Topik 2. Estimasi Titik
1. Statistika Inferensial
Untuk
mengetahui
karakteristik
yang
bersi rsifat fat
numerik dari suatu populasi, observasi terhadap satu atau lebih variabel acak yang terkait perlu dilakukan. Has Hasil obs observa rvasi ini kemu kemudi dian an diana ianali lissis deng dengaan menggunakan
teknik-teknik
tertentu
untuk
mengestimasi karakteristik (dalam model parametrik disebu disebutt param paramete eter) r) popula populasi si atau atau menguj mengujii hipote hipotesis sis tentang populasi. Bagian statistika yang membahas teori estimasi dan uji hipotesis dinamakan statistika inferensial (inferential (inferential statistics). statistics).
Esti Estim masi asi param arameeter ter dibe ibedak dakan men menjad jadi dua dua macam, yaitu estimasi titik dan estimasi interval. Bab ini membahas estimasi titik. Estimasi interval dan uji hipotesis akan di bahas di bab-bab yang akan datang.
2. Statistik dan Estimator
Pandang variabel-variabel acak terobservasi X 1, X 2, …, X …, X n. Sebagai contoh adalah sampel acak berukuran n dari suatu populasi (distribusi). ( distribusi).
Definisi 2.1
Sebuah
fungsi
dari variabel
acak
terobservasi
T=T ( X X 1, X 2, …, X n) yang yang tidak idak terga rgantun ntung g pad pada parameter populasi populasi dinamakan statistik. statistik. Contoh 2.1
Misalkan X Misalkan X 1, X 2, …, X …, X n merupakan sampel acak dari suatu populasi. Berikut ini dua contoh statistik: n
a. T ( X ,..., X ) = 1
∑ X
i
i =1
n
n
=: X n ,
dinamakan sampel mean.
n
b. T ( X ,..., X ) = 1
n
varians.
∑( X − X ) i
i =1
n −1
n
2
=: S 2 ,
dinamakan
sampel
Teorema 2.2
Jika X 1, X 2, …, X n, meru merupa paka kan n samp sampel el acak acak dari dari seba sebara rang ng dis distrib tribus usii deng engan mean mean µ =E =E ( X X i) dan variansi σ 2=Var ( X X i) maka a. E ( X ) = µ . . n
b. Var ( X ) =
2
σ
n
n
.
c. E (S ) = σ . 2
2
Untuk selanjutnya anggap populasi dimodelkan dengan variabel acak X acak X yang mempunyai distribusi deng dengan an fung fungsi si dens densit itas as f ( x, x,θ ) dimana θ merupakan
parameter
populasi.
∈
Param rameter
Ω
θ
mungkin berupa vektor. Misalkan τ (θ ) suatu fungsi dari parameter θ . Misalkan X 1, X 2, …, X n sampel acak dari X dari X .
Definisi 2.3
Sebuah Sebuah statisti statistik k T ( X yang digu diguna naka kan n X 1, X 2, …, X n) yang untu untuk k meng menges esti tima masi si nila nilaii dari dari τ (θ )
dina dinama maka kan n
estimator untuk τ (θ ). ).
3. Metode-metode Estimasi 3.1 Metode Momen
Prin Prinsi sip p dari dari meto metode de mome momen n adal adalah ah meny menyam amak akan an mome momen n ke k dari dari popu popula lasi si,, yakn yaknii E ( X X k ), deng dengan an n
X ∑ mome momen n ke k dari dari samp sampel el,, yakn yaknii . Estima Estimator tor k
i
i =1
n
untuk parameter θ diperoleh dengan menyelesaikan sistem persamaan n
k
E ( X )
=
∑ X
k
i
i =1
n
dan akan dinotasikan dengan Contoh 3.1
,
k = 1,2,..., j. ~
.
θ
(3.1)
Misalkan X Misalkan X 1, X 2, …, X …, X n, merupakan sampel acak dari distribusi distribusi eksponen eksponensial sial,, X ~EXP( ~EXP(θ ) deng dengan an fung fungsi si densitas 0, f ( x;θ ) = 1 − x / θ θ e ,
x ≤ 0 0 < x
Karena E Karena E ( X X )= )= θ maka, dengan menggunakan rumus n
(3.1) dengan mengambil j mengambil j=1, =1, diperoleh
~
θ
∑ X
i
=
i =1
n
= X
n
.
Contoh 3.2
Misalkan X Misalkan X 1, X 2, …, X …, X n, merupakan sampel acak dari sebarang distribusi dengan mean µ dan variansi σ 2, maka dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa n
~ = X µ n
Perhatikan bahwa
2
dan
~2 σ
~ 2 = n −1 S 2 n
σ
∑ ( X − X ) . = i
n
i =1
n
dimana S 2 adalah sampel
varians.
3.2 Metode Maksimum Likelihood
Ide dasar dari metode maksimum likelihood adalah mencari nilai parameter yang memberi kemungkinan (likelihood ) yang yang pali paling ng besa besarr untu untuk k mend mendap apat atka kan n data yang terobservasi sebagai estimator.
Definisi 3.1
Fungsi densitas bersama f ( x x1,…, x xn; θ ) dari variabelvariab variabel el acak acak X 1, X 2, …, X n
dinama dinamakan kan fungsi fungsi
likelihood.
Untuk x1,…, x xn
yang yang teta tetap p fung fungsi si like likeli liho hood od
meru merupa paka kan n fung fungsi si dari dari θ
dan dan akan akan dino dinota tasi sika kan n
dengan L dengan L((θ ), yakni L yakni L((θ )= f ( x Jika X 1, X 2, x1,…, x xn; θ ). Jika X …, X …, X n adalah sampel acak dari f dari f ( x, x,θ ) maka n
L(θ )
= ∏ f ( xi ,θ ) i =1
Definisi 3.2
Misalkan L( L(θ )= f ( x x1,…, x xn; θ ), θ ∈
Ω,
merupakan
fungsi densitas bersama dari variabel-variabel acak
Estima mato torr maks maksim imum um like likeli liho hood od X 1, X 2, …, X n. Esti ( Maximum Maximum Likelihood Estimator / MLE ) untu untuk k θ , dino dinota tasi sika kan n
deng dengan an
ˆ
adala alah
nila nilaii
θ
yang
memaksimumkan fungsi likelihood L likelihood L((θ ).
Jika
merupakan interval terbuka dan jika L jika L((θ )
Ω
terdiferensialkan dan mencapai nilai maksimum pada Ω
maka MLE
meru merupa paka kan n peny penyel eles esai aian an dari dari
ˆ
persamaan maksimum maksimum likelihood d
L(θ ) = 0 d θ
atau secara ekuivalen
ˆ
merupakan penyelesaian dari
persamaan maksimum maksimum likelihood d d θ
ln L(θ ) = 0
Pers Persam amaa aan n yang yang tera terakh khir ir umum umumny nyaa lebi lebih h muda mudah h digu digun naka akan likelihood
untu untuk k ˆ.
Contoh 3.3
menca encari ri esti estima mato torr
mak maksimu imum
Misalkan X Misalkan X 1, X 2, …, X …, X n, merupakan sampel acak dari distribusi Poisson, X Poisson, X ~POI( ~POI(θ ) dengan fungsi densitas f ( x;θ ) =
x
θ e
−θ
x!
,
x = 0,1,2,...
Fungsi likelihood n
n
L(θ )
= ∏ f ( xi ,θ ) =
∑= x
θ i
i =1
1
i
e−
nθ
n
∏ x ! i
i =1
dan fungsi log likelihood n ln L(θ ) = ∑ xi lnθ − nθ − ln ∏ xi ! . i =1 i =1 n
Persamaan maksimum likelihoodnya adalah d d θ
ln L(θ ) =
n
∑ xθ − n = 0 i
i =1
yang mempunyai penyelesaian
ˆ = x θ n
. Jadi MLE dari θ
adalah θ ˆ = X . n
Terd Terdap apat at kasu kasuss dima dimana na esti estima mato torr maks maksim imu um likeli likelihoo hood d ada ada tetapi tetapi tidak tidak dapat dapat dipero diperoleh leh dengan dengan menyelesaikan persamaan likelihood. Contoh 3.4
Misalkan X Misalkan X 1, X 2, …, X …, X n, merupakan sampel acak dari dis distrib tribu usi
eks ekspone ponens nsia iall
deng dengan an
dua dua
para parame mete ter, r,
X ~EXP(1, ~EXP(1,η ) dengan fungsi densitas f ( x;η )
0, = −( x −η ) , e
< η η ≤ x x
Fungsi likelihood L (η ) = exp − ∑ ( x − η ) =1 n
i
i
jika x jika x1:n
≥
η
dan L( L(η )= )=0 0 untu untuk k kasu kasuss sela selain inny nya. a. Disi Disini ni jela jelass bahwa MLE untuk η adalah
ˆ = X 1: n η
.
Teorema 3.3
Jika
ˆ
adalah MLE dari θ dan u(θ ) adalah fungsi
dari θ maka
ˆ) u (θ
adalah MLE dari u(θ ).
4. Kriteria Menilai Estimator.
Berikut ini beberapa kriteria yang sering digunakan untuk menilai estimator. Definisi 4.1
Sebuah Sebuah estima estimator tor T dika dikata taka kan n esti estima mato torr tak tak bias bias untuk τ (θ ) jika E (T )= )= τ (θ ) untuk semua θ ∈
Ω.
Jika tidak demikian T dikatakan T dikatakan
estimator bias untuk τ (θ ).
Contoh 4.1
Jika X 1, X 2, …, X n, meru merupa paka kan n samp sampel el acak acak dari dari seba sebara rang ng dis distrib tribus usii deng engan mean mean µ =E =E ( X X i) dan variansi σ 2=Var ( X X i) maka menurut Teorema 2.2
X n
dan S 2 masing-masing adalah estimator tak bias untuk µ
dan σ 2, kare karena na
estimator
~ 2 = n −1 S 2 n
σ
estimator ~2) E (σ
bias
E ( X n ) = µ .
2 2 E ( S ) = σ
.
Teta Tetapi pi
pada pada Conto ontoh h 3.2 3.2 meru merupa paka kan n untuk
1 1 1 = E n − S 2 = n − E ( S 2 ) = n − σ 2 . n n n
Definisi 4.2
dan
σ 2
karena
Jika T adalah T adalah estimator untuk τ (θ ), maka bias dari T didefinisikan sebagai b(T b(T )= )= E (T ))- τ (θ ) dan mean squared error (MSE) dari T didefinisikan sebagai MSE(T MSE(T )= )= E [T -τ (θ )]2.
Teorema 4.3
Jika T adalah T adalah estimator untuk τ (θ ), maka MSE(T MSE(T )=Var )=Var (T )+[b(T )+[b(T )] )]2. Definisi 4.4
Sebuah Sebuah estimato estimator r T * dika dikata taka kan n esti estima mato torr tak tak bias bias dengan variansi minimum secara uniform (uniformly ( uniformly mini minimu mum m vari varian ance ce unbi unbias ased ed esti estima mato torr / UMVU UMVUE E ) untuk τ (θ ) jika a. T * estimator tak bias untuk τ (θ ), dan
b. Untuk sebarang estimator tak bias T untuk T untuk τ (θ ), Var (T *) *) ≤ Var (T ) untuk semua θ ∈ Ω.
Dalam kasus tertentu UMVUE untuk τ (θ ) dapat ditemukan
dengan
menggunakan
batas
bawah
Cramer-Rao (Cramer-Rao (Cramer-Rao lower bound / CRLB). CRLB ).
Teorema 4.5 (CRLB )
Jika T adalah estimator tak bias untuk τ (θ ), maka Var (T ) ≥
[τ ' (θ )]2 2
∂ nE ln f ( X ,θ ) ∂θ
.
Contoh 4.2
Misalkan X Misalkan X 1, X 2, …, X …, X n, merupakan sampel acak dari sebarang distribusi eksponensial, eksponensial, X X ~EXP( ~EXP(θ ) dan τ (θ ) = θ . Karena ∂ ln f ( x,θ ) = ( x −θ ) / θ 2 ∂θ
maka dapat ditunjukkan bahwa
2
∂ ln f ( X ,θ ) =1 / θ 2 E , ∂θ
sehingga CRLB untuk τ (θ ) sama dengan θ 2/n. Jelas bahwa
X n
merupakan estimator tak bias untuk τ (θ )
= θ . Selanjutnya dapat ditunjukkan bahwa . Kesimpula Kesimpulannya nnya
X n
Var ( X n )
= θ 2 / n
merupa merupakan kan UMVU UMVUE E untuk untuk τ
(θ ). Definisi 4.6Misalkan T dan T * merupakan estimator
tak bias untuk τ (θ ). Efisisensi relatif dari T terhadap T terhadap T * didefinisikan sebagai re (T , T *) =
Var (T *) Var (T )
.
T * dikatakan efisien jika re( re(T,T *) *)
≤
1 untuk semua
estimator tak bias T untuk τ (θ ) dan semua θ ∈
Ω.
Jika T * adalah estimator efisien untuk τ (θ ) maka efisiensi dari estimator tak bias T untuk untuk τ (θ ) didefinisikan sebagai e(T )= )= re( re(T,T *). *). 5. Sifat-sifat untuk Ukuran Sampel Besar
Definisi 5.1
Bari Barisa san n esti estima mato torr {T n} untuk τ (θ ) dika dikata taka kan n konsisten (simpel konsisten) jika untuk setiap ε > 0 lim n →∞ P (| T n −τ (θ ) |< ε ) = 1
untuk setiap θ ∈ Ω. Definisi 5.2
Barisan estimator {T {T n} untuk τ (θ ) dikatakan MSE konsisten jika 2 lim n →∞ E [T n −τ (θ )] = 0
untuk setiap θ ∈ Ω.
Definisi 5.3
Barisan estimator {T { T n} untuk τ (θ ) dikatakan tak bias asimtotik jika lim n →∞ E (T n ) = τ (θ )
untuk setiap θ ∈ Ω. Teorema 5.4
Barisa Barisan n estim estimato atorr {T n} untu untuk k τ (θ ) ada adalah lah MSE kons konsis iste ten n jika jika dan hanya nya jika jika baris risan estima timato tor r tersebut tak bias asimtotik dan
lim n →∞ Var (T n ) = 0
.
Teorema 5.5
Jika barisan estimator {T { T n} untuk τ (θ ) adalah MSE kons konsis iste ten n mak maka baris risan esti estima mato torr ters terseb ebu ut juga juga simpel konsisten. Teorema 5.6
Jika barisan estimator {T { T n} untuk τ (θ ) adalah simpel konsisten dan jika g (t ) adalah fungsi yang kontinu pada setiap nilai dari τ (θ ) maka g (T n) simp simpel el konsisten untuk g g (τ (θ )). )). Definisi 5.7
Misalkan {T {T n} dan {T {T n*} merupakan estimator tak bias asimtotik untuk τ (θ ). Efisisensi relatif asimtotik dari T n terhadap T n* didefinisikan sebagai are(T n , T n *)
= lim n →∞
Var (T n *) Var (T n )
.
Barisan {T {T n*} dikatakan efisien secara asimtotik jika are( are(T n ,T ,T n*)
≤
1 untuk semua barisan estimator tak
bias asimtotik {T n} untuk τ (θ ) dan semua θ ∈ Jika {T {T n*}
Ω.
adala adalah h barisa barisan n estima estimator tor efisi efisien en seca secara ra
asimtotik untuk τ (θ ) maka efisiensi asimtotik dari barisan estimator tak bias asimtotik {T { T n} untuk untuk τ (θ ) didefinisikan sebagai
ae( ae(T n)= are( are(T n ,T ,T n*).
Di bawa awah kond kondis isii tert terten entu tu,, yang ang dina dinama mak kan kondisi reguler, estimator maksimum likelihood
ˆ
θ n
mempunyai sifat: a.
θ
ˆ
ada dan tunggal.
b.
θ
ˆ
estimator konsisten untuk θ .
c.
θ
n
n
ˆ
n
mempun mempunya yaii limit limit distri distribus busii normal normal dengan dengan 1
mean θ dan variansi d.
ˆ
θ n
2
∂ nE ln f ( X ,θ ) ∂θ
efisien secara asimtotik.
.
6. Estimator Bayes dan Minimax Definisi 6.1
Jika T adalah estimator untuk τ (θ ) maka sebarang fung fungsi si bern bernil ilai ai real real dina dinama maka kan n loss loss functi function on jika memenuhi L( L(t;θ ) ≥ 0 untuk setiap t dan L( L(t;θ ) =0 jika t=τ (θ ).
Definisi 6.2
Risk
function didefinisikan sebagai harga harapan
dari loss, yakni RT (θ ) = E [ L( L(T;θ )]. )].
Definisi 6.3
Sebuah estimator T 1 dikatakan better estimator dari estimator T estimator T 2 jika dan hanya jika RT 1 (θ )
≤ RT (θ ) 2
untuk semua θ ∈ Ω
dan RT 1 (θ )
< RT (θ ) 2
untuk paling sedikit satu nilai θ .
Sebuah estimator T dikatakan admissible jika tidak ada lagi better estimator.
Definisi 6.4
Sebuah estimator T estimator T 1 disebut estimator minimax jika
max R{ T (θ ) :θ ∈ Ω } ≤ max{RT (θ ) :θ ∈ Ω } 1
untuk semua estimator T estimator T ..
Definisi 6.5
Untuk sampel acak dari f dari f ( x, x,θ ), Bayes ), Bayes risk dari risk dari sebuah estimator T relatif terhadap risk function RT (θ ) dan fungsi fungsi densitas densitas p( p(θ ) adal adalah ah rata rata-r -rat ataa risk risk terh terhad adap ap p( p(θ ), ), yakni AT
= E θ [ RT (θ )] = ∫ RT (θ ) p (θ ) d θ Ω
.
Definisi 6.6
Untuk sampel acak dari f ( x, x,θ ), ), Bayes estimator T* rela relati tiff terh terhad adap ap risk risk func functi tion on RT (θ )
dan fungsi
densitas p( p(θ ) adal adalah ah esti estima mato torr deng dengan an mini minimu mum m ekspektasi risk, yakni E θ [ RT * (θ )] ≤ E θ [ RT (θ )]
untuk setiap estimator estimator T T .
Definisi 6.7
Fung Fungsi si dens densit itas as bers bersya yara ratt dari dari θ bila bila dibe diberik rikan an observasi sampel x=( x=( x x1, …, xn) dinamakan posterior density dan diberikan oleh f θ | x (θ ) =
f ( x1 ,..., xn | θ ) p (θ )
∫ f ( x ,..., x 1
Teorema 6.8
n
| θ ) p (θ ) d θ
.
Jika X 1, …, X n adalah sampel acak dari f ( x| x|θ ) maka Bayes
estimator
adalah
estimator
yang
meminimumkan harga harapan loss relatif terhadap distribusi posterior dari θ x, |x, yakni E θ | x [ L (T ;θ )]
.
7. Kecukupan estimator 7.1 Statistik cukup
Definisi 1.1
Misalkan X=( X=( X X 1, X 2, …, X n) mempu mempunya nyaii densi densitas tas bersama f ( x, x,θ ), dimana θ
meru merupa paka kan n vekt vektor or
parameter. Statistik S=( S=(S 1, S 2, …, S k k ) merupa merupaka kan n stat statis isti tik k cuku cukup p gabu gabung ngan an untu untuk k
θ jika untuk
seba sebara rang ng vekt vektor or stat statis isti tik k T yang yang lain lain,, dist distri ribu busi si bersyarat dari T diberikan S=s, dinotasikan an dengan dengan S=s, dinotasik
f T|s ), tidak tergantung θ . Dalam kasus dimensi satu S T|s(t ), dinamakan statistik cukup untuk θ . Definisi 1.2
Suatu himpunan statistik dikatakan sebagai himpunan stat statis isti tik k cuku cukup p mini minima mall jika jika angg anggot otaa-an angg ggot otan anya ya adalah statistik cukup gabungan untuk parameter dan jika statistik-statistik statistik-statistik tersebut merupakan fungsi dari himpunan statistik cukup gabungan yang lain.
Defi Defini nisi si 1.1 1.1 tida tidak k bers bersif ifat at oper operas asio iona nall untu untuk k menyelidiki bahwa suatu statistik merupakan statistik cukup. Karena sebarang statistik merupakan fungsi dar dari sam sampel pel X=( X=( X X 1, X 2, …, X n) maka untuk menyelidiki statistik cukup, cukup ditunjukan bahwa f X|s( x), x), tidak tergantung θ .
Contoh 2.1
Misalkan X Misalkan X 1, X 2, …, X …, X n merupakan sampel acak dari distribusi eksponensial eksponensial X X ~EXP( ~EXP(θ ). ). Disini n ∑ X i 1 f ( x1 ,..., xn ;θ ) = n exp− i =1 θ θ
Akan Akan ditu ditunj njuk ukka kan n bahw bahwaa
S =
,
xi
>0 .
n
∑ X adala adalah h stati statist stik ik i
i =1
cuku cukup p untu untuk k θ . Karena S berdis berdistri tribus busii gamma, gamma, S ~GAM( ~GAM(θ ,n),
dengan fungsi densitas f S ( s;θ ) =
1 θ Γ ( n ) n
s n −1e −s / θ , s > 0
maka f X | s ( s ) =
Γ ( n) s n −1
tidak tergantung pada θ . Jadi S merupakan statistik cukup untuk θ .
Untuk Untuk menemu menemukan kan suatu suatu statis statistik tik cukup cukup dapat dapat digunakan teorema berikut.
Teorema 1.3
Jika X 1, X 2, …, X n, memp mempun unya yaii dens densit itas as bers bersam amaa f ( x, x,θ ) maka S=( S=(S 1, S 2, …, S k k) merup merupaka akan n statis statistik tik cukup gabungan untuk θ jika dan hanya jika jika f ( x1 ,..., xn ;θ )
= g ( s;θ ) h( x1 ,..., xn )
dimana g dimana g ( s, s,θ ) tidak tergantung pada x pada x1, …, x …, xn, kecuali melalui s melalui s,, dan h( x x1, …, x …, xn ) tidak tergantung θ . Contoh 2.1
Misalkan X Misalkan X 1, X 2, …, X …, X n merupakan sampel acak dari distribusi Bernoulli, X Bernoulli, X ~BIN(1, ~BIN(1,θ ). ). Disini n
x ∑ =
f ( x1 ,..., xn ;θ ) = θ i
1
i
(1 −θ )
n
x ∑ =
n−
i
i 1
. = θ s (1 − θ ) n − s = g ( s;θ ) h( x1 ,..., xn )
n
dimana
s
= ∑ xi i =1
dan h( x x1, …, xn )= )=1. 1. Jadi Jadi
merupakan statistik cukup untuk θ .
7.2 Sifat-sifat Statistik Cukup Teorema 2.1
S =
n
∑ X
i
i =1
Jika S 1, …, S k k adalah statistik cukup gabungan untuk θ dan jika
maka
ˆ
ˆ
adalah satu-satunya MLE untuk θ ,
merupakan fungsi dari S 1, …, S k k.
Teorema 2.2
Jika S adalah statistik cukup untuk θ maka sebarang Bayes estimator merupakan fungsi dari S .
Teorema 2.3
Jika X 1, X 2, …, X n meru merupa paka kan n samp sampel el acak acak dari dari sebara sebarang ng distri distribus busii kontin kontinu u denga dengan n fungs fungsii densit densitas as bersama f ( x, x,θ ) maka order statist istik membentuk tuk statistik cukup gabungan untuk θ .
Teorema 2.4 (Rao-Blackwell)
Misalkan X 1, X 2, …, X n mempunyai fungsi densitas bersama f ( x, x,θ ) dan S=( S=(S 1, S 2, …, S k k) merup merupaka akan n statis statistik tik cukup cukup gabung gabungan an untuk untuk θ . Jika T adalah
sebarang estimator tak bias untuk τ (θ ) dan T *= *= E (T| S ) maka c. T * adalah estimator tak bias untuk τ (θ ), d. T * adalah fungsi dari S , dan e. Var (T *) *)
≤
Var (T ) untuk setiap θ dan Var (T *) *) <
Var (T ) untuk suatu θ jika jika tidak tidak benar benar bahwa bahwa T *=T *=T dengan dengan probabilitas 1.
Dalam kasus tertentu UMVUE untuk τ (θ ) dapat ditemukan
dengan
menggunakan
batas
bawah
Cramer-Rao (Cramer-Rao (Cramer-Rao lower bound / CRLB). CRLB ).
8. Kelengkapan dan Kelas Eksponensial Definisi 8.1
Keluarga fungsi densitas { f T T( t ,θ ); θ ∈Ω} dikatakan leng lengk kap
jik jika E [u(T )]=0
untuk
semua
θ
∈Ω
mengakibatkan u(T )=0 )=0 dengan probabilitas 1 untuk semua θ ∈Ω.
Sebu Sebuah ah stat statis isti tik k cuku cukup p dari dari angg anggot otaa kelu keluar arga ga yang lengkap dinamakan statistik cukup lengkap. Teorema 8.2 (Lehmann-Scheffe)
Misalkan X 1, X 2, …, X n mempunyai fungsi densitas bersama f ( x, x,θ ) dan S=( S=(S 1, S 2, …,S …,S k k) satatistik cukup gabungan untuk θ . Jika T *=T *=T *(S *(S 1, S 2, …,S …,S k k) adalah statistik yang tak bias untuk τ (θ ) dan merupakan fungsi dari S , maka T * adalah UMVUE untuk τ (θ ).
Definisi 8.3
Sebu Sebuah ah fung fungsi si dens densit itas as dika dikata taka kan n term termas asuk uk dala dalam m angg anggot otaa kelu keluar arga ga eksp ekspon onen ensi sial al regu regule lerr jika jika fung fungsi si densitas tersebut dapat dituliskan dalam bentuk k θ f ( x;θ ) = c(θ )h( x) exp q ( ) t ( x ) j j ∑ , = j 1
x ∈ A
dan f dan f ( x, x,θ )=0 )=0 untuk nilai x nilai x yang lain, dimana θ adalah vektor parameter berdimensi k , jika ruang parameter Ω
berbentuk Ω={θ :
ai ≤ θ i
≤
bi, i=1,…,k}
dan jika f jika f ( x, x,θ ) memenuhi kondisi reguler 1, 2, dan 3a atau 3b, yaitu 1. Himpun Himpunan an A= A={x: {x: f f ( x, x,θ ) >0} tidak tergantung θ . 2. Fung Fungsi si q j(θ ) tid tidak triv trivia ial, l, ind independ pendeen, dan dan kontinu. 3a. 3a. Untu Untuk k vari variab abel el acak acak kont kontin inu u fung fungsi si turu turuna nan n t j’( x) x) linear independen dan kontinu. 3b. Untuk variabel acak diskret fungsi t j( x) x) tidak trivia triviall pada pada A dan dan tak tak satu satupu pun n yang yang meru merupa paka kan n fungsi linear dari yang lain. Teorema 8.4
Jika X 1, X 2, …, X n meru merupa paka kan n samp sampel el acak acak dari dari anggota kelas eksponensial reguler maka satatistikstatistik
S 1
n
n
i =1
i =1
= ∑t 1 ( X i ),..., S k = ∑t k ( X i )
adalah lah himpunan minimal dari statistik cukup lengkap untuk θ 1 ,…, ,…,θ k k. semoga bermanfaat….
