ENTIDADES Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simp simpli lic car ar expr expres esio ione nes s que que tien tienen en incl incluid uidas as func funcio iones nes trig trigon onom omét étri rica cas, s, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están denidas denidas estas razones.La razones.Las s identidad identidades es trigonométr trigonométricas icas nos permiten permiten plan plante tear ar una una mism misma a expr expres esió ión n de difer iferen ente tes s form formas as.. Para ara simp simpli lic car ar expresione expresiones s algeraic algeraicas, as, usamos la factorizac factorización, ión, denominad denominadores ores comunes, comunes, etc. etc. Pero Pero para para simpli simplica carr expr expresi esione ones s trigo trigonom nométr étrica icas s utiliz utilizar aremo emos s estas estas técnicas en con!unto con las identidades trigonométricas.
"ntes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, deemos conocer algunos términos que usaremos astante en trigonometr#a, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se dene como la razón entre el cateto ad$acente $ la %ipotenusa& 'tra función que utilizaremos en trigonometr#a es (seno). *eniremos seno como la razón entre el cateto opuesto $ la %ipotenusa en un triángulo rectángulo& +ientra +ientras s tanto tanto la palar palara a tangente en mate matemá máti tica ca pued puede e que que teng tenga a dos dos signicados distintos. En geometr#a se utiliza el término de recta tangente, pero pero a noso nosotr tros os en trig trigon onom omet etr# r#a a nos nos inte intere resa sa otro otro térm términ ino o que que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto ad$acente al ángulo. Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ángulo en el cual el denominador no sea cero. Estas son identidades recírocas&
" partir de las re!aciones itag"ricas es posile encontrar otras identidades $ demostrar algunas identidades trigonométricas. +ediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos
calcular la medida de la %ipotenusa lado opuesto al ángulo recto- $ si conocemos la medida de la %ipotenusa $ la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, $ nos sirve para otener un lado o la %ipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes&
*e
acuerdo
al
teorema
de
pitágoras
&
"%ora veremos algunos e!emplos. omo primer e!emplo vericaremos la siguiente identidad&
'tendremos la solución utilizando las identidades rec#procas&
'servemos tamién el siguiente e!emplo, en el cual vericaremos otra identidad&
/u
solución
'tra de las identidades trigonométricas ser#a la de división&
&
Las siguientes identidades ser#an las de suma $ diferencia de dos ángulos& 0enemos tamién las identidades de suma $ diferencia del seno $ coseno de dos ángulos, aqu# las tenemos&
1dentidad trigonométrica de producto del seno $ el coseno de dos ángulos&
1dentidades trigonométricas de ángulo dole& 1dentidades trigonométricas de mitad de ángulo&
Por último oservaremos algunas otras identidades trigonométricas &
F#nciones Trigonométricas$ /i dividimos&
llamaremos a esta función&
Seno $
la por /ena-
denotaremos
Coseno $ la denotaremos por osa-
Tangente $
la
denotaremos por 0ana-
Cotangente $
la
denotaremos por ota-
Secante $ la denotaremos por /eca-
Cosecante $
la
denotaremos por sca2'0"& Las funciones /eno $ osecante son inversas. 0amién son inversas las funciones oseno $ /ecante. 3inalmente son inversas las funciones 0angente con otangente.
FORMU%AS IM&ORTANTES DE %A TRIGONOMETRIA Seno
Coseno
Tangente
Cosecante
Secante
Cotangente
Identidades trigonométricas '#ndamenta!es sen4 5 6 cos4 5 7 8 sec4 5 7 8 6 tg4 5 cosec4 5 7 8 6 cotg4 5
FORMU%A GEOMETRICA DE$ &ARA(O%A La ec#aci"n de la ar)*o!a depende de si el e!e es vertical u %orizontal. /i el e!e es vertical, la y será la variale dependiente. /i el e!e es %orizontal, será x la variale dependiente. E!e vertical
La ec#aci"n de la paráola a partir del vértice siendo el e+e ,ertica! es&
La ec#aci"n genera! de !a ar)*o!a con el e+e ,ertica! es la siguiente&
El parámetro a indica lo (aierta) que es la paráola. /i el parámetro a es positivo, el vértice será el m#nimo de la paráola. /i a es negativo, será el máximo.
E!e %orizontal
La ec#aci"n de la paráola a partir del vértice siendo el e+e -ori.onta! es&
La ec#aci"n genera! de !a ar)*o!a con el e+e -ori.onta! es la siguiente&
El parámetro a indica lo (aierta) que es la ar)*o!a.
CIRCUNFERENCIA /i conocemos el centro $ el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuación ordinaria, $ si operamos los cuadrados, otenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia, as#&
Demostración:
E%I&SE 0omamos como centro de la elipse el centro de coordenadas $ los e!es de la elipse como e!es de coordenadas. Las coordenadas de los focos son&
F/01c234 5 F0c234 ualquier punto de la elipse cumple&
Esta expresión da lugar a& 9ealizando las operaciones llegamos a&
6I&ER(O%A /e llama ecuación reducida a la ecuación de la %ipérola cu$os e!es coinciden con los e!es coordenadas, $, por tanto, el centro de %ipérola con el origen de coordenadas.
/i el e!e real está en el e!e de ascisas las coordenadas de los focos son&
F/01c234 5 F0c234
ualquier punto de la %ipérola cumple& Esta expresión da lugar a&
9ealizando las operaciones $ saiendo que llegamos a&
, $ c: class7:i: ;<,
