La media geométrica Definición. La media geométrica de n valores positivos x, x2,..., x n es el Número XG que se define como la ra! enésima en ésima del producto de estos es tos n v alore" #sto #s.
$or e%emplo, la media geométrica de los valores &, ', 2( es igual a)
La media geométrica se utili!a para promediar) ra!ones *a+-, ndices *a+ en -. $roporciones *a+*a/--, tasas de camio *a 0 -+ , que varan con el tiempo, entre 1tros.
E JE M P L O 1.
i una producción 3a experimentado un crecimiento del &4 del primero al segundo a5o 6 un incremento del &7 del segundo al tercer a5o 6 un decrecimiento del 87 del tercer al cuarto a5o. a- 9alcular la tasa promedio de crecimiento de los & últimos a5os. - 9alcular la producción producció n del quinto a5o, si la del d el primer a5o es 844. SOLUCION.
a- :omando como producción ase 844 para el primer a5o. #n el segundo a5o, el porcenta%e de crecimiento es de &4, la producción es. 8 4 4 / 4 .& 4 x 8 4 4 ;8&4 6 la tasa de crecimiento es 8&4+844 ; 8.&4. #n el tercer a5o, el porcenta%e de crecimiento es de &7, la producción es) 8&4 / 4.&7 x 8 & 4 ; 8(7.7 6 la tasa de crecimiento es 8 ( 7.7+8&4; 8.&7. #n el cuarto a5o. #l porcenta%e de crecimiento es de 087, la producción es) 8(7.7 < 4.87 *8(7.7- ; 8='.8(7 6 la tasa de crecimiento es Año
8 2 & =
% Crecimiento < &4 27 087
Producción
844 844/4.&*844-;8&4 8&4/4.&7*8&4-;8(7.7 8(7.704.87*8(7.7 -;8='.8(7
a!a!
< 8&4+844;8.&4 8(7.7+8&4;8.&7 8='.8(7+8(7.7;4.>7
#l promedio de las tasas de aumento durante los tres últimos a5os es la media geométrica)
#sto es, el porcenta%e promedio de crecimiento es de 8=.2?. - La producción para el quinto a5o es igual a)
E JE M P L O ".
uponga que la polación de una ciudad aumentó de 84,444 a 82,?44 en el perodo de 8'>4 a 8'>= 8 '>= como se indica en el cuadro cuad ro 2.7. Determine la tasa media del crecimiento. Año
Po#$ación
a!a de cam#io&' Año #a!e1()*'
Log &'
SOLUCION.
$ara simplificar los c@lculos, se puede utili!ar logaritmos en ase 84,
de donde resulta)
$ara calcular la tasa media de camio por a5o escogemos como ase el a5o 8'>4. Las tasas de camio se otienen dividiendo cada dato entre el dato del a5o Anterior. Aplicando la media geométrica a las tasas se tiene)
Luego, la tasa promedio de crecimiento es de 7.'7 por a5o.
La media armónica Definición. La media armónica de n valores no nulos x, x 2 x n es el número, X B que se define como el recproco de la media aritmética de los recprocos de esos n valores. #sto es,
$or e%emplo, la media armónica de los valores ?, =, 6 & es igual a =. La media armónica se utili!a para otener promedios de valores que est@n en relación inversa como la velocidad 6 el tiempo. #n general, se usa para otener el promedio de un con%unto de valores expresados en forma de tasas de unidades de un tipo por unidades de otro tipo *por e%emplo Cm+3-. N1:A. N1:A. La media armónica es siempre menor que q ue la media geométrica #sta a su ve! es menor que la media aritmética. #sto es.
EJE M PL O 1 na persona mane%ando su automóvil recorre los primeros 84 Cm. a ?4 Cm. por 3ora 6 los siguientes 84 Cm. a (4 Cm. por 3ora, calcular la velocidad media. SOLUCION. $ara recorrer los primeros 84 Cm. usa 84+?4 3oras. $ara recorrer los siguientes 84 Cm. usa 84+(4 3oras. $or lo tanto, para curir los 24 Cm. *84 / 84- se emplearon *84+?4-/*84+(4- 3oras con un promedio de velocidad de)
E JE M PL O " na empresa de transporte gasta E=44 en latas de aceite que cuestan E84 la docena" E744 en latas que cuestan E82.7 la docena" E?44 m@s en latas que cuestan E24 la docena 6 E&44 en otras que cuestan E27 la docena. 9alcular el costo promedio por docena de las latas de aceite. SOLUCION
