UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
1
Prefacio:
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
E
n esta asignatura se estudian herramientas, que permitan al estudiante, analizar fenómenos que condicionan la toma de decisiones
afianzar
las
confiables.
teorías
de
Estos
investigación
conocimientos en
su
posibilitarán
campo
de
competencia y que tienen por finalidad la aplicación de la teoría a solucionar problemas reales, especialmente en la construcción de inferencias confiables.
Unidad I: Variables Aleatorias. Unidad II: Distribución de Probabilidad. Unidad III: Distribuciones Mustrales. Unidad IV: Esti!ación de Par"!etros.
2
Prefacio:
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
E
n esta asignatura se estudian herramientas, que permitan al estudiante, analizar fenómenos que condicionan la toma de decisiones
afianzar
las
confiables.
teorías
de
Estos
investigación
conocimientos en
su
posibilitarán
campo
de
competencia y que tienen por finalidad la aplicación de la teoría a solucionar problemas reales, especialmente en la construcción de inferencias confiables.
Unidad I: Variables Aleatorias. Unidad II: Distribución de Probabilidad. Unidad III: Distribuciones Mustrales. Unidad IV: Esti!ación de Par"!etros.
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Estructura
Variablles Variab Aleatorias #once$tos de %ariables aleatorias.
Variables aleatorias discretas. Variables aleatorias continuas. Media & %arian'a de una %ariable aleatoria.
de los
Contenido s
Distribución de Proba Pro babilidad
Distribuciones Muéstrales
Estimación de Parámetros
Distribución de %ariables aleatorias discretas.
Muestreo aleatorio.
Inter%alo de con*ian'a.
Distribución de %ariables aleatorias contin(as.
A$licación de la distribución nor!al.
A$ro)i!aciones a la distribución nor!al.
Distribución !uestral de la !edia & $ro$orción. Distribución !uestral de la di*erencia de dos !edias. Distribución !uestral de la di*erencia de dos $ro$orciones.
Inter%alo de con*ian'a $ara la !edia & $ro$orción.
Prueba de +i$ótesis.
Prueba de +i$ótesis acerca de la !edia & $ro$orción.
La co!$etencia ,ue el estudiante debe lo-rar al *inal de la asi-natura es:
Identi*ica e inter$reta las $rinci$ales tcnicas/ $rocedi!ientos/ !odelos estad0sticos esti!ación & $rueba de +i$ótesis ,ue e)i-e la in%esti-ación cient0*ica/ los estudios de !ercado & la ad!inistración de un ne-ocio en un entorno co!$etiti%o.
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Índice del Contenido
I. PRE3A#I4 II. DESARR4LL4 DE L4S #4NTENID4S UNIDAD DE APRENDI5A6E 1: VARIA7LES ALEAT4RIAS 1. Introducción a. Presentación & conte)tuali'ación b. #o!$etencia c. #a$acidades d. Actitudes e. Ideas b"sicas & contenido 8. Desarrollo de los te!as a. Te!a 91: #once$tos de Variables Aleatorias. b. Te!a 98: Variables Aleatorias Discretas. c. Te!a 9: Variables Aleatorias #ontinuas. d. Te!a 92: Media & Varian'a de una Variable Aleatoria. . Lecturas reco!endadas 2. Acti%idades ;. Autoe%aluación <. Resu!en UNIDAD DE APRENDI5A6E 8: DISTRI7U#I=N DE PR47A7ILIDAD 1. Introducción a. Presentación & conte)tuali'ación b. #o!$etencia c. #a$acidades d. Actitudes e. Ideas b"sicas & contenido 8. Desarrollo de los te!as a. Te!a 91: Distribución de Variables Aleatorias Discretas. b. Te!a 98: Distribución de Variables Aleatorias #ontinuas. c. Te!a 9: A$licación de la Distribución Nor!al. d. Te!a 92: A$ro)i!aciones a la Distribución Nor!al. . Lecturas reco!endadas 2. Acti%idades ;. Autoe%aluación <. Resu!en UNIDAD DE APRENDI5A6E : DISTRI7U#I4NES MUESTRALES 1. Introducción a. Presentación & conte)tuali'ación b. #o!$etencia c. #a$acidades d. Actitudes e. Ideas b"sicas & contenido 8. Desarrollo de los te!as a. Te!a 91: Muestreo Aleatorio. b. Te!a 98: Distribución Muestral de la Media & Pro$orción. c. Te!a 9: Distribución Muestral de la Di*erencia de Dos Medias. d. Te!a 92: Distribución Muestral de la Di*erencia de Dos Pro$orciones. . Lecturas reco!endadas 2. Acti%idades ;. Autoe%aluación <. Resu!en UNIDAD DE APRENDI5A6E 2: ESTIMA#I=N DE PAR>METR4S 1. Introducción a. Presentación & conte)tuali'ación b. #o!$etencia c. #a$acidades d. Actitudes e. Ideas b"sicas & contenido 8. Desarrollo de los te!as a. Te!a 91: Inter%alo de #on*ian'a. b. Te!a 98: Inter%alo de #on*ian'a $ara la Media & Pro$orción. c. Te!a 9: Prueba de ?i$ótesis. d. Te!a 92: Prueba de ?i$ótesis Acerca de la Media & Pro$orción. . Lecturas reco!endadas 2. Acti%idades ;. Autoe%aluación <. Resu!en III. @L4SARI4 IV. 3UENTES DE IN34RMA#I=N V. APNDI#E VI. S4LU#I4NARI4
02 0 ! "2# 0$!2% 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0'!2( 0' "" "& 20 2$ 2$ 2& 2% 2#!&0 0 0 0 0 0 0 "!$' " (0 (# $ $% $% $# &0 &"!# &2 &2 &2 &2 &2 &2 &!%% & '0 '# %& %# %# #" # #(!"20 #$ #$ #$ #$ #$ #$ #&!""& #& "00 "0( "0% ""' ""' ""% "20 "2" "22 "2 "0
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;
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Introd ucción
a) Presentación y contextualización )os temas que se tratan en la presente *nidad, tienen por finalidad que el estudiante desarrolle y e+ecute el concepto de variables aleatorias
durante su
proceso de formación profesional y contribuyan en el logro de su perfil profesional.
b) Competencia E)$lica las $ro$iedades $ara calcular la !edia & %arian'a de %ariables aleatorias.
c) Capacidades 1. dentifica una variable aleatoria. 8. E-plica variables aleatorias discretas. . naliza variables aleatorias continuas. 2. plica propiedades para calcular la media y varianza de variables aleatorias.
d) Actitudes
/alora la importancia de los negocios internacionales para el desarrollo de la nación. esarrolla una actitud emprendedora mediante la toma de iniciativas, promoción de actividades y toma de decisiones en relación a la actividad asignada. 1umple con la presentación de los traba+os encomendados con puntualidad. esarrolla la creatividad, la innovación, y el respeto a la honestidad intelectual.
e) Presentación de Ideas básicas y contenidos esenciales de la nidad! La Unidad de A$rendi'aBe 91: Variables Aleatorias, comprende el desarrollo de los siguientes temas
TEMA 91: #once$tos de Variables Aleatorias. TEMA 98: Variables Aleatorias Discretas. TEMA 9: Variables Aleatorias #ontinuas. TEMA 92: Media & Varian'a de una Variable Aleatoria.
<
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Conceptos de
TEMA 1
Variables Aleatorias Competencia:
Identi"icar una #ariable aleatoria$
C
Desarrollo de los Temas
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Tema 01: Conceptos de V aria bles Aleatorias De"inición
%$3e define /ariable aleatoria, a una variable estadística cuantitativa
definida en un espacio muestral
Ω.
4emos visto que los resultados de un e-perimento aleatorio pueden ser cuantitativos 5por e+emplo, lanzar un dado y registrar el n6mero de la cara superior7, o cualitativos 5por e+emplo, lanzar dos monedas y registrar el resultado de cada una7. )os eventos de mayor inter8s a la hora de hacer inferencia estadí stica son eventos num8ricos. 9:u8 significa; :ue, por e+emplo, estaremos más interesados en conocer el n6mero de caras que resultan en cada repetición del e -perimento que en la secuencia en sí. sí, los eventos simples 51, <7 y 5<, 17 nos brindarán la misma información, es decir, en los dos se registró " cara. El n6mero de caras es una función definida sobre el espacio muestral 3 Eventos 3imples =umero de caras <
11 1<
<1
<<
2
"
0
"
Esto ta!bin se $uede re$resentar:
8
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Esta función genera una partición del espacio muestral. >odos los eventos simples que corresponden al mismo valor de la función se encuentran en el mismo subcon+unto. Estos subcon+untos son dis+untos y su unión es el espacio muestral. )a función definida anteriormente se denomina %ariable aleatoria. *na variable aleatoria es entonces una función que asocia un n6mero real a cada elemento de un espacio muestral.
→ s → x = X s !
X : S
&otación
< indica la función 5variable aleatoria7, - representa el valor que toma la
variable aleatoria al ser valuada en el elemento s. )as variables aleatorias se dividen en dos grupos discretas y continuas. *na variable discreta puede tomar una cantidad finita o infinita numerable de valores. *na variable aleatoria continua puede tomar infinitamente muchos valores correspondientes a puntos en un intervalo de la recta real.
EBe!$los 91: 3ea
Ω el espacio muestral que se obtiene al lanzar al aire una moneda tres veces
consecutivas, esto es,
Ω = {SSS " SSC " SCS " CSS " SCC " CSC " CCS " CCC }
Ω como ?el n6mero de caras obtenidas@, entonces, < es una variable aleatoria cuyo rango es el con+unto R = {0"1" 2" #"} .En efecto, 3i < se define en
X
X
= 0 , corresponde al evento elemental {SSS }
X
= 1 , corresponde a los eventos elementales {SSC } "{SCS } " {CSS }
X
= 2 , corresponde a los eventos elementales {SCC } "{CSC } y {CCS }
X
= # , corresponde al evento elemental {CCC }
EBe!$lo 98: *n profesor califica sus pruebas en una escala de ( puntos 5", 2, , (7. 3upongamos que en un curso de 0 alumnos los resultados ordenados fueron """222222((((((((( 3ea < A resultado de la prueba para un alumno del curso elegido al azar.
)uego B A C", 2, , (D, < es una %ariable aleatoria discreta
)a frecuencia de cada uno de los resultados es, , &, "2 y # respectivamente.
Besultado 5- 7
"
2
(
Hrecuencia 5f 7
&
"2
#
Hrecuencia. relativa 5f In7
0."
0.2
0.(
0.
p 5- 7 A p
0."
0.2
0.(
0.
i
i
i
i
i
3iguiendo con el e+emplo 91uál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar haya tenido a lo sumo un ; 5< F 7 A p 5"7 G p 527 G p 57
A p" G p G p A 0." G 0.2 G 0.( A 0.' 2
C'A(I)ICACI*& DE 'A( VA+IA,'E( A'EA-.+IA( )as variables leatorias se clasifican en general en discretas y continuas.
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Variables
Aleatorias
TEMA 2
Discr eta s Competencia:
Explicar #ariables aleatorias discretas$
11
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Tema 02: Variables Aleatorias
Discretas
4emos definido hasta acá qu8 se entiende por variable aleatoria, y una vez determinada una /ariable leatoria. odemos conocer cuáles son los valores que puede tomar. ero es interesante poder medir la probabilidad con que toma cada uno de esos valores.
De"inición
%$*na variable aleatoria discreta asume cada uno de sus valores con cierta probabilidad que denotaremos por P X 5probabilidad inducida por <7.
EBe!$lo: 1onsideremos el e-perimento aleatorio de lanzar dos monedas entonces el espacio muestral correspondiente estará dado por
Ω = {CC " CS " SC " SS } 3e define la variable aleatoria < de obtener caras, entonces el rango de < es R X
= {0"1" 2} , es decir
X
= 0
X
= 1 , 3i se obtiene 31 o 13 como resultado del lanzamiento = 2 , 3i se obtiene 11 en las dos monedas
X
, 3i se obtiene sello en las dos monedas
)&CI*& DE P+.,A,I'IDAD De"inición
%$3ea < una variable aleatoria discreta. 3e denomina función 5ley o
modelo o distribución7 de probabilidad de < a la función f5-7 definida por f x!
= P [ X = x ] , para todo - n6mero real y que satisface las siguientes condiciones
i 7 f x! ≥ 0 " ∀ x ∈ ii 7
x
=1
)a función de probabilidad de una variable aleatoria < se puede e-presar por tabla x# xn x1 x2 /alores -i de < J robabilidad pi
= P [ X = xi ]
p2
p#
J
pn
p1
12
&otación! La *unción de $robabilidad se $uede re$resentar de di%ersas !aneras: 1 En una tabla -
5-7
0
K
"
L
2
K
8 En un gráfico
En una fórmula
2 p x!= x 0$2%2
EBe!$lo 91. 3ea < la variable aleatoria definida como el n6mero de caras que ocurren al lanzar dos monedas.
a. etermine la distribución de probabilidad de <. b. 91uál es la probabilidad de que no obtengamos ninguna cara; c. 1alcular la probabilidad P [ 0 ≤ X ≤ 1] Solución. a )a /ariable leatoria <. >oma el valor 0 cuando ocurre el evento 5337. Entonces 5 X A07 A 5C5337D7 A K
>ambi8n se puede notar 507 A 5 X A07 A K 5 X A27 A 5C5117D7 A K 5 X A"7 A 5C5137, 5317D7 A K G K A L
Entonces la distribución de $robabilidad est" dada $or: E
5E7
-
5-7
11
K
2
K
13
K
"
K
31
K
"
K
33
K
0
K
b )a /ariable leatoria < >oma el valor 0 cuando ocurre el evento 5337. Entonces 5 X A07 A 5C5337D7 A K
1 1 # c P [0 ≤ X ≤ 1] = P [ X = 0] + P [ X = 1] = + = & 2 & EBe!$lo 98 3ea x una variable aleatoria que e-presa el =M de personas que habitan en una vivienda elegida al azar. )a distribución de probabilidad de x es la siguiente x i
"
2
(
$
&
'
%óG
pi
0,20
0,22
0,"''
0,"$$
0,0&'
0,02(
0,0"$
0,0"0
a. 1omprobar que es una distribución de probabilidad. >odas las pi son mayores o iguales que cero y además se cumple que 8
∑= p i
1
i
= 0"2# + 0"#22 + 0"1''+$$$ +0"010 = 1
b. 4allar la probabilidad de que el =M de personas que viven en un hogar sea menor o igual que cuatro.
P ( x ≤ &) = P ( x = 1) + P ( x = 2) + P ( x = #) + P ( x = &)
= 0"2# + 0"#22 + 0"1'' + 0"1%% = 0"88&
=
c. 1alcular la probabilidad de que al menos dos personas vivan en una vivienda.
(
P x ≥ 2
) = P ( x = 2) + P ( x = #) + $$$ + P ( x ≥ 8) = = 1 − P x < 2! = 1 − 0" 2# = 0" ''
)&CI*& DE DI(-+I,CI*& ACM'ADA DE VA+IA,'E A'EA-.+IA
DI(C+E-A De"inición$
)a función de distribución acumulada 5f.d.a7 de probabilidades o
simplemente función de distribución, H5-7, de la variable aleatoria discreta <, cuya función de probabilidad de f5-7, se define por
F x! = P [ X
≤ x ] = ∑ P = k ! = ∑ f k − ∞ < x < ∞ X
!" k ≤ x
k ≤
x
EBe!$lo 3ea < A nota obtenida en una prueba de un alumno elegido al azar =ota 5-7
"
2
(
p 5-7
0."
0.2
0.(
0.
<
)&CI*& DE DI(-+I,CI*& ACM'ADA
0 0$1 F X x! = 0$# 0$'
si
x < 1
si 1 ≤ x < 2
2 ≤ x < # si # ≤ x < & 1 si & ≤ x si
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Variables
Aleatorias
TEMA 3
Continuas Competencia:
Analizar #ariables aleatorias continuas$
1<
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Tema 0#: V ar iables Aleatorias Continuas De"inición
%$3e dice que la función f x ! es función de densidad 5ley o distribución7
de probabilidad de la variable aleatoria continua < si satisface las siguientes condiciones
i f x! ≥ 0 para todo x ∈ +∞
ii
∫ f x!dx
−∞
iii P A! = P [ x ∈ A] = f x!dx , para cualquier intervalo A ⊂ A
∫
)&CI*& DE DI(-+I,CI*& ACM'ADA DE VA+IA,'E A'EA-.+IA C.&-I&/A De"inición
%$)a función de distribución acumulada 5f.d.a7, H5-7 de una variable f x! , se define por aleatoria continua < con función de densidad
F x! = P [ X
≤ x ] =
x
f t !dt " para
∫
− ∞ < x < +∞
−∞
EBe!$lo 91: 1lasificar como discretas o continuas las siguientes variables aleatorias
a) =M de páginas de un libro N discreta. b) tiempo que tarda en fundirse una bombilla N continua c) =M de preguntas en una clase de una hora N discreta. d) cantidad de agua consumida en un mes N contin6a.
EBe!$lo 98: f x! una función definida en todos los n6meros reales por 3ea
cx2 " f x! = 0 "
[ ] x ∉ [0" 2]
x ∈ 0" 2
a. 4allar el valor de la constante 1 para que,
f x!
para alguna variable aleatoria <.
1'
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP sea una función de densidad
18
b. 1alcular P [ 0 < X ≤ 1] Solución. a El área de la figura sombreada es igual a " Entonces 1=
∞
∫
f x! dx =
−∞
⇒c=
2
∫
cx2 dx = c
0
8
#
# 8
)uego
# x 2 f x ! = 8 0 "
[ ] x ∉ [0" 2]
" x ∈ 0" 2
b ara resolver esta pregunta se sigue
# x 2 dx = 1 ≤ 1] ∫ 0 8 8 1
[
P 0 < X
=
EBe!$lo 9: 3ea f x ! una función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria <, cuya grafica es la figura a.7 eterminar el valor de la constante c y luego la f.d.p. de < b.7 4allar la función de distribución acumulada H5-7 de <
Solución. a 3i el área que encierra la figura con el e+e < es igual a ", entonces
C = 1 ( &
)uego la función densidad está dada por la ecuación de la recta en el intervalo dado.
x " 1 ≤ x ≤ # f x ! = & en otro caso 0"
b )a función de distribución acumulada , se calcula por F x! = 1 " si x > # F ( x ) = 0 " si x < 1"
Si 1 ≤ x ≤ #"
F x! =
∫
x
t
1
&
dt
0" = x 2 − 1 Entonces F x ! = "
=
x
2
8
=1 8
si x < 1 si 1 ≤ x ≤ #
8
1 "
si x > 1
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)edia * TEMA Varian+a 4 de una Variable
Aleatoria Competencia:
Aplicar propiedades para calcular la media y #arianza de #ariables aleatorias$
89
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Tema 0&: )edia * Varian+a de una Variable Aleatoria VA'.+ E(PE+AD. . E(PE+A&0A MA-EM1-I CA De"inición
%$)a media de una variable aleatoria discreta < con función de
probabilidad f5-7 está dado por
µ = E X ! = m x = De"inición
%$∑
xi f xi !
xi ∈ R X
)a media de una variable aleatoria contin6a < con función de
densidad de probabilidad f5-7 es la e-presión +∞
∫
E X ! = xf x!dx −∞
Propiedades! 3i < e Y son dos variables aleatorias se cumple que
m x+ y
= m x + m y
3i a y b son constantes se cumple que
max +b
= am x + b
EBe!$lo 1onsiderando la variable leatoria <, donde X Aresultado de lanzar un dado )a distribución de probabilidad de x será
p1 p2 p.
= P , x = 1- = 1 ( .
= P , x = 2- = 1 ( .
= P , x = .- = 1 ( .
El valor esperado de < será k
m x
1
1
1
1
1
1
= ∑ xi pi = 1 × + 2 × + # × + & × + % × + . × = i =1
#"%
81
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP .
. .
.
.
.
81
VA+IA&0A DE &A VA+IA,'E A'EA-.+ IA De"inición
%$3ea < una variable aleatoria con distribución de probabilidad f5-7 y con
media igual a
µ . )a varianza de < es la e-presión 2 2 σ X2 = E ( X − µ ) = ∑ ( xi − µ ) f i x !
, si < es discreta
+∞
2 σ X = E ( X − µ ) =∫ ( i x − µ ) f i x ! , si < es continua. −∞ 2
2
De"inición
%$)a desviación estándar de la variable aleatoria < es la raíz cuadrada
positiva de la varianza. Esto es
σ X = σ X2
.
Nota *na de las propiedades de la varianza que se usa en el cálculo es Var X
= E
X
2
−
= E X 2 −
Propiedades! %
Si a & b son constantes se cu!$le ,ue:
σ ax+b = a σ x σ 2 + = a 2σ 2
x
ax b
%
Si x e y son dos %ariables aleatorias inde$endientes se cu!$le ,ue:
σ x+ y = σ + σ 2
2
x
2
2
&
2
σ x+ y = σ x + σ y
y
Nota.
)a desviación típica de una variable aleatoria es una medida de dispersión de la distribución alrededor de la media. )os valores pequeOos indican concentración de la distribución alrededor de la esperanza y los valores grandes corresponden a distribuciones más dispersas.
El concepto de desviación típica es equivalente en variables aleatorias discretas y continuas, aunque en estas 6ltimas su cálculo es más complicado.
EBe!$lo 1 3e lanza tres veces una moneda. 3ea X la variable aleatoria que e-presa el nM de caras en los tres lanzamientos.
88
a 4allar y representar la función de probabilidad de X . Solución. 3e lanza veces una moneda, entonces es espacio muestral es EA C111,11<,1<1,<11,<<1,<1<,1<<,<<
= P , x = 0- = 1 ( 8 = 0"12% p1 = P , x = 1- = # ( 8 = 0"#'% p = P , x = 2- = # ( 8 = 0"#'% p# = P , x = #- = 1 ( 8 = 0"12% p0
x=0 NC<<
2
x= NC111D
b 1alcular el =M esperado de caras al lanzar la moneda. 9Era previsible el resultado;
Solución. k
m x
= ∑ xi pi = 0 × 0"12% + 1 × 0"#'% + 2 × 0"#'% + # × 0"12% = 1"% i =1
3í, ya que en cada lanzamiento 517A"I2 y al lanzar tres veces se tiene que
# × 1 ( 2 = 1"%. 4allar la desviación típica de < 2 k
0 − 1"%! σ x = ∑ ( xi − m x ) pi = + 2 − i =1
1"%!
o bien
/
i k
σ =
p =
2
/
−m
2
0
(
2
× 0"12% + 1 − × 0"#'% 2 × 0"12% = 0"8.. × 0"#'% + # −
1"%! 2
1"%!
2
0"12%
0"12%$$$#
2
2
1"%
)
2
= 0"8..
i =1
EBe!$lo 8 *na compaOía ha vendido 20$ billetes para un avión de 200 plazas. 3ea x la variable aleatoria que e-presa el nM de via+eros que va al aeropuerto para via+ar en el avión. 3u distribución es x i
"#%
"##
200
20"
202
20
20(
20$
pi
0,0$
0,0#
0,"$
0,20
0,2
0,"'
0,0#
0,02
a 4allar la probabilidad de que todos los via+eros que van al aeropuerto tengan plaza.
8
Solución. P , x
≤ 200- = P , x = 18- + P , x = 1- + P , x = 200- = = 0"0% + 0"0 + 0"1% = 0"2
b Pbtener la probabilidad de que se quede sin plaza alguna de los via+eros que va al aeropuerto.
> 200- = P , x = 201- + P , x = 202- + $$$ + P , x = 20%= 0" 2 + 0" 2# + 0"1' + 0" 0 + 0" 02 = 0" '1 P , x > 200- = 1 − P , x ≤ 200- = 1 − 0"2 = 0"'1 P , x
c 1alcular el nM esperado de via+eros que acude al aeropuerto. k
m x
= ∑ xi pi = 18 × 0"0% + 1 × 0"0 + 200 × 0"1% + 201 × 0"2 + i =1
+ 202 × 0"2# + 20# × 0"1' + 20& × 0"0 + 20% × 0"02 = = 201"&&
d 91uál es la probabilidad de que la primera persona de la lista de espera tenga sitio en el vuelo;
P , x ≤ 1- = P , x = 18- + P , x = 1- = 0"0% + 0"0 = 0"1& EBe!$lo )a vida 6til de un ob+eto es una variable aleatoria < con función de densidad de probabilidad
β e− β x " si x ≥ 0 f x! = si x < 0 0 " 1alcular la varianza y la deviación estándar de <.
Solución. ntegrando por partes y analizando la convergencia, se tiene +∞
− β x
µ = ∫ xβ e 0
b
− β x
− xe
Q luego integrando dos veces por partes se obtiene +∞
E X )uego,
2
= ∫ 0
x
2
βe − β xdx =
σ = E X − µ =β 2
2
2
2 2
)a deviación estándar de < es
2
β2
−2 β
0
1
1
= + = 0 β β
+ Lim b→+∞ 0 −e
dx = Lim b→+∞
b
− β x
1
σ=1 β
=2 β
1
82
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3ecturas 4ecomendadas
DI(-+I,CI*& DE P+ .,A,I'IDAD DE VA+IA,'E( A'EA-.+IA( DI(C+ E-A($ ir.$eF<; Bn P+.,A,I'IDADE( 2 VA+IA,'E( A'EA-.+ IA($ +tt$:FFbi t.l &F3G3Hl< VA+IA,'E( A'EA-.+ IA($ +tt$:FF$robabilidad89199.blo-s$ot.co!F$F%arian'a&des%iacionestandar.+t!l
Acti5idades * 67er cicios 1 ngresa al linR “Operaciones 1” lee atentamente las indicaciones, desarróllalo y envíalo por el mismo medio. 3ea < la variable aleatoria definida como el n6mero de caras que ocurren al lanzar una moneda ( veces. a etermine la distribución de probabilidad de <. b 1alcular la probabilidad P [1 < X ≤ #] 3ea < una variable aleatoria continua con distribución.
1 " 0 ≤ x ≤ # x + k f x! = . 0 " en otra parte a.7 1alcular R. b.7 4allar P 1 ≤ X
[
≤ 2]
)a vida 6til de un ob+eto en miles de horas, es una variable aleatoria continua < cuya función de densidad de probabilidades 1 − x " si 0 ≤ x ≤ 2 f x! = 2
0
" en otro caso
a 1alcular la esperanza. b )a varianza de vida del ob+eto.
2%
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Autoe5aluación
1 #alcule el ran-o de la %ariable aleatoria de*inido co!o la su!a de los n(!eros ,ue a$arecen al lan'ar dos dados.
= {2" &" ." 8"10"12} = {2" #" &" %" ." '" 8" "10"11"12}
a.
R X
b.
R X
c.
R X
d.
R X
= {#" %" '" "11} = {&" %" ." '" 8" "10"11"12}
e.
R X
= {2" #" &" %" ." '" 8" "10}
8 El n(!ero de +iBos $or *a!ilia en una deter!inada re-ión es una %ariable aleatoria cu&a *unción de $robabilidad es: -
[
P X
= x]
0
"
2
(
"I"&
(I"&
R
(I"&
"I"&
1alcular el valor de la constante R
a. ""I"& b. &I"& c. &I"& d. $I% e. (I"& Su$on-a ,ue el n(!ero de cursos en ,ue est" !atriculado un alu!no es una %ariable aleatoria con *unción de $robabilidad. -
[
P X
= x]
0
"
2
"I"0
2I"0
"I"0
I"0
(
2I"0
$
"I"0
eterminar la media de la variable aleatoria.
a. b. c. d. e.
""I"0 "I$ "2I$ 'I"0 "
2.
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 2 Sea f x ! una *unción de*inida en todos los n(!eros reales $or:
ax# " si x ∈ [ 0" #] f x! = 0 " si x ∉ [ 0" #] 4allar el valor de la constante a para que, f x ! sea una función de densidad para alguna variable aleatoria <.
a. b. c. d. e.
"I"& (I%" $I%" "I $I2'
; Sea f x! una *unción densidad $ara al-una %ariable aleatoria de*inida $or:
& # x " si x ∈ [0" #] f x ! = 81 0 " si x ∉ [0" #]
[
1alcular P 1 < X
a. b. c. d. e.
≤ 2]
$I2' $I2( (I2' 2I%" (I%"
2'
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4esumen
9IDAD D6 AP4 6 9DIA;6 I:
*na variable aleatoria es una variable que toma valores num8ricos determinados por el resultado de un e-perimento aleatorio. =o hay que confundir la variable aleatoria con sus posibles valores. E+emplos
• nM de caras al lanzar & veces una moneda 5valores 0, ", 2J7 • nM de llamadas que recibe un tel8fono en una hora • tiempo que esperan los clientes para pagar en un supermercadoJ )as variables aleatorias pueden ser discretas o continuas. Es el con+unto de posibles valores, es numerable. 3uelen estar asociadas a e-perimentos en que se mide el n6mero de veces que sucede algo. /ariable aleatoria discreta asume cada uno de sus valores con cierta probabilidad que 5probabilidad inducida por <7. denotaremos por P X *na variable aleatoria discreta < representa los resultados de un espacio muestral en forma tal que por 5< A -7 se entenderá la probabilidad de que < tome el valor de -. Es el con+unto de posibles valores es no numerable. uede tomar todos los Svalores de un intervalo. 3on el resultado de medir. f x! es función de densidad 5ley o distribución7 de 3e dice que la función probabilidad de la variable aleatoria continua < si satisface las siguientes condiciones 3i una función < que asigna a cada resultado posible de un e-perimento un n6mero real. 3i < puede asumir cualquier valor en alg6n intervalo 5el intervalo puede ser acotado o desacotado7, se llama una variable aleatoria continua. )a desviación típica de una variable aleatoria es una medida de dispersión de la distribución alrededor de la media. )os valores pequeOos indican concentración de la distribución alrededor de la esperanza y los valores grandes corresponden a distribuciones más dispersas. El concepto de desviación típica es equivalente en variables aleatorias discretas y continuas, aunque en estas 6ltimas su cálculo es más complicado.
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8J
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Introducción
a) Presentación y contextualización )os temas que se tratan en la presente *nidad, tienen por finalidad que el estudiante desarrolle y e+ecute el concepto de distribución de probabilidad durante su proceso de formación profesional y contribuyan en el logro de su perfil profesional.
b) Competencia Identi*ica las caracter0sticas & *unciones del len-uaBe/ as0 co!o ele!entos e inter*erencias de la co!unicación.
c) Capacidades 1. Besuelve problemas usando distribuciones aleatorias discretas. 8. naliza y resuelve problemas que involucren distribuciones de variables aleatorias continuas.
. naliza la importancia de la distribución =ormal. 2. plica la apro-imación a la distribución =ormal.
d) Actitudes
untualidad en la entrega de traba+o.
Bespeto a las normas de convivencia.
erseverancia en las tareas.
e) Presentación de Ideas básicas y contenidos esenciales de la nidad! La Unidad de A$rendi'aBe 98: Distribución de Probabilidad, comprende el desarrollo de los siguientes temas
TEMA 91: Distribución de Variables Aleatorias Discretas. TEMA 98: Distribución de Variables Aleatorias #ontin(as. TEMA 9: A$licación de la Distribución Nor!al. TEMA 92: A$ro)i!aciones a la Distribución Nor!al.
9
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Distribución de Variables Aleatorias Discr etas
TEMA 1
Competencia:
+esol#er problemas usando distribuciones aleatorias discretas$
1
Desarrollo de los Temas
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Tema 01: Distribución de Variables Aleatorias Discretas
1omo complemento al capítulo anterior en el que definimos todos los conceptos relativos a variables aleatorias, describimos en 8ste las principales leyes de probabilidad que encontramos en las aplicaciones del cálculo de probabilidades. tendiendo a la clasificación de las variables aleatorias en discretas y continuas describiremos las principales leyes de probabilidad de cada una de ellas, las cuales constituirán el soporte subyacente de la inferencia estadística y a las que será necesario hacer referencia en el estudio de dicho bloque. niciamos este capítulo con el estudio de las distribuciones para variables aleatorias discretas.
DI(-+I,CI.&E( DI(C+E-A(! Distribución de ,ernoulli$ De"inición
%$)a variable aleatoria < definida de
Ω de manera que atribuye a E el
valor de " y a H el valor 0, se denomina variable aleatoria de Ternoulli.. )a distribución de Ternoulli de parámetro p es f x!
= P [ X = x] = p x q1− x
-eorema$% 3i < tiene distribución de Ternoulli de parámetro p, entonces E X = a. ! p b. Var X ! = pq
Distribución ,inomial$ De"inición
%$3e dice que la variable aleatoria < definida como el n6mero de 8-itos
que ocurren en las n pruebas de Ternoulli, tiene distribución binomial con parámetros n y p y se escribe,
si su función de probabilidad es
n
[ = k ] = k
f x! = P X "
k
p q
n − k
k
= 0"1" 2" #"$$$" n
#2
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-eorema$% 3i E X ! = np a.7 b.7 Var X !
, entonces
= npq
E3EMP'.! En una tienda de alquiler de utos, cada vez que un cliente alquile un automóvil debe pagar como mínimo U (. 3i alquila un auto de tipo debe pagar U "$ más, y si alquila un auto no debe pagar U $ más. 3e sabe que la probabilidad de que un cliente alquile un auto tipo es de 0.'. e cinco clientes que alquilan autos en esa tienda
a) etermine la distribución de probabilidades de los clientes que alquilan automóviles tipo .
b) etermine la utilidad y la utilidad esperada que producen a la tienda los $ clientes que alquilan automóviles. (olución!
a) 3ea < el n6mero de clientes que alquilan automóviles tipo . Entonces, los valores posibles de < son 0,",2,,(,$. )a probabilidad del evento ?un cliente alquila un automóvil tipo @ es . )a distribución de probabilidad de < es C = = P E y P ( E )
( )
0$'
0$#
f ( k ) = P X
[
( 0$%)
%−k
"
% k = k ] = ( 0$')
k
= 0"1" 2" #" &" %
k
b) )a utilidad * que producen los cinco clientes es U = 20 + 1% X + % − X ! x = 0"1" 2" #" &" %$
%"
ado que E ( X ) = np = % × 0$'
= #
%$)a utilidad esperada es
( ) = &% + 10 E ( X ) = &% + 10 × #$% = 80
E U
DI(-+I,CI*& 4E.M5-+ICA De"inición
%$ UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 3e dice que la variable aleatoria < que se define como el n6mero de repeticiones independientes de un ensayo de Ternoulli hasta que ocurra el primer 8-ito, tiene distribución de probabilidad geom8trica con parámetro p y se escribe X función de probabilidad es
G p! , si su
f x!
= P [ X = x ] = q x−1 p
x
= 1" 2"$$$" etc $
<
-eorema$% 3i < es una variable aleatoria con distribución geom8trica
de parámetro
p , entonces
1
a$)
µ=
b$)
σ2 =
p
q p
2
E6emplo *n vendedor a domicilio hace llamadas telefónicas a clientes potenciales, )a probabilidad de vender en cada llamada es 0.02.
a) 1alcule la probabilidad de que la se-ta llamada sea su primera venta. b) 1alcule el esperado del n6mero de llamadas hasta obtener su primera venta.
c) 9:u8 probabilidad hay de que su primera venta ocurra despu8s de más de $ llamadas si ya se hizo llamadas sin 8-ito; (olución
3ea < el n6mero de llamadas hasta conseguir una venta . 3us posibles valores son ",2,,(J.etc. El modelo de probabilidad de < es geom8trica de parámetro p
= 0$02 ,
esto es
P [ X 1
= k ] = ( 0$02)( 0$8)=
k = 1" 2" #"$$$
"
a) )uego, la probabilidad de que la se-ta llamada sea su primera venta es
P [ X
= .] = ( 0$02 )( 0$8)% = 0$018
2
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1 = %0 . la larga en la llamada 0$02
b) E ( X ) =
=V $0 obtiene su primera venta.
c) El evento ?ya hizo llamadas sin 8-ito@ es equivalente al evento ?requiere hacer más de llamadas hasta que obtenga un 8-ito@. Entonces,
[
P X > % ( X 0$8 )
(
> #] =
P [ X
> # ∧ X > %]
[ > #]
P X
=
P [ X
[ >
P X
#]
> %]
%
= = ( 0$8 )
2
( 0$8)#
DI(-+I,CI*& DE PA(CA' . ,I&.MIA' &E4A-IVA De"inición$% 3i se repite en forma independiente un ensayo de Ternoulli , donde cada resultado , se dice puede ser un 8-ito con probabilidad p o un fracaso con probabilidad q = 1 − p que la variable aleatorias que se define como el numero de intentos hasta que ocurran r 8-itos, tiene una distribución Tinomial negativa o ascal con parámetros r y p y se escribe X
P r " p ! , si su función de probabilidad es
[
f k ! = P = k
] = C − −1 p q − k
r
k r
k
= r " r + 1" r + 2"$$$" etc
r 1
"
-eorema$% 3i < es una variable aleatoria con distribución de pascal con parámetros r y p, entonces 1
a)
µ=r
b)
σ 2 = r
p
q
p
2
E6emplo$ *na maquina produce artículos de uno en uno y de manera independiente. 3e considera que el "0W de ellos son defectuosos. 3i la maquina se detiene apenas produce el cuarto artículo defectuoso
#%
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP a) 91uál es el n6mero esperado de artículos producidos hasta que se detiene la maquina;
b) 91uál es la probabilidad de que la maquina se detenga en el decimo articulo producido;
#.
c) 91uál es la probabilidad de que produzca al menos "0 artículos para que la maquina se detenga;
(olución
3ea < el n6mero de artículos producidos hasta tener ( defectuosos. )a ley de y p = 0$1 . Esto es, probabilidad de < es ascal con parámetros r = &
P [ = k ]
−
= #C k 1 p& (1 − p )= &
k = &" %" .$$$$
" b)
a) E X ! = r ×
1
=&×
p
1
P
= &0
.
X
0$1
c)
k − &
P [ X
[
= 10] = C # P & (1 − P )
≥ 10] = 1 − P [& ≤ X ≤ ] =∑
k −1
C # P (1 − P ) &
k = &
1−
DI(-+I,CI*& 7IPE+4E.M5-+ICA$ .
De"inición
%$3e dice que la variable aleatoria < que se define como el numero de 8-itos en una muestra de tamaOo n que se selecciona al azar uno por uno sin reposición de = elementos o resultados posibles, de los cuales r son clasificados como 8-itos y los restantes =!r como fracasos, tiene distribución hipergeom8trica y se escribe X
" ! " n"r ! , si su función de probabilidad es
[
f x! = P X = k
]=
Ckr Cn!−− kr
C n !
k
= 0"1" 2"$$$" n
-eorema$% 3ea < una variable aleatoria con distribución hipergeom8trica " ! " n" r ! , y sean, p
= r ( ! a$)
< q = 1 − p , entonces E X ! = np
b$) Var X ! = npq
−n ! − 1 !
c$) " ! " n" r ! ≅ #n" p! , Esto es, si = tiende a
+∞
o=
es grande con respecto a n, entonces la distribución hipergeom8trica se apro-ima a una distribución binomial.
DI(-+I,CI*& DE P.I((.&$ 3e dice que la variable aleatoria discreta <, cuyos valores posibles
De"inición
son 0, ", 2, ,.., tiene distribución de oisson con parámetro y se escribe X P λ ! , si su función de probabilidad
λ λ > 0!
es f x!
e− λ
= P [ X = x ] =
"
λ x!
x
= 0"1" 2"$$$
x >
&ota! )a distribución de oisson se aplica a problemas donde la variable aleatoria es el n6mero de eventos independientes que ocurren en un intervalo de tiempo, o una región plana 5con 5con un promedio dado7, por e+emplo
=6mero de llamadas que recibe una central telefónica en el periodo de un minuto.
=6mero de accidentes de traba+o que ocurren en una fábrica durante una semana.
=umero de fallas en la superficie de una pintura rectangular.
=umero de bacterias en un volumen de un metro c6bico de agua.
E6emp E6empllo$ *na empresa te-til te-til produce un tipo de tela en rolos de "00 metros. metros. El numero de defectos que se encuentra al desenrollar la tela es una variable aleatoria de oisson que tiene en promedio ( defectos por cada 20 metros de tela.
a)
9:u8 probabilidad hay de que al desenrollar la tela se encuentre menos de tres defectos en los primeros $0 metros;
b)
4allar la probabilidad de que al desenrollar la tela no se encuentre defectos en el primer segmento de $ metros de tela.
c)
3i se desenrollan $ rollos de la tela escogidos al azar, 91uál es la probabilidad de que no se encuentre defectos en el primer segmento de $ metros de tela en al menos dos de ellos;
(olución$
3ea < el n6mero de defectos encontrados en un segmento de 20
λ = & . )a probabilidad de
metros de tela que ocurre con promedio
encontrar R defectos en el segmento de 20 × t
t
P [ X = k ]
onde
=
(λ ) k
k
"
k >
metros de tela es
= 0"1" 2"$$$
λt es el promedio de defectos en el segmento de 20 ×
metros de tela,
t
a)
El promedio de defectos en los primeros $0 metros de tela es λt = & × 2$% = 10 umenta la longitud de 20 a $0 metros7 y la probabilidad de que se 5 t = 2$% encuentren menos de tres defectos en los primeros $0 metros es 0
P [ X
(10)
< #] = P [ X ≤ 2] =
e
0>
1
−10
+
e
2
−10
(10) + e (10) = 0$002'' 1>
2>
#8
b)
El promedio de defectos en los primeros $ metros de tela es
λt = & × (1 ( & ) = 1
entonces la probabilidad de no encontrar defectos en los primeros $ metros de tela es −1
P [ X
= 0] = )
e
(1 0 = 0$#.'
0>
c)
3ea Q el numero de rollos que no tienen defectos en el primer segmento de $ metros de tela de $ rollos de tela escogidos al azar. la variable Q cuyos valores posibles son o,",2,,$ se distribuye seg6n la ley binomial # ( %" p ) donde
p = P [ X = 0]
[
.luego, P
= 0$#.' 1
≥ 2] = 1 − P [ ≤ 1] = 1 − ∑ k =0
C k P (1 − P %= %
k
) = 1 − 0$#&. = 0$.0%&
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Dis tribución de Variables Aleatorias
TEMA 2
Continuas Competencia:
8ue Analizar y resol#er problemas in#olucren distribuciones de #ariables aleatorias continuas$
29
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Tema 02: Distribución de Varia bles Aleatorias Contin?as En esta sección estudiaremos las distribuciones más importantes de variables aleatorias continuas unidimensionales. El so$orte de una v.a. continua se define como aquella región de
donde su densidad es no nula, f x! ≠ 0 . ara las
distribuciones que enunciaremos, podrá ser bien todo, un segmento de la forma
o bien
.
DI(-+I,CI*& &I).+ ME 3e dice que la variable aleatoria < tiene distribución uniforme 5o rectangular7 en el intervalo [ a " b ] " a por
X
[
]
U a" b ,
si
su
función
< b , y se describe
de
densidad
de
probabilidad es
1 x! = b − 0
"
si a ≤ x ≤ b
" en otros casos
E6emplo! os gerentes y T deben encontrarse en cierto lugar entre las ' p.m. y % p.m. para firmar un contrato. 1ada uno espera al otro a lo más "0 minutos, 91uál es la probabilidad de que no se encuentren sabiendo que llega a las '.0 p.m.; (olución$
3ea la variable aleatoria < el tiempo de llegada de T, que puede hacerlo en cualquier instante aleatorio entre las ' p.m. y las % p.m. o entre 0 y &0 minutos.
] y su función de densidad de probabilidad es
Entonces, X
1 si 0 ≤ x ≤ .0 " f x! = .0 0 " en otros casos
&1 U [0"
uesto que llega a las '.0 p.m. o a los 0 minutos despu8s de las ' p.m. y espera a lo más "0 minutos, T no se encontrara con si T llega de ' p.m. a menos de '.20 p.m. o si llega despu8s de las '.(0 p.m. , )uego , la probabilidad de que y T no se encuentran es
[
P 0 ≤ X o
≤ 20
&0 < X ≤ .0] =
20
1
∫ .0
dx +
0
.0
∫
&0
1
dx
.0
=
20 .0
+
20 .0
=
2
#
-eorema$% 3i la variable aleatoria < tiene distribución uniforme en el intervalo [ a" b ] , entonces,
a)
a+b
E X ! =
b)
Var X !
2
=
b − a !2 12
DI(-+I,CI*& &.+MA' De"inición$% 3e dice que la variable aleatoria contin6a <, que toma los valores reales
−∞ < x < +∞
con parámetros
, se distribuye normalmente 5o más brevemente es normal7
µ y σ y
se describe por X
! µ
σ" ! ,
si su función de
densidad es
f x! =
1
"
e/p
2
−
1 x − µ
− ∞ < x < +∞
2 σ
σ 2π
-eorema$% 3i la variable aleatoria < tiene distribución normal ! µ " σ 2 ! , entonces,
a)
E X !
b)
V ar X ! = σ 2
=µ
-abulación de la Distribución &ormal $
)as áreas
=
Φ $ ! = P [ % ≤ $ ]
$
∫ φ t !dt = ∫
−∞
−∞
1
e
dt que se representan en la parte
2π
sombreada de la grafica en la tabla, tiene las siguientes propiedades
[
P a ≤ %
≤ b] = Φb! − Φa!
Φ− $ ! = 1 − Φ $ ! P
[−a ≤ x ≤ a] = Φa! − Φ− a! = Φa! − 1 − Φa!! = 2Φa! − 1
E6emplos! Encuentre el valor de z para un nivel de confianza del #$W. (olución
3e utilizará la tabla que tiene el área ba+o la curva de !
hasta z. 3i lo vemos
gráficamente sería
El nivel de confianza bilateral está dividido en partes iguales ba+o la curva
En base a la tabla que se está utilizando, se tendrá que buscar el área de 0.#'$, ya que cada e-tremo o cola de la curva tiene un valor de 0.02$.
or lo que el valor de z es de ".#&.
DI(-+I,CI.&E( 4AMMA9 E:P.&E&CIA' unción 4amma De"inición$% )a función Xamma denotada por, Γ , se define por
Γ (α ) = ∫ x
∞ α
0
onde
α
1
e x d x
es un n6mero real positivo.
Propiedades!
;)
3i
α > 1 ⇒ Γ (α ) = (α − 1) Γ (α − 1) ∞
<)
Γ (1) = ∫ e− x dx = 1
=)
∫ x Γ 2 =
>)
0
1
3i
∞
0
−1( 2 −
e dx = π
α = n ≥ 1 ⇒ Γ ( n) = ( n − 1)>
Distribución 4amma De"inición$% 3e dice que la variable aleatoria continua < tiene distribución Xamma, con parámetros ) , si su función de densidad es α y β y se representa por X
β= α xα −1e− β x " si x ≥ 0 f x! = Γ (α ) si x < 0 " 0
Γ (α β
-eorema! 3i X
Γ (α " β)
a
µ=
α
b
α
σ2=
2
β
β Distribución Exponencial De"inición
%$3e dice que la variable aleatoria continua < tiene distribución e-ponencial con , si su función de densidad de parámetro β β > 0! , y se describe probabilidades es
β e− β x " si x ≥ 0 f x! = 0 " si x < 0
&ota$ cuando
)a distribución e-ponencial es un caso particular de la distribución gamma α = 1 . )uego, si la variable aleatoria < tiene distribución e-ponencial con
parámetro
β
o X
Γ (1" β , entonces tiene,
a) µ =
1
β
b) σ 2 =
1
β
2
or otra parte, su función distribución acumulada en el intervalo [0" +∞ [ es − β x e dt = 1 − x− β " 0 ≤ x < ∞ β F x! = P [ X ≤ x ] = x
∫
e
0
Pbservar tambi8n que P [ X
> x ] = 1 − P [ X ≤ x ] = e− β x " 0 ≤ x < ∞
demás, para n6meros reales positivos s y t cualesquiera, se verifica
[
P X
> s + t ( X > s ] = P [ X > t
]
En efecto,
][ P X s
] > s + t ( X > =
P
[ X > s + t
P [ X
e
− β s+t !
[
=
> s ]
e
− β s
= e − β t = P
] X
> t
DI(-+I,CI*& C7I%CAD+AD. De"inición$% 3e dice que la variable aleatoria continua < tiene distribución chi!cuadrado con r
χ 2 r !, si su función de densidad es
grados de libertad, y se representa por X
2 − r ( 2 x r ( 2−1e− x ( 2 " si x ≥ 0 f x ! = Γ r ( 2! 0 si x < 0 " Propiedades
a ) 3i % ! 0"1!, entonces , % 2 χ 2 1! b ) 3i % 1 " % 2 "$$$" son r variables aleatorias independientes tales que % i
! 0"1!
% r para cada i = 1" 2" #"$$" r
entonces
r
∑ % i =1
χ 2 1!
2
i
so de la tabla C?i%cuadrado 3i la variable aleatoria < se distribuye como una chi!cuadrado con r grados de
χ 2 r !, entonces en la tabla de probabilidades chi!cuadrado o un valor c = χ1−α mediante la relación se puede encontrar una probabilidad 1 − libertad, esto es, si X
2
" r
α 2 P X ≤ χ1−α "
= 1−α
DI(-+I,CI*& - DE (-DE&De"inición$% 3e dice que una variable aleatoria continua > se distribuye seg6n t!student 5mas brevemente seg6n t7 con r grados de libertad y se representa por &
t r ! , si su
función de densidad es,
r + 1 − r +1! ( 2 Γ 2 2 t 1+ f t ! = " − ∞ < x < +∞ , r r Γ r π ! 2 onde r es un entero positivo.
Propiedades$ i
3i < tiene distribución t!student con r grados de libertad, entonces su media y su varianza son respectivamente,
ii
µ=0
σ2 =
r r−2
"r>2
3u grafica tiene forma de campana de Xauss, sim8trica en cero
iii )a varianza de la distribución t es mayor que de la distribución =50,"7. ero cuando r
→ +∞ , la varianza de
la t tiende a "
i% )a distribución t se apro-ima a una distribución =50,"7, cuando r
→ +∞ . )a apro-imación es buena, si r ≥ 0 .
so de la -abla t%(tudent$ 3i la variable aleatoria > tiene distribución t!3tudent con r grados de libertad, o &
t r ! , en la tabla de probabilidades t!3tudent se puede encontrar una probabilidad
1 − α o un valor c = t 1−α "r mediante la relación P &
≤ t −α "r = 1 − α . 1
DI(-+I,CI*& De"inición
%$3e dice que una variable aleatoria continua < se distribuye seg6n H con
r 1 y r 2 grados de libertad y se representa por X
F r 1 " r , si su función de densidad
es,
r 1 r ( 2 r 1 + r 2 Γ 2 r 2 $ f x ! = r r 1 2 Γ Γ 2 2 1
1
x
r ( 2! −1
< 0 ≤ x < ∞
r 1 + r 2 ! ( 2
r x r 2
onde r 1 y r 2 son n6meros enteros positivos.
(. DE 'A -A,'A 3i la variable aleatoria X una probabilidad 1
α
−
F r 1 " r , en la tabla de probabilidad H se puede encontrar
o un valor c = F
, mediante la relación
1−α " r 1 " r 2
[
≤ c ] = 1 −
P X
α
-eorema%
3i < tiene distribución H con grados de libertad r 1 y r 2 , entonces
tiene distribución H con grados de libertad r y r , esto es 2 1
F 1−α "1r " r
2
=
1
F α " r 2 "r
1
1( X
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A plicación de la
TEMA 3
Distribución 9ormal Competencia:
Analizar la importancia de la distribución normal$
2J
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
Tema 0#: Aplicación de la Distribución 9ormal
1omo se ha mencionado anteriormente, la ley de probabilidad gaussiana la encontramos en la mayoría de los fenómenos que observamos en la naturaleza, por ello gran parte de lo que resta del curso lo vamos a dedicar a su estudio y a la de las distribuciones asociadas a ella. 3in embargo, a pesar de su utilidad, hay que apuntar un hecho negativo para esta ley de probabilidad )a función
e − x
2
no posee primitiva
)as consecuencias desde el punto de vista práctico son importantes, ya que eso impide el que podamos escribir de modo sencillo la función de distribución de la normal, y nos tenemos que limitar a decir que
(
F x
[
) = P X ≤ x
x
] = ∫ f (t ) dt = −∞
3 se
1
2
1 t − µ
x
−
∫
e
σ
2 σ
2π
dt
−∞
5din poder hacer uso de ninguna e-presión que la simplifique. cáfortunadamente esto no impide que para un valor de x fi+o, F 5 x 7 pueda pr r calculado. e hecho puede ser calculado con tanta precisión ecimales7 como se quiera, pero para esto se necesita usar t8cnicas de lculo num8rico y ordenadores. ara la utilización en problemas ácticos de la función de distribución F , e-isten ciertas tablas donde se ofrecen 5con varios decimales de precisión7 los valores F 5 x 7 para una serie limitada de valores x i dados. =ormalmente F se encuentra tabulada para una distribución Z , normal de media 0 y varianza " que se denomina distribución normal tipificada
;9
En el caso de que tengamos una distribución diferente,
se obtiene Z
haciendo el siguiente cambio
E6emplo ;! )as alturas de las mu+eres +óvenes argentinas están apro-imadamente distribuidas normalmente con Y A "&0 cm Z A ( cm. 3ea < A altura de una mu+er argentina +oven, elegida al azar, < es una variable aleatoria continua y su función de densidad de probabilidad está dada por
f X x! =
En 4eneral9
1 2πσ
e
x −2 µ ! − 2σ 2
si la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria <
está dada por la e-presión anterior, decimos que < tiene distribución normal de 2
parámetros con Y y Z
X ! ( µ
σ" )
P+.PIEDADE( DE 'A DI(-+I,CI*& &.+MA' 3ea X ! ( µ
−µ a) $ = σ X
b)
σ" )
, entonces
( )
! 0"1
r. distribución =ormal Estánda
ax + b ! ( aµ + b" a
2
σ 2)
3iguiendo con el e+emplo 91uál es la probabilidad de que una mu+er +oven elegida al azar tenga una altura entre "&0 cm y "&% cm; Becordemos que < A altura de una mu+er argentina +oven, elegida al azar entonces
X ! ( µ
σ" )
con Y A "&0 cm y Z A ( cm
;1
1.0 − 1.0 X − µ 1.8 − 1.0 <σ < & < 1.8] = P & = P [0 < $ < 2] = Φ ( 2) − Φ ( 0 ) = 0$''2 − 0$%00 = 0$&''2 P [1.0 < X
E6emplo
( &%" 1)
, y queremos calcular la probabilidad de que X tome un
valor entre # y (%, es decir,
1omenzamos haciendo el cambio de variable
de modo que
;8
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Apro/imaciones TEMA a la
Distribución 9ormal
4
Competencia:
Aplicar la aproximación a la distribución normal$
;
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Tema 0&: Apro/imaciones a la Distribución 9ormal 3e puede demostrar Kteore!a central del l0!ite que una v.a. discreta con distribución binomial,
se puede apro-imar mediante una distribución
normal si n es suficientemente grande y p no está ni muy pró-imo a 0 ni a ". 1omo el valor esperado y la varianza de X son respectivamente np y npq, la apro-imación consiste en decir que
. El convenio que se suele
utilizar para poder realizar esta apro-imación es
aunque en realidad esta no da resultados muy precisos a menos que realmente n sea un valor muy grande o .
-E.+EMA DE' '@MI-E CE&-+A' El teorema del límite central establece que si se tienen n variables aleatorias, <", <2, ...,
;2
E6emplo! urante cierta epidemia de gripe, enferma el 0W de la población. En un aula con 200 estudiantes de [edicina, 9cuál es la probabilidad de que al menos (0 padezcan la enfermedad; 1alcular la probabilidad de que haya &0 estudiantes con gripe.
(olución!
)a variable aleatoria. :ue contabiliza el n6mero de alumnos que padece la gripe es
1uya media es
µ = n$ p =
y su varianza es
σ 2 = npq = &2 .
Bealizar los
.0 cálculos con la ley binomial es muy engorroso, ya que intervienen n6meros combinatorios de gran tamaOo, y potencias muy elevadas. or ello utilizamos la apro-imación normal de X , teniendo en cuenta que se verifican las condiciones necesarias para que el error sea aceptable
%%
sí apro-imando la v.a. discreta binomial X , mediante la v.a. continua normal X N tenemos
>ambi8n es necesario calcular
p [ x
= .0] .
Esta probabilidad se calcula
e-actamente como
ada la dificultad num8rica para calcular esa cantidad, y como la distribución binomial no está habitualmente tabulada hasta valores tan altos, vamos a utilizar su apro-imación normal, X N. ero hay que prestar atención al hecho de que X N es una v.a. continua, y por tanto la probabilidad de cualquier punto es cero. En particular,
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lo que ha de ser interpretado como un error de apro-imación. 4ay m8todos más apro-imados para calcular la probabilidad buscada. or e+emplo, por el valor de la función de densidad de X N podemos apro-imar p x =
[ .0]
en ese punto 5es en el 6nico sentido en que se puede entender la función de densidad de la normal como una apro-imación de una probabilidad7.
As!
or 6ltimo, otra posibilidad es considerar un intervalo de longitud " centrado en el valor &0 del que deseamos hallar su probabilidad y hacer
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3ecturas 4ecomendadas
DI(-+I,CI*& &.+MA' +tt$:FF.uca. esFucaFd$toF#12
DI(-+I,CI*& DE P+ .,A,I'IDAD DE VA+IA,'E( A'EA-.+IA( DI(C+ E-A( +tt$:FF.ita$i'aco.edu.!)F O BoseluisF a $untesFestadisticaFdistribuciones89disc retas. $d*
VA+IA,'E( A'EA-.+IA( C.&-I&A( +tt$:FF .d!.uba.arF!ateriasF$robabilidadesestad istica#F8911F1FP &E#9<.$d*
Acti5idades * 67er cicios 1 ngresa al linR “Distribución” lee atentamente las indicaciones, desarróllalo y envíalo por el mismo medio. 4acer uso de la distribución normal en los problemas de casos reales.
• 3uponga que la demanda mensual de un bien de consumo se
•
distribuye normalmente con una media de &$0 Rilogramos y una desviación estándar de "00 Rg. 9:u8 probabilidad hay de que la demanda no supere los $00 Rg; El porcenta+e del ingreso ahorrado por las familias tiene distribución normal con una media del "0W. etermine la desviación estándar
[ > t ] , si el 2.2%W de los ahorros son mayores que "2.(W
P X
• 3uponga que el ingreso familiar mensual en una comunidad tiene distribución normal con media U&00 y desviación estándar U"00. 1alcular la probabilidad de que el ingreso de una familia escogida al azar sea menor que U(00.
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Autoe5aluación
1 La $robabilidad de ,ue cierto ti$o de obBeto $ase con )ito una deter!inada $rueba es ;F<. Se $rueban 19 de tales obBetos. Si es la %ariable aleatoria ,ue se de*ine co!o el n(!ero de obBetos ,ue no $asan la $rueba. 1alcular la media de esta distribución. a. .2($& b. 0.$000 c. ".&&' d. 2.$ e. "."'''
8 Su$ón-ase ,ue la te!$eratura T durante Bunio est" distribuida nor!al!ente con !edia <Q & des%iación est"ndar
0,(' 0,($& 0,$&' 0,2( 0,'%#
Los $esos de 8 999 soldados $resentan una distribución nor!al de !edia <; - & des%iación t0$ica -. #alcula la $robabilidad de ,ue un soldado ele-ido al a'ar $ese M"s de <1 -. a. b. c. d. e.
0."$ 0.$000 0. ".0000 0.2222
2 La duración de un l"ser se!iconductor a $otencia constante tiene una distribución nor!al con !edia C.999 +oras & des%iación t0$ica de <99 +oras. #u"l es la $robabilidad de ,ue el l"ser *alle antes de ;.999 +oras a. 0.%'&$ b. 0.000( c. 0.2($& d. 0.$2" e. 0.($& ; Su$on-a ,ue la duración de los *ocos ,ue $roduce una co!$a0a se distribu&e nor!al!ente. si el 1.21 de estos *ocos duran !enos de .8 !eses & el <.< duran al !enos 1 !eses. calcular la !edia & la %arian'a de la duración de los *ocos µ = 10 " σ = 2 a. b. µ = 12 " σ = 2 c. µ = 8 " σ = 1 d. µ = 12 " σ = 1" % e. µ = 8 " σ = 2
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4esumen
9IDAD D6 AP4 6 9DIA;6 II:
3ea un espacio probabilístico y sea < una variable aleatoria discreta que toma como posibles valores - ,- ,.....- , se define la distribución de probabilidad de < como el "
2
n
con+unto de pares K)i / $i que a cada valor de la variable le asocia una probabilidad, donde $i PK)i , tal que la suma de todas las probabilidades es igual a la unidad. En la distribución de variables discretas encontramos istribución de Ternoulli, istribución Tinomial, istribución Xeom8trica, istribución de ascal o Tinomial negativa, istribución hipergeom8trica.
3i la variable aleatoria es continua, hay infinitos valores posibles de la variable y entra cada dos de ellos se podrían definir infinitos valores. En estas condiciones no es posible deducir la probabilidad de un valor puntual de la variable como se puede hacer en el caso de las variables discretas. ero sí es posible calcular la probabilidad acumulada hasta un cierto valor 5función de distribución7 y cómo cambia esa probabilidad acumulada en cada punto 5densidad de probabilidad7. or tanto, cuando la variable aleatoria sea continua hablaremos de función de densidad.
uede tomar cualquier valor
( −∞" +∞ )
4ay más probabilidad para los valores cercanos a la media 1onforme nos separamos de
µ
µ
, la probabilidad va decreciendo de igual forma a
derecha e izquierda 5es sim8trica7. 1onforme nos separamos de µ , la probabilidad va decreciendo dependiendo la desviación típica s.
El teorema del límite central establece que si se tienen n variables aleatorias, <", <2,...,
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<1
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Introducción
a) Presentación y contextualiza ción )os temas que se tratan en la presente unidad, tienen por finalidad que el estudiante desarrolle y e+ecute el concepto de distribución muestral durante su proceso de formación profesional y contribuyan en el logro de su perfil profesional.
b) Competencia Inter$reta las caracter0sticas & *unciones del !uestreo aleatorio as0 co!o sus a$licaciones.
c) Capacidades 1. Beconoce la importancia del concepto de muestreo aleatorio. 8. Besuelve problemas que involucren distribuciones muestrales de la media y proporción.
. naliza la importancia de la distribución muestral de la diferencia de dos medias.
2. naliza la importancia de la distribución muestral de la diferencia de dos proporciones.
d) Actitudes
precia críticamente las diferentes venta+as y desventa+as del muestreo aleatorio.
/alora el las etapas de la distribución muestral de la media y proporción.
>oma una actitud con capacidad crítica para la ddistribución muestral de la diferencia de dos medias.
/alora a la distribución muestral de la diferencia de dos proporciones.
e) Presentación de ideas básicas y conte nidos esenciales de la unidad! La Unidad de A$rendi'aBe 9: Distribuciones Muestrales/ comprende el desarrollo de los siguientes temas
TEMA 91: Muestreo Aleatorio. TEMA 98: Distribución Muestral de la Media & Pro$orción. TEMA 9: Distribución Muestral de la Di*erencia de Dos Medias. TEMA 92: Distribución Muestral de la Di*erencia de Dos Pro$orciones.
<8
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)uest reo
TEMA 1
Aleatorio Competencia:
+econocer la importancia del concepto de muestreo aleatorio$
<
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Desarrollo de los Temas Tema 01: )uestreo
Aleatorio
ME(-+E. Se llama muestreo al procedimiento mediante el cual obtenemos una ó más muestras.
Entonces la t8cnica de elegir la muestra se llama muestreo, el ob+etivo principal de un diseOo
de
muestreo
rocedimientos
para
muestra
sea
que
la
es
proporcionar
selección
de
la
representativa
de
la
población en estudio. )a utilización de las t8cnicas de muestreo es muy amplia se usa en agricultura, ganadería, industria. 1omercio, servicios y en las diferentes áreas del conocimiento humano como biología, medicina. ngeniería, psicología. 3ociología, mercadotecnia, antropología etc.
Venta 6as! *n costo más ba+o, es la razón principal en la utilización del muestreo en lugar de una enumeración completa. )os datos pueden ser recolectados con mayor rapidez cuando se traba+a con una muestra que con toda la población. *na muestra e-igiría menos personal por lo tanto se podría seleccionar y adiestrar me+ores empleados y el traba+o podría ser supervisado más estrechamente. )a recolección de datos de una muestra conducen a datos más precisos que los que podrían ser obtenidos reuniendo datos de todas las unidades. 1uando la población es infinita o tan grande de tal manera que el censo e-ceda las posibilidades del investigador. 1uando la población es suficientemente uniforme. 1uando el proceso de medida o investigación de las características de cada elemento sea destructivo.
.&
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De"inición de la Población en Estudio El primer problema es definir la población ba+o estudio. )a poblaciones el con+unto de unidades que el investigador desea estudiar de las cuales planea generalizar y debe ser preciso al definir la población. Ejemplo 1: )a población puede consistir en todas las universidades en )ima
metropolitana. Ejemplo 2: )a población puede ser todos los establecimientos de comestibles
ubicados en el distrito de la /ictoria.
De"inición de las Variables Bue se Estudian El segundo problema a considerar es la definición de las variables que se van a estudiar. Ejemplo:
3upongamos
que
una
embotelladora
desea determinar si los establecimientos de víveres de )ima metropolitana vende una marca específica de refresco, en este caso sólo se está estudiando una variable y puede dar una definición estricta\ una tienda tiene en e-istencia el refresco o no la tiene.
DI(E. DE ME(-+A( El diseo de la muestra es la tercera di!icultad suscitada en cual"uier operación de muestreo y puede ser di#idida en:
)a determinación de las unidades de muestreo. )a selección de los elementos de la muestra y determinación del
tamaOo de la muestra.
Estimación de las características de la población con los datos de la muestra.
(elección de
las nidades de Muestreo
3e llama unidad de muestreo a las colecciones dis+untas de la población, en algunos casos una unidad muestral está constituida por un solo elemento. E+emplo 1onsid8rese el problema de hallar la proporción de establecimientos de comestibles en la /ictoria que venden epsi cola. quí el establecimiento de comestibles sería la unidad observada y por lo tanto sería razonable considerar un procedimiento de muestreo directo. ada una lista de todos los establecimientos de comestibles de dicha área sería relativamente fácil escoger una muestra.
(elección de
la Muestra
Ptra parte del problema del diseOo muestra es el m8todo de escoger los componentes de muestra. *na muestra debe ser representativa si va a ser usada para estimar las características de la población. )os m8todos para seleccionar una muestra representativa son nume rosos, dependiendo del tiempo y del dinero y habilidad para tomar una muestra y la naturaleza de los elementos individuales de la población.
$os m%todos más comunes podemos di#idirlos de la si&uiente manera:
or el n6mero de muestras tomadas de una población. por la manera usada en seleccionar los elementos incluidos en la [uestra.
a) Métodos en unción del &mero de Muestras! i. Muestreo Si!$le El muestreo es simple sí sólo se toma una muestra de la población en este caso, la muestra debe ser lo suficiente grande para e-traer una conclusión. *na muestra grande generalmente cuesta mucho dinero.
ii. Muestreo Doble 1uando el resultado del estudio de la primera muestra no es decisivo, una segunda es e-traída de la misma población y las dos muestras son combinadas para analizar los resultados.
<<
b) Muestreo en unción a la Manera de (elección de los Elementos $os elementos de una muestra pueden ser seleccionados de dos maneras di!erentes: i. 'uestreo de (uicio )no probabil*stica+
)lamado así porque sus elementos son seleccionados mediante el +uicio personal. )a persona que selecciona los elementos de la muestra visualmente es un e-perto en la materia dada. *na muestra de +uicio es llamada muestra no probabilística. uesto que 8ste m8todo está basado en los puntos de vista sub+etivos de una persona ii. 'uestreo ,leatorio
*na muestra se dice que es aleatoria cuando la manera de seleccionar es tal que cada elemento de la población tiene igual oportunidad de ser seleccionado a esta muestra tambi8n se le conoce como probabilística puesto que cada elemento tiene una probabilidad conocida. )a aplicación de este m8todo naturalmente presupone la disponibilidad de una lista de todas las unidades de muestreo en la población, llamándose marco y proporciona la base para la selección de la muestra. Es deseable que este marco contenga todas las unidades mu8strales que son de inter8s y que no incluya unidades falsas ni tampoco elementos repetidos.
$os tipos más comunes de muestreo aleatorio son:
[uestreo aleatorio simple [uestreo estratificado [uestreo sistemático [uestreo por conglomerado.
Error de Muestreo 1ualquiera que sea el m8todo de selección una estimación por muestra diferirá de la que se obtenga utilizando todos los elementos de la población, a esta diferencia entre
el valor de la muestra y el valor de la población se llama error de muestreo.
Muestreo Aleatorio Si!$le *na muestra aleatoria simple es seleccionada de tal manera que cada muestra posible del mismo tamaOo tiene igual probabilidad de ser seleccionada de la población. *n m8todo simple para obtener los elementos de la muestra aleatoria simple es utilizando las tablas de n6meros al azar y puede ser resumido de la siguiente manera =um8rese cada componente de la población desde el " hasta = 5n6mero total de la población. 1omenzando en alg6n lugar previamente seleccionado en una tabla de n6meros al azar, prec8dase sistemáticamente a trav8s de la tabla utilizando tantas cifras como sean necesarias. or e+emplo 3i la población tiene #0 elementos tómese 2 dígitos cada vez y así sucesivamente.
Distribución Nor!al Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones Estadísticas. 3u propio nombre indica su e-tendida utilización, +ustificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a arecerse en su comportamiento a esta distribución. [uchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana.
En otras ocasiones- al considerar distribuciones binomiales- tipo )n-p+- para un mismo #alor de p y #alores de n cada #e/ mayores- se #e "ue sus pol*&onos de !recuencias se aproximan a una cur#a en 0!orma de campana0. En resumen- la importancia de la distribución normal se debe principalmente a "ue ay mucas #ariables asociadas a !enómenos naturales "ue si&uen el modelo de la normal Caracteres morfológicos de individuos 5personas, animales, plantas,...7 de una
especie, p. e+. tallas, pesos, envergaduras, diámetros, peri metros,.. . Caracteres fisiológicos, por e+emplo efecto de una misma dosis de un fármaco,
o de una misma cantidad de abono. Caracteres sociológicos, por e+emplo consumo de cierto producto por un mismo
grupo de individuos, puntuaciones de e-amen.
<
Caracteres
por e+emplo coeficiente intelectual, !grado de
psicológicos,
adaptación a un medio. De!inición. 3e denomina estadística a cualquier función de las variables aleatorias
que constituyen la muestra. *na estadística es una variable aleatoria n6mero real
y
= " X 1 " X 2 "$$$" X n ! ,
cuyo valor es el
= " x1 " x2 "$$$" xn ! . El t8rmino estadística se usa para referirse tanto a la
función de la muestra, como al valor de esta función.
En
&eneral
para
cada
parámetro
poblacional
ay
una
estad*stica
correspondiente a calcularse a partir de la muestra. ,l&unas caracter*sticas importantes y sus #alores calculados a partir de una muestra aleatoria son: 1 n 1 n X = X i , con x = x a+ )a media muestral n i =1 i
valor n
b+ )a varianza muestral S
2
∑
∑ i =1
=
1
∑ ( X − X )
n
i i =1
c+ )a desviación estándar muestral S
=
S
2
n
2
n
, con valor 2 s
=
1
∑(
− x )
x n i i=1
2
d+ )a proporción muestral 5porcenta+e de 8-itos en la muestra7 P o P
donde X i P tambi8n ,
=
1
n
∑
X , n i =n i #1" p ! 5el parámetro p es el porcenta+e de 8-itos de la población7.
=
X n
, donde X #n" p!
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Distribución )uestral de )edia *
la
TEMA 2
Pr oporción Competencia:
+esol#er problemas 8ue in#olucren distribuciones muestrales de la media y proporción$
C9
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Tema 02: Distribución )uestral de la )edia * Proporción DE)I&ICI*&
%$3e denomina distribución muestral de una estadística a su
distribución de probabilidad
Distribución Muestral de la Media X Teore!a.! 3ea
X 1 " X 2 "$$$" X n , una muestra aleatoria de tamaOo n escogida
de una población f5-7 con media
µ
y con varianza
σ 2.
3i X es la media
muestral, entonces,
( ) =µ
a + E X
(
σ = ) n 2
b + Var X
c + para n suficientemente grande , la variable aleatoria ,
%
=
X
σ(
−µ n
>iene distribución apro-imadamente normal ! 0"1! .
&otas$ a )a apro-imación de X a la normal ! µ " σ 2 ( n! es buena si
n
≥ #0 , sin
importar si la población es discreta o continua.
b 3i la muestra aleatoria es escogida de una población normal ! µ " σ 2 ! , 2
entonces, la distribución de X es e-actamente normal ! µ " σ ( n! , para cualquier tamaOo de muestra, n ≥ 2
c )a varianza de la media Var ( X ) =
σ 2
n
es válida, si el muestreo es con o sin
reemplazo en una población infinita, o es con reemplazo en una población finita de tamaOo =.
'1
3i el muestreo es sin reemplazo en una población finita de tamaOo =, entonces,
σ
la varianza de la distribución de X es σ=2 ! − n el coeficiente ! − n se denomina factor de 2
X
n
! 1 −
!
−1
corrección para población finita. Pbservar que cuando ! → +∞ el factor de corrección tiende a uno.
d )a desviación estándar de una estadística es conocida como error estándar.
Ejemplo 31
)a altura media de (00 alumnos de un plantel de secundaria es de ".$0 metros y su desviación típica es de 0.2$ metros. eterminar la probabilidad de que en una muestra de & alumnos, la media sea superior a ".&0 metros.
Solución.
(
> 1$.0) = ;
=
1$.0 − 1$%0 = 2$&0 0$2% ( #.
P X
$
$ = 2$&0 → A ( 0$&18) P = 0$%000 − 0$&18 = 0$0082 = 0$82@
EBe!$lo 98 3e tiene para la venta un lote de "000 pollos, con un peso promedio de .$ Rg y una desviación estándar de 0."% Rg. 91uál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria, "00 pollos de esta población, pesen entre .$ y .$& Rg;
Solución.
µ = #$% " σ = 0$18 " n = 100 " P ( #$%# < $ =
X − µ
σ(
n
=
#$%. − #$% 0$18 ( 100
$
= #$## → A ( 0$&.)
$
=
$
= 1$.. → A ( 0$&%1%)
X
< #$%.) =
= #$##
#$%# − #$% = 1$.. 0$18 ( 100
Ejemplo 34:
*na empresa el8ctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye apro-imadamente en forma normal, con media de %00 horas y desviación estándar de (0 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de "& focos tenga una vida promedio de menos de ''$ horas. Solución:
'#
Este #alor se busca en la tabla de /
)a interpretación sería que la probabilidad de que la media de la muestra de "& focos sea menor a ''$ horas es de 0.00&2.
Ejemplo 35:
)as estaturas de "000 estudiantes están distribuidas apro-imadamente en forma normal con una media de "'(.$ centímetros centímetros y una desviación desviación estándar estándar de &.# centímetros. 3i se e-traen 200 muestras aleatorias de tamaOo 2$ sin reemplazo de esta población, determine a. El n6mero de las medias muestrales "ue caen entre 172.8 y 178.9 cent*metros. b. El n6mero de medias muestrales muestrales "ue caen por debajo debajo de 172 cent*metros. Solución:
1omo se puede observar en este e+ercicio se cuenta con una población finita y un muestreo sin reemplazo, por lo que se tendrá que agregar el factor de corrección. 3e procederá a calcular el denominador de ] para sólo sustituirlo en cada inciso.
a.
)3.737+)233+;182 medias muestrales
b.
)3.344+)233+; )3.344+)233+; 7 medias muestrales
Distribución Muestral de la Proporción
X 1 " X 2 "$$$" X una muestra aleatoria de tamao n extra*da de la población
Sea
n
#1" p! - donde p es el porcentaje de %xitos en la población y sea de ernoulli
P
=
X 1 + X 2
+ $$$ + X n
n
=
$a proporción de %xitos en la muestra- siendo-
X n X
= X 1 + X 2 + $$$ + X
una
n
#n" p! - entonces#ariable binomial
a+
X 1 1np! = p X µ p = E P ! = E = E X ! = n n n
b+
X 1 σ p2 = V P ! = V n =n 2
V X ! =2 n
1
p1 − p!
[np1 − p!] = n
c + 3i n es suficientemente grande , entonces la variable aleatoria
%
=
P − p p1 − p! ( n
'%
Notas: 1+. El error de P es
σ p =
p1 − p! n
2+. 3i la población es finita de tamaOo = y el muestreo es sin reposición el error
estándar 5desviación estándar de la hipergeom8trica7 es p1 − p! ! − n
σ p =
!−1
n
! − n Pbservar que si = es grande con respecto a n el factor de corrección se ! − 1
apro-ima a la unidad.
4+. 3i n es suficientemente grande n
≥ #0 ,
c p ≤ −σ p
p P ≤ c! ≅ p %
3in embargo apro-imaciones satisfactorias se obtienen si se introduce el factor de corrección por continuidad
1 . )uego, 2n
c 1 p + 2n − p P ≤ c! ≅ p % ≤ σ p 5+. Pbservar que las dos e-presiones de ]
% =
− n p = np1 − p! X
P − p p1 − p !
Donde = es binomial y P es el porcentaje de %xitos en la muestra- tiene ! 0"1! . distribución
EBe!$los: 1. Se tiene "ue el 5> de las pie/as producidas por cierta ma"uina son de!ectuosas- ?@uál es la probabilidad de "ue un &rupo de 233 pie/as- el 4> o más sean de!ectuosasA de!ectuosasA Solución.
µ = p = 0$0& " p
σ =
P'
P
= p = 0$0#
( 0$0&) ( 0$.)
=
n
P B
200 200
= 0$01&
Se desea deter!inar la $robabilidad P ( p ≥ 0$0#) $ =
p − µ p P'
0$0# − 0$0&
=
n $
= −0$'1
( 0$0&) ( 0$.) 200 200
= −0$'1 → A ( 0$2.12 )
p = 0$2.12
+ 0$%000 = 0$'.12
Entonces
8. Se desea estudiar una muestra de 5B personas para saber la proporción de las mayores de 53 aosC sabiendo "ue la proporción en la población es 3.5. ?@uál es la probabilidad de "ue la proporción en la muestra sea menor de 3.8A Solución. P = 0$& " P p < 0$% n = & "
(
$ =
$
p − µ p P' n
=
0$% − 0$&
( )( ) 0$&
0$.
&
= 1$ → A ( 0$&2#.)
) =
= 1$
P = 0$%000 + 0$&2#. = 0$2#. Entonces
JJ P
p 0
%$ 0$2#. 2$#.@
. (&W de los sindicatos del país están en contra de comerciar con china continental\ 91uál es la probabilidad de que una encuesta a "00 sindicatos muestre que más del $2W tengan la misma posición;
2. )a probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad es 0.(. 91uál es la probabilidad de que en una muestra de "00 pacientes seleccionados de una población de "000 que sufren la enfermedad, más del 0W sobrevivan;
;. 3e ha determinado que el &$W de los estudiantes universitarios de )ima prefieren los cuadernos marca profesional. 91uál es la probabilidad de que en una muestra de "00 universitarios de dicha ciudad;, encontremos que
a 1omo má-imo el &%W sean usuarios de ese tipo de cuaderno
b E-actamente
&&W
sean
usuarios
5utilizar medio punto de porcenta+e para los límites7.
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
Distribución )uestral de
la
TEMA 3
Difer encia de Dos )edias Competencia:
Analizar la importancia de la distribución muestral de la di"erencia de dos medias$
CJ
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Tema 0#: Distribución )uestral de la Diferencia de Dos ) edias DI(-+I,CI*& DE DI)E+E&CIA( E&-+E D.( MEDIA( ME(-+A'E( 3e tienen dos poblaciones independientes identificadas la primera por < y la segunda ! 1 y ! 2 , cuyas medias se simbolizan por µ y µ , y sus x y por Q, de tamaOo desviaciones típicas son
σ x y σ y $ 3e
obtiene un numero 5[7 de pares de muestras.
)as medias muestrales de la primera población se identifican por X 1 < X 2 <$$$$< X ( . Q las muestras de la segunda variable por 1 < 2 <$$$$< ( . )a media de las diferencias de todos los pares o medias muestrales posibles, es igual a la diferencia entre las medias poblacionales
µ− =µ −µ x y
x
y
$a des#iación t*pica de las di!erencias entre los pares de medias muestrales se simboli/a por: 2
σ x − y = σ x + σ y n1
2
n2
Suponiendo "ue la distribución de di!erencias entre las medias muestrales ten&a un comportamiento similar a la distribución normal- la #ariante estad*stica estará dada por:
%
=
( x − y ) − µ − x
σ x − y
Entonces %
= ( x − y ) − ( µ x − µ y )
σ x2 σ y2 + n1
n2
80
3e puede aplicar esta distribución cuando no se conoce n las varianzas poblacionales
σ2
y
x
σ 2 y , las cuales pueden ser sustituidas por varianzas muestrales s x2 y s y
2
siempre
y cuando que n1 y n2 sean mayores que 0. lgunos autores consideran si n1
+ n2 > #0 . 3iendo su fórmula x − y ) − ( µ − µ ) ( % = x
2
s x n1
y
2
+
s y
n2
Ejemplo 31:
3e tienen dos poblaciones normales e independientes, donde la media de la segunda población es 0.&$ menor que la de la primera\ si se obtienen muestras de tamaOo ""0 y "20 y si las respectivas desviaciones típicas poblacionales son "2 y %, se pide determinar la probabilidad de que, en un par de muestras, la diferencia entre ambas medias muestrales sea superior a " en valor absoluto. Solución.
= 100
µ x − µ y = 0$.% "
n1 "
3e pide P ( x − y
> 1)
n2
= 120 " σ x = 12" σ y = 8
Entonces
1&& σ x2 σ y = + = + 2
σ x− y
n1
100
n2
.& 120
= 1$&0
( x − y ) − ( µ − µ x
$ =
$ =
" $
y
)
σ x − y
1 − 0$.%
= 0$2%
$ =
1$&0 = 0$2% → A ( 0$08')
[
−1 − 0$.%
= −1$18
1$&0 " $ = −1$18 → A ( 0$#810)
] = 0$%20#
Entonces P = 1 − 0$08' + 0$#810
Ejemplo 2
En un estudio para comparar los pesos promedio de niOos y niOas de se-to grado en una escuela primaria se usará una muestra aleatoria de 20 niOos y otra de 2$ niOas. 3e sabe que tanto para niOos como para niOas los pesos siguen una distribución normal. El promedio de los pesos de todos los niOos de se-to grado de esa escuela es de "00 libras y su desviación estándar es de "(."(2, mientras que el promedio de los pesos de todas las niOas del se-to grado de esa escuela es de %$ libras y su desviación estándar es de "2.2(' libras. 3i de 20 niOos y
representa el promedio de los pesos
es el promedio de los pesos de una muestra de 2$ niOas, encuentre
la probabilidad de que el promedio de los pesos de los 20 niOos sea al menos 20 libras más grande que el de las 2$ niOas. Solución: Datos: "A
2
"00 libras
A %$ libras
"A
"(."(2 libras
2A
"2.2(' libras
n" A 20 niOos n2 A 2$ niOas A;
or lo tanto- la probabilidad de "ue el promedio de los pesos de la muestra de nios sea al menos 23 libras más &rande "ue el de la muestra de las nias es 3.138.
82
Entonces
p x A − x #
> 20 = P [ $ > 1$2%] = 1 − P [ $ ≤ 1$2%] = 1 − Φ (1$2%) = 1 − 0$8&& = 0$10%.
EBe!$lo 9: *no de los principales fabricantes de televisores compra los tubos de rayos catódicos a dos compaOías. )os tubos de la compaOía tienen una vida media de '.2 aOos con una desviación estándar de 0.% aOos, mientras que los de la T tienen una vida media de &.' aOos con una desviación estándar de 0.'. etermine la probabilidad de que una muestra aleatoria de ( tubos de la compaOía tenga una vida promedio de al menos un aOo más que la de una muestra aleatoria de (0 tubos de la compaOía T. Solución: Datos:
A '.2 aOos
T
A &.' aOos
A TA
0.% aOos 0.' aOos
n A ( tubos nT A (0 tubos A;
p x Entonces = p
A
− x > 1 ( x A − x # ) − ( µ A − µ # ) σ A + σ # n A n #
>
2
2
(
1 − '$2 − .$'
)
( 0$8)2 + ( 0$' ) 2
#&
&0
= P [ $ > 2$8&] = 1 − P [ $ ≤ 2$8&] = 1 − Φ ( 2$8&) = 1 − 0$'' = 0$002#
Ejemplo 35:
3e prueba el rendimiento en RmI) de 2 tipos de gasolina, encontrándose una desviación estándar de ".2RmI) para la primera gasolina y una desviación estándar de ".'RmI) para la segunda gasolina\ se prueba la primera gasolina en $ autos y la segunda en (2 autos. a. 91uál es la probabilidad de que la primera gasolina de un
rendimiento promedio mayor de 0.($RmI) que la segunda gasolina; b. 91uál es la probabilidad de que la diferencia en rendimientos
promedio se encuentre entre 0.&$ y 0.%RmI) a favor de la gasolina ";
Solución:
En este e+ercicio no se cuenta con los parámetros de las medias en ninguna de las dos poblaciones, por lo que se supondrán que son iguales.
2
Datos:
"A
".2 ^mI)to
2A
".' ^mI)to
n" A $ autos n2 A (2 autos a.
b.
A;
;
)a probabilidad de que la diferencia en rendimientos promedio en las muestras se encuentre entre 0.&$ y 0.% ^mI)to a favor de la gasolina " es de 0.0""'.
;
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Distribución )uestral de
la
TEMA 4
Difer encia de dos Pr oporciones Competencia:
Analizar la importancia de la distribución muestral de la di"erencia de dos proporciones$
<
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Tema 0&: Distribución )uestral de la Diferencia de Dos Proporciones En el caso de dos poblaciones independientes de tamaOo ! 1 y ! 2 , distribuidas binomialmente, con parámetros, medias proporcionales P 1 y P 2 5tambi8n se pueden representar las medias por
σ P =
σ P
y
1
2
P 1'1
µ P y µ P 7 y desviaciones proporcionales σ P 1
2
1
y σ P , siendo 2
P 2 '2 , el error estándar de las diferencias entre las dos
=
medias proporcionales estará dada por P 1'1 P 2 '2 1uando son valores poblacionales.
σ P − P = 1
n
2
+
n
1
2
1uando n 1 y n 2 corresponden a muestras grandes, es decir, ambas superiores a 0.
=
s P − P 1
2
p1q1 n1
+
p2 q2 n2
)a media de las diferencias entre dos medias proporcionales, se simboliza\ µ − µ P 2 = µ P1 − P2 = P 1 − P 2 indistintamente por P 1
)a variante estadística ], estará dada en la misma forma que fue representada para diferencias entre dos medias muestrales %
p1 − p2 ) −
=(
P 1'1 n1
(µ − µ ) P1
+
P 2
P 2 '2 n2
EBe!$los: 1. 1onsideremos dos maquinas que producen un determinado articulo\ la primera produce por t8rmino medio un "(W de artículos defectuosos, en tanto que otra, produce el 20W de artículos defectuosos\ si se obtienen muestras de 200 unidades en la primera y "00 unidades en la segunda, 91uál es la probabilidad de que difiera de T en %W o más;
C
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Solución Datos: P p − p ( 1 2
≥ 0$08) =
n1
= 200
" n2
= 100
" p1
= 1&@ " p2 = 20@
"
µ p − µ p = 0$1& − 0$20 = −0$0. 1
2
( p1 − p2 ) − ( µ − µ ) p
$
=
1
( −0$0.)
p
=
2
P 1'1 P 2'2 + n n1 2
$ = 2$8
0$08 −
= 2$8
( 0$1&) ( 0$8.)+ ( 0$2) ( 0$8) 200
100
→ A ( 0$&8.)
Entonces
(
P p1 − p2
≥ 0$08) = 0$%000 − 0$&8. = 0$001& = 0$1&@
8. os fabricas y T, producen artículos similares. )a producción de contiene 'W de defectuosos, y la de T contiene, $W. 3i se e-trae una muestra aleatoria de 2000 de cada una de las producciones de las fábricas, 91uál es la probabilidad de que las dos muestras revelen una diferencia en el n6mero de los defectuosos del " W o más; Solución
(
Datos: P p1
− p2 ≥ 0$01 ) =
n1
= 200 0 "
n2
= 2000
"
( p1 − p2 ) − ( µ − µ ) = $ = 1 p
2 p
P 1'1 + P 2'2
n1
$ =
n2
−0$01 − 0$02
) ( ) ( 0$0') ( 0$#) ( 0$0%) ( 0$+ 0$01 − 0$02
2000
=
−& 0$00'% $ue&o $ = −1$## → A ( 0$&082 ) $ = −& → A ( 0$%000 )
%
2000
" p1
= −1$##
= 0$0'
" p2
= 0$0%
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Entonces
P = 0$%000 + 0$&082 = 0$082
(
P p1
− p2 ≥ 0$01 ) = 0$82@
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3ecturas 4ecomendadas
ME(-+E. A'EA-.+ I. +tt$:FF.*ao.or-Fdocre$F);<2sF);<2s92.+t!
DI(-+I,CI*& ME(-+A DE 'A P+ .P.+ CI*& +tt$:FF.itesca!.edu.!)F$rinci$alFs&labusF*$dbFrecursosFrC<989.PD3
DI(-+I,CI*& ME(-+A' DE 'A MEDIA .itesca!.edu.!)F$rinci$alFs&labusF*$dbFrecursosFr12<1.D4#
Acti5idades * 67er cicios
1 ngresa al linR “Distribución 'uestral” lee atentamente las indicaciones, desarróllalo y envíalo por el mismo medio. 4acer uso de las distintas formulas correspondientes distribuciones muestrales.
a
las
• )as estaturas de los estudiantes de la *niversidad rivada >elesup se distribuyen normalmente con media de "'0 centímetros y desviación típica de "0 centímetros. 3i se toma una muestra de %" estudiantes, 91uál es la probabilidad de que tengan una estatura superior a "'$ centímetros;
•
(&W de los sindicatos del país están en contra de comerciar con china continental\ 91uál es la probabilidad de que una encuesta a "00 sindicatos muestre que más del $2W tengan la misma posición;
8
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• *n especialista en gen8tica ha detectado que el 2&W de los hombres y el 2(W de las mu+eres de cierta región del país tiene un leve desorden sanguíneo\ si se toman muestras de "$0 hombres y "$0 mu+eres, determine la probabilidad de que la diferencia muestral de proporciones que tienen ese leve desorden sanguíneo sea de [enos de 0.0$ a favor de los hombres. a. [enos de 0.0$ a favor de los hombres. b. Entre 0.0" y 0.0( a favor de los hombres.
• )os hombres y mu+eres adultos radicados en una ciudad grande del norte difieren en sus opiniones sobre la promulgación de la pena de muerte para personas culpables de asesinato. 3e cree que el "2W de los hombres adultos están a favor de la pena de muerte, mientras que sólo "0W de las mu+eres adultas lo están. 3i se pregunta a dos muestras aleatorias de "00 hombres y "00 mu+eres su opinión sobre la promulgación de la pena de muerte, determine la probabilidad de que el porcenta+e de hombres a favor sea al menos W mayor que el de las mu+eres.
0
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Autoe5aluación
1 En una $oblación nor!al/ con !edia C8/1 & des%iación est"ndar /1/ encuentre la $robabilidad de ,ue en una !uestra de J9 obser%aciones/ la !edia sea !enor ,ue C1/C. a. 0."0# b. 0.$%' c. 0.(#" d. 0.($&% e. ".0000 8 Se sabe ,ue la resistencia a la ru$tura de cierto ti$o de cuerda se distribu&e nor!al!ente con !edia de 8999 libras & una %arian'a de 8;/999 lbs8. Si se selecciona una !uestra aleatoria de 199 cuerdasW deter!ine la $robabilidad de ,ue en esa !uestra la resistencia !edia encontrada sea de $or lo !enos 1J; libras. a. 0.##&0 b. 0.$$$$ c. 0.2($ d. 0.&('% e. ".0000 Uno de los $rinci$ales *abricantes de tele%isores co!$ra los tubos de ra&os catódicos a dos co!$a0as. Los tubos de la co!$a0a a tienen una %ida !edia de C.8 aos con una des%iación est"ndar de 9. aos/ !ientras ,ue los de la b tienen una %ida !edia de <.C aos con una des%iación est"ndar de 9.C. Deter!ine la $robabilidad de ,ue una !uestra aleatoria de 2 tubos de la co!$a0a a ten-a una %ida $ro!edio de al !enos un ao !"s ,ue la de una !uestra aleatoria de 29 tubos de la co!$a0a b. a. 0.(2" b. 0.$((( c. 0.2($ d. 0.002 e. 0.'%&$
1
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2 Se $rueba el rendi!iento en !Fl de 8 ti$os de -asolina/ encontr"ndose una des%iación est"ndar de 1.8!Fl $ara la $ri!era -asolina & una des%iación est"ndar de 1.C!Fl $ara la se-unda -asolinaW se $rueba la $ri!era -asolina en ; autos & la se-unda en 28 autos. cu"l es la $robabilidad de ,ue la $ri!era -asolina de un rendi!iento $ro!edio !a&or de 9.2;!Fl ,ue la se-unda -asolina a. 0."2( b. 0.0&($ c. 0.2($$ d. 0. e. 0.#%## ; #onsidere!os dos !a,uinas ,ue $roducen un deter!inado articuloW la $ri!era $roduce $or tr!ino !edio un 12 de art0culos de*ectuosos/ en tanto ,ue otra/ $roduce el 89 de art0culos de*ectuososW si se tiene !uestras de 899 unidades en la $ri!era & 199 unidades en la se-unda/ cu"l es la $robabilidad de ,ue di*iera a de b en o !"s a. 0.2($ b. 0.%'%' c. 0.##%& d. 0.2222 e. 0.00"(
2
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4esumen
9IDAD D6 AP4 6 9DIA;6 III:
En estadística se conoce como muestreo a la t8cnica para la selección de una muestra a partir de una p ob la ció n. l elegir una muestra se espera conseguir que sus propiedades sean e-trapolables a la población. Este proceso permite ahorrar recursos, y a la vez obtener resultados parecidos a los que se alcanzarían si se realizase un estudio de toda la población. 1abe mencionar que para que el muestreo sea válido y se pueda realizar un estudio adecuado 5que consienta no solo hacer estimaciones de la población sino estimar tambi8n los márgenes de error correspondientes a dichas estimaciones7, debe cumplir ciertos requisitos.
1ada muestra de tamaOo n que podemos e-traer de una población proporciona una media. 3i consideramos cada una de estas medias como valores de una variable aleatoria podemos estudiar su distribución que llamaremos distribución muestral de medias. En numerosas ocasiones se plantea estimar una proporción o porcenta+e. En estos casos la variable aleatoria toma solamente dos valores diferentes 58-ito o fracaso7, es decir sigue una distribución binomial y cuando la e-tensión de la población es grande la distribución binomial T5n,p7 se apro-ima a la normal
.
ara conocer la distribución muestral de las diferencias entre las medias se debe saber si las varianzas poblacionales son conocidas o desconocidas, y en caso de que sean desconocidas, se debe saber si son iguales o diferentes. 1ada uno de estos tres casos se analizará por separado. )a media de las diferencias de todos los pares o medias muestrales posibles, es igual a la diferencia entre las medias poblacionales = −
µ
x − y
µ
x
µ
y
Este m8todo se utiliza para comparar las proporciones o porcenta+es de dos distribuciones muestrales distintas y formula una inferencia con respecto a la diferencia de estas. )a media de las diferencias entre dos medias proporcionales, se simboliza\ indistintamente por µ P − µ P = µ P − P = P 1 − P 2 2
1
1
2
)a variante estadística ], estará dada en la misma forma que fue representada para diferencias entre dos medias muestrales %
p1
=(
− p2 ) − ( µ P − µ P ) 1
P 1'1 n1
+
P 2 '2 n2
2
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J2
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Introducción
a) Presentación y contextualización )os temas que se tratan en la presente *nidad, tienen por finalidad que el estudiante desarrolle y e+ecute la Estimación de parámetros y rueba de 4ipótesis. 4aciendo que pueda desenvolverse en el
ámbito internacional, tambi8n
haci8ndolo un profesional de primera categoría.
b) Competencia Anali'a e inter$reta las tcnicas de esti!ación de $ar"!etros & $rueba de +i$ótesis.
c) Capacidades 1. Beconoce la importancia del intervalo de confianza. 8. naliza el intervalo de confianza para la media y proporción. . 1onoce la importancia de la prueba de hipótesis. 2. dentifica la prueba de hipótesis para la media y proporción.
d) Actitudes
romueve actividades y toma decisiones pertinentes.
Bespeta y cumple las normas de convivencia en el ámbito universitario.
sume responsabilidad para desarrollar todos los problemas y actividades que se asignan.
e) Presentación de Ideas básicas y contenidos esenciales de la nidad! La Unidad de A$rendi'aBe 92: Esti!ación de Par"!etros, comprende el desarrollo de los siguientes temas
TEMA 91: Inter%alo de #on*ian'a. TEMA 98: Inter%alo de #on*ian'a $ara la Media & Pro$orción. TEMA 9: Prueba de ?i$ótesis. TEMA 92: Prueba de ?i$ótesis Acerca de la Media & Pro$orción.
J;
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Inter5alo de
TEMA 1
Confian+a Competencia:
+econocer la importancia del inter#alo de con"ianza$
J<
Desarrollo de los Temas
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
Tema 01: Inter5alo de Confian+a
)a _estimación por intervalo_ consiste en determinar un par de valores a y b, tales que constituidos en intervalo `a, b\ y para una probabilidad "!
α
prefi+ada 5nivel de
confianza7 se verifique en relación al parámetro
θ
a estimar se cumpla
P θ
∈a" bE! = 1 − α ó en otros t8rminos P a ≤ θ ≤ b! = 1 − α .
odemos considerar el nivel de confianza 5"!
α
7 que hemos prefi+ado para la
e-presión anterior como la probabilidad que e-iste 5antes de tomar la muestra7 de que el intervalo a construir a partir de la muestra incluya el verdadero valor del parámetro a estimar. Befle+a la _confianza_ en la _construcción_ del intervalo y de que 8ste tras concretar la muestra contendrá el valor a estimar. e ahí que en t8rminos num8ricos dicho nivel o probabilidad haya de tomar un valor alto 50.#, 0.#$, 0.##7.
Evidentemente el complementario al nivel de confianza\ es
decir
α , nivel de significación supondrá las probabilidades de cometer el error de no dar por incluido el verdadero valor del parámetro a estimar en un intervalo en el que realmente si está. e ahí y dado que se trata de un error posible a cometer, su cuantificación en t8rminos de probabilidad sea muy pequeOa 50.",
0.0$, 0.00$,..7.
'
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En relación a lo anterior. Pbviamente, cuanto mayor sea el nivel de confianza prefi+ado la amplitud del intervalo de estimación será tambi8n mayor y por tanto la estimación será menos precisa.
)a siguiente tabla presenta las diferentes fórmulas que ayudaran a crear los intervalos.
ara la distribución =ormal utilice la siguiente tabla
&i#el de con"ianza
α
α/2
% α
2
J9
0.1
0.05
1.<2;
J;
0.05
0.025
1.J<
JJ
0.01
0.005
8.;C<
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Inter5alo
de
Confian+a para la )edia * Pr oporción
TEMA 2
Competencia:
Analizar el inter#alo de con"ianza para la media y proporción$
199
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Tema 02: Inter5alo de Confian+a para la )edia * Proporción DI(-+I,CI*& DE MEDIA( ME(-+A'E( 1on las siguientes formulas se pueden determinar los límites de confianza para cada caso, dependiendo de la desviación típica y del tamaOo de la muestra, son
µ s = x ± % σ )
s 3e tiene s y n
µ s = x ± % )
n
σ > #0
n
µ = x ± t s
1uando se da
n
s
)
se tiene s 5corregida7 y
n
≤ #0
µ s = x ± t s
se tiene s 5sin corregir7 y n ≤ #0 , donde t 1−α ( 2 "n−1 se encuentra en n la tabla t!student con n!" grados de libertad. )
E6emplo &E ;
En población cuya distribución se desconoce se obtiene una muestra 5m.a.s.7 de 2000 valores de la que resulta una media de 22$ y una desviación típica de "0. 3uponiendo que la varianza muestral coincide con la poblacional, estimar un intervalo para la media de la población con un nivel de confianza del #$W. >endríamos
σ
"!
5muestra grande n07\ nA2000,
para una población
normal. P x
− %
0$%
α 2
σ
σ
≤ * ≤ x + % α
n
confianza. El resultado sería
2
∈
!=
n
22( $& 22$ ((
con el #$ W de
101
E6emplo &E <
)as ventas diarias de cierta oficina comercial se supone que siguen una distribución normal. ara estimar el volumen medio de ventas por día se realiza una muestra de "0 días escogidos al azar, resultando que la media de las ventas de esos "0 días es 3I. "00 con una desviación típica de 3I. (. ar un intervalo de estimación para el volumen medio de ventas por día con una confianza del #$ W.
1onocemos que
seg6n la información que poseemos, estamos ante
istribución normal\ nA"0 5muestra pequeOa7\ 3A(5poblacional desconocida7\ media muestralA"00\ ara "! α A0.#$, luego S
P x − t α
n
α
≤ * ≤ x + t α 2
A0.0$ con lo que t α S
n
2
+) ! = 2$2. 5seg6n tabla >7
! = 0$%
2
El resultado sería
∈ `3I.#&, ##\ 3I."0, 0" con el #$ W de confianza.
E6emplo &E =
3e quiere obtener un intervalo de confianza para el valor de las ventas medias por hora que se producen en un Riosco. ara ello realizamos una muestra consistente en elegir al azar las ventas que se realizaron durante "000 horas distintas\ muestra cuyos resultados fueron 2
ventas medias por hora 3I. (000, y varianza de dicha muestra 3 I. (000. Pbtener dicho intervalo con un nivel de confianza del #$.$ W.
:ueremos construir un intervalo para la media con las siguientes características >amaOo
muestralAnA"000,
con
muestreo
aleatorio
simple, la población no es normal ni conocemos su varianza. El resultado de la muestra es
x
= &000 , 32A(000.
3i bien se trata de un intervalo para la media con varianza desconocida y población no normal, dado que el tamaOo muestral es grande podemos suponer normalidad y tomar como varianza poblacional a la muestral así P x − $ α
σ n
≤ * ≤ x + $ α
2
El resultado sería
σ
n
! = 0$%
2
∈ `3I.##, 0%\ 3I.(00, #2
con el #$ W de confianza.
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
Pr ueba de
TEMA 3
Fipótesis Competencia:
Conocer la importancia de la prueba de ?ipótesis$
192
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
Tema 0#: Prueba de
Fipótesis
)a prueba de hipótesis, denominada tambi8n prueba de significación tiene como ob+eto principal evaluar suposiciones o afirmaciones acerca de los valores estadísticos de la población, denominados parámetros.
DE)I&ICI*&
%$3e denomina +i$ótesis nula y se representa por
" 0 , a la hipótesis que es aceptada provisionalmente como
verdadera y cuya validez será sometida a comprobación e-perimental.
)os
resultados
e-perimentales
nos
permitirán seguir aceptándola como verdadera o si, por el contrario, debemos rechazarla como tal.
DE)I&ICI*&
%$3e denomina +i$ótesis alternati%a y se representa por " 0 sea " 1 o " A , a la hipótesis que se acepta en caso de que la hipótesis nula rechazada. )a hipótesis alternativa " , es pues una suposición contraria a la A hipótesis nula.
Prueba de una 7ipótesis EstadA stica ara tomar decisiones estadísticas, se requieren de las dos hipótesis la hipótesis nula y la hipótesis alternativa referida a un parámetro. )a prueba de una hipótesis estadística es un proceso que nos conduce a tomar la " 0 , en contraposición de la decisión de aceptar o rechazar la hipótesis nula hipótesis alternativa " y en base a los resultados de una muestra aleatoria 1 seleccionada de la población de estudio.
10%
)a hipótesis nula " 0 es la primera que se plantea, y debe ser establecida de del parámetro θ en estudio. manera que especifique un valor θ 0
Nota la aceptación de una hipótesis significa que los datos de la muestra no proporcionan evidencia suficiente para refutarla. El rechazo significa que los datos de la muestra lo refutan.
-ipos de Prueba de 7ipótesis$ El tipo de prueba depende básicamente de la hipótesis alternativa " 1 . 3e denomina prueba de una cola a toda prueba de hipótesis donde la alternativa " 1 es unilateral. 3i la alternativa es bilateral, la prueba se denomina prueba de
dos colas.
)a prueba de hipótesis " 0 : θ
= θ0
contra " : θ 1
≠ θ0 ,
se denomina prueba
bilateral o de dos colas.
θ )a prueba de hipótesis " 0 :
= θ0
contra " 1 : θ
> θ0
unilateral de cola a la derecha. θ )a prueba de hipótesis " 0 :
= θ0
contra " 1 : θ
< θ0 ,
, se denomina prueba
se denomina prueba
unilateral de cola a la izquierda.
-ipos de Error! De"inición$% hipótesis nula
De"inición$% hipótesis nula
3e denomina error ti$o I/ al error que se comete al rechazar una " 0 cuando esta es realmente verdadera 3e denomina error ti$o II/ al error que se comete al aceptar una " 0 cuando en realidad es falsa.
" 0
Decisión
" 0
Verdadera
)alsa
A
Err
Aceptar
ecisión
Error
" 0
correcta
+e+
Error tipo
+ec?azar
tipo ecisión 1
" 0
1orrecta
De*inición.!3e denomina nivel de significación de una prueba de hipótesis a la probabilidad de cometer un error de tipo .
+E4I*& C+@-ICA 2 +E4'A DE DECI(I*& )a regla de decisión implica la división de la distribución muestral del estadístico
θ
de la prueba en
dos partes mutuamente e-cluyentes la región de rechazo o región critica 5B.1.7 de " 0 y la región de aceptación 5B..7 o no rechazo de " 0 . Esta división depende de la hipótesis alternativa " 1 , del nivel de significación
α
y la distribución
Procedimientos a (eFuir en las Pruebas de 7ipótesis 1 Hormular la hipótesis nula y la alternativa. 8 3eleccionar el nivel de significación. 1onocer o estimar la varianza. 2 eterminar la t8cnica y la prueba estadística. ; eterminar los valores críticos y sus regiones de rechazo. < 1alcular los datos muestrales, utilizando las formulas correspondientes. C >omar las decisiones estadísticas.
19C
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Prueba de Fi pótesis
Acerca de la )edia
TEMA 4
*
Pr oporción Competencia:
Identi"icar la prueba de ?ipótesis para la media y proporción$
19
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Tema 0&: Prueba de Fipótesis Acerca de la )edia * Proporción P+E,A DE 7IP*-E(I( (.,+E 'A MEDIA P.,'ACI.&A' Caso A! @uando la #arian/a poblacional es conocida. eseamos contrastar la hipótesis de que el parámetro poblacional un determinado valor
θ=µ
µ=0 1onocemos que la población se distribuye normalmente
y conocemos tambi8n su varianza, o bien si nos es desconocida, el tamaOo muestral es lo suficientemente grande cómo para poder utilizar la muestral cómo poblacional. 4emos determinado un nivel de significación para la realización del contraste y vamos a plantearlo en el supuesto de realizar una muestra aleatoria de tamaOo n.
sí conocemos que x ⇒ ! *"
σ
que
x − *
σ
de lo que deducimos
n
⇒ ! 0"1E de forma que la hipótesis nula es
n
40 µ=µ0. El estadístico está dado por %
=
x − *0
σ
.
n
E6emplo &E ; e "00 observaciones de una población normal se obtiene que x A $ y que 3A2. 1ontrastar con un nivel de significación del $W la hipótesis de que la media de la población sea '.
10
plicando el procedimiento para probar una hipótesis tenemos
1. 40 µ0A'
4" µ0 ≠ 7
8. El nivel de significancia es del $W. 5αA$W7 .
x * % = − σ
0
n
2. Establecemos la región de aceptación y de rechazo
;. Bealizamos la prueba estadística %
= −10 = %−' 2
100
<. ado que ]A!"0 y no pertenece a la región de aceptación estamos en condiciones de rechazar la hipótesis nula, luego aceptar la alternativa µ0 ≠ '.
E6emplo &E < *n empresario está considerando la posibilidad de ampliar su negocio mediante la adquisición de un pequeOo bar. El dueOo actual del bar afirma que el ingreso diario del establecimiento sigue una distribución normal de media &'$ soles y una desviación estándar de '$ soles. ara comprobar si decía la verdad, tomó una muestra de treinta días y 8sta reveló un ingreso diario promedio de &2$ soles. *tilizando un nivel de significación del "0 W. 94ay evidencia de que el ingreso diario promedio sea menor del que afirma el presente dueOo;
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plicando el procedimiento para probar una hipótesis tenemos
1. 40 µ0 ≥ &'$
2. 4" µ0<675
. El nivel de significancia es del "0W. 5αA"0W7 2. %
= x − * σ
0
n
;. Establecemos la región de aceptación y de rechazo
<. Bealizamos la prueba estadística %
=
.2% − .'% = −#$.% '% #0
C. ado que ]A!.&$ y no pertenece a la región de aceptación estamos en condiciones de rechazar la hipótesis nula, luego aceptar la alternativa µ0<'.
Caso ,! @uando no se conoce la #arian/a poblacional y para una muestra pe"uea.
eseamos contrastar la hipótesis de que el parámetro poblacional
θ=µ
µ=0
esconocemos la varianza de la población y, dado que el tamaOo muestral es pequeOo, no podemos utilizar la muestral en su lugar.
4emos determinado un nivel de significación para la realización del contraste y vamos a plantearlo en el supuesto de realizar una muestra aleatoria de tamaOo n.
sí conocemos que
x − *s n
⇒ t n−1
El estadístico está dado por t =
de forma que la hipótesis nula es 40 µ=µ0.
x − *0 . s n
E6emplo &ro$ = . 3e escoge a "' individuos al azar y se les mide, resultando que su estatura media es de ",'" metros con desviación típica de 0,02 .1ontrastar la hipótesis de que la estatura media nacional sea de ".'$ metros si utilizamos un nivel del significación del $W. 3e supone normalidad. plicando el procedimiento para probar una hipótesis tenemos
1. 40 µ0 A".'$ 4" µ0
≠
8. El nivel de significancia es del $W. 5αA$W7. . t
= x − * s
0
n
2. Establecemos la región de aceptación y de rechazo *tilizamos la tabla >.
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;. Bealizamos la prueba estadística t =
= −8$2%
1$'1 − 1$'% 0$02 1'
<. ado que tA!%.2$ y no pertenece a la región de aceptación estamos en condiciones de rechazar la hipótesis nula, luego aceptar la alternativa
µ0=1.75.
P+E,A DE 7IP*-E(I( PA+A 'A P+.P.+CI*& P.,'ACI.&A'! p 3e trata de efectuar una prueba de hipótesis acerca de la proporción
de
elementos con cierto atributo en una población, hipótesis de la forma 40 pAp0.
4" pp0.
4" p ≠ p0.
40 p ≥ p0.
40 p ≤ p0. 4" pp0. El estadístico está dado por % =
P − p0 p0 1 − p0 ! n
onde P
=
x 5proporción muestral7 n
>iene una distribución = 50,"7 cuando n
≥ 0.
E6emplo &ro$ >$ *na empresa de publicidad desea comprobar si un determinado programa de televisión es visto por el 0W de la audiencia potencial .ara ello se escoge al azar una muestra de 200 familias resultando que de ellas $0 lo ven asiduamente. 1ontrastar la hipótesis con un nivel de significación del $W. plicando el procedimiento para probar una hipótesis
1. 40 pA0. 4" p ≠ 0.30 8. El nivel de significancia es del $W. 5αA$W7.
. % =
P − p0 p0 1 − p0 ! n
2. Establecemos la región de aceptación y de rechazo
tenemos
;. Bealizamos la prueba estadística P
=
%
=
%0 200
= 0$2%
P − p0 p0 1 − p0 ! n
=
0$2% − 0$#0 = −1$%& 0$#1 − 0$#! 200
<. ado que ]A!".$( y pertenece a la región de aceptación estamos en condiciones de acepta la hipótesis nula, es decir p=0,3.
E6emplo &ro$ G *n fabricante de refrescos sin burbu+as desea sacar al mercado una variedad de su producto que tenga burbu+as. 3u director comercial opina que al menos el $0 W de los consumidores verá con buenos o+os la innovación. 3e realiza un sondeo de mercado y resulta que de "00 consumidores encuestados (0 son favorables a la innovación.
a 1ontrastar la hipótesis del director comercial frente a la alternativa de que 8l W de aceptación es inferior, con un nivel de significación del "W.
b 3i el aceptable la hipótesis de que 8l W de aceptación del nuevo producto es inferior o igual al 0 W el fabricante decidirá no fabricarlo.
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3i es aceptable el criterio del director comercial entonces sí fabricarán el refresco con burbu+as. Q si ninguna de las 2 hipótesis es aceptable procederán a hacer otro sondeo. ara tomar esta decisión traba+arán con un nivel de significación del $ W. 9or qu8 optarán;
Para el $unto a plicando el procedimiento para probar una hipótesis tenemos
1. 40 p ≤ 0.$
2. 4" p>0.5 . El nivel de significancia es del "W. 5αA"W7. 2. % =
P − p0 p0 1 − p0 ! n
;. Establecemos la región de aceptación y de rechazo
<. Bealizamos la prueba estadística &0 P
=
100
= 0$&
%
=
P − p0 p0 1 − p0 !
n
=
0$& − 0$% = −2 0$ %1 − 0$ %! 100
C. ado que ]A!2 y pertenece a la región de aceptación estamos en condiciones de aceptar la hipótesis nula, es decir p ≤ 0,5.
Para el $unto b plicando el procedimiento para probar una hipótesis tenemos
1. 40 p ≤ 0.
2. 4" p>0.3 . El nivel de significancia es del "W. 5αA"W7. 2. % =
P − p0 p0 1 − p0 ! n
;. Establecemos la región de aceptación y de rechazo
<. Bealizamos la prueba estadística P
=
%
=
&0 100
= 0$&
P − p0 p0 1 − p0 !
n
=
0$& − 0$# = 2$18 0 $# 1 − 0$ #! 100
C. ado que ]A2."% y pertenece a la región de aceptación estamos en condiciones de aceptar la hipótesis nula, es decir p recomiendo no fabricar el refresco.
≤ 0,3.
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3ecturas 4ecomendadas
I&-E+VA'. DE C.&)IA&0A +tt$:FF.i e s ) un,uei r a 1 .co!FDo nloa d F$ d* Fteoi nter%alos.$d* I&-E+VA'.( DE C.&)IA&0A PA+A 'A MEDIA 2 P+ .P.+ CI*& +tt$:FF!aralboran. or-F i i$ediaFin d e ) .$ + $F E sti ! a ci # 7 n $or inter%alosde con*ian'ade !edias&$ro$orciones P+E,A DE 7IP*-E(I ( +tt$:FF.!at+.u $ r !.eduF Oed-arFca$iC.$d*
Acti5idades * 67er cicios 1 ngresa al linR “Operaciones 2” lee atentamente las indicaciones, desarróllalo y envíalo por el mismo medio.
• 3e encuentra que la concentración promedio de zinc que se saca del agua a partir de una muestra de mediciones de zinc en & sitios diferentes es de 2.& gramos por mililitro. Encuentre los intervalos de confianza ##W para la concentración media de zinc en el río. 3uponga que la desviación estándar de la población es 0..
• *na compaOía asegura que el %0W de sus semillas de zanahoria germinan. 3e plantan $0 semillas de las cuales % no germinan. 4állese un intervalo de confianza del #0W, para la proporción de semillas que germinaron en la muestra.
• El ministro de educación del país asegura que el %0W de los estudiantes
universitarios tienen un ingreso mensual para su sostenimiento, superior a U'0\ *sted quiere refutar al ministro con un nivel de confianza del ##W y para hacerlo toma una muestra de 00 estudiantes, encontrando 2" con ingresos mayores a U'0. 9tiene razón el seOor ministro;
• 1uatrocientos estudiantes, elegidos aleatoriamente, se someten a un test de rendimiento, obteni8ndose los siguientes resultados x = '. y s = 1. , con base en esta información docimar la hipótesis µ = '& frente a la alternativa µ ≠ '& , al nivel de significación del "W.
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Autoe5aluación
1 Su$on-a ,ue la estatura !edia de los +o!bres tiene una des%iación est"ndar de 8/2 cent0!etros. Se !iden 199 estudiantes/ +o!bres/ ele-idos aleatoria!ente/ & se obtiene una estatura !edia de 1</;8 cent0!etros. Deter!ine los l0!ites de con*ian'a del JJ $ara la estatura !edia de los +o!bres de esta uni%ersidad. a. b. c. d. e.
[1.'$88" 1.$1.] [200" 2%0]
[1%0$%0" 1.0$%0] [180$20"10$#0]
[100$#0" 1%0$22]
8 En una !uestra al a'ar de 8< tel*onos de residencias del directorio de Li!a/ J; no res$ondieron a la lla!ada entre C & de la noc+e/ el d0a ,ue se reali'o la !uestra. Deter!inar los l0!ites de con*ian'a del $orcentaBe de suscri$toras en cu&as residencias +ubo al-uien entre C & de la noc+e. KSe ad!ite ,ue no se contesto $or ,ue no +ab0a nadie en casa. El ni%el de con*ian'a ado$tado es del J9. a. [1$.'8" 1$..] b.
[0$'''" 0$8]
c.
[1$%0%" 1$.0%]
d.
[0$%%%"1$2#&]
e.
[0$8'2" 0$08]
Deci!ar la +i$ótesis de ,ue la distancia !edia re,uerida $ara $oder detener un auto!ó%il ,ue %a a 89 !F+. es de 8; !etros. #on base en una !uestra de 199 conductores se obtiene ,ue la distancia !edia es de X = 2'$# !etros/ con una des%iación est"ndar de s = 2$1 !etros. Utili'ar un ni%el de si-ni*icación del ;. a. 3e acepta la hipótesis µ > 2% b. 3e acepta la hipótesis µ < 2% c. 3e acepta la hipótesis µ ≠ 2% d. 3e acepta la hipótesis e. 3e acepta la hipótesis
µ = 2% µ = #0
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2 Un cierto ti$o de *usible est" diseado $ara *undirse cuando la corriente lle-a a 89 a!$erios. Se to!a una !uestra de < *usibles de un lote de ;99 & se encuentra ,ue el $unto $ro!edio de *usión es de 89/ a!$erios/ con des%iación est"ndar de 1/; a!$erios. Utili'ando una dóci!a bilateral/ A ,u conclusiones se $uede lle-ar res$ecto a las es$eci*icaciones del lote/ a un ni%el de si-ni*icación del 1
µ > 20 b. 3e acepta la hipótesis µ < 20 µ ≠ 20 c. 3e acepta la hipótesis a. 3e acepta la hipótesis
d. 3e acepta la hipótesis e. 3e acepta la hipótesis
µ = 20 µ = #0
; Un *abricante de cuerdas +a establecido con base en una e)$eriencia de !uc+os aos/ ,ue las cuerdas tienen una *uer'a de ru$tura de 1;/J libras/ con una des%iación est"ndar de 8/ libras. Se e*ect(a un ca!bio en el $roceso de *abricación/ & se obtiene una !uestra de <2 art0culos cu&a *uer'a !edia de ru$tura es de 1;/9 libras/ con una des%iación est"ndar de 8/8 libras. debe considerarse ,ue el nue%o $roceso tiene un e*ecto si-ni*icati%a!ente ne-ati%o a la resistencia de las cuerdas
µ > 1%$ µ < 1%$ b. 3e acepta la hipótesis c. 3e acepta la hipótesis µ ≠ 1%$ a. 3e acepta la hipótesis
d. 3e acepta la hipótesis e. 3e acepta la hipótesis
µ = 1%$ µ = #0
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4esumen
9IDAD D6 AP4 6 9DIA;6 IV:
En estadís tica, se llama inter%alo de con*ian'a a un par de n6meros entre los cuales se estima que estará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto. Hormalmente, estos n6meros determinan un intervalo, que se calcula a partir de datos de una mu estr a, y el valor desconocido es un parámetro poblacional. )a probabilidad de 8-ito en la estimación se representa con " ! y se denomina nivel de confianza. En estas circunstancias, es el llamado error aleatorio o nivel de significación, esto es, una medida de las posibilidades de fallar en la estimación mediante tal intervalo. e una población de media y desviación t ípica se pueden tomar muestras de elementos. 1ada una de estas muestras tiene a su vez una media 5 7. 3e puede demostrar que la media de todas las medias muestrales coincide con la media poblacional ero además, si el tamaOo de las muestras es lo suficientemente grande, la distribución de medias muestrales es, prácticamente, una distribución normal 5o g au ss ia na 7 con media Y y una desviación típica dada por la siguiente e-presión . Esto se representa como sigue
. 3i estandarizamos, se sigue
que El intervalo de confianza para estimar una proporción p, conocida una proporción muestral pn de una muestra de tamaOo n, a un nivel de confianza del 5"!7"00W es
l realizar pruebas de hipótesis, se parte de un valor supuesto 5hipot8tico7 en parámetro poblacional. espu8s de recolectar una muestra aleatoria, se compara la estadística muestral, así como la media 5-7, con el parámetro hipot8tico, se compara con una supuesta media poblacional 57. espu8s se acepta o se rechaza el valor hipot8tico, seg6n proceda. 3e rechaza el valor hipot8tico sólo si el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hipótesis es cierta. )as pruebas de hipótesis con proporciones son necesarias en muchas áreas del conocimiento y en especial en la administración. 3e considerará el problema de probar la hipótesis de que la proporción de 8-ito en un e-perimento binomial sea igual a un cierto valor especifico. Es decir, se probará la hipótesis nula de que p A p0, donde p es el parámetro de la distribución binomial. )a información de que suele disponerse para la estimación de una porción real o verdadera 5porcenta+e o probabilidad7 es una x proporción muestral , donde - es el n6mero de veces que ha ocurrido un evento en n n ensayos.
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Glosario
DE(VIACI*& E(-1&DA+! )a desviación estándar es una medida del grado de
dispersión de los datos con respecto al valor promedio. icho de otra manera, la desviación estándar es simplemente el _promedio_ o variación esperada con respecto a la medi a arit m8tica. E(-AD@(-ICA DE P+E,A! *na estadística de prueba se basa en la información
de la muestra como la media o la proporción. E(-IMAD.+ P.+ I&-E+VA'. DE C.&)IA&0A! enota un rango dentro del cual
se puede encontrar el parámetro y el nivel de confianza que el intervalo contiene al parámetro. E(-IMAD.+ P&-A'! *tiliza un n6mero 6nico o valor para localizar una
estimación del parámetro. 7IP*-E(I( A'-E+&A! *na premisa que es cierta cuando la hipótesis nula es
falsa. 7IP*-E(I( &'A H7I)! remisa, reclamo, o con+etura que se pronuncia sobre la
naturaleza de una o varias poblaciones. 'IMI-E DE C.&)IA&0A! 3on los límites del intervalo de confianza inferior 5)17 y
superior 5)317, se determinan sumando y restando a la media de la muestra X un cierto n6mero ] 5dependiendo del nivel o coeficiente de confianza7 de errores estándar de la media
σ X .
&IVE' DE C.&)IA&0A! Es la _probabilidad_ de que el intervalo calculado contenga al verdadero valor del parámetro. 3e indica por 1X y habitualmente se da en porcenta+e 5"!7 "00W. 4ablamos de nivel de confianza y n o de probabilidad ya que una vez e-traída la muestra, el intervalo de confianza contendrá al verdadero valor del parámetro o no, lo que sabemos es que si repiti8semos el proceso con muchas muestras podríamos afirmar que el 5"!7 W de los intervalos así construidos contendría al verdadero valor del parámetro. &IVE' DE (I4&I)ICA&CIA! )a probabilidad
α) más alta de rechazar ?9 cuando
?9 es cierto se llama ni%el de si-ni*icancia. +E4I*& C+@-ICA . DE +EC7A0.! *na región crítica o de rechazo es una parte
de la curva de / o de la curva t donde se rechaza ?9.
VA+IA,'E A'EA-.+IA! *na variable aleatoria es una variable que toma valores num8ricos determinados por el resultado de un e-perimento aleatorio. =o hay que confundir la variable aleatoria con sus posibles valores.
181
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
Huentes de Infor mación ,I,'I.4+ 1)ICA(!
#4RD4VA 5AM4RA, Manuel. Estadística plicada. Editorial [oshera "ra edición 200&.
MARTINE5 7EN#ARDIN4/ #iro. Estadística Tásica plicada. Editorial Ecoe 200(.
#4RD4VA 5AM4RA, Manuel. Estadística escriptiva e nferencial. plicaciones. Editorial [oshera $ta edición 200
MULL4R/ Rubn. [anual ráctico de Estadística plicada. Editorial riel 2000.
PERE5 L=PE5/ #esar. >8cnicas de [uestreo Estadístico, plicaciones. Editorial lfaomega 2000.
E'EC-+ *&ICA(!
Estad0stica In*erencial +tt$:FFesta8.-aleon.co!FTe!as1.$d*
Distribuciones Muestrales +tt$:FFes.scribd.co!FdocF212229
Inter%alo de #on*ian'a +tt$:FF.ua!.esF$ersonal $diFcienci a sF* r a!i r e' FM ET 4D 4SES TA DI ST I# 4S FT e! a89CInter%alos 89de89con*ian'a.$d*
Prueba de ?i$ótesis +tt $: FF es. s cribd.co!FdocF
188
ApIndice
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
18
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
182
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
182
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
TABLA DE LA DISTRIBUCION t −Student
La tabla da áreas 1 valores
− α y
distribución t -tudent con libertad..
c = t 1−α" r
P &
,
donde, r
!rados de
1
−α
≤ cE = 1 − α , y donde
T
tiene
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
TABLA DE LA DISTRIBUCION t −Student
La tabla da áreas 1 valores
− α y
distribución t -tudent con libertad..
c = t 1−α" r
P &
,
≤ cE = 1 − α , y donde
T
tiene
donde, r
!rados de
1
−α
12%
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP r
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