MATEMÁTICA FINANCEIRA
2010/2
Professora Ms. Beatriz V. Vaccari
SUMÁRIO 1 PORCENTAGEM PORCENTAGEM 1.1 FUNÇÕES DE PORCENTAGEM NA HP 12C
4 4
2 ABATIMENTOS ABATIMENTOS SUCESSIVOS
7
3 ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS
8
4 DIFERENÇA PERCENTUAL PERCENTUAL ENTRE DOIS VALORES
9
5 OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS MERCADORIAS 5.1 LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO 5.2 LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA
11 11 11
6 JUROS SIMPLES 6.1 ELEMENTOS BÁSICOS
13 13
7 MONTANTE SIMPLES DE UM CAPITAL (M)
15
8 PRAZO MÉDIO
19
9 DESCONTO SIMPLES 9.1 DESCONTO SIMPLES COMERCIAL COMERCIAL 9.2 DESCONTO SIMPLES RACIONAL
21 21 25
10 EQUIVALÊNCIA EQUIVALÊNCI A DE CAPITAIS
28
11 JUROS COMPOSTOS 11.1 CONCEITO 11.2 FÓRMULA PARA O CÁLCULO DO PRESENTE VALOR 11.3 FÓRMULA PARA O CÁLCULO DA TAXA 11.4 CÁLCULO DO NÚMERO DE PERÍODOS FINANCEIROS FINANCEIROS 11.5 CÁLCULO DO MONTANTE QUANDO O NÚMERO DE PERÍODOS FINANCEIROS NÃO FOR UM NÚMERO INTEIRO
31 31 32 32 33
12 TAXAS PROPORCIONAIS PROPORCIO NAIS
37
13 TAXAS EQUIVALENTES
38
14 TAXA NOMINAL
40
15 TAXA EFETIVA (i)
41
16 TAXA DE JURO REAL (i r)
43
17 TAXA ACUMULADA
45
18 CAPITALIZAÇÃO CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA
46
19 DESCONTO COMPOSTO
48
20 EQUIVALÊNCIA EQUIVALÊNCI A DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS COMPOSTO S
50
33
SUMÁRIO 1 PORCENTAGEM PORCENTAGEM 1.1 FUNÇÕES DE PORCENTAGEM NA HP 12C
4 4
2 ABATIMENTOS ABATIMENTOS SUCESSIVOS
7
3 ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS
8
4 DIFERENÇA PERCENTUAL PERCENTUAL ENTRE DOIS VALORES
9
5 OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS MERCADORIAS 5.1 LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO 5.2 LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA
11 11 11
6 JUROS SIMPLES 6.1 ELEMENTOS BÁSICOS
13 13
7 MONTANTE SIMPLES DE UM CAPITAL (M)
15
8 PRAZO MÉDIO
19
9 DESCONTO SIMPLES 9.1 DESCONTO SIMPLES COMERCIAL COMERCIAL 9.2 DESCONTO SIMPLES RACIONAL
21 21 25
10 EQUIVALÊNCIA EQUIVALÊNCI A DE CAPITAIS
28
11 JUROS COMPOSTOS 11.1 CONCEITO 11.2 FÓRMULA PARA O CÁLCULO DO PRESENTE VALOR 11.3 FÓRMULA PARA O CÁLCULO DA TAXA 11.4 CÁLCULO DO NÚMERO DE PERÍODOS FINANCEIROS FINANCEIROS 11.5 CÁLCULO DO MONTANTE QUANDO O NÚMERO DE PERÍODOS FINANCEIROS NÃO FOR UM NÚMERO INTEIRO
31 31 32 32 33
12 TAXAS PROPORCIONAIS PROPORCIO NAIS
37
13 TAXAS EQUIVALENTES
38
14 TAXA NOMINAL
40
15 TAXA EFETIVA (i)
41
16 TAXA DE JURO REAL (i r)
43
17 TAXA ACUMULADA
45
18 CAPITALIZAÇÃO CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA
46
19 DESCONTO COMPOSTO
48
20 EQUIVALÊNCIA EQUIVALÊNCI A DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS COMPOSTO S
50
33
3
21 RENDAS 21.1 CONCEITO 21.2 CLASSIFICAÇÃO CLASSIFIC AÇÃO DAS RENDAS 21.3 VALOR ATUAL DE UMA RENDA 21.4 VALOR ATUAL OU PRESENTE VALOR DE UMA RENDA UNITÁRIA IMEDIATA a n 21.5 PRESENTE VALOR DE UMA RENDA UNIFORME UNIFORM E (PV) 21.6 MONTANTE DE UMA RENDA
52 52 52 53 53 53 57
22 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS EMPRÉSTIM OS 22.1 SISTEMA FRANCÊS (DE PRESTAÇÕES IGUAIS OU PRICE ) 22.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES (SAC) 22.3 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMORTIZAÇÃO MISTO 22.4 CORREÇÃO CORREÇÃO MONETÁRIA SOBRE FINANCIAMENTOS FINANCIAMENTOS
61 61 63 65 66
23 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS INVESTIMENTOS 23.1 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL)
69 69
23.2 TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR)
70
GABARITO
74
ANEXO 1
79
4
1 PORCENTAGEM A porcentagem é muito utilizada na prática. Ela é usada no cálculo de comissões, abatimentos, lucros, descontos, reajustes, etc. Elementos básicos: Principal (C): Valor sobre o qual se calcula a porcentagem. O principal corresponde sempre a 100% da operação. Porcentagem (p): É a parte do principal que corresponde à taxa. Taxa percentual (r): É a razão representada pela fração de denominador 100. Cálculo da porcentagem: Por ser um sistema proporcional, para o cálculo da porcentagem utiliza-se a seguinte regra de três: Principal ----------- 100% Porcentagem ------- taxa percentual 1.1 FUNÇÕES DE PORCENTAGEM NA HP 12C 1.1.1 Para calcular a porcentagem: C enter r % Caso em seguida for clicada a tecla +, o valor da porcentagem será somado ao principal. Se for pressionada a tecla -, o valor será subtraído do principal. 1.1.2 Para calcular o principal: r enter p %T 1.1.3 Para calcular a diferença de percentual entre dois valores a e b: a enter b
%
1.1.4 Para calcular a taxa de porcentagem: C entre p %T Exemplo 1: Um empregado que ganha R$ 1.800,00 recebeu um aumento R$ 360,00. Qual foi a taxa percentual desse aumento? 1.800 ---------- 100% 360 ---------- x x
360 100 1800
x = 20%
Na HP 12 C 1.800 enter 360 %T
Exemplo 2: Um investidor comprou um terreno por R$ 50.000,00 e vendeu-o, um ano depois, por R$ 62.500,00. Qual o lucro, em porcentagem, do preço de custo? 50.000 ----------- 100% 62.500 ----------- x 62.500 100 x 50.000
Na HP 12 C 50.000 enter
5 x= 125%
62.500 %
125- 100 = 25% O lucro foi de 25%. Exemplo 3: Calcular 10% de 12. 12 -------- 100% x -------- 10% 12 10 x 100
x = 1,2
Na HP 12 C 12 enter 10 %
Exemplo 4: Calcular que taxa percentual 8 representam de 80. 80 -------- 100% 8 -------- x 8 100 x 80
x = 10%
Na HP 12 C 80 enter 8 %T
Exercícios propostos 1) O número de funcionários de uma agência bancária passou de 80 para 120. Em relação ao número inicial, o aumento no número de funcionários foi de; a) 50% b) 55% c) 60% d) 65% e) 70% 2) Uma escola tem 600 alunos dos quais 40% são meninas e os demais meninos. Sabendo-se que apenas 10% dos meninos ainda não aprenderam a ler, indique quantos meninos já sabem ler. 3) No transporte de frutas, determinada transportadora registra uma perda média de 1,7%. Para uma carga de 15.000 kg, qunato será a perda esperada? 4) Uma pessoa comprou um automóvel por determinado valor e vendeu-o com um lucro de R$ 680,00, correspondente a 3,4% do preço de compra. Qual foi esse preço de compra? 5) Um livro que custava R$ 43,00 foi vendido numa liquidação com abatimento de 15%. Qual o valor do abatimento? 6) Um televisor foi comprado numa liquidação por R$ 420,75, já deduzidos os 6,5% de abatimento. Qual o valor do televisor antes do abatimento? 7) Num depósito, há dois tipos de refrigerantes. O refrigerante A representa 36% do total, e do refrigerante B há 1.296 garrafas. Qual o número total de garrafas existentes no depósito?
6
8)
Um comerciante adquiriu 2.000 cadernos a R$ 3,60 cada um. Vendeu ¼ por R$ 2.000,00 e o restante por R$ 6.000,00. De quanto por cento foi o lucro.
9)
O preço de capa de uma revista mensal é de R$ 5,00. Na assinatura anual, com direito a 12 edições dessa revista, há um desconto de 12%. Qual o preço da assinatura?
10) Após um aumento de 3,5%, certo empregado passou a ganhar R$ 2.173,50. Qual era seu salário antes do aumento? 11)
Produção e vendas, em setembro, Três montadoras de automóveis Montadora A B C
Unidades Produzidas 3.000 5.000 2.000
Porcentagem vendida Da produção 80% 60% x%
Sabendo que nesse mês as três montadoras venderam 7.000 dos 10.000 carros produzidos, qual é o valor de x? 12) O Sr. Manoel contratou um advogado parra receber uma dívida cujo valor era de R$ 10.000,00. Por meio de um acordo com o devedor, o advogado conseguiu receber 90% do total da dívida. Supondo que o Sr. Manoel pagou ao advogado 15% do total recebido, quanto dinheiro lhe restou? 13) Certo artigo que custava R$ 200,00 teve seu preço reajustado em 18%. Qual o seu preço final? 14) Para aumentar as vendas, o dono de uma loja de roupas resolveu dar 20% de desconto em qualquer peça de inverno. Qual era o preço original de um casaco que, na promoção, estava sendo vendido por R$ 96,00? 15) Um investidor comprou uma casa por R$ 50.000,00 e gastou 80% do custo em reparos. Mais tarde vendeu a casa por R$ 120.000,00. Qual foi o seu lucro? De quanto por cento foi o seu lucro? 16) Um produto é vendido por R$ 1.850,00 com 15% de lucro. Se o preço de venda fosse R$ 2.210,00, qual seria o percentual de lucro? 17) Sobre uma fatura de R$ 3.679,49 se concede um abatimento de R$ 93,91. De quanto por cento é este abatimento?
7
2 ABATIMENTOS SUCESSIVOS No meio comercial é muito comum o uso de abatimentos sucessivos, isto é, calcular os abatimentos sobre os valores líquidos encontrados anteriormente. O cálculo do valor líquido ou valor final é dado pela seguinte fórmula: VF C (1 i1 )(1 i2 )........(1 in ()
Sendo: VF = valor real a ser pago C = principal, ou seja, valor de 100% i = taxas unitárias sucessivas Exemplo 1: Sobre uma fatura de R$ 124.000,00 são dados os seguintes descontos sucessivos: 20% + 10% + 5%. Qual o valor líquido a ser pago? VF = 124.000 (1- 0,2) (1- 0,1) (1- 0,05) VF = 124.000 x 0,8x 0,9 x 0,95 VF = R$ 84.816,00
Na HP 12C 124000 enter 20% - 10% - 5%
Exemplo 2: Por uma mercadoria foi pago R$ 70,00. Sabendo-se que sobre o preço constante na tabela foram dados descontos sucessivos de 30%+ 20%, qual era o preço da tabela? 70 = C (1- 0,3) (1 – 0,2) 70= C x 0,7 x 0,8 70 = C x 0,56 C= 70/ 0,56 C= R$ 125,00 Taxa única no sistema de abatimentos sucessivos: i 1 (1 i1 )(1 i2 )......(1 in )
Exemplo : Sobre os valores constantes numa tabela de preços são dados os descontos sucessivos de 50%+ 30%+ 20%. Na realidade qual o desconto oferecido pela empresa? i= 1- (1- 0,5) (1- 0,3) (1 – 0,2) i= 1 – 0,5x 0,7x 0,8) i= 1- 0,28 i=0,72 x100 = 72%
8
3 ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS O cálculo do valor líquido ou valor final é dado pela seguinte fórmula: VF C (1 i1 )(1 i2 )......(1 in )
Exemplo 1: O preço de uma mercadoria era de R$ 8,00, no início de um determinado mês. Durante o mês sofreu aumentos sucessivos de 2,5% + 5%. Qual o preço final dessa mercadoria? VF= 8 (1+ 0,025) (1+0,05) VF = 8 x 1,025 x 1,05 VF = R$ 8,61
Na HP 12C 8 enter 2,5% + 5% +
Exemplo 2: Uma mercadoria sofreu aumentos sucessivos de 20% + 15%., pagando o comprador R$ 144,90, qual era o valor da mercadoria? 144,90 = C (1+0,2) (1+0,15) 144,90 = C x 1,2 x 1,15 144,90 = C x 1,38 C = 144,90/ 1,38 C = R$ 105,00 Taxa única no sistema de acréscimos sucessivos: i (1 i1 )(1 i2 )......(1 in ) 1
Exemplo: Qual a taxa total de aumento no exemplo anterior? i= (1+ 0,2) ( 1+ 0,15) – 1 i= 1,2 x 1,15 -1 i= 0,38 x 100= 38%
9
4 DIFERENÇA PERCENTUAL ENTRE DOIS VALORES Para calcular a diferença percentual entre dois valores ( do principal para o valor final), utiliza-se a seguinte fórmula: i
VF C
1
Exemplo 1: O preço de uma mercadoria era de R$ 8,00, no início de um determinado mês. Durante o mês sofreu aumentos sucessivos de 2,5% + 5%, passando a custar R$ 8,61. Calcular o percentual total de aumento. 8,61 1 8 i 1,07625 1 i 0,07625 100 i 7,625 i
Na HP 12C 8 enter 8,61
%
Exercícios propostos 1) Uma mercadoria que custava R$ 24,00 foi vendida com abatimentos sucessivos de 30%+20%+10%. Pergunta-se: a) Por quanto foi vendida? b) Qual o percentual total do abatimento? 2) Na compra de uma mercadoria foi obtido abatimentos sucessivos de 20%+10%+5% se o total pago foi R$ 273,60, pergunta-se: a) Qual o valor da mercadoria antes dos abatimentos? b) Qual o percentual total do abatimento? 3) Um produto cujo preço era de R$ 36,00, sofreu aumentos sucessivos de 30%+25%. Pergunta-se: a) Qual o preço atual? b) Qual o percentual do aumento? 4) O preço de um objeto foi aumentado, sucessivamente 10%, 10% e 20%, passando a custar R$ 450,12. Qual era o preço inicial? 5) Uma mercadoria sofreu dois aumentos sucessivos de 20%. Na venda foi concedido um desconto de 15%, pagando o comprador R$ 24,48. Qual era o preço inicial desta mercadoria? 6) Uma mercadoria custava R$ 75,00 foi vendida com abatimentos sucessivos de 10%+5%+2%. Pergunta-se: a) Por quanto foi vendida? b) Qual o percentual total do abatimento? 7) Na compra de uma mercadoria foi obtido abatimentos sucessivos de 10%+2%. Se o valor pago foi de R$ 110,25, pergunta-se: a) Qual o valor da mercadoria antes do abatimento? b) Qual o percentual total do abatimento?
10
8) Um produto cujo preço era R$ 712,00,sofreu aumentos sucessivos de 6%+3%. Pergunta-se: a) A que preço está sendo vendida? b) Qual foi o percentual total de aumento? 9) O preço da gasolina foi aumentado, sucessivamente 11,5%+7,2%+4,5% passando a custar R$ 1,30. Qual era o preço antes dos aumentos? 10) Uma mercadoria sofreu aumentos sucessivos de 14%+9%. Na venda foi concedido um desconto de 10%, pagando o comprador R$ 239,32. Qual era o preço inicial desta mercadoria? 11) Um operário ganhou um salário líquido de R$ 515,97. Sabendo-se que recebeu um aumento de 5% em relação ao salário anterior e lhe foi descontado 9% referente a impostos previdenciários, qual era o salário deste operário?
11
5 OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS Utilizando o processo da porcentagem pode-se facilmente calcular, partindo do preço de custo, o preço de venda de mercadorias considerando o lucro sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda. 5.1 LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO Para calcular o preço de venda com lucro sobre o preço de custo, considera-se o preço de custo como o valor correspondente a 100%. O preço de venda será equivalente a 100%+ r. Fórmula: V C (1 i)
Exemplo 1: Uma mercadoria foi comprada por R$ 120,00. Por quanto deverá ser vendida se o lucro desejado é de 40% sobre o preço de compra? V= 120 (1+0,4) V= 120 x 1,4 V= R$ 168,00
Na HP 12C 120 enter 40% +
5.2 LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA Para calcular o preço de venda com lucro sobre o preço de venda, considera-se o preço de venda como o valor correspondente a 100%. O preço de custo será equivalente a 100% - r. Fórmula: V
C
1 i
Exemplo 1: Por quanto deverá ser vendida uma mercadoria, comprada por R$20,00, desejando-se obter um lucro de 20% sobre o preço de venda? 20,00 1 0,2 20,0 V 0,8 V R$25,00 V
Exercícios propostos: 1) Uma mercadoria foi comprada por R$ 24,00. Por quanto deverá ser vendida para que o lucro seja de 30% sobre o preço de compra?
12
2) Uma mercadoria foi vendida por R$ 50,75, com um lucro de 45% sobre o preço de compra. Quanto custou esta mercadoria? 3) Uma casa foi vendida por R$ 54.000,00, com um lucro de R$ 6.000,00. A quanto por cento corresponde este lucro? 4) Uma mercadoria foi comprada por R$ 240,00 e deverá ser vendida com um lucro de 40% sobre o preço de venda. Qual o preço de venda? 5) Um terreno foi comprado por R$ 4.750,00 e vendido com um lucro de 5% sobre o preço de venda. Por quanto foi vendido? 6) Uma mercadoria foi vendida por R$ 12,50 com um lucro de 40% sobre o preço de venda. Quanto custou esta mercadoria? 7) Uma mercadoria está sendo vendida por R$ 75,90. Se o percentual das despesas incidentes sobre o preço de venda é 29% e o lucro 15% sobre o mesmo valor, quanto custou esta mercadoria? 8) Um objeto comprado por R$ 80,00 foi vendido por R$ 104,00. Qual a taxa pela qual se calculou o lucro sobre o preço de custo? 9) Uma mercadoria foi comprada por R$ 1.200,00 e vendida por R$ 1.500,00. Qual o percentual de lucro sobre o preço de compra? 10) Um comerciante vendeu um artigo por R$ 5.250,00. De quanto foi o lucro, em reais, se ele representa 25% sobre o preço de custo?
13
6 JUROS SIMPLES Juro é: a) valor pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo do capital de terceiros colocado à nossa disposição; b) remuneração do capital empregado em atividades produtivas; c) remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicados; d) remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de forma simplificada, como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro. Se aplicarmos um capital durante determinado período de tempo, ao fim do prazo obteremos um valor (montante) que será igual ao capital aplicado acrescido da remuneração obtida durante o período de aplicação. A diferença entre o montante e a aplicação é denominada remuneração, rendimento do capital ou juros. No regime de juros simples, os juros de cada período são calculados sempre sobre o mesmo capital, portanto os rendimentos em cada período são os mesmos e os montantes crescem linearmente. Observe o cálculo a seguir: Cálculo dos juros simples Período Capital Juros do período Juros inicial (i= 10%a.p.) acumulados 0 1.000,00 0,00 0,00 1 1000 x 0,10= 100 100 2 1000 x 0,10= 100 200 3 1000 x 0,10= 100 300
Montante 1.000,00 1.100,00 1.200,00 1.300,00
6.1 ELEMENTOS BÁSICOS Capital (C): É a quantia empregada no início da aplicação. Juro (j): É o valor pago pelo empréstimo do dinheiro. Taxa de juro (i): É a unidade de medida dos juros. Nas fórmulas de cálculo utiliza-se a taxa na forma unitária. (divide-se a taxa percentual por 100 para transformá-la em unitária). Tempo(t): É o tempo de duração do empréstimo. Deverá ser sempre representado em relação ao período da taxa. Montante (M): É o valor total a ser pago ou recebido com a finalidade de quitar ou encerrar um empréstimo. Fórmula Fundamental de Juros Simples é: j = Cit Exemplo 1: João assumiu o compromisso de restituir a Pedro a importância de R$ 200.000,00 que havia tomado emprestado, a uma taxa de juros simples de 2,5% ao mês, a ser restituído em 9 meses. Calcule o valor dos juros que Pedro receberá de João.
14
j = 200.000,00 x 0,025 x 9 j = R$ 45.000,00
Na HP 12C 200000 enter 2,5% 9 x
Exemplo 2: Calcule o capital necessário para que uma aplicação financeira produza rendimentos iguais a R$ 148.612,61, à taxa de juros simples de 12% ao ano, durante 3 anos. 148.612,61 = C x 0,12 x 3 C = 148.612,61/ 0,36 C = R$ 412.812,81 Exemplo 3: Um título de R$ 22.000,00 vencido em 24/06 e liquidado em 08/08 do mesmo ano, foi penalizado com um juro de R$ 1.650,00. Qual foi a taxa mensal de juros simples cobrada? 1.650,00 = 22.000,00 x 45/30 x i i = 1650,00/33.000,00 i = 0,05 x 100 = 5% Obs: Os dias são contados de data a data, através do ano civil. Exemplo 4: Qual o tempo necessário, para que um capital de R$ 20.000,00 renda juros de R$ 4.000,00, a uma taxa simples de 12% ao ano? 4.000,00= 20.000,00 x 0,12 x t t = 4.000,00/ 2.400,00 t = 1,67 x 12 = 20 meses ou 1 ano e 8 meses Exemplo 5: Que capital deve ser empregado em juros simples a taxa de 60% ao ano, para que se obtenha um juro de R$ 240,00 em 72 dias? 240,00 = C x 0,6 x 72/360 C= 240,00/ 0,12 C = R$ 2.000,00
15
7 MONTANTE SIMPLES DE UM CAPITAL (M) Montante de um capital é igual a soma deste capital com os juros por ele produzido. M=C+j Como a fórmula de juros é: j = Cit Então o montante simples pode ser calculado pela fórmula: M = C + Cit
ou
M = C 1+ it
Exemplo 1: Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado em juros simples num prazo fixo de 3 meses a taxa de 72%a.a.. Qual o valor do resgate? M = 20.000,00 ( 1 + 0,72/12 x 3) M = 20.000,00 ( 1 + 0,06 x 3) M= R$ 23.600,00 Exemplo 2: Qual o valor a ser aplicado, em juro simples, durante 42 dias a taxa de 4% a.m., para resgatar no fim deste tempo R$ 12.672,00? 12.672,00 = C ( 1 + 0,04 x 42/30) C = 12672,00/ 1,056 C = R$ 12.000,00 Para calcular taxa de juro efetiva de uma aplicação, basta apenas dividir o valor do resgate pelo valor aplicado, diminuindo 1 do quociente. i
M C
1
Exemplo 3: Uma empresa aplicou R$ 32.000,00. No fim de 48 dias resgatou R$ 35.072,00. Determinar a taxa de juro efetiva que a empresa ganhou na aplicação? 35.072,00
32.000,00 35.072,00 1 32.000,00 i 1.096 i 0,096 100 i
Na HP 12C 32000 enter 35072
16 i 9,6%a. p.
%
A taxa mensal de juros simples será: r = (9,6/48) x 30 r= 6% a.m. Exercícios propostos: 1) Calcular os juros produzidos por uma aplicação de R$ 2.000,00, à taxa de 30% a.a. de juros simples, durante 4 meses e 18 dias. 2) Que capital aplicado em juro simples produz um juro de R$ 24.000,00 à taxa de 30% a.a. em 2 anos? 3) A que taxa anual de juros simples deve-se empregar o capital de R$ 80.000,00 para se obter um juro de R$ 32.000,00 durante 8 meses? 4) Durante quanto tempo deve-se empregar o capital de R$ 50.000,00 para se obter um juro simples de R$ 35.000,00, sendo a taxa de 30% a.m.? 5) Calcule os rendimentos referentes a uma aplicação financeira R$ 1.470,00, durante 95 dias, à taxa de juros simples de 21%a.a.. 6) Qual o valor do resgate de uma aplicação, sabendo-se que o investimento inicial foi de R$ 32.500,00, o prazo de 118 dias e a taxa de juros simples de 2,3% ao mês? 7) Um aplicador deseja transformar o capital de R$ 23.000,00 em R$ 29.997,88, em 556 dias. Qual a taxa anual de juros simples que o aplicador deverá conseguir para alcançar seu objetivo? 8) Um investidor fez uma aplicação em juro simples durante 2 meses . No fim deste tempo retira o montante de R$ 159.000,00 e reaplica tudo por mais 3 meses a mesma taxa. Sabendo-se que o valor do resgate final é de R$ 173.310,00 Qual a importância inicialmente aplicada? 9) Seu José aplicou R$ 200.000,00, em juro simples por 5 meses, a taxa de 96%a.a.. Qual o valor do resgate? 10) Uma pessoa aplicou certa quantia, a juros simples de 5% ao semestre, durante 45 dias. Após este prazo, recebeu R$ 897.343,87. Calcular o capital aplicado. 11) Um título no valor R$ 22.500,00, vencido em 18/03 foi liquidado no dia 12/04, do mesmo ano. Se o valor pago na liquidação foi de R$ 23.287,50, qual a taxa mensal de juro simples? 12) Uma TV em cores é vendida nas seguintes condições: Preço à vista = R$ 1.800,00; Condições à prazo = 30% de entrada e R$ 1.306,00 em 30 dias. Determinar a taxa de juros simples cobrada na venda a prazo.
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13) Uma aplicação de R$ 15.000,00 é efetuada pelo prazo de 3 meses à taxa de juros simples de 26% ao ano. Que outra quantia deve ser aplicada por 2 meses à taxa linear de 18% ao ano para obter o mesmo rendimento financeira? 14) Uma mercadoria é oferecida num magazine por $ 130,00 à vista, ou nas seguintes condições: 20% de entrada e um pagamento de R$106,90 em 30 dias. Calcular a taxa linear mensal de juros que está sendo cobrada. 15) Um certo capital, aplicado por três trimestres, a uma taxa de juro simples de 24% a.a., rende R$ 900,00 de juro. Determine o montante. 16) Uma pessoa contrai um empréstimo de R$ 75.000,00 à taxa linear de 3,3% ao mês. Em determinada data líquida este empréstimo pelo montante de R$ 92.325,00 e contrai nova dívida no valor de R$ 40.000,00 pagando uma taxa de juros simples mais baixa. Este último empréstimo é resgatado 10 meses depois pelo montante de R$ 49.600,00. Pede-se calcular: a) o prazo do primeiro empréstimo e o valor dos juros pagos; b) a taxa simples de juros mensal e anual cobrada no segundo empréstimo. 17) Um refrigerador é vendido por R$ 980,00 à vista ou com uma entrada de 25% e mais um pagamento de R$ 793,80 após 40 dias. Qual a taxa mensal de juro simples envolvida na operação? 18) Calcular o montante produzido por um capital de R$ 2.000,00 aplicado durante 9 meses, à taxa de 12% ao semestre de juros simples. 19) Uma pessoa tomou emprestado R$ 1.400,00 durante 4 meses e 17 dias, a uma taxa de juros simples de 17% ao trimestre. Qual o valor dos juros a ser pago? 20) Calcular a taxa anual de juros simples que rendeu um fundo de investimento, sabendose que o capital aplicado foi de R$ 4.000,00 e que o valor de resgate foi de R$ 5.200,00 após seis meses. 21) Uma mercadoria cujo o preço à vista é R$ 500,00 foi vendida com uma entrada de 25% e, mais um pagamento no valor de R$ 401,25 com vencimento para 42 dias. Qual a taxa mensal de juros simples cobrada no financiamento? 22) Após quanto tempo os capitais de R$ 7.000,00 e R$ 9.000,00, empregados às taxas de juros simples de 6% e 4% ao mês, respectivamente, atingirão o mesmo montante 23) Qual a taxa mensal de juros simples que deve ser aplicado um capital para duplicar de valor em 1 ano e 3 meses? 24) Um capital de R$ 4.000,00 foi aplicado a juros simples por 72 dias; um outro capital de R$ 5.000,00 foi também aplicado a juros simples, à mesma taxa durante 45 dias. Determinar a taxa anual, sabendo-se que a diferença entre os juros da 1ª aplicação e da 2ª aplicação são iguais a R$ 31,50. 25) O preço à vista de um televisor é R$ 500,00. Entretanto, em dois pagamentos, com entrada, na ocasião, de R$ 200,00, e outro em 30 dias, o preço sobe para R$ 530,00. Qual é a taxa cobrada? 26) Uma aplicação financeira tem prazo de 3 meses, rende juros simples à taxa de 22%a.a., porém o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido. Qual o montante líquido de uma aplicação de R$ 4.000,00?
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27) Um fazendeiro possui um estoque de 1.000,00 sacas de café e, na expectativa de alta de preço do produto, recusa a oferta de compra desse estoque à razão de R$ 30,00 por saca. Três meses mais tarde é forçado pelas circunstâncias, vende o estoque por R$ 24,00 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros do mercado é de 5%a.m., calcule o prejuízo real do fazendeiro na data da venda da mercadoria, utilizando o regime de capitalização simples. 28) Um produto está sendo vendido nas seguintes condições: R$ 70,00 à vista ou uma entrada de 40% e um cheque de R$ 48,00 para 42 dias. Qual a taxa de juros simples usada por este estabelecimento? 29) Uma televisão é vendida à vista por R$ 1.500,00 ou, então, a prazo com R$ 300,00 de entrada mais uma parcela de R$ 1.308,00 após três meses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento. 30) Um capital de R$ 15.000, foi aplicado em juro simples a taxa de 4,5% a.m.. Na época do resgate o juro recebido foi de R$ 1.485,00. Qual foi o tempo da aplicação?
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8 PRAZO MÉDIO Sejam os capitais C 1 , C 2 ,..........., C m , todos empregados em juros simples, a uma mesma taxa i durante os tempo t1, t 2 , ..........,t m , respectivamente. Chama-se prazo médio aquele no qual deve-se empregar a soma dos capitais, a mesma taxa, para obter um juro igual a soma dos juros de cada capital determinado separadamente.
t
C 1t 1 C 2 t 2 ........ C m t m C 1 C 2 ........ C m
Se os capitais forem iguais o prazo médio é calculado pela seguinte fórmula: t
t 1 t 2 ......... t m m
Exemplo 1: Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 3.000,00 foram aplicados em juro simples durante 36 dias, 60 dias, e 156 dias, respectivamente. Durante quanto tempo devese aplicar a soma destes capitais, a mesma taxa, para obter o mesmo juro? Na HP 12 C t
2.000 36 5.000 60 3.000 156 2.000 5.000 3.000
f
60 enter 5000 156 enter 3000
t 84dias
36 enter 2000
g xw Exemplo 2: Se a taxa de juros é 6%a.m., qual o juro produzido no exemplo 1? C 2.000 5.000 3.000 C 10.000 j 10.000 84 0.06 / 30 j R$1.680,00 Exemplo 3: Uma pessoa deposita R$ 500,00 no início de cada mês, a taxa de 5%a.m., em juro simples. Calcular o montante constituído no final de um ano. 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 t 12
t 6,5meses
20 C 12 500 C 6.000
M= 6.000,00 ( 1 + 6,5 x 0.05) M = R$ 7.950,00 Exercícios propostos: 1) Um título de R$ 105.000,00 vencível em 31/03 foi pago da seguinte maneira: R$ 25.000,00 em 31/03; R$ 20.000,00 em 15/04; R$ 15.000,00 em 20/04; R$ 24.000,00 em 30/04 e R$ 21.000,00 em 10/05. Sabendo-se que a taxa de juro simples cobrada pelo credor foi de 6%a.m., qual o juro pago na liquidação? 2) Uma empresa devedora de um título de R$ 420.000,00 pagou-o da seguinte maneira : R$ 120.000,00 no vencimento; R$ 75.000,00 com atraso de 12 dias; R$ 120.000,00 com atraso de 25 dias e R$ 105.000,00 com atraso de 42 dias. Sabendo-se que o total de juros pago na liquidação foi de R$ 11.080,00, determinar a taxa de juro simples, anual cobrada pelo credor? 3) Um título de R$ 108.000,00 vencível no dia 31 de março foi pago da seguinte maneira: R$ 28.000,00 no vencimento R$ 20.000,00 em 15/04 R$ 15.000,00 em 20/04 R$ 24.000,00 em 30/04 R$ 21.000,00 em 10/05 Qual foi o atraso médio no pagamento do título se todos os pagamentos foram feitos no mesmo ano? 4) Uma empresa adquiriu um equipamento no valor de R$ 200.000,00. Pagou 25% no ato e o restante foi amortizado em 15 parcelas mensais iguais acrescidas de juro simples a no seu vencimento. Sabendo-se que o total dos juros pagos no financiamento foi de R$ 24.000,00, qual a taxa mensal do juro simples? 5) Os capitais de R$ 8.000,00, R$ 10.000,00 e R$ 6.000,00 foram aplicados à mesma taxa de juros simples, pelos prazos de 8, 5 e 9 meses, respectivamente. Obtenha o tempo necessário para que a soma desses capitais produza juros à mesma taxa, igual à soma dos juros dos capitais individuais aplicados nos seus respectivos prazos. 6) Os capitais de R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00 foram aplicados à mesma taxa de juros simples, pelos prazos de 4,3 e 2 meses, respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação desses capitais.
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9 DESCONTO SIMPLES Desconto é o abatimento concedido sobre um título de crédito em virtude de seu resgate antecipado. Representa a retirada do juro calculado pelo banco nas operações de capitalização simples, proporcionalmente ao prazo antecipado de pagamento. Quando se fala em desconto simples, temos duas modalidades de desconto a considerar: a) o comercial ou bancário ou por fora; b) o racional ou por dentro. 9.1 DESCONTO SIMPLES COMERCIAL 9.1.1 Conceito O desconto simples comercial é igual ao juro simples calculado sobre o valor nominal do título, a uma taxa de desconto durante o tempo que antecede o vencimento deste. 9.1.2. Fórmula d Nia t
Onde: d : desconto simples comercial quantia a ser abatida do valor nominal. N : valor nominal valor do título a ser pago no dia do vencimento. i : taxa unitária de desconto t : tempo de antecipação período compreendido entre o dia em que se negocia o título e seu vencimento a
Exemplo 1: Um título de R$ 280.000,00 sofreu um desconto comercial 39 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 6%a.m.. Calcular o desconto. d = 280.000,00 x 0,06 x (39/30) d = R$ 21.480,00 Exemplo 2: Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 6 meses, cujo valor de resgate é de R$ 1.000,00 e cujo valor atual é de R$ 880,00? N= 1.000 n= 6 m A = 880 i = ? a.m. Sendo A = N (1 – i x n) 880 = 1000 (1 – i x 6) 880
1 6 i 1000
6i = 1 – 0,88 i = 0,12 ÷ 6 = 0,02 ou seja 2% ao mês
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9.1.3 Valor Atual Comercial É a diferença entre o valor nominal e o desconto comercial por ele sofrido. A = N – d
Ou
A = N (1 – iat)
Onde: A = é valor líquido, já abatido o desconto, a ser pago (ou recebido) antecipadamente; d = desconto simples comercial ia = taxa de desconto t = tempo de antecipação Exemplo: Considerando o exemplo anterior, calcular o valor atual comercial A = 280.000 (1- 0,06 x 39/30) = R$ 258.160,00 9.1.4 Valor Líquido Sempre que houver cobrança de comissões ou taxas, o valor líquido é igual ao valor atual diminuído da comissão. VL = N – (d + com) Ou : VL = N – (d+ com + desp + IOF) Onde: VL = valor líquido Com = comissão Desp = despesas N = valor nominal Exemplo 1: Um título de R$ 240.000,00 sofreu um desconto bancário, 27 dias antes do seu vencimento, numa instituição financeira que opera com uma taxa de desconto de 7% a.m.. Sabendo-se que é cobrada uma comissão de 0,5% sobre o valor nominal, qual o valor líquido recebido pelo portador? A = 240.000 x 0,07 x 27/30 = R$ 15.120,00 Com. = 240.000 x 0,005 = R$ 1.200,00 VL = 240.000 – ( 15.120 + 1.200) = R$ 223.680,00 Exemplo 2: Uma empresa desconta 5 títulos no valor total de R$ 18.000,00 vencíveis em 36 dias, num banco que opera com uma taxa de desconto de 4,5% a.m.. Sabendo-se que o banco cobra uma comissão antecipada de 0,5 % sobre o valor nominal dos títulos, mais despesas para cobrança no valor de R$ 4,00 por título e mais o IOF (imposto sobre operações financeiras) que é de 0,123% a.m., qual o valor líquido creditado na conta da empresa?
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d = 18.000 x 0,045 x 36/30 = 972,00 com = 18.000 x 0,005 = 90,00 desp. de cobrança = 4 x 5 = 20,00 IOF = 18.000 x 0,00123 x 36/ 30 = 26,57 VL = 18.000 – (972 + 90 + 20 + 26,57) = R$ 16.891,43 Obs: Quando não houver cobrança de comissões ou taxas o valor líquido é igual ao valor atual. 9.1.5 Taxa efetiva de juro numa operação de desconto simples bancário Numa operação de desconto, a taxa efetiva de juro é calculada levando-se em conta o valor nominal dos títulos, o prazo médio destes títulos e o valor líquido recebido pelo portador. É a taxa de juros que aplicada sobre o valor descontado, comercial ou bancário gera no período considerado um montante igual ao valor nominal. Para calcular a taxa efetiva de juro do período do desconto de títulos com vencimento para t dias, basta efetuar a divisão entre o valor nominal e o valor líquido diminuindo de 1, ou seja, calcular a diferença percentual entre o valor líquido e o valor nominal. Seu cálculo pode ser realizado utilizando a fórmula: N i
f
=
- 1
VL
Nota: Os valores correspondentes ao Desconto e ao valor Atual – são utilizados tanto para juro comercial, quanto bancário. Exemplo 1: Uma empresa desconta um título de R$ 20.000,00, 39 dias antes de seu vencimento, num banco que opera com uma taxa de desconto de 6% a.m.. qual a taxa efetiva de juro paga pela empresa nesta operação? A= 20.000(1- 0,06 x 39/30) = 18.440 i = 20000/18440 -1 i= 1,085 – 1 i= 8,5%
9.1.6 Taxa total de desconto em relação a taxa efetiva de juro: Para calcular a taxa total de desconto (juro antecipado) conhecida a taxa efetiva de juro, utiliza-se a seguinte fórmula:
24 iat
i
1 i
OBS: Para calcular a taxa mensal de desconto basta dividir a taxa total de desconto pelo número de dias que antecede o vencimento do título multiplicando a seguir por 30. iat
iat t
30
Exemplo: Um banco que opera com uma taxa efetiva de juro de 11,2% a.p. para empréstimos com prazo de 42 dias, a que taxa mensal de desconto deveria operar em operações de desconto com prazo de 42 dias, para obter o mesmo rendimento? iat
0,112 0,1007 ou 10,07 % a.p. de 42 dias 1 0,112
r a
10,07 30 7,194 % a.m. 42
Exercícios propostos: 1) Um título de $ 5.500,00 é descontado à taxa de 30% a.a., 3 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 30% a.a.. Qual a taxa efetiva de juros que incidiu sobre o valor atual? 2) Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 120 dias, cujo valor de resgate é de $ 1.000,00 e cujo valor atual é de $ 880,00? 3) Uma empresa descontou um título de R$ 20.000,00, 39 dias antes de seu vencimento, num banco que opera com uma taxa de desconto de 6% a.m.. Qual a taxa efetiva de juro paga pela empresa nesta operação? 4) Uma empresa comercial possui em seu grupo de contas a receber um cheque prédatado no valor de R$ 5.000,00 e cuja data de depósito está programada para daqui a cinco meses. Sabendo que a empresa pensa em descontar esse título em um banco que cobra uma taxa de desconto de 3% a.m. mais uma taxa operacional igual a 0,7% do valor nominal, calcule o desconto sofrido pelo título. 5) Um pequeno comerciante leva a um banco o seguinte conjunto de cheques pré-datados para serem descontados à taxa de desconto de 2,8% a.m. Cheque A B C
Valor R$ 500,00 R$ 1.500,00 R$ 2.000,00
Prazo de antecipação 2 meses 1 mês 45 dias
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Determinar o valor líquido recebido pela empresa. 6) Uma empresa desconta em um banco uma duplicata de R$ 14.000,00, dois meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto de 3,5% a.m.. a) Qual o valor do desconto? b) Qual o valor descontado recebido pela empresa? c) Qual a taxa mensal de juros simples efetivamente cobrada pelo banco? 7) A o descontar uma promissória com prazo de 45 dias, um banco calculou um desconto de R$ 1.200,00. Qual o valor da promissória sabendo-se que a taxa de desconto utilizada foi de 4% a.m.? 8) O dono de uma pequena indústria metalúrgica leva a um banco as duplicatas A, B e C para serem descontadas. Duplicatas Valor Prazo de antecipação A R$ 4.000,00 2 meses B R$ 14.000,00 50 dias C R$ 8.000,00 75 dias Se o banco utilizar uma taxa de desconto de 2,5% a.m., qual será o valor líquido recebido pela empresa? 9) Um título de R$ 5.000,00 sofreu um desconto por fora 42 dias antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto foi de 6% a.m., qual o valor do desconto? 10) Uma empresa desconta em um banco uma duplicata de R$ 18.000,00, setenta e dois dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto de 3,2% a.m.. a) Qual o valor do desconto? b) Qual o valor descontado recebido pela empresa? c) Qual a taxa mensal de juros simples efetivamente cobrada pelo banco? 9.2 DESCONTO SIMPLES RACIONAL 9.2.1 Conceito Desconto simples racional é igual ao valor do juro simples calculado sobre o valor atual racional de um título, numa taxa de juro, durante o tempo que antecede o vencimento deste. d r Ar it
9.2.2 Valor Atual Racional Chama-se de valor atual racional de um título de valor nominal (N), vencível no final de um certo tempo (t), ao capital ( A ) que aplicado a juro simples, durante o tempo (t) r produza um montante igual ao valor nominal do título (N). Ar
N
1 it
26
Exemplo 1: Qual o valor atual racional de um título de R$ 120.000,00 vencível no final de 60 dias, sendo 10% a.m. a taxa de juros simples? Ar
120.000 60 1 0,1 30
Ar R$ 100.000,00
9.2.3 Fórmula para cálculo do desconto racional em relação ao valor nominal: Se: d r N Ar
Logo: d r
Nit
1 it
Exemplo: Considerando o exemplo anterior, calcular o desconto racional. d r = d r
120.000 – 100.000 = R$ 20.000,00
ou: d r d r =
120.000 0,1 2 1 0,1 2
R$ 20.000,00
Exercícios propostos: 1) Um título de R$ 320.000,00 foi negociado racionalmente 75 dias antes do seu vencimento a uma taxa de 11,2% a.m..Qual o desconto sofrido? 2) O valor atual de um título de R$ 158.750,00, descontado racionalmente, 90 dias antes do seu vencimento é R$ 125.000,00. Calcular a taxa da transação. 3) Qual o desconto racional sofrido por um título de valor R$ 24.000,00 vencível no final de 4 meses, sendo 5% a.m. a taxa de desconto? 4) Um título com valor nominal de R$ 3.836,00 foi resgatado quatro meses antes do seu vencimento, tendo sido concedido um desconto racional simples à taxa de 10% a.m. De quanto foi o valor pago pelo título?
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5) Uma letra de câmbio no valor nominal de R$ 7.560,00, vence em 6 meses e 15 dias. Calcular o valor atual, deste título, considerando 48% a.a. para o desconto por dentro. 6) Admita-se que uma duplicata tenha sido submetida a 2 tipos de descontos. No primeiro caso, a juros simples, a uma taxa de 10% a.a., vencível em 180 dias, com desconto racional. No segundo caso, com desconto comercial, mantendo as demais condições. Sabendo-se que a soma dos descontos foi de R$ 635,50, qual o valor nominal do título? 7) Calcular o desconto por dentro sobre um título de R$ 3.225,00 vencível no final de 75 dias e negociado à taxa utilizada na operação é de 36% a.a.? 8) Um título com valor nominal de R$ 110.000,00 foi resgatado dois meses antes do seu vencimento, tendo sido concedido um desconto racional simples à taxa de 60% a.m. De quanto foi o valor pago pelo título?
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10 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS Às vezes temos necessidade de substituir um título (ou mais) por outro (ou outros) com vencimento diferente ou, ainda, de saber se duas formas de pagamento são equivalentes. Esses problemas estão ligados, de modo geral, à equivalência de capitais diferidos (são aqueles cujos vencimentos têm datas diferentes) Dois ou mais capitais, disponíveis em épocas distintas, são equivalentes se possuírem, numa certa época, valores atuais iguais. A1 = A 2
ou
A = A 1 + A2 + ...........+An
Para a solução: estabelecer um data de comparação e comparar os valores atuais dos títulos nessa data. No regime de j uros simples, a data deve ser a data zero (data de contração da d ívida), também conhecida como data focal. Obs: A equivalência de capitais pode ser calculada, no sistema de capitalização simples, através do desconto comercial (com taxa de desconto) ou do desconto racional (com taxa de juro). Exemplo 1: Um título de R$ 26.950,00, vencível no final de 45 dias, deve ser substituído por outro, vencível no final de 39 dias. Calcular o valor do novo título se a transação for realizada numa taxa de desconto de 15% a.m.. 45 39 ) N 2 (1 0,15 ) 30 30 26.950,00 0,775 N 2 0,805 N 2 R$25.945,65 26.950,00(1 0,15
Exemplo 2: Um título de R$ 26.950,00 vencível no final de 45 dias, deve ser substituído por outro, vencível no final de 39 dias. Calcular o valor do novo título se a transação for realizada numa taxa de juro simples de 15%a.m.. 26.950,00 1 0,15 1,5
N 2
1 0,15 1,3
26.950,00 1,195 1,225 N 2 R$26.290,00 N 2
Exemplo 3: Uma empresa deve pagar dois títulos, sendo um de R$ 720,00, vencível em 2 meses, e outro de R$ 960,00, vencível em 3 meses. Entretanto, não podendo resgatá-los nos prazos estipulados, propõe ao credor substituí-los por um único título, com vencimento para 4 meses. Calcular o valor nominal do novo título, considerando a taxa de desconto simples de 2% a.m.. N (1 0,02 4) 720,00(1 0,02 2) + 960,00(1 0,02 3 )
N= R$ 1.732,17
29
Exercícios propostos: 1) Um comerciante deve dois títulos, um de R$ 8.000,00 para 90 dias e outro de R$ 10.000,00 para 72 dias. Pede para substituí-los por um único título com vencimento para 60 dias. Calcular o valor do novo título se a taxa de desconto utilizada é 7,5% a.m.. 2) Um título de R$ 240.000,00, vencível em 60 dias foi substituído por dois novos títulos, de mesmo valor nominal, vencíveis no final de 30 e 70 dias, respectivamente. Calcular o valor dos novos títulos, se a transação é realizada numa taxa de desconto de 10%a.m.. 3) Por uma mercadoria foram feitas as seguintes propostas: a) R$ 500,00 de entrada, R$ 200,00 no fim de 3 meses e R$ 300,00 no fim de 5 meses. b) R$ 300,00 de entrada, R$ 350,00 no fim de 1 mês e R$ 350,00 no fim de 2 meses. Sabendo-se que a taxa corrente de juro simples é de 8%a.m., quanto deveria dar mais, de entrada o portador da menor oferta para igualar-se com a maior? 1) Um comerciante devedor de um título no valor de R$ 17.050,00, vencível em 60 dias, propõe ao credor a substituição deste título por dois novos títulos, sendo um no valor de R$ 7.200,00 para 30 dias e um outro para 45 dias. Calcular o valor deste outro título considerando uma taxa de desconto igual a 2% a.m.. 2) Dois títulos de valor nominal R$ 5.200,00 cada, vencíveis em 50 e 75 dias, respectivamente, serão substituídos por um único título de valor R$ 10.000,00. Calcular o prazo deste título se a taxa de desconto simples utilizada na transação é de 3%a.m.. 3) Uma empresa devedora de um título no valor de R$ 22.540,00, vencível no final de 3 meses, propõe ao credor a substituição deste por dois novos títulos de valores nominais iguais, vencíveis no final de 4 e 5 meses respectivamente. Calcular o valor de cada um dos novos títulos sendo 5%a.m. a taxa de juros simples empregada na transação. 4) Um negociante tem as seguintes obrigações de pagamento com um banco: R$ 18.000,00 vencíveis em 37 dias; R$ 42.000,00 vencíveis em 83 dias; R$ 100.000,00 vencíveis em 114 dias. Com problemas de caixa nestas datas deseja substituir este fluxo de pagamentos pelo seguinte esquema: R$ 20.000,00 em 60 dias; R$ 50.000,00 em 100 dias; o restante em 150 dias. Sendo 3,2% ao mês a taxa de juros simples adotada pelo banco nestas operações, pede-se calcular o valor do pagamento remanescente. 8) Um título de R$ 4.200,00 que vencerá em cinco meses deve ser substituído por outro com vencimento para daqui a oito meses. Admitindo que esse títulos podem ser descontados à taxa de 1,5% ao mês, calcule o valor nominal do novo título. 9) Um título de R$ 1.000,00 que vencerá em 3 meses, deve ser substituído por outro com vencimento para daqui a 5 meses. Admitindo-se que esses títulos podem ser descontados à taxa de 2,5%a.m., calcular o valor nominal do novo título. 10) Uma pessoa deseja trocar dois títulos, um de valor nominal de R$ 30.000,00 e outro de R$ 36.000,00, vencíveis, respectivamente, dentro de 2 e 6 meses, por um único título
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vencível em 4 meses. Sendo a taxa de juro igual a 3%a.m., qual será o valor do novo título? 11) Um título de R$ 70.000,00, pagável em 50 dias, vai ser substituído por outro com vencimento para 120 dias. Sabendo que o credor pode resgatar o título à taxa de desconto igual a 36% a.a., determine o valor nominal do título. 12) Queremos substituir dois títulos, um de R$ 50.000,00 para 90 dias e outro de R$ 120.000,00 para 60 dias, por três outros, com o mesmo valor nominal, vencíveis, respectivamente, em 30, 60 e 90 dias. Calcular o valor nominal comum, sabendo que a taxa de desconto comercial da transação é de 3% a.m. 13) Uma pessoa tem dois compromissos a pagar: R$ 5.000,00 daqui a 60 dias e R$ 8.000,00 daqui a 75 dias. Desejo trocar esse débitos por dois pagamentos iguais, um daqui a 3 meses e outro a ser pago daqui a 4 meses. Determine o valor desses pagamentos, sabendo que a taxa de juros simples usada é de 6%am. 14) Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas a seguir, para sem descontadas em um banco à taxa de desconto comercial de 2% a.m. Qual o valor líquido recebido pela empresa?
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11 JUROS COMPOSTOS 11.1 CONCEITO O regime de juros compostos é o mais comum no dia-a-dia do sistema financeiro e do cálculo econômico. Os juros compostos são popularmente chamados de juros sobre juros . Na capitalização composta ao final de cada período, os juros são calculados e somados ao capital, formando um montante, que irá ser o capital do período seguinte. A esse processo de agregação dos juros ao capital é que se dá o nome de capitalização composta. Utilizando as seguintes notações: PV = capital inicial FV = montante final i = taxa unitária (sempre referente ao período da capitalização) n = número de períodos de capitalização (ano, trimestre, mês, dia, etc.) Capital aplicado R$ 1.000,00 R$ 1.100,00 R$ 1.210,00
Regime de Capitalização Composta Juros de cada período Valor acumulado R$ 1.000 x 10% = R$ 110,00 R$ 1.100,00 R$ 1.100 x 10% = R$ 110,00 R$ 1.210,00 R$ 1.210 x 10% = R$ 121,00 R$ 1.331,00
O cálculo do montante foi assim efetuado: FV1 = 1.000 ( 1 + 0,1 x 1) FV2 = 1.100 ( 1 + 0,1 x 1) FV3 = 1.210 ( 1 + 0,1 x 1)
Substituindo os valores pelos símbolos, temos: montante ao final do 1º período FV1 = PV0 ( 1 + i ) montante ao final do 2º período FV2 = PV0 ( 1 + i )² montante ao final do 3º período FV3 = PV0 ( 1 + i )³ montante ao final do n-ésimo período n FVn = PV0 1 i Portanto, a fórmula fundamental para o Cálculo do Futuro Valor: FV PV(1 i ) n
Exemplo 1: Uma pessoa toma emprestados R$ 5.000,00 a juros de 3%a.m., pelo prazo de 10 meses, com capitalização composta. Qual o valor a ser pago no final do período?
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Na HP 12C FV 5.000,00 ( 1 0,03) 10
5000 CHS PV
FV 5.000,00 ( 1,03) 10 FV R$ 6.719,58
3 i 10 n FV Na calculadora cientifica 1,03 x y 10 Multiplicar o resultado acima por 5000
Exemplo 2: Um empréstimo de R$ 200.000,00 deverá ser pago no final de um ano a taxa de 5% a.m., num sistema de capitalização mensal. Qual o valor a ser pago no vencimento? FV 200.000,00 ( 1 0,05 )12 FV 200.000,00 1,79585636 FV R$ 359.171,26
11.2 FÓRMULA PARA O CÁLCULO DO PRESENTE VALOR
PV
FV
1 i
PV FV ( 1 i ) -n
ou n
Exemplo: Que capital deve ser empregado a juros compostos a taxa de 12% a.t., para em dois anos, em capitalização trimestral, constituir um montante de R$ 838.426,00? 8
PV 838.4261 0,12 PV 838.426x 0,403883 PV R$ 338.626,20
Na HP 12 C 83842CHSFV 12 i 8n PV
11.3 FÓRMULA PARA O CÁLCULO DA TAXA 1
FV n i 1 PV
i n
FV 1 PV
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Exemplo: A que taxa de juro deve-se empregar o capital de R$ 30.000,00 para obter um montante de R$ 506.736,04 no final de dois anos em capitalização mensa ? 506.736,04 30.000,00
i
1 24
1
Na HP 12C
i 1,125 - 1 i 0,125 x 100 i 12,5% a.m
30000 CHS PV 24 n 506736,04 FV i
11.4 CÁLCULO DO NÚMERO DE PERÍODOS FINANCEIROS n
log(FV/PV) log(1 i)
Exemplo: No final de quanto tempo, em capitalização mensal, a aplicação de um capital de R$ 120.000,00 à taxa de 6% a.m. oportuniza um resgate de R$ 287.586,98? Na HP 12C 287.586,98 120000 CHS PV log 120.000,00 n 6 i log1 0,06 287.586,98 FV
n 15 meses
n
11.5 CÁLCULO DO MONTANTE QUANDO O NÚMERO DE PERÍODOS FINANCEIROS NÃO FOR UM NÚMERO INTEIRO n m
p q
Onde m representa a parte inteira e p/q a parte fracionária. Existem dois sistemas de cálculo. Um através da Convenção Linear e outro através da Convenção Exponencial. Convenção Linear: O cálculo da convenção linear calculamos a parte inteira com capitalização composta e , para a parte fracionária, calculamos o juro simples sobre esse montante. FV PV 1 i 1 i p/q m
Exemplo: Uma dívida de R$ 100.000,00 está sendo paga com 132 dias de atraso. Qual deverá ser o valor cobrado se o cálculo é realizado no sistema de convenção linear e a taxa é de 12% a.m.?
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n= 132/30 = 4,4 meses
m=4
FV= 100.000,009 1= 0,12)4 ( 1 + 0,12 x 0,4) FV = R$ 164.904,83
p/q= 0,4 Na HP 12C Retirar o C da calculadora 100000 CHS PV 132 enter 30 : n 12 i FV
Convenção Exponencial: O cálculo da convenção exponencial se baseia na fórmula fundamental, ou seja inclusive no período fracionário o juro é calculado através do juro composto. m p/q
FV PV 1 i
Exemplo: Cálculo do exemplo anterior, através da convenção exponencial. FV = 100.000,00 (1 + 0,12) 4,4 FV= R$ 164.649,08
Na HP 12C Colocar o C da calculadora 100000 CHS PV 132 enter 30 : n 12 i FV
Exercícios Propostos: 1) Foram aplicados R$ 1.800,00 durante cinco trimestres a uma taxa de 8% a.t., no regime de juros compostos. Calcular o montante. 2) Qual será o valor do resgate, aplicando-se R$ 5.000,00, em juros compostos a taxa de 6% a.m., durante dois anos em capitalização mensal? 3) Josilma toma emprestados R$ 25.000,00 a uma taxa de juro de 2% ao mês, pelo prazo de 24 meses, com capitalização composta. qual o valor a ser pago no final do período? 4) Um título de renda fixa deverá ser resgatado por R$ 14.345,00 daqui a um ano. Sabendo que o rendimento desse título é de 28,8% ao ano, determine o seu valor atual. 5) 5-Um capital de R$ 6.600,00 foi aplicado durante um ano, a uma taxa de 1,6% ao mês. Qual foi o valor do juro composto produzido? 6) O capital de R$ 22.000,00 foi aplicado durante dois anos e produziu o montante a juro composto de R$ 31.449,06. Calcule a taxa de juro mensal dessa aplicação. 7) Um investidor quer resgatar R$ 35.000,00 daqui a seis meses. Se o banco oferecer uma rentabilidade de 1,8% ao mês, quanto deverá aplicar hoje? Suponha capitalização mensal.
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8) Uma empresa tomou um empréstimo de R$ 98.000,00 e comprometeu-se liquidá-lo no final de 8 meses mediante um pagamento de R$ 158.570,43. Calcular a taxa mensal de juro, sabendo-se que a capitalização é mensal. 9) A que taxa de juro semestral um capital de R$ 43.000,00 pode ser dobrado em 36 meses? 10) Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado à taxa de 3%a.m. por 60 dias, e o de R$ 1.200,00, à taxa de 2% a.m. por 30 dias. qual foi o montante total recebido? 11) Um capital foi depositado a juros compostos e, após 2 anos, triplicou de valor. Qual a taxa mensal de juros compostos usada? 12) A que taxa de juro composto devem ser emprestados R$ 35.000,00 para, em oito meses, obtermos um montante de R$ 42.000,00? 13) Calcule o juro produzido por um capital de R$ 100.000,00, a uma taxa de juro composto de 25% ao ano, em dois anos. 14) Uma certa pessoa concedeu um empréstimo de R$ 10.000,00 à taxa efetiva de 4,8% a.m.. Qual o valor a ser cobrado na liquidação, um ano, três meses e seis dias após a realização do empréstimo: a) Calculado através da convenção linear. b) Calculado através da convenção exponencial. 15) Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado em juro composto a taxa de 6% a.m., durante um ano, oito meses e 12 dias, em capitalização mensal. Calcular o valor do montante através da convenção linear. 16) Foram aplicados R$ 28.700,00 a uma taxa efetiva de 2% ao mês, e foram recebidos R$ 10.698,95 de juro. Qual foi o prazo da aplicação? 17) Calcular o montante de R$ 18.000,00 durante 2 a 4 m 8 d, a juros de 5% a.t., capitalizados trimestralmente : a) Pela convenção linear. b) Pela convenção exponencial. 18) Uma pessoa aplicou R$ 500,00, a 1,4% a.m. de juros compostos, obtendo como saldo R$ 615,95. Determine o prazo da aplicação. 19) O capital de R$ 50.000,00 ficou empregado durante 6 meses, sendo que nos dois primeiros à taxa de 4,7% a.m., nos dois seguintes à taxa de 4,9% a.m. e nos dois últimos à taxa de 5,3% a.m.. Qual o montante constituído no final de seis meses? 20) Que capital deverá ser aplicado, em juros compostos, durante 3 anos, em capitalização mensal, `taxa de 7,5% a.m., para que proporcione um juro no valor de R$ 300.277,00? 21) Por quantos meses o capital de R$ 1.800,00 foi aplicado a uma taxa de juro composto de 1,6% ao mês, tendo produzido o montante de R$ 2.247,94? 22) Calcule o montante resultante da aplicação de um capital de R$ 28.400,00 durante um ano e quatro meses, a uma taxa de juro composto de 8% ao trimestre, pela convenção linear. 23) Resolva o problema anterior pela convenção exponencial.
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24) Foram aplicados R$ 20.000,00 durante 35 anos, a uma taxa de juro composto de 15% ao ano nos primeiros dez anos, 18% ao ano nos dez anos seguintes e 17% ao ano nos últimos 15 anos. Determine o montante obtido. 25) Certo capital foi aplicado a juros compostos durante quatro meses. As taxas de juros foram de 1,95%, 2,24%, 2,73% e 2,08%, respectivamente. O total de rendimentos calculado foi de R$ 2.723,14. a) Determine o capital aplicado. b) Determine a taxa acumulada no período. c) Determine o valor dos juros recebidos no terceiro mês. d) Se o capital permanecer aplicado ao quinto mês qual deve ser a taxa recebida neste mês 26) Um capital de R$ 8.100,00 foi aplicado a juros compostos, da seguinte forma: a 2,25% a.m. durante os primeiros cinco meses, a 1,8% a.m. nos três seguintes meses e a 1,65% a.m. nos próximos três meses. Calcule o total de juros apurado. 27) Certo capital foi aplicado a juros compostos de 3% a.m., durante cinco meses. O montante de R$ 1.022,94, daí resultante, foi novamente aplicado a juros compostos, agora por sete meses, gerando um montante de R$ 1.392,08. Calcule: a) a taxa de juros da aplicação. b) o total de juros recebido nas duas aplicações.
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12 TAXAS PROPORCIONAIS Duas, ou mais taxas, são referem existir uma mesma razão. Exemplo: 60% a.a. 15% a.t. 5% a.m.
proporcionais se entre elas e os tempos a que elas se 12 meses 3 meses 1 mês
60 12
15 3
5 1
Taxas equivalentes são aquelas que produzem o mesmo montante quando o tempo é o mesmo. Por exemplo: taxa anual
taxa trimestral
capitalização anual
capitalização trimestral
Obs.: Em juros compostos as taxas proporcionais não são equivalentes. Exemplo: Em um regime de juros compostos, relativo ao capital de R$ 1.000,00, calcule o montante nas duas situações: Durante 1 ano, à taxa de 24% a.a. M C ( 1 i ) 1 . 0 ( 1 , .................... Durante 12 meses, à taxa de 2% a.m. 1 ( 1 ) 1 . 0 ( 1 0 , ) M C i ............... n
n
n
n
Como os dois montantes obtidos não são iguais, as taxas não são equivalentes, mas são proporcionais.
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13 TAXAS EQUIVALENTES Duas, ou mais taxas, são equivalentes quando, referindo-se a períodos e capitalização diferentes, fazem com que capitais iguais constituam, no final de um, certo tempo, montantes iguais. A equivalência é calculada pela seguinte fórmula: QQ
ieq 1 ic Qt 1 Onde: QQ
ieq 1 ic Qt 1 ic =
taxa conhecida. taxa a ser calculada. i eq = QQ = tempo do período da taxa a ser calculada. Qt = tempo da taxa conhecida, em relação a k. Na realidade i eq nada mais é do que o valor do juro calculado sobre o capital unitário (1,00), no prazo estipulado. Para as frações do ano, no regime de capitalização a juros compostos, as relações são: (1 + id)360 = (1 + im)12 = (1 + it)4 = (1+is)2 = (1+ ia) Exemplo: Taxa Conhecida a) 79,5856% ao ano b) 28,59% ao trimestre c) 2,5 % ao mês d) 0,5% ao dia
Taxa equivalente para: 1 mês 1 semestre 105 dias 1 ano 1 ano exato ( base 365 e) 25% (ano comercial) dias) Solução algébrica
Solução HP- 12C
30 a) i eq 1 0,79585636 0 1 100
100 CHS PV
0, 08333...
i eq 1,795856
1 100
i eq 1,049997.... 1100 i eq 0,049997......100 i eq 5% ao mês
79,5856 i 30 enter 360 : n FV 100 -
39
18 0 b) i eq 1 0,2859 90 1 100 2
i eq 1,2859 1 100
100 CHS PV 28,59 i
i eq 1,653539 1 100
180 enter 90 : n
i eq 65,35% ao semestre
FV 100 -
10 5 c) i eq 1 0,025 30 1 100 3,5
i eq 1,025
1 100
100 CHS PV 2,5 i r
i eq 1,090269 1 100
105 enter 30 : n
i eq 0,090269100
FV 100 -
i eq 9,0269% ao período
36 0 d) i eq 1 0,005 1 1 100 36 0
i eq 1,005
1 100
100 CHS PV 5i
i eq 6,022575 1100
360 n
i eq 5,022575100
FV 100 -
i eq 502,26 % ao ano
36 5 e) i eq 1 0,25 36 0 1 100 1, 013889
i eq 1,25
1 100
100 CHS PV 25 i
i eq 1,25388 1100
365 enter 360 : n
i eq 0,25388100
FV 100 -
i eq 25,388 % ao ano civil
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14 TAXA NOMINAL A taxa nominal é uma taxa referencial em que os juros são capitalizados (incorporados ao principal) mais de uma vez no período a que a taxa se refere. A taxa de juros é nominal quando a sua unidade de tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. Na prática é comum utilizar, por exemplo, juros de 48% ao ano, capitalizado semestralmente. Nestes casos onde o período de capitalização não coincide com o período a que a taxa se refere diz-se que a taxa é nominal. Para resolver problemas que trazem em seu enunciado uma taxa nominal, devemos calcular a taxa efetiva da operação. Se, por exemplo, a taxa de capitalização é de 10% a.m., a taxa nominal será de: 10% x 12m= 120% a.a. capitalizada mensalmente. Exemplo 1: Sendo 12% a.m. capitalizada diariamente a taxa nominal de juro, qual a taxa de capitalização? Solução: r
12% a.m. 30
0,4% a.d.
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15 TAXA EFETIVA (i) Taxa efetiva, como já é a taxa efetivamente paga. É a taxa de capitalização ou toda e qualquer taxa equivalente a esta. Exemplo: Um banco oferece empréstimos a taxa de 72% a.a. em capitalização mensal (Taxa Nominal). Qual a taxa efetiva anual cobrada pelo banco? Solução: i = 0,72 / 12 = 0,06 ou 6% a.m. (taxa efetiva de capitalização) 12 100 CHS PV i eq 1 0,06 1 1 100 12 6i i eq 1,06 1 100 12 n i eq 2,012196 1 100 i eq 1,012196 100 FV 100 i eq 101,2196 % ao ano Exercícios propostos: 1) Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente às seguintes taxas: a) 1,8% a.m. b) 2,5% a.b. c) 4,5%a.t. d) 18% a.s 2) Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente às seguintes taxas: a) 75% a.a. b) 50% a.s. c) 21% a.t. d) 6,5% a.b. e) 0,12% a.d. 3) Em juros compostos, qual a taxa semestral equivalente às seguintes taxas: a) 0,14% a.d. b) 1,6% a.m. c) 2,7% a.b. d) 4,1% a.t. e) 96% a.a. 4) Sendo 5% a.m. a taxa efetiva de juro, determinar a taxa para: a) 3 meses. b) 3 dias. c) 42 dias. d) um ano.
e) 15 dias.
5) Um banco oferece a taxa de 54% a.a. para aplicações em CDBs. Pergunta-se, qual a taxa para: a) 32 dias? b) 47 dias? c) um dia? d) um mês? e) 192 dias? 6) Calcular a taxa efetiva anual equivalente a taxa nominal de 36% a.a.: a) capitalizada mensalmente. b) capitalizada diariamente. 7) Aplicando-se R$ 50.000,00 no regime de juro composto, durante um ano a taxa de 108% a.a., em capitalização mensal, qual o valor do montante no final do ano? 8) Um banco oferece empréstimos a taxa de 42% a.a. capitalizada trimestralmente. Se o banco tivesse que apresentar o contrato em forma de taxa efetiva, qual deveria ser a taxa efetiva: a) trimestral? b) mensal? c) anual?
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9) Em juros compostos, qual taxa em 40 dias equivalente a 2,5% a.m.? 10) Em juros compostos, qual taxa em 65 dias equivalente a 2% a.m.? 11) Dadas as taxas a seguir encontre as respectivas taxas efetivas anuais. a) 24% a.a. com capitalização diária. b) 24% a.a. com capitalização mensal. c) 24% a.a. com capitalização bimestral. d) 24% a.a. com capitalização semestral.
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16 TAXA DE JURO REAL (i r) Taxa de juro real é a taxa efetiva ganha em cima do índice inflacionário, ou seja , a apuração do ganho ou perda em relação a uma taxa de inflação. Na taxa real se leva em consideração a inflação do período. O juro real é calculado sobre o capital corrigido. Sendo: i ap = taxa aparente ( taxa efetiva) i i = taxa da inflação i r = taxa de ganho real
Na capitalização composta, para retirar uma taxa de outra, deve-se utilizar a seguinte fórmula: 1 i ap ir 1 100 1 i i
Exemplo 1: Qual o rendimento da poupança se a TR do mês foi 0,93% e a taxa de juro real é de 0,5%a.m.? 1 i ap 0,93 1 100 1 0,005 0,93 1 i ap 1 100 1 0,005 0,0093 1
1 i ap
1,005 1,0093 1,005 1 i ap 1,01435 1 i ap
i ap 0,01435 100 i ap = 1,435% a.m.
Exemplo 2: Se a taxa aparente de juro foi de 3,224% a.m. e a TR de mês foi de 1,2%, qual a taxa de ganho real? 1 0,03224 ir 1 100 1 0 , 012 1,03224 ir 1 100 1,012 i r 1,02 1100 i r 0,02 100 i r 2% a.m.
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Exercícios propostos: 1) Um capital foi aplicado, por um ano, à taxa de juros igual a 22% a.a. No mesmo período, a taxa de inflação foi de 12%. Qual a taxa real de juros? 2) A taxa anual de juros cobrada por uma loja é de 40%a.a. Qual a taxa real de juros, se a taxa de inflação resultar em 15% no mesmo período? 3) Se a taxa de juro aparente for 7,2%a.m., qual a taxa de ganho real se: a) A inflação mensal for de 6%? b) A inflação mensal for de 4,8%? 4) Uma pessoa adquire uma letra de câmbio em uma época A e a resgata na época B. O juro aparente recebido foi de 25%. Calcule a taxa de juro real, sabendo que a taxa de inflação, nesse período foi de 15%. 5) Que taxa ao período deve ser aplicada sobre um capital depositado em caderneta de poupança por um mês, sabendo que esse produto é remunerado à taxa de 0,5% a.m. + TR? (considere TR do mês 0,45%). 6) Um empréstimo foi feito a uma taxa de 32% ao ano. Sabendo que a inflação nesse ano foi de 21%, calcule a taxa real anual. 7) Uma financeira cobra uma taxa aparente de 22% ao ano, com a intenção de ter um retorno real correspondente a uma taxa de 9% ao ano.Qual a taxa de inflação?
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17 TAXA ACUMULADA Taxa acumulada é aquela resultante ao final de n períodos. Se a taxa for constante em todos os períodos, então a taxa acumulada será iacumulada =(1+ido período)n. Entretanto podese calcular a taxa de juros acumulada quando ela não é constante. iacumulada = [(1 + i 1) x (1 + i 2) x ... x (1 + i n)- 1] x 100 Exemplos: 1. Em dois anos consecutivos a taxa de juros anual de um banco foi 12% e 10%, respectivamente. Qual a taxa de juros acumulada no período? i1=0,12 e i2=0,10 iacumulada = (1+0,12) x (1+0,10) -1= (1,12 x 1,10)-1 = 0,232 = 23,2% 2. Em três anos um produto aumentou 7%, 8% e 5%. Qual a taxa de aumento acumulada no período? i1=0,07 i2=0,08 e i3=0,05 iacumulada = (1+0,07) x (1+0,08) x (1+0,05) -1 iacumulada= (1,07 x 1,08 x 1,05)-1 iacumulada = 1,2134 - 1 iacumulada = 0,2134 iacumulada = 21,34% Exercícios propostos: 1) A inflação nos últimos 4 meses foi de 5,4%, 6,2%, 2,8% e 3,1% ao mês, respectivamente. Determine a taxa acumulada no período. 2) Em janeiro, fevereiro, março e abril de um ano, o preço de um produto teve, respectivamente os seguintes aumentos: 2%, 5%, 3,6% e 7%. Qual a taxa de aumento no quadrimestre? 3) Calcule a taxa acumulada trimestral de um banco que pagou 1,2% no primeiro mês, 1,17 no segundo e 1,23% no terceiro mês do ano.
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18 CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA Supondo uma taxa nominal de 12% a.a. vamos determinar as taxas efetivas com as seguintes hipóteses de capitalização:
Capitalização semestral trimestral mensal diária horária
Taxa efetiva do período
Nº. períodos no ano n
i
2 4 12 360 8.640
0,12
Taxa efetiva anual ie = (1 + i)n – 1
n
Podemos observar que quanto maior o número de capitalizações dentro do tempo, maior é a taxa efetiva. Porém, pode-se observar também, que a diferença entre as taxas com capitalização diária e capitalização horária é muito pequena. Quando o número de capitalizações tende ao infinito o cálculo da taxa efetiva se dá através da seguinte fórmula:
i e n i
onde:
1
i = taxa efetiva e = 2,7182818 (base dos logaritmos naturais) in = taxa nominal
Exemplo 1: Qual A taxa efetiva anual equivalente a 10%a.a. com capitalização contínua? i = e0,1 – 1 i = 2,71828180,1 – 1 i = 1,105171 – 1 = 0,105171 r = 10,5171%a.a. A capitalização contínua proporciona o maior montante possível no final do tempo do investimento, para uma taxa nominal anual. Seu cálculo é realizado através da seguinte fórmula:
FV PV e nm i
onde: m = número de períodos referentes a taxa nominal. (Se a taxa nominal for expressa anualmente m representa número de anos, se for expressa mensalmente, m representa número de meses e assim sucessivamente). Exemplo2: Calcular o montante constituído com um investimento de R$ 5.000,00 por dois anos a uma taxa de 10% a.s. capitalizada continuamente. Solução: m = 4 (número de semestres) FV = 5.000,00 e0,1 4
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FV = 5.000,00 2,71828180,4 FV = 5.000,00 1,491825 = R$ 7.459,12 Exemplo 3: Se um investimento de R$ 20.000,00 for realizado a uma taxa nominal de 5% a.m. capitalizada continuamente, qual o montante acumulado no final de 5 anos? Solução: m = 60 (número de meses) FV = 20.000,00 e0,05 60 FV = 20.000,00 2,71828183 FV = 20.000,00 20,085536 = R$ 401.710,73
Exercícios propostos: 1) Calcular a taxa efetiva anual equivalente as seguintes taxas nominais capitalizadas continuamente: a) 15% a.a. b) 36% a.a. c) 24% a.s. d) 2% a.m. 2) Um capital de R$ 5.000,00 é aplicado durante oito meses a juros compostos à taxa de 36% a.a., capitalizados mensalmente. Qual o montante? 3) Qual o montante de uma aplicação de R$ 6.000,00 durante três anos, à taxa de 15% a.a., capitalizados continuamente? 4) Qual o montante de uma aplicação de R$ 3.000,00 durante oito meses, à taxa de 2% a.m., capitalizados continuamente? 5) Qual a taxa anual de juros compostos equivalente à taxa de 15% a.a, capitalizados continuamente? 6) O valor de R$ 15.000,00 ficou aplicado durante 4 anos. Calcular o valor acumulado no final dos 4 anos se for considerada uma taxa nominal de 28% a.a. capitalizada continuamente. 7) Calcular a taxa efetiva anual equivalente a taxa nominal de 48% a.a.: a) capitalizada mensalmente. b) capitalizada diariamente. c) capitalizada continuamente.
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19 DESCONTO COMPOSTO O conceito de desconto é o mesmo que no regime a juros simples: abatimento ao antecipar o pagamento de um vencimento. Emprega-se o desconto composto para operações a longo prazo, já que a utilização do desconto simples em períodos longos pode resultar em valores sem nexo. Assim como no caso de descontos simples, em descontos compostos temos dois tipos de descontos, desconto racional e comercial. O desconto comercial praticamente não é utilizado, logo ficaremos restritos ao desconto racional. A = N (1+i)-n
ou
A
N
(1 i) n
A = valor atual racional ou valor descontado racional valor líquido pago ou recebido antes do vencimento N = valor nominal do título valor indicado no título (importância a ser paga no dia do vencimento) i = taxa de desconto n = tempo período compreendido entre o dia em que se negocia o título e seu vencimento (Obs: inclui um dos dias extremos, o primeiro ou o último) Exemplo 1: Determine o valor atual de um título de R$ 80.000,00, saldado 4 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto composto de 2% ao mês. N = 80.000 n = 4 meses -n A = N (1+i) A = 80.000 (1+0,02)-4 A= 73.907,63
i = 2% a.m. = 0,02 a.m. Na HP 12C 80000 FV 4 n 2 i PV CHS
O valor atual do título é de R$ 73.907,63 Exemplo 2: Qual o desconto composto que um título de R$ 50.000,00 sofre ao ser descontado 3 meses antes do seu vencimento, à taxa de 2,5% ao mês? d =?
N = 50.000
n = 3 meses i = 2,5% a.m. = 0,025 a.m.
Como d = N – A, A = N (1+i)-n A = 50.000 (1+0,025)-3 A = 46.429,97 d = 50.000 - 46.429,97 d = 3.570,03 O valor do desconto é de R$ 3.570,03
Na HP 12C 50000 FV 3 n 2,5 i PV 50000 +
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Exercícios propostos: 1) Calcule o valor atual de um título de valor nominal de R$ 112.000,00, com vencimento para 2 anos e 6 meses, à taxa de 36% ao ano, capitalizado semestralmente. 2) Qual o valor atual de um título de R$ 10.000 vencível no final de 6 meses, sendo 84% a.a. capitalizado mensalmente a taxa nominal de juro? 3) Um título de valor nominal de R$ 150.000,00 foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, tendo sido contratado à taxa de 30% a.a., capitalizados mensalmente. Qual foi o desconto concedido? 4) Em uma operação de desconto composto, o portador do título recebeu R$ 39.954 como valor de resgate. Sabendo que a antecipação foi de 4 meses e o desconto de R$ 3.046, qual foi a taxa de juro mensal adotada? 5) Um título no valor nominal de R$ 75.000 com vencimento para 5 meses é trocado por outro com vencimento para 3 meses. Sabendo que a taxa de juro corrente no mercado é de 3% ao mês, qual o valor nominal do novo título? 6) Um comerciante, devedor de um título de R$ 400.000,00 para 3 anos, deseja resgatar essa dívida com dois pagamentos anuais iguais: um no fim de um ano e outro no fim de 2 anos. Sabendo que a taxa é de 40% ao ano, calcule o valor desses pagamentos. 7) Uma empresa devedora de dois títulos, um de valor R$ 30.000,00 vencível no final de 129 dias e outro de valor de R$ 42.000,00 vencível no final de 171 dias, pretende liquidá-los imediatamente. Se o credor concorda com a transação a uma taxa de 48% a.a. capitalizada mensalmente, qual o valor atual dos dois títulos? 8) Uma financeira oferece a um cliente dois títulos, vencendo o primeiro em 12 meses, no valor de R$ 8.000,00, e o segundo em 18 meses no valor de R$ 10.000,00. Por quanto devem ser adquiridos hoje, considerando uma taxa efetiva de juros de 2,55% a.m.? 9) Uma Pessoa tem uma nota promissória a receber de valor nominal R$12.000,00, que vencerá em dois anos. Além disso, possui R$ 18.000,00 hoje. Que irá aplicar à taxa de 2% a.m., durante dois anos. Considerando a taxa de juros vigente no mercado, é de 2% a.m., pergunta-se: a) Quanto a pessoa possui em dinheiro na data de hoj e? b) Quanto possuíra daqui a um ano? c) Quanto possuirá daqui a dois anos?
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20 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS O conceito de equivalência de capitais permite transformar formas de pagamento em outras formas equivalentes, para poder compará-las e decidir sobre a melhor alternativa. Dois capitais são equivalentes se, em uma mesma data t, seus valores são iguais. Os conceitos aplicados na equivalência de capitais são os mesmos de juros simples. Exemplo 1: A uma taxa de juros compostos de 2% a.m., R$ 1.500,00 daqui a 3 meses, equivalem a quanto, hoje? Fv = 1.500 C=? n Fv = C (1+i) 1500= C (1+0,2)3 C=
1500 3
(1 0,2)
n = 3 meses
i = 2% a.m. = 0,02 a.m.
C = 1.413,48.
Assim, uma dívida de R$ 1.500,00 daqui a 3 meses é o mesmo que uma dívida de R$ 1.413,00 hoje, já que, dispondo deste valor, pode-se aplicá-lo e obter, daqui a 3 meses os R$1.500,00. Exemplo 2: Uma pessoa tem hoje R$ 700,00 e mais uma nota promissória de R$ 500,00 para receber em 5 meses. Se o dinheiro pode ser remunerado à uma taxa efetiva de 3,7% a.m, pede-se que valor essa pessoa pode contar nas datas: a) de hoje b) no final de 5 meses c) no final de 3 meses data focal: dia de hoje data focal: mês cinco data focal: mês três FV=700 +
500 5
(10,037 )
FV= 700(1 + 0,037)5 + 500
FV=700(1 + 0,037)3 +
500 2
10,037 )
Exercícios propostos: 1) Uma empresa devedora de um título de R$ 15.000,00 vencível no final de 6 meses, propõe a substituição deste título por dois novos títulos, de mesmo valor nominal, vencíveis no final de 2 e 4 meses respectivamente. Se transação é realizada a taxa de 12% a.a. em capitalização mensal, qual o valor dos novos títulos? 2) Uma empresa tomou emprestado um empréstimo de R$ 100.000,00 por dois anos a juro de 24% a.a. capitalizado trimestralmente. Passado 6 meses da realização do empréstimo a empresa propõe ao credor a liquidação da dívida mediante dois pagamentos iguais, sendo um no ato e outro no final de um ano a partir daquela data. Sabendo-se que o credor concorda com a transação concedendo um desconto a taxa de 20% a.a capitalizada trimestralmente, qual o valor dos pagamentos? 3) Uma nota promissória, cujo valor nominal é R$ 50.000 vence daqui a um mês. O devedor propõe a troca por outra nota promissória, a vencer daqui a 3 meses. Qual deve ser o valor nominal da nova nota promissória para que os capitais sejam equivalentes, à taxa de 2% ao mês? 4) Uma pessoa tem uma dívida de R$ 60.000 para daqui a 2 meses e outra de R$ 80.000 para daqui a 3 meses. Quanto deverá aplicar hoje, à taxa de juros de 3% ao mês, para fazer frente a essas dívidas?
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5) Resolva o problema anterior considerando a taxa de 1% a.m. 6) Uma empresa deve pagar 3 títulos. O primeiro de R$ 15.000 exigível em 1 ano; o segundo de R$ 30.000 exigível em 2 anos e o terceiro de $ 25.000 exigível em 3 anos. A empresa pretende substituir estes 3 títulos por um único título de $ 45.676,21. Admitindo-se o regime de juros compostos e uma taxa mensal de 5%, o prazo do novo título é de (aproximadamente)... (Questão do concurso para Controlador da Arrecadação Federal). a) 12 meses b)13 meses c)14 meses d)15 meses 7) A loja BOM SOM vende um conjunto de aparelhos de som em duas parcelas: R$ 20.000 de entrada e R$ 40.000 após 5 meses. Francisco propõe adiar a segunda parcela por mais 3 meses. Considerando que a taxa de juros mensal cobrada é de 5% e o regime é de capitalização composta, Francisco deverá pagar a mais na entrada a quantia de: (desprezar os centavos da resposta): a) R$ 4.267,00 b) R$ 4.553,00 c)R$ 4.674,00 d) R$6.305,00 8) Uma casa é vendida à vista por R$ 318.000 ou a prazo por R$ 90.000 de entrada, mais 3 prestações mensais e iguais de R$ 80.000 cada uma, vencendo a primeira um mês após a entrada. Qual a melhor alternativa para um comprador que pode aplicar seu dinheiro à taxa de 3% ao mês? 9) Ernesto emprestou determinada quantia a José Luiz, que se comprometeu a pagá-lo em dois pagamentos iguais de R$ 800,00 ao final do terceiro e sétimo meses do empréstimo. Posteriormente, o devedor propôs pagar as prestações ao final do quinto e sexto meses. Sabendo que o credor trabalha com taxas de juros compostos de 8% a.m., aceitará a proposta?
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21 RENDAS As operações até aqui estudadas compreenderam casos de pagamentos ou recebimentos geralmente em parcela única. Agora vamos estudar os casos de depósitos ou prestações sucessivas, destinados a pagar uma dívida ou a formar um capital. O processo de realização de depósitos sucessivos com o objetivo de formar um fundo, um capital ou uma poupança é chamado de capitalização. Ao processo de pagamento de uma dívida dá-se o nome de amortização. 21.1 CONCEITO Renda é uma sucessão de depósitos e/ou saques ou, ainda, de recebimentos e/ou pagamentos, em épocas diferentes, destinados a formar um capital (capitalização) ou a pagar (ou receber) uma dívida (amortização). 21.2 CLASSIFICAÇÃO DAS RENDAS Vamos classificar uma renda ou série uniforme de acordo com quatro parâmetros: o prazo, o valor, a forma e o período a que se refere a renda. 22.2.1 Quanto ao prazo a) Temporária, quando tem um número limitado de pagamentos b) Infinita, quando tem um número ilimitado de pagamentos 21.2.2 Quanto ao valor a) Fixos, quando todos os pagamentos ou recebimentos, ou saques ou depósitos têm valores iguais. b) Variáveis, quando os pagamentos ou recebimentos, ou saques ou depósitos não têm todos os valores iguais. 21.2.3 Quanto ao vencimento do primeiro pagamento a) Imediata: quando o primeiro pagamento ou recebimento, ou saque ou depósito ocorre no primeiro período. b) Diferida: quando o primeiro pagamento ou recebimento, ou saque ou depósito não ocorre no primeiro período, havendo, portanto um prazo de carência. 21.2.4 Quanto à periodicidade a) Periódicas, quando os pagamentos ou recebimentos, ou saques ou depósitos ocorrem em intervalos de tempo iguais. b) Não Periódicas, quando os pagamentos ou recebimentos, ou saques ou depósitos ocorrem em intervalos de tempo variáveis. 21.2.5 Quanto ao momento dos pagamentos a) Postecipadas, quando a ocorrência é no final do período.
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b) Antecipadas, quando o primeiro pagamento ocorre no tempo “0” da série de pagamentos. 21.3 VALOR ATUAL DE UMA RENDA O valor atual ou presente valor de uma renda é igual à soma dos valores atuais em termos de pagamentos. 21.4 VALOR ATUAL OU PRESENTE VALOR DE UMA RENDA UNITÁRIA IMEDIATA a n O valor atual de uma renda é a soma dos valores atuais de seus pagamentos. Na prática, no entanto, fica muito difícil, a cada operação, ter que calcular os valores atuais das parcelas individualmente. Para facilitar, podemos utilizar um fator específico. O fator é representado por a n . Este fator é calculado através da fórmula: n
an
Onde: n = número de períodos
1 1 i i
i= taxa
Exemplo: Qual o valor atual de uma renda unitária imediata, com 10 pagamentos, sendo 5% a.p. a taxa de juro? 10
1 1 0,05 a12 0,05 a12 7,721735
Na HP 12 C: 1 CHS PMT 5 i 10 n PV
21.5 PRESENTE VALOR DE UMA RENDA UNIFORME (PV) 21.5.1 Imediata ou Postecipada PV PMT .an
ou
1 1 i n PV PMT i
Exemplo 1: O preço de um carro é R$ 17.706,00. Um comprador dá 40% de entrada e o restante é financiado à taxa de 5% ao mês em 10 meses. Calcule o valor da prestação mensal. 17706 100% x 40%
Na HP 12C 17706 enter
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x = 7.082,40 40 % 17.706,00 – 7.082,40 Valor a ser financiado R$10.623,60 10.623,60 = PMT x 7,721735 PMT = 10.623,60/ 7,721735 PMT = R$ 1.375,81
10623,60 CHS PV 10 n 5 i PMT
O valor da prestação é R$ 1.375,805 Exemplo 2: Qual o valor que, financiado à taxa de 2,5% ao mês, pode ser amortizado em 12 prestações mensais, iguais e sucessivas de R$ 350 cada uma? PV = 350 x 10,257765 PV = R$ 3.590,21
Na HP 12C 350 CHS PMT 2,5 i 12 n PV
Exemplo 3: Quantas prestações de mensais de R$ 80,00 cada uma são suficientes para liquidar um financiamento de R$ 361,20, à taxa de 3,5% a.m.? 361,20 = 80 x an an = 361,20/ 80 an = 4,515000 n=5
Na HP 12C 80 CHS PMT 361,2 PV 3,5 i n
21.5.2 Antecipada PV PMT 1 an 1
ou
1 1 i n1 PV PMT 1 i
Exemplo: Um aparelho eletrônico foi comprado em quatro prestações mensais de R$ 200,00, no início de cada mês, à taxa de 2% a.m.. Calcular o valor a vista do aparelho. PV = 200 ( 1 + 2,883883) PV = 200 x 3,883883 PV = 776,78
g beg
Na HP 12C 200 CHS PMT 2 i 4 n PV
21.5.3 Diferida m
PV PMT .an 1 i
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Onde m representa o número de períodos da carência. Exemplo: Um empréstimo de R$ 50.000,00 é concedido a uma empresa em prestações mensais e iguais. Sabendo-se que a taxa de financiamento contratada foi de 2% ao mês e foi concedido um prazo de carência de 4 meses para o primeiro pagamento, pergunta-se: Qual o valor da prestação? 1 1 0,0224 1 0,02-3 50000 PMT 0,02
Na HP 12C 50000 PMT 18,913926 x 0,942322
PMT = 50000/ 17,823015 PMT = R$ 2.805,36
50000 CHS PV 3 n 2 i FV CHS PV 0 FV 24 n PMT
Exercícios propostos: 1) Calcular o valor de um financiamento a ser quitado através de seis pagamentos mensais de R$ 1.500,00, vencendo a primeira parcela 30 dias da liberação dos recursos, sendo de 3,5% a.m. a taxa de juros negociada na operação. 2) Um produto é comercializado à vista por R$ 500,00. Qual deve ser o valor da prestação se o comprador resolver financiar em cinco prestações mensais iguais e sem entrada, considerando a taxa de juros cobrada pelo comerciante seja de 5% ao mês? 3) Um produto é comercializado à vista por R$ 1.750,00. Outra alternativa seria financiar este produto a uma taxa de 3% ao mês, gerando uma prestação de R$ 175,81; considerando que o comprador escolha a segunda alternativa, determinar a quantidade de prestações deste financiamento. 4) Calcular o valor da prestação de um empréstimo de R$ 25.000,00 a ser liquidado em 12 prestações iguais mensais e consecutivas, ao final de cada mês, à taxa de 4% a.m.. 5) Antônio adquiriu um microcomputador para pagamento, sem entrada, em 5 prestações mensais iguais e sucessivas de R$ 345,00. Qual foi o valor a vista da compra considerando a taxa mensal de 2%? 6) Qual o valor da prestação de um bem que está sendo anunciado para pagamento em 1 + 5 prestações mensais iguais, sabendo que a taxa praticada é de 36% a.a. (nominal) e o valor a vista do aparelho é de R$ 450,00? 7) Certa impressora está sendo vendida a vista por R$ 600,00. A loja aceita vendê-la a prazo, sem entrada, em prestações mensais de R$ 98,13, garantindo taxa de 3,5% a.m.. O número de prestações seria, segundo o vendedor, igual a 15. O comprador, desconfiado de que este número está elevado, recorreu a seus conhecimentos; auxilieo, calculando o número de prestações.
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8) Uma empresa comprou uma máquina e financiou o seu valor em 6 prestações mensais de R$ 15.000,00 cada, com três meses de carência. Se a taxa cobrada no financiamento é de 8% a.m, qual o valor da máquina à vista? 9) Considerando as duas opções a seguir, para aquisição de um imóvel, dizer qual das duas é a mais vantajosa para o comprador; e qual a diferença entre ambas: (a) a vista, por R$ 8.000,00, ou (b) a prazo em seis prestações iguais e sucessivas de R$ 1.500,00, sem entrada, a serem pagas ao final de cada mês, à taxa nominal de 36%a.a.. 10) Calcular a taxa mensal percentual que está sendo praticada no caso de um bem oferecido a vista por R$ 1.500,00 e, a prazo, em 10 prestações mensais de R$ 167,00 sem entrada? 11) Qual o valor a vista de um aparelho de som que está sendo oferecido para pagamento em 5 prestações iguais de R$ 300,00, à taxa de 4,5% a.m., sendo a primeira no ato da compra? 12) Qual o valor financiado de um bem a ser pago em 10 prestações mensais iguais de R$ 500,00 cuja primeira prestação vence daqui 90 dias, à taxa de 4%a.m? 13) Um automóvel 0 km é vendido à vista por R$ 32.000,00 ou a prazo com 20% de entrada mais 24 prestações mensais iguais. Qual o valor de cada prestação se a taxa de juros compostos do financiamento for de 1,8% a.m.? 14) Um equipamento de som está sendo vendido em uma loja por R$ 1.020,00 para pagamento à vista. Um comprador pode pedir um financiamento pelo plano (1+1) pagamentos iguais, isto é, o primeiro pagamento deve ser feito no ato da compra e o segundo, um mês após aquela data. Se a taxa de juros praticada pela empresa que irá financiar a compra for de 4% ao mês, qual o valor de cada prestação? 15) Um banco concede um empréstimo a uma pessoa cobrando 10 prestações mensais de R$ 700,00 cada uma, sem entrada. Qual o valor emprestado, sabendo-se que o banco cobra juros compostos, à taxa de 4% a.m.? 16) Um terreno é vendido por R$ 200.000,00 a vista, ou por 40% de entrada e o restante em 12 prestações mensais. Para uma taxa de juros de 2,5% a.m., determinar o valor de cada prestações mensais. 17) Uma revendedora de carros coloca a venda um carro por R$ 25.000,00 ou com uma entrada de 20% e o restante financiado em 12 prestações mensais iguais, a taxa nominal de 84%a.a.. Qual o valor da prestação mensal? 18) Uma empresa toma um empréstimo para ser amortizado em 24 prestações mensais de R$ 50.000,00 cada, com um ano de carência. Calcular o valor do empréstimo, se a taxa de juro do financiamento é de 6% a.m.? 19) Uma empresa toma um empréstimo de R$ 720.000,00, com carência de um ano, para ser amortizado em 12 prestações mensais iguais. Calcular o valor das prestações, se a taxa do financiamento é de 1,5%a.m.. 20) Ao comprar uma máquina uma empresa paga R$ 10.000,00 no ato e financia o restante em 8 prestações trimestrais de R$ 5.000,00 cada. Se a taxa de financiamento é de 9%a.t., qual o valor da máquina à vista?
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21) Uma empresa compra uma máquina para ser paga em 6 prestações mensais de R$ 3.000,00 cada com 3 meses de carência. Sendo 8%a.m. a taxa do financiamento, qual o valor da máquina à vista? 22) Que empréstimo pode ser amortizado em 15 prestações mensais de R$ 20,00 cada se a taxa de financiamento é de 5% a.m.? 23) Uma casa comercial vende uma mercadoria em 4 pagamentos mensais de R$ 80,00 cada, sem entrada. Qual o valor à vista se a taxa do financiamento é de 8% a.m.? 24) Uma casa comercial vende uma mercadoria em 4 pagamentos mensais de R$ 80,00 cada, sendo o primeiro no ato (1+3). Qual o valor à vista se a taxa do financiamento é de 8% a.m.? 25) Uma casa comercial oferece uma mercadoria em (1+4) vezes de R$ 120,00. Qual é o preço à vista se a taxa cobrada no financiamento é de 4% a.m.?
21.6 MONTANTE DE UMA RENDA Montante ou futuro valor de uma renda é a soma do montante dos depósitos, montante este calculado a partir da data deste depósito a data do último depósito. 21.6.1. De uma Renda Unitária Imediata n
S n
1 i 1 i
Exemplo: Qual o montante ou futuro valor de uma renda unitária imediata com doze depósitos, sendo 5% a.p. a taxa de juro? Sn
1 0,0512 1
0,05 Sn 15,917127
Na HP 12C 1 CHS PMT 12 n 5 i FV
Sn representa o fator de multiplicação para cálculo do Futuro Valor de uma renda uniforme.
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21.6.2. De uma Renda Imediata ou
FV PMT Sn
1 i n 1 FV PMT i
Obs.: Ao efetuarmos o cálculo do (PMT . Sn ) estaremos substituindo todos os n depósitos, por um único valor com vencimento na data do último depósito. Exemplo 1: Determinar o valor futuro de uma série de 18 aplicações mensais, iguais e sucessivas, no valor de R$ 1.600,00, à taxa de 2% a.m., sabendo que a primeira é aplicada no final do primeiro mês. FV= 1600 x S12 FV = 1600 x 21,412312 FV = R$ 34.259,70
Na HP 12C 1600 CHS PMT 18 n 2 i FV
Exemplo : Quanto devo depositar, mensalmente, para obter um montante de R$ 12.000,00, ao fim de um ano, sabendo-se que a taxa mensal de remuneração do capital é 4% e que o primeiro depósito é feito no final do primeiro mês? 12000 = PMT x S12 Na HP 12C 12000 = PMT x 15,025805 12000 CHS FV PMT = 12000/ 15,025805 12 n PMT = R$ 798,63 4 i PMT 21.6.3 De uma Renda Antecipada n
FV PM T Sn 1 i
Exemplo 1: Depositando-se R$ 500,00 no início de cada mês, durante dois anos, numa instituição financeira que credita juro mensalmente a taxa de 4% a.m., qual o saldo da conta no final dos dois anos? 500
FV = 500 x S12x (1+ 0,04)¹ FV = 500 x 39,082604 x 1,04 FV = R$ 2.0322,95
Na HP 12C g beg 500 CHS PMT 4 i 24 n FV
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Exemplo 2: Com a finalidade de constituir um fundo de reserva uma pessoa se propõe a depositar, no início de cada mês, durante três anos consecutivos, R$ 200,00, numa instituição financeira que credita juro mensalmente à taxa de 3% a.m. Qual o saldo da conta no final do quinto ano, a partir do primeiro depósito? FV = 200 x S36x 1 0,0325 Na HP 12C FV = 200 x 63,275944 x 2,093778 g beg FV = R$ 26.497,16 200 CHS PMT 3 i 36 n FV
Exercícios propostos: 1) Um poupador efetuava regularmente depósitos em uma conta de poupança. Após 12 meses este poupador teve que interromper os depósitos, mas não efetuou nenhum saque, e gostaria de saber quanto terá após 6 meses, considerando-se que os valores dos depósitos eram de R$ 200,00 e que a taxa média de juros para os primeiros 12 meses era de 1% ao mês e que para os próximos 6 meses estimou-se uma taxa de 0,8% ao mês. Quanto nosso amigo poupador terá após todo o período? 2) Se uma pessoa depositar mensalmente R$ 50,00 em um banco, a começar hoje, quanto ela terá acumulado ao final de 5 anos? (Taxa prevista de 0,78% ao mês) 3) Qual o montante que um poupador acumula em 12 meses, no caso de ele aplicar a quantia de R$ 640,00 à taxa de 3,8% a.m. ao final de cada mês? 4) Um banco remunera suas aplicações a 2,1% a.m. Quanto deverá ser depositado, a partir de hoje, para que ao final de 50 meses o montante de R$ 14.300,00 seja atingido? 5) Uma pessoa depositou mensalmente a quantia de R$ 100,00 numa caderneta de poupança, à taxa de 3% ao mês. Os depósitos foram fitos no último dia útil de cada mês e o juro foi pago no primeiro dia útil de cada mês, incidindo sobre o montante do início do mês anterior. O primeiro depósito foi feito em 31 de janeiro e não foram feitas retiradas de capital. Qual o montante em 01 de outubro? 6) Em quanto estará, no final de quatro anos, um fundo constituído por aplicações mensais regulares de R$ 600,00, à taxa de 3,5% a.m., feitas no início de cada mês? 7) Certa pessoa deposita R$ 2.000,00 no final de cada mês, numa instituição financeira. Qual o saldo da conta no final de um ano, se a taxa efetiva de juro é de 4% a.m.? 8) Com a finalidade de constituir um fundo de reserva uma pessoa se propõe a depositar, no início de cada mês, durante três anos consecutivos, R$ 200,00, numa instituição financeira que credita juro mensalmente à taxa de 3% a.m. Qual o saldo da conta no final do quinto ano, a partir do primeiro depósito? 9) Qual o valor do depósito a ser feito durante cinco anos, no início de cada mês, para que se possa dispor, ao final desse tempo, de R$ 12.000,00, sabendo que a taxa de aplicação é de 2% a.m.?
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10) Seu João depositou R$ 210,00 no final de cada mês, durante três anos consecutivos, numa instituição financeira que credita juro mensalmente. Se a taxa de juros foi 2% a.m., qual o saldo da conta no final dos três anos? 11) Que importância deverá ser aplicada mensalmente, a partir desta data, para se obter no final de 24 meses o montante de R$ 100.000,00, à taxa anual equivalente de 34,489%? 12) Desejando constituir uma poupança, uma pessoa deposita, no final de cada mês, R$ 100,00 durante dois anos consecutivos. Qual será o saldo da conta no final do terceiro ano, se a taxa de juro é de 4% a.m.? 13) Uma pessoa deposita em uma financeira, no início de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$100,00. Calcule o montante dessa renda, sabendo que a financeira paga juro de 2% ao mês, capitalizado mensalmente. 14) Uma pessoa deseja depositar bimestralmente uma mesma importância numa instituição financeira, à taxa de 1,5% ao bimestre, capitalizado bimestralmente, de modo que com 8 depósitos antecipados constitua o capital de R$ 150.000. Calcule a importância. 15) Joaquim está depositando em uma conta de poupança R$ 100 por mês. Quanto tempo Joaquim levará para obter o montante de R$ 50.000, em prestações mensais antecipadas, sabendo que o banco paga um juro de 1,5% ao mês? 16) Para constituir uma aposentadoria, uma pessoa propõe depositar, no final de cada mês, R$ 500,00 durante 7 anos consecutivos. Que importância poderá retirar, mensalmente, a partir do final do primeiro mês do 8º. ano, durante também 7 anos, se a taxa de juro é 2% a.m.? 17) Com a finalidade de constituir um fundo de reserva, uma pessoa deposita no início de cada mês R$ 250,00, durante três anos consecutivos, a seguir R$ 380,00 no final de cada mês durante mais dois anos. Qual o saldo da conta no final do 6º ano, sendo 2% a.m. a taxa de juro? 18) Seu Alípio depositou R$ 100,00 no início de cada mês, durante três anos consecutivos, constituindo um montante de R$ 6.517,42. Quanto deveria ter depositado no final de cada mês, durante os três anos, para que o montante constituído fosse R$ 10.000,00? 19) Qual o valor atual de uma anuidade antecipada de 12 termos mensais de R$ 2.500,00, à taxa de 3% ao mês? 20) Uma pessoa deposita R$ 200,00 no fim de cada mês. Sabendo que a taxa de juro é de 2% ao mês, quanto possuirá em 2 anos? 21) Pretendo depositar R$ 1.000,00 mensalmente, a partir de hoje, à taxa de 1,5% ao mês. Daqui a quanto tempo conseguirei um montante de R$ 18.201,00? 22) Quanto se deve aplicar mensalmente, durante 20 meses, à taxa de 2,5% ao mês, para que se tenha R$ 60.000,00 no final do vigésimo mês, dentro dos conceitos de renda imediata e antecipada?
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22 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS Um empréstimo ou financiamento pode ser feito a curto (até 1 ano), médio (até 3 anos) ou longo prazo. Nos empréstimos a curto e médio prazo é usual a cobrança de juro simples e há três formas do devedor ou mutuário resgatar sua dívida. a) Pagando os juros e o capital no vencimento b) Pagando os juros antecipadamente, na data em que contrai a dívida, e restituindo o capital no vencimento. c) Pagando os juros e o capital por meio de prestações. Nos empréstimos em longo prazo o devedor ou mutuário também tem três formas de resgatar sua dívida: a) Pagando os juros e o principal no vencimento b) Pagando os juros periodicamente e restituindo o capital no vencimento. c) Pagando periodicamente os juros e uma quota de amortização do capital Cada uma destas formas de pagamento constitui um sistema. Nos sistemas de amortização de empréstimos em longo prazo, regra geral, os juros são sempre cobrados sobre o saldo devedor, o que significa considerar apenas o regime de juro composto. Deste modo, o não pagamento de uma prestação, isto é, o não pagamento de juro em um dado período redunda em um saldo devedor maior, já que está sendo calculado juro sobre juro. Sempre que efetuamos um pagamento estamos pagando parte do valor relativa aos juros, que são calculados sobre o saldo devedor, e outra parte chamada amortização, que faz com que o saldo devedor diminua. Os principais sistemas de amortização são: Sistema Americano (SA) Sistema Francês de Amortização (SF) ou Sistema de Amortização Progressiva ou Sistema Price Sistema de Amortização Constante (SAC) Sistema de Amortização Misto Sistema Alemão Empréstimo com correção monetária 22.1 SISTEMA FRANCÊS (DE PRESTAÇÕES IGUAIS OU PRICE ) Este sistema foi usado inicialmente na França, no século XIX. É o sistema de amortização mais utilizado no comércio em geral nas compras à prazo de bens de consumo ( com crédito direto ao consumidor). A principal característica desse sistema de amortização é que as prestações são iguais e periódicas, sendo a periodicidade normalmente mensal. Os juros de cada período são calculados sobre o saldo devedor do período anterior e, portanto decrescentes. Dessa forma as parcelas de amortização são crescentes. O sistema também é conhecido com Sistema ou Tabela Price, devido ao economista Richard Price que incorporou o juro composto no sistema, no século XVIII. Sistema ou Tabela Price é um caso particular do Sistema Francês, pois a taxa de juros é apresentada em taxas anuais nominais e as prestações mensais são calculadas com as correspondentes taxa efetivas mensais. Esse sistema de amortização é aplicado nas operações de crédito direto ao consumidor, nas operações de leasing e nos crediários das lojas comerciais. Como essas prestações são constantes, à medida que vão sendo pagas, a dívida diminui e os juros tornam-se menores, enquanto as cotas de amortização tornam-se automaticamente maiores.Cada prestação é constante e contém duas parcelas: juros calculados sobre o último saldo devedor e amortização .
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prestações
amortização= prest. - juros
juros
saldo devedor =saldo dev. ant. amort.
Exemplo : Um amigo lhe empresta R$ 1.000,00, que devem ser pagos em 5 parcelas. O sistema de amortização escolhido foi o Price, e a taxa acertada foi de 10% a.m. Construir uma planilha. 1º Calcular o valor da prestação: 1.000 =PMT . 3,790787 PMT = 1.000/ 3,790787 PMT = R$263,79 n 0 1 2 3 4 5
Prestação Juros Amortização 263,79 263,79 263,79 263,79 263,79
100,00 83,62 65,60 45,78 23,80
163,79 180,18 198,19 218,01 239,82
Saldo devedor 1.000,00 836,20 656,02 457,83 239,82 0,00
Cálculo dos juros: Juros para o 1º período: J = 1.000,00 x 0,1x 1 = 100,00 Juros para o 2º período: J = 836,20 x 0,1x 1 = 83,62 Juros para o 3º período: J = 656,02 x 0,1x 1 = 65,60 Juros para o 4º período: J = 457,83 x 0,1x 1 = 45,78 Juros para o 5º período: J = 239,82 x 0,1x 1 = 23,80 Cálculo da amortização: Parcela de amortização para o 1º período: Amort. = 263,79 -100,00 = 163,79 Parcela de amortização para o 2º período: Amort. = 263,79 -83,62= 180,18 Parcela de amortização para o 3º período: Amort. = 263,79 -65,60= 198,19 Parcela de amortização para o 4º período: Amort. = 263,79 -45,78= 218,01 Parcela de amortização para o 5º período: Amort. = 263,79 -23,80= 239,82 Cálculo do saldo devedor: Saldo devedor para o 1º período: SD= 1000,00 - 163,79 =836,20 Saldo devedor para o 2º período: SD = 836,20 - 180,18=656,02 Saldo devedor para o 3º período: SD = 656,02 -198,19=457,83 Saldo devedor para o 4º período: SD = 457,83 - 218,01=239,82 Saldo devedor para o 5º período: SD = 239,82 - 239,82= 0 Na HP 12C 1000 CHS PV 5 n 10 i 1 1 1 1 1
f f f f f
amort amort amort amort amort
100 83,62 65,60 45,78 23,80
PMT x>
263,79 163,79 180,18 198,19 218,01 239,82
RCL RCL RCL RCL RCL
PV PV PV PV PV
-836,2 656,02 457,83 239,82 0,00
63
Exercícios propostos: 1) Um empréstimo de 50.000 UR deve ser devolvido em quatro prestações semestrais à taxa de juros de 5% a.s.. Obtenha a planilha pelo sistema Price. n prestações
juros
amortização
saldo devedor
2) Um empréstimo de R$ 10.000,000 foi contratado para ser resgatado em 12 prestações mensais iguais. Sabendo-se que a taxa de juro contratada foi de 5% a.m., pede-se: a) Qual o valor das prestações mensais? b) Qual o valor dos juros pagos na primeira prestação? c) Qual o valor do capital amortizado na primeira prestação? d)Qual o saldo devedor do empréstimo imediatamente após o pagamento da primeira prestação?
22.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES (SAC) O sistema de amortização constante, também chamado de sistema Hamburguês, foi introduzido entre nós, a partir de 1971, pelo Sistema Financeiro de Habitação. Esse sistema de amortização é utilizado principalmente em repasses de recursos do Governo, notadamente BNDES e, em financiamentos imobiliários (Sistema Financeiro de Habitação). Neste sistema o mutuário paga a dívida em prestações periódicas e imediatas, que englobam juros e amortização. A diferença é que a amortização é constante em todos os períodos. Nesse sistema, o principal é dividido pelo número de parcelas, nas quais as cotas de amortização são sempre iguais, sendo, portanto constantes. Os juros são calculados sobre o saldo devedor do principal, por ocasião do pagamento de cada parcela. A prestação é a soma dos juros com a amortização. Exemplo 1: Na compra de uma geladeira, uma pessoa quer um financiamento de R$ 1.080,00 em um banco que cobra uma taxa de juros de 1% a.m. Essa importância será amortizada através do SAC, em seis prestações mensais. Cálculo do valor da amortização: Amort. = PV / nº de prestações Amort. = 1.080 / 6 Amort. = R$ 180,00 Cálculo do saldo devedor: Saldo devedor para o 1º período: SD= 1080,00 – 180,00 = 900,00 Saldo devedor para o 2º período: SD = 900,00 - 180,00 = 720,00 Saldo devedor para o 3º período: SD = 720,00 - 180,00 = 540,00 Saldo devedor para o 4º período: SD = 540,00 - 180,00 = 360,00 Saldo devedor para o 5º período: SD = 360,00 - 180,00 = 180,00 Saldo devedor para o 6º período: SD = 180,00 - 180,00 = 0,00
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Cálculo dos juros: Juros para o 1º período: J = 1.080,00 x 0,1x 1 = 10,80 Juros para o 2º período: J = 900,00 x 0,1x 1 = 9,00 Juros para o 3º período: J = 720,00 x 0,1x 1 = 7,20 Juros para o 4º período: J = 540,00 x 0,1x 1 = 5,40 Juros para o 5º período: J = 360,00 x 0,1x 1 = 3,60 Juros para o 6º período: J = 180,00 x 0,1x 1 = 1,80 Cálculo da prestação: 1ª prestação = 180,00 + 10,80 = 190,80 2ª prestação = 180,00 + 9,00 = 189,00 3ª prestação = 180,00 + 7,20 = 187,20 4ª prestação = 180,00 + 5,40 = 185,40 5ª prestação = 180,00 + 3,60 = 183,60 6ª prestação = 180,00 + 1,80 = 181,80
n prestações 0 1 190,80 2 189,00 3 187,20 4 185,40 5 183,60 6 181,80
juros
amortização
10,80 9,00 7,20 5,40 3,60 1,80
180,00 180,00 180,00 180,00 180,00 180,00
saldo devedor 1.080,00 900,00 720,00 540,00 360,00 180,00 0,00
Exemplo 2: Um empréstimo de R$ 50.000,00 deve ser pago pelo SAC em 50 parcelas mensais à taxa de 1% a.m.. Obtenha o estado da dívida (amortização, juros, prestação e saldo devedor) correspondente ao 31º mês.
Amortização = 50.000/50 Amortização = 1.000 Saldo devedor no 30º mês = 50.000 – (30) 1.000 = 20.000 Juros no 31º mês = (0,01) 20.000= 200 Prestação no 31º mês = 1.000+ 200 = 1.200 Saldo devedor no 31º mês = 50.000 – (31) 1.000 = 19.000
Exercícios propostos: 1) Um empréstimo no valor de R$ 2.000.000,00 é concedido, à taxa de juros compostos de 10% a.a., para ser reembolsado em 5 anos, através de prestações anuais, a primeira vencível ao final do primeiro ano, pelo sistema SAC. Qual valor a amortização contida no 3º pagamento? 2) Um banco libera para uma empresa um crédito de 120.000 UR para ser devolvido pelo SAC em seis parcelas trimestrais. Obtenha a planilha, sabendo-se que a taxa de juros é de 5% a.t.
65
n prestações
juros
amortização
saldo devedor
22.3 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO Este sistema foi originalmente desenvolvido para atender o Sistema Financeiro de Habitação (SFH). Neste caso, o financiamento é pago em prestações uniformemente decrescentes, constituídas de duas partes : amortização e juros, que corespondem à média aritmética das respectivas prestações nos Sistemas Price e Amortização Constante. Exemplo: Um relógio que custa R$ 100,00 foi comprado em 4 prestações mensais pelo sistema misto a uma taxa de 5% a.m. Construir a planilha. 1º Fazer a planilha pelo Sistema Price: Período
Prestação
Juro
Amortização
Saldo devedor
0 1 2 3 4
28,20 28,20 28,20 28,20
5,00 3,84 2,62 1,34
23,20 24,36 25,58 26,86
100 76,80 52,44 26,86 -
2º Fazer a planilha pelo Sistema de Amortização Constante: Período
Prestação
Juro
Amortização
Saldo devedor
0 1 2 3 4
30,00 28,75 27,50 26,50
5,00 3,75 2,50 1,25
25,00 25,00 25,00 25,00
100,00 75,00 50,00 25,00 -
Cálculo da prestação: 1ª prestação = (28,20 + 30,00) /2 = 29,1 2ª prestação = (28,20 + 28,75) /2 = 28,48 3ª prestação = (28,20 +27,50) /2 = 27,85 4ª prestação = (28,20 + 26,50) /2 = 27,35
66
Período t 0 1 2 3 4
Prestação Rt Sistema Price 28,2 28,2 28,2 28,2
Prestação Rt Amort. Constante 30 28,75 27,5 26,5
Prestação Rt Sistema Misto 29,1 28,48 27,85 27,35
Exercícios propostos: 1) Uma financeira fez um empréstimo de $138.000 a ser pago pelo Sistema de Amortização Misto em 6 parcelas mensais à taxa de juro de 6% ao mês. Monte a planilha de amortização. 2) Uma financeira emprestou $100.000,00 pelo Sistema de Amortização Misto. Sabendo Sabendo que a taxa de juro cobrada pelo financiamento é de 1,5% ao mês, feita em 6 meses, monte a planilha. 22.4 CORREÇÃO MONETÁRIA SOBRE FINANCIAMENTOS 22.4.1. Sistema Francês Quando um financiamento é realizado com correção monetária, deve se corrigir, corrigir, período a período, o saldo devedor do empréstimo e o valor da prestação de acordo com o índice inflacionário do período. O juro de cada período será calculado sempre sobre o saldo devedor corrigido. Exercício resolvido: Uma empresa contraiu um empréstimo de R$ 200.000,00 para ser amortizado, pelo sistema Francês, em quatro prestações mensais, corrigidas pela variação da TR, mais juros de 3% a.m. Sabendo-se que as variações foram de 5%, 4%, 4,5% e 5%, respectivamente, construir a planilha. Calcula-se, inicialmente, o valor das prestações mensais, sem levar em conta as correções: 200.000 = PMT . 3,71710 PMT = 200.000 / 3,71710 PMT = 53.805,41 O valor do primeiro pagamento a ser realizado deve ser calculado levando em conta o índice de correção do período. PMT = 53.805,41 x (1+ 0,05) PMT = 56.495,68
67
O valor do juro deverá ser calculado sobre o saldo devedor corrigido pelo índice de correção do período. SDC = 200.000 x (1+0,05) SDC = 210.000 J= 210.000 x 0,03 J = 6.300 Amort. = 56.495,68 - 6.300 Amort. =50.195,68 SD = 210.000 – 50.195,68 SD = 159.804,32 Prestação
juro
56.495,68 58.755,51 61.399,51 64.469,48
6.300,00 4985,89 3524,58 3524 ,58 1877,75
S.D. Corrigido
Amortização S. Devedor 200.000,00 210.000,00 50.195,68 159.804,32 166.196,49 53.769,61 112.426,88 117.486,09 57.874,93 59.611,16 62.591,73 62.591,73 0,00
Índice de Corr. 5,00% 4,00% 4,50% 5,00%
22.4.2 Sistema de amortizações constantes Quando um financiamento é realizado com correção monetária, deve se corrigir, corrigir, período a período, o saldo devedor do empréstimo e o valor da amortização de acordo com o índice inflacionário do período. O juro de cada período será calculado sempre sobre o saldo devedor corrigido. Exercício resolvido: Uma empresa contraiu um empréstimo de R$ 200.000,00 para ser amortizado, pelo sistema Francês, em quatro prestações mensais, corrigidas pela variação da TR, mais juros de 3% a.m. Sabendo-se que as variações foram de 5%, 4%, 4,5% e 5%, respectivamente, construir a planilha. Calcula-se, inicialmente, o valor das prestações mensais, sem levar em conta as correções: 200.000 = PMT . 4 PMT = 200.000 / 4 PMT = 50.000 O valor do primeiro pagamento a ser realizado deve-se, inicialmente, corrigir o valor da amortização e o saldo devedor existente no início do período pelo índice de correção do período. Calcular o juro sobre o saldo devedor corrigido e somá-lo à amortização corrigida. Amort. = 50.000 x (1+ 0,05) Amort. = 52.500,00 SDC = 200.000 x (1+0,05) SDC = 210.000
68
J= 210.000 x 0,03 J = 6.300 PMT = 52.500 + 6.300 PMT = 58.800,00 Prestação
juro
S.D. Corrigido
58.800,00 59.514,00 60.480,42 61.707,15
6.300,00 4.914,00 3.413,42 1.797,30
210.000,00 163.800,00 114.114,00 59.909,85
Amortização S. Devedor 200.000,00 52.500,00 157.500,00 54.600,00 109.200,00 57.057,00 57.057,00 59.909,85 0,00
Índice de Corr. 5,00% 4,00% 4,50% 5,00%
Exercícios propostos: 1) Um empréstimo de R$ 50.000,00 foi realizado, pelo sistema francês, para ser liquidado em 5 prestações mensais corrigidas pela TR, mais juros reais. Sabendo-se que as TRs dos cinco meses foram: 0,4%, 0,6%, 0,5%, 0,8% e 0,3% e a taxa de juros foi de 1,5%a.m.. Construir a planilha. 2) Um empréstimo de R$ 50.000,00 foi realizado, pelo sistema de amortização constante, para ser liquidado em 5 prestações mensais corrigidas pela TR, mais juros reais. Sabendo-se que as TRs dos cinco meses foram: 0,4%, 0,6%, 0,5%, 0,8% e 0,3%% e a taxa de juros foi de 1,5%a.m.. Construir a planilha. 3) Uma empresa tomou um empréstimo no valor de R$ 50.000,00 para ser amortizado em 4 prestações mensais, calculadas pelo sistema francês de amortizações, a juros reais de 2,5% a.m. mais IGPM. Preencher a planilha abaixo, considerando os índices de correção. n prestação 0 1 2 3 4
juro
s.dev. corrig.
amortização saldo dev.
índice 1,73% 0,97% 0,40% 0,32%
4) Uma empresa tomou um empréstimo no valor de R$ 50.000,00 para ser amortizado em 4 prestações mensais, calculadas pelo sistema de amortizações constantes, a juros reais de 2,5% a.m. mais IGPM. Preencher a planilha abaixo, considerando os índices de correção. n prestação 0 1 2 3 4
juro
s.dev. corrig.
amortização saldo dev.
índice 1,73% 0,97% 0,40% 0,32%
69
23 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS Em todo processo de análise de projetos e decisões de investimentos, a Matemática Financeira possui um papel fundamental, pois, com a aplicação de técnicas certas, é possível avaliar com maior clareza e segurança os riscos inerentes a esses processos. Um investimento deve ser efetuado quando o retorno obtido no futuro for maior do que o custo de oportunidade, ou seja, quando a taxa de retorno for superior à taxa de mercado. Para analisar a viabilidade de um investimento verificaremos dois dos mais importantes métodos utilizados: cálculo do Valor Presente Líquido (VPL) e o cálculo da Taxa Interna de Retorno (TIR). 23.1 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) O valor presente líquido é a soma algébrica dos valores atuais das entradas e saídas de dinheiro, ao longo do tempo, descontadas a uma taxa efetiva. Exemplo: Uma firma investiu R$ 10.000,00 obtendo um retorno de R$ 6.000,00 no final de um mês e R$ 5.000,00 no final de dois meses. Pede-se para calcular: a) O valor presente líquido (VPL) descontado a uma taxa de 6% a.a. b) O valor presente líquido (VPL) descontado a taxa de 7% a.m. 6.000 0
1
5.000 2
10.000 a) VPL (6%) VPL= -10.000 + 6.000(1+0,06)-1 + 5.000(1 + 0,06)-2 VPL= 110,36
Na HP 12C 10000 CHS g Cfo 6000 g Cfj 5000 g Cfj 6 i f NPV
b) VPL (7%) VPL= -10.000 + 6.000(1+0,07) –1 + (1+0,07)-2 VPL= -25,33 Se o VPL calculado for positivo o projeto deve ser aceito, se o VPL for negativo o projeto deve ser recusado. Exercícios propostos: 1) Uma transportadora pensa em comprar um novo caminhão no valor de R$ 70.000,00. Os fluxos de caixa decorrentes do investimento estão apresentados na tabela a seguir. Sabendo que o custo de capital da empresa é igual a 12% ao ano, estime o VPL.
70
Período 0 1 2 3
Fluxo (70.000,00) 50.000,00 40.000,00 30.000,00
2) Calcule o VPL e verifique se o investimento deve ser aceito ou rejeitado, tomando como base os dados da tabela abaixo e uma taxa de 18% ao ano. R$/Ano Entrada Saídas Saldo
0
1 2 3 4 5 35.000,00 40.000,00 45.000,00 45.000,00 50.000,00 100.000,00 20.000,00
3) Calcule o VPL e verifique se o investimento deve ser aceito ou rejeitado, tomando como base os dados da tabela abaixo e uma taxa de 5% ao mês. R$/Meses 0 1 2 3 Entrada 10.000,00 15.000,00 30.000,00 Saídas 50.000,00 Saldo
23.2 TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) A taxa interna de retorno é a taxa de juros (desconto) que iguala, em determinado tempo, o valor presente das entradas (recebimentos) com os das saídas (pagamentos) previstas de caixa. É a taxa de juro efetiva para a qual o valor presente líquido (VPL) é zero. OBS.: Se o VPL calculado for um valor positivo, podemos afirmar que a TIR do investimento é maior que a taxa utilizada, se o VPL for um valor negativo a TIR é menor que a estimada Exemplo: Calcular a taxa interna de retorno, do exemplo anterior. 6.000 0
1
5.000 2
10.000
TIR= -10.000 +
6 . 000 5 . 0 1
2
i i ( 1 )( 1 )
Por não existir uma fórmula para calcular o TIR, utilizamos o método de interpolação. Estipulamos uma taxa qualquer e calculamos o VPL do investimento. Se o valor for positivo, a TIR é maior que a estimada. Supõe-se uma nova taxa, de valor maior que a
71
anterior, e calcula-se o VPL. Caso o valor volte a ser positivo, devemos repetir o procedimento até achar um valor negativo para o VPL. Em seguida faz-se a interpolação. Como vimos, para r=6% tivemos VPL= 110,36 e para r=7% tivemos VPL = -25,33, Assim podemos dizer que o valor de TIR esta entre 6% e 7%, logo: 6
110,36
7
-25,33
1 x
135,69 110,36
então, x=
1 , 1 ,
TIR = 6 + 0,81= 6,81% a.m.
Na HP 12C 10000 CHS g CF0 6000 g CFj 5000 g CFj f IRR Exercícios propostos: 1) Determinar a TIR referente a um empréstimo de R$ 126.900,00 a ser liquidado em quatro pagamentos mensais e consecutivos de R$ 25.000,00, R$ 38.000,00, R$ 45.000,00 e R$ 27.000,00. 2) Uma aplicação financeira envolve uma saída de caixa de R$ 47.000,00 no momento inicial, e os seguintes benefícios esperados de caixa ao final de 3 meses imediatamente posteriores: R$ 12.000,00, R$ 15.000,00 e R$ 23.000,00. Determinar a TIR mensal efetiva dessa operação. 3) Uma empresa fez um investimento que teve duração de quatro anos. O diagrama abaixo representa o fluxo de caixa deste investimento.
Pede-se: a) Qual o VPL descontado à taxa de 15% a.a.? b) Qual o VPL descontado à taxa de 20% a.a.? c) Qual a TIR? 4) Calcule o VPL e verifique se o investimento deve ser aceito ou rejeitado, tomando como base os dados da tabela abaixo e uma taxa de 5% ao mês.
72
R$\ Meses Entradas Saídas Saldo
0 1 2 3 4.000,00 22.000,00 34.000,00 25.000,00 18.000,00 5.000,00 -
5) O Sr. Pedro pretende se aposentar nos próximos anos e quer juntar suas economias para investir na compra de uma máquina que faça sacolas plásticas. Pretende contratar um funcionário para trabalhar nessa máquina nos próximos 5 anos. As informações que ele dispõe são as seguintes: uma máquina nova custa R$ 30.000,00. As despesas de manutenção da máquina estão estimadas em R$ 5.000,00 no primeiro ano e estima-se um aumento de R$ 1.500,00 a cada novo ano. O Sr. Pedro pretende pagar para o funcionário R$ 5.000,00 no primeiro ano com um aumento salarial de 10% a cada ano, e o faturamento anual previsto é de R$ 25.000,00. Após os 5 anos, o Sr. Pedro pretende vender a máquina por R$ 10.000,00. Considerando que o investimento seja aceito se render pelo menos 16% a.a., determine o valor presente líquido. 6) Calcule a taxa de retorno de um investimento de R$ 1.200,00, onde serão obtidas receitas mensais conforme o diagrama a seguir: 500
800
200
1.200 7) Um equipamento é vendido à vista por R$ 1.300.000,00 ou então tal quantia pode ser financiada com R$ 300.000,00 de entrada, mais três prestações mensais de R$ 400.000,00 cada uma. Qual a taxa de juros deste financiamento? 8) Um empréstimo de R$ 25.000,00 foi feito numa instituição financeira e pago da seguinte forma: - Uma prestação de R$ 5.000,00 após 1 mês de liberação - 3 prestações mensais, iguais e sucessivas de R$ 7.000,00 cada, vencendo a primeira após 2 meses da liberação - Uma prestação de R$ 4.000,00 após 5 meses da liberação do dinheiro. Calcular a taxa interna de retorno. 9) Um investimento de R$ 1.200,00 gera 3 entradas de caixa consecutivas de R$ 650,00, R$ 250,00 e R$ 450,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, determinar o VPL. 10) Um projeto de investimento inicial de R$ 70.000,00 gera entradas de caixa de R$ 25.000,00 nos próximos 5 anos; em cada ano será necessário um gasto de R$ 5.000,00 para manutenção, considerando um custo de oportunidade de 8% ao ano. O investimento deve ser realizado ou não? 11) Fábio empresta hoje a André a importância de R$ 10.000,00. Para pagamento do empréstimo, André entrega a Fábio cheques de R$ 3.000,00, R$ 4.000,00 e R$ 6.000,00 com vencimentos para 2, 4 e 6 meses, respectivamente. Calcule a taxa de juros (TIR) cobrada no empréstimo. 12) Um empréstimo de R$ 25.000,00, contraído hoje, deverá ser pago da seguinte forma: uma parcela de R4 2.300,00 vencível a 4 meses do empréstimo e mais 12 prestações mensais, iguais e consecutivas de R$ 2.100,00 cada uma, vencendo-se a primeira 7 meses após o empréstimo. Determine a taxa mensal cobrada.
73
13) Determinar qual das alternativas a seguir apresentadas é melhor para o investidor, como retorno de uma aplicação de R$ 50.000,00, durante um ano, sabendo que a taxa mínima de atratividade é de 12% a.a. Apresentar o valor presente líquido (VPL) de cada uma das opções: a) Receber 12 prestações mensais ao final de cada mês de R$ 4.500,00. b) Receber R$ 27.500,00 ao final de cada semestre. c) Receber R$ 55.000,00 ao final de cada ano. d) Receber R$ 13.500,00 ao final de cada trimestre. 14) O investimento inicial de certa indústria está estimado em R$ 120.000,00 e estão previstos os fluxos de caixa a seguir, à taxa de 12% ao ano. Pretende-se ao final de oito anos vender o negócio por R$ 200.000,00. Calcular o valor presente líquido, sabendo que os fluxos de receita são: no primeiro ano: - R$ 12.000,00; no quarto e no quinto ano: R$ 40.000,00 em cada um; no sexto ano: R$ 60.000,00 e no sétimo: - R$ 5.000,00. 15) Um veículo novo custa R$ 35.000,00. Você dará R$ 8.000,00 de entrada e poderá pagar o restante, pela proposta do banco da montadora, em 24 parcelas, sendo 11 mensais de R$ 700,00 e uma anual de R$ 10.000,00. Isso se repete também no segundo ano. Que taxa o banco está cobrando de você? ( Ignore TAC e IOF)
74
GABARITO PORCENTAGEM 1) a 5) R$ 6,45 9) R$ 52,80 13) R$ 236,00 16) 37,38%
2) 324 6) R$ 450,00 10) R$ 2.100,00 14) R$ 120,00 17) 2,5522%
3) 255kg 4)R$ 20.000,00 7) 2.025 8) 11,11% 11) 80 12) R$ 7.650,00 15) R$ 30.000,00; 33,33%
ABATIMENTOS SUCESSIVOS e ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS 1) a) R$ 12,10 b) 49,6% 2) a) R$ 400,00 3) a) R$ 58,50 b) 62,5% 4) R$ 310,00 6) a) R$ 62,84 b) 16,21% 7) a)R$ 125,00 8) a) R$ 777,36 b) 9,18% 9) R$ 1,04 11) R$ 540,00 OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS 1) R$ 31,20 2) R$ 35,00 4) R$ 400,00 5) R$ 5.000,00 7) R$ 42,50 8) 30% 10) R$ 1.050,00
3) 12,5% 6) R$ 7,50 9) 25%
JUROS SIMPLES e MONTANTE SIMPLES DE UM CAPITAL 1) R$ 230,00 2) R$ 40.000,00 3) 60%a.a 5) R$ 81,46 6) R$ 35.440,17 7)19,7% a.a. 9) R$ 280.000,00 10) R$ 886.265,55 11) 4,2%a.m. 13) R$ 32.500,00 14) 2,79% a.m. 15) R$ 5.900,00 16) a) 7 meses; R$ 17.325,00 b) 2,4% a.m.; 28,8% a.a. 17) 6%a.m. 18) R$ 2.360,00 19) R$ 362,29 21) 5%a.m. 22) 2a9m10d 23) 6,667%am 25) 10%a.m. 26) R$ 4.176,00 27) R$10.500,00 29) 3% a.m. 30) 66 dias PRAZO MÉDIO 1)R$ 4.320,00
2) 48%a.a.
5) 7 meses
6) 2,7 meses
b) 31,6% 5) R$20,00 b) 11,8% 10) R$214,00
3) 27 dias
DESCONTO SIMPLES COMERCIAL 1) 32,43%a.a. ou 8,1% a.p.
2) 3% ao mês
3) 8,46%a.p. ou 6,5% a.m. 5) R$ 3.846,00 6) a) R$ 980,00 b) R$ 13.020,00 6) 2m e meio 8) R$ 24.716,67 10) a) R$ 1.382,40 b) R$ 16.617,60
4) R$ 785,00 c)3,76%a.m 7) R$ 2.000,00 9) R$ 420,00 c) 3,47%
4) 70 dias 8) R$ 150.000,00 12) 3,65% a.m. 20) 21 dias 24) 18% a.a. 28)10,2%a.m.
4) 2%a.m
75
DESCONTO SIMPLES RACIONAL 1) R$ 70.000,00 5) R$ 6.000,00
2) 9%a.m. 3) R$ 4.000,00 6) R$ 6.510,00 7) R$ 225,00
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 1) R$ 16.941,18 2) R$ 115.200,00 5) 25 dias 6) R$ 12.000,00 9) 1) R$ 1.057,14 2) R$ 65.591,00 5) R$ 6905,34 6) R$ 134.493,34
4) R$ 2.740,00 8) R$ 50.000,00
3) R$ 50,22 7) R$ 94.054,23 3) R$ 75.568,18
4) R$ 9.600,00 8) R$ 4.414,77 4) R$ 56.134,75
JUROS COMPOSTOS 1) R$ 2.644,79 2) R$ 20.244,67 3)R$ 40.210,93 4) R$11.137,42 5) R$ 1.384,88 6) 1,5% a.m. 7) R$ 31.447,16 8) 6,2% a.m. 9)12,2462% a.s. 10) R$ 3.345,80 11) 4,684% a.m. 12) 2,30519% a.m. 13) R$ 56.250,00 14) a) R$ 20.397,11 b)R$ 20393,49 15) R$ 32.841,07 16) 16 meses 17) a)R$ 28.513,41 b) R$ 28.505,00 18) 15 meses 19) R$ 66.876,12 20) R$ 24.000,00 21) 14 meses 22) R$ 42.841,69 23) R$ 42.813,27 24) R$ 4.462.891,92 25)a- R$ 28.603,42 b- 9,52% a.q. c- R$ 815,53 d- 2,79% a.m. 26) R$ 1.931,53 27)a- 4,5%a.m. b- R$ 509,68
TAXAS 1) a) 23,87% a.a. 2) a) 4,77% a.m. e) 3,66% a.m. 3) a) 28,64%a.s 4) a)15,7625% a.t. e) 2,4695% a.p. 5) a) 3,9127% a.p. e) 25,8957% a.p. 6) a) 42,5761% a.a. 7) R$ 140.633,24 9) 3,35% a.p. c- 26,53% a.a.
b) 15,97%a.a. b) 6,99% a.m.
c) 19,25%a.a. c) 6,56% a.m.
d) 39,24%a.a. d) 3,2% a.m.
b) 9,99%a.s. b) 0,4891% a.p.
c) 8,32% a.s. c) 7,0693% a.p.
d) 8,37% a.s. e) 40% a.s. d) 79,5856% a.a.
b)5,7991%a.p
c)0,1200% a.d.
d) 3,6637% a.m.
b) 43,3072% a.a. 8) a)10,5% a.t. 10) 4,38% a.p. d- 25,44% a.a.
b) 3,3842% a.m. 11) a- 27,11% a.a
c) 49,0902% a.a. b- 26,82% a.a.
DESCONTO COMPOSTO 1) R$ 48.956,23 2) R$ 6.663,42 5) R$ 70.694,69 6) R$ 119.047,62 9)a- R$ 25.460,66 b-R$ 32.290,27
3) R$ 10.710,15 7) R$ 58.930,23 c-R$ 40.951,87
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS 1) R$ 7.279,065% 2) R$ 65.252,23 3) R$ 52.020,00
4) 1,85 % 8)R$ 12.269,36
4) R$ 129.767,09
76
5) R$ 136.464,97 6) d 8)é mais vantagem comprar à prazo
7) a 9)R$ 840,63
PRESENTE VALOR DE UMA RENDA UNIFORME (PV) 1) R$ 7.992,83 2) R$ 115,49 3) 12 meses 4) R$ 2.663,80 5) R$ 1.626,14 6) R$ 80,65 7) 7 prestações 8) R$ 55.046,86 9) A compra a vista, oferece vantagem de R$ 125,79 10) 2%a.m. 11) R$ 1.376,26 12) R$ 3.947,49 13) R$ 1.323,03 14) R$ 520,00 15) R$ 5.677,63 16) R$ 11.698,46 17) R$ 2.518,00 18) R$ 311.857,16 19) R$ 78.922,27 20) R$ 37.674,10 21) R$ 11.009,37 22) R$207,59 23) R$ 264,97 24) R$ 286,17 25) R$ 555,59 MONTANTE DE UMA RENDA 1) R$ 2.660,71 2) R$ 3.836,75 5) R$ 1.015,91 6) R$ 74.761,11 9) R$ 103,15 10) R$ 10.918,82 13) R$ 530,81 14) R$17.524,73
3) R$ 9.506,92 7) R$ 30.051,61 11) R$ 3.015,88 15) 143 meses
VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) 1) R$ 27.884,02 2) VPL = R$ 13.893,59, deve ser aceito
4) R$ 161,00 8) R$ 26.497,16 12) R$ 40.045,35 16) R$ 2.138,67
3) 955,62
TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) 1) 2,47% a.m. 2) 2,84% a.m. 3) a) R$ 3.570,02 b) - R$ 1.968,61 c) 18,12% a.a 4) VPL= R$ 6.456,65 (deve ser aceito) 5) R$ 12.433,70 6) 12,57% 7) 9,7% 8) 6,53%a.m. 9) R$ 34,54 10) Sim (VPL = R$ 9.854,20) 11) 6,17%am 12) 0,81164%am 13) A alternativa a é a mais vantajosa. R$ 647,85; R$ 418,30; - R$ 892,86 e R$ 180, 83, respectivamente 14) R$ 26.316,28 15) TIR+1,829% a.m
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