UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE INGENIERÍA CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL
RESISTENCIA DE MATERIALES I
Tema:
ESFUERZOS PRINCIPALES
Nombre: Bryan Danilo Toledo Jaramillo Semestre: 3
Paralelo: 2
Fecha de Entrega: 2 de enero del 2016
Quito - Ecuador 2015 – 2016
ESFUERZOS PRINCIPALES
ESFUERZOS PRINCIPALES
Los esfu esfuerzo erzoss princip principales alessonlosmayores mayores esfu esfuerzos erzosqueactúan actúan sobre sobre el el element elemento o y se se hall ha llan an por po r medi me dio o de una un a rota ro taci ción ón de coordenadas. Los esfuerzos normales principales se notan como , , , donde: > > , y en el angulo de rotación en el que se dan el esfuerzo cortante es cero. El esfuerzo cortante máximo absoluto se nota como y en el ángulo de rotación al que se da los esfuerzos esfuerzos normales son el promedio promedio delos delo s esfuerzos normales del tensor de esfuerzos.
ESTADOS TENSIONALES
1) Ley de reciprocidad de esfuerzos cortantes Las magnitudes de los esfuerzos cortantes que actúen en planos perpendiculares son iguales
= = = 2) Ley de los esfuerzos planos Al ser la solución del problema de estados tensionales más complejos se considera a lso esfuerzos en el plano por lo que los componentes de los esfuerzos en el eje Z son cero.
= 0 = = = = 0
Resolviendo la primera ecuación para " `y la segunda para " ` se tiene:
1.
Recordando relaciones trigonométricas:
reemplazando en la ecuación 1 se tiene:
Ecuación general del esfuerzo normal en cualquier plano.
:Orientacion de planos principales
c
a
b
Sustituyendo las ecuaciones a y b en c :
Ecuación de esfuerzos principales
: orientación planos tangenciales
Esfuerzo máximo
cortante
CIRCUNFERENCIA DE MOHR
CIRCUNFERENCIA DE MOHR Es un método grafico analítico basado en la construcción de una circunferencia cuyas coordenadas nos entregan de manera directa los esfuerzos normales y cortantes que actúan en un determinado plano.
Convención de signos: Esfuerzos normales:
> 0 < 0 Esfuerzos cortantes:
↑↓> 0 () ↓↑< 0 () V ( , )
(X)
H ( , )
(Y)
Procedimiento: 1. Establecer un eje o un sistema de coordenadas donde las abscisas representen los esfuerzos normales y las ordenadas los esfuerzos cortantes 2. Ubicar las coordenadas de los puntos V y H en función de los esfuerzos normales y cortantes 3. Unir los puntos V y H mediante una línea recta. El punto que cruza con las abscisas representa el centro de circunferencia 4. Encontrando el centro de circunferencia y tomando como radio la distancia entre este punto y los puntos H y V trazar la respectiva circunferencia.
D
H
V E
Determinación de los esfuerzos en la circunferencia de Mohr: 1) Esfuerzos principales
= = 2) Esfuerzos cortantes
= = 3) Esfuerzo normal tangencial
= Nota: 1) La circunferencia de Mohr entrega el doble de los ángulos originales 2) Los planos tangenciales donde están los esfuerzos cortantes máximos y mínimos se localizan a 45° de los planos principales
3) Los esfuerzos cortantes máximos y mínimos corresponden al valor del radio de la circunferencia
EJERCICIOS 1) Determine la ubicación de los posibles fisuramientos de una sección de una columna de hormigón armando, así como los valores de los esfuerzos máximos de tracción y compresión y cortante.
V (100,-30) H (-50,30)
́
Centro:
̅ = − = 25 ̅ Radio = ̅´ = 100 50 = 75 2 Del triángulo V`CV
̅ = √ 30 75=80.78 u = , ̅ = = ̅ ̅ = , = ,
= ̅ ̅ = , 25= 55,78 MPa ̅ = = 25 MPa 30 75 = ,° tan2 =
= 10,90° 45° = ,° 2) Establecer las direcciones del plano de falla de un cilindro de hormigón simple sometido a una carga puntual de compresión. Determinar los valores de los esfuerzos. En un plano de acuerdo a la inclinación indicada.
A= 1000
50 ∗ 10 1000 = 50
=
H (-50, 0) V (0, 0) Radio= 25
= ± ̅ = =
̅ =
= MPa =̅ =- 25 MPa = ° = °
3) Dados
= , = , = Encontrar:
a. Los esfuerzos principales y su orientación. b. Los esfuerzos cortantes máximos y su orientación
Coordenadas:
X(4,4) ; Y(0,4) 4 σrm = = 2MPa 2 Circulo de Mohr: Radio
R = 2 4 = 2√ 5 MPa Esfuerzos Principales
̅OB = σ mx = σprm R = 2 2√ 5 = 6,47MPA ̅OA = σm = σprm R = 2 2√ 5 = 2,47MPA 4 sin2θp = → 2θp = 63,43° → θp = 31,72° 2√ 5
Esfuerzos Cortantes Máximos
̅ = R = 2√ 5 = 4,47 MPa τmx = CP 2θ = 90°.2θp = 90° 63,43° = 26,57° → θ = 13,29°
4) Debido a la carga aplicada, el elemento en el punto A sobre el eje solido de la figura, se somete al estado de esfuerzo mostrado en la figura determine los esfuerzos principales que actúan en este punto.
V (-12,6) H (0,-6)
= −+ =-6 ksi R=
= .
= ±.
̅= = R- 6 = 8.49-6 = . ̅ = 6 = 8.49 6 = = . ksi 2 = tan− = .°
6 = 45° 126
2
5) Para el elemento mostrado en la figura determinar: a) Los esfuerzos máximos, esfuerzos mínimos y el cortante máximo b) Dibujar el circulo de Morh c) Dibujar los planos principales de esfuerzos y cortantes máximos
a) Los esfuerzos máximos, esfuerzos mínimos y el cortante máximo
Determinación de las direcciones de los pl anos ∝
.
b) Dibujar el circulo de Morh
c)
Dibujar los planos principales de esfuerzos y cortantes máximos
6) Para el estado de esfuerzo mostrado en la figura, determine: a) los esfuerzos principales y los planos principales, b) las componentes del esfuerzo ejercidas sobre el elemento obtenido rotando el elemento dado 30 ° en sentido contrario a las agujas del reloj.
V (60,-48) H (100,48)
a) los esfuerzos principales y los planos principales
= 80 MPa =̅ = + R=
=
= ± = ̅= ̅ = 80+52 = ̅ = ̅ 2 = 132 = 104 = 28 = 2 = tan− = .°
48 = 67.4° 20
b) las componentes del esfuerzo ejercidas sobre el elemento obtenido rotando el elemento dado 30° en sentido contrario a las agujas del reloj. 2=60°
∅ = 180° 60° 67.4° = .° , = = = 80 52 cos 52.6° = 48.4 MPa , = = = 80 52cos 52.6° = 111.6 MPa ,, = , = 52sen52.6° = 41.3 MPa
7) Las componentes del estado de tensiones plano en un punto son:
= 120 / = 180 / = 80 / a) Dibujar el elemento sometido a las tensiones dadas b) calcular analítica y gráficamente las tensiones y direcciones principales. Dibujar el elemento sometido a las tensiones principales
Resolución mediante el circulo de Mohr.
Tensiones principales
Direcciones principales
8) determine los esfuerzos y direcciones principales del estado de esfuerzos en comprensión del cilindro de concreto mostrado en la figura.
V (-250,0)
H (0,0)
Calculo del centro:
̅ =
Radio:
Esfuerzo cortante
= /
Esfuerzos
̅ = = / ̅ = = /
Esfuerzo tangencial
̅ = = -125 /
9) Un tanque cilíndrico que contiene aire comprimido, tiene un espesor de pared de 7mm y un radio medio de 25cm. Las tensiones en la pared del tanque que actúan sobre un elemento girado tiene valores mostrados en la figura. Calcule los esfuerzos principales
V (130,-30) H (90,30)
Centro:
Radio:
Esfuerzos principales:
10) Establecer las trayectorias de los agrietamientos por debilidad frente a tracción, compresión y cortante de la barra indicada.
= 50 50 = 80 4 = 9.95 = 10 10 ∗ 10 ∗ 40 80 32 = 99.47 =
V (-9.94,-99.47) H (0,99.47)
Centro:
̅ = −. = 4.97 Radio = ̅
̅´ = 9.94 = 4.79 2 Del triángulo V`CV
̅ = √ 4.79 99.47=99.585 = . ̅ = = ̅ ̅ = . . = .
= ̅ ̅ = . 4.79= 94.795 MPa ̅ = = 4.79 MPa . = 2.86° tan2 = .
= .° = 1.43° 45° = .°
Bibliografía Hibbeler, R. C. (2011). Mecanica de Materiales. Mexico: Pearson. Recuperado el 2016 P.Beer, F. (2010). Mecanica de materiales (Quinta ed.). Mexico: McGrawHill. Recuperado el 2016
