Estadistica + Diaz

FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

DEPARTAMENTO ACADEMICO DE METODOLOGIA DE INVESTIGACION

TITULO:

“MODELO PROBABILISTICO Y REGIONAL DE LAS DESCARGAS MAXIMAS INSTANTANEAS DEL RIO SANTA EN LA REGION ANCASH”

TESIS PARA OPTAR EL TITULO DE: INGENIERO CIVIL

AUTOR:

Abelardo Manrique Díaz Salas

HUARAZ, FEBRERO DEL 2011

FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL DEPARTAMENTO ACADEMICO DE METODOLOGIA DE INVESTIGACION

2

TITULO:

“MODELO PROBABILISTICO Y REGIONAL DE LAS DESCARGAS MAXIMAS INSTANTANEAS DEL RIO SANTA EN LA REGION ANCASH”

Aprobado por:

_______________________ PRESIDENTE DE JURADO

Ingº Rafael Asunción Seminario Vásquez

______________________ MIEMBRO DE JURADO Ingº Gilberto Régulo Sánchez Gamarra

________________________ MIEMBRO DE JURADO Ingº Miguel Ángel Chang Heredia

Agradecimiento A la Universidad los Ángeles de Chimbote por darme la oportunidad de seguir la segunda profesionalización. A mis padres Pablo y Teodora.

4

Dedicatoria A nuestro Divino Creador. A mi esposa Flor y a mis hijos Abelardo y Pablo, a quienes le he sacrificado su tiempo.

6

INDICE

1.

INTRODUCCION

12

PLANTEAMIENTO DE LA INVESTIGACION

13

1.1. Planteamiento del problema

13

Problema

1.1.1

2.

13

1.2. Objetivos de la investigación

13

1.2.1 Objetivo general

13

1.2.2 Objetivos específicos

13

1.3. Justificación de la investigación

14

MARCO TEORICO

15

2.1. Antecedentes

15

2.1.1

Antecedentes internacionales

17

2.1.2

Antecedentes nacionales

17

2.1.3

Antecedentes regionales

18

2.2. Bases teóricas de la investigación

18

2.2.1

Descarga

19

2.2.2

Descargas máximas

19

2.2.3

Evaluación de las descargas máximas

19

2.2.4

Modelos probabilísticos usados frecuentemente en el estudio de las descargas máximas

19

a.i.1.a.i.

Distribución normal

20

a.i.1.a.ii.

Distribución log – normal

22

a.i.1.a.iii.

Distribución exponencial

24

a.i.1.a.iv.

Distribución Gamma

25

a.i.1.a.v.

Distribución Pearson Tipo III

28

Distribución Gumbel

30

a.i.1.a.vi.

2.2.5

Definición del modelo probabilístico adecuado en el estudio de las crecidas i.

33

i.1

35

Criterio de decisión

Tiempo de retorno

36

2.2.7

Relación entre el periodo de retorno y la probabilidad

39

2.2.8

Relación entre el periodo de retorno y función de distribución acumulada

39

Modelo regional para las descargas máximas instantáneas

40

METODOLOGIA

44

3.1

Tipo y nivel de investigación

3.2

Diseño de investigación

44

3.3

Población y Muestra

45

3.3.1 Población

45

3.3.2 Muestra

45

Definición y operacionalización de variables

45

3.4.1 Definición de variables

45

3.4

44

i.

Variables independientes

45

ii.

Variables dependientes

45

3.4.2 Operacionalización de variables

45

Técnicas e instrumentos

47

3.5.1 Técnicas

47

3.5.2 Instrumentos

47

3.6

Procedimiento de recolección de datos

48

3.7

Procesamiento de la información recopilada

48

3.7.1 Algoritmo de cálculos

48

3.7.2 Diagrama de flujo

49

Modelo regional de las descargas máximas instantáneas Anuales

49

3.5

3.8 8

Prueba de ajuste de chi – cuadrado

2.2.6

2.2.9 3.

32

3.8.1 Parámetros regionales de la ecuación o modelo de Fuller 4.

49

RESULTADOS

52

4.1

Descripción de la cuenca del río Santa

52

4.2

Información recopilada

52

4.3

Modelo probabilístico adecuado

57

4.3.1 Modelo regional para las descargas máximas

58

i.

Estimación de parámetros del modelo de Fuller

56

5.

DISCUSION

61

6.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

62

7.

6.1

Conclusiones

6.2

Recomendaciones

62 62

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

63

ANEXOS

64

INDICE DE CUADROS

N°

DESCRIPCION

2.1

NUMERO DE PARÁMETROS DE LOS MODELOS (h)

2.2

RESUMEN DE FÓRMULAS EMPÍRICAS PARA LA ESTIMACIÓN DE AVENIDAS

PAG. 36

MÁXIMAS

42

3.1

DISEÑO DE INVESTIGACION

44

3.2

DISPONIBILIDAD DE INFORMACION HIDROMETRICA EN LA CUENCA DEL RIO SANTA

46

3.3

OPERACIONALIZACIÓN DE VARIABLES

47

4.1

ESTADO ACTUAL DE LAS ESTACIONES HIDROMETRICAS DE LA CUENCA DEL RIO SANTA

4.2

DESCARGAS MAXIMMAS INSTANTANEAS ANUALES DE LA CUENCA DEL RIO SANTA

4.3

55

56

AREA DE LAS CUENCAS Y EL PROMEDIO DE LAS DESCARGAS MAXIMAS INSTANTANEAS ANUALES DE LA CUENCA DEL RIO SANTA

57

4.4

RESULTADOS DE LA PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE CHI-CUADRADO

57

4.5

CAUDALES PROMEDIOS DE LAS MAXIMAS INTANTANTANEAS OBSERVADOS

10

Y ESTIMADAS

58

INDICE DE FIGURAS

N° 3.1

DESCRIPCION ALGORITMO PARA OBTENER EL MODELO REGIONAL DE LAS DESCARGAS MAXIMAS INSTANTANEAS ANUALES-MODELO DE FULLER

4.1

PAG.

50

CAUDALES PROMEDIOS DE LAS MAXIMAS INSTANEAS ANUALES OBSERVADOS Y ESTIMADOS

59

4.2

CAUDALES MAXIMOS INSTATANEOS ANUALES OBSERVADOS Y ESTIMADOS PARA DIFERENTES PERIODOS DE RETORNO

12

59

INDICE DE PLANOS N°

DESCRIPCION

4.1

CUENCA DEL RIO SANTA

4.2

RED DE ESTACIONES HIDROMETEOROLÓGICAS DE LA CUENCA DEL RÍO SANTA

PAG. 53

54

INDICE DE ANEX0S N°

DESCRIPCION

A1

PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE CHICUADRADO APLICADO AL MODELO NORMAL

A2

PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE CHICUADRADO APLICADO MODELO LOG-NORMAL

A3

65

69

PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE CHICUADRADO APLICADO AL MODELO EXPONENCIAL

73

A4

PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE CHICUADRADO APLICADO AL MODELO GAMMA

77

A5

PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE CHICUADRADO APLICADO AL MODELO PEARSON III

14

81

A6

PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE CHICUADRADO APLICADO AL MODELO GUMBEL

86

INTRODUCCION Para el diseño de las obras hidráulicas es necesario conocer el caudal de diseño. Existen varios métodos para estimar el caudal de diseño como los métodos probabilísticos, métodos hidrológicos, métodos empíricos etc., En el presente trabajo se ha determinado un modelo regional usando métodos probabilísticos y empíricos. Mediante este modelo regional se puede estimar el caudal de diseño conociendo el área de la cuenca y para un periodo de retorno. Por las consideraciones indicadas el caudal de diseño en la cuenca del río Santa se pude estimar en cualquier punto, mediante el modelo regional modificado de Fuller. El modelo probabilístico adecuado para interpretar el comportamiento de las descargas máximas instantáneas anuales es el modelo de Gumbel, lo cual se ha definido mediante la prueba de ajuste de Chi-cuadaro. Para obtener el modelo regional se ha trabajado con las descargas máximas instantáneas anuales proyectadas según la Ley de Guimbel y el promedio de las descargas máximas instantáneas anuales proyectadas con la ecuación regional, que es una ecuación en función del área de la cuenca. En el presente trabajo se establece una metodología que permite hallar modelos empíricos para estimar el caudal de diseño. En el capítulo 2 se presenta el marco teórico relacionadas a la descargas máximas instantáneas anuales, trabajos anteriores relacionadas al modelamiento, se describe los principales modelos probabilísticos usados en la hidrología. En el capítulo 3 se desarrolla la metodología para la obtención del modelo regional de las descargas máximas. Luego en el capítulo 4 se presenta los resultados y la aplicación del estudio en la cuenca del río Santa. En el capítulo 5 se discuten los resultados. Finalmente en el capítulo 6 se presentan las conclusiones y recomendaciones.

16

1.

1.1.

PLANTEAMIENTO DE LA INVESTIGACION

Planteamiento del problema Para diseñar diferentes tipos de estructuras hidráulicas, es necesario conocer las descargas máximas instantáneas para diferentes periodos de retorno en un punto de un río o de una cuenca, donde no existen estaciones de aforo. Para estimar la descarga máxima instantánea en puntos no aforados de un río o quebrada es necesario tener modelos regionales de descargas máximas. En el presente trabajo de investigación se buscará el modelo o modelos probabilísticos adecuados para los registros de las estaciones hidrográficas de la cuenca del río Santa. Luego se buscará modelos regionales que relacionen los parámetros físicos de la cuenca y periodo de retorno con las descargas máximas instantáneas. Utilizando el modelo o modelos regionales se puede estimar las descargas máximas instantáneas en cualquier punto de la cuenca. 1.1.1 Problema ¿En qué medida el modelo regional o modelos regionales de las descargas máximas instantáneas permitirán estimar las descargas máximas en cualquier punto de la cuenca?

1.2. Objetivos de la Investigación 1.2.1. Objetivo general

Buscar el modelo regional adecuado para estimar las descargas máximas instantáneas en la cuenca del río Santa. 1.2.2. Objetivos específicos

•

Determinar el modelo o los modelos probabilísticos adecuados para las descargas máximas instantáneas en la cuenca del río Santa.

•

Determinar el modelo regional de las descargas máximas promedios en función del área de la cuenca.

•

Determinar la descarga máxima instantánea anual en un punto de la cuenca del río Santa, para un determinado periodo de retorno con lo cual se podrá diseñar infraestructuras hidráulicas que no fallen ante estos eventos como: puentes, obras de defensa rivereña, presas para regular las avenidas, bocatomas, cunetas de las carreteras, alcantarillado pluvial, vertederos de excedencias, etc.

1.3. Justificación de la investigación

Las estructuras hidráulicas como puentes, bocatomas, vertedero de demasías, etc. deben ser diseñadas para no fallar ante el suceso de las descargas máximas instantáneas. Para estimar la ocurrencia de estos eventos es necesario contar con un modelo regional que explique el comportamiento espacial y temporal. Con la realización de este trabajo de investigación se formulará un modelo regional que relacione las descargas máximas instantáneas con uno o varios parámetros físicos de la cuenca y el tiempo de retorno.

18

2.

MARCO TEORICO

2.1. Antecedentes

2.1.1

Antecedentes internacionales El caudal de diseño puede ser estimado empleando diversos métodos que como son 1: • Métodos probabilísticos: Distribución Gumbel, distribución Pearson Tipo III, distribución exponencial, distribución gamma y distribución log-normal. • Métodos Hidrológicos: método racional, método del hidrograma unitario y método del hidrograma unitario sintético. • Métodos empíricos: fórmula de Creager, fórmula de Iskowski, fórmula de Possenti, fórmula de Turazza, fórmula de Mac-Math y la fórmula de Heras. • Método de área - pendiente. En el libro de Diseño Hidráulico para determinar las crecientes

2

indica que hay diferentes métodos usando fórmulas empíricas como:

fórmula racional, fórmula de Myers, fórmula de Creager, fórmula de Fuller, fórmula de Sokolvske, y la fórmula de INERHI,

1 Instituto Tecnológico de Costa Rica. Departamento de Ingeniería Agrícola. 1980.

2 Crochín, Sviatoslav. 1983. Diseño Hidráulico, págs.365-367.

Estudios hidrológicos, págs. 179-276.

En el libro Hidrología en la Ingeniería

: recomienda diferentes

3

métodos para la estimación de crecientes como son: • Método de pronósticos de crecientes: Hidrograma unitario, fórmula

racional. • Pronóstico mediante el uso de fórmulas empíricas: fórmula de

Barkli-Zigler, fórmula de Kresnick, fórmula de Creager, y la fórmula de Baird y Mclllwrsith. • Métodos de distribución de caudales máximos (distribución normal,

distribución log.-normal, distribución Gumbel, distribución Pearson Tipo III, distribución Log-Pearson tipo III.) • Método

de

Fuller.

(modelo

que

permite

regionalizar

el

comportamiento de las descargas máximas). El Colegio de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de España en el año 1997 en la publicación de Guías Técnicas de Seguridad de Presas en la guía N°4 presenta el estudio de Avenida del Proyecto.4 donde recomienda los métodos de estimación y cálculo de avenidas, basado en la aplicación del Reglamento Técnico Sobre Seguridad de Presas y Embalses. En esta publicación se indica que existen dos métodos de estimación de avenidas: los de tipo determinístico y los del tipo probabilístico. En los del tipo determinístico se calculan en forma unívoca los caudales de la máxima avenida en base a los datos hidrometeorológicos y entre ellos destaca el método de la “Avenida Máxima Probable”. En los métodos de tipo probabilístico se realiza en base a datos disponibles (lluvias y/o 3 Monsalve Sáenz, G. 1995. Hidrología en la Ingeniería. Santa Fé de Bogotá, págs. 225-239.

4 Colegio de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. 1997. Avenida de Proyecto. Madrid, págs. 138 p.

20

caudales). Se ajustan diversas leyes extremas para determinar por extrapolación estadística los caudales punta y los hidrogramas de avenidas para diferentes periodos de retorno. Finalmente recomienda el uso de métodos probabilísticos para calcular las avenidas del proyecto en el estudio de presas y embalses. Los modelos probabilísticos recomendadas para la estimación de avenidas son: modelo de Gumbel, modelo de valor extremo tipo II, modelo log Gumbel, modelo Gamma, modelo exponencial, modelo log normal de 2 parámetros, modelo de valor extremo general, modelo de Pearson tipo III, modelo de Weibull, modelo log normal de 3 parámetros, modelo loglogística, modelo logística generalizada, modelo log Pearson tipo III y modelo de Wakeby. En el libro de Hidrología 5, presenta métodos para el cálculo de caudal máximo como son: • Método directo: aplicación de la fórmula de Manning. • Métodos empíricos: método racional, método de Mac Math • Método de número de curva. • Métodos estadísticos: método de Gumbel, método de Nash, método

de Lebediev. 2.1.2 Antecedentes nacionales En el estudio de la Hidrología del Perú. 6 . Trata de la evaluación de los caudales máximos y de las escorrentías que pueden ocurrir en una sección genérica para eventos de máxima intensidad con una determinada probabilidad. Para el caso de la cuenca del río Santa no se

5 Villón Béjar,M. 2002. Hidrología. Lima,PE, págs. 241-304..

6 Servicio Nacional de Meteorologia e hidrologia, Instituto Italo – Latinoamericano y la Universidad Nacional de Ingenieria.1982 Estudio de la Hidrología del Perú. Lima, PE. Volumen III, págs..111.

detallan los resultados ni modelos que permitan estimar las descargas máximas. Publidrat 7publicó el tema: Análisis de Máximas Avenidas, donde indica que podrían usarse tres tipos de métodos para la determinación de la descarga del proyecto de una obra, como son: •

Métodos estadísticos: distribución log- normal, distribución Gumbel, distribución log Gumbel, distribución Pearson III, distribución logPearson III, método de Foster y el método de Fuller.

•

Uso de factores de frecuencia en el análisis de máximas avenidas.

•

Métodos hidrometeorológicos: método racional, hidrograma unitario sintético, hidrograma unitario SCS.

•

Otros métodos, en este caso recomienda el uso de fórmulas empíricas como: fórmula de Isakowski, Fómula de Barkli – Ziegler, fórmula de George Ribeiro y la fórmula de Francisco Aguilar.

2.1.3

Antecedentes regionales En el Estudio Integral Para el Aprovechamiento de la Cuenca del Río Santa presenta los datos procesados de las descargas máximas instantáneas en las diferentes estaciones hidrográficas de la cuenca del río Santa 8. En el presente trabajo la estimación de los caudales máximos se ejecutará utilizando los métodos probabilísticos y empíricos.

7 Mejía Marcacuzco, JA. 1999. Análisis de Máximas Avenidas. Universidad Nacional Agraria La Molina. Publidrat. Lima, PE. S.e. 28 p.

8 Electroperú - Hidroservice. 1985. Estudio Integral 61-76.

22

para el Aprovechamiento de la cuenca del río Santa. Lima, PE, Se. anexo G, págs.

2.2. Bases teóricas de la investigación 2.2.1. Descarga La descarga o caudal, es el volumen de escorrentía superficial por unidad de tiempo, Q=V/t, es la principal variable que caracteriza la escorrentía superficial. Se expresa en o l/s.9 Las descargas son evaluadas usando diferentes métodos de aforo, con los datos de aforo se obtienen las curvas de descargas los que a su vez son utilizados para estimar las descargas para diferentes niveles de agua que ha ocupado a través del tiempo en una determinada sección hidrométrica, éstos datos al ser ploteados en coordenadas cartesianas se denominan como hidrogramas. Un río presenta un régimen de descarga que puede expresarse de diferentes formas, pudiéndose obtener los siguientes datos representativos: máximas instantáneas,

mínimas

instantáneas,

promedio

de mínimas,

promedio de máximas, descarga promedio diario, descarga mensual promedio, módulo anual, descarga mensual del año promedio, caudal específico, etc. En el presente estudio se evaluará las descargas máximas instantáneas anuales, para la cual el año es considerado como el año hidrológico comprendido del 1° de Setiembre hasta el 31 de Agosto del año calendario siguiente. Para la obtención de las descargas máximas instantáneas anuales es necesario contar con los datos limnigráficos.

2.2.2. Descargas máximas Es el caudal de valor alto de un río en comparación a las descargas habitualmente observadas. Estos caudales son causantes de daños a las 9 Monsalve Sáenz, G. 1995. Hidrología en la Ingeniería. Santa Fé de Bogotá, pág. 179

obras y propiedades. Para prevenir estos daños es que se hace necesario una evaluación cuantitativa de las crecidas. Por eso es importante diseñar obras hidráulicas que permitan el paso de las crecientes sin sufrir daño10.

2.2.3. Evaluación de las descargas máximas

Existen varios métodos para estimar las crecidas o las descargas máximas; como son: métodos probabilísticos, métodos hidrológicos, métodos empíricos, método de área-pendiente etc. El método a emplear básicamente depende de los datos que se tienen a disposición del proyectista. En el presente trabajo se va estudiar el comportamiento de los caudales máximos instantáneas de la cuenca del río Santa mediante métodos probabilísticos, luego se busca los modelos regionales en función de los parámetros físicos de la cuenca. En algunas aplicaciones prácticas de la Ingeniería Hidráulica es necesario conocer el comportamiento espacial y temporal de los caudales de avenida (Diseño de vertedero de la represa), en estos casos son empleados los métodos de tránsito de avenidas. En otros casos la Ingeniería Hidráulica sólo necesita conocer el comportamiento temporal de las crecidas anuales, es decir es necesario conocer valores de las descargas máximas instantáneas anuales. Con los datos de crecidas anuales se determinan el caudal de avenida extraordinaria, también llamado como caudal de diseño.

2.2.4. Modelos probabilísticos usados frecuentemente en el estudio de

las de descargas máximas. Los

modelos

probabilísticos

consideran

a

las

descargas

máximas

instantáneas anuales, como variables aleatorias independientes en el tiempo, es decir no se toma en cuenta la secuencia en el tiempo (serie histórica).

10 Crochín, Sviatoslav. 1983. Diseño Hidráulico, pág.363.

24

En los métodos estadísticos o probabilísticos se considera que el caudal es una variable aleatoria que está sujeta al análisis frecuencial y que por lo tanto puede ser estudiada mediante diversas leyes estadísticas de fenómenos extremos11. Al utilizar los modelos probabilísticos primero se busca el modelo probabilístico adecuado para los datos de los caudales máximos instantáneos. En este caso el análisis se hace en cada estación, la prueba estadística usada para probar la bondad de ajuste es la prueba de Chi-cuadrado. Para estimar los valores de los caudales estimados para una determinada probabilidad es necesario estimar los parámetros de los modelos probabilísticos.

En el libro de Hidrología aplicada12. Indica una serie de modelos probabilísticos o de distribuciones de probabilidad comúnmente utilizados para variables hidrológicas, como son: distribución normal, distribución lognormal, distribución exponencial, distribución gamma, distribución Pearson tipo III, distribución log Pearson tipo III y distribución de valor extremo tipo I. Las leyes de probabilidad para explicar el comportamiento temporal de caudales máximos son: distribución normal, distribución log normal, distribución Gumbel, distribución log – Gumbel, distrución Pearson tipo III y distribución log – Pearson tipo III

i.

.

13

Distribución normal

11 Colegio de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. 1997. Avenida de Proyecto. Madrid, pág. 33.

12 Ven, TC; et al. 1994. Hidrología Aplicada. Santa Fé de Bogotá, págs. 382-384

13 Monsalve Sáenz, G. 1995. Hidrología en la Ingeniería. Santa Fé de Bogotá, págs. 119-127.

La función densidad de la distribución está dada por la siguiente ecuación: 1  x−µ 2  σ 

−  1 e 2 2π σ

f ( x) =

−∞ < x < ∞

(2.1)

Donde:

f ( x ) = función densidad de probabilidad x = variable aleatoria desviación estándar de la población media poblacional En la ecuación (2.1) µ y σ son parámetros de la distribución normal, los cuales se estiman mediante el método de momentos o de máxima verosimilitud y son iguales al promedio y desviación estándar de la muestra (datos). Se estiman mediante las siguientes ecuaciones14 :

x = E( x) = µ

(2.2)

s = E( x − µ ) = σ

(2.3)

2

Donde:

x = promedio aritmético de la muestra s = desviación estándar de la muestra La función acumulada de la distribución normal está dada por la siguiente ecuación:

F ( x) = ∫

x

−∞

f ( x )dx

14 Ven, TC; et al. 1994. Hidrología Aplicada. Santa Fé de Bogotá, págs. 383-384

26

(2.4)

Las ecuaciones (2.1) y (2.4) se simplifican definiendo una nueva variable aleatoria llamada z (variable normal estándar) que se expresa mediante la siguiente ecuación:

x−µ σ

(2.5)

dx = σdz

(2.6)

z=

La variable z, tiene media cero

(σ

( µ = 0) ,

y la desviación estándar uno

= 1) . Reemplazando la ecuación (2.5) en (2.1) se obtiene, la función

de densidad de la variable normal estándar. 1

1 −2 z2 e 2π

f ( z) =

(2.7)

La función de distribución acumulada de la variable normal estándar se expresa mediante la siguiente ecuación:

F ( z) = ∫

z

−∞

f ( z )dz

(2.8)

La ecuación (2.8) como la ecuación (2.4) no es integrable analíticamente. Los valores de la ecuación (2.8) se obtienen de tablas de distribución normal estándar, o se pueden obtener mediante las técnicas de métodos numéricos (integración numérica), o se pueden aproximar mediante el polinomio de Abramowitz y Stugen, dada por la siguiente ecuación15: B=

[

1 2 3 4 1 + 0.196854z + 0.115194z + 0.000344z + 0.019527z 2

Donde:

z =

valor absoluto de z

15 Ven, TC; et al. 1994. Hidrología Aplicada. Santa Fé de Bogotá, pág. 365

]

−4

(2.9)

F ( z ) = B para z < 0

(2.10)

F( z) = 1− B

(2.11)

Los valores de

para z ≥ 0

según el modelo probabilístico normal se obtiene

reemplazando el valor de z obtenido mediante la ecuación (2.10) o (2.11) en la ecuación (2.5), dada por la siguiente expresión: (2.12) Donde: valor ajustado a la distribución normal

x = promedio de la muestra

σx =

ii.

desviación estándar de la muestra

Distribución log – normal Las variables físicas de interés en hidrología (precipitación, evaporación y otras) son generalmente positivas, por lo cual es usual que presenten distribuciones de frecuencias asimétricas. Por ello, algunos investigadores han propuesto aplicar una transformación logarítmica a la variable de interés y luego utilizar el modelo de distribución normal para la variable transformada. La distribución así obtenida se denomina logarítmiconormal16. Si X es una variable aleatoria, con funciones de densidad de probabilidad asimétricas y si se define una nueva variable como Y = LnX , que presenta una distribución normal (simétrica) con media

16 Varas C, E, et al. Hidrología Probabilística. CL. Universidad Católica de Chile. Pág.39.

28

2 y y variancia σ y ,

entonces se afirma que la variable X tiene una distribución logarítmiconormal. Las ecuaciones de esta distribución son:

Y = LnX

(2.13)

La función de densidad de y es:

1 e 2π σ y

f ( y) =

1  y−µ y −  2  σ y

2   

0< y<∞ (2.14)

Donde:

µ y = Lnx

(2.15)

σ y = σ Lnx

(2.16)

La función de densidad de x es:

f ( x) =

1 e x 2π σ y

1  y−µ y −  2  σ y

   

2

0
La función distribución acumulada está dada por la siguiente ecuación:

F ( y) =

∫

x

Ln ( x ) > 0

f ( y )dy

(2.18)

La ecuación (2.17) analíticamente no es integrable. Las ecuaciones (2.17) y (2.18) se simplifican definiendo una variable llamada z (variable normal estándar) expresada mediante la siguiente ecuación

z=

y − µy

σy

dy = σ y dz

(2.19) (2.20)

Esta variable como se ha indicado anteriormente tiene media cero y la desviación estándar uno. Reemplazando la ecuación (2.19) y (2.20) y las

propiedades de z → ( 0,1) en la ecuación (2.18) se obtiene la siguiente ecuación:

F ( z) =

1 2π

z

∫e −∞

−z2 2

dz (2.21)

La ecuación (2.21) es igual a la ecuación (2.8). Los valores de según la distribución normal se obtiene de la ecuación (2.19): (2.22) donde: valor ajustado a la distribución normal

y = promedio de los logaritmos (logaritmos de x) de la muestra σy =

desviación estándar de los logaritmos (logaritmos de x) de la muestra

Los valores de según el modelo probabilístico es obtenida a partir de la ecuación (2.13). (2.23) Donde: valor de la variable aleatoria ajustada a la distribución logarítmico normal.

iii.

Distribución exponencial Algunas secuencias de eventos hidrológicos como la ocurrencia de precipitación, pueden considerarse como procesos de Poisson, en los cuales los eventos ocurren instantánea e independientemente en un horizonte de tiempo El tiempo entre tales eventos está

30

descrito por una distribución exponencial cuyo parámetro es la tasa media de ocurrencia de los eventos

17

La función densidad de un modelo probabilístico exponencial está dada por:

λe − λx , x ≥ 0 f ( x) =  0 , x < 0

(2.24)

Donde:

λ = parámetro de la distribución exponencial La función de distribución acumulada está dada por la siguiente ecuación:

F ( x ) = ∫ λe − λx dx = 1 − e − λx x

(2.25)

0

El valor de (valor ajustado a la distribución exponencial) se obtiene a partir de la ecuación (2.25). (2.26) Mediante el método de máxima verosimilitud o el método de momentos se demuestra que el parámetro λ se estima mediante la siguiente ecuación:

λ=

1 X

(2.27)

Reemplazando la ecuación (2.27) en (2.26) se obtiene: (2.28)

iv.

Distribución Gamma El tiempo que toma la ocurrencia de un número

de eventos en un

proceso de Poisson está descrito por la distribución gamma, la cual es la distribución de una suma de 17 Ven, TC; et al. 1994. Hidrología Aplicada. Santa Fé de Bogotá, pág. 385.

variables aleatorias independientes e

idénticas, distribuidos exponencialmente. La distribución gamma es muy útil para la descripción de variables hidrológicas asimétricas sin el uso de la transformación logarítmica. La distribución gamma incluye la función gamma . La distribución Gamma, tiene la función de densidad definida por:

f ( x) =

α −1

−

x β

x e β α Γ( α )

x≥0 (2.29)

Donde:

α , β = parámetros positivos Γ( α ) = función gamma de α ∞

Γ( α ) = ∫ e − x xα −1dx 0

para α > 0

(2.30)

Integrando por partes la ecuación (2.30) se obtiene18:

Γ( α + 1) = αΓ( α )

(2.31)

Las propiedades principales de la función Gamma son: a.

(2.32)

b.

Γ(1) = Γ( 2 ) = 1

(2.33)

c.

Γ (1 / 2 ) = Γ ( π )

(2.34)

d.

Γ( 0 ) = ∞

(2.35)

En general para calcular Γ ( α ) , se pueden utilizar los siguientes criterios: 1.

Para α < 0 la función Γ( α ) se calcula transformando la ecuación (2.31) a la siguiente ecuación:

18 Villón Béjar, M. 2002. Hidrología Estadística. Lima, pág. 195.

32

Γ( α ) =

Γ( α + 1) α

(2.36)

La función gamma establecida mediante la ecuación (2.30) para

x < 0 no converge; mediante la ecuación (2.36) se pueden calcular la función gamma para todos números reales y complejos, excepto para α = −n , n = 0,−1 − 2, , en consecuencia la ecuación (2.36) es válida sólo cuando α ≠ − n Para 0 ≤ α ≤ 1 la función Γ( α + 1) se calcula mediante la aproximación polinomial de octavo grado19. Γ (α + 1) = α ! = a0 + a1α + α 2α 2 + a3α 3 + a4α 4 + a5α 5 + a6α 6 + a7α 7 + a8α 8

(2.37)

Donde:

a0 =

1.00

a3 =

-0.897056937

a6 =

0.482199394

a 1 = -0.577191652

a4 = 0.918206857 a 7 =

-0.193527818

a 2 = 0.988205891

a5 =

0.035868343

-0.756704078

2.

a8 =

Para α > 1 la función Γ( α + 1) , se calcula mediante la ecuación

Γ( α ) = ( α − 1) Γ( α − 1) o mediante la aplicación del ajuste polinomial por la serie asintótica de Sterling:

Γ( α ) = α α e −α

3.

 2π  1 1 139 571 1 + + − − +  2 3 4 α  12 α 288α 51840 α 2488320α 

(2.38)

Para valores de α grande y positiva la función Γ(α + 1) se puede calcular con la aproximación factorial de Sterling:

Γ ( α + 1) = α !≅ 2πα α α e −α

(2.39)

La función de distribución gamma acumulada está dada por la siguiente ecuación: 19 Villón Béjar, M. 2002. Hidrología Estadística. Lima, pág. 346.

F ( x) =

x

x

α −1

e

−x β

∫ β α Γ(α ) dx 0

(2.40)

La ecuación (2.40) no es directamente integrable, sus valores se calculan mediante las técnicas de integración numérica y existen tablas de esta distribución denominadas “Función Gamma Incompleta”, llamada así porque los valores en tabla son sólo para valores enteros positivos de α . Sí α es un número natural, la función de distribución acumulada puede determinarse mediante la siguiente ecuación: 0, x ≤ 0   F ( x) =   x 1x  1 − 1 + β + 2!  β   

2

 1 x  +  3!  β 

3

−x α −1  β e ; x 

 1  +  +   (α − 1)!  β  

x>0

 

(2.41)

Haciendo un cambio de variable se tiene:

Y=

x β

(2.42)

Reemplazando la ecuación(2.42) en (2.40) se obtiene:

G( y ) = ∫

y

0

Y α −1e −Y dy Γ( α )

(2.43)

Reemplazando la ecuación (2.43) en la ecuación (2.41), se obtiene: 0, x ≤ 0  −Y G(Y ) =   1 1 2 1 3 α −1  e ; x > 0  1 − 1 + Y + 2! ( Y ) + 3! ( Y ) +  + (α − 1)! ( Y )   

Los valores de

ajustados a la distribución Gamma se obtiene de la

ecuación (2.42): (2.45)

34

(2.44)

Los valores de Y se halla de la ecuación (2.44) para diferentes probabilidades, los valores de β se estiman mediante el método de momentos20:

v.

X = E ( x ) = αβ

(2.46)

S 2 = β 2α

(2.47)

Distribución Pearson tipo III La distribución Pearson III posee la característica de ser asimétrica y no negativa, lo que lo hace adecuada para describir los caudales máximos. Es una distribución de tres parámetros 21. La función densidad de probabilidades de la distribución Pearson Tipo III, está definida por la siguiente ecuación:

( x − x0 ) f ( x) =

α −1

−( x − x0 )

e α β Γ( α )

β

(2.48)

Para: X 0 ≤ x < ∞; − ∞ < x0 < ∞ 0<β <∞ 0<α < ∞

(2.49)

La función de distribución acumulada está dada por la siguiente ecuación:

20 Villón Béjar, M. 2002. Hidrología Estadística. Lima, pág. 200.

21 Mejía Marcacuzco, JA. 1999. Análisis de Máximas Avenidas. Universidad Nacional Agraria La Molina. Lima, PE. S.e. pág. 13.

F ( x) =

∫

x

( x − x0 )

α −1

− ( x − x0 )

e α β Γ( α )

x0

β

dx (2.50)

Donde:

x = variable aleatoria x0 =

origen de la variable x, parámetro de posición (valor inicial)

β = parámetro de escala α = parámetro de forma Haciendo cambio de variable se tiene:

Y =

( x − x0 ) β

(2.51)

Reemplazando la ecuación (2.51) en (2.48) se obtiene:

f ( y) =

Y α −1e −Y β Γ( α )

(2.52)

La función de distribución acumulada está dada por la siguiente ecuación:

F ( y) = ∫

Y

0

Y α −1e − y dy Γ( α )

(2.53)

La ecuación (2.53) tiene parámetro α cuya variable tiene origen en

Y = 0, ó en x = x0 . La ecuación (2.53) es igual a la ecuación (2.43) lo cual se resuelve usando tablas o mediante métodos numéricos. La solución de la ecuación (2.53) permite encontrar el valor de Y para diferentes valores de F(y). Los parámetros de la distribución Pearson Tipo III estimados por el método de momentos son22: 22 Villón Béjar, M. 2002. Hidrología Estadística. Lima, pág. 209.

36

(2.54)

S 2 = β 2α

Cs = g =

(2.55)

2 α

(2.56)

Donde: promedio de la muestra

s 2 = variancia de la muestra g = coeficiente de sesgo de la muestra Resolviendo las ecuaciones (2.54), (2.55) y (2.56) se obtiene23:

α=

β=

4 g2

(2.57)

gS 2

(2.58) (2.59)

El valor de xˆ ajustado al modelo de Pearson Tipo III para una probabilidad determinada se halla mediante la siguiente ecuación.

xˆ = Yβ + x 0

vi.

(2.60)

Distribución Gumbel Es también conocido con el nombre de distribución de valores extremos tipo I. Este modelo representa la distribución límite del mayor valor de n

23 Villón Béjar, M. 2002. Hidrología Estadística. Lima, pág. 203.

valores xi,

independientes e idénticamente distribuidos con una

distribución de tipo exponencial a medida que n crece indefinidamente24. Este modelo probabilístico es de la distribución de valores extremo, de tipo doblemente exponencial, la función de densidad se expresa matemáticamente por:  x −β   x −β  −  α  − e  α 

1 − f ( x) = e α

e

(2.61)  x −β  α 

 x −β   − −e α 

1 − f ( x) = e α

(2.62)

Donde:

x = variable aleatoria

α , β = parámetro de la distribución de valores extremos Tipo I o doblemente exponencial.

−∞ < x < ∞ 0 < α < ∞ = parámetro de escala

− ∞ < β < ∞ = parámetro de posición, llamado como moda. Haciendo cambio de variable se tiene:

x−β α

(2.63)

dx = αdw

(2.64)

w=

(2.65)

24 Varas C, E, et al. Hidrología Probabilística. CL. Universidad Católica de Chile. Pág.47.

38

La función de distribución acumulada se obtiene integrando la ecuación (2.64)

F ( w) = P( X ≤ x ) = ∫ d e − e w

−w

−∞

= e−e

−w

w −∞

= e−e

−w

(2.66)

Los estimadores de los parámetros de la distribución Gumbel obtenidos mediante el método de momentos son25: (2.67)

α = 0.78σ x

(2.68)

Donde:

xˆ = promedio de la muestra

σx =

desviación estándar de la muestra

El valor de

xˆ ajustado al modelo Gumbel para una probabilidad

determinada se halla mediante la siguiente ecuación (ecuación obtenida de 2.63):

xˆ = β + αw

(2.69)

2.2.5. Definición del modelo probabilístico adecuado en el estudio de

crecidas El único procedimiento para verificar el comportamiento de un modelo matemático, ya sea probabilístico o determinístico, es comparar las predicciones efectuadas por el modelo con las observaciones de la realidad. Si el modelo fuese determinístico, y no existiese error experimental, entonces la comparación con los valores observados sería simple y concluyente. Sin embargo en el caso de modelos 25 Villón Béjar, M. 2002. Hidrología Estadística. Lima, pág. 213.

probabilísticos, debido a la naturaleza misma del modelo, las observaciones son sólo una muestra de la realidad, y en consecuencia una repetición del ensayo puede dar un resultado diferente. Resulta pues poco probable encontrar una correspondencia exacta entre modelos (datos generados) y la realidad (datos observados), aún cuando las hipótesis sean válidas. Por ello, es necesario definir la magnitud de la discrepancia que puede obtenerse sin que sea necesario desechar la hipótesis estudiada26 Para la definición del modelo probabilístico adecuado para el estudio de las descargas máximas instantáneas existen varias pruebas de bondad de ajuste como las pruebas gráficas y estadísticas. Estas pruebas consisten en comprobar gráficamente y estadísticamente, si la frecuencia empírica de la serie analizada, se ajusta a una determinada función de probabilidades teórica seleccionada a priori, con los parámetros estimados a partir de los datos muestrales. 27. El modelo probabilístico adecuado para los datos de la muestra se define mediante método gráfico y estadístico. En cada estación hidrográfica se hace la prueba. En el método estadístico existen dos alternativas: la prueba de bondad de ajuste de chi-cuadrado y la prueba de Kolmogorov – Smirnov. En el presente trabajo se ha empleado el método estadístico de chi-cuadrado.

i.

Prueba de bondad de ajuste de chi-cuadrado En el presente estudio se describe este método porque es el método que se ha optado dado que se puede programar de una forma sencilla y por

26 Varas C, E, et al Hidrología Probabilística. CL. Universidad Católica de Chile. Pág.77.

27 Villón Béjar,M. 2002. Hidrología Estadística. Lima,PE, págs. 141-162.

40

tanto se simplifican el tiempo del proceso. La prueba de chi-cuadrado consiste

en

comparar

las

frecuencias

observadas

y

esperadas

(frecuencias teóricas), con la finalidad de comparar la bondad de ajuste de la distribución empírica a una distribución teórica conocida. Existen dos maneras de realizar esta prueba: 1.

Estableciendo celdas (intervalos de clase) de igual tamaño, en la que las frecuencias esperada (frecuencia teórica) de cada una intervalo de clase son en general diferentes. El procedimiento para realizar la prueba de bondad de ajuste de chi-cuadrado, con celdas con diferente frecuencia esperada es: a.

Dividir la serie de datos en k celdas (intervalos de clase), de preferencia se debe escoger k ≥ 5. El tamaño de la serie histórica viene a ser el tamaño de la muestra.

b.

Calcular la frecuencia observada. La frecuencia observada

( foi )

es el número de datos que están comprendidos en cada

intervalo de clase (de igual tamaño en este caso). c.

Calcular la frecuencia esperada (frecuencia teórica), en cada intervalo de clase con la siguiente ecuación:

fei = N * P( z )

(2.70)

Donde:

N = número de datos observados (tamaño de la muestra)

P( z ) = Probabilidad esperada o teórica para el límite superior de cada intervalo de clase. El valor de

P( z ) es

determinado para cada modelo probabilístico que se está trabajando. d.

Calcular el chi-cuadrado calculado, con la siguiente ecuación:

m

( fei − foi ) 2

i =1

fei

X =∑ 2 c

(2.71)

Donde

X c2 =

Chi-cuadrado calculado

fo = frecuencia observada o empírica fe = frecuencia esperada o teórica m = número de intervalos de clase o número de celdas. 2.

Otra manera de realizar la prueba de bondad de ajuste de chicuadrado es estableciendo que cada celda (intervalo de clase) tenga la mis frecuencia esperada (frecuencia teórica), en este caso los tamaños del intervalo de clase son diferentes. El procedimiento para realizar la prueba de bondad de ajuste de chi-cuadrado, con celdas con igual frecuencia esperada es:

a.

Dividir la serie de datos en k celdas (intervalos de clase), de preferencia se debe escoger k ≥ 5. El tamaño de la serie histórica viene a ser el tamaño de la muestra.

b.

Calcular la probabilidad esperada de cada intervalo de clase mediante la siguiente ecuación:

Pi = c.

1 k

(2.72)

Calcular la frecuencia esperada (frecuencia teórica), de cada intervalo de clase con la siguiente ecuación:

1 NPi = N   k

(2.73)

Donde:

k = número de intervalos de clase o número de celdas. 42

N = número de datos observados (tamaño de la muestra)

 ^   Xi  Identificar el valor de variable ajustada al modelo   para

d.

las probabilidades acumuladas, de la relación siguiente: ^   F ( x ) = Pi = P X ≤ X i  =  

e.

Calcular la frecuencia observada

^

∫ f ( x )dx Xi

−∞

(2.74)

( Ni ) . La frecuencia observada es el número de datos que está ^

comprendido entre dos valores de X i encontrados en el paso anterior. f.

Calcular el chi-cuadrado calculado mediante la siguiente ecuación: m

( Ni − NPi ) 2

i =1

NPi

X c2 = ∑

(2.75)

i.1 Criterio de decisión Para definir el modelo probabilístico adecuado para los datos observados, es necesario comparar el chi-cuadrado calculado con los valores de chicuadrado tabular. El chi-cuadrado tabular se calcula de la distribución chicuadrado a partir de las tablas. Para calcular el valor de chi-cuadrado tabular a.

X t2

es necesario definir los siguientes criterios:

Calcular los grados de libertad (v), con la siguiente ecuación:

V = k − h −1 Donde:

V = grados de libertad h = número de parámetros del modelo k = número de intervalos de clase o celdas

(2.76)

Los valores de h para los modelos usados en el presente estudio se muestran en el siguiente cuadro:

CUADRO N° 2.1 NUMERO DE PARÁMETROS DE LOS MODELOS (h) MODELO PROBABILISTICO NORMAL LOGARITMICO NORMAL

EXPONENCIAL GAMMA

PEARSON TIPO III

PARAMETROS

NUMERO DE PARAMETROS

µ ,σ

2

µY ,σ Y

2

λ

1

α,β

2

x0 ,α , β

3

α,β

2

LOG-PEARSON TIPO III GUMBEL LOG-GUMBEL

b.

Asumir el nivel de significación de la prueba estadística. Generalmente

se

asume

α = 0.05 . Con el nivel de

significación asumido y grados de libertad se encuentra el valor de

c.

X t2

2 en la tabla de distribución de X .

Establecer el criterio de aceptación del ajuste. La aceptación del ajuste depende de: Sí

X c2 ≤ X 02.05

, se afirma que el modelo probabilístico es

adecuado para explicar el comportamiento de los datos muestrales. 44

Sí

X c2 > X 02.05

, se afirma que el modelo probabilístico no es

adecuado para explicar el comportamiento de los datos muestrales.

2.2.6. Tiempo de retorno Es el tiempo promedio en años entre eventos o sucesos que igualan o exceden a una magnitud dada, a este tiempo promedio se denomina como tiempo o periodo de retorno. Si X es una variable aleatoria, la probabilidad de igualar o exceder a un valor determinado x se puede expresar matemáticamente mediante la siguiente ecuación:

P( X ≥ x ) = p

(2.77)

Para cada observación o experimento existen dos posibilidades (proceso Bernoulli). • X ≥ x (éxito), su probabilidad es p • X < x (falla) su probabilidad es 1 − p Entonces p es la probabilidad de éxito y q = 1 − p es la probabilidad de fracaso en cada ensayo. Entonces el primer éxito ocurrirá en t-ésima intervalo de recurrencia si: •

Las primeras t-1 intervalos de recurrencias son fracasos que ocurre con un probabilidad de (1 − p )

•

t −1

Y la t-ésima intervalo de recurrencia es un éxito que ocurre con una probabilidad de p.

Al multiplicar las dos probabilidades de dos eventos independientes se obtiene la función masa de probabilidad de la distribución geométrica, por tanto la probabilidad de un intervalo de recurrencia de duración t de obtener el primer éxito es:

f ( t , p ) = (1 − p )

t −1

para t = 1,2, 

p

(2.78)

La ecuación (2.78) es la función masa de probabilidad de la distribución geométrica y está dada por la siguiente ecuación:

g ( x , p ) = p(1 − p )

x −1

para x = 1,2, 

(2.79)

Donde la variable aleatoria es x=t. En la ecuación (2.79) o en la ecuación (2.78) la función masa de probabilidad tiene un solo parámetro p. Aplicando el criterio de máxima verosimilitud, se puede hallar el valor esperado de la distribución geométrica. La función de verosimilitud está dada por la siguiente ecuación:

L = p (1 − p )

x1 −1

p (1 − p )

x 2 −1

 p (1 − p )

x n −1

n

= ∏ p (1 − p )

x i −1

n

( x i −1) = p n (1 − p ) ∑ i =1

i =1

(2.80)

El logaritmo de esta función está dad por la siguiente ecuación:

  n ( x −1)  x −1  n ∑ ( x i −1) ln( L ) = ln ∏ p(1 − p ) i  = ln p n (1 − p ) ∑ i =1  = ln p + ln(1 − p ) i =1  i =1   

( )

n

n

n

i =1

i =1

n

ln( L ) = n ln( p ) + ∑ ( x i − 1) ln(1 − p ) = n ln( p ) + ∑ ( x i − 1) ln(1 − p )  n  ln( L ) = n ln( p ) +  ∑ x i − n  ln(1 − p )  i =1 

(2.81)

Aplicando los criterios de la estimación parámetros mediante el método de máxima verosimilitud se obtienen las siguientes ecuaciones:

 n  ∂ ( ln( L ) ) = ∂ ( n ln( p ) ) + ∂   ∑ x i − n  ln(1 − p )  = 0 ∂p ∂p ∂p   i =1   ∂  n  ∂ n ( ln( p ) ) +  ∑ x i − n  ( ln(1 − p ) ) = 0 ∂p  i =1  ∂p 46

n

n ∂ ( ln( p ) ) = − ∑ x i − n  ∂ ( ln(1 − p ) ) ∂p  i =1  ∂p

1  n n   = − ∑ x i − n  i =1 p 1  n n   =  ∑ x i − n  p   i =1

 1  ∂  (1 − p )   1 − p  ∂p

 1     1 − p 

1− p 1  n  = ∑ xi − n  p n  i =1  n

1 p − = p p

∑x i =1

i

n

−

n n

n

1 = p x=

∑x i =1

i

n 1 p

(2.82)

Entonces el promedio o la esperanza de una distribución geométrica es 1/p. Donde p es la probabilidad de que un evento sea superado o igualado. En la ecuación (2.82) T es periodo o tiempo de retorno en años.

2.2.7. Relación entre el periodo de retorno y la probabilidad Sea X una variable aleatoria. La probabilidad de igualar o exceder a un valor determinado

xt

puede expresar matemáticamente mediante la siguiente

expresión (ver ecuación 2.82):

p = P( X ≥ xt )

(2.83)

E( t ) = T =

1 p

(2.84)

La ecuación (2.84) significa que la probabilidad de ocurrencia en ser igualado o excedido a un valor determinado de un evento en cualquier variable hidrológica es el inverso de su periodo de retorno, lo cual matemáticamente se representa mediante la siguiente ecuación:

P( X ≥ xt ) =

1 T

(2.85)

2.2.8. Relación entre el periodo de retorno y la función de distribución

acumulada Las ecuaciones de la función de distribución acumulada F ( x ) , se representan mediante la siguiente ecuación:

F ( x ) = P ( X < x ) = ∫ f ( x )dx x

−∞

(2.86)

La ecuación (2.86) expresa una probabilidad de que el suceso no ocurra. En este caso el periodo de retorno (T) se calcula mediante la siguiente expresión:

T =

1 1 1 = = P( x ≥ X ) 1 − P( X > x ) 1 − F ( x )

(2.87)

En la ingeniería los diseños se hacen para soportar los eventos máximos es decir que un determinado evento no sea superado, en un periodo de retorno determinado, por lo tanto los diseños se realizan para periodos de retorno dado por la ecuación (2.87). Es decir los valores de F ( x ) , se estiman para un tiempo de retorno dado mediante la siguiente ecuación:

F ( x) = 1 −

1 T

(2.88)

2.2.9. Modelo regional para las descargas máximas instantáneas 48

Hasta hace poco, los esfuerzos para pronosticar avenidas centraban su interés únicamente en la descarga máxima de la avenida, relacionando la ocurrencia del gasto pico con los parámetros meteorológicos y fisiográficos de una cuenca. En la actualidad se cuenta con métodos más completos que consideran la presencia de distintas condiciones meteorológicas. La principal utilidad de los métodos para la predicción de avenidas, radica en que al tener una idea anticipada de las avenidas que están por ocurrir, es posible aprovechar al máximo los mecanismos de control, como en el caso de presas. La avenida que más interesa conocer para la protección de las obras hidráulicas y asentamientos en los valles que atraviesa un río, es la máxima instantánea. Se entiende por forma de la avenida, la distribución de los porcentajes respecto al gasto máximo de los gastos correspondientes a los tiempos transcurridos a partir del momento en que se inicia la avenida, el período de retorno (Tr), sirve para conocer el gasto máximo con el cual se proyectarán las obras hidráulicas mencionadas a lo largo del curso, eligiendo el período de retorno más adecuado tomando en cuenta la vida útil de la obra, así como su aspecto económico. Para la estimación de una avenida máxima se dispone de variadísimos métodos de cálculo, los mismos que pueden ser agrupados en términos generales en orden de importancia creciente (garantía), como sigue 28: •

Métodos Empíricos

•

Métodos Históricos.

•

Métodos de Correlación Hidrológica de Cuencas.

•

Métodos Estadísticos o Probabilísticos.

El modelo regional para las descargas máximas instantáneas anuales se estimará mediante fórmulas empíricas. Este método es más antiguo y consiste en establecer un relación funcional entre la magnitud de una creciente y una o más variables de las que depende29. 28

Pérez Morales, GB et al. 2009. Hidrología Superficial (en línea). Consultado 20 de diciembre 2010. Disponible en http://www.fic.umich.mx/~bperez/HIDROLOGIA-SUPERF.pdf

29 Crochín, Sviatoslav. 1983. Diseño Hidráulico, pág.365.

El inconveniente principal que presentan los resultados obtenidos de la aplicación de las Fórmulas Empíricas, deriva del hecho de que éstas se están utilizando en cuencas distintas a aquellas en las que fueron deducidas, por lo que sus coeficientes deberían ser ajustados, lo cual resulta sumamente difícil. Sin embargo, debido a la correlación que existe entre la magnitud de cuenca y el gasto máximo, los resultados obtenidos con las fórmulas empíricas podrán servir para acotar la magnitud de las Avenidas de Proyecto. De preferencia se deben de utilizar todos aquellos que por sus restricciones, puedan ser utilizados y de sus resultados, evidentemente diferentes y algunos hasta absurdos, se concluirán los valores probables de las Avenidas de Proyecto, ya que estos métodos sirven como un marco de referencia. En el siguiente cuadro, se presenta un resumen de 15 fórmulas empíricas de los diversos tipos que a continuación se describen30: Las fórmulas empíricas pueden ser clasificadas en dos grandes grupos:

1.

Fórmulas que incluyen el concepto de probabilidad. Se consideran las mejores, por ejemplo Gete, Fuller, Creager, etc.

2.

Fórmulas que no incluyen el concepto de probabilidad. Pudiéndose dividir en los cuatro siguientes subgrupos: i.

Fórmulas de función monomio de la magnitud de la cuenca de la forma: , por ejemplo Rynes, Valentini, Myer, etc.

ii.

Fórmulas de función sencilla de la magnitud de la cuenca, es decir de la forma: , por ejemplo Pagliaro, Giandotti, Kuichling, etc. En gasto general sólo válidos para cuencas menores a 1000.

iii.

Fórmulas de la función compleja de la magnitud de la cuenca por ejemplo Creager, Hyderabad, Hoffman. Etc.

30 Pérez Morales, GB et al. 2009. Hidrología Superficial (en línea). Consultado 20 de diciembre 2010. Disponible en http://www.fic.umich.mx/~bperez/HIDROLOGIA-SUPERF.pdf.

50

iv.

Fórmulas en función de la magnitud de la cuenca y de la lluvia por ejemplo Posseni, Heras, etc.

CUADRO N° 2.2 RESUMEN DE FÓRMULAS EMPÍRICAS PARA LA ESTIMACIÓN DE AVENIDAS MÁXIMAS 31 N° AUTOR

1

FORMULA

PAIS

LIMITACIONES DE LAS FORMULAS Fórmula generalizada en

GETE

España.

2 MORGAN

ESCOCIA

C=1.000 Tr=500 años, C=0.464, Tr=50 años C=0.585, Tr=100años, C=0.215, Tr= 5 años.

3 FULLER

4

BRANSBY WILLIAMS

U.S.A

Areas mayores a 26 INGLATERRA

5

Grandes lluvias,400 FRANCIA

6 FRANCIA

7 RYVES

INDIA

VALENTINI

ITALIA

8

9

Areas menores de 1000 SCIMEMI

ITALIA

31 Pérez Morales, GB et al. 2009. Hidrología Superficial (en línea). Consultado 20 de diciembre 2010. Disponible en http://www.fic.umich.mx/~bperez/HIDROLOGIA-SUPERF.pdf

10

Cuencas montañosas BARATTA

ITALIA

GIANDOTTI

ITALIA

FORTI

ITALIA

KUICHLING

U.S.A

HYDERABAD

INDIA

CREAGER

U.S.A

11

Cuencas montañosas

12

Lluvias máximas de 200

13

Avenidas poco frecuentes

14

Río Tungobhadra

15

Avenidas normales

En las fórmulas anteriores se tiene: A= área de la cuenca en Tr= periodo de retorno en años Gasto de avenida máxima para un Tr, en valor medio de los gastos medios instantáneos q = valor medio de los gastos máximos diarios, en . gasto de avenida máxima, en Q= gasto de avenida normal, en

52

mm en 24 horas

3.

METODOLOGIA

3.1. Tipo y nivel de la investigación

Tipo: Explicativo, No experimental y de corte longitudinal pretérito. Es no experimental porque son fenómenos que no se pueden manipular. Es de corte longitudinal pretérito porque las descargas máximas instantáneas son fenómenos que han sucedido a través del tiempo.

Es de nivel explicativo porque es una investigación cuantitativa que estudia el comportamiento de las descargas máximas.

3.2.

Diseño de investigación El presente trabajo de investigación es por objetivos, el cual se desarrollará mediante el siguiente diagrama de flujo. M --------------- O ------------ A -------------- C M - muestra O - observacion A - analisis C - comparacion ( Ver EL SIGUIENTE CUADRO) CUADRO N° 3.1

DISEÑO DE INVESTIGACION

54

3.3. Población y muestra 3.3.1. Población

Para el presente estudio se considerara como población al total de las de descargas máximas instantáneas anuales de la cuenca del río Santa en cada estación de aforo (16 estaciones limnigraficas) 3.3.2. Muestra

Para el presente estudio se considera muestra el conjunto de datos recopilados de cada estación de aforo. Estos datos son considerados como muestreo aleatorio. Los datos a ser recopilados son las descargas máximas instantáneas correspondientes a los años y estaciones que se muestran en el cuadro N°3.2. 3.4. Definición y operacionalización de las variables

3.4.1.

Definición de variables i.

Variables independientes.

• Características físicas de la cuenca: Estas características

como el área, altitud media, o la altitud de la estación de aforo se obtienen de planos digitalizados por el Instituto Nacional Geográfico que están digitalizados en Autocad.

ii.

Variables dependientes. •

Descargas máximas instantáneas: Las descargas máximas instantáneas son datos aleatorios que se recopilan de cada estación de aforo de la cuenca en estudio. Estos datos son variables en el tiempo y en el espacio.

3.4.2. Operacionalización de variables

La operacionalización de las variables, se muestra en el cuadro N°3.3:

56

CUADRO N° 3.2 DISPONIBILIDAD DE INFORMACION HIDROMETRICA EN LA CUENCA DEL RIO SANTA

Fuente: Ministerio de Vivienda, Construcción y Saneamiento. Instituto Nacional de Desarrollo.2002. Plan de Gestión de Oferta de Agua en la Cuenca de Gestión Santa

CUADRO N° 3.3 OPERACIONALIZACIÓN DE VARIABLES DIMENSION DEFINICIÓN ES OPERACIONAL

VARIABLE S

DEFINICION CONCEPTUAL

Descargas

Es el caudal de valor alto de un río en comparación a las descargas habitualmente observadas. Es el caudal máximo en un año

máximas instantáneas anuales

y

Volumen por unidad de tiempo

descargas promedios

INDICADORES

Se obtienen del SENAMHI registrados para cada estación de aforo hidrográfico o del estudio hecho por HIDROSERVICE

anuales Area de la cuenca

Tiempo retorno

de

Es el área plana (proyección horizontal) incluida entre su divisoria topográfica

Unidades de superficie Unidades de tiempo en años

Intervalo de tiempo promedio, dentro del cual un evento de cierta magnitud, puede ser igualado o excedido por lo menos una vez en promedio.

se obtienen empleando Autocad a partir de los planos digitalizados del Instituto Geográfico Nacional. Se obtienen de las leyes de probabilidad de excedencias. Años

3.5. Técnicas e instrumentos 3.5.1. Técnicas

La técnica a emplear viene a ser la comparación de datos observados con datos generados con los modelos probabilísticos teóricos para eventos extremos. El modelo adecuado se definirá mediante la prueba estadística de ajuste de chi-cuadrado. El modelo regional se buscará correlacionando las descargas máximas instantáneas con los promedios de las descargas máximas instantáneas anuales y el periodo de retorno. El promedio de las descargas máximas instantáneas anuales se correlacionará con el área de la cuenca. 3.5.2. Instrumentos

Equipo

de

cómputo

implementado

con

software

especializado de análisis estadístico como el Excel, etc.

y

hardware

3.6. Procedimiento de recolección de datos a)

Recopilación de la información bibliográfica relacionado a los modelos probabilísticos y modelos empíricos que permiten interpretar el comportamiento de los eventos extremos.

b)

Recopilación de datos de descargas máximas instantáneas anuales de las estaciones de aforo en diferentes puntos de la cuenca del río Santa y de sus afluentes.

c)

Recopilación de los datos del área de cuenca aguas arriba de las estaciones de aforo.

3.7. Procesamiento de la información recopilada.

3.7.1

Algoritmo de cálculos a)

Procesar la información recopilada, buscando el modelo probabilístico adecuado para el conjunto de datos de cada estación de aforo. El ajuste del modelo con los datos observados se realizará a través de la prueba de ajuste de chi.cuadrado.

b)

Con el modelo probabilístico adecuado se generan descargas máximas instantáneas anuales para diferentes periodos de retorno.

c)

Definir modelos que relacionen el promedio de las descargas máximas instantáneas anuales en función del área de la cuenca.

d)

Se adimensionalizarán las descargas, dividiendo las descargas máximas instantáneas anuales generadas para diferentes periodos de retorno entre el promedio de las descargas máximas instantáneas anuales. La adimensionalización se realiza en cada estación.

e)

Los valores adimensionalizados se correlacionan con el periodo de retorno y el área de la cuenca. El grado de correlación se define mediante el coeficiente de correlación. Se genera el modelo regional para los valores adimensionalizados. Luego se

define el modelo regional para las descargas máximas instantáneas anuales en función del promedio de las descargas máximas instantáneas anuales, del periodo de retorno y del área de la cuenca. f)

Generar descargas máximas instantáneas anuales con el modelo regional.

g)

Comparar

las

descargas

máximas

instantáneas

anuales

correspondientes para diferentes periodos de retorno (acorde al modelo probabilístico adecuado) y las descargas máximas instantáneas anuales generadas mediante el modelo regional. 3.7.2

Diagrama de flujo El diagrama de flujo para obtener el modelo regional de las descargas máximas instantáneas anuales se muestran en la figura N°3.1.

3.8

Modelo regional de las descargas máximas instantáneas

El modelo regional de las descargas máximas instantáneas anuales se obtiene estimando los parámetros o constantes de la ecuación de Fuller. 3.8.1

Parámetros regionales de la ecuación o del modelo de Fuller Para definir las constantes regionales del modelo de Fuller que es un modelo para las descargas máximas instantáneas anuales de la cuenca del Río Santa se ha seguido el siguiente procedimiento. 1.

Encontrar los parámetros del modelo propuesto por Fuller dada por la siguiente ecuación: (3.1) (3.2) Donde:

Qmax,T =

descarga máxima instantánea anual para el periodo de retorno (T) en

Q MAX =

m3 / seg.

promedio de las descargas máximas instantáneas anuales en

m3 / seg.

FIGURA N° 3.1 ALGORITMO PARA OBTENER EL MODELO REGIONAL DE LAS DESCARGAS MAXIMAS INSTANTANEAS ANUALES-MODELO DE FULLER

OBTENCION DE MODELO REGIONALE LOS VALORES ADIMENSINALES DE LAS PERIODO DE RETOR

QUE RELACIONE LAS DESCARGAS CON EL

logaritmo en base a 10

T = periodo o tiempo de retorno en años parámetros de los modelos A = área de la cuenca en . Los valores de son estimadas mediante la ecuación (3.2) 2.

Generar los valores de según el modelo probabilístico adecuado.

3.

Mediante el análisis de regresión se estiman los parámetros de la ecuación (3.2) lo cual se decide por el coeficiente de correlación significativa.

4.

Generar los valores de mediante la ecuación (3.2)

5.

Se adimensionalizan las descargas mediante la siguiente relación: (3.3) Correlacionar los valores adimensionalizados de la ecuación (3.4)

6.

Los parámetros de la ecuación (3.4) se obtienen mediante el análisis de regresión, lo cual se decide por el coeficiente de correlación significativa.

7.

La ecuación (3.1) se puede expresar de la siguiente forma:

(3.5)

4. 4.1

RESULTADOS

Descripción de la cuenca del río Santa Políticamente la cuenca del río Santa está comprendida en los departamentos de Ancash (provincias de Recuay, Huaraz, Carhuaz, Yungay, Huaylas, Corongo, Pallasca y Santa) y la Libertad (provincias de Virú y Santiago de Chuco). Limita por el norte con parte de las Cuencas de Chao, Virú, Moche y Crisnejas; por el Sur con parte de la cuenca Lacramarca, Pativilca y Fortaleza, por el Este con la línea de cumbres de la Cordillera Blanca que constituye la divisoria de las aguas con la cuenca del Marañón, y por el oeste con las cuencas Nepeña, Casma, Huarmey y el océano Pacífico32. La cuenca del río Santa, tiene una altitud máxima: 6768 m.s.n.m que es el nevado del Huascarán, altitud media de 2100 m s.n.m (Caraz) y mínima de 0,000 en la desembocadura en el mar. El río Santa tiene una longitud aproximada de 294 km. La cuenca del río Santa está ubicada en el Norte del País

32 Ministerio de Vivienda, Construcción y Saneamiento. Instituto Nacional de Desarrollo.2002. Plan de Gestión de Oferta de Agua en la Cuenca de Gestión Santa, págs. 9, 11.

y forma parte de la Cordillera Blanca y Negra de la Vertiente Occidental del Pacífico. Sus coordenadas geográficas están comprendidas entre los paralelos 10º08´ y 8º04´ latitud Sur y los meridianos 78º38´ y 77º12´ longitud Oeste. La cuenca del río Santa tiene una extensión de 12200 km² de la cual el 83 %, o sea 10 200 km² corresponden a la cuenca húmeda, denominada así por encontrarse encima de los 2000 m.s.n.m, cota fijada como límite del área de escurrimiento superficial. La topografía es plana en la parte baja con pendientes menores al 15%, ondulado, empinado y/o escarpado en la cordillera de los Andes con pendientes mayores del 15%, en los valles interandinos de la parte media y alta existe áreas planas y colinosas con pendientes de 15% a 45%. En la parte baja tiene un valle, denominado Santa, muy importante por su contribución a la economía de la Región.

4.2

Información recopilada La información recopilada son las descargas máximas instantáneas anuales de las diferentes estaciones hidrográficas de la cuenca del río Santa procesadas por HIDROSERVICE. El área de las cuencas, la ubicación de las cuencas se muestran en los cuadros y planos siguientes:

PLANO N° 4.1 CUENCA DEL RIO SANTA Fuente: Ministerio de Vivienda, Construcción y Saneamiento. Instituto Nacional de Desarrollo.2002. Plan de Gestión de Oferta de Agua en la Cuenca de Gestión Santa.

Plano N° 4.2 Red de estaciones hidrometeorológicas de la cuenca del Río Santa. Fuente: ELECTROPERU

CUADRO N° 4.1 ESTADO ACTUAL DE LAS ESTACIONES HIDROMETRICAS DE LA CUENCA DEL RIO SANTA

Nombre

Tipo

Nomb.

Subcuenca

Río

Area km2

Ubi-Geog.

Ubi-UTM

Dpto

Prov

Dist

Inicio

Fin

Dura-

Estado_Ubic

Observaciones

ación

Cuenca

CONDORCERRO

LIMNIGRAFICA

SANTA

SANTA

10413

Lat

Long

Alt

Este

Norte

8º 39´ 40´´

78º 15´ 00´´

450

802689.66

9041508.95

ción

ANCASH

SANTA

SANTA

1956

2001

41

BUENA UBICACIÓN

CORREGIDO / DATOS SENAMHI E INADE SON LOS MISMOA, AQUELLOS DE LA DGA DISCREPAN

MUCHO.UTILIZAR SERIE INADEI 1956-1994. OPERATIVA

UBICACIÓN INCORRECTA EN EL

CHUQUICARA

LIMNIGRAFICA

SANTA

CHUQUICARA

3192

8º 37´ 48´´

78º 13´12´´

500

806019.95

9044928.35

ANCASH

PALLASCA

SANTA ROSA

1954

1997

36

PARALIZADA SIG PERO CONOCIDA

UBICACIÓN INCORRECTA EN EL

QUITARACSA

LIMNIGRAFICA

SANTA

QUITARACSA

QUITARACSA

383

8º 46´ 48´´

77º 51´ 00´´

1480

846656.65

9028003.91

ANCASH

HUAYLAS

HUALLANCA

1953

1999

43

OPERATIVA SIG PERO CONOCIDA

LOS CEDROS

LIMNIGRAFICA

SANTA

Q.LOS CEDROS

LOS CEDROS

112

8º 51´ 00´´

77º 49´ 12´´

1990

849896.07

9020225.55

ANCASH

HUAYLAS

HUALLANCA

1954

2001

44

BUENA UBICACIÓN

OPERATIVA

COLCAS

LIMNIGRAFICA

SANTA

Q. YURAMACYO

COLCAS

226

8º 55´ 12´´

77º 49´ 48´´

2050

848728.05

9012484.53

ANCASH

HUAYLAS

STA. CRUZ

1954

1998

42

BUENA UBICACIÓN

OPERATIVA

BALSA

LIMNIGRAFICA

SANTA

SANTA

5124

8º 53´ 38´´

77º 50´ 24´´

1850

847651.38

9015384.98

ANCASH

HUAYLAS

HUALLANCA

1954

2001

43

BUENA UBICACIÓN

OPERATIVA

CORREGIDO / DATOS IGUALES. UTILIZAR SERIE SENAMHI

PUENTE LIMNIMETRICA

SANTA

SANTA

11910

8º 57´ 58´´

78º 37´ 12´´

18

761719.06

9008035.89

ANCASH

SANTA

SANTA

1931

1997

67

BUENA UBICACIÓN

1931-1955. AGREGAR SERIE INADE 1956-1994 Y SERIE

CARRETERA DGA 1995-1997. PARALIZADA

UBICACIÓN INCORRECTA EN EL

PARON

LIMNIGRAFICA

SANTA

PARON

8º 58´ 48´´

77º 40´ 48´´

4100

865190.7

9005695.15

ANCASH

HUAYLAS

CARAZ

1953

1995

43

EN PROCESO DE REACTIVACION SIG PERO CONOCIDA

LLANGANUCO

LIMNIGRAFICA

SANTA

CHANCOS

LIMNIGRAFICA

SANTA

LLANGANUCO

9º 4´ 12´´

77º 39´ 00´´

3850

868403.4

8995698.52

ANCASH

YUNGAY

YUNGAY

1953

1997

43

9º 19´ 12´´

77º 33´ 00´´

2940

879148.85

8967907.56

ANCASH

CARHUAZ

MARCARA

1953

1999

43

BUENA UBICACIÓN

EN PROCESO DE REACTIVACION

UBICACIÓN INCORRECTA EN EL

Q.HONDA

QDA. HONDA

210

EN PROCESO DE REACTIVACION SIG PERO CONOCIDA

UBICACIÓN INCORRECTA EN EL

QUEROCOCHA

LIMNIGRAFICA

SANTA

QUEROCOCHA

9º 40´ 12´´

77º 30´ 00´´

3980

884260

8929088.07

ANCASH

RECUAY

TICPAMPA

1953

1998

43

EN PROCESO DE REACTIVACION SIG PERO CONOCIDA

UBICACIÓN INCORRECTA EN EL

PACHACOTO

LIMNIGRAFICA

SANTA

PACHACOTO

PACHACOTO

198

9º 49´ 48´´

77º 24´ 00´´

3700

895066.39

8911250.23

ANCASH

RECUAY

CATAC

1953

1997

43

PARALIZADA SIG PERO CONOCIDA

RECRETA

LIMNIGRAFICA

SANTA

SANTA

10º 1´ 48´´

77º 19´ 48´´

3990

902514.9

8889010.92

ANCASH

BOLOGNESI

CHIQUIAN

1952

1996

44

BUENA UBICACIÓN

PARALIZADA

MANTA

LIMNIGRAFICA

SANTA

MANTA

MANTA

543

8º 36´ 00´´

77º 52´ 48´´

1920

843515.6

9047960.12

ANCASH

CORONGO

LA PAMPA

1970

1997

28

BUENA UBICACIÓN

PARALIZADA

OLLEROS

LIMNIGRAFICA

SANTA

OLLEROS

OLLEROS

175

9º 40´ 12´´

77º 27´ 00´´

3550

889757.6

8929031.21

ANCASH

HUARAZ

OLLEROS

1970

1998

26

BUENA UBICACIÓN

EN PROCESO DE REACTIVACION

QUILLCAY

LIMNIGRAFICA

SANTA

QUELLCAY

QUILLCAY

249

9º 31´ 12´´

77º 31´ 12´´

3052

882229.73

8945724.05

ANCASH

HUARAZ

HUARAZ

1970

1998

26

UBICACIÓN INCORRECTA EN EL

EN PROCESO DE REACTIVACION

HUANCA

SIG PERO CONOCIDA

CHUQUICARA

LIMNIGRAFICA

SANTA

TABLACHACA

8º 40´ 12´´

78º 15´ 00´´

2300

802682.53

9040525.14

MIRAFLORES

LIMNIGRAFICA

SANTA

SANTA

9º 29´ 24´´

78º 31´ 48´´

3000

881163.11

8949057.74

ANCASH

HUARAZ

HUARAZ

1987

1998

9

BUENA UBICACIÓN

PARALIZADA

BUENA UBICACIÓN

PARALIZADA

Fuente: Ministerio de Vivienda, Construcción y Saneamiento. Instituto Nacional de Desarrollo.2002. Plan de Gestión de Oferta de Agua en la Cuenca de Gestión Santa.

CUADRO N° 4.2 DESCARGAS MAXIMMAS INSTANTANEAS ANUALES DE LA CUENCA DEL RIO SANTA ESTACION

AÑO HIDROLOG ICO

PACHACO

QUEROCO

TO

CHA

RECRETA

LLANGAN OLLEROS

QUILLCAY

LOS

CHANCOS

PARON

QUITARAC

COLCAS

UCO

LA BALSA CEDROS

CHUQUICA MANTA

CONDORCERRO

SA

RA

1 8. 1953

1954

4

27

6.94

41

29

9.9

2.95

15.82

13.71

750.7

60.4

180

7.95

7.2

2.54

17.2

8.58

1093.1

64

188

23

6.5

6.2

2.34

18.4

8.7

574.54

55.36

26.3

6.77

14

6.57

376.04

60.24

3 8. 1954

1955

2 2 3.

1955

1956

5 2

1956

1957

3

37

8.8

119

2 1. 1957

1958

5

112. 24.2

6.39

33.6

5.88

3.25

13.67

11.68

627.68

65.72

86

3 1958

1959

8

23.5

6.26

28.5

6.4

3.75

14.72

11.55

257.6

25.4

8.9

34.6

7.2

2.75

14.2

5.15

592

26.6

8

34.6

4.2

3.25

22.74

15.07

700

36

9.4

36.3

8.8

2.75

27.4

17.96

34.96

7.56

40.5

8.28

2.45

23.4

14.24

24.4

5.88

27.7

5.45

3.35

16.85

15.88

9.1

29.7

4.45

1.86

15.72

8

23.6

6.52

22.3

5.45

2.37

2

34

9.8

32.3

5.93

2.37

69.44

887.5

2 5. 7 1959

1960

8

1110

2 1. 4 1960

1961

8

66.05

1330

3 7. 1961

1962

6

45.2

3 4. 1962

1963

1

562

60

1260

570

45

588

12.13

435

33.34

18.7

9.1

324.8

38.6

28.5

17.19

830

53

2 7. 0 1963

1964

1 2 1. 9

1964

1965

7 1 7. 0

1965

1966

1966

1967

9.

482 273

925

0 9 8. 1967

1968

8

93. 17.9

4.93

21.22

4.45

2.2

18.7

8.41

218

38.4

18.16

3.98

27.2

5.45

2.91

27.2

11.04

272

84.4

33

6.87

28.9

5.85

26.4

12.81

535.6

31.28

6.7

60

5.86

3

403.5

1 3. 1968

1969

2

93.2

922

3 9. 1969

1970

1970

1971

9

1186

4 0

270 24

3.06

.8

5 3. 5 1971

1972

5

266 57

8.9

38.4

31.1

37.22

5.57

2.85

10.25

404

63.2

61.15

23.58

5.8

28.8

19.68

34

8.63

3.53

41

7.48

42

31.16

4.45

48

.5

22.67

19

392.2

59.8

41.56

.6

2.36

34

9.5

688.6

81.6

75.4

230

6.65

2.19

39

16

534.4

77

74

600

5.98

2.81

19

10.92

540

54.6

51.48

328

2 6. 9 1972

1973

6

285

4 0. 3 1973

1974

5 2 7. 6

1974

1975

5

18.15

10.72

48

26

1975

1976

3

21.68

10.21

47.84

29

900

1. 2 6

.6

2 5. 1 1976

1977

9

26.7

8.97

30

5.86

2.83

26

10

458.3

48.14

60

396

1130

1 1. 1977

1978

9

95. 21.5

8.13

26.42

17.04

45.72

6.4

3.11

30

7.88

360.8

40.84

17.92

2

2 3. 1978

1979

1

291 27

8.96

37.76

26.5

44

6.76

4.23

24.4

21.56

618

62

43.78

.6

730

6. 1 1979

1980

7

110. 17.16

4.89

31.88

56

3.88

11.62

5.56

52

9.4

30.8

40.3

42.4

10.78

33.4

36.2

205.5

30.4

8.97

3.82

23.53

11.16

44.2

8.97

3.18

13.76

8.3

780

42.7

36.44

8

336.6

5 4. 1980

1981

7

72.2

440

3 8. 1981

1982

188

8

.74

2 8 PROMEDIO

. 2

QMAX

2

35.3

248

28.28

7.68

9

28.42

36.24

6.57

2.92

21.39

11.63

526.96

56.60

55.49

.33

870.76

28

29

11

9

25

28

27

27

27

26

26

10

18

14

2 N

9

1 1. 9

134

5 S

9

208.31 10.012

1.789

8.145

7.307

9.589

1.580

0.586

6.866

4.123

4

.39 14.492

21.947

1

321.952

9. 3

104

2 alfa

8

162.48 7.809

1.395

6.353

5.699

7.479

1.232

0.457

5.356

3.216

5

.82 11.304

17.119

5

251.122

2 2. 8

187

3 beta

4

31.72 23.779

6.874

6

18.30 25.136

31.930

5.860

2.660

3

433.21 9.775

5

.85 50.080

45.617

7

725.879

Fuente: Electroperú - Hidroservice. 1985. Estudio Integral para el Aprovechamiento de la cuenca del río Santa. Lima, PE, Se. anexo G. 145 p.

CUADRO N° 4.3 AREA DE LAS CUENCAS Y EL PROMEDIO DE LAS DESCARGAS MAXIMAS INSTANTANEAS ANUALES DE LA CUENCA DEL RIO SANTA QPROM MAX OBS ESTACION

SUBCUENCA

AREA (KM2)

(M3/S)

CONDORCERRO

SANTA

10413

870.76

CHUQUICARA

TABLACHACA

3192

248.33

QUITARACSA

QUITARACSA

383

56.60

LOS CEDROS

LOS CEDROS

112

11.63

COLCAS

226

21.39

BALSA

SANTA

5124

526.96

PARON

PARON

53.3

2.92

LLANGANUCO

LLANGANUCO

89.4

6.57

CHANCOS

QDA. HONDA

210

36.24

QUEROCOCHA

62.7

7.68

PACHACOTO

198

28.28

RECRETA

SANTA

289.5

28.22

MANTA

MANTA

543

55.49

OLLEROS

OLLEROS

175

11.63

QUILLCAY

QUILLCAY

249

28.42

COLCAS

QUEROCOCHA PACHACOTO

4.3

Modelo probabilístico adecuado El modelo probabilístico adecuado como se ha indicado ha sido definido mediante la prueba de bondad de ajuste de chi-cuadrado, cuyos resultados se muestran en el cuadro N 4.4. CUADRO N° 4.4 RESULTADOS DE LA PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE CHI-CUADRADO MODELO

ESTACION RECRETA

NORMAL SI

LOG—NORMAL SI

EXPONENCIAL N0

GUMBEL SI

GAMMA NO

PEARSON TIPO III

NO

PACHACOTO

SI

SI

N0

SI

NO

NO

QUEROCOCHA

SI

SI

N0

SI

SI

NO

OLLEROS

SI

SI

N0

SI

SI

SI

QUILLCAY

SI

SI

N0

SI

SI

NO

CHANCOS

SI

SI

N0

SI

SI

SI

LLANGANUCO

N0

N0

N0

SI

SI

SI

PARON

SI

SI

N0

SI

SI

NO

COLCAS

SI

SI

N0

SI

SI

NO

LOS CEDROS

SI

SI

N0

SI

SI

NO

LA BALSA

SI

SI

N0

SI

SI

NO

QUITARACSA

SI

SI

N0

SI

SI

NO

MANTA

SI

SI

N0

SI

SI

NO

CHUQUICARA

SI

SI

N0

SI

SI

NO

CONDORCERRO

SI

SI

N0

SI

SI

NO

Del análisis estadístico de los datos de las descargas máximas instantáneas anuales se asume que el modelo probabilístico adecuado es el modelo Gumbel. Los cálculos respectivos se muestran en el anexo A-1.

4.3.1 Modelo regional para las descargas máximas

a.i.

Estimación de parámetros del modelo de Fuller Siguiendo la metodología descrita los parámetros estimas de la ecuación de Fuller son: (4.1)

76

(4.2) Donde: descarga máxima instantánea anual en para un periodo de retorno de T años. promedio de las descarga máximas instantáneas anuales en área de la cuenca en periodo de retorno en años. La correlación existente entre el caudal promedio de las máximas con el área de la cuenca de muestra en la figura y cuadro siguiente: CUADRO N° 4.5 CAUDALES PROMEDIOS DE LAS MAXIMAS INTANTANTANEAS OBSERVADOS Y ESTIMADAS

SUBCUENC ESTACION A

AREA (KM2)

QPROM MAX OBS

QPROMAX EST

A

CHUQUICARA

TABLACHACA

3192

10188864

1.05774E+21

248.33

248.3

QUITARACSA

QUITARACSA

383

146689

3.1564E+15

56.60

45.5

LOS CEDROS

LOS CEDROS

112

12544

1.97382E+12

11.63

11.7

COLCAS

COLCAS

226

51076

1.33245E+14

21.39

27.8

PARON

PARON

53.3

2840.89

22927845901

2.92

2.5

LLANGANUCO

LLANGANUCO

89.4

7992.36

5.10535E+11

6.57

8.2

CHANCOS

QDA. HONDA

210

44100

8.57661E+13

36.24

25.7

QUEROCOCHA

QUEROCOCHA

62.7

3931.29

60758248385

7.68

4.0

PACHACOTO

PACHACOTO

198

39204

6.02547E+13

28.28

24.1

RECRETA

SANTA

289.5

83810.25

5.88696E+14

28.22

35.5

MANTA

MANTA

543

294849

2.5633E+16

55.49

58.5

OLLEROS

OLLEROS

175

30625

2.87229E+13

11.63

20.9

249

62001

2.3834E+14

28.42

30.7

QUILLCAY

QUILLCAY

El coeficiente de correlación de la ecuación (4.2) es: 0.9953339 para Como la ecuación 4.2 es adecuada. En la siguiente figura se muestran los valores de las descargas máximas instantáneas obtenidas mediante el modelo probabilístico de Gumbel ( y los valores de las descargas máximas instantáneas obtenidas mediante el modelo regional de encontrado que es una modificación del modelo de Fuller (ecuación 4.1) El coeficiente de correlación de las descargas adimensionalizadas y ) es: 0.647366393 para Como la ecuación 4.1 es adecuada.

78

5

DISCUSION

1. Al realizar la prueba de bondad de ajuste de chi –cuadrado se ha encontrado datos

faltantes en algunas estaciones hidrográficas, en estos casos se ha considerado como registro completo, considerando sólo los datos registrados. 2. En el análisis de ajuste de modelos se ha encontrado que el modelo probabilístico

de Gumbel es el modelo adecuado para explicar el comportamiento de las descargas máximas instantáneas adecuadas de la cuenca del río Santa. 3. En el análisis de correlación de los promedios de las descargas máximas

instantáneas anuales con las áreas de las cuencas se ha descartado las cuencas aguas arriba de las estaciones hidrográficas de la Balsa y Condorcerro ubicadas en el cauce del río Santa, porque al considerar estos datos se cometen errores de sobrestimación de descargas. 4. El periodo de retorno considerado como máximo es de 100 años dado que el

modelo

regional

es

adecuado

para

calcular

caudales

de

diseño

para

infraestructuras medianas. 5. Se ha modificado el modelo original de Fuller, agregando un factor de influencia

directa que es el área de la cuenca.

6. El modelo regional encontrado es válido para periodos de retorno hasta de 100

años y áreas de las cuencas comprendidas entre 53 y 3192

6

6.1

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Conclusiones •

El modelo probabilístico de Gumbel es el modelo adecuado para explicar el comportamiento de las descargas máximas instantáneas anuales de la cuenca del río Santa.

•

El modelo regional modificado de Fuller permite hallar las descargas máximas instantáneas anuales en cualquier punto de la cuenca del río Santa, para un periodo de retorno fijado por el proyectista.

•

El modelo regional de Fuller es aplicado para cuencas con área comprendas entre 53 y 3192 y para periodo de retorno de 100 años como máximo.

•

Para estimar las descargas máximas anuales en la cuenca del río Santa es necesario conocer sólo el área de la cuenca y fijar el periodo de retorno de diseño.

6.2

80

Recomendaciones

•

Realizar trabajos relacionados con la obtención de las descargas máximas instantáneas anuales para mayor número de años dado algunas estaciones de aforo siguen registrando datos o que muchos de ellos han funcionado hasta el año 2000.

•

No usar el modelo de Fuller modificado fuera de los rangos indicados del área y del tiempo de retorno. Es decir usar este modelo para áreas cuenca de 53 a 3192 y para periodos de retorno de hasta 100 años como máximo.

7 1.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Colegio de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. 1997. Avenida de Proyecto. Madrid, ES. Vol. 4. 138 p.

2.

Crochín, Sviatoslav. 1983. Diseño Hidráulico, EC, 2 ed. S.l. S.e. 429 p.

3.

Electroperú - Hidroservice. 1985. Estudio Integral para el Aprovechamiento de la cuenca del río Santa. Lima, PE, Se. anexo G. 145 p.

4.

Instituto Tecnológico de Costa Rica. Departamento de Ingeniería Agrícola. 1980. Estudios hidrológicos. Cartago, CR, S.e, 531p.

5.

Mejía Marcacuzco, JA. 1999. Análisis de Máximas Avenidas. Universidad Nacional Agraria La Molina. Publidrat. Lima, PE. S.e. 28 p.

6.

Ministerio de Vivienda, Construcción y Saneamiento. Instituto Nacional de Desarrollo.2002. Plan de Gestión de Oferta de Agua en la Cuenca de Gestión Santa. Lima PE, S.e. 2 volúmenes.

7.

Monsalve Sáenz, G. 1995. Hidrología en la Ingeniería. Santa Fé de Bogotá, CO. Tercer Mundo Editores. 358 p.

8.

Pérez Morales, GB y Rodríguez Castro, A. 2009. Hidrología Superficial (en línea). Consultado

20

de

diciembre

2010.

Disponible

en

http://www.fic.umich.mx/~bperez/HIDROLOGIA-SUPERF.pdf. 9.

Servicio Nacional de Meteorologia e hidrologia, Instituto Italo – Latinoamericano y la Universidad Nacional de Ingenieria.1982 Estudio de la Hidrología del Perú. Lima, PE. S.e. Volumen III . 111 p.

10.

Ven, TC; Maidment, DR; Ways, LW. 1994. Hidrología Aplicada. Santa Fé de Bogotá, CO.McGraw-Hill Interamicana. 584 p.

11.

Varas C, E y Bois, P. Hidrología Probabilística. CL. Universidad Católica de Chile. 156 p.

12.

Villón Béjar, M. 2002. Hidrología. Lima, PE. 2ed. Villón. 433 p.

13.

Villón Béjar, M. 2002. Hidrología Estadística. Lima, PE. Villón. 377 p.

82

ANEXO A

CUADRO N  A-1 PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE CHI - CUADRADO MODELO PROBABILISTICO NORMAL

α =0.05 G.L. =2.00 Xt2 = 5.99 ESTACION RECRETA L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

18.14575382

5

5.8

0.110344828

25.18446908

7

5.8

0.248275862

31.24587574

6

5.8

0.006896552

38.28459101

5

5.8

0.110344828

85.55979172

6

5.8

0.006896552 0.482758621 Se Ajusta

ESTACION PACHACOT O L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

19.85434755

5

5.6

0.064285714

25.74678514

9

5.6

2.064285714

30.82107201

5

5.6

0.064285714

36.71350959

5

5.6

0.064285714

76.2897901

4

5.6

0.457142857 2.714285714 Se Ajusta

ESTACION QUEROCOC HA

84

L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

6.172664089

5

5.8

0.110344828

7.225597459

8

5.8

0.834482759

8.132333575

5

5.8

0.110344828

9.185266946

5

5.8

0.110344828

16.25724451

6

5.8

0.006896552 1.172413793 Se Ajusta

ESTACION OLLEROS L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

28.53323057

2

2.2

0.018181818

33.32687839

3

2.2

0.290909091

37.45493979

1

2.2

0.654545455

42.24858761

3

2.2

0.290909091

74.4448982

2

2.2

0.018181818 1.272727273 Se Ajusta

ESTACION QUILLCAY L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

22.27223725

2

1.8

0.022222222

26.57274718

2

1.8

0.022222222

30.2761417

2

1.8

0.022222222

34.57665164

1

1.8

0.355555556

63.46082476

2

1.8

0.022222222 0.444444444 Se Ajusta

ESTACION CHANCOS L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

28.17127571

4

5

0.2

33.81482287

7

5

0.8

38.67477713

6

5

0.2

44.31832429

4

5

0.2

82.22294386

4

5

0.2 1.6 Se Ajusta

ESTACION LLANGANU CO L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

5.2409879

4

5.6

0.457142857

6.170741604

10

5.6

3.457142857

6.971401253

5

5.6

0.064285714

7.901154957

2

5.6

2.314285714

14.14580207

7

5.6

0.35 6.642857143 No Se Ajusta

ESTACION PARON

86

L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

2.430711002

7

5.4

0.474074074

2.775322285

4

5.4

0.362962963

3.072085123

6

5.4

0.066666667

3.416696405

5

5.4

0.02962963

5.731261907

5

5.4

0.02962963 0.962962963 Se Ajusta

ESTACION COLCAS L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

15.61147675

6

5.4

0.066666667

19.65258677

8

5.4

1.251851852

23.13259842

2

5.4

2.140740741

27.17370843

5

5.4

0.02962963

54.31563418

6

5.4

0.066666667 3.555555556 Se Ajusta

ESTACION LOS CEDROS L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

8.158605715

4

5.4

0.362962963

10.58543529

8

5.4

1.251851852

12.67530545

6

5.4

0.066666667

15.10213503

4

5.4

0.362962963

31.40182198

5

5.4

0.02962963 2.074074074 Se Ajusta

ESTACION LA BALSA L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

351.5584812

5

5.2

0.007692308

474.164793

6

5.2

0.123076923

579.7475147

6

5.2

0.123076923

702.3538265

5

5.2

0.007692308

1525.833365

4

5.2

0.276923077 0.538461538 Se Ajusta

ESTACION QUITARACS A

88

L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

44.39897444

6

5.2

0.123076923

52.92853011

3

5.2

0.930769231

60.27377758

6

5.2

0.123076923

68.80333325

6

5.2

0.123076923

126.0916935

5

5.2

0.007692308 1.307692308 Se Ajusta

ESTACION MANTA L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

37.01379558

2

2

0

49.93111121

2

2

0

61.05488879

2

2

0

73.97220442

1

2

0.5

160.7307486

3

2

0.5 1 Se Ajusta

ESTACION CHUQUICAR

A L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

135.1781157

5

3.6

0.544444444

214.2757667

3

3.6

0.1

282.3909

4

3.6

0.044444444

361.4885509

3

3.6

0.1

892.7442112

3

3.6

0.1 0.888888889 Se Ajusta

ESTACION CONDORCE RRO L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

599.6782599

4

2.8

0.514285714

789.167559

1

2.8

1.157142857

952.3467267

4

2.8

0.514285714

1141.836026

2

2.8

0.228571429

2414.532009

3

2.8

0.014285714 2.428571429 Se Ajusta

90

CUADRO N A-2 PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE CHI - CUADRADO MODELO PROBABILISTICO LOGARITMO NORMAL α =0.05 G.L. =2.00 Xt2 = 5.99 ESTACION RECRETA L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

16.62921739

4

5.8

0.55862069

22.35982507

5

5.8

0.110344828

28.85424176

8

5.8

0.834482759

38.79772469

6

5.8

0.006896552

283.4779101

6

5.8

0.006896552 1.517241379 Se Ajusta

ESTACION PACHACOT

O L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

20.48496589

5

5.6

0.064285714

24.74325805

8

5.6

1.028571429

29.11320494

6

5.6

0.028571429

35.16508383

4

5.6

0.457142857

125.0276732

5

5.6

0.064285714 1.642857143 Se Ajusta

ESTACION QUEROCOC HA L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

6.057925569

5

5.8

0.110344828

7.009948501

8

5.8

0.834482759

7.948845381

2

5.8

2.489655172

9.198032581

8

5.8

0.834482759

24.51641195

6

5.8

0.006896552 4.275862069 Se Ajusta

ESTACION OLLEROS

92

L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

28.46292248

2

2.2

0.018181818

32.59261832

3

2.2

0.290909091

36.62597992

1

2.2

0.654545455

41.94005674

2

2.2

0.018181818

104.1893923

3

2.2

0.290909091 1.272727273 Se Ajusta

ESTACION QUILLCAY L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

21.9014535

2

1.8

0.022222222

25.70660916

0

1.8

1.8

29.50915457

3

1.8

0.8

34.63607123

2

1.8

0.022222222

101.5791876

2

1.8

0.022222222 2.666666667 Se Ajusta

ESTACION CHANCOS L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

28.25677894

4

5

0.2

32.88072329

6

5

0.2

37.46461742

7

5

0.8

43.5953341

2

5

1.8

120.6447076

6

5

0.2 3.2 Se Ajusta

ESTACION LLANGANU CO L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

5.23571688

4

5.6

0.457142857

6.020803232

10

5.6

3.457142857

6.790592689

5

5.6

0.064285714

7.80882988

2

5.6

2.314285714

19.95854057

7

5.6

0.35 6.642857143 No Se Ajusta

ESTACION PARON L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

2.422730781

7

5.4

0.474074074

2.72597022

2

5.4

2.140740741

3.017351088

7

5.4

0.474074074

3.39501577

6

5.4

0.066666667

7.496030064

5

5.4

0.02962963 3.185185185 Se Ajusta

94

ESTACION COLCAS L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

15.64742701

6

5.4

0.066666667

18.82898476

7

5.4

0.474074074

22.08257701

1

5.4

3.585185185

26.57258

7

5.4

0.474074074

92.11468731

6

5.4

0.066666667 4.666666667 Se Ajusta

ESTACION LOS CEDROS L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

8.094091448

4

5.4

0.362962963

9.995709828

6

5.4

0.066666667

11.98765989

7

5.4

0.474074074

14.80402965

4

5.4

0.362962963

61.08194672

6

5.4

0.066666667 1.333333333 Se Ajusta

ESTACION LA BALSA L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

341.5325709

5

5.2

0.007692308

437.350187

5

5.2

0.007692308

541.1462654

4

5.2

0.276923077

692.9658854

7

5.2

0.623076923

3647.875736

5

5.2

0.007692308 0.923076923 Se Ajusta

ESTACION QUITARACS A L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

43.5409909

6

5.2

0.123076923

51.08054458

3

5.2

0.930769231

58.61147461

3

5.2

0.930769231

68.76063175

9

5.2

2.776923077

200.9899331

5

5.2

0.007692308 4.769230769 Se Ajusta

96

ESTACION MANTA L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

34.2698971

1

2

0.5

45.18563668

3

2

0.5

57.33425026

1

2

0.5

75.5965095

4

2

2

484.2442918

1

2

0.5 4 Se Ajusta

ESTACION CHUQUICAR A L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

136.6247091

5

3.6

0.544444444

188.5037137

2

3.6

0.711111111

248.7144257

2

3.6

0.711111111

343.1560309

6

3.6

1.6

2981.185806

3

3.6

0.1 3.666666667 Se Ajusta

ESTACION CONDORCE RRO L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

556.6748454

3

2.8

0.014285714

720.2086267

1

2.8

1.157142857

899.0503313

2

2.8

0.228571429

1163.163397

5

2.8

1.728571429

6560.261478

3

2.8

0.014285714 3.142857143 Se Ajusta

CUADRO N A-3 PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE CHI - CUADRADO MODELO PROBABILISTICO EXPONENCIAL α =0.05 G.L. =3.00 Xt2 = 7.82

98

ESTACION RECRETA L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

6.296033773

1

5.8

3.972413793

14.41303305

3

5.8

1.351724138

25.85330098

10

5.8

3.04137931

45.41056819

13

5.8

8.937931034

324.839177

2

5.8

2.489655172 19.79310345 No Se Ajusta

ESTACION PACHACOT O L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

6.311376267

0

5.6

5.6

14.44815546

0

5.6

5.6

25.91630161

14

5.6

12.6

45.52122696

12

5.6

7.314285714

325.6307615

2

5.6

2.314285714 33.42857143 No Se Ajusta

ESTACION QUEROCOC HA L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

1.713511636

0

5.8

5.8

3.92261235

0

5.8

5.8

7.036164934

13

5.8

8.937931034

12.35881823

16

5.8

17.93793103

88.40735765

0

5.8

5.8 44.27586207 No Se Ajusta

ESTACION OLLEROS L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

7.897253139

0

2.2

2.2

18.07858321

0

2.2

2.2

32.42836199

5

2.2

3.563636364

56.95947085

6

2.2

6.563636364

407.4528985

0

2.2

2.2 16.72727273 No Se Ajusta

ESTACION QUILLCAY L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

6.342731477

0

1.8

1.8

14.51993456

0

1.8

1.8

26.045055

3

1.8

0.8

45.74737853

6

1.8

9.8

327.2485103

0

1.8

1.8 16 No Se Ajusta

100

ESTACION CHANCOS L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

8.087793389

0

5

5

18.51477257

0

5

5

33.21077432

10

5

5

58.33375525

14

5

16.2

417.2836809

1

5

3.2 34.4 No Se Ajusta

ESTACION LLANGANU CO L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

1.466292215

0

5.6

5.6

3.356671661

0

5.6

5.6

6.021011848

14

5.6

12.6

10.57573148

14

5.6

12.6

75.65225558

0

5.6

5.6 42 No Se Ajusta

ESTACION PARON L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

0.652405627

0

5.4

5.4

1.493502768

0

5.4

5.4

2.678962606

9

5.4

2.4

4.705519585

18

5.4

29.4

33.66038282

0

5.4

5.4 48 No Se Ajusta

ESTACION COLCAS L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

4.773619083

0

5.4

5.4

10.92788446

0

5.4

5.4

19.60183432

14

5.4

13.6962963

34.43004956

12

5.4

8.066666667

246.291324

1

5.4

3.585185185 36.14814815 No Se Ajusta

ESTACION

102

LOS CEDROS L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

2.595242148

0

5.4

5.4

5.941091199

2

5.4

2.140740741

10.65680058

10

5.4

3.918518519

18.71835901

13

5.4

10.6962963

133.8995872

2

5.4

2.140740741 24.2962963 No Se Ajusta

ESTACION LA BALSA L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

117.5868676

0

5.2

5.2

269.182706

3

5.2

0.930769231

482.8450399

8

5.2

1.507692308

848.1032122

14

5.2

14.89230769

6066.806923

1

5.2

3.392307692 25.92307692 No Se Ajusta

ESTACION QUITARACS A L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

12.63018248

0

5.2

5.2

28.91331972

0

5.2

5.2

51.86311268

9

5.2

2.776923077

91.09604289

17

5.2

26.77692308

651.6448655

0

5.2

5.2 45.15384615 No Se Ajusta

ESTACION MANTA L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

12.38290509

0

2

2

28.34724634

1

2

0.5

50.84772158

3

2

0.5

89.31253807

5

2

4.5

638.8867728

1

2

0.5 8 No Se Ajusta

ESTACION CHUQUICAR A L.C.S.

104

F.O.

F.E.

Xc2

55.41398191

0

3.6

3.6

126.8550299

5

3.6

0.544444444

227.5455317

3

3.6

0.1

399.6770816

8

3.6

5.377777778

2859.043157

2

3.6

0.711111111 10.33333333 No Se Ajusta

ESTACION CONDORCE RRO L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

194.3038412

0

2.8

2.8

444.8050606

2

2.8

0.228571429

797.8666997

3

2.8

0.014285714

1401.429558

9

2.8

13.72857143

10024.96208

0

2.8

2.8 19.57142857 No Se Ajusta

CUADRO N A-4 PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE CHI - CUADRADO MODELO PROBABILISTICO GAMMA α =0.05 G.L. =2.00 Xt2 = 5.99 ESTACION RECRETA L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

25.71429088

6

5.8

0.006896552

26.22842391

7

5.8

0.248275862

26.8496643

1

5.8

3.972413793

32.94806783

5

5.8

0.110344828

105.9328207

10

5.8

3.04137931 7.379310345 No Se Ajusta

ESTACION PACHACOT O L.C.S.

106

F.O.

F.E.

Xc2

20.90905641

5

5.6

0.064285714

22.10683507

2

5.6

2.314285714

23.03435821

1

5.6

3.778571429

30.12185304

11

5.6

5.207142857

92.14193759

9

5.6

2.064285714 13.42857143 No Se Ajusta

ESTACION QUEROCOC HA L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

5.952802895

5

5.8

0.110344828

6.918740503

7

5.8

0.248275862

7.826806082

3

5.8

1.351724138

8.971805236

7

5.8

0.248275862

17.70067032

7

5.8

0.248275862 2.206896552 Se Ajusta

ESTACION OLLEROS L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

26.58961168

2

2.2

0.018181818

31.03916332

2

2.2

0.018181818

35.23135177

2

2.2

0.018181818

40.51776158

2

2.2

0.018181818

80.50755355

3

2.2

0.290909091

0.363636364 Se Ajusta

ESTACION QUILLCAY L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

21.88841378

2

1.8

0.022222222

25.75760562

0

1.8

1.8

29.42944571

3

1.8

0.8

34.10089783

2

1.8

0.022222222

70.70180301

2

1.8

0.022222222 2.666666667 Se Ajusta

ESTACION CHANCOS L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

27.21315742

3

5

0.8

32.30551671

7

5

0.8

37.15047832

6

5

0.2

43.32665172

3

5

0.8

91.96629311

6

5

0.2 2.8 Se Ajusta

ESTACION LLANGANU CO

108

L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

5.091514867

4

5.6

0.457142857

5.939004658

9

5.6

2.064285714

6.7378552

5

5.6

0.064285714

7.747831772

3

5.6

1.207142857

15.5144643

7

5.6

0.35 4.142857143 Se Ajusta

ESTACION PARON L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

2.313463073

3

5.4

1.066666667

2.637828711

6

5.4

0.066666667

2.939383882

6

5.4

0.066666667

3.315374601

6

5.4

0.066666667

6.074063894

6

5.4

0.066666667 1.333333333 Se Ajusta

ESTACION COLCAS L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

13.71825423

2

5.4

2.140740741

17.36771032

8

5.4

1.251851852

20.93679746

4

5.4

0.362962963

25.5655353

5

5.4

0.02962963

63.41970824

8

5.4

1.251851852 5.037037037 Se Ajusta

ESTACION LOS CEDROS L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

6.435702455

2

5.4

2.140740741

8.623759406

5

5.4

0.02962963

10.84745019

5

5.4

0.02962963

13.73894199

8

5.4

1.251851852

37.66283465

7

5.4

0.474074074 3.925925926 Se Ajusta

ESTACION LA BALSA

110

L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

310.3071814

4

5.2

0.276923077

416.6999581

5

5.2

0.007692308

523.1480643

2

5.2

1.969230769

664.4285897

9

5.2

2.776923077

1906.035619

6

5.2

0.123076923 5.153846154 Se Ajusta

ESTACION QUITARACS A L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

43.17981873

6

5.2

0.123076923

50.8950723

3

5.2

0.930769231

58.21091102

3

5.2

0.930769231

67.51026265

9

5.2

2.776923077

140.1707646

5

5.2

0.007692308 4.769230769 Se Ajusta

ESTACION MANTA L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

32.64508128

1

2

0.5

43.83368788

3

2

0.5

55.03491312

1

2

0.5

69.90871242

2

2

0

200.7225357

3

2

0.5 2 Se Ajusta

ESTACION CHUQUICAR A L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

93.59187717

1

3.6

1.877777778

160.4650245

4

3.6

0.044444444

231.0088766

4

3.6

0.044444444

327.526576

5

3.6

0.544444444

1262.252941

4

3.6

0.044444444 2.555555556 Se Ajusta

ESTACION CONDORCE RRO

112

L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

551.8977352

3

2.8

0.014285714

716.3326957

1

2.8

1.157142857

879.2314664

1

2.8

1.157142857

1094.091602

4

2.8

0.514285714

2952.45035

5

2.8

1.728571429

4.571428571 Se Ajusta

CUADRO N A-5 PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE CHI - CUADRADO MODELO PROBABILISTICO PEARSON III α =0.05 G.L. =1.00 Xt2 = 3.84 ESTACION RECRETA

L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

16.30623397

4

5.8

0.55862069

23.20646626

7

5.8

0.248275862

35.40964108

9

5.8

1.765517241

36.69763508

0

5.8

5.8

90.15304202

9

5.8

1.765517241 10.13793103 No Se Ajusta

ESTACION PACHACOT O L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

18.69178554

5

5.6

0.064285714

22.98386249

2

5.6

2.314285714

27.78377281

12

5.6

7.314285714

34.81680663

3

5.6

1.207142857

113.340605

6

5.6

0.028571429 10.92857143 No Se Ajusta

ESTACION QUEROCOC HA L.C.S.

114

F.O.

F.E.

Xc2

ESTACION OLLEROS L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

27.704428

2

2.2

0.018181818

32.48548324

3

2.2

0.290909091

36.31659651

1

2.2

0.654545455

41.44118777

2

2.2

0.018181818

78.60842087

3

2.2

0.290909091 1.272727273 Se Ajusta

ESTACION QUILLCAY L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

ESTACION CHANCOS L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

27.23611025

3

5

0.8

32.00690742

6

5

0.2

36.79625233

6

5

0.2

43.19221486

4

5

0.2

115.5531298

6

5

0.2 1.6 Se Ajusta

ESTACION LLANGANU CO L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

4.939519092

4

5.6

0.457142857

5.788900692

4

5.6

0.457142857

6.597255743

9

5.6

2.064285714

7.626441032

4

5.6

0.457142857

15.66807099

7

5.6

0.35 3.785714286 Se Ajusta

ESTACION PARON

116

L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

1.961508937

1

5.4

3.585185185

1.997789196

0

5.4

5.4

2.114513401

0

5.4

5.4

2.4151863

6

5.4

0.066666667

6.089197538

20

5.4

39.47407407 53.92592593 No Se Ajusta

ESTACION COLCAS L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

13.55742029

1

5.4

3.585185185

17.15763652

8

5.4

1.251851852

20.74042862

5

5.4

0.02962963

25.44450185

5

5.4

0.02962963

65.15324932

8

5.4

1.251851852 6.148148148 No Se Ajusta

ESTACION LOS CEDROS L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

8.023154413

4

5.4

0.362962963

10.11900604

7

5.4

0.474074074

12.16983185

7

5.4

0.474074074

14.85016903

1

5.4

3.585185185

37.47508417

8

5.4

1.251851852 6.148148148 No Se Ajusta

ESTACION LA BALSA L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

301.5784343

4

5.2

0.276923077

412.4213299

5

5.2

0.007692308

519.9321215

2

5.2

1.969230769

658.776283

9

5.2

2.776923077

1784.198932

6

5.2

0.123076923 5.153846154 No Se Ajusta

ESTACION QUITARACS A L.C.S.

118

F.O.

F.E.

Xc2

ESTACION MANTA L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

83.77841678

0

3.6

3.6

ESTACION CHUQUICAR A

152.0414622

5

3.6

0.544444444

224.7637133

3

3.6

0.1

323.1265633

6

3.6

1.6

1254.540422

4

3.6

0.044444444 5.888888889 No Se Ajusta

ESTACION CONDORCE RRO L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

391.3246398

1

2.8

1.157142857

1081.288791

8

2.8

9.657142857

1104.894126

0

2.8

2.800000000

1257.563752

3

2.8

0.014285714

1525.245715

2

2.8

0.228571429 13.85714286 No Se Ajusta

120

CUADRO N A-6

PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE CHI - CUADRADO MODELO PROBABILISTICO DE GUMBEL α = 0.05 G.L. = 2.00 Xt2 =

5.99

ESTACION RECRETA L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

18.39444944

5

5.8

0.110344828

23.64904227

7

5.8

0.248275862

29.09951498

6

5.8

0.006896552

36.82518749

2

5.8

2.489655172

130.2274989

9

5.8

1.765517241 4.620689655 Se Ajusta

ESTACION PACHACO TO

L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

20.06254228

5

5.6

0.064285714

24.46140757

8

5.6

1.028571429

29.02425307

6

5.6

0.028571429

35.49177468

4

5.6

0.457142857

113.6832159

5

5.6

0.064285714 1.642857143 Se Ajusta

ESTACION QUEROCO CHA L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

6.209866889

5

5.8

0.110344828

6.995910354

8

5.8

0.834482759

7.811255823

2

5.8

2.489655172

8.966952295

6

5.8

0.006896552

22.93916268

8

5.8

0.834482759 4.275862069 Se Ajusta

ESTACION OLLEROS

122

L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

28.70260228

2

2.2

0.018181818

32.28119105

3

2.2

0.290909091

35.9931819

1

2.2

0.654545455

41.25467519

2

2.2

0.018181818

104.865401

3

2.2

0.290909091 1.272727273 Se Ajusta

ESTACION QUILLCAY L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

22.42418515

2

1.8

0.022222222

25.63463305

0

1.8

1.8

28.96475952

2

1.8

0.022222222

33.68498617

3

1.8

0.8

90.75187307

2

1.8

0.022222222 2.666666667 Se Ajusta

ESTACION CHANCOS L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

28.37067651

4

5

0.2

32.58373831

6

5

0.2

36.95385396

5

5

0

43.14819419

4

5

0.2

118.0369102

6

5

0.2 0.8 Se Ajusta

ESTACION LLANGAN UCO L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

5.273838451

4

5.6

0.457142857

5.967924937

9

5.6

2.064285714

6.687885469

5

5.6

0.064285714

7.708380313

3

5.6

1.207142857

20.04602173

7

5.6

0.35 4.142857143 Se Ajusta

ESTACION PARON L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

2.442886991

7

5.4

0.474074074

2.700148708

2

5.4

2.140740741

2.967000586

7

5.4

0.474074074

3.345244883

5

5.4

0.02962963

7.918166088

6

5.4

0.066666667 3.185185185 Se Ajusta

ESTACION COLCAS

124

L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

15.75425939

7

5.4

0.474074074

18.77105818

6

5.4

0.066666667

21.90031672

1

5.4

3.585185185

26.33582681

6

5.4

0.066666667

79.96052987

7

5.4

0.474074074 4.666666667 Se Ajusta

ESTACION LOS CEDROS L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

8.244351744

4

5.4

0.362962963

10.05604618

7

5.4

0.474074074

11.93527668

6

5.4

0.066666667

14.59895746

4

5.4

0.362962963

46.80248942

6

5.4

0.066666667 1.333333333 Se Ajusta

ESTACION LA BALSA L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

355.8904724

5

5.2

0.007692308

447.4194265

5

5.2

0.007692308

542.3603826

4

5.2

0.276923077

676.9326983

6

5.2

0.123076923

2303.89337

6

5.2

0.123076923 0.538461538 Se Ajusta

ESTACION QUITARAC SA L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

44.70034523

6

5.2

0.123076923

51.06789106

3

5.2

0.930769231

57.67280525

3

5.2

0.930769231

67.03481966

9

5.2

2.776923077

180.2202782

5

5.2

0.007692308 4.769230769 Se Ajusta

ESTACION MANTA L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

37.47019702

2

2

0

47.11332528

2

2

0

57.11592856

1

2

0.5

71.29393499

2

2

0

242.7040705

3

2

0.5 1 Se Ajusta

126

ESTACION CHUQUICA RA L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

137.9728359

5

3.6

0.544444444

197.0213886

3

3.6

0.1

258.271144

1

3.6

1.877777778

345.0884856

6

3.6

1.6

1394.69813

3

3.6

0.1 4.222222222 Se Ajusta

ESTACION CONDORC ERRO L.C.S.

F.O.

F.E.

Xc2

606.3733964

4

2.8

0.514285714

747.8323237

1

2.8

1.157142857

894.5645347

1

2.8

1.157142857

1102.547414

3

2.8

0.014285714

3617.031642

5

2.8

1.728571429 4.571428571 Se Ajusta