Colégio Integrado Monte Maior
Disciplina: Matemática
Trabalho Realizado por: - Inês Lino 10ºA Nº11
Introdução .............................................................................................................................3 Exposição teórica da matéria ............................................................................................5 Parte Prática e Resolução ...................................................................................................11 Conclusão ................................................................................................................................13 Bibliografia ............................................................................................................................14
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Esta tarefa matemática consiste em expor e a matéria de estatística dada no 3ºciclo, temos informações de anos passados que podem ser uteis ao fazer o trabalho e este pode também ser um auxiliar de estudo. Este trabalho está dividido em duas partes, a primeira consiste em fazer uma exposição teórica de matéria do 3ºciclo, para isso temos de distinguir quatro conceitos. O conceito de população, de amostra, recenseamento e sondagem. Além disso temos de indicar quais os tipos de estatística e variáveis estatísticas e identificar todas as formas de organizar dados estatísticos. Por ultimo temos que definir média, moda e mediana. Na segunda parte do trabalho, vamos apresentar um conjunto de dados estatísticos classificá-los e organizá-los de duas formas diferentes. Posteriormente vamos efetuar os cálculos da média, moda e a mediana. A estatística tem evoluído muito nos últimos anos, mas desde sempre que o homem tem sentido necessidade de recolher informação. O recenseamento geral de uma população é uma prática que remonta à antiga Roma e Egipto. O seu objetivo principal era obter informação para a coleta de impostos, chamada para o serviço militar e outros assuntos governamentais. Durante a Idade Média, registaram-se alguns dados sobre epidemias e terramotos que podem ser considerados como uma espécie de levantamento estatístico. Foi já no sec. XVIII que surgiu o primeiro levantamento de dados a nível nacional. Foi também no sec XVIII que surgiu o termo “Staatenkunde” - traduzido para português como Estatística pelo professor Achenwall, como “ciência das coisas do estado” visto que era o Estado que organizava e produzia esses estudos. Começou-se assim a fazer tratamentos estatísticos de fenómenos sociais e demográficos. No sec XVIII, Bayes foi o primeiro matemático a aplicar a teoria das probabilidades na previsão de fenómenos, baseado em levantamentos estatísticos. Mais precisamente a estatística preocupa-se com: Coleta, a organização, a sintetização e a apresentação de dados; O levantamento de dados; A estimativa dos parâmetros da população e a determinação da precisão das estimativas; A análise da relação entre duas ou mais variáveis. A estatística está presente no dia-a-dia da nossa sociedade, sendo utilizada em diversas situações; Veicular informação nos diversos órgãos de comunicação (jornais, revistas, televisão, rádio, internet, ... ); Sondar a opinião pública (preferências , hábitos,... ); Fundamentar previsões (evolução da população, do mercado, ... );
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Justificar tomadas de decisão (construção de escolas, incentivo ao consumo, ... ). Com o desenvolvimento das novas tecnologias, nomeadamente a informática, torna-se mais fácil tratar a informação, pelo que, até a mais simples decisão económica como a comercialização de um produto não é tomada sem ter em conta os resultados estatísticos. A Estatística tem grande importância em determinadas áreas, tais como a Economia, a Medicina, a Política, a Geografia, a Psicologia e muitas outras. A procura do conhecimento tem sido uma das preocupações constantes das pessoas que se dedicam a investigar, e a estatística tem vindo a desempenhar um papel cada vez mais importante na seriedade dos processos utilizados na procura da “verdade”. Exemplos de aplicação da estatística: • Na Economia, para determinar a comercialização de um produto, para calcular o prémio de um seguro ou para determinar a taxa de juro de um empréstimo bancário. • Na Medicina, para estudar o efeito de um novo medicamento ou para saber qual o tipo de sangue cuja necessidade é maior numa emergência. • Na Pedagogia, para o estudo de novos métodos de aprendizagem.
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Numa sociedade baseada na tecnologia e na comunicação, recolher, organizar e interpretar dados, tomar decisões ou fazer previsões com base nessa informação tem cada vez mais importância. O estudo da estatística realça a importância de questionar, conjeturar e procurar relações quando se formulam e resolvem problemas do mundo real. A estatística é um ramo da matemática que estuda uma ou várias características ou propriedades de uma população, e que permite estabelecer previsões que facilitem a tomada de decisões assim como interpretar e explicar a realidade. A estatística aparece no mundo atual como resposta à complexidade de problemas que não permitem uma solução através de um único modelo com uma resposta exata. Para resolver estes problemas utiliza-se um conjunto de técnicas e instrumentos que conjuntamente dão respostas aproximadas, com níveis de erro controlados. A estatística trabalha com dois conjuntos de dados: a população e a amostra. Apesar de a estatística se preocupar em obter informações sobre a população, dificilmente estuda todos os componentes da mesma (censo). Não existem estatísticas especiais, como bioestatística e estatística econômica, mas sim aplicações específicas de estatística em determinadas áreas, o que leva a dividir a estatística especificamente para questões didáticas.
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Distinguir (população de amostra e recenseamento de sondagem)
População e Amostra A população é o conjunto constituído por elementos, de um mesmo universo, que apresentam pelo menos uma característica comum, segundo o seu tamanho, pode ser finita ou infinita. É finita quando possui um número determinado de elementos; a população infinita, como diz o nome, possui um número infinito de elementos. Contudo esta definição existe apenas teoricamente, uma vez que na prática, nunca encontraremos populações com infinitos elementos e sim com grande número de componentes e, tais populações são tratadas como infinitas. Na maioria das vezes, devido ao alto custo, ao intenso trabalho e ao tempo desprendido, limitamos as observações referentes a uma determinada pesquisa a apenas uma parte da população que denominamos de amostra. A amostra, contrariamente à população, é subconjunto de elementos extraídos da população, com um método adequado e é apenas um subconjunto finito de uma população, enquanto que uma população pode ser tanto finita como infinita (teoricamente).
Recenseamento e Sondagem Sondagem é o estudo estatístico de apenas uma parte da população e é efetuado a partir de uma amostra. Fazem-se sondagens quando: A população é grande. Há necessidade de uma rápida obtenção do estudo. Quando se aplicam ensaios destrutivos. Exemplo: estudo da qualidade dos fósforos produzidos; Censo ou Recenseamento é o estudo que implica a observação de todos os elementos população. Há casos que temos necessidade de estudar toda a população. Quando a população é pequena e não se pode obter uma amostra significativa. Quando estão em causa a segurança humana. Exemplo: O sistema de travagem dos automóveis produzidos, as peças de avião, etc.
Indicar
Tipos de estatística A estatística pode ser dividida em duas: -Estatística descritiva: tem por finalidade descrever certas propriedades relativas a uma amostra ou população. -Estatística Indutiva: procura interferir características da população a partir das características observadas numa amostra.
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Atributos/variáveis estatísticas - Atributo qualitativo: é uma qualidade ou característica, que pode assumir várias modalidades que não se podem medir. - Atributo quantitativo: é uma característica que se pode medir, isto é, pode exprimir-se por um número. - Variável discreta: variável quantitativa que toma apenas um número finito de valores, em qualquer intervalo de variação limitado. Ex: número de filhos, número de bactérias por litro de leite, número de cigarros fumados por dia. - Variável contínua: variável que pode tomar os valores numéricos, compreendidos no seu intervalo de variação. Ex: peso (balança), altura (régua), tempo (relógio), pressão arterial, idade.
Identificar
Formas de organizar dados estatísticos Dados qualitativos Frequência absoluta – a frequência absoluta de um dado estatístico é o número de vezes que este se repete e representa-se por fi. Frequência relativa – a frequência relativa de um dado estatístico é o quociente entre a frequência absoluta e o número total de dados. Representa-se por: fri = fi , onde N é o numero total de dados. N Dados quantitativos
Dados discretos Representados, normalmente, em tabelas e em gráficos de barras. Organiza-se em: Frequência acumulada – número total de dados com valor menor ou igual a xi . Representa-se por Fi. Frequência relativa acumulada – soma das frequências relativas de todos os dados com valor menor ou igual a xi . Representa-se por Fri . Dados contínuos Quando se pretende resumir variáveis contínuas, o conjunto de valores possíveis da variável é infinito, sendo a repetição de valores, que é o que acontece nos dados discretos, quase impossível. Por isso, não faz sentido a atribuição de uma frequência a cada valor da variável, mas sim a um intervalo de valores possíveis da mesma, a que se chama classe.
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Formas de representação de dados estatisticos
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Polígono de frequências - Um polígono de frequência é um gráfico que se realiza através da união dos pontos mais altos das colunas num histograma de frequência (que utiliza colunas verticais para mostrar as frequências). Os polígonos de frequência para dados agrupados, por sua vez, constroem-se a partir da marca de classe que coincide com o ponto médio de cada coluna do histograma. Quando são representadas as frequências acumuladas de uma tabela de dados agrupados, obtémse um histograma de frequências acumuladas, que permite dispor em diagrama o seu polígono correspondente. Ex: um polígono de frequência permite refletir a média das temperaturas máximas de um país num determinado período de tempo. No eixo X (horizontal), pode-se assinalar os meses do ano (Janeiro, Fevereiro, Março, Abril, etc.). No eixo Y (vertical), indica-se a média das temperaturas máximas de cada mês (24º, 25º, 21º…). O polígono de frequência é criado ao unir, com um segmento, a média de todas as temperaturas máximas.
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Definir
Média – A média de um conjunto de dados numéricos obtém-se somando os valores de todos os dados e dividindo a soma pelo número de dados. A média obtém-se a partir da expressão:
x
x1 x2 x3 ... xn n
Em linguagem matemática, utiliza-se a letra grega
(sigma maiúsculo) para resumir uma
soma, designada por somatório. A expressão da média ( x
x1 x2 x3 ... xn n
) pode ser escrita da forma:
Moda – é o valor mais frequente num conjunto de dados. Mediana – Depois de ordenados os valores por ordem crescente ou decrescente, a mediana é o valor que ocupa a posição central. A mediana de uma amostra de n elementos, que se representa por, Me ou x , é a medida de localização do centro da distribuição que se determina da seguinte forma: Ordenam-se os n elementos da amostra:
Se n é impar: A mediana é o elemento que ocupa a posição,
n 1 , isto é, a mediana é: 2
x x n 1 2
Se n é par: A mediana é a semissoma dos elementos que ocupam as posições n e n 1 , ou 2 2
seja, a mediana é:
xn xn x
2
2
1
2
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Parte Prática Dados estatísticos As alturas, em centímetros, dos alunos de uma turma do 10º ano são as seguintes:
150 152 170 161
169 158 171 164
174 163 162 166
155 158 171 164
165 166 161 162
170 158 154 156
172 166 168 167
1) Classificar os dados estatísticos. R: amostra.
2) Organizar de duas formas diferentes os dados. Tabela de frequências Alturas (cm) 150
Frequência Absoluta 1
Frequência Relativa (%)
152
1
1
154
1
1
155
1
1
156
1
1
158
3
3
161
2
2
162
2
2
163
1
164
2
165
1
166
3
167
1
168
1
169
1
170
2
2
171
2
2
172
1
174
1
Total
28
1
2
3
28 28 28 28 28
28 28
= 0,035 x 100 = 3,6% = 0,035 x 100 = 3,6% = 0,035 x 100 = 3,6% = 0,035 x 100 = 3,6% = 0,035 x 100 = 3,6%
= 0,117 x 100 = 10,71% = 0,0714 x 100 = 7,14% = 0,0714 x 100 = 7,14%
28 1 = 28
0,035 x 100 = 3,6%
= 0,0714 x 100 = 7,14%
28 1 = 28
0,035 x 100 = 3,6%
= 0,117 x 100 = 10,71%
28 1 = 28 1 = 28 1 = 28 28
0,035 x 100 = 3,6% 0,035 x 100 = 3,6% 0,035 x 100 = 3,6%
= 0,0714 x 100 = 7,14% = 0,0714 x 100 = 7,14%
28 1 = 28 1 = 28
0,035 x 100 = 3,6% 0,035 x 100 = 3,6% 100%
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Gráfico de Barras
Freq. Relativa
Frequência Relativa (%)
12 10 8 6
Frequência Relativa (%)
4 2 0 150
154
156
161
163
165
167
169
171
174
Alturas (cm)
3) Calcular a média, moda e mediana.
̅ = 163,3 cm
̃ =150+152+154+155+156+158+158+158+161+161+162+162+163+164+164+165+166+166+ 166+167+168+ 169+170+170+171+171+172+174 ̃ ̃
Moda- 158 e 166
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Neste trabalho pude relembrar matéria de outros anos. Foi um trabalho que levou algum tempo a ser realizado, tive algumas dificuldades na parte prática, pois não tinha percebido que tipo de dados estatísticos eram necessários escolher, mas depois entendi e consegui resolver o exercício. A parte prática da tarefa matemática consistia em pesquisar dados estatísticos, classificá-los, organizá-los de duas formas e posteriormente calcular a média, a mediana e a moda. Estes objetivos foram todos conseguidos. Este trabalho foi realizado através da recolha dos dados estatísticos (altura dos alunos de uma turma de 10ºano), classificação dos mesmos (representam uma amostra porque é um subconjunto de elementos extraídos da população - é apenas um subconjunto finito de uma população), organizá-los de duas formas, através de um gráfico de barras e de uma tabela de frequências e por fim, foi calculada a média, a moda e a mediana.
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http://alvaroneves.2000pt.net/matematica/tutoriais/nocoies_de_estatistica_index.htm
http://www.infoescola.com/matematica/estatistica/
http://www.minhapos.com.br/posgraduacao/probabilidade-estatistica.html
NEGRA, Cristina; MARTINHO, Emanuel (2010). Matemática A Volume 2. Carnaxide: Santillana
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