ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL Facultad de Ingeniería Mecánica Metrología GRUPO 1
CONSULTA No.2 CONSULTA No.2
Chicaiza Lema Erick 29/10/2017
Escala Vernier El nonio o escala de Vernier es una segunda escala auxiliar que tienen algunos instrumentos algunos instrumentos de medición, que medición, que permite apreciar una medición una medición con mayor exactitud al complementar las divisiones de la regla o escala principal del instrumento del instrumento de medida.
Principio del funcionam funcionamiento iento El sistema consiste en una regla una regla sobre la que se ha grabado una serie de divisiones según el sistema de unidades empleado, y una corredera o carro móvil, con un fiel un fiel o punto de medida, que se mueve a lo largo de la regla.
En una escala de medida, podemos apreciar hasta su unidad de división más pequeña, siendo esta la apreciación con la que se puede dar la medición; la medición; es es fácil percatarse de que entre una división y la siguiente hay más medidas, que unas veces están más próximas a la primera de ellas y otras a la siguiente. Para poder apreciar distintos valores entre dos divisiones consecutivas, se ideó una segunda escala que se denomina nonio o vernier. Grabada sobre la corredera y cuyo punto cero es el fiel de referencia. El nonio o vernier es esta segunda escala, no el instrumento de medida o
el tipo de medida a realizar, tanto si es una medición lineal, angular, o de otra naturaleza, y sea cual fuere la unidad de medida. Esto es, si empleamos una regla para hacer una medida, solo podemos apreciar hasta la división más pequeña de esta regla; si además disponemos de una segunda escala, llamada nonio o vernier, podemos distinguir valores más pequeños.
El nonio o escala vernier toma un fragmento de la regla y lo divide en un número más de divisiones. En la figura se toman 3 divisiones de la regla y la dividen en 4 partes iguales; como caso más sencillo para ver el principio de funcionamiento. Esto hace que si la división cero del nonio coincide con la división cero de la regla, la distancia entre la primera división de la regla y la primera del nonio este desplazada desplaz ada un cuarto de la unidad de la regla; que entre la segunda división de la regla y la segunda del nonio haya una diferencia de dos cuartos de la regla, esto es la mitad de la unidad de la regla; y así, sucesivamente, la cuarta división del nonio coincide con la tercera de la regla, según se ha dicho en la forma de construcción del nonio. Esto hace que en todos los casos en los que el punto 0 del nonio coincida con una división de la regla el último punto del nonio también lo haga.
El fiel indica el número entero de divisiones de la regla, y el nonio o vernier indica su posición entre dos divisiones sucesivas de la regla. Para leer la medida primero se determina la posición del fiel por defecto señala la unidad entera, la división del nonio o vernier indica la parte fraccionaria.
Apreciación del Nonio.
Partiendo de una regla de divisiones iguales y definiendo: u: unidad de la regla. Que, salvo que se especifique otra casa, toma el valor uno en la magnitud que mide la regla. Una escala nonio tiene dos características fundamentales que la definen: n: número de divisiones del nonio. k: constante de extensión, que determina la longitud del nonio para una misma apreciación. Donde n y k son so n números enteros adimensionales, k mayor ma yor o igual que 1, normalmente 1 o 2 cuando se quiere facilitar la lectura. Y podemos ver otras características derivadas de las primeras: A: apreciación, medida más pequeña que puede representar. L: longitud del nonio, distancia entre la primera y última división del nonio, medida en la misma unidad de la regla. S: separación entre dos divisiones sucesivas del nonio, medido en unidades de la regla. De estas variables solo n y k son independientes y A, L y S dependen de las primeras del siguiente modo, la apreciación es:
La longitud del nonio es:
Por lo tanto, tomando como unidad la división de la regla: u, tenemos que la longitud del nonio L es un número entero de veces esa unidad, unid ad, en la posición en la que la primera división de nonio coincide con una de la regla, la última división también coincide con otra división de la regla. La separación S entre dos divisiones sucesivas del nonio es igual a la constante k, menos la apreciación del nonio A.
Esto es: la separación entre dos divisiones del nonio es k veces las unidades de la regla u, menos la apreciación del nonio A. Dado que la apreciación solo depende del número de divisiones del nonio, podemos tener, para una misma apreciación, distintos valores de S, incrementando en una unidad de la regla, un valor de S dado. La separación entre las divisiones, del nuevo nonio, sería la que se obtendría incrementando en uno el valor de k:
Con lo que podemos obtener, para una misma apreciación A, que depende únicamente del número de divisiones n, distintas separaciones S entre divisiones del nonio y por lo tanto distintas longitudes L del nonio.
Escalas Nonio o Vernier Nonio de 10 divisiones divisiones
El primer ejemplo visto, con anterioridad, corresponde a 10 divisiones, con n = 10, tenemos que:
En el caso de que k = = 2, tendríamos:
Un nonio de 19 mm de longitud y 10 divisiones divisione s tendría la misma apreciación, en el doble de longitud, lo que facilita su lectura, al estar sus divisiones más separadas.
Otro ejemplo de nonio con n= 10 y k= 4 es el de la imagen.
Este caso de nonio en un calibre no es muy usual, siendo su característica más destacada la facilidad de lectura por la gran distancia entre sus divisiones. En la imagen se ve un calibre con este nonio, cerrado, con lectura 0 mm.
Nonio de 20 divisiones divisiones
Podemos ver otro ejemplo, que, junto con el anterior, son los más utilizados en el sistema decimal. Con un nonio de 19 de longitud y 20 divisiones, con lo que tendríamos una apreciación:
Que, en este caso, seria:
El caso más normal es con k = = 1, por tanto:
Las longitudes del nonio de 10 divisiones y K = 2 y 20 divisiones y k= 1 es la misma 19 mm, como puede verse, pero en este segundo caso las 20 divisiones dan una apreciación de 0,05 que en el caso anterior es de 0,1, por la diferencia en el número de divisiones. Para un calibre Pie de Rey es la mayor apreciación dado que divisiones más pequeñas no serían apreciables a simple vista, y sería necesaria un equipo óptico auxiliar.
Nonio de 50 divisiones.
Un nonio de 50 divisiones es el de la fotografía. La apreciación de este calibre como en los casos anteriores, corresponde a la expresión:
Que, sustituyendo los valores, tenemos:
Operando, da como resultado:
Esta apreciación está grabada en la parte superior del calibre como se puede ver. su longitud con k = = 1, es:
La apreciación del instrumento, una división del nonio, equivale a 0,02, cada cinco divisiones son 0,02 * 5 = 0,1. En el nonio o escala vernier, se puede ver que cada cinco divisiones están marcadas con un número del 0, para indicar el fiel y comienzo de la escala, es cala, y correlativamente del 1 al 10 indicando las décimas de milímetro. La segunda fotografía representa en detalle el nonio de la misma imagen, indicando la lectura: 3,58, con dos trazos rojos, uno indica el 3, el valor de la regla anterior al fiel, y la otra la cuarta marca después del 5 en el nonio. Aun tratándose de una fotografía perfectamente ampliada el señalar una lectura con mas precisión de 3,6 es dificultosa. Es fácil percatarse de las dificultades de este calibre para diferenciar medidas de esta precisión, y aunque si se fabrican y comercializan calibres de esta apreciación, en la práctica resulta poco útil internar realizar mediciones de más apreciación de 0,05 mm en un calibre a simple vista.
Nonio en la escala sexagesimal.
Hasta ahora hemos visto nonios o escala vernier, en el sistema decimal, cuando una unidad inferior es la décima parte, esto es, un dígito a la derecha del anterior. En sistemas no decimales, como por ejemplo el sexagesimal, el sexagesimal, también también se emplea este sistema de medición y la escala del nonio se puede representar en la unidad inferior. En el sistema sexagesimal, el de medida de ángulos, por ejemplo; en grados, minutos y segundos, donde un grado son sesenta minutos y un minuto sesenta segundos, podemos emplear un nonio del siguiente modo:
Partiendo de una regla graduada en grados sexagesimal podemos ver que:
Y sabemos que:
La apreciación del nonio es:
Donde n es el número de divisiones, y la apreciación vendrá dada en grados sexagesimal, por tanto, podemos decir:
Donde la apreciación vendrá dada en minutos sexagesimal. Buscando el número n de divisiones entre los divisores de sesenta, tendremos una escala en minutos, por ejemplo, para n = 6, la apreciación será de 10 min
Si hacemos k = 2, tendremos una longitud mayor, con lo que conseguimos unas divisiones más separadas, dando más claridad a la lectura y permitiendo grabar los valores de las divisiones en algunos casos:
Esto es válido para distintos valores de n, procurando en todo caso, que el valor de la apreciación, resulte práctica dando números redondos en la unidad que nos interesa, veamos otro ejemplo. Si tomamos un valor de n = 20 y k = 1, nos dará:
Con lo que tenemos una apreciación de 3 minutos de grado, en una escala clara y perfectamente coherente con el sistema de medida empleado.
Fundamento Matemático. El fundamento del vernier es dividir la extensión ocupada por un número “n” de divisiones del limbo en un número “n + 1” partes en que se divide el vernier.
La extensión que ocupa las “n” divisiones del limbo es igual a la extensión ocupada por las “n + 1” divisiones del vernier. Si se tiene un arco dividido en “n” partes se puede sobreponerle otro concéntrico a aquel, pero dividido en “n + 1” partes. El primer arco formara parte pa rte de la circunferencia del limbo;
el segundo arco es el de vernier.
Si se designa por D el valor de la menor división del limbo, y por “d” el de una del vernier,
el arco MN expresado en divisiones del limbo, tiene por valor: = (1)
Y, en divisiones del vernier, vale: = ( ( + 1) (2)
Comparando las igualdades (1) y (2), se halla: = ( ( + 1) (3)
Se llama aproximación del instrumento la menor fracción del limbo que se puede apreciar por medio del vernier, y es igual a la diferencia que existe entre el valor de la menor división del limbo y el de una división del vernier. Designándola por a, se tiene: = – ∴ = − (4)
Sustituyendo ahora (4) en (3), se encuentra: = ( + 1) – ( + 1)
Y efectuando operaciones: = ( ( + 1) – ( ( + 1) ∴ ( ( + 1) = ( ( + 1) – = + − =
+1
a = aproximación del vernier. D = valor de la menor división del limbo. n + 1 = número de divisiones del vernier. Por tanto Para conocer la aproximación que da el vernier, divídase el valor de la menor división del limbo, expresada en minutos o segundos, entre el número de divisiones del vernier.
Construcción de escalas. El nonio se construye tomando (n-1) divisiones de la escala fija f ija y dividiéndolas en (n) partes iguales: cada graduación del nonio vale por tanto L (n-1) / n, siendo L la amplitud de una graduación de la escala principal. El nonio pude ser decimal, vigesimal o cincuentesimal; según tenga diez, veinte o cincuenta divisiones, respectivamente. Nosotros analizaremos la construcción del nonio de un calibre decimal y luego haremos extensibles las conclusiones para nonios vigesimales y cincuentesimales.
El nonio decimal se obtiene dividiendo 9 mm de la escala fija en 10 partes iguales, cada una de las cuales vale 9/10 mm.
Puesto que una graduación del nonio no nio es 1/10 más pequeña que una de la escala, cuando aquel se desplaza 1/10 hacia la derecha, su trazo 1 quedará coincidiendo con un trazo de la escala fija: si el desplazamiento del nonio ha sido de 7/10, el trazo que coincidirá será el 7. En consecuencia: El valor de una longitud viene dado por el número de divisiones de la escala fija que se hallan h allan a la izquierda del cero del nonio, más una fracción de milímetro indicada por el número de orden del trazo del nonio que coincida con un trazo de la escala fija.
Aproximación Es la menor fracción que de una magnitud lineal o angular se puede medir con un instrumento dado. La aproximación se calcula tomando la menor división de la escala fija y dividiéndola por el número de divisiones del nonio A=L/n Para el calibre decimal será: A = 1mm / 10 A = 0,1 mm Es decir, la magnitud más chica que es capaz de medir un calibre decimal es 0,1 mm.
Valor representati representativo vo El valor representativo es lo que representa cada división del nonio al efectuar la medición. Es numéricamente (no conceptualmente) igual a la aproximación. De esta forma, cada división del nonio de un calibre decimal representa al efectuar la medición 0,1 mm. NOTA: hacer extensibles estas características a los calibres vigesimales y cincuentesimales, calculando la aproximación de cada uno e interpretando el valor representativo de las divisiones de sus nonios. Verificación La verificación de estos calibres tiene por objeto comprobar: -
La perfecta unión de las superficies de contacto de los brazos estando el calibre cerrado. La perpendicularidad de dichas superficies respecto al eje de la escala. La coincidencia entre los ceros de la escala fija y del nonio, estando el calibre cerrado. La nitidez de los trazos y cifras. La precisión de las escalas.
Casos de lectura Al medir una longitud pueden presentarse tres casos: 1º caso: el cero del nonio coincide exactamente con una división de la escala fija.
El valor de la longitud viene dado por el número de divisiones a la izquierda del cero del nonio. -
Lectura: 6,00 mm
2º caso: el cero del nonio cae entre dos divisiones de la escala fija, y uno de los trazos del nonio coincide con uno de dicha escala.
El valor de la longitud viene dado por el número de divisiones a la izquierda del cero del nonio, más la fracción indicada por el número de orden del trazo del nonio coincidente con uno de la escala fija. -
Lectura: 7,50 mm
3º caso: dos trazos del nonio quedan comprendidos entre dos trazos de la escala fija.
No siendo posible precisar cuál de los dos trazos traz os coincide, se tendrán dos lecturas: -
Lectura por defecto: 6,20 mm
-
Lectura por exceso: 6,30 mm
IMPORTANTE: por lo general, los nonios vienen numerados en décimas de milímetro. Así, un calibre decimal (nonio de diez divisiones) puede tener numeradas todas las divisiones del nonio y cada una de ellas representa, a la hora de medir, una décima de milímetro (0,1 mm). Del mismo modo, el nonio de un calibre vigesimal (20 divisiones) está numerado cada dos divisiones y cada división representa cinco centésimas de milímetro (0,05 mm) cuando se efectúa la medición. Por último, el nonio de un calibre cincuentesimal (50 divisiones) está numerado cada cuatro divisiones y cada división representa dos centésimas de milímetro (0,02 mm) cuando se mide.
Resumen Escala Vernier Tiene varios instrumentos de medición que permiten realizar una medición con mayor exactitud.
Principio del funcionam funcionamiento iento En una escala de medida se puede observar la unidad con mayor precisión, el sistema consiste con siste en una regla una regla sobre la que se ha grabado una serie de divisiones según el sistema de unidades empleado, y una corredera o carro móvil, con un fiel un fiel o punto de medida, que medida, que se mueve a lo largo de la regla. Para poder apreciar distintos valores entre dos divisiones consecutivas, se ideó una segunda escala que se denomina nonio o vernier. El nonio o escala vernier toma un fragmento de la regla y lo divide en un número más de divisiones. Se toman 3 divisiones de la regla y la dividen en 4 partes iguales; como caso más sencillo para ver el principio de funcionamiento. El fiel indica el número entero de divisiones de la regla, y el nonio o vernier indica su posición entre dos divisiones sucesivas de la regla. Para leer la medida primero se determina la posición del fiel por defecto señala la unidad entera, la división del nonio o vernier indica la parte fraccionaria. fraccionaria.
Apreciación del Nonio. Una escala nonio tiene cuatro características que la definen: : el número de divisiones del nonio A: la apreciación, medida más pequeña que puede representar. k : constante de extensión, que determina la longitud del nonio para una misma apreciación L: su longitud en las mismas unidades de la regla n
de estas variables solo n y k son son independientes y A y L dependen de las primeras del siguiente modo la apreciación es:
y la longitud del nonio es:
donde k es es un numero entero mayor o igual que 1, normalmente 1 o 2 cuando se quiere facilitar la lectura. La separación S entre dos divisiones sucesivas del nonio es igual a la constante k, menos la apreciación del nonio A.
La separación entre las divisiones, del nuevo nonio, sería la que se obtendría incrementando en uno el valor de k:
Escalas Nonio o Vernier Nonio de 10 divisiones divisiones En el caso visto hasta ahora, con n = 10, tenemos que:
en el caso visto k = = 1, por tanto:
En el caso de que k = = 2, tendríamos:
un nonio de 19 mm de longitud y 10 divisiones tendría la misma apreciación, en el doble de longitud, lo que facilita su lectura, al estar sus divisiones más separadas.
Nonio de 20 divisiones divisiones Para este caso solo tendríamos que cambiar n por 20 y utilizar los nuevos valores.
Nonio de 50 divisiones divisiones Al igual que para el de 20 divisiones tendríamos que cambiar n por 50 y utilizar los nuevos valores.
Nonio en la escala sexagesimal. En sistemas no decimales, como por ejemplo el sexagesimal, el sexagesimal, también también se emplea este sistema de medición y la escala del nonio se puede representar en la unidad inferior. En el sistema sexagesimal, el de medida de ángulos, por ejemplo; en grados, minutos y segundos, donde un grado son sesenta minutos y un minuto sesenta segundos, podemos emplear un nonio del siguiente modo:
Partiendo de una regla graduada en grados sexagesimal podemos ver que:
Y sabemos que:
La apreciación del nonio es:
Donde n es el número de divisiones, y la apreciación vendrá dada en grados sexagesimal, por tanto, podemos decir:
Donde la apreciación vendrá dada en minutos sexagesimal.
Buscando el número n de divisiones entre los divisores de sesenta, tendremos una escala en minutos, por ejemplo, para n = 6, la apreciación será de 10 min
Con lo que tenemos una apreciación de 3 minutos de grado, en una escala clara y perfectamente coherente con el sistema de medida empleado.
Fundamento Matemático. El fundamento del vernier es dividir la extensión ocupada por un número “n” de divisiones del limbo en un número “n + 1” partes en que se divide el vernier.
La extensión que ocupa las “n” divisiones del limbo es igual a la extensión ocupada por las “n + 1” divisiones del vernier. Si se tiene un arco dividido en “n” partes se puede sobreponerle otro concéntrico a aquel, pero dividido en “n + 1” partes. El primer arco formara parte de la circunferencia del limbo;
el segundo arco es el de vernier. ∴ ( ( + 1) = ( ( + 1) – = + − =
+1
a = aproximación del vernier. D = valor de la menor división del limbo. n + 1 = número de divisiones del vernier.
Construcción de escalas. El nonio se construye tomando (n-1) divisiones de la escala fija f ija y dividiéndolas en (n) partes iguales: cada graduación del nonio vale por tanto L (n-1) / n, siendo L la amplitud de una graduación de la escala principal. El nonio decimal se obtiene dividiendo 9 mm de la escala fija en 10 partes iguales, cada una de las cuales vale 9/10 mm.
El valor de una longitud viene dado por el número de divisiones divisione s de la escala fija que se hallan a la izquierda del cero del nonio, más una fracción de milímetro indicada por el número de orden del trazo del nonio que coincida con un trazo de la escala fija.
Aproximación La aproximación se calcula tomando la menor división de la escala fija y dividiéndola por el número de divisiones del nonio A=L/n Para el calibre decimal será: A = 1mm / 10 A = 0,1 mm
Valor representati representativo vo Es lo que representa cada división del nonio al efectuar la medición. Es numéricamente igual a la aproximación. De esta forma, cada división del nonio de un calibre decimal representa al efectuar la medición 0,1 mm. Verificación La verificación de estos calibres tiene por objeto comprobar: -
La perfecta unión de las superficies de contacto de los brazos estando el calibre cerrado. La perpendicularidad de dichas superficies respecto al eje de la escala. La coincidencia entre los ceros de la escala fija y del nonio, estando el calibre cerrado. La nitidez de los trazos y cifras. La precisión de las escalas.
Casos de lectura Al medir una longitud pueden presentarse tres casos: 1º caso: el cero del nonio coincide exactamente con una división de la escala fija. El valor de la longitud viene dado por el número de divisiones a la izquierda del cero del nonio. -
Lectura: 6,00 mm
2º caso: el cero del nonio cae entre dos divisiones de la escala fija, y uno de los trazos del nonio coincide con uno de dicha escala. El valor de la longitud viene dado por el número de divisiones a la izquierda del cero del nonio, más la fracción indicada por el número de orden del trazo del nonio coincidente con uno de la escala fija. -
Lectura: 7,50 mm
3º caso: dos trazos del nonio quedan comprendidos entre dos trazos de la escala fija. No siendo posible precisar cuál de los dos trazos tr azos coincide, se tendrán dos lecturas: -
Lectura por defecto: 6,20 mm Lectura por exceso: 6,30 mm
Conclusión Como conclusión La Escala de Vernier es más que útil ya que nos sirve para conocer con mayor exactitud una medida. Y es importante saber cómo funciona y cómo utilizarla ya que es de suma importancia en la vida de un Ingeniero. La Escala de Vernier es un sistema no muy complejo, pero si requiere de mayor concentración del medidor puesto que de ahí se generar una medida de calidad. En cuanto a los cálculos matemáticos, no son muy difíciles de expresarlos, ya que estos datos dependerán totalmente del medidor y de ahí saldrán valores exactos y precisos. De aquí deberían tomarse varios agentes que podrían dificultar la lectura de la medida ya que existirán errores ya sea humanos o del instrumento de medición.
Bibliografía Nonio. (2017). En Wikipedia. Recuperado el 29 de octubre octubr e del 2017 de https://es.wikipedia.org/wiki/Nonio Apreciación del Nonio. (s.f). En XTECblocs. Recuperado el 29 de octubre del 2017 de http://blocs.xtec.cat/jfurest2/apreciacion/ Nonio. (s. f). En Pcpiluisvives. Recuperado el 29 de octubre del 2017 de http://pcpiluisvives.webcindario.com/Actividad%20133%20Nonio.htm Fernando García Márquez. (s. f). Cursos básicos de topografía. Recuperado el 29 de octubre del 2017 de https://books.google.com.ec/books?id=f2ySmhH_Pf8C&pg=PA96&lpg=PA96&dq=funda mento+de+vernier&source=bl&ots=qjE8RhitQw&sig=h2buJZSG3cFJHgg15hheXxeGaI&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwjsoZC1lJfXAhUmr1QKHdLpBpgQ6AEIODAD#v=onep age&q=fundamento%20de%20vernier&f=false Anónimo. (s.f). EDI.Torno y Fresa. Calibre. [Archivo PDF]. España. Revista Española. Recuperado de http://miaulaenlared.com.ar/Metrologia/calibre.pdf
