est nulle en dehors de son support (pour éliminer les termes de bord), on obtient : (4.4) Après un changement de variables classique u = x + et, v = x - et, et le changement de fonction inconnue obtenu en posant f(u, v) = f(x, t) et (0 ): tp > 0 =$ (T, >0 (T , tp) = 0. Fondamentalement, on a supp(^) fi supp(r) = 0 => 0. On parle bien du support de ) = 0 Démonstration. Afin de simplifier la démonstration, on se place sur R, le cas général s’obtient en utilisant des multientiers. On note Ke l’ensemble des points dont la distance à supp(7) est inférieure ou égale à s, et on choisit n suffisamment grand pour que supp(r) c K\ c Ki c iî. On peut construire (par régularisation de la fonction indicatrice) "une fonction ipn telle que , x 1 , supp„ if, (R), on peut supposer supp(0) c [k\,k2\, on a en particulier ) = )9i = 0 Autrement dit, x - Py{x) e V-1. Réciproquement, si xq e V et {x - xo ) € projection orthogonale sur V. € V, (x-Pv(x),) < 0 Comme l’inégalité est vraie pour
Il apparaît que la fonction (u, v) h-> /(« , v) = ft (u) + / 2(0) est solution, puisque par exemple
car les dérivées de
56
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4.2. Espace des fonctions tests
test du type de
Tf \ (/>h-»
f (¡>dA G R
(4.6)
qui appartient au dual de C f, espace que l’on peut munir d’une topologie, et dans lequel on peut faire de l’approximation. On présente au chapitre 8, l’usage de sousespaces de distributions particulièrement adaptés pour la recherche de solutions de certains problèmes aux frontières.
4.2 Espace
des fonctions tests
Dans tout ce chapitre, on se place dans R rf, ramené au système de coordonnées Hi la norme eucli(jq, . . . , Xd). Pour x = { x \,...,x d) e R^, on note \x\
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dienne du vecteur. La topologie de l’espace des distributions est assez complexe, en particulier cet espace est non métrisable. L’exposé qui suit est simplifié et se base sur des caractéri sations séquentielles qui, dans ce cas précis, définissent une topologie équivalente.
Notation S o it
Q un
ou vert d e
Rd. O n
d é s ig n e par
C™(Q) o u D(Q) l ’e n se m b le d e s D(Q) in siste sur
à su p p ort1- co m p a c t à valeu rs d ans R (o u C ). L a n o ta tio n
fo n c tio n s
C°°(Q)
l ’u tilisa tio n d e la
n o tio n d e c o n v e r g e n c e d o n n é e à la d éfin itio n 4 .1 .
Proposition 4.1. D(Q) est un espace vectoriel pour Vaddition et la multiplication
par un scalaire. f. La notion de support est definie en C.8 page 227.
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Chapitre 4 • Distributions
Démonstration. La stabilité des fonctions infiniment dérivables par addition et mul tiplication par un scalaire est connue. De plus : g )e
V(/,
D(Q)2 , supp(/ +
qui est compact.
■
Prouvons de plus que cet espace n’est pas réduit à la fonction nulle. Soit *o € O et fonction C°° à support égal à
(x» B o r) c
fixa ,r(x )
Î e
Q une boule contenue dans Q ; on peut construire (xo. r) '• B
--2-l.v-.rol2
sj |x - x0| C r
(4.7)
0 ailleurs
À titre d’exemple, le tracé de telles fonctions dans les cas des dimensions 1 et 2 est donné sur les figures 4.1 et 4.2.
Figure 4.2 - ^ 0,i sur R 2
Figure 4.1- ^0,i sur R
Notation L’écriture des équations en dimension supérieure à 1 est grandement simplifiée par l’utilisa tion des multientiers pour transcrire les polynômes et les dérivations partielles. Un multientier est un élément de ; pour tout multientier a = {a\.......ac/) e Nrf, tout x ~ ( x \ , . . . , xti) e Q et tout <\>e 2)(Q), on note : m
= |> 1=1
dM
, 1=1
f K ' On rappelle que par convention —- = (p et donc d°
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4.2. Espace des fonctions tests
Définition 4.1 C on ve rge n ce d a n s £>(Î2)
On dit qu’une suite et seulement si il existe un compact (autrement dit Vp, supp(^) c V a = (a, . . . ,
p)eni d’éléments de £>(0) converge vers
- 0
(4.8)
Il s’agit donc d’une convergence uniforme sur la fonction et toutes ses dérivées partielles, sous la condition d’un support commun. C’est une convergence très stricte. Remarque 4.1
Pour le lecteur non familier de ces concepts, il faut noter que la notion de convergence dans ?)(Î2) n’est pas associée à une norme mais à une famille de semi-normes. La construction topologique de D(iï) est traitée dans de nombreux ouvrages comme [17,18].
Il faut bien noter que les fonctions de D sont très pratiques à utiliser : en tant que fonctions continues sur des compacts, elles sont bornées et appartiennent donc à tous les espaces Lp pour 1 < p
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
>
€ R+*
(4-9)
Chaque
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Chapitre 4 • Distributions
Figure 4.3- É l é m e n t s d ’ u n e a p p r o x i m a t i o n de l ’ i d e n t i t é
Figure 4.4- R é g u l a r i s a t i o n d e l ’in d ic a t r ic e d e [ - 1 , 1 ]
Démonstration. Soit / une fonction continue à support compact (/ - / *
/(*)“ f
J r cI
f ( x - y
J ^ ( / W - f(x -
I
c i l Alors :
(4.10)
(f(x) —f ( x — y))e(
JB(e)
où s est choisi tel que B(x, e) + K cQ .f étant continue sur le compact donc uniformément continue et le terme en I/O ) - f ( x - y ) \ peut être rendu aussi petit que voulu en ajustant s (indépendamment de x). ■ Rem arque 4.2
Il est à noter que la convergence uniforme dans la preuve précédente implique toutes les autres formes de convergence. Par ailleurs, ce résultat s’étend aux espaces Ck(£l) avec convergence uniforme sur toutes les dérivées. En utilisant les résultats de densité donnés en annexe C, on en déduit que T> est dense dans les espaces de Lebesgue pour 1 < oo. On dit que
4.3 Espace
des distributions
Définition 4.2
On appelle distribution sur fi toute forme linéaire T continue sur D(O), on note : T ! (j) G !D(i2) h » T((p) = {T, (p) G IR Les « crochets » sont en effet une notation classique en dualité. 60
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4.3. Espace des distributions
Remarque 4.3 i. La linéarité signifie que pour (фу, фг) e D(Q)2 et a € R : (T, фу + афг) = (T, фу) + a(T , фг) ii. La continuité (séquentielle) signifie que pour toute suite (4>p)pen convergeant vers é € £>(Q) : (T ,tp)-> (T ,t) iii. La linéarité implique que la continuité en 0 est équivalente à la continuité dans tout £)(£2).
Notation On désigne par D'(iï) l’ensemble des distributions sur D{iï). Proposition 4.3. ТУ(Q) est un espace vectoriel : pour (Ту, T2) e D'(£ï) et a € C, (aT\ + T2) € D'(D.) au sens suivant : У ф е D(Q) (aTy + T2, ф) = a(Tx, ф) + (T2, Ф) (4.11) Proposition 4.4. Une forme linéaire T sur D(£ï) est une distribution si et seule ment si pour tout compact K c Î2, 3 m^ e N c/ 3 Ck > 0 tels que : i \ \ПФ)\ = К Т , Ф ) \< ск 2 P 'V l b
Уф € D(Q) avec supp(^) c K
(4.12)
Si dans la définition on peut utiliser le même entier m (indépendamment de K) on dit alors que la distribution est d’ordre m.
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Démonstration. Une forme linéaire qui vérifie l’équation (4.12) est clairement conti nue sur D, c’est donc une distribution. Réciproquement, il faut prouver qu’une forme linéaire T continue sur £> véri fie (4.12). On raisonne par l’absurbe : on suppose qu’il existe un compact K de Î2 tel que pour tout entier m et toute constante C > 0, il existe une fonction
(4.13)
On choisit C = m = N, et comme d’après l’inégalité précédente
(4.14)
On en déduit que VN, |(T,
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Chapitre 4 • Distributions
Contrairement à D(Q), on munit D'(Q) d’une topologie très faible (de manière à ce qu’il soit « facile » de converger dans £)'). D éfinition 4.3
On dit qu’une suite de distributions (Tp)p€^ une distribution T si :
converge dans 2)'(Q) vers D (Q ) , (Tp,cf>)->(T,
V0 e
La convergence est dite faible. P roposition 4.5. Si (TpipeN est une suite de distributions et si, pour tout
fo n c ti -
L}ocune fonction localement intégrable. L ’application T f : (p e T)(Q.) i-> (Tf,
f
(4.16)
Jn
est une distribution d ’ordre 0. ii. Soit f e L)oc, g e L)oc alors T f = Tg & f = g PP
(4.17)
autrement dit Ljgc(Lî) peut être injecté dans D '(fï). Démonstration. On a |/0 | < |/| ||0||l" et f est intégrable sur le compact K = supp(0) donc
MX
l/l«7dj ||0||lc°(îî)
ce qui, cumulé à l’évidente linéarité, prouve que T f est une distribution d’ordre 0 (pas de dérivation dans la majoration). 62
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4.3. Espace des distributions
On suppose que / est telle que 7 / = 0. Soit xo e O et 0 tel que 2r) c O, on noteX b(xo,i ) la fonction indicatrice de B ( x q , On pose / = ) e ¿'(O ). On utilise l’approximation de l’identité (pE définie à l’équation (4.9) avec et on pose (pStX : y h*
f(y)
JB (xo ,r )
JÇ1
Par ailleurs, f *
Remarque 4 A
Une conséquence de ce théorème est la confusion fréquente entre une fonction / et sa distri bution associée Tf. Il n’en reste pas moins qu’il est incorrect de parler de la valeur d’une distribution en un point : une distribution n’a de valeur qu’appliquée à une fonction test. Même dans les cas où la distribution peut être associée à une fonction, l’association n’a de sens que presque partout. Exemple 4.1
i.
La distribution de Diracf ô e £)'(1R) est une distribution qui n’est pas associable à une fonction : (ô, (/>) = 0(0). Par ailleurs, |0(O)| < | | 0 | | e t donc la distribution de Dirac est d’ordre 0. ii. La distribution de Dirac en ;co : ôXQ£ D'(Q) \
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Pour tout T e D '(iî), on introduit la distribution conjuguée T par : <î,0> = <7\0>
(4.18)
Remarque 4.5 T est réelle si et seulement si T - T. f. Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984), physicien et mathématicien britannique, considéré comme un des « pères » de la mécanique quantique. Il reçut, conjointement avec Erwin Schrôdinger, le prix Nobel de physique en 1933. $. Oliver Heaviside (1850-1925), physicien britannique, a bien sûr introduit la fonction de Heaviside (aussi appelée échelon unité ou marche), utilisée communément dans l’étude de systèmes en automa tique, mais également reformulé et simplifié les équations de Maxwell.
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Chapitre 4 • Distributions
D éfinition 4.5
Une distribution est dite p o sitive si et seulement si : M
(4.19)
D éfinition 4.6
On appelle su p p o rt d ’u n e distribu tion le complémentaire du plus grand ouvert O tel que supp
vaut 0 en 0 mais (6',
L ’ensemble des distributions à support compact ¿7(0) est le dual des fonctions C°°(0) = £(Î2) (muni de la convergence uniforme sur toutes les dérivées). On a £>(Q) c S(O) et fi'(O) c D'(O ) D ém o n stra tio n , admise
■
Proposition 4.8. Les distributions à support compact sont toutes d ’ordre fini. D ém o n stra tio n . Soit T une distribution à support compact et K un compact de Í2
contenant strictement supp(T). On peut construire (par exemple en régularisant la fonction indicatrice de supp (T)) une fonction / égale à 1 sur supp(T) infiniment dérivable à support dans K. Pour
\(T,tp)\
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4.3. Espace des distributions
On peut alors développer la dérivée en utilisant la formule de Leibniz, et on obtient une nouvelle majoration de la forme :
où C dépend de C et des
||d e / ||z , « , / ?
désignant un multientier inférieur à a J
w
On peut alors préciser le résultat précédent. Proposition 4.9. Soit T e fî'(iî), d ’ordre p.
Si
Ounod. La photocopie non autorisée est un délit.
On écrit alors {T,
|
Z-i nP+i-fi {Ka
P n
La majoration étant valable pour tous les n suffisamment grands, on obtient le résultat. ■ 1'. Dans le cas p = 1, on a :
y , W(f
© 65
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Chapitre 4 • Distributions
4.4 D érivation
d ’une distribution
D éfinition 4.7
Soit T
e
dT dxj
D'(TÏ).Pour tout
jde {1, ...,
dT dxj’
dxj
(4.20)
et donc, par récurrence, pour tout multientier a = ( a i , , a(/) : (ÔaT,ip) = (-l)W
(4.21)
Cette définition a évidemment un sens : D est stable par dérivation, la convergence dans D implique celle de toutes les fonctions dérivées, et le support d’une fonction est réduit par dérivation. De plus, il est clair que si T est une distribution d’ordre fini kf, alors daT est une distribution d’ordre (k+ |a|). P ro p o sitio n 4.10.
(7^)
j,j est une suite de D'(L Ï) convergeant vers T alors :
dT_ dxj
dxj
Démonstration. Soit
(4.22)
e D(Tï). Par suite :
Exemple 4.2 On a H' =ô. En effet : soit
(H’,
p ) = -f (4.23) = - [0]o+°° =
Exemple 4.3 Dérivation usuelle
Soit / une fonction de classe C1 sur R. On va voir que la formule de dérivation des distributions est cohérente avec l’intégration par parties. La dérivée de la distribution Tf associée à / est la distribution associée à sa dérivée : / e C'(R)
=»
66
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4.4. Dérivation d’une distribution
En effet, soit
f f
JR
La dérivation au sens des distributions permet de définir la dérivée d’une distri bution associée à une fonction discontinue (le résultat de cette dérivation est une distribution).
Notation Soit / une fonction présentant une discontinuité en un point *oOn introduit la notation « saut » par : !/!(*>) = /(* o )-/(* « ) Le saut est donc nul partout où une fonction est continue.
Exemple 4.4 Dérivation d ’une distribution associée à une fonction discontinue Soit / e Cj^(R), de classe C1 par morceaux, présentant une unique discontinuité en un point *o- Si on suppose, en outre, que / ' e L)oc{R), alors : (Tf y = Tf + im *o)ôxo En effet, soit 0 e £>(R), on sépare R en des domaines où les fonctions sont suffisamment régulières pour une intégration par parties : <(77)',0> = -<77,0'>
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
(4.24)
= (Tf + U¥so)ôXa,
Exemple 4.5 Considérons le milieu bidimensionnel de R2 constitué de deux domaines homogènes R x R+ et R x R , et étudions l’équation de conservation de la chaleur donnée au sens des distributions : div(g) = s (4.25) 67
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Chapitre 4 • Distributions
Autrement dit, pour cpdans £>(R2) :
(s,
R2
= I J
rxr-
div(q)
= - J*q grad(
R
RxR+
R
On a séparé le domaine d’intégration de manière à intégrer par parties sur des sousdomaines où q était suffisamment régulier. Si on choisit une fonction (pà support dans R x R" ou (exclusif) dans R x R+, on retrouve l’équation div(#) = s au sens classique. Par contre, sur la ligne de discontinuité, on obtient : I[q,jl(y = 0) = o ce qui signifie que le saut de flux normal de chaleur doit être nul (résultat classique en physique). Écrire une loi de conservation au sens des distributions permet donc la prise en compte des cas continus et discontinus. Proposition 4.11. Pour tout T € D'(Q,) et tout multientier a :
supp(ô“T ) c supp(T)
Démonstration. Soit € 0(i2) tel que supp(0) n supp(r) = 0 (donc (T, (p) = 0). Alors : (daT,
4.5 O pérations 4.5.1
P ro d u it p a r u n e fo n c tio n in fin im e n t d é riv a b le
S’il n’est malheureusement pas possible de définir le produit de deux distributions, on peut néanmoins définir le produit d’une distribution par une fonction infiniment dérivable.
68
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4.5. Opérations
Définition 4.8
Soit i// g C°°(i2), et T
G
D'(Ç£). On définit la distribution i//T par : V0
g
£ > (ü )
=
:
Remarque 4.6
Comme if/cp g £ ) ( £ 2 ) , l’expression a bien un sens. Par ailleurs, il faut vérifier que \j/T est bien une distribution. La linéarité est évidente. Pour la continuité : soit (^p) N -> 0 dans £)(Î2), on a (if/T,
0
et concernant une dérivée première (les suivantes s’en déduisent), en omettant l’indice L°°(K) sur les normes pour raccourcir l’expression : 9{
d
^
.
+ 4’l,d7J
d
La convergence au sens de On a alors :
d\p dxj
(Q) de la suite D (pT,
n
permet de conclure.
ip
P ro p o sitio n 4.12.
0
ip€ C°°(iî),
et eT £)'(£!) :
supp(0T) c supp(L) fl supp(^)
(4.26)
Démonstration. Soit (p6 D(Q), tel que : supp() n (supp(r) fl supp(i^)) = 0 Alors : {(//T,
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
4 .5 .2
T ra n s la tio n e t s y m é trie
Notation Pour tout h de O, et tout i, : x
h +ü ,h»
- h)
(4.27)
Définition 4.9
Pour tout h de Q, on désigne par 7), la translatée de la distribution T de définie pour tout
(4.28)
© 69
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Chapitre 4 • Distributions
Notation Pour toute fonction / définie sur par / la symétrisée de / , définie pour tout
Cl(ouvert supposé symétrique par rap xde
m = /(-* )
(4.29)
D éfinition 4.10
On désigne par V(Ci)par :
f la symétrisée de la distribution T €
définie pour tout é d (4 .30)
Remarque 4 .7
(0/0 = ($)-/! Remarque 4.8
Ces formules sont l’analogue des formules de changements de variables dans une intégration : si u est un C1 difféormorphisme de Cl dans Q, pour x g ü on pose x = u~l(x) et pour / g L)oc(ÇÏ) on définit / = / o u g L\oc(Cl), pour 0 g D(Q) ona0 = 0 o u e !D(Ù) et
dAx où on reconnaît notamment l’intervention de la valeur absolue du jacobien du changement de variables. De même, pour un changement de variables dont le jacobien est C°°, on peut associer à T g D \Q ) la distribution f g D'(Cï ) telle que : <7\0> = <7\ det
h
Typiquement, on peut parler de dilatation de distribution (voir le chapitre sur les transforma tions intégrales), de distribution en coordonnées polaires ...
4 .5 .3
C o n v o lu tio n
D éfinition 4.11 C o n vo lu tio n d ’une d istrib u tio n et d ’une fonction
Soit T e D'(Cl) (respectivement &’), et
- (f>
P ro p o sitio n 4.13.
d(T * ) dT d(b * 0 = T * —— et T * (f) G £(fi). dxj OXj dxj ii. supp(r * 0) c supp(T) + supp(0). .
70
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< P x) -
(T ,
4.5. Opérations
iii. T * (0 * if/) = (7* * 0) * 0 = (T * 0) * 0. iv. Pour 0 donné dans D(fï), la fonction de £>'(Î2) dans est injective et continue. v.
qui à T associe T * 0
T donné, la fonction de D(fï) dans fî(iî) qui à 0 associe T * 0 est injective et continue.
Démonstration. Pour simplifier, on ne considère ici que le cas unidimensionnel, Î2 = R et on pose : f(x) = (T * 0)(x). On a alors nx+ h )-f(x) = i
^_u+/o) _
=
D ’après les propriétés de 0,
------- h-------W
^ , ,A
-------------- h------------- ft-iO
Par continuité de
T, on peut passer à la limite dans le crochet : lim 0
f(x + h )-f{x ) = f ( x ) = (T,
Pour l’autre égalité, il suffit de remarquer que
■
Définition 4.12 Convolution de deux d istrib u tio n s
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Soit T et S deux distributions dont au moins une est à support compact, on définit la convolution de T et S comme étant la seule distribution vérifiant : V
( T * S ) * T * (S *< p(4.32)
Remarque 4.9
Cette définition donne bien une unique distribution grâce à l’injectivité de la convolution entre une distribution et une fonction. P roposition 4.14. Soient port compact. Alors : i.
T, S , Utrois distributions dont deux au mo
T * S —S * T. 71
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Chapitre 4 • Distributions
d( T*S) dT dS — -------= — *S = T * — . uXj uXj uXj Ui. supp(r * S) c supp(T) + supp(S). ..
h-
iv. T * (S * U) = ( r * S) * £/ = T * (5 * £/). Proposition 4.15. É lém ent neutre p o u r la convolution
VT 6 £>'(R) : T *ô = T
(4.33)
Remarque 4 . 10 Ce résultat (cas particulier de la translation, prouvé plus bas) couplé à la propriété 4.5, montre que l’approximation de l’identité
Remarque 4.7 7 On peut étendre la définition de la convolution à des cas où aucune distribution n’est à support compact : il faut pour cela que les distributions aient des « supports convolutifs » : étant donné (U, V) e ©'(JR/7)2, on dit que U et V sont à supports convolutifs si, lorsque x e supp(U) et y e supp(V) sont tels que (x + y) parcourt un ensemble borné de R^, alors, x et y parcourent tous les deux des ensembles bornés. Un cas d’application classique concerne les fonctions et distributions « causales » (définies sur R et à support dans R+), que l’on note D+(R) et £>+(R). Toutes les propriétés précédentes restent vraies pour des distributions à supports convolutifs.
Remarque 4.12 On peut définir les deux algèbres de convolution (¿/(R/7)» +, *,.) et (i)+(R), +, *,.). Proposition 4.16. Translation et convolution
V(h,il/) e R x £>(R) : iffh = ôh *i/t V(/i, T) € R x £>'(R) : Th = ôh * T D ém onstration .
Translation d'une fonction i// : V0 G £)(R) : (ôh * ^)(x) = C ô T , fix) = (Ôh, fi-x) = (S, (fi-x)-h) = (5, fi-x+h) = f i ( x - h - 0) = fi(x)h 72
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4.6. Distributions tempérées
Translation d ’une distribution : soit T une distribution et 0 e D. (Ôh * T) * (j) = T * (ôh *
(T,(
=(
T
4.6 D istributions
< {T , px+h) = (T,
,(
-h)=
tempérées
Pour certaines applications (transformations de Fourier notamment), les distribu tions sont définies de façon un peu trop générale. On utilise alors un sous-ensemble des distributions appelé ensemble des distributions tempérées. Ce sous-ensemble est également défini par dualité (d’un ensemble é>(IR^) dit de Schwartz, plus grand que 2)(R^)). Définition 4.13
On définit é>(]Rrf) comme l ’espace des fonctions à décroissance rapide, c’est-àdire des fonctions dont toutes les dérivées multipliées par des polynômes arbi traires tendent vers 0 à l’infini : aet/3 étant des multientiers de IN(/, S ( R d) = \ u e C ° ° ( R d) / V k e t l , sup ( xeRd, |or|<*,
|/
J l
(4.35)
Remarque 4.13 En pratique, il s’agit le plus souvent de fonctions avec une exponentielle négative en facteur, typiquement x e ~ M. Bien sûr, les fonctions de S sont bornées et ont toutes leurs puissances intégrables (S c Lp pour 1 < p
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Remarque 4.14
S est un espace vectoriel stable par dérivation et par multiplication par une fonction polyno miale. Définition 4.14
On parle de convergence dans vS(R^) pour des suites de fonctions dont toutes les dérivées pondérées par n’importe quel polynôme convergent uniformément : une suite tend vers (p dans S si et seulement si, pour tous multientiers a = ( a i ,...,
a d),/3 = i(f, . . . ,
\\xaA
¡5d)d
e :
(4.36)
73
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Chapitre 4 • Distributions
D éfinition 4.1 5
Le dual de ¿»(R^) est l’ensemble des distributions tempérées. La conver gence utilisée est la convergence faible (la même que sur tD'(Rrf)). P ro p o sitio n 4.1 7. Les distributions à support compact sont toutes tempérées.
D (Rd)c
S(Rd)c
£(Rd)et
S'(Rd) c
P ro p o sitio n 4.1 8. Les fonctions L ^fR ^) à croissance modérée (majorées par une
fonction polynomiale), s'identifient à des distributions tempérées. Démonstration. Pour / à croissance modérée, il existe C et iV > 0 tels que pour tout x de ( R d) : )< C( 1 + \ x \ f \f(x Pour f £
Rd) :
IljRrf f
f< pdA <
'R '' JR
(l + \ x \ f \f\dA
qui est bien définie. La linéarité et la continuité s’obtiennent de manière classique. Exemple 4.6
Le Dirac (distribution à support compact) et l’échelon de Heaviside (identifiable à une fonction à croissance modérée) sont des distributions tempérées.
74
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c &
Exercices
C T I Prim itive d ’une d istrib u tio n
1. Trouver les distributions T e 2 )'(R) telles que T' = 0. 2. Soit S € 2)'(R), trouver une primitive T € 2 )'(R) :
=
3. Soit S € 2 )'(R) une distribution telle que S * ait du sens (typiquement une distribution causale). Montrer que S * est une primitive de S € 2 )'(R).
CB V ale u r principale de
£
Cet exercice a pour objectif d’étudier la distribution associée à la fonction r n 4, qui n’est pas localement intégrable sur R. La définition requiert donc un peu de précaution :
1. Vérifier que cette définition a du sens et que
.v
€ 2 )'(R).
2. Trouver une primitive (au sens des distributions) de x On pourra à chaque question vérifier que Vp\ est une distribution d’ordre 1. .v
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
C B
M ultiplication par une fon ction
1. Soit a € C°°(R, R) et T € 2)' (R). (a) On définit a T par e 2)(R), (aT, (p) = {T, a
xT =1 dans 2)'(R).
4. Montrer que xô' = - ô 5. En utilisant les propositions 4.8 et 4.9 montrer que toute distribution à support concentré en {0} est une combinaison linéaire de dérivées de la distribution de Dirac. 75
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Chapitre 4 • Distributions
[litffl) É q u a tio n s d ifférentielles et fo n ctio n s de Green
Soit a une constante réelle strictement positive. On considère l’équation (4.37) au sens des distributions (4.37) 1. On considère le changement de distribution inconnue S = (a) Quelle est l’équation satisfaite par S ? (b) On suppose que S est une distribution causale. Calculer H* ^ et en déduire une solution particulière T de l’équation (4.37). (c) Quelle est la solution U de l’équation ^ distribution de Dirac au point b ?
+ aU
désigne la
2. On considère l’équation au sens des distributions £(G) teur différentiel linéaire à coefficients constants. Soit G € D '(R ) une solution.
où X est un opéra
(a) Soit / une distribution telle que S
ait un sens. Calculer £(S).
(b) En déduire une solution particulière de l’équation ^ + (4teS) Équation différentielle avec d isco n tin u ité s
Soit une poutre horizontale de longueur 3£ reposant sur deux appuis simples, chargée en £ avec F \ = - F { y, et en 2£ avec F 2 = - F { y ■
y
On désigne par T l’effort tranchant et M le moment fléchissant. L’équilibre de la poutre se traduit au sens des distributions par les relations suivantes (Sx désigne la distribution de Dirac au point x) :
et M(£) =
)=0
1. Exprimer T et M en fonction de la distribution d’Heaviside H. 2. Tracer les graphes des fonctions T et M sur [0, 3£] (on prendra F 2 = 2Fi).
76
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Corrigés
Pour aller plus loin Un exercice supplémentaire et son corrigé sont en accès libre à partir des pages d’accueil du livre sur le site www.dunod.com
Corrigés E iil
1. Soit
= ( T ', < p ) = -(T
On commence par chercher à quelle condition une fonction de D(R) peut être la dérivée d’une fonction de D(R). Autrement dit, à quelle condition, pour une fonction 6 £)(R) donnée, existet-il une fonction (p e D (R) telle que ip? Comme les fonctions sont à support compact, elles sont nulles pour des e R suffisamment grands (en valeur absolue). On peut écrire )= et la condition est qu’il faut que L tpdA = 0 pour que
€ D (R) avec I ipdA = 0 Jr
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Soit alors 0 € 0 (R ) telle que On peut écrire ; # = Par suite :
fR 6 =
1, et (P 6 0 (R ).
(fR @dA) 6 + ip avec ip € ®(R) et
(T, 0 ) = |JT OdAj (T, 6) + (T, iP) =
ipdA = 0.
9), 0)
La distribution T s’identifie à la constante (T, 9). 2. On a ( T , (p') = - ( S , (p) T est donc connue sur les fonctions à intégrale nulle : (T,ip) = (S 77
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Chapitre 4 • Distributions
Par suite : ( T , 0 ) = (T,t//) + (T, ( T , 0 ) = (S,
f
t
■oo
La primitive est donc connue à une constante arbitraire (T, 3. On a (S* en traitement du signal. m
près.
H )'= S * H ' = S * ô = S. Pour cette raison, H est appelé int
1. Il convient tout d’abord de s’assurer que cette définition a un sens. La fonction xi -> \étant impaire, il est intéressant d’introdu de
Or, comme
■
CX
'/
(p'(x)= J0
On a montré l’absolue convergence (au sens de Riemann) de l’intégrale. La linéarité de Vp\ est évidente. A La continuité sur 2)(R) s’obtient grâce à la dernière inégalité (si (
= - 2 lim fI
On a |0'(e)ln(£)| < |ln(e)e|||0',||^<» -> 0. 78
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Corrigés
On utilise la parité de 0
l'pour intégrer sur {|x| > e) D (]e, k] U [-jfc, -e[
(Vp\,
ln
0
0,r(x) ln \x\dx = -
jln \x\dx
= -< ln |.|,0 ,) =
On a utilisé la parité de xln |x| et l’absolue intégrabilité (au sens de Riem du logarithme sur tout compact. La valeur principale est la dérivée au sens des distributions du logarithme. Le logarithme étant une fonction localement intégrable sur R, il définit une distri bution d’ordre 0 et donc sa dérivée est une distribution d’ordre 1. f ü
1-
Soit a
€
C°°(R, R) et
e£ T >'(R).
(a) Voir le cours, section 4.5.1. (b) ((aT)',
a(p') = - ( T , (or0)' - a'
= {aT)' =
- ( T , (a
a ') =
\ a
a '{x)T + a{x)T'
2. On cherche à résoudre l’équation
xT -0 dans D '(R ).
(a) Soit 0 € £)(R) tel que <£(0) = 0, on veut montrer que 3 0 - Xip. On a
e 0 (R ) tel que
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Sous cette forme il apparaît clairement que tp est bien C°° et à support com pact supp($) c supp 0 donc
x(p)= 0
(b) Soit 0 \ e 2)(R) tel que tf>i(0) = 1 donnée a priori, et
»
V 0 avec 0(0) = 0,
€ £>(R).
On pose :
ip) = (T,0o) + (T, 01 MO) =
0 X)(ô,
Il suffit alors de poser (T, 0 \) = c. 79
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Chapitre 4 • Distributions
3. D ’après l ’exercice précédent ( xVp\,4>)= V X question précédent assure que les solutions sont définies à un Dirac près, on a donc T -Vp\_+cô.
, =
x
4.
(xô',0) = ( donc xô' = -ô.
ô', x0 ) = -(6 , (x0)') =
5. Soit T une distribution dont le support est le compact (0), d ’après la proposi tion 4.8 elle est donc d ’ordre fini p. Soit 0 € iD(R) valant 1 au voisinage de 0, en utilisant un développant de Taylor à l’ordre p (avec reste intégral), toute fonction 0 e £)(R ) se m et sous la form e :
0W = E
-, a
* {x) + \r(x) x—iœ
où r€ 0 ( R ) est nulle en 0 ainsi que ses p prem ières dérivées. D ’après la pro position 4.9 on sait que (T, r) =0 et donc ^0 )
<7\0> = E < r ’ a^p
= V (-1 a^p
En posant ca = ( -1
f(T ,M - x)){ô(a\
a\
)a(0T , 0 0 ) on obtient T - £ £ =0 ca6(a).
1. (a)
T =
e~atS,% = e~at^ - ae~a,S donc f - = ea,ô = ô.
(b) La convolution entre distributions causales est bien définie, on a H*
dS__dH_ * S —ô * S — S dt dt
or §■ = ôdonc H*<§ = H*Ô = H , puis On a donc, finalement : T = e~atH. La convolution des distributions fonctionne pour des distributions à sup port convolutif, c’est pour cela que la solution de l’équation homogène Ce~at (qui n’est pas causale) n’apparaît pas dans les calculs. (c) Cette équation est obtenue à partir de la première en utilisant le produit de convolution par ôb : c
,
r
c
ôb=
\d t
)
ôb* o
(dT.
dt
Par suite la solution est : U = T b =ôb * T = e~a(,- b)H(t - b)
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,
/c
_
— ôb* I —— i- aT I = ---
Corrigés
2. (a) £(S) = £ ( G * f ) = £ (G ).* f = 6 * f = f . (b) On aV = T * f = e~a,H * f.
5/3
On a :
T
4/3
—---- F\ô\ - F262e = 0 dx T = F\Hi + F2Ü2t + A
dM 0 +T=0 dx -1/: M = - F i H,Oc - C) - F2H2e(x - 2€) - Ax + B M(0) = M(3£) = 0 8 = 0 ,^ = - ^
1
0
-1
^
Figure 4.5- E f f o r t e t m o m e n t l e
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
lo n g d e la p o u t r e
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T r a n s f o r m a t io n s f INTÉGRALES Ce chapitre a pour objectif de présenter des techniques de calculs qui consistent à transformer la fonction inconnue f d ’une EDP en une nouvelle fonction F via une association de la forme : f » F
fQ K(X, x )f(x )d x
:X h
(5.1)
où K(X, x) est appelé noyau de la transformation. Un des intérêts de ce type de transformation peut être de diagonaliser un opérateur différentiel (le laplacien pour la transformée de Fourier, la dérivation en temps pour la transformée de Laplace) et de remplacer des opérations différentielles par des opérations algébriques (produits par des polynômes). Le lecteur pourra trouver plus de précisions dans [6] et des résultats plus poussés dans [1].
5.1 T ransformation
Fourier
de
La transformée de Fourier est définie comme étant à valeurs dans C (même pour des fonctions à valeur dans IR), on considérera donc par défaut des fonctions de à valeurs dans C.
5.1.1
T ra n s fo rm é e d e F o u rie r d ’u n e fo n c tio n in té g ra b le
Soit
u€¿'(R ^). On pose* : Û(co) = ( T ( u))(oj) =
Étant donné que De plus : © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
u(coeRd (5.2)
f
JRd \e~,Xül\= 1, la définition a bien un sens.
(5.3) Ainsi, ||m||l ~ < N |¿ i. Proposition 5.1. L ’application :
T : Û -> L°° fl C° U
h->
ü
(5.4)
est linéaire et continue. d t. x ' ù) = ^
x¡ù)i est le produit scalaire euclidien.
/=1 83
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Chapitre 5 • Transformations intégrales
On peut même préciser Vespace d yarrivée avec la propriété suivante (RiemannLebesgue) : \u( cj)\ — >0 (5.5) \c o \
—*+oo
Démonstration. Pour la démonstration, on travaille dans D{Rd), puis on utilise la
densité de D(]R
f
g - e - *
lUk J ! dxk
\ m
\
<
1 II d v —> 0 N I IIdxk L\ N-H+oo
Par densité, pour Compte tenu de :
u Ù{üj)
eL 1, il existe v dans D ( R d) arbitrairement proche.
(Û(CO) - û(ùj)) + v(üj)
=
on a : |Û ( a > ) | <
dv
U-
H
:
N I dxk que l’on peut rendre aussi petit que souhaité pour \a>\ suffisamment grand. D éfinition 5.1 C o-tran sform ation
On définit la co-transformation T par : f '■C —> Ù
(5.6)
fRrl Û(co)e+iwxdAOJ
P ro p o sitio n 5.2. Translation et symétrie
i.
Translation : pour
h
ii. Déphasage : pour
eR d
he Rd:
:f h{x) = f ( x - h), T(fh) = < F (e~‘
iii. Dilatation : pour a e R : T { f{ax)) = ¿¡!F(/)(^). iv. Symétrie : f(x) = f( - x) , T(u) = f( ü) . t( ï ï) = T(u),
= T(ü).
P ro p o sitio n 5.3. Formule d ’échange
Soient u et v dans O . Alors : I ûvdA = I , uvdA J JlR<' 84
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(5.7)
5.1. Transformation de Fourier
Démonstration. fRj û udA = fR(/ u(x)e lXÜJdAxviojjdA^. O r: \u(x)e~'xt°v((o)\ < |m(jc)d(û>)| Comme (x, a») i-> u(x)v(a>) est intégrable sur (R^)2, on peut appliquer le théorème de Fubini et intégrer dans l’ordre de son choix : f
f
JRd J R*
u(x)e IXÙ>dAxv((o)dA,w >
=
f
f
v(co)e ,XÙ>dAU)u(x)dAx
JR d JR d
= f
vudA
I
■
JR
J Rd
ûvdA
(5.8)
= f uûdA JR*
Proposition 5.4. Dérivation de la transform ée de Fourier d ’une fonction
Si (XjU) G Ll(Rd), alors û est dérivable par rapport à ojj et : dû - — = - i x jU
(5.9)
d ù )j
Démonstration. On veut dériver fRll u(x)e~a wdAx par rapport à (Oj. Pour appliquer le corollaire du théorème de convergence dominée de Lebesgue, il faut regarder si la dérivée partielle est intégrable, ce qui est bien le cas, puisque : âu(x)e~ixùJ - |xj-m(x)| dojj On peut donc permuter intégration et dérivation :
u(x)e
dA}
Jdù)j ~ JiRrf Î ‘
du(x)e~ix<0 ■ LR d
dA, = - i I Xju(x)e ,xtodAx J Rd
d it)j
Proposition 5.5. Généralisation aux dérivées d ’ordre supérieur
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
d
Pour tout multientier a = (ai, . . . , aj) de f îd tel que |or| - ^ a, < k et /=1 (xau) = x“1... xa/u (x) € L{(Rd), alors, û e C k et : âMT(u ) = (-i)MT (xau) d(oa
(5.10)
Proposition 5.6. Transformée de Fourier d ’une dérivée
> , 'du Si u € Cl fl U et - — dxj
G
, Ll, alors :
(OjÛ e L°
et
du uo ¡u = - — dxi
(5.11)
85
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Chapitre 5 • Transformations intégrales
Démonstration. Il s’agit d’une intégration par parties : 7T= OXj
f
J Rrf
= [u{x)e-'™}X ^ l -
ÔXj
1
iX j^ -c o
f
j Rrl
u(x)(-iùjj )e~ix'0JdXx
Pour conclure, il faut montrer que le terme entre crochets est nul, on va donc montrer que u(x) 0. Xj~>± oo
u étant C 1 : CXj du u(x) —u(xi , . . . f 0, . . . , X(i) + I (-^î »• • • i yjj • • • >Xd)dÀyj J o ayj du Comme - — € L1, sa limite quand xj —> +oo existe. dxj u admet donc une limite en ±oo, et, comme u e L1, cette limite doit être nulle. du Par suite, u -> 0, le terme entre crochets est nul et donc : - — = iojjù(oj) *,—>±00
m
dX j
Proposition 5.7. Généralisation d
Si u e Ck, alors, pour tout multientier /3 de f id tel que |/?| = 1=1
ù /r(u )e L °°
et
imù fr{u ) =
(5-12)
Théorème 5.8. (Dirichlet) Inversion de la transformée de Fourier
Si f et f sont dans Ü , alors : f = T ~ lf =
1
rf
(5.13)
(2n )d
Démonstration. Ce résultat sera démontré dans
Étant donné que 0 6 L1, si f = g alors f - g = 0 e t f - g = 0. La transformée de Fourier est donc injective dans Lx. Proposifion 5.10. Transformée de Fourier et convolution
La transformée de Fourier du produit de convolution de deux fonctions f et g de Lx{R rf) est égale au produit des deux transformées de Fourier f*~g = f 9 86
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(5.14)
5.1. Transformation de Fourier
Démonstration. Soit ( / , g)
L'(Rd)2. En reprenant la démonstation de l’inégalité de Young (C.17), on voit que la quantité ( x , y) h-» f(x - y)g(y) est intégrable sur (R.d)2, propriété inchangée par la multiplication par une exponentielle complexe, on peut donc appliquer le théorème de Fubini dans l’expression suivante :
f*g=
f
€
e~,XÙ>
JW
=
f
e -* “
JW
=
f
f
f(x - y)g(y)dAtJdAx
JW f
e-i(x-^ f(x -y )g (y )d A xdAtJ
JW
e~"JW
JW
f
e~'ZÜ>f(z)dAzg(y)dAy = fg
JW
5.1.2 T ra n s fo rm a tio n s u r les fo n c tio n s à d é c ro is s a n c e ra p id e On voit que Ü donne un cadre général pour définir les calculs, mais pose problême, puisqu'il n'est pas stable par transformée de Fourier. On préfère travailler sur d'autres espaces, « plus petits » (mais qui héritent de toutes les propriétés précé: dentes). Théorème 5.11. La transformée de Fourier est un automorphisme de S(Rd). Démonstration. Voir l’exercice corrigé 5.1.
■
Remarque 5.1 D ans cet espace, toutes les h ypothèses des théorèm es (dérivabilité, m ultiplicabilité par un p olynôm e) sont autom atiquem ent vérifiées. La stabilité par m ultiplication perm et m êm e d ’obtenir une relation donnant la transform ée d ’un produit, égale au produit de convolution d es transform ées.
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Notation C om m e S(Rd) est un sou s-esp ace de L^IR^) on peut appliquer le (•, -)Li) à des fonctions de S :
produit scalaire L2 (noté
f fgdA
(5.15)
v (/,< ? )
€
S(Rd)2 : (f, y )L 2
-
Théorème 5.12. Formules de Parsevafi et de P lan ch erez
Soit f et g deux fonctions de
<5-16)
f. Marc-Antoine Parseval des Chênes (1755-1836), mathématicien français. Il a apporté des contribu tions à l’étude des équations différentielles linéaires, à l’intégration, et, bien sûr, aux séries de Fourier. $. Michel Plancherel (1885-1967), mathématicien suisse, spécialiste d’analyse harmonique, de physique mathématique, mais aussi algébriste.
87
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Chapitre 5 • Transformations intégrales
et : №
=
<5 I 7 >
Démonstration. On utilise la proposition 5.3, avec g = h (que l’on peut trouver grâce à l’automorphisme), qui conduit, grâce au théorème 5.8 et à la proposition 5.2, à :
*‘ 5 7 * On a alors : < /,* )* - I f m
- / R/ t a
- fjM
, - J L
= ¿ j( /. 4 .
Remarque 5.2 L a fo rm u le p r éc éd en te m on tre q u e la tran sform ation d e F ourier e s t c o n tin u e d e
S(Rd) d an s
lu iv m êm e q u an d o n m u n it l ’e s p a c e d e la to p o lo g ie in d u ite par c e lle d e L2( R rf). C ’e st m ê m e une
isométrie (au
facteu r
1 p rès). (2 nfl1
Remarque 5.3 Il est p o s s ib le d ’u tiliser u n e
définition alternative d e la
tran sform ée d e Fourier, afin d ’o b ten ir
u n e iso m é tr ie (sa n s facteu r correcteu r), et p ou r la q u e lle la fo rm u le d ’in v er sio n est sy m étriq u e
CF'1 = f ) : ^ a lte rn a tive \
_
I
jRd o u b ien :
u{x)e~2ml0Xdx
1 (In)*2
f
u(x)e-i(0Xdx
( 5 .1 8 )
( 5 .1 9 )
T o u tefo is, c e s d éfin itio n s m o d ifie n t le s résu ltats ex ista n ts (ty p iq u e m e n t, un fa cteu r apparaît d an s la tra n sfo rm ée d ’un p rod uit d e c o n v o lu tio n ).
5 .1 .3 T r a n s fo rm é e d e F o u rie r-P la n c h e re l La densité de SÇRd) dans L2(R.d) et la continuité de T et T~i sur S(Rd) permettent de prolonger T et sur
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5.1. Transformation de Fourier
La démarche de construction de la transformée de Fourier consiste à montrer que Von peut définir une fonction f e L2 comme la limite (en norme L2) d'une suite de fonctions (fi)nen de L1 fl L2 (typiquement fn = fx[-n,n])- On montre alors que, pour tout entier naturel n} fn converge (dans L2) et on définit la transformée de Fourier de f comme la limite de cette suite, ce qui, au final, revient à définir : T ( f ) = lim
f
e~iù)'xf(x)dx
(5.20)
" - + « > J [ _ , V z]
Si f est absolument intégrable, on retrouve alors une expression qui ressemble beau coup à une intégrale de Riemann. Par abus, on s'autorise fréquemment à utiliser la notation (5.2).
5 .1 .4 T r a n s fo rm é e de F o u rie r d es d is trib u tio n s Étant donnée la propriété d'isomorphisme de la transformée de Fourier sur
Notation Pour S e S'(Rd) et 0 € 5(Rrf), on pose :
{§,) = {S,
(5.21)
Remarque SA Naturellement, si S s’identifie à une fonction / , alors : S = /. Proposition 5.1 B. T est un isomorphisme de S'. Les formules sur le déphasage, la
|
translation, la dérivation, sont encore valides sur S'.
o
| Proposition 5.14. Cas des distributions à support com pact
Si T 6
|O |
alors, f est une fonction C°° et :
i- î((o) = (T,e~i“-x)
2 ii. i
da>k
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Chapitre 5 • Transformations intégrales
Exemple 5.7 i. T(ô) = T(ô) = 1 : la transformée de Fourier transforme l’élément neutre de la convo lution en l’élément neutre de la multiplication. ii. Dans R (i.e. en dimension 1), posons : T(\) = S. Alors :
r
= T( 0) = 0 = i # ( l )
Par suite : a>S = 0 et S = cô (cf exercice 4.3). Il en résulte :
(T(l),e-x2/2) = {cô, e~x l2)= c = <1, T { e - x1'2)) = <1, V 2^-"2/2) = V2Í
f e - “ 2/2dÀ = 2 n
Jr
Ainsi* : 1) = 2nô
iii. Dans R^ : T( 1) = (2n)dô.
Remarque 5 .5 Le calcul de la transformée de Fourier d’une convolution de distributions peut poser quelques difficultés (on n’est pas assuré que la convolution de deux distributions tempérées existe, il faut un support convolutif). Quand tout est bien défini, la transformée de Fourier transforme le produit de convolution en multiplication et la multiplication en produit de convolution.
5.2 T r a n s f o r m a t io n
de
La pla c e
Le problème majeur de la transformation de Fourier est qu ’elle nefonctionne simple ment que dans S (ou S f). Si la dépendance en espace conduit souvent à des fonctions dans Sf ce n'est pas le cas du temps où on rencontre fréquemment des phénomènes à croissance exponentielle. L'idée est alors de multiplier la fonction à étudier par une exponentielle décrois sante en temps, de manière à ramener le problème dans S et pouvoir y appliquer la transformée de Fourier Si la transformée de Fourier fonctionne bien sur des grandeurs vectorielles (donc dans un espace à n dimensions)y la transformée de Laplace s'applique principale ment à des fonctions d'une variable'scalaire (le temps). D'autre part, la transformée de Laplace s'applique à des problèmes dont l'état est connu pour t < 0 (c'est l'hypothèse de causalité). t. L’utilisation d’une des définitions alternatives de la transformée de Fourier symétrique donnerait 1 au lieu de 2n.
90
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5.2. Transformation de Laplace
On considère donc systématiquement u(t) = 0 pour t < 0, et on travaille sur des fonctions, ou des distributions, dont le support est limité à gauche (D+(R) et £)+(R)j. Il est fondamental de noter que la convolution est bien définie dans £)+(R) (qui forme pour la convolution une algèbre commutative d'élément unité ô).
5.2.1 D é fin itio n s Notation Pour toute distribution T e £ )'(R ), on définit Vintervalle d ’existence de la transformée de
Laplace de T par :
h = {f € R, e-S’T e 5')
(5.22)
Proposition 5.15.
i. It est un convexe de R (un intervalle) qui peut être vide. ii. Si T G £>+(R), It est soit vide, soit de la forme [£o> +°°[ ou ]fo>+°°[ avec f t e R u {-oo}. Démonstration. i. Soit (£i, £2) € /^. Il faut montrer que, pour 9 e]0 , 1 [ : £ = 0£ i + ( l - 0) f t e / r
é~& Posons : fi(t) = —7- -----7-. H est infiniment dérivable, à valeurs dans [0, 1] et à variations lentes. e~t'T = n(t)e~^'T +n{t)e^2,T e S'(R )
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ii. Dans le cas où T € £>+(R), on considère
/7(0 =
4 > ( t ) e ~ {^
et on pose : ù t
où est une fonction C°° à support limité à gauche, qui vaut 1 sur un voisinage de supp(r). ■
Remarque 5.6 i. Si T e fî'(R), alors h = R. ii. Si T g
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Chapitre 5 • Transformations intégrales
Exemple
5 .2
Si /(/) = e~'\ alors // = R, mais si fit) = e'2 alors // = 0. Définition 5.2
La transformée de Laplace d’une distribution T e O'(IR) est définie, pour et p =f +i q e C, par
£{T){p) = T ( e ^ T ) ( n )
e
/7-,
(5.23)
Exemple 5.3 Transformée de Laplace de la distribution de Dirac Compte tenu de /¿> = R : £ W £ + ip)
= T(e^'ô)in)
rm ù = 1
(5 -2 4 )
P ro p o sitio n 5.16 . On admet le résultat de régularité suivant
pour T e £>'(R), £ (T ) est une fonction complexe de la variable complexe p, holomorphe dans /7 + ® c C t Définition 5.3
On appelle abscisse d ’existence de £ (T ) la borne inférieure de / 7- : £0 = inf(/r).
P ro p o sitio n 5.1 7.
i. Injectivité : £ (T \) = X fT f) sur / 7-, n ii. Dérivation : si T €
dk /ink
If2implique \R), alors — r£,{T) = { - \) k£ {tkT) D
Démonstration. i. L’injectivité de la transformée de Laplace est une conséquence de celle de la trans formée de Fourier sur les distributions tempérées. ii. La dérivation est à prendre au sens de C (on utilise à cet effet le changement de variable (f, rj) —> {p, p), qui conduit à
= -(c% - idfj). Le calcul utilise la
dérivation sous le signe intégral et les formules de la dérivée d’une transformée de Fourier. ■ f. L’holomorphie est une extension de la notion de dérivabilité aux fonctions de la variable complexe. Cette condition est beaucoup plus forte que la dérivabilité dans R, puisqu’une fonction holomorphe sur un ouvert de C est e,i.e. indéfiniment dérivable et égale au voisinage de tout point de l’ouvert lytiqu an à la somme de sa série de Taylor.
92
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5.2. Transformation de Laplace
Remarque 5 .7 D a n s le ca s d e fo n c tio n s, par e x e m p le , /
e Ljoc(R )
et
f(t
< 0 ) = 0 , on p eu t interpréter la pp
tran sform ée d e L a p la c e c o m m e le p r o lo n g e m e n t a n a ly tiq u e d e la tran sform ée d e F ourier d e / (d é fin ie sur l ’a x e im a g in a ire) au d em i-p la n £ > £ 0. L’a b sc is se d ’e x iste n c e £o est alors d éfin ie c o m m e la b orn e in férieu re d e l ’e n se m b le d es £ rendant
e~&f(t) à
cr o issa n c e le n te (i.e . b o rn ée par un p o ly n ô m e ) (c e qui revien t à dire q u e
O n a alors :
£(f)(p) =
f
f(t)e~pidt
(5 .2 5 )
JlR+
5.2.2
P ro p rié té s
Dans ce qui suit, T e i)'(R ) désigne une distribution. On se place sur /7 supposé non vide. Proposition 5.18. Transformée de Laplace de la dérivée d yune distribution
Soit T' la dérivée par rapport au temps de la distribution T. Alors : /7 pour Ç e It : £(T')(p) = p£(T)(p) £(T w )(p) = pk£(T)(p),
c
Ij>, et, (526)
*€N
Démonstration, e &T = (e f'T)' + ¿¡e &T donc e &T' € S' (R) si £ € ï j et £(T')(p) = T(e~^T')(rj) = T{(e
+ ǣ(T)(p)
( 5 .2 7 )
= in T ie -t'T M + Ç£(T)(P) = p£(T)(p)
Remarque 5.8 Transformée de Laplace de la dérivée d ’une fonction © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
E n u tilisan t la d istrib u tion 7 > a s s o c ié e à u n e fo n c tio n / (ca u sa le, d ériv a b le sur R +) sach an t q u e ( Tf Y
= 7 > + [ /](0 )(5
et q u e / ( 0 " ) = 0 par h y p o th è se d e ca u sa lité , o n retrou ve la fo rm u le
d e la tran sform ée d e la d ériv ée d ’u n e fo n c tio n :
soit :
£(Tr ) = M T f Y ) - I/K0)X(d)
(5.28)
£ (/') = p £ ( / )- / (0 )
(5.29)
Proposition 5.19. Translation, déphasage, dilatation
i.
Translation : pour h e R, £(Th)(p) = e phC(T)(p)-
ii. Déphasage : pour h e R, £ ( e hlT) = £(T)h ■ 93
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Chapitre 5 • Transformations intégrales
iii. Dilatation : pour ¡¡e R , £(f(at)) Démonstration. . , ,, , ..tiiicant la translation dans Fourier, On a e-i'Th = e-th{e-&T)h et donc en utilisant £(Th)(p) = e^ hr((e-^ T )h)(v) = e ^ ' ^ T (e^ T M „ , 1 T 1 „ J ’ u n nroduit de convolution Théorème 5.20. Transformée de Laplace d un proau i. Soit T € £>'(R) et S e £'(R). Alors : l j c It*s
(5.30)
£(T * S)(p) = £(T)(p)M S)(p)
(5.31)
et, pour Re(p) € l j :
ii. Soit T € £>;(R) et S e D'+(R). Alors : IT n Is c
I t *s
(5-32)
et, pour Re(p) e î j C\îs : £{T *S)(p) = £(T)(p)-£(S)(p)
(5-33)
Démonstration. On ne démontre que le premier résultat. Si T € £>'(R) et S e fi'(R) : Is = R. Ainsi, si on se place sur l j : é~&T est tempérée et e &S est à support compact. On peut alors définir é~&T * e~&S, qui est une distribution tempérée, e t . e~?T * e-#S = e * \T * S) ce qui conduit à : l j c It*s . Le reste découle des propriétés de la transformée de Fourier.
■
Lemme 5.21. Soit T e D'+(R). Alors :
£(T)(p) = (T ,e-pl)
(5.34)
La notation est à prendre avec précaution puisque e~pt n’est pas dans £)(R), il faut comprendre (T, e-P<) = (e-^T, e-(P-^‘iff) (5.35) oui//e ¿>+(R) est égale à 1 sur un voisinage de supp(T), et Ç\ rend le terme de gauche dans S' (R) et celui de droite dans »S(R), le crochet est celui de la dualité entre S' et S. 94
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5.2. Transformation de Laplace
Théorème 5.22. Valeur initiale
Pour une fonction f causale dérivable dont la dérivée est intégrable sur R + : lim fit) - lim f -£(/)(£) 0+
(5.36)
>+oo
Théorème 5.23. Valeurfinale
Pour une fonction f causale dérivable dont la dérivée est intégrable sur R +, qui admet une limite en + o o t ; lim f{t) = lim p £ if)ip )
f—>+oo
p
(5.37)
—>0
Démonstration. Sachant que ✓ M-oo
£ { f)ip ) =
fit)e~ p,dt = p £ if)ip ) - / ( 0+)
Jo
et que l’on est dans les hypothèses du théorème de Lebesgue pour permuter limite et intégrale, alors :
i. pour p —>0, on a : r*+00 r*+00 f'(t)e~pldt —> f ( t) d t= lim / ( i ) - / ( 0+) J
ii. pour p ->
o
Jo
' ^ +°°
+oo : r
*+oo
Jo
f ( t ) e - p,dt ^ 0
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
On donne une seconde démonstration du théorème de la valeur finale qui ne re quiert pas la dérivabilité de la fonction.
Démonstration. On pose : lim fit)
t —>+oo
Soit s > 0, d’après la définition de la limite, il existe A > 0 tel que : W>A,
|f’- / ( / ) | < !
f. Remarquons que pour que la fonction ait une limite en +oo, 0 doit nécessairement appartenir à l’intervalle d’existence et il faut que les pôles de la transformée de Laplace soient tous strictement négatifs ou éventuellement de partie réelle nulle mais non conjugués.
95
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Chapitre 5 • Transformations intégrales
Comme f0°° pe p,dt = 1, on a :
p
£ № p ) 1= <
K Jo 1 Va
\
jo
+00
I
r*+oo
p e ~ pt f ( t ) d t \ = 1 I
1
{ ( - f ( t ) ) p e ~ p t dt\
Jo
p+oo
l i - f ( t ) \ p e ~ pt d t + J
Ja
pA
< 211/llco J
£
\ ( - f ( t ) \ p e ~ p l dt
p + oo
pe~ptd t + - J
p e ~ p , dt
< 2 | | / | U ( l - « _pA) + |
A étant fixé : lim (1 - e~pA) = 0 = > 3p0 > 0, 1 - e~pr>< —
VRe( p) € [0, p0]
Par suite, pour Re(p) 6 [0, po] :
\{-p £ (f)(p )
+! =e
Exemple 5.4 L e th é o rè m e p erm et d ’affirm er q u e la fo n c tio n d on t la tran sform ée vau t — ------ — a p ou r p(p + 2 ) valeu r fin ale
2
Par co n tre, il n e s ’a p p liq u e p as à la fo n c tio n d o n t la tran sform ée vau t —------- — , p u isq u e P\P ~~2 ) le p ô le en p = 2 im p liq u e q u e la fo n c tio n ten d vers l ’in fini en t -> +oo (m ê m e si la lim ite en 0 d e la tran sform ée m u ltip lié e par
5.2 .3
p e x iste ).
In v e rs io n
La question que Von se pose ici est, connaissant une fonction holomorphe dans une bande de C, à quelle condition est-elle la transformée de Laplace d }une fonction (conditions de comportement à Vinfini) ? Les formules pratiques de transformée in verse font appel à des propriétés des fonctions complexes de la variable complexe non abordées ici. En pratique, pour inverser une transformée de Laplace, on identi fie des fonctions connues (en général des fractions rationnelles réduites en éléments simples). 96
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5.2. Transformation de Laplace
Définition 5.4 Étant donnée une fonction G de la variable complexe p , on appelle original de G la fonction g telle que G = JXg)
(5.38)
T héorèm e 5.24. Dans ce qui suit, G désigne une fonction holomorphe que Von étudie sur son domaine d’holomorphie (bande parallèle à Vaxe imaginaire).
Qe- Re(/?)ûr /.
5/, pôwr tout p du domaine d ’holomorphie de G : \G(p)\ < --------— , alors, \p\2 l ’original g est continu et à support dans [ o r , + o o [ .
ii. S’il existe une fonction polynomiale (fpoi de la variable p telle que, pour tout p du domaine d ’holomorphie de G : \G(p)\ <
e-R
alors, l ’original g est dans L+, et à support dans [a , + o o [ . iii. S’il existe un réel strictement positif a tel que, pour tout entier naturel n, il existe une constante positive Cn telle que, pour tout p du domaine d’holomorphie de G :
Qn e\Re(p)|ûr \G(p)\ <
(1 + \p\r
alors, l ’original g appartient à D (R ) et est à support dans [ - a , a[. iv. S’il existe un réel strictement positif a tel que, pour tout entier naturel n et tout p du domaine d’holomorphie de G : (p)< C(1 + \G
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
alors, l ’original g appartient à fî'(lR) et est à support dans [ a , a[. On donne une formule d ’inversion à titre indicatif. En pratique, on se ramène à des transformées inverses de fonctions connues.
T héorèm e 5.25. Pour une fonction f continue, causale, a support compact, telle que : t„ — £(f){ico) € L l(R )e tT (f ) 6 L 1(IR)
OJ on a
fit) =
e,wl£if)(ioj)doj
(5.39)
97
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Chapitre 5 • Transformations intégrales
Remarque 5.9 Rappels sur la décomposition d’une fraction rationnelle en éléments simples U ne fraction rationnelle R est le quotient de deux p olyn ôm es P et Q :
<5'40> D ésign on s par nP le degré de P , et par nQ celu i de Q. On exclu t le cas où la fraction rationnelle R p ossèd e une partie entière, en supposant nP < u q .
Premier cas : décomposition en éléments simples dans C C étant un corps algébriquem ent clo s, le p olyn ôm e Q p ossèd e exactem ent hq racines co m p lexes
z \, ...» zllQynon nécessairem ent distinctes.
S i on d ésign e par Icq < iîq le nombre de racines distinctes de Q , et, pour tout i de {1, . . . , &g}, par ai la m ultiplicité de la racine z, :
kQ
hq
Vz e C :
Q(z) =
La décom position en élém ents sim ples de
f[(z -
/=1
zù = f ] (z " Zi^ ‘
(5.41)
1=1
R(z) dans C
est de la form e :
_^G_ _Ç*i_ r c '7 /=1 7=1
(Z ~ ZiV
(5.42)
où les C i j sont des constantes à valeurs dans le corps C.
Deuxième cas : décomposition en éléments simples dans R Désignons par Icq < nP le nombre de racines distinctes de g, et, pour tout i de {1, ..., par ai la multiplicité de la racine x¡ ; Q se factorise sous la forme : kQ
V a:
g
kç),
lQ
R : Q(x) = ] ~ [ ]” [( a - x¡)ttl ( a3 x2 + b j x + c j f j
(5 .4 3 )
/=1 7=1 où le s
{ cl j a 2
+
b j
x+
C j),
j = 1, . . . , / q , son t d es p o ly n ô m e s irréd u ctib les d e d eg ré 2, qui
ap paraissent a v ec la m u ltip lic ité /? 7 lorsq u e l ’o n fa cto rise Q.
La décomposition en éléments simples de R(x) dans R est de la forme : kQ
/=1 7=1
^
lQ
Xi)J +
Pi
Djj x + E¡j (üíx2 + bix + c¡)i
où les Cij, D¡¡, Ejj sont des constantes à valeurs dans le corps R .
98
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(5.44)
Exercices
5 .2 .4
F o rm u la ire fit)
£ if )ip )
m
;
tH(t)
»
V
0
S
jt
P >0 0
fit
№
S
e~a,H(t)
JTa
P>~a
fe ~ a,H(t)
(p+n),,+l
P>
cos
(bt)H(t)
î> > °
p W
sin(bt)H(t) e~atcos(bt)H(t) e~at sm(bt)H(t)
a
P >0 P >0
p+a
(p+aŸ+tf P>
a
P^
a
(p+a)2+b2
Exercices Q | Inversibilité de la tra n sfo rm é e de Fourier d a n s
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
L ’objectif de cet exercice est de montrer que la transformation de Fourier est un auto morphisme (application linéaire bijective d ’un espace sur lui-même) de iS(IR), espace des fonctions à décroissance rapide (espace de Schwarz).1234 1. Montrer que / €
_£
ipdéfinie sur R par
3. Montrer que
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Chapitre 5 • Transformations intégrales
Pour / € *S(R),
a€ R, et
f
In(a) =
f(A)
5. Montrer que, pour tout entier naturel non nul
n eN , on considère
et
Jn(a) =
f(a + Jr
) = J „(a). :
M A) =
)
et en déduire que Jn(a) = fR f (a +f )<£(£) En appliquant le théorème de Lebesgue C.6, montrer alors que : lim Jn = 2 n f(a ) U— >+00 6. Montrer par utilisation du théorème de Lebesgue que :
lim i m n— *+oo
= cr f m
En déduire la formule de réciprocité sur
On considère le problème suivant posé sur R : du • dt
d2u _ dx2 u(0, x) = uq(x )
constitué de l’équation de la chaleur unidimensionnelle, assortie d’une condition ini tiale. 1. Donner l’équation satisfaite par la transformée partielle : (t, y)
h
*
u(t,
y ) =I
Jr
e~'x,Ju(t, x)dx
2. Déterminer, pour tout (t, y), l’expression de à(t, y), et en déduire celle de u(t, x) pour tout (t, x).
(HD Lien entre tra n sform é e et série de Fourier Dans cet exercice, on considère des fonctions de la variable réelle, à valeur dans C. T étant un réel strictement positif, une fonction / sur R est dite T -périodique si : VxeR :
On désigne par / 7- = /¡[o,r] la restriction de / à [0, fonction. 100
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f(x+
appelée aussi motif de la
Exercices
On suppose que f T e L2([0 ,T]), et on désigne par Z^.(R) l’ensemble des fonctions T-périodiques dont la restriction à une période est de carré intégrable. On rappelle l’expression des coefficients de Fourier exponentiels de / : p
1
I
r/'.
Jn = —¡= f(x)e Vt J[o,rj
— 2 in n \
T dx
et
1
\
1
>5
lin n x
S f - — ) f ne t Vf ^
La série de Fourier S /, donnée par :
converge vers / dans L |(R ). Si / est de classe C 1 par morceaux, la série de Fourier de / converge simplement vers la régularisée de / :
Si, de plus, / est continue, la convergence est normale. 1. Résultats préliminaires (a) Montrer que L2([0, T]) c L'([0, T]). (b) Montrer que
est une famille orthonormale de fonctions de V / n e Z L |(R ), puis la relier à un problème de Sturm-Liouville* et en déduire qu’elle constitue une base hilbertienne de L|(R ).
(c) Montrer qu’une fonction périodique non nulle et bornée / ne peut pas ap partenir à L'(R), L2(R) ni tS(R), mais, par contre, qu’elle peut être inter prétée comme une distribution tempérée ( / e S' (R)). (d) Montrer que Tiôa) est la distribution associée à x i-» e~mx et que : © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
T(eiaùJ) = 2 nôa (e) Déterminer la transformée de Fourier d’une fonction périodique en identi fiant la fonction à sa série de Fourier. 2. On définit la distribution « peigne de Dirac » (ou distribution de Poisson) par :
n ir = 5 ] <5«r neZ
(a) Montrer que III7 est une distribution tempérée. f. Les problèmes de Sturm-Liouville sont abordés dans le chapitre suivant.
101
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Chapitre 5 • Transformations intégrales
z (b) Soit
f(x + nT). n est T-périodique.
(c) Déduire du développement en série de Fourier de PÎ(x) que :
(d) En déduire que ^ (I I I t-) = 2^111^. (e) Retrouver le lien entre série et transformée de Fourier en montrant que :
f = fr * in T 3. Application : déterminer la figure de diffraction if/ d’un réseau unidimensionnel de fentes rectangulaires. On rappelle : (5.46) où tf/Qest le module de l’onde incidente, À est la longueur d’onde, L la distance à l’écran ; X parcourt le réseau, et y parcourt l’écran. t est le facteur de transmission du réseau, on suppose que celui-ci est constitué de fentes de largeur 21 séparées de d et donc que :
Q ) Principe d’incertitude d’Heisenberg
Cet exercice a pour but de démontrer une formule proche du principe d ’incertitude d ’Heisenbergf On va montrer que le produit de la variance d ’une fonction de *S(R) par la variance de sa transformée de Fourier est nécessairement plus grand qu’une constante, ce que l’on peut traduire par le fait qu’une fonction brève en temps (petite variance) a nécessairement un spectre de Fourier étalé (et vice-versa). Soit
f. Werner Karl Heisenberg (1901-1976), physicien allemand. Il fut l’un des fondateurs de la mécanique quantique, ce qui lui valut, en 1932, le prix Nobel de physique.
102
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Exercices
2. En utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, puis l’égalité de Plancherel, mon trer que : dt|û>202(o»)|
\t2
|
\
3. Montrer que l’égalité est atteinte pour \â fonction gaussienne :
t h-* f(f) —
_£ e 2 V2?r
On rappelle que les résultats suivant sur la gaussienne : {¡/{to) = V2/re-S5"
et
| ip(t)dt = 1 Jr
Systèm e d ’O D E par tra n sfo rm é e de Laplace
On considère le système masses-ressorts-amortisseur de la figure 5.1.
Figure 5.1- Système masses-ressorts-amortisseur
Il est régi par le système différentiel :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
(m ÿ = 1 mx = - k x +
-k y +
-
- x) + f
où x et y sont les fonctions inconnues du temps ( > 0), avec les conditions : *(0) = -y(0) = a,
x(0) = y(0) = 0
La fonction / , qui dépend du temps t, est supposée connue, tout comme le réel a et les constantes positives m, k, y. Utiliser la transformée de Laplace pour résoudre le système différentiel. On prendra y = Vmfc et /(i) =
(t) et oH F m
on posera ^ = co^. 103
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Chapitre 5 • Transformations intégrales
ÍÜ Ü T ra n sfo rm é e de Laplace et équation d e s o n d e s
Soit
c
une constante réelle strictement positive.
Utiliser la transformée de Laplace pour déterminer la solution / : R + x R + —» JR. de l’équation des ondes unidimensionnelles
$J_= l& l dt2 ° dx1 qui satisfait les conditions : fi x , 0) = ^ ( x , 0) = 0 ' / ( 0 , t) = v(t)H(t),
dx
v fonction donnée
lim f(x , r) = 0
V/ e R +
T ra n sfo rm é e de Laplace et so lu tio n p ériod ique
Cet exercice a pour but d’étudier la solution du problème des ondes de tractioncompression dans une barre de longueur finie 0: (x,0 e [0, V où
L]x R +,
§ - ~ c2§
=
c>0 est la célérité, supposée constante.
On commence par deux questions préliminaires : 1. Soit / une fonction causale et pour a 0>, la fonctio pour t > aet 0 pour t < a.Exprimer la transformée de Lap de celle de / . 2 . Soit / une fonction causale périodique sur R +, de période 0. On définit la fonction causale f (extraction de la première période) : 0
t <0
pour
fit) pour € [0, T]
fit) = 0
nour
>
Montrer que :
-et m » =
■£
On revient au problème de la barre. On considère les conditions initiales et limites suivantes fix , 0) = 0 Vx eR+, l d f (x, 0) = 0 dt
' ;
/ ( 0,/) = 0
W e R +,
104
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-df i L , t ) = mH(t) dx
Exercices
où H est l’échelon de Heaviside. Autrement dit la barre est initialement au repos, le déplacement est nul à gauche et un effort d’intensité m est appliqué brutalement et maintenu en L. Soit F la transformée de Laplace (en temps) de / . Soit C la variable de Laplace, F est donc une fonction de x et p, typiquement
3. Montrer que F est solution d’une équation différentielle ordinaire (EDO) en x paramétrée par p 4. Donner la solution générale de cette EDO en x, penser que les “constantes” peuvent dépendre de p. 5. Utiliser les conditions aux limites pour déterminer complètement F. 6. Par identification, déterminer la fonction / .
On pourra exploiter la relation suivante :
Pour aller plus loin
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Des exercices supplémentaires corrigés sont en accès libre à partir des pages d’accueil du livre sur le site www.dunod.com
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Chapitre 5 • Transformations intégrales
Corrigés
1. Soit f e 5(R ) : ttpf ^ \ t ) est C 00 et intégrable Or : t t"f(t) est intégrable, ce qui implique que / est n fois continûment dérivable. / est donc C°°. Par ailleurs : i / (,,)i = i / (n)w i = f
f n\t)e~a ,d t ^ J \f in)(t)\dt < oo
Par suite : \ f {n)it)\dt
l/K
ce qui garantit la décroissance rapide. Le même raisonnement s’applique aux dérivées de / , qui est donc bien dans S(R ). _£ 2 . x h
> 0
Donc (j) e *S(R). De plus, (x, y) i-> e de Fubini : f e~Tdx = ( JR
étant intégrable sur R 2, on peut appliquer le théorème
e~Tdx
WlR
= ( f e~ ^ dxdyj2 = 3.
f
= 0
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J
= V2tt
Corrigés
d’où :
= ae~A2/1 (p(x)dx = V2tt, d’où a = V2Îr, et 0 = y/2n
De plus, 0(0) =
4. I„(a) et Jn(a) existent car / , 0„, / et 0„ sont toutes dans S. De plus : r*+oo f(A)eiaÀ = 1 f(x)e~iÀxdxeiaÀ '-oo f'+OO r*+OO f(x)e-iÀ(x-a)dx = 1 /( Z + a)e~axdX = f(X + a)(A) '-OO J '—o o Jnia) = f f0T+a)(A)4>n(A)dA =: I f(x + a)(j>n(x)dx = Jn(a) KJ
0«(J) =
'R
J
Jr
e~,Àxdx
;
Jr
u
* n
— f e-^e~KAn)undu = n
U a ) = J /( * + a)4>n{x)dx = f f(x + a)n
x= «
6. Le théorème de Lebesgue s’applique, puisque : Vn € N* : \f(a + x)0„(x)| < \f(a + x)|
et x f(a + x) est intégrable sur R. De même : \Ây)4>n(y)e‘ay\< \f(y)\
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Ainsi : lim I f(a + x)(f>n(x)dx = I lim f(a + x)
= f lim lir f(a + -)4>(v)dv n J R ■>+oo = f f(a)
=
f f(y)eiaydy = (Tf)(a) Jr 107
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Chapitre 5 • Transformations intégrales
Or: lim /„(a) = lim J „(a) Par suite : 2nf(a) = (T f)(a ) = T T f ( a ) => T T =
^ -T = T~l
Le théorème de réciprocité sur é>(R) en découle. [!■&&[
1. On applique simplement la transformée de Fourier à l’équation aux déri vées partielles : dû, A
2.
â +!,“ = 0 En résolvant, pour y fixé, l’équation différentielle portant 1 1-> û(t,y), on obtient : û(t, y) = lûJ Il en résulte : u(t, x)- uq(x) * f l(e y2‘). En utilisant le résultat de l’exercice précédent sur la transformée de Fourier de ¿_ x h î 2 avec la formule de dilatation, on obtient : 1
u(t, x) -
_£
uo() *
V4nt
[!?>$]
1. (a) On applique le théorème de Cauchy-Schwarz : •T
1 2dx = 7 ||/||¿ 2([0ir])
ll/llz.1([0,r]) Ainsi, si
fe L2([0, 7]) : II/ II l 2([0,7]) < 00
Il en résulte : ||/llz.'([0,7']) < °° et / e ¿^ [0 , 7]). L’intérêt de cette question était de montrer que les coefficients de Fourier d’une fonction L2ont bien un sens. (b)
Ainsi, pour m = n : ( _ L ein2nf , - ^ e im2nr ) \Vr
yff
Jl 2[0,T]
108
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=1
_
4'
Corrigés
et, pour n i m: ^
_ } _ e '" 2 n T '
Vr
Vt
/¿ 2[0,r]
r
i(ii-m )2 jtlf
2ùr(/i - m) ^
]r _ Q
-1°
On considère le problème de Sturm-Liouville périodique :
(E)
d2f
,F ,
I AO) = AT)
(
l f (0 ) =
% )T )
Les solutions sont de la forme :
t
AelÀt + Be~'ÀI
avec (A, B) € C2
Les conditions aux bords imposent : =
( ¥ ï
ce qui conduit à des valeurs propres doubles et des vecteurs propres de la forme i n r t , qui constituent une base hilbertienne. (c) Si / est non nulle : JQT \f(x)\p dx > 0, et donc :
r"(T+l) H/IIzair) = I \f(x)\pdx = +oo JnT Par suite : / £ Z/(R). Bien sûr, une fonction périodique ne pouvant être à décroissance rapide : / 1 S(R)
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Par contre, une fonction périodique (suffisamment régulière) peut être considérée comme une distribution tempérée. Typiquement, une fonction périodique bornée peut être majorée par un polynôme, ce qui est un critère pour appartenir à S' (R).
(d) < n ôa) , 0 = (ôa, r m = (Sa, f
JR
E t:
{T(eiato),
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Chapitre 5 • Transformations intégrales
(e) Si / est périodique et suffisamment régulière, on l’identifie à sa série de Fourier : /= 2 >
¥
ne Z
En appliquant la transformée de Fourier, on en déduit :
f(ü>) = 2 n Y jfnàif. neZ
Autrement dit, la transformée de Fourier est une somme de Dirac (sur les points multiples de la pulsation) d’amplitude donnée par les coefficients de Fourier. On parle de spectre de raies, caractéristique des phénomènes périodiques, 2 . (a) Soit 0 e S( R). Alors : ( in r ,
ne Z
Comme 0 est à décroissance rapide, on peut trouver A e R tel que, pour tout entier n : A I
110- 0nlli,~(R)
- *
0
11(1 + JC2) ^ - 0n)H¿«(R) —» 0 il en résulte :
№ T )-M k T )\<
110- 0/lll¿”(R) 1 + (IcT)2
puis : (LU7",
\
(.y ~ x)
Le majorant tend vers 0 lorsque (y - x) -* 0. On peut raisonner de même sur les dérivées. 110
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Il0"lb '([«r,(n+l)r]) \y~x\
Corrigés
(C)
{ P % = f T PUt)e~'2f Ld t= f T y
r (k + l)T
f*
_nma
_am
0(0« T dt = I
= 2_J I
R
jç J k T
->(¥) Par suite : (k
l i n Ht
\
1 /s / 2 n 7 ï \
P*T(t) = JjP *T)ne— = Z weZ
linnt
^ r F r ^
/i€Z
'
'
(d) On a : (/ \-\^ l2 n 7 ï\ nnnt
Z te Z
weZ
'
'
Par suite, pour t = 0 :
/fceZ
neZ
'
7
ce qui donne : (lU r, 0) = (IU&, $)
H lr = TOdlij,) T
T ~ \\n T)
=
n i 2s
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
T
La parité de LU conduit alors à : F(H I) = îF(ni) et donc, finalement : T (U ÎT) =
2 ^ U l2 s T
(e) La convolution avec un Dirac équivaut à la translation d’une fonction. Ici, on translate donc le motif une infinité de fois. 11]
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Chapitre 5 • Transformations intégrales
En prolongeant f j par 0 en dehors de [0, T], on obtient : { f T * IH r )( x ) =
* f T){x )
neZ
= YjénTiy), fr(x - y)) neZ
= Y j ('ô^ )’fT (x -(y + nT))) ne Z = J ]fT (x -n T ) ne Z
On peut décomposer tout x e R de manière unique sous la forme :
x = xq + kT,
*o e [0, T[, k e Z
Ainsi :
(fr * UI:r)(-*o + kT) = fy(xo) = f(x o) et : / = S t * fflr
Par suite : f = 2nfr.UÎ2„,T La transformée de Fourier d’une fonction périodique est donc celle du mo tif dont on extrait (via le peigne) uniquement les valeurs à des fréquences qui sont multiples de la fréquence de base. La valeur de la fonction en ces « pics » est égale aux coefficients de Fourier. 3. On a t = III,/ **[-/,/]• Le calcul de diffraction est un calcul de transformée de Fourier :
m
=
O r:
t = 2nX[-l,l].Ul2n/d 112
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Corrigés
Il reste donc à calculer la transformée de Fourier d’une fenêtre, qui fait appa raître un sinus c ardin al : X h ïj] =
I X[-i,i](x )e~iùJXd x
JR = J
e~mxd x = J
sin cos (cox)dx = 2 -------- = 21ù) = 2Î = 2 / sinc(iu/)
cos (
- ùjx) + i sin (-ii> x)dx
(0 )1)sin col
1. Une intégration par parties conduit à : f JR
-
2t
Comme
k
0 >
2(' , i‘" î 1 = 4 ( X * f<' )H
!<4I
t24>2{t)dt J "
Par isométrie (Fourier) :
£ < p'2№
=2. £
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
et donc
dco
f
I J \
\t2J \'((o)\2 d u
De plus : f Ur(o»)|2 do) = f \a>2 ]R
|2 dco
vR
Il en résulte : dco
113
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Chapitre 5 • Transformations intégrales
3. On a :
X
2( t) d t =
¿X e 1y/2n 12Vtt Jfir C /y
«2 du 2 ¿
n
1 2 y/n
et : =
± l t2e 2 n JR
00
1
f » Ml
2/r
2
4
i l f X(‘ - T 2 n JR f ( e -dt T1 1 i 2 n JR
'idt= -
yf
Finalement : œ2\j/2(aj)dt= 2
f
u)2i¡/2(ú))dt n
JR _
~T On pose (variable
v = x -y e tu = ,oyx+n note en majuscule les transformées de Laplace p).
On a :
I
mv = -kv
-
2 t] ù
+
mü = -ku + /
et : w(0) = 0, v(0) = 2a,
) = £>(0) = 0
En appliquant la transformée de Laplace, on obtient alors : r (mp2 + 27 + k)V = 777— + 2inap P
(mp2 + k)U = — P puis :
V=
1_______/Fo + 2ap (p2 + 2cüop >0P + ûJq) \ P
U=
Fo p(p2 + Í02)
ce qui donne :
F0 U= P(P2 + u 20)
Fq/ ù)qF qp/ ùJq (P2 + oj20)
114
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Corrigés
On en déduit : u(t) = ^ H ( t) ( l- c o s ( L ü 0t)) coi, Sachant que (
p 2+
2o)0p +cüq) =
(p + ,on a auss
F0 + 2ap2 _ F o H | 2a - F q/ oj2 p(p +
F q/ ^ q + 2a P
0)q )2
P+ 0)Q
(p + (Jo)2
Par suite : vit) =
- \ m )(l - e°** - co0te-wot) + 2aH(t)e-bJot (1 - coQt) F
Et, finalement : X(t)
u +v =
—
u —V
y(t) = —
(2 - cos(cüot) - e-W0' -
=
t+ a e ^ (1 - "oO
\2 cûq Fo (
=
^ Soit p i-* F(p, x) la transformée de Laplace de de ti-* vit)Hit).
i-» fi t,
(1 -
et
h*
0 V(p) ce^e
En appliquant la Transformation de Laplace à l’équation aux dérivées partieHes ini tiale, on obtient : 2F 2 à f f - ' ÿ =0 ce qui conduit à : F ip,x) = Aip)e-cx + B i p ) e ^
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
La condition lorsque x —> + o o implique Bip) = 0, et on a donc Aip) = V ip)\ ^ reste à conclure en reconnaissant la transformée d’une fonction translatée. F(p, x) =
V ip)e~'x
puis : f i t ,x ) = l>( !• £ ifa )= Î fait)e-P 'dt = T f i t - a) e~p 1dt J R+ J R+
f
f fiu ) f i u ) e- p(l,+a) du = e~pa JR+-a J R+ où on a utilisé la causalité de / pour ramener le domaine d’intégration à R +. =
edu = e
115
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Chapitre 5 • Transformations intégrales
2. Soit /T-périodique, r
p ï.
£ (/)=
r(n+l)T
f(t)e -r 'd t= Y
f(t)e~pldt JnT
+oo =Z I n=0 ( +0°
+oo ~ m e - p(l+nT)dt = Y j e-P"T f{t)e~p ,dt /1=0
I
\/i=0
dF. d2F m 3. On a p2 F - cL— r = 0 avec F(0, p) = 0 et — (L, p) = — dx dx2 4. Cela donne : F(x, p) = A(p)e ^ + B(p)e‘r 5. On a A(p) + B(p) = 0 et -A(p) e~^ + B(p) e'r =
T?f \ = — mc — -----1 - ([ec^ - e F(x,p) Z7 e c + e c
donc
c)
6. On en déduit _3 Lp
me R i - p± \ e f - e F^ p ^ = - ^ { ec ~ e c ) ~ — n s F 1- e c (L-x)p (L+x)p me e c —e c —e p2( 1 - e~~ e v
v
(
(3 L-x) p
c
+e
(.v+3 L) p \
c
J
4L On reconnaît une fonction------périodique, constituée de la combinaison de 4 c rampes retardées. 4L On travaille sur 0 < t < — à x fixé (0 < x < L) : 0
L-x t— c 2L 3L + x
si SI SI
-t
SI
0
si
0
L-x
L-x L+x ------ < t < -------c c L+ x 3L- x ------ < t < ---------c c. 3L - x 3L + x -------- < t < --------c c 3L + x -------- < t
116
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MÉTHODE DE SÉPARATION DES VARIABLES La séparation des variables est une technique simple permettant l ’obtention de so lutions d’une équation aux dérivées partielles. Elle connaît actuellement un grand intérêt pour la résolution des problèmes non linéaires multidimensionnels à grand nombre d ’inconnues.
Considérons une une équation aux dérivées partielles dont l’inconnue est une fonc tion / de deux variables x et t, posée sur un domaine prismatique Ix x It, où et I, sont des intervalles de R. On suppose qu’au moins un des intervalles est borné : Ix = [a, b] , -oo < a < b < +oo et que VEDP est « séparée », i.e. de la forme :
ai'W 0 +
h(0 0 + a2( x ) | F - + b2( t ) ^ + (a3(x) + b3(t))f(x, t) = h(x, t) (6.1)
Le principe de la séparation des variables est de chercher une solution sous la forme : (x, t)
f( x , y) = Y j f ‘(x ’ 0 - X i /€ N
ie N
Différentes approches sont possibles, en fonction de l’espace dans lequel évolue la solution. La méthode employée ici consiste à construire, dans un premier temps, la fam ille des fonctions (X/)/6n (qui constitue en fait une base hilbertienne d ’un espace bien choisi), puis à déterminer les ( r ,-)/e]n et» finalement, à étudier la convergence de / \
la série de fonctions
2>
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
V ie N
Les annexes (B et C) donnent des résultats importants pour la compréhension de ce chapitre.
6.1 Fonctions Soit X une fonction de x 6 dans R. On définit la fonction
à variables séparées Ix,à valeurs dans R, et Y une fonction de X®
X ® Y : Ix x Iy -* R (x,y) ^X (x)Y(y)
Yde 1
’ 117
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Iy,
Chapitre 6 • Méthode de séparation des variables
D éfinition 6.1
L’opération ® est appelée produit tensoriel (ou produit direct). Une fonction de la forme X®Y est appelée dyade, ou fonction à variables séparées. Définition 6.2
T (IXx Iy) étant un ensemble de fonctions définies sur Ix x à valeurs dans R, on définit l’espace vectoriel engendré par les dyades de fonctions de T (JX) et de T {Iy\noté T ( l x) ® T iff), par : V/ €
T(Iy),3Ne N, 3(Xf-, F , ) i e
T( I X)®
x
T( Iy) f :
N f(x,y) = J ] x i(x)Yi(y)
(6.3)
i=1 L’espace ^ ( / A) 0 ^(7^) est appelé produit tensoriel de T (IX) et T (Iy). Remarque 6.1 T ( I x) 0 T(Iy) est un sou s-esp ace vectoriel de T { I x x Iy)• L’adhérence de T { I X) ® est constituée par l ’ensem ble des séries de fonctions conver gentes à variables séparées (dans un sens à préciser : convergence sim ple, quadratique, uni form e).
Lorsque Ix et Iy sont de longueur finie, un cadre particulièrement favorable est L \ I X x Iy). En effet : P ro p o sitio n 6.1. i. L2(IX) ® L2(Iy) est dense dans L2(IX x Iy). ii. L2(IX) ® L?(ly) est muni d ’une norme (la « crossnorm ») qui coïncide avec la norme usuelle de L2(IX x Iy).
Il* ® niz2(W®z2(/,) d= № ( / , ) ! № ( / , ) = P ® Ultfovxi,) iii.
(6‘4)
L2(IX) ® L2(Iy) peut être muni d ’un produit scalaire qui coïncide avec celui de L \ h x Iy)
: Y2)L2Ux)zi2(Iij)= V i , X 2)L2Ux)(Y i , Y2)L2W
= (Xi ® iv. Si (X,),€N
,
® Y2)L2(IxXiij)
une èuse de L2(IX), et ( Y j) j^ une base de L2(Iy), alors
(X¡ ® L/)(,j )
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6.1. Fonctions à variables séparées
Démonstration. Les premiers résultats proviennent directement de la construction de l’intégrale de Lebesgue en dimension 2. Pour montrer que (X,® F;)(,j)eNxN forme une base hilbertienne, il suffit de montrer qu’aucune fonction de L2(IXx Iy) ne peut être orthogonale à toutes les fonctions de la famille. ■ Dans ce chapitre, on sera en capacité d’exhiber une base de l’espace L2(IX) (grâce à l’hypothèse d’intervalle spatial borné, le temps étant en général un intervalle de la forme [0, +°o[).
Remarque 6.2 On considérera, par la suite, des fonctions du temps t et de la variable d’espace x. Il est possible de travailler sur des fonctions de l’espace à 2 ou 3 dimensions grâce à la propriété 6.1, qui autorise à utiliser la forme séparée a priori. Reprenons l’équation aux dérivées partielles de référence. L’absence de termes en dérivées croisées (dxdt) peut être obtenue par mise sous forme standard, qui assure, en outre, que le terme a i ne change pas de signe. On suppose donc celui-ci positif. Par linéarité, on commence à s’intéresser à l’existence de solutions du problème homogène 'Ph constitué de l’équation
ai(x)X"(x) T(t) + bx(t)X(x) T" (f) + a2(x)X'(x) T(t) + b2(t)X(x) T'if) + (a3(jc) + b3(t))X(x) T(t) = 0 assortie de conditions homogènes sur le bord de Ix, notées C#, sur une dyade (x, t) hh> X(x)T(t) non trivialement nulle, ce qui conduit à :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
b\T"{t) + b2T'(t) + b3 = m
axX"jx) + a 2X'(x) + a3 x{x)
Le membre de gauche ne dépend que de la variable t, et celui de droite ne dépend que de la variable x : chacun de ces deux membres doit donc être égal à la même constante A € R :
bi T"(t) + b2T \t) + ¿3 m ~
a{X"(x) + a2X'(x) + a3 X(x)
(6.7)
avec, toujours, les conditions homogènes sur le bord de IX,C^ Par suite :
aiX"(x) + a2X'(x) + a3
= -A=> axX"{x) + a2X'(x) + a3 + AX(x) = 0
( 6 . 8)
119
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Chapitre 6 • Méthode de séparation des variables
rx (J2({/) , En introduisant la fonction x i-» p(x) = e-™ lJ, puis, en posant î
ai
, wu
obtient :
Ix r>lx CH
+ q^ X + ÀS^ X = 0
(6.9)
qui est un problème aux valeurs propres particulier en (A, X) appelé problème de Sturm-Liouville. Sous certaines hypothèses, assez faibles, le spectre résultant est discret : (/!,-),eN> et les fonctions propres associées forment une base hilbertienne de l’espace L2(IX)K À l’aide de cette base, on cherche les fonctions (T,-)/€ff telles que l’équation aux dérivées partielles non homogène et les conditions initiales soient respectés.
6.2 P ro b lèm e
de
S t u r m -L io u v ille
On étudie dans cette section le problème aux valeurs propres exhibé précédem ment (6.9). On donne, pour différentes configurations, les résultats d’existence de bases propres hilbertiennes. Dans ce qui suit, on travaille sur un intervalle I de IR, p désigne une fonction po sitive de classe C1, q une fonction continue, et s une fonction continue et strictement positive. On introduit l'opérateur de Sturm-Liouville S £ , défini par :
“ » -K s i'f M
<6-io)
et le problème aux valeurs propres associé :
S£(X) +
=0
(6.11)
L’opérateur S £ est a priori défini sur l’espace des fonctions de classe C2 sur R. f. On remarque que s > 0 et q = a^s. f. On rappelle que L\{IX) est l’espace de Hilbert formé par les fonctions dont le carré pondéré par la fonction s est intégrable, voir la remarque B.3
120
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6.2. Problème de Sturm-Liouville
On plonge cet espace dans le produit scalaire :
).
(
L2(I),et, à l’aide d’intégrations par pa
f r s { i { pï h
q f) gsdx
f f c é [ p% ) + ‘" f s ) ‘u df
¡ i fU
p î ) +,,9fs) d x - pgT x - p f Tx Jdl
( /, S £ (g ))L2(I)
df dg P9Tx - p f Tx ai
Dans la suite, on choisit l’intervalle I et les conditions aux limites tels que le terme de bord s’annule, l’opérateur de Sturm-Liouville est alors auto-adjoint dans ): V(f>9) e £?(/) >
( S £ ( f) , g)L2{,) - ( /,
Le caractère auto-adjoint conduit à l’orthogonalité des vecteurs propres associés à des valeurs propres différentes : si (A, f ) et (ji, g) sont des couples valeurs-vecteurs propres avec A ï n ,on a directement : (Af, 9)l]{I) ~ (S £ { f),
- ( /. S £ (g ))L2(l) - (f,H9)ûsv)
et donc (A - n) ( /, g) ¿2(11 = 0 ce qui n’est possible que si et sont orthogonaux. On se retrouve donc dans une configuration analogue à l’étude des matrices sy métriques en dimension finie. On admet que l’opérateur de Sturm-Liouville (défini sur un espace de dimension infinie) satisfait les hypothèses nécessaires à l’existence d’une base hilbertienne propre dans laquelle il est diagonal.
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Définition 6.3
Soit I = [a, b] c R. On suppose que p est à valeurs strictement positives. Les conditions aux limites sont de type Dirichlet ou Neumann ou Fourier, on les écrit de manière générique sous la forme :
i a 0/(tf) + tfi/'(a ) = 0 \ b Qm + bl f ( b ) = 0
avec (<2o , 0i.^o. ¿h) e R 4/
^
(6.12)
Sous une telle configuration, on parle de problèm e régulier de Sturm -Liouville.
121
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Chapitre 6 • Méthode de séparation des variables
P ro p o sitio n 6.2. On admet les résultats suivants pour le problème régulier
i.
Il existe une famille dénombrable non bornée de valeurs propres réelles simples Uol < |/li| < ... < |/1„|
avec
lim |/l„| = +oo
n -> + o o
ii. Pour tout entier naturel n, la fonction (pn associée à An vérifie :
d_ dx iii.
+ (q + sÀn)
(6.13)
Pour tout entier naturel n, (pn a exactement n zéros sur ]a, b[ ; de plus, les zéros de
iv. Si
f € L2s([a, b]), alors, la série de fonctions | Ç ( / , n)L2s(iaM)^nj converge vers
f dans L%([a, b]) (convergence quadratique). Si f est de classe C 1par morceaux, la convergence est simple vers la régularisée .
f ( x +) + f(x~)
Si, de plus, f est continue, la convergence est uniforme sur [a, b]. Définition 6.4
Soit [a, b] g R. p est supposée à valeurs strictement positives. Les fonctions don nées et les conditions aux limites sont supposées compatibles avec un comporte ment périodique : ( p(a) = p(b) q(a) = q(b) { s(a)= s(b)
et
m = fia ) =
(6 .1 4 )
On parle alors de problèm e périodique de Sturm -L iouville. P ro p o sitio n 6.3. On admet que le problème périodique possède les mêmes pro
priétés que le problème régulier, à l ’exception suivante : 4o est une valeur propre simple, mais les valeurs propres suivantes peuvent être multiples. On appelle problèm e de Sturm -L iouville singulier un problème qui ne vérifie pas les hypothèses précédentes. De nombreuses fonctions spéciales entrent dans cette catégorie. On donne quelques cas classiques. 122
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6.2. Problème de Sturm-Liouville
Proposition 6.4.
On se place sur le segment [-1 ,1 \ et on suppose que, pour tout x de [ - 1 ,1 ]: p(x) = (1 - x2) , q(x) = 0 ,
î (jc)
= 1
Si on cherche des solutions à valeur finie en ±1, on obtient les polynômes de Le gendref (/>n)n6N, pour lesquels : Àn = n (n + 1)
(6.15)
Pour tout entier naturel n, Pn est solution de l’équation différentielle : (1 - x2)P”(x) - 2xP'n(x) + n(n + 1)Pn(x) = 0
(6.16)
et donc : fi*2 - •>"] V a: € ( - 1, 1]
(6.17)
Les polynômes de Legendre forment une base hilbertienne de L2( [ - 1,1]). Pour tout entier naturel n, Pn a la même parité que n, et possède n zéros sur ]-1 ,1 [, qui séparent ceux de Pn-\. Proposition 6.5.
On se place sur R tout entier, et on suppose que, pour tout réel x : p(x) = s(x) = éT*2 , q(x) = 0 Si on cherche les solutions à croissance modérée (majorées par un polynôme) à Vin fini, on obtient les polynômes d ’Hermite* {Hn)n £ pour lesquels :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Àn = 2 n
(6.18)
Pour tout entier naturel n, Hn est solution de Véquation différentielle : H;;(x) - 2xH'n(x) + 2nHn(x) = 0
(6.19)
t. Adrien-Marie Legendre (1752-1833), mathématicien français. Il a apporté de nombreuses contribu tions en statistique, théorie des nombres, algèbre et analyse. t. Charles Hermite (1822-1901), mathématicien français, qui travailla, notamment, sur la théorie des nombres (il a démontré que la base e du logarithme népérien était un nombre transcendant, i.e. qui n’est pas racine d’un polynôme), les formes quadratiques, polynômes orthogonaux, les équations dif férentielles et les fonctions elliptiques. Il fut, également, l’un des premiers scientifiques à utiliser les matrices.
123
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Chapitre 6 • Méthode de séparation des variables
et donc : H M =
(- ])’> '
, dne~^
e:ê — —
Vxe R
(6.20)
Les polynômes d ’Hermite forment une base hilbertienne de L2 2(R). e-v //s vérifient les mêmes résultats d ’existence des zéros et d ’entrelacement de ceux-ci que les polynômes de Legendre. Proposition 6.6.
On se place sur R +, et on suppose que, pour tout réel positif x : p(x) = s(x) = e- * , #(;c) = 0 5/ on cherche les solutions à croissance modérée (majorées par un polynôme) à l ’in fini et à valeur bornée en 0, on obtient les polynômes de Laguerre* (Ln)ne^, pour lesquels : Àn = n (6.2 1)
Pour tout entier naturel n, Ln est solution de l’équation différentielle : + (1 - Jt)L'(jt) + nLn(x) = 0
(6.22)
K(x) = - e x {dxn > Sx € R +
(6.23)
jcL"( jc)
et donc :
Les polynômes de Laguerre forment une base hilbertienne de L2_,(R+). Ils vérifient les mêmes résultats d ’existence des zéros et d ’entrelacement de ceux-ci que les polynômes de Legendre et Hermite. Proposition 6.7.
Pour a > 0 et v > 0, on se place sur [0, a\, et on suppose quet pour tout x de [0, a] : v2 p(x) = s(x) = x , q(x) = ---JC
Si on cherche les solutions à valeur finie en 0 et valant 0 en a, on obtient la fonction de Bessel de première e s p è c e d ’indice v, Jv. t. Edmond Nicolas Laguerre (1834-1886), mathématicien français, qui apporta de nombreuses contri butions à l’analyse et la géométrie. t. Ces fonctions furent découvertes par Daniel Bernoulli, mais portent le nom du mathématicien et astronome allemand Friedrich Bessel (1784-1846) , qui les utilisa pour la résolution de problèmes de mécanique céleste faisant intervenir la théorie des perturbations. F. Bessel effectua notamment, en 1838, les premières mesures précises de la distance d’une étoile à un autre corps céleste. Il calcula également le diamètre et la masse terrestres, ainsi que la valeur de l’aplatissement aux pôles.
124
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6.2. Problème de Sturm-Liouville
Pour tout entier strictement positif n, la fonction x problème de Sturm-Liouville pour lequel
h» J v( s „ x )
est solution du
=4
(6.24)
où (a sfl)neisj* est la suite (infinie) des zéros de Jv. Pour tout entier strictement positif n, la fonction x i-> Jv(snx) est solution de Véquation différentielle : d l dJv(snx)\ v2 , , 0 Tx 1* dx ~ 7 ,/v(in;c) + slx M snx) = 0 Sx e]0, a[
(6.25)
Jv n’a pas, a priori, d ’expression analytique simple. JYa une infinité de zéros sur R + ; entre deux zéros consécutifs de Jv, il y a exactement un zéro de Jv-\. La suite de fonctions (.x i-» yv(iflx))n€N* est une base orthogonale de L*([0, a]).
Exemple 6.1 On considère le problème de Sturm-Liouville :
d2f (6 ) { d ï +Àf = ° / ( 0) = /( i) cri) /'(0) = / '( l ) (T2)
(6.26)
On reconnaît un problème périodique. Pour chercher les valeurs propres À et les fonctions propres non indentiquement milles / associées, on résout l’équation différentielle (£) et on vérifie à quelles conditions les valeurs aux limites peuvent être satisfaites.
Ounod. La photocopie non autorisée est un délit.
i.
Si À = 0, alors : /(*) = a x + p P = a+p a =a Par suite :
f(x) = P J e
(a,/3) € R2
R*
À = 0 est donc valeur propre simple. Les fonctions propres associées sont les fonc tions constantes non milles. ii. Si À > 0, alors, en posant À = co2, on obtient : p sinh(cu x) a = a co sh (iu ) + p sin h (iu ) [ ù>P = (oa sinh(iu) + a)p cosh(iu) i / ( * ) = ol cosh (û > *) +
(a, fi) € R2
125
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Chapitre 6 • Méthode de séparation des variables
La vérification des conditions aux limites conduit au système linéaire : 'cosh(cj) - 1 sinh(ic)) sinh(ij) cosh(üj) - 1 Le déterminant de la matrice vaut 2(1 - cosh(û>)) > 0 ; ainsi, a = fi = 0, ce qui donne alors / = 0 : le cas À > 0 est donc à rejeter. iii. Si A < 0, alors, en posant À = - a;2, on obtient : fix) = a co s (îu x ) + ß sin(cjx) (u,y0) e R2 a = a cosioj) + ß sin(w) ü)ß = -cj a sinico) + ü)ß cos ico) La vérification des conditions aux limites conduit donc au système linéaire : c o s ( îu )
- 1
- sin(¿j)
sin(ûf) -
co s (îl >)
1
Le déterminant vaut 2(1 - cos(o/)). Pour co = 2nn (n e Z), le déterminant est nul, et une solution non triviale est possible. Les constantes a et j8 sont alors arbitraires. L’espace propre associé à la valeur propre Àn = - ( 2nn)2 est donc de dimension 2, une base possible est formée des fonctions x\-> f n,\(x) = ^flsin(2nnx)
et
x i-> f n,2 (x) = V2cos(2n/r;c)
où le coefficient a été choisi de manière à normaliser les fonctions. Cet exemple illustre bien comment les conditions aux limites sur un intervalle borné « obligent » le spectre à ne prendre que certaines valeurs discrètes.
6.3 SÉPARATION
DES
VARIABLES
On a vu que le problème de Sturm-Liouville était posé avec conditions aux limites homogènes sur le bord de Ix. La définition suivante montre que ce cadre n’empêche pas de traiter des problèmes plus généraux. Définition 6.5
On appelle relèvement des conditions aux limites une fonction qui satisfait les conditions aux limites, suffisamment régulière pour être introduite dans l’opérateur différentiel. Soit (x , t)
f r(jc, t) un relèvement des conditions aux bords du système (6.1).
126
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6.3. Séparation des variables
Quitte à poser f(x , t) = /,( x ,t) + / ( x , t) et à remplacer le second membre par h(x, t) = h(x, t) ...
-
+ ü2^~dx +
+
+
f)J
alors, / est solution de la même EDP, avec pour second membre h et des conditions aux limites nulles (voir l’exercice 6.4 pour un exemple de relèvement). On reprend alors l’équation (6.1), où l’on fait apparaître un opérateur de SturmLiouville : S £ ( f) + ù i ( O 0 + * * ) £ + h ( t) f(x , t) = h(x, t)
(6.27)
avec, toujours, les conditions homogènes au bord et les conditions initiales sur
:
' f(x , 0) = fo(x) ot
6.3.1
(6.28)
X0) , =
D é te rm in a tio n d es fo n c tio n s te m p o re lle s
Il semble alors légitime de chercher la solution sous la forme (x,
t)/( x ,
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
ie N
où (X,),-6in est la base hilbertienne solution du problème du Sturm-Liouville, chaque Xj étant associé à la valeur propre A,. On obtient alors : 2
(S£(Xi)Ti + bl T ,i ,Xi + b2T ,i Xi + b3XiTi) = h(x, t)
i€ n
soit : 2 Z6N
(-AiXiTi+ biT'AXi + b2T'iXi + b3XiTi) = h(x, t)
puis : 2 /eN
(bi
T"
+ b2T[ +( h -
) = h(x, ) 127
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Chapitre 6 • Méthode de séparation des variables
En exploitant le fait que la famille (X,),-6n est orthonormale^ pour découpler les équa tions, on projette suivant Xj, j e N :
Xj, 2 Xi (bxT" + b2T' + (b3 - Ai)Ti) = (X;, h(x, t))L] (/,) '€n '£?(/,)
(6.30)
ce qui conduit à :
bxT'! + bzT’j + (b3 - Aj)Tj = (Xj, h(x, 0 )L?(/t)
(6.31)
Chaque Tj est donc solution d’une équation différentielle ordinaire {EDO). Les conditions initiales des EDO ainsi obtenues sont également données par pro jection des conditions initiales de l’équation aux dérivées partielles :
f{x, 0) = £ Xi(x)Ti{0) = fo(x) /6n df f
t ix ,
0) = 2
X j{ x ) T 'i
(0) =
=*
Tj(0) = (Xj, M x))L2(I )
=>
T 'j{
(6.32)
g 0 {x)
0) = (xJt jo (x ))№
Les Tj, j e N, sont solutions d’équations différentielles ordinaires avec des condi tions initiales découplées. Ils sont donc entièrement déterminés. La série ^ X, 7) est donc connue. v / Considérons alors, pour tout entier N e N, la somme partielle d’indice N :
f N{x,i) = Y J Xn{x)Tn{t) n
Il reste alors à déterminer si la suite de fonctions (/w)weN converge bien vers la solu tion lorsque N tend vers l’infini, mais aussi quel est le type de convergence (simple, uniforme) et quelle est la régularité de la limite. Actuellement, les seules informations relatives à la convergence sont connues en t = 0 où les 77(0) et 77,(0), « e N, sont issus de la projection de fonctions connues sur la base hilbertienne : si les données initiales fo et go sont des fonctions de L?S{IX), le théorème de Parseval permet d’affirmer la convergence absolue des séries numé riques ^ |T„(0)| et ^ |77(0)|. En fonction de la régularité de ces mêmes données fl
n
Tn(0)Xn
initiales, il y a convergence simple ou uniforme de la série de fonctions
n et £
77(0)X„.
n t. Il ne faut pas oublier de normaliser les fonctions.
128
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6.3. Séparation des variables
6 .3 .2
C o n v e rg e n c e d e la s é rie d e fo n c tio n s
Définition 6.6
Une série de fonctions de terme général (
sp et de somme partielle
11 = £ sp(x) converge uniformément sur [a, b] vers une fonction < P=l Ke N S lorsque n tend vers l’infini si :
x
S„
V £ > 0 , 37V
N , Vn >
g
N , V x e [a, b] \Sn(x) -S (x )\ < £
Proposition 6.8. S'il existe une suite positive {ap)pe^ telle que la série de terme général ap converge
<
+ oo
et telle que :
V N
3 p 0 € N, Sx e [a, b], Vp > p0, |^(x)| < ap
alors, la suite de fonctions x
i->
S„
V
[a,
=^ p=i
b].Onparle de convergence normale.
Sp(x)
converge uniformément sur neN
T héorèm e 6.9. i. Si, pour tout entier naturel p, sp est une fonction continue, et si la suite de fonc tions (S n)nen converge uniformément vers S, alors S est continue sur [a, b].
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
ii. Si, pour tout entier naturel p, sp est de classe C 1, si la suite de fonctions (S n)neN converge simplement, et si la suite de fonctions (S'n)ne^ converge uniformément, alors S est de classe C 1, et peN
Les définitions et résultats précédents sont encore valables pour des fonctions de plusieurs variables et la convergence uniforme d’une série de fonctions continues en traîne la continuité de la série, la dérivabilité (partielle) des termes et la convergence uniforme de la série dérivée entraîne la dérivabilité partielle de la série. Remarque 6 3 i. Un cas d’application classique est le suivant : considérons la série numérique, conver gente, de terme général \T„(0)\. 129
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Chapitre 6 • Méthode de séparation des variables
On suppose, en outre, qu’il existe une constante positive A telle que, pour tout t, on ait : \Tn(t)\ < A|r„(0)|. On suppose, de plus que la série de fonctions ^ Tn(0)Xn converge /t uniformément. Alors, il y a convergence normale (et donc uniforme) de la série de terme général XnTn.
ii. En général, la convergence de la série ^ X„T„ ne pose pas trop de difficultés. Il ne faut n pas oublier de s’assurer de la convergence des séries dérivées.
6 .3 .3 T r o n c a tu re En pratique, on ne calcule que les premiers termes du développement II est donc important de pouvoir évaluer Verreur commise suite à une troncature. Proposition 6.10. Approximation, m esure de Terreur
Supposons qu'il existe un réel A strictement positif tel que, pour tout réel t de It : \Tn(t)\
fp(x,t) = Y J Xn{x)Tn(t) 1=0
/
ainsi que celui concernant la condition initiale : p
P
f p(x) = 2 ( * .. f /
)L2
Xn(x) = 2 Xn(x)Tlt(0) = f p(x, 0)
1=0
/
1=0
Alors\ à t = 0 : \ \ f - f P\\2 = 2 X„T„(0) n>p
= Y j ir«(0)l2 = ll/ll2 - liy?ll2
(6-33)
n>p
et, à t fixé : \\f ( x ,t) - f p(x,t)\\2 = YXn(x)Tn(t)
=2
n>p
|r„(0 l2
n>p
(6.34)
A Y \ Tn m 2 =A (\\f\\2 -\\f¡\\2) n>p
On est donc capable de majorer à chaque instant l'erreur commise en tronquant un développement à l'ordre p. t. Les normes sont au sens de L2S, et les Xn sont supposés normalisés.
1B0
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6.3. Séparation des variables
Exemple 6.2 Propagation de la chaleur dans un barreau métallique On considère un barreau cylindrique métallique, d’axe (Ojc), de longueur L, de chaleur massique c, de masse volumique p, et de conductibilité thermique K. Qn désigne par 0 : ( jc, t) 0(jc, t) la température du barreau. Il est supposé initialement soumis au champ de température 0o • 0(*, 0) = 0o(jc). Les conditions aux limites sont homogènes, de type Dirichlet sur le bord gauche ( jc = 0) et de type Robin sur le bord droit ( jc = L), le coefficient d’échange est noté h. Toutes les constantes introduites sont bien sûr strictement positives. Le problème aux frontières (?y ) modélisant la diffusion de la chaleur dans le barreau est :
de, , d i^ 0 ( 0 ,0
K d^G ^ ( * pc ox¿ =o = —
,0
V * 6 ]0 ,L [, V f> 0
ôG — (L, t) + hG(L, t) = 0
CFÍ)
{Ti)
ox
6(x, 0)
(S )
= Oo(x)
(J)
Pour obtenir de bonnes propriétés de convergence, on suppose que 0o est de carré inté grable et continûment dérivable sur [0, L], et qu’elle vérifie la condition de compatibilité :
~r-{L) + h0o(L) = 0 dx On commence par rechercher une solution de (8) sous la forme : 0o(O) = 0
et
G(x,t) = X(x)T(t)
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Par suite :
X{x)T'{i) = — X"{x)T{t) pc 0o étant non identiquement nulle, il en est nécessairement de même pour X et T. Il existe donc un domaine [a, b] x [t\, ¿2] de R2 où X et T ne s’annulent pas. Dans ce domaine, on a donc : K X”(x) V{t) pc X(x) “ T(t) Le membre de gauche ne dépend que de la variable jc, et celui de droite de la variable t uniquement ; il existe donc une constante À telle que : K X " ( jc) T\t) _ pc X(x) ~ 7X0 “ S’il existe un réel xo en lequel X s’annule, alors, comme T ne s’annule pas sur [t\, Î2L on a: X"(*o)7X0 = 0 La relation — X"(x)-ÀX(x) = 0 pc est donc encore vérifiée. 131
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Chapitre 6 • Méthode de séparation des variables
Par suite, pour tout x de ]0, L[ :
X"(x)-^-AX(x) = 0 Il faut donc chercher des solutions à l’équation différentielle précédente, la forme de celles-ci changeant avec le signe de À9il faut discuter selon les cas. i. Supposons À = 0 ; on aurait alors :
X(x) = a x + p
avec(or,/?) e R2
Les conditions aux limites donnent : ( 0(0,0 = 0 =/? \ de =ï a =p = o — (L, t) + hO(Lt t) = 0 = a + hLa + h/3 Vdx X devant être non identiquement nulle, le cas À = 0 est à rejeter. 0c ii. De même, on exclut le cas À = co2 > 0, car alors : K
X{x) = a cosh(a>x)+ fi cosh(iux)
avec (or,/?) e R2
La condition de Dirichlet en 0 donne a = 0, celle de Robin en L donne alors :
PQi sinh(iuL) + (ocosh(cuL)) = 0 => P = 0 _^ pc 9 P£ iii. — Àest donc strictement négatif, on pose — À = -o r K K 4 On a donc : X(*) = a cos(a>x) + p sin(cu x)
avec (a, P) e R2
La condition de Dirichlet en 0 donne a = 0, celle de Robin en L donne alors :
P ( o j cos( o j L) +h sin(£j L)) = 0 Les solutions non triviales (P ï 0) sont donc obtenues pour : co —+ tan(coL) = 0 h Cette équation admet une infinité dénombrable de solutions que l’on note (con)nen La figure 6.1 représente les solutions cont ne N, pour n = 0,1,2 : ces solutions sont obtenues graphiquement comme étant les abscisses des points d’inter section de la courbe représentative de la fonction co h-> tan(coL) et de la droite représentant , „ co la fonction eu i-> —. h La solution du problème de Sturm-Liouville est donc donnée par : '
-1- Pc X„(x) = pn sin(w„ x)
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6.3. Séparation des variables
Figure 6.1 - Obtention graphique des
Pour normaliser les fonctions, on calcule : 1 = fii f sin si (ojfl x)dx Jo _ 02 1 - cos(2^„ x)dxj 2/L _ sin(2o>„L)\ P" \2 4ù>„ ) 2 tm(ù)nL) 2 4ü>n(l + tan2(iu„L)) h 2(h2 + a>2) qui donne l’expression de ßn. On a alors :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Xn(x) =
2 + S in ( iJ „ x ) ' h + L(h2 + a)2)
D’après le théorème de Sturm-Liouville, la famille des (X„);ieN est une base hilbertienne de L2([0, L]). +oo
On cherche alors la solution de YEDP sous la forme 6 = ^ XnTn. n=1 L’équation dans [0, L] devient : +oo +00
puis :
-foo Y j xn(rn + A„Tn) = o n=i 133
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Chapitre 6 • Méthode de séparation des variables
T'+AnTn = 0
ce qui implique
T„ = Tn(0)e~À"‘ Pour déterminer les r„(0), ne N, on utilise la condition initiale :
0o(x) = 0(x, O) = Y JX„(x)Tn(0) /
1=1
D’après les hypothèses sur 0o> on peut développer cette fonction sur la base et on sait qu’il y a convergence quadratique et uniforme de la série : +oo +OQ 2
T„( 0 ) x „ ( * ) = Y
/1=1
V« € N,
j
( 0 0 . Xn)mio.L]) X „ (x )
/1=1
Tn(0) = (Oqi ^/j)l2([0,L])
D’où, finalement :
0(x, t) = V 2 ^ , . 2 ^", . ( f 0o(y) sin(w„ y)dy\ Sin(iu„ x) e~À"' ¿^h + L(h2 + A„) ( J 0 J
(6.35)
Réciproquement : Vérifions que la fonction 0 ainsi obtenue est bien solution du problème aux frontières initial (?V). Le théorème de Parseval donne \Tn(0)\ = ||0|Il2([o,l]) : il y a donc convergence uniforme n de la série en t = 0. Par ailleurs, les \Tn\ sont des fonctions décroissantes en temps. La série ^ XnTnest donc n uniformément convergente sur [0, L] x [0, + o o [ . Reste à savoir si elle est une fois continûment dérivable. On calcule à cet effet le terme général de la série dérivée une fois en tempsf : Tn = -ÀnTn Pour 0 < to < t, on a : | 7 » | = A„\T„(t)\ = Ane-A^ - ,)\T„(to)\ pour n suffisamment grand le terme en est plus petit que 1 et la série converge comme celle de terme général |T„(io)|. Il y a donc convergence uniforme de la série déri vée sur [0, L]x]0, + o o [ et +oo Jt (x,t) = Y j Xn(x)T'n(t) /
1=1
La fonction obtenue est donc bien solution du problème aux frontières initial (fy).
f. C’est le même terme que la série dérivée deux fois en espace.
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Exercices
Exercices
Vibrations libres d’une poutre L’espace euclidien est rapporté à un repère orthonormé (O;
— ^ ^ ,
On considère une poutre horizontale en équilibre, homogène, de longueur L, de sec tion droite constante, en appui simple à ses deux extrémités. On désigne par E le module d’élasticité (module d’Young) de la poutre, et par I le moment d’inertie de la section droite. En l’absence de forces extérieures, la déflexion verticale au point d’abscisse l’instant tvérifie l’équation aux dérivées partielles :
et à
d 4y
E I —7
+ pS0 dx4
On suppose que, à l’instant initial
(fi)
t =0 : y(x, 0) =
et que chaque point de la poutre est animé d’une vitesse transversale connue :
dy. (x, 0) = i>o(x) dt où «o et vo sont deux fonctions de classe C2 sur [0, L]. Les conditions aux limites d’appui simples se traduisent par un déplacement et un moment nul aux extrémités :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
yi0.
t)=
y{L,
t) =0
52m <92« E I d à (0’t) = E I d à (L,t) = 0
(T)
Déterminer, avec ces conditions aux limites, la solution de l’équation aux dérivées partielles (£). K2J Vibrations d’une membrane circulaire Sion frappe la membrane d ’un tambour en son centre, elle oscillera à des fréquences bien particulières (« les fréquences propres »). Le son émis par le tambour corres pond ainsi à la superposition des fréquences propres, avec, pour chaque fréquence, une amplitude qui dépend de la manière dont on a excité le tambour. Le cas d ’un tam 135
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Chapitre 6 • Méthode de séparation des variables
bour à cadre circulaire, a été résolu par Rudolf Friedrich Alfred Clebsch^ en 1862. Mais le problème est encore ouvert : en 1966, le mathématicien M. Kac a posé la question suivante : « Peut-on entendre la forme d ’un tambour ? », Le. la forme du tambour est-elle déterminée de manière univoque par le spectre ?[11,13] —^ ^ ^ L’espace euclidien est rapporté à un repère orthonormé (O; i , j , k). On désigne par (r,
f étant une fonction donnée des variables r et tp, de classe C 2, le déplacement vertical d’un point de la membrane et la vitesse, à l’instant t = 0, sont : ( z(t = 0; r, (f) = f(r, (p) \ ^ ( t = 0-,r,
z(t\ r = a,
Remarque 6.4 On se trouve dans un cas où l’espace est de dimension 2. La démarche va être la même : déter mination d’une base de fonctions spatiales puis projection pour déterminer la dépendance en temps. Par ailleurs, d’après les résultats de densité donnés en début de chapitre, il est légitime de chercher une base de l’espace des fonctions spatiales à variables séparées. 1. Pour t > 0, r £ [0, a] et (p € [0 ,2 n], on recherche une solution z du problème homogène sous la forme :
z(t\ r,
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Exercices
(b) Montrer qu’il existe deux constantes réelles
telles que :
00 1 d dR + (A -^ )R (r) = 0 _ r dr r dr r¿
(fi#)
(fi*)
(c) Donner l’ensemble des fonctions ( 0 n)n e N solutions de (fi (d) Montrer que, pour tout entier naturel
R est solution de l’équation :
dR f 1 d + 0i - 4 )J?(r) = 0 i r dr r dr =0 Ce problème, quand on lui adjoint la condition de valeur finie de en 0, est un problème singulier de Sturm-Liouville dont on donne les principaux résultats : • Soit Jn la fonction de Bessel de première espèce : T ,
v
"( r )
_ (r\* v (~ 1)Æ ( 2) ^ kl k=0
1 £)! \ 2 /
Jn admet une infinité dénombrable de zéros sur R + notés
N-
• Pour n e N fixé, le problème de Sturm-Liouville ainsi obtenu admet une infinité dénombrable de solutions (A„iP, n avec : \2
Àn’p = ^ v ) '
Rn
• Pour n e N fixé, les (Rn,p)PeN forment une base orthogonale (non nor mée) de Ûr([0, a]).
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2. Donner, en fonction de / et des fonctions (0„)„eN et du déplacement vertical z.
_
n 2- l’expression
C a s où l’espace est p ondéré
On considère l’équation aux dérivées partielles pour d2u
2
d2u
e ]l,
€ R+ :
„ du (fi)
avec les conditions aux limites* : u (\,t) = 0 V t > 0 u(e, t) =0 V
0
(C£)
t- e désigne la base du logarithme népérien (ln e = 1).
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Chapitre 6 • Méthode de séparation des variables
et les conditions initiales : [ u(x, 0) = 0 < du ) = /(* )
(CI)
où / est une fonction continue sur ] 1 , e[. On cherche ici à résoudre cette équation par la méthode de séparation des variables, en recherchant la solution sous la forme :
u : (x, 0 h-» ^
Xk(x) Tk(t)
AreN*
1. En profitant de l’homogénéité du problème, on pose directement :
u(x, t) = X(x) T(t) dans (S). Montrer que pour que cette forme séparée satisfasse (£), il doit exister une constante réelle A telle que X soit solution de l’équation différentielle suivante :
x1 X,' + 3xX' =A (Sx) X 2. En utilisant les conditions aux limites, donner les valeurs de X (l) et X(e). 3. Pour résoudre l’équation différentielle (Sx), on utilise le changement de va riable x = ez et on pose Z(z) = X(x). Montrer que l’équation devient : Z"(z) + 2Z'(z)-A Z(z) = 0
(Sz)
4. Donner les valeurs de Z(0) et Z(l).
5. (a) Dans le cas où 1 + A > 0, on pose 1 + A = a>2, o) e R +. Donner alors la forme générale des solutions de (Sz). Ce cas est-il compatible avec les conditions aux limites ? (b) Dans le cas où 1 + A = 0, donner la forme générale des solutions de (&z)Ce cas est-il compatible avec les conditions aux limites ? (c) Dans le cas où 1 + A < 0, on pose 1 + A = -a»2, (o e /?+. i. Donner alors la forme générale des solutions de (£>z)
ii. Ce cas peut-il être compatible avec les conditions aux limites ? Montrer alors que u> = kn, k e N, et donner, pour un entier k, l’ex pression correspondante, notée Zk(z), de Z(z). iii. En déduire, pour un entier k, l’expression correspondante de X(x), no tée Xk(x). Quelle propriété vérifie la famille des (Xk) ? 138
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Exercices
iv. Montrer que les fonctions différentielles découplées :
(Tk)associées sont sol
T'k' - A kTk = 0
(& t )
Donner l’expression des Tk. v. En exploitant les conditions initiales, montrer que : +oo _______ . u(x, t) = V ' — sin í Vl + k2n2 i J sin(fc n ln x) Ùo x { où les Ck désignent des constantes réelles à déterminer. Q B I C o n d itio n s au x lim ites non h o m o g è n e s
Soit a, b, a,
/3,uq et l des réels strictement positifs tels que : an2 > bl2
Résoudre l’équation aux dérivées partielles : d2u , du a a ï + b u + ~dt
0
V(x, t) €]0, /[x]0,
+oo[
avec les conditions aux limites non homogènes Í w(0,
{ n(/, t) =
Vf > 0
t)= uoe
e~V Q U t>0
et la condition lim u(x,
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
t —>+oo
t)= 0
Vx €]0, /[
Pour aller plus loin Un exercice supplémentaire et son corrigé sont en accès libre à partir des pages d’accueil du livre sur le site www.dunod.com
139
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Chapitre 6 • Méthode de séparation des variables
Corrigés
12U Afin de chercher la base des fonctions de l’espace, vu que l’équation et les conditions aux limites sont homogènes, on injecte directement la forme séparée dans les équations : y(x, t ) =X( x) T( t ) Il en résulte : =
X(4)U) m
+pS
T"(t) = 0
La solution devant être non identiquement nulle, il en est nécessairement de même pour X et T. Il existe donc un domaine [a, b] x ] de R 2 où et ne s’annulent pas. Dans ce domaine, on a donc : X(4)0 ) _ X(x) "
pS El
) )
Le membre de gauche ne dépend que de la variable x, et celui de droite de la variable t uniquement ; il existe donc une constante € R telle que : x < 4> ( * ) _
X(x)
pS
H O
El
)
S’il existe un réel xq en lequel X s’annule, alors, comme T ne s’annule pas sur [?i, *2]. on a donc : X(4)r ( 0 = 0 La relation X(4)(x) = AX(x) est donc encore vérifiée. Par suite, la fonction de l’espace doit être solution du système suivant : X {4\ x ) = XX(x)
Vx e]0, L[
- X(0) = X(L) = 0 X"(0) = X"(L) = 0 Cette équation différentielle ordinaire du quatrième degré fonctionne comme un pro blème de Sturm-Liouville. Le polynôme caractéristique est : r4 - À Les solutions diffèrent selon le signe de A. 140
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Corrigés
i.
Si A - 0, on a
(a, b, c, d) e R 4
X(x) = a + bx + ex2 + dx2
Les conditions aux limites conduisent àa = b = c = d = 0. Ce cas est à éliminer.
ii. Si A < 0, on pose ô = |/t|“ L On rappelle que les racines quatrièmes de (-1 ) sont les complexes ±e'% et ±e'~F. On a donc : _£gff 1 -=VT X(x) = ae^ + be s + ce* + de 6 ( a ,b ,c ,d ) € C \ Im(X) = 0 J
Les conditions aux limites en 0 donnent : X(0) —ü + b + c + d —0 X"(0) = -^(a + b - c - d ) - 0 donc a = -b et c = -d. Donc
X(x) = a { e y ’i - e ^ ) + c0 A - ■e*i.-'T , »
.•TT
»
y TT
r i3 ;r
X(L) = a(ese 4 - ese 4) + c(e^e 4
e*e 4 ) = 0
r ,(L) = ^ i « ( ^ e'f - e ^ h - c i e *
=
0
ce qui donne directement a = c = 0. Ce cas est également à éliminer.
iii. Si A > 0, on pose 6 - A~X Les racines du polynômes sont r = ±ù_1 et r = ±iô~l. Les solutions sont de la forme :
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
X(x) = a cos ^ j + b sin ^ j + c cosh ^ j + d sinh ^ j
(a, b, c,d) € R
Les conditions en 0 donnent : X(0) = a + c = 0
X"(0) = ^ ( - a + c) = 0 d’où a = c = 0. Alors les conditions en L donnent :
X(L) = b sin ^ j + d sinh ^ j = 0 r U ) = ^ ( - i s in ( | ) + rfsmh ( | ) ) = ° 141
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Chapitre 6 • Méthode de séparation des variables
Comme sinh ï 0, alors : d = 0. Finalement, pour obtenir une solution non triviale, il faut que - e ttN* ô On pose alors :
ök = - , kn Xk(x)
= ^
k e N*
si” ( £ )
Les Xk, k e fi, sont normalisés au sens du produit scalaire de l’espace L2([0, L]), dont ils forment une base hilbertienne. On cherche alors la solution sous la forme
(x, t) i-> y(x, t) = ^ Xk(x)Tk(t) ken* On reprend l’équation initiale :
â*y dx*
p s d2y E l dt2
On utilise alors l’indépendance des Xk pour se ramener à des équations scalaires dé couplées : El V *eN *, o = T'k' + -— Tk PS ô k
Tk(t) = 7*(0) cos
El
V Sót J
pSôt 1 -Tk(0)sin El
Les constantes s’obtiennent par projection des conditions initiales : hoO)
= y(x, 0 ) = 2 Tk(0)Xk(x) ken* («0, ^ ) ¿ 2([0,¿]) - 7*(0) vo(x) = ^ ( x ,0 ) = J ] Tk(0)Xk(x) ken* (vo, Xk)L2([0,L]) = Tk(0) 142
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p S ô î)
Corrigés
Au final, la solution est donc donnée par :
y(x, t)
La majoration
VfceN*, sup IX*7*| < x,t
|7*(0)| +
L2
pS
,
k2TT2
permet de conclure à la convergence de la série de fonctions grâce à la convergence des séries numériques en t = 0. La figure 6.2 représente les trois premiers modes (normalisés) de vibration de la poutre.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
F i g u r e 6 . 2 - L e s S p r e m ie r s m o d e s d e v ib r a t io n d e la p o u t r e
W Èi\
1. (a) Le problème étant à symétrie circulaire, on a Vr > 0 r [0, ] V
=m
I
R "(r)
0(
&(
1 = -T " (t)R (r )0 (
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Chapitre 6 • Méthode de séparation des variables
La solution étant non identiquement nulle, il existe un domaine l / i . ri\ x [y?i, (pi\ x [ii, Í2] où R ,0 e tT ne s’annulent pas. Sur ce domaine, on peut écrire :
R"(r) 1 R'(r) 1 0"(
R"{r) R(r)
1 £(T) r R(r)
1 * > ) = I = r2 0(
S’il existe un réel
2 R !\r) R(r)
2
R \r) R(r)
0(
Le membre de gauche ne dépend que de la variable r, et celui de droite de la variable
2 R "(r) R '(r) , 2 r ------- + r tttt + Ar R(r) R(r)
¡X € R
d’où le système spatial découplé annoncé. (c) Grâce aux résultats démontrés plus haut, on a donc, pour tout
0 ”(
V
Il est nécessaire de discuter en fonction du signe de /x
-
¡x = 0 alors 0 = a
-
0 o(
1
y¡2ñ
si ¡x < 0 la solution fait apparaître des fonctions exponentielles réelles qui ne peuvent satisfaire la périodicité.
144
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Corrigés
-
si p = u)2 > 0 avec a>> 0. Les solutions sont alors de la forme :
= V2cos (ntp)
neN*
et
(d) Pour tout entier naturel n, grâce aux résultats précédents, on a : 2 R"(r) R'(r) 2 2 r —— +T + A r = rr Rir) R(r) On y ajoute la condition limite en a et la considération physique que R doit être continu et borné en 0, R est alors solution de : '1 d f dR r d r[ dr
R(r) = 0
R(a) = 0 R(0 ) < oo D ’après l’énoncé, pour n fixé, les solutions sont discrètes (indicées par p e N*) :
© Ounod. La photocopie non autorisée est un délit.
An , p
-
r i-> R„,P(r) Les premiers modes de la membranes sont représentés sur les figures 6.3, 6.4, 6.5, 6.6. 2. On cherche alors la solution sous la forme : (t; r,
2
Rn,P(r) (*n<(P)Tn,p(t) +
(n,p)eNxN*
145
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Chapitre 6 • Méthode de séparation des variables
On injecte cette forme dans YEDP : n - a _ — d2z ° Az c2 dfi
=
E
T*-p ( K p
(/î,/?)eNxN*
; K ,p
^R'n,p ®n +
+ tn,p [K ,p =
e
(K
t ">p
(n,p)e NxJN*
p
*n
E
+; K ,p
*n
-
'
*»./»
(n,p)6NxlN*
Rn,p
j - ¿Tn.pRn.p&n
4 Rn,P «2^») - ^ K p R n . p ^ n
+ -r Rf„tP è n - j 2 Rn,Pn2^
(*«(-
V » .P- \ °
'
(RnÀn,p)zw et K
^2
r
+ f„ ,p (/?"p
=
+ \ Rn,p < ) - ^KpRn.P^n
'
T 'n'.p)
- ^ f ; ' pRn,p0 n
+& n ( - Àn,Pf n,P -
j K p )
* » L n étant des bases’ on a :
V(n, P ) € N x N*
0 =
c2À„,pTn
Tn,p(t) = r„ tP(0) cos(c ypÇ^t) + — j = T ' np(0) sin(c Cy^ritp et de même pour les f„iP. Les constantes sont déterminées en projetant les conditions initiales :
f{r,
=
E
RnAr)(*ni
(n,p)e NxN*
V(n, p) 6 N x N*
Tn.piO) - ( ( / , ^ ) ¿ 2 ([0i2^]))¿2([0|a])
0 = —(/ = 0; r, y>) =
E
*».p W ( 0 '< W , î>(°) + ^ Î ' . / O ) )
(«,p)eNxN*
V(«,p) € N x N*
n iP(0) = f ; p(0) = 0
146
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)
Corrigés
$o((t>)Ro,2(r )
$oW>)Æo,i(r)
(X J
Figure 6.3- M o d e ( 0 , l ) d u t a m b o u r
Figure 6.4- M o d e ( 0 , 2 ) d u t a m b o u r
Figure 6.5- M o d e ( l . l ) d u t a m b o u r
f i9 u r e 6 6 ~ M o d e ( l, 2 ) d u t a m b o u r
1. On injecte la forme séparée u(x, t) = U(X)
dans (S) :
X T " = x2 X "T + 3 x X ' T
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
puis :
J1// x2X" + 3xX' = A€ R X Y 2. Les conditions aux limites conduisent à : X(l) = X(e) = 0 3. On pose
x = ezet X(x) = Z(z)
x2 X” + 3
x X ' - A X = Z" + 2Z' - AZ 147
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Chapitre 6 • Méthode de séparation des variables
Z(0) = Z( 1) = 0 5. L’équation caractéristique de (fîz) est donnée par :
0 = r2 + 2r - A Son discriminant réduit est : 1 +A (a) Dans le cas où 1 + A = o>2 > 0, les deux racines réelles distinctes sont
r = —1 ±a> ce qui conduit à :
Z(z) = e~z {Aeù)Z + Be~ü)l) où A et B sont deux constantes réelles. Les conditions aux limites imposent alors : Z(0) = A + B = 0 Z(l) = e~l (Ae‘° + B e-w) = 0 ce qui conduit nécessairement à A = B = 0 et il n’existe pas de solution non triviale. (b) Dans le cas où 1 + A = to2 = 0, la racine double est r = -1 , ce qui conduit à: Z(z) = e~z (A + B z) où A et B sont deux constantes réelles. Les conditions aux limites imposent alors : Z(0) = A = 0 Z(l) = e~1 (A + B) = 0 ce qui conduit nécessairement à A = B = 0 et il n’existe pas de solution non triviale. (c) i.
Dans le cas où 1 + A = -o ? < 0, les deux racines complexes distinctes sont r = —1 ± i(o ce qui conduit à :
Z(z) = e~z (A cos ((oz) + B sin (cdz)) où A et B sont deux constantes réelles. 148
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Corrigés
ii. Les conditions aux limites imposent alors : Z(0) = A = 0
Z( 1) = e“1 (B sin (ùj)) = 0 Pour obtenir une solution non triviale on doit donc avoir : sin (eu) = 0
=>
ai = kn, k e N*
Il en résulte :
Zk(z) = Bke~z sin (knz) iii.
D
Xk(x) = Zk(z) = Z*(ln x) =
sin (kn ln x)
les (Xk) forment une base hilbertienne de L?x([\,é\), ils sont orthogo naux au sens du produit scalaire associé : pour k t k’,
(Xk, Xk')Li([i,e]) = J" xXkXk'dx = 0
Les vecteurs sont normalisés en choisissant
Bk = '¡2 On peut retrouver le bon espace en mettant le problème de Sturm Liouville sous forme canonique :
S£(X) : x i—>x2X" + 3xX' = X - ((x3X')') et on identifie p(x) = x3, q = 0, î (*) = x. iv. En injectant la forme ^
XkTk dans (6 ), on obtient :
ke N‘
T''Xk = Y j^ X k’ + 3xX'k)Tk = J ] AkXkTk jfceJN keN* ]T (T ,k'-AkTk)Xk = 0
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
2
teN*
keN*
L’indépendance linéaire des X* conduit alors à :
T,k' - A kTk = T,k' + ( l + k 2n2)Tk = 0 de solution générale : ji/ /q \
Tk(t) - Tk(0) cos( V l '
+ k2n2t] + k - sin [ V l + k2n2t\ ' V l + k2n2 V > 149
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Chapitre 6 • Méthode de séparation des variables
v.
Les (7*(0)) et (r'(0 )) sont déterminés à l’aide des conditions initiales. La première condition initiale (u(x, 0) = 0) impose directement Vit e W , Tk(0) = 0. La deuxième condition initiale impose ensuite : r\ 4 -0 0 ^ (x ,0 ) = Y J T'km k{x) = f(x) at
k=1
On projette cette équation sur la base hilbertienne
r k(0) = (Xk, f ) L2{[l
u(x, t) = Y j Ck k=1
fl siu(kjr ln(y))f(y)dy Ck —2
V1 + k2n2
U SI On commence par rendre homogènes les conditions aux limites en cherchant un relèvement (le domaine prismatique suggère une fonction affine de x) :
U(x, t) = «o
- y) + y é_/î,j
U est régulier et vérifie les conditions aux limites. On pose ensuite v = u - U.
v est solution de : d2v a dx2
, dv ( d2U dU \ bc + J , = - [ ‘, l ? + l’u + T j = m (
- f ) + № - « y « -'" )
et doit satisfaire les conditions :
v(0, t) = v(l, t) = 0 lim v = lim u - U = 0
t —>+oo
f —>+00
Vi > 0 V x€]0,/[
On injecte la forme à variables séparées dans l’équation homogène v = XT :
La discussion usuelle sur les conditions aux limites conduit à la base hilbertienne suivante :
ISO
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Corrigés
X„Tn dans YEDP :
On injecte enfin la série ne N
2
((è - ^ T " ) T » + T ' ) X » = «0 ((* - or)«-" ( l - y ) + (b
On projette alors le second membre sur la base : il faut donc calculer les projections de x 1 et x h» j : (X„, l)z,2([o,/]) -
V
t
X sin("'rT ) ‘,JC=
-
(- 1)n)
V2 C' . (
(xn , y) =— - | V l J l H[o,i)) IVlJo
x\ V2/ 1V>+1 sin l nn-]xdx = -----( - 1) V U nn
La projection conduit donc, pour tout entier naturel n, à : _ < ?ü-JL)Tn + T'nj = uo ~ ~ {(b ~ a )e at + (b -/3 )(-l)n+le p‘) 2 2
Par hypothèse : b < 0, ce qui donnerait une exponentielle croissante en solution du problème homogène, incompatible avec l’hypothèse de solution nulle à l’infini. On cherche donc une solution particulière qui tend vers 0 en l’infini, et donc :
Tn{t) =
b- a yfÜ nn b —a
mo—
-at
+ (-!>
n+i
b~P
o-P<
ce qui conduit à :
Étant donné que le second membre est C 1, on a convergence uniforme des séries spatiales. Par ailleurs, les |7’„| sont bornés et décroissants (pour n croissant) ; il y a donc conver gence uniforme de la série de fonctions de (x, t) sur tout segment temporel.
©
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
2 b- a v{x, t) = V Ko— *h— - a =ii nn b -
151
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Q uelq ues ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES CLASSIQUES Ce chapitre a pour objectif d futiliser les outils précédemment exposés pour étudier des équations classiques de la physique.
7.1
É Q U A T IO N D E T R A N S P O R T
On reprend l’étude de l’équation de transport introduite à la section 1.2.1
Plus précisément, on s’intéresse, au problème de Cauchy suivant :
\
n(x, 0)
= fi0 (x)
6 R
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
où la célérité c et la condition initiale /¿o sont des fonctions données de l’espace, de classe C 1 sur R. Le fait que la célérité ne dépende pas de n fait qu’une première famille d’intégrales premières est constituée de nappes parallèles à l’axe des ordonnées ( ), l’équation dans le plan (x, t) pouvant se déterminer indépendamment de la solution. De plus, l’absence de second membre fait que les plans = Constante constituent la seconde famille de surfaces intégrales. Les courbes caractéristiques sont donc des lignes sur lesquelles la solution est constante. Le système caractéristique de ( ), qui permet de déterminer la projec tion des caractéristiques dans le plan {x, t),est donné par : dx _ dt c(x) 1
(7.2)
En dérivant la solution le long d’une caractéristique, on retrouve bien la conserva tion de la concentration : | (M(x(t), t)) = df t (x(t), t) + j t ^ ( x ( t) , t) =
dt =0
% (x(t),t) + c(x(t)) ^ ( x ( t) , t) dx
(7.3)
1 53
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Chapitre 7 • Quelques équations aux dérivées partielles classiques
Pour calculer la solution en un point donné ( il suffit donc de déterminer la caractéristique qui passe par ce point Cd,de trouver la co caractéristique (jc®, 0) e Cd (autrement dit le pied de la caractéristique) ; on obtiendra alors : K *d,t ) = 0(*°) Il est à noter que cette méthode est une méthode locale.
7.1.1
C as où la c é lé rité e s t c o n s ta n te
Cas d’ un domaine non borné Les courbes caractéristiques C r ont pour équation : x - e t - Constante
Ce sont des droites parallèles les unes aux autres. Pour un point ( Xd,td) donné, le pied de la caractéristique passant par ce poin donc Xj - Xd - c t d Exemple 7.1 Considérons le cas suivant : jUoW - e
-r2
et
c =
1
La solution est alors de la forme : //(*, t) = jtio(* - t) La figure 7.1 représente la surface solution sur laquelle on a représenté la condition ini tiale, un ensemble de courbes caractéristiques et pour l’une d’entre elle des intégrales premières associées.
Figure 7.1- Solution de l’équation de transport avec célérité constante
154
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7.1. Équation de transport
Cas d’ un dom aine sem i-borné On considère désormais le cas où x e [0, +oo[ : (7.4)
p(x, 0)
= po(x) x > 0
i. Cas d’une célérité positive La figure 7.2 représente le réseau des droites caractéristiques, qui est donné par x - e t = Constante. Il est clair que, pour un point (x, t) tel que x - et < 0, la caractéristique passant par le point sort du domaine d’étude par la ligne x = 0 et non sur la ligne de condition initiale t = 0.
t
condition intiale n${x ) Figure 7.2- Les caractéristiques de l’équation de transport de l’équation de transport dans le domaine x » 0, dans le cas d’une célérité constante positive
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Il est donc nécessaire d’imposer une condition limite supplémentaire correspon dant à la frontière x = 0, de la forme :
p {0,f)= p \{t)
(7.5)
Physiquement, cela vient du fait que cette frontière x = 0 est celle par laquelle « l’information » entre dans le domaine considéré. Les caractéristiques sont dites « entrantes », ¡x se déplace de la gauche vers la droite, et sa valeur est déterminée par l’extérieur du domaine.
ii. Cas d ’une célérité négative La figure 7.3 représente le réseau des droites caractéristiques, qui est donné par x - c t = Constante : les caractéristiques sont dites « sortantes », p se déplace de la droite vers la gauche. 155
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Chapitre 7 • Quelques équations aux dérivées partielles classiques
Figure 7.3- Les caractéristiques de l’équation de transport de l’équation de transport dans le domaine x > 0, dans le cas d’une célérité constante négative
7.1.2
C as où la c é lé rité v a rie d a n s l’esp a ce
Exemple 7.2 O n co n sid è r e le c a s su ivant :
fio(x) = é~xl L e s co u rb es caractéristiq u es
et
c ( jc)
Cr on t p our éq u a tio n
= x
:
ln(jc) - t = C on stan te
xe~l = A e R L a p ro jectio n d es caractéristiq u es d ans le plan (x, t) fo rm e d o n c un réseau d e lig n e s e x p o n e n tie lle s. P our ob ten ir la valeu r d e la so lu tio n en
(xj, /¿), il
suffit d o n c d e d éterm in er le p ie d ( jcJ}, 0 )
d e la ca ractéristiq u e p a ssa n t par c e p o in t :
x°d = xd e~'d L a su rfa ce so lu tio n a d o n c p ou r éq u ation :
H(x, t) = / / o ( * 0 = e _AV2' L a figure 7 .4 m on tre la su rface so lu tio n sur la q u e lle on a rep résen té la co n d itio n in itia le, un e n se m b le d e co u rb es caractéristiq u es et p our l ’u n e d ’entre e lle d es in té g ra les p rem ières a sso c ié e s.
156
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7.1. Équation de transport
7.1.3
É q u a tio n de B u rg ers
On se place ici dans le cas où la célérité dépend de la valeur de la concentration. On passe donc à un problème quasi-linéaire. On va voir que de nombreuses difficultés apparaissent. V éq u a tio n de Burgers régit, notamment, les phénomènes de turbulence1 : du —
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dt
du +
=
dx
0
,
x
g
R
,
î
g
R
(7 .6 )
Un des intérêts de l’équation de Burgers est qu’elle peut s ’écrire sous forme conservative :
du
9{
dt +
dx
= 0 ,
x€R ,
e R
(7 .7 )
Si on considère le problème de Cauchy avec condition initiale :
9â + d J à û dt
dx ti(x, 0)
= 0 , x € R, t
R
(7 .8 )
Ho(x)
f. Johannes Martinus Burgers (1895-1981), physicien hollandais.
157
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Chapitre 7 • Quelques équations aux dérivées partielles classiques
les caractéristiques (jcc( î ), tc(s),fic(s)) sont obtenues par intégration de (voir (2.16)) :
dxc = Hc(xc, tc)ds ■ dtc = 1 ds
(7.9)
dfic = Ods Le long d’une caractéristique, ¡ic est donc conservé, et la caractéristique passant par (xj, td) et (jc®, 0) a pour équation :
(xd - x°d) = iu(xd, td)td = Mo(Xd)td
(7.10)
Pour un point (xd, td) donné, le pied de caractéristique xd est donc solution d’une équation qui dépend de ¡iqReprenons le cas où mo (x ) = ; la caractéristique issue du point xd a pour équation :
xc - xd + Mo(x°d) t = xd + e~x°
(7.11)
Dans le domaine où e~$ est très petit (pour |jc®| suffisamment grand) les droites _ O2 caractéristiques, quasiment verticales, sont parallèles ; par contre, dès que e x<> n’est plus négligeable devant 1 , les caractéristiques ne sont plus parallèles et donc se croisent. La méthode des caractéristiques ne peut alors plus s’appliquer : si les ca ractéristiques de pied jci et *2 se croisent en on devrait avoir //(je,) = Mo(xi) et M(xj) = Mo(xi) ce qui n’est pas possible dans notre cas. Il y a apparition d’une ligne de discontinuité, ou onde de choc. Ce phénomène est représenté sur la figure 7.5 où on a tracé le réseau des caracté ristiques, et où on peut observer les intersections. Les croisements de caractéristiques engendrent donc des difficultés supplémen taires nécessitant des méthodes de résolution plus poussées. Ces phénomènes de croi sement ne représentent qu’une partie des problèmes que l’on peut rencontrer lors de l’étude d’équations de transport non linéaires. La non-existence de solutions globales requiert donc des traitements adaptés.
7.2
É Q U A T IO N D E S O N D E S
L’équation des ondes en dimension d d’espace s’écrit : Î £ - c2Au = 0 Vx e R d, r e R dt2 • u(x, 0) = uq( x ) V jc e ^
^ ( jc, 0) dt
= i>o(*)
V j : e R 1'
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(7.12)
7.2. Équation des ondes
Figure 7.5- L e s c a r a c t é r i s t i q u e s de l ’ é q u a t i o n d e B u r g e r s d a n s l e c a s o ù
c est la célérité, et uq et pectivement. On suppose aussi, bien sûr, que
vqsont
n o № = er*2
deux fonctions données sur C2 (Rrf) et C uest deux fois dérivable en temps
Définition 7.1
1 L’opérateur □ = — —r c1
d2 Aest appelé opérateur dF
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Pour la suite on étudie le cas unidimensionnel Au =
, ou d ’alembertien.
d2u dx2
Théorèm e 7.1. Formule de d ’Alembert
La fonction u définie sur R x R par u(x,
1 1 t) = {-Uo(x - et) + Uo(x + C 0} + - I 2 c J x -c t
(t) dr
(7.13)
est solution de l ’équation des ondes unidimensionnelle. On propose trois techniques différentes pour démontrer cette formule t. Jean le Rond d’Alembert, 1717-1783, mathématicien, philosophe et encyclopédiste français.
159
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Chapitre 7 • Quelques équations aux dérivées partielles classiques
D ém onstration . Par un changement de variables
Le calcul des caractéristiques conduisant aux courbes
x ± et = Constante on introduit le changement de variables : f £ = x - et Tj
et
= x + et
u(x, t ) = w(£, tj)
(7.14)
d2u 2 d2u A 2 d2ü â f i ~ c a ï = ~4 c m (S' v) L’équation des ondes devient donc :
d2ü dÇdrj ( M = 0
(7.15)
D’où: «(£, V) = /(£ ) + 9(V) Par suite : w(x, t) = f(x - c t ) + g(x + et)
(7.16)
Il suffit ensuite d’exploiter les données de Cauchy :
u(x, 0) = f(x ) + g(x)
= uq(x)
V reR 0) = c ( - f ( x ) + g'(x)) = V0(x) ce qui implique : f ( x ) + g'(x)
=u'Q(x)
Vx e R c ( - f { x ) + g'(x)) = v0(x) La résolution du système linéaire en /'(x ), g'{x) conduit alors à : /'(x ) = ^ {«'(x) - ^ uo(x) Vx e R
g'(x) = ^ |
mq(x)
+
160
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üq(x) |
7.2. Équation des ondes
D ’où: /(* ) = J U0(x) - Yc fo H O d r + C V jc € R 1
1
ex
g(x) = - u0(x) + — J0 u0(t) d r - C 2 2c où C est une constante réelle. La solution de l’équation des ondes unidimensionnelle est donc donnée par : 1 1 / r x+ct r x~ct \ u{x, t) = - ( uq(x + c t)+ uq(x - c 0) + — I J vo(r) d r - J v0(t) drj
a
Démonstration. Par transformée de Fourier On suppose que u et toutes ses dérivées admettent des transformées de Fourier en espace à tout instant t. On a alors : t ¿2 - ^ ( t , t ) = c2? Û (Î ,t)= 0 V £ e R , i > 0 ûtf.O)
t.
ox
=H O
V^eR
= HO
V^eR
Par intégration, on en déduit :
ú{t,t) = Kx(é)eict t + K2(g)e-ict' où les fonctions K\ et K2 sont déterminées grâce aux conditions de Cauchy, qui s’écrivent alors : j Ki(f) + K2(0 = H O V£ e R
= O o (Î)V ^ e R
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
ce qui conduit à :
KliO = \ H O + Yj-ç H O
e R
k 2(0
€r
= ^HO -
HO
Il en résulte :
(KOt) =
HO + YlcÇôo(^ } g,cSt +
" 2Ï7?
-icÇt
e
= { û o ( 0 { e ^ H e - ^ ‘) + ^ ( e i^ - e - ic^) - HO) C O S ( c Ç t ) +
HO . sin(c^) 161
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Chapitre 7 • Quelques équations aux dérivées partielles classiques
Cette dernière forme montre que la transformée de Fourier admet bien une limite finie en 0. La formule d’inversion de Fourier conduit alors à : «U, t) = ± = é r
JT [ I Ù0(i){eict ‘ + e-ict') + ^
f [ ï
ù° ^ ( e ^ (X+C,) + e~‘*{x~c,))
(eict ‘ - e ^ ' )
e ix* dÇ
(e‘t{x+c,) - e-^ x- ct)) dÇ
+
Les deux premières intégrales donnent respectivement uq{x + e t ) et uq( x - e t ) . Les deux derniers termes conduisent à une primitive de vq en x + e t et x - e t respectivement. On retrouve donc bien la formule de d’Alembert. ■
Démonstration. Par découplage En utilisant la factorisation suivante : Ó L - c2 —
dt2
dx2
= Í - -
c
— \ Í -
d x ] \d t
+
c
—
dx
(7.17)
l’équation des ondes apparaît comme un système de deux équations de transport cou plées. du du On pose «i = — et M2 = -x~, le système peut s’écrire matriciellement sous la dt dx forme : (dut
\
/ n
1\
(dut
(7.18) On pose
»■ (:)
—
h
"-0
Le système s’écrit
dU , dU n — + cA— = 0 ot ox
avec
U(t = 0) = Uq
On diagonalise la matrice
A = PDP~l avec
-
n
l)
'" - it .”
On pose :
V = P~l U
V0 = P~l U0
162
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7.2. Équation des ondes
V est solution de : dV dV — + cD— = 0
V(t
avec
ot
ox
viet
Les fonctions
dv\
v2sont respectivement solution des problème
dvi
ui(jc, 0)
et :
0) = V0
—- + c —- = 0 otox VxeR
=
dvi dvi —— c —- = ot ox ü2 ( x , 0) =
0
V j c s R,
V2 ,o(x)
V
eR
ce qui conduit à Vjc € R, i > 0 D e:
= {v2(x,t) =
'
J t>i,oO) =
{ -« o W + cMoU)}
2
Vx e R V2 ,o(x) =
\
{y0
W + C u'0(x)}
on déduit : t)= - {-Co(jt - ct) + c u'0(x
V2(x,
t) =
^
r)} V C
|ü o(j C +
t) +
€ R, C+
0 f)}
V
€
R,
> 0
Enfin, comme :
U(x,t) = P V(x,t)
=
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
il résulte : du
-x:0 . 0 = ui(x,t) ot
,
c
,
c1
1
c t)+ 2 MoO + c t^+ 2 v°(x + c ^ + 2 V°^X ~ Ct')
2oMO ~ et donc : «O . 0 = 2
OoO +
+ Uq( x - c 0} 1
— 2c
nx+c t
1
n x-c t
vQ(Ç)cU;-— Jo 2c o
v0({)dÇ + C(x) 163
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Chapitre 7 • Quelques équations aux dérivées partielles classiques
où C est une fonction à déterminer grâce à la donnée initiale, qui s’écrit alors :
u(x, 0) = uq(x) + C(x) = uo(x) C est donc identiquement nulle. On retrouve bien la formule de d’Alembert.
■
Remarque 7.1 La form ule de D ’A lem bert m et en év id en ce deux classes de solutions :
i.
la première, se propageant à la v itesse c (et donc liée au term e u(x - c t) et à la valeur propre c ) ;
ii. la seconde, se propageant à la vitesse - c (et donc liée au term e u(x + c t) et à la valeur propre - c ) .
Remarque 7.2 Ce type d ’équation, avec une vitesse finie de propagation, induit des propriétés remarquables pour la solution, en term es de dépendance par rapport aux données de C auchy : de par la form ule de d ’A lem bert, la solution évalu ée en * à l ’instant t ne dépendra que des valeurs de «o et mi sur l ’intervalle [x - et, x + et] appelé domaine de dépendance de (x, t)> et noté D Xtt. D e façon parfaitem ent sym étrique, la donnée de C auchy en un point xo sera m ise à contribu tion pour le calcul de la solution dans le côn e C ,0 = {(x, t) £ R x R + : \x - xo\ < c i} appelé domaine d'influence de xo.
7.3
É Q U A T IO N D E L A C H A L E U R
On s’intéresse ici au problème :
(
du — ~aA u= u(x, 0)
V (x, t) e
0
= uo(x)
j
x [0, +oo[
^ ^
Vx € Rd
où a > 0 est un paramètre donné, et où uq est une fonction donnée, de classe C 2 sur R d. De par la forme de l’équation, il est naturel de chercher une solution de classe C 1 en temps, et C 2 en espace. En supposant que u et toutes ses dérivées admettent à tout instant des transformées de Fourier, on en déduit : = -a\\f\\û(t;,i) avec la donnée initiale «(£> 0) = wo(£) 164
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7.3. Équation de la chaleur
On a donc, à tout instant
t: û(£. 0 =
û0(£)
La formule d’inversion de Fourier donne alors : u(x,
t)= = T;
1 (e-“ 1 1*2'1'}
T ~ lû o ( x , t ) = T ~ x {c_a|lf2||,Mo(^ * T ~ x {Ûo(i)} = r x~l [e~a^ ' } * u0 (x)
avec : r ;' \e - ^ '\ 1
1
(4
D’où, finalement : 1
f (x,t)= -V t j , -u--------
e
u0 ( x - y ) d y
(4 na t) 2 J]R‘i
Remarque 7.3 La valeur de la solution en un point x de Rrf dépend de toutes les valeurs de la donnée de Cauchy dans R'7. De plus, pour des petites valeurs de t, seuls les points proches de joueront un rôle important. Définition 7.2
La fonction
1 x ”
--------- 7
IUII2 £
4 al
(7.20)
(47ra/)2
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
est appelée noyau de la chaleur sur R rf. On voit que la solution est obtenue par convolution spatiale du noyau de la chaleur avec le second membre. Remarque 7.4 La présence du terme exponentiel permet, même lorsque la donnée de Cauchy «o n’est pas régulière, d’obtenir une fonction u de classe C°° dans IR^xJO, +oo[. C’est l’effet régularisant de l’opérateur de la chaleur. Par contre, cela entraîne Y irréversibilité de l’évolution de la solution, dans la mesure où la solution à un instant t > 0 est infiniment plus régulière que la donnée initiale. 165
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Chapitre 7 • Quelques équations aux dérivées partielles classiques
7.4 ÉQUATION DE LAPLACE L’équation de Laplace Au = 0, fut ainsi nommée en hommage au mathématicien et physicien Pierre-Simon de Laplace (1749-1827). Introduite, à l’origine, en mé canique newtonienne, elle apparaît également en astronomie, électrostatique, méca nique des fluides, propagation de la chaleur, diffusion, mouvement brownien, méca nique quantique, etc. Dans ce qui suit, u désigne a priori une fonction de classe C2 sur R d, dont on affinera les propriétés par la suite. On commence par étudier les propriétés de l’opérateur de Laplace avant de déduire les propriétés des solutions de cette équation et donner une illustration plus précise dans le cas de l’équation sur un disque.
7.4.1
O p é ra te u r d e Laplace
P roposition 7.2. Invariance par transformation euclidienne Soit T une isométrie affine de Bd : (A(u o T~l))(T(x)) = (Au)(x)
(7.21)
Démonstration. Si T est une isométrie affine, alors, pour tout x de Rd (identifié à son rayon vecteur) : T(x) = Rx + t où R est une matrice orthogonale (RTR = 7) et t est une translation. En différentiant, on en déduit :
dT = R , d2T = 0 On pose alors : x = T(x) et ü(x) = u(x). En utilisant les notations indicielles, on obtient, pour tout i de {1, . . . , n) :
du _ du dxj dxj dxj dxi d2ü dx2l
â2u âxjdxk du d2xj dxidxk dxj dxj + âxij âx2 i j
D’après ce qui précède : â 2X j
dx}
=
0
et
y dxj dxk é-f dxj dxi 1=1
Y j rtknj = ôjk
Étant donné que le laplacien est invariant par rotation, on a souvent intérêt à utiliser des coordonnées polaires. 166
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7.4. Équation de Laplace
Définition 7.3
Soit
Z la sphère unité de R d : Z = jteir/M = ' i= 1
La mesure superficielle de Z est dcr telle que dx = drdS = dr fJ ~ldcr. On note Zd - J^dcr la surface de la sphère unité. La boule unité a alors pour volume
d
.
Pour x 6 R d, on pose
X
x=
rcoù
M (r, cr) forment les coordonnées polaires de x Proposition 7.3. Laplacien d ’une fonction radiale Une fonction u est radiale si elle ne dépend que de r, son laplacien vaut alors : . , . d2u d -\d u A „ fr)= ^ (r) + —
1 d l d_l du\ -)(r) a
n9 OU —2 et
Z ,= 1
du _ dv dr dxi dr âxj â2u _ d2v / dr \2 âv d2r dx? dr 2 \d xj) + â rd x 2
(7.22)
° Xi
avec
dr _ Xi dxi r
dh = \ _ ± dx 2 r r3
Rem arque 7.5
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Dans le cas
n= 3 :
1 ) A«(r) = -r - or tô -W 1 Dans de nombreux problèmes, il est intéressant d’étudier comment le problème se comporte en moyenne sur la sphère de rayon r. Définition 7.4 R ad iaiisation
On appelle radialisée de la fonction u la fonction ü telle que : ü (r)= £ u(rcr)dcr
(7.23)
167
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Chapitre 7 • Quelques équations aux dérivées partielles classiques
P ro p o sitio n 7.4. La radialisation commute avec le laplacien
Ait = Au = J " (Au)(rcr)dcr
(7.24)
Démonstration, soit v défini par : v(r) = u(rcr)dcr. Ainsi : ü(x) = t»(|jr|), et : ] d t
= On peut supposer u définie sur dv C — (r) = grad dr Jz puis :
; on a alors : 1 (u).crdcr r 1 J d B ( 0 ,r) dn
f
X-j-(r) = dr
* ) (W) l f
=—
r“- 1
f sd
Audx =
Js=
J B (0 ,r)
1
o
— dS =
f
(Au)(so-)dcrds
Je
et donc rd~l Av =
^ (r)j =
(Au)(rcr)dcr
À l’opposé des fonctions radiales, on trouve les fonctions sphériques. Définition 7.5 Une fonction est sphérique si elle ne dépend que de cr. Une fonction sphérique est naturellement invariante par homothétie, en par ti2 <92 ticulier si une fonction u est sphérique, alors comme —r = —— - on a dxf r2dcrj Au(x) - —r(Au)(a). Définition 7.6
On appelle laplacien sur la sphère ou opérateur de Laplace-Beltramï' , la trace Ao- du laplacien sur la sphère : A o-u(cr)=
— W/*=«r
(7.25)
P ro p o sitio n 7.5. Décomposition du laplacien en coordonnées polaires
(Aw)(rcr) =
(rcr) +
A
(7.26)
f. Eugène Beltrami (1835-1900), mathématicien et physicien italien, qui apporta de nombreuses contri butions à la théorie de l’élasticité, l’hydrodynamique, l’électricité, au magnétisme, ainsi qu’en géomé trie non-euclidienne.
168
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7.4. Équation de Laplace
Démonstration. Une façon de démontrer ce résultat est d’utiliser la densité des fonc tions à variables séparées u (x ) = u(r)w(cr) dans l’espace des fonctions C2(RJ). ■ Rem arque 7.6
i. Dans R2, en coordonnées polaires : Ao-U(COS(0),
d“* Ô6Z
sin(0)) = — r«(cOS(0), sin(0))
ii. Dans R3, en coordonnées sphériques « usuelles » (
« = ( ¿ 7 s r + ¿ 5 | (“ " * £ ) ) “W ». *» P ro p o sitio n 7.6. Formule de Green*
f
J i2
v(uA
vA u )d Q . =
f
(7.27)
J an \ o n
Démonstration. De la définition A = div grad, on tire I
uAvdQ =I div(w grad(c)) - grad(«).grad(Vk/i2
Jn
Jn
I (uAu - vAu)d€l = | div(n grad(u) - v grad(n)) Jn
Jn
puis on applique la formule (admise) d’Ostrogradsky* I div pdQ. Jn
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
7.4 .2
J p.ndS Jan
F o n ctio n s h a rm o n iq u e s
Définition 7.7
Une fonction est dite harmonique sur i l si son laplacien est nul sur i l C’est donc solution de l’équation de Laplace Au = 0. P ro p o sitio n 7.7.
SoitFl (il) l ’ensemble des fonctions harmoniques sur un ouv
de R d. f. Ainsi nommée d’après le mathématicien George Green (1793-1841), physicien britannique, qui tra vailla sur les applications de l’analyse à l’électricité et au magnétisme, f. Mikhaïl Vassilievitch Ostrogradski (1801-1862), physicien et mathématicien russe.
169
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Chapitre 7 • Quelques équations aux dérivées partielles classiques
L 7/(i2) est un espace vectoriel il
Exemple 7.3 i. Les fonctions affines sont harmoniques sur Rd. d
d
ii. Une forme quadratique (x\, ..., xj) ■-> ^ ^ UijXiXj est harmonique si la trace de /= i
j= \
d
au = 0). i'=i iii. Dans R2, un polynôme (à deux variables) £ la matrice associée est nulle
est harmonique s’il est la partie
N
réelle d’un polynôme complexe ^ CkZk avec z = x + iy. k =0
Remarque 7.7 Dans R2, une partie significative des résultats s’obtient en identifiant une fonction harmo nique à la partie réelle d’une fonction holomorphe. Proposition 7.8. Les polynômes harmoniques sont les seules distributions tempé rées solutions de Véquation de Laplace sur R^. Une fonction harmonique sur R^ bornée est donc constante. Pour n > 2, il existe des polynômes harmoniques de degré quelconque.
Étant donnée l’invariance par rotation du laplacien, les solutions radiales de l’équa tion de Laplace ont un intérêt particulier. Proposition 7.9. Fonctions harmoniques radiales
On cherche les fonctions radiales harmoniques sur une couronne (0 est donc ex clu)y elles sont de la forme : i. pour d = 2, r u(r) = c ln(r) + co. ii. pour d > 3, r h u(r) = + co170
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7.4. Équation de Laplace
Remarque 7.8 i. Si une fonction radiale harmonique est bornée sur ]0, ro] alors elle est constante. ii. Le calcul précédent restant valable pour les distributions, on remarque qu’une distribution radiale harmonique est une fonction (harmonique et analytique). Malgré la singularité en 0, on peut (à l’instar de l’exercice 4.2) associer à u une distribution sur Rd entier, en posant :
(Au,
(7.28)
Dans R 2, le calcul devient :
L
uâHx=17 Jr=e
(rf )+¿a*)** dr
dr
'dr\
où on a exploité la périodicité de
I
uAipdx = - s ln(e)
~2x
ȣ" *#> } dr
f
JO
e~*0
Donc, dans R 2 (on n’élimine plus le {0)) :
Au = 2nô
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Dans Rd (n > 3), on simplifie les calculs en remarquant que Au étant une distribu tion radiale, on peut travailler sur des fonctions radiales :
■ ‘■Î M
= Ed
Î ' -
î
k
- (« - 2)0(s)j
-{n - 2)Ed
où on a intégré par parties. On rappelle que Ed = J^dcr est la surface de la sphère @ unité dans Rd. 171
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Chapitre 7 • Quelques équations aux dérivées partielles classiques
D éfinition 7.8 So lu tion élém entaire
On appelle solution élémentaire (ou fondamentale) du laplacien dans Rrf, toute distribution E sur R rf solution de l’équation de Poisson* AE =
P ro p o sitio n 7.10. Solutions fondamentales radiales
On a vu qu’il n ’y avait qu’une solution élémentaire radiale (à une constante addi tive près) :
i.
xi -» £ 2O) = ln |;t|. 2n
dans R 2 :
ii. Dans R'*, pour
> d 3,
h-» E¿( x ) = (2 - d)Zd \x\d~2
iii. Pour d > 2 : grad
(Ef) = ---- -r—. ¿'¿ri' - 1 iv. Enfin, Ed est une fonction analytique sur R'* \ {0}.
Pour aller plus loin Des résultats complémentaires sur l’équation de Laplace en dimension quel conque sont en accès libre à partir des pages d’accueil du livre sur le site www.dunocl.com
7 .4 .3
É q u a tio n d e L ap lace d a n s un d is q u e
On s’intéresse ici à l’étude de l’équation de Poisson posée sur un disque où les co ordonnées polaires et la technique de séparation de variables sont particulièrement efficaces. On se place, dans R 2 muni de coordonnées polaires (r, 6 ), on cherche la solution de l’équation de Laplace avec conditions aux limites de Dirichlet non homogènes, dans le cas où le domaine d’étude O est le disque de rayon > 0 , centré à l’origine. Le problème s’écrit donc : ri2 !/
1 ri
A“ = ( P + 7 Tr * ■? W u(r = R,0)
u1 ri2 « = 0 V< * 1« 6 [° '
:2" [
(7.30) =/(ri)
où / est une fonction régulière telle que : / ( 0+) = / ( 2 0 f. Découverte par Siméon Denis Poisson (1781-1840), mathématicien, géomètre et physicien français.
172
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Vri € [
7.4. Équation de Laplace
On commence par chercher des solutions de 1 u(r,G)
à variables séparées :
(fi(r)
ce qui implique ip"{r) 4r{8) + r
rl
On suppose que pte < Il existe un domaine [ri, ri] x [9\ , 6 2 } où et Sur ce domaine, on peut écrire :
tp'(r)i//(9)+ \
y"(r) | 1 y/(r) | 1 r ( 0 ) ^ 0
r
r2
lf/(d)
et donc : r2 *P”ir) + 9'if)
*P'i0) ip{tlf(9)
Le membre de gauche ne dépend que de la variable r, et celui de droite, de 9 uniquement : il existe donc un réel A tel que : ;.2 y"(r) , ;y j r ) _
y(r)
r tp(r)
n e) =A i/f(9)
Puisque la relation est vraie pour tout s’annule, alors la relation
8
rl
Du nod. La photocopie non autorisée est un délit.
(7.31) e,
)=0
est encore vérifiée. Par un raisonnement similaire sur 9, on montre que la rela tion (7.31) est vérifiée sur tout O. On commence par étudier le système angulaire. Pour garantir que soit de classe C 1 sur tout le domaine indépendamment du choix des axes, on doit vérifier : ne) = m
V<9 e [0,2
H0+) = -)
(7.32)
© ce qui est un problème de Sturm-Liouville périodique. 173
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s’il exis
Chapitre 7 • Quelques équations aux dérivées partielles classiques
Comme classiquement, différents cas interviennent suivant le signe de A.
i.
Si A = - a »2 est strictement négatif, on obtient :
ip(8) = a ch(cj d)+ fi sh(
a = fi = 0 ce qui est impossible. Le cas A > 0 est donc à rejeter.
ii. Si A = 0, on obtient : {¡/(O) = a d + fi où a, fi sont des constantes réelles. Les conditions (7.32) conduisent alors à :
a = 0 fi e R On normalise la fonction constante sur L2([0, 2n]) : ^0 = 4 = \ln
(7.33)
iii. Si A = o? < 0, on obtient : tp{9) = a cos(a>0) +fi sin(a>0) où a, fi sont des constantes réelles. Les conditions (7.32) conduisent alors à :
j a = a cos(2 mo) + fi sin(2^a») \ f i - ficos(2na>) + œsin(27ro>) ce qui implique : (7.34)
w eN
Les valeurs propres sont donc doubles. Après normalisation, les vecteurs de base sont : ^n,l(d) = —j= COS(nd) j ^¡,2(0) = —= sin (nd) yn
pour n e N*
174
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(7.35)
7.4. Équation de Laplace
La deuxième équation différentielle du système (7.31) s’écrit donc :
r2
(7.36)
cette équation contenant uniquement des termes de la forme r* tp^(r), il est naturel de rechercher des solutions de la forme
r h » rp où p est un entier à déterminer. En injectant cette expression dans (7.36), on obtient :
(p2 - n 2)rp = 0 V r € [0,R[ Par suite :
p - ±n La solution devant être de classe C2 à l’intérieur du disque, elle doit y être bornée. Le cas p = - n, qui donne la solution non bornée au voisinage de 0 (r i-» p), est donc à rejeter. La solution admissible est donc
f
Il reste encore à vérifier la condition aux limites : on cherche alors la solution u sous la forme +00 j u(r, 9) = y* r" ——{an cos (n 9) + fin sin(n 0)} n vw 1=0 /
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
La condition aux limites en r = R conduit à :
©
1 y R'1—p {an cos(n6) + pn sin(«0)f = f(9) , 6 e [0 , 2n[ Zo Vi Les coefficients a„ et /?„ sont donc proportionnels aux coefficients de Fourier trigonométriques de la fonction 2n périodique qui coïncide avec / sur [0 ,2 tt[. On les obtient par projection sur la base hilbertienne calculée précédemment : l Rna„ = — yn 1 R'1P,, = —p yn
C2n I f(t) cos (nt)dt Jo C2n I fit) sin (nt)dt Jo
(7.37)
175
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Chapitre 7 ♦ Quelques équations aux dérivées partielles classiques
On a donc, finalement : 1 r 2* u(r,0) = — J f{t)dt
>2n f ( t ) COS(ftf)i/ij cos(n0) + |J ' f(t) sin(nt)J?| sin(n0) j ce qui peut encore s’écrire : 1 u{r, 0) = —
Jo
C2'n
( \r~î f 1 \ 1 1 + 2 2 _J ^ cos(n (0 - 0 ) dt
(7.38)
La fonction ainsi obtenue est parfaitement définie sur le disque tout entier. En outre, comme f +00
Z ^
r” cos(n (0 - 0) = Re 12 ^ U=l
!
= R eS L ei(e-0
1 _ £ g/(0-0 1 Re
= RJ ü ei« - 0 _____ R - r é ^ _______ | \R (R - re^ -d ) (R - rg-i(0-O)J (r R e ^ -r \ [R R2 + r2 - 2 Rr cos(0 - 1) j r R cos(fl - t ) - r 2 R2 + r2 - 2 r R cos(0 - 1) +£^ r" o s ( n ((e0 ~ - 0 1 +2Zj — № cC0S(n {^) -= 11=1 K
R 2 + r2
_2rR
Rr cos(0
c o s ( O - t)
on a donc :
R2 - r 2 dt) [R2 + r2 - 2 r R c o s ( 0 - t )
“(r'e,= =¿1 /(,){
ce qui permet d’exprimer u de manière intrinsèque :
u(M)
-¿rw
R2 - yÔMIl2
■*
^
(7.39)
\\\OM-OMR,t
où M est le point de coordonnées (r cos 0, r sin 0 ) , et Mrj est le point de coordonnées (R cos(0 - t), R sin(0 - /)). 176
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7.4. Équation de Laplace
On retrouve la formule de Poisson P roposition 7.11. La fonction
Mi
f/*>f
R2 - \\OM\\2
■dt) [\\OM - OMR
h
(7.40)
est solution du problème de Laplace aux limites dans le disque. De même, on décline le principe du maximum. Théorème 7.12. Si, en tout point M r = (R cos 6, R sin 6) de d€l
m\ < f ( 6 ) < m2 alors : m\ < u{r, 6) < m2 V Mr = (r cos0, r sin0) € Î2 Démonstration. Avec les hypothèses sur / , comme R2 - ||OM||2 > 0, on a directe ment :
mi
C2„ f{t)ÎR2 -\\ÔÛ\A C2nR2 --1IIOMII2 r 2”R2-- \IIDMH2 •di < J —— -— ,—- dt < m2 ■dt Jo \\OM ilTnh - OMr ,\\2 Jo ||OM iim | - OMrj W 2 \\OM - OM/e.,112
Il reste à simplifier l’intégrale :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
C2n R2 - \\ÔM\\2 d t _ f 2” (
Jo
IlÔM - OMr\\2
,2
rR c o s ( 6 - t) - r 2
)
Jo I R2 + r2 - 2 r R cos(0 - / ) / p2 n ( +“ pi ) = Jo i 1 + 2 Z ^ cos(" (0 ~ O) ^ = 2n
puisque, pour tout entier naturel non nul n :
I
^271 cos (n (6 - t)) dt = 0 177
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Chapitre 7
Quelques équations aux dérivées partielles classiques
7.5 U ne
équation aux dérivées partielles
C L A S S IQ U E E N F IN A N C E : L ’ É Q U A T IO N D E B L A C K -S C H O L E S 7.5.1
In tro d u c tio n
L’équation de Black-Scholes (BS), qui donne l’évolution du prix d’une option dans un marché financier [2,15], est donnée, dans sa version sans dividendes, et dans le cas particulier d’un « call », pour des options européennes, par :
dC o2 S2 d2C IdC dt + 2 ÔS2 + r \S dS
(BS)
où le prix de l’option, C, est une fonction du prix du sous-jacent, S et du temps t ; r est le taux d’intérêt sans risque, et
et on pose :
t=T ~ cr1
,
* = ln § E
(7.41)
C(S,t) = EC(x, t) ce qui conduit à :
dC ÔT
d2C dC ~ - j + f t - B - - « ;
(7.42)
où : (743)
k .%
La condition finale C(S, T) = max (5 - E, 0} devient donc une condition initiale :
C(x, 0) = max \ex - 1,0}
(7.44)
dC Pour éliminer les termes kC and (k - 1) ——de (7.42), on pose : ox C(x ,
t)
= e ax+P T C ( x ,
t)
178
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(7.45)
7.5. Une équation aux dérivées partielles classique en finance : l’équation de Black-Scholes
où a et p sont des réels à déterminer. On a :
^ = or eax+/}T C(x, t ) + eax+pT ^ ox ox
d2C 2 ax+a T ~ , . . „ Y+ft T ÔC a x + B r d 2C — T = a2 eax+pT C{x, t) + 2 a eax+pr — + eax+pT — ox1 ox ox1 d-£. = p e ax+l}T C(x, r) + eax+/3T Ç OT
OT
En injectant ces expressions dans (7.42), on obtient :
fîC(x, r) +
dC dC d2C = (a2 + (k - l)ûr - k)C{x,r) + (2a + k - 1)-^—+ ÔT dx dx2
On obtient le résultat voulu en posant :
a=
1 -k
,
/3 = a +(k - l)a - k
(7.46)
ce qui conduit à l’équation de la chaleur normalisée :
dC
d2c
\j î
=
^
V ( j i ’ T
0,
o-2 T
xR
(7.47)
) e
avec la condition initiale :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
~ ~ ( (*+l).t (*-l)jr 1 C(x, 0) = Co(x) = max le 2 - e 2 10>
(7.48)
La solution analytique est alors donnée par :
f
'.r) = 2 ^ = 2 y/7IT J-, 1 = — —1 2 yfr 2 yfnr 1
n+°°
= “ 7= I e y/n J-jJÿ.
C0(y)e
“r dy
(*-l)(*+2t V?) 1 2 r +°° ( (*+l)(.t+2z V?) I max < \e 2 - e 2 , 0 > e dz J -0 0 l
(t+l)(xt2; V?) _
2
2
e 1 dz
1
r,+0°
e p I y/n J - ^ 2V?
(k-l)(x+2z
2
Vr)
2
e z dz 179
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Chapitre 7 • Quelques équations aux dérivées partielles classiques
On développe le calcul du premier terme 1
r + °°
(*+l)(.v+2z v?)
2
— I e yn J--±= T 2 V?
_2
1
(*+ l ) ,
r +°°
(*+ l) 2 r
2 ) dz
e-z dz = — I e 2 + * e \ yn y lyfr :*+l).v (*+ l).v . (*+l)z T ? 2 J x Vf 2 Vf
e
( k +\ ) x , ( k + l ) 2 T
2
+
a *+ oo
4
e 1 dz
yfn e
( k +\ ) x , ( k + l ) 2 r 2 4
e
( k+Î ) x , ( k + l ) 2 r 2 4
+
f e rfi
y /n
+
(k + 1) -\fr\
'ÏH*
2
J
2 N|
f
yfn
x
où la fonction d’erreur complémentaire erfc et la distribution gaussienne cumulée N sont définies, pour tout nombre réel x, par : 2 n+oo 2 2 z'-* 2 erfc(x) = — I e- ' dt = —= | 6Ù yTT J *
yTT v / - c o
Finalement, on obtient :
C(x, t ) - e
tt+l).v . (*+l)'
r\ (k + 1) y/r\
x - n( \ V2?
(*-l).v (*-■>■* . (*-1)2t
V2 - ) ~ e
/
x
2 4 N(~v^
(k - \ ) y f r \
tf— )
Sachant que (7.46) donne :
eax+/3T _ e (1-A).v
( k+l)z
(7.45) conduit à : {k+l ) x
C(x,T) =
2 (l-k)x
- £ = e*
(A’+l)
T
/
CT"
x
4 V5F N № - V5(ik+ 1) Vf V?r U Vr J ..............o
( k+ 1)2 _ £
2
_ Vf
V f n ( - ^ - V 2 ( * - i ) Vf) l 2 V? J
+ 1) V r j - e kT
180
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“ V5(fc- 1) Vf)
7.5. Une équation aux dérivées partielles classique en finance : l’équation de Black-Scholes
Compte-tenu de (7.41) on a :
r =
cr2( T - t )
On obtient donc en utilisant la définition (7.43) de k :
/ C(S ,f) = - N E
ln%
~(k + l)c r V T - i
cr V r 3 7 r(T-t) N
in £
_______
\
J L _ - ( f c - i)o- V r ^7 - Vt - 1 /
Figure 7.6- L e « c a l l » , e n f o n c t i o n d u p r i x d u s t o c k 5 e t d u t e m p s r, p o u r E= 100, r = 6% ,cr = 0 . 3 .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
En finance, la sensibilité d ’un portefeuille d ’actions par rapport aux paramètres en jeu est mesurée par l ’intermédiaire de ce que l’on appelle, communément, « les grecques » : i. le Delta
dC
oS
ô= —
6 [0,1], qui perm et de quantifier le risque, et est donc la
« grecque » la plus importante. d2C
ii. Le Gam m a T iii.
> 0.
dC Le Vega (dont le nom vient de la form e de la lettre v) v = — .
ôcr
iv.Le Thêta 0 = v. Le rho p =
dt '
dC dr'
181
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Chapitre 7 • Quelques équations aux dérivées partielles classiques
La figure suivante perm et de visualiser l’évolution du ô en fonction du prix du stock S et du temps t :
F i g u r e 7 . 7 - L e « d e lt a » , e n f o n c t io n d u p r ix d u s t o c k 5 e t d u t e m p s f, p o u r = 100, r= 6% ,
La bonne stratégie, pour un trader, est de travailler sur des positions qui sont « deltaneutres » au moins une fois par jour, et, quand l’opportunité se présente, d ’augm en ter, le Gam m a et le Véga [2].
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I n t r o d u c t io n AUX APPROCHES VARIATIONNELLES Les approches variationnelles représentent des outils puissants pour la recherche de solutions d ’équations aux dérivées partielles avec des conditions aux limites. Elles permettent, en particulier, de travailler sur des domaines de form e très générale, bor nés ou non (ce qui n ’est pas le cas lorsque l ’on utilise des techniques de séparation des variables). Elles donnent des résultats d ’existence globale (et non juste autour des conditions aux limites). Ce cadre m athématique propice permet, en outre, de construire des techniques d ’approximation fiables. Dans ce qui suit, on travaillera uniquem ent sur des problèm es elliptiques, ce qui correspond souvent pour le physicien, à des problèm es purem ent spatiaux. Ceci dit, en considérant les problèmes d ’évolution com m e des problèm es spatiaux param é trés en temps, on peut déduire des propriétés sur des classes de problèmes beaucoup plus générales. Le lecteur intéressé aura avantage à étudier des ouvrages de référence comm e [6 ,7 ,8 ].
8.1
P
rincipe
d es
a p p r o c h e s
v a r ia t io n n e l l e s
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Un des problèmes fondamentaux, lorsque l ’on étudie une EDP, est de choisir l’espace (et la structure algébrique correspondante) dans lequel on doit chercher la solution. Un cadre idéal est celui des espaces de Banach (espaces de Lebesgue, espace des fonctions continues sur un compact muni de la norm e sup), mais le fait que la boule unité fermée pour la topologie forte ne soit pas compacte (car ce sont des espaces de dimension infinie) rend l’étude difficile (toutes les suites n ’ont pas de valeurs d ’adhé rence). L’idée de base des approches variationnelles est de considérer les EDP au sens des distributions, et d ’exploiter les propriétés de la topologie faible. M ais comm e l ’es pace des distributions ne dispose pas d ’une structure m athématique agréable, et ne perm et pas de parler de condition aux limites, on se restreint à des sous-ensembles de distributions qui constituent des espaces de Hilbert. Dans ces espaces, à l’aide de considérations algébriques, on arrive à m ontrer l ’existence et l’unicité de la so lution. Au final, on montre que sous certaines conditions la solution (au sens des distributions) possède en fait une certaine régularité, et, en particulier, que l’on peut l’identifier à une fonction classique (continue, voire dérivable). Une illustration très explicite est donnée par l’équation de Poisson avec condi tion de Dirichlet homogène, posée sur un dom aine ouvert f i c R rf, où d désigne la
183
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Chapitre 8 • Introduction aux approches variationnelles
dimension de l’espace physique, en général 2 ou 3 :
Au + f = 0 u= 0
dans Q sur dû.
( 8. 1)
et où dil est le bord de il, / étant une donnée du problème. Cette formulation du problème est appelée formulation forte. Ce système correspond, typiquement, à la recherche de la flèche d’une membrane soumise à son propre poids (si / représente la gravité) attachée sur le bord du domaine i l C’est aussi celui qui régit la répartition de température d’un domaine en contact avec un thermostat et soumis à une source de chaleur / . Par la suite, on fera des hypothèses sur Q et sur / pour donner un contexte dans lequel on sait déterminer si le problème possède, ou non, une solution. La recherche de solutions à la formulation forte (solutions au sens classique) n’est que rarement possible, on va donc commencer par donner à l’EDP (sans regarder les conditions aux limites) un sens très général en considérant que u et / sont des distributions (chapitre 4). On a donc :
{Au,
V e £>(«)
(8.2)
d2 En utilisant la définition du Laplacien A = ^ —-, et la définition de la dérivation i=i dxf au sens des distributions, on obtient v-< / du d(f> I f W dx,l ~
V
(8.3)
que l’on note, en considérant la dualité dans (£>(Q))d : (grad(M), grad(0)> = (f,
V (/> e D(Q)
(8.4)
À ce niveau là, l’expression est strictement équivalente à l’EDP initiale (sans condi tion de bord) prise au sens des distributions. Nous allons voir qu’en faisant quelques choix nous aboutirons à un cadre très intéressant. L’espace D'(Q.) est en fait beaucoup trop général pour être utilisable : • il ne possède pas de structure mathématique pratique (pas de norme ni de produit scalaire) ; e comme on ne peut pas parler de la valeur d’une distribution en un point, il n’est pas possible d’imposer des conditions au bord. On va donc travailler dans un sous-espace de D'(i2) qui comble ces lacunes.
184
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8.1. Principe des approches variationnelles
Définition 8.1 On désigne par le sous-ensemble des distributions qui peuvent s’identifier à une fonction de L2(Q.) et dont la dérivée (au sens des distributions) peut s’identifier à une fonction de L2(Q) : u
e H l(Q.)< =>
u€L 2(Q),
V i € {1
uXj
Il faut noter que la condition sur la dérivée s ’écrit aussi : grad(i<) 6 (L2(iï))d
H l(Q) est un cas particulier d ’espace de Sobolev dont on vérifiera en annexe D qu’il possède toutes les propriétés qui nous intéressent, en particulier : P ro p o sitio n 8.1.
i.
H 1(Q) peut être muni de la structure d ’espace de Hilbert grâce au produit scalaire suivant : u,u) L 2 + (grad(w), grad(ü))(L2 )rf V (u, v) e H l(Q) x H l(Q.)
(u, v)H\ = (
ii. les fonctions de H l(D.) possèdent une valeur sur Oil. Comme les éléments de peuvent s’identifier à des fonctions, on peut aban donner la notation de dualité (•, •) et utiliser, à la place, la notation intégrale. On peut donc définir le problème suivant :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Trouver u e / / ’(fi) tel que :
V f € £>(fi)
I grad(n) • grad
Ja
0
sur ô fi
(8.7) Pour pouvoir l ’écrire sous cette forme, il a fallu supposer que / était au moins loca lement intégrable. Pour la suite, on va même supposer / e L2(fi), de façon à pouvoir étendre le domaine de définition de f. La condition < f>€ D (fi) n ’est pas très satisfaisante et peut être améliorée en tra vaillant dans un espace plus grand. Dans l’absolu, plus l ’espace de test est grand, mieux la fonction u est spécifiée. Il est ici possible de raisonner par densité en cher chant le plus grand espace tel que l’équation garde son sens.
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(8.6)
Chapitre 8 • Introduction aux approches variationnelles
Définition 8.2
On désigne par //¿(O ) l’adhérence de D (Q ) dans H l (Q). P ro p o sitio n 8.2.
i. //¿ ( f i) est
unsous-espace vectoriel fermé de
ii. //¿(Î2) coïncide avec l ’ensemble des fonctions de H 1(il) qui s ’annulent sur i l On voit que
et que, par ailleurs, u doit appartenir à
//¿ ( f i) pour satisfaire les conditions aux limites. Cette dernière propriété permet de faire passer la condition aux limites dans l ’es pace de recherche de u. On aboutit enfin à la formulation suivante du problème : Trouver u € //¿ ( f i) tel que, pour tout
Cette formulation est appelée formulation faible, elle permet d ’utiliser des tech niques de recherche de solution et d’approximation très puissantes.
Remarque 8.1 Pour ceux qui n’aiment pas les distributions, la formulation faible peut être obtenue par des techniques d’intégration classiques (elle peut aussi être donnée directement comme modèle physique, comme c’est le cas pour le principe des puissances virtuelles en mécanique). L’idée est de partir de l’équation forte, de la multiplier par un champ test qui s’annule sur <9£i, d’in tégrer sur le domaine puis de réaliser une intégration par parties (théorème de la divergence) :
Au + / - 0
(8.9)
On multiplie membre à membre par le champ test et on intègre : ( 8 . 10)
soit :
'n
Une intégration par parties conduit alors à :
186
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( 8. 11)
8.1. Principe des approches variationnelles
L’intégrale d’une divergence sur un domaine est égale à l’intégrale du flux normal sur le bord ; de plus, si g est un champ scalaire et v un champ vectoriel :
div(g v) = / div(u) + grad(^) • v On en déduit : I
(8.14)
puis, comme le champ test s’annule sur le bord :
I
grad(w) • grad(
(8.15)
Il faut compléter la séquence d’équations en précisant les espaces fonctionnels qui donnent du sens à l’expression obtenue. Il faut intégrer des gradients, ce qui requière que u soit dans Hl(£ï) et
a(u, v) = J grad(w) • grad(u) dx Jn
V (u, v) e H \G ) x H l(a)
Kv) = 1 fv d x Jiî V = Hq(Q)
Vu € H \0 )
(8.16)
On arrive alors au « problème variationnel abstrait » suivant :
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Trouver u € V tel que, pour tout v e V : a(u, v) = l(v)
(8.17)
On verra qu’il existe différents théorèmes d’existence et d’unicité de solution, en fonction des propriétés relativement simples de V, a et /. En fait, les résultats peuvent même s’étendre à des inégalités variationnelles. Dans le cas qui nous concerne, on dispose des propriétés évidentes suivantes : •w» V est un espace de Hilbert.
^ a est une forme bilinéaire sur V : a(u, u) € R
V (u, v) e V2
a(u\ + ÀU2,v) = a(ui,v) +Àa(u2,v)
V ( w i , € V3, V l ë R
a(u, iq +HÜ2) = a{u, vi) + fja(u, u2)
V(k, ui,u2) € V3, V/r € R
(8.18)
187
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Chapitre 8 • Introduction aux approches variationnelles
w / est une forme linéaire sur V :
l(v) € R l(v 1 +HV2) = l{v\) + ¡ll{V2)
Vv € V , V(üi,D2) e V2, VyU € R
(8.19)
Dans l’annexe D, on donne des résultats permettant de prouver les propriétés sui vantes :
i. I est continue sur V : 3 C > 0 / |/(i>)| < CIMIv
VV e V
(8.20)
ii. a est continue sur V : 3M > 0/\a(u ,v)\< M \\u \\v \\v\\v
V (u ,v )e V 2
(8.21)
iii. a est coercive (ou V-elliptique) sur V : 3 a > 0/a(u, u) > or||«||y
Vm € V
(8.22)
Dans la section 8.2, on présente des théorèmes permettant de conclure sur l’exis tence et l’unicité de la solution du problème dans V (et même des résultats plus puissants). En 8.3, on montre que la solution du problème faible peut dans certain cas avoir une régularité au sens classique. En 8.4, on applique l’approche variation nelles à des EDP plus générales. Enfin, la section 8.5 précise comment utiliser les formulations faibles pour obtenir de bonnes approximations. Pour clore cette introduction, donnons une formulation équivalente dans le cas où la forme bilinéaire a est symétrique, i.e. lorsque a(u, v) = a(v, u) pour tout ( m, v) de V2. Proposition 8.3. Dans le cas où la forme bilinéaire a est bilinéaire symétrique coercive, la formulation faible 8.17 est équivalente à la formulation énergétique sui vante :
Trouver u e V tel que, pour tout v € V :
J(u) < J(v), avec J(v) = ^ a(v, v) - l(v) (8.23)
Remarque 8.2 Dans le cas de l’équation de Poisson :
J{v) =
^
f grad(u)2dx - f fvdx L Ja Jn que l’on interprète comme une énergie potentielle. 188
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8.2. Problème variationnel abstrait
Démonstration. Soient u et h dans V. Calculons J(u+h) en exploitant la (bi-)linéarité des opérateurs et la symétrie de a : J(u + h) = ^ a(u + h, u + h) - l(u + h) =
a(u, u) - /(w)j
a(u, h) + ^ a(h, u) - 1(h)j + ^ a(h, h)
+
(8.24)
= J(u) + (a(u, h) - 1(h)) + ^ a(h, h) Si on suppose que u est solution du problème faible, alors :
J(u + h) - J(u) = j
a(h, h)
>0
grâce à la coercivité de a. u minimise bien l’énergie. Réciproquement, si u minimise l’énergie, on pose : h = q q avec tj € R et q € V. On obtient alors : 0 < J(u + tjq) - J(u) = T] (a(u, q) - l(q)) + y a(q, q) On reconnaît un polynôme du second degré en q. Pour que l’inégalité soit vraie pour tout q e R, il faut que le discriminant soit négatif ou nul, et donc
(a(u, q) - l(q))2 < 0
Vq 6 V
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ce qui implique a(u, q) = l(q).
m
Le terme J s’interprète physiquement comme une énergie. On cherche donc un champ u qui minimise l’énergie. Dans ce cas, la formulation faible prend aussi le nom de formulation variationnelle : on cherche le champ u tel que la variation d’énergie soit nulle pour une petite variation autour de u. On voit en fait que la forme faible correspond à la nullité de la différentielle de l’énergie.
8.2 P ro blèm e
v a r ia t io n n e l a b st r a it
Dans cette partie, on étudie des problèmes variationnels abstraits. Dans un espace de Hilbert H, on introduit : • un convexe fermé K de H; • une forme bilinéaire continue coercive a ; • une forme linéaire continue /. 189
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Chapitre 8 • Introduction aux approches variationnelles
Pour la suite nous allons avoir besoin de nommer les différentes constantes. On dé signe par a la constante de coercivité de a et M sa constante de continuité. On pourra, si besoin est, utiliser directement ||/||* pour la constante de continuité de /. Le théorème le plus général se contente des hypothèses ci-dessus, ceci dit, le cas particulier où la forme bilinéaire a est symétrique est très intéressant et joue un rôle pratique important. Le lecteur est invité à consulter les annexes B.4 et B.5 qui prouvent les théorèmes fondamentaux utilisés dans ce chapitre.
8.2.1 Cas où a est symétrique Si a est symétrique, on introduit l’énergie J sur H : pour u 6 H, J(v) = i a(v, u) - /(u)
(8.25)
Théorème 8.4. Stampacchia
Sous les hypothèses précédentes, il existe un unique u de K tel que, pour tout v de K : J(u) < J(v) Démonstration. Pour u e H, on a 0 < a||u||?, < a(v, v) = ||u||a < M\\u\\2H; ainsi, a
def est un produit scalaire équivalent à (., .)#, et (H, || • ||a) est un espace de Hilbert dans lequel l est continue. D’après le théorème de Riesz (voir B. 15), il existe un unique L de H tel que : l(v) = a(L, v), Vu e H. On a donc :
(8.26)
K étant un convexe fermé de (H, ||.||fl), d’après le théorème de projection (voir B.10), Pk (L) e K est l’unique vecteur tel que ||L - Pk (L)||a < ||L - u||a quel que soit v e K. On en déduit que l’existence du minimiseur de l’énergie, qui est u = P/r(L). Corollaire 8.5. Sous les mêmes hypothèses, u = Pk (L) est l ’unique solution de a(u, v - u) > l(v - u), Vu e K.
Démonstration. D’après la caractérisation de la projection (voir B. 11), on a aussi, pour tout u e H : a (L -P K(L ),v -P K(L))< 0 (8.27) ou encore :
a(L, v - PK(L)) < a(PK(L), v - PK{L)) 190
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(8.28)
8.2: Problème variationnel abstrait
soit :
l(v - PK(L)) < a(PK(L), v - PK(L))
(8.29)
Réciproquement, supposons u e K et a(u, v - u) > l(v - u), Vu e K. On a alors :
(8.30)
Bien sûr, le cas particulier où K est un sous-espace vectoriel fermé (que l’on no tera V) est intéressant. Proposition 8.6. Si V est un sous-espace vectoriel fermé, alors l ’inéquation varia
tionnelle du corollaire précédent devient une équation variationnelle : u = P vif) est l’unique solution de : a(u, v) = l(v), Vv 6 V (8.31) Démonstration, Comme V est un sous-espace vectoriel, alors, pour tout v de V : a(L - Pv(K), v) = 0 ; ainsi : l(v) = a(Py(L), v). Réciproquement, d’après le corol laire B. 13, si a(u, v) = l(v) pour tout v de V, alors : a(u, v -u ) = a(u, v) - aiu, u) = l(v) - l(u) = l(v - u)
8.2.2 Cas où a est non symétrique
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Dans ce cas, il n’existe plus d’équivalence en minimisation d’énergie et la démons tration de l’existence de solution repose sur d’autres principes. Donnons, pour com mencer, deux lemmes techniques. Lemme 8.7. Théorème du point fixe de Banach-Picard
Soit T une application contractante dans l’espace de Banach (H, || ■||)t. Alors, il existe un unique xq de H tel que : Txo = *o. Démonstration. Unicité : si mi et U2 sont deux points fixes, on commence par écrire :
ll«i ~ «2 ll = \\Tui - TU2W < k\\ui - M2II f . C’est-à-dire qu’il existe une constante Hr* - Ty\\ < ¿ ||x - ¡/||.
k dans
(8.32)
l’intervalle ]0 ,1 [ telle que, pour tout (x,y) e H1 :
191
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Chapitre 8 • Introduction aux approches variationnelles
Il en résulte : (1 - £)||mi - K2II < 0 => «i = «2
(8.33)
Existence : pour Mo € H, on pose m„+ 1 = T m„ ; on va montrer que la suite ( m„)„6N est une suite de Cauchy. Par récurrence immédiate : ll«2
“
Mill H
< k\\u\ “ Uo\\fj
(8.34)
et :
\\Un+l ~ M „||// < *"||«1 -
M oll//
(8.35)
Par inégalité triangulaire : l|W/!+p —unill// = I|M/i+p —Mn+p_J + M„.|.p_i —... —Mn||//
(8.36)
ce qui conduit à :
(p-i \ l|w/i+p
u„\\n ^ k
Z1=0* /
ll«i ~ Mollh = — t— j— ^ll«i - «ollh 1- k
(8.37)
Il en résulte :
k" (8.38) Uh\\h < -— -|| mi - Moll// —>n->00 0 1- k Comme (un)n€n est une suite de Cauchy et que l’espace est complet, elle converge vers une limite u e H, qui vérifie : m = Tu. m Proposition 8.8. Généralisation du théorèm e de Riesz
Dans un espace de Hilbert H, si a est une forme bilinéaire continue, il existe un unique opérateur linéaire A de H dans H tel que a(u, v) = (Au, v) h
V (m, v) e H2
Cet opérateur linéaire A est continu. Démonstration. Pour u fixé dans H, l’application v e H 1-» a(u, v) est une appli
cation linéaire continue, donc d’après le théorème de Riesz (voir B. 15), il existe un unique vecteur noté Au tel que : (AM,v) h = a(u, v) Étudions maintenant l’application u
Vv 6 H
A„. Pour tout (u\, U2, v) de H3 :
a(u{ + m2, v) = (A(M|+„2), v) h 192
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(8.39)
8.2. Problème variationnel abstrait
soit :
a(u\ + u2, v) = a(u\, v) + a(u2, v) = (AU|, v)H + (A„2, v)H
(8.40)
et donc : (•^(mi+h2) —(Àui
A«2), v)h = 0
(8.41)
ce qui prouve que A(H|+„2) = (AMl + A„2). On raisonne de même sur A¿u avec A € R, on montre que A¿u = AAU. Et donc « h A„ est linéaire, on emploie donc la notation Au (opérateur appliqué à un vecteur). Enfin : \a(u, ü)| = \{Au, v)H\ < M\\u\\h\\v\\h On prend v = Au, et on en déduit : ||Aw||// < M\\u\\n. L’application A est donc conti nue. ■ Ces résultats nous permettent d’aboutir au résultat d’existence et d’unicité de la solution du problème variationnel. Théorème 8.9. Théorème de Lax-Milgram
Dans un espace de Hilbert H, si a est une forme bilinéaire continue coercive et l est une forme linéaire continue, il existe un unique u de H tel que, pour tout v de H : a(u, v) = l(v)
(8.42)
Démonstration. On reformule le problème : a(u, u) = (Au, v) h et l(v) = (L, v) h donc (Au - L, v) h = 0. Il faut donc montrer qu’il existe un unique « d e H tel que : Au = L (i.e. que A est un isomorphisme de H). On construit T : v i-» v - À(Av - L) avec À > 0. On a donc :Tu = u <==> Au = L. Il suffit alors de montrer qu’un choix judicieux de A rend T contractante. À cet effet, on écrit : IlTv - Tw\\2 H = || v - w - AA(v - w)fH = ||u - w\ŸH-2A(A(v -w ), v - w)H © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
< -2
Aa ||d -
+ 42||A(u - iu)||^
ui ||^
(8.43)
< ( l - 2 A a + M2A2)\\v-w\\2H où on a utilisé la coercivité de a (constante étude rapide du polynôme montre que :
or)
et sa continuité (constante M). Une
1 - 2 Aa + M2A2 < 1 pour
0 < A< 2 — M
T est alors une contraction.
■ 193
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Chapitre 8 • Introduction aux approches variationnelles
Le résultat précédent d’existence et d’unicité peut être complété par une étude de la relation entre la solution u et le chargement Z. Théorème 8.10. Dépendance continue de la solution
u dépend continûment du second membre 1. En effet : «INI# < a{u, u) = /(«) < ||/||*N|tf (8.44) N I * < -MU
a
Terminons par un résultat un peu plus général. Théorème 8.11. Lax-Milgram sur un convexe fermé
Dans un espace de Hilbert H, on considère un convexe fermé K, a une forme bilinéaire continue coercive, l une forme continue, alors, il existe un unique ude K tel que, pour tout v de K : a{u, v - u) > l{v - u) (8.45) Démonstration. Autrement dit, u doit satisfaire : {Au - L, v -
u)h
>0
, Vu € K
On introduit la projection sur K :
TK : H -> K, v>-> Tk(v) = PK(v - A {A v- L))
(8.46)
Comme précédemment, on va montrer qu’un choix judicieux de A > 0 rend Tk contractante : 117*00 - TK{w)\\2 H = ||PK{v -A { A v - L)) - PK{w - A{Aw - L ))||| < ||(t> - w ) - A {A{v - w))\\2H où on a utilisé le fait que PK est contractante (voir B. 12). On arrive au même résultat que pour le théorème de Lax-Milgram sur l’espace entier. Soit u tel que T¡c{u) = u, on rappelle que la projection satisfait :
{v - P k {ü) , w - P k {v))h < 0
Vwe K
On applique le résultat à u - A {Au - L) : (« - A{Au - L) - PK{u - A{Au - L)), w - PK(v -A { A v - L))) < 0
A{Au - L, w - u) > 0
194
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(8.48)
8.3. Notions sur la régularité de la solution faible
8.3 N otions
sur la régularité DE LA SO LU T IO N FAIBLE
On reprend ici le problème de l’équation de Poisson à condition de Dirichlet homo gène au bord. On a vu dans la première section que la formulation faible du problème est la suivante : Trouver u € Hq(Cï ) tel que Vu € Hq(Q) :
J' grad(M) • grad(i>)dx = J 'f v d x °
(8.49)
On pose, pour tout (u, v) € Hq(Q) x //¿( î î ) :
a(u, v)
I grad(u) • grad(u) dx Ja.
et
/00 =
vdx
On a vu que Hq(£î) est un espace de Hilbert, que a est bilinéaire symétrique continue coercive, et que / est continue coercive. On peut en déduire, grâce au théorème de Stampacchia, que la solution u du problème faible existe et qu’elle est unique. On peut maintenant s’interroger si cette solution u de //¿(O) a un sens plus clas sique. On interprète l’équation au sens des distributions pour
a(u, v) = (grad(w), grad(0» = l(
(o.j U)
(Au + f,
ce qui signifie que Au + f est la distribution nulle. Par suite : (Au + / ) = 0. Si on
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
pp
suppose que / e L?(Q), cela signifie que Au € L2(Q) et en fait, si on fait quelques hypothèses de plus sur Q comme une forme convexe, u e H2(Ü.). D’après le théorème de plongement de Sobolev (voir D.3), on peut en déduire la régularité classique. Dans le cas de la dimension 1, u est continûment dérivable. Le problème de la régularité des solutions de formulations faibles peut devenir très complexe, il fait intervenir la qualité du chargement, la forme du domaine, la formulation elle-même. L’exemple ici était extrêmement simple.
8.4 T raitement
de quelques
EDP
Il s’agit dans cette section de montrer rapidement que les approches variationnelles s’appliquent à des problèmes plus généraux que la simple équation de Laplace avec conditions limites homogènes. Cette présentation reste très partielle et le lecteur est invité à se référer à des ouvrages plus spécifiques comme [6,8]. 195
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Chapitre 8 • Introduction aux approches variationnelles
8.4.1 Conditions de Dirichlet non-homogènes On s’intéresse ici au problème suivant :
Au =
0
dans Cl
U=
Ud
sur dCl
(8.51)
Autrement dit on cherche une fonction harmonique dont la valeur est imposée sur le bord du domaine. On introduit l’espace suivant :
*V = {u € H1(Cl), u = ud sur dO}
(8.52)
et on aboutit au problème suivant : Trouver w £ T tel que, pour tout u € Hq(CI) : C I grad(w) • grad(u) d x - 0 Ja
(8.53)
Afin de se ramener au même espace de recherche (pour u) et de test (pour v), on fait appel à un relèvement, à l’instar de ce que l’on a fait au chapitre séparation de variables. Pour cela on utilise les résultats des théorèmes de trace (proposition D.7). La formulation prend du sens pour uj e H ï (dCl), car on peut trouver un relèvement üd e H1(Cl) (autrement dit, uj est la trace de üj sur le bord de Î2). On a alors *V = üd+H^Cï). On cherche alors u sous la forme ü+üd ; la formulation variationnelle devient : Trouver ü € Hq(CI) tel que, pour tout v € Hq(Q) :
I grad(w) • grad(u) dx = — I grad(üd) • grad(u) dx Ja Ja
(8.54)
Cette formulation vérifie les hypothèses du théorème de Stampacchia. On a donc existence et unicité de la solution. Par ailleurs, on a également la continuité de la solution vis-à-vis du chargement qui s’écrit :
INlHi
(8.55)
où C est une constante qui dépend de O.
8.4.2 Problèmes à conditions limites mélangées Dirichlet / Neumann On s’intéresse ici au cas où la frontière du domaine est partagée en deux parties complémentaires : le fermé duQ où des conditions de Dirichlet Ud sont imposées et 196
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8.4. Traitement de quelques EDP
s II
Au = grad (u )-n =
0
dans il
£
l’ouvert dgil où des conditions de Neumann g sont imposées :
sur d„il
g
sur dgil
(8.56)
On introduit l’espace de recherche *V suivant : V = [u € H1(il), u = Ud sur <9M £2}
(8.57)
c’est un sous-espace affine de H1(il) dont l’espace vectoriel associé
(8.58)
On a supposé que d„il possédait la régularité requise pour que l’opérateur de trace restreinte (sur la portion d„il du bord) soit bien défini et continu. Dans ces conditions *Vo est un sous-espace vectoriel fermé de H1(il). De même, on suppose ici que uj est suffisamment régulier pour que l’on puisse définir un relèvement üd de Ud dans *V. Une propriété fondamentale de l’espace 'Vo, qui servira à montrer la coercivité de la formulation variationnelle, est que, sous des conditions de forme de il, les fonctions qui le composent vérifient une inégalité de Poincaré dès que la mesure (de surface) de duil n’est pas nulle. Typiquement, on peut reprendre la démonstration de la proposition D. 10 pour Hq(H) avec £2 dans une bande de direction £ non parallèle à duil. Il faut bien noter que les conditions de Neumann ne rentrent pas dans l’espace de recherche (il faudrait utiliser un espace de recherche autre que H 1 pour leur donner du sens). La formulation variationnelle s’obtient par multiplication par un champ test dans 'Vo et intégration par parties :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
0 = I v Au dx = I (div(o grad(w)) - grad(w) • grad(u)) dx Jq
Jn
I grad(w) • grad(o) dx - I v grad(w) • n dS = I v grad(w) • ndS Jôiî JduQ
vfl
+ I v grad(w) • ndS Jdgii (8.59) en utilisant la nullité de v sur duil, et en posant u = üd + ü, on aboutit à : Trouver ü 6 Vo tel que Vo e *Vo : I grad(ii) • grad (v)dx= I vgdS - I grad(û^) • grad(o) dx „ Jd Jdgii JO
(8.60)
197
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Chapitre 8 • Introduction aux approches variationnelles
Cette formulation prend du sens pour g e L2(dgiï), puisqu’on peut alors utiliser le théorème de Cauchy-Schwarz pour montrer la continuité de la forme linéaire (en utilisant la continuité de l’application trace pour passer de IM I^ Q) à IMI#i(n))La formulation vérifie les hypothèses du théorème de Stampacchia. On a donc existence et unicité de la solution et continuité vis-à-vis du chargement, qui s’écrit : + Cg WgWindgii)
INI#' < C«
(8.61)
où Cu et Cg sont des constantes qui dépendent de (O, dtlil, dgil).
8.4.3 Problèmes de Neumann On considère maintenant le cas d’un domaine soumis à des conditions de Neumann sur tout son bord. -A u = f dans il I (8.62) grad(w) • n = g sur d il La formulation variationnelle s’obtient comme précédemment Trouver u € H1(il) tel que Vv e H1(il) (8.63)
I grad(w) • grad(v)dx = I v fd x + I vgdS . JO
JO
JdO
On suppose / € L2(iï) et g e L?(diï), ce qui garantit la continuité de la forme li néaire. La difficulté pour cette formulation est qu’il n’y a pas d’inégalité de Poincaré dans H1(il) et donc pas de coercivité. En fait on peut voir que la forme bilinéaire a pour noyau les fonctions constantes sur il (puisque leur gradient est nul). Si on prend o = r e R dans la formulation, on obtient : 0 = r ( I f dx+ f \J o
gdS |,
Jdo
I
Vr e R
| f d x + I gdS = 0
=>
Jo
JdO
(8.64) Cette équation est une condition sur les chargements / et g, nécessaire pour qu’il puisse y avoir une solution. Par ailleurs, si l’on suppose que u est une solution de la formulation variationnelle, on voit que « + r ( r e R ) est également solution. Dans les cas précédents les fonctions constantes étaient éliminées de l’espace de recherche par la présence de conditions limites de Dirichlet (qui font que la seule fonction constante possible dans l’espace utilisé est la fonction nulle). Sous réserve que (8.64) soit vérifié, on peut trouver une solution (et donc une in finité de solutions définies à une constante près) en travaillant sur un espace supplé mentaire dans #*(£2) à celui des fonctions constantes. Typiquement on peut travailler 198
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8.4. Traitement de quelques EDP
dans l’espace des fonctions à moyenne nulle, que l’on note fUm pour lequel, le théo rème D.12 assure l’existence d’une constante de Poincaré. Pour résumer : Si f f d x + f igdS Jn Jdü
0, il n’y a pas de solution.
■w» Si I f d x + I g dS = 0, il y a une infinité de solutions, de la forme u,„ + r, où Jn J an u € R et um est l’unique solution de la formulation variationnelle : Trouver u e fUmtel que Vu 6 1Àm : I grad(a) • grad(u) dx = I vfdx+ I Jn
Jn
Jdn
vgdS (8.65)
8.4.4 Problème à conditions limites de Robin (Fourier) On considère le problème suivant : - Au = 0 dans Q grad(w) • n = g —¡lu sur dû.
(8.66)
Pour simplifier, on suppose que /u est une constante strictement positive et g € Û{dCl). La formulation variationnelle s’obtient comme suit : 0 = I uAudx= I (div(u grad(u)) - grad(w) • grad(y)) dx Jn
Jn
I grad(w) • grad(y)dx = I
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Jn
Jan
(8.67)
v grad(M) • ndS = I vg - ¡ivudS J an
La formulation variationnelle s’écrit : Trouver u e Hl(ü.) tel que V v e Hl(£i)
I grad(w) • grad(n)dx + I ¡xvudS - j vgdS J ci J an J an
( 8 .68 )
On voit que la condition de Robin a une répercussion sur la forme bilinéaire. Le théorème de Cauchy-Schwarz et la continuité de l’application trace dans Hl(£l) per mettent de conclure à la continuité des formes linéaires et bilinéaires. Pour la coer civité, il est nécessaire d’utiliser la généralisation de l’inégalité de Poincaré donnée dans le théorème D.14. 199
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Chapitre 8 « Introduction aux approches variationnelles
8.5 T e c h n iq u e s
d ’a p p r o x im a t io n de R it z -G a l e r k in
Si les résultats précédents donnent l’existence et l’unicité de la solution faible, ils n’indiquent pas comment la calculer. On va voir ici que la formulation faible per met de définir des techniques d’approximation très efficaces. Considérons donc une formulation faible de la forme : Trouver u dans H tel que, pour tout v e H : a(u, v) = l(v)
(8.69)
ce qui est équivalent, si a est symétrique, à la formulation énergétique : Trouver u dans H tel que, pour tout v € H : J(u) < J(v) avec J(v) = j a(v, v) - l(v) (8.70) où H est un espace de Hilbert, a une forme bilinéaire continue coercive, l une forme linéaire continue. Le principe de l’approximation consiste à travailler dans un sous-espace vectoriel de H de dimension finie, que l’on désigne par V*. On introduit le problème approché suivant : Trouver Uh dans V* tel que, pour tout v e V/t : a(uh, v) = l{v)
(8.71)
ce qui est équivalent, si a est symétrique, à la formulation énergétique : Trouver U), dans V/, tel que, pour tout v e V* : J(uh) < J(v)
(8.72)
L’existence et l’unicité de la solution de la formulation approchée (et l’équivalence énergétique dans le cas symétrique) sont obtenues par application du théorème de Lax-Milgram (ou Stampacchia dans le cas symétrique) dans le cas où K est un sousespace vectoriel. En particulier, cela signifie que, si la solution u appartient à V*, alors l’approximation conduira à la solution exacte. D’après ce qui précède, il est clair que u/t est la meilleure solution dans V* au sens de l’énergie dans le cas symétrique, c’est aussi celle qui, dans tous les cas, rend l’erreur orthogonale à V* (au sens de a). En effet, en prenant le problème faible de base testé dans Vh, on obtient :
a (u -u h,vh) = 0, Svh € Vh On en déduit le résultat suivant : a\\u - Uh\\H < a(u - U h , u - Uh) = a( u - U h , u - Vf, + v/t -
(8.73) Uh),
V it, € V*
= a(u - u/,, u - Vh) + a( u - Uh, ity, -
=o < M \ \ u - u h\\H \ \ u - V h \ \ H
M IlU- uh\\H < — II« a
Vh\\H ,
Svh € Vh
200
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m/,)
(8.74)
8.5. Techniques d’approximation de Ritz-Galerkin
Proposition 8.12. L e m m e d e C é a „
„ M 11« - «/ill// < — inf IIu - Vh\\H a vi,eVh
(8.75)
Ce lemme est fondamental, car il permet de relier la qualité de l’approximation de l’EDP (caractérisée par les constantes or et M) à celle de l’approximation des fonc tions de H par des fonctions de Vf,. Il permet donc de développer des techniques d’ap proximation relativement génériques, il suffit pour cela de s’assurer que l’espace Vf, permet de bien approcher les fonctions de H. Il reste à détailler le calcul pratique de la solution approchée. Comme V* est un espace de dimension finie, il possède une base finie (
uh = ^ « « 0 /=1 La formulation faible s’écrit alors : n
Trouver (m,) k ,o , e R" tel que, pour tout j e {1, . . . ,n] : a
^
, «I
i 0 j
= /(0;)
/=1 (8.76) En utilisant la bilinéarité de a, on peut écrire le système sous forme matricielle : ,
\ ( ■^
• • • Æ(0/ i (¡>j) . . . !
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
A
Ui
; <■J U
/ . = w
(8.77)
^ • / F
La matrice A hérite des propriétés de la forme bilinéaire a : elle est symétrique, définie positive (grâce à la coercivité). Un tel système peut être résolu par une factorisation de Cholesky ou un gradient conjugué. Il existe des techniques permettant de construire des bases de sous-espaces vecto riels de dimension finie pour les espaces H1(£2) pour des domaines Q de forme très générale, la plus célèbre d’entre elles est la méthode des éléments finis.
201
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Chapitre 8 • Introduction aux approches variationnelles
Exercices
Propriétés de W'(Q) sur un intervalle Étude de
H 1(J)avec 7 =]a, b[c R éventuellement non borné.
1. On cherche ici à montrer que si
u(x)=
J XQ
ueH l(I), alors
x(u)o+ I
u'(t)dt.
À cet effet, on introduit la fonction qui, à tout x de 7, associe uq(x ) = C u (t) d XQ Montrer que «o est bien définie et qu’elle est uniformément continue, puis que u' -u '0 =0 au sens des distributions. On admettra que cela implique l’existence d’une constante réelle c telle que : u - uq = pp 2. Montrer que, pour I borné, la fonction qui à / e H l(I) associe ) (trace à gauche) est une forme linéaire continue sur H X(I). En déduire que //¿(/) est un sous-espace fermé de H l(I). 3. Montrer que pour *o € 7, ôxo e (7/^ (/))'. On pourra utiliser le théorème de Riesz et montrer qu’il existe une fonction / de 77^(7) telle que < ôXQ, (p >= ( / >0)
h1■
(i£ i Formulation variationnelle du problème de Laplace 1D On s’intéresse à la recherche, par une méthode variationnelle, de la fonction u véri fiant cEu
— — = f(x ), dxz
x e]0 ,1 [,
o
/donnéedans Zr(]0,1 [),
avec
m(0)
= h(1) = 0.
1. On cherche u € //¿Q0,1[) solution du problème différentiel ci-dessus. Montrer que u est solution du problème variationnel : Trouver
u € T/J (]0, 1D tel fiue : a(u
On explicitera, pour tout (u, v) de 77^(]0,1[) x 77q(]0, 1[), a(u, v) et L(u). 2. Montrer que a est une forme bilinéaire continue, symétrique, et coercive sur T7,5(]0,1[), et que L est une forme linéaire continue sur 77,5(]0,1[). 3. Montrer directement (sans utiliser le théorème de Lax-Milgram), l’unicité, puis l’existence de la solution du problème variationnel (on pourra montrer que l’ap plication _____ v e 77¿(]0,1[) h-» xja(v, 202
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€
Exercices
est une norme équivalente à la norme de Riesz).
H1 sur //¿ (]0 ,1
4. Montrer que le problème variationnel est équivalent au problème de minimisa tion suivant : Trouver
u€ //¿(]0,1[) tel que, pour tout avec : I(v) = ^ a(v,
e //¿(]0,1[) : I(u) < I{v),
- L(v)
5. Soit Vn un sous-espace vectoriel de
^0, 1[) de dimen H
(a) Montrer que la meilleure approximation de
dans
au sens de la norme
v i-* ja (v, v) = IHIi est
un€
Vn tel que : a(um,v) = L(v),
Vu € V#.
(b) Soit (^>i)i€|[i,At] une base de Vjy. Donner le système linéaire permettant de déterminer un, et montrer que ce système est de Cramer. Pour aller plus loin Un prolongement de cet exercice et son corrigé sont en accès libre sur le site www.dunod.com
l iS I Étude du dom aine de coercivité d ’une form e bilinéaire param étrée
On travaille sur le domaine régulier borné fi e R rf et on étudie l’équation suivante : -A u + eu - f
dans Q
(8.78)
u = 0 sur dû.
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où c est une fonction positive bornée (i.e. c € L°°(Q) et pourra supposer c continue.
0). Pour simplifier, on
On veut montrer l’existence et l’unicité d’une solution faible dans //¿(O) au moyen d’une approche variationnelle. 1. Montrer que l’équation (8.78) conduit à la formulation variationnelle suivante : Trouver
u
€H
q
(Q )
tel que, pour tout v €
H
q
(Q )
:
a(u,v)= I grad(w) • gradué* + I c u v d x - I f v d x = l(v), Jn Jn Jn
(8.79)
2. Montrer que a est une forme bilinéaire symétrique continue et coervice sur Hq(£1), et / est une forme linéaire continue sur H q(Q). 203
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Chapitre 8 • Introduction aux approches variationnelles
3. En déduire l’unicité de la solution de la formulation variationnelle (8.79). 4. Montrer que la condition constante positive à déterminer.
c >0 peut être améliorée en
Corrigés 1. Il faut vérifier que no est bien définie, autrement dit que sur I :
f
f
\u'dt< 1
<( f
VUo,*]
est intégrable
\\u’\dt 2 d t j|n'|2 d t \
(Cauchy-S
J[xo,x)!
< \ x - Xq\ ( J | n f d t j
Xq\
ce qui montre que la fonction no est bien définie. Un calcul similaire conduit à la continuité uniforme : |no(*) - uo(y)\ = 1
u 'd t-
<
I
j
u' d t
J[*o.ÿ]
\ J[ X 0 ,X)
I
\u'dt<
\x-
Jbj.x]
Soit
~{UQ,(p') — I UQtp'dx = - I I Ji J i J XQ nxo
=-
nx
r>b
pX
I u' (t) d t< p '{x )d x -
I
I u ' (t) d t (/>'( x) d x
J a
Jxo
où on a décomposé I - [a, jco] U [*o, b].On raiso comme (x, t) h » u'{t)
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Corrigés
mieux adapté : I f u'(t) (p'(x) dt dx = - f f u'(t)
=- I u'(t) !
+
uq .
2. On travaille sur 7 = [a, b], qui est un intervalle borné. On introduit la forme trace à gauche : Ta : f € H \]a, b[)
f(à) = f(x 0) + f f ( t) d t J[x0,a]
Comme / est uniformément continue, ya existe. C’est clairement une forme linéaire. Il reste à prouver la continuité :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
\7a(f)\ = \ m \ = /(* o )+ f f ( t ) d t J[x0,a] \f(xo)\ + f
f \i) d t < l/(*o)l +
,|/W |
I J[xo,a]
dt '
l/(*o)l + f |/'( 0 | dt Jla,b) l/l«j)l + Vit - «I
\ f f dt j
205
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Chapitre 8 • Introduction aux approches variationnelles
où on a utilisé la positivité de \f \ pour étendre le domaine d’intégration, puis l’inégalité de Cauchy-Schwarz. On intègre alors sur [a, b] :
\f{a)\ f b 1 dx0 < f b \f(x0)\dx0 + j\b -a \\\f'\\2L2 f Ja
Ja
1 dx0
Ja
,_____/ r b x'/2 \ № \ \b - al < y/\b-a\ I l |/(x 0)|2 dxQI + Ib - apWfW# \№ \< \b -a \-L 2 \ \ f \ \ L 2 + \ b - a \ +k f \ \ i ?
< max(|7> - a|"2, \b - a|+^j (W/Wl2 + Wf'Wo) Par convexité de la fonction carré, on a pour tout couple de réels (a, b) :
(a + bŸ a2 b2 \2 / < ~2+ T ce qui implique
(\\f\y + W fh2) < V2 yl\\f\\2L2 + W f% = ^11/11«. On arrive donc finalement à majorer \ya(f)\ par C ||/||^ , (où C est une constante), ce qui signifie que ya est continue sur Hx()a, b[). Par ailleurs : Hq(I) = ker(ya) n ker(y¿) est donc l’intersection de deux sous-espaces vectoriels fermés (image réci proque du fermé (0} par une application continue). 3. On veut montrer que ôXo est dans le dual de //¿(7). Comme 77¿(7) est un espace de Hilbert, on peut utiliser le théorème de Riesz et chercher / e //¿(7) telle que, pour tout 4>de 7/¿(7) :
(ôxo,
f(t) Ht) dt +
(?)
= f f{t) № dt - f ° f \ t ) № dt + [f
Ja
Jx o
= JP ( f - f ")(t>{t)dt + J x[ ob(f - f ") { t) m d t + ^ (xo) a 206
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Corrigés
où on a utilisé le fait que
(p(b)= 0. Pour que la rel f " - f = 0sur
/'(* 0 ) “ /'(* o ) = 1
sur te. *o[U]*o> b[
sachant qu’en plus f(a) = f(b ) = 0 puisque l’on est dans H^Qa, b /(X q) = f(x^). La fonction / est donc bien définie. On peut donc exprimer K comme un produit scalaire dans //¿(/), c’est donc une forme linéaire. 1. On cherche d2u ——r(x) = f{x) dxz
ue //¿ (]0 ,1 [) solution du problème continu : Vx e]0,1[,
avec
e L2(]0 , 1[)
et«(0) = m(1) = 0.
On peut écrire : -
d2u
v(x) = f(x ) v(x)
V u e //¿GO, 1[), V x e]0,1[
ce qui implique :
J
T1 d2u T1 ^djc2^ v(x)dx = J f(x )v (x )d x
Vv
e
H q Q0 , 1[)
puis :
-^(x)u(x)l - f -y-W dx J0
= Jo dx
f(x ) v(x) dx dx o
//¿(]0,1[).
Or:
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
du dx
= 0,
Finalement, Trouver
car
uest solution du problème variationnel : ue //¿(]0,1[)
avec :
j
tel que, pour tout u e //¿(]0,1[) : du -(x) — (x) dx dx dx
a(u,
m 2.
v e //¿Q0,1[) = > u(0) = u(l) = 0.
- r
a(u, v) = L(v),
v) =f
f(x ) v(x) dx
a : //¿ (]0 ,1[) x //¿ (]0 ,1[) — * R est à valeurs dans R. ^
a(-, ■) est symétrique : V (u,
v) e //¿(]0, 1[) x //¿(]0,1 207
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Chapitre 8 • Introduction aux approches variationnelles
^ a(-, •) est bilinéaire : a(-, •) est symétrique et linéaire par rapport à chacune de ses deux variables : V/t e R, V(mi, u2) € ff¿(]0,
ID x
Zf¿(]0,
ID ,
Vo € ff¿(]0,
ID ,
a(A u\ + «2. v) = Aa(ui, v) + a(u2, o) -w a(-, ■) est continue :
< llw'llL2 Ho' 11^2 (Inégalité de Cauchy-Schwarz) < ||m||//i ||o||//i Ainsi, pour tout (u, v) de //¿(]0,1[) x //¿(]0,1[) :
\a(u, a)| < IMItfi IMI^i Par suite, a(-, •) est continue sur //¿(]0,1[) x //¿(]0,1[), à valeurs dans R.
a(-, •) est if-coercive (ou //-elliptique) : Montrons qu’il existe une constante oro > 0 telle que, pour tout v de ff¿(]0 , I D :
Vo e if¿(]0, ID, a(v, v) = Rappel :
(x)) dx = ||o'||22 > or0 ||o||^,
Inégalité de Poincaré : Soit Q un ouvert borné régulier de R",
3 C > 0 /V v € H h Q ) , f |o(x)|2 dx JCï
ou encore :
\\v\\2l2
f |Vo(x)|2 dx Jn < C \\Vv\rLl
Ici, Q =]0,1[ est un ouvert borné régulier de R. En particulier, on peut cal culer la constante de Poincaré en utilisant le fait que :
Il suffit de majorer le terme de droite à l’aide de l’inégalité de CauchySchwarz, puis d’intégrer sur x (comme dans la question 1 de l’exercice 8.1) : 3 0
0 / Vo € / f ‘(]0.1D, \\v\\2l2 < C || o, ||22.
O r: l l < . = IMI¿2 +
\\V'\\2 L2
l l < . < C || o,||22 + ||o'||22 = (1 + C) ||o'||2
208
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Corrigés
Par suite, en posant ao = Y~+c > ^ ’ on ° ^ ent • Vu e HqQO, 1[), a(v, v) > a0 ||u||^,,
car
a(v, v) = ||u'|£2.
L : //¿(]0,1[) — > R est à valeurs dans R. L(-) est linéaire : V/l € R, V(i»lt u2) € «¿(]0,1[) x « ¿ 0 0 , 1[), L(ÀV1 + u2)
=
AL(U,) + L(v2)
L(-) est continue : Vu e «¿(]0,1[), |L(u)|
=1/'
/ ( x ) u (x) i/x
< WfÏÏL* IMItf < ll/lb Ilub.,
(Inégalité de Cauchy-Schwarz) car
\\v\\2Hl = ||u|||2 + ||u'||J2
Finalement, a(-, •) est une forme bilinéaire, continue, symétrique et «-coercive sur («¿(]0,1[)) , et LQ est une forme linéaire, continue sur «¿(]0,1[). 3. Montrons directement (sans utiliser le théorème de Lax-Milgram) l’unicité et l’existence de la solution du problème variationnel. • Unicité : Supposons que u\ et u2 sont solutions du problème variationel. Alors :
( a(u\, u) = L(u),
V u e «¿(]0,1[)
\a(u2, v) = L(u),
V u e «¿(]0,1[)
Par linéarité de L(-) et bilinéarité de a(-, •) :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
a(u\ - u2, v) = 0,
V u e «¿(]0,1[)
En prenant v = u\ - u2 e « ¿ Q 0 ,1[) («¿(]0,1[) espace vectoriel), on a a(u\ - « 2 , mi — m2) = 0. Par coercivité de a(-, •), il existe une constante ao > 0 telle que :
a{u\ - u 2, u \ - u2) > ao ||mi - u2\\2H, D ’où ||mi - u2\\2h i = 0 = > mi - m2 = 0H\o par propriété de la norme || •||wi. On en déduit que mi = m2 : la solution est unique. • Existence : L’application a(-, •) étant une forme bilinéaire, symétrique, définie, positive, car continue et «-coercive :
a(-, •) continue = > 3 M > 0 / Vu € «¿(]0,1[), a(v,v) = |a(u,u)| < M\\v\ŸH\ 209
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Chapitre 8 • Introduction aux approches variationnelles
a(-, •) //-coercive = > 3oro > 0 / Vu e //¿(]0 , 1[), a(v, u) > ao ||u||^, a(-, ■) définit un produit scalaire, noté (•, -)i» et, pour tout u de //¿(]0,1[) : 0 < a o llvllff, < a(v, v )< M ||u||^,. Ainsi, la norme associée au produit scalaire (•, -)i, notée || • Ih, est équivalente à II • Hjyi. //¿(]0,1[) est donc un espace de Hilbert pour la norme || ■||j, car //¿(]0,1[) est un espace vectoriel normé complet pour la norme || • ||i (les limites des suites convergentes (donc de Cauchy) sont inchangées pour des normes équi valentes) et muni d’un produit scalaire (•, -)iDe plus, L( ) est une forme linéaire continue sur //¿(]0,1[). On est donc dans le cadre d’application du théorème de représentation de Riesz d’une forme linéaire : 3 ! u € Hl0Q O ,\[ ) / m = (u,v)l =a(u,v)
Vu 6 //¿(]0,1[).
D’où l’existence (et l’unicité !) d’une solution au problème variationnel. 4. On veut montrer que a(u,v) = L(v) Vu € //¿(]0,1[) <=> I(u) < /(u) Vu e //¿(]0,1[). | = » | On suppose u solution de :
a(u,v) = Uv)
Vu € //¿(]0,1[)
Alors, pour tout u de //¿(]0,1[) :
I(v) - I(u) = - a(v, v) - L(v) - ^ a(u, u) + L{u) - ^ a(v - u, v - ü) + a(u, v) - a(u, u) - L(v - ü), (par linéarité de L(-) (et bilinéarité de «(•, •)) = i a(v - w, v - u) + a(u, v - u) - L(v - u) ~
\ a(v ~ u' v ~ car v - u € //¿(]0,1[) (espace vectoriel) et,
a{u, v - u) - L(v - u) >0 (= 0
si et seulement si
u = v)
D’où:
a(u, u) = L(v)
Vu e //¿(]0,1[) = > I(u) < /(u)
210
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Vu e //¿(]0 , 1[)
Corrigés
| < = | On suppose u solution de :
№ < №
Vv €
Alors, pour tout réel a, et tout v de
I(u + a v) - /( m) =
i[) 1[) :
a(u + a v,u + a v ) - L(u + a v) - —a(u, u) + L(u) > 0
ce qui implique : ^ a(u, m) + ~ a(av,av) + a(u, au) - ^ a(u, u) - L(m) - L(oru) + L(w) > 0 Z
Z
Z
Par suite, pour tout réel a, et tout v de //¿(]0,1[) : P v(a) = a 2
^ + a; (a(w, u) - L(u)) > 0 (polynôme du second degré)
Il en résulte : A = (a(u, v) - L(ü))2 < 0
V u e //¿ (]0 ,1[)
puis :
a(u, v) = L(v) V u e //¿(]0,1[) Finalement :
I(u) < /( d) V» € tf<5(]0,1[) = > a(u, v) = L(d) V u € Hl0(]0, 1[) 5. (a) La meilleure approximation de u dans V# est l’élément un de Vn qui mi nimise la distance entre u et VV au sens de la norme || • ||i : 11«-«will < ||m —ü||i un est donc la projection de
V v e V N.
u sur Vn au sens de la norme || • ||] :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
un = P vN(u).
D’après la caractérisation de la projection orthogonale (applicable, car Vn sous-espace vectoriel fermé de //¿ (]0 ,1[)), on en déduit : (w - un, v) i = 0
V v e Vn
soit :
(uN,v)i =(u,v)i
Vv € V n
(linéarité de (•, -)i par rapport à la première variable) soit : ü(un, v)
= (m, u) i = L(u)
V v € Vn 211
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Chapitre 8 • Introduction aux approches variationnelles
ce qui implique :
(uN,v)i = (u,v)i
VveVN
(linéarité de (•, -)i par rapport à la première variable) puis :
a(uN, v) =
( m,
u) i
= L(v)
Vu € Vn
(d’après (4) appliquée à u e Vn
c
//¿(]0,1[))
On cherche donc un dans Vn tel que, pour tout u de Vn : a(uN, u) = L(v) (b) Soit (;),'<=ji,nj une base de Vn - Comme un appartient à Vn , on peut l’écrire de manière unique sous la forme : N «N = J ]
üj
J=1 On a :
a(uN, v) = L(v) V u e Vn Or:
:
a(uN,
^ üj a(
V i e |[1, NJ
équations sous forme matricielle, on obtient :
... • •• a(
Ka(tpi, ipN) ■. ■ • • • a(
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'U f P \ ï
_L(
Corrigés
On cherche alors x dans R ^ tel que : A jc - b avec : 'a(fPu
•••
-
a
=
Ü\
... a(
:
X=
,
M
'Ufp i ) ' ,
b
=
:
Mn .
• A T = A = > A est symétrique. • xT A x = ci(un , un)
IN = xT 0 6 VN Ü\ X=
.
où v r
,
$ =
.
SPn .
Mn . Par suite : xT A
jc
^
0
V
j c g
Rn
= > A est positive
et : [xT A x = 0 <=> x = 0R;v]
= > A est définie
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Ainsi, la matrice A est symétrique, réelle, définie, positive : elle est donc diagonalisable, et toutes ses valeurs propres sont strictement positives. Par conséquent : det(A) ^ 0 et le système linéaire correspondant est un système de Cramer. Il existe une unique solution à un problème pareil. 1. On cherche une fonction u nulle sur le bord du domaine, ce qui correspond l’espace vectoriel # ¿(0 ). Soit alors un champ test u dans //¿(ii). - J Auvdx + c u u dx JQ JQ grad(u) • grad(u) d:c + L
f
JQ
cuvdx
udx I fvdx + Jq
Le dernier terme est éliminé, car v s’annule sur d£ï. 213
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Chapitre 8 • Introduction aux approches variationnelles
2. a est une forme bilinéaire symétrique et l une forme linéaire. En appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, et les propriétés de la norme, on obtient :
-IX " \a(u
dx < ll/M M Itf < ll/IMMI*-
■•HX1
grad(w) • grad(ii) dx + I cuv dx
IX
J a
grad(w) • grad(y) dx\ +
IIe""dx
< ||grad(n)||L2||grad(ü)||L2 + ||c||L»NW M Iz;
<(1 + IWIl-)IN I w.|NIw. ce qui prouve les continuités. L’inégalité de Poincaré implique :
IMIffi < V ^ l l g r a d » Par suite, si c > 0, on peut en déduire la coercivité dans H 1 :
a(v,v)= f (grad(v))2dx+ f cv2dx> f (grad(v))2d x > — —r IMlL Jci Ja Ja 1 + Cp 3. On entre dans les hypothèses du théorème de Lax-Milgram (ou même Stampacchia) dans un espace de Hilbert, on a donc existence et unicité de la solution. 4. On reprend les calculs sur la coercivité :
a(v,v)= I (grad(v))2dx+ I cv2dx J a
>
J'
(grad(u))2 d x -
J a
a
X
V2 dx > J
La constante devant être positive, il en résulte : 1
214
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_^
" 2- Il grad(i>)||22
R a p p e l s d ’a n a l y s e ET DE GÉOMÉTRIE
On se place dans R d (d = 2 ou 3), et on note M un point de l’espace de coordonnées (.x, y, z),et üu n vecteur de R^ de composantes Le point M + Üa pour coordonnées (x + uuz). La d’une fonction / de l’espace sera notée indifféremment f(x , y, z) ou /(M ). Afin d’alléger les notations, le point où est évalué une fonction vectorielle pourra être noté en indice : 'F 'P(x, y, z)' Q(x, y, z) = Q (A.l) ,R{x,y,z)j k ||/i|| représente une norme de h, typiquement la norme euclidienne (^/i2 + hj + h\).
A .l
Fo n c t io n s d e p l u s ie u r s v a r ia b l e s
A.1.1 Définitions Q. étant un domaine ouvert* de R 2, on définit une fonction sur Q à valeurs dans R : / i Q —> R M h » /(M ) On dit que la fonction est continue en Mo =
(
x q
,
i/ o)
(A.2) e O si :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
V£ > 0 , 3 j] > O/VA avec ||/z|| < y , |/(M 0) - /(M 0 + h ) \ < s
(A.3)
On rappelle que la continuité de la fonction implique celle des fonctions partielles (x i—> f(x, i/o) à i/o fixé), mais que la réciproque est fausse. La fonction est différentiable en Mo = (xo. i/o) e O s’il existe une forme linéaire notée îî/ m0 de R 2 dans R telle que v£, /(M o + Ü) = /(M o) + d f Mo(h) +
(A.4)
La différentiabilité implique l’existence de dérivées partielles et
■ f <*”
+
-
(I IL &)-
(A5)
Or où on reconnaît le gradient de / au point Mo, noté ——(Mo). aM t- La continuité suppose que l’on peut former des boules autour de chaque point du domaine.
215
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Annexe A • Rappels d’analyse et de géométrie
De manière générique, on note :
,,
a/.
)/.
(A.6)
A.1.2 Changement de variables Soit un jeu de deux coordonnées (x , y) et un changement de variables (X , y) réalisant un C 1-difféomorphisme : (x, y) h-> (X , y) est de classe C 1, inversible, l’application inverse est également de classe C 1 et la matrice jacobienne suivante a un déterminant non nul : dx dy dX dX det(J) t 0 J= (A.7) dx dy vâÿ dŸJ On considère une fonction / de M = (x, y), différentiable, et une fonction F de N = (X, Y) telle que f(x, y) = F(X, y). On a alors : dF\ ' dx dy' ( d f \ dX dX dX dx (A.8) dF dx dy d f ^dY> dŸ dY* dy) Si / est deux fois différentiable, on a :
/ 2\ dx idy_ ' d2F " 7 dxŸ dXdX \ôxj 2 dx\ dx2 dx2 dx dx I dx dy dx dy \ dy dy d2f d2F dXdŸ \dX ⟠+ âŸdX) dXdŸ dxdy dXdY d2F dxdy^ , dY2 > V dy2 ) dYdY
(!)
S)
d2x dx2 d2x dXdY d2x dŸ2
216
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d2y j dX2 ( d f ) d2y dx d f dXdY d2y \d y ) dY2 J
(A.9)
A.2. Éléments de géométrie
À titre d’exemple, le calcul suivant est détaillé :
dF _ d f dx d f ây âX ~ âxâX + â yâ X ^Z_d_\dfdx âfdy_ âx d d f dx d f dy dX2 dx dx ÔX + ây âX ^ + ^ [ d x â X + d ÿd X
dy_ dX
â f â _ âx âx d f â dy' dx d2f /dx |2 + 2 - ^ - ^ + dxây dX dX âx âx âX âX + ây dx âX âX âx2 \<9X ' J l l ( È l\2 + ^ I È . âx Ëï. + — dy' dy_ dy2 \<9X/ dx ây dX ÔX dy ây âX dX d2f / âx \2 â2f âx ây â2f I ây \ 2 d f â2x d f â2y â jë \â X j + 2 ' ^ â X â X + â ^ \ â x ) + âx dX2 + âÿ âX2
A. 1.3 Théorème des fonctions implicites Ce théorème prouve que pour une fonction / différentiable et bijective, une équation de la forme f{x\, X2,z) = Constante permet (localement) de définir z comme une fonction de Qti, *2) aux points (jci , *2, z) où |^ ( x i, *2. z) + 0. De plus, en exploitant le fait que d f = 0, on obtient :
z - Z(x 1, *2) et
dZ
X‘
=
¥-■
- j f - ( x i , X 2 , z)
pour 1 = 1,2
(A. 10)
li
On considère l’espace R 3 muni d’un système de coordonnées (jc, y, z) orthonormal.
A.2.1 Courbes Une courbe continue C est un ensemble de points dont les coordonnées dépendent continûment d’un paramètre t. On écrit : rm "
C ! t h-* IM(r) — y(t) ,z(0,
II
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
A.2 É lém ents de g é o m é t r ie
y
(A. 11)
217
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Annexe A • Rappels d’analyse et de géométrie
Si les fonctions sont C 1 et que les dérivées par rapport à t ne s’annulent pas simul tanément, on peut définir le vecteur tangent Ü(to) au point M(?o) : (dx\ dt dy (A. 12) dt — d t\ Une courbe telle qu’en tout point ( f )2 + ( f f + ( f f * 0 est dite régulière, un paramétrage privilégié existe pour ces courbes, il s’agit de Yabscisse curviligne s définie par la relation :
ds = y/dx2 + dy2 + dz2 = \m \\d t
(A. 13)
L’abscisse curviligne permet d’obtenir des vecteurs tangents unitaires, et donne un re père naturel en chaque point de la courbe (le repère de Frenet) permettant de calculer courbure et torsion.
Remarque A. 1 i. Dans l’espace R2, une courbe peut être définie (au moins localement) par une équation implicite f(x, y) = Constante. ii. Dans l’espace R3, une courbe peut être définie comme l’intersection de deux surfaces. Soit / une fonction de (x, y, z) et C une courbe donnée sous forme paramétrique par M(f) = (x(t), y(t), z(t)). On définit la restriction F dt f sur C par F(t) = f(M(t)). On peut calculer la dérivée de F le long de C par dérivation composée :
fdx\ dF dt
df(M(t)) dt
d l (M(ù,dM.(t) = ( d f d f d f \ % (A. 14) d MK ” d t K) \dx Ôy dzjm ) dt dz 'd tl Qr où l’on reconnaît le gradient de / (noté - ^ ) appliqué au vecteur tangent à la courbe.
A.2.2 Surfaces Une surface S est un ensemble de points dont les coordonnées dépendent continû ment de deux paramètres ( m, v). On écrit :
'x(u, vf 'x" S : (u, v) i-» y(u, V) = y ,z(u, V), U (u,v) J 218
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(A. 15)
A.2. Éléments de géométrie
Dans l’espace R 3, une surface S peut être définie (au moins localement) par une équation implicite f(x, y, z) = Constante. En différenciant cette expression au point Mo = (xo, yo, zo) de la surface, on ob tient : 'dx Idfdfdf dy (A. 16) 0 = df\t0 (cbc dy dz ) m 0 ,dz,
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Pour qu’un vecteur (dx, dy, dz) appartienne au plan tangent à S en Mo, il doit être orthogonal au gradient de / en M q.
219
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Elém en t s d ’a n a l y s e HILBERTIENNE L’objectif de cette annexe est de rappeler les principales propriétés des structures les plus utiles dans cet ouvrage. Pour un exposé plus complet, contenant notam ment l’étude des espaces duaux, le lecteur est renvoyé aux ouvrages de réfé rence [3,4,17,18]. Dans ce qui suit, E désigne un espace vectoriel sur le corps des complexes C.
B .l
DÉFINITIONS
B.l.l
Norme
Définition B.l
On appelle norm e sur E une application ||.|| vérifiant les quatre axiomes suivants : Positivité :
i.
e E :\\x\\ >
Vx ii.
0
(B.l)
H om ogénéité : E , V À e C:
Vx €
\\À x \\
=|J|||x||
iii.Inégalité triangulaire (ou sous-additivité, ou inégalité de Minkowski') :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
y) e xE
E
: \\x +y\\ < ||x|| + \\y\\
(B.3)
iv. Séparation :
Vx € E : llxll = 0 o x = 0
(B .4)
Une norme définit une topologie (dite topologie «forte »). Les notions de convergence, de limite, de continuité, sont donc tributaires du choix de la norme. Un même ensemble peut avoir des propriétés très différentes suivant f. Hermann Minkowski ((1864-1909), mathématicien et physicien théoricien allemand. Il a développé des méthodes géométriques afin de simplifier la résolution de problèmes de théorie des nombres, de physique mathématique, mais, aussi, de relativité.
221
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Annexe B • Éléments d’analyse hilbertienne
la norme retenue. Néanmoins, deux normes peuvent définir les mêmes topologies si elles sont équivalentes. Définition B.2
Deux normes ||.||i et IMI2 sont équivalentes s’il existe deux réels positifs tels que VxeE,
et /? strictement
a|Wlt
(B.5)
P ro p o sitio n B .l . En dimension finie toutes les normes sont équivalentes (ce qui fait qu’il n ’est pas nécessaire de les spécifier).
Remarque B. 1 Une norme est un cas particulier de distance, en effet on peut poser d(x, = |.v - y\\ ( est une application positive qui vérifie l’inégalité triangulaire et n’est nulle que si y). Outre des propriétés topologiques, une norme fournit donc des propriétés métriques (comme la complétude). Définition B.3
On appelle espace vectoriel normé un espace E muni d’une norme ||.||.
B.l.2 Produits scalaire et hermitien Définition B.4
On appelle produit scalaire sur E une application positive, i.e. telle que : i.
Bilinéarité.■S ((x, y),(x', y')) e ( E x E)2,
bilinéaire, symétrique, définie VA e R :
(
Symétrie : V(x, y) e E x E , :
(p(y, x)
(B.7)
Caractère défini positif : 0
Vx e E :
V
iii.
(B.6)
222
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(B.8)
B.l. Définitions
Définition B.5
On appelle produit hermitien sur E une application 0 sesquilinéaire, hermi tienne, définie positive, i.e. telle que : i.
Sesquilinéanté : V
«X,
y),
y')) €( E X E ) 2,
WA e R :
(
(
Y , y) (B.9)
Caractère hermitien : V(x, y) e
iii.
+
E x E , :y) = &(y, x)
(B. 10)
Caractère défini positif : Wx e E :
^ 0
<î>(x, x) = 0 «
(B .ll)
=0
Si ip est un produit scalaire (ou hermitien) alors x >-> f
y)€
E x E
:|
y)\ < ||x|| ||t/||
(B. 12)
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
et l ’égalité a lieu si et seulement si les deux vecteurs sont liés. Démonstration. On se place dans le cas où x vérifiée lorsque x ou y sont nuis. Pour tout réel t : \\x + ty\\2= tp(x + t y, x + t y) =
£0 et
i/) + rili/ll2
On obtient ainsi un trinôme du second degré en t, qui est toujours positif : son discri minant réduit doit donc être négatif ou nul :
ce qui conduit à : l<é>(x, y)l< ||x|| IMI 223
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0, l’in
Annexe B • Éléments d’analyse hilbertienne
Si le discriminant est nul, alors, le trinôme en
admet une racine double, et il existe
ttel que :
alors un réel
||jc + r i/||2 = 0 Les vecteurs Réciproquement, si
=>
xte
x + ty = 0
y sont alors liés. x et u
= A ute alors \ip{x,
y sont liés, il existe un réel | = \A\\\x\\2 = ||x|| ||î/||
■
B. 1.3 Espaces préhilbertiens Définition B.6
On appelle espace préhilbertien un espace vectoriel muni d’un produit scalaire (ou hermitien). T h éorèm e B.3. Un espace vectoriel normé E peut être muni d'une structure d'es pace préhilbertien si et seulement s'il vérifie l’identité du parallélogramme : V(*, y) e E 2, ||* - ¡/||2 + ||x + ¡/||2 = 2||*||2 + 2|M|2
(B .13)
Démonstration. La vérification montrant qu’un espace dont la norme est issue d ’un produit scalaire vérifie l’identité est immédiate. Pour la réciproque, on dispose des identités de polarisation.
■
P ro p o sitio n B.4. Identité de polarisation - cas réel Pour un espace sur R vérifiant l ’identité du parallélogramme, l ’application ( . , . ) ; E x E - >R
(x, y) h »(x,
y)
= i (||*+ ¡/||2 - 1|*- ¡/||2
est un produit scalaire sur E. P ro p o sitio n B.5. Identité de polarisation - cas complexe Pour un espace sur C vérifiant l ’identité du parallélogramme, l ’application
E x E -» C (*, y) i->
y) =^ (||* + ¡/||2 - ||* - ¡/||2 + ¡11* + i ¡/||2 - i||* - i ¡/||2)
est un produit hermitien sur E.
224
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B.l. Définitions
Démonstration. On ne fait la démonstration que dans le cas réel. La positivité et le caractère défini sont directement hérités de la norme puisque (*, x) = ||*||2 La symétrie vient de l’homogénéité. La bilinéarité est due à l’égalité du parallélogramme, on peut montrer, en particu lier, la linéarité à gauche, en remarquant d’abord que : V (x ,y ,z ) e E x E x E :
(x, z) + (y, z) = ^ (||* + zll2 - II* - z||2 + Ily + z\\2 - Ily - z\\2) = \ { 2 (||* + zll2 + \\y + z||2) - 2 (||t/ - z||2 + II* - zll2)) = ^ {il-* + y +
2z||2+ II* -
y \\2 - II* + y -
2z||2-
II* - y\\2)
= £ (il* + y + 2z||2 - II* + y - 2z||2}
(*,z) = 2 ^ , zj, on a donc 2 ^X ^ ce qui conduit à l’additivité à gauche (*, z) + (y, z) = (* + y, z). En prenant y = 0, on voit que V*,
z) = (x+y,z),
Quitte à poser y = x et à répéter l’opération, on en déduit que pour tout entier naturel p : p (x ,z ) = (p x ,z ), Vp e N Pour q non-nul, on obtient en posant * = | :
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S q e W
,
q
||,zj = |#|,zj = (#
On en déduit alors, pour tout scalaire rationnel de la forme ^ ,{p ,q ) € N
(H
x N*
:
q
ce résultat s’étend à tout sca aire reel en utilisant la densité* de Q dans R et la contipP nuité des applications — i- P - x + z e t - H —x —z q q q q f. Tout réel est limite d’une suite de rationnels
225
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Annexe B • Éléments d’analyse hilbertienne
B.1.4 Espaces séparables Un ensemble est dénombrable s’il peut être mis en bijection avec N, autrement dit si on peut « numéroter » (jusqu’à l’infini) ses éléments. Les ensembles dénombrables sont les plus « petits » ensembles infinis, ils peuvent néanmoins approcher des en sembles beaucoup plus grands. Parmi les ensembles dénombrables, citons N, Z, Q et tous leurs produits cartésiens du type Q" avec N. Définition B.7 Un espace est dit séparable s’il possède un sous-ensemble dénombrable dense.
Exemple B. 1
Q étant dénombrable et dense dans R, R est séparable. Par extension, Rd est séparable. Les espaces LPpour 1 < p < oo sont séparables (voir le chapitre
B .2
C
o m p l é t u d e
B.2.1 Suites Une norme permet de définir une topologie (forte) et donc une notion de convergence. Définition B.8 Une suite (*„)«eN d ’éléments d ’un espace vectoriel normé (E, ||.||) converge dans E vers une limite C si et seulement si :
Ve > 0, 3rto € N , V n > « o : II*« -
<
(B. 16)
Définition B.9
Une suite (*«)«6n d’éléments d’un espace vectoriel normé ( , ||.||) est une suite de Cauchy si et seulement si : Ve > 0, 3«o e N , V(p,
q)e N x N : «o
Remarque B.2 Une suite convergente est pécessairement une suite de Cauchy.
226
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\\xp - xq\\ < e
(B. 17)
B.2. Complétude
Exemple B.2
Considérons l’ensemble des rationnels, Q, muni de la norme usuelle, i.e. la valeur abso lue. Pour tout rationnel q, on désigne par E(q) sa partie entière. Les suites (a„)/I6N et (bfl)nen définies, pour tout entier naturel n, par :
sont bien des suites d’éléments de Q ; elles sont clairement des suites de Cauchy (pour s > 0 donné, il suffit de choisir no dans la définition précédente de sorte que £ > 10-("0+1)). La suite (an),i€n converge dans Q vers ^ ; par contre, la suite (bn)neN ne converge pas dans Q (elle converge dans un espace plus grand, en l’occurrence R, vers n).
B.2.2 Espace complet Définition B.10
Un espace
E est dit complet si toutes les suites de Cauchy de E convergent dans E.
Exemple B.3
D’après l’exemple précédent, ( Q, | • |) n’est pas complet. R peut être vu comme le plus petit espace contenant Q et rendant les suites de Cauchy à valeur dans Q convergentes.
B.2.3 Espace de Banach D éfinition B.l 1
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Un espace vectoriel normé (E , ||.||) complet est appelé espace de Banach. Exemple B A
K étant un ensemble compact de Rd, considérons l’espace C°(K) des fonctions continues de K dans R. i. Muni de la norme sup (ou norme || • ||l~(/o), C°(K) est complet : les suites de fonc tions continues sur K, qui sont de Cauchy au sens de la norme sup convergent vers des fonctions continues^ (C°(K), || • ||l«(A:)) est donc bien un espace de Banach. t- Il s’agit de la limite uniforme d’une suite de fonctions continues.
227
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Annexe B • Éléments d’analyse hilbertienne
I
ii. Muni de la norme || •\\L2 C°(K) n’est pas complet, les suites de Cauchy convergeant dans un espace plus grand (en l’occurrence L2(K)).
Pro p o sitio n B.6. Q. étant un ouvert de R**, les espaces de Lebesgue L P(Q),
1 < p < oo sont des espaces de Banach. Démonstration. Voir le chapitre sur l’intégration de Lebesgue C.
B.2.4 Espaces de Hilbert Définition B.l 2
On appelle espace de Hilbert un espace préhilbertien complet pour la norme as socié à son produit scalaire. Exemple B. 5
R, muni du produit scalaire (x, y) i-> x y, et de la norme x Exemple B. 6
Rd, muni du produit scalaire canonique d
i= 1
et de la norme
d
est un espace de Hilbert. Exemple B . 7
L’espace des suites réelles de carré sommable
muni du produit scalaire
228
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|jc|, est un espace de Hilbert.
B.3. Sommes hilbertiennes
et de la norme
x
A ^ \xn\2
est un espace de Hilbert.
Exemple B. 8 Q étant un ouvert de R**, L2(Q) est un espace de Hilbert pour le produit scalaire
Dans ce cas, l’inégalité de Cauchy-Schwarz n’est qu’un cas particulier de l’inégalité de Hôlder* (pour p = q = 2).
Remarque B.3 (T étant une fonction à valeurs positives, et Q étant un ouvert de R^, on peut être également amené à travailler avec l’espace L2(il) des fonctions / telles que
qui est un espace de Hilbert pour le produit scalaire
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
B .3
S
o m m e s
h ilb e r t ie n n e s
Dans un espace de dimension finie, comme R^, on décrit facilement les éléments de Vespace par le choix d'une base appropriée. Malheureusement ces outils si pratiques n'existent plus en dimension infinie. En procédant par analogie, on a cherché à déter miner s'il n'était pas possible, en considérant des familles génératrices, infinies mais dénombrables, d'obtenir des propriétés similaires à celles qui existent en dimension finie. Dans ce qui suit, désigne un espace de Hilbert, dont on notera (.,.) le produit scalaire, et I un ensemble d’indices. t. Otto Ludwig Hôlder (1859-937), mathématicien allemand, qui travailla, notamment, sur les séries de Fourier, mais, aussi, sur la théorie des groupes : il est à l’origine du théorème de Jordan-Hôlder sur les groupes finis, qui permet de retrouver l’unicité de la décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers. O. Hôlder a aussi montré que la fonction Gamma n’était solution d’aucune équation algébrique.
229
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Annexe B • Éléments d’analyse hilbertienne
B.3.1 Orthogonalité Définition B.13
Deux vecteurs h\ et h2 de
,h2)0
(/ri
Définition B.14
On appelle famille orthogonale un ensemble de vecteurs deux à deux orthogo naux. Définition B.l 5
Deux sous-espaces sont deux à deux orthogonaux.
H\et H2 de i i sont dits orthogonaux si tous leurs v
Définition B.l 6
Pour tout ensemble Xc gonaux. X 1- est un sous-espace vectoriel fermé.
H ,on note X 1 l’ensemble des v
P ro p o sitio n B.7. Si V est un sous-espace vectoriel fermé de H : (Vr±)x = V et
H = V ( B V X.
B.3.2 Bases hilbertiennes Définition B.l 7
On appelle base hilbertienne de *H une famille (/z,),-6j € ‘H 1 telle que : i.les éléments de la famille sont unitaires et deux à deux orthogonaux : (hi, hj) = ôij où
¿¡jdésigne le symbole de Kronecker, prenant la valeur 1 si
(B. 18) et 0 sinon.
ii. l’espace vectoriel engendré par la famille (/î,)iei e < H ‘, Vect (h,, i e I) est dense dans 7Y, i.e. tout élément de (H est limite d’une suite de Vect i e I).
230
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B.3. Sommes hilbertiennes
Remarque B A La dernière condition signifie qu’il n’existe pas d’élément non nul de Tl qui soit orthogonal à tous les membres de la base hilbertienne (/îf),ei e Tl1, i.e., pour x £Tl : V/ e I, ( x , hf) = 0 => x = 0
T héorèm e B.8. Tout espace de Hilbert séparable admet au moins une base hilber tienne dénombrable.
Démonstration. Soit (vn) un sous-ensemble dénombrable dense de Tl, et Hk l’espace engendré par les (vn)n
Si on suppose le résultat vrai au rang k, il suffit alors de considérer un élément ük+\ g Hk, puis de compléter la base existante en une base orthonormale de Hk+\. ■ Remarque B. 5 Dans le cas d’espaces non-séparables (mais complets), il existe toujours des bases hilber tiennes, mais elles ne sont pas dénombrables. La démonstration fait appel au lemme de Zorn [18]. Remarque B. 6
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Outre certaines bases classiques, les bases hilbertiennes utilisées sont généralement issues de problèmes aux valeurs propres, comme celui de Sturm-Liouville présenté au chapitre 6.2. Exemple B. 9 L’exemple le plus simple de base hilbertienne est la base canonique (en) de l’espace ^2(N), définie par : en = {àn,k)k^O (B. 19)
Pour tout entier naturel n, e„ est donc le vecteur dont toutes les composantes sont nulles, sauf la nlème.
B.3.B Égalité de Bessel-Parseval Proposition B.9. Égalité de Bessel-Parseval Soit (hi)iei e 9 il une base hilbertienne dénombrable d'un espace de Hilbert Tl. 231
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Annexe B • Éléments d’analyse hilbertienne
Alors, pour toute énumération k e fi, de Vensemble I, et pour tout vecteur x de *H, la série de vecteurs de terme général (x , hik)hik converge vers x : +00
x = Y J(x,hh)hik
(B.20)
k=0
et / ’égalité de Bessel-Parseval est vérifiée : II42 = X > A ) I 2 iel
(B.21)
Démonstration. Soit {/i, . . . , ¡n ), N € N*, un sous ensemble fini d’éléments de I. Pour 1 < j < N, on pose x,-y = (x, hij). L’ensemble des indices in pour lesquels x,„ t 0 constitue un sous-ensemble au plus dénombrable de I On commence par montrer que la série de terme général (xjnhin) converge. 2
N 0<
'' x
* - E Xi"hi" n= 1
'
N
s<
N
V
~ T j x h,hi„ ’ * - Z Xi"hi" n -1 // tl= 1 > ( N N (
= IWII2 + Y j xi"hi" 'Y jxi"hi' \n=l n=1 = i wi 2 + z
n=1
w
2- 2 Z w n= 1
-
2 \
2 =
ii^ ii2
N
\
Y j Xi"hi" n=1 / - Z w n= 1
2
La série numérique des |jc/fI|2 est constituée de termes positifs (ou nuis) et elle est bornée (par ||*||), elle est donc absolument convergente. Par suite, la série de terme général (jc/a hin) est de Cauchy, puisque, pour tout entier Ni < N: N Ni N w Xi,Mn “ ^ Xi,Mn
/1=1
/1=1
= n Z
* ' A ,n 2 =
n=M+l
E ^ n=Ni+1
|2
qui tend vers 0 lorsque N i tend vers l’infini. *7/ étant complet, la série vectorielle de terme général Xjnhin converge donc dans fH. Désignons par x' sa limite. On va montrer que x - x'. (x - x') est orthogonal à tout vecteur de la base hilbertienne 6 (Hl, puisque, pour tout entier naturel n : N
{ x - x \ hin) = (x, h, ) - lim V (xikhik,hin) = x,„ - x,„ = 0 N— >+oo é...J
k= 1
Par suite : x = x'. 232
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B.4. Projection sur un convexe fermé
Il reste à obtenir l’égalité de Bessel-Parseval, que l’on obtient en passant à la limite lorsque N tend vers +oo : N
0 = lim
/1—>+ 00
2
* - 2 * 'A
N
= INI2 - lim, 2 ^ |2 = IWl2 " T j |Xî|2
n= 1
/
1=1
■
ie I
Exemple B. 10 La base hilbertienne des exponentielles complexes Pour tout entier relatif n e Z, on considère la fonction en définie par : *„(*) = ¿ nx Chaque fonction e„ étant 2 ^--périodique, il est naturel de considérer sa restriction en à [0,2 /r], et de travailler dans un espace pondéré (de manière à rendre l’intervale [0,2n\ de mesure 1). La famille (ê„)„Gz est alors une base hilbertienne de l’espace L2± ([0,2n]).
B.4 P ro jectio n sur un c o n v e x e fermé Théorème B.l 0. Projection su r un convexe ferm é
Soit K un convexe fermé non vide de 'H. Pour tout x de fi, il existe un unique xq de K tel que : II* - *011« = min ||* - k\\
*0 est la projection de x sur K, notée P k (x)•
Démonstration. Existence : soit d = inf ||jc - k\\
de KN
telle que : II* - *«11« -» d (la suite numérique converge). On va montrer que la suite (*„)„6n est une suite de
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Cauchy. Pour tout (m, n) e N 2, d<
*«
*«
- X
«
= <
donc
*n ^ *n
appartient à K par convexité, et donc :
^ ll(*n - * ) + (*»i - * ) l l «
2
I L
(B.23) ll(*« ~ *)ll« + \L ll(*«, - *)ll« (,n , m ) - * o o d
d. Par ailleurs, en utilisant l’égalité du parallélo-
- X
—>+oo
gramme, on obtient : II*« - *»,111/ = ll(*« - *) - (*m - *)l& = 2 (||(*„ - x)\^ + ||(*,„ - x)\\2 „)
- Il*« + *m - 2x||^
—* 0
(n,ni)—tco
(B .24) 233
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Annexe B • Éléments d’analyse hilbertienne
La suite (kn)ne^ est bien une suite de Cauchy ; comme j i est complet, elle converge dans
Unicité : Si on suppose que x\ et *0 sont dans K tels que ||*i - x\\n = alors, par convexité, d<
*1 + Xp
2
- X
«
|| jco
- *||« = d
< x (ll*i - *11« + 11*0 - *11«) = d 2
(B.25)
L’égalité du parallélogramme
ll*i - * oII|y = IK*i “ *) ~ (*o “ *)ll« permet d’en déduire : x\ =
xq .
m
Le théorème précédent a utilisé les normes, on peut aussi travailler sur les produits scalaires. Théorème B.11. Caractérisation de la projection
Pour x € *H donné, les propriétés suivantes sont équivalentes : i.
*0 € K, \\x - *0||« < II* - y\\-H, Vy e K.
ii. *0 6 K, ( x - *0»y ~ *0)« < 0, Vy € K. iii. Xq € K, (* - y, *0 - {/)« > 0, V y 6 K. Dém onstration.
i. =* ii.
Soit y € K, pour t €]0,1[, on pose : Y = ty + { \ -t)* o e K- On a alors : II* - *oll^ < II* - T|& = d* - *0 - t ( y - *o)ll« 9 9 9 = II* - *oll5/ - 2 1 (* - *0, y - *0)« + r \\y - *o||^
(B .269
et donc : ( * - * 0, y - *0)« <
(B.27)
ii. => iii. Pour tout y de K : ( x - y + y - x 0, y - *0)« < 0 - (* - y, *0 - y)
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(B.28)
B.4. Projection sur un convexe fermé
iii. => ii. Pour y € K et t € ]0,1[, on considère : Y = 0 < (x - Y, x0 - Y)
xq
xq
+ t(y -
xq )
€ K. Alors :
- t(y - *0), ~t(y ~ *o))
^ ^
= -t( x - x0, (y - x0))h + t2\\y - *oll£/ On simplifie ensuite par t > 0, puis on passe à la limite lorsque t —> 0.
ii. => i.
Pour tout y de K, on écrit :
0 > (x-xç>,y - x + x - xq)
(B.30)
Il en résulte :
II* - *ol^ < (* -
XQ,
x - y)
(B.31)
Proposition B.12. P k est une contraction, i.e. :
S{x, y) €
(x - PK(X), PK(y) - PK(x))n < 0
(*)
Pour tout z de K :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
(1y ~ Pidy ). z - PKiy))
(y ~ PK(y), z = Pk (x) - PK(y))>H < 0
(* * )
On en déduit, en retranchant membre à membre (★ ) et (★ ★ ) : l|P*(*) - P M l h < ( x - y , PK(x) - PK(y))
~ p K(y)M\x - y\\
■ Un cas particulier est celui où ATest un sous-espace vectoriel fermé (que l’on note V). 235
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Annexe B • Éléments d’analyse hilbertienne
Corollaire B.13. Si V est un sous-espace vectoriel fermé, alors :
s/
(B.33)
.• xq = Py{x). On parle alors de
Démonstration. On a (a: - Pv(x), y - Pv 00) < 0, Vj/ € V. On pose :
endomorphisme continu idempotent autoadjoint d ’image V : { Pv projection orthogonale sur V <=>
Pv € JXH) Im (/V )= V PZ v = Pv (Pv(u), v)
v (n,
V)
e Pi1 (B.34)
Démonstration. On suppose que Pv est la projection orthogonale sur V. -w> La continuité (uniforme) de Pv est obtenue grâce à ses propriétés de contraction, d’après la proposition B. 12. w Linéarité : Soit (u;, uf) € Pi2, alors, pour tout
—0
(ni + n2 - Pv(u 1 + uf), 4>)
(B.35) ce qui signifie que Pv(u\ + “2) - (Pvit* 1) + Pviuf)) -L V or tous les termes sont dans le sous-espace V donc Pviui + uf) = Pviu1) + Pv(u2)- En prenant U2 = —ni on obtient P v(m) = —Py(—n 1), en prenant U2 = ni, on a P(2ni) = 2P{u\). Par récurrence : P(nu\) = nP(u\) pour tout n € Z. En posant nui = u2 déduit -P (n 2) = P(,—), et donc par récurrence Pviqui) - qPviu 1) avec q e Q. Par densité de Q dans R et par continuité de Pv, on déduit la linéarité. 236
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B.5. Dualité dans les espaces de Hilbert
w Au passage, on voit que comme Pv est contractante : ||/V|| < 1. w L’idempotence est due au fait que Im {Py) = V et que, pour tout v de V : Pv(v) = v (on atteint ||/V(i>) - v\\n = 0). Il en résulte : P \ = Pyw Caractère autoadjoint : si Q est le projecteur orthogonal sur VL, alors :
(Pv(u), v)
(B.36)
Réciproquement, P est un endomorphisme autoadjoint idempotent continu. On pose : V = W
) .
w P est un endomorphisme, donc V est un sous-espace vectoriel, w Si y € V, il existe w dans V tel que : w = Pv = P2v = Pw ; ainsi, v € V <=> v = Pv. w Si (t>m)meN 6
et (Pvm)meN — v, par continuité :
et donc (Pvm)m6N —> Pv. Ainsi, v e V et V est fermé. w Comme V est un sous-espace vectoriel fermé, on peut introduire la projection orthogonale Py sur V et la projection orthogonale Q sur VL. Il faut montrer que P = PV- Si v € V : v = Pv et v - Pyv, ce qui conduit à : Pyv - Pv.
- Si v € V-1, alors Pyv = 0. Or : (P v, P v)
= (v, P 2 v)
(car v e VL et Pv e V). Il en résulte : Pyv = Pv.
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- Si v € Pi, v = Pyv + Qv et on utilise les cas précédents.
B.5 D u alité d a n s les espa c es de H ilbert T héorèm e B.15. Représentation de Riesz Soit
De plus : l l / l l * = I\hf\\
237
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Annexe B • Éléments d’analyse hilbertienne
Réciproquement, pour tout h de *H, on définit une forme linéaire continue fa de la façon suivante : (fll,x) = (h,x)
(f, x) = (hlf , x )
alors : (hj. - hj, x)n = 0. C’est en particulier vrai pour x = h1 ^ - h2, ce qui conduit à : hy = h2.
Existence : si / = 0, alors hf = 0 convient. Si / + 0, ker / est un sous-espace vectoriel fermé de 'H et (ker f ) x est un sous-espace vectoriel fermé de dimension 1. On prend h € ker(/)x et on pose : . C M ), hf h 1 mV* On a hf € (k e r/)x, et donc : - si x 6 ker / , (f, x) = 0 = (hf, x)^.
- si x € (ker f ) L, alors x = Ah, avec A € R. On a :
(f, h)
(h,Ah)n
WhWlf - si x e
est quelconque, on le décompose sur ker / et (ker / ) x .
Corollaire B.l 6. On peut donc identifier un espace de Hilbert et son dual. Un es pace de Hilbert est un cas (très) particulier d ’espace de Banach réflexif.
La dualité permet de définir le concept de convergence faible, la proposition suivante montre l’ingrédient à rajouter à la convergence faible pour obtenir une convergence forte : 238
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B.5. Dualité dans les espaces de Hilbert
Proposition B. 17. Si (un)neft —* u faiblement dans "H (autrement dit V / e 7Y', ( f , u n) —> ( /, w), ou grâce au théorème de Riesz, Sx e S~l, (un, x)j{ —> (w, x )
Démonstration. si (w,z)hgn —* w faiblement, alors N 1^ -
||m„Hw )2
(B.39)
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
11« - «nllw = IMI^ + ll««ll\i - 2(w» «»)«
239
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Elém ents d ’in t é g r a t io n de Lebesg u e Cette annexe a pour objectif de donner les principes de la construction de Vintégrale de Lebesgue ainsi que les principaux résultats qui sont utilisés dans les autres cha pitres. Peu de résultats sont démontrés, nous recommandons la lecture d ’ouvrages spécialisés et plus particulièrement [14].
C .l
M o t iv a t io n
L’intégrale de Riemann* telle qu’étudiée dans les premières années de Licence, se révèle d’un usage peu pratique : i. les fonctions intégrables au sens de Riemann doivent être les limites uniformes de suites de fonctions en escaliers, ce qui impose une régularité assez forte aux fonctions à manipuler ; ii. les extensions aux intégrales sur des domaines 2D ou 3D ne sont pas triviales ; iii. le traitement des domaines du type [a, + o o [ sur lesquels l’intégrale est définie comme la limite d’intégrales sur des compacts croissants peut poser problème : certaines fonctions oscillantes (telle / : i h-> sin(i2) qui correspond à un ré sonateur de Fresnel) dont l’intégrale de Riemann sur un domaine infini existe alors que le système est constamment accéléré) pose des
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difficultés d’interprétation physique ; iv. pour un domaine donné, l’ensemble des fonctions intégrable au sens de Riemann ne peut être muni d’une structure topologique « pratique » (les espaces ne peuvent être complets au sens de normes usuelles). L’intégrale de Lebesgue* permet de lever ces difficultés : i.
le domaine d’intégration est « quelconque », le travail en dimension supérieure à 1 ne pose pas de difficulté ;
f. Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), mathématicien allemand. Outre ses travaux sur l’intégration, il a créé la théorie des fonctions algébriques, et développé les travaux de Cauchy sur les fonctions de variables complexes ; en géométrie différentielle, il introduit le concept de variété, qui conduira, ultérieurement, à la géométrie riemannienne. Henri-Léon Lebesgue (1875-1941), mathématicien français, dont la contribution à la théorie de l’in tégration fut essentielle.
241
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Annexe C • Éléments d’intégration de Lebesgue
ii. les fonctions qui interviennent dans la définition sont beaucoup plus générales
(fonctions mesurables) ; iii. on approxime les fonctions par « en-dessous », le cas échéant on n’hésitera pas à
écrire f f = +°° ; l'v. l’intégrale de Lebesgue conduit à définir des espaces de Banach et de Hilbert très pratiques. La construction de la théorie des probabilités et l’intégration de Lebesgue pos sèdent des fondations communes (théorie de la mesure). Notation Dans la suite, on note R = R U {+00}u {- 00) la droite numérique achevée. Cet ensemble sert à manier des grandeurs pouvant être infinies. C .2
R
a p id e
d e
L
c o n s t r u c t io n
de
l ’i n t é g r a l e
e be sg u e
Dans ce qui suit, ü. désigne une partie non vide de R d.
C.2.1 Tribu borélienne, mesure de Lebesgue D éfinition C.l
Une cr-algèbre (ou tribu) est un ensemble de sous-ensembles de il stable par com plémentation (dans O) et union dénombrable (et donc intersection dénombrable). On construit ainsi la cr-algèbre B (tribu borélienne) et l’application Lebesgue) qui vérifient les propriétés suivantes : i. ii.
(mesure de
B contient les ouverts de Q ; A
:B —>R + est une forme positive ;
iii. soit b une boule de H (donc b € B), A est tel que A(b) = volume(è), iv. si (bn) e BN tel que V(i, j) € N 2 b¡Dbj = 0, alors /1((J n b¡) = E n A(b¡) (additivité dénombrable). v. soit b e B tel que A(b) = 0, si (Í2, B, /1) est un espace mesuré complet).
ac
La mesure de Lebesgue peut donc être vue comme la généralisation de la notion de longueur d ’un intervalle ou d ’aire d ’une surface, applicable à des ensembles très variés (les boréliens représentent une famille de parties de O très grande). 242
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C.2. Rapide construction de l’intégrale de Lebesgue
Remarque C. 1 Pour les théorèmes qui suivent (notamment sur le calcul d’intégrales multiples), il est intéres sant de remarquer que la mesure de Lebesgue est cr-finie : on peut construire un recouvrement de Q par des boréliens de mesure finie. Il existe des boréliens de mesure nulle. On dira qu'une propriété est vraie presque partout si elle est vraie partout sauf sur un ensemble de mesure nulle. Dans le cas de la mesure de Lebesgue, les ensembles de mesure nulle les plus classiques sont les unions dénombrables de singletons (par exemple /l(Q) = 0). Il existe d'autres ensembles de mesure nulle mais ils sont plus étranges (ce sont des fraciales comme l'ensemble triadique de Cantor). Typiquement, deux fonctions qui sont égales sauf en quelques points sont égales presque partout. Exemple C 7 Une fonction / continue nulle presque partout est nulle partout. En effet, soit co l’ensemble de mesure nulle où / n’est pas nulle : cj = f~ l (R*) ; or, R* est ouvert, la continuité de / implique que œ est ouvert. On peut donc faire rentrer une boule ouverte dans îu, mais elle doit être de rayon nul, puisque : 0 = à(ùj) > /l(boule) Par suite : c j = 0.
C.2.2 Fonctions mesurables et étagées Définition C.2
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Dans un espace mesurable (iQ, B), une fonction numérique / : Q —>R est mesu rable si, pour tout ouvert cu c R, Z“1(eu) G ®Z Remarque C.2 Il est à noter que les fonctions mesurables sont très générales : tout d’abord construire un ensemble qui n’est pas un borélien est difficile (mais faisable), ensuite l’existence de fonctions non mesurables repose dans R sur l’hypothèse (indécidable) du continuum infini de Cantor et dans R^ sur l’axiome du choix. On peut donc considérer que toutes les fonctions que nous utilisons sont mesurables. Définition C.3
Une fonction / est dite étagée s’il existe une partition finie de O en boréliens telle que / soit constante sur chacun de ces boréliens. t. La mesurabilité est la seule régularité requise pour envisager d’intégrer des fonctions au sens de Lebesgue. En particulier les fonctions continues sont mesurables.
243
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Annexe C • Éléments d’intégration de Lebesgue
Remarque C.3 Une fonction étagée est bien entendue mesurable. Proposition C.l. L’ensemble des fonctions étagées est dense dans l’ensemble des
fonctions mesurables au sens de la convergence simple. De plus, les fonctions mesu rables bornées sont limites uniforme de suites de fonctions étagées. Démonstration. Sans restreindre les résultats généraux (voir ce qui suit), on ne considérera, ici, que le cas des fonctions mesurables positives. Pour n € N, on partitionne l’espace image [0, +oo[ en 22" + 1 sous intervalles /„,* :
Les ensembles antécédents sont les An¿ = f~ x(In,k) (autrement dit, sur A„¿, pour k < 22n : k - 1 < 2 ''/ < k et 22" < / sur A,Ii22«+i ), les A,hk sont des boréliens puisque / est mesurable. On pose*
k=1 f„ < / et (/„)nsN —>/ simplement : en effet, en un point x, dès que f(x) < 2", on a If(x) - f„(x)\ < 2~" ; si / est bornée, alors il suffit de choisir n tel que 2" > sup |/ | ; on obtient ainsi la convergence uniforme.
C.2.3 Intégration La construction de l’intégrale se fait en plusieurs étapes :
i.
Pour une fonction étagée positive / : / vaut jfc sur le borélien bk ; les (bk) parti tionnent Q, on pose alors :
Il est à noter que :
ii. Pour une fonction mesurable positive / : fQfdA = sup (Í2, B) et 0 <
244
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C.3. Résultats importants
iii. Pour une fonction mesurable réelle / , on définit ses parties positive et négative respectivement par : / + = supC/, 0) , /■ = su p (-/, 0) / est intégrable si et seulement si f + et f~ le sont et :
Jiî
Jil
Jiî
f
-
fd A = f
iv. Pour une fonction mesurable / à valeurs complexes, on intègre partie réelle et imaginaire séparément. Définition C.4
Une fonction positive est dite intégrable au sens de Lebesgue si fQ fdA < +oo. P ro p o sitio n C.2. Une fonction est intégrable au sens de Lebesgue si et seulement si ses parties positives et négatives sont intégrables, autrement dit si : f
Jn
IfldA < +00
(C.l)
Remarque C.4 Le symbole fdA existe donc pour les fonctions positives (dans ce dernier cas la valeur +oo est autorisée) et pour les fonctions intégrables (auquel cas |fQfdA\ < fQ\f\dA < +oo).
C.3 R ésultats
im portants
P ro p o sitio n C.3.
i. / = 0 « Jq \f\dA = 0 pp
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ii. f et g intégrables, f < 0 =>
fd A < fQ gdA
iii. Pour prouver qu ’une fonction f est Lebesgue-intégrable sur Í2, il suffit de trouver g intégrable majorant \f\ (g > \f\). pp iv. Linéarité : si f et g sont intégrables sur Q et si a est un réel, (f+ag) est intégrable et fQ( f + ag)dA= f Q fd A + a gdA v. f intégrable => |J¡1/< M |s /a l / l ,u Théorèm e C.4. Convergence monotone de Lebesgue
Soit
(fn)eN une suite croissante de fonctions mesurables positives : Vx e û :
< 0 245
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Annexe C • Éléments d’intégration de Lebesgue
Alors :
(
lim J Q f nd/1 = „_,+00
(C.2)
lim f ndÀ e R +
f
n >-(-00
Lemme C.5. Lem m e de Fatou (version fonctions intégrables)
Soit { f n ) n e N une suite de fonctions intégrables. Alors : I lim inf f ndÀ < lim inf [ f ndÀ < lim sup Í f ndÀ < f limsup^,rf/l JQ
n^+oo
n
>+oo
Jn
n->+co
Jn
(C.3)
« -> + 0 0
Théorème C.6. Convergence dom inée de Lebesgue
Soit (fn)nen wne sw/te de fonctions mesurables telle que la suite (fn)neN converge simplement sur Q : V x , f n ( x ) -> / U )
57/ em te une fonction g intégrable sur Í2
que, pour tout entier naturel n :
\fn (x )\ < g ( x )
alors : lim
f f ndÀ = f
n->+oo J Q
lim /„¿//I
J Q n- > + 00
(C.4)
Corollaire C.7. Continuité sous le signe f
Soit f(x , t) une fonction de R x Î2 —> R, ¿wY *0 6 R on suppose que sur un voisinage Vq de xo : i.
f(x , t)dÀt existe pour tout x de Vo /
ii. x f ( x , t) est continue (pour presque tout t) et il existe une fonction g de la variable t, intégrable sur Cl, telle que : V x e V 0 : \f(x,t)\< g (t) alors x
fQ f ( x , t)dÀt est continue en *o et prend la valeur J^ f( x 0 , t)dÀt en x$.
Corollaire C.8. Dérivabilité sous le signe f
Soit f une fonction de R x Î2 —> R, et xo £ R. On suppose que sur un voisinage de Vo de xo : i. fQ f(x , t)dÀt existe pour tout x de Vo ; Qr
ii. — (x, t) existe (pour presque tout t), et il existe une fonction g de la variable t, ox intégrable sur Q, telle que : d f
Vx € V0 : -f{x, t) < g{t) ox 246
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C.4. Comparaison Riemann-Lebesgue
alors : x i-»
f(x , t)dA, est dérivable et - f f f f(x , O A ) = f d-f(xo ,t)d A , dx \Jçi } x=x0 J Q dx
(C.5)
CA C om paraison R iem a n n -Lebesgue Théorème C.9. Soit (a, b) e R 2, si f est Riemann-intégrable sur le segment [a, b], alors f est Lebesgue-intégrable et £ f(x)d x = Théorème C.10. Si Jf°° Q \f(x)\dx existe (au sens de Riemann) alors f est intégrable
sur [a, oo[ (au sens de Lebesgue) et JT°° f(x)d x =
^ fdÀ.
Exemple C.2 x h»
est R iem an n in tég ra b le sur R , m a is p a s L e b e sg u e -in té g r a b le .
O n p eu t d o n c écrire
f_+™
L e b e sg u e ), m a is p as
fR ...
dx (au
se n s d e R iem a n n ) o u lim
J[ a
fdÀ (au
se n s d e
q ui n ’a p as d e se n s.
C.5 I ntégrales
multiples
La mesure de Lebesgue sur R 2 peut être construite à partir de la notion de mesure produit : on commence par des ensembles de laforme Cl = £lxx£ly, B = B^xB^ et À = Àx®Ay (ce qui signifie À(bXJ by) = Àx(bx)Ày(by) et qui revient, pour Riemann, à écrire dS = dxdy), puis on étend à des formes plus générales. On peut alors s'intéresser à l'intégrale de fonctions mesurables sur (iî, B).
Notation © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
On p ose :
' / = fn fd(Ax ®Ay) ' I»x = fax(fa,
dAx
(C.6)
„Ix'J = fa, (fa, fdAx) dAv Théorème C.11. Théorème de Tonelli
Si f(x , y) > 0, alors : I = Ixy = Iyx e R +. Théorème C.12. Théorème de Fubini
Si f est intégrable sur Q, alors : I = IXy = Iyx e R-
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Annexe C • Éléments d’intégration de Lebesgue
Exemple C.3 On considère la fonction / définie par : f(x, y) = Le calcul montre que :
xy x2 + y2‘
î - - ï1 IJX
ÂXIJ —
ce qui s’explique par le fait que :
f \f\d(Àx ® Ày) = +oo
Ja
La fonction n’est pas, de fait, Lebesgue-intégrable.
Remarque C.5 La démarche pour calculer une intégrale multiple consiste donc à calculer d’abord l’intégrale de la valeur absolue (grâce au théorème de Tonelli) : si le résultat est infini, la fonction n’est pas intégrale, sinon elle l’est et on peut appliquer le théorème de Fubini (à la fonction sans valeur absolue).
T héorèm e C.l 3. Changement de variables Soit (x\, . . . , xn) € Çl\ x . . . x i l n i-> (jci, . . . , xn) e Cl\X . . . x Ù n un C l-difféomorphisme. On pose :
f ( x \ , . . . , x n) = / ( * ! , . . . , xn)
Alors
f ( x u . . . , x n)d (p i® ... ® pn) Çl\X...xQn f ( X l , . . . , x n)
d(fi\
det
Û ix...xùn
Remarque C.6 On reconnaît le Jacobien du changement de variables ; la valeur absolue est une différence par rapport à Riemann, elle est due au fait que les domaines d’intégration ne sont pas parcourus selon une orientation donnée.
C.6 Espa c es de L ebesgue Définition C.5 i.
Pour
ii. Pour
p e1, [ +oo[, on note \\ f\y =
\f\pdÀ)p.
p= oo, on note ll/Hi» = supessn |/ | = inf{C > 0 /|/| < C} pp
iii. Soit lp(£ï) l’ensemble des fonctions telles que \\f\\u> < +oo.
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C 6. Espaces de Lebesgue
Un problème avec ces espaces est que \\f\\u> = 0 => / = 0, et l ’application || • \\u> pp
ne sépare pas des éléments égaux presque partout (des éléments non nuis, mais nuis presque partout, prennent pour valeur zéro). Pour palier ce problème, on quotiente l ’espace par la relation = et on définit alors l ’espace Lp{iï). Cette espace estformé pp
des classes d’équivalence de l ’égalité presque-partout, si ( / , g) e lp(£ï)2 avec f = g pp
alors f et g sont représentés par le même élément dans Lp{il). D é f in it io n C .6
E sp ace de L e b e sg u e
Pour 1 < p < oo, on pose Lp{iï) = lp{Q)|=. pp
On va prouver que l ’espace Lp{iï) ainsi défini est un espace vectoriel et que l ’ap plication f i-» \\f\\u> est une norme. Les caractères positif, défini et homogène de l ’application sont évidents, tout comme la non-vacuité de l ’espace et sa stabilité par multiplication par un scalaire. Il reste à prouver l ’inégalité triangulaire (qui impli quera la stabilité de l ’espace par l ’addition), qui est démontrée à l ’aide du résultat intermédiaire suivant. P r o p o s i t i o n C l 4. Inégalité de H ôlder
Pour 1 < p < +oo, et p' tel que — + — = 1, soit f e Lp et g e Lp'. P P' Alors : fg e L 1 et :
¡ ï \fg\dA = \\fg\\o <
Démonstration, i.
||/||lpIMIlp'
(C.7)
MWlp= 0,
Si pp
f =0, et
pp
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
ii. Si \\f\\ip = + o o , le terme de droite est infini et l’inégalité est vérifiée.
iii. Si p - oo , alors, q= 1, et : \fg\ < ||/|I l” M- L’inégalité est bien vérifiée iv. Considérons le cas où p + 1, p + oo et où l’on peut supposer (q les fonctions) que \\f\\u> = \\g\\¿y = 1. Pour (a, b)€ R +*, par concavité du logarithme :
( — i- — ) > —ln
(ap)+ (l \P
P ')
P
ln
= ln
\
1 = 1. , puisque -1 + — P
P'
Par suite : , aP bP\ ab < — + —
P
P
t- Inégalité d’Young.
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Annexe C • Éléments d’intégration de Lebesgue
On en déduit :
P
P'
i P
i = P
puis, en intégrant :
Preuve de l’inégalité triangulaire. On fait la démonstration pour 1 < p < oo, le cas p = oo étant plus classique. On montre d’abord la stabilité de l’espace par addition : pour ( /, g) € Z/(Q)2, comme p > 1 on a convexité de la fonction puissance p donc 12 + 2 ]P < ^2 + ^2 Ct lf + 9? < 2P_1(I/|P + m ' D° nC !l/ + 9,lLP < relation d’Hôlder, on obtient : Ilf + g\\p D, =
Ct Par ^
f If + gfdA Jsi
< f (\f\ + \g\)\f + g\p~xdA Jn
^ ((I H +( I H )(1 17+^ " H " *
'
Les espaces de Lebesgue sont complets pour la norme qui leur est associé, ce qui en fait d’excellents outils pour les méthodes d’approximations. Proposition C.l 5.
L (Lp(Q), || ||jj>) est un espace de Banach pour 1 < p < oo. ii. (L2(f2), || 11^2) est un espace de Hilbert, de produit scalaire associé (f,g)» (f,g)2 L = f fgdA
Jn
Démonstration. Pour 1 < p < 00, soit (fn)nen une suite de Cauchy de LP(Q). On peut donc en extraire une sous-suite (/^ ) telle que : Wfnic+I ~ fnkWu* ^ Posons : k- 1
s
k (Î)
— fn \ + ^ j ( f n k+i k= 1
fn k) “* ftiK
250
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(C.8)
C.6. Espaces de Lebesgue
S
k
(9) ~ \ÿn\ I + y ] \fik +1
fni(\
k=1 En appliquant l’inégalité triangulaire, on en déduit : k- 1
\\Sk {9)\\ij>< I I / * + 2 II/**. " / * *=i
k-î 1
= I I /* + 2 * *=i z
La suite (||S k (0)||lp) est donc croissante et bornée par ||/f!| \\u> + 1, ce qui montre d’après le théorème de convergence monotone que Sooig) existe et appartient à Lp(£i). En remarquant que |S ¡c(f)\ < Sco(g), on obtient, grâce au théorème de convergence dominée, la convergence de la série S %(/) = f nK vers une fonction / € LP(Q). Pour revenir à la suite de Cauchy (/„)„€n , on a, pour N(k) > n*+i fixé : ll/v(*) - fnk\\u> < ^ En passant à la limite lorsque n* tend vers +oo, on obtient : II/aw - /11 < 2? ce qui prouve la converge de la suite vers / . L’étude de la série Sxif) est laissée à la charge du lecteur dans le cas p = +oo.
■
À partir de la preuve précédente, on obtient le résultat suivant qui montre que la convergence au sens de la norme LP implique la convergence simple (presque partout) :
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Proposition C.16. Soient (/„)„6]n une suüe de LP, et f une fonction de Lp, telles que ||/„ - f\\u> -» 0. Alors, il existe une sous-suite extraite (f,k) telle que
f„k(x) —> f(x) presque partout sur Q \fnk(x)\ < g(x) avec g e Z/(Q) pp
Notation Fonctions localement intégrables On désigne par L\oc l’espace des fonctions intégrables sur tout compact. L’idée est de s’af franchir des problèmes à l’infini. Typiquement, x i-> ---n^ g ¿*([0, +°°D» mais x ^ ~ x x
e
£/^([0, +0°[)
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Annexe C • Éléments d’intégration de Lebesgue
Exemple C A La fonction de Heaviside dans R, qui vaut 0 sur R“ et 1 sur R+, est une fonction L\oc(R). A ce titre, elle est utilisée comme une distribution (voir le chapitre 4). En tant que fonction de L)oc, il est important de noter que parler de sa valeur en 0 n’a pas de sens ({0} étant un ensemble de mesure nulle). Remarque C . 7 Il n’y a pas de résultat général d’inclusion des espaces, sauf si on travaille sur un ensemble de mesure finie (/1(Î2) < oo) auquel cas si p < q on a Lq c Lp (application de l’inégalité de Hôlder avec la fonction indicatrice du domaine). Exemple C.5 i. iii.
r i—> — r est dans Lp([ 1, +oo[) pour p > 1. r y
i- > ”T 77 est dans LPQ0,1]) pour 1 < p < k. y\fK
C.7 Produit
de convolution
D E D E U X F O N C T IO N S D é f in it io n C .7
Étant données deux fonctions
et de Rrf, on pose :
f
u * v(x)
(C.10)
u(x - y)v(y)dÀy
JR'
Proposition C.l 7. Sens de l ’expression -In ég a litéd ’Young Soient 1 <
p, q, r < ootels que r p q
- = —+ -1.
Alors : ||m *
En particulier, si
v\\Lr< H u M M b
u e Lp et eu Lq, alors u* v € U, et (u,
€ (L1)2 =»
Démonstration. (Dans le cas L1) Ilu * v\\Li
=
y)v dAx < h u(x JRrf I On peut appliquer le théorème de Tonelli : ||w *
<
f
j
l
\u(x -
n
\u(x -
|
d
)ydAxj | |ü(i/)| dAy = M L 1|M|LI
252
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*
C.8. Résultats de densité et de séparabilité
Définition C.8 Su p p ort d ’une fonction
Le support d’une fonction continue / est l’adhérence de l’ensemble des points où elle n’est pas nulle. supp(/) = Adh ({* e Q,
* 0})
(C.12)
Rem arque C.8
On a bien sûr SUPP
j c supp(/), le support est réduit par dérivation. En effet, sur l’ouvert
L1 \ supp(/), on a / = 0, ce qui implique
f iX= 0.
P ro p o sitio n C.18. Propriétés de base
i.
U* V = V* U
ii. supp(w *
v)c supp(n) + supp(u)
iii. (u * v) * w = U * (v * w) P ro p o sitio n C.19. Régularisation
Soit u e tv deux fonctions de l ) à support compact. Alors : i.
u * vest à support compact.
u e C° => u* v € C°. du m. si — existe dx dx ii.
du_, , â(u * et— € L* alors — ------ existe et — -----= — * dx dx dx
v)
Démonstration. Il s’agit d’une application directe du corollaire du théorème de
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
convergence dominée de Lebesgue : (x, x ; le support des fonctions étant compact, la dérivée est intégrable.
y)i-> u(x - y)u(y) ■
Cette dernière propriété est fondamentale : le produit de convolution a la régularité de la plus régulière des fonctions.
C.8 R ésultats de d e n sit é et de sépa r a b ilit é Théorèm e C.20. L ’espace des fonctions continues à support compact est dense
dans LP pour 1 <
p < oo
(ausens de la convergence forte de W).
Démonstration. La preuve fait appel au théorème d’Urysohn, qui permet de
construire des fonctions continues dont on contrôle la valeur sur des ensembles donnés. ■ 253
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.
Annexe C • Éléments d’intégration de Lebesgue
Théorème C.21. Les espaces LP sont séparables (ils contiennent des sous-espaces denses dénombrables) pour 1 < p < +oo. 1
Démonstration. Soit / € LP(Q) et s > 0. Grâce à la densité, on peut trouver une fonction continue à support compact fi de C°(Q) telle que : Soit il' un ouvert borné tel que supp(/i) c f l' c O. La méthode employée pour démontrer la proposition C. 1 permet de construire une fonction étagée /2 (prise dans un ensemble dénombrable), à support dans Î2', proche de /1 (au sens de la norme sup, puisque f\ est continue sur un compact), et telle que :
e
I/2W-/1WK Mùÿÿip Ainsi :
11/
t-
- fiWw < 11/ - / i l b + 11/1 - M u < 2 e
L°° n’est pas séparable.
254
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P r o p r ié t é s d e l ’e s p a c e de
So bo lev
H
] (
q
)
On s’intéresse aux propriétés de l’espace de Sobolev H l(Q.) et des fonctions qu’il contient. Dans ce qui suit, Q désigne un ouvert de ( est la dimension de l’espace physique, en général 2 ou 3). Rappelons la définition de Définition D.l On désigne par H 1(Ci)le sous-ensemble de 1)'(il) des distributions qui peuvent s’identifier à une fonction de L2(il) et dont la dérivée (au sens des distributions) peut s’identifier à une fonction de L2(û).
D.l S tr u ct u r e a l g éb r iq u e P roposition D.l. H l(Q.) pour tout ( u,
estun espace de Hilbert pour le produit scalair x H 1(Ci), par :
v)de
(u,v)H\ = (u, v)L2 + (grad(w), grad(y))(i2)W
(D.l) = I u vd x+ I grad u ■grad v dx Jn
Jn
La norme associée est donc définie, pour tout u de
1(O), par :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
\\u\y = yj\\u\\^2 + ||grad(«)||^2)rf
(D.2)
Rem arque D. 1 Pour tout ude Hl(Cï) :
II«IIhi > M\u et N |Hi > || grad(n)||(i2yi
(D.3)
Il en résulte : (||m|Il2 + Il grad(n)||№2)j) < ||k||//i < ||m||L2 + || grad)«)!!^^
(D.4)
Démonstration. On commence par vérifier que H 1(Ci) est un espace vectoriel, ou plutôt un sous-espace vectoriel de L2(Q)(l’inclusion est dans la défin 255
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Annexe D • Propriétés de l’espace de Sobolev H '(ft)
sont des fonctions die H1(Ci) et a e R un scalaire, il est évident que (u+a v) € L2(Cl). On sait que <9,m et sont dans l’espace vectoriel L?(Ci), et que la dérivation (faible) est une application linéaire^ donc <9,(w+ av) = (5,h + a djv) qui est donc dans L?(Ci). Donc H1(Ci) est bien stable par l’addition interne et la multiplication par un scalaire, c’est un espace sous-vectoriel de Û(Ci). Par ailleurs, l’application
(u, v) € H1(Ci) x H1(Ci) i-» (u, v)H\ est clairement bilinéaire, symétrique, définie positive. C’est donc un produit scalaire. Il reste à vérifier la complétude. À cet effet, on considère une suite de Cauchy (w/OrceN de H\Ci) : Ve > 0 , 3N q € N / n > No , m > No = > || un - um\\H\ < s
(D.5)
d’après la remarque, (urt)n^n et (diUn)ne]n sont des suites de Cauchy, chacune dans L2(Ci) qui est complet. Elles convergent donc dans L2(Ci) : désignons par
u = lim un ,
Ui = lim diun
/ [- > + 0 0
/ ¡-»+ 0 0
leurs limites respectives. Il reste à montrer que 1/, = ô,m. On raisonne par densité. L’injection de L2(Ci) dans D'(Ci) est continue, ainsi, (u„)nem et convergent aussi dans T)'(Cl). Comme la dérivation est continue dans D'(Cl), alors :
d,u„ —>diU et donc : U-, = d/u. Ainsi, la suite de Cauchy (M„)„eN converge bien dans H1(Ci), qui est donc un espace complet. ■ ' Rem arque D.2 Il e s t p o s s ib le d e d éfin ir d e s e sp a c e s d ’ordre su p érieu r
Hp(Ci) (p €
N ) : c e so n t d e s e s p a c e s
d e d istrib u tion s te ls q u e to u tes le s d ériv ée s fa ib le s d ’ordre in férieu r o u é g a l à
[?(&). O n
p
so ie n t dans
p eu t é g a le m e n t d éfin ir d e s e s p a c e s d ’ordre fraction n aire (n otam m en t en u tilisan t
la n o tio n d e d érivation fraction n aire, la tran sform ation d e F ourier ou l ’in terp olation entre e s p a c e s). O n p eu t au ssi m unir c e s e sp a c e s d ’u n e structure h ilb ertien n e.
Il est d’ores et déjà possible de prouver la continuité de la forme linéaire et de la forme bilinéaire dans le cas de l’équation de Poisson (8.8). L’ingrédient fondamental f. La notation
d,u signifie
— .
ox,
256
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D.2. Régularité des fonctions, notion de trace
est l’inégalité de Cauchy-Schwarz (notée CS dans les formules) : Vu € Hl(Q.) :
|/(u)|2 =
f
Ja
fvdxl < f \f\2dx f \v\2dx I es J q Jq
(D.6)
= \\fwl2M\l2 < ii/ i£2ii<. ou encore : \m
< \\f\\L2 \\v \y
(D.7)
de même pour tout (u, u) de // '( i i) x Hl(Q) : grad(«) • grad(u)dx| < |f I| grad(w)|2 grad(«)|2 dx ff Igrad(u)|2 dx 1 e s Ja Ja Ja ii2 u „„„ j/,.Mi2 = Il grad(u)||(£2)J grad(u)||2L2)(i
Ia(u, u)|2 =
Jci
(D.8)
et donc
\a(u,v)\ < ||u||Hi Huilai
D.2 R égularité
(D.9)
des fonctions , notion
DE TR A C E On s’intéresse maintenant aux propriétés des membres de H1(£2). En raison de dé monstrations très techniques, un certain nombre de résultats seront admis. Pour cette question, la forme du domaine doit être prise en compte. On commence par le cas plus simple : Q = R rf. Une première proposition qui se démontre classiquement par troncature et régula risation est la suivante :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
P roposition D.2. DÇRd) est dense dans H1(]R.d). Les théorèmes qui suivent permettent de mieux qualifier les fonctions de HlÇRd) en termes de dérivabilité classique et d’intégrabilité. Une propriété remarquable est la dépendance par rapport à la dimension de l’espace. T héorèm e D.3. Théorème deplongement de Sobolev d Pour s > —+ k : 2 Hs(Rd) c C*(Rrf) Ce théorème est utile pour donner une régularité classique (dérivabilité forte) aux solutions des formulations faibles : on prouve qu’elles appartiennent à des espaces de Sobolev et automatiquement, on obtient une régularité classique. En particulier, on a les résultats suivant en dimension 1 d’espace : //'(R ) c C°(R) et H2(R) c C*(R). 257
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Annexe D • Propriétés de l’espace de Sobolev H1(n)
Théorème D.4.
S id > 2: H 1(R
rf)
L P (R d }
p o u r
<
< _JL_ 2“
le symbole de l ’inclusion avec une flèche signifiant que l ’injection est continue. Ce théorème montre donc que l’existence d’une dérivée faible permet de gagner en intégrabilité (mieux que L2). Il faut maintenant traiter le cas des domaines ouverts il c plus généraux. La description de tels domaines est assez lourde. L’idée est de recouvrir ü. par des ouverts sur lesquels on peut définir des paramétrages simples (le domaine est décrit par un atlas de cartes locales). Sur le bord de iî, on souhaite pouvoir localement, via un difféomorphisme, ramener le domaine à un demi-espace infini (Figure D.l).
Figure D.l - Cartes locales d’un ouvert
Dans ce qui suit, nous travaillerons systématiquement sur des domaines « suffi samment réguliers ». En particulier, on évitera les domaines qui ne sont pas que d’un côté de leur bord (Figure D.2), ainsi que les bords fractaux.
Figu re D.2 - Exemples de domaines non-réguliers
La question fondamentale, pour traiter des problèmes avec conditions aux limites, est la possibilité de définir une valeur sur le bord du domaine pour des fonctions de La question n’est pas triviale puisque, typiquement, on n’est pas capable de définir la valeur d’une fonction de L2(Q.) sur un bord (qui est un ensemble de mesure 258
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D.2. Régularité des fonctions, notion de trace
volumique nulle), l’existence d’une dérivée faible L2 qui va permettre de définir une valeur au bord. Définition D.2
Désignons par
D(Cl)la restriction à Q des fonctions de D (R d).
Il faut bien comprendre qu’il s’agit d’une nouvelle notation : pour Q ouvert, est l’ensemble des fonctions C°° à support compact dans i l Comme Ù. n’est pas un ouvert, D(Ù) est un objet mathématique différent. En particulier, les fonctions de D(Ù) peuvent avoir des valeurs non nulles sur <9il T héorèm e D.5. D(Û)
estdense dans Hm(Q) pour m > l.
Pour toute fonction définie sur i l sa trace est la fonction restreinte (ou prolongée) définie sur le bord du domaine (sous réserve d’existence). On va se ramener à une configuration simple (quitte à utiliser une carte locale sur un domaine suffisamment régulier). Dans R d_1 x R*, on pose soit u une fonction définie sur R d_1 x R*, on veut pouvoir définir la fonction v, trace de u, en Xd = 0 : v(x') = u(x', 0). Il faut distinguer les cas suivants :
v est bien définie et e C°(Rii_1).
• si m e C°(R'i), alors
, du x R*) et —— existe et est bornée lorsque Xd —>0, alors v est bien OXd définie (prolongement par continuité). I»
j
|
• si « e C (R
• si u e IXR^“1 x R*) on peut définir : yo •
ui —> yo(u)
avec
yo(u)(x ) - u ( x , 0)
(D.10)
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
yo est linéaire de 2)(Rd_1 x R*) dans £)(Rd_1), on l’appelle application trace (d’ordre 0). P ro p o sitio n D.6.
i.
yo est continue de D (R rf_1 x R*) (muni de la topologie de D(R^_1) (muni de la topologie de //5 (R d_1)).
ii.
yo se prolonge en une application linéaire continue surjective de d a n s H k R d- ‘).
iii. ker yo = Hq(R^-1 rence de D(Q) dans H l(Q,).
x
R d_1 x R*)) dans R^-1 x R*)
R*), où on rappelle que //¿(D) a été défini comme l ’adhé
P ro p o sitio n D.7.
259
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Annexe D • Propriétés de l’espace de Sobolev H ](&)
i.
L'espace trace H ll2(dSi) (qui peut être défini intrinsèquement par transformée de Fourier) coïncide avec les traces de fonctions de H 1(Ci). Toute fonction de H2(dCi) est la trace d'au moins une fonction de H 1(Si).
ii. H l2 (d S l)cL 2(dSl). iii. Hï(dSi) est un espace Hilbert pour le produit scalaire défini, pour tout (fi 9) € H i2 (d S l)xH i2 (dSl):
^L2{dQ) +
(/>
(/(* )-/(* /))(? (* )-g({/)) dSxdSy (D. 11) dflxdCl \x~y\d
L
Terminons par quelques propriétés et notations. P roposition D.8. Le prolongement canonique Hm(Q) -> Hm(Rd) A_ u dans Q
(D.12) ^ U
est continu. De plus, pour tout u de Hm(Q.)
INI//1(O) —l|w||tfl(]Rd) Définition D.3 On désigne par H~l(il) le dual de //¿(O). C’est un espace de Hilbert pour la norme duale. P roposition D.9. Théorème de Rellich Si Î2 est un ouvert borné de R(/ alors, les applications : H l0 (Q -) >
), \Q L
H q{Q)
sont des injections compactes. Ces propriétés sont utiles lors de l'étude du spectre de certains opérateurs. D .3
In
é g a l it é s
de
P
o in c a r é
Les inégalités de Poincaré jouent un rôle fondamental en analyse fonctionnelle. Elles permettent de borner la norme d’une fonction par des quantités dépendant de la norme du gradient et de la géométrie du domaine. C’est un résultat assez intuitif, proche des accroissements finis (la variation d’une fonction C1 est inférieure à la.valeur absolue de la plus grande dérivée multipliée par la largeur du segment d’étude) mais, bien sûr, un peu plus technique à obtenir au vu des faibles hypothèses sur les fonctions en jeu. 260
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H l0(Q) (D.1
D.3. Inégalités de Poincaré
D.3.1
D an s H ]0 (Q)
L’intérêt de Hq vient du fait que la fonction est nulle sur dQ, ; il est clair qu’elle ne peut grandir (en norme) que si son gradient est suffisamment grand, ou si le domaine est grand. C’est ce que l’on va préciser dans le cas d’un domaine borné dans au moins une direction. Définition D.4
Soit £ € R rf tel que |£| = 1 (on note avec une simple barre la norme euclidienne dans R d), et ]a, b[c R un intervalle de mesure finie non nulle : 0 < mes(]a,
b[) - h < +oo
On définit la bande de R^ de largeur h dans la direction £ par : =
[x€
R d/ a < x ■Ç
(D.14)
où le point représente le produit scalaire euclidien de R rf. P ro p o sitio n D.l 0. Soit Çl un ouvert de R rf tel que O c fi/,(£) (cffigure D.3), alors
a
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Mu e H l0(Q), |
\u
\\2 < l2 - ||grad(w)||^ 2)rf
Figu re D.3 - Domaine inclus dans une bande
Démonstration. Par densité, on peut raisonner sur u e D(Q) : u(x + tÇ)= f [grad Ja
(iï)(x(D .l6) 261
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Annexe D • Propriétés de l’espace de Sobolev H' (£2)
Il en résulte, grâce à l’inégalité de Cauchy-Schwarz :
\u(x + f£)|2<|t - a\ f |grad(w)(jc +
^
(D.17)
< \t - a\ I |grad(w)(x +
On peut paramétrer ü, en utilisant l’hyperplan P orthogonal à £ ; si y € Q, il se décompose de la façon suivante : y = x+ tÇ avec x e P et t e]a, b[. Si une fonction / € L2(i2), on peut intégrer son carré en utilisant le théorème de Fubini :
( \u\2dy = ( J Ci
(
\u(x + tÇ)\2dtdx
JxeP Jte]a,b[
< I
(D.18)
\t-a \d t I
J te ]a ,b [
I
|grad(w)(.r +
J x e P Jcr=a
Ainsi
h2 \L2 < - j II grad(w)||^2)rf
(D.19)
Corollaire D.l 1. Si Cl est inclus dans une bande de largeur h, alors Vapplication
u e Hq(ü )
||grad(M)||(L2)rf
est me norme sur //¿(Q), équivalente à la norme usuelle. Démonstration. Pour tout u de //¿(Î2) : || grad(w)||^2)(, < || grad(w)||^2)(J + ||m||22 = \\u\\2 H[ < | l + y j || grad(M)||^2)(< (D.20)
Si on revient à l’exemple initial de l’équation de Poisson avec condition de Dirichlet homogène, on en déduit la coercivité de la forme bilinéaire a : Vw e Hq(Q), a(u, u) =
f grad(w)2 dx >
Ja
262
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— -77IMI«! 1+
4-
(D.21)
D.3. Inégalités de Poincaré
D .3.2 D an s
H'(Cl)
Dans la difficulté est que la fonction peut être « grande », même pour un petit gradient (il faut imaginer tout simplement une fonction constante). On doit donc ajouter un contrôle sur la fonction, classiquement, on utilise la moyenne. Théorème D.l 2. Soit Q un ouvert borné de tel que Vinjection de Hl(iï) —> L2(0) soit compacte (ce que Von appelle un ouvert de Nikodyn). Alors : i. Il existe Pq > 0 tel que pour u e H 1(O) avec I udx = 0 : JQ (D.22)
IMI¿2 < ^nllgrad(«)|| ii. Il existe
Pq >0 tel que pour u €
alors, :
1 mes(Q) f a UdX <
grad(M)||2L2)d
(D.23)
Démonstration. Le premier résultat est admis, le deuxième en découle simplement ; on pose, pour tout u de //'(Q ) : ü=— - f udx mes(£2) J q Alors, (u - ü) satisfait les hypothèses du premier résultat, et :
||^2 = ||i/||?2 + ||û||
- 2 m i u - ||m ||^2 - mes(Q)M2 Jq
2j 2
(D.24)
D é f in it io n D.5
La meilleure (plus petite) constante Pq est appelée constante de Poincaré.
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Corollaire D.13. L ’application u i-» || grad(«)[|(/ 2yi est une norme équivalente à la norme usuelle sur le sous-espace des fonctions de l f ( i ï) de moyenne nulle. Une autre façon de se débarrasser des fonctions constantes est de contrôler la va leur de la fonction sur le bord du domaine. On dispose alors du théorème suivant (admis). Théorème D.l 4. Soit £1 un ouvert borné régulier de pouru e H 1(Í2) :
IMI¿ 2
<
Il existe P q > 0 tel que
P
q
i(l grad(M)||¿2(n) + ||M||L2(ôn))
Ce résultat peut être amélioré en prenant en compte que d’un bout du bord de mesure non-nulle. 263
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C a ssin i,
2011.
265
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In d ex Symbols
C
dilatation transformée de Fourier, 84 transformée de Laplace, 93 distribution à support compact, 64 association avec une fonction, 62 conjugaison, 63 de Dirac, 63,74,76 de Heaviside, 63,74, 76, 252 de Poisson, 101 positive, 64 tempérée, 73 domaine de dépendance 164 dyade 118
Céa 201 Coercivité 188 condition aux limites de Cauchy, 2, 160, 161, 164, 165 de Dirichlet, 3 de Fourier, 3 de Neumann, 3 relèvement, 126 condition initiale 2 Constante de Poincaré 263 Contraction 235 convergence faible 62 convolution d’une distribution et d’une fonction, 70 de deux distributions, 71 de deux fonctions, 252 courbes caractéristiques 26, 37, 38
équation d’advection, 5 de Burgers, 157 de la chaleur, 8,100,164 de Laplace, 166,177 de transport, 5,153 des ondes, 11, 159-161 espace complet, 227 de Banach, 227 de Hilbert, 228 de Lebesgue, 248 de Schwartz, 73 des fonctions à décroissance rapide, 73 séparable, 226,253
cr-algèbre 242 A
abscisse d’existence 92 Application trace 259 B
Banach-Picard 191 base hilbertienne 230
D
d’alembertien 159 décomposition de fractions rationnelles en éléments simples 98 Dépendance continue de la solution 194 déphasage transformée de Fourier, 84 transformée de Laplace, 93 difféomorphisme 216
fonction étagée, 243 à variables séparées, 117 analytique, 4 deBessel, 124 de Green, 76 harmonique, 169 localement intégrable, 251
266
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Index
mesurable, 243 sphérique, 168 forme standard 42 elliptique, 44 hyperbolique, 43 parabolique, 44 Formulation faible 186 Formulation variationnelle 189 formule d’Ostrogradsky, 169 de Bessel-Parseval, 231 de d’Alembert, 159,162,164 de Green, 169 de Parseval, 87 de Plancherel, 87 de Poisson, 177 H
Hadamard 15
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identité de polarisation 224 inégalité d’Young, 252 de Cauchy-Schwarz, 223 de Hôlder, 249 Inégalités de Poincaré 260 intégrabilité au sens de Lebesgue 245
laplacien sur la sphère 168 Lax-Milgram 193, 194 lemme de Fatou 246 M
mesure de Lebesgue, 242 superficielle, 167 multientier 58 N
norme 221
noyau de la chaleur 165 O opérateur de Laplace-Beltrami 168 Ouvert de Nikodyn 263 P
peigne de Dirac 101 pied d’une caractéristique 26 polynômes d’Hermite, 123 de Laguerre, 124 de Legendre, 123 principe d’incertitude d’Heisenberg 102 principe du maximum 177 problème aux frontières du deuxième type, 3 du premier type, 3 du troisième type, 3 problème bien posé 3 problème de Cauchy 26, 35 produit scalaire 222 produit tensoriel 118 Projection sur un convexe fermé 233 R
régularisation 253 radialisation 167 Rellich 260 Riesz 192 Riez 237 S
saut 67 solution élémentaire 172 solutions radiales 170 Stampacchia 190,195 Sturm-Liouville opérateur, 120 problème périodique, 122,125 problème régulier, 121, 132 support 267
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Équations aux dérivées partielles
d’une distribution, 64 d’une fonction, 253 symétrisée d’une distribution, 70 d’une fonction, 70 transformée de Fourier, 84 T
théorème d’Urysohn, 253 de Cauchy-Kowalewski, 28 de convergence dominée, 246 de convergence monotone, 245 de Fubini, 247 de la valeur finale, 95 de la valeur initiale, 95 de Tonelli, 247 des fonctions implicites, 217 Théorème de Lax-Milgram sur un convexe fermé 194 Théorème de plongement de Sobolev 257 Théorème de représentation de Riesz 237
Théorème de Stampacchia 190 Théorème du point fixe de Banach-Picard 191 Trace 259 transformée de Fourier 83,161, 164 co-transformation, 84 formule d’échange, 84 Fourier-Plancherel, 88 inversion, 86,165 transformée de Laplace 90 du Dirac, 92 inversion, 96 translation de distribution, 69 de fonction, 69 transformée de Fourier, 84 transformée de Laplace, 93 tribu 242 V
valeur principale de - 75
268
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72746 - (I) - (1,2) - OSB 80° - EPS - JRF JOUVE 1, rue du Docteur Sauvé, 53100 MAYENNE № 2223070B Dépôt légal : août 2015 Dépôt légal l i,c édition : 2012
Imprimé en France
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SCIENCES SUP
£
M ATHÉM A TIQ U ES
O
PHYSIQUE
0
CHIMIE
^ S C I E N C E S DE L’INGÉNIEUR 0
INFORMATIQUE
^ S C I E N C E S DE LA VIE ^ S C I E N C E S DE LA TERRE
Claire David Pierre Gosselet
Équations aux dérivées partielles Cours et exercices corrigés
Claire David
Cet ouvrage, destiné aux étudiants en Licence de sciences ainsi q u ’a u x élèves in gén ieurs, est une in tro ductio n à l’étude des équations aux dérivées partielles. Il est articulé en trois parties : présentation des résultats g é n é ra u x p o u r les é q u a t io n s d ’ordre 1 et 2, a n a ly s e spectrale (transformation de Laplace, transform ation de Fourier), et enfin q u e lq u e s e x e m p le s c la s s iq u e s d ’é q u a t io n s a u x d érivées par tielles : équation de Laplace, équation de la chaleur, équation des ondes.
Maître de conférences à l’UPMC (Paris) au laboratoire Jacques-Louis Lions.
Pierre Gosselet Chargé de recherche au CNRS. Chargé de cours à l’ENS de Cachan.
Cette nouvelle édition a u gm entée intègre un chapitre d ’intro duction a u x a p p ro ches variationnelles ainsi que de n o u v e a u x exercices dont certains corrigés d é v e lo p p é s so n t d isp o n ib le s sur le site dunod.com .
DOCTORAT
LICENCE
n
Les actus
m
9 782100 727469
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du savoir
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