Probabilidad
Se seleccionan dos componentes y se clasifican conforme cumplen o no los requisitos de temporización eléctrica del producto. Si un componente es aceptable se denota como A y si no es aceptable se denota como N. ¿Cuál es el espacio muestral del experimento?
Cada 10 minutos se verifica el volumen de llenado de las latas de refresco de una máquina llenadora automática, con la finalidad de determinar si las latas cumplen con las especificaciones de volumen que deben contener. La evaluación continúa hasta encontrar una lata que no cumpla con las especificaciones. Si s denota el hecho de que la lata cumple con las especificaciones, especificaciones, y n, de que no cumple con ellas, ¿cuál es el espacio muestral del experimento?
Se selecciona un componente electrónico y se clasifica según cumple o no los requisitos de temporización del producto. Si el componente es aceptable, entonces sólo se asienta este hecho. Si no es aceptable, se registra el hecho y luego se clasifica el resultado de la temporización en una de cuatro categorías, las cuales se indican con los códigos a, b, c o d . ¿Cuál es el espacio muestral del experimento?
S = {AA, AN, NA, NN} Evento 1: Todos los resultados para los que al menos una de las partes no es aceptable.
E1 = {AN, NA, NN} Evento 2: Ambas partes no son so n aceptables. E2 = {NN}
S = {AA, AN, NA, NN}
E1 = {AA, AN, NA}
E2 = {AN, NA, NN} E1∪E2 = {AA, AN, NA, NN} = S E1∩E2 = {AN, NA} E1´ = {NN} E2´ = {AA}
Las mediciones del tiempo (redondeadas al minuto más próximo) necesario para completar una reacción
química pueden modelarse utilizando el espacio muestral S = 1, 2, 3, …-. Sean E1 = x|1≤x<10- = *1, 2, …,9+ E2 = x|3
Se analizan muestras de policarbonato plástico para determinar su resistencia a las rayaduras y a los golpes. A continuación se presenta el resumen de los resultados obtenidos con 49 muestras. Resistencia a los golpes
Resistencia a las ralladuras
Alta
Baja
Alta
40
4
Baja
2
3
Sea A el evento “la muestra tiene una alta resistencia a los golpes” y B el evento “la m uestra tiene una alta resistencia a las rayaduras”. Determine el número de muestras en A∩B, A´ y A∪B. Represente con diagramas de Venn este espacio muestral y los eventos A y B.
Se escoge un diodo laser al azar, de un lote de 100. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un diodo en particular? ◦
Suponga que el 30% de los diodos laser del lote de 100 cumple con los requisitos mínimos de potencia de un cliente específico. Si se toma un diodo laser al azar, donde cada uno tiene la misma oportunidad de ser seleccionado, ¿cuál es la probabilidad de que el diodo cumpla con los requisitos del cliente?
Los resultados posibles de un experimento aleatorio son {a, b, c, d} con probabilidad 0.1, 0.3, 0.5 y 0.1, respectivamente. Sean A el evento {a, b}, B el evento {b, c, d} y C el evento {d}. Determine ◦
P(A), P(B) y P(C)
◦
P(A´), P(B´) y P(C´)
◦
P(A∩B), P(A∪B) y P(A∩C).
La inspección visual de las obleas de un proceso de fabricación de semiconductores, arrojó los resultados de la tabla siguiente. Si se elige al azar una oblea de este proceso y se hace una inspección de ella, ¿Cuál es la probabilidad de que la oblea no contenga partículas? ¿Cuál es la probabilidad de que una oblea contenga tres o más partículas en el sitio de inspección? ¿Cuál es la probabilidad de que la oblea contenga 0 o más de tres partículas en el sitio inspeccionado?
Número de partículas
Proporción de
contaminantes
obleas
0
0.40
1
0.20
2
0.15
3
0.10
4
0.05
5 o mas
0.10
Un fabricante necesita que los diseños de un nuevo producto sean evaluados por clientes en potencia, con la finalidad de tener los comentarios de éstos en etapas muy tempranas del ciclo de diseño. Con base en datos históricos, si dos clientes evalúan el producto y deciden, de manera independiente, que les gusta, entonces el espacio muestral y las probabilidades pueden modelarse de la siguiente forma:
(aprobado,
aprobado)
0.04
(aprobado,
modificar)
0.16
(modificar,
aprobado)
0.16
(modificar,
modificar)
0.64
Sea E el evento en que ambos clientes aprueban el diseño, G el evento en que al menos un cliente aprueba el diseño, y H el evento donde el segundo diseño apruebe el diseño. ¿Cuál es la probabilidad de cada uno de estos eventos?
La siguiente tabla presenta la historia de 940 o bleas de un proceso de fabricación de semiconductores. Supóngase que se elige al azar una oblea. Sea A el evento en que la oblea tiene algos niveles de contaminación, B el evento en que la oblea está en el centro de un instrumento de deposición electrónica, E el evento donde la oblea no está en el centro del instrumento de deposición electrónica y tampoco tiene algos niveles de contaminación. En el centro del instrumento de deposición electrónica
Contaminación alta
No
Si
No
514
68
Si
112
246
¿Cuál es la probabilidad de los eventos A, B, E, A∩B y A∪B. Analice este ejemplo con ayuda de un diagrama de Venn.
Las obleas descritas en el ejemplo anterior se clasifican además como “centradas” o “en la or illa” del instrumento de deposición electrónica que fue utilizada en el proceso de fabricación, y por grado de contaminación.
Número de partículas
Centradas
En la orilla
Totales
0
0.30
0.10
0.40
1
0.15
0.05
0.20
2
0.10
0.05
0.15
3
0.06
0.04
0.10
4
0.04
0.01
0.05
5 o más
0.07
0.03
0.10
Total
0.72
0.28
1.00
◦
¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar al azar una oblea de este lote, ésta haya estado en el centro del instrumento de deposición?
◦
¿Cuál es la probabilidad de que una oblea que contiene cuatro o más partículas se haya encontrado en la orilla del instrumento de deposición?
◦
¿Cuál es la probabilidad de que una oblea se haya encontrado en la orilla de la herramienta o que contenga cuatro o más partículas?
¿Cuál es la probabilidad de que una oblea contenga menos de dos partículas o de que se haya encontrado en la orilla y contenga más de cuatro partículas?
En un proceso de manufactura, el 10% de las partes contienen fallas visibles en la superficie, mientras que el 25% con fallas en la superficie son funcionalmente defectuosas. Sin embargo, sólo el 5% de las partes sin fallas en la superficie son partes funcionalmente defectuosas. A: evento donde una parte es funcionalmente defectuosa. B: evento donde una parte tiene una falla en la superficie. Probabilidad de A dado (o suponiendo) que la parte tiene una falla en la superficie. Probabilidad condicional de A dado B: P(A|B). La probabilidad condicional de un evento A dado un evento B es P(A|B) = P(A∩B)/P(B).
La producción diaria de 850 partes contiene 50 que no satisfacen los requisitos del cliente. Del lote se eligen al azar dos partes, sin reemplazo. ◦
¿Cuál es la probabilidad de que la segunda parte sea defectuosa dado que la primera parte es defectuosa?
◦
Si se escogen tres partes, ¿cuál es la probabilidad de que las dos primeras partes sean defectuosas y la tercera no lo sea?
Los resultados obtenidos de 266 muestras de aire se clasifican de acuerdo con la presencia de dos moléculas raras. Sean A: el evento formado por todas las muestras en las que se encuentra presente la molécula rara 1, y B: el evento formado por todas las muestras de aire donde está presente la molécula 2. ◦
¿Cuál es la probabilidad de los eventos A, B, A|B Y B|A?
La producción diaria de 850 partes contiene 50 que no cumplen con los requisitos del cliente. Supóngase que se escogen del lote dos partes al azar, pero la primera se devuelve al lote antes de tomar la segunda. ◦
¿Cuál es la probabilidad de que la segunda parte sea defectuosa dado que la primera lo es P(B|A)?
B: Evento en el que la segunda parte es defectuosa.
A: Evento en el que la primera parte es defectuosa.
Si la primera parte se devuelve antes de tomar la segunda, el lote aún contiene 850 partes, de las cuales 50 son defectuosas
Sean A: el evento donde todas las muestras de aire contienen la molécula 1, y B: el evento donde todas las muestras contienen la molécula 2. Molécula 1 presente
Molécula 2 presente
Si
No
No
32
24
Si
16
12
P(B) = 28/84 = 1/3 y P(B|A) = P(B∩A)/P(A) P(A) = P(A|B) y P(A∩B) = P(A)P(B)
Al lanzar varias veces una moneda se supone que cada lanzamiento es independiente, y que la probabilidad de que el resultado de este sea cara es 0.5. ◦
¿Cuál es la probabilidad de obtener la secuencia [cara, cara, cara, cruz, cruz]?
Supóngase que la probabilidad de que una muestra de aire contenga una molécula rara es 0 .01 y que las muestras son independientes. Si se analizan 15 muestras, ¿cuál es la probabilidad de no encontrar ninguna molécula rara?