Solución: Sean
P2
=
dado probablidad de obtener 6 por el jugador B en un lanzamiento de un dado
Si suponemos que los dados no están cargados, entonces tenemos 1
p1
=-¡- ,
5
q1
=6
5
<12=6
- , n1 = 6Q
= 0.1167 más que B.
20
2
30
3
25
4
15
,.
100
tivas prob~bllidades de ocurrencia. b) SI se hubiera seleccionado una m.a. de tamaño 4, lcu~ es lat probabilidad de observar la cuaterna (2,3,3, 1}?
~
0.1167 - o (1/6)(5/6)
( 1/6)(5/6)
60
60 1.72]
= 0.5 - 0.45728
a).CalculeE[X]
y
Var[XJ
R.
2.15
y
1.7575
b) Calcule E[ X¡ ]
y
Var[ X¡ ) , 1 = 1,2.
R.
2.15
y
1. 7575
c
0.04272
. .b '6 uc1 n muestra! de X = ) eonst ruya 1a d 1stn
EJERCICIOS 1.-Entapoblación P = {1,3,4,7,8, 11 }, calcule la media muestra! para todas las posibles muestras de tamaño 2. Use el proceso con y, sin reemplazamiento.
- de hijos,. por ' familia, de una zona rural está 2.- la dis1ribueión dei número
X].
;ffx- µ¡ > 1]
l,
X1 + X2
' d) Calcule E[ X] y Var[ e) CalcuÍe
dada en la siguiente tabla.
1
En el problema 2, si X indica el número de hijos en la población, X1 el número de hifos observados en la primera extracción y X2 en la :segun-
Así, la probabilidad pedida es:
~
10
a) Dé, en la forma de una tabla de dos entradas, todas las posibles · muestras de dos familias que pueden ser formadas con sus n~spec- .
,n2=60
ro 6 más que B en 60 lanzamientos, esto es, A debe obtener por lo menos
P[z
o
TOTAL
' Para que A 9ane el juego debe obtener por lo menos 7 caras con núme7161.J
Porcentaje
Nº de Hijos
P1 .= probablidad de obtener 6 por el jugador A en un lanzamiento de un
2
R. 2.15
y · 0.8787r5
V.~1Ji(:G
- las alturas de 5,000 estudiantes son normalmente distriuidas con media 172 cm y desviación estándar de 7.5 cm. Si fueron obtenidiis 100 muestras con 36 estudiantes cada Llna, en cuántas muestras se puede esperar que la media muestra! se encuentre. · a) entre 169 y 174;
.
R. 94 muestras
b) superior a 170 Suponga que el muestr~o es sin reemplazamiento.
x
ve'""'~ <. ~·rlt]-;.. o,".)-+ ~') G\ ~ 1.t" 'X:;, r=t~~ o,~if s ~ ~, ~st:
L
47
\
5.- Una máquina de refrescos está regulada de tal manera que su descarga tiene aproximadamente una distribución normal con una media de 207 mililitros por vaso servido y una desviación estándar igual a 15 mililitros. La máquina se prueba periódicamente tomando ~na m.a. de 9 vasos Y calculando el contenido promedio. Si la media X, de los 9 vasos cae dentro del intervalo ~ ::t 2 se acepta qu~ la máquina ~stá op~ran~ do satisfactoriamente; de otra forma, se requiere hacerle a¡ustes. ¿Que acción correctora debe tomarse si la muestra de 9 vasos tiene un contenido medio de 219 mililitros? R. Ajustar la máquina
a) Calcule la media y la varianza de los salarios en la población. b) Basado en la distribución muestra! de la media, encuentra la_distribución muestra! de la estadística. (X- u)
Z=
ªx
6.- Para contar folletos en grupos de 60, rápidamente, lo mejor es pesarlo. Supongamos que la distribución del peso de los folletos, de uno en uno, tiene una media de 2 gramos y desviación estándar de 0.1 O gramos. Una pila de folletos se clasifica como pila de 60 folletos si su peso está entre 119y121 gramos. a) lCuál es la probabilidad de que una pila de 59 folletos quede contada como pila de 60 con este método? R. 0.09675
o.:i (Llfi
b) lCuál es la probabilidad de que una pila de 60 folletos no quede correctamente contada por este método? R. 0.19706 7.- En la siguiente tabla se tiene la distribución de los salarios de la secretaria
A. Clase de Salarios
Porcentaje
>
10
[ 7.5 10.5 >
20
[ 10.5 13.5 >
40
[ 13.5' 16.5 >
20
[ 16.5' 19.5 >
10
[ 4.5 1 7.5 1
1
fil
(n
= 3)
(J
8.- Si la desviación estándar del peso de los niños del Hospital del niño es
de 2.5 kgr, lcuál es la probabilidad de que el peso medio d~ una mue,stra al azar de 100 de estos niños, difiera en más de medio kilogramo, con respecto al peso medio para todos los niños del Hospital? R. 0.0455 9.- Una v.a. X tiene distribución normal, con media 100 y desviación estándar
10.
X
a} Si es la media muestra! de 16 elementos extraídos de esa población, calcule
R. 100 %
P[90
. P[ 90 <
X<
110]
= 0.95?
Ft 4 10. Una máquina de empaquetar un determinado producto empaqueta según una distribución normal, con media u y desviación estándar de 20 gr. a) lEn cuánto debe ser regulado el peso medio u para que solame!nte 10% de los paquetes tengan menos de 500 gr Á~ . R. 52!5.6 b) Con la máquina así regulada, lcuál es la probabilidad de que el peso total de 4 paquetes seleccionados al azar sea inferior a 2 kgr.?
y=
z
-1..
o. or s
'P [ <- 1.. R. o.52~3% 11. En cierta población de alcohólicos, la duración p romedio del abuso del alcohol es de 12 años y la desviación estándar de 6 años. lCuát es la
1, 5 bl=
probabilidad de que una m.a. de 36 individuos de esta población tenga una duración promedio de abuso de alcohol entre 10 y 11 años?
A. 0.1:359 12. La media de una distribución muestra! de medias es 50, y su desviación estándar es 10. Suponga que la distribución de la población original! es normal.
49 48
x 1 Lt :::- ;L5 ~ - w
.L:-\ A
:::r
~
-<
a) ¿Qué porcentaje de las medias de la muestra estará entre 45 y 55? R. 0.38292 b) ¿Qué porcentaje de los valores medios de la muestra será menor que la media de la poblaciór:i. R. o.so
6
tn
.
a
~
o0 ¡1
13. En el problema 10, después de que la máquina está regulada, se ~) programó un control de calidad. De hora en hora, se retira una ~! ·e; de 4 paquetes, y luego son pesados. Si la media de la. muestra fu~ra in- ~ ~ "" ferior a 495 gr. o superio~ a 51 o gr. se para la p.roducc1ón para rea1ustar f\ r . I . la máquina, esto es, rea¡ustar el peso promedio. ~
~1
NV, \}
muestra~
a) lCuál es la probabilidad de no parar la máquina?
R. 0.05827
1 "' ,..j )
·~v
p..
p..
b) Si el peso promedio de la máquina se desreguló para 500 gr., lCuál es la probabllldad de continuar con la producción fuera de los patrones deseados?
f.> (=t <: ~) '=- O(,~ L¡ A)
R. o.5328.
?' ,....
v ·1
t\
0
~
14. Una máquina vendedora de refrescos está regulada de modo que la can- ~ tidad despachada tenga distribución normal con µ, = 17 gramos y ~ a = 2.5 gramos. Si se toman muestras de 16 vasos, .lde q!-lé valor ex- cedería el 95% de las m:<1ias de ta muestra? o JO 1é:'Yl 19 \> -O A S ¡ 6\. 3 · ~ 1s.912 15. Una v.a. X tiene distribución normal, con media 1Oy desviación estándar de 4. A los participantes de un juego, se permite observar una muestra de cualquier tamaño y calcular la media muestra!. Gana un premio aquel cuya media muestra! fuere mayor que 12.
l
- a..j
i i .. ('.)
R. n
= 1.
16. Una cierta marca de bombillas tiene una vida media de 257.1 horas Y una desviación estándar de 20 horas. Un corredor sin ventanas de un edificio de oficinas, tiene una instalación eléctrica poco usual, diseñada para iluminar continuamente el corredor. Consiste de cuatro bombillas, pero sólo una se enciende al tiempo. Cuando ésta se quema. la próxima
50
.·
bombilla se enciende automáticamente. Este proceso continúa hasta que se quétnen todas las cuatro bombillas. Cada 6 semanas precisamente al mediodía, el administrador viene y reemplaza las cuatro bombillas. ¿Cuál es la probabilidad de que se quemen las cuatro bombillas antes de que llegue el admlnistradot para reemplazarlas? R. 0.30503 17. La capacidad máxima de un ascensor es de 500 kilos. Si la distribución X de los pesos de los usuarios es N(70,100), a) ¿cuál es la probabilidad sl0..f1ue 7 pasajeros sobrepcisen ese límite?
'P [
~
/ s o(, t"::f J
R. 0.35~0
b) ¿cuál es la probabilidad de que 6 pasajeros sobrepasen ese lfmite? R. 0.00054 18. Las cuentas de gastos de comidas de los gerentes del Banco Continental tienen una media µ. de población de 1/. 10,000 por persona Y una desviación estándar de a = 800 por persona. Si se -seleccionan muestras aleatorias de 16 cuentas, a) lPor debajo de cuál valor en dinero caerá el 97.5% de las medias
muestrale~? 'tl ( t
b
a) Si un participante selecciona una m.a. de tamaño 16, lcuál es la probabilidad de que él gane el premio? R. 0.02275 b) Escoja usted un tamaño de muestra diferente de 16 para participar del juego. lCuál es la probabilidad de que ud. gane un premio? c) Basándose en los resultados anteriores, lcuál es el mejor tamaño de la muest~a para participar del juego?
'P t x < :
< ~ .Cf ~\::: O..°J +S '1
n' o
R. 10,392. b) ¿cuántas medias muestrales estará entre 1/. 9,500 y 1/. 10,500'? ~ 19.
~efinimos la variable e = µ. como el error muestra! de la media. Suponga que la varianza de los salarios de una cierta región sea de 400 unidades al cuadrado. 400 a) Determine E[ e ] y Var[ e ] R. O Y '""
X-
b) ¿Qué proporción de las muestras de tamaño 25 tendrán un error
muestr~I absoluto mayor que 2 unidades? ·
. R. . . % 6 1 708 c) ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra para que é5% de los ierrores muestrales absolutos sean inferiores a una unidad. R. n := 1537
o Cada sección usada para la construcción de un oleoducto tiene una longitud promedio de ?m yuna desviación estándar de 20 cm. La longitud total del oleoducto será de B km. · a) Si la firma co~Structora del oleoducto recomendará usar 1,600 secciones, lcuál es la probabilidad de tener que comprar mas de una sección adicional (esto es, si las 1,600 secciones sumaran 7995 m o
·~f::~o [L.·-
(.~;;:(2.')_~-\o. l,;f,)
.~is J
-.
:t
R.
()~:
... b) lCuál es la probabilidad del uso exacto de 1,599 secciones, esto es, la suma de las 1,599 secciones esté entre 8,000 y 8,005 rn. R. 0.1601 21. Se identificaron dos poblaciones de alumnos del último ciclo de la Universidad de Lima. La variable de interés en la investigación consistía en los puntajes obtenidos en una prueba de rendimiento en Seminario de tesis que hicieron los estudiantes de las dos poblaciones. Los investigadores suponían que los puntajes de las dos poblaciones estaban distribuidos normalmente con las siguientes medias y varianzas. µ, 1 --= 50 •
o-f = 40
; µ.2
= 40
'
(1~ = 60
Una m.a. de tamaño n1 = 1Ose extrae de la población 1, y una de tamaño 12 de ta población 2. lCuál es la probabilidad de que la diferencia entre las•medias muestrales esté entre 5y15?
R. 0.90508 22. Supongamos que X1 y X2 Son medias de dos muestras de tamaño n ex-
rl.
traída de una población con varianza Determine n de modo que con probabilidad de 0.01 la~dos medi'ls,rty_,estrales difieren en mas de a. ~l-=t. ) ~o :Lti R.n = 14 23. Un antropólogo estima que los habitantes de la Sierra tienen un índice cefálico promedio de 80 con una desviación estándar de 3 y que los habitantes de la Costa tienen un índice cefálico promedio y una desviación estándar de 75 y 2, respectivamente. Supongamos que .el antrólogo está en lo cierto. lCuál es la probabilidad entonces de que con uná m.a. de 40 habitantes de la Sierra y con una m.a. independiente de 50 habitantes de la costa se obtenga una diferencia entre las dos medias muestrales superior o igual a 6? . . R 0.03515
.c.. J._,S1S
5
24. El consumo medio diario de proteínas en una población determinada es de 200 gramos en otra de 150 gramos. Supongamos que los valores del consumo de proteínas en las dos poblaciones están normalmente distribuidas, con una desviación estándar de 80 gramos. lCuál es la probabilidad de que dos muestras aleatorias e independientes de tamaño 40 tomadas en cada poblactón arrojen una diferencia entre medias muestrales de 1O o de menos? R. 0.01215 25. En una investigación de control de calidad de bombillas se encuentran que una m.a. de 200 bombillas fabricados por Leon S.A. tienen un
52
promedio de vida útil de 6,000 horas con una desviación estándar poblacional de 1,600 horas. Otra m.a. de 160 bombillas fabricadas por la Compañía Edwin S.A. tienen un promedio de vida útil de 8,ÓOO horas con una desviación estándar poblacional de 3,600 horas. ¿duál es la probabilidad que el promedio de vida útil de las bombillas fabricadas por Edwin S.A. no difiera en más de 800 horas del p medio de vida útil de
~
las bombillas fabricadas por León S.A.?
\'
"
I"{. ~ D
Ft o.00004
26. Una muestra de.520 de los 5,.000 em~leados de una Compañía ha sido r;-tomada con el fm de determinar el tiempo empleabo en ir y venir del N trabajo. Supóngase que la desviación estándar de esos tiempQs es igual N a 15 para hombres y para mujeres. lCuál es la probabilidad die que una ~ diferencia de m~s de 8 min~tqs haya sid9 observada en lé!lS medias /\ muestrales XH - XM, si Jlii - µM = 5 Y la muestra contiene 320 hombres ~ y 200 mujeres empleados? R. o.013 (l.. 27. ·Un profesor toma un test rápido, compuesta de 20 prE!'guntas del tipc • verdadero-falso. Para probar la hipótesis de que el estudiante está adivinando la respuesta, el profesor adopta la siguiente regla de' decision: "Si 13 ó más están correctas, el estudiante no está adivinando'' lcuál es la probabilidad de rechazar la hipótesis, cuando es verdadera?
R. 'J.09012 28. Una Universidad tiene 10,000 estudiantes en bachillerato. Para ayudar en la celebración del centenario de las Ciudad de Lima. el Concejo Municipal seleccionará al azar 100 estudiantes de bachillerato para servir como "anfitriones oficiales". La estatura de los estudiantes de bachillerato está distribuid~:i normal mente con una media de 69 pulgadas y una desviación estándar de 3 pulgada,s. Hay un número igual de estudiantes masculinos y femeninos. lCuál es la probabilidad de que el Concejo Municipal seleccione: a) Una muestra que tenga una media de 72 pulgadas o más de .estatura?
RO Exactame~te 50 varones y 50 mujeres? 'P :: l._ ( '()' / Oe ~] 'P :: O- ~ ~ ::: o e s R. 1 c) 60 o más varones? 'P [ )( '> o.~ R. 0.02215 b)
l
2'J. Un distribuidor de semillas determina a través de pruebas que 6% de las
semillas no germinan. El vende paquetes de 200 semillas c on garantía de 90% de germianción. lCuál es la probabilidad de que un paquete no satisfaga la garantía? R. 0.06%
53
..
·30. De los miembros de t. 1 s 'lliicato. 46% eslán en contra de sus actuales líderes. ¿Qlál es la J oc 1: 1iidad de que una encuesta muestre una mayoría de esta nat.Jn 92. i la encuesta se hizo con 100 miembros del sindicato?
A. 0.21186
31. La distribución de les ; ~ :~s ~en salarios mínimos) de obreros de sexo masculino de una fábr'<.a t:.i t (5.4, 1.69), y del sexo femenl¡10 es N(4.5 , 2.25). Se selecciona, ths •··;,. 35'.ras. una con 16 ~ y otra con _16 mujeres. Si D es la dl'e 'til'~ii •nlm el salario rmdK> de los hombres Y de
,,
•
las mujeres. a) Calcule
R. 0.3125
P[ID I > J ..:;,.
b) ¿cuál es el valor de d 1t:!· :¡ua P[I O 1>
dJ = o.05?
R. 0.97
c) ¿Qué tamaño com;Jn df!r. m tener ambas muestras para que P[ID I > nAJ
= 0.05?
R. 95
32. Un proceso para llenar be. eb s de~ presenta una p1oducci6n " promedio en la que el 1~ dé la ~ bclelas noestáncomoletamente llenas. Si mediante este procesc•se A!facciona al azar l.118 muestra de ~5 botellas de un lote de625 emrcJS.::s llenos, i.cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de bot 31c.s parcialmerde Uenas se encuentre en el intervalo que va del 9 al 11~? R. 0.4680 33. En Urna MetropOlilana el 18% de los adolescentes ha tenido algún contacto (desde amonestacior.es hcsfa arrestos) con la policfa por motivo de delincuencia juvenl. Se selécciona una m.a de 1 00 adolescentes. ¿Cuál es la probabiidac ce que enlre .et 15% y el 25% ha~ tenido contacto con la poliáa por l JS causas anotadas?. R. 0:7479 34. se cree que 1~ de los t ajo"'. Se creg además que en el distrito de Unce esta pr'JJ)Orción es de 11%. Si esla3 cifras son ex~c tas, ¿cuál es la probabitld-.d de que una m.a de 200 hogares del distrito de Breña y una m. 3. independiulte de 225 hogares del distrito de Unce arrojen una c:f.ferer :la entre las proporciones muestrales mayor o igual a 10%. R. 0.0475 54
35. Se cree que dos drogas, A y B, son igualmente efectivas para reducir el nivel de ansiedad de ciertas personas emocionalmente perturbadas. La proporción de personas en las que la droga resulta efectiva es 0.'70. En una m.a. de 100 personas emocionalmente trastornadas a quienes se les .suministró la droga A, 75 experimentaron una reducción dél nivel de an· siedad. La droga B resultó efectiva en 105 personis de una muestra aleatoria independiente de 150 personas. Si las dos drogas- son Igualmente efectivas como se cree, ¿cuál es la probabffidad de observar una diferencia de proporciones muestrales tan grande o más grandE~ de lo que aquf se anota? R. o.2033 36. Un encuestador polftico efectúa un análisis de los resuttados de la muestra para hacer predicciones para la elección. Supóngase Clue se trata de una elección con dos candidatos para la Alcaldía de Umél; si un candidato especifico recibe, cuando menos 60% def voto en la muestra entonces se pronosticará que ese candidato será el ganador de la elección. Si se selecciona una m.a. de 900 votantes, lcuát es la proba biUdad de que se pronostique como ganador a ese canaidato cuando el porcentaje real de sus votos es 55%? R. 0.00126 1 Los "ratings"· de la televisión se basan e:n muestras que comúnimente cómprenden 500 televidentes, más o menos. Supongamos que los qrogramas A y B que trasmiten canal 20 y canal 30, tienen los ratin gs verdaderos de 30% y 35%, respectiyamente. Se hace una encuesta sobre una m.a. de 500 casas con TV durante la trasmisión del programa A y otra para el programa B, de 500 casas también. lCuál es la probabilidad de que los resultados muestren que el programa B obtenga un rating más alto e11 e~te e~imento? ~A:::.· 5 -~ ~:::.. Q ., 5 R. o.!95449.
o..
una m.a. de 1,000 familias escogidas del departamento de An:!Quipa 11 1980, 96 de los cabezas de familia estaban sin trabajo. lConcordaba 1resultado de esta muestra con el supuesto de que exactamente 10% 1 • l'l fuerza de trabajo estaba desempleada en dicho año? ~ 11
P-P
P[ 1
1
> 0.004})
R. O.~~
1In fábrica instala una lfnea de ensamblaje automatizada para fabricar
pieza pequeña. lCuántos artículos, de los producidos se de~en exminar con la finalidad de que la probabilida,d sea al menos 90% de que
11
55
la proporción de muestreo de piezas defectuosas difiera de p en menos de 0.05?
R 1,000
40. Un contratista piensa comprar una gran cantidad de radios a cierto fabricante. Este asegura al contratista que la duración promedio de los radios es de 3,600 dias con una desviación estándar de 40 dias. El contratista decide comprar los radios sólo si una m.a. de 64 de éstos da como resultado una vida promedio de por ló menos 3,600 días. lCuál es la probabilidad de que el contratista adquiera los radios?. R. 50% 41. En la producción de cierto material para soldar se sabe que la desviación estándar de la tensión de ruptura de este material es de 25 libras lCuál debe ser la tensión de ruptura promedio del proceso si, con base en una muestra aleatoria de 50 especímenes, la probabilidad de que la media muestra! tenga un valor mayor de 250 libras es de 0.98? R. 257.26 ' ,....____ '
42. Se sabe que en un cargamento grande de pernos hay 3% de pernos defectuosos. Se selecciona una m.a. de 1,000 pernos de dicho car~~ gamento. Si X denota al número de pernos defectuosos en la m.a., lcuál es la probabilidad que este número no exceda a 5% ~e 1,000? ' f 1 ' R. 0.99990 C) f~~· Sean X1, ... , Xn y Y1, ..., Yn variables aleatorias in.d~pendientes idéntic~ VI mente distribuidos con E[X¡] = E[Y¡] = µ.,TI 1, J = 1, .. ., n Y Var[Xi] .. 1
i:Q _,;.
--¡:;:¡
st V\
N ~
~
0
= Var[Y¡] =
;
Hasta el momento hemos visto distribuciones muestrales para muestras grandes (n > 30), estas distribuciones eran aproximadamente"hormal 0 que el tamaño de la muestra era suficientemente grande de tal manera que se cumplía el Teorema del Límite Central. Sin embargo, cuando el tamaño de la muestra es pequeña (n ~ 30), no pod~'.11os emplear a,decuadamente el Teorema del Límite Central y si lapoblac1on no es normal, tampoco podemos suponer que la distribución muestra! es normal.
ci finito 'V i,j = 1, .., n. Determine
ntalque
p[jx-vl~o.2scr]~0.95
R. n
=
123
44. Un laboratorio produce cierta clase de vacunas tal que el 2.5% de ellas no produce elef~cto deseado. Un granjero solicita 1,0.00 vacunas de las que produce dicho laboratorio, determinar. a) ¿cuál es la probabilidad que encuentre menos de 1.5% de vacunas que no producen el efecto deseado? R. 0.021 :;! .. b) La probabilidad de que encuentre mas del 4.5% R. 0.0968 45. un instituto de opinión pública quiere obtener una muestra de votantes en una cierta ciudad, suficientemente grande para que la probabilidad de que la proporción obtenida a favor de un cierto candidato resulte inferior al 50%, siendo la verdadera del 52%, sea sólo 0.01. lOué tamaño deberá adoptar para la muestra?
56
2.1 INTRODUCCION
R. n
= 3,375
El estudio .de inferencias estadísticas con muestras pequeñas se llama teorfa de muestreo exacto. La principal diferencia entre las teorías de muestreo grande Y pequeño está en que las distribuciones por maestreo para mue~tra~ ,grandes. son normales; mientras que para muestras pequeñas, la llstnbuc1on por muestreo difiere de un caso a otro. Hay tres distribuciones 11• ~robabilidad que a menudo se utilizan para una estadística con n peueno, que son: las distribuciones de Chi-Cuadrado, F y t de Student. Los lr1•s mod~los. se relacionan con el modelo de probabilidad normal y se de111'11 en terminas de grados de libertad.
O flnición 1.- (Grados de Libertad). El número de grados de libertad, f notado por r. corresponde al número de variables aleatorias incle11dientes que se suman, o es el número de variables que pueden var,iar 111mente. Aquí, la independencia es funcional y no estadístico.
57