ESTATICA
CABLES
Los cables se utilizan en muchas aplicaciones ingenieriles tales como puentes colgantes, líneas de transmisión, teleféricos, contravientos para torres altas, etc. Los cables pueden dividirse en dos categorías de acuerdo con las cargas que actúan sobre estos 1) cables que soportan cargas concentradas y 2) cables que soportan cargas distribuidas.
Considérese un cable unido a dos puntos fijos A y B y que soportan n cargas concentradas verticales,
,
,...,
(figura 7.13a).Se supone que el cable es flexible,
estos, que su resistencia a la flexión es pequeña y puede despreciarse. Además, también se supone que el peso del cable es susceptible de ser ignorado en comparación con las cargas que soporta. Por lo tanto, cualquier porción del cable entre dos caras consecutivas se puede considerar como un elemento sometido a la acción de dos fuerzas y, por consiguiente las fuerzas internas en cualquier punto del cable se reducen a una fuerza de tensión dirigida a lo largo del cable.
Se supone que cada una de las cargas se encuentra en una línea vertical dada, esto es, que la distancia horizontal desde el apoyo A hasta cada una de las cargas es conocida; además, también se supone que las distancias horizontal y vertical entre los apoyos son conocidas. Se desea determinar la forma del cable, esto es, la distancia vertical desde el apoyo A hasta cada uno de los puntos
,
,…
y también se desea
encontrar la tensión T en cada una de las porciones del cable.
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ESTATICA
CABLES A y
L A
L A x
A
By Y1
Y1
d Y2
C1
Y3 C1
B P1
d Y2 D
B
P1
C2 C3
X1
C2 C3
X1
P2
X2
Bx
Y3
P2
X2
P3
P3
X3
X3 a)
b)
Figura 7.13
A y
Primero se dibuja un diagrama de cuerpo libre para todo el cable (figura 7.13b). Como la pendiente de las porciones del
A x
A
cable unidas en A y B no es conocida, cada una de las
Y1
y
reacciones en A y B debe representarse con dos componentes. Por lo tanto están involucradas cuatro incógnitas
C1
D
y las tres ecuaciones de equilibrio que se tienen disponibles no P1
son suficientes para determinar las reacciones en A y B. Por lo tanto, se debe obtener una ecuación adicional considerando el equilibrio de una porción del cable. Lo anterior es posible si se
X
conocen las coordenadas x y y de un punto D del cable.
a) A y
Dibujando el diagrama de cuerpo libre de la porción AD del cable (figura 7.14a) y escribiendo
, se obtiene una
relación adicional entre las componentes escalares
y
T
X1
A
Fig. 7.14 A x
y se Y1
pueden determinar las reacciones en A y B. Sin embargo, el
Y2
problema continuaría siendo indeterminado si no se conocieran C1
las coordenadas de D, a menos que se proporcionara otra relación entre
y
(o entre
y
).
Ø
P1
C2
X1
T X2
P2
b)
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ESTATICA
CABLES
Como se indica por medio de las líneas discontinuas en la figura 7.13b, el cable podría colgar en cualquiera de varias formas posibles. Una vez que se han determinado
y
, se puede encontrar fácilmente la distancia
vertical desde A hasta cualquier punto del cable. Por ejemplo, considerando el punto se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la porción A
7.14b).escribiendo
.escribiendo
del cable (figura
,
, se obtiene una ecuación que puede resolverse para
y
, se obtienen las componentes de la fuerza T que
representa la tensión en la porción del cable que está a la derecha de Tcos = -
. Se observa que
; por lo tanto, la componente horizontal de la fuerza de tensión siempre es la
misma en cualquier punto del cable. Se concluye que la tensión T es máxima donde cos es mínimo, esto es, en la porción del cable que tiene el mayor ángulo de inclinación
.
Obviamente, dicha porción del cable debe ser adyacente a uno de los dos apoyos del cable.
Considérese un cable que está unido a dos puntos fijos A y B y que soporta una carga distribuida (figura 7.15a).En la sección anterior se vio que, para un cable que soporta cargas concentradas, la fuerza interna en cualquier punto es una fuerza de tensión dirigida a lo largo del cable. En el caso de un cable que soporta una carga distribuida, éste cuelga tomando la forma de una curva y la fuerza interna en el punto D es una fuerza de tensión T dirigida a lo largo de la tangente de la curva. En esta sección, se aprenderá a determinar la tensión en cualquier punto de un cable que soporta una carga distribuida dada. En las secciones siguientes se determinara, la forma que adopta el cable para dos tipos particulares de cargas distribuidas.
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ESTATICA
CABLES B
D
A
C
a)
T
W
T0
D
T
Ø
C
Ø W
T b)
0 c) Figura 7.15
Considerando el caso más general de carga distribuida, se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la porción del cable que se extiende desde el punto más bajo C hasta un punto dado D del cable (figura 7.15b).las fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre son la fuerza de tensión
en C, la cual es horizontal, la fuerza de tensión T en D, la cual esta dirigida a
lo largo de la tangente al cable en D y la resultante W de la fuerza distribuida, soportada por la porción CD del cable .Dibujando el triángulo de fuerzas correspondiente (figura 7.15c), se obtiene las siguientes relaciones:
cos ; sen
+ ; tan 0
………………(7.5)
………………. (7.6)
A partir de las relaciones (7.5), resulta evidente que la componente horizontal de la fuerza de tensión T es la misma en cualquier punto y que la componente vertical de T es igual a la magnitud W de la carga medida a partir del punto más bajo. Las relaciones (7.6) muestran que la tensión T es mínima en el punto más bajo y máxima en uno de los dos puntos de apoyo.
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ESTATICA
CABLES
Ahora, supóngase que el cable AB soporta una carga uniformemente distribuida a lo largo de la horizontal (figura 7.16a).Se puede
B Y
suponer que los cables de los puentes a)
colgantes están cargados de esta forma puesto que el peso del cable es pequeño
A D(x,y)
en comparación con el peso de la calzada. C
La carga por unidad de longitud (medida horizontalmente) se representa con
X
y se
expresa en N/m o en lb/ft. Seleccionando ejes coordenados con su origen en el punto ω
más bajo C del cable, se encuentra que la
la porción del cable que se extiende desde C hasta el punto D de coordenadas esta dad por W =
y
T
Y
magnitud W de la carga total soportada por
D(x,y)
b)
T0
Ø
C x/2
.De esta forma, las
x/2
X
W=ωx
relaciones (7.6) que definen la magnitud y la dirección de la fuerza en D, se
Figura 7.16
convierten en:
+ ; tan 0
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………………...(7.7)
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ESTATICA
CABLES
Además, la distancia desde D hasta la línea de acción de la resultante W es igual a la mitad de la distancia horizontal que hay desde C hasta D (fig. 7.16 b) Sumando momentos con respecto a D, se escribe:
MD Y resolviendo para
x y………………….. 7.8 2 y T0………………………7.9
ω
, se obtiene:
Esta es la ecuación de una parábola con un eje vertical y con su vértice en el origen del sistema de coordenadas. Por lo tanto, la curva formada por los cables que están cargados uniformemente a lo larga de la horizontal es una parábola. Cuando los apoyos A y B del cable y tienen la misma elevación, la distancia L entre los apoyos se conoce como el claro del cable y la distancia vertical h desde los apoyos hasta el punto más bajo se denomina la flecha del cable. (Figura 7.17a).Si se conocen el claro y
la flecha de un cable y si la carga por unidad de longitud horizontal encontrar la tensión mínima
sustituyendo
y
esta dada, se puede
en la ecuación
(7.8).Entonces, las ecuaciones (7.7) proporcionaran la tensión y la pendiente en cualquier punto del cable y la ecuación (7.8) definirá la forma del cable. Cuando los apoyos tienen elevaciones diferentes, no se conoce la posición del punto más bajo del cable y se deben determinar las coordenadas
; ; y
de los apoyos .Para
tal fin, expresa que las coordenadas de A y B satisfacen la ecuación (7.8) y que
y
, donde L y d representan respectivamente, Las distancias horizontal y
vertical entre los dos apoyos (figura 7.17b y c).
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ESTATICA
CABLES Y
a)
La longitud del cable desde su punto más bajo C
L
A
B
hasta su apoyo B se puede obtener a partir de la fórmula:
h
X Y
1 +
Y L
..……… (7.10)
B
L
yB
B
yB
d A
A
y A y A x A < 0
xB
C
x A
c)
xB
X
b) Figura 7.17
T 0 1 +T0 + *T0 + 1 +T0
………(7.11)
B
Considérese un cable homogéneo que no
Y
lleva carga excepto su propio peso. En
a)
este caso, la carga esta uniformemente A
distribuida a lo largo de la longitud del cable; es decir,
, donde
C
es el
peso del cable por unidad de longitud y la
s
O
X
distancia se mide a lo largo del cable. Por lo tanto, la resultante de la carga mostrada en la figura 7.18b es
.
Las siguientes relaciones útiles pueden
T
Y
x
Ø
b)
ahora obtenerse de las ecuaciones (7.7).
T0
O
C
s W
y X
Figura 7.18
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ESTATICA
Sustituyendo
CABLES
en la ecuación (7.6) resulta:
∅ T0 ; +
La longitud del cable:
Las funciones
………….. (7.12)
T0 T0
y
…………………. (7.13)
, llamadas seno hiperbólico y coseno hiperbólico,
respectivamente se definen como:
; +
T0 T0 1
…………….. (7.14)
La curva representada por la ecuación se llama catenaria. De acuerdo con la ecuación (7.6), la tensión en el cable es:
T0
………..……… (7.15)
1. El cable AE soporta tres cargas verticales en los puntos indicados. Si el punto C está a 5 ft por debajo del apoyo izquierdo, determínese a) la elevación de los puntos B y D y b) la pendiente máxima y la tensión máxima en el cable.
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