ESTIMACION DE PARAMETROS
Pág ina 387 387 (3) 1. Sean
las medias de dos muestras independientes de tamaños
++
respectivamente escogidas de una población de Poisson con parámetro a) Probar que la estadística parámetro
.
+
.
es un estimador insesgado del
b) Hallar la varianza del estimador. SOLUCION:
a)
b)
() [̅ ̅] 1 ̅ ̅ 1 1 () ( () [ [̅ ̅] ( () 1 ̅ ̅ ( () 1 ̅ ̅ ( () 1 { } ( () 1
() 1 () Pág ina 388 (5) 2. Dos módulos diferentes e independientes dieron lugar a dos estimadores
insesgados
del parámetro
. Las desviaciones estándares de estos
estimadores son 0.4 y 0.6 respectivamente. Los estimadores son cambiados de la siguiente manera:
1 0<<1
¿? 1 0<<1 1) ()( .() 1 ( ) 0. 4 1 .0. 6 ()0.16 0.361 () 0.1620.7210 0.320.720.720 1.040.72 0. 6 923 0.4 0.6 Hallar el valor de que haga minima la varianza del estimador . SOLUCION:
a)
Pág ina 388 (6)
,,…, 1,
3. Sea
Θ ∑=1 , Θ ∑=
una muestra aleatoria de tamaño de una población de Bernoulli
. De las siguientes estadísticas:
a) ¿Cuáles son estimadores insesgados del parámetro ? b) ¿Cuál de ellas es de varianza mínima? SOLUCION:
a)
,,…, .
∑=1 ∑ = () 1 () 11 ,,…, 11 ... 11 .... 11 . 11 .1 ()
b)
Θ ∑= . . () () 1
() . . . 1 . 1 () Pág ina 388 (7) 4. Sea
,,…,
una muestra aleatoria de tamaño 50 escogida de una población
,0<<1, 1, 0, 1 , 2 , … . , ,,…, 100.
con distribución geométrica de parámetro
a) Determinar el estimador de máxima verosimilitud para b) Estimar
si
SOLUCION:
a) Sabemos que: Distribución Geométrica.
1 ; 50 ; 1 , 0, 1 , 2 , … ,∏, = 1∑ ln 1
La distribución de probabilidad de cada variable aleatoria
es:
La función de verosimilitud de la muestra aleatoria es entonces:
Luego
b)
Pág ina 388 (8) 5. Sea
,,…,
una muestra aleatoria de tamaño 20 escogida de una población
, 0<<1, 1−, 0, 1 , 2 ,
con distribución binomial de parámetro
Determinar el estimador de máxima verosimilitud para
4 ¿ ?
si en la muestra el valor
ocurre veces, el valor 1 ocurre 9 veces y el valor 2 ocurre 7 veces. SOLUCION:
0 4
1 9
2 7
− − − 1 1 1 ∏ ∗∏ ∗∏ = = = 1 ∗21 ∗ 1 ∗21 ∗ 1..2
ln1719ln223ln 1 17 0 23 0 23 1 17 23117 2340 0.575
0
Pág ina 388 (9) 6. El número de ventas diarias de cierta mercancía es una variable aleatoria
Poisson con un promedio de ventas por día. a) Si
,,…, ,
de
,
son las ventas de 50 dias, estimar por el método de máxima
verosimilitud.
b) Si en los 50 días se han hecho 30 ventas de tal mercancía, estimar el promedio
de ventas diarias.
SOLUCION:
a)
b)
:" " ~ ,,…, 50 ? − . ! −.. ! lnlnln ! ∑ 00 ∑ ∑ ̅ 50 3050 30 0. 6
Pág ina 389 (13) 7. Una maquina produce objetos cuyo peso en gramos tiene distribución normal
N (30, ), con desconocida. Los objetos son defectuosos si es menor que 26 o mayor que 34 gramos. Para estimar se pesa un objeto cada vez hasta que un defectuoso sea obtenido. Hallar el estimador de máxima verosimilitud de si en un control el primer defectuoso se halló en la décima prueba.
SOLUCIÓN:
La distribución de probabilidades de la población normal, asociada a cada variable aleatoria X, está dado por:
,, √ 12 −− − − 1 , ,, [√ 2 ] − − 1 ∑ √ 2 2 −/ . − ∑− ln(,) 2 ln2 12 − ln( , ) 2 22 12 − 0 2 1 12 ∑ ∑ → 30, ̂ 1 1̂ <26>34 101 ∅26.301∅34.300.1 ∅4∅40. 9
La función de máxima verosimilitud es:
Luego;
Derivando la función L con respecto a
e igualando a cero da
X: Peso en gramos Además se sabe que son defectuosos los pesos
∅0.95 → 2.4316 Pág ina 424 (4) 8. Un fabricante afirma que el precio promedio de las latas de fruta en conserva que
saca al mercado es 7 onzas. Para Verificar esta afirmación se escogen al azar 20 latas de fruta y se encuentran que el precio promedio es 18.5 onzas suponga que la población de los pesos es normal con una desviación estándar de 2 onzas. a) Utilizando un intervalo de confianza del 98% para µ, ¿se puede aceptar la afirmación del fabricante? b) ¿Qué tamaño de muestra se debe escoger para estimar µ si se quiere un error no mayor a 0.98 onzas con confianza del 95%.
Solución
Para a)
19 20 ̅ ̅ 18.5 → , 2 2 ̅ √ √ 20 0.4472 ̅ − ∗ √ ≤≤̅ − ∗ √ 1 198% − −. 10.98 →0.02 . 2.33 (18.52.330.4472 ≤≤18. 5 2. 3 30.4472) 19 ∈ 17.458≤≤19. 542 18.5 1.042 ≤0.98 195% → 0.05 . 1.96 ∗ → 0. 9 8 1.9√ 62 → 16 El error estándar de la media
es :
Los límites de tolerancia de µ son:
Sabemos;
Remplazando:
Siendo los límites de tolerancia de : Para b)
Pág ina 425 (5)
entonces:
9. Se quiere hacer una encuesta para estimar el tiempo promedio por semana
que los niños ven televisión. Por estudios anteriores se sabe que la desviación estándar de dicho tiempo es de 3 horas. Con el nivel de confianza del 99%. a) ¿Qué tamaño de muestra se debería elegir si el error de la estimación puntual no es superior a media hora? b) ¿Qué costo se debe presupuestar para hacer la encuesta si ésta tiene un costo fijo de $ 5000 más un costo variable de $ 3 por entrevista?
Solución
3 ℎ
199% . 2.58 0. 0 1 .∗ ≤0.5ℎ . 239.63≅240 → 240 ? 50002 50002240 5489 Para a) ¿n?
Para b)
Pág ina 425 (7) 10. Para determinar el rendimiento anual de ciertos valores, un grupo de
̂ 2.1 %
inversionistas tomo una muestra aleatoria de 49 de tales valores encontrando una media de 8.71 % y una deviación estándar a) Estime el verdadero rendimiento anual promedio de tales valores mediante un intervalo de confianza del 96%. b) Calcule el riesgo de si el rendimiento anual de todos los valores se estima entre 7.96% y 9.46%.
Solución
0.0494 8.71% ̂ 2.1% 196% → . 2.06 2.06 √ 2.419 0.618 8.71 0.618
Para a)
Para b)
¿ 7. 9 6% ;9. 4 6 % . 2.06 → 0.618 8. 7 17. 9 6 − √ 0.75 0.75 − 2.71 − 2.5 1 2 0.9938 0.0124 Pág ina 425 (9) 11. Encontrar el tamaño de la muestra que se debe tomar para estimar la media
de las longitudes de los tornillos que se produce en una fábrica con un erros no mayor a 0.0233 al nivel de la confianza del 98%, si además se indica que la longitud de los tornillos tiene una distribución normal y su longitud se desvía de la media en a lo más 0.08 cm. Con probabilidad 0.9544. Solución L:” longitud de los tornillos en cm.”
| | ≤0.080.90. 5440 8≤≤0. 0.0082 0.9≤0. 0 233 544 ∅0.08∅0.080.9544 2 ∅0.081.9544 ∅0.080.9772 0.08 2 0. 0 4 2. 3 3 0 . 0 4 . ¿? 0.0233 16
Pág ina 426 (10) 12. Las cajas de un cereal producidos por una fábrica deben tener un contenido
promedio de 160 gramos. Un inspector de INDECOPI tomo una muestra aleatoria de 10 cajas para calcular los pesos Xi en gramos. Si de la muestra resulta la siguiente suma:
∑= 1590
∑= 252.858
Mediante un intervalo de confianza del 98% para μ ¿es razonable que el
inspector multe al fabricante? Suponga por el peso de las cajas del cereal tiene distribución normal. Solución
µ = 160 gramos n = 10
0. 0 2 →,
X: “pesos en gramos de la caja de cereales”
̅ 159 ∑ ∑ ̂ ± 1 25285810159 9 ̂±2.309 ̅ ≤≤̅ − ,− . , 2.821 2.821√ 2.10309 2.06 1592.06≤≤1592.06 156.94≤≤161.06 160 ∈ 156.94≤≤161.06
Remplazando
Por lo tanto no se multa al fabricante.
Pág ina 426 (12) 13. Un auditor escoge una muestra aleatoria de 15 cuentas por cobrar de un total
de 400 cuentas de una compañía y encuentra las siguientes cuentas en dólar» 730,759, 725, 740, 754, 745, 750, 753, 730, 780, 725, 790, 719, 775, 700 Utilizando un intervalo de confianza del 95%, estime. a) El monto promedio por cuentas por cobrar. b) El monto total de todas las cuentas por cobrar. Suponga que las 400 cuentas se distribuyen aproximadamente Normal. Solución:
̅ 745 ∑ 11175 ∑−− ̅ 24.6287 0. 0 5 − . ; 2.145 40015 2 4. 6 287 ∗ ∗ 4001 2. 1 45∗ 15 ∗40015 4001 13.398 13. 4 ̅ ≤≤̅ 47513. 4 ≤≤74513. 4 731.6≤≤758.4 731.6≤≤758.4 n1=15
N=400
a)
[ [ [
b)
400*[
Pág ina 428 (18) 14. Dos candidatos A y B compiten como favoritos en las próximas elecciones.
En la última encuesta a partir de una muestra grande de electores se estima. con una misma confianza que A tendría 40% de los votos con un error máximo de 3%, mientras que B tendría entre 31% y 39% de los votos. a) En base a esta encuesta. ¿Cuál de los dos candidatos sería el ganador absoluto? b) ¿Qué tamaño de muestra se debe elegir si se quiere tener una confianza del 98% de que el error de estimación de todos los electores a favor de A no sea superior al 2%?
Solución:
a)
0.4 0.03 0.37≤≤ 0.43 ]
para B
0.31≤≤ 0.39
]
Se puede decir que hay un empate técnico b) Datos
0. 0 2 ≤0.02 . 2.33 ∗1 ∗ 0. 0 22. 3 3∗ 0.4∗0.6 3257.34 3258
Pág ina 428 (20) 15. Se desea realizar un estudio de mercado para determinar la proporción de
amas de casa que prefieren una nueva pasta dental. a) Si la encuesta tiene un costo fijo de $500 más un costo variable de $5 por cada entrevista, ¿cuánto debería costar la encuesta si se desea que el error al estimar la proporción verdadera no sea mayor que 2%, con un nivel de confianza del 97%? b) Si para el tamaño de muestra hallado en a) se encuentra que 736 prefieren la nueva pasta dental, estimar la proporción verdadera con un coeficiente de confianza de 99%? Solución:
X: # de personas que quieren la pasta dental
: No se conoce
0. 0 2 0.03 . 2.17
5∗500 ∗∗ 2.17 ∗0. 5 ∗0. 5 − 0.02 2943.06 2944 5∗294450015220 a)
Hallamos n:
b)
0.25 0.75 0.01 . 2.58 ∗∗ − 2. 5 8 2944 ∗0. 25∗0.75 0.02054 0.25±0.02054 [
]
Pág ina 429 (23) 16. Un fabricante estima en 5% la proporción de piezas defectuosos de los 5,000
producidos. a) Para confirmar tal estimación primero se debe escoger una muestra aleatoria, ¿cuántas piezas debe tener la muestra si se quiere tener una confianza del 95% que el error de la estimación no será superior a 0.047? b) Se escoge una muestra aleatoria del tamaño calculado en a) , si en ella se encuentran 40 piezas defectuosos, mediante un intervalo de confianza del 95%, ¿se puede inferir que la estimación del fabricante es coherente con la estimación efectuada a partir de la muestra aleatoria? Solución:
Datos
≤0.047 0.050.5 . 1.96 0.0471.96∗ 0.5∗0.∗4999 ∗1 5∗5000 ∗ 1 400 400 0.05 . 1.96 0.1 0 . 1 ∗0. 9 5000400 ∗ ∗ 1 1. 9 6∗ 1 400∗4999 0.0282 0. ≤≤ 10.0718≤≤ 0.0282≤≤ 0. 1 0. 0 282 0.1282 p=0.05 N =5000
a) Considerando
Despejando b)
[ [ [ Se dice que p=0.05 no pertenece al IC
Pág ina 429 (24) 17. Se quiere estimar p con un error máximo de estimación e = 0.05, hallar el
tamaño de la muestra necesaria si la población es de tamaño N=2000. Solución:
0. 5 0. 5 0.01 . 2.58 2000 0 . 5 ∗0. 5 ∗ ∗1 0. 0 52. 5 8∗ 1 ∗1999
Datos:
Despejando n resulta
4000
Pág ina 429 (26) 18.
Se quiere estimar la diferencia entre los promedios de tiempos (en minutos) que utilizan los hombres y las mujeres para realizar un test de aptitud. Se aplica el test a 20 hombres y 25 mujeres dando las medias respectivas de 110 y 100 puntos. Suponga que las dos poblaciones son normales con varianzas respectivas iguales a 100 y 64. a) Determine un intervalo de confianza del 98% para la diferencia de las medias, b) ¿Es válida la afirmación (u1-u2= 13)?
Solución: Datos:
n1=20
n2=25
si X1 ^ X2 son normales
̅1 110 ̅2100 1100 264 ̅1 ̅2 . 2.33 1 . ∗ 1 12 2. 3 3∗ 12000 6425 6. 4 1 ̅1 ̅ 2 . ∗ ≤ ≤̅1 ̅ 2 . ∗
a)
[
-
=10
-
Reemplazando
u1-u2
-
]
10±6.41 ≤ 3.59≤ ≤16.41
u1 u2
b) u1-u2=13?
u1-u2 Si es verdadero
Pág ina 430 (28) 19. Un inversionista hace un estudio para elegir una de dos ciudades del interior
del país para abrir un centro comercial. Escoge 21 hogares de la ciudad 1 determinando: J, = $400, s, = $120 y escoge 16 hogares de la ciudad 2 calculando: x-, = $350, s2 = $60. Suponga poblaciones normales con varianzas diferentes. Mediante un intervalo de confianza del 95%, ¿se puede afirmar que son iguales los ingresos promedios de las dos ciudades? Solución:
Datos:
0.05 .; 1≠ 2 121 216 ̂̅ 11120 400 ̂̅ 2260 350 + + + + 30.8497 .;312.040 1 2 1 20 60 ∗ 1 2 2.040∗ 21 16 61.536 ̅61. ≤12≤5061. 1̅5236≤12≤ ̅1 5̅362 ≤12≤ 111.536 12 Ciudad 1
[ [50 [-11.536 Entonces si se puede afirmar que
Ciudad 2
por qué cero si pertenece al IC.
Pág ina 430 (29) 20. Para comparar los gastos promedios mensuales de los alumnos de 2
universidades particulares se escogen dos muestras aleatorias de 10 y 9 alumnos respectivamente resultando los siguientes gastos en dólares:
Muestra 1: 400, 410, 420, 380, 390, 410, 400. 405, 405. 400. Muestra 2: 390, 395, 380, 390. 400, 380, 370, 390. 380. Mediante un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de los promedios de los gastos mensuales, ¿se puede inferir que los gastos promedios son iguales? Suponga que ambas poblaciones son normales, independientes, con varianzas desconocidas supuestas iguales. Solución:
Datos:
0.05 .; 122 .;172.110 1≠ 2 110 4020 1617150 ̅1 ∑1 402010 402 ̅1 161715010∗402 ̂1 ∑ 11 101 ̂1 123.333 19 3475 1342425 ̅2 ∑ 2 34759 386.111 ̅ ∑ 2 13424259∗386. 1 11 ̂̂2 21 91 2 86.208 ̂1 21∗̂2 101∗123.1092 33391∗86.208 ̂ 11122 105.8624 universidad 1
Universidad 1
∗ ̂ ̂ 2.110∗ . . 9.975 =
̅ ̅ ̅ 1̅2 ≤12≤ 402386. 1 2 1 11 9. 9 75≤12≤ 402386. 1 11 9. 9 75 ≤12≤ 25.864
[ [ [5.914 Los gastos promedios mensuales no son iguales puesto que cero no pertenece al IC.
Pág ina 430 (31) 21.
Dos muestras aleatorias de 250 mujeres y 200 hombres indican que 75 mujeres y 80 hombres consumirían un nuevo producto unisex que acaba de salir al mercado. Utilizando un intervalo de confianza del 95%, ¿se puede aceptar que es igual la proporción de preferencias de mujeres y hombres en toda la población?, si no es así, ¿cuál es la relación? Solución:
Datos:
0.05 . 1.96 ¿12? 1250 1 0.3 Hombres
q1=0.7
Mujeres
220080 1 200 0.4 20.6 2∗2 0 . 3 ∗0. 7 0. 4 ∗0. 6 ∗ 1∗1 1. 9 6∗ 0.0886 1 2 250 200 1 2 ≤12≤ 1 2 0. 0 886≤12≤ 0. 1 0. 0 886 0.1886≤12≤ 0.0114 1≠2 1<2 [ [-0.1
Las proporciones
y además
Pág ina 431 (33) 22. Una de las maneras de medir el grado de satisfacción de los empleados de
una misma categoría en cuanto a la política salarial, es a través de las desviaciones estándar de sus salarios La fábrica A afirma ser más homogénea en la política salarial que la fábrica B. Para verificar esa afirmación, se escoge una muestra aleatoria de 10 empleados no
especializados de A, y 13 de B, obteniendo las dispersiones sA = 50, sB = 3 0 de salario mínimo, ¿cuál sería su conclusión si utiliza un intervalo del 95% para el cociente de varianzas?. Suponga distribuciones normales. Solución:
Datos:
0.05 ̂ 50 1 ̂30 ,, −,, 19 212 .;; .;1 ; −,, .;; 3.44 −,, .;; 3.87 ,, ,, . 0.2907 ̂ ∗,, ≤ ≤ ̂ ∗,, ̂ ̂ ∗0. 2 907≤ ≤ ∗3.87 0.8075≤ ≤ 10.75 Fabrica A nA=10
Fabrica B nB=13
=
[ [ [
se afirma que si.