ESTADISTICA DESCRIPTIVA La Estadística trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones. Un estudio estadístico consta de las siguientes fases: Recogida de datos. Organización y representación de datos. Análisis de datos. Obtención de conclusiones.
Conceptos de Estad ística Población Una población es el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio estad ístico. Individuo Un individuo o unidad estadística es cada uno de los elementos que componen la poblaci ón. Muestra Una muestra es un conjunto representativo de la población de referencia, el n úmero de individuos de una muestra es menor que el de la poblaci ón. Muestreo
El muestreo es la reunión de datos que se desea estudiar, obtenidos de una proporci ón reducida y representativa de la poblaci ón. Valor Un valor es cada uno de los distintos resultados que se pueden obtener en un estudio estad ístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos dos valores: cara y cruz. Dato Un dato es cada uno de los valores que se ha obtenido al realizar un estudio estad ístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5 datos: cara, cara, cruz, cara, cruz. VARIABLES ESTADISTICAS Una variable estad ística es cada las características o cualidades que individuos de una poblaci ón.
una poseen
de los
Tipos de variable estad ísticas Variable cualitativa Las variables cualitativas se refi eren a características o cualidades que no pueden ser medidas con números. Podemos distinguir dos tipos: Variable cualitativa nominal Una variable cualitativa nominal presenta modalidades no numéricas que no admiten un criterio de orden .
Ejemplo:
El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado, separado, divorciado y viudo. Variable cualitativa cuasicuantitativa
ordinal
o
variable
Una variable cualitativa ordinal presenta modalidades no n úmericas, en las que existe un orden. Ejemplos:
La nota en un examen: suspenso, aprobado, notable, sobresaliente. Puesto conseguido en una prueba deportiva: 1 º, 2º, 3º, ... Medallas de una prueba deportiva: oro, plata, bronce.
Variable cuantitativa Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, por tanto se pueden realizar operaciones aritm éticas con ella. Podemos distinguir dos tipos: Variable discreta Una variable discreta es aquella que solo puede tomar un número fi nito de valores entre dos valores cualesquiera de una carater ística.
Ejemplo:
El número de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3. Variable continua Una variable continua es aquella que puede tomar un número infi nito de valores entre dos valores cualesquiera de una carater ística. Ejemplos:
La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75. En la práctica medimos la altura con dos decimales, pero también se podría dar con tres decimales. TABLAS DE FRECUENCIA Distribución de frecuencias La distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente. Tipos de frecuencias Frecuencia absoluta La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico. Se representa por fi. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa por N.
Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega Σ (sigma mayúscula) que se lee suma o sumatoria.
Frecuencia relativa La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por ni.
La suma de las frecuencias relativas es igual a 1. Frecuencia acumulada La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado. Se representa por Fi. Frecuencia relativa acumulada La frecuencia relativa acumulada es el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento.
Ejemplo:
Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas: 32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29. En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de menor a mayor, en la segunda hacemos el recuento y en la tercera anotamos la frecuencia absoluta.
xi
Recuento
fi
Fi
ni
Ni
27
I
1
1
0.032
0.032
28
II
2
3
0.065
0.097
29
6
9
0.194
0.290
30
7
16
0.226
0.516
31
8
24
0.258
0.774
32
III
3
27
0.097
0.871
33
III
3
30
0.097
0.968
34
I
1
31
0.032
1
31
1
Este tipo de tablas de frecuencias se utiliza con variables discretas.
Distribución de frecuencias agrupadas La distribución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea si las variables toman un número grande de valores o la variable es continua. Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases. A cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente. Límites de la clase Cada clase está delimitada por el límite clase y el límite superior de la clase.
inferior
de
la
Amplitud de la clase La amplitud de la clase es la diferencia entre el límite superior e inferior de la clase. Marca de clase La marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que representa a todo el intervalo para el cálculo de algunos parámetros.
Construcción de una tabla de datos agrupados
3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13. 1º Se localizan los valores menor y mayor de la distribución. En este caso son 3 y 48. 2º Se restan y se busca un número entero un poco mayor que la diferencia y que sea divisible por el número de intervalos queramos establecer. Es conveniente que el número de intervalos oscile entre 6 y 15. En este caso, 48 - 3 = 45, incrementamos el número hasta 50: 5 = 10 intervalos. Se forman los intervalos teniendo presente que el límite inferior de una clase pertenece al intervalo, pero el límite superior no pertenece intervalo, se cuenta en el siguiente intervalo.
ci
fi
Fi
ni
Ni
[0, 5)
2.5
1
1
0.025
0.025
[5, 10)
7.5
1
2
0.025
0.050
[10, 15)
12.5
3
5
0.075
0.125
[15, 20)
17.5
3
8
0.075
0.200
[20, 25)
22.5
3
11
0.075
0.275
[25, 30)
27.5
6
17
0.150
0.425
[30, 35)
32.5
7
24
0.175
0.600
[35, 40)
37.5
10
34
0.250
0.850
[40, 45)
42.5
4
38
0.100
0.950
[45, 50)
47.5
2
40
0.050
1
40
1
Diagrama de barras Un diagrama de barras se utiliza para de presentar datos cualitativos o datos cuantitativos de tipo discreto. Se representan sobre unos ejes de coordenadas, en el eje de abscisas se colocan los valores de la variable, y sobre el eje de ordenadas las frecuencias absolutas o relativas o acumuladas. Los datos se representan mediante barras de proporcional a la frecuencia.
una altura
Ejemplo:
Un estudio hecho al conjunto de los 20 alumnos de una clase para determinar su grupo sanguíneo ha dado el siguiente resultado:
Grupo sanguíneo
fi
A
6
B
4
AB
1
0
9
20
Polígonos de frecuencia Un polígono de frecuencias se forma los extremos de las barras mediante segmentos.
uniendo
También se puede realizar trazando los puntos que representan las frecuencias y uniéndolos mediante segmentos.
Ejemplo:
Las temperaturas en un día de otoño de una ciudad han sufrido las siguientes variaciones:
Hora
Temperatura
6
7º
9
12°
12
14°
15
11°
18
12°
21
10°
24
8°
Un diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa frecuentemente para las variables cualitativas. Los datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente.
El diagrama circular se construye con la ayuda de un transportador de ángulos.
Ejemplos En una clase de 30 alumnos, 12 juegan a baloncesto, 3 practican la nataci ón, 9 juegan al f útbol y el resto no practica ning ún deporte.
Alumnos
Ángulo
Baloncesto
12
144°
Natación
3
36°
Fútbol
9
108°
Sin deporte
6
72°
Total
30
360°
Histograma
Un histograma es una representación una variable en forma de barras.
gráfica de
Se utilizan para variables continuas o para variables discretas, con un gran número de datos, y que se han agrupado en clases. En el eje abscisas se construyen unos rectángulos que tienen por base la amplitud del intervalo, y por altura, la frecuencia absoluta de cada intervalo. La superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados.
Polígono de frecuencia Para construir el polígono de frecuencia se toma la marca de clase que coincide con el punto medio de cada rectángulo. Ejemplo:
El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla:
ci
fi
Fi
[50, 60)
55
8
8
[60, 70)
65
10
18
[70, 80)
75
16
34
[80, 90)
85
14
48
[90, 100)
95
10
58
[100, 110)
105
5
63
[110, 120)
115
2
65
65
Histograma y polígono de frecuencias acumuladas
Si se representan las frecuencias acumuladas de una tabla de datos agrupados se obtiene el histograma de frecuencias acumuladas o su correspondiente polígono.
Histogramas con intervalos de amplitud diferente Para construir unos histogramas con intervalo de amplitud diferente tenemos que calcular las alturas de los rectángulos del histograma.
hi es la altura del intervalo. fi es la frecuencia del intervalo. ai es la amplitud del intervalo. Ejemplo:
En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos.
fi
hi
[0, 5)
15
3
[5, 7)
20
10
[7, 9)
12
6
[9, 10)
3
3
50
PARAMETROS ESTADISTICOS Un parámetro estadístico es un número que se obtiene a partir de los datos de una distribución estadística.
Los parámetros estadísticos sirven para sintetizar información dada por una tabla o por una gráfica.
la
Tipos de parámetros estadísticos Hay tres tipos parámetros estadísticos: De centralización. De posición De dispersión. Medidas de centralización Nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos. Las medidas de centralización son: Media aritmética La media es el valor promedio de la distribución. Mediana La mediana es la puntación de la escala que separa la mitad superior de la distribución y la inferior, es decir divide la serie de datos en dos partes iguales. Moda La moda es el valor que más se repite en una distribución. Medidas de posición Las medidas de posición dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos. Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor. Las medidas de posición son:
Cuartiles Los cuartiles dividen la serie de datos en cuatro partes iguales. Deciles Los deciles dividen la serie de datos en diez partes iguales. Percentiles Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales. Medidas de dispersión Las medidas de dispersión nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores de la distribución. Las medidas de dispersión son: Rango o recorrido El rango es la diferencia entre el mayor y los datos de una distribución estadística.
el menor de
Desviación media La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media. Varianza La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media. Desviación típica La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.
Se representa por Mo. Se puede hallar cualitativas y cuantitativas.
la moda para variables
Hallar la moda de la distribución: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas. 1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9Mo= 1, 5, 9 Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda. 2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9 Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes. 0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8Mo = 4 Cálculo de la moda para datos agrupados 1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.
Li es el límite inferior de la clase modal. fi es la frecuencia absoluta de la clase modal. fi--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la clase modal. fi-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.
ai es la amplitud de la clase. También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de ésta:
Ejemplo: Calcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
fi
[60, 63)
5
[63, 66)
18
[66, 69)
42
[69, 72)
27
[72, 75)
8
100
2º Los intervalos tienen amplitudes distintas. En primer lugar tenemos que hallar las alturas.
La clase modal es la que tiene mayor altura.
La fórmula de la moda aproximada cuando existen distintas amplitudes es:
Ejemplo: En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos. Calcular la moda.
fi
hi
[0, 5)
15
3
[5, 7)
20
10
[7, 9)
12
6
[9, 10)
3
3
50
MEDIANA: Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor. La mediana se representa por Me. La mediana se cuantitativas.
puede hallar sólo
para variables
Cálculo de la mediana 1. Ordenamos los datos de menor a mayor. 2. Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma. 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me = 5 3. Si la serie la mediana es centrales.
tiene un número par de puntuaciones la media entre las dos puntuaciones
7, 8, 9, 10, 11, 12Me = 9.5
Cálculo de la mediana para datos agrupados
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas. Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre .
Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
Es la semisuma de las frecuencias absolutas. Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana. ai es la amplitud de la clase. La mediana es independiente de los intervalos.
las amplitudes de
Ejemplo:
Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
[60, 63)
fi
Fi
5
5
[63, 66)
18
23
[66, 69)
42
65
[69, 72)
27
92
[72, 75)
8
100
100
100/2 = 50 Clase de la mediana: [66, 69)
La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos. Es el símbolo de la media aritmética.
Ejemplo:
Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.
Media aritmética para datos agrupados Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:
Ejercicio de media aritmética En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.
xi
fi
xi · fi
[10, 20)
15
1
15
[20, 30)
25
8
200
[30,40)
35
10
350
[40, 50)
45
9
405
[50, 60
55
8
440
[60,70)
65
4
260
[70, 80)
75
2
150
42
1 820
Propiedades de la media aritmética 1. La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribución respecto a la media de la misma igual a cero.
La suma de las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12, 10 de su media aritmética 7.6 es igual a 0: 8 − 7.6 + 3 − 7.6 + 5 − 7.6 + 12 − 7.6 + 10 − 7.6 = = 0. 4 − 4.6 − 2.6 + 4. 4 + 2. 4 = 0 2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a un número cualquiera se hace mínima cuando dicho número coincide con la media aritmética.
3. Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media aritmética queda aumentada en dicho número. 4. Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media aritmética queda multiplicada por dicho número.
Observaciones sobre la media aritmética 1. La media se cuantitativas.
puede hallar sólo
2. La media es independiente de los intervalos.
para variables
las amplitudes de
3. La media es muy sensible a las puntuaciones extremas. Si tenemos una distribución con los siguientes pesos: 65 kg, 69kg, 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg. La media es igual a 74 kg, que es una medida centralización poco representativa de la distribución.
de
4. La media no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada.
[60, 63)
xi
fi
61.5
5
[63, 66)
64.5
18
[66, 69)
67.5
42
[69, 72)
70.5
27
[72, ∞ )
8
100
En este caso no es posible hallar la media porque no podemos calcular la marca de clase de último intervalo. Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales. Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos. Q2 coincide con la mediana. Cálculo de los cuartiles 1. Ordenamos los datos de menor a mayor. 2. Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión
.
Número impar de datos 2, 5, 3, 6, 7, 4, 9
Número par de datos 2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9
Cálculo de los cuartiles para datos agrupados En
primer
lugar
buscamos
la clase donde
se
encuentra
, en la tabla de las frecuencias acumuladas.
Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra el cuartil. N es la suma de las frecuencias absolutas. Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase del cuartil. ai es la amplitud de la clase. Ejercicio de cuartiles Calcular los cuartiles de la distribución de la tabla:
[50, 60)
fi
Fi
8
8
[60, 70)
10
18
[70, 80)
16
34
[80, 90)
14
48
[90, 100)
10
58
[100, 110)
5
63
[110, 120)
2
65
65
Cálculo del primer cuartil
Cálculo del segundo cuartil
Cálculo del tercer cuartil
Los deciles son los nueve valores que dividen la de datos en diez partes iguales.
serie
Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos. D5 coincide con la mediana. Cálculo de los deciles En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.
Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra el decil. N es la suma de las frecuencias absolutas. Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase el decil.. ai es la amplitud de la clase. Ejercicio de deciles Calcular los deciles de la distribución de la tabla:
fi
Fi
[50, 60)
8
8
[60, 70)
10
18
[70, 80)
16
34
[80, 90)
14
48
[90, 100)
10
58
[100, 110)
5
63
[110, 120)
2
65
65
Cálculo del primer decil
Cálculo del segundo decil
Cálculo del tercer decil
Cálculo del cuarto decil
Cálculo del quinto decil
Cálculo del sexto decil
Cálculo del séptimo decil
Cálculo del octavo decil
Cálculo del noveno decil
Los percentiles son los 99 valores que dividen la de datos en 100 partes iguales.
serie
Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos. P50 coincide con la mediana. P50 coincide con D5. Cálculo de los percentiles En
primer
lugar
buscamos
encuentra acumuladas.
la
clase
donde
se
, en la tabla de las frecuencias
Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra el percentil. N es la suma de las frecuencias absolutas. Fi-1 es la frecuencia percentil.
acumulada anterior
a
la
clase del
ai es la amplitud de la clase. Ejercicio de percentiles Calcular el percentil 35 y 60 de la distribución de la tabla:
fi
Fi
[50, 60)
8
8
[60, 70)
10
18
[70, 80)
16
34
[80, 90)
14
48
[90, 100)
10
58
[100, 110)
5
63
[110, 120)
2
65
65
Percentil 35
Percentil 60
MEDIDAS DE DISPERCION Desviación respecto a la media La desviación respecto a la media es la diferencia en valor absoluto entre cada valor de la variable estadística y la media aritmética. Di = |x - x| Desviación media La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.
La desviación media se representa por
Ejemplo:
Calcular la desviación media de la distribución: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Desviación media para datos agrupados Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la desviación media es:
Ejemplo:
Calcular la desviación media de la distribución:
xi
fi
xi · fi
|x -x|
|x - x| · fi
[10, 15)
12.5
3
37.5
9.286
27.858
[15, 20)
17.5
5
87.5
4.286
21.43
[20, 25)
22.5
7
157.5
0.714
4.998
[25, 30)
27.5
4
110
5.714
22.856
[30, 35)
32.5
2
65
10.714
21.428
21
457.5
98.57
La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística. La varianza se representa por
.
Varianza para datos agrupados
Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.
Ejercicios de varianza Ejercicio 1:
Calcular la varianza de la distribución: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Ejercicio 2:
Calcular la varianza de la distribución de la tabla:
xi
fi
xi · fi
xi2 · fi
[10, 20)
15
1
15
225
[20, 30)
25
8
200
5000
[30,40)
35
10
350
12 250
[40, 50)
45
9
405
18 225
[50, 60
55
8
440
24 200
[60,70)
65
4
260
16 900
[70, 80)
75
2
150
11 250
42
1 820
88 050
Propiedades de la varianza 1 La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales. 2 Si a todos los valores de la les suma un número la varianza no varía.
variable
se
3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho número. 4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total. Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:
Si las muestras tienen distinto tamaño:
Observaciones sobre la varianza 1 La varianza, al igual que la media, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas. 2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la varianza. 3 La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones están elevadas al cuadrado. La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza. Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación. La desviación típica se representa por σ.
Desviación típica para datos agrupados
Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.
Ejercicios de desviación típica Ejercicio 1:
Calcular la desviación típica de la distribución: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Ejercicio 2:
Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:
xi
fi
xi · fi
xi2 · fi
[10, 20)
15
1
15
225
[20, 30)
25
8
200
5000
[30,40)
35
10
350
12 250
[40, 50)
45
9
405
18 225
[50, 60)
55
8
440
24 200
[60,70)
65
4
260
16 900
[70, 80)
75
2
150
11 250
42
1 820
88 050
Propiedades de la desviación típica 1 La desviación típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.
2 Si a todos los valores de la variable les suma un número la desviación típica no varía. 3 Si todos los valores de un número la desviación dicho número.
la
se
variable se multiplican por típica queda multiplicada por
4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas desviaciones típicas se puede calcular la desviación típica total. Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:
Si las muestras tienen distinto tamaño:
Observaciones sobre la desviaci ón típica 1 La desviación típica, al igual que la media y la varianza, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas. 2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la desviación típica. 3 Cuanta más pequeña sea la desviación típica mayor será la concentración de datos alrededor de la media.
Coeficiente de variación El coeficiente de variación es la relación entre la desviación típica de una muestra y su media.
El coeficiente en porcentajes:
de
variación se
suele
expresar
El coeficiente de variación permite comparar las dispersiones de dos distribuciones distintas, siempre que sus medias sean positivas. Se calcula para cada una de las distribuciones y los valores que se obtienen se comparan entre sí. La mayor dispersión corresponderá al valor del coeficiente de variación mayor. Ejercicio:
Una distribución tiene x = 140 y σ = 28.28 y otra x = 150 y σ = 24. ¿Cuál de las dos presenta mayor dispersión?
La primera distribución presenta mayor dispersión.
Puntuaciones típicas Puntuaciones diferenciales Las puntuaciones diferenciales resultan de restarles a las puntuaciones directas la media aritmética. xi = Xi − X Puntuaciones típicas Las puntuaciones típicas son el resultado de dividir las puntuaciones diferenciales entre la desviación típica. Este proceso se llama tipificación. Las puntuaciones típicas se representan por z.
Observaciones sobre puntuaciones típicas La media aritmética de las puntuaciones típicas es 0. La desviación típica de las puntuaciones típicas es 1. Las puntuaciones típicas son adimensionales, es decir, son independientes de las unidades utilizadas. Las puntuaciones típicas se para comparar las puntuaciones obtenidas distribuciones.
en
utilizan distintas
Ejercicio
En una clase hay 15 alumnos y 20 alumnas. El peso medio de los alumnos es 58.2 kg y el de las alumnas y 52.4 kg. Las desviaciones típicas de los dos grupos son, respectivamente, 3.1 kg y 5.1 kg. El peso de José es de 70 kg y el de Ana es 65 kg. ¿Cuál de ellos puede, dentro del grupo de alumnos de su sexo, considerarse más grueso?
José es más grueso respecto de su grupo que Ana respecto al suyo.
RESUMEN La Estadística trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones. Conceptos de Estadística Población Una población es el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio estadístico. Individuo Un individuo o unidad estadística es elementos que componen la población.
cada
uno
de
los
Muestra Una muestra es un conjunto representativo de la población de referencia, el número de individuos de una muestra es menor que el de la población. Muestreo El muestreo es la reunión de datos que se desea estudiar, obtenidos de una proporción reducida y representativa de la población. Valor Un valor es cada uno de los distintos resultados que se pueden obtener en un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos dos valores: cara y cruz. Dato Un dato es cada uno de los valores que se ha obtenido al realizar un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5 datos: cara, cara, cruz, cara, cruz. Variables estadísticas Variable cualitativa Las variables cualitativas se refieren a características o cualidades que no pueden ser medidas con números. Podemos distinguir dos tipos: Variable cualitativa nominal Una variable cualitativa nominal presenta modalidades no numéricas que no admiten un criterio de orden. Variable cualitativa ordinal o variable cuasi cuantitativa Una variable cualitativa ordinal presenta modalidades no numéricas, en las que existe un orden.
Variable cuantitativa Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, por tanto se pueden realizar operaciones aritméticas con ella. Podemos distinguir dos tipos: Variable discreta Una variable discreta es aquella que solo puede tomar un número finito de valores entre dos valores cualesquiera de una característica. Variable continua Una variable continua es aquella que puede tomar un número infinito de valores entre dos valores cualesquiera de una característica. Distribución de frecuencias La distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente. Diagrama de barras Un diagrama de barras se utiliza para de presentar datos cualitativos o datos cuantitativos de tipo discreto. Los datos se representan mediante barras de proporcional a la frecuencia.
una altura
Polígonos de frecuencias Un polígono de frecuencias se forma los extremos de las barras mediante segmentos.
uniendo
También se puede realizar trazando los puntos que representan las frecuencias y uniéndolos mediante segmentos.
Diagrama de sectores Un diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa frecuentemente para las variables cualitativas. Los datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente.
Histograma Un histograma es una representación una variable en forma de barras.
gráfica de
Se utilizan para variables continuas o para variables discretas, con un gran número de datos, y que se han agrupado en clases. En el eje abscisas se construyen unos rectángulos que tienen por base la amplitud del intervalo, y por altura, la frecuencia absoluta de cada intervalo. Medidas de centralización Moda La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta. Se representa por Mo. Se puede hallar cualitativas y cuantitativas.
la moda para variables
Cálculo de la moda para datos agrupados
1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.
2º Los intervalos tienen amplitudes distintas. En primer lugar tenemos que hallar las alturas.
La clase modal es la que tiene mayor altura.
Mediana Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor. La mediana se representa por Me. La mediana se cuantitativas.
puede hallar sólo
para variables
Cálculo de la mediana 1 Ordenamos los datos de menor a mayor. 2 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma. 3 Si la serie la mediana es centrales.
tiene un número par de puntuaciones la media entre las dos puntuaciones
Cálculo de la mediana para datos agrupados La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre .
Media aritmética La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos. Es el símbolo de la media aritmética.
Media aritmética para datos agrupados Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:
Medidas de posición Cuartiles Los cuartiles son los tres valores de la variable dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales.
Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos.
Deciles Los deciles son los nueve valores que dividen la de datos en diez partes iguales.
serie
Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos.
Percentiles Los percentiles son los 99 valores que dividen la de datos en 100 partes iguales.
serie
Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos.
Medidas de dispersión Desviación media La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media. La desviación media se representa por
Desviación media para datos agrupados Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la desviación media es:
Varianza La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística. La varianza se representa por
Varianza para datos agrupados
.
Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.
Desviación típica La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza. La desviación típica se representa por σ.
Desviación típica para datos agrupados
Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.
Desviación típica para datos agrupados
Coeficiente de variación El coeficiente de variación es la relación entre la desviación típica de una muestra y su media.
Puntuaciones típicas Las puntuaciones típicas son el resultado de dividir las puntuaciones diferenciales entre la desviación típica. Este proceso se llama tipificación.
EJERCICIOS I Ejercicio 1 Indica que variables son cualitativas y cuales cuantitativas: 1. Comida Favorita. Cualitativa. 2. Profesión que te gusta. Cualitativa.
3. Número de goles marcados por tu equipo favorito en la última temporada. Cuantitativa . 4. Número de alumnos de tu Instituto. Cuantitativa . 5. El color de los ojos de tus compa ñeros de clase. Cualitativa. 6. Coefi ciente intelectual de tus compa ñeros de clase. Cuantitativa Ejercicio 2 De las siguientes variables indica son discretas y cuales continuas.
cuáles
1. Número de acciones vendidas cada d ía en la Bolsa. Discreta 2.Temperaturas observatorio.
registradas
cada
hora
Continua 3. Período de duración de un autom óvil. Continua 4. El diámetro de las ruedas de varios coches. Continua 5. Número de hijos de 50 familias. Discreta 6. Censo anual de los espa ñoles. Discreta
en
un
Ejercicio 3 Clasifi car las siguientes variables en cualitativas y cuantitativas discretas o continuas. 1. La nacionalidad de una persona. Cualitativa 2. Número de litros de agua contenidos en un dep ósito. Cuantitativa continua . 3. Número de libro en un estante de librer ía. Cuantitativa discreta . 4. Suma de puntos tenidos en el lanzamiento de un par de dados. Cuantitativa discreta . 5. La profesión de una persona. Cualitativa. 6. El área de las distintas baldosas de un edifi cio. Cuantitativa continua . Ejercicio 4 Las puntuaciones obtenidas por un grupo de en una prueba han sido: 15, 20, 15, 18, 22, 13, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 16, 20, 16, 15, 18, 16, 14, 13. Construir la tabla de distribuci ón de frecuencias y dibuja el polígono de frecuencias.
xi
Recuento
fi
Fi
ni
Ni
13
III
3
3
0.15
0.15
14
I
1
4
0.05
0.20
5
9
0.25
0.45
15
16
IIII
4
13
0.20
0.65
18
III
3
16
0.15
0.80
19
I
1
17
0.05
0.85
20
II
2
19
0.10
0.95
22
I
1
20
0.05
1
20
Polígono de frecuencias
Ejercicio 5
El número de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie: 3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1. Construir la tabla de distribuci ón de frecuencias y dibuja el diagrama de barras.
xi
xi
Fi
ni
Ni
1
6
6
0.158
0.158
2
12
18
0.316
0.474
3
16
34
0.421
0.895
4
38
0.105
1
4
Recuento
IIII
38
1
Diagrama de barras
Ejercicio 6 Las califi caciones de 50 alumnos en Matem áticas han sido las siguientes: 5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8, 6, 6, 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7. Construir la tabla de distribuci ón de frecuencias y dibuja el diagrama de barras.
xi
fi
Fi
ni
Ni
0
1
1
0.02
0.02
1
1
2
0.02
0.04
2
2
4
0.04
0.08
3
3
7
0.06
0.14
4
6
13
0.12
0.26
5
11
24
0.22
0.48
6
12
36
0.24
0.72
7
7
43
0.14
0.86
8
4
47
0.08
0.94
9
2
49
0.04
0.98
10
1
50
0.02
1.00
50
Diagrama de barras
1.00
Ejercicio 7 Los pesos de los 65 empleados de una f ábrica vienen dados por la siguiente tabla:
fi
[50, 60)
8
[60, 70)
10
[70, 80)
16
[80,90)
14
[90, 100)
10
[100, 110)
5
[110, 120)
2
1 Construir la tabla de frecuencias . 2 Representar frecuencias.
[50, 60)
el histograma y
el polígono
de
xi
fi
Fi
ni
Ni
55
8
8
0.12
0.12
[60, 70)
65
10
18
0.15
0.27
[70, 80)
75
16
34
0.24
0.51
[80,90)
85
14
48
0.22
0.73
[90, 100)
95
10
58
0.15
0.88
[100, 110)
105
5
63
0.08
0.96
[110, 120)
115
2
65
0.03
0.99
65
Histograma
Ejercicio 8 Los 40 alumnos de una clase han obtenido las siguientes puntuaciones, sobre 50, en un examen de Física. 3, 35, 30, 37, 27, 31, 41, 20, 16, 26, 45, 37, 9, 41, 28, 21, 31, 35, 10, 26, 11, 34, 36, 12, 22, 17, 33, 43, 19, 48, 38, 25, 36, 32, 38, 28, 30, 36, 39, 40. 1. Construir la tabla de frecuencias . 2. Dibujar el histograma y frecuencias.
el polígono
de
xi
fi
Fi
ni
Ni
[0, 5)
2.5
1
1
0.025
0.025
[5, 10)
7.5
1
2
0.025
0.050
[10, 15)
12.5
3
5
0.075
0.125
[15, 20)
17.5
3
8
0.075
0.200
[20, 25)
22.5
3
11
0.075
0.275
[25, 30)
27.5
6
17
0.150
0.425
[30, 35)
32.5
7
24
0.175
0.600
[35, 40)
37.5
10
34
0.250
0.850
[40, 45)
47.5
4
38
0.100
0.950
[45, 50)
47.5
2
40
0.050
1.000
40
1
Histograma
Ejercicio 9 Sea una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
xi
61
64
67
70
73
fi
5
18
42
27
8
Calcular:
1 La moda, mediana y media . 2 El rango, desviación desviación típica.
media,
varianza
xi
fi
Fi
xi · fi
|x − x |
|x fi
61
5
5
305
6.45
32.25
18 605
64
18
23
1152
3.45
62.10
73 728
67
42
65
2814
0.45
18.90
188 538
71
27
92
1890
2.55
68.85
132 300
73
8
100
584
5.55
44.40
42 632
226.50
455 803
100
6745
Moda Mo = 67 Mediana 100/2 = 50 Me = 67 Media
− x |
·
y
xi2 · fi
Desviación media
Rango r = 73 − 61 = 12 Varianza
Desviación típica
Ejercicio 10 Calcular la media, la mediana y la moda de la siguiente serie de n úmeros: 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.
xi
fi
Fi
xi · fi
2
2
2
4
3
2
4
6
4
5
9
20
5
6
15
30
6
2
17
12
8
3
20
24
20
96
Moda Mo = 5 Mediana 20/2 = 10 Me = 5 Media
Ejercicio 11 Hallar la varianza y la desviación siguiente serie de datos: 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
Ejercicio 12
típica de
la
Hallar la media, mediana serie de números:
y
moda de la siguiente
3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6.
2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 9. Moda Mo = 5 Mediana
10/2 = 5 Media
Ejercicio 13 Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de n úmeros siguientes: 2, 3, 6, 8, 11. 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
2, 3, 6, 8, 11. Media
Desviación media
Varianza
Desviación típica
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5. Media
Desviación media
Varianza
Desviación típica
Ejercicio 14 Se ha aplicado test a los empleados de una f ábrica, obteniéndose las siete tabla:
fi
[38, 44)
7
[44, 50)
8
[50, 56)
15
[56, 62)
25
[62, 68)
18
[68, 74)
9
[74, 80)
6
Dibujar el histograma y el pol ígono de frecuencias acumuladas.
fi
Fi
[38, 44)
7
7
[44, 50)
8
15
[50, 56)
15
30
[56, 62)
25
55
[62, 68)
18
73
[68, 74)
9
82
[74, 80)
6
88
Ejercicio 15 Dadas las series estad ísticas: 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9. 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1. Calcular: La moda, la mediana y la media. La desviación media, la desviación típica. Los cuartiles 1º y 3º. Los deciles 2º y 7º.
la
varianza y
Los percentiles 32 y 85. 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9. Moda No existe moda porque todas tienen la misma frecuencia. Mediana 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. Me = 5 Media
Varianza
Desviación típica
Desviación media
Rango r = 9 − 2 = 7 Cuartiles
Deciles 7 · (2/10) = 1.4 D 2 = 3
las
puntuaciones
7 · (7/10) = 4.9 D 7 = 6 Percentiles 7 · (32/100) = 2,2 P 3 2 = 4 7 · (85/100) = 5.9 P 8 5 = 7
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.
Moda No existe moda porque todas tienen la misma frecuencia. Mediana
Media
Varianza
Desviación típica
Desviación media
Rango r = 9 - 1 = 8
las
puntuaciones
Cuartiles
Deciles 8 · (2/10) = 1.6 D 2 = 2 8 · (7/10) = 5.6 D 7 = 6 Percentiles 8 · (32/100) = 2.56 P 3 2 = 3 8 · (85/100) = 6.8 P 8 5 = 7 Ejercicio 16 Una distribución estadística viene dada por la siguiente tabla:
fi
[10, 15)
3
[15, 20)
5
[20, 25)
7
[25, 30)
4
[30, 35)
2
Hallar: La moda, mediana y media. El rango, desviación media y varianza . Los cuartiles 1º y 3º. Los deciles 3º y 6º. Los percentiles 30 y 70.
xi
fi
Fi
xi · fi
|x fi
[10, 15)
12.5
3
3
37.5
27.857
468.75
[15, 20)
17.5
5
8
87.5
21.429
1537.3
[20, 25)
22.5
7
15
157.5
5
3543.8
[25, 30)
27.5
4
19
110
22.857
3025
[30, 35)
32.5
2
21
65
21.429
2112.5
457.5
98.571
10681.2 5
21
− x |
·
xi2 · fi
Moda
Mediana
Media
Desviación media
Varianza
Desviación típica
Cuartiles
Deciles
Percentiles
Ejercicio 17 Dada la distribuci ón estadística:
fi
[0, 5)
3
[5, 10)
5
[10, 15)
7
[15, 20)
8
[20, 25)
2
[25, ∞)
6
Calcular: La mediana y moda . Cuartil 2º y 3º. Media.
xi
fi
Fi
[0, 5)
2.5
3
3
[5, 10)
7.5
5
8
[10, 15)
12.5
7
15
[15, 20)
17.5
8
23
[20, 25)
22.5
2
25
6
31
[25, ∞)
31
Moda
Mediana
Cuartiles
Media No se puede calcular la media, porque no se puede hallar la marca de clase del último intervalo. EJERCICIOS II Ejercicio 1 A un conjunto de 5 n úmeros cuya media es 7.31 se le añaden los n úmeros 4.47 y 10.15. ¿Cuál es la media del nuevo conjunto de n úmeros?
Ejercicio 2 Un dentista observa el n úmero de caries en cada uno de los 100 niños de cierto colegio. La informaci ón obtenida aparece resumida en la siguiente tabla:
Nº de caries
fi
ni
0
25
0.25
1
20
0.2
2
x
z
3
15
0.15
4
y
0.05
1. Completar la tabla obteniendo los valores x, y, z. 2. Hacer un diagrama de sectores.
3. Calcular el número medio de caries.
1. Tabla La suma de las frecuencias relativas ha de ser igual a 1: 0.25 + 0.2 + z + 0.15 + 0.05 = 1 0.65 + z = 1 z = 0.35 La frecuencia relativa de un dato es igual su frecuencia absoluta dividida entre 100, que es la suma de las frecuencias absolutas.
Nº de caries
fi
ni
fi · ni
0
25
0.25
0
1
20
0.2
20
2
35
0.35
70
3
15
0.15
45
4
5
0.05
20
155
2. Diagrama de sectores Calculamos los grados frecuencia absoluta.
que
corresponden
a
cara
25 · 3.6 = 90º 20 · 3.6 = 72º 35 · 3.6 = 126º 15 · 3.6 = 54º 5 · 3.6 = 18º
3. Media aritm ética
Ejercicio 3 Se tiene el siguiente conjunto de 26 datos: 10, 13, 4, 7, 8, 11 10, 16, 18, 12, 3, 6, 9, 9, 4, 13, 20, 7, 5, 10, 17, 10, 16, 14, 8, 18 Obtener su mediana y cuartiles.
En primer lugar ordenamos mayor:
los
datos
de menor a
3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 13, 14, 16, 16, 17, 18, 18, 20 Mediana 26/2 = 13. Como el número de datos es par la mediana es la media de las dos puntuaciones centrales:
Cuartiles 26/4 = 6.5 Q 1 = 7 Q 2 = Me = 10 (26 · 3)/4 = 19.5 Q 3 = 14 Ejercicio 4 Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 ni ños de su consulta en el momento de andar por primera vez:
Meses
Niños
9
1
10
4
11
9
12
16
13
11
14
8
15
1
1. Dibujar el polígono de frecuencias. 2. Calcular la moda, la varianza.
la mediana,
la media y
Polígono de frecuencias
xi
fi
Ni
xi · fi
x² i · f i
9
1
1
9
81
10
4
5
40
400
11
9
14
99
1089
12
16
30
192
2304
13
11
41
143
1859
14
8
49
112
1568
15
1
50
15
225
610
7526
50
Moda Mo = 12 Mediana 50/2 = 25 Me = 12 Media aritmética
Varianza
Ejercicio 5
Completar los datos que faltan en la siguiente tabla estadística:
xi
fi
1
4
2
4
3
7
5
5
6
ni
0.08
16
4
7
Fi
0.16
0.14
28
38
7
45
8
Calcular distribución. Tabla Primera fi la:
F1 = 4 Segunda fi la:
la media, mediana y moda de
esta
F2 = 4 + 4 = 8 Tercera fi la:
Cuarta fi la: N 4 = 16 + 7 = 23 Quinta fi la:
Sexta fi la:
28 + n 8 = 38
n 8 = 10
Séptima fi la:
Octava fi la:
N 8 = N = 50 n 8 = 50 − 45 = 5
xi
fi
Fi
ni
xi · fi
1
4
4
0.08
4
2
4
8
0.08
8
3
8
16
0.16
24
4
7
23
0.14
28
5
5
28
0.1
25
6
10
38
0.2
60
7
7
45
0.14
49
8
5
50
0.1
40
50
238
Media artmética
Mediana 50/2 = 25 Me = 5 Moda Mo = 6 Ejercicio 6 Considérense los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6, 2. Se pide: 1. Calcular su media y su varianza .
2. Si los todos los multiplicamos por 3, nueva media y varianza.
los
datos cúal
xi
xi2
2
4
3
9
4
16
6
36
8
64
10
100
33
229
1
2
Ejercicio 7
anteriores será la
El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por la tabla:
Sumas
Veces
2
3
3
8
4
9
5
11
6
20
7
19
8
16
9
13
10
11
11
6
12
4
1. Calcular la media y la desviación típica.
2. Hallar el porcentaje de valores comprendidos en el intervalo (x − σ, x + σ).
xi
fi
xi · fi
x i 2 ·f i
2
3
6
12
3
8
24
72
4
9
36
144
5
11
55
275
6
20
120
720
7
19
133
931
8
16
128
1024
9
13
117
1053
10
11
110
1100
11
6
66
726
12
4
48
576
120
843
6633
1
2 x − σ = 4.591 x + σ = 9.459 Los valores comprendidos en el intervalo (4.591, 9.459) son los correspondientes a las sumas de 5, 6, 7, 8 y 9. 11 + 20 + 19 + 16 + 13 = 79
Ejercicio 8 Las alturas de los jugadores de baloncesto vienen dadas por la tabla:
un
equipo
fi
[170, 175)
1
[175, 180)
3
[180, 185)
4
[185, 190)
8
de
[190, 195)
5
[195, 200)
2
Calcular: 1. La media. 2. La mediana. 3. La desviación típica. 4. ¿Cuántos jugadores se encuentran por encima de la media más una desviaci ón típica?
xi
fi
Fi
xi · fi
x i 2 ·f i
[1.70, 1.75)
1.725
1
1
1.725
2.976
[1.75, 1.80)
1.775
3
4
5.325
9.453
[1.80, 1.85)
1.825
4
8
7.3
13.324
[1.85, 1.90)
1.875
8
16
15
28.128
[1.90, 1.95)
1.925
5
21
9.625
18.53
[1.95, 2.00)
1.975
2
23
3.95
7.802
42.925
80.213
23
Media
Mediana
Desviación típica
4 x + σ = 1.866+ 0.077 = 1.943 Este valor pertenece a un percentil encuentra en el penúltimo intervalo.
que
se
Sólo hay 3 jugadores por encima de x + σ. Ejercicio 9 Los resultados al lanzar un dado 200 veces vienen dados por la siguiente tabla:
fi
1
2
3
4
5
6
a
32
35
33
b
35
Determinar a y b sabiendo media es 3.6.
que
la puntuación
xi
fi
xi · fi
1
a
a
2
32
64
3
35
125
4
33
132
5
b
5b
6
35
210
135 + a + b
511 + a + 5b
a = 29 b = 36
Ejercicio 10 El histograma de la distribuci ón correspondiente al peso de 100 alumnos de Bachillerato es el siguiente:
1. Formar la tabla de la distribuci ón. 2. Si Andrés pesa 72 kg, ¿cuántos alumnos hay menos pesados que él? 3. Calcular la moda. 4. Hallar la mediana. 5. ¿A partir de que valores se encuentran el 25% de los alumnos más pesados?
1 xi
fi
Fi
[60,63 )
61.5
5
5
[63, 66)
64.5
18
23
[66, 69)
67.5
42
65
[69, 72)
70.5
27
92
[72, 75)
73.5
8
100
100 2 5 + 18 + 42 + 27 = 92 alumnos m ás ligeros que Andrés. Moda
Mediana
5 El valor a partir del cual se encuentra el 25% de los alumnos más pesados es el cuartil tercero .
Ejercicio 11 De esta distribuci ón acumuladas, calcular:
de
frecuencias
Edad
Fi
[0, 2)
4
absolutas
[2, 4)
11
[4, 6)
24
[6, 8)
34
[8, 10)
40
1. Media aritmética y desviación típica. 2. ¿Entre qué valores se encuentran las 10 edades centrales? 3. Representar el polígono absolutas acumuladas.
de
frecuencias
xi
fi
Fi
xi · fi
x i 2 ·f i
[0, 2)
1
4
4
4
4
[2, 4)
3
7
11
21
63
[4, 6)
5
13
24
65
325
[6, 8)
7
10
34
70
490
[8, 10)
9
6
40
54
486
214
1368
40
Media y desviaci ón típica
2
Los 10 alumnos representan el 25% central de la distribución.
Debemos hallar P 3 7 . 5 y P 6 2 . 5 .
Las 10 edades centrales intervalo: [4.61, 6.2] .
est án
Polígono de frecuencias
Ejercicio 12
en
el
Una persona A mide 1.75 m y reside en una ciudad donde la estatura media es de 1.60 m y la desviaci ón típica es de 20 cm. Otra persona B mide 1.80 m y vive en una ciudad donde la estatura media es de 1.70 m y la desviación típica es de 15 cm. ¿Cuál de las dos ser á más alta respecto a sus conciudadanos?
La persona A es más alta respecto conciudadanos que la persona B.
a
sus
Ejercicio 13 Un profesor ha realizado dos tests a un grupo de 40 alumnos, obteniendo los siguientes resultados: para el primer test la media es 6 y la desviación típica 1.5. Para el segundo test la media es 4 y la desviación típica 0.5. Un alumno obtiene un 6 en el primero y un 5 en el segundo. En relación con el grupo, ¿en cuál de los dos tests obtuvo mejor puntuaci ón?
En el segundo test consigue mayor puntuaci ón. EJERCICIO 14
La asistencia de espectadores a las 4 salas de un cine un determinado día fue de 200, 500, 300 y 1000 personas. 1. Calcular la dispersión del número de asistentes. 2. Calcular el coefi ciente de variaci ón. 3. Si el día del espectador acuden 50 personas m ás a cada sala, ¿qué efecto tendr ía sobre la dispersión? Desviación típica
Coefi ciente de variaci ón
3 Si todas las salas tienen un incremento de 50 personas, la media aritm ética también se ve incrementada en50 personas. La desviación típica no var ía, ya que sumamos la misma cantidad a cada dato de la serie.
La dispersión caso.
relativa es menor en
el segundo
EJERCICIOS RESUELTOS DE FRECUENCIAS Ejercicios
resueltos
de
frecuencias 1. Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas m áximas: 32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29. Construir la tabla de frecuencias.
xi
fi
Fi
ni
Ni
27
1
1
0.032
0.032
28
2
3
0.065
0.097
29
6
9
0.194
0.290
30
7
16
0.226
0.516
31
8
24
0.258
0.774
32
3
27
0.097
0.871
33
3
30
0.097
0.968
34
1
31
0.032
1
31
1
2.Los pesos de los 65 empleados de una f ábrica vienen dados por la siguiente tabla:
Peso
fi
[50, 60)
8
[60, 70)
10
[70, 80)
16
[80,90)
14
[90, 100)
10
[100, 110)
5
[110, 120)
2
Construir la tabla de frecuencias .
[50, 60)
xi
fi
Fi
ni
Ni
55
8
8
0.12
0.12
[60, 70)
65
10
18
0.15
0.27
[70, 80)
75
16
34
0.24
0.51
[80,90)
85
14
48
0.22
0.73
[90, 100)
95
10
58
0.15
0.88
[100, 110)
105
5
63
0.08
0.96
[110, 120)
115
2
65
0.03
0.99
65
3.Un dentista observa el n úmero de caries en cada uno de los 100 niños de cierto colegio. La informaci ón obtenida a parecer resumida en la siguiente tabla:
Nº de caries
fi
ni
0
25
0.25
1
20
0.2
2
x
z
3
15
0.15
4
y
0.05
Completar la tabla obteniendo los valores x, y, z. La suma de las frecuencias relativas ha de ser igual a 1: 0.25 + 0.2 + z + 0.15 + 0.05 = 1 0.65 + z = 1 z = 0.35 La frecuencia relativa de un dato es igual su frecuencia absoluta dividida entre 100, que es la suma de las frecuencias absolutas.
Nº de caries
fi
ni
fi · ni
0
25
0.25
0
1
20
0.2
20
2
35
0.35
70
3
15
0.15
45
4
5
0.05
20
155
4.Completar los datos que faltan en la siguiente tabla estadística:
xi
fi
1
4
2
4
3
7
5
5
6
ni
0.08
16
4
7
Fi
0.16
0.14
28
38
7
45
8
Calcular distribución.
la media, mediana y moda de
esta
Primera fi la:
F1 = 4 Segunda fi la:
F2 = 4 + 4 = 8 Tercera fi la:
Cuarta fi la: N 4 = 16 + 7 = 23 Quinta fi la:
Sexta fi la:
28 + n 8 = 38 Séptima fi la:
Octava fi la:
n 8 = 10
N 8 = N = 50 n 8 = 50 − 45 = 5
xi
fi
Fi
ni
xi · fi
1
4
4
0.08
4
2
4
8
0.08
8
3
8
16
0.16
24
4
7
23
0.14
28
5
5
28
0.1
25
6
10
38
0.2
60
7
7
45
0.14
49
8
5
50
0.1
40
50
238
Ejercicios
resueltos
de
tablas estadísticas 1. Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas m áximas:
3, 35, 30, 37, 27, 31, 41, 20, 16, 26, 45, 37, 9, 41, 28, 21, 31, 35, 10, 26, 11, 34, 36, 12, 22, 17, 33, 43, 19, 48, 38, 25, 36, 32, 38, 28, 30, 36, 39, 40. Construir la tabla de distribuci ón de frecuencias.
xi
Recuento
fi
Fi
ni
Ni
27
I
1
1
0.032
0.032
28
II
2
3
0.065
0.097
29
6
9
0.194
0.290
30
7
16
0.226
0.516
31
8
24
0.258
0.774
32
III
3
27
0.097
0.871
33
III
3
30
0.097
0.968
34
I
1
31
0.032
1
31
1
2. Las puntuaciones obtenidas por un grupo de en una prueba han sido:
15, 20, 15, 18, 22, 13, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 16, 20, 16, 15, 18, 16, 14, 13. Construir la tabla de distribuci ón de frecuencias.
xi
Recuento
fi
Fi
ni
Ni
13
III
3
0.15
3
1
14
I
1
0.05
4
0.95
5
0.25
9
0.85
15
16
IIII
4
0.20
13
0.80
18
III
3
0.15
16
0.65
19
I
1
0.05
17
0.45
20
II
2
0.10
19
0.20
22
I
1
0.05
20
0.15
20
3. El número de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie: 3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1.
Construir la tabla de distribuci ón de frecuencias.
xi
xi
Fi
ni
Ni
1
6
6
0.158
0.158
2
12
18
0.316
0.474
3
16
34
0.421
0.895
4
38
0.105
1
4
Recuento
IIII
38
1
4. Las califi caciones de 50 alumnos en Matem áticas han sido las siguientes: 5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8, 6, 6, 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7. Construir la tabla de distribuci ón de frecuencias.
xi
fi
Fi
ni
Ni
0
1
1
0.02
0.02
1
1
2
0.02
0.04
2
2
4
0.04
0.08
3
3
7
0.06
0.14
4
6
13
0.12
0.26
5
11
24
0.22
0.48
6
12
36
0.24
0.72
7
7
43
0.14
0.86
8
4
47
0.08
0.94
9
2
49
0.04
0.98
10
1
50
0.02
1.00
500
1.00
5. Los 40 alumnos de una clase han obtenido las siguientes puntuaciones, sobre 50, en un examen de Física. 3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 23, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13. Construir la tabla de frecuencias .
xi
fi
Fi
ni
Ni
[0, 5)
2.5
1
1
0.025
0.025
[5, 10)
7.5
1
2
0.025
0.050
[10, 15)
12.5
3
5
0.075
0.125
[15, 20)
17.5
3
8
0.075
0.200
[20, 25)
22.5
3
11
0.075
0.275
[25, 30)
27.5
6
17
0.150
0.425
[30, 35)
32.5
7
24
0.175
0.600
[35, 40)
37.5
10
34
0.250
0.850
[40, 45)
47.5
4
38
0.100
0.950
[45, 50)
47.5
2
40
0.050
1.000
40
1
EJERCICIOS DE MODA 1.Calcular la moda de la siguiente serie de n úmeros: 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.
Mo = 5
2.Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 ni ños de su consulta en el momento de andar por primera vez:
Meses
Niños
9
1
10
4
11
9
12
16
13
11
14
8
15
1
Calcular la moda. Mo = 12 3.Calcular la moda de una distribuci ón que viene dada por la siguiente tabla:
estadística
fi
[60, 63)
5
[63, 66)
18
[66, 69)
42
[69, 72)
27
[72, 75)
8
100
4.Calcular la moda de una distribuci ón viene dada por la siguiente tabla:
estadística
fi
[10, 15)
3
[15, 20)
5
[20, 25)
7
[25, 30)
4
[30, 35)
2
5.Calcular la moda de la distribuci ón estadística:
fi
[0, 5)
3
[5, 10)
5
[10, 15)
7
[15, 20)
8
[20, 25)
2
[25, ∞)
6
6.El histograma de la distribuci ón correspondiente al peso de 100 alumnos de Bachillerato es el siguiente:
Calcular la moda.
7.En la siguiente tabla se muestra las califi caciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos. Calcular la moda.
fi
hi
[0, 5)
15
3
[5, 7)
20
10
[7, 9)
12
6
[9, 10)
3
3
50
Ejercicios
resueltos
de
la mediana 1. Hallar números:
la mediana de
la
siguientes
series
de
3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8. 2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 8, 9. Me = 5 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6. 2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 9.
10/2 = 5 10, 13, 4, 7, 8, 11 10, 16, 18, 12, 3, 6, 9, 9, 4, 13, 20, 7, 5, 10, 17, 10, 16, 14, 8, 18 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 13, 14, 16, 16, 17, 18, 18, 20
2. Tabular y calcular mediana de la siguiente serie de números: 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.
xi
fi
Fi
2
2
2
3
2
4
4
5
9
5
6
15
6
2
17
8
3
20
20
20/2 = 10 Me = 5
3. Hallar la mediana de la distribuci ón estadística que viene dada por la siguiente tabla:
fi
[10, 15)
3
[15, 20)
5
[20, 25)
7
[25, 30)
4
[30, 35)
2
fi
Fi
[10, 15)
3
3
[15, 20)
5
8
[20, 25)
7
15
[25, 30)
4
19
[30, 35)
2
21
21
4. Calcular la mediana de las alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto, que vienen dadas por la tabla:
Altura
Nº de jugadores
[1.70, 1.75)
1
[1.75, 1.80)
3
[1.80, 1.85)
4
[1.85, 1.90)
8
[1.90, 1.95)
5
[1.95, 2.00)
2
fi
Fi
[1.70, 1.75)
1
1
[1.75, 1.80)
3
4
[1.80, 1.85)
4
8
[1.85, 1.90)
8
16
[1.90, 1.95)
5
21
[1.95, 2.00)
2
23
23
Ejercicios
resueltos
de
media aritmética 1.Considérense los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6, 2. Se pide: 1. Calcular su media. 2. Si los todos los datos anteriores los multiplicamos por 3, cúal será la nueva media. 1
2
2. A un conjunto de 5 n úmeros cuya media es 7.31 se le añaden los n úmeros 4.47 y 10.15. ¿Cuál es la media del nuevo conjunto de n úmeros?
la
3. Calcular la media de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
xi
61
64
67
70
73
fi
5
18
42
27
8
xi
fi
xi · fi
61
5
305
64
18
1152
67
42
2814
71
27
1890
73
8
584
100
6745
4. Hallar la media de la distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
fi
[10, 15)
3
[15, 20)
5
[20, 25)
7
[25, 30)
4
[30, 35)
2
xi
fi
xi · fi
[10, 15)
12.5
3
37.5
[15, 20)
17.5
5
87.5
[20, 25)
22.5
7
157.5
[25, 30)
27.5
4
110
[30, 35)
32.5
2
65
21
457.5
5. Calcular la media de la distribuci ón estadística:
fi
[0, 5)
3
[5, 10)
5
[10, 15)
7
[15, 20)
8
[20, 25)
2
[25, ∞)
6
xi
fi
Fi
[0, 5)
2.5
3
3
[5, 10)
7.5
5
8
[10, 15)
12.5
7
15
[15, 20)
17.5
8
23
[20, 25)
22.5
[25, ∞)
2
25
6
31
31
No se puede calcular la media, porque no se puede hallar la marca de clase del último intervalo.
6. Los resultados al lanzar un dado 200 veces vienen dados por la siguiente tabla:
fi
1
2
3
4
5
6
a
32
35
33
b
35
Determinar a y b sabiendo media es 3.6.
que
la puntuación
xi
fi
xi · fi
1
a
a
2
32
64
3
35
125
4
33
132
5
b
5b
6
35
210
135 + a + b
511 + a + 5b
a = 29 b = 36 ejercicios de cuartiles Ejercicios
resueltos
cuartiles 1.Calcular los cuartiles las series estad ísticas: 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9. 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1. 10, 13, 4, 7, 8, 11 10, 16, 18, 12, 3, 6, 9, 9, 4, 13, 20, 7, 5, 10, 17, 10, 16, 14, 8, 18 1
de
2
3 26/4 = 6.5 Q 1 = 7 Q 2 = Me = 10 (26 · 3)/4 = 19.5 Q 3 = 14
2.Una distribuci ón siguiente tabla:
estadística
viene
dada
por
fi
[10, 15)
3
[15, 20)
5
[20, 25)
7
[25, 30)
4
[30, 35)
2
Hallar los cuartiles 1º y 3º.
xi
fi
Fi
la
[10, 15)
12.5
3
3
[15, 20)
17.5
5
8
[20, 25)
22.5
7
15
[25, 30)
27.5
4
19
[30, 35)
32.5
2
21
21
3.Dada la distribuci ón estadística:
fi
[0, 5)
3
[5, 10)
5
[10, 15)
7
[15, 20)
8
[20, 25)
2
[25, ∞)
6
Calcular los Cuartiles 2º y 3º:
xi
fi
Fi
[0, 5)
2.5
3
3
[5, 10)
7.5
5
8
[10, 15)
12.5
7
15
[15, 20)
17.5
8
23
[20, 25)
22.5
2
25
6
31
[25, ∞)
31
4.El histograma de la distribuci ón correspondiente al peso de 100 alumnos de Bachillerato es el siguiente:
¿A partir de que valores se encuentran el 25% de los alumnos más pesados?
El valor a partir del cual se encuentra el 25% de los alumnos más pesados es el cuartil tercero.
Ejercicios de deciles Ejercicios deciles 1. Dadas las series estad ísticas: 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9. 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1. Calcular:
resueltos
de
Los deciles 2º y 7º.
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9. 8 · (2/10) = 1.6 D 2 = 2 8 · (7/10) = 5.6 D 7 = 6 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1. 8 · (2/10) = 1.6 D 2 = 2 8 · (7/10) = 5.6 D 7 = 6
2.Calcular los deciles de la distribuci ón de la tabla:
fi
Fi
[50, 60)
8
8
[60, 70)
10
18
[70, 80)
16
34
[80, 90)
14
48
[90, 100)
10
58
[100, 110)
5
63
[110, 120)
2
65
Cálculo del primer decil
Cálculo del segundo decil
Cálculo del tercer decil
Cálculo del cuarto decil
Cálculo del quinto decil
65
Cálculo del sexto decil
Cálculo del séptimo decil
Cálculo del octavo decil
Cálculo del noveno decil
3.Una distribuci ón siguiente tabla:
estadística
viene
dada
fi
por
la
[10, 15)
3
[15, 20)
5
[20, 25)
7
[25, 30)
4
[30, 35)
2
Hallar los deciles 3º y 6º.
xi
fi
Fi
[10, 15)
12.5
3
3
[15, 20)
17.5
5
8
[20, 25)
22.5
7
15
[25, 30)
27.5
4
19
[30, 35)
32.5
2
21
21
Ejercicios de percentiles Ejercicios
resueltos
de
percentiles 1. Dadas las series estad ísticas: 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9. 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1. Calcular: Los percentiles 32 y 85.
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9. 7 · (32/100) = 2,2 P 3 2 = 4 7 · (85/100) = 5.9 P 8 5 = 7
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1. 8 · (2/10) = 1.6 D 2 = 2 8 · (7/10) = 5.6 D 7 = 6
2.Una distribuci ón siguiente tabla:
estadística
viene
dada
fi
por
la
[10, 15)
3
[15, 20)
5
[20, 25)
7
[25, 30)
4
[30, 35)
2
Hallar el percentil 70.
xi
fi
Fi
[10, 15)
12.5
3
3
[15, 20)
17.5
5
8
[20, 25)
22.5
7
15
[25, 30)
27.5
4
19
[30, 35)
32.5
2
21
21
3.Calcular el percentil 35 y 60 de la distribuci ón de la tabla:
fi
Fi
[50, 60)
8
8
[60, 70)
10
18
[70, 80)
16
34
[80, 90)
14
48
[90, 100)
10
58
[100, 110)
5
63
[110, 120)
2
65
65
Percentil 35
Percentil 60
4.Las alturas de los jugadores de baloncesto vienen dadas por la tabla:
un
equipo
Altura
Nº de Jugadores
[1.70, 1.75)
1
[1.75, 1.80)
3
[1.80, 1.85)
4
[1.85, 1.90)
8
[1.90, 1.95)
5
[1.95, 2.00)
2
¿Cuántos jugadores se encuentran por la media más una desviaci ón típica?
encima
de
de
xi
fi
Fi
[1.70, 1.75)
1.725
1
1
[1.75, 1.80)
1.775
3
4
[1.80, 1.85)
1.825
4
8
[1.85, 1.90)
1.875
8
16
[1.90, 1.95)
1.925
5
21
[1.95, 2.00)
1.975
2
23
23
x + σ = 1.866+ 0.077 = 1.943 Este valor pertenece a un percentil que se encuentra en el penúltimo intervalo.
Sólo hay 3 jugadores por encima de x + σ.
5.Dada la distribuci ón acumuladas:
de
frecuencias
absolutas
Edad
Fi
[0, 2)
4
[2, 4)
11
[4, 6)
24
[6, 8)
34
[8, 10)
40
¿Entre qué centrales?
valores
se
encuentran
las 10
edades
Los 10 alumnos representan el 25% central de la distribución.
Debemos hallar P 3 7 . 5 y P 6 2 . 5 .
Las 10 edades centrales intervalo: [4.61, 6.2] Ejercicios de desviaci ón media
est án
en
el
Ejercicios
resueltos
de
desviación media 1. Hallar la desviación media de la series de n úmeros siguientes: 2, 3, 6, 8, 11. 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
2, 3, 6, 8, 11. Media
Desviación media
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5. Media
Desviación media
2.Calcular la desviación media de la distribuci ón:
xi
fi
xi · fi
|x - x|
|x - x| · f i
[10, 15)
12.5
3
37.5
9.286
27.858
[15, 20)
17.5
5
87.5
4.286
21.43
[20, 25)
22.5
7
157.5
0.714
4.998
[25, 30)
27.5
4
110
5.714
22.856
[30, 35)
32.5
2
65
10.174
21.428
21
457.5
98.57
3.Calcular la desviación media de una distribuci ón estadística que viene dada por la siguiente tabla:
fi
[10, 15)
3
[15, 20)
5
[20, 25)
7
[25, 30)
4
[30, 35)
2
xi
fi
|x − x | · f i
[10, 15)
12.5
3
27.857
[15, 20)
17.5
5
21.429
[20, 25)
22.5
7
5
[25, 30)
27.5
4
22.857
[30, 35)
32.5
2
21.429
21
98.571
Media
Desviación media
Ejercicios de varianza Ejercicios varianza
resueltos
de
la
1. Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de n úmeros siguientes: 2, 3, 6, 8, 11. 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
2, 3, 6, 8, 11. Media
Varianza
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5. Media
Varianza
2.Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 ni ños de su consulta en el momento de andar por primera vez:
Meses
Niños
9
1
10
4
11
9
12
16
13
11
14
8
15
1
Calcular la varianza.
xi
fi
Ni
xi · fi
x² i · f i
9
1
1
9
81
10
4
5
40
400
11
9
14
99
1089
12
16
30
192
2304
13
11
41
143
1859
14
8
49
112
1568
15
1
50
15
225
610
7526
50 Media aritmética
Varianza
3.El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por la tabla:
Sumas
Veces
2
3
3
8
4
9
5
11
6
20
7
19
8
16
9
13
10
11
11
6
12
4
1. Calcular desviación típica.
xi
fi
xi · fi
x i 2 ·f i
2
3
6
12
3
8
24
72
4
9
36
144
5
11
55
275
6
20
120
720
7
19
133
931
8
16
128
1024
9
13
117
1053
10
11
110
1100
11
6
66
726
12
4
48
576
120
843
6633
4.Calcular la varianza de una distribuci ón estadística que viene dada por la siguiente tabla:
fi
[10, 15)
3
[15, 20)
5
[20, 25)
7
[25, 30)
4
[30, 35)
2
xi
fi
xi · fi
xi2 · fi
[10, 15)
12.5
3
37.5
468.75
[15, 20)
17.5
5
87.5
1537.3
[20, 25)
22.5
7
157.5
3543.8
[25, 30)
27.5
4
110
3025
[30, 35)
32.5
2
65
2112.5
21
457.5
10681.25
Media
Varianza
5.Calcular la varianza de la distribuci ón de la tabla:
xi
fi
xi · fi
xi2 · fi
[10, 20)
15
1
15
225
[20, 30)
25
8
200
5000
[30,40)
35
10
350
12 250
[40, 50)
45
9
405
18 225
[50, 60)
55
8
440
24 200
[60,70)
65
4
260
16 900
[70, 80)
75
2
150
11 250
42
1 820
88 050
6.Las alturas de los jugadores de baloncesto vienen dadas por la tabla:
Altura
un
equipo
Nº de Jugadores
de
[1.70, 1.75)
1
[1.75, 1.80)
3
[1.80, 1.85)
4
[1.85, 1.90)
8
[1.90, 1.95)
5
[1.95, 2.00)
2
Calcula la varianza.
xi
fi
Fi
xi · fi
x i 2 ·f i
[1.70, 1.75)
1.725
1
1
1.725
2.976
[1.75, 1.80)
1.775
3
4
5.325
9.453
[1.80, 1.85)
1.825
4
8
7.3
13.324
[1.85, 1.90)
1.875
8
16
15
28.128
[1.90, 1.95)
1.925
5
21
9.625
18.53
[1.95, 2.00)
1.975
2
23
3.95
7.802
23
42.925
80.213
Media
Varianza
7.Dada la distribuci ón estadística:
fi
[0, 5)
3
[5, 10)
5
[10, 15)
7
[15, 20)
8
[20, 25)
2
[25, ∞)
6
Calcular la varianza.
xi
fi
Fi
[0, 5)
2.5
3
3
[5, 10)
7.5
5
8
[10, 15)
12.5
7
15
[15, 20)
17.5
8
23
[20, 25)
22.5
2
25
6
31
[25, ∞)
31 Media No se puede calcular la media, porque no se puede hallar la marca de clase del último intervalo. Varianza Si no hay media no es posible hallar la varianza.
8.Considérense los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6, 2. Se pide: 1. Calcular su media y su varianza . 2. Si los todos los multiplicamos por 3, nueva media y varianza.
los
datos cúal
anteriores será la
xi
xi2
2
4
3
9
4
16
6
36
8
64
10
100
33
229
1
2
Ejercicios de desviaci ón típica Ejercicios
resueltos
de
desviación típica 1.Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de n úmeros siguientes: 2, 3, 6, 8, 11.
la
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
2, 3, 6, 8, 11. Media
Desviación típica
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5. Media
Desviación típica
2.Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 ni ños de su consulta en el momento de andar por primera vez:
Meses
Niños
9
1
10
4
11
9
12
16
13
11
14
8
15
1
Calcular la desviación típica.
xi
fi
Ni
xi · fi
x²i · fi
9
1
1
9
81
10
4
5
40
400
11
9
14
99
1089
12
16
30
192
2304
13
11
41
143
1859
14
8
49
112
1568
15
1
50
15
225
50
610
7526
3.El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por la tabla:
Sumas
Veces
2
3
3
8
4
9
5
11
6
20
7
19
8
16
9
13
10
11
11
6
12
4
Calcular la desviación típica.
xi
fi
xi · fi
xi2 ·fi
2
3
6
12
3
8
24
72
4
9
36
144
5
11
55
275
6
20
120
720
7
19
133
931
8
16
128
1024
9
13
117
1053
10
11
110
1100
11
6
66
726
12
4
48
576
120
843
6633
4.Calcular la desviación típica de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
fi
[10, 15)
3
[15, 20)
5
[20, 25)
7
[25, 30)
4
[30, 35)
2
xi
fi
xi · fi
xi2 · fi
[10, 15)
12.5
3
37.5
468.75
[15, 20)
17.5
5
87.5
1531.25
[20, 25)
22.5
7
157.5
3543.75
[25, 30)
27.5
4
110
3025
[30, 35)
32.5
2
65
2112.5
21
457.5
10681.25
Media
Desviación típica
5.Calcular la desviaci ón típica de la distribuci ón de la tabla:
xi
fi
xi · fi
xi2 · fi
[10, 20)
15
1
15
225
[20, 30)
25
8
200
5000
[30,40)
35
10
350
12 250
[40, 50)
45
9
405
18 225
[50, 60)
55
8
440
24 200
[60,70)
65
4
260
16 900
[70, 80)
75
2
150
11 250
42
1 820
88 050
6.Las alturas de los jugadores de baloncesto vienen dadas por la tabla:
un
Altura
Nº de Jugadores
[1.70, 1.75)
1
[1.75, 1.80)
3
[1.80, 1.85)
4
[1.85, 1.90)
8
[1.90, 1.95)
5
equipo
de
[1.95, 2.00)
2
Calcular la desviación típica
xi
fi
Fi
xi · fi
xi2 ·fi
[1.70, 1.75)
1.725
1
1
1.725
2.976
[1.75, 1.80)
1.775
3
4
5.325
9.453
[1.80, 1.85)
1.825
4
8
7.3
13.324
[1.85, 1.90)
1.875
8
16
15
28.128
[1.90, 1.95)
1.925
5
21
9.625
18.53
[1.95, 2.00)
1.975
2
23
3.95
7.802
42.925
80.213
23 Media
Desviación típica
7.Dada la distribuci ón estadística:
fi
[0, 5)
3
[5, 10)
5
[10, 15)
7
[15, 20)
8
[20, 25)
2
[25, ∞)
6
Calcular la desviación típica.
xi
fi
Fi
[0, 5)
2.5
3
3
[5, 10)
7.5
5
8
[10, 15)
12.5
7
15
[15, 20)
17.5
8
23
[20, 25)
22.5
2
25
[25, ∞)
6
31
31 Media No se puede calcular la media, porque no se puede hallar la marca de clase del último intervalo. Desviación típica Si no hay media no es posible hallar la desviación típica.
Se ha aplicado test a los empleados de una f ábrica, obteniéndose las siete tabla:
fi
[38, 44)
7
[44, 50)
8
[50, 56)
15
[56, 62)
25
[62, 68)
18
[68, 74)
9
[74, 80)
6
Dibujar el histograma y el pol ígono de frecuencias acumuladas.
fi
Fi
[38, 44)
7
7
[44, 50)
8
15
[50, 56)
15
30
[56, 62)
25
55
[62, 68)
18
73
[68, 74)
9
82
[74, 80)
6
88
La asistencia de espectadores a las 4 salas de un cine un determinado día fue de 200, 500, 300 y 1000 personas. 1. Calcular la dispersión del número de asistentes. 2. Calcular el coefi ciente de variaci ón. 3. Si el día del espectador acuden 50 personas m ás a cada sala, ¿qué efecto tendr ía sobre la dispersión? Desviación típica
Coefi ciente de variaci ón
3 Si todas las salas tienen un incremento de 50 personas, la media aritm ética también se ve incrementada en50 personas. La desviación típica no var ía, ya que sumamos la misma cantidad a cada dato de la serie.
La dispersión caso.
relativa es menor en
el segundo
EJERCICIOS PROPUESTOS TABLAS DE FRECUENCIA Distribución de frecuencias La distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente. Tipos de frecuencias Frecuencia absoluta La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico. Se representa por fi. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa por N.
Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega Σ (sigma mayúscula) que se lee suma o sumatoria.
Frecuencia relativa La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por ni.
La suma de las frecuencias relativas es igual a 1. Frecuencia acumulada La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales alvalor considerado. Se representa por Fi. Frecuencia relativa acumulada La frecuencia relativa acumulada es el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y elnúmero total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento. Ejemplo:
Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas: 32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29. En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de menor a mayor, en la segunda hacemos el recuento y en la tercera anotamos la frecuencia absoluta.
xi
Recuento
fi
Fi
ni
Ni
27
I
1
1
0.032
0.032
28
II
2
3
0.065
0.097
29
6
9
0.194
0.290
30
7
16
0.226
0.516
31
8
24
0.258
0.774
32
III
3
27
0.097
0.871
33
III
3
30
0.097
0.968
34
I
1
31
0.032
1
31
1
Este tipo de tablas de frecuencias se utiliza con variables discretas.
Distribución de frecuencias agrupadas La distribución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea si las variables toman unnúmero grande de valores o la variable es continua. Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases. A cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente. Límites de la clase Cada clase está delimitada por el límite clase y el límite superior de la clase.
inferior
de
la
Amplitud de la clase La amplitud de la clase es la diferencia entre el límite superior e inferior de la clase. Marca de clase La marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que representa a todo el intervalo para elcálculo de algunos parámetros.
Construcción de una tabla de datos agrupados 3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.
1º Se localizan los valores menor y mayor de la distribución. En este caso son 3 y 48. 2º Se restan y se busca un número entero un poco mayor que la diferencia y que sea divisible por el número de intervalos queramos establecer. Es conveniente que el número de intervalos oscile entre 6 y 15. En este caso, 48 - 3 = 45, incrementamos el número hasta 50 : 5 = 10 intervalos. Se forman los intervalos teniendo presente que el límite inferior de una clase pertenece al intervalo, pero el límite superior no pertenece intervalo, se cuenta en el siguiente intervalo.
ci
fi
Fi
ni
Ni
[0, 5)
2.5
1
1
0.025
0.025
[5, 10)
7.5
1
2
0.025
0.050
[10, 15)
12.5
3
5
0.075
0.125
[15, 20)
17.5
3
8
0.075
0.200
[20, 25)
22.5
3
11
0.075
0.275
[25, 30)
27.5
6
17
0.150
0.425
[30, 35)
32.5
7
24
0.175
0.600
[35, 40)
37.5
10
34
0.250
0.850
[40, 45)
42.5
4
38
0.100
0.950
[45, 50)
47.5
2
40
0.050
1
40
1
1El siguiente diagrama de barras indica el color de pelo de los alumnos de la clase de Mario. Completa la tabla con las frecuencias absolutas correspondientes a cada color y responde las siguientes preguntas:
Color de pelo
Rubio
fi
Pelirrojo
Moreno
¿Qué tipo de pelo predomina en la clase?
Predomina el pelo
¿Cuántos estudiantes son pelirrojos?
¿Cuántos estudiantes hay en total en clase de Mario?
2El siguiente polígono de frecuencia muestra la media de temperatura diaria en una ciudad polaca a lo largo los siete día de una semana. Completa la tabla y responde a las preguntas:
Hora
Temperatura º
C
1
º
C
2
º
C
3
º
C
4
º
C
5
º
C
6
º
C
7 ¿Qué día hizo menos frío?
Hizo menos frío el día
¿La mayoría de los días, la temperatura fue bajo cero o sobre cero?
cero.
¿Cuál fue la temperatura los dos primeros días?
º
La temperatura fue de
C
3El siguiente diagrama de barras muestra las notas de los alumnos de una clase de una clase de 3º ESO. Completa la tabla y responde a las preguntas:
Nota
fi
Insuficiente Suficiente Bien Notable Sobresaliente ¿Qué nota es la más común?
¿Cuántos estudiantes asignatura?
han
suspendido
la
Han suspendido
estudiantes.
¿Cuántos estudiantes han aprobado la asignatura?
Han aprobado
estudiantes.
¿Cuántos estudiantes hay en la clase?
Hay
estudiantes.
4Los siguientes valores indican el número de comidas al día que hace un grupo de quince amigos: 3, 4, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 3, 4, 5, 3, 4. Completa la tabla y responde a las preguntas que se plantean.
Nº de comidas 2 3
Personas
4 5 6 Sabiendo que los expertos recomiendan comer 5 veces al día, ¿podemos decir que la mayoría de estos amigos come correctamente?
¿Cuántos de ellos comen sólo 2 veces al día?
¿Cuántas veces al día come la mayoría de las personas encuestadas?
Completa las tablas: 1En una clase de 1º ESO de 24 alumnos se hace una encuesta preguntando a qué dedican su tiempo de ocio. Las respuestas se refl ejan en el siguiente diagrama de sectores. Completa la siguiente tabla:
Hobby
Alumnos
Grados
Televisión
150º
Lectura
75º
Deporte
90º
Otros
45º
º
Total
2En un instituto se ha realizado una encuesta a los alumnos de 2º de ESO para saber cuáles son los libros que más les gusta leer, y así poder comprar nuevos libros para la biblioteca. Los resultados son los que se muestran en el siguiente diagrama de sectores. Completa la siguiente tabla y, después, contesta a las preguntas que se te plantean:
Tipo de libro
Alumnos
Grados
º
Poesía
3
º
Terror
24
º
Aventuras
30
º
Misterio
21
º
Teatro
12
º
Total
¿A cuántos encuesta?
estudiantes
se
les
ha
Se ha hecho la encuesta a
realizado
la
estudiantes.
¿Cuántos alumnos prefi eren los libros de terror?
alumnos prefi eren os libros de terror.
¿Qué libros son los que más gustan?
Los libros de
¿Y los que menos?
Los libros de
MEDIANA Escoge la opción que indica la mediana de cada serie de datos:
1El número de veces que come pasta durante una semana
un
grupo
de
tres
amigos:
2, 5, 3
2
5
3 2Los litros de agua que beben al día un grupo de cuatro amigos: 2, 1, 3, 2.5
3
2.25
2.5 3El
número
durante
de
cada
3, 2, 3, 3, 2, 6, 3
horas día
que de
Carmen la
ha
semana
visto
la
tele
pasada
es:
3
2
6 4Las veces que se cepilla María los dientes al día durante
dos
semanas:
1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 2, 2, 5, 1.
3.5
18
2.5 5Las notas de los exámenes de matemáticas realizados durante
el
curso
7, 5, 6, 8, 7, 8, 8, 9, 10, 10.
6
8
por
Pablo
son:
10 6El número de horas que dedican los veintitres alumnos de una clase a realizar un trabajo de investigación de Geometría: 5, 10, 10, 11, 12, 12, 12, 13, 14, 15, 14, 15, 15, 15, 14, 15, 17, 18, 18, 20, 20, 13, 23
14
15.5
15 7Las estaturas en centímetros de un grupo de dieciseis amigos: 150, 160, 164, 157, 183, 163, 182, 170, 159, 157, 151, 161, 163, 178, 173, 172.
182
163
165
8El número de veces que va al cine en un mes cada componente
de
un
grupo
de
once
amigos
es:
2, 0, 2, 3, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 3
0
1
2 Contesta a las siguientes cuestiones: 9Las notas de matemáticas de los 26 alumnos de una clase son:
6, 2, 4, 4, 5, 5, 6, 3, 8, 6, 5, 3, 7, 6, 5, 6, 4, 4, 4, 3, 5, 5, 4, 6, 7, 4
Calcula la mediana: Me =
10Las faltas de asistencia de 25 alumnos de otra clase son:
0, 1, 1, 1, 3, 2, 2, 7, 1, 2, 1, 0, 0, 0, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 0, 0, 4, 6, 7
Calcula la mediana: Me =
MEDIA Escoge la opción que indica la media aritmética de cada serie de datos:
1El número de veces que come pasta durante una semana
un
grupo
de
tres
amigos:
2, 4, 3
2
5
3 2Los litros de agua que beben al día un grupo de cuatro amigos: 2, 1, 3, 2
3
2
4 3El
número
durante
de
cada
horas día
que de
Carmen la
ha
semana
visto
la
tele
pasada
es:
3, 2, 3, 3, 2, 6, 3
3
3.14
4.15 4Las veces que se cepilla María los dientes al día durante 1, 2, 3, 3, 4, 2, 1.
2.5
1.87
2.29
una
semana:
5Las notas de los exámenes de matemáticas realizados durante
el
curso
por
Pablo
son:
7, 5, 6, 8, 7, 8, 8, 9, 10, 10.
7
8.3
7.8 6El
número
alumnos
de
investigación
de
horas
una
que
clase
a
dedican
los
veinticuatro
realizar
un
trabajo
de
de
Geometría:
5, 5, 10, 10, 11, 12, 12, 12, 13, 14, 15, 14, 15, 15, 15, 14, 15, 17, 18, 18, 20, 20, 13, 23
14
14.61
14.71
7Las estaturas en centímetros de un grupo de cinco amigos: 150, 160, 164, 158, 183.
163
157
170 8El número de veces que va al cine en un mes cada componente
de
un
grupo
de
once
amigos
es:
2, 2, 2, 3, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 4
1
2
3 Contesta a las siguientes cuestiones: 9Las notas de matemáticas de los 26 alumnos de una clase son:
6, 2, 4, 4, 5, 5, 6, 3, 8, 6, 5, 3, 7, 6, 5, 6, 4, 4, 4, 3, 5, 5, 4, 6, 7, 4
Calcula la media aritmética de las notas obtenidas, redondeando a dos cifras decimales si fuese necesario:
10Las faltas de asistencia de 25 alumnos de otra clase son:
0, 1, 1, 1, 3, 2, 2, 7, 1, 2, 1, 0, 0, 0, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 0, 0, 4, 6, 7
Calcula la media aritmética:
MODA Escoge la opción que indica la moda de cada serie de datos:
1El
número
durante
de
cada
3, 2, 3, 3, 2, 6, 3
horas día
que de
Carmen la
ha
semana
visto
la
tele
pasada
es:
3
4
6 2Las veces que se cepilla María los dientes al día durante
seis
días:
3, 5, 2, 1, 0, 4.
6
5
No tiene moda 3Las notas de los exámenes de matemáticas realizados durante
el
curso
7, 5, 6, 8, 7, 8, 8, 9, 10, 10.
8
9
por
Pablo
son:
10 4El número de horas que dedican los veintitres alumnos de una clase a realizar un trabajo de investigación de Geometría
son:
10, 20, 15, 15, 12, 12, 17, 20, 10, 5, 18, 15, 13, 14, 20, 15, 15, 11, 18, 15, 12, 23, 15
23
7
15 5Las estaturas en centímetros de un grupo de quince amigos
son:
150, 160, 164, 157, 163, 182, 170, 159, 157, 151, 161, 163, 178, 173, 172.
182
163 y 157
No tiene moda porque hay dos valores que podrían serlo.
6El número de veces que va al cine en un mes cada componente
de
un
grupo
de
once
amigos
es:
2, 0, 2, 3, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 3
11
1
4 7Las puntuaciones obtenidas en un test para saber el CI de
dieciseis
alumnos
de
una
clase
son:
110, 132, 90, 123, 110, 108, 97, 99, 93, 112, 125, 139, 90, 112, 112, 90
90
112
90 y 112 8Los números obtenidos al lanzar un dado 10 veces son: 1, 2, 4, 2, 3, 3, 2, 6, 3, 1.
2
2 y 3
No tiene moda Contesta a las siguientes cuestiones: 9Las notas de matemáticas de los 26 alumnos de una clase son:
6, 2, 4, 4, 5, 5, 6, 3, 8, 6, 5, 3, 7, 6, 5, 6, 4, 4, 4, 3, 5, 5, 4, 6, 7, 4
Calcula la moda: Mo=
10Las faltas de asistencia de los 26 alumnos de la clase anterior:
0, 1, 1, 1, 3, 2, 2, 7, 1, 2, 1, 0, 0, 0, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 0, 0, 4, 6, 7
Calcula la moda: Mo=
DESVIACION MEDIA Escoge la opción que indica la desviación media de cada serie de datos:
1El número de veces que come pasta durante una semana
un
grupo
de
tres
amigos:
2, 4, 3
0.67
−0.67
0 2Los litros de agua que beben al día un grupo de cuatro amigos: 2, 1, 3, 2
0.5
2.3
1
3El
número
durante
de
cada
horas día
que de
Carmen la
ha
semana
visto
la
tele
pasada
es:
3, 2, 3, 3, 2, 6, 3
0.81
0.78
0.18 4Las veces que se cepilla María los dientes al día durante
una
semana:
1, 2, 3, 3, 4, 2, 1.
1.3
0.90
2.5 5Las notas de los exámenes de matemáticas realizados durante
el
curso
7, 5, 6, 8, 7, 8, 8, 9, 10, 10.
por
Pablo
son:
1.24
1.92
−1.24 6El número de horas que dedican un grupo de cuatro amigos
a
realizar
un
trabajo
de
investigación
de
Geometría: 10, 23, 12, 13
4
4.61
4.25 7Las estaturas en centímetros de un grupo de cinco amigos: 150, 160, 164, 158, 183.
9.4
7.4
8.4 8El número de veces que va al cine en un mes cada componente
de
un
grupo
de
cinco
amigos
es:
2, 2, 2, 3, 1,
0.4
0.6
0.8 Contesta a las siguientes cuestiones: 9Las notas de matemáticas de los 26 alumnos de una clase son:
6, 2, 4, 4, 5, 5, 6, 3, 8, 6, 5, 3, 7, 6, 5, 6, 4, 4, 4, 3, 5, 5, 4, 6, 7, 4
Calcula la desviación media, redondeando a dos cifras decimales si fuese necesario:
10Las faltas de asistencia de 25 alumnos de otra clase son:
0, 1, 1, 1, 3, 2, 2, 7, 1, 2, 1, 0, 0, 0, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 0, 0, 4, 6, 7
Calcula la desviación media, redondeando a dos cifras decimales si fuese necesario:
Si tienes dudas puedes consultar la teoría Puntuación:
VARIANZA Escoge la opción que indica la varianza de cada serie de datos:
1El número de veces que come pasta durante una semana 2, 4, 3
2/3
1/3
un
grupo
de
tres
amigos:
2 2Los litros de agua que beben al día un grupo de cuatro amigos: 2, 1, 3, 2
0.5
2
0.3 3El
número
durante
de
cada
3, 2, 3, 3, 2, 6, 3
1.33
1.55
2.55
horas día
que de
Carmen la
ha
semana
visto
la
tele
pasada
es:
4Las veces que se cepilla María los dientes al día durante
una
semana:
1, 2, 3, 3, 4, 2, 1.
1.06
1.6
1.60 5Las notas de los exámenes de matemáticas realizados durante
el
curso
por
Pablo
son:
7, 5, 6, 8, 7, 8, 8, 9, 10, 10.
3.36
2.36
2.63 6El número de horas que dedican los diez grupos de alumnos formados en una clase al realizar un trabajo de investigación
sobre
5, 5, 12, 13, 15, 15, 15, 20, 20, 23
de
Geometría:
15.21
32.32
32.21 7Las estaturas en centímetros de un grupo de cinco amigos: 150, 160, 164, 158, 183.
120.8
121.8
60.4 8El número de veces que va al cine en un mes cada componente
de
un
grupo
2, 2, 2, 3, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 4
0.81
0.91
de
once
amigos
es:
1.2 Contesta a las siguientes cuestiones: 9Las notas de matemáticas de los 26 alumnos de una clase son:
6, 2, 4, 4, 5, 5, 6, 3, 8, 6, 5, 3, 7, 6, 5, 6, 4, 4, 4, 3, 5, 5, 4, 6, 7, 4
Calcula la varianza de las notas obtenidas, redondeando a dos cifras decimales si fuese necesario:
10Las faltas de asistencia de 25 alumnos de otra clase son:
0, 1, 1, 1, 3, 2, 2, 7, 1, 2, 1, 0, 0, 0, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 0, 0, 4, 6, 7
Calcula la varianza:
DESVIACION TIPICA
Escoge la opción que indica la desviación típica de cada serie de datos:
1El número de veces que come pasta durante una semana
un
grupo
de
tres
amigos:
2, 4, 3
2/3
0.67
0.82 2Los litros de agua que beben al día un grupo de cuatro amigos: 2, 1, 3, 2
0.5
0.71
2
3El
número
durante
de
cada
horas día
que de
Carmen la
ha
semana
visto
la
tele
pasada
es:
3, 2, 3, 3, 2, 6, 3
1.25
1.55
2.25 4Las veces que se cepilla María los dientes al día durante
una
semana:
1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 2, 2, 5, 1.
1.3
1.06
1.03 5Las notas de los exámenes de matemáticas realizados durante
el
curso
7, 5, 6, 8, 7, 8, 8, 9, 10, 10.
por
Pablo
son:
2.36
1.54
1.18 6El número de horas que dedican los grupos de alumnos formados
en
investigación
una
clase
al
realizar
sobre
de
un
trabajo
de
Geometría:
5, 5, 12, 13, 15, 15, 15, 20, 20, 23
6.80
16.11
5.68 7Las estaturas en centímetros de un grupo de cinco amigos: 150, 160, 164, 158, 183.
10.99
60.4
10.1 8El número de veces que va al cine en un mes cada componente
de
un
grupo
de
once
amigos
es:
2, 2, 2, 3, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 4
1
0.91
0.95 Contesta a las siguientes cuestiones: 9Las notas de matemáticas de los 26 alumnos de una clase son:
6, 2, 4, 4, 5, 5, 6, 3, 8, 6, 5, 3, 7, 6, 5, 6, 4, 4, 4, 3, 5, 5, 4, 6, 7, 4
Calcula la desviación típica de las notas obtenidas, redondeando a dos cifras decimales si fuese necesario:
10Las faltas de asistencia de 25 alumnos de otra clase son:
0, 1, 1, 1, 3, 2, 2, 7, 1, 2, 1, 0, 0, 0, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 0, 0, 4, 6, 7
Calcula la desviación típica:
EJERCICIO COMPLETO 1Las temperaturas máximas en una ciudad durante el mes de junio fueron: 28 ºC, 29 ºC, 28 ºC, 30 ºC, 30 ºC, 29 ºC, 30 ºC, 31 ºC, 29 ºC, 29 ºC, 30 ºC, 31 ºC, 31 ºC, 31 ºC, 32 ºC, 33 ºC, 34 ºC, 34 ºC, 35 ºC, 31 ºC, 31 ºC, 32 ºC, 32 ºC, 33 ºC, 33 ºC, 31 ºC, 32 ºC, 32 ºC, 33 ºC, 33 ºC, 34 ºC. Calcula la moda:
Mo =
Calcula la mediana:
Me =
Calcula la media:
Calcula el rango:
R =
Calcula la desviación media:
Calcula la varianza:
Calcula la desviación típica: