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UNIVERSIDAD NACIONAL FACULTAD DE
PEDRO RUIZ GALLO
INGENIERIA CIVIL FACULTADA DE INGENIERIA CIVIL SISTEMAS Y ARQUITECTURA
RESISTENCIA RESISTENCI A DE MA TERIAL ES I
TEMA: COLUMNAS
DOCENTE:
ING. CORONADO
ALUMNO: RAMIREZ ARIAS JORGE
FECHA: 22 /07/2013
COLUMNA S- RESISTENCIA DE MATERIALES I
2013
INTR OD UCC IÓN
La selección de columnas es a menudo una parte muy importante del cálculo o diseño de una estructura, porque la falla de una columna suele tener efectos catastróficos. Por definición una columna es una barra o elemento, lo bastante delgado respecto a su longitud (ya sea macizo o formado de varias partes unidas y aproximadamente recto) sujeto a cargas de compresión aplicadas en sus extremos que actúan paralelamente a su eje. No existe un límite definido entre un elemento corto y columnas pero se suele considerar que un elemento a compresión es columna, si su longitud es más de diez veces su dimensión transversal menor.
El objeto de estudio que se presenta en este inf orme es la “estabilidad de columnas “, es decir, elementos de comprensión con área transversal constante. En nuestra vida profesional veremos los problemas que afectan a las columnas que por lo general es una deflexión por pandeo y por lo tanto debemos saber tomar decisiones adecuadas como las dimensiones correctas de la sección transversal de la columna su longitud.
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COLUMNA S- RESISTENCIA DE MATERIALES I
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ESFUERZOS EN COLUMNAS
DEFINICION Una columna es un miembro relativamente largo cargado a compresión. Una columna alta esbelta falla por pandeo, nombre común que recibe la inestabilidad elástica de las columnas. En lugar de aplastar o desmembrar el material, la columna se flexiona de manera drástica a una carga crítica y luego se desploma repentinamente.
TIPOS DE COLUMNA S SEGÚN ESFUERZOS
Las columnas se dividen en dos grupos; largas e intermedias, donde el autor (F. Singer) considera que los elementos cortos pertenecen a un tercer grupo y estos se diferencian entre sí por su comportamiento: Columnas largas: Se rompen por flexión lateral o pandeo.
Columnas intermedias: Se rompen por combinación de aplastamiento pandeo.
Columnas cortas: Se rompen por aplastamiento
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COLUMNA S- RESISTENCIA DE MATERIALES I
CARGA CRÍTICA (PCR) Carga axial máxima a la que puede someterse una columna
permaneciendo
recta
aunque
en
equilibrio inestable
El valor de la carga crítica es la carga axial máxima o de ruptura de compresión que el miembro esbelto y recto puede resistir, aunque en equilibrio inestable, de manera que un pequeño empuje lateral haga que se deforme y quede pandeada. Cuando ya se ha alcanzado la carga crítica de pandeo, cualquier desviación de las condiciones ideales, tal como una ligera excentricidad de la carga, hará que se flexione la columna esbelta, aumentando el momento flexionante que origina un incremento en la flecha. Por lo tanto cuando se inicia el pandeo, este crece rápidamente (a menos que se le disminuya la carga) y el esfuerzo aumenta rápidamente al punto de fluencia del material hasta que la columna se rompe. De lo contrario si la carga la disminuimos ligeramente inmediatamente después de originarse el pandeo la columna volverá a su posición original.
() Limite cuando H=0 M=
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COLUMNA S- RESISTENCIA DE MATERIALES I
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FORMULA DE EULER PARA CARGAS DE PANDEO ELÁSTICO
SUJECION EN EL CENTRO n=2
SUJECION EN 1/3 DEL LARGO CENTRO
La fórmula que da la carga de pandeo, P Cr , para una barra recta cargada axialmente fue deducida primero por el matemático Suizo, Leonhard Euler en 1757, tomó en cuenta que tiene que ser una columna esbelta cargada a compresión y con pivote o articulada en sus extremos, de sección constante, donde se basa en la ecuación diferencial de la elástica que es válida solo hasta que los esfuerzos alcancen el límite de proporcionalidad, trabajando dicha condición y haciéndola cumplir con las condiciones de borde en el estudio de sus extremos se llega a la siguiente expresión: P Cr
2
EI 2
L
.
Si se quisiera aumentar la carga, estas serán físicamente posibles si la columna tiene sujeciones laterales donde los momentos flexionante son nulos y la longitud total es dividida en dichos tramos, lo que hace que la resistencia bajo esa condición sea mayor que si no se tuviera la sujeción lateral; caso contrario es si cambiemos las condiciones de los extremos y hacemos que la longitud aumente, al trabajar la ecuación notaremos que la columna soportará menos carga que el caso fundamental (una columna con extremos articulados).
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n=3
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COLUMNA S- RESISTENCIA DE MATERIALES I
PANDEO EL ASTICO DE COL UMNAS CON DIFERENTES RESTRICCIONES ENTRE SUS A POYOS
LA
LONGITUD
EFECTIVA
PARA
REMPLAZAR
EN
LA
ECUACION DE EULER ES PARA VIGAS CON EXTREMOS ARTICULADOS ES 1L PERO PARA OTROS EMPOTRAMIENTOS VEMOS QUE VARIA EL COEFICIENTE DE LONGITUD
La longitud real (L) se define como la longitud de la columna entre sus extremos, o entre puntos de restricción intermedios. El factor de fijación de los extremos (K), es un factor que mide el grado de limitación contra rotación de cada extremo. MOTT, 1999, sugiere los valores mostrados en el cuadro 16:
CONDICI N Valor teórico Valor práctico
5
Ambos extremos articulados 1.00 1.00
Ambos extremos fijos 0.50 0.65
Un extremo fijo y otro libre 2.00 2.10
Un extremo fijo y otro articulado 0.70 0.80
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COLUMNA S- RESISTENCIA DE MATERIALES I
ECUACIONES DIFERENCIALES PARA VIGAS Y COLUMNAS La fórmula de Euler para cargas críticas de columnas se puede obtener también resolviendo una ecuación diferencial de cuarto orden para la elástica en carga crítica, y empleado ecuaciones de frontera adecuadas, las que dependen las restricciones en los extremos. Dicha ecuación se puede obtener a partir del equilibrio de un elemento infinitesimal y tomar forma:
Se asemeja: POR DINAMICA:
√
√
APLICAR CONDICIONES DE FORNTERA: X=0 ,Y=0 X=L , Y=0
6
C2
√
se obtiene 0=C 1
)
ECUACION FINAL
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LIMITACIONES DE LA FORMULA DE EULER La carga cirtica PR que produce el pandeo no depende de la resistencia del material sino de sus dimensiones o modulo elástico
Siendo:
A=área sección recta r =radio de giro mínimo
RELACION DE ESBELTEZ En las columnas es un término que figura en todas las fórmulas de estas; es la relación de la longitud “L” de la columna al radio de giro “r” de su sección
transversal con respecto al eje centroidal que es perpendicular al plano en le cual la columna se flexiona o tiende a flexionarse. Por lo tanto para que la fórmula de Euler sea aplicable, el esfuerzo que se produce en el pandeo no debe exceder al límite de proporcionalidad, donde dicho esfuerzo se determina sustituyendo el momento de inercia por el área de la sección y el radio de giro mínimo, que queda expresada como:
P Cr A
E
2
r L
2
.
Fórmula de Euler muestra que la capacidad de carga de una columna esbelta depende de la rigidez del material, expresada por el módulo de elasticidad de este (mas bien que de la resistencia del mismo, expresada por algún esfuerzo tal como el punto de fluencia); es fácil observar lo anteriormente dicho si con una mano le aplicamos una fuerza axial a una tirita de madera hasta que repentinamente se flexione y continúe flexionándose sin incrementar la carga aplicada.
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COLUMNA S- RESISTENCIA DE MATERIALES I
COLUMNAS INTERMEDIAS Los métodos propuestos para cubrir la zona límite superior de las columnas cortas y la inferior de las largas, ninguno de ellos ha sido aceptado para columnas intermedias, debido en parte a la desviación de la relación esfuerzo –deformación cuando los esfuerzos exceden al límite de proporcionalidad; se ha mencionado que cuando aumenta la longitud de una columna disminuye la importancia y efectos directos de compresión y aumenta correlativamente los del esfuerzo de flexión, donde, en la zona intermedia no es posible determinar exactamente la forma en que varían esto dos tipos de esfuerzos, o la proporción con la que cada una contribuye al esfuerzo total. Es por esto que se da lugar al estudio de columnas intermedias. Uno de los métodos propuestos es el que presentó en 1889, F. Engesser, quien dio nombre a la fórmula de Euler generalizada como la teoría del módulo tangencial, esta es la fórmula más significativa en la predicción de la carga de pandeo inelástico:
P T A
2
E T
L r
2
. Se considera que da la carga de pandeo para una
columna ideal, pero se ha encontrado que da también la carga máxima que es probable que resista una columna real que tenga ligeras imperfecciones. La resolución de la ecuación del módulo tangencial para una columna, implica un procedimiento de aproximaciones sucesivas, ya que E T no es constante. Por lo tanto los valores del módulo tangencial, E T, tienen que conocerse para cada valor del esfuerzo por encima del límite de elasticidad. Los valores correspondientes de esfuerzo y ET se encuentran a partir de la curva esfuerzo - deformación y por lo general se dan gráficamente. El AISC (American Institute of Steel Construction) definen el límite entre columnas intermedias y largas con un valor de relación de esbeltez dado como: 2
C C
2 E
,
Pc
Donde el valor del módulo de elasticidad (E) y el esfuerzo en el punto de cadencia (Pc) para el tipo particular de acero empleado. El AISC determina el esfuerzo de trabajo para columnas de longitud efectiva (L E)y radios de giro mínimos y condiciona que L E/r > CC por lo tanto: 2
T
12 E
L E r
2
,
23
Donde es la misma fórmula de Euler, pero con un factor de seguridad
8
12 23
.
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FÓRMULA DE EULER PARA COLUMNAS LARGAS Columnas de acero. Las columnas de acero estructural se diseñan con base en formulas propuestas por el Estructural Stability Research Council (SSRC). A estas formulas se les aplicaron factores de seguridad y han sido adoptadas como especificaciones en la industria de la construccion por el American Institute of Steel Construction (AISC). Basicamente, estas especificaciones estipulan dos formulas para para el diseño de columnas, cada una de las cuales da el esfuerzo permisible maximo en la columna para un intervalo especifico de razones de esbeltez. Para las columnas largas se propone la fórmula de Euler:
La aplicacion de esta fórmula requiere que se aplique un factor de seguridad F.S. = 1.92. Por tanto, para diseño,
Se determina el valor de la carga crítica (Pcr) que genera la falla por pandeo:
Pcr = ( E I) / Le
Pcr = ( 2E A) / (Le / r) 2 2
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COLUMNA S- RESISTENCIA DE MATERIALES I
.FÓRMULA DE J.B. JOHNSON PARA COLUMNAS CORTAS Se determina el valor de la carga crítica (Pcr) que genera la falla por pandeo:
/)]
Pcr = A Sy [1 – (
Las ecuaciones empleadas para el diseño de columnas dependeran del tipo de material con el cual se fabricaran las columnas por ejemplo para columnas de aluminio la Aluminum Association especifica el diseño de columnas de aluminio por medio de tres ecuaciones cada una aplicable dentro de un intervalo especifico de razones de esbeltes. Como existen varios tipos de aleaciones de aluminio, hay un juego de formulas para cada tipo de aleacion.
FASCTOR DE SEGURIDAD PARA COLUMNAS Este factor disminuye al aumentar la relación de esbeltez, donde no debemos olvidar que todas las fórmulas anteriores son para columnas con extremos articulados. El esfuerzo de trabajo admisible, para la compresión, debe tomarse como un esfuerzo máximo entre un factor de seguridad. El valor elegido para dicho factor depende de la probabilidad de aumentos imprevistos o accidentales de la carga, de posibles errores en la aplicación central de la carga y de la posibilidad de encorvadura inicial en la columna. Las imperfecciones de esta pueden aumentar a medida que la columna se hace más larga; por tanto, es lógico introducir un factor variable de seguridad que aumente con la relación de esbeltez. Valores típicos del factor de seguridad para obras estructurales están en el intervalo de 1.5 a 3. El AISC determina el esfuerzo de trabajo para columnas de longitud efectiva (L E)y radios 2
de giro mínimos y condiciona que L E/r > CC por lo tanto: T
12 E
L E r
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misma fórmula de Euler, pero con un factor de seguridad
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12 23
.
2
, donde es la
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Cuando
LE/r es menor que C C, la fórmula es parabólica y es: L r , donde F.S. es el factor de seguridad y está dado por: 1 F .S . 2 C L L 3 r r 5 . F .S . 2
E
Pc
T
2
c
3
3
E
E
8C C
C C
3
FÓRMULA DE LA SECANTE Se supone una determinada excentricidad en la carga, y que teóricamente es correcta, si se conoce exactamente la excentricidad, pero es de aclarar que es excesivamente engorrosa; se obtiene generalizando la fórmula de Euler, de donde se obtiene una expresión para el esfuerzo máximo de dicha columna, sin embargo podemos también obtener una expresión para la carga admisible o de trabajo, sustituyéndola carga por aquella donde la multipliquemos por un factor de seguridad y como el esfuerzo máximo, el esfuerzo en el punto de cedencia; de modo que la expresión nos queda
Pc
f P W
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A
L f P T ec , donde ec/r 2 es la relación de excentricidad. 1 2 sec r 2r E A
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REPRESENTACIÓN GRAFICA DE FORMULAS PARA CARGAS DE PANDEO
La ecuación de Euler se representa gráficamente por la curva DFBC. Al deducir esta ecuación se supuso que la curva esfuerzo –deformación para el material era una recta (Ley de Hooke) y por tanto, la rigidez E permanece constante a medida que aumenta P hasta P Cr. Esta condición limita la aplicación de la fórmula de Euler al pandeo elástico. En la figura en la porción FD, los valores de L/r son relativamente grandes y representa columnas esbeltas donde el esfuerzo crítico es mucho menor que el límite de elasticidad del material; pero cuando L/r tiene un valor (que en este caso está representado por el punto B) tal que el esfuerzo crítico es igual al límite de elasticidad, cualquier aumento de PCr ocasionará una disminución rápida de la rigidez desde E hasta E T, que es la pendiente del diagrama deformación–esfuerzo correspondiente al esfuerzo inelástico ocasionado al aumentar ligeramente P Cr (PE). Esta disminución de la rigidez, permite la flexión de la columna y que rápidamente adquiera una gran flecha con un pequeño aumento de la carga; esta falla se llama pandeo inelástico. Podemos observar que la única propiedad del material de la cual depende la carga crítica es la rigidez del material, E. Por lo tanto una columna esbelta de aceros de alta resistencia se pandeará y por tanto fallará a la misma carga que lo haría un acero de baja resistencia, suponiendo que los valores de L/r de las dos columnas fueran iguales y relativamente grandes, de modo que las columnas fallarían por pandeo elástico. A aquellas columnas que se les puede aplicar la fórmula de Euler se les llamaran largas, donde la esbeltez mínima que fija el valor mínimo en la aplicación de la fórmula de Euler se obtiene sustituyendo en la ecuación los valores conocidos del límite de proporcionalidad y módulo elástico de cada material, lo que indica que el límite mínimo de esbeltez varía de acuerdo al material; si dicha relación de esbeltez de la columna es muy baja, es de esperar que la columna falle debido a la falla del propio material, tal efecto puede tomar la forma de aplastamiento del material.
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PROBLEMAS RESUELTOS 1. Calcular la carga critica de una columna por pandeo redonda de acero estándar de 2 pulgadas de diámetro y 10 pies de longitud , cuyos extremos están articulados considere E= 30X10 6 lb/pulg2
SOLUCIÓN
2 .hallar la longitud mínima L, de una columna con extremos articulados, y que tenga un área transversal de 5cm x 7.5cm y para la cual se aplique la fórmula de Euler para columnas elásticas supóngase que E=2X10 6 kg/cm2
SOLUCIÓN
El esfuerzo crítico no debe exceder de los 2,800 kg/cm 2
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COLUMNA S- RESISTENCIA DE MATERIALES I
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3. Determinar la carga critica de pandeo y el esfuerzo en la columna correspondiente a la carga critica, para una columna maciza de acero de sección circular, de 1 pulg de diámetro y 30 pulg de longitud, con extremos articulados.
SOLUCIÓN
PCR = 16100 lb
4. Determinar el esfuerzo admisible para una columna W = 6x15 de 8 pies de longitud, cargada axialmente. supóngase que los extremos están 36000 lb/plg2. SOLUCIÓN
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5. Una biela de 9 pulg de longitud tiene una sección transversal circular con un diámetro de 3/8 de pulg . determinar la carga de comprensión admisible que puede soportar si se hace de acero que tenga una resistencia en el punto de fluencia de 48 000 lb /pulg 2. supóngase que los extremos son articulados y use un factor de seguridad de 2.
SOLUCIÓN
Esta columna cae en el tipo intermedio, y el esfuerzo admisible puede determinarse según la siguiente ecuación:
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COLUMNA S- RESISTENCIA DE MATERIALES I
6. Diseñar el vástago del embolo de un pistón, de sección circular. para un cilindro hidráulico de 100mm de diámetro, suponiendo que la presión hidráulica máxima es de 20 Mpa . la longitud de la varilla es de 0,9m, considerando el extremo A como articulado y el extremo B del pistón teóricamente empotrado. úsese un acero que tenga un esfuerzo en el límite de fluencia de 300 Mpa. el factor de seguridad es 2.5 ,
SOLUCIÓN La fuerza axial P es la presion hidraulica : P= presion x area =(20x106)(
(100x10 ) = 157 KN -3 2
probar varilla de 30mm de diametro A= 707X 10-6m2
16
,
r=D/4 =7.5x10-5m
