Représentation d’état des systèmes linéaires continus Commande par placement de pôles Auteur : Najib Bennis
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REPRESENTATION D'ETAT DES SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS ET COMMANDE DANS L'ESPACE D'ETAT PAR PLACEMENT DE PÔLES ------------------------------------------------1 Introduction à la représentation d’état Lorsque l’on envisage la commande d’un système, la première étape consiste à le modéliser.
Modéliser un système consiste à élaborer une représentation mathématique qui permette de décrire et prédire son comportement dynamique et permanent lorsqu’il est soumis à des influences externes (entrées de commande, perturbations..) Consignes Commandes Perturbations
Système Physique
Sorties Effets Mesures
1.1 Les différentes formes de modélisation
Tout système linéaire peut être représenté de plusieurs manières comme le montre le schéma suivant :
Entrée u
Représentation par équation différentielle
Système Physique
Sortie y
Représentation par Fonction de transfert
Représentation par équation d’état
Parmi les différentes modélisations possibles d’un système, seule la représentation d'état permet une approche interne. Elle peut être obtenue à partir de la connaissance de la structure et des propriétés des éléments du système (Voir l’exemple ci-dessous). Elle peut être aussi obtenue par transformation du modèle, c’est-à-dire à partir de l’équation différentielle ou de la fonction de transfert. Pour illustrer ce propos, on considère l’exemple simple suivant : Exemple de modélisation
Le groupe Ward - Leonard de la figure ci-dessous est constitué d’ une une génératrice G à courant continu continu qui tourne à vitesse constante et qui délivre un courant I proportionnel à son courant d'excitation i : I = K G i. Le courant I alimente le moteur M à courant continu continu dont l’excitation reste constante et qui produit un couple C = K C I. 1
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On propose de modéliser ce système en le considérant comme un système mono-variable dont l’entrée est la tension v appliquée au circuit inducteur de la génératrice G et la grandeur de sortie est la position angulaire . 1. Mise en équation Cette opération consiste à écrire l’ensemble des équations qui régissent le système : di( t ) v( t ) L di( Ri( t ) dt ( t ) d ( t ) d ( t ) dt f ( t ) C( t ) J dt L dI(t ) RI( t ) K v( t ) G d ( t ) dt ( t ) dt d ( t ) J f ( t ) KC I ( t ) I( t ) KG i( t ) dt C( t ) KC I ( t )
1.1.1 Equation d’état à d’état à partir des équations physiques On choisit de prendre comme variables d’état : x1 ( t ), x2 I( t ) x3
d ( t ) dt
et on note au
passage que ces variables ont un sens physique puisqu’elles représentent respectivement la position angulaire –grandeur de sortie-, le courant dans l’ensemble G -M et la vitesse de
rotation ( t )
d ( t ) dt
.
Les équations d’état s’écrivent : x( t ) Ax( t ) Bv( t ) y( t ) Cx( t ) Dv( t ) 0 0 1 0 K G R 0 B A 0 C 1 L L K 0 0 C f J J
0
0
D
0
Remarque : On aurait pu ajouter une 4° variable x4=i, ce qui conduit à quatre variables d’état . Une telle initiative n’est pas intéressante car la variable x4 serait redondante. En effet, la connaissance de la variable d’état x2 = I permet de déduire x4=i, puisqu’elles sont liées par la relation de proportionnalité I = K G i.
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On propose de modéliser ce système en le considérant comme un système mono-variable dont l’entrée est la tension v appliquée au circuit inducteur de la génératrice G et la grandeur de sortie est la position angulaire . 1. Mise en équation Cette opération consiste à écrire l’ensemble des équations qui régissent le système : di( t ) v( t ) L di( Ri( t ) dt ( t ) d ( t ) d ( t ) dt f ( t ) C( t ) J dt L dI(t ) RI( t ) K v( t ) G d ( t ) dt ( t ) dt d ( t ) J f ( t ) KC I ( t ) I( t ) KG i( t ) dt C( t ) KC I ( t )
1.1.1 Equation d’état à d’état à partir des équations physiques On choisit de prendre comme variables d’état : x1 ( t ), x2 I( t ) x3
d ( t ) dt
et on note au
passage que ces variables ont un sens physique puisqu’elles représentent respectivement la position angulaire –grandeur de sortie-, le courant dans l’ensemble G -M et la vitesse de
rotation ( t )
d ( t ) dt
.
Les équations d’état s’écrivent : x( t ) Ax( t ) Bv( t ) y( t ) Cx( t ) Dv( t ) 0 0 1 0 K G R 0 B A 0 C 1 L L K 0 0 C f J J
0
0
D
0
Remarque : On aurait pu ajouter une 4° variable x4=i, ce qui conduit à quatre variables d’état . Une telle initiative n’est pas intéressante car la variable x4 serait redondante. En effet, la connaissance de la variable d’état x2 = I permet de déduire x4=i, puisqu’elles sont liées par la relation de proportionnalité I = K G i.
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1.1.2 Equation d’état à d’état à partir de la fonction de transfert La fonction de transfert peut s’obtenir par l’application de la transformée de Laplace aux
équations du système puis éliminer toutes les variables intermédiaires pour aboutir à la relation entre l’entrée v(p) et la sortie y(p)= (p). (p). dI(t ) RI( t ) KG v( t ) L KG v( p ) ( Lp R )I( p ) dt KC K G y( p ) y( p ) ( p ) y( t ) ( t ) v( p ) p( Lp L p R )( )( Jp f ) 2 KC I( p ) p( Jp f )( p ) d ( t ) d ( t ) f KC I( t ) J dt dt 2 On part de la fonction de transfert et on propose une représentation d’état. La fonction de transfert est d’ordre 3 – degré du dénominateur-, il faut par conséquent 3 variables d’état. Ce passage n’est pas unique comment il est bien expliqué dans le document annexe. Dans ce qui
suit, on propose une représentation possible. On écrit la fonction de transfert sous la l a forme suivante : y( p ) v( p )
KC K G p( Lp Lp R )( )( Jp f )
y( p )
v( p ) p X1 ( p )
v( p ) Lp R X2( p )
p Lp R Jp f
v( p ) Jp f
avec
KC KG Rf
KC K G L2 f ( RJ
fL )
K C K G J 2 R( RJ fL )
X3( p )
On a par conséquent : X ( p ) v( p ) X ( t ) v( t ) 1 1 p v( p ) R 1 X 2 ( p ) Lp R X 2 ( t ) L X 2 L v( t ) v( p ) f 1 X 3( p ) X 3( t ) X 3 v( t ) Jp f J J y( p ) X ( p ) X ( p ) X ( p ) y( t ) X ( t ) X ( t ) X ( t ) 1 2 3 1 2 3 D’où une autre représentation d’état possible: X ( t ) AX ( t ) Bv( t ) y( t ) CX ( t ) Dv( t )
0 0 0 R A 0 0 L 0 0 f J
1 1 B L 1 J
C
D 0
Remarque Bien que la variable X 2 représente le courant i (Voir les équations physiques du système) ait donc un sens physique, les autres variables d’état sont difficilement voire impossible interprétables !!
Bien que y s’exprime linéairement en fonction de X 1, X 2 et X 3, elle représente toujours la position angulaire .
3
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1.1.3 Equation d’état à partir de l’équation différentielle L’équation différentielle peut s’obtenir à partir des équations établies du système par élimination des variables intermédiaires i, I , C , ou directement à partir de la fonction de la
fonction de transfert. K C K G y( p ) v( p )
KC K G p( Lp R )( Jp f ) R
f
L
J
( p3 (
Rf
) p2
LJ
p 3 (
R L
p )y( p )
LJ f ) p2 J
K C K G LJ
Rf LJ
p
v( p )
Par application de la transformée de Laplace inverse, on a : d 3 y( t ) dt
3
R
( L
f J
)
d 2 y( t ) dt
2
Rf dy( t ) LJ
dt
KC K G LJ
v( t )
L’équation différentielle est d’ordre 3, il faut par conséquent 3 variables d’état. Plusieurs choix
sont possibles, dont celui-ci :
z1
y( t )
z2
dy( t ) dt
z 3
d 2 y( t ) dt 2
Il s’en suit les relations suivantes : z1
z2
z2
z3
z3
d 3 y( t )
R
f
L
J
(
dt 3
)z3
Rf KC K G z2 v( t ) LJ LJ
D’où une autre représentation d’état : z( t ) Az( t ) Bv( t ) ˆ
ˆ
y( t ) Cz( t ) Dv( t ) ˆ
0 1 0 A 0 0 1 Rf R f ( ) 0 L J LJ ˆ
ˆ
0 B 0 K K C G LJ ˆ
C ˆ
1 0 0
D0 ˆ
Remarque Le choix fait pour les variables d’état est judicieux puisque z 1, z 2, z 3 représentent respectivement la position angulaire, la vitesse angulaire et l’accélération. Les deux dernières constituent des informations supplémentaires sur l’état du système. 1.2 La représentation d’état 1.2.1 Définitions et terminologie Définition : Etat d’un système
L'état d'un système est la plus petite quantité d'information caractérisée par un ensemble de variables qu'il faut connaître à un instant t O pour pouvoir prédire de façon univoque le comportement de ce système à tout instant t> tO et pour toute entrée entre t0 et t. En effet, l'exemple du système ci-dessus a conduit à sa caractérisation du par trois variables telle que la donnée à un instant t0 de ces variables : x1(0)= (0) –Position initiale-, x2(0)= (0) – vitesse initiale , et x3(0)= (0), - accélération initiale-, jointe à la connaissance de l’équation d'évolution et de la tension de commande v(t) qui agit sur lui, permettent de déterminer le comportement ultérieur du système. 4
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Définition : Vecteur d’état Un vecteur d’état est un ensemble minimal de variables d’état, c’est -à-dire de grandeurs temporelles, nécessaires et suffisantes pour déterminer l’évolution future d’ un système quand
on connaît les équations qui décrivent le fonctionnement du système et les entrées de ce système. Dans ce qui suit, un vecteur d’état et son dérivée seront notés : x1( t ) x2 ( t ) x( t ) xn ( t )
dx( t ) dt
x1( t ) x2 ( t ) x( t ) xn ( t )
Le nombre n de composantes correspond au degré de complexité du système. Il définit l’ordre
du système. Définition : Equation d’état D’une manière générale, à tout système linéaire continu peut lui être associé les équations
matricielles suivantes : x( t ) Ax(t ) Bu( t ) équation d ' état y( t ) Cx(t ) Du( t ) équation de sortie x( t0 ) xo condition initiale Dans le cas d’un système stationnaire, les matrices A,B,C et D sont indépendantes du temps.
Ce cas seul sera examiné par la suite. Terminologie – A est appelée matrice d’ état du système de dimension (n,n) – x est appelé vecteur d’ état du système de dimension n – n variables d’état – u est appelé vecteur d’entrée du système de dimension (m) – m entrées – y est appelé vecteur de sortie du système de dimension (p) – p sorties – – B est appelée matrice de commande du système de dimension (n,m) – C est appelée matrice de sortie ou d’observati on du système de dimension (p,n) – D est appelée matrice de transmission directe du système de dimension (p,m)
Remarque : • Dans le cas particulier où p=m=l, c’est à dire une seule entrée et une seule sortie, le
système est dit monovariable ou unidimensionnel, sinon il est dit multivariable. • Les variables d'état permettent une représentation interne des systèmes dans le domaine temporel, alors que la fonction de transfert et l’équation différentielle correspondent à une représentation externe (relation entrée/sortie). La figure suivante justifie cette appellation :
5
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Les variables d'état peuvent ne pas correspondent à des grandeurs physiques réelles et accessibles dans un système. Elles constitueront dans ce cas des variables mathématiques intermédiaires commodes d'utilisation. Ce dernier point sera expliqué davantage dans la suite. Comment faut-il choisir les variables d’état ? Il recommandé de choisir les variables d’état ayant un sens physique et physiquement
accessibles à la mesure et ce pour une meilleure compréhension du comportement du système étudié et la mise au point de la commande de celui- ci. Généralement c’est le cas lorsque la représentation d’état a découlé des équations physiques. Par contre, lorsque les équations d’état découlent d’une transformation de similitude ou à partir de l’équation différentielle ou de la fonction de transfert, les variables d’état peuvent perdre le sens physique mais demeurent
néanmoins des variables internes. Combien faut-il choisir de variables d’état ?
Pour répondre à cette question, il convient de distinguer deux cas : Si les équations d ’état découlent de l’équation différentielle ou de la fonction de transfert, le nombre de variables d’état est fixé par l’ordre de l’équation différentielle ou de la fonction de transfert. Si les équations d ’état découlent des équations physiques, il n’est pas toujours à premier abord évident de choisir le nombre de variables nécessaires. Il convient de rester particulièrement vigilent de ne pas surdimensionner la représentation en définissant des variables qui peuvent s’avérer redondantes. Cette remar que est très importante car la complexité du problème de l’analyse et de la synthèse est étroitement liée à la dimension des équations d’état. L’idée est d’obtenir ce qu’on appelle une
représentation minimale et fort heureusement on peut être assisté à cet effet par des logiciels spécialisés tel que Matlab. Quel est l’intérêt de la représentation d’état ?
D’abord, on souligne que c’est la seule représentation qui permet d’avoir une
description interne du système contrairement à la représentation par équation différentielle ou par fonction de transfert. Ce point trouve son intérêt dans le fait qu’on aura une meilleure maitrise et compréhension du système étudié. L’équation différentielle ou la fonction de transfert permettent d’obtenir une relation entrée/sortie qui n’apporte aucune connaissance sur la structure interne d’un système. Deux
systèmes différents peuvent très bien avoir la même fonction de transfert et la même équation différentielle. En effet, dans l’exemple précédent, le fait que l’on définisse le courant, la vitesse, l’accélération comme variables d’état va permettre de s’informer sur son état global , alors que la représentation par équation différentielle ou par fonction de fonction ne permettent pas une telle information car seule l’informatio n accessible est la sortie y – Position angulaire -.
La représentation d’état convient particulièrement aux systèmes multi -variables. Pour le cas mono-variable, l’approche par fonction de transfert est largement suffisante.
Partant du fait que le cas multi-variable est plus délicat à appréhender, la représentation d’état constitue le support le plus utilisé dans l’étude des systèmes
complexes.
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1.2.2 Passage de la représentation d’état à la fonction de transfert
On considère un système représenté par les équations d’état suivantes : x( t ) Ax( t ) Bu( t ) y( t ) Cx( t ) Du( t ) x( t0 ) xo
En appliquant la transformée de Laplace aux équations ci-dessus, elles deviennent : x( p ) ( pI A )1 Bu( p ) px( p ) Ax( p ) Bu( p ) ( pI A )x( p ) Bu( p ) y( p ) Cx( p ) Du( p ) y( p ) Cx( p ) Du( p ) y( p ) Cx( p ) Du( p ) y( p ) C( pI A )1 Bu( p ) Du( p )
La fonction de transfert est alors définie par : H( p ) C( pI A )1 B D 1.2.3 La non unicité de la représentation d’état ?
Le concept d'état est un outil mathématique destiné à faciliter l'étude du comportement du système et de faire la synthèse d’un régulateur –Asservissement/régulation-. Comme il a été mentionné ci-dessus, les variables d’état peuvent ne pas avoir une signification physique directe. Souvent, on est amené à mettre en évidence certaines propriétés du système auxquelles on s'y intéresse. Pour cela, on cherche des représentations particulières répondant au besoin recherché. En d'autres termes, on peut représenter un même système par une infinité de représentations d'état. Le passage d'une représentation d'état à une autre n'est en fait qu'une opération de changement de variables. Soit à présent x( t ) et x( t ) deux vecteurs d'état susceptibles de définir l'état d'un système. On peut passer de x( t ) à x( t ) et inversement par une transformation dite de similitude Pour cela, on considère le changement de variable x(t ) Mx( t ) où M est une matrice quelconque de dimension (n,n) : M -1 existe.
x(t ) Mx(t ) x(t ) M 1 x(t ) .
Le lien univoque entre
x( t )
et
x( t ) signifie
que
Avec ce changement de variables, on a: x( t ) Mx( t ) MAx(t ) MBu( t ) x( t ) MAM 1x( t ) MBu( t ) x( t ) Ax( t ) Bu( t ) y( t ) CM 1x( t ) Du( t ) 1 y( t ) CM x( t ) Du( t ) y( t ) Cx( t ) Du( t ) x( t ) xo x( t0 ) Mxo x( t0 ) Mxo 0
On obtient par conséquent une nouvelle représentation d’état définie par les matrices suivantes : A MAM 1
B MB C CM 1
D D
On vérifie par la suite que la fonction de transfert est indépendante de ce changement de variables :
7
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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- H ( p ) C( pI
A )1 B D CM 1( pI MAM 1 ) 1 MB D
CM 1 M ( pI A )M 1
1
-(XYZ)-1=Z-1Y-1X-1 MB D
en admettant que toutes matrices inverses existent.
CM 1M ( pI A )1 M 1MB D 1
C( pI A ) 1.3
BD
Notes :
les
-I désigne la matrice identité de dimension (n,n).
H( p )
Résolution de l’équation d’état
On cherche à résoudre l’équation d’ état précédemment introduite qui s’écrit dans le cas général : x( t ) Ax( t ) Bu( t ) y( t ) Cx( t ) Du( t ) x( t0 ) x0
Le problème est le suivant : étant données des conditions initiales x0, calculer la réponse y(t) suite à l’application de l’excitation u(t). Ce calcul passe d’abord par le calcul de x(t), qui à partir duquel, on calcule la réponse y(t). Le cas des équations différentielles matricielles se traite de manière similaire au cas scalaire. L’équation homogène associée s’écrit : x( t ) Ax(t ) x( t0 ) x0
Sa solution est exponentielle et vaut : x(t ) e A(t t ) x0 0
La résolution avec second membre s’effectue comme dans le cas scalaire (attention, en algèbre matricielle, la multiplication n’est pas commutative) : x( t ) solution à l' instan t
A( t t0 )
e
x0
solution libre
t
e A( t ) Bu( )d
t 0 solution forcée
La matrice
e At est
appelée Matrice de transition.
Sans perdre de généralité, on suppose dans la suite : t 0=0 et D=0. Dans la littérature, Il existe une multitude de méthodes permettant de calculer la matrice de transition comme il est montré dans le document annexe. On présente ici la méthode basée sur la transformée de Laplace. L’application de la Transformée de Laplace à l’équation homogène dont on connait sa solution, permet d’écrire : px( p ) x0
Ax( p ) ( pI A )x( p ) x0 x( p ) ( pI A )1 x0
At
e
TL1 ( pI A )1 où
TL1 . désigne
la Transformée de Laplace inverse
Exemple 1 p 2 1 p 1 1 1 p 1 1 1 1 ( pI A ) A pI A 0 p 2 ( p 1 )( p 2 ) 0 p 1 0 2 0
( p 1 )( p 2 ) 1 p 2 1
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D’après la table de la Transformée de Laplace, on a :
e t
e At
e t
0
e2t e2t
Remarque
Cette méthode s’applique dans tous les cas, c’est -à-dire quelle que soit la structure de
la matrice A. On doit vérifier systématiquement que
1.4
e At
t 0
I
Analyse de la stabilité
La stabilité de l’état est conditionnée par celle de la matrice de transition e At . En eff et, d’après At At la solution de l’équation homogène, x(t)= e x0 tend vers 0 quelle que la condition initiale si e tend vers 0 quand t tend vers l’infini . En examinant le lien entre les matrices [ A,B,C,D] et la
fonction de transfert du système, on remarque que les pôles de cette dernière ne sont autres que les valeurs propres de A. On retient donc que e At converge si et seulement si les valeurs propres de la matrice A sont à partie réelle strictement négative. Dans l’exemple ci -dessus, la matrice d’ état A possède deux valeurs propres strictement
négatives 1 1 2 2 . Le système dont cette matrice est lui associé, est un système stable. 1.5
Analyse du régime transitoire et permanent.
La matrice d’état permet de renseigner non seulement sur la stabilité d’un système, mais aussi sur sa dynamique et donc sur le régime transitoire. 1.5.1 Analyse transitoire
On peut prévoir la forme du régime transitoire et évaluer sa durée à partir de la connaissance des valeurs propres. Par analogie avec les pôles de la fonction de transfert, on peut conclure avec certitude que :
Si les valeurs propres sont réelles et strictement négatives : réponse transitoire apériodique. Si parmi les valeurs propres il y’en a qui sont complexes et à partie réelle strictement négative : réponse transitoire oscillatoire amortie. Si la matrice d’état A possède à la fois des valeurs propres réelles strictement négatives et des valeurs propres complexes à partie réelle strictement négative : la forme du régime transitoire est caractérisé par les valeurs propres dominantes.
A défaut de pouvoir évaluer directement les caractéristiques du régime transitoire (Temps de réponse, dépassement,..) par analyse des valeurs propres, on est souvent amené à intégrer les équations d’état. 1.5.2 Analyse statique
Pour une entrée constante uo, c’est-à-dire de type échelon, il s’établit un comportement statique où toutes les variables d’état et de sortie atteignent des valeurs finales constantes. Sous réserve de la stabilité du système L’état du système converge vers l’état final qui peut être déterminé à partir du gain statique. Celui-ci s’obtient en mettant p = 0 dans la fonction de transfert, ce qui se traduit par la
relation suivante : 9
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Ks H( p ) p 0
C( pI A )1 B D
p 0
CA1 B D
L’état et la sortie en régime statique s’obtiennent par : lim x( t ) A1Buo t
lim y( t ) CA1B D uo t
Exemple d’application A titre d’exemple, on considère le système mécanique suivant :
k, coefficient de raideur = 6 (USI) f, coefficient de frottement =5 (USI) m, masse du mobile = 1 (USI) Ce système est régi par l’équation différentielle suivante : d 2 y( t ) 2
dt
f dy( t ) m
dt
k 1 y( t ) u( t ) m m
Afin d’obtenir une représentation d’état possible, on fait le choix classique suivant:
x1( t ) y( t ) dy( t ) x ( t ) 2 dt
x1( t ) x2 ( t ) 1 k f x2 ( t ) m x1( t ) m x2 ( t ) m u( t ) 0 1 0 x( t ) k f x( t ) 1 u( t ) x( t ) 0 1 x( t ) 0 u( t ) 6 5 1 m m m y( t ) 1 0 x( t ) y( t ) 1 0 x( t )
La fonction de transfert est donnée par : y( p )
C( pI A )1 B D C( pI A )1 B
u( p )
1
( pI A )
1 p 1 p 5 1 1 2 p 5 p 6 6 p 6 p 5 p 5 1 ( p 2 )( p 3 ) ( p 2 )( p 3 ) 6 p ( p 2 )( p 3 ) ( p 2 )( p 3 )
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y( p ) u( p )
H( p ) 1
1 p 5 ( p 2 )( p 3 ) ( p 2 )( p 3 ) 0 1 0 1 ( p 2 )( p 3 ) 6 p ( p 2 )( p 3 ) ( p 2 )( p 3 )
Ks H( 0 ) CA1B
Le gain statique est
1 6
Analyse de la stabilité
Les
valeurs propres de la matrices A, solutions de l’équation caractéristique det( pI A ) p 2 5 p 6 0 , sont données par 1 2 2 3 . Ces valeurs propres sont réelles et négatives, il s’ensuit que le système est de nature stable. On note que les valeurs propres sont aussi les pôles de la fonction de transfert. Calcul de la réponse transitoire
Pour des conditions initiales nulles et pour une entrée de type échelon unité, la solution x(t) s’écrit : x( t )
t
e
A( t )
Bu( )d
0
On commence par calculer la matrice de transition e At par la méthode de la transformée de Laplace : p 5 1 ( p 2 )( p 3 ) ( p 2 )( p 3 ) * e2t e3t e At TL1 ( pI A )1 TL1 6 p * 2e 2t 3e3t ( p 2 )( p 3 ) ( p 2 )( p 3 ) Les éléments marqués (*) n’interviennent pas dans le calcul de la solution compte tenu du
zéro dans la matrice B. x( t )
t A( t )
e
0
t
* e2( t ) e 3( t ) 0 Bu( )d d 2( t ) 3( t ) 1 * e e 2 3 0
t
e2( t ) e3( t ) 2( t ) d 3( t ) e e 2 3 t 0
1 e2t 1 e 3t 1 e 2 e 3 3 6 2 d 2 3 2e 3e 0 e2t e 3t
t
On déduit le résultat final suivant : y( t ) x ( t ) 1 e 2t 1 e 3t 1 1 2 3 6 dy( t ) x2 ( t ) e2t e3t dt
Après une phase transitoire sans dépassement, le système atteint un comportement statique tel que : lim y(t ) lim x (t ) 1 1 t t 6 lim dy( t ) lim x2 ( t ) 0 t dt t
11
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2. Commandabilité et commande par placement de pôles
Dans le paragraphe précédent, on a introduit les principaux concepts pour l’analyse des systèmes dynamiques dans l’espace d’état. Ce deuxième paragraphe aborde la commande des systèmes où le concept d’état est utilisé. 2.1 Définition On dit qu’un système
est commandable à l’instant t f > t o, si quels que soient les états x(t0 ), x(t f ) , il existe une commande u( t0 ,t f ) x(t ) Ax(t ) Bu(t )
y( t ) Cx(t ) Du(t )
x(t0 ) x0
transférant le système de l’état x( t0 ) à l’état x(t f ).
u?
Etat initial
Etat final
Exemple On considère le circuit suivant
u(t)
R1
C1
R2
q1
C2
R3
q2 C3
u(t)= tension de commande q3
xi (t)= qi (t) charge du condensateur C i
Le problème de la commandabilité peut être posé de la manière suivante : Existe-t-il une tension u(t) qui, à partir des conditions initiales, c’est -à-dire à partir des charges initiales quelconques, peut amener la charge des condensateurs à des valeurs arbitraires et ce, pendant un intervalle de temps fini [to, tf ] ? Si la réponse est oui système est commandable ou gouvernable Si la réponse est non système est non commandable ou ingouvernable Si la réponse est conditionnelle
préciser les conditions.
2.2 Notion intuitive de la commandabilité
On considère le système suivant : px1( p ) x10 x1( p ) 0.u( p ) x1( t ) x1( t ) 0.u( t ) 1 0 0 x( t ) x( t ) u( t ) x ( t ) 2 x ( t ) 1.u( t ) px2 ( p ) x20 2x2 ( p ) 1.u( p ) 2 0 2 1 2 y( p ) x ( p ) x ( p ) y( t ) x1( t ) x2 ( t ) 1 2 y( t ) 1 1 x( t ) x( 0 ) xo x( 0 ) x o x ( p ) 1 x 10 1 p 1 x ( p ) 1 x 1 u( p ) 20 2 p 2 p2 y( p ) x1( p ) x2 ( p )
Les dernières équations peuvent être traduites par le schéma fonctionnel suivant :
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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x10 S1
x1
x20
y(t)
S2
u(t) x2
Système Cette représentation symbolique montre que le système est composé de deux sous-systèmes S1 et S2. Le sous-système S1 n’est pas lié à l’entrée u, contrairement au sous -système S2. Cela veut dire, on ne peut jamais agir sur l’état x1 et ce quelle que soit la commande u appliquée au système. L’état x1 évoluera selon sa propre dynamique à partir de sa condition initiale. On dit que l’état x1 est non commandable alors que l’état x2 est commandable.
Remarque La commandabilité ne dépend que de A et de B et non de C et de D. 2.3 Critères de la commandabilité
Il est souvent intéressant de s’assurer de la commandabilité d’un système avant de cherche r à mettre en œuvre une commande proprement dite. En d’autres termes, on demande de disposer d’une condition nécessaire et suffisante de commandabilité . Afin de vérifier la command abilité, on dispose d’une multitude de critères mathématiques dont on donne ici le plus courant. Soit le système S suivant : S
x( t ) Ax(t ) Bu( t ) A ( n,n ) B( n,m )
Théorème 1
Le système S ou la paire (A,B) est commandable si et seulement si la matrice suivante dite matrice de commandabilité est de rang égal à n : Q B AB A2 B.... An 1 B
Exemple 1
Exemple 2
1 2 1 B A 1 2 1 n 2 m 1
1 2 1 B A 1 2 1 n 2 m 1
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---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
La matrice de commandabilité : 1 1 Q B AB 1 1 det(Q) 2 0 rang( Q ) 2 ( n ) (
La matrice de commandabilité : 1 1 Q B AB 1 1 det(Q ) 0 rang( Q ) 1 ( n ) ( A,B) est non commandable.
) est commandable.
A,B
Remarque
Si rang (Q)=n’
2.4 Commande par placement de pôles
La commandabilité est une notion importante puisqu’ elle établit le fait que l’on puisse commander le système afin de modifier son comportement (stabilisation d’ un système instable, modification des dynamiques propres). Cette notion joue donc un rôle très important dans la théorie de la synthèse de systèmes de commande dans l’espace d’ état. 2.4.1 Théorème de placement de pôles Théorème 2 :
Le système S ou la paire ( A,B) est commandable si et seulement si pour tout ensemble symétrique de n valeurs propres, il existe une matrice K (m,n) telle que : ( A-BK ) =. Notation : ( X ) = l’ensemble des valeurs propres d’une matrice X. En d’autres termes, si la paire ( A,B) est commandable, il existe une matrice K telle que : det( I
( A B.K ) ( * )( * 1
* * 1
2
2
)..( *n )
*n
2.4.2 Commande par retour d’état - placement de pôles-
On considère un système S monovariable (m=p=1) commandable représenté par les équations suivantes : x( t ) Ax( t ) Bu( t ) S boucle ouverte y( t ) Cx(t ) La stabilité et la dynamique du système S sont fixées par ( A ) 1 2 n . On souhaite commander ce système dans le but d’améliorer les performances par une commande suivante appelée commande par retour d’état : u(t ) e(t ) Kx(t )
e(t ) k x (t ) k x (t ).... k nx n( t ) 1 1
2
2
K =[k 1 k 2…k n] est appelé le gain du retour d’état.
Symboliquement, le système en boucle fermée peut être représenté par le schéma suivant : 14
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---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
u
Système
Consigne e
K
Sortie y
Etat x
Avec cette commande, les équations en boucle fermée s’écrivent : S boucle fermée
x( t ) ( A B.K )x( t ) Be(t ) y( t ) Cx(t )
La matrice d’état du système en boucle fermée est A-B.K , la matrice de commande B et la matrice de sortie C sont inchangées. D’après le théorème de placement de pôles, si la paire ( A,B) est commandable, il existe un gain du retour d’état K tel que ( A - B.K ) soit imposé arbitrairement.
Commentaires
Lorsque l’approche par fonction de transfert est utilisée, le bouclage se fait par retour de la sortie y, alors lorsque l’approche des équations d’état est utilisée, le bouclage se fait par retour d’état. D’où l’appellation commande par retour d’état.
L’entrée du système en boucle fermée est e(t). Elle représente l’entrée de consigne.
La mise au point pratique de la commande par retour d’ état suppose que toutes les
variables sont physiquement accessibles. Point particulièrement critique sur lequel on y reviendra ultérieurement. Applications
Si le système en boucle ouverte est instable, on peut le stabiliser par cette technique el lui assignant un ensemble de valeurs propres stables.
Si la dynamique en boucle ouverte est jugée lente, on peut l’améliorer en choisissant
convenablement un ensemble de valeurs propres. 2.4.3 Mise en œuvre pratique
On donne ci-dessous les principales étapes à suivre pour mettre en œuvre la technique de la commande par retour d’état : 1. On met les équations du système sous forme d’équations d’état S boucle ouverte
x( t ) Ax( t ) Bu( t ) y( t ) Cx(t )
A ce propos, il est indispensable de choisi r des variables d’état physiquement accessibles. 2. On teste la commandabilité du système 3. On fixe une dynamique appropriée pour le système en boucle fermée fixée par l’ensemble . 4. On calcule le gain du retour d’état K 5. On fixe l’entrée e –Consignes6. On réalise la loi de commande.
15
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---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Il reste à présent de donner les procédures pour le calcul du gain K . Dans toutes les méthodes proposées ci-dessous, les données sont les suivantes : ( A,B) une paire commandable L’ensemble des valeurs propres désirées en boucle fermée : *1 *2 *n L’inconnue est le gain : K =[k 1 k 2…k n]
a) Méthode directe
Cette première méthode consiste à calculer le gain K tel que : det( I
( A B.K )) ( * )( * )..( *n ) 1
* * 1
2
*n
2
Pour ce faire : Poser K =[k 1 k 2…k n] Calculer en fonction de K , la matrice A – B.K Calculer la matrice I – ( A – B.K ) et en déduire son déterminant pour obtenir le polynôme caractéristique désiré en fonction de K Développer le polynôme caractéristique désiré ( *1 )( *2 )..( *n ) En identifiant terme à terme les deux polynômes caractéristiques, on obtient un système de n équations dont les inconnues sont les éléments ki , i=1,n. Exemple
2 4 1 B 5 1 1 , 2 n 2 m p 1
On donne : A 2
C 1 1
det( I A ) 2 3 2 0 1
0.56
2 3.56
Système instable On pose K =[k 1 k 2] On calcule la matrice A – B.K : 2 4 1 A BK k1 2 5 1
2 4 k1 k2 2 k1 4 k2 2 5 k1 k2 2 k1 5 k 2
k 2
On calcule la matrice I – ( A – B.K ) et son déterminent : 2 k1 4 k 2 I ( A BK ) 2 k1 5 k 2 det( I ( A BK )) 2 ( 3 k1 k2 ) 2 k1
On développe le polynôme caractéristique désiré ( *1 )( *2 ) ( 1)( 2 ) 2
3 2
3 k k 3
1 2 On résout le système algébrique suivant : 2 k 1 2
k 1 4 D’où le résultat : k 10 2
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---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) Calcul de K par utilisation de Matlab Q=ctrb(A,B) ; % permet de calculer la matrice de commandabilité R=rank(Q) ; % permet de calculer le rang de Q pour conclure sur la commandabilité K=place(A,B,p) ; permet de calculer le gain K , p est un vecteur colonne contenant les
valeurs propres désirées. Exemple
2 4 5
1 1 1 1 , 2 p 2 n 2 m p 1
On donne : A 2
B
>> A=[-2 -4;2 5];B=[-1 1]'; >> Q=ctrb(A,B) Q= -1 -2 1 3 >> R=rank(Q) R= 2 >> K=place(A,B,[-1 -2]') K= 4 10
C 1 1
2.4.4 Exemple d’application On se propose d’étudier le problème de la commande d’un système composé de quatre cuves
en cascade représenté par la figure suivante :
Les relations entre les niveaux dans les réservoirs et les débits d’alimentation et d’évacuation sont de nature non linéaires. Cependant au point nominal de fonctionnement ( H 0 ,Q0), les équations du système sont linéaires et s’écrivent : S S S S
dh1 dt dh2 dt dh3 dt dh4 dt
q1 m.h1 m.h1 m.h2 q 2 m.h2 m.h3 m.h3 m.h4
Les variables h1, h2, h3, h4 et les variables q1, q2, représentent respectivement des variations des niveaux et des débits d’alimentation autour du point de fonctionnement.
On donne :
m/S = 0.25 (USI) , 1/S = 3 (USI) .
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---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
On choisit : x1 h1 x2 h 2 x , le vecteur d’état et x3 h3 x4 h 4
u
q1 , le vecteur de commande q 2
On s’intéresse plus particulièrement aux niveaux h1 et h4 (sorties), le système est de
multivariable : 2 entrées (p=2) et deux entrées (m=2). 1° Mise en équation x( t ) Ax( t ) Bu( t ) y(( t ) Cx( t ) Du( t ) 0 0 0.25 0 3 0.25 0.25 0 0 0 A B 0 0.25 0.25 0 0 0 0.25 0 .25 0 0
0 C 1 3 0 0 0
0 0 D 1 0 0
0 0 0 0 0
2° Analyse de la stabilité
Les valeurs propres de A sont : 1 2 3 4 0.25 (Noter que la matrice A est triangulaire et par conséquent les valeurs propres sont situées sur la diagonale principale). Toutes les valeurs propres sont négatives et donc le système est stable. 3° Analyse de la commandabilité
En admettant que le système est commandé par q1 seul : x( t ) Ax(t ) Bu( t ) y(( t ) Cx(t ) Du( t ) 0 0 0 0.25 3 0.25 0.25 0 0 0 1 A B C 0 0 0 0.25 0.25 0 0 0 0.25 0 0.25
0
0
0
0
0 D 0 1 0
Physiquement, on voit que le système est commandable car toute action sur le débit q1 affectera tous les niveaux. Cette interprétation est confirmée par le calcul du rang de la matrice de commandabilité :
3 0 Q1 0 0
0.14063 rang(Q1)=4 0.14063 -0.046875
-0.75 0.1875 -0.046875 0.75
-0.375
0
-0.1875
0
0
En admettant que le système est commandé par q2 seul :
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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x( t ) Ax(t ) Bu( t ) y(( t ) Cx(t ) Du( t ) 0 0 0 0.25 0 0.25 0.25 0 0 0 1 B C A 0 3 0 0.25 0.25 0 0 0 0.25 0 0.25
0
0
0
0
0 D 0 1 0
Physiquement, on voit que le système n’est par commandable car toute action sur le dé bit q2 n’affectera pas les niveaux h1 et h2. Seuls les niveaux h3 et h4 seront affectés par la
commande. On peut déjà prévoir que le rang de la matrice de commandabilité est égal à 2 : 0 0 0 0 0 0 0 0 , rang(Q2)=2 Q2 3 -0.75 0.1875 -0.046875 0 0.75 -0.375 0.14063
En admettant que le système est commandé par q1 et q2 : naturellement le système est commandable. (A vérifier en calculant la matrice de commandabilité). 4° Analyse statique
On admet par la suite que le système sera commandé par q1 seul (q2=0). Pour une variation constante de débit q10=0.1 (USI), les variations h10, h20, h30, et h40 des niveaux atteints en régime statique sont données par : x 1.2 x A .B.q 1.2 , y x 1.2 x 1.2 y x 1.2 1.2 x 10
20
1
10
10
20
40
10
30
40
5° Amélioration de la dynamique
La commande par retour d’état :
u(t) = uc – kx(t) = uc – k1 x1(t) - k2 x2(t) - k3 x3(t) - k4 x4(t) uc est le débit de consigne et k=[k1 k2 k3 k4] La dynamique choisie en boucle fermée: 1= -0.5, 2= -1, 3= -1.5, 4= -2 Ce qui suppose que les 4 niveaux sont physiquement accessibles à la mesure. K
k1
k 2 k 3 k 4 1.3333
7.1667
14.667 8 .75
6° Choix de la consigne uc
Le gain en boucle fermée : x x x x y y
10 20
30 40
10 20
0.03125 0.03125 ( A B.K ) .B.uc uc -0.03125 -0.03125 x 0.03125 C.( A B.K ) .B.uc x uc -0.03125 1
10
1
40
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Si on souhaite avoir les mêmes variations qu’en boucle ouverte, il faut applique r une consigne uc telle que :
y x 0.03125 1.2 y x -0.03125 38.4 = -1.2 10
10
20
40
7° Schéma de principe pour la réalisation matérielle
3. Théorie de l’observateur et son application à la commande par retour d’état
Lors de la mise en œuvre de la commande par retour d’état, on a souligné la nécessité à ce que toutes les variables d’état soient accessibles à la mesure. Cette hypothèse est peu courante au moins pour les raisons suivantes :
Le nombre de variables d’état peut être important et par conséquent l’installation des capteurs peut s’avérer onéreuse
Accès difficile voire impossibles aux variables d’état
Les variables d’états peuvent être dépourvues de sens physique suite à une
transformation de similitude par exemple. Dans ce cas, l’implémentation directe de la commande u = e - Kx est impossible. De plus, la connaissance de la sortie y ne résout pas le problème puisque C n’est pas forcément inversible et donc la connaissance de y = Cx ne permet pas de connaître x.
Pour surmonter cette difficulté, la théorie de l’observateur d’état a été i ntroduite faisant appel au concept de l’observabilité, concept dual de la commandabilité. Dans ce qui, on introduit
successivement :
La notion de l’observabilité
Les critères de l’observabilité
L’observateur d’état
Incorporation de l’observateur d’état dans la structure de la commande par retour d’état.
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3.1 Définition de l’observabilité On considère un système dont on connaît une représentation d’état ( A,B,C,D). Ce système est dit observable s’il est possible de déterminer son état à un instant t 0 donné à partir d’ une
observation de sa sortie. Une multitude de définitions équivalentes sont données dans la littérature. Au lieu de s’investir dans toutes ces définitions, on considère un exemple qui permet d’illustrer le sens physique de la notion de l’observabilité. En effet, on considère le système suivant : 1 0 0 x( t ) 0 2 x( t ) 1 u( t ) y( t ) 1 0 x( t ) x( 0 ) x o
x1( t ) x1( t ) 1.u( t ) x ( t ) 2 x ( t ) 1.u( t ) 2 2 y( t ) x1( t ) x( 0 ) xo
px1( p ) x10 x1( p ) 1.u( p ) px2 ( p ) x20 2x2 ( p ) 1.u( p ) y( p ) x ( p ) 1
x ( p ) 1 x 1 u( p ) 10 1 p 1 p 1 x ( p ) 1 x 1 u( p ) 20 2 p 2 p 2 y( p ) x1( p )
Les dernières équations peuvent être traduites par le schéma fonctionnel suivant : x10 S1
x1 y(t)
u(t)
x20 S2
x2
Système Cette représentation symbolique montre que le système est composé de deux sous-systèmes S1 et S2. Le sous-système S2 n’est pas lié à la sortie y, contrairement au sous-système S1. Cela veut dire, que toutes les observations (mesures) que l’ on peut faire sur un intervalle de temps, rien ne peut refléter le caractère instable du système. En revanche, l’observation de la sortie renseignera sur l’état x1. On dit que l’état x1 est observable alors que l’état x2 est non observable.
Remarque L’observabilité ne dépend que de C et de A . Elle est indépendante de B et D.
La notion de l’observabilité est une notion duale de la commandabilité. Aussi, on donnera par la suite les principaux résultats.
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Soit le système S suivant : x( t ) Ax( t ) Bu( t ) S y( t ) Cx( t ) A ( n,n ) B( n,m ) C ( p,n ) Théorème 1’ :
Le système S ou la paire ( C , A) est observable si et seulement si la matrice suivante dite matrice de l’observabilité est de rang égal à n : C CA Q CA2 CAn 1 Exemple 1 0 A 0 n 2
La matrice de l’observabilité : C 1 0 Q CA 0 1
C 1 0 0 p 1
1
det(Q ) 1 0 rang( Q ) 2 ( n )
Exemple 2 0 A 0 n 2
(C, A) est Observable
La matrice de l’observabilité :
C 0 1 0 p 1
1
C 0 1 CA 0 1 det(Q ) 0 rang( Q ) 1 ( n )
Q
(C, A) est non observable
Remarque
Si rang (Q)=n’
désigne le degré de l’observabilité.
La notion de la commandabilité et l’observabilité sont à présent introduits. On peut revenir sur la notion d’équivalence entre les différentes représentation s d’un même
système. Le résultat est que la représentation par fonction de transfert ou par l’équation différentielle est équivalente à la représentation d’état si le système est
commandable et observable. 3.3 Théorie de l’observateur d’état 3.3.1 Position du problème
Dans ce paragraphe, on cherche à commander le système : S boucle ouverte
x( t ) Ax( t ) Bu( t ) y( t ) Cx(t )
Mais cette fois-ci, l’état x du système n’est plus supposé accessible à la mesure. Seules l’entrée u et la sortie du système y sont accessibles. On cherche à estimer l’état courant afin de pouvoir 22
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calculer la commande u. Pour cela, on intègre un simulateur du système à commander, appelé observateur.
Son seul rôle dans la structure de la commande est de donner une bonne estimation du vecteur d’état x(t) afin que l’ on puisse appliquer une technique de commande par retour d’état. 3.3.2 Observateur d’état Définition
Un observateur d’état est un système dynamique qui, excité par les signaux disponibles, à savoir l’entrée et la sortie du système, est capable de reconstruire de manière asymptotique l’état courant du système à observer. Sa structure est basée sur le modèle d’état du système :
SObservateur
z( t ) Az( t ) Bu( t ) G( y( t ) y* ( t )) y* ( t ) Cz( t ) z( 0 ) z 0
Système (A,B,C,D)
u
y
Observateur
Terminologie :
z
z état de l’observateur y* sortie de l’observateur G : Matrice de gain de l’observateur de dimension (n,p), à déterminer.
3.3.3 Etude de l’erreur d’observation
Les équations du système et de son observateur sont données par :
Sboucle ouverte
x( t ) Ax(t ) Bu( t ) y( t ) Cx( t ) x( 0 ) x 0
S Observateur
z( t ) Az( t ) Bu( t ) G( y( t ) y* ( t )) ( A G.C )z(t ) Bu(t ) Gy(t ) y* ( t ) Cz( t ) z( 0 ) z 0
On définit l’erreur d’observation (t)=x(t) - z(t). Elle obéit à l’équation différentielle suivante :
( t ) x( t ) z( t ) ( A G.C )( t ) ( 0 ) x z 0 0
dont la solution s’écrit : ( t ) e( AG.C )t 0 23
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Il est évident que si les valeurs propres de la matrice A-G.C sont stables, l’erreur d’observation (t) tend asymptotiquement vers zéro et ce, quelle que l’erreur initiale (0). Ce qui signifie que l’état de l’observateur tend vers l’état du système. Cette convergence est d’autant rapide que les valeurs propres sont ‘plus négatives’. 3.3.4 Calcul du gain de l’observateur Une question se pose : Comment calculer la matrice G, qui constitue l’unique inconnue du
problème ? La réponse à cette question passe par le théorème suivant : Théorème 2’ :
Un système S ou la paire ( C,A) est observable si et seulement si pour tout ensemble symétrique de n valeurs propres, il existe une matrice G(p,n) telle que : ( A-GC ) =. En d’autres termes, si la paire (C,A) est observable, il existe une matrice G telle que : det( I
( A G.C ) ( * )( * 1
* * 1
2
)..( *n )
*n
2
En remarquant la similitude entre le problème de la commandabilité et de l’observabilité, on peut utiliser les mêmes méthodes ayant servies pour le calcul du gain K du retour d’état pour le calcul du gain G de l’observateur, à savoir : Les données :
(C,A) une paire observable
L’ensemble des valeurs propres assignées à la matrice A G.C :
* * 1
2
*n
L’inconnue est le gain G (cas monovariable) :
g g G g n 1
2
a) Méthode directe
Cette première méthode consiste à calculer le gain G tel que : det( I
( A G.C )) ( * )( * )..( *n ) 1
* 1
*
* n
2
2
Pour ce faire : 1. Poser G =[g1 g2…gn]T 2. Développer la matrice A – G.C 3. Calculer la matrice I – ( A
–
G.C ) et en déduire son déterminant pour obtenir le
polynôme caractéristique désiré en fonction des éléments de G. 4. Développer le polynôme caractéristique désiré ( *1 )( *2 )..( *n ) 5. En identifiant terme à terme les deux polynômes caractéristiques, on obtient un système de n équations dont les inconnues sont les éléments g i , i=1,..,n.
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b) Calcul de G par utilisation de Matlab
En vertu de la dualité qu’il y’a entre la commandabilité et l’observabilité, tout programme destiné à calculer le gain du retour K peut être utilisé pour calculer le gain G de l’observateur. Pour ce faire, on introduit AT au lieu de A et C T au lieu de B : Q=ctrb(A’,C’) ; % permet de calculer la matrice d’observabilité (transposée) Q=Q’ ; % permet de calculer la matrice transposée de Q R=rank(Q) ; % permet de calculer le rang de Q pour conclure sur l’observabilité K=place(A’,C’,p) ; permet de calculer le gain K , p est un vecteur colonne contenant les valeurs propres désirées. On pose ensuite G=K T . 3.3.5 Exemple de synthèse d’un observateur
On considère le système suivant : x10 S1
x1
x20
u(t)
y(t)
S2
x2
Système Ce système est accessible par l’entrée u et la sortie y. Sa dynamique est fixée par les valeurs
propres : 1 1 2 2 Les équations de l’observateur :
z( t ) ( A GC )z( t ) Bu( t ) Gy( t ) z( 0 ) z arbitraire 0 On lui impose une dynamique telle que : S Observateur
*1 2* 1 2 *2 2 2 4 Ce qui permet d’assigner une dynamique ‘’ deux fois plus rapide que celle du système à observer’’. En utilisant l’une des méthodes pour le calcul de G, on a : G =[3 0]T. D’où es équations de l’observateur SObservateur
z1( t ) 4 z1( t ) 3z2 ( t ) u( t ) 3 y( t ) 4 3 1 3 z( t ) z( t ) u( t ) y( t ) z2 ( t ) 2 z2 ( t ) u( t ) 0 2 1 0 z( 0 ) z arbitraire z( 0 ) z arbitraire 0 0
Le schéma de principe de la réalisation de l’observateur est donné par la figure suivante :
25
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Les résultats de la simulation sont illustrés par les figures suivantes dans lesquels, le système est supposé dans l’ état initial x 0 = [-1 3]T alors que celui de l’observateur est z0=[0 0]T.
1 0.8 z1
0.6 0.4 0.2
x1
0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
3
3.5
4
4.5
5
temps
3
2.5 x2
2
1.5
1
z2
0.5
0 0
0.5
1
1.5
2
2.5 temps
Remarque importante L’observateur tel qu’il est introduit est appelé observateur d’ordre complet c’est-à-dire du
même ordre que celui du système à observer, à savoir n. Il permet de reconstruire tous les états du système. Cependant, il arrive dans des cas, que certaine des variables d’états n’ont pas besoin d’être reconstruites puisqu’ elles sont accessibles. Dans ces cas, on réalise un 26
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observateur d’ordre réduit, plus précisément d’ordre égal au nombre de variables d’états non accessibles. Sa conception est un peu plus compliquée. On continue à utiliser par la suite, l’observateur d’ordre complet pour des raisons de simplicité. 4. Commande par retour d’état d’un système commandable et observable 4.1 Structure de la commande en boucle fermée
La mise en œuvre d’une commande par retour d’état suppose l’ hypothèse d’un système commandable et observable lorsque toutes les variables d’état ne sont pas acces sibles à la mesure. Le problème de la commande se résout ensuite en trois grandes étapes : 1. Recherche de la commande en supposant x mesurable. La commande linéaire est de la forme u = e – K x, K étant déterminée par exemple en imposant des pôles à la boucle fermée. 2. Reconstruction de l’état. Si seul y est mesurable, il faut synthétiser un observateur, ce qui revient à déterminer un gain G assurant la stabilité et une bonne dynamique à l’observateur. 3. La commande du système est finalement réalisée à partir de l’ état estimé.
La figure suivante illustre la structure de la commande en boucle fermée avec incorporation d’un observateur d’état : Consigne
u
Système (A,B,C,D)
y
Etat x
Observateur Etat estimé z Gain du retour d’état
4.2 Equations d’état en boucle fermée
Les équations du système et de son observateur sont données par : Sboucle ouverte
x( t ) Ax(t ) Bu( t ) y( t ) Cx( t ) x( 0 ) x 0
S Observateur
z( t ) ( A GC )z( t ) Bu( t ) Gy( t ) z( 0 ) z 0
La loi de commande : u(t ) e(t ) Kz(t ) . ( t ) x( t ) z( t ) ( A G.C )( t ) ( 0 ) x0 z0
L’erreur d’observation :
Avec la a loi de commande : u( t ) e( t ) Kz( t ) e( t ) K( x( t ) ( t )) , on a les équations suivantes :
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Sboucle fermée
x( t ) ( A BK )x( t ) BK ( t ) Be(t ) ( t ) ( A GC )( t ) y( t ) Cx( t ) ( 0 ) x z arbitraire 0 0 x( 0 ) x0 arbitraire
x( t ) En définissant X , comme vecteur d’état global (système + observateur), les équations ( t ) en boucle fermée s’écrivent : A BK BK B X ( t ) 0 A GC ) X ( t ) 0 e( t ) Sboucle fermée Y( t ) C 0 X ( t ) X arbitraire 0 Commentaires :
On note que l’état du système ainsi corrigé se trouve affecté par le terme supplémentaire BK ( t) en comparaison avec la commande classique (Sans observateur).
Toutefois ce terme tend vers 0 de manière asymptotique. On peut dire que la contribution de l’observateur est présente jusqu’à ce que terme s’annule.
La matrice d’état en boucle fermée est tria ngulaire par blocs, l’ensemble de ces valeurs
propres est tel que : A BK 0
A BK A GC A GC ) BK
Ce qui veut dire que la dynamique du système en boucle fermée est fixée d’une part par les valeurs propres assignées à ( A-BK ) d’une part et par les valeurs propres assignées à ( A-GC ) d’autre part. Théoriquement ces valeurs propres se fixent de manière indépendante. C’est le principe de la séparation.
En régime statique (entrée constante = e 0), l’observateur n’intervient pas comme le montre les équations en boucle fermée écrites lorsque le régime statique étant atteint : Sboucle fermée en régime statique
0 ( A BK )x Be0 x ( A BK ) 1 Be0 y Cx y C( A BK ) 1 Be0 0 z x
4.3 Exemple de synthèse
On considère le système suivant : 3 2 2 x( t ) 4 5 x( t ) 0 u( t ) y( t ) 2 1 x( t ) x( 0 ) x o n 2 p m 1
Etas non accessibles
Cahier des charges : - Amélioration de la dynamique - Valeur finale de la sortie y =1. 28
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4.3.1 Analyse du système
Analyse de la stabilité La matrice d’état A possède deux valeurs propres strictement négatives 1 1 2 7 . Le
système est par conséquent stable. Analyse transitoire La matrice d’état A possède deux valeurs propres réelles auxquelles on peut associer deux 1 1 constantes de temps 1 1 2 0.14 . En négligeant la plus petite constante de temps, 1 2 le temps de réponse peut être estimé à 31=3 (USI) Analyse de la commandabilité et de l’observabilité
2 6 0 8 det(Qc ) 16 0 rang( Qc ) 2 ( n )
Qc B AB
Système commandable
C 2 1 CA 10 9 det(Qo ) 8 0 rang( Qo ) 2 ( n )
Qo
Système observable
4.3.2 Synthèse du régulateur d’état Placement de pôles en boucle fermée
( A BK ) 2 , 2 , 7 K k k 0.5 0 .25 g 7.375 ( A GC ) 4 ,2 4 , 14 G g 4.75 1
2
1
2
1
1
2
2
Equations de l’observateur
SObservateur
z1( t ) 17.75 z1( t ) 9.375 z2 ( t ) 2u( t ) 7.375 y( t ) 17.75 9.375 2 7.375 z( t ) u( t ) y( t ) z( t ) z2 ( t ) 5.5 z1( t ) 0 .25 z2 ( t ) 4 .75 y( t ) 5.5 0.25 0 4.75 z( 0 ) z arbitraire z( 0 ) z arbitrair e 0 0
La loi de commande u( t ) e( t ) 0.5z1( t ) 0. 25z 2( t ) Choix de la consigne et l’état statique
Le gain statique en boule fermée : eo
1
Ks
Ks
yo eo
1
1
C( A BK )
4 1.5 2 B 2 1 0 0.86 4 5
1.17 0.83 0.67
x ( A BK ) 1 Beo
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Schéma de principe de la réalisation
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Simulation
Les résultats de la simulation sont illustrés ci- dessous. Le système est supposé dans l’état initial x0 = [1 2]T alors que celui de l’observateur est z 0=[0 0]T. Evolution de x1 et de son estimation z 1
Evolution de x2 et de son estimation z 2
Evolution de la commande u
Evolution de la sortie y
5. Commande par retour d’état avec action intégrale
La commande par retour d’état avec ou sans observateur d’état ne permet pas d’assurer une bonne précision statique vis-à-vis des consignes constantes ou des perturbations lentement variables. Il est possible de mettre en œuvre une correction dans l’espace d’état permettan t l’ajout d’une action intégrale dans la chaine de commande. L’idée est la suivante : On considère un système représenté par : S boucle ouverte
x( t ) Ax( t ) Bu( t ) y( t ) Cx(t )
On augmente ces équations en définissant une variable d’état supplémentaire xi ( t ) telle que : xi( t ) yd y( t )
où yd désigne la valeur de la sortie à atteindre en régime statique. En effet, lorsque le régime statique sera atteint, on aura bien 0 yd y( t ) , soit y yd yd apparait donc comme la consigne à fixer.
x( t ) xi( t )
On définit le vecteur augmenté X ( t ) D’où les équations:
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A 0 B 0 X ( t ) 0 X ( t ) 0 u( t ) 1 yd C ) S boucle ouverte Ba Aa Y( t ) y( t ) C 0 X (t )
La loi de commande est : u( t ) KX( t ) K1 K2 X( t ) K1 x( t ) K2 xi ( t )
D’où le schéma de principe pour la réalisation de la loi de commande :
Consigne yd
+
u
xi
K 2
Sortie y
Système
-
Etat Régulateur d’état
-K 1
x
Les étapes à suivre sont les suivantes :
Etablir les équations du système augmenté Tester la commandabilité de la paire ( Aa,Ba)
Calculer le gain de retour d’état K
Décomposer le gain K en K1, K2
Réaliser le régulateur d’état
6. Construction d’un observateur d’ordre réduit Comme il a été souligné précédemment lors de la construction d’un observateur d’état, certaines variables d’état n’ont besoin d’être reconstruites puisqu’elles sont disponibles par
mesure. Il est souvent intéressant de ne reconstruire que celles qui ne sont pas accessibles. On suppose que l’état est partitionné en deux sous-ensemble x1(t) = y(t) -accessibles-, x2(t)–non accessibles-, avec x1 de dimension n1 et x2 de dimension n2=n- n1. Le système dynamique original peut alors s’écrire : x1( t ) A11 A12 x1( t ) B1 x ( t ) A A x ( t ) B u(t ) 2 21 22 2 2 y( t ) x1( t )
Afin de mettre en valeur les dynamiques de l ’état inconnu, on effectue provisoirement le changement de variables suivant : x2 ( t ) A22 x2 ( t ) A21 x1 ( t ) B2 u( t ) u(t )
et on pose :
,
w( t ) x1 ( t ) A11 x1 ( t ) B1u( t ) A12 x2 ( t )
D’où :
x2 ( t ) A22 x2 ( t ) u( t ) w( t ) A12 x2 ( t ) ¨
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Cette représentation fait apparaitre un système d’ordre réduit dont la matrice d’état est A22, et
la matrice de sortie est A12. On propose alors de construire un observateur pour le système d’ ordre réduit en s’inspirant de la structure de l’observateur d’ordre complet, soit : S Observateur réduit
z( t ) ( A22 GA12 )z( t ) Gw( t ) u( t ) 0 z( ) z 0
Afin d’ écrire le système en fonction des signaux disponibles y(t) et u(t) du système original, on transforme l’observateur minimal ainsi : S Observateur réduit
z( t ) ( A22 GA12 )z( t ) G( x1( t ) A11 x1 ( t ) B1u( t )) A21 x1 ( t ) B2 u( t ) z( 0 ) z 0
Pour éviter la dérivée x1( t ) dans le second membre de la première équation, on introduit une nouvelle variable notée s( t ) telle que: s(t ) z( t ) Gx1( t ) z( t ) Gy(t )
D’où en développant : s(t ) z( t ) Gx1( t ) , on a :
SObservateur réduit
s( t ) ( A22 GA12 )s( t ) ( A22 GA12 )G GA11 A21 y( t ) ( B2 GB1 )u( t ) z( t ) s( t ) Gy( t ) s( 0 ) s arbitraire 0
Ces dernières équations représentent bien la structure d’un observateur excités par les signaux disponibles, à savoir, d’entrée u(t) et la sortie y(t). La sortie z(t) est de dimension réduite par rapport à l’observateur classique. On montre par ailleurs que si la paire ( C, A) est observable alors il en est de même pour la paire ( A12 , A22 ), ce qui permet d’assurer l’existence de la matrice G. Celle-ci sera calculée en fixant une dynamique appropriée à l’observateur d’ordre réduit. Exemple :
On considère le système suivant qui est naturellement partitionné : 1 1 1 x( t ) 2 2 x( t ) 1 u( t ) y( t ) 1 0 x( t )
A 1, A12 1, Selon la notation adoptée, on a : 11 B1 B2 1
A21 2 ,
A22
2
On choisit de prendre A22 GA12 =2 - G.1=-5G=7. Il s’en suit : ( A22 GA12 ) G G A11 A21 =-26 B2 GB1 = - 6 D’où les équations de l’observateur d’ordre 1 :
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SObservateur réduit
s( t ) 5s( t ) 26 y( t ) 6u( t ) z( t ) s( t ) 7 y( t ) s( 0 ) s arbitraire 0
Schéma de principe pour la réalisation de l’observateur
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