ESTADÍSTICA PARA LA ADMINISTRACIÓN DE LOS NEGOCIOS Maestría en Negocios Introducción a la estadística estadística En este primer módulo se detallará el concepto de Estadística, clasificación e importancia, además de las múltiples aplicaciones. aplicaciones.
Definición Vamos a iniciar con la definición de Estadística. Para ello empezaremos cuestionándonos ¿qué se entiende por Estadística? En el uso más común, la estadística se refiere a información numérica o porcentajes. Por ejemplo: Las estadísticas de Expo Seguridad México del 2008 son: 40% de los asistentes recomiendan recomiendan o aprueban la compra de productos de seguridad. 18% de los asistentes harían compras durante el evento. 60% de los asistentes tomarían decisiones de compra durante el evento o en menos de 6 meses después de este. 80% de los participantes tenían presupuestos de hasta 5 mil pesos para la adquisición de sistemas de seguridad. 35% de los asistentes tenían presupuestos de 10 mil pesos y más para la compra de sistemas de seguridad. La materia Estadística que vamos a estudiar en el curso tiene un significado mucho más amplio. La siguiente es una definición formal de Estadística: Ciencia que se ocupa de recolectar, organizar, presentar, analizar e interpretar datos para ayudar a una toma de decisiones más efectiva. Realizar la lectura denominada “El progreso de la Estadística y su utilidad en la evaluación del desarrollo” por Adán BARRETO-VILLANUEVA. Posteriormente diseñar un mapa mental para exposición en grupo (Anexo 1). Tiempo: 20 minutos.
¿Por qué estudiar Estadística? Los métodos estadísticos son utilizados por mercadólogos, contadores, analistas de control de calidad, clientes, profesionales del deporte, administradores de hospitales, educadores, políticos y físicos, entre otros. La primera razón es que en todos lados encontramos información numérica. Si revisamos periódicos o revistas, encontraremos un bombardeo de información numérica. Para poder tener la capacidad de entender y analizar esta información, leer diagramas y gráficas, la comprensión de los conceptos básicos de Estadística serán de gran ayuda.
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La segunda razón es que las técnicas estadísticas se utilizan para tomar decisiones que afectan nuestra vida diaria, influyen en nuestro bienestar. La tercera razón es que el conocimiento de los métodos estadísticos ayuda a entender por qué se toman ciertas decisiones, y aporta una mejor comprensión respecto a la forma en la que nos afectan las decisiones. No importa el trabajo que elijas, tendrás que enfrentarte a tomar decisiones, para lo cual te será de gran ayuda un análisis confiable de la información. Generalmente se clasifica a la Estadística en dos categorías: a) Descriptiva. Organiza, resume y presenta los datos datos b) Inferencial. Método utilizados para la toma de decisiones, estimaciones, predicciones o generalizaciones sobre una población, basándose en una muestra. Existen términos de población y muestra en la definición de Estadística Inferencial. Estos términos se definen a continuación:
Población: Conjunto de todos los posibles individuos, objetos, o medidas de interés. Muestra: Una porción, o parte, de la población de interés. Observa que población en el sentido estadístico, no siempre se refiere a personas.
Ejemplo de estadística estadística descriptiva: De acuerdo al reporte de consumidores, los dueños de lavadoras General Electric reportaron 9 problemas de cada 100 lavadoras durante 2005. El estadístico 9 describe el número de problemas de cada 100 lavadoras.
Ejemplo de estadística estadística Inferencial: Las empresas de televisión constantemente monitorean la popularidad de sus programas contratando a la empresa Nielsen y a otras organizaciones para conocer las preferencias de los telespectadores. Ejercicio: Integrar equipos de 3 personas y realizar 3 ejemplos de estadística descriptiva y 3 de inferencial, respecto a las actividades que se realizan en los centros de trabajo de los integrantes. Tiempo: 15 minutos
Tipos de variables Existen básicamente dos tipos de datos: •
Cuando la característica característic a o variable en estudio es no numérica, se le denomina variable cualitativa o de atributo (nominal). Ejemplo: Género, religión, tipo de automóvil, lugar de nacimiento, color de los ojos de la persona, entre otros. 2
La segunda razón es que las técnicas estadísticas se utilizan para tomar decisiones que afectan nuestra vida diaria, influyen en nuestro bienestar. La tercera razón es que el conocimiento de los métodos estadísticos ayuda a entender por qué se toman ciertas decisiones, y aporta una mejor comprensión respecto a la forma en la que nos afectan las decisiones. No importa el trabajo que elijas, tendrás que enfrentarte a tomar decisiones, para lo cual te será de gran ayuda un análisis confiable de la información. Generalmente se clasifica a la Estadística en dos categorías: a) Descriptiva. Organiza, resume y presenta los datos datos b) Inferencial. Método utilizados para la toma de decisiones, estimaciones, predicciones o generalizaciones sobre una población, basándose en una muestra. Existen términos de población y muestra en la definición de Estadística Inferencial. Estos términos se definen a continuación:
Población: Conjunto de todos los posibles individuos, objetos, o medidas de interés. Muestra: Una porción, o parte, de la población de interés. Observa que población en el sentido estadístico, no siempre se refiere a personas.
Ejemplo de estadística estadística descriptiva: De acuerdo al reporte de consumidores, los dueños de lavadoras General Electric reportaron 9 problemas de cada 100 lavadoras durante 2005. El estadístico 9 describe el número de problemas de cada 100 lavadoras.
Ejemplo de estadística estadística Inferencial: Las empresas de televisión constantemente monitorean la popularidad de sus programas contratando a la empresa Nielsen y a otras organizaciones para conocer las preferencias de los telespectadores. Ejercicio: Integrar equipos de 3 personas y realizar 3 ejemplos de estadística descriptiva y 3 de inferencial, respecto a las actividades que se realizan en los centros de trabajo de los integrantes. Tiempo: 15 minutos
Tipos de variables Existen básicamente dos tipos de datos: •
Cuando la característica característic a o variable en estudio es no numérica, se le denomina variable cualitativa o de atributo (nominal). Ejemplo: Género, religión, tipo de automóvil, lugar de nacimiento, color de los ojos de la persona, entre otros. 2
•
En una variable cuantitativa la información es reportada numéricamente. Ejemplo: El saldo en tu cuenta de cheques, los minutos que le restan a la clase, o el número de niños de una familia.
Ejercicio: Contestar el Anexo 2. Tiempo: 10 minutos.
Las variables cuantitativas pueden ser discretas o continuas. Las variables discretas pueden asumir sólo valores cuya separación sea fija.
Ejemplo: el número de recámaras en una casa, el número de estudiantes en el curso de estadística (1, 2,3, !). Las observaciones de una variable continua pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo determinado. determinado.
Ejemplo: la presión del aire en un neumático de automóvil, el peso de un cargamento de granos (15.0, 15.01, 15.013, !toneladas). Ejercicio: Contestar el Anexo 3. Crucigrama, en binas. Tiempo: 10 minutos
Escalas (niveles) de medición Los datos pueden clasificarse de acuerdo a una escala o nivel de medición. Existen cuatro escalas de medición: •
•
•
•
Escala nominal: Las observaciones solamente se pueden clasificar o contar. No existe algún orden específico entre las clases. Ejemplos: color de ojos, género, religión. Escala ordinal: involucra datos arreglados con algún orden, pero las diferencias entre los valores de los mismos no pueden ser determinadas o bien no tienen algún significado. Ejemplo: en la prueba de 4 bebidas, la bebida C obtuvo el número 1, la bebida B el número 2, la bebida A con el número 3, y la bebida D con el 4. Escala de intervalo: es similar a la escala ordinal, con la propiedad adicional de que la diferencia entre los valores de los datos sí pueden ser determinados. Es importante señalar que el cero es solamente un punto de la escala, y no representa la ausencia de la condición. Ejemplo: temperatura en grados Fahrenheit. Escala de razón: esta escala tiene todas las características que la de intervalo, pero además el cero sí tiene significado, y la razón (cociente) entre dos números también es significativa. Ejemplo: unidades de producción, salarios, distancia entre un conjunto de oficinas, la estatura. Magnitudes físicas como la velocidad pertenecen a esta escala.
Ejercicio: Contestar el Anexo 4. Tipo de variables, en forma individual Tiempo: 10 minutos
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Después de haber revisado el tema de este módulo, revisar el siguiente esquema de evaluación. Tarea 1. Actividad 1. Elaborar una presentación en power point de las aplicaciones de la Estadística en los negocios. (Máximo 5 diapositivas).
Medio de entrega Fecha límite de envío Presentación en Miércoles a las Power point. posterior a la terminación de la primera semana de sesión.
AUTOEVALUACIÓN Elige la respuesta correcta: 1. Una estadística es: A. Un conjunto de valores. B. Un valor único. C. La suma de varios valores. D. El valor mayor de un conjunto de observaciones. 2. El objetivo de la estadística descriptiva es: A. Describir a la población. B. Describir a un conjunto de datos. C. Inferir algo sobre la población. D. Obtener un promedio. 3. ¿Cuál de los siguientes enunciados se refiere a la población? A. Debe ser un gran número de valores. B. Se refiere a personas. C. Es un conjunto de individuos, objetos o mediciones. D. Ninguna de las anteriores. 4. ¿Cuál de los siguientes enunciados se refiere a la muestra? A. Es una parte de la población. B. Debe consistir al menos de cinco observaciones. C. Se refiere a Estadística descriptiva. D. Todas las anteriores son correctas. 5. Una variable cualitativa: A. Siempre se refiere a una muestra. B. No es numérica. C. Sólo puede tener dos valores. D. Todas las anteriores son correctas. 6. Una variable discreta es: A. Un ejemplo de variables cualitativas. B. Puede asumir sólo un valor. C. Puede sólo asumir valores cuya separación sea la misma. D. No puede ser negativa. 4
7. Un ejemplo de una variable cuantitativa es: A. El CURP. B. La nacionalidad de las personas. C. Valores negativos. D. La temperatura. 8. La escala de medición de intervalo: A. Se utiliza exclusivamente para valores negativos. B. No puede tomar valores negativos. C. El cero es significativo. D. Se basa en contar objetos. 9. La escala de medición ordinal: A. El cero es significativo. B. Se basa en lugares o posiciones C. No puede tomar valores negativos. D. ninguna de las anteriores. 10. ¿Para qué crees que te pueda servir en tu vida profesional el estudiar Estadística y Probabilidad? _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________
Estadística descriptiva. Descripción de los datos
Los datos no agrupados son valores originales sin procesar, es la recolección simple o no organizada. No se realizan tablas de distribución Se considera que es el listado de los datos presentados en su forma primaria, es decir, tal como fueron obtenidos durante el proceso observación o medición en la muestra o población. A veces, de los datos recolectados ya organizados, se desea encontrar una especie de punto central en función de las observaciones. En Estadística se conocen tres diferentes, llamadas medidas de tendencia central, cuya utilización varía de acuerdo con lo que se desee del conjunto de datos recolectados. Esas tres medidas de tendencia central son la media, la mediana y la moda. Cada una de ellas se estudiará en dos partes: primero, cuando los datos no están agrupados y 5
segundo, cuando están organizados. Además, a veces difieren las fórmulas para calcular alguna de ellas si se trata de poblaciones o de muestras. (ver formulario) Al avanzar en el estudio de este módulo, resolver cada uno de los ejemplos y aclarar a la brevedad cualquier duda que te surja en cualquier procedimiento. Media
RESUMEN NÚMERICO: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Mediana Moda
DEFINICIÓN Si quieres resumir los datos que presentaste en el módulo anterior en las distribuciones de frecuencias, podemos empezar por buscar el centro de su distribución. Las medidas de tendencia central se utilizan para indicar un valor que tiende a tipificar o ser el más representativo de un conjunto de números. Las medidas más empleadas son: a) Media b) Moda c) Mediana
Características de la media La media aritmética es la medida de tendencia central más usada. Seguramente has obtenido el promedio de algunos datos, la media aritmética se conoce comúnmente como el promedio. Como tú recordarás, se calcula dividiendo el resultado de la suma de todos los datos entre el número de datos. Las principales características de la media son: • • • • • •
Requiere de una escala de intervalo. Todos los valores son utilizados. Es única. La suma de las desviaciones con respecto a la media es cero. La media es afectada por valores inusualmente grandes o pequeños. La media aritmética es la única medida de tendencia central donde la suma de las desviaciones de cada valor, respecto de la m edia, siempre es igual a cero.
Media de la población Primero quiero que recuerdes que el término población se refiere al conjunto de todos los posibles individuos, objetos, o medidas de interés con los que estás trabajando. Si además de trabajar con el conjunto de todos los datos, trabajas con datos no agrupados, es decir que no han sido procesados y presentados en una tabla de distribución de frecuencias, como las que aprendiste hacer en el módulo anterior, la
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media de la población la puedes calcular sumando todos los valores y dividiéndolos entre el número total de datos. Para poder representar lo anterior mediante una fórmula denotaremos a la media poblacional como ", N será el total de observaciones de la población y X un valor particular. µ
=
!
x
N
La letra griega ! se utiliza para denotar una suma. Supongamos que x tiene los siguientes valores 1, 5, 6 y 9, entonces ! x = 21.
Ejemplo: La familia Castro es propietaria de cuatro autos. Los siguientes datos corresponden al kilometraje de cada uno de ellos: 56,000 23,000 42,000 73,000 Encuentre la media aritmética del kilometraje de los autos: " = (56,000 + ! + 73,000)/4 = 48,500
Media de una muestra Continuaremos trabajando con datos no agrupados, pero ahora veremos el caso en el que nos interés conocer la media muestral, es decir con una parte de tu población. La media muestral es la suma de todos los valores de la muestra dividida entre el número de valores de la muestra. Donde n es el número total de valores en la m uestra. x
! x =
n
Como puedes darte cuenta la única diferencia es que la media de la población se representa con la letra griega µ y la media muestral con x y el número total de observaciones con N y n respectivamente.
Ejemplo: Una muestra de cinco ejecutivos recibió los siguientes bonos el último año ($000): 14.0, 15.0, 17.0, 16.0, 15.0 X
=
! X
n
=
14.0 + ... + 15.0 5
77 =
5
= 15.4
Existen otras diferencias entre la media poblacional y la media muestral. Tal es el caso del concepto de los siguientes términos: Un parámetro es una característica de una medida de la población. Un estadístico es una característica de una medida de una muestra.
Características de la mediana Ahora veremos otra medida de tendencia central, la mediana. La mediana es el valor que corresponde al punto medio de los valores después de ordenarlos de menor a mayor. 7
Como puedes darte cuenta, cincuenta por ciento de las observaciones son mayores que la mediana, y 50% son menores que ella.
Propiedades de la mediana • • • •
Es única; esto es, a semejanza de la media, sólo existe una mediana para un conjunto de datos. No se ve afectada por valores extremadamente grandes o muy pequeños, y por tanto es una medida valiosa de tendencia central cuando esto sucede. Puede calcularse para datos de nivel de razón, de intervalo y ordinal. Puede calcularse para una distribución de frecuencias con una clase de extremo abierto, si la mediana no se encuentra en tal clase.
Para calcular la mediana debes tomar en cuenta si el número de datos con los que trabajas es par o non. Para un conjunto par de valores, la mediana será el promedio aritmético de los dos valores centrales. Considero que será mejor explicarlo con un ejemplo:
Ejemplo: Las estaturas de 4 jugadores de basquetbol, en pulgadas, son: 76, 73, 80, 75 Primero ordenaremos los valores de menor a mayor: 73, 75, 76, 80 Valores centrales Entonces la mediana es:
=75.5
Para un conjunto non de valores, la mediana será el valor central.
Ejemplo: Las edades de una muestra de 5 estudiantes del colegio son: 21, 25, 19, 20, 22 Ordenando los datos en forma ascendente, tenemos: 19, 20, 21, 22, 25. Entonces la mediana es 21. * En los ejemplos anteriores el número de datos es muy pequeño. Cuando tengas que trabajar con un número mayor de datos te sugiero lo siguiente: Ordena los números de menor a mayor. Si el número de datos en non, suma uno a esta cantidad y divídela entre dos. El resultado de la división (cociente) te dirá el lugar que ocupa la mediana.
Ejemplo: 8
2, 4, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 15, 18, 22, 23, 23, 24 28, 30. Son 19 datos. Entonces:
=10
El número que ocupa el décimo lugar es la mediana: 9 2, 4, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 15, 18, 22, 23, 23, 24 28, 30. Puedes observar que antes y después del 9 hay nueve datos. Si el número de datos es par, divide la cantidad de datos entre dos. El cociente te indicará las posiciones de los valores centrales para que puedas calcular el promedio aritmético de ellos.
Ejemplo: 2, 4, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 15, 18, 22, 23, 23, 24 28, 30, 31 Son 20 datos. Entonces: 20/2=10 Ahora debes obtener el promedio aritmético de los números que ocupan el décimo y onceavo lugar: 2, 4, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 15, 18, 22, 23, 23, 24 28, 30. =9.5 Media
La moda La otra medida de tendencia central que vamos a ver es la moda. La moda es el valor de la observación que aparece con más frecuencia. Veamos un ejemplo: Las calificaciones de 10 estudiantes son: 81, 93, 84, 75, 68, 87, 81, 75, 81, 87 Ya que 81 es el dato que aparece con más frecuencia, éste es la moda. La dispersión o variación es una característica importante de un conjunto de datos porque intenta dar una idea de cuán esparcidos se encuentran éstos. Existen diversas medidas de dispersión, algunas de ellas son (ver formulario): • Rango • Desviación media • Desviación estándar • Varianza
Definición En el módulo anterior estudiamos las medidas de centralización, conforme avances en este módulo te darás cuenta que casi nunca son suficientes por sí solas para resumir adecuadamente las características de un conjunto de datos. Por lo general, necesitaremos, además, una medida de la dispersión de los datos. Las medidas de dispersión nos indican si los valores están relativamente cercanos uno de otro o si se encuentran separados.
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Ya vimos en el módulo anterior que la media y la mediana localizan el centro de los datos, pero no indican nada acerca de la diseminación de los mismos. Las medidas de dispersión nos permiten conocer sobre esta diseminación. Cuando tenemos un valor pequeño en una medida de dispersión los datos se acumulan estrechamente, por ejemplo, alrededor de la media aritmética. En este caso la media aritmética puede considerarse representativa de todos los datos.
Un valor grande en una medida de dispersión indicará que la media no es confiable. Las medidas de dispersión también son útiles para comparar la dispersión en dos o más distribuciones. No siempre se puede inferir de dos distribuciones con el mismo valor para la media lo mismo. Existen diferentes medidas de dispersión, por ejemplo, la amplitud que se basa en la localización de los valores más grande y más pequeño de un conjunto de datos. Otros ejemplos son; la desviación media, la varianza y la desviación estándar que se basan en las desviaciones respecto de la media.
La amplitud de variación es la diferencia entre el valor más grande y el valor más pequeño. Su cálculo es fácil ya que sólo dos valores son utilizados para ello. Una desventaja de esta mediada es que está influida por valores extremos. Y una ventaja es que es fácil de calcularlo y entenderlo. También se le conoce como rango. La varianza de la población es la media aritmética de las desviaciones al cuadrado de la media poblacional. Como ventajas tiene que todos los valores son utilizados en el cálculo y no está influida por valores extremos. Como desventaja el que las unidades están desproporcionadas, son los cuadrados de la unidad original. La fórmula para la varianza poblacional es: !
2
#( X " µ )
2
=
N
La fórmula para la varianza muestral es: s
2
"( X ! X )
2
=
n !1
Recuerda que la única diferencia entre el cálculo de alguna medida, en este caso de dispersión, entre la muestra y la población es la notación. Considero que la mejor forma de entender el concepto de varianza es por medio de un ejemplo.
Ejemplo: Las edades de la familia González son: 2, 18, 34, 42 ¿Cuál es la varianza poblacional? Primero se calcula la media: µ
96
! X =
=
n
=
4
24
10
Luego se resta a la media cada uno de los datos, que es lo que se conoce como desviación media, se elevan al cuadrado se suman y se divide entre el total de observaciones. "
2
=
! (X ! µ)
N 944
=
2
=
4
=
(2 ! 24)2
+ ... +
(42 ! 24)2
4
236
La desviación estándar poblacional La desviación estándar poblacional ( ") es la raíz cuadrada de la varianza poblacional. Para el ejemplo anterior, la desviación estándar es 15.36, calculada así: !
=
!
2
=
236
=
15.36
En este ejemplo la media es de 24 y la desviación estándar de 15.36. ¿Consideras que la media es un valor representativo de tus datos? ¿Crees que resulte útil el valor de la desviación estándar para responder a la pregunta anterior? La representación gráfica de los datos no agrupados se recomienda sea a través de una gráfica de barras, lineal o circular. Distribución de frecuencias (Determinar la información que interesa, recolectar datos, organizar datos (distribución de frecuencias), Presentar datos (gráficas) y obtener conclusiones).
Definición Los datos no procesados pueden carecer de significado. Tal vez te haya ocurrido que grandes cantidades de números te han confundido, esto es totalmente normal, ya que nuestra mente no puede manejar la diversidad y detalle que acompañan los grandes conjuntos de números. Al procesar los datos los transformamos en información organizada, ya sea en gráficas o en unos cuantos números que revelan la esencia del conjunto. El efecto es que se eliminan los detalles menores y se resaltan las características más importantes. Algunos usos comunes del procesamiento de datos en las empresas son en el balance general y en el estado de resultados, cada uno resume las actividades de una compañía. Cuando existe una gran cantidad de datos, por ejemplo 30 o más, es necesario llevar a cabo, en primer lugar, el agrupamiento de los datos antes de analizarlos. Una distribución de frecuencias es un agrupamiento de datos en categorías mutuamente excluyentes, que indican el número de observaciones en cada categoría. Cuando hablamos de categorías mutuamente excluyentes nos referimos a que un dato no puede pertenecer a dos categorías distintas.
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¿Cómo se elabora una distribución de frecuencias? El primer paso es anotar los datos en una tabla que muestre las clases (categorías) y el número de observaciones en cada categoría. Los pasos para elaborar una distribución de frecuencias se describe mejor utilizando un ejemplo: El Dr. Yáñez es director de una Escuela de Negocios en la Universidad la Salle, desea preparar un resumen mostrando el número de horas por semana que emplean los estudiantes en instruirse. Selecciona una muestra de 30 estudiantes y determina el número de horas que cada alumno estudió en la última semana. 15, 24, 20, 15, 18, 23, 14, 21, 14, 21, 18, 19, 13, 20, 14, 21, 18, 30, 17, 19, 10, 26, 16, 14, 18, 34, 23, 13, 27, 17 Organiza los datos en una distribución de frecuencias. Para ello vamos a seguir los pasos que se presentan a continuación: 1) Ordenar los datos de menor a mayor : _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 2) Determinar el número de clases (categorías): Éste número debe ser el óptimo. Existe una regla que sugiere utilizar como el número de clases el menor número (k) tal que 2k sea mayor que el número de observaciones. En el ejemplo tenemos 30 observaciones, es decir, hay 30 datos. Entonces lo que debemos hacer es buscar un número “ k”, tal que 2 k # 30. (2k sea mayor o igual a 30). Dos elevado a la quinta potencia es 32, 2 5=2x2x2x2x2=32. Entonces k =5 y debemos tener al menos 5 clases. Eventualmente utilizaríamos 6. También existe otro método que es de sturges K= 1+3.322 log (n), el resultado deberá siempre el entero inmediato anterior al valor encontrado.
3) Determinar el intervalo o amplitud: Generalmente debe ser el mismo para todas las clases. Las clases deben cubrir al valor menor y al mayor. Para determinarlo se recomienda el uso la siguiente expresión: H L i
!
"
k
En donde H es el valor mayor observado, L es el menor y k es el número de clases. Como en el ejemplo el número mayor es 34 y el número menor es 10, restando 10 de 34 horas. El rango es 24 horas. Dividimos 24 entre = 5 Vamos a redondearlo a 5 para que sea más fácil trabajar con esta amplitud. Por lo que cada que se obtenga un valor con decimal se aproximará a su entero inmediato posterior.
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El límite inferior de la primera clase será de 10 horas, ya que es el valor menor que tenemos. Si a 10 le sumamos 5, que es la amplitud, tenemos 14 El límite superior de la primera clase será de14 horas. Para que las categorías sean mutuamente excluyentes, es decir un dato no corresponda a dos categorías distintas, el siguiente intervalo tendrá como límite inferior el valor de 14, si le sumamos 5, el límite superior será 18 y así sucesivamente.
Intervalos de clase
Intervalos de clase
Frecuencia
Frecuencia
Frecuencia relativa
Para saber que números deben ir en la columna de frecuencia, tendrás que revisar los datos del ejemplo y contar cuántos valores están comprendidos en cada clase. A continuación se presentan algunos conceptos importantes:
Marca de clase: Un punto que divide el intervalo en dos partes iguales. Es el promedio entre el límite inferior y superior del intervalo de clase. Frecuencia de clase: El número de observaciones en cada clase. Intervalo de clase: El intervalo de clase se obtiene restando el límite inferior de una clase del límite inferior de la siguiente clase. La tabla anterior muestra el número total de observaciones en cada clase. En ocasiones es preferible conocer la proporción que hay en cada clase, es decir el porcentaje. Una distribución de frecuencias relativas muestra el porcentaje de observaciones en cada clase. Se obtiene dividiendo la frecuencia de cada clase entre el total de observaciones.
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Intervalos de clase
Frecuencia
Frecuencia acumulada
Una distribución de frecuencias acumuladas muestra el número de elementos que son menores que cierto valor específico o igual a éste. Se obtiene mediante sumas sucesivas de frecuencias de clase. Una distribución de frecuencias relativas acumuladas muestra el porcentaje de elementos que son menores que cierto valor específico o igual a éste. Se obtiene dividiendo las frecuencias acumuladas entre el total de observaciones.
La media para datos agrupados Si vas a trabajar con una tabla de datos agrupados y deseas conocer la media tendrás que utilizar la siguiente fórmula:
X
! Xf =
n
Nuevamente considero que lo mejor para explicarte como usar la fórmula es mediante un ejemplo.
Ejemplo: Una muestra de 10 cines en una gran área metropolitana contó el número total de películas en exhibición la última semana. Calcule el número medio de películas en exhibición.
Películas cartelera 1–3 4–6 7–9 10 – 12 13 – 15 Total
en Frecuencia
Marca de clase ( X )
(f )( X )
2 5 8 11 14
2 10 24 11 42 89
1 2 3 1 3 10
¿Cómo calcular la columna de marca de clase? Para ello debes sumar el límite inferior y el límite superior de cada clase y dividirlos entre dos. Por ejemplo, para la primera clase: 1+3=4/2=2; 4+6=10/2=5; 7+9=16/2=8. 14
Una vez que tienes los valores de X (marca de clase), debes multiplicar cada uno de ellos por su frecuencia, para la primera clase la frecuencia es uno, y la marca de clase es 2, entonces (1) (2)=2. Debes hacerlo para cada una de las clases. El siguiente paso consiste en sumar todos los productos de las frecuencias por las marcas de clase, que en este ejemplo da 89. Lo último que tienes que hacer es dividir la suma entre el número de observaciones, en el ejemplo son 10.
X
! fX =
n
89 =
10
=
8.9
La mediana de una tabla de datos agrupados La mediana de una tabla de datos agrupados se calcula con:
Donde L es el límite inferior de la clase que contiene a la mediana, n es el número total de observaciones (datos), CF es la frecuencia acumulada precedente a la clase mediana, f es la frecuencia de la clase que contiene a la mediana , e i es la amplitud de la clase.
¿Cómo se encuentra la clase que contiene a la mediana? 1. Calcula la frecuencia acumulada de la tabla de datos agrupados. 2. Divide el número total de datos entre 2 (el total de la columna de frecuencia acumulada). Determina cuál clase contiene este valor. Volvamos al ejemplo de los cines, en donde el valor de la frecuencia cumulada es 10, es decir, n = 10, ahora dividimos entre dos el valor de la frecuencia acumulada: 10/2 =5, entonces ahora, busca que clase contiene el valor de 5. La clase que tiene como frecuencia el valor de cinco es la segunda clase: 4-6. Ya que encontraste la clase mediana, identifica los valores de L, límite inferior de la clase que contiene a la mediana, “n” número total de observaciones (datos), CF frecuencia acumulada precedente a la clase mediana, “f” frecuencia de la clase que contiene a la mediana e “i” que es la amplitud de la clase en que se encuentra la mediana.
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Películas en cartelera
!"#
Frecuencia
Frecuencia acumulada
1–3
1
1
4–6
2
3
7–9
3
6
10 – 12
1
7
13 – 15
3
10
Total
"'
()"*
! "% & # "'
10 +"*,
Sustituyendo en la fórmula tenemos:
Moda para datos agrupados En este momento vamos a ver, para datos agrupados en una tabla, cómo es posible aproximar la moda usando la marca de clase que contiene el mayor número de frecuencias. Vamos a volver a utilizar el ejemplo de los cines. En la tabla buscas el valor más alto en la columna de las frecuencias.
Películas en cartelera 1–3 4–6 7–9 10 – 12 13 – 15 Total
Frecuencia
Frecuencia acumulada
1 2 3 1 3
1 3 6 7 10
10
Estarás de acuerdo que el valor más alto es 3. El valor se encuentra en las clases 7-9 y 13-15, por lo que hay dos valores para la moda. Para la primera clase, la marca de clase es 8 y para la segunda clase es 14, por lo tanto se dice que la distribución es bimodal y los valores de la moda son: 8 y 14.
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Varianza muestral para datos agrupados Si en lugar de tener tus datos originales tienes una tabla de datos agrupados, y además no estás trabajando con la población sino con una muestra, para calcular la varianza muestral, deberás emplear la siguiente fórmula: " fX
s
2
2
=
!
(" fX ) 2 n
n !1
Utilicemos el mismo ejemplo del módulo anterior para explicar el uso de la fórmula de la varianza: Primero debemos identificar a f que es la frecuencia de clase y a X que es la marca de clase.
Películas en cartelera
Frecuencia
Marca de clase (X)
f X
1–3
1
2
=4
(1)(4)=4
(1)(2)=2
4–6
2
5
=25
(2)(25)=50
(2)(5)=10
7–9 10 – 12
3 1
8 11
(3)(64)=192 (1)(121)=121
(3)(8)=24 (1)(11)=11
13 – 15
3
14
=64 =12 1 =19 6
(3)(196)=588
(3)(14)=42
Total
10
=955
( (
=7921 /n=7921/ 10=792.1
La varianza es igual a: 2
" fX !
s
2
=
(" fX )
2
955 ! 792.1
n
=
n !1
9
=
18.1
La desviación estándar es igual a : s
=
s
2
=
18.1
=
4.25
La desviación estándar es una de las medidas de dispersión que más se utiliza, desempeña un papel importante en la Estadística. Sus unidades son las mismas que las de la media. En general, la deviación estándar se emplea como una medida para comparar la dispersión en dos o más conjuntos de observaciones. 17
Por ejemplo: Se ha calculado que la desviación estándar para las cantidades quincenales invertidas en el plan de participación de utilidades de dos empresas es de $7.51 y $10.47, respectivamente. Las medias de las cantidades invertidas en ambas empresas son aproximadamente iguales. Cómo la desviación estándar de la primera empresa es menor, se puede inferir que las cantidades invertidas en ella no se dispersan tanto como la de los empleados de la segunda empresa. Como las cantidades invertidas en la primera empresa se acumulan más hacia la media, se puede afirmar que la media es una medida más confiable en esta empresa que en la otra.
Presentación de una distribución de frecuencias en gráficas Las gráficas y los diagramas son particularmente eficaces al proporcionar una imagen objetiva de las características principales de los datos. No solamente sirven como instrumento de comunicación, sino que también ayudan a la conceptualización de problemas. Desempeñan un papel muy importante en el análisis estadístico. Las tres gráficas más comunes son: histograma, polígono de frecuencias y distribución de frecuencias acumuladas, ya sea de valores absolutos o de frecuencias relativas.
Un histograma es una gráfica en la cual los intervalos de clase se señalan en el eje horizontal, y las frecuencias de clase en el eje vertical. Las frecuencias de clase son representadas por barras de diferente altura y éstas se colocan una junto a otra.
Un polígono de frecuencias consiste en segmentos de línea conectados a través de los puntos medios (marcas de clase) de clase en cada intervalo de clase.
18
Una distribución de frecuencias acumulada (ojiva) es utilizada para determinar cuántos o qué proporción de los datos están por arriba o por debajo de cierto valor.
Nombre de la gráfica Histograma de frecuencias absolutas Histograma de frecuencias relativas Polígono de frecuencias absolutas Polígono de frecuencias relativas Ojiva de Frecuencias absolutas Ojiva de Frecuencias relativas acumuladas Gráfica circular
Eje X Clase
Eje Y Frecuencia absoluta
Clase
Frecuencia relativa
Marca de clase
Frecuencia absoluta
Marca de clase
Frecuencia relativa
Limite real de superior Límite real de superior Frecuencia relativa
clase Frecuencia acumulada clase Frecuencias acumuladas
relativas
Revisar el siguiente esquema de evaluación. En él encontrarás las actividades que debes de realizar para evaluar el aprendizaje logrado hasta el momento.
Incorporar : Leer la unidad 2 de la Antología.
19
Hacer : La información de la siguiente tabla presenta los porcentajes de rentabilidad de las acciones de 30 empresas. Haz una tabla de distribución de frecuencias, con el análisis de las medidas de tendencia central y de dispersión, además de las gráficas explicadas en las sesiones. 38,0 24,0 13,3 19,9 26,8
24,5 29,6 28,0 24,6 31,2
21,5 19,4 30,8 32,3 50,9
30,8 25,6 32,9 24,7 30,7
18,7 30,3 20,3 39,5 20,3
29,0 15,3 21,3 27,5 24,0
Conectar : Elaborar una diapositiva en power point sobre las conclusiones del ejercicio. Medio de entrega. El ejercicio deberá entregarse en un documento en Word y en Excel. Autoevaluación Por favor contesta lo que se te indica. 1) Un conjunto de datos consta de 38 observaciones. ¿Cuántas clases recomendaría para la distribución de frecuencias? 2) Un conjunto de datos está integrado por 45 observaciones que van desde cero hasta 29 dólares. ¿Qué tamaño de intervalo de clase recomendarías? 3) Un conjunto de datos contiene 53 observaciones. El valor más pequeño es 42 y el más grande es 129. Los datos deben organizarse en una distribución de frecuencias. a) ¿Cuántas clases se deben establecer? b) ¿Cuál sería el límite inferior de la primera clase? 4) La siguiente gráfica muestra las calificaciones de un primer examen de Estadística.
25
21
20 a i c n e u c e r F
15
15
13
10 5
7
4
"
50
60 70 80 Calificación
90
100
a) ¿Cuántos estudiantes hicieron el examen? b) ¿Cuál es la amplitud del intervalo de clase? 20
c) ¿Cuál es la marca de clase para el primer intervalo? d) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron una calificación menor a 70? 5.
La diferencia entre calcular la media de la muestra y de la población es: A. La simbología que se usa: usamos X en lugar de µ y n en lugar de N. B. Dividimos el número de observaciones entre n - 1 en lugar de entre n. C. Las observaciones se ordenan y se selecciona el valor medio cuando se trata de calcular la media de la población. D. No hay diferencia.
6. ¿Cuál de las siguientes medidas de tendencia central se ve más afectada por valores extremos? A. B. C. D. 7.
Mediana Media Moda Media Geométrica ¿Qué requisito es importante para el cálculo de la mediana?
A. B. C. D.
Ninguno en especial Ordenar los valores Sumar los valores Restar el valor mayor del menor.
8. ¿Cuál de las siguientes medidas de tendencia central se recomienda usar para variables cualitativas? A. B. C. D.
Media Mediana Moda Media ponderada
9. En un conjunto de observaciones, ¿cuál medida de tendencia central reporta el valor que se presenta con más frecuencia? A. B. C. D. 10.
El promedio es la forma en que comúnmente conocemos a: A. B. C. D.
11.
Media Mediana Moda Media geométrica
Media Mediana Moda Media geométrica La media de 6, 3, 5, 7 y 6 es:
A. 5.4. B. 6. C. 4.5. 21
D. Ninguno de los anteriores. 12. Supongamos que comparas la media de un conjunto de datos y la media del mismo conjunto de datos en una distribución de frecuencias el resultado será: A. B. C. D.
El mismo. El mismo valor que la mediana. El mismo que la media geométrica. Aproximadamente igual.
13. En un conjunto de 10 observaciones la media es 20 y la mediana es 15. Dos de los valores son 6, y el resto de los valores son diferentes. ¿Cuál es la moda? A. B. C. D.
15 20 6 Ninguno de los anteriores.
14. ¿Cuál de las siguientes no es una medida de dispersión? A. B. C. D. 15.
Rango Varianza Deviación estándar Todas son medidas de dispersión Una desventaja del rango es:
A. B. C. D.
Sólo se usan dos valores para calcularlo. Sus unidades son distintas que las de la media. No existe para algunos conjuntos de datos. Todas las anteriores.
16. La desviación media es: A. B. C. D.
La raíz cuadrada de la media. La varianza. La mediana. Ninguna de las anteriores.
17. La deviación estándar: A. B. C. D.
Es la raíz cuadrada de la varianza. Tiene las mismas unidades que la media. Emplea todos los valores del conjunto de observaciones para su cálculo. Todas las anteriores.
18. La varianza: A. B. C. D.
Se obtiene dividiendo a la media entre el número de observaciones. Se da en las mismas unidades que los datos originales. Se obtiene al sacar la raíz cuadrada de la deviación estándar. Ninguna de las anteriores.
19. ¿Cuál de los siguientes enunciados es correcto con respecto a la deviación estándar? 22
A. B. C. D.
Nunca es negativa. Si es cero, significa que todos los datos son iguales. Tiene las mismas unidades que la media. Ninguna de las anteriores.
20. La siguiente distribución de frecuencias reporta el número de estudiantes registrados en cada uno de los 50 grupos de varios cursos impartidos en La Escuela de Negocios el verano pasado.
Estudiantes 1
a
10
3
11 a
20
8
21 a
30
16
31 a
40
10
41 a
50
9
51 a
60
4
Total a) b) c)
Frecuencia
50
Determine la desviación estándar. Determine la varianza. ¿Qué podrías concluir de los resultados obtenidos?
Asimetría En muchas empresas sólo se calculan una medida de centralización y una medida de dispersión, generalmente la media y la desviación estándar. De esta forma, en muchas ocasiones se reduce un gran conjunto de datos a sólo dos números. Para muchos conjuntos de datos reales, esto puede justificarse, ya que, calculando otras medidas, es muy poco lo que se puede aprender de más sobre la distribución. Sin embargo, puede ocurrir que se pierda información significativa sobre la forma de la distribución poblacional cuando se reducen los datos a sólo una medida de centralización y a una medida de dispersión. Consideremos los siguientes histogramas:
El histograma de arriba, representa una situación en la que los datos se distribuyen simétricamente alrededor de su valor central. Las observaciones extremadamente 23
grandes no son más frecuentes que las extremadamente pequeñas. La distribución tiene la misma forma en ambos lados del eje central. La moda, la mediana y la media se localizan en el centro y siempre son iguales.
El histograma de arriba, presenta una cola más grande a la derecha, con cortes más abruptos a la izquierda. Este tipo de distribuciones que se denominan asimétricas a la derecha o con sesgo positivo, tienen como característica que su media es mayor que la mediana y que la moda. ¿Por qué? Porque como ya mencioné la media se ve afectada por los valores extremos. En general, la mediana es la siguiente medida más alta en este tipo de distribuciones. Si la distribución es muy asimétrica, la media no sería una medida representativa útil. La mediana y la moda serían una mejor medida.
El histograma de arriba, se presenta la situación opuesta al anterior. Aquí la distribución es asimétrica a la izquierda o con sesgo negativo, de forma que los valores más bajos se extienden en una zona muy amplia, pero los más altos no. En este caso la medida menor es la media. El valor mayor es el de la moda. Nuevamente, si la distribución presenta una asimetría muy marcada, la media no es aconsejable como medida representativa de los datos. La media y la desviación estándar no contienen información acerca de la simetría de una distribución. La simetría puede observarse muy clara en los histogramas y en los polígonos de frecuencia. El concepto de asimetría se refiere a si la curva que forman los valores de la serie presenta la misma forma a izquierda y derecha de un valor central (media aritmética).
24
La asimetría es una medida que permite identificar y describir la manera como los datos tiende a reunirse de acuerdo con la frecuencia con que se hallen dentro de la distribución. Permite identificar las características de la distribución de datos sin necesidad de generar el gráfico. a) Asimetría Negativa o a la Izquierda Se da cuando en una distribución la minoría de los datos está en la parte izquierda de la media. Este tipo de distribución presenta un alargamiento o sesgo hacia la izquierda, es decir, la distribución de los datos tiene a la izquierda una cola más larga que a la derecha. También se dice que una distribución es simétric a a la izquierda o tiene sesgo negativo cuando el valor de la media aritmética es menor que la mediana y éste valor de la mediana a su vez es menor que la moda, en símbolos !x < Md < Mo.
b) Simétrica Se da cuando en una distribución se distribuyen aproximadamente la misma cantidad de los datos a ambos lados de la media aritmética. No tiene alargamiento o sesgo. Se representa por una curva normal en forma de campana llamada campana de Gauss (matemático Alemán 1777-1855) o también conocida como de Laplace (17491827).También se dice que una distribución es simétrica cuando su media aritmética, su mediana y su moda son iguales, en símbolos !x = Md = Mo. c) Asimetría Positiva o a la Derecha Se da cuando en una distribución la minoría de los datos está en la parte derecha de la media aritmética. Este tipo de distribución presenta un alargamiento o sesgo hacia la derecha, es decir, la distribución de los datos tiene a la derecha una cola más larga que a la izquierda. También se dice que una distribución es simétrica a la derecha o tiene sesgo positivo cuando el valor de la media aritmética es mayor que la mediana y éste a valor de la mediana a su vez es mayor que la moda, en símbolos símbolos !x > Md > Mo . Se caracteriza el grado de asimetría de una distribución alrededor de su media. La asimetría positiva indica una distribución con una cola asimétrica que se extiende hacia más valores positivos. La asimetría negativa indica una distribución con una cola 25
asimétrica que se extiende hacia más valores negativos. Medida de Fisher Para datos sin agrupar se emplea la siguiente fórmula: As= (n/((n-1)(n-2))( !"(xi- x) /n")3
Para datos agrupados en tablas de frecuencias se emplea la siguiente fórmula: As= (n/((n-1)(n-2))!"( f(xi- x)/n")3
Para datos agrupados en intervalos se emplea la siguiente fórmula: As= (n/((n-1)(n-2))!"(f(xm- x)/n")3
Donde: Xi = cada uno de los valores n = número de datos x
! media aritmética =
f = frecuencia absoluta "
3
= cubo de la desviación estándar poblacional
xm = marca de clase Nota: Si As < 0 #Indica que existe presencia de la minoría de datos en la parte izquierda de la media, aunque en algunos casos no necesariamente indicará que la distribución sea asimétrica negativa Si As = 0 # la distribución será simétrica Si As > 0 # Indica que existe presencia de la minoría de datos en la parte derecha de la media, aunque en algunos casos no necesariamente indicará que la distribución sea asimétrica positiva Realizar el siguiente ejercicio: 6, 9, 9, 12, 12, 12, 15 y 17 Ejercicio. Calcule empleando las fórmulas y mediante Excel el dadas las siguientes distribuciones. a) 4, 4, 8, 14, 14, 16, 18 y 20 b) 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 y 20
Curtosis La curtosis mide el grado de agudeza o achatamiento de una distribución con relación a la distribución normal, es decir, mide cuán puntiaguda es una distribución. La curtosis determina el grado de concentración que presentan los valores en la región 26
central de la distribución. Así puede ser: a) Leptocúrtica.- Existe una gran concentración. b) Mesocúrtica.- Existe una concentración normal. c) Platicúrtica.- Existe una baja concentración.
Esto explica una forma de la distribución de frecuencias con colas muy elevadas y con un centro muy apuntado. La curtosis o apuntalamiento es una medida de forma que mide cuán escarpada o achatada está una curva o distribución. Este coeficiente indica la cantidad de datos que hay cercanos a la media, de manera que a mayor grado de curtosis, más escarpada (o apuntada) será la forma de la curva.
Ejercicio. Revisar la página http://www.yahoo.com # De lado izquierdo de la página selecciona Bienes Raíces. Selecciona un estado. Selecciona casas en venta y elige una colonia. Elige el precio de 20 casas. Determina la media y la mediana de los precios de venta de las casas. ¿Una de estas medidas de tendencia central resulta ser más representativa? Calcula la media, la mediana y la moda del número de recámaras. ¿Una de estas medidas de tendencia central resulta ser más representativa que las otras? 27
Los ejercicios los debes enviar en un documento en Word a mi correo y el reporte en Excel adjuntarlo en una hoja del archivo que entregarás al finalizar al sesión.
Principios de probabilidad Los primeros módulos se centraron en la estadística descriptiva. Ahora la atención se dirigirá al estudio de la segunda faceta de la estadística, que es el cálculo de la posibilidad de que algo ocurra en el futuro: a la estadística Inferencial. La base de la estadística Inferencial es la probabilidad, por lo que a partir de la siguiente lectura, definirás probabilidad, describirás los enfoques clásico, empírico y subjetivo de la probabilidad, definirás los términos experimento, evento y resultado, explicarás los conceptos de probabilidad condicional y probabilidad conjunta, aplicarás las reglas de adición y multiplicación en el cálculo de probabilidades, usarás un diagrama de árbol para organizar y evaluar probabilidades y calcularás una probabilidad utilizando el teorema de Bayes. La Estadística Inferencial se ocupa de obtener conclusiones acerca de una población basándose en una muestra. Debido a que existe una incertidumbre considerable al tomar decisiones, resulta importante que se evalúen en forma científica todos los riesgos implícitos conocidos. Es de gran ayuda en esta evaluación la Teoría de la Probabilidad. Como los conceptos de probabilidad son tan importantes en el campo de la Estadística Inferencial iniciaremos con el lenguaje básico de probabilidad.
La probabilidad es una medida de la posibilidad relativa de que un evento ocurra en el futuro. Una probabilidad puede asumir valores entre cero y uno inclusive. Un valor cercano a cero significa que es poco probable que el evento suceda. Un valor cercano a uno significa que es altamente probable que el evento suceda. Hay tres definiciones de probabilidad: clásica, empírica y subjetiva.
Un experimento es un proceso que conduce a que ocurra una (y solamente una) de varias observaciones posibles. Un resultado es un suceso particular proveniente de un experimento. 28
Un evento es un conjunto de uno o más resultados de un experimento. Experimento Todos los posibles resultados
Algunos eventos posibles
Tirar un dado Obtener un 1 Obtener un 2 Obtener un 3 Obtener un 4 Obtener un 5 Obtener un 6 Obtener un número par Obtener un número > 4 Obtener un número $ 3
En ocasiones se abordarán eventos que son mutuamente excluyentes y con eventos independientes. Por ello es importante definirlos. Los eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de cualquiera significa que ninguno de los otros eventos puede ocurrir al mismo tiempo: Al lanzar un dado si cae un número par no puede caer un número non. Los eventos son independientes si la ocurrencia de un evento no afecta la ocurrencia de otro: Los dos primeros hijos de un matrimonio son varones. A continuación se presentan ejemplos de los tipos de probabilidad.
Ejemplo: Se va a sacar una carta al azar de un juego de barajas de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea una reina? ¿Qué enfoque de probabilidad se emplea para contestar a esta pregunta? El enfoque que se emplea para contestar es el de probabilidad clásica. Para ello se usa la definición de probabilidad clásica: La probabilidad de un evento es igual a: Número de resutlados favorables Número de resutlados posibles
4 =
52
=
0.07
Ejemplo: La Secretaría de Salud reporta que de 833 muertos, 24 mueren debido a un accidente automovilístico, 182 mueren de cáncer y 333 de enfermedades cardíacas. ¿Cuál es la probabilidad de que una muerte en particular se deba a un accidente automovilístico? ¿Qué enfoque de probabilidad usas para responder? El enfoque que se emplea para contestar es el de probabilidad empírica. Para ello se usa la definición de probabilidad empírica: La probabilidad de un evento es igual a: Número de veces que ocurrió el evento en el pasado Número de observacio nes 24 =
0 027
=
29
Ejemplo: En el departamento académico del profesor López, se le han asignado a un total de 186 estudiantes la calificación de “10” de entre un total de 1,200 estudiantes. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de su sección este semestre reciba una calificación de “10”? Este es un ejemplo de la definición empírica de probabilidad. Encuentre la probabilidad de seleccionar un estudiante con calificación “10”: P(A) = 186/1,200 = 0.155
Reglas básicas de probabilidad Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, la regla especial de la adición indica que la probabilidad de que ocurra uno u otro de los eventos, es igual a la suma de sus probabilidades. P(A o B) = P(A) + P (B)
Ejemplo: La oficina de vuelos de Aeroméxico tiene registrada la siguiente información en su bitácora de vuelos entre Ciudad de México y Acapulco.
Llegadas Temprano A tiempo
Frecuencia 100 800
Tarde 75 Cancelado 25 Total
1000
Si A es el evento de que el vuelo llegue temprano, entonces: P(A) = 100/1000 = 0.10 Si B es el evento de que el vuelo llegue tarde, entonces: P (B) = 75/1000 = 0.075 La probabilidad de que el vuelo llegue temprano o tarde es: P(A o B) = P(A) + P (B) = 0.10 + 0.075 = 0.175
La regla del complemento La regla del complemento es utilizada para determinar la probabilidad de que un evento ocurra, restando a 1 la probabilidad de que no ocurra dicho evento. Si P(A) es la probabilidad de un evento A y P (~A) es la probabilidad del complemento de A,
P(A) + P (~A) = 1 o P(A) = 1 – P (~A) 30
Un diagrama de Venn ilustrando la regla del complemento se apreciaría así:
$
%$
Si se retoma el ejemplo anterior, usando la regla del complemento para encontrar la probabilidad de un evento (A) temprano o un evento (B) tarde tenemos: Si C es el evento de que el vuelo llegue a tiempo, entonces P(C) = 800/1000 = 0.8 Si D es el evento de que el vuelo se cancele, entonces P (D) = 25/1000 = 0.025 P(A o B) = 1 - P(C o D) = 1 - [.8 +.025] =0.175
% #&
' #()
%*%
+ ',-*$ + .,-"#/0)
La regla general de la adición Si A y B son dos eventos que no son mutuamente excluyentes, entonces P(A o B) es dada por la siguiente fórmula: P(A o B) = P(A) + P (B) - P(A y B) El diagrama de Venn ilustra esta regla:
$1.
31
Ejemplo: En una muestra de 500 estudiantes, 225 afirmaron tener un estéreo, 175 dijeron tener una TV, y 100 afirmaron tener ambos.
; < /0)
234+5 /""
65789:+ (()
Si un estudiante es seleccionado al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante tenga sólo un estéreo? ¿Sólo una TV? ¿Ambos? P(S) = 225/500 = 0.45 P (T) = 175/500 = 0.35 P(S y T) = 100/500 = 0.20 Si un estudiante es seleccionado al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga un estéreo o una TV en su cuarto? P(S o T) = P(S) + P (T) - P(S y T) = 0.45 + 0.35 - 0.20 = 0.60
Probabilidad conjunta Mide la posibilidad de que dos o más eventos ocurran en forma simultánea.
Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que una carta escogida al azar de una baraja americana sea un rey o un corazón?
Carta Rey
Probabilidad de ocurrrencia P(A)=4/52
Corazón
P(B)=13/52
Rey de corazones
P(A y B)=1/52
Explicación Hay 4 reyes en una baraja de 52 cartas Hay 13 corazones en una baraja de 52 cartas Hay 1 rey de corazones en una baraja de 52 cartas
P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)=
32
Regla especial de la multiplicación La regla especial de la multiplicación requiere que dos eventos A y B sean independientes. Recuerda que dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de que ocurra el otro. Esta regla se escribe:
P(A y B) = P(A) P (B) Ejemplo: Cristina tiene acciones en IBM y GE. La probabilidad de que las acciones de IBM aumenten de valor el próximo año es 0.5, y la probabilidad de que las acciones de GE aumenten su valor el próximo año es 0.7. Suponga que las acciones de ambas empresas son eventos independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que las acciones de ambas empresas incrementen su valor el próximo año? P (IBM y GE) = (0.5) (0.7) = 0.35 ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de estas acciones aumente su valor durante el próximo año? P(al menos una) = (0.5) (0.3) + (0.5)(0.7) + (0.7)(0.5) = 0.15 + 0.35 +0.35 = 0.85
Probabilidad condicional La probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento determinado, dado que otro evento ya haya ocurrido. La probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento B ha ocurrido se escribe P(A B).
Regla general de la multiplicación La regla general de la multiplicación es utilizada para encontrar la probabilidad conjunta de que dos eventos ocurran. La regla establece que dados dos eventos A y B, la probabilidad conjunta de que ambos ocurran se encuentra multiplicando la probabilidad de que suceda A, por la probabilidad condicional de que ocurra el evento B. La probabilidad conjunta P(A y B) está dada por la siguiente fórmula:
P(A y B) = P(A) P (B/A) o P(A y B) = P (B) P(A/B) Ejemplo: El director de la Escuela de Negocios de la Universidad Nacional, recopiló la siguiente información acerca de estudiantes no graduados en su escuela:
33
Especialidad Contaduría Finanzas Mercadotecnia Administración Total
Hombre 170 120 160 150 600
Mujer 110 100 70 120 400
Total 280 220 230 270 1000
Si un estudiante es seleccionado al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante sea una mujer (F) pasante de contaduría (A)? P(A y F) = 110/1000 Dado que el estudiante es una mujer, ¿cuál es la probabilidad de que ella sea pasante de contaduría? P(A|F) = P(A y F)/P (F) = [110/1000]/[400/1000] = 0.275
Diagrama de árbol El diagrama de árbol es una representación gráfica útil para organizar cálculos que abarcan varias etapas. Cada segmento en el árbol es una etapa del problema. Las probabilidades escritas cerca de las ramas son las probabilidades condicionales del experimento.
Ejemplo: En una bolsa que contiene 7 chips rojos y 5 chips azules, usted selecciona dos chips uno después del otro sin reemplazarlo. Elabore un diagrama de árbol mostrando esta información.
Teorema de Bayes La interpretación más importante del Teorema de Bayes se basa en el uso de las probabilidades subjetivas. Por ejemplo, supongamos que una persona tiene determinadas creencias sobre la posible rentabilidad de un título en particular (suceso B). En este contexto, la probabilidad P (B) se denomina probabilidad a priori . Posteriormente se entera que un analista experto recomienda el mismo título (suceso A), dependiendo de la confianza que la persona tiene en los juicios del experto se 34
podrían modificar sus creencias iníciales. Dado que se sabe que A ha ocurrido, la probabilidad relevante correspondiente a B es ahora la probabilidad condicional de B dado A, que se denota probabilidad a posteriori . Desde este punto de vista, se puede interpretar el Teorema de Bayes como un método que nos permite actualizar una probabilidad a priori cuando se conoce la información adicional de que el suceso A ha tenido lugar. El Teorema sostiene que la actualización se realiza multiplicando la probabilidad a priori por P(A |B)/P(A). La fórmula que se utiliza al aplicar el Teorema de Bayes es: P(A1)P(B I A1) P(A1 | B) = P(A1)P(B I A1) + P(A2 )P(B I A 2 )
Ejemplo: Una embotelladora de refresco de cola recibió varias denuncias acerca del bajo contenido de sus botellas. Una denuncia fue recibida hoy, pero el gerente de producción no puede identificar cuál de las dos plantas en Aguascalientes (A o B) llenó estas botellas. ¿Cuál es la probabilidad de que las botellas defectuosas provengan de la planta A? La siguiente tabla resume la experiencia de producción de dicha embotelladora:
A B
% del total de producción 55 45 P ( A | U )
=
P ( A) P (U I A) P ( A) P (U I A) + P ( B) P (U I B)
% de botellas defectuosas 3 4 =
(0.55)(0.03) (0.55)(0.03) + (0.45)(0.04)
=
0.4783
La probabilidad de que las botellas fueran llenadas en la planta A se redujo de 0.55 a 0.4783.
Ejercicio. a) Sesenta por ciento de los estudiantes de la Universidad Nacional conducen su automóvil para asistir a clases y 30% tiene transporte escolar. El 10 % de los estudiantes tiene transporte y manejan a clase. Si seleccionamos un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante tenga transporte o maneje a clase? b) Hay 18 jugadores en la lista del equipo de béisbol de la preparatoria nacional. De los 18 jugadores 8 están actualmente registrados en la preparatoria. El entrenador decide nombrar tres capitanes y seleccionarlos al azar. El nombre de los jugadores están puestos en viejas gorras de béisbol y tres se seleccionan al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los seleccionados sean estudiantes de la preparatoria?
Autoevaluación 1. ¿Cuál de los siguientes enunciados es correcto en probabilidad? A. Varía de 0 a 1. B. Debe asumir valores negativos. 35
C. Debe ser mayor a 1. D. Puede reportarse únicamente con un decimal. E. Todas las anteriores. 2.
Un experimento es: A. B. C. D. E.
3.
¿Cuál de las siguientes no es un tipo de probabilidad? A. B. C. D.
4.
Un conjunto de eventos. Un conjunto de resultados. Siempre mayor a 1. El acto de tomar medidas de la observación de alguna actividad. Ninguna de las anteriores.
Subjetiva Independiente Empírica Clásica
Dos eventos son independientes si: A. B. C. D.
En virtud de haber ocurrido uno el otro no puede ocurrir. La probabilidad de que ocurra es mayor a 1. No podemos contar los posibles resultados. La probabilidad de que uno de los eventos ocurra no afecta a la probabilidad de que también el otro ocurra. E. Ninguna de las anteriores.
5.
La regla especial de la Adición se usa para combinar: A. B. C. D. E.
6.
Usamos la Regla General de la Multiplicación para combinar: A. B. C. D. E.
7.
Eventos independientes. Eventos mutuamente excluyentes Eventos cuya suma es mayor a 1.00. Eventos basados en probabilidad subjetiva La unión de probabilidades.
Cuando la probabilidad de un evento se encuentra al restar uno a la probabilidad de no ocurrencia, estamos usando: A. B. C. D. E.
8.
Eventos independientes. Eventos mutuamente excluyentes Eventos cuya suma es mayor a 1. Eventos basados en probabilidad subjetiva La unión de probabilidades.
Probabilidad subjetiva La regla del complemento. La regla general de la adición. La regla especial de la multiplicación Unión de probabilidades
El Teorema de Bayes 36
A. Es un ejemplo de probabilidad subjetiva B. Asume valores menores a 0. C. Es usado para revisar una probabilidad basándonos en información nueva o adicional. D. Se determina usando la regla del complemento. E. Ninguna de las anteriores. 9.
En una compañía compran aparatos eléctricos de dos proveedores. 60% son comprados en Eléctrica Mayo, y el resto en Productos Harmon. El nivel de calidad de Eléctrica Mayo es mejor que el de Productos Harmon. 5% de los aparatos comprados en Eléctrica Mayo necesitan mantenimiento adicional, mientras que 8% de los de Productos Harmon lo necesitan. Un aparato eléctrico fue seleccionado al azar y se encontró defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido comprado en Productos Harmon?
10. Hay 600 empleados en una tienda departamental de Guadalajara con la dirección general en Monterrey. Observe la siguiente clasificación. Género Hombre Mujer Total
No estudiante 25 75 100
Estudiante 225 275 500
Total 250 350 600
Un empleado es seleccionado al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado sea mujer? ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer o estudiante? ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado sea estudiante dado un empleado femenino?
Distribuciones de probabilidad discreta Una distribución de probabilidad es similar a una distribución de frecuencias relativas. Sin embargo, en vez de describir el pasado, describe que tan probable es un evento futuro. Se utiliza la media, varianza y desviación estándar. Una distribución de probabilidad indica en una lista todos los valores que pueden presentarse como resultado de un experimento junto con la probabilidad correspondiente a cada uno de ellos.
¿Cómo se puede generar una distribución de probabilidad? Supón que se quiere saber cuántas águilas se pueden obtener al lanzar al aire tres veces una moneda. Este es el experimento. Los posibles resultados son: cero, una, dos y tres águilas. ¿Cuál es la distribución de probabilidad del número de águilas? Resultado posible 1 2 3 4 5
Primero S S S S A
Lanzamientos de moneda Segundo Tercero S S S A A S A A S S
Número águilas 0 1 1 2 1
de
37
6 7 8
A A A
S A A
A S A
2 2 3
Observa que tenemos 8 resultados posibles. Fíjate que sólo existe un caso en el que no obtengas ninguna águila. Hay tres casos en los que puedes obtener una, y también tres casos en los que puedes obtener dos. Únicamente un caso en el que obtengas tres. Con estas observaciones se llena la siguiente tabla. Número de águilas, X 0 1 2 3 Total
Probabilidad del resultado, P(x) 1/8=0.125 3/8=0.375 3/8=0.375 1/8=0.125 8/8=1
Gráficamente tenemos:
>=& d a d i l i b a b o r P
(=& /=& "
0
1 2 3 Número de águilas
Ahora conviene observar dos características importantes: 1. La probabilidad de un resultado específico va desde cero hasta uno. 2. La suma de las probabilidades de todos los valores mutuamente excluyentes es 1.00
Algunos conceptos importantes. A continuación veremos algunos conceptos importantes del tema.
Variable aleatoria: Cantidad resultado de un experimento, y que debido al azar, puede tomar valores diferentes. Variable aleatoria discreta: Variable que sólo puede tomar ciertos valores, que guardan siempre la misma distancia entre ellos. Si se organiza un conjunto de valores posibles de una variable aleatoria discreta, en una distribución de probabilidades, la distribución se denomina distribución de probabilidad discreta.
38
Media, varianza y desviación estándar de una distribución de probabilidad A la media de una distribución de probabilidad se le conoce también como su valor esperado. Esta medida es un promedio ponderado en que los valores posibles se ponderan mediante sus probabilidades correspondientes de ocurrencia. La media se calcula con la fórmula: µ
=
![ xP ( x)]
Donde " representa la media, y P(x) es la probabilidad de que x asuma algún valor.
La varianza de una distribución de probabilidad discreta mide el tamaño de la dispersión de una distribución. La varianza de una distribución discreta es representada por la letra griega cuadrada). La desviación estándar es la raíz cuadrada de "2.
"2
(sigma
La varianza de una distribución de probabilidad discreta se calcula con la siguiente fórmula: 2
!
=
2 #[( x " µ ) P ( x)]
Ahora veremos un ejemplo.
Ejemplo: David Ramírez, dueño de un negocio de servicios de pintura, estudió sus registros de las últimas 20 semanas y reporta el siguiente número de casas pintadas por semana:
# de casas pintadas 10 11 12 13
semanas 5 6 7 2
El total de semanas es de 20. En las primeras 5 semanas la probabilidad es de 0.25, ya que 5/20=0.25, en las 6 es: 6/20=0.30 y así sucesivamente. Distribución de probabilidad:
# de casas pintadas 10 11 12 13 Total
Probabilidad P(x) 0.25 0.30 0.35 0.10 1.00
Calcule el número medio de casas pintadas por semana: µ = E ( x)
=
![ xP ( x)]
=
(10)(.25) + (11)(.30) + (12)(.35) + (13)(.10)
=
11.3
39
Calcule la varianza del número de casas pintadas por semana: #
2
=
2 "[( x ! µ ) P ( x )]
=
(10 ! 11.3) 2 (.25) + ... + (13 ! 11.3) 2 (.10)
=
0.4225 + 0.0270 + 0.1715 + 0.2890
=
0.91
Después de haber revisado el tema de este módulo, te invito a revisar el siguiente esquema de evaluación. En él encontrarás las actividades que debes de realizar para evaluar el aprendizaje logrado hasta el momento.
Ejercicio. 1) De acuerdo con información reciente publicada en los periódicos, 36% de los hogares en México tiene televisión, 47% tiene dos televisiones, 15% tiene 3, y 2% tiene 4. a) ¿Cuál es la media de televisiones por hogar? b) ¿Cuál es la varianza del número de televisiones por hogar?
Autoevaluación 1. ¿Qué es una distribución de probabilidad? A. Una distribución de probabilidad indica en una lista todos los valores que pueden presentarse como resultado de un experimento junto con la probabilidad correspondiente a cada uno de ellos. B. Una distribución de probabilidad indica en una lista todos los valores que pueden presentarse como resultado de un experimento. C. Una distribución de probabilidad indica en una lista los valores que no pueden presentarse como resultado de un experimento junto con la probabilidad correspondiente a cada uno de ellos. D. Una distribución de probabilidad indica los valores que pueden presentarse al calcular las medidas de tendencia central. E. Todas las anteriores. 2. ¿Qué es una variable aleatoria? A. Cantidad resultado de un experimento, y que debido al azar, puede tomar valores diferentes. B. Un conjunto de resultados. C. Siempre mayor a 1. D. El acto de tomar medidas de la observación de alguna actividad. E. Ninguna de las anteriores. 3.
¿Qué es una variable aleatoria discreta? A. Cantidad resultado de un experimento, y que debido al azar, puede tomar valores diferentes. B. Un conjunto de resultados. C. Un conjunto de eventos. D. Cantidad que sólo puede tomar ciertos valores que guardan siempre la misma distancia entre ellos. 40
E. Ninguna de las anteriores. 4.
A la media de una distribución de probabilidad se le conoce también como: A. B. C. D. E.
5.
Media probable. Probabilidad media. Posibles resultados. Valor esperado. Ninguna de las anteriores.
La media de una distribución de probabilidad es: A. Un promedio ponderado en que los valores posibles se ponderan mediante su desviación estándar. B. Un promedio ponderado en que los valores posibles se ponderan mediante su varianza. C. Un promedio ponderado en que los valores posibles se ponderan mediante sus probabilidades correspondientes de ocurrencia. D. Un promedio en el que los valores posibles se calculan mediante una regla de tres. E. Todas las anteriores.
6.
Las tres tablas presentadas a continuación muestran variables aleatorias y sus “probabilidades”. Sin embargo, sólo una de las tres es realmente una distribución de probabilidad. ¿Cuál es? x 5 10 15 20
P(x) 0.3 0.3 0.2 0.4
x 5 10 15 20 x 5 10 15 20
P(x) 0.1 0.3 0.2 0.4
P(x) 0.5 0.3 -0.2 0.4
7.
Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de la distribución del ejercicio anterior.
8.
Un ejemplo de una variable aleatoria discreta es: A. El tiempo que transcurre entre un y otro cliente que llega a un cajero de un banco. B. La temperatura del día de hoy. C. La cantidad de combustible del tanque de una motocicleta. D. El número de clientes de una estética. E. Todas las anteriores.
Distribuciones de probabilidad discreta. 41
Distribución binomial y de poisson. La distribución de probabilidad binomial es un ejemplo de una distribución de probabilidad discreta. La distribución binomial tiene las siguientes características: 1. El resultado de cada ensayo de un experimento se clasifica en una de dos categorías mutuamente excluyentes, a saber: éxito o fracaso. 2. La variable aleatoria cuenta el número de éxitos en una cantidad fija de ensayos. 3. La probabilidad de un éxito permanece igual en todos los ensayos. Lo mismo sucede con la probabilidad de un fracaso. 4. Los ensayos son independientes. Tal vez sea conveniente en este momento darte algunos ejemplos de la distribución de probabilidad binomial: • • •
La respuesta verdadera o falsa en algún ejercicio de un examen. Los resultados son mutuamente excluyentes, lo cual significa que la respuesta a una pregunta no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo. Un departamento de control de calidad clasifica un producto como aceptable o no aceptable. Una persona puede ser calificada como empleada o desempleada.
Frecuentemente se clasifican los dos resultados posibles como “éxito” o “fracaso”. Esta clasificación no implica que necesariamente un resultado sea bueno y el otro malo. Esta es la primera característica de la distribución binomial que mencionamos antes. La segunda característica se refiere a que por ejemplo, en el caso del departamento de control de calidad, se cuentan todos los productos aceptados. Con respecto a la tercera característica, y usando el mismo ejemplo del departamento de control de calidad, la probabilidad de que el primer producto revisado sea aceptado es de $, este sería el primer ensayo. La probabilidad de que el segundo producto sea aceptado también es de $, la probabilidad de tener éxito en el tercer ensayo también es de $, y así sucesivamente.
La cuarta característica, la última, significa que los resultados no siguen un patrón. Retomando el mismo ejemplo del departamento de control de calidad, si el primer producto fue aceptado, no tienen que ser aceptados el segundo, el terceo y así sucesivamente. ¿Cómo se calcula una distribución de probabilidad binomial? La distribución de probabilidad binomial puede describirse utilizando la fórmula: P ( x)
=
x
n
C x "
(1 ! " ) n! x
En donde: C n x
es una combinación. es el número de ensayos. es el número de éxitos. 42
es la probabilidad de éxito en cada ensayo.
&
Voy a recurrir a un ejemplo para explicar la aplicación de la fórmula. Hay que observar que no es la constante matemática, representa un parámetro.
Ejemplo: El departamento del trabajo de Alabama registra que el 20% de la fuerza de trabajo en Mobile está desempleada. Para una muestra de 14 trabajadores, calcule las siguientes probabilidades: Exactamente 3 están desempleados. Al menos 3 están desempleados. Al menos 1 está desempleado.
• • •
Para calcular la probabilidad de exactamente 3 sustituimos en la fórmula: n
=14
=3 P (3)=14C3&3 (1- &) x
14'3
Primero vamos a calcular: 14C3, para ello vamos a usar la fórmula de combinaciones: nC x=
El símbolo ! se llama factorial y nos indica que el número que se encuentra antes del símbolo, debe ser multiplicado por todos los números menores a él hasta llegar al uno. En este ejemplo 14 != (14)(13)(12)(11)(10)(9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) = 87178291200 14 C 3 =
=364
P (3)= (364) &3 (1- &) 14-3=0.2501
Para calcular la probabilidad de al menos 3, sustituimos x =3, x =2, x =1 y x =0. P ( x =
"
3)=14 C 3 (# ) 3 (1 ! # )11
.250 + .172 + ... + .000
=
+
...+14 C 14 (# )14 (1 ! # ) 0
.551
Para calcular la probabilidad de al menos 1: P ( x
"
1) 1 ! P (0)
=
1!14 C 0 (# ) (1 ! # )
=
=
0
1! .044
=
14
.956
Media y varianza de la distribución binomial Si deseas calcular la media de una distribución binomial lo puedes hacer de manera rápida mediante: µ
=
n!
43
Ahora bien, si lo que desea es calcular la varianza debes usar: 2
"
=
(1 # ! )
n!
Voy aplicar las fórmulas de media y varianza en el ejemplo anterior, entonces tenemos: La media es: " = n & = 2.8 La varianza es: %2 = n& (1 – &) = 2.24
Distribución de probabilidad de Poisson La distribución de probabilidad de Poisson describe la cantidad de veces que ocurre un evento en un intervalo determinado. El intervalo puede ser de tiempo, distancia, área o volumen. Esta distribución se basa en dos supuestos: • •
La probabilidad es proporcional a la extensión del intervalo. Es decir, cuanto mayor sea la magnitud o extensión del intervalo, tanto mayor será la probabilidad. Los intervalos son independientes.
Esta distribución también es una forma límite de la distribución binomial, cuando la probabilidad de éxito es muy pequeña y n es grande. Esta distribución tiene muchas aplicaciones. Se utiliza como modelo para describir la distribución de errores en la captura de datos; en el número de ralladuras y otras imperfecciones en el tablero de los autos recién pintados; en la cantidad de partes defectuosas en embarques de salida; en el número de clientes en espera de servicio en un restaurante, en espera de entrar a un parque de diversiones, en espera de entrar a un antro y también en el número de accidentes en la carretera en un tiempo determinado. La distribución de Poisson puede describirse matemáticamente utilizando la siguiente fórmula: x
P ( x )
µ e
!u
=
x!
Donde: es la media del número de ocurrencias (éxitos) en un intervalo específico. e es la constante 2.71828 (base del sistema logarítmico neperiano). x es el número de éxitos. P(x) es la probabilidad que se va a calcular para un valor dado de x. "
La media del número de éxitos " puede determinarse en una situación binomial así: n&, donde n es el número de ensayos y & es la probabilidad de éxito. La varianza de una distribución Poisson es también n & (1 – &).
44
Veamos un ejemplo en el que espero puedas comprender mejor la utilidad de esta distribución.
Ejemplo: La Sra. Bonilla está encargada de los préstamos en el banco del centro de Peralillo. Con base en sus años de experiencia, estima que la probabilidad de que un solicitante no sea capaz de pagar su préstamo, es 0.025. El mes pasado realizó 40 préstamos. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 préstamos no sean pagados a tiempo? " = n& = 40(.025) = 1
P (3) = 1 3e-1/3! = 0.0613 Después de haber revisado el tema de este módulo, te invito a revisar el siguiente esquema de evaluación. En él encontraras las actividades que debes de realizar para evaluar el aprendizaje logrado hasta el momento.
Ejercicio De un grupo particular de contribuyentes, 25% de los interesados son auditados. Seis contribuyentes del grupo son elegidos al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que dos sean auditados? b) ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más sean auditados?
Autoevaluación 1. A. B. C. D.
¿Cuál de las siguientes no es una característica de la distribución binomial? La probabilidad de éxito es constante. Sólo hay dos posibles resultados en cada ensayo de un experimento. Una cantidad fija de ensayos. La probabilidad de éxito es la misma de un ensayo a otro.
2. A. B. C. D.
Para una distribución binomial n ser un número entre 1 y 20 o 25. p debe ser un múltiplo de 0.10. Por lo menos debe haber tres posibles resultados. Ninguna de las anteriores.
3. A. B. C. D.
Para elaborar una distribución binomial se necesita: El número de ensayos y la probabilidad de éxito de cada uno. Todos los resultados posibles en cada ensayo. Siete resultados posibles en cada ensayo. Todas las anteriores.
4.
La distribución de probabilidad de Poisson describe la cantidad de veces que ocurre un evento en: Siete ensayos. Valores de probabilidad mayores a la unidad. un intervalo determinado. Ninguna de las anteriores.
A. B. C. D. 5.
La probabilidad de que un estudiante conteste un examen es de 0.4. Supongamos que el examen tiene que ser contestado por dos estudiantes cuyas decisiones de 45
contestar son independientes. Por medio de la fórmula para la distribución binomial, construye la distribución de probabilidad del número de personas que estarán dispuestas a contestar el examen. 6.
El equipo de fútbol Cruz Azul tiene 2/5 de probabilidad de ganar cuando juega. Si realiza cuatro partidos, hallar la probabilidad de que el equipo CA gane a) 2 partidos, b) por lo menos un partido, c) más de la mitad de los partidos.
7.
Si la probabilidad de un remache defectuoso es 0.1 hallar a) la media, b) la desviación estándar para la distribución de remaches defectuosos de un total de 400.
8.
La probabilidad de que una persona se recupere de una infección estomacal es 0.8 Supongamos que 20 personas han contraído tal padecimiento. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se recuperen exactamente 14? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 10 se recuperen? c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 14, pero no más de 18, se recuperen? d) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más 16 se recuperen?
Distribución de probabilidad normal El módulo anterior nos dedicamos a dos familias de distribución de probabilidad discreta: la distribución Binomial y la distribución de Poisson. Estas distribuciones se basan en variables aleatorias discretas, que sólo pueden tomar valores específicos. Un ejemplo sería el número de respuestas correctas en un examen de 10 preguntas. No puede haber un número negativo de respuestas correctas. Para que el ejemplo sea adecuado vamos a supones que tampoco puede haber 71/4 de respuestas correctas. En este módulo vamos a continuar viendo distribuciones de probabilidad, pero ahora veremos una distribución de probabilidad continua: la distribución normal. Una variable aleatoria continua, como ya hemos visto, puede tomar un número infinito de valores dentro de un intervalo. Generalmente, es el resultado de m edir algo, como por ejemplo el peso de una persona. Las distribuciones de probabilidad de las expectativas de vida de algunos productos, como son: baterías, llantas, focos. También es el caso de: el peso de las cajas de cereal, la longitud de los tienden a seguir un patrón “normal”. En este módulo iniciaremos examinando las características principales de una distribución de probabilidad normal y de la curva normal.
Características de la distribución de probabilidad normal y de la curva normal: • • • •
La curva normal es acampanada y presenta sólo un pico en el centro de la distribución. La media aritmética, la mediana y la moda de la distribución son iguales y están localizadas en el pico. De esta forma, la mitad del área bajo la curva se encuentra por arriba de este punto central, y la otra mitad por abajo. La distribución de probabilidad normal es simétrica con respecto a su media. La curva normal decrece uniformemente en ambas direcciones a partir del valor central. Es asintótica, esto significa que la curva se acerca cada vez más al eje x , 46
• •
pero en realidad nunca llega a tocarlo. Esto es, los puntos extremos de la curva se extienden indefinidamente en ambas direcciones. La curva normal es simétrica. Media, mediana y moda son iguales La curva normal es simétrica Teóricamente la curva se Extiende infinitamente
La media, la mediana y la moda Tienen el mismo valor No existe sólo una distribución de probabilidad normal, sino que hay una familia de ellas. Por ejemplo: • • •
Distribución de probabilidad normal para los años de servicio de los empleados de la planta de Campeche, en la que la media es 20 años y la desviación es 3.1 años. Distribución de probabilidad normal para los años de servicio de los empleados de Yucatán, en la cual µ=20 y "=3.9. Distribución de probabilidad normal para los años de servicio de los empleados de Morelos, en la cual µ=20 y "=5.
En el siguiente diagrama se muestran 3 distribuciones normales, en donde las medias de las tres son iguales, pero su desviación estándar es distinta.
3.1Planta de Campeche
3.9 Planta de Yucatán 5 Planta de Morelos =20 Distribuciones de probabilidad normal con medias iguales pero desviaciones estándar diferentes. En el diagrama siguiente se muestran los pesos de tres cereales diferentes. Los pesos están distribuidos en forma normal, con medias diferentes, pero desviaciones estándar idénticas. 47
Cereal 1 1.6 gramos
283 gramos gramos
Cereal 2 1.6 gramos
Cereal 3 1.6 gramos
301 gramos
321
Distribuciones de probabilidad normal con medias diferentes pero desviaciones estándar iguales. En el diagrama siguiente se muestran la distribución de la resistencia de un cable a la tensión. Las resistencias están distribuidas en forma normal, con medias diferentes y desviaciones estándar diferentes.
26 lb/in2
41lb/in2 52 lb/in2
2,000lb/in 2
2,107lb/in 2
2,186lb/in 2
La distribución de probabilidad normal estándar Como acabamos de ver hay una familia de distribuciones normales. Por fortuna se puede utilizar, en todos los casos en los que se puede aplicar la distribución normal, un miembro de esta familia que tiene una media de cero y una desviación estándar de 1.
La distribución normal estándar es una distribución normal con media cero y desviación estándar de 1. También es llamada distribución z. Cualquier distribución normal puede convertirse en la “distribución normal estándar” restando la media a cada observación y dividiendo entre la desviación estándar. Primero se convierte la distribución que se tiene, en la distribución normal estándar utilizando un valor z. Un valor z es la distancia entre un valor seleccionado llamado x, y
48
la media de la población ", dividida entre la desviación estándar %. Expresado en una fórmula es: Z = (x – ")/%. Al determinar el valor z mediante la fórmula se puede obtener el área o la probabilidad bajo cualquier curva normal mediante una tabla. Voy a darte un ejemplo.
Ejemplo: El salario inicial de los primeros dos m eses de los recién graduados de MBA siguen la distribución normal con una media de $2,000 y una desviación estándar de $200. ¿Cuál es el valor z para un salario de $2,200? z = (x – ")/s = (2,200 – 2,000)/200 = 2.00 ¿Cuál es el valor z de $1,700? z = (x – ")/% = (1,700 – 2,000)/200 = -1.50 Un valor z de 1 indica que el valor de $2,200 es una desviación estándar arriba de la media de $2,000. Un valor z de -1.50 indica que $1,700 es 1.5 desviación estándar debajo de la media de $2,000. Para el valor de z=2, ¿cuál es el área bajo la curva normal entre la media y el valor de 2,200? En la tabla se encuentra el valor de 0.4772. Significa que 47.72% es la probabilidad de que una observación se encuentre entre un valor de z=0 y z=2.
Áreas bajo la curva normal A continuación se considerarán tres áreas bajo la curva normal que son muy utilizadas. También se conocen como la Regla Empírica. 1. 2. 3.
Aproximadamente 68% del área bajo la curva normal está entre la media más una y menos una desviaciones estándar, y se expresa " +- 1%. Alrededor de 95% del área bajo la curva normal está entre la media más dos y menos dos desviaciones estándar, lo que se expresa " +- 2%. Prácticamente toda el área bajo la curva normal está entre la media y tres desviaciones estándar (a uno y otro lados del centro), es decir " +- 3%.
Ejemplo: El uso diario de agua por persona en Vista Bella, Naucalpan, está distribuido normalmente con una media de 20 galones y una desviación estándar de 5 galones. ¿Cuántos galones de agua consumen aproximadamente 68% de ellos? Aproximadamente 68% del uso diario de agua cae entre 15 y 25 galones. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de Vista Bella seleccionada al azar consuma entre 20 y 24 galones por día? z= (x – ")/% = (20 – 20)/5 = 0.00 z = (x – ")/% = (24 – 20)/5 = 0.80 49
El área bajo la curva normal entre un valor z de cero y un valor z de 0.80 es 0.2881. Concluimos que 28.81% de los residentes consumen entre 20 y 24 galones de agua por día. Observa el siguiente diagrama.
¿Qué porcentaje de la población consume entre 18 y 26 galones por día? z = (x – ")/% = (18 – 20)/5 = – 0.40 z = (x – ")/% = (26 – 20)/5 = 1.20 El área asociada con un valor z de – 0.40 es de .1554. El área asociada con un valor z de 1.20 es de .3849. Sumando estas áreas, el resultado es .5403. Concluimos que 54.03% de los residentes consumen entre 18 y 26 galones de agua por día.
Ejemplo: El profesor Velasco ha determinado que las calificaciones en su curso de estadística, están aproximadamente distribuidas en forma normal con una media de 72 y desviación estándar de 5. Él avisa a la clase que el 15% más alto obtendrá una calificación de A. ¿Cuál es la puntuación límite más baja que obtendrá calificación de A? Para comenzar, sea x la puntuación que separa una A de una B. Si el 15% de los estudiantes tienen puntuación superior a x, entonces el 35% deberá estar entre la media de 72 y x. El valor z asociado correspondiente al 35% es 1.04. Tomamos z = 1.04 y resolvemos la ecuación de la normal estándar para x. El resultado es la puntuación que separa a los estudiantes que separan una A de aquellos que ganaron una B. 1.04 = (x – 72)/5 = 72 + 5.2 = 77.2 Aquellos cuya cu ya puntuación sea s ea de 77.2 o más ganarán una A.
50
La aproximación normal a la binomial La distribución normal (una distribución continua) proporciona una buena aproximación de la distribución binomial (una distribución discreta) para valores grandes de n. La distribución de probabilidad normal es generalmente generalmente una buena aproximación para la distribución de probabilidad binomial cuando n & y n (1 – &) son ambos mayores que 5. Recordemos que para un experimento con una distribución de probabilifdad binomial: Sólo existen dos resultados mutuamente excluyentes: éxito y fracaso. La distribución distribució n es el resultado de contar el número de éxitos en una cantidad fija de ensayos. Cada ensayo es independiente. La probabilidad, &, permanece igual de un ensayo a otro.
• • • •
Factor de corrección de continuidad El valor 0.5 se resta o se suma, dependiendo de la situación, a un valor seleccionado cuando una distribución de probabilidad continua se aproxima a una distribución de probabilidad discreta.
Ejemplo: Un estudio reciente de una firma de estudios de mercado mostró que 15% de residentes americanos son propietarios propietarios de una videocámara. Para una muestra de 200 hogares, ¿cuántos de los hogares esperaría que tengan videocámara? µ
n! =
=
(.15)(200) 30 =
Esta es la media de una distribución binomial. ¿Cuál es la varianza? #
2
=
(1 ! " )
n"
=
(30)(1 ! .15)
=
25.5
¿Cuál es la desviación estándar? !
=
25.5
=
5.0498
¿Cuál es la probabilidad de que menos de 40 hogares en la muestra tengan videocámaras? Usamos el factor de corrección, por lo tanto x es 39.5. El valor z es 1.88 z = (x – ")/% = (39.5 – 40)/5.0498 = 1.88
En esta tabla el área entre 0 y 1.88 en la escala z es .4699. Por lo tanto, el área a la izquierda de 1.88 es .5000 + .4699 = .9699. 51
La probabilidad de que menos de 40 de los 200 hogares tengan videocámara es aproximadamente 97%.
Actividad 1. La vida de cierto tipo de refrigerador es distribuida normalmente con una media de 7.2 años y con una desviación estándar de 1.9 años. a) ¿Qué fracción fracción de refrigeradores refrigeradores dura más de 10 10 años? b) ¿Qué fracción fracción de refrigeradores refrigeradores dura entre 6 y 10 años? c) ¿Qué fracción de refrigeradores refrigeradores dura más de 8 años, pero pero menos de 10? d) Suponga que el fabricante quiere establecer una garantía, así que sólo aproximadamente el 15% de los refrigeradores necesitarán ser reparados bajo la garantía. ¿Cuál es el punto de separación entre aquellos que recibirán reparación bajo garantía y los que no?
Autoevaluación Elige la respuesta correcta 1.
La distribución distribución normal es una A. B. C. D.
2.
¿Cuáles de las siguientes son característica característicass de la distribución distribución normal? A. B. C. D.
3.
Es una distribución distri bución simétrica. simé trica. Tiene forma acampanada. Es asintótica. Todas las anteriores.
¿Cuáles de los siguientes enunciados enunciados son correctos para una una distribución distribución normal? A. B. C. D.
4.
Distribución Distribuci ón discreta Distribución Distribuci ón Continua. Distribución con sesgo positivo Ninguna de las anteriores.
No puede tomar tom ar valores negativos. ne gativos. Se define con su media y su desviación estándar. Todas las distribuciones distribuciones normales normales tienen una varianza varianza de al menos de 1. Todas las anteriores.
¿Cuáles de los siguientes enunciados son correctos para una distribución distribució n normal estándar? A. También se llama distribución distr ibución z B. Cualquier distribución normal puede ser convertida a una distribución distribució n normal estándar C. La media es 0 y la desviación estándar es 1. D. Todas las anteriores.
5.
El área área bajo bajo la curva normal entre 0 y -1.75 es A. .0401 B. .9599 C. .4599 52
D. Ninguna de las anteriores. 6.
El área bajo la curva normal menor que 1.75 es A. B. C. D.
7.
El factor de corrección de continuidad se usa cuando A. B. C. D.
8.
El tamaño de la muestra es al menos de 5. Ambos, n y & n (1 - &) son al menos de 30. Una distribución continua se usa para aproximar una distribución discreta Se aplica una distribución normal estándar.
En una distribución normal la relación entre la media, mediana, y la moda es A. B. C. D.
9.
.0401 .9599 .4599 Ninguna de las anteriores.
Son iguales La media es la más grande La mediana es la más grande. Ninguna de las anteriores.
La aproximación de la distribución normal a una distribución binomial se usa cuando. A. B. C. D.
El tamaño de la muestra es al menos de 30. Ambos, n y p n (1 - p) son al menos de 5. La media y la varianza son iguales. El valor z es más grande que 0.
10. En la distribución estándar normal, cuál es la probabilidad de encontrar un valor z entre -1.25 y -1.00? A. B. C. D.
0.3944 0.3413 0.7357 0.0531
Muestreo Para determinar cuándo y cómo usar diversas técnicas de muestreo, a partir de una lectura y de ejemplos, explicarás por qué una muestra es la única forma posible de tener conocimientos acerca de una población, describirás los diversos métodos para seleccionar una muestra y definirás y producirás una distribución de muestreo de medias muestrales. Muestreo aleatorio simple
MUESTREO
Muestreo aleatorio sistemático Muestreo aleatorio estratificado Muestreo or con lomeración 53
Para iniciar este módulo volveremos a definir el término población y el término muestra:
La población es el grupo completo de individuos u objetos de estudio. La muestra es una parte o subgrupo de esa población. Una muestra es un medio utilizado para inferir algo acerca de una población, en muchos casos, es la única forma de hacerlo. Algunas de las principales razones por las que el muestreo es necesario son: • • • • •
La imposibilidad física de revisar a todos los integrantes de la población. El costo que representa el estudiar a todos los integrantes de una población. Lo confiable de los resultados de la muestra. Entrevistar a toda la población exigiría mucho tiempo. La naturaleza destructiva de ciertas pruebas no permiten probar todos los artículos, o no quedaría nada para la venta.
Muestra probabilística Una muestra probabilística se selecciona de modo que cada integrante de la población en estudio tenga una probabilidad conocida (pero distinta de cero) de ser incluido en la muestra. Métodos de muestreo de probabilidad •
Muestreo aleatorio simple: Muestra seleccionada de manera que cada integrante de la población tenga la misma probabilidad de quedar incluido.
•
Muestra aleatoria sistemática: Los integrantes o elementos de la población se ordenan en alguna forma. Se selecciona al azar un punto de partida, y después se elige para la muestra cada k- ésimo elemento de la población.
•
Muestreo aleatorio estratificado: Una población se divide en subgrupos, denominados estratos, y se selecciona una muestra de cada uno.
•
Muestreo por conglomeración: Una población primero se divide en unidades primarias y después las muestras son seleccionadas de las unidades primarias.
En una muestra no probabilística la inclusión de un integrante de la población en la muestra se basa en el juicio de la persona que selecciona la muestra. El error de muestreo es la diferencia entre un valor estadístico (de muestra) y su parámetro (de población) correspondiente.
Distribución de muestreo de medias muestrales La distribución de muestreo de medias muestrales es una distribución de probabilidad que consta de todas las medias muestrales posibles de un tamaño de muestra dado.
54
Ejemplo: Una firma de abogados tiene 5 socios. Para su junta semanal de socios cada uno reportó el número de horas con los clientes para sus servicios de la semana pasada. 1.
Socios Sánchez
horas 22
2.
Gómez
26
3. 4.
Rivera Sandoval
30 26
5.
Ruiz
22
Si dos socios son seleccionados al azar, ¿cuántas muestras diferentes son posibles? Esta es la combinación de 5 objetos tomando 2 al mismo tiempo. Esto es: 5 C 2
5! =
=
2! (5 ! 2)!
10
Existe un total de 10 muestras diferentes.
Socios
Total
Media
1, 2
48
24
1, 3
52
26
1, 4
48
24
1, 5
44
22
2, 3
56
28
2, 4
52
26
2, 5
48
24
3, 4
56
28
3, 5
52
26
4, 5
48
24
Organice la media muestral en una distribución de muestreo.
Media muestral 22 24 26 28
Frecuencia 1 4 3 2
Relativa probabilidad de frecuencia 1/10 4/10 3/10 2/10 55
Calcule la media de la media muestral. Compárela con la media poblacional. La media de la media muestral es 25.2 horas. µ X
=
22(1) + 24(2) + 26(3) + 28(2) 10
=
25.2
La media de la población también es 25.2 horas. µ =
22 + 26 + 30 + 26 + 22 5
=
25.2
Observa que la media de la media muestral es igual a la m edia de la población.
Muestreo aleatorio simple. El tipo de muestreo más utilizado es el que se denomina muestreo aleatorio simple. La muestra es seleccionada de manera que cada integrante de la población tiene la misma probabilidad de quedar incluido. Para ilustrar el muestreo aleatorio simple supongamos que tenemos una población de 845 empleados. Se desean seleccionar 52. Una forma de asegurar que todos los trabajadores tengan la misma oportunidad de ser elegidos es mediante una rifa colocando cada uno de sus nombres en una tómbola. Un método más adecuado es usar el número de identificación de cada empleado y emplear una tabla de números aleatorios. Como su nombre lo indica, los números de la tabla han sido seleccionados en forma aleatoria, por ejemplo, por una computadora. Luego se elige un número para iniciar, por ejemplo en base a la hora, y después se continúa en cualquier dirección en la tabla.
Muestreo aleatorio sistemático. Los integrantes de la población se ordenan en alguna forma, por ejemplo alfabéticamente, luego se selecciona al azar un punto de partida y se elige una muestra de la población.
Muestreo aleatorio estratificado En el muestreo aleatorio estratificado una población se divide en subgrupos, denominados estratos, y se selecciona una nuestra de cada uno. La selección puede ser proporcional o no proporcional. Un procedimiento de muestreo proporcional requiere que el número de elementos en cada estrato tenga la misma proporción que se encuentra en la población.
Ejemplo: Estrato 1 2 3 4 5 Total
Ganancia (dividendos) 30% o superior 20 hasta 30% 10 hasta 20% 0 hasta 10% Déficit
Número de empresas 8 35 189 115 5 352
Porcentaje del total 2 10 54 33 1 100
Cantidad muestreada 1 5 27 16 1 50
Nota que el 2% de 50 es 1, el 10% de 50 son 5 y así sucesivamente. 56
Muestreo por conglomeración En este muestreo se divide una región extensa en áreas menores. Con frecuencia se denomina a éstas unidades primarias. Supongamos que se divide a la región en 12 unidades primarias, después se seleccionan al azar cuatro áreas menores.
Después de haber revisado el tema de este módulo, te invito a revisar el siguiente esquema de evaluación. En él encontraras las actividades que debes de realizar para evaluar el aprendizaje logrado hasta el momento.
Actividad Un estudio reciente de una revista de automóviles, indica que de aquellos que compraron un auto nuevo se esperaba dentro del próximo año el pago de la media de $29,500 por auto. Asuma que este valor es la media de la población y la desviación estándar de la población es de $6,500. a) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una muestra de 30 compradores de autos y encontrar la muestra media dentro de $1,000 de la población media? b) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una muestra de 50 compradores de autos y encontrar la muestra de la media dentro de $1,000 de la media de la población? c) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una muestra de 50 compradores de autos y encontrar la muestra de la media para ser más de $30,700?
Autoevaluación Elige la respuesta correcta 1.
Una muestra A. B. C. D.
2.
De los siguientes enunciados, ¿cuál no corresponde a una razón para usar una muestra? A. B. C. D.
3.
Es una parte de la población. Se constituye con más de 30 observaciones. Comúnmente se identifica con N. Todas las anteriores.
La naturaleza destructiva de algunas pruebas. La imposibilidad física de revisar todos los elementos de la población. La exactitud en el uso de la muestra. Todas las anteriores son razones para usar una muestra.
¿Cuál de los siguientes métodos no es un método de muestreo de probabilidad? 57
A. B. C. D. 4.
Muestreo aleatorio Muestreo sistemático Muestreo estratificado Todos los anteriores son métodos de muestreo probabilístico.
En el muestreo aleatorio simple A. Cada k- ésimo elemento se selecciona para ser parte de la muestra. B. Todos los integrantes tienen la misma probabilidad de ser parte de la muestra. C. No todos los integrantes tienen la misma probabilidad de ser parte de la muestra. D. Todas las anteriores.
5.
Supón que una población tiene 20 elementos. ¿Cuántas muestras de n = 3 son posibles? A. B. C. D.
6.
La diferencia entre la media muestral y la media poblacional se llama: A. B. C. D.
7.
Serán siempre iguales. tendrán siempre una distribución normal. Serán caracterizadas por el error estándar de la media. Ninguna de las anteriores.
Supón una población con distribución normal. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son correctos con respecto a la distribución de las medias muestrales? A. B. C. D.
9.
Media poblacional. Desviación estándar poblacional. Error estándar de la media. Error muestral.
La media de todas las medias muestrales y la media poblacional: A. B. C. D.
8.
6840 1140 20 120
Nunca se conoce la deviación estándar de la población. La distribución de las medias muestrales es uniforme. La distribución de las medias muestrales es una distribución normal. Ninguna de las anteriores.
El error estándar de la media: A. Es la desviación estándar de la distribución muestral de las medias muestales. B. Siempre tiene una distribución normal. C. Es a veces menor que 0. D. Ninguna de las anteriores.
58
Estimación e intervalos de confianza Para poder estimar parámetros de poblaciones individuales, a partir de lecturas y ejemplos, definirás una estimación puntual, interpretarás el nivel de confianza, construirás un intervalo de confianza para la media poblacional cuando se conoce la desviación estándar poblacional y cuando no se conoce, construirás un intervalo de confianza para una proporción poblacional y determinarás el tamaño de la muestra para el muestreo por atributos y variables #
Estimación puntual
ESTIMACIÓN E INTERVALOS DE CONFIANZA
Intervalos de confianza Tamaño de muestra apropiado
En el módulo anterior se habló de muestreo. Se hizo énfasis en las razones por las cuales a veces no se puede trabajar con la población y se requiere emplear una muestra. Hemos hablado en módulos anteriores de la media y la desviación estándar de la población. En los negocios, la mayor parte de las veces no se conoce esta información. Precisamente el propósito del muestreo es estimar estos valores. Así por ejemplo, se toma una muestra de una población y se usa la media de la muestra para estimar la media de la población. Este módulo considera varios aspectos importantes del muestreo, y comienza con el estudio de las estimaciones puntuales. Una estimación puntual es un valor que se usa para estimar un valor poblacional. Por ejemplo, se toma una muestra de 50 ejecutivos y se les pregunta cuántas horas trabajaron la semana pasada. Se calcula la media y se utiliza el valor de la media muestral, como una estimación puntual de la media poblacional que no se conoce. Una estimación puntual es sólo un estadístico que se usa para estimar un parámetro poblacional. Vamos a dar otro ejemplo con la intención de que te quede más claro. Imagínate que trabajas en una empresa que fabrica radios. Y que quieres estimar la edad promedio de las personas que compran uno. Tomas una muestra aleatoria de 50 compradores recientes, determinas la edad de cada uno y calculas la edad promedio. La media de la muestra es una estimación puntual de la media de la población. La media muestral no es el único valor que podrías usar para estimar la media poblacional. También podrías usar la mediana muestral. Aunque no te lo recomendaría ya que no es tan eficiente, pues hay más dispersión en la distribución de las medianas muestrales que en la de las medias muestrales.
Ejemplos de estimación puntual son la media muestral, la desviación estándar muestral, la varianza muestral, y la proporción muestral. Si la población sigue la distribución normal, la distribución muestral de la media muestral seguirá también la distribución normal.
59
Para determinar la probabilidad de que una media muestral esté dentro de una región particular, puedes utilizar: z
=
X " µ n
!
Si la población no sigue la distribución normal, pero la muestra es de al menos 30 observaciones, la media muestral seguirá la distribución normal.
Ejemplo: Suponga que la media del precio de venta de un galón de gasolina en México es de $1.30. Además, asuma que la distribución está posiblemente inclinada, con una desviación estándar de $0.28. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una muestra de 35 estaciones de gasolina y encontrar una media muestral dentro de $.08? El primer paso es encontrar los valores z correspondiente a $1.22 (1.30 - 0.08) y $1.38 (1.30 + 0.08). Existen dos puntos dentro de $0.08 de la media de la población.
z
=
X ! µ s
z
=
=
$0.28
n
X ! µ s
n
$1.38 ! $1.30
=
$1.22 ! $1.30 $0.28
=
1.69
35
35
=
!1.69
Después determinamos la probabilidad de los valores z entre -1.69 y 1.69. Esto es: P ("1.69 ! z ! 1.69)
=
2(.4545)
=
.9090
La probabilidad de que la media muestral esté dentro de $0.08 de la media de la población es del 91%. Una estimación puntual es un sólo valor. Una estimación en la que se da más información implica dar un intervalo de valores, en el que se espera se encuentre el parámetro poblacional. A este intervalo de valores se le llama intervalo de confianza. Los hechos que determinan la amplitud de un intervalo de confianza son: 1. El tamaño de la muestra, n 2. La variabilidad de la población. normalmente estimada por s. 3. El nivel de confianza deseado. Si la desviación estándar de la población es conocida o la muestra es mayor que 30 utilizamos la distribución z. X ± z
s n
Si la desviación estándar de la población es desconocida y la muestra es menor que 30 utilizamos la distribución t X ± t
s n
60
Un intervalo de estimación establece el rango en el cual se encuentra el parámetro de población. Un intervalo en el cual se espera se encuentre el parámetro poblacional se llama intervalo de confianza.
Por ejemplo, se estima que en una determinada región el ingreso anual medio de los trabajadores de la construcción es de $65,000.00 (dólares). El intervalo de esta estimación puede ser de $61,000.00 a $69,000.00. Podemos saber que tan seguros podemos estar que la media poblacional se encuentre en este intervalo con una probabilidad. Por ejemplo, podemos tener una seguridad del 90% de que el salario anual medio de los trabajadores de la construcción en esa región esté en ese intervalo. Los dos intervalos de confianza que son más utilizados son de 95% y 99%. Para un intervalo de confianza de 95%, aproximadamente 95% de los intervalos construidos contendrán igualmente el parámetro inicial. También el 95% de la media muestral, para un tamaño específico de muestra, se encontrará dentro del 1.96 de la desviación estándar de la media poblacional. Para un intervalo de confianza de 99%, 99% de la media muestral, para un tamaño de específico de muestra, se encontrará dentro del 2.58 de la desviación estándar de la media poblacional.
¿Cómo se calcula un intervalo de confianza del 95%? Supón que realizas una investigación en la que quieres determinar el salario inicial de los egresados de tu licenciatura con mucha experiencia y muy buenas relaciones. Calculas la media muestral y es de $27,000.00. y la desviación estándar muestral es de$200.00. Tu muestra fue de por lo menos 30 observaciones. El intervalo de confianza de 95% está entre $26,608.00 y $27,392.00, lo que se obtiene de $27,000.00 ±1.96 (200). Si tomaras 100 muestras del mismo tamaño, de la misma población, y se calcularan los 100 intervalos de confianza, se espera que la media poblacional se encontrara en 95 de los 100 intervalos de confianza.
Error estándar de la media muestral El error estándar de la media muestral es la desviación estándar de la distribución de las medias muestrales. Se calcula como: s s
x
=
n
sx s n
es el símbolo para el error estándar de la media muestral . es la desviación estándar de la población. es el número de observaciones.
Si s no se conoce y n # 30, la desviación estándar de la muestra, designada s, se aproxima a la desviación estándar de la población. El 95% intervalos de confianza para µ se da como: El 99% intervalos de confianza para µ se da como:
X ± 1.96 X ± 2.58
s n s n
61
En general, un intervalo de confianza para la media se calcula como:
X ± z
s n
Ejemplo: El director de una escuela de negocios quiere estimar la cantidad media de horas que los estudiantes trabajan por semana. De una muestra de 49 estudiantes mostró una media de 24 horas con una desviación estándar de 4 horas. ¿Cuál es la media de la población? El valor de la media de la población no es conocida. Nuestra mejor estimación de este valor es la muestra media de 24.0 horas. Este valor es llamado estimación puntual. Encuentre el intervalo de confianza con el 95% para la media de la población. El rango límite de confianza es de 22.88 a 25.12. X ± 1.96
s =
24.00 ± 1.96
4 49
n =
24.00 ± 1.12
Aproximadamente el 95% de los intervalos construidos incluyen el parámetro de población. El intervalo de confianza para la proporción de la población se estima como:
Ejemplo:
p ± z
p(1 ! p ) n
De una muestra de 500 ejecutivos que tienen casa propia 175 revelaron planear vender sus casas y cambiarse a Arizona. Desarrolle un intervalo de confianza con el 98% para la proporción de ejecutivos que planean vender sus casas y cambiarse a Arizona. .35 ± 2.33
(.35)(.65) 500
=
.35 ± .0497
Factor de corrección de la población-finita Una población que tiene un determinado límite superior es finita. Por ejemplo, hay 21,736 estudiantes inscritos en una Universidad, hay 40 empleados en una empresa, una fábrica de automóviles ensambló 936 jeeps, ayer hubo 32 accidentes en la autopista. Para una población finita, donde el número total de objetos es N y la magnitud de la muestra es n, al error estándar de la media muestral de la proporción muestral se le aplica el siguiente ajuste:
Error estándar de la media muestral, usando un factor de corrección:
" x
"
N ! n
n
N ! 1
=
Error estándar de la proporción muestral, utilizando un factor de corrección: " p
=
p (1 ! p) N ! n n
N ! 1
62
A este ajuste se le llama factor de corrección para una población finita.
¿Por qué es necesario aplicar un factor de corrección y cuál es su efecto? Supón que la muestra es de 100 y la población es de 1000. La raíz cuadrada del cociente (N-n)/(n-1)=0.9492. La multiplicación de este factor de corrección por el error estándar lo reduce en aproximadamente un 5%. Esta reducción genera un intervalo menor de valores al estimar la media poblacional. Si duplicamos la muestra, el error estándar se reduce en más de un 10%. Si la muestra es inferior al 5% de la población, el impacto del factor de corrección es muy pequeño por lo que, si n/N < .05, el factor de corrección de la población finita se ignora.
Ejemplo: Utilizaremos el ejemplo anterior, para construir un intervalo de confianza del 95% para la cantidad media de horas que los estudiantes trabajan por semana, si tan sólo son 500 estudiantes en el campus. Porque n/N = 49/500 = .098 el cual es mayor que 05, utilizamos el factor de corrección de la población-finita 24 ± 1.96(
4 49
)(
500 ! 49 500 ! 1
)
=
24.00 ± 1.0648
Elección del tamaño de muestra apropiado Existen 3 factores que determinan el tamaño de la muestra, ninguno tiene relación con el tamaño de la población. Éstos son: • • •
El nivel de confianza deseado. El máximo error permisible. La variación en la población.
Variación en la población Para encontrar el tamaño de la muestra para una variable:
n
=
& z s # $ ! % E " •
2
Donde: E es el error permisible, z es el valor z correspondiente al nivel de confianza seleccionado s es la desviación de la muestra del estudio piloto.
63
Ejemplo: Un grupo de consumidores quiere estimar la media del cargo mensual de energía de julio de una casa común, con un error permisible de $5.00 y utilizando 99% de nivel de confianza. Basado en estudios similares, la desviación estándar se estima debe ser $20.00. ¿Cuántas muestras son requeridas? n
=
& (2.58)(20) # $ ! 5 % "
2 =
107
Tamaño de la muestra para proporciones La fórmula para determinar el tamaño de la muestra en el caso de una proporción es: & Z # n p (1 ' p)$ ! % E "
2
=
Donde:
p es la proporción estimada basada en la experiencia anterior o de un estudio piloto z es valor z asociado con el grado de confianza seleccionado E es el máximo error permisible que el investigador tolerará.
Ejemplo: Un club quiere estimar la proporción de niños que tiene un perro como mascota. Si el club quisiera estimarlo dentro del 3% de la proporción de la población, ¿cuántos niños necesitarían contactar? Asuma 95% de nivel de confianza y que el club estima que un 30% de los niños tienen un perro como mascota. 2
& 1.96 # (.30)(.70)$ 897 n ! % .03 " Después de haber revisado el tema de este módulo, te invito a revisar el siguiente esquema de evaluación. En él encontraras las actividades que debes de realizar para evaluar el aprendizaje logrado hasta el momento. =
=
Actividad Una muestra al azar de 20 residentes retirados de Florida reveló que escuchan la radio en promedio (media) 40 minutos al día con una desviación estándar de 8.6 minutos. Desarrolle un intervalo de confianza del 95% para la población media del tiempo que escucha la radio. Autoevaluación 1.
Una estimación puntual es: A. B. C. D.
2.
Siempre una estimación de la media poblacional. Siempre igual a l valor poblacional. Una estimación de algún parámetro de la población. Ninguna de las anteriores.
Un intervalo de confianza A. Siempre incluye el parámetro de la población. 64
