pareti di un edificio in un giorno invernale il calore si disperde continuamente verso lesterno. Intuitivamente si può pensare che in ogni parete si abbia trasmissione di calore per conduzione nella direzione normale alla superficie della parete stessa e che non si verifichi alcuna significativa trasmissione di calore in altre direzioni (Figura 10.23). Misure di temperatura in più punti sulla superficie interna ed esterna di una parete possono mostrare che la superficie di una parete è pressappoco isotermica, cioè che le temperature della zona superiore e inferiore della superficie di una parete così come le zone estreme destra o sinistra sono all'incirca le stesse. Poiché la trasmissione di calore per conduzione in una certa direzione dipende dal gradiente di temperatura in quella direzione, non essendovi differenza di temperatura tra la zona superiore e que!la inferiore della parete o da sinistra a destra, non vi sarà trasmissione di calore per conduzione. Verificandosi una considerevole differenza di temperatura tra le superfici interna ed esterna della parete, si avrà invece una notevole trasmissione di calore per conduzione nella direzione che va dalla superficie interna a quella esterna, poiché lo spessore modesto della parete determina un elevato gradiente di temperatura in quella direzione. Considerando costanti le temperature dell'aria all'interno e all'esterno dell' edificio, la trasmissione di calore per conduzione attraverso le pareti di un edificio può essere considerata stazionaria e monodimensionale, per cui la temperatura della parete dipenderà solo da una dimensione: per esempio, scegliendo la x si avrà T = T (x). Nel caso di trasmissione di calore per conduzione, se non vi è alcuna generazione interna di calore, il bilancio di energia per la parete si può quindi esprimere con la relazione:
( FIGURA 10.23 Flusso tennico monodimensionale Jttraverso una parete ~uando la temperatura della parete varia in una direzione soltanto.
ovvero
nel tempo, il flusso termico entrante nella parete deve uguagliare il flusso termico uscente da essa. In altri termini, il flusso termico attraverso la
parete deve essere costante: Qcond,parete = costante. Si consideri una parete piana di spessore L e conducibilità termica media il, con superfici interna ed esterna a temperature costanti, T, e T , ri2 spettivamente. Nel caso di trasmissione di calore per conduzione stazionaria monodimensionale, essendo T(x) e applicando la legge di Fourier della conduzione termica si ha: . dT ~ond,parete =-À.A dx
(IO.IO)
Poiché in condizioni stazionarie la potenza termica accumulata deve ess~ re nulla, dal momento che in nessun punto della parete la temperatura vana
La conduzione termica stazionaria nelle pareti piane
(IO. li)
dove la potenza termica trasmessa per conduzione Qcond,parete e l'area A della superficie sono costanti. Poiché anche dT/dx = costante, la temperatura attraverso la parete varia linearmente con x, quindi in condizioni stazionarie la distribuzione di temperatura nel caso di trasmissione di calore per conduzione attraverso una parete piana è rappresentata da una linea retta (Figura I0.24 ). Separando le variabili nella precedente equazione e integrando da x = O dove T (0) = T1 a x = L dove T (L) = T2, si ottiene
i
l
x=O
1'
. Qcond,paretedx=-
À.AdT
=T1
Eseguendo l'integrazione e riordinando si ha ·
~ond, parete =
À.A1;-T2 --L-
(W)
(10.12)
che risulta identica all'Equazione 10.4. Riepilogando, la potenza termica per conduzione attraverso una parete piana è proporzionale alla conducibilità tennica media, all'area della superficie, alla differenza di temperatura ed è inversamente proporzionale allo spessore della parete. Inoltre, nota la potenza termica per conduzione, si può determinare la temperatura T(x) in ogni posizione x sostituendo nell'Equazione 10.12 Tal posto di T2 e x al posto di L.
FIGURA 10.24 In condizioni stazionarie, la distribuzione di temperatura in una parete piana è una linea retta.
Il concetto di resistenza termica L'Equazione 10.12 per la conduzione termica attraverso una parete piana può essere riscritta come:
potenza termica)-(potenza termica)=(potenza termica) entrante uscente accumulata · · dEparete Q,-Qu=df
329 ~~:;;ltZ
. _1;-T2 Qcond,parete - -R-- (W) parete
dove
L
Rparete= À.A
(0 C/W)
(10.13) (10.14)
è la resistenza termica della parete nella conduzione di calore o semplicemente la resistenza conduttiva della parete. Si osservi che la resistenza
------------
----
----------------------------------
330
termica di un mezzo dipende dalla geometria e dalle caratteristiche termi-
che del mezzo.
CAPITOLO 10
L'equazione precedente per il flusso termico è analo<>a alla relazione per il flusso di correme elettrica l espresso dalla relazion~:
La conduzione termica in regime stazionario
è la resistenza termica di una superficie nella trasmissione di calore per radiazione o la resistenza radiativa della superficie e
331 La conduzione termica stazionaria nelle pareti piane
(10.20)
è il coefficiente di scambio termico per irraggiamento. La definizione
Q-
T 1 -T2
R
T1~T2 R (a) FJusso tennico
I= V1 - Y2
R,,
v1 ~v2
R,,
(b) Flusso elettrico
FIGURA 10.25 Analogia tra resistenza termica ed elettrica.
l=Y!-V2 (10.15) R.1 dove R,1 = Ua,ti è la resistenza elettrica e ·v, - V, è la differenza di tensione da ~n capo all'altro della resistenza (a,1 è la conducibilità elettrica). Per analogia, la potenza tennica trasmessa attraverso uno strato corrisponde alla corrente elettrica, la resistenza temzica corrisponde alla resistenza elettri~a e la differenza di temperatura corrisponde alla differenza di tensione (Figura 10.25). . Si c?nsideri la trasmissione di calore per convezione da una superficie s?hda d1 area A e tem~eratura T, a un fluido di temperatura T. a sufficiente distanza dalla superficie, con un coefficiente di scambio termico convettivo h: La legge di Newton per la potenza termica trasmessa per convezione Qconv = hA(T, -T.) può essere riscritta: _ T, -T. . Qconv--R--
(W)
(10.16)
del coefficiente di scambio termico radiativo consente di esprimere la potenza termica trasmessa per radiazione in funzione di una differenza di temperatura in maniera analoga alla convezione. Si noti che h," dipende fortemente dalla temperatura, mentre h,00 , di solito no. Poiché una superficie esposta ali' aria ambiente è soggetta simultaneamente a convezione e irraggiamento, la trasmissione di calore globale in corrispondenza di questa superficie si determina sommando (o sottraendo se in direzioni opposte) le componenti della radiazione e della convezione. Le resistenze convettiva e radiativa sono quindi in parallelo tra loro, come mostrato in Figura 10.27, e possono dare luogo a qualche complicazione nel circuito di resistenza termica. Quando però Tamb"" T_, leffetto radiativo può essere valutato sostituendo h nella relazione della resistenza convettiva con h = hconv + h,,.,. In questo modo si evitano tutte le complicazioni associate alla radiazione.
FIGURA 10.27 Schema di resistenze convettiva e radiativa in corrispondenza di una superficie.
La rete di resistenze termiche
conv
dove
I
_.@_
T,~T. Rconv=
1 = lzA
(°C/W)
(10.17)
è la resistenza t.ennica della superficie nella convezione di calore o semplicemente la resistenza convt:ttiva della superficie (Figura 10.26). Si noti che, quando il coefficiente di scambio termico convettivo è molto grande (h ~ 00), la res!stenza alla convezione diventa zero e T,"" T•. In questo caso, la superficie non offre alcuna resistenza alla convezione e perciò non r?llen~a il pr?cesso di trasmissione di calore. Questo caso in pratica si venfi~a m c~msp_ondenza di superfici dove ha luogo evaporazione e condensaz10ne. S1 noti che la superficie non deve essere necessariamente piana P?i~hé l'Equazione 10.17 per la resistenza convettiva è valida per superfi~ c1 d1 qualunque forma, ammesso che l'assunzione di h =costante e uniforme sia ragionevole. Qu_ando la parete è circondata da un gas, gli effetti della radiazione, fino:~ ignora.ti, pos.sono essere significativi e può essere necessario prenderh m cons1deraz10ne. La potenza termica trasmessa per irraggiamento u:a una s~perficie di emissività e e area A a temperatura T, e le superfici circostanti a una certa temperatura T•mb si può esprimere con la relazione:
~
FIGURA 10.26 Schema di resistenza convettiva in corrispondenza di una superficie.
Rconv
4 ) = T, -Tamb ) = h A(T -T Q1rr = eaA(Ts4 -Tamb Rirr amb s 1rr
dove
(K/W)
Si consideri ora un flusso termico monodimensionale attraverso una parete piana di spessore L e conducibilità termica A., esposta a convezione su entrambi i lati con fluidi a temperature T_, e T_2 con coefficienti di scambio termico h, e h2, rispettivamente, come mostrato in Figura 10.28. Assumendo T.2 < T_,, si avrà una variazione di temperatura come quella mostrata nella figura. Si osservi che la temperatura varia linearmente nella parete, tendendo asintoticamente a T. 1 e T_2 nei fluidi quando ci si allontana dalla parete. FIGURA 10.28 La rete di resistenze termiche per la trasmissione di calore attraverso una parete piana soggetta a convezione su entrambi i lati e l'analogia elettrica.
T.,
Q
(W) (10.18)
(10.19)
Q=
I=
T_1 -T.2 Rconv, I + Rparctc + Rconv, 2
T_,
v,-v,
v,
Rei. I+ Rc1.2 + Rcl,3
I
Rconv,I
T,
Rparetc
T,
Rconv.2
T.2
Rc1,1
Rc1.2
Rcl.3
v,
Rete di resistenze termiche Analogia
elettrica
T 332
In condizioni stazionarie, si ha:
333 ?"81
CAPITOLO IO La conduzione termica in regime stazionario
La conduzione termica stazionaria nelle pareti pinne
potenza tennicaJ [ potenza tennica J [potenza tennicaJ
convettiva
[ verso la parete
o
=
conduttiva
attraverso la parete
=
convettiva
dalla parete
. T. -T Q = h1A(T_, -7;) = À. A T = h.zA(T2 -T-2)
(10.21)
che si può riscrivere come
Q= T_ 1 -7; = 7;-T2 = T2 -T_ 2 1/h1A
UM
1111.zA
= T-1 -7; = 7; -T2 = T2 -T-2 Rconv, I
Rparete
(10.22)
Sommando tra loro i numeratori e i denominatori si ottiene (Figura 10.29):
(10.23) FIGURA 10.29 Un'utile identità matematica.
FIGURA 10.30 Caduta di temperatura attraverso uno strato proporzionale alta sua resistenza termica.
Rconv, 2
1 L I dove: Rtotale = Rconv,I + Rpame + Rconv,2 = lziA + ÀA + hzA (°C!W) (10.24) Si noti che nel caso di parete piana 1' area della superficie A è costante e la potenza termica trasmessa è uguale alla differenza di temperatura divisa per la resistenza termica globale tra i mezzi. Si noti anche che, poiché le resistenze termiche sono in serie, la resistenza termica equivalente si determina semplicemente sommando le resistenze, proprio come nell'analogo caso elettrico. Riepilogando si può affennare che la potenza tennica trasmessa in regime stazionario tra due superfici è uguale alla differenza di
temperatura divisa per la resistenza tennica totale tra quelle due superfici. Si noti che, poiché nell'Equazione 10.23 il rapporto tra diminuzione di temperatura e resistenza termica attraverso ciascuno strato è costante, la diminuzione di temperatura attraverso ciascuno strato è proporzionale alla resistenza tennica dello strato, vale a dire che più grande è la resistenza, maggiore è la diminuzione di temperatura (Figura 10.30). Si noti che per valutare la potenza tennica attraverso una parete non è necessario conoscere le sue temperature superficiali, ma i coefficienti di scambio termico convettivo e le temperature del fluido da ambo le parti della parete. La temperatura superficiale della parete può essere determinata poi come descritto sopra attraverso la resistenza tennica, assumendo la superficie di cui determinare la temperatura come una superficie limite. Ad esempio, dopo aver valutato Q, la temperatura superficiale T può es1 sere detenninata con la relazione:
(10.25)
6T=QR
Le pareti piane multistrato Le pareti piane, che in pratica si incontrano abitualmente, sono costituite da numerosi strati di materiali diversi. Per detenninare la potenza termica trasmessa in condizioni stazionarie attraverso tali pareti composte si può ancora fare uso del concetto di resistenza tennica, notando semplicemente che la resistenza conduttiva di ogni strato UM è connessa in serie e, facendo uso dell'analogia elettrica, la potenza tennica si ottiene dividendo la differenza di temperatura tra due superfici di nota temperatura per la resistenza tennica globale tra esse. Si consideri una parete piana costituita da due strati: per esempio, una parete in mattoni con uno strato isolante. In condizioni stazionarie la potenza termica trasmessa attraverso questa parete composta bistrato (Figura 10.31) si può esprimere con la relazione:
Q= T_ 1 -T_2
(10.26)
Rtotale
dove R,o1a1. è la resistenza iennica totale, che si esprime:
=-1-+ !:L+l:L+_I_ lziA A,A À.iA hzA
(10.27)
Nelle precedenti relazioni i pedici 1 e 2 di R indicano il primo e il secondo strato, rispettivamente. Questo risultafusi potrebbe anche ottenere seguendo lapproccio usato prima per il caso dello strato singolo notando che la potenza tennica stazionaria trasmessa attraverso un mezzo multistrato è costante e che, quindi, deve essere la stessa attraverso ciascuno strato. Si noti inoltre che le singole resistenze tenniche sono in serie e che la resi-
335
334
.
~~;,-~{;~ ~"~.
CAPITOLO 10 La conduzione termica
in regime stazionario
r.,
La conduzione termica stazionarin nelle pareti piam•
PAR.E.Tlf2
A
h, T..,,2
FIGURA 10.32 Valutazione delle temperature superficiali e all'interfaccia.
FIGURA 10.31 Rete di resistenze tenniche per la trasmissione di calore attraverso una parete piana a due strati soggetta a convezione su entrambi i lati.
Per trovare T1:
· T_,-
T2 Q = Rconv, 1+R1
. T3 -T..,,., Q = Rconv,2~
stenza termica globale è semplicemente la somma aritmetica delle resistenze termiche. Dalla parete monostrato si passa a quella a doppio strato aggiungendo una resistenza addizionale che tiene conto dello strato addizionale. Estendendo questo risultato alle pareti piane multistrato si può affermare che la resistenza termica globale è quella della parete monostrato con l'aggiunta di una resistenza addizionale per ciascµno strato addizionale. Una volta nota la potenza termica Q si può determinare la temperatura T.J in corrispondenza della generica superficie j con• la relazione:
Q= T;-Ti R,,,..,e.1-i
(10.28)
dove T1 è la temperatura nota della superficie i e R,ota••· 1_ è la resistenza 1 termica totale tra le superfici i e j. Nel caso della parete a due strati di Figura 10.~l. quando le temperature del fluido T_, e T_2 sono disponibili, calcolata Q con l'Equazione 10.28, la temperatura T.2 dell'interfaccia tra i due strati si può determinare (Figura 10.32) con la relazione: (10.29)
La variazione di temperatura da una parte all'altra di uno strato si determina poi facilmente con l'Equazione 10.29, moltiplicando Q per la resistenza termica dello strato.
La resistenza termica di contatto Nello studio della conduzione termica attraverso solidi multistrato, si è ipotizzato ali' interfaccia tra due strati in contatto tra loro un "cont~tto perfetto" cioè senza variazione di temperatura. Un contatto perfetto s1 ha con superflci perfettamente lisce mentre i_n ~ealt_à anch_e, superfici apparentemente lisce sono ruvide, con nume;os1 p1cch1 e cav1ta. , . . In pratica, quando due superfici sono pressa~~ una ~o~tro I altra: 1 pie: chi assicurano un buon contatto, mentre le cavlta cost1tu1scono dei vuoti riempiti di aria. Per la presenza di cavità, che si.comportano ~a isolante a causa della bassa conducibilità termica dell'aria, l'interfaccia offre una certa resistenza alla trasmissione di calore per conduzione, detta resisten· za termica di contatto R (Figura 10.33). I valori di Re determinati sperimentalmente mostrano u~a notevole dispersione a causa della difficoltà nella caratterizzazione delle superfici. Si può osservare, comunque, che la resistenza di contatto diminuisce al diminuire della rugosità superficiale e all'aumentare della pressione all'interfaccia. Si osservi, inoltre, che, nota la potenza termica Qtrasmessa attraverso un certo strato, la resistenza termica di contatto può essere determinata misurando la differenza di t~mpe ratura ll.T all'interfaccia e moltiplicandola per la potenza termicaQ. La maggior parte dei valori sperimentali della resistenza termica di contatto è compresa tra 0.00001 e 0.001 m2 • K/W. . . . La resistenza termica di contatto può essere ndotta usando un hqmdo termicamente conduttivo, quale olio al silicone, che viene applicato sulle
(a) Contatto termico perfetto
(b) Contatto termico reale (ìmperfettol
FIGURA 10.33 Resistenza termica di contatto e caduta di temperatura associata per imperfetto contatto in corrispondenza dell'interfaccia.
1 336 CAPITOLO IO La conduzione termica in regime stazionario
superfici prima che vengano compresse una contro l'altra. Questo accorgimento si adotta comunemente quando si incollano componenti elettronici tipo transistori di potenza ai dissipatori.
ESEMPIO 10.5
monodimensionale la trasmissione di calore attraverso la finestra, dal momento che solo in direzione normale alla parete si avrà un gradiente termico significativo. Questo problema, che comprende la conduzione termica attraverso il vetro della finestra e la convezione termica in corrispondenza delle sue superfici esterna e interna, può essere convenientemente trattato facendo uso del concetto di resistenza termica, come mostrato in Figura 10.35. Tenendo presente che l'area della superficie della finestra è A,= o.a x 1.5 = 1.2 m2 , le singole resistenze sono:
Si consideri una parete alta 3 m, larga 5 m e spessa 0.3 m, di conducibilità termica À = 0.9 W/(m · °C) (Figura 10.34). Le temperature delle superfici interna ed esterna della parete, misurate in un certo giorno, risultano essere 16°C e 2°c, rispettivamente. Si determini la potenza termica dissipata attraverso la parete. Soluzione Si ipotizza che le temperature delle superfici della parete rimangano costanti sufficientemente a lungo in modo da considerare la trasmissione di calore stazionaria. Si assume inoltre monodimensionale la trasmissione di calore attraverso la parete, dal momento che solo in direzione normale alla parete si avrà un gradiente termico significativo. Tenendo presente che la trasmissione di calore attraverso la parete awiene per conduzione e che l'area della superficie della parete è A= 3 mx 5 m = 15 m2, la potenza termica stazionaria trasmessa attraverso la parete calcolata con l'Equazionel 0.4 è:
R = R0 '
'
R """'
'"·'
I.a cond termica stazionari11
nelle pareti piam·
1 = __!__ = - -- = 0.08333°C/W h,A 10x1.2
=J:....= 0.008 -O.Ooa55•CfW ÀA 0.7ax1.2
R =R '
33
""''· 2
1 1 =-=---=0 .020a3° C/W 17,A 40x1.2
Tenendo presente che le tre resistenze sono in serie, la resistenza termica totale risulta essere:
R..... = R..,,.,,, + R..,,,. + R-.• = O.Oa333 + 0.00855 + 0.020a3 =o.1121°ci w
· 1~=0.3~1
O=ÀA T,-T, =0.9x15x
L
16
2 =630W 0.3
La potenza termica stazionaria trasmessa attraverso la finestra è: O=
Lo stesso valore di potenza termica stazionaria trasmessa si ottiene utilizzando la resistenza termica:
FIGURA 10.34 Schema per l'Esempio 10.5.
R,....,
R
-·
R""''
0.9x15
= 20°c- (266 x o.oa333) = - 2.2°c
.
Sostituendo, si ottiene: . 16-2 Q= 0.02222 = 530W
ESEMPIO 10.6 Si consideri una finestra vetrata delle dimensioni o.a m x 1.5 m e dello spessore di a mm, caratterizzata da una conducibilità termica À = 0.7a W/(m · °C). Si determinino la potenza termica stazionaria trasmessa attraverso la finestra e la temperat.ura della superficie interna della finestra in un giorno durante il quale l'ambiente interno è mantenuto a 20°c mentre la temperatura esterna è di -1 o•c. Si assumano quali coefficienti di scambio termico sulle superfici interna ed esterna della finestra h, = 1O W/(m 2 • °C) e h = 40 W/(m' · °C), includendo in essi gli effetti della 2 radiazione. Soluzione Si ipotizza che le temperature interna ed esterna rimangano costanti per un tempo sufficientemente lungo tanto da poter considerare stazionaria la trasmissione di calore attraverso il vetro della finestra. Si assume inoltre
r_, •. .R,, TI R,""',. tI R,.. • r_, r,
r,
FIGURA Schema per l'Esempio
=J:....=~=002222°C/W ÀA
0.1127
Conoscendo la potenza termica, la temperatura superficiale interna del vetro della finestra è:
O=~r.....,
dove
r_, - r_, _ 20-(-10) = 266 w
ESEMPIO 10.7 Si consideri una finestra, alta 0.8 m e larga 1.5 m, costituita da due strati di vetro dello spessore di 4 mm [À = 0.78 W/(m · °C)J separati da un'intercapedine di aria ferma spessa 1o mm [À = 0.026 W/(m · °C)). Si determinino la potenza termica stazionaria trasmessa attraverso questa finestra a doppio vetro e la temperatura della sua superficie interna per un giorno durante il quale la temperatura dell'ambiente viene mantenuta a 20°C mentre la temperatura esterna è di -10°C. Si assumano quali coefficienti di scambio termico sulle superfici interna ed esterna della finestra h, = 10 W/(m'· °C) eh,= 40 W/(m 2 • °C), includendo in essi gli effetti della radiazione. Soluzione Questo problema è identico al precedente, eccetto che il vetro singolo da 8 mm di spessore è sostituito da due vetri da 4 mm di spessore ciascuno, che racchiudono un'intercapedine di aria ferma, dello spessore di 10 mm. La resistenza termica comprenderà in questo caso due resistenze conduttive addizionali corrispondenti ai due strati addizionali, come mostrato in Figura 10.36. Tenendo presente che l'area della superficie della finestra è A= o.a x 1.5 1.2 m', le singole resistenze sono:
=
338
La temperatura superficiale interna della finestra sarà in questo caso:
Vetro
Vetro
CAPITOLO 10 La conduzione tennica
T, = T_, -ÒR.,,.,.•
in regime stazionario
=20-(69.2x0.08333) =14.2°C
Le reti di resistenze termkhe
che risulta considerevolmente più alta di -2.2°c, temperatura ottenuta nell'esempio precedente.
10.5
FIGURA 10.36 Schema per l'Esempio 10.7.
339
r_, ____,,""',.,,..,._...,,,._-'\NV'""''--4'-~VV\MIV'--.r_,
"""'·'
'
= _!::i_ =
..1.,A
"'"'
=.!i_ =
R2 = R
..1. 2 A
"""
R =R •
'"''"
2
La resistenza.tennica e lanalogia elettrica possono essere usate anche per risolvere problemi di scambio termico stazionario relativi a strati in parallelo o a disposizioni combinate serie-parallelo. Sebbene tali problemi siano spesso bi- o anche tridimensionali, si possono ottenere soluzioni approssimate ipotizzando una trasmissione del calore monodimensionale e usando i circuiti di resistenza termica. Si consideri la parete composta mostrata in Figura 10.37, costituita da due strati in parallelo. La rete di resistenze termiche, costituita da due resistenze in parallelo, può essere rappresentata come mostrato nella figura. Notando che lo scambio termico globale è la somma degli scambi termici attraverso ciascuno strato, si ha:
1 1 =--=---=0.08333°C/W h,A 10x1.2
R1 =R
R = R3 = R
LE RETI DI RESISTENZE TERMICHE
4 0.00 - 0.00427°C/W 0.78x1.2
(10.30)
Utilizzando l'analogia elettrica, si ottiene
Q=Ti-T2
O.Ol - 0.3205°C/W 0.026x1.2
1 1 = - - = - -- = o.02083°C/W h,A 40x1.2
Osservando che tutte le resistenze sono in serie, la resistenza totale risulta essere:
R"""° = R"""·' + R"""·' + R,.. + R"""·' + R"""·' = 0.08333 + 0.00427 + 0.3205 + 0.00427 + 0.02083
(10.31)
Isolante
·'
R,01ate
dove
1
1
A,_.
I
--=-+-~R at Rlolale
R, R2
101 e
R 1R 2
=--R, + R2
(10.32)
r,
~
CD
~I
@
~
r,
~
A,_.
dal momento che le resistenze sono in parallelo. Si consideri ora la disposizione combinata serie-parallelo mostrata in Figura 10.38. La potenza termica totale trasmessa attraverso questo sistema composto può ancora essere espressa con la relazione:
~l•t----L-----... Q,__,..
= 0.4332°C/W
(10.33)
r,~r,
dove
(10.34)
Q=Q,+Q,
e
(10.35)
Q=:z;-T_
La potenza termica stazionaria trasmessa attraverso la finestra è:
Rtotale
Ò = T., - T. 2 = 20 - (-10) _ . W 69 2 R...,. 0.4332 che corrisponde a circa un quarto del risultato ottenuto nell'esempio precedente. Questo spiega il largo uso di finestre a doppio e anche a triplo vetro nei climi freddi. La drastica riduzione della potenza termica trasmessa in questo caso è dovuta all'elevata resistenza termica dello strato di aria tra i vetri. In realtà, la resistenza termica dello strato d'aria sarà minore di quella ipotizzata a causa delle correnti convettive naturali che si hanno nell'intercapedine d'aria.
I
R,
FIGURA 10.37 Rete di resistenze termiche per due strati in parallelo.
T 340
Isolante
Schiuma
341
CAPITOLO 10 La conduzione termica in regime stazionario
Le reti di resistenze termiche
l.5cm
22cm
~L 1 =Lz~~--I . FIGURA 10.38 Rete di resistenze termiche per combinazioni serie-parallelo.
Q,__.
Q
l.5cm
~
~ V
1--x
Rz
J, 3 .12.1. Si noti che, valutate le singole resistenze termiche, la resistenza termica totale e la potenza termica totale trasmessa si possono facilmente determinare con le precedenti relazioni. Il risultato ottenuto sarà in qualche misura approssimato, dal momento che probabilmente le superfici del terzo strato non saranno isoterme e si avrà scambio termico tra i primi due strati. Complessi problemi di scambio termico multidimensionali possono essere trattati come monodimensionali (riferiti esclusivamente, per esempfo, ali' asse x) con le reti di resistenze termiche, se si può ipotizzare che qualunque piano della parete normale all'asse x sia isotermo (ossia, che la temperatura vari soltanto lungo l'asse x), e che qualunque piano parallelo all'asse x sia adiabatico (ossia, che la trasmissione di calore avvenga soltanto nella direzione x). Queste due ipotesi applicate separatamente portano a reti di resistenze termiche differenti e di conseguenza a valori differenti (anche se non molto) di resistenza termica totale e, quindi, di scambio termico. Il risultato reale è compreso tra questi due valori. In geometrie in cui la trasmissione di calore è essenzialmente monodimensionale, entrambi gli approcci forniscono risultati soddisfacenti.
R,
R1 R2
Soluzione La trasmissione di calore In questo caso è multidimensionale, ma si può considerare approssimativamente monodimensionale, dal momento che prevale lungo l'asse x. Nella costruzione di questa parete vi è una disposizione che si ripete ogni 25 cm nella direzione verticale, mentre in quella orizzontale non vi sono variazioni. Si considera, pertanto, una porzione della parete di larghezza 1m e altezza 0.25 m, dal momento che essa è rappresentativa dell'intera parete. Assumendo isoterma ogni sezione trasversale della parete normale all'asse x, la rete di resistenze termiche per la sezione rappresentativa della parete diventa quella mostrata in Figura 10.39. Le singole resistenze sono:
R1 -R
1 _ _!__ °C/W h,A - 10x0.25x1 -0. 4
conv,t -
-
R =R . =J:_= 0.03 ' - . A.A 0.026x0.25x1 = 4·6·ctw
=R = R
R -R -R
=
R -R
3 -
5 -
' -
=J:_ =
mona.1a1""'~ ..tA
•
=
Una parete alta 3 m e larga 5 m è costituita da lunghi mattoni orizzontali [A. 0.72 W/(m · °C)J da 16 cmx 22 cm in sezione trasversale, separati da strati di malta [A.= 0.22 W/(m · °C)J da 3 cm di spessore. Vi sono anche strati di malta da 2 cm di spessore su ciascuna faccia del mattone e una schiuma rigida [A. 0.026 W/(m · °C)J da 3 cm di spessore sul lato interno della parete, come mostrato in Figura 10.39. Le temperature interna ed esterna sono di 20°c e -10°C e i coefficienti di scambio termico convettivo sulle superfici interna ed esterna sono h, = 1O W/(m" °C) e h2 = 25 W/(m 2 • °C), rispettivamente. Nell'ipotesi che la trasmissione di calore sia monodimensionale, trascurando la radiazione, si de· termini la potenza termica trasmessa attraverso la parete.
.j.2.1
r..,~W--'1#-'il.......if-YN--i--..w-.w;...
R2
ESEMPIO 10.8
16cm
0.02 o 0.22x0.25x1 - 0·36 C/W
_J:__
0.16 o ..tA - 0.22x0.015x1 - 48·48 C/W
.............. -
_J:__
0.16
-
o """... - ..tA - 0.72x0.22x1 - 1·01 C/W
1
1 R-R -• - .,..,,. - h,A - 25x0.25x1 -- 0·16oC/W Poiché al centro le tre resistenze R3 , R, e R5 sono in parallelo, la resistenza equivalente è:
FIGURA 10.39 Schema per l'Esempio I0.8.
--------------------- ··-· -- - - -
342 CAPITOLO IO Ln conduzione termica in regime stazionario
T
_1_ = ...!... + ...!... + ...!... = _1_ + _1_ + _1_ = 1.03octw R.,.,,,.~ R, R, R5 48.48 1.01 48.48 che fornisce Essendo ora tutte le resistenze in serie, la resistenza totale risulta essere:
R,_
=R, + R, + R
2
+ R"""" + R6 + R.
I
Si consideri un lungo strato cilindrico (un tubo circolare) di raggio interno r , raggio esterno r 2, lunghezza Le conducibilità termica media k (Figura I o.42). Le due superfici, che delimitano lo strato cilindrico, siano mantenute a temperature costanti T1 e T,. Nello strato non vi sia alcuna generazione di calore e la conducibilità termica sia costante. Poiché per la conduzione termica monodimensionale attraverso Io strato cilindrico si ha T T(r), applicando la legge di Fourier della conduzione termica alla trasmissione di calore attraverso lo strato cilindrico si ha:
~~~-;:~:.,:..:.,
La conduzione tcrmk<.ì in cilindri e sft•n·
=
= 0.4 + 4.6 + 0.36 + 0.97 + 0.36 + 0.16
·
=6.85°C/W
dT
Qcond.cil
La potenza termica stazionaria trasmessa attraverso la parete è:
a= T_, - r_, = 20 - (-1O) = 4.38 W (per una superficie di area pari a 0.25 m') R1o1a,,
6.85
o 4.38/0.25 = 17.5 W per m2 di superficie. Poiché l'area totale della superficie della parete è A 3 x 5 = 15 m2, la potenza termica trasmessa attraverso l'intera parete è:
=
FIGURA 10.40 Rete alternativa di resistenze termiche per l'Esempio 10.8 nel caso di superfici adiabatiche parallele alla direzione primaria di trasmissione del calore.
Discussione Nella soluzione precedente, si è fatta l'ipotesi che ogni sezione trasversale della parete normale all'asse x sia isoterma. Questo problema si potrebbe anche risolvere facendo l'altra ipotesi, vale a dire assumendo adiabatiche le superfici parallele all'asse x. Così facendo la rete di resistenze termiche è quella mostrata in Figura 10.40. La resistenza termica totale è ora R = 6.97°C/W, 1 quasi identica al valore di 6.85°C/W ottenuto prima. Questo esempio mostra che in pratica si possono usare entrambe le ipotesi, prima riportate, ottenendo risultati soddisfacenti.
(W)
(10.36)
dove A = 2m-L è l'area della generica superficie attraverso cui avviene la trasmissione del Citlore. Si osservi che A dipende da r e quindi varia nella direzione del flusso termico. Separando le variabili nell'equazione precedente e integrando da r = r1 dove T(r 1) = T1 a r = r2 dove T(r2) = T2 si ottiene:
f, r,
0=17.5x15=262.5 W Naturalmente, questo risultato è approssimato, avendo ipotizzato che la tempe-. ratura all'interno della parete vari solo in direzione normale alla parete stessa e avendo ignorato ogni variazione di temperatura (e il relativo scambio termico) nelle altre due direzioni.
=-ÀAdr
Qcond.cil
A
r='i
dr=-(' À.dT Jr=1i
(10.37)
Sostituendo A = 2m-L ed eseguendo le integrazioni si ottiene: LÀ. I;-T2 Q.cond.cil -2 7r. - ( / ) 1n r2 'i
essendo
Qcond,cil
(W}
(10.38)
=costante. Questa equazione si può riscrivere:
· Qcond,cil
_7;-T2 --R-- (W)
(10.39)
cii
dove
10.6111 LA CONDUZIONE TERMICA IN CILINDRI E SFERE
FIGURA 10.41 Trasmissione di calore da una lunga tubazione considerata come monodimensionale.
Si consideri la conduzione termica attraverso la parete di un tubo di acqua calda che disperde continuamente calore verso l'esterno. Intuitivamente si può pensare che la trasmissione di calore attraverso il tubo avvenga in direzione radiale senza scambi termici significativi nelle altre direzioni (Figura 10.41). Se le temperature all'esterno e all'interno del tubo si mantengono costanti, la trasmissione di calore attraverso il tubo può essere considerata oltre che monodimensionale anche stazionaria. La temperatura del tubo in questo caso è indipendente dall'angolo azimutale e dalla distanza assiale e, dipendendo solo dalla direzione radiale r, può essere espressa come T T(r). Poiché, in condi;zioni stazionarie, in ciascun punto del tubo non vi sono variazioni di temperatura nel tempo. la potenza termica trasmessa attraverso il tubo deve essere costante, Qcond,cil = costante.
=
R _ ln(r2I1j) _ cii -
ln(raggio esterno/raggio interno) 27rLÀ. - 2rr x(lunghezza)x (conducibilità terrruca)
(10.40)
è la resistenza tennica dello strato cilindrico nella conduzione di calore o semplicemente la resistenza conduttiva dello strato cilindrico. L'analisi precedente può essere ripetuta per uno strato sferico. Ponendo A = 4m-2 ed eseguendo le integrazioni nell'Equazione 10.37 si ottiene: . Qcond,sfera
I;-Ti =-R--
(10.41)
sfera
dove R
_ r2 - r, _
raggio esterno - raggio interno
sfera - 47r.ljr2il - 47' (raggioesterno)(raggiointerno)(conducibilità termica)
(10.42)
FIGURA 10.42 Lunga tubazione cilindrica (o guscio sferico) con ben determinate temperature superficiali interna ed esterna T, e L
T 344
3-15
CAPITOLO 10 La conduzione termica
La conduzione termica in cilindri e sfere
in regime stazionario
FIGURA 10.43
Rete di resistenze tenniche per un guscio cilindrico (o sferico) soggetto a convezione su entrambi i lati interno ed esterno.
è la resistenza termica dello strato sferico nella conduzione di calore o semplicemente la resistenza conduttiva dello strato sferico. Si consideri ora la trasmissione di calore stazionaria monodimensionale attraverso uno strato cilindrico o sferico esposto a convezione su entrambe le facce con fluidi a temperature T_ 1 e T_2 e con coefficienti di scambio termico h 1 e h2, rispettivamente, come mostrato in Figura 10.43. La rete di resistenze termiche in questo caso è costituita da una resistenza conduttiva e da due resistenze convettive in serie, proprio come quella per una parete piana. La potenza termica trasmessa in condizioni stazionarie è data dalla relazione:
dizionale in serie per ogni strato addizionale: per esempio, la potenza termica stazionaria trasmessa attraverso il cilindro composto di tre strati di lunghezza L, mostrato in Figura 10.44, con convezione su entrambi i lati è;
Q-T-1-T-2
(10.46)
Rtotale
dove R,.,..1, è la resistenza termica totale espressa da (10.43)
RlOlalc =Rcon,, I+ R,il, I+ Rcil,2+ Rcil,3 +Rconv,2
dove
per uno strato cilindrico e 1 r:2 -r.1 1 Rtotale =Rconv,I +Rsfera +Rconv,2 =---+- -+ (1045) ( 4 IDj2)Jii • 4IDjr2À. ( 47rr22)hi per uno strato sferico. Si noti che A nella relazione della resistenza convettiva Rconv= llhA rappresenta l'area della superficie in corrispondenza della quale ha luogo la convezione. Essa è A = 27rrL per una superficie cilindrica ed è A = 47rr2 per una superficie sferica di raggio r. Si osservi inoltre che le resistenze termiche sono in serie e che quindi la resistenza termica globale si determina semplicemente sommando le singole resistenze.
I cilindri e le sfere multistrato La trasmissione di calore in regime stazionario attraverso involucri cilindrici e sferici multistrato può essere trattata proprio come le pareti piane multistrato discusse prima, semplicemente sommando una resistenza ad-
=-1-+ ln(r2 /rj) + ln(r3 /r2 ) + ln(r4 /r3 ) +-1h1A1 21rLA, 21rLJl.i 2nV.'.l hi~
(10.47)
doveA 1 =27rr1L eA4 = 27rr4 L. L'Equazione 10.47 si può usare anche per un involucro sferico a tre strati sostituendo le resistenze termiche degli strati cilindrici con le corrispondenti sferiche. Si osservi, considerando la rete di resistenze termiche, che le resistenze sono in serie e che quindi la resistenza termica totale è semplicemente la somma aritmetica delle singole resistenze termiche lungo il percorso del flusso termico. Una volta nota la potenza termica Q , se si conosce il valore della temperatura T1 e la resistenza termica totale R tra le superfici i e j, è possibjle determinare ogni temperatura interm~la T. applicando la relazione Q= ~)IR"!< I-i (Figura 10.45): per esempio, hna volta calcolata la potenza termica Q , la temperatura T2 ali' interfaccia tra il primo e il secondo strato cilindrico è:
(10.48)
FIGURA 10.44
Rete di resistenze tenniche per lo scambio tennico attraverso un cilindro composto da tre strati e soggetto a convezione su entrambi i lati.
346
A, = n:Di = rr x 3.042 = 29.0 m2
CAPITOLO IO
Inoltre, il coefficiente di scambio termico radiativo è dato da:
La conduzione termica in regime stazionario
h,,.= ea(Ti+ 7?,) (T,+ T..,) Non conoscendo però la temperatura della superficie esterna T del serbatoio, 2 non si può calcolare il coefficiente di scambio termico radiativo h.,. Si ipotizza, quindi, un valore di T, verificandone pòi la precisione. Se necessario, si ripeteranno i calcoli usando per T2 un nuovo valore. .. . . Si osservi che T. deve essere compreso tra o•c e 22°C, p1u vicino a O0 C essendo il coefficient~ di scambio termico all'interno del serbatoio molto più elevato. Assumendo T, = 5•c = 278 K, il coefficiente di scambio termico radiativo è:
_ r_,-r, - RCQnv,I
+R1
T1 -T3 = R1 +R2
T3-T4
=-R-3-
FIGURA 10.45
h1,, =: 1 X 5,67 X 1()-8 X (2952 + 2782) X (295 + 278) = 5.34 = 5.34 W/(m' · °C)
- T3 -T_2
Rapporto t>.TIR attraverso ogni strato uguale a Q e costante nella conduzione stazionaria monodimensionale.
- R3 + Rconv, 2
Le singole resistenze termiche sono:
(10.49)
1 1 = - - = - -= o.000442•ctw h,A, 80 X 28.3
R1 = R
La temperatura T2 potrebbe anche essere calcolata con la relazione:
oonv. I
R =R ' '''"'
1 52 1 50 =~= · - · -o.000041•ctw 4rr r, f,À. 4rrx1.50x1.52x1 5
R =R
Sebbene entrambe le relazioni forniscono lo stesso risultato, la prima è da preferire perché comprendendo meno termini è più agevole da usare. Il metodo della rete di resistenze termiche può essere adoperato anche per altre geometrie, a condizione che si faccia uso di resistenze conduttive corrette e di aree di superfici correttamente individuate nelle resistenze convettive.
O
1 1 = - - = - -h,,A, 10X29.0 = 0.00345°C/W
1
R,,, = '1,,A,
= . x .0 5 34 29
0.00646°C/W
Le due resistenze in parallelo R, e R., possono essere sostituite dalla resistenza equivalente R,.0 • con la relazione: -
1 1 1 - = ...!..+....!... = - --+--- = 444.7 w1°c R, R;,, 0.00345 0.00646
R.,,,iv
ESEMPIO 10.9 Un serbatoio sferico di diametro interno pari a 3 mdi acciaio inossidabile [À. =:15 W/(m · °C)] dello spessore di 2 cm viene impiegato per conservare acqua ghiac· ciata a T_, = 0°c. Il serbatoio è collocato in un ambiente la cui temperatura è T,.. 22°C. Anche le pareti che delimitano l'ambiente sono a 22°C. La superficie esterna del serbatoio è nera (emissività e = 1). La trasmissione di calore tra la superficie esterna del serbatoio e l'ambiente awiene per convezione naturale e per irraggiamento. Coefficienti di scambio termico convettivo sulle superfici interna ed esterna del serbatoio sono h1 = 80 W/(m2 · °C) e h = 10 W/(m2. °C), rispet· 2 tivamente. Si determinino a) la potenza termica trasmessa all'acqua ghiacciata nel serbatoio e b) la quantità di ghiaccio a 0°C che si scioglie durante un periodo di 24 h. Il calore di fusione dell'acqua a pressione atmosferica è h, = 333.7 kJ/kg.
=
Soluzione a) Nell'ipotesi di condizioni termiche costanti nel tempo e uniformi per l'intero serbatoio, la trasmissione di calore è stazionaria e monodimensiona· le. La rete di resistenze termiche per questo problema è riportata in Figura 10.46. Tenendo presente che il diametro interno del serbatoio è D,= 3 m e quello esterno è 0 2 = 3.04 m, le aree della superficie interna e della superficie esterna sono: FIGURA 10.46
Schema per l'Esempio 10.9.
A 1 = rr0 = rrx 3 =28.3 m2 2 1
2
che fornisce
R,.,1v = o.00225°Ctw
Poiché tutte le resistenze sono ora in serie, la resistenza totale è: R-~ = R1+ R, + R..,. = 0.000442
+ 0.000047 + 0.00225 = 0.00274°C/W
La potenza termica stazionaria trasmessa all'acqua ghiacciata è:
Q= T_l.-T.J. =~=8029 W
R,,..,.
0.00274
Per verificare la validità dell'ipotesi iniziale, si determina ora la temperatura superficiale esterna dalla:
Ò= T_,-T, ~T. =T,-ÒR . =22-(8029x0.00 225)=4°C R ' ..,..
"'""
sufficientemente vicina ai 5°C ipotizzati nella determinazione del coefficiente di scambio termico radiativo. Non vi è quindi alcuna necessità di ripetere i calcoli usando 4•c per r;,.
347 ~4~~
La conduzione termka in cilindri e srl'n:
348
b) La quantità totale di calore trasmesso durante un periodo di 24 h è:
La conduzione termica in regime stazionario
=E.= 693.706 ti,
333.7
Discussione Una maniera più semplice di trattare un fenomeno combinato di convezione e radiazione in corrispondenza di una superficie, quando il mezzo e le superfici circostanti sono alla stessa temperatura, è quella di sommare i coefficienti di scambio termico radiativo e convettivo e di considerare il risultato come un nuovo coefficiente di scambio termico convettivo; cioè, in questo caso, assumere 10 + 5.34 = 15.34 W/(m2 • °C). In tal modo, si può ignorare la radia· zione, poiché il suo contributo è conglobato nel coefficiente di scambio termico convettivo. La resistenza convettiva della superficie esterna sarebbe in questo caso:
h=
tomb
1 =~ oomb":!
•
' "'·
2
Il raggio critico di isolamento
1 1 =-- = - ---=0.154°C/W h,A, 18x0.361
R....~ = R,+ R,+ R,+ R. = 0.106 + 0.0002 + 2.35 + 0.154 = 2.61°C/W la potenza termica stazionaria dissipata dal vapore è:
r_,-r_, = 320-5 =120.7W
Ò=
R...,~
= o.00225°C/W
ESEMPIO 10.10
2.61
La potenza termica stazionaria dissipata per un'assegnata lunghezza della tubazio· ne si ottiene moltiplicando la quantità precedente per la lunghezza L della tubazione. Le differenze di temperatura tra le superfici che delimitano la tubazione e l'isolante si calcolano con l'Equazione 10.13:
.1.T.... =
ò R....= 120.1 x 0.0002 = o.02°c
.1. T...,_= 15.34 X 29.0
valore identico a quello ottenuto per la resistenza equivalente, che sostituisce le resistenze convettiva e radiativa in parallelo.
ò R.....,,..= 120.1x2.35=294•c
Si osservi che la resistenza termica della tubazione è tanto piccola rispetto alle altre resistenze, che può essere trascurata senza causare nessun errore significativo. La resistenza al flusso termico in tubazioni isolate è dovuta essenzial· mente all'isolamento.
10.7 B IL RAGGIO CRITICO DI ISOLAMENTO
Vapore a T_, = 320°C fluisce in una tubazione di ghisa [À = 80 W/(m. °C)] i cui diametri interno ed esterno sono D = 5 cm e 0 2 = 5.5 cm, rispettivamente. La tubazione è rivestita da un isolante di lana di vetro (À 0.05 W/(m. °C)) di spessore 3 cm. Si ha trasmissione di calore verso l'ambiente circostante a T. = 5°C per convezione naturale e radiazione, con un coefficiente di scambio termico combi· nato di h = 18 W/(m2 · °C). Assumendo un coefficiente di scambio termico all'in· temo delfa tubazione h, = 60 W/(m 2 · °C), si determini la potenza termica dissipata dal vapore per unità di lunghezza della tubazione. Si determinino altresì le diffe· renze di temperatura tra le superfici che delimitano la tubazione e quelle che delimitano l'isolante.
=
Soluzione a) Si ipotizza che la trasmissione termica attraverso la tubazione sia stazionaria e monodimensionale. La rete di resistenze termiche per questo problema comprende quattro resistenze in serie ed è riportata in Figura 10.47. Riferendosi alla lunghezza unitaria L = 1 m, le aree delle superfici esposte a convezione sono:
A, = 2ir r, L = 2ir x 0.025 x 1 = 0.157 m• A,= 211" r.L = 2ir X 0.0575 X 1 =0.361 m2 Le singole resistenze termiche sono:
R =R I
''"'"
R =R
'
R =R 0
349
_ .C/W 2 35
Osservando che tutte le resistenze sono in serie, la resistenza totale è: =2079kg
Quindi, circa 2 tonnellate di ghiaccio si scioglieranno ogni giorno.
R
= ln(r,lr,) = ln(5.75/2. 75) 2irA,L 2irx0.05x1
"""""
Q = Q A/= 8.029 X 24 X 3600 = 693.706 kJ
Sapendo che per sciogliere 1 kg di ghiaccio a o•c è necessaria una energia pari a 333.7 kJ, la quantità di ghiaccio che si scioglierà durante un periodo di 24 h è:
m,"-~
FIGURA 10.47 )chema per r Esempio 10.10.
R =R 2
CAPITOLO 10
""'°
1
1 =--=
h,A,
1 60X0.157
Nel caso di parete piana l'aggiunta di isolamento riduce sempre la trasmis· sione di calore: maggiore è lo spessore dell'isolante, minare è la potenza termica trasmessa. Infatti, poiché l'area della superficie di scambio tenni· co A è costante, laggiunta di isolante fa aumentare la resistenza termica della parete piana senza influire sulla resistenza convettiva. Nel caso di tubo cilindrico o guscio sferico, l'isolamento addizionale fa aumentare la resistenza conduttiva dello strato isolante ma nel contempo riduce la resistenza convettiva superficiale a causa dell'incremento del· l'area della superficie esterna in corrispondenza della quale avviene lo scambio termico convettivo. La potenza termica trasmessa potrà, quindi, diminuire, a seconda di quale dei due effetti prevale. Si consideri un tubo cilindrico di raggio esterno r 1 la cui temperatura superficiale esterna T1 sia mantenuta costante (Figura 10.48). Il tubo sia ora isolato con un materiale isolante di conducibilità termica A. e raggio esterno 'z- La trasmissione di calore dal tubo al mezzo circostante a temperatura T~ avvenga con un coefficiente di scambio termico convettivo h. La potenza termica trasmessa dal tubo isolato ali' aria circostante è:
=0.106°C/W
= ln(r2 /r,) = ln(2.75/2.5) = _ .C/W 0 0002 211" À. 1 L 2irx80x1
(10.50)
Isolante
T~
FIGURA 10.48 Tubazione cilindrica isolata esposta a convezione sulla superficie esterna e rete di resistenze termiche ad essa associata.
T 350
conduttore e che vi è una caduta di tensione lungo il conduttore di 8 V. Se il conduttore isolato è immerso in un fluido a T = 30°C con un coefficiente di scambio termico h = 12 W/(m'· •ci, si determini"la temperatura all'interfaccia tra conduttore e guaina plastica in condizioni stazionarie. Si determini, inoltre, se raddoppiando lo spessore della guaim1 plastica aumenterà o diminuirà questa temperatura di interfaccia.
Esanùnando la Figura I 0.49 si può notare che il valore della potenza termica trasmessa Q in funzione del raggio esterno dell'isolante r, raggiunge un massimo. Il valore del raggio r 2 per cui si ha la massima t;asmissione di calore è detto raggio critico dell'isolante per un corpo cilindrico e si ottiene uguagliando a zero la derivata di Q fatta rispetto a r 2:
CAPITOLO IO I.a conduzione termica in regime stazionario
'2
d.... ----~----: Q~isol---:' ' '
:
'
' '
o FIGURA 10.49 Variazione di Q con il raggio esterno dell'isolante r2•
(10.51)
Si noti che il raggio critico dell'isolante dipende dalla conducibilità dell'isolante A. e dal coefficiente di scambio ternùco convettivo esterno h. La potenza termica trasmessa dal cilindro aumenta con l'aggiunta di isolante per r, < r , raggiunge un massimo per r2 = r e comincia a diminuire per r 2> r~. Q~indi un incremento dello spessore ct~ll'isolante può effettivamente aumentare la potenza termica trasmessa dal tubo piuttosto che ridurla quando r2 < rcr· Il valore del raggio critico r" sarà tanto maggiore quanto più ;\.è grande e h è piccolo. Considerando che il valore più basso di h riscontrato nella pratica è all'incirca 5 W/(m2 • 0 C) (convezione naturale dei gas) e che la conducibilità termica dei materiali isolanti di impiego comune è circa 0.05 W/(m · 0 C), il valore più elevato del raggio critico che si può verosimilmente incontrare è: rcr,max
O=L., =V/=8x10=80W La rete di resistenze termiche per questo problema è costituita dalla resistenza conduttiva della guaina plastica e dalla resistenza convettiva della superficie esterna in serie, come mostrato in Figura 10.50. I valori di queste due resistenze sono:
"
T~
A,= (2irr,)L = 2irx 0.0035 x 5 =0.110 m' R
""''
=-1__
hA,
1 /W 12xo.110 -O.?s•c
R . = ln(r,/r,) = ln(3.5/1.5) _ 018.C/W ,,._
0
2Jr.:ll
2irx0.15x5
R..
La temperatura all'interfaccia tra conduttore e guaina isolante è:
.
Il raggio critico è anche nùnore se si prendono in considerazione gli effetti della radiazione e molto minore, meno di I mm, se si considera la convezione forzata, che comporta valori del coefficiente di convezione h molto più elevati. Per questo si possono isolare tubi di acqua calda o di vapore liberamente senza preoccuparsi di un possibile incremento della potenza termica scambiata per effetto dello spessore dell'isolante. Nel caso dei conduttori elettrici, poiché il raggio può essere più piccolo del raggio critico, l'isolamento plastico può effettivamente aumentare lo scambio ternùco e quindi mantenere le temperature dei conduttori a valori più bassi e più sicuri. Nel caso di una sfera si può mostrare in maniera analoga che il raggio critico dell'isolante per un guscio sferico è:
T.-T
0=~->
.
T, = T_ +QRtol,,. =30-(80x0.94)=105°C
totale
Si osservi che la rete di resistenze termiche non comprende il conduttore elettrico, poiché questo genera calore. Per rispondere alla seconda parte della domanda, bisogna determinare il raggio critico di isolamento della guaina plastica, che dall'Equazione 10.51 risulta essere più grande del raggio della guaina plastica:
R
"
0 15 =~= · h 12
=0.0125m=125mm .
Con l'aumento dello spessore del rivestimento plastico aumenterà lo scambio termico finché il raggio esterno del rivestimento raggiungerà 12.5 mm. Si può mostrare, ripetendo i calcoli precedenti per un rivestimento plastico da 4 mm di spessore, che la temperatura di interfaccia scende a 90.6°C quando si raddoppia lo spessore del rivestimento plastico. Si può anche mostrare in maniera analoga che l'interfaccia raggiunge una temperatura minima di 83°C quando il raggio esterno del rivestimento plastico uguaglia il raggio critico.
(10.52)
dove ;\.è la conducibilità ternùca dell'isolante e h il coefficiente di scambio ternùco convettivo sulla superficie esterna.
10.8 ~ LA GENERAZIONE DI CALORE IN UN CORPO SOLIDO
ESEMPIO 10.11
Molto spesso all'interno di un corpo si ha trasformazione di energia in calore: si parlerà allora di generazione interna di calore, che si manifesta con un aumento di temperatura del corpo. Alcuni esempi di generazione di
Un conduttore elettrico lungo 5 m e di diametro pari a 3 mm è rivestito con una guaina plastica dello spessore di 2 mm, la cui conducibilità termica è.:\.= 0.15 W/(m ·•ci. Misure elettriche indicano che una corrente di 10 A attraversa il
I
T
T.
Q. . ~T~ Rplastica
Rconv
·
,.,.= R"""+ R~.,lioa = 0.76 + 0.18 = 0.94°C/W
e
W /(m · °C) O Ol I =À.max.isol•••• - 0.05 = . m= cm 2 hmin 5 W /(m • C)
2;\. r cr.srcra =h -
La generazione di calore in un corpo solido
Soluzione Si fa l'ipotesi che la resistenza termica di contatto all'interfaccia tra conduttore e guaina isolante è trascurabile e che il coefficiente di scambio termico comprende gli effetti della radiazione, laddove presente. Il calore prodotto uniformemente lungo il conduttore per effetto della resistenza elettrica si trasferisce al mezzo circostante nella direzione radiale. In condizioni stazionarie, la potenza termica trasmessa è uguale al calore generato all'interno del conduttore:
;\.
r. - cr.cil- h
351
FIGURA 10.50 Schema per l'Esempio 10.11.
352
calore sono il riscaldamento per resistenza nei conduttori elettrici, le reazioni chimiche esotermiche in un solido, le reazioni nucleari nelle barre di
'APITOLO IO
combustibile nucleare dòve le energie rispettivamente elettrica, chimica e nucleare si convertono in calore (Figura 10.51 ). L'assorbimento della radiazione da parte di un mezzo semitrasparente come l'acqua si può anche considerare come generazione di calore nel mezzo. Generalmente la generazione di calore è riferita all'unità di volume del corpo, e si indica con g, la cui unità di misura è W/m3: per esempio, la generazione di calore in un conduttore elettrico di raggio esterno r 0 e lunghezza L è:
a conduzione termica regime stazionario
1
Reazioni chimiche
Q=hA(T, -T_)
(W)
Combinando le Equazioni 10.55 e 10.56 e riso! vendo in funzione della temperatura superficiale r,, si ha:
T=T s
-
gV
+hA-
353
(10.56)
La generazione di calore in un corpo solido
(10.57)
Per un'ampia parete piana di spessore 2L (A=2AP" e V=2LAP,)' un lungo cilindro pieno di raggio r0 e lunghezza L (A=2ir r0 L e V=ir r0 2L) e una sfera solida di raggio r (A= 4m-.2 e V =f m-;), l'Equazione 10.57 si riduce a: 0
(10.53)
"L
Ts.paretepiana
Resistenze elettriche
IGURA 10.51
generazione di calore nei solidi un fenomeno comune.
l
dove I è l'intensità di corrente elettrica e R.1 è la resistenza elettrica del conduttore. Nel periodo transitorio iniziale, la temperatura del corpo aumenta durante la generazione di calore a causa del!' assorbimento del calore generato. All'aumentare della temperatura, aumenta anche lo scambio termico con l'ambiente circostante sino al raggiungimento di condizioni operative stazionarie, quando la potenza termica generata uguaglia la potenza termica trasmessa all'ambiente circostante. In condizioni stazionarie, la temperatura del corpo non varierà ulteriormente in nessun punto. La temperatura massima Tm .. in un corpo solido interessato da una generazione di calore uniforme si manifesta nella posizione più lontana dalla superficie esterna, che lo delimita, mantenuta alla temperatura costante T: per esempio, la temperatura massima si ha sul piano medio di una parete piana, sull'asse di un lungo cilindro e al centro di una sfera. In questi casi, inoltre, la distribuzione di temperatura all'interno del corpo solido sarà simmetrica rispetto al centro di simmetria. In condizioni stazionarie le grandezze di maggior interesse in un corpo con generazione di calore sono la temperatura superficiale T, e la temperatura massima Si consideri un corpo solido avente una superficie esterna di area A, volume Ve conducibilità termica costante À, all'interno del quale si genera calore con potenza costante g per unità di volume. Se la trasmissione di calore dal solido al fluido circostante a T avviene con coefficiente di scambio termico h costante e tutte le superfici esterne del solido sono mantenute alla stessa temperatura T,, in condizioni stazionarie, il bilancio di energia è (Figura 10.52):
:Z:.,cilindro
Ts.sfera
potenza termica ) ( trasmessa dal solido GURA 10.52
condizioni stazionarie, tutto calore generato in un solido ve abbandonare quest'ultimo raverso la sua superficie esterna.
o
( potenza termica ) = generata nel solido
Q=gV
(W)
(10.54) (10.55)
Trascurando la trasmissione di calore per irraggiamento' (o incorporandone gli effetti nel coefficiente di scambio termico h), la potenza termica trasmessa si può anche esprimere con la relazione:
gr. =T- +Zh
(10.58)
gr. =T_+3h
Si noti che l'aumento di temperatura superficiale T, rispetto alla temperatura del fluido circostante è dovuto alla generazione di calore nel corpo solido. Si consideri ancora una volta la trasmissione di calore che si ha in un lungo cilindro pieno, sede di generazione di calore. In condizioni stazionarie, tutto il calore generato all'interno del corpo è dissipato attraverso la superficie esterna del cilindro. Si consideri ora un cilindro immaginario di raggio r all'interno del cilindro (Figura 10.53). Anche in questo caso il calore generato all'interno del cilindro deve uguagliare il calore trasmesso per conduzione attraverso la superficie esterna. Dalla legge di Fourier della conduzione termica si ha:
-M dT =g"V r dr r
rm..·
h. T.
=T_ + gh
=
FIGURA 10.53
Calore trasmesso per conduzione attraverso un guscio cilindrico di raggio r uguale al calore generato entro il guscio.
(10.59)
=
dove A 2m-L e V rrrL. Sostituendo queste ultime espressioni nel! 'Equazione I0.59, separ~do le variabili e integrando da r =O dove T(O) = T0 a r r0 dove T(r.) T,. si ottiene:
=
=
~Tmax,cilindro =T. -T,
gr.2
=4T
(10.60)
dove T è la temperatura al centro del cilindro, che è la temperatura massima, e /;,.r è la differenza tra le temperature al centro e sulla superficie del cilindro, 'Corrispondente al massimo aumento di temperatura nel cilindro rispetto alla temperatura superficiale. Una volta nota ~Tmv.' la temperatura al centro del cilindro si può facilmente determinare con la relazione (Figura 10.54):
Tcentro =T=T+~T o s max
(10.61)
i-- Asse di
simmetria
FIGURA 10.54
Temperatura massima in un solido simmetrico con generazione uniforme di calore in corrispondenza del suo centro.
354
C APITOLO IO La conduzione termica in regime stazionario
Analogamente per la determinazione del massimo aumento di temperatura nel caso di generazione interna di calore in una parete piana di spessore 2L e in una sfera solida di raggio r si ha: 0
,
gL2 2
tffmax, parete piana . = À. -
(10.62)
• 2
ti.T
max.sfera
= gr.A 6
La massima temperatura al centro si determinerà poi con l'Equazione 10.61 aggiungendo l'aumento massimo di temperatura alla temperatura del solido in superficie. Si osservi che la resistenza termica introdotta precedentemente non può essere usata quando vi è generazione di calore, poiché la potenza termica trasmessa attraverso il corpo in questo caso non è più costante. ESEMPIO 10.12
Un riscaldatore a resistenza da 2 kW costituito da un conduttore la cui conducibilità termica è À. =15 W/(m · °C) ha un diametro O= 4 mm e una lunghezza L =0.5 m e viene usato per far bollire l'acqua (Figura 10.55). Se la temperatura superficiale esterna della resistenza è T, = 105°C, si determini la temperatura al centro del conduttore. Soluzione Il riscaldatore a resistenza da 2 kW converte energia elettrica in calore a una potenza di 2 kW. Ipotizzando che il calore si generi uniformemente all'interno del conduttore, la generazione di calore per unità di volume del conduttore è:
g = ò,.,,
V'°"""'°,.
=
0•;•
rr r0 L
=
2000 -0.318x10 9 W/m 3 rrx0.002x0.5
La temperatura centrale del conduttore si calcola con l'Equazione 10.60 ed è: FIGURA 10.55 Schema per l'Esempio 10.12.
T =T + 0
•
gr; 4,1.
2
= 105 + 0.318x10' xo.002 = 4x15
126 2.C ·
Si osservi che la differenza di temperatura tra il centro e la superficie del conduttore è di 21.2°c.
10.9 Il LA TRASMISSIONE DI CALORE DA SUPERFICI ALETTATE La potenza termica trasmessa da una superficie a una temperatura T al fluido circostante a T_ è fornita dalla legge di Newton: ' Oconv
=hA(T,-T_)
(10.63)
dove A è l'area della superficie di scambio termico eh il coefficiente di scambio termico convettivo. Quando le temperature T, e T_sono fissate da
considerazioni di progetto, come spesso accade, si può aumentare la potenza termica trasmessa o aumentando il coefficiente di scambio termico convettivo h o aumentando l'area della supelficie di scambio tennico A. Aumentare h può richiedere l'installazione di un ventilatore o di una pompa, ovvero la sostituzione di quello esistente con uno più grande. Aumentare l'area della superficie di scambio richiede l'utilizzazione di supelfici estese chiamate alette e costituite da materiali altamente conduttivi come lalluminio. Le alette, prodotte per estrusione, saldatura o avvolgendo un sottile foglio metallico su una superficie, aumentano lo scambio termico esponendo a convezione una superficie di area maggiore. Le superfici alettate sono utilizzate comunemente in pratica per aumentare lo scambio termico: il radiatore di automobile mostrato in Figura 10.56 costituisce un esempio di superficie alettata. I sottili strati metallici fissati alle tubazioni di acqua calda incrementano notevolmente l'area della superficie esposta a convezione e quindi la potenza termica trasmessa per convezione dai tubi ali' aria. Nell'analisi delle alette si considerano condizioni stazionarie senza generazione di calore e si assume costante la conducibilità termica A. del materiale costituente le alette. Si ritiene inoltre che il coefficiente di scambio termico convettivo h sia costante e uniforme su tutta la superficie del!' aletta. In realtà il valore del coefficiente di scambio termico convettivo h varia lungo l'aletta con lo spessore e in un determinato punto dipende fortemente dal movimento del fluido in quel punto. Il valore di h è di solito molto minore alla base rispetto ali' estremità de/l'aletta, dal momento che il fluido alla base dell'aletta è circondato da altre superfici che perturbano gravemente il suo movimento al punto da "soffocarlo", mentre all'estremità dell'aletta il fluido incontra una piccola resistenza al flusso. L'aggiunta di troppe alette, quindi, può in realtà ridurre lo scambio termico complessivo di una superficie quando la riduzione di h compensa il guadagno che si ottiene per l'incremento della superficie di scambio. Si consideri la superficie di una parete piana a temperatura Tb lambita da un fluido a temperatura T_, che dissipa calore per convezione con un coefficiente di scambio termico h. Trascurando la trasmissione di calore per irraggiamento ovvero tenendo conto del suo contributo nel coefficiente convettivo h, la potenza termica trasmessa per convezione dalla superficie di area Ab è fornita dall'Equazione 10.63. Si consideri ora un'aletta, di sezione trasversale costante A, = Ab e lunghezza L, fissata alla superficie della parete con un contatto termico perfetto (Figura 10.57). La trasmissione di calore avverrà tra la superficie della parete e l'aletta per conduzione e tra laletta e il fluido circostante per convezione con il coefficiente di scambio termico h. La temperatura dell'aletta sarà Tb alla base dell'aletta, per diminuire gradualmente verso la sua estremità. Per effetto della convezione si ha una diminuzione di temperatura in corrispondenza di ogni sezione trasversale dell'aletta dal centro verso le superfici esterne, che, però, può essere trascurata essendo larea della sezione trasversale delle alette di solito molto piccola. Anche l'area dell'estremità de/l'aletta può essere trascurata nel determinare l'area complessiva della superficie di scambio termico Aa1... dell'aletta: per esempio, per un' aletta a spillo di diametro De lunghezza L, l'area della superficie dell'aletta è
355 ~~1
FIGURA 10.56 Sottili alette piane del radiatore di un'automobile che incrementano notevolmente la quantità di calore trasmesso al!' aria. (Per cortesia di James Kleiser.)
(a) Superficie senza alette
(b) Superficie con aletta
Aaieua=2xwxl+ wxt
=2xwxl
FIGURA 10.57 Le a1ette aumentano lo scambio tennico da una superficie facendo aumentare l'area della superficie di scambio.
356 La conduzione termica in regime stazionario
= Alatoral• + Acstremi1ànlena = PL +A,= nDL +
t trD
2
nDL(I0.64)
100
357
quando L>>D, come di solito accade. Nel caso limite di resistenza termica nulla (Il~ oo), la temperatura dell'aletta potrà essere considerata uniforme pari al valore che essa assume alla base dell'aletta Tb. In questo caso lo scambio termico dall'aletta sarà massimo e si può esprimere con la relazione:
80
da superfici alettate
Aalcna
CAPITOLO IO
"'
T(x)
(10.65) In realtà, poiché la temperatura dell'aletta diminuisce lungo di essa, lo scambio termico dall'àletta sarà sempre inferiore a causa della variazione di temperatura T(x)-T" tra la base e l'estremità dell'aletta (Figura 10.58). Per tenere conto dell'effetto di questo fenomeno, si definisce lefficienza dell'aletta:
T~
La trasmissione di calore
*8. 1!
;,
J 60 s
il
~
:g
40
13
e .!l
E"
"'
20
......... x
o'--~~~~~~~~~
11a1... =
·'
Q,1... = Oa1.... max
potenza termica reale trasmessa dal!' aletta ( 10 66) potenza termica ideale trasmessa dalr aletta · se tutta laletta fosse alla temperatura della base
o
FIGURA 10.58 La temperatura di un'aletta diminuisce gradualmente lungo laletta dalla base verso l'estremità.
~
8.
60
J
g ~
~
40
t-1
e .2
s
"'
A.iena= 2w(l +!I)
FIGURA 10.59 Efficienza di alette circolari, rettangolari e triangolari su una superficie piana di larghezza w (da Gardner).
0.5
I.O
1.5
2.0
2.5
(10.67)
dove Aalcua è l'area della superficie totale dell'aletta. Questa relazione consente di valutare lo scambio termico di un'aletta, nota la sua efficienza.
~
o o
Relazioni per il calcolo dell'efficienza dell'aletta sono proposte per alette di profili diversi: in Figura 10.59 sono riportati gli andamenti dell' efficienza per alette su una superficie piana e in Figura 10.60 per alette circolari di spessore costante, oltre ali' area superficiale dell'aletta associata a ciascun profilo. Si noti che alette con profili triangolari e parabolici, poiché contengono meno materiale e sono più efficienti di quelle con profili rettangolari, sono più convenienti nelle applicazioni che richiedono minimo peso, come nelle applicazioni spaziali. Nella progettazione di superfici alettate è importante la scelta della lunghezza dell'aletta L Normalmente più lunga è l'aletta, più grande è l'area della superficie di scambio termico e di conseguenza maggiore la potenza termica trasferita dall'aletta. Ma d'altra parte, più grande è l'alet· ta, maggiore è la massa, più elevato il costo e più grande è l'attrito del fluido. Pertanto l'aumento della lunghezza dell'aletta al di là di un certo valore non si giustifica, a meno che i benefici addizionali non superino il costo aggiuntivo. Inoltre, poiché l'efficienza dell'aletta diminuisce all'aumentare della lunghezza dell'aletta a causa della diminuzione di temperatura dell'aletta con la lunghezza, lunghezze che determinano una riduzione dell'efficienza dell'aletta al di sotto del 60 per cento di solito non si possono giustificare dal punto di vista economico e dovrebbero essere evitate.
L'efficacia dell'alettatura
F,=(l+lt)../M:i
2.0
2.5 F,
Le alette si usano per aumentare lo scambio termico, ma il loro uso su una superficie non può essere raccomandato se il miglioramento non giustifica il costo addizionale e la maggiore complessità. Poiché non vi è alcuna sicu-
FIGURA 10.60 Efficienza di alette circolari di lunghezza L e spessore costante t (da Gardner).
T------358
rezza che l'aggiunta di alette su una superficie farà aumentare lo scambio termico, le prestazioni dell'alettatura si giudicano sulla base dell'incremento di scambio tem1ico rispetto al caso di assenza di alettatura e si esprimono in termini della efficacia dell'aletta g'1c"' definita dalla relazione (Figura 10.61): potenza termica trasmessa dall'aletta di area di base Ab potenza termica trasmessa dalla superficie di area~
E=~ aletta
Qscnmaletta
FIGURA 10.61 Efficacia di un' aletta.
T
:L o~----------<1,_..x
dove Ab è l'area della sezione trasversale dell'aletta in corrispondenza della base e Q,.nza aletta rappresenta la potenza termica trasmessa dalla stessa area in assenza di aletta. Una efficacia ga1eua = I indica che l'aggiunta di alette alla superficie non influisce affatto sullo scambio termico, ovvero che il calore trasmesso per conduzione ali' aletta attraverso la superficie di base Ab è uguale al calore scambiato dalla stessa superficie Ab con il mezzo circostante. Una efficacia ea1,11 , < 1 indica che laletta di fatto agisce da isolante, riducendo lo scambio termico della superficie: tale situazione si può verificare quando si fa uso di alette realizzate con materiali a bassa conducibilità termica. Una efficacia ea1ena > 1 indica che le alette aumentano lo scambio termico della superficie, come dovrebbero. In ogni caso, il ricorso alle alette non è giustificato fintanto che galena non è sufficientemente maggiore di l. Le superfici alettate si progettano massimizzando I' efficacia per un determinato costo, oppure minimizzando il costo per una determinata efficacia. Nel caso di un'aletta sufficientemente lunga a sezione trasversale uniforme (A,= costante), poiché la temperatùra dell'aletta in corrispondenza della sua estremità tenderà alla temperatura ambiente, scrivendo il bilancio di energia e risolvendo lequazione differenziale risultante si ottiene che la temperatura lungo l'aletta diminuisce esponenzialmente da Tb a TN. La variazione di temperatura lungo l'aletta e la potenza termica trasmessa stazionaria dall'intera aletta in questo caso sono fomite dalle relazioni (Figura 10.62): T(x) -T~
e-xJhPIJ.A,
(10.69)
Tb-T~
e P =lrD.
A, =trDZ/4
_/A,; _/4X alcua.....:.JM,.....:..Jht;
(10.68)
Òa1e1t.. A,=costante
=JhP?.A,(T;,-T~)
(10.70)
dove P è il perimetro, A, l'area della sezione trasversale dell'aletta e x la distanza dalla base dell'aletta. Tenendo conto di queste relazioni I' efficacia di un' aletta sufficientemente lunga è:
E
FIGURA 10.62 Variazione di temperatura in una lunga aletta circolare a sezione trasversale costante.
Ealetta, Ar =costante
Qaletta
.fhPM;(Tb -T~)
Qsenza ateua
hAb(Tb -T~)
(10.71)
Dalla precedente relazione sull'efficacia dell'aletta si possono trarre numerose considerazioni utili al progetto e alla scelta delle alette:
•
359
La conducibilità termica À del materiale dell'aletta deve essere la più elevata possibile. Non è un caso che le alette sono realizzate con materiali metallici come rame, alluminio e ferro, tra quelli più comunemente usati. Probabilmente le alette più largamente usate sono di alluminio, in relazione al suo basso costo, alla sua leggerezza e alla resistenza alla corrosione.
•
Il rapporto tra perimetro e area della sezione trasversale dell'aletta, PIA,. deve essere il più elevato possibile. Questo criterio è soddisfatto da alette piane sottili o da sottili alette a spillo.
•
L'uso delle alette è più efficace nelle applicazioni che comportano un basso coefficiente di scambio termico convettivo. Perciò l'uso di alette è più giustificato quando il fluido è un gas piuttosto che un liquido e la trasmissione di calore ha luogo per convezione naturale anziché per convezione forzata. Non è un caso che negli scambiatori di calore liquido-gas come il radiatore dell'automobile, alette siano fissate sul lato gas.
La trasmissione di calore da superfici nlettatc
Quando si determina la potenza termica scambiata da una superficie alettata, si deve considerare la porzione della supeificie priva di alette nonché le alette. La potenza termica scambiata, quindi, per una superficie che contiene n alette si può esprimere come: Qtotale,a1etta
= Qsenza aletta + Qaletta = M..nzaaletta (Tb -T~) +1Ja1e11alzA.ie11a (Tb -T~) = h(A,.nzaa1ena +
n1Ja1e11aA.1e11• )(Tb
(10.72)
-T~)
Si può anche definire una efficacia complessiva per una superficie alettata come il rapporto tra lo scambio termico globale dalla superficie alettata rispetto allo scambio termico dalla stessa superficie priva di alette:
ealetta. complessiva
Qtotale alernuura
h(.\.nzaaleua +1JaienaA.1e11a)(Tb
Qtotale,senza alenatura
hA,enza•lenarum (Tb
-T_) (10.73)
-T_)
dove A,..,. aJottarura rappresenta larea della superficie senza alette, Aalettatura è larea della superficie totale di tutte le alette sulla superficie e Asenza aicua è l'area della porzione della superficie non alettata (Figura 10.63). Si noti che l'efficacia complessiva dell'alettatura dipende dalla densità delle alette (numero di alette per unità di lunghezza), così come dall'efficacia delle singole alette, e che lefficacia complessiva rappresenta le prestazioni di una superficie alettata meglio dell'efficacia delle singole alette. Superfici alettate progettate in modo speciale chiamate dissipatori di calore, comunemente usate nel raffreddamento di componenti elettronici, comprendono geometrie complesse di un solo tipo, come mostrato nella Tabella 10.6. Le prestazioni di scambio termico dei dissipatori di calore di solito si esprimono in funzione della loro resistenza termica, in °C/W: un piccolo valore di resistenza termica indica una piccola riduzione di temperatura da una parte ali' altra del dissipatore di calore e quindi una elevata efficacia dell'alettatura.
H Ascnualeita=wxH-3 X(txn..-) Arueiiawra= 2 XL X w + t X w (una aletta) =2xlxw
Ascnualettlltura= WX
FIGURA 10.63 Aree superficiali associate
a una superficie rettangolare con tre alette.
I 360 CAPITOLO 10 La conduzione termica in regime stazionario
TABELLA 10.6 Resistenza termica combinata per convezione naturale e irraggiamento di alcuni dissipatori di calore usati nel raffreddamento di componenti elettronici tra il dissipatore di calore e l'ambiente. Tutte le alette sono di alluminio 6063T-S anodizzate nere e lunghe 76 mm. (Per cortesia di Vemaline Products, Inc.) ' HS 5030
R =0.9°C/W (verticale) R= 1.2°C/W (orizzontale) Dimensioni: 76 mm x 105 mm x 44 mm Area superficiale: 677 cm2
R= 5°CIW
•
HS 6071
Dimensioni: 76 mm x 38 mm x 24 mm Area superficiale: 387 cm2
R= 1.4°C/W (verticale) R= 1.8°C/W (orizzontale)
R= 1.a°C/W (verticale) R= 2.1°C/W (orizzontale) Dimensioni: 76mmx127mmx19 mm Area superficiale: 677 cm2
R R
=1.1°C/W (verticale) =1.3°C/W (orizzontale)
Dimensioni: 76 mmx 102 mmx 25 mm Area superficiale: 929 èm 2 HS7030
•
i
361 ESEMPIO 10.13 I transistori di potenza comunemente usati nei dispositivi elettronici consumano grandi quantità di potenza elettrica. Poiché i guasti dei componenti elettronici aumentano con la temperatura operativa della giunzione in modo quasi esponenziale e si dimezzano per ogni riduzione di 10°c, si cerca di mantenere tale temperatura operativa al di sotto di un livello di sicurezza. Le caratteristiche di scambio termico di un transistore di potenza, protetto dalla sua custodia costituita da una rigida chiusura metallica, di solito sono specificate dal fabbricante in termini della resistenza termica custodia-ambiente, comprendente gli scambi termici sia per la convezione naturale che per l'irraggiamento. La resistenza termica custodia-ambiente di un transistore di potenza avente una potenza massima di 10 W è di 20°C/W. Se la temperatura della custodia del transistore non deve superare 85°C, si determini la potenza a cui questo transistore può funzionare in condizioni di sicurezza, in un ambiente a 25°C . Soluzione Il transistore di potenza e la rete di resistenze termiche ad esso associata sono mostrati in Figura 10.64. Ipotizzando la custodia del transistore isoterma a 85°C, poiché tra questa a 85°C e l'ambiente a = 25°C vi è una sola resistenza di 20°C/W, la potenza termica trasmessa è:
r. =
r_
La trasmissione di calore da superfici alettate
FIGURA 10.64
Schema per l'Esempio I0.13.
Dimensioni: 76 mm x 92 mm x 26 mm Area superficiale: 968 cm•
HS 6115
I
R = 2.9°C/W (verticale)
R =3.1°C/W (orizzontale)
Dimensioni: 76 mm x 97 mm x 19 mm Area superficiale: 290 cm 2
0=(/J.T) R""'°"'_,.
T,-T. _ 85-25 = W 3 R..-......... 20
Perciò, questo transistore di potenza non può funzionare a potenza superiore a 3 W se la temperatura della sua custodia non deve superare 85°C. Questo transistore può funzionare a potenza superiore collegato a un dissipatore di calore (che riduce la resistenza termica incrementando l'area della superficie di scambio termico) oppure usando un ventilatore (che riduce la resistenza termica incrementando il coefficiente di scambio termico convettivo).
ESEMPIO 10.14 Un transistore di potenza da 60 W deve essere raffreddato collegandolo a uno dei dissipatori di calore disponibili in commercio mostrati in Tabella 10.6. Si scelga un dissipatore di calore che consente alla temperatura della custodia del transistore di non superare 90°C con temperatura dell'aria ambiente circostante di 2o•c. Soluzione La potenza termica trasmessa da un transistore da 60 W a pieria potenza è O= 60 W. Trascurando la resistenza di contatto tra il transistore e il dissipatore di calore, la resistenza termica tra il transistore fissato al dissipatore di calore e l'aria ambiente è:
0= !J.T ~ R= !J._T = 90-30 =1.0oC/W R Q 60 Poiché la resistenza termica del dissipatore di calore deve essere inferiore a 1.0°C/W, dall'esame della Tabella 10.6 si ha che l'HS 5030, di resistenza termica pari a 0.9°C/W in posizione verticale, è l'unico dissipatore di calore che soddisfa questa esigenza.
----------··--~~-----------------~
~~;m~w
.o,,,.1•••1ona =
aa
CAPITOLO IO La conduzione termica in regime stazionario
r.
"
lt=2mm
I
S=3mm
ESEMPIO 10.15
A,.,.• .,."'"''" = irD,L = ir x 0.03 x 1
Q""'•"'"'"'" FIGURA 10.65 Schema per l'Esempio 10.15.
L'incremento della potenza termica dissipata dalla tubazione per ogni metro di lunghezza a seguito dell'aggiunta di alette è:
In un impianto di riscaldamento del vapore fluisce attraverso tubazioni di diamet~o esterno D, = 3 cm e con temperatura esterna di 120°C. Alla tubazione sono fissate alette di alluminio circolari (..1. = 180 W/(m. °C)] di diametro esterno O·= 6 cm e s~esso~e cos~ante I= 2 mm, .come mostrato in Figura 10.65. Poiché le aiette son~ d1stanz1ate d1 3 mm, su ogni metro di lunghezza della tubazione sono presenti 200 alette. La trasmissione di calore con l'aria circostante a T = 25°c avviene con. ~n ..coefficiente di scambio termico combinato di h = 60-W/(m" °C). Si determ!m I 1ncr7mento della potenza termica dissipata dalla tubazione per ogni metro lineare d1 lunghezza a seguito dell'aggiunta delle alette.
Sol~zione Nel ~aso di ~ssenza di alette, la potenza termica dissipata dalla tubazione per metro lineare d1 lunghezza per la legge di Newton per la convezione è:
=0.0942 m•
=hA..,..mtto"'" (T,,- TJ =60 X 0.0942 X (120 - 25)
L'efficienza delle alette circolari fissate a una tubazione circolare è diagrammata in Figura 10.60. Tenendo presente che in questo caso L = .!. (02 - D,) = .!. (0.06 - 0.03) 2 2 = 0.015 m, si ha:
r2 +it = o.o3+txo.002 0.015 r,
- 2.07
L+it/i; = 0.015 +f xo.002
xJ180:~.002 Inoltre
-
1]""" =0.95
0 207 ·
A''"""''" =21!{ r,' - r,' ) + 2irr2 t
= 2ir X (0.032 - 0.0152) + 21r X 0.03 =0.00462 m 2
X
0.002
O"""' =1Ja1a.. o,.... """ =11.1e11.hA""""'"'(T. -T.) = 0.95 = 25.0
X
60
X
0.00462
X
(120 - 25)
w
Osservando che lo spazio tra due alette è 3 mm, la potenza termica dissipata dalla porzione della tubazione priva di alette è:
A.,~'""''~ = irD, S
0""'"'""'0 = o,olAl•.•ietta Discussione
=ir x 0.03 x 0.003 = 0.000283 m
2
0..,., •.,, =hA,....-(T.-T.) = 60 X 0.000283 X (120- 25) =:l.60W Osservando .che ci sono ~00 ali:tte e quindi 200 spazi tra un'aletta e l'altra per ogni metro d1 lunghezza d1 tubazione, la potenza termica complessivamente dissipata dalla tubazione alettata è:
= . O""''""""" alotta,complesslva
! t f
o,..,.,,... "'5320 - 537 = 4783 w
Poiché l'efficacia totale della tubazione alettata è:
e
f
=537W
363
n(O.,,"' +o..,.•"•••)= 2oox(25.0+l.6) = 5320W
Qtotale,sanzaalettatura
_ 5320 537
= 9 .9
la potenza termica trasmessa dalla tubazione di vapore aumenta di un fattore circa 10 a seguito dell'aggiunta di alette. Questo spiega l'ampio uso di superfici alettate.
10.1 O :::ìl LA TRASMISSIONE DI CALORE NELLE CONFIGURAZIONI COMUNI Finora è stata considerata soltanto la trasmissione di calore in geometrie semplici come ampie pareti piane, lunghi cilindri e sfere, perché la trasmissione di calore in tali geometrie può essere approssimata come monodimensionale ottenendo soluzioni analitiche semplici. Molti problemi che si incontrano in pratica, però, sono bi- o tridimensionali e comprendono geometrie piuttosto complicate per le quali sono disponibili soluzioni non semplici. Una classe importante di problemi di trasmissione di calore, per cui si ottengono soluzioni semplici pur non essendo monodimensionali, è quella costituita da due superfici mantenute a temperature costanti T1 e T2, che in condizioni stazionarie scambiano la potenza termica per conduzione che può essere calcolata con la relazione: (10.74) dove S è il fattore di forma per conduzione, che ha le dimensioni di una lunghezza, e À. è la conducibilità termica del mezzo interposto tra le due superfici. Il fattore di forma per conduzione dipende unicamente dalla geometria del sistema. I fattori di forma per conduzione sono stati calcolati per un certo numero di configurazioni che si incontrano in pratica. In Tabella I O. 7 sono riportati i fattori di forma per conduzione per alcuni casi comuni, mentre in letteratura sono disponibili tabelle più complete. Noto il valore del fattore di forma per una data geometria, la potenza scambiata in condizioni stazionarie si può calcolare con lequazione precedente usando le temperature costanti delle due superfici e la conducibilità termica del mezzo interposto. Si noti che i fattori di forma per conduzione si possono applicare solo quando lo scambio termico tra le due superfici è di tipo conduttivo e che non possono essere usati quando tra le due superfici vi è un liquido o un gas, che provocano correnti convettive naturali o forzate.
La trasmissione di calore nelle contigurazitJni comuni
364
TABELLA 10.7 Fattori di forma per conduzione S per numerose configurazioni da usare in Q S-1. (T, - T,) per calcolare la potenza termica trasmes..a in condizioni stazionarie attraverso un mezzo di conducibilità termica ,1. tra le superfici a temperature T, e T
CAPITOLO IO La conduzione termica in regime stazionario
365
=
La trasmissione di calore nelle configurazioni comuni
2
( 1) Cilindro isotenno di lunghezza l
(2) Cilindro verticale isotenno di lunghezza l
interrato in un mezzo semi-infinito
interrato in un mezzo semi-infinito
(l>>Dez >l.5D)
r,
(9) Un lungo strato cilindrico
(l»D)
S=
2trl
0.93 In (0.948a/b)
S=--1!rb__ ln(4z/D) (b)Peralb< 1.41,
S=
(4) Una fila di cilindri paralleli equidistanti isotenni
interrati in un mezzo semi-infinito (l>>D, z e w>l.5D)
(11) Uno strato sferico
(per cilindro)
(6) Cilindro circolare isotenno di lunghezza l al centrO di una barra quadra solida della stessa lunghezza
(Z >0.5D)
S=_J!IL_ ln(8zitrD)
'O -· 1~<
(13) Il bordo di due pareti adiacenti di uguale spessore
S=0.54w
o. ·.·
i:P+L~··
s-
( 12) Disco interrato parallelo alla superficie in un mezzo semi-infinito (z » D)
r,
:·.:. -.., i;it~&~jf
s- ---=2"""l~ ln( 2w sinh ~) trD w
(5) Cilindro circolare isotenno di lunghezza l nel piano medio di una parete infinita
2trl 0.785 In (alb)
(14) Angolo di tre pareti di uguale spessore
S=0.15l
2Jrl
- In (t.08w/D)
r,
(7) Cilindro circolare isotenno eccentrico di lunghezza l in un cilindro di uguale lunghezza (l >D,)
(8) Ampia parete piana
(15) Sfera isotenna interrata in un mezzo semi-infinito
( 16) Sfera isotenna interrata in un mezzo senù-infinito a T2 la cui superficie è isolata
1j
s
2Jrl S=-1:!IP__ t -0.25D/z
s =_.1!!f2._ I +0.25D/z
Isolamento
----------------------------- --- -· - . 366 &V-~
CAPITOLO IO La conduzione termica in regime stazionario
1
Un confronto 'tra le Equazioni 10.13 e 10.74 mostra che il fattore di forma per conduzione S è correlato alla resistenza tennica R = 11iLS' o S = I/AR da una relazione di proporzionalità inversa. Negli esempi che seguono è illustrato l'uso di tali fattori di forma per conduzione.
ESEMPIO 10.16
Soluzione Questo è un problema di scambio termico bidimensionale (nessuna variazione nella direzione assiale) con fattore di forma per conduzione che dalla Tabella 10.7 risulta essere:
2irL S= ln(4z/O) per z > 1.50, dove z è la distanza del tubo dalla superficie del terreno e O è il diametro del tubo. Sostituendo nella relazione precedente i dati del problema si ha:
S=
2ir x30 =62.9m ln(4x0.5/0.1)
La potenza termica dissipata dal tubo è:
Q = S,1. (T, - T,)
= 62.9 X 0.9 X {80 - 10) = 3963
w
Si osservi che questa potenza termica dissipata dal tubo si trasmette sino alla superficie del terreno attraverso il suolo per conduzione e poi all'atmosfera per convezione e per irraggiamento.
ESEMPIO 10.17 Una coppia di tubi di acqua calda e fredda lunghi 5 m corrono parallelamente in uno strato pesante di calcestruzzo, come mostrato in Figura 10.67. Il diametro di entrambi i tubi è 5 cm e l'interasse dei tubi è 30 cm. Le temperature superficiali dei tubi di acqua calda e fredda sono 70'C e 15°C, rispettivamente. Se la conducibilità termica del calcestruzzo è A.= 0.75 W/(m · 'C), si determini la poten· za termica scambiata tra i tubi. Soluzione Anche questo è un problema di scambio termico bidimensionale (nessuna variazione nella direzione assiale lungo i tubi) con fattore di forma per conduzione che dalla Tabella 1O.7 risulta essere:
S= FIGURA 10.67 Schema per l'Esempio I0.17.
S=
2irx5 2 2 cosh·'( 4 x 0.3' -0.05 - 0.05 2 X 0.05 X 0.05
367 ~;I%~\...
La trasmissione di culon· nel1e conligurazioni comuni
=6.34m
La potenza termica scambiata tra i tubi è:
Un tubo di acqua bollente del diametro di 1O cm e di 30 m di lunghezza, facente parte di un sistema di riscaldamento di quartiere è interrato di 50 cm al di sotto della superficie del terreno, come mostrato in Figura 10.66. La temperatura superficiale esterna del tubo è 80°C. Nell'ipotesi che la temperatura superficiale del terreno è 10'C e la conducibilità termica del suolo è 0.9 W/(m. 'C), si determini la potenza termica dispersa dal tubo.
FIGURA 10.66 Schema per l'Esempio 10.16.
dove z è l'interasse tra i tubi e L la loro lunghezza. Sostituendo nella relazione precedente i dati del problema si ha:
2irL 4 cosh-'( z' -0:
-0:)
20,0,
Q = S,1. (T, - T,) = 6.34 X 0.75 X {70 - 15) = 262
w
Si può ridurre questa dissipazione di calore, distanziando maggiormente i tubi di acqua calda e fredda.
ESEMPIO 10.18 Si consideri una casa riscaldata elettricamente con pareti alte 2.7 m e con un rapporto spessore-conducibilità termica UA.= 2.29 m' · K/W. Due pareti della casa sono lunghe 12 me le altre 9 m. La casa è mantenuta sempre a 24'C, mentre la temperatura esterna varia. Si determini la potenza termica dissipata attraverso le pareti della casa in un giorno in cui la temperatura media all'esterno è 7'C. Si determini inoltre la spesa per il proprietario se il prezzo unitario dell'elettricità è di 250 L./kWh. Come coefficienti di scambio termico per convezione e radiazione combinate, si faccia uso dei valori raccomandati dall'ASHRAE (American Society of Heating, Refrigeration and Air Conditioning Engineers) h, = 8.3 W/m' · K per le superfici interne delle pareti e h = 22.7 Wlm' · K per le superfici esterne delle pareti, rispettivamente, con vento d'inverno a 15 m/h. Soluzione Si fa l'ipotesi che le temperature dell'aria all'interno e all'esterno si siano mantenute ai valori dati per l'intero giorno, in modo da poter considerare stazionario lo scambio termico attraverso le pareti. Si ipotizza, inoltre, che lo scambio termico attraverso le pareti sia monodimensionale, dal momento che in questo caso i gradienti di temperatura significativi si hanno soltanto nella direzione normale alle facce delle pareti e che gli effetti della radiazione siano compresi nei coefficienti di scambio termico. Questo problema, che implica conduzione attraverso le pareti e convezione in corrispondenza delle loro superfici, può essere trattato ricorrendo alla rete di resistenze termiche mostrata in Figura 10.68. L'area della superficie di scambio termico delle pareti è:
24°C
7'C
A= perimetro x altezza= (2 x 12 + 2 x 9)(2.7) = 113.4 m' Le singole resistenze sono:
1
R, = R"""·' = h A I L
R..,,., =A.A=
8.3X113.4
0.00106 K/W
2.29 .4 =0.020191
113
r_, •. tIR_"I · t R;
r,
r,
R,
•
r_,
1 R =R =--= 0000391
R.,..,, = R, + R..,,., + R, = 0.00106 + 0.02019 + 0.00039 = 0.02164 K/W
FIGURA 10.68 Schema per l'Esempio 10.18.
368
La potenza termica dissipata attraverso le pareti della casa in condizioni stazionarie è:
CAPITOLO IO
La conduzione termica
0= T.,-T_, =-1_7_=78 6W 0.02164
in regime stazionario
R,,..,,
La quantità totale di calore dissipata attraverso le pareti durante un periodo di 24 ore e la relativa spesa per il proprietario sono: Q= QM
La conducibilità termica di un materiale è la potenza termica trasmessa attraverso uno spessore unitario del materiale per una superficie di area unitaria e per una differenza di temperatura unitaria. Il prodotto pcP è detto capacità termica e a= Alpe diffusività termica di un materiale. La potenza termica trasfuessa in condizioni di trasmissione monodimensionale attraverso un corpo semplice o composto esposto a convezione da entrambi i lati con fluidi a temperature T_ e T_ è: 1 2
=786 X 24 = 18864 Wh/d = 18.86 kWh/d
Q T_, -T_2
costo del riscaldamento= (dissipazione di energia)(costo dell'energia)= 18.86 x 250 = 4715 L./d
La trasmissione di calore per conduzione è il trasferimento di energia dalle particelle più energetiche di un corpo a quelle adiacenti meno energetiche. ,La conduzione di calore si dice stazionaria quando la temperatura non 1varia nel tempo, e variabile in caso contrario. La conduzione di calore si ldice monodimensionale quando è significativa solo in una direzione e trascurabile nelle altre due. La potenza termica trasmessa per conduzione attraverso uno strato è proporzionale alla differenza di temperatura da una parte all'altra dello strato e all'area della superficie di scambio termico, è inversamente proporzionale allo spessore dello strato e si esprime attraverso la legge di Fourier della conduzione termica come: Qcond
dT = -À.A dx
(W)
dove Il è la conducibilità termica del materiale. La trasmissione di calore per convezione è il trasferimento di energia tra una superficie solida e un liquido o un gas adiacente in movimento. Essa comprende gli effetti combinati di conduzione e movimento del fluido. La trasmissione di calore per convezione è proporzionale alla differenza di temperatura e si esprime con la legge di Newton per la convezione: Qconv
R,"""• dove R,0 ..,, è la resistenza termica totale tra i due fluidi. Per una parete piana esposta a convezione su entrambi i lati, la resistenza totale è:
10.11 il SOMMARIO
·
(W)
= hA (T, -T_)
=Rconv,I + Rpan:te + Ra,nv,2 = /iilA + ~ + ~A
(°C/W)
Questa relazione può essere estesa a pareti piane costituite da due o più strati sommando una resistenza addizionale per ogni strato addizionale. Le relazioni elementari della resistenza termica sono:
resistenza conduttiva (parete piana):
Rpnrete
L =M
resistenza conduttiva (cilindro):
R _ ln(r2 llj) cii 2n:LA.
resistenza conduttiva (sfera):
- r2 -lj Rs f e ra-1 41I"ljr2/l. 1
resistenza convettiva:
Rconv
=hA I
resistenza radiativa:
R;rr= ~rrA
dove il coefficiente di scambio termico radiativo è:
(W)
dove h è il coefficiente di scambio termico convettivo. La trasmissione di calore per irraggiamento è l'energia emessa dalla materia sotto forma di onde elettromagne tiche (o fotoni) a seguito di modificazioni nelle configurazioni elettroniche degli atomi o delle molecole. La potenza termica netta scambiata per irraggiamento tra un corpo, di emissività e e area superficiale A, e l'ambiente circostante è:
Qirr = eaA(T,4 - Tc4)
Riotale
(W)
dove a= 5.67 x I()-8 W/(m2 • K4) è la costante di Stefan-Boltzmann.
Nota la potenza termica trasmessa, la differenza di temperatura da una parte all'altra di ogni strato è:
l!.T= QR (0 C) La resistenza termica si può usare anche per risolvere problemi stazionari di scambio termico per strati in parallelo o per configurazioni combinate serie-parallelo. L'aggiunta di uno strato isolante a un corpo cilindrico o a un guscio sferico incrementa la potenza termica trasmessa se il raggio esterno dell'isolante è inferiore al raggio critico dell'isolante definito dalle relazioni:
369 Sommario
1 I
370
À
- -h rcr.cil-
CAPITOLO IO La conduzione termica
e
Per un'ampia parete piana di spessore 2L, un lungo cilindro pieno di raggio r0 e una sfera piena di raggio r0 .all'interno dei quali si genera calore uniformemente con potenza g per unità di volume, la temperatura superficiale T, è:
·i
T,,paretepiona
T
s,cilindro =
T,,sfera
=T_ + gh T
T = -
~
gr. +Zh
gr. +Jh
Il massimo aumento di temperatura in queste geometrie, dato dalla differenza tra la temperatura centrale T0 e la temperatura superficiale T,. è: ATma.,,paretepiana
·i2 = ~À.
gr2
ATmax, cilindro= 4~ • 2
AT
max.sfera
=gr.À. 6
Le superfici alettate sono usate in pratica per aumentare lo scambio termico. Le alette aumentano la potenza termica dissipata da una superficie, esponendo a convezione un'area superficiale più grande. La temperatura di un' aletta diminuisce lungo laletta stessa. Per tenere conto dell' effetto di questa diminuzione di temperatura sulla potenza termica dissipata, si definisce l'efficienza dell'aletta:
11a1eua =
potenza termica reale trasmessa dall'aletta potenza termica ideale trasmessa dal!' aletta se tutta l'aletta fosse alla temperatura della base
Nota l'efficienza dell'aletta, la potenza termica dissipata da un'aletta è:
Le prestazioni delle alette si giudicano sulla base dell'incremento di scambio termico rispetto al caso di assenza di alette e si esprimono in termini
dell'efficacia dell'alettatura ea1eua=
Qaletta
aletta - Qsenza aletta
2À ra,s
in regime stazionario
-
potenza termica trasmessa dall'aletta di area di base Ai, potenza termica trasmessa dalla superficie di area Ai,
dove Ab è l'area della sezione trasversale dell'aletta alla base e Q,. 0,.,1• 11• rappresenta la potenza termica trasmessa dalla stessa area in assenza di alette. L'efficacia complessiva per una superficie alettata si definisce come il rapporto dello scambio termico globale dalla superficie alettata rispetto allo scambio termico dalla stessa superficie priva di alette:
e
_
Q,01a1ea1e11aiura
nletta,complessiw - Qtotale, senzaalettatura
=
h(A,..,.a1.ua
+11a1••• Aai.u.>CTb -T_)
JL\enzaalettatura(Tb
-T")
Alcuni problemi di scambio termico multidimensionale comprendono due superfici mantenute a temperature costanti T1 e T2• La potenza termica trasmessa per conduzione in condizioni stazionarie tra queste due superfici è:
dove S è il fattore di forma per conduzione, che ha le dimensioni di una lunghezza. e À è la conducibilità termica del mezzo tra le superfici.
371 Sommari11
- ----,
La conduzione termica in regime variabile Poiché, in generale, la temperatura di un corpo varia con il tempo e con la posizione, in questo capitolo si tratterà della conduzione tennica in regime variabile di temperatura con il tempo e con la posizione in sistemi mono o multidimensionali. Partendo dallo studio dei sistemi a parametri concentrati in cui la temperatura di un solido varia con il tempo ma rimane uniforme attraverso il solido in ogni istante, si considera in seguito la variazione di temperatura con il tempo e la posizione nei fenomeni di conduzione tennica monodimensionale come quelli associati a una grande parete piana, un lungo cilindro, una sfera e un mezzo semi-infinito usando diagrammi di temperatura variabile e definendo so.luzioni analitiche. Si considera, infine, la conduzione tennica variabile in sistemi multidimensionali utilizzando la sol1,1-
zione prodotto.
CAPITOLO li La conduzione termica in regime variabile
(a) Sfera di rame
(b)
Rotolo di carne
FIGURA 11.1
Piccola sfera di rame schematizzata come un sistema a parametri concentrati, diversamente da un arrosto.
A
Lo studio dei sistemi a parametri concentrati
Studiando la trasmissione del calore, si osserva che alcuni corpi si comportano come un "insieme concentrato" con temperatura interna essenzialmente uniforme in ogni istante durante il processo di scambio termico e funzione del tempo soltanto, T(t). Lo studio della trasmissione del calore basato su questa idealizzazione, che considera U sistema a parametri con.centrati, semplifica notevolmente certi tipi di problemi di scambio termico, senza sacrificare molto la precisione. Si consideri una sfera di rame calda che viene fuori da un forno (Figura 11.1 ). Sperimentalmente si può verificare che la temperatura della sfera di rame varia con il tempo e che in un determinato istante non varia con la posizione del punto di misura al suo interno. Poiché la temperatura della sfera rimane uniforme, si può definire la temperatura della sfera senza riferirsi a un punto particolare al suo interno. Un caso completamente diverso, anzi opposto, è quello di un grande arrosto in un forno dove la distribuzione di temperatura è tutt'altro che uniforme. Infatti, tirando fuori larrosto dal forno e tagliandolo a metà prima che la cottura sia completata, si vedrà che le parti esterne sono ben cotte mentre la parte centrale è appena tiepida. In questo caso, perciò, il sistema non può essere considerato a parametri concentrati. Per approfondire il concetto di sistema a parametri concentrati, si consideri un corpo di forma arbitraria di massa m, volume V, area superficiale A, densità p, e calore specifico e , inizialmente a temperatura uniforme T (Figura 11.2), posto all'istant/t =O in un ambiente a temperatu1 ra r_. Se T_ > T1 si avrà trasmissione di calore dall'ambiente al corpo con un coefficiente di scambio termico h, al contrario per r_ < T, Si supponga applicabile la schematizzazione del sistema a parametri concentrati, per cui la temperatura rimane uniforme entro il corpo in ogni istante e varia solo con il tempo, T = T(t). Se durante un intervallo infinitesimo di tempo dt la temperatura del corpo aumenta di una quantità infinitesima dT, il bilancio di energia del solido nel!' intervallo di tempo dt è espresso dalla relazione: (calore trasmesso nel corpo durante dt) =(aumento di energia del corpo durante dt)
o
hA(T_-T)dt=mcPdT
T-T_
Q= hA[T. - T(tll FIGURA 11.2
La geometria e i parametri nello studio di un sistema a parametri concentrati.
(11.2)
pVcP
Integrando l'Equazione 11.l dall'istante t =O, per cui T= T1, a un generico istante t, per cui T = T(t), si ottiene: In T(t)-T_ =-~t T;-T_
pVcP
T(t)
è una quantità positiva la cui dimensione è (tempo)-1• L'Equazione 11.4 è diagrammata in Figura 11.3 per valori diversi di b. Da questa figura e dalla relazione precedente si possono trarre due considerazioni:
1 L'Equazione I L4 consente di valutare la temperatura T(t) di un corpo all'istante t, oppure viceversa, il tempo t necessario affinché la temperatura raggiunga un determinato valore T. 2 La temperatura di un corpo varia esponenzialmente e si avvicina alla temperatura ambiente T_, all'inizio cambiando rapidamente e poi piuttosto lentamente. Un valore grande di b indica che il corpo si avvicinerà alla temperatura ambiente in breve tempo. Si noti che b è proporzionale ali' area superficiale e inversamente proporzionale alla massa e al calore specifico del corpo: ciò non sorprende, dal momento che ci vuole più tempo per riscaldare o raffreddare una massa più grande, specialmente quando essa ha un grande calore specifico.
FIGURA 11.3
La temperatura di un sistema a parametri concentrati tende alla temperatura ambiente.
Una volta che con l'Equazione 11.4 è stata calcolata la temperatura T(t) all'istante t, la potenza termica scambiata per convezione tra il corpo e il suo ambiente nello stesso istante si può calcolare con la legge di Newton per la convezione:
La quantità totale di calore trasferito tra il corpo e lambiente nell' intervallo di tempo da t =O a t coincide con la variazione di energia contenuta nel corpo:
(li.I)
Tenendo presente che m = pVe dT = d(T- Tj dal momento che r_ = costante, l'Equazione 11.l si può riscrivere nella forma: d(T-T_) =-~dt
375
Considerando l'esponenziale di entrambi i membri dall'Equazione 11.3 si ha:
11.1 ;a LO STUDIO DEI SISTEMI A PARAMETRI CONCENTRATI
374
(11.3)
Poiché lo scambio termico è massimo quando il corpo raggiunge la temperatura dell'ambiente circostante T_, la quantità massima di calore scambiato tra il corpo e l'ambiente è (Figura 11.4): , .~, •.. ~,·=~··~·"""~,-.= ..• ~ ,Sp,~'.!"~"~'7ì2~Ql,,"'~~~:,,"~"~"=:: .JI.1_.~) Questa equazione si potrebbe anche ottenere sostituendo il valore T(t), ottenuto dall'Equazione 11.4, nell'Equazione 11.6 che definisce Q e integrandola poi da t =O a t ~ oo.
FIGURA 11.4
Lo scambio termico è massimo quando il corpo raggiunge la temperatura dell'ambiente circostante,
376
I criteri per lo studio di un sistema a parametri concentrati
CAPITOLO li La conduzione termica .n regime \'ariabile
Nello studio di un sistema a parametri concentrati occorre innanzitutto definire la lunghezza caratteristica data dalla relazione:
Convezione ~'.
e il numero di Biot dato dalla relazione:
-
Solo dopo aver calcolato il valore del numero di Biot è possibile valutare l'applicabilità del metodo di studio di un sistema a parametri concentrati. Si noti che il numero di Biot, rapporto tra il calore trasmesso per convezione in corrispondenza della superficie e quello trasmesso per conduzione all'interno del corpo, deve avere valore il più basso possibile perché si possa applicare il metodo di studio di un sistema a parametri concentrati. Questo metodo, in effetti, si applica bene nel caso di corpi piccoli con conducibilità temzica elevata e ancor meglio quando sono immersi in un fluido immobile, cattivo conduttore di calore, come aria o gas. La piccola sfera di rame calda immersa in aria calma, precedentemente descritta, è quindi un ottimo esempio per lo studio di un sistema a parametri concentrati (Figura 11.6).
377 Lo studio dei sistemi
a parametri concentrati
Esso si può anche esprimere come (Figura 11.5)
. h AT B1=---YLc AT Bi
=conve~one tenn~ca condUZlone tenruca
'IGURA 11.5 I numero di Biot interpretato come il
lppono tra il calore trasmesso per onvezione in corrispondenza della uperficie e il calore trasmesso per onduzione all'interno del corpo. ·
o
convezione sulla superficie del corpo conduzione ali' interno del corpo
L lì..
resistenza conduttiva ali' interno del corpo Bi=-c- =-------------..,.-..,.-~~1/h resistenza convettiva sulla superficie del corpo
Quando un corpo solido viene riscaldato da un fluido più caldo che lo circonda, una certa quantità di calore dapprima si trasferisce per convezione al corpo e successivamente per conduzione all'interno del corpo. Poiché il numero di Biot è il rapporto della resistenza interna di un corpo alla conduzione di calore rispetto alla sua resistenza esterna alla convezione di calore, ad un valore basso del numero di Biot corrisponde una piccola resistenza alla conduzione termica e quindi piccoli gradienti di temperatura all'interno del corpo. Poiché nello studio di un sistema a parametri concentrati si ipotizza una distribuzione di temperatura unifonne, cosa che. si verifica solo quando la resistenza termica del corpo alla conduzione di calore (la resistenza conduttiva) è nulla, lo studio di un sistema a parametri concentrati è esatto quando Bi O ed è approssimato quando Bi > O. Naturalmente quanto minore è il valore del numero di Biot, tanto più precisi saranno i risultati. A tal proposito bisogna ricordare che nella maggior parte dei casi si ha un'incertezza del 20 per cento nel valore del coefficiente di scambio termico convettivo h, per cui, non potendosi ipotizzare h costante e unifonne, soprattutto per geometrie irregolari, non si possono sperare risultati con precisione migliore del ± 20 per cento, anche quando Bi = O. Per quanto detto lo studio di un sistema a parametri concentrati si ritiene in generale accettabile se si ha:
=
Bi :5 0.1 Adottando questo criterio, le differenze tra le temperature dei vari punti del corpo e l'ambiente (cioè T - T.) variano al massimo del 5 per cento almeno per geometrie ben arrotondate come una sfera. Perciò, con Bi< O.I, si hanno variazioni della temperatura con la posizione entro il corpo piccole, tanto da poter considerare la temperatura uniforme.
Alcune osservazioni sulla trasmissione di calore nei sistemi a parametri concentrati Per comprendere il meccanismo della trasmissione di calore durante il riscaldamento o il raffreddamento di un solido da parte del fluido che lo circonda e il criterio per lo studio di un sistema a parametri concentrati, si consideri la seguente analogia (Figura 11.7). Dal continente alcune persone devono andare in barca in un'isola, la cui intera costa è un porto, e dal porto alle loro destinazioni nell'isola in autobus. Poiché la presenza di persone in porto dipende dal traffico di barche verso l'isola e dal sistema di trasporto terrestre nell'isola, se vi fosse un eccellente sistema di trasporto terrestre con abbondanza di autobus, non vi sarebbe sovraffollamento al porto, specie quando il traffico di barche è leggero. In caso contrario, vi sarà un enorme sovraffollamento al porto con notevole differenza tra il numero di persone presenti in porto e nell'entroterra. La possibilità di sovraffollamento comunque è molto minore in una piccola isola servita da molti autobus veloci. Nella trasmissione dì calore il sistema di trasporto terrestre scadente corrisponde a una cattiva conduzione di calore all'interno del corpo e il sovraffollamen to in porto all'accumulo di calore con conseguente innalzamento di temperatura nelle zone del corpo prossime alla superficie esterna. Uno studio del sistema a parametri concentrati non può farsi quando vi è sovraffollamento.alla superficie. Naturalmente, in questa analogia è stata trascurata la radiazione che potrebbe equivalere al traffico aereo verso l'isola. Come accade per i passeggeri al porto, il calore cambia mezzo di trasporto passando in corrispondenza della superficie del corpo da convezione a conduzione. Infatti, poiché una superficie ha spessore nullo e non può pertanto accumulare alcuna energia, il calore che raggiunge la superficie del corpo per convezione deve continuare il suo viaggio all'interno del corpo per conduzione. Se si considera la trasmissione di calore da un corpo caldo ad un ambiente più freddo, il calore si trasferirà dal corpo all'ambiente per differenza di temperatura. Poiché questa energia proviene dalla regione prossima alla superficie, la temperatura del corpo in prossimità della superficie diminuirà, creando un gradiente di temperatura tra le regioni interne ed ester-
V ln:D' 1 L,=A=~D 2 = D=0.02m
6
Bi=
h~,=~=0.00075 <0.1 "'
401
FIGURA 11.6
Corpi piccoli con conducibilità termiche elevate e coefficienti convettivi bassi sono i più adatti a soddisfare i criteri per lo studio di un sistema a parametri concentrati.
FIGURA 11.7
Analogia tra scambio termico ver.;o un solido e traffico di passeggeooi ver.;o un• isola.
378 CAPITOLO Il La conduzione termica in regime variabile
h = 2000 W/(m2 • °C)
FIGURA 11.8 Grandi differenze di temperatura tra le regioni interna ed esterna di un grande solido quando il coefficiente convettivo h è elevato e A. è basso.
Termocoppia
___...,. . Giunzione .. ==:
T ,h Gas
-
.
'
D=lmm T(t)
FIGURA 11.9 Schema per l'Esempio 11.1.
ne del corpo e dando luogo a un flusso termico per conduzione dall'interno del corpo verso la superficie esterna. Se il coefficiente di scambio termico convettivo h e quindi lo scambio termico per convezione sono elevati, la temperatura del corpo in prossimità della superficie diminuisce rapidamente (Figura 11.8) con aumento della differenza di temperatura tra le regioni interna ed esterna, a meno che il corpo non sia in grado di trasferire calore dalle zone interne a quelle esterne con la stessa rapidità. Pertanto, la differenza massima di temperatura all'interno del corpo dipende fortemente dall'attitudine del corpo a trasmettere calore per conduzione verso la sua superficie riferita alla capacità del mezzo circostante di allontanare dalla superficie questo calore per convezione. Questi due effetti concomitanti trovano una quantificazione nel numero di Biot. Si rammenti che la potenza termica trasmessa per conduzione in una determinata direzione n riferita all'unità di superficie è q = - AàT/c)n, dove èJT/c)n è il gradiente di temperatura e À. è la conducibilità termica del solido. Pertanto, la distribuzione di temperatura nel corpo sarà unifonne solo quando la sua conducibilità termica è infinita. Poiché di materiali con queste caratteristiche non si conosce lesistenza, all'interno del corpo nel caso di trasmissione di calore per conduzione si avranno gradienti di temperatura e quindi differenze di temperatura anche se piccole. Si noti che, per un determinato valore del flusso termico, essendo il gradiente di temperatura e la conducibilità termica tra loro inversamente proporzionali, a valori grandi della conducibilità termica corrispondono piccoli gradienti di temperatura.
ESEMPIO 11.1 Si deve misurare la temperatura di una corrente gassosa con una termocoppia, la cui giunzione può essere approssimata a una sfera di 1 mm di diametro, come mostrato in Figura 11.9. Le proprietà della giunzione sono: A.= 35 W/(m · °C), p = 8500 kg/m', e = 320 J/(kg · °C) e il coefficiente di scambio termico convettivo tra la giunzione e"il gas è h = 210 W/(m2 • °C). Si determini il tempo necessario affinché con la termocoppia si misuri il 99 per cento della differenza di temperatura iniziale. Soluzione Si fa l'ipotesi che il coefficiente di scambio termico h rimanga uni· forme e costante sull'intera superficie e che includa ogni effetto radiativo. La lun· ghezza caratteristica della giunzione è: _. 1 D' 1 V .l.1r 6 --=-D=-x0.0001 =1.67x10 m Le =-=6 6 A n:D'
Il numero di Biot è: 4
Bi= hL. = 210x1.67x10 35 A.
=O.OOOl
È quindi applicabile lo studio del sistema a parametri concentrati, poiché l'errore che si commette con questa approssimazione è trascurabile.
Per leggere il 99 per cento della differenza di temperatura Iniziale giunzione e il gas, si deve avere:
r,- T
tra la
•
3i Lo studio dei sisk1 a parametri concentr•
T(t)-T ----=0.01 T.I -T"
Ad esempio, se r, = o•c e r_ = 100.°C, la termocoppia rileverà il 99 per cento di questa differenza di temperatura quando indicherà T(Q = 99°C. Poiché il valore dell'esponente b è:
b=~=-h-= pc,V
pc,L.
-0.462s·' 210 4 .8500x320x1.67x10-
T(t)-T. =e_., ~0.01 =e·•.••21 T.-T
si ha:
-
I
e quindi:
t= 10 s
Si deve attendere almeno 10 s affinché la termocoppia misuri la temperatura del gas con un errore dell'1 per cento.
ESEMPIO 11.2 Si rinviene una persona morta alle ore 5 pomeridiane in un ambiente la cui tem· paratura è di 20°C. La temperatura misurata dei corpo è di 25°C al momento del ritrovamento e si stima che il coefficiente di scambio termico sia h =8 W/(m'. °C). Schematizzando il corpo come un cilindro di 30 cm di diametro e 1.70 mdi lunghezza, si valuti l'ora del decesso (Figura 11.10). Soluzione Considerando che mediamente il corpo umano è costituito per Il 72 per cento della sua massa da acqua, si possono attribuire al corpo le proprietà dell'acqua a temperatura ambiente: A.= 0.608 W/(m. °C), p = 1000 kg/m 3 e e = 4180 J/(kg· °C). Si faccia l'ipotesi che il coefficiente di scambio termico h rimariga uniforme e costante sull'intera superficie e si trascuri ogni effetto radiativo. Si faccia inoltre l'ipotesi che la persona sia stata In buona salute al momento della morte, con una temperatura corporea di 37°C. Schematizzando Il corpo come un cilindro di 30 cm di diametro e 1.70 mdi lunghezza, la lunghezza caratteristica è:
V
L. =-=
n:r.'L
A 2n:r0 L+2n:r.2 Il numero di Biot è:
=
n:x0.15 2 x1.7 2n:x0.15x1.7+21rx0.15'
-0.0689 m
Bi= hLc = 8x0.0689 =0. 92 >0.l 0.608 A. Lo studio del sistema a parametri concentrati non è quindi applicabile; utilizzan· dolo si può comunque ottenere una valutazione •approssimata" dell'ora del de· cesso. L'esponente b in questo caso è:
b=~=-h-= pc,V
pc,L.
8 1000x4180x0.0689
=2.78x1o·•s·1
FIGURA 11.1 Schema per l'Esempio 11.
JSO
Sostituendo questi valori nell'Equazione 11.4, si ottiene:
'APITOLO Il .a conduzione termica 1
T(t)-T_
---=e 'f.-T_
regime variabile
..,,
25-20
~---=e
-~ 18 ,,o-s,
37-20
che fornisce:
t=31825S=8.8h Pertanto approssimativamente la persona morì circa 9 ore prima del ritrovamento del corpo e cioè alle 8 antimeridiane.
11.211 LA CONDUZIONE TERMICA IN REGIME VARIABILE PER AMPIE PARETI PIANE, LUNGHI CILINDRI E SFERE Nel paragrafo precedente si sono considerati corpi per i quali si può ritenere trascurabile la variazione di temperatura al loro interno: corpi che rimangono pressoché isotermi durante la trasformazione e che sono piuttosto piccoli e dotati di alta conducibilità termica. Poiché in generale la temperatura all'interno di un corpo varia da punto a punto e nel tempo, in questo paragrafo si considererà la variazione di temperatura con il tempo e la posizione in problemi monodimensionali quali sono quelli associati a un'ampia parete piana, un lungo cilindro e una sfera. Si considerino una parete piana di spessore 2L, un lungo cilindro di raggio r0 e una sfera di raggio r0 , tutti inizialmente a una temperatura uniforme T,. come mostrato in Figura 11.11. All'istante t = O, ciascuna di queste geometrie si trova in un ambiente alla temperatura T_, mantenuta costante anche per t > O. In queste condizioni si avrà trasmissione di calore tra questi corpi e l'ambiente per convezione, con un coefficiente di scambio termico h uniforme e costante. Si osservi che tutti e tre i corpi possiedono simmetria geometrica e termica: la parete piana è simmetrica intorno al suo piano centrale (x =O); il cilindro è simmetrico intorno al suo asse (r =O); la sfera è simmetrica intorno al suo punto centrale (r =0). Si trascuri lo scambio termico per irraggiamento tra questi corpi e le superfici circostan-
X
FIGURA 11.11 >cherna di geomelrie semplici in cui lo
(a) Un'ampia parete piana
(b) Un lungo cilindro
(e) Una sfera
ti, ovvero si tenga conto dell'effetto della radiazione nel coefficiente di scambio termico convettivo h. La variazione della temperatura con il tempo nella parete piana è illustrato in Figura 1l.l2. All'istante iniziale, t =O e T_ < T., l'intera parete è alla temperatura iniziale T1• Subito dopo la temperatura d~lla parete in corrispondenza e in prossimità delle superfici comincia a diminuire a seguito dello scambio termico convettivo tra la parete e l'ambiente. Poiché questo fenomeno crea un gradiente di temperatura nella parete, ha inizio la trasmissione di calore per conduzione dalle regioni interne della parete verso le sue superfici esterne. Si noti che la temperatura al centro della parete rimane a T, fino all'istante t = t2; il profilo di temperatura all'interno della parete rimane simmetrico in ogni istante intorno al piano medio; il profilo di .temperatura diventa sempre più appiattito con il passare del tempo a seguito della trasmissione di calore; il profilo di temperatura diventa uniforme per T = T_, vale a dire quando la parete raggiunge l'equilibrio termico con l'ambiente e la trasmissione di calore termina non essendovi più una differenza di temperatura. Una trattazione analoga si può fare per il lungo cilindro o la sfera. La distribuzione di temperatura nei casi di trasmissione del calore monodimensionale in regime variabile T(x, t) porta a un'equazione differenziale che si può risolvere usando tecniche matematiche avanzate. Può essere, quindi, utile presentare in forma tabellare o grafica la soluzione che dipende dai parametri x, L, t, A., a, h, T. e T . Per ridurre il numero di tali parametri si può a-dimensionalizzare ii pr~hlema, definendo le seguenti quantità: 0 (x, t)
temperatura a-dimensionalizzata distanza a-dimensionalizzata
T(x, t) -T_
T;-T_
X=.!_ L
coefficiente di scambio termico a-dimensiona/izzato Bi = tempo a-dimensiona/izzato
at
T
= L2
"f' (n~ero
di Biot)
(numero di Fourier)
La a-dimensionalizzazione consente di esprimere la temperatura in funzione solo di tre parametri: X, Bi e 'Z', rendendola pratica da presentare in forma grafica. Le grandezze a-dimensionalizzate, definite precedentemente per una parete piana, si possono usare anche per un cilindro o una sfera sostituendo la variabile spaziale x con r e il semispessore L con il raggio esterno r0 • Si noti che nella definizione del numero di Biot, si assume come lunghezza caratteristica il semi-spessore L per la parete piana e il raggio r 0 per il lungo cilindro e la sfera. Il problema di conduzione termica monodimensionale in regime variabile su descritto si può risolvere esattamente per ognuna delle tre geometrie, ma la soluzione dà luogo ad una serie di infiniti termini, difficile da trattare. All'aumentare del tempo, comunque, i termini della soluzione conver-
381 La conduzione termica in regime \·ariabile per ampie pareti piane, lunghi cilindri e srere
rr,
Inizialmente
T_
"
FIGURA 11.12 Profili di temperatura in regime variabile in una parete piana esposta a convezione sulle sue superfici per T, > T•.
-----------------
382 CAPITOLO Il La conduzione termica in regime variabile
··-"
·-·-·---
gono rapidamente, tanto che per 't' > 0.2 trascurando i termini superiori al primo si commette un errore inferiore al 2 per cento. Per tempi superiori a 't' 0.2 la soluzione approssimata al primo termine è:
=
I valori delle costanti A 1 e À1, funzioni solo del numero di Biot, sono riportati nella Tabella 11.l per tutte e tre le geometrie, mentre i valori della funzione 10 , funzione di Besse! del primo tipo di ordine zero, possono essere detenninati facendo uso della Tabella 11.2. Osservando che cos(O) 10(0) = 1 e che il limite di (sen x)/x per x che tende a zero vale l, le precedenti relazioni si semplificano nelle seguenti al centro della parete piana, del cilindro e della sfera, rispettivamente:
=
Ce11tro. dellaparete pi~a (x =O):' 80 .~~ =--"---'"-=
il!~~iti• ;j~
f
•.
•
LJ
''·
'·
è
TABELLA 11.1 Coefficienti usati nella soluzione approssimata al primo termine della conduzione termica monodimensionale in regime variabile in pareti piane, cilindri e sfere (Bi= hU). per una parete plana di spessore 2L e Bi= hr/À. per un cilindro o una sfera di raggio rJ
Cilindro
Strato piano Bi 0.01 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0
a.o
9.0 10.0 20.0 30.0 40.0
so.o 100.0
;.,
A,
;.,
0.0998 0.1410 0.1987 0.2425 0.2791 0.3111 0.4328 0.5218 0.5932 0.6533 0.7051 0.7506 0.7910 0.8274 0.8603 1.0769 1.1925 1.2646 1.3138 1.3496 1.3766 1.3978 1.4149 1.4289 1.4961 1.5202 1.5325 1.5400 1.5552 1.5708
1.0017 1.0033 1.0066 1.0098 1.0130 1.0161 1.0311 1.0450 1.0580 1.0701 1.0814 1.0918 1.1016 1.1107 1.1191 1.1785 1.2102 1.2287 1.2403 1.2479 1.2532 1.2570 1.2598 1.2620 1.2699 1.2717 1.2723 1.2727 1.2731 1.2732
0.1412 0.1995 0.2814 0.3438 0.3960 0.4417 0.6170 0.7465 0.8516 0.9408 1.0184 1.0873 1.1490 1.2048 1.2558 1.5995 1.7887 1.9081 1.9898 2.0490 2.0937 2.1286 2.1566 2.1795 2.2880 2.3261 2.3455 2.3572 2.3809 2.4048
A, 1.0025 1.0050 ·1.0099 1.0148 1.0197 1.0246 1.0483 1.0712 1.0931 1.1143 1.1345 1.1539 1.1724 1.1902 1.2071 1.3384 1.4191 1.4698 1.5029 1.5253 1.5411 1.5526 1.5611 1.5677 1.5919 1.5973 1.5993 1.6002 1.6015 1.6021
Sfera
;., 0.1730 0.2445 0.3450 0.4217 0.4860 0.5423 0.7593 0.9208 1.0528 1.1656 1.2644 1.3525 1.4320 1.5044 1.5708 2.0288 2.2889 2.4556 2.5704 2.6537 2.7165 2.7654 2.8044 2.8363 2.9857 3.0372 3.0632 3.0788 3.1102 3.1416
A, 1.0030 1.0060 1.0120 1.0179 1.0239 1.0298 1.0592 1.0880 1.1164 1.1441 1.1713 1.1978 1.2236 1.2488 1.2732 1.4793 1.6227 1.7202 1.7870 1.8338 1.8673 1.8920 1.9106 1.9249 1.9781 1.9898 1.9942 1.9962 1.9990 2.0000
38 !i"'m. La conduzione termica in regin \'ariabile per ampie pareti pian lunghi cilindri e sfe1 l!!M!!
Una volta noto il numero di Biot, le relazioni precedenti possono essere utilizzate per la detenninazione della temperatura in un punto qualsiasi del corpo. Poiché la detenninazione delle costanti A 1 e il.1 richiede di solito una interpolazione, si possono usare soluzioni approssimate al primo tennine presentate in forma grafica. La difficoltà e a volte gli errori di lettura dei diagrammi suggeriscono però di preferire l'uso delle precedenti relazioni ai diagrammi. I diagrammi della temperatura variabile delle Figure 11.13, 11.14 e 11.15 per un'ampia parete piana, un lungo cilindro e una sfera, presentati nel 1947 da M.P. Heisler e detti diagrammi di Heisler, sono stati integrati nel 1961 dai diagrammi di trasmissione del calore in regime variabile di H. Grèiber. A ciascuna geometria sono associati tre diagrammi: il primo per calcolare la temperatura T0 al centro della geometria in un dato istante t, il secondo per calcolare la temperatura in altri punti nello stesso istante in funzione di T0 e infine il terzo per calcolare la quantità complessiva di calore trasmesso fino al tempo t. Questi diagrammi sono validi per 't'>0.2. Si osservi che il caso I/Bi ÀlhL = O corrisponde ah -l> oo, vale a dire al caso di una temperatura superficiale TM. Infatti portare le superfici del corpo improvvisamente alla temperatura T_ per t =O e mantenerle a T_ per tutto il tempo equivale a ipotizzare un valore di h tendente a infinito (Figura 11.16}. La temperatura del corpo varia dalla temperatura iniziale T, alla temperatura dell'ambiente T_ che viene raggiunta alla fine del processo di conduzione di calore in regime variabile. Pertanto, la massima quantità di calore che un corpo può guadagnare (o perdere se T, > T_) è semplicemente la variazione nel contenuto energetico del corpo:
=
Qmax =mcp(T_ -T;) =pVcp(T_ -T;)
(J)
(11.16)
dove m è la massa, V il volume, p la densità e c il calore specifico del corpo. Q..... rappresenta la quantità di calore trasme"sso in un tempo infinito
TABELLA 11. Le funzioni dì Besse) del primo tipo cl ordine zero e del primo ordin ).
Jo<-i>
J,(,1.)
o.o
1.0000 0.9975 0.9900 0,9776 0.9604 0.9385 0.9120 0.8812 0.8463 0.8075 0.7652 0.7196 0.6711 0.6201 0.5669 0.5118 0.4554 0.3980 0.3400 0.2818 0.2239 0.1666 0.1104 0.0555 0.0025
0.0000 0.0499 0.0995 0.1483 0.1960 0.2423 0.2867 0.3290 0.3688 0.4059 0.4400 0.4709 0.4983 0.5220 0.5419 0.5579 0.5699 0.5778 0.5815 0.5812 0.5767 0.5683 0.5560 0.5399 0.5202
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4
0.01 0.007 0.005 0.004 0.003 0.002
~=at!L 2 ~=at!r02
(a) Temperatura nel piano medio
(a) Temperatura nel piano medio
r_ Inizi~nte r_ h
. I.O
:
!':~
•'
h
o._i_....__x
T=Ti
!:, ...
,o·
~ L
0.9
·-
0.8
T-T_ T0 -T_
I
.;--,.'i·
'o
·-r
0.7 (}=
r. h
I
i
0.6 0.5 0.4 0.3
Q
0.2
Qmu
O.I
o
0.01
O.I
lo-' 10-l 10-2 IO-'
I.O I
IO IO
~
100
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 O.I
?o-s
lit"
10-l
IO-'
10-t
10
io'
IO'
10'
Bi= hl (b) Distribuzione di temperatura
(e) Rapporto di scambio tennico (b) Distribuzione di temperatura
GURA 11.13
·mperatura variabile e diagrammi scambio termico per una parete piana spessore 2L inizialmente ma temperatura uniforme T, soggetta a nvezione da entrambi i lati rso un ambiente a temperatura T. n un coefficiente convettivo h.
per t ~ oo, mentre la quantità di calore trasmesso Q in un tempo finito t sarà ovviamente inferiore. Il rapporto di scambio tennico Q!Qm.,. è diagrammato nelle Figure l l.l 3c, l 1.l 4c e ll. l 5c in funzione delle variabili Bi e h2 at0.2 per l'ampia parete piana, il lungo cilindro e la sfera, rispettivamente. Si osservi che la quantità di calore trasmesso sino all'istante t si può calcolare moltiplicando Qmax per il valore del rappono di scambio termico Q!Qmax, ricavato dai diagrammi per lo stesso valore di t. Si noti inoltre che il segno negativo di Qmax sta a indicare che il corpo cede calore (Figura 11.17).
(e) Rapporto di scambio tennico
Il rapporto di scambio tennico può anche essere calcolato con le relazioni seguenti, basate sulle approssimazioni al primo termine di cui si è detto in precedenza:
FIGURA 11.14
Temperatura variabile e diagrammi di scambio termico per un lungo cilindro di raggio r0 inizialmente a una temperatura uniforme T, soggetto a convezione da entrambi i lati verso un ambiente a temperatura T. con un coefficiente convettivo h.
I.O 0.7
387
Sfera
8:~
Qmax
0.3 0.2 90= To-T. T1-T"
(0, 'O
O.I 0.07 0.05
variabile per ampie pareti piane. lunghi cilindri e sfen·
-
-
8:!M
La conduzione termica in reginll"
T=T
h
0.02
T.
0.01 0.007
(a) Coefficiente di scambio tennico
(a) Calore massimo trasmesso (r-+ ~>
convettivo finito
~:~
. ,; ~~8
0.002 2
2.5
3 4 5 6 7 8 9 IO 20 30 40 50
100
150
' 0T=-T..Q 0
200 250
T=at!r02 (a) Temperatura nel punto centrale
Bi=...
~=Bi 2 T=...
}
Q Q""''
(Diagramma di Gr6ber) 0.91-+++Hf#ll......
(b) Coefficiente di scambio tennico
convettivo infinito
0.8
(b) Calore trasmesso in un tempo r
1--1-=:l'IJIU-I. 0.7 H-l+H+H+IH-
0.6
FIGURA 11.16
0.5
Temperatura superficiale indicata corrispondente al caso di convezione verso un ambiente a T. con un coefficiente convettivo h infinito.
0.4 03
0.2
1-+=+w1!4.
FIGURA 11.17
Determinazione del rapporto di scambio termico Q/Q""' sino all'istante t usando i diagrammi di Grèiber.
f-1-Mfl:ltll#,lq. 100
J0-4 10-l 10-2 J0-1
10
102
..!.. .!. Bi
hr0
(b) Distribuzione di temperatura (e) Rapporto di scambio tennico
FIGURA 11.15
Temperatura variabile e diagrammi di scambio termico per una sfera di raggio r0 inizialmente a una temperatura uniforme T, soggetta a convezione da entrambi i lati verso un ambiente a temperatura T. con un coefficiente convettivo h.
1Ql
104
I diagrammi di Heisler/Grober e le soluzioni al primo termine, appena presentate, si riferiscono alle condizioni indicate ali' inizio di questo paragrafo: corpo inizialmente a temperatura uniforme, privo di generazione di energia e temperatura dell'ambiente e coefficiente di scambio termico convettivo costanti e uniformi. Poiché il numero di Biot Bi= ~ rappresenta il rapporto tra il calore trasmesso per convezione in superficie e quello trasmesso per conduzione attraverso un corpo solido, un valore basso di Bi indica che la resistenza termica interna conduttiva è piccola rispetto a quella esterna convettiva tra la superficie e il fluido e che la distribuzione di temperatura all'interno del solido è pressoché uniforme. In queste condizioni diventa applicabile lo studio del sistema a parametri concentrati; infatti, si ricordi che per Bi < 0.1 l'errore che si commette assumendo la temperatura uniforme all'interno del corpo è inferiore al 5 per cento. Per comprendere il significato fisico del numero di Fourier '!', si consideri la sua espressione (Figura 11.18)
Numero dì Fourier: r=
a; = l
cic?nduzionc Qaccumulo
FIGURA 11.18
Numero di Fourier all'istante t interpretato come il rapporto tra la potenza termica trasmessa per conduzione e la potenza termica accumulata in quell'istante.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - ---~
---- -- ..
388 CAPITOLO Il La conduzione termica in regime variabile
1
ca Lz
Af}(I/ L) tiT
= = pc z: I t
tiT
=
P
··-------··-- -----·------ -----------
potenza termica trasmessa per conduzione attraversoL per un corpo di volumeL3 (11.20) potenza termica accumulata in un corpo di volumeL3
che è maggiore di 0.2, il che rende applicabile la soluzione approssimata al primo termine con un errore inferiore al 2 per cento. Il tempo di cottura, pertanto, si calcola dalla definizione del numero di Fourier e risulta: t=
-rr.' - 0·208 xo.o252 929s~15.5min a
Pertanto, il numero di Fourier è una misura del calore trasmesso per conduzione attraverso un corpo rispetto al calore accumulato. Si noti che valori elevati del numero di Fourier indicano una veloce propagazione del calore attraverso il corpo. Probabilmente ci si chiede come è fatta una lastra piana infinitamente estesa o un cilindro infinitamente lungo dal momento che non esiste al mondo nulla di infinito. Una lastra piana di spessore trascurabile rispetto alle altre due dimensioni può essere considerata come una lastra piana infinitamente estesa, tranne che in prossimità dei bordi, i cui effetti su di un corpo di grandi dimensioni sono trascurabili: una grande parete piana, come quella di un'abitazione, può essere considerata infinitamente estesa ai fini della trasmissione del calore. Analogamente un cilindro, il cui diametro è di dimensione trascurabile rispetto alla lunghezza, può essere considerato come un cilindro infinitamente lungo. L'uso dei diagrammi di temperatura variabile e le soluzioni approssimate al primo termine sono illustrati negli esempi successivi.
ESEMPIO 11.3
Soluzione La temperatura all'interno dell'uovo varia in direzione radiale e varia nel tempo. Per calcolare la temperatura in un determinato punto e in un dato istante si può ricorrere ai diagrammi di Heisler o alle soluzioni approssimate al primo termine. Qui verranno usate le seconde a scopo dimostrativo. Si fa l'ipotesi che il coefficiente di scambio termico convettivo sia uniforme e le proprietà dell'uovo costanti. Il numero di Biot in questo caso è:
il.
0.6
50
Poiché il numero di Biot è molto maggiore di 0.1, non è applicabile lo studio del sistema a parametri concentrati. I coefficienti A., e A, per una sfera, corrispondenti al valore del numero di Biot calcolato, si possono ricavare dalla Tabella 11.1 e sono:
..t, = 3.0788, A, = 1.9962 Sostituendo questi e altri valori nell'Equazione 11.15 e risolvendo l'equazione per -r, si ottiene:
T.-T
_,,,
-•---=A,e, T,-T.
70-95 -13.o"'l'• -+---=1.9962e -+-r=0.208 5-95
r.=500°C h
=120 W/(m2. •ci
ESEMPIO 1'1.4 In un impianto produttivo, ampie lastre di ottone, dello spessore di 4 cm [..t =110 W/(m -°C), p=8530 kg/m3, e =380J/(kg·°C) e a=33.9x10-6 m2/s], inizialmente a una temperatura uniforme ~i 20°C, sono riscaldate facendole passare attraverso un forno mantenuto a soo•c (Figura 11.20) e rimanendo nel forno per 7 min. Nell'ipotesi che il coefficiente di scambio termico che tiene conto dell'effetto combinato della convezione e dell'irraggiamento sia h = 120 W/(m21°C), si calcoli la temperatura superficiale delle lastre all'uscita dal forno. Soluzione La temperatura all'interno della grande lastra può variare con la distanza x e nel tempo. Per calcolare la temperatura in un determinato punto e in un dato istante si può ricorrere ai diagrammi di Heisler o alle soluzioni approssi· mate al primo termine. Qui verranno usati i diagrammi a scopo dimostrativo. Si fa ripotesi che il coefficiente di scambio termico sia uniforme e le proprietà della lastra costanti. Osservando che il semi-spessore della lastra è L = 0.02 m, dalla Figura 11.13 si ha: 1 ..t 110 4 et hL = 120x0.02 = S.S T=
at 33.9x10 .. x7x60
L2
-
0.02
2
) =35.6
=T., -T. =0.4S T,-T
•
Inoltre:
Da cui: Bi= hr0 _ 1200x0.025 =
lunghi cilindri e sfere
0.14x10...,
Ci vorranno, quindi, circa 15 min affinché il centro dell'uovo passi dalla temperatura di 5°C a 70°C.
Un comune uovo può essere approssimato da una sfera del diametro di 5 cm, di proprietà assimilabili a quelle dell'acqua a temperatura ambiente: ..t = 0.6 W/(m · °C) e a= 0.14 x 10..., m 2/s (Figura 11.19). L'uovo, inizialmente alla temperatura uniforme di 5°C, viene calato in acqua bollente a 95°C. Nell'ipotesi che il coefficiente di scambio termico convettivo sia h = 1200 W/(m 2 • °C), si valuti in quanto tempo il centro dell'uovo raggiungerà la temperatura di 70°C. FIGURA 11.19 Schema per l'Esempio 11.3.
389 La conduzione termica in regime variabile per ampie pareti piane,
e:
T-T
T-T T.-T
- - ·-- =-----•---=0.46x0.9 9=0.455
T,-T. T.-T. T,-T. T = T. + 0.455( T,- T.) = 500 + 0.455 (20 -500) = 282°C
La temperatura superficiale delle lastre all'uscita dal forno sarà di 282°C. Discussione Essendo in questo caso il numero di Biot Bi = 1/45.8 = 0.022, molto minore di 0.1, si può applicare io studio del sistema a parametri concentrati, come è oltretutto evidente da (T- TY
FIGURA 11.20 Schema per l'Esempio 11.4.
390 CAPITOLO li La conduzione termica in rl-gime variabile
entrambe le sue superfici frontali) e il volume della lastra è V= (2L)A, essendo L il semi-spessore della lastra, l'esponente b usato nello studio del sistema a para· metri concentrati è:
b=~=~=-h-= pc,V
pc,(2LA)
La temperatura della lastra a relazione:
pc,L
120
T,-T.
=0.00185s·'
~=Bi'r=(0.537) (1.07)=0.309 2
__s._=0.62 Q
391 La conduzione termk•· in regime variabih nei solidi semi-infinil
mu
À.'
Il calore totale scambiato dall'asse durante i primi 45 min del raffreddamento ri· suita pertanto: 8
-<0.001es ..201
0=0.62 Qmu =0.62x47354 =29 360 kJ
20-500
T(t) = 279'C Il risultato è praticamente identico a quello ottenuto precedentemente usando i diagrammi di Heisier.
FIGURA 11.21 Schema per l'Esempio 11.5.
t
h'
t =7 min = 420 s si calcola quindi con la seguente
che fornisce:
T. =200'C h =80 W/(m2· 0 C)
1 1 Bi=-- = --=0.537 1/Bi 1.86
8530x380x0.02
T(t)-7;, =e...,~ T(t)-500 _
l
Il rapporto di scambio termico, che per un lungo cilindro si ottiene dalla Figura 11.14c, è:
Soluzione alternativa Questo problema si potrebbe anche risolvere usando una soluzione approssimata al primo termine piuttosto che i diagrammi di tempe· ratura (Heisler) e di trasmissione del calore (Grober) in regime variabile. Si calco· la per prima cosa il numero di Biot: Bi= hr0 = 80x0.1 =0. 537 À. 14.9
ESEMPIO 11.5 Un asse cilindrico molto lungo di 20 cm di diametro fatto di acciaio inossidabile 304 [À= 14.9 W/(m ·'C). p = 7900 kg/m3, e,= 477 J/(kg·'C) e a= 3.95x 1o-"m2/s] viene fuori da un forno alla temperatura uniforme di 600'C (Figura 11.21 ). L'asse viene lasciato raffreddare spontaneamente in un ambiente a 200°c, con un coefficiente medio di scambio termico h = 80 W/(m2 • 'C). Si valuti la temperatura al centro dell'asse 45 min dopo l'inizio del raffreddamento e il calore scambiato per unità di lunghezza dell'asse durante lo stesso periodo di tempo. Soluzione Si è detto che l'asse è molto lungo ed è soggetto a condizioni termiche uniformi; pertanto, esso può essere assimilato a un cilindro infinito in cui lo scambio termico è monodimensionale. La temperatura all'interno dell'asse, che può variare con la distanza radiale re con il tempo, può essere calcolata in un determinato punto e in un dato istante con i diagrammi di Heisier. Nell'ipotesi di coefficiente di scambio termico uniforme e di proprietà dell'asse costanti, tenen· do presente che il raggio dell'asse è r0 = 0.1 m, dalla Figura 11.14 si ha:
1.=~=~=1.86 Bi hr 80x0.1 0
at 3.95x10 ... x45x60 r=--1.07 2 r,' 0.1 e
)
Calcolato il numero di Biot dalla Tabella 11.1 per il cilindro si determinano i valori dei coefficienti ì.., e A,:
ì.., = 0.970,
A,= 1.122
Sostituendo tali valori nell'Equazione 11.14, si ha:
fJ = 0
e quindi:
r.-r_ =A,e-"1'=1.122040.•10>'11.on=0.41 T-T I •
T0 = T. +0.41(~ -T.) =200 +0.41(600 -200) =364°C
Poiché il valore di J (À. ) per À. = 0.970 dalla Tabella 11.2 risulta essere 0.430, dall'Equazione 11.18 si otti~ne che il rapporto di scambio termico è: 43 __S,_=1-26 J,(À,) = 1-2xo.41°· 0 =0.636 0 À., o.970
a,,..
T. -T -·--· =0.40
T, -T
•
e quindi:
0=0.636 O,,.. =0.636x47354 =30.120kJ
La piccola differenza tra i due risultati va attribuita all'errore di lettura dei diagrammi.
r. = T_ + 0.4 (T,- T.J = 200 + 0.4 (600-200) = 360'C
La temperatura centrale dell'asse, perciò, scenderà da 600'C a 360'C in 45 min. Per valutare l'effettivo calore scambiato, dapprima è necessario calcolare la massima quantità di calore che il cilindro può trasmettere, vale a dire il calore sensibile del cilindro riferito all'ambiente. Riferendosi alla lunghezza unitaria L = 1 m, si ha: m= pV = pn: r,'L =7900xn: x0.1x1 =248.2 kg O,... =mc,(T. -T,)=248.2x0.477x(600-200)=47354kJ
11.3 ID LA CONDUZIONE TERMICA IN REGIME VARIABILE NEI SOLIDI SEMI-INFINITI Un solido semi-infinito è un corpo idealizzato che ha un'unica superficie piana e si estende all'infinito in tutte le direzioni, come mostrato in Figura 11.22. Questo corpo idealizzato viene usato per mostrare che la variazione di temperatura nella parte del corpo che interessa (la regione prossima alla superficie) dipende dalle condizioni tenniche su un'unica superficie. La
FIGURA 11.22 Schema di un corpo semi-infinito.
392
Terra, ad esempio, può essere considerata come un solido semi-infinito se si vuole determinare la variazione della temperatura in prossimità della sua superficie. Anche una parete spessa può essere considerata come un solido semi-infinito se si è interessati alla variazione della temperatura nella regione prossima a una delle superfici, a patto che laltra superficie sia tanto lontana da non avere alcuna influenza sulla regione di interesse durante il periodo di osservazione. Si consideri un solido semi-infinito alla temperatura uniforme i;. All'istante t = O, la superficie del solido a x =O è esposta a convezione a causa di un fluido a temperatura costante T_, con un coefficiente di scambio termico h. Questo problema può essere espresso matematicamente attraverso una equazione differenziale, che risolta analiticamente fornisce la distribuzione di temperatura variabile T(x, t). In Figura 11.23 in funzione della variabile a-dimensionale ç x 1(2../ai) per differenti valori del para-
CAPITOLO li
La conduzione termica in regime variabile
=
metro hJCii I À. è illustrata graficamente la soluzione ottenuta per la temperatura a-dimensionaliuata, definita dalla relazione:
l-B(x,t)=I
=
Si osservi che i valori sull'asse verticale corrispondenti a x O rappresentano la temperatura superficiale. La curva h..Jai /;i,= co corrisponde ad h--? co, cioè al caso in cui si abbia la temperatura del fluido T_ sulla superficie a x O, come accade quando, per portare la superficie del corpo semiinfinito improvvisamente alla temperatura T_ a t O e mantenerla a T_ per
=
La conduzione termk1.1
in regime variabile nei solidi semi-infiniti
'~cI1>~~~~erif(":~~;:;1~~~~(·;;~~ 2~[i~~(·;;;; -+: hiit ~)~ (ì i:22) i;;,,;1'~'"'~?"'.:~~-~~J'; "t/~J.1:::.~:~, _:.,' :~;;;;~~;j2_ ;~;r 3§:.r: -.:::. . J..'. '~ ·.· . dove la quantità erfc (ç) è il complemento della funzione degli errori definita dalla relazione:
=
(11.21)
.tiiiliiiiiili!I
=
2
~
erfc (ç) 1- .Jir"" .lo e-u du
T(x,t)-T__ T(x,t)-I; I;-T_ T_ -I;
393
tutto il tempo che si vuole, occorre porre h --? co, Questo caso si verifica in pratica con buona approssimazione quando sulla superficie ha luogo un fenomeno di condensazione o di evaporazione. In generale, la temperatura superficiale tende alla temperatura del fluido T_ quando il tempo t tende all'infinito, poiché il coefficiente di scambio termico h è finito. La soluzione esatta del problema di conduzione termica monodimensionale in regime variabile in un solido semi-infinito inizialmente alla temperatura uniforme T1, soggetto improvvisamente a convezione all'istante t O, è espressa dalla relazione:
2
(11.23)
Poiché l'integrale che compare nella relazione precedente non si può risolvere analiticamente, in Tabella 11.3 sono riportati i risultati ottenuti numericamente per differenti valori di.x. Per il caso particolare h ~ co, la temperatura superficiale T, uguaglia la temperatura del fluido T_ e l'Equazione 11.22 si riduce a:
=
I.o
-- -- -- -0.5 1---.
<:'
i
0.2
I
I f..;·o. f...·1
~
I'"
FIGURA 11.23
..!.
o
X,t
"-......
l'«•-''r--...
!"'-.
~ '
"1
03, ' 0< ,.....
---.o
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r'-..,..._
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~ 0.5
--
''
'
-.. ......._
~ ~
1-..,..._
'-..._
~
·Os,........_
0.25
h
~
Ì'-...
0.02
o.o I
~ ............ '-3
·T•• h
~~ ~ Nr--.osl~ ~ ""o
0.05 r-... 'r-..._ 0.04
0.03
~·;'"·B
-........
--
<:'I ~ r.:."'
Variazione di temperatura con la posizione e con il tempo in un solido semi-infinito inizialmente a r; soggetto convezione verso un ambiente a temperatura T. con un coefficiente di scambio termico convettivo h (da P.J. Schneider).
-........
~ ~ r--.....
Il
!=:'
----
~ Ì"'---............ r----.._ o.4 ~ ~ :'--.... 1--------.. o. 3r-...---....___
f'-.,.
~
-.. 1-..,..._-.._
I~
~ ,.....
0.75
l;=-x-
2-/ai
"
,~-........
- r...... ""- ['...,
"
I~
Questa soluzione corrisponde al caso in cui la temperatura della superficie esposta del mezzo si innalza improvvisamente (o si abbassa) a T, a t =O,
--
TABELLA 11.3 Il complemento della funzione degli errori
f'-.,. '
" " ......
' ......
............
"
i'- ""-
-......_,
"""
"'
1""-
I'-~ Ì'-. ~ I~
I~ ~
I.O
~~ 1.25
"""
1.5
ç
erte(!;)
ç
erte(!;)
ç
erte(!;)
ç
erte(!;)
ç
erte(!;)
ç
erte(!;)
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30 0.32 0.34 0.36
1.00000 o.9n4 0.9549 0.9324 0.9099 0.8875 0.8652 0.8431 0.8210 0.7991 o.m3 0.7557 0.7343 0.7131 0.6921 0.6714 0.6509 0.6306 0.6107
0.38 0.40 0.42 0.44 0.46' 0.48 o.so 0.52 0.54 0.56 0.58 0.60 0.62 0.64 0.66 0.68 0.70 0.72 0.74
0.5910 0.5716 0.5525 0.5338 0.5153 0.4973 0.4795 0.4621 0.4451 0.4284 0.4121 0.3961 0.3806 0.3654 0.3506 0.3362 0.3222 0.3086 0.2953
0.76 0.78 0.80 0.82 0.84 0.86 0.88 0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 1.00 1.02 1.04 1.06 1.08 1.10 1.12
0.2825 0.2700 0.2579 0.2462 0.2349 0.2239 0.2133 0,2031 0.1932 0.1837 0.1746 0.1658 0.1573 0.1492 0.1413 0.1339 0.1267 0.1198 0.1132
1.14 1.16 1.18 1.20 1.22 1.24 1.26 1.28 1.30 1.32 1.34 1.36 1.38 1.40 1.42 1.44 1.46 1.48 1.50
0.1069 0.10090 0.09516 0.08969 0.08447 0.07950 0.07476 0.07027 0.06599 0.06194 0.05809 0.05444 0.05098 o.o4n2 0.04462 0.04170 0.03895 0.03635 0.03390
1.52 1.54 1.56 1.58 1.60 1.62 1.64 1.66 1.68 1.70 1.72 1.74 1.76 1.78 1.80 1.82 1.84 1.86 1.88
0.03159 0.02941 0.02737 0.02545 0.02365 0.02196 0.02038 0.01890 0.01751 0.01612 0.01500 0.01387 0.01281 0.01183 0.01091 0.01006 0.00926 0.00853 0.00784
1.90 1.92 1.94 1.96 1.98 2.00 2.10 2.20 2.30 2.40 2.50 2.60 2.70 2.80 2.90 3.00 3.20 3.40 3.60
0.00721 0.00662 0.00608 0.00557 0.00511 0.00468 0.00298 0.00186 0.00114 0.00069 0.00041 0.00024 0.00013 0.00008 0.00004 0.00002 0.00001 0.00000 0.00000
..------------------------------- ----- -394
. - --- ·-
------ -------- --------
essendo mantenuta poi per tutto il tempo a quel valore. Sebbene la soluzione grafica fornita in Figura 11.23 è semplicemente un diagramma della soluzione analitica esatta fornita dall'Equazione 11.23, essa è soggetta a errori di lettura ed è quindi di limitata precisione.
CAPITOLO Il conduzione termica
I~a
in regime variabile
ESEMPIO 11.6
T,=-l0°C
FIGURA 11.24 Schema per l'Esempio 11.6.
Nelle località in cui la temperatura dell'aria rimane al di sotto di o•c per lunghi periodi di tempo, il congelamento dell'acqua nelle tubazioni interrate è cause di grande preoccupazione. Poiché fortunatamente negli stessi periodi il terreno rimane relativamente caldo tento da raggiungere temperature Inferiori e quelle di congelamento dell'acqua solo dopo settimane, in inverno il suolo serve de isolante, facendo in modo che l'acqua non congeli nelle tubazioni. Si consideri une località dove il suolo, coperto da un banco di neve e -1 o•c per un periodo continuo di tre mesi, ha proprietà medie ,1. = 0.4 W/(m . °C) e a = 0.15 x 10.. m2/s. Nell'ipotesi di temperature iniziale uniforme di 15°C per il terreno, si calcoll la minima profondità di interramento delle tubazioni di acqua per evitare il rischio di congelamento. Soluzione Poiché la temperatura nel suolo è influenzata dalle condizioni termiche atmosferiche solo in corrispondenza della superficie, il suolo può essere trattato come un mezzo semi-infinito con temperatura superficiale di -10°C, coincidente con la temperatura ambiente T.= -10°c e con coefficient~ di scambio termico convettivo h ~ ... Nella peggiore delle ipotesi nel caso di minima profondità di interramento, la temperatura del suolo che circonda le tubazioni sarà o•c dopo tre mesi. Della Figure 11.23, perciò si ottiene: --=oo
h..[;;i ,1.
(datoh~oo)
)
1_ T(x,t)-T. =l- 0-(-10) =0. 6 T,-T. 15-(-10)
X
ç =--=0.36 2..{;;i ·
Si noti che: t = (90 giorni) (24 h/giorno) (3600 s/h) = 7.78 x 10' s
Soluzione alternativa Per risolvere questo problema si potrebbe anche usare l'Equazione 11.24: T(x, t) - T, = erfc (-x-)~ ~ = erfc(-x-)= 0.60 T, - T, 2..{;;i -1 O-15 2..{;;i L'argomento corrispondente a questo valore del complemento delle funzione degli errori si ottiene delle Tabelle 11.3 e risulta ç = 0.37, de cui: x=2ç..[;;i =2x0.37~0.15x10 .. x7.78x10 ... =0.80 m Ancore une volte le leggere differenze nel risultato ottenuto è de attribuire all'errore di letture del diagramma.
La conduzione termica in regime variabile per sistemi multidimensionali
I diagrammi di temperatura variabile precedentemente presentati si posso-
no usare per determinare la distribuzione di temperatura e lo scambio termico in problemi di conduzione termica monodimensionale associati a un'ampia parete piana, un lungo cilindro, una sfera e un mezzo semi-infinito. Usando un ingegnoso principio di sovrapposizione chiamato prodot· to delle soluzioni, questi diagrammi si possono anche utilizzare per risolvere i problemi di conduzione termica in regime variabile bidimensionale che si incontrano in geometrie quali un cilindro corto, una lunga barra rettangolare, un cilindro o un piano semi-infinito e ancora per i problemi tridimensionali associati a geometrie quali un prisma rettangolare o una barra rettangolare semi-infinita, nell'ipotesi che tutte le superfici del solido siano soggette a convezione con lo stesso fluido a temperatura TM e con lo stesso coefficiente di scambio termico h e che il corpo non sia interessato da alcuna generazione di calore (Figura 11.25). La soluzione per tali geometrie multidimensionali si può ottenere dal prodotto delle soluzioni per le geometrie monodimensionali che intersecandosi permettono di definire la geometria multidimensionale data. Si consideri un cilindro corto di altezza a e raggio r0 inizialmente a una temperatura uniforme T;, al cui interno non vi sia alcuna generazione di calore. All'istante t =O, il cilindro è soggetto a convezione su tutte le superfici verso un mezzo a temperatura T_ con un coefficiente di scambio termico h. La temperatura all'interno del cilindro varierà con le coordinate spaziali x e r e con il tempo t a causa della trasmissione di calore che avviene in corrispondenza della sommità, della base e della superficie laterale, in altri termini T = T(r, x, t). Si tratta quindi di un problema di conduzione termica variabile bidimensionale. Se si assumono costanti le proprietà del cilindro, si può dimostrare che la soluzione di questo problema bidimensionale può essere espressa dalla relazione:
e pertanto: x=2ç..r;;i=2x0.36~0.15x10 ... x7.78x10 6 =0.77m Quindi le tubazioni devono essere interrate e une profondità di almeno 77 cm per evitare Il congelamento dell'acqua nelle condizioni invernali indicate.
395
11.4 l:ì· LA CONDUZIONE TERMICA IN REGIME VARIABILE PER SISTEMI MULTIDIMENSIONALI
T(r,x,t)-T_ (
Ti
-T~
1
ilindto corto
=(T(x,t)-T_ Ti -T_
l
!"etc piana
(T(r,t)-T_ Ti -T_
1
Uindro mfimto
J;-Joo
l
~te
piana
Llr h
T(r.r)
Scambio
"~'ro
(a) Cilindro lungo
(b)
Cilindro corto (bidimensionale)
FIGURA 11.25 La temperatura in un cilindro corto esposto a convezione da tutte le superfici varia sia in direzione radiale sia in quella assiale e pertanto il calore si trasmette in entrambe le direzioni.
(ll. 25 )
La soluzione per il cilindro corto bidimensionale di altezza a e raggio r0 è uguale al prodotto delle soluzioni a-dimensionalizzate per la parete piana monodimensionale di spessore a e il lungo cilindro di raggio r0, che sono le due geometrie che danno per intersezione il cilindro corto, come mostrato in Figura 11.26. Generalizzando si può dire che la soluzione per una geometria multidimensionale è il prodotto delle soluzioni delle geometrie monodimensionali che per intersezione definiscono il corpo considerato. Per comodità, le soluzioni monodimensionali si esprimono nel seguente modo:
(}P"'•tc (x,t )=(T(x,t)-T_ ..,. ..,.
rNPITN ~I I I +tj
FIGURA 11.26 Un cilindro corto di raggio r0 e altezza a come intersezione di un cilindro lungo di raggio r0 e di una parete piana di spessore a.
r 396
TABELLA 11.4
o"·( cd r, t )=[T(r,t) -T-1
CAPITOLO li
T; -T..,,
La conduzione termica :n regime ,·ariabile
ilindro
1
(11.26)
infinito
Osemi-inf (X, t ) =(T(x,t)-T_
.,,
.t. 1 -
T_
00
Soluzioni multidimensionali espresse come prodotto di soluzioni monodimensionali per corpi che sono inizialmente a una temperatura uniforme T, e sono esposti a convezione su tutte le superfici verso un mezzo a T.
.
ohdo
semi-infinito
Per esempio, la soluzione per una lunga barra solida avente come sezione trasversale un rettangolo a x b è l'intersezione delle due pareti piane infinite di spessori a e b, come mostrato in Figura 11.27, e pertanto la distribuzione di temperatura variabile per questa barra rettangolare si può esprimere come:
(
T(x,,x2 ,t)-T_ _
7; T_
b _,, "
-upan:1e(x,,t)upan:,.(x,,t)
8(r, t)
=8d1(r, t)
Cilindro infinito
=
8(x. r, t) 8.n (r, t) e..nri-inr(:t, t) Cilindro semi-infinito
IJ(,X, r, t)
=8eil (r, t) 81""
1,
(X, t)
Cilindro corto
(11.27)
rettangolare
IGURA 11.27 Jna lunga barra solida a sezione
ottangolare a x b come intersezione i due pareti piane di spessori a e b.
In Tabella 11.4 sono riportate le espressioni particolari dei prodotti delle soluzioni per alcune geometrie. È importante notare che la coordinata x si misura a partire dalla superficie in un solido semi-infinito e dal piano medio in una parete piana, mentre la distanza radiale r si misura sempre dal!' asse. Si osservi che la soluzione per un problema bidimensionale è fornita dal prodotto di due soluzioni monodimensionali, laddove la soluzione di un problema tridimensional e è fornita dal prodotto di tre soluzioni monodimensionali. In forma modificata il prodotto delle soluzioni si può anche usare per calcolare lo scambio termico totale in regime variabile verso o da una geometria multidimension ale utilizzando i valori ottenuti per geometrie monodimensionali, come dimostrato da L.S. Langston nel 1982. Lo scambio termico in regime variabile per una geometria bidimensionale costituita dall'intersezione di due geometrie monodimensionali I e 2 è:
·...... ·. -,
..
X
0(x, t) = e...,;.w(x, t) Corpo semi-infinito
=
8(x,y, t) 8semi-inr(:t, t) 8semi-inf(y, I) Quarta parte di un corpo infinito
8(x,y,z,t) = Bsemi·inf(x, t}Bsemi·inr<>'• t) Osemi·inf(z:, r)
Regione angolare di un grande corpo
X
X
=
8(x, t) 8""""(x, t) Strato infinito (o parete piana)
8(x, y, t) = 4.-
=
8(x, y, z. t) 8,,_.(x, I) 8,.ml-int(y• t) 8,.mi-inr(Z, t) Quarta parte di uno strato infinito
Lo scambio termico variabile per un corpo tridimensionale costituito dall'intersezione di tre corpi monodimensionali I, 2 e 3 è:
Nei successivi esempi viene illustrato l'uso del prodotto delle soluzioni in problemi di conduzione termica bi- e tridimensionale.
= 8..,...(x, t')8puc!O(y, !) Barra rettangolare infinita
IJ(,x, y, I)
8(x,y,z, t) = 8"""" (x, t) 8pamc (y, t) 8oenri-inr(t. I) Barra rettangolare semi-infinita
8(x,y,z,t) = 8_.. (x, t) 8_(y.1)8_..
398 CAPITOLO 11 La conduzione termica in regime variabile
r. = 2s•c h = 60 W/(m2· 0 C)
399
Allora:
ESEMPIO 11.7 Un cilindro corto di ottone [A= 11OW/(m·°C) e a= 3.39 x 10-0 m2/s] di diametro D= 10 cm e altezza H= 12 cm è Inizialmente a una temperatura uniforme T,= 120 •c. Successivamente il cilindro viene posto In aria atmosferica a 25•c, dove ha luogo Il fenomeno di convezione termica con un coefficiente di scambio termico h = 60 · W/(m 2 • °C). Si calcoli la temperatura a) ai centro dei cilindro e b) al centro della superficie superiore dei cilindro, 15 minuti dopo l'inizio dei raffreddamento. Soluzione a) Questo è un problema di conduzione termica in regime variabile per un sistema bidimensionale e pertanto la temperatura all'interno del cilindro varierà sia in direzione assiale x che in quella radiale r, oltre a variare nei tempo. ii cilindro corto fisicamente può essere realizzato intersecando un lungo cilindro
=f
di raggio r0 D = 5 cm con una parete piana di spessore 2L = 12 cm, come mostrato in Figura 11.28. Si noti che la x va misurata dal piano medio. La temperatura a-dimensionalizzata ai centro della parete piana si può calcolare facendo riferimento alla Figura 11.13a e risulta:
e
"""
(L,t)- T(Lt)-T ' - = (T(L' 1)-T-
T,-T.
T.-T.
)(T.- -T)=0.98x0.8=0.784 0 ---
T,-T.
Quindi: T(L,0,t)-T.) (
T.-T 1
=8,.,.,,(L, t)e,,(O,t)=0.784x0.5 =0.392
clllndroeorto
..
T(L, O, I)= T. + 0.392 (T,- TJ = 25 + 0.392(120- 25)
e infine:
=62.2°C
che rappresenta la temperatura ai centro della faccia superiore del cilindro.
ESEMPIO 11.8
at
3.39x10-s x900 ) -r=e= 0.06 =8.48 1 A 110 -=-=---=30.6 BI hL 60x0.06
FIGURA 11.28
Schema per l'Esempio 11.7.
e
(0,1)-T(O,l)-T. =0.8
"""
Si calcoli il calore complessivamente scambiato dai cilindro corto di ottone 0.380 kJ/(kg · °C)], discusso nell'Esempio 11.7.
[p = 8530 kg/m3,
e,=
T.-TSoluzione Inizialmente si calcola la massima quantità di calore che può essere trasmessa dal cilindro:
I
Analogamente, ai centro dei cilindro, si ha:
m= pV=pirr,2L=8530xirx0.05 2 x0.06 =4.02kg Q""" =mc,(T,-T.)=4.02x0.380x(120-25)=145.1kJ
at 'r=
r.2
3.39x10.. x900 ) 12 2 = (0.05m) 2 = ' . T(O,t)-T_ e,,(O,t)= =0.5
...:!_=~=~=36.7 Bi
hr0
Quindi si calcolano i rapporti di scambio termico adimensionalizzato per entrambe le geometrie. Per la parete piana, dalla Figura 11.13c si ottiene:
T,-T.
60 x 0.05
Bi=-=--=0.0327 1 1 1/Bi 30.6
Quindi:
.!!__
"""1.,.
h'at O 2 -=Bi 2-r=(0.0327) (8.48)=0.0091 (
,t'
T(0,0, I) - T.1 (
e
)
T.-T I • T(O, o, I)=
=8,.,..,(0,t)x8"'(0, I) =0.8x0.5 =0.4
"""" '°"°
Analogamente, per il cilindro, si ha: 1 1 Bi=-- = --=0.0272 1/Bi 36.7 ~=Bi'-r=(0.0272) 2 (12.2)=0.0090
r_ + o.4 (T,- TJ = 25 + o.4(120- 25) = 53•c
Questa è la temperatura ai centro dei cilindro corto, che coincide con il centro sia dei lungo cilindro che della parete piana. b) ii centro della faccia superiore del cilindro è ancora sull'asse del cilindro lungo (r = O), ma si trova sulla superficie esterna della parete piana (x L). Pertanto è necessario innanzitutto trovare la temperatura superficiale della parete. Considerato che x = L = 0.06 m, si ha:
=
f ~:~: =
1
=
.
I
...:!..=2:..=~=30.6 Bi
hl
60x0.06
T(L,t)-T_ _:.___:._.::..=0.98
r.-r_
1
j(
Q --
O""'
=0.23
""
.:'~:,", :,"
=0.47
Il rapporto di scambio termico per il cilindro corto risulta, dall'Equazione 11.28:
ì
.!!__ =(.!!__) +(.!!_1[1-(.!!_)]=0.23 +0.47(1-0.23)=0.592 ( Qmax >~~ro Qmax Qmax Qmax Pertanto, il calore complessivamente scambiato dal cilindro durante i primi 15 min di raffreddamento è: 0=0.592 Qmu =0.592x145.1 =85.9 kJ
~
La conduzione termica in regime \'ariabile per sistemi multidimensionali
400 CAPITOLO 11 La conduzione termica in regime variabile
h'at T =
ESEMPIO 11.9 Un cilindro di alluminio semi-infinito [À. = 237 W/(m. •ci. a= 9.71 x 10-s m2/s] di diametro D 20 cm, inizialmente alla temperatura uniforme T, = 200 •c, viene immerso in acqua a 15°C dove ha luogo lo scambio termico per convezione con un coefficiente di scambio termico h = 120 W/(m 2 • •ci. Si calcoli la temperatura al centro del cilindro e a 15 cm dalla superficie di base 5 minuti dopo l'inizio del raffreddamento.
=
Soluzione Questo è un problema di conduzione termica in regime variabile per un sistema bidimensionale e pertanto la temperatura all'interno del cilindro varierà sia in direzione assiale x che in quella radiale r, oltre a variare col tempo. Questo cilindro semi-infinito può fisicamente essere costituito dall'intersezione di
Bi= hr0 'IGURA 11.29 ichema per l'Esempio 11.9.
A.
= 120x0.1 =0.05
80 =8"(0,ti = A,e-.o:' =1.0124e-<>·3126"' 2·• 1 =0.762 Si noti che in questo caso il numero di Fourier ha il valore:
at 9.71x10-s x5x60 O.l 2
= 2.91. >0.2
che rende applicabile l'approssimazione al primo termine. La soluzione per il solido semi-infinito si può ottenere con la relazione:
h.Jai)~
2
x ) -ex,fT+T jhx h at)[erte( ..Jal+-À.x 1-8........,.(x,ti=erfc( .Jai ~ 2 2 Si calcolano inizialmente le varie quantità in parentesi:
ç=-x-= 2.Jai
0.15 =0. 88 2b.11x10·• x5x60)
h/;i
120xh.71x10-sx900
À.
237 ----=0.0759 237
2 i**P~1:fAZ;l La conduzione termica ~
in regime rnriabile
per sistemi multidimensionali
8......,. (x, ti= 1- erfc(0.88i + exp(0.0759 + 0.0074iertc(0.88 + 0.086i = 1- 0.2133 + exp(0.0833i x 0.1720 = 0.974 A questo punto si può applicare il prodotto delle soluzioni ottenendo:
T(x,o,ti-T_ (
T.-T I
e
-
k .
=8..,....,(x,ti8"(0, ti =0.974 x0.762 =0.742
........
T(x,O, ti=T_ +0.742 (T, -T_i=15+0.742 (200-15i =152°C
che è la temperatura al centro del cilindro a 15 cm dalla base.
In un impianto per la lavorazione della carne le bistecche dello spessore di 2.5 cm inizialmente a 24°C devono essere raffreddate nelle rastrelliere di un grande frigorifero dove la temperatura viene mantenuta a -15°C. Le bistecche sono posizionate una accanto all'altra, in maniera tale da poter trascurare lo scambio termico in corrispondenza dei bordi da 2.5 cm di spessore. L'intera bistecca deve essere raffreddata al di sotto di 7.2°C, ma la sua temperatura non deve scendere al di sotto di 1.7°C in nessun punto durante il raffreddamento per evitare il "congelamento". Il coefficiente di scambio termico convettivo e perciò la potenza termica trasmessa dalla bistecca può essere controllata variando la velocità del ventilatore interno. Si calcoli il coefficiente di scambio termico h che consentirà di soddisfare entrambi i limiti di temperatura mantenendo al minimo il tempo di refrigerazione. La bistecca può essere considerata come uno strato omogeneo avente le proprietà p = 1200 kg/m3, c. = 4.1 kJ/(kg . •ci. À. = 0.45 W/(m . 0 C) e a = 9.03 x 1o-a m2/s. Soluzione Le bistecche formano uno strato piano di spessore uniforme, poiché si ritiene trascurabile lo scambio termico ai bordi. Questo problema, quindi, può essere trattato come un problema di conduzione termica in regime variabile monodimensionale in una parete piana di spessore 2L = 2.5 cm. Poiché in ogni istante la più bassa temperatura nella bistecca si avrà in corrispondenza delle superfici e la più elevata al centro, la parte interna sarà l'ultima zona da raffreddare. Nelle condizioni estreme la temperatura superficiale a x = L = 1.25 cm dal centro può essere 1.7°C, mentre la temperatura nel piano medio è 7.2°C con temperatura ambiente di-15°C. Dalla Figura 11.13b, si ottiene:
!.=_1._25_= 1 L 1.25
)
1 À. 5 1.7+15 =Bi= hL =l. ----=---=0.75 T,,-T_ 7.2-15
=0.086
T(L,ti-T_
hx 120x0.51 À.
401
=(o.006i2 =0.0014
ESEMPIO 11.1 O
237
I coefficienti À.1 e ~ per un cilindro corrispondenti a questo valore del numero di Biot ricavati dalla 1abella 11.1 sono À.1 = 0.3126 e A = 1.0124. Sostituendo tali 1 valori nell'Equazione 11.14 si ottiene:
T=7= o
-À.-
Sostituendo e valutando le funzioni di errore complementare fornite dalla Tabella 11.3, si ottiene:
i
un cilindro infinito di raggio r0 = D = 10 cm e da un corpo semi-infinito, come mostrato in Figura 11.29. Si noti che x si misura a partire dalla superficie di base del cilindro. Questo problema sarà risolto usando le relazioni che forniscono la soluzione approssimata al primo termine per il cilindro e la soluzione analitica per il mezzo semi-infinito. Si considera dapprima il cilindro infinitamente lungo e si valuta il numero di Biot: ·
(f},/aiJ' ·
che fornisce:
FIGURA 11.30 Schema per l'Esempio I I.IO.
402 CAPITOLO 11 La conduzione tennica in regime \'ariabile
1 À. 0.45 2 h=--= -24W/(m ·°C) 1.5 L 1.5x0.0125
Sommario
=
Quindi, il coefficiente di scambio termico convettivo deve mantenersi al di sotto di questo valore per soddisfare i limiti di temperatura della bistecca durante la refrigerazione. Tali limiti possono essere soddisfatti anche usando un valore più bas. so del coefficiente di scambio termico, prolungando inutilmente però il tempo di refrigerazione.
dove Bi è il numero di Biot e L, VIA è la lunghezza caratteristica. Quando lo studio del sistema a parametri concentrati non è applicabile, la variazione di temperatura con la posizione e con il tempo si può valutare usando i diagrammi di temperatura variabile forniti nelle Figure -11.13, 11.14, 11.15 e 11.23 per un'ampia parete piana, un lungo cilindro, una sfera e un mezzo semi-infinito, rispettivamente. I diagrammi sono applicabili per queste geometrie nel caso di scambio termico monodimensionale; pertanto, il loro uso è limitato ai casi in cui il corpo è inizialmente a una temperatura uniforme, tutte le superfici sono soggette alle stesse condizioni termiche e il corpo non è interessato da alcuna generazione interna di calore. Gli stessi diagrammi possono essere usati anche per valutare la quantità totale di calore scambiato dal corpo fino a un dato istante t. Usando una approssimazione al primo tennine, le soluzioni di problemi di conduzione termica in regime variabile per sistemi monodimensionali si esprimono analiticamente con le relazioni:
11.5 SOMMARIO In questo capitolo è stata considerata la variazione della temperatura nel tempo e nello spazio in sistemi mono o multidimensionali. Inizialmente sono stati trattati i sistemi a parametri concentrati nei quali la temperatura varia nel tempo ma rimane uniforme attraverso il sistema in ogni istante. La temperatura di un corpo concentrato di forma qualunque di massa m, volume V, area superficiale A,. densità p e calore specifico c inizialmente a una temperatura uniforme I; che è esposto a convezione al fempo t Oin un ambiente a temperatura T_ con un coefficiente di scambio termico h si esprime:
=
A1e-Ai< cos(À,xl L), T > 0.2
Parete piana: 9(x,t)parete = T(x, t) -T_ T;-T.
T(t)-T. T;-T. dove
403
o
B"hLC I i-T<.
Cilindro:
_ T(r,t)-T. e( r,t ) .1 - - - - -
T;-T_
ci
hA h b = - - = - - (l/s)
pcPV
_T(r,t)-T_ T; -T_
A -J./rsin(À,r/r0 ) le ' À,r/r0
pcPLc è una quantità positiva la cui dimensione è (tempo)-1• Questa relazione può
Sfera:
essere utilizzata per calcolare la temperatura T(t) di un corpo al tempo t o, viceversa, il tempo t richiesto perché la temperatura raggiunga un determinato valore T(t). Nota la temperatura T(t) al tempo t, la potenza tennica scambiata per convezione tra il corpo e il suo ambiente in quell'istante si può valutare dalla legge di Newton:
dove le costanti A, e Ì..1 sono funzioni solo del numero Bi e i loro valori sono riportati in Tabella 11.1 per le tre geometrie. L'errore che si commette usando soluzioni approssimate al primo termine è inferiore al 2 per cento quando t > 0.2. Usando le soluzioni approssimate al primo termine, gli scambi termici in diverse geometrie si esprimono:
Q(t)=hA[T(t)-T.]
(W)
i
I
La quantità totale di calore trasmesso tra il corpo e il mezzo circostante sull'intervallo di tempo da t =O a t coincide semplicemente con la variazione della capacità termica del corpo:
Parete piana:
Cilindro:
Q=mcP[T(t)-1';] (J)
e( r,t ) sfera -
(
QQ ) max
=l-eo.pare1e
''1
=1-W . l1(À,)
Q
o.cli
Sfera:
Q
max
=1-39 O.sfera
fera
l
''1
max til
La quantità di calore trasmesso raggiunge il suo limite superiore quando il corpo raggiunge la temperatura del mezzo circostante T_. Pertanto, la massima quantità di calore scambiato tra il corpo e il suo ambiente è:
si~À,
p~tc
(_g_) (_g_l
't> 02 •
sinÀ,-À,COSÀ, ]3
''1
La soluzione analitica per la conduzione termica in regime variabile monodimensionale in un solido semi-infinito soggetto a convezione è fornita dalla relazione:
Qmax =mcp(T_ -1';) (J) L'errore che si commette ricorrendo allo studio del sistema a parametri concentrati è trascurabile quando:
òl
'
404 CAPITOLO Il La conduzione termica in regime variabile
T~~ ~ 7; = erf{ 2Jro )-ex{~+ h:r: )[erfc( 2Jro + h~ J] dove la quantità erfc (ç) è il complemento dellafimzione degli errori. Nel caso particolare di h ~ oo, la temperatura superficiale T, diventa uguale alla temperatura del fluido T_ e la precedente equazione si riduce a: T(x '_ t)-T' - erfc ( -x- )
(T, =costante) T, r; 2.Jai Facendo uso di un ingegnoso principio di sovrapposizione chiamato prodotto delle soluzioni, i diagrammi validi per sistemi monodimensionali possono anche essere usati per risolvere problemi di conduzione termica in regime variabile per sistemi bidimensionali come cilindri corti, lunghe barre rettangolari, cilindri o piani semi-infiniti, e ancora problemi tridimensionali associati a geometrie quali un prisma rettangolare o una barra rettangolare semi-infinita. In tutti questi casi occorre fare l'ipotesi che tutte le superfici del corpo solido siano soggette a convezione verso lo stesso fluido a temperatura T_ con lo stesso coefficiente di scambio termico convettivo h, e che il corpo non sia interessato da alcuna generazione di calore. La soluzione in tali geometrie multidimensionali si può esprimere come il prodotto delle soluzioni per le geometrie monodimensionali la cui intersezione genera la geometria multidimensionale considerata. La quantità totale di calore trasmesso verso o da una geometria multidimensionale può essere calcolata ancora usando i valori monodimensionali. Lo scambio termico in regime variabile per una geometria bidimensionale generata dall'intersezione di due geometrie monodimensionali 1 e 2 è:
Lo scambio termico in regime variabile per un corpo tridimensionale generato dall'intersezione di tre geometrie monodimensionali 1, 2 e 3 è:
La convezione forzata La convezione, trasmissione di calore che si verifica in presenza di un fluido soggetto a trasporto di massa al suo interno, viene classificata come convezione naturale (o libera) e convezione forzata, in relazione alla causa che origina il moto del fluido. Nella convezione forzata, il fluido è costretto a scorrere su una superficie o in un condotto da dispositivi esterni come una pompa o un ventilatore. Nella convezione naturale, il moto del fluido è provocato da cause naturali, come il fenomeno di galleggiamento che consiste nella risalita del fluido più caldo e discesa di quello più freddo. La convezione è anche classificata come esterna e interna, secondo che il fluido scorra su una superficie o in un canale. In questo capitolo si considera la convezione forzata interna ed esterna iniziando con una descrizione fisica generale del meccanismo della convezione e degli strati limite termico e di velocità. Si continua con la discussione dei numeri adimensionali di Reynolds, Prandtl e Nusselt e del loro significato fisico. Vengono quindi presentate le correlazioni empiriche per i coefficienti di attrito e di scambio termico su varie geometrie tipo piastra piana, cilindro e sfera, in condizioni di moto laminare e turbolento. Infine, si esaminano le caratteristiche del moto in condotti e si forniscono le correlazioni per la trasmissione del calore e la caduta di pressione ad esso associate.
12.1 ;J IL FENOMENO FISICO DELLA CONVEZIONE FORZATA
406 ~
CAPITOLO 12 La com·ezione forzata
20°c 5 m/s -
ARIA
~~ç;z,!,:nnnmnf:;c (a) Convezione forzata
Aria più calda ) . ascendente
ARIA
,I
Q\ \
0~?_,....::aa \.~~ (b) Convezione libera
. Correnti di Q convezione assenti
4"
ARIA
J;;;/;;;;;;;;;;;;nnmn;;;;;;;)
(e) Conduzione
FIGURA 12.1
Trasmissione del calore per conduzione e convezione da una superficie calda al fluido circostante.
Piastrn calda. I 10°C
I" ~ ~~Tfasmi~ione ·:
_::.calore attraverso Fluido·: /> . .
---..
'~--~ .~ 0- .. ~il fluido
~t:...,,.....g
........__
..
Piastra fredda, 30°C
FIGURA 12.2
Trasmissione del calore attraverso un fluido racchiuso tra due piastre parallele.
La conduzione e la convezione sono fenomeni simili di trasmissione del calore in quanto entrambe richiedono la presenza di un mezzo materiale, .anche se differiscono per il fatto che la convezione richiede la presenza di unfluido in movimento. Mentre la trasmissione del calore in un solido avviene sempre per conduzione, poiché le molecole di un solido permangono in posizioni relativamente fisse, la trasmissione del calore in un fluido avviene per convezione in presenza di movimento di massa nel fluido, per conduzione in assenza di esso. La conduzione quindi può essere vista come caso limite della convezione per fluido in quiete (Figura 12.1). La trasmissione di calore per convezione è complicata dal fatto che coinvolge moto di fluido insieme a conduzione di calore. Il moto di fluido incrementa la trasmissione del calore, in quanto esso porta a contatto parti di fluido più calde con parti più fredde, innescando flussi conduttivi più intensi in un maggior numero di punti nel fluido. La potenza termica trasmessa attraverso un fluido è dunque molto maggiore nel caso di convezione che non per conduzione, poiché maggiore è la velocità del fluido, maggiore risulta il flusso termico . Per chiarire ulteriormente questo punto, si consideri la trasmissione di calore attraverso un fluido contenuto tra due piastre parallele mantenute a temperatura differente come mostrato in Figura 12.2. Le temperature del fluido e della piastra coincidono nei punti di contatto, a causa della continuità della temperatura. In assenza di moto del fluido, lenergia delle molecole vicine alla piastra calda viene trasferita alle molecole adiacenti di fluido più freddo. Tale energia viene poi trasferita allo strato successivo di fluido più freddo e così via finché non sarà trasferita all'altra piastra. Questo è ciò che accade in regime di conduzione attraverso il fluido. Si usi adesso una siringa per estrarre ripetutam,ente del fluido vicino alla piastra calda e iniettarlo vicino a quella fredda. E facile immaginare che ciò accelererà in modo considerevole il processo di trasmissione del calore, in quanto dell'energia viene trasponata dal!' altro lato in conseguenza dello spostamento di fluido. Si consideri ora il raffreddamento di un blocco caldo di acciaio con un ventilatore che soffia aria sulla sua superficie superiore come mostrato in Figura 12.3. Per la trasmissione di calore dal blocco caldo all'aria circostante più fredda il blocco alla fine si raffredderà, non solo, ma si raffredderà ancor più velocemente se il ventilatore viene fatto funzionare a velocità più elevata. Sostituendo acqua all'aria aumenterà ancora di più la trasmissione del calore per convezione. L'esperienza mostra che la trasmissione termica per convezione dipende fortemente dalle proprietà del fluido (viscosità dinamicaµ, conducibilità termica .Il, densità p, e calore specifico c). come pure dalla velocità del fluido w. Essa dipende pure dalla geometria e rugosità della superficie solida, oltre che dal tipo di moto del fluido (laminare o turbolento). Malgrado la complessità della convezione che è il meccanismo più complesso di trasmissione del calore, la potenza termica trasmessa per
convezione, proporzionale alla differenza di temperatura, si può esprimere con la legge di Newton per la convezione: (W/m2)
(12.1)
. Qconv =_ hA(Ts -T;.) (W)
(12~2)
Ìlcoov =h(Ts -TM) oppure dove
h =coefficiente di convezione, W/(m2. 0 C) A = area della superficie di scambio termico, m 2 T5 = temperatura della superficie, °C T~ = temperatura del fluido a sufficiente distanza dalla superficie, °C.
407 Il fenomeno fisico della conYe:t.iorw forzati.i
T_=
1s c 0
w""=3m/s
Velocità relacive degli strati di f1uido
Dal punto di vista dimensionale il coefficiente di convezione si può definire come la potenza termica scambiata tra una superficie solida e un fluido per unità di area d~lla s~perficie e per unità di differenza di temperatura. . Q_uando un flmdo viene fatto scorrere su una superficie solida Io strato di fluido a contatto con la superficie aderisce ad essa, cioè uno strato molto sottile di fluido assume velocità nulla rispetto alla parete. Questo fenomeno, noto come condizione di scorrimento nullo, fa sì che la trasmissione del calore dalla superficie solida allo strato di fluido ad essa adiacente avvenga per conduzione pura, per cui il flusso termico è: FIGURA 12.3
.
%onv
Raffreddamento di un blocco caldo per
. = - ..:tari = qcond
ay
(12.3) y=O
dove T rappresenta la distribuzione di temperatura nel fluido e .
d'
~
è il
. gra d1ente 1 temperatura all'mterfaccia tra solido e fluido. Il flusso termi~o convettivo da una superficie solida a un fluido è, quindi, semplicemente li flusso termico conduttivo dalla superficie solida allo strato di fluido adiacente ad essa. Si possono quindi uguagliare le Equazioni 12.1 e 12.3 ottenendo la relazione che permette di calcolare il valore del coefficiente di convezione, nota la distribuzione della temperatura nel fluido:
-Ànuido
h
ayiy=O
~TIy
T5 -T_
y=O
(W/m2 • K)
(12.4)
In generale, il coefficiente di convezione varia nella direzione del flusso per cui spesso si fa riferimento al coefficiente di convezione medio determinato. m~di~ndo opportunamente, sull'intera superficie di scambio, i coeffic1enu di convezione locali. Nella trattazione della convezione, è pratica comune combinare le variabili da cui dipende il fenomeno, raggruppandole in numeri adimensionali in modo da ridurre il numero totale di parametri da considerare; a~ dimensionalizzando il coefficiente di convezione h si ottiene il numero di
convezione forzata.
Nusselt, così chiamato in onore di Wilhelm Nusselt, che ha dato notevoli contributi nel campo della convezione nella prima metà del XX secolo:
408
Strato limite laminare
409
Strato linùte turbolento
CAPITOLO 12 La convezione forzata
Lo strato lim di veloc ; Strato
FIGURA 12.4 Trasmissione del calore attraverso uno strato di fluido di spessore 8 e differenza di temperatura tJ.T.
dove Il è la conduttività termica del fluido e 8 la lunghezza caratteristica. Un'interpretazione fisica del numero di Nusselt si può avere considerando uno strato di fluido di spessore 8 sottoposto a differenza di temperatura l:!,.T = T2 - Tt, come mostrato in Figura 12.4. La trasmissione di calore attraverso lo strato di fluido avverrà per convezione quando il fluido è in movimento e per conduzione se lo strato di fluido è in quiete. II flusso termico (potenza termica trasmessa per unità di superficie) nei due casi risulterà: IÌconv
. qcond
= htJ.T
=
').; l:!,.T
8
Dal rapporto fra le precedenti relazioni si ottiene il numero di Nusselt: IÌconv Soffiare
sul cibo
FIGURA 12.5 La convezione forzata aumenta la potenza termica scambiata.
IÌcond
= hl:!,.T = h8 = Nu Jt tJ.T
A
8 Il numero di Nusselt rappresenta dunque l'incremento della potenza termica trasmessa per convezione attraverso uno Strato di fluido rispetto a quella trasmessa per conduzione attraverso lo stesso strato. Il valore unitario del numero di Nusselt (Nu = l) è caratteristico della trasmissione del calore per conduzione pura attraverso lo strato di fluido. All'aumentare, invece, del valore del numero di Nusselt risulta sempre più sviluppato il fenomeno della convezione. La convezione forzata nella vita di ogni giorno la si incontra più spesso di quanto si pensi (Figura 12.5). Si ricorre alla convezione forzata per aumentare la trasmissione di calore da un oggetto caldo: per esempio, nelle calde giornate d'estate si utilizza il ventilatore per aiutare il proprio corpo a raffreddarsi in modo più efficace: infatti, maggiore è la velocità del ventilatore maggiore risulta la sensazione di fresco; si rimescola la minestra e si soffia su una fetta calda di pizza per farle raffreddare più velocemente; si impedisce il sovrariscaldamento di strumenti elettronici con l'uso di un adeguato ventilatore.
12.2 D LO STRATO LIMITE DI VELOCITÀ Si consideri il moto di un fluido su una piastra piana, come mostrato in Figura 12.6. La coordinata x è misurata lungo la superficie della piastra a partire dal bordo d'attacco della stessa nella direzione del moto, mentre y è misurata a partire dalla superficie nella direzione normale ad essa. Il
Spessore dello strato limite,
o,
fluido investe la piastra con velocità ui:iiforme w nella direzione x. Si consideri il fluido come composto da strati adiace~ti sovrapposti uno all'altro. La velocità delle particelle del primo strato di fluido adiacente alla pias~a sarà nulla per la condizione di scorrimento nullo. Negli strati adiacentJ. le particelle del fluido per effetto della viscosità tenderanno progressivamente a raggiungere la velocità indisturbata w_. Infatti, la presenza della piastra viene avvertita fino ad una certa distanza 8 al di là della quale w_ rimane costante. La velocità del fluido in corrispondenza dell'ascissa x varierà di conseguenza da Oper y =O a circa w_ per y == 8 . La regione in corrispondenza sulla piastra delimitata da 8v, ali' interno della quale sono presenti le forze di taglio viscose originate dalla viscosità del fluido, è detta strato limite di velocità o semplicemente strato limite. Lo spessore dello strato limite, 8, viene arbitrariamente definito come la distanza dalla superficie alla qual~ w = 0.99 w . La linea fittizia per la quale w =0.99 w_ divide il moto in corrispondenza della piastra in due regioni: la regione di strato limite nella quale sono rilevanti gli effetti viscosi e le variazioni di velocità e la regione di moto non viscoso nella quale l'attrito è trascurabile e la velocità rimane praticamente costante. Si considerino due strati di fluido adiacenti nello strato limite: lo strato più veloce cercherà di trascinare quello più lento, a causa dell'attrito tra i due strati, esercitando su di esso una/orza di trascinamento (o forza d'attrito). Misure sperimentali mostrano che lo sforzo di taglio, forza di trascinamento per unità di area indicata con la lettera "t', per molti fluidi proporzionale al gradiente di velocità, sulla superficie della parete assume lespressione
"t's
=µ~wl uy
(12.6) y=O
dove la costante di proporzionalità µ è la viscosità dinamica del fluido, la cui unità di misura è kg/(m · s) o N · s/m 2• La viscosità di un fluido è una misura della sua resistenza al moto e risulta fortemente dipendente dalla temperatura: nel caso dei liquidi diminuisce con la temperatura mentre per i gas aumenta. In Tabella 12.1 sono riportati i valori di viscosità di alcuni fluidi a 20°C. Si noti che la viscosità di fluidi
FIGURA 12.6 Sviluppo dello strato limite e regimi di flusso per moto su piastra piana.
410 CAPITOLO 12 La convezione forzata
TABELLA 12.1 VJSCosità dinamica di alcuni liquidi
diversi può differire di diversi ordini di grandezza e che muovere un oggetto in un fluido ad elevata viscosità come lolio lubrificante risulta più difficile di quanto non accada in un fluido a viscosità minore come l'acqua. Poiché la determinazione dello sforzo di taglio superficiale ?'5 dall'Equazione 12.6 è complicata, perché richiede la conoscenza del profilo della . velocità, nel caso di flussi esterni un metodo più pratico è quello di correlare ?'5 alla velocità di corrente libera w.
e dell'aria a 20°C
Fluido Glicerina Olio lubrificante Alcool etilico
Acqua Freon-12 Aria
µ, kg/(m · s) 1.49 0.800 0.00120 0.00106 0.000262 0.0000182
dove C1 è il coefficiente di attrito il cui valore di solito è determinato sperimentalmente e p è la densità del fluido. Il coefficiente d'attrito, in generale, varierà con la posizione lungo la superficie. Una volta noto il coefficiente d'attrito medio su una data superficie, la forza d'attrito o di trascinamento sull'intera superficie è data da
dove A è larea della superficie. Il coefficiente di attrito è un parametro importante nel campo della trasmissione del calore per convezione perché è correlato al coefficiente di trasmissione del calore e alla potenza della pompa o ventilatore in grado di stabilire il moto del fluido.
I flussi turbolenti e laminari Fumo
Flusso } turbolento Flusso } laminare
FIGURA 12.7 Regimi laminare e turbolento nel moto del fumo di sigaretta.
Osservando il fumo di una sigaretta si può notare che esso sale secondo un pennacchio ordinato per i primi centimetri, per poi iniziare una casuale fluttuazione in tutte le direzioni (Figura 12.7). In modo simile un attento esame del moto di un fluido su piastra piana rivela che il flusso fluido nello strato limite, dapprima lento e ordinato secondo linee di corrente, diventa caotico a una certa distanza dal bordo d'attacco, come mostrato in Figura 12.6. Il regime di moto in prossimità della piastra è detto laminare, caratterizzato da linee di corrente regolari e moto ordinato, mentre quello a distanza maggiore è detto turbolento ed è caratterizzato da variazioni di velocità e moto disordinato. La transizione dal regime laminare a turbolento non avviene repentinamente, ma avviene in una regione nella quale il moto fluttua tra laminare e turbolento prima di diventare completamente turbolento. Per verificare lesistenza di questi regimi di moto laminare, di transizione e turbolento, se si inietta inchiostro nella corrente fluida, si osserva che la scia di inchiostro segue linee regolari quando il moto è laminare, presenta accenni di fluttuazioni nel regime di transizione e procede rapidamente e casualmente a zig-zag quando il moto diventa completamente turbolento. Tipici profili di velocità in moto laminare e turbolento sono riportati in Figura 12.6. Si noti che il profilo di velocità è approssimativamente
parabolico nel moto laminare e diventa più piatto, con una repentina diminuzione vicino alla superficie, nel moto turbolento. Lo strato limite turbolento si può considerare come composto da tre strati: il sottostrato laminare, molto sottile adiacente alla parete, nel quale dominano gli effetti viscosi, dove si ha un profilo di velocità quasi lineare e un moto per linee di corrente; lo strato di transizione, vicino al sottostrato laminare, nel quale sono significativi gli effetti turbolenti, che, comunque, non dominano completamente il fenomeno diffusivo; lo strato turbolento, vicino allo strato di transizione, nel quale predominano gli effetti turbolenti. Nel moto turbolento l'intenso mescolamento del fluido, dovuto alle rapide fluttuazioni, aumenta la trasmissione di calore e la quantità di moto tra le particelle di fluido con conseguente aumento della forza d'attrito sulla superficie e della potenza termica trasmessa per convezione (Figura 12.8). A causa dell'intenso mescolamento aumenta anche lo spessore dello strato limite. Si noti che il coefficiente di trasmissione del calore e quello d'attrito raggiungono il massimo valore quando il moto diventa completamente turbolento, per cui si opera in condizioni di turbolenza per ottenere elevati coefficienti di scambio termico. L'aumento del coefficiente di scambio termico nel moto turbolento ha tuttavia un costo, poiché può essere necessario utilizzare una pompa o un ventilatore più potente per vincere le maggiori forze d'attrito associate con i coefficienti di scambio termico più elevati.
411 iiliil!.o-.'5!&&,w..:r
Lo strato limit\ di nlocit.
(a) Prima della turbolenza ("C)
(b) Dopo la turbolenza (°C J
FIGURA 12.8 Nel flusso turbolento l'intenso mescolamento porta le particelle di fluido a diversa temperatura in stretto contatto aumentando la trasmissione del calore.
Re
Forze d'inerzia Forze viscose
Il numero di Reynolds ,
La transizione da moto laminare a turbolento dipende fra l'altro: dalla geometria e dalla rugosità della superficie, dalla velocità di corrente libera, dalla temperatura superficiale e dal tipo di fluido. Osborne Reynolds, in seguito ad accurati esperimenti condotti nel 1880, scoprì che il tipo di moto dipende principalmente dal rapporto tra le forze d'inerzia e le forze viscose. Tale rapporto è detto numero di Reynolds ed è espresso per flussi esterni dalla relazione (Figura 12.9)
dove
w. = velocità di corrente libera, rn/s =lunghezza caratteristica della geometria, m v = µ/p = viscosità cinematica del fluido, m 2/s
o
Si noti che: il numero di Reynolds è una grandezza adimensionale; la viscosità cinematica v differisce da quella dinamica µ di un fattore p; la viscosità cinematica ha come unità di misura m2/s identica a quella della diffusività termica e può essere vista come diffusività viscosa; la lunghezza caratteristica è la distanza x dal bordo d'attacco, nella direzione del moto, per una piastra piana e il diametro D per un cilindro circolare o una sfera. Per grandi valori del numero di Reynolds le forze d'inerzia, proporzionali a densità e velocità del fluido, prevalgono sulle forze viscose che così
pw2/o
= µw/02 pwò
=µ . wò =~
FIGURA 12.9 Il numero d) Reynolds come rapporto tra le forze d'inerzia e quelle viscose agenti in un elemento di volume di fluido.
412
non possono impedire le fluttuazioni rapide e casuali del fluido. Al contrario per piccoli valori del numero di Reynolds le forze viscose hanno il sopravvento su quelle d'inerzia mantenendo il fluido "in linea". Il moto risulta turbolento nel primo caso e laminare nel secondo. Il numero di Reynolds in corrispondenza del quale il moto diventa turbolento è detto numero di Reynolds critico. Il valore numerico del numero di Reynolds critico varia con la geometria: per flusso su piastra piana, la transizione da moto laminare a turbolento avviene quando
CAPITOLO 12 La convezione forzata
Recritico. piosoa pian• = 5 X l 05 Questo valore, generalmente accettato, per il numero di Reynolds critico per piastra piana può variare alquanto in funzione della rugosità superficiale, li vello di turbolenza e andamento della pressione lungo la superficie.
numero di Prandtl in onore di Ludwig Prandtl, che nel 1904 introdusse per primo il concetto di strato limite e diede significativi contributi alla teoria dello strato limite: Pr =diffusività molecolare della quantità di moto diffusività molecolare del calore
2: = µcP a
).
(! .IO) 2
I valori del numero di Prandtl per i fluidi variano da meno di 0.01 per metalli liquidi ad oltre 100 000 per oli pesanti (Tabella 12.2). Si noti che il numero di Prandtl per l'acqua è dell'ordine di 10. Poiché il calore si diffonde molto più velocemente della quantità di moto nei metalli liquidi (Pr <> l), si ha che lo strato limite di temperatura è molto più spesso di quello di velocità per i metalli liquidi e molto più sottile per gli oli (Figura 12. l l ). Il valore del numero di Prandtl per i gas è circa pari a l per cui in essi la quantità di moto e il calore si dissipano quasi con la stessa intensità.
413
TABELLA 1~.2 Valori tipici del numero di Prandtl per fluidi comuni
Fluido
Pr
Metalli liquidi Gas Acqua Fluidi organici leggeri Oli Glicerina
0.004-0.030 0.7-1.0 1.7-13.7 5-50 50-100 000
2000· 100 000
12.3 l1 LO STRATO LIMITE TERMICO
T_
Corrente libera
r_
r, + o.99(T_ -
r,)
FIGURA 12.10 Strato limite termico su piastra piana (fluido più caldo della superficie della piastra).
Quando un fluido si muove sulla superficie di un solido a differente temperatura, come mostrato in Figura 12.10, si ha uno strato limite di temperatura per un fenomeno del tutto analogo a quello che si verifica per la velocità. Si consideri il moto di un fluido a temperatura uniforme T_ su una piastra piana isoterma a temperatura T5 • Le particelle di fluido nello strato adiacente alla piastra raggiungeranno lequilibrio termico con la piastra portandosi alla temperatura T5 e scambieranno energia termica con le particelle nello strato di fluido contiguo e così via per gli altri strati. In conseguenza di ciò si svilupperà nel fluido in moto un profilo di temperatura variabile da T in corrispondenza della superficie della piastra a T_ a sufficiente distanz~ da questa. La zona del fluido in moto sulla superficie, nella quale risulta significativa la variazione di temperatura nella direzione normale alla superficie, viene detta strato limite di temperatura. Lo spessore dello strato limite di temperatura in una certa posizione lungo la superficie è definito come la distanza dalla superficie alla quale la differenza T - T è pari a 0.99(T - T ). Si noti che se T5 =O si ha T 0.99 T_ al bordo este~o dello strato liffiite ai temperatura in modo analogo allo strato limite di velocità per il quale w = 0.99 w_. Lo spessore dello strato limite di temperatura aumenta nella direzione del moto poiché gli effetti dello scambio termico si propagano a distanze sempre maggiori procedendo nel verso della corrente. La potenza termica scambiata per convezione in un punto qualsiasi sulla superficie è legata al gradiente di temperatura locale. La forma del profilo di temperatura nello strato limite termico determina quindi lo scambio termico per convezione tra la superficie solida e il fluido fluente su essa. Nel moto su una superficie riscaldata (o raffreddata), entrambi gli strati limite, di temperatura e di velocità, si sviluppano simultaneamente. In particolare lo sviluppo dello strato limite di velocità che ha una forte influenza sul profilo di temperatura si ripercuote in modo notevole sullo scambio termico per convezione. Gli spessori degli strati limite di velocità e di temperatura sono meglio descritti dal parametro adimensionale detto
o
12.4 !i3! IL FLUSSO SU PIASTRA PIANA Mentre finora si è trattato soltanto degli aspetti fisici della convezione forzata su superfici, in questo paragrafo si considererà sia la potenza termica scambiata sia la forza di trascinamento esercitata dal fluido sulla piastra nei due casi di flusso laminare e turbolento. Superfici moderatamente curve, come le pale delle turbine, si ·possono approssimare a piastre piane senza grandi errori. I coefficienti di attrito e di trasmissione del calore per una piastra piana si possono determinare teoricamente con una soluzione approssimata o numerica delle equazioni di conservazione della massa, della quantità di moto e dell'energia, oppure sperimentalmente per mezzo di correlazioni empiriche. Con entrambi i metodi si ottiene che il numero di Nusselt medio è espresso in funzione dei numeri di Reynolds e Prandtl dalla relazione:
=
(a) Oli
dove C, m e n sono costanti e L è la lunghezza della piastra nella direzione del moto. Si noti che il numero di Nusselt locale in un punto sulla piastra dipende dalla distanza di quel punto dal bordo di attacco. Poiché la temperatura del fluido nello strato limite termico varia: da T 5 sulla superficie a circa T _ al limite estremo dello strato e con la temperatura variano le proprietà del fluido, allora le proprietà del fluido all'interno dello strato limite di solito vengono valutate alla temperatura media aritmetica delle temperature della superficie e della corrente libera, detta temperatura di film e definita dalla relazione:
I valori così calcolati per le proprietà del fluido si considerano costanti lungo l'intero deflusso.
r, (b) Metalli liquidi (tipo men:urio)
FIGURA 12.11 Spessore degli strati limite di velocil e di temperatura per i metalli liqui . e gli o
414 CAPITOLO 12 La convezione forzata
I coefficienti locali di attrito e di scambio termico variano lungo la superficie della piastra in conseguenza della variazione degli strati limite di velocità e di temperatura nella direzione del moto. Poiché di solito si è interessati alla forza di trascinamento e alla potenza termica scambiata sull'intera superficie, queste si possono determinare utilizzando i valori medi dei coefficienti d'attrito e di scambio termico. Quando, però, interes. sano i valori locali del flusso termico e della forza di trascinamento, è necessario determinare i valori locali dei coefficienti d ·attrito e di scambio termico. In seguito verranno presentate le relazioni che definiscono i valori dei coefficienti medi e locali, questi ultimi contraddistinti dal pedice x. I coefficienti di attrito e di scambio termico medi sull'intera superficie possono essere determinati per integrazione dei corrispondenti valori locali,
FIGURA 12.12 Variazione dei coefficienti locali di attrito e di trasmissione del calore per flusso su piastra piana.
e
(12.14)
Cf.x = 0.05:s2 (5x10s $Re.$ 101) Re.
(12.20)
Nu = h.x =0.0296Re4/5prl/3( 0.6$Pr$60 ) " ). " 5x105 $Re_, $10 7
(12.21)
1 Il flusso laminare
f.x -
Re~2
h"{ = 0.332 Re~2 Prl/3(Pr ~ 0,6)
(12.15) (12.16)
dove x è la distanza dal bordo d'attacco della piastra e Re"= w_xln il numero di Reynolds all'ascissax. Si noti che, poiché Cf.x è proporzionale a
l/Re~2 e quindi a x-112 e Nu, = h,xlA è proporzionale a x 112 e quindi h, è proporzionale a x- 112, sia cf.x che h, tendono all'infinito in corrispondenza del bordo d'attacco (x =O) e diminuiscono proporzionalmente a x- 112 nella direzione del flusso. In Figura 12.12 sono mostrati, per una piastra piana isoterma, lo spessore dello strato limite 8, il coefficiente d'attrito C e il 1 coefficiente di scambio termico per convezione h. Il coefficiente medio di attrito e il numero di Nusselt sull'intera piastra si determinano sostituendo le precedenti relazioni nelle Equazioni 12.13 e 12.14 e integrando (Figura 12.13):
su una superficie calcolato integrando il coefficiente locale di attrito sull'intera superficie.
2 Il flusso turbolento
h=..!fh dx LJo "
c _ o.664
FIGURA 12.13
Le relazioni precedenti sono valide quindi per x $ x.,
Il coefficiente di attrito locale e il numero di Nusselt in un punto x per flusso turbolento su piastra piana sono dati dalle relazioni:
Nel flusso laminare su una piastra piana il coefficiente d'attrito locale e il numero di Nusselt nella posizione x sono dati dalla relazione:
li coefficiente medio di attrito
(12.19)
V
(12.13)
Una volta noti C1 e h si possono determinare dalle Equazioni 12.2 e 12.8 rispettivamente la forza di trascinamento e la potenza termica scambiata.
Nu x =
Re =5x105 = w_x., cr
C1 =-Ct.dx Lo ·"
llL
X
Queste relazioni forniscono i coefficienti medi di attrito e scambio termico quando il flusso risulta laminare sull'intera piastra. Nel caso di numero di Reynolds critico Re.,= 5 x 105; la distanza dal bordo di attacco entro cui il flusso risulta laminare è data dalla relazione:
dove x è la distanza dal bordo d'attacco della piastra e Re,= w_xlv il numero di Reynolds in corrispondenza di x. I coefficienti di attrito e di scambio termico nel moto turbolento risultano maggiori di quelli nel flusso laminare, in conseguenza dell'intenso mescolamento che ha luogo nello strato limite turbolento. Si noti che sia Cf. sia h raggiungono il valore massimo quando il flusso è completamente htrbole~to e poi decrescono proporzionalmente ax- 115 nella direzione del moto, come mostrato in Figura 12.12. Il coefficiente medio di attrito e il numero di Nusselt sull'intera piastra si determinano sostituendo le precedenti relazioni nelle Equazioni 12.13 e 12.14 e integrando: • T:;.•;°''.0%~"' '•':""'''' • 0 ;'!l";~•i"'ì cj=~sxlo5 5Re{:fio1 ) ;!'·(12.22)
"''~·•0074 ~~
<;:,, .
,·~~.;i~Itf(~~;f~,. j~~~Jm~A
Tali relazioni forniscono i coefficienti medi di attrito e scambio termico quando il flusso risulta turbolento sull'intera piastra o quando la zona di flusso laminare della piastra è molto piccola rispetto a quella turbolenta (cioè x.,. « L).
3 Il flusso combinato laminare e turbolento In alcuni casi una piastra piana risulta lunga tanto da far diventare turbolento il flusso, ma non abbastanza da poter trascurare la zona di flusso laminare. In tali casi i valori medi del coefficiente di attrito e del numero di Nusselt
415 li flusso su piastra piam1
--------------------- -------
416 CAPITOLO 12 La con\·ezione forzata
--
-
·- - --- - -------------------------------
vengono determinati per integrazione delle Equazioni 12.13 e 12.14 su due parti distinte: la zona laminare O$ x $ xcr e la zona turbolenta xcr < x $ L,
ef
-YJ,"'·" e/,x,laminare dx + Jxi:r rL e - L\
c1x) /,.t",turbok:nto
0
h = __!_ L
(l"ao
hx.laminaredx+
fL hx,turbolentodx) J,"
per flusso turbolento. Queste relazioni danno, rispetto al caso di piastra isoterma, valori più elevati dell'ordine del 36 per cento per flusso laminare e del 4 per cento per flusso turbolento.
417 Il flusso piastra pia
(12.24)
ESEMPIO 12.1 (12.25)
Si noti che la zona di transizione viene inclusa in quella turbolenta. Nel caso in cui il valore del numero di Reynolds critico sia Re = 5 x 105, sostituendo le relazioni prima riportate ed effettuando le int~grazioni, si determinano i seguenti valori medi del coefficiente di attrito e del numero di Nusselt sull'intera piastra (Figura 12.14):
TM=60°C
Olio lubrificante a 60°C scorre alla velocità di 2 m/s su una piastra lunga 5 m e a temperatura di 20°C (Figura 12.15). Determinare la forza totale di trascinamento e la potenza termica scambiata per unità di larghezza dell'intera piastra.
u;...= 2 m/s
Soluzione Si fa l'ipotesi che il numero di Reynolds critico sia Re,= 5 x 105• Le proprietà dell'olio lubrificante alla temperatura di film T, = T5 + T_ = 20+60 = 4o•c 2
2
FIGURA
risultano
Schema per l'Esempio
p=876kg/m 3 ,i= 0.144 W/(m. •e) Pr = 2870 v =242x10 .. m2 /s
FIGURA 12.14 Rappresentazione grafica del coefficiente medio di scambio termico per una piastra piana con flusso combinato laminare e turbolento.
Le costanti nelle due relazioni precedenti variano per valori del numero di
Reynolds critico differenti. Quando si affronta un problema di convezione forzata su piastra piana la prima cosa da fare è determinare il numero ReL, cioè il numero di Reynolds in corrispondenza della sezione finale della piastra, utilizzando le proprietà del fluido alla temperatura di film. Se ReL < 5 x 105, il flusso è laminare su tutta la piastra e si utilizzano le relazioni per flusso laminare. Se ReL > 5 x 105, si utilizzano le relazioni per flusso turbolento, o combinato laminare e turbolento, se necessario. Una volta calcolati i valori medi dei coefficienti di attrito e di scambio termico, si possono determinare la potenza termica e la forza di trascinamento con le relazioni seguenti:
Q= M(Ts Fr
-T~)
pw;,
=CiA-2-
(W)
(12.28)
(N)
(12.29)
Per L = 5 m il numero di Reynolds alla fine della piastra è: wL Re,=---= V
minore del numero di Reynolds critico. Il flusso quindi risulta laminare sull'intera piastra e il coefficiente di attrito medio vale
e, =1.328 Re~· =1.328 (4.13x1o'r'" =0.00653 La forza di trascinamento agente sulla piastra per unità di larghezza è: pw 876x2 F., =C,A--" =0.00653x(5x1)--=57.2N 2
dove A = bL è larea della superficie della piastra di lunghezza Le larghezza b. Le relazioni precedenti sono state ottenute per superfici isoterme, ma possono essere utilizzate in modo approssimato anche per superfici non isoterme assumendo la temperatura della superficie costante e pari a un opportuno valore medio. Si noti inoltre che le superfici sono considerate lisce e la corrente libera non turbolenta. Quando una piastra piana invece che essere isoterma è sottoposta a un flusso termico uniforme, il numero di Nusselt locale è dato da
2
Questa forza corrisponde al peso di una massa di circa 6 kg. Quindi una persona che applicasse alla piastra una forza uguale e contraria a questa farebbe lo stes· so sforzo di quello necessario per impedire a un grave di 6 kg di cadere. Il numero di Nusselt si determina dalle relazioni per flusso laminare su piastra piana: hL
Nu =- =0.664x(4.13x10 4 ) 0·' x2870v3 =1918 ,1.
Si ottiene quindi: ,1. 0.144 2 h=-Nu=--1918=55.2W/(m -°C)
L
per flusso laminare,
2x5 , =4.13x10 242x10-e
5 T.J = 55.2
X (5 X 1) (60 -20) = 11 040 w Si noti che la trasmissione del calore awiene sempre dalla regione a più alta temperatura verso quella a temperatura più bassa. In questo caso si trasmette
ò = hA (T_ -
--a 418
dall'olio alla piastra. Poiché ì valori della forza di trascinamento e della potenza termica determinati valgono per unità di larghezza della piastra, i valori totali possono essere ottenuti moltiplicando questi per la larghezza effettiva della piastra.
CAPITOLO 12 Ln convezione forzata
b) Quando il flusso d'aria awìene secondo il lato corto L = 1.5 m, il numero dì Reynolds alla fine della piastra è: Re = w.L = L
ESEMPIO 12.2 P"m = 83.4 kPa T.=20°C 11;.,=Smls
-
ARIA-
T,= 134°C
·La pressione atmosferica locale in una città (a quota 1610 m) vale 83.4 kPa. Aria a questa pressione e alla temperatura di 20°C scorre con velocità di 8 m/s su una piastra piana di dimensioni 1.5 m per 6 m alla temperatura dì 134°C (Figura 12.16). Calcolare la potenza termica ceduta dalla piastra nel caso in cui il flusso d'aria awenga secondo il lato lungo 6 m e secondo il lato lungo 1.5 m. Soluzione Si assumono condizioni di regime stazionario e si trascura l'influenza dell'irraggiamento. Inoltre sì considera il numero di Reynolds critico pari a Re,,= 5 x 105 e l'aria un gas perfetto. Le proprietà dell'aria vanno valutate a 83.4 kPa e alla temperatura dì film di
T,;+T
134+20
2
2
T, = - - - =---=n°C=350K FIGURA 12.16 Schema per l'Esempio 12.2.
Per un gas perfetto, mentre la conducibilità termica À e il numero dì Prandtl Pr sono indipendenti dalla pressione, la viscosità cinematica è inversamente proporzionale alla pressione. Le proprietà dell'aria a 83.4 kPa e 350 K sono:
,t = 0.0297 W/(m . •e) Pr=0.706 v = 2.50x1o·'m 2
8x6
V
2.50x10-s
Re,=---=
minore del numero di Reynolds critico. Si avrà perciò flusso laminare sull'intera piastra e il numero di Nusselt medio sarà:
-1.92x10'
maggiore del numero di Reynolds critico. Si avrà perciò flusso combinato laminare e turbolento e il numero di Nusselt medio sull'intera piastra sarà:
8 m/s
À
Quindi sì avrà: À 0.0297 2 h=-NU=--410=8.12W(m · 0 C) L 1.5 Ò= hA(T5 -T_) =8.12x9x(134-20) = 8330 W
À
=[0.037 (1.92x10°) =2727
0
'
-871](0.706) V3
Quindi si avrà: À
0.0297
2
h = -Nu = - - 2727=13.5 W/(m . °C) L 6 2
A=bL=1.5x6 =9m 0= hA(T5 - T.) = 13.5x9x(134-20) = 13850 W Notare che se si fosse trascurata .la zona a flusso laminare, assumendo flusso turbolento sull'intera piastra, si sarebbe ottenuto il valore Nu = 3520 dall'Equazione 12.23 che risulta del 28 per cento più elevato rispetto al valore calcolato prima con un errore del 28 per cento nel calcolo della potenza termica trasmessa.
(a) Flusso nel verso del lato lungo
d~~~
molto minore della potenza termica determinata nel caso (a). La direzione del flusso può avere quindi un peso significativo sulla potenza termica scambiata per convezione con una superficie (Figura 12.17). Nel caso analizzato si può aumentare del 67 per cento la potenza termica scambiata semplicemente soffiando l'aria secondo il lato lungo della piastra rettangolare invece che secondo quello corto.
esempio, nei tubi di uno scambiatore di calore a tubi e mantello, dove sono presenti due tipi di flusso, il flusso interno all'interno dei tubi e il flusso esterno, entrambi importanti nella determinazione della potenza termica trasmessa. Qui di seguito si prende in considerazione solo il flusso esterno. Se come dimensione caratteristica di un cilindro o di una sfera si assume il diametro esterno D, il numero di Reynolds è: Re=
hL Nu = - =(0.037 Re~·' -871) Prv3
20°C
hL Nu = - = 0.664 Re~' Pr"" = 0.664x(4.8x10 5 ) 05 x(0.706)v3 = 410
Il flusso su cilindri e sfere è un fenomeno che si verifica molto spesso: per
a) Quando il flusso d'aria awiene secondo il lato lungo L = 6 m, il numero di Reynolds alla fine della piastra è:
li flussh ~u cilindri e sten:
8x1.5 =4.80x10' 2.50x10"5
12.5 i! IL FLUSSO SU CILINDRI E SFERE
/s
wL
V
419
~Sm/s
p
134'C
6m (b) Flusso nel verso del lato corto
FIGURA 12.17 La direzione del flusso fluido può avere
un'influenza significativa sulla trasmissione del calore per convezione.
w.D V
dove w è la velocità uniforme con cui il fluido investe il cilindro o la sfera. P~iché il numero di Reynolds critico per flusso su cilindri circolari o sfere è Re,,"' 2 x 105, lo strato limite resta laminare per Re < 2 x 105 e diventa turbolento per Re> 2 x 105. Nel flusso trasversale su cilindri il moto del fluido avviene secondo traiettorie complesse, come mostrato in Figura 12.18. Infatti, il fluido, avvicinandosi al cilindro, si ramifica racchiudendo il cilindro e formando uno strato limite che avviluppa il cilindro stesso. Le particelle di fluido nel piano di mezzeria colpiscono il cilindro nel punto di ristagno con la conseguenza che qui il fluido si arresta completamente e la pressione aumenta, mentre nella direzione del moto la pressione diminuisce e la velocità del fluido aumenta. Per velocità di corrente libera molto basse (Re < 4) il fluido avvolge completamente il cilindro e i due rami del fluido si raccordano dalla parte
FIGURA 12.18 Linee di flusso tipiche nel flusso trasversale a un cilindro.
420 f@§!
j
SM
CAPITOLO 12 La convezione forzata
Strato limi le
laminare
(a)
Flusso laminare (Re< 2 x IO'J
(b) Innesco della turbolenza (Re> 2 x 10 5)
FIGURA 12.19 La turbolenza ritarda il distacco della vena fluida.
opposta del cilindro in modo ordinato: il fluido segue, in tal caso, la curvatura del cilindro. A velocità più elevate il fluido aderisce ancora al cilindro sul lato frontale ma è troppo veloce per restarvi attaccato quando raggiunge la sommità del cilindro. In conseguenza di ciò lo strato limite si stacca dalla superficie in un punto detto punto di distacco e forma una scia dietro al cilindro. Il flusso nella zona di scia è caratterizzato dalla formazione di vortici casuali e pressioni molto più basse della pressione nel punto di ristagno. Il distacco della vena fluida avviene a circa 8"' 80° se lo strato limite è laminare e a circa e"' 140° se lo strato limite è turbolento (Figura 12.19). Il ritardo del distacco nel caso di flusso turbolento è dovuto alle rapide fluttuazioni del fluido in direzione trasversale.
Il coefficiente di resistenza Le caratteristiche del flusso su cilindri e sfere influenzano fortemente il coefficiente di resistenza CD e il coefficiente di scambio termico h. La/orza di trascinamento agente su un corpo nel flusso trasversale è dovuta a due cause: al trascinamento per attrito, dovuto agli sforzi di taglio sulla superficie, e al trascinamento per pressione, dovuto alla differenza di pressione tra la parte anteriore e posteriore del corpo quando posteriormente si forma la scia. L'alta pressfone in prossimità del punto di ristagno e la bassa pressione nella scia, dalla parte opposta, danno luogo a una forza risultante che agisce sul corpo nella direzione del flusso. A bassi numeri di Reynolds (Re< 4) la forza di trascinamento è essenzialmente dovuta all'attrito, mentre ad alti numeri di Reynolds (Re > 5000) alla pressione. Per numeri di Reynolds intermedi risultano importanti entrambe le cause. I valori dei coefficienti di resistenza medi CD per flusso trasversale su di un cilindro circolare o una sfera sono riportati in Figura 12.20. La notevole riduzione di CD per Re> 2 x 105 è dovuta alla transizione a flusso turbolento con spostamento del punto di distacco verso la parte posteriore 400 200 I'°\ 100 " ' 60 I\. 40 20 IO 1.J"' 6 4 2
' "
.....
r-
r-- ....._
I
FIGURA 12.20 Coefficiente medio di resistenza per flusso trasversale a un cilindro liscio a sezione circolare e a una sfera liscia (da Schlichting).
0.6 0.4 0.2 O.I 0.06 10-•
dove AN è larea frontale (area normale alla direzione del flusso) pari a lJ) per un cilindro di lunghezza L e rc!Y/4 per una sfera. Il coefficiente di resistenza è utilizzato comunemente anche nella vita quotidiana: i costruttori di automobili cercano di attrarre i consumatori sottolineando i bassi coefficienti di resistenza delle loro auto (Figura 12.21); le superfici delle palle da golf vengono corrugate intenzionalmente allo scopo di indurre turbolenza anche a più bassi valori del numero di Reynolds in modo da trarre vantaggio dalla marcata caduta del coefficiente di resistenza quando si sviluppa la turbolenza nello strato limite; gli aeroplani vengono costruiti a imitazione degli uccelli e i sottomarini a imitazione dei pesci per rendere minimo il coefficiente di resistenza e quindi il consumo di combustibile; gli aerei ritraggono le ruote per ridurre il coefficiente di resistenza, esattamente come gli uccelli ritraggono i loro piedi.
421
FIGURA Veicoli moderni sagomati in modo da minimizzare il coefficiente di resistenza e quindi il consumo di cu111uu>
Il coefficiente di trasmissione del calore Poiché i flussi su cilindri e sfere per il fenomeno del distacco del flusso sono difficili da trattare analiticamente, il flusso su cilindri e sfere è stato studiato sperimentalmente da numerosi ricercatori, che hanno proposto diverse correlazioni empiriche per il coefficiente di trasmissione del calore. La complessità delle traiettorie di flusso normale a un cilindro influenza pesantemente la trasmissione del calore. In Figura 12.22 si riporta la variazione del numero di Nusselt locale Nu 8 lungo la periferia di un cilindro sottoposto a flusso trasversale di aria. Si noti che: in tutti i casi il valore di Nu relativamente alto nel punto di ristagno (8 = 0°) diminuisce all'aumenti:-e di 8 in conseguenza dell'ispessimento dello strato limite laminare; nelle due curve in basso, corrispondenti a Re= 70 800 e Re= 101 300, Nu raggiunge il valore minimo a e"' 80°, che è il punto di distacco nel flu:so laminare per aumentare successivamente con in conseguenza dell'intenso mescolamento nella zona di scia; le curve in alto, corrispondenti a Re = 140 000 - 219 000, differiscono dalle due precedenti in quanto hanno due minimi per Nu 8, presentano un rapido aumento del valore di Nu 8 intorno a 8 "' 90° per effetto della transizione da flusso laminare a flusso turbolento e una successiva diminuzione di Nu 8 per effetto dell'ispessimento dello strato limite; per queste curve in alto Nu 8 raggiunge il suo secondo minimo a e"' 140°, che è il punto di distacco della vena fluida nel flusso turbolento, e successivamente aumenta in conseguenza dell'intenso mescolamento nella zona di scia. Le precedenti considerazioni sui coefficienti di scambio termico locale sono interessanti ma di scarsa utilità nei calcoli di scambio termico, poiché
e
r-
I'-
r-
del corpo e conseguente riduzione delle dimensioni della scia e quindi del valore del trascinamento per pressione. Una volta noto il coefficiente di resistenza, la forza di trascinamento agente su un corpo nel caso di flusso trasversale può essere calcolata con la relazione:
Cilindro liscio -
I
-
-
I
lì
Sfera111 I 111 IO'
ia2
\ 104
Re
io'
106
o,..__,__,__,___.~,___.__._~~
0°
40• (J
so• 120° dal punto di arresto
FIGURA 12.22 Variazione del coefficiente locale di scambio termico lungo f a i circonferenza di un cilindro circolare nel flusso trasversale di aria (da Giedt).
422
-""~ CAPITOLO 12 I.a com·ezione forza tu
la determinazione del calore trasmesso richiede la conoscenza del coefficiente di trasmissione del calore medio sull'intera superficie. Tra le numerose correlazioni disponibili in letteratura per il numero di Nusselt medio per flusso trasversale su un cilindro la più utile è quella proposta da Churchill e Bemstein:
TABELLA 12.3 Correlazioni empiriche per il numero di Nusselt medio per convezione forzata su cilindri circolari e non circolari in flusso trasversale (da Zhukauskas e Jakob) Sezione trasversale del cilindro
Campo di Re
Numero di Nusselt
Gaso liquido
0.4-4 4·40 40-4000 4000-40 000 40 000·400 000
Nu = 0.989Re"·"0 Pr 113 (12·35) Nu 0.911 ReO.Jss Pr 11l (12-36) Nu 0.683Re0·466 Pr 11l (12-37) Nu 0.193Re0 ·618 Pr 113 (12-38) Nu = 0.027Rè 805 Pr 113 (12-39)
Gas
500Q. I00 000
Nu
=0.102Re0·•7SPr 113 (12-40)
Gas
5000-100 000
Nu
=0.246Re0·5' 8 Pr113 (12-41)
Gas
500Q. I00 000
Nu = 0.153Re0·638 Pr 113 (12-42)
5000-19 500 19 500-100000
Nu Nu
Fluido
Cerchio
Questa relazione ha un campo di applicazione abbastanza vasto in quanto correla bene tutti i dati disponibili per Re · Pr > 0.2. Le proprietà del fluido sono valutate alla temperatura difilm ~= (T~ +T5)1'{., media tra la temperatura della corrente libera e quella della superficie. Per flusso su una sfera, Whitaker raccomanda la seguente correlazione:
Ni
·:,.
~ ;·=·hD = 2+ [~:::~~:J[~~~~:r;;~::(··;;J·Y4:: t .···~:2";~ .:_~:::::_..i~ .:!:..'..:.':i:~'.:.:~;~f:..~:'.'.::·· L!!{: .~·.·'8Ii~:> valida per 3.5 s; Re s; 80 000 e 0.7 s; Pr s; 380. Le proprietà del fluido in questo caso sono calcolate alla temperatura della corrente libera T , eccetto per la viscosità µ5 che viene valutata alla temperatura della superlicie T5• Le precedenti relazioni, pur essendo ritenute abbastanza accurate, possono dare luogo a errori anche del 30 per cento. Il numero di Nusselt medio per flusso trasversale su cilindri si può esprimere in forma compatta con la relazione:
=
dove n 1/3 e i valori delle costanti C ed m, determinati sperimentalmente, sono riportati nella Tabella 12.3 per cilindri circolari e per vari cilindri non circolari. Si noti che la lunghezza caratteristica D da usare per il calcolo dei numeri di Reynolds e Nusselt è quella indicata in tabella e che tutte le proprietà del fluido devono essere valutate alla temperatura di film ~ (T~ + T5 )/2. Lé relazioni precedenti sono valide per cilindri singoli, o cilindri disposti in modo tale che il flusso su ciascuno di essi non sia influenzato dagli altri. Inoltre, esse sono applicabili a superfici lisce, mentre la rngosità superficiale e la turbolenza della corrente libera possono influenzare significativamente i coefficienti di resistenza e di scambio termico. I valori dei coefficienti di resistenza e di scambio termico per fasci di tubi sono reperibili nei manuali specializzati. Si noti che lEquazione 12.34 rappresenta una alternativa più semplice all'Equazione 12.32 per flussi su cilindri, tuttavia l'Equazione 12.32 è più accurata ed è da preferire per i calcoli quando possibile.
OJ Dt . _J_ 0--Q G O] Quadrato
(ruotato di 45°)
423 ~:g:.,~2;3
Il flusso su cilindri e sfere
= = =
D
Esagono
Esagono (ruotato di 45°)
Q]
Gas
Lastra verticale
~]
Gas
4000-15 000
Nu = 0.228Re0·731 Pr 11l (12-45)
Gas
2500-15 000
Nu = 0.248Reo.m Prlil ( 12-46)
Elliss~t
=0.160Re0·638 Pr 113 (12·43) =0.0385Re0·782 Pr"l (12-44)
":··.,·Li
=
ESEMPIO 12.3 Un lungo condotto di vapore del diametro di 1O cm con temperatura superficiale esterna di 110°C attraversa un luogo aperto sprowisto di protezione contro i venti (Figura 12.23). Determinare la potenza termica dispersa dal tubo per unità di ·1unghezza quando l'aria si trova alla pressione di 101 325 Pa e 4°C e il vento soffia in direzione normale al tubo alla velocità di 8 m/s. Soluzione Questo è un problema di flusso esterno in quanto si è interessati al calore trasmesso dal tubo all'aria fluente all'esterno del tubo. Le proprietà dell'aria alla pressione di 101 325 Pa e alla temperatura di film di T, =(T. + T.)12 = (4 + 110)/2 =57°C =330 K sono
FIGURA 12.23 Schema per l'Esempio 12.3.
CAPITOLO 12 La convezione forzata
425
Il numero di Reynolds è:
À. = 0.0283 W/(m . °C) Pr= 0.708 v= 1.86 x 10-s m'/s
424
Re= w_D V
Il numero di Reynolds è:
3x0.25 -47800 1.57x10-s
Il numero di Nusselt è:
wO Re=---= V
8x0.1 1.86x1Q-s
=43011
Nu= hD =2+[0.4Rev2 +0.06Re 213 ]Pr 0·'(µ-JV'
Si ha quindi:
~
À.
5
415
r
hD
= 2 + [o.4(47 800)V'+0.06(47 800)
0.62 ReV'prV' [ ( Re )"'] Nu =;:- = 0.3 + [1 + (o.4/Pr )"' 1+ 28200 415
À. 0.0283 h = - Nu = --196.3 = 55.6 W/(m 2 • °C) 0.1
o
La potenza termica trasmessa dal tubo per unità di lunghezza dello stesso è:
Q = hA (T5 - TJ = 55.6 x 0.314 x (110-4) = 1851
213
](0.712)
0
'(
1 85 · x10- )V' 2.96x10-5
=131 dove si è sostituito µ5 = µ250"C = 2.96 x 10-S kg/(m · s) per la viscosità dinamica dell'aria alla temperatura superficiale. Quindi il coefficiente di scambio termico per convezione è:
=0. 3 + 0.62 (43011?2(0.100t [ 1 +(43011 )"'] [1+(0.4/0.708)"'f 28200 = 196.3
e
Il flusso alJ'interno di tubi
(W)
essendo A = pL = nDL = re x 0.1 x 1 = 0.314 m'. La potenza termica dispersa dall'intero tubo si può ottenere moltiplicando il precedente valore per la lunghezza del tubo in m. La. relazione più semplice per il calcolo del numero di Nusselt (Equazione 12.39) m questo caso darebbe Nu = 129, valore più basso del 34 per cento rispetto a quello ottenuto sopra con l'Equazione 12.32.
À. 0.0261 h=-Nu=--131=13.6 W/(m'-°C) o 0.25
Per stimare il tempo per il raffreddamento da 300°C a 200°c si determina la potenza termica scambiata utilizzando la temperatura superficiale media, cioè:
Qmod = hA (Ts,.-- TJ = 13.6 X 0.196 X (250 - 27) = 594 W essendo A = nD' = re x (0.25) 2 = 0.196 m•. Successivamente si calcola il calore totale trasmesso dalla sfera, che coincide con la variazione di energia contenuta nella sfera nel raffreddamento da 300°C a 200°C:
no'
n(0.25)'
m = pV =p - = 8085--- = 66.1kg 6
6 010! = mc.(T, - T,)= 66.1x480x(300-200) = 3172.8 kJ
ESEMPIO 12.4 Una sfera di acciaio inossidabile con un diametro di 25 cm [p = 8055 kg/m' 0 e = 480 J/(kg · °C)]_ viene 1?11~ ?al fo~no a una temperatura uniforme di 300°C (F igÙra 12.24). Essa viene quindi mvest1ta da un flusso d'aria a 101 325 Pa e 27°C con velocità di 3 m/s. La temperatura superficiale della sfera alla fine scende a 2oo•c. Determinare il coefficiente medio di scambio termico per convezione durante il raffreddamento e stimare la durata del processo di raffreddamento. ~oluzione
Questo è. un problema di flusso esterno in quanto l'aria fluisce als_f~ra. S1 assume la temperatura superficiale esterna della sfera uniforme m ogni 1s!a.nte e si trascura il calor!l scambiato per irraggiamento. La temperatura superf1c1ale della sfera durante Il raffreddamento varia e di conseguen~a varia pure. il coefficiente di scambio termico per convezione. Per semplificare 11 problema s1 assume, nella valutazione del coefficiente di scambio termico la temperatura della sfera costante e pari alla temperatura media di (300+200)/2 = 25o·c. Le proprietà dell'aria alla pressione di 101 325 Pa e alla temperatura della corrente libera di 27°C sono
1e~terno ?ella
--
ARIA
T~=
27'C
"~= 3 m/s
Nel precedente calcolo è stata considerata l'intera sfera a 200°c, cosa non necessariamente vera nella realtà, poiché la regione interna della sfera sarà probabilmente a una temperatura superiore rispetto alla superficie. Con l'Ipotesi fatta, il tempo di raffreddamento è:
t.t"'
?""
a....
=~=5341s=1h29min o.594
li tempo di raffreddamento si potrebbe determinare anche con l'uso dei diagrammi dei transitori termici o con le relazioni introdotte nel capitolo sui transitori termici. Le ipotesi semplificative fatte sopra possono comunque essere giustificate se si è interessati a un valore di grossolana approssimazione. È ingenuo credere che il tempo di raffreddamento sia esattamente 1 h 29 min, ma è realistico aspettarsi, con acume ingegneristico, un tempo di raffreddamento compreso tra una e due ore.
12.611 IL FLUSSO ALL'INTERNO DI TUBI
À. = 0.0261 W/(m. °C)
µ = 1.85 X 10-s kg/(m ·S) FIGURÀ 12.24 Schema per l'Esempio 12.4.
V= 1.57 x 10-s m2/s
Pr = 0.712
In molte applicazioni pratiche di riscaldamento o raffreddamento si utilizza il flusso di un liquido o un gas ali' interno di tubi o condotti. In tali applicazioni il fluido è mosso da un ventilatore o pompa all'interno di un tubo di
---426
CAPITOLO 12 La connzionc
forzata
lunghezza adeguata a realizzare lo scambio termico desiderato. Di seguito si trattano i coefficienti di attrito e di scambio termico direttamente correlati alla caduta di pressione e alla potenza termica scambiata nel flusso all'interno di tubi. Tali grandezze saranno poi utilizzate per calcolare la potenza richiesta per far muovere il fluido e la lunghezza di tubo necessaria. Si noti che esiste una differenzafondamentale tra i flussi interni e quelli esterni: nel flusso esterno il fluido ha una superficie libera e lo strato limite sulla superficie è libero di crescere indefinitamente, mentre nel flusso interno, poiché il fluido è completamente confinato dalle superfici interne del tubo, esiste un limite all'aumento dello strato limite.
(b)
Ideale
FIGURA 12.25 Profili di velocità, reale e ideale, per flusso in un tubo (la portata di massa del fluido è la stessa per entrambi i casi).
(a)
(b)
lf·· Reale
Ideale
FIGURA 12.26 Profili di temperatura, reale e ideale, per flusso in un tubo (la potenza trasportata con il fluido è la stessa per entrambi i casi).
427
ro (ad esempio, resistenza elettrica di riscaldamento), si ricorderà che l'equazione della conservazione dell'energia per flusso stazionario di un fluido in un tubo si può esprimere come (Figura 12.27)
~-'<»?;:s
~
Z"""(;:·..:·7ff"'rc.Tìs)' • p •.
• . .. . ..
':'%' ..,. ·;"
'"w·
.
Poiché in un tubo la velocità del fluido varia da zero sulla parete fino al valore massimo sull'asse del tubo, nel caso di flusso di fluidi all'interno di tubi conviene riferirsi a una velocità media wm, che nel flusso incompressibile rimane costante se larea della sezione trasversale del tubo è costante. Nelle applicazioni pratiche di riscaldamento e raffreddamento la velocità media può cambiare a causa della variazione della densità con la temperatura, per cui conviene valutare le proprietà del fluido in corrispondenza di un valore medio della temperatura e considerarle costanti. La semplificazione ottenibile considerando costanti le proprietà dei fluidi generalmente ripaga della piccola perdita di precisione. Il valore della velocità media wm si determina imponendo il principio della conservazione della massa (Figura 12.25), vale a dire che la portata di massa ricavata usando la velocità media deve coincidere con la portata di massa reale:
=
. -
=
(12.49)
Quando un fluido che scorre all'interno di un tubo viene riscaldato o raffreddato, la sua temperatura in una data sezione trasversale varia da T5 , in corrispondenza della parete, a un valore massimo (o minimo nel caso di riscaldamento) al centro del tubo. Nel flusso di fluidi conviene lavorare con un valore medio Tm della temperatura costante nella sezione trasversale, anche se variabile nella direzione del flusso, indipendentemente dal fatto che il fluido si riscaldi o si raffreddi. Il valore della temperatura media Tm viene determinato imponendo il soddisfacimento del principio di conservazione dell'energia. Infatti, l'energia trasportata dal fluido attraverso la sezione trasversale nel flusso reale deve uguagliare lenergia trasportata attraverso la stessa sezione trasversale del fluido a temperatura costante Tm (Figura 12.26):
dove h è il coefficiente di scambio termico locale e T5 e Tm sono le temperature medie della superficie e del fluido in quella sezione. Si noti che la temperatura media del fluido T nel caso di un fluido che scorre in un tubo in presenza di riscaldamento o";-affreddamento varia. Per cui, supponendo h = costante, se q5 = costante deve cambiare la temperatura superficiale T5 e se T5 = costante deve cambiare il flusso termico superficiale q5 • Sulla superficie di un tubo, quindi, si può avere T5 costante oppure q5 = costante ma non entrambe le condizioni.
=
Il flusso termico superficiale costante (q5 =costante) Nel caso di
(12.47) dove c è il calore specifico del fluido ed m è la portata di massa. Si noti che il prodotto pTm in ogni sezione trasversale del tubo rappresenta il
mc
i/s
di tubi
-·-
dove p è la densità del flu_ido e A, è l'area della sezione trasversale, pari ad A, = ;r D2/4 per un tubo circolare.
l
Il flusso all'interno
'}12:48),
dove T1 e r. sono le temperature medie del fluido all'ingresso e all'uscita del tubo, rispettivamente, e Q è la potenza termica scambiata con il fluido. Si noti che, in assenza di scambi di energia attraverso le pareti, la temperatura di un fluido che scorre in un tubo resta costante. L'attrito tra gli strati di fluido in un tubo dà luogo a un leggero aumento di temperatura del fluido per effetto della conversione di energia meccanica in energia termica. Poiché questo riscaldamento d'attrito è di entità trascurabile si può ipotizzare che in assenza di scambio termico non vi sia differenza tra la temperatura di ingresso e quella di uscita di un fluido che scorre in un tubo, vale a dire che la variazione di temperatura nel fluido. è dovuta a scambio termico. Le condizioni termiche sulla superficie di un tubo possono essere approssimate con buona precisione ritenendo la temperatura superficiale costante (T5 costante) o il flusso superficiale costante ( q5 costante): per esempio, la condizione di temperatura superficiale costante sulla superficie esterna di un tubo si ha durante un processo di cambio di fase come l'ebollizione o la condensazione; la condizione di flusso termico superficiale costante si ha quando il tubo è riscaldato, per irraggiamento o con resistenza elettrica, in modo uniforme in tutte le direzioni. Il flusso termico per convezione in un dato punto si può calcolare con la relazione:
Considerazioni generali (a) Reale
flusso di energia del fluido in quella sezione. In assenza di scambi di lavo-
=costante, la potenza termica è data dalla relazione:
La temperatura media del fluido all'uscita dal tubo risulta, quindi:
Bilancio di energia: Q= tnC,(T,-T1)
FIGURA 12.27 La potenza termica fornita a un fluido che scorre in un tubo è pari all"aumemo
di energia nel fluido.
428
429
(12.54)
CAPITOLO 12 La convezione forzata
Si noti che la temperatura media del fluido aumenta linearmente nella direzione del flusso nel caso di flusso termico costante, poiché larea della superficie aumenta linearmente nella direzione del flusso (A è uguale al perimetro, che rimane costante, per la lunghezza del tubo). La temperatura superficiale, in questo caso, si può determinare dalla relazione <Ì = h (Ts -Tm). Si noti che, se h è costante, anche Ts - T,. è costante e, quindi, la temperatura superficiale aumenterà linearmente nella direzione del flusso (Figura 12.28). Naturalmente ciò è vero se si considera il calore specifico cP costante trascurandone la variazione con la temperatura.
eis= costante
Per la legge di Newton sulla convezione la potenza termica scambiata da
un fluido che scorre in un tubo è:
(12.52)
FIGURA 12.28 Variazione della temperatura della supelficie del tubo e di quella media del fluido lungo un tubo nel caso di flusso termico superficiale costante.
dove h è il coefficiente medio di scambio termico per convezione, A è l'area della superficie di scambio termico (pari a 1CDL per un tubo circolare lungo L) e dTmcdia è una differenza media di temperatura tra il fluido e la superficie. Nel caso di temperatura superficiale costante Ts =costante, dTmedia può essere ritenuta con approssimazione eguale alla differenza media aritmetica di temperatura dTma: (Ts -T;)+(Ts -Tu)
2 -T - (J; +Tu) -1'. -T
-s
FIGURA 12.29 Scambi energetici per un volume Ji controllo infinitesimo in un tubo.
2
-s
d(Ts -Tm) Ts-Tm
(12.53)
mf
dove Tmf = (~ +T)/2 è la temperatura media della massa fluida, che è la media aritmetica delle temperature medie del fluido nella sezione di ingresso e di uscita del tubo. Si noti che la differenza media aritmetica di temperatura dT è semplicemente la media delle differenze di temperatura tra la supei'.ficie e il fluido all'ingresso e all'uscita dal tubo. Alla base di questa definizione sta l'ipotesi che la temperatura media del fluido vari linearmente lungo il tubo, ipotesi pesante anche nel caso di T5 = costante. Quando questa semplice approssimazione non dà risultati accettabili, serve un criterio migliore per calcolare dTmcdi•' Si consideri il riscaldamento di un fluido in un tubo di sezione trasversale costante e con superficie interna mantenuta alla temperatura costante T . La temperatura media del fluido nella direzione del flusso aumenterà in c01:seguenza dello scambio termico. Il bilancio di energia riferito al volume di controllo infinitesimo mostrato in Figura 12.29 si esprime con la relazione:
_ hp dx mcP
Il flusso all'interno di tubi
T
(12.55)
Integrando da x =O (ingresso del tubo Tm = T1) a x = L (uscita del tubo Tm = T) si ottiene: In Ts -Tu Ts -T;
La temperatura superficiale costante (T8 =costante) O'----'---------L+--x
Infatti, l'aumento di energia nel fluido (rappresentato da un aumento nella sua temperatura media dT'") è pari al calore trasmesso al fluido dalla superficie del tubo per convezione. Osservando che l'area della superficie infinitesima è dA=pd.x con p perimetro del tubo e che dTm = - d(Ts- Tm), essendo T5 costante, la relazione precedente diventa:
~..;-'%n
=-
hA mcP
(12.56)
(Tm approssima 7; asintoticamente) X
=
dove A pL è l'area della superficie del tubo e h è il coefficiente medio di scambio termico per convezione. Facendo l'esponenziale di entrambi i membri e risolvendo rispetto a Tu si ottiene la seguente relazione, molto utile, per il calcolo della temperatura media del fluido all'uscita dal tubo:
La stessa relazione può pure essere utilizzata per calcolare la temperatura media del fluido T (x) a una distanza intermedia x sostituendo A =pL con px. Si noti che l; differenza di temperatura tra il fluido e la superficie diminuisce esponenzialmente nella direzione del flusso e la rapidità della diminuzione dipende dalla grandezza dell'esponente hA/mcp' come mostrato in Figura 12.30. Questo parametro adimensionale, indicato con NTU, è detto numero di unità di trasferimento e rappresenta una misura dell'ef· ficienza delle apparecchiature di scambio termico. Per NTU > 5 la temperatura di uscita del fluido diventa quasi uguale alla temperatura della superficie, T """T (Figura 12.31). Si noti inoltre che la temperatura del fluido può tende;e a quella della superficie ma non può oltrepassarla, un valore NTU di circa 5 indica che il limite per lo scambio termico è stato raggiunto e il calore scambiato non aumenterà ulteriormente per quanto lungo si faccia il tubo. Un valore bàsso di NTU, d'.altra parte, indica che un aumento di lunghezza del tubo ha una notevole influenza sullo scambio termico. Un valore elevato di NTU e quindi un valore elevato dell'area della superficie di scambio termico (che significa un tubo grande) può risultare desiderabile dal punto di vista dello scambio termico ma può risultare inaccettabile dal punto di vista economico. Risolvendo l'Equazione 12.56 per cp si ha
FIGURA 12.30 Variazione della temperatura media del fluido lungo un tubo nel caso di temperatura superficiale costante.
NTU = hA I mcp 0.01 0.05 O.IO 0.50 I.O 5.0 IO.O
T,. °C
20.8 23.9
27.6 51.5 70.6 99.5 100.0
m
hA In Ts -Tu Ts -T; e sostituendo nell'Equazione 12.50, si ottiene:
(12.58)
FIGURA 12.31 Valori di NTU maggiori di 5 indicano che il fluido che scorre in un tubo raggiungerà all'uscita la temperatura della superficie indipendentemente dalla temperatura di ingresso.
430
Q=hA.6.1;
CAPITOLO 12 La convezione forzata
.a.i;.
dove
Tu -T; liT. -liT; InTs-Tu. ln(liT./liT;)
(12.60)
ls~1ì.. è la differenza media logaritmica di temperatura. Notare che /iT. = T T, e liT. = T5 - T. sono le differenze di temperatura tra la superdcie iJ il
R~~
·····~·-"-'"
• (b) Resistenza tennica
(e) Resistenza elettrica
FIGURA 12.32
Le resistenze al moto del fluido, alf/usso termico e al flusso di corrente producono rispettivamente riduzioni di pressione, di temperatura e di tensione nella direzione del moto.
~I~ ~;~:~ ,~~1,m,: >,,'.· . . .. ~ ~~ùi~i
dove f è il fattore di attrito. La potenza di pompaggio richiesta per vincere una data caduta di pressione L\p è fornita dalla relazione:
·-·--··- ·..,-..--
SOV
--- ......_ ··2-"'"'"'"-··----·--·· - -·--.- - 2
_L\p
··
·
: dove
~- -·...,,----~· -·-tii3j}~---~-~---------~
. ~t;=v!ip=-
.. ·
V =wmA, =1h/p
': ...
p
'(W)
'
"(12.62) ':'· . ·1
è la portata volumetrica di fluido attraverso il tubo.
I regimi di flusso in un tubo Il flusso in un tubo può essere laminare o turbolento. Il tipo di flusso in un tubo può essere verificato sperimentalmente iniettando una piccola quanti-
(a)
Flusso laminare
(b)
Flusso turbolento
<
· Re 230 4000
flusso turbolento_,_'
~--''.
;-
La transizione da flusso laminare a turbolento in un tubo è abbastanza differente da quella che si verifica nel caso di flusso su piastra piana, dove il numero di Reynolds è nullo al bordo d'attacco e aumenta linearmente nella direzione del flusso. Nel caso di flusso su piastra piana, il flusso parte laminare e diventa turbolento quando viene raggiunto il numero di Reynolds critico, per cui si ha in parte flusso laminare e in parte turbolento. Nel flusso all'interno di un tubo, invece, il numero di Reynolds è costante e il flusso risulta o laminare o turbolento sull'intera lunghezza del tubo.
Nell'analisi del flusso all'interno di tubi una grandezza interessante è la caduta di pressione lip lungo il percorso, perché essa è legata direttamente alla potenza richiesta dal ventilatore o dalla pompa per sostenere il flusso. La caduta di pressione nel flusso in un tubo di lunghezza L è espressa (Figura 12.32) dalla relazione:
....
(12.63)
dove wm è la velocità media del fluido e v è la viscosità cinematica del fluido. Il numero di Reynolds costituisce un utile criterio per determinare il regime di flusso in un tubo sebbene abbiano notevole influenza anche la rugosità della superficie del tubo e le fluttuazioni del flusso. Il valore generalmente accettl)to per il numero di Reynolds critico per flusso all'interno di tubi è 2300, per cui si ha:
La caduta di pressione
(a) Resistenza al moto
}vmv···
Il flusso all'interno di tubi
.V
fluido rispettivamente all'ingresso e all'uscita dal tubo. La relazione precedente per liT.10 sembra predisposta per indurre in errore, ma in realtà è difficile sbagliare, perché usare T. al posto di T e viceversa al numeratore o al denominatore influenza al m~ssimo il segn~ ma non il valore assoluto. Si noti che ~a li~. può essere impiegata sia per il riscaldamento (T5 > T, e T) che per Il raffreddamento (T5 < T, e T ) di un fluido in un tubo. La differenza media logaritmica di t~mperatura liT è stata ottenuta considerando il reale profilo di temperatura del fluido Judgo il tubo e fornisce lesatta differenza media di temperatura tra il fluido e la superficie poiché tiene conto dell'effettiva diminuzione esponenziale della differen~ za locale di temperatura. Si noti che lerrore che si commette utilizzando la differenza media aritmetica di temperatura è minore dell' 1 per cento quando liT. differisce da liT, meno del 40 per cento, ma questo errore aumenta sino a valori inaccettabili quando liT differisce molto da !iT.. In questo caso è obbligatorio usare la differenz~ media logaritmica di temperatura per determinare la trasmissione di calore per convezione in un tubo con superficie a temperatura costante T5 •
__..,;, l l/IMM>i'-'----17 35 l:Pa
·BI
tà di fluido colorato nella corrente principale, come fece Reynolds nel 1880. La vena di fluido colorato è retta e liscia nel flusso laminare, come mostrato nella Figura 12.33, majluttua rapidamente e casualmente nel flusso turbolento. Il numero di Reynolds per flusso in un tubo circolare di diametro D è:
(12.59~
0
La lunghezza d'ingresso idrodinamica e termica
,,t i
I ì
Si consideri un fluido che entra in un tubo circolare con velocità uniforme. Come nel caso di flusso esterno, le particelle di fluido a contatto con la parete interna del tubo si arresteranno completamente. Tale strato di fluido provocherà un rallentamento degli strati adiacenti a causa dell'attrito. Per rendere possibile questa riduzione di velocità il fluido nella zona centrale del tubo deve accelerare per conservare costante la portata di massa di fluido nel tubo. Ne consegue che lungo il tubo si sviluppa uno strato limite di velocità. Lo spessore di questo strato limite aumenta nella direzione del flusso fino a quando, raggiungendo lasse del tubo, non riempie tutta la sezione del tubo stesso, come mostrato in Figura 12.34. La regione compresa tra la sezione d'ingresso nel tubo e la sezione dove lo strato limite raggiunge l'asse del tubo è detta regione d'ingresso idrodinamica e la sua lunghezza viene detta lunghezza d'ingresso idrodinamica L,. La regione oltre quella d'ingresso idrodinamica, nella quale il profilo di velocità risulta completamente sviluppato e resta costante, viene detta regione idrodinamicamente sviluppata. Il profilo di velocità nella regione idrodinamicamente sviluppata risulta parabolico nel flusso laminare e alquanto piatto nel flusso turbolento.
FIGURA 12.33
Comportamento del fluido color.no iniettato nella corrente nel caso di
mt""1to
laminare e turbolento in un tubo.
-------------------
---~
---- ----
T 432 'f'Wf'f1?f7&7fWC1t'"M CAPITOLO 12
I
La convezione forzata
Regione di ingresso idrodinamica
- - - - - i l - - - - Regione idrodinamicamente sviluppata
I
coincidono. Per fluidi con Pr >> 1, come gli oli, lo strato limite di velocità supera quello di temperatura. Ne consegue che la lunghezza d'ingresso idrodinamica è più piccola della lunghezza d'ingresso termica. L'opposto vale per fluidi con Pr << I, come i metalli liquidi. Le lunghezze d'ingresso termica e idrodinamica nel flusso laminare sono approssimativamente date dalle relazioni: ~
..,,
-
,,>-.,,_
Si consideri ora un fluido a temperatura uniforme che entra in un. tubo circolare che si trova a temperatura differente. In questo caso le particelle di fluido a contatto con la superficie del tubo assumeranno la stessa t~mpe ratura della superficie con il consegue~te inizio. della trasmis~io~e d1 c~o re per convezione nel tubo e dello sviluppo d1 uno strato limite .tem:1co lungo il tubo. Lo spessore di questo strato limite aumenterà nella d~.z1one del flusso finché non raggiungerà il centro del tubo occupando I 1~tera sezione trasversale del tubo, come mostrato in Figura 12.35. La regione nella quale Io strato limite termico si sviluppa fino a raggiun?ere il ce.ntro del tubo è detta regione d'ingresso termica e la lunghezza d1 tale reg10ne viene detta lunghezza d'ingresso termica L,. La regione che ~egue 9uella d'ingresso termica, nella quale il profilo di temperatura a.d1mens10nal.e (T - T5 )/(Tm - T5 ) resta costante: viene d~tta regi~ne ter~c~men~e s~ luppata. La regione nella quale ti flusso nsulta sv!luppato sia 1~odmanu camente che termicamente è detta di flusso completamente sviluppato. Si noti che il profilo di temperatura nella regione termicamente svil~p pata può cambiare con la dista~za x n~l!a .?irezione ~e! flusso. Vale a d1~e che diversamente dal profilo d1 veloc1ta, il profilo d1 temperatura può nsult~e diverso in corrispondenza di differenti sezio~ trasversa!~ del tubo, come accade di solito. Tuttavia, si può mostrare che ti profilo d1 temper~ tura adimensionale definito prima rimane invariato nella regione termicamente sviluppata quando la temperatura o il flusso termico sulla superficie del tubo restano costanti. . , Nel flusso laminare in un tubo il valore del numero d1 Prandtl e un~ misura dell'accrescimento relativo degli strati limite di temperatura e d1 velocità. Per fluidi con Pr"' 1, come i gas, i due strati limite praticamente
Strato limite di temperatura
di tubi
"I""""%_-,,_.,
z"0.05RePrD
i' '
• • (12.64) ~,-.:,.i=•..:>:_,~...._~- ...._,,fn,.._~,J._,~~.,._;-y,_~~~x"~-~~~-;.:..c.;;~;;,,;.;n>"""".......... ~"-.o;:,,,,_....,. •»,.~.-.t ·, __ ._
Nelflusso turbolento, le lunghezze d'ingresso termica e idrodinamica sono ritenute indipendenti da Re o Pr e generalmente sono assunte pari a
II coefficiente di attrito è legato allo sforzo di taglio sulla superficie, che h risulta legato alla pendenza del profilo di velocità sulla superficie. Poiché o nella regione idrodinamicamente sviluppata il profilo di velocità resta co- / stante, risulterà costante anche il coefficiente d'attrito. Un'analoga affermazione può essere fatta per il coefficiente di scambio termico nella regione termicamente sviluppata. Si può quindi affermare che i coefficienti di
attrito e di scambio termico restano costanti nella regione di flusso completamente sviluppato.
Si consideri un fluido che venga riscaldato (o raffreddato) in un tubo mentre scorre all'interno di esso. Il fattore d'attrito e il coefficiente di scambio termico assumono i valori più elevati all'ingresso nel tubo, dove lo spessore dello strato limite è nullo, e diminuiscono gradualmente fino ai valori corrispondenti al flusso completamente sviluppato, come mostrato in Figura 12.36. Si può quindi affermare che la caduta di pressione e il flusso termico sono maggiori nelle regioni di ingresso di un tubo e che l'effetto della regione d'ingresso è sempre quello di aumentare i coefficienti d'attrito e di scambio termico relativi a tutto il tubo. Tale aumento risulta significativo per i tubi corti e trascurabile per quelli lunghi. In letteratura sono disponibili correlazioni precise per i coefficienti d'attrito e di scambio termico nella regione d'ingresso. I tubi impiegati nella pratica in convezione forzata, tuttavia, sono di solito lunghi diverse volte la lunghezza della i;-egione d'ingresso, per cui il flusso nei tubi è considerato turbolento completamente sviluppato per l'intera lunghezza del tubo. Questo approccio, che sarà utilizzato per semplicità anche in questo testo, fornisce risultati ragionevoli per tubi lunghi e conservativi per tubi corti.
Profilo di temperatura
11 flusso laminare all'interno di tubi FIGURA 12.35 Sviluppo dello strato limite di temperatura in un tubo. (Il fluido dentr0 il tubo è raffreddato.)
Il flusso all'interno
, L;:Jimi,,.;. iO.O? ReD
,L'·'.
FIGURA 12.34 Sviluppo dello strato limite di velocità in un tubo. (Il profilo di velocità sarà parabolico nel flusso laminare ma piuttosto smussato nel flusso turbolento.)
":r-·::~"'f"Y"""
433
Il flusso all'interno di tubi lisci risulta laminare per Re < 2300. Poiché la teoria per il flusso laminare è ben consolidata, entrambi i coefficienti, di attrito e di scambio termico, per flusso laminare completamente sviluppato in tubi lisci circolari, possono essere determinati analiticamente risolvendo le equazioni differenziali che descrivono il fenomeno. Combinando le
~ '
' Regione •' -..;..... : Regione• completamente ~·m~ sviluppata
FIGURA 12.36 Variazione del coefficiente d'attrito e di quello di scambio termico per convezione nella direzione del moto per flusso in un tubo (Pr > I).
------·. - -· ·-
434 CAPITOLO 12 La t·um·czionc forLnta
i
equazioni di conservazione della massa e della quantità di moto nella direzione assiale del tubo e risolvendole con le condizioni al contorno di velocità nulla (no-slip) sul contorno e profilo di velocità simmetrico intorno ali' asse del tubo, si ottiene il seguente profilo parabolico di velocità per il flusso laminare idrodinamicamente sviluppato: w(r)
=2wm(l- ;: J
=-µdwl dr
2µwm(- R2~)
=8µwm
=r=R
(12.67)
D
r=R
Sezione trasversale di tubo
pw2
8µwm
2
16µ
16
1 =---r;- pw! = pwmD =Re
(12.69)
Il fattore d'attrito/, che è il parametro che serve per il calcolo della caduta di pressione, è legato al coefficiente d'attrito C1 da/= 4 Cr Quindi,
~:,:_:;~_::z:~~~:~:-~iZ:.!!2~usso Iarnir1w~) • "'--"-·''"
Flusso laminare completamente sviluppato
Si noti che il fattore di attrito f è legato alla caduta di pressione nel fluido, mentre il coefficiente di attrito C è legato direttamente alla forza di 1 trascinamento agente sulla superficie. Naturalmente, questi due coefficienti risultano l'uno multiplo dell'altro. Il numero di Nusselt nella regione di flusso laminare completamente sviluppato in un tubo circolare viene detenninato in modo analogo partendo dall'equazione di conservazione dell'energia (Figura 12.37): Nu = 3.66 per T5 =costante (flusso laminare) Nu = 4.36 per q5 =costante (flusso laminare). Una relazione generale per calcolare il numero di Nusselt medio nel caso di flusso laminare che si sviluppa idrodinamicamente e tennicamente in un tubo circolare è data da Sieder e Tate:
e FIGURA 12.37 Nel flusso laminare in un tubo con temperatura superficiale costante, sia il coefficiente di attrito che quello di scambio tennico rimangono costanti nella regione di moto completamente sviluppata.
Numero di Nusselt T,=cost
q, = cost
Fattore di attrito
f
-
3.66
4.36
64.00/Re
Esagono
-
3.35
4.00
60.20/Re
-
2.98
3.61
56.92/Re
2.98 3.39 3.96 4.44 5.14 5.60 7.54
3.61 4.12 4.79 5.33 6.05 6.49 8.24
56.92/Re 62.20/Re 68.36/Re 72.92/Re 78.80/Re 82.32/Re 96.00/Re
3.66 3.74 3.79 3.72 3.65
4.36 4.56 4.88 5.09 5.18
64.00/Re 67.28/Re 72.96/Re 76.60/Re 78.16/Re
1.61 2.26 2.47 2.34 2.00
2.45 2.91 3.11 2.98 2.68
50.80/Re 52.28/Re 53.32/Re 52.60/Re 50.96/Re
G
(12.68)
-C - ! --'"2
con C coefficiente d'attrito. Combinando le Equazioni 12.67 e 12.68 e 1 ricavando cl si ha
c
alb
08°
C=hlo@
Per lo sforzo di taglio si ha anche la seguente definizione pratica: Ts
435 Il flusso all'interno
di tubi
(12.66)
dove w è la velocità media de/fluido ed R è il raggio del tubo. Si noti che la velocltà massima si ha al centro del tubo (r =O) e vale w = 2 w . Noto il profilo di velocità, lo sforzo di taglio in corrispondenza d~lla pi:ete del tubo è: '
TABELLA 12.4 N';'S5elt_e f~ttore di at?'ito per flusso laminare completamente sviluppato m tubi d1 Yanesez1oru trasversali (D.= 4A/p, Re= w.D/v e Nu = hD/À) ~urne~~
Quadrato
[}] a
Rettangolo
[]]j I·
.. j
a
alb I 2 3 4 6 8 00
Ellisse /h!f';~~ '·:'~ -· ~·-, ,,.,, b
1\.:z '. '-" a
--~ . 8
::;fl{ff~ ..-; ~.
alb -!-
2 4 8 16
8
JOO 30° 600
90• 120°
i 436 CAPITOLO 12 La convezione forzata
o. l
Tutte le proprietà del fluido sono valutate alla temperatura media della massa fluida, eccetto per µ che viene valutata alla temperatura della superficie. 5 I valori del numero di Nusselt Nu e del fattore d'attrito/son o riportati nella Tabella 12.4 per flusso laminare completamente sviluppato in tubi di varie sezioni trasversali. I numeri di Reynolds e Nusselt per il flusso in tali tubi sono riferiti al diametro idraulico Dh:
0.09
o.o8 o.o 7
=
Il flusso nei tubi lisci è turbolento per Re > 4000. Nella pratica il flusso turbolento viene utilizzato perché permette di ottenere valori più elevati dei coefficienti di scambio termico. La maggior parte delle correlazioni per i coefficienti d'attrito e di scambio termico nel caso di flusso turbolento è basata su studi sperimentali per le difficoltà di carattere teorico. Per i tubi lfsci il fattore d'attrito nel caso di flusso turbolento completamente sviluppato può essere determinato coQ la relazione:
'
0.05
-+:;,
=
-
"
I· I
--
I
"-
~
0.03 0.025
'
:i;t=:
~~ 1--,..,
La sostituzione della relazione di f dall'Equazione 12.73 nell'Equazione 12.74 fornisce la seguente relazione per il numero di Nusselt per flusso
turbolento completamente sviluppato in tubi lisci:
0.009 0.008
'.
I ! J l!IJ 11111
• 11
I
I
ì
Il - --
0.03 Il
'
' ''
'
''
O.O! 0.008 0.006 0.004
'
0.002
'
I
8:8&\8
I
I
I I•
I I
I
-
I
:o-...1
I
''
...
11
....:..:.
,'
-;...
I
N,..,l
ifD
IJI
ID= 0.00000\
s lOS
'11
I
11
Tubi lisci
IO' 2(10l > 3 4 S 6 8 104 200'> 3 4 S 6
0.02 0.015
l I
I
e.cm 0.03-0.3 Ghisa 0.026 Ferro zincato 0.015 Acciaio commerciale 0.0045 Tubo trafilato 0.00015
0.05 0.04
•.i'''
'I
=
I
'
I
I'
I
'
Cemento
200'> 3 4 5 6
s
IO• 2(10') 3 4
"
s6
0.0006 0.0004
11
0.0002
.
0.0001
' J i 1I '
O.OOOOÒS '
I!
-
~
0.00005
I 1 I I
8 IO' 2(107 >3 4
s6
0.00001
8 IO'
Numero di Reynolds Re
che è nota come equazione di Colburn. La precisione di questa equazione può essere aumentata modificandola come segue - ~ -···-N·--~~o. 0··2;3:.,;;:-R, ;:~~-Pr-: (0:7S~rs100)
e
""
•i
'
,,
•
(12.76)
•,
.· , Re>lOOOO •
~-
"4.Z~
,,..._.
dove n = 0.4 per il riscaldamento e 0.3 per il raffreddamento di un fluido che scorre in un tubo. Questa equazione è nota come equazione di DittusBoulter e viene preferita a quella di Colburn. Le proprietà del fluido sono valutate alla temperatura media della massa fluida T = (T. + T )/2, che è la media aritmetica delle temperature medie del fluidb nell~ sezioni di ingresso e uscita dal tubo. Le relazioni precedenti non sono molto sensibili alle condizioni tenniche sulle superfici del tubo e possono essere impiegate sia per il caso di T5 =costante che per quello di q5 =costante. Nonostante la loro semplici~ le equ~zi?~i precedenti danno risulta~i.abbastanza accurati per molti scopi mgegnensuc1. Esse possono essere utihzzate per ottenere stime approssimat~ del f~tt?re di attrito e del coefficiente di scambio termico nella region? trans1Z1one 2300 < Re < 4000, specie se il numero di Reynolds è più v1cmo a 4000 che a 2300. Il numero di Nusselt per supeifici rugose può anche essere deternùnato dall'Equazione 12. 74 sostituendo il valore del fattore di attrito f deter-
?1
(12.75)
I
Il
.....
0.015
.... ""=
~,:~~F~~ar~~~~~~~2:~i0~r&~1~
I I T
',._
0.02
U- •
Il fattore di attrito per flusso in tubi con supeifici sia lisce che rugose, per un ampio campo di valori del numero di Reynolds, è fornito dal diagramma in Figura 12.38, noto come diagramma di Moody. Si noti che il fattore di attrito e cosl la caduta di pressione per flusso in tubi può variare molto in conseguenza della rugosità della superficie. Il numero di Nusselt in flusso turbolento è legato al fattore di attrito dalla famosa analogia di Chilton-Colb urn espressa come
11111111
'
I'
f
Yuib~l~~za ~o~p/eia~ t J~i ~~6~\
,,
437
I
'
1
·I'
Il
O.ot
Il flusso turbolento all'interno di tubi
'
Zona di
I I
0.06
0.04
dove A è !'area della sezione trasversale del tubo e p il suo perimetro. La definizione del diametro idraulico è tale da ridursi al diametro D ordinario per tubi circolari, essendo A,= TCD2/4 e p=TCD. Una volta noto il numero di Nusselt, il coefficiente di scambio ternùco per convezione si deternùna con la relazione h .il.Nu!Dh. Per una determinata area superficiale risulta che il tubo circolare assicura la maggiore trasmissione di calore con la minima caduta di pressione. Questo spiega l'enorme popolarità dei tubi circolari nelle apparecchiature di scambio ternùco. L'influenza della rugosità superficiale sul fattore d'attrito e sul coefficiente di scambio termico nel flusso laminare risulta trascurabile.
Flusso Zona
1 laminare p "tica itransizioill'
FIGURA 12.38 Coefficiente di attrito per flusso completamente sviluppato in tubi circolari (diagramma di Moody).
'E
·~
:i:
438 CAPITOLO 12
La com·ezione forzata
~ ~ (a) Superficie alettata
(b) Superficie rugosa
FIGURA 12.39 Le superfici dei tubi spesso vengono
irruvidite, corrugate o alettate per aumentare il coefficiente di scambio temùco per convezione.
minato dal diagramma di Moody. Si noti che i tubi con superfici rugose presentano coefficienti di scambio termico maggiori dei tubi con superfici lisce. Pertanto, le superfici dei tubi spesso vengono irruvidite, corrugate o alettate per aumentare il coefficiente di scambio termico per convezione e di conseguenza la potenza termica scambiata per convezione (Figura 12.39). La trasmissione del calore in flusso turbolento in un tubo è stata aumentata fino al 400 per cento irruvidendo la superficie. L'irruvidimento della superficie, naturalmente, comporta pure laumento del fattore di attrito e quindi della potenza richiesta alla pompa o ventilatore. Le precedenti relazioni per flusso turbolento si possono usare anche per condotti non circolari, con ragionevole accuratezza, sostituendo il diametro D con il diametro idraulico Dh = 4A/p nel calcolo del numero di Reynolds.
4s = h(Ts -
439
~ Ts = Tm + 4, h
. o
di tubi
I •
34.6 q5 =-=--=73.46kW m 0.471
A
Per determinare il coefficiente di scambio termico bisogna determinare prima la velocità media dell'acqua e il numero di Reynolds: li
1.667x10...
A1
7.069x10_,
w =-m
=0.236m/s
Re= wmD _ 0.236x0.03 = 10760 0.658x10_. V Poiché il valore del numero di Reynolds è maggiore di 4000, il flusso è turbolento e la lunghezza d'ingresso vale circa
In un tubo lungo 5 m e di diametro interno 3 cm scorre acqua che deve essere riscaldata da 15°C a 65°C (Figura 12.40). Il tubo è dotato di una resistenza elettrica che prowede al riscaldamento uniforme attraverso la superficie del tubo. La superficie esterna del riscaldatore è ben isolata in modo che in condizioni stazionarie tutto il calore generato dal riscaldatore viene trasmesso all'acqua nel tubo. Se il sistema deve fornire 1O l/min di acqua calda, determinare la potenza che deve erogare la resistenza elettrica. Calcolare anche la temperatura della superficie interna del tubo all'uscita.
molto più piccola della lunghezza totale del tubo. Si può dunque considerare il flusso turbolento completamente sviluppato in tutto il tubo e determinare il numero di Nusselt con la relazione:
p = 994 kg/m' A. =0.628 W/(m · °C) v = 0.658 x 1o-< m2/s
Il flusso all'interno
dove h è il coefficiente di scambio termico e Tm è la temperatura media del fluido in quel punto. Il flusso termico superficiale in questo caso è costante e risulta essere:
ESEMPIO 12.5
Questo è un problema di flusso interno in quanto l'acqua scorre Soluzione all'interno del tubo. Si ipotizza il tubo liscio e le condizioni stazionarie. Le proprietà dell'acqua alla temperatura media del fluido T'"' = (T, + T)12 = 40°C sono
L;=L,=10D=0.3m
0 0 Nu = !!!!_= 0.023 Re0 ' Pr•·• = 0.023(10760) ·'(4.34) · = 69.5 4
A.
Dal valore del numero di Nusselt si ha: 0.628 A. h=-NU=--69.5=1455 0.03 D
W/(m'. °C)
La temperatura superficiale del tubo all'uscita è:
c.
----sm--I
Tm)
=4178J/(kg·°C) Pr = 0.712
T =T + '
m
4• =65+ 73460 =115°C h
1455
1
FIGURA 12.40
Schema per l'Esempio 12.5.
Le aree della sezione traversale e della superficie di trasmissione del calore sono
A,= {irD2 = {ir(0.03) 2= 7.069x10 ... m' A= pL = irDL = ir0.03 x 5 = 0.471 m' La portata volumetrica di acqua è data da li= 1Ol/min = 0.01/60 = 1.667 x10 ... m' /s. Quindi la portata massica di acqua risulta rii=
pii= 994.6x1.667x10 ... = 0.1658 kg/s
Per riscaldare l'acqua con questa portata da 15°C a 65°C, bisogna fornire all'acqua la potenza termica 0= mcp;,-T,) =0.1658x4.178x(65-15) =34.6kW Poiché tutta questa potenza deve essere fornita dalla resistenza elettrica, la potenza della resistenza elettrica è 34.6 kW. La temperatura della superficie del tubo in qualsiasi posizione può essere determinata con la relazione:
La temperatura della superficie interna del tubo nella sezione di uscita è di 50°C maggiore della temperatura media dell'acqua. Questa differenza di temperatura di 50°C tra l'acqua e la superficie del tubo rimane costante per tutta la regione di flusso completamente sviluppato.
ESEMPIO 12.6
ARIA~Q2 m
In un condotto quadrato non isolato, lungo 8 m e con sezione trasversale 0.2 m x 101325 Pa 0.2 m, che attraversa l'attico di una casa (Figura 12.41) entra aria calda a 80°C e 80°C alla pressione atmosferica, con portata di 0.15 m'/s. Considerando Il condotto Isotermo a 60°C, si determini la temperatura di uscita dell'aria e la potenza termica persa dal condotto nell'attico. Questo è un problema di flusso interno in quanto l'aria scorre in un Soluzione condotto. Non conoscendo la temperatura di uscita dell'aria dal condotto non si può calcolare la temperatura media della massa d'aria, che è la temperatura alla quale si devono calcolare le proprietà del fluido. La temperatura media dell'aria
·~
y=T,= 60loc . -
. 0.2m
'-----------'
l1--sm-I FIGURA 12.41
Schema per l'Esempio 12.6.
440 9 i§f§ CAPITOLO 12 La convezione forzata A&M %
all'ingresso è 80°C, o 353 K, ma c'è da aspettarsi che questa temperat~ra dim!nuirà in conseguenza della perdita di calore attraverso il condotto, la cut superficie è a una temperatura più bassa. È ragionevole ipotizzare una temperatura media della massa fluida di 350 K (ipotesi da verificare successivamente) per calcolare le proprietà dell'aria. A questa temperatura si ha per l'aria:
p
= 1.009 kg/m 3
.<
= o.0297 W/.(m . °C)
AT.-
(T,,-T,.)_
T -T In -'--" T, -T,
1(9.75-20)=19.875•C 0-19.75
li flusso
In - - 0-20
Ò= hMT0 =15.8x188.5x19.875 = 59190 W Calcolata la temperatura di uscita dell'aria, si può adesso determinare la reale temperatura media della massa fluida dalla
v = 2.06 x 10-0 m'ls cp = 1008 J/(kg . °C)
80 + 71.2 r,m = -T, -+2 T" = - - = 75.6°C = 348.6 K 2
Pr = 0.706 La lunghezza caratteristica (che è il diametro idraulico), la velocità media e il numero di Reynolds in questo caso sono: 2
4A, 4a D =-=-=a=0.2m • p 4a \i 0.15 w =-=--=3.75m/s m A (0.2) 2
che risulta abbastanza prossima al valore di 350 K utilizzato per calcolare le proprietà dell'aria. Non è quindi necessario ricalcolare le proprietà a questa T 1 e m ripetere i calcoli.
ESEMPIO 12.7
1
Re= wmD• - 3.75x0.2 =36408 V 2.06x10-5 Poiché il numero di Reynolds è maggiore di 4000, il flusso è turbolento e la lunghezza d'ingresso vale circa
Si consideri il flusso di olio a 20°C e alla velocità media di 2 m/s in un tubo del diametro di 30 cm (Figura 12.42). Una parte del tubo lunga 200 m passa attraverso l'acqua ghiacciata di un lago a 0°C, per cui la temperatura superficiale del tubo misurata è molto vicina a o•c. Trascurando la resistenza termica del materiale costituente il tubo, si determini a) la temperatura dell'olio quando il tubo esce dal lago, b) la potenza termica scambiata dall'olio e c) la potenza di pompaggio necessaria per vincere le perdite di pressione e assicurare il flusso dell'olio nel tubo.
L1 = L, = 1O D.= 2 m molto più piccola della lunghezza totale del condotto. ?i può dunque consi.derar7 il flusso turbolento completamente sviluppato in tutto ti condotto e determinare ti numero di Nusselt con la relazione: Nu = hD. = 0.023 Re0·' Pr 0" = 0.023(36408)
0
0 ·' (0.706) "
= 92.3
À
Dal valore del numero di Nusselt si ha:
h =~Nu = ·
0 0297
D
92.3=13.7
W/(m' · °C)
0.2
Si ha inoltre:
Soluzione a) Questo è un problema di flusso interno in quanto l'olio scorre all'Interno di un tubo. Poiché la resistenza termica del materiale del tubo è suppo· sta trascurabile, non ci sarà caduta di temperatura attraverso lo spessore del tubo e la temperatura superficiale interna del tubo sarà anch'essa prossima a o•c. Inoltre si suppone che l'olio scorra nel tubo per un tratto abbastanza lungo · prima di raggiungere la parte immersa nel lago per cui il flusso è ldrodinamicamente sviluppato. Non conoscendo la temperatura di uscita dell'olio non si può calcolare la temperatura media della massa fluida, che è la temperatura alla quale si devono calcolare le proprietà dell'olio. La temperatura dell'olio all'ingresso è 20°C, ma c'è d'aspettarsi che essa diminuisca in conseguenza delle perdite di calore verso l'acqua ghiacciata del lago. Calcolando le proprietà dell'olio alla temperatura di ingresso si ha:
p A= pL = 4aL =4x0.2x8 = 6.4m
2
m=pii= 1.009 x0.15 = 0.151 kg/s Si può quindi determinare la temperatura di uscita dell'aria con la relazione:
T. = Ts - (Ts -
T, )e -w""•••
13.7x6.4 ) = 60 - (60- 80)exp - - - - ( 0.151x1008 =71.2°c La differenza di temperatura media logaritmica e la potenza termica persa dall'aria risultano essere:
= 888 kg/m3
À =0.145W/(m·°C)
µ = 0.800 kg/(m . s)
v
= 901
x 10-0 m'/s
c, = 1880 J/(kg. °C) Pr = 10400 11 numero di Reynolds in questo caso è Re= wmD V
=~=666 901x10""
che è minore del numero di Reynolds critico 2300. Quindi il flusso lunghezza termica d'ingresso in questo caso è circa:
è laminare e la
- -=-- -..:.::J,,
.. Gi"go ghiacciato, 0°0- _!,;;_
- -
I
~-_ooc
I-
200m
----1 FIGURA 12.42
Schema per l'Esempio 12.7.
I
I 442 CAPITOLO 12 La con\'ezione
forzata
L, =0.05 RePrD
=0.05 x 666 x 10 400 x 0.3 = 104 000 m
molto maggiore della lunghezza totale del tubo, caso tipico per fluidi con alti numeri di Prandtl. Poiché si ha flusso termicamente in sviluppo, il numero di Nusselt sì calcola con la relazione: (RePrDj(µm hD -Nu=-=1.86 µ, L il
J'·"
J
I l
l
Quindi la caduta di pressione nel tubo e la potenza di pompaggio richiesta sono:
44. ~~~-=™=.~~.,,,"
200 888x2' L pw' t.p = f---m = 0.0961---- = 113 780 Pa 2 0.3 2 mt.p 125.5x113780 . = 16.1 kW W,""'' = - - = 888 p
Il Busso all'intern di tul
o
0
=1.86
666x10 400x0.3 ) ( 0.8 ( 3.85 200
·"
=32.6
dove la viscosità dinamica µ 5 è calcolata alla temperatura superficiale di 0°C. Si noti che questo numero di Nusselt è notevolmente più elevato del valore di 3.66 per flusso completamente sviluppato. Dal valore del numero di Nusselt si ha:
W/(m 2 ·°C) Si ha inoltre: A= pL =11:DL =11:0.3x200 =188.5 m m=
2
pA,wm = 888x%(0.3) 2 x2=125.5 kg 's
Si può quindi determinare la temperatura di uscita dell'aria con la relazione:
Tu = Ts - (Ts - T, )e·Ml(mcpl 15.8x188.5 ) =0- (0-20 ) exp - - - - ( 125.5x1880 =19.75°C
ESEMPIO 12.8 La sezione di estrusione di un impianto per la produzione di plastica produce un foglio continuo di plastica largo 1.2 m e spesso 1 mm, a una velocità di 0.15 m/s. Il foglio di plastica è a una temperatura di 95°C quando viene esposto all'aria ambiente. Per un tratto di 0.6 m il foglio viene lambito da un flusso d'aria con velocità di 3 m/s e temperatura di 25°C su entrambe le superfici laterali e in direzione normale a quella di avanzamento del foglio, come mostrato in Figura 12.43. Si determinino a} la potenza termica trasmessa dal foglio di plastica all'aria per convezione forzata e irraggiamento e b) la temperatura del foglio di plastica al termine della zona di raffreddamento. Si consideri la densità, il calore specifico e remissività del foglio di plastica pari rispettivamente a p = 1200 kglm'. e = 1675 ' J/(kg · K) ed e 0.9.
=
a) La temperatura del foglio di plastica diminuirà nell'attraversamento Soluzione della zona di raffreddamento lunga 0.6 m ma non si conosce l'entità di tale diminuzione. Inizialmente si può considerare il foglio di plastica isotermo a 95°C. Successivamente si ripeteranno i calcoli, se necessario, per tenere conto della variazione di temperatura del foglio di plastica. Questo è un problema di convezione forzata su piastra piana. Si assume il numero di Reynolds critico pari a Re" = 5 x 105 e si valutano le proprietà del fluido alla temperatura di film:
T,= (T5 + TJ/2 =(15 + 25)/2 =60°C Si ottiene cosl:
il
T, -T,
0-20
Si noti che t. T~ è, in questo caso, identico alla differenza di temperatura media aritmetica poicné t. T, = t. T,. e) Il flusso laminare dell'olio è idrodinamicamente sviluppato e il fattore di attrito può essere determinato con la relazione: 64 64 f=-=-=0.0961 Re 666
=
0.028 W/(m · K) Pr = 0.72 v = 1.895 x 105 m'/s
Essendo L = 1.2 m il numero di Reynolds del flusso d'aria alla fine del foglio di plastica è:
J n (- - In -'--"
0= hMT., = 15.8x188.5x19.875 = 59190 W
ARIA
2s 0 c, 3 rnJs
Poiché la temperatura dell'olio scende di soli 0.25°C nell'attraversamento del lago, la temperatura media della massa fluida pari a 19.875°C è praticamente identica alla temperatura media di ingresso di 20°C. Dunque non è necessario ricalcolare le proprietà a questa temperatura di massa fluida e ripetere i calcoli. b) La differenza di temperatura media logaritmica e la potenza termica persa dall'olio risultano essere: 19.75-20 T-T, ("T-T t.r. I 0-19.75 )=19.875°c
,r-o.6m->-/
w.L
3x1.2
V
1.895x10-s
Re,=--=
=1.90x10
5
che è minore del numero di Reynolds critico. Quindi il flusso è laminare sull'intero foglio e il numero di Nusselt va calcolato utilizzando le relazioni per flusso laminare su piastra piana:
hL 3 5 05 Nu = - = 0.664 Re~'Prv' = 0.664(1.90x10 ) (0.72)v = 259.4
il
Dal valore del numero di Nusselt si ha: 0.028 il h = -Nu = --259.4 = 6.05 W/(m' · K) 1.2 L
l.2m
1~11/i 0.15
m/s
FIGURA 12.43 Schema per l'Esempio 12.8.
444
Calcolata la superficie di scambio
&% iS@iik4f# 5% ·•
A
CAPITOLO 12 La com·ezione forzata
=0.6 x 1.2 x 2 =1.44 m
445
À
Sommario
o
si ottiene:
O.,,,,= hA(T5 -T.) e
ho
Nu=-
2
o,.
= 6.05 X 1.44 (95 - 25) =610W = eaA (r; - r.~.) 4 4 = 0.9x5.67x 10-" x 1.44 (368 -298 ) =769W
La potenza termica di raffreddamento scambiata dalla plastica per convezione forzata e per irraggiamento è
o,~= o.,., +ò,.
=769 +s10 =1379 w
b) Per calcolare la temperatura del foglio di plastica al termine della zona di raffreddamento, serve conoscere la massa di plastica estrusa nell'unità di tempo (o portata di massa) che si determina con la relazione:
m= pA,w = 1200x(1.2x0.001)x0.15 = 0.216kg/s Dal bilancio di energia nella zona raffreddata del foglio di plastica si ottiene:
.
o
dove è la lunghezz.a caratteristica. La regione del flusso nella quale sono sensibili le forze di taglio viscose generate dalla viscosità del fluido è detta strato limite di velocità o semplicemente strato limite. La forza di trascinamento agente sull'intera superficie nel flusso esterno è data dalla
dove C1 è il coefficiente di attrito medio e A è larea della superficie per flusso su piastra piana e larea frontale per flusso su cilindro o sfera. Il flusso di un fluido su una lastra piana inizia regolare svolgendosi secondo linee di corrente ma diventa caotico a una certa distanza dal bordo d'attacco. Il regime di flusso nel primo caso è detto laminare ed è caratterizzato da linee di corrente regolari e da moto molto ordinato, nel secondo caso è detto turbolento ed è caratterizzato da fluttuazioni della velocità e da moto molto disordinato. L'intenso mescolamento nel moto turbolento aumenta sia la forza di trascinamento che la trasmissione termica. Il tipo di flusso dipende principalmente dal rapporto tra le forze d'inerzia e quelle viscose nel fluido. Questo rapporto è detto numero di Reynolds:
wo
o= mcp(T, -T,) ~ r, = T, +-.mcp Si noti che O è una quantità negativa (calore uscente) per il foglio di plastica, per cui la temperatura del foglio all'uscita dalla zona di raffreddamento è:
r, =95+
1379 =91.2°C 0.216x1675
La temperatura media del foglio di plastica scende quindi di circa 3.8°C nell'attraversamento della sezione di raffreddamento. A questo punto si possono ripetere i calcoli assumendo la temperatura media del foglio pari a 93.7°C anziché 95°C, per migliorare la precisione. La variazione nei risultati finali sarà tuttavia insignificante considerata la piccola variazione di temperatura.
Re=-
v
dove w è la velocità di corrente libera w_ per flusso esterno e hr velocità media del fluido wm per flusso interno; è la lunghezza caratteristica, vale a dire la distanza dal bordo d'attacco per una piastra piana, il diametro esterno per flusso su cilindri o sfere e il diametro interno per flusso dentro tubi circolari. La lunghezza caratteristica per tubi non circolari è il diametro idraulico Dh:
o
Dh = 4A, p
La convezione è il fenomeno di trasmissione del calore che comprende sia la conduzione sia il moto di massa del fluido. La potenza termica trasmessa per convezione nel caso di flusso esterno è espressa dalla legge di Newton della convezione:
dove A è larea della sezione trasversale del tubo e p il perimetro. Il valore del nu~ero di Reynolds a cui il flusso diventa turbolento è detto numero di Reynolds critico. Il numero di Reynolds critico è circa 5 x I 05 per flusso su piastra piana, 2 x 105 per flusso su cilindri e sfere e 2300 per flusso all'interno di tubi. Quando il flusso è laminare sull'intera piastra piana, il coefficiente di attrito e il numero di Nusselt possono essere determinati con le relazioni:
dove Ts è la temperatura superficiale e T_ è la temperatura di corrente libera. Il coefficiente di scambio termico è generalmente espresso in forma adimensionale attraverso il numero di Nusselt:
e
12.7 f§l SOMMARIO
hL Nu=y=0.664Re~ 2 Prl/3
(Pr~0.6)
------------------
446 CAPITOLO 12 La connzione forzata
___
"
______
- ....
-
-·-
r=
Avvenuto il passaggio a flusso turbolento per Re.,= 5 x 105, il coefficiente di attrito medio e il numero di Nusselt nel caso di flusso su piastra piana si calcolano con le relazioni:
e _ 0,014 i - Rel/5 L
e
1142
mcp
L
À.
Nel caso di T5 = costante la potenza termica è:
O.~s;Prs; 0 6
SxlO ::; ReL:::; 107
)
Per tenere conto della variazione delle proprietà con la temperatura, le proprietà del fluido sono di solito valutate alla temperatura di film, definita come ~ =(T5 + TJ/2, media aritmetica delle temperature della superficie e della corrente libera. I numeri di Nusselt medi per flusso trasversale su cilindri e sfere possono essere determinati con la relazione: = hL = À.
2
3
(__!:_)
0.62 Rel/ Prl/ [ 0.3+ [ ]1/4 l + ti+ (0.4/Pr )213 28 200
5 8 415 ' ]
valida per Re Pr > 0.2 e
=hL =2+ [o.4 Rel/2 +0.06 Re2/3 ]Pr0.4(µ- )1/ À.
t!i.T. -t!i.T; ln(t!i.T./t!i.T;)
è la differenza media logaritmica di temperatura. Si noti che t!i.T. = T5 - T. e t!i.T. = T5 - T. sono le differenze di temperatura tra la superfici~ e il fluido all'ingresso e all'uscita dal tubo, rispettivamente. La temperatura media del fluido all'uscita dal tubo è: T. = Ts -(Ts -T; )e-hAl(mc,>
4
Nu,r
Q=hM7;" dove
µs
valida per 3.5 :5 Re :5 80 000 e 0.7 :5 Pr:::; 380. Le proprietà del fluido sono valutate alla temperatura di film ~ = (T5 + TJl2 nel caso del cilindro e alla temperatura di corrente libera T. (a parteµ, che va valutata alla temperatura superficiale T5) nel caso di una sfera. Nel caso di flusso all'interno di un tubo si ha che: wm è la velocità media del fluido; la temperatura media Tm in una sezione trasversale può essere vista come la temperatura media in quella sezione; la velocità media wm rimane costante ma la temperatura media Tm varia lungo il tubo a meno che il fluido non risulti né riscaldato né raffreddato .. La potenza termica trasmessa a un fluido in condizioni di flusso stazionario all'interno di un tubo è:
dove T, e T. sono le temperature medie all'ingresso e all'uscita dal tubo. Le condizioni termiche sulla superficie di un tubo possono essere approssimate con ragionevole precisione ritenendo la temperatura superficiale costante (T5 =costante) o il flusso termico superficiale costante ( qs = costante). Nel caso di q5 = costante la potenza termica è:
La caduta di pressione nel flusso in un tubo di lunghezza L è:
t!,.p =f.!::._ pw~
D 2
(N/m2)
dove/è il fattore di attrito. La potenza di pompaggio richiesta per vincere una data caduta di pressione t!i.p è:
. . mt!,.p L =Vt!,.p=p p
4-r Sommari
ifs A T,, =T;+--
-Re
Nu= hL =(0.037Ref5 -871)Prl/3 (
Nucil
La temperatura media del fluido all'uscita dal tubo è:
(W)
dove V= wmA, =rhlp è la portata volumetrica di fluido attraverso il tubo. La regione compresa tra la sezione d'ingresso nel tubo e la sezione dove lo strato limite raggiunge l'asse del tubo è detta regione d'ingresso . idrodinamica e la sua lunghezza viene detta lunghezza d'ingresso idro·: dinamica L,. La regione oltre quella d'ingresso idrodinamica, nella quale il ... profilo di velocità risulta completamente sviluppato e resta costante, viene detta regione idrodinamicamente sviluppata. La regione nella quale lo strato limite termico si sviluppa fino a raggiungere il centro del tubo è detta regione d'ingresso termica e la lunghezza di tale regione viene detta lung~ezza d'ingresso termica L,. La regione che segue quella d'ingresso ternuca, nella quale il profilo di temperatura adimensionale (T - T5 )/(Tm - T5 ) resta costante, è detta regione termicamente sviluppata. La regione nella quale il flusso risulta sviluppato sia idrodinamicamente che termicamente è detta dijlusso completamente sviluppato. Le lunghezze d'ingresso termica e idrodinamica sono approssimativamente date dalle relazioni:
448 CAPITOLO 12 La com·ezione forzata
Li. laminm"' 0.05 Re D Lr. laminare= 0.05 Re Pr D Li, turbolemo:::::: L,, turbolento == I Q 9
e
I coefficienti di attrito e di scambio termico nella regione di flusso completamente sviluppato restano costanti. Nel caso di flusso laminare completamente sviluppato si ha che: il fattore di attrito èf = 64/Re; il numero di Nusselt è Nu = 3.66 per il caso di T5 =costante e Nu = 4.36. per <'fs =costante. Il numero di Nusselt medio per il flusso laminare che si sviluppa idrodinamicamente e termicamente in un tubo circolare è:
Nu=l.S6 (Re~rDf (~;
r 4
Pr>0.5
Le relazioni raccomandate per calcolare il fattore di attrito f e il numero di Nusselt nel caso di flusso turbolento completamente sviluppato in tubi circolari lisci sono: f= 0.184 Re--0· 2
La convezione naturale
Nu- 0023 Reo.sprl/3(0.HPr$;l60) - · Re>IOOOO
e
=
dove n 0.4 per il riscaldamento e 0.3 per il raffreddamento di un fluido che scorre in un tubo. Le proprietà del fluido devono essere valutate alla temperatura media della massa fluida Tmf = (T, + T)/2, che è la media aritmetica delle temperature medie del fluido nelle sezioni di ingresso e uscita del tubo.
In questo capitolo si parlerà della trasmissione del calore per convezione naturale, che si verifica quando il moto del fluido ha luogo per cause naturali come il galleggiamento. Poiché il coefficiente di scambio termico per convezione è funzione della velocità del fluido, che nel caso di convezione naturale è bassa, essendo in generale inferiore a 1 m/s, i valori del coefficiente di scambio termico per la convezione naturale sono di solito molto più bassi di quelli che si hanno in convezione forzata. Nonostante ciò molti dispositivi di scambio termico sono progettati per operare in condizioni di convezione naturale invece che forzata, perché la convezione naturale non richiede l'impiego di apparecchfature per movimentare il fluido. La convezione naturale è il fenomeno primario di scambio termico nel raffreddamento di componenti elettronici come i transistori di potenza, apparecchi TV e VCR, nella trasmissione di calore da pannelli radianti a pavimento o radiatori a vapore, da batterie refrigeranti e linee di trasmissione di potenza e dai corpi di animali ed esseri umani. Questo capitolo inizia con una descrizione del fenomeno fisico della convezione naturale. Successivamente vengono presentati il numero di Grashof e le correlazioni per valutare lo scambio termico per convezione naturale nel caso di varie geometrie, incluse le cavità e le superfici alettate. Infine, viene trattato il fenomeno simultaneo di convezione forzata e naturale.
13.1
450 M@filH&W !!l!!l!I
CAPITOLO 13 I.a com·ezionc n:.1turalc
Aria
FIGURA 13.1 Raffreddamento per convezione naturale di un uovo sodo caldo in un ambiente più freddo.
FIGURA 13.2 Riscaldamento per convezione naturale di una bibita fredda in un ambiente più caldo.
~
IL FENOMENO FISICO DELLA CONVEZIONE NATURALE
È noto che un uovo sodo caldo lasciato su una piastra si raffredda fino a raggiungere la temperatura dell'aria circostante (Figura 13.1). L'uovo si raffredda per effetto della trasmissione di calore per convezione ali' aria e per irraggiamento verso le superfici circostanti. Trascurando il calore trasmesso per irraggiamento, il fenomeno fisico del raffreddamento di un uovo caldo (o di qualsiasi oggetto caldo) in un ambiente più freddo si può spiegare come segue. Quando l'uovo caldo viene esposto all'aria più fredda, la temperatura della superficie esterna del guscio dell'uovo diminuirà un poco e la temperatura dell'aria adiacente al guscio aumenterà per effetto della conduzione del calore dal guscio all'aria. Dì conseguenza, l'uovo sarà presto circondato da un sottile strato di aria più calda ed il calore sarà quindi trasferito agli strati d'aria più esterni. Il processo di raffreddamento in questo caso sarebbe piuttosto lento, perché l'uovo risulterebbe sempre ricoperto da aria calda e gli mancherebbe un contatto diretto con laria più fredda più distante. Apparentemente non si nota nessun moto dell'aria in prossimità dell'uovo, ma misure accurate indicano che non è così. Poiché laria in contatto con l'uovo è a temperatura più elevata, la sua densità sarà più bassa, perché a pressione costante la densità di un gas è inversamente proporzionale alla sua temperatura. Si ha quindi che un gas a bassa densità o "leggero" è circondato da uno a più alta densità o "pesante", per cui il gas leggero sale per effetto di una legge naturale, la stessa che spinge verso l'alto l'olio in una miscela olio-aceto (si tenga presente che p0110 < Pac,.,). L'aria calda sale e lo ·spazio così liberato è occupato da aria più fredda, che venendo in contatto con l'uovo ne accelera il processo di raffreddamento. La salita di aria più calda e il riflusso di aria più fredda continuano fino a quando l'uovo non si è raffreddato, vale a dire ha raggiunto la temperatura dell'aria ambiente. Il movimento risultante dalla continua sostituzione dell'aria riscaldata in prossimità dell'uovo con aria più fredda è detto corrente di convezione naturale, mentre la trasmissione di calore per effetto di questa corrente di convezione naturale è chiamata tra· smissione termica per convezione naturale. Si noti che in assenza di correnti di convezione naturale la trasmissione del calore dall'uovo all'aria circostante avverrebbe per sola conduzione e la potenza termica scambiata sarebbe molto minore. La convezione naturale ha luogo sia nel risèaldamento di superfici fredde in un ambiente più caldo sia nel raffreddamento di superfici calde in un ambiente più freddo, come mostrato in Figura 13.2. Le direzioni del moto del fluido nei due casi sono opposte. In un campo gravitazionale sembra esserci una forza risultante che spinge in alto il fluido leggero immerso in uno più pesante, detta forza di gal· leggiamento. Nel caso di un corpo parzialmente o completamente immerso in un fluido l'intensità della forza di galleggiamento è pari al peso del fluido spostato dal corpo, cioè: (13.1)
I
I
I Ij I
l
451
dove Pnuido è la densità media del fluido (non del corpo), g è l'accelerazione di gravità e V'° è il volume della parte di corpo immerso. nel tluido (per corpi completari;'ente immersi nel tluido esso coincide con il volume totale del corpo). In assenza di altre forze, la forza verticale risultante agente su un corpo è la differenza tra il peso del corpo e la forza di galleggiamento: Fnetta
~~f?st~
Il tenomeno tisico della co1weziom naturalt
=p - Fgall = pcorpo g vcorpo - pfluido gVcorpo
=(Pcorpo -
(13.2)
Pnuido)gVcorpo
Si noti che questa forza è proporzionale alla differenza tra le densità del tluido e del corpo immerso in esso. Quindi un corpo immerso in un fluido presenta una "perdita di peso" pari al peso del fluido da esso spostato, legge fisica nota come principio di Archimede. Per una migliore comprensione dell'effetto di galleggiamento si consideri un uovo immerso in acqua. Se la densità media dell'uovo è maggiore della densità dell'acqua (segno di freschezza) l'uovo si adagerà sul fondo del contenitore, altrimenti salirà in superficie. Se invece la densità dell'uovo uguaglia la densità dell'acqua, l'uovo si posizionerà ad una certa altezza nell'acqua restando completamente immerso e comportandosi come un "corpo senza peso" nello spazio, poiché la forza di galleggiamento diretta verso l'alto uguaglia la forza peso diretta verso il basso. L'effetto di galleggiamento ha implicazioni di vasta portata nella vita: senza il galleggiamento la trasmissione del calore tra una superficie calda (o fredda) ed il fluido circostante avverrebbe per conduzione invece che per convezione naturale; le correnti di convezione naturale presenti negli oceani, nei laghi e nell'atmosfera devono la loro esistenza al galleggiamento; sia gli scafi leggeri sia le pesanti navi da guerra in acciaio stanno a galla per effetto del galleggiamento (Figura 13.3). Le navi sono progettate in modo tale che l'intero peso della nave e del suo contenuto risulti uguale al peso dell'acqua corrispondente al volume della parte di nave sommersa. (Si noti che in acqua dolce risulterà sommersa una parte dello scafo maggiore che in acqua salata.) "L'effetto camino" che induce il moto ascensionale dei gas di combustione caldi attraverso un camino è anch'esso dovuto all'effetto di galleggiamento e la forza ascensionale agente sui gas nel camino è proporzionale alla differenza tra le densità dei gas caldi nel camino e dell'aria più fredda esterna. Si noti che nello spazio non c'è gravità per cui non ci può essere trasmissione di calore per convezione naturale all'interno di una navicella spaziale anche in presenza di aria atmosferica. Poiché nella trasmissione del calore la variabile principale è la temperatura, conviene esprimere la forza netta di galleggiamento (Equazione 13.2) in funzione della differenza di temperatura. Per fare ciò occorre esprimere la differenza di densità in funzione della differenza di temperatura, una volta nota la relazione che lega la variazione di densità di un fluido alla temperatura a pressione costante, vale a dire il coefficiente di dilatazione cubica f3 (Figura 13.4):
/3 =-.!...(a P) p
aT
OIK) P
(13.3)
:--... ----- -----... all - g--...F -
__
........_..
FIGURA 13.3 Forza di galleggiamento che mantiene a galla una nave sull'acqua (P F,,,, per gli oggetti galleggianti).
=
""
I ( g;)e i 20"C IOOkPa !kg (a) Sostanza con
21°c 100 kPa
I kg
f1
elevato
(-2!:...) òT
P
20°c
21°c
IOOkPa I kg
IOOkPa I kg
(b) Sostanza con
/1
piccolo
FIGURA 13.4 Il coefficiente di dilatazione cubica come misura della variazione in volume di una sostanza con la temperatura, a pressione costante.
,---452 CAPITOLO 13 La convezione naturale
Sostituendo le derivate con le variazioni il coefficiente di dilatazione cubica può anche essere espresso mediante la relazione:
1 t.p f3 "' - - - -7 t.p "'-pf3t.T pt.T
(a pressione p costante)
Si può facilmente dimostrare che il coefficiente di dilatazione cubica f3 di un gas perfetto (p = pRT) ad una temperatura T è pari all'inverso della temperatura:
dove Tè la temperatura assoluta. Si noti che un elevato valore di f3 per un fluido significa una forte variazione della densità con la temperatura e che il prodotto f3t.T rappresenta la variazione di volume di un fluido corrispondente ad una variazione di temperatura t.T a pressione costante. Si noti anche che, poiché la forza di galleggiamento è proporzionale alla differenza di densità, che a sua volta è proporzionale alla differenza di temperatura a pressione costante, maggiore è la differenza di temperatura tra il fluido in contatto con una superficie calda (o fredda) ed il fluido lontano da essa, maggiore è la forza di galleggiamento, più intense sono le correnti di convezione naturale e più elevata è la trasmissione di calore. Il valore della potenza termica trasmessa per convezione naturale tra una superficie ed un fluido è direttamente proporzionale alla portata massica di fluido: più elevata è la portata massica, più elevata è la potenza termica trasmessa. Mentre nella convezione forzata si realizzano con interventi esterni elevate portate di massa che permettono di raggiungere elevati valori del coefficiente di scambio termico, nel caso di convezione naturale la portata massica è fissata dal bilancio dinamico tra galleggiamento ed attrito. Laforza di galleggiamento è causata dalla differenza di densità tra il fluido riscaldato (o raffreddato) in contatto con la superficie ed il fluido circostante ed è proporzionale a tale differenza di densità ed al volume occupato dal fluido più caldo. La forza di attrito si sviluppa sulla superficie di contatto tra due corpi (solido-solido, solido-fluido o fluido-fluido) che si muovono di moto relativo tra loro e agisce nel verso opposto a quello del moto. Nel caso di convezione naturale questa forza rallenta il moto del fluido riducendone la portata di fluido. In condizioni stazionarie la portata d'aria movimentata dal galleggiamento si stabilizza in corrispondenza del valore per il quale questi due effetti si bilanciano. Poiché la forza di attrito aumenta ali' aumentare delle superfici solide coinvolte, disturbando seriamente il flusso del fluido e la trasmissione termica, dissipatori di calore con alette molto ravvicinate non sono indicati per il raffreddamento in convezione naturale. Molte relazioni che permettono di studiare lo scambio termico in convezione naturale derivano direttamente dalla sperimentazione. Lo strumento più usato negli esperimenti di convezione naturale è l 'interferometro di Mach-Zehnder, che fornisce l'andamento delle isoterme nel fluido in prossimità della superficie. Il principio di funzionamento degli inter-
!
l
ferometri è basato sul fatto che, a bassa pressione, le linee di uguale temperatura per un gas corrispondono alle linee di uguale densità e sul fatto che l'indice di rifrazione di un gas è funzione della sua densità. Il grado di rifrazione della luce in un punto del gas è quindi una misura del gradiente di temperatura in quel punto. Un interferometro produce una mappa di frange di interferenza, che possono essere interpretate come linee a temperatura costante, come mostrato in Figura 13.5. Le linee regolari e parallele in (a) indicano che il flusso è laminare, mentre i vortici e le irregolarità in (b) indicano che il flusso è turbolento. Si noti che le linee sono più addensate vicino alla superficie dove il gradiente di temperatura è più elevato.
453 li fenomeno fisico della convezione naturale
Il numero di Grashof Il regime di flusso in convezione naturale è governato da un numero adimensionale, detto numero di Grashof, pari al rapporto tra la forza di galleggiamento e laforza viscosa agenti sul fluido: Gr=
forzedigalleggiamento forze viscose
gt.pV gf3t.TV ---=--pv 2
(a) Ausso laminare
pv
FIGURA 13.5
Isoterme per convezione naturale in aria su una piastra calda.
Il numero di Grashof è espresso dalla relazione (Figura 13.6):
=accelerazione di gravità, m/s2 Ts =temperatura della superficie, °C T. = temperatura del fluido sufficientemente lontano dalla superficie, °C 8 =lunghezza caratteristica della geometria, m v =viscosità cinematica del fluido, m2/s
dove g
f3
(b) Ausso turbolento
=coefficiente di dilatazione cubica, l/K (/3 =l/T per i gas perfetti)
Il ruolo svolto dal numero di Reynolds nella convezione forzata è svolto dal numero di Grashofnella convezione naturale. Infatti, il numero di Grashof fornisce il principale criterio per stabilire in convezione naturale se il flusSo è laminare o turbolento: per esempio, poiché nel caso di piastre verticali il numero di Grashof critico è 109, il regime di flusso su una piastra verticale diventa turbolento per numeri di Grashof maggiori di 109• -: La potenza termica trasmessa in convezione naturale da una superficie al fluido circostante è espressa dalla legge di Newton della convezione:
Superficie calda
Forza di Auido freddo
Forza di galleggiamento FIGURA 13.6
Qconv =hA(Ts -T.)
(13.6)
Il numero di Grashof (Gr) è una misura della grandezza relativa
dove A è larea della superficie di scambio termico e h è il coefficiente medio di scambio termico sulla superficie.
e della forza di attrito agenti sul fluido.
(W)
dellaforza di galleggiamento
I
454
13.2 i! LA CONVEZIONE NATURALE SU SUPERFICI
CAPITOLO 13 Ln conYezione naturale
La trasmissione di calore per convezione naturale su una superficie dipende dalla geometria della superficie e dal suo orientamento. Essa dipende pure dalla variazione di temperatura sulla superficie e dalle proprietà termofisiche del fluido coinvolto. I profili di temperatura e velocità nel caso di convezione naturale su una piastra verticale calda immersa in un\! massa fluida in quiete sono riportati in Figura 13.7. Come nella convezione forzata lo spessore dello strato limite aumenta nella direzione del flusso. Contrariamente alla convezione forzata, invece, la velocità del fluido è nulla sia sulla superficie della piastra che sul bordo esterno dello strato limite di velocità, in quanto il fluido fuori dallo strato limite è in quiete. Quindi, la velocità del fluido aumenta con la distanza dalla superficie, raggiunge un massimo e gradualmente diminuisce fino a zero ad una distanza sufficientemente lontana dalla superficie. La temperatura del fluido è uguale alla temperatura della piastra sulla superficie e gradualmente diminuisce fino alla temperatura del fluido circostante ad una distanza sufficientemente lontana dalla superficie, come mostrato in figura. Nel caso di superfici fredde la forma dei profili di velocità e di temperatura rimane la stessa ma la direzione è invertita.
Le relazioni per lo studio della convezione naturale
13.7
FIGURA
Profili tipici di velocità e temperatura per flusso di convezione naturale su una piastra calda verticale a temperatura T5 in un fluido a temperatura T•.
coefficiente costante
NffjlJ~:;.~ie
I
·h".~'·
Numero''~·~
Pur essendo ben noto il fenomeno della convezione naturale, la complessità del moto del fluido rende molto difficile ottenere relazioni analitiche semplici per la trasmissione del calore risolvendo le equazioni del moto e del!' energia. Per la convezione naturale esistono alcune soluzioni analitiche, che però mancano di generalità, perché ottenute per geometrie semplici sotto certe ipotesi semplificative. Con l'eccezione di pochi casi semplici, le relazioni di scambio termico in convezione naturale sono dunque basate su studi sperimentali. Per ogni data geometria, delle numerose relazioni disponibili in letteratura, di varia complessità e vantata precisione, vengono di seguito presentate solo quelle più semplici per due motivi: primo, la precisione delle relazioni più semplici rientra comunque nel campo di incertezza del problema; secondo, si preferisce mantenere l'attenzione sull'aspetto fisico del problema piuttosto che sulla manipolazione delle formule. Le relazioni empiriche semplici per determinare il numero di Nusselt Nu nel caso di convezione naturale (Figura 13.8) si possono ricondurre tutte alla formula:
I valori delle costanti C ed 11 dipendono dalla geometria dell~ super~cie e dal regime di flusso, caratterizzato dal valore del nu.mero dt Rayle1gh. Il valore di n è generalmente un quarto per flusso lammare ed ~n terz? per flusso turbolento. Il valore della costante C è normalm~nte mmore d1 I. . Alcune relazioni semplici per calcolare il numero d1 Nusselt per vane geometrie sono riportate in Tabella 13.1, insieme ad. uno scheT?a della geometria. In questa tabella sono pure riportate per le vane. geom~tne le lu~ghez: ze caratteristiche ed i campi di variazione del numero.di ~ayle1gh entr~ 1quah la relazione è applicabile. Nell'utilizzare queste ~elaz1oru tutte le propnetà del fluido devono essere valutate alla temperatura d1 film~= (T5 + TJ/2. Queste relazioni, ottenute per il. caso di supe~i'ic~. isoterme, possono essere usate anche per superfici non isoterme con nfenmento ad un valore medio di temperatura superficiale costante.
Un tubo orizzontale di acqua calda del diametro di 8 cm, mostrato in Figura 13.9, attraversa un grande ambiente alla temperatura di !B°C per un tr<:tto lungo 6 m. se la temperatura della superficie estern~ del tubo e 70°C, determinare la potenza termica dispersa dal tubo per convezione naturale. Soluzione Si ipotizza una pressione dell'aria nell'ambiente ,di .101.325 Pa. La temperatura del film alla quale vanno valutate le proprietà dell aria è. T = Ts+T_ = 70+18 =44oC=317K I 2 2 FIGURA
Alla temperatura di 317 K si ha: À
= o.0273 w/(m·°C)
v = 1.74·10-'m'/s
Pr=0.710 1 f3 = 2_ = - - "'0.00315 K"' T, 317 Poiché la lunghezza caratteristica in questo caso è il diametro esterno del tubo,
li= D = 0.08 m, il numero di Rayleigh è: 3
Ra=
gf3(T5 -T_)li p
v'
Il
dove Ra è il numero di Rayleigh prodotto dei numeri di Grashof e di Prandtl:
13.9
Schema per l'Esempio 13.1.
r
_ 9.8x0.00315x(70-18)x{O.OB)' 0.710=1.930x10 6 (1.74x10"5 ) 2
13.8
Correlazioni di scambio termico in convezione naturale espresse in termini del numero di Rayleigh elevato a una COitante n moltiplicato per un"altra costante C, entrambe determinate sperimentalmente.
su supcrfki
ESEMPIO 13.1
di Nusselt di Rayleigh
FIGURA
455 ~~"' La conn~zione naturall:
numero di Nusselt può essere calcolato con l'Equazione 13.15: 0.387Ra V• }' 06 Nu = { ' + [1 + (0.559/Pr) 9116 f" 0.387{1.930x10't° }' _ 172 - 06+ - { . [1 + (0.559/0.710)0/27 ] - .
457
Noto il valore del numero di Nusselt si ha:
456
TABELLA 13.1 Correlazioni empiriche per il numero di Nusselt per convezione naturale su superfici
Geometria
Lunghezza caratteristica 8
Campo di Ra
Numero di Nusselt
o
0.08
Calcolata la superficie di scambio termico T_= IS'C
A= n DL = n x0.0Bx6 =1.51 m'
Piastra verticale
Ir'·
_,~-~~
10 + 10 109 + 1013
Nu = 0.59 Ra'" Nu=0.1 Ra"'
Campo intero
Nu = { 0.825+
4
9
116
L
0.387 Ra [1+(0.492/Pr) 9116 ]er."
r
(13.8) (13.9)
si ha: Ò= hA(T5
(13.10)
(complessa ma più accurata) Usare le equazioni della piastra verticale come primo grado di approssimazione L
Qcon\' n:u = 463 W
T.)= 5.9x1.51(70-18)=463 W
-
Discussione Il tubo disperde calore verso l'ambiente sia per convezione naturale che per irraggiamento. Considerando la superficie esterna del tubo nera (emissività e= 1) e anche le superfici interne delle pareti dell'ambiente tutte a 18°C, il calore trasmesso per irraggiamento (Figura 13.1 O) è:
ò,,, =eAG(T;-r~) 4
4
= 1x1.51x5.67x10"" [(70+ 273) -(18 + 273) ]= 457 W 8
L
Sostituire g con g cos
Piastra orizzontale (Area della superficie A e perimetro p) a) Superficie superiore di una piastra calda (o superficie inferiore di una piastra fredda) Superficie calda T,
•,,,;;;,,l,,,,,,,;,,;;;,,;,f;;)
10•+ 107 10' + 1011
eper Ra < 109 (13.11) (13.12)
Nu = 0.54 Ra'" Nu = 0.15 Ra"'
5
10 + 10"
Nu = 0.27 Ra'"
(13.13)
("""''f""'"''"''"'Z;,'• Superficie calda
Cilindro verticale
r~ _:~ - : .
L
comparabile con quello scambiato per convezione naturale. Poiché l'emissività di una superficie reale è minore di 1, il calore trasmesso per irraggiamento sarà minore di quello calcolato, anche se non trascurabile .. Normalmente quindi una analisi dell'irraggiamento dovrebbe accompagnarsi a quella della convezione naturale indipendentemente dall'emissività della superficie.
,-;.--:;,~_
35L Gr114
1_ :r~~
(13.14)
D"ii!--
,-:- ,~·. M;_
FIGURA 13.10 La trasmissione di calore per irraggiamento è di solito di intensità paragonabile alla convezione naturale e va considerata nell'analisi dello scambio tennico.
105 + 1012
{
N u = 0.6 +
0.387Ra
~
[1 + (0.559/Pr) 9116 ] 9127
}'
(13.15)
2
2 (b) Superficie calda orientata verso l'alto 0
À. =0.0279W/(m • C) 2
v = 1.815x10... m /s Pr=0.709
Ra.S10 11
Nu= 2+
0.589Ra'" [1+(0.492/Pr)
(Pr"ii!0.7)
9118
(13.16)
J""
(a) Verticale
T. =T.+T. = 74 + 30 =52°C=325K Alla temperatura di 325 K si ha:
Cilindro orizzontale
f nD
=457W
T_=30"C
I
Sfera
Qirr.m"'
Si consideri una piastra piana sottile 0.6 m x 0.6 m in un ambiente a 30°C. Una superficie della piastra è mantenuta alla temperatura di 74°C mentre l'altra è isolata, come mostrato in Figura 13.11. Si determini la potenza termica trasmessa nel caso di piastra a) verticale, b) orizzontale con superficie calda orientata verso l'alto, e) orizzontale con superficie calda orientata verso il basso. Soluzlone Si ipotizza la pressione dell'aria pari a 101 325 Pa. La temperatura del film alla quale vanno valutate le proprietà dell'aria è:
Un cilindro verticale può essere trattato come una piastra verticale quando
L
D
~;?
ESEMPIO 13.2
Alp
b) Superficie inferiore di una piastra calda (o superficie superiore di una piastra fredda)
La con\'ezione naturale su superfici
h=~Nu = 0.0273 11.2 =5.9 W/(m'K)
p
1 =.:._=--=0.00308K"' T, 325
a) Verticale. Poiché la lunghezza caratteristica In questo caso è l'altezza della piastra, 8 = 0.6 m, il numero di Rayleigh è:
(e) Superficie calda orientata verso il basso FIGURA 13.11 Schema per !"Esempio 13.2.
458 .b~;i
11•
CAPITOLO 13
La co1nezione naturale
=
9.8 X 0.00308 (74 - 30){0.6) 5 2 (1.815x10- )
459
5 Nu = 0.27 Rav• = 0.27(9.43 x10 )v'=15.0
g{3(T5 -T.)li' P r v' a=
R
~
La com·ezione naturale all'interno di ca,·ità
Noto il valore del numero di Nusselt si ha:
3
0.708=6.034x 10
8 2 0.0279 A. 0 h=-Nu=--1 5.0:2.8W/ (m · C) 0.15 li
Il numero di Nusselt può essere calcolato con l'Equazione 13.8: e quindi: Nu = 0.59 Rav• = 0.59(6.034 x1o•iv•= 92.5
Q: hA (T5
Noto il valore del numero di Nusselt si ha:
Calcolata la superficie di scambio termico
A= L' = {0.6) = 0.36 m'
0= hA (T5 -T.) = 4.3x0.36 (74-30) =68.1 W
I l
b) Orizzontale con la superficie calda orientata verso l'alto. La lunghezza caratteristica ed il numero di Rayleigh in questo caso sono:
li=~=~= p
4
3
9.8x0.00308( _ _...:.;,._..:._: 9.43x10 , _ _ ___:74-30){0.15) _ 2 (1.815X10""' ) Il numero di Nusselt può essere calcolato con l'Equazione 13.6: Nu=0.54Rav• =0.54(9.43x 1o•t =29.9 Noto il valore del numero di Nusselt si ha:
h=7 V
O.. =e Aa(r;- r~)
4
4 = 1x0,36x5.67x 10-a[(74 +273) -(30+273) )=124 W che è maggiore di quello scambiato per convezione naturale. Poiché l'emissività di una superficie reale è minore di 1, il calore trasmesso per irraggiamento da una superficie reale sarà minore, ma non trascurabile e dovrà essere tenuto in conto.
4
v'
0.0279 2 Nu: --29.9 = 3.9 W/(m • °C) · 0.15
Calcolata la superficie di scambio termico
A= L' = (0.6) = 0.36 m2 si ha:
Q: hA (T5 -T.) =3.9x0.36 (74-30) = 88.1 W e) Orizzontale con la superficie calda orientata verso il basso. La lunghezza caratteristica li, l'area di scambio termico A ed il numero di Rayleigh in questo caso sono gli stessi di quelli determinati in (b), mentre il numero di Nusselt va calcolato con l'Equazione 13.7:
Superficie calda
La· piastra disperde calore verso l'ambiente sia per convezione Discussione naturale che per irraggiamento. Considerando la superficie della piastra nera (emissività e = 1) e anche le superfici interne delle pareti dell'ambiente tutte a 30°C, il calore trasmesso per irraggiamento è:
06 · =0.15m
Ra - gf3 (Ts - T. JS' Pr
A.
T.): 2.8x0.36 (74-30) =44.4 W
Si noti che la potenza termica trasmessa per convezione naturale nel caso di superficie calda orientata verso il basso è la minore. Ciò non sorprende, perché in questo caso l'aria calda "intrappolata" rende difficile lo sviluppo dei moti convettivi.
0.0279 2 h = - Nu = --92.5 = 4.3 W/(m K) 0.6 li À.
si ha:
-
13.3 !!l LA CONVEZIONE NATURALE ALL'INTERNO DI CAVITÀ Una parte considerevole del calore dissipato da una abitazione si disperde attraverso le finestre, che al fine di risparmiare energia vanno isolate termicamente. Occorre però trovare un materiale isolante che sia trasparente. Analizzando i valori della conduttività termica dei materiali isolanti si trova che tra i più comuni materiali l'aria è il migliore isolante ed è trasparente. È utile, quindi, isolare la finestra con uno strato d'aria, ma per fare ciò bisogna utilizzare un'altra lastra di vetro realizzando una cavità, nota come finestra a doppio vetro. Altri esempi di cavità sono le intercapedini d'aria nelle pareti, i collettori solari ed i recipienti criogenici composti da cilindri coassiali o sfere concentriche. · Lo studio della trasmissione del calore nelle cavità è complicato dal fatto che il fluido di solito non rimane fermo: in una cavità verticale il fluido adiacente alla parete più calda sale, mentre il fluido adiacente alla parete più fredda scende, dando luogo ad un moto rotazionale che aumenta lo scambio termico attraverso la cavità. Andamenti tipici del moto in intercapedini orizzontali e verticali sono mostrati in Figura 13.12. Le caratteristiche dello scambio termico attraverso una cavità orizzontale dipendono dal fatto che la superficie più calda si trovi rivolta verso il basso o verso l'alto, come mostrato nella Figura 13.13. Quando la superficie più calda è rivolta verso il basso nella cavità non si svilupperà alcuna
FIGURA 13.12 Moti convettivi in una cavità rettangolare verticale.
Caldo
Fluido leggero
I
(Assenza di moto)
'
Fluido pesante
Freddo
(a) Piastra calda in alto
Freddo
Fluido pesante
r,~ ;A-,:r-;\:F':~~~
r. t:t
•:~
t:r
Fluido leggero
~:r
""\
'I
Caldo
(b) Piastra calda in basso
FIGURA 13.13 Moti convettivi in una cavità orizzontale con (a) piastra superiore calda e (b) piastra inferiore calda.
460 CAPITOLO 13 La convezione naturale
corrente di convezione, in quanto il fluido più leggero stazionerà al di sopra di quello più pesante. Lo scambio termico in questo caso sarà di pura conduzione e si avrà numero di Nusselt Nu = I. Quando la supeificie più calda è rivolta verso l'alto il fluido più pesante verrà a trovarsi sopra quello più leggero ed il fluido più leggero, spinto da quello più pesante, si sposterà verso lalto dove in contatto con la superficie più fredda si raffredderà. Finché non si instaurano questi moti convettivi la trasmissione del calore continuerà ad avvenire per conduzione pura, con numero di Nusselt Nu = l. Quando Ra> 1708 le forze di galleggiamento superano le forze di attrito ed iniziano le correnti di convezione naturale in forma di celle esagonali dette celle di Bénard, che per Ra> 3 x 105 si rompono dando origine al moto turbolento. Per una cavità il numero di Rayleigh si calcola con la relazione:
I
I
Geometria
Fluido
Cavità rettangolare verticale (o cavità cilindrica verticale)
Gas o liquido Gas
H Liquido
H/8
Campo di Ra
Numero di Nusselt
Ra< 2000
Nu= 1
11-42
0.5 +2
2x 10'+2x 10'
11·42
0.5+ 2
2
1()..40
1 +20000
1-40
o
X
105 + 107
104 + 107 10'+ 10'
1 +20
Per le cavità rettangolari inclinate sono disponibili in letteratura relazioni molto accurate ma complesse. Le relazioni, che permettono di calcolare il numero di Nusselt per cavità verticali, possono essere impiegate anche per cavità inclinate riscaldate dal basso per angoli di inclinazione fino a = 20° rispetto alla verticale sostituendo, nella relazione di Ra, g con gcose (Figura 13.14).
e
(13.23)
~r Nu = 0.073 Ra" (Ht 6 Nu=0.197Ra'" -
3
Nu = 0.042 Pr"·'"Ra"' Nu = 0.046
(H)' S
(13.24)
(13.25)
(13.26) (13.27)
Ra'13
Si usino le correlazioni per le cavità verticali come primo grado di approssimazione per 9 :s 20° soslituendo g con gcose nella relazione per Ra
Cavità rettangolare orizzontale (superficie calda in alto)
Gas o liquido
Cavità rettangolare orizzontale (superficie calda In basso)
Gaso liquido
Liquido
FIGURA 13.14 Cavità rettangolare inclinata riscaldata dal basso.
Campo di Pr
Cavità rettangolare inclinata
dove la lunghezza caratteristica è la distanza tra la superficie calda e quella fredda e T1 e T2 sono le temperature della superficie calda e fredda rispettivamente. Anche in questo caso tutte le proprietà del fluido vanno calcolate alla temperatura media del fluido Tm = (T, + T2)/2. Nella Tabella 13.2 sono riportate alcune relazioni empiriche per calcolare il numero di Nusselt per varie cavità. Una volta noto il numero di Nusselt si possono determinare il coefficiente di scambio termico e la potenza termica scambiata attraverso la cavità con le relazioni:
461
TABELLA 13.2 Correlazioni empiriche per il numero di Nusselt per convezione naturale in cavità (la lunghezza caratteristica 8 è indicata nella relativa figura)
Gaso liquido
Gaso liquido
Nu = 1
(13.28)
Ra< 1700
Nu = 1
(13.29)
0.5 +2
1.7x10'+7x10'
Nu = 0.059Ra'·'
(13.30)
0.5 +2
7x10'+3.2x10'
Nu = 0.212Ra'"
0.5 .;.2
Ra>3.2x10'
Nu = 0.061Ra'13
1+5000
1.7x10'+6x10'
Nu = 0.012Ra"'
(13.33)
1+5000
6x10'+3.7x10
Nu = 0.375Ra'"
(13.34)
(13.32)
1 +20
3.7 X 1()4 + 10'
Nu
=0.13Ra'"
(13.35)
1 +20
Ra>10'
Nu
= 0.057Ra' 13
(13.36)
1+5000
6.3 X 10' + 10'
Nu
=0.11Ra
"'
(13.37)
1+5000
10'+ 10'
Nu = 0.40Ra'"'
(13.38)
0.7 + 4000
10'+ 109
Nu
0
=0.228Ra = 0
(13.39)
La conducibilità termica effettiva
La potenza termica trasmessa attraverso uno strato di spessore
o, area su-
perficiale A e conducibilità termica À è
-
---------~-------------~----~-
-~----~---------"
T 462
ti
~ond
CAPITOLO 13 La convezione naturale
Calda ).
Nu=3 Fredda Calda k, 11 = 3.t Fredda
(13.21)
O
dove T1 e T2 sono le temperature sulle superfici esterne dello strato. Dal confronto di questa relazione con l'Equazione 13.19 si ha che la relazione per calcolare lo scambio termico per convezione in una cavità è simile a quella per la conduzione di calore attraverso lo strato di fluido nella cavità, infatti basta sostituire alla conducibilità termica A. il prodotto A.Nu. Si può quindi affermare che il fluido in una cavità si comporta come un fluido la cui conducibilità termica è A.Nu a causa dei moti convettivi. La grandezza A.Nu è detta conducibilità termica effettiva della cavità:
(Assenza di moto)
(13.22)
Conduzione
Convezione
pura
naturale
463
Calcolata la superficie di scambio termico
=A.AT;-T2
Si noti che per Nu = l la conducibilità termica effettiva della cavità diventa uguale alla conduttività del fluido, poiché in questo caso si ha conduzione pura (Figura 13.15).
~'El
A= HL= 0.8x2=1.6 m'
La convezione naturall· all'interno di CU\'ità
si ha:
.
T.-T. 1 2
Q = À. NuA-- -
o
12-2 =0.0246x1.32x1.6 --=25.9W 0.02 Discussione Si ricordi che, per una cavità, un numero di Nusselt Nu. "'. 1. corrisponde a trasmissione di ca!ore ~er conduzi?ne P.ura attraverso la e.avita: m.tale caso l'aria nella cavità resta m qwete e non s1 verifica nessun moto d1 convezione naturale. Poiché il numero di Nusselt nel caso qui considerato vale 1.32, la. trasmissione di calore attraverso la cavità risulta 1.32 volte quella per conduzione pura. L'incremento di trasmissione di calore è dovuto ai moti di convezione naturale che si sviluppano nella cavità.
ESEMPIO 13.4 FIGURA 13.15 Un valore pari a 3 del numero di Nusselt indica che la trasmissione di calore per convezione naturale attraverso la cavità è 3 volte quella per conduzione pura.
ESEMPIO 13.3 La finestra verticale a doppio vetro, larga 2 m ed alta 0.8 m, mostrata in Figura 13.16 è composta di due lastre di vetro sepa(ate da una intercapedine d'aria di spessore 2 cm alla pressione atmosferica. Essendo le temperature delle superfici del vetro affacciate nell'intercapedine 12°C e 2°C rispettivamente, si determini la potenza termica trasmessa attraverso la finestra.
Le due sfere concentriche, di diametro D = 20 cm e D, = 30 cm rispettivamente, mostrate in Figura 13.17, sono separate da aria alla pressione di 101 3~5 Pa: Le temperature superficiali delle due sfere sono T = 320 K e T, 280 K rispettivamente. SI calcoli la potenza termica trasmessa per convezione naturale dalla sfera interna a quella esterna.
=
Soluzione Si tratta di una cavità sferica riempita d'aria. Le proprietà dell'aria vanno valutate alla temperatura media:
Soluzione Si tratta di una cavità rettangolare riempita d'aria. Le proprietà dell'aria vanno valutate alla temperatura media:
T = T, + T, = m 2
12
+
2
2
= 7°C = 280 K
Aria
.1. = 0.0246 W/(m . °C)
Vetro
Pr =0.712
v=1.40x10-s m2 /s
Tm
[3 = ~ = - - = 0.00357 K"' Tm 280 1
6=2cm
m L2l!.-------t."lil
FIGURA 13.17 Schema per l'Esempio 13.4.
f3 = ~ = -
Pr = 0.717
L = 0.8
D 1 =20cm T1=320 K
.1. = o.0261W/(m.°C) v = 1.57x10-sm'/s
A questa temperatura si ha: Vetro
6=5cm
T =T,+T,=320+280_ 300K m 2 2
1 - = 0.00333 K-' 300
Poiché la lunghezza caratteristica in questo caso è la distanza tra le sue sfere,
Poiché la lunghezza caratteristica in questo caso è la distanza tra le due lastre
li=
o= 0.02 m, il numero di Rayleigh è:
t (0
2
-
0 1) =
t (0.3-0.2) = 0.05 m
numero di Rayleigh è: 3
3
Ra= g[J(T,-T,)0 Pr
Ra= g[J (T, -T,)/5 Pr
v' =
9.8 X 0.00357(12 - 2)(0.02)' (1.40x10·5 ) 2
v' 0.717=1.024x10
4
(1.57x10 ... )
Il numero di Nusselt può essere calcolato con l'Equazione 13.24: FIGURA 13.16 Schema per l'Esempio 13.3.
.'
Nu=0.197Rav• -H ( 6
= 9.8x0.00333 (320-280)(0.05)3 0.
)-vo =0.197{1.024x1o't' (~ )-V• =1.32 0.02
2
712
= . x , 4 713 10
Il numero di Nusselt per convezione naturale può essere calcolato con l'Equazione 13.39: Nu = 0.228 Ra°'29 = 0.228 (4.713x10
5 0 )
=
= 4.37
464 CAPITOLO 13
L'aria nella cavità sferica si comporterà quindi come un fluido in quiete con conducibilità termica pari a 4.37 volte quella dell'aria in conseguenza dei moti di convezione naturale. Calcolata la superficie di scambio termico
Per una migliore precisione i risultati ottenuti potranno successivamente essere corretti utilizzando le temperature superficiali calcolate. L'area della superficie di scambio termico dell~ copertura di vetro è:
A= tr D,D, =tr x0.2x0.3 = 0.188 m'
A,= A,,,,. =(trDL),.,,. =trx0.1x1 = 0.314 m' (per metro di tubo)
La com1ezione
naturale
si ha: 0=.1.NuA
T,-T,
=0.0261x4.7x0.188
o
320
280 0.05
17.2W
Discussione Nell'ipotesi che le superfici delle sfere siano nere (emissività e= 1), la potenza termica scambiata per irraggiamento tra le due sfere risulta
Per calcolare il numero di Rayleigh serve il valore della temperatura della superficie di vetro che non è noto. È chiaro allora che la soluzione non può che ottenersi per iterazioni con sostituzioni successive. Ipotizzando la temperatura della copertura di vetro pari a 31 O K, il numero di Rayleigh, il numero di Nusselt, il coefficiente di scambio termico per convezione e la potenza termica scambiata per convezione naturale dalla copertura di vetro all'aria ambiente sono: Ra=
O," =e A,<1 (T,' - T,')
gf3 (T, - T. )83 Pr v'
2
= 1xtrx{0.2) x5.67x10 ... (320' -280') = 30.9 W =
ossia maggiore di quella scambiata per convezione naturale. Poiché remissività di una superficie reale è minore di 1, il calore trasmesso per irraggiamento da una superficie reale sarà minore. L'irraggiamento continuerà comunque ad essere significativo e si dovrà tenerne conto.
9.8x0.003226(310-294)(0.1) (1.57x10"
6
\\\\\\
Copertura di vetro
Un collettore solare è composto da un tubo orizzontale di alluminio, con diametro esterno di 5 cm, racchiuso in un sottile tubo di vetro coassiale di diametro 10 cm (Figura 13.18). Nel tubo scorre l'acqua da riscaldare e nello spazio tra i due tubi è presente aria alla pressione di 101 325 Pa. Un giorno di cielo sereno la pompa per la circolazione dell'acqua si blocca e la temperatura dell'acqua nel tubo inizia ad aumentare. Il tubo di alluminio assorbe 30 W di radiazione solare per metro di lunghezza del tubo mentre la temperatura dell'aria esterna è di 294 K. Trascurando la dispersione termica per irraggiamento determinare la temperatura del tubo di alluminio quando viene raggiunto l'equilibrio termico (cioè quando il calore disperso dal tubo risulta uguale all'energia solare assorbita).
a.....,.... =a__, =a..,.,. = 30 w(per metro di tubo)
FIGURA 13.18 Schema per l'Esempio 13.5.
Le proprietà dell'aria andrebbero valutate alla temperatura media. Non essendo note le temperature del tubo e del vetro non si possono calcolare le temperature medie. Si utilizzeranno allora proprietà dell'aria calcolate ad una temperatura media stimata in 310 K:
6
/3 = -
1
Tm
----------
1
0.0261
À.
h =-Nu = --16.2 = 4.23 W/(m · °C) 2
D 0.1 O,.,..= hA,(T, -T_) = 4.23x0.314x(310-294) =21.3W Poiché la potenza termica calcolata è minore di 30 W, il valore di 310 K assunto per la temperatura della copertura di vetro è troppo basso. Ripetendo i calcoli per · un valore di 320 K si ottiene 39.6 W, che risulta invece alto. La temperatura della copertura di vetro corrispondente a 30 W viene allora determinata per Interpolazione e risulta 315 K. La temperatura del tubo di alluminio si determina in modo simile utilizzando le relazioni per convezione naturale in due cilindri coassiali. La lunghezza caratteristica in questo caso è la distanza tra i due cilindri:
t (0
o=
D,) =
2-
A= tr L(D, - D,) ln(D,ID,)
.
t (0.1 -0.05) =0.025 m
=tr x 1(0.1/0.05) _ 0.2266 m' ln(0.1/0.05)
.Assumendo una temperatura del tubo pari a 365 K, si ha: 3
Ra=g/3(T,-T,)o Pr
v'
.1. = o.0261 W/(m . °C) v = 1.57 x 10' m'/s Pr = 0.711
--------~----~----
,
0.387(1.459x10 )V }' = { 0.6 + [ = 16.2 6127 ] 1 + (0.559/0.711)
Soluzione Si tratta di una cavità cilindrica orizzontale riempita d'aria alla pressione di 101 325 Pa. Il problema presenta una trasmissione del calore dal tubo di alluminio alla copertura di vetro e dalla superficie esterna di questa all'aria ambiente circostante. Quando si raggiunge l'equilibrio termico e quindi un regime stazionario di funzionamento, le due potenze termiche suddette devono essere uguali alla potenza termica assorbita:
Acqua
0.711 =1.419x10
0.387 Ra ve }' Nu= 0.6+ { (1 + (0.559/Pr)""]
ESEMPIO 13.5
Energia solare
3
5 2 )
=
9.8x0.003226(365-315)(0.025)
3
0.711=7.1 24x10
4
(1.57x10"')' Nu=0.11Ra
0
"'
=0.11{7.124x10
1
== 0.003226K310
O..,.= À. NuAT,
-T,
o
4 0 ) ·"
=2.81 355 315 =0.0261x2.81x0.2266 < l -33.2 W 0.025
465 La convezione naturale all'interno di ca,·ità
Poiché la potenza termica calcolata è maggiore di 30 W, il valore di 365 K assunto per la temperatura del tubo è troppo alto. Ripetendo i calcoli per un valore di 355 K si ottlen~ 24.9 W, valore troppo basso. La temperatura del tubo corrispondente a 30 W viene allora determinata per interpolazione e risulta 361 K. Quando la pompa si arresta, quindi, il tubo raggiungerà una temperatura di equilibrio di
466 #ilf
]iilil!J
CAPITOLO 13 I.a convezione
naturale
361 K. ~uesto ri~ulta_to è stato otte~uto utilizzando proprietà dell'aria alla temperatura d1 31 O K. E chiaro che tale risultato può essere migliorato ripetendo i calcoli precede.nti con p~oprietà dell'aria valutai~ alla temperatura media di 304.5 K per la tra~m1~sion~ d1 calore dalla copertura d1 vetro all'aria ambiente e di 338 K per la trasm1ss1one d1 calore dal tubo alla copertura di vetro. Nei calcoli inoltre non si è considerato lo scambio termico per irraggiamento, ottenendo un 'valore,Sli temperatur'.1 del ~ubo probabilmente troppo elevato. Questo problema verrà preso in cons1deraz1one nuovamente nel successivo capitolo considerando anche il contributo dell'irraggiamento.
•
13.4 lll LA CONVEZIONE NATURALE SU SUPERFICI ALETTATE
(a)
(b)
FIGURA 13.19 Dissipatori di calore con alette molto distanziate (a) e molto fitte (b) (per concessione della Vemaline Products).
"H>r "°' II
cruma. T
Superfici ~l~ttate di varia forma, dette dissipatori di calore, sono frequent~m~nte utilizzate ~el raffreddamento di componenti elettronici. L'energia dissipa'.a da que.sti. c~mpo~enti, è. trasm~ssa ai dissipatori di calore per conduzwne e dai dissipaton ali ana ambiente per convezione naturale o forzata a seconda della potenza da dissipare. La convezione naturale è la modalità preferita di scambio termico poiché come gli stessi componenti elettronici non richiede parti in movimento. Un dissipatore di calore scelto appropriatamente può abbassare sensibilmente la temperatura di esercizio dei componenti aumentandone laffidabilità. Una domanda che spesso sorge nella scelta di un dissipatore di calore è se per una detemùnata area di base conviene sceglierne uno con alette molto fitte o uno con alette molto rade (Figura 13.19). Un dissipatore di calore con ~ette molto fitte avrà una maggiore area superficiale per lo scambio termico ma un minore coefficiente di scambio temùco a causa della resistenza delle alette al moto del fluido. Un dissipatore di calore con alette molto rad~, d'altra parte, avrà un coefficiente di scambio tennico maggiore ma una IIl!nore area superficiale. Si può detemùnare una spaziatura ottimale che rende massimo il coefficiente di scambio temùco dal dissipatore di calore per una assegnata area di base WL, dove W e L sono rispettivamente la larghezza e l'altezza della base del dissipatore di calore come mostrato in Figura l~.20. Se le alett~ P?ssono ~ssere considerate isdterme e lo spessore della smgo!a aletta t e piccolo nspetto alla distanza tra le alette s, la spaziatura ottimale per le alette di un dissipatore di calore verticale è determinata con la relazione proposta da Rohsenow e Bar-Cohen: L
S0 u = 2.714--u:r Ra FIGURA 13.20 Caratteristiche geometriche di una superficie alettata orientata verticalmente.
A.
h=l.31-
467
(13.41)
Sou
La potenza termica scambiata dalle alette in convezione naturale può essere calcolata con la relazione:
Q=h(2nLH)(T5 -T~)
(13.42)
dove n = W/(s + t) "' W/s è il numero di alette sul dissipatore di calore e T5 è la temperatura superficiale delle alette. Rispetto alla semplice convezione naturale, direttamente correlata alla portata di massa del fluido detemùnata dal bilanciamento dinamico degli effetti opposti di galleggiamento ed attrito, le alette di un dissipatore di calore inducono un ulteriore galleggiamento a causa della temperatura elevata delle superfici delle alette e un ulteriore attrito rallentando il fluido. Di conseguenza, aumentando il numero di alette su un dissipatore di calore si può aumentare o diminuire la convezione naturale a seconda di quale è l'effetto dominante. I dissipatori di calore con alette fitte non sono utili nel caso di convezione naturale. Infatti la presenza di alette fitte, che formano stretti canali, tende a bloccare o "soffocare" il fluido, specie quando il dissipatore di calore è lungo, effetto che supera l'aumento di galleggiarnento e degrada le caratteristiche di scambio temùco del dissipatore di calore. Fissata la potenza temùca da smaltire il dissipatore di calore in questo caso funziona ad una temperatura più alta rispetto a quella che si avrebbe in assenza di alette. .. Quando invece il dissipatore di calore presenta alette rade, lalettatura non introduce un significativo aumento nella resistenza al moto, per cui dominano gli effetti di galleggiamento. In questo caso la trasmissione di calore per . .;?,.convezione naturale può aumentare, tanto che fissata la potenza temùca da ''fdissipare il dissipatore di calore può funzionare ad una temperatura più bas:. sa di quella che si avrebbe in presenza di una alettatura fitta. }i:,, Poiché la velocità di decadimento di un componente elettronico au·::·'f: menta quasi esponenzialmente con la temperatura di esercizio, un compoXff nente elettronico risulta tanto più affidabile quanto più bassa è la tempera.. ~a di funzionamento. Una regola empirica stabilisce che la velocità di àecadirnento di un semiconduttore si dimezza per ogni 10°C di riduzione D;ella temperatura di esercizio della giunzione. Questo criterio ha spinto la ~ce~ca verso nuove tecniche per abbassare la temperatura di esercizio senza ncorrere alla convezione forzata aumentando invece la convezione nafurale: Sparrow e Prakash hanno dimostrato chè, sotto certe condizioni, ,'utilizzazione di piastre discrete al posto di quelle continue aumenta notev~Jmente la trasmissione del calore a parità di area superficiale; Cenge! e ~~· utilizzando transistori come sorgente di calore, hanno dimostrato che Utihzzando un'alettatura la temperatura misurata sull'involucro del transistore diminuisce di circa 30°C rispetto al caso senza alettatura.
(13.40)
dove la lunghezza dell'aletta L nella direzione verticale viene considerata come lunghezza caratteristica per il calcolo del numero di Rayleigh. II coefficiente di scambio temùco nel caso di spaziatura ottimale è:
ESEMPIO 13.6 Una.superficie calda verticale, larga 12 cm ed alta 18 cm, deve essere raffreddata in ana a 25°C con un dissipatore di calore con alette di profilo rettangolare dispo-
~~
La convezione naturale su superfici alettate
468 CAPITOLO 13 La convezione
ste con passo costante. Le alette sono spesse 0.1 cm, lunghe 18 cm nella direzione verticale e profonde 2.4 cm dalla base. Determinare la distanza ottimale tra le alette e la potenza termica scambiata dal dissipatore di calore per convezione naturale nel caso in cui la temperatura alla base valga 80°C.
naturale
Si assume lo spessore t delle alette trascurabile rispetto alla diSoluzione stanza s tra le alette In modo da poter applicare le Equazioni 13.40 e 13.41 per il calcolo della spaziatura ottimale tra le alette. Le proprietà dell'aria vanno valutate alla temperatura di film: 80+25 - = 52.5°C = 325.5 K r, = -T -+2 T- = 2 5
A questa temperatura si ha: ). = 0.0279W/(m . °C)
v =1.82x10 ... m 2 /s Pr=0.709 t= I
FIGURA 13.21 Schema per l'Esempio 13.6.
1 - = 0.003072 K"' 325.5
/3 = .2_ = -
mm-Jf- -Js f-
T,
Poiché la lunghezza caratteristica in questo caso è la lunghezza delle alette nella direzione verticale che vale L = 0.18 m, il numero di Rayleigh è: Ra - g{3 (Ts - T. )8' Pr
v' 9.8x0.003072(8 0-25)(0.18) =
5 2
(1.82x10· )
3
0.709=2.067x10
7
La spaziàtura ottimale per le alette si determina con l'Equazione 13.40:
L
0.18
sott =2.714-,,-=2.7 14 (2.067x10 Ra"
7
)v'
=0.0072m=7.2m m
e risulta circa 7 volte lo spessore delle alette. L'ipotesi di spessore trascurabile è in questo caso accettabile. Il numero di alette ed il coefficiente di scambio termico per questo valore ottimale di spaziatura delle alette sono:
w
0.12 =15alette . 0.0072 + 0.001 0.0279 ). 2 h=1.31-=1. 31--=5.08 W/(m .°C) 0.0012 s°"
n=---
s+ t
La potenza termica per convezione naturale è:
Q=h(2nLH)(T5 - T.) = 5.8(2x15x0.18x 0.12)(80-25)=1 81 W 11 dissipatore di calore può dunque dissipare una potenza termica per convezione naturale di 181 W.
13.5 m'1 LA CONVEZIONE NATURALE E LA CONVEZIONE FORZATA Poiché la presenza di un gradiente di temperatura in un fluido dà sempre luogo, in un campo di gravità, a moti di convezione naturale e quindi a trasmissione di calore per convezione naturale, la convezione forzata è sempre accompagnata da convezione naturale. Si è detto prima che il coefficiente di trasmissione di calore per convezione naturale o forzata è funzione della velocità del fluido. Poiché i valori del coefficiente di scambio termico in convezione forzata sono solitamente molto più alti di quelli in convezione naturale a causa delle più alte velocità del fluido nel caso di convezione forzata si tende a trascurare la convezione naturale sebbene questa accompagna sempre quella forzata.L'errore commesso nell'ignorare la convezione naturale è trascurabile alle alte velocità ma può risultare notevole nel caso di convezione forzata a basse velocità. È necessario avere un criterio per stabilire il peso relativo della convezione naturale in presenza di convezione forzata. Questo criterio si può ricavare osservando che per un dato fluido il parametro Gr/Re2 rappresenta l'importanza relativa della convezione naturale rispetto a quella forzata, poiché il coefficiente di scambio termico per convezione dipende strettamente dal numero di Reynolds Re in convezione forzata e dal numero di Grashof Gr in convezione naturale. Un grafico del coefficiente di scambio termico adimensionalizzato per convezione combinata naturale e forzata su piastra verticale è riportato in figura 13.22 per differenti fluidi. Si noti che la convezione naturale è traScurabile quando Gr/Re2 10 e nessuna delle due è trascurabile quando O.I < Gr/Re < 10. nei considerate quindi vanno forzata quella che naturale ~ja la convezione 2 calcoli di scambio termico quando Gr e Re sono dello stesso ordine di grandezza. : : La convezione naturale può aiutare o ostacolare la trasmissione del éàlore in convezione forzata a seconda delle direzioni relative dei moti iridotti dal galleggiamento e dalla convezione forzata (Figura 13.23):
L. Nel flusso agevolato il moto di galleggiamento è nella stessa direzione del moto forzato, quindi la convezione naturale agevola quella forzata ed aumenta la trasmissione di calore. Un esempio è il flusso forzato ascendente su una superficie càlda. Net flusso contrastato il moto di galleggiamento va nella direzione }JSta al moto forzato, quindi la convezione naturale contrasta quella ta e diminuisce la trasmissione di calore. Un esempio è il flusso forza. ~endente su una superficie fredda. 3"'}'Nel flusso trasversale il moto di galleggiamento è perpendicolare al moto forzato. Poiché il flusso trasversale aumenta il mescolamento del fluido, aumenta anche la trasmissione di calore. Un esempio è il flusso forzato orizzontale su cilindro o sfera, caldo o freddo. Quando si valuta la trasmissione di calore in condizioni di convezione combinata naturale e forzata si è tentati di sommare i contributi della cOnvezione naturale e forzata nel caso di flussi agevolati e di sottrarli nel
469 La convezione naturale e la convezione forzata
0.01.__,_...._...,..._ __._..._..._....__,__ , 10 1.0 O.I O.O!
Rix= Or/Re} FIGURA 13.22 Variazione del numero di Nusselt locale (Nu, per convezione combinata naturale e forzata da una piastra calda verticale isoterma (da Lloyd e Sparrow).
470
Piastra calda
CAPITOLO 13 La con\'ezione naturale
Flusso di galleggiamento
Flusso di galleggiamento
Flusso di galleggiamento forzato Flusso
~!/;o~
~== \~
tttt
~ Flusso forzato
(a) Flusso agevolato
FIGURA 13.23
La convezione naturale può aiutare o ostacolare la trasmissione del calore a seconda delle direzioni relative dei moti indotti dal galleggiamento e dalla convezione forzata.
li 1\ " \
w
~~
(b) Flusso contrastato
emissione di potenza, specie quando sono collegati ~ dissipatori di calore con superfici estese. Per dispositivi ad elevata em_isswne di potenza, tuttavia, non c'è scelta e bisogna utilizzare un venulator~ o una po~pa per mantenere la temperatura di esercizio al di sotto del livello massimo ammesso. Per dispositivi ad emissione di poten:a molto elevata anche la convezione forzata può risultare insufficiente per mantenere la tei:nper~~u ra superficiale ai livelli desiderati; in tal caso può .essere n~ce~sa:io uuli~ zare lebollizione e la condensazione per sfrutt.are 1 c~effic1ent1 .d1 scambio termico molto elevati associati con processi d1 cambiamento d1 fase.
13.6 ~ SOMMARIO In questo capitolo si è trattato della trasmissione di calore per convezion~
naturale, che si ha quando il moto del fluido ha luogo per cause n~~rali (e) Flusso trasversale
caso di flussi contrastati. Tuttavia la realtà suggerisce di comportarsi diversamente. Dall'analisi dei dati sperimentali si ha la relazione: . ,· (13.43) dove Nuronaia e Nu..,...1• sono i valori determinati con le relazioni valide rispettivamente per convezione forzata pura e convezione naturale pura. II segno positivo vale per flussi agevolati e trasversali, mentre il segno negativo vale per flussi contrastati. Il valore dell'esponente n varia fra 3 e 4 a seconda della geometria interessata: n 3 va bene per superfici verticali; valori maggiori di 3 sono più indicati per superfici orizzontali. Nel raffreddamento dei dispositivi con generazione di calore come i componenti elettronici ci si domanda spesso se usare un ventilatore (o una pompa se il mezzo di raffreddamento è un liquido), vale a dire se utilizzare la convezione naturale o quella/orzata nel raffreddamento del dispositivo. La risposta a questa domanda dipende dal valore massimo ammesso per la temperatura di esercizio. Si ricordi che la potenza termica trasmessa per convezione da una superficie a temperatura Ts ad un fluido a T_ è data da
=
Qconv = hA(Ts -T_) dove h è il coefficiente di scambio termico per convezione ed A è l'area della superficie. Poiché, per valori prefissati cli potenza dissipata ed area della superficie, h e Ts risultano inversamente proporzionali, il dispositivo funzionerà ad una temperatura più alta quando h assume valori piccoli (tipici della convezione naturale) e ad una temperatura più bassa quando h assume valori grandi (tipici della convezione forzata). La convezione naturale è la modalità di scambio termico preferita perché non sono necessari ventilatori o pompe con tutti i problemi associati ad essi come rumore, vibrazioni, consumo di potenza e malfunzionamento. La convezione naturale va bene per il raffreddamento di dispositivi a bassa
come il galleggiamento. Nel caso ~i ~on.vezione. natura~e le veloc1ta del fluido sono basse, per cui i coeffic1entI d1 scambio term1c? sono generalmente molto più bassi di quelli che si hanno per la convezione forzata. La forza ascendente esercitata da un fluido su un corpo completamente o parzialmente immerso in esso è detta/orza di galleggiar:ze~to, c?e è ugu~le al peso del fluido spostato dal corpo. Il coefficiente di dilatazione cubica f3 rappresenta la variazione cli densità di una sostanza con la temperatura a pressione costante:
13
=-I.(aarPì)p p
(IIK)
Per un gas perfetto il coefficiente di dilatazione cubica è: (l/K) . . . . . 'dove Tè la temperatura assoluta. ~... Lo strumento utilizzato più spesso negli espenment1 d1 convezione 1:1aturale è l'interferometro Mach-Zehnder, che !omisce l'andamento delle }soterme nel fluido in prossimità della superficie. . . .•f!. .. Il regime di flusso in convezione naturale può essere studiato ncorrend? ·ia un numero adimensionale detto numero di Grashof, che rapprese~ta Il ì:apporto tra la forza di galleggiamento e la forza viscosa agente sul flmdo:
tlove .
g
=accelerazione di gravità, m/s2
v
=viscosità cinematica del fluido, m2/s.
.
.
f3 =coefficiente di dilatazione cubica, l/K ({J = l/T per 1 gas perfetti) Ts = temperatura della superficie, °C . T. = temperatura del fluido sufficientemente .lontano dalla superficie, 0 C ~ = lunghezza caratteristica della geometna, m
471 Sommario
472 #Mté
CAPITOLO 13 La convezione naturale
Il valore del numero di Grashof permette di stabilire in convezione naturale se il flusso è laminare o turbolento. La potenza termica scambiata in convezione naturale tra una superficie solida e il fluido circostante è espressa dalla legge di Newton della convezione: Qconv
= hA(Ts -T_)
(W)
dove A è l'area della superficie di scambio termico ed h è il coefficiente di scambio termico sulla superficie. La maggior parte delle relazioni per la convezione naturale, derivate da studi sperimentali, è del tipo: Nu = hO À.
La trasillissione di calore .. per irraggialllento
=C(GrPrr =CRa"
dove Ra è il numero di Rayleigh prodotto dei numeri di Grashof e di Prandtl: Ra = GrPr = g /3
(Ts -T- )8 3 Pr v2
I valori delle costanti C e n dipendono dalla geometria della superficie e dal regime di flusso caratterizzato dal valore del numero di Rayleigh. Relazioni semplici per calcolare i valori del numero di Nusselt per varie geometrie sono riportate nella Tabella 13.1 insieme ad uno schema della geometria. Tutte le proprietà del fluido devono essere valutate alla temperatura di film~= (T5+ TJ/2. Semplici relazioni empiriche per calcolare il valore del numero di Nusselt per diverse cavità sono riportate in Tabella 13.2. Una volta determinato il valore del numero di Nusselt la potenza termica scambiata attraverso la cavità può essere calcolata con la relazione:
Q=hA(I;-Ti}=À. NuA I; ~T2
dove
HL cavità rettangolari A = n L(Di - D,) cilindri coassiali ln(D2 /D1) n D1D2 sfere concentriche
!
La quantità À. Nu è detta conducibilità termica effettiva della cavità, perché per calcolare la potenza termica trasmessa all'interno della cavità si può considerare un fluido in quiete la cui conducibilità termica è À. Nu. Per un dato fluido il parametro Gr/Re2 rappresenta limportanza relativa della convezione naturale rispetto a quella forzata. La convezione naturale è trascurabile quando Gr/Re 2 < O. I, quella forzata è trascurabile quando Gr/Re 2 > IOe nessuna delle due è trascurabile quando 0.1 < Gr/Re 2 < IO.
•.f ~ella prima parte del capitolo si prenderanno in considerazione le onde elettromagnetiche e quella parte dello spettro elettromagnetico costituita i~
· dalla radiazione termica, introducendo il corpo nero ideale, la radiazione corpo nero e la funzione di radiazione di corpo nero, insieme alla legge .;~;\;di Stefan-Boltzmann, la legge della distribuzione di Planck e la legge dello ·1~; spostamento di Wien. Si tratteranno anche le proprietà radiative dei matej;!f riali come emissività, coefficiente di assorbimento, coefficiente di rifles·.•;t~ sione e coefficiente di trasmissione e la loro dipendenza dalla temperatura · · dalla lunghezza d'onda. L'effetto serra verrà presentato come esempio elle conseguenze della dipendenza delle proprietà radiative dalla lunghezza 'onda. Un paragrafo a parte, considerata l'importanza dell'argomento, dedicato alla trattazione della radiazione solare e atmosferica. . Nella seconda parte del capitolo si studieranno i fattori di vista e le regole a essi associate, fornendo diagrammi ed espressioni dei fattori di Yista per alcune configurazioni comuni e presentando il metodo delle corde incrociate. Si passerà quindi alla trasmissione di calore per irraggiamento, prima tra superfici nere e poi tra superfici non nere usando il metodo della rete elettrica equivalente. Infine saranno considerati gli schermi alla radiazione e l'influenza dell'irraggiamento sulle misure di temperatura e sul benessere. .~di
-------------- ·------
474
14.1 fJ INTRODUZIONE
CAPITOLO 14
Si consideri un corpo caldo collocato in una camera a vuoto le cui pareti sono a temperatura ambiente (Figura 14.1): il corpo si raffredda e raggiunge lequilibrio termico con lambiente, perdendo calore finché la sua temperatura non uguaglia quella delle pareti della camera. La trasmissione di calore tra il corpo e la camera, non potendo aver luogo per conduzione o convezione, poiché questi duè fenomeni non si possono verificare nel vuoto, deve avvenire attraverso un altro fenomeno legato alla emissione di energia interna sensibile dal corpo: l'irraggiamento. L'irraggiamento differisce dagli altri due fenomeni di trasmissione del calore in quanto non richiede la presenza di un mezzo materiale per aver luogo. Inoltre la trasmissione di calore per irraggiamento è la più veloce (avviene alla velocità della luce), non subisce alcuna attenuazione nel vuoto e si può verificare anche nei solidi, nei liquidi e nei gas. Nella maggior parte delle applicazioni pratiche tutte e tre le modalità di trasmissione del calore hanno luogo contemporaneamente con diversa intensità; nel vuoto, invece, la trasmissione di calore può aver luogo solo per irraggiamento: per esempio, l'energia solare raggiunge la Terra per irraggiamento. Mentre la trasmissione di calore per conduzione o convezione ha luogo nel verso delle temperature decrescenti da un mezzo a più alta temperatura verso uno a più bassa temperatura, la trasmissione di calore per irraggiamento tra due corpi può avvenire anche in presenza di un mezzo di separazione più freddo di entrambi i corpi (Figura 14.2): per esempio, la radiazione solare raggiunge la superficie della Terra dopo essere passata, alle elevate altitudini, attraverso strati d'aria molto freddi; in una serra le superfici che assorbono radiazione raggiungono temperature elevate anche se la copertura di plastica o di vetro rimane fredda. Il fondamento teorico dell'irraggiamento fu stabilito nel 1864 dal fisico James Clerk Maxwell, il quale ipotizzò che cariche accelerate o correnti elettriche variabili danno luogo a campi elettrici e magnetici in rapido movimento, detti onde elettromagnetiche o radiazione elettromagnetica, che rappresentano l'energia emessa dalla materia in conseguenza dei cambiamenti nelle configurazioni elettroniche degli atomi e molecole. Nel 1887 Heinrich Hertz dimostrò sperimentalmente lesistenza delle onde elettromagnetiche che, come tutte le onde, trasportano energia. Le onde elettromagnetiche viaggiano alla velocità della luce e sono caratterizzate dalla frequenza ve dalla lunghezza d'onda À., proprietà legate dalla relazione:
La trasmissione di calore per irraggiamento
FIGURA 14.1
Un corpo caldo in un contenitore vuoto che scambia calore solo per irraggiamento.
Persona 30°C Aria
Fuoco 900'C ( 1
s'c
'
r\.
~ji
~
1
li FIGURA 14.2
Trasmissione di calore per irraggiamento tra due corpi, separati da un fluido più freddo.
A.=~
(14.1)
V
dove c è la velocità della luce nel mezzo di trasmissione. La velocità della luce in un mezzo è legata alla velocità della luce nel vuoto dalla relazione c =c/n, dove n è l'indice di rifrazione del mezzo e c0 =2.998 x 108 rn/s è la velocità della luce nel vuoto. L'indice di rifrazione è circa uguale a 1 per laria e per la maggior parte dei gas e vale circa 1.5 per lacqua e il vetro.
475
L'unità di misura comunemente usata per la lunghezza d'onda è il micrometro (µm), dove I µm = 10-6 m. Al contrario della lunghezza d'onda e della velocità di propagazione, la frequenza di un'onda elettromagnetica dipende solo dalla sorgente ed è indipendente dal mezzo attraverso cui l'onda si propaga. Lafrequenza (numero di oscillazioni per secondo) di un'onda elettromagnetica può variare, in funzione della sorgente, da pochi cicli a milioni di cicli per secondo. Si noti dall'Equazione 14.1 che la lunghezza d'onda e la frequenza della radiazione elettromagnetica sono inversamente proporzionali. Come proposto da Max Planck nel 1900 la radiazione elettromagnetica può essere considerata come propagazione di un insieme di pacchetti discreti dì energia detti fotoni o quanti ciascuno caratterizzato dalla frequenza ve dall'energia:
hc e=hv =-
;.
La radiaziont termini
(14.2)
dove h = 6.625 x 10-34 J · s è la costante di Planck. Si noti dall'Equazione 14.2 che, essendo h e e costanti, lenergia di un fotone è inversamente proporzionale alla sua lunghezza d'onda e che, quindi, la radiazione di più piccola lunghezza d'onda possiede fotoni di maggiore energia. Non sorprende perciò che si cerchi di evitare la radiazione di lunghezza d'onda molto piccola, come i raggi gamma e i raggi X, poiché essi sono molto dannosi.
,l,µm
1010 IO'
IOS
14.2 lii LA RADIAZIONE TERMICA
Onde elettriche di potenza
IO'
Onde radio
!
106
onde elettromagnetiche, sebbene abbiano tutte la stessa natura, differiscono molto nel loro comportamento al variare della lunghezza d'onda. ~ella realtà le radiazioni elettromagnetiche coprono un esteso campo di lunghezze d •onda variabile da meno di 10- 10 µm per i raggi cosmici a più di !010 µm per le onde elettriche di potenza. Lo spettro elettromagnetico infatti comprende anche i raggi gamma, i raggi X, la radiazione ultravioletta, fà luce visibile, la radiazione infrarossa, la radiazione termica, le microonde onde radio, come mostrato in Figura 14.3. I vari tipi di radiazione elettromagnetica sono prodotti da fenomeni erenti: i raggi gamma sono prodotti da reazioni nucleari, i raggi X dal bardamento di metalli con elettroni di alta energia, le microonde da iali tubi elettronici come klystron e magnetron, le onde radio dal!' ecione di alcuni cristalli o dal flusso di corrente alternata in conduttori . ttrici. · La radiazione elettromagnetica che corrisponde alla trasmissione di calore è la radiazione termica emessa a causa dei moti vibratori e rotatori delle molecole, atomi ed elettroni di una sostanza. Poiché la temperatura è ':h1a Inisura dell'intensità di questi processi al livello microscopico, all'aumentare della temperatura aumenta l'emissione di radiazione termica, che è. continuamente emessa da tutta la materia che si trovi a temperatura supenore allo zero assoluto: tutti gli oggetti e le persone emettono (e assorbo-
IO' 104
Microonde
i
IO'
102 10 I0-1
Radiazione Infrarossa tennica f Visibile Ultravioletta
I0-2
10-3
Raggi X
J0-4 10-> J0-6 IO-'
I0-8 IO-'
Rag~i.
cosm1c1
I
FIGURA 14.3
Spettro della radiazione elettromagnetica.
476 CAPITOLO 14 La trasmissione di calore per irraggiamento
Piante
~:::::
Pareti Persone
g;;·~v7~ FIGURA 14.4
Tutti i corpi emettono energia termica per irraggiamento.
TABELLA 14.1
Campi di lunghezza d'onda di differenti colori Colore Banda di lunghezza d'onda Violetto Blu Verde Giallo Arancio Rosso
0.40 0.44 µm 0.44 0.49 µm 0.49 0.54 µm 0.54 0.60 µm 0.60 0.63 µm 0.63 0.76 µm
FIGURA 14.5
Il cibo viene riscaldato o cucinato in un forno a microonde per assorbimento della radiazione elettromagnetica generata dal magnetron del forno.
no) continuamente radiazione (Figura 14.4). La radiazione termica è la parte dello spettro elettromagnetico che va da circa O.I a I00 µm, poiché la radiazione emessa dai corpi a causa della loro temperatura cade quasi interamente in questo campo di lunghezze d'onda. Si noti che la radiazione termica include l'intera radiazione visibile ed infrarossa (IR) e parte della radiazione ultravioletta (UV). La luce è la parte visibile dello spettro elettromagnetico, compresa tra 0.40 e 0.76 µm, ed è composta da ristrette bande di colore che vanno dal violetto (0.40 + 0.44 µm) al rosso (0.63 + 0.76 µm), come mostrato in Tabella 14.1. Il colore di una superficie dipende dalla sua attitudine a riflettere determinate lunghezze d'onda: per esempio, una superficie appare rossa se riflette radiazione nel campo di lunghezze d'onda 0.63 + 0.76 µm, mentre assorbe il resto della radiazione visibile. Una superficie che riflette tutta la luce appare bianca, mentre una superficie che assorbe tutta la luce incidente su di essa appare nera. Un corpo che emette radiazione nel campo visibile è detto sorgente di luce: il Sole, ovviamente, è la principale sorgente di luce. La radiazione elettromagnetica emessa dal Sole, detta radiazione solare, è compresa quasi tutta nella banda di lunghezza d'onda O. I + 3 µm ed è quasi per metà luce (cioè compresa nel campo visibile) e per la rimanente parte radiazione ultravioletta ed infrarossa. La radiazione emessa da corpi a temperatura ambiente cade nel campo infrarosso dello spettro che va da 0.76 a 100 µm. Solo a temperature superiori a 800 K i corpi iniziano ad emettere radiazione visibile in quantità apprezzabile, infatti il filamento di tungsteno di una lampadina ad incandescenza deve essere riscaldato a temperature superiori a 2000 K prima che esso diventi luminoso. La radiazione ultravioletta occupa il campo delle basse lunghezze d' onda dello spettro di radiazione termica che va da O.O! a 0.40 µm. I raggi ultravioletti sono da evitare perché dannosi ai microrganismi, agli esseri umani e ad altri organismi viventi. Circa il 12 per cento della radiazione ~o lare al di fuori del!' atmosfera è nel campo ultravioletto e sarebbe devastante se essa raggiungesse la superficie della Terra. Fortunatamente lo strato di ozono (0 3) nell'atmosfera fa da scudo protettivo assorbendo la maggior parte della radiazione ultravioletta extratmosferica; tuttavia la restante parte della componente ultravioletta della radiazione solare è ancora sufficiente a causare serie scottature solari e per una prolungata esposizione tumori della pelle. Scoperte recenti di "buchi" nello strato di ozono hanno costretto la comunità internazionale a bandire l'uso di sostanze chimiche che distruggono lozono, come il refrigerante Freon- I 2. I forni a microonde utilizzano la radiazione elettromagnetica generata da tubi a microonde, detti magnetron, nel campo delle microonde tra 2 10 + 105 µm. Queste radiazioni sono molto indicate per limpiego in cucina poiché sono riflesse dai metalli, trasmesse da vetro e plastica ed assorbite dalle molecole del cibo (soprattutto dall'acqua). In un forno a microonde, perciò, l'energia elettrica convertita in radiazione alla fine diventa parte dell'energia interna del cibo realizzando una veloce ed efficiente cottura (Figura 14.5). I radar ed i telefoni senza fili impiegano an-
ch'essi radiazione elettromagnetica nel campo delle microonde con lunghezza d'onda compresa tra 1 e 1000 m. Nello studio della trasmissione del calore, poiché interessa l'energia emessa dai corpi a causa della loro temperatura, si considera soltanto la radiazione tennica che è anche detta semplicemente irraggiamento. Si noti che le relazioni, sviluppate di seguito, sono limitate alla sola radiazione termica e non possono applicarsi ad altre forme di radiazione elettromagnetica. Poiché gli elettroni, gli atomi e le molecole dei solidi, liquidi e gas al di sopra della temperatura dello zero assoluto sono costantemente in movimento, la radiazione è emessa, assorbita o trasmessa continuamente attraverso l'intero volume di materia, per cui l'irraggiamento è un fenomeno volumetrico. Per solidi opachi (non trasparenti) come i metalli, il legno e le rocce la radiazione è invece considerata un fenomeno superficiale, poiché la radiazione emessa dalle zone interne non può raggiungere la superficie e la radiazione incidente sulla superficie è generalmente assorbita entro pochi micron da essa (Figura 14.6). Si noti che le caratteristiche radiative delle superfici possono cambiare completamente applicando su di esse sottili strati di vernici.
477 ·~n
. .:="=• ::":~,"0"~ La radiazione di corpo nero
Radiazione
emessa Gas o vuoto
FIGURA 14.6
14.3 ~ LA RADIAZIONE DI CORPO NERO µn corpo a temperatura superiore allo zero assoluto emette radiazione in tutte le direzioni in un vasto campo di lunghezze d'onda. Poiché l'energia radiante emessa da una superficie ad una data lunghezza d'onda dipende dal materiale del corpo e dalla condizione e temperatura della sua superfi' :,,éie, corpi diversi alla stessa temperatura possono emettere quantità differenti di radiazione per unità di area. Si definisce quindi un corpo ideale, detto corpo nero, che serve come riferimento rispetto al quale confrontare proprietà radiative delle superfici reali. Un corpo nero è un perfetto emettitore e assorbitore di radiazione poiché emette la massima radiazione per ogni temperatura e lunghezza d' on#g"';Jla e assorbe tutta la radiazione incidente indipendentemente da direzione e ""'"'iii'lunghezza d'onda. Poiché il corpo nero emette energia radiante uniformemente in tutte le direzioni (Figura 14.7), è un emettitore diffuso, dove il termine diffuso significa "indipendente dalla direzione". ... La potenza radiante emessa da un corpo nero per unità di area superfi. e, detta potere emissivo del corpo nero, fu determinata sperimentalte da Joseph Stefan nel 1879 ed è espressa dalla relazione:
La radiazione nei solidi opachi considerata come fenomeno superficiale perché solo quella emessa dalle molecole in superficie può lasciare il solido.
Uniforme
Non unifonne
(14.3) dove
FIGURA 14.7
Il corpo nero è un emettitore diffuso perché emette energia radiante uniformemente in tutte le direzioni.
478 CAPITOLO 14 La trasmissione di calore
per irraggimnento
FIGURA 14.8
Una grande cavità isoterma a temperatura T con una piccola apertura di area A come corpo nero di area superficiale A alla stessa temperatura.
che assorbe la luce (parte visibile della radiazione) appare nera all'occhio mentre una superficie che la riflette completamente appare bianca. Poiché la radiazione visibile occupa una banda molto stretta dello spettro, da 0.4 a 0.76 µm, non si può giudicare se una superficie approssima il comportamento del corpo nero sulla base della sola osservazione visiva: per esempio la neve e la pittura bianca sembrano bianche perché riflettono la luce, mentre, poiché assorbono la radiazione di elevata lunghezza d'onda, sono essenzialmente nere alla radiazione infrarossa. Superfici verniciate con nerofumo si avvicinano al comportamento del corpo nero ideale. Un corpo che approssima bene il comportamento del corpo nero è una grande cavità con una piccola apertura, come mostrato in Figura 14.8. Si noti che la radiazione entrante attraverso l'apertura di area A subirà riflessioni multiple ali' interno della cavità con elevata probabilità di essere assorbita dalle superfici prima che una parte di essa riesca eventualmente a sfuggire attraverso lapertura. Se la superficie della cavità è isoterma alla temperatura T!a radiazione emessa dalle superfici interne uscirà dall'apertura, dopo le riflessioni multiple, con una distribuzione diffusa e quindi la cavità si comporterà da perfetto assorbitore e perfetto emettitore e I' apertura riprodurrà un corpo nero di area superficiale A e temperatura T, indipendentemente dalle reali proprietà radiative delle superfici interne della cavità. La legge di Stefan-Boltzmann fornisce il valore del potere emissivo totale del corpo nero En, che è la somma della radiazione emessa su tutte le lunghezze d'onda. Talvolta, però, serve il potere emissivo monocromatico (o spettrale) del corpo nero, che è la potenza radiante emessa dal corpo nero alla temperatura assoluta T per unità di area superficiale e per unità di lunghezza d'onda nell'intorno della lunghezza d'onda A.. Si noti che il termine monocromatico indica la dipendenza dalla lunghezza d'onda. La relazione per il potere emissivo monocromatico del corpo nero E 1 , sviluppata da Max Planck nel 1901 contemporaneamente alla sua famo~a teoria dei quanti, è nota come legge della distribuzione di Planck:
E (T) n).
=
Ci A.s[exp(C2/A. T)-1]
[W/(
2
m . µm)]
(14.4)
=
dove C1 2n hc~ 3.742 W · µm 4/m2, C2 = hc,jk = 1.439 x 104 µm · K, Tè la temperatura assoluta della superficie, A. è la lunghezza d'onda della radiazione emessa e k 1.3805 x 10-23 J/K è la costante di Boltvnann. Questa relazione, valida per una: superficie che emette nel vuoto o in un gas, nel caso di altri mezzi di trasmissione deve essere modificata sostituendo C1 con C/n 2 dove n è l'indice di rifrazione del mezzo. Considerando landamento del potere emissivo del corpo nero in funzione della lunghezza d'onda per alcune temperature, riportato in Figura 14.9, si può notare che:
=
1 la radiazione emessa è una funzione continua della lunghezza d'onda che, fissata la temperatura, all'aumentare della lunghezza d'onda aumenta sino a raggiungere un picco e poi decresce;
479 W:3»~5~,~
La radiaziom di corpo llt!'rt•
10 14
\ .....~-----Luogo dei
picchi di potenza:
ì.T=2898µm·K 1010
104
FIGURA 14.9
Lunghezza d'onda À., µm
2 fissata la lunghezza d'onda, la radiazione emessa aumenta all'aumentare della temperatura; 3 all'aumentare della temperatura le curve diventano più ripide e si spostano a sinistra nella zona delle lunghezze d'onda più corte, per cui a temperature più elevate una frazione maggiore di radiazione è emessa a lunghezze d'onda più corte; 4 la radiazione emessa dal Sole, considerato come un corpo nero a 5762 K (circa 5800 K), raggiunge il suo picco nella zona visibile d~llo spettro in perfetta sintonia con la sensibilità dei nostri occhi. Superfici a T $; 800 K emettono invece quasi interamente nella regione infrarossa e perciò non sono visibili ali' occhio a meno che non riflettano luce proveniente da altre sorgenti. La lunghezza d'onda alla quale si verifica il picco delle curve riportate in Figura 14.9 per una determinata temperatura è data dalla legge dello spostamento di Wien:
Variazione del potere emissivo di corpo nero con la lunghezza d'onda per vari valori di temperatura.
480
(..1.T)maxpoienza
;'l~.;,..~
CAPITOLO 14 La trasmissione di calore per irraggiamento
=2897.8
Questa relazione fu proposta da Willy Wien nel 1894 utilizzando la termodinamica classica ma può essere ottenuta anche uguagliando a zero la derivata dell'Equazionel4.4 rispetto a À con T costante. Nella Figura 14.9 è riportato anche landamento grafico della legge di Wien, vale a dire il luogo dei picchi delle curve della radiazione emessa. Mentre il picco della radiazione solare ha luogo a À = 2897.8/5762 = 0.50 µm, quasi al centro del campo visibile, il picco di radiazione emessa da una superficie a temperatura ambiente (T 298 K) ha luogo a À 9.72 µm, nel campo infrarosso dello spettro. Infatti una stufa a resistenza elettrica comincia ad emettere energia per irraggiamento subito appena accesa, come si può constatare avvicinando le mani alla resistenza, tuttavia inizialmente la radiazione è completamente nel campo infrarosso e non può essere vista dagli occhi. Raggiunta la temperatura di circa 1000 K, la resistenza apparirà debolmente rossa, perché solo allora inizia ad emettere una quantità apprezzabile [circa I W/(m2 ·µm)] di radiazione rossa visibile. Con un ulteriore aumento della "temperatura la resistenza appare di colore rosso vivo e si dice che è al ca/or rosso. Raggiunta infine la temperatura di circa 1500 K la resistenza emette nell'intero campo visibile dello spettro radiazione in quantità sufficiente, tanto da apparire quasi bianca all'occhio e si dice che è al ca/or bianco. La radiazione infrarossa, pur non essendo percepita dall'occhio umano, può essere rilevata da telecamere ali' infrarosso, che trasmettono I' informazione a microprocessori che elaborano immagini degli oggetti visibili aache di notte. I serpenti a sonagli possono vedere la radiazione infrarossa o il "calore corporeo" emanato da animali a sangue caldo e quindi possono vedere di notte senza l'uso di strumenti, mentre, in modo analogo, le api sono sensibili alla radiazione ultravioletta. Da quanto sopra esposto dovrebbe essere chiaro che il colore di un oggetto non è legato ali' emissione, che avviene principalmente nella regione dell'infrarosso, a meno che la temperatura dell'oggetto non supera i I 000 K. Il colore di una superficie dipende dalle sue caratteristiche di assorbimento e riflessione ed è dovuto ali' assorbimento e riflessione della radiazione visibile incidente proveniente da una sorgente di luce come il Sole o una lampada ad incandescenza: per esempio un vestito contenente un pigmento che riflette il rosso, mentre assorbe le restanti parti della luce incidente, appare "rosso" all'occhio (Figura 14.10); le foglie sembrano "verdi" perché le loro cellule contengono il pigmento clorofilla, che riflette intensamente il verde mentre assorbe gli altri colori. L'integrale del potere emissivo monocromatico di corpo nero E.1. sull'intero spettro di lunghezze d'onda dà il potere emissivo totale di corpo nero E.:
=
LUCE INCIDENTE
FIGURA 14.10
l li.u superficie che riflette il rosso as;orbendo la parte rimanente della luce incidente appare rossa all'occhio.
ze d'onda. Si noti che sul grafico E.1.-À, E.;. corrisponde a un punto della curva, mentre E. corrisponde all'area sottesa dall'intera curva caratterizzata da una determinata temperatura (Figura 14.11 ). Il termine totale significa quindi "integrato su tutte le lunghezze d'onda".
(14.5)
µm · K
Si è così ottenuta la legge di Stefan-Boltzmann (Equazione 14.3) integrando la legge di distribuzione di Planck (Equazione 14.4) su tutte le lunghez-
La radiazione di corpo nero
ESEMPIO 14.1 Si consideri una sfera di diametro 20 cm, alla temperatura di 800 K, sospesa in aria come mostrato in Figura 14.12. Approssimando la sfera a un corpo nero calcolare: a) il potere emissivo totale di corpo nero; b) l'energia totale emessa dalla sfera per radiazione in 5 min; c) il potere emissivo monocromatico di corpo nero alla lunghezza d'onda 3 µm.
=
(14.6)
481 """l5'!~
Soluzione
a) Il potere emissivo totale è dato dalla legge di Stefan-Boltzmann: 4
E. =aT' =5.67x10_. x800 =23224 W/m'
La sfera quindi emettte 23 224 J di energia in forma di radiazione elettromagneti· ca per secondo e per m' di superficie. b) L'energia totale emessa dalla sfera per radiazione in 5 min si ottiene moltiplicando il potere emissivo di corpo nero calcolato prima per l'area totale della su· perficie della sfera e per l'intervallo di tempo:
FIGURA 14.11
Sul diagramma E,,-,1. i'area sottesa dalla curva per una data temperatura rappresenta la radiazione totale emessa dal corpo nero a quella temperatura.
A=rcD' =rcx0.2=0.1257m' M=5x60=300s
0.. =E.AM=23224x0.1257x300/1000 =875.8 kJ
I Il
La sfera dissipa dunque 875.8 kJ della sua energia interna sotto forma di onde elettromagnetiche verso l'ambiente esterno, vale a dire in 5 min irraggia energia pari a quella necessaria per aumentare di 50°C la temperatura di 1 kg di acqua. Si osservi che la temperatura della superficie esterna della sfera non potrà rimanere costante a 800 K, a meno che non ci sia un uguale apporto di energia trasmesso dall'ambiente esterno alla superficie della sfera oppure prodotto internamente alla stessa per reazioni chimiche o nucleari. e) Il potere emissivo monocromatico alla lunghezza d'onda di 3 µm si determina dalla legge di Planck:
e,
3.743x10•
E"'" (T) = ,i.' [exp(c, / .H)-1 (--,[=--...,.(-1.4_3_87_x_1o-·._,..)___,..] 3x exp
-1 3x800
=3848.4 w/(m' ·µm)
=
La legge di Stefan-Boltzmann E"(T)
=
=
FIGURA 14.12
Sfera considerata nell'Esempio 14.1.
482 CAPITOLO 14 La trasmissione di calore
La potenza radiante emessa da un corpo nero per unità di area nella banda di lunghezze d'onda compresa tra Oe A. (Figura 14.13) è data dalla relazione:
per irraggiamento
f ;..-1., (T) = f;., (T)- f;., (T)
(14.7) E•. 0-1. si determina, quindi, sostituendo la relazione per E.1. dell'Equazione
14.4 ed effettuando l'integrazione. Poiché questa integrazione non ha una soluzione analitica semplice ed effettuare una integrazione numerica ogni volta che serve un valore di E•. 0-1. è scomodo, si definisce una quantità adimensionale f1. detta funzione di radiazione di corpo nero:
/;..(T)
J01.Enl. (T) di..
(14.8)
c:JT4
La funzione f1. rappresenta la frazione di radiazione emessa dal corpo nero a
temperatura T nella banda di lunghezze d'onda da Oa A.; i valori dif1. sono riportati nella Tabella 14.2 in funzione di A.T, dove A. è in µm e T in K.
FIGURA 14.13 Sul diagramma E,.,-À l'area sottesa dalla curva a sinistra della linea À = À1 per una assegnata temperatura rappresenta la radiazione emessa dal corpo nero nel campo di lunghezze d'onda 0-À,.
À T, µm·K
'·
µm·K
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 2800 3000 3200 3400 3600 3800 4000 4200 4400 4600 4800 5000 5200 5400 5600 5800 6000
0.000000 0.000000 0.000000 0.000016 0.000321 0.002134 0.007790 0.019718 0.039341 0.066728 0.100888 0.140256 0,183120 0.227897 0.273232 0.318102 0.361735 0.403607 0.443382 0.480877 0.516014 0.548796 0.579280 0.607559 0.633747 0.658970 0.680360 0.701046 0.720158 0.737818
6200 6400 6600 6800 7000 7200 7400 7600 7800 8000 8500 9000 9500 10 000 10 500 11 000 11 500 12000 13000 14000 15 000 16 000 18 000 20 000 25000 30 000 40 000 50000 75000 100 000
.1.T,
t, 0.754140 0.769234 0.783199 0.796129 0.808109 0.819217 0.829527 0.839102 0.848005 0.856288 0.874608 0.890029 0.903085 0.914199 0.923710 0.931890 0.939959 0.945098 0.955139 0.962898 0.969981 0.973814 0.980860 0.985602 0.992215 0,995340 0.997967 0.998953 0.999713 0.999905
Le proprietà radiati,·c
(14.9)
dove f i.. (1) e f ,_, (1) sono funzioni di radiazione di corpo nero corrispondenti a A.1Te A.2T rispettivamente. ESEMPIO 14.2 Una lampada ad incandescenza ha il filamento a 2500 K che si comporta come un corpo nero; calcolare la potenza emessa per radiazione dal filamento nel campo del visibile e la lunghezza d'onda in corrispondenza della quale la radiazione emessa dal filamento raggiunge il valore massimo. Il campo visibile dello spettro elettromagnetico si estende da À1 = Soluzione 0.4 µm a ).,, = 0.76 µm. In corrispondenza di T = 2500 K, dalla Tabella 14.2, si determinano i valori della funzione di radiazione per À1 Te ).,, T:
À, T= 0.40x2500=1000µm·K->f,i., =0.000321 À2 T = 0.76x2500=1900µm ·K->f;.,
TABELLA 14.2 Funzioni J, di radiazione emessa da corpo nero
483
La frazione di radiazione emessa da un corpo nero alla temperatura T in una banda finita di lunghezze d'onda da A.= À1 a À = Ài (Figura 14.14) è data dalla relazione:
=0.053035
).
FIGURA 14.14 Rappresentazione grafica della frazione di radiazione emessa nel campo di lunghezze d'onda da À 1 a\.
Poiché lo 0.03 per cento della radiazione viene quindi emesso a lunghezza d'onda inferiore a 0.4 µme 115.3 per cento a lunghezza d'onda inferiore a 0.76 µm, la frazione di radiazione emessa tra queste due lunghezze d'onda (Figura 14.15) è: ',i., ... .<, = ,.., -f,i., =0.053035-0.000321=0.05 27135
fo.4-0.76
=fo-0.1•- fo-o.•
Solo circa il 5 per cento della radiazione emessa dal filamento della lampada cade nel campo visibile, il restante 95 per cento della radiazione cade nel campo infrarosso ed è emessa in forma di energia termica radiante. Questo scadente rendimento di conversione dell'energia elettrica in luce spiega la maggiore diffusione dei tubi fluorescenti come sorgente luminosa. La lunghezza d'onda alla quale la radiazione emessa raggiunge il valore massimo si determina dalla legge di Wien (Equazione 14.5): 2897.8
(ÀT)"""'°''.,,. = 2897.8µm · K->.1....,..,,.,,,. = - - - = 1.16 µm
0.4 0.76 1.16
,1,,µm
2500
Si noti che la radiazione emessa dal filamento raggiunge il valore massimo nel campo infrarosso.
14.411 LE PROPRIETÀ RADIATIVE La radiazione termica è considerata unfenomeno supeificiale per la maggior parte dei materiali opachi come metalli, legno e mattoni, per i quali si parla di proprietà radiative supeificiali. Per alcuni materiali semitrasparenti, come il vetro e lacqua, che consentono alla radiazione visibile di penetrare per spessori notevoli prima di essere completamente assorbita, la radiazione non può essere considerata
FIGURA 14.15 Rappresentazione grafica della frazione di radiazione emessa nel campo del visibile nell'Esempio 14.2.
484 & W&&b'H
CAPITOLO 14 La trasmissione di calore per irraggiamento
un fenomeno superficiale, perché l'intero volume del materiale interagisce con essa. D'altra parte si noti che sia il vetro sia l'acqua sono praticamente opachi alla radiazione infrarossa. Poiché i materiali si comportano in modo diverso a lunghezze d'onda differenti, la dipendenza dalla lunghezza d'onda è importante nello studio delle proprietà radiative dei materiali come I' emissi vità ed i coefficienti di assorbimento, riflessione e trasmissione. Il corpo nero, perfetto assorbitore ed emettitore di radiazione, che emette energia più di qualsiasi altro corpo alla stessa temperatura, può servire anche come riferimento nell'esprimere le caratteristiche di emissione ed assorbimento delle superfici reali.
L'emissività Si definisce emissività di una superficie il rapporto tra la radiazione emessa dalla superficie e la radiazione emessa dal corpo nero alla stessa temperatura. L' emissività di una superficie si indica con e, varia tra zero e uno (0 ~e~ 1) ed è una misura di quanto una superficie reale approssima un corpo nero per il quale e = 1. L' emissività di una superficie reale non è costante ma varia con la temperatura della superficie, con la lunghezza d'onda e con la direzione della radiazione emessa. Per una superficie possono dunque definirsi diverse emissività a seconda degli effetti considerati: l'emissività di una superficie ad una determinata lunghezza d'onda è detta emissività monocromatica e si indica con ei.; I' emissività in una determinata direzione è detta emissività direzionale e si indica con e8, dove 8 è l'angolo tra la direzione della radiazione e la normale alla superficie; l'emissività di una superficie mediata su tutte le direzioni è detta emissività emisferica e quella mediata su tutte le lunghezze d'onda emissività totale. L'emissività emisferica totale e di una superficie è perciò I' emissività media in tutte le direzioni e per tutte le lunghezze d'onda e si esprime con la relazione:
485 Poiché l'irraggiamento è un fenomeno complesso reso ancora più complicato dalla dipendenza delle proprietà dei materiali dalla lunghezza d'onda Le proprietà e direzione della radiazione, nei calcoli di irraggiamento si utilizzano coradiati\'e munemente le approssimazioni di superfici grigie e diffondenti: una superficie si dice diffondente se le sue proprietà risultano indipendenti dalla direzione e grigia se le sue proprietà risultano indipendenti dalla lunghe::.za d'onda. L'emissività di una superficie grigia e diffondente coincide allora con I' emissività emisferica totale, essendo le sue proprietà indipendenti da lunghezza d'onda e direzione (Figura 14.16). Poiché le superfici reali non emettono radiazione in modo perfettamente diffuso come fa un corpo nero, in Figura 14.17 si riporta la variazione dell'emissività con la direzione valutata rispetto alla normale alla superficie emittente sia per i materiali conduttori che per i non conduttori. Si noti che e8 rimane quasi costante per 8 < 40° per materiali conduttori tipo i metalli e per 8 < 70° per materiali non conduttori come le materie plastiche. L' emissività direzionale di una superficie nella direzione normale risulta quindi rappresentativa dell' emissività emisferica della superficie stesFIGURA 14.16 sa. Nei calcoli di irraggiamento è comune considerare le superfici come Influenza delle approssimazioni grigia diffondenti con emissività uguale al valore in direzione normale ( 8 =0). e diffondente sull'emissività L'influenza dell'approssimazione di radiazione grigia sull'emissività e di una superficie. sul potere emissivo di una superficie reale è illustrato in Figura 14.18: si noti che lemissione di radiazione da una superficie reale, in generale, differisce dalla distribuzione di Planck e la curva di emissione può presentare Non conduttore diversi massimi e minimi. Poiché una superficie grigia dovrà emettere la stessa potenza radiante e9 della superficie reale che essa rappresenta, a parità di temperatura le aree sottese dalle curve di emissione delle superfici, reale e grigia, dovranno avere lo stesso valore: e (T)a T~ =
.(E.t (T)En,t (T)d.1.. Questo vincolo por-
o.s
ta alla seguente espressione per I' emissività media: Conduttore
e(T) = E(T) = E(T) 4 E"(T) aT
(14.10)
dove E(T) è il potere emissivo totale della superficie reale. L'Equazione 14.10 si può anche esprimere nella forma: E(T)
=e(T)aT
4
(W/m2)
FIGURA 14.17
Corpo nero, E = l.
Variazione tipica dell'emissività con la direzione per materiali elettrici conduttori e non conduttori.
(14.11).
Si ha quindi che la radiazione emessa dall'unità di area di una superficie reale alla temperatura T è data dalla radiazione emessa dal corpo nero moltiplicata per I' emissività della superficie. L'emissività monocromatica è definita in modo analogo dalla relazione: FIGURA 14.18
(14.12) dove Ei. (7) è il potere emissivo monocromatico della superficie reale.
). (a)
(b)
Confronto dell'emissività (a) e del potere emissivo (b) di una superficie reale con quella di una superficie grigia e del corpo nero alla stessa temperatura.
486
s (T)=
.(;E.i. (T)En.i. (T)d.1.
(14.13) c;T 4 Per calcolare l'integrale bisogna conoscere l'andamento della emissività monocromatica in funzione della lunghezza d'onda per una determinata temperatura. Poiché la funzione integranda di solito risulta complicata, l'integrazione viene fatta numericamente. TuHavia l'integrazione può essere effettuata abbastanza facilmente dividendo lo spettro in un numero sufficiente di bande di lunghezza d'onda ed ipotizzando che l'emissività resti costante in ciascuna banda, vale a dire esprimendo s (1) come funzione a gradini. Questa semplificazione, pur se con una piccola perdita in precisione, consente di trasformare l'integrazione in una somma di valori della funzione di radiazione di corpo nero. Si noti come, ad esempio, la funzione emissività riportata in Figura 14.19 possa essere ben approssimata da una funzione a gradini della forma:
CAPITOLO 14 La trasmissione di calore
per irraggiamento
l
s1 =costante, O::; A.< A, s;. = s 2 =costante, A, ::; À.< À.z s3 =costante, À.z ::; À.< oo
FIGURA 14.19
Approssimazione con una funzione a gradino della variazione dell'emissività con la lunghezza d'onda.
e;~
1••
.,• 0.8
1---.J._:::""1,.-l--4--+--H--l--H--+-+----!-+--1
0.4
~
0'---'L-J_.L-L..1....1..LI..l..J-'--'--''-'-'-'..u.J.J-.J-'--'--'-'-u_,_._, 4 6 10 O.I 0.2 0.40.6 l 20 40 60 100 Lunghezza d'onda, .t. µm
e J;1 E {T)dÀ. e,J:12E,,, (T)dÀ. e3 J;'2 E,,, (T)dÀ. e(T)- ' "" + +
u T'
(a)
u T'
u T'
0.2
O'----'----'----'----'---'----'--~
2000
(b)
I.O
FIGURA 14.21
O.I
sono i valori della funzione di radiazione corrispondenti a À.1 Te À.2 Te
Si noti che fo-,, =
1500
0.8
0.3
=E,f,, +e,(f,2 -f,,)+e,(1-f,,)
Sostituendo:
Temperatura, K
0.6
=
=e/o-,, (T) + e2 t,1_,2 (T) + e,f,2 _ (T)
-~
1000
0.4
Campi tipici di e missi vità per vari materiali.
o.s
t,1 e f,_
0.2
E.i
FIGURA 14.22
À., T = 3 x 800 = 2400 µm · K-+f,1 = 0.140256
500
Metalli non lucidati =Metalli lucidati
0SÀ.<3µm
Emissività monocromatica della superficie considerata nell'Esempio 14.3.
.1.,T=7x800=5600µm·K-+f., =0.701046
o
e:====~~:~.~
Soluzione La variazione dell'emissività con la lunghezza d'onda è una funzione a gradino per cui il valore medio dell'emissività della superficie si calcola con l'Equa· zione 14..13 dividendo l'integrazione In tre parti come mostrato nell'Equazione 14.15:
1 ~
0.2
e:==== e=== Ceramiche
I.O
0.6
.g 0.4 ·;:
~
Carbone=
determinabili dalla Tabella 14.2:
/ m o l t o ossidato
.!i
Rocce, terreno c=i Vetri, minerali c=::l
e2 =0.8, 3µmSÀ.<7µm
e, =0.1, 7µmSÀ.< 00
dove
Acciaio inossidabile
Vegetazione. acqua, pelle CJ
Materiale da cosuuzione, vernici c:::J
Calcolare il valore medio dell'emissività della superficie ed il suo potere emissivo.
1.0-----------------~
d o.s r10::::t=r==i==::::r::-:::1:::P.;;;;rrr-rn
:1w
(14.15)
l
e, =0.3,
e,=
Nella Tabella A.21 in Appendice sono riportate le emissività di materiali comuni, mentre in Figura 14.20 è illustrata la variazione dell' emissività
.
1g
e;~
=Edo-;., (T)+s2f).,-)., (T)+sJ/;.,-~(T)
FIGURA 14.20
Variazione dell'emissività normale con la lunghezza d'onda (a) e la temperatura (b) per vari materiali.
e;~
radhltiH•
L'emissività monocromatica di una superficie opaca a 800 K è approssimabile con la seguente funzione (Figura 14.22):
L'emissività media si può calcolare dall'Equazione 14.13 suddividendo l'integrale in tre parti ed utilizzando la definizione di funzione di radiazione di corpo nero:
s tjf;., EnA (T'-'.1. e2 f;.' E.;. (T)d.1. s3 ( E.;. (T)d.1. P J;., ;., s (T ) = 0 + +------
Le proprietà
o
ESEMPIO 14.3
(14.14)
487
con la lunghezza d'onda e la temperatura e in Figura 14.21 sono riportati i campi di variazione tipici dell'emissività di vari materiali. Si noti che di solito i metalli presentano bassi valori di emissività, fino a 0.02 per superfici lucide, mentre i materiali non metallici, come le ceramiche ed i materiali organici, presentano valori elevati. L' emissività dei metalli aument~ con la temperatura e con lossidazione delle superfici, tanto che metalli pesantemente ossidati possono raggiungere valori di emissività comparabili ,. . . . . con quelli dei materiali non me~allici. Occorre fare attenzione nell uso e nell mterpretaz1one dei dati nportati in letteratura sulle proprietà di radiazione dei materiali, perché le proprietà dipendono fortemente dalle condizion~ del~a su~erficie come ossi~a zione, rugosità, tipo di finitura e pulitura. Esiste mfatt1 una notevole vanabilità ed incertezza nei valori riportati in letteratura, in massima parte dovuta alla difficoltà di caratterizzare e descrivere in modo preciso le condizioni della superficie.
2500
3000
3500
t,, -t. = t,,
perché f0 =O e
'.<.-- = f_ -f,, = 1-f.,
perché f.= 1.
e= 0.3x0.140256 +0.8 (0.701046 -0.140256 )+ 0.1 (1-0.701046) =0.521 La superficie emette quindi per irraggiamento tanta energia quanta ne eme~er~b· be una superficie grigia a 800 K con emissività costante e= 0.521. Il potere em1ss1vo della superficie è:
E =euT' =0.521x5.67x10-s x800' =12100 W/m'
488 4
I coefficienti di assorbimento, riflessione e trasmissione
§§!-&I
CAPITOLO 14 La trasmissione di calore per irraggiamento
Tutti i corpi emettono continuamente radiazione in relazione alla loro emissività, perciò ogni corpo viene costantemente bombardato dalla radiazione che arriva da tutte le direzioni:'La radiazione incidente su una superficie per unità di area e per unità di tempo è detta irradiazione e si indica con G. Quando la radiazione colpisce una superficie parte di essa è assorbita, parte è riflessa e la restante parte, se c'è, viene trasmessa, come illustrato in Figura 14.23. La frazione di irradiazione assorbita dalla superficie è detta coefficiente di assorbimento a, la frazione riflessa è detta coefficiente di riflessione p e la frazione trasmessa è detta coefficiente di trasmissione i: radiazione assorbita Gass , 0 Sa S l (14.16a) - . . . . rad1az1onemc1dente G
coefficiente di assorbimento: a coefficiente di riflessione: Trasmessa rG
FIGURA 14.23
Assorbimento, riflessione e trasmissione della radiazione incidente da pane di un materiale semitrasparente.
p
= radiazione riflessa
Gnr , OS p s l (14.16b) G
. "d ente . mci rad"1az1one
radiazione trasmessa . . . . coefficiente di trasmISS1one: r = radiazione incidente
G Os r G
_.!t,
s l ( l 4.l 6c)
Per il primo principio della termodinamica la somma della radiazione assorbita, riflessa e trasmessa deve essere uguale alla radiazione incidente: G"' + Gnr+ G0 .= G
Dividendo ciascun termine di questa relazione per G si ha:
a+p+r=l
(14.17)
Per superfici opache essendo r= O si ha:
a+p=l
(14.18) Questa relazione è importante perché permette di determinare entrambi i coefficienti di assorbimento e di riflessione di una superficie opaca misurando solo uno di essi. Le definizioni precedenti valgono per proprietà totali emisferiche, perché G rappresenta la radiazione incidente sulla superficie proveniente da tutte le direzioni dello spazio emisferico e di tutte le lunghezze d'onda, per cui a, p e r sono proprietà medie per tutte le direzioni e tutte le lunghezze d'onda. Definendo anche queste proprietà per una specifica lunghezza d'onda o direzione, si hanno i coefficienti monocromatici di assorbimento, riflessione e trasmissione:
a;.= G.1,.,, ,p;. =G.1,nr ,r;_ =G.1,1r G;.
G;.
G;.
analoghe si possono proporre per le proprietà direzionali in funzione della direzione 8, basta sostituire nell'Equazione 14.19 il pedice ..:t con 8. I coefficienti medi di assorbimento, riflessione e trasmissione di una superficie possono essere anche definiti in funzione dei coefficienti monocromatici: tP1. G). d..:t
ta;. G;. d..:t
p= o
a= o
J:a;. d..:t
'
J:a,i d..:t
rr;.
Le proprietà radiative
Nonnale
G;. d..:t
,T="'o"-----
J:a,i d.A.
Raggio incidente
(14.20)
Il coefficiente di riflessione differisce dalle altre proprietà in quanto esso è in realtà bidirezionale, esso cioè dipende sia dalla direzione della radiazione incidente sia da quella riflessa. Come mostrato in Figura 14.24, la radiazione incidente su una superficie reale viene riflessa formando una figura regolare. Dati così dettagliati per il coefficiente di riflessione della maggior parte delle superfici non esistono e se anche esistessero sarebbero di poca utilità nei calcoli di irraggiamento costituendo una complicazione senza apprezzabile beneficio. Le superfici in pratica riflettono la radiazione in modo perfettamente speculare o diffuso. Nella riflessione speculare (o a specchio) l'angolo di riflessione uguaglia l'angolo di incidenza del fascio di radiazione. Nella riflessione diffusa, la radiazione viene riflessa uniformemente in tutte le direzioni, come mostrato in Figura 14.24. La riflessione su superfici lisce e pulite approssima la riflessione speculare, mentre quella da superfici rugose approssima quella diffusa. La definizione di superficie liscia è fatta in base alla lunghezza d'onda: la superficie si dice liscia se l'altezza delle asperità superficiali è molto più piccola della lunghezza d'onda della radiazione incidente. Contrariamente all'emissività, il coefficiente di assorbimento di un materiale risulta praticamente indipendente tlalla temperatura della superficie ma dipende dalla temperatura della sorgente da cui proviene la radiazione incidente. Questo è evidente dall'esame della Figura 14.25, che mostra i coefficienti di assorbimento per vari materiali a temperatura ambiente in funzione della temperatura della sorgente di radiazione: per esempio,
Raggi riflessi
(a)
Raggio incidente (b)
Raggio incidente
Normale
!
(e)
FIGURA 14.24
Differenti tipi di riflessione su una superficie: reale o irregolare (a), diffondente (b) e speculare (e).
FIGURA 14.25
(14.19) o~~~-~-~-~~
dove G;. è la radiazione incidente di lunghezza d'onda ..:te G;.,,..• Gi..nre G!..• sono le parti rispettivamente assorbite, riflesse e trasmesse. Definizioni
489
4000 6000 2000 300 400 600 I000 Temperatura della sergente, K
Variazione del coefficiente di assorbimento con la temperatura della sorgente di irraggiamento per vari materiali a temperatura ambiente.
490 CAPITOLO 14 l.a trasmissione di cnlore per irraggiamento
'I/
-8/ 1'
il coefficiente di assorbimento del tetto in cemento di un edificio è circa 0.6 per la radiazione solare (sorgente a 5762 K) e 0.9 per radiazione proveniente dagli alberi e dagli edifici circostanti (sorgenti a 300 K), come illustrato in Figura 14.26. Si noti che il coefficiente di assorbimento dell'alluminio, come per gli altri metalli, aumenta con la temperatura, mentre quello dei materiali non conduttori elettrici, di solito, diminuisce con la temperatura. Questa diminuzione è molto pronunciata per le superfici che sembrano bianche: per esempio, il coefficiente di assorbimento di una superficie verniciata bianca è basso alla radiazione solare pur essendo elevato alla radiazione infrarossa.
a =0.6
La legge di Kirchhoff
FIGURA 14.26
Il coefficiente di assorbimento di un materiale può essere molto diverso per sorgenti di radiazione a temperature diverse.
Si consideri un piccolo corpo di area superficiale A, emissività e e coefficiente di assorbimento a alla temperatura T, contenuto in una grande cavità isoterma alla stessa temperatura, come mostrato in Figura 14.27. Una cavità isoterma costituisce un corpo nero indipendentemente dalle proprietà radiative della superficie interna della cavità. Supponendo inoltre che il corpo nella cavità sia tanto piccolo da non influenzare la natura di corpo nero, la radiazione incidente sulla superficie del corpo, dunque all'interno della cavità, è uguale alla radiazione emessa dal corpo nero alla temperatura T, G = E.CD = oT4, la radiazione assorbita è:
G",=aG=aar La radiazione emessa dal corpo (Equazione 14.3) è:
E,m=ear Considerando che il corpo è in equilibrio termico con la cavità, la potenza termica netta scambiata dal corpo deve essere nulla, cioè la radiazione emessa dal corpo deve essere uguale a quella assorbita:
Aea 'r =Aaa 'r In conclusione: e(T) = a
FIGURA 14.27
Piccolo corpo contenuto in una grande cavità isoterma impiegato per la dimostrazione della legge di Kirchhoff.
(14.21)
L' emissività emisferica totale di una superficie alla temperatura Tè uguale al coefficiente di assorbimento emisferico totale per radiazione proveniente da un corpo nero alla stessa temperatura. Questa relazione, che semplifica molto i calcoli di irraggiamento, fu proposta da Gustav Kirchhoff nel 1860 ed è nota come legge di Kirchhoff. Si noti che tale relazione vale se la temperatura della superficie è uguale alla temperatura della sorgente di radiazione e non va utilizzata quando esiste una differenza di temperatura (superiore al centinaio di gradi) tra la superficie e la sorgente di radiazione. Le considerazioni precedenti possono essere ripetute per radiazione di una determinata lunghezza d'onda per ricavare la forma monocromatica della legge di Kirchhoff:
(14.22)
491
valida quando l'irradiazione o la radiazione emessa è indipendente dalla direzione. La forma della legge di Kirchhoff che non presenta restrizioni è la forma direzionale monocromatica: e 9 (T) a1., 9 (T), l'emissività di una superficie per determinate lunghezza ~'onda, direzione e temperatura, è sempre uguale al suo coefficiente di assorbimento alle stesse lunghezze d'onda, direzione e temperatura. In conseguenza della legge di Kirchhoff la relazione e = a insieme alla p 1 - a consente di determinare tutte e tre le proprietà di una superficie opaca conoscendo soltanto una di esse. Sebbene l'applicazione della legge di Kirchhoff dia di solito risultati accettabili, bisogna fare molta attenzione quando esiste una differenza elevata tra la temperatura della superficie e quella della sorgente. della radiazione incidente.
Le proprietà radiathe
=
=
I•
Visibile·
I
I.O
L'effetto serra Se si lascia l'automobile sotto la radiazione solare diretta l'interno raggiunge una temperatura più elevata rispetto ali' aria esterna, poiché l'automobile si comporta come una trappola di calore. La spiegazione di questo fenomeno sta nell'andamento della curva del coefficiente di trasmissione monocromatico del vetro, che somiglia ad una U rovesciata, come mostrato in Figura 14.28. Si noti, osservando questa figura, che il vetro, con gli spessori che ha nella pratica, trasmette il 90 per cento di radiazione nel campo visibile e risulta praticamente opaco (non trasparente) alla radiazione nella regione infrarossa dello spettro elettromagnetico (circa À. > 3 µm). Il vetro ha quindi una finestra trasparente nel campo di lunghezze d'onda 0.3 µm < À. < 3 µm nel quale viene emesso oltre il 90 per cento della radiazione solare. Poiché a temperatura ambiente tutta la radiazione emessa dalle superfici cade nella regione infrarossa, si verifica che il vetro permette alla radiazione solare di entrare e impedisce alla radiazione infrarossa di uscire, causando, quindi, un aumento della temperatura interna legato all'aumento di energia contenuta nell'auto. Questo fenomeno di riscaldamento, dovuto alle caratteristiche non grigie del vetro (o di plastiche trasparenti), è noto come effetto serra, perché viene sfruttato soprattutto nelle serre (Figura 14.29). L'effetto serra si verifica pure su scala più vasta sulla Terra: la superficie della Terra si riscalda durante il giorno a causa dell'assorbimento della radiazione solare e si raffredda la notte perdendo la sua energia per irraggiamento verso lo spazio siderale. I gas combusti come la C0 2 ed il vapore d'acqua, presenti nell'atmosfera, trasmettono la radiazione solare ma assorbono la radiazione infrarossa emessa dalla superficie della Terra. Si pensa, perciò, che lenergia intrappolata sulla Terra causerà alla fine un riscaldamento globale producendo cosl drastiche variazioni climatiche. Nei posti umidi come le zone costiere, non c'è una grande variazione tra le temperature notturne e diurne, perché l'umidità si comporta come una barriera alla radiazione infrarossa che arriva dalla Terra, mitigando così il processo di raffreddamento notturno. In zone con cielo sereno
t'
0.8
'~\
0.6
i;,
I I Spessore '-- 0.038cm -0.3!8cm
0.4
.--- '\o.
0.2
.::.\-
o
0.25 0.4
635 cm
1
0.60.71.5 3.1 4.7 6.3 7.9
Lunghezza d'onda.<. µm FIGURA 14.28
Il coefficiente di trasmissione monocromatico a temperatura ambiente del vetro a basso contenuto di ferro.
Radiazione solare
Radiazione infrarossa
FIGURA 14.29
Una serra intrappola l'energia lasciando entrare la radiazione solare e impedendo la fuoriuscita della radiazione infrarossa.
492 CAPITOLO 14 La trasmissione di calore per irraggiamento
come nei deserti, invece, si verifica una notevole oscillazione tra le temperature diurne e notturne a causa dell'assenza di tali barriere alla radiazione infrarossa.
14.5 ti LA RADIAZIONE SOLARE E ATMOSFERICA Il Sole è la sorgente primaria di energia. L'energia proveniente dal Sole, detta energia solare, raggiunge il suolo in forma di onde elettromagnetiche dopo avere subito molte interazioni con l'atmosfera. La radiazione emessa o riflessa dalle particelle che formano latmosfera costituisce la radiazione atmosferica. Il Sole è un corpo quasi sferico del diametro D = 1.39 x 109 m, con massa m = 2 x 1030 kg collocato ad una distanza media L = 1.50 x 10 11 m dalla Terra, che emette radiazione continuamente con una potenza di E 01• = 3.8 x 10:5 w. Meno di un bilionesimo di questa energia (circa 1.7 x 101f W) colpisce la Terra ed è sufficiente a mantenere calda la Terra e ad assicurare la vita attraverso il processo di fotosintesi. Poiché lenergia del Sole è dovuta alle continue reazioni difusione, nelle quali due atomi di idrogeno si fondono per formare un atomo di elio, il Sole è essenzialmente un reattore nucleare, con temperatura dell'ordine di 40 000 000 K nella zona interna centrale, che cala fino a 6000 K nella regione esterna, detta zona convettiva, a causa della perdita di energia per irraggiamento. L'energia solare che raggiunge latmosfera terrestre, valutata in 1353 W/m2 con una serie di misure fatte nel lontano 1960 usando aerei di alta quota, palloni aerostatici e navicelle spaziali, è detta costante solare G,: G, = 1353 W/m2
FIGURA 14.30
Radiazione solare che arriva nel!' atmosfera terrestre e costante solare.
(14.23)
Essa rappresenta la potenza del/' energia solare che incide su di una superficie nonna/e ai raggi solari all'esterno dell'atmosfera quando la Terra è alla sua distanza media dal Sole (Figura 14.30). A causa dell'ellitticità dell'orbita terrestre la distanza tra il Sole e la Terra cambia durante l'anno e la costante solare varia da un massimo di 1399 W/m2 il 21 dicembre a un minimo di 1310 W/m2 il 21 giugno. (Si noti che la Terra nell'emisfero nord si trova alla distanza più grande dal Sole in estate.) Questa variazione, entro il ±3.4 per cento del valore medio, è tuttavia trascurabile nella maggior parte delle applicazioni pratiche per cui G, si considera costante pari al suo valore medio 1353 W/m2• Il valore misurato della costante solare si può usare per stimare la temperatura effettiva della superficie del Sole imponendo: (14.24) dove L è la distanza media tra il Sole e la Terra ed r è il raggio del Sole. Il membro sinistro di questa equazione rappresenta l'energia solare che passa attraverso una superficie sferica il cui raggio è la distanza media TerraSole, mentre tt membro destro rappresenta lenergia solare che lascia la superficie esterna del Sole. Queste due quantità devono essere uguali per il principio di conservazione dell'energia, perché l'energia solare non pre-
senta attenuazione (o incremento) nel suo percorso attraverso il vuoto (Figura 14.31). La temperatura superficiale effettiva del Sole determinata dall'Equazione 14.24 è T501 • = 5762 K. Il Sole può essere considerato quindi un corpo nero alla temperatura di 5762 K come confermato anche dalle misure dello spettro della radiazione solare subito fuori l'atmosfera, riportate in Figura 14.32, che presentano solo piccoli scostamenti dal comportamento ideale di corpo nero. La distribuzione spettrale della radiazione solare al suolo rappresentata in Figura 14.32 mostra che la radiazione solare subisce una notevole attenuazione per assorbimento e dispersione da parte dell'atmosfera, che si trova per il 99 per cento entro una distanza di 30 km dalla superficie terrestre. Si noti che i diversi vuoti nella distribuzione spettrale della radiazione sulla superficie terrestre sono dovuti ali' assorbimento da parte dei gas 0 2, 0 3 (ozono), Hp e C02: l'assorbimento dell'ossigeno si verifica in una stretta banda intorno a À. =0.76 µm, lozono assorbe quasi completamente la radiazione ultravioletta con lunghezze d'onda inferiori a 0.3 µm e in modo accentuato quella nel campo 0.3 + 0.4 µm. Lo strato di ozono nelle regioni superiori dell'atmosfera protegge quindi i sistemi biologici sulla Terra dalla radiazione ultravioletta, che può essere nociva, e va perciò protetto, come avviene in molti paesi, dagli agenti chimici quali refrigeranti, sostanze detergenti e sostanze propellenti delle confezioni aerosol. Il gas ozono assorbe la radiazione solare anche nel campo visibile, mentre l'assorbimento nel campo infrarosso è dominato dal vapore d' acqua e da anidride carbonica. Le particelle di polvere e gli altri inquinanti presenti nell'atmosfera assorbono a varie lunghezze d'onda hr radiazione solare. In conseguenza di questi assorbimenti lenergia solare che raggiunge la superficie terrestre è quasi tutta compresa nella banda di lunghezze d'onda da 0.3 a 2.5 µme si riduce notevolmente potendo raggiungere circa 950 W/m2 in una giornata serena e molto meno nei giorni nuvolosi o pieni di smog. Un altro fenomeno che attenua la radiazione solare quando passa attraverso l'atmosfera è la dispersione o riflessione da parte delle molecole d'aria e di molti altri tipi di particelle come polvere, smog e gocce d'acqua sospese nell'atmosfera. Poiché la dispersione dipende in primo luogo dalla grandezza della particella rispetto alla lunghezza d'onda della radiazione, le molecole di ossigeno e di azoto disperdono principalmente radiazione per lunghezze d'onda molto piccole rispetto alla loro grandezza, corrispondenti ai colori blu e violetto: questa dispersione molecolare in tutte le direzioni è quella che dà al cielo il suo colore azzurro. Lo stesso fenomeno è responsabile delle albe e dei tramonti rossi: infatti, poiché la mattina presto e il pomeriggio tardi i raggi del Sole attraversano uno strato di atmosfera di spessore maggiore che a mezzogiorno, quando il Sole è alla massima altezza, la radiazione solare incontra un maggior numero di molecole prima di raggiungere la superficie terrestre e i colori azzurro e violetto vengono ancor più dispersi (Figura 14.33). Questa dispersione fa sl che la luce sulla superficie terrestre sia composta principalmente dai colori corrispondenti alle lunghezze d'onda maggiori, come-rosso, arancio e giallo. All'alba e al tramonto le nuvole poi appaiono di colore rosso-arancio, perché la luce da esse riflessa è rosso-arancio.
493
mm
La radiazione solare e atmosferica
'
''
L
'
.............. __ ~_ ........... ~ lm2
FIGURA 14.31
L'energia solare che attraversa sfere concentriche resta costante, mentre quella incidente sull'unità di area diminuisce all'aumentare del raggio.
Lunghezza d'onda. µm
FIGURA 14.32
Spettro della radiazione solare appena fuori del!' atmosfera e sulla superficie della Terra in un giorno tipico e confronto con la radiazione di corpo nero a 5762 K.
494 CAPITOLO 14 La trasmissione di calore per irraggiamento
L'energia solare incidente sulla superficie terrestre è composta da una parte diretta e da una parte diffusa: la radiazione solare che raggiunge la superficie terrestre senza essere stata assorbita o dispersa dall'atmosfera è detta radiazione solare diretta G0 : la radiazione dispersa raggiunge la superficie terrestre uniformemente da tutte le direzioni ed è detta radia· zione solare diffusa G.r L'energia solare totale incidente sull'unità di area di una superficie orizzontale sulla Terra (Figural4.34) è: (14.25)
e
FIGURA 14.33 Le molecole d'aria disperdono la luce blu
molto di più della luce rossa. All'alba, la luce attraversa uno strato più spesso di atmosfera che assorbe la maggior pane della componente blu della luce naturale provocando una prevalenza di rosso.
Radiazione solare diffusa
\ 11 11 / \ I /
-.. . .
I
\\I I j \Gd, W/m2
~
~//
dove è l'angolo di incidenza della radiazione solare diretta (angolo che i raggi del Sole formano con la normale alla superficie). La radiazione diffusa varia da circa il 10 per cento della radiazione totale in un giorno sereno a quasi il 100 per cento in un giorno completamente nuvoloso. Poiché le molecole dei gas e le particelle sospese nell'atmosfera emettono radiazioni allo stesso modo in cui le assorbono, lemissione atmosferica, dovuta principalmente alle molecole di C02 e Hp, è concentrata nelle bande di lunghezza d'onda comprese tra 5 e 8 µm ed oltre i 13 µm. Sebbene questa emissione sia lontana dal riprodurre la distribuzione di radiazione di corpo nero, nei calcoli di irraggiamento è comodo considerare l'atmosfera come un corpo nero ad una temperatura fittizia, detta tem· peratura effettiva del cielo T, 1• 10, tale da emettere una quantità equivalente di radiazione. La radiazione emessa dal!' atmosfera verso la superficie terrestre è: (14.26) TI valore di T,1• 10 dipende dalle condizioni atmosferiche e varia da circa 230 K per condizioni di cielo chiaro e freddo a circa 285 K per condizioni di cielo nuvoloso e caldo. Si noti che la temperatura del cielo non si scosta molto dalla temperatura ambiente. Per la legge di Kirchhoff, essendo il coefficiente di assorbimento di una superficie uguale alla sua emissività, a= E, la radiazione del cielo assorbita da una superficie è data dalla relazione: Ecielo.assorbita =a G,;,10 = aa T.:ie10 = E
(Y{/m2)
(14.27)
La potenza termica netta trasmessa per irraggiamento ad una superficie esposta alla radiazione solare ed atmosferica è determinata dal bilancio di energia (Figura 14.35):
FIGURA 14.34
Radiazione diffusa e diretta incidente su una superficie orizzontale sulla Terra.
i/.netta.irr
= LEassorbita
- LEemcssa
=Esalare.assorbita
+ Ecielo,assorbita 4
Eemessa
= a sGsolare + E
(14.28)
dove T, è la temperatura della superficie in K ed E la sua emissività a temperatura ambiente. Un valore positivo di 4nena.irr indica un guadagno di energia della superficie, mentre un valore negativo indica una perdita.
495
Poiché l'assorbimento e l'emissione di radiazione da parte di gas semplici come 8i· 0 2 ed N2 a temperature moderate sono trascurabili, un ambiente occupato da questi gas si può considerare come vuoto nei calcoli di irraggiamento. L'assorbimento e l'emissione di gas con molecole più grandi come H 20 e C0 2 possono invece risultare significativi e tali da dover esse-
re opportunamente considerati: per esempio, uno strato di vapore d'acqua di spessore 1 m, alla pressione di 101 325 Pa e alla temperatura di 100°C emette più del 50 per cento dell'energia che emetterebbe un corpo nero alla stessa temperatura. Poiché la distribuzione spettrale della radiazione solare incidente è molto diversa da quella emessa dalle superfici reali, essendo la prima concentrata nella banda delle lunghezze d'onda corte e l'altra nella banda infrarossa, le proprietà radiative delle superfici sono molto diverse a seconda che la radiazione sia incidente ·O emessa. Le superfici quindi non possono essere assunte grigie ma caratterizzate da due insiemi sufficienti di proprietà: uno per la radiazione solare e uno per la radiazione infrarossa a temperatura ambiente. La Tabella 14.3 riporta I' emissività E ed il coefficiente di assorbimento solare a, delle superfici di alcuni materiali comuni. Le superfici che servono per raccogliere l'energia solare, come quelle assorbenti dei collettori solari, devono possedere elevati valori di a ma bassi valori di E per rendere massimo lassorbimento di .radiazione sol~e e minima l' emissione di radiazione a temperatura ambiente. Superfici che devono restare fredde sotto il sole, come le superfici esterne di serbatoi di combustibile e carri refrigerati, devono avere esattamente le proprietà opposte, che si ottengono per verniciatura con sottili strati di materiali selettivi: per esemTABELLA 14.3 Confronto tra il coefficiente di assorbimento solare
a, e l'emissività E a temperatura ambiente per alcune superfici Superficie Alluminio lucido anodizzato in foglio Rame lucido ossidato Acciaio Inossidabile lucido opaco Metalli placcati Ossido di nickel nero Cromo nero Calcestruzzo Marmo bianco Laterizio rosso Asfalto Vemice nera Vernice bianca Neve Pelle umana (razza caucasica)
a,
e
0.09 0.14 0.15
0.03 0.84 0.05
0.18 0.65
0.03 0.75
0.37 0.50
0.60 0.21
0.92 0.87 0.60 0.46 0.63 0.90 0.97 0.14 0.28 0.62
0.08 0.09 0.88 0.95 0.93 0.90 0.97 0.93 0.97 0.97
La radiazione solare e atmosferica
FIGURA 14.35
Scambi per irraggiamento di una superficie esposta alla radiazione solare ed atmosferica.
~<52J ,'•, ,','1.' ,' ,,,,,,,,,,
=Vento
Nuvole
,./)i{f
>'.,·,'·'Pioggia
.:
'.:· -:,'.'
Evaporazione
pio, una superficie può essere mantenuta fredda semplicemente verniciandola di bianco. Si noti che quella che viene detta energia rinnovabile generalmente non è altro che energia solare che si manifesta in differenti forme: l'energia eolica, l'energia idroelettrica, l'energia termica degli oceani, lenergia delle onde degli oceani ed il legno, Un impianto di energia idroelettrica, per esempio, non può generare elettricità in continuo se lacqua non evapora assorbendo energia solare e ricade giù come pioggia ripristinando la sorgente idraulica (Figura 14.36). Sebbene l'energia solare sia sufficiente a soddisfare l'intera domanda mondiale di energia, attualmente ciò non è economico per la bassa concentrazione dell'energia solare sulla Terra e gli alti costi di sfruttamento,
d') a 5 = 0.1 e e= 0.9 (superficie riflettente selettiva):
Ciclo del!' acqua in un impianto idroelettrico.
e 0.91---------(a)
Si consideri una superficie esposta alla radiazione solare le cui componenti, diretta e diffusa, siano rispettivamente G0 = 400 W/m2 e G•= 300 W/m2 • La componente diretta forma un angolo di 20° con la normale alla superficie. Se la temperatura della superficie è 320 K e quella effettiva del cielo 260 K, calcolare la potenza termica netta scambiata per irraggiamento nelle seguenti condizioni (Figura 14.37): a) a5 = 0.9 e e = 0.9 (superficie assorbente grigia); b) a5 = 0.1 e e= 0.1 (superficie riflettente grigia); c) a5 = 0.9 e e= 0.1 (superficie assorbente selettiva); d') a5 = 0.1 e e= 0.9 (superficie riflettente selettiva). Soluzione L'energia solare totale incidente sulla superficie è data dall'Equazione 14.25: G.,.N
=
G0 cos8 +G. = 400 cos(20• )+ 300
=675.9W/m
2
La potenza termica netta scambiata per irraggiamento nei quattro casi si ricava dall'Equazione 14.28:
a)
a5 = 0.9 e e = 0.9 (superficie assorbente grigia):
4,,..,.,,. =0.9x675.9+0.9x5.67x10...,(260' -320') =306.5W/m
b)
a5 = 0.1
2
e e= 0.1 (superficie riflettente grigia):
4,...,,. = 0.1x675.9 + 0.1 x5.67 x10..., (260
4
-320
4 )
=34.1W/m' e) a 5 = 0.9 e e= 0.1 (superficie assorbente selettiva):
4,.,.,,. =0.9x675.9+0.1x5.67x10...,(260 =574.8W/m'
4
-320')
Il fattore di \·ista
4,.n.,I• = 0.1X675.9 + 0.9X5.67X10-8 (260 4 -320 4 ) =-234.3W/m
2
Si noti che la superficie di un materiale grigio con alto coefficiente di assorbimento guadagna 306.5 W/m 2 ed il guadagno diventa 574.8 W/m 2 quando lo stesso materiale è verniciato con vernice selettiva con lo stesso coefficiente di assorbimento ma basso valore di emissività alla radiazione infrarossa. Si noti, inoltre, che la superficie di un materiale grigio con alto coefficiente di riflessione continua a guadagnare 34.1 W/m' e quando, invece, è verniciata con un materiale selettivo, con identico coefficiente di assorbimento ma un elevato valore di emissività alla radiazione infrarossa, perde 234.3 W/m'. La temperatura di una superficie, quindi, diminuisce quando è verniciata con materiale riflettente selettivo.
ESEMPIO 14.4 FIGURA 14.36
497 ~~&<-i~
14.6 !11 IL FATTORE DI VISTA Mentre in precedenza si sono considerate le proprietà radiative delle superfici e le interazioni radiative di una singola superficie, si considera ora il calore scambiato per irraggiamento tra due o più superfici. La trasmissione di calore per irraggiamento tra superfici dipende dall'orientazione relativa delle superfici, dalle loro proprietà radiative e dalle loro temperature, come mostrato in Figura 14.38: per esempio, un campeggiatore trarrà il maggior beneficio da un fuoco di bivacco in una fredda notte, stando il più vicino possibile e ponendosi di fronte al fuoco e non di lato; una persona d'estate renderà massima la quantità di energia solare incidente su di essa stendendosi piuttosto che stando in piedi. Per tenere conto dell'effetto dell'orientazione sulla trasmissione di calore per irraggiamento tra due superfici, si definisce un nuovo parametro detto fattore di vista, che è una grandezza puramente geometrica indipendente dalle proprietà superficiali e dalla temperatura. Esso è anche detto fattore difomm,fattore di configurazione e fattore d'angolo. Si dice fattore di vista diffuso quello basato sull'ipotesi di superfici che emettono e riflettono in modo diffuso, mentre nel caso di superfici che emettono in modo diffuso ma riflettono in modo speculare si parla di fattore di vista speculare. Poiché verr~ preso in considerazione soltanto lo scambio per irraggiamento trà superfici diffondenti, il termine fattore di vista sta a significare fattore di vista diffuso. Il fattore di vista tra una superficie i e una superficie j si indica con F;_..,j e si definisce:
, F;_..,· =frazione della radiazione emessa dalla superficie i che incide \ ' direttamente sulla superficie j Il fattore di vista F1_,2 rappresenta dunque la frazione della radiazione emessa dalla superficie 1 che incide direttamente sulla superficie 2, mentre F 2_, 1 rappresenta la frazione della radiazione emessa dalla superficie 2 che incide direttamente sulla superficie 1. Si noti che la radiazione incidente sulla superficie non deve necessariamente essere assorbita e che non va considerata
Superficie 2
I ~"f ~-'"
Supe~
Sorgente puntifonne
FIGURA 14.38
Scambio termico per irraggiamento tra superfici in funzione del fattore di vista che tiene conto del!' orientamellto reciproco delle superfici.
498 CAPITOLO 14 La trasmissione di calore per irraggiamento
(a) Superficie piana
(b) Superficie convessa
nel calcolo dei fattori di vista la radiazione incidente sulla superficie dopo essere stata riflessa da altre superfici. Nel caso particolare di j = i si ha:
TABELLA 14.4 Espressioni del fattore di vista per alcune geometrie comuni di dimensione finita (3D)
F1...,1 =frazione della radiazione uscente dalla superficie i che colpisce direttamente la stessa superficie
Geometria
Si noti che, poiché in assenza di intensi campi elettromagnetici i fasci di radiazione viaggiano secondo traiettorie rettilinee, il fattore di vista di una superficie verso se stessa sarà Fi->1 = O se la superficie non si "vede", come accade nel caso di piani o superfici convesse, mentre per superfici concave sarà F . . -:PO, come mostrato in Figura 14.39. Po'khé il valore del fattore di vista varia tra zero ed uno, il caso limite F1...,; = O indica che le due superfici non sono in vista tra loro, per cui la radiazione emessa da i non può incidere direttamente su j. L'altro caso limite, F 1...,. l, indica che la superficie j circonda completamente la i, per cui tutta l~ radiazione emessa dalla superficie i è intercettata dalla j: per esempio, nel caso di due sfere concentriche, tutta la radiazione emessa dalla superficie della sfera più piccola (superficie 1) incide sulla sfera più grande (superficie 2) e quindi F 1..,2 l, come mostrato in Figura 14.40. I fattori di vista sono molto utili nei calcoli di irraggiamento perché consentono di esprimere la frazione di radiazione emessa da una superficie che incide su di un'altra in funzione dell'orientazione reciproca. L'ipotesi base è che la radiazione ricevuta dalla superficie è proporzionale. ali' angolo sotteso dalla superficie quando questa viene vista dalla sorgente, ipotesi valida solo se la radiazione emessa dalla sorgente è uniforme in tutte le direzioni ed il mezzo interposto tra le superfici non assorbe, emette o disperde la radiazione. Tutto ciò si verifica solo quando le superfici sono emettitori e riflettori diffondenti ed isotermi ed il mezzo interposto è nonpartecipante, come il vuoto o l'aria. Il fattore di vista F 1..,2 tra due superfici A1 e A2 si può calcolare esprimendo in funzione delle variabili spaziali il fattore di vista tra due aree infinitesime dA 1 e dA 2 ed effettuando poi le necessarie integrazioni. Questo approccio tuttavia risulta poco pratico perché le integrazioni sono generalmente molto complesse anche per geometrie semplici. I fattori di vista per particolari geometrie sono riportati in forma analitica nelle Tabelle 14.4 e 14.5 e in forma grafica nelle Figure da 14.41 a 14.44. Si noti che i fattori di vista riportati nella Tabella 14.5 sono relativi a geometrie bidimensionali infinitamente lunghe nella direzione normale al piano del foglio, mentre i fattori di vista riportati nella Tabella 14.4 sono relativi a superfici tridimensionali.
=
(e) Superficie concava
Relazione
Rettangoli paralleli allineali 2
F,
Ln;~;;<~,
Sfera
-
r\t:crjN
FIGURA 14.40 Tra due sfere concentriche il fattore di vista FH, è uguale a I, perché tutta la radiazione che abbandona la superficie della sfera più piccola è intercettata dalla sfera più grande.
La determinazione dei fattori di vista richiede la maggior parte del tempo necessario al calcolo dell'irraggiamento in una cavità costituita da N superfici, poiché i fattori di vista sono in numero di N2. Tuttavia non è né necessario né pratico calcolare direttamente tutti i fattori di vista, poiché una volta disponibile un numero sufficiente di essi, gli altri possono essere calcolati utilizzando alcune regole fondamentali.
-2 112
-1
X
~
(1+Y )
tan·1 __!__ 2 112 (1+x J 1 - Xtan- X -Ytan· Y'}
+ Y(1+X 2 )
X
112
1
Dischi paralleli coassiali R1 =r,IL, R1 =r1/L S=1+1+R)
,., -~l:++:JT) H=ZIX. W =YIX
Rettangoli perpendicolari con un lato in comune F.1
~1
-1 1 1 =2- ( Wtan·1-+Htan H W trW 1 1 2 2 112 ----(H +W ) tan- - , 2 2 112 (H +W )
2
+ 1ln{(1+W )(1+H') 1+W2 +H 2 "4 2
X
2
2
W (1+W +H ) [ (1+W2 )(W 2 +H2 )
Jw'
x[(7:~:)~~'++~~)] H'} J 1
Le relazioni tra fattori di vista
2 1, [(1+X )(1+Y")J'" ---=--1'n 1+X 2 +Y 2 irXY +X(1+Y) tan
=
FIGURA 14.39 Il fattore di vista di una superficie verso se stessa è nullo per superfici piane o convesse e diverso da zero per superfici concave.
~i
La regola di reciprocità
sono uguali solo se le aree delle superfici cui si I fattori di vista F1'"'1 e F._,, 1 riferiscono sono uguali: ~--
=F
1....;
quando A,= A;
F;_,, '# F,...,;
quando A, -:P A;
499 Il fattore di vista
500
TABELLA 14.5 Espressioni del fattore di vista per alcune geometrie infinitamente lunghe (2D)
CAPITOLO 14
Geometria
La trasmissione di calore per irraggiamento
501 Il fattore di \·ista
Relazione
Piastre parallele con mediane connesse mediante perpendicolare 0.3
1µ
ì_~
w, =w/L, W1 =w/L F.
0.2
_ [(W, + W1 )2 + 4]' 12 -[(W1 +W,) 2 +4] 112
2\11'1
1-tj -
F1-2
O.I 8·~
. 0.07
Piastre parallele inclinate di eguale larghezza e con un lato in comune
0.05
il ili.ti Q.2.11° .-r-• 1iII1111111 0.18fb=rr111111111111 *>i<,<-4-...!'>''4+?f-+7"1+:l-i'tttt!:i.<-f'!::-h'fffi!:ig.:~ i ' ~I i I i I I 111 rTi
d.1'-
0.04
0.03
0.02 IV
Piastre perpendicolari con un lato in comune
0.0 [ L:,O...l.LJ.J.,ll~,AC,
j
·IL.
20
Utilizzando il concetto di intensità di radiazione si può dimostrare che i due fattori di vista F,...,i e 0. . ,sono legati tra loro dalla relazione:
w,
(14.29)
Cavità a tre lacce
Questa relazione, detta di reciprocità, permette il calcolo di un fattore di vista noti che siano laltro fattore di vista e le aree delle due superfici. Nel calcolo di una coppia di fattori di vista F,...,1 e F._,, conviene calcolare direttamente quello più semplice, ricavando poi q~ello più complesso con la relazione di reciprocità.
w, Piastra infinita e fila di cilindri
-enr
®®0©06 F,~, =l-[1 +-; '----------0 J-!-1
D
D
s -D tan _, - 2 - 2- ' ) " ' (
5
2 La regola della somma Nello studio dello scambio di calore per irraggiamento di una superficie bisogna considerare la radiazione in arrivo e quella in partenza in tutte le direzioni; per questo la maggior parte dei problemi di irraggiamento incontrati nella pratica coinvolge spazi chiusi in forma di cavità composta dalle superfici coinvolte nello scambio, considerando anche le aperture come superfici immaginarie dotate di proprietà radiative equivalenti. Per il principio di conservazione dell'energia, poiché tutta la radiazione emessa dalla superficie i di una cavità deve essere intercettata dalle superfici della cavità stessa, si ha che: la somma dei fattori di vista della
FIGURA 14.41
Fattore di vista tra due rettangoli allineati, paralleli e di uguale dimensione.
---- ------I.O . - - - - - r - - - - - , - - - - - , - - - - , - - - - ,
502
503 li fattore di vista
CAPITOLO 14 La trasmissione di calore per irraggiamento
0.8
I.O 0.9
"""
0.8
0.7 ~
I I I
"""1"'-I"-~,,.,I
Ì'-
0.6
'~
Ì'-r-.,.
F2-20.5
--
0.4 0.3
0.2 r-O.I
o
r--...,2
r-...
!'-.
J 0.5
..
~
N"'.
N" I'-."
~t--L
r0.25
r-+-
f" &
-r...: ~ i:::--
I
~
_,,,.
O O.I 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 I.O r 11r2
FIGURA 14.42 Fattore di vista tra due rettangoli perpendicolari con un lato in comune.
RapportoLfW
superficie i di una cavità verso tutte le superfici della cavità, essa stessa inclusa, è uguale ad uno. Questa regola della somma per una cavità (Figura 14.45) si esprime con la relazione:
FIGURA 14.44 Fattore di vista tra due cilindri concentrici di lunghezza finita: dal cilindro esterno verso quello interno e dal cilindro esterno verso se stesso.
N
L,F;. . i =l
(14.30)
Superficie i
j=l
dove N è il numero di superfici costituenti la cavità. La regola della somma applicata, ad esempio, alla superficie 1 di una cavità di tre superfici porta a scrivere: 3
L,F;...,i =Fi....
1
+ F; .... 2+F;...,3=1
j=l
La notazione F. ., istruttiva per principianti, perché evidenzia che il fattore di vista si riferlÌi1:e a radiazione emessa dalla superficie i e incidente sulla scomoda quando deve essere usata ripetutamente; 'in questo caso risulta più comoda la forma abbreviata F... Poiché la regola della somma applicata a ciascuna ~elle superfici di una cavità facendo variare i da 1 a N fornisce N relazioni per il calcolo dei
~superficiej, risulta molto
FIGURA 14.43 Fattore di vista tra due dischi paralleli coassiali.
0.2
0.3 0.4
0.6
I.O L/r1
2
fattori di vista e la relazione di reciprocità da ulteriori ~ N(N - 1) relazioni, per una cavità costituita da N superfici il numero di fattori di vista da determinare direttamente si riduce a:
FIGURA 14.45
La radiazione che abbandona una superficie i di una cavità deve essere intercettata completamente dalle superfici della cavità e quindi la somma dei fattori di vista tra la superficie i e ciascuna delle altre superfici della cavità deve valere uno.
----------------- -···-·--··--
504 CAPITOLO 14 La trasmissione di calore per irraggiamento
!fl-[N+ ~N(N-1)] = ~N(N-1) Per una cavità con 6 superfici, ad esempio, bisogna determinare direttamente solo '6(6 - 1) 15 dei 6 2 = 36 fattori di vista, poiché i restanti 21 possono ess~re determinati con le 21 equazioni che si ottengono applicando le regole di reciprocità e della somma.
=
ESEMPIO 14.5 Si calcolino i fattori di vista relativi alla cavità formata dalle due sfere mostrate in Figura 14.46. Soluzione La superficie esterna della sfera piccola (superficie 1) e quella interna della sfera grande (superficie 2) formano una cavità con due superfici, per cui N= 2 e ci sono fil'= 22 4 fattori di vista: F,,, F, 2 , F2, e F22 • li numero di fattori di vista da calcolare direttamente è:
=
iN(N-1)
FIGURA 14.46 Geometria considerata nell'Esempio 14.5.
Gli altri tre fattori di vista si possono calcolare applicando le regole della somma e della reciprocità. Esaminando lo schema della cavità si possono valutare immediatamente non uno ma due fattori di vista: F = o, perché non esiste radiazione emessa dalla superficie 1 che incide " sulla stessa superficie; F = 1, pere~~ tutta la radiazione emessa dalla superficie 2 incide sulla su12 perf1c1e 1. In realtà sarebbe sufficiente valutare soltanto uno di questi due fattori di vista, poiché l'altro si può calcolare applicando la regola della somma alla superficie 1: F,, + F, 2 1. Il fattore di vista F, 2 si determina applicando la regola di reciprocità alle superfici 1 e 2:
=
per cui:
F,,=
A,
=A, F
4irr,
, .,
ir r2
Il fattore di vista
+
a>~·'· ',_;-~,\._
.. ·.
'·}~
(14.31) Se occorre il valore del fattore di vista F 1_,3 e un rapido controllo delle espressioni e tabelle dei fattori di vista riportati in questo paragrafo mostra che è impossibile il calcolo diretto di tale fattore di vista, si può, tuttavia, calcolare il fattore di vista FH3 con l'Equazione 14.31 dopo aver determinato F 1_,2 e F 1-+(.!+3>dal grafico di Figura 14.42. È dunque possibile determinare fattori di vista complicati con relativa semplicità, esprimendo una o entrambe le superfici come somma o differenza di superfici ed applicando poi la regola della sovrapposizione. Per ottenere una relazione per il calcolo del fattore di vista F 2 , si 3 ~oltiplichi l'Equazione 14.31 per A 1: < + J->I AIFl-+(2+3)
(i)
(i)
FIGURA 14.47 Il fattore di vista da una superficie verso un'altra composta è uguale alla somma dei fattori di vista dalla superficie verso le parti componenti dell'altra.
= AIFl->2 + AIFl->3
e si applichi la regola di reciprocità ad ogni termine:
21
A Fi,=~4 ,x1= 2 (
505
(i)
= ~2(2-1) =1
A, F12
3 La regola della sovrapposizione Se il fattore di vista relativo non è disponibile nei diagrammi e tabelle, è conveniente esprimere la geometria data in forma di somma o differenza di geometrie con fattori di vista noti ed applicare poi la regola di sovrapposizione: i/fattore di vista tra una superficie i ed una superficie j è uguale alla somma dei fattori di vista tra la superficie i e le parti componenti la superficie j. Si noti che l'inverso non è vero, cioè il fattore di vista tra una superficie j e una superficie i non è uguale alla somma dei fattori di vista tra le parti componenti la superficie j e la superficie i. Si consideri la superficie di Figura 14.47 infinitamente lunga nella direzione normale al piano del foglio. Poiché la radiazione emessa dalla superficie 1 che incide sull'insieme delle superfici 2 e 3 è uguale alla somma della radiazione che incide sulle superfici 2 e 3, il fattore di vista tra la superficie 1 e l'insieme delle superfici 2 e 3 è dato dalla relazione:
r, r,
-
(A,+ A3)F<2+3HI = A2F2... 1 + A3FJ..,1
J'
oppure:
Il fattore di vista F22 si calcola, infine, applicando la regola della somma alla superficie 2: (
(14.32)
F21 +F21 =1
per cui:
F=1-F,, =1-(;, J 22
I
Si noti che, quando la sfera esterna è molto maggiore di quella interna (r2 » r,), F tende ad uno, perché la frazione di radiazione emessa dalla sfera esterna che è 'i'ntercettata da quella interna diventa in tal caso trascurabile. Va pure notato che le due sfere possono anche non essere concentriche; tuttavia il calcolo risulta più preciso nel caso di sfere concentriche perché la radiazione in tal caso risulta più uniforme sulle due superfici.
ESEMPIO 14.6 Si calcoli la frazione di radiazione emessa dalla superficie di base della cavità cilindrica mostrata in Figura 14.48 che sfugge attraverso l'apertura anulare, coassiale al cilindro, nella parte superiore dello stesso. La cavità ha raggio r, 10 cm e lunghezza L 10 cm, mentre l'apertura anulare ha raggio interno r 5 cm 2 ed esterno r3 8 cm.
=
=
=
=
Soluzione Nell'ipotesi che la superficie di base emetta e rifletta in modo diffuso si tratta di determinare Il fattore di vista F,__.~ dalla base all'apertura anulare sulla parte superiore.
FIGURA 14.48 Cavità cilindrica considerata nell'Esempio 14.6.
506 CAPITOLO 14 La trasmissione di calore per irraggiamento
Non avendo a disposizione una espressione analitica o un grafico per il fatto• re di vista tra un'area circolare ed un anello coassiale non si può calcolare F, direttamente; tuttavia è disponibile un grafico per il fattore di vista tra due diScl:1 dischi. coassiali e paralleli ed un anello è rappresentab ile in termini di due Si indichi come superficie 1 quella di base di raggio r, = 10 cm, come superficie 2 l'area circolare di raggio r2 = 5 cm sulla superficie superiore e come superficie 3 l'area circolare di raggio r3 = 8 cm. Applicando la regola della sovrapposizione il fattore di vista dalla superficie 1 alla 3 è:
F,.., =F,..., + F,_ si essendo la superficie 3 'somma della 2 e dell'anello. I fattori di vista F,~ 2 e F,~ 3 calcolano dal grafico in Figura 14.43:
..!:. = ~ = 1e2=~=0.5-<"',,.=·'~"43~1~> F,~2 = 0.11 r,
L
10
_!:.=~=1e.2=~= 0.8---'c"',,."''~""""-t> F,_.. =0.28 L
10
F,...,,...= F,..,- F,~2 = 0.28-0.11= 0.17 Si noti che F,~ 2 e F,~ 3 rappresentano le frazioni di radiazione emessa dalla base che incide sulle supertici circolari 2 e 3 rispettivamente, mentre la loro differenza è la frazione che sfugge attraverso l'area anulare.
_ = 1 2
F
_ 1 3
(Inoltre, F2_
=F3_ 1) 1
FIGURA 14.49
11I,
Due superfici simmetriche rispetto ad una terza avranno lo stesso fattore di vista dalla terza superficie.
l
li
4 La regola della simmetria Poiché la determinazione dei fattori di vista può semplificarsi ulteriormente se la geometria presenta una qualche simmetria, è buona pratica accertarsi della presenza di simmetria nella geometria di un problema prima di avventurarsi nel calcolo diretto dei fattori di vista. La presenza di simmetria può essere rilevata tenendo presente la definizione di fattore di vista: infatti superfici identiche orientate in modo identico rispetto ad un'altra superficie intercetteranno uguali quantità di radiazione. La regola della simmetria può essere così espressa: due (o più) superfici simmetriche rispetto a una terza avranno uguali fattori di vista verso quella superficie (Figura 14.49), oppure: se le superfici j e k sono simmetriche rispetto alla superficie i allora F1 . F1""". Applicando la regola della reciprocità si uò dimostrare che in qu'isto caso risulta anche Fi->i = Fk-•<
=
I
ESEMPIO 14.7 e Calcolare i fattori di vista tra la base della piramide mostrata in Figura 14.50 sia ciascuna delle quattro superfici laterali nell'ipotesi che la base della piramide un quadrato e le sue superfici laterali siano triangoli isosceli.
La piramide considerata nell'Esempio 14.7.
La base della piramide (superficie 1) e le sue quattro superfici lateSoluzione rali (superfici 2, 3, 4 e 5) formano una cavità a cinque superfici. La prima osservazione che si può fare è circa la simmetria della· cavità, poiché le quattro superfici laterali sono simmetriche rispetto alla superficie di base. Per la regola della simmetria si ha:
= F14 =F15
507 Il fattore di 'ista
s
t,F,, =F,, + F,. + F,, + F,. + F,, =1 Dalle due relazioni precedenti, essendo F11 = O per superficie
pia~a.
si ha:
F,. = F,. = F,. = F,. =0.25 Ciascuna delle quattro superfici laterali riceve cioè un quarto della radiazione che
~bb_andona_ la superficie di base. Si noti come la presenza della simmetria semplif1ch1 molto il calcolo dei fattori di vista .
Soluzione . _Siano ~lspettivamente L,. ~e L, le larghezze e A,, A. e A. le aree il delle superf1c1 laterali del condotto a sezione trasversale triangolare Essendo condotto di lunghezza infinita, la frazione di radiazione emessa da u~a superficie c~e i:fugge .attraverso le estremità del condotto è trascurabile, per cui li condotto s1 puo 7ons1derare come una cavità a tre superfici, N = 3. 2 2 Poiché_ una tale cavità richiede il calcolo di N = 3 = 9 fattori di vista, quelli da calcolare direttamente sono:
~N(N-1)= P<3-1)=3 Fortunatamente tutti e tre si possono determinare osservando lo schema del condotto:
F,,
=F =F 22
33
=0
trattandosi di superfici piane. I restanti sei fattori di vista si calcolano applicando le regole della somma e della reciprocità. Per la regola della somma applicata a ciascuna delle tre superfici:
F11 + F12 + F, 3 F21 + F22 + F23 F,, + F32 + F33
f
I
FIGURA 14.50
3
Calcolare i~ fattore di vista tra una superficie laterale e una qualsiasi delle altre nel in C?ndotto triangolare di lunghezza infinita di sezione trasversale come mostrato Figura 14.51.
10
Il risultato cercato è:
F
=F,
ESEMPIO 14.8
10
1 43 1
r,
F, 2 Per fa regola della somma si ha:
=1 =1 =1
=
Essendo F,, = F22 F33 =O e moltiplicando la prima equazione per A,, la seconda per A. e la terza per A.:
A1 F12 + A1F13 =A,
A.F2, + A.F23 = A. A,F3, + A3 F32 = A, Per la regola della reciprocità, A, F.12
=il"2:F. ~
21'
A 1F.13
A,F, 2 + A,F, 3 =A, A,F, 2 + A.F23 =A.
A,F,, + A.F.. =A,
=A F.
3 31
e JJF.23 -- A3 F.32'· '"'2
FIGURA 14.51
Il condotto a sezione triangolare infinitamente lungo considerato nell'Esempio 14.8.
I~ metodo delle corde. incrociate è applicabile anche quando le due superfici hanno un estremo ~n comune, come in un triangolo, poiché lestremo in comune pu? essere v1~to come una corda immaginaria di lunghezza nulla. Il met~o s1 può apphcare anche a superfici parzialmente ostruite da altre superfici consentendo alle corde di piegarsi intorno alle ostruzioni.
Il sistema di tre equazioni algebriche in tre incognite ha come soluzione:
508 CAPITOLO 14 La trasmissione di calore per irraggiamento
F. =A,+A,-A, =L.+L,-L,
2L. 2A, A,+A,-A, L.+L,-1.., 2L. 2A, F. =A,+A,-A, =L,+L,-L. 23 21.., 2A, "
F,3=~-~~
ESEMPIO 14.9
superfici meno la larghezza della terza superficie restante, diviso per il doppio della larghezza della prima superficie.
I fattori di vista tra superfici infinitamente lunghe: il metodo delle corde incrociate
---~~\e .
~~~-----7:
-
~Y,'
'··!-_s "'-.,:' ,'
Determinazione del fattore di vista F 1 ~1 con il metodo delle corde incrociate.
F.
_
1-+2 -
(Ls+L,;)-(L:J+L4)
24
(14.34)
Si noti che L5 + L6 è la somma delle lunghezze delle corde incrociate e L3 + L4 è la somma delle lunghezze delle corde non incrociate collegate ai punti terminali. Il metodo delle corde incrociate di Hottel può avere °la seguente espressione:
I, (lunghezza corde incrociate)- I, (lunghezza oorde non incrociate) F;,... 1 =
Due piastre par~llele di lunghezza infinita e larghezze a =12 cm e b = 5 cm sono poste a~ ~na distanza c = 6 cm, come mostrato in Figura 14.53. a) Calcolare il fattore ~1 vista F,~2 dalla superficie 1 alla 2 usando il metodo delle corde Incrociate. b) Dimostrare la formula delle corde incrociate formando triangoli sulla geo"'!etrla ~ala ed usando l'Equazione 14.33 per il calcolo dei fattori di vista tra i lati d1 un tnangolo. So!u~ione . a) ~i individuano prima i punti estremi di entrambe le superfici e P?I s1 tracciano linee r~tte ~~ngiungenti tali punti estremi, come mostrato in Figura 1_4.53. Una volta 1dent1f1cate le corde incrociate e quelle non incrociate si applic~ 11 metodo delle corde incrociate (Equazione 14.35) per calcolare il fattore di vista F,~ 2 :
b=L2 =5cm
C ~"'-
->,.
-- L6·....~.\ ........
c=6cm:
•,' ,,
·...
..........
A"~~~...,,Q),_-~~~-'-'B
a=L 1 =12cm
In molti problemi pratici si ha a che fare con geometrie di sezione trasversale costante, come nei canali e nei condotti, che in generale sono molto lunghi in una direzione rispetto alle altre due. Considerando tali geometrie bidimensionali, perché lo scambio per irraggiamento con le superfici terminali risulta trascurabile, e in.finitamente lunghe, il fattore di vista tra le loro superfici può essere determinato con il metodo delle corde incrociate, sviluppato da H.C. Hottel nel 1950, di una incredibile semplicità. Le superfici costituenti la geometria non devono necessariame nte essere piane ma possono essere convesse, concave o di una generica forma irregolare. Per dimostrare il metodo si consideri la geometria mostrata in Figura 14.52 e si trovi il fattore di vista F 1_, 2 tra la superficie 1 e la 2. Per prima cosa si identificano i punti terminali delle superfici (punti A, B, Ce D) e si collegano con corde ben tese, indicate in figura con linee tratteggiate. Hottel ha dimostrato che il fattore di vista F 1,...2 può essere espresso in funzione della lunghezza cli queste corde tese, che sono linee rette, con la relazione:
FIGURA 14.52
Il fattore di vista
(14.33)
Si noti che le aree sono state sostituite dalle larghezze perché A = Ls e la lunghezza si semplifica tra numeratore e denominatore. Si può generalizzare il risultato dicendo che il fattore di vista tra una superficie di un condotto triangolare di lunghezza infinita e un'altra superficie è uguale alla somma delle larghezze di tali
D
509
2 (lunghezza della corda sulla superficie) (14.35)
F,_..
=L (lunghezza corde incrociate) - L (lunghezza corde non incrociate) 2 (lunghezza della corda sulla superficie 1) =
(L. +t,,)-(L, +L.} 2L.
L, = a=12cm, L, = J1• +6' =9.22cm 2 L, =b=5cm, L. = J5 +6 2 =7.81cm L, = c=6cm, t,, =J12'+6' =13.42cm e sostituendo;
,... =
F.
.
FIGURA 14.53 Le due piastre parallele infinitameate lunghe considerate nell'Esempio 14.9.
(7.81+13.42)-(6+9.22) =0.250 2x12
~1Esse.ndo la geometria di lunghezza infinita in direzione perpendicolare al piano foglio, le due piastre (superfici 1 e 2) e le due aperture (superfici immaginarle 3 e 4) tom:i~no una cavità a quattro superfici. Applicando la regola della somma la superf1c1e 1:
F,, + F,, + F,. + F,, = 1 La superficie 1 è piana e quindi F,, = O:
F, 2 =1 - F, 3 -
F14
~~ve i fattori.di vista F, 3 e F,. si possono calcolare considerando i triangoli ABCune D ed applicando l'Equazione 14.33 per il calcolo dei fattori di vista tra i lati di triangolo:
510 F,3 CAPITOLO 14 La trasmissione di calore per irraggiamento
L,+L,-L,
=
21.,
I
netta trasmessa per irraggiamento dalla superficie i a superfici della cavità:
F. = L, + L, - L, " 21.,
e sostituendo:
delle altre
(14.38)
F. = _ L, + L, - L, _ L, + L, - L, 1 12 21., 2L, (L5 +L6 )-(L, +L,)
14.7 ili LA TRASMISSIONE DI CALORE PER IRRAGGIAMENTO: SUPERFICI NERE
ESEMPIO 14.10.
Avendo già considerato la natura della radiazione, le proprietà radiative dei materiali e i fattori di vista, si è ora in grado di determinare la potenza termica scambiata per irraggiamento tra superfici, calcolo che è complicato dal fenomeno della riflessione: la radiazione emessa da una superficie può subire diverse riflessioni parziali da parte delle altre superfici prima di essere completamente assorbita. Lo studio si semplifica molto se le superfici coinvolte possono considerarsi nere, con assenza di riflessioni, come si fa in questo paragrafo, considerando solo lo scambio tra superfici nere. Si considerino due superfici nere di forma arbitraria mantenute a temperature uniformi T1 e T,. come mostrato in Figura 14.54. Ricordando che la radiazione viene emessa da una superficie nera con potenza pari a E. oT' per unità di area superficiale e che il fattore di vista F 1...,2 rappresenta la frazione della radiazione emessa dalla superficie 1 che incide sulla superficie 2, la potenza netta trasmessa per irraggiamento dalla superficie 1 alla 2 è data dalla relazione:
=
Qi....2 =
l
radiazione emessa [radiazione emessa dalla superficie 1 - dalla superficie 2
[ che incide sulla 2
che incide sulla 1
l
Si consideri il forno cubico delle dimensioni 5 m x 5 m x 5 m come mostrato in Figura 14.55, le cui superfici sono con buona approssimazione nere. Le superfici inferiore, superiore e laterali sono mantenute a temperatura costante di 800 K, 1500 K e 500 K rispettivamente. Calcolare la potenza termica scambiata per irraggiamento a) tra la superficie inferiore e le superfici laterali, b) tra la superficie inferiore e quella superiore ed infine e) la potenza termica netta scambiata dalla superficie inferiore. Soluzione a) Osservando che la geometria è composta da sei superfici si è tentali di considerarla una cavità a sei superfici; in realtà, poiché tutte le superfici laterali hanno le stesse proprietà, nei calcoli di irraggiamento queste possono essere considerate come unica superficie. Indicando come superficie 1 quella inferiore, superficie 2 quella superiore e superficie 3 quelle laterali il problema consiste nel calcolare
a..... a..., eà,.
La potenza termica netta trasmessa per irraggiamento à,~, tra la superficie 1 e la 3 si calcola con l'Equazione 14.37, essendo le superfici nere:
. O,_,
=
(
.
A.F,_,a T, - T,')
Un esame dei grafici e tabelle disponibili mostra che non è possibile il calcolo diretto del fattore di vista; tuttavia si può applicare la regola della somma calcolando dalla Figura 14.41 direttamente F, 2 = 0.2 ed osservando che F, = O, perché la superficie 1 è piana: ~ ~•
(14.36)
I Applicando la regola della reciprocità, A1FL-> 2 zione:
511 +! La trasmissione di calore per irraggiamento: superfici nere
Un valore negativo di Q indica che la trasmissione di calore per irraggiamento avviene verso la superficie i (la superficie i guadagna energia per irraggiamento invece di perderla). Si noti che la potenza netta scambiata da una superficie con se stessa risulta nulla indipendentemente dalla forma della superficie stessa.
2L,
FIGURA 14.54 Due generiche superfici nere mantenute a temperatura uniforme T, e T2•
~iascuna
F..., =1-F...,, -F...,
=A2F 2...,1, si ottiene la rela(14.37)
Un valore negativo per Qi-+2 indica che la trasmissione netta di calore per irraggiamento avviene dalla superficie 2 alla 1. Si consideri ora una cavità costituita da N superfici nere mantenute a temperature costanti. La potenza termica netta trasmessa per irraggiamento da una generica superficie i della cavità si calcola sommando la potenza
=1-0-0.2 =0.8 Sostituendo si ha:
à...., = 25x0.8x5.67x10 .. (800 4 -500 4 ) =393611W b) La potenza termica netta trasmessa per irraggiamento e la 2 si calcola con l'Equazione 14.37:
ò...,2
tra la superficie 1
FIGURA 14.55 Il forno di forma cubica e superfici nere considerato nell'Esempio 14.10.
,
512
0,~2 =A, F,~,a (T,' - T,')
=25x0.2x5.6 7x10 .. (800' -1500 =-1319097W
CAPITOLO 14 La trasmissione di calore per irraggiamento
4
)
dove il segno negativo indica che la potenza netta per irraggiamento è trasmessa dalla superficie 2 alla 1.
e) La potenza termica netta trasmessa per irraggiamento 6, dalla superficie inferiore si calcola con l'Equazione 14.38 sostituendo ad iii valore 1 e ponendo N= 3: •
o, = t, o,~1 = o,~, +o,_,, + o,_,, 3.
•
•
.
=o+ (-1 319097) + 393 611 =-925486W dove il segno negativo indica che la potenza netta per irraggiamento è trasmessa alla superficie 1, cioè che la base del forno riceve una potenza per irraggiamento di circa 925 kW.
r
- -· 513
emessa)+(ra diazione riflessa) 1 1 -(radiazione dalla superficie i dalla superficie i (14.39)
=e,En1+PP1 =e,E"1 +(1-e1)G1W/m
2
dove E . =aT4 è il potere emissivo di corpo nero della superficie i e G. è l'irradi;~ione (cioè l'energia radiante incidente sulla superficie i per unità di tempo e per unità di area). Per una superficie che si possa approssimare ad un corpo nero (e1 = 1) la radiosità si riduce a: 1 1 = En1
=aT;4
(14.40)
(corpo nero)
Quindi la radiosità di un corpo nero è uguale al suo potere emissivo, come ci si aspettava poiché il corpo nero non riflette radiazione e tutta la radiazione che lo abbandona è dovuta alla sola emissione.
La potenza termica netta trasmessa per irraggiamento a (o da) una superficie
14.8 ~ LA TRASMISSIONE DI CALORE PER IRRAGGIAMENTO: SUPERFICI GRIGIE E DIFFONDENTI
Radiosità, J ~
Radiazione
Radiazione Radiazione
~V/"
?t.vm;mV""T
y·.r·:i.M?tT,:,:srw1~"'··~5-..:ii
Superficie
FIGURA 14.56
La radiosità rappresenta la somma della radiazione emessa e riflessa da una superficie.
L'analisi degli scambi tennici per irraggiamento in cavità composte da superfici nere è relativamente semplice, come appena visto, ma molte cavità incontrate nella pratica coinvolgono superfici non nere che danno luogo a riflessioni multiple. L'analisi degli scambi per irraggiamento in tali cavità diventa molto complicata se non si fanno alcune ipotesi s.emplificative. Per semplificare lo studio dell'irraggiamento è nonnale considerare le superfici di una cavità opache, diffondenti e grigie, superfici cioè non trasparenti, che emettono e riflettono in modo diffuso con proprietà radiative indipendenti dalla lunghezza d'onda. Ciascuna superficie della cavità inoltre è considerata isoterma e sia la radiazione emessa che quella incidente su ciascuna superficie sono considerate uniformi.
La radiosità Le superfici emettono e riflettono radiazione, per cui la r.adiazione uscente da esse comprende sia la parte emessa che quella riflessa. Il calcolo del1'energia scambiata per irraggiamento tra superfici coinvolge la radiazione totale che abbandona una superficie indipendentemente dalla sua origine, per cui bisogna definire una nuova grandezza che rappresenti la radiazione
totale che abbandona una superficie per unità di tempo e per unità di area: essa è detta radiosità ed è indicata con J (Figura 14.56). Per una superficie i grigia ed opaca (e1=a1e a1+ p1=I) la radiosità si esprime con la relazione:
In uno scambio tennico per irraggiamento una superficie perde energia emettendola per irraggiamento e guadagna energia assorbentlo la radiazione emessa dalle altre superfici, per cui essa registrerà un guadagno netto o una perdita netta di energia a seconda di quale quantità è maggiore. La potenza termica netta scambiata per irraggiamento da una superficie i di
area A 1 è indicata con Q; ed è espressa come:
Q -(radiazione che abbandona)_ (radiazione incidente) 1-
sulla superficie i
la superficie i
( 14 .4 l)
=A;(J, - Gi) (W) Ricavando G. dall'Equazione 14.39 e sostituendola nell'Equazione 14.41 ' si ha:
Q;=A;(li. 11 -e;En1 J=A;e 1 (E.-J.) 1-ej
1-ei
m
(W)
(14.42)
I
Per analogia con la legge di Ohm per lenergia elettrica, questa equazi'one può essere riscritta nella fonna: (14.43) dove
R. = 1-e; I
A;e,
(14.44)
è la resistenza superficiale all'irraggiamento. Come illustrato in Figura
La trasmissione di calore per irraggiamento: supertici grigie e diffondl•nti
514 CAPITOLO 14 La trasmissione di calore per irraggiamento
14.57, nell'analogia elettrica la quantità E. -J. corrisponde alla differenza di potenziale e la potenza tennica netta sc;mbi~ta per irraggiamento corrisponde alla corrente. Il verso della potenza termica netta scambiata per irraggiamento dipende dal valore di J, (radiosità) rispetto a E., (potere emissivo di un corpo nero alla stessa temperatura della superficie): sarà dalla su~erficie se > 11 e verso la superficie se 11 > E.,. Un valore negativo di Q1 indica che la trasmissione di calore è verso la superficie. Si noti che per un corpo nero la resistenza superficiale ali' irraggiamento ~aie z~ro, perc~é e, 1 e 11 e che la potenza netta scambiata per 1rragg1amento s1 può determinare direttamente con l'Equazione 14.41. Alcune superfici, che si incontrano in numerose applicazioni pratiche di scambio tennico, sono ritenute adiabatiche, perché, posteriormente ben isolate, la trasmissione netta di calore attraverso esse risulta nulla. Quando sono trascurabili i fenomeni di convezione sulla superficie frontale (quella di scambio termico), in condizioni stazionarie, una superficie adiabatica deve perdere per irraggiamento tutta l'energia che guadagna, per cui Q1 =O. In questo caso la superficie reirradia tutta l'energia che riceve per irraggiamento e viene detta superficie reirradiante. Ponendo Q1 = O nell'Equazione 14.43 si ottiene:
E.,
Superficie i
FIGURA 14.57 Analogia elettrica della resistenza superficiale alla radiazione.
= E.,.
=
11 = E.1 = aT;4
(W/m2)
(14.45)
In condizioni stazionarie, nota la radiosità di una superficie reirradiante, la s~a tem~era~ra può essere facilmente detenninata dalla precedente equazione. S1 noti che la temperatura di una superficie reirradiante è indipendente dalla sua emissività. Nei calcoli di irraggiamento la resistenza superficiale di una superficie reirradiante viene trascurata perché non esiste trasmissione netta di calore attraverso essa. (Questo fatto è analogo al non considerare la resistenza in un circuito elettrico che non sia sede di circolazione di corrente elettrica.)
La potenza termica netta trasmessa tra due superfici generiche ~i considerino due superfici opache, grigie e diffondenti, di forma arbitiana, mantenute a temperatura costante, come indicato in Figura 14.58. Ricordando che la radiosità J rappresenta la potenza termica radiante che abbandona una superficie per unità di area della stessa e che il fattore di vista F,_,; rappresenta la frazione della radiazione emessa dalla superficie i incidente la superficie j, la potenza netta trasmessa per irraggiamento dalla superficie i alla j è data dalla relazione:
. Q,_,;
(radiazione che a~b~ndona
=
l~ s~perficte 1
J (radiazione che aJ:>bandona J la superficie j
e mc1de sulla j
= AJ1F;_, 1 -A;l ;F1_, 1 (W)
-
e incide sulla i
(14.46)
515
Applicando la regola della reciprocità A,F,....; = A/1_,, si ottiene: (14.47)
La trasmissione di calore per irraggiamento: superfici grigie e diffondenti
Per analogia con la legge di Ohm. questa equazione può essere riscritta nella forma: (14.48) dove (14.49)
R. .=-1t-+J
~Fi-+j
è la resistenza spaziale all'irraggiamento. Come illustrato in Figura 14.58, nell'analogia elettrica la quantità J. - J. corrisponde alla differenza di potenzia/e e la potenza termica nett~ scfunbiata per irraggiamento tra due superfici corrisponde alla corrente. Il verso della potenza tennica netta scambiata per irraggiamento tra due superfici dipende dal valore di 11 rispetto a Jr Un valore positivo per
Q,:..,1 indica che la trasmissione netta di calore è dalla superficie i verso j. Un valore negativo indica lopposto. In una cavità con N superfici, per il principio di conservazione del!' energia la potenza tennica netta trasmessa da una superficie i è uguale alla somma delle potenze tenniche trasmesse dalla stessa superficie verso ciascuna delle N superfici della cavità:
. f.
f
1,-1,
Q, = ,c_,Q;..... ; =,e_,-i=t i=t R,_, i
(W)
(14.50)
In Figura 14.59 si riporta la rappresentazione in forma di circuito della
FIGURA 14.58 Analogia elettrica della resistenza spaziale alla radiazione.
potenza termica scambiata per irraggiamento dalla superficie i con le restanti superfici di una cavità composta da N superfici. Si noti che Q,_, 1 (potenza termica netta scambiata da una superficie con se stessa) vale zero indipendentemente dalla forma della superficie. Combinando le Equazioni 14.42 e 14.50 si ottiene la relazione:
E.-J. fJ,-J, (W) (14.51) R, i=t R,_, 1 Per l'analogia elettrica, il flusso netto di radiazione che abbandona una supeificie rapportato alla sua resistenza supeificiale è uguale alla somma dei flussi di radiazione tra questa supeificie e tutte le altre rapportati alle rispettive resistenze spaziali. -"'--'=k---
Risoluzione dei problemi sull'irraggiamento Nei calcoli di irraggiamento in una cavità per ciascuna superficie deve essere nota o la temperatura o la potenza tennica netta scambiata, perché si
FIGURA 14.59 Rete elettrica equivalente allo scambio di radiazione dalla superficie i alle restanti superfici di una cavità a Nsuperfici.
--------- ---··--·-· -- --~ 516 CAPITOLO 14 La trasmissione di calore
per irraggiamento
possa ottenere una soluzione unica per le altre temperature o potenze termiche scambiate incognite. Poiché le Equazioni 14.50 (per superfici con potenza termica nota) e 14.51 (per superfici con temperatura nota) costituiscono un sistema di N equazioni algebriche lineari utile per la determinazione delle N radiosità incognite per una cavità di N superfici, una volta calcolate le radiosità J,, 12, ••• , JN le temperature e le potenze termiche superficiali incognite si possono calcolare rispettivamente con le Equazioni 14.51e14.50. L'approccio diretto appena descritto per la risoluzione di problemi di scambio termico per irraggiamento, specie quando è presente un numero elevato di superfici, viene detto metodo matriciale perché richiede l'uso di matrici e conoscenze di algebra lineare. Di seguito si descrive un metodo alternativo, detto metodo reticolare, basato sulla rete elettrica equivalente. Il metodo reticolare fu introdotto per la prima volta da A.K. Oppenheim nel 1950 e trovò vasta accoglienza per la semplicità e per la evidenziazione dell'aspetto fisico del problema. L'applicazione del metodo è semplice: si disegnano le resistenze superficiali, una per ogni superficie, e le si collega con resistenze spaziali. Si risolve poi il problema di irraggiamento trattandolo come un problema di rete elettrica dove le potenze termiche per irraggiamento corrispondono a correnti e le radiosità al potenziale. Il metodo reticolare, tuttavia, non è pratico per cavità con più di tre o quattro superfici a causa della complessità della rete equivalente. Di seguito il metodo viene applicato alla soluzione di problemi di irraggiamento in cavità con due o tre superfici.
517
oppure::
La trasmissione di calore per irraggiame'nto: superfici grigie e diffondenti
(14.53)
(W)
l-e l l-e - -1+ - - + - -2 A1E1 . Ai Fi2 AiE2
Questo importante risultato è applic~bile a qual~iasi coppia di. s~perfici opache, grigie e diffondenti che foffl'.mo una.~a~:tà. Il fattore d1 vista Fq dipende dalla geometria e va deferrrunato all 1mz10. Nella Tabell~ 14.6 s1 riportano forme semplificate dell'Equazione 14.53 per alcune cavità a due superfici. Si noti che per tutti questi casi P,articolari F 12 = 1.
TABELLA 14.6
Oggetto piccolo in una cavilà grande
•. ..
·\:_, Ll...,,., J
A1,T,.e1 •
!.L=o A2
<Ì12=A10'E1(T~-7i) (14.54)
F12= l
Piastre parallelle infinite
La trasmissione di calore per irraggiamento in cavità con due superfici Considerata una cavità costituita da due superfici opache a temperatura fissata T1 e T2, come mostrato in Figura 14.60, si voglia determinare la potenza termica netta scambiata per irraggiamento tra le due superfici con il metodo reticolare. Le superfici 1 e 2 abbiano rispettivamente emissività e, e Ei· area superficiale A 1 e A 2 e temperature uniformi T1 e T2• Poiché la cavità è formata soltanto da due superfici, si ha:
.
FIGURA 14.60
Schema di cavità a due superfici e rete elettrica equivalente ad essa associata.
.
.
Ql2 =Q1 =-Q2 La potenza termica netta scambiata per irraggiamento tra la superficie I e la 2 deve, quindi, essere uguale a quella trasmessa dalla superficie l e a quella trasmessa alla superficie 2. La rete di radiazione per questa cavità a due superfici consiste di due resistenze superficiali ed una resistenza spaziale, come mostrato in Figura 14.60. Poiché in una rete elettrica la corrente circolante attraverso queste resistenze connesse in serie si calcola dividendo la differenza di potenziale tra i punti A e B per la resistenza totale tra gli stessi due punti, per analogia la potenza termica netta trasmessa per irraggiamento è: (14.52)
A1,T1.e 1 A1 =A2 =A F12= l
AO'(Tj-~) <Ì12-
(14.55)
.!.+1--1 E1
A2• T,_t 2
E2
Cilindri concentrici infinitamente lunghi
~'..
'2
' ' ' '
.
~=l Ai
'2
• A10'(r'1 Q12=
-r,)
..!. + I -S, (!!...)
F12= l
Et
S,
(14.56)
72
'
Sfere concentriche
@ "
-
!i.= (!!...)2 72 A2 F12= l
Q _A 1a(T\ -r,) 12-
..!. + l -s, (!!...}2 E1
Ez
'2
(14.57)
518 CAPITOLO 14 La trasmissione di calore per irraggiamento
e1 =0.2
jd,,
ESEMPIO 14.11 Due piastre parallele molt? larghe.si~~°. mantenute a temperatura costante T, = 800 K e ~ =.500 K ed abbiano em1ss1v1ta 0.2 e e,= 0.7 rispettivamente, come mostrato 1n Figura 14.61. Calcolare la potenza termica scambiata per irraggiamento tra le due piastre per unità di area superficiale.
e,=
soltanto le radiosità 11, 12 e lr Le tre equazioni per la determinazione di queste tre incognite si ricavano imponendo che la somma algebrica delle correnti (potenze termiche nette trasmesse per irraggiamento) in ciascun nodo sia uguale a zero:
Sc;>luzlone . lpotizz~ndo I.e superfici opache, diffondenti e grigie, la potenza term1ca. scam~1ata per irraggiamento tra le due piastre per unità di area si calcola con I Equazione 14.55:
T 1 =800K
éi = 0.7 T 2 =500K
. a..
4
4
a(T, -T,.') 5.67x10 .. (800 -500 1 = 1 1 -+--1 -+--1 <, E2 0.2 0.7 =3625W
-
519
La trasmissione di calore per irraggiamento: superfici grigie e diffondenti
(14.58)
4 )
q.. ="A= 1
FIGURA 14.61
Le due piastre parallele considerate
nell'Esempio 14.11.
La trasmissione di calore per irraggiamento in cavità con tre superfici Si c?nsideri una cavità composta da tre superfici opache, grigie e diffondenti, come m?st;a~o in Figura 14.62, rispettivamente di area superficiale A1, A2 e A3, em1ss1v1tà e" e.2 e E3 e temperatura uniforme T T e T. La rete . d' ' 2 l d1 ra 1a~1o~e per questa ~eometria va costruita secondo ilI' solito procedin:ient?: s1 disegna un~ res~stenza superficiale per ciascuna delle tre superfici e s1 connettono tali resistenze con rèsistenze spaziali, come mostrato in figura. Le ~sp~essioni per le resistenze superficiali e spaziali sono date dalle Equaz10m 14.44 e 14.49. I tre potenziali terminali E E e E sono n2 n3 not1• essen do spec1'fi1cate Ie temperature superficiali. Serve nl' quindi calcolare
Una volta note le radiosità li' 12 e 13 con l'Equazione 14.50 si possono calcolare le potenze termiche nette scambiate per irraggiamento da ciascuna superficie. Il sistema di equazioni precedente si semplifica ulteriormente se una o più superfici risultano in qualche modo "speciali". Per esempio, per una superficie nera o reirradiante J; =E.; =
ESEMPIO 14.12
= =
Si consideri un forno cilindrico con r h 1 m come mostrato in Figura 14.63. La superficie inferiore (superficie 2) e quella superiore (superficie 1) hanno rispettivamente emissività <, = 0.4 e e2 = 0.8 e sono mantenute a temperatura costante T, 700 K e T = 500 K, mentre la superficie laterale si comporta come 2 un corpo nero alla temperatura costante T3 400 K. Calcolare la potenza termi-
=
=
T FIGURA 14.62
Schema di cavità a tre superfici e rete elettrica equi valente associata.
l
FIGURA 14.63 II forno a sezione circolare considerato nell'Esempio 14.12.
520 CAPITOLO 14 La trasmissione di calore per irraggiamento
ca netta scambiata per irraggiamento da ciascuna superficie in condizioni stazionarie e spiegare come si possono mantenere costanti le temperature delle superfici. Il forno si può considerare una cavità a tre superfici per cui si ha la Soluzione rete elettrica equivalente illustrata in figura. Ipotizzando condizioni stazionarie e
Risolvendo questo sistema di due equazioni in due incognite si ha: J,
.
Ò = 2
La trasmissione di calore per irrJggiamento: superfici grigie e diffondenti
13614-11418
-27588W 0.0796 -J, = 3544 -4562 __ W 2131 R2 0.4777
E.,
La potenza termica netta scambiata per irraggiamento dalla superficie laterale si calcola imponendo che la potenza netta al nodo 3 sia nulla:
. J, -J. J, -J. o.+--+--=o
R23
R, 3
dove:
521
R,
E.,
R2
E., -J,
O,=---=
1rragg1amento occorre determinare prima le radiosità. La superficie laterale è nera per cui J3 = E"', mentre le altre due radiosità si calcolano imponendo un valore nullo alla potenza di radiazione ("corrente elettrica") entrante in ciascuno dei due nodi 1 e 2 (Equazione 14.58):
R,,
J2 = 4562 W/m 2
Le potenze termiche nette scambiate per irraggiamento dalle superfici inferiore e superiore sono:
~upe~ici opache, diffondenti e grigie, per calcolare le potenze scambiate per
E., -J, J, -J, J• -J, ---+--+---=O R, R12 R, 3 J, -J, -J, J• -J, --+---+---=O
=11 418 W/m2,
R23
cioè:
=aT,' =5.67x10 .. x700' =13614W/m 2 E., =aT,' =5.67x10-a x500' =3544 w/m 2 E. 3 =aT,' =5.67x10 .. x400' =1452W/m 2 E.,
Le aree valgono:
A,= A,= nr' = 3.14 x 1' = 3.14
m2
11 fattore di vista dalla superficie inferiore a quella superiore si calcola dalla Figura
14.43, F, 2 = 0.38, mentre quello dalla superficie inferiore a quella laterale si calcola applicando la regola della somma:
F,, + F,, + F, 3 =1 -7 F, 3 = 1 - F11 - F,, ~ 1 -
O- 0.38 = 0.62
. J3 -J, J. -J, 1452-11418 1452-4562 o.=--+---= +---R,. R23 0.5137 0.5137 =-25455W Si noti che la potenza termica netta scambiata è diretta dalla superficie superiore verso quella inferiore e quelle laterali e che la somma algebrica delle tre potenze nette deve essere pari a zero: ò, +ò, + ò. =27588+ (-2131)+ (-25455)= o
La piccola differenza è dovuta all'errore di arrotondamento. Per mantenere a temperatura costante le superfici si deve: fornire alla superficie superiore una potenza termica di 27 588 W, sottrarre a quella inferiore 2131 W e sottrarre a quelle laterali 25 455 W.
dove F,, = O perché la superficie inferiore è piana. Le resistenze all'irraggiamento sono: 1-e,
1-0.8
R, = - - = - - - = 0.0796 m·2
A,e,
3.14x0.8 1-E2 1-0.4 2 R, =--=---=0.4777m· A,E2 3.14x0.4 1 1 R,. = - - = -0.8381m·2 A,F, 2 3.14x0.38 1 1 R23 = - - = =0.5137m·2 =R, 3(persimmetria) A,F,. 3.14x0.62
ESEMPIO 14.13 Un forno ha la forma di un lungo condotto con sezione trasversale triangolare equilatera, come mostrafo in Figura 14.64, con lati di dimensione 1 m. La superficie inferiore ha una emissività 0.7 ed è mantenuta a temperatura costante pari a 600 K. La superficie laterale sinistra riscaldata si può considerare un corpo nero a 1000 K, mentre quella destra è perfettamente isolata. Calcolare la potenza ter-
Sostituendo si ha: 13.614-J,
J, -J,
1452-J,
---~+---+---=O
0.0796 0.8381 0.5137 J, -J, 3544-J, 1452-J, --+----+----=O 0.8381 0.777 0.5137
FIGURA 14.64 Il forno a sezione triangolare considerato nell'Esempio 14.13.
mica da fornire dall'esterno alla superficie riscaldata per unità di lunghezza del condotto in condizioni stazionarie.
522 CAPITOLO 14 I.a trasmissione dJ calore per irraggiamento
Il forno si può considerare una cavità a tre superfici, essendo Soluzione trascurabili gli effetti di bordo a causa della lunghezza notevole del forno, per cui si ha la rete elettrica equivalente illustrata in figura. Si ipotizzano superfici opache, diffondenti e grigie. Il fattore di vista tra due superfici qualunque della cavità vale 0.5 per la simmetria. Poiché la superficie 3 reirradiante scambia una potenza termica netta nulla, 61 = -6, dovendosi verificare che tutta la potenza persa dalla superficie 1 è guadagnata dalla 2. La rete elettrica equivalente, in questo caso, è un semplice collegamento serie-parallelo per cui:
Q1 -
~-~
-
~-~
R, +( ; , +-R,-,-:-R,-J' - -~-:-: +(,4.f;, +-1/_A,_F.-.,-:-1/_A,_F,_ 3
J
alla pressione di 101 325 Pa. Il problema presenta una trasmissione del calore dal tubo di alluminio alla copertura di vetro e dalla superficie esterna di questa all'aria ambiente circostante. Quando si raggiunge l'equilibrio termico, e quindi un regime stazionario di funzionamento, le due potenze termiche suddette devono essere uguali alla potenza termica assorbita:
6__,,,,. = 6,....."""""" = 6..,... = 30 w
(per metro di tubo)
Le proprietà dell'aria andrebbero valutate alla temperatura media. Non essendo note le temperature del tubo e del vetro non si possono calcolare le temperature medie. Si utilizzeranno allora proprietà dell'aria calcolate ad una temperatura media stimata in 310 K: ..1. = 0.0251 w/(m .•e) v=1.57x10 ... m'/s
Pr =0.711 1 - = 0.003226 K"' 310 Per una migliore precisione i risultati ottenuti potranno successivamente essere corretti utilizzando le temperature superficiali calcolate. L'area della superficie di scambio termico della copertura di vetro è:
f3 = _2_ = Tm
dove: A,
=A, =A,= 1 x
1 = 1 m2 (per metro di lunghezza di condotto)
F12 = F13 = F23 =0.5
A,= A,.,,,,
=(n: DL),~,,, =n: x0.1x1 =0.314 m• (per metro di tubo)
E., =aT,' =5.67x10..a x600' =7348W/m'
E., =aT,' =5.67x10 ... x1000' =56700W/m' Sostituendo si ha:
6, =
)"' 56 700 - 7348 ( 1 1-0.7 + 1x0.5+ 1/(1xo.5)+1/(1xo.5) 1x0.7 =28009W
Per calcolare il numero di Rayleigh serve il valore della temperatura della superficie di vetro che non è noto. È chiaro allora che la soluzione non può che ottenersi per iterazioni con sostituzioni successive. Ipotizzando la temperatura della copertura di vetro pari a 300 K, il numero di Rayleigh, il numero di Nusselt, il coefficiente di scambio termico per convezione e la potenza termica scambiata per convezione naturale dalla copertura di vetro all'aria ambiente sono: Ra=
\\\\\\
=
Acqua
FIGURA 14.65 Schema per l'Esempio 14.14.
Un collettore solare è composto da un tubo orizzontale di alluminio, con diametro esterno di 5 cm, racchiuso in un sottile tubo di vetro coassiale di diametro 1O cm (Figura 14.65). Nel tubo scorre l'acqua da riscaldare e nello spazio tra i due tubi è presente aria alla pressione dì 101 325 Pa. Un giorno di cielo sereno la pompa per la circolazione dell'acqua si blocca e la temperatura dell'acqua nel tubo inizia ad aumentare. Il tubo di alluminio assorbe 30 W di radiazione solare per metro di lunghezza del tubo mentre la temperatura dell'aria esterna è di 294 K. Nell'ipotesi che le emissività del tubo e della copertura di vetro valgano rispettivamente 0.95 e 0.9 e la temperatura effettiva del cielo sia 283 K, calcolare la temperatura del tubo di alluminio quando viene raggiunto l'equilibrio termico (cioè quando il calore disperso dal tubo risulta uguale all'energia solare assorbita).
s 9.8x0.003226 (300-294)(0.1)' 0.711=5. 472 x10 V( 1.57x10·• /
= o.6 + {
0.387(5.472x1o')Y" }'
r
21
]
= 12. 3
L1 + (0.559/0.111)"
h=~Nu = 0·0261 12.3 =3.21 w/(m• .oc) 0.1
D
a,,_= hA,(T.,
-TJ= 3.21x0.314x(300-294)
=6.0W Inoltre: •
Questo problema. che è stato risolto nel capitolo precedente traSoluzione scurando l'irraggiamento, verrà ora risolto considerando sia la convezione naturale sia l'irraggiamento. Si tratta di una cavità cilindrica orizzontale riempita d'aria
}'
0.387 Ra v• ] Nu = 0.6+ [ { L1 + ( 0.559/Pr )""
ESEMPIO 14.14 Copertura di vetro E=0.9
rJs' Pr
v'
Si deve dunque fornire una potenza termica di 28 009 W per unità di lunghezza del condotto alla superficie riscaldata per mantenere il forno in condizioni stazionarie.
Energia solare
gf3 (r. -
Q2.ln
=EG
• ) A, ( T,4 - T,mb
.
=0.9x5.67x10..a x0.314(300' -283') =27.0W
523 La trasmissione di calore per irraggiamento: superfici grigie e diffondenti
524
per cui: o,,,., =o...... + 02.I• = 6.0
CAPITOLO 14 La trasmissione di calorè per irraggiamento
14.9
+27.0 = 33.0 w.
DELL'IRRAGGIAMENTO
Poiché la potenza termica calcolata è maggiore di 30 W, il valore di 300 K assunto per la temperatura della copertura di vetro è troppo alto. Ripetendo i calcoli per un valore di 297 K si ottiene 24.4 W, che risulta invece basso. La temperatura della copertura di vetro corrispondente a 30 W viene allora determinata per interpolazione e risulta 299 K. La temperatura del tubo di alluminio si determina in modo simile utilizzando le relazioni per convezione naturale in due cilindri coassiali. La lunghezza caratteristica in questo caso è la distanza tra i due cilindri:
d= i(D2 - 0 1) = A,=
A=
i (0.1 -
0.05) = 0.025 m
2 A,.... =(irOL)..,. =irx0.05x1=0.157m
ir L(02
-
D,)
In( O/O,)
-
ir x1 (0.1-0.05) ln(0.1/0.05)
=0.2266m
2
Assumendo una temperatura del tubo pari a 322 K, si ha: Ra=
=
gf3(T,-T,)o• Pr v2 9.8 X 0.003226 (322 - 299) (0.025)° (1.57x10-5 ) 2
Nu =0.11 Ra
O, _
029
= NuA T,
=0.11(3.28x1o•i•·
29
0.711=3.28X10
299 ) =12.2W 0.025
322
!
Inoltre si ha:
o '·"
=
O" A,(T,'
-T,')
__:!__ + 1-e2 !j_ 02 e2 e,
Gli schermi di radiaziont·
Lo scambio di calore per irraggiamento tra due superfici può essere ridotto notevolmente inserendo tra di esse sottili piastre o gusci molto riflettenti (a bassa emissività) detti schermi di radiazione. Schermi di radiazione multistrato composti da circa 20 strati per cm di spessore separati da spazi sotto vuoto sono di comune applicazione nel campo spaziale e criogenico. Gli schermi di radiazione vengono pure utilizzati nelle misure di temperatura dei fluidi per ridurre lerrore causato dallo scambio per irraggiamento quando il sensore è esposto a superfici molto più calde o molto più fredde del fluido stesso. Il ruolo dello schermo di radiazione è di ridurre la trasmissione dì calore per ìrraggiamento interponendo resistenze supplementari alla propagazione del calore per irraggiamento, per cui più bassa è I' emissività dello schermo più alta sarà la resistenza. La potenza termica scambiata per ìrraggiamento tra due piastre parallele infinitamente grandi di emissività e1 e "2 mantenute alle temperature uniformi T1 e T2 è data dall'Equazione 14.55:
e l'inflm.·nza dell'irraggiamento
=2.24
- T,
=0.0261x2.24x0.2266
525
4
li
·-"
m GLI SCHERMI DI RADIAZIONE E L'INFLUENZA
) 4
= 5.67x10""x0.157(322 -299
4
Si consideri ora uno schermo di radiazione posto tra le due piastre come mostrato in Figura 14.66. Siano "3. i e "3 2 le emissività dello schermo verso la piastra 1 e verso la piastra 2 rispettivàmente. Si noti che le emissività di superfici differenti dello schermo possono avere valori diversi. La rete di radiazione per questa geometria si costruisce come al solito disegnando una resistenza superficiale associata a ciascuna superficie e connettendole poi con resistenze spaziali, come mostrato in figura. Le resistenze risultano connesse in serie, per cui la potenza termica scambiata per irraggiamento è data dalla relazione:
)
1-0.9 ( 5 ) 1 0.95 +o:g 10
(I)
Schenno
(2)
=22.2W per cui:
0..101 =O. ..... +o,,., =12.2+22.2 = 34.4 w
Poiché la potenza termica calcolata è maggiore di 30 W, il valore di 322 K assunto per la temperatura del tubo è troppo alto. Ripetendo I calcoli per un valore di 316 K si ottiene 24.9 W, valore troppo basso. La temperatura del tubo corrispondente a 30 W viene allora determinata per interpolazione e risulta 319 K. Quando la pompa si arresta, quindi, il tubo raggiunge una temperatura di equilibrio di 319 K. Trascurando l'irraggiamento, nel precedente capitolo, si era ottenuto il valore 361 K che risulta non realistico. L'irraggiamento, quindi, va sempre tenuto in conto In presenza di sistemi riscaldati o raffreddati per convezione naturale, a meno che le superfici non siano lucide con emisslvità prossima a zero.
FIGURA 14.66 Schermo di radiazione interposto tra due piastre parallele e rete elettrica equivalente associata.
L'influenza dell'irraggiamento nelle misure di temperatura
526 CAPITOLO 14 La trasmissione di calore per irraggiamento
. Q
_
Enl -En2
12.unoschermo - 1-e 1 1-e 1-e 1 1-e _ _I +--+--3_,I +--3_,2 +--+--2 A,e, A1Fi2 A3e3,I A3e3,2 A3F32 Aae2
Notando che per piastre parallele risulta F 13 l'Equazione 14.59 si semplifica: .
-
Acr
=F23 = 1 e A 1 =A2 =A3 =A
(7;4 -T24)
Ql2,unoschenno -(_!_+J_-l)+(-l +-l--l) E1 E2 E3,1 E3,2
t
Uno strumento per la misura di temperatura indica la temperatura del suo (14.59)
(14.60)
dove i termini nella seconda coppia di parentesi al denominatore rappresentano la resistenza addizionale introdotta dallo schermo. La forma del1' equazione precedente suggerisce che piastre parallele con più schermi di radiazione possono essere trattate sommando al denominatore per ciascuno schermo un termine del tipo di quello contenuto nella seconda coppia di parentesi. Generalizzando, la potenza termica scambiata per irraggiamento tra due piastre parallele infinitamente estese con N schermi di radiazione è data dalla relazione:
sensore, che si trova, ma non necessariamente, alla temperatura del fluido in cui è immerso. Quando un termometro (o altro dispositivo di misura della temperatura come ad esempio una termocoppia) è posto in un fluido, ha luogo uno scambio termico per convezione tra il sensore ed il fluido finché la temperatura del sensore non raggiunge il valore di quella del fluido. Se però il sensore è circondato da superfici a temperatura diversa da quella del fluido si verifica anche uno scambio termico per irraggiamento tra il sensore e le superfici. Quando la potenza termica trasmessa per convezione ha valore uguale a quella trasmessa per irraggiamento il sensore indicherà un valore di temperatura intermedio tra quello del fluido e quello delle superfici. Di seguito si sviluppa un procedimento di calcolo dell'influenza dell'irraggiamento e del valore effettivo della temperatura del fluido. Si consideri un termometro per misurare la temperatura di un fluido che scorre in un lungo canale le cui pareti sono più fredde del fluido (Figura 14.67). Si raggiungeranno le condizioni di equilibrio termico stazionario quando la potenza termica scambiata dal sensore per convezione risulterà uguale a quella scambiata per irraggiamento: qconv.alsensore
I
T -T.
1-,.,+
Se le emissività di tutte le superfici sono uguali, l'Equazione 14.61 si riduce alla seguente: 1 . N + l Ql2.senzaschenni
Dove T
1
(14.62)
T.,,
T5
h
e,"cr (i;:, -Ts4) h
(K)
(14.63)
= temperatura effettiva del fluido, K
= valore di temperatura letto. d~l termo~etro, K = temperatura delle superfici circostanti, K = coefficiente di scambio termico per convezione, W/(m2 · K)
e = emissività del sensore di temperatura Quando tutte le emissività sono uguali, dunque, uno schermo riduce a metà la potenza termica scambiata per irraggiamento, 9 schermi la riducono ad un decimo e 19 schermi la riducono ad un ventesimo (o 5 per cento) di quella che sarebbe stata scambiata in assenza di schermi. La temperatura di equilibrio T3 dello schermo di radiazione nella Figura 14.66 si calcola ricavando dall'Equazione 14.55 Q13 o Q23 (che richiede T3) dopo avere calcolato che
Q,2 =Q13 =Q23
Q12
con l'Equazione 14.60 ed aver osservato
in condizioni stazionarie. Gli schermi di radiazione utilizzati per ridurre la potenza termica trasmessa per irraggiamento tra cilindri coassiali o sfere concentriche possono essere trattati in modo simile. Nel caso di un solo schermo si può utilizzare l'Equazione 14.59 assumendo F 13 =F23 =1 per entrambe le geometrie e sostituendo alle A le appropriate relazioni per le aree.
e l'influenza dell'irraggiamento
FIGURA 14.67 Tennometro impiegato per la misura della temperatura di un fluido
in un canale.
= tjirr,dalsensore
h(T1 -T.er )= e,,p (i;:, -Ts4 )
(14.61)
l·
527 Gli schermi di radiazione
L'ultimo termine nell'Equazione 14.63 rappresenta la correzione dovuta all'influenza dell'irraggiamento e risulta tanto più grande quanto minore è il coefficiente di scambio per convezione e quanto maggiore è I' emissività del sensore. Il sensore andrebbe perciò verniciato con un materiale ad alto coefficiente di riflessione (cioè ad alta emissività). Una riduzione dell'influenza dell'irraggiamento si ottiene anche ponendo il sensore in uno schermo di radiazione purché questo non interferisca con il moto del fluido. I sensori di dispositivi per misure di temperatura impiegati ali' esterno vanno protetti dalla radiazione solare per ridurre I' influenza dell'irraggiamento che in tali casi raggiunge valori inaccettabili. L'influenza dell'irraggiamento è inoltre importante nel determinare le condizioni di benessere umano in presenza di impianti di riscaldamento o condizionamento d'aria. Un soggetto, che sta bene in un ambiente ad una data temperatura, può sentire freddo in un altro ambiente alla stessa tempe-
528 CAPITOLO 14 La trasmissione di calore per irraggiamento
ratura ma in presenza di irraggiamento verso pareti a temperatura minore. Per la maggior parte delle persone, ad esempio, si hanno condizioni di benessere con temperatura dell'aria nell'ambiente di 22°C a temperature delle pareti circa dello stesso valore. Se la temperatura delle pareti scende a 5°C, per ripristinare le stesse condizioni di benessere è necessario portare a 27°C la temperatura dell'aria. Edifici ben isolati, dunque, riducono il fabbisogno di energia per la climatizzazione non solo riducendo lo scambio termico con l'esterno ma anche consentendo di impostare i termostati a valori di temperatura interna più bassi in inverno e più alti in estate a parità di livello di benessere.
T,=T,,.+
ea(r,:,-r;) h
Sommario
0.6x5.67x10 ... (650' -400') =650+------'-----'80 =715.0K Si noti che la presenza dell'irraggiamento produce un errore nella lettura di temperatura dell'ordine di 65°C.
14.1 O&! SOMMARIO ESEMPIO 14.15 Un foglio sottile di alluminio, con emissività 0.1 per entrambe le superfici, viene posto tra due piastre parallele molto grandi di emissività rispettivamente e, = 0.2 e e = O. 7 mantenute a temperatura costante T, = 800 K e T2 500 K (Figura ,4.68). Calcolare la potenza termica scambiata per irraggiamento tra le due piastre per unità di area confrontando il risultato con il valore che si avrebbe in assenza di schermo.
=
CD e2 = 0.7 T2=500 K
La potenza termica scambiata per irraggiamento tra le due piastre Soluzione senza lo schermo si calcola con l'Equazione 14.11evale3625 W/m 2 • La potenza termica scambiata in presenza di uno schermo si calcola con l'Equazione 14.60:
= Q12 uno schermo
i:/ FIGURA 14.68
A
12,unoschenno
Schema per l'Esempio 14.15.
(J
-(
_.:!._+_.!_-1
e,
(T,
4
4
7;
-
)
+ _2__+_2__-1 )
) (
E2
E3,1
La radiazione si propaga nel vuoto o in un mezzo di trasmissione trasparente sotto forma di onde elettromagnetiche, la cui frequenza v e lunghezza d'onda A sono legate dalla relazione A= dv, dove c è la velocità della luce nel mezzo. Tutta la materia la cui temperatura sia superiore allo zero assoluto emette in continuo radiazione tennica in conseguenza dei moti di vibrazione e rotazione di molecole, atomi ed elettroni. La temperatura è una misura macroscopica dell'intensità di questi moti a livello microscopico. Un corpo nero è definito come un peifetto emettitore ed assorbitore di radiazione, per cui ad una assegnata temperatura e lunghezza d'onda nessuna superficie può emettere più energia di un corpo nero. Un corpo nero assorbe tutta la radiazione incidente, indipendentemente dalla lunghezza d'onda o direzione, ed emette una potenza termica radiante per unità di area detta potere emissivo di corpo nero data dalla legge di Stefan-
Boltzmann:
E3,2
En
5.67x10 .. (800' -500')
=
- + -1- 1 ) -1+ - 1- 1 )+( 1 ( 0.2 0.7 0.1 0.1 =805.6W/m' Si noti che in presenza di uno schermo la potenza termica trasmessa per irraggiamento si riduce a circa un quarto.
=
ry//m2)
dove
cSpostamento di Wien: T.., =650K
e=0.6
T5 =400 K
FIGURA 14.69
Schema per l'Esempio 14.16.
(AT)maxpotenza =2897.8 µm·K
ESEMPIO 14.16 Una termocoppia, impiegata per misurare la temperatura di aria calda che scorre in un condotto le cui pareti sono mantenute a T6 = 400 K, fornisce il valore T,... = 650 K (Figura 14.69). Calcolare la temperatura effettiva dell'aria ipotizzando una emissività della giunzione della termocoppia e= 0.6 ed un coefficiente di scambio termico per convezione h 80 W/(m2. °C).
=
Le pareti del condotto sono ad una temperatura molto minore riSoluzione spetto all'aria, per cui la temperatura fornita dalla termocoppia è senz'altro minore di quella effettiva dell'aria in conseguenza dello scambio per irraggiamento. La temperatura effettiva dell'aria si calcola con l'Equazione 14.63:
529 &~re:;::~~
La funzione di radiazione di corpo nero f;. è la frazione di radiazione emessa da un corpo nero a temperatura T nella banda di lunghezze d'onda tra O e A. La frazione di energia radiante emessa da un corpo nero alla temperatura T in una banda finita di lunghezze d'onda tra A1 e il, è data dalla relazione:
dove f;. (1) e /;. (T) sono le funzioni di radiazione di corpo nero corrispondenti a A1T ~ A,_T rispettivamente.
530 CAPITOLO 14 La trasmissione di calore per irraggiamento
L' emissività di una superficie è definita come il rapporto tra la radiazione emessa dalla superficie e la radiazione emessa da un corpo nero alla stessa temperatura. L' emissività emisferica totale e di una superficie, emissività media per tutte le direzioni e per tutte le lunghezze d'onda, si esprime con la relazione:
e(T)= E(T) = E(T)
fattore di vista da una superficie i ad una superficie j è uguale alla somma dei fattori di vista dalla superficie i alle parti componenti la superficie j. La regola della simmetria stabilisce che, se le superficij e k sono simmetriche rispetto alla superficie i, FH. = FH,, La potenza netta trasme~sa per irraggiamento tra due superfici nere è data dalla relazione:
En(T) · aT 4 dove E(T) è il potere emissivo totale della superficie reale. La radiazione incidente su una superficie per unità di area e per unità di tempo è detta irradiazione e si indica con G. Quando la radiazione incide su di una superficie parte di essa è assorbita, parte è riflessa e la restante parte, se c'è, viene trasmessa. La frazione di irradiazione assorbita dalla superficie è detta coefficiente di assorbimento a, la frazione riflessa è detta coefficiente di riflessione p e la frazione trasmessa è detta coefficiente di trasmissione 't'. La somma delle tre frazioni di radiazione assorbita, riflessa e trasmessa è uguale ad 1:
a+p+'t'=l Per superfici opache: 't' = O e si ha quindi:
(W)
La potenza termica netta trasmessa per irraggiamento da una generica superficie i di una cavità nera si calcola sommando la potenza netta trasmessa per irraggiamento dalla superficie i verso ciascuna delle altre superfici della cavità:
IJ2HJ =f t\f';_,p (Jì
Q; =
J=I
Q. =En1-l1 I
diazione viene riflessa uniformemente in tutte le direzioni. La riflessione su superfici lisce e pulite approssima la riflessione speculare, mentre quella su superfici rugose approssima la riflessione diffusa. La legge di Kirchhoff è espressa dalla relazione: s(T)
=a(T)
L' ernissività emisferica totale di una superficie alla temperatura Tè uguale al coefficiente di assorbimento emisferico totale per radiazione proveniente da un corpo nero alla stessa temperatura. Il fattore di vista tra una superficie i e una superficie j si indica con F1_,. ed è definito come la frazione della radiazione emessa dalla superficie 1 che incide direttamente la superficie j. Il fattore di vista F1_,1 rappresenta la frazione della radiazione emessa dalla superficie i che incide direttamente la stessa superficie: FH1 = O per piani o superfici convesse e FH1;é O per superfici concave. La regola di reciprocità per i fattori di vista stabilisce che:
Ali. . ; =A,F°;. . 1 La regola della somma stabilisce che la somma dei fattori di vista dalla superficie i di una cavità verso tutte le superfici della cavità, essa stessa inclusa, è uguale ad uno. La regola della sovrapposizione stabilisce che il
-T/)
(W)
La radiazione totale che abbandona una superficie per unità di tempo e per unità di area è detta radiosità ed è indicata con J. La potenza termica netta scambiata per irraggiamento da una superficie i di area A1 è espressa dalla relazione:
a+p=l Le superfici riflettono la radiazione in modo speculare o diffuso. Nella riflessione speculare (o a specchio) langolo di riflessione uguaglia I' angolo di incidenza del fascio di radiazione. Nella riflessione diffusa, la ra-
4
}=I
(W)
R;
dove
è la resistenza superficiale all'irraggiamento. Il metodo reticolare si applica a problemi di irraggiamento in cavità disegnando una resistenza superficiale per ciascuna delle superfici della cavità e connettendo poi tali resistenze con resistenze spaziali. Il problema di scambio termico per irraggiamento viene così ricondotto ad una rete elettrica equivalente nella quale la corrente circolante sostituisce la potenza termica scambiata per irraggiamento e la differenza di potenziale sostituisce la radiosità. Il metodo matriciale si basa sulle seguenti due equazioni:
En1-l1=fl1-l1 R;
J=I
(W)
RHJ
L'insieme del primo gruppo di equazioni (per superfici con potenza termica nota) ed il secondo gruppo (per superfici con temperatura nota) costituisce un sistema di N equazioni algebriche lineari per la determinazione del-
531 Sommario
532 W&k#R&Wfa# CAPITOLO 14 La trasmissione di calore per irraggiamento
le N radiosità incognite, per una cavità costituita da N superfici. Una volta calcolate le radiosità J 1, J 2, ••• , JN le temperature e le potenze termiche superficiali incognite si possono calcolare con le equazioni precedenti. La potenza termica netta trasmessa per irraggiamento tra due superfici opache, grigie, e diffondenti formanti una cavità è:
Q
a (7;4 - T24)
=
iz
1-ei
I
1-e,
A,e,
A1F12
A2e2
(W)
--+--+---
Lo scambio termico per irraggiamento tra due superfici si può ridurre molto interponendo sottili strati di materiale ad alto coefficiente di riflessione (bassa emissività) detti schemii di radiazione. La potenza termica scambiata per irraggiamento tra due piastre parallele infinitamente estese separate da N schermi di radiazione è:
Ql2,Nschermi
Gli scalllbiatori di calore
L'influenza dell'irraggiamento sulle misure di temperatura si può calcolare con la relazione: T -T. f -
"'
+
s,.,a (:r,:, -T54 )
(K)
h
dove T è la temperatura effettiva del fluido, T.er è il valore di temperatura 1 rilevata dal termometro e T5 è la temperatura .delle superfici circostanti, tutte in K.
Gli scambiatori di calore, apparecchiature che facilitano lo scambio di calore tra due fluidi a temperatura differente, trovano applicazione pratica in diversi settori, dal riscaldamento e dalla refrigerazione degli ambienti do. mestici, ai processi chinùci e alla produzione di energia. Gli scambiatori di calore differiscono dalle camere di miscelazione perché in essi i due fluidi non possono nùscelarsi tra di loro: il calore viene scambiato per convezione in entrambi i fluidi e per conduzione attraverso il mezzo di separazione tra di essi. Per lo studio degli scambiatori di calore è comodo riferirsi al coefficiente globale di scambio termico U che tiene conto del contributo di entrambi gli effetti appena citati. Poiché la potenza termica scambiata tra i due fluidi in un punto àll'intemo di uno scambiatore di calore dipende dalla differenza di temperatura locale, variabile ali' interno dello scambiatore stesso, è utile fare riferimento alla differenza media logaritmica di temperatura LMTD, che è equivalente alla differenza di temperatura media tra i due fluidi lungo l'intero scambiatore di calore. Poiché gli scambiatori vengono realizzati secondo diverse soluzioni costruttive, lo studio inizierà con la classificazione degli scambiatori di calore e il calcolo dei coefficienti di scambio termico e della LMTD. In seguito si studieranno il fattore di correzione F che tiene conto dello scostamento tra la differenza di temperatura media tra i due fluidi considerata e la LMTD nel caso di scambiatori complessi. Si passerà, quindi, al metodo e-NTU, che permette di analizzare gli scambiatori di calore quando le temperature di uscita dei fluidi non siano note.
534
15.1111 DIVERSI TIPI DI SCAMBIATORI DI CALORE
CAPITOLO 15 Gli scambiatori
535
Lo scambiatore più semplice, detto a doppio tubo, consiste in due tubi concentrici di diametri differenti (Figura 15.1): un fluido scorre nel tubo di diametro inferiore e l'altro nel condotto anulare tra le due tubazioni. Sono possibili due differenti tipi di flusso: I' equicorrente, quando i fluidi percorrono lo scambiatore nello stesso verso entrando dallo stesso lato; il controcorrente, quando i fluidi percorrono lo scambiatore in direzioni opposte entrando da Iati opposti. Un altro tipo di scambiatore di calore (a superficie), appositamente progettato per consentire lo scambio termico attraverso una grande superficie per unità di volume, è lo scambiatore compatto, caratterizzato da alti valori, maggiori di 700, del parametro f3 [m2/m3], densità d'area di scambio, vale a dire rapporto tra superficie di scambio e volume dello scambiatore. Esempi di scambiatori compatti sono i radiatori delle automobili (/3 1000 m 2/m3), gli scambiatori di calore ceramici per le turbine a gas (/3 = 6000 m 2/m3), i rigeneratori di un motore a ciclo Stirling (/3 = 15 000 m2/m3) e i polmoni umani (/J = 20 000 m 2/m 3). Poiché gli scambiatori di calore compatti permettono di scambiare potenze termiche notevoli tra due fluidi in volumi ridotti, vengono utilizzati in applicazioni caratterizzate da stretti vincoli di peso e volume (Figura 15.2). L'elevata superficie di scambio in questi scambiatori viene ricavata ponendo a distanza ravvicinata sulla parete di separazione tra i due fluidi
di calore
~
I di\"ersi tipi di scambiatori di calore
FIGURA 15.2 Scambiatore di calore compatto gas-liquido per un impianto di condizionamento dell'aria.
=
FIGURA 15.1 Differenti regimi di flusso con i relativi profili di temperatura in uno scambiatore di calore a doppio tubo.
T
Uscita del fluido freddo
Entrata del flwdo freddo
t
Entrata del fluido caldo
lamierini sottili o alette corrugate. Questa grande superficie di scambio perrne~e ~i trasferire _grandi quantit~ di calore tra due gas oppure tra un gas e un liquido anche m presenza d1 un basso valore del coefficiente di convezione nel gas, come avviene nei radiatori delle automobili. Negli scambiatori compatti i due fluidi generalmente fluiscono in direzioni mutuamente perpendicolari. Questa configurazione di flussi viene definita a flussi incrociati. Negli scambiatori a flussi incrociati si possono avere flussi incrociati misti o puri in dipendenza della reale configurazione dei flussi (Figura 15.3): in a) il flusso incrociato è puro dal momento che i lamierini forzano il fluido a fluire attraverso determinate fessure impedendogli di percorrere tratti in direzione parallela ai tubi, come avviene nel radiatore per automobili; in b) il flusso incrociato è misto dato che il fluido è libero di muoversi in una qualsiasi direzione (perpendicolare o parallela ai tubi). Questa distinzione è stata fatta poiché la configurazione dei flussi ha implicazioni significative sulle caratteristiche di scambio termico dell'intero scambiatore.
--+'
Flusso incrociato (mlsto)
Uscita del fluido freddo
Entrata del fluido freddo
------~-
Flusso nei tubi
Flusso nei tubi
(puro) (a)
Equicorrente
(b) Controcorrente
Ja) Entrambi i flussi misti
1
~
(puro) (b)
Un flusso misto, l'altro puro
FIGURA 15.3 Differenti configurazioni negli scambiatori di calore a flussi incrociati.
Uscita lato tubi
536 falli CAPITOLO 15 Gli scambiatori di calore
Entrata lato mantello
537
Diaframmi
Testa fromale
Testa posteriore
Tubi
t
Mantello Uscita lato mantello
Entrata lato tubi
Il tipo di scambiatore forse più diffuso nelle applicazioni industriali è quello a tubi e mantello, Figura 15.4, composto da un gran numero di tubi (a volte parecchie centinaia) e da un mantello cilindrico che li contiene. I tubi e il mantello hanno gli assi paralleli gli uni all'altro. Lo scambio termico avviene tra i due fluidi che scorrono l'uno all'interno dei tubi e l'altro all'esterno dei tubi ma all'interno del mantello. Questi scambiatori sono normalmente dotati di diaframmi perpendicolari all'asse del mantello, posti al suo interno, per migliorare lo scambio termico e consentire il manteFluido Iato mantello nimento della distanza originaria tra i tubi. Questi scambiatori a tubi e Entrata mantello sono molto usati, ma non a bordo di automobili, di aerei o di navi poiché occupano molto spazio e sono molto pesanti. Si noti che i tubi negli Fluido lato tubi scambiatori a tubi e mantello terminano in due grandi zone in corrisponf:?.'7,:=;:;;::=;:;::;:==:::;::;:=;;:;:;:::;:::o- Uscita denza di entrambe le estremità dello scambiatore stesso, dette teste, dove il f~~~~~- :Z-·-~-2,.~-~":i'.';"..3:::0.- Entrata fluido che scorre all'interno dei tubi si accumula prima di imboccare i tubi o dopo averli attraversati. Uscita Gli scambiatori a tubi e mantello si classificano ulteriormente in base al numero di passaggi del fluido nel mantello e nei tubi: per esempio nel (a) Un passaggio nel mantello caso di tubi ripiegati ad U all'interno del mantello si hanno scambiatori a e due passaggi nei tubi tubi e mantello con un passaggio nel mantello e due passaggi nei tubi; nel Fluido lato mantello caso di due passaggi nel mantello e quattro nei tubi si ha uno scambiatore Entrata con due passaggi nel mantello e quattro nei tubi (Figura 15.5). Uno scambiatore di calore innovativo, che ha trovato largo impiego, è lo scambiatore a piastre, costituito da piastre corrugate in modo da formare piccoli condotti per il passaggio del fluido (Figura 15.6). I fluidi caldo e freddo fluiscono alternativamente, così che ogni corrente fredda è a contatto con due correnti di fluido caldo realizzando condizioni ottimali di scambio termico. Inoltre gli scambiatori di calore permettono di aumentala potenza termica scambiata con la semplice aggiunta di altre piastre re Uscita alla stessa struttura iniziale. Gli scambiatori di calore a piastre sono ideali (b) Due passaggi nel mantello per lo scambio tra due liquidi purché questi siano grosso modo alla stessa e qwmro possaggi nei tubi pressione. Un altro tipo di scambiatori di calore in cui si ha il passaggio alternato del fluido caldo e di quello freddo attraverso la stessa sezione è lo scambiaFIGURA 15.5 tore rigenerativo. Nel caso statico lo scambiatore rigenerativo è costituito Scambiatore di calore a tubi e mantello da una struttura porosa con una grande capacità termica come una maglia e a più passaggi.
Oblò e guarnizioni permettono ai fluidi di scorrere alternativamente nei canali
FIGURA 15.4 Schema di uno scambiatore di calore a tubi e mantello (un passaggio nel mantello e uno nei tubi).
.;:.
Una guida rettangolare in basso assicura l'allineamento della piastra. impedendone movimenti laterali Speciali guarnizioni poste sulle piastre impediscono ai fluidi di venire in contatto con la struttura
Una guarnizione per piastra isola il canale tra due piastre
, di fili. in materi~le c~ramico, attraverso la quale vengono fatti passare alternativamente Il flmdo caldo e quello freddo. Il calore viene trasferito in una prima fase dal fluido caldo al rigeneratore, e successivamente al fluido ,_freddo. ~~ struttura porosa del rigeneratore è utilizzata praticamente come !lJ.ezzo d1 1mmagazzmamento temporaneo di calore. Nel caso dinamico lo scambiatore rigenerativo è composto da un tamburo ~~te s_oggetto al flusso continuo dei fluidi caldo e freddo. Poiché i due flmd~ Iam?1scono zone differenti del tamburo, questo, durante la sua rotazio?e, Viene 1? contatto alternativamente con il fluido caldo e con quello freddo inm;i~gazzmando e cedendo calore. Anche in questo caso il tamburo rotante Utilizz.ato con:e m~zz? per l'immagazzinamento di energia termica. , ~gli scambiato? d1 calor~ sp~sso si ~ttribuisce un nome particolare in ,!azione alla specifica ap~hcaz1one cm sono destinati: per esempio, un 0 . ';'1ensatore è uno scambiatore nel quale uno dei due fluidi cede calore altro e, per questo, condensa; un evaporatore è uno scambiatore di ca.re nel quale uno dei due fluidi assorbe una quantità di calore e perciò ' ' ..apora.
15.2 li IL COEFFICIENTE GLOBALE DI SCAMBIO TERMICO Poiché un_o
sc~mbiatore
di calore in generale realizza la trasmissione di
af~~anti~ d1 calore ~a due fluidi separati da una parete, il calore viene
nto pnma dal fluido caldo alla parete per convezione, poi attraverso Parete per conduzione e infine dalla parete al fluido freddo nuovamente
FIGURA 15.6 Scambiatore di calore a piastre liquido-liquido (Trante Corp.).
I per convezione. Dell'irraggiamento di solito si tiene conto nella valutazione dei coefficienti di scambio termico convettivo. In questo fenomeno di scambio termico la resistenza termica complessiva comprende due resistenze di convezione ed una di conduzione (Figura 15.7). Attribuendo i pedici i ed e alle superfici interna ed esterna del tubo interno, per uno scambiatore di calore a doppio tubo, essendo A, = rrD,L e A, = rrD,L, la resistenza termica della parete del tubo è:
538 CAPITOLO 15 Gli scambiatori di calore
R parete
=ln(D,/D,)
(15.1)
21CÀL
dove ?., è la conducibilità termica del materiale !;li cui è composta la parete del tubo e L la sua lunghezza. La resistenza termica totale dello scambiatore di calore a doppio tubo è:
T; • w:.w
I I WM'I
R.=...L R,.,.,. '
h;A;
A, h,
•:.v.w • T,
dove A. è la superficie interna del tubo interno e A, quella esterna; in altre parole 'A. e A sono le superfici del tubo interno bagnate rispettivamente dal fl~ido inte~o e da quello esterno (Figura 15.8). In uno scambiatore di calore la potenza termica scambiata tra i due fluidi può essere espressa dalla relazione
R,=_!_
h,A,
FIGURA 15.7 Varie componenti della resistenza termica associata con la trasmissione di calore in uno scambiatore di calore a doppio tubo.
dove U rappresenta il coefficiente globale di scambio termico, la cui unità di misura è W/(m2 • 0 C), come per i normali coefficienti convettivi di scambio termico h. Dalla Equazione 15.3 semplificando AT si ottiene:
A=A toe =Anon alett. +A aleu.
(15.6)
dove A,1, 11• è la superficie della porzione di tubo alettata e A000 aJett. quella della superficie non alettata. Per alette corte di materiale ad alta conducibilità termica si può usare il valore della superficie appena determinato per il calcolo della resistenza di convezione Reonv = l/hA, dato che le alette, in questo caso, sono pressoché alla stessa temperatura per tutta la loro estenTABELLA 15.1 Valori caratteristici dei coefficienti globali di scambio termico negli scambiatori di calore
Si noti che per ogni scambiatore di calore si hanno due coefficienti di scambio termico globale U1 e U,, poiché le superfici di scambio interna, A,, ed esterna, A , hanno aree differenti. Poiché U,A, U,A,, ma U, *- U,, a meno che non si'a A. =A il coefficiente di scambio termico globale non ha significato se non 'si sp~cifica a quale superficie esso si riferisce. Infatti, la differenza tra le superfici di scambio termico può essere notevole come nel caso di alettatura presente da una sola parte del tubo. Nel caso di tubi di piccolo spessore e realizzati con materiali aventi conducibilità termica elevata, come avviene nella maggior parte dei casi, poiché la resistenza termica della parete è trascurabile (RP"''' "' 0) e le aree della superficie interna e di quella esterna del tubo sono pressoché eguali (A,= A =A,), l'Equazione 15.4 diventa:
=
FIGURA 15.8 Le due superfici di scambio termico di uno scambiatore di calore a doppio tubo (per tubi sottili, D; = D, e A, =A).
dove U,= U =U, e i coefficienti di scambio termico convettivo, interno, h,, o esterno, h,, si determinano con le relazioni studiate nei capitoli precedenti. Poiché il valore del coefficiente globale di scambio termico U nella Equazione 15.5 dipende in particolare dal coefficiente convettivo h che ha il valore più piccolo, quando uno dei coefficienti di convezione è molto più piccolo dell'altro (ad esempio h, <> llh e cioè U. =h.. Si ha, quindi, che il coefficiente di scambio convettivo con'valore minor~ limita lo scambio termico. Questo fenomeno si verifica quando i fluidi che devono scambiare calore sono un liquido ed un gas. Per superare le difficoltà di un basso valore del coefficiente di scambio termico convettivo si impiegano superfici alettate sul lato gas in modo da migliorare il valore del prodotto UA e quindi lo scambio termico complessivo. Valori tipici del coefficiente di scambio termico globale sono riportati in Tabella 15.l. Si noti che questi coefficienti vanno da circa 10 W/(m2 • °C) per scambiatori di calore gas-gas fino a circa 10 000 W/(m2 • 0 C) per scambiatori di calore che funzionano in presenza di cambiamenti di fase, ma questo non deve sorprendere dal momento che i gas hanno una conducibilità termica bassissima, mentre le trasformazioni di fase comportano valori molto alti dei coefficienti di scambio termico. Nel caso di tubo alettato da una parte soltanto per migliorare lo scambio termico, l'area totale da considerare nelle equazioni precedenti è:
Tipologia di scambiatore di calore
U, W/(m2.°C)
Acqua-acqua Acqua-olio Acqua-benzina o cherosene Acqua di alimentazione dei riscaldatori Vapore d'acqua-olio combustibile leggero Vapore d'acqua-olio combustibile pesante Condensatore di vapore d'acqua Condensatore di freon (raffreddato ad acqua) Condensatore di ammoniaca (raffreddato ad acqua) Condensatore di alcool Gas-gas Acqua-aria in tubi alettati (acqua nei tubi)
850 + 1700 100 + 350 300 + 1000 1000 + 8500 200 + 400 50 + 200 1000 + 6000 300 + 1000 800 + 1400 250 + 700 10+40 30 + eo· 400 + 850.. 30 + 300• 400 + 4000..
Vapore d'acqua-acqua In tubi alettati (vapore nei tubi)
• Relativo alla superficie di scambio lato aria. •• Relativo alla superficie di scambio lato acqua o lato vapore.
53' Il coefficiente global di scambio termk.
540 CAPITOLO 15 Gli scambiatori di calore
541
sione. In caso contrario, per tenere conto della variazione di temperatura lungo laletta si deve calcolare la superficie equivalente totale A con la relazione:
iiliiàiillliili!iiii:!i!fai&ili'l
Il coefficiente globalL• di scambio termico
(15.7) è l'efficienza della alettatura. In questa maniera si tiene conto dove 71 .1'"· di temperatura lungo I' aletta. s·1 noli. che, per aIette a temdelle variazioni peratura costante, è 7701..,. =1 e, quindi, l'Equazione 15.7 coincide con l'Equazione 15.6.
Il fattore di incrostazione In generale le prestazioni di uno scambiatore di calore decadono con il tempo a causa dell'accumulo sulle superfici di scambio termico di depos~ti di diversa natura, che oppongono una resistenza addizionale allo scambio termico causando una sua riduzione. L'effetto netto di questa diminuzione di potenza termica scambiabile viene tenuto in conto per mezzo del fattore di incrostazione Rd, che misura• appunto• la •resistenza termica addizionale introdotta dalla presenza delle mcrostaz1om. Il tipo più comune di incrostazione è quello causato dalla precipitazione di particelle solide di sostanze contenute nei fluidi che attraversano lo scambiatore di calore. È ciò che accade all'interno di una teiera dopo che essa ha funzionato a lungo: si può infatti notare un deposito calcareo nella zona dove avviene lebollizione dell'acqua, in particolare se l'acqua è dura. I depositi minerali presenti sulle superfici interne delle sottili tubazioni di uno scambiatore di calore hanno un effetto deleterio sia sulla sezione di passaggio del fluido sia sulle effettive modalità di scambio termico. Per evitare questi problemi, l'acqua utilizzata negli impianti industriali ed in quelli di produzione di energia viene opportuna.mente trattata facendo precipitare le particelle solide prima di metterla in circolazione. Anche le particelle solide di fuliggine nei gas di combustione, che si depositano sui tubi dei preriscaldatori dell'aria, creano problemi simili. Hanno influenza sul fattore di incrostazione anche i processi di corrosione e di incrostazione chimica, fenomeni osservabili durante lo svolgimento dei processi chimici industriali. In questo caso le superfici di scambio si incrostano per l'accumulo dei prodotti delle reazioni chimiche; alla presenza di queste incrostazioni si può porre rimedio ricorrendo al rivestimento dei tubi metallici con vetro oppure adottando tubazioni in plastica invece di tubazioni metalliche. Gli scambiatori di calore possono incrostarsi anche a causa della crescita di alghe in fluidi caldi; in questo caso si parla di incrostazione biologica, che può essere evitata in via preventiva con l'ausilio di trattamenti chimici. L'eventuale incrostazione deve essere tenuta in considerazione in fase di progettazione e nella scelta degli scambiatori di calore, ric~rrendo ~ scambiatori di più alte potenzialità in grado di soddisfare le esigenze d! scambio termico anche ad incrostazione avvenuta. La pulizia periodica degh scambiatori di calore ed il tempo di fermo-macchina collegato ad essa sono costi addizionali legati anch'essi alla presenza di incrostazioni.
FIGURA 15.9 Incrostazioni dovute alla precipitazione di particelle di fuliggine sui tubi di un suniscaldatore (Steam, lts Generation, and Use, Babcok and Wilcox Co., 1978).
Il fattore di incrostazione è ovviamente pari a zero quando lo scambiatore è nuovo; esso aumenta nel tempo con l'accumulo graduale dei depositi solidi sulle superfici di scambio. Il fattore di incrostazione dipende dalla temperatura di esercizio e dalla velocità dei fluidi così come dalla durata del!' esercizio: in particolare l'incrostazione aumenta al crescere della temperatura e al diminuire della velocità. Poiché la relazione proposta in precedenza per il coefficiente globale di scambio termico è valida in presenza di superfici pulite, per tenere conto degli effetti delle incrostazioni sia sulla superficie interna sia su quella esterna del tubo nel calcolo del coefficiente globale di scambio termico per uno scambiatore di calore a tubi e mantello senza superfici alettate si può usare la relazione:
l _
I
_
1
_ R ~· I
I Ra,; ln(D,/D;) R~, +-+-A, h,A, A; .. "". 2trA.L
- - - - - - - - ---+-+ UA
U;A;
ll•Ae .. .
h1A,
(15.8)
?ove A1 = nD;., e A,= ;rl),L sono le superfici interne ed esterne e Rd.I e Rd,, 1 relativi fattori di incrostazione. Valori tipici dei fattori di incrostazione sono riportati in Tabella 15.2, mentre dati più numerosi sono disponibili nei manuali specializzati. Purtroppo esiste una considerevole incertezza nella determinazione di questi valori, che possono essere utilizzati nella scelta degli scambiatori di calore se si vuole tener conto preventivamente della variazione di potenza termica scambiata causata dalle incrostazioni. Si noti che la maggior parte dei valori del fattore di incrostazione sono intorno a I 0-4 m2 • °C/W, valore che equivale alla resistenza termica offerta da una lamina di superficie unitaria spessa 0.2 mm di calcare [A.= 2.9 W/(m · 0 C)]. In assenza dei dati specifici, in pratica, per tenere in conto gli effetti dovuti alle incrostazioni si può ipotizzare che le superfici di scambio termico vengano rivestite da uno strato di calcare dello spessore di 0.2 mm.
TABELLA 15.2 Valori caratteristici dei coefficienti di incrostazione (resistenza termica per unità di area di scambio dovuta ai depositi)
Fluido
Rd,
(m'·"C)/W Acqua distillata, acqua di mare, acqua di fiume, acqua di alimentazione delle caldaie A temperatura inferiore ai so•c A temperatura superiore ai so•c Olio combustibile Vapore d'acqua (privo di vapori di olio) Refrigeranti (liquido) Refrigeranti (vapore) Vapori di alcool Aria
0.0001 0.0002 0.0009 0.0001 0.0002 0.0004 0.0001 0.0004
Fonte: Tubular Exchanger Manufactures Asspclation
!
-------------------- ·--· .,'
543
3
542
p =852 kg/m ì. =0.138 W/(m · 0 C) v =37.5x10·• m'/s Pr=490
ESEMPIO 15.1
CAPITOLO 15 Gli scambiatori di calore
Olio caldo 0.8 kg/s
t
In uno scambiatore a doppio tubo in controcorrente viene raffreddato olio caldo. Il tubo interno in rame ha un diametro di 2 cm ed uno spessore trascurabile. Il diametro interno del tubo esterno è di 3 cm. La portata d'acqua nel tubo interno è di 0.5 kg/s, mentre quella dell'olio nel condotto anulare è di 0.8 kg/s. Nell'ipotesi di temperature medie dell'acqua e dell'olio rispettivamente di 47°C e di 80°C e di flusso completamente sviluppato, si determini il coefficiente globale di scambio termico di questo scambiatore.
Il diametro idraulico per un condotto anulare è:
o.= D, -D, = 0.03-0.02 =0.01
FIGURA 15.10
1
1
1
u
h,
h.
-=-+-
m
m wm,.-
[
A -
p
P •
11:
(D, -D,) 4 Re=
o.5 m =1.61 p(ll'~') 989x~x0.02 2
=--=---=
pA.
w,,..D. V
=
2 0.138 À. h,=-Nu,=--x5.4 5=75.2 W/(m ·°C) 0.01 o.
Il coefficiente globale di scambio termico per questo scambiatore di calore è: m/s
= 1.61X0.02 = 54.576 0.59x10_.
Il valore del numero di Reynolds è maggiore di 4000 e quindi il flusso di acqua è turbolento. Nell'ipotesi di flusso sviluppato il numero di Nusselt è: Nu1 =
h,D.
3.75x10"
V
U-
1
1
h,
h,
-+Re =
TABELLA 15.3
w..... o. = 2.39x0.01_ 637 6
Dal valore del numero di Nusselt si ricava il coefficiente di scambio termico convettivo:
Poiché il diametro idraulico di un tubo a sezione circolare coincide con il suo diametro o. = D = 0.02 m, la velocità media dell'acqua nel tubo e il numero di Reynolds sono:
"""
-2.39m/s
Nu, = 5.45
v =0.59x10 ... m 2 /s Pr=3.79
m
852x~x(0.03 2 -0.02')
Poiché il valore del numero di Reynolds è Inferiore a 4000, il flusso è laminare. Nell'ipotesi di flusso completamente sviluppato, il numero di Nusselt dalla parte del tubo interno del condotto anulare Nu , corrispondente a D,ID. 0.02/0.03 = 0.667, può essere determinato dalla Tabélla 15.3 mediante interpolazione:
p =989 kglm' ,i, = o.637 W/(m . °C)
w
0.8 2 ]-
2
e
dove h e h sono rispettivamente i coefficienti di scambio termico convettivo all'in· temo dd alresterno del tubo determinati ricorrendo alle relazioni sulla convezione forzata trattate nel Capitolo 12. Le proprietà dell'acqua a 47°C (320 K) sono:
m
La velocità media e il numero di Reynolds sono allora:
Soluzione Lo schema dello scambiatore di calore è riportato in Figura 15.10. Poiché la resistenza termica conduttiva del tubo interno può essere trascurata dato che il materiale di cui è composto il tubo ha. un'alta conducibilità termica e il suo spessore è trascurabile, il coefficiente globale di scambio termico U può essere determinato con la Equazione 15.5:
Schema per l'Esempio 15.1.
li coefficiente globale di scambio termico
8 0 08 =0.023Re · Pr ·' =0.023x54.576°' x3.79°·' =241.4
0 - - - - = 75.1 W/(m' · C) 1 1
--+-7690
75.2
Si noti che, in questo caso, U = h, dal momento che h, » h,. Ciò conferma l'affermazione che il coefficiente globale di scambio termico di uno scambiatore di calore è approssimativamente uguale al coefficiente di scambio termico più piccolo quando la differenza tra i due coefficienti è grande. Per migliorare il coefficiente globale di scambio termico, cioè la potenza termica scambiabile per questo tipo di scambiatore, si dovrebbero usare opportuni accorgimenti dal lato olio, per esempio disponendo un'alettatura.
À.
Dal valore del numero di Nusselt si ricava il coefficiente di scambio termico convettivo: À.
0.637
o.
0.02
2
0 h, =-Nu, =--x241.4=7690 W/(m · C)
Per l'olio si ripete la stessa procedura considerando le seguenti proprietà:
ESEMPIO 15.2 Il tubo interno di uno scambiatore di calore a doppio tubo (tubo e mantello) è di acciaio inossidabile ['1. = 15.1 W/(m ·°C)] e ha diametro interno O,= 1.5 cm e diametro esterno D = 1.9 cm. Il tubo esterno è dello stesso materiale, ma ha un diametro di 3.2 cm. 11 'coefficiente di convezione è di h, = 800 W/(m' · °C) sulla superficie interna e di h, = 1200 W/(m2.°C) su quella esterna. Nell'ipotesi di fattori di
Numeri di Nusselt per flusso laminare completamente sviluppato in un tubo anulare con una superficie isolata e l'altra Isoterma D1 /D, 0.00 0.05 0.10 0.25 0.50 1.00
Nu,
Nu,
17.46 11.56 7.37 5.74 4.86
3.66 4.06 4.11 4.23 4.43 4.86
Fonte-. W.M. Rohsenow, J.P. Hartnett {a cura di), Handbook of Heat Transter, McGraw·Hill, New York 1972.
l incrostazione lato tubo e lato mantello rispettivamente di R•. , =0.0004 (m' · °C)/W e di R•.• = 0.0001 (m' · °C)/W, si determinino: a) la resistenza termica dello scambiatore per unità di lunghezza e b) i coefficienti globali di scambio termico U; e U con riferimento rispettivamente alla superficie interna e a quella esterna del tubo.
544 ~
CAPITOLO 15 Gli scambiatori di calore
Fluido freddo Strato esterno di depositi
1-=_....,.._,1
a) Lo schema dello scambiatore oggetto di questo esempio è riporSoluzione tato in Figura 15.11. La resistenza termica per uno scambiatore non alettato a doppio tubo (tubo e mantello) con presenza di incrostazioni su entrambe le superfici di scambio termico è data dall'Equazione 15.8:
Parete del tubo
1
1
1
1
R.;
R=-=--=--=-+-+ A, UA U,A; U.A. h,A,
Strato interno di depositi
In (O, i O,)
R., +-+-A,
2JrilL
h,A,
Fluido freddo
t
A =ir0,L=irx0.015x1=0.047 1m'
dove
2 A~= tr0 L =tcx0.019x1=0.0597 m 6
Operando le dovute sostituzioni, si ottiene la resistenza termica globale: D1 = 1.5 em h1 =800W/(m'·'C) Rd,i = 0.0004 (m2. °C)/W D, = l.9cm h, = 1200W/(m2 • °C) 2 0 Rd.< 0.000! (m • C)/W
=
FIGURA 15.11 Schema per l'Esempio 15.2.
0.0004
ln(0.019/0.015)
0.0471
2irx15.1x1
+--+
R= 800x0.0471A,
0.0001
+--+----1200x0.0597
0.0597
= 0.02654 + 0.00849 + 0.0025 + 0.00168 + 0.01396 = = 0.0532°C/W Si noti che circa Il 19 per cento della resistenza termica totale in questo caso è dovuto alle incrostazioni e che circa il 5 per cento è dovuto al fatto che Il tubo è costituito di acciaio inossidabile. Il resto (il 76 per cento) è dovuto alle resistenze termiche convettive da entrambe le parti del tubo interno. b) Noti i valori della resistenza termica complessiva e di entrambe le· aree delle superfici di scambio termico, i valori del coefficiente globale di scambio termico determinati applicando l'Equazione 15.8 sono:
u,
1 =--=
RA;
1 U =-=
'
RA,
1
0
-399.1 W/(m' · C)
0.0532x0.0471
1
2
=314.9 W/(m · 0 C)
0.0532x0.0597
Si noti che i due coefficienti globali di scambio termico differiscono tra loro significativamente (intorno al 27 per cento) data la sostanziale differenza tra le due superfici interessate dallo scambio termico all"interno e all'esterno del tubo.
15.3 ~IL DIMENSIONAMENTO DEGLI SCAMBIATORI DI CALORE Gli scambiatori di calore usati in pratica vengono scelti tra quelli in commercio in modo tale da ottenere determinati salti termici note le portate dei fluidi oppure determinate temperature dei fluidi che li attraversano. Nei paragrafi seguenti, dopo alcune considerazioni generali, introdurremo il metodo della differenza media logaritmica (o LMTD) che si
I
adatta al primo criterio di scelta, e del metodo t:-NTU, applicabile al secondo. Poiché gli scambiatori di calore rimangono in funzione per lunghi periodi di tempo senza variazione delle loro condizioni di funzionamento, essi si possono considerare in condizioni stazionarie. Infatti, le portate dei fluidi sono costanti, così come costanti rimangono le velocità e le temperature all'ingresso o all'uscita. Inoltre, le correnti fluide non subiscono variazioni apprezzabili nelle loro velocità medie o nella loro quota, rendendo così trascurabili anche le variazioni di energia cinetica e di energia potenziale. I calori specifici dei fluidi, in generale, variano con la temperatura; tuttavia, nel caso degli scambiatori di calore, essi possono essere considerati costanti con una piccola perdita di precisione e pari a un valore medio calcolato alla temperatura media dei due fluidi. Infine la conduzione di calore in senso assiale lungo un tubo può essere trascurata e la superficie esterna può essere considerata perfettamente isolata dal punto di vista termico, in maniera che non si debbano considerare le perdite di calore verso l'ambiente esterno e che lo scambio termico avvenga esclusivamente tra i due fluidi che attraversano lo scambiatore di calore. Le idealizzazioni appenii descritte sono molto vicine alle condizioni reali di funzionamento di uno scambiatore e hanno il pregio di semplificarne il dimensionamento senza perdere molto in precisione. Con queste ipotesi, per il primo principio della termodinamica le potenze termiche cedute dal fluido caldo e assorbite da quello freddo devono essere eguali:
Q=m1 cp.f(T1.• -T1•• ) Q=mccp.c
(W)
(15.9) ,
(W)
'
(15.10)
dove i pedicif e c stanno rispettivamente per i fluidi freddo e caldo e
m!•mc =portate in massa cp. 1 , cp. e =calori specifici a pressione costante T1.• , Te. u = temperature in uscita T1 ••• Te.e =temperature in entrata Si noti che la quantità Q è sempre positiva e che la direzione dello scambio termico, in accordo con quanto stabilito dal secondo principio della termodinamica, è quella che va dal fluido più caldo a quello più freddo. Nello studio degli scambiatori di calore è utile riferirsi alla quantità data dal prodotto tra il calore specifico e la portata in massa del fluido, detta capacità termica riferita all'unità di tempo:
ù5.1i) La capacità termica riferita ali 'unità di tempo di una corrente fluida è la potenza termica necessaria a variarne la temperatura di I °C nel passaggio attraverso lo scambiatore di calore. Si noti che in uno scambiatore il fluido con maggiore capacità tennica riferita all'unità di tempo sarà soggetto a variazioni di temperatura più contenute di quelle del fluido di più bassa
545 Il dimensionamento degli scambiatori di calore
546
Q= UA6.Tmed
T
Gli scambiatori di calore
FIGURA 15.12
l!.T = l!.T1 = l!.T2 =costante
.... .<
'------------~
Entrata
Uscita
capacità termica e che raddoppiando la portata in massa di un fluido a parità di altre condizioni se ne dimeu.erà la variazione di temperatura. Con la definizione appena data di capacità tennica riferita all'unità di tempo, le Equazioni 15.9 e 15.10 diventano:
T
La potenza tennica di uno scambiatore di calore, quindi, è pari al prodotto della capacità tennica riferita all'unità di tempo di ciascun fluido per la sua variazione di temperatura. Si noti che le variazioni di temperatura dei due Entrata (a) Condensatore(«-~)
T
Uscita"
fluidi sono uguali e opposte quando le capacità termiche riferite all'unità di tempo dei due fluidi sono eguali (Figura 15.12). Nei condensatori e negli evaporatori (scambiatori di calore in cui uno dei due fluidi subisce un cambiamento di fase) la potenza tennica è:
m
dove rappresenta la portata di fluido evaporante o condensante e h l'entalpia di vaporizzazione o di condensazione calcolata ad una dete~: nata temperatura e ad una detenninata pressione. Poiché durante un cambiamento di fase un fluido ordinario assorbe o \._Fluido in evaporazione cede una grande quantità di calore essenzialmente a temperatura costante (Figura 15. 13), la capacità termica riferita all'unità di tempo di un '---------------.< fluido soggetto a cambiamento di fase tende all'infinito e= mc ~ 00. Entrata Uscita La potenza termica scambiata Q= mle 6.T invece rimane finit/poiché 6.T ~O. Nel caso di condensatori o ev~poratoi'i il fluido condensante o (b) Evaporatore (c1 -~> evaporante può essere considerato di capacità termica riferita all'unità di FIGURA 15.13 tempo infinita. Variazione delle temperature di due fluidi La potenza tennica di uno scambiatore può essere espressa da una relache attraversando uno scambiatore zione simile alla legge di Newton per la convezione: di calore condensano o evaporano.
La differenza media logaritmica di temperatura
dove U è il coefficiente globale di scambio termico, A è larea della superficie di scambio termico e 6.T0 >
CAPITOLO 15
Due fl11idi aventi la stessa portata in massa e lo stesso calore specifico, nel passaggio attraverso uno scambiatore di calore termicamente ben isolato verso l'esterno, subiscono una uguale e opposta variazione di temperatura.
547
(15.15)
(W)
15.4 llìl LA DIFFERENZA MEDIA LOGARITMICA DI TEMPERATURA Poiché la differenza di temperatura tra i fluidi caldo e freddo varia lungo lo scambiatore di calore, per utilizzare la relazione Q UA6.Tmed è utile considerare una differenza media di temperatura 6.Tmod' Per ricavare una relazione che permetta di calcolare questa differenza media di temperatura tra i due fluidi, si consideri lo scambiatore di calore a doppio tubo in equicorrente mostrato in Figura 15.14. Si noti che la differenza di temperatura tra i due fluidi, grande ali' ingresso dello scambiatore, va diminuendo con legge esponenziale man mano che ci si avvicina all'uscita e che lungo lo scambiatore la temperatura del fluido caldo diminuisce, mentre aumenta quella del fluido freddo senza, però, che la temperatura massima raggiunta dal fluido freddo possa mai superare quella minima del fluido caldo per qualsiasi lunghezza dello scambiatore. Nell'ipotesi di superficie esterna dello scambiatore adiabatica, l' energia termica è scambiata soltanto tra i due fluidi, per cui, trascurando qualsiasi variazione di energia potenziale e cinetica, i bilanci energetici per i due fluidi in un tratto infinitesimo sono espressi dalle relazioni:
=
e
oQ=-mccp,cdTc
(W)
(15.16)
oQ=m1cp.fdT1
(W)
(15.17)
La potenza termica ceduta dal fluido caldo in ogni tratto dello scambiatore eguaglia quella assorbita dal fluido freddo in quello stesso trat~o. Si noti che nell'Equazione 15.16 c'è un segno negativo per rendere Q positiva anche se la variazione di temperatura del fluido caldo è negativa. Risolvendo le equazioni precedenti rispetto a dTc e dT1 si ha: dTe =-_!fj_ •
(15.18)
mccp,c
e
dT1=~ mfcp.f
(15.19)
t
Fluido freddo
TI.e
FIGURA 15.14
Variazioni di temperatura dei fluidi in uno scambiatore di calore a doppio tubo in equicorrente.
548
Gli scambiatori di calore in controcorrente
Dalla loro differenza si ottiene:
CAPITOLO 15 Gli scambiatori di calor~
dTc -dT1 =d(T;,-T1 )=-oQ(-._l_+-.-1- J mccp,c mlcp.I
(15.20)
La potenza termica scambiata nel tratto infinitesimo dello scambiatore può essere espressa anche con la relazione: (15.21) Sostituendo questa relazione nell'Equazione 15.20 e riordinando si ha: 1 -J 1 +-d(Tc-T1 ) =-UdA ( - -----'-m cp.I
(15.22) 1 Integrando l'Equazione 15.22 dall'ingresso all'uscita dello scambiatore si ha:
(Tc -T1)
mccp,c
(15.23) risolvendo le Equazioni 15.9 e 15.10 rispetto a iiie e p,c e Infine, . , sostituendo nell'Equazione 15.23 si ottiene:
Q= UAATm1 dove
e
(15.24)
(W)
A1ì-AT2 ln(ilJì/.llT2 )
mI e p.f
(K)
(15.25)
ATm1 è la dif~ere.nza media logaritmica di temperatura , la più usata dif-
(a) Scambiatori di calore in equicorrente
Il.TI
=Tc,e-1i,u
AT2=Tc.u-Tf.t (b) Scambiatori di calore in controcorrente
FIGURA 15.15
tJ.T, e !J.T2 per scambiatori di calore in equicorrente e in controcorrente.
ferenza media d1 temperatura nell'analisi degli scambiatori di calore. D..T e D..T2 rappresentano le differenze di temperatura tra i due fluidi ai due es~e mi (ingresso ed uscita) dello scambiatore di calore. Si noti che non fa nessuna differenza quale estremità dello scambiatore sia considerata come ingresso o come uscita (Figura 15.15). Poiché la differenza di temperatura tra i due fluidi diminuisce dal valore ilT1 all'ingresso al valore AT2 all'uscita, sarebbe spontaneo utilizzare la media aritmetica D..Tmcd = t (AT1 + D..T2) come differenza media. La differenza media logaritmica ATml' ottenuta tracciando il profilo reale della tempera~ura dei fluidi lungo lo scambiatore di calore, rappresenta, però, I' esatta ~ifferenz~ media di temperat~ra tra il fluido caldo e quello freddo. Si noti che, poiché D..T 1 è sempre inferiore a D..T utilizzando AT invece di D..Tm1 si sovrastim~rebbe la potenza termica ~~:imbiata tra i du~fluidi in uno scambiatore: quando D..T1 differisce da ilT di non più del 40 per cento, lerrore che si commetterebbe utilizzando la inedia aritmetica sarebbe inferiore ali' 1 per cento; questo errore, però, cresce in maniera inaccettabile se la differen~a tra le.du.e ~ifferenze di temperatura è superiore al 40 per cento, per cui è cons1ghab1le sempre l'uso della differenza media logaritmica di temperatura.
549
La differenza ml'dia La variazione della temperatura dei fluidi caldo e freddo in uno scambiatore logaritmica di temperatura di calore in controcorrente è rappresentata in Figura 15.16. Si noti che i fluidi.caldo e freddo entrano nello scambiatore dalle estremità opposte e che la temperatura di uscita del fluido freddo può superare quella di uscita T del fluido caldo. Ancbe se in condizioni ideali il fluido freddo potrebbe essere riscaldato fino a raggiungere la temperatura di ingresso del fluido caldo, la temperatura di uscita del fluido freddo non può mai superare quella di ingresso del fluido caldo, poiché ciò sarebbe in contrasto con il secondo 7i. • principio della termodinamica. scambiauno per ricavata temperatura, di logaritmica media La differenza tore di calore in equicorrente, può essere ricavata e utilizzata in maniera del tutto analoga per uno scambiatore in controcorrente, purché le grandezze AT1 e D..T2 rappresentino le differenze di temperatura evidenziate in Figura 15.15. Fissate le temperature di ingresso e di uscita dallo scambiatore di calore, la differenza media logaritmica nel caso di scambiatore di calore in controcorrente è sempre maggiore di quella dello scambiatore di calore in A equicorrente. Poiché è sempre D..Tmi.cc > D..Tml,ec' per scambiare una determisufficienè e nata potenza termica nel caso di scambiatore in controcorrent te una superficie di scambio termico inferiore rispetto a quella necessaria per uno scambiatore equicorrente: ciò spiega la convenienza di utilizzare Fluido scambiatori in controcorrente rispetto a scambiatori in equicorrente. caldo Poiché in uno scambiatore in controcorrente la differenza media di temperatura tra i fluidi caldo e freddo lungo lo scambiatore rimane costante se le capacità termiche riferite all'unità di tempo dei due fluidi sono le stesse (ilT =costante quando Cc= C1 oppure mcc p.c =m1c p.I ), 1j. essendo AT1 =AT2 la differenza media logaritmica di temperatura diventa D..Tm1 = 010, cioè assume un valore indeterminato. In questo caso, però, FIGURA 15.16 Variazioni di temperatura dei fluidi in applicando il teorema dell'Hopital si può dimostrare che ATm1 = AT1 = AT2, uno scambiatore di calore a doppio tubo come ci si poteva attendere. in controcorrente. Un condensatore o un evaporatore possono essere considerati sia come scambiatori di calore in equicorrente sia come scambiatori di calore in controcorrente con gli stessi risultati.
Gli scambiatori di calore a più passaggi e a passaggi incrociati: l'uso del fattore di correzione La differenza media logaritmica di temperatura ATm1 precedentemente ricavata è valida solo per scambiatori di calore in equicorrente e in controcorrente. Relazioni simili possono essere ricavate anche per diverse configurazioni di scambiatori (a flussi incrociati oppure a tubi e mantello a passaggi multipli). ma queste risulterebbero troppo complicate data la complessità delle condizioni del flusso. In questi casi si può calcolare la differenza media di temperatura equivalente alla differenza media logaritmica per scambiatori di calore in controcorrente per mezzo del fattore di correzione F:
6.Tml =F6.Tml.cc-·
550 CAPITOLO 15 Gli scambiatori di calore
Auido freddo
t7i." ~2
Scambiatore di calore a llÌìssi incrociati o a tubi e mantellct
'
(15.26)
Il fattore di correzione dipende dalla geometria dello scambiatore di calore e dalle temperature di ingresso ed uscita dei due fluidi caldo e freddo. La grandezza 6.Tmi. cc è la differenza media logaritmica di temperatura nel caso di scambiatore di calore in controcorrente nelle stesse condizioni di temperatura in ingresso e in uscita dallo scambiatore di. calore considerato e si determina con l'Equazione 15.25 considerando AT1 =Te_. - 7ì.. e AT2 = T, .• -Tf., (Figura 15.17). Il fattore di correzione per uno scambiatore di calore rappresenta la
misura della deviazione del valore ti.Tml dal corrispondente valore valido per uno scambiatore di calore in controcorrente; infatti, esso è inferiore Potenza termica scambiata:
Q= UAFt.Tml.cc dove
t.T ml.cc
= 6T1 -t.T2 ln(t.T1/t.T2)
t.T1= T,,, -
all'unità per scambiatori di calore a flussi incrociati e a tubi e mantello e pari ad 1 soltanto nel caso di scambiatore di calore in controcorrente. I valori del fattore di correzione F per scambiatori di calore di uso comune a flussi incrociati o a tubi e mantello sono riportati in Figura 15.18 in funzione di due rapporti di temperature P e R definiti dalle relazioni:
1j,,
= F =... (Fig. 15. 18)
P= t2 -ti
:z;-ti
t.T2 T,,,-T/.,
FIGURA 15.17 Potenza tennica scambiata in scambiatori di calore a flussi incrociati e a tubi e mantello a più passaggi calcolata per mezzo del fattore di correzione.
e
R = :z; -T2
(mcp)laiotubo
-ti
(mcp)l.,oguscio
t2
(15.27) (15.28)
dove i pedici 1 e 2 rappresentano rispettivamente l'ingresso e l'uscita. Si noti che per uno scambiatore a tubi e mantello Te t rappresentano rispettivamente le temperature lato mantello e lato tubi come riportato nei diagrammi del fattore di correzione. Il fatto che sia il fluido caldo o quello freddo a passare attraverso i tubi o attraverso il mantello non influenza in nessuna maniera il fattore di correzione, che può essere determinato conoscendo semplicemente le temperature di ingresso e di uscita dei fluidi. Si noti che il valore di P varia tra Oe 1, mentre il valore di R varia tra O e infinito (R = O corrispondente al cambiamento di fase, condensazione o ebollizione, del fluido lato mantello e R ~ oo al cambiamento di fase del fluido lato tubi) e che il fattore di correzione sia per un condensatore sia per un evaporatore è F = l.
I.O
'
"-.
:a
I\.
'' 2.0.Jf _1.0
'
1
·~ 0.8 8
'" .....
I\. I\.
\
§ 0.9
I\ '
I-'-~= ,4.0 3.0
0.7
0.5
R=TI -T2 f.. I ~2-,rl
o
Bisogna condensare del vapore alla temperatura di 30°C in un condensatore di un impianto motore a vapore per la produzione di energia adoperando l'acqua di raffreddamento proveniente da un lago, che entra nei tubi del condensatore a 14°C ed esce a 22°C. La superficie di scambio termico complessiva dei2 tubi è di 45 m2, e il coefficiente globale di scambio termico è pari a 2100 W/(m · °C). Si determinino la portata in massa dell'acqua di raffreddamento e la potenza termica del condensatore. Lo schema del condensatore è riportato in Figura 15.19. Ipotizzando Soluzione condizioni adiabatiche (condensatore ben isolato), lo scambio termico awiene
0.6
--
0.4. -0.2
\
'
\
0.7
0.8
I
'
I.O
0.9
p- 12-11
I.O
i\
i\
g 0.9
-
....
'-!".
"-.
-r,::r;-
.52
I\
~ 0.8 0.7
~
0.6 R=T1-T2 I ~-,rt 0.5 o 0.1 0.2
.....
~
..... r.....
'"
I\
0.8
,_,_
.....
"
I\.
~=4.0_3.
- ,...,.......
o,_
0.7
o
O. I
0.2
0.3
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I\
I 0.6
0.5
0.4
0.7
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1
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\
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0.9
0.8
I.O
P= 12-li T 1 -t 1
...... 0.9
\
·~
r-.. " r-.... ...... '\
"t: 0.8 '--
~=f·O
I
"I."'
-'
0.5
o
0.2
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~
1.00.8 o.~ -O·\
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0.2 - -
\
1
R=Ti-T2 I ~2-,rl
O.I
I"-
.0-2.oJ.s
0.7
g ti: 0.6
(d)
....
I"-.
I
(e)
:a e
~
'
-r--.
~
.....
' '
0.6 R=Ti-T2 0.5
8
I.O
2. _ì.s_ ,_1.Q o.~.o.~.ò.~ o.
I 1(--,'l
~
I
P= 12-11 T1-l1
':; 0.9
:a ~
'
OR 06 04 2
I I I l 0.7 0.8 0.9
0.6
0.5
0.4
0.3
I.O
~
\
i
I I
(b)
8
" "\ "
I
:a e
·~
...
1.5
20
R=4.0 3.0
8
[',
f',.r--.
1'-
I
I.O
ESEMPIO 15.3
\
I
(a)
B
I\
o~_o.6
0.5
logaritmica di temperatura
1'-
I\.
\
0.4
0.3
0.2
O.I
La ditTerenza media
I"-
"
'
'
§
~ 0.6
551
,_ ,.....
;::,-
.~
0.3
I 0.4
0.5
0.6
P= 12-li T1-t1
\
I 0.7 0.8
0.9
I.O
FIGURA 15.18 Diagrammi del fattore di correzione F per comuni scambiatori di calore a tubi e mantello e a flussi incrociati (da Bowman, Mueller e Nagle) (a) Un passaggio nel mantello e 2, 4, 6, ecc. (multipli di 2) nei tubi. (b) Due passaggi nel mantello e 4, 8, 12, ecc. (multipli di 4) nei tubi. (e) Flussi incrociati a passaggio singolo entrambi puri. (d) Flussi incrociati a passaggio singolo, uno puro e l'altro misto.
552 r
uwnM&a
CAPITOLO 15 Gli scambiatori di calore
esclusivamente tra vapore e acqua di raffreddamento. Considerando il condensatore come uno scambiatore di calore in controcorrente dal momento che la temperatura di uno dei due fluidi rimane costante durante lo scambio termico (quella del vapore), le differenze di temperatura tra il vapore e l'acqua alle estremità dello scambiatore sono:
Lo schema dello scambiatore di calore è riportato in Figura 15.20. Soluzione Nell'ipotesi di scambiatore adiabatico, poiché lo scambio termico avviene esclusivamente tra le due correnti di acqua, la potenza termica scambiata è:
t. T, = T,.• -T,,u = 30-22 = 8°C t.T, = T..u -T, .• =30-14=16°C
Poiché questa potenza termica è ceduta dall'acqua proveniente dal sottosuolo si ha che la temperatura di uscita di questo fluido è:
Vapore
3o·c
t
t.
T mi
'-:::=====~=tre
Si noti che t. T,,, è leggermente inferiore alla differenza media aritmetica La potenza termica del condensatore è:
FIGURA 15.19 Schema per l'Esempio 15.3.
Ò
. Q = [rilcP(I;, -
t.T, -t.T,
Ò= UAt.T., = 2100x45x11.5 =1086 750
t 30"C
Ò=[mcP(T" -T.)]"'° = 1.2x4.18x(80-2 0) =301.0 kW
T
8-16 =----11 5°C = ln(t.T,/t.T,} ln(8/16)- ·
"
f (8+ 16) = 12°C.
.
macquadli'llffreddamemo
ò =---cp
=
.
m
"'°"'
1086.75 4.18x(22-14)
= 32.5kg/s
ò
1086.75 =-=---=0.4 5kg/s 2430.5 htv
Occorr~m~, quindi, .circ~ 72 kg di ac:qua per ogni kg di vapore per riuscire ad assorbire il calore nlasc1ato durante 11 processo di condensazione.
Acqua
f~e~ddga~~~~~~~~~~~
T, )],...,..... ~I;, = T, --.mcP
~no scambiatore di calore in controcorrente a doppio tubo viene adoperato per
~1sc:aldare una portata di 1.2 kg/s di acqua dalla temperatura di 20°c a 80°C. Per il nscaldamen~o si .u~ilizza l'energia termica dell'acqua calda proveniente dal sottosuolo e disponibile a 160°C con una portata di 2 kg/s. 11 tubo interno è di spessore trascurabile ed ha un diametro di 1.5 cm. Se il coefficiente di scambio termico glob.ale dello scambiatore è di 640 W/(m' . °C), si determini la lunghezza dello scambiatore d1 calore necessaria per riscaldare l'acqua ad 80°C. Per il calore specifico dell'acqua proveniente dal sottosuolo e dell'acqua da riscaldare si assumano rispettivamente i valori di 4.31 kJ/(kg . °C) e di 4.18 kJ/(kg . °C).
so•c
L2 kg/s
2x4.31
FIGURA 15.20 Schema per l'Esempio 15.4.
ln(B0/105.1)
La superficie di scambio termico per lo scambiatore di calore sarà:
.
Q=UMT
ò
301000
Ut.T""
640x92.0
~A=---
=5.11 m
2
Affinché la potenza termica prima calcolata possa essere scambiata attraverso questa superficie è necessario che il tubo abbia una lunghezza ricavabile dalla relazione:
Si noti che il tubo interno di questo scambiatore di calore in controcorrente (e quindi l'intero scambiatore) deve essere lungo più di 100 m per scambiare la potenza termica richiesta. Poiché in pratica è difficile realizzare scambiatori di calore di tale lunghezza, in casi come questi si utilizzano scambiatori a piastre o a tubi e mantello a passaggi multipli. Glicerina fredda
ESEMPIO 15.5 ESEMPIO 15.4
,,,.._;;_=p==--'.:...;:..~
20°c
=160-~=125.1°C
ln(t.T,/t.T,)
mi
) Ò=[mcP (Tu -T• )J acqua di raffreddamento -(mh lv vapore -
o
tI6Q C
t.T, = T,,, -T,,u = 160-80 = 80°C t.T, = T,,u -T,,, = 125.1-20=105.1 °C ooc 80-105.1 t.T,-t.T, = 92. t.T"" =
y
e sono:
Acqua calda proveniente dal Sottosuolo 2 kg/s
Conoscendo le temperature di ingresso nello scambiatore per entrambi i fluidi, la differenza media logaritmica per questo scambiatore di calore in controcorrente è:
W
11 vapore, quindi, cede la potenza termica di 1086.75 kW all'acqua di raffreddamento., da~ i:iomento che conde~satore è supposto perfettamente adiabatico. , Po1c~e 11 calore spec1f1co d;ill acqua nel campo di temperature assunte dal1acqua d1 raffreddamento è pan a 4.18 kJ/(kg . °C) ed il calore di vaporizzazione dell'acqua a 30°C è di 2430.5 kJ/kg, la portata in massa dell'acqua di raffreddamento e quella del vapore si ottengono dalla relazione:
La differenza media
logaritmica di tempcratur.1
Poiché ~a differenza di temperatura tra i due fluidi varia da 8°C a 16°, per la differenza d1 temperatura tra i due fluidi la media opportuna da adottare nello svolgimento del calcoli è la differenza media logaritmica (non quella aritmetica): 14"C
553 ~:~1t'1M
Uno scambiatore di calore con due passaggi nel mantello e quattro passaggi nei tubi viene utilizzato per riscaldare glicerina da 20 a 50'C con acqua calda che, attraversando i tubi (spessore trascurabile e diametro di 2 cm), passa da una temperatura di BO'C ad una di 40'C (Figura 15.21). La lunghezza complessiva dei tubi nello scambiatore è di 60 m. Il coefficiente convettivo di scambio termico 2 è di 25 W/(m'. 'C) dal lato glicerina (mantello) e di 160 W/(m • °C) dal lato acqua (tubi). Determinare le potenze termiche scambiate a) prima che intervenga qualsiasi incrostazione sulle superfici di scambio e b) dopo che le superfici hanno 2 subito incrostazioni con R• = 0.0006160 (m • 'C)/W sulla superficie esterna del tubo.
20'C
~.
~iar;-
,. .
·>·tr·---
~ ~ "'~ .....-~1f~~oir-..-
80oc ~,-·~·--~~~~-~-so0c FIGURA 15.21 Schema per l'Esempio 15.5.
t
j
554 CAPITOLO 15
Soluzione Poiché i tubi sono di spessore trascurabile, assumendo la superfi· cie interna dei tubi uguale a quella esterna, la superficie di scambio termico di questo scambiatore è:
Gli scambiatori di calore
A =rrDL =rrx0.02x60 =3.77m
2
La potenza termica scambiata può essere determinata con la relazione:
O= UAFtff"'·" dove F è il fattore di correzione e li T1m . .,, è la differenza media logaritmica di temperatura per uno scambiatore controcorrente. La differenza media logaritmica di temperatura è: li T, = T,,, -
T,,,
= 80 -50 = 30°C
555 Si conduca un test su di un radiatore per uso automobilistico (scambiatore com· patto a flussi incrociati di aria e acqua, Figura 15.22) per determinare il suo coefficiente globale di scambio termico. Il radiatore ha 40 tubi di diametro interno pari a 0.5 cm e lunghezza pari a 65 cm che attraversano una matrice di piastre alettate rawicinate. Una portata di 0.6 kg/s di acqua calda entra nei tubi a 90°C e ne esce a 65°C. L'aria attraversa il radiatore costretta tra le piastre e passa da 20 a 40°C. Si determini il coefficiente globale di scambio termico U, (relativo alla superficie interna dei tubi).
ln(ii T,/ li T,)
O= [mc~(T, -T,)]"'° =0.6x4.18x(90-65) = 62.5 kW La superficie di scambio dal lato tubo è la somma delle superfici esterne dei t1,1bi e cioè:
ln(30/20)
Il valore del fattore di correzione si determina con il grafico di Figura 15.18b:
t, - t, = 40 - 80 = 0.67 ) T,-t, 20-80 R= T, -T, = 20-50 =0. 75 t, -t, 40-80
A,,tot = nrrD,L = 40xrrx0.005x0.65 = 0.408m
F=0. 87
,
dove F è il fattore di correzione e li Tm,. oc la differenza media logaritmica di temperatura per uno scambiatore controcorrente. Queste due quantità sono:
1 1 2 U=--=---=21.6W/(m ·°C) 1 1 1 1
6T
-+-
h,
160
mi.oc
25
La potenza termica scambiata è:
0= UAFt.T.,_,.
p
=21.6x3.77x0.87x24.6 =1743 W
b) Quando si è in presenza di incrostazioni sulla superficie di scambio il coefficiente globale di scambio termico U diventa:
U=---1
1
I
'
h+h+R.
-
- -- - - - - 21.3 W/(m 1 1 -+-+0.0006 160 25
6
~ U, = - - - ' A,,,.. Fli T""·"
O= U,A, ,.. Fii Tm,"
a) Nel caso di assenza di incrostazioni, Il coefficiente globale di scambio termico Uè:
h,
2
2
Conoscendo la potenza termica scambiata e la superficie di scambio, il coefficiente globale di scambio termico può essere calcolato dalla
p=
-+-
e
=-t
= liT,-liT, = 50-45 = _ 47 6 ln(li T, /li 'T,) ln(50/45)
.c
-t = 65-90 - - = 0.36 )
2 1 --
T,-t,
20-90
T. -T.2 20-40 R = - 1- = - - - = 0.80
t, -t,
F=0. 97
(Figura 15.18c)
65-90 90°C
• °C)
40'C
La potenza termica scambiata in questo caso diventa:
0= UAFiiT"'·"
La differenza media logaritmica di temperatura
Soluzione La potenza termica scambiata tra aria e acqua si può determinare con un bilancio di energia sul flusso d'acqua. Con calore specifico dell'acqua di 4.18 kJ/(kg . °C) si ha:
t.T, =T,,,, -T,,, =40-20=20°C li T = li T, -ii T, - 30-20 = 24.7'C ""·"
lt®i?S7J"9'$fiS"ftt#tJ1
ESEMPIO 15.6
= 21.3x3.77x0.87x24.6=1719W
Si noti che, come ci si poteva attendere, la potenza termica scambiata decresce in conseguenza della presenza di incrostazioni delle superfici di scambio. Co· munque, la diminuzione non è eccessiva data la presenza di bassi coefficienti di scambio termico convettivo.
65°C Ausso d'acqua (puro)
FIGURA 15.22 Schema per l'Esempio 15.6.
556
Sostituendo, il coefficiente
à
CAPITOLO 15 Gli scambiatori di calore
u, è:
U.=---1 A1.to1Farm1.cc:
62700 - - - - - - - 3 3 2 8 W/(m 2 -°C) 0.408 X 0.97 X 47.6
Si noti che il coefficiente globale di scambio termico dal lato aria sarebbe molto più basso dato che la superficie di scambio termico coinvolta da quel lato sarebbe molto maggiore.
15.5 ~ IL METODO .s-NTU II metodo che utilizza la differenza media logaritmica di temperatura risulta facile da usarsi nel!' analisi degli scambiatori di calore quando le temperature di ingresso e uscita dei fluidi caldo e freddo sono note o possono essere determinate ricorrendo a un bilancio energetico. Noti la /:;,T , le portate in massa dei fluidi e il coefficiente globale di scambio termic~. la superficie di scambio termico dello scambiatore può essere determinata ricorrendo alla relazione
Q=UAATm1 Perciò, il metodo della differenza media logaritmica è molto utile per determinare le dimensioni di uno scambiatore di calore in grado di realizzare temperature predeterminate in ingresso ed in uscita di fluidi dei quali siano note le portate. Con il metodo della differenza media logaritmica si ra<>giunge lo scopo di scegliere uno scambiatore che soddisfa determinate esigenze di scambio termico seguendo la procedura che può essere così sintetizzata: 1
scegliere la tipologia di scambiatore adatta ali' applicazione particolare;
2 determinare le temperature incognite di ingresso o di uscita dei fluidi ricorrendo ad una relazione di bilancio termico; 3 calcolare la differenza media logaritmica di temperatura /:;,T ed il fatm1 tore di correzione F, se necessario; 4
scegliere o calcolare il valore del coefficiente globale di scambio termico U;
5
calcolare la superficie di scambio termico A.
II tutto si completa scegliendo uno scambiatore che abbia una superficie di scambio uguale o superiore ad A. Un secondo genere di problema, che si incontra avendo a che fare con gli scambiatori di calore, è la determinazione della potenza termica scambiata e delle temperature di uscita dei fluidi dei quali siano note le portate e la temperatura di ingresso, quando siano definite la tipologia e le dimensioni dello scambiatore. In questo caso è nota la superficie di scambio A, ma non sono note le temperature di uscita dei fluidi caldo e freddo. Questi problemi si incontrano quando bisogna determinare la potenza termica di un ben determinato scambiatore di calore oppure quando bisogna stabilire se uno scambiatore di calore disponibile a magazzino riesce a soddisfare
557
determinate esigenze di scambio termico. II metodo della differenza media logaritmica potrebbe essere ancora utile per questo calcolo di verifica, ma, richiedendo noiosi calcoli iterativi, non risulta di interesse pratico. Kays e London nel 1955 proposero un nuovo metodo, il metodo eNTU, che semplifica grandemente l'analisi degli scambiatori di calore. Questo metodo si basa su di un parametro adimensionale chiamato efficacia dello scambiatore di calore e definito dalla relazione:
Q potenza termica realmente scambiata e=-.-=-"-'-----------=----= Qmax · massima potenza termica scambiabile
Wf1!t 1!:::Sm Il melodo ,..;-.1u
(15.29)
La potenza termica effettivamente scambiata in uno scambiatore di calore può essere determinata con un bilancio termico sul fluido caldo o su quello freddo e si può esprimere con la relazione: (15.30)
=mc
mc
p,f e cc= p,c sono le capacità termiche riferite all'unità dove c f di tempo rispettivamente per il fluido freddo e per quello caldo. La massima potenza termica scambiabile in uno scambiatore di calore è quella che si ha con la differenza massima di temperatura, quella, cioè, tra le temperature di ingresso dei fluidi caldo e freddo:
iooc
Olio
(15.31)
Acqua
2S kg/s i fredda caldo
:.::t;t;é_,;;:,~- <<,.
130°C
Infatti, lo scambio termico in uno scambiatore sarà massimo se (1) il fluido freddo viene riscaldato fino alla temperatura di ingresso del fluido caldo e se (2) il fluido caldo viene raffreddato alla temperatura di ingresso del fluido freddo. Queste due condizioni limite non si possono verificare contemporaneamente, a meno che le capacità termiche riferite all'unità di tempo dei due fluidi non siano identiche CC1 = C).Se CC,* C).che è il caso più frequente, il fluido con la capacità termica inferiore subirà la variazione di temperatura più alta, ovvero la differenza massima di temperatura ATmax' La massima potenza termica scambiabile in uno scambiatore di calore è:
40 kg/s
c =m
1 1cp.f= 104.5 kWl"C Cc=mo'p,c= 92 kWl"C
Cmio = 92 kWl"C ATmox =Te, ,-Tf. ,= l l0°C CÌmox = Cm1,ATmox = 10 120kW
FIGURA 15.23
(15.32)
=mc
dove c mio è la più piccola tra c f p.f e cc essere chiarito meglio dal!' esempio seguente.
=mcp, e.
Quanto detto può
ESEMPIO 15.7 Una portata di acqua fredda di 8 kg/s entra in uno scambiatore di calore controcorrente a 10°c e viene qui riscaldata da una corrente di 2 kg/s di acqua calda che entra nello scambiatore a 70°C. Nell'ipotesi di calore specifico dell'acqua costante, c 4.18 kJ/(kg · K), si determinino la massima potenza termica scambiabile pei' questo scambiatore e le temperature di uscita dei due fluidi in questo caso limite.
=
Calcolo della massima potenza tennica scambiabile da uno scambiatore di calore.
558
Soluzione Uno schema di questo scambiatore è riportato in Figura 15.24. Le capacità termiche riferite all'unità di tempo dei fluidi caldo e freddo sono:
CAPITOLO 15 Gli scambiatori di calore
e,= J0°C kg/s 8
Acqua t fredda
Acqua calda
me,,,= 8 x 4.18 = 33.44 kWl°C
C,= mc,,c=2x4 .18=8.36k Wl°C Poiché la capacità termica riferita all'unità di tempo inferiore è C"'" = C, = 8.36 kWl°C, la massima potenza termica scambiabile per l'Equazione 15.32 è:
Omax =C .JT..• -T,..)=8.36 x(70-10)=5 01.6kW
L'efficacia di uno scambiatore di calore rende, quindi, possibile il calcolo della potenza termica effettivamente scambiata senza dovere determinare le temperature di uscita dei fluidi caldo ~ freddo._ . , . Ogni scambiatore ha un suo valore d1 efficacia po~che q~esta ~1p~nde dalla geometria dello scambiatore stesso e dalla sua tipologia. Qm d1 se· guito si ricava la relazione che permette di calcolare lefficacia per uno scambiatore di calore a doppio tubo in equicorrente. • L'Equazione 15.23 può essere espressa nella forma seguente:
0
70°C 2 kg/s
A questo valore ci si potrebbe awicinare soltanto con uno scambiatore di calore in controcorrente dotato di una estesissima superficie di scambio termico. La massima differenza di temperatura in uno scambiatore, Ll. Tmax= T~, - Tt. ,; in questo caso è Ll. T""" = T~. - T,,. = 70 - 1o = 60°C. Infatti l'acqua calda non può essere raffreddata di più di 60°C (fino a 10°C) e l'acqua fredda non può essere riscaldata di più di 60°C (fino a 70°C), non importa con quali modalità. Le tempe· rature di uscita delle correnti calda e fredda in questo caso limite sono:
FIGURA 15.24 Schema per l'Esempio 15.7.
. ( O= e, r,. . "'!"
cp.f
Fluido caldo
Fluido tfreddo
· - T.,.·
)
-7
In Tc.• -TI.• Te.e -TI.e
· e,
33.44
. ( ) Q 501.6 Q=C, T..• -T..• -7T,,.• =T,,,- C, =70+ . =10°C
C1
(15.34)
cc
Risolvendo l'Equazione 15.30 in funzione di Tc,u si ha:
Tc,u =Te.e -
Q 501.6 T,. = T,. +-=10+-=25°C
·
_UA(l+ Cl)
d
(15.35)
(TI.• -Ti.J
e
Sostituendo questa relazione nella Equazione 15.34 dopo aver sommato e sottratto Tf., si ha:
8 36
Q= tiiccp,c 6.Tc =mt°MAr1 Se
mt"p.f
=""t°p,c
FIGURA 15.25 L'aumento di temperatura del fluido freddo in uno scambiatore di calore e la diminuzione di temperatura del fluido caldo nel caso di portate in massa e calori specifici dei fluidi caldo e freddo identici.
Si noti che l'acqua calda è raffreddata fino al limite dei 10°c (la temperatura di ingresso della corrente fredda), mentre l'acqua fredda si riscalda solo fino alla temperatura di 25°C in condizioni di massima potenza termica scambiata. Que· sto non deve sorprendere poiché, essendo la portata in massa dell'acqua calda solo un quarto di quella dell'acqua fredda, la temperatura dell'acqua fredda au· menta di 0.25°C per ogni grado centigraqo perso dall'acqua calda. Si potrebbe pensare che l'acqua fredda debba raggiungere per il caso limite in discussione la temperatura di 70°C, ma ciò porterebbe ad una temperatura dell'acqua calda di -170°C (al di sotto di 10°C), cosa impossibile. In uno scambiatore di calore lo scambio termico raggiunge il suo massimo quando il fluido con la più piccola capacità termica riferita all'unità di tempo (vale a dire il fluido con la portata Inferiore, se i due fluidi hanno lo stesso calore specifico) subisce la massima variazione di temperatura. Questo esempio spiega perché si adopera C.,0 in luogo di nella valutazione di èt..,. SI può dimostrare che nel caso limite di massima potenza scambiabile l'ac· qua calda all'uscita dello scambiatore di calore avrebbe la temperatura dell'ac· qua fredda all'ingresso e viceversa, se le portate in massa dei flussi di acqua calda e fredda fossero eguali (Figura 15.25). Si può anche dimostrare che la temperatura dell'acqua fredda in uscita dallo scambiatore di calore potrebbe rag· giungere il limite di 70°C se la portata di acqua calda fosse maggiore di quella di acqua fredda.
e_
II calcolo di QmaJt richiede che siano note le temperature di ingresso dei fluidi caldo e freddo e le panate in massa, dati ordinariamente disponi· bili in fase di calcolo. Se è nota anche lefficacia dello scambiatore di calo· re, il valore della potenza termica effettivamente scambiata Q è data dalla relazione:
che si semplifica in
1n[1-(1+ C1Cc )TI.• -Ti"]=- UA(l+ C1) Te.e -T 1,,
C1
Cc
(15.36)
Manipolando opportunamente la relazione che ha permesso di definire l' ef· ficacia si ha:
pe;
Sostituendo questo risultato nella Equazione. 15.36 e ris?lvend~ e si ottiene la seguente relazione che permette d1 calcolare I efficacia d1 uno scambiatore di calore in equicorrente:
1-exp[- UA I+ C1 eequicorrente
=
C1
)e .
Cc
(1+ e _j_ -l!ll!!. cc et
~
lj (15.37)
559 ~
Il metodo e-NTL'
Ponendo C o C pari a C . e laltro a C
diventa:
1
(
mm
561
, la relazione sopra riportata
max
CAPITOLO 15 Gli scambiatori di calore
~ eequiCOITenle =----''----e->----= I +--lllilL emax Cmin VA I +-I -exp--[ Cmi• Cmax
""'"
60 t-h'i7/71"''-t--t--+-+-J-t-i-1
"u
(15.38)
~" 40 Ì:ii
Si noti che C . è la minore delle capacità termiche riferite all'unità di tempo e C i~ maggiore e che non importa quale delle due sia quella relativa al fl~ido caldo o a quello freddo. Le relazioni che permettono di calcolare l'efficacia e per gli scambiatori di calore in generale includono il gruppo adimensionale VA/Cmi• detto nu· mero di unità di scambio termico NTU:
NTU= VA_ ·VA cmin (mcp)min
Il metodo E·:\Tl:
80
20
'
Fluido lato mantello I
~
Fluido
latorubi -11
-.i .,_
•·" _,,_" _ _ .,
ffi~~::~I
Numero di unità di scambio termico NTU = AU!Cr.run (a)
Equicorrente
4 Numero di unità di scambio termico NTU = AU/Cmin (b) Controcorrente
(15.39) 80
dove V è il coefficiente globale di scambio termico e A è l'area della superficie di scambio termico dello scambiatore di calore. Si noti, fissati i valori di V e di e.un• il valore di NTU è una misura della superficie di scambio tennico A, vale a dire che più grande è NTU più grande è lo scambiatore. Nel dimensionamento degli scambiatori di calore è utile definire un'altra quantità a-dimensionale chiamata rapporto di capacità C:
~ 60t-t-J'fh....-9--t--+-+--t.......,t-i-1 "u 1i Auido lato mantello-+ -= 40 Ui 20
[f. .•.
::~ I
(Fluido lato tubi
(15.40) Numero di unità di scambio tennico NTU =AU/Cmm
Si può dimostrare che l'efficacia di uno scambiatore di calore è funzione del numero di unità di scambio termico NTU e del rapporto di capacità C:
(e) Un passaggio nel mantello e 2. 4, 6• ... nei tubi
Numero di unità di scambio termico NTU =A UIC..,;, (d)
Due passaggi nel mantello e 4, 8, 12.... nei tubi
e= J(VA C.u 0 ,Cmin Cm,J= J(NTU,C) Le relazioni che permettono di calcolare l'efficacia per un gran numero di scambiatori di calore sono riportate in Tabella 15.4. I valori dell'efficacia di alcune tipologie più comuni di scambiatori di calore sono riportati sotto forma di grafico in Figura 15.26. Diagrammi più estesi e altre relazioni per il calcolo dell'efficacia di uno scambiatore di calore sono disponibili in letteratura. Le linee tratteggiate in Figura 15.26! sono valide per il caso di C . con flusso incrociato puro e C con flusso incrociato misto, mentre lemiinee continue per il caso oppost;""si noti che le relazioni analitiche per il calcolo dell'efficacia degli scambiatori di calore danno risultati più precisi dei diagrammi, dal momento che è impossibile non commettere errori durante la lettura di un diagramma e che, inoltre, le relazioni analitiche sono certamente più utili se per il calcolo dell'efficacia di uno scambiatore si usa un calcolatore. Dai diagrammi e dalle relazioni che riguardano l'efficacia degli scambiatori di calore si possono trarre alcune considerazioni:
80
~ 60t---.'-fr*>"9--·'+--t--i->--+--+-~ d
] Ui
40
4
Numero di unità di scambio tennico NTU = AU!Crn;n
(e) Flussi incrociati entrambi puri
4
Numero di unità di scambio tennico NTU =A U!Crn;n
FIGURA 15.26 Valori di efficacia per alcuni scambiatori di calore.
562 CAPITOLO 15 Gli scambiatori di calore
TABELLA 15.4 Relazioni che permettono di valutare l'efficacia degli scambiatori di calore:
NTU = UAIC"'' e C =Cm;, /C'"" = ( 1h e,)"' I( iii e,)....
1-exp[-NTU(1 + C)] E=.--'-'----1+ C 1- exp[-NTU(1 - C)] E=-------1-Cexp[-NTU(1-C)J
In equicorrente In controcorrente 2. A tubi e mantello Un passaggio nel mantello e 2, 4 ... nei tubi
1
e= { 1 + e+ ~ + C' 1 + exp[-NTU,n:;:G'] }_, 2 1- C exp[-NTU~1 + C'] 3. A flussi incrociati (singolo passaggio)
Entrambi i flussi puri 0 22
} 078 NTU · e=1-exp{ -C-[exp(-CNTU )-1]
e""' misto, e"" puro
E=~ (1- exp{- C[1- exp (-NTU)J}l
cmin misto, cnwc puro
E= 1-exp{-
~[1-exp(-CNTU)]}
4. Qualsiasi scambiatore di calore con C = O · E= 1 - exp(- NTU)
1 Il valore dell'efficacia dello scambiatore di calore, compreso tra O e l, aumenta rapidamente per piccoli valori di NTU (fino a circa NTU = 1.5) e piuttosto lentamente per valori più alti. Non è giustificato, quindi, l'uso di scambiatori di calore che abbiano un valore di NTU più grande di 3 poiché ad un aumento delle dimensioni dello scambiatore di calore corrisponderebbe un piccolo aumento di efficacia e ciò non risulterebbe economicamente accettabile. Si noti che, se dal punto di vista termodinamico uno scambiatore di calore con efficacia molto alta è quanto meno desiderabile, esso può non risultare fattibile per considerazioni economiche; 2 Per un dato valore di NTU e del rapporto di capacità C = CmJ/C.,.,., lo scambiatore di calore in controcorrente presenta lefficacia più alta, seguito da vicino dallo scambiatore di calore a flussi incrociati puri, mentre i valori più bassi di efficacia si hanno per scambiatori di calore in equicorrente (Figura 15.27);
l FIGURA 15.27 Efficacia di uno scambiatore di calore in controcorrente e in equicorrente in funzione dei valori di NTU e del rapporto di capacità termiche riferite all'unità di tempo C.
~
Il metodo e-;.;Tu
Relazione per l'efficacia
Tipologia di scambiatore di calore
1. A doppio tubo
:i
563
questo caso limite, che si verifica in presenza di un cambiamento di fase in un condensatore o in un evaporatore, la relazione per calcolare l'efficacia dello scambiatore di calore, di qualsiasi tipo esso sia, è (Figura 15.28):
3 Per valori di NTU minori di circa 3 lefficacia di uno scambiatore di calore è indipendente dal rapporto di capacità C; 4 Il valore del rapporto di capacità C varia tra O e l. Per un dato NTU l'efficacia dello scambiatore di calore raggiunge il valore massimo per C =O e il minimo per C = l. Si noti che C = Cmi/Crnax ~O quando Cm"'~=: in
Nell'altro caso limite C = Cmi/Cm,. = l, che si ha quando le capacità termiche all'unità di tempo dei due fluidi sono identiche, l'efficacia dello scambiatore di calore raggiunge il suo valore minimo. Calcolate le quantità C = Cmi/C.,., e NTU = UAl<;min e quindi l'efficacia s dello scambiatore di calore, la potenza termica Q e le temperature di uscita TJ. e T possono essere determinate dalle Equazioni 15.33 e 15.30 rispettiva':nente~ Si noti che il calcolo degli scambiatori di calore con temperature di uscita dei fluidi incognite, diretto e semplice adottando il metodo s-NTU, risulta noioso con il metodo della differenza media logaritmica per la necessità di numerose iterazioni. Se, invece, sono note tutte le temperature di ingresso e di uscita dei fluidi, poiché la differenza media logaritmica di temperatura può essere facilmente calcolata, si giunge agevolmente alla determinazione delle dimensioni dello scambiatore. In alternativa, le dimensioni dello scambiatore di calore possono essere determinate anche con il metodo s-NTU calcolando dapprima l'efficacia s dello scambiatore di calore con l'Equazione 15.29 e poi il valore di NTU con la relazione adatta al caso in esame (Tabella 15.5). Si noti che le relazioni riportate nella Tabella 15.5 sono equivalenti a quelle della Tabella 15.4: le relazioni in Tabella 15.4 forniscono direttamente il valore di s se è noto NTU, mentre le relazioni in Tabella 15.5 forniscono il valore di NTU se è noto quello di s. TABELLA 15.5 Relazioni che permettono di valutare NTU per gli scambiatori di calore:
NTU= UA/C~, e C= cm;, /C~ =(rii c)"'"'l(m e,)_ Tipologia di scambiatore di calore 1. A doppio tubo In equicorrente In controcorrente
Relazione per l'efficacia NTU= ln[1-e(1+C)] 1+C E-1 (1 -) NTU=--ln eC-1 C-1
2. A tubi e mantello
Un passaggio nel mantello e 2, 4 ... nei tubi
NTU=
1
~1+C'
1 1n(2/e- -c-,n:;:G')
2/e-1-C+~1+C'
3. A flussi incrociati (singolo passaggio)
e_ misto, e~ puro e"" misto, e= puro 4. Qualsiasi scambiatore di calore con C = O
NTU=-ln[1+
ln(1~eC)J
NTU=- ln[Cln(1-e)+1]
e
NTU = - ln(1- E)
E= 1-e-NTU
0.5
(Tutti gli scambiatori di calore con C =O)
2
4
NTU = UA/Cm'"
FIGURA 15.28 Efficacia di uno scambiatore di calore E= E== I - exp(-NTU) nel caso in cui il rapporto delle capacità termiche riferite all'unità di tempo è pari a o.
e
565
564 ~
CAPITOLO 15 Gli scambiatori di calore
Acqua fredda
ESEMPIO 15.9
Si ripetano i calcoli dell'Esempio 15.7 con il metodo e-NTU invece che con il metodo della differenza media logaritmica.
Bisogna raffreddare con acqua una certa quantità di olio caldo in uno scambiatore di calore ad un passaggio lato mantello ed otto passaggi lato tubi. I tubi sono di spessore sottile, in rame e hanno un·diametro interno di 1.4 cm. La lunghezza di ogni passaggio di tubo è di 5 m, il coefficiente globale di scambio termico è di 31 O W/(m' · 'C). La portata dell'acqua nei tubi è di 0.2 kg/s, mentre quella dell'olio è di 0.3 kg/s. L'acqua e l'olio entrano rispettivamente alle temperature di 20'C e di 150°C. Determinare la potenza termica scambiata nello scambiatore di calore e le temperature di uscita dell'acqua e dell'olio.
Soluzione Lo schema dello scambiatore di calore è riportato in Figura 15.29. Si faccia nuovamente l'ipotesi che lo scambiatore di calore sia ben isolato dall'ambiente esterno così che il calore ceduto dall'acqua del sottosuolo sia pari a quello fornito all'acqua da riscaldare. Nel calcolo secondo il metodo e-NTU, per prima cosa bisogna determinare le capacità termiche riferite all'unità di tempo dei fluidi caldo e freddo ed individuare la minore tra le due:
20'C
C,
1.2 kg/s
C, FIGURA 15.29 Schema per !"Esempio 15.8.
$\M~
ESEMPIO 15.8
=mc,_,= 2x4.31=8.62 kW/°C =mc,,, =2X4.18=5.02 kW'°C Cm•= C, = 5.02 kW, °C
Si ha, quindi:
Soluzione Lo schema dello scambiatore di calore è riportato in Figura 15.30. Si faccia l'ipotesi che lo scambiatore sia ben isolato così che lo scambio termico awenga soltanto tra l'acqua e l'olio. Le temperature di uscita non sono indicate e non si possono determinare ricorrendo ad un bilancio termico. L'uso del metodo della differenza media logaritmica in questo caso implicherebbe noiose iterazioni e, per questo, è conveniente utilizzare il metodo e-NTU. Il primo passo per la sua applicazione è quello di determinare le capacità termiche riferite all'unità di tempo dei fluidi caldo e freddo ed individuare quale sia la minore delle due:
C= Cm;,/C,_ = 5.02/8.62 = 0.583
=mc'"'= 0.3x2.13 =0.639 kW/°C C, =mc,_,= 0.2x4.18 =0.836 kW 'C
C,
La massima potenza termica scambiabile è (Equazione 15.32):
à"""'
=Cm1,(r,_.-T,.J=5.02x(160-20)=702.8 kW
La potenza termica realmente scambiata è, invece:
Ò= L'efficacia
[mc,cr.,- T,)l"'° = 1.2x4.18x(80-20) =301.0 kW
C= c...,/c.,., = o.639/0.836 =0.764 La massima potenza termica scambiabile è (Equazione 15.32):
à 301.0 E=--=--= 0.428 à...,. 702.8
Ò""" =Cm10(T..• -T,.J•=0.639x(150-20)=83.1 kW La superficie di scambio termico è:
Conoscendo l'efficacia, l'NTU di questo scambiatore può essere determinato dalla Figura 15.26b o dalla relazione corrispondente in Tabella 15.5. Scegliendo il secondo approccio per una maggiore precisione della soluzione si ha: 1 e-1 1 0.428-1 NTU=--ln--=---ln -0.651 C-1 eC-1 0.583-1 0.428x0.583-1
A =rrDL ~ L =~ =2.!.!_ =108.4m rrD rrx0.015 L'NTU di questo scambiatore di calore è: UA 310x1.76 NTU=-= -0.853 c""" 639
La superficie di scambio termico è: NTU= UA ~A= NTU·Cm1n = 0.651x5020
u
_ m' 5 11
640
Perché si abbia questa superficie il tubo deve essere lungo A= rrDL
Cm• = C, = 5.02 kW.• 'C Si ha, quindi:
e dello scambiatore è:
cm.
Il metodo E-NTU
~ L =~= 2.!.!_ = 108.4 m rrD
rrx0.015
Si noti che con questo metodo diretto si è ottenuto lo stesso risultato calcolato precedentemente.
L'efficacia di questo scambiatore, corrispondente ad un valore di C = 0.764 e di NTU = 0.853, si determina ricorrendo alla Figura 15.26c ed è E =0.59
Si potrebbe anche determinare il valore dell'efficacia ricorrendo alla relazione nella Tabella 15.4 in maniera più precisa, ma meno rapida. La potenza termica realmente scambiata è: ·
Ò=eà.... =0.59x83.1 =49.0 kW
FIGURA 15.30 Schema per l'Esempio 15.9.
I 566 CAPITOLO 15 Gli scambiatori di calore
Le temperature di uscita dei due fluidi sono:
.
O=C,
49 ò (T, -T,. ) ~r, =T,.+-=20+--=78.6 °C 0.836 e, ' .u •
,U
( . O=C T e
e.a
-T
c,u
) ~T
c.u
=T
e.e
49 ò --=150+--=73.3°C
et:
0.639
La temperatura dell'acqua di raffreddamento sale da 20 a 78°C dato che questa serve a raffreddare l'olio da 150 a 73.3°C.
15.6 ~LA SCELTA DI UNO SCAMBIATORE DI CALORE Gli scambiatori di calore sono dispositivi complicati, per cui i risultati ottenuti semplificando il problema dello scambio termico come fatto nei paragrafi precedenti devono essere usati con attenzione. Infatti questi risultati si basano sull'ipotesi che il coefficiente globale di scambio termico sia costante lungo tutto lo scambiatore e che il coefficiente di scambio termico per convezione possa essere calcolato adoperando le relazioni della trasmissione di calore per convezione. Dato che l'incertezza nella determinazione di U può anche eccedere il 30 per cento, si tende a sovradimensionare gli scambiatori per evitare spiacevoli sorprese. Poiché negli scambiatori di calore lo scambio termico di solito è accompagnato da un aumento delle perdite di carico sulle tubazioni interessate e, perciò, da un aumento della prevalenza delle pompe di circolazione, quanto si guadagna in termini di scambio termico deve essere esaminato alla luce dei costi aggiuntivi provocàti dall'aumento delle perdite di carico. inoltre, attenzione particolare deve essere rivolta alla scelta del fluido da far passare lato tubi e di quello da far passare lato guscio. Di norma il fluido più viscoso percorre lo scambiatore dal lato mantello (sezioni di passaggio più ampie, quindi minori perdite di carico) ed il fluido a più alta pressione dal lato tubi. Molto spesso nell'industria sorge la necessità di riscaldare o raffreddare un fluido di processo di portata in massa e temperatura note fino ad un valore di temperatura prefissato; in questo caso la potenza termica dello scambiatore di calore è:
Q=mcP(T, -T") La precedente relazione fornisce un'indicazione riguardo alle esigenze di scambio termico da soddisfare prima ancora di selezionare la tipologia di scambiatore utile allo scopo. Nota la potenza dello scambiatore di calore, sui cataloghi si trova una quantità impressionante di soluzioni possibili per tipologia e dimensioni. La scelta opportuna dipende da vari fattori.
La potenza termica da scambiare La potenza termica da scambiare è la grandezza più importante nella scelta di uno scambiatore di calore, che deve essere capace di scambiare la poten-
za indicata in maniera da realizzare effettivamente la variazione di temperatura voluta per il fluido di processo.
Il costo I limiti di tipo economico giocano spesso un ruolo fondamentale nella scelta degli scambiatori. tranne che in alcuni casi nei quali "non si bada a spese". Uno scambiatore pronto a magazzino è meno costoso di uno costruito su misura. Tuttavia, a volte, nessuno degli scambiatori di calore in commercio soddisfa determinate esigenze di scambio termico, per cui è necessario impiegare uno scambiatore realizzato ad hoc sottostando alla più elevata spesa di tempo e di danaro. Non vanno sottovalutati i costi di manutenzione e di esercizio che rivestono grande importanza ai fini della valutazione del costo complessivo dello scambiatore di calore.
La potenza delle pompe di circolazione In uno scambiatore di calore in genere entrambi i fluidi vengono fatti circolare forzatamente tramite l'uso di pompe o ventilatori che consumano energia elettrica. Il costo annuo associato al funzionamento di queste macchine operatrici può essere determinato con la relazione: costo di esercizio= (potenza di pompaggio, kW) x (ore di funzionamento, h) x (costo dell'energia elettrica, L./kWh) dove la potenza di pompaggio è la potenza elettrica complessivamente utilizzata dai motori delle pompe e dei ventilatori: per esempio, uno scambiatore di calore che comprenda una pompa da 1 kW ed un ventilatore da 0.3 kW che operino per 8 h al giorno e per 5 giorni alla settimana consumerà in un anno 2704 kWh di energia elettrica, che, ad un costo di L. 250 per kWh, corrispondono a un costo complessivo di L. 676 000 annue. Minimi::;zando le perdite di carico e le portate dei fluidi circolanti si riducono i costi di esercizio dello scambiatore di calore, ma aumentano quelli relativi alle sue dimensioni (costo iniziale). Come regola approssimativa dettata dalla pratica degli scambiatori si ricordi che raddoppiando la portata si riducono della metà i costi iniziali, ma aumentano di circa otto volte quelli di esercizio (pompaggio). In generale le velocità dei fluidi all'interno degli scambiatori variano tra 0.7 e 7 m/s per i liquidi e tra 3 e 30 m/s per i gas. Velocità basse aiutano a prevenire problemi di erosione, di vibrazioni dei tubi e di rumori, nonché di perdite di carico.
Le dimensioni e il peso Normalmente più piccolo è lo scambiatore, più leggero esso risulterà. Questo aspetto riveste particolare importanza nell'industria automobilistica e aeronautica dove la riduzione del peso e delle dimensioni è la necessità più sentita. Inoltre uno scambiatore di calore più grande comporta un costo più elevato.
567 La scelta di uno scambiatore di calore
568 ~
CAPITOLO 15 Gli scambiatori di calore
La tipologia La tipologia dello scambiatore di calore dipende principalmente dal tipo dei fluidi coinvolti nello scambio termico, dalle limitazioni di peso e dimensioni e dalla presenza di processi di cambiamento di fase: per esempio, uno scambiatore di calore per il raffreddamento di un liquido utilizzand o un gas ha la superficie di scambio termico dal lato gas molto più grande di quella dal lato liquido; uno scambiatore a piastre o a tubi e mantello funziona benissimo nel raffreddamento di un liquido da parte di un altro liquido.
I materiali Nella realizzazione degli scambiatori di calore la scelta dei materiali riveste una particolare importanza. Gli effetti di stress tennico e struttura le non inducono limitazioni vincolanti se le pressioni di esercizio dello scambiatore sono inferiori a 15 bar e le temperature sono inferiori a I50°C. Al contrario, quando la pressione sale oltre 70 bar e la temperatura oltre 550°C le considerazioni sulla resistenza dei materiali impongono scelte mirate e attente. Una differenza di temperatura di 50°C o più tra i tubi e il mantello può indurre stress tennici differenziali che devono essere tenuti in considera zione. Inoltre, nel caso di fluidi cm;rosivi, occorre impiegare materiali di provata resistenza alla corrosione come l'acciaio inossidabile o addirittura il titanio se non si vuole procedere frequentemente alla sostituzione dello scambiatore.
Altre considerazioni Tra le altre considerazioni che influenzano la scelta di uno scambiatore di calore vi sono: la tenuta, qualora si trattino fluidi tossici oppure preziosi e costosi; la facilità di impiego; i bassi costi di manutenzione; la sicurezza e laffidabi lità. Infine, la silenziosità è una delle caratteristiche più importanti nella scelta degli scambiatori di calore utilizzati per il riscaldam ento o il condizionamento dell'aria negli ambienti domestici o di lavoro.
ESEMPIO 15.10 In un impianto per la produzione di derivati dal latte, il latte viene pastorizzato utilizzando acqua calda proveniente da una caldaia pressurizzata a gas naturale. L'acqua calda (portata di 0.25 kg/s) viene poi scaricata su di un letto fluido all'aperto a 80°C. L'impianto è in funzione 24 h al giorno per 365 giorni all'anno. La caldaia ha un rendimento dell'80 per cento ed il costo del gas naturale è di L. 1O per 1 MJ. La temperatura media annua dell'acqua che entra nella caldaia è di 15°C. L'acqua riversata nel letto fluido non può essere ricircolata e perciò riutilizzata perché contaminata durante il processo di pastorizzazione. Al fine di risparmiare energia, viene proposto di installare uno scambiato re di calore acqua-acqua per preriscaldare l'acqua fredda in ingresso alla caldaia sfruttando il calore sensibile dell'acqua di risulta del processo di pastorizza zione. Fa-
cendo l'ipotesi che lo scambiatore di calore recuperi il 75 per cento dell'energia dell'acqua calda si determini la potenza termica dello scambiato re di calore da acquistare per realizzare il progetto di risparmio energetico e si indichi quale tipologia di scambiatore è conveniente a tal fine. Si determini, inoltre, quanto si riuscirà a risparmiare sui costi di esercizio annuali dell'impianto (costi del gas naturale) una volta adottata la soluzione prospettata. Soluzion e Uno schema dello scambiatore da acquistare è riportato in Figura 15.31. Si fa l'ipotesi di calore specifico dell'acqua pari a 4.18 kJ/(kg·°C ) costante nel campo di temperature considerate. Poiché il recupero di calore dall'acqua sarà massimo se l'acqua calda abbandonerà lo scambiatore alla temperatura di ingresso dell'acqua fredda, si ha:
569 La scelta di uno scambiatore di calore
so·c ~~~:
I
O..., = m.c,(T..• - T,..)= 0.25x4.1 8x (80-15)= 67.9kW Ciò significa che l'acqua calda in precedenza dispersa e fatta raffreddar e in atmosfera può cedere una potenza termica di 67.9 kW all'acqua fredda che sta per essere utilizzata. Questa potenza termica può essere recuperat a quasi interamente solo ricorrendo ad uno scambiatore controcorrente con una estesissima superficie di scambio termico. Poiché uno scambiatore di calore di costo e dimensioni ragionevoli è in grado di utilizzarne solo il 75 per cento, la potenza termica dello scambiatore da acquistare deve essere: Ò=eÒ""" =0.75x67 .9=50.9k W A questo scopo sono certamente adeguati scambiatori ordinari a tubi e mantello o a piastre, dato che da entrambi i lati dello scambiatore deve passare lo stesso fluido con portate e quindi coefficienti di scambio termico comparab ili. Lo scambiatore deve rimanere in esercizio 24 h al giorno per 365 giorni all'anno, cioè per 8760 ore in un anno. Poiché lo scambiatore di calore fa risparmiare 50.9 kJ di energia al secondo, il risparmio totale di energia in un anno sarà: risparmio= 50.9 x 8760 x 3600=1.6 05x1 o' kJ/anno La caldaia ha un rendimento dell'80 per cento; ciò significa che per ogni 80 unità di energia termica tornita all'acqua in caldaia bisogna bruciare gas naturale per 100 unità di energia termica. Quindi, il risparmio energetico determina to in precedenza si traduce in termini di risparmio di combustibile in: risparmio di energia risparmio di combu stibile =--'------'-rendimento della caldaia 1.605x10 ' , kJ -----2 .01x1 0 - 0.80 anno Si noti che, poiché il costo del gas naturale è di L. 1O per ogni MJ di energia prodotta, si ha che il risparmio è: risparmio= 2.01x10 'x10·2 =20100 000 L./anno In conclusione, l'installazione dello scambiatore proposto farebbe risparmiare alla società di gestione dell'impianto circa L. 20 000 000 all'anno e Il costo dello scambiatore verrebbe con molta probabilità recuperato in poco tempo grazie ai risparmi energetici.
FIGURA 15.31 Schema per l'Esempio 15.10.
570
15.7 .J SOMMARIO
~
CAPITOLO 15 Gli scmnbintori di calore
Gli scambiatori di calore, dispositivi che permettono lo scambio di calore tra due fluidi senza che questi si mescolino tra di loro, sono prodotti in varie tipologie, di cui la più semplice è ta configurazione a doppio tubo. In uno scambiatore di calore in equicorrente sia il fluido caldo sia quello freddo entrano nello scambiatore dalla stessa estremità e si muovono nello stesso verso; al contrario, negli scambiatori di calore in controcorrente il fluido caldo e quello freddo entrano da parti opposte e si muovono in verso opposto. Negli scambiatori di calore compatti i due fluidi si muovono lungo direzioni perpendicolari tra di loro: questa configurazione si dice a flussi incrociati. Altre tipologie di scambiatori di calore per applicazioni industriali sono costituite dagli scambiatori a piastre oppure a tubi e mantello. In uno scambiatore di calore lo scambio termico avviene ordinariamente per convezione per entrambi i fluidi e per conduzione attraverso la parete di separazione tra i due fluidi. Nel dimensionamento di uno scambiatore di calore risulta comodo riferirsi ad un coefficiente globale di scambio termico U o ad una resistenza termica totale R espressi dalla relazione:
1 1 1 1 -=--=--=R=-+R UA
U;A;
U,A,
h;A;
parete
1 h,A,
+--
dove i pedici i ed e stanno ad indicare rispettivamente le superfici interna ed esterna della parete di separazione tra i due fluidi. Quando lo spessore della parete del tubo è piccolo e la conducibilità termica del materiale di cui questo è composto è alta, la relazione appena scritta si semplifica:
Dei due metodi utilizzati per l'analisi degli scambiatori di calore, quello della differenza media logaritmica di temperatura è più indicato per la determinazione delle dimensioni dello scambiatore di calore, note, che siano, le temperature di entrata e di uscita dei due fluidi. Il metodo s-NTU, invece, è più indicato per calcolare le temperature di uscita delle correnti calda e fredda in uno scambiatore di calore di determinate caratteristiche. Nel primo metodo la potenza termica scambiata si calcola con la relazione:
dove è la differenza media logaritmica di temperatura, idonea a valutare la differenza media di temperatura all'interno dello scambiatore di calore; t.T1 e t.T2 sono le differenze di temperatura per i due fluidi alle due estremità (ingresso ed uscita) dello scambiatore. Per scambiatori a flussi incrociati e a tubi e mantello a più passaggi, la differenza media logaritmica di temperatura è legata a quella calcolata per uno scambiatore controcorrente t.Tm1. cc dalla relazione
/1Tml
dove F è il fattore di correzione che dipende dalla geometria dello scambiatore, dalle temperature di ingresso e di uscita dei due fluidi. L'efficacia di uno scambiatore di calore è:
1 1 1 _.,_+-
u
h;
Q potenza termica realmente scambiata e=-.-=-'-------------Qm•• massima potenza termica scambiabile
he
u,
dove U"' U1 "' Gli effetti della presenza di incrostazioni su entrambe le superfici di scambio termico (interna ed esterna) di uno scambiatore possono essere tenute in considerazione con la seguente relazione:
_!__=_l_=_l_=R=-1-+ RJ,; +In (D.fD;)+ Rd.e +-1UA U;A; UeAe h;A; A; 27iÀL Ae heAe dove A1 = TCD,L e A,= 7
Q=micp.IVI.u -TI..)=cATI.u -TI..) Q = rizcc p.c (Te.e -Tc.u )= cJz;,.e -Tc.J dove i pedici f e c stanno ad indicare rispettivamente il fluido freddo e quello caldo. Il prodotto tra la portata in massa e il calore specifico di un fluido e= mc p viene detto capacità termica riferita all'unità di tempo.
=F/:;,Tml,cc
dove
Qmax
=Cmin (Te.e -TI,.)
e Cmin è la minore tra Cc= mccp,c e CI= micp,f' L'efficacia di uno scambiatore di calore può essere determinata per mezzo di espressioni algebriche o per mezzo di diagrammi. La scelta o la progettazione di uno scambiatore di calore dipende da molti fattori, quali la potenza tern1ica da scambiare, il costo, le perdite di carico indotte, le dimensioni, il peso, la tipologia costruttiva, il materiale e l'ambiente di funzionamento.
571 Sommario
Il raffreddalllento delle apparecchiature elettroniche L'affidabilità di un'apparecchiatura elettronica, dai giocattoli agli elaboratori più potenti, dipende principalmente da quella dei suoi componenti; questi, attraversati da corrente elettrica, devono dissipare adeguatamente la potenza termica per non essere soggetti a un eccessivo riscaldamento. Per la continua miniaturizzazione dei sistemi elettronici, la potenza termica da questi generata per unità di volume ha raggiunto valori così elevati da risultare comparabili con quelli che si incontrano nei reattori nucleari e sulla superficie del Sole. Ne consegue che, se le apparecchiature elettroniche non sono opportunamente progettate e controllate, i loro componenti possono essere soggetti a temperature di funzionamento talmente elevate da danneggiarli e far perdere affidabilità a tutto il sistema. La probabilità di guasto dei componenti elettronici, in effetti, aumenta esponenzialmente con la temperatura. Le variazioni di temperatura sono anche causa degli stress termici che si producono nelle giunzioni saldate dei componenti elettronici sui circuiti stampati. È evidente, quindi, il ruolo sempre più importante che il controllo della temperatura ha nella progettazione e nel funzionamento delle apparecchiature elettroniche. Poiché i componenti elettronici sviluppano calore e, normalmente, costituiscono i punti più caldi delle apparecchiature elettroniche, la progettazione dei sistemi elettronid dal punto di vista termico consiste nella rimozione della potenza termica generata al loro interno, realizzando un' efficace via di fuga dai componenti elettronici ali' ambiente circostante.
---
57..i ~
CAPITOLO 16 Il raffreddamento delle appnrccchiature elettroniche
t f t
In questo capitolo vengono illustrate le numerose tecniche di raffreddamento comunemente utilizzate nelle apparecchiature elettroniche: il raffreddamento per conduzione, per convezione naturale, per irraggiamento, ad aria forzata, a liquido, a immersione e mediante tubi di calore.
16.1
~INTRODUZIONE
.
- --- -------575
E CENNI STORICI
L'elettronica tratta della costruzione e dell'utilizzazione di apparecchiature soggette a correnti elettriche che attraversano il vuoto, un gas o un semiconduttore. Questo interessante campo della scienza e dell'ingegneria risale al 1883, quando Thomas Edison scoprl il diodo a vuoto. La valvola termoionica è stata il componente fondamentale dell'industria elettronica fino agli anni Cinquanta e ha avuto un ruolo centrale nello sviluppo di radio, TV, radar e computer digitali. Dei numerosi computer sviluppati in quel periodo, il più grande e il più conosciuto è l'ENIAC (Electronic Numerica! Integrator and Computer), che, costruito presso l'Università di Pennsylvania nel 1946, aveva più di 18 000 valvole termoioniche, occupava una superficie di 7 mx 14 m, consumava una gran quantità di energia elettrica e aveva una scarsa affidabilità a causa dell'elevata probabilità di guasto delle valvole termoioniche. L'invenzione del transistor nel 1948 segnò l'inizio di una nuova era dell'industria elettronica e determinò l'obsoléscenza delle tecnologie basate sulla valvola termoionica. I circuiti realizzati con i transistor eseguivano le funzioni delle valvole termoioniche con maggiore affidabilità pur occupando uno spazio trascurabile e consumando una potenza trascurabile in confronto alle valvole termoioniche. I primi transistor furono realizzati con il germanio e avevano l'inconveniente che già a temperature superiori a I 00°C potevano non funzionare correttamente. Presto, però, essi furono sostituiti dai transistor al silicio, che potevano funzionare a temperature molto più elevate. Il successivo passo avanti nell'industria elettronica si verificò nel 1959 con l'introduzione dei circuiti integrati, in cui numerosi componenti, come diodi, transistor, resistori e condensatori, vengono raggruppati in un singolo supporto, il chip. Da allora, il numero di componenti integrati nel singolo chip è aumentato continuamente con grande rapidità, come mostra la Figura 16.1. La continua miniaturizzazione dei componenti elettronici ha portato a scale di integrazione sempre maggiore, da una media scala d'integrazione (MSI) negli anni-Sessanta con 50-1000 componenti per chip, a una grande scala di integrazione (LSI) negli anni Settanta con 1000-100 000 componenti per chip, fino a una grandissima scala d'integrazione (VLSI) negli anni Ottanta con I 00 000-1 O000 000 di componenti per chip. Oggi non è inusuale che un chip di 3 cm x 3 cm abbia molti milioni di componenti a bordo. Lo sviluppo del microprocessore nei primi anni Settanta da parte della Intel Corporation segnò un altro passo importante nell'industria elettronica, che, con il contemporaneo rapido sviluppo di memorie di grande capacità, ha reso possibile realizzare a prezzi accessibili potenti persona) computer. Se una corrente elettrica attraversa una resistenza elettrica si ha sempre una generazione di calore con potenza pari a PR, dove I è l'intensità della corrente elettrica e R è la resistenza. Quando per la prima volta fu introdotto il transistor, i giornali lo descrissero come un dispositivo "senza produzione di calore". Se si considera l'enorme quantità di calore generata dalle valvole termoioniche, questa 'affermazione poteva essere ritenuta
Introduzione e cenni storici
IO'° GSI 10•
~ 108 ULSI 8.
'il 107
§ ~ 106 VLSI
8
105 10• 103
102
1970
1980
1990
2000
Anno
FIGURA 16.1 Aumento nel tempo del numero dei componenti integrati nel singolo chip.
576 ~
CAPITOLO 16 li raffreddamento
delle apparecchiature elettroniche
10.-----------.-~
9
~
8
Probabilità di guasto
f = alla temperatura T r
o 7
~ .6
"" .§
Probabilità di guasto a 75°C
'5
4
&3
11----~o<'
o
20 40
60 /80 100 120 140 75
Temperatura. °C
FIGURA 16.2
Aumento della probabilità di guasto dei componenti elettronici in funzione della temperatura.
senz'altro ragionevole. Quando, però, migliaia o persino milioni di tali componenti vengono compattati in un piccolo volume, il calore generato è tale che il suo smaltimento diventa compito arduo e principale obiettivo per garantire la sicurezza e l'affidabilità delle apparecchiature elettroniche. I flussi di calore che si incontrano nelle apparecchiature elettroniche hanno potenze per unità di superficie variabili da meno di 1 W/cm 2 a più di 100 W/cm 2• In un elemento resistivo il calore si genera per tutto il tempo che una corrente elettrica continua a fluire attraverso di esso. Ciò determina un accumulo di energia termica e un conseguente aumento di temperatura sia nel componente sia nel suo intorno. Se il calore generato non viene sottratto, la temperatura continua a crescere fino alla distruzione del componente; la temperatura rimane costante solo quando la potenza termica sottratta uguaglia la potenza termica generata. I singoli componenti elettronici non hanno parti in movimento che con il tempo possano usurarsi; pertanto, se fossero mantenuti a temperatura ambiente, essi avrebbero un'affidabilità molto elevata e potrebbero funzionare per molto tempo in condizioni di sicurezza. Purtroppo, invece, in seguito a un prolungato funzionamento a temperature relativamente elevate, i componenti elettronici sono soggetti a danneggiarsi facilmente. Tra le possibili cause di danneggiamento vi sono la diffusione nei materiali semiconduttori, le reazioni chimiche e il fenomeno del creep nei materiali di fissaggio. Come mostra la Figura 16.2, la probabilità di guasto dei componenti elettronici aumenta quasi esponenzialmente con la temperatura di funzionamento: minore è la temperatura, maggiore è l'affidabilità. Come regola pratica si può dire che la probabilità di guasto dei componenti elettronici si dimezza ogni l0°C di riduzione della temperatura di funzionamento.
16.2 1i:1 COSTRUZIONE DELLE APPARECCHIATURE ELETTRONICHE La superficie di contatto tra due semiconduttori (tipo-p e tipo-n) si chiama giunzione. Un transistor è costituito da due di tali giunzioni mentre un diodo, che è il più semplice componente semiconduttore, è costituito da una sola giunzione p-n. Nello studio di un componente elettronico dal punto di vista termico ci si .riferisce alla giunzione come alla sezione attraverso cui gli elettroni fluiscono generando calore. Pertanto è nelle giunzioni che si genera calore ed è qui che si raggiungono le temperature più elevate di un componente elettronico. Per un funzionamento in condizioni di sicurezza, la temperatura di giunzione nei componenti elettronici semiconduttori a base di silicio deve essere inferiore a l 25°C, tuttavia una minore temperatura garantisce una vita più lunga e costi di manutenzione minori.
Il supporto dei chip I chip vengono alloggiati su un supporto in ceramica, plastica o vetro, al fine di proteggere i suoi delicati circuiti dagli effetti dannosi dell'ambien-
te. Il supporto fornisce un robusto involucro per poter maneggiare con sicurezza il chip durante il processo di fabbricazione, nonché i connettori tra il chip e la scheda circuitale. I vari elementi del supporto del chip sono mostrati in Figura 16.3. Poiché il coefficiente di dilatazione termica della plastica è circa 20 volte quello del silicio, il chip viene fissato sulla superficie inferiore del supporto interponendo un telaio principale in lega di rame, avente circa lo stesso coefficiente di dilatazione del silicio, in modo da evitare che si possano generare forti tensioni termiche che metterebbero a repentaglio laffidabilità del componente elettronico. La progettazione del supporto del chip è il primo passo nel control1o termico dei componenti elettronici, poiché la trasmissione del calore dal chip al suo supporto, che avviene congiuntamente per conduzione, convezione e irraggi.amento, è il primo degli scambi termici che intervengono nella trasmissione del calore generato nel chip. Tuttavia, il supporto del chip viene progettato principalmente tenendo presente gli aspetti elettrici, senza che vi sia un'adeguata considerazione degli aspetti termici: per esempio, la cavità del supporto in cui è alloggiato il chip è riempita con un gas, che conduce poco il calore, e l'involucro è spesso di materiale anch'esso poco conduttore. Dal momento che tra il chip e l'involucro si determina una resistenza termica relativamente elevata, detta resistenza giunzione-involucro, ne consegue che per poter trasmettere una data potenza termica sarà necessaria una differenza di temperatura tra loro anch'essa elevata, per cui la temperatura del chip sarà molto più elevata di quella dell'involucro. La resistenza termica giunzione-involucro dipende dalla geometria e dalle dimensioni del chip e del suo supporto, nonché dalle proprietà dei materiali utilizzati per il fissaggio del chip e per realizzare l'involucro. Essa varia considerevolmente da un componente all'altro, da circa l0°C/W a più di
577 ~~~:
Costruzione delle apparecchiature elettroniche
FIGURA 16.3
Componenti del supporto di un chip.
100°ctw. Poiché si deve evitare che nella cavità del supporto dove è alloggiato il chip vi sia umidità, che determina la corrosione dei collegamenti, il supporto dei chip è realizzato con materiali che impediscono l'ingresso di umidità per diffusione e, inoltre, viene ermeticamente sigillato per evitarne l'ingresso diretto. Inoltre, nella realizzazione della cavità del supporto del chip non possono essere utilizzati materiali che sviluppano gas, poiché questi possono essere corrosivi, e quando è richiesta una particolare ermeticità si utilizza la ceramica invece della più economica plastica. Un comune tipo di supporto per transistor di elevata po.tenza è mostra· to in Figura 16.4. Il transistor è realizzato su un piccolo chip di silicio alloggiato all'interno di una cavità discoidale e i piedini di ingresso e di uscita fuoriescono dal basso. L'involucro del supporto del transistor è di solito fissato direttamente a una flangia che costituisce un'ampia superficie di scambio termico e quindi riduce la resistenza termica giunzioneinvolucro. Spesso si racchiudono più chip all'interno di uno stesso supporto, ottenendo un chip ibrido. I sistemi ibridi, che comprendono all'interno di uno stesso supporto numerosi chip, singoli componenti elettronici e ordinari elementi circuitali di interconnessione, forniscono migliori prestazioni e maggiore affidabilità per via dei collegamenti più corti.
FIGURA 16.4
Supporto di un transistor di elevata potenza, collegato a una flangia per aumentare lo scambio termico.
579
578
~'!i.!iil
~
CAPITOLO 16 Il raffreddamento delle apparecchiature elettroniche
Costruzione delle apparecchiature elettroniche
ESEMPIO 16.1 La temperatura dell'involucro di un transistor di potenza che dissipa 3 W è di 50°C. Se la resistenza termica giunzione-involucro indicata dal costruttore è 15°CNJ, determinare la temperatura della giunzione del transistor. Lo schema del transistor è mostrato in Figura 16.5. In condizioni Soluzione stazionarie, la potenza termica trasmessa dalla giunzione all'involucro è espressa dalla relazione:
. (6.T)
_ Tgiuru:iona -
Q- -
R
111unz1one-involucro
TInvolucro
Rgitlnzione-lnvotucro
Da cui si ricava la temperatura della giunzione:
T~"""""" = T__, FIGURA 16.5 Schema per l'Esempio 16.1.
+6R,..,.1on-. =50+3x15 =95°C
Quindi se la temperatura dell'involucro del transistor è 50°C, quella della giunzione è 95•c.
ESEMPIO 16.2
Rglunzionc·involucro
Per determinare la resistenza termica giunzione-involucro di un componente elettronico, si realizza il seguente esperimento. Con un generatore da 15 V, si fornisce potenza elettrica al componente e si rilevano le temperature della giunzione e dell'involucro. Quando esse si stabilizzano, i loro valori sono rispettivamente 80'C e 55°C, mentre l'intensità di corrente è 0.1 A. Si determini la resistenza termica giunzione-involucro di questo componente. Lo schema del componente elettronico è mostrato in Figura 16.6. Soluzione La potenza elettrica consumata è:
L,, =VI= 15x0.1 =1.5 W In condizioni stazionarie, essa è pari alla potenza termica dissipata dal componente: FIGURA 16.6 Schema per l'Esempio 16.2.
R-- R--
. (6.T)
0= -
R--
-T.""""""=1.5W T ,,.,,,,.,..
per cui la resistenza termica giunzione-involucro risulta essere:
=
T_, -T,,,,,_,,, . Q
80-55 =---=16.7°CN./ 1.5
Quindi, per ogni watt di pÒtenza elettrica consumata dal componente, si verifiche· rà una differenza di temperatura tra il circuito elettronico e l'involucro pari a 16. 7°C.
Le piastre a circuito stampato Le piastre a circuito stampato sono piastre piane, dotate di circuiti elettrici e realizzate in polimeri e resine epossidiche, su cui vengono montati vari
FIGURA 16.7 Piastra a circuito stampato con installata una grande quantità di componenti elettronici (Litton Systems, !ne.).
componenti elettronici, come circuiti integrati, transistor, resistori e condensatori (Figura 16.7). Le piastre a circuito stampato sono comunemente chiamate schede e hanno il vantaggio di poter essere sostituite facilmente durante le riparazioni. Le piastre a circuito stampato di solito hanno dimensioni 10 cm x 15 cm e pochi millimetri di spessore, per cui non possono sostenere componenti pesanti come i trasformatori elettrici. Di solito, si aggiunge su una o entrambe le facce della piastra una placcatura in rame. La placcatura presente su una faccia viene utilizzata per lincisione delle piste di collegamento e delle zone di saldatura dei componenti elettronici. La potenza dissipata da un circuito stampato di solito varia da 5 W a circa 30 W. Un tipico sistema elettronico contiene numerose piastre a circuito stampato d'isposte su più livelli. Di solito, le piastre vengono raffreddate per contatto diretto con un fluido, come laria, che scorre tra le schede. Quando, però, le piastre sono collocate in un contenitore ermeticamente sigillato, esse devono essere raffreddate mediante una piastra di raffreddamento (scambiatore di calore) posta in contatto con il bordo delle schede. Poiché la resistenza termica tra i componenti elettronici e il bordo-piastra del circuito stampato è solitamente elevata (circa 20-60°C/W) a causa del piccolo spessore delle piastre e della bassa conducibilità termica dei materiali con cui sono realizzate, una placcatura in rame, anche sottile, su una faccia della piastra può far diminuire notevolmente i valori della resistenza termica tra componenti elettronici e bordo-piastra e, quindi, aumentare significativamente la potenza termica trasmessa lungo il piano della scheda.
580 ~B'"t?PD
CAPITOLO 16 Il raffreddamento delle apparecchiature elettroniche
Temperatura massima
T Temperatura della piastra di raffreddamento
Componenti elettronici
FIGURA 16.8 Distribuzione delle temperature e percorso del flusso termico in una piastra a circuito stampato raffreddata per conduzione.
Nella progettazione termica di una piastra a circuito stampato, è importante porre particolare attenzione a quei componenti che non possono t~lle'.are el~vate temperature, come taluni condensatori di elevate prestaz10m, e assicurare loro un funzionamento in condizioni di sicurezza. Spesso, infatti, si deve sostituire lintera scheda anche quando si danneggia un solo componente. Le piastre a circuito stampato possono essere di tre tipi: a singola faccia, a .doppi~ faccia e. a p~ù strati. Ciascuna di esse ha punti di forza e punti deboli. Le piastre a circuito stampato a singola faccia hanno i circuiti elettrici su una sola faccia della piastra e sono adatte per apparecchiature elettroniche a bassa densità di componenti (10-20 componenti). Le piastre a circuito stampato a doppia faccia hanno i collegamenti circuitali su entrambe le facce e sono adatte per apparecchiature elettroniche a media densità di c~mpo~e~ti .. Le ,P_iastre a circuito stampato multistrato contengono numerosi strali d1 circull! e sono adatte per apparecchiature ad alta densità di componenti essendo equivalenti a più piastre a circuito stampato disposte a sandwich. Le piastre a circuito stampato a singola faccia hanno il costo minore e sono di facile manutenzione, ma occupano molto spazio. Le piastre a circuito stampato a più strati, invece, permettono il montaggio di un gran numero di componenti in configurazione tridimensionale, ma hanno il costo iniziale più elevato e sono difficili da riparare. Inoltre, con ogni probabilità i loro componenti elettronici raggiungono temperature più elevate. Nei casi critici, i componenti elettronici vengono collocati su piastre a contatto con un conduttore metallico, detto telaio termico, che ha la funzione di realizzare un agevole percorso conduttivo per il calore generato dai componenti elettronici verso il bordo~piastra, dove si trova la piastra di raffreddamento. In questo caso, la scheda viene raffreddata per conduzione e. la tempera~ura dei suoi componenti elettronici dipende dalla loro posizione sulla piastra: come mostra la Figura 16.8, la temperatura più alta è que~la raggiunta dai componenti che si trovano al centro della piastra, mentre la più bassa è quella dei componenti vicini al bordo. I materiali utilizzati per la fabbricazione di schede circuitali devono avere le seguenti caratteristiche: I) essere efficaci isolanti elettrici per impedire guasti elettrici; 2) essere buoni conduttori termici in modo da favorire la trasmissione del calore generato; 3) avere elevata solidità per poter sopportare azioni dinamiche e mantenere la stabilità dimensionale; 4) avere coefficienti di dilatazione termica circa uguali a quello del rame in modo da impedire rotture nella placcatura di rame in conseguenza di sbalzi di temperatura; 5) avere elevata resistenza all'assorbimento di umidità perché essa può influenz~re .sia le proprietà meccaniche sia quelle elettriche, degradando le prestaz1om; 6) avere elevata stabilità delle proprietà nell'intervallo di temperature di funzionamento delle apparecchiature elettroniche; 7) essere f~cilmente disponili ~ lavorabili; 8) avere basso costo. Come si può immagmare, nessun matenale noto possiede tutte queste caratteristiche. Normalmente nella produzione di circuiti stampati si utilizzano laminati in vetroresina epossidica realizzati con una matrice epossidica o poliimmidica rinforzata da più strati di tessuto di fibra di vetro. Le matrici poliimmidiche sono più costose rispetto alle resine epossidiche ma posso-
no tollerare temperature molto più elevate. Nel caso di circuiti che devono essere dotati di una certa flessibilità si utilizzano film di polimeri o di poliimmidi non rinforzati.
581 ™~~
Costruzione delle apparecchiature elettroniche
Il contenitore
Un'apparecchiàtura elettronica non è completa senza un robusto contenitore (una custodia o un armadio) in cui alloggiare le schede circuitali, i necessari accessori periferici e i connettori, in modo da proteggerli dagli effetti nocivi dell'ambiente e realizzare un adeguato sistema di raffreddamento dell'apparecchiatura (Figura 16.9). Per una piccola apparecchiatura elettronica, come un personal computer, il contenitore può essere una semplice ed economica scatola in lamiera metallica dotata di adatti connettori e di. un. pie.colo ventilatore. Invece, per un grosso sistema con parecchie centmaia d1 schede, la progettazione e la costruzione del contenitore è un arduo compito sia per gli aspetti elettronici sia per quelli termici. Il conte?it~r~ deve conse~tire un facile accesso al personale di servizio per poter md1v1~uare e soslituire qualsiasi parte difettosa con facilità e rapidità, e garantire minimi periodi di inattività che possono essere molto costosi. Nello stesso tempo, però, il contenitore deve impedire il facile accesso al personale non autorizzato sia per evitare danni al sistema elettronico sia per proteggere le persone dai pericoli elettrici. Infatti, i circuiti elettronici sono alimentati a bassa tensione (di solito inferiore a 15 V), ma le correnti elettriche in gioco possono essere molto elevate (a volte alcune centinaia di ampere). Le schede circuitali disinseribili (tipo plug-in) rendono molto facile la sostituzione di piastre difettose e vengono comunemente utilizzate nelle apparecchiature elettroniche di bassa potenza. Invece, le schede di elevata potenza di grandi sistemi elettronici vengono saldamente montate sulle rastrelliere di un armadio con speciali staffe. Un contenitore ben progettato contiene anche indicatori luminosi, uno schermo per visualizzare messaggi e informazioni sul funzionamento, e una tastierina come interfaccia utente. In un grande sistema elettronico, le schede circuitali sono inserite mediante connettori terminali nel pannello posteriore del contenitore, attraverso cui arrivano alle schede sia l'alimentazione elettrica sia le interconnessioni che permettono il passaggio di corrente da una scheda ali' altra. Le piastre montate sul pannello vengono assemblate, poi, secondo una disposizione prestabilita in un cestello (rack) o in un telaio (chassis). Uno o più cestelli vengono alloggiati infine in un armadio in modo da costituire l'intera apparecchiatura elettronica (Figura 16.10). I contenitori di apparecchiature elettroniche, di varie dimensioni e forme, sono comunemente realizzati in lamiera metallica di alluminio o di acciaio, il cui spessore dipende dalle specifiche sugli urti e sulle vibrazioni che il contenitore deve soddisfare. I contenitori sono a volte sigillati per impedire fughe del fluido interno (di solito aria) e infiltrazioni di umidità dall'esterno. La proteàone contro l'infiltrazione di umidità è molto difficile da realizzare a causa delle picco-
FIGURA 16.9 Contenitore tipo armadio per apparecchiature elettroniche.
582
Bordo
connettore \
CAPITOLO 16 Il raffreddamento delle apparecchiature elettroniche
Pannello posteriore
a circuito stampato
r·----------------------~
FIGURA 16.10 Differenti stadi nella realizzazione di un sistema elettronico.
le dimensioni delle molecole dell'acqua e dell'elevata pressione parziale che il vapore ha all'esterno rispetto a quella che ha all'interno del contenitore. La sigillatura fa aumentare le dimensioni, il peso e il costo del contenitore, specialmente in caso di funzionamento nello spazio o a grandi altitudini poiché, in questo caso, il contenitore deve sopportare anche le maggiori forze derivanti dalle maggiori differenze di pressione tra l'interno e lesterno del contenitore stesso.
16.3 l!tl IL CARICO TERMICO DELLE APPARECCHIATURE ELETTRONICHE Il primo passo nella scelta e nella progettazione dei sistemi di raffreddamento delle apparecchiature elettroniche è la valutazione della potenza termica dissipata, anche detta carico termico. Il modo più facile per determinare la potenza termica dissipata da un'apparecchiat ura elettronica consiste nel misurare la tensione elettrica applicata V e l'intensità della corrente elettrica I che la attraversa in condizioni di pieno carico, e utilizzare la relazione:
dove Lei rappresenta la potenza elettrica consumata dal!' apparecchiatura elettronica, che coincide con la potenza elettrica in ingresso.
In condizio11i stazio11arie, per il primo principio della termodinamica, la potenza entrante in un sistema deve essere uguale a quella uscente. Il più delle volte l'unica forma di energia rilasciata da un'apparecchiat ura elettronica è il calore generato dal passaggio di corrente elettrica attraverso gli elementi resistivi, per cui la potenza termica dissipata, o carico termico, è pari proprio alla potenza ~lettrica in ingresso: Q=Lei (Figura 16.11). Fanno eccezione i dispositivi che emettono anche altre forme di energia, come i tubi emettitori dei radar e delle stazioni radio e TV, che emettono energia elettromagnetica nel campo delle radiofrequenze. In questi casi, il carico termico è uguale alla differenza tra la potenza elettrica di ingresso e la potenza emessa come radiazione elettromagnetica. Un modo equivalente per determinare il carico termico, sebbene più complicato, è quello di valutare e sommare la potenza termica dissipata da ognuno dei componenti elettronici presenti nell'apparecchia tura. La scoperta di materiali superconduttori a temperatura ambiente sconvolgerà la progettazione delle apparecchiature elettroniche e le tecniche utilizzate per il loro raffreddamento, dal momento che il calore generato verrà drasticamente diminuito. In conseguenza di ciò potrà essere compattato in uno stesso volume un maggior numero di componenti elettronici aumentando, così, la velocità e laffidabilità delle apparecchiature senza che vi sia la necessità di ricorrere a particolari tecniche di raffreddamento. Determinato il carico termico, è pratica comune maggiorarlo per garantire un certo margine di sicurezza e per tener conto di possibili ampliamenti successivi dell'apparecchiatura. Infatti è abbastanza frequente dover aggiungere a un sistema già esistente altre schede per ottenere altre prestazioni (per esempio, una scheda fax/modem a un PC). Nella maggiorazione del carico termico non si deve eccedere poiché un sistema di raffreddamento sovradimensionato costa di più, occupa più spazio, è più pesante e consuma maggiore potenza. Così, non c'è motivo di ricorrere aduncostoso e deteriorabile sistema di raffreddamento a liquido se è già sufficiente un sistema di raffreddamento ad aria. A tale proposito, bisogna tenere presente sempre che il sistema di raffreddamento più conveniente è quello a convezione naturale poiché non richiede organi in movimento, per cui è affidabile, silenzioso e, soprattutto, gratuito. Il sistema di raffreddamento di un'apparecchia tura elettronica deve essere progettato considerando le reali condiz.ioni di ftmzionamento, per cui nelle applicazioni critiche, come quelle militari, le apparecchiature elettroniche devono superare numerosi test per soddisfare stringenti specifiche in termini di affidabilità e di sicurezza. Un altro importante elemento da considerare nella progettazione e nella scelta di un sistema di raffreddamento è il ciclo di lavoro. La reale potenza termica dissipata da un'apparecchiat ura elettronica può essere considerevolmente inferiore alla potenza di alimentazione in base al ciclo di lavoro: per esempio, se un transistor di potenza di 5 W è in funzione soltanto per il 40 per cento del tempo, dissipa mediamente una potenza termica di soli 2 W; se poi il chip del transistor ha un'area di 1.5 mmx 1.5 mm e uno spessore di O.I mm,'Ì!!l potenza per unità di superficie del chip è 2/0.15 2 = 89 W/cm2•
583 Il carico termico delle apparecchiature elettroniche
5W 5W
Potenza __ elettrica
FIGURA 16.11 In assenza di altre interazioni energetiche, il calore dissipato da un'apparecchiatura elettronica in condizioni stazionarie eguaglia la potenza elettrica assorbita.
584 CAPITOLO 16 Il raffreddamento delle apparecchiature elettroniche
T
I__
-
Funzio~~~ Funzi~nam~nto transi tono
stazionano
........_____ Temperatura
ambiente
o
Tempo,1
FIGURA 16.12
Andamento della temperatura di un componente elettronico nello stadio di funzionamento transitorio.
Quando un'apparecchiatura elettronica non è in funzione, essa è in equilibrio tennico con l'ambiente e ha la sua stessa temperatura. Se poi l'apparecchiatura viene accesa, la temperatura dei suoi componenti inizia ad aumentare per effetto del calore generato. La temperatura si stabilizza quando raggiunge un valore per cui la potenza termica generata uguaglia quella sottratta dal sistema di raffreddamento. In tale situazione, si dice che il dispositivo ha raggiunto condizioni di funzionamento stazionario, mentre il periodo in cui la temperatura dei componenti aumenta è detto stadio di.funzionamento transitorio (Figura 16.12). Un altro effetto termico che indebolisce l'affidabilità delle apparecchiature elettroniche è costituito dalle tensioni termiche causate dagli sbalzi di temperatura: in uno studio sperimentale, la probabilità di guasto di un'apparecchiatura elettronica soggetta a sbalzi termici di oltre 20°C è risultata aumentare otto volte. Urti e vibrazioni sono altre comuni cause di guasto delle apparecchiature elettroniche, che si devono tenere presenti in fase di progettazione e costruzione per assicurare affidabilità. Molte apparecchiature elettroniche restano in funzione per lunghi periodi di tempo, per cui i loro sistemi di raffreddamento devono essere progettati perun funzionamento stazionario, ma altri dispositivi non funzionano mai sufficientemente a lungo per raggiungere le condizioni di funzionamento stazionario. Nel caso di funzionamento transitorio, che può anche essere determinato da grandi oscillazioni nelle condizioni ambientali, una comune tecnica di raffreddamento consiste nell'utilizzare un contenitore dotato di pareti doppie con l'intercapedine riempita di una cera avente un'opportuna temperatura di fusione. Quando la cera fonde, essa assorbe una grande quantità di calore ritardando notevolmente il surriscaldamento dei componenti elettronici. Durante i periodi di non funzionamento dell'apparecchiatura la cera solidifica cedendo calore all'ambiente.
16.4 5J L'AMBIENTE TERMICO
FIGURA 16.13
Fori di ventilazione opportunamente distribuiti per il raffreddamento di apparecchiature elettroniche di bassa potenza, quali televisori e videoregistratori.
Un importante elemento nella scelta di un sistema di raffreddamento è l'ambiente in cui l'apparecchiatura elettronica deve funzionare. Infatti, mentre dei semplici fori di ventilazione realizzati sul contenitore possono essere sufficienti per il raffreddamento di apparecchiature elettroniche che dissipano basse potenze per unità di superficie all'interno di una stanza, come televisori e videoregistratori, e un ventilatore può costituire un adeguato sistema di raffreddamento per il funzionamento in condizioni di sicurezza di un home computer (Figura 16.13), il controllo termico delle apparecchiature elettroniche di un aeroplano è, invece, alquanto difficile poiché le condizioni ambientali variano moltissimo nel giro di pochi minuti. Un altro importante elemento da prendere in considerazione è la durata di.funzionamento in condizioni di impiego severo: infatti il p~oge~to termico delle ap?arecchiature elettroniche di un aeroplano che viaggia per ore dopo ogm decollo è piuttosto differente da quello delle apparecchiature elettroniche di un missile il cui funzionamento ha una durata di pochi minuti.
Nelle applicazioni marine l'ambiente termico è relativamente stabile poiché il pozzo termico finale è in questo caso l'acqua marina, la cui temperatura varia in un intervallo ristretto da 0°C a 30°C circa. Nelle applicazioni terrestri, invece, il pozzo termico finale è l'aria atmosferica, che ha una temperatura variabile tra -50°C nelle regioni polari e +50°C nelle regioni desertiche, e una pressione compresi! tra circa 70 kPa a 3000 m di altitudine e 107 kPa a 500 m sotto il livello del mare. Inoltre, il coefficiente di scambio termico combinato per convezione e irraggiamento può variare da I O W/(m 2 • 0 C), in aria calma, fino a 80 W/(m 2 • °C) in presenza di venti con velocità di 100 km/h, e le superfici delle apparecchiature esposte direttamente al sole possono essere soggette nei giorni sereni a un irraggiamento solare di intensità 1000 W/m2• Nel caso di applicazioni su aeromobili l'ambiente termico può avere caratteristiche variabili molto rapidamente: in un minuto si può passare dalla pressione di 101 kPa e temperatura di 35°C, al suolo, a 19 kPa e -60°C a 3000 m di altitudine, che rappresenta una tipica quota di crociera (Figura 16.14). Inoltre, a velocità supersoniche la temperatura sulla superficie di alcune parti di un aereo può superare di 200°C la temperatura ambiente. Le apparecchiature elettroniche raramente vengono esposte direttamente a condizioni ambientali incontrollate poiché queste possono subire grandi variazioni. Infatti, si utilizza, quale pozzo termico locale e come intermediario tra lapparecchiatura elettronica e lambiente, un fluido, come aria, acqua o un fluido dielettrico, di caratteristiche opportunamente controllate. L'aria opportunamente trattata è il fluido di raffreddamento preferito poiché essa è non nociva, immediatamente disponibile e non soggetta a fughe; tuttavia, per la bassa conducibilità termica, il suo uso è limitato alle apparecchiature che dissipano basse potenze per unità di superficie.
585 Il raffreddamento dello apparecchiature elettroniche in differenti applicazioni
-{i0'C 19kPa
FIGURA 16.14
Cambiamenti drastici delle condizioni termiche esterne, come quelli che avvengono durante il volo di un veicolo spaziale, complicano il controllo termico delle apparecchiature elettroniche.
16.5 !] IL RAFFREDDAMENTO DELLE APPARECCHIATURE ELETTRONICHE IN DIFFERENTI APPLICAZIONI Le tecniche di raffreddamento utilizzate nel raffreddamento delle apparecchiature elettroniche vari;ino ampiamente in base alla loro particolare applicazione. Le apparecchiature elettroniche progettate per aeroplani, satelliti, veicoli spaziali e missili costituiscono una sfida per i progettisti poiché si devono realizzare adeguati percorsi per il fluido di raffreddamento nonostante gli spazi disponibili molto ridotti. La maggior parte di tali apparecchiature è raffreddata per convezione mediante aria in pressione prelevata da un compressore, raffreddata e deumidificata. In condizioni piovose l'umidità può non essere rimossa adeguatamente per cui, in alcuni casi, la componentistica elettronica è collocata all'interno di contenitori sigillati e alettati, che vengono raffreddati all'esterno in modo da eliminare ogni contatto diretto tra fluido di raffreddamento e componenti elettronici. L'elettronica dei missili a corta gittata non necessita di essere raffreddata perché la durata del volo è breve (Figura 16.15): i missili raggiungono le loro destinl!l!:ioni prima che i componenti elettronici possano raggiunge-
;#'---~,'
""-
~ FIGURA 16.15
Le apparecchiature elettroniche dei missili a corto raggio di azione possono non aver bisogno di sistemi di raffreddamento stante la breve durata del volo.
re temperature pericolose. Nel caso, invece, dei missili a lunga gittata, come i missili da crociera, che possono volare per alcune ore, è necessario un adeguato sistema di raffreddamento. Si potrebbe utilizzare la convezione forzata con l'aria compressa dal missile per effetto dinamico. Tuttavia la temperatura dinamica dell'aria, che è l'aumento di temperatura conseguente ali' effetto di compressione dinamica, può superare i 50°C se la velocità è vicina a quella del suono (Figura 16.16). Per esempio, alla velocità di 320 m/s, la temperatura dinamica dell'aria è:
586 '7!11!!! CAPITOLO 16
,~m·
Il raffreddamento delle apparecchiature elettroniche
Aumento della temperatura
LX----= t --
2
per effetto del fenomeno
--ARIA IOOm/s
w=O
305 K
!
;
dm
'
=~=~=51°C 2cP
2xl005
(16.2)
300K
~---
FIGURA 16.16 Aumento della temperatura per effetto della conversione di energia cinetica in energia interna.
~
T.
per cui, per effetto della conversione di energia cinetica in energia interna, la temperatura dell'aria aumenterebbe, ad esempio, da 30°C a 81°C, valore quest'ultimo troppo elevato per permettere di utilizzare laria atmosferica come fluido di raffreddamento. Le apparecchiature elettroniche dei missili da crociera vengono spesso raffreddate utilizzando le grandi quantità di combustibile liquido che essi trasportano: in tal caso, il combustibile, prima di raggiungere la camera di combustione, fluisce attraverso la piastra di raffreddamento del contenitore dell'apparecchiatura elettronica. Le apparecchiature elettroniche dei veicoli spaziali sono raffreddate di solito con un liquido che circola tra i componenti sottraendo calore, che viene poi dissipato per irraggiamento verso lo spazio profondo a O K mediante pannelli radianti spaziali. Si osservi che l'irraggiamento è l'unico meccanismo di trasferimento termico che può essere utilizzato per dissi2are calore nello spazio vuoto, e che lo ·scambio termico per irraggiamento dipende notevolmente dalle proprietà delle superfici, le quali possono essere migliorate con speciali rivestimenti e trattamenti superficiali. Nel caso in cui i componenti elettronici sono all'interno di contenitori sigillati e sono raffreddati da un fluido all'esterno, è importante prevedere l'impiego di un ventilatore per la circolazione dell'aria all'interno dei contenitori, poiché nello spazio non possono aversi moti convettivi naturali a causa dell'assenza di gravità. Le apparecchiature elettroniche di navi e sottomarini, di solito alloggiate in robusti armadi per proteggerle dalle vibrazioni e dagli urti durante le burrasche, sono raffreddate mediante scambiatori di calore aria-acqua: l'aria viene raffreddata dall'acqua con uno scambiatore, a circuito aperto o chiuso, e forzata all'interno dell'armadio mediante un ventilatore. Quando si utilizza aria di raffreddamento in circolazione forzata, è importante verificare che essa possa fluire liberamente in modo che all'interno del contenitore non si formino zone di aria calda in stagnazione. I sistemi elettronici di comunicazione posizionati in località remote, spesso, si trovano ad operare in condizioni termiche estreme. Infatti essi funzionano per lunghi periodi di tempo sotto avverse condizioni, quali la pioggia, la neve, i forti venti, la radiazione solare, l'elevata altitudine, l'elevata umidità e le temperature estremamente alte o basse. I grandi sistemi di comunicazione vengono alloggiati in speciali rifugi in cui, qualche volta, è necessario utilizzare un impianto di climatizzazione del-
l'aria per consentire di smaltire in condizioni di sicurezza le grandi quantità di calore dissipate. I componenti elettronici utilizzati nelle apparecchiature a microonde di elevata potenza, come i radar, generano enormi quantità di calore a causa della bassa efficienza di conversione dell'energia elettrica in microonde. I tubi klystron dei sistemi radar di alta potenza, che irradiano energia nel campo delle radiofrequenze, possono fornire localmente flussi di calore 2 caratterizzati da una potenza per unità di superficie di 2000 W/cm , pari ciraa a un terzo di quella che si verifica sulla superficie solare. La dissipazione in condizioni di sicurezza e di affidabilità di questi elevati flussi di calore richiede, di solito, l'immersione di tali apparecchiature in un bagno di un idoneo fluido dielettrico, capace di rimuovere grandi quantità di calore per ebollizione. I costruttori di cOmponenti elettronici di solito specificano la potenza termica dissipata e la massima temperatura consentita in condizioni di affidabilità. Queste due informazioni consentono di determinare le tecniche di raffreddamento più idonee. In Figura 16.17 è riportata, in funzione della differenza di temperatura: la potenza per unità di superficie che si può ottenere con alcune comum modalità di scambio termico. Per individuare un'idonea modalità di scambio termico per un'apparecchiatura o un componente elettronico, si determina la potenza dissipata per unità di superficie dividendo la potenza termica dissipata per l'area della superficie di scambio termico dell'apparecchiatura o del componente elettronico, e si sceglie la modalità che permei-
587 Il raffreddamento delle apparecchiature elettroniche in differenti applicazioni
IO' 8 6 4
102
l.l
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l"E
8 6 4
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0.02
0.04
O.I
0.2
0.4
Potenza tennica dissipata per unità di superficie, W/cm2
20
FIGURA 16.17 Potenza termica dissipata per unità di superficie in funzione della differenza di temperatura per alcune modalità di scambio termico.
588 CAPITOLO 16 Il raffreddamento delle apparecchiature elettroniche
te di mantenere una differenza di temperatura tra la superticie del dispositivo e l'ambiente non superiore al massimo valore consentito: per esempio, nel caso di un flusso termico di 0.5 W/cm2, si avrebbe una differenza di temperatura tra superticie del componente e aria circostante di 500°C se si utilizzasse un meccanismo di scambio termico per convezione naturale in aria. Poiché la massima differenza di temperatura permessa è generalmente inferiore a 80°C, questa modalità di scambio termico non può essere utilizzata, mentre risulta idoneo uno scambio termico per convezione forzata ad aria, purché sia possibile l'uso di un ventilatore. Si osservi che nel caso si debba dissipare una potenza per unità di superticie maggiore di I W/cm 2 anche la convezione forzata ad aria risulta inadeguata, per cui è necessario ricorrere a dissipatori sufficientemente grandi, oppure passare ad altri fluidi di raffreddamento, come lacqua. I liquidi dielettrici come i fluorocarburi possono dissipare elevate potenze termiche per unità di superticie per immersione diretta dei componenti elettronici.
16.6 il IL RAFFREDDAMENTO PER CONDUZIONE
A
'--~'------•.<
O
Q
L
~ R=_b_
Il calore generato dal passaggio di corrente elettrica attraverso i componenti elettronici determina un aumento della loro temperatura, rispetto a quella dell'ambiente, tale da permettere lo smaltimento del calore attraverso il percorso di minima resistenza termica. Infatti, la temperatura dei componenti si stabilizza ad un valore per cui il calore dissipato nell'unità di tempo uguaglia il calore generato nello stesso tempo. Al fine di minimizzare l'aumento di temperatura dei componenti, si devono realizzare efficienti percorsi di flusso tennico tra i componenti e il pozzo termico finale, che di solito è l'aria atmosferica. La scelta di una particolare modalità di scambio termico per i componenti elettronici dipende dalla potenza con cui si genera il calore, dalle esigenze di affidabilità, dalle condizioni ambientali e dal costo. Per apparecchiature elettroniche di basso costo, si utilizzano comuneme nte modalità di raffreddamento economiche quali la convezione naturale o la convezione forzata con aria. Nel caso, invece, di apparecchiature elettroniche di elevate prestazioni e di elevati costi è spesso necessario ricorrere a tecniche di raffreddamento costose e complesse. Il raffreddamento per conduzione si basa sulla diffusione del calore attraverso i solidi, i liquidi e i gas per effetto di interazioni molecolari, senza che si verifichi alcun trasferimento di massa. La potenza termica, in condizioni unidimensionali e stazionarie, trasmessa per conduzione attraverso una parete piana di spessore L, area A e conducibilità termica À è espressa dalla relazione (Figura 16.18):
è la resistenza termica della parete e !::,.T è la differenza di temperatura attraverso la parete. Si noti lanalogia della 16.3 con caso elettri~o in .c~i
589
!I
Il raffreddament o
l'intensità della corrente elettrica attraverso una resistenza elettnca d1v1dendo la differenza di potenziale elettrico per la resistenza elettrica. Il concetto di resistenza termica consente di risolvere i problemi di trasmissione del calore in maniera analoga al modo in cui si risolvono i circuiti elettrici, utilizzando reti di resistenze termiche, come si è già visto nel Capitolo IO. Quando sia nota la potenza termica trasmessa Q , la differenza di temperatura attraverso la resistenza termica R è fornita dalla relazione:
per conduzione
Pertanto, le maggiori differenze di temperatura si verificano lungo i percorsi di conduzione termica aventi le maggiori resistenze termiche.
La trasmissione del calore per conduzione all'interno del supporto dei chip Lo studio della trasmissione del calore per conduzione all'interno di un'apparecchiatura elettronica inizia dalla giunzione ?~I chip, dov~ si ha la g~ nerazione del calore. Per comprendere le modalita del trasfenmento termico all'interno di un chip, si consideri il supporto di un chip del tipo DIP (Dual In-line Package) mostrato in Figura 16.19. Il calore che si genera in corrispondenza della giunzione si propa_ga a tutto il chip per c?nd~zione attraverso il suo spessore. La propagazione del calore dalla gmnz1one a tutto il chip è un fenomeno tridimensionale, ma può essere considerato uni-dimensionale se si aggiunge alla rete delle resistenze termiche una resistenza termica di contrazione. Nel caso di una superticie di generazione del calore circolare di diametro d, molto piccola rispetto al corpo di cui fa parte, la resistenza di contrazione è:
dove .A. è la conducibilità termica del corpo.
M
FIGURA 16.18
Potenza tennica trasmessa per conduzione in condizioni unidimensionali e stazionarie attraverso una parete piana.
dove
FIGURA 16.19 Telaio principale
Legante
Schema del supporto di un chip del tipo DIP (Dual in-line package) con 14 piedini. ·
"T I
Le varie resistenze termiche lungo il percorso primario del flusso di calore sono:
590 CAPITOLO 16
1
1
2.[,; d}.
2.[,; x0.4x1o-> x120
R • = --- -
Il raffreddamento
'°"
delle apparecchiature elettroniche
- -L )
R
'"" - ( }.A
.I '
FIGURA 16.20 Trasmissione lungo il percorso di minore resistenza del calore prodotto in corrispondenza della giunzione di un componente elettronico.
I!
iI ,; l
iI
Il chip è fissato al telaio principale con un legante notevolmente conduttivo in modo da realizzare un percorso conduttivo di bassa resistenza termica e senza che vi sia alcuna connessione metallica tra il telaio principale e i terminali perché altrimenti verrebbe cortocircuitato lintero chip. Pertanto il calore si propaga dal telaio principale ai conduttori attraverso il materiale dielettrico dell'involucro, che è plastica o ceramica, e poi si trasmette all'esterno del componente elettronico attraverso i terminali. Nei problemi di trasmissione del calore è spesso necessario fare alcune semplificazioni sul percorso primario del flusso di calore e sull'entità dello scambio termico nelle altre direzioni (Figura 16.20). Nel caso del supporto del chip discusso precedentemente, per esempio, si trascura lo scambio termico attraverso la parte superiore poiché è di piccolissima entità a causa dell'elevata resistenza termica dell'aria stagnante tra il chip e il coperchio. Si trascura anche lo scambio termico attraverso la base del componente elettronico sia per la bassa conducibilità termica del materiale dell'involucro sia per i modesti effetti della convezione sulla superficie di base.
ESEMPIO 16.3 Giunzione Rçontr
L '. i~
Contrazione giunzione Chip di silicio Legante eutettico Telaio principale in rame Separatore in plastica Terminali in rame
Conducibilità termica W/(m·°C) 120''' 296 386 1 386
Spessore mm
0.4 0.03 0.25 0.2 5
Area della superficie di scambio termico diametro 0.4 mm 3mmx3mm 3mmx3mm 3mmx3mm 12 x 1 mm x 0.25 mm 12 x 1 mm x 0.25 mm
(1) La conducibilità termica del silicio varia notevolmente con la temperatura, da 153.5 W/(m. °C) a 21°c a 113.7W/{ m·°C) a 100°C. li valore 120 W/( m °C) si riferisce ad una temperatura prevista vicino a 100"'C.
FIGURA 16.21 Rete di resistenze termiche per il componente elettronico dell'Esempio 16.3.
..
=
chip
(_!:_)
-(_!:_) J.A
R
- .(- L
•"" -
R
}.A
l...
=0.37°C/W
0.03x10"' - - - - - = O.Q1°C/W 296x9x10 ..
}.A ,.
R,,.... -
0.4x10-' 120x9x10..
lol•lo
0.25x10_. - - - - - = o.o7°Ctw 386x9x10...,
o.2x10"' - - - - - - = 66.67°Ctw 1x12x0.25x10-s
5x10_. L ) = 4.32°C/W - "~ - ( }.A ,.~ 386x12x0.25x10·•
Si osservi che ai fini della trasmissione del calore, l'insieme dei 12 piedini può essere considerato come un unico piedino di area trasversale 12 volte quella del singolo piedino; in alternativa, la resistenza termica dell'insieme dei 12 piedini può essere calcolata come la resistenza equivalente di 12 resistenze, tutte uguali a quella di ogni singolo piedino, collegate in parallelo. Tutte le resistenze precedentemente determinate sono collegate in serie per cui la resistenza termica totale tra la giunzione e i piedini è pari alla loro somma:
=5.88 + o.37 + 0.01 + o.o7 + 66.67 + 4.32 = 77.32°ctw
Un chip dissipa 0.6 W in un supporto tipo DIP con 12 piedini terminali. I materiali e le dimensioni delle varie parti del componente elettronico sono fornite nella tabella successiva. Se la temperatura dei terminali è 40°C, valutare la temperatura della giunzione del chip. Parte e materiale
R
-
= 5.88°Ctw
Lo schema del componente elettronico è mostrato in Figura 16.19. Soluzione Si assume che il percorso primario del flusso termico sia costituito dal chip, dal legante eutettico, dal telaio principale, dall'involucro plastico e dai 12 piedini. Ag· giu~gendo la r~siste~za di contrazione tra la giunzione e il chip, la rete delle resistenze termiche diventa quella rappresentata in Figura 16.21. Si osservi che il flusso termico attraverso la cavità di aria e il coperchio posto sulla parte superiore è stato trascurato perché la resistenza termica lungo questo percorso è molto grande.
La potenza termica trasmessa attraverso il chip può essere espressa con la relazione:
. (ti.T)
0= -
R
giunzlooe•terminall
Ricavando T•""'""'• e sostituendo i valori numerici, la temperatura di giunzione risulta essere:
Si osservi che lo strato di plastica tra il telaio principale e i terminali presenta una resistenza termica pari a 66.67n7.32 = 86 per cento della resistenza termica totale, per cui è su di esso che si ha 1'86 per cento della differenza di temperatura esistente tra la giunzione e i piedini, pari a 0.6 x 66.67 40°C. In altri termini, se la resistenza termica di questo strato di plastica fosse nulla, la temperatura della giunzione sarebbe appena di 86.5 - 40 46.5°C. Dall'esempio '6Volto pur in maniera semplificata, si ricava che per ridurre la resistenza termica nel supporto del chip bisogna concentrare l'attenzione sullo strato di plastica di cui si è detto, mentre la riduzione delle resistenze termiche, già trascurabili, di alcune parti, come il legante eutettico di fissaggio e il telaio principale, non ha praticamente alcun effetto sulla temperatura di giunzione del chip.
=
=
591 ~'l<'J·~
Il raffreddamento per conduzione
Poiché, come si è visto, la determinazione analitica della resistenza termica giunzione-involucro di un componente elettronico può essere piuttosto complicata e può presentare non poche incertezze, i costruttori di componenti elettronici di solito ne determinano sperimentalmente il valore e lo inseriscono tra i dati tecnici del loro prodotto. Se è nota la resistenza termica, la differenza di temperatura tra la giunzione e la superficie esterna del componente può essere determinata con la relazione:
592 CAPITOLO 16 Il raffreddamento
delle apparecchiature elettroniche
numero di piedini. I valori in corrispondenza della velocità nulla dell'aria si riferiscono a condizioni di convezione naturale. Si osservi che la resistenza termica e, quindi, la temperatura di giunzione diminuiscono aumentando la velocità dell'aria e il numero dei piedini.
ESEMPIO 16.4
Rin\·olucro-ambkme
,.-----...-----..,.-Involucro
R,o
dove Q è la potenza termica dissipata dal componente elettronico. La determinazione della temperatura di giunzione dipende dalla temperatura ambiente Tambiento e dal valore della resistenza termica R 1"'0 '""·o·•mbiente tra linvolucro e lambiente (Figura 16.22), che a sua volta dipende dal tipo di ambiente (per esempio aria o acqua) e dalla velocità del fluido. Le due resistenze giunzione-involucro e involucro-ambiente sono in serie per cui la resistenza totale tra giunzione e ambiente è pari alla loro somma:
+ QRlotllle
FIGURA 16.22 Dipendenza della temperatura di giunzione di un chip dalla resistenza termica esterna tra l'involucro e l'ambiente e da quella interna tra giunzione e involucro.
Rcotale
= Rgiunzione-ambieme = Rgìunzione-involucro + Rinvolucro-ambieme
0
(
CfW)
( 16.8)
Molti costruttori di componenti elettronici comunicano il valore della resistenza totale tra giunzione e ambiente per varie configurazioni del chip e differenti condizioni ambientali. Una volta noto il valore della resistenza termica totale, la temperatura di giunzione corrispondente alla specificata potenza tennica dissipata Q è data dalla relazione: Tgiunzione
=Tambienie + QRgiunzione-ambienle
("C)
(16.9)
In caso di trasmissione del calore all'aria ambiente per convezione, un tipico diagramma che rappresenta la resistenza termica totale per un componente elettronico tipo DIP singolo, montato su una piastra a cirèuito stampato, è mostrato in Figura 16.23 in funzione della velocità dell'aria e del
:;::
200
p
180
·i
160
B
140
Direzione del flusso di aria
l;l
-~
FIGURA 16.23 Resistenza termica totale di un componente elettronico tipo DIP montato su una piastra a circuito stampato in funzione della velocità dell'aria e del numero di piedini (Motorola Semiconductor Products, !ne.).
.!l
14 iedini
~ o
ie .S!
~
16 iedim 24 piedini 20
o
50
200 100 150 Velocità dell'aria, m/min
250
Soluzione Dalla Figura 16.23, il valore della resistenza termica totale del componente a 16 piedini in corrispondenza di una velocità dell'aria di 200 mfmin risulta essere: Rgìunzione-ambiente = 55°C/W La temperatura di giunzione, determinata con l'Equazione 16.9, è:
+OR_.,..= 30+1.2x55 = 96°C
Se il ventilatore si guastasse, la velocità dell'aria sul componente si annullerebbe, per cui il valore della resistenza termica totale sarebbe: Rgiunzione-ambien1e
= 70°C/W
e quindi la temperatura di giunzione sarebbe:
T - =T- +OR~-·-" =30+1.2x70=114°C Il guasto del ventilatore comporta un aumento di 18°C della temperatura di giunzione. In questo calcolo si è assunto che la temperatura dell'aria sia rimasta costante a 30°C, ma ciò potrebbe non verificarsi nella realtà, con la conseguenza di avere una più elevata temperatura di giunzione che potrebbe mettere seriamente a repentaglio la sicurezza del componente elettronico.
La trasmissione del calore per conduzione nelle piastre a circuito stampato
~f!l
~ 120
Un ventilatore soffia aria alla temperatura di 30°C e con una velocità di 200 m/min su di un DIP in plastica di potenza 1.2 W montato con 16 piedini su una piastra a circuito stampato, come mostrato in Figura 16.24. Utilizzando i dati della Figura 16.23, determinare la temperatura di giunzione del componente elettronico e quella che si raggiungerebbe se il ventilatore si guastasse.
r.,iune = T"""'""
300
593 ~
Il raffreddamento
per conduzione
Aria
Ambiente Giunzione
rrnz
I componenti elettronici sono comunemente montati su sottili piastre rettangolari, solitamente di dimensioni 10 cm x 15 cm, in materiale elettricamente isolante, come la vetroresina epossidica, che sono anche cattivi conduttori di calore. Le schede circuitali che si ottengono sono raffreddate solitamente con aria soffiata o facendovi scorrere sopra un liquido dielettrico. In questi casi, i componenti della scheda sono raffreddati direttamente senza che si abbia conduzione tennica lungo la piastra a circuito stampato. Tuttavia, in alcune applicazioni critiche, come quelle militari, le schede circuitali sono alloggiate in contenitori sigillati, per cui le piastre costituiscono l'unico percorso termico efficace tra i componenti elettronici e il dissipatore di calore montato sul contenitore. In questi casi, la trasmissio-
3o·c
FIGURA 16.24 Schema per l'Esempio 16.4.
ne del calore attraverso la piastra del circuito stampato è trascurabile e il calore generato nei componenti deve essere trasmesso per conduzione lunCAl'ITOLO 16 go la piastra verso i suoi bordi, che vengono fissati a una piastra di raffredIl raffreddamento damento in modo da dissipare il calore all'esterno. delle apparecchiature elettroniche L'analisi della trasmissione del calore lungo un circuito stampato è complessa sia a causa della multi-dimensionalità del fenomeno sia perché la generazione di calore sulle superfici non è uniforme. Tuttavia, si possono ottenere risultati sufficientemente precisi schematizzando il fenomeno con una rete di resistenze termiche in una o più dimensioni. Per migliorare la conduzione termica lungo la piastra del circuito stampato si utilizzano frequentemente placcature in rame o alluminio, telai termici e anime. Lo spessore della placcatura in rame su di una piastra è espresso di solito in once di rame: un'oncia di rame equivale ad uno strato di rame spesso 0.03556 mm. Quando si analizza la conduzione termica lungo la piastra di un circuito stampato avente una placcatura in rame (o alluminio) su una o entrambe le facce, spesso si pone la questione se la trasmissione del calore nel laminato di resina epossidica possa essere trascurata rispetto a quella nello strato ~---=-:-H-1~es!~~ica di rame, visto ~he la c~n?ucibilit~ termic~ del rame è circa 1500 volte quella della resma eposs1d1ca. La nsposta dipende dalle aree delle superfipo . .•. ~·.<. ,"~:;:.·..· L ci trasversali dei due strati, poiché la potenza termica trasmessa per conR • / , , ·:i.:;àsini ~ ~~f;;!f . , . . ame .AClI'CUltostam o - ,,... duz10ne è proporz10nale ali area della sezione trasversale oltre che alla ··~ .• ,, - · .~ < conducibilità termica. A tal proposito, si consideri un circuito stampato dotato di una placcatura in rame, di larghezza H e lunghezza L, soggetta a una differenza di temperatura D.T, come mostrato in Figura 16.25. Assumendo che la conduzione termica avvenga solo nella direzione della lunghezza L, trascurando quella FIGURA 16.25 lungo le altre direzioni, la potenza termica che si trasmette per conduzione Rappresentazione schematica lungo il circuito stampato è la somma di quella che si trasmette lungo il della conduzione di calore in una piastra a circuito stampato in resina epossidica laminato in resina epossidica e quella che si trasmette lungo lo strato di
594
I
i
:I ·I
r
con placcatura in rame.
rame: Qpcs
=Qepos + Qrame =(M D.T L
l
pos
+ (M D.T ) L
, Qpcs= '"' ---•~"'"
,__..,_,,,,,.,. ~
,
Il raffreddamento
(16:ì2)
.._~-A·"'-"''~-"
dove Ape, = H(sepos + s ..m,) è larea della sezione della piastra a circuito stampato normale alla direzione del flusso termico. Quando sono presenti fori o discontinuità nella placcatura in rame, lanalisi fatta va modificata per tener conto dei loro effetti.
ESEMPIO 16.5 Il calore generato dai componenti di una ·scheda deve essere trasmesso per conduzione lungo la piastra del circuito stampato, dotata di placcatura in rame su una sola faccia. Le dimensioni della scheda sono 1O cm di lunghezza, 1O cm di larghezza, 0.04 mm di spessore per lo strato di rame e 0.16 mm per lo strato di resina epossidica, come mostrato in Figura 16.26. Trascurando la trasmissione del calore attraverso le facce del circuito stampato, determinare le potenze termiche che si trasmettono lungo gli strati di rame [..1. = 386 W/(m · °C)] e di resina epossidica [..1. 0.26 W/(m · °C)] rapportate alla potenza termica che si trasmette per conduzione lungo l'intera piastra del circuito stampato. Determinare, inoltre, la conducibilità termica apparente della piastra a circuito stampato.
=
Poiché la lunghezza e la larghezza dei due strati sono le stesse, Soluzione così come le differenze di temperatura alle estremità dei due strati, la potenza termica trasmessa per conduzione lungo ciascuno dei due strati è proporzionale al prodotto À.S tra la conducibilità termica e lo spessore:
=15.44 X 10-3 W/°C (À.S),'°" = 0.26 X 0.16 X 10-0 =0.04 X 10-0 Wl°C (À.S)pes = (À.S),.,,, + (À.S)"°' =15.44 + 0.04 =15.48 X 10-3 W/°C (À.S).,.,. = 386
X
0.04
X
10-3
0.04x10_, (..1.s)_ -0.0026 f=--= 15.48x10_, (À.S)""'
(16.10)
dove s indica gli spessori. Quindi, le potenze termiche trasmesse lungo i due strati dipendono dal prodotto Às degli strati, per cui se il prodotto Às dello strato di rame è 100 volte quello dello strato dit;esina epossidica, la trasmissione del calore lungo quest'ultimo può essere trascurata commettendo un errore soltanto dell' 1 per cento. Per un circuito stampato dotato di placcatura in metallo, si può definire una conducibilità termica apparente:
595 per conduziont'
(W)
Pertanto, la potenza termica trasmessa per conduzione lungo lo strato di resina epossidica rapportata alla potenza termica che si trasmette per conduzione lungo l'intero circuito stampato vale:
rame
L z:-= rL(Às)epos + (Às)rurne ]HD.T =rL(M)epos + (M)rame ]D.T
Così facendo, la potenza termica trasmessa per conduzione lungo la piastra del circuito stampato può essere espressa con la relazione;
cioè solo lo 0.26 per cento della potenza termica che si trasmette per conduzione lungo il circuito stampato, senz'altro trascurabile. La conducibilità termica apparente della piastra del circuito stampato si determina con l'Equazione 16.11:
..1.,., =
(À.S)""', +(À.S),.,,,.
s""', +s"""
=(15.44+0.04)x10-o =77.4
W/(m · 0 C)
(0.16+0.04)x10_,
Ciò significa che l'intera piastra del circuito stampato può essere studiata ai fini della trasmissione del calore lungo di essa come un unico strato omogeneo di spessore 0.20 mm avente una conducibilità termica di 77.4 W/(m · °C). Si noti che una placcatura molto sottile di rame migliora notevolmente la trasmissione del calore per conduzione lungo la piastra del circuito stampato.
FIGURA 16.26
Schema per l'Esempio 16.5.
596
I telai termici
CAPITOLO 16 Il raffreddamento delle apparecchiature elettroniche
Distribuzione ,..---della temperatura
I~ Adesivo
epossidico
FIGURA 16.27 Rappresentazione schematica del raffreddamento per conduzione di una piastra a circuito stampato dotata di telaio termico e distribuzione delle temperature lungo quest'ultimo.
Fori riempiti di rame
Piastra in resina epossidica
FIGURA 16.28 Fori nella piastra a circuito stampato in resina epossidica riempiti di rame per ridurne la resistenza termica.
Nelle applicazioni in cui non è possibile il raffreddamento diretto delle schede circuitali facendo passare aria o un liquido dielettrico sui componenti elettronici e le temperature di giunzione devono essere mantenute relativamente basse per soddisfare stringenti condizioni di sicurezza, si utilizza uno spesso telaio tennico invece che una sottile placcatura in rame. Tale sistema viene utilizzato soprattutto nel caso di piastre a circuito stampato multistrato con componenti di elevata potenza. Lo schema di una piastra a circuito stampato raffreddata per conduzione termica attraverso un telaio termico è mostrato in Figura 16.27. Il calore generato nei chip viene trasmesso per conduzione attraverso la piastra e ladesivo epossidico fino a raggiungere un telaio termico, dove si trasmette verso un dissipatore o una piastra di raffreddamento che provvede a dissipare il calore ali' esterno. Il telaio termico realizza un percorso a bassa resistenza termica per il flusso di calore, dalla scheda circuitale verso il dissipatore di calore. Ali' aumentare dello spessore del telaio termico diminuisce la resistenza termica e quindi anche la differenza di temperatura tra il centro e le estremità del telaio termico. Quando il carico termico è uniformemente distribuito sulla piastra del circuito stampato, per condizioni di simmetria attorno all'asse mediano la distribuzione della temperatura lungo il telaio termico e la piastra del circuito stampato ha un andamento parabolico, con i chip posti al centro della scheda (i più lontani dai bordi) che si trovano alle più alte temperature e quelli, invece, più vicini ai bordi che si trovano alle temperature più basse. Inoltre, quando la piastra a circuito stampato è raffreddata lungo due bordi, il calore generato nella metà di sinistra del circuito stampato si trasmette verso il bordo di sinistra del telaio termico e il calore generato nella metà di destra si trasmette verso il bordo di destra. Quando, invece, la piastra a circuito stampato è raffreddata lungo tutti e quattro i bordi, la trasmissione del calore lungo il telaio termico e, quindi, la rete delle resistenze termiche associata sono bidimensionali. Utilizzando un telaio termico, la trasmissione del calore per conduzione nello strato di resina epossidica avviene lungo il suo spessore e non nella direzione della lunghezza. In questo caso, lo strato epossidico presenta una resistenza termica molto bassa a causa della ridotta lunghezza del percorso termico. Questa resistenza può essere resa ancora più piccola realizzando dei fori nello strato epossidico e riempiendoli di rame, come mostrato in Figura 16.28; i fori sono di solito di I mm di diametro e i loro centri distano di pochi millimetri. I fori riempiti di rame realizzano un facile percorso per la trasmissione del calore da una faccia all'altra del circuito stampato, riducendo considerevolmente la resistenza termica della piastra lungo il suo spessore, come mostrano gli esempi seguenti.
minino le resistenze termiche dello strato di resina epossidica per un flusso di calore a) nella direzione del lato lungo 15 cm; b) nella direzione dello spessore.
Si consideri un laminato in vetroresina epossidica [À. = 0.26 W/(m · °C)) di dimensioni 10 cmx 15 cm e spessore o.a mm, come mostrato in Figura 16.29. Si deter-
Il raffreddamento per conduzione
Soluzione La resistenza termica conduttiva di una parete piana ortogonale alla direzione del flusso di calore è:
L
R=À.A
dove L è la lunghezza del percorso del flusso termico, À. la conducibilità termica e A l'area della sezione normale alla direzione del flusso di calore. Sostituendo i valori assegnati, le resistenze termiche della piastra nei due casi sono:
l
R - -L ""' - ( .t4 ,.
(b)
0.15 =7212°C/W 0.26x0.1xO.ax10""
R~=(~la
o.ax10"" ------=o.21°ctw 0.26x0.1x0.15
Si osservi che una potenza termica di 1 W trasmessa per conduzione lungo questa piastra a circuito stampato determinerebbe una differenza di temperatura di 7212°C tra le estremità del lato lungo, mentre se la trasmissione del calore awenlsse nella direzione dello spessore della piastra la stessa potenza determine· rebbe una differenza di temperatura di soli 0.21 •e tra le due facce della piastra.
(a)
FIGURA 16.29 Schema per l'Esempio 16.6.
ESEMPIO 16.7 Si consideri il laminato dell'Esempio 16.6. Per ridurre la resistenza termica di conduzione nel caso di trasmissione del calore lungo lo spessore, pari a 0.21°C/W, si realizzano dei fori cilindrici di diametro 1 mm con i centri distanti 2.5 mm, riempiti di rame [À. = 386 W/(m · °C)], come mostrato In Figura 16.30. Si determini il nuovo valore della suddetta resistenza termica conduttiva della piastra. Soluzione Il flusso di calore lungo lo spessore della piastra awerrà in questo caso parzialmente attraverso i cilindri di rame e parzialmente attraverso la piastra in resina epossidica. Lo spessore dei due materiali è lo stesso, o.a mm, mentre sono da calcolare le aree delle superfici dei due materiali Interessate alla trasmissione del calore. Poiché la distanza tra i centri dei lori è 2.5 mm, ogni quadrato di lato 2.5 mm della piastra contiene un foro riempito di rame. Il numero di tali quadrati e quindi il numero di· elementi In rame contenuti nella piastra è:
n = Area della piastra 100x150 = 2400 Area dei quadrati
2.5 x 2.5
L'area complessiva dei fori riempiti di rame e quella della parte In resina epossidica sono:
no'
ir(1x10"")' =0.0018a5 m' 4 4 A,.. =Lunghezza x Larghezza = 0.1x0.15 = 0.015 m'
A,,.,. =n-=2400
ESEMPIO 16.6
597
A_ =A,.. -A,,.,. =0.15-0.001885 = 0.013115 m' Le resistenze termiche conduttive delle due parti sono:
Fori riempiti di rame
Piastra in resina epossidica
FIGURA 16.30 Schema per l'Esempio 16.7.
598 CAPITOLO 16 Il raffreddamento delle apparecchiature elettroniche
R
"°'
L ( ,ìA
= -
L
=
8 1 =0.0011°ctw o. x o"" 386x0.001885 0.8x10-3
- 0.2346°C/W
0.26x0.013115
SI osservi che queste due resistenze sono in parallelo, per cui la resistenza !ermi· ca equivalente dell'intera piastra si ricava con la relazione: 1
1
1
1
1
--=--+--=---+--R,...., R,.,.. R.,,.. 0.0011 0.2346 da cui si ottiene:
R,..... = o.001os 0 ctw Si noti che la resistenza termica della piastra è diminuita di un fattore quasi 200 rispetto al valore iniziale di 0.21°C/W: l'inserimento degli elementi in rame ha virtualmente eliminato la resistenza termica conduttiva dello strato di resina epossidica lungo il suo spessore.
ESEMPIO 16.8
FIGURA 16.31
Schema e rete di resistenze termiche per l'Esempio 16.8.
Soluzione La scheda presa in considerazione ha simmetria termica rispetto alla linea mediana; pertanto il calore generato nella metà di sinistra si trasmette per conduzione verso il dissipatore di sinistra mentre il calore generato nella metà di destra si trasmette verso il dissipatore di destra. Si può effettuare lo studio considerando, allora, solo una metà della piastra. La massima temperatura si verifica nel punto più lontano dai dissipatori di calore, cioè sull'asse di simmetria, e pertanto i componenti elettronici posizionati del circuito stampato hanno la più alta temperatura e quindi la minore centro al affidabilità. Nell'ipotesi che non ci sia dissipazione diretta di calore attraverso le facce del circuito stampato, tutto il calore generato si trasmette per conduzione lungo il telaio termico fino al dissipatore. Il calore generato nei componenti di ogni striscia in cui è stata divisa la scheda in Figura 16.31 si trasmette per conduzione lungo lo spessore dello strato di resina epossidica, poi lungo lo spessore dell'adesivo epossidico, fino a raggiungere il telaio termico in rame lungo cui, infine, si trasmette verso il dissipatore di calore. La trasmissione del calore per conduzione verso il dissipatore lungo la piastra in resina epossidica e lungo lo strato di adesivo epossidico è trascurabile rispetto a quella lungo il telaio termico poiché il prodotto conducibilità termica-spessore del telaio termico è molto più grande di quelli degli altri due strati. La rete di resistenze termiche che descrive il flusso di calore nella metà di destra della piastra a circuito stampato è mostrata in Figura 16.31. La conducibilità termica e le dimensioni delle varie parti del circuito stampato sono riassunte nella tabella che segue. Parte
Una scheda circuitale di dimensioni 10 cmx 12 cm dissipa una potenza termica di 24 W ed è raffreddata per conduzione mediante un telaio termico in rame [.1. = 386 W/(m · °C)] di dimensioni 1O cm x 14 cm e spessore 1.2 mm. Il laminato in resina epossidica [.1. = 0.26 W/(m · °C)] ha uno spessore di 0.8 mm ed è attaccato al telaio termico con un adesivo epossidico conduttivo [.1. = 1.8 W/(m · °C)] di spessore 0.13 mm, come mostrato in Figura 16.31. Il telaio termico è fissato lun· go due lati a un dissipatore di calore su una parte di larghezza 5 mm, dove la temperatura è mantenuta a 20°C. Il calore si genera uniformemente su tutta la piastra a circuito stampato con una potenza di 2 W su ogni striscia di 1 cm x 1O cm. Considerando, per simmetria, solo una metà della piastra, si determini la massi· ma temperatura su di essa e la distribuzione della temperatura sul telaio termico.
e materiale
Piastra in resina epossidica Adesivo epossidico Telaio termico in rame lungo lo spessore (J..) Telaio termico in rame lungo la lunghezza (Il)
Conducibilità termica W/(m·'C)
Spessore mm
Area della superficie di scambio termico
0.26 1.8
0.8 0.13
10mmx100mm 10mmx100mm
386
0.6
10mmx100mm
386
10
1.2 mmx 100 mm
Utilizzando i dati in tabella, i valori delle varie resistenze termiche sono:
Repos =(..!::_) A.A epos ,•'1 cm
Piano di simmetria
Piastra
in resina epossidica
.'J cm
.'!cm
.·
-'!cm
..
.'!cm
..
R.,..
0.8x10""' 0.26x0.01x0.1
=(~L
R,.,...i L À.A -(-
L ,.!.
L) -R,.,..,u( À.A rame, Il
=3.on•ctw
0.13x10""' - - - - - - o.o72°ctw 1.8x0.01x0.1 06 -o.002°ctw · xlo""' 386x0.01x0.1
- - -0.01- - - =o.216°ctw 386x0.0012x0.1
La resistenza equivalente tra i componenti elettronici di ogni striscia e il telaio termico è pari alla somma delle tre resistenze in serie:
R,. = R._ + R,,., + R,.mo,; = 3.077 + 0.072 + 0.002 = 3.151°C/W Le temperature lungo il telaio termico possono essere determinate con la relazione:
599 t
So/fP!
Il raffreddamento per conduzione
600
ilT=T,
CAPITOLO 16 li raffreddamento delle apparecchiature elettroniche
-T, =ÒR
dove R è la resistenza termica tra due punti specificati, mentre Ò e il T sono, rispettivamente, la potenza termica e la differenza di temperatura attraverso la resistenza. Tenendo presente che la temperatura nel punto in cui il telaio termico è fissato al dissipatore di calore è = 20°C e che attraverso l'ultima resistenza termica, adiacente al dissipatore, si trasferisce l'intera potenza termica generata di 12 W, la temperatura T, risulta:
r.
r, = r, +ò,_, R,_, = 20 +12x0.216 = 22.59°C Seguendo lo stesso ragionamento, le temperature lungo il telaio termico nei punti indicati sono:
T, = r, + ò,_, R,_, = 22.59+10x0.216 = 24.75°C
r. = T, + ò.., R,_, =24.75 +Sx0.216 = 26.48°C r. = T3 + ò._. R._. = 26.48 + 6xo.216 = 21.1s c T, = r. + ò,_, R,_, =27.78 + 4x0.216 = 28.64°C 0
T, = T, +ò.... R,_, = 28.64 +2xo.21s = 2e.01°c Infine, T,. che è la massima temperatura sul circuito stampato, è: T7 = T, + Ò"' R.,, = 29.07 + 2 x 3.151=35.37°C
La massima differenza di temperatura tra la piastra a circuito stampato e il dissipatore di calore è soltanto 15.37°C, nonostante la piastra non abbia un contatto diretto con il mezzo di raffreddamento. Le temperature di giunzione possono essere determinate calcolando le differenze di temperatura tra le giunzioni e i termi· nali dei supporti dei chip, nel punto di contatto con la piastra a circuito stampato, e aggiungendovi 35.37°C. La massima differenza di temperatura tra la piastra e il dissipatore di calore, pari a 15.37°C, può essere ridotta, se necessario, utilizzando un telaio termico di maggior spessore. Anima metallica
Piastra in resina epossidica
Componenti elettronici
ll!!li!l;::;llll!Pt-- Dissipatore di calore
FIGURA 16.32 Raffreddamento per conduzione attraverso !"anima metallica di una piastra a circuito stampato con componenti elettronici montati su entrambe le facce.
Il raffreddamento per conduzione può essere utilizzato anche quando i componenti elettronici sono montati su entrambe le facce della piastra a circuito stampato, utilizzando un'anima piatta in rame o alluminio posta all'interno dello spessore della piastra, come mostrato in Figura 16.32. In questo caso, il carico termico è il doppio di quello della piastra con i componenti su una sola faccia. Il calore generato nei componenti si trasmette per conduzione lungo lo spessore dello strato di resina epossidica fino ali' anima metallica, che funziona da efficiente via di smaltimento del calore; lo spessore dell'anima viene determinato in modo che la massima temperatura dei componenti elettronici rimanga al di sotto dei limiti atti a soddisfare assegnati criteri di affidabilità. Poiché i coefficienti di dilatazione tennica dell'alluminio e del rame sono circa il doppio di quello della vetroresina epossidica, si possono determinare notevoli defonnazioni della piastra a circuito stampato se la resina epossidica e la parte metallica non sono saldate adeguatamente.
pio, la potenza dissipata per unità di superficie a livello di chip è aumentata da 2 W/cm2 nel Sistema IBM 370 a 20 W/cm2 nel Sistema IBM 3081, che è stato introdotto nei primi anni Ottanta. Il sistema di raffreddamento convenzionale ad aria forzata utilizzato in precedenza è risultato inadeguato per smaltire flussi di calore così elevati, per cui è stato necessario sviluppare nuovi e più efficaci sistemi come il modulo di conduzione termi· ca, mostrato in Figura 16.33, che richiede sia affrontato sin dai primi stadi della progettazione del chip lo studio termico oltre che quello elettrico. In precedenza, i chip venivano progettati principalmente dal punto di vista elettrico, mentre il progetto termico si limitava ad adattare al chip lo schema di raffreddamento scelto. Questo approccio comportava elevate temperature di giunzione e, quindi, ridotta affidabilità, poiché il progetto termico non interessava direttamente il chip. Il modulo di conduzione termica riflette, invece, una nuova filosofia nell'assemblaggio elettronico, perché gli aspetti termici e quelli elettrici sono tenuti in ugual considerazione in fase di progettazione, come è necessario perché il progetto termico abbia successo. Nel modulo di conduzione termica, una faccia del chip è riservata alle connessioni elettriche mentre laltra faccia è riservata alla dissipazione del calore. Per minimizzare la resistenza termica giunzione-involucro, il chip viene raffreddato per contatto diretto con il sistema di raffreddamento. Il modulo di conduzione termica può contenere 100-118 chip logici della potenza ciascuno di 4 W circa, che sono fissati su un supporto ceramico multistrato di dimensioni 90 mm x 90 mm. Il calore fluisce dal chip all'involucro metallico del modulo attraverso un pistone premuto da una molla sulla superficie posteriore del chip. La punta del pistone è leggermente bombata per assicurare un buon contatto termico anche quando il chip è inclinato o disallineato. Poiché, per la limitata superficie di contatto tra il chip e il pistone, la trasmissione del calore per conduzione avviene inizialmente attraverso il
601 Il raffreddamento per conduzione
FIGURA 16.33 Vista in sezione di un modulo di conduzione termica e rete di resistenze termiche tra il chip e il fluido di raffreddamento.
Piastra di raffreddamento Piastra di raffreddamento
Elio (o miscela di gas)
~..+:=~~ R,_1 @~~~~9-::: }Réh-p }
Il modulo di conduzione termica Il flusso di calore nei chip logici è andato stabilmente aumentando per effetto dell'aumento della densità circuitale ali' interno dei chip: per esem-
R1nt
602 CAPITOLO 16 Il raffreddamento
I
delle apparecchiature elettroniche
·I
I
gas esistente tra loro, si sostituisce l'aria all'interno del modulo di conduzione termica con elio, che ha una conducibilità termica circa sei volte quella dell'aria. Il calore, poi, si trasmette per conduzione attraverso il pistone, lo strato di elio circostante, l'involucro del modulo, fino a raggiungere l'acqua di raffreddamento che circola nella piastra di raffreddamento montata sulla superficie superiore del modulo di conduzione termica. La resistenza tennica interna totale R. del modulo di conduzione termica è circa 8°C/W, valore piuttosto bas;~. Infatti, per un chip di 3 W di potenza, la differenza di temperatura tra la superficie del chip e quella esterna dell'alloggiamento del modulo sarà di soli 24°C. La resistenza termica esterna R,M tra l'involucro del modulo e il fluido dì raffreddamento è di solito confrontabile in grandezza con R. , mentre la resistenza termica tra la giunzione e la superficie esterna del ~hip è intorno a 1°C/W. Per aumentare la velocità di funzionamento dell'apparecchiatura elettronica, è importante che il modulo di conduzione termica sia molto compatto, in modo da ridurre le distanze tra i chip e, quindi, i tempi necessari per la trasmissione dei segnali elettrici.
ESEMPIO 16.9
I
d
Si consideri un modulo di conduzione termica con 100 chip, che dissipano ognuno 3 W di potenza termica. Il modulo è raffreddato con acqua a 25°C che fluisce attraverso la piastra di raffreddamento posta sulla superficie superiore del modulo. Le resistenze termiche lungo il percorso del flusso di calore sono R""• 1°C/W tra la giunzione e la superficie del chip, R 1 9°C/W tra la superficie del chip e la superficie esterna del modulo di conduzione termica e R 6°C/W tra la superficie esterna del modulo e l'acqua di raffreddamento. Si
'
=
=
=
Soluzione Per motivi di simmetria, si può considerare soltanto uno dei chip. La rete delle resistenze termiche per il flusso di calore è rappresentata in Figura 16.34. Osservando che tutte le resistenze sono in serie, la resistenza termica totale tra la giunzione e l'acqua di raffreddamento è:
R~,
.'
Molla
:'!l
Cappello
FIGURA 16.34 Rete di resistenze termiche per l'Esempio 16.9.
.1
=R~,,............. = R""" + R.,, + R.,, = 1 + 8 + 6 =15°C/W
---\---4111!::
603
Poiché la potenza termica dissipata dal chip è 3 W e la temperatura dell'acqua
25°C, la temperatura di giunzione del chip in condizioni di funzionamento stazioIl raffreddamento ad aria: la convezione naturnle e l'irraggiamento
nario può essere determinata con la relazione:
. (6TL
Q= -
R
.
-acqua
da cui si ricava:
r,'""""'' = r...... + à R,•..-........ = 25+sx15 =10°c Pertanto, i circuiti del chip funzionano alla temperatura di 70°C, che si può considerare idonea a garantire condizioni di sicurezza per un chip al silicio.
Le piastre di raffreddamento sono di solito metalliche con canali realizzati al loro interno o con tubi di rame saldati su di esse. Il calore trasmesso alla piastra di raffreddamento si trasferisce per conduzione ai tubi e quindi al fluido che provvede a dissiparlo nell'ambiente mediante uno scambiatore di calore.
16.7 ~IL RAFFREDDAMENTO AD ARIA: LA CONVEZIONE NATURALE E L'IRRAGGIAMENTO I sistemi elettronici di bassa potenza possono essere raffreddati per con-
vezione naturale e irraggiamento. La convezione naturale si basa sui moti dei fluidi determinati dalle differenze di densità conseguenti a differenze di temperatura. Quando un fluido è riscaldato, si espande e diventa meno denso, per cui, all'interno di un campo gravitazionale, le particelle più leggere tendono a muoversi verso l'alto determinando moti convettivi naturali (Figura 16.35). Il raffreddamento per convezione naturale è più efficace quando il percorso del fluido è relativamente libero da ostacoli, lo è meno quando il fluido è costretto a muoversi attraverso stretti passaggi e a superare molti ostacoli. I componenti elettronici e le schede circuitali dei televisori e dei videoregistratori sono raffreddati per convezione naturale; a tal fine si realizza un numero sufficiente di fori sul loro contenitore, come mostrato in Figura 16.36. Dal punto di vista della trasmissione del calore, i fori dovrebbero essere i più grandi possibili e posizionati sul fondo del contenitore per laria entrante, e sulla parte superiore per l'aria uscente. In realtà, per la sicurezza delle persone e delle stesse apparecchiature, i fori sono abbastanza stretti e vengono posizionati, di solito, nella parte inferiore delle superfici laterali per l'ingresso dell'aria, e nella parte superiore delle stesse superfici per l'uscita. La potenza termica trasmessa per convezione da una superficie a temperatura T, a un fluido a temperatura ~è espressa dalla relazione:
(i~v=h2uv AAT;,,h~vÀ(r::~) (W)
(16.13)
dove h,00• è il coefficiente di scambio termico convettivo e A è larea della
~ MOVIMENTO ) DELL'ARIA/
t 1
t/
Aria calda in salita
\
!; \\ \
Aria calda (meno densay / /" / A
\ "- ' Profilo ~ . \ di velocità
Attrito
sulla superficie
FIGURA 16.35 Moti convettivi naturali in aria intorno a un corpo caldo.
FIGURA 16.36 Raffreddamento per conduzione naturale di componenti elettronici in un contenitore dotato di aperture per il passaggio dell'aria.
604 CAPITOLO 16 Il nlfTreddamcnto delle apparecchiature elettroniche
superficie dì scambio termico. Il valore di h,0 . , dipende, tra le altre cose, dalla geometria della superficie e dal tipo di moto del fluido. I moti convettivi naturali iniziano come laminari (regolari e ordinati) e diventano turbolenti quando la dimensione caratteristica del corpo soggetto al flusso e la differenza di temperatura tra la superficie calda e il fluido aumentano. Per laria, il flusso rimane laminare fin tanto che le differenze di temperatura sono inferiori a 100°C e la dimensione caratteristica del corpo è inferiore a 0.5 m. Nel caso delle apparecchiature elettroniche, tali condizioni sono quasi sempre rispettate per cui il flusso dell'aria può essere ritenuto laminare. Nel caso dell'aria, il coefficiente di scambio termico convettivo per flusso laminare a pressione atmosferica può essere determinato con una relazione semplificata: ~
,,,,,_,,
'" -
~·-i;,·y•--..
Q.is'"'"'
~
--
- •'""' .,,. __ "'
~"'""'?!'
h~onv =~e~: J-~:- [W/(m
2
•
' '
~
Relazioni semplificate per coefficienti di scambio termico convettivo naturale riferite a diverse geometrie, in aria a pressione atmosferica e per condizioni di flusso laminare
f!&f@&rl Il ra!Tr
Coefficiente di scambio termico per convezione naturale
e l'irraggiamento
W/(m 2 -°C) (11.Tin •e, Lo
Geometria
o in m)
Piastra o cilindro verticale
h_ =1.42
(t:.:
=
( J t:J.:
h_ =1.32
Piastra orizzontale a) Superficie calda rivolta verso l'alto
=1.32
(t:.:
h_ = 0.59
(tJ.:
hodiv
..JP,
;··
1z:~~.·p =h~v:1.~.fP
,,.,._,,..,. __ .,,._ __, ________ _._.__o,,..-...,."' •._._ .• __ ... - _._,..
FIGURA 16.37
Trasmissione del calore per convezione naturale e irraggiamento da un componente elettronico caldo montato su una parete del contenitore.
. cwì(m
--·~,,••• ..._ __
-i
2 0 • C)]
..
~o·•·-·---•·
-------~ ~- ~"~
.A•"•'~:=::;~~~~~~ri,-Tfitcj~~~~i~~~~~(l_~.].i dove e e A sono rispettivamente l'emissività e l'area della superficie, a= 5.67 x 10-S W/(m2 • K4) è la costante dì Stefan-Boltzmann e le due tempe·
0.25
J
b) Superficie calda rivolta verso il basso
. (16.15)
Determinato il valore dì h00. , , la potenza termica trasmessa può essere calcolata con l'Equazione 16.13. Quando una superficie calda è circondata da superfici più fredde quali le pareti e il soffitto di una stanza o il cielo, essa è raffreddata anche per irraggiamento, come mostrato in Figura 16.37. L'entità dello scambio termico per irraggiamento, in generale, è confrontabile con quella dello scambio termico per convezione. Ciò accade specialmente quando la superficie calda ha un valore dell'emisslvità prossimo a uno, come nel caso di superfici di plastica o colorate (indipendentemente dal colore). Invece, lo scambio termico per irraggiamento è trascurabile sia nel caso di superfici metalliche lucidate, a causa della loro emissività molto bassa, sia nel caso di un corpo circondato da superfici che hartno ali' incirca la sua stessa temperatura. La potenza termica scambiata per irraggiamento tra una superficie a temperatura T e un'altra molto più grande a temperatura T. che la circon••re da completam'ente può essere espressa nella forma:
J 0.25
(16.14~
dove /:;.T T, - ~è la differenza di temperatura tra la superficie calda e il fluido, L la dimensione caratteristica del corpo (la dimensione del corpo lungo il percorso del flusso termico) e K è una costante che dipende dalla geometria e dall'orientamento del corpo. In Tabella 16.1 sono riportati i valori di K per alcune geometrie che spesso si incontrano nel caso del raffreddamento delle apparecchiature elettroniche. Le relazioni della Tabella 16.1 possono essere utilizzate anche nel caso di pressione diversa da dove p è la presquella atmosferica (101325 Pa), moltiplicandole per sione dell'aria in atm:
0.25
Cilindro orizzontale
/'ç". < '": r~'"""°""i
·'
°C)J
:
605
TABELLA 16.1
Superficie calda
I .
.
.
0.25
J 0.25
h.,.,,., =2.44
(t:J.:
h.,.,,.,=3.53
(t:.:
h...,, =1.92
(t:.:
J
Piccoli componenti o fili conduttori In aria libera 0.25
J
Sfera o~•
J
la con\'ezione naturale
606 CAPITOLO 16 Il raffreddamento delle apparecchiature elettroniche
Aria
calda
FIGURA 16.38 Schede circuitali disposte venicalmente nel telaio e raffreddate per convezione naturale.
Piastra a circuito stampato
Componenti elettronici
Il
li
Il '.i
li
FIGURA 16.39 Schede circuitali disposte venicalmente nel telaio e opponunamente distanziate per massimizzare gli effetti della trasmissione del calore per convezione naturale.
rature, T, e Tcirc' sono espresse in kelvin. Nel caso in cui la superficie calda non è circondata completamente dalla superficie fredda ma ha solo una vista parziale di essa, il risultato dell'Equazione 16.16 deve essere moltiplicato per unfattore di vista, che è la frazione della potenza radiante emessa dalla superficie calda che raggiunge direttamente la superficie fredda. Il valore del fattore di vista varia da O (la superficie calda non vede direttamente la superficie più fredda) a 1 (la superficie calda è completamente circondata da quella più fredda). Nelle indagini preliminari, di solito, si fa l'ipotesi che la superficie calda sia completamente circondata da una sola superficie ipotetica avente una temperatura pari alla temperatura media eq\llvalente di quelle delle superfici circostanti. Schiere di schede circuitali di bassa potenza sono spesso raffreddate per convezione naturale, alloggiandole all'interno di uno chassis dotato di adeguate aperture sulla superficie superiore e sul fondo, in modo da facilitare il flusso dell'aria, come mostrato in Figura 16.38. Per effetto del riscaldamento dovuto ai componenti elettronici, laria che si trova tra le schede sale verso l'alto e viene sostituita da aria più fredda entrante dal basso. In tal modo si determina il moto convettivo naturale dell'aria attraverso i passaggi paralleli esistenti tra le schede. Queste devono essere montate in verticale per poter sfruttare i moti convettivi naturali e minimizzare la possibilità che laria ristagni (Figura 16.39). Po~zionare le schede troppo distanti l'una dall'altra comporta uno spreco di spazio prezioso, mentre posizionarle troppo vicine tra loro comporta un "soffocamento" del flusso, a causa del!' elevata resistenza fluidodinamica. Esiste, pertanto, una distanza ottimale da mantenere tra le schede: in genere una distanza di circa 2 cm determina flussi di aria adeguati per un efficace raffreddamento a convezione naturale. Spesso, nell'analisi termica delle schede circuitali, la trasmissione del calore per irraggiamento viene trascurata poiché la vista dei componenti elettronici è notevolmente ostacolata da altri componenti anch'essi generanti calore, per cui componenti caldi guardano verso superfici anch'esse calde invece che verso superfici più fredde. Fanno eccezione soltanto le due schede alle estremità dello chassis, che invece guardano verso le superfici, più fredde, dello chassis stesso, per cui è consigliabile montare eventuali componenti ad alta potenza sulle piastre che guardano verso le pareti. dello chassis, in modo da sfruttare anche il raffreddamento per 1rragg1amento. Per convezione naturale, possono essere raffreddate efficacemente schede circuitali che dissipano fino a 5 W di potenza (o una potenza per urùtà di superficie di ~ca 0.02 W/cm2). Lo studio termico delle schede può essere condotto considerandole come piastre rettangolari con sorgenti di calore distribuite uniformemente su una faccia e con l'altra faccia isolata termicamente, poiché la trasmissione del calore attraverso la superficie posteriore delle schede è di solito trascurabile. Nel caso, invece, di schede dotate di componenti elettronici su entrambi i lati, larea della superficie di scambio termico è doppia e, quindi, anche la potenza termica trasmessa. Si deve ricordlµ'e che i moti convettivi naturali si verificano soltanto in un campo gravitazionale; pertanto nello spazio non può aversi trasmissione del calore per convezione naturale. Quando non ci sono moti convettivi naturali, come accade nello spazio, o quando le vie di passaggio del flusso
607
sono bloccate impedendo all'aria di salire verso l'alto, la trasmissione del calore attraverso laria avviene solo per conduzione. La trasmissione del calore per convezione naturale e irraggiamento può essere migliorata alettando le superfici calde. La potenza termica trasmessa, in questo caso, viene determinata utilizzando i dati forniti dai costruttori, come detto nel Capitolo 10, specialmente nel caso di alette di forma complessa.
~~~
li ra1Tredda111cnto ad aria: la com·ezione naturale e l'irraggiamento
ESEMPIO 16.10 Si consideri un'apparecchiatura elettronica avente il contenitore di dimensioni 15 cm x 30 cmx 40 cm, sigillato e posto su di un banco in un ambiente dove l'aria
è alla temperatura di 35°C (Figura 16.40). Il contenitore è colorato e l'emissività della sua superficie· esterna è 0.85. Se i componenti elettronici al suo interno
35 °C
dissipano 75 W di potenza e la temperatura della superficie esterna non deve eccedere 65°C, si determini se il contenitore può essere raffreddato solo per convezione naturale e irraggiamento. Si faccia l'Ipotesi che lo scambio termico tra Il fondo del contenitore e il banco sia trascurabile e che la temperatura delle su· perfici circostanti sia la stessa dell'aria ambiente. Soluzione Si suppone che Il contenitore sia a livello del mare, alla pressione atmosferica di 101 325 Pa. Il contenitore dissipa calore attraverso la superficie superiore e quella laterale per convezione naturale e irraggiamento. La potenza termica trasmessa per convezione naturale attraverso le quattro superfici laterali del contenitore, tutte verticali di altezza 0.15 m, può essere determinata come segue:
A,.1 = (2 X
L=0.15m 0.4 + 2 X 0.3) X 0.15 = 0.21 m2 65
h
35
025
.. =1.42(lff)o.2S =1.42x( ) '°"""' L 0.15 O'°"'·"'= h.,..,,.,A,.,(T,
=5.34W/(m
2 •
0
C)
- T, )= 5.34x0.21x(65-35)= 33.6 W
Analogamente, la potenza termica trasmessa per convezione naturale attraverso la superficie superiore orizzontale del contenitore è:
L= 4A = 4x0.3x0.4 =0. 34 m P 2x(0.3+0.4) A""'= 0.3 x 0.4 = 0.12 m2 0
h
'°"""""
= 1.32("" r )
L
·"
= 1.32x(
65
-
35
025
)
= 4.05 W(m
2
0 •
C)
0.34
Qconv,sup =hçonv,sup Asup (r-T.,)=4.05x0.12x(65-3 5)=14.6W s La potenza termica trasmessa per convezione naturale dall'intero contenitore è:
a_ = a_.•,+a_..... = 33.6 + 14.6 = 48.2 w Poiché il contenitore è completamente circondato dalle superfici dell'ambiente che si trovano alla stessa temperatura dell'aria, la potenza termica trasmessa per irraggiamento dal contenitore è:
Contenitore
;..--30 cm~<---~
!Scm
Banco
FIGURA 16.40 Schema per l'Esempio 16.10.
608
0,. = eAu (r;
CAPITOLO 16 Il raffreddamento delle apparecchiature elettroniche
4
Tci.,
-
TI
4 )
=0.85x(0.21 +0.12)x5.67x10-a x[(65+273)4 -(35+273}4] =64.5W Si osservi che nella relazione precedente devono essere utilizzate le temperature assolute. La potenza termica totale trasmessa dal contenitore è:
Quindi, la temperatura superficiale del resistore montato sul circuito stampato è 113°C, valore che può essere considerato idoneo per un funzionamento in condizioni di sicurezza. Si osservi che soffiando aria sul circuito stampato, la temperatura si abbasserebbe considerevolmente sia per l'aumento del coefficiente di scambio termico convettivo sia per l'abbassamento della temperatura dell'aria in vicinanza del resistore causato dalla maggiore portata di aria.
609 Il raffreddamento ad aria: la convezione naturale e l'irraggiamento
ESEMPIO 16.12
o,.,= 6"'"' +O,.= 48.2+ 64.5 =112.7 w Poiché è maggiore di 75 W, il contenitore può essere raffreddato per sola convezione naturale e irraggiamento senza necessità di installare alcun ventila· tore. Esiste persino un certo margine di sicurezza utile, qualora la temperatura dell'aria dovesse salire sopra i 35°C.
ESEMPIO 16.11 Un piccolo resistore cilindrico di 0.2 W di potenza è montato su una piastra a circuito stampato e ha lunghezza pari a 1 cm e diametro di 0.3 cm, come mostrato in Figura 16.41. La vista del resistore è notevolmente ostacolata dalla piastra, e la trasmissione del calore attraverso i terminali di collegamento è trascurabile. Nell'ipotesi che l'aria sia libera di fluire parallelamente alla piastra e che la sua temperatura in vicinanza del resistore sia 50°C, si determini la temperatura superficiale del resistore.
Una piastra a circuito stampato di dimensioni 15 cmx 20 cm presenta componenti elettronici su una sola faccia, che dissipano complessivamente 7 W di potenza termica, come mostrato in Figura 16.42. La scheda è montata verticalmente con altre schede in un cestello. Se la temperatura superficiale dei componenti non deve superare 100°c, determinare la massima temperatura dell'aria ambiente in cui la scheda può funzionare in condizioni di sicurezza, sia nel caso di altitudine a livello del mare sia a 4000 m di altezza, dove la pressione atmosferica è 61.66 kPa. Soluzione La trasmissione del calore per irraggiamento è trascurabile poiché la scheda è circondata da altre schede all'incirca alla stessa temperatura. Inoltre si trascura la trasmissione del calore attraverso la superficie posteriore della scheda poiché, in genere, è piccola. Pertanto l'intero carico termico della scheda deve essere dissipato nell'aria ambiente per convezione naturale attraverso la superfi· cie frontale verticale. L'area della superficie di scambio termico della scheda è:
7W Piastra a circuito stampato I I
20cm
,/
DDOODOOOOOO
00000000
DDDDDD DDDDDD oc:::::J- oc:::::J- -c:::J- c::r
ì
15cm
c::=:r DO0000 -c:::::i- c::r 000
A= 0.2 x 0.15 = 0.03 m' Soluzione Il resistore è raffreddato sia per convezione naturale sia per irraggiamento; tuttavia, l'irraggiamento può essere trascurato poiché il resistore è circondato da superfici che sono all'incirca alla sua stessa temperatura. L'area della superficie di scambio termico del resistore è:
Utilizzando la relazione semplificata per una superficie verticale, fornita dalla Tabella 16.1, il coefficiente di scambio termico convettivo per la scheda è:
h_ =1.42
2
A=2x.!.Jr0 +7rDL=2x.!.Jrx0.3 2 +Jrx0.3x1=1.084 cm'
4
FIGURA 16.41 Schema per l'Esempio 16.11.
4
Utilizzando la relazione della Tabella 16.1 per il coefficiente di scambio termico per convezione naturale nel caso di componenti posti su una piastra a circuito stampato, si ottiene:
h_ = 2.44
(r; ~ T,
(T -T. )0.25 AT .,. (L" J =1.42 ~
La dimensione caratteristica, che è la lunghezza del percorso del flusso termico, è, in questo caso, l'altezza della scheda (L = 0.15 m). Poiché non è nota la temperatura ambiente, non è possibile determinare h...,; sostituendo però la sua espressione nella relazione della potenza termica trasmessa si ottiene:
0.25
0
J
O..,,
dove il diametro O = 0.003 m è la lunghezza caratteristica del resistore cilindrico, cioè la lunghezza del percorso del flusso termico. Non conoscendo la temperatura superficiale del resistore, non si può determinare il valore di h..,,; tuttavia, sostituendo la precedente relazione in quella della potenza termica trasmessa, si ottiene:
=h-A(T,-T,)=1.42
Ricavando
T-T.) "" (T-T.)"" ( ~ A(T;-T,)=1.42A 'L02:
T, e sostituendo i valori delle grandezze note, si ottiene: 7x0.15°·" =ss.s•c ...,, ____ 1.42x0.03
0
. (T -T. ) ·" A(T, -T,)=2.44A (T -T. )'"' O,..,, =h-A(T, -T,)=2.44 ~ ' ;, 00
ricavando T, e sostituendo i valori delle grandezze note, si ottiene:
T,
=T, +'"
6
0°"'
~ =50+1.2
2.44A
0.2. 0.003•.25 2.44·1.084·10 ...
=113°C
Quindi, facendo affidamento su un raffreddamento per sola convezione naturale, la scheda può funzionare in condizioni di sicurezza in ambienti con temperature dell'aria fino a 59.5°C. A un'altitudine di 4000 m, la pressione atmosferica è 61.66 kPa, pari a:
1 p=61.66---=0.609 atm 101.~25
FIGURA 16.42 Schema per l'Esempio 16.12.
610
In questo caso il coefficiente di scambio termico convettivo si ottiene moltiplican-
CAPITOLO 16 Il raffreddamento
do il valore a livello del mare per si ottiene è:
delle apparecchiature elettroniche
T.1 =T -1.2 '
a'°"" t"C 1.42 Av p
=100-12
7xo.1s
02 '
1.42 x o.o3 x ~0.609
__
_ ·e 50 6
La scheda può, quindi, funzionare in condizioni di sicurezza sino a una temperatura dell'aria di 50.6°C, inferiore di circa 10°C rispetto al valore ottenuto con una pressione di 1 atm. Pertanto, nelle applicazioni ad alta quota è importante tener conto dell'effetto dell'altitudine sullo scambio termico convettivo.
16.8 I'! IL RAFFREDDAMENTO AD ARIA: LA CONVEZIONE FORZATA
Aria T" in uscita
Potenza dissipata:
i.,1=Q=mc/Tu - T,)
i j
i I
!I !
FIGURA 16.43 Potenza elettrica assorbita dai componenti elettronici e potenza termica ceduta al flusso di aria che attraversa il contenitore, in condizioni di funzionamento stazionario.
611
.JP, dove p è la pressione In atm. Il risultato che
Si è già detto che la potenza termica trasmessa per convezione tra la superficie di un solido e un fluido è proporzionale alla velocità del fluido: quanto maggiore è la velocità tanto più grandi sono la portata e la potenza termica trasmessa. Poiché le velocità nei moti convettivi naturali sono piccole, il raffreddamento per convezione naturale è limitato ai sistemi elettronici di bassa potenza. Quando il raffreddamento per convezione naturale non è sufficiente, si può ricorrere alla convezione forzata, utilizzando un ventilatore che soffia aria ali' interno del contenitore in cui si trovano i componenti elettronici, in modo che aumentando la velocità, e quindi la portata del fluido, aumenti anche la potenza termica trasmessa. In questa maniera, poiché il coefficiente di scambio termico può aumentare fino a circa IO volte in base alle prestazioni del ventilatore,. si ha una potenza termica trasmessa molto più grande, a parità di differenza di temperatura tra i componenti e l'aria, oppure, a parità di potenza dissipata, una temperatura superficiale dei componenti considerevolmente inferiore. La trasmissione del calore per irraggiamento nei sistemi elettronici raffreddati per convezione forzata è di solito trascurabile perché 1) la potenza termica trasmessa per convezione forzata è di solito molto più grande di quella trasmessa per irraggiamento; 2) nei sistemi raffreddati per convezione, i componenti elettronici e le schede circuitali sono montati così vicini tra loro che i componenti, quasi interamente circondati da altri componenti ali' incirca alla stessa temperatura, difficilmente hanno vista diretta di superfici più fredde. Solo i componenti vicino ai bordi delle schede hanno un'ampia vista diretta di superfici più fredde per cui possono beneficiare di un raffreddamento anche per irraggiamento; queste posizioni vengono perciò riservate ai componenti di maggiore potenza, in modo da avere un sistema termicamente bilanciato. Quando lo scambio termico attraverso la superficie esterna del contenitore dell'apparecchiatura elettronica è trascurabile, la potenza termica assorbita dall'aria in circolazione forzata è uguale alla potenza termica dissipata dai componenti elettronici presenti nel contenitore e può essere espressa con la relazione (Figura 16.43):
dove Q è la potenza termica trasmessa all'aria, cP il calore specifico dell'aria, T e T rispettivamente le temperature medie dell'aria all'entrata e all'uscit~ dei"contenitore, e m la portata massica di aria in circolazione. Si osservi che assegnate la portata massica e la potenza termica dissipata, poiché resta determinato laumento di temperatura, T. -T,. che l'aria subisce attraversando il contenitore, ne consegue che quanto maggiore è la temperatura dell'aria entrante, tanto maggiore è la temperatura dell'aria uscente e·, quindi, la temperatura superficiale dei componenti elettronici. Si considera buona regola di progettazione limitare l'aumento di temperatura dell'aria a 10°C e la massima temperatura dell'aria uscente a 70°C. In tal modo, in un sistema raffreddato ad aria forzata ben progettato, la massima temperatura superficiale dei componenti risulta essere inferiore a 100°C. La portata massica di aria necessaria per raffreddare un'apparecchiatura elettronica dipende dalla temperatura dell'aria disponibile per il raffreddamento. In ambienti freschi, quali quelli dotati di condizionatore d'aria, è sufficiente una minore portata, mentre in ambienti caldi può essere necessario utilizzare maggiori portate per evitare il surriscaldamento dei componenti elettronici e i problemi conseguenti. · La trasmissione del calore per convezione forzata è stata studiata dettagliatamente nel Capitolo 12; qui vengono soltanto ricapitolati i concetti e le relazioni fondamentali. Il flusso di un fluido su di un corpo, quale un transistor, è detto flusso esterno, mentre si dice flusso interno quello che si svolge all'interno di uno spazio confinato, come un tubo o la zona di passaggio tra due schede circuitali parallele poste all'interno di un contenitore (Figura 16.44). Nei sistemi elettronici si incontrano entrambi i tipi di flusso. Il flusso di un fluido viene anche suddiviso in laminare e turbolento. Nella trasmissione del calore il flusso turbolento comporta coefficienti di scambio termico molto più grandi di quelli che si hanno in condizioni di flusso laminare, ma richiede anche ventilatori (o pompe nel caso di liquidi) di maggior potenza a causa della maggiore resistenza al moto. Numerosi studi sperimentali hanno dimostrato che il moto turbolento tende a instaurarsi ali' aumentare della velocità, ali' aumentare delle dimensioni dei corpi o dei condotti interessati al flusso e al diminuire della viscosità del fluido. Queste osservazioni sono combinate nel numero di Reynolds, adimensionale:
dove: w
= velocità del fluido (la velocità di corrente libera nel caso di flusso
esterno, la velocità media nel caso di flusso interno), m/s; D = dimensione caratteristica della geometria (la lunghezza del flusso sul corpo nel caso di flusso esterno, il diametro idraulico nel caso di flusso interno), m; v = µJp =viscosità cinematica del fluido, m2/s.
li raffreddamento ad aria: la com·ezione forzata
Flusso
"'
esterno~'\.
~ FIGURA 16.44 Flusso esterno e interno riferito a una tubazione a sezione circolare.
Il valore del numero di Reynolds per cui il flusso passa da laminare a turbolento è detto numero di Reynolds critico, e vale 2300 nel caso di flusso interno, 500 000 nel caso di flusso esterno su una piastra piana e 200 000 nel caso di flusso esterno su un corpo cilindrico o sferico. Nel caso di flusso interno si definisce il diametro idraulico (o equivalente) con la relazione:
612 CAPITOLO 16
Il raffreddamento delle apparecchiature elettroniche
Se tale temperatura è nei limiti di sicurezza, non c'è necessità di verificare la temperatura negli altri punti della superficie; in caso contrario è necessario utilizzare un ventilatore di maggior potenza che permetta di aumentare la portata del fluido. Il coefficiente di scambio termico convettivo h è di solito espresso in funzione del numero di Nusselt Nu, adimensionale:
,.. ···-- ···..r ....
I ·~
·h=-Nu
(16.19) dove A è l'area della sezione trasversale di passaggio del flusso e P è il suo perimetro. Nel caso di un condotto circolare il diametro idraulico coincide con il diametro ordinario. La potenza termica trasmessa per convezione è espressa dalla legge di Newton per la convezione:
o) :m"'"~.'::M.f/:-'Y''(W;:'::;~'?~.'"'~·'.".(![i ', "-- -- ~ ..PY__. ~---- -~ _.::!f l~! ...~:"''"~-,;-:,_'.:;:_~,$_,l_, ~:~"" __-_.::,:.:".._ ·~··-~·-",,_,. ~ dove: 0 h = coefficiente medio di scambio termico convettivo, W/(m2 • C); A = area della superficie di scambio termico, m 2; temperatura della superficie, °C; T, r, temperatura del fluido a distanza sufficientemente grande dalla superficie, nel caso di flusso esterno, °C; temperatura media del fluido in uno specificato punto, nel caso diflusso interno, °C. Quando il carico termico è distribuito uniformemente sulle superfici con densità superficiale di potenza q costante, la potenza termica totale può anche essere espressa come Q qA . In un flusso completamente sviluppato all'interno di un tubo o di un condotto (cioè non influenzato dagli effetti di ingresso), soggetto a un flusso di calore con densità di potenza costante sulla superficie (Figura 16.45), poiché il coefficiente di scambio termico convettivo h rimane costante, sia la temperatura della superficie T, sia quella del fluido T aumentano linear-
~-.D ..
'T.
T, fiT=T,-T1
o
4.r=cost
1
mente, come mostrato in Figura 16.45, mentre la loro differenza T, - T1 , che può essere determinata con l'Equazione 16.20, rimane costante:
=+ L
X
~:i:::::::r FIGURA 16.45
Aumento lineare con differenza costante delle temperature della superficie del condotto e del fluido nel caso di flusso completamente sviluppato e densità di potenza costante.
/:i.T =T -T = s
I
Qconv
hA
(OC)
TABELLA 16.2
Correlazioni empiriche per il calcolo del numero di Nusselt medio nel caso di convezione forzata con flusso trasversale su piastre piane e cilindri, circolari e non circolari Campo di variazione di Re
Numero di Nusselt
Gas o liquido
0.4 + 4 4 + 40 40 +4000 4000 +40 000 40 000 + 400 000
Nu = 0.989 Re0 Pr' 13 Nu =0.911 Re0·385 Pr' 13 Nu =0.683 Re'"" Pr113 Nu =0.193 Re• 818 Pr1,. Nu =0.027 Re0.aos Pr113
Gas
5000 + 100 000
Nu =0.102 Re'·'" Pr' 13
Cilindro a sezione quadrata inclinato di 45°
Gas
5000 + 100 000
Nu =0.246 Re'·,.. Pr' 13
Piastra ortzzontale
Gas
0+5X105
Nu = 0.664 Re'~ Pr' 13
Geometria
Fluido
Cilindro a sezione circolare
Cilindro a sezione quadrata
~
=
(16.21)
Si osservi che l'innalzamento della temperatura della superficie rispetto a quella del fluido è inversamente proporzionale al coefficiente di scambio termico convettivo, per cui quanto maggiore è quest'ultimo tanto minore sarà la temperatura superficiale. Quando sia nota la temperatura di uscita del fluido, T•• si può determinare con l'Equazione 16.21 la massima temperatura sulla superficie, che si verifica in corrispondenza dell'uscita del fluido:
(°C) Q=TuQ Ts,max = T/,max+ hA + hA
. _(16.23)
dove À. è la conducibilità termica del fluido e D è la dimensione caratteristica della geometria.
= =
=
[W/(m2 • 0C)]
(16.22)
5X10'+ 107
Piastra verticale
Gas
4000 + 15 000
Nu =(0.637 Re"' - 871 )Pr113 Nu = 0.228 Re0•73 ' Pr',.
613 Il raffreddamento ad arh1: la conH~zione forzata
614 CAPITOLO 16
Il raffreddamento delle apparccchinturc elettroniche
In Tabella 16.2 sono riportate le relazioni, ricavate da dati sperimentali, che forniscono il numero di Nusselt medio in alcuni casi di flusso esterno, mentre in Tabella 16.3 sono riportate le relazioni valide per alcuni casi di flusso laminare (Re< 2300) all'interno di condotti soggetti a un flusso di calore a densità di potenza uniforme sulla superficie, che ben approssimano il comportamento dei componenti elettronici. Nel caso diflusso tur· bolento (Re > 2300) ali' interno di tubi e canali lisci, il numero di Nusselt può essere determinato per qualunque geometria con la relazione: Nu
=0.023 Re0·8 Pf0·4
(16.24)
dove Pr è il numero di Prandtl, adimensionale, il cui valore per l'aria a temperatura ambiente è circa 0.7. Nelle precedenti relazioni, le proprietà del fluido devono essere valutate alla temperatura media della massa fluida, media aritmetica delle temperature medie del fluido, Trnr = (T, + T.), nel caso di flusso interno, e alla temperatura di film, che è la media aritmetica della temperatura della superficie e della temperatura di corrente libera del fluido, Tmm = (T, + T). nel caso di flusso esterno. Le relazioni della Tabella 16.3 sono valide nel caso di flusso interno completamente sviluppato, per cui trascurano gli effetti favorevoli allo scambio termico che si verificano nella zona di sviluppo, in vicinanza dell' ingresso, e pertanto forniscono risultati prudenziali.
!
!
TABELLA 16.3 Numero di Nusselt per tubi a sezione circolare e canali rettangolari nel caso di flusso laminare completamente sviluppato ·
I
I
Geometria
Caratteristiche geometriche
Numero di Nusselt
Tubo a sezione 4.36
"~ Canale a sezione quadrata
3.61
a/b 1
2 3 4 6
8
3.61 4.12 4.79 5.33 6.05 6.49 8.24
Scelta del ventilatore L'aria viene soffiata sulle apparecchiature elettroniche da uno o più ventilatori opportunamente scelti. Per un ventilatore a velocità di rotazione costante, la portata volumetrica di aria fornita è indipendente dalla pressione esterna e quindi dall'altitudine, mentre la portata massica dipende dall'altitudine e, più precisamente, ad alta quota è inferiore rispetto a quella a livello del mare a causa della minore densità: per esempio, a 6000 mdi altitudine la pressione atmosferi_ca dell'aria scende più del 50 per cento rispetto al valore a livello del mare, per cui un ventilatore rilascia una portata massica di aria circa metà di quella rilasciata a livello del mare alla stessa velocità e alla stessa temperatura. Questa riduzione di portata massica comporta un raddoppio dell'aumento di temperatura del!' aria di raffreddamento dell'apparecchiatura elettronica, con conseguenti gravi problemi di affidabilità. Per questo motivo sono disponibili ventilatori a v~locità variabile che aumentano automaticamente la velocità quando diminuisce la densità dell'aria. Inoltre, i sistemi elettronici costosi sono dotati di interruttori termostatici che ne impediscono il surriscaldamento causato da una portata massica di aria inadeguata o da guasti del ventilatore. I ventilatori soffiano non solo l'aria di raffreddamento ma anche tutti i contaminanti presenti nell'aria stessa, come fibre, polvere, umidità e persino olio. Questi contaminanti possono accumularsi sui componenti elettronici e ostruire le vie di passaggio dell'aria causando surriscaldamenti. Inoltre, la polvere che si deposita sui componenti elettronici si comporta come uno strato isolante che rende difficile la dissipazione del calore generato. Per questi motivi si usa comunemente filtrare l'aria. Il ventilatore può essere collocato all'ingresso o all'uscita dell'aria nel contenitore dell'apparecchiatur a elettronica. La posizione generalmente preferita è all'ingresso, poiché, cosl, l'aria è spinta all'interno del contenitore pressurizzandolo e impedendo, quindi, infiltrazioni di aria dall'esterno attraverso fessure e altre aperture. In questo caso, installando un filtro all'ingresso dell'aria, si garantisce che il sistema elettronico funzioni in un ambiente pulito. Inoltre, un ventilatore collocato ali' ingresso aspira aria più fredda e, quindi, più densa, per cui, a parità di portata volumetrica, cioè, di velocità di rotazione, la portata massica fornita è maggiore. Infine, poiché il ventilatore aspira aria più fredda, gli si garantisce una vita più lunga e si aumenta l'affidabilità. Il principale svantaggio di un ventilatore installato ali' ingresso del flusso d'aria è che il calore generato dal ventilatore stesso e dal suo motore viene trasmesso ali' aria entrante nel contenitore, con il risultato di far aumentare il carico termico del sistema. Quando, invece, il ventilatore è installato all'uscita del flusso d'aria, il calore generato dal ventilatore e dal suo motore viene immediatamente scaricato nell'atmosfera senza interessare il contenitore dell'apparecchiatura elettronica. Tuttavia, un ventilatore collocato all'uscita crea una depressione ali' interno del contenitore, che richiama aria non solo dai fori di ingresso ma anche da ogni altra fessura o apertura (Figura 16.46). In queste condizioni, riesce difficile filtrare l'aria, per cui la sporcizia e la polvere si accumulano sui componenti elettronici minandol'affidabili tà del sistema.
615 j~g
Il raffreddamento ad aria: la convezione roru1ta
FIGURA 16.46 Aspirazione di aria e di contaminanti attraverso le fessure del contenitore di una apparecchiatura elettronica da parte di un ventilatore installato all'uscita del flusso d'aria.
Poiché esistono diversi tipi di ventilatori per il raffreddamento delle apparecchiature elettroniche, la scelta deve essere effettuata caso per caso CAPITOLO 16 con l'aiuto dei due seguenti parametri: prevalenza e portata volumetrica Il raffreddamento dell'aria. I ventilatori assiali sono semplici, piccoli, leggeri, poco costosi e delle apparecchiature elettroniche possono fornire elevate portate. Tuttavia, essi sono adatti per sistemi che richiedono piccole prevalenze e, inoltre, poiché di solito funzionano a velocità molto elevate, sono abbastanza rumorosi. I ventilatori centrifughi, o radiali, invece, sono in grado di fornire, a velocità relativamente basse, portate moderate a sistemi che richiedono grandi prevalenze. Essi, però, sono più grandi, più pesanti, più complessi e più costosi dei ventilatori assiali. Le prestazioni di un ventilatore sono rappresentate da un set di curve, dette curve caratteristiche, fomite dal costruttore per consentire la scelta Curva caratteristica del ventilatore Curva caratteristica del ventilatore. In Figura 16.47 è mostrata una tipica curva che rappresenta delle resistenze la pressione totale (o prevalenza) di un ventilatore in funzione della portadel sistema ta volumetrica dell'aria. Sullo stesso diagramma è stata riportata una tipica curva che rappresenta la resistenza fluidodinamica di un sistema, in termiPunto di ni di caduta di pressione totale (o perdita di carico), anch'essa in funzione .,.__ funzionamento del ventilatore della portata volumetrica di aria. Si osservi che un ventilatore presenta la massima prevalenza a portata nulla, che corrisponde al caso limite di aperture di uscita chiuse, e, inoltre, che la portata volumetrica aumenta al diminuire della prevalenza fino a raggiungere il suo massimo valore quando il o Portata d'aria volumetrica ventilatore non incontra alcuna resistenza al flusso dell'aria. La curva della resistenza al flusso d'aria di un contenitore di apparecFIGURA 16.47 chiature elettroniche in funzione della portata volumetrica ha forma paraboPunto di funzionamento lica e le perdite di carico che vi corrispondono sono quasi proporzionali al di un ventilatore: intersezione della curva quadrato della portata volumetrica. Poiché il ventilatore deve superare questa caratteristica della pressione totale resistenza per poter mantenere il flusso d'aria attraverso il contenitore, la del ventilatore con la curva caratteristica progettazione di un sistema di raffreddamento a convezione forzata richiedelle resistenze del sistema entrambe de la determinazione della curva caratteristica della resistenza totale del in funzione della portata volumetrica sistema. Questa curva può essere ricavata misurando o calcolando le perdidi aria. te di carico in corrispondenza di diversi valori della portata volumetrica. I ventilatori funzionano nel punto in cui la curva della prevalenza del ventilatore e la curva della resistenza del sistema si intersecano. La portata di aria richiesta da una apparecchiatura elettronica può essere determinata sulla base di considerazioni sullo scambio termico, utilizzando il carico termico di progetto e l'aumento consentito della temperatura dell'aria. In corrispondenza di tale portata si può, poi, determinare analiticamente o sperimentalmente la resistenza al flusso del sistema, e, quindi, note la portata e la prevalenza necessaria, si può facilmente scegliere un ventilatore che soddisfi entrambe le condizioni. Di seguito si presentano alcune linee guida generali sul raffreddamento dei sistemi elettronici ad aria forzata.
616
I
\
1 Verificare la possibilità di impiego del raffreddamento per convezione naturale prima di optare per il raffreddamento ad aria forzata. Nel caso di apparecchiature di bassa potenza conviene scegliere questa modalità di raffreddamento in modo da eliminare tutti i problemi che riguardano il ventilatore, quali il costo, il consumo di energia, il rumore, la complessità, la manutenzione e i possibili guasti.
617
2 Scegliere un ventilatore che non sia né troppo piccolo né troppo grande. Un ventilatore sottodimensionato può determinare il surriscaldamento del sistema elettronico e conseguenti guasti. Un ventilatore sovradimensionato, invece, fornisce sicuramente un adeguato raffreddamento, ma è inutilmente più grande, più costoso e consuma più energia. 3 Montare il ventilatore all'ingresso del flusso d'aria nel contenitore dell'apparecchiatura elettronica in modo che questo sia pressurizzato, purché l'aumento di temperatura causato dalla potenza consumata dal motore del ventilatore lo consenta, e filtrare l'aria per impedire l'ingresso di polvere e sporcizia (Figura 16.48).
Il raffreddamento ad aria: la conn~zione forzata
Contenitore di una apparecchiatura elettronica ,-----~---------Aria
I
·:
•
,..,.-;:-in =uscita
4 Posizionare e dimensionare le aperture di uscita dell'aria in modo che vi sia un adeguato flusso d'aria attraverso l'intero contenitore. 5 Posizionare i componenti elettronici più critici vicino ali' entrata del flusso, dove l'aria è più fredda. Posizionare, invece, i componenti di maggiore potenza vicino ali' uscita (Figura 16.49).
FIGURA 16.48
6 Disporre le schede circuitali e i componenti elettronici in modo che ali' interno del contenitore la resistenza al flusso dell'aria sia minima, e, quindi, sia massima la portata di aria che fluisce a parità di velocità del ventilatore. Verificare che durante il funzionamento non si formino sacche d'aria calda.
Installazione del ventilatore all'ingresso del flusso di aria nel contenitore di una apparecchiatura elettronica: impedisce l'ingresso di polveri e contaminanti ma trasmette all'aria entrante il calore prodotto dal suo
7
funzionamento.
Considerare l'effetto dell'altitudine nelle applicazioni ad alta quota.
8 Eliminare gli elementi che aumentano la resistenza al flusso del sistema, come angoli non necessari, brusche curve, improvvisi allargamenti e restringimenti di sezione; evitare, inoltre, sia velocità molto elevate (maggiori di 7 m/s), poiché in questo caso le perdite di carico diventano proporzionali al quadrato della velocità, sia velocità molto basse, perché comportano scarse prestazioni di scambio termico, nonché la deposizione di polvere e sporcizia sui componenti elettronici.
· Aria in uscita
: Componente di elevata
potenza
9 Disporre il sistema in modo che la convezione naturale aiuti la convezione forzata, montando, per esempio, verticalmente le schede circuitali e facendo circolare l'aria dal basso verso lalto. 10 Decidere se montare due o più ventilatori in parallelo o in serie. I ventilatori montati in serie sono indicati per i sistemi caratterizzati da elevata resistenza al flusso poiché forniscono una maggiore prevalenza. I ventilatori montati in parallelo, invece, sono indicati per i sistemi che richiedono elevate portate.
Il raffreddamento dei persona! computer L'introduzione all'inizio degli anni Settanta del chip 4004, il primo microprocessore generai purpose della Intel Corporation, segnò l'inizio dell'era elettronica per i beni di consumo, dalle calcolatrici alle lavatrici, fino ai persona! computer. Il microprocessore, che è il "cervello" del persona!
ttttt Aria in ingresso FIGURA 16.49
Componenti elettronici critici vanno installati in prossimità dell'ingresso dell'aria di raffreddamento mentre componenti elettronici di elevata potenza in prossimità dell'uscita.
618
computer, è fondamentalmente un componente elettronico che incorpora un'unità centrale di elaborazione (CPU, Centrai Processing Unit), la memoria e alcune porte di comunicazione (ingresso/uscita). Un tipico persona} computer da tavolo consiste di alcune schede circuitali inserite in una scheda madre che contiene il microprocessore, i chip della memoria e la rete di interconnessioni; tutte le schede sono racchiuse in uno chassis in lamiera metallica che contiene anche i lettori di dischetti e di CD-ROM. A tali schede si collegano un monitor, una tastiera, una stampante e altre apparecchiature accessorie (Figura 16.50). Le schede sono montate di norma Yerticalmente sulla scheda madre in modo da facilitarne il raffreddamento. Per raffreddare i componenti elettronici, di solito, si monta sul retro o su un lato dello chassis un piccolo e silenzioso ventilatore. Inoltre, sulle superfici laterali si realizzano feritoie e aperture per facilitare la circolazione dell'aria.
CAPITOLO 16 Il raffreddamento delle apparecchiature elettroniche
molto differente dal valore ipotizzato di 27°C, si ripeterà il calcolo utilizzando i valori delle proprietà determinati alla nuova temperatura media. L'area della sezione trasversale del condotto ove fluisce l'aria e il suo diametro idraulico sono: A. = Larghezza x Lunghezza = 0.12 x 0.003 = 3.6 x 1O""' m' 4A,
Aria di
raffreddamento Guarnizione
Com!.nti elettronici
Parte centrale cava
FIGURA 16.51
Piastra a circuito stampato con parte centrale cava.
4
La velocità media e la portata massica dell'aria sono:
li 0.72x10"" w=-= =2.0 m/s A. 3.6x10""' rii= pV=1.177x0.72x10"" =0.847x10"" kg/s
ai La temperatura dell'aria all'uscita del condotto può essere determinata mediante la relazione:
FIGURA 16.50
Elaboratore elettronico da tavolo con monitor e tastiera.
4x3.6x10
O =-= · =0.00585 m " P 2x(0.12+0.003)
O=mc(r-r) p " •
ESEMPIO 16.13
Ricavando
Alcune stringenti specifiche di apparecchiature elettroniche richiedono che l'aria di raffreddamento non venga a contatto diretto con i componenti elettronici, in modo da proteggerli dall'esposizione ai contaminanti dell'aria. In tali casi, il calore generato dai componenti posti su una piastra a circuito stampato deve essere trasmesso per conduzione fino alle pareti del contenitore dell'apparecchiatura elettronica mediante un'anima metallica piatta inserita all'interno della piastra o mediante un telaio termico. In alternativa, si può utilizzare una piastra a circuito stampato cava, ossia una piastra in vetroresina epossidica dotata di uno stretto condotto di sezione trasversale rettangolare, che monta i componenti elettronici su entrambe le facce, come mostrato in Figura 16.51. Il calore generato dai componenti elettronici viene trasmesso per conduzione attraverso la piastra al condotto dove fluisce l'aria di raffreddamento che prowede allo smaltimento. Un'efficace slgillatura impedisce che si verifichino infiltrazioni di aria verso i componenti elettronici. Una piastra a circuito stampato cava, larga 12 cm e lunga 18 cm, dissipa complessivamente una potenza termica di 40 W. La larghezza della cavità d'aria tra le due facce del circuito stampato è 0.3 cm. L'aria di raffreddamento entra nel condotto con una temperatura di 20°C e con una portata volumetrica di 0.72 Vs. Nell'ipotesi che il calore sia generato uniformemente su entrambe le facce della piastra a circuito stampato, si determinino ai la temperatura dell'aria all'uscita del condotto; bi la massima temperatura sulla superficie interna del condotto. Soluzione Si fa l'ipotesi che tutto il calore generato dai componenti elettronici sia smaltito dall'aria che fluisce nel condotto e che il sistema funzioni a livello del mare dove la pressione atmosferica è 101 325 Pa. Poiché la temperatura dell'aria e, quindi, le sue proprietà, variano lungo il condotto, i calcoli vengono effettuati utilizzando i valori delle proprietà alla temperatura di 27°C (300 Ki, di seguito riportati:
p
=1.177 kg/m
3
;. = 0.0261 W/(m ··ci
c. =
1005 J/(kg
·ci
v = 1.57 x 10-s m2/s Pr= 0.712 Se dopo aver calcolato la temperatura di uscita dell'aria questa dovesse essere
r, e sostituendo i valori delle grandezze note, si ottiene: Q
T =T +-=20+
" • mc.
40
-67°C
o.847· 1005
bi La temperatura superficiale in ogni punto del condotto può essere determinata con la relazione:
O.,...
= hA((T, -
T,)
dove l'area della superficie di scambio termico è: A= 2A1" = 2 x 0.12 x 0.18 = 0.0432 m' Per determinare il coefficiente di scambio termico convettivo, è necessario prima calcolare il numero di Reynolds: wO 2x0.00585 Re=--"= =745 V 1.57x10-s
Poiché il suo valore è minore di 2300, il flusso è laminare. Assumendo che il flusso sia completamente sviluppato, dalla Tabella 16.3 si può ricavare il numero di Nusselt relativo al flusso d'aria all'interno del canale a sezione trasversale rettangolare il cui rapporto dei lati è alb = 1210.3 = 40 = ~: Nu = 8.24 e quindi:
h = ~Nu =
o.
0 0261 · x 8.24 = 36.7 W/(m2 ·•ci 0.00585
Infine, la massima temperatura superficiale lungo le pareti del condotto, che si verifica vicino all'uscita, è:
T .....,
=T+~=~+ "
hA
~
36.7x0.0432
-~2~
619 Il raffreddamento ad aria: la connzione forzata
Si osservi che all'uscita del condotto la differenza di temperatura tra la superficie e l'aria è 25.2°C. Questa differenza di temperatura si mantiene costante lungo tutto il condotto poiché il calore è generato uniformemente sulle due facce della piastra a circuito stampato e il coefficiente di scambio termico convettivo è costante. Pertanto, all'entrata la temperatura superficiale delle pareti del condotto risulta: 20 + 25.2 = 45.2°C. In realtà, questa temperatura sarà leggermente inferiore a causa degli effetti di ingresso che favoriscono la trasmissione del calore: l'assunzione di flusso completamente sviluppato fornisce risultati prudenziali ed è comunemente utilizzata perché semplifica notevolmente i calcoli.
620 CAPITOLO 16 Il raffreddamento delle apparecchiature elettroniche
che, ai fini della Tabella 16.2, possono essere considerate come piastre piane di lunghezza L 0.0044 m (pari al diametro O) nella direzione del flusso, si ottiene:
=
621 Il raffreddamento ad aria: la convezione forzata
wD 90/60x0.0044 =320 Re=-= 2.06x10-s V 13 Nu = 0.664 Re'" Pr' = 0.664 x 320'" x 0.706 113 = 10.6 e quindi: À
0.0297
h = -Nu = --10.6 = 71.6 0.0044 D
ESEMPIO 16.14 Piastra a circuito stampato
I
0.53cm
t t t t t t t'
I
Flusso d• aria w=90m/min T1= 65°C
L'area complessiva delle due superfici piane è:
Un transistor avente un involucro tipo T0-71, di altezza 0.53 cm e diametro 0.44 cm, è montato su una piastra a circuito stampato, come mostrato in Figura 16.52. Il transistor viene raffreddato con aria che fluisce su di esso alla velocità di 90 m/min. Se la temperatura dell'aria è 65°C e la temperatura dell'involucro del transistor non deve superare 90°C, si determini la potenza termica che il transistor può dissipare in condizioni di sicurezza. Soluzione Il transistor è raffreddato per convezione forzata attraverso la sua superficie cilindrica e le due superfici piane, superiore e inferiore. Supponendo che il transistor funzioni al livello del mare, dove la pressione atmosferica è (T. + T) = 101 325 Pa, le proprietà dell'aria alla temperatura di film T,11m =
A,=A.+À1 =2x tirD'=2x tir0.00442 =0.30x10... m2 e la potenza termica trasmessa attraverso le due superfici piane vale:
O,= hA,(T, -T,)= 71.6x0.30x10""' x(90-65)=0.05
Quindi, la potenza termica totale che può essere dissipata attraverso tutte le superfici del transistor è:
o. . =0" +o, =o.11+0.05=0.16 w
f
=i (90 + 65) = 77.5°C = 350 K sono:
p = 1.009 kg/m 3 À = 0.0297 W/(m . °C)
e, = 1008 J/(kg .OC)
FIGURA 16.52 Schema per l'Esempio 16.14.
W
Si noti che questa potenza è abbastanza piccola; tuttavia essa potrebbe essere aumentata considerevolmente fissando al transistor un dissipatore di calore, in modo da incrementare l'area della superficie di scambio termico, oppure aumentando la velocità dell'aria in modo da incrementare il coefficiente di scambio termico.
v = 2.06 x 10-s m2/s Pr= 0.706
ESEMPIO 16.15
Poiché la dimensione caratteristica nel caso di flusso su un cilindro è il diametro D = 0.0044 m, il numero di Reynolds è: Re= wD = 90/60x0.0044 = 320 2.06x10·• v valore che cade nell'intervallo 40-4000. Utilizzando la corrispondente relazione della Tabella 16.2 per il numero di Nusselt, si ottiene: Nu = 0.683 Re0•466 Pr' 13 = 0.683 x 320°·466 x o. 706'13 = 8.94 e quindi:
=À
0.0297
h -Nu = --8.94 = 60.4 W/(m•. °C) 0.0044 D L'area della superficie cilindrica è:
A"= rrDL
=lt'X 0.0044 X 0.0053 =0.733 X 1o-4 m'
e la potenza termica trasmessa attraverso la superficie cilindrica è: O"= hA"(T,
-T,)= 60.4x0.733x10 4
Il computer da tavolo mostrato in Figura 16.53, che in condizioni di pieno carico consuma 75 W di potenza, deve essere raffreddato mediante ventilazione e deve funzionare in ambienti posizionati ad altitudini fino a 2000 m, dove la pressione atmosferica è 79.50 kPa, e in cui la temperatura può raggiungere 40°C. Per soddisfare le specifiche di affidabilità, la temperatura di uscita dell'aria non deve superare 70°C, e per mantenere basso il livello di rumore la velocità media dell'aria all'uscita del contenitore, dove è installato Il ventilatore, non deve superare 75 m/min. Determinare la portata volumetrica che deve fornire il ventilatore e Il diametro del condotto in cui installarlo. La portata volumetrica dell'aria deve essere determinata per le conSoluzione dizioni di funzionamento più gravose; pertanto si assume che la temperatura di entrata dell'aria sia 40°C, che la pressione atmosferica sia 79.50 kPa e che lo scambio termico attraverso le superfici esterne del contenitore del computer sia nullo. Si osservi che un eventuale scambio termico diretto attraverso Il contenilo· re del computer rappresenta un margine di sicurezza.
f
x(90-65)=0.11 W
Ripetendo I calcoli per le due superfici piane, superiore e inferiore, del transistor,
=
(40 + 70) = 55°C Il calore specifico dell'aria alla temperatura media di 328 K è 1006 J/(kg . °C). La portata massica di aria necessaria per assorbire l'intera potenza termica di 75 W dissipata dai componenti elettronici senza che la temperatura di uscita superi 70°C può essere determinata con la relazione:
0= mc,(T. -T,)
FIGURA 16.53 Schema per l'Esempio 16.15.
Ricavando IÌ1 e sostituendo i valori delle grandezze note, si ottiene:
622
.
CAPITOLO 16 Il raffreddamento
m-
delle apparecchiature elettroniche
c.
(
Q
T,-T.
)-
75 1006x(70-40)
- 0.00249 kg/s " 0.149 kg/min
Nel caso peggiore la temperatura all'uscita del ventilatore è 70°C, cui corrisponde una densità dell'aria pari a:
p"-
p
RT
-
79.50 0.287 x (70 + 273)
- 0.8076 kg/m
per conduzione allo stesso chassis attraverso le mensole di montaggio; tuttavia, prudenzialmente si assume che l'intera potenza assorbita dal motore sia trasmessa, come potenza termica, all'aria di raffreddamento. Si utilizzano le proprietà dell'aria a pressione atmosferica e alla temperatura di 27°C, poiché l'aria entra a temperatura ambiente (circa 20°C) ed esce con un aumento di temperatura limitato a 10°C:
p = 1.177 kg/m 0 .1. = o.0261 W/(m · °C)
3
c. = 1005 J/(kg · °C) v = 1.57 x 10·• m2/s
per cui la portata volumetrica dell'aria all'uscita del ventilatore è:
V"~= p
0 149 =0.184 m3/min · 0.8076
Quindi il ventilatore deve essere capace di fornire una portata volumetrica di 0.184 m3/min. Si osservi che se il ventilatore fosse installato all'entrata del flusso invece che all'uscita, la portata volumetrica sarebbe leggermente diversa poiché verrebbe determinata utilizzando la maggiore densità dell'aria alla temperatura di entra· la, che è 40°C, e un carico termico anch'esso maggiore, pari a 75 W più la poten· za consumata dal motore del ventilatore. Per una velocità media dell'aria di 75 m/min, il diametro del condotto in cui va installato il ventilatore può essere determinato con la relazione:
V=Aw=~irD'w e 4
Pr= 0.712 Per motivi di simmetria si considera l'area di passaggio compresa tra due schede soltanto e, inoltre, si assume che le portate volumetriche di aria in ciascuno dei sei passaggi siano uguali tra loro e pari a un sesto della portata volumetrica totale. a) Poiché l'aumento di temperatura dell'aria è limitato a 10°C e la potenza consumata dal ventilatore è interamente trasmessa all'aria, la portata massica di aria che deve attraversare il computer può essere determinata con la relazione:
O=mc(T-T) p
Ricavando
m=
Ricavando D e sostituendo i valori delle grandezze note, si ottiene:
D=
g
Aria in uscita
in ingresso
a circuito
stampato, 15 W
FIGURA 16.54 Schema per lEsempio 16.16.
,:
Q ( )c. T, -T,
6x15+20 - 0.0109 kg/s
1005x10
V=~= 0 ·0109 =0.00926 p
3
3
m /s=0.556 m /s
1.177
v
io.00926
A.
6x10 ...
W=-=
=2.57 m/s
ESEMPIO 16.16
Quindi il ventilatore deve fornire una portata volumetrica di aria pari a 0.556 m•/min.
Un computer raffreddato con un ventilatore contiene 6 schede circuitali, che dis· sipano 15 W di potenza ciascuna, come mostrato in Figura 16.54. L'altezza delle schede è 15 cm, la lunghezza 20 cm e lo spazio libero tra l'estremità dei componenti elettronici di ogni scheda e la superficie posteriore della scheda adiacente è 0.4 cm. L'aria di raffreddamento è fornita da un ventilatore di 20 W di potenza installato all'ingresso del flusso. Nell'ipotesi che l'aumento di temperatura dell'aria all'interno del contenitore del computer non debba superare 10°c, si determinino a) la portata volumetrica di aria che deve fornire il ventilatore; b) la frazione dell'aumento di temperatura dell'aria causato dal ventilatore e dal suo motore; e) la massima temperatura che l'aria entrante può avere senza che la temperatura superficiale dei componenti elettronici superi 90°C in nessun punto del sistema.
b) L'aumento di temperatura dell'aria causato dalla potenza assorbita dal motore del ventilatore può essere determinato assumendo che l'intera potenza di 20 W assorbita dal motore sia trasmessa come potenza termica all'aria:
Piastra Aria
•
Pertanto la portata volumetrica e la velocità dell'aria risultano essere: 4x0.184 = ---=0.056 m=5.6cm irx75
Quindi, per soddisfare le richieste è necessario installare un ventilatore di diametro 5.6 cm, capace di fornire una portata volumetrica di 0.184 m•/min.
0.4cm
"
m e sostituendo i valori delle grandezze note, si ottiene:
Soluzione Si suppone che il computer funzioni al livello del mare dove la pressione atmosferica è 101 325 Pa e che tutto il calore generato dai componenti elettronici sia smaltito esclusivamente dall'aria che fluisce negli spazi esistenti tra le schede del computer. Poiché il ventilatore e il suo motore sono montati di solito sullo chassis del computer, parte del calore generato dal motore viene trasmessa
6T
=
O,...
......... mc.
20 =0.0109x1005 - 1.8 °C
Quindi il 18 per cento dell'aumento di temperatura dell'aria è causato dal calore generato dal motore del ventilatore. Si osservi che la potenza .assorbita dal ventilatore è anch'essa il 18 per cento della potenza totale assorbita. c) La temperatura superficiale in ogni punto delle pareti che delimitano il passaggio dell'aria di raffreddamento può essere determinata con la relazione:
è/=~=h(T,-T,)
623 Il raffreddamento ad arin: la convezione forzata
624
dove l'area della superficie di scambio termico è:
A = Altezza x Lunghezza = 0.15 x 0.20 = 0.03 m'
CAPITOLO 16 Il raffreddamento delJe apparecchiature elettroniche
16.9 ml IL RAFFREDDAMENTO A LIQUIDO
Per determinare il coefficiente di scambio termico convettivo è necessario calcolare prima il numero di Reynolds. L'area della sezione trasversale del canale di passaggio e il suo diametro idraulico sono:
A,= Altezza x Larghezza = 0.15 x 0.004 = 6 x 10""' m' 4A
4x6x10 ....
P
2x(0.15+0.004)
D =-' =
"
0.0078 m
Pertanto il numero di Reynolds vale: Re =
w D, = 2.57 x 0.0078 _ 1277 < 2300 5 1.57x10"
V
Quindi il flusso è laminare, per cui, supponendo che esso sia anche completamente sviluppato, si può determinare il numero di Nusselt con la Tabella 16.3, tenendo presente che la sezione trasversale del canale è rettangolare con il rapporto dei lati pari a alb = 15/0.4 = 37.5 = oo: Nu = 8.24 per cui: 0.0261 À. h=-NU=--8.24=27.6 W/(m'· °C) 0.0078 D, Trascurando gli effetti di ingresso, la differenza di temperatura tra la superficie delle schede e l'aria in ogni punto lungo il canale di passaggio dell'aria è:
T-T =È_= 15/0.03 =18.1•c '
,
h
27.6
Quindi la temperatura superficiale dei componenti sulla piastra a circuito stampato è 18.1°C maggiore della temperatura dell'aria in transito. La massima temperatura dell'aria e dei componenti elettronici si verifica all'uscita del flusso. Pertanto, poiché la massima temperatura consentita sulla superficie dei componenti è 90°C, la massima temperatura che può avere l'aria in uscita è:
Tu.ma.= T.m., -AT= 90-18.1=71.9°C Infine, poiché l'aria subisce tra l'entrata e l'uscita un aumento di temperatura di 10°C, la massima temperatura che può avere l'aria entrante è: r •. - = ru.--10=71.9-10=61.9°C Questa è la massima temperatura consentita all'aria entrante se la temperatura superficiale dei componenti elettronici non deve superare 90°C in nessun punto del sistema. Si deve osservare che lo studio fatto è solo approssimato a causa delle semplificazioni apportate; tuttavia, la precisione dei risultati ottenuti può essere sufficiente per la maggior parte dei casi pratici.
Poiché i liquidi nonnalmente hanno valori di conducibilità tennica molto più elevati rispetto ai gas, e quindi anche coefficienti di scambio tennico molto più elevati, il raffreddamento a liquido è di gran lunga più efficiente del raffreddamento a gas. Tuttavia, il raffreddamento a liquido presenta rischi e problemi, come fughe, corrosione, peso aggiuntivo e condensazione. Pertanto, il raffreddamento a liquido è riservato alle applicazioni caratterizzate da potenze dissipate per unità di superficie troppo elevate per poter effettuare un raffreddamento ad aria in condizioni di sicurezza. I sistemi di raffreddamento a liquido possono essere suddivisi in sistemi di raffreddamento diretto e sistemi di raffreddamento indiretto. Nei sistemi di raffreddamento diretto, i componenti elettronici sono a diretto contatto con il liquido, per cui il calore generato nei componenti viene trasferito direttamente al liquido. Nei sistemi di raffreddamento indiretto, invece, non c'è contatto diretto tra il liquido e i componenti, e il calore generato è prima trasmesso ad un elemento intennedio, come una piastra di raffreddamento, e poi trasferito dal liquido. I sistemi di raffreddamento a liquido vengono suddivisi anche in sistemi a circuito chiuso e sistemi a circuito aperto a seconda che, dopo essersi riscaldato, il liquido venga ricircolato oppure scaricato. Nei sistemi a circuito aperto, l'acqua prelevata dalla rete idrica viene fatta fluire attraverso il sistema di raffreddamento e dopo essersi riscaldata viene scaricata nella rete fognaria. Invece, in un sistema a circuito chiuso il liquido riscaldato viene raffreddato in uno scambiatore di calore e rimesso in circolazione nel sistema. I sistemi a circuito chiuso consentono un più facile controllo della temperatura e non sprecano acqua. Nei sistemi di raffreddamento diretto i componenti elettronici di solito vengono completamente immersi nel liquido. La trasmissione del calore dai componenti al liquido può avvenire per convezione naturale, forzata o in presenza di ebollizione, in base alla temperatura e alle proprietà del fluido. Di solito, il raffreddamento dei dispositivi elettronici per immersione avviene in presenza di ebollizione, per cui, come si vedrà successivamente, è caratterizzato da coefficienti di scambio tennico molto elevati. Si osservi che nei sistemi di raffreddamento diretto o a immersione si possono utilizzare soltanto fluidi dielettrici, per cui resta esclusa l'acqua. Comunemente si utilizzano i cloròfluorocarburi, come l'FC75. I sistemi di raffreddamento indiretto delle apparecchiature elettroniche funzionano come il sistema di raffreddamento di un motore automobilistico, dove lacqua (in realtà una miscela di acqua e glicole etilenico) circola attraverso i condotti esistenti attorno ai cilindri del motore assorbendo il calore generato dalla combustione. L'acqua che si è riscaldata viene mandata con una pompa verso il radiatore, dove è raffreddata dal!' aria soffiata sulla serpentina del radiatore da un ventilatore. L'acqua raffreddata viene poi nuovamente inviata nel motore per continuare il raffreddamento. Per apprezzare l'efficacia del sistema di raffreddamento dei motori automobilistici, è sufficiente ricordare che le temperature all'interno dei cilindri sono molto più elevate delle temperature di fusione dei materiali con cui sono realizzati.
625 Il raffreddamento a liquido
Nei sistemi elettronici, il calore è generato, invece che nella camera di combustione, all'interno dei componenti elettronici, che, quando si utilizCAPITOLO 16 za questa modalità di raffreddamento, vengono montati su una piastra meli raffreddamento tallica di un materiale molto conduttivo come il rame o l'alluminio. La delle apparecchiature elettroniche piastra metallica viene raffreddata facendo circolare un fluido raffreddante all'interno di alcuni tubi attaccati ad essa, come mostrato in Figura 16.55. Il liquido che si è riscaldato viene poi raffreddato in uno scambiatore di calore, di solito con aria (o con acqua di mare nel caso di applicazioni . ,,.--.Vaso . . lazione . circo . • ) , ed è nmesso ,,- d1 espanS1one marme med"1ante una pompa. Il vaso d1. espanm del liquido, permette l'espansioserbatoio come anche funzionando sione, ne e la contrazione del liquido di raffreddamento conseguenti alle variazioni di temperatura. I liquidi utilizzati per il raffreddamento delle apparecchiature elettroniche devono avere numerosi requisiti dipendenti dalla specifica applicazione. Le caratteristiche più importanti sono: elevata conducibilità termica (per avere elevati coefficienti di scambio termico), elevato calore specifico (in modo da richiedere minori portate massiche), bassa viscosità (in ~odo da diminuire le perdite di carico e quindi richiedere una pompa più piccola), elevata tensione superficiale (per rendere meno probabili le fu. ghe), elevata rigidità dielettrica (necessaria nel caso di raffreddamento diretto a liquido), inerzia chimica (per non reagire con le superfici con cui vengono in contatto), stabilità chimica (per non decomporsi a seguito di FIGURA 16.55 uso prolungato), atossicità (per la sicurezza del personale), basso punto di Schema di raffreddamento indiretto solidificazione ed elevato punto di ebollizione (cioè un ampio intervallo a liquido. utile di temperatura) e basso costo. Nelle varie applicazioni, in base alle diverse necessità, vengono scelti fluidi differenti. I dissipatori di calore e le piastre di riiffreddamento delle apparecchiature elettroniche di solito sono raffreddati dal!' acqua che li attraversa all'interno di canali appositamente realizzati o di tubi fissati su di essi. In tal modo si possono smaltire elevate potenze tenniche. Nei sistemi di elevate prestazioni, si può utilizzare al posto dell'acqua un refrigerante capace di mantenere la temperatura del dissipatore sotto zero, e quindi di ridurre propor· zionalmente anche le temperature di giunzione dei componenti elettronici. Il calcolo della potenza tennica scambiata e delle perdite di carico nei sistemi di raffreddamento a liquido può essere eseguito come illustrato nel Capitolo 12. Il raffreddamento a liquido può essere utilizzato per raffreddare efficacemente gruppi di componenti elettronici fissati a una piastra metallica munita di tubi in cui scorre il liquido (dissipatore di calore), come mostràto in Figura 16.56. In questo esempio, dodici T0-3, ognuno della potenza di 150 W, sono montati su un dissipatore di calore dotato sul lato posteriore di tubi in cui scorre un liquido di raffreddamento. La resistenza tennica tra l'involucro dei componenti e il liquido è minimizzata poiché i componenti sono montati direttamente sui tubi di raffreddamento. Il valore di tale resistenza dipende principalmente dallo spazio tra i componenti, dalla qualità del contatto tra i componenti e la piastra, dallo spessore della piastra e dalla portata del liquido circolante. La piastra metallica ha le dimensioni di 15.2 cm x 18 cm x 2.5 cm e può dissipare fino a 2 kW di potenza.
627
626
Il raffreddamento a liquido
FIGURA 16.56 Raffreddamento a liquido di dodici componenti elettronici tipo T0-3 fissati su una piastra metallica munita di tubi in cui scorre il liquido di raffreddamento (Wa.kefield Engineering).
La rete di resistenze tenniche associata a un sistema di raffreddamento a liquido è mostrata in Figura 16.57. La temperatura di giunzione dei componenti elettronici a base di silicio di solito è limitata a 125°C e la resistenza tennica giunzione-involucro dei componenti è fornita direttamente dal costruttore. La resistenza tennica involucro-liquido, invece, può essere determinata sperimentalmente misurando le temperature dell'involucro del componente e quella del liquido, e dividendo la loro differenza per la potenza tennica dissipata. In modo analogo può essere detenninata la resistenza tennica liquido-aria dello scambiatore di calore. Quindi:
Giunzione Rgiunzione-ìnvolucro
Involucro Rinvolucro-lìquido
Liquido Ruquido-ambiente
Ambiente
dove ~iquldo. comp e ~iquido. se sono le temperature di ingresso del liquido, rispettivamente, nella piastra e nello scambiatore di calore. La portata massica di liquido necessaria per un assegnato aumento di temperatura del liquido stesso che scorre attraverso il sistema elettronico può essere detenninata con l'Equazione 16.17. I componenti elettronici montati su piastre metalliche raffreddate a liquido devono avere un buon contatto termico in modo da minimizzare la resistenza tennica tra i componenti e la piastra. La resistenza tennica può essere minimizzata applicando sulla superficie di contatto del grasso a base di silicone o dell'ossido di berillio e fissando saldamente i componenti sulla piastra metallica. Nel seguente esempio viene illustrato il raffreddamento a liquido di una piastra su cui sono fissati un elevato numero di componenti elettronici.
FIGURA 16.57 Rete di resistenze termiche nel caso di apparecchiatura elettronica raffreddata con liquido.
628 CAPITOLO 16
Il raffreddamento delle apparecchiature elettroniche
Piastra di raffreddamento
FIGURA 16.58 Schema per l'Esempio 16.17.
ESEMPIO 16.17
Una piastra di raffreddamento che porta 20 transistor di potenza, ognuno dissipante 40 W, viene raffreddata con acqua, come mostrato in Figura 16.58. Su ognuna delle due facce della piastra è fissata la metà dei transistor. Supponendo che il 20 per cento del calore generato dai componenti venga dissipato verso l'ambiente per convezione e irraggiamento, e che il rimanente 80 per cento debba essere smaltito dall'acqua di raffreddamento, si determinino a) la portata massica di acqua necessaria perché l'aumento di temperatura dell'acqua non superi 3°C; b) il diametro della tubazione perché la velocità dell'acqua sia inferiore a 1 m/s; c) la temperatura dell'involucro dei transistor sapendo che la resistenza termica totale involucro-liquido è 0.030°C/W e che l'acqua entra nella piastra di raffreddamento alla temperatura di 35°C. Soluzione Poiché ognuno dei 20 transistor dissipa 40 W di potenza e solo 1'80 per cento di essa deve essere smaltita dall'acqua di raffreddamento, la potenza termica trasmessa a quest'ultima è: Ò=20x40x0.8 =640 W a) Per limitare l'aumento di temperatura dell'acqua a 3°C, la portata massica di acqua non deve essere inferiore a:
à
640
c,AT
4180x3
.
m = - - = - - - = 0.051 kg/s b) La portata massica di un fluido all'interno di un condotto a sezione circolare può essere espressa nella forma: trD' . m=pAW=p--. W
4 Assumendo che la densità dell'acqua sia 1000 kgfm 3, per mantenere la velocità dell'acqua inferiore a 1 m/s il diametro del condotto deve essere almeno: D=
=
4x0.051 trx1000x1
=0.0081 m=0.81 cm
c) Poiché la resistenza termica totale tra l'involucro del transistor e il liquido di raffreddamento è 0.030°C/W e la temperatura di ingresso dell'acqua nella piastra di raffreddamento è 35°C, la temperatura dell'involucro dei transistor può essere determinata con l'Equazione 16.25:
r_ .. = r... """" + àR""""""""""'° =35 + 640 x o.o3o =54.2°c La temperatura di giunzione dei transistor può essere determinata in maniera simile utilizzando la resistenza termica giunzione-involucro fornita dal costruttore dei transistor.
16.10 lii IL RAFFREDDAMENTO A IMMERSIONE I componenti elettronici di elevata potenza possono essere raffreddati efficacemente immergendoli in un liquido dielettrico in modo da sfruttare i coefficienti di scambio termico molto elevati che si hanno in presenza di ebollizione. Il raffreddamento per immersione dei componenti elettronici è
stato utilizzato sin dagli anni Quaranta, ma per molti anni il suo uso è stato limitato soltanto ai sistemi radar di grande potenza. La miniaturizzazione delle apparecchiature elettroniche e le conseguenti elevate potenze termiche dissipate per unità di superficie hanno portato a un rinnovato interesse per questo sistema di raffreddamento. Ricordando dalla termodinamica che, fissata la pressione, i fluidi evaporano assorbendo isotermicamente grandi quantità di calore alla temperatura di saturazione, ne risulta che il raffreddamento per immersione fornisce ai componenti elettronici un bagno a temperatura costante che elimina efficacemente i punti caldi. Il sistema più semplice di raffreddamento a immersione utilizza un serbatoio esterno che fornisce continuamente il liquido al contenitore dell'apparecchiatura elettronica. Il vapore che si genera all'interno del contenitore viene scaricato nell'atmosfera, come mostrato in Figura 16.59. Una valvola regolatrice della pressione posta sulla tubazione di sfiato del vapore mantiene la pressione, e quindi la temperatura del bagno, al valore prefissato, proprio come la valvola di sfogo di una pentola a pressione. Si osservi che senza la valvola di regolazione della pressione la pressione all'interno del contenitore sarebbe quella atmosferica, e quindi la temperatura sarebbe quella di ebollizione alla pressione atmosferica. Il sistema di raffreddamento a immersione a circuito aperto descritto è molto semplice ma, per numerosi motivi, non può essere utilizzato nella pratica. Prima di tutto è pesante e voluminoso per la presenza del serbatoio esterno del liquido e poi la perdita del fluido evaporato richiede che il serbatoio venga riempito continuamente, con il conseguente aumento dei costi. Inoltre, lo scarico del vapore nell'atmosfera limita notevolmente la scelta dei fluidi che possono essere utilizzati. Per questi motivi, i sistemi di raffreddamento a immersione a circuito aperto sono utilizzati soltanto in applicazioni di uso occasionale, e quindi con un ciclo di lavoro leggero. Sistemi più sofisticati di raffreddamento a immersione funzionano a circuito chiuso, condensando il vapore e riportando il fluido nel contenitore dell'apparecchiatura elettronica, invece di scaricarlo nell'atmosfera. In Figura 16.60 sono riportati due schemi di sistemi a circuito chiuso. Il primo schema utilizza un condensatore esterno al contenitore, dove il vapore viene raffreddato da un fluido come acqua o aria. Il fluido condensato viene poi riportato nel contenitore dell'apparecchiatura elettronica per essere riutilizzato. Nel secondo schema, invece, il condensatore è immerso nel vapore all'interno del contenitore del sistema elettronico. Il vapore, raffreddato facendo circolare un fluido di raffreddamento al1' interno della serpentina del condensatore, condensa e gocciola sulla superficie del liquido all'interno del contenitore in modo che possa continuare il ciclo. Le prestazioni dei sistemi di raffreddamento a immersione a circuito chiuso sono molto sensibili alla presenza nel vapore di gas incondensabili, come laria. Un contenuto di aria nel vapore pari allo 0.5 per cento in massa può determinare una riduzione del coefficiente di scambio termico nel processo di condensazione fino a un quinto del valore. Pertanto, il fluido dielettrico utilizzato nei sistemi di raffreddamento a immersione deve essere degassato il più possibile e si deve porre molta attenzione durante il
629 Il raffreddamento
a immersione
Serbatoio di liquido
FIGURA 16.59 Sistema di raffreddamento a immersione a circuito apeno.
630
Valvola di sicurezza
Aria
CAPITOLO 16 Il raffreddamento
delle apparecchiature elettroniche
Valvola di sicurezza
Componenti elettronici
Componenti elettronici
(b)
(a)
':
11 I.
FIGURA 16.60 Sistemi di raffreddamento a immersione a circuito chiuso: (a) con condensatore esterno; (b) con condensatore interno.
processo di riempimento del contenitore per non introdurre aria all'interno del sistema. I problemi connessi con la presenza di gas incondensabili durante il processo di condensazione possono essere eliminati immergendo il condensatore (cioè i tubi di scambio termico) nel liquido invece che nel vapore all'interno del contenitore dell'apparecchiatura elettronica, come mostrato in Figura 16.6la. Il fluido di raffreddamento, ad esempio acqua, che circola nei tubi posti nella parte superiore del contenitore, assorbe calore dal fluido dielettrico raffreddandolo. Il liquido, nella zona dove è a contatto con i componenti elettronici, si riscalda e può persino evaporare per effetto del calore assorbito dai componenti. Tuttavia, le bolle di vapore collassano non appena comindano a muoversi verso l'alto dove vengono in contatto con il liquido più freddo che sottrae loro calore. Questo sistema può ancora sottrarre elevate potenze termiche ai componenti elettronici in Valvola regolatrice di pressione
i!J4il
;;;;;::;;;;;u; _ _ ...
ArialQ0.300kPa Vapori di fluorocarburi
_
~-
Oli siliconici
631 li raffreddamento a immersione
} Convezione naturale
mm
OH da trasfonnatori
Liquido di raffreddamento in uscita
Auorocarburi liquidi
Aria I 00-300 kPa Vapori di fluorocarburi
Liquido di raffreddamento in ingresso
Oli da trasformatori Fluorocarburi liquidi
Liquido dielettrico
FIGURA 16.61 Sistemi di raffreddamento a immersione a tutto-liquido: '(a) con raffreddamento interno; (b) con raffreddamento esterno.
maniera isoterma utilizzando il processo dell'ebollizione, ma la capacità complessiva del sistema è limitata dalla potenza termica che può essere sottratta dal fluido di raffreddamento esterno nello scambiatore di calore liquido-liquido. Poiché i coefficienti di scambio termico nella convezione forzata sono molto minori che nel processo di condensazione, i sistemi di raffreddamento a immersione a tutto-liquido non sono adatti per apparecchiature elettroniche aventi una potenza termica dissipata per unità di volume molto elevata. Un altro tipo di sistema di raffreddamento a immersione a tutto-liquido sottrae calore al liquido dielettrico direttamente attraverso la superficie esterna del contenitore dell'apparecchiatura elettronica, come mostrato in Figura 16.6lb. In questo caso, il calore dissipato dai componenti elettronici è assorbito dal liquido dielettrico all'interno del contenitore sigillato e trasmesso alle pareti del contenitore dove viene smaltito con mezzi esterni. Questa è la tecnica di raffreddamento a immersione più affidabile, poiché non bisogna intervenire ali' interno del contenitore dell'apparecchiatura elettronica e i componenti elettronici si trovano a funzionare in un ambiente liquido completamente sigillato. Tuttavia, l'uso di questo tipo di sistema è limitato ad applicazioni di moderata potenza termica dissipata. Infatti, la potenza dissipata è limitata dalla capacità del sistema di smaltire all'esterno il calore attraverso la superficie esterna del contenitore, che, proprio per questo motivo, viene spesso alettata, specialmente quando il raffreddamento è ad aria. In Figura 16.62 sono riportati gli intervalli tipici dei valori del coefficiente di scambio termico di vari fluidi dielettrici adatti al raffreddamento delle apparecchiature elettroniche, nei casi di convezione naturale, convezione forzata e di ebollizione. Si osservi che con lebollizione di fluoro· carburi, come l'FC78 e l'FC86, si possono ottenere coefficienti di scam2 bio termico estremamente elevati [da circa 1500 a 6000 W/(m • °C)]. I di· clorofluorocarburi i con confusi essere devono non fluorocarburi, che struttivi dello strato di ozono, sono particolarmente adatti per il raffred·
Componenti elettronici (a)
Auorocarburi liquidi in ebollizione Ventilatore Componenti Liquido dielettrico elettronici
I Il I
il IO
(b)
1111
il 100
W/(m 2 ·'C)
I Il I il 1000
Il 11
il 10000
FIGURA 16.62 Valori tipici del coefficiente di scambio termico di vari fluidi dielettrici adatti per il raffreddamento di apparecchiature elettroniche.
632 CAPITOLO 16 Il raffreddamento delle apparecchiature elettroniche
Flusso Potenza
del chip. W
termico, W/m 2
'1ìiquido::::5"C
20
I
1?
10
~
21.9
17.5
7
6 5 4
13.1 C-11;::
/
Il.O
B
/ /
A
1 10
43.8
8.8 6.6 4.4
I/ 20
punto di ebollizione fra 30°C e 174 °C, il punto di solidificazione inferiore a -50°C, sono non infiammabili, chimicamente inerti e particolarmente compatibili con i materiali utilizzati nelle apparecchiature elettroniche. In Figura 16.63 sono riportati i valori sperimentali della potenza dissipata da un chip, avente area di scambio tennico pari a 0.457 cm', mediante raffreddamento a immersione in un bagno di FC86 (punto di ebollizione -57°C), in cui la temperatura del liquido è stata mantenuta a 5°C utilizzando un opportuno scambiatore di calore. Nella zona A-B del grafico la trasmissione del calore avviene per convezione naturale, mentre nella zona B-C si ha la formazione di bolle e quindi l'inizio dell'ebollizione. Si osservi come, per effetto degli elevati coefficienti di scambio termico che si hanno in presenza di ebollizione, la temperatura superficiale del chip scenda improvvisamente quando ha inizio questo processo. Nella zona C-D la trasmissione del calore avviene per ebollizione a nuclei ed è caratterizzata da potenze termiche trasmesse molto elevate pur con differenze di temperatura relativamente piccole.
i::hip - 7ìiquido•
·e
FIGURA 16.63
Potenza tennica dissipata da un chip immerso in un bagno del fluorocarburo FC86. ~=--~-'""--,,). ~- --:.......:::;
.
2 106-
Un chip logico utilizzato dal computer IBM 3081 dissipa 4 W di potenza e ha una superficie di scambio termico di area 0.279 m', come mostrato in Figura 16.64. Se la superficie del chip deve essere mantenuta alla temperatura di 80°C utilizzando un sistema di raffreddamento a immersione in un bagno di un fluido dielettrico a 20°C, determinare il necessario coefficiente di scambio termico e la modalità di raffreddamento che permette di ottenerlo. Il coefficiente di scambio termico medio necessario può essere deSoluzione terminato con la legge di Newton della convezione termica:
Ò=
-_--:..:. ;
. _Fluido
~ ;.
dielettrico
~);[~~ FIGURA 16.64
'>chema per l'Esempio 16.18.
hA(T.,,~ -T,)
Ricavando h e sostituendo i valori assegnati, il coefficiente di scambio termico convettivo necessario è:
h-
----,
W/cm 2 . O 8 q=-=-=13.3 A 0.6 In corrispondenza di questo valore, dal diagramma si legge Pertanto: T~
ò A(T~-T,)
-
4
2 =2390W/(m ·°C)
0.279x10 .... x(B0-20)
Dalla Figura 16.62 si rileva che un valore cosl elevato del coefficiente di scambio termico può ottenersi con l'ebollizione di fluorocarburi. Pertanto, un'idonea tecnica di raffreddamento per questo caso è un raffreddamento a immersione in un bagno di fluorocarburi. Una soluzione alternativa può essere l'uso di un modulo di conduzione termica, descritto precedentemente.
I tubi di calore
--
-'~:~,:~~
T.,,,, - T,~,ldo =60°C.
=T"'"""' + 60 =15 + 60 =75°C
Quindi, se raffreddato per ebollizione in un bagno a 15°C del fluido dielettrico FC86, la superficie del chip sarà di 75°C.
I sistemi di raffreddamento a liquido sono soggetti alla possibilità di fughe e ai conseguenti problemi di affidabilità. Pertanto, il raffreddamento a immersione dovrebbe essere limitato alle applicazioni che richiedono un preciso controllo della temperatura e dissipano potenze tenniche tanto elevate da non poter essere smaltite efficacemente per conduzione o con un sistema di raffreddamento ad aria.
ESEMPIO 16.18
30 40 50 70
633
temperatura di 5°C; tuttavia, essa può essere utilizzata con un buon grado di approssimazione anche in casi che non siano molto diversi. Nel caso in esame la potenza termica dissipata per unità di superficie del chip è:
--....
~~~-~-~,,..;
FIGURA 16.65
Schema perl'Esempio 16.19.
16.11 BI I TUBI DI CALORE Un tubo di calore è un semplice dispositivo senza parti in movimento che può trasmettere notevoli quantità di calore a distanze abbastanza grandi e a temperatura essenzialmente costante, senza richiedere alcuna energia di alimentazione. Un tubo di calore è costituito fondamentalmente da un sottile tubo sigillato, rivestito sulla superficie interna con un materiale a struttura porosa (stoppino), che contiene al suo interno una piccola quantità di un fluido, ad esempio acqua, allo stato di saturazione, come mostrato in Figura 16.66. In un tubo di calore si individuano tre zone: a un'estremità la zona di evaporazione, dove viene assorbito il calore con l'evaporazione del fluido, la zona di condensazione ali' altra estremità, dove il vapore si condensa cedendo calore, e la zona adiabatica compresa tra le due precedenti, dove, completando il ciclo, la fase liquida e la fase vapore del fluido si muovono in direzioni opposte, la prima lungo la parte centrale del tubo e la seconda lungo il materiale poroso, senza significativi scambi di calore con lambiente circostante.
FIGURA 16.66
Schema di tubo di calore.
ESEMPIO 16.19 Un chip di 8 W di potenza ha l'area della superficie di scambio termico pari a 0.6 cm' ed è raffreddato per immersione in un bagno liquido di FC86 mantenuto alla temperatura di 15°C, come mostrato in Figura 16.65. Utilizzando la curva di ebollizione di Figura 16.63, valutare la temperatura superficiale del chip. Soluzione La curva di ebollizione di Figura 16.63 si riferisce a un chip avente una superficie di area 0.457 cm', raffreddato in un bagno di FC86 mantenuto alla
Vapore
nella parte centrale
Materiale a struttura porosa per il passaggio del liquido (stoppino)
del rubo di calore Sezione trasversale di un rubo di calore
I
L-----.1-----------..i ---..i ZA>na di evaporazione
Zona adiabatica
634 CAPITOLO 16 Il raffreddamento delle apparecchiature elettroniche
TABELLA 16.4 Intervalli di temperatura adeguati perl'implego di alcuni fluidi nei tubi di calore Fluido
Intervallo di temperatura,
Elio Idrogeno Neon Azoto Metano Ammoniaca Acqua
da -271 a -268 da -259 a -240 da -248 a -230 da-210 a-150 da-182 a -82 da -78 a-130 Sa 230 da da 200 a 500 da 400 a 1000 da 500 a 1200 da 850 a 1600
Mercurio Cesio
Sodio Litio
;!
:Il
•e
La scelta del fluido e della pressione di funzionamento all'interno del tubo di calore dipende dalla temperatura di funzionamento dello stesso tubo di calore. Per esempio, poiché la temperatura del punto triplo e la temperatura critica dell'acqua sono, rispettivamente, 0.01°C e 374.1°C, l'acqua può subire una trasformazione di cambiamento di fase liquidovapore o vapore-liquido soltanto in questo intervallo di temperature, per cui essa non è un fluido adatto per un tubo di calore che debba funzionare a una temperatura non compresa in quèsto intervallo. Inoltre, l'acqua può subire una trasformazione di cambiamento di fase ad una data temperatura soltanto se la sua pressione uguaglia la pressione di saturazione a quella temperatura: per esempio, se un tubo di calore avente acqua come fluido evolvente è progettato per trasmettere calore a 70°C, la pressione al suo interno deve essere mantenuta a 31.2 kPa, che è la pressione di ebollizione dell'acqua a questa temperatura, valore ben al di sotto della pressione atmosferica di 101 kPa. Se, invece, la pressione fosse mantenuta al valore della pressione atmosferica, il calore trasmesso non produrrebbe l'evaporazione dell'acqua ma solo un aumento della sua temperatura. Sebbene lacqua sia un fluido adatto per l'intervallo delle temperature, relativamente moderate, che si incontrano nel campo delle apparecchiature elettroniche, vi sono numerosi altri fluidi che possono essere utilizzati nel.la costruzione dei tubi di calore, sia per applicazioni criogeniche sia per applicazioni ad alta temperatura. In Tabella 16.4 sono riportati gli intervalli di temperatura in cui possono funzionare i tubi di calore realizzati con alcuni comuni fluidi. Si osservi che l'intervallo di temperature si estende complessivamente quasi dallo zero assoluto, per alcuni fluidi criogenici come l'elio, fino a 1600°C, per alcuni inetalli liquidi come il litio. L'intervallo di temperatura utile per un fluido utilizzato in un tubo di calore si estende dalla temperatura del punto triplo alla temperatura critica; tuttavia, nella pratica lintervallo viene maggiormente limitato per evitare le elevate pressioni e le basse entalpie di vaporizzazione che si hanno in vicinanza del punto critico. Altre caratteristiche che devono avere i fluidi per tubi di calore sono: elevata tensione superficiale in modo da aumentare l'effetto capillare; compatibilità con il materiale poroso; disponibilità; stabilità chimica; atossicità; basso costo. Il concetto di tubo di calore fu originariamente concepito e brevettato nel 1942 da R.S. Gaugler della Generai Motors Corporation. Tuttavia, il tubo di calore non suscitò molto interesse fino al 1962, quando si pensò di utilizzarlo in applicazioni spaziali. Da allora i tubi di calore hanno trovato un ampio campo di applicazioni, incluso il raffreddamento dei componenti elettronici.
Il funzionamento dei tubi di calore Il funzionamento dei tubi di calore si basa sui seguenti principi fisici: 1 Fissata la pressione, la vaporizzazione e la condensazione di un fluido avvengono a una precisa temperatura, detta temperatura di saturazio-
ne. Pertanto, fissando la pressione all'interno del tubo di calore si fissa anche la temperatura alla quale il cambiamento di fase può avvenire. 2 Fissata la pressione o la temperatura, la quantità di calore assorbita dall'unità di massa di liquido per vaporizzare è uguale alla quantità di calore che viene ceduta dal vapore ottenuto per condensare. 3 La pressione capillare che si sviluppa in un materiale poroso per effetto capillare spinge un liquido nello stesso materiale poroso vincendo persino la forza di gravità. 4
In un condotto i fluidi si muovono nel verso in cui decresce la pressione.
Inizialmente il materiale poroso del tubo di calore è saturo di liquido mentre la parte centrale è riempita di vapore. Quando la zona-evaporatore del tubo di calore è messa in contatto con una superficie calda, o è posta in un ambiente caldo, il calore si trasmette all'interno del tubo di calore facendo vaporizzare il liquido saturo e, quindi, determinando in questa zona un aumento della pressione del vapore. Questo aumento di pressione spinge il vapore lungo la parte centrale del tubo di calore dalla zona-evaporatore alla zona-condensatore. Poiché la zona-condensazione del tubo di calore è in un ambiente più freddo, il vapore condensa rilasciando il calore di vaporizzazione che viene scaricato nell'ambiente circostante. Il liquido poi, completando il ciclo, ritorna nella zona-evaporatore del tubo di calore attraverso il materiale poroso per effetto della capillarità. Il risultato finale è che il calore viene assorbito ad una estremità del tubo di calore ed è scaricato al!' altra estremità, con il fluido interno che funge da mezzo di trasporto del calore. Poiché ai processi di' ebollizione e di condensazione sono associati coefficienti di scambio termico molto elevati, è naturale aspettarsi che un tubo di calore, il cui funzionamento si basa su ripetute ebollizioni e condensazioni alternate del fluido evolvente, sia un dispositivo di trasmissione del calore estremamente efficace. Infatti, i tubi di calore hanno valori della conducibilità apparente che sono molte centinaia di volte maggiori di quelli del rame e dell'argento: ciò significa che sostituendo una barra di rame tra due ambienti a differenti temperature con un tubo di calore di uguali dimensioni si può aumentare la potenza termica trasmessa tra i due ambienti di molte centinaia di volte. Un semplice tubo di calore avente acqua come fluido evolvente ha una conducibilità termica 0 apparente dell'ordine di 100 000 W/(m · 0 C) contro circa 400 W/(m · C) del rame, e non è inusuale che un tubo di calore abbia una conducibilità apparente di 400 000 W/(m · °C), che è circa 1000 volte quella del rame. Se si considera che un tubo di calore cilindrico di lunghezza 15 cm e diametro 0.6 cm, disposto orizzontalmente e che utilizza acqua come fluido evolvente, può trasmettere una potenza termica di 300 W, ci si rende conto del motivo per cui i tubi di calore sono la soluzione preferita in alcune applicazioni critiche nonostante il loro elevato costo iniziale. Si noti che tra la zona-evaporatore e la zona-condensatore esiste una differenza di pressione abbastanza piccola e, quindi, anche una differenza di temperatura abbastanza piccola, di solito compresa tra 1°C e 5°C.
635 I tubi di calon;
636 .'APITOLO 16 I raffreddamento \elle apparecchiature
lettroniche
La costruzione di un tubo di calore
l
Lo stoppino di un tubo di calore costituisce l'elemento in cui il liquido ritorna ali' evaporatore. La sua struttura ha un notevole effetto sulle prestazioni del tubo di calore, per cui il suo progetto e la sua costruzione costituiscono gli aspetti più critici del processo di fabbricazione. Gli stoppini spesso vengono realizzati in ceramica porosa, o con una maglia intessuta di fili di acciaio, oppure mediante lavorazione di estrusione assiale lungo la superficie interna del tubo. Le prestazioni di uno stoppino dipendono dalla sua struttura. Le caratteristiche di uno stoppino possono essere modificate intervenendo sulla dimensione e sul numero dei pori presenti nell'unità di volume e sulla continuità delle vie di passaggio. Il moto della fase liquida ali' interno dello stoppino dipende dall'equilibrio dinamico tra due effetti opposti: la pressione capillare, che determina l'effetto di aspirazione che muove il liquido, e le resistenze interne al flusso causate dall'attrito tra il fluido e il materiale poroso. Una minore dimensione dei pori fa aumentare lazione capillare, perché la pressione capillare è inversamente proporzionale al raggio capillare apparente del materiale poroso, ma determina anche un aumento della forza di attrito che si oppone al moto. Pertanto, le dimensioni dei pori dovrebbero essere ridotte fin tanto che laumento della forza capillare è maggiore dell'aumento della forza di attrito. Si osservi che la dimensione ottimale dei pori dipende dal tipo di fluido e dall'orientamento del tubo di calore. Uno stoppino impropriamente progettato comporta un riempimento inàdeguato di liquido e l'insuccesso del tubo di calore. La capillarità fa sì che un tubo di calore possa funzionare in un campo gravitazionale qualunque sia il suo orientamento. Tuttavia, le prestazioni di un tubo di calore sono migliori quando le forze di capillarità e di gravità agiscono nella stessa direzione e verso (zona-evaporatore in basso), mentre sono peggiori quando queste due forze agiscono in versi opposti (zonaevaporatore in alto). Se il tubo di calore è orizzontale, la gravità non ha alcun effetto sulle prestazioni. Quando il tubo di calore viene installato in verticale con la zona-evaporatore in basso, in modo che la gravità aiuti l'azione della capillarità, la potenza termica trasmessa da un tubo di calore è circa doppia di quella trasmessa dal tubo in posizione orizzontale. Nel caso opposto, invece, in cui il tubo di calore è verticale ma con la zonaevaporatore in alto, le prestazioni decadono considerevolmente rispetto al caso di tubo di calore orizzontale poiché la forza capillare deve lavorare anche contro la forza di gravità. La maggior parte dei tubi di calore ha forma cilindrica; tuttavia, essi possono essere fabbricati in una varietà di forme: curvi a 90°, curvi a S, avvolti a spirale. Essi possono essere realizzati anche in forma di lastra piana con uno spessore di circa 0.3 cm. I tubi di calore piatti sono molto adatti per il raffreddamento di schede circuitali di elevata potenza (50 W o anche più). In questo caso il tubo di calore piatto viene fissato direttamente sulla faccia posteriore della scheda in modo da trasmettere il calore verso i bordi. Di solito, quando il pozzo termico finale è l'aria ambiente, sulla zona-condensatore del tubo di calore si montano delle alette di raffredda-
637
Zona di evaporazione
I tubi di calore
Stoppino fine Zona di condensazione
20 0':----'..,----'-~-'-,---'-~--'-~-'-~-'-~_J_~_J_~
if
w •
•
•
w
•
w
•
w
Angolo9
mento per migliorare lefficacia ed eliminare un collo di bottiglia nel percorso del flusso termico dai componenti elettronici all'ambiente. In Figura 16.67 è mostrato il calo delle prestazioni di un tubo di calore ad acqua, di lunghezza 122 cm, al variare dell'angolo formato con l'orizzontale e per tre diversi tipi di stoppini: grossolano, medio e fine. Si osservi che nel caso di tubo di calore orizzontale si ottengono le migliori prestazioni con uno stoppino grossolano, ma non appena si inclina la posizione, sollevando la zona-evaporatore, si ha un calo repentino delle prestazioni. Il tubo di calore con stoppino fine non ha in posizione orizzontale la stessa prestazione di uno con stoppino grossolano, ma mantiene a buoni livelli le sue prestazioni anche in posizioni inclinate. È evidente, quindi, che i tubi di calore che devono lavorare contro la forza di gravità devono essere dotati di stoppini fini. In Tabella 16.5 sono indicate le potenze termiche che possono essere trasmesse da vari tubi di calore. Un'importante considerazione da farsi sulle prestazioni di un tubo di calore è il loro decadimento nel tempo, poiché è accaduto che alcuni tubi di calore si siano deteriorati in appena pochi mesi di funzionamento. La principale causa del decadimenl'O sembra essere la contaminazione che si produce durante la sigillatura delle estremità del tubo di calore e che altera la pressione del vapore. Per minimizzare questa forma di contaminazione, le saldature vengono realizzate per bombardamento elettronico in camera bianca. Un'altra causa di decadimento delle prestazioni è la contaminazione dello stoppino prima che sia installato all'interno del tubo: per garantire un funzionamento affidabile per lungo tempo è essenziale curare con molta attenzione la sua pulizia. Di solito i tubi di calore vengono sottoposti a molteplici prove e processi di controllo di qualità prima di essere realmente utilizzati. Un'importante considerazione nella progettazione dei tubi di calore riguarda la compatibilità dei materiali utilizzati per il tubo, lo stoppino e il fluido, poiché reazioni chimiche tra materiali incompatibili possono produrre gas incondensabili che fanno decadere le prestazioni del tubo di calore. Per esempio, la relU!ione tra l'acciaio inossidabile e l'acqua, che si
FIGURA 16.67 Variazione delle prestazioni di un tubo di calore ad acqua in funzione dell'angolo formato con l'orizzontale.
TABELLA 16.5 Potenze termiche trasmesse da vari tubi di calore
Diametro esterno, cm
Lunghezza, cm
Potenza termica,
0.635
15.2 30.5 45.7 15.2 30.5 45.7 15.2 30.5 45.7
300 175 150 500 375 350 700 575 550
0.95 1.27
w
ì verificava in alcuni tubi di calore di vecchia generazione, produceva idrogeno che finiva per distruggere il tubo di calore stesso.
638 CAPITOLO 16 Il raffreddamento delle apparecchiature
elettroniche
1
ESEMPIO 16.20 Un tubo di c11:lore ?ilindrico, di lunghe~za 30 cm e diametro 0.6 cm, dissipa una potenza termica d1 180 W con una differenza di temperatura di 3°C tra le sue estremità, come mostrato in Figura 16.68. Volendo utilizzare una barra di rame [À = 386 W/(m · °C); p = 8950 kg/m 3) lunga 30 cm per trasmettere la stessa potenza termica, determinare il diametro e la massa della barra.
AT=3'C
~) ~:ore
!0.6cm
·.·.' ,,,180w
La potenza termica trasmessa attraverso la barra di rame può esSoluzione sere espressa nella forma:
L=30cm
FIGURA 16.68 Schema per l'Esempio 16.20.
Ò=..1.AtJ.T L dove À. è la conducibilità termica, L la lunghezza della barra e tJ. T la differenza di temperatura tra le sue estremità. Ricavando l'area A della sezione trasversale della barra e sostituendo i valori noti, si ottiene: 0.3 L . 2 2 A=---0=---x180=-0.04663m =466.3cm 386x3 MT Il diametro e la massa della barra di rame sono:
D=
f4A i4x466.3 --tr-- "'24.4 cm f;-"'
2
m = pV = p AL= 8590 x0.04663x0.3=125.2 kg Quindi, il diametro della barra di rame deve essere oltre 40 volte quello del tubo di calore per poter trasmettere la stessa potenza termica. La massa della barra 125.2 kg, rende poi impossibile il suo trasporto da parte di una persona media.'
i
smissione del calore tra la giunzione di un componente elettronico e il suo involucro. Tale resistenza termica deve essere la più bassa possibile in modo da minimizzare l'innalzamento della temperatura della giunzione rispetto a quella dell'involucro. Poiché la piastra di resina epossidica utilizzata per i circuiti stampati è un cattivo conduttore di calore, nei sistemi cli raffreddamento a conduzione è necessario utilizzare una placcatura di rame, o fissare la piastra a circuito stampato a un telaio termico. I sistemi elettronici di bassa potenza possono essere raffreddati efficacemente per convezione naturale e irraggiamento. La potenza termica trasmessa per convezione da una superficie a temperatura T a un fluido a ' temperatura T, è espressa dalla relazione:
~onv = hA(T, -Tf)
dove h è il coefficiente di scambio termico convettivo e A larea della superficie cli scambio termico. Il coefficiente di scambio termico per convezione naturale, nel caso cli flusso laminare di aria a pressione atmosferica, può essere determinato con la relazione semplificata:
!J.T Jo.2s
h=K( L
I:
I
[W/(m2. oc)]
dove !J.T = T, - T, è la differenza di temperatura tra la superficie e il fluido, L la dimensione caratteristica (la lunghezza del percorso del flusso termico nel corpo) e K una costante il cui valore è dato in Tabella 16.1. Le relazioni della Tabella 16.1 possono essere utilizzate anche per pressioni diverse da
JP,
dove p è la pressione dell'aria in at101 325 Pa moltiplicandole per mosfere. La potenza termica scambiata per irraggiamento tra una superficie a temperatura T e una superficie molto più grande che la circonda completamente e che sl trova a temperatura T,1rc può essere espressa nella forma: (W)
16.12 lii SOMMARIO Poiché il passaggio di corrente elettrica attraverso una resistenza è sempre accompagnato da generazione di calore, l'obiettivo della progettazione termica di un'apparecchiatura elettronica è il trasferimento del calore generato dai componenti elettronici verso l'ambiente circostante in modo dagarantire un funzionamento sicuro. In questo capitolo sono state illustrate numerose tecniche di raffreddamento comunemente utilizzate nelle apparecchiature elettroniche, come il raffreddamento per conduzione, il raffreddamento per convezione naturale e irraggiamento, il raffreddamento per convezione forzata ad aria, il raffreddamento a liquido, il raffreddamento a immersione e il raffreddamento con tubi di calore. In ?n chip il calore generato alla giunzione viene trasmesso per conduzione attraverso lo spessore del chip, il materiale di fissaggio, il telaio principale, l'involucro e i terminali. La resistenza tennica giunzioneinvolucro, Rgiunziooe·involucro' rappresenta la resistenza termica totale alla tra-
(W)
dove eè l'emissività della superficie, A la sua area e crla costante di StefanBoltzmann, il cui valore è O"= 5.67 x 10..S W/(m2 • K4). Il flusso di un fluido su un corpo, come un transistor, è detto flusso esterno, mentre il flusso all'interno di uno spazio confinato, come in un tubo o nel!' area di passaggio esistente tra due schede circuitali parallele inserite in un contenitore, è detto flusso interno. Il flusso di un fluido è detto anche laminare o turbolento in base al valore del numero di Reynolds. Il coefficiente di scambio termico convettivo è espresso, di solito, median· te il numero di Nusselt: À.
h=-Nu D
[W/(m2 · 0C)]
dove À. è la conducibilità termica del fluido e D la dimensione caratteristica della geometria interessata. Relazioni che forniscono il valore del nu-
639 Sommari11
640 CAPITOLO 16 li raffreddamento delle apparecchiature elettroniche
mero di Nusselt medio, ricavate da dati sperimentali, sono riportate in Tabella 16.2 per il caso di flusso esterno, e in Tabella 16.3 per il caso di flusso interno laminare in condizioni di uniforme generazione di calore, che ben approssima il caso delle apparecchiature elettroniche. Nei sistemi raffreddati ad aria forzata, la potenza termica trasmessa può anche essere espressa con la relazione:
dove Q è la potenza termica trasmessa all'aria, cP il calore specifico a pressione costante dell'aria, T e T le temperature medie dell'aria entrante e dell'aria uscente, rispettiva~ent~, e rii la portata massica dell'aria. I coefficienti di scambio termico dei liquidi sono di solito un ordine di grandezza più grandi di quelli dei gas. I sistemi di raffreddamento a liquido possono essere suddivisi in sistemi di raffreddamento diretto e sistemi di raffreddamento indiretto. Nei sistemi di raffreddamento diretto, i componenti elettronici sono a diretto contatto con il liquido e, quindi, il calore da essi generato si trasferisce direttamente al liquido. Nei sistemi di raffreddamento indiretto, invece, non c'è alcun contatto diretto tra liquido e componenti elettronici. I sistemi di raffreddamento a liquido sono anche suddivisi in sistemi a circuito chiuso e sistemi a circuito aperto in base al fatto che il liquido sia scaricato nell'ambiente o rimesso in circolazione dopo essersi riscaldato. Nel raffreddamento a liquido diretto e nel raffreddamento a immersione possono essere utilizzati soltanto fluidi dielettrici. I componenti elettronici di elevata potenza possono essere raffreddati efficacemente per immersione in un liquido dielettrico in modo da sfruttare gli elevati coefficienti di scambio tenmco che si hanno in presenza di ebollizione. Il più semplice tipo di sistema di raffreddamento a immersione utilizza un serbatoio esterno che fornisce continuamente il liquido al contenitore dell'apparecchiatura elettronica. Questo sistema di raffreddamento a immersione a circuito aperto è semplice ma spesso impraticabile. I sistemi di raffreddamento a immersione di solito funzionano a circuito chiuso, condensando il vapore e ricircolandolo senza scaricarlo nell'atmosfera. Un tubo di calore è fondamentalmente un piccolo tubo sigillato, contenente sulla superficie interna un rivestimento a struttura porosa, capace di trasferire, a temperatura essenzialmente costante, notevoli quantità di calore a distanze abbastanza grandi, senza richiedere alcuna energia. Il tipo di fluido e la pressione di funzionamento all'interno del tubo di calore dipendono dalla temperatura di funzionamento del tubo di calore.
Letture consigliate Alfano G., Fisica tecnica, Liguori, Napoli 1984. Alfano G., Filippi M., Sacchi E., Impianti di climatizzazione per l'edilizia, Masson, Milano 1997. Bonacina C., Cavallini A., Mattarolo L., Trasmissione del calore, CLEUP, Padova 1989. Cavallini A., Mattarolo L., Termodinamica applicata, CLEUP, Padova 1992. Duffie J.A., Beckman W.A., L'energia solare nelle applicazioni tecniche, Liguori, Napoli 1978. Fermi E., Termodinamica, Boringhieri, Torino 1968. Guglielmini G., Pisoni C., Elementi di trasmissione del calore, Masson, Milano 1996. Kreith F., Principi di trasmissione del calore, Liguori, Napoli 1975. Pizzetti C., Condizionamento dell'aria e refrigerazione, Masson, Milano 1977. Zemansky M.W., Calore e termodinamica, Zanichelli, Bologna 1970.
Tabelle delle proprietà e diagramllli
-
-
·-
-
-~
·------.
----
TABELLAA.2 Calori specifici di gas perfetto dei diversi gas comuni
TABELLAA.1 Massa molare, costante dei gas e proprietà di punto critico
Sostanza Acqua Alcool etilico Alcool metilico Ammoniaca Argon Aria Azoto Benzene Bromo n-Butano Carbonio, biossido di Carbonio, monossido di Carbonio, tetracloruro Cloro Cloroformio Cloruro di metile Cripto Diclorodifluorometano (R-12) Diclorofluorometano (R-21) Elio n-Esano Etano Etilene Idrogeno (normale) Metano Neon Ossido nitroso Ossigeno Propano Propilene Tetrafluoretano (R-134a) Triclorofluoretano (R-11) Xeon Zolfo, biossido di
Formula H,O C,H.OH CH,OH NH, Ar
N, C,H, Br, C4 H, 0 CO, CO
cci. Cl, CHCI, CH,CI Kr CCl,F, CHCl,F He C,H,. C,H, C,H, H, CH. Ne N,O
o,
C,H, C,H, CF,CH,F CCl,F Xe So,
M Massa molare ka/kmol
18.015 46.070 32.042 17.030 39.948 28.970 28.013 78.115 159.808 58.124 44.010 28.011 153.820 70.906 119.380 50.488 83.800 120.910 102.920 4.003 86.179 30.070 28.054 2.016 16.043 20.183 44.013 31.999 44.097 42.081 102.03 137.37 131.30 64.063
R Proprietà di punto critico Costante dei gas Temperatura Pressione Volume kJllka·Kl' K MPa m'/kmol 0.4615 22.09 0.0568 647.3 0.1805 516 6.38 0.1673 0.2595 513.2 7.95 0.1180 0.4882 405.5 11.28 0.0724 0.2081 151 4.86 0.0749 0.2870 132.5 3.77 0.0883 0.2968 126.2 3.39 0.0899 0.1064 562 4.92 0.2603 0.0520 584 10.34 0.1355 425.2 0.1430 3.80 0.2547 0.1889 304.2 7.39 0.0943 0.2968 133 3.50 0.0930 0.05405 556.4 4.56 0.2759 0.1173 417 7.71 0.1242 0.06964 536.6 5.47 0.2403 416.3 0.1647 6.68 0.1430 0.09921 209.4 5.50 0.0924 0.06876 384.7 4.01 0.2179 0.08078 451.7 5.17 0.1973 2.0769 5.3 0.23 0.0578 0.09647 507.9 3.03 0.3677 0.2765 305.5 4.48 0.1480 0.2964 282.4 5.12 0.1242 4.1240 33.3 1.30 0.0649 0.5182 191.1 4.64 0.0993 0.4119 44.5 2.73 0.0417 0.1889 309.7 7.27 0.0961 154.8 0.2598 5.08 0.0780 0.1885 370 4.26 0.1998 0.1976 365 4.62 0.1810 0.08149 374.3 4.067 0.1847 0.06052 471.2 4.38 0.2478 0.06332 289.8 5.88 0.1186 0.1298 430.7 7.88 0.1217
=
*L'unità kJ/(kg · K) è equivalente a kPa · m>/(kg · K). La costante dei gas è calcolata con R R.IM, dove R" e M è la massa molare.
(a) A 300 K
Gas Aria Argon Butano Carbonio, biossido di . Carbonio, monossido di Etano Etilene Elio Idrogeno Metano Neon Azoto Ottano Ossigeno Propano Vapore
Formula Ar C.H10 CO, CO C,H, C2 H4 He H, CH4 Ne
N, C8 H, 8
o,
C3 H8 H20
Costante dei gas R kJ/(kg · K) 0.2870 0.2081 0.1433 0.1889 0.2968 0.2765 0.2964 2.0769 4.1240 0.5182 0.4119 0.2968 0.0729 0.2598 0.1885 0.4615
kJ/(kg · K)
o kJ/(kg • K)
1.005 0.5203 1.7164 0.846 1.040 1.7662 1.5482 5.1926 14.307 2.2537 1.0299 1.039 1.7113 0.918 1.6794 1.8723
0.718 0.3122 1.5734 0.657 0.744 1.4897 1.2518 3.1156 10.183 1.7354 0.6179 0.743 1.6385 0.658 1.4909 1.4108
Cp0
Co
k
1.400 1.667 1.091 1.289 1.400 1.186 1.237 1.667 1.405 1.299 1.667 1.400 1.044 1.395 1.126 1.327
Fonte: Gordon J. Van Wylen e R. e. sonntag, Fundamentals of Classica/ Thermodynamics, English/SI Version, 3' ed., Wiley, New York 1986, p. 687, Tab. A.851.
=8.314 kJ/(kmol · K)
Fonte: K.A. Kobe, R.E. Lynn Jr., «Chemical Review», 1953, voi. 52, pp. 117-236, e ASHRAE Handbook of Fundamentals, American Society of Heating, Refrigerating and Air-Conditioning Engineers, lnc., Atlanta (GA) 1993, pp. 16.4 e 36.1.
644
645
TABELLAA.2 Calori specifici di gas perfetto dei diversi gas comuni (continua)
TABELLAA.2 Calori specifici di gas perfetto del diversi gas comuni (continua) (e) Come funzione della temperatura
(b) A diverse temperature
li
I I:
l·
I
Temperatura K 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 900 1000
Cp0
CO()
kJ/(kg • K)
kJ/(kg • K) Aria
1.003 1.005 1.008 1.013 1.020 1.029 1.040 1.051 1.063 1.075 1.087 1.099 1.121 1.142
0.716 0.718 0.721 0.726 0.733 0.742 0.753 0.764 0.776 0.788 0.800 0.812 0.834 0.855
k 1.401 1.400 1.398 1.395 1.391 1.387 1.381 1.376 1.370 1.364 1.359 1.354 1.344 1.336
Cp0
Coo
Cp0
Coo
kJ/(kg • K)
kJ/(kg • K)
kJ/(kg • K)
kJ/(kg · K)
k Biossido di carbonio, CO,
0.791 0.846 0.895 0.939 0.978 1.014 1.046 1.075 1.102 1.126 1.148 1.169 1.204 1.234
Idrogeno, H, 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 900 1000
14.051 14.307 14.427 14.476 14.501 14.513 14.530 14.546 14.571 14.604 14.645 14.695 14.822 14.983
9.927 10.183 10.302 10.352 10.377 10.389 10.405 10.422 10.447 10.480 10.521 10.570 10.696 10.859
0.602 0.657 0.706 0.750 0.790 0.825 0.857 0.886 0.913 0.937 0.959 0.980 1.015 1.045
1.314 1.288 1.268 1.252 1.239 1.229 1.220 1.213 1.207 1.202 1.197 1.193 1.186 1.181
Monossido di carbonio, CO 1.039 1.040 1.043 1.047 1.054 1.063 1.075 1.087 1.100 1.113 1.126 1.139 1.163 1.185
Azoto, N, 1.416 1.405 1.400 1.398 1.398 1.397 1.396 1.396 1.395 1.394 1.392 1.390 1.385 1.380
1.039 1.039 1.041 1.044 1.049 1.056 1.065 1.075 1.086 1.098 1.110 1.121 1.145 1.167
0.742 0.743 0.744 0.747 0.752 0.759 0.768 0.778 0.789 0.801 0.613 0.825 0.849 0.670
0.743 0.744 0.746 0.751 0.757 0.767 0.778 0.790 0.803 0.816 0.829 0.842 0.866 0.888
1.400 1.399 1.398 1.395 1.392 1.387 1.382 1.376 1.370 1.364 1.358 1.353 1.343 1.335
Ossigeno, O, 1.400 1.400 1.399 1.397 1.395 1.391 1.387 1.382 1.376 1.371 1.365 1.360 1.349 1.341
e,..a + bT + cT' +dr' [T in K, e,. in kJ/(kmol • K)]
k
0.913 0.918 0.928 0.941 0.956 0.972 0.988 1.003 1.017 1.031 1.043 1.054 1.074 1.090
0.653 0.658 0.668 0.681 0.696 0.712 0.728 0.743 0.758 0.771 0.783 0.794 0.814 0.830
1.398 1.395 1.389 1.382 1.373 1.365 1.358 1.350 1.343 1.337 1.332 1.327 1.319 1.313
Sostanza
Formula
AzOO
N,
Ossigeno
Aria Idrogeno Carbcnio. rnoross. Carbcnio, OOssi:lo Vapor d'acqua Ossido ni1Iico Ossido nitroso /w:JID, OOssi:lo di
Animoniaca Zolfo Zolfo, biossido di Zolfo, triossido di Acetilene Benzene
Metanolo Etanolo Idrogeno, doruro di Metano
Etano Propano n-8utano /.8ulanO
n-Pentano n-Esano
Etilene Propilene
o, H, CO
co, H2 0. NO N2 0 N02 NH3
s, so, so,
C2H2 C6H6 CH4 0 C2 Ho0 HCI CH 4 C2Hs
C3Ha C4H10 C4 H, 0 CsH12 CaH14 C2H4 C3Ha
d
e 26.90 25.48 28.11 29.11 28.16 22.26 32.24 29.34 24.11 22.9 27.568 27.21 25.76 16.40 21.8 -36.22 19.0 19.9 30.33 19.89 6.900 -4.04 3.96 -7.913 6.774 6.938 3.95 3.15
-0.1571 1.520 0.1967 -0.1916 0.1675 5.981 0.1923 -0.09395 5.8632 5.715 2.5630 2.218 5.795 14.58 9.2143 48.475 9.152 20.96 -0.7620 5.024 17.27 30.48 37.15 41.60 45.43 55.22 15.64 23.83
10- 2
X
X 10- 2 x.10· 2 X 10- 2 X 10- 2
X X X X
10- 2 10- 2 10- 2 10- 2
X 10- 2 X 10- 2
X 10- 2 X 10- 2 X
10- 2
X
10- 2
X 10- 2 X 10- 2
10- 2 X 10· 2
X
X
10- 2
X 10- 2 X 10- 2 X 10- 2 X 10-2 X 10- 2 X
10- 2
X 10- 2 X 10- 2
0.8081 -0.7155 0.4802 0.4003 0.5372 -3.501 1.055 0.9747 -3.562 -3.52 0.99072 -1.628 -3.612 -11.20 -6.527 -31.57 -1.22 -10.38 1.327 1.269 -6.406 -15.72 -16.34 -23.01 -22.46 -28.65 -8.344 -12.18
X
10-s
X 10-
5
X 10- 5 X 10- 5 X 10-s X 10- 5 X 10-s X 10- 5 X 10- 5 X 10-5 5 X 10X 10- 5 X 10-s X 10-5
10-s X 10-S X 10- 5 X 10-S X 10-5 X 10- 5 X 10-s X 10-s X 10-s X 10- 5 X 10-s X 10- 5 X 10-s
X
X 10-5
-2.873 1.312 -1.966 -0.8704 -2.222 7.469 -3.595 -4.187 . 10.58 7.87 -6.6909 3.966 8.612 32.42 18.21 77.62 -8.039 20.05 -4.338 -11.01 7.285 31.74 35.00 49.91 42.29 57.69 17.67 24.62
X 10- 9
Intervallo di temperatura li
273-1800 X 10273-1800 9 X 10273-1800 9 273-1800 X 10X 10-9 273-1800 X 10- 9 273-1800 X 10-9 273-1800 9 273-1500 X 10X 10- 9 273-1500 9 X 10· 273-1500 X 10- 9 273-1500 9 X 10- . 273-1800 X 10" 9 273-1800 X 10- 9 273-1300 X 10- 9 273-1500 X 10- 9 273-1500 9 X 10273-1000 X 10- 9 273-1500 X 10- 9 273-1500 X 10- 9 273-1500 X 10- 9 273-1500 X 10- 9 273-1500 X 10- 9 273-1500 X 10- 9 273-1500 X 10-9 273-1500 X 10-9 273-1500 X 10- 9 273-1500 X 10- 9 273-1500 9
% errore Max. 0.59 1.19 0.72 1.01 0.89 0.67 0.53 0.97 0.59 0.46 0.91 0.99 0.45 0.29 1.46 0.34 0.18 0.40 0.22 1.33 0.83 0.40 0.54 0.25 0.56 0.72 0.54 0.73
Med. 0.34 0.28 0.33 0.26 0.37 0.22 0.24 0.36 0.26 0.18 0.36 0.38 0.24 0.13 0.59 0.20 0.08 0.22 0.08 0.57 0.28 0.12 0.24 0.13 0.21 0.20 0.13 0.17
Fonte: B.G. Kyle, Chemical and Process Thennodynamics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, (NJ) 1984. Con permesso di utilizzo.
· · Fonte: K. Wark, Thermodynamics 4' 1ed McGraw-H·n New 'Il0 rk 1983• p. 783·• Tab. A-4M. Onginariamente pubblicato in Tables of Thermal Properties of Gases, NBS Circ. 9
s64. 55.
646
'·'
647
TABELLAA.3 Proprietà di liquidi, solidi, e cibi comuni (continua)
TABELLAA.3 Proprietà di liquidi, solidi e cibi comuni (a) Liquidi Dati di ebollizione a 1 atm
Sostanza
Ammoniaca
Punto normale di ebollizione °C
-33.3
(b) Solidi (i valori si riferiscono alla temperatura ambiente, se non indicato diversamente)
Calore latente di
vaporizzazione h1u kJ/kg
1357
Proprietà del liquido
Dati di congelamento
di fusione Punto di congelamento°C kJ/kg
-77.7
322.4
hlf
Temp.
•e
-33.3 -20
o -185.9 Argon Benzene 80.2 Salamoia (20% in massa 103.9 di cloruro di sodio)
161.6 394
n-Butano Carbonio, biossido di Etanolo Glicole etilenico Alcool etilico Glicerina Elio Idrogeno Isobutano Petrolio Mercurio Metano
-0.5 -78.4. 78.2 198.1 78.6 179.9 -268.9 -252.8 -11.7 204-293 356.7 -161.5
385.2 230.5 (a O'C) 838.3 800.1 855 974 22.8 445.7 367.1 251 294.7 510.4
-138.5 -56.6 -114.2 -10.8 -156 18.9 -259.2 -160 -24.9 -38.9 -182.2
59.5 105.7
Metanolo Azoto
64.5 -195.8
1100 198.6
-97.7 -210
99.2 25.3
124.8
306.3
-57.5
180.7
-218.8
13.7
-187.7
80.0
Ottano Olio (leggero) Ossigeno Petrolio grezzo Propano
-183
-
-42.1
-
212.7 230-384 427.8
-189.3 5.5 -17.4
-
28 126
-
80.3
25 -185.6 20
20 -0.5
o 109 181.1 108 200.6
-
-
11.4 58.4
25 20 20 20 -268.9 -252.8 -11.7 20 25 -161.5 -100 25 -195.8 -160 20 25 -183 20 -42.1
o Refrigerante-134a
-26.1
216.8
-96.6
-
50
-50 -26.1
o Acqua
100
2257
o.o
25 333.7
o
25
50 75 100
Densità
Calore specifico
p kg/m'
e, kJ/(kg • 'C)
682 665 639 602 1394 879 1150
4.43 4.52 4.60 4.80 1.14 1.72 3.11
601 298 783 1109 789 1261 146.2 70.7 593.8 820 13560 423 301 787 809 596 ·703 910 1141 640 581 529 449 1443 1374 1294 1206 1000 997 988 975 958
2.31 0.59 2.46 2.84 2.84 2.32 22.8 10.0 2.28 2.00 0.139 3.49 5.79 2.55 2.06 2.97 2.10 1.80 1.71 2.0 2.25 2.53 3.13 1.23 1.27 1.34 1.42 4.23 4.18 4.18 4.19 4.22
• T~mperatura di sublimazione (a pressioni al di sotto della pressione di punto triplo di 518 kPa, il biossido di carbonio esiste sotto forma di sohdo o gas. Inoltre, la temperatura di punto di refrigerazione del biossido di carbonio è la temperatura di punto triplo di - 56.5'C).
648
Calore specifico cp kJ/(kg · 'C)
Densità
Calore latente
pkg/m 3
Sostanza
Calore Densità speci!ico e, pkg/~m~'~~--'k~J~/(k~g~/m.::_·'~C~)~
Sostanza
Non metalli
Metalli Alluminio 200K 250K 300K 350K 400K
0.797 0.859 0.902 0.929 0.949 0.973 0.997
2,700
450K 500K Bronzo (76% Cu, 2% Zn, 2%AI) Ottone, giallo (65% Cu, 35% Zn) Rame -173'C -100'C -50'C
8,280
0.400
8,310
0.400
8,900
Ferro Piombo Magnesio Nichel Argento Acciaio, dolce Tungsteno
7,840 11,310 1,730 8,890 10,470 7,830 19,400
0.440 0.235 0.500
0.130
0.920 0.79 0.960 0.653 0.920 0.616 0.800 0.840 0.711 1.017 1.09
2110 1922 2300 2300 1000 2420 2700 2230 2500 2700 800
Ghiaccio 200K 220K 240K 260K 273K Calcare Marmo Legno compensato (Abete Douglas) Gomma (morbida) Gomma (dura) Sabbia Pietra Legno, duro (acero, quercia, ecc.) Legno, dolce (abete, pino, ecc.)
0.254 0.342 0.367 0.381 0.386 0.393 0.403 0.45 0.128 1.000
o•c 27'C 100'C 200'C
Asfalto Mattone, comune Mattone, argilla refrattaria (500'C) Calcestruzzo Argilla Diamante Vetro, finestra Vetro, pyrex Grafite Granito Gesso o intonaco in pannelli
921 1650 2600 545 1100 1150 1520 1500 721 513
1.56 1.71 1.86 2.01 2.11 0.909 0.880 1.21 1.840 2.009 0.800 0.800 1.26 ____1_.3_8_ _ _ __
(e) Cibi
Cibo Mele
Banane
Contenuto
Punto di
d'acqua
congela-
%(massa)
mento'C
84
75 67 Manzo, girello 90 Broccoli Burro 16 Fonnaggio. svizzero 39 80 Ciliegle 74 Pollo 74 Grano, dolce 74 Uova, intere Gelato 63
Calore specifico kJ/(kg • 'C) Sopra I congela-
mento
-0.6
3.65 3.35 3.06 3.86
-10.0 -1.8 -2.8 -0.6 -0.6 5.6
2.15 3.52 3.32 3.32 3.32 2.95
-1.Ì -0.6
-·
congela-
mento
1.90 1.76 1.88 1.97 1.04 1.33 1.85 1.77 1.77 1.77 1.63
Calora latente
I
di tuslone
kJ/kg
261 251 224 301 53 130 267 247 247 247 210
d'acqua
Punto di congela-
%(massa)
mento'C
Contenuto
Cibo Lattuga
Latte, Intero Arance Patate Salmone Gamberetti Spinaci Fragole Pomodori, maturi Tacchino Anguria
95 88
et 76 64 83
93 90 94 64 93
-0.2 -0.6 -0.8 -0.6 -2.2 -2.2 -0.3 -0.8 -0.5 -0.4
Calore specifico kJ/(kg · 'C) Sopra H congela-
Sollo H congela-
mento
mento
4.02 3.79 3.75 3.45 2.98 3.62 3.96 3.86 3.99 2.98 3.96
2.04 1.95 1.94 1.82 1.65 1.89 2.01 1.97 2.02 1.65 2.01
Calore latente di fusione
kJ/kg
317 294 291 261 214 277 311 301 314 214 311
Fonte· I valori sono ottenuti da diversi manuali e altre fonti o sono calcolati. I dati di contenuto d'acqua e punto di congela.n:e~to d:i C!bi sono tratti da ASHRAE: Handbook of Fundamentals, SI version, American Society of Heating, Refrigerating and Air-Cond1t1omng ngmeers, lnc., Manta (GA) 1993, Cap. 30, Tab. 1. Il punto di congelamento è la temperatura a cui Inizia Il congelamento per frutta e verdura e la temperatura media di congelamento per gli altri cibi.
649
.,
TABELLAA.4 Açqua satura: tabella in temperatura (continua)
!'
TABELLAA.4 Açqua satura: tabella in temperatura
Press. Temp. sai. T
•e 0.01 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95
Energia interna kJ/kg
Volume specifico m'/kg
Entalpia kJ/kg
p.,
Liquido sat.
Vapore sai.
Liquido sat. Evap.
Vapore Liquido sai. sat. Evap.
kPa
Ot
Uu
lit
llu
0.6113 0.8721 1.2276 1.7051 2.339 3.169 4.246 5.628 7.384 9.593 12.349 15.758 19.940 25.03 31.19 38.58 47.39 57.83 70.14 84.55 Press. sa!.
0.001000 0.001000 0.001000 0.001001 0.001002 0.001003 0.001004 0.001006 0.001008 0.001010 0.001012 0.001015 0.001017 0.001020 0.001023 0.001026 0.001029 0.001033 0.001036 0.001040
206.14 147.12 106.38 77.93 57.79 43.36 32.89 25.22 19.52 15.26 12.03 9.568 7.671 6.197 5.042 4.131 3.407 2.828 2.361 1.982
UJu
o.o
ht
htu
Entropia kJ/(kg • K) Vapore Liquido sat. sat. Evap.
Vapore sat.
ho
S1.1
S/
Sfu
20.97 42.00 62.99 83.95 104.88 125. 78 146.67 167.56 188.44 209.32 230.21 251.11 272.02 292.95 313.90 334.86 355.84 376.85 397.88
2375.3 2361.3 2347.2 2333.1 2319.0 2304.9 2290.8 2276. 7 2262.6 2248.4 2234.2 2219.9 2205.5 2191.1 2176.6 2162.0 2147.4 2132.6 2117.7 2102.7
2375.3 2382.3 2389.2 2396.1 2402.9 2409.8 2416.6 2423.4 2430.1 2436.8 2443.5 2450.1 2456.6 2463.1 2469.6 2475.9 2482.2 2488.4 2494.5 2500.6
0.01 20.98 42.01 62.99 83.96 104.89 125.79 146.68 167.57 188.45 209.33 230.23 251.13 272.06 292.98 313.93 334.91 355.90 376.92 397.96
2501.3 2489.6 2477.7 2465.9 2454.1 2442.3 2430.5 2418.6 2406.7 2394.8 2382.7 2370.7 2358.5 2346.2 2333.8 2321.4 2308.8 2296.0 2283.2 2270.2
2501.4 2510.6 2519.8 2528.9 2538.1 2547.2 2556.3 2565.3 2574.3 2583.2 2592.1 2600.9 2609.6 2618.3 2626.8 2635.3 2643.7 2651.9 2660.1 2668.1
0.000 0.0761 0.1510 0.2245 0.2966 0.3674 0.4369 0.5053 0.5725 0.6387 0.7038 0.7679 0.8312 0.8935 0.9549 1.0155 1.0753 1.1343 1.1925 1.2500
9.1562 8.9496 8.7498 8.5569 8.3706 8.1005 8.0164 7.8478 7.6845 7.5261 7.3725 7.2234 7.0784 6.9375 6.8004 6.6669 6.5369 6.4102 6.2866 6.1659
9.1562 9.0257 8.9008 8.7814 8.6672 8.5580 8.4533 8.3531 8.2570 8.1648 8.0763 7.9913 7.9096 7.8310 7.7553 7.6824 7.6122 7.5445 7.4791 7.4159
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419.04 440.15 461.30 482.48 503.71 524.99 546.31 567.69 589.13 610.63 632.20 653.84 675.55 697.34 719.21 741.17 763.22 785.37 807.62 829.98
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2676.1 2683.8 2691.5 2699.0 2706.3 2713.5 2720.5 2727.3 2733.9 2740.3 2746.5 2752.4 2758.1 2763.5 2768.7 2773.6 2778.2 2782.4 2786.4 2790.0.
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MPa
100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195
650
0.10133 0.12082 0.14327 0.16906 0.19853 0.2321 0.2701 0.3130 0.3613 0.4154 0.4758 0.5431 0.6178 0.7005 0.7917 0.8920 1.0021 1.1227 1.2544 1.3978
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Press. Temp. sai. T p•• •e MPa
Liquido sai.
Vapore sai.
Ut
Uo
200 205 210 215 220 225 230 235 240 245 250 . 255 260 265 270 275 280 285 290 295 300 305 310 315 320 330 340 350 360 370 374.14
0.001157 0.001164 0.001173 0.001181 0.001190 0.001199 0.001209 0.001219 0.001229 0.001240 0.001251 0.001263 0.001276 0.001289 0.001302 0.001317 0.001332 0.001348 0.001366 0.001384 0.001404 0.001425 0.001447 0.001472 0.001499 0.001561 0.001638 0.001740 0.001893 0.002213 0.003155
1.5538 1.7230 1.9062 2.104 2.318 2.548 2.795 3.060 3.344 3.648 3.973 4.319 4.688 5.081 5.499 5.942 6.412 6.909 7.436 7.993 8.581 é.202 9.856 10.547 11.274 12.845 14.586 16.513 18.651 21.03 22.09
0.12736 0.11521 0.10441 0.09479 0.08619 0.07849 0.07158 0.06537 0.05976 0.05471 0.05013 0.04598 0.04221 0.03877 0.03564 0.03279 0.03017 0.02777 0.02557 0.02354 0.02167 0.019948 0.018350 0.016867 0.015488 0.012996 0.010797 0.008813 0.006945 0.004925 0.003155
Liquido sat. Evap.
Vapore Liquido sai. sai. Evap.
UJ
Uu
850.65 873.04 895.53 918.14 940.87 963.73 986.74 1009.89 1033.21 1056.71 1080.39 1104.28 1128.39 1152.74 1177.36 1202.25 1227.46 1253.00 1278.92 1305.2 1332.0 1359.3 1387.1 1415.5 1444.6 1505.3 1570.3 1641.9 1725.2 1844.0 2029.6
Ufu
1744.7 1724.5 1703.9 1682.9 1661.5 1639.6 1617.2 1594.2 1570.8 1546.7 1522.0 1596.7 1470.6 1443.9 1416.3 1387.9 1358.7 1328.4 1297.1 1264.7 1231.0 1195.9 1159.4 1121.1 1080.9 993.7 894.3 776.6 626.3 384.5
o
2595.3 2597.5 2599.5 2601.1 2602.4 2603.3 2603.9 2604.1 2604.0 2603.4 2602.4 2600.9 2599.0 2596.6 2593.7 2590.2 2586.1 2581.4 2576.0 2569.9 2563.0 2555.2 2546.4 2536.6 2525.5 2498.9 2464.6 2418.4 2351.5 2228.5 2029.6
Entropia kJ/(kg • K)
Entalpia kJ/kg
Energia Interna kJ/kg
Volume specifico m'/kg
hi
852.45 875.04 897.76 920.62 943.62 966.78 990.12 1013.62 1037.32 1061.23 1085.36 1109.73 1134.37 1159.28 1184.51 1210.07 1235.99 1262.31 1289.07 1316.3 1344.0 1372.4 1401.3 1431.0 1461.5 1525.3 1594.2 1670.6 1760.5 1890.5 2099.3
h1u
1940.7 1921.0 1900.7 1879.9 1858.5 1836.5 1813.8 1790.5 1766.5 1741.7 1716.2 1689.8 1662.5 1634.4 1605.2 1574.9 1543.6 1511.0 1477.1 1441.8 1404.9 1366.4 1326.0 1283.5 1238.6 1140.6 1027.9 893.4 720.3 441.6
o
Vapore Liquido sai. sai. Evap.
Vapore sai.
h,_,
Su
2793.2 2796.0 2798.5 2800.5 2802.1 2803.3 2804.0 2804.2 2803.8 2803.0 2801.5 2799.5 2796.9 2793.6 2789.7 2785.0 2779.6 2773.3 2766.2 2758.1 2749.0 2738.7 2727.3 2714.5 2700.1 2665.9 2622.0 2563.9 2481.0 2332.1 2099.3
SJ
2.3309 2.3780 2.4248 2.4714 2.5178 2.5639 2.6099 2:6558 2.7015 2.7472 2.7927 2.8383 2.8838 2.9294 2.9751 3.0208 3.0668 3.1130 3.1594 3.2062 3.2534 3.3010 3.3493 3.3982 3.4480 3.5507 3.6594 3. 7777 3.9147 4.1106 4.4298
Sfo
4.1014 4.0172 3.9337 3.8507 3.7683 3.6863 3.6047 ;J.5233 3.4422 3.3612 3.2802 3.1992 3.1181 3.0368 2.9551 2.8730 2.7903 2.7070 2.6227 2.5375 2.4511 2.3633 2.2737 2.1821 2.0882 1.8909 1.6763 1.4335 1.1379 0.6865
o
6.4323 6.3952 6.3585 6.3221 6.2861 6.2503 6.2146 6.1791 6.1437 6.1083 6.0730 6.0375 6.0019 5.9662 5.9301 5.8938 5.8571 5.8199 5.7821 5.7437 5.7045 5.6643 5.6230 5.5804 5.5362 5.4417 5.3357 5.2112 5.0526 4.7971 4.4298
Fonte per le tabelle da A.4 fino ad A.6: J.H. Keenan, F.G. Keyes, P.G. Hill e J.G. Moore, Sleam Tab/es, SI Units, Wiley, New York 1978.
651
TABELLAA.5 Acqua satura: tabella in pressione (co11tit111a)
TABELLAA.5 Acqua satura: tabella in pressione
~~~~~~~~~~~~-
Press. Temp. sat.
kPa
0.6113 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 5.0 7.5 10 15 20 25 30 40 50 75
[C
Volume specifico m'/kg Liquido sat. U1
0.01 6.98 13.03 17.50 21.08 24.08 28.96 32.88 40.29 45.81 53.97 60.06 64.97 69.10 75.87 81.33 91.78
0.001000 0.001000 0.001001 0.001001 0.001002 0.001003 0.001004 0.001005 0.001008 0.001010 0.001014 0.001017 0.001020 0.001022 0.001027 0.001030 0.001037
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Energia interna kJ/kg
Entalpia kJ/kg
Entropia kJ/(kg • K)
Vapore sat.
Liquido sat. Evap.
Vapore Liquido sa!. sat. Evap.
Vapore Liquido E sat. sat. vap.
Vapore sat.
Uo
U/
U1.,i
hl)
Su
206.14 129.21 87.98 67.00 54.25 45.67 34.80 28.19 19.24 14.67 10.02 7.649 6.204 5.229 3.993 3.240 2.217
Ufu
lz1
hto
O.DO 29.30 54.71 73.48 88.48 101.04 121.45 137.81 168.78 191.82 225.92 251.38 271.90 289.20 317.53 340.44 384.31
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2375.3 2385.0 2393.3 2399.5 2404.4 2408.5 2415.2 2420.5 2430.5 2437.9 2448.7 2456.7 2463.1 2468.4 2477.0 2483.9 2496.7
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2088.7 2069.3 2052.7 2038.1 2025.0 2013.1 2002.1 1991.9 1982.4 1973.5 1965.0 1956.9 1949.3 1934.9 1921.6 1909.2 1897.5 1886.5 1876.1 1866.1 1856.6 1847.4 1838.6 1830.2 1822.0 1806.3 1791.5 1777.5
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417.46 444.32 467.11 486.99 504.70 520.72 535.37 548.89 561.47 573.25 584.33 594.81 604.74 623.25 640.23 665.93 670.56 684.28 697.22 709.47 721.11 732.22 742.83 753.02 762.81 781.34 798.65 814.93
2258.0 2241.0 2226.5 2213.6 2201.9 2191.3 2181.5 2172.4 2163.8 2155.8 2148.1 2140.8 2133.8 2120.7 2108.5 2097 :O 2086.3 2076.0 2066.3 2057.0 2048.0 2039.4 2031.1 2023.1 2015.3 2000.4 1986.2 1972.7
2501.4 2514.2 2525.3 2533.5 2540.0 2545.5 2554.4 2561.5 2574.8 2584. 7 2599.1 2609.7 2618.2 2625.3 2636.8 2645.9 2663.0
S/
SJo
0.0000 9.1562 9.1562 0.1059 8.8697 8.9756 0.1957 8.6322 8.8279 0.2607 8.4629 8.7237 0.3120 8.3311 8.6432 0.3545 8.2231 8.5776 0.4226 8.0520 8.4746 0.4764 7.9187 8.3951 0.5764 7.6750 8.2515 0.6493 7.5009 8.1502 0.7549 7.2536 8.0085 0.8320 7.0766 7.9085 0.8931 6.9383 7.8314 0.9439 9.8247 7.7686 1.0259 6.6441 7.6700 1.0910 6.5029 7.5939 1.2130 6.2434 7.4564
Press. MPa
0.100 0.125 0.150 0.175 0.200 0.225 0.250 0.275 0.300 0.325 0.350 0.375 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.10 1.20 1.30
652
1.6940 1.3749 1.1593 1.0036 0.8857 0.7933 0.7187 0.6573 0.6058 0.5620 0.5243 0.4914 0.4625 0.4140 0.3749 0.3427 0.3157 0.2927 0.2729 0.2556 0.2404 0.2270 0.2150 0.2042 0.19444 0.17753 0.16333 0.15125
2675.5 1.3026 2685.4 1.3740 2693.6 1.4336 . 2700.6 1.4849 2706.7 1.5301 2712.1 1.5706 2716.9 1.6072 2721.3 1.6408 2725.3 1.6718 2729.0 1.7006 2732.4 1.7275 2735.6 1.7528 2738.6 1.77q6 2743.9 1.8207 2748.7 1.8607 2753.0 1.8973 2756.8 1.9312 2760.3 1.9627 2763.5 1.9922 2766.4 2.0200 2769.1 2.0462 2771.6 2.0710 2773.9 2.0946 2776.1 2.1172 2778.1 2.1387 2781.7 2.1792 2784.8 2.2166 2787.6 2.2515
6.0568 5.9104 5.7897 5.6868 5.5970 5.5173 5.4455 5.3801 5.3201 5.2646 5.2130 5.1647 5.1193 5.0359 4.9606 4.8920 4.8288 4.7703 4.7158 4.6647 4.6166 4.5711 4.5280 4.4869 4.4478 4.3744 4.3067 4.2438
7.3594 7.2844 7.2233 7.1717 7.1271 7.0878 7.0527 7.0209 6.9919 6.9652 6.9405 6.9175 6.8959 6.8565 6.8213 6.7893 6.7600 6.7331 6.7080 6.6847 6.6628 6.6421 6.6226 6.6041 6.5865 6.5536 6.5233 6.4953
!:rP·
Press. T. P MPa
Volume specifico m'/kg Liquido Vapore sat. sat.
oc'"'
Liquido sat. Evap.
Vapore Liquido sa!. sa!. Evap.
Vapore Liquido . sat. sa!. Evap.
Vapore sat.
U/
llfu
llu
h1u
hu
Su
828.70 843.16 876.46 906.44 933.83 959.11 1004.78 1045.43 1082.31 1147.81 1205.44 1257.55 1305.57 1350.51 1393.04 1433.7 1473.0 1511.1 1548.6 1585.6 1622.7 1660.2 1698.9 1739.9 1785.6 1842.1 1961.9 2029.6
1764.1 1751.3 1721.4 1693.8 1668.2 1644.0 1599.3 1558.3 1520.0 1449.3 1384.3 1323.0 1264.2 1207.3 1151.4 1096.0 1040.7 985.0 928.2 869.8 809.0 744.8 675.4 598.1 507.5 388.5 125.2
2592.8 830.30 2594.5 844.89 2597.8 878.50 2600.3 908.79 2602.0 936.49 2603.1 962.11 2604.1 1008.42 2603.7 1049.75 2602.3 1087.31 2597.1 1154.23 2589.7 1213.35 2580.5 1267.00 2569.8 1316.64 2557.8 1363.26 2544.4 1407.56 2529.8 1450.1 2513.7 1491.3 2496.1 1531.5 2476.8 1571.1 2455.5 1610.5 2431.7 1650.1 2405.0 1690.3 2374.3 1732.0 2338.1 1776.5 2293.0 1826.3 2230.6 1888.4 2087.1 2022.2 2029.6 2099.3
1959.7 1947.3 1917.9 1890.7 1865.2 1841.0 1795.7 1753.7 1714.1 1640.1 1571.0 1505.1 1441.3 1378.9 1317.1 1255.5 1193.3 1130.7 1066.5 1000.0 930.6 856.9 777.1 688.0 583.4 446.2 143.4
2790.0' 2792.2 2796.4 2'Mi9.5 2801.7 2803.1 2804.2 2803.4 2801.4 2794.3 2784.3 2772.1 2758.0 2742.1 2724.7 2705.6 2684.9 2662.2 2637.6 2610.5 2580.6 2547.2 2509.1 2464.5 2409.7 2334.6 2165.6 2099.3
~~~~~~~w~~~~u~"~~~~-'--~~~-
1.40 1.50 1.75 2.00 2.25 2.5 3.0 3.5 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22.09
195.07 198.32 205.76 212.42 218.45 223.99 233.90 242.60 250.40 263.99 275.64 285.88 295.06 303.40 311.06 318.15 324.75 330.93 336.75 342.24 347.44 352.37 357.06 361.54 365.81 369.89 373.80 374.14
0.001149 0.001154 0.001166 0.001177 0.001187 0.001197 0.001217 0.001235 0.001252 0.001286 0.001319 0.001351 0.001384 0.001418 0.001452 0.001489 0.001527 0.001567 0.001611 0.001658 0.001711 0.001770 0.001840 0.001924 0.002036 0.002207 0.002742 0.003155
0.14084 0.13177 0.11349 0.09963 0.08875 0.07998 0.06668 0.05707 0.04978 0.03944 0.03244 0.027437 0.02352 0.02048 0.018026 0.015987 0.014263 0.012780 0.011485 0.010337 0.009306 0.008364 0.007489 0.. 006657 0.005834 0.004952 0.003568 0.003155
Entropia kJ/(kg · K)
Entalpia kJ/kg
Energia interna kJ/kg
o
h1
o
Sf
2.2842 2.3150 2.3851 2.4474 2.5035 2.5547 2.6457 2.7253 2.7964 2.9202 3.0267 3.1211 3.2068 3.2858 3.3596 3.4295 3.4962 3.5606 3.6232 3.6848 3.7461 3.8079 3.8715 3.9388 4.0139 4.1075 4.3110 4.4298
s1u
4.1850 4.1298 4.0044 3.8935 3.7937 3.7028 3.5412 3.4000 3.2737 3.0532 2.8625 2.6922 2.5364 2.3915 2.2544 2.1233 1.9962 1.8718 1.7485 1.6249 1.4994 1.3698 1.2329 1.0839 0.9130 0.6938 0.2216
o
6.4693 6.4448 6.3896 6.3409 6.2972 6.2575 6.1869 6.1253 6.0701 5.9734 5.8892 5.8133 5.7432 5.6722 5.6141 5.5527 5.4924 5.4323 5.3717 5.3098 5.2455 5.1777 5.1044 5.0228 4.9269 4.8013 4.5327 4.4298
653
TABELLAA.6 Acqua surriscaldata (continua)
TABELLAA.6 Acqua surriscaldata T
·e
o
kJ/kg
m'/kg
h kJ/kg
kJ/(kg • K
m'/kg
50 100 150 200 250 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
2437.9 2443.9 2515.5 2587.9 2661.3 2736.0 2812.1 2968.9 3132.3 3302.5 3479.6 3663.8 3855.0 4053.0 4257.5 4467.9 4683.7
14.674 14.869 17.196 19.512 21.825 24.136 26.445 31.063 35.679 40.295 44.911 49.526 54.141 58.757 63.372 67.987 72.602
2584.7 2592.6 2687.5 2783.0 2879.5 2977.3 3076.5 3279.6 3489.1 3705.4 3928.7 4159.0 4396.4 4640.6 4891.2 5147.8 5409.7
8.1502 8.1749 8.4479 8.6882 8.9038 9.1002 9.2813 9.8077 9.8978 10.1608 10.4028 10.6281 10.8396 11.0393 11.2287 11.4091 11.5811
2529.5 2576.9 2654.4 2731.2 2808.6 2966.7 3130.8 3301.4 3478.8 3663.1 3854.5 4052.5 4257.0 4467.5 4683.2
0.8857 0.9596 1.0803 1.1968 1.3162 1.5493 1.7814 2.013 2.244 2.475 2.705 2.937 3.168 3.399 3.630
2706.7 2768.8 2870.5 2971.0 3071.8 3276.6 3487.1 3704.0 3927.6 4158.2 4395.8 4640.0 4890.7 5147.5 5409.3
0.3749 0.4249 0.4744' 0.5226 0.5701 0.6173 0.7109 0.8041 0.8969 0.9896 1.0822 1.1747 1.2672 1.3596 1.4521
2561.2 2642.9 2723.5 2802.9 2882.6 2963.2 3128.4 •3299.6 3477.5 3662.1 3853.6 4051.8 4256.3 4466.8 4682.5
2748.7 2855.4 2960.7 3064.2 3167.7 3271.9 3483.9 3701.7 3925.9 4158.9 4394.7 4639.1 4889.9 5146.6 5408.6
kJ/kg
kJ/(kg • K)
2645.9
7.5939
1.6940
2506.1
2675.5
7.3594
3.418 3,889 4.358 4.820 5.284 6.209 7.134 8.057 8.981 9.904 10.828 11.751 12.674 13.597 14.521
2511.6 2585.6 2659.9 :?,735.0 2811.3 2968.5 3132.0 3302.2 3479.4 3663.6 3854.9 4052.9 4257.4 4467.8 4683.6
2682.5 2780.1 2877.7 2976.0 3075.5 3278.9 3488.7 3705.1 3928.5 4158.9 4396.3 4640.5 4891.1 5147.7 5409.6
7.6947 7.9401 8.1580 8.3556 8.5373 8.8642 9.1546 9.4178 9.6599 9.8852 10.0967 10.2964 10.4859 10.6662 10.8382
·1.6958 1.9364 2.172 2.406 2.639 3.103 3.565 4.028 4.490 4.952 5.414 5.875 6.337 6.799 7.260
2506.7 2582.8 2658.1 2733.7 2810.4 2967.9 3131.6 3301.9 3479.2 3663.5 3854.8 4052.8 4257.3 4467.7 4683.5
2676.2 2776.4 2875.3 2974.3 3074.3 3278.2 3488.1 3704.4 3928.2 4158.6 4396.1 4640.3 4891.0 5147.6 5409.5
7.3614 7.6134 7.8343 8.0333 8.2158 8.5435 8.8342 9.0976 9.3398 9.5652 9.7767 9.9764 10.1659 10.3463 10.5183
0.6058 0.6339 0.7163 0.7964 0.8753 1.0315 1.1867 1.3414 1.4957 1.6499 1.8041 1.9581 2.1121 2.2661 2.4201
2543.6 2570.8 2650.7 2728.7 2806.7 2965.6 3130.0 3300.8 3478.4 3662.9 3854.2 4052.3 4256.8 4467.2 4683.0
2725.3 2761.0 2865.6 2967.6 3069.3 3275.0 3486.0 3703.2 3927.1 4157.8 4395.4 4639.7 4890.4 5147.1 5409.0
6.9919 7.0778 7.3115 7.5166 7.7022 8.0330 8.3251 8.5892 8.8319 9.0576 9.2692 9.4690 9.6585 9.8389 10.0110
I
p = 0.40 MPa (143.63°C) 0.4625 0.4708 0.5342 0.5951 0.6548 0.7726 0.8893 1.0055 1.1215 1.2372 1.3529 1.4685 1.5840 1.6996 1.8151
0.3157 0.3520 0.3938 0.4344 0.4742 0.5137 0.5920 0.6697 0.7472 0.8245 0.9017 0.9788 1.0559 1.1330 1.2101
2567.4 2638.9 2720.9 2801.0 2881.2 2962.1 3127.6 3299.1 3477.0 3661.8 3853.4 4051.5 4256.1 4466.5 4682.3
2756.8 2850.1 2957.2 3061.6 3165.7 3270.3 3482.8 3700.9 3925.3 4156.5 4394.4 4638.8 4889.6 5146.3 5408.3
• La temperatura tra parentesi è la temperatura di saturazione a una data pressione. t Proprietà del vapore saturo a una data pressione.
6.7600 6.9665 7.1816 7.3724 7.5464 7.7079 8.0021 8.2674 8.5107 8.7367 8.9486 9.1485 9.3381 9.5185 9.6906
2553.6 2738.6 2564.5 2752.8 2646.8 2860.5 2964.2 2726.1 2804.8 3066.8 2964.4 3273.4 3129.2 3484.9 3300.2 3702.4 3477.9 3926.5 3662.4 4157.3 3853.9 4395.1 4052.0 4639.4 4256.5 4890.2 4467.0 ·5146.8 4682.8 5408.8
6.8959 6.9299 7.1706 7.3789 7.5662 7.8985 8.1913 8.4558 8.6987 8.9244 9.1362 9.3360 9.5256 9.7060 9.8780
p = 0.80 MPa (170.43'C) 0.2404 0.2608 0.2931 0.3241 0.3544 0.3843 0.4433 0.5018 0.5601 0.6181 0.6761 0.7340 0.7919 0.8497 0.9076
2576.8 2630.6 2715.5 2797.2 2878.2 2959.7 3126.0 3297.9 3476.2 3661.1 3852.8 4051.0 4255.6 4466.1 4681.8
2769.1 2839.3 2950.0 3056.5 3161.7 3267.1 3480.6 3699.4 3924.2 4155.6 4393.7 4638.2 4889.1 5145.9 5407.9
6.6628 6.8158 7.0384 7.2328 7.4089 7.5716 7.8673 8.1333 8.3770 8.6033 8.8153 9.0153 9.2050 9.3855 9.5575
u kJ/kg
o m'/kg
•e
h
s
kJ/kg
kJ/(kg • K)
o m'/kg
P = 1.00 MPa (179.91'C) ___
p = 0.1 O MPa (99.63'C)
p = 0.60 MPa (158.85'C) 6.8213 7.0592 7.2709 7.4599 7.6329 7.7938 8.0873 7.3522 8.5952 8.8211 9.0329 9.2328 9.4224 9.6029 9.7749
kJ/kg
2483.9
p = 0.50 MPa (151.86'C) Sat. 200 250 300 350 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
I m'/kg
I
p = 0.30 MPa (133.55'C)
7.1272 7.2795 7.5066 7.7086 7.8926 8.2218 8.5133 8.7770 9.0194 9.2449 9.4566 9.6563 9.8458 10.0262 10.1982
T
h kJ/(kg • K)
3.240
p = 0.20 MPa (120.23'C) Sat. 150 200 250 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
h kJ/kg
p = 0.05 MPa (81.33'C)
p = 0.01 MPa (45.81"C)' Sat.t
kJ/kg
Sat. 200 . 250 300 350 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
0.19444 0.2060 0.2327 0.2579 0.2825 0.3066 0.3541 0.4011 0.4478 0.4943 0.5407 0.5871 0.6335 0.6798 0.7261
2583.6 2621.9 2709.9 2793.2 2875.2 2957.3 3124.4 3296.8 3475.3 3660.4 3852.2 4050.5 4255.1 4465.6 4681.3
2778.1 2827.9 2942.6 3051.2 3157.7 3263.9 3478.5 3697.9 3923.1 4154.7 4392.9 4637.6 4888.6 5145.4 5407.4
Il
kJ/kg
Sat. 225 250 300 350 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
0.12380 0.13287 0.14184 0.15862 0.17456 0.19005 0.2203 0.2500 0.2794 0.3086 0.3377 0.3668 0.3958 0.4248 0.4538
Sat. 225 250 300 350 400 450 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
0.07998 0.08027 0.08700 0.09890 0.10976 0.12010 0.13014 0.13993 0.15930 0.17832 0.19716 0.21590 0.2346 0.2532 0.2718 0.2905
p
6.5865 6.6940 6.9247 7.1229 7.3011 7.4651 7.7622 8.0290 8.2731 8.4996 8.7118 8.9119 9.1017 9.2822 9.4543
0.16333 0.16930 0.19234 0.2138 0.2345 0.2548 0.2946 0.3339 0.3729 0.4118 0.4505 0.4892 0.5278 0.5665 0.6051
6.4218 6.5518 6.6732 6.8844 7,0694 7.2374 7.5390 7.8080 8.0535 8.2808 8.4935 8.6938 8.8837 9.0643 9.2364
0.11042 0.11673 0.12497 0.14021 0.15457 0.16847 0.19550 0.2220 0.2482 0.2742 0.3001 0.3260 0.3518 0.3776 0.4034
6.2575 6.2639 6.4085 6.6438 6.8403 7.0148 7,1746 7.3234 7.5960 7.8435 8.0720 8.2853 8.4861 8.6762 8.8569 9.0291
0.06668
2794.0 2857.3 2919.2 3034.8 3145.4 3254.2 3472.0 3693.2 3919.7 4152.1 4390.8 4635.8 4887.0 5143.9 5406.0
2588.8 2612.8 2704.2 2789.2 2872.2 2954.9 3122.8 3295.6 3474.4 3659.7 3851.6 4050.0 4254.6 4465.1 4680.9
2803.1 2806.3 2880.1 3008.8 3126.3 3239.3 3350.8 3462.1 3686.3 3914.5 4148.2 4387.6 4633.1 4684.6 5141.7 5404.0
kJ/(kg • K)
2784.8 2815.9 2935.0 3045.8 3153.6 3260.7 3476.3 3696.3 3922.0 4153.8 4392.2 4637.0 4888.0 5144.9 5407.0
2598.4 2636.6 2686.0 2776.9 2863.0 2947.7 3117.9 3292.1 3471.8 3657.6 3849.9 4048.5 4253.2 4463.7 4679.5
2797.1 2846.7 2911.0 3029.2 3141.2 3250.9 3469.8 3691.7 3918.5 4151.2 4390.1 4635.2 4886.4 5143.4 5405.6
p
6.5233 6.5898 6.8294 7.0317 7.2121 7.3774 7.6759 7.9435 8.1881 8.4148 8.6272 8.8274 9.0172 9.1977 9.3698
0.14084 0.14302 0.16350 0.18228 0.2003 0.2178 0.2521 0.2860 0.3195 0.3528 0.3861 0.4192 0.4524 0.4855 0.5186
6.3794 6.4808 6.6066 6.8226 7.0100 7.1794 7.4825 7.7523 7.9983 8.2258 8.4386 8.6391 8.8290 9.0096 9.1818
0.07058 0.08114 0.09053 0.09936 0.10787 0.11619 0.13243 0.14838 0.16414 0.17980 0.19541 0.21098 0.22652 0.24206
2644.0 2750.1 2843.7 2932.8 3020.4 3108.0 3285.0 3466.5 3653.5 3846.5 4045.4 4250.3 4460.9 4676.6
2804.2 2855.8 2993.5 3115.3 3230.9 3344.0 3456.5 3682.3 3911.7 4145.9 4385.9 4631.6 4883.3 5140.5 5402.8
6.1869 6.2872 6.5390 6.7428 6.9212 7.0834 7.2338 7.5085 7.7571 7.9862 8.1999 8.4009 8.5912 8.7720 8.9442
h kJ/kg
s kJ/(kg · K)
= 1.40 MPa (195.07'C) 2592.8 2603.1 2698.3 2785.2 2869.2 2952.5 3121.1 3294.4 3473.6 3659.0 3851.1 4049.5 4254.1 4464.7 4680.4
2790.0 2803.3 2927.2 3040.4 3149.5 3257.5 3474.1 3694.8 3920.8 4153.0 4391.5 4636.4 4887.5 5144.4 5406.5
6.4693 6.4975 6.7467 6.9534 7.1360 7.3026 7.6027 7.8710 8.1160 8.3431 8.5556 8.7559 8.9457 9.1262 9.2984
p = 2.00 MPa (212.42'C) 0.09963 0.10377 0.11144 0.12547 0.13857 0.15120 0.17568 0.19960 0.2232 0.2467 0.2700 0.2933 0.3166 0.3398 0.3631
2600.3 2628.3 2679.6 2772.6 2859.8 2945.2 3116.2 3290.9 3470.9 3657.0 3849.3 4048.0 4252.7 4463.3 4679.0
2799.5 2835.8 2902.5 3023.5 3137.0 3247.6 3467.6 3690.1 3917.4 4150.3 4389.4 4634.6 4885.9 5142.9 5405.1
6.3409 6.4147 6.5453 6.7664 6.9563 7.1271 7.4317 7.7024 7.9487 8.1765 8.3895 8.5901 8.7800 8.9607 9.1329
p ".' 3.50 MPa (242.60'C)
p = 3.00 MPa (233.90'C) 2604.1
u kJ/kg
o m'/kg
p = 1.80 MPa (207.15'C)
= 2.50 MPa (223.99'C) 2603.1 2805.6 2662.6 2761.6 2851.9 2939.1 3025.5 3112.1 3288.0 3468.7 3655.3 3847.9 4046.7 4251.5 4462.1 4677.8
s
p = 1.20 MPa (187.99'C)
p = 1.60 MPa (201.41 'C) 2596.0 2644.7 2692.3 2781.1 2866.1 2950.1 3119.5 3293.3 3472.7 3658.3 3850.5 4049.0 4253.7 4464.2 4679.9
h kJ/kg
0.05707
2603.7
2803.4
6.1253
0.05872 0.06842 0.07678 0.08453 0.09196 0.09918 0.11324 0.12699 0.14056 0.15402 0.16743 0.18060 0.19415 0.20749
2623.7 2738.0 2835.3 2926.4 3015.3 3103.0 3282.1 3464.3 3651.8 3845.0 4044.1 4249.2 4459.8 4675.5
2829.2 2977.5 3104.0 3222.3 3337.2 3450.9 3678.4 3908.8 4143.7 4384.1 4630.1 4881.9 5139.3 5401.7
6.1749 6.4461 6.6579 6.8405 7.0052 7.1572 7.4339 7.6837 7.9134 8.1276 8.3288 8.5192 8.7000 8.8723
655
TABELLAA.6 Acqua surriscaldata (continua)
TABELLAA.6 Acqua surriscaldata (continua) T
·e
o
Il
kJ/kg
m'ikg
p Sat. 275 300 350 400 450 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
0.04978 0.05457 0.05884 0.06645 0.07341 0.08002 0.08643 0.09885 0.11095 0.12287 0.13469 0.14645 0.15817 0.16987 0.18156
Sat. 300 350 400 450 500 550 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
0.03244 0.03616 0.04223 0.04739 0.05214 0.05665 0.06101 0.06525 0.07352 0.08160 0.08958 0.09749 0.10536 0.11321 0.12106
Sat. 325 350 400 450 500 550 600 650 700 800 900 1000 1100 1200 1300
0.02048 0.02327 0.02580 0.02993 0.03350 0.03677 0.03987 0.04285 0.04574 0.04857 0.05409 0.05950 0.06485 0.07016 0.07544 0.08072
p
h kJ/kg
s
o
= 4.o MPa (250.40°C) 2602.3 2667.9 2725.3 2826.7 2919.9 3010.2 3099.5 3279.1 3462.1 3650.0 3843.6 4042.9 4248.0 4458.6 4674.3
2801.4 2886.2 2960.7 3092.5 3213.6 3330.3 3445.3 3674.4 3905.9 4141.5 4382.3 4628.7 4880.6 5138.1 5400.5
0.04406 0.04730 0.05135 0.05840 0.06475 0.07074 0.07651 0.08765 0.09847 0.10911 0.11965 0.13013 0.14056 0.15098 0.16139
2784.3 2884.2 3043.0 3177.2 3301.8 3422.2 3540.6 3658.4 3894.2 4132.7 4375.3 4622.7 4875.4 5133.3 5396.0
5.8892 6.0674 6.3335 6.5408 6.7193 6.8803 7.0288 7.1677 7.4234 7.6566 7.8727 8.0751 8.2661 8.4474 8.6199
0.02737 0.02947 0.03524 0.03993 0.04416 0.04814 0.05195 0.05565 0.06283 0.06981 0.07669 0.08350 0.09027 0.09703 0.10377
5.6772 5.8712 6.0361 6.2854 6.4844 6.6576 6.8142 6.9589 7.0943 7.2221 7.4596 7.6783 7.8821 8.0740 8.2556 8.4284
0.018026 0.019861 0.02242 0.02641 0.02975 0.03279 0.03564 0.03837 0.04101 0.04358 0.04859 0.05349 0.05832 0.06312 0.06789 0.07265
p
2557.8 2646.6 2724.4 2848.4 2955.2 3055.2 3152.2 3248.1 3343.6 3439.3 3632.5 3829.2 4030.3 4236.3 4447.2 4662.7
2742.1 2856.0 2956.6 3117.8 3256.6 3386.1 3511.0 3633.7 3755.3 3876.5 4119.3 4364.8 4614.0 4867.7 5126.2 5389.2
s
o
Il
kJ/(kg • K)
m'/kg
kJ/kg
2798.3 2863.2 2943.1 3080.6 3204.7 3323.3 3439.6 3670.5 3903.0 4139.3 4380.6 4627.2 4879.3 5136.9 5399.4
p 0.03944 0.04141 0.04532 0.05194 0.05781 0.06330 0.06857 0.07869 0.08849 0.09811 0.10762 0.11707 0.12648 0.13587 0.14526
2772.1 2838.4 3016.0 3158.1 3287.1 3410.3 3530.9 3650.3 3888.3 4128.2 4371.8 4619.8 4872.8 5130.9 5393.7
5.8133 5.9305 6.2283 6.4478 6.6327 6.7975 6.9486 7.0894 7.3476 7.5822 7.7991 8.0020 8.1933 8.3747 8.5475
0.02352 0.02426 0.02995 0.03432 0.03817 0.04175 0.04516 0.04845 0.05481 0.06097 0.06702 0.07301 0.07896 0.08489. 0.09080
p
0
2724.7 2809.1 2923.4 3096.5 3240.9 3373.7 3500.9 3625.3 3748.2 3870.5 4114.8 4361.2 4611.0 4865.1 5123.8 5387.0
s kJ/(kg • K)
2794.3 2838.3 2924.5 3068.4 3195.7 3316.2 3433.8 3666.5 3900.1 4137.1 4378.8 4625.7 4878.0 5135.7 5398.2
5.9734 6.0544 6.2084 6.4493 6.6459 6.8186 6.97-59 7.2589 7.5122 7.7440 7.9593 8.1612 8.3520 8.5331 8.7055
T
5.6141 5.7568 5.9443 6.2120 6.4190 6.5966 6.7561 6.9029 7.0398 7.1687 7.4077 7.6272 7.8315 8.0237 8.2055 8.3783
I
2569.8 2590.9 2747.7 2863.8 2966.7 3064.3 3159.8 3254.4 3443.9 3636.0 3832.1 4032.8 4238.6 4449.5 4665.0
2758.0 2785.0 2987.3 3138.3 3272.0 3398.3 3521.0 3642.0 3882.4 4123.8 4368.3 4616.9 4870.3 5128.5 5391.5
5.7432 5.7906 6.1301 6.3834 6.5551 6.7240 6.8778 7.0206 7.2812 7.5173 7.7351 7.9384 8.1300 8.3115 8.4842
= 12.5 MPa (327.sg•ci
0.013495
2505.1
2673.8
5.4624
O.Q16126 0.02000 0.02299 0.02560 0.02801 0.03029 0.03248 0.03460 0.03869 0.04267 0.04658 0.05045 0.05430 0.05613
2624.6 2789.3 2912.5 3021.7 3125.0 3225.4 3324.4 3422.9 3620.0 3819.1 4021.6 4228.2 4439.3 4654.8
2826.2 3039.3 3199.8 3341.8 3475.2 3604.0 3730.4 3855.3 4103.6 4352.5 4603.8 4858.8 5118.0 5381.4
5.7118 6.0417 6.2719 6.4618 6.6290 6.7810 6.9218 7.0538 7.2965 7.5182 7.7237 7.9165 8.0937 8.2717
u
o
•e
kJ/kg
m'ikg
p Sai. 350 400 450 500 550 600 650 700 800 900 1000 1100 1200 1300
p = 8.o MPa (295.os•ci
= 10.0 MPa (311.os c) 2544.4 2610.4 2699.2 2832.4 2943.4 3045.8 3144.6 3241.7 3338.2 3434.7 3628.9 3826.3 4027.8 4234.0 4444.9 4460.5
h kJ/kg
= 5.0 MPa (263.99°C) 2597.1 2631.3 2698.0 2808.7 2906.6 2999.7 3091.0 3273.0 3457.6 3646.6 3840.7 4040.4 4245.6 4456.3 4672.0
6.0198 6.1401 6.2828 6.5131 6.7047 6.8746 7.0301 7.3110 7.5631 7.7942 8.0091 8.2108 8.4015 8.5825 8.7549
= 1.0 MPa (2B5.88°C} 2580.5 2632.2 2769.4 2878.6 2978.0 3073.4 3167.2 3260.7 3448.5 3639.5 3835.0 4035.3 4240.9 4451.7 4667.3
p
h kJ/kg
= 4.5 MPa (257.49°C) 2600.1 2650.3 2712.0 2817.8 2913.3 3005.0 3095.3 3276.0 3459.9 3648.3 3842.2 4041.6 4246.8 4457.5 4673.1
6.0701 6.2285 6.3815 6.5821 6.7690 6.9363 7.0901 7.3688 7.6198 7.8502 8.0647 8.2662 8.4567 8.6376 8.8100
= 6.0 MPa (275.64°C) 2589.7 2667.2. 2789.6 2892.9 2988.9 3082.2 3174.6 3266.9 3453.1 3643.1 3837.8 4037.8 4243.3 4454.0 4669.6
kJ/kg
p
p = 9.0 MPa (303.40°c)
656
Il
kJ/(kg • K) m'ikg
375 400 425 450 500 550 600 650 700 800 900 1000 1100 1200 1300
375 400 425 450 500 550 800 650 700 800 900 1000 1100 1200 1300
2455.5 2520.4 2740.7 2879.5 2996.6 3104.7 3208.6 3310.3 3410.9 3610.9 3811.9 4015.4 4222.6 4433.8 4649.1
2610.5 2692.4 2975.5 3156.2 3308.6 3448.6 3582.3 3712.3 3840.1 4092.4 4343.8 4596.6 4852.6 5112.3 5376.0
1798.7 2430.1 2609.2 2720.7 2884.3 3017.5 3137.9 3251.6 3361.3 3574.3 3783.0 3990.9 4200.2 4412.0 4626.9
1677.1 1854.6 2096.9 2365.1 2678.4 2869.7 3022.6 3158.0 3283.6 3517.8 3739.4 3954.6 4167.4 4380.1 4594.3
kJ/kg
p 5.3098 5.4421 5.8811 6.1404 6.3443 6.5199 6.6776 6.8224 6.9572 7.2040 7.4279 7.6348 7.8283 8.Q108 8.1840
1848.0 2580.2 2806.3 2949.7 3162.4 3335.6 3491.4 3637.4 3777.5 4047.1 4309.1 4568.5 4828.2 5089.9 5354.4
s
o
kJ/(kg • K)
m'/kg
= 17.5 MPa (354.75'C)
u kJ/kg
p
h kJ/kg
s kJ/(kg • K)
= 20.0 MPa (365.s1°c)
2390.2
2528.8
5.1419
0.005834
2293.0
2409.7
4.9269
0.012447 0.015174 0.017358 0.019288 0.02106 0.02274 0.02434 0.02738 0.03031 0.03316 0.03597 0.03876 0.04154
2685.0 2844.2 2970.3 3063.9 3191.5 3296.0 3398.7 3601.8 3804.7 4009.3 4216.9 4428.3 4643.5
2902.9 3109.7 3274.1 3421.4 3560.1 3693.9 3824.6 4081.1 4335.1 4589.5 4846.4 5106.6 5370.5
5.7213 6.0184 6.2383 6.4230 6.5866 6.7357 6.8736 7.1244 7.3507 7.5589 7.7531 7.9360 6.1093
0.009942 0.012695 0.014768 O.Q16555 O.Q18178 0.019693 0.02113 0.02385 0.02645 0.02897 0.03145 0.03391 0.03636
2619.3 2806.2 2942.9 3062.4 3174.0 3281.4 3386.4 3592.7 3797.5 4003.1 4211.3 4422.8 4638.0
2818.1 3060.1 3238.2 3393.5 3537.6 3675.3 3809.0 4069.7 4326.4 4582.5 4840.2 5101.0 5365.1
5.5540 5.9017 6.1401 6.3348 6.5048 6.6582 6.7993 7.0544 7.2830 7.4925 7.6874 7.8707 8.0442
3.9305 4.4728 5.1504 5.4424 5.7905 6.0342 6.2331 6.4058 6.5606 6.8332 7.0718 7.2867 7.4845 7.6692 7.8432
0.0017003 0.002100 0.003428 0.004961 0.008927 0.008345 0.009527 0.010575 0.011533 0.013278 0.014883 0.016410 0.017895 0.019360 0.020815
3.7639 4.0031 4.2734 4.5884 5.1726 5.5485 5.8178 6.0342 6.2189 6.5290 6.7882 7.0146 7.2184 7.4058 7.5808
0.0015028 0.0016335 0.0018165 0.002085 0.002956 0.003956 0.004834 0.005595 0.008272 0.007459 0.008508 0.009480 O.Q10409 0.011317 0.012215
4.0320 5.1418 5.4723 5.6744 5.9592 6.1765 6.3602 6.5229 6.6707 6.9345 7.1680 7.3802 7.5765 7.7605 7.9342
0.0017892 0.002790 0.005303 0.008735 0.008678 0.010168 0.011446 O.Q12598 0.013661 0.015623 0.017448 0.019196 0.020903 0.022589 0.024266
3.8290 4.1135 4.5029 4.9459 5.4700 5.7765 6.0144 6.2054 6.3750 6.6662 6.9150 7.1356 7.3364 7.5224 7.6969
0.0015594 0.0017309 0.002007 0.002486 0.003892 0.005118 0.008112 0.008966 0.007727 0.009076 0.010283 0.011411 0.012496 0.013561 0.014616
p 1742.8 1930.9 2198.1 2512.8 2903.3 3149.1 3346.4 3520.6 3681.2 3978.7 4257.9 4527.6 4793.1 5057.7 5323.5
h kJ/kg
0.007920
p
= 40.0 MPa
0.0016407 0.0019077 0.002532 0.003693 0.005622 0.008984 0.008094 0.009063 0.009941 0.011523 0.012962 0.014324 0.015642 O.Q16940 0.018229
Il
l>
kJ/(kg · K) m'/kg
= 25.0 MPa
0.0019731 0.006004 0.007881 0.009162 0.011123 0.012724 0.014137 O.Q15433 0.016646 0.018912 0.021045 0.02310 0.02512 0.02711 0.02910
p
s
= 15.0 MPa (342.24°C)
0.010337 0.011470 O.Q15649 0.018445 0.02080 0.02293 0.02491 0.02680 0.02861 0.03210 0.03546 0.03875 0.04200 0.04523 0.04845
p
h kJ/kg
~
p
30.0 MPa 1737.8 2067.4 2455.1 2619.3 2820.7 2970.3 3100.5 3221.0 3335.8 3555.5 3768.5 3978.8 4189.2 4401.3 4616.0
1791.5 2151.1 2614.2 2821.4 3081.1 3275.4 3443.9 3598.9 3745.6 4024.2 4291.9 4554.7 4816.3 5079.0 5344.0
= 50.0 MPa 1638.6 1788.1 1959.7 2159.6 2525.5 2763.6 2942.0 3093.5 3230.5 3479.8 3710.3 3930.5 4145.7 4359.1 4572.8
1716.6 1874.6 2060.0 2284.0 2720.1 3019.5 3247.6 3441.8 3616.8 3933.6 4224.4 4501.1 4770.5 5037.2 5303.6
p
= 35.0 MPa 1702.9 1914.1 2253.4 2498.7 2751.9 2921.0 3062.0 3189.8 3309.8 3536.7 3754.0 3966.7 4178.3 4390.7 4605.1
1762.4 1987.6 2373.4 2672.4 2994.4 3213.0 3395.5 3559.9 3713.5 4001.5 4274.9 4541.1 4804.6 5068.3 5333.6
3.8722 4.2126 4.7747 5.1962 5.6282 5.9026 6.1179 6.3010 6.4631 6.7450 6.9386 7.2064 7.4037 7.5910 7.7653
= 60.0 MPa 1609.4 1745.4 1892.7 2053.9 2390.6 2658.8 2661.1 3028.8 3177.2 3441.5 3681.0 3906.4 4124.1 4338.2 4551.4
1699.5 1843.4 2001.7 2179.0 2567.9 2896.2 3151.2 3364.5 3553.5 3889.1 4191.5 4475.2 4748.6 5017.2 5284.3
3.7141 3.9318 4.1626 4.4121 4.9321 5.3441 5.6452 5.8829 6.0824 6.4109 6.6805 6.9127 7.1195 7.3083 7.4837
657
TABELLA A. Refrigerante - 134a saturo: tabella in temperatur
FIGURAA.7 Diagramma T-s per l'acqua. (Fonte: L. Haar, J.S. Gallagber e G.S. Kell, NBSINRC Steam Tables, Hemisphere Publishing Corporation, New York 1984, pp. 256-57, Fig. 9. Riproduzione autorizzata.)
1>00!---+--+--'---I--
...
['
Volume specifico m'/kg
IOOl----1--1--·-1---I
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-~-----~-i
I .
·--1---- --i-·---
- +-· · ___,
~
I
é 1\lOl---+--1----1---l--.-1·-
l
E ..,.____._
_,.__
Vapore sat.
U/
Uv
Liquido Vapore sat. sat.
Liquido sat. Evap.
Vapore sat.
Liquido sat.
Vapore sat.
Il/
lzt
h1u
hv
S/
Se
-40 -36 -32 -28 -26
0.05164 0.06332 0.07704 0.09305 0.10199
0.0007055 0.0007113 0.0007172 0.0007233 0.0007265
0.3569 0.2947 0.2451 0.2052 0.1882
-0.04 4.68 9.47 14.31 16.75
204.45 206.73 209.01 211.29 212.43
0.00 4.73 9.52 14.37 16.82
222.88 220.67 218.37 216.01 214.80
222.88 225.40 227.90 230.38 231.62
0.0000 0.0201 0.0401 0.0600 0.0699
0.9560 0.9506 0.9456 0.9411 0.9390
-24 -22 -20 -18 -16
0.11160 0.12192 0.13299 0.14483 0.15748
0.0007296 0.0007328 0.0007361 0.0007395 0.0007428
0.1728 0.1590 0.1464 0.1350 0.1247
19.21 21.68 24.17 26.67 29.18
213.57 214.70 215.84 216.97 218.10
19.29 21.77 24.26 26.77 29 .30
213.57 212.32 211.05 209.76 208 .45
232.85 234.08 235.31 236.53 237.74
0.0798 0.0897 0.0996 0.1094 0.1192
0.9370 0.9351 0.9332 0.9315 0.9298
-12
4
0.18540 0.21704 0.25274 0.29282 0.33765
0.0007498 0.0007569 0.0007644 0.0007721 0.0007801
0.1068 0.0919 0.0794 0.0689 0.0600
34.25 39.38 44.56 49.79 55.08
220.36 222.60 224.84 227.06 229.27
34.39 39.54 44.75 50.02 55.35
205.77 203.00 200.15 197:21 194.19
240.15 242.54 244.90 247.23 249.53
0.1388 0.1583 0.1777 0.1970 0.2162
0.9267 0.9239 0.9213 0.9190 0.9169
8 12 16 20 24
0.38756 0.44294 0.50416 0.57160 0.64566
0.0007884 0.0007971 0.0008062 0.000815? 0.000825~
0.0525 0.0460 0.0405 0.0358 0.0317
60.43 65.83 71.29 76.80 82.37
231.46 233.63 235.78 237.91 240.01
60.73 66.18 71.69 77.26 82.90
191.07 187.85 184.52 181.09 177.55
251.80 254.03 256.22 258.36 260.45
0.2354 0.2545 0.2735 0.2924 0.3113
0.9150 0.9132 0.9116 0.9102 0.9089
26 28 30 32 34
0.68530 0.72675 0.77006 0.81528 0.86247
0.0008309 0.0008362 0.0008417 0.0008473 0.0008530
0.0298 0.0281 0.0265 0.0250 0.0236
85.18 88.00 90.84 93.70 96.58
241.05 242.08 243.10 244.12 245.12
85.75 88.61 91.49 94.39 97.31
175.73 173.89 172.00 170.09 168.14
261.48 262.50 263.50 264.48 265.45
0.3208 0.3302 0.3396 0.3490 0.3584
0.9082 0.9076 0.9070 0.9064 0.9058
36 38 40 42 44
0.91168 0.96298 1.0164 1.0720 1.1299
0.0008590 0.0008651 0.0008714 0.0008780 0.0008847
0.0223 0.0210 0.0199 0.0188 0.0177
99.47 102.38 105.30 108.25 111.22
246.11 247.09 248.06 249.02 249.96
100.25 103.21 106.19 109.19 112.22
166.15 164.12 162.05 159.94 157.79
266.40 267.33 268.24 269.14 270.01
0.3678 0.3772 0.3866 0.3960 0.4054
0.9053 0.9047 0.9041 0.9035 0.9030
48 52 56 60
1.2526 1.3851 1.5278 1.6813
0.0008989 0.0009142 0.0009308 0.0009488
0.0159 0.01_42 0.0127 0.0114
117.22 123.31 129.51 135.82
251.79 253.55 255.23 256.81
118.35 124.58 130.93 137.42
153.33 148.66 143.75 138.57
271.68 273.24 274.68 275.99
0.4243 0.4432 o.4622 0.4814
0.9017 0.9004 o.8990 0.8973
70 80 90 100
2.1162 2.6324 3.2435 3.9742
0.0010027 0.0010766 0.0011949 0.0015443
0.0086 0.0064 0.0046 0.0027
152.22 169.88 189.82 218.60
260.15 262.14 261.34 248.49
154.34 172.71 193.69 224.74
124.08 106.41 82.63 34.40
278.43 279.12 276.32 259.13
0.5302 0.5814 0.6380 0.7196
0.8918 0.8827 0.8655 0.8117
Temp.
Press.
T
p..,
•e
i
-!---+--+----- ---- - --- . - .
Liquido sat.
MPa
-8 -4
o
_..__.._
~
<00!---+--+--+--
"" '
Entropia, kJ/(kg · K)
Entropia kJ/(kg · K)
Entalpia kJ/kg
Energia interna kJ/kg
Fonte per le tabeUe da A.8 fino ad A.10: M.J. Moran e H.N. Shapiro, Fundamentals of Engineering Thermodynamlcs, 2' ed., Wiley, New York 19!!' pp. 710-15. Basate originariamente su equazioni da D.P. Wilson e R.S. Basu, Thermodynam/cs properties of a New Stratospherical/y Safe Worlcin Fluid-Refrigerant 134a, In «ASHRAE Trans.», 1988, voi. 94, pt 2, pp. 2095-2'118. Usate con li<:enza.
65' 658
ì TABELLA A.10 Refrigerante· 134a surriscaldato
TABELLAA.9 Refrigerante - 134a saturo: tabella in pressione Volume specifico m'/kg 0
ress.
'llPa
Temp.
T. ..
·e
Liquido sa!.
Vapore sat.
lJ/
llo
Liquido Vapore sat. sat. Il/
Entropia kJ/(kg · K)
Entalpia kJ/kg
Energia interna kJ/kg
Liquido Evap. sat. h1
httJ
Vapore sat.
""
Liquido sat.
Vapore sat.
SJ
So
-37.07 -31.21 -26.43 -22.36 -18.80
0.0007097 0.0007184 0.0007258 0.0007323 0.0007381
0.3100 0.2366 0.1917 0.1614 0.1395
3.41 10.41 16.22 21.23 25.66
206.12 209.46 212.18 214.50 216.52
3.46 10.47 16.29 21.32 25.77
221.27 217.92 215.06 212.54 210.27
224.72 228.39 231.35 233.86 236.04
0.0147 0.0440 0.0678 0.0879 0.1055
0.9520 0.9447 0.9395 0.9354 0.9322
0.16 0.18 0.20 0.24 0.28
-15.62 -12.73 -10.09 -5.37 -1.23
0.0007435 0.0007485 0.0007532 0.0007618 0.0007697
0.1229 0.1098 0.0993 0.0834 0.0719
29.66 33.31 36.69 42.77 48.18
218.32 219.94 221.43 224.07 226.38
29.78 33.45 36.84 42.95 48.39
208.18 206.26 204.46 201.14 198.13
237.97 239.71 241.30 244.09 246.52
0.1211 0.1352 0.1481 0.1710 0.1911
0.9295 0.9273 0.9253 0.9222 0.9197
195.35 192.76 190.32 184.74 179.71
248.66 250.58 252.32 256.07 259.19
0.2089 0.2251 0.2399 0.2723 0.2999
0.9177 0.9160 0.9145 0.9117 0.9097
0.32 0.36 '.).4 ).5 J.6
2.48 5.84 8.93 15.74 21.58
0.0007770 0.0007839 0.0007904 0.0008056 0.0008196
0.0632 0.0564 0.0509 0.0409 0.0341
53.06 57.54 61.69 70.93 78.99
228.43 230.28 231.97 235.64 238.74
53.31 57.82 62.00 71.33 79.48
0.7 0.8 1.0 1.2
26.72 31.33 35.53 39.39 46.32
0.0008328 0.0008454 0.0008576 0.0008695 0.0008928
0.0292 0.0255 0.0226 0.0202 0.0166
86.19 92.75 98.79 104.42 114.69
241.42 243.78 245.88 247.77 251.03
86.78 93.42 99.56 105.29 115.76
175.07 170.73 166.62 162.68 155.23
261.85 264.15 266.18 267.97 270.99
0.3242 0.3459 0.3656 0.3838 0.4164
0.9080 0.9066 0.9054 0.9043 0.9023
1.4 1.6 1.8 2.0 2.5 3.0
52.43 57.92 62.91 67.49 77.59 86.22
0.0009159 0.0009392 0.0009631 0.0009878 0.0010562 0.0011416
0.0140 0.0121 0.0105 0.0093 0.0069 0.0053
123.98 132.52 140.49 148.02 165.48 181.88
253.74 256.00 257.88 259.41 261.84 262.16
125.26 134.02 142.22 149.99 168.12 185.30
148.14 141.31 134.60 127.95 111.06 92.71
273.40 275.33 276.83 277.94 279.17 278.01
0.4453 0.4714 0.4954 0.5178 0.5687 0.6156
0.9003 0.8982 0.8959 0.8934 0.8854 0.8735
660
o m'/kg
p
0.06 0.08 0.10 0.12 0.14
'.),9
T
•e Sai. -20 -10
o
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0.31003 0.33536 0.34992 0.36433 0.37861 0.39279 0.40688 0.42091 0.43487 0.44879 0.46266 0.47650 0.49031
o
10 20 30 40 50 60 70 60 90 100
0.10983 0.11135 0.11678 0.12207 0.12723 0.13230 0.13730 0.14222 0.14710 0.15193 0.15672 0.16148 0.16622
h
s
kJ/kg
kJ/(kg · K) m'/kg
tJ
= 0.06 MPa (T., = -37.07°C) 206.12 217.86 224.97 232.24 239.69 247.32 255.12 263.10 271.25 279.58 288.08 296.75 305.58
p Sat. -10
ti
kJ/kg
224. 72 237.98 245.96 254.10 262.41 270.89 279.53 288.35 297.34 306.51 315.84 325.34 335.00
0.9520 1.0062 1.0371 1.0675 1.0973 1.1267 1.1557 1.1844 1.2126 1.2405 1.2681 1.2954 1.3224
239.71 242.06 250.69 259.41 268.23 277.17 286.24 295.45 304.79 314.28 323.92 333.70 343.63
0.9273 0.9362 0.9684 0.9998 1.0304 1.0604 1.0898 1.1187 1.1472 1.1753 1.2030 1.2303 1.2573
0.19170 0.19770 0.20686 0.21587 0.22473 0.23349 0.24216 0.25076 0.25930 0.26779 0.27623 0.28464 0.29302
o 10
20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140
0.07193 0.07240 0.07613 0.07972 0.06320 0.08660 0.08992 0.09319 0.09641 0.09960 0.10275 0.10587 0.10897 0.11205
226.38 227.37 235.44 243.59 251.63 260.17 268.64 277.23 285.96 294.82 303.83 312.98 322.27 331.71
246.52 247.64 256.76 265.91 275.12 284.42 293.81 303.32 312.95 322.71 332.60 342.62 352.78 363.08
0.9197 0.9238 0.9566 0.9883 1.0192 1.0494 1.0789 1.1079 1.1364 1.1644 1.1920 1.2193 1.2461 1.2727
s
o
kJ/kg
kJ/(kg · K)
m'/kg
212.18 216.77 224.01 231.41 238.96 246.67 254.54 262.58 270.79 279.16 287.70 296.40 305.27
231.35 236.54 244.70 252.99 261.43 270.02 278.76 287.66 296.72 305.94 315.32 324.87 334.57
0.9395 0.9602 0.9918 1.0227 1.0531 1.0829 1.1122 1.1411 1.1696 1.1977 1.2254 1.2528 1.2799
221.43 221.50 229.23 237.05 244.99 253.06 261.26 269.61 278.10 286.74 295.53 304.47 313.57
241.30 241.38 250.10 258.89 267.78 276.77 285.88 295.12 304.50 314.02 323.68 333.48 343.43
0.9253 0.9256 0.9582 0.9898 1.0206 1.0508 1.0804 1.1094 1.1380 1.1661 1.1939 1.2212 1.2483
ll
h
s
kJ/kg
kJ/kg
kJ/(kg .
p = 0.14 MPa (T.,= -18.SO'C) 0.13945
216.52
236.04
0.9322.
0.14549 0.15219 0.15875 0.16520 0.17155 0.17763 0.18404 0.19020 0.19633 0.20241 0.20846 0.21449
223.03 230.55 238.21 246.01 253.96 262.06 270.32 278.74 287.32 296.06 304.95 314.01
243.40 251.86 260.43 269.13 277.97 286.96 296.09 305.37 314.80 324.39 334. 14 344.04
0.9606 0.9922 1.0230 1.0532 1.0828 1.1120 1.1407 1.1690 1.1969 1.2244 1.2516 1.2785
p = 0.24 MPa (T., = -5.37'C)
p = 0.20 MPa (T.,= -10.os•ci 0.09933 0.09938 0.10438 0.10922 0.11394 0.11856 0.12311 0.12758 0.13201 0.13639 0.14073 0.14504 0.14932
0.08343
224.07
244.09
0.9222
0.08574 0.08993 0.09399 0.09794 0.10181 0.10562 0.10937 0.11307 0.11674 0.12037 0.12398
228.31 236.26 244.30 252.45 260. 72 269.12 277.67 286.35 295.18 304. ~5 313.27
248.89 257.84 266.85 275.95 285.16 294.47 303.91 313.49 323.19 333.04 343.03
0.9399 0.9721 1.0034 1.0339 1.0637 1.0930 1.1218 1.1501 1.1780 1.2055 1.2326
p
p = o.32 MPa (T.,= 2.48°C)
p = 0.28 MPa (T.,= -1.23'C) Sat.
h
p = 0.10 MPa (T.,= -26.43'C)
= 0.18 MPa (T.,= -12.73'C) 219.94 222.02 229.67 237.44 245.33 253.36 261.53 269.85 278.31 286.93 295.71 304.63 313.72
u kJ/kg
= 0.40 MPa (T., • 8.93°C)
0.06322
228.43
248.66
0.9177
0.05089
231.97
252.32
0.9145
0.06576 0.06901 0.07214 0.07518 0.07815 0.08106 0.08392 0.08674 0.08953 0.09229 0.09503 0.09774
234.61 242.87 251.19 259.61 268.14 276. 79 285.56 294.46 303.50 312.68 322.00 331.45
255.65 264.95 274.28 263.67 293.15 302. 72 312.41 322.22 332.15 342.21 352.40 362.73
0.9427 0.9749 1.0062 1.0367 1.0665 1.0957 1.1243 1.1525 1.1802 1.2076 1.2345 1.2611
0.05119 0.05397 0.05662 0.05917 0.06164 0.06405 0.06641 0.06873 0.07102 0.07327 0.07550 0.07771 0.07991 0.08208
232.87 241.37 249.89 258.47 267.13 275.89 284.75 293.73 302.84 312.07 321.44 330.94 340.58 350.35
253.35 262.96 272.54 282.14 291.79 301.51 311.32 321.23 331.25 341.38 351.64 362.03 372.54 383.18
0.9182 0.9515 0.8937 1.0148 1.0452 1.0748 1.1038 1.1322 1.1602 1.1878 1.2149 1.2417 1.2681 1.2941
661
TABELLA A.10 Refrigerante - 134a surriscaldato (continua) T
Il
li
·e
kJ/kg
m'/kg
p
Sat. 20 30 40 50 60 70 BO 90 100 110 120 130 140 150 160
p
Sat. 40 50 60 70
80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
p
Sat. 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
662
0.01663 0.01712 0.01835 0.01947 0.02051 0.02150 0.02244 0.02335 0.02423 0.02508 0.02592 0.02674 0.02754 0.02834 0.02912
kJ/kg
256.07 260.34 270.28 280.16 290.04 299.95 309.92 319.96 330.10 340.33 350.68 361.14 371.72 382.42
264.15 273.66 284.39 294.96 305.50 316.00 326.52 337.08 347.71 356.40 369.19 380.07 391.05 402.14 413.33 424.63
li
0.9117 0.9264 0.9597 0.9918 1.0229 1.0531 1.0625 1.1114 1.1397 1.1675 1.1949 1.2218 1.2464 t.2746
p
0.9066 0.9374 0.9711 1.0034 1.0345 1.0647 1.0940 1.1227 1.1508 1.1784 1.2055 1.2321 1.2584 1.2843 1.3096 1.3351
251.03 254.98 265.42 275.59 285.62 295.59 305.54 315.50 325.51 335.56 345.73 355.95 368.27 376.69 387.21
0.9023 0.9164 0.9527 0.9868 1.0192 1.0503 1.0804 1.1096 1.1381 1.1660
1.1933 1.2201 1.2465 1.2724 1.2980
"
kJ/kg
s
li
kJ/(kg • K)
m'/kg
= 0.60 MPa (Tw= 21.58"C)
p
Il
h
s
kJ/kg
kJ/kg
kJ/(kg • K)
= 0.70 MPa (Tw= 26.72"C) 0.9060
0.03408
238.74
259.19
0.9097
0.02916
241.42
261.65
0.03561 0.03774 0.03958 0.04134 0.04304 0.04469 0.04631 0.04790 0.04946 0.05099 0.05251 0.05402 0.05550 0.05698
246.41 255.45 264.46 273.54 282.66 291.86 301.14 310.53 320.03 329.64 339.38 349.23 359.21 369.32
267.89 278.09 266.23 298.35 308.46 318.67 328.93 339.27 349.70 380.24 370.66 381.64 392.52 403.51
0.9388 0.9719 1.0037 1.0346 1.0645 1.0938 1.1225 1.1505 t.1781 1.2053 t.2320 1.2564 1.2844 1.3100
0.02979 O.Ò3157 0.03324 0.03462 0.03634 0.03781 0.03924 0.04064 0.04201 0.04335 0.04468 0.04599 0.04729 0.04857
244.51 253.83 263.08 272.31 261.57 290.88 300.27 309.74 319.31 328.98 338.76 346.66 356.86 368.82
265.37 0.9197 275.93 0.9539 286.35 0.9667 296.69 1.0162 307.01 1.0467 317.35 1.0764 327.74 1.1074 338.19 1.1356 348.71 1.1637 359.33 1.1910 370.04 1.2179 380.86 1.2444 391.79 t.2706 402.82 1.2963
p
p 0.01405 0.01495 0.01603 0.01701 0.01792 0.01878 0,01980 0.02039 0.02115 0.02189 0.02262 0.02333 0.02403 0.02472 0.02541 0.02608
= 0.90 MPa (T.,= 35.53°C) 245.Sé 250.32 260.09 269.72 279.3C 266.87 296.46 308.11 317.82 327.62 337.52 347..51 357.61 367.82 378.14 368.57
0.02255 0.02325 0.02472 0.02609 0.02738 0.02861 0.02980 0.03095 0.03207 0.03316 0.03423 0.03529 0.03633 0.03736 0.03838 0.03939
= 1.20 MPa (Tw= 46.32°C) 270.99 275.52 287.44 298.96 310.24 321.39 332.47 343.52 354.58 365.68 376.83 388.04 399.33 410.70 422.16
u kJ/kg
kJ/(kg • K) m'/kg
= 0.80 MPa (Tw = 31.33°C) 243.78 252.13 261.62 271.04 280.45 289.89 299.37 308.93 318.57 328.31 338.14 348.09 356.15 368.32 378.61 389.02
0.02547 0.02691 0.02846 0.02992 0.03131 0.03264 0.03393 0.03519 0.03642 0.03762 0.03861 0.03997 0.04113 0.04227 0.04340 0.04452
"
FIGURA A.1 . . . · h Air Conditionin 1agramma p- per 11 refrigerante -134a. (Riprodotto su licenza di American Society of Heating, Refrigera1ing, and Engineers, !ne., Atlanta, GA
o·
= O.SO MPa (T.,= 15.74"C) 235.64 239.40 246.20 256.99 265.83 274.73 283.72 292.80 302.00 311.31 320.74 330.30 339.98 349.79
0.04086 0.04166 0.04416 0.04633 0.04842 0.05043 0.05240 0.05432 0.05620 0.05605 0.05966 0.06166 0.06347 0.06524
s
266.18 271.25 262.34 293.21 303.94 314.62 325.28 335.96 346.86 357.47 386.33 379.27 390.31 401.44 412.68 424.02
0.9054 0.9217 0.9586 0.9897 1.0214 1.0521 1.0819 1.1109 1.1392 1.1670 1.1943 1.2211 1.2475 1.2735 1.2992 1.3245
p
= 1.40 MPa (Tw= 52.43"C) 253.74 262.17 272.87 283.29 293.55 303.73 313.66 324.05 334.25 344.50 354.82 365.22 375.71 386.29 396.96 407.73
= 1.00 MPa (Tw= 39.39°C) 247.77 248.39 256.46 286.35 278.11 287.82 297.53 307.27 317.06 326.93 336.66 346.92 357.06 367.31 377.66 366.12
0.02020 0.02029 0.02171 0.02301 0.02423 0.02538 0.02649 0.02755 0.02658 0.02959 0.03058 0.03154 0.03250 0.03344 0.03436 0.03528
p
267.97 286.86 280.19 291.36 302.34 313.20 324.01 334.82 345.65 356.52 367.46 378.46 389.56 400.74 412.02 423.40
0.9043 0.9066 0.9428 0.9786 1.0093 1.0405 1.0707 1.1000 1.1286 1.1567 1.1841 1.2111 1.2376 1.2638 1.2895 1.3149
= 1.60 MPa (T.,= 57.92"C)
273.40
0.9003
0.01206
256.00
275.33
0.8982
283.10 295.31 307.10 318.63 330.02 341.32 352.59 363.86 375.15 386.49 397.89 409.36 420.90 432.53 444.24
0.9297 0.9658 0.9997 1.0319 1.0628 1.0927 1.1218 1.1501 1.1777 1.2048 1.2315 1.2576 1.2634 1.3066 1.3338
O.Q1233 0,01340 0.01435 0.01521 0.01601 0,01677 0.01750 0.01820 0.01887 0.01953 0.02017 0.02080 0.02142 0.02203 0.02263
256.48 269.89 280.78 291.39 301.84 312.20 322.53 332.87 343.24 353.66 364.15 374.71 385.35 396.08 406.90
278.20 291.33 303.74 315.72 327.46 339.04 350.53 361.99 373.44 384.91 396.43 407.99 419.62 431.33 443.11
0.9069 0.9457 0.9813 1.0148 1.0467 1.0773 1.1069 1.1357 1.1638 1.1912 1.2181 1.2445 1.2704 1.2960 1.3212
Entalpia, kJ/kg
663
I
FJGURAA.13
Diagramma generalizzato di compressibilità di Nelson-Oberi a basse pressioni. (Su licenza del Dr Edward E.. Obert, Università del Wisconsin
TABELLA A.12 Costanti che appaiono nelle equazioni di stato di Beattie-Bridgernan e Benedict-Webb-Rubin
(a)O
(a) L'equazione di stato di Beattie-Bridgeman è
R.T(
e p=~2 I-~ 3 u
uT
A
) (Y+B)--• -
\i'
dove A =A 0 (1-
~)
Dove p è in kPa, uè in m'lkrnol, Tè in K, e R, = 8.314 kPa · m'/(kmol · K), le cinque costanti nella equazione di Beattie-Bridgeman sono le seguenti: e b a Gas 4.34 X 104 -0.001101 0.04611 0.01931 131.8441 Aria 5.99 X 104 o.o 0.03931 0.02328 Argon, Ar 130.7802 6.60 X 105 0.07235 0.10476 Biossido di carbonio, CO, 0.07132 507.2836 40 o.o 0.01400 0.05984 Elio, He 2.1886 504 -0.04359 0.02096 -0.00506 Idrogeno, H, 20.0117 4.20 X 104 -0.00691 0.05046 0.02617 kzDto, N, 136.2315 4.80 X 104 0.004208 0.04624 0.02562 Ossigeno, O, 151.0857 Fonte: G.J. Van Wylen e R.E. Sonntag, Fundamentals of Classica/ Thermodynamics, English/SI Version, 3' ed., Wiley, New York 1986, p. 46, Tab.3.3.
(b) L'equazione di stato di Benedict-Webb-Rubin è
_ R.T p-
u
I o.so a."11i: Il
N
~
:S
0.70
l
E
8
( ...f._ ) I iJRT,,- a aa e + B.R.T-A,- T' u' +--;)3 + u• + 037"
u
Dovep è in kPa, è in m'/krnol, Tè in K, e Ru = 8.314 kPa·m'/(kmol·K), le otto costanti nella equazione di Benedict-Webb-Rubin sono le seguenti: -y C< e Co b Bo a Ao Gas 3 6 7 1.101 X 100.0340 1.006 X 10 3.205 X 10 0.12436 0.039998 190.68 1021.6 Il-Butano, C. H. 5 7 6 0.04991 1.511X10 1.404 X 10 8.470 X 10- 0.00539 277.30 0.007210 Biossido di carbonio, CO, 13.86 5 5 0.05454 1.054 X 10 8.673 X 10 1.350 X 10-• 0.0060 135.87 0.002632 Monossido di carbonio, CO 3.71 4 6 0.04260 2.578 X 105 2.286 X 10 1.244 X 10- 0.0060 187.91 0.003380 5.00 Metano, CH. 5 4 1.272 X 10-• 0.0053 8.164 X 10 7.379 X 10 0.04074 106.73 0.002328 2.54 kzDto, N,
Pressione ridotta, P,
= ...E. Pc, = .I
Temperatura ridotta, T,
r.,
Volume pseudoridotto, v,= _v_
N. 1
RT.,p., o.4ow.m---------;..;;;..-'----ib±!::i~
0.30
o.o
Fonte: K. Wark, Thermodynamics, 4' ed., McGraw-Hill, New York 1983, p.- 815, Tav. A-21 M. Originariamente pubblicata in H.W. Cooper e J.C. Goldfrank, in «Hidrocarbon Processing», 1967, voi. 46, n.12, p. 141.
664
O.I
0.2
.
0.3
0.6
Pressione ridotta, P,
0.7
o.e
--------- ---------- ----·-·------------------
TABELLAA.1 Proprietà dei metalli solidi (continua
TABELLAA.14 Proprietà dei metalli solidi Proprietà a varie temperature (K)
Proprietà a varie temperature (K)
'-[W/m · K)]/<;,[J/(kg · K)]
Proprietà a 300 K
Com oslzlone
Alluminio puro
Lega 2024-TS (4.5% Cu. 1.5% Mg, 0.6%Mn) Lega 195, Fusione (4.5%Cu) Berillio Biscrento
Cadmio Cromo Cobalto
Rame puro Bronzo commerciale (90% Cu, 10% Al) Bronzo fosforoso (69% Cu, 11% Sn) Ottone giallo (70% Cu, 30% Zn) Coslantana (55% Cu, 45% Ni) Gennanio Oro
Iridio Ferro puro
Annco (puro al 99.75%) Acciaio al carbonio Carbonio semplice (Mns1%. SIS0.1%) AISI 1010 Carbonio-silicio (Mns1%, 0.1%
Carbonk>-manganese-siliclo (1% < Mn s 1.65%, 0.1%
666
fusione K
Punto di
.\ W/m·K
p
k /m'
100 97.1
933
2,702
903
237
775
2,770
875
177
73.0
2,790
883
168
68.2
1550
1,650
1825
200
59.2
7.86
6.59
545
9,760
122
2573
2,500
1107
27.0
594
8,650
231
96.8
48.4
2118
7,180
449
93.7
29.1
1769
8,862
421
99.2
26.6
9.76
1358
8,933
385
401
117
1293
8,800
420
52
14
54
17
1104
8,760
355
1188
8,530
380
110
1493
8.920
384
23
1211
5,380
322
59.9'
1336
19.300
129
317
2720
22,500
130
147
1810
7,870 7,870 7,854
7,832
7,817 8,131
447 447 434 434 446 434
60.2 72.7 80.5 83.9
51.9 41.0
33.9 6.71
34.7 127 50.3 23.1 20.7 17.7 18.8 14.9 11.6
302 482 65 473
990
203 16.5 112 190 128 203 198 159 192 167 236 482 252
75 17 237 232
190 327 109 172 90 134 216 95.6 215
200 237 796 163 787
400
600
800
240 949 186 925
231 1033
218 1146
174
165
161 301 2191 1114 7.04 9.69 127 120 16.8 55.5 1463 600 94.7 99.3 242 222 90.9 111 484 384 65.4 122 450 379
126 2604
503
137 395
149 425
153
144
122
133
27.3 348 298 135 138 138
94.0 384
69.5 490
54.7 574
65.7 490
78.7 90.8 3227 3018
53.1 574
71.3 581 58.2 550
366 433
65.4 616 52.1 628
352 451
39.7 559
39.1 575
34.5 688
27.4 969
7,836
443
48.9
14.1
46.8 492
42.1 575
36.3 688
28.2 969
8,055
460
15.1
3.91
7,900
477
14.9
3.95
AISl316
8,238
468
13.4
3.48
AISl347
7,978
480
14.2
11,340
35.3
923
1,740
1024
156
87.6
2894
10,240
251
138
53.7
22.8 20.0 585 559 19.8 22.6 582 557 18.3 21.3 576 550 21.9 18.9 585 559 31.4 142 146 149 1170 1267 126 118 275 285
25.4 606 25.4 611 24.2 602 24.7 606
129
17.3 512 16.6 515 15.2 504 15.8 513 34.0 132 153 1074 134 261
112 295
105 308
60.2 465 14 480 13.5
65.6 67.6 530 592 16 21 545 525 20.5 17.0
71.8 562
76.2 594
24.0
27.6
510 58.2 283 79.7
546 61.3 292 86.9 271
626 64.4 301 94.2 281
67.5 310 102 291
Piombo
Nicromo (80% Ni, 20% Cr) lnconel X-750 . (73% Ni, 15% Cr, 6.7% Fe)
42.2 680
Platino puro
27.6 1090
1200
42.0 492
28.7 609
35.0 685
1000
12.2
32.3
699
800
42.3
Palladio
31.3 1188 29.3 971
600
442
28.3 609
37,4
400
7,858
32.8 975
39.2 685
200
26.9 969
43.3 660
48.8 559 44.0 582
100
33.3 688
17.4 395 255 155 120 161
58.7 487 49.8 501
Q )( 10 m2/s
36.7 575
17.4 375 270 145 126 153
30.0 1169
W/(m · K)
38.2 492
19.8 357 284 140 132 144
39.2 665
).
J/(kg • K)
10.9
Nikel puro
48.0 559
e;.
kgim'
37.7
Molibdeno
56.7 487
42.2 487
339 460
p
444
AISl302 61.9 682 49.3 733
8
7,822
Magnesio
975
fusione K
Acciaio al cromo %Cr - Y.Mo - Si (0.18% C. 0.65% Cr, 0.23% Mo, 0.6% SI) 1Cr-%:Mo (0.16% C, 1% Cr, 0.54% Mo, 0.39% Si) 1Cr-V (0.2% C, 1.02% Cr, 0.15%V) Acciaio Inossidabile
AISl304 60.7 542 67.4
95 380 19 362 96.8 290
60.6 384
106 2823
10.6 9.80 9.65 1892 2180 2338
379 417 59 545 74
124
Composizione
1042
393 397 52 180 65
323
1200
186
413 356 42 785 41
43.2 337 311 131
1000
'-[W/m · K)]/q,[J/(kg · K)]
Proprietà a 300 K
Punto di
Niobio
Lega 60 PI· 40% Rh (80% PI, 40% Rh) Renio
Rodio Silicio Argento
1670
601
1728
8,900
444
90.7
9.2 272
12.6 402
39.7 118 169 649 179 141
36.7 125 159 934 143
164 232
107 383
3.71 24.1
23.0
224
1672
8.400
420
12
3.4
1665
8,510
439
11.7
3.1
8.7
10.3
2741
8.570
265
53,7
23.6
12,020
244
71.8
24.5
372 52.6 249 71.6 227
473 55.2 274
1827
55.2 188 76.5 168
251
261
77.5 100
72.6 125
71.8 136
73.2 141 59
146
44.2 145 136 274 61.9 867 412 250 58.6 146 55.8 134
44.1 151 127 293 42.4 913 396 262 59.4 149 56.9 145
2045
21,450
133
71.6
25.1
1600
16,630
162
47
17.4
3453
21,100
136
47.9
16.7
2236
12.450
243
1665
2.33o
1235
10.500
712
150
148 429
49.6 89.2 174
Tantalo
3269
16,600
140
57,5
24.7
Torio
2023
11,700
118
54.0
39.1
73.6
52
58.9 97 186 147 884 259 444 187 59.2 110 59.8 99
51.0 127 154 220 264 556 430 225 57.5 133 54.6 112
46.1 139 146
253 98.9 790 425
239 57.8 144 54.5 124
75.6 65
78.7
152 69 44.6 156 121 311 31.2 946 379
277 80.2 152 56.9 156
28.0 640
82.6 157 73 45.7 162 116 327 25.7 967 361 292 61.0 155 58.7 167
66~
TABELLAA.15 Proprietà dei solidi non
TABELLAA.14 Proprietà dei metalli solidi (continua)
Proprietà a varie temperature (K)
Proprietà a varie temperature (K}
J.[W/(m · K)]i<;[J/(kg · K)]
Proprietà a 300 K Punto di Composizione
Stagno
fusione K
505
p kg/m 3
7,310 4,500
227 522
Q X
m2/s
66.6 21.9
40.1 9.32
1953
Tungsteno
3660
19,300
132
Uranio
1406
19,070
116
27.6
12.5
Vanadio
2192
6,100
489
30.7
10.3
Zirconio
693
7,140
389
2125
6,570
278
174
116 22.7
Composizione
10
).
W/(m·K)
litania
Zinco
Punto di
6
Jt(kg · K)
68.3
41.8 12.4
100 85.2 188 30.5 300 208 87 21.7 94 35.8 258 117 297 33.2 205
200 73.3 215 24.5 465 186 122 25.1 108 31.3 430 118 367 25.2 264
400 62.2 243 20.4 551 159 137 29.6 125 31.3 515 111 402 21.6 300
600
800
1000
e fusione p kg/m' J/(kg . K'j K
22.0 620 113 152 49.0 161 40.8 645
m2/s
100
400 32.4 940 26.4
2323
3970
765
46
15.1
450
82
3970
765
36.0
11.9
133
55
2725
3000
1030
Boro
2573
2500
1105
590
2080
Composto epossidico di fibre di boro (30% voi.) À. Il alle fibre ,t J. alle fibre
940 272 27.6
26.0 344
Fonte per le tabelle da A.14 fino ad A.16: F.P. lncropera e D.P. DeWitt, Fundamenta/s of Heat and Mass Transfer, 3' ed., Wiley, New York 1990, pp. A3-A14. Originariamente compilate da varie fonti. Riprodotte su licenza di John Wiley & Sons, lnc.
amorfo
9.99
2'omposto (25% voi.) epossidico di fibre di grafite l, flusso termico Il alle fibre I, flusso termico •alle fibre
Pi~ramica,
3500
2273
509
2210 1950 5.70 709
450
13.0 18.9 1180 1110 10.4 15.8 1180 1110 70 111 1865 1690 8.1 11.3 2135 1880
1000
10.5 1225 6.55 7.85 1225 33 47 1975 2055 5.2 6.3 2555 2350
667 634 892 4970 3230 1390 2.01 1.60 2.68 4.09 9.23 16.8 1650 1793 1406 411 992 136
1.34 1890
1.18
4000 194
1.89
21.9
2.37
1540 853
5.7
11.1 0.87 935 1623
2600
808
3100
3160
675
Biossido di silicio,
1883
2650
3.98 490
1.89
8.7
13.0
1.1 0.46 0.88 642 1216 337 3.64 5.25 4.78
908 230 880
3.08 2.96 3.28 1122 1197 1038 87 1195 1050 1135
cristallino (quarzo) À, Il all'asse e ;., J. att'asse e
policristallino (silice fusa) Nitruro di silicio
668
10.4 6.21 1883
2220
745 745
2173
2400
691
392
2070
708
Biossido di torio
3573
9110
235
Biossido di titanio, policristallino
2133
4157
710
Zolfo
448
1400
Coming9606 Carburo di silicio
~!Ossido di silicio,
1200
2.84
10000 21
2300
600
2.53
0.67
Diamante, isolante tipo Ila Grafite, pirolitica 1..11 agli strati !.. J. agli strati
600
2.28 2.23 0.60 0.49 1431 757
364 1.60
1950
190
2.10 0.37
2.29 0.59 1500
196 1350 18.7 52.5 1490
88.0
?artionio 23.7 362
200
2323
1122
435 20.7 21.6 342 332
W/(m·K)
axlO'
Ossido di alluminio, policristallino Ossido di berillio
zaffiro 20.7 675 118 148 43.9 180 38.2 597
À
1200 Ossido di alluminio,
19.7 19.4 633 591 125 137 145 142 34.0 38.8 176 146 33.3 35.7 563 540 103
).{W/(m · K)]lc,(JICkg · K)]
Proprietà a 300 K
39 20.8
4.2 5.0 3.1 3.4 1250 1075 2.87 2.17 1.75 1.51 1.14 1155 1105 1040 905
16.4 9.5
7.6 4.70
885
1.38 16.0 0.206
0.834
0.69
9.65 0.141
0.165
403 13 8.4
6.1 2.8
13.9 578 n8 0.185
9.88 8.76 11.3 1155 937 1063
606 10.2 255 7.01 805
3.68 4.7 6.6 295 285 274 3.46 3.94 5.02 910 930 880
2.87 1264 58 1243
------·-------------~···
-----------·TABELLA A.16 Proprietà del materiali comuni (e) Altri materiali (continua)
TABELLAA.16 Proprietà dei materiali comuni (e) Altri materiali
Descrizione/Composizione Asfalto Bakelite Mattone, refrattario al carborundum al cromo
Silice di diatomee, cotta Argilla refrattaria, cotta a 1600 K
Argilla refrattaria, cotta a 1725 K
Mattone di argilla refrattaria
Magnesite
Argilla Carbone, antracite Calcestruzzo (con pietrisco) Cotone Prodotti alimentari Banana (contenuto d'acqua 75.7%) Mela, rossa (contenuto d'acqua 75%) Torta, pasta Torta, completamente cotta Carne di pollo, bianca, (contenuto d'acqua 74.4%)
Temp. K
300 300 872 1672 473 823 1173 478 1145 773 1073 1373 773 1073 1373 478 922 1478 478 922 1478 300 300 300 300
Densità p kg/m'
Conducibilità Calore specifico<; termica). J/(kg • K) W/(m·K)
Descrizione/Composizione
2115 1300
0.062 1.4
Vetro Lastra (calce sodata)
3010
2050 2325 2645
1460 1350 2300 80
18.5 11.0 2.3 2.5 2.0 0.25 0.30 1.0 1.1 1.1 1.3 1.4 1.4 1.0 1.5 1.8 3.8 2.8 1.9 1.3 0.26 1.4 0.06
920 1465
Densità
960 960 960 1130 880 1260 880 1300
300
980
0.481
3350
300 300 300 198 233 253 263 273 283 293
840 720 280
0.513 0.223 0.121 1.60 1.49 1.35 1.20 0.476 0.480 0.489
3600
p kg/m'
Conducibilità termica). W/(m·K)
Calore specifico i; J/(kg • K)
750 835 2040 1945
900
1.4 1.4 1.88 2.03 0.159 0.180 0.240
300 300 300 300 300
2630 2320 2680 2640 2150
2.79 t.15 2.80 5.38 2.90
775 810 830 1105 745
Tenera Dura Sabbia Terreno Neve
300 300 300 300 273 300 400
0.13 0.16 0.27 0.52 0.049 0.190 0.35 0.45
2010
Teflon
1100 1190 1515 2050 110 500 2200
Pyrex Ghiaccio
835
Temp. K
Cuoio (suola) Carta Paraffina Roccia Granito Calcare Marmo Qua12ite Arenaria Gomma, vulcanizzata
Tessuto, umano Pelle Strato grasso (adiposo) Muscolo Legno, in direzione normale alle fibre Balsa Cipresso Abete Quercia Pino giallo Pino bianco Legno, nella direzione delle fibre Quercia Abete
300 300 273 253 300 300 300
2500 2225 920 998 930
1340 2890
800 1840
0.37 0.2 0.41
300 300 300 300 300 300 300 300 300
140 465 415 545 640 435
0.055 0.097 0.11 0.17 0.15 0.11
2720 2385 2805
300 300
545 420
0.19 0.14
2385 2720
673 672
-·-----
-·
$''"•
"""""'w~~0'~G'~
T TABELLA A.17 Proprietà di alcuni metalli liquidi
TABELLAA.18 Proprietà di alcuni liquidi Conducibilità
Temperatura TK 545• 600
700 800 900 1000
Densità e_kg/m' 10,069 9,997 9,867 9,752 9,636 9.510
Calore specifico e, Jl(kg ·"Cl 143 145 150 154 159 163
termica
). W/(m·"C) Bismuto 16.8 16.4 15.6 15.6 15.6 15.6
Diffusività termica
Viscosità
1.17x10-5 1.13 X 10-5 1.06 X 10-5 1.04 X 10-5 1.02 X 10-5 1.01X10-5
1.75 1.61 1.34 1.12 0.96 0.83
Numero di Prandtl Pr
Viscosità cinematica
dinamica
2
µkg/m·s
"m /s
X X X X X X
10-3 10-3 ·10- 3 10-3 10-3 10-3 10-3
1.74 1.61 1.36 1.15 0.99 0.87
X X X X X X
10-7 10-7 10-7 10- 7 10-7 10-7
X X X X X
7
0.0148 0.0142 0.0128 0.0111 0.0098 0.0087
Piombo 501· 700 800 900 1000
10,588 10.476 10,359 10,237 10,111
161 157 153 149 145
15.5 17.4 19.0 20.3 21.5
10-5 10-5 10-5 10-5
0.91 1.06 1.20 1.33 1.47
X X X X X 10-s
2.62 2.15 2.05 1.54 1.32
X X X X X
3.8 4.3 4.7 5.4 6.1 7,1 8.3
X X X X X X X
10-6 10-6 10-s 10-6 10-s 10-s 10-s
2.00 1.69 1.51 1.31 1.18 1.02 0.84
X X X X X X X
1010-3 10-3 10-3
2.47 2.05 1.98 1.50 1.30
1010-7 10-7 10- 7 10- 7
0.0272 0.0194 0.0165 0.0113 0.0089
10-3 10-3 10-3 10-3 10-3 10-3 10-3
1.46 X 10-7 1.24 X 10-7 1.11X10-7 0.98 X 10-7 0.89 X 10-7 0.78 X 10-7 0.66 X 10-7
0.0389 0.0289 0.0237 0.0181 0.0147 0.0109 0.0080
3
Temperatura Densità pkg/m' r•c
Calore specifico c;J/(m·"C)
Conducibilità
Diffusività
termica
termica 2 Qm /s
.<
W/(m·°C)
4467
o
20 40
692 667 640 612 581
4798 4999
0.546 0.546 0.540 0.521 0.493
-40 -20
823 815
2037 2124 2249 2395 2572 2781 3026
0.186 0.179 0.174 0.168 0.162 0.156 0.150
1131 1117 1101 1088 1078 1059
2295 2386 2476 2565
0.254 0.257 0.259 0.262 0.265 0.267
1515 1457 1393 1327 1254
885
1002
0.069 0,071 0.073 0.073 0.069
o
20 40
1288 1276 1264 1252
2143 2261 2386 2513
0.282 0.284 0.287 0.290
o
899
20 40
888
1796 1880 1964 2047 2131 2219 2307
-40 -20
o
20 40
60
80
806
789 772 755 738
4509 4635
Mercurio 234• 273 300 350 400 500 600
13,723 13,628 13,562 13.441 13,320 13,081 12,816
142 140 139 138 137 136 134
7.3 8·2 8·9 10.0 11.0 12.7 14.2
Litio 454• 500 600
'
I
I I'
I i,Il I
"•I
~l
700 800 900 1000
512 508 498 489 480 471 462
4190 4190 4190 4190 4190 4190 4190
43 44 48 51 54 57 60
827 812 789 766 742 718 693 669
802 798 790 783 775 767 760 752
55 52 48 44 40 37 34 31
2.0 2.1 2.3 2.4 2.7 2.9 3.1
X X X X X X X
10-s 10-5 10-5 10-5 10- 5 10-5 10-5
6.1 5.9 5.7 5.4 5.2 4.9 4.7
X X X ·x X X X
10- 4 10- 4 10- 4 10-• 10-• 10-• 10-•
1.1sx10-• 1.17x10-• 1.14 X 10-s 1.11X10-s 1.08 X 10-s 1.05 X 10-• 1.02 X 10-•
8.3 8.0 7.7 7.3 7.0 6.7 6.5 6.2
X X X X X X X X
10-5 10-5 10-s 10-s 10-s 10-5 10-5 10-s
4.7 3.9 3.0 2.3 1.8 1.6 1.4 1.3
X X X X X X X X
10-• 10-• 10- 4 10- 4 10-• 10- 4 10- 4 10- 4
5.6 4.9 3.8 3.0 2.4 2.2 2.0 1.9
0.059 0.056 0.050 0.045 0.040 0.036 0.033
Potassio 337" 400 500 600
700 800 900 1000
X X X X X X X X
10- 7 10- 7 10- 7 10- 7 10-7 10-7 10-7 10-7
0.0068 0.0061 0.0050 0.0041 0.0034 0.0033 0.0032 0.0030
Sodio 371• 400 500 600
700 800 900 1000
929 922 896 871 846 822 797 773
1382 1371 1334 1309 1284 1259 1256 1256
88 87 82 76 72 67 63 58
6.9 6.9 6.8 6.7 6.6 6.5 6.2 6.0
X 10-• X 10-5 X 10-s X 10-5 X 10-5 X 10-5 X 10-s X 10-5
7.0 6.1 4.1 3.2 2.6 2.1 1.9 1.8
X 10- 4 X 10- 4 X 10- 4 X 10- 4 X 10- 4 X 10-• X 10- 4 X 10- 4
7.5 6.7 4.6 3.6 3.0 2.6 2.4 2.3
X 10-7 X 10- 7 X 10-7 X 10-7 X 10-7 X 10-7 X 10- 7 X 10-7
0.0110 0.0097 0.0067 0.0054 0.0046 0.0040 0.0039 0.0038
•Punto di fusione. Fonte: le tabelle da A.17 ad A.19 sono state adattate da F. M. White, Heat and Mass Transfer, Addison-Wesley, Reading (MA) 1988, pp. 677-88 e 692-94, dove sono state compilate sulla base di vari riferimenti bibliografici. Stampate con il permesso di Addison-Wesley Longman Publishing Company, lnc.
674
o
20 40 60 80 100
-40 -20
o
20
40 -20
2656
2750
907 935 966
60
864
80 100 120 140 160
852
806
2483
0.147 0.145 0.144 0.140 0.138 0.137 0.135 0.133 0.132
273.2 280
000 000
300 320 340 360
997
4205 4197 4177 4176 4187 4204 4220 4241 4419 4647 5272 6691
0.564 0.582 0.608 0.837 0.659 0.674 0.681 0.686 0.673 0.635 0.571 0.481
876 840
829 817
2395
Ammoniaca 7 1.78 X 10-7 1.82 X 10- 7 1.82 X 10- 7 1.78 X 10- 7 1.70 X 10-
Viscosità dinamica µkg/(m • s) 2.81 2.54 2.39 2.20 1.98
X 10- 4 X
4
X 10X 10- 4 X 10- 4
Alcool etilico (C,H,O) 4.81 1.11 X 10- 77 1.03 X 102.83 0.960 X 10- 7 1.77 0.689 X 10- 77 1.20 0.834 0.816 X 100.592 0.743 X 10- 77 0.430 0.672 X 10Glico/e etilenlco (C,H,O,) 9.79 X 10-86 9.64 X 10- 8 9.50 X 10-6 9.39 X 10- 8 9.26 X 10-6 9.17 X 10-
10- 4
X 10- 3
Viscosità cinematica 2 vm /s 7 4.06 X 10- 7 3.81 X 10- 7 3.73 X 10- 7 3.59 X 10- 7 3.40 X 10-
X
10-3
X X X X
10=~ 10 3 10- 3 10-
5.84 X 10-S6 3.47 X 10-6 2.20 X 10- 6 1.52 X 10- 6 1.08 X 100.784 X 10- 6 0.583 X 10- 6
65.1 X 10- 33 21.4 X 10- 3 9.57 X 10- 3 5.17 X 10- 3 3.21 X 10-3 2.15 X 10-
6 57.5 X 1019.2 X 10-s 10-s X 8.69 4.75 X 10- 66 2.98 X 10- 6 2.03 X 10-
X 10- 3
Refrigerante Fraon-12 (CC~F,) 4 4.24 X 10- 4 5.14 X 10- 66 5.38 X 103.43 X 10-4 6 5.59 X 102.98 X 10-4 5.66 X 10- 6 2.62 X 10- 4 5.46 X 10-8 2.40 X 10Glicerina 1.02 X 10- 7 134 12.1 0.98 X 10- 77 1.49 0.95 X 10- 7 0.92 X 100.27 Olio lubrificante non usato X 10- 3 3850 9.11 X 10- 68 X 10-3 800 8.72 X 10-8 X 10- 3 212 8.34 X 10- 8 3 72.5 X 10- 3 8.00 X 10- 8 32.0 X 10- 3 7.69 X 10-8 10X 10X 17.1 7.38 6 10.2 X 10- 33 7.10 X 10- 6 6.53 X 10- 3 6.86 X 104.49 X 106.63 X 10-e
2.80 X 10- 7 2.35 X 10- 7 2.14 X 10- 7 1.97 X 10-7 1.91 X 10104 9.5 1.2 0.2 4280 901 242 83.9 37.5 20.3 12.4 8.0 5.6
X 10- 3
X 10- 3 10- 3 X 10- 3
X
X
10-6
X
10- 6
X
10-6
X X X
10- 6 10- 6 10- 6
X
10- 6
X 10-6
X 10- 6 X 10- 6
Numero di Prandtl p, 2.28 2.09
2.05 2.02 2.00 52.7 33.6 22.9 17.0 13.2 10.6 8.7 588
199 91 51 32 22 5.4 4.4 3.8 3.5 3.5 1.020 0.096 0.0124 0.0023 47100 10400 2870 1050 490 276 175 116 84
Acqua (Tin K)
373.2 400 450 500 550 600
647.3• • Punto critico.
989 980
967 958 937 890 832
756 650
7 1.34 X 10-7 1.39 X 10- 7 1.46 X 10- 7 1.54 X 10- 7 1.61 X 10- 7 1.66 X 10-7 1.68 X 10- 7 1.73 X 10- 7 1.71 X 10- 7 1.64 X 10- 7 1.43 X 10- 7 1.11 X 10-
1.79 1.44 0.857 0.579 0.423 0.320 0.282 0.219 0.153 0.118 0.095 O.o76
X X X X X X X X X X X X
10- 3 10- 3 10-3 10- 3 10- 3 10-3 10- 3 10- 3 10- 3 10- 3 10- 33 10-
1.79 1.44 0.86 0.59 0.43 0.33 0.29 0.23 0.17 0.14 0.13 0.12
X 10-6 X X
10- 6
10-e
X 10-e X
10- 6
X 10- 6
X 10-6 X X
10- 6
10-6
X 10- 6 X
10- 6
13.4 10.4 5.88 3.79 2.69 2.00 1.75 1.35 1.01 0.86 0.88 1.05
315
675
TABELLAA.19
TABELLAA.19
Proprietà di alcuni gas alla pressione di 101325 Pa (continu
Proprietà di alcuni gas alla pressione di 101 325 Pa Temperatura
TK 200 250 280 290 300 310 320 330 340 350 400 450 500
550 600 700 800 900 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Densità pkg/m'
1.766 1.413 1.271 1.224 1.177 1.143 1.110 1.076 1.043 1.009 0.883 0.785 0.706 0.642 0.589 0.504 0.441 0.392 0.353 0.294 0.252 0.221 0.196 0.177
Conducibilità Calore specifico c;,J/(m·'C) 1003 1003 1004 1005 1005 1006 1006 1007 1007 1008 1013 1020 1029 1039 1051 1075 1099 1120 1141 1175 1201 1240 1276 1327
termica
,\ W/(m·°C) Aria
Diffusività termica ctm'/s 1.02 1.57 1.95 2.08 2.21 2.35 2.49 2.64 2.78 2.92 3.70 4.54 5.44 6.39 7.37 9.46 11.7 14.2 16.7 22.2 27.6 33.0 38.3 44.1
0.0181 0.0223 0.0246 0.0253 0.0261 0.0268 0.0275 0.0283 0.0290 0.0297 0.0331 0.0363 0.0395 0.0426 0.0456 0.0513 0.0569 0.0625 0.0672 0.0759 0.0835 0.0904 0.0970 0.1032
Viscosità
Viscosità
dinamica
cinematica
u kg/(m · s)
2
"m /s
10-5 10-5 10-5 10-s 10-5 10-5 10-S 10-s 10-5 10-5 10-s 10-s 10-s 10-s 10-5 10- 5 10-5 10-s 10-5 10-s 10- 5 10-s 10- 5 10-s
1.34 X 10-5 1.61 X 10-s 1.75 X 10-5 1.80 X 10-5 1.85 X 10-5 1.90 X 10-5 1.94 X 10-5 1.99 X 10-5 2.03 X 10-5 2.08 X 10-5 2.29 X 10-5 2.49 X 10-s 2.68 x· 10-• 2.86 X 10-5 3.03 X 10- 5 3.35 X 10-5 3.64 X 10-s 3.92 X 10-5 4.18X 10-s 4.65 X 10- 5 5.09 X 10- 5 5.49 X 10- 5 5.87 X 10- 5 6.23 X 10- 5
0.76 1.14 1.40 1.48 1.57 1.67 1.77 1.86 1.96 2.06 2.60 3.18 3.80 4.45 5.15 6.64 8.25 9.99 11.8 15.8 20.2 24.9 29.9 35.3
X 10-s
6.89 X 10- 5 8.53 X 10-6 10.27 X 10-6 12.06 X 10- 6 13.90 X 10-• 15.76 X 10-6 17.63 X 10-• 19.5 X 10- 6 21.4 X 10-• 25.1 X 10-6 28.8 X 10-•
0.66 1.03 1.48 2.03 2.68 3.42 4.25 5.16 6.18 8.45 11.1
X X X X
X X X
X X X X X
X X
X X
X X
X X X X X
X
Numero di Prandtl Pr
10-5 10-s 10-5 10-5 10-s 10-5 1Q-S 10-5 10-5 10-5 10-s 10-5 10-s 10-5 10-5 10-s 10-5 10-s 10-5 10- 5 10-s 10-s 10-5 10-5
0.740 0.724 0.717 0.714 0.712 0.711 0.710 0.708 0.707 0.706 0.703 0.700 0.699 0.698 0.698 0.702 0.704 0.705 0.709 0.720 0.732 0.753 0.772 0.801
X 10-s
X 10-5 X 10- 5 X 10-s X 10-s X 10- 5 X 10- 5
0.990 0.973 0.959 0.938 0.917 0.894 0.873 0.860 0.852 0.839 0.828
X 10-s X 10-5 X 10-s X 10-5 X 10- 5 X 10-5 X 10- 5 X 10-5 X 10-s X 10- 5 X 10-s X 10- 5 X 10-s. X 10-s X 10-5
0.674 0.672 0.669 0.666 0.665 0.665 0.664 0.662 0.662 0.658 0.655 0.654 0.652 0.648 0.638
X X X X
X X X X X
X X X X
X X
X X X X X X
X X X
Ammoniaca (NH,) 200 250 300 350 400 450 500 550 600 700 800
1.038 0.831 0.692 0.593 0.519 0.461 0.415 0.378 0.346 0.297 0.260
200 250 300 350 400 450 500 550 600 700 800 900 1000 1200 1400
2.435 1.948 1.623 1.392 1.218 1.082 0.974 0.886 0.812 0.696 . 0.609 0.541 0.487 0.406 0.348
2199 2248 2298 2349 2402 2455 2507 2559 2611 2710 2810
0.0153 0.0197 0.0246 0.0302 0.0364 0.0433 0.0506 0.0580 0.0656 0.0811 0.0977
0.67 1.05 1.55 2.17 2.92 3.82 4.86 6.00 7.26 10.1 13.4
X 10-s X 10- 5 X 10- 5 X 10- 5 X 10-5 X 10- 5 X 10- 5 X 10- 5 X 10- 5 X 10-5
0.98 1.49 2.09 2.78 3.52 4.33 5.20 6.14 7.12 9.28 11.6 14.1 16.8 22.8 29.6
X 10-5 X 10-5 X 10- 5 X 10-s X 10- 5 X 10-5 X 10-s X 10-5 X 10- 5 X 10-s X 10-5 X 10-5 X 10- 5 X 10- 5 X 10-5
X
10-5
X 10-s X 10- 5 X 10- 5
Argon
676
523.6 522.2 521.6 521.2 521.0 520.9 520.8 520.7 520.6 520.6 520.5 520.5 520.5 520.5 520.4
0.0124 0.0152 0.0177 0.0201 0.0223 0.0244 0.0264 0.0283 0.0301 0.0336 0.0369 0.0398 0.0427 0.0481 0.0535
1.60 1.95 2.27 2.57 2.85 3.12 3.37 3.60 3.83 4.25 4.64 5.01 5.35 5.99 6.56
X 10-s X 10-5 X 10-s X 10- 5 X 10- 5 X 10-5 X 10-5 X 10- 5 X 10-s X 10- 5 X 10-s X 10-s X 10-5 X 10- 5 X 10- 5
0.66 1.00 1.40 1.85 2.34 2.88 3.45 4.07 4.72 6.11 7.62 9.26 11.0 14.8 18.9
Temperatura
TK
Densità pkg/m'
Calore specifico c;,J/(m·'C) 13,540 14,070 14,320 14,420 14,480 14,500 14,510 14,520 14,540 14,610 14,710 14,840 14,990 15,370
Diffusività Conducibilità termica termica ,\ W/(m·'C) ctm'ls Idrogeno 0.77 X 10- 4 0.128 1.13X 10- 4 0.156 1.55 X 10- 4 0.182 2.01 X 10- 4 0.203 2.49 X 10- 4 0.221 3.02 X 10- 4 0.239 3.59 X 10- 4 0.256 4.22 X 10- 4 0.274 4.89 X 10-4 0.291 6.34 X 10- 4 0.325 7.97 X 10- 4 0.360 10.8 X 10- 4 0.394 11.6 X 10- 4 0.428 15.7 X 10- 4 0.495
900 1000 1200
0.1299 0.0983 0.0819 0.0702 0.0614 0.0546 0.0492 0.0447 0.0410 0.0351 0.0307 0.0273 0.0246 0.0205
200 250 300 350 400 450 500 550 600 700 800 900 1000 1200 1400
1.708 1.367 1.139 0.967 0.854 0.759 0.683 0.621 0.569 0.488 0.427 0.380 0.342 0.285 0.244
1043 1042 1040 1041 1045 1050 1057 1065 1075 1098 1122 1146 1168 1205 1233
0.0183 0.0222 0.0260 0.0294 0.0325 0.0356 0.0387 0.0414 0.0441 0.0493 0.0541 0.0587 0.0631 0.0713 0.0797
200 250 300 350 400 450 500 550 600 700 800 900 1000 1200 1400
1.951 1.561 1.301 1.115 0.976 0.867 0.780 0.709 0.650 0.557 0.488 0.434 0.390 0.325 0.278
906 914 920 929 942 956 971 987 1003 1032 1054 1074 1091 1116 1136
0.0182 0.0225 0.0267 0.0306 0.0342 0.0377 0.0412 0.0447 0.0480 0.0544 0.0603 0.0661 0.0717 0.0821 0.0921
200 250 300 350 400 450 500 550 600 700
800
Viscosità dinamica ukg/(m · s)
.
0.68 X 10-5 0.79 X 10-5 0.89 X 10-5 0.99 X 10-s 1.09 X 10-s 1.18 X 10-s 1.27 X 10-s 1.36 X 10-5 1.45 X 10-5 1.61 X 10-5 1.77 X 10-5 1.92 X 10-s 2.07 X 10-5 2.36 X 10-5
"m /s
Numero di Prandtl Pr
0.55 X 10- 4 0.80 X 10-4 1.09 X 10- 4 1.42 X 10- 4 1.78 X 10-• 2.17 X 10- 4 2.59 X 10- 4 3.04 X 10- 4 3.54 X 10-~ 4.59 X 10- 4 5.76 X 10-4 7.03 X 10- 4 8.42 X 10- 4 11.5 X 10- 4
0.717 0.713 0.705 0.705 0.714 0.719 0.721 0.722 0.724 0.724 0.723 0.723 0.724 0.733
Viscosità cinematica 2
Azoto 1.02 X 10-5 1.56 X 10-5 2.19 X 10-5 2.92 X 10-5 3.64 X 10-s 4.47 X 10-s 5.36 X 10-5 6.26 X 10- 5 7.20 X 10-5 9.20 X 10-s 11.3 X 10-s 13.5 X 10-5 15.8 X 10-5 20.8 X 10-s 26.5 X 10-s
1.29 X 10-5 1.55 X 10- 5 1.79 X 10-5 2.01 X 10-s 2.21 X 10-5 2.41 X 10-s 2.59 X 10-5 2.76 X 10-5 2.93 X 10-5 3.24 X 10-s 3.52 X 10-5 3.79 X 10-5 4.04 X 10-5 4.50 X 10-5 4.92 X 10-5
8.24 9.97 11.8 15.8 20.2
X 10-s X 10-5 X 10- 5 X 10- 5 x 1oc• X 10- 5 X 10-5 X 10-5 X 10-s X 10- 5 X 10- 5 X 10-5 X 10-s X 10-s X 10- 5
0.734 0.725 0.715 0.711 0.710 0.709 0.708 0.711 0.713 0.720 0.730 0.739 0.747 0.761 .0.761
1.47 X 10-5 1.78 X 10-5 2.07 X 10-5 2.34 X 10-s 2.59 X 10-s 2.83 X 10-5 3.05 X 10-5 3.27 X 10-5 3.47 X 10-5 3.85 X 10-5 4.21 X 10-5 4.54 X 10-5 4.85 X 10-5 5.42 X 10-5 5.95 X 10-s
0.75 X 10-5 1.14 X 10- 5 1.59 X 10-5 2.10 X 10- 5 2.65 X 10-5 3.26 X 10-5 3.91 X 10-5 4.61 X 10-5 5.34 X 10-5 6.91 X 10-5 8.63 X 10-5 10.5 X 10-5 5 12.4 X 1016.7 X 10-5 5 21.3 X 10-
0.728 0.721 0.711 0.710 0.713 0.717 0.720 0.722 0.725 0.730 0.736 0.738 0.738 0.737 0.734
0.75 1.13 1.57 2.08 2.59 3.17 3.79 4.45 5.14 6.~
Ossigeno 1.03 1.58 2.23 2.95 3.72 4.55 5.44 6.38 7.36 9.46 11.7 14.2 16.8 22.6 29.1
10-5 10-5 10-5 10-5 X 10-5 X 10-5 X 10-5 X 10- 5 X 10- 5 X 10-5 X 10- 5 X 10- 5 X 10-5 X 10-5 X 10- 5
X X X X
--------------~--
TABELLA A.19 Proprietà di alcuni gas alla pressione di 101 325 Pa (contùtua:
TABELLA A.19 Proprietà di alcuni gas alla pressione di 101 325 Pa (continua) Temperatura
TK
Densità pkg/m'
Calore specifico c;,J/(m·'C)
Conducibilità termica .< W/(m·'C)
Diffusività termica 2 am /s
Viscosità dinamica µ kg/(m · s)
Viscosità cinematica vm 1/s
Numero di Prandtl Pr
Anidride carbonica (CO,) 200 250 300 350 400 450 500 550 600 700 800 900 1000 1200 1400
2.683 2.146 1.789 1.533 1.341 1.192 1.073 0.976 0.894 0.767 0.671 0.596 0.537 0.447 0.383
759 806 852 897 939 979 1017 1049 1077 1126 1169 1205 1235 1283 1315
0.0095 0.0129 0.0166 0.0205 0.0244 0.0283 0.0323 0.0363 0.0403 0.0487 0.0560 0.0621 0.0680 0.0780 0.0867
200 250 300 350 400 450 500 550 600 700 800 900 1000 1100 1200
1.708 1.366 1.138 0.976 0.854 0.759 0.683 0.621 0.569 0:488 0.427 0.379 0.342 0.310 0.285
1045 1048 1051 1056 1060 1065 1071 1077 1084 1099 1114 1128 1142 1155 1168
0.0175 0.0214 0.0252 0.0288 0.0323 0.0355 0.0386 0.0416 0.0444 0.0497 0.0549 0.0596 0.0644 0.0692 0.0738
200 250 300 350 400 450 500 550 600 700 800 900 1000 1200 1400 1600 1800
0.2440 0.1952 0.1627 0.1394 0.1220 0.1085 0.0976 0.0887 0.0813 0.0697 0.0610 0.0542 0.0488 0.0407 0.0349 0.0305 0.0271 0.0244
5197 5197 5197 5197 5197 5197 5197 5197 5197 5197 5197 5197 5197 5197 5197 5197 5197 5197
0.115 0.134 0.150 0.165 0.180 0.195 0.211 0.229 0.247 0.278 0.307 0.335 0.363 0.416 0.469 0.521 0.570 0.620
0.47 0.75 1.09 1.49 1.94 2.43 2.96 3.55 4.18 5.64 7.14 8.65 10.25 13.6 17.2
10-5
X X 10-5 X 10-5 X 10-5 X 10-5 X 10-5 X 10-s X 10-5 X 10-5 X 10-5 X 10-5 X 10-s X 10-s X 10-5 X 10-s
10-5
10-5
1.02 X 1.26 X 1.50 X 1.73X 1.94 X 2.15 X 2.35 X 2.54 X 2.72 X 3.06 X 3.39 X 3.69 X 3.97 X 4.49 X 4.97 X
10-5 10-5 10-5 10-s 10-5 10-5 10-5 10-5 10-5 10-5 10-5 10-5 10-5 10-5
0.38 X 0.59 X 0.84 X 1.13 X 1.45 X 1.80 X 2.19 X 2.60 X 3.04 X 3.99 5.05 X 6.19 X 7.40 X 10.04 X 13.0 X
10-5 10-• 10-s 10-s 10-5 10-s 10-s
0.814 0.790 0.768 0.755 0.747 0.743 0.740 0.734 0.727 0.708 0.708 0.716 0.721 0.739 0.754
1.27 1.54 1.78 2.01 2.21 2.41 2.60 2.77 2.94 3.25 3.54 3.81 4.06 4.30 4.53
X X X X X X X X X X X X X X X
10-S 10-5 10-5 10-5 10-5 10-5 10-5 10-s 10-5 10-5 10-5 10-5 10-5 10-5 10-5
0.75 X 10-s 1.13X 10-5 1.56 X 10-5 2.05 X 10-s 2.59 X 10-s 3.18 X 10-5 3.80 X 10-s 4.46 X 10-5 5.17 X 10-s 6.66 X 10-5 8.29 X 10-5 10.04 X 10-5 11.9 X 10-5 13.9 X 10-5 15.9 X 10-5
0.763 0.753 0.743 0.735 0.727 0.723 0.720 0.717 0.718 0.718 0.718 0.721 . 0.720 0.718 0.717
1.50 X 1.75 X 1.99 X 2.21 X 2.43 X 2.63 X 2.83 X 3.02 X 3.20 X 3.55 X 3.88 X 4.20 X 4.50 X 5.08 X 5.61 X 6.10 X 6.57 X 7.00.
10-5 10-5 10-5 10-5 10-5 10-5 10-5 10-s 10-5 10-5 10-s 10-s 10-s 10-s 10-S 10-s 10-5 10-•
0.61 0.90 1.22 1.59 1.99 2.43 2.90 3.40 3.93 5.09 6.37 7.75 9.23 12.5 16.1 20.0 24.2 28.7
x
10- 5 10-s 10-5 10-5 10-5 10-5 10~ 5
Temperatura
TK 300 350 400 450 500 550 600 700 800 900 1000
Densità 0 kg/m' 0.0253' 0.258' 0.555 0.491 0.441 0.401 0.367 0.314 0.275 0.244 0.220
Calore specifico c;,J/(m·'C) 2041 2037
2000 1968 1977 1994 2022 2083 2148 2217 2288
Diffusività Conducibilità termica termica g:m2 /s ;. W/{m·'C) Vapore d'acqua 35.1 X 10- 5 • 0.0181 4.22 X 10-5 • 0.0222 2.38 X 10-5 0.0264 3.17 X 10-5 0.0307 4.09 X 10-5 0.0357 5.15 X 10-5 0.0411 6.25 X 10- 5 0.0464 8.74 X 10-s 0.0572 11.6 X 10-5 0.0686 14.4 X 10-5 O.Q78 17.3 X 10-5 0.087
Viscosità dinamica ukg/{m·s) 0.91 X 10-5 1.12 X 10- 5 1.32 X 10-s 1.52 X 10-5 1.73 X 10-s 1.93 X 10-5 2.13 X 10-s 2.54 X 10-s 2.95 X 10-5 3.36 X 10-5 3.76 X 10-5
Viscosità cinematica vm2/s
36.1 4.33 2.38 3.10 3.92 4.82 5.82 8.09 10.7 13.7 17.1
X 10- 5 ' X 10-5 ' X 10-5 X 10-s X 10-5 X 10~ 5 X 10-5 X 10-5 X 10-5 X 10-5 X 10-s
Numero di Prandtl Pr 1.03 1.02 1.00 0.98 0.96 0.94 0.93 0.93 0.92 0.95 0.99
•Alla pressione di saturazione (minore di 101 325 Pa). . Le proprietà<;, )., µ e Pr per i gas perfetti sono Indipendenti dalla pressione. Le proprietà p, o e a ad una pressione p diversa da 101 325 Pa i determinano moltiplicando i valori di palla temperatura data per p/101 325 e dividendo i valori di o e a alla temperatura data per p/101 325.
Ossido di carbonio (CO) 0.98 X 10-5 1.50 X 10-s 2.11X10- 5 2.80 X 10-5 3.57 X 10-5 4.39 X 10-5 5.28 X 10-5 6.22 X 10-5 7.20 X 10-5 9.27 X 10-s 11.5 X 10-5 13.9 X 10-5 16.5 X 10-5 19.3 X 10-5 22.2 X 10-5 Elio
2000
X X X X X X X X X X X X X X X X X 48.~ X
0.91 1.54 1.77 2.28 2.83 3.45 4:17 4.97 5.84 7.67 9.68 11.9 14.3 19.7 25.9 32.9 40.4
10-4 10- 4 10-4 10-4 10- 4 10-• 10- 4 10-• 10-4 10- 4 10-4 10- 4 10- 4 10- 4 10- 4 10-• 10-• 10-•
X X X X X X X X X X X X X X X X X X
10-• 10- 4 10- 4 10- 4 10- 4 10- 4 10- 4 10- 4 10-• 10- 4 10- 4 10- 4 10- 4 10- 4 10- 4 10- 4 10- 4 10-•
0.676 0.680 0.690 0.698 0.703 0.702 0.695 0.684 0.673 0.663 0.657 0.652 0.645 0.635 0.622 0.608 0.599 0.587
67 678
TABELLA A.20 Proprietà dell'atmosfera ad alta quota Conducibilità
Velocità del Altitudine m
o
Temperatura
•e
200 400 600 800
15.00 13.70 12.40 11.10 9.80
1,000 1.200 1,400 1,600 1,800
8.50 7.20 5.90 4.60 3.30
2,000 2,200 2,400 2,600 2,800
2.00 0.70 -0.59 -1.89 -3.19
Pressione kPa 101.33 98.95 96.61 94.32 92.08 89.88 87.72 85.60 83.53 81.49 79.50 77.55 75.63 73.76 71.92
9.807 9.806 9.805 9.805 9.804
m/s 340.3 339.5 338.8 338.0 337.2
Densità kg/m' 1.225 1.202 1.179 1.156 1.134
Viscosità 1;kj;i/(m·s) 1.789 X 10-5 1.783 X 10-5 1.777 X 10-5 1.771 X 10-5 1.764 X 10-5
9.804 9.803 9.802 9.802 9.801
336.4 335.7 334.9 334.1 333.3
1.112 1.090 1.069 1.048 1.027
1.758 1.752 1.745 1.739 1.732
X 10-s X 10-5 X 10-5 X 10-s X 10-5
1.726 1.720 1.713 1.707 1.700
10-5
Gravità, g m/s
2
9.800 9.8.00 9.799 9.799 9.798
suono
332.5 331.7 331.0 330.2 329.4
1.007 0.987 0.967 0.947 0.928
X X 10-s X 10-5 X 10-5 X 10-s
termica
W/(m· 0 C) 0.0253 0.0252 0.0252 0.0251 0.0250 0.0249 0.0248 0.0247 0.0245 0.0244 0.0243 0.0242 G.0241 0.0240 0.0239
3,000 3,200 3,400 3,600 3,800
-4.49 -5.79 -7.09 -8.39 -9.69
70.12 68.36 66.63 64.94 63.28
9.797 9.797 9.796 9.796 9.795
328.6 327.8 327.0 326.2 325.4
0.909 0.891 0.872 0.854 0.837
1.694 .x 10-5 . 1.687 X 10-5 1.681 X 10-5 l.674 X 10-5 1.668 X 10- 5
0.0238 0.0237 0.0236 0.0235 0.0234
4,000 4,200 4,400 4,600 4,800
-10.98 -12.3 -13.6 -14.9 -16.2
61.66 60.07 58.52 57.00 55.51
9.794 9.794 9.793 9.793 9.792
324.6 323.8 323.0 322.2 321.4
0.819 0.802 0.785 0.769 0.752
1.661 1.655 1.648 1.642 1.635
X 10-5 X 10-5 X 10-s X 10-5 10-s
x
0.0233 0.0232 0.0231 0.0230 0.0229
5,000 5,200 5.400 5,600 5,800
-17.5 -18.8 -20.1 -21.4 -22.7
54.05 52.62 51.23 49.86 48.52
9.791 9.791 9.790 9.789 9.785
320.5 319.7 318.9 318.1 317.3
0.736 0.721 0.705 0.690 0.675
1.628 1.622 1.615 1.608 1.602
X 10-s X 10-s X 10-5 X 10-s X 10-5
0.0228 0.0227 0.0226 0.0224 0.0223
o.seo 0.646 0.631 0.617 0.604
1.595 1.588 1.582 1.575 1.568
X 10-s X 10-s X 10-s X 10-5 X 10-5
0.0222 0.0221 0.0220 0.0219 0.0218
312.3 308.1 303.8
0.590 0.526 0.467
1.561 X 10-s 1.527 X 10-5 1.493 X 10-s
0.0217 0.0212 0.0206
299.5 295.1 295.1 295.1 295.1
0.414 0.312 0.228 0.166 0.122
1.458 1.422 1.422 1.422 1.422
X 10-s X 10-5 X 10-S X 10-s X 10-s
0.0201 0.0195 0.0195 0.0195 0.0195
6,000 6,200 6,400 6,600 6,800
-24.0 -25.3 -26.6 -27.9 -29.2
47.22 45.94 44.69 43.47 42.27
9.788 9.788 9.787 9.786 9.785
3'+6.5 315.6 314.8 314.0 313.1
7,000 8,000 9,000
-30.5 -36.9 -43.4
41.11 35.65 30.80
9.785 9.782 9.779
10,000 12,000 14,000 16,000 18,000
-49.9 -56.5 -56.5 -56.5 -56.5
26.50 19.40 14.17 10.53 7.57
9.776 9.770 9.764 9.758 9.751
Fonte: U.S. Standard Atmosphere Supplements, U.S. Government Printing Office, 1966. Valori basati su condizioni mediate su tutto l'anno a 45' di latitudine, essi variano con il tempo dell'anno e le condizioni climatiche. Le condizioni al livello del mare sono: p =101 325 Pa, T= 15'C, p =1.2250 Kglm', g= 9.80665 m'Js.
680
TABELLA A.21 Emissività di alcune superfic (a) Metal!
Materiale
Temperatura K
Emisslvità e
Alluminio Lucido Foglio commerciale Molto ossidato Anodizzato
300-900 400 400-800 300
0.04-0.06 0.09 0.20-0.33 0.8
Bismuto, brillante
350
0.34
Ottone Molto lucido Lucido Piastra appannata Ossidato
500-650 350 300-600 450-800
0.03-0.04 0.09 0.22 0.6
Cromo, lucido
300-1400
0.08-0.40
300
0.02
Rame Molto lucido Lucido
300-500
0.04-0.05
Foglio commerciale
300
0.15
Ossidato
600-1000
0.5-0.8
Ossidato nero Oro Molto lucido Foglio brillante
300
0.78
300-1000 300
0.03-0.06 0.07
Ferro Molto lucido Ghisa Ferro battuto Arrugginito Ossidato
300-500 300 300-500 300 So0-900
0.05-0.07 0.44 0.28 0.61 0.64-0.78
Piombo Lucido Nonossidato ruvido Ossidato
300-500 300 300
0.06-0.08 0.43 0.63
Materiale
Temperatura K
Emlssività e
Magnesio, lucido
300-500
0.07-0.13
Mercurio
300-400
0.09-0.12
Molibdeno Lucido Ossidato
300-2000 600-800
0.05-0.21 0.80-0.82
Nichel Lucido Ossidato
500-1200 450-100
0.07-0.17 0.37-0.57
Platino, lucido
500-1500
0.06-0.18
Argento, lucido
300-1000
0.02-0.07
Acciaio Inossidabile Lucido Leggermente ossidato Molto ossidato
300-1000 600-1000 600-1000
0.17-0.30 0.30-0.40 0.70-0.80
Acciaio Lamierino lucido Lamierino commerciale Molto ossidato
300-500 500-1200 300
0.08-0.14 0.20-0.32 0.81
Stagno, lucido
300
0.05
Tungsteno Lucido Filamento
300-2500 3500
0.03-0.29 0.39
Zinco Lucido Ossidato
300-800 300
0.02-0.05 0.25
I
TABELLA A.22
Proprietà di alcuni materiali alla radiazione solare
TABELLA A.21
Emissività di alcune superfici (b) Non metalli
Materiale
Temperatura K
Emissività e
Allumina
800-1400
0.65-0.45
Ossido di alluminio
600-1500
0.69-0.41
Temperatura K
Emissività e
Carta, bianca
.300
0.90
intonaco, bianco
300
0.93
Materiale
Coefficiente di assorbimento solare "'
Emissività e a300 K
Rapporto
Coefficiente di
Descrizione/Composizione Alluminio Lucido Anodizzato Rivestito al quarzo In foglio
"''e
trasmissione solare r.
0.09 0.14 0.11 0.15
0.03 0.84 0.37 0.05
3.0 0.17 0.30 3.0
Mattone, rosso
0.63
0.93
0.68
Calcestruzzo
0.60
0.88
0.68
0.65 0.80
0.13 0.28
5.0 2.9
Asbesto
300
0.96
Porcellana, vetrata
300
0.92
Pavimento di asfalto
300
0.85-0.93
Quarzo, grezzo, fuso
300
0.93
Laterizio Comune Argilla refrattaria
300 1200
0.93-0.96 0.75
Gomma Soffice Dura
300 300
0.86 0.93
Foglio di metallo galvanizzato Pulito, nuovo Ossidato, atmosferico Vetro, spessore 3.2 mm In polvere o temprato A basso tenore di ferro
Filamento al carbonio
2000
0.53
Sabbia
300
0.90
Marmo, leggermente non bianco (non riflettivo)
0.40
0.88
0.45
Metallo, piastra Solfuro nero Ossido di cobalto nero Ossido di nichel nero Cromo nero Mylar, spessore 0.13 mm
0.92 0.93 0.92 0.87
0.10 0.30 0.08 0.09
9.2 3.1 11 9.7
0.98 0.26 0.16
0.98 0.90 0.93
1.0 0.29 0.17
0.27
0.83
0.32
0.26
0.85
0.30
0.65 0.88
0.85 0.91
0.76 0.96
0.52 0.73
0.82 0.86
0.63 0.82
0.13 0.33
0.82 0.89
0.16 0.37
0.41 0.89
0.05 0.92
8.2 0.96
0.65
0.87
0.74
Stoffa
300
0.75-0.90
Calcestruzzo
300
0.88-0.94
600-1500
0.87-0.85
Pelle umana
300
0.95
Neve
273
0.80-0.90
Terreno, terrestre
300
0.93-0.96
Nerofumo
300-500
0.95
0.95-0.99
Teflon
300-500
0.85-0.92
Vernici Nera Bianca, acrilica Bianca, ossido di zinco
400-800
0.69-0.55
Acqua, profonda
273-373
0.95-0.96
Carta bianca
300
o.so
Legno Faggio .Quercia
Vetro Da finestra Pyrex Pyroceramico
300 300-1200 300-1500
0.90-0.95 0.82-0.62 0.85-0.57
Ghiaccio
273
Ossido di magnesio Muratura Vernici Alluminio Nera, laccatura, lucida Olii, tutti i colori Acrilico bianco Smalto bianco Fondo rosso
Carburo di silicio
300 300 300 300 300 300
0.40-0.50 0.88 0.92-0.96 0.90 0.90 0.93
0.79 0.88
0.87
0.90
Plexiglas, spessore 3.2 mm 300 300
0.94 0.90
Tegole di porcellana, bianche (superficie vetrata riflettiva) Tegole per tetto, rosso vivo Superflcie secca Superflcie umida Sabbia, secca Bianco brillante Rosso opaco Neve In particelle fini, fresca Granuli di ghiaccio Acciaio Finito a specchio Molto arrugginito Pietra Qeggermente rosa) Tediar, spessore 0.10 mm Teflon, spessore 0.13 mm Legno
0.92 0.92 0.59
0.90
0.66
Fonte: V.C. Sharma e A. Sharma, Solar Properties of Some Bullding Element, in «Energy», 1989, voi. 14, pp. 805-10, e altri riferimenti.
682
682
-r· I
FIGURA A.23 Diagramma generalizzato di compressibilità di Nelson-Oberi a pressioni intermedie (Su licenza del Dr. Edward E. Obert, Università del Wisconsin.)
7.5 7.0 6.5
(b) O
6.0 5.5
5.0 4.5 4.0
... 1.. ~t
..,~"' 1
·1 .....
3.5
Il
...,
3.0 2.5
.....Il
·i
2.0
~
1.5
I8
I.O
!l
PressJone ridotta,
0.40
Pr=L
Temperatura ridotta,
Pa
r, =L Ta
o;.gramma
"'
N.2
Volume pseudoridotto, v, = _.:__ RTcrPcr
0.5
1.5
2.5
3.0 3.5 4.0 Pressione ridotta, p,
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
0.5
o
O.I
0.2
0.3 0.4 0.5
I.O
2.0
3.0 4.05.0
IO
20
30
Pressione ridotta, p,
0.500
11~·
0.400
'"71~.i-.•
0.300
Il
,jjo:"
FIGURAA.24
Il
.....
0.200
·i
i
i 684
0.100
Tabella generalizzata dello scostamento entalpico (Fonte: John R. Howell, Richard O. Buckius, Fundamentals of Engineering Thennodynamics, SI Version, McGraw-Hill, New York 1987.)
685
TABELLA A.25
TABELLAA.25 Proprietà di gas perfetto dell'azoto, N,
T K
Proprietà di gas perfetto dell'azoto, N, (continna)
ii
ii
:s·
kJ/kmol
kJ/kmol
kJ/(kmol · K)
:s·
T K
h
ii
kJ/kmol
kJ/kmol
kJ/(kmol · K)
17 563 17 864 18 166 18 468 18 772
12 574 12 792 13 011 13230 13450
212.066 212.564 213.055 213.541 214.018
o
o
o
220 230 240 250
6 391 6683 6975 7266
4562 4 770 4979 5188
182.639 183.938 185.180 186.370
600 610 620 630 640
260 270 280 290 298
7 558 7 849 8141 8432 8669
5396 5604 5 813 6 021 ? 190
187.514 188.614 189.673 190.695 191.502
650 660 670 680 690
19 075 19 380 19 685 19 991 20297
13 671 13 892 14114 14 337 14 560
214.489 214.954 215.413 215.866 216.314
300 310 320 330 340
8723 9 014 9 306 9597 9 888
6229 6437 6645 6 853 7 061
191.682 192.638 193.562 194.459 195.328
700 710 720 730 740
20 604 20 912 21 220 21 529 21 839
14 784 15008 15 234 15 460 15 686
216 756 217.192 217.624 218.059 218.472
350 360 370 380 390
10 180 10 471 10 763 11 055 11 347
7270 7478 7687 7 895 8104
196.173 196.995 197.794 198.572 199.331
750 760 770 780 790
22149 22460 22772 23085 23398
15 913 16141 16 370 16599 16 830
218.889 219.301 219.709 220.113 220.512
400 410 420 430 440
11 640 11 932 12 225 12 518 12 811
8 314 8523 8733 8943 9153
200.071 200.794 201.499 202.189 202.863
800 810 820 830 840
23 714 24027 24342 24658 24 974
17061 17 292 17 524 17757 17 990
220.907 221.298 221.684 222.067 222.447
450 460 470 480 490
13 105 13 399 13 693 13 988 14 285
9363 9574 9786 9997 10 210
203.523 204.170 204.803 205.424 206.033
850 860 870 880 890
25292 25 610 25 928 26248 26 568
18224 18459 18 695 18 931 19168
222.822 223.194 223.562 223.927 224.288
500 510 520 530 540
14 581 14876 15172 15 469 15 766
10 423 10 635 10848 11 062 11 277
206.630 207.216 207.792 208.358 208.914
900 910 920 930 940
26890 27 210 27532 27 854 28178
19407 19 644 19 883 20122 20362
224.647 225.002 225.353 225.701 226.047
550 560 570 580 590
16 064 16 363 16 662 16 962 17 262
11 492 11 707 11 923 12139 12 356
209.461 209.999 210.528 211.049 211.562
950 960 970 980 990
28 501 28826 29 151 29 476 29 803
20603 20844 21 086 21 328 21 571
226.389 226.728 227.064 227.398 227.728
o
686
T K
fi kJ/kmol
ii kJ/kmol
:s·
kJ/(kmol · K)
T K
h
ii
s•
kJ/kmol
kJ/kmol
kJ/(kmol · K)
1000 1020 1040 1060 1080
30 129 30784 31 442 32101 32 762
21 815 22304 22795 23288 23 782
228.057 228.706 229.344 229.973 230.591
1760 1780 1800 1820 1840
56 227 56 938 57 651 58363 59075
41 594 42 139 42 685 43 231 43 777
247.396 247.798 248.195 248.589 248.979
1100 1120 1140 1160 1180
33426 34092 34 760 35430 36104
24280 24 780 25282 25 786 26291
231.199 231.799 232.391 232.973 233.549
1860 1880 1900 1920 1940
59790 60504 61 220 61 936 62 654
44324 44 873 45 423 45973 46 524
249.365 249.748 250.128 250.502 250.874
1200 1220 1240 1260 1280
36777 37452 38129 38 807 39488
26 799 27 308 27 819 28 331 28 845
234.115 234.673 235.223 235.766 236.302
1960 1980 2000 2050 2100
63 381 64090 64 810 66 612 68 417
47 075 47 627 48181 49 567 50 957
251.242 251.607 251.969 252.858 253.726
1300 1320 1340 1360 1380
40170 40853 41 539 42 227 42 915
29361 29 378 30398 30 919 31 441
236.831 237.353 237.867 238.376 238.878
2150 2200 2250 2300 2350
70226 72 040 73 856 75 676 77 496
52 351 53 749 55149 56553 57 958
254.578 255.412 256.227 257.027 257.810
1400 1420 1440 1460 1480
43 605 44295 44 988 45 682 46377
31 964 32489 33 014 33543 34 071
239.375 239.865 240.350 240.827 241.301
2400 2450 2500 2550 2600
79 320 81149 82 981 84 814 86 650
59366 60779 62195 63 613 65033
258.580 259.332 260.073 260.799 261.512
1500 1520 1540 1560 1580
47 073 47 771 48470 49168 49 869
34601 35133 35665 36197 36732
241.768 242.228 242.685 243.137 243.585
2650 2700 2750 2800 2850
88488 90 328 92 171 94 014 95 859
66455 67 880 69 306 70734 72163
262.213 262.902 263.577 264.241 264.895
1600 1620 1640 1660 1680
50 571 51 275 51 980 52 686 53393
37268 37806 38344 38884 39424
244.028 244.464 244.896 245.324 245.747
2900 2950 3000 3050 3100
97705 99556 101 407 103 260 105 115
73 593 75 028 76464 77 902 79 341
265.538 266.170 266.793 267.404 268.007
1700 1720 1740
54 099 54807 55 516
39 965 40507 41 049
246.166 246.580 246.990
3150 3200 3250
106 972 108 830 110 690
80 782 82224 83 668
268.601 269.186 269.763
Le Tabelle A.25 e A.26 sono adattate da K. Wark. Thermodynam/cs, 4' ed .. McGraw Hill, New Yorl< 1983, pubblicate originariamente in JANAF, Thermochemicat Tabtes, NSRDS-NBS-37, 1971.
Fonte:
687
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FIGURAA.27 Diagramma psicrometrico alla pressione di 101 325 Pa
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ASHRAE l>iagramma psicrometrico N. l
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Tempcralura normale Pressione barometrica: lOl 325 Pa
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© 1992 Amcrican Society of Heating. Refrigerating and Air-Conditioning Engincers. lnc.
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