CAPITULO VI ENTROPIA 6.0 6.1 6.2 6.3 6.4 6.4.1 6.4.2 6.4.3 6.4.4 6.5 6.6 6.7 6.7.1 6.7.2 6.8 6.8.1 6.8.2 6.9 6.10 6.11 6.12 6.12.1 6.12.2 6.13 6.13.1 6.13.2 6.13.3 6.13.4 6.14.4 6.15
Introducción Objetivos Desigualdad de Clausius y entropía Definición de Entropía Generación de entropía para sistemas cerrados Desarrollo del balance de entropía Formas de balance de entropía para un sistema cerrado Balance de entropía para volumen de control Análisis de volumen volumen de control en estado estacionario estacionario Principio del incremento de entropía del universo Variación de entropía de una fuente térmica Representación en forma gráfica y de tablas de los datos de entropía
El diagrama Temperatura – Entropía El diagrama Entalpía – Entropía Las ecuaciones T.ds Variación de entropía de un gas ideal Variación de entropía de una sustancia incompresible
Aplicaciones del balance de entropía para un volumen de control FEES
Expresión del trabajo Mecánico en régimen estacionario APLICACIONES DE ENTROPÍA Procesos isoentrópicos isoentrópicos Isoentropía de gas ideal Relaciones Relaciones de isoentropía para sustancias incompresibles Rendimiento adiabático de dispositivos en régimen estacionario Eficiencia isoentrópica de una turbina Eficiencia isoentrópica de una tobera Eficiencia isoentrópica de un compresor Rendimiento adiabático de una bomba El ciclo de Carnot Resumen Práctica dirigida Problemas domiciliarios
2 2 2 5 6 6 7 7 7 8 10 12 12 13 14 15 16 16 21 23 25 26 26 26 28 32 35 39 41 43
1
INTRODUCCIÓN En el capítulo 6 se introdujo al estudio de la segunda ley de la termodinámica y sus aplicaciones en ciclos y dispositivos cíclicos. En este capítulo se verán aplicaciones aplicaciones de la segunda ley a procesos. procesos. La primera ley de la termodinámica termodinámica trata con la propiedad energía y la conservación de ella; mientras que la segunda define una nueva propiedad llamada entropía. La entropía así como la energía son conceptos abstractos creados por el hombre para facilitar la descripción de ciertos fenómenos observados. Cada estado termodinámico tiene una entropía definida y su valor no depende de la trayectoria seguida para alcanzar dicho estado. El capítulo empieza con una exposición acerca de la desigualdad de Clausius, un concepto fundamental para definir entropía, y continúa con el principio de incremento de entropía. A diferencia de la energía, la entropía es una propiedad que no se conserva, por lo tanto, la conservación de entropía no existe. Luego se exponen y examinan los cambios de entropía durante los procesos para las sustancias puras, las incompresibles, los gases ideales y se examina una clase especial de procesos idealizados idealizados llamados isoentrópicos. Después se estudia el trabajo de f lujo estacionario reversible y las eficiencias isoentrópicas de varios dispositivos de ingeniería como turbinas y compresores. Finalmente, el balance de entropía se introduce y aplica a varios sistemas. La Segunda Ley es muy útil para calcular interacciones (de calor y trabajo) en procesos internamente reversibles. reversibles. Los procesos reales se analizan por comparación con los reversibles, introduciendo unos parámetros llamados rendimiento o eficiencia . La Segunda Ley permite también analizar si un proceso es posible o no, y si lo es, si es reversible o no.
6.1 OBJETIVOS - Introducir a la entropía como herramienta analítica - Establecer el principio de incremento de entropía - Aplicar el balance de entropía para varios sistemas - Aplicar los conceptos de entropía a procesos Isoentrópicos - Ampliar conocimiento sobre compresores
6.2 DESIGUALDAD DE CLAUSIUS Y ENTROPIA En el capítulo anterior vimos la segunda ley aplicada a ciclos. La finalidad de este apartado es desarrollar la propiedad llamada entropía para procesos, con el objetivo de mostrar que los procesos pueden mejorarse ú optimizarse. optimizarse. La entropía es la magnitud de estado calorífico o una medida (o factor) de transformación de la energía calorífica en mecánica y viceversa que surge como postulado de la segunda ley de la termodinámica. En forma física se podría decir que la entropía es una medida del desorden molecular; a mayor temperatura aumenta el desorden molecular, aumenta su entropía. La entropía así como la energía son conceptos abstractos creados por el hombre para facilitar la descripción descripción de ciertos fenómenos observados. Como para un ciclo ® Carnot dice que:
2
INTRODUCCIÓN En el capítulo 6 se introdujo al estudio de la segunda ley de la termodinámica y sus aplicaciones en ciclos y dispositivos cíclicos. En este capítulo se verán aplicaciones aplicaciones de la segunda ley a procesos. procesos. La primera ley de la termodinámica termodinámica trata con la propiedad energía y la conservación de ella; mientras que la segunda define una nueva propiedad llamada entropía. La entropía así como la energía son conceptos abstractos creados por el hombre para facilitar la descripción de ciertos fenómenos observados. Cada estado termodinámico tiene una entropía definida y su valor no depende de la trayectoria seguida para alcanzar dicho estado. El capítulo empieza con una exposición acerca de la desigualdad de Clausius, un concepto fundamental para definir entropía, y continúa con el principio de incremento de entropía. A diferencia de la energía, la entropía es una propiedad que no se conserva, por lo tanto, la conservación de entropía no existe. Luego se exponen y examinan los cambios de entropía durante los procesos para las sustancias puras, las incompresibles, los gases ideales y se examina una clase especial de procesos idealizados idealizados llamados isoentrópicos. Después se estudia el trabajo de f lujo estacionario reversible y las eficiencias isoentrópicas de varios dispositivos de ingeniería como turbinas y compresores. Finalmente, el balance de entropía se introduce y aplica a varios sistemas. La Segunda Ley es muy útil para calcular interacciones (de calor y trabajo) en procesos internamente reversibles. reversibles. Los procesos reales se analizan por comparación con los reversibles, introduciendo unos parámetros llamados rendimiento o eficiencia . La Segunda Ley permite también analizar si un proceso es posible o no, y si lo es, si es reversible o no.
6.1 OBJETIVOS - Introducir a la entropía como herramienta analítica - Establecer el principio de incremento de entropía - Aplicar el balance de entropía para varios sistemas - Aplicar los conceptos de entropía a procesos Isoentrópicos - Ampliar conocimiento sobre compresores
6.2 DESIGUALDAD DE CLAUSIUS Y ENTROPIA En el capítulo anterior vimos la segunda ley aplicada a ciclos. La finalidad de este apartado es desarrollar la propiedad llamada entropía para procesos, con el objetivo de mostrar que los procesos pueden mejorarse ú optimizarse. optimizarse. La entropía es la magnitud de estado calorífico o una medida (o factor) de transformación de la energía calorífica en mecánica y viceversa que surge como postulado de la segunda ley de la termodinámica. En forma física se podría decir que la entropía es una medida del desorden molecular; a mayor temperatura aumenta el desorden molecular, aumenta su entropía. La entropía así como la energía son conceptos abstractos creados por el hombre para facilitar la descripción descripción de ciertos fenómenos observados. Como para un ciclo ® Carnot dice que:
2
Q A T A , Q B T B
Y puede ser cambiado de positivo a negativo (máquina térmica ó ciclo invertido), la ecuación independiente del sentido es: Q A T A
Q B T B
,
Ordenando tenemos: Q A T A
Q B T B
0
ó
Qi
T
0 , para infinitos infinitos procesos procesos reversibles. reversibles.
i
La desigualdad de Clausius establece que:
Q T f 0
(6.1)
Para sistema cerrado
Donde δQ sigue el convenio estándar de signos en sistemas cerrados. Por
consiguiente Clausius indica que en un proceso cíclico, la suma de todos los términos δQ/T en la frontera del sistema será siempre menor ó igual a cero. Si es igual a cero el
proceso es Reversible ®, si es menor a cero el proceso es irreversible (I). Es aplicado a ciclos de potencia ó invertidos, reversibles reversibles e irreversibles irreversibles
Ejemplo 6.1 Para un ciclo Rankine que usa vapor . A partir de los datos y figura, verifique la desigualdad de Clausius, Estado
p,bar T 0C x
1 2 10 0.1 179.91 45.81 1 0.9
3 4 0.1 10 4581 46 0
Solución Datos: Ciclo Rankine, con datos mostrados Incógnitas: Verificar desigualdad de Clausius Modelo: ciclo FEES Metodología: Aplicar desigualdad de Clausius Análisis: Como los procesos 1-2 y 3-4 son adiabáticos,
3
dq
T
dq4 1
dq2 3
T
T
Pero
dq41 T
T T
1 4
CpdT T
h fg T 1
Según la tabla, h fg =2015.3 kJ/kg, a una presión de 10 bar. Sustituyendo valores
dq 4 1
dq 23
T
T
4,18 ln(
452 ,91 319
h3 h2
T
)
2015 ,3 452 ,91
5,92
KJ k gK
Además
x 2 h fg T 2
Según la tabla, hf9 = 2392.8 kJ/kg a una presión de 0,1 bar. Sustituyendo valores,
En consecuencia,
dq
T
dq23 (0.9)(2392.8) 6.75 k J / k g K T 318.81
5.92 6.75 0.83 k J / k g K 0
Comentario: como la desigualdad es menor a cero se confirma que es un ciclo irreversible, irreversible, si fuera mayor a cero, sería imposible. Ejemplo 6.2 Considere el ciclo Otto ó un motor de combustión interna con un gas ideal, con calores específicos constantes que realiza el siguiente ciclo termodinámico: compresión adiabática reversible desde v 1 hasta v2, adición de calor a volumen constante desde el estado 2 hasta el estado 3, expansión adiabática reversible desde v3 =v2 hasta v4 =v1 y enfriamiento a volumen constante hasta alcanzar el estado original, ver diagrama: Se pide verificar la desigualdad de Clausius
Solución Datos: Ciclo Otto Incógnitas: verificar Clausius Modelo: ciclo reversible Otto Metodología: Usar desigualdad de CLausius Análisis: Puesto que los procesos 1 —2 y 3—4 son adiabáticos reversibles, q
T
q 23 T
q 41 T
3
Cv
dT
2
T
1
Cv 4
dT T
T T Cv ln 3 Cv ln 1 T 2 T 4 T T Cv ln 3 1 T 2T 4 Pero
v 1 T 1 v2
T 2
k 1
v 4 v3
k 1
T 3 T 4
Esto es, T 3T 1=T 2 2T 4
En consecuencia,
4
dq
T
0
Conclusiones: Podemos verificar que para un ciclo R cumple la desigualdad de Clausius
6.3. DEFINICIÓN DE ENTROPÍA Acabamos de obtener la desigualdad desigualdad de Clausius, que para ciclos reversibles es una igualdad. Recordemos que una propiedad es una función de punto, independiente de la trayectoria. Ahora supongamos supongamos un ciclo que que va de 1 por A y retorna por C o el ciclo de 1 por B y retorna por C. Ver fig. 6.1, se cumplirá lo siguiente:
Q
T 2
Q
1 B
T
2
Q
1 A
T
1
2 C
1
2 C Q
T
Q
T
...( 1)
...( 2)
Igualando (1) y (2) , se llega a:
2 Q 2 Q T T 1 A 1 B
Fig. 6.1 Diagrama T-s para mostrar propiedad entropía, entre estado 1 y 2.
Que es independiente del proceso, es una función de estado. Es decir es una propiedad extensiva, representada por "S" como propiedad, cambio vendrá dado por:
dS
Qint .rev T
Ó
2 Q S 2 S 1 1 T int rev
su
(Para sistema cerrado) (6.2)
Donde δQ/T es una diferencial exacta de una cierta función que representamos en lo
sucesivo con "S" llamado entropía, que el significado literal es girar o evolucionar: Las unidades de entropía son, para S KJ/K y para s : KJ/kg K. Los valores están tabulados para LC, VSC y mezcla, donde s= s f +sfg El valor de la entropía en cualquier estado:
5
y Q S y S x T Int x rev
Donde: Sx es el valor especificado para la entropía en el estado de referencia. Observe que el calor para un sistema cerrado es: Q= T.ΔS o de
otra manera: Donde el calor transferido está representado por el área T .dS bajo la trayectoria de un diagrama T-s. s 2
Qint .rev Qint .rev
s1
Fig. 6.2 Proceso de 1 a 2 en diagrama T-s: el calor es el área bajo la curva, además recuerda que el calor no es una propiedad, pues es función de la trayectoria.
6.4 GENERACIÓN DE ENTROPIA PARA SISTEMAS CERRADOS De la desigualdad de Clausius eliminando la desigualdad y remplazando por σ (generación de entropía) y pasando al otro término tenemos:
Q T f ciclo Donde:
= 0 > 0 < 0
(6.3)
No se presentan irreversibilidades internas. Se presentan Irreversibilidades Internas. Imposible.
6.4.1 DESARROLLO DEL BALANCE DE ENTROPÍA Sea un ciclo formado por un proceso de 1 a 2 y un proceso internamente reversible de 2 a 1, de la ecuación 6.3 tenemos:
2
1
1 Q Q 2 T f T Int rev
Fig. 6.3 Diagrama para mostrar el balance de entropía
6
2
S 2 S 1 Cambio de Entropía
Q T f 1
Transferencia de Entropía
(6.4)
Generación de Entropía
6.4.2 FORMAS DE BALANCE DE ENTROPIA PARA UN SISTEMA CERRADO El balance de entropía puede ser expresado en varias formas, de modo que cada una de ellas resulte más conveniente para algún tipo de análisis. S 2 S 1
Qj
Tj j
De tal forma quedará expresado de la siguiente manera:
dS Q dt T f
Q dS T f
(6.5)
6.4.3 BALANCE DE ENTROPIA PARA VOLUMENES DE CONTROL Vimos el balance de entropía para sistemas, para volumen de control debe incluir el transporte de entropía que acompaña a la masa. En el desarrollo se procederá argumentando que, al igual que la masa y energía, la entropía es una propiedad extensiva, por lo cual también es transferida hacia o desde un volumen de control mediante los flujos de materia. Se desarrolla tomando la analogía de la primera ley de VC como sigue: .
dSvc (6.6) dt
Velocidad De cambio De entropía
Q j Tj
m . s m .s e
s
e
s
.
vc
Velocidades de transferencia De entropía
Velocidad De generación De entropía
6.4.4 ANALISIS DE VOLUMENES DE CONTROL EN ESTADO ESTACIONARIO Generalmente necesitaremos plantear ordenadamente la conservación de masa, energía y balance de entropía para FEES, por ello recordemos:
mi m s
i
s
7
De conservación de masa Se sabe: De primera ley ó conservación de energía sabemos que:
V 2 V 2 vc 0 Qvc W m h gz m h gz i 2 s 2
El balance de entropía por unidad de tiempo:
0
j
j Q Tj
m . s m . s i
i
s
s
vc
6.5 PRINCIPIO DEL INCREMENTO DE ENTROPIA DEL UNIVERSO Consiste en evaluar el cambio total de entropía de un sistema y su medio exterior (sus alrededores) cuando el sistema se sujeta a un cambio de estado. El sistema más sus alrededores constituyen lo que se llama el universo, en consecuencia, decir cambio total de entropía es lo mismo que el cambio de entropía del universo.
dS(Univ) = dS(vc) + dS(alrededores)
Por ello:
Consideremos un ciclo formado por dos procesos: el proceso 1-2 que puede ser ® ó (I) y el proceso 2-1 que es internamente reversible, como se ve en el esquema. De Clausius 2
Q
T
Q
T
2
0 1
Q T
1
2 2
S 1 S 2 0 S 2 S 1
1
Q
1
T
Q T
0 Int . Re v
ó
dS
Q T
Indica que hay incremento de entropía
dS sist
dQ T
dS alrededor
En consecuencia:
S univ S sist S alrede 0 S
univ =
dQ To
1 1 0 T To
(6.7)
0, si el proceso es reversible.
8
S
univ >
0, si el proceso es irreversible.
Ejemplo 6.3 En un intercambiador de calor se enfría 50 g/s de monóxido de carbono (CO) desde 150 hasta 100 0C, mientras la presión se mantiene constante en 1 bar. Determine el cambio de entropía por unidad de masa que experimenta el gas al pasar por el intercambiador de calor. Solución Datos: Un IC, enfría desde 150ºC hasta 100ºC, a 1 bar Incógnitas: determinar el cambio de entropía del gas Modelo: Intercambiador FEES Metodología: Aplicar primera ley y segunda ley Análisis: El cambio de entropía depende sólo de las condiciones de entrada y salida del IC, se considerará una trayectoria isobárica reversible para calcular el cambio de S, entonces de primera ley se tiene: dq dh c p dT
Luego,
s
dq T
p c
T 373 c p ln 2 (1) ln 0.13 kJ / kg K T 423 1 Comentarios: En este caso disminuye la entropía del monóxido de carbono, ya que el sistema cede calor hacia los alrededores. Si el enfriamiento se hubiera llevado acabo en un Sistema cerrado entre los mismos estados inicial y f inal, la diferencia Δs hubiera
sido la misma, puesto que las propiedades se evalúan por medio de un observador que viaja con el fluido y cada masa unitaria es para éste un sistema cerrado.
Ejemplo 6.4 En un recipiente rígido y aislado que tiene 1 dm 3 de volumen hay cierta cantidad de aire a una presión de 3 bar y a una temperatura de 25ºC. Mediante una válvula que conecta este recipiente con otro de igual tamaño, también aislado, pero al vacío, se hace fluir el aire de tal manera que ambos recipientes queden llenos de él. Determine el cambio de entropía a) del aire, b) de los alrededores y c) del Universo. Solución Datos: Recipiente rígido con aire a 3 bar, 25ºC Incógnitas: a) cambio de entropía del aire, b) alrededores c) universo Modelo: sistema aislado Metodología: Aplicar conservación de energía y entropía Análisis: Analizando el sistema compuesto por los dos recipientes. Q W U 0
Es decir.
U 2 U 1 Además,
T 2 T 1
Dado que este proceso de expansión es irreversible, se seleccionará a continuación una trayectoria isotérmica reversible que conecte los estados inicial y final del proceso con el fin de calcular el cambio de entropía del aire.
9
dQ dW 0
Y a su vez, dQ=-(-p dV)
En consecuencia,
S
dQ T
T C
p dV T
mRdV
V
V 2 m R ln V 1
P 1V 1 T 1
V 2 V 1
ln
(3 x10 5 )(1 x10 3 )
298 0.698 J / K
ln (2)
Este resultado comprueba que el proceso de expansión es irreversible, pues al estar el sistema aislado
S alrededores 0 Por lo que el cambio de entropía del universo será,
S universo 0.698 Comentarios: Los alrededores no cambian de entropía por ser sistema aislado, en cambio la entropía total o del universo si cambia por ser el proceso irreversible
6.6 VARIACIÓN DE ENTROPIA DE UNA FUENTE TÉRMICA Una aplicación importante de la variación de entropía es aplicada a una fuente de temperatura constante, que experimenta cambios internamente reversibles, al intercambiar calor con otros sistemas. En este caso al integrar ds tenemos: Q Q S F F T int, rev T F
(6.8)
y la producción de entropía para la transferencia de calor entre dos fuentes A y B (vea región de transferencia de calor) será:
S mc j
Q j T j
Q Q 0 Q T T FB FA
(6.9)
El potencial de trabajo ó capacidad de producir trabajo de una fuente A será:
W Pot Q. Carnot Q1
T 0
T FA
(6.10)
10
Puede haber una pérdida de trabajo potencial asociada a la transferencia de calor sin producir trabajo, el trabajo que se pierde entre dos fuentes A y B será el trabajo potencial de A menos el trabajo potencial de B: 1
W per ,Q T 0 Q
T FB
1
T FA
ó I T o
(6.11)
Fig. 6.4 Esquema que muestra el calor transferido entre dos fuentes y la pérdida de potencial de trabajo asociada al calor transferido.
EJEMPLO 6.5 Se dispone de una energía de 5000 Kj. a partir de una fuente térmica de a 900 K. La temperatura del ambiente es de 280 K. Esta energía se transfiere en forma de calor desde la fuente térmica a 900 K. a otra fuente térmica de 500 K. determínese: a) La variación de entropía de cada una de las fuentes térmicas en Kj/K. b) La producción de entropía en la región de transferencia de calor en Kj/K. c) El tanto por ciento en que se reduce el potencial de trabajo a la cantidad de calor dada, debido a su transferencia a la fuente de 500 K.
SOLUCIÓN: DATOS: SE MUESTRA EN EL ESQUEMA , DOS FUENTES TÉRMICAS . Análisis a) Para la fuente térmica A la variación de la entropía con el tiempo resulta: dsa dt dsa
dt
Qa Ta 500 KJ
900 K
0.55 KJ / K
Para la Fuente Térmica B resulta: dsb dt
Qb Tb
;
dsa dt
500 KJ 500 K
1 KJ / K
11
b) La producción de entropía por unidad de tiempo para el sistema combinado es la suma de producción de entropía por unidad de tiempo en los tres subsistemas. La producción de entropía en el interior de una fuente térmica es 0. Entonces tenemos: 0 = Qsum - Qced
Y
0
Qced
Qsum Ta
Qced Tb
pero como: Qsum =
Tenemos: 1 1 Ta Tb
Qsum
1 1 900 500
500 KJ
0.44 Kj / K
c) Hallamos la potencia de trabajo, La ecuación de la pérdida de trabajo debido a la transferencia irreversible del calor es: 1 1 Tb Ta
Wper To Q
1 1 500 K 900
Wper 280K 500KJ
Wper 124.4 KJ
Entonces:
500 KJ ---- 100% 124.4 KJ ---- X% X = 24.88 %
6.7 RESENTACIÓN EN FORMA GRAFICA Y DE TABLAS DE LOS DATOS DE ENTROPIA Cuando se incluye el análisis según la segunda ley, la utilización de diagramas que utilizan la entropía como una de las coordenadas constituye una ayuda con mucha visualización. Los diagramas temperatura – entropía y entalpía – entropía resultan extremadamente útiles por dos razones. La primera es que pueden proporcionar una idea cualitativa sobre un proceso sin necesidad de una cantidad grande de información. La segunda es que los diagramas T-s y h-s también se podrán utilizar para obtener la información cuantitativa que pudieran proporcionar. Pueden llevar mejor ayuda que otras coordenadas como P-v, porque visualizan adecuadamente los procesos y ciclos.
6.7.1 EL DIAGRAMA TEMPERATURA – ENTROPÍA Para representar un diagrama T-s a fin de obtener simplemente la información cualitativa que proporciona, son importantes las características generales de las líneas
12
que representan los procesos en este diagrama con respecto a la línea de saturación líquido – vapor. La Fig. 6.5 ilustra un diagrama T-s
Fig. 6.5 Diagrama T-s (Fuente: Campus Tecnológico De La Universidad De Navarra)
6.7.2 EL DIAGRAMA ENTALPIA – ENTROPÍA Las coordenadas de un diagrama h-s (diagrama de Mollier) representan las dos propiedades más importantes en el análisis de los volúmenes de control con la primera y la segunda ley. El diagrama h-s es muy importante porque en los procesos adiabáticos FEES, una distancia vertical Δh entre dos estados está relacionado con el trabajo y/o ΔEC como es en turbinas, compresores , bombas, ventiladores, toberas, etc. La distancia horizontal Δs entre dos estados es la medida del grado de
irreversibilidad.
13
Fig. 6.6 Diagrama h-s (Fuente: Campus Tecnológico De La Universidad De Navarra)
6.8 LAS ECUACIONES T.ds. En este apartado, desarrollaremos las ecuaciones necesarias para evaluar la variación de entropía. Considerando una sustancia pura, simple y compresible que desarrolla un proceso internamente reversible en un sistema tenemos:
p.dV . W Int rev
Q dU W
Int rev
Int rev
Q T Int rev
dS
Sustituyendo las tres ecuaciones anteriores tenemos:
T .dS dU p.dV Utilizando la relación: H = U + P*V
se obtiene:
T .dS dH V .dp
Considerando como base la unidad de masa:
T .ds du p.dv
T .ds dh v.dp
(6.12)
Estas dos ecuaciones generalmente se aplican a sistemas homogéneos sin reacciones químicas, que permiten obtener valores de variación de entropía específica válidos incluso si el proceso es internamente irreversible, esto porque la entropía es una propiedad que no depende del proceso solo de los estados inicial y final. Estas ecuaciones pueden escribirse:
ds
du T
Pdv T
ó ds
dh T
v.dP T
(6.13)
14
6.8.1 VARIACIÓN DE ENTROPÍA DE UN GAS IDEAL A la hora de aplicar la segunda ley a un proceso de un gas ideal es útil en cualquier análisis dibujar un esquema del proceso de un diagrama T- s. La Fig. 6.6 ilustra la posición genérica de las líneas de presión y de volumen específico constante en el diagrama en la zona de gas ideal. Adviértase de nuevo que, en la región gaseosa, las líneas de volumen especifico constante poseen una pendiente ligeramente mayor que las líneas de presión constante.
Fig. 6.7 Representación de las líneas de presión y de volumen específico constante en un diagrama T-s para un gas ideal.
Usando las ecuaciones 5.18 ó 5.19 para la variación de entropía de un gas ideal, tenemos:
Cp Cv R dT c s R ln v T v 2
v
2
1
Cv m ln
1
T 2 T 1
R ln
V 2 V 1
(6.14)
s
2
1
c
p
dT
T (6.15)
R ln P 2
P 1
Cp m ln
T 2 T 1
R ln
P 2 P 1
Donde Cvm y Cpm son los valores medios de Cv y Cp entre el intervalo de temperaturas Se puede usar datos integrados de tablas
s 2 s1 s 2o s1o R ln
P 2 P 1
ó en base molar con (-) en cada término
(6.16)
15
6.8.2 VARIACIÓN DE ENTROPÍA DE UNA SUSTANCIA INCOMPRESIBLE Partiendo de la primera de las ecuaciones Tds, se tiene que la ecuación general para la variación de entropía de una sustancia simple compresible cualquiera es:
ds
du Pdv T T
Una sustancia incompresible se define como una sustancia de volumen especifico constante. Como en este caso dv es cero, la ecuación anterior queda reducida a:
du T
ds
(6.17)
Además, recuerde que la energía interna de una sustancia incompresible viene dada por:
du cv dT Empleando las relaciones anteriores para una sustancia incompresible se obtiene que la variación de entropía de una sustancia incompresible viene dada por:
s
2
1
cdT T
C m ln
T 2 T 1
(6.18)
Donde Cm como valor medio (promedio) entre las temperaturas
6.9 APLICACIONES DEL BALANCE DE ENTROPÍA PARA UN VOLUMEN DE CONTROL FEES .
Cuando evaluamos
Q j
T
, en la ecuación de balance de entropía, como
j
T j no se conoce en todas las partes del VC, esta dificultad se puede evitar si tomamos una frontera constante (pared) con fluido en el interior, vea fig. 6.7 (a). otra forma se da en la Fig.6.7 (b), que muestra un volumen de control ampliado con transferencia de calor a través de la pared del equipo y una fina capa de aire exterior a la pared (a menudo se la denomina capa límite del fluido). La línea de trazos señala la frontera de un volumen de control ampliado que contiene tanto el volumen por el que circula el fluido como la región en la que tiene lugar la transferencia de calor. En muchas situaciones, esta región de transferencia de calor puede rodear por completo a la superficie de control a 16
través de la cual no se está transfiriendo masa.
(a)
(b)
Fig. 6.8 (a) esquema para contabilizar de manera general la entropía en un volumen de control (b) VC ampliado incluye la región de TC
Aplicando el balance general de entropía tenemos la ecuación vista antes .
dSvc dt
Q j Tj
m . s e
.
e
m e .s s vc
Esta ecuación es válida tanto para sistema como para volumen de control, y es el punto de partida para la mayoría de análisis con entropía, considerando FEES, es decir el término de la izquierda es cero. EJEMPLO 6.6 Se comprime vapor de H 2O a 1.0 bar y 100 oC en régimen estacionario y sale a 10.0 bar y 200 oC. Se ha medido el trabajo de entrada y es igual a 400 Kj/Kg, siendo despreciables las variaciones de energía cinética y potencial. La temperatura del ambiente es igual a 27 oC. Determínese: a) La magnitud y sentido del calor transferido en Kj/Kg. b) La variación de entropía del fluido al atravesar el compresor en Kj/Kg-k. c) La generación de entropía en el proceso global en Kj/Kg-K.
Solución: Datos: ver esquema
17
Algunas conversiones
200oC = 473 K 100oC = 373 K 27oC = 300 K
Análisis: a) Se puede calcular el calor transferido a partir del balance de energía aplicado al compresor. Si se modela el compresor como un volumen de control en régimen estacionario con una entrada y una salida: 0 Q W m1 h Ec Ep m2 h Ec Ep
Dividiendo el balance de energía entre m y teniendo en cuenta que Ec Ep son despreciables se obtiene: 0 q w h q h w ... (I)
De Tablas tenemos: -Para el punto de entrada: P=1 bar T=100 oC VSC, Tsat=99.63 oC h=2676.2 KJ/Kg s=7.3614 KJ/Kg-K
Para el punto de salida P=10 bar T=200 oC VSC, Tsat=179.9 oC h=2827.9 KJ/Kg s=6.6940 KJ/Kg-K
De donde obtenemos: h = h2-h1 = 2827.9-2676.2 h = 151.7 KJ/Kg
Reemplazando en (I) q = 151.7 KJ/Kg – 400 KJ/Kg q = -298.3 KJ/Kg b) S = ? S = S2 - S1 S = (6.6940-7.3614) KJ/Kg-K S = -0.6674 KJ/Kg-K
18
c) la generación de entropía se obtiene aplicando el balance de entropía al VC y simplificando: S2 - S1
q
- 0.6674 KJ/Kg - k
Tamb
298 .3 KJ / KG
300 K
0.32 KJ/Kg - K
EJEMPLO 6.7 Por una de las entradas de una cámara adiabática de mezcla que trabaja a 800 kpa entra vapor de agua con una calidad de 90 %. Por la segunda entra agua a 30 ºC. La temperatura a la salida es de 150 ºC y el flujo másico es igual a 2 kg/s. Determínese la producción de entropía en el proceso de mezcla por unidad de tiempo, en kj/ºK s. Solución Datos: Cámara adiabática de mezcla, a 800KPa Incógnitas: Producción de entropía por unidad de tiempo Modelo: FEES Metodología: Conservación de energía y segunda ley
Propiedades: Estado 1: P1=800KPa, X1= 90% => h1=721,11+0,9(2048,0) = 2564,31 s1= 2,0462+0,9(6,6628-2,0462 = 6,20114 Estado 2: P2 = 800 KPa, T2= 30ºC, => h2= 125,79 , s2= 0,4369 Estado 3: h3 = 632,2 , s3= 1,8418 · ·
·
m1 m2 2kg / s
·
m1 2 m2
· ·
·
·
m1 h1 m 2 h2 (m1 m 2 )h2 2h3 ·
·
(2 m 2 )h1 m 2 h2 2h3 ·
m2
2(h3 h1 ) h2 h1
·
m1 0,41534
·
m2 (h2 h1 ) 2h3 2h1
2(632,2 2564,31) 125,79 2564,31
1,5847
kg s
kg s
Del balance de entropía para VC. · ·
·
·
VC m 3 s 3 m2 s 2 m1 s1 2 x1,8418 1,5847 x 0,4369 0,41534 x 6,20114
0,41566
KJ K . s
19
Comentario: como la generación de entropía es mayor a cero, el proceso es irreversible, como se supone en un proceso de mezclado. Ejemplo 6.8 En una turbina que funciona en régimen estacionario se expande dióxido de carbono desde 0.9 MPa. hasta 0.1 MPa. La temperatura inicial es de 587 oC y el proceso de expansión obedece a la ecuación PV 2 = 0.0294 MPa-m6/Kg2. a) Si el proceso se realiza sin fricción, determínese el trabajo en eje en Kj/Kg. b) Determínese la temperatura final para el gas ideal en grados Celsius. c) Empleando la Tabla A.9, determínese la magnitud y sentido del calor transferido en Kj/Kg. d) Hágase un esquema del camino del proceso en un diagrama PV y señálese el área que representa el trabajo. Solución Datos: en el esquema
Algunas conversiones: 587 oC = 860 K
Análisis: a) Hallamos el trabajo en el eje W W
nR(T 2 T 1) n 1
20.18892287 860
2 1 W 261.5 KJ / Kg
b) Determinamos la Temperatura Final n 1
P 2 n T 1 P 1 T 2 286.6 K T 2
P 2 T 2 T 1 P 1
1/ 2
entonces
0.9 T 2 860 0.1
1/ 2
T 2 14 o C
c) El calor transferido se calcula a partir del balance de energía en régimen estacionario aplicado al volumen de control ó q h 2 h1 w ... (I) 0 q w h1 h2 De Tablas * En el punto 1
20
T = 860 K h = 35296 KJ/Kmol * En el punto 2 T = 287 K Interpolando: T 280 287 290
h 8697 X 9063
280 287 8697 X 280 290 8697 9063 X 8753.2 KJ / Kmol
Reemplazando en (I) q 8753 .2 35296 217 q
26542 .8 Kj / Kmol 44 .01 Kmol / kg
q 382 KJ / Kg
217 Kj / Kg
6.10 EXPRESIÓN DEL TRABAJO MECANICO EN REGIMEN ESTACIONARIO Al igual que se hizo para un sistema cerrado, es posible examinar la relación existente entre el trabajo internamente reversible y el trabajo real en un proceso en régimen estacionario. Juntando la primera ley y segunda ley en régimen estacionario podemos llegar a una ecuación para trabajo estacionario. 2
w
est .rev
2
vdP 1
2
V 2 V 1 2
g ( z 2 z 1)
(6.19)
Es preciso otro comentario con respecto a la ecuación: Para una variación dada la presión en un dispositivo de flujo estacionario que da o requiere trabajo, la cantidad de trabajo reversible se ve considerablemente afectada por el volumen específico del fluido. De ahí que generalmente de las corrientes gaseosas se obtenga mucho más trabajo que de las corrientes de líquidos, además, cuanto menor es el volumen específico, menor es el trabajo que necesita. Por tanto las bombas que trabajan con líquidos necesitan mucho menos trabajo reversible que los compresores de gases. Despreciando la EC y EP podemos observar que la ecuación 6.19 el trabajo FEES es el área contra P en un diagrama P-v
w
est . rev
2
vdP Area 1
21
Fig. 6.9 Representación gráfica del trabajo estacionario reversible.
Ejemplo 6.9 Hallar el trabajo de una bomba de agua, que eleva la presión desde 1 bar, como líquido saturado, hasta 30bar. Solución: Una solución sin el uso de tablas ni formulario, simplificando el problema será: 2
Trabajo reversible
west .rev vdP v( P 2 P 1 ) , 1
para fluido incompresible,
despreciando cambios en la energía cinética y potencial W= 0,001.(3000-100)= 2,9 KW Compare la compresión del vapor saturado de agua a las mismas condiciones ¿Cuán mayor es el trabajo del compresor?
La entropía y la generación de entropía en la vida diaria (Çengel) La entropía mide el nivel de desorden, lo que se aplica otras áreas, la generación de entropía se puede considerar como una medida de desorden o desorganización generada durante un proceso. Veamos algunos ejemplos: Las personas eficientes llevan vidas muy organizadas (de baja entropía), tienen un lugar para todo (incertidumbre mínima), por lo que emplean la menor energía para localizar algo. En cambio las personas desorganizadas, tienen una vida menos eficiente (alta entropía), pierden tiempo al querer encontrar algo, y aún aumentan el desorden por querer encontrar lo buscado (generan entropía), pues la búsqueda es desorganizada, no les alcanza tiempo, siempre están apurados y nunca se pueden poner al día. Cuando el aprendizaje es organizado (buen hábito y método de estudio) es de baja entropía, crean una red de información sólida dentro de sus mentes. Por otro lado, las personas que arrojan la información de cualquier manera en la mente, sin el esfuerzo adecuado, creen que están aprendiendo, sin embargo no podrán recuperar ese conocimiento por lagunas mentales producto de la alta entropía. Se recomienda revisar los hábitos de estudio. Una Biblioteca con buen sistema de clasificación y categorización es altamente organizada (baja entropía). Una biblioteca de alta entropía no sirve por su alto nivel de desorganización, pues al querer encontrar una información, tiendes a aumentar el desorden por la desesperación, perdiendo tiempo valioso. Considere dos bibliotecas idénticas, cada uno con un millón de libros. En la primera los libros se amontonan unos encima de otros, mientras en la segunda, los libros están muy organizados, clasificados y catalogados para conseguir una referencia fácil: No hay duda cuál biblioteca preferimos usar. Pueden decir que desde el punto de vista de
22
la 1ra ley, ambas bibliotecas contienen la misma masa y el mismo conocimiento, pero a la luz de la segunda ley sabemos la utilidad de la segunda biblioteca tiene mayor utilidad. Por ello una comparación realista debe tener en cuenta la segunda ley. Un país que consiste en 50 estados como EEUU es más poderoso que 50 países independientes, por ello también la Unión Europea, que se está convirtiendo en una superpotencia económica, política y de conocimientos, porque han reducido las fricciones, fomentan alianzas estratégicas de colaboración mutua; en cambio los otros países siguen divididos, y nunca podrán avanzar al ritmo de los países organizados como el G8 … ―divide y vencerás‖.
Sabemos que la fricción mecánica está acompañada de por la generación de entropía, por lo tano la eficiencia se reduce. De la misma manera, la fricción en el lugar de trabajo con los compañeros, genera entropía, afectando de manera adversa el desempeño laboral, reduciendo la productividad. La expansión libre (explosión) genera entropía y son muy irreversibles. De la misma manera, hablar sin ninguna restricción para esparcir palabras de enojo, es altamente irreversible y puede causar daño considerable.
APLICACIONES DE ENTROPÍA 6.12 PROCESOS ISOENTROPICOS Cuando la entropía de una sustancia no varía durante el proceso, el proceso se denomina isoentrópico (entropía constante). Muchos dispositivos de interés en ingeniería son prácticamente adiabáticos. Así, los procesos isoentrópicos se utilizan como modelos idealizados con los que pueden compararse los procesos reales adiabáticos. El diagrama T-s de la fig. 7.1 muestra el modelo elegido para un proceso adiabático real, en el que se produce un aumento de presión. Si un proceso internamente reversible se realiza adiabáticamente, el estado final 2s queda justo encima del 1 y el proceso es isoentropico o adiabático reversible, el área bajo el proceso es cero o calor cero. Como condición límite, el proceso isentrópico es un estándar de comportamiento con el que pueden compararse los procesos adiabáticos reales como el proceso de 1 a 2, donde se ve el aumento de entropía. Por tanto, resulta útil estudiar cómo varían T, P y v en un proceso isentrópico o adiabático reversible y cómo se da un incremento de entropía en procesos reales o irreversibles..
Fig. 7.1 Modelo isoentrópico y de un proceso real (adiabático real de 1 a 2) en el que se produce un aumento de presión.
23
Ejemplo A una turbina entra vapor con un flujo másico de 13 kg/s. a una presión de 30 bar y a una temperatura de 400 0C, y se descarga en el condensador a una presión absoluta de 0.05 bar. Si el proceso es adiabático reversible, Calcule la potencia desarrollada por la turbina.
Solución Datos: Turbina con 13 kg/s, 30 bar, 400ºC, descarga a 0,05 bar Modelo: FEES, con agua, proceso isoentrópico Metodología: Plantear primera ley, con proceso isoentrópico Esquema:
Análisis
W m(h1 h2 )
Haciendo un balance de energía, Según la tabla, h1 3230,9 KJ / Kg s1 6,9212 KJ / Kg K
Dado que el proceso es isentrópico, S2 =S1 = 6,9212 KJ/Kg K. Por otra parte, puesto que s2
En consecuencia,
s2 s f s fg
6.9212 0.4764 7.8187
0.814 Además, h2 h f h fg 137.82 (0.814)(2423.7)
2110.71 kJ / kg Por último,
W 13(3230,9 2110,71 14 562,47kW
24
Comentarios: Si el proceso es irreversible habrá incremento de entropía y la potencia será menor.
7.12.1 ISOENTROPIA DE GAS IDEAL La evaluación de isoentropía de un GI puede ser con calores específicos variables o aprovechando su poca variación, con calores específicos constantes o promedio a) USO DE CAPACIDADES TÉRMICAS ESPECÍFICAS VARIABLES PARA GI Para conseguir una buena precisión en el cálculo de un proceso isoentrópico en el que interviene un gas ideal es necesario tener en cuenta la variación de las capacidades térmicas con la temperatura, la forma más directa de conseguir esto consiste en utilizar las siguientes ecuaciones:
S S 2o S 1o R ln
P 2 P 1
0,
S cte , operando esta ecuación podemos llegar a:
s 2 s1 R ln P 2 0 0
P 2 P 1
e
e
0
P
o s (T 2 ) R
(7.1)
1
P 2 P r 2 P 1 s P r 1
o s (T 1 ) R
v 2 v r 2 v1 s v r 1
(7.2)
(7.3)
Los valores de las presiones y volúmenes relativos están tabulados para diferentes presiones, por lo tanto se usan directamente las ecuaciones 7,2 y 7,3 para procesos isentrópicos.
b) USO DE CAPACIDADES TÈRMICAS ESPECÍFICAS CONSTANTES Y MEDIAS En algunos procesos en los que intervienen gases, resulta apropiado suponer que las capacidades térmicas son constantes, o bien que se puede utilizar un valor medio. Al desarrollar las relaciones de isoentropía con esta condición es útil introducir otra propiedad intrínseca, el cociente de capacidades térmicas, más conocido como índice adiabático ―k= ‖ (recordemos el índice politrópico). Este cociente se define como: k
c c
p
(7.4)
v
En los procesos isoentrópicos ―Δs‖ = 0, de ahí se obtiene las siguientes
ecuaciones.
T T
2
1
v1 v2
k 1
(7.5)
25
T T
2
1
P 2 P 1
p v P v
2
1
1
2
k 1 k
(7.6)
k
ó
P 2 T 1 P 1
T 2
K 1 K
K 1
v 1 v 2
(7.7)
Estas ecuaciones son suficientemente precisas cuando la variación de temperaturas en los procesos no excede en algunos cientos de grados. Normalmente se usan las capacidades térmicas a condiciones frías (del ambiente)
6.12.2 RELACIONES DE ISOENTROPIA PARA SUSTANCIAS INCOMPRESIBLES Si la capacidad térmica específica de una sustancia incompresible es básicamente constante, su variación de entropía específica viene dada por la ecuación:
s cm ln T 2
T
(7.8)
1
Si utilizamos como base la ecuación anterior, un proceso isentrópico llevado a cabo por una sustancia incompresible es aquel en el que T2 = T1. Es decir, la temperatura no varía si no varía la entropía. Como resultado, puesto que para una sustancia incompresible du = c.dT, en un pr oceso isoentrópico ―Δu‖ = 0 En resumen, cuando el fluido se modela como incompresible y el proceso se modela como isoentrópico, el volumen especifico, la entropía específica, la temperatura y la energía interna específica son constantes. Sin embargo, propiedades como la presión, la entalpía, la velocidad y la altura pueden variar significativamente durante los procesos de flujo.
6.13 RENDIMIENTO ADIABATICO DE DISPOSITIVOS EN REGIMEN ESTACIONARIO Las irreversibilidades acompañan necesariamente a las corrientes fluidas en los dispositivos estacionarios reales y degradan el comportamiento de estos dispositivos. Resulta útil disponer de parámetros para comparar el comportamiento real con el que se alcanzaría en condiciones ideales. En el desarrollo de estos parámetros es necesario conocer que el flujo real a través de muchos dispositivos de ingeniería es prácticamente adiabático. El comportamiento ideal de los equipos adiabáticos tiene lugar cuando el flujo es también internamente reversible, por tanto, isoentrópico. Así, una buena medida para ver si se consigue, consiste en comparar el comportamiento real con el comportamiento que tendría en condiciones isoentrópicas. Esta comparación se expresa mediante un parámetro conocido como rendimiento adiabático o isoentrópico de un dispositivo. 6.13.1 EFICIENCIA ISOENTRÓPICA DE UNA TURBINA El objetivo de la turbina es producir trabajo, Por tanto, el rendimiento adiabático de la turbina se define como el coeficiente entre el trabajo de salida real y el trabajo de salida isoentrópico, que se obtendría si el flujo se expansionase desde el mismo estado de entrada hasta la misma presión de salida. Es decir:
26
w w
sal
h1 h2
h1 h2 s
T
s . sal
(7.9)
Donde el subíndice ―s‖ representa el proceso adiabático e internamente reversible.
El diagrama h-s de la fig 7.2 muestra la relación existente entre el término del trabajo real h1-h2 y el término del trabajo isoentrópico h1-h2s. Observe que la eficiencia es la menor diferencia de entalpías entre la mayor diferencia de entalpías, por lo tanto siempre será menor a 1 ó 100%.
Fig. 7.2 Diagrama hs en el que se comparan las variaciones de entalpía en los procesos real e isoentrópico de una turbina.
Ejemplo Por una turbina cuya eficiencia es de 80% fluye 8 kg/s de vapor a una presión de 35 bar y una temperatura de 400 0C; lo descarga en un condensador con una presión de 0.05 bar. Calcule la potencia desarrollada por la unidad.
Solución Datos: 8 kg/s de vapor a 35 bar 400ºC y descarga a 0,05 bar Hallar: la potencia de la turbina Análisis:
El trabajo isentrópico de una turbina es W s m(h1 h 2 s ) Según el diagrama de Mollier (fig A8), a una presión de 35 bar y a una temperatura de 400 0C, h1 = 3222 kJ/kg S1=6.84 kJ/kg K De este punto se puede trazar una línea vertical (entropía constante) hasta intersecar la línea de presión igual a 0,05 bar. En este último punto se obtiene, h2s =2086 kJ/kg Al aplicar la definición de eficiencia para una turbina,
27
W real W s
m(h1 h2 s ) Sustituyendo valores,
W real (0,8)8kg / s (3222 2086 ) KJ / kg
W real 7270 ,4 KW
Comentario: En el diagrama podemos observar que el estado final es a la derecha, y podríamos encontrar la entalpía de salida (2) real, aún no se sabe si es VSC o mezcla. ¡Compruebe Ud.! 6.13.2 EFICIENCIA ISOENTRÓPICA DE UNA TOBERA Una tobera es un conducto construido para acelerar el fluido, es decir, aumentar su velocidad para aumentar su energía cinética. Por tanto, el rendimiento adiabático o isoentrópico de una tobera se define como: V 22 V 12 h h tob ec V 2 2 V 2 h 1 h 2 (7.10) 1 2 s ecs 2 s 1
2 Si la velocidad de entrada es pequeña comparada con la de la salida, la h1 h2
V 22 2
Los rendimientos de las toberas suelen ser superiores al 90 %. En las toberas convergentes utilizadas en corrientes subsónicas es normal encontrar rendimientos de 0.95 o superiores. El diagrama entalpía – entropía de la fig. 7.3 corresponde a una tobera adiabática en la que se desprecia la velocidad a la entrada.
Fig. 7.3 diagrama h-s en el que se comparan las variaciones de entalpía en los procesos real e isoentrópico de una tobera.
6.13.3 TRABAJO DE UN COMPRESOR Y RENDIMIENTO ADIABATICO E ISOTÉRMICO TRABAJO: dado que el proceso se considera de FEES:
28
1
w
2
1
w
C n pv C v p n
vdp 2
1
1 n
1
C P n dp
1
n 1 n 1 C p2 n p1 n w n 1 n
n Reemplazando C p1v1
n
p2v2 n n 1
n
w
n(p2 v 2 p . 2
n 1
p1v1 .p1 n ) n 1 n
n
Efectuando el producto de potencias de Igual base:
w
n(p 2 v 2 p1v1 ) n -1
Reemplazando pv = RT obtenemos una segunda expresión:
w
nR(T2 - T1 ) n -1
Dado que son las presiones desde y hasta la cual se comprime, las propiedades de mayor Importancia en el proceso de compresión, deduciremos una expresión que nos permita calcular el trabajo en función de la relación de estas presiones. A partir de la expresión nRT1 (T2 /T1 1) w n -1
De la relación:
p 2 T1 p 1
T2
n 1 n
n 1 nRT 1 p2 n 1 w n 1 p1
29
POTENCIA: La potencia es determinada como el producto de la masa aspirada por unidad de tiempo, m. por el trabajo efectuado por o sobre la sustancie de trabajo:
Wm w Así, por ejemplo, a partir de la expresión n 1 n m RT1 p 2 n 1 W n - 1 p1
O reemplazando: p1 V 1 m RT
En donde V 1 representa el flujo volumétrico al compresor o volumen aspirado por unidad de tiempo.
n 1 n n p1 V1 p 2 1 n - 1 p1
W Donde:
W : p 1 y p 2
Potencia en Kw. : Presiones en kPa
Volumen -aspirado por unidad de tiempo en m 3/s n : Índice o exponente politrópico cuyo valor depende del proceso, generalmente n= 0,35 T1 y T2 : Temperaturas, en K V1 :
PROCESO ISOENTROPICO
Exponente politrópico n = k Importancia: Proceso de comparación de los compresores en los que la transferencia de calor al exterior es nula o despreciable:
Fig. 7.4. Proceso de compresión isoentrópica.
30
Trabajo: Anotamos sólo las expresiones más usadas por cuanto se obtendrá reemplazando en. Cualquiera de las expresiones anteriores, n = K:
kRT1 p 2 w k ( k - 1 p1
w k
kRT k - 1 Cp
Dado que:
k 1 k
1)
(T2 T1 ) kR
w Cp(T 2 T1 )
k 1
Es decir: w (h 2 h 1 ) Lo cual se verifica q w h 2 h1
Recordamos que si el proceso es adiabático: q = 0 PROCESO ISOTERMICO
Exponente politrópico: n = 1 Importancia: proceso de comparación de los compresores lentos y con un sistema de refrigeración bastante capaz.
Fig. 7.5. Proceso isotérmico de compresión
Trabajo: si reemplazamos n = 1 en las expresiones obtenidas para el proceso politrópico, tendremos el problema de Indeterminación y debería procederse a levantar la Indeterminación; sin embargo, preferimos obtener el trabajo a partir de:
w Donde:
pv c v w c
2
1
2
1
vdp
c p
dp p
31
p 2 p1
w c Ln
Donde c p1 v1 p 2 v 2 RT1 RT 2 Calor; de (2.1.) q w h 2 h1
Siendo el proceso isotérmico T2 T1 h 2 h 1
p q w C Ln 2 p1 wt w C Ln(p2 /p1 )
El rendimiento isoentrópico del compresor se define como el cociente entre el trabajo isoentrópico Wk = Ws, necesario y el trabajo real W necesario para el mismo estado a la entrada y la misma presión de salida. Es decir:
w w
s .ent
k
ent
h2 s h1 h2 h1
(7.11)
La fig. 7.6 es un diagrama entalpía – entropía de un compresor de gas. El modelo ideal se representa mediante la línea isoentrópica 1-2s entre las presiones P1 y P2. En un compresor real irreversible, si el proceso es adiabático, la entropía aumenta. Así, la línea 1-2 del proceso real queda a la derecha de la línea isoentrópica y la entalpía h2 debe ser mayor que h2s.
Fig. 7.6 Diagrama h-s de un compresor de gas, también es similar para una bomba.
Efecto de eficiencia en la entrada de potenciadel compresor Mediante un compresor adiabático se comprime aire de 100 kPa y 12 °C a una presión de 800 kPa a una tasa estacionaria de 0.2 kg/s. Si la eficiencia isentrópica del compresor es 80 por ciento, determine a) la temperatura de salida del aire y b) la potencia de entrada requerida en el compresor. Solución El aire se comprime a una presión y una tasa especificadas. Se determinarán la temperatura de salida y la potencia de entrada para una eficiencia isentrópica dada. 32
1 Existen condiciones de operación estacionarias. 2 El aire es un gas ideal. 3 Los cambios en las energías cinética y potencial son insignificantes. Suposiciones
A n áli s is
a) Sólo se conoce una propiedad (la presión) en el estado de salida y es
necesario saber otra más para determinar el estado y así conocer la temperatura de salida. La propiedad que puede determinarse con mínimo esfuerzo en este caso es h2a porque se tiene la eficiencia isentrópica del compresor. A la entrada de este dispositivo, T 1 = 285 K h1 =285.14 kJ /kg Pr 1 = 1.1584 La entalpía del aire al final del proceso de compresión isentrópica se determina al usar una de las relaciones isentrópicas de los gases ideales
=
Pr 2= 9.2672 h2s= 517.05KJ/Kg Al sutituir las cantidades conocidas en la relación de eficiencia iso entrópica se obtiene Eficiencia isoentropica del compresor
h2a=575.03KJ/Kg T2a=569.5 K b) La potencia de entrada requerida en el compresor se determina a partir del balance energía para dispositivos de flujo estacionario. Eent-Esal= ΔEsis t ̇ ̇ ̇
Observe que en la determinación de la potencia de entrada al compresor se empleó h2a en lugar de h2s porque h2a es la entalpía real del aire cuando sale del compresor. La cantidad h2s es un valor de entalpía hipotético que el aire tendría si el proceso fuera isentrópico 33
EFICIENCIA ISOTERMICA: Ya dijimos que la importancia de estudiar el proceso isotérmico era el que éste servía como proceso de comparación de los compresores lentos y con un sistema de refrigeración de gran capacidad, es decir que podían transferir al exterior tanto calor como para mantener la temperatura del gas constante o aproximadamente constante durante la compresión. Bien, pues esta comparación se da en términos de la eficiencia isotérmica que es la comparación entre el trabajo de compresión correspondiente a la compresión isotérmica entre un estado inicial y una cierta presión final y el trabajo correspondiente al proceso de compresión real de un determinado compresor entre los mismos estados inicial y presión final.
FIG . 7.7 . EFICIENCIA
ηT
wt wc
ISOTÉRMICA
,
COMPRESIÓN POR ETAPAS Según lo visto anteriormente, el trabajo de compresión es mínimo cuando el proceso se efectúa en forma tal que, durante él, se mantiene la temperatura constante. Por otra parte en un compresor real el proceso de compresión es, en general, politrópico (n>1) y por lo tanto el trabajo a efectuarse, mayor. Una de las formas de disminuir la magnitud del trabajo necesario para un proceso de compresión consiste en efectuarlo por etapas con refrigeración intermedia entre una y otra etapa. Así en el caso de que la refrigeración entre dos etapas consecutivas permita enfriar el gas hasta la temperatura de inicio del proceso, el trabajo tendría al que corresponde al proceso isotérmico a medida que el número de etapas empleado tienda a infinito, como se muestra en los diagramas.
34
Planta de compresión en tres etapas con dos enfriadores intermedios
Fig. 7.8. Compresión por etapas con refrigeración intermedia
6.13.4 RENDIMIENTO ADIABATICO DE UNA BOMBA El rendimiento isoentrópico de una bomba se define de forma análoga al del compresor (el diagrama h-s es el mismo que fig. 6.4, solo que está en líquido comprimido). Para el mismo estado de entrada y la misma presión de salida.
w w
s .ent
B
ent
h2 s h1 h2 h1
(7.11’)
El análisis básico de una corriente incompresible que circula a través de una bomba es análogo al de la turbina hidráulica. Cuando la corriente es isoentrópica, la temperatura permanece constante y el trabajo en el eje depende únicamente del trabajo de flujo. El trabajo de entrada en el eje se invierte en aumentar la presión del fluido, sin ningún otro efecto. Si el proceso es adiabático e internamente irreversible, el aumento de entropía conduce a un aumento de la temperatura del fluido. Recordemos que trabajo reversible FEES es:
W rev W s v.dP h2 s h1
Por lo tanto
W s mW rev m .v( P 2 P 1 )
VA v
.v( P 2 P 1 )
35
Fig. 7.9 Esquema de una bomba de agua.
Ejemplo A una tobera entra aire a 1,6 bar y 67 oC. La presión final es 1,0 bar, la velocidad inicial es despreciable y el flujo másico es 2,0 Kg/s. Si la velocidad real de salida es de 283 m/s, determínese: a) El rendimiento adiabático de la tobera. b) La temperatura real de salida en Kelvin. c) EL área de salida, en centímetros cuadrados. d) La producción de entropía en KJ/kg.K Datos: ver esquema Análisis Algunas Transformaciones 1.6 bar = 160 KPa 1 bar = 100 KPa 67 oC = 340 K
a) Rendimiento Adiabático de la tobera = (h1 – h2)/(h1 – h2s) ... (I) hallamos los parámetros: De tablas tenemos: T1 = 340 K h1 = 340.42 KJ/Kg Pr1 = 2.149 También: P 2 Pr 2 Pr 1 P 1 Interpolando en tablas: h 295.17 x 300.19
Pr 1.3068 1.34 1.3860
295 .17 x
1 1.6
Pr 2 2.149
y
Pr 2 1.34
1.3068 1.34 295 .17 300 .19 1.3068 1.386 x h2s 297.27
36
Luego para el estado 2 real, de 1ra ley: 0 = h2a – h1 + V2a2/2 h2a = h1 - V2a2/2 h2a = 340.42 KJ – 2832/2 h2a = 300.2 KJ/Kg Reemplazando en 1
340 .42 300 .2 342 .42 297 .27
0.93
b) Cálculo de la temperatura de salida: De tablas a h2a = 300.2 KJ/Kg Le corresponde una: T2a = 300 K c) Cálculo del área de salida 8.314
m
A V
... (II
hallamos
R T P
300 K 29 100 KPa
0.86m3 / Kg
Reemplazando en (II) A
0.86 2 283
, A 60.78cm2
d) La producción de entropía se puede hallar con ecuación de balance de entropía, para FEES, adiabático despejando y adecuando tenemos:
VC
m
s 2 s1 = S S 2o S 1o R ln
P 2 P 1
, se pide al estudiante continuar.
Ejemplo 7.4 A una bomba entra agua a 1,0 bar y 20 oC a una velocidad de 2,6 m/s a través de una sección de 22,0 cm 2. Las condiciones de salida del agua son 6,0 bar y 7,8 m/s. Si la potencia de entrada necesaria es de 4,0 KW, determínese: a) El rendimiento adiabático necesario de la bomba. b) El incremento de temperatura del fluido en el proceso adiabático.
37
Datos: Bomba de agua (ver esquema)
Análisis Algunas transformaciones 1bar = 0.1 MPa = 100 KPa 6bar = 0.6MPa = 600 KPa 20 oC = 293 K 22 Cm2 = 0.0022 m 2
Recordemos que trabajo reversible para VC es: W rev v.dP Entonces:
W s mW rev m .v( P 2 P 1 )
W s 2,6
m s
VA v
.v( P 2 P 1 )
.22 x10 4 m 2 (600 100) KPa
= 2,86 KW Luego: =
Ws ent/ Went 71,5 %
= 2,86KW/4KW
= 0,715
ó
=
Comentario: Veamos que en todo proceso adiabático real hay incremento de entropía, pero si es adiabático reversible la entropía se mantiene constante (isoentrópico)
38
6.14 EL CICLO DE CARNOT Anteriormente se demostró que el rendimiento térmico máximo de cualquier motor térmico que funcione entre dos fuentes viene dado por el rendimiento de Carnot, es decir:
t ,Carnot
1 T B
T
(7.12)
A
Existen diversos ciclos teóricos, compuestos por procesos internamente reversibles cuyos rendimientos son iguales al rendimiento de Carnot. Uno de los más conocidos es el denominado ciclo de Carnot. El ciclo de Carnot, que puede funcionar como sistema cerrado o como volumen de control en, está compuesto por dos procesos isotérmicos (internamente reversibles) y dos procesos adiabáticos e internamente reversibles. La secuencia de los cuatro procesos es la siguiente: 1-2 Una expansión isoterma e internamente reversible durante la cual se suministra un calor Q A,sum al fluido de trabajo que está a la temperatura de la frontera T A. 2-3 Una expansión adiabática e internamente reversible del fluido de trabajo hasta que alcanza la temperatura inferior T B. 3-4 Una compresión isoterma e internamente reversible durante la cual se cede un calor QB,ced a la temperatura de la frontera T B. 4-1 Una compresión adiabática e internamente reversible del fluido de trabajo hasta que alcanza la temperatura inicial T A. En la Fig. 7.10 se muestra el aspecto general del ciclo de un motor térmico de Carnot en el que interviene un gas ideal en un dispositivo cilindro – émbolo. La forma del ciclo en un diagrama PV para otros fluidos de trabajo puede ser bastante diferente. El rendimiento térmico de Carnot, dado por la ecuación anterior, es teórico, ya que es imposible alcanzar condiciones de reversibilidad interna. Los efectos disipativos inevitables en el motor térmico conducen a la aparición de irreversibilidades internas. No obstante, el mensaje dado por la ecuación anterior es claro. Para aumentar el rendimiento térmico de los ciclos tanto ideal como real: a. La temperatura media a la que se suministra calor debe ser lo más alta posible. b. La temperatura media a la que se extrae calor del sistema debe ser lo más baja posible.
39
Fig. 7.10 Ilustración del ciclo de un motor térmico de Carnot. (a) Uso de un dispositivo cilindro – émbolo; (b) esquema del motor térmico; (c) diagrama T-S y p-v para un motor térmico de Carnot.
El ciclo de Carnot se aplica también a volumen de control, y en máquina térmica puede trabajar con mezcla o como gas ideal, en los ciclos de refrigeración de la misma manera.
40
RESUMEN Un proceso isoentrópico es cuando la entropía permanece constante En este capítulo hemos visto las aplicaciones de la entropía para procesos isoentrópicos, es decir la entropía se mantiene constante. Para GI, con calores específicos variables se tienen las relaciones: S 2 S 1 0 S 2o S 1o R ln
P 2
P 2
P 1
P 1
P r 2 P r 1
v2
,
v1
v r 2 v r 1
Para calores específicos constantes de gas ideal se usa:
P 2 T 1 P 1
T 2
K 1 K
K 1
v 1 v 2
y
PvK = Cte , con K= Cp/Cv
El rendimiento adiabático o isentrópico de turbinas, toberas, compresores y bombas es: T
W W s
Tob
EC EC S
C
W S W
B
W S W
La compresión por etapas con enfriamiento intermedio, permite reducir la potencia entregada a un compresor La eficiencia de Carnot depende solo de las temperaturas de la fuente y el sumidero t ,Carnot 1
T B T A
, se aplica a cualquier máquina térmica reversible. Cuando se invierte,
también es aplicable a máquinas reversibles de ciclo invertido (refrigeradoras y bombas de calor) En este capítulo se consideró la desigualdad de Clausius, y definen la propiedad entropía S. La masa y la energía se conservan, pero la entropía no se conserva, pero es ampliamente usada para determinar la calidad de los procesos (eficiencia), y da la dirección natural de los procesos. La entropía también mide el nivel de desorden. Los análisis deben tener como punto de partida la conservación de masa, energía y el balance de entropía para volumen de control como es: .
dSvc dt
Q j Tj
m . s m .s e
e
s
s
.
vc
La cual es válida también para sistemas cerrados, considerando el flujo de masa cero. La variación elemental de entropía para un sistema cerrado se define como:
dS
s 2
Por ello el calor será : Qint .rev Qint .rev T .ds , es decir es el área bajo la curva del s1
T-S. La entropía de un sistema adiabático y cerrado siempre es mayor, nunca disminuye
41
Qint .rev T
S univ S sist S alrede 0 La entropía S es una propiedad de la materia y se usa también como una coordenada termodinámica, se usan sobre todo los diagramas T-s y h-s, para un valor de q internamente reversible tenemos: Las ecuaciones Tds son válidas para cualquier proceso y constituyen las relaciones básicas para evaluar la variación de entropía específica de cualquier sustancia. Se tienen dos ecuaciones básicas para sustancias simples y compresibles:
Tds = du + pdv y Tds = dh – vdp, las que pueden integrarse para obtener el cambio de entropía, éstas para gas ideal serán: dT c s R ln v T v 2
v
2
y
1
s
1
2
1
c
p
dT
T
R ln P 2
P 1
Se puede usar datos integrados de tablas
s 2 s1 s 2o s1o R ln
P 2 P 1
ó en base molar con (-) sobre cada término
Para una sustancia incompresible, la variación de entropía viene dada por :
s
2
1
cdT T
De la primera ley y segunda ley en régimen estacionario podemos llegar a una ecuación para trabajo estacionario ó trabajo FEES
w
est .rev
2
1
2
2
2
1
vdP V V 2
g ( z 2 z 1)
Esta ecuación se puede aplicar independientemente ó junto con el análisis energético del VC. Se necesita una relación entre v y P para poder integrar durante el proceso, normalmente se usa el proceso politrópico. El Trabajo en orden, en equipo, sin fricciones, con tolerancia, constancia, perseverancia, uso adecuado del tiempo, las alianzas estratégicas, etc, nos permiten desarrollo con baja entropía, reducir la generación de entropía, conduciéndonos a un desarrollo sostenible.
42
PRÁCTICA DIRIGIDA
1.- 6.103(W-R). Una máquina frigorífica funciona entre dos fuentes térmicas a temperaturas TFA y TFB de 320K y 260K respectivamente. Para un suministro de calor de 100kJ, obténgase el calor cedido, el trabajo neto suministr ado, el COP y la pérdida de potencial de trabajo cuando (a) el dispositivo es totalmente reversible, y (b) el dispositivo es internamente reversible, pero recibe y cede al calor a 330K y 250K en lugar de 320K y 260K , T o= 300K.
R:
a)123, 23.1, 4,33, 0
b)132, 32, 3, 13, 8,92
2.- 7.1(W-R). Un depósito rígido de 1.0 m 3 de volumen contiene agua a 30bar y 600°C. El agua se enfría hasta que su temperatura alcanza un valor de 200°C. El ambiente, que recibe el calor cedido, se encuentra a 1.1 bar y 27°C. Determínese (a) la pre sión final en bar, (b) la variación de entropía del agua en kJ/K y (c) la producción total de entropía en el proceso global, incluyendo la zona de transferencia de c alor, (d) El proceso ¿es reversible, irreversible o imposible? (e) Dibújese el camino del proceso en un diagrama Ts, respecto a la línea de saturación.
R: a) 15
b) -7,957
c) 9,33
3.- 7.3(W-R). Se comprime refrigerante 134ª, a 2,8 bar y 60° C en un sistema cerrado, hasta 14 bar. El proceso es isotermo e internamente reversible y la temperatura ambiente es igual a 25°C. Determínese (a) el calor transferido y el trabajo realizado en kJ/Kg, (b) la entropía transferida hacia o desde el fluido, (c) la generación de entropía para el conjunto refrigerante más la región de transferencia de calor en kJ/Kg.K (e) hágase un esquema del proceso en un diagrama Ts.
R: a)-59,3, 44,2
b)-0,178
c)0,0209
d)0,0209
4.- 8,65 (W-R) En una turbina adiabática se expande aire desde 3 bar ,117ºC y 70 m/s hasta una presión final de 1 bar. El flujo másico es 2 kg/s. Determínese (a) el trabajo máximo de salida en kj/kg (b) si la temperatura real de salida es 30ºC , calcule el rendimiento isoentrópico de la turbina (c) determine el área de entrada de la turbina en cm2 (d) la producción de entropía en el proceso real en kj/kg ºK.
R: (a)106 (b) 83% (c) 106 (d) 0.0607 5.- 8,68 (W-R) A una turbina entra agua líquida a 0,720MPa, 20ºC y 4,2 m/s. Las condiciones de salida son 0,098 MPa y 1,2 m/s. Si la temperatura del fluido aumenta 0,0120ºC, determínese (a) el trabajo real en salida, enKJ/Kg, y (b) el rendimiento adiabático de la turbina.
R: a) -0,581 b) 0,920
6.- 8.75 (W-R )A una tobera entra aire a 1,6 bar y 67ºC. La presión final es 1,0 bar, la velocidad inicial es despreciable y el flujo másico es 2,0 Kg/s. Si la velocidad final de salida es 283 m/s. determínese (a) el rendimiento adiabático de la tobera, (b) la temperatura real de salida, en Kelvin, (c) el área de salida, en centímetros cuadrados, y (d) la producción de entropía en KJ/Kg . K.
43
R: a) 0,934
b) 300
c) 60,8
d) 0,00901
7.- 7.99(V-W). A un compresor aislado entra aire a las condiciones de ambiente, 100KPa y 20°C, a razón de 0.1Kg/s, y sale a 200°C. La eficiencia isoentropica del compresor es de 70%. ¿Cuál es la presión de salida? ¿Cuánta potencia se requiere para impulsar el compresor?
R. P2=349KPa, W/t=-18.06KW. 8.- 8.87 (W-R) Se comprime refrigerante 134a desde vapor saturado a – 4ºC hasta presión final de 9 bar. Si el proceso es adiabático y el rendimiento del compresor es de 70 %, determínese (a) la temperatura de salida en ºC (b) la producción de entropía en el proceso en régimen estacionario, en kj/kg ºK.
R: (a) 50 (b) 0.0353 9.- 6.14(M-S). Un compresor que opera en estado estacionario recibe aire a p1=0.95bar y T1=22°C. La relación de presiones entre la salida y la entrada es igual a 6. No existe una transferencia de calor significativa entre el compresor y su entorno, y las variaciones de energía cinética y potencial son despreciables. Si el rendimiento isoentrópico del compresor es del 82%, determínese la t emperatura del aire a la salida, empléese el modelo del gas ideal para el aire.
R: T2=532K 10.- 7.6(V-W). Un recipiente cerrado, con V=10L, que contiene 5kg. De agua, inicialmente a 25 °C, se calienta a 175°C mediante una bomba de calor que recibe calor del en torno a 25°C. Suponga que este proceso es reversible. Encuentre la trasferencia de calor al agua y el trabajo que se alimenta a la bomba de calor.
R: Q entra=3213.7 KJ, W neto=617 KJ
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PROBLEMAS DOMICILIARIOS
La entropía y el principio del incremento de entropía 1.- 6.25 Se comprime aire con un compresor de 12 kW de P 1 a P2. La temperatura del aire se mantiene constante en 25ºC durante este proceso como resultado de la transferencia de calor al medio circundante a 10ºC. Determine la tasa de cambio de entropía del aire. Exprese las suposiciones hechas para resolver el problema. RPTA: -0.0403 kW/k 2.- 7-22 CB 7ed Una fuente de energía de 1 000 K transfiere calor a una
máquina térmica completamente reversible. Esta máquina transfiere calor a un sumidero a 300 K. ¿Cuánto calor se debe transferir de la fuente de energía para aumentar la entropía del sumidero de energía en 20 kJ/K? RPTA: -20000 KJ
3.- 723 C-B 7ed 7-23E Una máquina térmica acepta 200 000 Btu de calor de una fuente a 1 500 R, y rechaza 100 000 Btu de calor a un sumidero térmico a 600 R. Calcule el cambio de entropía de todos los componentes de esta máquina y determine si es completamente reversible. ¿Cuánto trabajo total produce? RPTA: 33.3Btu/R Wneto=100,000 Btu 4.- 7-24 C-B 7ed Se comprime aire mediante un compresor de 30 kW, de P 1 a P 2. La temperatura del aire se mantiene constante a 25 °C durante este proceso, como resultado de la transferencia térmica al entorno a 17 °C. Determine la tasa de cambio de entropía del aire. Indique las suposiciones que se hicieron al resolver este problema. RPTA: 101 kW/K 5.- 7-27 C-B 7 edUna bomba de calor completamente reversible produce calor a razón de 300 kW para calentar una casa que se mantiene a 24 °C. El aire exterior, que está a 7 °C, sirve como fuente. Calcule la tasa de cambio de entropía de los dos depósitos y determine si esta bomba de calor satisface la segunda ley de acuerdo con el principio de incremento de entropía. RPTA: S &total & & 1.01 1.01 0 kW/K S S H
L
6.- 7-28C-B 7ed Durante el proceso isotérmico de rechazo de calor en un ciclo Carnot, el fluido de trabajo experimenta un cambio de entropía de _0.7 Btu/R. Si la temperatura del sumidero térmico es de 95 °F, determine a) la cantidad de transferencia de calor, b) cambio de entropía del sumidero y c ) el cambio total de entropía para este proceso. RPTA: a ) 388.5 Btu; b ) 0.7 Btu/R; c ) 0 7.- 8,3 (W-R) Se permite que 120 cm 3 de nitrógeno a 3 bar y 400 ºK se expansionen adiabáticamente y reversiblemente hasta 1.70 bar en un sistema cerrado. Determínese (a) la temperatura final en ºK (b) en trabajo de salida en kj (c) el volumen final en cm 3. R : (a) 340 (b) 0.0136 (c) 180
Cambios de entropía de sustancias puras 45
8.- 6.32 Un tanque rígido de 0.5 m 3 contiene refrigerante 134ª a 200 kPa y una calidad de 40%. Después se le añade calor al refrigerante de una fuente a 35ºC hasta que la presión aumenta a 400 kPa. Determine a) el cambio de entropía del refrigerante; b) el cambio de entropía de la fuente de calor, y c) el cambio de entropía total en este proceso. R: a) 3.783 kJ/K; b) -3.43 kJ/K, c) 0.441 kJ/K
9.- 7-31 C-B 7 ed 2 lbm de agua a 300 psia llenan un dispositivo de cilindro émbolo, cuyo volumen es 2.5 pies3. El agua se calienta luego a presión constante hasta que la temperatura llega a 500 °F. Determine el cambio resultante en la entropía total del agua. RPTA: 0.474 Btu/R 10.- 7-39 C-B 7ed Entra vapor de agua a una turbina a 6 MPa y 400 °C, y sale de la turbina a 100 kPa con la misma entropía específica que la de entrada. Calcule la diferencia entre la entalpía específica del agua a la entrada y a la salida de la turbina. RPTA: −807.4 kJ/kg 11.- 7-40 C-B 7ed 1 kg de R-134a inicialmente a 600 kPa y 25 °C sufre un proceso durante el cual se mantiene constante la entropía, hasta que la presión cae a 100 kPa. Determine la temperatura final del R-134a y la energía interna específica. RPTA: 211.2 kJ/kg 12.- 7-44 C-B 7 edUn dispositivo de cilindro-émbolo contiene 1.2 kg de vapor saturado de agua a 200 °C. Ahora se transfiere calor al vapor y éste se expande reversible e isotérmicamente a una presión final de 800 kPa. Determine la transferencia de calor y el trabajo realizado durante este proceso. RPTA: 175.6 Kj 13.- 7-50 Se expande vapor en una turbina isentrópica con una sola salida y una sola entrada. En la entrada, el vapor está a 2 MPa y 360 ° C. La presión del vapor a la salida es de 100 kPa. Calcule el trabajo que produce esta turbina, en kJ/kg. RPTA: 621.0 kJ/kg 14.- 7-59C En el problema anterior, el agua se agita al mismo tiempo que se calienta. Determine el cambio mínimo de entropía de la fuente suministradora de calor si se realiza un trabajo de 100 kJ sobre el agua al calentarse. RPTA: S surr 0.8708 kJ/K
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Cambios de entropía de sustancias incompresibles 15.- 70.- 7-67 Un bloque de aluminio de 30 kg inicialmente a 140 °C se pone en contacto con un bloque de 40 kg de hierro a 60 °C en un contenedor aislado. Determine la temperatura final de equilibrio y el cambio total de entropía para este proceso. RPTA: 109 °C; 0.251 kJ/K 16.- 6.51 Un bloque de 20 kg de aluminio a 200ºC se pone en contacto con un bloque de hierro de 20 kg a 100ºC en un recinto aislado. Determine la temperatura de equilibrio final y el cambio de entropía total en este proceso. R: 168.4ºC, 0.169 kJ/K 17.- 7-64 C-B 7 ed Un bloque de cobre de 75 kg inicialmente a 110 °C se echa dentro de un recipiente aislado que contiene 160 L de agua a 15 °C. Determine la temperatura de equilibrio final y el cambio total de entropía para este proceso. RPTA: 1.35 kJ/K 18.- 7-66 C-B Un bloque de hierro de 25 kg, inicialmente a 350 °C, se enfría en un recipiente aislado que contiene 100 kg de agua a 18 °C. Suponiendo que el agua que se vaporiza durante el proceso se recondensa en el recipiente, determine el cambio total de entropía durante el proceso. RPTA: 4.08 kJ/K 19.- 7-69C-B 7 ed Un bloque de hierro de 50 kg y un bloque de cobre de 20 kg, ambos con temperatura inicial de 80 °C, se dejan caer en un gran lago a 15 °C. Se establece el equilibrio térmico después de un tiempo como resultado de la transferencia de calor entre los bloques y el agua del lago. Determine el cambio total de entropía para este proceso. RPTA: 0.670kJ/K 20.- 7-70C-B 7ed Una bomba adiabática se va a usar para comprimir agua líquida saturada a 10 kPa a una presión de 15 MPa de manera reversible. Determine la entrada de trabajo usando a) datos de entropía de la tabla del líquido comprimido, b) el volumen específico de agua en la entrada a la bomba y los valores de presiones, c ) el valor promedio de volumen específico de agua y valores de presiones. También determine los errores de aproximación en los incisos b) y c ). RPTA: a) 15.10 kJ/kg b) 15.14 kJ/kg c) 15.10 kJ/kg
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Cambio de entropía de gases ideales 21.- 7- 78C-B 7ed Se expande aire de 2 000 kPa y 500 °C a 100 kPa y 50 °C. Suponiendo calores específicos constantes, determine el cambio en la entropía específica del aire. RPTA: 0.0478 kJ/kg K 22.- 6.64 Un dispositivo de cilindro – émbolo contiene 1.2 kg de gas nitrógeno a 120 kPa y 27ºC. Después el gas se comprime lentamente en un proceso politrópico durante el que PV 1.3 = constante. El proceso finaliza cuando el volumen se reduce a la mitad. Determine el cambio de entropía del nitrógeno durante este proceso. R: -0.0617 kJ/K
23.- 6.68 Se comprime aire de manera estable mediante un compresor de 6kW desde kPa y 17ºC hasta 600 kPa y 167ºC a una relación de 1.6 kg/min. Durante este proceso hay transferencia de calor entre el compresor y el medio circundante a 17ºC. Determine a) la rapidez de cambio de entropía del aire. R: -0.0025 kW/K 24.- 6.70 Se comprime aire en un dispositivo de cilindro – émbolo desde 100 kPa y 17ºC hasta 800 kPa en un proceso adiabático reversible. Determine la temperatura final y el trabajo realizado durante este proceso, suponga a) calores específicos constantes y b) calores específicos variables para el aire. R: a) 525.3k, 171.1 kJ/kg; b) 522.4 k, 169.3 kJ/kg 25.- 7-81 C-B 7ed Aire a 15 psia y 70 °F se comprime adiabáticamente en un sistema cerrado a 200 psia. ¿Cuál es la temperatura mínima del aire después de esta compresión?
RPTA: 109 R
26.- 7-83 C-B 7 ed Un dispositivo de cilindro-émbolo contiene 0.75 kg de gas nitrógeno a 140 kPa y 37 °C. El gas se comprime ahora l entamente en un proceso politrópico durante el cual PV 1.3 _ constante. El proceso termina cuando el volumen se reduce a la mitad. Determine el cambio de entropía del nitrógeno durante este proceso. RPTA: 0.0385 kJ/K 27.- 7-86 C-B 7ed Un dispositivo de émbolo-cilindro contiene 1 kg de aire a 200 kPa y 127 °C. Ahora se deja que el aire se expanda en un proceso reversible, isotérmico, hasta que su presión es de 100 kPa. Determine la cantidad del calor transferido al aire durante esta expansión. RPTA: 79.6 Kj 28.- 7-97 C-B 7ed Un dispositivo de émbolo-cilindro contiene aire a 427 °C y 600 kPa. El aire se expande adiabáticamente hasta que la presión es de 100 kPa. Determine la masa de aire necesaria para producir un trabajo máximo de 1 000 kJ. Suponga que el aire tiene calores específicos constantes evaluados a 300 K. RPTA: 4.97 kg
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Trabajo reversible de flujo estacionario 29.- 6.82 En una bomba de 10 kW entra agua líquida a una presión de 100 kPa y a una relación de 5kg/s. Determine la presión más alta que el agua líquida puede tener a la salida de la bomba. Inore los cambios en la energía cinética y potencial del agua, y suponga que el volumen específico del agua será 0.001 m 3/kg. R: 2 100 kPa
30.- 7-107 C-B 7ed Se comprime isotérmicamente aire de 13 psia y 90 °F a 80 psia en un dispositivo reversible de flujo estacionario. Calcule el trabajo necesario, en Btu/lbm, para esta compresión. RPTA: 68.5 Btu/lbm 31.- 7-111 C-B 7 ed Entra agua líquida a una bomba de 25 kW a una presión de 100 kPa, a razón de 5 kg/s. Determine la presión máxima que puede tener el agua líquida a la salida de la bomba. Desprecie los cambios de energía cinética y potencial del agua, y tome el volumen específico del agua como 0.001 m3/kg. RPTA: 5 100 kPa 32.- 7-114 C-B 7 edEntra agua líquida a 120 kPa a una bomba de 7 kW que eleva su presión a 5 MPa. Si la diferencia de elevación entre los niveles de entrada y salida es 10 m, determine el flujo másico más alto de agua líquida que puede manejar estabomba. Desprecie el cambio de energía cinética del agua y tome el volumen específico como 0.001 m3/kg. RPTA: 1.41 kg/s Eficiencias isentrópicas de dispositivos de flujo estacionario 33.- 8.80 (W-R) Un fluido de densidad específica 0.86 entra a una tobera a 3.9 bar , 25ºC y 0.75 m/s . Las condiciones de salida son 16.3 m/s y 2.66 bar. Para la caída de presión dada , determínese (a) la variación de energía interna en el proceso real en kj/kg (b) el rendimiento de la tobera en el proceso adiabático. R : (a) 0.0116 (b) 0.921
34.- 7.- 8.112 (W-R) Un dispositivo de flujo estacionario funciona con agua para realizar un ciclo de un motor térmico de Carnot . Desde un estado inicial de 320ºC y una calidad de 10 % , el fluido se expande de manera isoterma hasta 80 bar. A este proceso le sigue una expansión isoentrópica hasta 10 bar. Determínese para el ciclo (a) el rendimiento térmico (b) el calor suministrado (c) el calor cedido (d) el trabajo durante la expansión isoentrópica, todo en kj/kg. R : (a) 23.6% (b) 1.359 (c) -1.038 (d) -388 35.-8,53 (W-R) A una tobera adiabática entra vapor de agua a 3 bar, 200 ºC y velocidad despreciable. La presión a la salida es 1 bar y el área es 10 cm2 . Determínese (a) la velocidad máxima de salida en m/s (b) el flujo másico correspondiente en kg/s. R : (a) 645 (b) 0.384 36.- 8,62 (W-R) A una turbina entra aire a 1.000ºK y 475 KPa. El rendimiento adiabático de la turbina es de 88 % y el trabajo de salida es 235.7 kj/kg. Determínese (a) la temperatura de salida real (b) la temperatura de salida isoentrópica en ºK (c) la presión de salida en KPa (d) la producción de entropía en kj/kg ºK, en el proceso utilícese la tabla A.5.
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R : (a) 790 (b) 760 (c) 151.2 (d) 0.0648 37.- 7-123C-B 7ed Vapor de agua a 3 MPa y 400 °C se expande a 30 kPa en una turbina adiabática con eficiencia isentrópica de 92 por ciento. Determine la potencia producida por esta turbina, en kW, cuando el flujo másico es 2 kg/s. RPTA: 1649 kW 38.- 7-125 C-B 7ed Entra vapor de agua a una turbina adiabática a 7 MPa, 600 °C y 80 m/s, y sale a 50 kPa, 150 °C y 140 m/s. Si la producción de potencia de la turbina es de 6 MW, determine a) el flujo másico de vapor que fluye por la turbina y b) la eficiencia isentrópica de la turbina. RPTA: a ) 6.95 kg/s; b ) 73.4 por ciento 39.- 7-127 Se comprime aire de 100 kPa y 20 °C a 700 kPa, uniforme y adiabáticamente, a razón de 2 kg/s. Determine la potencia requerida para comprimir este aire si la eficiencia de compresión isentrópica es 95 por ciento. RPTA: 459.3 kW 40.- 7-129C-B 7ed Se expande aire de 2 MPa y 327 °C a 100 kPa, en una turbina adiabática. Determine la eficiencia isentrópica de esta turbina si el aire escapa a 0 °C. RPTA: 95.3% 41.- 7-134 Se comprime aire en un compresor adiabático, de 95 kPa y 27 °C a 600 kPa y 277 °C. Suponiendo calores específicos variables y despreciando los cambios en energías cinética y potencial, determine a) la eficiencia isentrópica del compresor y b) la temperatura de salida del aire si el proceso fuese reversible. RPTA: a ) 81.9 por ciento; b ) 505.5 K 42.- 7-138 C-B 7ed La tobera de escape de un motor de propulsión expande adiabáticamente aire de 300 kPa y 180 °C a 100 kPa. Determine la velocidad del aire a la salida cuando la velocidad de entrada es baja y la eficiencia isentrópica de la tobera es de 96 por ciento. RPTA.- 485m/s Balance de entropía 43.- 7-141 C-B 7ed Entra oxígeno a un tubo aislado de 12 cm de diámetro con una velocidad de 70 m/s. A la entrada del tubo, el oxígeno tiene 240 kPa y 20 °C, y a la salida tiene 200 kPa y 18 °C. Calcule la tasa de generación de entropía en el tubo. RPTA: 0.1025 kW/K 44.- 7-146 C-B 7 ed Un intercambiador de calor bien aislado, de coraza y tubos, se usa para calentar agua ( cp _ 4.18 kJ/kg · °C) en los tubos, de 20 a 70 °C, a razón de 4.5 kg/s. El calor lo suministra un aceite caliente (cp _ 2.30 kJ/kg · °C) que entra a la coraza a 170 °C a razón de 10 kg/s. Despreciando cualquier pérdida de calor del intercambiador, determine a) la temperatura de 50
salida del aceite y b) la tasa de generación de entropía en el intercambiador de calor. RPTA: 129.1°C ; 0.736 kW/K
45.- 7-148 C-B 7ed En una planta de producción de hielo, se congela agua a 0 °C y presión atmosférica evaporando R-134a líquido saturado a _16 °C. El refrigerante sale de este evaporador como vapor saturado, y la planta está diseñada para producir hielo a 0 °C a razón de 2 500 kg/h. Determine la tasa de generación de entropía en esta planta. RPTA: 0.0528 kW/K 46.- 7-152 C-B 7 ed Bolas de acero inoxidable de rodamiento (r _ 8 085 kg/m3 y cp _ 0.480 kJ/kg · °C) que tienen un diámetro de 1.8 cm, se van a templar en agua a razón de 1 100 por minuto. Las bolas salen del horno a una temperatura uniforme de 900 °C y se exponen al aire a 20 °C durante un tiempo antes de echarlas en el agua. Si la temperatura de las bolas cae a 850 °C antes del templado, determine a) la tasa de transferencia de calor de las bolas al aire y b) la tasa de generación de entropía debida a pérdida de calor de las bolas al aire. RPTA: 0.02761kW/K 47.- 7-154 C-B 7ed Largas varillas cilíndricas de acero (r _ 7 833 kg/m3 y cp _ 0.465 kJ/kg · °C), de 10 cm de diámetro, se someten a un tratamiento térmico haciéndolas pasar a una velocidad de 3 m/min por un horno de 7 m de longitud que se mantiene a 900 °C. Si las varillas entran al horno a 30 °C, y salen a 700 °C, determine a) la tasa de transferencia de calor a las varillas en el horno y b) la tasa de generación de entropía asociada con este proceso de transferencia térmica. RPTA: a) 958.5kW b) 0.85 kW/K 48.- 7-157 C-B 7ed Una plancha de 1 000 W se deja sobre la mesa de planchar con su base expuesta al aire a 20 °C. Si la temperatura de la superficie es de 400 °C, determine la tasa de generación de entropía durante este proceso en operación estacionaria. ¿Cuánta de esta generación de entropía ocurre dentro de la plancha? RPTA: 1.486 W/K ; 3.413 W/K 49.- 7-159 C-B 7 ed Entra vapor de agua a un difusor a 20 psia y 240 °F con una velocidad de 900 pies/s, y sale como vapor saturado a 240 °F y 100 pies/s. El área de salida del difusor es de 1 pie2. Determine a) el flujo másico del vapor de agua y b) la tasa de generación de entropía durante este proceso. Suponga una temperatura ambiente de 77 °F. RPTA: a) 6.129 lbm/s b) 0.0395 Btu/s R 50.- 7-161 Se expande vapor de agua de una manera estacionaria en una turbina a razón de 40 000 kg/h, entrando a 8 MPa y 500 °C y saliendo a 40 kPa como vapor saturado. Si la potencia generada por la turbina es de 8.2 MW, determine la tasa de generación de entropía para este proceso. Suponga que el medio ambiente está a 25 °C. 51
Respuesta:
11.4 kW/K
Problemas de repaso 51.- 6.89 Se comprime gas nitrógeno de 80 kPa y 27°C hasta 480 kPa mediante un compresor de 10 kW. Determine la tasa de flujo másico del nitrógeno por el compresor, si el proceso de compresión es a) isoentrópico; b) politrópico con n = 1.3 ;c) isotérmico, y d) politrópico ideal de dos etapas con n = 1.3. R: a) 0.048 kg/s; b) 0.051 kg/s; c) 0.063 kg/s, d) 0.056 kg/s 52.- 6.95 En una turbina adiabática ingresa vapor a 8 MPa y 500°C con una relación de flujo másico de 3 kg/s y sale a 30 kPa. La eficiencia isoentrópica de la turbina es 0.90. Ignore el cambio en la energía cinética del vapor y determine a) la temperatura a la salida de la turbina y b) la salida de potencia de la turbina. R: a) 69.1°C, b) 3 052 kW 53.- 6.97(7.106 5e) En una turbina adiabática entra vapor a 6 MPa, 600°C y 80 m/s y sale a 50 kPa, 100°C y 140 m/s. Si la potencia de salida de la turbina es 8 MW, determine a) la tasa de flujo másico del vapor que fluye por la turbina y b) la eficiencia adiabática de la turbina R: a) 8.25 kg/s, b)83.7% 54.- 6.103 Se comprime aire mediante un compresor adiabático de 95 kPa y 270°C hasta 600 kPa y 277°C. Suponga calores específicos variables y desprecie los cambios en las energías cinética y potencial, determine a) la eficiencia isoentrópica del compresor y b) la temperatura de salida del aire si el proceso fuera reversible. R: a) 81.9%, b) 505.5 K 55.- 6.108 Entran gases de combustión calientes en la tobera de un motor de reacción a 260 kPa, 747°C y 80 m/s, y salen a una presión de 85 kPa. Suponga una eficiencia adiabática de 92% y trate a los gases de combustión como aire, y determine a) la velocidad de salida y b) la temperatura de salida. R: a) 728.2 m/s, b} 786.3 K 56.- 6.130 En una turbina se expande vapor estable a una relación de 25 000 kg/h, ingresa a 8 MPa y 450°C y sale a 50 kPa como vapor saturado. Si la potencia generada por la turbina es de 4 MW, determine la rapidez de generación de entropía en este proceso. Suponga que el medio circundante está a 25°C. R: 8.38 kW/K 57.- 6.132 Agua líquida a 200 kPa y 20°C se calienta en una cámara y se mezcla con vapor sobrecalentado a 200 kPa y 300°C. El agua líquida entra a la cámara de mezcla a una tasa de 2.5 kg/s, y se estima que la cámara libera calor en el aire de los alrededores a 25°C a razón de 600 kJ/min. Si la mezcla sale de la cámara a 200 kPa y 60°C, determine a) la tasa de flujo másico del vapor sobrecalentado y b) la tasa de generación de entropía durante este proceso de mezcla. R: a) 0.152 kg/s, 0.297 kW/K 58.- 6.136 A una tobera adiabática entra vapor a MPa y 400ºC con una velocidad de 70 m/s y sale a 2 MPa y 320 m/s. Si la tobera tiene un área de succión de 7 cm 2, determine a) temperatura de salida y b) la tasa de generación de entropía para este proceso. R: a) 370.4ºC, b) 0.0517 KW/K
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