Los esfuerzos de contacto ocurren en elementos de máquinas cuando se transmiten cargas a través de superficies que presentan contactos puntuales o a lo largo de una línea. Si los elementos fueran totalmente rígidos, las áreas de contacto permanecerían nulas y los esfuerzos que aparecerían serían infinitos. Debido a la elasticidad de los materiales, éstos se deforman bajo la acción de las cargas, produciéndose áreas finitas de contacto. Debido a que estas áreas son muy pequeñas, aparecen grandes esfuerzos. Por lo tanto, a pesar de que los elementos sometidos a esfuerzos de contacto puedan tener suficiente resistencia mecánica de volumen, tienden a fallar en la pequeña zona de contacto, en donde los esfuerzos son mayores. Las figuras 6.1 y 6.2 muestran elementos típicos en los cuales ocurren esfuerzos de contacto: cojinetes de contacto rodante (rodamientos), ruedas dentadas, ruedas de fricción, levas y seguidores de levas. La figura 6.1 muestra un rodamiento de bolas en el cual los contactos entre éstas y las pistas del rodamiento son en un ‘punto’. La figura 6.2 muestra elementos en los cuales el contacto es a través de una ‘línea’ (1).
El caso más general de esfuerzo de contacto ocurre cuando cada cuerpo en contacto tiene un radio de curvatura doble; es decir, cuando el radio en el plano de rodamiento es diferente del radio a un plano perpendicular y ambos planos pasan por el eje de la fuerza de contacto. Consideraremos solo los dos casos especiales de esferas y cilindros en contacto, para ello se presentan los resultados obtenidos por Heinrich Hertz, también llamados esfuerzos hertzianos (2). Las ecuaciones presentadas en este capítulo son válidas para cargas normales a las superficies de contacto, en reposo. Para casos en los cuales exista deslizamiento o fuerzas tangenciales a la superficie de contacto, se producen esfuerzos adicionales. Las siguientes son las premisas bajo las cuales se plantea la solución de los problemas de contacto en la teoría de la elasticidad: 1. Los materiales de los elementos contiguos son homogéneos e isótropos. 2. El área de contacto es muy pequeña comparada con la superficie de los cuerpos que se tocan. 3. Los esfuerzos efectivos están en dirección normal a la superficie de contacto de ambos cuerpos.
4. Las cargas aplicadas sobre los cuerpos crean en la zona de contacto sólo deformaciones elásticas sujetas a la ley de Hooke (no se sobrepasa el límite de proporcionalidad). En las construcciones reales normalmente no se observan todas estas premisas. Por ejemplo, la tercera no se observa en los engranajes, en las ruedas de fricción y en los cojinetes de contacto rodante, pues en la zona de contacto actúan también fuerzas tangenciales de rozamiento. Como consecuencia de esto, la resultante de estas fuerzas se declina de la normal hacia la superficie de contacto. Sin embargo, la comprobación experimental de la teoría de las deformaciones por contacto confirma completamente su aplicación práctica como esquema de cálculo racional . Con las premisas admitidas, el contorno de la superficie de contacto es en general una elipse. En casos particulares la superficie de contacto toma forma circular o rectangular. Los casos estudiados aquí son: contacto esfera - esfera (huella circular) y cilindro - cilindro (huella rectangular) (1). Los valores de los esfuerzos de contacto dependen de: 1. La geometría de los cuerpos en contacto (radios de curvatura máximo y mínimo de las superficies en el punto teórico de contacto). 2. Las constantes elásticas de los cuerpos en contacto (E: módulo de elasticidad longitudinal o módulo de Young y V módulo de Poisson). 3. La fuerza de contacto F. 4. Las coordenadas del punto considerado, respecto de una terna con origen en el punto teórico de contacto (3).
Contacto entre dos esferas
Cuando dos esferas solidas con diámetros
d1
y
d2
se presionan con una fuerza F,
se obtiene un área circular con un radio a. Si se designa
E1 , v 1 , E2 y v 2
como
constantes elásticas respectivas de dos esferas, el radio a esta dado por la ecuación:
La presión dentro de cada esfera tiene una distribución semielíptica, mostrada en la figura anterior. La presión máxima ocurre en el centro del área de contacto y corresponde a:
Las anteriores ecuaciones son perfectamente generales y también se aplican para el contacto de una esfera y una superficie plana, o entre una esfera y una superficie esférica interna. Para una superficie plana, se usa d=∞ . Para una superficie interna, el diámetro se expresa como una cantidad negativa. Los esfuerzos máximos ocurren en el eje z y son esfuerzos principales. Sus valores son:
[(
z 1 1 σ x =σ y =−p máx 1− tan−1 ( 1+ v )− a z z2 2 1+ a a2
σ z=
)
( )
]
−p máx z2 1+ 2 a
Así como la profundidad:
Los círculos de Mohr para el estado de esfuerzos descrito en las anteriores σ x =σ y ecuaciones son un punto y dos círculos coincidentes. Como , se tiene que
τ xy =0
τ xz =τ yz =
y
σ x −σ z σ y −σ z = 2 2
En la grafica de las ecuaciones de esfuerzo para una distancia de 3ª debajo de la superficie se observa que el esfuerzo cortante alcanza un valor máximo ligeramente debajo de la superficie. La opinión de muchos expertos es que este
esfuerzo cortante máximo es responsable de la fatiga superficial de los elementos en contacto. La explicación consiste en que una grieta se origina en el punto del esfuerzo cortante máximo debajo de la superficie y progresa hacia la superficie, por lo que la presión del lubricante afloja y desprende partículas.
Magnitud de las componentes del esfuerzo debajo de la superficie, como función de la presión máxima de las esferas en contacto. Note que el esfuerzo cortante máximo está ligeramente debajo de la superficie y es casi 0.3pmax. La gráfica se basa en una relación de Poisson de 0.30. Observe también que todos los esfuerzos normales son esfuerzos de compresión.
Contacto entre dos cilindros
Los elementos de contacto son dos cilindros de longitud l y diámetros
d1 y d2
, el
área de contacto es un rectángulo angosto de ancho 2b y longitud l, y la distribución de la presión es elíptica. El semiancho b esta dado por la ecuación:
Y la presión máxima corresponde a:
Las ecuaciones se aplican a un cilindro y a una superficie plana, como un riel, haciendo d=∞ para la superficie plana. Las ecuaciones también se aplican en
el contacto de un cilindro y una superficie cilíndrica interna; en este caso d se hace negativo. El estado de esfuerzo en el eje z esta dado por las ecuaciones: σ x =−2 v pmáx
(√
[(
σ y =−pmáx 2−
2
1+
z z − b2 b
1 1+
z2 b2
)√
)
1+
z2 z −2 2 b b
] σ y=
−p máx
√ 1+ z 2 /b2
Las tres ecuaciones están graficadas hasta una distancia de 3b debajo de la τ xy superficie. Aunque no es el mayor de los tres esfuerzos cortantes para todos los valores de
z / b=0.75
y es mayor en ese punto que cualquiera de los otros
esfuerzos cortantes, para cualquier valor de
z /b .
Fatiga superficial Cuando existe desplazamiento relativo entre los elementos en contacto (rodamientos, engranajes, levas, etc.), la situación de los esfuerzos es más compleja, especialmente si existe deslizamiento (en engranajes, por ejemplo). Debido a que la zona de contacto se desplaza continuamente, la carga es cíclica y, por consiguiente, los esfuerzos que surgen son alternativos. La repetición cíclica de los altos esfuerzos en las superficies de contacto o cerca de ellas, produce grietas después de un número de ciclos de carga. Las grietas se desarrollan saliendo a la superficie, y con ayuda del lubricante que se introduce dentro de éstas produciendo presión y esfuerzos adicionales, se desprenden produciendo picaduras que finalizan con el desgaste excesivo de las superficies (final de su vida útil). Este fenómeno es denominado fatiga superficial.
Límite de fatiga por contacto El límite de fatiga por contacto o límite de fatiga superficial es el máximo esfuerzo con el cual no se produciría picadura superficial antes de cierto número de ciclos (no existe un límite de fatiga superficial para vida infinita). En su magnitud influyen una serie de factores, siendo los más importantes las propiedades del lubricante, la relación entre las durezas de las superficies de trabajo en contacto y la calidad de su mecanización. Por ejemplo, el aumento de la viscosidad del aceite aumenta el límite de fatiga por contacto. Un rodillo de acero ( v ≈ 0.3 ) de 0.75 in de diámetro está en contacto con una superficie de leva de acero cuya anchura es 0.5 in. La máxima carga es 2.5 kips, donde el radio de curvatura de la superficie de la leva es 3.333 in. Calcular el esfuerzo de compresión de contacto, el esfuerzo cortante máximo y la profundidad a la cual ocurre este último.
(1) Cap 6 (2) Shiegly (3) (4)
