ESTÁTICA DE FLUIDOS 1
MECÁNICA DE FLUIDOS I
Mg. John Cubas Sánchez
Un fluido es una sustancia o medio continuo que se deforma continuamente en el tiempo ante la aplicación de un esfuerzo tangencial sin sin importar la magnitud de éste. Son fluidos los líquidos y gases.
Magnitud física escalar que mide el grado de concentración atómica y/o molecular de los cuerpos. Depende de la temperatura.
Puede ser:
Magnitud física vectorial que mide el peso de un cuerpo por unidad de volumen.
m [kg/m3] V
r
L / S
gas g as
agua [adimensional] r aire 2
W V
m g V
g
[N/m3]
Un fluido es una sustancia o medio continuo que se deforma continuamente en el tiempo ante la aplicación de un esfuerzo tangencial sin sin importar la magnitud de éste. Son fluidos los líquidos y gases.
Magnitud física escalar que mide el grado de concentración atómica y/o molecular de los cuerpos. Depende de la temperatura.
Puede ser:
Magnitud física vectorial que mide el peso de un cuerpo por unidad de volumen.
m [kg/m3] V
r
L / S
gas g as
agua [adimensional] r aire 2
W V
m g V
g
[N/m3]
DENSIDAD DE ALGUNOS MATERIALES Material Aire (1 atm, 20°C)
Densidad (kg/m3) * 1,20
Material
Densidad (kg/m3) *
Hierro, acero
7,8 x 103
Etanol Benceno
0,81 x 103 0,90 x 103
Latón Cobre
8,6 x 103 8,9 x 103
Hielo
0,92 x 103
Plata
10,5 x 103
Agua Agua de mar mar
1,00 x 103 1,03 x 103
Plomo Mercurio
11,3 x 103 13,6 x 103
Sangre
1,06 x 103
Oro
19,3 x 103
Glicerina Concreto
1,26 x 103 2 x 103
Platino Estrella enana blanca
21,4 x 103 1010
Aluminio
2,7 x 103
Estrella de neutrones
1018
Tierra 22,5 x 103 * Para obtener las densidades en gramos por cada centímetro cúbico (g/cm 3), divida entre 10 3
3
Ej.: Calcule: a) La masa masa del del air aire e a una una T = 20 ºC de de una estancia de dimensiones 4 m x 5 m x 3 m. b) El peso peso y el volu volumen men de de igual igual masa masa de de agua. agua. a)
T = 20 ºC
b) m = 72 kg
V = = 4 × 5 × 3 = 60 m3
W m g W 72 9,8
aire = 1,20 kg/m3
3m 4m 5m
W 705,6 N
m V
agua = 1 000 kg/m3
m V m V
V
m V m 1,20 60
72 1 000
V 0,072 m3
m 72 k g
4
ANALIZA ¿Cuál de los ladrillos A o B se hunde más, suponiendo que están sobre gras?
¿Por qué, si en ambos casos el peso es el mismo? La fuerza debido a la interacción entre el ladrillo y el gras, en el caso B se distribuye en mayor valor que en el caso A, porque tiene menos área de contacto.
Fuerza normal Pr esión Área 5
N P a m 2
Ej.: Calcule la presión que ejerce una fuerza de 40 N al ser aplicada en una superficie de 6 m2, la fuerza actúa con una inclinación de 37º respecto al plano horizontal.
F
= 24 N
F =
40 N
p
q = 37º A = 6 m2
24 6
p 4 Pa
Donde: F
F p A
= 40 sen 37º = 24 N 3 5 6
W L P h A
P h
•
P h
L ( Ah)
A
P h L h
h
L V
A
A
P h L g h
B
C
D
Todos los puntos ubicados a una misma profundidad soportan igual presión y constituyen
SÓBARA: una línea llamada I SÓBARA •
L
P = P = P C = P A B D
Para líquidos en reposo, la isóbara es una recta horizontal que pasa por el mismo tipo de líquido. 7
OBSERVACIONES:
La presión hidrostática ejerce fuerzas normales sobre las paredes internas, es decir, el líquido sale formando 90º con la pared del recipiente.
El experimento de Plateau Plateau: prueba que la presión de un líquido sobre una partícula actúa en todas direcciones y con la misma intensidad; así pues este experimento consiste en sumergir una pequeña gota de ACEITE en ALCOHOL diluido, observándose la FORMACIÓN de una gota esférica, que sólo se explicaría si la presión es la esférica misma en toda su superficie, y así mismo en toda dirección y sentido.
8
En 1644 Evangelista Torricelli ideó un mecanismo al que llamó barómetro, para medir la presión atmosférica. Consistía en equilibrar el peso de una columna de mercurio de 76 cm de altura con la presión ejercida por la atmósfera. Luego: P atm = 76 cm Hg Del gráfico, en la isóbara: P 1 = P 2 Donde: P 2 = P atm y: P 1 = P Hg = 76 cm Hg = 760 mm Hg = 0,76 m Hg P atm = P Hg P atm = Hg g h P atm=(13 600 kg/m3)(9,8 m/s2)(0,76 m) P atm = 1,013 x 105 Pa = 1 atm P atm = 101,3 kPa 1 atm = 760 torr = 1,033 kgf/cm2 = 1,013 bar = 76 cm Hg 1 atm = 14,7 psi = 2120 lbf/pie2 = 10, 33 mH 2O
Presión Absoluta:
P abs P h P atm
Para casos prácticos usaremos: P atm = 100 kPa = 1 bar 9
En el caso de los líquidos la presión depende solamente de su altura.
P man P abs P atm P man P 1 L g h L h Principio de vasos comunicantes comunicantes:: La presión hidrostática depende solamente de la profundidad más no de la forma del recipiente que contiene al líquido.
P 1 P 2 P 3 10
h h 1 h 2 h 3
Es la verdadera presión del fluido, que se obtiene sumando las presiones locales (manométricas, hidrostáticas) y la presión atmosférica.
P total = P líq + P atm P líq = L . h = P
man(líq )
P total = P man(líq) + P atm
11
Ej.: Halle la presión sobre el fondo de una vasija de 76 cm de longitud, a nivel del mar cuando se llena de: a) Agua (Sugerencia: recuerde que P h = L g h) b) Mercurio a)
p ph patm
b)
p L g h patm
p ph patm
p L g h patm
p 1000 9,8 0,76 1,013105 p 13600 9,8 0,76 1,013105 p 1,087 105 Pa
p 2,026 105 Pa
12
Ej.: ¿A qué altura se elevará el agua por las tuberías de un edificio si un manómetro, situado en la planta baja indica una presión de 30 N/cm2?
N 1002 cm 2 pman 30 2 2 2 3 105 Pa cm 1 m
pman agua g h
pman h agua g
h
3 10
5
103 9,8
h 30,61m 13
La fórmula P hid = L h nos permite determinar la diferencia de presiones entre dos puntos del líquido . P 1 = L . h1 + P atm P 2 = L . h2 + P atm
L
P 2 – P 1 = L (h2 – h1) P = L . h P = L g h
14
(Recuerde que: 1 atm = 1,013 x 10 5 Pa) Ejm.: Calcule: a) La presión hidrostática a 10 m, 20 m y 30 m de profundidad en el agua (en atm) b) La presión total en dichos puntos (en atm) a)
h
Presión hidrostática
b) Presión total
ph agua g h 10 m
ph 1000 9,8 10 9,8 104 Pa 1 atm 4 0,97atm ph 9,8 10 Pa 5 1,013 10 Pa
p ph po p 0,97 1
p 1,97atm
20 m
ph 0,97 2 1,94 atm
p 1,94 1 p 2,94 atm
30 m
ph 0,97 3 2,91 atm
p 2,91 1 p 3,91atm 15
MANÓMETRO Son dispositivos físicos que permiten medir directamente la presión relativa (presión diferencial) de un gas. Es decir, la diferencia entre la presión absoluta del gas y la presión atmosférica. atm
man
11
22
P 1 = P 2 P gas = P líq + P atm P gas = P man + P atm P man = P gas – P atm 16
Ej.: Un tubo de manómetro abierto se llena parcialmente con agua, en la otra rama se vierte aceite ( aceite = 0,8 g/cm3) hasta que la interfaz aceiteagua está en el punto medio del tubo. Halle la relación: haceite / hagua
p1 p2 po paceite po pagua aceite g haceite agua g hagua
1
2
haceite agua hagua aceite haceite 1 hagua 0,8 17
haceite 1,25 hagua
La presión ejercida en un fluido, se transmite con igual intensidad y de manera simultánea a todos los puntos del interior del fluido y a las paredes del recipiente que lo contiene.
po
F A
M1
p1
M1
p’ 1 = p1 + po
M2
p2
M2
p’ 2= p2+ po
M3
p3
M3
p’ 3= p3+ po p’ 3 > p’ 2 > p’ 1
p3 > p2 > p1 18
P 0 e1
e2
F 1
F 1
A1
A1
V 1 = V 2
F 2 A2
A1 e1 = A2 e2
OBSERVACIÓN:
Considerando A2 > A1 entonces F 2 > F 1, luego, l a prensa hidráulica multiplica la fuerza .
19
1. Muchos cuerpos son elevados fácilmente debajo del agua mientras que con dificultad fuera de ella. 2. Si sumergimos un corcho en el agua y lo soltamos allí, este emergerá 3. ¿Cómo se pueden explicar estos fenómenos?. 4. ¿Qué fuerzas participan? F 1 = P 1 . A F 2 = P 2 . A
Como:
20
P 2 > P 1 F 2 > F 1
Debido a la diferencia de fuerzas entre las caras superior e inferior del cuerpo, éste es empujado hacia arriba con una fuerza resultante F 2 – F 1 denominada empuje del líquido “ E líq”. E líq = F 2 – F 1 E líq = P 2 A – P 1 A = ( P 2 – P 1) A E líq = ( líq g h2 – líq g h1) A E líq = líq g (h2 – h1) A E líq = líq g V sum o también:
E líq = líq V sum
[ N ]
Donde: E Empuje hidrostático Líq Peso específico del líquido en donde el cuerpo es sumergido V sum Volumen de la parte sumergida. 21
•
El empuje sobre el cuerpo es VERTICAL y dirigido hacia arriba si el líquido, en donde se sumerge el cuerpo, está en reposo o se mueve a velocidad constante.
•
El empuje hidrostático no será vertical si el líquido en donde el cuerpo es sumergido tiene aceleración, excepto en el caso en donde el líquido acelera VERTICALMENTE.
•
El empuje hidrostático actúa en el centro de gravedad de la zona sumergida: CENTRO DE FLOTACIÓN.
•
Para líquidos no miscibles el empuje total es la suma de los empujes parciales en cada líquido.
22
Sabemos que:
Inicialmente
y:
E = líq V sum
V sum = V líq desalojado
E = líq V líq desalojado
Entonces: Donde: líq
W líq desalojado V desalojado
Se agrega un cuerpo
E = W líq E E
desalojado
El empuje hidrostático aplicado por un líquido sobre un cuerpo, es numéricamente igual, al peso del líquido que desaloja dicho cuerpo al sumergirse en él ” “
23
El peso real de un cuerpo es aquél que posee cuando se encuentra en el vacío, mientras que el peso aparente es aquél que posee cuando se encuentra sumergido en un fluido.
Vacío:
En un fluido: W aparente
W real = W
E + W aparente = W real E
W
E + W aparente = W
W
W aparente = W real - E El empuje hidrostático es considerado como la aparente pérdida de peso que sufre el cuerpo, cuando se sumerge en un fluido.
El peso en el aire es aproximadamente igual a su peso en el vacío. 24
1. Una estatua de oro de 15 kg está siendo levantada de un barco hundido. ¿Qué tensión hay en el cable cuando la estatua está en reposo? oro = 19 300 kg/m3 agua de mar = 1 030 kg/m3 a. Totalmente sumergida m b. Fuera del agua a) oro T + E = mg V
T
V V
E
T = 147 – 7,84
m
T = 139,16 N
oro 15
b)
19 300
V = 7,77 10
4
–
m3
T ’ = mg
E = Líq g V sum mg =147 N
T’
T ’ = 147 N
E = agua de mar g V E = 1 030 (9,8) ( 7,77 10 E = 7,84 N
4 )
–
mg =147 N
25
2. Un tronco de un árbol en forma de cilindro recto, flota en agua con un tercio de su volumen fuera de ésta. ¿Cuánto vale la densidad del tronco?
W C = E
E
mC g= Líq g V sum 1/3 V C 2/3 V C
H 2O
C V C = agua (2/3V C ) W C
agua =
C V C g= Líq g V sum
C = 666,67 kg/m3
1 000 kg/m3
26
3. Un cuerpo cilíndrico compacto y homogéneo flota sumergido parcialmente en un líquido ( L = 990 Kg/m3) el volumen sumergido es el 70% de su volumen total. Calcule la densidad del cilindro. W c = E
E
mc g= Líq g V sum 0,3 V c
c V c = Líq V sum
0,7 V c
Líq
c V c = Líq W C
0,7 V c
c = 693 kg/m3
27
4. Una esfera de 2 kg y 510 –3 m3 se encuentra atada tal como se muestra en la figura. Calcular la tensión en las cuerdas.
T
T Agua
E =
T
1 000 x 9,8 x 5x10 –3 = 49 N
T
T
60° 29,4 N
60° 60°
W = 19,6 N
T
28
T = 29,4 N
5. En una prensa hidráulica, cuyas áreas de sus respectivos émbolos están en la relación 5:200 ¿qué fuerza deberá ser aplicada para levantar un auto de 8 000 N ? y si el émbolo de menor área recorre 1,5 m, ¿cuánto recorrerá el de mayor área?
e1 A1 e2 A2
F 1 F 2 A1 A2 F 1 F 1
A1 F 2 A2
5 8 000 200
F 1 200 N
29
e2
A1 e1 A2
e2
5 200
1,5
e2 0,0375 m
CONCEPTO: En física se denomina tensión superficial al fenómeno por el cual la superficie de un líquido tiende a comportarse como si fuera una delgada película elástica. Para dar una explicación clara a este comportamiento, hay que definir antes dos nuevos conceptos: La adherencia y la cohesión.
COHESIÓN
Fuerza de atracción entre partículas de la misma clase. Ej. Entre las moléculas del agua 30
ADHESIÓN
Fuerza de atracción mutua entre superficies de dos cuerpos puestos en contacto. Ej. Moléculas del agua con las del recipiente.
La tensión superficial tiene como principal efecto la tendencia del líquido a disminuir en lo posible su superficie para un volumen dado, de aquí que un líquido en ausencia de gravedad adopte la forma esférica (como en el caso de las gotas), que es la que tiene menor relación área/volumen.
CÁLCULO DE LA TENSIÓN SUPERFICIAL
L
El dispositivo mostrado fue introducido a una solución jabonosa y luego de sacarlo existe una película de jabón muy delgada (su espesor es grande comparado con el tamaño de una molécula) de manera que se puede considerar como un volumen líquido limitado por dos capas superficiales de algunas moléculas de espesor. 31
L
La tensión superficial se define como la fuerza por por unidad de longitud ejercida por una de las unidad superficies. En la figura la fuerza neta hacia arriba se debe a las dos superficies (anterior y posterior). Por lo tanto la tensión superficial es:
F = W 1 + W 2
F F Ltotal 2 L
[ N/m]
Entonces:
F=
2
L
También es igual al trabajo por por unidad de área: área: El trabajo es: L
W=Fh
El área total de ambas superficies de la película es: A = 2 ( L h)
W = 2 L h
W 2 L h
32
W A
Ej.: Si el conjunto mostrado se moja con agua a 20 ºC ( = 7,2810 2 N/m), el alambre deslizante tiene 0,1 m de longitud y su masa es de 10 – 3 kg . a) ¿Cuánto vale la fuerza de tensión superficial? b) Si el alambre se halla en equilibrio, ¿cuánto vale la masa m2 colgada del alambre? –
b)
a) F = 2 L F = 2 (7,28 x 10
2)
–
(0,1)
L
F = W 1 + W 2
F = m1 g + m2 g
F = 0,015 N
F = (m1 + m2 ) g 0,015 = (0,001 + m2 ) (9,8) m 2 = 0,00053 kg
33
TENSIÓN SUPERFICIAL DE LÍQUIDOS EN CONTACTO CON AIRE LÍQUIDO (N/m) TEMPERATURA (°C) Alcohol
2,23 10 -2
20
Aceite de oliva
3,2 10 -2
20
6,31 10 -2
20
7,56 10 -2
0
7,28 10 -2
20
6,62 10 -2
60
5,89 10 -2
100
0,465
20
0,8
970
1
1070
1,1
1130
Oxígeno
1,57 10 -2
-193
Neón
5,15 10 -3
-247
Glicerina
Agua
Mercurio Plata Oro Cobre
34
Como se puede apreciar en la tabla la tensión superficial de una sustancia, disminuye con la temperatura, ya que las fuerzas de cohesión disminuyen al aumentar la agitación térmica.
Vapor Vapor
Sólido
Sólido
q
Líquido Ángulo de contacto q < 90 y q > 90º
h
Vapor
q
Líquido
Las moléculas de una sustancia en el líquido y en la fase vapor coexistente • Las fuerzas atractivas de las moléculas próximas a la F i cosq superficie y en el interior se representan por flechas. q F i • El líquido en un tubo de radio r con un ángulo de contacto F i senq pequeño q sube hasta una altura h. • La fuerza sobre un pequeño fragmento del liquido es: Donde: F vertical i = F i cosq F = F = F cosq •
vertical neta
2r
F = F i = Ltotal
vertical i
i
F vertical neta = 2π r cosq
Ltotal = 2π r 35
El volumen de la columna de líquido en el menisco o superficie curvada es: V =π r 2 h
El peso de la columna de líquido es: W =mg = ( V ) g= g π r 2 h,
por lo tanto: F vertical neta = W
2π r cosq = g π r 2 h
h
2 cos q
g r
Cuando: q = 0° q = 180º
el líquido moja perfectamente el líquido no moja en absoluto
36
Ejm.: La savia, que en verano consiste sobre todo en agua, sube en los árboles por un sistema de capilares de radio r = 2,5x10 -5 m, el ángulo de contacto es 0º. La densidad del agua es de 1 000 kg/m3. ¿cuál es la máxima altura a la que puede subir en un árbol a 20 º C ? Según la tabla el valor de = 7,28 x 10 -2 N/m Con cos q = 1
h
2 Cosq
gr 2(7,28.10 2 Nm 1 )
h
(103 kgm 3 )(9,8ms 2 )(2,5 x10 5 m)
h = 0,594 m
37
38
1. La figura muestra un bloque de 7 Kg y 4 L que se encuentran en equilibrio, totalmente sumergido en el recipiente con agua. Calcule la constante de rigidez del resorte, si está estirado en 15 cm. (Considere 1 litro = 10 –3 m3 y g = 10 m/s2).
39
2. Un tubo en U, con llave M abierta se coloca como se muestra en la figura. Se aspira un poco de aire y se cierra la llave M, El agua sube 0,7 m; mientras que un líquido desconocido sube 1,1 m. Si la presión atmosférica (Po) es de 8 metrosH2O. Determine: a) La densidad del líquido b) La presión interior del tubo en U, en Pa
40
3. Dos troncos idénticos se sitúan de la manera indicada en la figura. El tronco inferior está atado a la pared vertical mediante cables que forman con ella un ángulo de 45 . El tronco superior resulta sumergido a medias en el agua. Determine la densidad de los troncos °
41
4. ¿Qué diámetro máximo pueden tener los poros de la mecha de una hornilla de petróleo, para que este último suba desde el fondo del depósito hasta el mechero de la hornilla (h = 10 cm)? Suponga que los poros son tubos cilíndricos y que el petróleo moja perfectamente. Considere la tensión superficial del petróleo 3 x10 – 2 N/m y la densidad del petróleo 800 kg/m3.
42
