Estadistica Inferencial Parte 2

30. En un centro escolar se ha ha venido aplicando aplicando una campaña contra el uso del tabaco por parte de los estudiantes. Antes de la campaña, 30% de los alumnos eran fumadores activos, para para invest investiga igarr si dismin disminuyo uyo esta esta propor proporció ción n se toma toma una muestra aleatoria de 10 estudiantes y se detecta !ue 3 de ellos son fumadores.  Datos :

n = 150  p=0.30

 y =35 ❑

^

 p=

35 150

=0.23

a" #ormule la hipótesis pertinente al problema. $usti!ue.  H 0 : p =0.30  H 1 : p < 0.30

Como Como se desea desea conoc conocer er si el porcen porcentaj tajee de fumad fumador ores es activo activoss dismun dismunuyo uyo se palant palantea ea una una  Prueba de Hipotesis de la proporcion , la hipotesis nula es que la proporcion es igual al30

mientras mientras quela que la hipotesis hipotesis alternati alternativa va esquela es quela propor proporcion cion esmen es menor or queel que el

30

b" &on una sign ignicanc ancia de % veri!ue la hipótesis planteada.  Estadistico de Prueba

 z obs =

 p − p ^

√

 pq n

 z obs =

  0.23− 0.30

√

 ( 0.30 ) ( 0.70 ) 150

 z obs =−1.87  Region de rechazo

 z obs <− z α  z α = z 0.05=1.64  z obs =−1.87 <− z α =−1.64  Desicion : erechaza H o enfavor de H 1 conunnivel deconfianza de 95 ! e concluye que el porcentaje de estudiantes fumadores activos es menor a 30

c" '(a conclusión anterior se mantiene si se !uiere tomar una decisión con una conan)a del **%+ Argumente. Con un nivel de significancia α =0.01

 Regionde rechazo  z obs <− z α  z α = z 0.01=2.32  z obs =−1.87 >− z α =−2.32  Desicion : eacepta H o e con unnivel de confianza de 99 ! econcluye que la proporcion de estudiantes fumadores act ivos es igual al30

No se mantiene la misma conclusión anterior ya que con un 99% de confanza se determina que el porcentaje de estudiantes es igual al 30%; mientras que con un 95% de confanza se concluyó que el porcentaje de estudiantes umadores activos era menor al 30%

3. -e desea comprar una gran cantidad de bombillas y se tiene !ue elegir entre las marcas A y . /ara ello, se compraron 100 focos de cada marca y se encontró !ue las bombillas probadas de la marca A tuvieron un tiempo de vida medio de 1 10 horas, con una desviación estndar de 

horas2 mientras !ue las de la marca  tuvieron un tiempo de vida medio de 1 04 horas, con una desviación estndar de 5 horas. a" 'Es signicativa la diferencia entre los tiempos medios de vida+ 6se 7 8 0.0. Apli!ue la prueba 9 de -tudent suponiendo igualdad de varian)as.  Datos :

α =0.05  "arca #

n = 100  $ : 1120

s =75  "arca %

n = 100  $ :1064

s =82 uponiendo varianzas iguales

 H 0 : & 1= &2  H 1 : &1 ' & 2  Estadistico de Prueba

t obs=

$ 1− $ 2 p

√

1

+

1

n1 n 2

p=

√

( n − 1 ) s + ( n −1 ) s 2

1

1

2

n1+ n2− 2

2 2

2

¿ ¿ ¿ 100 + 100− 2 75 ¿ + ( 100−1 ) ¿ ( 100−1 ) ¿ ¿   1120 −1064 82

2

t obs=

78.58

√

1 100

+

1

p =√ ¿

100

t obs=5.03  Regionde rechazo

|t obs|> t α  ( n + n −2 ) t α = z 1

2

2

0.025

( 198 )= 2.25

2

|t obs|=|5.03|>t α  ( 198 )=2.25 2

 Desicion : erechaza H o enfavor de H 1 conunnivel deconfianza de 95 ! e concluyequelas mediasno soniguales !

b" :epita lo anterior pero sin suponer igualdad de varian)as. uponiendo varianzas distintas

 H 0 : & 1= &2  H 1 : &1 ' & 2  Estadistico de Prueba

t obs=

$1− $ 2

√

2

2

 s 1 s 2 + n1 n2

2

¿ ¿ 82 ¿ ¿ ¿ 100 ¿ ¿ ¿ √ ¿ 1120 −1064 t obs= ¿ 75

2

t obs=5.03  Regionde rechazo :

¿ ¿ 82 ¿ ¿ 75 ¿ ¿ 75

2

2

2

2

(¿ 100 ¿) ¿ 82 ¿ ¿ (¿ 100 ¿) ¿ ¿ 101 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ |t obs|> t α  , v v =¿ 2

2

2

t α = z0.025 ( 198 )=2.25 2

|t obs|=|5.03|>t α  ( 198 )=2.25 2

 Desicion : erechaza H o enfavor de H 1 conunnivel deconfianza de 95 ! e concluyequelas mediasno soniguales !

34. -e prueban 10 partes en cada nivel de temperatura y se mide el encogimiento sufrido en unidades de porcenta;e multiplicado por 10. (os resultados fueron los siguientes< 9E=/E:A96:A A$A

9E=/E:A96:A A(9A

!"# #"& !"5 #0"9 $" 9"$ 5"9 #0"& "& #0" !"3 #"0 "$ #0"$ $"& 9"9 "! #" !" #0"3  'ntes de realizar los literales a y ( se realizó una prue(a de igualdad de varianzas para compro(ar si las varianzas son iguales o no y decidir con que ormula tra(ajar"  Datos :

(emperatura baja n =10

 $ =17.24 s =0.84

(emperatura alta n =10

 $ = 20.62 s =0.52

a" '(a temperatura tiene alg>n efecto en el encogimiento+ /lantee las hipótesis estad?sticas !ue corresponden a esta interrogante.  H 0 : & 1= &2

 H 1 : &1 < &2

)a temperatura si tiene eecto en el encogimiento ya que a mayor temperatura mayor es el nivel de encogimiento"

b" /or medio de la prueba 9 de -tudent pruebe la hipótesis formulada con a8 0 .0.  Es tadistico de Prueba

t obs=

$ 1− $ 2 p

√

1

+

p=

1

n1 n 2

√

( n − 1 ) s + ( n −1 ) s 2

1

1

2

2 2

n1+ n2− 2

2

0.52 ¿

t obs=

¿ ¿ 10 + 10− 2 2 0.84 ¿ + ( 10 −1 ) ¿ ( 10−1 ) ¿ ¿   17.24 −20.62 0.742

√

1 10

+

1

p =√ ¿

10

t obs=−10.18  Region de rechazo

t obs<−t α ( n1 + n 2−2 ) t obs=−10.18 <−t 0.05 ( 18 ) =−1.746  Decision : erechaza H 0 enfavor de H 1 ! e concluyeque el encogimientomedio de la temperatura altaesmayor queel encogimientomedio de la temperatura baja

c" '&ul temperatura provoca un encogimiento menor+ )a temperatura (aja provoca un encogimiento menor"

d" =ediante una prueba #, compare las varian)as de las temperaturas y comente.

2

2

2

2

 H 0 : ) 1=) 2  H 1 : ) 1 ' ) 2  Estadistico de Prueba 2

 * obs=

0.84

¿ 0.52

s1 2

s2

¿

2

¿

2

¿ ¿  * obs=¿  * obs= 2.60  Regionde rechazo  * obs > * α  ( n1 − 1 + n 2−1 ) 2

 * obs= 2.60 < * 0.05 ( 9 + 9 )= 4.03 2

 Desicion : eacepta H o conun nivel deconfianza de 95  ! e concluye quelas varianzas son iguales !

)as varianzas de las temperaturas son las mismas"

e" @ibu;e los diagramas de ca;as simultneos. 9E=/E:A96:A A$A

9E=/E:A96:A A(9A

3. -e tienen dos proveedores de una pie)a metlica, cuyo dimetro ideal o valor ob;etivo es igual a 0. cm. -e toman dos muestras de 14 pie)as a cada proveedor y los datos obtenidos se muestran a continuación< /:BEE@:

@CD=E9:- @E (A- /CEA@E &A@A



#0"3* 9"#* 9"$5*

#"3$* #0"5&* $"00* $"0* #"$9* # #"5* #"5#* ##"!* #"9#* +e realizó el literal ( en primer lugar"  Datos : α =0.05

 Proveedor 1 n =14

 $ = 20.19 s =1.58

 Proveedor 2

##"#&* #"9&* 9"0!* ##"0* ##"##* ##"0* ##"5* #0"$#

$"0* 9"#5 #"&9* #"9* #"5* #"#9* #"53* ##"##*

n =14

 $ = 21.81 s =0.53

a" /ruebe la hipótesis de igualdad de los dimetros de los proveedores en cuanto a sus medias.  H 0 : & 1= &2  H 1 : &1 ' & 2  Estadistico de Prueba

t obs=

$1− $ 2

√

2

2

 s 1 s 2 + n1 n2

1.58 ¿

2

0.53 ¿

2

¿ ¿

¿ 14 ¿ ¿ ¿ √ ¿ 20.19 −21.81 t obs= ¿ t obs=−3.64

1.58

¿ 0.53

2

¿

2

¿

¿ ¿ 14 +(¿ 14 ¿) ¿ 1.58 ¿ ¿ (¿ 14 ¿) ¿ 0.53 ¿ ¿ (¿ 14 ¿) ¿ ¿ 15 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿  Regionde rechazo |t obs|> t α  , v v =¿ 2

2

2

2

2

2

t α = z0.025 ( 9 )=2.262 2

|t obs|=|−3.64|> t α  ( 9 )=2.262 2

 Desicion : erechaza H o enfavor de H 1 conunnivel deconfianza de 95 ! e concluyequelas mediasno soniguales !

b" /ruebe la hipótesis de igualdad de varian)as. 2

2

2

2

 H 0 : ) 1=) 2  H 1 : ) 1 ' ) 2  Estadistico de Prueba 2

 * obs=

s1 2

s2

1.58

¿ 0.53

¿

2

¿

2

¿ ¿  * obs=¿  * obs= 8.89  Region de rechazo

 * obs > * α  ( n1 − 1 + n 2−1 ) 2

 * obs= 8.89 > * 0.05 ( 7 + 79 ) =4.99 2

 Desicion : erechaza H o conun nivel deconfianza de 95  ! e concluyeque lasvarianzas no son iguales !

c" -i las especicaciones para el dimetro son 0. mm F . mm, 'cul proveedor produce menos pie)as defectuosas+  EPEC*C#C-.E

 E= 22.50 E =18  /"(E RE#/E

 Proveedor 1  /R=20.19 + 3 ( 1.58 ) =23.35  /R, = 20.19 −3 ( 1.58 ) =17.03  Proveed∨2

 /R=21.81 + 3 ( 0.53 ) =23.40  /R = 21.81−3 ( 0.53 )= 20.22

)os dos proveedores tienen piezas deectuosas puesto que ninguno cumple con las especifcaciones" ,ero se podr-a afrmar que el proveedor # tiene mas deectuosos de(ido a sus limites reales"

d" '&on cul proveedor se !uedar?a usted+ .e(ido a que ninguno de los dos proveedores cumple con las especifcaciones no me quedar-a con ning/n proveedor"