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Solución Ensayo PSU 2. NOTA: Las resoluciones tienen un grado de detalle medio-bajo. Sólo en algunos ejercicios se muestran imágenes y/o tablas. NO SE MUESTRAN LOS ENUNCIADOS. Pregunta 1. Clave: C. Tema: Operatoria numérica. Solución: Se resuelve el paréntesis interior, y luego considerar al corchete (de adentro hacia afuera): 6 − [−2 ∗ −8] = 6 − 16 = −10 Pregunta 2. Clave: E. Tema: Análisis e interpretación de gráficos. Solución: I. Verdadero. A simple vista, el camión D logró desplazarse uniformemente 40 km en un cierto tiempo, por ende, fue el más rápido. II. Falso, C recorre 3 veces la distancia que recorrió A. III. Verdadero, efectivamente D recorre 40 km, y B, 20 km, es decir, la mitad. Pregunta 3. Clave: A. Tema: Aplicación del porcentaje: Descuentos. Solución: El precio original equivale al 100%. Como el descuento es de un 20%, significa que el precio final es igual al 80% del precio original. De esta forma: 𝑀 = 0,80 ∗ 8.000 = 6.400 0,80 ∗ 𝑁 = 7.200 → 𝑁 = 9.000 El distractor de este ejercicio es la presencia de espacios en blanco en la tabla, los cuales no fueron llenados, ya que implica perder tiempo si el ejercicio se razona de una forma más rápida. Pregunta 4. Clave: D. Tema: Planteo de ecuaciones de primer grado. Solución: Sea x la cantidad inicial de camisetas. De ser así, entonces a la primera persona le regalará “x/5”. Luego, a Carmen le regala 5 camisetas más que a la primera persona, lo cual equivale a “x/5 + 5”. Finalmente, el planteo resulta ser. 𝑥− Ignacio Díaz G
𝑥 𝑥 − ( + 5) = 4 5 5 1
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Buscando la coincidencia con alguna alternativa, se puede reordenar como: 𝑥 𝑥 − −5=4 5 5 2𝑥 𝑥− =9 5 2𝑥 𝑥= +9 5
𝑥−
Ecuación que se encuentra en la opción D. Pregunta 5. Clave: A. Tema: Valoración de expresiones algebraicas. Solución: Básicamente se reemplazan los valores en la primera operatoria (triángulo), y luego ocupar la segunda operatoria (gato), ya que falta especificar el valor en especial de a en a#b: (2∆5) = 25 + 5 = 32 + 5 = 37 (37# − 2) = 2 ∗ 37 − 4 ∗ (−2) = 74 + 8 = 82 Pregunta 6. Clave: C. Tema: Problemas estratégicos de números naturales. Solución: Notar que todas deben tener al menos 1 ficha, por lo que lo obvio es que las cajas contengan 1, 2, 3, 4, 5 y 6 fichas, respectivamente, minimizando la cantidad a usar. Así, el total es de 21. Pregunta 7. Clave: E. Tema: Operatoria de Potencias. Solución: (−3)2 − (−3)3 = 9 − −27 = 9 + 27 = 36 Pregunta 8. Clave: D. Tema: Razones y Proporciones. Solución: Escribiendo en forma de fracciones compuestas: 3 1 4 = 22 𝑚 31 3 Expresando los números mixtos como fracciones impropias:
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5 3 = 2 4𝑚 10 3 Aplicando producto cruzado: 10 5 = 4𝑚 ∗ 3 2 10 = 10𝑚 → 𝑚 = 1 3∗
Pregunta 9. Clave: C. Tema: Aproximación de números decimales. Solución: 25 dividido en 13 (manualmente) arroja un valor de 1,92307… Al aproximar a la centésima por exceso, se nota que el dígito presente en la milésima existe, por lo que el resultado final es 1,93 (se aumenta en 1 el dígito de la centésima). Pregunta 10. Clave: A. Tema: Operatoria de raíces. Solución: Se lleva cada radicando a una sola fracción. Al resolver, existen valores cuyas raíces cuadradas son exactas:
√6 +
1 1 4 25 81 196 5 9 14 50 − 45 + 56 61 − √5 + + √8 − =√ −√ +√ = − + = = 4 16 25 4 16 25 2 4 5 20 20
Pregunta 11. Clave: B. Tema: Valoración de expresiones algebraicas. Solución: Del enunciado se desprende que t = 15, por lo que: 152 − 42 = 225 − 16 = 209 Pregunta 12. Clave: A. Tema: Propiedad distributiva. Solución: Simplemente se debe aplicar propiedad distributiva: −2(2𝑚 − 6𝑛) = −2 ∗ 2𝑚 + 2 ∗ 6𝑛 = −4𝑚 + 12𝑛 Pregunta 13. Clave: E. Tema: Planteo de ecuaciones. Ignacio Díaz G
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Solución: Como dice que su hermano MENOR tiene 12 años, y difieren en 2 años, entonces el niño tiene 14 años. Luego, sea x el número que escogió: 𝑥 + 12 = 14 2 De donde x = 16. Pregunta 14. Clave: B. Tema: Ecuaciones literales e identidades. Solución: Claramente la incorrecta es la opción B, ya que dicha igualdad sólo funciona para p = 1 y 2. El resto de las opciones tiene cumplimiento de igualdad, basta con cambiar p por q o viceversa, y comparar. Pregunta 15. Clave: D. Tema: Divisores de números naturales. Divisibilidad. Solución: El 9 tiene 3 divisores naturales positivos: el 1, el 3 y sí mismo. En consecuencia, la suma de ellos es igual a 13. Pregunta 16. Clave: C. Tema: Áreas. Solución: Por simple inspección, el ancho del cuadrilátero achurado mide “x-a”, mientras que su largo es de “x+a”. Así, su área es (x+a)(x-a). Pregunta 17. Clave: A. Tema: Valoración de expresiones algebraicas. Solución: Una forma rápida para calcular consiste en simplificar la expresión algebraica al máximo, ya que las restricciones están presentes. Generalmente, el estudiante sólo se dedica a reemplazar términos, pero el proceso de llegada a un resultado único es más lento. 𝑎 𝑏 𝑎2 − 𝑏 2 −𝑎 (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) 𝑎2 − 𝑏 2 𝑎𝑏 𝑏 = 𝑎𝑏 = ∗ = =𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 𝑎−𝑏 (𝑎 − 𝑏) 𝑎𝑏 𝑎−𝑏 𝑎𝑏 𝑎𝑏 Expresión bastante más sencilla que la original. Ahora sólo queda sustituir cada variable por los números pedidos: 1 1 5 𝑎+𝑏 = + = 2 3 6
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Pregunta 18. Clave: B. Tema: Comparación de fracciones. Solución: El objetivo es utilizar la información del enunciado. Se analiza cada opción: 𝑚−𝑛 𝑚 I. 𝑛 = 𝑛 − 1, lo cual, evidentemente, es menor que m/n; incluso es un número negativo, ya que m/n <1. II.
𝑚+𝑛 𝑛
=
𝑚 𝑛
+ 1, lo cual es claramente mayor que m/n.
III. En esta opción, conviene realizar una comparación entre fracciones. Si los numeradores positivos son iguales, entonces entre más grande sea su denominador, más pequeño es el número. 𝑚 Así, 𝑛+1 es menor que m/n. Finalmente, sólo II cumple los requisitos. Pregunta 19. Clave: E. Tema: Operatoria de potencias. Solución: (−1)𝑛 vale 1, si n es par, mientras que valdrá -1 si n es impar. (−1)2𝑛 siempre valdrá 1, ya que 2n siempre será par. Por ende, el resultado final depende del valor de n que se trate. No se puede determinar. Pregunta 20. Clave: C. Tema: Operatoria de potencias. Solución: Se aplica la propiedad de multiplicación/división de potencias de igual base: 𝑚3(𝑥−2) ∗ 𝑚 𝑥+4 𝑚3𝑥−6 ∗ 𝑚 𝑥+4 𝑚3𝑥−6+𝑥+4 𝑚4𝑥−2 = = = = 𝑚4𝑥−2−2𝑥+10 = 𝑚2𝑥+8 𝑚2𝑥−10 𝑚2𝑥−10 𝑚2𝑥−10 𝑚2(𝑥−5) Pregunta 21. Clave: D. Tema: Números Complejos. Existencia de números complejos. Solución: La opción A muestra un número real. La opción B también es un número real, ya que i 2 es igual a -1. En la alternativa C, la raíz cúbica, o de índice impar de cualquier radicando real, arroja un número real (pensar en la inversa de la función x3). La opción D muestra un número complejo, ya que la raíz de índice par de cualquier real negativo queda definida en los complejos. De hecho, √−4 = √4√−1 = 2𝑖. Finalmente la opción E ilustra un número real (de resultado decimal infinito no periódico). Pregunta 22. Clave: E. Tema: Operatoria en números complejos.
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Solución: Este problema se puede resolver de dos formas: calculando instantáneamente cada factor, o multiplicar todo y determinar su valor. Existe una regularidad para exponentes de i, la cual es: 𝑖 1 = 𝑖; 𝑖 2 = −1; 𝑖 3 = −𝑖; 𝑖 4 = 1. Con ello, i6 = -1, i8 = 1 e i9 = i, por lo que el resultado final será –i. Ahora, si se efectúa la multiplicación, resulta i23, seguido por i24, de exponente múltiplo de 4, por lo que i23 = -i. Pregunta 23. Clave: A. Tema: Sistemas de Inecuaciones Lineales. Solución: De la primera parte se traduce que: x es AL MENOS (mayor o igual) el doble de la edad hace 10 años (2(x-10)), y es menor que (<) la mitad de la edad que tendrá en 15 años más, es decir,
𝑥+15 2
. Por lo tanto, el sistema queda expresado como (conectivo lógico “Y”): 𝑥 ≥ 2(𝑥 − 10) ⌃ 𝑥 <
𝑥 + 15 2
Lo cual se encuentra en la opción D. Pregunta 24. Clave: C. Tema: Análisis de signos en números reales. Comparación numérica. Solución: I. –a – b = - (a+b). a + b es menor que cero, por lo que su inverso aditivo es positivo. II. a + b es menor que cero. Un número negativo elevado a exponente impar resulta ser siempre negativo. III. Si b es negativo, entonces –b es positivo, y mayor que el mismo b. Pregunta 25. Clave: D. Tema: Operatoria en números complejos. Parte real e Imaginaria. Solución: Un número complejo escrito en la forma binomial es z = a + bi, el cual contiene dos partes. Una parte real (Re(z)), igual al número que no contiene el ente imaginario; y una parte imaginaria (Im(z)), igual al factor de i. En general, Re(z) = a; Im(z) = b. Por lo tanto: 𝑅𝑒(𝑎) + 2𝐼𝑚(𝑏) − 3𝐼𝑚(𝑐) = 3 + 2 ∗ 6 − 3 ∗ (−5) = 3 + 12 + 15 = 30 Pregunta 26. Clave: C. Tema: Planteo de problemas de razones. Solución: Sean x e y los números referidos, con “y” el número menor. Dado que 7 + 5 = 12, implica que los números reales son más grandes, por lo que se amplificarán por k, quedando: 7𝑘 + 5𝑘 = 180 → 𝑘 = 15
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De donde el número menor es 5k, igual a 75. Pregunta 27. Clave: A. Tema: Sistemas de Ecuaciones Lineales. Solución: Al conocerse los valores de x e y, el sistema queda para calcular m y n, resultando: −3 − 3𝑚 = 9 −𝑛 + 12 = 11 Afortunadamente cada ecuación es de primer grado, y de 1 variable, por lo que se resuelven por separado, llegando a que m = -4 y n = 1. Pregunta 28. Clave: C. Tema: Aplicación de Función Parte entera. Solución: Entre las 10:15 y las 18:00 han pasado 7 horas y 45 minutos, es decir, 15 medias horas y un cuarto de hora. Considerando el primer intervalo como 10:15 a 10:30, el monto a pagar es: $400 por los primeros 15 minutos, y 15*$200 por las 15 medias horas venideras, arrojando un total de $3400. El problema no está bien elaborado, pero lo que en realidad se pretendió fue que el primer tramo vale $400, y el resto vale $200. Como queda un tramo de 15 minutos, seguramente se consideró como media hora. Pregunta 29. Clave: A. Tema: Ecuación Principal de la recta. Pertenencia de un punto a la recta. Solución: Si dicho punto pertenece a la recta, implica que al reemplazar x e y por los valores respectivos, se obtiene una identidad. Como la recta tiene 3 variables, al reducirla a 1 variable resulta una ecuación, la cual determina el valor de m para que se produzca la identidad. 8=
−2 − 2 1 → 𝑚=− 𝑚 2
Pregunta 30. Clave: B. Tema: Funciones. Cálculo de imágenes con preimagen conocida. Solución: Sencillamente se reemplazan los valores de p en cada función: 𝑓(−3) = (−3)2 + 3(−3) = 9 − 9 = 0 𝑔(−1) = 3(−1) − (−1)2 = −3 − 1 = −4 𝑓(−3) + 𝑔(−1) = 0 + (−4) = −4
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Pregunta 31. Clave: A. Tema: Ecuación valor absoluto. Definición de valor absoluto. Solución: 3x – 2 toma dos valores posibles: 1 y -1, ya que |1| = |-1| = 1, por lo que se extraen dos ecuaciones: 3𝑥 − 2 = 1 → 𝑥 = 1 1 2 − 3𝑥 = 1 → 𝑥 = 3 Por lo tanto, la ecuación del enunciado arroja dos soluciones reales positivas distintas. Pregunta 32. Clave: D. Tema: Evaluación de funciones. Solución: Simplemente se reemplazan las preimágenes, y calcular: (𝑎 − 𝑏)2 − 𝑎2 − 𝑏 2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 − 𝑎2 − 𝑏 2 = −2𝑎𝑏 Pregunta 33. Clave: C. Tema: Función cuadrática. Aplicaciones de sus coeficientes. Solución: En primer lugar, como las gráficas son simétricas, entonces si el coeficiente de concavidad de una de ellas es “a”, la de la otra función será “-a”, ya que sólo cambia la concavidad. En este caso, la concavidad se define positiva si es hacia arriba, por lo que a > 0 y m < 0. Por otra parte, los coeficientes de posición (c y p) tienen sólo signos contrarios, e igual valor absoluto, por lo que c + p = 0. Finalmente, al evaluar f(x) en cualquier abscisa, siempre ocurrirá que g(x) toma el inverso aditivo de f(x), a no ser que f(x) y g(x) sean cero. Vale decir, que f(x) = -g(x), sus imágenes son simétricas respecto al eje x. Pregunta 34. Clave: A. Tema: Función raíz cuadrada. Traslación de funciones. Solución: Para determinar la gráfica existen dos métodos, uno bastante engorroso y simple (construirse una tabla de valores y unir puntos), y uno que tiene mayor complejidad, que es obtener la gráfica en base a transformaciones isométricas. A la función sqrt(x) (azul) se le aplica un factor 1, donde su gráfica es la simétrica respecto al eje x (púrpura). Luego, esta gráfica sufre un aumento de dos unidades (g(x)), por lo que todos los puntos de la curva suben dos unidades (verde/café). Así, se trata de una función decreciente, de dominio en los reales positivos incluyendo al cero, e intersecta al eje Y en (0,2). Este gráfico se ilustra en la opción A (ignorar en la figura los trazos a la izquierda del eje Y).
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Pregunta 35. Clave: C. Tema: Aplicación de la función exponencial y por tramos. Construcción cualitativa de gráficos. Solución: Dado que se trata de la evolución temporal de la concentración (es mejor concepto que hablar de cantidad) del medicamento en el torrente sanguíneo, éste siempre será mayor o igual que cero, por razones obvias. En el tiempo cero, el paciente no contiene medicamento en su cuerpo, por lo que la función nace en el origen. Hasta el minuto 5, la concentración aumenta linealmente, lo cual se representa con una función lineal. Después del minuto 5, se deja de suministrar medicamento, y la concentración INMEDIATAMENTE comienza a disminuir conforme a un decrecimiento exponencial (cada vez disminuye en menor grado), hasta acercarse al valor cero. Notar que la concentración jamás alcanzará el valor cero (el eje x es su asíntota), y que en el minuto 5 se encuentra la concentración máxima. De esta forma, el mejor gráfico es la opción C. Pregunta 36. Clave: A. Tema: Logaritmos notables. Operatoria de logaritmos. Solución: Note que los tres logaritmos presentes arrojan un valor exacto y fácil de obtener. Si a x = b, entonces, a grandes rasgos, x = logab. log 2 1 −
log 2 16 4 4 = 0− = − log 3 27 3 3
Pregunta 37. Clave: E. Tema: Análisis de funciones polinómicas: función potencia. Solución: Notar que las tres curvas pasan por los puntos (0,0) y (1,1), por lo que se pueden hacer 3 análisis comparativos. En ]0,1[, entre más grande sea el exponente, la imagen es cada vez más pequeña, por lo que h(x)
1, el orden es contrario, es decir, f(x)
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Pregunta 38. Clave: B. Tema: Interés compuesto. Solución: El capital final es el doble del inicial. Sea “i” la tasa de interés compuesto a determinar, la cual se obtiene por simple despeje: 𝑖 3 2𝐶0 = 𝐶0 (1 + ) 100 3 𝑖 = 100 ∗ ( √2 − 1)% Pregunta 39. Clave: C. Tema: Congruencia de triángulos aplicada en figuras compuestas. Solución: Al cumplirse la relación de congruencia en su orden entre los triángulos DPA y CPB, se llega a que AP = PB, DP = PC. De esta forma, es seguro que el triángulo APB es isósceles, siendo imposible concluir algo más específico, ya que el punto P tiene libertad de posición, puede ubicarse en cualquier lugar de su eje vertical imaginario que pasa por él. Pregunta 40. Clave: B. Tema: Fenomenología de congruencia de triángulos. Solución: A) Falso, ello asegura, a lo más, que los triángulos son semejantes. B) Verdadero, criterio LLL. C) Falso, pueden tener distintos ángulos interiores, e incluso distintas longitudes de lados correspondientes. D) Falso, se asocia a semejanza. E) Falso, dos triángulos (polígonos en general) son equivalentes si tienen igual área, lo cual no garantiza que las figuras sean idénticas. Pregunta 41. Clave: D. Tema: Transformaciones Isométricas. Simetrías. Solución: Un punto (a,b) reflejado respecto al eje x resulta (a,-b). Con respecto al eje y resulta (a,b), y con respecto al origen resulta (-a,-b) (mismo resultado que rotar en 180°). Así, I es falsa, II es verdadera, y III es verdadera. Pregunta 42. Clave: A. Tema: Transformaciones Isométricas. Solución: Al aplicar una simetría respecto al origen se obtiene la figura de la opción E. Luego, al rotar en 180° esta última figura, se vuelve a la figura original, ya que aplicar una simetría central o una rotación en 180°, respecto a un mismo punto, son la misma transformación isométrica.
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Pregunta 43. Clave: C. Tema: Transformaciones Isométricas. Solución: I. Verdadero, es la altura que llega al lado desigual. II. Verdadero. III. Falso, ningún punto de la superficie interior del triángulo equilátero funciona como agente de simetría central. Pregunta 44. Clave: E. Tema: Aplicación de Teselación de un plano. Solución: Área cuadrado: 400 cm2. Área rectángulo: 600 cm2. Área triángulo: 200 cm2. I. Con esas cantidades se logra un área total de 10000 cm2, igual a 1m2. Por ende, se puede. II. Misma idea, se cubre un área de 10000 cm2. Sí se puede. III. También se puede. Cubre un área de 10000 cm2. Puede además comprobar que efectivamente las tres opciones teselan exactamente 1m2 de superficie. Pregunta 45. Clave: A. Tema: División interior de segmentos bajo una razón conocida. Solución: Lógicamente, RP es 2/7 del segmento total, y RQ es 5/7 del segmento total. Por lo tanto, RQ debe medir 5t/7. Pregunta 46. Clave: B. Tema: Teorema de Thales. Propiedades de cuerdas en circunferencia. Solución: Que el arco DA mida lo mismo que el arco BE implica que AB//DE. Así, en el triángulo ABC se pueden plantear relaciones de semejanza, ya que el triángulo ABC es semejante con el triángulo MNC. De las 5 opciones, la correcta es la B. CM (se opone N) es a CA (se opone B) como CN (se opone M) es a CB (se opone A). Pregunta 47. Clave: D. Tema: Ángulos en la circunferencia. Ángulo del centro e inscrito. Solución: El arco CB mide “alfa”, pues está subtendido por un ángulo inscrito. Luego, el arco BD mide “alfa/2”, subtendido por el ángulo del centro “x”, que toma el mismo valor. Pregunta 48. Clave: E. Tema: Teorema de Thales.
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Solución: MT es mediana, ya que el triángulo ABC es equilátero de lado 20, por lo que TC = 10. Los triángulos DCF y DTM son semejantes, por lo que para determinar la longitud de FC se puede plantear que: 𝐷𝐶 𝐷𝑇 = 𝐹𝐶 𝑀𝑇 12 22 60 = → 𝐹𝐶 = [𝑐𝑚] 𝐹𝐶 10 11 Pregunta 49. Clave: D. Tema: Teorema de Euclides. Semejanza de triángulos. Tríos pitagóricos. Solución: Por las medidas de los triángulos AOC y BOD, se intuye que son semejantes, ya que ambos provienen del trío pitagórico 3-4-5. Finalmente, por Teorema de Euclides se pueden obtener las alturas sobre hipotenusa de cada triángulo: 20 = 12[𝑐𝑚] 25 40 𝑂𝑄 = 30 ∗ = 24[𝑐𝑚] 50 𝑂𝑃 = 15 ∗
Por lo tanto, PQ = 36 cm. Pregunta 50. Clave: B. Tema: Ángulos en la Circunferencia. Solución: El arco LN mide 2α, al igual que el arco ML, ya que las cuerdas LN y LM miden lo mismo. Si se asigna como “x” al ángulo interior MLN, entonces el arco NM mide 2x. Finalmente, el ángulo LRP, que es un ángulo exterior, es igual a la semi-resta de los arcos contenidos: 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝐿𝑁 − 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑁𝑀 2𝛼 − 2𝑥 = =𝛼−𝑥 2 2 Pero en el triángulo LMN se cumple que la suma de sus ángulos interiores es de 180°. Como
< 𝐿𝑅𝑃 = 𝛼 − (180 − 2𝛼) = 3𝛼 − 180° Pregunta 51. Clave: B. Tema: Ángulos en la circunferencia. Solución: Gracias al ángulo semi-inscrito TPQ, el arco PQ mide 100°, subtendido por el ángulo inscrito PRQ, que medirá 50°. Completando ángulos interiores en triángulo RPQ, se tiene que el ángulo buscado mide 100°.
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Pregunta 52. Clave: A. Tema: Homotecia. Solución: Al aplicar homotecia a un punto, éste podría desplazarse a través de una recta en la que además pertenece el centro de homotecia. Al aplicar homotecia a figuras o polígonos, si el factor es mayor a 1, la figura se aleja del centro (dependiendo de su ubicación) y se agranda. Si el factor es menor que 1 y mayor que cero, sucede el efecto contrario. Aplicar una homotecia de factor 1 implica no realizar ninguna modificación. A) Aparentemente es verdadera, ya que OP´=3*OP. B) Falso, P´ debería estar más lejos de O que antes. C) Falso, la figura debería achicarse y acercarse a O. D) Falso, la figura debería permanecer intacta. Pregunta 53. Clave: B. Tema: Teorema de Euclides. Solución: Por Teorema de Euclides: ℎ2 = 1 ∗ 6 → ℎ = √6. Luego, esta altura es igual a 4/5 de “y”. Por simple despeje: 4𝑦 5ℎ 5√6 ℎ= →𝑦= = 5 4 4 Pregunta 54. Clave: E. Tema: Teorema de Thales. Solución: Al señalar los ángulos rectos, se llega a que todos los triángulos son semejantes (asigne dos ángulos interiores y complete). I. Verdadero. Al multiplicar cruzado se obtiene una de las ecuaciones del Teorema de Euclides en el triángulo ADC. II. Verdadero. Es otra relación en el mismo triángulo ADC. III. Verdadero. Si el ángulo en D es igual a “x”, y el ángulo en C es igual a “y” (ambos en triángulo DEC), entonces por completación, el ángulo en E mide “y”, y el ángulo en F medirá “x”. De ahí, triángulo DEC es semejante, en ese orden, con el triángulo FGE. Pregunta 55. Clave: B. Tema: Sólidos de Revolución. Solución: Claramente se forma un cono recto (gracias al triángulo ACD) y una semiesfera (gracias al cuarto de círculo DBC). Pregunta 56. Clave: D. Tema: Coordenadas espaciales. Ignacio Díaz G
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Solución: El sentido de los ejes indica valores positivos. Un cubo tiene todas sus aristas de igual longitud. Por otro lado, la cara ABEF se encuentra apoyada en el plano xy. El vértice E está a 2 unidades a la izquierda (referencia eje x), 2 unidades a la derecha (referencia eje y) y 0 unidades referencia eje z (está en el plano xy, matemáticamente representado como z = 0). En el espacio, las coordenadas son nombradas como (x,y,z). Así, las coordenadas de E son (-2,2,0). Pregunta 57. Clave: E. Tema: Análisis en geometría del espacio. Solución: Note que EF es mediana del triángulo ABC, ya que es paralela a AC, y dimidia a AB, y en consecuencia, también dimidia a BC. El cubo tiene longitud de diagonal de cara igual a sqrt(2) (ejemplo, diagonal AB), mientras que la diagonal de cuerpo mide sqrt(3) (ejemplo, diagonal BC). A) Verdadero. Es escaleno. B) Verdadero, al ser mediana, medirá la mitad que AC, el cual mide 1 cm. C) Verdadero, la base AB mide sqrt(2), y la altura AC mide 1. D) Verdadero, son ángulos alternos internos respecto a la transversal BC. Pregunta 58. Clave: C. Tema: Volúmenes. Solución: Sencillamente se resta el volumen del cilindro exterior (radio “x+3”), con el volumen del cilindro interior de radio “x”. 𝑉 = 𝜋 ∗ (𝑥 + 3)2 ∗ 100 − 𝜋 ∗ 𝑥 2 ∗ 100 = 100𝜋(𝑥 2 + 6𝑥 + 9 − 𝑥 2 ) = 100𝜋(6𝑥 + 9)[𝑐𝑚3 ] Pregunta 59. Clave: D. Tema: Probabilidad clásica y diagrama de árbol. Solución: 12 mujeres son casadas, de un universo de 35 personas, por lo tanto, P(mujer_casada) = 12/35. Pregunta 60. Clave: E. Tema: Probabilidad clásica. Solución: Las bolitas negras tienen los siguientes números: 1-3-5-7. Por lo tanto, sólo hay 1 bolita de las 8, que es negra y mayor que 5, así, su probabilidad de escogerla es de 1/8. Pregunta 61. Clave: E. Tema: Probabilidad clásica y Estadística básica. Solución: I. Falso. Hay 42 guardias, de un universo de 300 personas, por lo que su probabilidad de escoger es de 42/300 = 14%. II. Verdadero. Son 96 Jefes de sección de un total de 300 personas, equivaliendo al 32%. Ignacio Díaz G
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III. Entre directivos y administrativos hay 45 personas de 300 (15%). Por lo tanto, la probabilidad de que ocurra el evento complementario es de un 85%. Verdadero. Pregunta 62. Clave: D. Tema: Repetición de eventos. Probabilidades. Solución: Al lanzar una moneda 3 veces, el espacio muestral es: Ω: {ccc,ccs,csc,scc,ssc,scs,css,sss} I. Verdadero. Son 4 casos de 1 caras o ninguna, versus 3 casos de que salga exactamente 1 sello. II. Falso. Son eventos equiprobables. III. Mismo caso que en I, Verdadero. Pregunta 63. Clave: C. Tema: Combinatoria básica. Solución: Existen dos configuraciones para sentar 4 mujeres consecutivas y 3 hombres consecutivos. MMMMHHH y HHHMMMM. Ahora, como cada elemento es una persona, el hecho de que se sienten de forma variada genera ver filas distintas. Por ejemplo, si se sientan Daniela, Valentina y Tamara en fila, no es lo mismo DVT que DTV o TVD. Como las 4 mujeres pueden permutarse en los 4 puestos (permutación; todos los elementos se combinan en una misma cantidad de espacios), y como los 3 hombres pueden combinarse en 3 sillas, el total de arreglos que se generará por configuración será 4! * 3! (cada arreglo de mujeres se combina con todos los arreglos de hombres, o viceversa). Ahora, como son dos configuraciones distintas, simplemente el total de maneras en que se pueden sentar en fila es de 3! * 4! * 2. Pregunta 64. Clave: A. Tema: Distribución normal. Solución: Si las tres distribuciones tienen la misma media, deben tener su cúspide en un mismo valor del eje x, lo cual sólo se evidencia en la opción A. Para verificar que tienen distintas varianzas, lo indica el ancho de campana. Mientras más “flaca” sea, implica que los datos tienen menos dispersión. Pregunta 65. Clave: B. Tema: Probabilidades en eventos no equiprobables. Solución: Del enunciado se infiere que P(cara) = 4/5 y P(sello) = 1/5. Ahora, el primer lanzamiento es independiente del otro, por lo que: P(Sello y sello) = 1/5 * 1/5 = 1/25. Pregunta 66 Clave: D. Tema: Probabilidad clásica. Ignacio Díaz G
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Solución: El sector 1 tiene un ángulo total de 180°, es decir, un 50% de la ruleta. Las áreas 2 y 3 tienen un 25% del área total de la ruleta. I. Verdadero. 50% = ½. II. Verdadero. 25% = ¼. III. Falso. Juntos consiguen un 50% de posibilidades = ½. Pregunta 67. Clave: C. Tema: Análisis de gráficos de barras. Solución: Por simple inspección: A) Falso. Tiene un total de 30 alumnos. B) Falso. 14 personas obtuvieron menos de 30 puntos (15, 20 o 25). C) Verdadero. 16 personas obtuvieron más de 25 puntos (30 o 35). La mitad de 30 es 15. D) Falso. 15 alumnos representan un 50% del curso. E) Falso. 15 ∗ 2 + 20 ∗ 8 + 25 ∗ 4 + 30 ∗ 10 + 35 ∗ 6 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = = 26,6666 … 30 Pregunta 68. Clave: D. Tema: Distribución normal. Solución: Al localizar un valor “a” en una función de distribución de área total 1 (probabilidad 1), si hacia la izquierda de “a”, la probabilidad es “m”, entonces el área de la derecha es la complementaria, es decir, que la probabilidad será de 1-m. Pregunta 69. Clave: E. Tema: Distribución normal. Solución: Una distribución normal de estilo N(0,1) significa que es de media cero, y desviación estándar 1. A la izquierda de cero, y a la derecha de cero, se tiene un 50% de área probabilística. I. Verdadero. II. Verdadero, son eventos complementarios, por lo que suman 1. III. Verdadero, ya que no contempla área bajo la curva. Pregunta 70. Clave: C. Tema: Distribución normal. Solución: Por efectos teóricos, un área delimitada por datos ubicados a dos desviaciones estándar respecto a la media, contiene un 95,4% de los datos, es decir, aproximadamente un 96%.
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Pregunta 71. Clave: D. Tema: Polígonos de frecuencia. Medidas de dispersión. Solución: Un polígono de frecuencia es un gráfico de puntos, que simplemente son unidos. I. El rango es la diferencia entre el mayor dato y el menor dato. Para este caso, el rango ocurre entre 28°C y 20°C, es decir, 8°C. Verdadero. II. Verdadero. El Lunes se registró la menor temperatura. III. El promedio de las temperaturas fue de 25°C. Falso. Pregunta 72. Clave: D. Tema: Estadística. Medidas de tendencia central. Solución: I. Falso. No se sabe el valor del dato. Podrían valer todos cero, pero no se puede saber. II. verdadero. Todos los datos son iguales, no hay dispersión respecto al promedio. III. La mediana es el mismo valor, al igual que la moda. Por ende, restan cero. Verdadero. Pregunta 73. Clave: D. Tema: Variable aleatoria. Solución: Se tienen 9 casos. S = {2,3,4,3,4,5,4,5,6} (sumas) A) Imposible, las probabilidades van de 0 a 1. B) Hay 8 casos de suma mayor o igual a 3, dando una probabilidad de 8/9. Falso. C) Hay 3 casos de suma menor o igual que 3, de 9 posibles. Probabilidad 3/9. Falso. D) hay 6 casos de suma mayor o igual que 4, es decir, un 2/3 de posibilidades. E) Falso. Hay 6 casos de 9. Probabilidad 2/9. Pregunta 74. Clave: B. Tema: Números pares e impares. Divisibilidad. Solución: Se debe verificar de alguna forma que n es par, para que pueda ser divisible por 2. (1) Insuficiente, ya que 2n/2 = n, y no se sabrá nada acerca de n. (2) Si 3n es par, obliga a que n sea par. Par * Impar = Par. Pregunta 75. Clave: A. Tema: Problemas básicos de planteo numéricos. Solución: (1) Sí es suficiente, al conocer la razón, se pueden amplificar/simplificar los factores, con tal de ingresarlos a la ecuación que dice acerca de la suma de 2 kg de manzanas y 1 kg de peras. (2) Insuficiente. No se sabe la distribución de calibres de manzanas, masas, ni se tiene información de las peras.
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Pregunta 76. Clave: D. Tema: Áreas y Perímetros. Solución: (1) Sí, con ello se podrá saber largo y ancho, y en consecuencia, su área. 2k + 3k = 10 (largo + ancho). (2) Sí, ya que largo y ancho suman 10 cm, y además el largo es función del ancho gracias a esta información proporcionada. Pregunta 77. Clave: C. Tema: Medidas de tendencia central. Solución: (1) Imposible. Sólo sería posible obtener uno de los sueldos. (2) imposible, ya que no se sabe nada acerca del sueldo “del medio”. (1 y 2) Si la mediana es igual al promedio, se conoce el dato central. Ahora, los sueldos extremos se pueden expresar con una sola variable, por lo que al calcular el promedio se podrán conocer. Pregunta 78. Clave: D. Tema: Triángulos. Congruencia. Perímetros. Solución: (1) Suficiente, ya que ambos triángulos vienen del trío pitagórico 8-15-17. Además, se obliga a que EC mida 7. (2) Suficiente, ya que conociéndose la longitud de CE, es posible conocer AB, y con ello, es posible calcular el perímetro pedido. Pregunta 79. Clave: B. Tema: Semejanza de Triángulos. Solución: (1) No es suficiente, falta una relación más, ya que el ángulo RQP no es fijo. (2) Sí. Criterio LLL. Pregunta 80. Clave: C. Tema: Álgebra. Restricciones y Valoración. Solución: Al ordenar se tiene que: 𝑦 𝑧 0 + 𝑥 = 𝑥2 𝑥 (1) Imposible, no se conoce el valor de x. (2) Imposible, no se conoce el valor de y. (1) y (2) Sí es posible, pues x será distinto de cero (restricción) y se conocerán x e y, por lo que se puede calcular z sin problemas.
Dudas, errores y similares, enviar mail a [email protected] o por cualquier medio. Ignacio Díaz G
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