Importancia de la Estadística en la Ingeniería Un ingeniero es alguien que cumple una importante función en la sociedad que consiste en la aplicación de los principios de la ciencia para la formulación de problemas y/o soluciones enfocados a la satisfacción de las necesidades del entorno al cual pertenece. Este proceso de formular y dar solución a un problema se en encuentra ligado a un conjunto de pasos en los cuales se encuentra fundamentado el método científico o método de la ingeniería que puede resumirse como:
1. Observación: Mirar con atención y recato el comportamiento del fenómeno a estudiar. 2. Inducción: Obtener conclusiones generales, identificar las variables que pueden jugar un papel en la solución. 3. Hipótesis: Proponer un modelo apoyado en postulados científicos que apliquen a la situación de interés. 4. Prueba de la hipótesis: Con la utilización del modelo propuesto realizar un proceso de experimentación realizando los ajustes necesarios para mejorar su semejanza con la realidad. 5. Demostración o refutación de la hipótesis: Verificar que los resultados obtenidos son coherentes con la realidad estudiada. 6. Teoría científica científica o tesis: Generar conclusiones basadas en los resultados obtenidos de la simulación procurando la solución del problema. En el proceso de la aplicación del método científico el ingeniero deberá entonces realizar una toma de datos que luego deberá analizar para encontrar una relación con una teoría científica o tendencia y así poder formular un modelo el cual puede consistir en un conjunto de expresiones matemáticas que permiten describir la situación analizada finalmente realizar una simulación y obtener las respectivas conclusiones. Puede inferirse entonces que al momento de realizar las acciones descritas se deberá hacer uso de la matemática en sus diferentes áreas. La ciencia de las matemáticas puede considerarse como una caja herramientas en la cual se encuentran disponibles gran variedad de herramientas con diferentes aplicaciones y complejidades, una de estas herramientas es la Estadística. La Estadística aparece de la necesidad de entender y describir la variabilidad que se presenta en la naturaleza de un parámetro de interés un claro ejemplo puede citarse en el estudio del caudal de un rio donde su variabilidad con respecto tiempo resulta de gran importancia al momento del diseño de una estructura para captación de agua La variables de interés para el ingeniero varían de acuerdo a su campo de acción un ejemplo de esta afirmación puede observarse en el campo de la Ingeniería Civil que tiene diferentes escenarios de actuación el Ingeniero Hidráulico estará interesado en el estudio del caudal de un rio con el objetivo del suministro del liquido a una red de acueducto, el Ingeniero Estructural se interesara por la resistencia a la compresión del concreto utilizado en la construcción de una columna, el Ingeniero de Transportes por la cantidad de vehículos en las horas pico en una zona Apuntes Estadística Aplicada A La Ingeniera – 24095 / Universidad Industrial de Santander
alta congestión vehicular, El Ingeniero De Pavimentos por la cantidad de vehículos que transitan y carga que estos ejercen sobre la estructura de pavimento a analizar. Las necesidades del entorno pueden llegar a ser tan simples como estudiar la estatura de los estudiantes presentes en un aula de clase, pero no todas las situaciones analizadas son simples esto puede observarse en el estudio de los fenómenos climáticos donde a la actualidad existe serias complicaciones para lograr una predicción exacta de los potenciales desastres.
Estadística descriptiva Una parte importante de la estadística es la Estadística Descriptiva esta se ocupa de la recolectar, analizar y representar un conjunto de datos con la finalidad de realizar una descripción de las características de este. La estadística descriptiva consta de dos partes como se observa en el siguiente diagrama.
Estadí Estadísti stica ca Descri Descri tiva tiva
Grafica
Numérica
Por lo general las observaciones son una parte de un conjunto de datos correspondiente a la variable de interés, lo que se conoce como muestra que se considera como un subconjunto que se encuentra contenido en el conjunto correspondiente a la población en la siguiente imagen puede observarse tal situación.
Un ejemplo de un conjunto correspondiente a una población podría verse en los alumnos de un curso de estadística donde una muestra de tal conjunto será un grupo de estudiantes de tal curso.
Estadística descriptiva numérica 1. Media o promedio aritmético También conocida como promedio aritmético es una medida de tendencia central que puede obtenerse mediante el cálculo de un promedio ponderado este valor no necesariamente coincide con el de la moda y mediana. Apuntes Estadística Aplicada A La Ingeniera – 24095 / Universidad Industrial de Santander
La media de un conjunto de datos representa el valor esperado es decir el valor más probable a obtener en uno de los elementos del conjunto analizado.
Definición La media muestral para un conjunto “n” observaci ones denotadas como como:
∑
se define
Donde “ n” representa el tamaño del conjunto correspondiente a la muestra.
2. Moda. Valor que más se repite en la muestra analizada por lo tanto la moda podría interpretarse como el dato con mayor frecuencia relativa absoluta presente en un conjunto de datos analizados, el conjunto de datos puede contar con una o mas modas pero también puede suceder el caso en que ningún dato se repita entonces se dice que dicho conjunto no tiene moda.
3. Mediana. Es el valor que se encuentra en posición central de los datos ordenados de menor a mayor el cual su a su vez corresponde con el percentil 50 (P50) es decir el 50% de los datos tienen un valor inferior a la mediana y el 50% un valor superior. La mediana coincide con el valor del segundo cuartil (Q2)
4. Rango
5. Varianza
6. Desviación Estándar
∑ ∑
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7. Coeficiente de variación
8. Coeficiente de asimetría
∑
Caracteriza el grado de asimetría con respecto a su media Valor positivo: Distribución unilateral que se extiende hacia valores más positivos Valor negativo: Distribución unilateral que se extiende hacia valores más negativos
9. Coeficiente de curtosis Es un coeficiente que permite caracterizar el grado de elevación o el achatamiento relativo de una distribución, comparada con la distribución normal r elativamente elevada Valor positivo: Es indicador de una distribución relativamente
Valor negativo: Es indicador de una distribución relativamente plana
Ejemplo 1.1
∑
Una clase de estadística consta de 56 alumnos, para explicar el tema de estadística descriptiva el docente elige a un grupo de 16 estudiantes los cuales pueden asumirse como una muestra representativa en el estudio de la estatura de los estudiantes del grupo, los valores obtenidos para la estatura en metros de estos 16 estudiantes son los siguientes: 1.79 1.60 1.82 1.61 1.72 1.76 1.74 1.65 1.61 1.68 1.66 1.74 1.81 1.74 1.76 1.83 Realizar un análisis de estadística descriptiva para la estatura de los estudiantes de estadística.
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1. Media o promedio aritmético Aplicando la fórmula 1.1. se tiene:
̅ ̅
Como puede observarse el valor promedio es un valor al que todos los valores se encuentran relativamente cerca, en el caso de preguntar el valor de la estatura a un estudiante de este grupo el valor esperado será de 1.72 [m]. El concepto de valor esperado se desarrollara en la sección de probabilidad.
2. Moda Es el dato que más se repite dentro del conjunto de datos de la muestra
3. Mediana
Ordenando los datos del menor valor al mayor valor se tiene: 1.59 1.60 1.61 1.65 1.66 1.68 1.72 1.74 1.74 1.74 1.76 1.76 1.79 1.81 1.82 1.83 Se tiene el caso de un tamaño de la muestra par n=16, el promedio aritmético de los datos de la mitad es:
4. Rango
5. Varianza
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6. Desviación Estándar
√
7. Coeficiente de variación
8. Coeficiente de asimetría
9. Coeficiente de curtosis
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Análisis de frecuencias Un análisis de frecuencias resulta importante en el momento de realizar una descripción de la distribución de los valores numéricos de los datos de una muestra en intervalos de clase definidos según la necesidad del estudio realizado Para el cálculo del número de intervalos de clase se tienen en cuenta las siguientes expresiones. -
Para muestras de gran cantidad de datos
-
Para muestras de cantidad de datos moderada (Formula de Sturges)
√
Se debe recordar que el numero de intervalos será una valor entero por tanto este deberá aproximarse según reglas de aproximación. Este número de intervalos puede ser asumido aleatoriamente según la necesidad del análisis
Ejemplo: Se estudia la respuesta dinámica en la dirección paralela al viento de construcciones con formas angulosas durante el paso del Huracán Sandy edificaciones ubicadas en regiones costeras de Carolina Del Norte en las que pueden suponerse el primer modo o modo fundamental de vibración como dominante, para esto se realizan mediciones del factor de ráfaga del viento el cual es función de varios parámetros de entre los cuales el mas significativo es la velocidad del viento. Una muestra representativa de los datos obtenidos es la siguiente: 2.08 1.73 1.26 1.1 2.28
1.81 2.35 2.17 1.65 2.04
2.14 2.28 1.58 2.33 2.45
2.09 1.26 2.45 1.56 2.17
2.14 1.42 2.29 1.24 1.87
1.67 2.39 1.45 1.68 2.46
2 1.16 2.08 2.38 2.27
Realizar un análisis de Frecuencias para los datos del factor de ráfaga del viento durante el paso del huracán Sandy
Solución: Para comenzar se calcula el numero de intervalos de clase para el respectivo análisis en este caso se utiliza el radical del numero de datos en la muestra
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√ √
Se calcula el ancho del intervalo para lo cual se tiene en cuenta el rango:
El inicio el primer intervalo deber ser el valor mínimo en la muestra y el final del ultimo intervalo será el valor máximo de los datos presente en la muestra, esto puede observarse en la tabla de análisis de frecuencia que se muestra
Intervalo Intervalo Inicio Fin de clase 1 2 3 4 5 6
1.100 1.327 1.553 1.780 2.007 2.233
Frecuencia Frecuencia Frecuencia Absoluta Frecuencia Relativa Absoluta Acumulada Relativa Acumulada
1.327 1.553 1.780 2.007 2.233 2.460
5 2 6 3 8 11
Suma
35
5 7 13 16 24 35
0.143 0.057 0.171 0.086 0.229 0.314
0.143 0.200 0.371 0.457 0.686 1.000
1.000
La frecuencia absoluta se interpreta como el número de datos que se encuentran en el intervalo de clase al que corresponda. Debe observarse que la suma de estas frecuencias deberá ser el mismo valor que el tamaño de la muestra de lo contrario se habrá cometido un error. La frecuencia relativa se interpreta como la proporción de datos que se encuentran en el intervalo de clase esta puede obtenerse de la división de la frecuencia absoluta sobre el número de datos en la muestra, la suma de las frecuencias relativas deberá ser de uno. Los histogramas del análisis se observan a continuación,
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Histograma de Frecuencia Absoluta 12 a t 10 u l o b 8 A a i 6 c n e u 4 c e r 2 F
0 1
2
3
4
5
6
Intervalo De Clase
Histograma Frecuencia Relativa Acumulada 1.000 a t u 0.800 l o b A 0.600 a i c n 0.400 e u c e 0.200 r F
0.000 1
2
3
4
5
6
Intervalo De Clase
Histograma Frecuencia Absoluta Acumulada 35 a 30 t u l o 25 b A 20 a i c n 15 e u c 10 e r F 5
0 1
2
3
4
5
6
Intervalo De Clase
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Histograma Frecuencia Relativa 0.350 a 0.300 t u l o 0.250 b A 0.200 a i c n 0.150 e u c 0.100 e r F 0.050
0.000 1
2
3
4
5
6
Intervalo De Clase
2. Probabilidad El estudio de la probabilidad comienza en la antigüedad con los juegos de azar algunos historiadores coinciden que los asirios y sumerios utilizaban un hueso del talón de las ovejas el cual tallaban de tal manera que este tuviera la posibilidad de caer en cuatro posiciones diferentes para realizar apuestas basadas en la posición final del hueso luego de un lanzamiento. Comienza el estudio por parte de los apostadores sobre la posibilidad de obtener las diferentes posiciones luego del lanzamiento y con esto tener una ventaja al momento de realizar la apuesta. Por estas razones los asirios y sumerios son considerados como los precursores del dado. En los tiempos del imperio romano los juegos relacionados con dados se practicaban con gran fervor uno de estos juegos conocido como “hazard” lo que traduce en ingles y francés riesgo o peligro entonces el termino se convierte en azar que fue introducido en Europa con la tercera cruzada. En la actualidad los juegos de azar aparecen en distintas formas juegos de cartas, juegos de dados, ruletas, maquinas traga monedas, loterías, dominos etc. El estudio de la probabilidad deja de ser único para los juegos de azar y pasa a tener gran variedad de aplicaciones en las distintas ramas del conocimiento. De los más notables estudiosos que emprendieron el estudio de la teoría de la probabilidad se encuentran importantes matemáticos como Pierre Fermat y Blaise Pascal que comenzaron a trabajar sobre algunos problemas relacionados con los juegos de azar, para luego llegar a formular una discusión sobre la creencia en Dios basada en probabilidades. El termino de la probabilidad en ocasiones suele presentarse en palabras no tan formales un ejemplo para este tipo de frase podría ser “Es muy posible que todos los estudiantes del curso Apuntes Estadística Aplicada A La Ingeniera – 24095 / Universidad Industrial de Santander
aprueben la asignatura” , entonces alguien curioso puede preguntar ¿Qué tan posible puede ser este fenómeno? Para responder este tipo de pregunta se hace necesario dar un valor numérico
para determinar el grado de posibilidad es por ello que en esta sección y en las siguientes se estudiaran diferentes métodos y procedimientos para calcular dichos valores. Es posible que el estudiante de ingeniería en este momento piense que el presente capitulo esta orientado a formar apostadores en potencia, lo cual seria erróneo dado que la teoría de la probabilidad tiene una gran aplicación en las distintas ramas de la ingeniería un ejemplo de esto es el ingeniero encargado del diseño de obras civiles que deberá tener presente la probabilidad de que se presente un evento climático extremo tal como una ráfaga de viento con altas velocidades que puede resultar fatal para una estructura.
2.1 Espacio Muestral Para el estudio de un parámetro de interés generalmente se hace necesaria la realización de un experimento con la finalidad de obtener un patrón o tendencia del fenómeno a partir de los resultados obtenidos, Cuando se enuncia la palabra experimento puede pensarse en un laboratorio con los equipos necesarios para las pruebas y personas calificadas encargadas de la interpretación y toma de los resultados, pero no siempre se da tal situación se define entonces un experimento cualquier acción o proceso cuyo resultado se encuentra sujeto a la incertidumbre.
Un experimento puede ser tan simple como lanzar un dado y estar interesado en la numeración obtenida, los posibles resultados para este experimento serán , puede deducirse que la variabilidad del parámetro de interés se encontrara sujeta a los posibles resultados que puedan presentarse en este caso seis.
__________________________________________________________________________ Definición El espacio muestral de un experimento se define como el conjunto de todas las posibles respuestas que puedan obtenerse en dicho experimento.
La notación del conjunto se realiza con la letra , que se adopta de la traducción en idioma ingles “Space” __________________________________________________________________________
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Ejercicio 2.1: Obtener el espacio muestral de un experimento que consiste en lanzar un dado
Solución: El conjunto de los posibles resultados que pueden obtenerse son:
Gráficamente,
Ejercicio 2.2: Considere un experimento que consiste en lanzar una moneda y luego un dado obtener todos los elementos del espacio muestral que corresponde a este experimento
Solución El diagrama que se muestra a continuación se conoce como diagrama de árbol, este tipo de diagrama resulta de gran utilidad en el análisis de problemas complejos de probabilidad
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Se puede observar que en el primer nodo se representa el lanzamiento de la moneda por lo tanto el numero de ramas de salen son dos que corresponden al numero de posibles resultados, para el caso del lanzamiento del dado el numero de ramas son seis, por tanto el numero de ramas que salen de un nodo es el mismo que posibilidades haya.
2.2 Evento En el estudio de la probabilidad de cierto parámetro de interés generalmente se esta interesado en un conjunto de resultados que se encuentran contenidos en el espacio muestral, los cuales cumplen ciertas características.
__________________________________________________________________________ Definición Un evento es un subconjunto de resultados contenido en el espacio muestral clases de eventos:
, existen dos
Evento simple: Consiste en un subconjunto contenido en el espacio muestral con un único elemento es decir un evento de un único resultado.
Evento compuesto: Consiste en un subconjunto contenido en el espacio muestral con más de un elemento es decir un evento con varios resultados posibles.
__________________________________________________________________________ Ejemplo Considere el evento de obtener un múltiplo de dos al lanzar un dado. Bosquejar el subconjunto correspondiente.
Solución
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2.3 Relaciones de la teoría de conjuntos 2.3.1 Intersección:
Sean dos eventos “A” y “B”, da como resultado La intersección de “A” y “B” se lee “A intersección B” y se denota como un evento que consiste en los resultados que están contenidos tanto en “A” como en “B” en la grafica se observa la región sombreada que pertenece tanto a “A” como a “B”
2.3.2 Unión:
Sean dos eventos “A” y “B”, La unión de “A” y “B” se lee ”A unión B” que se denota como da como resultado un evento que consiste en los resultados que están contenidos ya sea en “A” o en “B” por tanto la unión incluye resultados para los que ocurren tanto “A” como “B” así como los resultados para los cuales ocurren exactamente uno, esto puede observarse gráficamente como sigue:
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2.3.3 Complemento:
Sea “A” un evento El complemento de “A” se lee “A complemento” y se denota como da como resultado un evento que contiene todos los resultados del espacio muestral a excepción de los que se encuentran contenidos en el evento “A”
Ejercicio 2.3
Considere el experimento que consiste en lanzar un dado con los siguientes eventos
Calcular
,
,
Solución Los elementos de los eventos son:
El diagrama de Venn que representa la situación planteada es como se muestra: Apuntes Estadística Aplicada A La Ingeniera – 24095 / Universidad Industrial de Santander
Del diagrama se puede observar que:
2.4 Definición de probabilidad
__________________________________________________________________________ Definición de probabilidad
Como se vio anteriormente en un experimento se puede llegar a uno de los resultados contenidos en el espacio muestral , sea un evento con resultados posibles la probabilidad de ocurrencia de se define como:
La probabilidad de A un número decimal
, puede ser expresada como una fracción, como un porcentaje o como
__________________________________________________________________________
Ejercicio 2.4
Considere el experimento de lanzar un dado y el evento dos, calcular la probabilidad de ocurrencia del evento .
Solución:
de obtener un número múltiplo de
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EJERCICIOS CONJUNTOS 1. Encuentre la probabilidad de que en el lanzamiento sencillo de un dado resulte un número menor que 5.
Respuesta: 2/3 = 0.666667 = 66.6667% 2. En una urna se tienen 8 bolas de las cuales 4 son rojas, 2 son verdes y 2 son azules. Se saca 1 bola al azar, determine: a) b) c) d) e)
La probabilidad de sacar una bola roja. Respuesta: 4/8 La probabilidad de sacar una bola azul. Respuesta: 2/8 La probabilidad de sacar una bola verde. Respuesta: 2/8 La probabilidad de sacar una bola azul o una bola verde. Respuesta: 0.5 = 50%. Se sacan 2 bolas simultáneamente, determine la probabilidad de sacar una bola azul y una bola roja. Respuesta: 2/7
3. Un dado se lanza dos veces. Encuentre la probabilidad de sacar un 2 y un 5, sin importar el orden de obtención.
Respuesta: 1/18 = 0.05556 = 5.556% 4. El acueducto de cierta ciudad ofrece una tasa subsidiada a cualquier familia cuyo consumo de agua sea menor que cierta cantidad durante un determinado mes. Sea A el evento en el que una familia elegida al azar, en cierta comunidad no rebasa el consumo subsidiado durante Agosto, y sea B el evento análogo para el mes de Octubre (A y B se refieren a la misma familia). Supóngase que P(A)=0.6, P(B)=0.8 y P(AUB)=0.9. Calcule P(A∩B) . Respuesta: 0.5 = 50%.
5. Se elije al azar un alumno de cierto curso de estadística sea A el evento en el que el
estudiante utiliza una tarjeta de crédito VISA y B el evento análogo para una MasterCard. Suponga que P(A)=0.5, P(B)=0.4, P(A B)=0.25 a) Calcule la probabilidad de que el individuo seleccionado tenga al menos una de las dos tarjetas
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Respuesta: 0.65 b) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo seleccionado no tenga ninguna de estas tarjetas?
Respuesta: 0.35 c) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado tenga una tarjeta visa pero no una Mastercad?
Respuesta: 0.25 6. En una determinada localidad residencial, el 40% de los hogares tienen televisor pero no radio, el 10% de los hogares tienen radio pero no televisor y el 35% tiene televisor y radio. Determine la probabilidad de que tenga al menos uno de los Aparatos electrónicos. Respuesta: 0.85 = 85%.
7. Según el ejercicio anterior, determine la probabilidad de que no tenga televisor ni radio. Respuesta: 0.15 = 15%.
8. Una consultoría de proyectos de ingeniería civil ha licitado en tres proyectos Sea , para
y suponga que
Calcular: a) La probabilidad de que a la consultoría le sean otorgados los proyectos 1 o 2. Respuesta: 0.360
b) La probabilidad de que a la consultoría le sean otorgados los proyectos 1 y 2. Respuesta: 0.110 c) La probabilidad de que le sea otorgado a lo más el proyecto 3. Respuesta: 0.640 d) La probabilidad de que no se le otorgue ningún proyecto a la consultoría. Respuesta: 0.470
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EJERCICIOS TÉCNICAS DE CONTEO 1. De cuantas maneras se pueden ordenar 7 balotas de colores en línea. Respuesta: 5040 2. En una obra un ingeniero residente dispone de 11 ayudantes, si este ingeniero desea formar una cuadrilla la cual conste de 4 ayudantes ¿Cuántas cuadrillas diferentes podrá formar?
Respuesta: 330 3. Un reconocido restaurante encargado de la venta de almuerzos estudiantiles ofrece a sus clientes tres sopas, dos platos principales y tres bebidas, si un almuerzo consiste en una sopa, un plato principal y una bebida ¿Cuántos almuerzos diferentes puede el restaurante ofrecer a su clientela?
Respuesta: 18 4. Dos reconocidas firmas consultoras “A” y “B” encargadas del diseño de viviendas unifamiliares ofrecen a sus clientes la opción de elegir el conjunto de profesionales que actuaran en el diseño de la vivienda deseada, la consultoría A cuenta con 7 arquitectos, 5 ingenieros estructurales y 2 ingenieros de suelos, la consultorí a “B” cuenta con 8 arquitectos, 4 ingenieros estructurales y 3 ingenieros de suelos, si el grupo de los encargados del diseño de una vivienda se componen de un arquitecto, un ingeniero estructural y un ingeniero de suelos ¿Cuántos grupos diferentes de profesionales una familia podrá elegir teniendo en cuenta que todos los profesionales deben pertenecer a la misma firma consultora?
Respuesta: 166 5. Cierto comité de ingenieros civiles consta de siete integrantes, en este comité se premia la puntualidad de sus asistentes dado que se hace uso de una mesa con 5 sillas quedando dos de los integrantes de pie los cuales son los últimos en llegar a) ¿De cuántas formas posibles pueden ubicarse los ingenieros en la mesa del comité? b) De los 7 integrantes 4 son hombres y 3 son mujeres ¿De cuantas formas posibles pueden ubicarse los ingenieros si se debe alternar hombre – mujer y las mujeres deben ir en los lugares pares?
Respuesta: a) 2520 b) 144 6. Una mano de póker consiste en 13 cartas seleccionadas al azar de una baraja de 52 cartas. a) Calcular la probabilidad de obtener las 13 cartas de corazones Apuntes Estadística Aplicada A La Ingeniera – 24095 / Universidad Industrial de Santander
b) Cierto juego consiste en extraer 4 cartas de la baraja sin remplazo, calcular la probabilidad de sacar los 4 aces
Respuestas: 1/6350135559600. 7. En una urna se dispone de 6 balotas rojas 4 azules y 3 negras si se extraen dos balotas sucesivamente calcular la probabilidad de obtener: a) Dos balotas negras. b) Una balota roja y una azul. c) Sacar balotas sin obtener alguna de color negro. d) Si se sacan tres balotas de la urna calcular la probabilidad de obtener una de cada color.
Respuesta: a) 1/26 b) 4/13 c) 15/26 d) 36/143 8. A un ingeniero encargado del diseño de los parqueaderos de un edificio de oficinas el cliente le indica que requiere de 8 parqueaderos para los automóviles de la empresa. Los automóviles dos son Mercedez Benz, tres BMW y 3 son Chevrolet. a) Suponga que por cuestiones de estética los autos de la misma marca deberán quedar juntos ¿Cuántas formas posibles existen para parquear estos automóviles? b) Los autos Mercedes Benz pertenecen a los cargos más altos de la empresa los cuales deben quedar uno al lado del otro mientras que los de las otras marcas pueden quedar en cualquier orden ¿Cuántas formas posibles existen para parquear estos automóviles en tales condiciones? las c) Por capricho del cliente la posición de los Mercedes Benz deberán ser posiciones de los BMW serán y los Chevrolet ¿Cuántas formas posibles existen para parquear estos automóviles en tales condiciones?
Respuesta: a) 432 b) 10080 c) 72 9. Una mano de póker consiste en 5 cartas seleccionadas sin remplazo de una barajas de 52 cartas. Determine la probabilidad de obtener. a) Full: Tres cartas con la misma numeración y otros dos con misma numeración. b) Escalera: Cinco cartas con numeración consecutiva (El as puede ir al comienzo o al final) c) Póker. Cuatro cartas con la misma numeración
Respuesta: a) 6/4165 b) 128/32487 c) 1/4165
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10. Un club de ingenieros extranjeros tiene como miembros a dos canadienses tres japoneses cinco italianos y dos alemanes si se selecciona al azar un comité de cuatro calcule la probabilidad de que: a) Todas las nacionalidades estén representadas. b) Todas las nacionalidades estén representadas excepto los italianos. c) Todos los miembros del comité son italianos. d) A lo mas dos miembros del comité son italianos. e) A lo sumo dos miembros sean japoneses. f) A lo menos un miembro del comité sea alemán.
Respuesta: a) 4/33 b) 8/165 c) 1/99 d) 28/33 e) 54/55 f) 19/33 11. Un estudiante de ingeniería desea ubicar en una biblioteca 11 libros de los cuales 4 son de matemáticas 5 de física y 2 de química calcular a) El numero de ubicaciones posibles si no se tiene en cuenta el orden de los libros. b) El numero de ubicaciones posibles si los libros de cada una de las asignaturas deben quedar seguidos. c) El número de ubicaciones posibles si únicamente los libros de matemáticas deben quedar seguidos. d) El número de ubicaciones posibles si los 4 libros de matemáticas jamás deben quedar seguidos (tres pueden quedar seguidos al igual que dos).
Respuesta: a) 39916800 b) 34560 c) 967680 d) 38949120 12. Un ingeniero residente en la construcción de un reconocido intercambiador cuenta con 11 ayudantes la tarea del día consiste en formar una cuadrilla de 6 ayudantes para las excavaciones y otra de 5 ayudantes para la fundición de un muro de contención ¿De cuantas formas diferentes el ingeniero puede formar las cuadrillas descritas?
Respuesta: 462
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EJERCICIOS DIAGRAMA DE ARBOL 1. Se lanza tres veces una moneda con dos resultados posibles de igual probabilidad de obtención. Calcular la probabilidad de: a) Obtener tres caras. b) Obtener una cara y dos sellos. c) Obtener tres caras o tres sellos. d) Obtener una cara y dos sellos o dos caras y un sello
Respuesta: a) 1/8 b) 3/8 c) 1/4 d) 3/4. 2. Una urna U1 contiene 8 balotas blancas, 5 negras y 4 azules, la urna U 2 contiene 7 blancas, 6 negras y 8 azules. Se extraen dos balotas sucesivamente sin remplazo de una urna, la probabilidad de elegir la urna U1 es de 3/4 mientras que la probabilidad de elegir la urna U 2 es del 1/4. Calcular la probabilidad de. a) Obtener dos balotas blancas. b) Una balota blanca y una balota azul. c) Obtener dos balotas del mismo color. d) Obtener una balota de un color y otra de otro color.
Respuesta: a) 61/340 b) 62/255 c) d) . 3. En un experimento estadístico se cuenta con un dado y una moneda. El experimento consiste en lanzar el dado si el numero obtenido es par se lanza dos veces la moneda, si el numero es impar la moneda se lanza tres veces. Calcular la probabilidad de: a) Obtener únicamente caras como resultado en la moneda. b) Obtener a lo menos dos caras. c) Obtener únicamente caras o sellos como resultado en la moneda. d) Obtener un número impar en el dado y dos sellos en la moneda.
Respuesta: a) 3/16 b) 3/8 c) 3/8 d) 3/16. 4. La urna A contiene 3 bolas rojas 2 azules en tanto que la urna B contiene 2 bolas rojas y ocho azules. a) Se lanza un dado si se obtiene un numero mayor que 2 se saca una bola de la urna A, de lo contrario se saca una bola de la urna B. Determine la probabilidad de sacar una bola roja. b) Si la bola extraída, según el literal anterior, se deposita en la urna diferente a la que se saco y se lanza de nuevo el dado, manteniendo las mismas condiciones de extracción del literal a., cuál es la probabilidad de extraer en esta ocasión una bola azul
Respuesta: a) 7/15 b) 802/1485.
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5. A un examen de estadística se presentan alumnos de cuatro grupos diferentes. Grupo A: 80 alumnos, de los cuales el 35% son mujeres. Grupo B: 70 alumnos, de los cuales el 25% son mujeres. Grupo C: k alumnos, de los cuales el 80% son varones. Grupo D: 60 alumnos, de los cuales el 85% son varones. Se les reúne a todos en el aula magna y se elige uno de ellos al azar para repartir el examen, resultando ser mujer. Si la probabilidad de que pertenezca al grupo D es 0.13. a) ¿Cuántos alumnos hay en el grupo C? b) Si se selecciona un alumno al azar ¿Cuál es la probabilidad de que este sea un varón? c) Se selecciona un alumno al azar, el cual resulta ser un varón ¿Cual es la probabilidad de que pertenezca al grupo C? Respuesta: a) b) 3/4 c) 16/75.
6. Una red de energía eléctrica tiene subestaciones A,B,C la sobrecarga en cualquiera de ellas puede originar que se interrumpa el abastecimiento de electricidad en toda la red la historia muestra que la probabilidad de apagón es de 1% si ocurre la sobrecarga en A y de 2% y 3% si sobreviene en las subestaciones B y C respectivamente. La sobrecarga en dos o más subestaciones de manera simultánea origina apagones en 5% de los casos, durante una onda cálida hay 60% de posibilidades que solo la subestación A experimente una sobrecarga. Para B y C estos porcentajes son de 20% y 15%, respectivamente. Si en una onda cálida especifica tuvo lugar un apagón debido a sobrecarga. a) Calcule la probabilidad de que halla habido sobrecarga en A o en C b) Encuentre la probabilidad de que halla habido sobrecarga en dos o más subestaciones al mismo tiempo. c) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra apagón?
Respuesta: a) 0.617647 b) 0.147059 c) 0.017. 7. En una estación de servicio, el 40% de los clientes utilizan gasolina corriente, el 35% usan gasolina extra y el 25% utilizan diesel. De los clientes que utilizan diesel el 50% llenan sus tanques. De los clientes que utilizan gasolina corriente, solo el 25% llenan sus tanques. El 53.1% de los clientes que no llenan el tanque utilizan gasolina corriente. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente pida gasolina extra y llene el tanque? b) Si el siguiente cliente no llena el tanque, ¿cuál es la probabilidad de que pida gasolina? c) Se sabe que un cliente pide gasolina extra ¿cuál es la probabilidad llene el tanque?
Respuesta: a) 0.2100 b) 0.778761 c) 0.6000.
8. Para evitar que individuos potencialmente peligrosos sean celadores de obra, se ha establecido un examen psicológico que los aspirantes deben aprobar como requisito sine Apuntes Estadística Aplicada A La Ingeniera – 24095 / Universidad Industrial de Santander
qua non para ser contratados. El defecto de esta prueba sin embargo, es que el 8% de los individuos aptos quedan erróneamente descalificados por haber reprobado, mientras que el 12% de los que no son aptos aprueban y son contratados por equivocación. Suponga que todos los que pasan son contratados. a) Si la experiencia muestra que solo el 85% de los celadores son aptos para su trabajo, determine el porcentaje de aspirantes que lo son. b) Teniendo en cuenta el numeral a. ¿Cuál es el porcentaje de aspirantes aptos que no aprueban el examen? c) Teniendo en cuenta el numeral a. ¿Cuál es la probabilidad de que el examen psicológico arroje un resultado erróneo?
Respuesta: a) 0.425 b) 6.2963% c) 0.1030. 9. En un sistema de alarma, la probabilidad de esta funcione habiendo peligro es de 0.95, y la probabilidad de que funcione por error sin haber peligro es 0.03. Si la probabilidad de haber peligro es 0.1. a) Calcular el porcentaje de veces que habiendo funcionado la alarma no haya peligro. b) Calcular la probabilidad de que no habiendo funcionado la alarma haya peligro. c) ¿Cuál es la probabilidad de que la alarma funcione?
Respuesta: a) 22.131%0 b) 5/878 c) 0.1220. 10. La contaminación de las fuentes de agua en Colombia es un problema de grandes magnitudes que compromete la calidad del agua que es destinada para el consumo humano:
| | | | | | Donde,
a) Calcule la probabilidad de que el rio este expuesto a contaminación, un análisis en la muestra de agua detecta contaminación y se permite el suministro de agua potable para el consumo humano. b) Calcule la probabilidad de que un análisis de una muestra de agua detecta contaminación y se permite el suministro de agua para el consumo humano c) Calcule la probabilidad de que el rio este expuesto a contaminación, pero no se permite el suministro de agua potable para la población. d) Calcule la probabilidad que el rio este expuesto a contaminación, dado que un análisis de agua detecta contaminación y se permite el suministro de agua potable para el consumo humano.
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e) Cual es la probabilidad de que el rio este expuesto a contaminación. Respuesta: a) 0.015 b) 0.030 c) 0.520 d) 0.500 e) 0.565. EJERCICIOS FUNCIONES DE MASA DE PROBABILIDAD Y DENSIDAD DE PROBABILIDAD Formulas:
Variable aleatoria discreta:
Función de distribución de probabilidad acumulada
Valor esperado
Varianza
Coeficiente de variación Coeficiente de asimetría
Coeficiente de curtosis
Variable aleatoria continúa:
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∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Función de distribución de probabilidad acumulada
Valor esperado
Varianza
Coeficiente de variación Coeficiente de asimetría
Coeficiente de curtosis
1. Un negocio de suministro de materiales de construcción que atiende pedidos por correo, tiene seis líneas telefónicas. Sea X el número de líneas en uso en un momento específico. Suponga que la función de masa de probabilidad esta dada en la siguiente tabla
x p(x) a) b) c) d) e) f) g) h)
0 0.10
1 0.15
2 a
3 0.25
4 0.20
5 0.06
6 0.04
Calcular el valor de a. Calcular la función de probabilidad acumulada Graficar la función de probabilidad acumulada Calcular la probabilidad de que a lo sumo tres líneas están en uso Calcular la probabilidad de que menos de tres líneas están en uso Calcular la probabilidad de que por lo menos tres líneas están en uso Calcular la probabilidad entre dos y cinco líneas. Inclusive están en uso Calcular la probabilidad entre dos y cuatro líneas. Inclusive no están en uso
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i) Calcular la probabilidad de que por lo menos cuatro líneas no están en uso Respuesta: a) 0.2 b)
c) d) 0.7 e) 0.45 f) 0.55 g) 0.71 h) 0.35 i) 0.7
2. El peso de arrastre real de un diamante en una maquina que se utiliza para cortar ciertos metales se fija en 3 [gr] que se puede considerar como una variable aleatoria continúa “ x” con función de densidad de probabilidad:
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)
Calcular el valor de “k”. Calcular la probabilidad de que el peso del diamante sea a lo sumo 4 gr Calcular la probabilidad de que el peso del diamante se encuentre entre 2.5 gr y 3.5gr Calcular la probabilidad de que el peso del diamante sea a lo menos de 2.5 gr Obtener la función de densidad de acumulada Calcular el valor esperado para el peso de arrastre real. Calcular el coeficiente de variación. Calcular el coeficiente de curtosis. Calcular el coeficiente de asimetría. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso de arrastre sea mayor que el establecido? ¿Cuál es la probabilidad de que el peso real difiera del peso descrito en 0.5 [gr]?
√
Respuestas: a) b) 1 c) 0.6875 d) 0.84375 e) f) j) 0.5 k) 0.6875
g)
h)
i)
3. Un gremio de inversionistas que evalúa apartamentos nuevos, suele informar la cantidad de defectos importantes en cada apartamento de una determinada edificación. Sea x el
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numero de defectos importantes en un apartamento de cierta edificación, la función de distribución acumulada es:
a) b) c) d)
p(3), es decir, p(x=3) p(x>3) p(2 x 5) p(2
4. Un maestro de universidad nunca termina sus clases antes de que termine la hora y siempre termina su clase dentro de los dos minutos después de la hora. Sea “x” el tiempo que trascurre entre el final de la hora y el fin de la clase. Suponga que la función de la densidad de probabilidad es:
a) Encontrar el valor de “k” . b) Obtener la función de distribución acumulada de probabilidad. c) Calcular la mediana del tiempo que transcurre entre el final de la hora y el fin de la d) e) f) g) h)
clase. ¿Cual es la probabilidad de que la clase termine dentro de un minuto después de que termina la hora? ¿Cuál es la probabilidad de que la clase continúe mas allá de la hora entre 60 y 90 segundos? Calcular el tiempo esperado que trascurre entre el final de la hora y el final de la clase. Calcular el coeficiente de asimetría. Calcular el coeficiente de curtosis.
Respuesta: a)
b) c)
√
d) e)
f)
g)
h)
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RECOMENDADO 5. Sea una variable aleatoria continua Z con fdp:
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
Determine la constantes a y b si 0 es la mediana de z Determine la función de distribución acumulada Calcule la probabilidad, p(z<-2) Calcule la probabilidad, p(z<4) Calcule la probabilidad, p(z>4) Calcule la probabilidad, p(-2
Respuesta: a) 10.4666 h)
b) c) 0.147584 d) 0.990842 e) 0.009158 f) 0.849047 g)
-
6. Según informes de la Secretaria de Ecología y Protección al Medio Ambiente de la Ciudad de México, la variable aleatoria x que denota el numero aproximado de decenas de toneladas de materias fecales en polvo (principalmente humanas y de perro) que flotan en el aire en la ciudad de México en un día cualquiera, puede estimarse mediante la función de densidad de probabilidad siguiente
a) Calcular el valor de K b) Determinar la función de distribución acumulada c) Calcular la probabilidad de que la cantidad de toneladas de materias fecales en polvo d) e) f) g) h)
sea a lo menos 4 Calcular la probabilidad de que la cantidad de toneladas de materias fecales en polvo sea a lo mas 5 Calcular la probabilidad de que la cantidad de toneladas de materias fecales en polvo se encuentre entre 3 y 4 toneladas Calcular la probabilidad de que la cantidad de toneladas de materias fecales en polvo se encuentre a no mas de 2 toneladas con respecto al valor esperado Calcular el coeficiente de asimetría Calcular el coeficiente de curtosis
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i) Calcular el coeficiente de variación
Respuesta: a)
b) c) 0.406006 d) 0.712703 e) 0.15182 f) 0.536611 g)
√
h)
7. El numero de imperfecciones por 10 metros de un Geotextil utilizado en la estabilización de un talud de una vía en construcción cuenta con una función de masa de probabilidad:
x f(x) a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
0 0.41
1 k
2 0.16
3 0.05
4 0.01
Calcular el valor de “k” . Obtener la función de probabilidad acumulada. Graficar la función de probabilidad acumulada. Calcular la probabilidad de tener menos de tres imperfecciones en 10 metros de Geotextil. Calcular la probabilidad de encontrar a lo más 3 imperfecciones en 10 metros de Geotextil. Calcular la probabilidad de encontrar a lo menos 3 imperfecciones en un rollo de 10 metros. Calcular la probabilidad de encontrar entre una y tres imperfecciones, inclusive, en un rollo de 10 metros. Calcular el coeficiente de variación del numero de defectos del geotextil Calcular el coeficiente de asimetría Calcular el coeficiente de curtosis
Respuesta: a) 3.4337717
b) c) d) 0.94 e) 0.99 f) 0.15 g) 0.58 h) 1.04496 i) 0.933846 j)
8. Sea X una variable aleatoria discreta con la siguiente distribución de probabilidad x
1
3
5
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p(x)
P1
P2
P3
Si se sabe que la media de X es 0.30 y la varianza de X es 2.51, determine los valores de las probabilidades P1, P2 y P3.
9. Una variable aleatoria X tiene la siguiente fmp: x p(x)
2 0.15
3 P2
x3 0.30
8 P4
Si se sabe que y la , calcule el coeficiente de asimetría de X 10. Dada la variable aleatoria con la siguiente FDA
Determine
Respuesta: 0.65625
11. El número total de horas, en unidades de 100 horas que una luminaria de sodio permanece prendía en un parqueadero sin averiarse es una variable aleatoria con función de densidad de probabilidad , para prevenir posibles incidentes tales como incendios por la falla de las luminarias el fabricante estipula que el tiempo máximo de servicio de una luminaria deberá ser de 7500 [horas].
a) Si la mediana del tiempo que la luminaria permanece prendida sin averiarse es de
b) c) d) e) f) g) h)
3200 [horas] y según especificaciones del fabricante la luminaria tiene un 85% de posibilidad de funcionar entre 1000 y 6000 [horas] sin averiarse. Calcular los valores de a,b y c. Calcular el tiempo esperado de funcionamiento de la luminaria. Calcular el coeficiente de variación de . Calcular el coeficiente de asimetría. Calcular el coeficiente de curtosis. Obtener la función de probabilidad acumulada Calcular la probabilidad de que el tiempo que la luminaria permanece prendida sin averiarse sea inferior de 2500 [horas]. Calcular la probabilidad de que el tiempo que la luminaria permanece prendida sin averiarse se encuentre entre 2500 y 5000 [horas]
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{ } Respuesta: a)
c)
d)
b)
e)
f)
12. La medida del tiempo en minutos que un ingeniero director de obra gasta en reprender a sus empleados en el día es una variable aleatoria con función de densidad de probabilidad , según un reconocido psicólogo el tiempo para reprender no debe ser superior a 30 minutos para evitar el riego de trauma psicológico.
a) Si la mediana del tiempo en que el director de obra reprende a sus súbditos es de 17 minutos, por experiencia se sabe de que la posibilidad de que este director reprenda a un súbdito durante un tiempo de entre 5 y 25 minutos es de 87%. Calcular los valores de a,b y c. b) Suponga que usted es un empleado del director de obra ¿Cuál es el tiempo esperado para que se le reprenda? c) Calcular el coeficiente de variación de . d) Calcular el coeficiente de asimetría. e) Calcular el coeficiente de curtosis. f) Obtener la función de probabilidad acumulada g) Calcular la probabilidad de que el tiempo de un regaño dure más de 5 minutos. h) Calcular la probabilidad de que un regaño dure entre 10 y 20 minutos. i) Calcular la probabilidad de que el tiempo para un regaño sea a lo más de 7 minutos.
( √ √ ) Respuesta: a) d)
e)
f)
b)
c)
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Ejercicios distribuciones de probabilidad (binomial, binomial negativa, geométrica y poisson) 1. Un examen de resistencia de materiales consta 10 preguntas con cuatro opciones de respuesta. Suponga que cierto estudiante no prepara el examen, por lo cual se ve obligado a adivinar cada una de las respuestas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante conteste de forma correcta exactamente 3 preguntas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante conteste a lo más 5 preguntas de forma correcta? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante conteste entre 5 y 7 preguntas inclusive de forma correcta? d) Si el examen se aprueba con 6 o más respuestas correctas ¿cuál es la probabilidad de que este estudiante poco responsable apruebe el examen? e) ¿Cuál es el número esperado de respuestas correctas en el examen del estudiante descrito? f) Calcular el coeficiente de variación del número de respuestas correctas en el examen del estudiante g) Encontrar las funciones de masa de probabilidad y masa de probabilidad acumulada h) Graficar las funciones de masa de probabilidad y masa de probabilidad acumulada
Respuesta: a)
b)
c)
d)
e)
f)
2. Cierto ingeniero civil dedicado a la docencia debe recorrer todos los días un trayecto desde su vivienda hasta el lugar de trabajo, en el trayecto debe pasar por un cruce congestionado que cuenta con un semáforo el cual está en verde el 35% de las veces. Suponga que comienza una semana laboral con el lunes como primer día laboral de la semana. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera mañana en que se pasa el semáforo en verde sin tener que esperar sea el día jueves? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera mañana en que se pasa el semáforo en verde sin tener que esperar se encuentre entre los días martes y jueves, inclusive? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera mañana en que se pasa el semáforo en verde sin tener que esperar sea a lo menos el día jueves? d) ¿Cuál es el día esperado en el que el semáforo se encontrara en verde?
Respuesta: a)
b)
c)
d)
3. Una prueba consiste en someter probetas cilíndricas de concreto de 10 [cm] de diámetro y 20 [cm] de altura a un esfuerzo normal de 3000 [psi] con el objetivo de determinar si cumple el esfuerzo de diseño, se sabe por experiencia que el 15% de las probetas de este tipo de concreto no cumplen con la resistencia de diseño. Suponga que se analiza un lote de 8 probetas: a) ¿Cuál es la probabilidad de que fallen exactamente 4 probetas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que fallen a lo más 3 probetas? c) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna probeta falle? d) ¿Cuál es la probabilidad de que no fallen más de 7 probetas? Apuntes Estadística Aplicada A La Ingeniera – 24095 / Universidad Industrial de Santander
e) f) g) h)
¿Cuál es el número más probable de probetas que fallan? Calcule el coeficiente de variación del número de probetas que fallan Encontrar las funciones de masa de probabilidad y masa de probabilidad acumulada Graficar las funciones de masa de probabilidad y masa de probabilidad acumulada
Respuesta: a)
b)
c)
d)
e)
f)
4. Cierto individuo estudiante de ingeniería es famoso entre sus compañeros de estudio por transmitir información errónea basada en algún acontecimiento, sus compañeros más allegados saben que a este individuo hay que creerle una cuarta parte de lo que dice (basados en la experiencia). Suponga que hay un nuevo rumor que este individuo comenta a 10 personas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que a exactamente 6 personas se les diga la verdad? b) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo menos a 5 personas se les suministre información errónea? c) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 4 y 8 personas inclusive se les diga la verdad? d) ¿Cuál es la probabilidad de que a ninguna persona se le dé la información correcta? e) ¿Cuál es el número esperado de personas al cual este individuo le suministra información correcta? f) Encontrar las funciones de masa de probabilidad y masa de probabilidad acumulada. g) Graficar las funciones de masa de probabilidad y masa de probabilidad acumulada. h) Calcular el coeficiente de curtosis para el número de personas que el individuo mencionado le suministra información incorrecta
Respuesta: a)
b)
c)
d)
e)
h)
5. Una maquina produce piezas metálicas, de las cuales el 0.1% son de pésima calidad ¿Cuántas piezas deberán producirse para que la probabilidad de que haya por lo menos una pieza de pésima calidad sea mayor a 0.5?
Respuesta:
6. Los grandes maestros Vishy Anand, de la India, y Garry Kasparov, de Rusia juegan una serie de partidas de ajedrez (match). Los expertos estiman que la probabilidad de que una partida entre ellos termine en tablas (empate) es de 0.8. Si en total disputaran 24 partidas, para definir el campeonato del mundo, halle el número más probable de partidas que terminarán en tablas.
Respuesta:
7. Dos tiradores disparan al blanco. La probabilidad de fallar un solo disparo para el primer tirador es igual a 0.2, y para el segundo, 0.4. Halle el número más probable de disparos para los cuales no se hará ni un solo blanco, si los tiradores efectúan 25 disparos cada uno y lo hacen simultáneamente.
Respuesta:
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8. Un ingeniero de tráfico afirma que uno de cada 10 accidentes automovilísticos son causador por fatiga del conductor. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos tres de cinco accidentes automovilísticos sean causados por fatiga del conductor?
Respuesta:
**Recomendado 9. La biblioteca de cierta universidad genera multas a sus usuarios por concepto de atraso en la entrega de los libros, multas que deben pagarse en un cubículo que es atendido por un individuo que generalmente atiende de mal humor por lo que sus servicios han generado el repudio en los estudiantes. La comunidad estudiantil decide redactar una carta para generar una petición de remoción del cargo de tal individuo para ello se recolectan firmas entre los estudiantes. Si la aceptación de tal individuo entre la comunidad estudiantil es del 8% calcular: a) La probabilidad de que en un grupo de 10 estudiantes 8 firmen para apoyar la iniciativa de la remoción del cargo de tal individuo. b) La probabilidad de que se tenga que abordar a 7 estudiantes para encontrar la primera persona que no firme la propuesta de la remoción al cargo. c) La probabilidad de que en un grupo de 8 estudiantes a lo menos 7 firmen para apoyar la iniciativa de la remoción del cargo de tal individuo. d) La probabilidad de que se tenga que abordar a 15 estudiantes para encontrar 13 personas que firmen la revocatoria del funcionario. e) La probabilidad de que en un grupo de 10 todos firmen para la revocatoria del funcionario. f) El número más probable de firmas que se recolectaran en un grupo de 30 personas. g) El número más probable de estudiantes que se tendrán que abordar para encontrar dos personas que no firmen la propuesta de revocatoria. h) El número de estudiantes que se deberán abordar para que la probabilidad de que dos de ellos no firmen la propuesta sea de 0.05. i) El número de estudiantes que se deben abordar para que la probabilidad de encontrar el primero que no firme la propuesta sea de 0.025. j) El estudiante encargado de recoger las firmas afirma que en su planilla registra en promedio 2 firmas cada 10 minutos ¿Cuál es la probabilidad que en 20 minutos este estudiante logre registrar exactamente 5 firmas? k) El estudiante encargado de recoger las firmas afirma que en su planilla registra en promedio 2 firmas cada 10 minutos ¿Cuál es la probabilidad que en 30 minutos este estudiante logre registrar entre 3 y 5 firmas inclusive? l) El estudiante encargado de recoger las firmas afirma que en su planilla registra en promedio 2 firmas cada 10 minutos ¿Cuál es la probabilidad que en 15 minutos este estudiante logre registrar a lo más 3 firmas? m) A un grupo de 20 estudiantes se les reúne en un aula, 17 de tales estudiantes firmaron la propuesta y los restantes no firmaron. Se seleccionan 5 estudiantes al azar ¿Cuál es la probabilidad de que 4 estudiantes hayan firmado y 1 no haya firmado?
Respuesta: a) g) h) l) m)
b)
c)
i)
d)
e) j)
f) k)
10. El número de defectos en rollos de geotextil (utilizado para hacer filtros para taludes) de cierta industria tiene una media de 0.1 defectos por metro cuadrado.
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a) b) c) d)
¿Cuál es la probabilidad de tener dos defectos en un metro cuadrado de geotextil? ¿Cuál es la probabilidad de tener un defecto en 10 metros cuadrados de geotextil? ¿Cuál es la probabilidad de no hallar defectos en 20 metros cuadrados de geotextil? ¿Cuál es la probabilidad de que existan al menos dos defectos en 10 metros cuadrados de geotextil?
Respuesta: a)
b)
c)
d)
11. Una gran encuesta en una reconocida ciudad arroja como resultado que el 63% de las personas encuestadas no se encuentran a gusto con la pareja sentimental con la que comparten en la actualidad. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se tenga que entrevistar a 8 personas para encontrar alguien que no esté a gusto con su pareja sentimental actual? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se tenga que entrevistar a 4 personas para encontrar a dos personas que no estén a gusto con su pareja sentimental actual? c) ¿Cuál es la probabilidad de tener que entrevistar entre 3 y 5 personas inclusive para encontrar una persona que se encuentre a gusto con su pareja? d) ¿Cuál es el número más probable de personas que se deben encuestar para encontrar a alguien que se encuentre a gusto con su pareja? e) ¿Cuál es el número más probable de personas que se deben encuestar para encontrar a alguien que no se encuentre a gusto con su pareja? f) Calcular el coeficiente de variación para el número de personas que se deben encuestar para encontrar a alguien que se encuentre a gusto con su pareja.
Respuesta: a)
b)
c)
d)
e)
f)
12. Un laboratorio de una reconocida planta encargada del suministro de concreto a diferentes obras recolecta muestras de sus concretos que son utilizados en columnas con el objetivo de verificar la calidad del producto ofrecido al público. La prueba consiste en verificar con un ensayo de compresión la resistencia al esfuerzo normal para el cual fue diseñado el concreto. Según la experiencia se sabe que aproximadamente el 7% de los concretos suministrados no cumplen con la resistencia de diseño, suponga que se analiza cierto lote de probetas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que analizar 25 probetas para encontrar una que no cumple con la resistencia de diseño? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la probeta analizada en la posición 17 sea la primera que falle? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera probeta que falle se encuentre entre la analizada en la posición 17 y la posición 20, inclusive? d) Si 20 probetas se seleccionan del lote al azar y se analizan ¿Cuál es el número esperado de probetas que no cumplen con la resistencia? e) Si 25 probetas se seleccionan del lote al azar y se analizan ¿Cuál es el número esperado de probetas que cumplen con la resistencia? f) ¿Cuál es el número esperado de probetas que se tendrá que analizar para encontrar la primera que no cumple con la resistencia de diseño? g) Suponga que se analizan 35 probetas ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más dos no cumplan con la resistencia de diseño?
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Respuesta: a)
g)
b)
c)
d)
e)
f)
Ejercicios distribuciones de probabilidad (Exponencial, Poisson, Normal)
1. Suponga que en un punto de venta de vivienda usada los clientes, independientemente de que pregunten sobre vivienda unifamiliar o apartamento, lo hacen con un promedio de 26 clientes por hora. a) Calcule la probabilidad de que en un tiempo de una hora lleguen exactamente 24 clientes b) Calcule la probabilidad de que en un tiempo de 15 minutos lleguen exactamente 6 clientes c) Calcule la probabilidad de que se espere un tiempo de menos de cinco minutos antes de que llegue el próximo cliente. d) Calcule la probabilidad de que en un tiempo de 3 minutos lleguen entre 1 y 3 clientes, inclusive e) Calcule la probabilidad de que se espere un tiempo entre 2 y 4 minutos antes de que llegue el próximo cliente f) Calcule la probabilidad de que en un tiempo de 2 minutos lleguen a lo menos dos clientes g) Calcule la probabilidad de que se espere un tiempo que diste de la media no más de una desviación estándar.
Respuesta: a) g)
b)
c)
d)
e)
f)
2. En la construcción del sistema de drenaje de una cancha se utiliza un geotextil no tejido que tiene una alta permeabilidad permitiendo el flujo de agua a través de este, según el fabricante el geotextil presenta un promedio de 0.1 imperfecciones por metro cuadrado. a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya dos imperfecciones en 1 metro cuadrado de geotextil? b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya una imperfección en 10 m2 de geotextil? c) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya imperfecciones en 20 m 2 de geotextil? d) ¿Cuál es la probabilidad de que en 40 m 2 haya a lo más 3 imperfecciones en el geotextil? e) ¿Cuál es la probabilidad de que en 30 m2 haya a lo menos 2 imperfecciones en el geotextil?
Respuesta: a)
b)
c)
d)
e)
3. La longitud media del tiempo para que un individuo sea atendido en una reconocida cafetería ubicada en la ciudad de Bucaramanga es de 3 minutos a) Calcule la probabilidad de que en un tiempo de 2 minutos no se despache ningún cliente en la cafetería. b) Calcule la probabilidad de que en un tiempo de 5 minutos sean atendidos exactamente dos clientes de la cafetería. c) Suponga que usted requiere comprar parte del desayuno en esta cafetería y al momento de llegar es atendido inmediatamente, calcule la probabilidad de que el tiempo en ser atendido sea a lo más 2.5 minutos. d) Calcule la probabilidad de que en un tiempo de 5 minutos sean atendidos a lo menos dos clientes de la cafetería.
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e) Calcule la probabilidad de que en un tiempo de 7 minutos sean atendidos a lo más 3 clientes en la cafetería. f) Keyla una reconocida clienta de la cafetería realiza una apuesta con su mejor amiga que consiste en que comprara productos de la cafetería en 5 días diferentes y que de estos días en por lo menos dos será atendida en un tiempo inferior a 2 minutos, calcule la probabilidad de que Keyla gane la apuesta a su mejor amiga.
Respuesta: a)
b)
c)
d)
e)
f)
4. Para la Escuela de Ingeniería Civil de una reconocida universidad Colombiana trabaja una secretaria encargada de la atención a estudiantes quien es popular entre estos por su mal humor, y largas conversaciones de teléfono con sus amigas. El tiempo medio que demora en despachar a un estudiante es de 5 minutos de los cuales 2 son dedicados a la investigación de nuevos chismes con sus amigas al teléfono. a) Suponga que usted requiere ser atendido por esta secretaria ¿Cuál es la probabilidad de que esta diligencia le demore a usted entre 2 y 5 minutos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que esta secretaria atienda a 3 estudiantes en 9 minutos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que esta secretaria atienda a lo menos a dos estudiantes en 10 minutos? d) Cierta semana el Director de escuela decide supervisar la labor desempeñada por la secretaria y por lo tanto esta no habla con sus amigas dedicándose a su verdadera labor, en tal semana Camilo un estudiante debe ir todos los 6 días a la secretaria y ser atendido ¿Cuál es la probabilidad de que a lo menos en cuatro de estos seis días sea atendido en un tiempo inferior a 3 minutos?
Respuesta: a)
b)
c)
d)
5. Suponga que las estaturas de 800 estudiantes están distribuidas con media de 1.68 [m] y desviación estándar de 13 [cm]. a) Calcule la probabilidad de que la estatura de un estudiante elegido al azar sea superior a 1.65 [m]. b) Calcule la probabilidad de que la estatura de un estudiante elegido al azar sea inferior a 1.72 [m]. c) Si se elige un grupo de diez estudiantes, calcule la probabilidad de que a lo menos dos estudiantes tienen una estatura inferior a 1.58 [m]. d) Cuál es el número esperado de estudiantes que deberán medirse para encontrar dos con una estatura inferior a 1.60 [m]. e) Calcule el valor esperado del número de estudiantes con estaturas entre 1.65 [m] y 1.78 [m].
Respuesta: a)
b)
c)
d)
e)
6. La dureza Rockwell de un metal se determina al golpear con un punzón acerado la superficie de un metal y después medir la profundidad del penetración del punto. Suponga que la dureza Rockwell de cierta aleación esta normalmente distribuida con media de 70 y desviación estándar de 3 (La dureza Rockwell se mide en escala continua). Apuntes Estadística Aplicada A La Ingeniera – 24095 / Universidad Industrial de Santander
a) Si la escala aceptable de dureza es (70-c,70+c), ¿para qué valor de c tendrá una dureza b) c) d) e)
aceptable el 95% de todas las probetas? ¿Cuál es la probabilidad de que la dureza sea superior 70.8? ¿Cuál es la probabilidad de que la dureza sea inferior de 69.2? ¿Cuál es la probabilidad de que la dureza se encuentre entre 68.5 y 72.5? ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo ocho de diez probetas seleccionadas independientemente tengan una dureza menor de 73.84?
Respuesta: a)
b)
c)
d)
e)
7. En cierto estudio se concluye que la densidad de la tierra arcillosa sigue una distribución normal. Los estudios demuestran que el 4.01% de las zonas arcillosas tiene densidad inferior a 0.825 [g/cm3] y el 1.5% densidad superior a 1.217 [g/cm3] a) Si son objeto de estudio las zonas con densidad inferior a 0.735 [g/cm 3], hallar la probabilidad de que, entre 1375 zonas haya 7 con esa densidad. b) Un ingeniero de suelos está interesado en aquellas zonas cuya densidad oscila entre 1.058 [g/cm3] y 1.117 [g/cm3]. Si se selecciona al azar, hallar la probabilidad de que tenga que rechazar 10 zonas antes de encontrar 4 de interés, así como el número esperado de zonas que tendrá que rechazar y la varianza de tal medida.
Respuesta: a)
b)
8. En un estudio sobre probetas del concreto que se utiliza en la construcción de cierta urbanización se encontró que el 30% tenían una resistencia menor a 23.5 [MPa], mientras que el 40% tenían una resistencia inferior a 24 [MPa]. Calcular el porcentaje de las probetas que tiene una resistencia mayor a 25.5 [MPa].
9. Loa anchos de las ranuras (en centímetros) de una división de baño en duraluminio tiene como y . Los límites dados en las especificaciones tienen una tolerancia admisible de 1 milímetro. a) ¿Qué porcentaje de las divisiones saldrán defectuosas? b) ¿Cuál es el valor máximo aceptable de que no permitirá más de 1 defecto por cada 100 unidades producidas?
10. Una compañía de comunicación por cable ha determinado que el número de interruptores terminales de botón solicitados diariamente tiene una media de 200 y una varianza de 2500. a) ¿En qué porcentaje de los días la demanda será de menos de 90 interruptores? b) ¿En qué porcentaje de los días la demanda estará entre 225 y 275 interruptores? c) Con base en consideraciones de costo, la compañía ha determinado que su mejor estrategia consiste en producir una cantidad de interruptores suficiente para atender plenamente la demanda 94% de todos los días. ¿Cuántos interruptores terminales deberá producir la compañía cada día?
11. Los costos de fabricación de un producto siguen una distribución normal con media de 10 y desviación estándar de 3 mientras que los ingresos, independientes de los costos, se distribuyen normalmente con una media de 12 y una varianza de 16.
Apuntes Estadística Aplicada A La Ingeniera – 24095 / Universidad Industrial de Santander
