Epistemologia de La Matematica

EPISTEMOLOGIA DE LA MATEMATICA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS ÁRABES La historia de las matemáticas árabes inicia cuando Mahoma, conquista  Alejandría, el centro matemático del mundo durante casi mil años. Durante el primer siglo después de la conquista no hubo gran avance científico Y por ello se dice que éste es el período más negro de toda la historia de las matemáticas, el interés por el saber había desaparecido casi por completo en todo el mundo. Hasta el siglo Vlll cuando califato de Al-Mamum traduce al

árabe las obras griegas (los Elementos de Euclides.) Además se funda en Bagdad la \Casa de la Sabiduría comparable al antiguo Museo de Alejandría. Esta especie de Universidad contaba con un matemático y astrónomo llamado  Al-Khowarizmi, el cual escribió un libro donde describía el sistema de numeración hindú por ello se cree que este sistema viene de esta civilización. Este sistema termino llamándose algoritmo o algorismo, palabra derivada del nombre de Al-Khowarizmi. Actualmente este término se usa para referirse a cualquier procedimiento operativo para resolver un problema. Por otra parte, no se sabe de dónde tiene influencia las matemáticas árabes pero lo más seguro es que su sistema de numeración proviene de la India, su estilo sistemático de Mesopotamia, y el marco geométrico y lógico con que  justifican sus sistema tiene su origen evidente en Grecia. NUMERACIÓN DE LOS ÁRABES Son los números que hoy en día utilizamos para el conteo, se llaman arábigos porque, fueron los árabes los que los introdujeron en Europa, aunque fue la civilización de india la que se los invento se los inventaron, Para el momento en que se empezaron a usar en el norte de África, ya tenían su forma actual, de allí fueron adoptados en Europa en la Edad Media. Su uso aumentó en todo el mundo debido a la colonización y comercio europeos. Este sistema tuvo varios glifos según su ubicación.

Los avances obtenidos en esta civilización, enmarcan al concepto del límite, la introducción de los números racionales e irracionales, especialmente los reales positivos. GEOMETRÍA Su geometría es reflejada en la decoración de las mezquitas y de sus casas ya que no podían poner figuras humanas o de animales. Llenaban todas las paredes, techos, pisos, ventanales.  ALGEBRA La obra más importante del matemático árabe Al-Khowarizmi, el \Al- jabr wa’l muqabalah", fue el libro del que aprendió más tarde Europa el álgebra, por ello se dice se le debería considerar el padre del algebra, a pesar de que su nivel es más elemental, que el de diafono, y presenta un grado de simbolismo menor. Pero está más cerca del álgebra elemental moderna por su exposición sistemática y su Argumentación lógica de las premisas a la conclusión. La obra de Al-Khowarizmi Sólo presentaba un defecto serio que debía ser corregido: sustituir su notación retórica por una notación simbólica, más apropiada para el pensamiento matemático. Esto nunca lo llegaron a conseguir los árabes. TRIGONOMETRÍA  A finales del siglo VIII los astrónomos árabes, que habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que produjo los valores modernos de las funciones trigonométricas. Todos estos descubrimientos se aplicaron a la astronomía y también se utilizaron para medir el tiempo astronómico y para encontrar la dirección de la Meca, lo que era necesario para las cinco oraciones diarias requeridas por la ley islámica Los árabes calcularon tablas precisas en división sexagesimal; entre ellos destacó en particular Abu al-Wafa al - Buzadjami (940 - 997) por las divisiones en cuarto de grado, con cuatro posiciones sexagesimales. Por otra parte, este matemático, introdujo, con otro nombre, la tangente y la secante al lado del seno. Posteriormente se encontró un magnífico ejemplo de empleo de las tablas en las dos trigonometrías por los árabes orientales en el “Tratado del cuadrilátero” de Nasir al - Din al - Tusi (1201 - 1274). En esta obra, el cuadrilátero está formado por un triangulo esférico y un circulo máximo y permite emplear el teorema de Menelao. La resolución de los triángulos planos es expuesta al principio de la obra, de la que compone el libro V, “La proporcionalidad de los senos de los lados a los de los ángulos opuestos” de Abu al - Wafa al -

Buzadjami. Esta resolución dice: “Cuando el triangulo viene dado mediante sus 3 ángulos, se resuelve gracias al triángulo suplementario”.

HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS EN INDIA Los primeros documentos matemáticos hindúes datan del siglo V d.C., sin embargo se piensa que debió haber una actividad matemática mucho antes de esta época. Parte de sus conocimientos geométricos primitivos utilizados en la construcción de templos y altares se encuentran en los sal vasutras o "reglas de la cuerda", versiones de conocimientos que pueden remontarse a la época de Pitágoras.

 ARITMÉTICA NUMERACIÓN DE LA INDIA La numeración india todavía es usada en india, Pakistán, Bangladesh, Nepal, y Birmania se basa en agrupar dos lugares decimales, en lugar de los tres habituales en casi todo el resto del mundo. Este sistema de numeración nos dio un gran avance ya que introdujo separadores entre los números en los lugares apropiados para el agrupamiento de a dos.

Por otra parte en este sistema de numeración aparece el símbolo del cero en el siglo lX, Con la introducción del símbolo para el 0 de la numeración hindú tenemos el sistema de numeración que actualmente usamos. Con una base decimal, una notación posicional, una forma cifrada para cada uno de los diez numerales básicos. La suma y la multiplicación se hacían en la India casi como las hacemos hoy, salvo porque la escritura de los números se hacía con los de orden menor a la izquierda. Para multiplicar 456 x 34 = 15.504 lo hacían de la siguiente manera. La disposición en celdillas es un recurso para evitar las "llevadas", sólo hay que

tener en cuenta las llevadas de las sumas parciales diagonalmente

GEOMETRÍA Entre las obras relacionadas con la geometría esta los aryabhata, siddhantas, y los sulvasutras en la última nos encontramos con reglas para la construcción de ángulos rectos por medio de ternas, cuyas longitudes constituyen a ternas pitagóricas, para la construcción de altares. Pero sin embargo se cree que esta reglas fueron heredaron de los babilonios. También agregó a este libro algunos aportes de los elementos de Euclides. Pero se cree que estas obras fueron basadas en obras de los matemáticos griegos. Los sulvasutras también contenía temas relacionados con la aritmética (fracciones, raíces cuadradas, interés simple, la regla de tres, la regula fácil) y álgebra (ecuaciones lineales y cuadráticas) y progresiones aritméticas । También contiene problemas geométricos. TRIGONOMETRIA Una de las contribuciones de la india a las matemáticas, consistió en la función equivalente al seno en trigonometría, para remplazar las tablas de cuerdas griegas las tablas más antiguas son las encontradas en los siddhantas y en el aryabhata donde se dan los senos de los ángulos menores de 90 grados 0, se tomaba como radio 3,438 unidades y la circunferencia correspondía como 360 *60=21600 unidades, pero para los hindúes en ecuaciones p era la raíz cuadrada de 10 ।  ALGEBRA En la matematica de la india se destacaron cuatro nombres propios: Aryabhata (s।VI), Brahmagupta (s।VI), Mahavira (s. IX) y Bhaskara Akaria (s.XII) quienes Profundizaron en la obtención de reglas de resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas, en las cuales las raíces negativas eran interpretadas como deudas. Desarrollaron también, sin duda para resolver problemas astronómicos, métodos de resolución de ecuaciones diofánticas, llegando

incluso a plantear y resolver (siglo XII) la ecuación x²=1+ay², denominada ecuación de Pelt.

HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS EN CHINA

 ARITMÉTICA SISTEMA DE NUMERACIÓN En china existieron 2 sistemas de numeración en uno los números se representaban por pequeñas varillas de bambú o marfil, este sistema perduro muy poco, ya que se creaban problemas de confusión entre las descripciones de números grandes. El problema más grande con esta notación fue que podría llevar a una confusión. ¿Qué era ? Podría ser 3, o 21 o 12 o incluso 111. El otro sistema es de la forma clásica que a usar desde el 1500 A.C. aproximadamente.

Es un sistema decimal estricto que usa las unidades con símbolo distinto para cada uno de ellos. En este sistema de numeración era fundamental el orden de la escritura ya que 5 10 7 igual podría representar 57 que 75. Los eruditos chinos por su parte desarrollaron un sistema posicional muy parecido al actual que desde que incorporó el cero por influencia india en s । VIII en nada se diferencia de este ।

EL ÁBACO Con esta gran herramienta que se inventaron los chinos y que aun se utiliza, los chinos implementaron su forma de hacer las operaciones básicas en el ábaco nos lo han heredado los chinos conocían bien las operaciones con fracciones ordinarias hasta el puno de que hallaban el mínimo común denominador de varias fracciones, con las fracciones hacían analogías entre sexos, refiriéndose al denominador como “el hijo” y al denominador como “la madre “también

utilizaban el yin y yang aparte de esto adoptaron un sistema decimal en pasos y medidas dio como resultado como resultado la implementación de decimales en el manejo de las fracciones. Después de esto los chinos descubrieron la idea de los números negativos, no les causo muchas dificultades ya que estaban acostumbrados a calcular usando las varillas, uno de color rojo para los positivos y de color negro para los negativos. aunque nunca los aceptaron como solución a una ecuación. LOS CUADRADOS MÁGICOS

Los chinos han sido siempre muy aficionados al diseño armónico, aritmético o geométrico, estos cuadraditos ayudaron al autor de los nueve capítulos a resolver el sistema de ecuaciones lineales. Estos cuadros y diferentes figuras consistían en que en todos sus lados dimismnúmero GEOMETRÍA en la matemática primitiva de china se ve que quizá dependió un poco Mesopotamia ya que tenían el mismo valor para p(3), en la búsqueda valores más exactos, aparece liu hui de donde se obtiene el valor 3,14usando un polígono regular de 96 lados y la aproximación mejor 3,14159

de de de de

TRIANGULO ARITMÉTICO Las obras de yang hui incluían también otros resultados para la suma de series finitas y del llamado triangulo de pascal, pero también son conocidas en el espejo precioso publicado por chu shih-shih, quien maneja estas sumas por medio del método de diferencias finitas y por otra parte el teorema binomial para potencias enteras positivas  ALGEBRA De la época de la primera dinastía Han (206 a. C. hasta 24 d.C.) procede el tratado Matemáticas en nueve Libros. Posteriormente otros matemáticos como Liu Hui (siglo III), Sun-zi (siglos II-IV), Liu Zhuo (siglo VI) y otros hicieron aportaciones a este tratado. El texto trata problemas económicos y administrativos como medición de campos, construcción de canales, cálculo de impuestos,..Trabajan las ecuaciones lineales indeterminadas y un procedimiento algorítmico para resolver sistemas lineales parecidos al que hoy conocemos como método de Gauss que les llevó al reconocimiento de los números negativos. Estos números constituyen uno de los principales descubrimientos de la matemática china. La escuela algebraica china alcanza su apogeo en el siglo XIII con los trabajos de Quin Jiu-shao, Li Ye, Yang Hui y Zhu Shi-jie que idearon un procedimiento para la resolución de ecuaciones de grado superior llamado método del elemento celeste o tian-yuanshu. Este método actualmente se conoce como método de Horner matemático que vivió medio milenio más tarde. El desarrollo del álgebra en esta época es grandioso: sistemas de ecuaciones no lineales, sumas de sucesiones finitas, utilización del cero, triángulo de Tartaglia (o Pascal) y coeficientes binomiales así como métodos de interpolación que desarrollaron en unión de una potente astronomía. El siglo VII vió la enorme gesta de ingeniería que supuso la unión de los dos ríos más importantes de China mediante el Gran Canal de 1700 km. de largo.

SISTEMA DE NUMERACIÓN Este sistema de numeración ha perdurado mucho tiempo, actualmdesignar algunas auposicional, es decir cada símbolo vale siempre lo mismo, no importa dónde esté colocado . Las cifras que son utilizadas son: I, V, X, L, C, D, M।  además de esto los romanos desconocían el cero no tenían ninguna toridades (como papas, emperadores),pero el gran pero de este sistema es que no era buena para el cálculo puesto que utilizaban las letras del alfabeto para representar los números y no es representación para este número ।  ARITMÉTICA SUMA En la suma de los números romanos hay que seguir una serie de pasos como los siguientes, el primero es eliminar la notación substractiva (IV → IIII), después ordenar los términos (CXVI + XXIIII → CXVIXXIIII), ordenar de mayor a menor (CXVIXXIIII → CXXXVIIIII), simplificar el resultado (IIIII → V; VV → X; CXXXVIIIII → CXXXX), añadir notación sustractiva (XXXX → XL) con estos

pasos se haya la solución (CXL). CXVI + XXIV =CXL RESTA Como la suma en la resta también se debe seguir unos pasos para encontrar la solución. Lo primero es eliminar la notación substractiva (IV → IIII), después Eliminar los numerales comunes entre los términos (CXVI − XXIIII → CV – XIII),

Expandir los numerales del primer término hasta que aparezcan elementos del segundo (CV − XIII → LLIIIII − XIII → LXXXXXIIIII – XIII), Repetir los pasos 2 y 3 hasta que el segundo término quede vacío (LXXXXXIIIII − XIII → LXXXXII),  Añadir notación substractiva (LXXXXII → XCII) con esto se puede hallar la

solución. CXVI − XXIV = XCII

MULTIPLICACIÓN Los romanos tenían una forma de multiplicar muy particular, ya que tenían su propio método de multiplicación, pero aunque lo hicieron bien nunca dieron el porqué de este método. Su método consistía en dividir en la mitad el primer número (si es un número impar se ignora el resto), a la vez que vamos duplicando el segundo. Ambas operaciones (duplicar y dar la mitad) las hacían muy rápidamente ya que lo usaban todos los días.

FRACCIONES  Aunque su sistema era decimal, para las fracciones utilizaban el sistema duodecimal Un sistema basado en doceavos (12 = 3 × 2 × 2) permite manejar fracciones comunes como 1/3 y 1/4 । En las monedas se representaba por un punto • una uncia "doceavo", el origen etimológico de la palabra onza. CÁLCULO Y GEOMETRIA Los representantes de la geometría romana como cicerón, vitruvio

, se basan en los trabajos de los matemáticos griegos como Pitágoras, Euclides, Arquímedes. Por otra parte, se dice que roma no aporto a la ciencia. Pero si en otros campos que se relacionan con el cálculo y la geometría como la arquitectura ya que sin estas ramas de las matemáticas, no hubieran podido haber construido nada.

HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS EN GRECIA Se dice que las matemáticas como las ciencias iniciaron en Grecia, pero la realidad es que los mayores exponentes de las matemáticas en Grecia, estudiaron en Egipto Pero que hubiéramos hecho si todos los exponentes griegos no nos hubieran dado a conocer todo sus descubrimientos

EL SISTEMA DE NUMERACIÓN GRIEGO El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un sistema de base decimal, Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acofónico.

Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un principio multiplicativo । Progresivamente este sistema ático fue reemplazado por el jónico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros símbolos ।

TALES DE MILETO  A este matemático de la antigüedad se le atribuyen 5 teoremas de la geometría elemental: 1.-Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales 2.-Un círculo es bisectado por algún diámetro 3.-Los ángulos entre dos líneas rectas que se cortan son iguales 4.-Dos triángulos son congruentes si ellos tienen dos ángulos y un lado igual. 5.-Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es  

EUCLIDES

Sin lugar a dudas la obra magistral de Grecia, fue los elementos por Euclides । (El más famoso matemático de la antigüedad) se conoce poco sobre él, pero de su obra se conoce bastante ।  De su vida se sabe que vivió en Alejandría (Egipto) donde fundó una escuela de estudios matemáticos, fue alumno de la escuela de platón । El contenido de su obra se ha estado (y aún se sigue de alguna manera) enseñando hasta el siglo XVIII d ।C. cuando aparecen las geometrías no euclídeas. Los elementos han tenido más de 1000 ediciones por lo cual se pude decir que Euclides es el matemático mas leído de l a historia. En ella Euclides recopilo, ordeno y argumento los conocimientos geométricos y matemáticos de su época.Construyó su argumentación basándose en un conjunto de axiomas que Euclides llamó postulados. Los famosos CINCO POSTULADOS DE EUCLIDES, los cuales los escribiremos a continuación. 1- Dados dos puntos se pueden trazar solo una recta que los une. ( Solo una línea recta pasa por dos puntos ). 2- Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta ilimitada en la misma dirección.

3- Se puede trazar una circunferencia de centro en cualquier punto y radio cualquiera

.

4- Todos los ángulos rectos son iguales. 5- Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Este axioma es conocido con el nombre de axioma de las paralelas y también se enunció más tarde así: 5-. Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela.

Este axioma, que al parecer no satisfacía al propio Euclides, ha sido el más controvertido y dio pie en los siglos XVIII y XIX al nacimiento de la geometría no-Euclídeas. Los Elementos consta de trece libros sobre geometría y aritmética । PITÁGORAS (c.a. 585 - 500 a.C.) Filósofo, matemático, sabio, investigador, naturalista, aventurero, místico, teólogo, profeta, pero ante todo maestro.es el gran responsable de los términos de filosofía (“amor a la sabiduría”) y matemáticas (“lo que se conoce, lo que se aprende”) y formo un vinculo entre Ciencia, Filosofía, Matemática, Música y

Cosmología. Pitágoras descubrió que existía una estrecha relación entre la armonía musical y la armonía de los números. Si pulsamos una cuerda tirante obtenemos una nota. Cuando la longitud de la cuerda se reduce a la mitad.

La frase pitagórica “el número es la esencia de todas las cosas” es el antecedente de “la

naturaleza está escrita con caracteres matemáticos” de Galileo y el fundamento filosófico-aritmético de la digitalización informática actual.  Además de dar a conocer a Grecia como la cuna del saber y del conocimiento. Pitágoras realizó la primera clasificación de los números y estudió los números perfectos, amigos y poligonales. En geometría se le atribuye muchos de los teoremas elementales escolares sobre triángulos, polígonos, poliedros, rectas paralelas, círculos, esferas, sección áurea, etc. cuyos resultados que nutren una gran parte de Los Elementos de Euclides. Pero fue su obra reconocida la que lo dio a conocer el teorema que lleva su   ARQUIMIDES  A este matemático se le atribuyen innumerables cálculos de áreas y volúmenes; algunos tan importantes y difíciles como el área de la superficie esférica o una vuelta de espiral. Pero solo en el siglo XVI fue entendida. El se enfrento directamente a los prejuicios platónicos, técnicas extraídas de la Mecánica, de lo infinitesimal, lo operativo. Su obra más destacada es el método en donde explica cómo podía descubrir sus geniales teoremas, de círculos, esferas, espirales, parábolas... Entre los más destacados matemáticos de Grecia son Apolonio fue el matemático al que se le considera el padre de las cónicas, circunferencia, elipse, hipérbola y parábola ।  Después de estos matemáticos se destacaron Nicómaco, Herón, Ptolomeo y Diáfanto quien fue el primero en introducir una serie de abreviaturas para las incógnitas y las operaciones aritméticas.Newton edifico su trabajo basándose en el trabajo de los anteriores matemáticos, convirtió el cálculo como una herramienta que impulso de la naturaleza su gran descubrimiento fue el de la teoría de la gravedad y la teoría de la luz. 1. sacado de Matemáticas en Grecia y Roma Ir a Números romanos:  El sistema de numeración romano, esas cifras que aún hoy vemos en muchos de nuestros monumentos, no es una buena herramienta...

HISTORIA DE LAS MATEMATICAS EN BOBILONIA

PRESENTACION HISTORICA Todo comienza cuando sumeria era una civilización avanzada que construía ciudades y disponía de sistemas de irrigación (para calcular el número de trabajadores y días necesarios para la construcción de un canal, y calcular el gasto total en salarios de los trabajadores.) administración e incluso un servicio postal. Desarrollaron la escritura y contaban según un sistema sexagesimal, es decir, en base 60. Alrededor de 2300 a. C. los Acadios invadieron la zona y durante algún tiempo la cultura más atrasada de los Acadios se mezcló con la más avanzada de los Sumerios. Los Acadios inventaron el ábaco, una herramienta para contar, y desarrollaron métodos aritméticos un tanto torpes que incluían sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Los sumerios sin embargo se rebelaron contra el gobierno de los Acadios y alrededor de 1900 a.C. detentaban de nuevo el poder. Los sumerios habían desarrollado una forma abstracta de escritura basada en símbolos cuneiformes (i.e., con forma de cuña). Estos símbolos se escribían sobre tabletas de arcilla húmeda que se cocían al sol; miles de estas tabletas han sobrevivido hasta nuestros días. El uso de un punzón sobre las tabletas de arcilla fue lo que desembocó en el uso de los símbolos cuneiformes, ya que no se podía dibujar líneas curvas. Los babilonios posteriormente adoptaron el mismo estilo de las tabletas en arcilla. Sin embargo la civilización babilónica invadió a los sumarios y los remplazo más o menos desde el 2000 a.c., establecieron su capital entre los ríos Tigris y Éufrates, los babilonios heredaron los procesos matemáticos de los sumerios.

EL SISTEMA DE NUMERACIÓN BABILÓNICO los babilónicos inventaron un sistema de base 60 Para la unidad se usaba la marca vertical que se hacía con el punzón en forma de cuña. Se ponían tantos como fuera preciso hasta llegar a 10 que tenía su propio signo.

De este se usaban los que fuera necesario completando con las unidades

hasta llegar a 60। A partir de ahí se usaba un sistema posicional en el que los grupos de signos iban representando sucesivamente el número de unidades,

60, 60x60, 60x60x60

FRACCIONES SEXAGESIMALES Los babilonios usaban el mismo sistema de numeración para representar las fracciones sexagesimales, es decir con potencias de 60 en el denominador । Cumplían la misma función que nuestras unidades decimales, se incluye el cálculo de la raíz cuadrada de 2 con tres cifras "decimales" sexagesimales. es decir las tres primeras cifras decimales son exactas. LAS OPERACIONES FUNDAMENTALES INCLUIDO EL CÁLCULO DE RAÍCES CUADRADAS Para el cálculo de la raíz cuadrada de un número "a" ingeniaron un proceso que se repite indefinidamente y consiste en: Se elige una primera aproximación a1.A partir de ella se obtiene una segunda aproximación hallando la media aritmética de a1 y el cociente a/a1=b1. De ellos nos han llegado evidencias de tablas de multiplicar, de inversos, de cuadrados y cubos, de raíces cuadradas y cúbicas, de potencias sucesivas de un número, Para la división utilizaban la multiplicación por el inverso ।

TERNAS PITAGÓRICAS Se han hallado evidencias de que los babilónicos ya sabían o estaban enterados sobre el teorema de Pitágoras se dice esto por las formulas halladas en la tablilla Plimpton ।en ella aparecen 322 ternas pitagóricas ६० En donde p2q2, 2pq y p2+q2 ।  Permitió la construir triángulos rectángulos con distintos números y encontraron 38 pares siendo p menor que 60 । GEOMETRÍA Los babilónicos se basaron en la astronomía uno de sus grandes legados y que aun lo seguimos utilizando es El horóscopo. Ellos fueron los bautizaron las doce constelaciones del zodíaco, dividiendo cada una de ellas en 30 partes iguales. Es decir, dividieron el círculo zodiacal en 12 x 30 = 360 partes. De ellos también hemos heredado la división de la circunferencia en 360 grados y la de cada grado en 60.gracias a ellos dividimos hoy día el tiempo, las horas en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. También se estudiaron problemas geométricos relacionados con figuras similares,

área

y

volumen

y

se

obtuvieron

valores

para

π

Los babilonios utilizaban para calcular áreas y volúmenes muchas fórmulas más o menos exactas. Para calcular el área del cuadrilátero hacían el producto de las medias aritméticas de los pares de lados opuestos. El volumen del tronco de cono o pirámide lo hallaban tomando el producto de la altura por la media aritmética de las áreas de las bases. Como ya lo había mencionado utilizaban algunas bases del teorema de Pitágoras evidenciadas en las tablillas Plimpton ।  ÁLGEBRA Los babilonios manejaban con soltura los cálculos algebraicos. Eran capaces de resolver cualquier ecuación de segundo grado y esto hace 4.000 años. Hay que tener en cuenta que hasta la edad moderna no se contemplan soluciones negativas. Hasta esa época estas ecuaciones se clasifican en tres tipos y ellos ya sabían resolverlas todas mediante transformaciones como multiplicar la ecuación

por

un

número”

Para hallar la raíz de 14,30; 15 usan sus tablas de cuadrados o de raíces.

Una de las tablas de uso más frecuente en el álgebra babilónica es la de los valores de n3+n2 siendo "n" un número natural. Utilizaban estas tablas para resolver ecuaciones cúbicas del tipo x3+x2=a. Si en la ecuación aparecían coeficientes distintos de 1 la transformaban para completar el cubo y sustituían la incógnita igual que en las de 2º grado. Así, para la ecuación ax3+bx2=c multiplicaban por a2/b y hallaban ax/b. El uso de la sustitución de la incógnita les permitió resolver algunas ecuaciones de 4º o 8º grado, las que hoy llamamos bicuadradas y esto fue un gran avance para los babilonios. Los babilonios, aportaron muchísimo para la sociedad actual, ya que tuvieron grandes avances en la geometría con las ternas pitagóricas y la división de la circunferencia en 360°y los grados en 60.En el algebra con las ecuaciones de 2°,4° y 8° grado । Además de su sistema de numeración tan ingenioso y qué decir de los nombres que le otorgaron a las constelaciones del zodiaco y el conteo del tiempo que hoy día utilizamos HISTORIA DE LAS MATEMATICAS EN EGIPTO

PRESENTACIÓN HISTÓRICA El Antiguo Egipto es la mayor civilización tecnológica de la antigüedad, el triunfo de la eficiencia y la inteligencia. Se pasa del neolítico a la historia en 2.500 años de acelerados avances técnicos. Los conocimientos científicos de los egipcios, su medicina, sus construcciones, su refinamiento siguen sorprendiendo y atrayendo. Los egipcios supieron solucionar los problemas que se les planteaban: tras la inundación anual del Nilo, las lindes desaparecían y tenían que volverlas a marcar, las construcciones (pirámides, templos,...), el comercio, los repartos. Sus cálculos no eran abstractos, buscaban lo más práctico aunque no tuvieran la resolución y la reflexión teórica que después alcanzarían los griegos. Al contrario que a los matemáticos griegos, no les preocupó la resolución teórica ni la reflexión sobre problemas matemáticos (numéricos, aritméticos o geométricos), sino su inmediata aplicación práctica. Pero, sin embargo, fueron precursores. Los más importantes matemáticos griegos viajaron por Egipto y Babilonia aprendiendo de estos pueblos. Los egipcios fueron los más notables representantes de la raza camita, una raza africana que constituyó el núcleo de los primeros pueblos mediterráneos, y a la que se le suele asignar la mayor parte de las estirpes y lenguas que no pertenecen a las 2 grandes familias : la indoeuropea y la semita. La historia del Egipto Antiguo se divide en 3 imperios con intervalos de dominación extranjera y guerras internas. Egipto conoció un período de esplendor en su economía, literatura y artes. La decadencia del imperio se dio hacia 1075 a. C., a raíz de las diversas invasiones de otros pueblos, las cuales modificaron la división y extensión del territorio de Egipto. Se han hallado, evidencia de hace miles de años antes de toda civilización conocida, huesos con incisiones que muestran un conocimiento y aplicación del

sistema decimal (basado en 10) por yuxtaposición, o mejor aún, flautas en huesos de hace más de treinta mil años- que verifican el uso dSi hace algunos años se enseñaba que la matemática había nacido en Grecia, con figuras como Pitágoras, Eudoxio, Euclides, etc ।, hoy, como ya sabían los griegos, hemos vuelto a recordar que estos sabios aprendieron sus conocimientos de los sacerdotes egipcios.

LA ARITMÉTICA EN EGIPTO La numeración egipcia (escrita) permitía la representación de números mayores que un millón. Utilizaban un sistema aditivo de base decimal con  jeroglíficos específicos para la unidad y cada una de las seis primeras potencias de 10. El 10.000 se representaba con un dedo doblado, el 100.000 con un pez y 1.000.000 mediante una figura humana de rodillas y con los brazos alzados. En un principio escribían los nueve primeros números colocando símbolos de la unidad, uno a continuación de otro; más tarde utilizaron la representación por desdoblamiento mientras los arameos de Egipto usaban un principio ternario Estos jeroglíficos numéricos estaban reservados a las inscripciones sobre monumentos de piedra. Los escribas para realizar los documentos de tipo administrativo, astronómico, etc., fueron simplificando el trazo hasta obtener los llamados signos hieráticos. El escriba o calculador egipcio realizaba operaciones aritméticas elementales, con números enteros y el uso casi exclusivo de fracciones unitarias, es decir, de numerador la unidad. El papiro de Rhind contiene al principio una tabla en la que se expresan las fracciones de numerador 2 y de denominador impar entre 5 y 101, como suma de fracciones unitarias; con ellas efectuaban las cuatro operaciones aritméticas con fracciones । UNIDADES DE LOS EGIPCIOS Medidas de superficie La unidad básica de superficie era el setat (sTAt) que equivalía a un cuadrado de lado 100 codos, es decir 10000 codos cuadrados. Para superficies menores se empleaban el remen (rmn) (1/2 setat), el hebes (Hbs) (1/4 de setat) y el sa (sA) (1/8 de setat), y además existía una medida llamada jata (xA-tA) que equivalía a 100 setat y se empleaba en grandes mediciones.

Medidas de volumen

La unidad de capacidad era el heqat (HqAt), representado como el Ojo de Horus. Se empleaba para medir el trigo y la cebada fundamentalmente y equivalía a unos 4.8 litros. En mediciones más grandes, por ejemplo para almacenes, se empleaba una unidad que podríamos llamar "100 heqat cuádruples". Cada una de las partes del Ojo de Horus era una fracción de heqat y se conocen como fracciones "Ojo de Horus". La división era, considerando el ojo derecho: Las cejas equivalían a 1/8, la pupila 1/4, la parte izquierda de la pupila 1/2, la parte derecha de la pupila 1/16, la parte inferior vertical bajo el ojo 1/32 y la parte inferior diagonal del ojo representaba 1/64 । El Oipe o ipet (ipt) contenía 4 heqat, es decir 19  22 litros। 5 Oipes formaban un jar (XAr)(~ 96 litros), es decir un jar eran 20 heqats (en algunos textos he visto la equivalencia a 16 heqats) y a 2/3 de codo cúbico. Una unidad común en la medida de grano era 100 oipes (20 jar). Existía además una unidad llamada Henu (hnw) que aparece en el papiro Rhind definida como 1/10 de heqat, por tanto unos 0.48 litros, empleada en la medición de perfumes normalmente, aunque parece que también se utilizó en medidas de grano. El ro (r) equivalía a 1/320 de heqat. Esta unidad se empleó sólo en medidas de grano. Cuando se medía el grano en heqats se usaban las fracciones ojo de Horus : 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 y para medidas inferiores a 1/64 de heqat se empleaban mútiplos de ro, de modo que un ro contenía 5 medidas de 1/64 de heqat, y por tanto nunca se utilizaba 1/128 de heqat sino 2 1/2 ro, que era también el término empleado para designar las fracciones. Se empleaba el signo seguido del denominador de la fracción, puesto que sólo se utilizaban fracciones unitarias. Medidas especiales de líquidos

Para medir líquidos se empleaban el Des (ds) o el Secha para la cerveza. Esta última era de muy poco contenido. Para el incienso usaban el Men (mn)y el Hebenet (hbnt). Para el vino se empleaba el Hebenet. No conozco las equivalencias en el SI. Medidas de longitud

Cada división de la regla corresponde a un dedo La unidad básica de longitud era el codo o cubit (mH). El codo original medía unos 457 mm. A partir de la III dinastía se tomó como unidad de medida el codo real, que es el codo más un palmo y equivalía a unos 523 mm. Posteriormente, durante el periodo grecorromano se emplearon el codo griego (~ 462,5 mm) y el codo romano (~ 443,5 mm). El codo se dividía en 7 palmos o manos (Ssp). Existían además otras unidades fraccionarias del codo, como el dedo (yeba) que representaba 1/28 de codo, es decir un cuarto de mano. El nebiu era un codo y medio y la vara (jet) o cuerda representaba 100 codos. Para medidas de longitud grandes se empleaba el rio (iteru) equivalente a 10.5 km (unos 20.000 codos), aunque en algunos textos esta unidad aparece como inferior. El demen era una unidad un tanto curiosa; el doble demen equivalía a la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 codo. Sería el equivalente a la raíz cuadrada de 2 codos, es decir 0.739 metros. NOMBRE NOMBRE EGIPCIO EQUIVALENCIA Codo Palmo Dedo Vara Rio Medidas

meh shesep yeba

1.87 jet iteru de

0।523m 7.471cm cm 52.3m 10.5km peso

La unidad fundamental de peso era el Deben, empleada para intercambios y equivalía a 91 gramos, normalmente de cobre, aunque el valor de los productos podía aparecer expresado en debenes de oro o plata. El qedety era una décima parte de un deben. El Shat o anillo equivalía a medio deben. Otras Unidades Pesu: Unidad que expresa la calidad del pan o la cerveza; se refiere al número de panes fabricados por unidad de peso de grano. Cuanto mayor es el pesu peor calidad tiene el producto fabricado. También se conoce como "fuerza". Se media por el número de unidades que se fabricaban con un heqat. Si con un heqat de grano se fabricaban 20 barras de pan, entonces su pesu era 20. Shaty: Esta unidad es sólo conocida a través del papiro Rhind. En el problema 62 de este papiro se le asigna un valor de 1/12 de un deben de oro. Un deben

de plata contiene 6 shaty y un deben de plomo (?) equivale a 3 shaty. Seqt: Pendiente de una superficie plana inclinada. En mediciones verticales empleaban el codo y en horizontales la mano, que equivalía a 1/7 del codo. El seqt se daba en manos por codos. Setat: El setat era una medida de superficie y equivalía a un jet cuadrado, es decir 10।000 codos cuadrados. A veces se emplea el término griego aurora para designar el setat. Además en el papiro Rhind se emplean signos especiales para denotar 1/2, 1/4 y 1/8 de seta, que posiblemente tuvieron nombres especiales LA GEOMETRÍA DE LOS EGIPCIOS Gracias a los conocimientos de los egipcios no habría podido constar

huir las pirámides o medir tierras, etc... la geometría egipcia junto a la babilónica, fue la precursora de la potente geometría griega La palabra Geometría alude a "medir la tierra". En Egipto, año tras año, el Nilo inundaba los campos, destruyendo con su limo las divisiones cuidadosamente trazadas. Cuando las aguas volvían a su cauce, los agrimensores debían trazar de nuevo los límites de las propiedades de cada propietario. Los agrimensores y constructores de pirámides trazaban líneas sobre el terreno, utilizando una cuerda de doce nudos equidistantes. Con este método dibujaban en el suelo triángulos rectángulos de lados 3, 4 y 5. Dominaban perfectamente los triángulos gracias a los anudadores. Los anudadores egipcios hacían nudos igualmente espaciados que servían para medir; fueron los primeros en observar que uniendo con forma de triángulo, cuerdas de ciertas longitudes se obtiene un ángulo recto, también conseguían mediante estos nudos triángulos rectángulos. Pitágoras recogió toda esta experiencia geométrica para su teorema. Es decir, los egipcios ya conocían la relación entre la hipotenusa y los catetos en un triángulo rectángulo. Utilizaban el más tarde se conoció como Teorema de Pitágoras, pero de forma práctica, no sabían demostrarlo. Entre las fórmulas que tenían para medir áreas, se pueden citar las de superficie del cuadrado (a partir del triángulo), del rectángulo, del rombo y del trapecio. En cuanto al un valor bastante parea del círculo utilizaron una fórmula que daba a aproximado. Los papiros nos han dejado constancia de que los egipcios situaban

correctamente tres cuerpos geométricos: el cilindro, el tronco de la pirámide y la pirámide Para la construcción de las impresionantes pirámides, cubiertas de jeroglíficos, los egipcios obtienen fórmulas que aplican según sus necesidades । El enunciado de uno de los 28 problemas del papiro de Moscú, parece corroborar que los egipcios conocían la fórmula para calcular el volumen de un tronco de pirámide: siendo a, b las longitudes de los lados de la base de la pirámide y h la altura. EL PAPIRO DE RHIND También conocido como el papiro de Ahmes encontrado en las ru

inas de Tebas, este fue comprado por Henry Rhind que tras 5 años de su compra murió y ahora este se encuentra el museo británico de Londres. Este papiro comienza con la frase: “cálculo  exacto para entrar en el conocimiento de todas las cosas existentes y de todos los oscuros secretos y misterios”.  Algunos datos del papiro: mide 6m de largo y 33cm de ancho y representa la mejor fuente de información matemática egipcia conocida. Está escrito en hierático y consta de 87 problemas más su resolución. Este papiro nos da información sobre cuestiones aritméticas básicas, fracciones, calculo de áreas, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales, y trigonometría básica. (Aunque en el papiro también aparecen algunos errores) su escritura parece Ahmes. No se conoce el objetivo del papiro algunos piensan que son claras intenciones pedagógicas o un cuaderno de notas de algún alumno, aunque para nosotros representa una guía de matemáticas del antiguo Egipto । En el papiro antes de proponer el problema da una tabla de descomposición de n/10 para N=1...9 para facilitar cálculos y otra en la que se expresan todas las fracciones del numerador 2 y denominador impar entre 5 y 101 como suma de fracciones unitar

EL PAPIRO DE MOSCÚ También conocido como Papiro Golenischev es casi tan largo como el Papiro Rhid pero tan sólo de unos siete centímetros de ancho. Está escrito por un escriba desconocido de la dinastía XII (sobre 1890 a.C.) y fue comprado en Egipto en el año 1893, conservándose en Moscú, de ahí el nombre. Se trata de una colección de veinticinco problemas resueltos, sobre cuestiones cotidianas, que no se diferencian mucho de los de Ahmés. Compuesto en forma más descuidada que el anterior hay sin embargo dos problemas geométricos que revisten una importancia especial. En el problema 10 el escriba pide el área de una superficie de lo que parece ser una cesta semiesférica de diámetro 4 1/2, y procede a calcularla, resultado sorprendente para la época. Otros análisis del problema sugieren que podría tener una interpretación más sencilla y tratarse de la estimación del área de una superficie semicilíndrica de longitud y diámetro 4 1/2. El número 14 presenta una figura que parece representar un trapecio, pero los cálculos asociados indican que en realidad se trata de un tronco de pirámide cuyo volumen calcula  

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