ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO-VOL.-1-CHUST

ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO, VOLUME 1 ROBERTO CHUST CARVALHO CAPÍTULO 1- CONCEITUAÇÃO E TIPOS DE PROTENSÃO --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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CAPÍTULO 1- CONCEITUAÇÃO E TIPOS DE PROTENSÃO 1.1-INTRODUÇÃO As estruturas de concreto armado e de concreto protendido hoje em dia já são consideradas como sendo do mesmo tipo, ou seja, são normalizadas por um mesmo documento (uma mesma norma) que usa especificações diferentes quando for o caso. Assim, a NBR 6118:2003 homologada no início de 2004 (Abril) já trata do “Projeto de estruturas de concreto” englobando o concreto simples (sem armadura), o armado (apenas com armadura passiva) e o protendido (em que pelo menos parte da armadura é ativa). Para se confeccionar uma peça tanto de um (concreto armado) quanto do outro (concreto protendido) os materiais utilizados são os mesmos: cimento, agregados graúdos e miúdos, água e aço conveniente disposto. A principal diferença entre ambos está no tipo de aço empregado assim como no procedimento construtivo. Nos elementos fletidos de concreto armado a armadura longitudinal, composta geralmente de barras de aço, são simplesmente colocadas na estrutura e só passam a trabalhar quando o concreto começa a se deformar. Assim é preciso retirar o escoramento da estrutura de concreto armado para que, iniciada a deformação das fibras de concreto, a armadura, que tem aderência ao concreto, comece a se deformar e passe então a resistir aos esforços. Diz-se então que esta armadura é do tipo passiva, ou seja, só funciona depois de solicitada pela deformação advinda do concreto. Em elementos fletidos de concreto protendido, como será visto no próximo item, mesmo que não haja a retirada do escoramento, a armadura longitudinal principal, constituída por aço de protensão, é distendida por elementos (macacos de protensão) externos à estrutura entra em ação independente da movimentação do concreto. Assim a armadura de protensão é chamada de “ativa”. Ainda que haja diferença no tipo de armadura empregada em um caso e outro as peças de concreto armado e protendido funcionam de mesma forma sendo, portanto errôneo imaginar que é necessário estabelecer regras de projeto e execução (Norma Técnicas) diferentes para os dois tipos de elementos. O protendido pode ser considerado como um “concreto armado” em que parte ou quase a totalidade de armadura é ativa. Esta posição já existe no CEB [1970] quando os dois tipos de estruturas já eram tratados por uma única Norma . Esta idéia foi defendida ROCHA [1964] quando cita no prefácio de sua obra “ O fato de o concreto protendido ter sido introduzido no nosso curso de concreto armado é motivado pelo conceito atual que define o concreto protendido como um caso particular de um sistema construtivo mais geral denominado de concreto armado protendido”. Finalmente este conceito foi também aceito pelo meio técnico Brasileiro e como já foi escrito anteriormente na nova versão da norma de concreto (que substitui a NB1 de 1982) estão presentes o concreto armado e o protendido (além do concreto simples). Alguns autores vão além destas assertivas e consideram as estruturas de concreto protendido não apenas como um processo construtivo, mas sim um sistema estrutural, pois introduz ações na estrutura modificando-as no seu comportamento. De qualquer maneira as estruturas de concreto protendido são consideradas como um avanço ou uma extensão das de concreto armado pois com elas podem-se usar tanto aços de maiores resistências assim como concreto de alto desempenho (CAD),. De acordo com a antiga norma de protendido a NBR 7197 (1978) uma peça é de concreto protendido quando submetida a um sistema de forças especialmente e permanentemente aplicadas, chamadas de forças de protensão, e tais que, em condições de utilização quando agirem simultaneamente com as demais ações de utilização impeçam, ou


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limitem, a fissuração do concreto. Normalmente só se considera o caso em que as forças de protensão são produzidas por armadura. Na nova redação da norma NBR6118:2004 em seu item 3.1.4 – Considera-se que os elementos de Concreto Protendido: “São aqueles nos quais parte das armaduras são previamente alongadas por equipamentos especiais de protensão com a finalidade de, em condições de serviço, impedir ou limitar a fissuração e os deslocamentos da estrutura e propiciar o melhor aproveitamento de aços de alta resistência no ELU (estado limite de último)”. Este é o princípio do concreto protendido: diminuir a fissuração do concreto através da introdução de tensões normais de compressão em regiões onde devido a outras ações existam tensões de tração. Como é sabido o concreto possui uma resistência à tração bem menor que à compressão (cerca de dez vezes menos), assim sua eficiência em peças fletidas é muito pequena, pois na região em que há tensão de tração devido à flexão, normalmente, sua função é desprezada ou pouco significativa. Desta forma quando se projeta uma peça em concreto protendido procura-se faze-lo de maneira que em todas regiões e nas diversas combinações de ação as tensões sejam somente de compressão ou de pequenos valores de tração. Pode-se imaginar, de uma maneira simplista e plagiando a oração de São Francisco que o projetista quando detalhe estruturas submetidas à flexão deve levar em conta para o concreto armado: Onde houver tração que eu leve armadura; e no caso do protendido Onde houver tração que eu leve a compressão. . Historicamente a idéia de protensão surgiu praticamente simultaneamente a do concreto armado como pode ser visto em AGOSTINI [1983]. Existiram patentes de 1886 e 1888 requeridas por Jackson (Califórnia -USA) e Dohering (Alemanha) e cita-se ainda a experiência de Koenem (Berlim-Alemanha) que em 1906 aplicou a protensão para reduzir a fissuração de elementos de piso em argamassa. Porém as primeiras tentativas esbarraram sempre na impossibilidade de se garantir tensões de compressão permanentes no concreto. Os efeitos da retração e da deformação lenta do concreto acabavam por anular o efeito do estiramento prévio da armadura. Somente após os estudos e ensaios feitos por Eugene Freyssinet, a partir de 1928, é que foi possível entender que seria necessário o uso de aços que permitiriam grandes deformações de estiramento, de sorte que mesmo que perdessem parte do estiramento, ao longo do tempo, ainda assim transfeririam esforços de compressão ao concreto. As grandes deformações do aço podem ser obtidas sem comprometer a aderência com concreto usando dispositivos (bainhas por exemplo) que evitam o contato entre ambos, aço de protensão e concreto, durante a distensão do primeiro e permitindo o limite de deformação de 0,1% seja mantido após consolidada a aderência entre os mesmos. 1.2-TIPOS DE CONCRETO PROTENDIDO QUANTO À ADERENCIA E EXECUÇÃO Uma primeira classificação de elementos protendidos pode ser obtida considerando o mecanismo de aderência entre a armadura de protensão (chamada de armadura ativa) e o concreto. Desta forma tem-se os seguintes tipos de concreto protendido: • Com aderência inicial (também chamado de pré-tração)- a aderência entre a armadura e o concreto é iniciada quando do lançamento do mesmo • Com aderência posterior (também chamado de pós-tração)- a aderência entre a armadura e o concreto é iniciada posteriormente a execução da protensão quando o concreto já está endurecido • Sem aderência (também chamado de pós-tração)– neste caso a armadura só estará solidária ao concreto junto às armaduras


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Para que fique mais fácil o entendimento descreve-se o procedimento de execução de vigas com cada um dos sistemas. 1.2.a- Viga executada com concreto protendido com aderência inicial Este tipo de protensão é usado, normalmente, para peças pré-moldadas. Para fabricar a viga indicada na figura 1.1, usa-se uma pista de protensão com um berço (que nada mais é do que uma forma de fundo de grande extensão) apoios rígidos e macaco de protensão.

Figura 1.1 – Perspectiva esquemática de viga calha fabricada com protensão com aderência inicial Na figura 1.2 estão mostrados os principais elementos de uma pista de protensão. A seqüência de operações neste caso é a seguinte: a)inicialmente posicionam-se os fios de protensão ancorados (extremidade afixada) em um dos apoios rígidos, por exemplo, o do lado esquerdo; b) através de um macaco que reage contra o apoio a direita estira-se a armadura de protensão que pode ser composta de fios ou cordoalhas. Após alcançar o estiramento necessário as extremidades são ancoradas no apoio da direita.

Figura 1.2 Pista de protensão -Execução de viga calha protendida com aderência inicial c) o carro indicado na figura 1.3 lança o concreto, vibra-o e dá o acabamento da superfície superior. A partir deste instante o concreto entre em contato com a armadura


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iniciando o processo de aderência. Daí o nome de aderência inicial ou pré-tensão, pois a armadura já estava tensionada quando do lançamento do concreto. d) depois de transcorrido o tempo suficiente para que o concreto curado e já tenha resistência adequada promove-se à retirada da ancoragem de um dos apoios. A armadura tenta retornar ao comprimento que tinha antes da distensão provocando compressão no concreto em virtude de estar aderente ao mesmo.

Figura 1.3 Etapas da execução da viga calha e detalhe da ancoragem da armadura Na figura 1.3 além das etapas pode ser visto também o detalhe da ancoragem da armadura que é feita com o auxilio, por exemplo, de um cone composto por três elementos (ver figura 1.3-e) e que permite a passagem da armadura no centro do mesmo. O cone ao ser introduzido no orifício do apoio (também tronco cônico) vai se fechando em torno da armadura provocando a ancoragem da mesma no apoio. Percebe-se que a pista de protensão poderá ter a extensão que se desejar sendo possível até a execução de diversas peças do mesmo tipo simultaneamente, bastando para isso colocar forma intermediarias como é mostrado na figura 1.4, ou simplesmente, como no caso de lajes alveolares, corta-se um elemento através de serra especial. Desta maneira o comprimento de armadura “perdido” é pequeno, pois para um grande comprimento de peça apenas o trecho s (ver a figura 1.4) entre as seções extremas da primeira e última peça até os apoios indeslocaveis é que acabam sendo não aproveitados após a retirada da ancoragem. Também neste tipo de protensão não é necessário o uso de elementos de ancoragens (cones, placa de ancoragem e outros mais) nos elementos de concreto propriamente ditos.


s

forma intermediária

peça 1

5

peça 2

peça 3

Figura 1. 4 – Execução simultânea de diversas peças no mesmo berço Na figura 1.5 mostra-se também como seria o esforço de protensão devido a duas armaduras situadas em um mesmo nível, distante “e” do centro de gravidade da seção transversal nas situações a1 e b1. Executando a protensão da maneira descrita anteriormente tem-se um momento de protensão uniforme igual a Mp=2.F.e ao longo do elemento (Figura 1.5 a2). Imaginando o elemento trabalhando bi apoiado e submetido a uma ação uniforme o diagrama de momento fletor das ações atuantes nele varia com a equação de uma parábola do segundo grau indicado por M0 (Figura 1.5 a3). Assim o diagrama resultante de momento (Mp+o) está indicado em 1.5 a3, apresentando um momento grande intensidade próximo dos apoios (Mae). Para evitar isto são colocados tubos de plástico (fazendo o papel de bainhas) antes da concretagem em um pequeno trecho (no caso s da figura 1.5) em umas armaduras, junto ao apoio, fazendo com que o momento de protensão fique com o aspecto apresentado em 1.5 b2, e o diagrama final apresente valores máximos de mesma ordem de grandeza tanto no meio do vão quanto no apoio (Mbe). De qualquer modo pode-se notar que neste tipo de protensão não é fácil obter um diagrama de momentos (de protensão) com a variação parabólica, pois, em princípio, o valor de “e” não pode variar. A consideração de trechos com armadura não aderente, mostrada no texto anterior, retira uma das principais vantagens do processo que é a pequena perda de comprimento de armadura a ser empregada. a) peça 1

corte AA Ap

A 2F

2F

e

b) peça 2

trecho s F

F

e

trecho s F

F

A

a1) diagrama de M p

a2) diagrama de M

a3) diagrama de M

b1) diagrama de M

b2) diagrama de M

o

b3) diagrama de M

p+o M ae

o

p+o

M be

Figura 1 5 – Peças com aderência inicial com aderência em todo comprimento (peça 1) e com trechos (s para uma armadura) sem aderência (peça 2)


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1.2.b- Viga executada com concreto protendido com aderência posterior As vigas construídas com aderência posterior, seguem normalmente a seguinte ordem de execução mostrada na figura 1.6: • Etapa 1 - montagem do escoramento, das formas e da colocação das armaduras passivas (armaduras normais feitas com barras de aço comum) e bainhas estanques (não permitem a penetração do concreto dentro delas) com cabos em seu interior (no detalhe 1 podem ser vistos a bainha, os cabos que são compostos, neste caso de cordoalhas de 7 fios de aço de protensão). A bainhas, em geral, tem seção circular e são corrugadas para prevenir seu amassamento nas fases de execução e possibilitar uma melhor aderência nata de cimento e bainha. Em alguns casos os cabos (conjunto de cordoalhas dentro de uma bainha) poderão ser enfiados posteriormente embora o usual seja a colocação das bainhas já com os cabos dentro delas. • Etapa 2- O concreto é lançado, porém sem entrar em contato com a armadura de protensão pois a bainha o impede (não há aderência entre a armadura de protensão e o concreto no momento do lançamento do concreto, daí o nome de aderência posterior ...à concretagem). • Etapa 3- Após o endurecimento do concreto e alcançada resistência mínima, para tanto, é efetivada a protensão, normalmente através de macacos hidráulicos que se apóiam nas faces da viga e distendem a armadura de protensão. Assim, o concreto é comprimido pelo apoio dos macacos e simultaneamente o aço de protensão é distendido. Normalmente (dependendo de como a peça foi projetada) após a protensão do último cabo a viga não estará mais em contato com o escoramento pois ela (protensão) cria um efeito de flexão com curvatura contrária à que existe devido à ação de peso próprio. Por este motivo é interessante, controlar no ponto de maior deformação da viga (neste caso no meio do vão) se há a separação da face inferior da viga da forma (retirando as formas laterais para verificar este fato). Após a protensão de um cabo ele pode ser ancorado, com procedimento similar ao discutido no caso anterior, considerando apenas um conjunto de peças, geralmente, de maiores dimensões como a mostrada no detalhe e explicadas na figura 1.7 e detalhas no capítulo 9. • Etapa 4 – Injeção de pasta de cimento nas bainhas. A bainha é projetada para alojar os cabos com uma certa folga de maneira que, durante a protensão, seja permitido seu deslocamento, após a protensão e ancoragem dos cabos torna-se interessante o preenchimento com nata de cimento este vazio para estabelecer a aderência entre armadura e concreto (no caso cordoalhas-bainha que por sua vez já estão aderentes ao concreto). Este operação melhora também a proteção da armadura quanto à corrosão. Se não se efetuar a injeção de nata de cimento temse uma viga de concreto protendido sem aderência. São deixados orifícios junto aos elementos que compõem a ancoragem nas extremidades dos cabos, de maneira que se pode injetar, sobre pressão a nata de cimento por uma extremidade e quando a mesma purgar pela outra extremidade se assegurar que os espaços vazios entre cordoalhas e interior da bainha estão devidamente preenchidos. É importante destacar que mesmo que haja uma grande retração da nata de cimento o corrugamento das bainhas permite a transmissão de ações entre o concreto e face da bainha ondulada. para se aprofundar neste assunto recomenda-se a leitura de LEOHNARDT [1983] no seu capítulo 5. Nesta obra mostra-se também que a aderência da nata de cimento com a armadura depende


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fundamentalmente do formato em hélice das cordoalhas (conjunto de fios) pois existe neste caso um efeito “saca-rolhas” que faz com que haja uma maior superfície de contato além de um engrenamento mecânico. Neste obra (Leonhardt) são citados inclusive valores experimentais. ETAPA 1 - MONTAGEM DAS FORMAS E ARMAÇÃO

ETAPA 2 - CONCRETAGEM

Cabo C1

Cabo Bainha detalhe 1

C1 C2

C2

ETAPA 3 - PROTENSÃO E ANCORAGEM

Macaco

ETAPA 4 - INJEÇÃO DE NATA DE CIMENTO

Tubo para injetar nata na bainha C1

C1

Detalhe 2

detalhe 1 Bainha

C2

C2

Bomba Bainha

ETAPA 5- ACABAMENTO EXTREMIDADES DOS CABOS

Nicho

Cabo

C1 C2

Detalhe 1

cordoalha de 7 fios

Detalhe 2

Figura 1 .6- Etapas de protensão de uma viga executada com concreto protendido com aderência posterior • •

Etapa 5 – Corte das extremidades dos cabos e preenchimento dos nichos usados para a protensão. Etapa 7 – Retirado do escoramento.

1.2.c- Viga executada com concreto protendido sem aderência As primeiras obras em concreto protendido no Brasil foram executadas com protensão não aderente. A ponte do Galeão – Rio de Janeiro, segundo CAUDURO [1996], maior obra em extensão na época em concreto protendido e a primeira aplicação do processo FREYSSINET*∗, projetada pelo próprio em 1949, utiliza-se de cabos com 12 fios lisos de φ= 5 mm, pintados com tinta betuminosa e envolvidos por duas ou três camadas de papel resistente (Kraft). A tinta betuminosa além de impedir o contato do concreto protegia a armadura de corrosão e permita que após o endurecimento do concreto o cabo pudesse ser ∗

Eugene Freyssinet –engenheiro Francês que em 1928 mostrou que era necessário o uso de aços de grande resistência para promover a protensão sendo considerado porisso o pai da protensão.


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tensionado. Apenas em 1956 iniciou-se a enrolar os cabos com fitas plásticas usando ainda o betume para pintura dos cabos e, finalmente em 1958, começaram a serem fabricadas bainhas metálicas de chapa metálica de 0,3 mm, similares às usadas hoje em dia, costuradas em hélices. Há também a possibilidade de se executar a protensão sem promover aderência entre a armadura usando bainhas convencionais. Basta neste caso não se fazer a injeção de nata de cimento. Porém, esta maneira não se tem nenhuma vantagem a não ser evitar uma de etapa de execução e haveria uma grande possibilidade de corrosão da armadura ativa, pois o aço solicitado sob tensão de grande intensidade pode sofrer uma corrosão muito rápida. O mais comum é usar cabos, na verdade uma cordoalha envolta em graxa e encapada com capa plástica protetora como pode ser visto na figura 7. Desta forma a capa faz a função da bainha isolando o concreto do cabo e a graxa além de preencher os vazios entre cabo e capa plástica ajuda na fase de protensão permitindo o seu estiramento ao diminuir bastante o atrito na superfície do cabo. Segundo CAUDURO [1996] o coeficiente de atrito reduz-se de 0,24 para cordoalha-bainha metálica para 0,07 para cordoalha engraxada. Cabos

A

ancoragem

C2

C2 A

graxa para proteção

CORTE AA

Cabos

capa plástica

cordoalha

Figura 1 7 viga em concreto protendido com cabos com cordoalhas engraxadas A cordoalha engraxada, disponibilizada no mercado há pouco tempo pela mesma fabricante do aço de protensão, permite simplificar a execução de peças protendidas, porém o funcionamento em serviço das peças com aderência é melhor e há um pequeno aumento de resistência, no estado limite último, quando se usa peças com aderência. Também há de se notar que se por ventura houver a ruptura da ancoragem ou o corte da armadura ativa a protensão da cordoalha engraxada o efeito de protensão do cabo desaparece por completo. 1.2.d- Viga executada com protensão exterior e sem aderência Quando se executas pontes ou reforços de estruturas pode ser vantajoso usar a protensão a partir de cabos externos que não terão desta forma aderência perfeita com o concreto ao longo dos seus comprimentos como mostra a figura 1.8


Cabos

A

Transversina C2

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corte AA

Cabos

"Desviador" C2

A

Figura 1.8 viga em concreto protendido com cabos externos não aderentes 1.2.d- Definições da Norna Brasileira para os diversos tipos de protensão Os diversos tipos de protensão quanto a aderência são definido pela NBR 6118 nos itens 3.1.7 a 3.1.9 da seguinte forma: • Concreto com armadura ativa pré-tracionada (protensão com aderência inicial): Concreto protendidole em que o pré-alongamento da armadura ativa é feito utilizando-se apoios independentes do elemento estrutural, antes do lançamento do concreto, sendo a ligação da armadura de protensão com os referidos apoios desfeita após o endurecimento do concreto; a ancoragem no concreto realiza-se só por aderência. • Concreto com armadura ativa pós-tracionada (protensão com aderência posterior):Concreto protendido em que o pré alongamento da armadura (ativa de protensão) é realizado após o endurecimento do concreto, utilizando-se, como apoios, partes do próprio elemento estrutural, criando-se posteriormente aderência com o concreto de modo permanente, através da injeção das bainhas. • Concreto com armadura ativa pós-tracionada sem aderência (protensão sem aderência) Concreto protendido oem que o pré alongamento da armadura ativa é realizado após o endurecimento do concreto, sendo utilizado como apoios, partes do próprio elemento estrutural, mas não sendo criada aderência com o concreto, ficando a armadura ligada ao concreto apenas em pontos localizados. Fazendo um resumo dos tipos de protensão em relação a aderência e a operação de protensão com a concretagem constrói-se o quadro 1.1. QUADRO 1.1 – PRINCIPAIS TIPOS DE PROTENSÃO QUANTO A ADERENCIA EM RELAÇÃO A CONCRETAGEM E CARACTERÍSTICAS Quanto à aderência Quanto à concretagem Característica Aderência inicial pré-tração (antes) Cabos retos – pré-fabricação Aderência posterior

pós-tração (após)

Sem aderência

pós-tração (após)

Cabos curvos – moldada no local préfabricação Cabos curvos – moldada no local e unidades individuais


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1.3 - TIPOS DE CONCRETO PROTENDIDO QUANTO A INTENSIDADE DE PROTENSÃO Segundo a NBR 6118:2004 os tipos de protensão quanto a sua intensidade relacionam-se com a durabilidade das peças e a maneira de se evitar a corrosão da armadura e portanto estão ligados os estados limites de serviço referentes à fissuração. No caso de armadura ativa o risco de corrosão é maior que as armaduras passivas devido a intensidade de tensão atuante na primeira, assim os cuidados a serem tomados quanto a fissuração em peças de concreto protendido são maiores que em peças de concreto armado. Os tipos de protensão definidos são: protensão completa, protensão limitada e protensão parcial. A escolha do tipo de protensão a ser empregada em um projeto é feita em função do tipo de construção ou da agressividade do meio ambiente, conforme pode ser visto no capítulo 7. De uma maneira geral para elementos com aderência posterior recomenda-se para ambientes com fraca e moderada agressividade o uso de protensão parcial e para ambientes com agressividade forte e muito forte recomenda-se a protensão limitada. Para a protensão com aderência inicial para ambiente com fraca agressividade recomenda-se protensão parcial, para ambiente com moderada agressividade a protensão limitada e finalmente protensão completa para ambientes com agressividade forte e muito forte. Definido o tipo de protensão a se empregar diversas condições, referentes a estados de serviço (chamados antigamente de estados de utilização) ligados à fissuração deverão ser verificados. Além da intensidade da protensão o uso de concreto com uma resistência à compressão mínima e cobrimentos devem ser atendidos (itens 7.4.2 e 7.4.6A da NBR 6118) comentados detalhadamente no capítulo 7. Curiosamente pela antiga norma de protendido a NBR 7197 acrescentava-se às exigências anteriores que em estruturas de pontes ferroviárias ou vigas de ponte rolantes só seria admitida protensão com aderência que não é citada na nova norma. A protensão sem aderência, ainda segundo a NBR 6197 só poderia ser empregado em casos especiais e sempre com protensão completa. A nova norma é omissa a condições especiais para a protensão sem aderência. Isto mostra que com o avanço de estudos e disponibilidade de dados experimentais as limitações em serviço, por serem função da durabilidade, vão sendo mudados e o projetista deve estar atenta a estas situações. 1.4 VANTAGENS E DESVANTAGENS DO CONCRETO PROTENDIDO As estruturas de concreto protendido, em diversas situações são mais econômicas que as executadas com outros materiais. Em relação as estruturas de madeira e de aço apresentam sempre a vantagem de necessitarem, usualmente, manutenção mais simples e mais barata. Em relação às de concreto armado as peças protendidas tem a fissuração impedida ou mais controlada na região tracionada dos trechos fletidos. Para entender a economia das estruturas em concreto protendido pode-se usar um estudo do custo do aço estrutural. Neste estudo serão comparados os aços CA25,CA50, CA60, CP170 e CP175 (os três primeiros usados em peças de concreto armado e os dois últimos em peças de concreto protendido). Imaginando apenas o custo do aço sendo dado por quilo de matéria prima chega-se ao gráfico apresentado na figura 1.9, que poderia levar à conclusão enganosa que o aço que tem preço menor por quilo é o mais barato. O melhor é analisar o custo da força desenvolvida por cada um. Assim, 1 kg de CA25 será capaz de desenvolver uma força proporcional a sua tensão de escoamento (no caso 1,25x25=31.25 kN). Ao dividir o custo do kg do aço pela tensão (proporcional à força) chega-se ao preço necessário para desenvolver a força em questão ou a tensão (são proporcionas). O gráfico da


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figura 1.10 apresenta esta situação mostrando que na verdade os aços de maiores tensões limites são os mais econômicos (os de menor custo por força desenvolvida).

Valor do kg em R$

Custo (em R$) do kg do aço 2,5 2 1,5 1 0,5 0

CA25 CA50 CA60 CP175 CP190

1 Categoria dos aços

Figura 1 9 Gráfico com custos das diversas categorias do aço Um argumento que poderia ainda ser usado está no fato que os aços de protensão nem sempre alcançam a máxima tensão devido às perdas imediatas e ao longo do tempo sofridas nos sistemas protendidos. Porém há outras vantagens, advindas da protensão, como por exemplo, a diminuição da fissuração que compensam estas perdas e que não são encontradas nos sistemas de concreto armado. Custo em R$ por tensão (emdaN/cm2) desenvolvida 0,5 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0

50

100

150

200

Figura 1 .10 Custo da tensão desenvolvida pela armadura Pode-se dizer que em diversas situações, principalmente em peças fletidas, o concreto protendido apresenta custo mais baixo que estruturas similares sendo que as principais vantagens que acabam contribuindo para isto são estruturas: • Mais leves que as similares em concreto armado (devido ao controle da fissuração) • Com grande durabilidade com pequenos custos de manutenção (o controle da fissuração do concreto aumenta a resistência ao ataque de agentes agressivos na armadura)


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• •

Com boa resistência ao fogo Que são adequadas ao uso de pré-moldagem (devidos as características de peso menor e controle de fissuração) e portanto com o uso mais efeiciente do material concreto. • Apresentando menores deformações que as estruturas similares, fletidas, em concreto armado • Com controle da propriedade dos materiais aço e concreto. Como o aço e o concreto são colocados sob carga durante a protensão (principalmente o aço que recebe tensões próximas ao seu escoamento) costuma-se afirmar que a estrutura protendida se apresenta com a resistência de seus materiais testada. • que faze parte de uma tecnologia bastante conhecida nos grandes centros do país e basta se ter uma equipe de montagem de cabos, unidades de protensão e execução de protensão para complementar os trabalhos das equipes de confecção de estruturas de concreto.que existem em todo país No anexo I são discutidas mais detalhadamente as vantagens dos elementos em concreto protendido. As desvantagens dos sistemas em protendido são aquelas mesma que existem (neste caso com menor intensidade) nas estruturas de concreto armado: • Peso final relativamente alto (comparado às estruturas metálicas e de madeira) • Necessidade de escoramento e tempo de cura para peças moldadas no local • Condutibilidade alta de calor e de som • Dificuldade, em algumas situações para execução de reformas • Necessidade de colocação de elementos específicos: bainhas, cabos etc 1.5 CONCEITOS BÁSICOS USADOS PARA O CÁLCULO DE PEÇAS PROTENDIDAS Os procedimentos de cálculo empregados para a análise de peças em concreto protendido estão ligados a própria historia do mesmo. No início de sua aplicação quando se desejava evitar as tensões normais de tração na seção transversal, bastava o uso da teoria da resistência dos materiais para se conhecer esforços solicitantes e deslocamentos. A partir da década de 50 quando paulatinamente considerou-se que bastava controlar a abertura das fissuras do concreto e estudar a seção transversal no estado limite último também a armadura de protensão passou a ter duas funções. Em serviço para combinações de ações se evita a fissura ou apenas se controla a sua abertura com a introdução dos esforços de protensão da armadura ativa. Neste caso as hipóteses usadas desde o princípio do cálculo de concreto protendido podem ser usadas sem nenhuma modificação. No caso do estado limite último a teoria técnica do concreto armado poderia ser usada para o concreto protendido desde que se considerasse na armadura a tensão decorrente da tração de protensão como é visto no capítulo 6. Finalmente lançando mão do processo construtivo de se efetuar a protensão através de cabos curvos pode-se considerar a introdução da protensão através de uma ação equivalente que passa a ser um procedimento de cálculo simples e eficaz para peças hiperestáticas. Neste item introduzem-se alguns conceitos usados para empregar a teoria da resistência dos materiais assim como a do cabo equivalente. A teoria técnica do concreto armado faz parte de outra obra do autor e será abordada resumidamente em outros capítulos com a adaptação necessária apara o emprego em peças de concreto protendido. Em todas as situações analisadas neste item a força de protensão ao longo cabo é considerada constante, ou seja,


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despreza-se as perdas ao longo do mesmo, e nos capítulos posteriores indica-se como estes cálculos podem ser feitos. 1.5a Tensões na seção transversal usando a resistência dos materiais Para verificar as condições de serviço (fissuração, deformação excessiva) é preciso conhecer o que acontece na peça sob as condições em utilização, ou seja com as ações que realmente vão ocorrer com maior freqüência e não as esporádicas ou que levarão a estrutura ao colapso e que possivelmente nunca ocorrerão. Assim para verificar a fissuração de peças em concreto protendido em serviço costuma-se calcular as tensões normais máximas em cada seção transversal. As hipóteses empregadas para tanto são (lembrar que valem para ações em serviço): • Vale a lei de Hooke para os materiais aço e concreto (relação linear entre tensão e deformação) • Vale a superposição de efeitos. Os deslocamentos são pequenos e não interferem nos esforços internos • A seção plana da seção transversal permanece plana após a deformação • O material da seção transversal é homogêneo. A última hipótese pode ser empregada, pois macroscopicamente falando o concreto pode ser considerado um material homogêneo e isótropo enquanto o aço de protensão poderá ser considerado como uma ação externa. Assim, com todas estas condições e considerando ainda que a intensidade da tensão de tração, quando houver, pode ser resistida pelo concreto a teoria técnica da resistência dos materiais pode ser empregada. cento de gravidade da seção S S ys AV

h

trecho curvo do cabo

e

yi

B A

S

detalhe 1 P

e A

B

detalhe 1 P VP=Psen N P=Pcos

Figura 1 11- Ações devido o efeito de protensão (isostáticas) em uma seção S Desta forma em uma seção transversal S, submetida a um momento fletor M as tensões máximas e mínimas devido o efeito da protensão de um cabo curvo com uma forca


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de protensão P (considerada constante ao longo do mesmo), cuja inclinação da tangente ao mesmo na seção é dado por α (Figura 1 11) gerando os esforços internos isostáticos: Cortante Normal

Vp = P.senα

(1.1)

Np = P.cosα

Momento Fletor Mp = Np . e

(1.2) (1.3)

e as tensões normais máximas ocorrem junto aos pontos mais afastados do centro de massa (cg) e portanto situados junto à borda inferior e superior dados por: BORDA SUPERIOR

σs =

BORDA INFERIOR

σi =

Np A Np A

−

+

N p .e Ws N p .e Wi

±

M Ws

(1.4a)

m

M Wi

(1.4b)

Com os seguintes significados: σi eσs – tensões normais no concreto junto à borda inferior e superior respectivamente Np – Esforço normal de protensão na seção dado por P.cosα. Como o valor de α é, em geral, pequeno costuma-se confundir Np com P (força de protensão no cabo). e- Excentricidade do cabo na seção. Distância entre o centro de gravidade do cabo e o da seção transversal. A- Área da seção transversal de concreto (Bruta em geral) que pode ser, em geral, considerada igual a área da seção geométrica. Wi e Ws – módulo de resistência da seção em relação à borda inferior e superior da seção. Dado pela razão entre a inércia à flexão (relativa ao eixo central) e a distância do cg ao bordo inferior (yi) e superior (ys) respectivamente. Assim: I Wi = (1.5a) yi I Ws = (1.5b) ys M – soma dos momentos fletores na seção devido às ações atuantes (peso próprio, carga acidental, sobrecarga permanente) para a verificação requerida. N p . e – Momento fletor isostático de protensão, refere-se ao efeito da força de protensão estar excêntrica em relação ao cg da peça e assim para reduzi-la (força de protensão) a este ponto (cg) é preciso considerar este momento. No capítulo 12 do segundo volume deste trabalho vê-se que no caso de peças hiperestáticas é preciso também considerar outro efeito que é o “momento hiperestático de protensão”. Para a utilização das fórmulas 1a e 1b introduz-se a convenção, usada internacionalmente para elementos de concreto na qual para as tensões de compressão é


15

atribuído o sinal positivo e, ao contrário, para as tensões de tração. Pode-se usar para tanto uma regra mnemônica dada a seguir:

•

TENSÃO DE COMPRESSÃO → BOA PARA O CONCRETO → SINAL POSITIVO

•

TENSÃO DE TRAÇÃO → RUIM PARA O CONCRETO → SINAL NEGATIVO

A estas convenções somam-se as largamente empregadas no Brasil que o momento fletor de sinal positivo causa tração nas fibras abaixo do cg da viga e de compressão nas fibras acima do cg e ao contrário para o momento negativo. Nas fórmulas 1 os sinais das tensões normais devido ao momento isostático de protensão já estão de acordo com as regras descritas. Os sinais das tensões devido o momento M dependerão de seu sinal por isso o símbolo ± e m em cada das expressões indicando a possibilidade do sinal a se empregar puder ser negativo ou positivo. 1.5b Consideração da protensão através de uma ação equivalente Uma outra forma de considerar o efeito da protensão está em considerar o diagrama de corpo livre da viga de concreto separando-o do cabo de protensão (neste caso curvo) e verificando o efeito que nela ocorre. Considerando a ação de um cabo curvo com uma força de protensão P aplicada nas extremidades (neste caso no cg da peça) da viga e que provocará quando for estirado uma ação u (contato cabo-concreto) que pode ser substituída por uma ação atuando ao longo de l, ou seja, up. Fazendo o equilíbrio na vertical obtém-se:

2P senα = up . l (1.6) Considerando que a curva do cabo em questão seja uma parábola do segundo grau o valor de sen α é dado por Sen α =

2.e

(2e)2 + (l / 2)2

(1.7)

Considerando que o valor de e na presença de l seja pequeno a expressão (3) fica

Sen α =

2.e l/2

(1.8)

Substituindo em (1.5) em (1.3) tem-se:

up =

8.P.e l2

(1.9)

O significado de cada um dos elementos empregados nas fórmulas 1.3 a 1.6 pode ser facilmente entendido a partir da inspeção da figura 1.12. O fato de se considerar o cabo parabólico não invalida os resultados, que seriam praticamente os mesmos para um cabo com a trajetória, por exemplo, circular desde que os valores do ângulo α sejam pequenos.


a)

P

P

b)

2

R

c)

P

16

P

e

P

L

d)

g+q

e) P

f)

P

P

P

p-(g+q)

p

Figura 1.12 – Consideração do carregamento equivalente up que traduz o efeito da flexão da protensão. Chama-se a atenção que o uso deste procedimento, ao se considerar a força de protensão constante ao longo do cabo, permite diversas simplificações nos cálculos principalmente de peças hiperestáticas.Em seguida, no quadro 1.2, são agrupadas as principais expressões e convenções deste capítulo. . QUADRO 1.2 – PRINCIPAIS EXPRESSÕES E CONVENÇÕESUSADAS NO CAPÍTULO 1 Esforços Solicitantes de protensão Cortante (1.1) Vp = P.senα Normal (1.2) Np = P.cosα Mp = Np . e (1.3) Momento Fletor Tensão normal tensão de compressão boa para o concreto sinal positivo tensão de tração ruim para o concreto sinal negativo (1.4a) borda superior N p N p .e M

σs =

borda inferior Características Geométricas Módulo de flexão inferior Módulo de flexão superior Ação equivalente de protensão Taxa da ação

σi =

A Np A

−

+

Ws N p .e Wi

±

m

Ws

M Wi

(1.4b)

Wi =

I yi

(1.5a)

Ws =

I ys

(1.5b)

8.P.e l2

(1.9)

up =


17

1.6 EXEMPLOS NUMÉRICOS Para ilustrar os conceitos introduzidos são resolvidos a seguir três exemplos numéricos. 1.6.a Exemplo numérico 1 Calcular a força de protensão na seção do meio vão, para a viga dada na figura 1.13 de maneira que a tensão normal na seção fique entre o intervalo de 0 a 1750 MPa . Considerar que além do peso próprio poderá atuar na viga uma carga acidental de 17 kN/m. Considerar três situações: a) excentricidade do cabo nula, cabo passando pelo cg e a análise com a força de protensão na seção; b) excentricidade do cabo igual a 70 cm, cabo passando abaixo do cg na seção e a análise com a força de protensão na seção; c) excentricidade do cabo igual a 70 cm, cabo passando abaixo do cg na seção e a análise com a ação equivalente de protensão

180

3000 cm

70

Figura 1.13- Viga e seção transversal para o exemplo numérico Resolução Caso a • Cálculo das características geométricas: A= 0,7 x l,80 = 1,26 m2 0,7 x1,80 2 0,7 x1,80 2 3 Wi= Ws = = 0,378 m 6 6 • Cálculo dos momentos atuantes O concreto protendido quando se verifica a fissuração (este é o caso) é comum considerar as situações de momento máximo e mínimo pois, há sempre o perigo, no caso de se considerar apenas o valor máximo do momento, de se introduzir protensão que pode provocar, quando da atuação do momento mínimo, excesso de compressão ou mesmo tração excessiva na borda oposta à posição do cabo. Costuma-se dizer que a solução em protendido, quando existe, está sempre entre dois valores e portanto não se pode usar nem protensão de menos nem de mais. No caso em questão tem-se: Mmáx = Mg + Mq Mmin = Mg


18

Onde Mmáx , Mmin , Mg , Mq são momento máximo, mínimo, devido à carga permanente e devido à carga acidental respectivamente. Os valores dos momentos máximos e mínimos são dados por: 0,7 x1,80 x 25 x30 2 17 x30 2 + = 5456kN .m Mmáx = 8 8 0,7 x1,80 x 25 x30 2 = 3543kN .m Mmin = 8 Análise de tensões (usando as expressões 1.4a e 1.4b e lembrando que neste caso e=0. BORDA SUPERIOR

Momento máximo → σ s = Momento mínimo → σ s =

Np 1,26 Np 1,26

− −

N p .0 0,378 N p .0 0,378

+

5456 0,378

+

3150 0,378

Analisando as expressões anteriores percebe-se que o risco de uma compressão excessiva é maior de ocorrer para a primeira expressão ficando assim fácil de estabelecer os limites tanto dela (primeira expressão) quanto da segunda.

Momento máximo → σ s =

Np 1,26 Np

−

N p .0

+

5456 ≤ 17500 0,378

→ Np ≤ 3.863 kN (A)

0,378 N p .0 3543,75 − + ≥ 0 → Np ≥ -11.802 kN (B) Momento mínimo → σ s = 1,26 0,378 0,378 BORDA INFERIOR Usando o mesmo raciocínio que o item anterior Momento máximo → σ i =

Np 1,26 Np

+

N p .0

−

5456 ≥0 0,378

→

Np ≥-11.807 kN (C)

0,378 N p .0 3543 + − ≤ 17.500 → Np ≤3863 kN (D) Momento mínimo → σ i = 1,26 0,378 0,378

) Os sinais das tensões foram considerados com as regras descritas nos itens anteriores. A análise do problema deve ser feita através do eixo orientado representado na figura 1.14.


A

C

3863 kN

18186 kN

B

-11802 kN

O

19

D

18237 kN

Figura 1 .14- Eixo orientado com as condições que atendem as inequações de tensão Pela observação do eixo orientado apresentado na Figura 1.14 que mostra as diversas condições (A, B, C e D) que devem ser atendidas simultaneamente conclui-se que o problema em questão não tem solução, ou seja, não é possível aplicar uma protensão centrada que faça com que as tensões normais na seção do meio fiquem entre 0 e 1750 MPa. Caso b Neste caso deve ser considerada e excentricidade da protensão (e=0,70 m) cujo efeito pode ser visto na Figura 1.15. A força de protensão colocada abaixo cg provoca encurtamento nas fibras inferiores e tração nas superiores.

Figura 1 15 – Efeito da protensão excêntrica. BORDA SUPERIOR

Momento máximo→ σ s =

Np

−

N p .0,70

+

5456 ≤ 17.500 0,378

→ Np≥-2896kN (A)

1,26 0,378 N p N p .0,70 3543,75 − + ≥ 0 → Np ≤ 8857,5 kN (B) Momento mínimo → σ s = 1,26 0,378 0,378 BORDA INFERIOR

Momento máximo → σ i =

Np 1,26

+

N p .0,70 0,378

−

5456 ≥ 0 → Np ≥5456 kN (C) 0,378


Momento mínimo → σii =

Np 1,26

N p .070

+

0,378

−

20

3543,75 ≤ 17.500 Np≤10.160kN (D) 0,378

A análise do problema deve ser feito através do eixo orientado representado na figura 1.16 A

C

B

D

8857

10160

O -2896

5457

Figura 1 .16- Eixo orientado com as condições de força P (em kN) que atendem as inequações de tensão Pela observação do eixo orientado apresentado na Figura 1 .16 chega-se a solução de N=5457 kN o menor valor que atende todas as diversas condições (A, B, C e D). Caso c Neste caso deve a excentricidade da protensão (e=0,70 m) será considerada como uma carga equivalente de intensidade ul como pode ser visto na Figura 1 21.. A força de protensão colocada abaixo cg provoca encurtamento nas fibras inferiores e tração nas superiores.

P P

P e P uP

L

Figura 1 17 – Efeito da protensão excêntrica. Momento de protensão

up =

8.N p .0,70 30 2

u p x30 2

8 xN p x0,70 x30 2

=+ = N p .0,70 8 8 x30 2 Assim, a análise a ser feita a partir deste ponto é a mesma que foi feita no item anterior e com mesmos valores chegando-se na mesma resposta que o item B. Mostra-se desta forma Mp =


21

que o procedimento do carregamento equivalente é o mesmo que o da resistência dos materiais. 1.6.b Exemplo numérico 2 Determinar o intervalo possível de excentricidades para a força de protensão Np=1800 kN pode ter para que a tensão normal uma seção transversal fique entre o intervalo de -265 a 1750 MPa, considerando com as características geométricas: A=0,5099 m2; yi=1,074 m; h(altura da seção)=1,80 m; Ws=0,2857 m3 ; para os valores de momentos máximo e mínimo os valores de 1800 kN.m e -100kN.m respectivamente. Resolução Cálculo das características geométricas Como h = yi + ys então 1,80m= 1,074m + ys → ys =0,726m Usando 1.5b I I Ws = tem-se 0,2857 = → I =0,2074 m4 ys 0,726 Usando 1.5a I 0,2074 Wi = tem-se Wi = → Wi =0,1931 m3 yi 1,074 Determinação do valor da excentricidade “e” da força de protensão. Considera-se que a excentricidade “e” e desta forma tem o sinal positivo, bastando agora verificar as condições de tensão para a borda superior e inferior para a situação de máximo e mínimo momento fletor. BORDA SUPERIOR

1.800 1800.e 1800 − + ≤ 17.500 → e ≥ -1,217 m (A) 0,5099 0,2857 0,2857 1.800 1800.e 1000 − − ≥ −2.650 Momento mínimo → σ s = → e ≤ 0,425 m (B) 0,5099 0,2857 0,2857 Momento máximo→ σ s =

BORDA INFERIOR

1.800 1800.e 1800 + − ≥ −2.650 → e ≥ 0,336 m (C) 0,5099 0,1931 0,1931 1.800 1800.e 1000 − − ≤ 17.500 → e ≤ 1,2185 m (D) Momento mínimo → σ s = 0,5099 0,1931 0,1931 Momento máximo→ σ i =

A análise do problema deve ser feito através do eixo orientado representado na figura 1.18


22

S -1,127

0,724 0,336 1,074

0,425

1,218

Figura 1.18 – Efeito da protensão excêntrica. 1.6.c Exemplo numérico 3 Considerando a seção transversal do problema anterior, a mesma força de protensão Np e uma excentricidade de e=0,37m qual devem ser os momentos máximos e mínimos de maneira que as tensões estejam no intervalo de -265 e 1750 MPa. Determinação do valor dos momentos máximos e mínimos. Basta montar as equações de tensão agora com o valor da excentricidade e=0,37m. BORDA SUPERIOR

M1 1.800 1800 × 0,37 − + ≤ 17.500 → M1 ≤ 1859 kN.m (A) 0,5099 0,2857 0,2857 M2 1.800 1800 × 0,37 − − ≥ −2.650 →M2 ≥ -2031kN.m (B) Momento mínimo → σ s = 0,5099 0,2857 0,2857 Momento máximo→ σ s =

BORDA INFERIOR

M3 1.800 1800 × 0,37 + − ≥ −2.650 → M3 ≤ 4657 kN.m (C) 0,5099 0,1931 0,1931 M4 1.800 1800 × 0,37 − − ≤ 17.500 → M4≤-2031kN.m (D) Momento mínimo → σ s = 0,5099 0,1931 0,1931 A análise do problema deve ser feito através do eixo orientado representado na figura 1.17 Momento máximo→ σ i =


M2

-2031

M4

-1099

M1

O

1859

23

M3

4657 kN.m

Figura 1.19 – Efeito da protensão excêntrica. 1.7 CÁLCULO DAS CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS O cálculo das características geométricas de uma seção transversal típica de viga prémoldada de concreto protendido como a dada na figura 1.20 pode ser feito considerando-a compostas pelos retângulos e triângulos numerados na mesma figura (do lado direito). Assim, a seção passa a ser composta de diversos elementos cujos valores das áreas, posições dos centros de gravidades e inércias são conhecidos. Basta aplicar os conhecimentos de mecânica e resolver o problema, usando a tabela 1.1 apresentada a seguir cujas operações são listadas: 1) Separar a seção em diversos elementos numerando-os. Os elementos devem ser retângulos ou triângulos; 2) Calcular a área de cada elemento fazendo a somatória que representa a área da seção toda; 3) Indicar a coordenada (y) do cg de cada elemento referendada a um eixo horizontal (x). É interessante, como no caso em questão usar o eixo que passa pela borda superior; 4) Efetuar o produto Ay que corresponde ao momento estático em relação ao eixo x e somando as parcelas do mesmo;


24

Figura 1.20.- Seção Transversal para o exemplo de cálculo de características geométricas com cotas dadas em cm.

5) Determinar a coordenada ys do cg fazendo y s = ∑

Ay

∑A

, que para a tabela resulta

0,3703 ys = 0,5099 = 0,726m e assim yi=1,90-0,726=1,074 m.

6) Cálculo da distância entre o cg de cada elemento ao cg da peça efetuando a operação y’=y-ys; 7) Efetuar o produto Ay’ que corresponde ao momento estático em relação ao eixo central x’ (que passa pelo cg) e somando as parcelas do mesmo que deverá ser aproximadamente igual a zero; 8) Nesta etapa calcula-se a parcela do “transporte”do teorema dos eixos paralelos para o momento de inércia em que Ix=Ix0+ A.(y’)2 fazendo-se o produto da coluna 7 pela 3 e promovendo a somatória das diversas parcelas. Na fórmula anterior Ix é o momento de inércia à flexão de toda a seção em relação ao eixo horizontal x’ que passa pelo cg da peça; TABELA 1.1 - CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS 1 P 1 2 3 4 5 Σ

2 A (m2) 1x0,16=0,16 0,425x0,09=0,038 0,15x1,44=0,216 2x0,1252/2=0,015 0,4x0,2=0,08 0,5099

3 y (m) 0,08 0,19 0,88 1,55 1,70 -

4 Ay (m3) 0,0128 0,0072 0,1900 0,0243 0,1360 0,3703

6 y`=y-ys (m) -0,646 -0,536 0,154 0,824 0,974 -

7 Ay` (m3) -0,1034 -0,0205 0,0333 0,0129 0,0779 0,0002

8 Ay`2 (m4) 0,0668 0,0110 0,0051 0,0106 0,0759 0,1694

9 Ix0 (m4) (1x0,163)/12=3,41x10-4 (0,425x0,093)/18=1x10-5 (0,15x1,443)/12=3,7310-2 (2x0,1254/36=1,35x10-5 (0,2x0,203)/12=2,66x10-4 0,03796

Ix0 – a soma das parcelas do momento de inércia à flexão de cada elemento em relação ao eixo x passando pelo cg do elemento em questão. 9) Cálculo do momento de inércia de cada elemento em relação ao eixo x que passa pelo próprio cg (do elemento) Como a seção foi dividida em retângulos


e triângulos as fórmulas a se empregar são

I =

25

b.h 3 b.h 3 e I = 12 36

respectivamente.em que b é a base e h a altura do elemento. 10) Finalmente nesta etapa pode-se efetuar o cálculo da inércia total da seção em relação ao eixo central x usando o teorema dos eixos paralelos chegando-se a Ix=0,1694+0,03796=0,2074 m4, calculando em seguida os valores dos 0,2074 0,2074 = 0,1931m3. módulos de inércia Ws = = 0,2857. m3 e Wi = 1,074 0,726 Uma outra maneira de se determinar as características da seção é usar um programa de desenho do tipo CAD (desenho auxiliado por computador) que permite o cálculo de características geométricas a partir de polígonos fechados. Isto é feito desenhando-se a seção com linhas poligonais (em geral comando poliline) selecionando a figura como região e finalmente usando o comando de propriedades de massas. No caso de seções vazadas como a mostrada na figura 1.21 as vezes é preciso o uso de um “rasgo” na seção para que se forme uma região envolta em apenas um polígono. Há alguns programas que permitem tirar da figura formada pela poligonal mais externa a poligonal mais interna evitando o uso do rasgo. Finalmente existem procedimentos matemáticos que permitem através das coordenadas da figura polignonal obter-se qualquer característica geométrica como e para tanto a seção precisa ser definida, como por exemplo a da figura 1.21, pelas coordenadas dos 21 vértices indicados.

Figura 1 21- Consideração dos vértices para usar o programa AUTOCAD e MAXCON Bibliografia provisória [ ] Associação Brasileira de Normas Técnicas, NBR 6118:2003 Projeto de estruturas de concreto – Procedimento – Abril de 2004 – São Paulo. [ ] Associação Brasileira de Normas Técnicas Fio, barra e cordoalha de aço para armaduras de protensão-ensaio de tração-Método de ensaio - NBR 6349. [ ] Associação Brasileira de Normas Técnicas Fios de aço para concreto protendido-Especificação - NBR 7482. [ ] Associação Brasileira de Normas Técnicas Cordoalhas de aço para concreto protendidoEspecificação - NBR 7483. [ ] Associação Brasileira de Normas Técnicas Fios, barras e cordoalhas destinados a armadura de protensão-Ensaio de relaxação isotérmica- Método de ensaio - NBR 7484. [ ] Shehata, L.C.D., Martins, P.C.R., Pereira, S.S.R., Classificação e propriedades do concreto e do aço, III Simpósio EPUSP sobre estruturas de concreto, São Paulo, 1993. AGOSTINI L. R. S. - “Concreto Protendido: estudo das vigas isostáticas” - Livraria Ciência e Tecnologia Editora Ltda - São Paulo 1983

ROCHA, ADERSON MOREIRA - “Novo Curso Prático de Concreto Armado - Concreto


26

Protendido” - Volume V - Editora Científica - 2a Edição- Rio de Janeiro-Junho de 1972 CAUDURO, EUGENIO LUIZ – “Protensão com cordoalhas engraxadas e plastificadas – Pós-tensão com sistema não aderente”- 38o REIBRAC –1996 LEONHARDT FRITZ – Prestrssed Concrete LYN, T. Y. Prestressed Concrete MASON, J. Conceitos de concreto armado e protendido PFEIL, WALTER- Concreto Protendido, Livros Técnicos e Científicos Editora S. A.- Rio de Janeiro 1980 VASCONCELEOS, AUGUSTO CARLOS, Manual prático para a correta utilização dos aços no concreto protendido em obediência à normas atualizadas- Livros Técnicos e Científicos Editora S. A.- Rio de Janeiro 1980 BELGO MINEIRA B. T. S. A Fios e cordoalhas para concreto protendido Belgo Mineiro Belo Horizonte 1997. CHOLFE, LUIZ – Concreto Protendido- Apostila Escola de Engenharia Mackenzie – SãoPaulo CHOLFE, LUIZ, BONILHA LUCIANA – Concreto Protendido Teoria e Prática- Apostila Escola de Engenharia Mackenzie – São Paulo ABNT – Norma Brasileira NBR6118-2001 (Projeto de estruturas de concreto)São Paulo - Brasil. CIA SIDERÚRGICA BELGO-MINEIRA. Catálogo de aços para protensão. Belo Horizonte, 1978. VASCONCELOS, A.C. de. Manual prático para correta utilização dos aços no concreto protendido. Cia. Belgo-Mineirra/Livros técnicos e científicos, Rio de Janeiro, 1980. PFEIL, W. Concreto protendido. Livros técnicos e científicos, Rio de Janeiro, 1980. SOCIEDADE TÉCNICA PARA UTILIZAÇÃO DA PROTENSÃO. Catálogo Rais. SISTEMA VSL. Losinger. Catálogos gerais. CEB/FIP – Code modèle CEB-FIP pour les structures en / béton. 1978. LEONHARDT, F. Prestressed concrete. 2nd. Ed., W. Ernst & Son, Berlim, 1964. RUSCH, H. Hormigón armado y hormigón pretensado. Continental, Barcelona, 1975. MASON, J. Concreto armado e protendido. Livros técnicos e científicos, Rio de Janeiro, 1976. Catálogos e manuais de sistemas estruturais. Pré-fabricados de sistemas de protensão. CARVALHO, R.C. Introdução ao concreto protendido. Apostila.

ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 1 CAP. 2– APLICAÇÕES DO CONCRETO PROTENDIDO ROBERTO CHUST CARVALHO --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

CAPÍTULO 2- APLICAÇÕES DO CONCRETO PROTENDIDO 2.1-INTRODUÇÃO Neste capítulo serão listadas algumas aplicações em concreto protendido, chamando atenção para as principais delas. Ressalta-se que com a velocidade do desenvolvimento científico e tecnológico é impossível escrever um texto que fique sempre atual. Assim, o leitor deverá analisar os comentários e as situações apresentadas em relação à época em que foram aplicadas e lembrar que será sempre possível aumentar o campo de utilização aqui apresentado. Separaram-se as aplicações em tipos de construção: infraestrutura, edificações, aparelhos urbanos, obras de arte, monumentos e outras. 2.2 INFRAESTRUTURA Em relação a infraestrutura os dois tipos de aplicações bastante empregados estão na execução de fundações. 2.2.1. FUNDAÇÃO 2.2.1a ESTACAS PRÉ-MOLDADAS PROTENDIDA Embora os elementos de fundação em geral sejam comprimidos na década de 70 Vasconcelos [2002] na Protendit conseguiu um sucesso comercial que dura até hoje que foi a fabricação de estacas pré-moldadas (ou pré-fabricadas) em concreto protendido.

figuras 2.1 a 2.3 - Estacas pré-fabricadas estocadas, estaca pré-fabricada sendo cravada e sendo cortada com esmeril na cota de arrasamento. Estas estacas são indicadas para quando se deseja executar fundaçòes profundas com necessidade de atravessar lençóis freáticos, permitem emendas possibilitando, em principio, alcançar-se qualquer valor de profundidade. Para sua cravação são utilizados bate-estacas, normalmente gravitacionais que através da elevação de um peso até uma altura prédeterminado que ao ser solto faz com que a energia gravitacional da queda se transfira para a cabeça da estaca e assim penetre no solo.


Para este tipo de elemento duas são as situações críticas: a etapa de manuseio da estaca até o seu posicionamento (sai de uma posição de “deitada” no solo para ficar vertical) em que há esforços de flexão de intensidade razoável e durante a cravação em que haverá sempre uma flexão composta devida às excentricidades naturais do material concreto, falta de verticalidade da estaca e o peso atingindo a cabeça da estaca fora de seu centro de gravidade. Desta forma, como salienta Vasconcelos, uma protensão, com pequena intensidade, executada com aderência inicial, permite evitar fissuras e um material que resiste melhor as ações dinâmicas da cravação quando comparadas com similares de concreto armado 2.2.1b Radiers As fundações em radier muito usadas nos Estados Unidos são, de maneira simplificada, lajes apoiadas em solo que serve de apoio a uma estrutura. Uma boa solução é obtida quando se usa cabos de cordoalha engraxada. Costuma-se colocar no fundo do radier (antes da concretagem do mesmo) uma lona de plástica que além de evitar a saída de nata de cimento ou água para o solo diminue o atrito do concreto (depois de endurecido) com o solo durante a operação de protensão.

figura 2.4 – Radiers com cabos de protensão. Notar que abaixo da armadura uma lona plástica evita o contato do concreto com o solo. 2.2.1.c Vigas Baldrames. As vigas de edificação feitas junto ao solo que devem resistir as paredes de fechamento são chamadas de baldrames e como quaquer viga está sujeita a flexão e pode se beneficiar dos efeitos da protensão podendo ser executadas com protensão com aderência inicial (o caso mais comum) e pré moldadas. Como estarão pelo menos em algumas emm contato com o solo podem ser usados com protensão completa evitando a fissuração do concreto. 2.2.2 Pavimentos Os pavimentos de concreto sobre solo podem ser feitos com fibras, telas, barras e no caso de grandes cargas concentradas como é o caso de aviões as pistas podem ser protendidas com barras ou cordoalhas.


2.3 CONSTRUÇÕES DE EDIFICAÇÕES Nas construções de edificações praticamente todos os componentes excetuando-se os pilares podem ser protendidos. Assim, normalmente em prédios comerciais, residências e industriais pode-se ter vigas, lajes, coberturas e algumas painéis de fechamento protendidos. Nos itens subseqüentes decreve-se alguns destes elementos 2.3.1 LAJES Há dois tipos de lajes as moldadas no local e as pré-moldadas. 2.3.1a Lajes moldadas no local. Os pavimentos constituídos de lajes moldadas no local podem ser executados com protensão aderente e não aderente (cordoalha engraxada). A protensão com aderência posterior em lajes é feita usando-se bainhas achatadas como a mostrada nas figuras 4 e 5.

Figura 2.5-a)Cabo de protensão com bainha chata, extremidade de ancoragem ativa b)Cabo de protensão com bainha chata, extremidade de ancoragem passiva No caso da protensão sem aderência emprega-se cabos de monocordoalha engraxados (já descritos no capítulo 1) e com a seção mostrada na figura 2.6.

Figura 2.6 – Cordoalha engraxada e detalhe de sua ancoragem no sistema MAC


Assim pode-se usar este tipo de protensão para qualquer tipo de laje embora exista maior vantagem na utilização de lajes lisas (aliviadas ou não). As lajes são aquelas em que não se usam vigas para apóia-las fazendo-se este apoio diretamente sobre os pilares. As lajes lisas aliviadas seriam lajes lisas em que na região central usa-se em vez da seção transversal maciça nervuras (ver figura 2.7). Pavimento com Laje Lisa Maciça

P1

800

P1

P

P6

P5

P4 A

P6

P5

P4 A

B

B

800

800

P3

P2

800

P3

P2

P1

Pavimento com Laje Lisa Aliviada

P9

P8

P7

P8

P7

800 CORTE AA

800

800

P9

800

CORTE BB

Figura 2.7 – Planta de um pavimento com lajes lisas maciças e lajes lisas aliviadas.

Na figura 2.8 apresenta-se uma fotografia da montagem da armação da armadura de uma laje lisa.

Figura 2.8 - Fotografia de montagem de armação de protensão em laje de piso


2.3.1b Lajes Pré-Moldadas Há basicamente três tipos de lajes pré-moldadas ou pré-fabricadas como estipulam as normas : 1) A laje pré-moldada com trilhos protendidos; 2) A laje com painel alveolar e 3) A laje em duplo tê ou “π”. 2.3..b.1) A laje pré-moldada com trilhos protendidos; A laje pré-moldada com trilhos protendidos é composta por nervuras de concreto protendido chamadas de trilhos (o formato da seção transversal de um ou de outro se assemelham).

Figura 2.9- Seção Transversal de Laje pré-fabricada com vigotas protendidas (figura 3.1.1b da NBR 14859). Assim, na figura 2.9 mostra-se a seção de uma laje com vigotas pré-fabricadas de concreto protendido.

Figura 2.10– Aspectos da produção das vigotas em protendido da laje pré-fabricada. Acima à esquerda máquina de extrusão com elemento que transporta o concreto. À direita e em cima máquina extrusora fazendo as vigotas. À direita embaixo vigotas no momento em que os fios têm sua ancoragem retirada.(Cortesia TATU).


O sistema é completado por elementos de enchimento que podem ser de EPS (isopor) ou lajotas cerâmica que servem de forma para o concreto da capa e restante da nervura. Durante a concretagem da capa os trilhos devem resistir o peso desta, da lajota, das pessoas e equipamentos utilizados na concretagem. As lajes com vigotas protendidas podem suportar um vão entre escoras de até 2 m. Na figura 2.10 são mostrados alguns aspectos da fabricação dos trilhos protendidos. Na figura 2.11 mostra-se uma planta de prédio residencial em que se empregou a solução de laje pré-fabricada com trilhos protendidos e finalmente na figura 2.12 uma fotografia da obra sendo executada.

Figura 2.11 -Planta esquemática de um dos pisos de edificação residencial em que se emprego laje pré-fabricada com vigotas protendidas. Cortesia do Engenheiro André Teixeira Hernandes.


Figura 2.12– Fotografia da montagem da laje com vigotas protendidas referentes ao projeto apresentado na figura 2.11. Cortesia do Engenheiro André Teixeira Hernandes.

2.3.3.1b) A laje com painel alveolar. A laje ou painel alveolar constitui-se, provavelmente no elemento de protensão com aderência inicial mais usado no mercado Brasileiro. Devido seu baixo custo de fabricação e aliado ao desempenho do aço de protensão consegue-se vencer vãos em torno de 9 a 10 m com vantagem em relação a outros sistemas.

Figura 2.13 – Seção transversal de Painel Alveolar de Concreto Protendido (Figura 3.1.1 da NBR14861 Laje pré-fabricada Laje tipo painel alveolar de concreto protendido), Detalhe do rejuntamento entre dois painéis. Na figura 2.13 mostra-se a seção transversal de uma laje alveolar e também como é feita a ligação transversal entre elas.

2.3.1c3) A laje em duplo tê ou “π”. As lajes do tipo te são elementos que possuem uma grande inércia podendo-se dizer até que são vigas com a laje acoplada. São empregadas para grandes vãos e principalmente para edificações industrias onde o valor do pé direito não é crítico e usa-se a protensão com aderência posterior. Na figura 2.14 mostra-se uma perspectiva esquemática de uma laje te.


Figura 2.14 – Perspectiva esquemática de uma laje te ou π. 2.4 Vigas As vigas de edificação podem ser protendidas com aderência inicial ou posterior a concretagem e ainda podem ser usadas sem aderência. No Brasil as vigas protendidas tem sido mais usadas em construções pré-moldadas e, portanto o uso mais comum se dá com a protensão com a aderência inicial. Desta forma as peças são executadas em fabricas, transportadas até o local, içadas e colocadas na posição final para servirem de apoio das lajes e paredes da edificação. Na figura 2.15 mostra-se um prédio com múltiplos andares em que se utilizaram vigas pré-moldadas.

figura 2.15 Vigas em uma edificação pré-moldada.


figura 2.16 Vigas V100A e V101A em uma edificação pré-moldada com trechos isostáticos sem continuidade. No caso usual as vigas pré-moldadas acabam sendo executadas por tramo e se não for tomado alguns cuidados ou detalhado esquemas ddeditespeciais acabam funcionando como elementos isostáticos como mostra a figura 2.16.

fig. 2.17 viga em concreto protendido com cabos com cordoalhas engraxadas Embora não seja muito comum ainda no Brasil as vigas podem ser executadas no local e se utilizar, por exemplo, cordoalhas engraxadas como no caso da figura 2.17. 2.5 Elementos de Cobertura As coberturas de prédios pré-moldados principalmente aqueles com grandes vãos (até 25m) podem ser executados com “telhas” tipo W como a mostrada na figura 2.18.


fig 2.18 – Perspectiva esquemática de telha W fabricada com protensão com aderência inicial Na Figura 2.19 mostra-se como se procede o esgotamento das águas pluviais. Como as telhas W ao serem protendidas ficam arqueadas a água pluvial corre pelo canal das mesma (na direção das setas) e são despejadas nas vigas U (calha laterais) que por sua vez conduzem as águas para os pilares que em geral são ocos.

A

PLANTA vigas W

A

viga calha U

A CORTE AA

fig 2.19 – Perspectiva esquemática de viga calha que recebe água das telhas Outro sistema de telhas é o mostrado na figura 2.20 com elemento em Y que permite a colocação de elemento translúcido que faz a iluminação zenital.


viga calha

elemento translúcido

fig 2.20 Perspectiva esquemática e composição de elemento de cobertura atuando junto com elemento translúcido para iluminação zenital. 2.6 Reforços em vigas

fig. 2.21 viga em concreto protendido com cabos externos não aderentes 2.7 PAINEIS DE FECHAMENTO 2.6 PONTES, VIADUTOS E PASSARELAS Talvez a maior aplicação do concreto protendido se dê atualmente nas pontes rodoviárias e ferroviárias. Devido as suas características o concreto protendido conduz a soluções mais baratas e com pequeno custo de conservação. 2.6.1.Pontes e Viadutos em Vigas Múltiplas


No sudeste do país especialmente no estado de São Paulo a solução mais empregada para pontes ou viadutos rodoviários é a de vigas múltiplas pré-moldadas. Na figura 4 vê-se um exemplo de ponte com 19,40m de vão, com tabuleiro composto de 6 vigas pré-moldadas. As vigas neste caso são feitas próximas à ponte porem ainda fora da sua posição final. Após o término das fundações e mesoestrutura são colocadas na posição final através geralmente de gundastes podendo ser usadas ainda treliças metálicas lançadores.

Figura 2.22- Vista e Corte de Ponte sobre o Rio Jaboticabal (Altura da Av. São João) na cidade de Jaboticabal SP. Vigas em concreto protendido pré-moldado com comlemanto de laje de concreto moldada no local.

figura 2.23.- Seção Transversal da ponte da figura 4 antes na fase de pré-moldagem e após a execução da laje superior. O grande reaproveitamento de formas e não necessidade do uso de escoramento fazem deste tipo de ponte as mais empregadas nas estradas controladas pela iniciativa privada. Na figura 5 são mostradas as vigas longitudinais no meio do vão e do apoio antes e após receberem o concreto que complementará a laje superior.


Figura 2.24—Planta da ponte da figura 4 . Meio corte e meia vista. Observando a figura 6 pode-se notar que não há transversina, exceto nos apoios, ou seja, não existem elementos que permitem uma distribuição transversal de carga acidental. Desta forma se as vigas longarinas tiverem um espaçamento pequeno trabalharão como vigas longitudinais independentes submetidas as ações variações decorrente de uma roda do veículo tipo. A transversina de apoio que tem um trecho concreto no local (achureado na figura) têm a função de evitar o tombamento lateral das vigas longitudinais (longarinas) ou evitar giros excessivos destas.

Figura 2.25- Planta de cabos de uma viga da ponte da figura 4. Vista longitudinal e cortes.


Na figura 7 mostra-se os cabos de protensão em elevação e nas seções transversais. Como pode ser visto com apenas 4 cabdos de 6Ø1/2” é possível obter uma boa solução. Nestes casos a protensão usada é a com aderência posterior. 2.6.2.Pontes, Viadutos em vigas Celulares

figura 2.26.- Vista longitudinal ½ corte e ½ vista seção Transversal da ponte da figura 4 antes na fase de pré-moldagem e após a execução da laje superior. Para maiores vãos e situações em que o escoramento não é muito oneroso pode-se usar as pontes com seção transversal em célula ou caixão conforme pode-se ver nas figuras 8 e 9.


figura 2.27- Cortes transversais no meio do vão e do apoio da ponte da figura 7 (cotas indicativas em cm) Este tipo de estrutura através de sua seção transversal celular e mais as transversinas intermediárias (ver figura 10) e de apoio acabam fazendo com que a inércia à torção deste elemento seja tão grande que pode-se para efeito de cálculo a flexão considerar a seção funcionando como um todo.

figura 2.28- Corte transversal no meio do vão da ponte da figura 7 (cotas indicativas em cm) mostrando o septo transversal (achureado), transversina, que junto com a transversina de apoio confere rigidez à torção a estrutura. Este tipo de estrutura conduz a menor altura necessária mas o custo com as formas costuma ser maior que o dos outros tipos de seção trasnversal. Na figura 11 vê-se um detalhe característico dos cabos na seção do meio do vão. NO caso são cabos de pós adernet com 12Ø1/2” e bainha com diâmetro esterno de 7 cm.


figura 2.29- Corte transversal no meio do vão da ponte da figura 7 com a solução de cabos 12Ø1/2” . Na figura 12 é mostrada uma perspectiva esquemática de um viaduto usando os dados das figuras 8 e 9. Em geral este tipo de obra acaba sendo pela sua esbeltez mais agradável visualmente que as pré-moldadas.

figura 2.30- Perspectiva esquemática a partir das características geométricas indicadas nas figuras anteriores (aqui representada como um viaduto). Arte Anderson Manzoli. Na verdade a seção celular por possuir laje inferior é muito interessante para uso de estruturas contínuas pois a seção transversal têm capacidade de resistir momentos negativos (tracionando a borda superior) quase de maneira tão eficiente que os momentos positivos. Na figura 13 são mostradas duas situações. Na primeira a altura da viga é mantida constante, enquanto na segunda há uma variação na altura da viga, que proporciona entre outras coisas um aspecto visual mais agradável. Também nesta situação empregada é a de protensão com aderência posterior.


figura 2.31- Vista lateral esquemática de duas soluções em pontes contínuas com seção transversal celular. No primeiro caso (acima) altura constante e no segundo caso (abaixo) altura variável. 2.6.4.Pontes Em Balanços Progressivos Uma das mais interessantes técnicas desenvolvida por um brasileiro Emílio Baungarten (apud VASCONCELOS) é muito empregada quando se deseja construir pontes ou viadutos com grandes vão suprimindo o uso de escoramento. A técnica consiste em “lançar” em vez de trechos da estrutura longitudinal,ou seja, as longarinas, lançar trechos (fatias) de toda a seção transversal as aduelas. 1

5

2

N-1

3

N

Figura 2.32- Vista lateral esquemática de etapas construtivas de ponte em balanço progressivo. Na etapa 1 tem-se o início da execução, etapa 2 após a primeira aduela


lançada e assim sucessivamente. Na etapa N-1 falta apenas o fechamento da parte central e finalmente na N a ponte estaria com seu esquema estrutural pronto. Na figura 14 podem ser vistas as principais etapas de execução de um aponte em balanço progressivo na primeira etapa os pilares são executados com um trecho pequeno da estrutura. Na segunda etapa são executadas aduelas, em balanço, a esquerda e a direita do trecho em cima de cada pilar. Na figura 15 é mostrado como é feita a concretagem de uma aduela em balanço.

CABOS DE AÇO CONTRA PESO

ADUELA A SER CONCRETADA PLATAFORMA DE TRABALHO

FORMA

2.34

2.6.5.Pontes Empurradas 1

5

2

N-1 N

3


Figura 15- Vista lateral esquemática de etapas construtivas de ponte em balanço progressivo. Na etapa 1 tem-se o início da execução, etapa 2 após a primeira aduela 2.6.5.Pontes Estaiadas

2.35

2.6.7 Passarelas

2.7 SILOS E RESERVATÓRIOS


perspectiva esquemática

corte em planta cabo

] Associação Brasileira de Normas Técnicas, NBR 6118 Projeto de estruturas de concreto – Procedimento – agosto de 2001 – São Paulo. [ ] Associação Brasileira de Normas Técnicas Fio, barra e cordoalha de aço para armaduras de protensão-ensaio de tração-Método de ensaio - NBR 6349. [ ] Associação Brasileira de Normas Técnicas Fios de aço para concreto protendido-Especificação - NBR 7482. [ ] Associação Brasileira de Normas Técnicas Cordoalhas de aço para concreto protendidoEspecificação - NBR 7483. [ ] Associação Brasileira de Normas Técnicas Fios, barras e cordoalhas destinados a armadura de protensão-Ensaio de relaxação isotérmica- Método de ensaio - NBR 7484 . [ ] Associação Brasileira de Normas Técnicas Laje Pré-Fabricada- Requisitos Parte 1: Lajes Unidirecionais- NBR 14859-1 Maio de 2002 . [ ] Associação Brasileira de Normas Técnicas Laje Pré-Fabricada- Painel Alveolar de concreto protendido Requisitos- NBR 14861 Maio de 2002

ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 1 CAPÍTULO 3- CONCRETO, AÇO E SISTEMAS USADOS NO CONCRETO PROTENDIDO ROBERTO CHUST CARVALHO --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

CAPÍTULO 3- CONCRETO, AÇO E SISTEMAS USADOS NO CONCRETO PROTENDIDO. 3.1-INTRODUÇÃO Neste capítulo aborda-se as principais propriedades do concreto e do aço de protensão assim como o conjunto de equipamentos que permitem a protensão chamados também de sistemas de protensão. A idéia é concentrar neste texto as principais informações necessárias que os projetistas e calculistas de concreto protendido devem ter para executar o projeto de protensão com segurança e com maior exequilibilidade. No caso do concreto alem das principais propriedades mecânicas e elásticas são abordadas de maneira resumida algumas considerações a respeito de execução tais como composição, mistura, vibração e cura do concreto. No caso dos aços de protensão se faz necessário discorrer sobre as propriedades dos mesmos pelo motivo que tem ao menos resistência bem diferente dos empregados em obras comuns em que só há armadura passsiva (obras de concreto armado). 3.2 CONCRETO O concreto é obtido através da mistura adequada de cimento, agregado fino, agregado graúdo e água. Em algumas situações são incorporados produtos químicos ou outros componentes como microsílica, casca de arroz ou outros. A adição de produtos químicos ou outros materiais têm a finalidade de melhorar alguma propriedade tais como: trabalhabilidade, retardar a velocidade das reações químicas ou aumentar a resistência. As diversas características do concreto endurecido, ou seja, quando ele vai ser utilizado, dependem fundamentalmente do planejamento e cuidados na sua execução. O início do planejamento consiste em definir as propriedades que se deseja, verificar os materiais existentes ou disponíveis, escolher os materiais e estabelecer uma metodologia para definir o traço, equipamentos para a mistura, transporte, adensamento e cura do mesmo. Não é objetivo desta obra orientar projetista na tecnologia de projeto e execução do concreto, mas passar alguns conceitos importantes para que o projetista detalhe, especifique e exija tolerâncias razoáveis nos elementos de concreto protendido. Há uma tendência dos projetistas, calculistas e até os engenheiros de obras se preocuparem apenas com a resistência à compressão do concreto obtida através de ensaio com corpos de prova cilíndricos que via de regra são usados como controle de fabricação, possam fornecer todas as informações relativas à resistência e à deformabilidade do concreto. Tal prática na verdade deve-se mais a falta de um conhecimento maior do material ou fatores financeiros que impedem a execução de outros ensaios mais caros. Entende-se que o leitor já esteja familiarizado com os princípios da fabricação de concreto e recomenda-se para aqueles que se iniciam no assunto a leitura de outras obras listadas na bibliografia . 3.2.1 PROPRIEDADES DO CONCRETO FRESCO


As principais propriedades do concreto fresco são a consistência, trabalhabilidade e homogeneidade. O concreto é um material que possui, mesmo depois de endurecido, materiais em todas as fases, ou seja, é composto de gases, líquidos, gel e sólidos e desta forma por si só heterogêneo. O objetivo do preparo do concreto estrutural é de se fazer com se tenha o máximo de material sólido com grande resistência e com pouco espaço vazios. Isto será obtido quando maior for a hidratação dos materiais pulverentos do cimento e de maneira simplificada quanto mais estes envolverem e aderirem aos sólidos presentes. A primeira propriedade do concreto fresco que o engenheiro da obra precisa ter em mente é sua consistência. Consistência consiste na maior ou menor capacidade que o concreto (fresco) tem para se deformar. Esta propriedade esta ligada ao processo de lançamento e adensamento do concreto e também ao transporte. Varia em geral com a quantidade de água empregada, granulometria dos agregados e pode ser bastante alterada pela presença de produtos químicos específicos. Concreto com menor consistência devem ser empregados para elementos cm alta taxa de armadura e com conseqüente dificuldade de adensamento.

cone abatimento concreto desmoldado

Figura 3.1 – Esquema do ensaio do cone. A esquerda o molde tronco cone e a direita a amostra de concreto após a retirada do molde e o valor do abatimento. Não havendo grande quantidade de armadura nas peças é muitas vezes mais econômico executar concretos com maior consistência e, em principio, menor quantidade de água. Nas peças com eixos ou superfícies inclinadas, tais como escadas, sapatas e outras, o concreto durante o lançamento precisa ter consistência adequada para garantir a forma adequada dos mesmos e neste caso a consistência deve ser menor. Uma maneira de medir a consistência seria dada através do abaixamento que uma massa de quantidade prédeterminada terá quando retirado de uma forma metálica tronco cônica de dimensões normalizadas, ver a figura 3.1. De uma maneira geral as peças de protensão por terem grande taxas de armaduras são especificadas com valores altos de abatimento também chamado de “SLUMP” levando em alguns casos a necessitar, para um bom adensamento o uso de produtos químicos que diminuem, por exemplo, o atrito das partículas do concreto. O concreto com maior “Slump” é em geral mais fácil de lançar e de adensar e, portanto considerado mais “Trabalhável”. O conceito de trabalhabilidade de um concreto está ligado basicamente à maneira de se fazer o adensamento do mesmo. Por este motivo já existe hoje em dia os cncreto chamados auto-adensáveis que são praticamente fluídos e não necessitam em princípio de nenhuma energia de adensamento para formar um conjunto homogêneo e


com características de resistência requeridas. Estes concretos são obtidos de acréscimo de aditivos (compostos especiais químicos que alteram a propriedade dos materiais componentes) e não através do aumento de água, que alteraria o fator água/cimento e poderia assim diminuir consideralvemente a resistência. Valores limites do fator água/cimento A/C são estipulados pela norma para garantir a durabilidade da estrutura como é visto no capítulo A execução do adensamento é uma das mais importantes etapas da fabricação do concreto interferindo sensivelmente nas características finais do mesmo. De uma maneira geral o adensamento hoje é, para obras de médio e grande porte, feito através de energia mecânica. Consiste basicamente em um primeiro momento separar os diversos compostos para depois misturá-los adequadamente. A vibração mecânica através de imersão de vibradores consiste no processo mais usual e simples para conseguir um adensamento adequado. Existe uma série de recomendações para e técnicas para o uso de vibradores mecânicos que podem ser encontrados em ..............., de maneira que não falte nem energia a mistura provocando o aparecimento de vazios (bicheiras) ou o excesso provocando a separação dos elementos. Como será visto a vibração assim como os cuidados durante a pega do concreto influenciarão significativamente as propriedades do concreto como será visto no próximo exemplo. Costuma-se definir que o concreto costuma iniciar sua “pega”quando a consistência do mesmo não permitiria mais a sua trabalhabilidade. A definição para tal seria conseguida através da medição da penetração de um pino no mesmo, quando não se conseguir a penetração de um certo valor com um peso pré-definido estaria iniciada a pega iniciando-se os cuidados com a cura. A cura seria o tempo depois da pega em que a hidratação do concreto se desenvolve com grande velocidade e a água existente na mistura tem a tendência de sair pelos poros do material e se evaporar. A saída da água neste período faz com o concreto sofra diminuição de volume (retração) que normalmente é impedida pelas formas gerando tensões de tração que pela baixa idade do concreto podem não ser resistidas gerando fissuras que diminuirão a resistência final do concreto. Assim um dos principais cuidados da cura do concreto, ou seja, o conjunto de atividades para permitir uma hidratação dos componentes do concreto, está em impedir a evaporação da água, ou pelo menos retardá-la para uma época em que a resistência do concreto é maior. Lembrar que a água usada na mistura do concreto não é, em geral, totalmente empregada nas reações químicas, mas serve (parte dela) para controlar o calor da reação exotérmica da hidratação. Neste caso surge uma dúvida o que é mais interessante para a cura do concreto ela ocorrer sob baixas temperaturas ou altas temperaturas? Em princípio as temperaturas altas são benéficas e tem pelo menos a função de acelerar o processo de ganho de resistência, desde de que se evite a evaporação da água. Para peças usuais usa-se o procedimento de molhar ou encharcar as superfícies aparentes do concreto ou mesmo molhar as faces de formas de madeira constantemente, colocar materiais tais como esponjas encharcadas de água. Para as peças pré-moldadas é comum o uso da cura a vapor em que se mantém o ambiente saturado e se aumenta a temperatura do ambiente (no caso do vapor) acelerando-se o ganho de resistência do mesmo. Para entender o fenômeno conceitua-se a “Maturidade” do concreto que vem a ser o produto da temperatura em que se dá a cura pelo quantidade de horas. Para uma certa mistura (traço de concreto), tipo de cimento pode-se definir uma maturidade ideal para se obter uma resistência. Isto é feito através de ensaios. Imaginando então que a maturidade ideal de uma peça seja de 4800 0C.h pode-se obter tal resistência através da cura do concreto com uma temperatura ambiente de 200 C e 120 horas (cinco dias) ou 24 horas com 2000 C com cura a vapor.


3.2.2 PROPRIEDADES DO CONCRETO ENDURECIDO No concreto endurecido, as principais características de interesse são as mecânicas, destacando-se as resistências à compressão e à tração. Ainda não foi possível estabelecer uma lei única, para a determinação da resistência dos materiais, que seja válida para todo tipo de solicitações possíveis. Por isso, no caso do concreto, não se pode deduzir diretamente da resistência que se tenha encontrado em um ensaio relativo a uma determinada solicitação, como por exemplo, a resistência à compressão medida em corpos de prova cilíndricos, seu comportamento quando submetido a outro tipo de solicitação (flexão, torção, cisalhamento etc.). Entretanto, no estágio atual de desenvolvimento do cálculo de estruturas de concreto armado, considera-se como aproximação razoável que a resistência do concreto para diversos tipos de solicitações seja função de sua resistência à compressão. A resistência do concreto é também função do tempo de duração da solicitação; os ensaios geralmente são realizados de forma rápida, ao passo que, em construções, o concreto é submetido a ações que em sua maioria atuam de forma permanente, reduzindo sua resistência ao longo do tempo. Ainda, nos ensaios, a resistência é influenciada pela forma do corpo de prova e pelas próprias características dos ensaios. Neste capítulo serão vistas apenas algumas características do concreto; outras serão analisadas à medida que forem necessárias. 3.2.2.1. Resistência à compressão A principal característica do concreto é sua resistência à compressão, e é determinada pelo ensaio de corpos de prova submetidos à compressão centrada; esse ensaio também permite a obtenção de outras características, tal como o módulo de deformação longitudinal. Independentemente do tipo de ensaio ou de solicitação, diversos fatores influenciam a resistência do concreto endurecido, dos quais os principais são a relação entre as quantidades de cimento, agregados e água, e a idade do concreto. A resistência à compressão, obtida por ensaio de curta duração do corpo de prova (aplicação de carga de maneira rápida) é dada por: fcj =

N rup

A sendo: fcj – resistência à compressão (c) do corpo de prova de concreto na idade de j dias; Nrup – carga de ruptura do corpo de prova; A – área da seção transversal do corpo de prova. No Brasil utilizam-se corpos de prova cilíndricos, com diâmetro da base igual a 15 cm e altura de 30 cm, ou de base 10 e altura 20 cm. A resistência deve ser relacionada à idade de 28 dias do concreto e será estimada a partir do ensaio de uma determinada quantidade de corpos de prova. A moldagem dos cilindros é especificada pela NBR 7222 e o ensaio deve ser feito de acordo com a NBR 5739

3.2.2.2. Resistência característica do concreto à compressão


Os valores característicos dos materiais está estabelecido na norma NBR6118:2003 no seu item 12.2 onde se define: “ Os valores característicos fk das resistências são os que, num lote do material, tem uma determinada probabilidade de serem ultrapassados , no sentido desfavorável da segurança. Usualmente é de interesse a resistência característica inferior fkinf cujo valor é menor que a resistência média fm.” Para entender conceitualmente o problema tece-se os comentários a seguir. Para se avaliar a resistência de um concreto à compressão é necessário realizar um certo número de ensaios de corpos de prova, e os valores da resistência proporcionados pelos distintos corpos de prova são mais ou menos dispersos, variando de uma obra a outra e também de acordo com o rigor com que se confeccione o concreto. O problema pode ser colocado da seguinte maneira: dados n resultados obtidos ao se ensaiar à compressão simples até à ruptura uma série de n corpos de prova cilíndricos de um mesmo concreto, determinar um valor da resistência que seja representativo desse concreto. A idéia inicial é adotar, para tal valor representativo, a média aritmética fcm dos n valores obtidos dos ensaios, chamada de resistência média à compressão. Entretanto esse valor não reflete a verdadeira qualidade do concreto na obra, ao não considerar a dispersão dos resultados; entre dois concretos com a mesma resistência média, não há dúvida que é mais confiável aquele que apresenta menor dispersão. Por isso se tem adotado o conceito de resistência característica (NB6118:2003 item 12.2), que é uma medida estatística que leva em conta não só o valor da média aritmética fcm das cargas de ruptura dos ensaios dos corpos de prova mas, também, o desvio da série de valores, através do coeficiente de variação δ. Os valores característicos fk das resistências são os que, num lote de material, têm uma determinada probabilidade de serem ultrapassados, no sentido desfavorável para a segurança. Usualmente é de interesse a resistência característica inferior fk,inf, cujo valor é menor que a resistência média fm, embora por vezes haja interesse na resistência característica superior fk,sup, cujo valor é maior que fm.Para os efeitos desta Norma, a resistência característica inferior é admitida como sendo o valor que tem apenas 5% de probabilidade de não ser atingido pelos elementos de um dado lote de material. Define-se assim como resistência característica fck do concreto à compressão, o valor que apresenta um grau de confiança de 95%, ou seja, existe uma probabilidade de 0,95 de que existam valores individuais de resistência dos corpos de prova maiores que fck (fck é o valor mínimo da resistência de modo que 95% dos resultados dos ensaios estejam acima do mínimo, ou 5% abaixo desse mínimo). De acordo com essa definição, e admitindo-se uma distribuição estatística normal dos resultados (curva de Gauss, figura 3.2) a resistência é dada pelo quantil de 5% da distribuição: f ck = f cm (1 − 1,645 ⋅ δ) ou f ck = f cm − 1,645 ⋅ s onde fcm é a resistência média e δ o coeficiente de variação, dado por: δ=

e s = f cm ⋅ δ é o desvio padrão.

1 n  fci − fcm   ∑ n i=1  f cm 

2

(3.1)


FIGURA 3.2 Distribuição normal dos resultados (adap. de Montoya, 1976)

A partir da resistência característica a NBR6118:2003 define as classes de concreto no item 8.2.1 quando prescreve: “esta norma se aplica a concretos compreendidos nas classes de resistência do grupo I indicados na NBR 8953, ou seja, até C50. A classe C20 ou superior se aplica a concreto com armadura passiva e a classe C25, ou superior, a concreto com armadura ativa A classe C15 poderá ser usado apenas em fundações, conforme NBR-6122, e em obras provisórias”. Assim, para obras em concreto protendido o menor valor de fck a ser definido é o de fck=25MPa. Dependendo da condição ambiental a NBR6118:2003 especifica categorias de concreto conforme pode ser visto no capítulo 7 3.2.2.3. Resistência à compressão do concreto de cálculo Para serem empregados no cálculo os valores característicos deverão ser transformados em valores de cálculo que de uma maneira geral é feito segundo a expressão: fd =

fk

γm

As prescrições da NBR6118:2003 referem-se à resistência à compressão obtida em ensaios de cilindros moldados s que quando não for indicada a idade, as resistências referemse à idade de 28 dias. A evolução da resistência à compressão com a idade deve ser obtida através de ensaios especialmente executados para tal. Na ausência desses resultados experimentais pode-se adotar, em caráter orientativo, os valores indicados em 12.3.3. Sabe-se que a resistência do concreto à compressão varia com o tempo. No texto da NBR6118:2003 a variação da resistência do concreto é apresentada no item 8.2.4 da seguinte maneira: “a evolução da resistência à compressão com a idade, deve ser obtida através de ensaios especialmente executados para tal. Na ausência desses resultados experimentais pode-se adotar, em caráter orientativo, os valores indicados no item em seguida. Finalmente no caso específico da resistência de cálculo do concreto (fcd), alguns detalhes adicionais são necessários, conforme a seguir descrito: a) quando a verificação se faz em data j igual ou superior a 28 dias, adota-se a expressão f f cd = ck

γc


Nesse caso, o controle da resistência à compressão do concreto deve ser feito aos 28 dias, de forma a confirmar o valor de fck adotado no projeto; b) quando a verificação se faz em data j inferior a 28 dias, adota-se a expressão: f cd =

f ckj

γc

≅ β1

f ck

γc

sendo β 1 a relação fckj/fck dada por: onde: s = 0,38 para concreto de cimento CPIII e IV;

s = 0,25 para concreto de cimento CPI e II; s = 0,20 para concreto de cimento CPV-ARI; t é a idade efetiva do concreto, em dias. Essa verificação deve ser feita aos t dias, para as cargas aplicadas até essa data. Ainda deve ser feita a verificação para a totalidade das cargas aplicadas aos 28 dias. Nesse caso, o controle da resistência à compressão do concreto deve ser feito em duas datas: aos t dias e aos 28 dias, de forma a confirmar os valores de fckj e fck adotados no projeto. Na versão de 2001 da NBR6118 apresenta-se um quadro em que mostrava a relação entre as resistências do concreto apresentadas na tabela 3.1 TABELA 3.1. Relações fcj/fc, admitindo cura úmida em temperatura de 21 a 30°·C Cimento 1 Idade em dias 3 7 14 28 60 90 120 240 360 Portland CP III e CP IV 0,46 0,68 0,85 1 1,13 1,18 1,21 1,28 1,31 CP I e CP II 0,59 0,78 0,9 1 1,08 1,12 1,14 1,18 1,20 CP V 0,66 0,82 0,92 1 1,07 1,09 1,11 1,14 1,16 CP I cimento comum, CP II cimento composto, CP III cimento de alto forno,CP IV cimento pozolânico, CP V cimento de alta resistência inicial

720 1,36 1,22 1,17

AQUI É PRECISO ACRESCENTAR O PROBLEMA DA DO β E TAMBÉM A CURA A VAPOR E OUTROS TIPOS DE CURA.

ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 8 CAPÍTULO 3- CONCRETO, AÇO E SISTEMAS USADOS NO CONCRETO PROTENDIDO ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------As peças pré-fabricadas em concreto protendido são feitas com cimento do tipo ARI e com cura acelerada. É muito comum também em estrutura pré-fabricadas o uso de concretagem no local complementando a peça assim, em cada etapa construtiva é preciso considerar a idade do concreto e o tipo do mesmo. Em seguida é mostrado como podem avaliadas a resistência dos diversos concretos em qualquer idade. Para se calcular o valor da resistência do concreto em um tempo diferente de 28 dias a NBR61118:2003 recomenda o uso da expressão:

f cd =

f ckj

γc

com

= β1 ×

f ck

γc

{ [

1

β1 = exp s × 1 − (28 / t )1 / 2

]}

2

sendo s=0,38 cimentos CPIII e CPIV; s=0,25 para cimentos CPI e CPII e s=0,25 para cimentos CPV- ARI Assim, para peças pré-moldadas é preciso usar s=0,20. Ocorre porem que as peças pré-moldadas acabam sendo curadas a vapor quente e obtem para um dia o valor de b1 = 0,6 que leva a se usar s=0,119 como mostra o gráfico e alista de valores obtidos . VALOR DE b1 PARA CONCRETO COM CURA NORMAL E CURA À VAPOR- CIMETO ARI

1,2 1

b1

0,8 0,6 Normal vapor

0,4 0,2 0 0

2

4

6

t

dias 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

3

b1c/0,2 0,42388 2 0,57791 3

8

0,66298 0,71953 5 0,76087 5 0,79290 7 0,81873 1 0,84015 8

9

0,85833

10 11

0,87401 0,88772 8

12

0,89987

13

0,91072 0,92049 6 0,92936 7 0,93746 6 0,94490 1 0,95175 9 0,95811 2

4 5 6 7

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

0,96402 0,96953 4 0,97469 5 0,97954 1 0,98410

b1 c/0,119 0,60008 2 0,72162 0,78305 6 0,82214 0,84992 7 0,87103 8 0,88780 8 0,90156 0,91311 2 0,92300 1 0,93159 4 0,93915 4 0,94587 6 0,95190 4 0,95735 1 0,96230 7 0,96684 0,97100 9 0,97486 1 0,97843 3 0,98175 9 0,98486 6 0,98777 6 0,99051

ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 9 CAPÍTULO 3- CONCRETO, AÇO E SISTEMAS USADOS NO CONCRETO PROTENDIDO ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3 1 0,98840 0,99308 25 8 6 0,99247 0,99551 26 9 8 0,99633 0,99781 27 7 9 28 1 1

EXEMPLO NUMÉRICO- Seja uma peça que será executada com t^rd concreto com as características: CONCRETO

fck (MPa)

Cimento

Idade de referencia (dias)

1 2 3

50 30 30

ARI CPII CPII

0 7 10

Calcular a resistência dos mesmos nas fases com tempo de 1, 5, 7, 10, 18, 30 e 10000 dias Com uma planilha do tipo Excel e as expressões anteriores são montadas as tabela 3, 4 e 5 TABELA 3 – DATAS DE REFERENCIA concreto 1 concreto 2 referenci a 0 7

concreto 3 10

Valores de b1 t 1 5 7 10 18 30 10000

b1 c/0,119 0,600082093 0,849926505 0,887807801 0,923000884 0,971009452 1,00404323 1,119299577 Resistência dos concretos

b1c/0,2

b1c/0,2

0,66298024 0,951758621 1,006804691 #VALOR!

0,84015764 1,006804691 1,208544804

RESISTÊNCIA t

concreto 1

concreto 2

concreto 3

ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 10 CAPÍTULO 3- CONCRETO, AÇO E SISTEMAS USADOS NO CONCRETO PROTENDIDO ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 30 5 42 7 44 10 46 20 18 49 29 25 30 50 30 30

3.2.2.4. Resistência do concreto à tração (colocar a consideração da laje alveolar)

Como o concreto é um material que resiste mal à tração, geralmente não se conta com a ajuda dessa resistência. Entretanto, a resistência à tração pode estar relacionada com a capacidade resistente da peça, como por exemplo, aquelas sujeitas a esforço cortante, e também diretamente com a fissuração, e por isso é necessário conhecê-la. Existem três tipos de ensaio para se obter a resistência à tração: por flexo-tração, por compressão diametral e por tração direta (figura 3.2).

FIGURA 3.2 Modos de ensaios de resistência do concreto à tração (Montoya, 1976)

A resistência à tração pura é aproximadamente 85% da resistência à tração por compressão diametral, e 60% da resistência obtida pelo ensaio de flexo-tração; este último método não é prático, dada a dificuldade do ensaio. O ensaio de compressão diametral é conhecido como Ensaio Brasileiro de Resistência à Tração, por ter sido sistematizado pelo engenheiro L. F. Lobo Carneiro professor durante muitos anos da UFRJ (Universidade Federal do Rio de Janeiro) e COPPE (Coordenação dos programas de pós graduação de Engenhraia) do Rio de janeiro e figura destacada da história do concreto no Brasil . Na NBR6118:2003 é salientada a possibilidade de variação da resistência à tração dependendo do tipo de solicitação que a provoca. Considera a tração pura e a tração que ocorre na flexão. O texto do item 8.2.5, resistência à tração recomenda: “a resistência à tração indireta fct,sp e a resistência à tração na flexão fct,f devem ser obtidas de ensaios realizados segundo a NBR-7222 e a NBR-12142, respectivamente”. A resistência à tração direta fct pode ser considerada igual a 0,9⋅fct,sp ou 0,7⋅fct,f ou, na falta de ensaios para obtenção de fct,sp e fct,f , pode ser avaliada por meio das equações (3.3) a (3.6).

f ctm = 0,3 ⋅ f

2/3 ck

(fct,m e fck em MPa)

f ctk ,inf = 0,7 ⋅ f ct ,m

(3.3) (3.4)


f ctk ,sup = 1,3 ⋅ f ct ,m

(3.5)

3.2.2.5 Módulo de elasticidade O módulo de elasticidade deve ser obtido segundo ensaio descrito na NBR 8522, sendo considerado o módulo de deformação tangente inicial cordal a 30% fc, ou outra tensão especificada em projeto. Quando não forem feitos ensaios e não existirem dados mais precisos sobre o concreto usado na idade de 28 dias, pode-se estimar o valor do módulo de elasticidade usando a expressão: Eci = 5 600 fck 1/2 onde: Eci e fck são dados em megapascal. O módulo de elasticidade numa idade j ≥ 7 dias pode também ser avaliado através dessa expressão, substituindo-se fck por fckj. Quando for o caso, é esse o módulo de elasticidade a ser especificado em projeto e controlado na obra. O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises elásticas de projeto, especialmente para determinação de esforços solicitantes e verificação de estados limites de serviço, deve ser calculado pela expressão:

Ecs = 0,85 Eci ou

Ecs = 4 760 fck 1/2

Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou seção transversal pode ser adotado um módulo de elasticidade único, à tração e à compressão, igual ao módulo de elasticidade secante (Ecs). Na avaliação do comportamento global da estrutura e para o cálculo das perdas de protensão, pode ser utilizado em projeto o módulo de deformação tangente inicial (Eci). 3.3.2.6 Módulo de elasticidade transversal e Coeficiente de Poisson Para tensões de compressão menores que 0,5 fc e tensões de tração menores que fct, o coeficiente de Poisson ν pode ser tomado como igual a 0,2 e o módulo de elasticidade transversal

Gc = 0,4 Ecs. 3.3.2.7. Diagramas tensão-deformação

Para tensões de compressão menores que 0,5 fc, pode-se admitir uma relação linear entre tensões e deformações, adotando-se para módulo de elasticidade o valor secante dado pela expressão constante no item anterior. Para análises no estado limite último, podem ser empregados o diagrama tensão-deformação idealizado mostrado na figura 3.3 as simplificações propostas na seção 17. Os diagramas tensão-deformação do concreto estão apresentados na NBR6118:2003 no item 8.2.10. Particularmente na compressão (8.2.10.1) o diagrama fica definido pelo texto: “para tensões de compressão menores que 0,5⋅fc, pode-se admitir uma relação linear entre tensões e deformações, adotando-se para módulo de elasticidade o valor secante dado pela equação 1.11”.


Para análises no estado limite último, pode ser empregado o diagrama tensãodeformação idealizado mostrado na figura 1.6, em que se supõe que a variação de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama parábola-retângulo, definido com tensão de pico igual a 0,85⋅fcd, com fcd determinado conforme item 12.3.3 da NB1/2003 (item 1.8.1.2.4 deste capítulo). Equações das curvas de tensão do concreto 2   εc     σ c = f cd 1 − 1 −   0,2``0 0   σc

2   εc     σ c = 0,85 f cd 1 − 1 −   0,2``0 0  

e

fck 0 ,8 5 f c d

0 ,2 %

0 ,3 5 %

εC

FIGURA 3.3 Diagrama tensão-deformação do concreto (figura 8.2, NB1/2003)

Para o concreto não fissurado submetido a tensões de tração, pode-se utilizar o diagrama bilinear tensão-deformação da figura 3.4. σct f ctk 0,9 f ctk

Ecm 0,5%o

ε ct

FIGURA 3.4. Diagrama tensão-deformação bilinear na tração (figura 8.3, NBR6118:2003)

3.3 AÇOS DE PROTENSÃO


Quando se iniciou o uso do concreto protendido, no começo do século passado, constatou-se que depois de decorrido um certo tempo os esforços de compressão introduzidos pela protensão deixavam de existir, em grande parte ou totalmente devido às perdas que ocorriam, principalmente, ao longo do tempo. Ficou então claro, por volta dos anos 40 (1940) com FREYSSINET (apud COLLINS & MITCHELL[1985]) que para poder aplicar a protensão e ter efetivamente tensões de compressão no concreto, mesmo decorrido um grande período de tempo, seria necessário usar-se aços de grande resistência, mesmo que para isso fosse preciso ultrapassar o valor do alongamento específico de 1%, limite para se manter a aderência entre o aço e o concreto no sistema de concreto armado. Assim, os aços de protensão têm valores de escoamento bem mais altos que os usados no concreto armado.

3.3 .1 Características e nomenclatura O aço de protensão, similarmente aos aços de concreto armado, pode ser identificado pela sigla CP (concreto protendido) seguida do valor, em kgf/mm2, da tensão aproximada de ruptura do aço que compõem cordoalha, cordões ou fio. Adiciona-se ainda na denominação as siglas RN ou RB indicando se o aço é de relaxação normal ou baixa. O fenômeno da relaxação será tratado no capítulo 5. Os aços de relaxação baixa são obtidos através de procedimento de fabricação em que recebem um alongamento com temperatura controlada permitindo uma menor perda devido à relaxação. Assim, as categorias de aço produzidas no Brasil são: CP145RB, CP150RB, CP170RN, CP175RB, CP175RN e CP190RB. Os aços de protensão podem ser fornecidos em barras, fios, cordões e cordas (cordoalhas). A classificação de cada um pode ser dada por: • BARRAS: elementos fornecidos em segmentos retos com comprimento normalmente compreendido entre 10 e 12 m. • FIOS: elementos de diâmetro nominal não maior que 12 mm cujo processo de fabricação permita o fornecimento em rolo, com grande comprimento, devendo o diâmetro do rolo ser pelo menos igual a 250 vezes o diâmetro do fio. • CORDÕES: Os grupamentos de 2 ou 3 fios enrolados em hélice com passo constante e com eixo longitudinal comum. • CORDAS (CORDOALHAS): Grupamento de pelo menos 6 fios enrolados em uma ou mais camadas, em torno de um fio cujo eixo coincida com o eixo longitudinal do conjunto. Na prática costuma-se designar as cordas por cordoalhas.


figura 3.5 – Tipos de armaduras com aço de protensão (de cima para baixo e da esquerda para direita) : Fio isolado, cordões de 2 e 3 fios e cordas (cordoalhas) de 7 fios. Normalmente indicam-se os fios de protensão apenas pelo seu diâmetro enquanto que os demais conjuntos são chamados genericamente de cordoalhas de dois e três fios pela designação, por exemplo, de 2x2,00 (cordoalhas de dois fios de diâmetro de 2mm) e 3x3,00 (cordoalha de 3 fios de 3mm de diâmetro). As cordoalhas de sete fios (ver figura 3.5) possuem um fio central, normalmente, com diâmetro cerca de 2% maior que os demais, e mais seis outros enrolados em forma de hélice e são denominadas como cordoalhas de diâmetro igual ao diâmetro do círculo circunscrito a todos e, portanto não permite que se calcule a área da seção transversal de forma direta é preciso conhecer o diâmetro do fio central e dos fios periféricos da cordoalha. Desta maneira uma cordoalha de φ de ½” (aproximadamente 12,7 mm) não tem a área de 1,25 cm2 e sim de 1,01 cm2. Atualmente, embora conste de catálogo da Companhia Belgo Mineira, que fabrica os aços de protensão, diversos tipos de cordoalhas as mais usadas são as de 12,7 mm. Diversa cordoalhas acondicionadas dentro de uma bainha formarão um cabo, por exemplo, uma bainha que abrigue 12 cordoalhas de 12,7mm recebe a designação de cabo de 12φ1/2”. Mais dados a respeito destes elementos são mostradas a seguir pelas tabelas 1, 2 e 3 obtidas na internet na página da Belgo Mineira [2000] com os produtos de fios, cordões e cordoalhas.

TABELA 3.2 - Cordoalhas para Protensão - especificação dos produtos PRODUTO

CARGA DIÂM. ÁREA ÁREA MASSA MÍNIMA DE NOM. APROX. MÍNIMA APROX. RUPTURA

SérieDe (mm) CORD CP 190 RB 3x3,0 6,5 CORD CP 190 RB 3x3,5 7,6 CORD CP 190 RB 3x4,0 8,8 CORD CP 190 RB 3x4,5 9,6 CORD CP 190 RB 3x5,0 11,1 CORD CP 190 RB 7 6,4* CORD CP 190 RB 7 7,9* CORD CP 190 RB 7 9,5 CORD CP 190 RB 7 11,0 CORD CP 190 RB 7 12,7 CORD CP 190 RB 7 15,2

(mm2) 21,8 30,3 39,6 46,5 66,5 26,5 39,6 55,5 75,5 101,4 143,5

(mm2) 21,5 30,0 39,4 46,2 65,7 26,2 39,3 54,8 74,2 98,7 140,0

(kg/km) 171 238 312 366 520 210 313 441 590 792 1.126

(kN) 40,8 57,0 74,8 87,7 124,8 49,7 74,6 104,3 140,6 187,3 265,8

CARGA MÍNIMA A 1% DE ALONGAMENTO

(kgf) 4.080 5.700 7.480 8.770 12.480 4.970 7.460 10.430 14.060 18.730 26.580

(kN) 36,7 51,3 67,3 78,9 112,3 44,7 67,1 93,9 126,5 168,6 239,2

ALONG. APÓS RUPT.

(kgf) 3.670 5.130 6.730 7.890 11.230

(%) 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5

4.470 6.710 9.390 12.650 16.860 23.920

TABELA 3.3- Acondicionamento das cordoalhas As cordoalhas são fornecidas em rolos sem núcleo nas seguintes dimensões aproximadas: Composição da Cordoalha

Peso Nominal (kg)

Diâm. Int. (cm)

Diâm. Ext. (cm)

Altura do Rolo (cm)

Cordoalha 3 Fios

2800

76,2

139

76,2

TABELAS 3.4- Fios para Protensão TENSÃO MÍNIMA DE DIÂME ÁREA ÁREA MASSA RUPTURA TRO APROX. MÍNIM APROX. NOMIN (mm2) A (mm2) (kg/km) (MPa AL (mm) (kgf/mm2) ) CP 145RBL 9,0 63,6 62,9 500 1.450 145 CP 150RBL 8,0 50,3 49,6 394 1.500 150 PRODUTO

CP 170RBE

7,0

38,5

37,9

302

1.700

170

TENSÃO MÍNIMA A 1% DE ALONGAMENTO (MPa)

(kgf/mm2)

ALONG. APÓS RUPTURA (%)

1.310 1.350

131 135

6,0 6,0

1.530

153

5,0

ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 15 CAPÍTULO 3- CONCRETO, AÇO E SISTEMAS USADOS NO CONCRETO PROTENDIDO ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------CP 170RBL

7,0

38,5

37,9

302

1.700

170

1.530

153

5,0

CP 170RNE CP 175RBE CP 175RBE CP 175RBE CP 175RBL CP 175RBL CP 175RNE CP 175RNE CP 175RNE

7,0 4,0 5,0 6,0 5,0 6,0 4,0 5,0 6,0

38,5 12,6 19,6 28,3 19,6 28,3 12,6 19,6 28,3

37,9 12,3 19,2 27,8 19,2 27,8 12,3 19,2 27,8

302 99 154 222 154 222 99 154 222

1.700 1.750 1.750 1.750 1.750 1.750 1.750 1.750 1.750

170 175 175. 175 175 175 175 175 175

1.450 1.580 1.580 1.580 1.580 1.580 1.490 1.490 1.490

145 158 158 158 158 158 149 149 149

5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0

TABELA 3.5- Acondicionamento de fios de protensão Os fios para concreto protendido são fornecidos em rolos de grande diâmetro, obedecendo às seguintes dimensões aproximadas: Diâmetro Nominal do Fio (mm)

Peso Nominal (kg)

Diâm. Int. (cm)

Diâm. Ext. (cm)

Altura do Rolo (cm)

4

700

150

180

18

3.3.2 Diagrama Tensão-deformação O diagrama tensão-deformação deve ser fornecido pelo fabricante ou obtido através de ensaios realizados segundo a NBR 6349. Os valores característicos da resistência de escoamento convencional fpyk, da resistência à tração fptk e o alongamento após ruptura ∈uk das cordoalhas devem satisfazer os valores mínimos estabelecidos na NBR 7483. Os valores de fpyk, fptk e do alongamento após ruptura ∈uk dos fios devem atender ao que é especificado na NBR 7482. Para cálculo no estado-limite de serviço e último pode-se utilizar o diagrama de cálculo da tensão-deformação do aço é dado pelo gráfico esquemático da figura 3.6 (figura 8.5 da NBR 6118:2003) σs

f pk f pd

fpyk fpyd

Ep ε uk

εp

Figura 3.6- Diagrama tensão-deformação de aços de protensão (figura 8.5 da NBR 6118:2003) .

Sendo que os valores de resistência característica à tração, diâmetros e áreas das cordoalhas e dos fios, bem como a classificação quanto à relaxação, a serem adotados em projeto são os nominais indicados na NBR 7482 e na NBR 7483, respectivamente. A massa específica do aço de armadura ativa o valor de 7850 kg/m3 e o coeficiente de dilatação térmica será de 10-5/°C para temperaturas entre -20 e 100°C e o módulo de elasticidade que


quando não for obtido de ensaios ou fornecido pelo fabricante, poderá ser considerado com o valor de 200 kN/mm2 para fios e cordoalhas. Para o caso de cordoalhas o ensaio não resultará em tensões mas sim em forças de escoamento e ruptura em virtude de não ser homogênea a distribuição das tensões em relação aos fios. A norma NBR7483:2004 especifica na sua tabela 1 características para as cordoalhas de sete fios de baixa relaxação uma das mais usadas no mercado Brasileiro e reproduzida em parte aqui na tabela 3.6.

TABELA 3.6 Características das Cordoalhas de 7 fios com baixa relaxação RB CATEGORIA DESIGNAÇÃO Ø(mm) Área (mm2) Massa Carga de Carga a * * Nominal ruptura 1% Kg/1.000m Min. kN Min. KN 9,5 56,2 441 104,3 93,9 RB190 CP 190 RB 9,5 RB210

CP 190 RB 12,7 CP 190 RB 15,2 CP 210 RB 9,5 CP 210 RB 12,7 CP 210 RB 15,2

12,7 15,2 9,5 12,7 15,2

100,9 143,4 56,2 100,9 143,4

792 1125 441 792 1125

187,3 265,8 103,8 207,0 293,8

168,6 239,2 103,8 186,3 264,4

*Valores nominais 1) O valor da carga a 1% de alongamento é considerado equivalente à carga a 0,2% de alongamento permanente 2) O valor do alongamento total na ruptura mínimo é de 3,5% 3) Relaxação máxima após 1000 hs medida a 200 C e com 0,8 da carga de ruptura é de 3,5% COLOCAR A EQUAÇÃO

TABELA 3.7 - TENSÃO NO AÇO σsd (MPa) (adaptado de VASCONCELOS) ε(%o) 5,25 6,794 7,438 8,167 9,000 9,962 10,00 12,50 15,00 17,5 CP175 1025 1264 1316 1344 1365 1368 1368 1378 1388 1397 CP190 1025 1314 1411 1459 1482 1486 1486 1496 1507 1517 ε(%o) 20,00 CP175 1407 CP190 1527

22,50 1416 1538

25,00 1426 15,48

27,5 1436 1559

30,00 1445 1569

32,50 1455 1579

35,00 1464 1590

37,50 14,74 1600

40,00 1484 1611

O diagrama da figura 3.11 pode ser aplicado, de forma genérica para uma cordoalha CP 190 RB 12,7 pode ser aplicado considerando os valores da tabela 3.6, pois se tem: fpyk = 168000/100=1680 MPa fptk = 187000/100=1870 MPa fpd = 1870/1,15= 1626 MPa fpd = 1690/1,15= 1460 MPa f yd 1460 Os valores de εu= 3,5% e o valor de εyd= ≅ = 7,3% E p 200.000

ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 17 CAPÍTULO 3- CONCRETO, AÇO E SISTEMAS USADOS NO CONCRETO PROTENDIDO ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Curva Tensão Deformação Cordoalha 12F1/2" NBR6118:2003 Vasconcelos

1800 1600

Tensão f pd MPa

1400 1200 1000 800 600 400 200 0 0

10

20

30

40

Alongamento e (%)

Figura 3.7- Diagrama tensão-deformação da cordoalha CP190RB 12,5 ns versão da NBR6118:2003 e de VASCONCELOS ( ). Seguindo as recomendações da norma chega-se ao gráfico da figura 3.7 onde se apresenta o gráfico recomendado por VASCONCELOS ( ) que, como pode ser visto é praticamente o mesmo. Em relação ao módulo de elasticidade dos fios e barras de protensão pode ser considerado Ep= 210.000 MPa e para as cordoalhas pode-se tomar o valor de Ep= 200.000 MPa. Quando o valor da tensão de escoamento não for dado considera-se: fpyk = 0,9 fptk

3.4 TENSÃO INICIAL DE PROTENSÃO Para evitar que ocorra ruptura, escoamento ou relaxação não linear da armadura de protensão e também não haja a possibilidade de danos na ancoragem por esforço muito alto a norma estabelece valores máximos para evitar estes problemas. Existem limites de dois tipos: um referente a operação de protensão (valor transitório) e outro após a operação de protensão relatados a seguir Durante as operações de protensão, a força de tração na armadura não deve superar os valores decorrentes da limitação das tensões no aço correspondentes a essa situação transitória fornecidos a seguir. A - Valores limites por ocasião da operação de protensão • A.1 - Armadura pré-tracionada Por ocasião da aplicação da força Pi, a tensão σpi da armadura de protensão na saída do aparelho de tração deve respeitar os limites 0,77 fptk e 0,90 fpyk para aços da classe de relaxação normal, e 0,77 fptk e 0,85 fpyk para aços da classe de relaxação baixa.


•

A.2 - Armadura pós-tracionada Por ocasião da aplicação da força Pi, a tensão σpi da armadura de protensão na saída do aparelho de tração deve respeitar os limites 0,74 fptk e 0,87 fpyk para aços da classe de relaxação normal, e 0,74 fptk e 0,82 fpyk para aços da classe de relaxação baixa. Nos aços CP 85/105, fornecidos em barras, os limites passam a ser 0,72 fptk e 0,88 fpyk, respectivamente.

B - Valores limites ao término da operação de protensão Ao término da operação de protensão, a tensão σpo (x) da armadura pré-tracionada ou póstracionada, decorrente da força Po (x), não deve superar os limites estabelecidos em A.2. C - Tolerância de execução Por ocasião da aplicação da força Pi, se constatadas irregularidades na protensão, decorrentes de falhas executivas nas peças com armadura pós-tracionada, permite-se a sobrelevação da força de tração em qualquer cabo, limitando a tensão σpi aos valores estabelecidos em A.2 majorados em até 10%, até o limite de 50% dos cabos, desde que seja garantida a segurança da estrutura, principalmente nas regiões das ancoragens. Vale ainda acrescentar a cordoalhas engraxadas que são cordoalhas de 7 fios que recebem uma camada de graxa e revestidas de PEAD (Polietileno de Alta Densidade) de 1 mm de espessura fornecidas nos diâmetros de 12,5 e 15,2mm com as massas de 890 kg/km e 1240 kg/km.

3.5 SISTEMAS DE PROTENSÃO Os sistemas ou processos de protensão são patentes desenvolvidas ou de posse de empresas que fornecem peças básicas para a construção de elementos em concreto protendido e referem-se normalmente à protensão com aderência posterior. Entende-se por peças básicas os dispositivos de ancoragem da armadura ativa, bainhas (quando for o caso), macacos para a distensão da armadura e bombas para a injeção de calda de cimento e, portanto necessários para o uso da protensão posterior a concretagem com ou sem aderência. As diferenças dos diversos sistemas existentes no país costumam não ser muito grande de modo que ao se projetar uma estrutura em concreto protendido em um determinado sistema e adapta-lo posteriormente para outro. A escolha de um sistema na maioria das vezes é feita por questões comerciais ou de custo, ou seja, qual sistema oferece para uma obra em certa localidade o preço mais baixo. A principal diferença entre um sistema de protensão e outro é o dispositivo de ancoragem dos cabos. Na é poça que estava sendo escrito este texto pode-se carrear informações dos sistemas STUP, RUDLOFF-VSL, MAC, IMPACTO. Cada uma destas empresas fornece catálogos e publicações que disponibilizam uma série de informações sobre os seus sistemas permitindo o detalhamento de projetos que serão comentadas no capítulo 10.


Basicamente todos possuem um sistema de ancoragem como o do esquema mostrado na figura 3.8. Figura 3.8 Esquema do sistema de ancoragem de cordoalha

a

b

c

e Fig. 3.9- Componentes do sistema Rufloff- a) ancoragem ativa, b) ancoragem passiva em laço c)ancoragem ativa com placa de apoio em primeiro plano e) esquema de corte do macaco nas diversas etapas de distensão e ancoragem de cabo. A título ilustrativo indica-se nas figuras 3.9 a 3.12 alguns detalhes dos sistemas de protensão. 14 a 16 alguns detalhes, encontrados em domínios na Internet sobre dois destes sistemas.

Fig. 3.10 Desenho esquemático de macaco de protensão do sistema MAC


Fig. 3.11- Detalhe da ancoragem no sistema MAC

Fig. 3.12 Vista das diversas ancoragens ativas do sistema MAC Bainhas

ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 21 CAPÍTULO 3- CONCRETO, AÇO E SISTEMAS USADOS NO CONCRETO PROTENDIDO ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------[ ] Associação Brasileira de Normas Técnicas, NBR 6118 Projeto de estruturas de concreto – Procedimento – agosto de 2001 – São Paulo.

Associação Brasileira de Normas Técnicas, NBR 7222 Associação Brasileira de Normas Técnicas, NBR 5739 Associação Brasileira de Normas Técnicas NBR 8522 [ ] Associação Brasileira de Normas Técnicas Fio, barra e cordoalha de aço para armaduras de protensão-ensaio de tração-Método de ensaio - NBR 6349. [ ] Associação Brasileira de Normas Técnicas Fios de aço para concreto protendido-Especificação - NBR 7482. [ ] Associação Brasileira de Normas Técnicas Cordoalhas de aço para concreto protendidoEspecificação - NBR 7483. [ ] Associação Brasileira de Normas Técnicas Fios, barras e cordoalhas destinados a armadura de protensão-Ensaio de relaxação isotérmica- Método de ensaio - NBR 7484. [ ] Shehata, L.C.D., Martins, P.C.R., Pereira, S.S.R., Classificação e propriedades do concreto e do aço, III Simpósio EPUSP sobre estruturas de concreto, São Paulo, 1993. AGOSTINI L. R. S. - “Concreto Protendido: estudo das vigas isostáticas” - Livraria Ciência e Tecnologia Editora Ltda - São Paulo 1983

ROCHA, ADERSON MOREIRA - “Novo Curso Prático de Concreto Armado - Concreto Protendido” - Volume V - Editora Científica - 2a Edição- Rio de Janeiro-Junho de 1972 CAUDURO, EUGENIO LUIZ – “Protensão com cordoalhas engraxadas e plastificadas – Pós-tensão com sistema não aderente”- 38o REIBRAC –1996 LEONHARDT FRITZ – Prestrssed Concrete LYN, T. Y. Prestressed Concrete MASON, J. Conceitos de concreto armado e protendido PFEIL, WALTER- Concreto Protendido, Livros Técnicos e Científicos Editora S. A.- Rio de Janeiro 1980 VASCONCELEOS, AUGUSTO CARLOS, Manual prático para a correta utilização dos aços no concreto protendido em obediência à normas atualizadas- Livros Técnicos e Científicos Editora S. A.- Rio de Janeiro 1980 BELGO MINEIRA B. T. S. A Fios e cordoalhas para concreto protendido Belgo Mineiro Belo Horizonte 1997. CHOLFE, LUIZ – Concreto Protendido- Apostila Escola de Engenharia Mackenzie – SãoPaulo CHOLFE, LUIZ, BONILHA LUCIANA – Concreto Protendido Teoria e Prática- Apostila Escola de Engenharia Mackenzie – São Paulo ABNT – Norma Brasileira NBR6118-2001 (Projeto de estruturas de concreto)São Paulo - Brasil. CIA SIDERÚRGICA BELGO-MINEIRA. Catálogo de aços para protensão. Belo Horizonte, 1978. VASCONCELOS, A.C. de. Manual prático para correta utilização dos aços no concreto protendido. Cia. Belgo-Mineirra/Livros técnicos e científicos, Rio de Janeiro, 1980. PFEIL, W. Concreto protendido. Livros técnicos e científicos, Rio de Janeiro, 1980. SOCIEDADE TÉCNICA PARA UTILIZAÇÃO DA PROTENSÃO. Catálogo Rais. SISTEMA VSL. Losinger. Catálogos gerais. CEB/FIP – Code modèle CEB-FIP pour les structures en / béton. 1978. LEONHARDT, F. Prestressed concrete. 2nd. Ed., W. Ernst & Son, Berlim, 1964. RUSCH, H. Hormigón armado y hormigón pretensado. Continental, Barcelona, 1975.


MASON, J. Concreto armado e protendido. Livros técnicos e científicos, Rio de Janeiro, 1976. Catálogos e manuais de sistemas estruturais. Pré-fabricados de sistemas de protensão. CARVALHO, R.C. Introdução ao concreto protendido. Apostila.

ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO Cap. 4 Perdas de protensão imediatas ROBERTO CHUST CARVALHO --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1

CAPÍTULO 4- PERDAS DE PROTENSÃO IMEDIATAS 4.1 INTRODUÇÃO No item 6 do capítulo 1 mostrou-se como pode ser calculado o valor do esforço de protensão em uma seção a partir de valores limites de tensões normais. Como será visto posteriormente este cálculo ou verificação será feito para atender as condições de fissuração (durabilidade). Esta não é a única verificação a ser feita será preciso verificar, além das condições de utilização (fissuração, deformação excessiva) as condições de segurança no estado limite último como por exemplo o estado limite de ruptura à flexão, visto no capítulo 6. De qualquer forma, para se verificar estas condições é preciso conhecer os esforços de protensão que atuam ao longo do elemento considerado. O problema que será discutido em seguida é qual o valor de esforço de protensão que atuará em uma seção genérica S quando aplicado um valor F de protensão na extremidade do cabo de protensão. Ao se efetuar a protensão da armadura não se consegue um esforço constante ao longo da mesma. Vários fatores, entre os quais as técnicas de protensão, influem no esforço efetivo de protensão em cada seção. De uma maneira geral serão discutidos os casos com pós tração (protensão após a concretagem) particularizando-se depois para o caso de pré tração. Há, via de regra, uma diminuição do esforço de protensão ao longo do cabo, cabendo ao projetista calculá-las para que em qualquer seção, combinação de carregamentos ou época na vida da estrutura tanto as condições de utilização como as de estado limite último estejam verificadas. As diminuições do esforço de protensão que ocorrem ao longo dos cdoabos são normalmente chamadas de perdas e podem ser classificadas de imediatas e diferidas ou ao longo do tempo. As primeiras são devidas principalmente a forma como se procede a protensão e das propriedades elásticas do aço e do concreto. As perdas diferidas ou ao longo do tempo se devem às propriedades viscoelásticas tanto do concreto como do aço. As três principais perdas imediatas são: a) perda por atrito (normalmente cabobainha), b) perda por deformação da ancoragem e c) perda por deformação imediata do concreto. Quantos as perdas diferidas podem ser classificadas como: a) perda por retração do concreto, b) perda por efeito de fluência do concreto e c)perda por relaxação da armadura de protensão. Por uma questão didática estudam-se neste capítulo as perdas imediatas deixando para o capítulo 5 a perdas diferidas. Alguns projetistas ou autores preferem considerar que para efeito de projeto as perdas podem ser apenas estimadas cabendo apenas nas verificações finais um cálculo mais detalhado nas verificações finais. Nesta obra se faz o contrário porem nada impede que o leitor inverta o procedimento de cálculo deixando estes dois capítulos para serem empregados no projeto na parte deste, ou seja, nas verificações..


2

4.2 PERDA POR ATRITO CABO-BAINHA (Protensão posterior). Na figura 4.1 é mostrado um trecho curvo de cabo de comprimento ds. Como há a tendência do cabo se retificar haverá no trecho uma ação deste no concreto, com direção radial, conforme pode ser visto no detalhe a) . Estas ações normais provocarão atrito na direção normal. Assim. Se o cabo for tensionado na seção S’ de F+dF na seção S o valor será apenas de F, por haver atrito. Os esforços radiais podem ser decompostos em ações paralelas ao eixo horizontal e vertical como é mostrado na figura B e, supondo distribuição no trecho uniforme (já que o trecho ds é tão pequeno como se quer), pode-se afirmar que as componentes no sentido horizontal se anulam e no vertical se somam. Com este raciocínio, chega-se às forças resultantes mostradas em c): F; F+dF; N (resultante das ações do cabo no concreto) e Fa resultante de atrito que tem direção normal a N.


3

Figura 4.1 a) ações no cabo e no concreto em um trecho ds; b) soma das ações do cabo no concreto; c) ações no cabo e no concreto (considerando as resultantes) Estudando o equilíbrio das forças dadas em 4.1.c tem-se: Segundo o eixo horizontal -------- F . (cos dα/2) - (F+dF) . (cos dα/2)= Fa Como os raios de curvatura dos cabos são grandes (cos dα/2)≈ 1 portanto dF= Fa Segundo o eixo vertical -------- F . (sen dα/2) - (F+dF) . (sen dα/2)= N Como as deflexões nos cabos são pequenas (cos dα/2) ≈ dα/2 (em radianos a precisão é maior) portanto F. dα=N Lembrando que Fa = µ . N (com µ coeficiente de atrito) (Lei de Coulomb) podese escrever: dF= µ . N = µ . F. dα dF = µ . dα F integrando a expressão anterior entre S e S’ chega-se

ou ainda

Fs =Fs’ e-µ.(∆α) onde ∆α é o desvio angular entre as tangentes ao cabo em S e S’, expresso em radianos para melhorar a precisão A expressão anterior aplicada a um cabo reto levaria a concluir que a perda por atrito cabo-bainha seria zero quando na prática verifica-se que mesmo para os cabos projetados como retilíneos há uma perda. Isto se deve, normalmente a maneira de se executar a colocação da armadura. A trajetória de um cabo é definida em alguns pontos (de 2 em 2m, por exemplo) e nestes o cabo é fixados em estribos com diâmetro adequado. Assim, entre um ponto e outro de fixação há desvios de trajetória, no caso do cabo reto há ondulações, chamadas de parasitárias. Para levar em conta tais desvios a fórmula anterior ficará expressa por

Fs =Fs’ e-µ.(∆α+βx)

eq. 4.1

onde β é o desvio parasitário do cabo expresso em radianos por metro linear (x tomado na projeção horizontal) Conforme a NBR 6118:2003 na falta de dados experimentais

β = 0,01µ

adota-se

eq. 4.2


4

Os valores do coeficiente de atrito ainda segundo a norma brasileira estão indicados na tabela 4.1:

Tabela 4.1: Coeficientes de atrito, de acordo com a NBR 6118-2003 Tipos de superficies de atrito

µ

Entre cabo e concreto

0,50

Entre barras ou fios com mossas ou saliências e bainha metálica

0,30

Entre fios lisos ou cordoalhas e bainha metálica

0,20

Entre fios lisos ou cordoalhas e bainhas metálica lubrificada

0,10

Entre cordoalha e bainha de polipropileno lubrificada

0,05

O cabo pode ser protendido através de suas duas extremidades ou apenas de uma delas. Na extremidade em que se introduz a protensão, ou seja, onde o macaco aplica carga, denomina-se de ancoragem ativa ou “viva” e na extremidade que não se aplica esforço denomina-se de ancoragem passiva ou “morta”. Detalhes sobre os dispositivos necessários para executar tais ancoragens serão discutidos mais adiante no capítulo 8. A tensão aplicada pelo macaco na extremidade ativa do cabo é função da tensão de ruptura e de escoamento convencional do aço sendo designada por σpi e com o valor dado no capítulo 3.

EXEMPLO 4.1 Calcular as tensões nos pontos A, B, C, D e E do cabo logo após a efetivação da protensão. Considerar que a tensão inicial de protensão no cabo nas extremidades da peça é de σpi= 120 kN/cm2. Considerar como dados os valores de µ = 0,23; β=0,01rd/m;. Supor que a trajetória do cabo é parabólica (parábola do segundo grau).


5

Figura 4.3 Trajetória do cabo do exemplo 4.1 Para determinar os valores de tensões nos pontos A até E é preciso determinar o angulo formado pelas tangentes ao cabo nos ponto A e B.

Figura 4.4 –Dados geométricos para a determinação do angulo do cabo parabólico do exemplo 4.1

Isto pode ser feito usando a propriedade da parábola do segundo grau na qual o valor da tangente extrema é dada pela razão de duas vezes a flecha dividida pelo comprimento do cabo (ver figura 4.5) assim: tg α =

2f a

2x0,9 resultando em α=6,840 ou α=0,11942 rd 15


6

Figura 4.5. Propriedade da tangente extrema da parábola do segundo grau.

Tabela 4.2: Valores das tensões após o atrito

Seção Distância (m) ∆α (O) A 0 0 B 15 6,84 C 24 6,84

∆α (rad) e − µ ( ∆α + βx ) σs=σs´ e − µ ( ∆α + βx ) (kN/cm2) 0 1 120,0 0,11942 0,999 112,8 0,11942 0,997 110,5

Por simetria (pois o traçado do cabo é simétrico e são duas ancoragens ativas) as tensões no cabo nos pontos D e E serão iguais, respectivamente, às dos pontos B e A. EXEMPLO 4.2 Resolver o problema anterior considerando os mesmo dados

supondo apenas que a trajetória do cabo é circular. Para resolver basta agora determinar o valor do angulo α que pode ser obtido de duas projeções (ver figura 4.6)


7

Figura. 4.6 – Geometria do cabo de arco de circulo

R- R.cosα= b-c mas b-c=f (ver Figura 4.5) R.cosα= R-f e com R.senα = a elevando-se ao quadrado cada uma das expressões (R.cosα)2 =( R -f)2 e (R.senα)2 = a2 e somando estas duas expressões chega-se a R2=R2-2Rf+f2+a2 e Assim,

sen α =

2af a + f 2

2

=

2 ⋅ 15 ⋅ 0,9 0,9 2 + 15 2

R= a2+f2/(2f)

α = 6,86 0

Como pode ser visto pelo resultado obtido o valor do ângulo é praticamente igual e portanto pode-se considerar as tensões obtidas no exemplo anterior.

EXEMPLO 4.3 Calcular a força de protensão ao longo de um cabo de cordoalha engraxada com φ=12,7 mm (Aço CP190RB) que tem a trajetória dada na figura 4.6. Considerar o coeficiente de atrito µ=0,05 e β=0,01rd/m e para o valor da tensão de protensão o máximo valor permitido pela NBR6118:2003.


S4

S5

11.36 5.56

S3

5.68 2.78

11

S2

1.27

11

h=22

AV S0 S1

L2=235

S6

L4=115

S8

S7

AM S10

S9

1.27

11

5.68 2.78

11.36 5.56

S5

L3=235

11

L1=115

h=22

100

L4=115

L3=235

L2=235

L1=115

100

Figura 4.7. Traçado do cabo de cordoalha engraxada. Pelo capítulo 3 o valor máximo da força de protensão para o aço CP190 é de : σpi = 0,74.fptk = 0,74 x 1870 =1406 MPa σpi = 0,82.fpyk = 1680 x 0,82 = 1344 MPa como a cordoalha de ½” tem área de 1 cm2 a força inicial será Fpi = 137,7 kN A partir do traçado adotado na figura 4.6 pode-se obter os valores do desvio angular do cabo.

tgα i =

2ei li

8


Tabela 4.3: Excentricidades, comprimento e ângulos dos trechos do cabo Seção

S1-S2

S2-S3

S3-S4

S4-S5

e (cm)

2,78

5,68

11,36

5,56

l (m)

1,15

2,35

2,35

1,15

α (0 )

2,77

2,77

5,52

5,52

Perda por Atrito: Fs =Fs’ e-µ.(∆α+βx) Dados: β= 0,01 rad/m e µ = 0,05 (cordoalha engraxada) e Fs = 134400 kN Os valores das tensões em cada trecho após as perdas devido o atrito são mostradas na tabela 6:

Tabela 4.4: Valores das Forças após o atrito Seção x(m) D x(m) Sext 0 0 S0 1 1 S1 1,15 2,15 S2 2,35 4,5 S3 2,35 6,85 S4 1,15 8 S5 1,15 9,15 S6 2,35 11,5 S7 2,35 13,85 S8 1,15 15 S9 1 16

α ( O) 0 0 2,77 2,77 5,52 5,52 5,52 5,52 2,77 2,77 0

∆α ∆α ( O ) (rad) 0 0 2,77 5,54 11,06 16,58 22,1 27,62 30,39 33,16 33,16

0,00 0,00 0,05 0,10 0,19 0,29 0,39 0,48 0,53 0,58 0,58

e-µ.(∆α+βx)

Fs’ e-µ.(∆α+βx) MPa

1,00 1,00 1,00 0,99 0,99 0,98 0,98 0,97 0,97 0,96 0,96

O Gráfico da figura 4.7 mostra as tensões ao longo do cabo:

137,7 137,6 137,2 136,7 135,9 135,2 134,5 133,6 133,2 132,8 132,7

9


10

Tensão considerando atrito 1380

s (MPa)

1370 1360 1350 1340 1330 1320 0

2

4

6

8

x (m)

10

12

14

16

Tensão considerando atrito

Figura 4.8 Tensões ao longo do cabo. O fato de ser cordoalha engraxada faz com que a perda seja pequena e o fato de não haver aderência posterior não exclui o cálculo da perda por atrito.

EXEMPLO 4.4 Calcular a força de protensão na seção do ponto 2 do cabo dado de 12 φ1/2” na figura 4.8 em que é usada aderência posterior e cuja força de protensão nas duas extremidades é de 1498 kN. Considerar o coeficiente de atrito µ=0,20 e β=0,01rd/m.

ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO Cap. 4 Perdas de protensão imediatas ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------500 cm

2000 cm

1000 cm

1000 cm

500 cm

10

Ancoragem

4

Ativa A

11

B

Ancoragem Ativa

3

1 2

10

8

Figura 4.8 – Trajetória esquemática do cabo. Como se trata de cabo assimétrico e com duas ancoragens ativas vamos, para efeito de raciocínio considerar que a protensão seja feita apenas pelo lado esquerdo e depois apenas pelo lado direito (tabelas 4.5 e 4.6).

Tabela 4.5 Protensão à esquerda: Seção x(m) D x(m) A 0 0 1 5 5 2 20 25 3 10 35 4 10 45 B 5 50

α ( O) 0 0 8 10 10 0

∆α ( O ) 0 0 8 18 28 28

∆α (rad) 0,00 0,00 0,14 0,31 0,49 0,49

e-µ.(∆α+βx) 1,00 0,99 0,93 0,88 0,83 0,82

Fs’ e-µ.(∆α+βx) kN 1498 1483 1386 1312 1242 1229

Tabela 4.6 Protensão à direita: Seção x(m) D x(m) B 0 0 4 5 5 3 10 15 2 10 25 1 20 45 A 5 50

α ( O) 0 0 10 10 8 0

∆α ( O ) 0 0 10 20 28 28

∆α (rad) 0,00 0,00 0,17 0,35 0,49 0,49

e-µ.(∆α+βx) 1,00 0,99 0,94 0,89 0,83 0,82

Fs’ e-µ.(∆α+βx) kN 1498 1483 1404 1329 1242 1229


12

Variação da força ao longo do cabo esquerda Protensão direita

1600

Força (kN)

1500 1400 1300 1200 1100 1000 0

5

10

15 20 25 30 35

40 45 50

x (m) Figura 4.9 – Força ao longo cabo, considerando protensão apenas à esquerda e protensão apenas à direita. Pela análise da figura 4.9 percebe-se que o ponto 1, se considerada apenas a protensão a esquerda, o valor da força seria de 1483 kN e 1242 kN de protensão a direita, porem é óbvio que o ponto em questão se deslocará para esquerda e portanto será afetado pela protensão à esquerda. Por este raciocínio percebe-se que existe um ponto que não move nem para esquerda como para direita, ou ainda, as duas protensões (à esquerda e à direita) afetam o ponto da mesma forma. Este ponto é chamado de indeslocável ao atrito. Para responder então a questão do problema basta usar a expressão do atrito pela esquerda e pela direita e usar o maior valor.Assim, Fs2, esquerda =1489 e-0,20.(0,14+0,01.25) = 1386 kN Fs2, esquerda =1489 e-0,20.(0,35+0,01.25) = 1329 kN Com a resposta Fs2 = 1386 kN Notar que a perda por atrito ocorre somente nos casos da pós protensão pois no caso da pré-tração pois neste caso quando a armadura é estirada não há contato desta armadura com outro material.


13

4.3 Perda por deformação da ancoragem Quando se efetiva a ancoragem de um cabo há sempre um pequeno retrocesso no cabo que estava esticado, provocando uma queda de tensão no mesmo (ver Figura 4.10). AV 1

1

4

2

dx 4 2

3 L

x (m)

Figura 4.10 – Tensão ao longo cabo antes da ancoragem (1-4-2) e após a ancoragem (3-4-2). Na figura 4.10 tem-se o desenvolvimento das tensões em um cabo antes de ser ancorado (trecho1-2). Após a ancoragem o desenvolvimento da tensão fica sendo o trecho de 3-4-2, resultando então uma queda de tensão na região 1-4. A queda de tensão no início vale ∆σ e vai diminuindo até que no ponto 4 torna-se zero. A queda de tensão decresce porque o atrito cabo-bainha impede a livre movimentação do cabo para o “interior” da estrutura. Os pontos entre 4 e 2 não se movimentam durante a operação de ancoragem e portanto neste trecho não se verifica queda de tensão. Analisando um trecho dx do cabo tem-se:

σ = E.ε e ε =

∆(dx ) dx

onde σ é a perda de tensão no cabo devido a acomodação da ancoragem e ∆(dx) é o encurtamento do trecho do cabo, devido a acomodação de ancoragem. Assim

σ =

∆(dx ).E dx

ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO Cap. 4 Perdas de protensão imediatas ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------L

14

L

1 σ ⋅ dx = ∫ ∆(dx ) E ∫0 0 sendo o termo a direita desta última expressão o encurtamento total que o cabo sofre durante a ancoragem e vale ∆l. O termo a esquerda é área do elemento 1-3-4, dividida por E. Os valores deste encurtamento são fornecidos pelos fabricantes das ancoragens ou sistemas de protensão e podem ser obtidos experimentalmente. No sistema VSL e Rudloff este encurtamento para cabos de 12φ1/2” vale 6 mm.

EXEMPLO 4.5 Calcular a tensão de protensão ao longo do cabo dado na figura 4.11 após a ancoragem do mesmo. Considera que é usada aderência posterior e a tensão de protensão na extremidade ativa é de 1377 MPa, coeficiente de atrito µ=0,20, β=0,01rd/m, ∆L=6mm.e Ep=200000 MPa. 1000 cm

500 cm Ancoragem

2000 cm

500 cm

8

Ativa

4

1000 cm

Ancoragem

1

Passiva B

A 2

4 3

8

8

Figura 4.11 – Desenho esquemático de cabo do problema 4.5. O problema se resolve por tentativas. Para resolver o problema em questão considerando a perda por ancoragem é preciso considerar inicialmente a perda por atrito (Tabela 4.7).

TABELA 4.7 – Tensão ao longo do cabo após perda por atrito Seção x(m) A 0 1 5 2 10 3 10 4 20 B 5

D x(m) 0 5 15 25 45 50

α ( O) 0 4 8 8 8 0

∆α ( O ) 0 4 12 20 28 28

∆α (rad) 0,00 0,07 0,21 0,35 0,49 0,49

e-µ.(∆α+βx) 1,00 0,98 0,93 0,89 0,83 0,82

Fs’ e-µ.(∆α+βx) kN 1377 1312 1251 1192 1114 1103


15

A representação da tensão após a perda por atrito pode ser vista na figura 4.11, onde é mostrada também como seria o desenvolvimento das tensões considerando o ponto indeslocável ancoragem como o ponto 2 (L=15 m).

Tensão ao longo do cabo 1400

Tensão MPa

1300 1200 1100 1000 900 800 700 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

x (m) Figura 4.11 – Tensão ao longo do cabo considerando a perda por atrito e o efeito da ancoragem até L=15 m. TENTATIVA 1

Considerando que a perda de tensão devida a ancoragem influencie até o ponto 2, ou seja l=15m. A área a ser calculada do gráfico será chamada de Ω1 cujo valor será dado por: Ω1 =

(1377 − 1281) + (1344 − 1281) (1344 − 1281) ⋅ 2 ⋅ 500 + ⋅ 2 ⋅ 1000 = 142500 2 2

∆L. Ep =0,6 x 200000 =120000 < Ω1=132500

Isto significa que o ponto “indeslocavel” à ancoragem está à esquerda do ponto 2 (L=15 m) . TENTATIVA 2

Considerando o ponto indeslocável o ponto 1 tem-se (1377 − 1344) ⋅ 2 ⋅ 500 = 16500 2 ∆L. Ep =0,6 x 195000 =117000 >. Ω2=16500 Ω2 =


Desta forma o ponto indeslocável está entre o ponto 1 e 2.

FINAL Ω3 =16500 + ∆σ . 500 + ∆σ . L0/2 =∆L.Ep =120000 Geometricamente (ver figura 4.12) pode-se escrever: L ∆σ = 0 . L0= 7,936 .∆σ 2 ⋅ (1244 - 1281) 1000 3,963 ∆σ2 +∆σ . 500 –103500 = 0 ∆σ = 110 MPa e L0 = 873 cm

1 1

L0 2

2

3

4

L x (m)

Figura 4.12 – Tensões ao longo do cabo e relações geométrica entre tensões e comprimentos. TABELA 4.8 – Tensão ao longo do cabo após perda por atrito Tensão com perda por Tensão com perda PONTO atrito por ancoragem (MPa) (MPa) A

1377

1201

1

1312

1234

2

1251

1251

3

1192

1192

4

1114

1114

B

1103

1103

e assim

σA = 1377-((1377-1344)x2+110)) = 1201 MPa.

16


17

σB = 1355-110 = 1234 MPa. Finalmente na tabela 4.8 estão indicados os valores das tensões ao do cabo após as perdas por atrito e deformação da ancoragem e o diagrama de tensão ao longo do cabo na figura 4.12.

Tensão ao longo do cabo 1400

Tensão MPa

1300 1200 1100 1000 900 800 700 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

x (m) Figura 4.13 – Tensão ao longo do cabo considerando a perda por atrito e o efeito da ancoragem situação final. EXEMPLO 4.6 Calcular a força de protensão ao longo de um cabo de cordoalha engraxada com φ=12,7 mm (Aço CP190RB) que tem a trajetória dada na figura 4.6 (ver exemplo 4.4) após a ancoragem. Considerar o coeficiente de atrito µ=0,05, β=0,01rd/m,

∆l = 6 mm, Ep=2,0x105 MPa e para o valor da tensão de protensão σpi = 1377 MPa.

A partir do exemplo 4.4 tem-se os valores de tensão no cabo, cuja área é 1 cm2 e o traçado adotado na figura 4.6 pode-se obter os valores do desvio angular do cabo. Os valores da tensão após a perda por atrito já foram obtidos no exemplo 4.3 e os valores


18

indicados são os mesmos da tabela anterior 4.4 representados novamente aqui na tabela 4.9.

Tabela 4.9: Valores das Tensões após a perda por atrito Seção x(m) Sext 0 S0 1 S1 1,15 S2 2,35 S3 2,35 S4 1,15 S5 1,15 S6 2,35 S7 2,35 S8 1,15 S9 1

D x(m) 0 1 2,15 4,5 6,85 8 9,15 11,5 13,85 15 16

O

α( ) 0 0 2,77 2,77 5,52 5,52 5,52 5,52 2,77 2,77 0

∆α ∆α ( ) (rad) O

0 0 2,77 5,54 11,06 16,58 22,1 27,62 30,39 33,16 33,16

0,00 0,00 0,05 0,10 0,19 0,29 0,39 0,48 0,53 0,58 0,58

e-µ.(∆α+βx) 1,00 1,00 1,00 0,99 0,99 0,98 0,98 0,97 0,97 0,96 0,96

Fs’ e-µ.(∆α+βx) MPa 137,7 137,6 137,2 136,7 135,9 135,2 134,5 133,6 133,2 132,8 132,7

TENTATIVA 1 Como os valores de perda por atrito são pequenos considera-se inicialmente que o ponto indeslocável à ancoragem seja o ponto 9 (último ponto). A área a ser calculada do gráfico será chamada de Ω1 cujo valor será dado por:

Ω1 =

(1377 − 1327) + (1376 − 1327) (1376 − 1327) + (1372 − 1327) ⋅ 2 ⋅ 100 + ⋅ 2 ⋅ 115 + 2 2 (1367 − 1337) + (1359 − 1237) (1372 − 1227) + (1367 − 1327) ⋅ 2 ⋅ 235 + ⋅ 2 ⋅ 235 + 2 2

(1359 − 1327) + (1352 − 1327) (1353 − 1327) + (1345 − 1327) ⋅ 2 ⋅ 115 + ⋅ 2 ⋅ 115 + 2 2 (1336 − 1327) + (1332 − 1327) (1345 − 1327) + (1336 − 1327) ⋅ 2 ⋅ 235 + ⋅ 2 ⋅ 235 + 2 2 (1328 − 1327) + (1327 − 1327) (1332 − 1327) + (1328 − 1327) ⋅ 2 ⋅ 115 + ⋅ 2 ⋅ 100 = 79501 2 2

∆L. Ep =0,6 x 200000 =120000 > . Ω1=79501

FINAL


19

Ω2 = ∆σ . 1600 +79501 =120000 ∆σ = 25,30 MPa Assim a tensão em um ponto s será dada por

σp,s = σ p,s – (2.(σ p,s-1327)+ ∆σ) Os valores finais da protensão após a perda de ancoragem são mostrados na tabela 4.10 e o gráfico da figura 4.13 mostra o desenvolvimento das tensões.

Tabela 4.10: Tensões finais Seção

Tensão atrito (MPa) 1377 1376 1372 1367 1359 1352 1345 1336 1332 1328 1327

Sextr S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9

Tensão Final (MPa) 1226 1227 1231 1236 1244 1252 1259 1267 1272 1276 1276

Tensão no cabo antes e após a ancoragem 1360 1340

s (MPa)

1320

Tensão considerando atrito

1300 1280

Tensão após a ancoragem

1260 1240 1220 0

2

4

6

8

10

12

14

16

x (m)

Figura 4.12 – Tensão ao longo do cabo considerando a perda por atrito e o efeito da ancoragem.


20

EXEMPLO 4.7 Calcular a perda da força de protensão em uma pista de 50 m de protensão com aderência inicial em que se utilizará cordoalhas de protensão e o dispositivo de ancoragem tem um alongamento quando da sua fixação de ∆l = 6 mm.

SOLUÇÃO Quando se emprega a protensão com aderência inicial o que se faz é aplicar a protensão na armadura antes da concretagem.Estando uma das extremidades dela presa, por exemplo na direita (ver figura 4.13 a primeira ilustração a cima) coloca-se o macaco na outra extremidade e efetua-se a protensão distendendo-se a armadura de λ (segundo esquema da figura 4.130), promovendo-se em seguida a ancoragem dos cabos (ver terceiro esquema e detalhe 1). Neste instante há a tendência da armadura voltar a condição anterior e o cone macho introduzido reagindo contra o cone fêmea terá a função de evitar o retorno da armadura. Porem existe uma acomodação que fará com que ocorra um retorno de ∆L que fará com em toda extensão o cabo tenha uma perda de protensão. Colocação da armadura

Protenssão da armadura

Det. 1

Perspectiva

L

Cone Macho Cordo

Corte Lateral

Det. 1

Ancoragem da armadura

Cone Fêmea Vista frontal

Concretagem da peça

1

1

Transferencia do esforço

Figura 4.13 – Esquema das etapas da execução da pré-tração em uma pista de protensão.


21

Assim sendo uma pista de 50m e a acomodação da ancoragem de ∆L=0,6 cm o valor do alongamento correspondente é de:

ε=

0,6 ∆L = = 0,012% L 5000

Usando a Lei de Hooke e com Ep=2,0x105 MPa tem-se a perda de:

∆σ=200.000 x 0,00012= 24 MPa. 4.4 Perda por deformação imediata do concreto durante a protensão Há dois casos a considerar o da protensão com aderência posterior e com aderência inicial. Quando se executa a protensão de uma peça com aderência posterior é comum faze-lo por etapas, ou seja, em uma peça com nove cabos é comum protender e ancorar o cabo 1 depois o 2 e assim por diante até chegar no último cabo (neste caso o cabo 9). Sabendo que quando um cabo é submetido a uma força de protensão provoca uma deformação elástica no concreto (via de regra um encurtamento) que provocará uma perda de protensão nos demais cabos já protendidos. Desta forma no exemplo dos 9 cabos o primeiro sofreria perda devido a protensão dos 8 cabos protendidos subseqüentemente, o cabo 2 dos 7 cabos protendidos após ele e assim sucessivamente até que o último cabo não sofreria perda alguma por deformação imediata do concreto. No caso de haver apenas um cabo na peça, ou mais que um, mas todos protendidos ao mesmo tempo, não se tem perda alguma de protensão por deformação imediata do concreto (no caso de pós tração), Um problema para a determinação da perda por deformação elástica é que quando se protende os cabos em seqüência não se costuma injetar a nata de cimento imediatamente. Normalmente espera-se efetuar a protensão de todos os cabos, verificar a eficiência da protensão comparando os alongamentos medidos na obra com os previstos no cálculo (ver capítulo ) para depois injetar a nata de cimento. Desta forma não pode com certeza assegurar em uma seção intermediária qual é o esforço transmitido por um cabo. A favor da segurança o cálculo pode ser feito considerando como se houvesse aderência entre cabo e o concreto. Quando os cabos de protensão estão concentrados próximos um ao outro e têm trajetórias semelhantes pode-se trabalhar com um cabo resultante que estaria situado no centro de forças dos demais cabos e teria como força a soma das forças dos demais cabos. Este procedimento (uso do cabo representante) facilita os cálculos principalmente aqueles relativos a pré-dimensionamento. Nesta situação invés de calcular perda de cabo por cabo é preferível estabelecer uma perda média e aplica-la ao cabo representante. Esta perda seria igual à soma de todas as perdas divididas pelo número de cabos. Para a determinação da expressão da perda média analisa-se inicialmente uma situação específica e simples que pode depois ser extendida para outras mais complexas e gerais.


22

Imaginando que n cabos de uma, dispostos no mesmo nível (mesta distância ao cg da peça) são protendidos seqüencialmente como mesmo esforço e provoquem cada um deles portanto um encurtamento (que é proporcional a perda que os cabos protendidos anteriormente sofrerão) εc no concreto. A tabela 4.11 mostra a perda (ou o encurtamento que cada cabo sofre após a protensão de um cabo genérico i. Basicamente ao se protender o cabo genérico i todos os cabos de 1 até i-1 sofrerão perda devido a esta protensão enquanto o próprio cabo i e os protendidos posteriormente nada sofrerão. Os cabos de i:+1 até n não estão solidarizados ao concreto e o próprio cabo não sofre perda devido a sua própria protensão mesmo que o concreto encurte de εc nesta etapa.

TABELA 4.11 PERDA DE PROTENSÃO POR DEFORMAÇÃO IMEDIATA DO CONCRETO SOFRIDA EM CADA CABO QUANDO HÁ PROTENSÃO SEQUENCIADA Perda sofrida no cabo (proporcional ao encurtamento no concreto provocado pelo cabo protendido) Cabo protendido

1

2

3

i

n-1

n

1

--

--

--

--

--

--

2

εc

--

--

--

--

--

3

εc

εc

--

--

--

--

i

εc

εc

εc

--

--

--

n-1

εc

εc

εc

εc

--

--

n

εc

εc

εc

εc

εc

--

Soma de perdas

(n-1) εc

(n-2) εc

(n-3)εc

(i-1) εc

εc

0

↓

Como pode ser visto os cabos sofrem perda de tensão deiretamente e linearmente proporcional a (n-1) εc para o primeiro cabo e zero para o último (verificar a última linha da tabela 4.n) e os valores da perda formam uma progressão aritmética. Assim somando as perdas dos n cabos e divididindo-se pelo numero de cabos n chega-se a:

 0 + (n − 1)ε c  ∆σp, total = k  n 2n  


23

onde ∆σp, total - é a perda média sofrida pelo cabo representante k – constante que transforma o encurtamento em tensão n – número de etapas de protensão, neste caso igual ao número de cabos Chamando agora ε c* como sendo o encurtamento provocado por todos os cabos tem-se ∆σp, total = k  1  Ec

ε c* = 

  x 

Np A

 N p N pe   + e I   A

Com Np – força total de protensão (soma de todos os cabos) A- Área da seção transversal analisada e- excentricidade do cabo representante (distância ao cg da peça da força resultante de protensão). I-

Momento de inércia da seção considerada

Ainda se quiser pode ser considerado o momento de peso próprio mobilizada M a expressão final fica, considerando que a deformação específica do concreto é a mesma que a do aço e que α= Ep/Ec poder ser

 N p N p e 2 Me  (n − 1)  ∆σp, médio = α  + −  A  2n I I  

Segundo o Projeto de Revisão da NBR 6118-2003, a perda de tensão média de protensão, devida à relaxação do aço de protensão, pode ser obtida pela seguinte expressão:

∆σp =

α p (σ cp + σ cg )(n − 1) 2n


24

Sendo, σcp – tensão inicial no concreto no nível do baricentro da armadura de protensão, devida à protensão simultânea dos n cabos;

σcg – tensão no concreto no nível do baricentro da armadura de protensão, devida à carga permanente modificada pela protensão ou simultaneamente aplicada com a protensão;

αp – relação entre os módulos de elasticidade de armadura ativa e do concreto, na data do ato da protensão. De modo geral as perdas devido à deformação imediata do concreto são pequenas, podendo até mesmo ser desprezadas.

EXEMPLO NUMÉRICO 4.7 Calcular a perda de protensão por deformação imediata do cabo representante dos 16 cabos que atuam na seção de extremidade da peça (seção onde se dá a ancoragem ativa dos mesmos) cuja seção transversal está indicada na figura 4.14. Considerar que a tangente a trajetória dos cabos (todos) na seção é horizontal e que a força nos mesmos após a ancoragem é de 1400 kN. Considerar ainda como dados os valores das características de seção A=6,15 m2, I=1,683 m4, yi=0,8595m e h=1,30 m. Considerar ainda que a relação entre os módulos de elasticidade aço de protensão e concreto seja igual a αp=7.

Figura 4.14- Seção transversal de extremidade em que serão protendidos e ancorados seqüencialmente 16 cabos (cotas em cm) SOLUÇÃO

Como se trata de seção de extremidade da peça, onde se dá a ancoragem dos cabos, não há momento fletor atuante a não ser o causado pela protensão (momento isostático de protensão). O cabo representante estará situado no centro de forças de protensão a uma distância do bordo superior yp dado pela expressão:


yp=

∑N y ∑N i

i

i

=

25

2 ∗ 1400 ∗ 0,20 + 2 ∗ 1400 ∗ 0,50 + 2 ∗ 1400 ∗ 0,80 + 2 ∗ 1400 ∗ 1,00 = 0,65m 8 ∗ 1400

como ys=h-yi=1,30-0,8565=0,4405m o valor da excentricidade do cabo representante fica dado por: e= 0,65-0,4405=0,2095m e finalmente a perda média

 N p N p e 2 Me  (n − 1)  + − ∆σp, médio =α  =7  A  2n I I  

 16 ∗ 1400 16 ∗ 1400 ∗ 0,2095 2  + 1,683  6,15

 (16 − 1)   2 ∗ 16

∆σp, médio =21100 kN/m2=21,1 MPa Neste caso não há duvida em se empregar a expressão pois realmente há aderência entre as ancoragens dos cabos e o concreto vizinho a ela e portanto a hipótese

εp = εc . EXEMPLO NUMÉRICO 4.8 Calcular a perda de protensão por deformação imediata do cabo representante dos 16 cabos que atuam na seção intermediária de uma peça cuja seção transversal está indicada na figura 4.13. Considerar que as tangentes as trajetórias dos cabos (todos) na seção são horizontais e que a força nos mesmos após a ancoragem é de 1200 kN. Considerar ainda como dados os valores das características de seção A=4,845 m2, I=1,15 m4, yi=0,76m, h=1,30 m, momento de peso próprio Mg1=8090 kN.m. Considerar ainda que a relação entre os módulos de elasticidade aço de protensão e concreto seja igual a αp=7.

Figura 4.13- Seção transversal intermediária de uma peça em que serão protendidos seqüencialmente 16 cabos (cotas em cm) SOLUÇÃO Como se trata de seção de seção intermediária há a possibilidade de se mobilizar o peso próprio através da protensão, se o momento isostático de protensão for maior queo de peso próprio há necessidade de considerar a atuação de ambos.


26

O cabo representante estará situado no centro de forças de protensão a uma distância do bordo inferior yp dado pela expressão: yp=

∑N y ∑N i

i

i

=

3 ∗ 1240 ∗ 0,105 + 2 ∗ 1240 ∗ 0,245 + 2 ∗ 1240 ∗ 0,385 + 1 ∗ 1240 ∗ 0,525 = 0,2625m 8 ∗ 1240

conduzindo a uma excentricidade de: e= yi-yp= 0,76-0,2625=0,4975m e um momento isostático de Mi,p= 16x1240x0,4975=9870,4 kN.m que é maior que o momento de peso próprio mostrando que este (momento de peso próprio) será mobilizado devendo ser portanto considerado. Finalmente a perda média  N p N p e 2 − Me  (n − 1)  ∆σp, médio =α  = +  A  2n I    16 ∗ 1240 16 ∗ 1240 ∗ 0,4975 2 − 8090 ∗ 0,4975  (16 − 1)  + ∆σp, médio =7  1,15  4,845  2 ∗ 16 ∆σp, médio =15960 kN/m2=15,96 MPa

Neste caso há duvida em se empregar a expressão, pois realmente não há aderência entre os cabos e o concreto, a não ser por atrito e portanto a hipótese εp = εc é só aproximada. No caso da pré tração é fácil entender, olhando o esquema da figura 4.13, que após a liberação da protensão e portanto a após a atuação da força Np de protensão haverá um encurtamento ∆l que provocará um aperda na armadura igual a :  N p N p e 2 Me   + − ∆σp = α   A  I I  

com os mesmos significados que no caso da pós tração e considerando que o momento de peso próprio M mobilizado pode se desprezado.


27

60

d=55

EXEMPLO NUMÉRICO 4.8 Calcular a perda de protensão por deformação imediata dos cabos de uma viga submetida a pré tração com a seção transversal é dada na figura 4.14 em que se usou 3 cordoalhas de Ø1/2” de aço CP190 RB. Considerar ainda que a relação entre os módulos de elasticidade aço de protensão e concreto seja igual a αp=7.

20 Figura 4.14- Seção transversal para o exemplo 4.8. SOLUÇÃO

A tensão inicial de protensão é dado por σpi = 0,82x0.9 fptk ≈ 1383 MPa Assim Np = 3 x 1 x 138,3= 514,9 kN e com e=0,55-0,30=0,25 m   514,9 514,9 ⋅ 0,25 2 ∆σp = 7  +  0,2 ⋅ 0,6 0,2 ⋅ 0,6 3  12 

   = 92.618 kN/m2=92,6 MPa   

Na verdade o valor da força de protensão a ser aplicado na peça deveria ser descontada da relaxação da armadura no período de endurecimento do concreto cujo cálculo será visto no próximo capítulo.

ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO Cap. 5. Perdas de protensão ao longo do tempo ROBERTO CHUST CARVALHO

1

CAPÍTULO 5- PERDAS DE PROTENSÃO AO LONGO DO TEMPO 5.1 INTRODUÇÃO Assim como durante a operação de protensão a tensão ao longo de um cabo se altera, em geral, diminuindo devido às perdas imediatas devido aos fenômenos reológicos que estão sujeitos tanto concreto como o aço. Assim as características mecânicas e elásticas destes materiais variam ao longo do tempo quando solicitados seja por esforço ou por deformação. Os principais fenômenos reológicos são a retração e fluência do concreto e a relaxação da armadura. A armadura de protensão adquire a maior parte de seu esforço a partir de seu estiramento que é mantido através da sua ancoragem à estrutura de concreto ou através a aderência a mesma (armadura estrutura de concreto). Assim se a estrutura de concreto se deforma (se encurta no caso) ao longo do tempo parte do estiramento da armadura desaparecerá, ou seja, haverá uma perda de protensão da armadura. Estas perdas se dão portanto devido à retração e à fluência do concreto. Já quando a armadura é estirada e mantida desta forma há uma tendência da tensão da mesma diminuir com o tempo o que causaria a perda por relaxação do aço. Conceituando de forma simplista a retração é a variação volumétrica que o concreto sofre depois de endurecido. Na verdade a retração começa ocorrer logo após o lançamento do concreto, porém para determinar a perda que causa só interessa a parte do fenômeno que ocorre depois da atuação da protensão. De uma maneira geral a retração é devida principalmente devido a saída da água que não reage com o cimento (água em excesso). Desta forma pode-se perceber que além do tempo as variáveis que interferirão no processo são a temperatura e umidade do ambiente além da espessura da peça e a quantidade de água (em geral avaliada pela plasticidade do concreto). Lembrar que todo concreto é poroso porém há também outras propriedades tais como a comunicação entre os poros que afetariam a questão da permeabilidade e portanto da saída da água. Assim da forma como é definida a retração ela não depende da introdução de ações o fenômeno ocorre mesmo que o concreto esteja com estado de tensão, devido às ações externas, nulo porém a armadura existente na peça de concreto armado ou protendido impede a retração livre da peça embora na maioria das vezes este efeito seja desprezado. Assim, quando se considera a retração ocorrendo sem que haja impedimento às deformações provocadas dizse tratar de fluência livre e são estes valores que, em geral, as experiências apresentam chamando-se a atenção que, na prática, é praticamente impossível isto ocorrer. Para entender a fluência pode-se, entre outros modelos, associar-se um elemento linear de concreto como sendo um conjunto, colocado em série, de uma mola associada a um pistão com líquido viscoso dentro e com pequenos furos na outra extremidade. Introduzindo um carregamento (força axial P ver figura 5.1) ocorrerá uma deformação imediata (a0), devida a deformação da mola, e uma deformação que vai ocorrendo com o escape do fluído pressionado dentro do pistão através dos pequenos orifícios. Devido a viscosidade do fluído e a pequena dimensão dos furos está deformação cresce lentamente com o tempo chegando até a∞.


2

∞

Fig. 5.1 Modelo teórico de analogia do concreto para explicar a fluência do concreto armado e a variação do deslocamento ao longo do tempo Assim como no caso da retração livre a fluência pura é aquela devida a uma ação introduzida no tempo t0 e mantida constante ao longo do tempo, porem a protensão devido a própria perda por fluência e à retração varia e diminui ao longo do tempo, assim a fluência na prática não é a pura embora os valores desta podem ser considerados a favor da segurança, pois são maiores que a relativa à fluência não pura. Outro detalhe importante é que as ações que provocam a fluência tem caráter permanente, ou seja, as ações acidentais têm curta duração e não provocariam a deformação ao longo do tempo, porem para edificações residenciais e comercias pode-se considerar a combinação quase permanente da NB1 como a causadora da fluência e portanto os efeitos de p (protensão) g1 (ação de pesos próprio), g2 (sobrecarga permanente) e 20% de q (carga acidental). Finalmente a fluência fenômenos Quando a armadura é estirada surge a tensão de protensão que com o tempo irá caindo pela propriedade da relaxação do material. Se o alongamento for mantido constante ter-se-á a relaxação pura que como no caso da fluência é maior da que ocorre com a variável. A perda por relaxação depende fundamentalmente da tensão em que está estirada a armadura porem assim como no caso da fluência decresce devido as outras perdas e inclusive a própria, haverá uma perda menor que a devida a relaxação pura. Por último como todas as perdas dependem de deformação do concreto e do aço a aderência entre eles tem muita importância e, por exemplo, no caso de cordoalhas engraxadas as perdas seriam calculadas para a seção da ancoragem.e a favor da segurança considerada a mesma para as demais seções. Nos itens seguintes serão descriminadas as expressões que permitem calcular as perdas devidas à retração fluência do concreto e a relaxação da armadura.

5.2-Deformações


3

Ponto fundamental para equacionar as perdas ao longo esta no cálculo das deformação tanto no aço como no concreto e depois compatibiliza-las. Nos próximos itens são mostradas os valores das deforações específicas que podem ocorrer nestes materiais. 5.2a Deformações do Concreto Quando não há impedimento à livre deformação do concreto, e a ele é aplicada, no tempo to, uma tensão constante no intervalo t - to sua deformação total, no tempo t, vale: ec (t) = ec (to) + ecc (t) + ecs (t)

(5.1)

onde: ec (to) = σc (to) / Ec (to) = deformação imediata, por ocasião do carregamento, com Ec (to) (neste caso módulo de elasticidade do concreto tangente) calculado pela equação 5.2, dada a seguir para j = to. Ecs = 4760 fcj1/2 (unidades em MPa)

(5.2)

ecc (t) = [σc (to) / Ec28] ϕ (t, to)= deformação por fluência, no intervalo de tempo (t, to), com Ec28 calculado pela mesma equação para j = 28 dias. ϕ (t, to) = coeficiente de fluência no período t0 até t ecs (t) = deformação por retração, no intervalo de tempo (t, to) Quando há variação de tensão ao longo do intervalo, induzidas por ações externas ou agentes de diferentes propriedades reológicas (incluindo-se armadura, concretos de diferentes idades, etc), a deformação total no concreto pode ser calculada por: ε c (t ) =

t ∂σ  1 σc (t o ) σc (t o ) ϕ(τ, t o )  c   dτ + ϕ(t,t o ) + εcs (t,t o ) + ∫ +  Ec (t o ) Ec 28 Ec28  τ = t o ∂τ  Ecτ

(5.3)

em que os três primeiros termos representam a deformação não impedida e a integral, os efeitos da variação de tensões ocorridas no intervalo. Permite-se substituir a expressão (5.3) por  1  1 ϕ (t,t o )  αϕ (t,t o )  ε c (t ) = σ c (t o ) + +  + ε cs (t,t o ) + ∆σ c (t o )   ( ) ( ) E t E E t Ec 28  c 28   c o  c o

em que:

(5.4)


4

∆σc (t, to) = variação total de tensão no concreto, no intervalo (t, to), e α = coeficiente característico que tem valor variável conforme o caso No cálculo de perdas de protensão de casos usuais onde a peça pode ser considerada como concretada de uma só vez e a protensão como aplicada de uma só vez, pode-se adotar α = 0,5 e admitir Ec(to) = Ec28, como foi feito em 8.5.3.3.a. Observar que aquele item considera que o coeficiente de fluência do concreto ϕ = ϕa + ϕf + ϕd é um coeficiente de deformação lenta irreversível com as propriedades definidas para ϕf . Nos outros casos usuais pode-se considerar α = 0,8, mantendo Ec (to) ≠ Ec28 sempre que significativo. Essa aproximação tem a vantagem de tratar ϕ como uma única função, sem separar ϕa, ϕf, e ϕd. É possível separar ϕa, ϕf, e ϕd , mas para isso é necessário aplicar a equação integral 5.3 ao problema em estudo. A equação 5.4 não se aplica nesse caso. Especial atenção deve ser dada aos casos em que as fundações são deformáveis ou parte da estrutura não apresenta deformação lenta, como o caso de tirantes metálicos. Ver [1] e [2]. Quando se efetiva a ancoragem de um cabo há sempre um pequeno retrocesso no cabo que estava esticado 5.2 b Deformações na armadura A.2.2.1 - Quando a armadura é solicitada em situação análoga à descrita em A.2.1.1, sua deformação vale: ε s (t ) =

σ s (t o ) σ s (t o ) + χ (t,t o ) Es Es

(5.5)

onde: σs (to) / Es = deformação imediata, por ocasião do carregamento [σs (to) / Es] χ (t, to) = deformação por fluência, ocorrida no intervalo de tempo (t, to) e considerada sempre que σs (to) > 0,5 ftpk A.2.2.2 - Quando a livre deformação por fluência é impedida, em situação análoga à descrita em A.2.1.2 para o concreto, a deformação total pode ser calculada por: ε s (t ) =

onde:

σ s (t o ) σ s (t o ) ∆σ s (t,t o ) [1 + χ (t, t o )] + χ (t,t o ) + Es Es Es

(5.6)


∆σs (t, to)

5

=variação total de tensão na armadura, no intervalo (t, to) e

5.3 Valores característicos superiores da deformação específica de retração e de fluência Em casos onde não é necessária grande precisão, os valores finais do coeficiente de fluência ϕ(t∞,to) e da deformação específica de retração ∈cs(t∞,to) do concreto, submetido a tensões menores que 0,5fc quando do primeiro carregamento, podem ser obtidos, por interpolação linear, a partir da Tabela 5.1. Esta tabela fornece o valor do coeficiente de fluência ϕ(t∞,to) e da deformação específica de retração εcs(t∞,to) em função da umidade ambiente e da espessura equivalente 2Ac/u, onde Ac é a área da seção transversal e u é o perímetro desta seção em contato com a atmosfera. Os valores desta tabela são relativos a temperaturas do concreto entre 10 e 20°C, podendo-se, entretanto, admitir temperaturas entre 0 e 40°C. Esses valores são válidos para concretos plásticos e de cimento Portland comum. Tabela 5.1 - Valores característicos superiores da deformação específica de retração ∈cs(t∞,to)e do coeficiente de fluência ϕ(t∞,to). Umidade Ambiente (%) Espessura Equivalente 2Ac/u (cm) to(dias) 5 30 ϕ(t∞,to) ∈cs(t∞,to) %o

60 to(dias) 5 30 60

40

55

75

90

20

60

20

60

20

60

20

60

4,4 3,0

3,9 2,9

3,8 2,6

3,3 2,5

3,0 2,0

2,6 2,0

2,3 1,6

2,1 1,6

3,0 -0,44 -0,37 -0,32

2,6 -0,39 -0,38 -0,36

2,2 -0,37 -0,31 -0,27

2,2 -0,33 -0,31 -0,30

1,7 -0,23 -0,20 -0,17

1,8 -0,21 -0,20 -0,19

1,4 1,4 -0,10 -0,09 -0,09 -0,09 -0,08 -0,09

Deformações específicas devidas à fluência e à retração mais precisas deverão ser calculadas segundo indicação dos itens posteriores e presentes no Anexo III da NBR6118:2003. 5.4 Perda por retração do concreto Imaginando inicialmente que se tem a retração livre e desta forma o encurtamento que o concreto de uma seção estudada será igual a εc,c(t0,∞) (neste caso o s subscrito corresponde a abreviação da palavra shrinkage significando retração em inglês) e que


6

havendo a aderência entre o concreto e a armadura (εp=εcs (t, to)) corresponderá a um encurtamento na armadura e assim uma perda de tensão dada por ∆σp,s(t, t0)= εcs (t, to). Ep

(5.7)

O valor da retração do concreto depende da: umidade relativa do ambiente, consistência do concreto no lançamento e espessura fictícia da peça. Entre os instantes to e t a retração é dada pelos valores superiores indicados na tabela 5.1 do item anterior ou de maneira mais detalhada por: εcs (t, to) = εcsoo [ βs (t) - βs (to) ]

(5.8)

Onde: εcsoo = ε1s . ε2s = valor final da retração ε1s = coeficiente dependente da umidade relativa do ambiente e da consistência do concreto (Tabela 5.2) ε2s = coeficiente dependente da espessura fictícia da peça ε 2s =

33 + 2h fic 20,8 + 3h fic

(5.9)

em que hfic é a espessura fictícia definida adiante e empregada nesta fórmula em centímetros βs (t) ou βs (to) = coeficiente relativo á retração, no instante t ou to (Fig. 5.1) t = idade fictícia do concreto no instante considerado, em dias (a idade fictícia será definida também) to = idade fictícia do concreto no instante em que o efeito da retração na peça começa a ser considerado, em dias A espessura fictícia do elemento dada pela seguinte expressão: h fic = γ

2A c u ar

(5.10)

Onde: γ = coeficiente dependente da umidade relativa do ambiente U% (Tabela 5.2) sendo γ = 1 + exp (-7,8 + 0,1U)


Ac

7

= área da seção transversal da peça

U

ar = parte do perímetro externo da seção transversal da peça em contato com o ar

Tabela 5.2 - Valores numéricos usuais para a determinação da fluência e da retração FLUÊNCIA φ1C AMBIENTE

UMIDAD E U

(1)

RETRAÇÃO 10 . εls (2) 4

Abatimento de acordo com a NBR-7223 (em cm) (3)

γ (4)

0-4

5 – 9 10 - 15

0-4

5 - 9 10 - 15

Na água Em ambiente muito úmido imediatamente acima da água

-

0,6

0,8

1,0

+1,0

+1,0

+1,0

30

90%

1,0

1,3

1,6

- 1,0

- 1,3

- 1,6

5,0

Ao ar livre, em geral

70%

1,5

2,0

2,5

- 2,5

- 3,2

- 4,0

1,5

Em ambiente seco

40%

2,3

3,0

3,8

- 4,0

- 5,2

- 6,5

1,0

(1) φ1c = 4,45 - 0,35U para abatimentos 5-9 e U ≤ 90; (2) 10 4 . ε ls = - 6,16 -

U U2 + para 484 1590

abatimentos de 5-9 e U < 90

(3) Os valores para U ≤ 90 e abatimentos 0-4 são 25% menores e para abatimento 10-15 são 25% maiores (4) γ = 1 + exp (-7,8 + 0,1U) para U ≤ 90. Nota: Para efeito de cálculo, as mesmas expressões e os mesmos valores numéricos podem ser empregados no caso de tração.


3

10

100

1000

8

10 000 dias

Figura 5.1 - Variação βs(t) Para cálculo dos diversos valores envolvidos é preciso considerar a idade fictícia α. tef em dias, quando o endurecimento se faz à temperatura ambiente de 200C e, nos demais casos, quando não houver cura a vapor, a idade a considerar é a idade fictícia dada por: t=α∑ i

Ti + 10 . ∆t ef, i 30

(5.11)

Onde: t = idade fictícia, em dias α = coeficiente dependente da velocidade de endurecimento do cimento; na falta de dados experimentais permite-se o emprego dos valores constantes da Tabela 5.3. Ti= temperatura média diária do ambiente (0C) ∆tef,i = período em dias, durante o qual a temperatura média diária do ambiente, Ti, pode ser admitida constante SÓ PARA A FLUÊNCIA Tabela 5.3- Valores da fluência e da retração em função da velocidade de endurecimento do cimento α Cimento Fluência Retração De endurecimento lento AF 250, AF 320, POZ 250, POZ 320, 1 MRS, ARS De endurecimento normal CP 250, CP 320, CP 400 2 1 De endurecimento rápido ARI 3 AF - alto forno; ARI- alta resistência inicial; ARS- alta resistência a sulfatos; Ccimento portland; RS- moderada resistência a sulfatos; POZ- pozolânico


9

EXEMPLO 5.1 Calcular a perda por retração que um cabo sofrerá atuando em uma viga que tem bw=0,86 m h=2 m, foi protendida com o concreto com 5 dias de idade e em um ambiente de Ur=75%. Considerar Ep = 1,95 .105 MPa. Considerando a expressão (5.7) ∆σp,s(t, t0)= εcs (∞, to). Ep e ainda o valor aproximado de εcs (∞, to) dado em 5.1 2 ⋅ 0,86 ⋅ 2 = 0,60 m obtêm-se εcs (∞, to)= 2,1.10-4 com 2Ac/u= 2 ⋅ (0,86 + 2) ∆σp,s(t, t0)= 2,1.10-4 . 1,95 .105 = 41 MPa. EXEMPLO 5.2 Calcular a perda por retração do cabo do problema anterior decorrido 12 meses. Considerar como dados adicionais concreto com abatimento entre 10 e 15 cm, e temperatura média de 200C.

Considerando a expressão (5.7) ∆σp,s(t, t0)= εcs (t, to). Ep e agora o valor aproximado de εcs (t, to) dado εcs (t, to) = εcsoo [ βs (t) - βs (to) ] h fic = γ ε 2s =

(5.8)

2A c = 1,5 x 0,60 = 0,90 m =90 cm u ar

33 + 2x90 33 + 2h fic = = 0,73 20,8 + 3h fic 20,8 + 3x90

tem-se εcsoo = ε1s . ε2s = 3,47 x 0,73=2,54 ε1s = coeficiente dependente da umidade relativa do ambiente e da consistência do concreto (Tabela 5.2) βs (t) ou βs (to) = coeficiente relativo á retração, no instante t ou to (Fig. 5.1) Em se tratando de temperatura de 200C as idades, para a retração, são as mesmas e assim resulta βs (∞) = 0,92 e βs (5)=0 εcs (∞, to) = 2,54 [ 0,92 - 0 ]= 2,33 ∆σp,s(∞, t0)= 2,33.10-4 . 1,95 .105 = 45,5 MPa. Para 12 meses apenas mudará o valor de βs (360) = 0,11 ∆σp,s(360, 5)= 0,28.10-4 . 1,95 .105 = 5,4 MPa. Observar que por se tratar de peça bastante espessa em um ano praticamente só 10 % da retração ocorreu. Verificar a diferença encontrada no exemplo anterior e neste para o valor no tempo infinito que se deve basicamente a consulta de ábacos.


10

5.5 Perda por fluência do concreto

Da mesma forma que o efeito da retração supõe-se inicialmente que se tem fluência pura e desta forma o encurtamento que o concreto de uma seção estudada será igual a εc,c(t0,∞) (neste caso o segundo c subscrito corresponde a abreviação da palavra creep significando fluência em inglês) e que havendo a aderência entre o concreto e a armadura (εp=εc,c (t, to)) corresponderá a um encurtamento na armadura e assim uma perda de tensão dada por ∆σp,s(t, t0)= εc,c (t, to). Ep

(5.12)

ou ainda ∆σp,s(t, t0)= εc,0 φ(t, to). Ep e

∆σp,s(t, t0)=

σ cgp

φ(t, to). Ep

Ec

com finalmente ∆σp,s(t, t0)= σ cgp . φ(t, to). αp

(5.13)

A tensão σ cgp é a tensão que ocorre no concreto no nível do centro de gravidade da armadura de protensão e devido a ação das cargas permanentes inclusive a protensão sendo dada pela expressão:

σ cgp =

Np Ac

+

N p .e 2 I

−

M g1 + M g 2 I

e

(5.14)

Com os valores de Np a força de protensão total, I- inércia da seção transversal e excentricidade dos cabos de protensão. A deformação por fluência do concreto (εcc) compõe-se de duas partes, uma rápida e outra lenta. A fluência rápida (εcca) é irreversível e ocorre durante as primeiras 24 horas após a aplicação da carga que a originou. A fluência lenta é por sua vez composta por duas outras parcelas: a deformação lenta irreversível (εccf) e a deformação lenta reversível (εccd). εcc = ε cca + εccf + εccd εc′ total = εc + εcc = εc (1 + ϕ)

(5.15)


11

ϕ = ϕa + ϕf + ϕd Onde: ϕa = coeficiente de fluência rápida ϕf = coeficiente de deformação lenta irreversível ϕd = coeficiente de deformação lenta reversível Para o cálculo dos efeitos da fluência, quando as tensões no concreto são as de serviço, admitem-se as seguintes hipóteses: a) a deformação por fluência εcc varia linearmente com a tensão aplicada; b) para acréscimos de tensão aplicados em instantes distintos, os respectivos efeitos de fluência se superpõem; c) a fluência rápida produz deformações constantes ao longo do tempo; os valores do coeficiente φa são função da relação entre a resistência do concreto no momento da aplicação da carga e a sua resistência final; d) o coeficiente de deformação lenta reversível ϕd depende apenas da duração do carregamento; o seu valor final e o seu desenvolvimento ao longo do tempo são independentes da idade do concreto no momento da aplicação da carga; e) o coeficiente de deformação lenta irreversível ϕf depende de: - umidade relativa do ambiente (U) - consistência do concreto no lançamento - espessura fictícia da peça hfic (ver 5.10) - idade fictícia do concreto (ver 5.11) no instante (to) da aplicação da carga - idade fictícia do concreto no instante considerado (t) f) para o mesmo concreto, as curvas de deformação lenta irreversível em função do tempo, correspondentes a diferentes idades do concreto no momento do carregamento, são obtidas, umas em relação às outras, por deslocamento paralelo ao eixo das deformações conforme a Figura 5.2.


12

fig. 5.2- Variação εccf (t)

Assim valor da deformação específica do concreto total é dada por ε cc ( t, t o ) = ε cca + ε ccd =

σc . ϕ(t, t o ) E c28

(5.16)

No instante t a deformação devida á fluência é dada por: com Ec28 calculado conforme equação 7.6 capítulo 7 para j=28 dias. O coeficiente de fluência ϕ (t,to), válido também para a tração, é dado por: ϕ (t,to) = ϕa + ϕfoo [βf (t) - [βf (to)] + ϕdoo βd

(5.17)

Onde: t = idade fictícia do concreto no instante considerado, em dias to = idade fictícia do concreto ao ser feito o carregamento, em dias ϕa = coeficiente de fluência rápida, determinado pela expressão 

φ a = 0,81 − 

f c (t 0 )   f c (t ∞ ) 

(5.18)

fc (t o ) = função de crescimento da resistência do concreto com a idade, f c ( t oo )

9t .(t + 42) fc (t o ) = f c ( t oo ) (9 t + 40).( t + 61)

(5.19)

ϕfoo = ϕ1c.ϕ2c = valor final do coeficiente de deformação lenta irreversível ϕ1c = coeficiente dependente da umidade relativa do ambiente U% e da consistência do concreto dado pela tabela 5.2.


13

ϕ2c = coeficiente dependente da espessura fictícia hfic da peça, definida em 7.3 = ϕ 2c =

42 + hfic 20 + hfic

(5.20)

com hfic em centímetros βf(t) ou βf(to) = coeficiente relativo à deformação lenta irreversível, função da idade do concreto (Figura 5.3) ϕdoo = valor final do coeficiente de deformação lenta reversível que é considerado igual a 0,4 βd = coeficiente relativo à deformação lenta reversível função do tempo (t - to) decorrido após o carregamento βd =

t - t o + 20 t - t o + 70

(5.21)

Figura 5.3 - Variação βf(t) EXEMPLO 5.3 Calcular a perda por fluência do concreto que um cabo sofrerá atuando em uma viga que tem bw=0,86 m h=2 m, foi protendida com o concreto com 5 dias de idade e em um ambiente de Ur=75%. Considerar Ep = 1,95 .105 MPa, fck=30 MPa, e σcg,p=4 MPa.

Considerando a expressão (5.12)


14

σ cgp

∆σp,s(t, t0)=

φ(t, to). Ep e ainda o valor aproximado de ϕ(∞, to) dado em 5.1 Ec 2 ⋅ 0,86 ⋅ 2 = 0,60 m obtêm-se ϕ(∞, 5)= 2,6 com 2Ac/u= 2 ⋅ (0,86 + 2) Ec=4700. 30 =25742 MPa ∆σp,s(t, t0)=

4 2,6. 1,95x105=78,8 MPa 25742

EXEMPLO 5.4 Calcular a perda por fluência do concreto do cabo do problema anterior decorrido 12 meses. Considerar como dados adicionais concreto com abatimento entre 10 e 15 cm, temperatura média de 200C e cimento Portland.

A perda é calculada da mesma forma mudando-se apenas o valor do coeficiente de fluência dado agora por: ϕ (t,to) = ϕa + ϕfoo [βf (t) - [βf (to)] + ϕdoo βd (5.17) Necessário inicialmente considerar a idade fictícia em dias dada por t=α∑ i

Ti + 10 . ∆t ef, i 30

(5.11)

com α-2 (cimento normal e tabela 5.3) Ti= 200C, Assim para 5 dias tem-se 10 dias, para 360 tem-se 720 dias 9.10.(10 + 42) fc (t o ) = = 0,507 f c ( t oo ) (9.10 + 40).(10 + 61) 

φa = 0,81 − 

f c (t0 )   = 0,8[1 − 0,507] = 0,394 f c (t∞ ) 

ϕ1c = 2,5 (tabela 5.2)

ϕ 2c =

42 + h fic 42 + 90 = = 1,2 20 + h fic 20 + 90

ϕfoo = ϕ1c.ϕ2c = 2,5 x 1,2 =3 βf(∞)=0,92 βf(10) = 0,2 βf(720)=0,6 coeficiente relativo à deformação lenta irreversível, função da idade do concreto (Figura 5.3) ϕdoo = 0,4 βd =

t - t o + 20 720 - 10 + 20 = =0,935 t - t o + 70 720 - 10 + 70


15

ϕ (360,5) = ϕa + ϕfoo [βf (t) - [βf (to)] + ϕdoo βd=0,394+3x(0,6-0,2)+0,4x0,935= 1,968 ϕ (∞,5) = ϕa + ϕfoo [βf (t) - [βf (to)] + ϕdoo βd=0,394+3x(0,92-0,2)+0,4x1= 2,954

4 1,968. 1,95x105=59,6 MPa 25742 4 ∆σp,s(∞,5)= 2,954. 1,95x105=89,5 MPa 25742 Verificar a diferença encontrada no exemplo anterior e neste para o valor no tempo infinito que se deve basicamente a consulta de ábacos.

∆σp,s(360,5)=

EXEMPLO 5.5 Calcular a tensão que teria uma armadura de protensão usando o aço comum CA25 considerando as perdas por fluência e retração do concreto com as condições dos problemas 5.1 e 5.3. Considerar ainda uma tensão inicial de protensão de 0,5 fyd. Se as condições forem mantidas a perda devidas aos dois efeitos será igual a soma de cada um deles: ∆σp,c+s(∞,5)= ∆σp,s (∞,5)=+ ∆σp,c(∞,5) = 41+78,7= 119,7 σp(∞)= ∆σp,i-∆σp,c+s(∞,5)= 0,5 x 250 –119,7= 125 –119,7 = 5,3 Mpa. A tensão atuante que sobraria no aço é muito pequena e nem compensaria efetuar a protensão com um aço deste tipo. Foi avaliando corretamente as perdas que Eugene Freyssinet na década de 30 conseguiu perceber que seria preciso usar aços com valores de tensão de escoamento e de ruptura altos.

5.6 Perda por relaxação da armadura A intensidade da relaxação pura do aço (deformação constante) é determinada pelo coeficiente ψ(t, to) definido por: ψ(t, to) =

∆σ pr (t, t o ) σ pi

(5.22)

onde: ∆σpr(t, to)= perda de tensão por relaxação pura (com comprimento constante) desde o instante to do estiramento da armadura até o instante t considerado σpi= tensão da armadura de protensão no instante de seu estiramento


16

A relaxação de fios e cordoalhas, após 1000h a 20°C (Ψ1000) e para tensões variando de 0,5 a 0,8 fptk, obtida em ensaios descritos na NBR 7484, não deve ultrapassar os valores dados na NBR 7482 e na NBR 7483,respectivamente. Para efeito de projeto, os valores de Ψ1000 da Tabela 5.4 podem ser adotados.

Tabela 5.4 - Valores de Ψ1000, em % Cordoalhas Fios Tensão inicial RN RB RN 0,5 fptk 0 0 0 0,6 fptk 3,5 1,3 2,5 0,7 fptk 7 2,5 5 0,8 fptk 12 3,5 8,5

Barras RB 0 1,0 2 3

0 1,5 4 7

Os valores correspondentes a tempos diferentes de 1.000 horas, sempre a 200C, podem ser determinados a partir da seguinte expressão:  t − t o  0,15   41,67 

ψ(t, to) = ψ1000 .  • • •

para (t, to) em dias

(5.23)

para tensões inferiores a 0,5 fptk admite-se que não haja perda de protensão por relaxação; Para valores intermediários dados na tabela 5.4 pode ser feita uma interpolação linear; Para tempo infinito pode-se considerara ψ (∞, t0) = 2,5 . ψ1000

EXEMPLO 5.6 Calcular a perda por relaxação de um cabo que na seção em que esta sendo analisado tem uma tensão no tempo zero (após as perdas iniciais) 1247 MPa. Considerar aço CP190RB. Calculando inicialmente o nível de tensão que ocorre no cabo tem-se:

1247 =0,656 1900 Consultando a tabela 5.4 tem-se a situação indicada e o valor desejado é k 0,6 fptk 1,3 0,656 fptk k 0,7 fptk 2,5 R=

0,656 − 0,6 k − 1,3 = Ψ1000= k =1,972 2,5 − 1,3 0,70 − 0,60 Ψ∞= 2,5 xΨ1000=4,93


Como ψ(t, to) =

∆σ pr (t, t o ) σ pi

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então

∆σ pr =0,0493 x 1247= 61,4 MPa

5.7 Perdas ao longo do tempo considerando a interação entre elas ou Perdas progressivas Os valores parciais e totais das perdas progressivas de protensão, decorrentes da retração e fluência do concreto e da relaxação do aço de protensão, devem ser determinados levando-se em conta a interação dessas causas, podendo ser utilizados os processos indicados em a, b e c. Nesses processos admite-se que exista aderência entre a armadura e o concreto e que a peça permaneça no estádio 1. a) Método simplificado para o caso de fases únicas de operação (Cálculo das perdas progressivas quando se consideram fases únicas de concretagem, de carregamento permanente e de protensão). Este caso é aplicável quando são satisfeitas as condições seguintes: A - A concretagem da peça, bem como a protensão são executada, cada uma delas, em fases suficientemente próximas para que se desprezem os efeitos recíprocos de uma fase sobre a outra; B - Os cabos possuem entre si afastamentos suficientemente pequenos em relação à altura da seção da peça, de modo que seus efeitos possam ser supostos equivalentes ao de um único cabo, com seção transversal de área igual à soma das áreas das seções dos cabos componentes, situado na posição da resultante dos esforços neles atuantes (cabo resultante). Nesse caso, admite-se que no tempo t as deformações progressivas do concreto e do aço de protensão, na posição do cabo resultante, sejam dadas por: ∆εct=

∆εpt=

σ c,pog E c 28

σ po

Ep

ϕ (t, t o ) + χ c

χ (t, t o ) +

∆σ c ( t, t o ) + ε cs ( t, t o ) E c 28

∆σ p ( t, t o )

Ep

χp

(5.24)

(5.25)

onde: ϕc,pog = tensão no concreto devida à protensão e à carga permanente


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ϕ (t,to)= coeficiente de fluência do concreto no instante t para protensão e carga permanente aplicadas no instante to σpo= tensão na armadura ativa devida à protensão e à carga permanente mobilizada no instante to χ(t,to)= coeficiente de fluência do aço = - ln [ 1 - ψ (t, to)] εcs(t,to)= retração no instante t, descontada a retração ocorrida até o instante to ψ(t,to)= coeficiente de relaxação do aço no instante t para protensão e carga permanente mobilizada no instante to χc= 1 + 0,5 ϕ (t, to) χp= 1 + χ (t, to ) ∆σc(ct,to)= variação da tensão do concreto adjacente ao cabo resultante entre to e

t ∆σp(t,to)= variação da tensão no aço de protensão entre to e t ρp= taxa geométrica da armadura de protensão = Ap /Ac η= 1 + e2p . Ac / Ic

ep= excentricidade do cabo resultante em relação ao baricentro da seção do concreto Ap= área da seção transversal do cabo resultante Ac= área da seção transversal do concreto Ic= momento central de inércia na seção do concreto α p=

Ep E c28

∆σc(t,to)= − ρ p η ∆σ p (t, t o ) ∆σp(t,to)=

ε cs ( t, t o ) E p - α p * σ c,pog φ ( t, t o ) + σ po χ ( t, t o ) χ p + χ c α p ηρ p

(5.24)


19

b) Método geral de cálculo (cálculo para perdas progressivas quando não são satisfeitas as condições estabelecidas em a) Quando as ações permanentes (carga permanente ou protensão) são aplicadas parceladamente em idades diferentes, é preciso considerar a fluência de cada uma das camadas de concreto e a relaxação de cada cabo, separadamente. Permite-se as substituições das seções transversais compostas de diferentes camadas, por prismas equivalentes que se comportam como camadas discretas. Permite-se a consideração isolada da relaxação de cada cabo independentemente da aplicação posterior de outros esforços permanentes.

5.8 Exemplo numérico Calcular a perda de tensão no tempo “infinito” do cabo representante que atua na seção dada na figura 2.4 considerado os seguintes dados: • Geométricos: Seção de concreto: Ac4,845 m2, I=1,15 m4, h=1,30m, yi=0,76, Ws=2,13m3, Seção de aço: Ap= 11,15 cm2, er=0,53m (excentricidade do cabo representante) • Esforços: momentos atuantes Mg1=8090 kN.m; Mg2=210 kN.m; Força normal, na seção de concreto, provocada por cada cabo após perdas imediatas na seção Np=1240 kN, número de cabos atuantes na seção 16. • Dados sobre a história da protensão: efetuada aos 30 dias após a concretagem • Condições climatológicas: Umidade relativa média no ano Ur =70%, Nos primeiros 20 dias após a concretagem a temperatura média foi de 250 C nos outros 10 dias a temperatura média caiu para 100C. • Materiais: Concreto - fck = 26 MPa , cimento Portland comum, abatimento 8 cm, Aço: CP176-RN, Ep=2x105 MPa


20

Fig. 2-4 Seção transversal a ser considerada no exemplo numérico Resolução : 1) Cálculo da retração: Com os dados entrando na tabela da norma tem-se ε1s= -3,2 x 10-4. O valor de ε2s é função da espessura fictícia que é calculada considerando todo o perímetro da seção (interno e externo) em contato com o ar. Esta hipótese é bastante discutível pois, passado algum tempo, a superfície superior da ponte receberá pavimentação e a parte interior da estrutura (região que não está achureada) provavelmente estará em contato com um ambiente em que o ar não circula e portanto as condições de evaporação e saturação serão diferentes. Apesar disto iremos considerar toda a superfície interna e externa da estrutura para fazer o cálculo do perímetro. Será desprezada a inclinação das paredes ous quaisquer elementos, pois não se justifica tamanha precisão. 4,845 ⋅ 2 .1,5=0,372 m 39 0,33 + 0,372 ε2s = =1,21 0,208 + 0,372 Os valores de βs deverão ser tomados respectivamente para o tempo infinito (que pode ser considerado 10.000 dias) e para a época em que o concreto é protendido, considerando porém que a idade do concreto deve ser a fictícia: Hfict =

10 + 10  25 + 10  t0 = 1.  ⋅ 20 + ⋅ 10 = 30 dias  30  30 Coincidentemente, neste caso a idade fictícia correspondeu a real do concreto, mas foi apenas coincidência. Consultando o gráfico da norma chega-se a: βs (t=∞) = 1,0 βs (t=t0=30 dias) = 0,1


21

Desta forma a deformação do concreto devido à retração dos trinta dias de idade ao tempo infinita é dada por

εc,s(∞,t0) = - 3,2 x 10-4 x 1,21 x ( 1 - 0,1) = - 3,484 x 10-4 Assim, se a retração ocorresse livremente a perda de tensão sofrida nos cabos que passam na seção seriam.

∆σ p , s = EP . εc,s(∞,t0) = 1,9 x 10 5 x (-3,484 x 10-4)= 66,1 MPa TERMINAR

ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO

1

Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6-Dimensionamento da armadura longitudinal de flexão no estado limite último de colapso 6.1 – Introdução O dimensionamento da armadura longitudinal de flexão em concreto armado e protendido deve ser atendendo as condições dos estados limites últimos e de serviço. No concreto armado, de uma maneira geral, é usual dimensionar-se a armadura de flexão no estádio limite último de esgotamento da capacidade resistente devido às solicitações normais sob solicitações normais daqui para frente chamada apenas de colapso na flexão e verificar as demais condições. No concreto alem desta hipótese é também usual fazer-se o inverso dimensionar a armadura para condições de serviço (estado limite de fissuração) e verificá-la na ruptura. Em relação a flexão e a sua correspondente deformação pode-se considerar as verificações contidas no quadro 6.1. Quadro 6.1 Verificações para a determinação da quantidade da armadura longitudinal TEMPO ZEROverificação em vazio ELU DE RUPTURA TEMPO INFINITO verificações que a quantidade de armadura longirudinal afeta diretamente FISSURAÇÃO ELS DEFORMAÇÃO EXCESSIVA Neste capítulo são trados apenas os problemas de dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de flexão. O dimensionamento no estádio limite último de colapso em concreto protendido pouco difere do efetuado em peças de concreto armado. As hipóteses que uma seção transversal deve obedecer tanto em concreto armado quanto em protendido estão descritas na NBR6118:2003 no item 17.2. No item 17.4 estabelece que na protensão além dos esforços atuantes devem ser considerados os esforços hiperestáticos de prtoensão cuja determinação em vigas é estudada no capítulo 11. Os momentos isostáticos (produto da força de protensão pela excentricidade não dêvem ser usados) e para determinação da tensão na armadura deve-se levar em conta os pré-alongamentos descontadas as perdas para o tempo t em que é feita a verificação. Já na norma anterior de protendido a redação já conduzia a este fato como podia ser visto no item 9.1.2: “Na verificação da segurança das peças de concreto protendido devem ser obedecidas as mesmas condições específicas de segurança estabelecidas pela NBR 6118 para as peças de concreto armado comum, ressalvadas as exigências feitas por esta Norma e consideradas a influência da protensão”.


2


Algumas exigências específicas eram feitas pela antiga norma de protendido que passam a ser resumidas: a) em peças isostáticas deve-se considerar, além das solicitações que a peça teria se não fosse protendida, o efeito das ancoragens, mudanças de direção dos cabos de protensão e os valores destas considerados com suas perdas; b) nas estruturas hiperestáticas além das solicitações citadas anteriormente os efeitos hiperstáticos de protensão; c) As seções transversais resistentes são compostas pelas seções de concreto, da armadura de protensão e de eventual armadura passiva existente e não é necessário reduzir, no cálculo dos esforços normais, a área dos furos correspondentes às bainhas dos cabos de protensão, se esta área não ultrapassa 2% da área da seção transversal geométrica da peça; d) As resistências de cálculo no escoamento e na ruptura da armadura são dadas por fpyd= fpyk/1,15 e fptd= fptk/1,15 respectivamente. Neste capítulo é estudado o dimensionamento da armadura ativa para a protensão com aderência e sem aderência (cordoalhas engraxadas). 6.2 AS PRINCIPAIS FASES ATÉ O COLAPSO A seção transversal central da viga de concreto armado ou protendido, neste caso retangular, como a mostrada na figura 6.1, e submetida ao momento fletor M crescente, passa por três níveis de deformação, denominados de ESTÁDIOS, que determinam o comportamento da peça até à sua ruína. Na figura 6.1 estão representadas as deformações e tensões no aço e no concreto e as resultantes dessas tensões. Pode-se caracterizar agora os três estádios de deformação de uma viga de concreto na flexão normal simples: ESTÁDIO I (estado elástico) − sob a ação de um momento fletor MI de pequena intensidade, a tensão de tração no concreto não ultrapassa sua resistência característica à tração (ftk): • o diagrama de tensão normal ao longo da seção é linear; • as tensões nas fibras mais comprimidas são proporcionais às deformações, correspondendo ao trecho linear do diagrama tensão-deformação do concreto; • não há fissuras visíveis.


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c

Rc

Rc

d

Ap

M

zI Rc,t Rp

b

ESTÁDIO I

z II

M>M r

c

c

Rc

z III

Mu

Rp

Rp

ESTÁDIO II

ESTÁDIO III

FIGURA 6.1. Comportamento das tensões no concreto e as resultantes na da seção transversal deformada de uma viga de concreto protendido na flexão normal simples. ESTÁDIO II (estado de fissuração) − aumentado-se o valor do momento fletor para MII, as tensões de tração na maioria dos pontos abaixo da linha neutra (LN) terão valores superiores ao da resistência característica do concreto à tração (ftk): • Considera-se que apenas o aço passa a resistir aos esforços de tração; • Admite-se que a tensão de compressão no concreto continue linear (embora no desenho da fig. 6.1 esteja representado curvo); • As fissuras de tração na flexão no concreto podem estar visíveis. ESTÁDIO III − aumenta-se o momento fletor até a um valor próximo ao de ruína (Mu): • A fibra mais comprimida do concreto começa a escoar, atingindo a deformação específica de 0,35% (3,5‰); • O diagrama de tensões tende a ficar vertical (uniforme), com quase todas as fibras trabalhando com sua tensão máxima, ou seja, praticamente todas as fibras atingiram deformações superiores a 2‰ . • A peça está bastante fissurada, com as fissuras atingindo o início da zona comprimida; • Supõe-se que a distribuição de tensões no concreto ocorra segundo um diagrama parábola-retângulo (figura 6.2). Pode-se dizer, simplificadamente, que: Estádios I e II → correspondem às situações de serviço (quando atuam as ações reais); Estádio III → corresponde ao estado limite último (ações majoradas, resistências minoradas), que só ocorreria em situações extremas.


4


Tanto a seção transversal, indicada n figura 6.1, quanto nas análises feitas até então referem-se principalmente às seções submetidos à flexão simples, porem o procedimento com a armadura ativa de protensão pouco mudará como era visto adiante. Fica claro que o efeito da protensão, que é o de criar um estado de tensões de compressão na peça fará com que o valor de MII (será chamado posteriormente de MRmomento de fissuração) aumente significativamente o seu valor. 6.3 HIPÓTESES BÁSICAS PARA O CÁLCULO O texto dos dois próximos itens foi adaptado do capítulo 3 do livro “Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado” de CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO [2007]. As hipóteses para o cálculo no estado limite último de seções submetidas a ações normais podem ser encontradas no item 17.2.2 da NBR6118:2003 (engloba também as referentes às estruturas em concreto protendido): a) As seções transversais permanecem planas após o início da deformação e até o estado limite último; as deformações são, em cada ponto, proporcionais à sua distância à linha neutra da seção (hipótese de Bernoulli). b) Solidariedade dos materiais: admite-se solidariedade perfeita entre o concreto e a armadura; dessa forma a deformação específica de uma barra da armadura, em tração ou compressão, é igual à deformação específica do concreto adjacente. Na verdade o texto definitivo ficou com a seguinte forma “A deformação das barras passivas aderentes ou o acréscimo de deformação das barras ativas aderentes em tração ou compressão, devem ser o mesmo que do concreto em seu entorno”. c) Armaduras não aderentes: Para armaduras ativas não aderentes, na falta de valores experimentais e de análises não lineares adequadas, os valores de acréscimo das tensões para estruturas de edifícios estão apresentadas a seguir devendo ainda ser divididas pelos devidos coeficientes de ponderação: ∆σp= 70 + fck/(100ρp) não podendo ultrapassar 420 Mpa para elementos com relação altura/vão útil maior que 35 ∆σp = 70 + fck/(300ρp) não podendo ultrapassar de 210 MPa onde: Ap ρ p= b c .d p . onde: ∆σp e fck são dados em Mega Pascal ρp é a taxa geométrica da armadura ativa bc é a largura da mesa de compressão dp altura útil referida à armadura ativa


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d) As tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, podem ser desprezadas. e) Admite-se que a distribuição de tensões no concreto seja feita de acordo com o diagrama parábola-retângulo da figura 6.2, com base no diagrama tensãodeformação simplificado do concreto com tensão de pico igual a 0,85 ⋅ f cd ; o diagrama parábola-retângulo é composto por uma parábola do 2o grau, com vértice na fibra correspondente à deformação de compressão de 2,0‰ e um trecho reto entre as deformações 2,0‰ e 3,5‰; permite-se a substituição do diagrama parábolaretângulo por um retângulo de altura 0,8⋅x, onde x é a profundidade da linha neutra, com a seguinte tensão: 0,85 ⋅ f ck • 0,85 ⋅ f cd = → zonas comprimidas de largura constante, ou crescente γc no sentido das fibras mais comprimidas, a partir da linha neutra; 0,80 ⋅ f ck → zonas comprimidas de largura decrescente no sentido • 0,80 ⋅ f cd = γc das fibras mais comprimidas, a partir da linha neutra. No trecho de altura 0,2⋅x, a partir da linha neutra, no diagrama retangular, as tensões de compressão no concreto são desprezadas; no trecho restante (0,8⋅x) a distribuição de tensões é uniforme. 0,85fcd ou 0,80fcd

FIGURA 6.2 Diagramas de tensões no concreto no estado limite último Os valores de 0,8 ou 0,85 de fcd considerados se devem a três fatos: 1) A menor resistência que o concreto apresenta submetido às cargas de longa duração (efeito Rüsche) enquanto o ensaio realizado com o corpo de prova é feito com um ensaio rápido; 2) A forma do corpo de prova não impede totalmente um estado transversal de coação de deformação surgindo assim um estado triaxial de tensão; 3) O aumento de


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resistência do concreto com o tempo. Maiores detalhes da explicação destes fatos são apresentados em CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO. f) Tensão na armadura – A tensão nas armaduras deve ser obtida a partir dos diagramas tensão-deformação, com valores de cálculo, definidos no capítulo 3 (ver item 3.3.1). e também a tabela 6.1 dada mais adiante.

σs

f pk f pd

fpyk fpyd

Ep ε uk

εp

Figura 6.3 (repetida de 3.6)- Diagrama tensão-deformação de aços de protensão (figura 8.5 da NBR 6118:2003) g) O estado limite último fica caracterizada pelas deformações específicas de cálculo do concreto (εc) e do aço (εs), que atingem (uma delas ou ambas) os valores últimos (máximos) das deformações específicas desses materiais; os diversos casos possíveis de distribuição das deformações do concreto e do aço na seção transversal definem os domínios de deformação, indicados na figura 6.3.

FIGURA 6.3 Domínios de deformação no estado limite último em uma seção transversal (adaptado da figura 29 da NB1/2001)


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Conforme já explicitado, a ruína da seção transversal para qualquer tipo de flexão no estado limite último fica caracterizada pelas deformações específicas de cálculo do concreto e do aço, que atingem (uma delas ou ambas) os valores últimos (máximos) das deformações específicas desses materiais. Os conjuntos de deformações específicas do concreto e do aço ao longo de uma seção transversal retangular com armadura simples (só tracionada) submetida à ações normais, definem seis (6) domínios de deformação esquematizados na figura 6.3. Os domínios representam as diversas possibilidades de ruína da seção; a cada par de deformações específicas de cálculo εc e εs correspondem um esforço normal, se existir, e um momento fletor atuantes na seção.

6.4 Tensão na armadura ativa Como já enunciado no capítulo 1 toda estrutura, inclusive as de concreto protendido, precisam além de ser garantidas ao colapso por uma margem de segurança, funcionarem adequadamente em serviço (estados limites em serviço). Assim, para as peças fletidas em protendido é sempre possível resolver o problema de estados limites de duas maneiras. A primeira pressupõe que a condição de colapso é a que conduz à maior quantidade de armadura longitudinal e, desta forma, dimensiona-se, a armadura no estádio III e verifica-se a condição de fissuração com o número de cabos já determinado. No segundo raciocínio considera-se que a condição de utilização de fissuração é a mais desfavorável e, como já foi visto em diversos exemplos de introdução no capítulo 1, através da limitação das tensões normais na seção transversal, determina-se o número de cabos necessários em serviço verificando-se, em seguida o estado limite último. Considerando o primeiro caso, o problema que se deve resolver é o seguinte: Dada a seção transversal, a posição do centro de gravidade da armadura de protensão (quando não conhecido será arbitrado), as características dos materiais (aço e concreto), momentos atuantes qual deve ser a seção de armadura longitudinal de protensão que satisfaça à ruptura? Considerando o esforço de protensão como interno, a questão pode ser tratada como de flexão simples e o efeito de protensão entra só no equilíbrio do momento fletor. Trata-se de um procedimento aproximado porem adotado largamente na prática, principalmente quando se projeto vigas submetidas a momentos fletores de grande intensidade como pode ser visto, por exemplo, em VASCONCELOS [ ]. Para utilizar este procedimento é necessário conhecer o valor da tensão na armadura (fpd) na configuração do estado limite último sendo necessário fazer uma análise cuidadosa do que ocorre, por exemplo, quando há protensão com aderência posterior. Imaginando uma seção transversal retangular como a apresentada na figura 6.10 e considerando inicialmente o efeito apenas da força de protensão Fp. Nesta situação a seção transversal sofre dois efeitos: um encurtamento ∆1 devido o efeito do normal Fp e uma rotação α, devido força de protensão atuando com uma excentricidade de ep que causará as deformações ∆2 e ∆3 (fibra superior e junto a armadura de protensão) (fig. 6.10.a). Devido a ação do peso próprio (fig. 6.10.a) haverá uma rotação β (contrária ao efeito da protensão) causando os deslocamentos ∆4 e ∆5. Na figura 6.10.c


8


os dois efeitos são considerados resultando nos deslocamentos ∆6 e ∆7 que corresponderão as deformações específicos εc e εc,p,,p+g1. Na figura em questão considerou-se que as deformações específicas são de encurtamentos, mas poderiam por exemplo na fibra superior ocorrer um pequeno alongamento sem que houvesse fissurae no concreto.

Fig.6.10- Deformação da seção transversal após a atuação da protensão e peso próprio.

Após a execução da protensão pode-se promover a aderência da armadura ativa com o concreto através da injeção da nata de cimento que transcorrido alguns dias já permite a consideração da igualdade entre deformação específica do concreto com o da armadura. Com a aderência estabelecida e considerando a atuação do momento último Um a seção até encontrar uma situação de equilíbrio passará pelo o estado limite de descompressão definido no item 3.2.5 como sendo aquele em que um ou mais pontos a tensão no concreto é nula e no restante da seção não haverá tensão de tração.


9


Fig. 6.11- Seção transversal no estados limites de descompressão e limite último Assim a deformação que armadura sofrerá até chegar no estado limite último em equilíbrio será, neste caso, composta de três parcelas: a) a distensão provocado pelo macaco já descontadas todas as perdas ou não (o que for mais desfavorável), b) a movimentação do concreto (já aderente a armadura) até que a tensão na fibra inferior, próxima a armadura ativa ( a menos da distância d’no mesmo nível da armadura) seja nula ε7 e 3) a deformação correspondente a εs necessária para haver equilíbrio. Finalmente pode-se dizer que a tensão na armadura de protensão depende da efetivação da protensão (pré-alongamento) εp, a deformação para chegar-se ao estado de descompressão ε7 (εc,p,,p+g1) e a deformação que ocorre depois desta que é designada aqui simplesmente por εs , que deve ser menor que 1% (evitar a deformação excessiva da armadura depois de estar em contato com o concreto ou aberturas de fissuras muito grandes). O valor de ε7 pode ser obtido pela expressão:  N p N p .e 2p M g1 .e p + − ε7 = εcp,p+g1 =   Ac Ic Ic 

 1 .  Ec 

onde Np é o esforço normal de protensão na seção Mg1 – momento devido a ação do peso próprio na seção Ep – excentricidade da armadura ativa Ic, Ec – momentos de inércia da seção e módulo de elasticidade do concreto respectivamente. Esta parcela de deformação será diferente se a protensão não for suficiente para mobilizar toda o peso próprio da viga mas sendo pequena costuma ser desprezada nos cálculos usuais.


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Para trabalhar com os aços de protensão vamos usar os resultados da publicação de VASCONCELOS dada na tabela 6.1. Cabe ainda ressaltar que a segurança à ruína deve existir mesmo na consideração mais desfavorável e portanto é preciso analisar a seção sob a ação do maior dos esforços atuantes e com a menor força de protensão, ou seja, após todas as perdas (no tempo “infinito”), não se esquecendo, porém, de verificar outras situações que não esta. ε(%o) 5,25 CP175 1025 CP190 1025 ε(%o) 20,00 CP175 1407 CP190 1527

TABELA 6.1 - TENSÃO NO AÇO σsd (MPa) 6,794 7,438 8,167 9,000 9,962 10,00 12,50 15,00 17,5 1264 1316 1344 1365 1368 1368 1378 1388 1397 1314 1411 1459 1482 1486 1486 1496 1507 1517 22,50 1416 1538

25,00 1426 15,48

27,5 1436 1559

30,00 1445 1569

32,50 1455 1579

35,00 1464 1590

37,50 14,74 1600

40,00 1484 1611

6.5 Cálculo da armadura longitudinal em vigas sob flexão normal O cálculo da quantidade de armadura longitudinal, para seções transversais retangulares, conhecidos a resistência do concreto (fck), largura da seção (bw), altura útil (d) e tipo de aço (fyd e εyd) é feito, de maneira simples, a partir do equilíbrio das forças atuantes na seção. Será estudada inicialmente a flexão normal pura e simples, que é representada pelos domínios 2, 3, 4 e 4a.

6.5.1. Equacionamento Seja o seguinte problema: conhecidos fck, bw, d, tipo de aço (fyd e εyd) e Md (Md = 1,4⋅M), determinar a área da armadura longitudinal necessária (As) para que uma viga de concreto armado e seção transversal retangular resista ao momento de cálculo (figura 3.13).


11


εs

FIGURA 6.11. Viga de seção retangular e diagramas de deformações e tensões na seção solicitada pelo momento de cálculo Md a) Equilíbrio da seção (figura 6.11) Equilíbrio das forças atuantes normais à seção transversal: como não há força normal externa, a força atuante no concreto (Fc) deve ser igual à força atuante na armadura (Fs): ∑ F = 0 → Fs − Fc = 0 → Fs = Fc

(6.1)

Equilíbrio dos momentos: o momento das forças internas em relação a qualquer ponto (no caso, em relação ao C.G. da armadura) deve ser igual ao momento externo de cálculo:

∑M = M

d

→ M d = Fc ⋅ z

(6.2)

de (6.1) e (6.2) M d = Fs ⋅ z

(6.3)

b) Posição da linha neutra (x) Conhecendo-se a posição da linha neutra é possível saber o domínio em que a peça está trabalhando e calcular a resultante das tensões de compressão no concreto (Fc) e o braço de alavanca (z). Fc = (0,85 ⋅ f cd ) ⋅ (b w ) ⋅ (0,8 ⋅ x )

z = d − 0,4 ⋅ x

(braço de alavanca)

colocando Fc e z na equação 6.2, tem-se:


12


M d = Fc ⋅ z = (0,85 ⋅ f cd ⋅ b w ⋅ 0,8 ⋅ x ) ⋅ (d − 0,4 ⋅ x ) = b w ⋅ f cd ⋅ 0,68 ⋅ x ⋅ (d − 0,4 ⋅ x ) (6.3’) ou, ainda,

(

)

M d = 0,68 ⋅ x ⋅ d − 0,272 ⋅ x 2 ⋅ b w ⋅ f cd

(6.4)

Resolvendo a equação (6.4) obtém-se x, o qual define a posição da linha neutra, que é fundamental para a solução do problema proposto. Nota-se que a variação de x não é linear com o esforço solicitante Md, mas segue um polinômio do segundo grau.

c) Cálculo da área necessária de armadura (As) Com o valor de x determinado acima é possível encontrar As. A força na armadura (Fs) vem do produto da área de aço (As) pela tensão atuante no aço (fs). Md Da equação (3.3) tem-se = Fs = f s ⋅A s resultando z As =

Md z ⋅ f pd

(6.5)

O valor de fpd é obtido a partir de εt com εt = εp + εs. O valor de εp a serempregado deverá ser o correspondente ao tempo infinito quando se tratar de combinação de todas as ações e no tempo zero quando se verificar o estado limite último logo após a protensão.. d) Verificação do domínio em que a peça atingirá o estado limite último Obtido o valor de x que define a posição (altura) da linha neutra, é possível verificar em que domínio a peça atingirá o estado limite último que é muito importante para o caso de concreto armado e o caso de peças em concreto protendido interessa apensa para o cálculo do valor de εs deformação que ocorre no aço de protensão ap’s a neutralização. Na flexão simples, que é o que está aqui sendo considerado, os domínios possíveis são o 2, o 3 e o 4. No início do domínio 2 tem-se εc = 0, e no final do domínio 4 tem-se εs = 0, que são as piores situações que podem ocorrer. No primeiro caso o concreto não contribui na resistência e no segundo o aço de protensão trabalha apenas com o pré-alongamento..

• Relação entre deformações: como as seções permanecem planas após a deformação, por semelhança dos triângulos ABC e ADE do diagrama de deformações (figura 6.12) é possível obter a relação entre a posição da linha neutra (x) e a altura útil (d):


13


εc x d x = → = εc ε c + εs d εc + εs

(6.6)

FIGURA 6.12 Relação entre a posição da linha neutra e a altura útil

• Posição da linha neutra: no limite do domínio 2 e em todo o 3 tem-se a deformação específica do concreto εc = 3,5‰ (0,0035); colocando esse valor na equação 3.6 resulta:

x 0,0035 = d 0,0035 + ε s concluindo-se que para uma seção conhecida a posição da linha neutra depende apenas do tipo de aço. 6.6. Fórmulas adimensionais e tabela para dimensionamento de seções retangulares

Sempre que possível é conveniente trabalhar com fórmulas adimensionais, pois isto facilita o emprego de diversos sistemas de unidades e permite a utilização de tabelas e gráficos de modo mais racional. Na forma adimensional, as equações ficam: a) Equação de Md (equação 3.4)

•

dividindo ambos os membros da equação de Md (equação 3.4) por b w d 2 f cd tem-se: b w ⋅ d 2 ⋅ f cd

•

chamando

(0,68 ⋅ x ⋅ d − 0,272 ⋅ x )⋅ b = 2

Md

⋅ f cd

b w ⋅ d 2 ⋅ f cd

Md 2

b w ⋅ d ⋅ f cd

= KMD e

KMD = 0,68 ⋅ (KX) − 0,272 ⋅ (KX) 2 •

w

 x x 2   = 0,68 ⋅ − 0,272 ⋅ 2  d d  

x = KX a equação acima fica: d

(6.7)

a equação 3.8 contém apenas termos adimensionais, e KX só pode variar de 0 a 1 (x = 0 e x = d):


14


x = 0 → KMD = 0 d x x = d (fim do domínio 4) → KX = = 1 → KMD = 0,408 d b) Expressão que fornece o braço de alavanca z (z = d − 0,4 ⋅ x ) x = 0 (início do domínio 2) → KX =

•

dividindo os dois termos por d resulta: x z d − 0,4 ⋅ x = = 1 − 0,4 ⋅ d d d z x • chamando = KZ e lembrando que KX = , da equação anterior obtém-se KZ: d d

KZ = 1 − 0,4 ⋅ KX

(6.8)

c) Expressão para o cálculo da armadura M A s = d e, como z = (KZ) ⋅ d , resulta: z ⋅ fs Md (6.9) As = (KZ) ⋅ d ⋅ f s d) Equação que relaciona as deformações com a altura da linha neutra (equação 3.6) εc x x e, como = = KX resulta d εc + εs d

KX =

εc ε c + εs

(6.10)

TABELA 6.2. Valores para cálculo de armadura longitudinal de seções retangulares KMD 0,0100 0,0200 0,0300 0,0400 0,0500 0,0550 0,0600

KX 0,0148 0,0298 0,0449 0,0603 0,0758 0,0836 0,0916

KZ 0,9941 0,9881 0,9820 0,9759 0,9697 0,9665 0,9634

EC 0,1502 0,3068 0,4704 0,6414 0,8205 0,9133 1,0083

ES 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000

KMD 0,2050 0,2100 0,2150 0,2200 0,2250 0,2300 0,2350

KX 0,3506 0,3609 0,3714 0,3819 0,3925 0,4033 0,4143

KZ 0,8597 0,8556 0,8515 0,8473 0,8430 0,8387 0,8343

EC 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000

ES 6,4814 6,1971 5,9255 5,6658 5,4170 5,1785 4,9496


15

Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------0,0650 0,0700 0,0750 0,0800 0,0850 0,0900 0,0950 0,1000 0,1050 0,1100 0,1150 0,1200 0,1250 0,1300 0,1350 0,1400 0,1450 0,1500 0,1550 0,1600 0,1650 0,1700 0,1750

0,0995 0,1076 0,1156 0,1238 0,1320 0,1403 0,1485 0,1569 0,1654 0,1739 0,1824 0,1911 0,1998 0,2086 0,2175 0,2264 0,2354 0,2445 0,2536 0,2630 0,2723 0,2818 0,2913

0,9602 0,9570 0,9537 0,9505 0,9472 0,9439 0,9406 0,9372 0,9339 0,9305 0,9270 0,9236 0,9201 0,9166 0,9130 0,9094 0,9058 0,9022 0,8985 0,8948 0,8911 0,8873 0,8835

1,1056 1,2054 1,3077 1,4126 1,5203 1,6308 1,7444 1,8611 1,9810 2,1044 2,2314 2,3621 2,4967 2,6355 2,7786 2,9263 3,0787 3,2363 3,3391 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000

10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 9,8104 9,3531 8,9222 8,5154

0,1800 0,1850 0,1900 0,1950 0,2000

0,3009 0,3106 0,3205 0,3305 0,3405

0,8796 0,8757 0,8718 0,8678 0,8638

3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000

8,3106 7,7662 7,4204 7,0919 6,7793

0,2400 0,2450 0,2500 0,2550 0,2600 0,2650 0,2700 0,2750 0,2800 0,2850 0,2900 0,2950 0,3000 0,3050 0,3100 0,3150 0,3200 0,3300 0,3400 0,3500 0,3600 0,3700 0,3800

0,4253 0,4365 0,4479 0,4594 0,4711 0,4830 0,4951 0,5074 0,5199 0,5326 0,5455 0,5586 0,5721 0,5858 0,5998 0,6141 0,6287 0,6590 0,6910 0,7249 0,7612 0,8003 0,8433

0,8299 0,8254 0,8208 0,8162 0,8115 0,8068 0,8020 0,7970 0,7921 0,7870 0,7818 0,7765 0,7712 0,7657 0,7601 0,7544 0,7485 0,7364 0,7236 0,7100 0,6955 0,6799 0,6627

3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000

4,7297 4,5181 4,3144 4,1181 3,9287 3,7459 3,5691 3,3981 3,2324 3,0719 2,9162 2,7649 2,6179 2,4748 2,3355 2,1997 2,0672 1,8100 1,5652 1,3283 1,0983 0,8732 0,6506

Como KX só admite valores de 0 a 1, pode-se construir uma tabela (tabela 6.2) em que a cada KX arbitrado entre 0 e 1 corresponde: um valor de KMD, calculado pela equação 6.7; um valor de KZ calculado pela equação 6.8; obtem-se εc (EC), o valor de εs (ES) pela equação 6.10. É importante destacar que conhecido o par de deformações (εc ; εs) conhece-se o domínio em que a peça está trabalhando. Na tabela 6.2, por praticidade, foram dados valores a KMD e calculados os demais, mantidos os limites de validade para KX. EXEMPLO NUMÉRICO 6.1

Determinar a armadura de protensão de uma seção retangular quando submetida aos momentos Mg1=3540 kN.m Mq=1910 kN.m, considerando que bw=0,7, d=1,45 m, fck=26 MPa, aço CP175 e σp∞ = 100 MPa. Resolução: Usando as fórmulas adimensionais :

KMD =

1,4 ⋅ (3540 + 1910) 1,4 ⋅ M = = 0,279 2 b ⋅ d ⋅ f cd 2 26000 0,7 ⋅1,45 ⋅ 1,4


16


Com o valor de KMD na tabela 6.2 Æ KX=0,517, KZ= 0,7932 e εs = 0,3267 % assim, desprezando a deformação para se obter o estado de descompressão usa-se εt = εp + εs e com a tabela 6.2 e o valor de σp∞ = 100 MPa obtêm-se εp = 0,512 % . Finalmente com εt = εp + εs = 0,3267+0,512= 0,8387 % e portanto (de novo com a tabela 6.2) fsd = 1334,96 MPa chega-se a: As =

1,4 ⋅ (3540 + 1910) 1,4 ⋅ M = 49,15 cm2 = KZ ⋅ d ⋅ σ sd 0,7932 ⋅ 1,45 ⋅ 134,96

EXEMPLO NUMÉRICO 6.2 Determinar a armadura de protensão para o problema anterior considerado a deformação da armadura no estado de descompressão. Considerar h=1,6 m. Considerando já conhecidos do exemplo anterior εp = 0,3267 εs =0,512 fica para ser definido εcp,p+g1 dado por  N p N p .e 2p M g1 .e p + − εcp,p+g1 =   Ac I Ic c 

 1 .  Ec 

desta forma pelo item 8.2.8 da NB1 Ec = 0,85 x 5600 26 = 24271 0,7 x1,6 3 = 0,239 m4 Ic = 12 A força de protensão a ser considerada deverá ser empregada sem as perdas (considerada como 20%) e com o valor da armadura encontrada no problema anterior: Np= 1,2 x 100x49,15= 5898 kN e o valor de ep =0,8-0,15=0,65m  5898 5898x 0,65 2 3541x 0,65  1  . =0,0252% εcp,p+g1 =  + − 0,239 0,239  2,4x10 7  0,7x1,6 desta forma εt = εp +εcp,p+g1+ εs = 0,512+0,0252+0,3267= 0,864 % e portanto (de novo com a tabela 6.2) fsd = 1356 MPa chega-se a: As =

1,4 ⋅ (3540 + 1910) 1,4 ⋅ M = 48,92 cm2 = KZ ⋅ d ⋅ σ sd 0,7932 ⋅ 1,45 ⋅ 135,6

EXEMPLO NUMÉRICO 6.3 Determinar a armadura de protensão para o problema anterior considerado que a armadura é constituída por cordoalhas engraxadas. Resolução:


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Usando as fórmulas adimensionais:

1,4 ⋅ (3540 + 1910) 1,4 ⋅ M = = 0,279 2 b ⋅ d ⋅ f cd 2 26000 0,7 ⋅ 1,45 ⋅ 1,4 Com o valor de KMD na tabela 6.2 Æ KX=0,517, KZ= 0,7932 e εs = 0,3267 % KMD =

Assim se houvesse aderência a deformação específica no aço seria igual a εt = εp + εs = 0,512+0,3267= 0,8387 % e portanto (de novo com a tabela 6.2) fsd = 1334,9 MPa. Mas se tratando de armadura não aderente deve-se usar o valor previsto na norma Imaginando como uma primeira tentativa o valor encontrado anteriormente acrescido de 10% tem-se As=54,06 cm2 ρ p=

Ap b c .d p .

=

54,06 = 0,00532 70.145.

26 =118,8 MPa 100 x0,00532 e obtendo-se fpd= 1000+118,8= 1118,8 MPa ∆σp = 70 Mpa + fck/(100ρp) = 70 +

As =

1,4 ⋅ (3540 + 1910) 1,4 ⋅ M = = 59,29 cm2 KZ ⋅ d ⋅ σ sd 0,7932 ⋅ 1,45 ⋅ 118,8

Como o valor de área encontrada (59,29 cm2) difere do inicialmente suposto (54,06 cm2) será necessário continuar o procedimento considerando agora a nova armadura como sendo a obtida nesta etapa acrescida de 10%, ou seja Ap=65,21 cm2 chegando a uma tensão fpd=1110,5 MPa e para a armadura As=

1,4 ⋅ (3540 + 1910) =59,76 cm2 que pode ser considerado como valor final. 0,7932 ⋅ 1,45 ⋅ 111

6.7. Cálculo de armadura em vigas de seção transversal em forma de “T” Em um piso (laje) de concreto armado apoiado no contorno em vigas, as lajes e vigas não são independentes umas das outras; pelo fato de as estruturas de concreto serem monolíticas (a não ser que construtivamente sejam tomadas medidas para que isso não ocorra), seus elementos, lajes e vigas, trabalham em conjunto. Quando a viga sofre uma deformação, parte da laje adjacente a ela (em um ou em dois lados) também se deforma, comportando-se como se fosse parte da viga, colaborando na sua resistência. Dessa forma, a viga incorpora parte da laje, e sua seção deixa de ser retangular, passando a ter a forma de um “T” (ou de um “L” invertido).


18


Ao se fazer um corte transversal em um piso composto por lajes e vigas (figura 6.13), observa-se que o piso se compõe, na verdade, de um conjunto de vigas com a forma de um “T” trabalhando lado a lado.

FIGURA 6.13. Piso com vigas de seção transversal “T” Considerações importantes: a) A parte vertical da viga é chamada de alma (nervura), e a parte horizontal de mesa, que é composta de duas abas (partes salientes) com a seguinte notação (figura 6.14):

FIGURA 6.16. Viga “T” b) Uma viga de concreto armado, composta por uma nervura e duas abas, só será considerada como de seção “T” quando a mesa e parte da alma estiverem comprimidas (figura 415 a); caso contrário, dependendo do sentido de atuação do momento fletor, apenas a parte superior da mesa ou inferior da alma estarão comprimidas (essas partes têm a forma retangular), e como as regiões tracionadas de concreto não trabalham, ou seja não colaboram na resistência, a viga será calculada como tendo seção retangular (figura 6.15 b).


19


a) T (mesa e parte superior da alma comprimidas) b) retangular (parte inferior da alma comprimida)

FIGURA 6.15. Viga de seção T e retangular • Como conseqüência, nos trechos de momentos negativos junto aos apoios (vigas contínuas), provavelmente a seção da viga será retangular (caso de viga abaixo da laje), pois apenas parte da alma estará comprimida. • Outra conseqüência é que, no caso dos momentos positivos, a viga só será considerada de seção “T” se a linha neutra estiver passando pela alma; caso contrário, a região de concreto comprimida será retangular, com largura igual a bf, e não haverá colaboração da alma e de parte da mesa, que estarão tracionadas (figura 6.16).

Seção “T” - L N passa pela alma

Seção retangular - L N passa pela mesa

FIGURA 6.16. Viga de seção “T” ou retangular de acordo com a posição da L.N. c) Nas situações em que a L.N. passa pela alma da seção, é possível usar as tabelas para seções retangulares, fazendo o cálculo em duas etapas (figura 6.17): • calcula-se inicialmente o momento resistido pelas abas; • o momento restante é absorvido por um elemento retangular (nervura).


20


FIGURA 6.17. Seção “T” dividida em duas seções retangulares d) Não é toda a largura da laje adjacente que colabora com a viga; por absurdo, imagina-se que uma viga central estivesse distante quilômetros das vigas laterais: é evidente que entre uma viga lateral e a central existiria uma parte da laje que não ajudaria na resistência nem de uma viga nem de outra, ou seja, estaria trabalhando realmente apenas como elemento para transferir cargas às vigas. Conclui-se que apenas uma parte da laje, mais próxima à viga, colabora com ela. A distribuição de tensões de compressão na parte superior da viga (mesa) não é uniforme: há uma concentração de valores junto à parte central da viga (alma), como esquematizado na figura 6.18.

FIGURA 6.18. Distribuição das tensões de compressão na mesa de uma viga “T” A determinação da largura da laje que colabora com a viga (largura colaborante ou efetiva - bf), é feita integrando-se a distribuição de tensões na altura h, e em uma largura até onde as tensões tendem a zero, para encontrar a resultante; essa resultante é igualada a uma outra, obtida considerando-se distribuição uniforme de tensões, com valor igual a 0,85fcd atuando na altura hf e largura bf ( Fc = b f ⋅h f ⋅ 0,85 ⋅ f cd ).

e) O procedimento acima resulta em um cálculo complexo, e por essa razão existem soluções simplificadas a favor da segurança, mas baseadas nos mesmos princípios; uma delas é a que propõe pela NB1/2002 (item 14.6.2.2):


21


Largura colaborante segundo a NB1/2002 O valor da largura colaborante (bf) é dado por (figura 6.19): bf = ba + b1 + b3 onde:

ba = bw + e1 + e2 (largura fictícia da alma ou nervura) bw − largura da alma na viga e1, e2 − menor cateto do triângulo de cada uma das mísulas b1 − menor valor entre: 0,10⋅a ; 8⋅hf ; 0,5⋅b2 b2 − distância entre as faces das nervuras fictícias sucessivas b3 − menor valor entre: 0,10⋅a ; Os valores de a são dados por (l é o vão da viga, tramo ou balanço): a = l (viga simplesmente apoiada) a = 0,75 ⋅ l (tramo com momento em uma só extremidade) a = 0,60 ⋅ l (tramo com momentos nas duas extremidades) a = 2 ⋅ l (viga em balanço)

FIGURA 6.19. Largura colaborante de viga “T” (NB1/2002, figura 17)


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EXEMPLO 6.3


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Calcular a armadura para a viga simplesmente apoiada, de vão l igual 8 m, cuja seção é a da figura 6.20 e está submetida a um momento Md = 6770 kN.m. Considerar aço CP-175 , fck = 26 MPa e = σ p,t =∞ =1365 Mpa..

FIGURA 6.20- Geometria da seção transversal do exercício 6.3

a) Supondo a linha neutra na mesa da viga: seção retangular Md 6770 = = 0,07 KMD = 2 26000 bw ⋅ d ⋅ f cd 2 1,7 × 1,75 × 1,4 KMD = 0,07 → tabela 4.2 → KX = 0,1076 y = 0,8 ⋅ x = 0,8 ⋅ (KX) ⋅ d = 0,8 × 0,1076 × 1,75 = 0,15 m < hf = 0,20 m A hipótese adotada é válida, ou seja, a linha neutra está na mesa e a seção é retangular. b) Cálculo da armadura KMD = 0,07 → tabela 6.2 → KZ = 0,957 e εs = 10‰ Para o pré-alongamento com σ p,t =∞ =1365 Mpa e da tabela 6.1 tem-se εp =0,9% → εt = εp+εs = 0,9+1= 1,9% que através da tabela 6.1 conduz a fpd=1400 MPa As =

Md 6770 = ( KZ ) ⋅ d ⋅ f s 0,957 × 1,75 × 140

→

As = 28,8 cm2

EXEMPLO 6.4 Calcular a armadura necessária para a seção do exemplo anterior supondo agora que o momento é dado por Md = 1000o kN.m,

a) Supondo a linha neutra na mesa: seção retangular Md 10000 = = 0,103 KMD = 2 26000 bw ⋅ d ⋅ f cd 2 1,7 × 1,75 × 1,4


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KMD = 0,103 → tabela 6.2 (interpolando) → KX = 0,162 y = 0,8 ⋅ x = 0,8 ⋅ (KX) ⋅ d = 0,8 × 0,162 × 1,75 = 0,23 m > hf = 0,20 m Portanto a hipótese inicial não é válida, pois a linha neutra está fora da mesa, tratando-se de seção “T”. Inicialmente deve-se verificar se toda a largura bf = 170 cm pode ser considerada como colaborante, e em seguida determinar a parcela do momento resistido pelas abas e pela alma da seção (figura 6.21) e a armadura total necessária.

b) Determinação da largura colaborante bf (NB1/2002) b f ≤ b a + 2 ⋅ b 3 (a viga é isolada – não há b2) b a = b w + e1 + e 2 (a viga não tem mísulas – não há e1 nem e2) → b a = b w = 18 cm b3= 0,10 ⋅ a = 0,10 ⋅ l = 0,10 × 800 = 80 cm (viga simpl. apoiada, a = l) →

b f ≤ b w + 2 ⋅ b 3 ≤ 18 + 2 × 80 ≤ 178 cm Como a largura total da mesa é 170 cm < 178 cm

→

b 3 = 80 cm

bf = 170 cm

FIGURA 6.21. Momento resistido pelas abas e pela alma de uma viga “T” c) Momento resistido pelas abas (M1) hf  h     = 0,85 ⋅ f cd ⋅ h f ⋅ (b f − bw )⋅  d − f  M 1 = Fc1 ⋅  d −  2  2    26000 0,2   M 1 = 0,85 × × 0,20 × (1,70 − 0,18) × 1,75 −  = 7918,1 kN.m 1,4 2  

d) Momento resistido pela alma (M2) M2 = Md - M1 = 10000 – 7918,1 = 2081,9 kN.m

e) Cálculo de As (M1 + M2)


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As =

M1 M2 + h  ( KZ ) ⋅ d ⋅ f pd   d − f  ⋅ f pd   2  

KMD =

2081,9 26000 0,18 × 1,75 × 1,4

= 0,2033

2

Pela tabela 6.2 (interpolando): KMD KZ εS εC 0,2033 0,8610 3,5‰ 6,6‰ εs =6,6‰ tem-se εt = 6,6 +9,0‰ =15,65 ‰ na tabaela 6.1→ fpd = 1390 MPa As =

7918,1 2081,9 + = 34,5 + 9,98 → As = 44,5 cm2 0,20  0,861×1,75 ×139  1,75 −  ×139 2  

6.8 Verificação no estado limite último Em algumas situações ao invés de dimensionar é preciso saber responder se em uma seção transversal há segurança à ruptura conhecidos os esforços internos, a quantidade de armadura de protensão, valor do pré-alongamento, momentos atuantes, características do concreto e aço. Este tipo de problema é chamado simplesmente de verificação e consiste determinar uma posição de linha neutra que leve ao equilíbrio entres a resultante de compressão existente no concreto com a resultante de tração na armadura de protensão e verificar se o momento máximo resistido, nesta situação, é superior ao momento atuante de calculo. A solução deste problema, via de regra, se faz por tentativas. Uma situação comum que se deve fazer isto é quando se têm a chamada “verificação em vazio”, quando após dimensionar a armadura de seção verifica-se para a mesma se há segurança quando atuar a protensão no tempo ”zero” (sem perdas) e apenas os esforços de carga permanente. EXEMPLO NUMÉRICO 6.5 Para a seção do problema 6.1 verificar a ruptura para a seção na situação em vazio. Momento atuante Mg1=3540 kN.m , bw=0,7 , d=1.45 m, fck=26 MPa, aço CP175 e σp∞ = 126,4 MPa, fck=26 MPa, aço CP175 e As = 49,67 cm2.

Resolução: Imaginando inicialmente a linha x= d= 1,45 m. Desta forma, com o valor de σp∞ = 126,4 MPa chega-se a εp = 0,679 % que já é o valor de εt e portanto: Fp= 49,67 x 126,4 = 6278 kN A força no concreto é dada por: Fc = 0,85 fcd 0,8 x bw = 8840 x e com x=1,45 m obtêm-se: Fc = 12810 kN


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Como as forças no concreto e armadura não são iguais deve ser feita outra tentativa para a linha neutra x Considerando agora a linha neutra correspondente ao valor εs = 0,8206 % e εc =0,35% (domínio 3) tem-se: εt = εp + εs = 0,8206+0,512= 1,500 % e portanto σsd = 1388 MPa. Fp= 49,67 x 138,8 = 6894 kN A força no concreto é dada por: x =0,35 ·1,45 / (0,35+0,8206) = 0,4335 m e Fc = = 8840 x = 3832 kN Ainda não foi possível a igualdade entre as forças (Fp= Fc) porém pode-se fazer uma interpolação linear que deve resultar, de maneira aproximada, em uma solução.

Fig. 6.22 - Interpolação para a determinação da linha neutra de equilíbrio

Pela figura 6.22 pode-se tirar a relação entre os segmentos dos triangulos semelhantes: AB/CD= k/l e como k+l =(1,45-0,4435) chega-se a: x=0,7623 o que leva a: Fc=8840 · 0,7623 = 6738,8 kN O valor de εs é dado por εs = (0,35/0,7626)-0,35= 0,1091 e portanto εt = εp + εs = 0,6794+0,1091= 0,7885 % e portanto σsd = 133,3 MPa. Fp= 49,67 x 133,3 = 6622 kN ≅ Fc =6738 (êrro de 1,75%) O momento fletor resistido para esta situação é: M = 6738 ( 1,45 - 0,5 · 0,7623) = 7202,8 kN.m e portanto a segurança é dada por γ=

7202 = 2,034 > 1,4 satisfaz 3540

6.9 - Estado Limite Último no ato da Protensão


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Segundo a norma Brasileira a segurança, em relação à ruptura, no ato da protensão, é verificada conforme hipóteses do item 6.3. em relação ao estado limite último, respeitadas as seguintes hipóteses suplementares: a) Considera-se como resistência característica do concreto fck,j aquela correspondente à idade fictícia j , em dias, do material no ato da protensão. A resistência de fck,j deve ser claramente especificada no projeto. b) Para esta verificação, admitem-se os seguintes valores para os coeficientes de ponderação: γc = 1,2; γs = 1,15; γp = 1,0 na pré-tração e γp = 1,1 na pós-tração; γf = 1,0 para as ações desfavoráveis e γf = 0,9 para as ações favoráveis. Apenas as cargas que efetivamente atuarem na ocasião da protensão deverão ser consideradas. Como verificação simplificada a norma prescreve no item 17.2.6.3.2 o seguinte: “Admite-se que a segurança em relação ao estado limite último no ato de protensão seja verificada no Estádio I (concreto não fissurado e comportamento elástico linear dos materiais), desde que as seguintes condições fiquem satisfeitas: a) A tensão máxima de compressão na seção de concreto, obtida através das solicitações ponderadas de γp = 1,1 e γf = 1,0 não ultrapasse 70% da resistência característica fck,j prevista para a idade de aplicação da protensão. b) A tensão máxima de tração do concreto não ultrapasse 1,2 vezes a resistência à tração fctk correspondente ao valor fck,j especificado. c) Quando nas seções transversais existirem tensões de tração, deverá haver armadura de tração calculada no Estádio II, permitindo-se admitir que a força nesta armadura, nessa fase da construção, seja igual à resultante das tensões de tração no concreto no Estádio I. Essa força não deve provocar, na armadura correspondente, acréscimos de tensão superiores a 150 MPa no caso de fios ou barras lisas e a 250 MPa em barras nervuradas com ηb ≥ 1, 5

EXEMPLO NUMÉRICO 6.6 Verificar o estado limite último para uma seção retangular quando no ato da protensão (pós tração) sabendo que Mg1=3540 kN.m, considerando que bw=0,7, d=1,45 m, fck=26 MPa, aço CP175 e σp0 = 126,4 Mpa e As= 49,15 cm2

Resolução: Wi =

0,7 x0,6 2 =0,299 m3 Ac= 0,7x0,6=0,42 m2 6


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Np= 49,15x126,4=6212,5 kN Finamente com εt = εp + εs = 0,3267+0,512= 0,8387 % e portanto (de novo com a tabela 6.2) fsd = 1334,96 MPa chega-se a: 6212 6212 x0,65 3540 − + = 14790-13504+11839=13125 0,42 0,299 0,299 6212 6212 x0,65 3540 + − = 14790+13504-11839=16455 σi = 0,42 0,299 0,299

σs =

tanto na borda superior quanto na inferior quando da protensão só há tensão de compressão e são inferiores a 0,7 x 26000 =18200 estando portanto verificado a condição de estado limite último. 6.9 Cálculo da altura mínima. Diferentemente do concreto armado nas peças de concreto protendido não é possível definir os limites dos domínios 3 e 4 pois não se tem um valor de εyd definido para o aço de protensão, como é o caso dos aços comuns (corresponde ao valor de εyd na figura 3.3). Por outro lado, diferentemente que nas peças de concreto armado é possível dimensionar na flexão simples seções com armadura simples (na região tracionada) no início do domíniso 4, pois apesar de εs =0 o aço de protensão é pré-alongado e portanto ainda apresenta um valor de tensão que conduz a uma armadura finita (ver item CARVALHO E FIGUEIREDO FILHO). Esta é a prova inequívoca que as peças de concreto protendido podem ser dimensionadas, à flexão, com menores alturas que as correspondetes em concreto armado. É claro que quanto maior a altura da peça menor será a aramadura necessária, porém é bom lembrar que os custos mais altos, quando se analisa um m3 de estrutura, costuma ser o das formas e portanto nem sempre é vantagem trocar uma diminuição de armadura por um acréscimo de altura. Assim como no concreto armado para um certo momento a menor altura correspondente é a aquela que se otem com a maior linha neutra possível (no caso x=d) e uma vez estipulado o valor de KX=x/d que se quer empregar pode-se determinar a altura necessária pelo que se segue: equação de equilíbrio: 0,272 (KX)2 - 0,68 KX +KMD = 0 considerando KX=1 e levando na equação anterior têm-se: Md = 0,408 e finalmente KMD = b ⋅ d 2 ⋅ f cd dnec = 1,567 ·

Md b ⋅ KX ⋅ f cd

EXEMPLO NUMÉRICO 6.7 Determinar para uma seção retangular de bw=0,7 m, submetida a um momento total de 5450 kN.m, de fck=26 MPa e aço CP175 com σp∞ = 100 MPa a menor altura


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possível e a armadura necessária correspondente. Determinar em seguida para outras maiores que a mínima os valores de armaduras correspondentes. Resolução: A menor altura necessária será obtida com x=d o que leva a : 1,4 ⋅ 5450 = 1,20 m ➙ KX=1 e KZ=0,6 26000 0,7 ⋅ 1 ⋅ 1,4 o valor de εt = εp pois εs = 0 e portanto σsd = 100 MPa e portanto

dnec = 1,567 ·

As =

Md = b ⋅ KX ⋅ f cd

1,4 ⋅ M 1,4 ⋅ 5450 = = 105,97 cm2 KZ ⋅ d ⋅ σ sd 0,6 ⋅ 1,20 ⋅ 100

Para resolver a segunda parte do problema procede-se analogamente ao que foi feito aqui e os valores encontrados estão na tabela 6.3

Tabela 6.3 - Valores de seção de armadura KX h (m) KZ εs (‰) 1 1,20 0,6 0 0,517 1,45 0,793 2,629 0,259 1,92 0,936 10 0,100 3,00 0,960 10

para diferentes alturas 2 εt (‰) σsdkN/cm2 AS (cm ) 5,12 100 105,97 7,72 135,5 49,67 15,12 138,8 30,56 15,12 138,8 19,08

Como se vê também, como no concreto armado, não há muita vantagem dimensionar a seção para que trabalhe no início do domínio 4 pois a quantidade de armadura é bem grande, de qualquer maneira a menor altura encontrada é dada por esta situação.

ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO CAP. 7 – Verificação dos Estados Limites de Serviço ROBERTO CHUST CARVALHO --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1

CAPÍTULO 7 – Verificação dos Estados Limites de Serviço: Verificação da Fissuração 7.1 – Introdução Quando se calcula uma peça de concreto armado ou protendido, deve-se garantir a segurança no estado limite último assim como verificar as condições de utilização. Então além das verificações no estado limite último é preciso verificar a estrutura em seu funcionamento, ou seja, em serviço ou uso. Essas verificações correspondentes aos estados limites de serviço de fissuração e deformação excessiva. Não basta uma estrutura ter um segurança à ruptura é preciso que funcione adequadamente e que tenha durabilidade compatível ao que foi projetada. A fissuração excessiva de uma peça em concreto protendido (pode haver fissuração como será visto na protensão parcial) pode comprometer significativamente sua durabilidade. Embora não seja a única causa, ou condição necessária, pode-se dizer que, quando de sua ocorrência, há grande risco de haver uma degradação rápida do concreto superficial e da armadura. Outros fatores, como: porosidade do concreto, cobrimento insuficiente da armadura, presença de produtos químicos, agentes agressivos etc., contribuem ou podem ser determinantes na durabilidade da estrutura. Examinados esses fatores, o projetista deve evitar que a peça sofra fissuração excessiva, devida à flexão, detalhando adequadamente a armadura na seção transversal e, se for o caso, aumentando-a. Assim, em relação à questão de fissuração, em geral, deseja-se evitar situações em a fissuração do concreto possa causar uma diminuição na vida útil da estrutura. Como será visto nos próximos capítulos o uso de fator água cimento (A/C) adequado, cobrimentos mínimos adequados para armadura também fazem parte das prescrições de se evitar a corrosão da armadura e portanto a diminuição da vida útil da estrutura. Portanto, a adoção de resistência mínima de concreto, cobrimento mínimo para armadura e verificação de estados de fissuração se complementam dando condições, junto com as boas técnicas de confecção da estrutura, que haja garantia de uma vida útil mínima. A questão do estado limite de deformação excessivo está ligada realmente as questões de estética e funcionamento adequado. Deformação excessiva em um piso pode ser uma questão estética para quem consegue perceber este defeito, mas pode ser, no caso de piso industrial, uma impossibilidade de se montar máquinas que toleram um pequeno desnível entre seus apoios. Também uma peça calha não pode ao longo do tempo perder sua declividade de forma que acumule água (exemplo do capítulo 1). Finalmente, embora tenha se colocado como verificação dos estados limites de serviço, os estados limites relativos à fissuração podem, no caso de concreto protendido, serem usados como procedimentos de dimensionamento da armadura longitudinal, conforme é visto nos exemplos no final do item. 7.2 Definições de estados limites No seu item a NBR6118:2003 define uma série de estados limites que são empregados neste e nos próximos capítulos:


• •

2

estado limite último (ELU): Estado limite relacionado ao colapso, ou a qualquer outra forma de ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da estrutura. estado limite de formação de fissuras (ELS-F): Estado em que se inicia a formação de fissuras. Admite-se que este estado limite é atingido quando a tensão de tração máxima na seção transversal for igual a fct,m =0,3. 3 f ck2

• • • •

• • •

estado limite de abertura das fissuras (ELS-W): Estado em que as fissuras se apresentam com aberturas iguais aos máximos especificados nos próximos itens. estado limite de deformações excessivas (ELS-DEF): Estado em que as deformações atingem os limites estabelecidos para a utilização normal dados nos próximos itens. estado limite de descompressão (ELS-D): Estado no qual em um ou mais pontos da seção transversal a tensão normal é nula, não havendo tração no restante da seção. Verificação usual no caso do concreto protendido. estado limite de descompressão parcial (ELS-DP): Estado no qual garantese a compressão na seção transversal, na região onde existem armaduras ativas. Essa região deve se estender até uma distância ap da face mais próxima da cordoalha ou da bainha de protensão (ver figura 3.1 e tabela 13.3). estado limite de compressão excessiva (ELS-CE): Estado em que as tensões de compressão atingem o limite convencional estabelecido. Usual no caso do concreto protendido na ocasião da aplicação da protensão (ver 17.2.4.3.2.a). estado limite de compressão excessiva (ELS-CE): Estado em que as tensões de compressão atingem o limite convencional estabelecido. Usual no caso do concreto protendido na ocasião da aplicação da protensão (ver 17.2.4.3.2 estado limite de deformações excessivas (ELS-DEF): Estado em que as deformações atingem os estabelecidos para a utilização normal fixados. Assunto que será estudado no capítulo 12.

Os estados limites definidos anteriormente servirão para que junto com as condições ambientais definir o tipo de protensão a se empregar na peça. 7.3- Tipos de protensão quanto aos estados de fissuração Cada tipo de protensão requer um tipo de verificação de tensões normais, nas seções transversais, para uma certa combinação de esforços solicitantes, conforme será visto logo em seguida. Na prática o tipo de protensão exigido, conduz a uma armadura de protensão maior ou menor a ser empregada. Pode-se inclusive, teoricamente, definir o concreto armado como mais um item na classificação dada pela norma, em que não se tem armadura de protensão e as verificações de fissuração se restringem ao controle da abertura de fissuras. Os níveis de protensão estão relacionados com os níveis de intensidade da força de protensão que por sua vez é função da proporção de armadura ativa utilizada em relação à passiva. Só para que fique bem claro o avanço e as modificações que ocorreram em relação a fissuração apresenta-se aqui como a norma NBR 71979 de 1982 e a nova de NBR6118:2003 abordam a questão


3

7.3.1Níveis de protensão segundo a NBR 71979[ ] Segundo a NBR 71979 [1982], a antiga norma de protendido, os tipos de protensão relacionam-se com os estados limites de utilização referentes à fissuração. Os tipos de protensão definidos são: protensão completa, protensão limitada e protensão parcial. A escolha do tipo de protensão é feita em função do tipo de construção ou da agressividade do meio ambiente, conforme podia ser visto no item 4.2 dessa norma. A classificação para o nível da agressividade do meio ambiente era a seguinte: a) não agressivo, como o interior dos edifícios, em que uma alta umidade relativa somente pode ocorrer durante poucos dias por ano, e em estrutura devidamente protegida; b) pouco agressivo, como no interior de edifícios, em que uma alta umidade relativa pode ocorrer por longos períodos, e nos casos de contacto da face do concreto próximo à armadura protendida com líquidos, exposição prolongada a intempéries ou a alto teor de umidade; c) muito agressivo, como nos casos de contacto com gases e líquidos agressivos ou com solo ambiente marinho.

Uma vez definido o ambiente em que se executaria a obra protendida, se não houver nenhuma outra norma mais rigorosa ou específica deveria-se empregar a tabela 7.1 dada a seguir. TABELA 7.1- Níveis de protensão segundo a NBR 71979 Nível de Agressividade Exigência mínima quanto ao tipo de protensão. meio agressivo protensão completa pouco agressivo protensão limitada não agressivo protensão parcial Acrescenta-se às exigências anteriores as restrições de uso do item 4.3 dessa Norma, em que se determina em que para estruturas de pontes ferroviárias ou vigas de ponte rolantes só é admitida protensão com aderência. O concreto protendido sem aderência só pode ser empregado em casos especiais e sempre com protensão completa.

7.3.2- Níveis de protensão segundo a NBR 6118:2003 A Norma NBR6118:2003 acaba sendo mais precisa nas definições da intensidade de protensão definindo inicialmente as condições de agressividade ambiental dados na tabela 7.2. A agressividade do meio ambiente está relacionada às ações físicas e químicas que atuam sobre as estruturas de concreto, independentemente das ações mecânicas, das variações volumétricas de origem térmica, da retração hidráulica e outras previstas no dimensionamento. TABELA 7.2- Classes de Agressividade Ambiental segundo a NB6118:2003 Classe de Agressividade Classificação Geral do Risco de Agressividade do tipo de ambiente para deterioração da Ambiente projeto estrutura (CAA) I fraca Rural e Submersa insignificante II média Urbana 1) 2) pequeno 1),2) III forte Marinha e Industrial grande 1), 2)

IV

Muito forte

Industrial 1), 3) Respingos de Maré

elevado

1) Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) para ambientes internos secos (salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura). 2) Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) em: obras em regi ões de clima seco, com umidade relativa do ar menor ou igual a 65%, partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos, ou regiões onde chove raramente. 3) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em indústrias de celulose e papel, armazéns de fertilizantes, indústrias químicas.


4

Assim, conhecido o ambiente onde a estrutura será construída pode-se definir a intensidade da proteger a se usar sem o risco de ter a diminuída em relação aquilo que é esperado como normal.Para a norma NBR 6118:2003 os níveis de protensão permitidos são os listados na tabela 7.3 TABELA 7.3- Níveis de protensão segundo a NB6118:2003 TIPOS DE AGRESSIVIDADE EXIGÊNCIA COMBINAÇÃO CONCRETO AMBIENTE DE AÇÕES A ESTRUTURAL CONSIDERAR Concreto simples CAA I a CAA IV Não há Concreto Armado CAA I Freqüente ELS-W ω ≤ 0,4 (sem protensão) mm Concreto Armado CAA II a III Freqüente ELS-W ω ≤ 0,3 (sem protensão) mm Concreto Armado CAA IV Freqüente ELS-W ω ≤ 0,2 (sem protensão) mm Protensão parcial Pré-tração CAA I Freqüente ELS-W ω ≤ 0,2 Nível 1 Pós tração –CAA I e II mm Protensão limitada Pré-tração CAA II (*) E.L.S-F. Fiss. Freqüente Nível 2 Pós-tração CAA III e IV (*) E.L.S-D. Fiss. Quase permanente Protensão completa Pré-tração -- 1 (*) E.L.F. Fiss. Rara Nível 3 (*) E.L.S-D. Fiss. Freqüente (*) As duas condições deverão ser verificadas simultâneamente Com ω abertura máxima de fissura; CAA refere-se às condições ambientais fornecidas no item 7.4.1. Desta forma é preciso agora definir as condições ambientais e as combinações de ações para se proceder as verificações. Notar a diferença entre a nova norma e a anterior, principalmente no que diz respeito a protensão sem aderência que só era permitida com protensão completa. Na nova redação nenhuma restrição é feita quanto a este tipo de protensão. A classificação da agressividade do meio ambiente às estruturas de concreto armado e protendido, pode ser avaliada, simplificadamente, segundo as condições de exposição, da estrutura ou de suas partes, apresentadas na tabela 7.2 (tabela 6.1 da NBR6118:2003) e em função da agressividade do ambiente a norma recomenda resistências mínimas para o concreto assim como máximos fatores água cimento (A/C) que estão indicados na tabela 7.4 TABELA 7.4 – Correspondência entre a classe de agressividade e qualidade do concreto


5

7.4 –Combinação de ações em serviço. Para se realizar as verificações em serviço é preciso finalmente definir em quais situações, ou sob, que ações a verificação deve ser feita . No item 11.8 da NBR6118:2003 são apresentadas as combinações a serem feitas. Resumem-se, em seguida, alguns dos principais aspectos deste procedimento. Um carregamento é definido pela combinação das ações que têm probabilidades não desprezíveis de atuarem simultaneamente sobre a estrutura, durante um período preestabelecido. A combinação das ações deve ser feita de forma que possam ser determinados os efeitos mais desfavoráveis para a estrutura; a verificação da segurança em relação aos estados limites últimos e aos estados limites de serviço deve ser realizada em função de combinações últimas e combinações de serviço. Em geral, o coeficiente de ponderação das ações para estados limites de serviço é dado pela expressão: γf = γf2 . γ onde: γf 2 tem valor variável conforme a verificação que se deseja fazer (tabela 7.5): γf2= 1 para combinações raras; γf2= Ψ1 para combinações freqüentes e γf 2= Ψ2 para combinações quase permanentes. TABELA 7.5- Valores dos coeficientes γf2 segundo a NB6118:2003 γf2 Ψ0 Ψ1 Ψ2 Cargas acidentais de edifícios Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos 0,5 0,4 0,3 que permanecem fixos por longos períodos de tempo, nem de elevadas concentrações de pessoas 2) Locais em que há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, ou de elevada 0,7 0,6 0,4 concentração de pessoas 3) Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6 Vento Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral 0,6 0,3 0 Temperatura Variações uniformes de temperatura em relação à média anual 0,6 0,5 0,3 1)Para os valores de ψ1 relativos às pontes e principalmente aos problemas de fadiga, ver seção 23 da NBR6118:2003. 2)Edifícios residenciais. 3)Edifícios comerciais, de escritórios, estações e edifícios públicos.

* Os valores de Ψ4 são usados nos estados limites últimos Os valores da tabela anterior podem ser modificados em casos especiais aqui não contemplados, de acordo com a NBR 8681 [ ].Para facilitar a visualização as combinações de serviço usuais apresenta-se a tabela 7.6


Tabela 7.6 - Combinações de serviço Descrição

Combinações de

6

Cálculo das

serviço (ELS)

solicitações

Combinações

Nas combinações quase permanentes Fd,ser = ΣFgik + Σψ2j

quase

de serviço, todas as ações variáveis são Fqjk (7.1)

permanentes de

consideradas com seus valores quase

serviço (CQP)

permanentes ψ2.Fqk

Combinações

Nas combinações freqüentes de serviço, a ação

Fd,ser = ΣFgik +ψ1 Fq1k +

freqüentes de

variável principal Fq1 é tomada com seu valor

Σψ2j Fqjk

serviço (CF)

freqüente ψ1 Fq1k e todas as demais ações variáveis são tomadas com seus valores quase

(7.2)

permanentes ψ2 Fqk Combinações

Nas combinações raras de serviço, a

Fd,ser = ΣFgik + Fq1k +

raras de serviço

ação variável principal Fq1 é tomada

Σψ1j Fqjk

(CR)

com seu valor característico Fq1k e

(7.3)

todas as demais ações são tomadas com seus valores freqüentes ψ1.Fqk Onde: Fd,ser é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço, Fq1k é o valor característico das ações variáveis principais diretas,Ψ1 é o fator de redução de combinação freqüente para ELS, Ψ2 é o fator de redução de combinação quase permanente para ELS. ANEXAR O CASO DE PONTES E PASSARELAS 7.6 –Abertura máxima de fissuras A discussão do controle da abertura máxima das fissuras em peças de concreto protendido é similar as de concreto armado por esta razão usa-se aqui trechos do texto de CARVALHO & FIGUEIREDO FILHO [2004]. De acordo com a NBR6118:2003 deve-se garantir, com razoável probabilidade, que as aberturas das fissuras fiquem dentro de limites que não comprometam as condições de serviço e a durabilidade da estrutura. As aberturas, dentro desses limites, geralmente não causam perda de segurança no estado limite último. Fissuras são inevitáveis em estruturas de concreto e permitidas em peças em concreto protendido com protensão parcial em que existem tensões de tração resultantes de carregamento direto ou por restrição a deformações impostas. Podem ainda ocorrer por outras causas, como retração plástica ou térmica e expansão devida às reações químicas internas do concreto nas primeiras idades. Essas aberturas podem


7

representar um estado de fissuração inaceitável. As fissuras devem ser evitadas ou limitadas por meio de cuidados tecnológicos, especialmente na definição do traço do concreto e nos cuidados de cura do mesmo. De maneira geral, em estruturas bem projetadas e construídas e sob cargas especificadas na normalização (com combinação de ações freqüente), quando as fissuras apresentarem aberturas que respeitem, no caso de concreto protendido a abertura de 0,2 mm como indica a tabela 7.2 ( 0,2; 0,3 e 0,4 para peças em concreto armado), não haverá perda de durabilidade ou perda de segurança quanto aos estados limites últimos. As aberturas wk da tabela 7.2 referem-se a valores característicos limites para garantir proteção adequada das armaduras quanto à corrosão. Não se deve esperar, no entanto, que as aberturas reais de fissuras correspondam estritamente aos valores indicados, isto é, fissuras reais podem eventualmente ultrapassar estes limites. Finalmente, a combinação freqüente em serviço para a verificação de abertura de fissuras, será feita, de acordo com as tabelas 7.5 e 7.6. 7.6.1 Controle da fissuração através da limitação da abertura estimada das fissuras No item 17.3.3 da NBR 6118:2003 estão estabelecidos os critérios para a verificação dos valores limites da abertura de fissuras, dados na Tabela 7.2, para peças lineares, analisadas isoladamente, e submetidas à combinação de ações definidas no item anterior. A avaliação dos valores das aberturas de fissuras, na verificação do estado limite (item 17.3.3.2 da norma), é feita para cada elemento ou grupo de elementos das armaduras passivas e ativas aderente, que controlam a fissuração da peça, considerando-se uma área Acr do concreto de envolvimento, constituída por um retângulo cujos lados não distam mais de 7,0⋅φ do contorno do elemento da armadura (Figura 4.4).

É conveniente que toda a "pele" (região próxima à superfície) da viga na sua zona tracionada tenha armaduras que limitem a abertura de fissuras na região Acr,i considerada, conforme indicado na Figura 7.1.


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Figura 7.1 Concreto de envolvimento da armadura (Figura 17.3, da NBR 6118:2003). O tamanho da abertura de fissuras (w) determinado para cada parte da região de envolvimento, será o menor dentre os obtidos pelas duas expressões a seguir, com σsi, φi, Esi, ρri definidos para cada área de envolvimento:  φi σ 3 ⋅ σ si ⋅ si ⋅  12,5 ⋅ ηi E si f ct,m  w = menor entre    σ  4 φi  ⋅ si ⋅  + 45   (12,5 ⋅ ηi ) E si  ρ ri  sendo:

Acri Esi φi ρri

(7.5)

(7.6)

− área da região de envolvimento protegida pela barra φi; − módulo de elasticidade do aço da barra φi considerada; − diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada; − taxa de armadura passiva ou ativa aderente (que não esteja dentro de bainha) em relação à área da região de envolvimento (Acr);

ηi − coeficiente de conformação superficial η1 da armadura passiva considerada(1); fct,m − resistência média do concreto à tração(2); σsi − tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada, calculada no estádio II(3).


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Notas: 1. O coeficiente η1 que mede a conformação superficial é dado no item 9.3.2.1 da norma, e vale 1,0 para barras lisas (CA-25), 1,4 para barras entalhadas (CA-60) e 2,25 para barras (nervuradas) de alta aderência (CA-50). 2. fct,m é definido no item 8.2.5 da norma (ver Capítulo 1, Seção 1.6.2.4, eq. 1.5). 3. O cálculo no Estádio II (que admite comportamento linear dos materiais e despreza a resistência à tração do concreto) pode ser feito considerando α e = 15 (relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto).

Para evitar o cálculo no estádio II pode-se, a favor da segurança, considerar, de maneira simplificada, a tensão na armadura dada por:

σ si =

f yd g 1 + g 2 + 0,4 ⋅ q f yk g + g 2 + 0,4 ⋅ q ⋅ = ⋅ 1 1,4 g1 + g 2 + q 1,4 ⋅ 1,15 g1 + g 2 + q

(7.6)

Nas vigas usuais, com altura menor que 1,2 m, pode-se considerar atendida a condição de abertura de fissuras em toda a pele tracionada, se a abertura de fissuras calculada na região das barras mais tracionadas for verificada e houver uma armadura lateral de pele que atenda o item 17.3.5.2.3 da NBR 6118:2003.


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7.6.2 Controle da fissuração sem a verificação da abertura de fissuras

A peça atenderá ao estado limite de fissuração (aberturas máximas esperadas da ordem de 0,3 mm para o concreto armado) sem a avaliação da grandeza da abertura da fissura (item 17.3.3.3, NBR 6118:2003), quando forem atendidas as exigências de cobrimento e de armadura mínima determinadas pela norma (Seções 4.2 e 4.6 deste Capítulo, respectivamente) e as restrições da Tabela 4.6 (Tabela 17.2, NBR 6118:2003), quanto ao diâmetro máximo (φmax)e ao espaçamento máximo (smax). A tensão σs deverá ser determinada no Estádio II. Tabela 7.7 Valores máximos de diâmetro e espaçamento, com barras de alta aderência. Tensão σs na barra (MPa)

160 200 240 280 320 360

Valores máximos para concreto sem armaduras ativas smáx (cm) φmáx (mm) 32 30 25 25 16 20 12,5 15 10 10 8 6

Finalmente cabe destacar que alem das condições citadas anteriormente: imposição de valor mínimo para fck e relação máxima de A/C, controle do estado ou abertura de fissura para garantir a durabilidade da peça é preciso também impor recobrimentos mínimos na armadura (inclusive a de protensão) que são dadas no outro capítulo. 7.7.Exemplos Numero 1. Verificar, para a seção mais solicitada, o estado de serviço em relação a fissuração de uma laje maciça quadrada de 10x10m com 25 cm de espessura submetida a uma ação de sobrecarga permanente de 1,75 kN/m2 e a uma carga acidental de 5 kN/m2. Considerar a laje simplesmente apoiada em todo seu contorno e que a rotação é livre. Dados: prédio residencial e ambiente de orla marítima com protensão com pós-tração e como solução inicial cabos parabólicos de cordoalha engraxada (φ=1/2”)que efetuarão no tempo infinito uma carga de –4 kN/m2. RESOLUÇÃO A solução deste problema atribuindo um valor de carga a ser equilibrado pela protensão é uma técnica atribuída T. Y. LIN ( ) muito usada nas décadas de 50 e 60 quando o projeto de protensão basicamente era feito através do controle de tensões normais. Hoje é preciso lembrar que alem das verificações de tensões (fissuração) é preciso também atender a condição de estado limite último. • Condições de durabilidade. Por se tratar de ambiente marinho pela tabela 7.3 tem-se CAA III e como a protensão é com pós-tração deve-se, segundo a tabela 7.2 usar protensão limitada. Com a tabela 7.4 conclui-se que o concreto deve ter fck=35 MPa e o máximo A/C


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é de 0,50e pela tabela 7.5 conclui-se, considerando edifício residencial, que os valores de Ψ1 e Ψ2 são respectivamente 0,4 e 0,3. O cobrimento recomendado para esta situação (ver próximo capítulo) é de 4,5 cm. •

A ação de protensão atuante na laje pode ser considerada a partir do uso da carga equivalente u apresentada no capítulo 1 é dada por (ver figura 7.2): 8eP u= 2 l com P – Força de protensão considerada constante no trecho analisado e – flecha da parábola do cabo l - vão da parábola

Como se trata de laje armada em duas direções 16 Pe u= 2 l assim P=4x102/(16x0,675)=370 kN

Figura 7.2- Carga equivalente de protensão devido um cabo parabólico

12,5

6,75 cm

25

1,25 1,25 4,5

4,75

cordoalha Ø1/2"

Figura 7.3- Seção transversal da seção do meio do vão mostrando o valor da excentricidade e=6,76 cm


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• Características Geométricas Em se tratando de laje maciça toma-se uma faixa de um metro e portanto: bh 2 1x0,25 2 2 = = 0,01042 m3. A=bxh=1X0,25=0,25 m ; Wi=Ws= 6 6 • Momentos Como se trata de placa maciça pode-se se calcular os momentos máximos usando a teoria de placas delgadas e as tabelas correspondente como em CARVALHO & FIGUEIREDO FILHO [2001] e sendo quadrada a placa: µ x pl 2x mx=my= 100 com µ x -coeficiente tabelado que no caso é igual a 4,41 p – ação uniforme atuante l x - valor do vão na menor direção neste caso igual a 10 m. Aplicando a expressão anterior obtêm-se os seguintes os momentos de peso próprio carga acidental e de protensão. Tabela 7.7 – Momentos atuante Momento fletor màximo Valor do momento (kN.m/m) Devido ao peso próprio (g1+g2=8 kN/m2) mx, g1+g2= 35,3 2 Devido à carga acidental (q=5 kN/m ) mx, q=22,0 Devido ao efeito da protensão (p=-4 kN/m2) mx, p=-17,64

• Verificações de tensões Usando a tabela 7.16 e lembrando sempre que é necessário considerar as máximas e mínimas ações, como já feito nos exemplos do capítulo 1. Estado limite de formação de fissuras (E.L.S-F).→Combinação de ações Freqüente Os limites neste caso são Tração → fct,m = -0,3. 3 f ck2 Compressão → estado limite de compressão excessiva (ELS-CE) → 0,7 fck

Substituindo fck=35 chega-se a condição:

− 3200

kN kN ≤ σ ≤ 24500 2 2 m m

BORDA INFERIOR Situação momento máximo N p M p M g1+ g2 ψ 1 .M q 370 17,6 35,2 0,4x22,0 1) σi= + + + = + − − = A Wi Wi Wi 0,25 0,01042 0,01042 0,01042 -1059 kN/m2


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( são usadas aqui as convenções do capítulo em que o sinal negativo indica tensão de tração e o positivo o de compressão e ainda que o momento positivo leva a uma tração na borda inferior). Situação momento mínimo N p M p M g1+ g2 ψ 1 .M q 370 17,6 35,2 0,4x0 2) = + + + = + − − = A Wi Wi Wi 0,25 0,01042 0,01042 0,01042 -214 kN/m2 (neste caso específico o momento mínimo corresponde a não atuação da carga acidental, ou seja, Mq=0). BORDA SUPERIOR Situação momento máximo N p M p M g1+ g2 ψ 1 .M q 370 17,6 35,3 0,4x22,0 3) σs= + + + = − + + = 0,25 0,01042 0,01042 0,01042 A Ws Ws Ws 4019 kN/m2

Situação momento mínimo N p M p M g1+ g2 ψ 1 .M q 370 17,6 35,3 0,4x0 4) s= + + + = − + + = A Ws Ws Ws 0,25 0,01042 0,01042 0,01042 3174 kN/m2 As condições de tensão estão atendidas para a combinação freqüente pois na situações extremas (condições 1 e 3) tem-se: σ = -1059>-3200 kN/m2 e σ = 4019<24500 kN/m2 Estado limite de formação de descompressão (E.L.S-D).→Combinação de ações Quase Permanente

Os limites neste caso são Tração → σ = 0 Compressão → estado limite de compressão excessiva (ELS-CE) → 0,7 fck Substituindo fck=30 chega-se a condição: 0 ≤ σ ≤ 21.0000 BORDA INFERIOR Situação momento máximo N p M p M g1+ g2 ψ 2 .M q 370 17,6 35,2 0,3x22,0 5) σi= + + + = + − − = A Wi Wi Wi 0,25 0,01042 0,01042 0,01042 -848 kN/m2


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Situação momento mínimo N p M p M g1+ g2 ψ 2 .M q 370 17,6 35,2 0,3x0 6) σi= + + + = + − − = A Wi Wi Wi 0,25 0,01042 0,01042 0,01042 -214 kN/m2 BORDA SUPERIOR Situação momento máximo N p M p M g1+ g2 ψ 2 .M q 370 17,6 35,3 0,3x22,0 7) σs= + + + = − + + = A Ws Ws Wi 0,25 0,01042 0,01042 0,01042 3808 kN/m2

Situação momento mínimo N p M p M g1+ g2 ψ 2 .M q 370 17,6 35,3 0,3x0 8) σs= + + + = − + + = A Ws Ws Wi 0,25 0,01042 0,01042 0,01042 3174 kN/m2 As condições de tensão não estão atendidas para a combinação quase permanente pois na situação de momento máximo e mínimo na borda inferior (condição 5 e 6) tem-se tração: σ = -848 > 0 kN/m2 (não atende!)

Numero 2. Dimensionar o esforço de protensão a ser aplicada na laje do exemplo anterior, com protensão uniforme ao longo de toda a laje de maneira que na seção mais solicitada, o estado de serviço em relação a fissuração esteja atendido. Considerar os mesmos dados que o problema anterior. RESOLUÇÃO

Considerando o cobrimento mínimo (tabela 7.2 da NBR6118:2003) de 4,5 cm e que será utilizada cordoalha engraxada de ½” o valor do cg da armadura estará a 5,7 cm da borda inferior (no meio do vão). Tomando uma faixa de um metro tem-se: 2 × 8eP 16 × 0,0675 × P =-0,0108P u= = l2 10 2 0,0108 × P × 4,41 × 10 2 N=P e Mp= - ( )P= -0,0476P 100


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Usando já as equações do problema anterior Estado limite de formação de fissuras (E.L.S-F).→Combinação de ações Freqüente BORDA INFERIOR N p M p M g1+ g2 ψ 1 .M q 1*) σi= + + + ≥ −3200 A Wi Wi Wi P 0,0476 xP 35,3 0,4x22,0 + − − ≥ −3200 → P ≥ 120,4 kN 0,25 0,01042 0,01042 0,01042

2*) σi=

Np

+

Mp

+

M g1+ g2

+

ψ 1 .M q

≤ 24500 A Wi Wi Wi P 0,0476 xP 35,3 0,4x0,0 + − − ≤ 24500 0,25 0,01042 0,01042 0,01042

→

P ≤ 2463 kN

BORDA SUPERIOR

3*) σs=

Np

Mp

Np

+

Mp

+

M g1+ g2

+

M g1+ g2

+

ψ 1 .M q

≤ 24500 A Ws Ws Ws P 0,0476 xP 35,3 0,4x22,0 − + + ≤ 245000 0,25 0,01042 0,01042 0,01042

4*) σs=

+

+

→ P ≥ -35559 kN

ψ 1 .M q

≥ −3000 A Ws Ws Ws P 0,0476 xP 35,2 0,4x0,0 − + + ≥ −3200 0,25 0,01042 0,01042 0,01042

→

P ≤ 11556 kN

Estado limite de formação de descompressão (E.L.S-D).→Combinação de ações Quase Permanente BORDA INFERIOR N p M p M g1+ g2 ψ 2 .M q 5*) σi= + + + ≥0 A Wi Wi Wi P 0,0476 xP 35,3 0,3x22,0 + − − ≥0 0,25 0,01042 0,01042 0,01042

6*) σi=

Np

+

Mp

+

M g1+ g2

+

→

P ≥ 469 kN

ψ 2 .M q

≤ 245000 Wi A Wi Wi P 0,0476 xP 35,3 0,3x0,0 + − − ≤ 245000 0,25 0,01042 0,01042 0,01042

→ P ≤ 3259 kN


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BORDA SUPERIOR

7*) σs=

Np

Mp

Np

+

Mp

+

M g1+ g2

+

M g1+ g2

+

ψ 2.M q

≤ 24500 A Ws Ws Ws P 0,0476 xP 35,2 0,3x22,0 − + + ≤ 245000 0,25 0,01042 0,01042 0,01042

8*) σs=

+

+

→ P ≥ -35929 kN

ψ 2 .M q

≥0 A Ws Ws Ws P 0,0476 xP 35,3 0,3x0,0 − + + ≥0 0,25 0,01042 0,01042 0,01042

→ P ≤ 5942 kN

Finalmente o valor da força de protensão deverá estar contida no intervalo 469 ≤ P ≤ 2463kN EXEMPLO 3 Considerando o exemplo e que o valor de d=20 cm e que σpt=∞=945 MPa calcule a força de protensão (ou o número de cabos) necessária no meio da laje (em cada direção) para atender o estado limite último. Aço CP 190. RESOLUÇÃO

o momento no estado limite último é dado por: Md =1,4(35,3+22)=80 kNm/m para o valor de KMD tem-se 80

=0,08 que conduz εs=1,0% e kz=0,9472 35000 1 × 0,20 × 1,4 Para o pré-alongamento tem-se: εp=945/200000=0,472% Assim εt =εs+εp =1+0,472=1,472 que conduz (tabela 6. ) a σpd=150,7 kN/cm2

KMD=

2

80 = 2,81 cm2 0,9472 × 0,20 × 150 em termos de forçã tem-se: Ap =

Np =2,81 × 94,5=265 kN Assim se a armadura fosse dimensionada inicialmente pelo ELU ao se fazer a verificalçao de ELS (problemas 1 e 2) ficaria claro a necessidade em aumentar a força de protensão, ou seja, o número de cabos,


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EXEMPLO 4 I.8- Resumo dos momentos fletores das ações. Os valores dos Momentos fletores são apresentados na tabela A5 para as seções S0,S2 e S5. TABELA A5 Momentos fletores (kN.m) Mg1 Mg2 Mqmin Mqmáx ϕMqmin ϕMqmáx -4228 -305 -2470 -3211 0 0 S0 7688 918 -1999 -2590 2737 -500 S2 13526 1602 -1285 -1670 4180 -200 S5

Tabela A4- Resumo das características geométricas de S0, S2 e S5 A (m2) ys (m) yi (m) I (m4) Wi (m3) Ws (m3) 6,3825 0,8722 1,1278 3,4577 3,066 3,964

S0

5,2235 4,5875

S2 S5

0,7907 0,7220

1,2093 1,2780

2,9451 2,5740

2,435 2,015

3,724 3,565

Considerando σpt=∞ = 900 MPa, cabos 12φ1/2” (Ap-11,45 cm2) e fck=35 MPa, bf=10,5 m hf=20 cm d= 1,85m calcular a armadura necessária em S5 e verificar a condição de fissuração. Resolução ELU pré alongamento εp=900/200000=0,45% Md =1,35 (Mg1+Mg2)+1,5 Mq = 1,35(13526+1602)+1,5 × 4180=20422+6270=22693 kN.m situação de equilíbrio da seção no ELU 22693 KMD = =0,03 que conduz a kz=0,9759, kx=0,0449 e εp=1% 35000 2 10,5 × 1,85 × 1,4 Assim x=0, 0449× 1,85=0,08m
εt=εp+εs=1+0,45=1,45% da tabela σpd=150,5 Ap=

22963 = 84,51 cm2 (8 cabos) 0,9759 × 1,85 × 150,5

Força normal de protensão Np= 90× 8× 14,5=10440 kN


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Verificação da fissuração

• Verificações de tensões Usando a tabela 7.16 e lembrando sempre que é necessário considerar as máximas e mínimas ações, como já feito nos exemplos do capítulo 1. Estado limite de formação de fissuras (E.L.S-F).→Combinação de ações Freqüente Os limites neste caso são Tração → fct,m = -0,3. 3 f ck2 Compressão → estado limite de compressão excessiva (ELS-CE) → 0,7 fck

Substituindo fck=35 chega-se a condição:

− 3200

kN kN ≤ σ ≤ 24500 2 2 m m

BORDA INFERIOR Situação momento máximo N p M p M g1+ g2 ψ 1 .M q 9) σi= + + + = A Wi Wi Wi 10400 10400 × 1,128 13526 + 1602 0,4x4180 + − − = 2267+5821-7507-830= 4,5875 2,015 2,015 2,015 -249 kN/m2

( são usadas aqui as convenções do capítulo em que o sinal negativo indica tensão de tração e o positivo o de compressão e ainda que o momento positivo leva a uma tração na borda inferior). Situação momento mínimo N p M p M g1+ g2 ψ 1 .M q + + + = 10) = A Wi Wi Wi 10400 10400 × 1,128 13526 + 1602 0,4x200 + − + = 2267+5821-7507+40= 4,5875 2,015 2,015 2,015 621 kN/m2 BORDA SUPERIOR Situação momento máximo N p M p M g1+ g2 ψ 1 .M q + + + = 11) σs= A Ws Ws Ws


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10400 10400 × 1,128 13526 + 1602 0,4x4180 − + + = 2267-4457+5877+650= 4,5875 2,574 2,574 2,574 4377 kN/m2 Situação momento mínimo N p M p M g1+ g2 ψ 1 .M q 12) σs= + + + = A Ws Ws Ws 10400 10400 × 1,128 13526 + 1602 0,4x200 − + − = 2267-4457+5877-31= 4,5875 2,574 2,574 2,574 3656 kN/m2

As condições de tensão estão atendidas para a combinação freqüente pois na situações extremas (condições 1 e 3) tem-se: σ = -249>-3200 kN/m2 e σ = 4377<24500 kN/m2 Estado limite de formação de descompressão (E.L.S-D).→Combinação de ações Quase Permanente

Os limites neste caso são Tração → σ = 0 Compressão → estado limite de compressão excessiva (ELS-CE) → 0,7 fck Substituindo fck=30 chega-se a condição: 0 ≤ σ ≤ 21.0000 BORDA INFERIOR Situação momento máximo N p M p M g1+ g2 ψ 2 .M q 13) σi= + + + = A Wi Wi Wi 10400 10400 × 1,128 13526 + 1602 0,3x4180 + − − = 2267+5821-7507-622= 4,5875 2,015 2,015 2,015 -41 kN/m2

Situação momento mínimo N p M p M g1+ g2 ψ 2 .M q 14) σi= + + + = A Wi Wi Wi 10400 10400 × 1,128 13526 + 1602 0,3x200 + − + = 2267+5821-7507+30= 4,5875 2,015 2,015 2,015 581 kN/m2


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BORDA SUPERIOR Situação momento máximo N p M p M g1+ g2 ψ 2 .M q 15) σs= + + + = A Ws Ws Wi 10400 10400 × 1,128 13526 + 1602 0,3x4180 − + + = 2267-4457+5877+487= 4,5875 2,574 2,574 2,574 4174 kN/m2

Situação momento mínimo N p M p M g1+ g2 ψ 2 .M q σs = + + + = A Ws Ws Wi 10400 10400 × 1,128 13526 + 1602 0,3x200 − + − = 2267-4457+5877-23= 4,5875 2,574 2,574 2,574 3664 kN/m2 As condições de tensão estão praticamente atendidas porque mesmo para a combinação quase permanente pois na situação de momento máximo na borda inferior (condição 5) tem-se uma tração que poderia ser facilmente evitando mudando-se o valor de e σ = -41 ≅ 0 kN/m2 (situação atendida!)


1

CAP. 8- Pré-dimensionamento e dimensionamento da armadura longitudinal ROBERTO CHUST CARVALHO --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

8- Pré-dimensionamento e dimensionamento da armadura longitudinal 8.1 INTRODUÇÃO As estruturas em concreto protendido mais que as em concreto armado apresentam uma gama de soluções em maior número para um mesmo projeto. Só o fato de se poder mesclar as armaduras passivas e ativas já conduz a pelo duas famílias de soluções. O controle da fissuração do concreto através da introdução de esforços de compressão irá criar as diversas matizes de soluções possíveis na família protendida com ou sem armadura passiva. A pré-fabricação e o uso de seções compostas, ou seja, a execução de uma seção transversal que depois irá ser acrescida de uma capa ou elemento moldado no local cria um novo viés de soluções que combinados com os arranjos de armadura ativa e passiva maximizam a eficiência das seções protendidas. Assim, desenvolvidos os princípios constantes nos capítulo 4, 5, 6 e 7 é possível explorar metodologias de pré-dimensionamento e dimensionamento de armadura longitudinal de estruturas pré-moldadas e moldadas no local protendidas para que todas as condições normativas sejam atendidas. Usa-se aqui a terminologia de prédimensionamento pois nem sempre são conhecidas com exatidão algumas variáveis importantes no dimensionamento tal como intensidade da força (por causa das perdas de protensão), sendo necessário depois do cálculo inicial (pré-dimensionamento) da armadura detalhá-la e calcular com toda a precisão os esforços atuantes e realizar as verificações necessárias e se for o caso alterara a quantidade de armadura. Para pré-dimensionar ou calcular a armadura longitudinal de flexão podem ser usadas as condições de verificação no estado limite de fissuração ou a condição de estado limite último. Até a década de 80 os projetistas preferiam as condições do estado limite de fissuração em que era possível determinar a força de protensão em uma seção com problemas do tipo daqueles feito no capitulo 1 (ver exemplo 1.1) em que se impondo tensões limites e conhecida os esforços solicitantes e excentricidade da armadura de protensão fica determinada a força necessária de protensão. Prova disto é obra de LYN [1985] que embora tenha um capítulo bem detalhado abordando com minúcias o dimensionamento baseado nas tensões, usa duas páginas e meia para comentar o dimensionamento na ruptura. Com a modernização das normas de concreto protendido houve uma liberalização nas verificações de fissuração como pode ser visto no capítulo anterior (7) e em diversas situações a condição determinante para o cálculo da armadura passa a ser a relativa ao estado limite último ficando a condição de fissuração apenas para verificação. O projetista pode escolher qualquer uma das condições (a do estado limite de serviço ELS ou a do estado limite último ELU) para a definição da quantidade de armadura com a outra condição passando a ser de verificação. De qualquer forma para se determinar a quantidade de armadura ativa em uma seção, uma vez definida a geometria da estrutura propriamente dita, é necessário conhecer a relação entre a força de protensão na seção com a aplicada na extremidade da mesma (armadura de protensão). Em outras palavras é preciso conhecer as perdas de protensão. Como já escrito nos capítulos 4 e 5 alguns projetistas acham suficiente simplesmente estimar estas perdas deixando para uma fase de detalhamento final o seu cálculo minucioso. Claro que desta forma o processo se


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torna mais simples porem a possibilidade de recálculo é grande a menos que a experiência do projetista no tipo da estrutura seja muito grande. . Qualquer que seja a condição determinante é preciso desenvolver o cálculo com uma certa metodologia de forma a garantir uma solução adequada. Há dois casos bem distintos a considerar: o da protensão com aderência posterior com (armadura com bainhas metálicas e injeção de nata de cimento) e sem aderência (cordoalhas engraxadas com bainhas de plástico) e o da pré-tração. No primeiro caso a característica principal é o uso de cabos com trajetórias curvas e via de regra com trajetória acompanhando o diagrama de momentos do elemento fletido. No caso de pré-tração, bastante usada na préfabricação, a trajetória dos cabos é reta, procurando-se usar seções compostas para melhorar a eficiência dos elementos fletidos. A seguir são esquematizados dois roteiro de pré-dimensionamento ou mesmo de dimensionamento final, dependo do nível de precisão nos valores das variáveis empregadas. O primeiro explora as característica da pós tração e o segundo a da prétração. 8.2 – ROTEIRO PARA DETERMINAÇÃO DE ARMADURA LONGITUDINAL EM PEÇAS COM PÓS-TRAÇÃO Em viga com pós-tração, em geral, todos os cabos podem ser representados por um único fictício obtido através da união do centro de gravidade de todos os demais. A este cabo dá-se o nome de cabo representante. Assim, o procedimento de determinar o número de cabos necessário em uma viga, baseia-se em considerar os valores das forças protensão correspondente ao cabo representante para a determinação do número dos mesmos. É preciso considerar conhecida a trajetória do cabo representante e, através desta avaliar as perdas de protensão imediata e ao longo do tempo para, finalmente, determinar, na seção mais solicitada, o número de cabos necessários, imaginando que todos os demais cabos tenham como força de protensão média o valor encontrado para o representante. Pressupõe-se, ainda, que o cabo represente está sendo tensionado (puxado) no máximo valor possível, para que se obtenha a maior economia possível. .Resumindo um memorial para a determinação do número de cabos deve contemplar os itens descritos. • Esquema estrutural • Sistema e unidades de protensão; informações gerais. • Cálculo das perdas imediatas do cabo representante • Cálculo das perdas ao longo do tempo do cabo representante • Cálculo do número de cabos necessários levando em conta o estado limite último • Verificação dos estados de fissuração, feixe limite A seguir descreve-se um roteiro que permite o cálculo do número de cabos necessários na seção mais solicitada de uma viga isostática. Em seguida é resolvido um exemplo para uma viga de ponte rodoviária em que são detalhados os itens anteriormente apresentados. Lembrar que no caso de um elemento hiperestáticos os efeitos do


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hiperestático de protensão devem ser considerados, inicialmente de forma aproximada e calculados posteriormente com as informações do capítulo 11. 8.2.1-Esquema estrutural e indicação do cabo representante. O primeiro passo de cálculo para determinar o número de cabos existentes em uma viga consiste em indicar o seu sistema estrutural fornecendo as informações necessárias para o desenvolvimento do cálculo constando portanto desta etapa a indicação da trajetória dos cabos. É interessante indicar pelo menos: a) a posição dos apoios na viga; b) os tipos de ancoragem (V- viva, M- morta); c)valor do vão ou vãos; d) altura da peça; e)marcação das seções mais importantes com sua designação (S0, S5, S10 etc); f) inclinações prováveis do cabo representante. Ancoragem Viva ou ativa é toda extremidade do cabo onde é possível efetuar a protensão e ao contrário a ancoragem morta ou passiva é a extremidade do cabo em que seu esforço é transmitido para o concreto, mas não é possível efetuar, nesse ponto, a protensão. 300

S0

300

300

S1

S3

S2

300

S4

S5

d'

Sext

300

2

1

AV

representante d'

2

cabo

500

1500

figura 8.1– Trajetória esquemática do cabo representante (cotas em cm). As deflexões que um cabo de protensão deve ter uma viga fletida, principalmente as empregadas em pontes, variam de acordo com a relação entre altura (h) e vão ( l ), com o número da camadas de cabos longitudinais, a forma do diagrama de momento (envoltória em geral) e outros fatores menos influentes. A definição das deflexões é importante pois estas influenciam a perda de protensão por atrito e também a perda por deformação de ancoragem. Assim, imaginando a estrutura da figura 8.1 é preciso definir antes mesmo de calcular e detalhar a armadura os prováveis valores de α1 e α2 alem de avaliar onde é interessante usar trechos curvos. Desenvolve-se aqui um raciocínio com fazer estas escolhas que são feitas para o esquema da viga da figura 8.1 mas com as devidas adaptações pode ser usado em outros tipos de sistemas ou situações. A envoltória de momentos fletores da viga da figura 8.1 tem a forma aproximada a representada na figura 8.2. Desta maneira verifica-se que é necessário que os cabos de protensão fiquem mais próximos da fibra superior na região em torno de S0 e ao contrário, mais próximos da fibra inferior, na região em torno das seções S4 e S5. Entre as seções S0 e S3 já que os cabos devem ser contínuos e com traçado sem pontos angulosos devem existir dois trechos curvos (com concavidades diferentes) e um ponto de inflexão.


4


figura 8.2– Forma da envoltória da viga da figura 8.1, Como mostrado já no capítulo 4 pode-se usar arco de circunferência para o traçado e mais informações a este respeito podem ser encontradas em CARVALHO (1987) e ASSAN (1974). Na figura 8.3 são mostrados os elementos básicos para o traçado da circunferência. S0

Sext

A

B

S1

y

1

C

AV

x

S3

S2

S5

S4

cabo representante

L

R R

O

Figura 8.3– Geometria do arco de circunferência. A partir da geometria da figura 8.3 chega-se as seguintes fórmulas básicas: y = R sen α (8.1) x = R – R cos α R=

x 2 + y2 2y

(8.2) (8.3)


5


tanα =

x R−y

(8.4)

Os pontos A e C que delimitam o trecho curvo do cabo são chamados pontos de tangencia. Lembrando agora que há uma série de cabos e portanto cabos situados em diversos níveis, mostra-se que a medida vertical a ser considerada é igual a k/2 (ver figura 8.4). O valor de k é dado por: k = h − 2(a1 + a2) Com a1 distância do centro do cabo mais próxima a borda da peça até a superfície da mesma (borda) (pode ser usado o valor de 1,5φ be com φ be o diâmetro externo da bainha) a2 – distância entre o centro de dois cabos (pode ser usado 2φ be ) A expressão anterior é aplicada a qualquer que seja o cabo e na verdade se houver n níveis deve ser expressa por: k = h − (n − 1)(a1 + a 2 ) L/20

L/10

L/10

L/10

h

a2 a2 a1

a2

k

a1 a2

L/20

Figura 8.4– Geometria dos traçados dos cabos com arco de circunferência. Como exemplo considerando-se h=1,70m e a unidade de protensão de 12φ1/2” cujo diâmetro externo da bainha é de 7 cm e três níveis obtém-se para k o valor k=1,70 – 2(0,105+0,14)=1,21m Considerando agora uma viga com 34 m de vão e relação entre a altura e vão de 1/20 usando um cabo como o desenhado em 8.1, a unidade de protensão 12φ1/2” ( φ be = 7cm ) e uso de três níveis obtém-se para o Raio R e o ângulo de deflexão α: h= L/20=34/20=1,70 m k=1,70 – 2(0,105+0,14)=1,21 y=k/2 =1,21/2=0,605 x=0,15L = 0,15 .34=5,10 m 5,10 2 + 0,605 2 x 2 + y2 = = 21,798 m R= 2 ⋅ 0,605 2y


6


5,10 → α=13,530 21,798 − 0,605 Para o cabo de 12φ1/2” o raio mínimo empregado (ver capítulo posterior) a fim de evitar problemas com a bainha e concreto é de 12 m. Assim, usando os pontos de tangencia do arco de circunferência os extremos da região prevista como curva, ou seja, da seção S0 até o ponto de inflexão (pontos A e C da figura 8.3) deve-se obter uma raio superior ao mínimo, caso contrário seria preciso aumentar esta distância e conseqüentemente o trechos curvo do cabo. Ao invés de usar o arco de circunferência da seção S0 até a seção intermediária entre S1 e S2 pode-se usar ainda três outras formas de trechos como as mostradas na figura 8.5. A esquerda usando um ângulo α2 < α o ponto de tangencia A acaba ficando anteriormente a So . Na situação do centro da figura 8,5 usando um ângulo α1 >α tem-se o cabo C2 e o raio diminui, alem do ponto A aproximarse mais do ponto C. Finalmente na situação a direita da figura 8.5 a direita usando um mesmo ângulo de deflexão (e portanto central do arco de circulo) porem com raio menor tem-se os pontos de tangencia D e E mais próximos de B. tan α =

C1

C2 S0

S1

B

A

S0

S

S1

S0

S2

A

B

A C

D B

S1

S2

E C

C

C3

R1 R

R1 R

R2

O1

R

R

2

O

O

O

Figura 8.5– Variantes da geometria dos traçados dos cabos com arco de circunferência. Como se vê a maneira mais segura de se obedecer ao raio mínimo e ter um detalhamento de cabos simples entre as seções S0 e S3 é usar os pontos de tangencia A e C nas extremidades do intervalo. Neste caso o valor do ângulo α decorre das outras variáveis. Verifica-se agora a variação do ângulo α com a relação entre altura da viga (h) e vão (L), com três níveis de cabos, primeiro para um vão de L=34 m e depois para um vão L=20 m cujos resultados são apresentados nas tabelas 8.1 e 8.2 respectivamente. h/L h (m) α (0) R (m)

Tabela 8.1 -Valores de h, α e R para L=34m 1/10 1/13 1/15 1/17 3,4 2,615 2,266 2,0 31,88 23,53 19,76 17,17 9,67 12,77 15,09 17,73

1/20 1,70 13,53 21,80

Os resultados das tabelas em questão mostram que é sempre interessante usar menores relações para h/L pois fica mais fácil de atender o raio mínimo e também se


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obter um valor pequeno de α que leva a uma menor perda de protensão por atrito. Assim, vãos pequenos e grandes relações de h / L são piores par o projeto dos cabos curvos que vão de uma fibra a outra..

Tabela 8.2 -Valores de h, α e R para L=20m 1/10 1/13 1/15 1/17 2,0 1,54 1,33 1,18 28,24 19,81 15,97 13,00 6,34 8,85 10,90 13,30

L/h h (m) α (0) R (m)

1/20 1,00 9,72 17,77

Na figura 8.6 mostra-se o traçado dos cabos (não se levou em conta o raio mínimo) para três relações h / L. Vão 34 m altura de 2 m

Vão 34 m altura de 1,70 m 170

340

340

200

14,6

86

340

14,34 14,35 38,76 14,6

14

170

14 340

84,8

10,5 14

10,5 14

170

340

340

Vão 34 m altura de 3,00 m 170

340

300

14

10,5 14

170

340

340

Figura 8.6– Traçado de cabos com três níveis de cabos de 12ø1/2”, com o vão L= 34 m e variando as relações h/L. A última situação (a da direita) mostrada na figura 8.5 é muito usada na prática. Trata-se da resolução de dois problemas o primeiro: dados x e y (distâncias horizontal e vertical entre dois pontos de tangencia – A e C - em um trecho curvo de cabo) construir o arco de circulo com raio R que passa por A e C e tem ângulo central α. Isto é feito facilmente com as fórmulas de 8.1 a 8.4. O segundo problema passa a ser: a partir do arco achado nas condições anteriores deseja-se traçar um novo trecho de arco de circunferência A’C’ (pontos de tangencia) que tem o mesmo ângulo central, os mesmos segmentos de tangentes (nos pontos A’ e C’) que o anterior e para um segmento de reta AA’=C’C dado. Assim, o problema em questão consiste em dados x, y e a distância C’C determinar α e R’. Neste caso é preciso usar as seguintes relações (ver figura 8.7): igualdade de comprimento dos seguintes segmentos : AB = BC ; A' B = BC ' ; AA' = CC ' . Assim como visto anteriormente dados x e y determina-se por 8.3 4 8.4 os valores de R e


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α. Em seguida BC' = R ⋅ tan

α − C' C . Os valores de x’ e y’ são agora facilmente 2

calculados por: y' = BC' ⋅ senα e x' = BC' ⋅ (1 + cosα )

e finalmente R' =

x' 2 + y ' 2 . 2 ⋅ y'

O

R

A'

R'

y'

y

A

B

C'

x'

C

x

Figura 8.7– Traçado de um segmento de arco de circunferência a partir de outro com o mesmo anglo central. Para o trecho curvo do cabo entre as seções Sextr e S0 considerando que o vão do balanço é tomado geralmente igual a L/5, ou seja 0,2 L, imagina-se que o ângulo de deflexão neste trecho é menor que o encontrado para o trecho entre S0 e S3

Sext

10,5 14

A

B

C cabo

S0

14

170 90

100

100 340

340

Figura 8.8– Traçado de cabos para trecho em balanço. Neste caso do balanço pode-se usar a sistemática mostrada anteriormente e que aparece na figura 8.5 (a direita) em que os pontos de tangencia não estão no começo do cabo, seção Sext e no final S0 mas a cerca de 1m destes pontos, pois é preciso junto a ancoragem (seção Sext) manter um trecho reto de cabo. Assim, na figura 8.8 vê-se o desenho do cabo pertencente ao nível mais inferior para uma situação de L=34m; h=1,70 e com três níveis de cabos. Desta forma o primeiro cabo irá ancorar em Sextr


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(considerando cabo de 12φ1/2”) a uma distância da borda superior de 3x30 cm (usa-se aqui a distância de 30 cm entre uma ancoragem e outra) e está a 10,5+2x14=38,5 cm da borda superior em S0. Fazendo os cálculos imaginando inicialmente os pontos de tangencia A e C nas seções extremas tem-se: y = 90 -38,5 =51,5 cm x = 0,2 L = 0,2x34 = 6,8 m x 2 + y2 6,80 2 + 0,515 2 R= = = 45,15 m 2y 2 ⋅ 0,515 6,80 → α=8,660 45,15 − 0,515 Considerando agora os pontos de tangencia se distanciando 1m na horizontal α 8,6 BC' = R ⋅ tan − C' C = 45,14 ⋅ tan − 1 =2,41 m 2 2 y' = BC' ⋅ senα = 2,41 sen8,66=0,362m e x' = BC' ⋅ (1 + cosα ) =2,41(1+0,988)=4,792m tan α =

e finalmente R ' =

x' 2 + y ' 2 4,782 2 + 0,362 2 = = 31,76 > R minimo = 12m 2 ⋅ y' 2 ⋅ 0,362

Verifica-se que para o cabo no nível mais próximo a fibra superior os valores de R e α são: y = 30 -10,5 =20,5 cm x = 0,2 L = 0,2x34 = 6,8 m x 2 + y2 6,80 2 + 0,205 2 R= = = 112,88 m 2y 2 ⋅ 0,205 tan α =

6,80 → α=3,450 112,88 − 0,205

Assim o cabo representante para esta situação usando a média dos ângulos 8,66 e 3,45 anteriores é de é de 60. Notar ainda que neste caso os ângulos não dependem do valor da altura da viga. No caso de viga simplesmente apoiada sem balanço com ancoragem na extremidade, como mostra a figura 8.9 a situação é similar as estudadas. Inicialmente definem-se dois pontos de passagens do cabo como sendo o início (no caso da figura a ancoragem a esquerda) e o final da curva, por exemplo na Seção S3. Com esses dois pontos definidos e portanto as variáveis x e y e usando as equações 8.1 e 8.2 define-se o arco de circunferência e a deflexão α, seguindo a sistema anterior determina-se o novo raio R’. Para efeito de exemplo calculam-se as características, e principalmente o ângulo de deflexão, do cabo C2, cabo médio, apresentado no desenho 8.9. Considera-se vão de 0


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Vão 34 m altura de 1,70 m S0 S1 C2

S2

S3

C1 340

340

S5

S4 170

C3

90 60

30

34m relação h/L=1/20, cabo 12φ1/2”, raio mínimo de 12 m e a necessidade de um trecho de 1 m reto junto a ancoragem, distância mínima entre as ancoragens de 30 cm. Inicialmente despreza-se a necessidade da distância de um metro de cabo reto junto a ancoragem. Assim o valor de y a ser empregado é dado por: y=h-0,6-0105-0,14 =1,7-0,6-0105-0,14=0,855 m x= 0,3L =0,3x34=10,2 m x 2 + y2 10,20 2 + 0,855 2 R= = = 61,27 m 2y 2 ⋅ 0,855

340

340

340

Figura 8.9– Traçado de cabos para trecho sem balanço (cotas em cm). x 10,20 tanα = = → α=9,580 R − y 61,27 − 0,855 Considerando agora a correção para que se tenha 1m de cabo reto α 9,58 BC' = R ⋅ tan − C' C = 61,27 ⋅ tan − 1 =4,13 m 2 2 y' = BC' ⋅ senα = 4,13 sem 9,58=0,687m e x' = BC' ⋅ (1 + cosα ) =4,13(1+986)=8,208m

e finalmente R ' =

x' 2 + y ' 2 0,687 2 + 8,208 2 = = 49,37 m > R minimo = 12m 2 ⋅ y' 2 ⋅ 0,687

Como mostrado nas outras situações apresenta-se através da tabela 8.3 os ângulos de deflexão e raios dos cabos para o caso de tramo inicial sem balanço com ancoragem extremidade. Tabela 8.3 -Valores de h, α e R para L=34m – Cabo para viga de tramo inicial sem balanço com ancoragem extremidade. h/L 1/10 1/13 1/15 1/17 1/20 3,4 2,615 2,266 2,0 1,70 h (m) 28,12 19,62 15,86 12,92 9,58 α (0) 21,64 30,37 37,31 45,61 61,27 R (m) * Valores de R não foram corrigidos para a consideração de 1m de cabo reto após a ancoragem. 8.2.2- Sistema e unidades de protensão; informações gerais. Neste passo o projetista deve escolher primeiramente o sistema de protensão levando em conta sempre o aspecto econômico, facilidade de emprego, disponibilidade, qualidade e etc. É preciso lembrar que a estrutura detalhada com um sistema de protensão deve poder ser adaptada para outro sistema, de forma que não se caracterize a imposição


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de uma marca. Na maioria das vezes basta mudar o detalhamento da região da ancoragem para se passar de um sistema de protensão para o outro. Em seguida o projetista deve escolher a unidade de protensão levando em conta a dimensão do cabo, a força desenvolvida pelo mesmo e analisar se é interessante usar para o tipo de peça em questão. Assim em pontes com seção celular com vãos acima de 15 m em geral usam-se cabos de 12φ1/2” ( diâmetro da bainha externo de φ be = 7cm) enquanto para vigas pré-fabricadas para vão em torno de 15m usam-se os cabos 6φ1/2” (diâmetro da bainha externo de φ be = 5cm). É sempre interessante nesta fase do projeto ter-se em mãos os manuais de protensão da empresas que fornecem os equipamentos para efetivação da protensão pois a escolha poderá ser feita de forma criteriosa e posteriormente o detalhamento será mais completo. Após a escolha do sistema de protensão e a unidade deve ser escolhido o aço a ser empregado o tipo de protensão a ser adotado (completa, limitada ou parcial) baseada nas condições do meio ambiente e tipo de peça (ver capítulo 1). 8.2.5- Cálculo das perdas imediatas do cabo representante

Como foi detalhado no início deste capítulo o cálculo da armadura longitudinal de uma viga em concreto protendido com aderência posterior, pode ser feito considerando-se a trajetória de um único cabo que representa os demais. Define-se desta forma, uma trajetória ao longo da viga para o cabo representante que possibilita desta forma o cálculo da força de protensão nas diversas seções transversais, considerando-se as perdas imediatas e as perdas ao longo do tempo. Os ângulos a serem usados no projeto estão indicados nas tabelas de 8.1 a 8.3 e ao longo do texto do item anterior. Os demais valores que permitem o cálculo da força de protensão são, por exemplo: Unidade de protensão – 12 φ 1/2”. Área do cabo - 12,02 cm2 Peso do cabo – 94, 2 kN/m Aço CP 190 RB Atrito cabo-bainha µ =0,20 (entre fios lisos ou cordoalhas e bainha metálicaNBR6118:2003); Diâmetro da bainha (interno) – 66 mm e externa de 70 mm Perda durante a cravação – 6 mm (manual Rudloff- NB1-99 recomenda consultar fabricante) Sistema de protensão Rudloff ou MAC. Nível de agressividade III - Nível de Protensão – Protensão Parcial (ver capítulo anterior) Força de protensão inicial: O menor dos valores 0,74 fptk e 0,82 fpyk de acordo com o capítulo 3. Para a montagem da tabela de tensões após as perdas imediatas deve-se considerar no trecho entre a seção S0 e S1 que a deflexão do cabo é de um terço da deflexão entre So e S3. No trecho entre a seção S3 e S5 considera-se que o cabo tem trajetória paralela à


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borda inferior. Um exemplo da montagem da tabela é dado na tabela 4.1 em que os ângulos de deflexão sonsiderando foram de 6 e 130. Tabela 8.5: Exemplo de cálculo de valores de tensões em um cabo as após as perdas por atrito. σpi =1400 MPa, µ=0,2 e β=0,01 rd/m. ∆α O O -µ.(∆α+βx) σs=e-µ.(∆α+βx) MPa Seção x(m) D x(m) α ( ) ∆α ( ) (rad) e Sext S0 S1 S2 S3 S4 S5

0 2 3 3 3 3 3

0 2 5 8 11 14 17

0 6 8,67 8,67 8,67 0 0

0 6 14,67 23,33 32 32 32

0,00 0,10 0,26 0,41 0,56 0,56 0,56

1,00 0,98 0,94 0,91 0,87 0,87 0,86

1400 1366 1317 1270 1225 1217 1210

Como não é conhecido o número de cabos a perda por deformação imediata do concreto será desprezada (o seu valor é mesmo pequeno neste caso). Assim, será necessário calcular em cada seção qual a tensão no cabo depois da perda por atrito e da deformação da ancoragem. 8.2.4- cálculo das perdas ao longo do tempo do cabo representante O cálculo das perdas ao longo do tempo poderá ser feito considerando o capítulo 5 e os seguintes dados : Umidade relativa do ar 70% Cimento Portland de endurecimento normal Protensão efetuada ao 30 dias Temperatura média de 200 Abatimento do concreto de 12 cm Tensão no concreto no cg dos cabos 5 MPa Por uma questão de simplificação calcula-se a perda na seção S5 no tempo infinito e considera-se o mesmo valor para as demais seções já que está se fazendo apenas um pré-dimensionamento. Também ainda por simplificação pode-se considerar cada uma das perdas como sendo independente das demais e considerar a soma de cada uma como sendo a perda total. 8.2.5 - Cálculo do número de cabos necessários levando em conta o estado limite último O número de cabos na seção mais solicitada (S5) é calculado usando os preceitos apontados no capítulo 6, ou seja no estado limite último. Para se ficar a favor da segurança considera-se que a tensão atuante no cabo é a que ocorre no tempo infinito. Para determinação da altura útil considera-se a expressão: darb = h – 20 cm onde h é altura da seção em S5 e darb será a altura usado no cálculo e os 30 cm considerado é a distância do centro de gravidade dos cabos (e portanto a posição do cabo representante) a borda inderior. Determinado o número de cabos procede-se a verificação se o valor de darb é satisfatório, detalhando-se os cabos na seção S5 (como é mostrado, por exemplo, na


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figura 8.10) e determinando o valor de ycg dos cabos. As especificações completas sobre espaçamentos mínimos entre cabos são apresentadas no capítulo 9.

figura 8.10 Detalhamento da seção transversal do meio do vão para determinar a posição do cg dos cabos O valo real de d (dr) é dado por dr = h - ycg dos cabos. Se o valor de dr.≥ darb o cálculo pode ser aceito caso contrário é necessário refazer o cálculo ou o detalhamento da seção. 8.2.6 - Verificação dos estados de fissuração, feixe limite Calculado o número de cabos na seção mais solicitada (S5) é necessário verificar as tensões na borda inferior e superior do concreto, conforme descrito no capítulo 7, para a seção S5. Atendidas as condições de norma (capítulo 7) pode-se calcular a região em que deve se encontrar o centro de gravidade dos cabos (a posição do cabo representante) chamado de feixe limite. Isto pode ser feito, por exemplo, para as seções S0 e S2 da ponte para verificar se o cabo representante atende as condições de tensões e permitir um melhor detalhamento da armadura longitudinal. A partir deste pré-dimensionamento é possível efetuar o desenho do traçado dos cabos ao longo da viga, praticamente como definitivo, baseado nas premissas anteriores e o cabo representante usado e verificando em cada seção todas as situações do ELU (estado limite último) e ELS (estado de limite em serviço). Na verdade estas duas últimas etapas de (feixe limite e traçado de cabos) são detalhadas no próximo capítulo. 8.3- Anteprojeto de uma ponte isostática rodoviária em concreto protendido O intuito deste item é mostrar uma aplicação prática de um anteprojeto em concreto protendido. Para tanto se escolheu realizar o anteprojeto da viga longitudinal de uma ponte rodoviária, em concreto protendido, com seção transversal celular (caixão perdido). A obra é projetada para ser executada com concretagem no local e protensão com aderência posterior. A definição das dimensões da estrutura e de algumas de suas


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características não é aqui comentada, pois neste caso fazem parte do escopo de outro trabalho ou seja, “Curso de pontes em concreto”. Dentro do possível adotam-se algumas hipóteses simplificadoras de cálculo empregadas para um cálculo manual que hoje podem ser substituídas por técnicas mais refinadas que empreguem programas específicos de computador. 8.3.1 Enunciado Fazer um anteprojeto de uma ponte rodoviária em concreto protendido, com seção celular de modo a vencer um vão livre de 34 m sobre um curso d’água e uma rua e usando ainda balanços laterais de 6,8 m calculando a armadura longitudinal necessária na seção mais solicitada. Considerar uma seção transversal com duas faixas de tráfego, uma faixa de segurança e duas defensas. A obra é plana em elevação e reta em planta. Obra rodoviária de classe I (veículo tipo de 450 kN). 8.3.2 Roteiro Para facilidade de execução o anteprojeto é dividido em fases que devem ser realizadas seqüencialmente. As fases são (Notar que a partir do item 5 o roteiro é o mesmo enunciado anteriormente para o pré-dimensionamento da armadura longitudinal):: 1) Desenho das formas (Lançamento ou determinação da estrutura) 2) Cálculo das características geométricas 3) Cálculo das reações de apoio e esforços solicitantes (Momento fletor) devido ao peso próprio estrutural (g1) e sobrecarga permanente (g2). 4) Cálculo do trem tipo longitudinal, traçado das linhas de influência e cálculo dos momentos máximos e mínimos devido à carga acidental. 5) Definição do cabo representante 6) Cálculo das perdas imediatas do cabo representante 7) Cálculo das perdas ao longo do tempo do cabo representante 8) Cálculo do número de cabos necessários levando em conta o estado limite último 9) Verificação dos estados de fissuração 8.3.3 Primeira fase – confecção do desenho de formas- lançamento da estrutura Definir a estrutura e desenhar sua forma é o primeiro passo de todo o projeto estrutural. Em algumas situações, em que as estruturas são mais simples, é possível montar o esquema estrutural, por exemplo, de um pavimento sem que as dimensões de todas as vigas e espessuras de lajes estejam definidas. Em um projeto de uma ponte em que as ações de peso próprio são grandes e os esforços variam muito podendo inclusive ter momentos fletores de carga acidental de sinais contrário em uma mesma seção para duas situações de posicionamento de carga torna-se necessária, já na fase de anteprojeto, uma definição das dimensões dos diversos elementos. A definição geométrica da estrutura depende fundamentalmente da experiência do engenheiro projetista que na maioria das vezes utiliza-se de cálculos anteriores para fazer definições de dimensões. No final devem ocorrer poucas mudanças no projeto e se ocorrerem de tal forma que não requeiram o recálculo de todo a obra. Inicia-se a definição da estrutura pela sua seção transversal. Como no enunciado considera e duas faixas de tráfego e uma de segurança, chegando-se a uma largura


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transversal de 2x3,5+3=10 m. Considerara-se 3,5m para a largura de uma faixa rodoviária e 3m para a faixa de segurança (acostamento). Considera-se uma defensa de 25 cm para cada lado totalizando assim uma largura transversal total de B=10,50 m. Considerando-se que a distância entre os centros dos pilares de apoio (vão do tramo em principio) é de L=34 m pode-se a partir de uma regra empírica definir uma altura total para a seção transversal. Alguns projetistas adotam para este tipo de seção transversal a relação L/20, neste caso prefere-se usar o valor L/17 que resulta para a altura da seção o valor de h=2m. As demais medidas da seção transversal decorrem das seguintes recomendações: dimensão mínima de laje 15 cm, dimensão mínima da largura da alma da viga 35 cm (necessário para alojar dois cabos de 12Φ1/2” em um mesmo nível horizontal), necessidade de mísulas na laje superior (para melhorar o trabalho à flexão da laje superior) e mísula inferior para alojar os cabos mais longe do centro de gravidade da peça. A largura da célula deve ser tal que o momento fletor transversal da laje superior no meio do vão transversal da laje conduza a uma mesma armadura que o da seção de apoio. É considerado aqui o valor de B0=5,50 m. Finalmente, junto ao apoio a largura da nervura é de 70 cm para resistir ao grande valor de cortante desta região. Este valor é mantido constante em todo o balanço para facilitar o posicionamento das ancoragens ativas dos cabos na extremidade do balanço. A largura da viga é aumentada linearmente a partir da seção de três décimos do vão para o apoio conforme pode ser visto no desenho da planta da mesma. Agora já é possível fazer o desenho das formas que compreende a planta da ponte apresentada em meia vista e meio corte, uma elevação lateral (também em meia vista e meio corte) e duas seções transversais: uma no meio do vão seção S5 e outra nos apoios (sem representar as transversinas neste caso) Apresentam-se a seguir as figuras 8.11 e 8.12 correspondentes aos desenhos das seções transversais e da planta e elevação do anteprojeto. SEÇÃO DO MEIO DO VÃO

40 40

100

35

15

L/17

15

25

35

15

15

B

(B-550)/2

(B-550)/2

550

SEÇÃO DO APOIO

15 cm

25

B

70 35

(B-550)/2

100 30 cm

L/17

550

(B-550)/2

Figura 8.11- Seções transversais S0 e S5 da Ponte do anteprojeto. Cotas em cm (B=1050 cm)


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CAP. 8- Pré-dimensionamento e dimensionamento da armadura longitudinal

S8

1/2 VISTA

S7 S6

ELEVAÇÃO

S2

S5 S4

50

250

L/5

200

Sext. baL

25 B

30 cm

S0

S0

50

70

50

L/10

S1

S1

S2

S3

S3

35

15 cm

1/2 CORTE

1/2 CORTE

S4

S5

12,5

PLANTA

S6

S7

1/2 VISTA

S8

S9

S8

S10

S10

Sex

Sext. baL

ROBERTO CHUST CARVALHO --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

37

25

Figura 8.12- Planta e elevação esquemática da Ponte do anteprojeto. Cotas em cm.


17


8.3.4- Segunda fase – cálculo das características geométricas das seções transversais em S5, S2 e S0 (sem considerar as transversinas)

O cálculo das características geométricas das seções é feito a partir do esquema mostrado na figura 8.14 da mesma forma que o exercício resolvido no capítulo 1. Neste caso o que se faz é procurar identificar na seção sub-elementos com formato de retângulos e triângulos. Na figura 8.14 aparecem os elementos considerados para a determinação das características das seções S0, S2 e S5. Assim, a seção passa a ser composta de diversos elementos cujos valores das áreas, posições do centro de gravidade e inércia são conhecidos. Basta aplicar os conhecimentos de mecânica e resolver o problema, usando a tabela 8.5 indicada a seguir que pode ser previamente preparada para uma planilha eletrônica e facilmente aproveitável para outras seções..

SEÇÃO DO MEIO DO VÃO 1 4

5

5 2

6

6

4 2

3

Figura 8.13.- Divisão das seções transversais para determinação das características geométricas. Como mostrado no capítulo existem diversas outras maneiras de calcular as características das seções em questões inclusive através de programas gráficos. É importante perceber que os valores procurados para realizar o anteprojeto são: Área da seção transversal (A), distância do centro de gravidade da seção em relação a borda superior (ys) e em relação a borda inferior (yi), momento de inércia da seção em relação ao eixo horizontal central (It), módulo de inércia em relação ao bordo inferior (Wi) e superior (Ws).


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TABELA 8.6 Seção S5 1 2 3 4 5 6

B(m) 10,5 0,7 5,5 2,5 1 0,35

H(m) A(m2) 0,15 1,575 1,7 1,19 0,15 0,825 0,25 0,625 0,25 0,25 0,35 0,1225 2

y(m) 0,075 1 1,925 0,233 0,233 1,733

4,5875 ycg,s

Ay(m3) ÿ'(m) Ay'(m3) 0,118125 -0,64705 -1,019108256 1,19 0,277947 0,330757095 1,588125 1,202947 0,99243139 0,145625 -0,48905 -0,305658038 0,05825 -0,48905 -0,122263215 0,212293 1,010947 0,123841025 3,312418

I0 (m4) 0,002953125 0,286591667 0,001546875 0,002170139 0,000868056 0,000833681

Ay'2 0,659417 0,091933 1,193843 0,149483 0,059793 0,125197

-8,74301E-16 0,294963542 2,279665

"= Ay/A= 0,722053 m

It(m4) "=I0+Ay'2= 2,574629 m4 ycg,i= Wi Ws

1 2 3 4 5 6

B(m) 10,5 1,4 5,5 2,5 1 0,35

H(m) A(m2) 0,15 1,575 1,55 2,17 0,3 1,65 0,25 0,625 0,25 0,25 0,35 0,1225 2

h-ycg,s=

y(m) 0,075 0,925 1,85 0,233 0,233 1,5833

6,3925 ycg,s

1,277947 m 2,01466 m3 3,565707 m3 Seção S0 Ay(m3) ÿ'(m) Ay'(m3) 0,118125 -0,79723 -1,255630838 2,00725 0,052774 0,114519734 3,0525 0,977774 1,613327217 0,145625 -0,63923 -0,399516206 0,05825 -0,63923 -0,159806482 0,193954 0,711074 0,087106574 5,575704

I0 (m4) 0,002953125 0,434452083 0,012375 0,002170139 0,000868056 0,000833681

Ay'2 1,001021 0,006044 1,57747 0,255381 0,102152 0,061939

-1,17961E-15 0,453652083 3,004007

"= Ay/A= 0,872226 m

It(m4) "=I0+Ay'2= 3,45766 m4 ycg,i= Wi Ws

1 2 3 4 5 6

B(m) 10,5 0,94 5,5 2,5 1 0,35

H(m) A(m2) 0,15 1,575 1,65 1,551 0,2 1,1 0,25 0,625 0,25 0,25 0,35 0,1225 2

h-ycg,s=

y(m) 0,075 0,975 1,9 0,233 0,233 1,6833

5,2235 ycg,s

1,127774 m 3,065915 m3 3,964179 m3 Seção S2 Ay(m3) ÿ'(m) Ay'(m3) 0,118125 -0,71574 -1,127290156 1,512225 0,18426 0,285787598 2,09 1,10926 1,22018624 0,145625 -0,55774 -0,348587364 0,05825 -0,55774 -0,139434945 0,206204 0,89256 0,109338627 4,130429

"= Ay/A= 0,79074 m h-ycg,s=

1,20926 m 2,43551 m3

Ay'2 0,806846 0,052659 1,353504 0,194421 0,077768 0,097591

-5,82867E-16 0,362374792 2,582791

It(m4) "=I0+Ay'2= 2,945165 m4 ycg,i= Wi

I0 (m4) 0,002953125 0,351883125 0,003666667 0,002170139 0,000868056 0,000833681

Ws = 3,727 m3


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S0 S2 S5

Tabela 8.3- Resumo das características geométricas de S0, S2 e S5 A (m2) ys (m) yi (m) I (m4) Wi (m3) Ws (m3) 6,3825 0,8722 1,1278 3,4577 3,066 3,964 5,2235 0,7907 1,2093 2,9451 2,435 3,724 4,5875 0,7220 1,2780 2,5740 2,015 3,565

As características geométricas das seções, como não podia deixar de ser pelo desconhecimento ainda da armadura de protensão necessária, correspondente a da seção geométrica ou bruta e sem a consideração das transversinas. 8.3.5- FASE 3: DETERMINAÇÃO DAS AÇÕES DE CARGA PERMANENTE As ações permanentes correspondem a dois tpios de carga: a estrutural (g1) e a sobrecarga permanente (g2) neste caso correspondente a pavimentação e as defensas. 8.3.5.1 Peso próprio g1 Nesta fase determinam-se os momentos fletores da ação permanente estrutural nos décimos de vão da estrutura. A ação estrutural de um elemento prismático (seção transversal constante) é dada pelo produto da área de sua seção transversal pelo peso específico do concreto protendido que é igual a 25 kN/m3. Esquematicamente a ação desta carga está representada na figura 8.15 dada a seguir e as intensidades correspondentes serão explicadas a seguir. A ação g1* correspondente à carga permanente no trecho central, compreendido entre as seções S3 e S7, em que não há variação de geometria. Seu valor numérico é encontrado multiplicando-se a área de S5 (não considerando a transversina) pelo peso específico do concreto com armadura (γ=25 kN/m3) Assim g1* = AS5 x γ = 4,5875 x 25 =114,69 kN/m Analogamente: g1** = AS0 x γ = 6,3925 x25 = 159,81 kN/m

Pc

Pta

Pti

g**

Pta g*

g**

1

1

1

Mc

Sbal1 S0

S1 S2 0,1L

S3

S4 S5 S6

Pc

S7

S8 S9

S10

Sbal2

c

L

Figura 8.14 – Esquema estrutural de carga permanente para toda a célula.


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Supõe-se que no intervalo de S3 e S0 a variação do carregamento é linear pois a largura da viga e a espessura da laje inferior variam desta forma. É preciso porem considerar que no meio do vão, nas seções de apoio e da extremidade do obra existem transversinas (elementos transversais) ou cortinas (extremidade da viga). SEÇÃO DO MEIO DO VÃO

1050 100

Ati

25

15

35 H

35 35

250

100

15 550

250

Figura 8.15 – Região (achureada) a ser considerada para peso da transversina intermediária A ação da transversinas pode ser considerada como uma carga concentrada uma vez que a espessura das mesmas é pequena comparada ao vão da estrutura. Desta maneira o peso da transversina intermediária é dado por:

Pti = Ati . ei .γ = ((5,50-0,70) x (2,00-0,30)-(0,1225+0,2500)) x 0,25 x25 = 48,67 kN Com Ati a área da região achureada mostrada na figura 8.15 e ei a espessura da transversina intermediária. Para peso da transversina de apoio o raciocínio é o mesmo mudando-se apenas os valores das variáveis na expressão: Pta = Ata . ea .γ =((5,50-1,40) x (2,00-0,45)-(0,1225+0,2500)) x 0,50 x25 = 74,78 kN Com ea espessura da transversina de apoio e Ata a área interna da seção S0. SEÇÃO DA EXTREMIDADE B A tal

A ta

A tal

figura 8.16- Região a ser considerada para o peso da cortina


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Para o peso da cortina é preciso considerar duas parcelas, a transversal e a das abas assim: Pc = Pct + 2. Pabaas Com Pct = (Ata+ 2. Atal) . ec . γ = ((B x h – AS0) + 2. Atal) . ec . γ Ata = 10,50 x 2 – 6,3925 = 14,61 m2 Pata =4,61 x 0,25 x 25 = 29 kN Pabas = Al. . ec . γ = 2x(2,50x2,00 – 2,00x1,33x0,5)x0,25x25= 46 kN Os valores de Ata e. Atal representam a área dos elementos mostrados na figura 8.15 enquanto A1 na figura 8.17 (achureados), ec é a espessura da transversina e γ peso específico do concreto com aço. O valor do momento Mc (momento causado pela aba da cortina) pode ser obtido fazendo o produto de Paba x ycg , valores indicados na figura 8.17 que correspondem ao peso da aba e a distância do cg da mesma à seção Sext bal. ycg = (2,5x2x1,25-1,33x2,00x0,5x1,83)/(5+1,33)=0,603 m , Mc =46x0,603=24,1 kN.m PERSPECTIVA ESQUEMATIVA DA EXTREMIDADE DA PONTE

A AB

B

PERSPECTIVA ESQUEMATIVA DA CORTINA

VISTA LATERAL DA ABA ycg

P

Al

67

250

200 h 37°

Al

50

Figura 8.17 – Perspectiva esquemática e detalhes da cortina.

Determinado as intensidades dos carregamentos calculam-se os momentos fletores e cortantes em S0, S2 e S5. O cálculo é feito a partir da figura 8.10 iniciando pelo cálculo da reação de apoio Ra.



75

74,8

48,7

114,7

75

74,8

159,8

159,8

24,1

24,1 Sbal1 S0

S1 S2

S3

S4 S5 S6

3,4 m

6,8 m

S7

S8 S9

S10

Sbal2

34 m

Ra

Ra

Figura 8.18 – Esquema estrutural com valores das cargas de peso próprio estrutural.

Cálculo da reação de apoio: 10,2 48,7 )+75+74,8+ =3440,7 kN 2 2 2x3440,7 = 275 m3 Volume de concreto estrutural = 25 Cortante VS0,esquerda= -75-159,8x6,8=-1161,64 kN VS0,direita= -1161,64 –74,8 +3440,7= 2204,26kN 30,0 x6,8 = 1219,86 kN VS2= 2204,26-129,73x6,82 15x3,4 -= 24,4 kN VS5,esquerda= 1219,86-114,7x10,22 Ra= 114,7 (17+6,8)+ (159,8-114,7)x(6,8+

Momento Fletor MS0= -24,1-75x6,8-159,8x

6,8 2 = -4228,6 kN.m 2

MS2= -24-75x13,6-159,8x6,8x10,2+(3440,7-74,8)x6,8-129,73x

6,8 2 6,8 2 -30x = 2 3

7688 kN.m MS5= -24-75x23,8-159,8x6,8x20,4-45,1x 13631 kN.m

10,2 17 2 x13,6-114x +(3440-74,8)x17= 2 2

22


23


8.3.5.2 - Ações de sobrecargas permanentes A sobrecarga permanente é originada pela ação da pavimentação e dos guardas rodas. Para os dois guardas-rodas pode ser considerada uma carga de 4,25 kN/m. Para poder escoar as águas de chuvas é necessário que o pavimento superior seja inclinado de 2%. Prefere-se executar a estrutura com inclinação de 2% (ver situação a da figura A9), do que aumentar a espessura do pavimento para se obter a inclinação necessária (situação b da figura 8.11). Assim o valor de g2 será dado por: g2= 4,25+ (B-0,58)x 0,05x18= 4,25+(10,5-0,50)x0,05x18=13,25 kN/m. O valor de B (10,50 m) é a largura total da ponte e 0,5 a largura dos dois guardas rodas, a espessura do pavimento e seu peso específico são respectivamente 0,05 m e 18 kn/m3. Inclinação no pavimento

Det. 1

Det. 1

2% h variável de 17,5 a 7 cm 25 Inclinação na estrutura

Det. 2

2%

Det. 2 h constante 7 cm

Figura 8.19-Possibilidades do escoamento da água de chuva na seção: a) através do engrossamento da pavimentação, b) através da inclinação da estrutura.

g

g

Sbal1 S0

g

2

2

S1 S2 0,1L

S3

S4 S5 S6 L

2

S7

S8 S9

S10

Sbal2


24


Figura 8.20 – Esquema estrutural do carregamento de sobrecarga permanente A ação da sobrecarga permanente é uniforme em toda a extensão da ponte e seu esquema está mostrado na figura 10. Com o valor numérico de g2 obtido pode-se calcular também os momentos fletores e cortantes em S0, S2 e S5 . Cálculo da reação de apoio: Ra= 13,2 (17+6,8) =315,35 kN

Cortante VS0,esquerda= -13,2x6,8= -89,76 kN VS0,direita= - 89,76 +314,16 = 225,6 kN VS2= 224,4-13,2x6,8= 135,1 kN VS5= 134,64-13,2x10,2= 0,0 kN Momento Fletor 6,8 2 MS0= -13,2x = - 305,1 kN.m 2 13,6 2 MS2= 314,16x6,8-13,2x = 918,5 kN.m 2 23,8 2 MS5= 314,16x17-13,2x =1602,2 kN.m 2 8.3.6- fase 4: determinação do trem tipo longitudinal e das ações de carga acidental Chama-se de trem tipo a maior carga acidental que pode atuar na obra de arte. O trem tipo usado neste projeto será o 45 que é composto por um veículo, cujas dimensões estão dadas na figura 8.21, e que pesa 45 tf (450 kN) e atua simultaneamente com uma carga acidental uniforme de 5 kN/m2, representando a ação de veículos mais leves ou mesmo multidão de pessoas. PE=75 PE=75

p=5 kN/m

2

PE=75

PE=75

300 200

p=5 kN/m

2

150

PE=75 kN

600 150

150

150

150 150 150

600

150

Figura 8.21 - Trem Tipo para a classe 45 – Geometria e cargas (cotas em cm)


25


Para calcular os esforços máximos e mínimos em cada seção é preciso saber inicialmente quanto da ação acidental é absorvida por cada viga (V1 e V2 figura 8.22). Se uma carga P é colocada no meio da seção transversal, obviamente, que as parcelas de carga absorvidas por V1 e V2 são iguais P/2. Quando a carga P está excêntrica de “e” pode-se assimilar, de maneira simplificada, que as cargas absorvidas por V1 e V2 são também iguais a P/2 pois o momento torçor Mt=P.e é absorvido pelas tensões de cisalhamento τt . Como a rotação α é muito pequena pode-se considerar ∆1= ∆2 e assim as ações em V1 e V2 iguais. Este raciocínio simplista pode ser visto em Muller [ ].

figura 8.22 – Funcionamento da seção celular: a carga P, vertical, é absorvida igualmente por V1 e V2 devido a grande inércia à torção da seção. Sendo assim pode-se dizer que, independentemente da posição do veículo na seção transversal, para efeito de flexão, cada viga absorve metade da carga. Desta forma será calculado o valor da máxima carga acidental que atua em uma viga, neste caso a carga para toda a seção, chamando este conjunto de cargas de trem tipo longitudinal (designado por TTL). Os valores destas cargas são obtidos fazendo simplesmente a resultante dos esforços em cada seção como é mostrado na figura 8.23.


26

CAP. 8- Pré-dimensionamento e dimensionamento da armadura longitudinal ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------PE=75 PE=75

PE=75

CORTE AA PE=75

PE=75 P'=150 kN p'=5x(B-3,8)

p=5 kN/m

2 SEÇÃO DO MEIO DO VÃO

CORTE BB

p''=5x(B-0,8)

B A TREM TIPO LONGITUDINAL PE'=150 PE'=150

PE'=150 SEÇÃO DO MEIO DO VÃO

p''

p'' p'

figura 8.23 Esquema para o cálculo do Trem Tipo Longitudinal (TTL) Numericamente para este caso as cargas serão: Concentrada PE = 150 kN Distribuída p’= (10,5-0,5-3,0)x5= 35 kN/m2 Distribuída p’’= (10,5-0,5)x 5= 50 kN/m2 Finalmente conhecido o TTL pode-se calcular o máximo e o mínimo momento fletor em uma seção S com a ajuda da linha de influência e como mostra a figura 8.24.


CAP. 8- Pré-dimensionamento e dimensionamento da armadura longitudinal ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------M =-(PE'.(n8+n9+n10)+(p'.n8.a8+(p''-p').(n11.a11)+p" .n7.a7).0,5) min PE' PE' PE'

p''

p''

p'

M =PE'.(n2+n3+n4))+p'.n3.L.0,5+(p''-p').(n5.a5+n1.a1).0,5 máx PE' PE' PE' p''

p'' p'

M =-(PE'.(n3+n4+n5)+p'.n3.L.0,5+(p''-p').(n2.a2+n6.a6).0,5 máx PE' PE' PE'

LIMS n8

p''

p'' p'

n9

n3=a.b/L

n10 L

n11

n7

S n1

a11

a7

n2 n3 n4 n5 n6

a10 a9

a4

a8

a1

a5 a6

a2 a3 a

b

figura 8.24 Carregamento da linha de Influência de Ms com o trem tipo Longitudinal. Aplicando para a seção S0 tem-se o esquema da figura 8.25. 150 150 150 5 3,5 LIMS0

6,8m

n4

n1n2 n3

2,3 3,8 5,3

1

1

SEÇÃO S0 34,0

n1=6,80 n3=3,80 n2=5,30 n4=2,30

Mmin= -150.(6,80+5,30+3,80)+35x6,80x6,80x0,5+ +15x2,30x2,30x0,5)=-3198 kN.m

Figura 8.25 Esquema de cargas e momento fletor mínimo para a seção S0. Analogamente para a seção S2 tem-se o esquema da figura A16.

27


CAP. 8- Pré-dimensionamento e dimensionamento da armadura longitudinal ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------150150 150

SEÇÃO S2

5 3,5

5

3

150 150 150 5

5 3,5

2

150 150 150

LIMS2

6,8m

5

5

1

3,5 n10

n11

n7n8 n9

n1n2 n3n4n5 n6

2,3 3,8 3,8

6,8

5,3

1

22,7m 24,2 25,7 27,2m

5,3

n1=3,04 n7=-5,44 n2=4,24 n8=-4,24 n3=5,44 n9=-3,04 n4=5,14 n10=-1,84 n5=4,84 n11=-1,36 n6=4,54 Mmáx=150.(5,44+5,14+4,84)+35x5,44x34x0,5+

+15x4,24x5,30x0,5+15x4,54x22,7x0,5)=6491,1 kN.m

2

Mmáx=(150.(5,44+4,24+5,14)+35x5,44x34x0,5+ +15x3,04x3,8x0,5+15x4,84x24,2x0,5)=6425 kN.m

3

Mmin =-(150.(5,44+4,24+3,04)+35x6,8x5,44x0,5+ +15x2,3x1,84x0,5+50x1,36x6,8x0,5)= -2818kN.m

Figura 8.26 Esquema de cargas e momento fletor mínimo para a seção S2. Finalmente para a seção S5 tem-se o esquema da figura 8.27 150 150 150

SEÇÃO S5

5

5

2

3,5 LIM S5

150 150 150

6,8m

5

1

5 3,5

n9 n6n7n8

n9 n1n2n3n4n5

2,3 3,8 5,3

1 2

14,0 15,5 17,0

34,0m

14,0 15,5 17,0

n1=7,00 n6=-3,40 n2=7,75 n7=-2,65 n8=-1,90 n3=8,50 n9=-1,15 n4=7,75 n10=-3,40 n5=7,00 Mmáx=150.(8,50+2x7,75)+35x8,5x34,0x0,5+ +2x15x7,00x14,00x0,5)=10127,5 kN.m Mmin =-(150.(3,40+2,65+1,90)+35x3,4x6,8x0,5+ +15x2,3x1,15x0,5+50x3,40x6,8x0,5)= -2135kN.m

.

Figura 8.27 Esquema de cargas e momento fletor mínimo para a seção S5.

28


29


Os esforços da ação acidental precisam ainda ser majoradas pelo coeficiente de impacto vertical que serve de forma simplista para considerar o efeito dinâmico destas ações. O coeficiente ϕ é dado pela expressão empírica:

ϕ = 1,4 – 0,007 x l com l o valor de vão em m. Assim para o vão e para o balanço (usa-se 2 l ) os coeficientes serão: ϕv = 1,4 – 0,007 x 34 =1,16 ϕb = 1,4 – 0,007 x 13,6 = 1,30 8.3.7- Resumo dos momentos fletores das ações. Segundo a norma NBR8681:2003 é considerada grande ponte aquela em que o peso próprio da estrutura supera 75% da totalidade das ações permanentes. Comparando as reações de apoio do peso próprio estrutural e sobrecarga permanente tem-se: Rapopio g1= 3440,7 kN → 91,6% Rapopio g2= 515,3 kN → 8,5% Total = 3756,0 kN →100% Como o peso próprio estrutural corresponde a 96,1% da ação permanente a ponte em questão pode ser considerada uma grande ponte e os coeficientes de majoração de ação para o caso de carga permanente são de 1,2 e e para as ações acidentais 1,5. Os valores dos Momentos fletores são apresentados na tabela 8.4 para as seções S0,S2 e S 5. TABELA 8.4 Momentos fletores (kN.m) Mg2 Mqmáx Mqmin Seção Mg1 ϕMqmáx ϕMqmin -4228 -306 0 -3198 0 -4157 S0 7688 915 6491 -2818 7530 -3663 S2 13631 1608 10127 -2135 11747 -2776 S5 Para a seção S5 a mais solicitada calcula-se os momentos máximos e mínimos no estado limite último: Md,S5, máx = 1,3 (Mg1 + Mg2) + 1,5 ϕMqmáx = =1,3(13631+1608)+1,5(11747)= 46.431 kNm Md,S5, min = 1,3 (Mg1 + Mg2) + 1,5 ϕMqmin =1,3(13631+1608)-1,5(2776)= 15.646 kNm

8.3.8- Definição do cabo representante O cabo represente é definido conforme a discussão feita no item 8.2.1. e o esquema estrutural da viga em questão é mostrado na figura 8.28


30


340

S0

S1

340

340

S3

S2

340

S4

S5

15

Sext

340

18

6

AV

200

representante 15

18

cabo

680

1700

figura 8.28– Trajetória esquemática do cabo representante (cotas em cm). Como pode ser visto na figura 8.1 os ângulos escolhidos para o cabo representante são 6 e 180, apresentando-se as principais informações da viga que é ^simétrica em relação a S5, tem 34 m de vão, 6,8 de balanço, 2,0 m de altura, os cabos são todos ancorados na Sext, considera-se que o cabop representante passe a 15 cm da borda inferior nas seções S0 e no trecho S3 S5 e seus trechos curvos possam ser representados por arco de círculo. A geometria da estrutura (e da viga) foi definida em função do uso do cabo 12φ1/2” (cabo que tem 12 cordoalhas de diâmetro nominal de ½” dentro de sua bainha). Dados do cabo 12φ1/2” Área = 12,02 cm2 φbainha interna = 7 cm Resultam desta escolha os coeficientes relativos ao: atrito do cabo-bainha (tabela 4.1) µ=0,20 desvio angular β=0,01 rd/m ( embora a norma permita até valores de 0,002) Para o aço adota-se o CP190RB e portanto fica definido o valor de Ep=1,95x105MPa e a tensão inicial a ser aplicada na extremidade do cabo o menor dos valores 0,74 fptk e 0,82 fpyk (capítulo 3) e como fpyk ≅ 0,9 fptk, o menor valor é este último e dado por: σpi=0,738 fptk=0,738x1900=1404 MPa adotado 1400 MPa. Adotando o sistema de protensão Rudloff ou MAC.decorre Perda durante a cravação – 6 mm Considerando o nível de agressividade III - Nível de Protensão – tem-se que atender a Protensão Parcial (ver capítulo anterior tabela 7.3), usar um concreto de fck=35 MPa e A/C ≤ 0,5 (tabela 7.4) e cobrimento mínimo de 4,5 cm (tabela 9.1). 0

8.3.9 -Cálculo das perdas imediatas do cabo representante As perdas imediatas possíveis de serem calculadas são a por atrito e por deformação da ancoragem a por deformação imediata do concreto é desprezado pela falta do conhecimento do número de cabos.


31


8.3.9.1-Cálculo das perdas por atrito cabo bainha do cabo representante Considerando portanto (ver item anterior) os valores de µ=0,20, β=0,01 rd/m, σpi=1400 e a geometria da figura 8.20 pode-se montar a tabela 8.5 TABELA 8.5 Tensão ao longo do cabo representante após as perdas por atrito e∆α O O µ.(∆α+βx) Fs’ e-µ.(∆α+βx) MPa Seção x(m) D x(m) α ( ) ∆α ( ) (rad) Sext S0 S1 S2 S3 S4 S5

0 6,8 3,4 3,4 3,4 3,4 3,4

0 6,8 10,2 13,6 17 20,4 23,8

0 6 12 12 12 0 0

0 6 18 30 42 42 42

0,00 0,10 0,31 0,52 0,73 0,73 0,73

1,000 0,966 0,920 0,876 0,835 0,829 0,823

1400,0 1352,5 1288,2 1227,0 1168,7 1160,7 1152,9

8.3.9.2-Cálculo das perdas por deformação da ancoragem do cabo representante Para calcular a perda por deformação a ancogarem usa-se os valores já definidos de ∆ l =0,6 cm Ep=1,95x105MPa O cálculo da perda por deformação por ancoragem é feito por tentativa como já mostrado no capítulo 4. A área Ω da figura formado pela curva atrito-distância e seu espelho (consideração de atrito igual qualquer que seja o sentido do movimento do cabo) deve ser igual a ∆ l ⋅ Ep. Este valor é igual a Ω =∆ l ⋅ Ep = 0,6 ⋅ 1,95 ⋅ 105=117.000.Considerando que a deformação da ancoragem influencia até a seção S0 obtem-se  (1400 − 1352,5)   Ω S0 = 2   ⋅ 680 = 32.300 2    Como Ω S0< Ω então é preciso considerar um ponto mais distante do início do cabo. Considerando agora o ponto correspondente a seção S1  (1400 − 1288,2 ) 1352,5 − 1288,2    1352,5 − 1288,2  Ω S1 = 2  +  ⋅ 340 = 141.278  ⋅ 680 +  2 2 2      Como Ω S1< Ω então o ponto indeslocável a deformação a ancoragem está entre S0 e S1 podendo ser escrita a equação ∆σ ∆σ Ω S0 + ∆σ ⋅ 680 + ⋅ l 0 = Ω ⋅ ∆l → 32.300+ ∆σ ⋅ 680 + ⋅ l 0 = 117.000 2 2 Mas considerando o trecho do gráfico da tensão entre S0 e S1 retilíneo pode-se escrever

σ S1 − σ S 0

∆σ com ∆σ a perda de tensão no ponto da seção S0 e l 0 a distancia do 340 2⋅l0 ponto da seção S0 até o ponto onde a deformação da ancoragem influencia. ∆σ 1352,5 − 1288,2 → l 0 = 2,643 ⋅ ∆σ = 2⋅l0 340 E portanto =


32


∆σ ⋅ 2,643 ⋅ ∆σ = 84.700 → 1,321 ⋅ ∆σ 2 + 680 ⋅ ∆σ − 84.700 = 0 2 ∆σ = 103 MPa l 0 =272,4 cm ∆σ ⋅ 680 +

Tensão no cabo 1450,0 1400,0

1400

s( MPa)

1350,0

1301

1300,0 1250,0

Atrito atrito e anc. S1

1352

atrito e anc. S0

1288

Aatrito e anc final

1250 1227

1202

1200,0

1169

1161

1153

1150,0 1100,0 0 1

2 3

4 5

6 7

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 x(m)

figura 8.29– Gráfico das tensões ao longo do cabo após as perdas iniciais. Na figura 8.29 mostra-se os gráficos de cada situação calculada e finalmente na tabela 8.6 apresentam-se os valores das tensões nas diversas seções após as perdas imediatas.

TABELA 8.6 Tensão ao longo do cabo representante após as perdas iniciais Seção Sext S0 S1 S2 S3 S4 S5 1202 1250 1288 1277 1169 1161 1153 σs (MPa) 8.3.10- Cálculo das perdas ao longo do tempo do cabo representante São analisadas neste item as perdas por perdas ao longo do tempo do cabo representante considerando-as isoladas e tomando como referencia a seção S5. Além dos valores considerados anteriormente são impostas as seguintes condições : Umidade ambiental 75% protensão efetuada aos 5 dias de idade do concreto Temperatura média do ambiente 200C. Para a determinação de outros dados é preciso agora definir a espessura equivalente da peça (capítulo 5) dada por e= 2A/µ sendo neste caso µ o perímetro da seção em contato com o ar, Usando a seção S5 tem-se: para o perímetro µ = 10,50+2x2=14,50 m. Na fórmula do perímetro o valor de 10,50 m corresponde a projeção em planta das faces inferiores da seção uma vez que na face superior há o asfalto. O valor de 2 m corresponde a projeção na vertical dos elementos da seção e portanto desprezou-se nos dois casos as possíveis inclinações dos elementos.


33


Assim e= (2x4,5875)/14,5=0,632 m. Com os valores anteriores é possível entrar na tabela 5.1 e obter os valores superiores do coeficiente de fluência e da deformação de retração que resultam em

φ (∞,5) = 2,6 e ε s (∞,5) = −2,1 ⋅ 10 −4 8.3.10.1 - Cálculo das perdas devido à retração A perda por retração é dada por

∆σ p , s = E p ⋅ ε s (∞,5) =1,9x105x2,1x10-4=40,95 MPa 8.3.10.2 - Cálculo das perdas devido à fluência do concreto A perda por fluência do concreto é dada por ∆σ p , c =

Ep Ec

⋅ σ cg , g ⋅ φ (∞,5)

o valor de Ec é dado por Ec =0,85 ⋅ 5600 ⋅

f ck

Ec =0,85 ⋅ 5600 ⋅ 35 =28.160 MPa e considerando para o valor de σ cg , g = 5 MPa ∆σ p , s =

1,9 ⋅ 10 5 ⋅ 5 ⋅ 2,6 =87,7 MPa 28.160

8.3.10.3 - Cálculo das perdas devido à relaxação do aço Para avaliar a perda por relaxação da armadura é preciso incialamente considerar o nível de tensão na mesma

r=

σp f ptk

=

1153 =0,606 1900

Consultando a tabela 5.4 tem-se a situação indicada e o valor desejado é k 0,6 fptk 0,606 fptk 0,7 fptk

1,3 k 2,5

k=1,372 que o valor em percentagem para a perda de 1000 horas para o tempo infinito tem-se :

Ψ∞ = 2,5 ⋅ Ψ1000 = 2,5.1,72 ⋅ =4,3 % E finalmente a perda de : ∆σ p ,r = 1153 ⋅ 0,043 =49,58 MPa

Assim as perdas totais são ∆σ p , s +c + ,r = σ p , s + σ p ,c + ∆σ p ,r = 40,95+87,70+49,58=178,23 MPa Considerando a mesma perdas para as outras seções é possível construir a tabela 8.7


34


TABELA 8.7 Tensão ao longo do cabo representante após as perdas iniciais e ao longo do tempo Seção Sext S0 S1 S2 S3 S4 S5 1202 1250 1288 1277 1169 1161 1153 σs (MPa) t=to 1024 1072 1110 1099 991 983 975 σs (MPa) t= ∞ 8.3.11- Cálculo do número de Cabos no ELU . O cálculo da armadura longitudinal é feito no tempo infinito usando para tanto a tensão da armadura na seção mais solicitada Sr que é (tabela 8.7) σ p , S 5,t =∞ =975 MPa que

permite calcular o pré-alongamento εp que neste caso é dado pela lei de Hoohe εp= σ p , S 5,t =∞ /Ep = 975/195.000=0,5% O valor de εs é função da condição de equilíbrio da seção no ELU. Como a seção trabalha como um todo e assim o valor de b a considerar na expressão é de 10,50m e o valor de d será igual a altura h menos o valor arbitrado de 15 cm portanto d=2-0,15=1,85 m Md = b ⋅ d 2 ⋅ f cd

46.431 = 0,05 2 35.000 10,50 ⋅ 1,85 ⋅ 1,4 Da tabela 6.2 obtém-se kx =0,0759 e portanto x=0,0758x1,85=0,14m < hf linha neutra na mesa Ainda da tabela em questão obtém-se kz=0,9697 e εs=1%.

KMD =

Assim, εt =εp +εs =0,5+1=1,5% usando a tabela 6.1 fpd=150,7 kN/cm2 Finalmente

Ap =

Md 45.431 = = 168,4 cm2 k z ⋅ d ⋅ f pd 0,9697 ⋅ 1,85 ⋅ 150,7

Número de cabos n=Ap/12,02= 168,4/12,02=13,98 → adotado 14 cabos, ou seja 7 cabos por viga. Para verificar a altura arbitrada detalha-se os sete cabos na seção S5 usando as distancias de 1,5φb e 2:φb entre o centro do cabo e a aresta de concreto e entre cabos respectivamente. Onde φb é o diâmetro externo da bainha e portanto as distâncias em questão são 10,5 e 14 cm. O arranjo dos cabos é mostrado na figura 8.30. Nota-se que pelo detalhe 1 o cobrimento mínimo de 4,5 cm está atendido.


35

CAP. 8- Pré-dimensionamento e dimensionamento da armadura longitudinal ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Detalhe 1

10,5

14

Seção S5 Borda inferior

Detalhe 1

5,8

10,5 14 14

5,8

figura 8.30– Gráfico das tensões ao longo do cabo após as perdas iniciais.

A partir da disposição da armadura pode-se calcular agora o cg (ycg) dos cabos na S5 e portanto a altura útil real dr = h -ycg

y cg =

∑y n

i

=

4 ⋅ 0,105 + 3 ⋅ 0,245 0,165 m = 7

Assim o valor da altura real resulta em dr = h -ycg=2-0,165=1,835 que conduz a uma armadura de

KMD =

Md = b ⋅ d 2 ⋅ f cd

46.431

= 0,06 35.000 10,50 ⋅ 1,835 ⋅ 1,4 Da tabela 6.2 kx =0,0916 e portanto x=0,0916x1,835=0,168m < hf linha neutra na mesa Ainda da tabela em questão obtém-se kx=0,9634 e εs=1%. 2

Assim, εt =εp +εs =0,5+1=1,5% usando a tabela 6.1 fpd=150,7 kN/cm2 Finalmente

Ap =

Md 45.431 = = 170,52 cm2 k z ⋅ d ⋅ f pd 0,9634 ⋅ 1,835 ⋅ 150,7

Número de cabos n=Ap/12,02= 170,5/12,02=14,18 → adotado 14 cabos, ou seja 7 cabos por viga e pportanto ainda uma armadura passiva de


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Ft =

Md = A p ⋅ f pd + As ⋅ f yd kz ⋅ d

45.431  50  = 14 ⋅ 12,02 ⋅ 150,7 + As ⋅   0,9634 ⋅ 1,835  1,15  As = 7,79 cm2

8.3.12-- Verificação do ELS de fissuração e feixe limite. Em virtude da condição ambiental de agressividade do entorno onde se executará a ponte era do nível III a protensão deve ser a limitada. Assim, a verificação de fissuração é feita através do controle das tensões normais no concreto. Como a verificação de ruptura em vazio, ou seja, no tempo zero também pode ser feita desta forma faz-se ambas as verificações na seção S5 nas demais seções é feita a determinação do feixe limite que é comentada no capítulo posterior. Força de protensão em um cabo (tabela 8.7) tempo zero →Np,t=0 = 115,3x12,02 =1386 kN, tempo infinito →Np,t= ∞ = 97,x12,02 =1172 kN, excentricidade dos cabos → e = yi - ycg =1,278-0,165=1,113 m geometria da seção S5 (tabela 8.3) A=4,5875 m2, Wi=2,015 m3, Ws=3,565 m3, yi=1,278m Esforços na seção → Mg1=13631 kN.m, Mg2=1608, ϕMq,máx=11747 kN.m e ϕMq,min=-2776 kN.m

• Verificação de ruptura e no tempo “zero” limites para as tensões (supondo fcj=20 MPa): Compressão 0,7xfcj =0,7x20.000=14.000 kN/m2 Tração 1,2xfctm =1,2 ⋅ 0,7 ⋅ 20 2 / 3 =2,652 MPa =2652 kN/m2 Borda inferior: N p M p M g1 14 ⋅ 1386 14 ⋅ 1386 ⋅ 1,113 13.631 = σi= + − = 8185 kN/m2<14000 + − A Wi Wi 4,5875 2,015 2,013 a condição de compressão está atendida Borda superior N p M p M g1 14 ⋅ 1386 14 ⋅ 1386 ⋅ 1,113 13.631 σs= = − + = 1995>-2652 kN/m2 − + A Ws Ws 4,5875 3,565 3,565 a condição de tração está atendida e não é preciso usar armadura para controlar a fissuração na borda superior.


37


• Verificação de Fissuração É feita no tempo infinito e considerando o estado de descompressão e o deformação de fissuras para a combinação quase permanente e freqüente respectivamente. Os coeficientes Ψ1 e Ψ2 a considerar segundo a norma NBR8681:2003 são iguais a 0,3 e 0,5 respectivamente .

Estado limite de descompressão (E.L.S-D).→Combinação de ações Quase Permanente Os limites neste caso são Tração → σ = 0 Compressão → estado limite de compressão excessiva (ELS-CE) → 0,7 fck Substituindo fck=35 chega-se a condição: 0 ≤ σ ≤ 24500

BORDA INFERIOR Situação momento máximo N p M p M g1+ g2+ g3 ψ 2 .M q 1) σi= = + + + A Wi Wi Wi 14 ⋅ 1172 14 ⋅ 1172 ⋅ 1,113 13631 + 1608 0,3x11747 + − − = 3328 kN/m2 4,5875 2,015 2,015 2,015 Situação momento mínimo N p M p M g1+ g2+ g3 ψ 2 .M q 2) σi= = + + + A Wi Wi Wi 14 ⋅ 1172 14 ⋅ 1172 ⋅ 1,173 13631 + 1608 0,3x2776 + − + = 5490 kN/m2 4,5875 2,015 2,015 2,015 BORDA SUPERIOR Situação momento máximo N p M p M g1+g2+ g3 ψ 2 .M q 3) σs= = + + + A Wi Wi Wi 14 ⋅ 1172 14 ⋅ 1172 ⋅ 1,113 13631 + 1608 0,3x11747 − + + = 3717 kN/m2 4,5875 3,565 3,565 3,565 Situação momento mínimo N p M p M g1+g2+ g3 ψ 2 .M q 4) σs= = + + + A Wi Wi Wi 14 ⋅ 1172 14 ⋅ 1172 ⋅ 1,113 13631 + 1608 0,3x2776 − + − = 2494 kN/m2 4,5875 3,565 3,565 3,565 A maior tensão (situação 2) atende a condição limite 5400<24500 kN/m2 A menor tensão (situação 4) atende a condição limite 2494>0 kN/m2



Estado limite de formação de fissuras (E.L.S-F).→Combinação de ações Freqüente Os limites neste caso são Tração → fct,m = -0,3. 3 f ck2 Compressão → estado limite de compressão excessiva (ELS-CE) → 0,7 fck Substituindo fck=35 chega-se a condição: − 3850

kN kN ≤ σ ≤ 24500 2 2 m m

BORDA INFERIOR Situação momento máximo N p M p M g1+ g2+ g3 ψ 1 .M q 5) σi= + + + A Wi Wi Wi 14 ⋅ 1172 14 ⋅ 1172 ⋅ 1,113 13631 + 1608 0,5x11747 + − − = 2162 kN/m2 4,5875 2,015 2,015 2,015 Situação momento mínimo N p M p M g1+ g2+ g3 ψ 1 .M q 6) σi= = + + + A Wi Wi Wi 14 ⋅ 1172 14 ⋅ 1172 ⋅ 1,173 13631 + 1608 0,5x2776 + − + = 5765 kN/m2 4,5875 2,015 2,015 2,015

BORDA SUPERIOR Situação momento máximo N p M p M g1+ g2 ψ 1 .M q 7) σs= = + + + A Ws Ws Ws 14 ⋅ 1172 14 ⋅ 1172 ⋅ 1,113 13631 + 1608 0,5x11747 − + + = 2779kN/m2 4,5875 3,565 3,565 3,565 Situação momento mínimo N p M p M g1+ g2 ψ 1 .M q 8) σ s= = + + + A Ws Ws Ws 14 ⋅ 1172 14 ⋅ 1172 ⋅ 1,113 13631 + 1608 0,5x2776 − + − = 2338 kN/m2 4,5875 3,565 3,565 3,565

A maior tensão (situação 7) atende a condição limite 5765<28500 kN/m2 A menor tensão (situação 5) atende a condição limite 2162>-3850 kN/m2 Desta forma as condições de fissuração estão atendidas

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39


8.4- Cálculo com pré-tração: seções compostas. O cálculo da armadura com pré-tração é feito normalmente para vigas préfabricadas que tem uma série de características distintas das executadas no local, inicia-se aqui um resumo de algumas particularidades embora muitos dos assuntos aqui tratados possam ser aprofundados em livros de pré-fabricados. O cálculo de uma pré-fabricada com aderência inicial deve levar em conta principalmente a maneira como é executada a estrutura em que ela faz parte. Imaginando, por exemplo, uma estrutura em constituída de lajes alveolares, vigas pré-fabricadas e pilares pode-se ter dois principais tipos de estrutura: 1) estrutura com pórticos com ligações semi-rígidas; 2) estrutura com pórticos com ligações rotuladas. 8.4.1. Estrutura com pórticos com ligações semi-rígidas e com ligações rotuladas Quando se deseja construir uma estrutura com elementos pré-fabricados usando pilares, vigas protendidas e laje alveolar e ligação semi-rígida segue-se em geral a seqüência apresentada na figura 8.21 etapa 1

etapa 2

etapa 3

laje alveolar viga pré fabricada pilar

etapa 4 ligação

etapa 5

etapa 6 capa

ligação

capa


FIGURA 8.31- Seção transversal da viga da viga pré-fabricada com as etapas seguidas para a execução de uma estrutura com pórticos com ligações semi-rígida.: Etapa 1 –fabricação da viga; Etapa 2 colocação da viga nos pilares, Etapa 3 colocação das lajes alveolares; Etapa 4 Concretagem da ligação viga-pilar; 5 Concretagem da capa e 6) Seção transversal final Assim, na figura 8.21 apresentam-se os esquemas da seção transversal da viga nas diversas etapas construtivas que são:


40


Etapa 1 –Fabricação da viga. Etapa A viga neste caso é feita em geral com protensão com aderência inicial e já no primeiro dia após a concretagem suporta o efeito da protensão e o peso próprio da mesma. Etapa 2 - Passado algum tempo após a fabricação a viga é transportada e colocado nos apoios dos pilares. A viga fica submetida alem da protensão e seu peso próprio às ações de montagem. Etapa 3 – Montagem das lajes alveolares. A viga fica submetida a protensão, seu peso próprio e o peso próprio das lajes com a ação da montagem das mesmas. Etapa 4 Concretagem da ligação viga-pilar. A partir deste instante inicia-se a solidarização entre viga e pilar mudando o esquema estrutural. As ações atuantes são alem das fases anteriores o peso próprio do concreto usado na solidarização.; Etapa 5 Concretagem da capa. Nesta etapa introduz-se a capa que permitirá o aumento da inércia dos elementos fletidos o funcionamento da laje como chapa, ou seja, como septo rígido no plano horizontal. As ações da viga, além das anteriores deverão ser acrescidas do peso próprio da capa porem considerando que a viga já funciona como contínua. 6) Seção transversal final – Após a cura do concreto da capa serão então introduzidos o revestimento do pavimento e a carga acidental. Para o caso de ligações rotuladas as etapas estão apresentadas na figura 2 etapa 1 etapa 2 etapa 3


etapa 4

etapa 5 capa

capa


FIGURA 8.32- Seção transversal da viga da viga pré-fabricada com as etapas seguidas para a execução de uma estrutura com pórticos com ligações rotuladas.: Etapa 1 –fabricação da viga; Etapa 2 colocação da viga nos pilares, Etapa 3 colocação das lajes alveolares; Etapa 4 Concrretagem da capa e 5) Seção transversal final As etapas ficam então definidas como: Etapa 1 –Fabricação da viga. Etapa A viga neste caso é feita em geral com protensão com aderência inicial e já no primeiro dia após aconcrtagem suporta o efito da protensão e o peso próprio da mesma.


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Etapa 2 - Passado algum tempo após a fabricação a viga é transportada e colocado nos apoios dos pilares. A viga fica submetida alem da protensão e seu peso próprio às ações de montagem. Etapa 3 – Montagem das lajes alveolares. A viga fica submetida a protensão, seu peso próprio e o peso próprio das lajes com a ação da montagem das mesmas. Etapa 4 Concretagem da capa. Nesta etapa introduz-se a capa que permitirá o aumento da inércia dos elementos fletidos o funcionamento da laje como chapa, ou seja, como septo rígido no plano horizontal. As ações da viga, além das anteriores deverão ser acrescidas do peso próprio da capa e a viga continua ser calculada como simplesmente apoiada. 6) Seção transversal final – Após a cura do concreto da capa serão então introduzidos o revestimento do pavimento e a carga acidental.

8.4.2. Seções transversais da viga a serem consideradas em cada etapa de cálculo. Os cálculos no estado limite último e estado limite de serviço devem ser verificados em cada etapa construtiva sendo preciso portanto definir em cada etapa qual a forma que a seção transversal tem e como será visto item posterior qual as propriedades dos concretos que a compõem. Na figura 8.23 são mostradas cada seção transversal que deve ser considerada em cada etapa, lembrando sempre que a regra básica é que basicamente cada parcela de concreto agregado a seção só irá trabalhar após a sua cura e portanto na etapa seguinte a da concretagem. etapa 1 etapa 3 etapa 2

etapa 4

etapa 5

etapa 6

FIGURA 8.33- Seção transversal no meio do vão da viga da viga pré-fabricada a ser considerada em cada etapa da execução de uma estrutura com pórticos com ligações semi-rígidas.: Etapa 1 a 4–a seção transversal a considerar é a da própria viga ; Etapa 5 A seção da viga acrescido do concreto colocado para solidarização da viga. 6) Seção transversal final já considerando a capa. Na figura 8.24 estão mostradas as seções a serem consideradas quando se deseja levar em conta a participação das lajes alveolares, lembrando que nesta caso o enchimento das chaves já foi feito logo após a montagem das mesmas. No final deste item é feito um detalhamento maior da seção com a consideração da laje alveolar.


42


etapa 1

etapa 4

etapa 2

etapa 3

etapa 5

etapa 6

FIGURA 8.34- Seção transversal no meio do vão da viga da viga pré-fabricada a ser considerada em cada etapa da execução de uma estrutura com pórticos com ligações semi-rígidas considerando a laje alveolar participando na flexão da viga. Etapa 1 a 4–a seção transversal a considerar é a da própria viga ; Etapa 5 A seção da viga acrescida do concreto colocado para solidarização da viga e a seção da laje alveolar. 6) Seção transversal final já considerando a capa. Na figura 8.25 considera-se a situação em que ss ligações da estrutura são rotuladas. Neste caso há uma etapa a menos que o caso anterior pois ao se fazer a capa já se preencheo espaço entre as lajes alveolares. etapa 1

etapa 2

etapa 4

etapa 3

etapa 5

FIGURA 8.35- Seção transversal no meio do vão da viga da viga pré-fabricada a ser considerada em cada etapa da execução de uma estrutura com pórticos com ligações rotuladas. Etapa 1 a 4–a seção transversal a considerar é a da própria viga ; Etapa 5 A seção da viga acrescida do concreto da capa. Finalmente a situação da figura 8.26 é similar a da figura 8.25 diferenciando-se apenas na consideração do funcionamento da laje alveolar como mesa de compressão.


43


etapa 2

etapa 1

etapa 4

etapa 3

etapa 5

FIGURA 8.36- Seção transversal no meio do vão da viga da viga pré-fabricada a ser considerada em cada etapa da execução de uma estrutura com pórticos com ligações rotuladas considerando a laje alveolar participando na flexão da viga. Etapa 1 a 4–a seção transversal a considerar é a da própria viga ; Etapa 5 A seção da viga acrescida do concreto da capa e da seção da laje alveolar. É preciso ainda discutir como os alvéolos da laje podem interferir na geometria da mesa de compressão. Pode-se perceber claramente que há uma seção transversal da viga que corresponde a posição de um alvéolo, indicado na figura como o corte BB, em que só haverá duas espessuras (h1) da laje alveolar a se considerar participando da seção da viga. CONSIDERAÇÃO DOS ALVEOLOS DA LAJE CORTE AA B h1

SEÇÃO TRANSVERSAL A

h1 A

SEÇÃO TRANSVERSAL concreto 2

CORTE BB h1

h1

B

concreto 3 concreto 1

FIGURA 8.37- A correta consideração da laje alveolar contribuindo como mesa de compressão na flexão da viga em que são levadas em conta apenas duas faixas de espessura h1 de concreto.


44


8.4.3. TIPOS DE CONCRETO A SEREM CONSIDERADAS EM CADA ETAPA DE CÁLCULO DA VIGA PRÉ-FABRICADA. Como visto anteriormente a seção transversal da viga vai se alterando a cada etapa construtiva e mesmo que se usasse o mesmo tipo de concreto seria necessário, para efeito de cálculo, considerar a diferença de idade entre eles. Assim antes de prosseguir são mostradas na figura 8 os tipos de concreto usados na situação de estrutura com ligações semi-rígidas e com rótulas. O concreto usado tanto para a viga como parta a laje alveolar são feitos com cimento do tipo ARI e com cura acelerada. Para as demais etapas os concretos empregados são de cimento comum porém cada um deles será concretado em uma etapa distinta e por isso devem ser separadas. Em seguida é mostrado como podem avaliadas a resistência dos diversos concretos em qualquer idade. TIPOS DE CONCRETO concreto 2

TIPOS DE CONCRETO

concreto 3

concreto 2

concreto 3

concreto 4

concreto 1

concreto 1

TIPOS DE CONCRETO

TIPOS DE CONCRETO

concreto 2 concreto 2

concreto 3

concreto 1

Estrutura com ligação rotulada

concreto 1

Estrutura com ligação rotulada com a laje alveolar FIGURA 8.38- Tipos de concreto usados nas ligações nas estruturas com ligações semi-rígidas e rotuladas. 8.4.4. Resumo de cálculo para a viga pré-fabricada nos diversos tipos de estrutura Nos itens anteriores foram discutidos como podem ser executadas e alguns aspectos que intervêm no cálculo das vigas pré-fabricadas protendidas que agora são resumidas comentando-se também aspectos das perdas. Um roteiro simplificado para a determinação da armadura longitudinal do meio do vão de uma pré-fabricada pode ser colocado como: 1) Cálculo da armadura Ap (ativa) no ELU no tempo “infinito” (ou seja, considerando decorrida todas as perdas de protensão). 2) Verificação do ELU no tempo “zero” (em vazio) com o valor de Ap. Caso as duas condições de tração e de compressão estejam atendidas ir para o item 7. Caso haja protensão excessiva ir par o item 3..


45


3) Calcular uma armadura complementar de tração passiva As mudando assim o valor da armadura passiva para A *'p < A p . Ainda assim haverá duas situações a escolher com tração –item 4- e sem tração item 5. 4) Considera-se que na fibra oposta a da colocação da armadura de protensão a inexistência de tensão de tração. 5) Considera-se a existência de tensão de tração que na fibra oposta a da colocação da armadura de protensão, permitida pela norma, e armadura passiva de controle As' . 6) A protensão é excessiva mas é usada uma armadura de protensão A p' na fibra oposta a da armadura Ap para evitar o uso de armadura passiva complementar de tração As. Também aqui há duas possibilidades que conduzem as situação 4 e 5. 7) Verificação de fissuração 8) Verificação de retirada de aderência dos cabos ao longo da viga. A diferença entre as intensidades de protensão a ser usada em função da condição de agressividade ambiental pode fazer muita diferença no cálculo de armadura de peças prétracionadas e convêm no caso da protensão limitada e completada fazer inicialmente um teste pára ver se a seção poderá apresentar solução. Normalmente as condições de verificação do ELU no tempo zero e a da fissuração no tempo infinito podem conduzir a situação conflitante. Chamando n o númro de cordoalhas ou elementos de protensão deve ser atendido, por exemplo, para uma seção, submetida a momentos positivos. No tempo zero na borda superior impõem-se a condição de tração: n ⋅ N p, t =0 n ⋅ N p, t =0 ⋅ e M g1 σs= − + ≥ -1,2xfctm → n ≤ C1 A Ws Ws com N p, t =0 = A1c ⋅ σ p ,t =0 sendo A1c - área de um cabo ou unidade de protensão σ p ,t =0 - tensão no tempo zero na armadura de protensão Consideração de fissuração (protensão limitada) Combinação Quase Permanente usando o limite tração → σ = 0 borda inferior Situação para momento máximo n ⋅ N p, t =∞ n ⋅ N p, t =∞ ⋅ e M g1+ g2 ψ 2 .M q σi= + + + ≥ 0 → n ≥ C2 A Wi Wi Wi Assim para que o problema tenha solução é preciso que C2 ≤ C1 Os conceitos emitidos anteriormente servem para todas situações de dimensionamento e precisam apenas ser adaptada as diversas particularidades da estrutura tratada. Finalmente a tabela 8.4 a seguir mostra resumidamente as principais informações necessárias para o cálculo de uma viga pré-fabricada protendida um exemplo das etapas do processo construtivo de uma viga protendida pré-moldada com


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ligação semi-rígida. As informações contidas na tabela são importantes também para outros tipos de verificação como, por exemplo, a de deformação excessiva que obriga ao projetista, para as situações da tabela 8.4, fazer o cálculo de perdas de protensão para diversas etapas. TABELA 8.6 – RESUMO DAS CONSIDERAÇÕES PARA O CÁLCULO DE UMA VIGA COM PROTENSÃO COM ADERENCIA INICIAL EM ESTRUTURA COM LIGAÇÃO SEMI-RÍGIDA Nº Tempo Ação Seção Perdas Esquema Descrição Estrutural Deformação 1 dia p+g1 1 Imediatamente Imediata do após a protensão Concreto, Deformação da Ancoragem, Relaxação 5 dias p+g1 Retração do Posicionamento 2 concreto, na estrutura Fluência, Relaxação da Armadura Retração do 7 dias p+ g3+g1laje+gg Colocação da 3 concreto, lajes Fluência, Grauteamento Relaxação da da ligação Armadura 10 dias p+ Retração do Capa 4 g1+g1laje+g3+gg concreto, Fluência, Relaxação da Armadura 5

6

7

18 dias

30 dias

∞

p+ g1+g1laje+g3+gg +g2 p+ g1+g1laje+g3+gg g2+q p+ g1+g1laje+g3+gg g2+q

p- efeito da protensão g1- ação do peso próprio da viga pré-fabricada g1laje - ação do peso próprio da laje pré-fabricada gg- ação do peso próprio do concreto da ligação g3- ação do peso próprio da capa de concreto g2 - ação da sobrecarga permanente q - ação da carga acidental

Retração concreto, Fluência, Relaxação Armadura Retração concreto, Fluência, Relaxação Armadura Retração concreto, Fluência, Relaxação Armadura

do

Revestimento

da do

Carga Acidental (uso)

da do da

Anos de uso


47


8.4.5. Exemplos numéricos Para fixar os conceitos colocados nos itens anteriores alguns exemplos são resolvidos neste. Inicia-se com um caso simples de uma seção de uma seção retangular e variando-se os momentos atuantes para se ter os diversos caso e por fim resolve-se um exemplo mais completo com seção composta.

145

150

8.4.5.1-Exemplo 1 Calcular a armadura longitudinal para a seção retangular dada na figura 8.29 considerando os seguintes dados AÇÕES CONCRETO AÇO DE PROTENSÂO PROTENSÃO Limitada Mg1=714 kN.m CP190RB fck=40 MPa (CAA de Mg2= 570 kN.m fcj=20 MPa σ p ,t =0 = 1200MPa agressividade Mg3=1200 kN.m σ p ,t =∞ = 1000MPa mediana) Mq,máximo=3000 kN.m Ep =1,95 x105 MPa Mq,mínimo= 0

Ap

FIGURA 8.39- Esquema da seção transversal de elemento pré-fabricoda para o cálculo da armadura longitudinal. Para simplificar são considerados os valores de γ f =1,4 para carga acidental e ações de peso próprio para o concreto moldada no local; γ f =1,3 as ações decorrentes de elementos pré-fabricados s no ELU e Ψ1 = 0,4 ; Ψ2 = 0,3 para o ELS Resolução • Teste para verificação da existência de solução Número de cabos necessário no tempo zero No tempo zero na borda superior impõem-se a condição de tração: n ⋅ N p, t =0 n ⋅ N p, t =0 ⋅ e M g1 σs= − + ≥ -1,2xfctm A Ws Ws como o concreto nesta ocasião (a efetivação da protensão) tem fcj = 20 MPa então fctm =0,3 ⋅ 3 fcj2 =0,3 ⋅ 3 20 2 =2,21 MPa assim o limite para o tempo zero é de 1,2x2210=2652 kN/m2 como a área de uma cordoalha de ½” é igual a aproximadamente 1 cm2 então a força para uma unidade no tempo zero é de 120 kN. O valor da área da seção é de 0.7x1,5=1.05 m2 e do modulo de resistência é de bxh2/6 =0,7x1,52/6=0,2624 m3.


48


Finalmente a excentricidade dos cabos é dada por e=(h/2)-(h-d)=0,75-0,05=0,70 m. Desta forma para a borda superior deve-se ter: n ⋅ 120 n ⋅ 120 ⋅ 0,7 714 σs= − + ≥ -2652 → n1 ≤ 26,62 1,015 0,2625 0,2625 Para a consideração de fissuração (protensão limitada) na Combinação Quase Permanente o limite de tração a ser usando é de σ = 0Assim para a borda inferior e na situação de momento máximo, lembrando ainda que a força ded protensão em uma unidade agora é de 100 kN n ⋅ N p, t =∞ n ⋅ N p, t =∞ ⋅ e M g1+ g2+ g3 ψ 2 .M q σi= + + + ≥0 A Wi Wi Wi n ⋅ 100 n ⋅ 100 ⋅ 0,7 714 + 570 + 1200 0,3.3200 σi= + − − ≥0 1,05 0,2625 0,2625 0,2625 → n2 ≥ 36,25

Assim o problema não tem solução ao mesmo é preciso que se tenha mais que 36,25 cabos e não se supere o valor (no tempo zero) de 24,63 cabos.

8.4.5.2-Exemplo 2 Resolver o problema anterior com os novos valores de esforço dados AÇÕES Mg1=714 kN.m Mg2= 280 kN.m Mg3=562 kN.m Mq,máximo=1575 kN.m Mq,mínimo= 0

CONCRETO fck=40 MPa fcj=20 MPa

AÇO DE PROTENSÂO CP190RB σ p ,t =0 = 1200MPa

PROTENSÃO limitada

σ p ,t =∞ = 1000MPa Ep =1,95 x105 MPa

Resolução • Teste para verificação da existência de solução Número de cabos necessário no tempo zero No tempo zero na borda superior impõem-se a condição de tração: n ⋅ N p, t =0 n ⋅ N p, t =0 ⋅ e M g1 σs= − + ≥ -1,2xfctm A Ws Ws Como o momento de peso próprio não mudou a solução é a mesma que o problema anterior: n ⋅ 120 n ⋅ 120 ⋅ 0,7 714 σs= − + ≥ -2652 → n1 ≤ 26,62 1,015 0,2625 0,2625 Para a consideração de fissuração (protensão limitada) na Combinação Quase Permanente o limite de tração a ser usando é de σ = 0Assim para a borda inferior e na situação de momento máximo tem-se com os novos valores


49


σi=

n ⋅ N p, t =∞

+

n ⋅ N p, t =∞ ⋅ e

+

M g1+ g2+ g3

+

ψ 2 .M q

≥0 A Wi Wi Wi n ⋅ 100 n ⋅ 100 ⋅ 0,7 714 + 281 + 562 0,3.1552 σi= + − − ≥0 1,05 0,2625 0,2625 0,2625 → n2 ≥ 21,29

Assim o problema em princípio tem solução basta empregar um número de cabos entrre os valores 21,29 e 24,63 cabos. •

com σ p ,t =∞

σ p ,t = ∞

Cálculo de Ap no ELU e no tempo “infinito” = 1000MPa pode-se calcular o pré-alongamento que é dado neste caso por:

1000 -3 = 5,128x10 5 Ep 1,95 x10 O valor de ε s decorre da condição de equilíbrio no ELU apresentada com detalhes no capítulo 6. Considerando que Mg2 seja oriundo de laje pré-fabricada e que Mg3 corresponde ao momento da capa executada no local tem-se:

εp =

=

Md =1,3 .(Mg1 + Mg2) 1,4.( Mg3+ Mq )= 1,3 x (714+ 562)+1,4x (281+1575) = 4257 kN.m Md = bd 2 fcd

4257 = 0,1012 usando a tabela 6.2 (capítulo 6) obtém-se 40000 2 0,7 x1,45 x 1,4 kz=0,9372 e ε s =1,00% . Desta forma ε t = ε p + ε s = (5,128+1,00)x10-3=1,5128% . KMD =

Com o valor da deformação, 1,5128%, da armadura de protensão tem-se pela tabela 6.1 fpd=1507,5 MPa e portanto Md 4257 = = 20,78 cm2 (21 cordoalhas) k z ⋅ d ⋅ fpd 0,9372 ⋅ 1,45 ⋅ 150,7 porem como visto anteriormente melhor é usar 22 cordoalhas para evitar tração no tempo infinito. • Verificação de ruptura e no tempo “zero” Np,t=0 (total) = 120x22 =2640 kN, e =(h/2)-0,05 =0,70 m limites para as tensões: Compressão 0,7xfcj =0,7x20.000=14.000 kN/m2 Tração 1,2xfctm =1,2 ⋅ 0,7 ⋅ 20 2 / 3 =2,652 MPa =2652 kN/m2 Borda inferior: N p M p M g1 2640 2640 ⋅ 0,7 714 = + − = 6834 kN/m2<14000 σi= + − 1,05 0,2625 0,2625 A Wi Wi a condição de compressão está atendida Borda superior Ap =


50


Np

Mp

M g1

2640 2640 ⋅ 0,7 714 − + = -1805>-2652 kN/m2 A Ws Ws 1,05 0,2625 0,2625 a condição de tração está atendida. porem é preciso calcular a armadura passiva que irá controlar a fissuração na borda superior. Como é conhecida as tensões na borda superior e inferior pode-se obter a posição da linha neutra e assim calcular a resultante de tração na seção σs=

−

+

=

70 Ft

h

150

x

-1805

6834 FIGURA 8.40- Esquema para o cálculo da força Ft de tração na seção transversal.

σs 1805 x x= ⋅ 1,5 = 0,313 m = 1805 + 6834 h σs +σi O valor da força de tração, como pode se deduzir a partir da figura 8.29 é dado por: Ft = σ s ⋅ b ⋅

0,313 x = 1805 ⋅ 0,70 ⋅ = 197,73kN 2 2

A norma estabelece que a tensão da armadura neste caso é de 25 kN/cm2 F 197,7 A s' = t = = 7,9 cm2 10φ10 mm 25 25

• Verificação de Fissuração Estado limite de descompressão (E.L.S-D).→Combinação de ações Quase Permanente Os limites neste caso são Tração → σ = 0 Compressão → estado limite de compressão excessiva (ELS-CE) → 0,7 fck Substituindo fck=40 chega-se a condição: 0 ≤ σ ≤ 28.0000 Força de protensão Np = 22 cm2 x 100 = 2200 kN Momento de protensão Mp =2200 x 0,7 =1540 kN.m



BORDA INFERIOR Situação momento máximo N p M p M g1+ g2+ g3 ψ 2 .M q 9) σi= = + + + A Wi Wi Wi 2200 1540 714 + 281 + 562 0,3x1575 − = 230 kN/m2 + − 1,05 0,2625 0,2625 0,2625 Situação momento mínimo N p M p M g1+ g2+ g3 ψ 2 .M q 10) σi= = + + + A Wi Wi Wi 2200 1540 714 + 281 + 562 = 2030 kN/m2 + − 1,05 0,2625 0,2625 BORDA SUPERIOR Situação momento máximo N p M p M g1+g2+ g3 ψ 2 .M q 11) σs= = + + + A Wi Wi Wi 2200 1540 714 + 281 + 562 0,3x1575 + = 3968 kN/m2 − + 1,05 0,2625 0,2625 0,2625 Situação momento mínimo N p M p M g1+g2+ g3 ψ 2 .M q 12) σs= = + + + A Wi Wi Wi 2200 1540 714 + 281 + 562 = 2160 kN/m2 − + 1,05 0,2625 0,2625

A maior tensão (situação 3) atende a condição limite 3968<28000 kN/m2 A menor tensão (situação 1) atende a condição limite 230>0 kN/m2

Estado limite de formação de fissuras (E.L.S-F).→Combinação de ações Freqüente Os limites neste caso são Tração → fct,m = -0,3. 3 f ck2 Compressão → estado limite de compressão excessiva (ELS-CE) → 0,7 fck

Substituindo fck=40 chega-se a condição: − 4210 BORDA INFERIOR

Situação momento máximo

kN kN ≤ σ ≤ 21000 2 2 m m

51


52


13) σi=

Np

+

Mp

+

M g1+ g2+ g3

+

ψ 1 .M q

A Wi Wi Wi 2200 1540 714 + 281 + 562 0,4x1575 − = -370 kN/m2 + − 1,05 0,2625 0,2625 0,2625

Situação momento mínimo N p M p M g1+ g2+ g3 ψ 1 .M q 14) σi= = + + + A Wi Wi Wi 2200 1540 714 + 281 + 562 = 2030 kN/m2 + − 1,05 0,2625 0,2625 BORDA SUPERIOR Situação momento máximo N p M p M g1+ g2 ψ 1 .M q 15) σs= = + + + A Ws Ws Ws 2200 1540 714 + 281 + 562 0,4x1575 − + + = 4560 kN/m2 1,05 0,2625 0,2625 0,2625

Situação momento mínimo N p M p M g1+ g2 ψ 1 .M q 16) σ s= = + + + A Ws Ws Ws 2200 1540 714 + 281 + 562 = 2160 kN/m2 − + 1,05 0,2625 0,2625 A maior tensão (situação 7) atende a condição limite 4560<28000 kN/m2 A menor tensão (situação 5) não atende a condição limite -370<-4210 kN/m2 Desta forma as condições de fissuração estão atendidas e a resposta final é dada por Ap=22 cm2 (22 cordoalhas de 1/2” e armadura passiva na borda superior de 10φ10 mm


53


70

150

0,63

Det. 1

1,2

1,5

Cordoalhas d

3x1,25

10 Ø 10

22 Cordoalhas de 1/2"

FIGURA 8.41- Esquema da seção transversal com solução final. 8.4.5.3-Exemplo 3 Dimensionar a armadura longitudinal da viga pré-fabricada V100 usando cordoalhas de ½” CP 190RN, considerando CAA de baixa agressividade (protensão parcial) e os seguintes dados: Concreto da viga fck= 50 MPa , no ato da protensão fcj= 30 MPa, concreto da capa fck= 30 MPa. Carga acidental de 2 kN/m2. Revestimento com 2 cm e γ=22 kN/m3. Considerar distancia do cg das cordoalhas a borda inferior de 5 cm.


54


PLANTA

LA20-5

800

LA20-5

1500

LA20-5

800

LA20-5

V100- 70x150

ELEVAÇÃO

DETALHE 1 CAPA DE 5 cm LAJE ALVEOLAR

150

20

Detalhe 1

VIGA

NEOPRENE

PILAR

CONSOLO

FIGURA 8.42- Pavimento com planta, elevação e detalhes para o exemplo 8,3. Cotas em cm Os dados referentes a geometria estão a geometria da estrtura estão apresentados nas figuras 8.30 e 8.31.


55


CAPA DE 5 cm

20

125

5

bf

LAJE ALVEOLAR

LAJE ALVEOLAR

VIGA

70 FIGURA 8.43- Seção transversal da viga V100 para o exemplo 8.3. Cotas em cm Resolução Inicialmente é preciso determinar as ações que atuarão na viga V100. Imagina-se neste caso que as lajes alveolares não são contínuas e que a viga V100 por não ser contínua possa ser considerada como simplesmente apoiada com um vão de 15 m que é a distância entre os centro dos aparelhos de neoprene. Os esquemas estruturais tanta da laje como o da viga V100 estão indicados na figura 8,23. Esquema estrutural da laje alveolar p

Viga

800 cm

Viga pviga

Esquema estrutural da viga V100

Consolo

1500 cm

pviga+ g1

Consolo

FIGURA 8.44- Esquema estrutural da laje alveolar e da viga V100 para o exemplo 8.3. Cotas em cm

Cálculo da ação da laje na viga Tabela 8. 3


56


Descrição

Intensidade (kN/m2)

Vão de contribuição (m).

revestimento

0,02x22=0,44

capa

0,05x25=1,25

laje

2,50

acidental

2,00

8 8 + 2 2 8 8 + 2 2 8 8 + 2 2 8 8 + 2 2

=8 =8 =8 =8

Ação na viga (kN/m) 3,52

10,0 20,0 16,0

Em relação a viga falta considerar os valores de peso próprio da mesma e a região de preenchimento entre as lajes alveolares e as vigas que resultam em g1 = 0,7x1,25x25 = 21,875 kN/m g2 = 0,5x0,20,25= 2,5 kN/m Pode-se agora calcular os diversos momentos fletores (neste caso o máximo na viga) que atuam no meio do vão. Tabela 8. 4- Momentos máximos na viga V100 Descrição Intensidade (kN/m) Vão (m). Momento no meio da viga (kN.m) revestimento 3,52 15 Mg4 =99 capa 12,5 15 Mg3 =352 laje 20 15 Mg2 =562 acidental 16 15 Mq =450 Peso próp. 21,875 15 Mg1=615 Neste caso como não será preciso verificar a tensão no concreto para atender a fissuração não é preciso fazer o teste feito nos exemplos 1 e 2. • Cálculo de Ap no ELU e no tempo “infinito” com σ p ,t =∞ = 1000MPa pode-se calcular o pré-alongamento que é dado neste caso por:

σ p ,t = ∞

1000 -3 = 5,128x10 5 Ep 1,95 x10 O valor de ε s decorre da condição de equilíbrio no ELU apresentada com detalhes no capítulo 6. Considerando os coeficiente de 1,3 para os elementos préfabricados tem-se::

εp =

=

Md =1,3 .(Mg1 + Mg2) 1,4.( Mg3 + Mg4+ Mq )= 1,3 x (615+ 450)+1,4x (352+99+675) = 2961 kN.m Para calcular a armadura é preciso agora determinar a largura colaborante da capa (não se considerou a capa superior da laje alveolar com cerca de 2,5 cm). O valor de nf neste caso é igual a bf =bw +2 ⋅ 0,1 ⋅ l = 3,50 m e o valor do fck é de 30 MPa. Assim supondo a LN na mesa (x

57


Md = bd 2 f cd

2961 ≈ 0,02 30000 3,5 x1,45 2 x 1,4 usando a tabela 6.2 (capítulo 6) obtém-se kz=0,988, kx=0,0298 e εs =1,00% . Verificando a linha neutra x= kx d =0,0298 x 1,45 = 0,043 m
KMD =

ε

Desta forma ε t = p + ε s = (5,128+1,00)x10-3=1,5128% . Com o valor da deformação, 1,5128%, da armadura de protensão tem-se pela tabela 6.1 fpd=1507,5 MPa e portanto Ap =

Md 2961 = = 13,7 cm2 (14 cordoalhas) k z ⋅ d ⋅ f pd 0,988 ⋅ 1,45 ⋅ 150,7

• Verificação de ruptura e no tempo “zero” as características geométricas da seção são: Compressão 0,7xfcj =0,7x30.000=21.000 kN/m2 Tração 1,2xfctm =1,2 ⋅ 0,7 ⋅ 30 2 / 3 =2,652 MPa =3475 kN/m2 Força total de protensão no tempo zero Np =120x14=1680 kN Características geométricas: A= 0,7x1,25=0,875 m2, Wi=Ws= bh2/6=0,7.1,252/6=0,1823 m3 e=(1,25/2)-0,05=0,575 m Borda superior: N p M p M g1 σs= − + A Ws Ws 0,575  615  1 → 1680 ⋅  − ≅ 0 ≤ -3475 kN/m2 +  0,875 0,1823  0,1823 Borda inferior: N p M p M g1 + − σs= A Ws Ws

0,575  615  1 → 1680 ⋅  + = 4847 ≤ 21.000 kN/m2 − 0,875 0,1823 0 , 1823   • Verificação de Fissuração A verificação de fissuração deve ser feita para o estádio II e para a combinação freqüente. É preciso inicialmente verificar se para a combinação em questão há o estado de formação de fissuras . Desta forma se calcula inicialmente as características geométricas da seção composta considerando a redução de dimensões horizontais na proporção do módulo de elasticidade do concreto de cada uma.


58

CAP. 8- Pré-dimensionamento e dimensionamento da armadura longitudinal ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------CAPA DE 5 cm

20

125

5

bf

LAJE ALVEOLAR

LAJE ALVEOLAR

VIGA

70

5

bf b1 b2

1

20

125

2 3

70

FIGURA 8.45- Esquema da seção transversal da viga V100 para verificação de tensões no estádio I. Cotas em cm A relação entre os módulos de elasticidade do concreto da capa e da viga é dada por: r=

0,85 ⋅ 5600 ⋅ 30 0,85 ⋅ 5600 ⋅ 50

= 0,7745

Assim b1 = r . bf =0,7745 . 3,5= 2,71 m b2 = r . 0,50 =0,7745 . 0,50=0,387 m Usando a divisão da figura 8.33 Parte A = bxh ys,cg ys,cgx A (cm2) (cm3) (cm) 1 270x5=1350 2,5 3.375 2 38,7x20=774 15 11.610 3 70x125=8750 87,5 765.520 Total 10.874 780.610

∑A ⋅ y ∑A

k=ys,cg-ys

(cm) 69,28 56,78 -15,71

KxA (cm3) 93.537 43.953 -137.490 ≅0

I0=bh3/12 (cm ) (cm4) 6.480.243 2.812 2.495.651 25.800 2.159.967 11.393.229 11.135.862 11.421.841 Id= K2 x A

780610 = 71,78 cm; 10874 i It = Id + I0 =11.135.862+11.421.841=22.557.703 cm4 =0,225 m4 Wi =0,225/(1,5-0,717)=0,287 m3 Np =14x100=1400 ys =

i

cg,i

=

4


59


Lembrando ainda que apenas a carga de revestimento e acidental atuam na seção composta tem-se para o bordo inferior a tensão: N p M p M g1+ g2+ g3 M g4 + ψ1 .M q σi= + + + A Wi Wi Wi,final 0,575  615 + 562 + 352 99 + 0,4x450  1 1400 ⋅  + − = − 0,1823 0,287  0,875 0,1823  =6015-8387-972= -3343 kN/m2 <-4885 kN/m2 Assim não há fissura na combinação quase permanente e portanto está verificado o estado de fissuração.

8.4.5.4-Exemplo 4 Dimensionar a armadura longitudinal da viga pré-fabricada V100 do problema anterior considerando os mesmos dados porem com a carga acidental de 5 kN/m2. Resolução Para resolver é preciso inicialmente mudar as tabelas 8.3 e 6.4 que passam a ficar como indicado em 8.5 e 8.6 Tabela 8. 5- Ações da laje alveolar na viga V100. Ação na viga Descrição Intensidade (kN/m2) Vão de contribuição (m). (kN/m) 3,52 revestimento 0,02x22=0,44 8 8 + =8 2 2 capa 0,05x25=1,25 10,0 8 8 + =8 2 2 20,0 laje 2,50 8 8 + =8 2 2 acidental 5,00 40,0 8 8 + =8 2 2 Descrição revestimento capa laje acidental Peso próp. •

com σ p ,t =∞

εp =

σ p ,t = ∞ Ep

Tabela 8. 6- Momentos máximos na viga V100 Intensidade (kN/m) Vão (m). Momento no meio da viga (kN.m) 3,52 15 Mg4 =99 12,5 15 Mg3 =352 20 15 Mg2 =562 40 15 Mq =1.125 21,875 15 Mg1=615

Cálculo de Ap no ELU e no tempo “infinito” = 1000MPa pode-se calcular o pré-alongamento que é dado neste caso por: =

1000 -3 = 5,128x10 5 1,95 x10


60


O valor de ε s decorre da condição de equilíbrio no ELU apresentada com detalhes no capítulo 6. Considerando os coeficiente de 1,3 para os elementos préfabricados tem-se:: Md =1,3 .(Mg1 + Mg2) 1,4.( Mg3 + Mg4+ Mq )= 1,3 x (615+ 450)+1,4x (352+99+1125) = 3590 kN.m Com bf = 3,50 m, o valor do fck =30 MPa e supondo a LN na mesa (x
ε

Desta forma ε t = p + ε s = (5,128+1,00)x10-3=1,5128% . Com o valor da deformação, 1,5128%, da armadura de protensão tem-se pela tabela 6.1 fpd=1507,5 MPa e portanto Ap =

Md 3590 = = 16,76 cm2 (17 cordoalhas) k z ⋅ d ⋅ f pd 0,98 ⋅ 1,45 ⋅ 150,7

• Verificação de ruptura e no tempo “zero” as características geométricas da seção são: Compressão 0,7xfcj =0,7x30.000=21.000 kN/m2 Tração 1,2xfctm =1,2 ⋅ 0,7 ⋅ 30 2 / 3 =2,652 MPa =3475 kN/m2 Força total de protensão no tempo zero Np =120x17=2040 kN Borda superior: N p M p M g1 σs= − + A Ws Ws 0,575  615  1 → 2040 ⋅  − = -729 ≤ -3475 kN/m2 +  0,875 0,1823  0,1823

Borda inferior: N p M p M g1 σs= + − A Ws Ws 0,575  615  1 → 2040 ⋅  + = 5392 ≤ 21.000 kN/m2 −  0,875 0,1823  0,1823 A condição de ruptura no tempo zero está atendida. O problema pode ainda ser resolvido de três maneiras: a) com a armadura já encontrada de protensão e armadura passiva para controlar a tração existente no tempo zero; b) Diminui-se a armadura de protensão de maneira que não haja tração no tempo zero e complementa-se a


61


armadura longitudinal no tempo infinito com armadura passiva; c) Usa-se a armadura de protensão encontrada anterior e complementa-se com armadura de protensão no bordo superior para evitar a tração no tempo zero. a) Usando armadura passiva para controlar a tração existente no tempo zero; Neste caso a armadura longitudinal de protensão continua a mesma e deve ser usada armadura para controlar a fissuração na borda superior. Como é conhecida as tensões na borda superior e inferior pode-se obter a posição da linha neutra e assim calcular a resultante de tração na seção

70 Ft

h

125

x

-729

5392 FIGURA 8.46- Esquema da seção transversal e tensões para o cálculo da força Ft .

σs 729 x = x= ⋅ 1,25 = 0,14 m h σs +σi 729 + 5392 O valor da força de tração, como pode se deduzir a partir da figura 8.29 é dado por: Ft = σ s ⋅ b ⋅

0,14 x = 728 ⋅ 0,70 ⋅ = 37,9kN 2 2

A norma estabelece que a tensão da armadura neste caso é de 25 kN/cm2 F 37,9 = 1,52 cm2 2φ10 mm A s' = t = 25 25

b) Com armadura passiva complementar longitudinal. Neste caso o que se faz é diminuir o número de cordoalhas longitudinais de maneira que não ocorra fissuras na borda superior da viga pré-fabricada. Para compensar esta diminuição é usada uma armadura passiva longitudinal de tração. Quantidade de cordoalhas para não existir tração


62


Borda superior: N p M p M g1 σs= − + ≥0 A Ws Ws 0,575  615  1 → n ⋅ 120 ⋅  − ≥ 0 → n ≤ 13,98 cabos +  0,875 0,1823  0,1823 São considerados portanto 13 cabos ( A *'p = 13cm 2 )

Armadura complementar passiva (cálculo no ELU para tempo infinito). Para obter a armadura passiva basta usar a expressão dada a seguir: Md Força de tração nas armadura = = A*'p ⋅ f pd + As ⋅ f yd kz ⋅ d Força de tração na armadura =

Md 3590 = = 2526kN k z ⋅ d 0,98 ⋅ 1,45

2526 = A*'p ⋅ f pd + As ⋅ f yd → 2526 = 13x150,7+ As x(50/1,115) → As=13 cm2 → 11φ 12,5 mm

c) Com armadura de protensão no bordo superior da viga pré-fabricada. Considerando um conjunto de n’ cordoalhas colocadas a 5 cm da borda superior de maneira que no tempo zero não haja tração e usando ainda as 17 cordoalhas junto a borda inferior  1 e'  M  1 ep   + n'⋅120 ⋅  + p  + g1 ≥ 0 σs= n ⋅ 120 ⋅  −  A Ws  Ws  A Ws    ' com n=17 e e p = 0,575 0,575  0,575  615  1  1 → 17 ⋅ 120 ⋅  − + ≥0  + n'⋅120 ⋅  +  0,875 0,1823   0,875 0,1823  0,1823 → n’ ≤ 1,41 cordoalhas adotado 2 cordoalhas. • Verificação de Fissuração Para verificar a fissuração será escolhido entre as situações a, b e c aquela em que houver maior tração na borda inferior. Assim calcula-se a tensão de protensão no tempo infinito na borda inferior para os três casos: a) emprego de 17 cordoalhas de ½’ → Np=17x100=1700 kN Mp=1700x0,575=977,5 kN.m b) emprego de 13 cordoalhas de ½’ → Np=13x100=1300 kN Mp=1300x0,575=747,5 kN.m b) emprego de 17 cordoalhas de ½’ na borda inferior e 2 coedoalhas na borda superior → Np=(17+2)x100=1900 kN


63


Mp=(17-2)x100x0,575=862,5 kN.m Tensão de protensão na borda inferior para cada caso:

σ p ,i ,t = ∞ =

Np A

a)

σ p ,i ,t = ∞

b)

σ p , i ,t = ∞

c)

σ p ,i ,t = ∞

+

Mp

Wi 1700 977,5 = + = 7304 kN/m2 0,875 0,1823 1300 747,5 = + = 5558 kN/m2 0,875 0,1823 1900 862,5 = + = 6902 kN/m2 0,875 0,1823

Como era esperado o caso b é o pior para verificação da fissuração pois há menos protensão junto ao bordo inferior. Calculando a tensão na borda no tempo infinito considerando a seção não fissurada (estádio I) e usando os dados do exemplo anterior: σi=

Np A

+

Mp Wi

+

M g1+ g2+ g3 Wi

+

M g4 + ψ1 .M q Wi,final

615 + 562 + 352 99 + 0,4x1125 − = 0,1823 0,287 =5558-8223-1912= -4577 kN/m2<-4885 kN/m2 5558 −

Indicando portanto que não há fissuração e portanto não há necessidade de verificar a abertura de fissuras. Resumindo as soluções encontradas são apresentadas na tabela 8.7

TABELA 8.7 –Quantidade de armadura para as diversas soluções da seção do problema 8.4 CASO

Armadura ativa inferior Ap (cm2)

Armadura ativa superior Ap (cm2)

Armadura passiva inferior Ap (cm2)

Armadura passiva superior Ap (cm2)

17 0 0 1,6 A 13 0 13,75 0 B 17 2 0 0 C : Detalhe esquemático das armaduras nas três situações são apresentados na figura 8.35.


64

CAP. 8- Pré-dimensionamento e dimensionamento da armadura longitudinal ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Seção Transversal

Seção Transversal

2 Ø 10




Seção Transversal

2 cordoalhas de 1/2"


FIGURA 8.47- Esquema das seções transversais da viga 70x125 (a parte préfabricada) com a armadura longitudinal nos casos a, b e c respectivamente . NBR 6118:2003 NBR8681:2003 NBR9062:2003 prémoldados ASSAN, A. E. Contribuição ao cálculo automático de vigas contínuas protendidas. Dissertação de mestrado Escola de Engenharia de São Carlos USP São Carlos 1974. CARVALHO R. C. Contribuição ao cálculo de pontes em balanços progressivos. Dissertação de mestrado Escola de Engenharia de São Carlos USP São Carlos agosto de 1987 LIN, T. Y.; BURN, N. H. Design of prestressed concrete structures. 3th edition, John Wiley & Sons, New York, 646 p., 1981

ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 1 CAP 9- DETALHAMENTO DA ARMADURA DE PROTENSÃO E OPERAÇÃO DE PROTENSÃO ROBERTO CHUST CARVALHO--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

CAPÍTULO 9- DETALHAMENTO DA ARMADURA DE PROTENSÃO E OPERAÇÃO DE PROTENSÃO 9.1-INTRODUÇÃO Pode-se dizer que o detalhamento de peças protendidas pode ser separado em dois grandes grupos: o detalhamento de peças submetidas a protensão com aderência posterior e o grupo das protendidas com aderência posterior. As peças com protensão sem aderência têm detalhamento similar às com aderência posterior. Assim como o detalhamento da armadura a operação de protensão nas diversas situações merece ser estudada pois há diversas particularidades que só podem ser cumpridas por profissional especializado. Nos próximos itens são detalhados portanto os princípios do detalhamento de vigas de concreto protendido e suas operações respectivas de protensão. 9.3-Detalhamento da armadura na seção transversal O Detalhamento da armadura da seção transversal é função de disposições construtivas tais como espaçamento mínimo entre as armaduras de maneira que se permita a passagem de concreto e garante a aderência aço-concreto e de durabilidade,ou seja, cobrimentos mínimos que garantam a durabilidade adequada da armadura. Em relação ao cobrimento deve-se, em função da classe de agressividade do ambiente (ver TABELA 7.2- Classes de Agressividade Ambiental segundo a NB6118:2003 capítulo 7), adotar valores de cobrimento mínimo estabelecidos pela tabela 9.1. Tabela 9.1 - Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal para .c = 10 mm

Acrescenta-se ainda aos valores da tabela anterior o caso especial de estruturas préfabricadas que são regulamentadas pela NBR.9062 – Projeto e Execução de Estruturas de Concreto Pré-Moldado ....


Nos elementos de concreto pré-fabricados, conforme definido no Capítulo 3 da NBR9062, com resistência característica fck não inferior a 25 MPa e consumo mínimo de 400 kg de cimento por metro cúbico e fator água/cimento menor ou igual a 0,45, qualquer barra da armadura inclusive de distribuição, de montagem, de ligação e estribos, deve ter cobrimento de concreto não menor que: a) para elementos em meio não agressivo, os valores da Tabela 9.2; TABELA 9.2 – Cobrimentos para peças pré-fabricadas Localização Tipos de Elementos Pré-fabricados No interior do Ao ar livre edifício Lajes, mesas das vias T, placas de vedação 1,0 1,5 não estruturais e elementos construtivos sujeitos a cargas até 3 kN/m² Vigas, pilares, arcos, nervuras das vigas T e 1,5 2,0 placas de vedação estruturais Para elementos em meio medianamente agressivo e em meio muito úmido, como por exemplo: cozinhas, lavanderias, estabelecimentos de banhos e piscinas cobertas, os cobrimentos especificados na Tabela 9.2 devem ser aumentados de 0,5 cm; Para elementos em contato com o solo, 2,5 cm, sendo que, se o solo não for rochoso, sob a estrutura deve ser interposta uma camada de concreto simples, não considerada no cálculo, com O consumo mínimo de 250 kg de cimento por metro cúbico e espessura de pelo menos 5 cm; Para concreto em meio fortemente agressivo, 3,5 cm, sendo que, para cobrimento maior que 6 cm, deve-se colocar uma armadura de pele complementar, em rede, cujo cobrimento não deve ser inferior aos limites especificados nesta alínea; No caso de estacas, admite-se como suficiente o cobrimento necessário para a situação anterior a cravação; as condições/ após a cravação devem ser verificadas como concreto simples e de acordo com a NBR 6122 especialmente quando se tratar do caso de resistência por atrito lateral, eventualmente prejudicada pela corrosão da armadura e desagregação do concreto do cobrimento; No caso de postes, moirões, tubos e lajes, devem ser aplicadas as normas especificas para esses elementos estruturais, prevalecendo as suas prescrições no que estiverem em desacordo com esta Norma. No caso de estruturas que devem ser resistentes ao fogo, o cobrimento deve atender as exigências da NBR 5627 além das especificadas neste item. Caso haja previsão de revestimento posterior do concreto com argamassa de espessura mínima de 1 cm, os cobrimentos em peças usuais indicados anteriormente podem ser reduzidos de 0,5 cm. Caso haja previsão de revestimento posterior do concreto com pintura protetora, a eficácia da proteção e sua durabilidade em relação ao meio a que o elemento estará exposto devem ser comprovadas experimentalmente em laboratório nacional especializado. Neste caso, os cobrimentos indicados em 9.2.1.1-a), b), c) e d) podem ser reduzidos até o l imite dos va1ores Indicados na Tabela 3, diminuídos de 0,5 cm.


Para concretos com resistência característica fck inferior a 25 MPa ou consumo menor que 400 kg de cimento por metro cúbico. assim como em elementos não caracterizados como pré-fabricados, aplica-se o determinado na NBR 6118. Ainda em relação a seção transversal é preciso fazer com que os elementos da armadura de protensão devem estar suficientemente afastados entre si, de modo a ficar garantido o seu perfeito envolvimento pelo concreto. Assim, a NBR6118 estabelece os valores de espaçamentos mínimos apresentados nas tabelas 9.3 e 9.4 Tabela 9.3 –Espaçamentos mínimos- Caso de pós tração

aaaa


9.4-Traçado de cabos em vigas com aderência posterior e sem aderência Embora cada projeto tenha suas peculiaridades há preceitos gerais que conduzem ao melhor detalhamento da armadura longitudinal de protensão. Em se tratando de protensão com aderência posterior pode-se dizer, de uma maneira geral, que os cabos (fios) terão trajetórias (traçados) semelhantes aos do diagrama (ou envoltória) de momento fletores, usando-se sempre a máxima “Onde houver tração que se leve a protensão”.

ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 5 CAP 9- DETALHAMENTO DA ARMADURA DE PROTENSÃO E OPERAÇÃO DE PROTENSÃO ROBERTO CHUST CARVALHO-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Viga Contínua

Diagrama de Momentos

Traçado do Cabo representante trecho 1

trecho 2

trecho 3 trecho 4

Carga equivalente

Figura 9-1 Exemplo de viga contínua submetida a ação vertical uniforme, diagrama de momento fletor respectivo, traçado do cabo representante e ações de protensão equivalente. Na figura 9.1 mostra-se um exemplo típico de traçado de cabo (no caso apenas o representante) de uma viga contínua submetida à ação de carga uniforme. A trajetória do cabo tem praticamente a mesma forma que o diagrama de momento fletor, apenas na região próxima ao apoio central existe uma concavidade ao contrário para não haver concentração de tensão no concreto provocado pelo cabo. Uma das diferenças básicas de detalhamento em relação ao concreto armado é que neste caso trabalha-se com um elemento contínuo, cabo ou fio, enquanto no concreto armado as barras são interrompidas e ancoradas na medida em que já não se tornam necessárias ao combate à flexão. No concreto protendido o mesmo elemento deve prover de compressão tanto a face inferior quanto a superior. Assim, o cabo da figura 9.1 nos trechos 1 e 3 têm mais a função de combater o cisalhamento do que a flexão. Na seção extrema como não há momento fletor devido às cargas atuantes ele deve ser posicionado junto ao centro gravidade da seção para não causar flexão. No trecho 2 o cabo, situado próximo à borda inferior combate os momentos fletores positivos e no trecho quatro, situado próximo ao bordo superior, combate os momentos negativos. Como se percebe ainda pela observação da figura 9.1 os trechos curvos que necessariamente ocorrem no cabo para que possa ir de uma fibra a outra tem que obedecer a raios mínimos a fim de evitar uma compressão excessiva no concreto ou ainda que a bainha durante o seu posicionamento fissure e não se torne mais estanque. Desta forma nos próximos itens serão discutidas as técnicas para o detalhamento da trajetória da armadura longitudinal, seguindo os preceitos adotados no pré-dimensionamento feito no capítulo anterior e como devem repassar estas informações, através de plantas executivas, para a obra. Os mesmos princípios que regem o traçado dos cabos com a aderência posterior são os que regem os cabos sem aderência diferenciando-se em geral em relação às unidades de protensão que no caso de sem aderência costumam ser menores.


Tão importante como o projeto, detalhamento e execução da armadura a operação de protensão é uma atividade técnica que requer o conhecimento dos princípios da protensão de quem a executa, o engenheiro da obra, e de quem fornece as informações para executá-la, o engenheiro projetista. Assim, são abordados os principais aspectos sobre a operação de protensão nos próximos itens. 9.3- DESENVOLVIMENTO DA TRAJETORIA DOS CABOS COM ADERÊNCIA POSTERIOR O problema que se deseja resolver agora é como pode ser efetuado o traçado de todos os cabos a partir do pré-dimensionamento feito baseado no cabo representante visto no capítulo anterior e de tal sorte que sejam atendidas as condições de fissuração e de ruptura. São conhecidos o número de cabos necessários na seção mais solicitada e a posição dos mesmos na seção transversal em questão (ver capítulo anterior) de maneira que atendam as duas condições (a do ELU e a do ELS). São colocadas três premissas para executar este desenho dos cabos ao longo da viga: a) Todos os cabos se estendam de uma seção extrema até a outra, b) quando os cabos atravessam a região da alma o façam de forma isolada ou em outras palavras nesta região os cabos se espraiam c) que o centro de gravidade dos cabos em uma seção esteja contido dentro de uma região chamada de feixe limite.

trecho 1 trecho 2

trecho 3

trecho 4 trecho 5

trecho 6

trecho 7

Figura 9-2 Exemplo de viga contínua com traçado dos cabos destacando-se trechos 3, 5 e 7 em que os cabos se concentram próximos às fibras mais tracionadas e os trechos 2,4 e 6 em que se espraiam na região da alma combatendo o cisalhamento. O trecho 1 tem uma parte com cabos espraiados (balanço) e outra concentrada primeiro apoio. equivalente. Na figura 9.2 é mostrado um traçado de cabos em que se atendem as premissas dos itens a e b descritos anteriormente. Os cabos empregados na viga em questão percorrem a viga de uma extremidade a outra possibilitando a protensão nas duas extremidades e portanto cada cabo tem duas ancoragens ativas. Isto é possível se a geometria da seção extrema permitir a colocação de todas estas ancoragens ativas cuja geometria é discutida nos outros itens. Não havendo esta possibilidade é possível que ocorra situações como a vista na figura 9-3. Cabo1

Cabo2

Cabo3

Figura 9-3 Exemplo de viga contínua com cabo saindo na laje superior (cabo 1), saindo dentro da célula junto à laje superior (cabo 2) e junto à laje inferior (cabo 3).


Na figura 9.3 o cabo 1 é executado por não haver lugar suficiente para acomodação da ancoragem na seção extremo ou porque haveria mudança de geometria na seção (peças prémoldadas em que lajes são acrescentadas à estrutura) e na seção anterior a protensão seria excessiva. Os cabos C2 e C3, quando se trata de seção celular, podem ser usados para que se tenha na seção do meio do vão cabos mais curtos com pouca ondulação e assim poucas perdas e grande eficiência de protensão. As saídas dos cabos junto à laje superior, inferior e lateralmente às vigas cujos esquemas genéricos estão mostrados na figura 9.4. Em ambas as situações é preciso garantir um trecho reto de cabo próximo à saída e a obediência do raio mínimo de curvatura, lembrando também que devido a curvatura vertical ou horizontal do cabo haverá a tendência de se criar um esforço de tração de “arrancamento” da saliência que deverá ser combatido por estribos devidamente detalhados na região.

Fig. 9.4 – Saída de cabos dentro de uma seção celular: junto à laje superior e junto à viga Nos trechos em que os cabos precisam percorrer a alma das vigas a largura, em geral é de espessura tal que só permite a passagem de um único ou no máximo dois cabos. Assim torna-se necessário que os cabos se ¨espraiem¨, ou seja, sigam trajetórias distintas como pode ser visto nos trechos 2, 4 e 6. Finalmente a condição de que o centro de gravidade deve estar contida pelo feixe limite é o mesmo que dizer que em todas as seções as condições de verificação a fissuração estarão respeitadas. Assim, feixe limite, por definição é a região da seção transversal que o centro de aplicação da força de protensão deve estar para que as condições de fissuração estejam atendidas. Assim no caso de protensão limitada (ver capítulo 7) têm-se as seguintes situações:

Estado limite de formação de fissuras (E.L.S-F).→Combinação de ações Freqüente Os limites neste caso serão Tração → fct,m = -0,3. 3 f ck2 Compressão → estado limite de compressão excessiva (ELS-CE) → 0,7 fck


BORDA INFERIOR σi=

Np A

+

N p .e Wi

+

M g1+ g2 Wi

+

ψ 1 .M q, máx Wi

e σi =

Np A

+

N p .e Wi

+

M g1+ g2 Wi

+

ψ 1 .M q, min Wi

BORDA SUPERIOR σs=

Np A

+

N p .e Ws

+

M g1+ g2 Ws

+

ψ 1 .M q, máx Ws

e σ s=

Np A

+

N p .e Ws

+

M g1+ g2 Ws

+

ψ 1 .M q, min Ws

Estado limite de formação de descompressão (E.L.S-D).→Combinação de ações Quase Permanente Os limites neste caso serão 0 ≤ σ ≤ 0,7, f ck BORDA INFERIOR N p N p .e M g1+ g2 ψ 2 .M q, máx N p N p .e M g1+ g2 ψ 2 .M q, min σ i= + + + σ i= + + + A Wi Wi Wi A Wi Wi Wi BORDA SUPERIOR N p N p .e M g1+ g2 ψ 2 .M q, máx N p N p .e M g1+ g2 ψ 2 .M q.min σs= + + + σs= + + + A Ws Ws Wi A Ws Ws Wi Impondo as condições limites para as expressões anteriores, os valores de e (excentricidade da resultante de compressão) podem ser determinados uma vez que na seção em questão todos as demais variáveis são já conhecidas no pré-dimensionamento: Np – força total de protensão atuante na seção A – área da seção transversal de concreto W- módulo de resistência da seção (I/y) Mg1+g2- momento da carga permanente e sobrecarga permanente Mq,máx – momento máximo de carga acidental Mq,máx – momento mínimo de carga acidental •

Observação importante – Nesta situação está se considerando que a estrutura é isostática caso contrario deve-se acrescentar na seção o efeito do hiperestático de protensão.

EXEMPLO NUMÉRICO 1 - Calcular o feixe limite de uma seção submetida a protensão limitada que tem como características A=4,925 m2; ys=0,7 m; h=2 m; Wi=2,18 m3, de maneira que as tensões fiquem dentro do limite fck=35 MPa Considerar Mg1+g2= -3000 kN.m Mq,máx=-1300 kN.m e Mq,min= 1000 kN.m. Np,t=∞= 11000 kN. RESOLUÇÃO Características Geométricas


A=4,925 m2; Como ys=0,7 m e h=2 m então yi=2-0,7=1,3 m Com Wi=2,18 m3 e W=I/y I=2,18x1,3 = 2,834 m4 Ws=2,834/0,7=4,048 m3

Verificação do Estado limite de formação de descompressão (E.L.S-D).→Combinação de ações Quase Permanente Limites Os limites neste caso serão 0 ≤ σ ≤ 0,7 f ck portanto 0 ≤ σ ≤ 24500 kN/m2

•

11000 11000.e 3000 0,3.1300 ≤ 24500 kN/m2 → e ≤ 4,10 m + + + 4,925 2,18 2,18 2,18 11000 11000.e 3000 0,3.1000 ≥ 0 kN/m2 σi= → e ≥ −0,68 m + + − 4,925 2,18 2,18 2,18

σi=

11000 11000.e 3000 0,3.1300 ≥ 0 kN/m2 → e ≤ 0,81 m − − − 4,925 4,05 4,05 4,05 11000 11000.e 3000 0,3.1000 σs= ≤ 24500 kN/m2 → e ≥ −8,44 m − − + 4,925 4,05 4,05 2,18 σs=

Estado limite de formação de fissuras (E.L.S-F).→Combinação de ações Freqüente Os limites neste caso serão

•

Tração → fct,m = -0,3. 3 f ck2 Compressão → estado limite de compressão excessiva (ELS-CE) → 0,7 fck Substituindo fck=35 chega-se a condição ds limites que neste caso serão: kN kN − 3210 2 ≤ σ ≤ 24500 2 m m 11000 11000.e 3000 0,.1300 + + + σi= ≤ 24500 kN/m2 → e ≤ 4,09 m 4,925 2,18 2,18 2,18 11000 11000.e 3000 0,4.1000 ≥ −3210 kN/m2 + + − σi= → e ≥ −1,31 m 4,925 2,18 2,18 2,18 11000 11000.e 3000 0,4.1300 ≥ −3210kN/m2 − − − → e ≤ 1,68 m 4,925 4,05 4,05 4,05 11000 11000.e 3000 0,4.1000 ≤ 24500 kN/m2 → e ≥ −9,17 m σs= − − + 4,925 4,05 4,05 2,18 A região encontrada pelos valores de e está indicada na figura 9-5. σs=


Seção s -9,17 m -8,44 -1,31 -0,68

ys=0,7m

0,51 y =1,30

i

1,68 m

4,09 m 4,10 m

Fig. 9.5 – Feixe limite para a seção S, região achureada. 9.4 – DESENHO DA ARMADURA DE PROTENSÃO (PLANTA DE AÇO DOCE) COM ADERÊNCIA POSTERIOR

O desenho da armadura deve ser efetuado pelo projetista pensando no prédimensionamento e feito de maneira que contenha todas as informações necessárias para a execução na obra. É importante que o projetista pense no desenho do cabo como um todo considerando a interferência das demais armaduras e as dificuldades em se realizar certos detalhes.

Fig. 9.6 – Esquema estrutural da viga de ponte cuja armadura longitudinal será detalhada e ações permanentes atuantes. Para executar o desenho para ficar mais simples de explicar toma-se como modelo uma viga de ponte que necessita 9 cabos na seção do meio do vão. A viga é simétrica têm dois apoios e dois balanços e pertence a uma ponte com seção transversal celular. No


desenho da figura 9-6 está indicado o esquema estrutural da mesma e as ações permanentes atuantes. Na fase do pré-dimensionamento já se concluiu a necessidade dos sete cabos de 12φ ½¨ e consegue-se dispor a armadura como indica o desenho da figura 9-7

Fig. 9.7 – Detalhe da parte inferior da seção transversal do meio do vão com os cabos detalhados.

Os próximos passos para efetuar o desenho neste caso são: 1) escolher a disposição dos cabos na seção de extremidade da peça (Sextr. bal.) e 2) escolher a disposição dos cabos na seção do apoio. Para escolher a disposição dos cabos na seção de extremidade é preciso lembrar que nesta seção é que se dará a ancoragem da extremidade do cabo. Assim, inicialmente é preciso conhecer os detalhes da ancoragem do sistema de protensão empregado. Tais detalhes estarão descritos no próximo item, no momento precisa-se apenas saber qual é a distância mínima a se empregar entre cada uma das ancoragens entre sí ou entre cada uma delas e a face exterior da seção. Estas distâncias mínimas são apresentadas no desenho da figura 9-8.

Fig. 9.8– Distâncias mínimas entre ancoragens de um cabo 12φ1/2¨.

Assim, para o exemplo em questão escolhe-se a posição dos cabos na seção de extremidade da viga conforme, por exemplo, o disposto na figura 9.9. Verificar que é importante fazer com que o centro de forças de protensão fique o mais próximo do centro de gravidade de protensão para não se impor um momento de protensão em uma seção que praticamente não tem esforço externo de flexão (a não ser Mc). Desta maneira começa-se a


posicionar os cabos de cima para baixo e aproveitando a mísula superior usa-se três cabos no primeiro nível.

Sext. bal

S0

Figura 9-9– Seções transversais da extremidade e SO do exemplo com a posição dos diversos cabos. Também na figura 9-9 apresenta-se o posicionamento dos cabos na seção S0, em cima do apoio, que poderia Ter outras disposições desde que o centro de gravidade dos cabos esteja contido no feixe limite. Na situação em questão escolheu-se colocar três cabos na primeira, segunda e terceira camada.

S ext. bal.

S0

S1

S2

S3

S4

S5

S ext. bal.

S0

S1

S2

S3

S4

S5

Figura 9-10– Elevação da viga mostrando as escolhas dos níveis de cabos em Sext. bal. , S0, S5 e as trajetórias finais.

Na figura 9.10 mostra-se inicialmente como ficaria a elevação da viga com os níveis dos cabos nas seções extrema, S0 e S5. Logo abaixo aparece o desenho final contendo a trajetória de todos os cabos. Para mostrar como a trajetória pode ser feita inicia-se pela discussão do trecho do balanço entre a seção Sextrema e S0. Na figura 9-11 são mostradas as etapas do traçado do trecho curvo de um cabo junto a ancoragem.


•

•

• •

Na etapa 1- através do segmento horizontal passando pelo nível do cabo na seção S0 (ponto B) e o segmento de reta inclinado de α, na seção de extremidade, ou seja o ponto A, obtêm-se o ponto de intercessão I.. O ângulo α pode ser 4 ou 60 ou valor tal que a média dos cabos no balanço tenham a inclinação prevista no prédimensionamento. Aproveita-se ainda nesta etapa para traçar os segmentos R1 e R2 perpendiculares ao segmento AI e BI respectivamente. Na etapa 2 traça-se o círculo com centro em I para determinar os pontos de tangência do trecho curvo do cabo T1 e T2. Notar que o ponto T1 fica determinado pela distância k a partir do ponto A. A distância k deve ter comprimento pelo menos igual ao da trombeta (ver item seguinte). Paralelas aos segmentos R1 e R2 passando por T1 e T2 são traçadas na etapa 3 permitindo determinar o ponto O centro do círculo que resultará o trecho curvo do cabo. Na etapa 4 traça-se o circulo com centro em O e raio O-T1, lembrando que o raio r= O-T1 deve ser maior que o raio mínimo previsto para o cabo em questão e finalmente apresenta-se o traçado final do cabo na etapa 5.


r

r

Figura 9-11– Traçado do trecho curvo de um cabo junto a ancoragem. Etapa 1Determinação de I e segmentos de retas R1 e R2, 2) Círculo em I para determinar T1 e T2, 3) Paralelas a R1 e R2 determinando O, 4) Traçado do círculo com centro em o e raio O-T1 e 5)Traçado Final.

A NBR6118 recomenda raios mínimos, na falta de experimentação, de 4, 8 e 12 m para fios, barras e cordoalhas respectivamente. Em relação às cordoalhas o valor parece ser alto exceto para a de 12φ1/2¨ recomendando-se assim, que se consulte os catálogos dos sistemas de protensão. Os trechos curvos do cabo no tramo são traçados da mesma forma que no caso do balanço tendo-se apenas dois trechos de concavidades distintas. Na figura 9-12 pode ser visto um destes cabos em que os trecos curvos são respectivamente T1-I e I-T3, sendo neste caso o ponto de inflexão pertence aos dois circulo com centros em O1 e O2. Em algumas situações pode-se considerar um trecho reto entre as duas curvas como é o caso do traçado final usado


na figura 9.10. Novamente chama-se a atenção para que r1 e r2 sejam maiores que o raio mínimo. A inclinação da tangente em I neste caso foi de 90 e novamente deve-se usar o valor preciso no pré-dimensionamento ou então de modo que a média dos ângulos seja igual a este valor.

Figura 9-13– Traçado do trecho curvo de um cabo junto no tramo. Existem dois trechos curvos de diferentes concavidades.

Finalmente cabe destacar que é preciso verificar quantas trajetórias de cabos serão necessárias para ir de uma seção a outra. Isto é feito na figura 9.14 Para tanto são seguidos os seguintes passos: • Desenha-se entre em torno da seção S2 um feixe de segmentos de retas paralelas com a inclinação do ângulo usado no pré-dimensionamenteo (em torno de 9 graus). O espaçãmento entre estes segmentos dve se ro mínino necessário exigido pela norma (no caso de 12φ1/2” o valor é de 14 cm). A quantidade dos segmentos é tal que cada um deles representará no máximo 2 cabos. Verifique que no traçado da figura 9.14 (figura superior) estão indicados em cada nível a quantidades de cabos representada através de pequenos traços inclinados. Dois traços dois cabos, um traço e assim sucessivamente. • É repetido o roteiro usado anteriormente para o trecho dos cabos no balanço lembrando somente que agora cada trajetória de cabo terá dois trechos curvos de concavidade distinta. Na figura 9.14 do centro são mostrados já os trechos curvos dos cabos do nível mais baixo de S0 (C1, C2 e C3) que se alojarão no nível mais baixo de S5. • Finalmente repete-se a sistemática para os outros cabos obtendo-se a figura inferior de 9.14 • Salientar que até se chegar a trajetória final talvez seja preciso fazer diversas tentativas porque os cabos no nível inferior (C1, C2 e C3) pode requere um raio pequeno para ter o ponto de tangencia em SO. Assim, pode-se usar, ao invés de um feixe de segmentos paralelos um feixe de segmentos de reta com inclinação variável de maneira que a média fique em torno do valor previsto no anteprojeto. • Verificar ainda que em todas as seções o cg dos cabos está dentro dos feixes limites.

ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 16 CAP 9- DETALHAMENTO DA ARMADURA DE PROTENSÃO E OPERAÇÃO DE PROTENSÃO ROBERTO CHUST CARVALHO-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------S0

S1

S2

S3

S4

S5

S0

S1

S2

S3

S4

S5

S0

S1

S2

S3

S4

S5

FIGURA 9.14 – Traçado dos cabos entre a seção do apoio e do meio do vão.

Na figura 9.15 pode-se ver que a numeração dos cabos na seção transversal é importante pois define a trajetória dos mesmos que deve ser a mais simples possível.

SEÇÃO S5

SEÇÃO S0 C4 C3

C1 C2

C3 C4

C2

C1

FIGURA 9.15 – Numerção dos cabos nas seções S0 e S5 definem a trajetória dos cabos entre ambas Finalmente na figura 9.16 vê-se o desenho completo dos cabos e as seções transversais obtidas através do traçado das trajetórias longitudinais.


C7

C5 C9

14 14

C8

11,8 14

11,8

C9 C8

20 30 20

C7

C5

14 14

C7

C5

C9 C8

20 30 20

20 30 30 30 30 33

S1

15,2

14

S ext. bal.

S0

134,5

15,2

1,3

14 10,5

C1 C3

S2 11,8 14,6 10,5

C6

C2 C4

43,6 Seção Extrema do balanço

15,2

10,5

C6

S3

Seção S0

C3

C1

C2

C4

S4

C6

Seção S1

C3

C1

S5

C2 C4

10,5

30 30

30

30

Figura 9.16 Desenho completo dos cabos e as seções transversais.


9.5- EXECUÇÃO DA ARMADURA DE PROTENSÃO E OPERAÇÃO DE PROTENSÃO PARA ADERÊNCIA POSTERIOR

A execução da armadura de protensão e a própria operação de protensão dependem fundamentalmente do projeto e do detalhamento apresentado na planta de armação. Assim, o projetista precisa conhecer as operações e dificuldades que serão encontradas na prática assim como o engenheiro da obra deve ter conhecimento, pelo menos elementar do cálculo, para tomar decisões adequadas que não ponham em risco a segurança da estrutura. Muitas das dúvidas que ocorrem na obra decorrem fundamentalmente de duas razões: a) falta de conhecimento do processo; b) mau detalhamento, falta ou imprecisão nas informações. Como exemplo são enunciadas aqui algumas situações que podem ocorrer na obra causando dúvidas que serão elucidadas ao longo do texto. 1) O carpinteiro tem dúvidas como deve proceder par fazer a forma externa da seção extrema assim como a saída dos cabos na parte superior da viga. 2) O mestre de obras acredita que o comprimento das cordoalhas que farão parte dos cabos indicados na lista de ferro não estão corretos e se forem cortadas com este comprimento não será possível protende-las posteriormente. 3) O mesmo profissional tem dúvidas sobre o comprimento das cordoalhas de um cabo com ancoragem passiva em laço. 4) O pessoal da armação não sabe como posicionar o cabo na posição correta e perguntam se é mesmo necessária a colocação das cordoalhas dentro das bainhas. 5) O pessoal da armação não sabe como montar as extremidades dos cabos, quais são os cuidados neste caso 6) Eles não sabem o que significa a indicação na planta de “colocar respiros”. 7) Querem saber como montarão a ancoragem passiva em laço, quais os cuidados? 8) A equipe que executará a protensão quer saber se pode efetuar a mesma ou devem esperar mais alguns dias, ou seja qual a data que a idade do concreto permitirá a protensão? 9) Perguntam qual tensão que podem aplicar no macaco para efetuar a protensão. 10) Perguntam se podem usar apenas um macaco e não dois apesar do cabo ser de ancoragem ativa e ativa. 11) Efetuada a protensão dizem que o cabo está bloqueado em dois pontos pelo concreto, ou seja, durante a concretagem o vibrador arrebentou a bainha em dois pontos. Como saber se isso é verdade? Qual a providencia a efetuar em se constatando o problema? 12) Avisam que o cabo sofreu escoamento, como saber que isto aconteceu? e qual a providencia a se tomar. . 13) Há uma seqüência de protensão a se executar nos diversos cabos ? 14) A equipe de protensão avisa que apesar do macaco ter alcançado a sua abertura máxima a tensão no manômetro ainda não foi a indicada pelo projetista. 15) Durante a protensão dos cabos, quando faltam poucos cabos a serem protendidos, ocorre um barulho como se fosse um estalo, o que deve ser e quais providencias a tomar? 16) Quando se deve efetuar a injeção da nata de cimento nos cabos? 17) Como saber que efetivamente a nata foi injetada? 18) Quando pode ser retirado o escoramento da peça?


19) Após a protensão quando foram chamados para cortar as extremidades das cordoalhas os funcionários pedem um maçarico de acetileno para efetuar a tarefa. Eles podem usa-lo? 20) É preciso tomar alguma providencia em relação aos nichos extremos e junto à face superior terminada a protensão e injeção da nata de cimento. Estas perguntas podem ser respondidas na sua grande maioria ao se conhecer os princípios da protensão, como funcionam os diversos equipamentos e os princípios básicos do funcionamento da teoria de cálculo. Desta forma nos três próximos itens que abordarão a montagem das formas, armaduras e a a operação de protensão será possível responder as questões 9.5-1 EXECUÇÃO DA FORMA A execução da forma de uma viga em concreto protendido segue os mesmos princípios que uma de concreto armado.Há porem alguns detalhes em que deverá tomar bastante cuidado na execução como é caso os nichos, entradas ou saliências onde estarão dispostas as ancoragens ativas dos cabos de protensão. Os nichos são reentrâncias na estrutura de concreto que deverão existir de modo que o macaco possa se apoiar perpendicularmente a uma superfície de concreto para efetuar a distensão do cabo.

Fig. 9.17- Nicho para saída de cabos nas faces verticais de vigas

Nas figuras 9.17 e 9.18 mostra-se um cabo que sai junto a extremidade da peça com um ângulo α em relação a horizontal. Neste caso o macaco deve se apoiar, para efetuar a protensão, em uma superfície perpendicular a esta direção (direção que forma ângulo α com a horizontal ).Assim, o nicho é uma reentrância criada, geralmente na extremidade das vigas, para possibilitar que o macaco se apóie normalmente à superfície do concreto (figura 9.18) e consiga estirar a armadura que será ancorada em seguida e seja possível posteriormente preencher este espaço com argamassa de cimento para proteger de corrosão a extremidade do cabo e a ancoragem.


Srmadura de fretahem

L0

Srmadura de fretahem

Macaco A

Macaco com curso aberto

Cordoalhas B

90° Fig. 9.18–Vista lateral de macaco apoiado normalmente à face externa da viga para promover a protensão das cordoalhas de um cabo.

Em todas as ancoragens coloca-se (ver figura 9,18) uma armadura de fretagem (cintamento ou fendilhamento) que evita a abertura de fissuras por tração transversal no concreto devido ao carregamento parcial do concreto junto a ancoragem. Verificar também que devido a presença da trombeta é interessante que o projetista considere que o cabo seja reto em um trecho, por exemplo, de um metro contado a partir da face da viga para evitar, quando do estiramento da armadura concentração de tensões.

Fig. 9.19– Corte das cordoalhas, seu rebatimento e preenchimento do nicho para proteção da extremidade do cabo.

Após a injeção da nata de cimento na bainha (ver nos próximos itens quando o cabo pode ser liberado para receber injeção) pode-se efetuar o corte das extremidades das cordoalhas, rebater as pontas das mesmas para dentro desta reentrância e preencher esta região com argamassa de cimento que evitará a corrosão na extremidade do cabo, como pode ser visto na figura 9.19.


O corte das cordoalhas, quando se trata de cabos com múltiplas cordoalhas, deve ser feito com serra de esmeril ou guilhotina especial pois maçaricos podem fazer com que o aço perda tempera junto a ancoragem. É importante salientar porem que em casos de monocordoalhas engraxadas (sem aderência) o corte é feiti usualmente com maçarico. Quando o cabo tem inclinação com a horizontal de α o formato deste nicho é de um tronco de pirâmide com bases não paralelas. Desta maneira para fazer a forma que molde o nicho no concreto aconselha-se usar as informações contidas nos manuais do sistema de protensão usado como o da figura 9.20 que já leva em conta as dimensões do macaco. Para que o carpinteiro não incorra em erro o ideal é reproduzir em peças de papelão um modelo que será transferido para uma peça de madeira. As dimensões dos nichos são função do sistema de protensão utilizado e a unidade de protensão escolhida. No pré-simensionamento da armadura longitudinal definiu-se como sistema de protensão o conjunto de macaco, ancoragem e peças suplementares utilizadas durante a protensão. Assim o tamanho do nicho deverá ser função do macaco empregado (função da unidade de protensão empregada), sendo necessário desta forma escolher um sistema, uma unidade de protensão e consultar o manual da empresa do sistema de protensão, que geralmente fornece as informações necessárias. Como exemplo fornece-se na figura 9.20 as dimensões de um nicho na parede vertical do sistema MAC de protensão onde o número após a sigla MAC informa quantas cordoalhas de diâmetro de ½” compoem o cabo.

Tipo de ancoragem MAC 1 MAC 2 MAC 4 –5 MAC 6-7 MAC 12 MAC 19-20

a(mm) 100 100 100 110 120 150

b(mm) 120 120-140 160 195 270 340

b sen α 2 b h2 = a − sen α 2 b = dimensão da placa de distribuição mais 2 cm h1 = a +

Fig. 9.20– Dimensões de Nicho para saída de cabos nas faces verticais de vigas usando o sistema MAC.

As saídas dos cabos pela superfície superior da viga devem também atender a detalhes similares ao dos nichos de extremidade e as dimensões para os mesmos são obtidas nos manuais dos processos tais como o apresentado na figura 9.21. Neste caso há ainda a


necessidade de dobrar a armadura transversal da laje para cima desobstruindo a região do mesmo para a colocação do macaco. Após a protensão, ancoragem, injeção de nata de cimento e corte das extremidades das cordoalhas os ferros seriam desdobrados e colocados em posição para que se efetue a concretagem ou lançamento de pasta de cimento na região protegendo a armadura de protensão. Tipo ancoragem b(mm) Φ =1/2” MAC 1 MAC 2 MAC 4-5 MAC 6-7 MAC 12 MAC 19-20

cmin(mm ) α = 200 120 100 120-140 100/120 160 140 195 165 270 230 345 290

cmin(mm ) α = 300 160 160-190 215 265 370 465

20 0 ≤ α ≤ 30 0 a 3 = b cos α b ; a1 = sen α ; 2 tan α c a2 = − b sen α sen α

c=

b = dimensão da placa de distribuição mais 2 cm e ≥ gabarito do macaco

Fig. 9.21 – Dimensões de nicho para saída de cabos na face superior de vigas usando o sistema MAC.

9.5-2 EXECUÇÃO DA ARMAÇÃO DE PROTENSÃO- DESENHO DE AÇO DURO

A execução da armadura de protensão é feita através da planta de aço “duro” (armadura ativa) que deverá, assim, conter todas as informações necessárias para que na obra se realize aquilo que se projetou. O primeiro passo para a confecção dos cabos é o corte das cordoalhas com comprimento adequado, pois as mesmas são fornecidas em carreteis com grande comprimento. Para posicionar o cabo de protensão nas vigas, usualmente coloca-se em posição estribos construtivos rígidos (diâmetros acima de 12,5 mm) que servirão de gabarito para a colocação das bainhas já com as cordoalhas


Fig. 9.22 – Exemplo de cabos circular em viga isostática de comprimento total de 30m.

No caso do exemplo da figura 9.22 podem ser calculados, por exemplo o comprimento de um cabo circular passando pelos pontos A e B de uma de comprimento total de 30 m e com altura 1,796m. Considerando que no ponto B o cabo passa a 0,105 m da borda inferior pode-se montar as seguintes equações (ver desenho) R- R cosα=0,883 R senα = 15

Elevando as duas expressões ao quadrado e somando-as chega-se a R=127,84 m e α=6,7370 Sendo assim o comprimento retificado do arco AB é dado por: .∩

A.B =

6,737 .π .127,84 =15,03 m contra um comprimento reto de 15,00 m 180

Fig. 9.23 – Exemplo de cabos circular em viga isostática caso limite angulo de saída de 300. Considerando o caso limite, apresentado na figura 7n+7 em que se tem uma saída superior com 260 e usando as expressões do caso anterior chega-se a R=15,23m e


comprimento curvo do trecho AB de 6,91 contra um valor reto de 6,68m uma diferença de 23 cm. Como se vê a discrepância de se considerar o cabo pela projeção horizontal em detrimento do valor dele retificado depende fundamentalmente dos ângulos de desvio que o cabo tem na sua trajetória. Como já foi visto no pré-dimensionamento os ângulos empregados estão em torno dos 100 que levariam a um erro de cerca de 5 cm para cada trecho curvo considerando que poderá em um tramo (intermediário) no máximo existir quatro destes teriase um desvio máximo de valores de 20 cm por tramo. Desta forma se o projetista, ao confeccionar a lista de aço, não quiser calcular exatamente o comprimento retificado pode acrescer para cada vão no comprimento reto do cabo 20 cm. No caso de cabos com a saída vertical superior o valor seria dobrado (duas saídas no mesmo tramo). Deverá ser acrescido o comprimento L0 (ver figura 7n+1) necessário nas extremidades ativas para que o macaco consiga executar a protensão (valor fornecido nos manuais de sistema de protensão). Há que se considerar tambem que o cabo tem trajetória curva nos planos horizontais devendo ser para tanto assumido mais 10 cm. Assim, finalmente, por tramo o cabo teria L total = n. L0 + L reto + m. (0,20+0,10) (em m)

Com n- número de ancoragens ativas m- número de tramos L total = comprimento a ser indicado na lista para corte das cordoalhas L0 = comprimento a ser acrescido para o macaco prender o cabo na extremidade L reto = comprimento da projeção horizontal do cabo


Ancoragem MAC 1-2 MAC 4-5 MAC 6-7 MAC 12 MAC 19-20

a 500 600 600 600 700

b 270 270 330 330 380

c 30 30 30 30 30

d 10 10 10 10

chapa Raio 120 120 150 150 175

metálica dimensões 40x350x3,2 55x350x4,8 80x420x4,8 150x420x4,8 235x500x4,8

Fig. 9.24Detalhe de ancoragem passiva (morta) em laço- Sistema MAC. 9.5- OPERAÇÃO DE PROTENSÃO

A operação de protensão deve ser cuidadosa, pois nesta etapa em alguns pontos o aço estará solicitado ao maior esforço em todo sua vida útil. A operação é bastante específica e necessita que todos os envolvidos tenham conhecimento tanto de como funcionam os equipamentos assim como os conceitos envolvidos. Fig7 esquema da bomba e macaco Inicialmente pode-se dizer que a protensão é efetuado com o auxílio de um macaco hidráulico uma bomba que injeta óleo sobre pressão no mesmo. O macaco esquematicamente é composto por um cilindro e um embolo (ver fig...) e válvulas de entrada e saída de óleo. Ao se injetar o óleo com pressão no interior do cilindro força-se o embolo a movimentar. As cordoalhas estão presas a estrutura do embolo enquanto o cilindro se apóia na estrutura de concreto (viga) permitindo assim que haja compressão no concreto e tração na armadura. Desta forma pode-se escrever:


. póleo x Aembolo x η = Acabo x σpi com póleo – pressão atuante no óleo dentro do macaco Aembolo – Área do embolo do macaco η - Coeficiente de perda por atrito do macaco Acabo – Área do cabo σpi – tensão inicial de protensão Através da fórmula anterior é possível determinar a pressão do óleo que deve ser imprimida quando se executa a protensão de um cabo, sendo que os valores da área do embolo, coeficiente de perda por atrito e área do cabo podem ser encrontados nos manuais dos sistemas de protensão EXEMPLO NUMÉRICO N- Calcular a pressão que deverá ser atingida no mostrados do manômetro de um macaco que deve protender cabos de 12φ1/2” a uma tensão de 1213 MPa. Dados: Área interna do macaco (cilindro e embolo praticamente com mesma área) 392,9 cm2, área de um cabo de 12φ1/2”- 12,02 cm2, coeficiente de perda por atrito bomba-macaco 3%. RESOLUÇÃO

Basta a fórmula dada anteriormente : póleo x Aembolo x η = Acabo x σpi póleo x 392,9 x 0,97= 12,02 x 1312 póleo = 41,37 MPa Desta forma fica claro que é muito importante frisar que na planta da armadura de protensão é preciso especificar com clareza qual é o valor de tensão de protensão a se aplicar, pois há situações em que se pretende protender o aço com um valor abaixo dos máximos permitidos pela Norma. Por exemplo se no caso do cabo do exemplo anterior o aço for o CP190 RB os valores de fptk e fyk ao respectivamente 190m MPa e 1600 MPa e de acordo com o 8.5.1.2 da NB1 o valor da tensão, como já foi visto no capítulo 2, está limitado a : • 0,74 fptk = 0,74 x 1900 = 1406 • 0,82 fyk = 0,82 x 1600 = 1312 No caso do exemplo anterior o aço foi esticado ao valor máximo permitido que é de 1312 MPa mas o projetista poderia muito bem ter optado por um valor menor que conduziria a outro valor de pressão manométrica. A partir da descrição resumida da protensão pode-se tirar outras informações. Uma delas é a verificação, mesmo que simplificada, se a protensão foi realmente efetivada. Para tanto é necessário ter o cuidado de efetuar a injeção do óleo no macaco por etapa de, pó exemplo, 5 em 5 MPa e anotar os alongamento que o cabo sofre neste intervalo. Assim após posicionar o macaco faz-se uma marca (com um pedaço de giz) no cabo e medes-se para cada


cada etapa quanto este ponto se afastou da face do elemento protendido. Com isto é possível confeccionar uma tabela similar a tabela N. TABELA N- EXEMPLO DE TABELA DE CONTRÔLE DE PROTENSÃO Pressão (kgf/cm2) Alongamento Real (mm) LADO A

B

TOTAL

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 Para o uso em obra a planilha apresentada na tabela N seria complementada com outras informações tais como o nome da obra, da firma executora, o no me do encarregado, data, esquema do cabo indicando a posições Ae B, indicação da unidade de protensão, o alongamento teórico (será definido posteriormente) número do cabo, espaço para aprovação e liberação para o preenchimento da nata de cimento. De posse dos valores medidos na obra é possível conhecer os alongamentos reais (que realmente acontecem na obra) e compara-los com os obtidos por um cálculo teórico. O cálculo do alongamento teórico é feito da mesma forma que a perda provocada pelo recuo da ancoragem assim tem-se a expressão de ∆ l = Ep x A

BIBLIOGRAFIA

NBR.9062 – Projeto e Execução de Estruturas de Concreto Pré-Moldado

ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO CAP 10- Cálculo da armadura transversal de peças protendidas ROBERTO CHUST CARVALHO-

1

CAPÍTULO 10- CÁLCULO DA ARMADURA TRANSVERSAL DE PEÇAS PROTENDIDAS 10.1 Introdução Até zqui foi estudada apenas o pré-dimensisonamento, cálculo e detalhamento da armadura longitudinal e, peças de concreto protendido, tornando-se agora necessário a avançar para considerar também os efeitos transversais e a necessidade de projetar armadura para absorve-los. Devido a grande semelhança e os mesmos mecanismos que se formam sob atuação de esforços transversais este capítulo segue o mesmo roteiro e até reproduz trechos da obra de CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO [2004]. As tensões normais atuantes em uma seção transversal são resistidas pelo concreto comprimido e pela armadura longitudinal tracionada previamente tracionada (concreto protendido) ou não (concreto armado). Nota-se que no cálculo da armadura longitudinal, feita no capítulo 5, bastou analisar as seções mais solicitadas pelo momento fletor, sem qualquer interferência da força cortante, valendo portanto a consideração de que a viga estava sujeita à flexão pura. Na realidade, as vigas submetidas a um carregamento vertical qualquer, com ou sem esforço normal, estão trabalhando em flexão simples ou composta não pura e, nesta situação, o momento fletor é variável e a força cortante passa a ser diferente de zero, surgindo na seção transversal, além das tensões normais, tensões tangenciais que equilibram o esforço cortante. TABELA 10.1. Tipos de flexão e tensões atuantes na seção transversal Flexão

Momento fletor M Cortante V = dM dx

Tensões atuantes na seção

Pura

Constante

V=0

σ (normal)

Não Pura

Variável

V≠0

σ (normal) e τ (tangencial)

Ao contrário da situação em que é possível existir flexão sem cisalhamento (momento sem cortante), não é possível ocorrer casos de cisalhamento sem flexão (cortante sem momento). Dessa forma, na flexão não pura, juntamente com as tensões tangenciais, sempre atuam tensões normais de flexão, formando um estado bi-axial, ou duplo, de tensões, com tensões principais de tração e compressão, em geral, inclinadas em relação ao eixo da viga (item 3). É um problema de solução bastante complexo, com mecanismos resistentes essencialmente tridimensionais. No estudo do cisalhamento influem: • forma da seção;


2

• variação da forma da seção ao longo da peça;

( d)≥ 2 ;

• esbeltez da peça l

• disposição das armaduras transversais e longitudinais; • aderência; • condições de apoio e carregamento, etc.

( d ) ≥ 2 é para que o estudo se resuma às peças chamadas de

A consideração de l

vigas (seção transversal permanece plana após a deformação), pois quando a relação é inferior a 2 as seções transversais sofrem um “empenamento”, não continuando plana após a deformação, e a estrutura com essas características passa a ser chamada de viga parede (figura 10.1).

FIGURA 10.1. a) viga (seção após a deformação permanece plana); b) viga parede (seção sofre um empenamento após a deformação)

Para cargas de pequena intensidade, em que as tensões de tração não superam a resistência à tração do concreto (estádio I), o problema é simples; quando se aumenta o carregamento e o concreto torna-se fissurado (estádio II), é produzido um complexo reajuste de tensões entre concreto e armadura, que podem crescer até chegar à ruptura. Na alma da viga as tensões de compressão são resistidas pelo concreto comprimido, que se mantém íntegro entre as fissuras (bielas comprimidas), e as tensões de tração são resistidas por uma armadura transversal (armadura de cisalhamento). No caso das peças de concreto protendido dependendo da intensidade da protensão a fissuração do concreto pode ocorrer somente após, por exemplo no caso de protensão completa, a atuação da cargas correspondentes à combinação rara, mais ainda assim para efeito de dimensionamento no estado limite último haverá a fissuração do concreto e portanto o cálculo será feito como o do concreto armado.


3

A armadura transversal proporciona segurança frente aos distintos tipos de ruptura e, ao mesmo tempo, mantém a fissuração dentro de limites admissíveis. Neste capítulo será primeiramente estudado o modo de cálculo dessa armadura e, em seguida, como pode ser evitado o esmagamento do concreto da alma da viga, através da verificação da biela de concreto comprimida. Como não existe ainda uma solução que seja ao mesmo tempo precisa e simples, a grande maioria dos procedimentos adota um tratamento independente para as tensões de flexão e cisalhamento em uma viga, e admitem que a contribuição das armaduras transversais e do concreto comprimido, na resistência ao esforço cortante, pode ser obtida através da analogia de treliça de RITTER-MÖRSCH (item 10.4). É conveniente destacar que as peças fletidas devem ser dimensionadas, em geral, de modo que, se atingirem a ruína, esta ocorra pela ação do momento fletor, que leva a grandes deformações, antes da ruptura por cisalhamento. O perfeito funcionamento das peças fletidas de concreto armado ou protendido pode ser garantido verificando-se em cada seção transversal a condição de utilização (fissuração) e as condições de ruptura (escoamento da armadura de tração e esmagamento do concreto). Na flexão pura estas verificações já foram feitas, a fissuração no sétimo capítulo e as demais no sexto. Nas peças em flexão não pura, portanto com cisalhamento, a verificação da fissuração é mais usual nas peças protendidas; nas de concreto armado, um bom detalhamento da armadura transversal normalmente é suficiente para evitar um estado de fissuração inaceitável na alma das vigas. Na figura 10.2 estão esquematizados alguns tipos de colapso que podem ocorrer em vigas devido à ação da força cortante (cisalhamento) [RÜSCH (1975)]; no caso a) a ruptura é por escoamento da armadura transversal, no b) o concreto da biela comprimida na alma da viga é esmagado, e em c) o colapso ocorre por falha na ancoragem da biela junto ao apoio (escorregamento da armadura longitudinal).

FIGURA 10.2. Situações de colapso em uma viga devidas ao cisalhamento: a) escoamento armadura; b) esmagamento concreto; c) falha na ancoragem


4

Segundo FURLAN JUNIOR (1995) podem ainda ocorrer ruptura por força cortante-flexão e por flexão da armadura longitudinal. No primeiro caso o concreto do banzo comprimido (região acima da linha neutra) é esmagado em decorrência do “avanço” ou “penetração” das fissuras diagonais (inclinadas) nesta região. No segundo caso surgem deficiências localizadas na região da armadura longitudinal que apresenta resistência insuficiente para suportar a flexão localizada causada pelo apoio das bielas (região de concreto integro entre fissuras) entre os estribos. 10.2. TENSÕES NORMAIS E TANGENCIAIS EM UMA VIGA Inicilament nos próximos itens será feita a análise das tensões em serviço na seção transversal de peças em concreto armado para depois no item 10.4 acrescentar o efeito da protensão. Pode-se considerar, para efeito de cálculo, que o concreto seja um material homogêneo, e assim desprezar a presença da armadura no mesmo. Dessa maneira é possível calcular as tensões atuantes em vigas utilizando os conceitos da resistência dos materiais. É óbvio que estas hipóteses valem até que se inicie a fissuração do concreto. Portanto, em uma viga de seção constante, sujeita à flexão simples não pura, as tensões normais (σ) e tangenciais (τ) variam de fibra a fibra ao longo da altura da seção (figura 10.3) e podem ser calculadas pelas expressões:

M ⋅y I

(10.1)

V ⋅ Ms bw ⋅ I

(10.2)

σ= τ= onde:

M – momento fletor; y – distância do C.G. da seção ao ponto considerado; V – força cortante; Ms – momento estático da área da seção homogênea situada acima da fibra de ordenada y, em relação à linha neutra; bw – largura da seção; I – momento de inércia da seção, em relação ao seu CG.


5

FIGURA 10.3. Distribuição das tensões normais e tangenciais em uma seção retangular (desprezado o efeito da armadura) Para uma dada seção, sob uma força cortante V, o valor máximo da tensão tangencial ocorre, pela equação 6.2, quando o momento estático também for máximo. O momento estático (ou momento de primeira ordem) é determinado pela integral ∫ y ⋅ dA , e para uma viga retangular de seção transversal (bw , h) obtém-se (figura 6.4): h k 1 Ms = y ⋅ A = y ⋅ bw ⋅ k = bw ⋅ k ⋅  −  = ⋅ bw ⋅ k ⋅ h − k 2 2 2 2

(

)

O valor máximo de Ms é obtido fazendo sua derivada em relação a k ser igual a zero dM s 1 = ⋅ b w ⋅ (h − 2 ⋅ k ) = 0 dk 2 resultando k = h/2 ou seja, a máxima tensão de cisalhamento ocorre no cg (no caso na LN); substituindo esse valor na expressão de Ms chega-se a: M s ,max =

bw ⋅ h2 8


6

FIGURA 10.4. Cálculo de Ms e τ na seção transversal retangular de uma viga Finalmente, a tensão máxima de cisalhamento fica:

τ max =

V ⋅ M s ,max b w ⋅I

=

V ⋅ b w8⋅h

2

b w ⋅ b w12⋅h

3

→

τ max =

Da figura 6.5, sendo z o braço de alavanca, resulta h = τ max =

1,5 ⋅ V 1,5 ⋅ V 1,5 ⋅ V = = 3⋅z bw ⋅ h bw ⋅ 2 b w ⋅ 1,5 ⋅ z

→

1,5 ⋅ V bw ⋅ h

(10.3)

3⋅ z e, então 2

τ max =

V bw ⋅ z

(10.4)


7

FIGURA 10.5. Braço de alavanca das resultantes das tensões de compressão (Rc) e de tração (Rs) (estádio I, concreto não fissurado) Embora a expressão anterior tenha sido obtida para o estádio I, também será empregada no estado limite último, como será visto posteriormente.

10.3. TENSÕES PRINCIPAIS Em uma viga fletida sob ação de momento fletor variável, também atua uma força cortante, e em toda a altura de uma seção transversal retangular, ou na alma de outras seções, surgem tensões, chamadas de principais, de tração e compressão (σ1 e σ2 respectivamente) inclinadas em relação ao eixo da peça. As tensões principais podem ser decompostas nas componentes σx (tensão normal segundo x), σy (tensão normal segundo y) e τxy (tensão tangencial); em vigas, normalmente, as tensões σy têm valor muito pequeno, com importância apenas em trechos de introdução da carga, podendo portanto em geral ser desprezadas. Assim, na seqüência, o valor de σy será sempre considerado nulo. Em outras palavras, em um elemento solicitado por tensões normais e tangenciais, sempre é possível encontrar um plano com uma inclinação α no qual as tensões tangenciais são nulas, e as normais alcançam seus valores máximo e mínimo, que são as tensões principais. Essas tensões podem ser determinadas em qualquer ponto da peça, analiticamente ou por meio do Círculo de Mohr. Seja uma viga sujeita à flexão simples (figura 10.6), da qual se deseja obter as tensões principais em dois pontos: um na região comprimida (ponto 1), e outro na linha neutra (ponto 2).


8

FIGURA 10.6. Pontos para análise das tensões principais de uma viga simplesmente apoiada sob carregamento uniforme Desses pontos retiram-se dois elementos infinitesimais, em que atuam tensões normais σ e tangenciais τ; pelo círculo de Mohr encontram-se as tensões principais σ1 e σ2 e suas inclinações em relação ao eixo da viga, para os pontos 1 e 2 (figura 10.7).

τ σ

σ

τ

σ

σ

τ

σ

σ

σ

σ σ

σ

σ

τ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

τ

σ

τ

FIGURA 10.7. Cálculo das tensões principais nos pontos 1 e 2 usando o círculo de Mohr Como pode ser visto na figura 10.7, para pontos situados no cg (pontos do tipo 2) só há tensão de cisalhamento e portanto a tensão principal de tração ocorrerá a 45o. Já para os pontos do tipo 1, onde há compressão (abaixo da linha neutra seria tração), a tensão principal ocorrerá com um angulo inferior a 45o. Observe-se que está sendo usada a convenção, para concreto armado e protendido, em que as tensões de compressão são positivas e as de tração são negativas.


9

Para um estado duplo de tensões em vigas (figura 10.8), segundo Mohr, as tensões principais podem ser determinadas analiticamente pelas expressões: σ1 =

σ2 =

σx + σy 2

σx + σy 2

2

+

 σx + σy    + τ 2xy 2  

−

 σx + σy    + τ 2xy 2  

2

A direção α (inclinação) de σ1 em relação ao eixo x é dada por: tg 2α =

2 ⋅ τ xy σ x −σ y

σ

σ σ

τ σ

σ τ

τ

σ σ

σ σ

σ

τ

σ

σ

σ

τ

FIGURA 10.8. Estado plano de tensões e direções principais Como em vigas pode-se fazer σ y = 0 (só existem valores de tensões normais verticais apreciáveis onde atuam cargas externas de alta intensidade), e também fazendo τ xy = τ , as equações acima ficam: σ σ1 = x + 2

2

 σx    +τ2  2 

σ σ2 = x − 2

2

 σx    +τ2  2 

tg 2α =

2⋅τ σx


10

Na linha neutra e abaixo, o concreto não contribui na resistência às tensões normais de tração, que são equilibradas apenas pela armadura longitudinal, e portanto σ x = 0 , que nas equações anteriores resulta: σ1 = +

τ2 =+ τ

σ2 = −

τ2 =− τ

tg 2α = ∞

→

2 α = 90 o

→

α = 45o

Conclusões: •

na linha neutra as tensões principais σ1 (tração) e σ2 (compressão) estão inclinadas de 450 em relação ao eixo da viga e são iguais, em intensidade, às tensões tangenciais τ, principalmente próximo aos apoios, onde a força cortante é maior;

•

as fissuras no concreto são perpendiculares à direção da tensão principal de tração (figura 6.8);

•

as tensões principais de tração σ1 devem ser resistidas por uma armadura de cisalhamento que atravesse as fissuras, e cujo cálculo se verá na seqüência;

•

as tensões principais de compressão σ2 são resistidas pelo concreto comprimido localizado entre as fissuras (bielas de concreto).

10.4 EFEITOS DA PROTENSÂO Nos dois itens anteriores analisou-se a questão da flexão simples (concreto armado), ou seja situações em que não havia a introdução de esforço normal. NO caso de peças protendido deve-se considerar portanto ainda dois efeitos 1. alívio do cortante de protensão 2. efeito do esforço normal

10.2 Alívio da Protensão 10.2.1 Efeito do cortante de protensão Item 8.3.2 - se as perdas foram maiores do que 30% da tensão inicial σi deve ser considerado um coeficiente de incerteza de γf = 0,9 ou 1,1 o mais desfavorável. Item 9.22.2 – na ruptura o esforço característico de protensão será multiplicado por γp = 1,1. Assim, Vd = 1,4(Vg1+Vg2+Vqmáx ou min)+1,1 x γf x P x senαi Item 9.3.1 – se o diâmetro da bainha φo for maior que bw/8 usar para bw o valor de bw = bw – ½ x Σφi Item A.2.4.12 – para vigas com estribos τwu = 0,30 x fcd ≤ 4,5 MPa.   Vd τ wd = ≤ τ wu  bw × d  


11

10.2.1 Efeito do Esforço Normal A armadura é calculada com τd = 1,15 τwd - τc Item A.2.2 – com τ c = ψ 1 f ck (MPa)



ψ 1 = 0,151 + 

M0 M d ,max

   

(para valores baixos de τwd usar ψ1 = 0,15)

influência do normal, não considerar se > 2

M d ,max = 1,4(M g1 + M g 2 + ϕM q ,max ) ; Mo = valor do momento fletor que anula a tensão normal na borda menos comprimida.

6.4. ANALOGIA DE TRELIÇA DE MÖRSCH Por volta de 1900, W. Ritter e E. Mörsch [MÖRSCH, E. (1948)] propuseram, para a determinação da armadura de cisalhamento necessária ao equilíbrio de uma viga de concreto armado, uma teoria em que o mecanismo resistente da viga no estádio II (fissurada) pode ser associado ao de uma treliça, onde as armaduras e o concreto equilibram, conjuntamente, o esforço cortante. O modelo proposto por Mörsch não foi inicialmente bem aceito, mas com o desenvolvimento das técnicas de ensaio de estruturas, constatou-se que ele poderia ser empregado, desde que fossem feitas adequadas correções. A teoria teve por isso reconhecimento mundial, e mesmo que muita coisa tenha mudado desde então (as resistências do concreto e aço aumentaram, a aderência obtida com aços corrugados levou ao desuso as barras lisas, etc.), os princípios apresentados por Mörsch continuam válidos, e ainda hoje são a base do cálculo ao cisalhamento dos mais importantes regulamentos. A grande vantagem é que, embora sendo simples, o modelo conduz a resultados satisfatórios para a quantidade da armadura transversal no estado limite último.

6.4.1. Funcionamento básico e elementos constituintes Uma viga esbelta simplesmente apoiada de concreto, com armadura longitudinal e transversal, sob flexão simples terá, próximo à ruptura, o aspecto mostrado na figura 6.9. Ela apresenta fissuras inclinadas na zona em que o cisalhamento é predominante (principalmente próximo aos apoios, onde a força cortante é maior) e, entre elas, elementos de concreto comprimidos (bielas comprimidas). A partir da configuração da viga na ruptura, Mörsch idealizou um mecanismo resistente assemelhando a viga a uma treliça, de banzos paralelos e isostática, em que os elementos resistentes são as armaduras longitudinal e transversal e o concreto comprimido (nas bielas e na região da borda superior), cujas interseções formam os seus nós.


12

FIGURA 6.9. Viga na iminência da ruptura e os tipos de fissura que podem ocorrer O conceito de bielas de compressão (concreto íntegro entre as fissuras) é importante, pois mostra como o aço e o concreto se unem para transferir cargas, e também como o concreto comprimido trabalha e tem participação importante na resistência ao cisalhamento de peças fletidas. Considera-se que a inclinação (α) da armadura de cisalhamento está entre 45o (na direção das tensões principais de tração) e 90o, e que os elementos de concreto comprimido estão inicialmente inclinados de 45o (na direção das tensões principais de compressão). Experiências mostram, entretanto, que o ângulo de inclinação das bielas é menor que 45o, o que será corrigido posteriormente. Os elementos da treliça (figura 6.10) são: 1. banzo superior comprimido: formado pela região comprimida de concreto acima da linha neutra, de altura x; 2. banzo inferior tracionado: formado pelas barras da armadura longitudinal de tração; 3. montantes ou diagonais tracionadas: formadas pela união dos estribos que cruzam uma certa fissura; podem ter inclinação (α) em relação ao eixo longitudinal da viga entre 45o (figura 6.10 b) e 90o (figura 6.10 a);


13

4. diagonais comprimidas: formadas pelas bielas de compressão (concreto íntegro entre as fissuras), que colaboram na resistência e têm inclinação de 45o em relação ao eixo da peça.

FIGURA 6.10. Treliça análoga de Mörsch para o caso de: a)estribos; b) barras dobradas É lógico imaginar que a forma da peça resistir ao esforço cortante estará condicionada pela disposição que se adote para a armadura transversal. Intuitivamente, parece que a melhor posição da armadura é a que segue a direção das tensões principais de tração; entretanto esta disposição é muito difícil de ser executada e não permite ancorar devidamente a biela de concreto. Por essa razão, são duas as disposições mais comuns adotadas:

a) estribos verticais, que são independentes da armadura longitudinal de tração e compressão, apenas as envolvendo para sua fixação, tendo geralmente um diâmetro inferior que aquelas; essas armaduras servem de montantes (ou diagonais) de tração da treliça análoga; b) barras dobradas, levantadas da armadura longitudinal de tração, a 45o em relação ao eixo da peça, a partir do ponto em que deixam de ser necessárias para resistir aos esforços de tração oriundos do momento fletor.

6.4.2. Cálculo da armadura transversal Uma viga, na iminência do colapso, pode, segundo Mörsch, ser representada por uma treliça, com as forças internas e externas dadas na figura 6.11. Para o cálculo das


14

forças nas barras da treliça, e consequentemente das expressões que possibilitam determinar a quantidade de armadura, devem ser feitas as seguintes hipóteses:

a) a treliça é isostática; b) os banzos são paralelos; c) a inclinação das fissuras, e portanto das bielas comprimidas, é de 45o; d) a inclinação (α) da armadura transversal pode variar entre 45o e 90o.

Fc - resultante das tensões no concreto do banzo comprimido Fat - resultante das tensões nas barras da armadura transversal que cortam uma fissura Fs - resultante das tensões na armadura longitudinal de tração FIGURA 6.11. Treliça de Mörsch com esforços atuantes e internos em uma seção S Fazendo o equilíbrio de forças:

•

equilíbrio das componentes verticais: R 1 −P1 − P2 = Fat ⋅ senα

•

força cortante na seção S: V = R1 − P1 − P2 Das equações acima resulta: Fat ⋅ sen α = V

(6.5)

Fat = A st ⋅ n ⋅ f yd

(6.6)

Mas, na ruptura,

sendo:

Ast − área da seção transversal de uma barra da armadura de cisalhamento; n − número de barras da que cruzam uma fissura; fyd − resistência de cálculo do aço à tração.


15

Também na ruptura, atua a força cortante de cálculo Vd ( Vd = 1,4 ⋅ V ), que levada à equação 6.5 resulta: Fat ⋅ sen α = Vd

→

Fat =

Vd sen α

(6.7)

Das equações 6.6 e 6.7 obtém-se:

A st ⋅ n ⋅ f yd =

Vd senα

(6.8)

O número de barras (n) que cruzam uma fissura, sendo s seu espaçamento (figura 6.12), é dado por :

n=

z + z ⋅ cot α z ⋅ (1 + cot α) = s s

FIGURA 6.12. Barras que cruzam uma fissura Colocando o valor de n na equação 6.8 tem-se:

A st ⋅

Vd z ⋅ (1 + cot α ) ⋅ f yd = s sen α

A st Vd 1 = ⋅ s senα f yd ⋅ z ⋅ (1+cotα)

(6.9)

Como é mais conveniente trabalhar com valores adimensionais, define-se agora uma porcentagem volumétrica de armadura µt α , observando que d = l ⋅ senα (figura 6.13): µ tα =

A st l ⋅ A st l ⋅ A st volume de aco = = = volume de concreto b w ⋅ d ⋅ s b w ⋅ s ⋅ l ⋅ sen α b w ⋅ s ⋅ senα

(6.10)


16

FIGURA 6.13. Ast em um trecho s da peça Verifica-se que a porcentagem volumétrica é numericamente igual a porcentagem geométrica. Para usar este resultado na expressão 6.9 dividem-se ambos os membros dessa equação por b w ⋅ sen α , obtendo a correlação entre a área de armadura transversal e o esforço interno devido à força cortante de cálculo: A st Vd 1 = ⋅ s ⋅ b w ⋅ sen α b w ⋅ z f yd ⋅ senα ⋅ senα ⋅ (1+cot α)

(6.11)

Supondo que o braço de alavanca z possa ser tomado, aproximadamente, igual a

z = d 1,15 , usando a definição de porcentagem volumétrica dada pela equação 6.10 e verificando que senα ⋅ (1 + cotα ) = (senα + cosα ) , a expressão 6.11 fica: µ tα = 1,15 ⋅

Vd 1 ⋅ b w ⋅ d f yd ⋅ sen α ⋅ (senα + cos α)

(6.12)

Vd = τ wd (tensão convencional de cisalhamento, de cálculo, na bw ⋅ d alma da peça), tem-se finalmente:

Chamando

µ tα =

1,15 ⋅ τ wd 1 ⋅ f yd senα ⋅ (senα + cos α)

(6.13)

Conhecendo-se a seção de uma viga (bw, d), a força cortante máxima e o tipo de aço a ser empregado (fyd), as expressões 6.10 e 6.13 possibilitam calcular, para uma área Ast de armadura transversal pré-definida, seu espaçamento s necessário, ou vice-versa. A partir da equação 6.11 é possível calcular diretamente o valor do espaçamento s:


s=

17

A st ⋅ d ⋅ f yd ⋅ (sen α + cos α)

(6.14)

1,15 ⋅ Vd

No caso mais usual, em que são empregados estribos verticais, o ângulo de inclinação da armadura é α = 900, e as equações 6.10, 6.13 e 6.14 ficam bastante simples, reduzindo-se a: A st bw ⋅s

(6.15)

1,15 ⋅ τ wd f yd

(6.16)

µ t ,90 =

µ t ,90 =

A st ⋅ d ⋅ f yd

(6.17) 1,15 ⋅ Vd É oportuno destacar que os resultados aqui encontrados, pelo modelo de treliça, complementam a teoria de flexão vista no capítulo 3.

s=

Uma vez obtidas as expressões que permitem calcular a quantidade de armadura transversal necessária para resistir ao esforço cortante surge a pergunta natural: em uma viga de seção retangular, de dimensões bw e d, em que atua uma força cortante Vd , e para o mesmo tipo de aço, é mais econômico utilizar estribos verticais ou armadura inclinada a 45o (o custo da mão de obra utilizada para executar o serviço não será computado)? Para responder basta calcular, em cada caso (barras a 90o e 45o), qual é a porcentagem de armadura necessária. •

Para α = 90o a porcentagem de armadura é dada pela equação 6.16: µ t ,90 =

•

1,15 ⋅ τ wd f yd

Para ∝ = 45o, a porcentagem de armadura pode ser calculada pela equação 6.13: µ t , 45 =

1,15 ⋅ τ wd 1,15 ⋅ τ wd 1 ⋅ = ⋅ f yd f yd sen 45 ⋅ (sen 45 + cos 45)

1 2 2

 2 2  ⋅  + 2   2

=

1,15 ⋅ τ wd f yd

Assim conclui-se, sendo a taxa de armadura igual em cada caso, que o volume de aço é o mesmo em ambos os casos, e portanto o custo é igual; entretanto, deve-se considerar que: Barras dobradas:


18

•

a execução é mais difícil;

•

devem ser sempre utilizadas junto com estribos, e só podem resistir no máximo a 60% do esforço cortante (NB1/80, item 6.3.1.2, NB1/99, item 17.3.1.1 c e 6.8.5 deste capítulo);

•

como são executadas a partir da armadura longitudinal, têm bitola maior que os estribos, e o controle da fissuração fica prejudicado;

•

a ancoragem das bielas de concreto da treliça, junto a região tracionada, é deficiente;

•

havendo apenas barras dobradas há um efeito de “fendilhamento” do concreto junto à ancoragem da biela (figura 6.14).

Estribos verticais (alguns tipos são mostrados na figura 6.15):

•

apresentam maior facilidade de execução e montagem;

•

podem ser melhor distribuídos (elementos independentes) e podem ter diâmetro menor que as barras longitudinais favorecendo a aderência e fissuração;

•

auxiliam na montagem da armadura longitudinal;

•

podem resistir sozinhos a todo o esforço cortante;

•

auxiliam na distribuição de tensões de tração que se produzem pela transmissão de esforços entre concreto e aço.

FIGURA 6.14. Efeito de fendilhamento que pode ser provocado pela armadura transversal inclinada na biela de compressão de concreto


19

FIGURA 6.15. Principais tipos de estribos

EXEMPLO 1

Calcular o espaçamento s de estribos simples necessários em uma viga de seção retangular submetida a um esforço cortante V = 1300 kN (130 tf). Dados: bw = 70 cm; d = 200 cm; fck = 26 MPa; aço CA-50 (500 MPa ou 5 tf/cm2). Solução

O exercício pode ser resolvido diretamente pela expressão 6.17, percebendo-se que para o cálculo do espaçamento é preciso, primeiramente, escolher um diâmetro para a armadura transversal. Adotando um diâmetro φ = 12,5 mm (Ast = 1,25 cm2) tem-se: A st ⋅ d ⋅ f yd

2 × 1,25 × 200 × 5 = 10,4 cm 1,15 ⋅ Vd 1,15 × 1,15 × 1,4 × 130 Assim, adotado um valor para o diâmetro da armadura, verifica-se se o espaçamento necessário de estribos é razoável; caso contrário, deve-se aumentá-lo ou até mesmo fazer uso de estribos compostos (duplos ou triplos como os indicados na figura 6.15). s=

=

Dessa forma, no exemplo, pode-se usar estribos simples de φ = 12,5 mm a cada 10 cm ou estribos duplos de φ = 12,5 mm a cada 20 cm.

6.5. TRELIÇA GENERALIZADA DE MÖRSCH


20

Com o desenvolvimento e crescimento das pesquisas experimentais, verificou-se que o cálculo através da treliça de Mörsch conduz a uma armadura transversal algo exagerada, ou seja, a tensão real atuante na armadura é menor que a obtida pela treliça. Essa diferença pode ser atribuída principalmente aos seguintes fatores: a) a treliça é hiperestática (os nós não podem ser considerados como articulações perfeitas); b) nas regiões mais solicitadas pela força cortante, a inclinação das fissuras, e portanto das bielas, é menor que os 45o admitidos por Mörsch; c) parte do esforço cortante é absorvido na zona de concreto comprimido (devido à flexão); d) os banzos não são paralelos (o banzo superior - comprimido - é inclinado); e) as bielas de concreto estão parcialmente engastadas na ligação com o banzo comprimido, e assim são submetidas à flexo-compressão, aliviando os montantes ou diagonais tracionadas; f) as bielas são mais rígidas que os montantes ou diagonais tracionados, e absorvem uma parcela maior do esforço cortante do que aquela determinada pela treliça clássica; g) a quantidade (taxa) de armadura longitudinal influi no esforço da armadura transversal.

Todos esses fatores fazem com que a tensão na armadura transversal seja menor que as obtidas com o esquema da teoria clássica de Mörsch, e isso deve ser considerado no seu dimensionamento. Entretanto, é fácil perceber que introduzi-los todos no cálculo da treliça levaria a dificuldades matemáticas consideráveis, e a solução foi partir para modelos simplificados, baseados em ensaios, que corrigem a armadura calculada pela teoria clássica, resultando no que se chama de treliça generalizada de Mörsch. A correção é feita introduzindo nas expressões já deduzidas, fatores corretivos que conferem maior precisão ao cálculo, com a intenção principal de diminuir o consumo de aço da armadura de cisalhamento e, consequentemente, o custo da estrutura. Assim, de forma geral, tem-se:

µ tα , G = µ tα ⋅ η onde: µt α − taxa de armadura transversal determinada segundo a teoria clássica de Mörsch; µt α,G − taxa de armadura transversal corrigida (treliça generalizada); η − fator de correção. O valor do fator de correção η pode ser obtido, segundo a NB1/80 (1980), a partir do seu item 4.1.4.2, considerando as modificações introduzidas pela NBR-7197 (1989) em seu anexo A-2.2. A determinação de η segundo a NB1/80 é feita admitindo-se que o concreto comprimido contribui com uma parcela τc na resistência às tensões tangenciais, diminuindo a parcela a ser resistida pela armadura transversal. Dessa forma tem-se:


21

• tensão a ser combatida com armadura transversal segundo a treliça clássica: 1,15 ⋅τ wd (equação 6.16) • tensão a ser combatida com armadura transversal segundo a treliça generalizada: 1,15 ⋅ τ wd ⋅ η • tensão ( τ d ) a ser combatida pela armadura transversal considerando a contribuição do concreto: τ d = 1,15 ⋅ τ wd − τ c ≥ 0 O valor de η é obtido igualando-se a tensão a ser resistida com a treliça generalizada com a tensão em que é admitida a contribuição do concreto, e portanto: 1,15 ⋅ τ wd − τ c = 1,15 ⋅τ wd ⋅ η resultando η= com: τ c = ψ 1 ⋅ f ck

1,15 ⋅ τ wd − τ c τc = 1− 1,15 ⋅ τ wd 1,15 ⋅ τ wd

(6.18)

( fck em MPa), sendo (NBR-7197, anexo A.2.2):

ψ 1 = 0,15 na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção;  Mo ψ 1 = 0,15 ⋅ 1 +  M d ,max

  na flexo-compressão ou na presença de protensão;  

ψ 1 = 0 na flexo-tração com a linha neutra fora da seção; M o − valor do momento fletor que anula a tensão normal na borda menos comprimida; M d,max − momento fletor da seção transversal mais solicitada à flexão, no trecho considerado pelo cálculo. Na versão de 1999 (NB1/99) são apresentados dois modelos de cálculo da armadura transversal, conforme se verá aqui no item 6.7. EXEMPLO 2

Calcular o espaçamento de estribos necessário para os dados do exemplo 1 com a treliça generalizada (V = 1300 kN; bw = 70 cm; d = 200 cm; fck = 26 MPa; aço CA-50) e a mesma bitola para a armadura transversal.


22

Solução

O exercício pode ser resolvido a partir da expressão 6.17, dividindo-se o resultado obtido para o espaçamento pelo fator de correção (equação 6.18) η, que vale: η=

1,15 ⋅ τ wd − τ c 1,15× 130−76 = = 0,49 1,15 ⋅ τ wd 1,15 × 130

sendo: τ wd =

Vd 1,4 × 130 = = 130 tf / m 2 bw ⋅ d 0,7 × 2

τ c = 0,15 ⋅ f ck = 0,15 × 26 = 0,76 MPa = 76 tf / m 2 O espaçamento s dos estribos fica: s=

A st ⋅ d ⋅ f yd 1 2 × 1,25 × 200 × 5 1 1 ⋅ = × = 10,4 × = 21,22 cm 1,15 ⋅ Vd η 1,15 × 1,15 × 1,4 × 130 0,49 0,49

Desta forma pode-se usar estribos simples de φ = 12,5 mm a cada 20 cm. Verificase que a armadura necessária caiu praticamente para a metade quando se considerou a colaboração da resistência do concreto. Se o valor do fator de correção η for negativo, significa que apenas o concreto é suficiente para resistir os esforços de cisalhamento e, portanto, a armadura transversal a ser detalhada será apenas construtiva, obedecendo os valores mínimos indicados por norma.

EXEMPLO 3

Calcular o espaçamento da armadura transversal (somente estribos) para a máxima força cortante atuando na viga da figura 6.16 (exemplo dos capítulos 4 e 5). Dados: •

Aço CA-50; fck = 15 MPa;

•

estribos de φ = 6,3 mm;

•

bw = 0,25 m; d = 0,90 m.


23

FIGURA 6.16. Viga V101 (mesma do exemplo dos capítulos 4 e 5) Solução

A cortante máxima é Vmáx = 258,64 kN (25,86 tf), tirada do diagrama da figura 6.16. O espaçamento dos estribos fica: τ wd,max =

Vd,max bw ⋅ d

=

1,4 × 25,86 = 161,0 tf / m2 0,25× 0,90

τ c = 0,15 × 15 = 0,58 MPa = 58 tf/m2 1,15 ⋅ τ wd −τ c 1,15 × 161,0 − 58 η= = = 0,687 1,15 ⋅ τ wd 1,15 × 161,0 s=

A st ⋅ d ⋅ f yd 1 2 × 0,32 × 0,9 × 5,0 1 ⋅ = ⋅ ≅ 0,087 m 1,15 ⋅ Vd η 1,15 × 1,15 × 1,4 × 25,86 0,687

6.6. VERIFICAÇÃO DAS BIELAS DE CONCRETO COMPRIMIDAS

Nos itens anteriores foram apresentados os procedimentos para o cálculo da armadura transversal, de modo que ela resista com segurança às tensões tangenciais. É necessário, agora, verificar se o concreto comprimido das bielas não será esmagado, ou seja, se a tensão atuante não será maior que a capacidade resistente do concreto à compressão. A verificação do concreto do banzo comprimido da treliça já foi vista no capítulo 3. O roteiro que será apresentado baseia-se no efetuado por MONTOYA (1973), onde serão calculadas as tensões de compressão nas bielas, que posteriormente, como se verá,


24

deverão ser comparadas com valores máximos permitidos, no caso os dados pela NBR7197 (concreto protendido) que alterou alguns dispositivos da NB1/80, e pela NB1/99. 6.6.1. Cálculo das tensões de compressão σc nas bielas de concreto

As tensões normais de compressão em uma biela podem ser obtidas, de maneira aproximada, fazendo-se o equilíbrio das forças atuantes em uma seção que corta um conjunto de bielas. O modelo desenvolvido por Montoya é útil para se ter uma idéia do comportamento das tensões de compressão nas bielas de uma viga fletida, e de onde surgiram alguns dos valores limites especificados pelas normas. Valores mais confiáveis só são possíveis de se obter através de análises experimentais. Seja uma viga, na ruptura, seccionada por um plano com inclinação α, na direção da armadura transversal, e com as bielas inclinadas de um ângulo β como a mostrada na figura 6.17. A partir dos elementos conhecidos relaciona-se o valor do esforço cortante na seção transversal com o da tensão normal de compressão nas bielas de concreto.

FIGURA 6.17. Tensões de compressão nas bielas de concreto em uma viga fletida

Indica-se a seguir os principais passos para a obtenção da expressão final • comprimento da seção (BC): BC ⋅ senα = z

→

BC = z sen α

• projetando BC sobre AB, normal à direção das bielas, encontra-se AB:

BC ⋅ cosΦ = AB

→

AB = (z sen α ) ⋅ cosΦ


do ∆ ABD: (α − Φ) + β = 90

25

Φ = α + β − 90

→

substituindo Φ em AB resulta: AB =

AB =

z z ⋅ cos (α + β − 90) = ⋅ cos [α − (90 − β )] senα senα

 cosα ⋅ senβ sen α ⋅ cosβ  z  + ⋅ [cosα ⋅ cos(90−β) + senα ⋅ sen (90−β)] = z ⋅  sen α  senα  sen α AB = z ⋅ senβ ⋅ (cotα + cotβ)

(6.19)

• força resultante interna de compressão nas bielas (tensão σc vezes a área): FR = σ c ⋅ (AB) ⋅ b w • na ruptura a projeção vertical de FR é a força cortante Vd atuante na seção: Vd = FR ⋅ senβ = σ c ⋅ b w ⋅ (AB) ⋅ senβ • portanto, conhecida a força cortante Vd na seção, determina-se σc : σc =

Vd b w ⋅ (AB) ⋅ senβ

substituindo AB dado pela equação 6.19: σc =

Vd b w ⋅ z ⋅ senβ ⋅ (cotα + cotβ ) ⋅ senβ

σc =

Vd 1 ⋅ 2 b w ⋅ z sen β ⋅ (cot α + cotβ)

(6.20)

a tensão tangencial máxima de referência na flexão é (equação 6.4) τ max = Vd (b w ⋅ z ) e, então: σc =

τ max sen β ⋅ (cotα + cotβ) 2

• ou, fazendo z = d 115 , na equação 6.20

(6.21)


σ c = 1,15 ⋅

26

Vd 1 ⋅ 2 b w ⋅ d sen β ⋅ (cotα + cotβ)

• e, finalmente, lembrando que Vd (b w ⋅ d ) = τ wd : 1,15 ⋅ τ wd (6.22) sen β ⋅ (cotα + cotβ ) A partir da expressão 6.21 podem ser calculadas as tensões de compressão σc no concreto quando se utilizam estribos ( α = 90o ) ou barras dobradas ( α = 45o ), e inclinação σc =

2

das bielas β = 45o e β = 30o , resultando nos valores da tabela 6.2.

TABELA 6.2. Valores de tensão normal na biela de concreto em diversas situações

armadura transversal

α

β = 45 o

β = 30 o

Estribos

90o

σ c = 2 ⋅ τ max

σ c = 2,31 ⋅ τ max

barras dobradas

45o

σ c = τ max

σ c = 1,47 ⋅ τ max

6.6.2. Valores limites das tensões de compressão nas bielas

Inicialmente é preciso notar que a teoria clássica da treliça indica fissuras inclinadas de 45o e, com essa inclinação, as tensões principais de compressão, como já visto, valem σ 2 = σ c = τ max , o que só ocorre, conforme a tabela 6.2, no caso de armadura de cisalhamento a 45o e quando se admite fissuras também a 45o. Outra observação importante é que com estribos, a tensão atuante nas bielas é maior que com barras dobradas, e que se a inclinação adotada para as fissuras for menor que 45o, por exemplo 30o, essas tensões também serão maiores. As tensões de compressão nas bielas não devem causar esmagamento do concreto, e para isso as tensões de cisalhamento atuantes na viga devem ser limitadas a determinados valores, de modo que a segurança da viga não fique comprometida. Para se ter uma idéia dos limites impostos às tensões, supondo um coeficiente de segurança igual a 2 resulta, para o caso de estribos e inclinação das fissuras de 45o, a seguinte tensão de cisalhamento limite, ou última (máxima tensão que o carregamento externo da viga pode causar, em qualquer seção): f σ c, u = cd 2

e, da tabela, σ c,u = 2 ⋅ τ u


∴ 2 ⋅ τu =

f cd 2

→

τu =

27

f cd = 0,25 ⋅ f cd 4

Esse (a menos do fator 1,15) é um dos valores prescritos pela NB1/80, no item 5.3.1.2 b, mas na verdade eles são obtidos de resultados experimentais, e o procedimento mostrado serve apenas para se ter uma idéia do que ocorre, não para a determinação dos mesmos. Os valores a serem empregados nas verificações são os da NBR-7197, relacionados a seguir, e que modificaram aqueles da NB1/80, item 5.3.1.2 b. Valores limites para τ wu ( tensões últimas) de acordo com a NBR-7197, anexo A2.4.1:

• peças lineares com b w ≤ 5 ⋅ h e armadura transversal (estribos e barras dobradas) a 45o:

τ wu = 0,35 ⋅ f cd ≤ 55 kgf cm 2 (5,5 MPa ) • peças lineares com b w ≤ 5 ⋅ h e estribos a 90o, com ou sem barras dobradas:

τ wu = 0,30 ⋅ f cd ≤ 45 kgf cm 2 (4,5 MPa ) Na NB1/99, os valores limites das tensões nas bielas estão definidos para cada um dos dois modelos de cálculo.

EXEMPLO 4

Verificar, segundo a NBR-7197, a biela de concreto dos exemplos 1 e 2 anteriores (V = 1300 kN; bw = 70 cm; d = 200 cm; fck = 26 MPa; aço CA-50). Solução

Para que não haja esmagamento da biela de concreto basta que τ wd ≤ τ wu τ wd =

τ wu

Vd 1,4 × 130 = = 130 tf / m 2 b w ⋅ d 0,70 × 2

2600  = 557 tf m 2 0,30 ⋅ f cd = 0,30 × 1,4 ≤ e, portanto, τ wu = 450 tf / m 2 450 tf / m 2 

resultando τ wd = 130 ≤ τ wu = 450 tf / m 2 (não há risco de esmagamento da biela de concreto).

EXEMPLO 5


28

Verificar, conforme a NBR-7197, a biela de concreto da viga V101 do exemplo 3 (exemplo dos capítulos 4 e 5). Dados: Vmáx = 258,64 kN (25,86 tf); CA-50; fck = 15 MPa; estribos de φ = 6,3 mm; bw = 0,25 m; d = 0,90 m. Solução

Para Vmáx = 25,86 tf, é calculada a tensão na biela comprimida e comparada a τwu: τ wd,max =

Vd,max bw ⋅ d

=

1500 1,4 ⋅ Vmax 1,4 × 25,86 = = 161,0 tf / m2 < 0,30 × = 3214 , < 450 tf / m2 14 , bw ⋅ d 0,25× 0,90

e, portanto, não há perigo de esmagamento do concreto das bielas. Salienta-se que, em todos os exemplos, esta verificação deveria ser sido feita antes de se calcular a armadura necessária, pois caso esta condição não fosse atendida haveria necessidade de mudança das dimensões da peça ou do valor de fck do concreto.

6.6.3. Força cortante máxima em peças com estribos verticais conforme a NBR-7197

O valor de cálculo da tensão convencional de cisalhamento (τwd) não pode em nenhum caso ultrapassar os valores limites (τwu) dados pela NBR-7197. Fazendo então τ wd = τ wu determina-se a máxima força cortante a que pode estar submetida a peça. Temse: τ wd =

Vd 1,4 ⋅ Vmax = = 0,30 f cd ≤ 4,5 MPa (45 kgf cm 2 ) bw ⋅ d bw ⋅ d

Observação: para valores de fck acima de 21 MPa, vale o limite de 4,5 MPa para τwd.

6.7. CÁLCULO DA ARMADURA E VERIFICAÇÃO DA BIELA SEGUNDO A NB1/99 6.7.1. Hipóteses básicas

A Norma NB1/99 especifica no capítulo 17, item 3, como devem ser feitos o cálculo da armadura transversal e a verificação da biela de compressão para elementos lineares sujeitos à força cortante no estado limite último. As prescrições aplicam-se a elementos lineares armados ou protendidos, submetidos a forças cortantes, combinadas com outros esforços solicitantes. Não se


29

aplicam a elementos de volume, lajes, vigas parede e consolos curtos, que são tratados em outros capítulos da norma. As condições de cálculo fixadas pela norma para as vigas, baseiam-se na analogia com modelo em treliça, de banzos paralelos, associado a mecanismos resistentes complementares desenvolvidos no interior da peça e que absorvem uma parcela Vc (ou τc) da força cortante. Esses mecanismos correspondem ao engrenamento que ocorre entre as partes de concreto separadas pelas fissuras inclinadas e a resistência da armadura longitudinal que serve de apoio às bielas de concreto (efeito de pino). São admitidos dois modelos de cálculo alternativos (item 17.3.1): a) modelo I (objeto do item 17.3.2.1), onde se admite que as diagonais de compressão são inclinadas de θ = 45° em relação ao eixo longitudinal da peça, e que Vc tem valor constante; b) modelo II (objeto do item 17.3.2.2) onde é admitido que essas diagonais tenham inclinação diferente de 45°, que pode ser arbitrada livremente no intervalo 30° ≤ θ ≤ 45°; nesse caso considera-se a parcela Vc com valores menores. 6.7.2. Verificação do estado limite último

A resistência da peça, numa determinada seção transversal, é satisfatória quando forem verificadas, simultaneamente, as seguintes condições: VSd < VRd 2

(6.23)

VSd < VRd 3 = Vc + VSW

(6.24)

em que: VSd − força cortante solicitante de cálculo, na seção; VRd2 − força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto; VRd3 = Vc + Vsw, Vc − parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao de treliça; VSW − parcela de força cortante absorvida pela armadura transversal.

Na região dos apoios, os cálculos devem considerar a força cortante agente na face dos mesmos. Para o cálculo das armaduras, em apoios diretos, com as reduções indicadas, neste capítulo, no item 6.7.8; no caso de apoios indiretos, essas reduções não são permitidas. As expressões anteriores possibilitam verificar, conhecida a taxa de armadura transversal, se o esforço em uma seção será ou não inferior ao permitido por norma ou ao necessário para o funcionamento com segurança. Assim bastará considerar, nas expressões


30

anteriores, o sinal de igualdade para determinar, por exemplo, a armadura transversal em uma determinada seção.

6.7.3. Modelo de cálculo I

No modelo de cálculo I a resistência da peça é assegurada por: a) Verificação das bielas comprimidas de concreto (compressão diagonal do concreto)

VRd 2 = 0,27 ⋅ α v ⋅ f cd ⋅ b w ⋅ d

(6.25)

com o coeficiente αv, sendo fck em MPa, dado por: f   α v = 1 − ck   250  Essa verificação pode ser feita em função das tensões tangenciais (como no item 6.6.2), dividindo-se as forças cortantes correspondentes por b w ⋅ d :

τ wd ≤ τ wuI

(6.26)

com as tensões tangenciais última e de cálculo iguais a: f   τ wuI = 0,27 ⋅ 1 − ck  ⋅ f cd (MPa)  250  τ wd =

Vd bw ⋅ d

(6.27)

(6.28)

b) Cálculo da armadura transversal

Para o cálculo da armadura transversal, a parcela da força cortante a ser absorvida pela armadura, a partir da equação 6.24, pode ser escrita por: Vsw = Vd − Vc

(6.29)

As tensões de cisalhamento correspondentes (dividindo-se ambos os membros por bw⋅d), ficam: τ sw = τ wd − τ c

(6.30)


31

Vc V , τwd de acordo com a equação 6.28, e verificando que τ sw = sw bw ⋅ d bw ⋅ d corresponde praticamente à tensão τd da NB1/80, item 4.1.4.2 (a diferença está no coeficiente 1,15 que multiplica τwd). com τ c =

A força cortante resistida pela armadura transversal em uma certa seção é dada por: A  Vsw =  sw  ⋅ 0,9 ⋅ d ⋅ f ywd ⋅ (sen α + cos α)  s 

(6.31)

Esta expressão pode ser colocada em função da taxa de armadura transversal µ tα (ver item 6.4.2 e equação 6.10 deste capítulo):

µ tα =

1,11 ⋅ τ sw 1 ⋅ f ywd sen α ⋅ (sen α + cos α)

(6.32)

que é praticamente a expressão 6.13 já deduzida anteriormente. Para o valor de Vc , e consequentemente de τc (dividindo-se V correspondente por b w ⋅ d ), deve ser observado: •

Vc = 0 nas peças tracionadas quando a linha neutra se situa fora da seção;

•

Vc = Vco na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção;

M  ≤ 2 ⋅ V na flexo-compressão. Vc = Vco ⋅ 1 + o  co M d  Sendo, nas equações anteriores: •

Vco = 0,6 ⋅ f ctd ⋅ b w ⋅ d ; fctd =

0,7×0,3 2/3 ⋅ f ck 1, 4

(valor de cálculo da resistência à tração do concreto);

bw − menor largura da seção, compreendida ao longo da altura útil d; d − altura útil da seção, igual à distância da borda comprimida ao centro de gravidade da armadura de tração; s − espaçamento entre elementos da armadura transversal Asw, medido segundo o eixo longitudinal da peça; fywd − tensão na armadura transversal passiva, limitada ao valor fyd no caso de estribos e a 70% desse valor no caso de barras dobradas, não se tomando, para ambos os casos, valores superiores a 435 MPa;

α − ângulo de inclinação da armadura transversal em relação ao eixo longitudinal da peça, podendo-se tomar 45° ≤ α ≤ 90°; Mo − valor do momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda da


32

seção (tracionada por Md,max), provocada por forças normais de diversas origens concomitantes com Vd, sendo essa tensão calculada com γf e γp iguais a 0,9. Os momentos correspondentes a essas forças normais não devem ser considerados no cálculo dessa tensão a menos que elas tenham excentricidade assegurada, como no caso da protensão; Md,max − é o momento fletor de cálculo máximo no trecho em análise; por simplicidade e a favor da segurança, pode ser tomado como o maior valor do semitramo considerado (para esse cálculo, não se consideram os momentos isostáticos de protensão, apenas os hiperestáticos).

EXEMPLO 6

Calcular, usando o modelo I da NB1/99, a armadura transversal (somente estribos) da viga V101 dos exemplos 3 e 5 na seção junto ao apoio central. Dados: aço CA-50; fck = 15 MPa; estribos de φ = 6,3 mm; bw = 0,25 m; d = 0,9 m. Solução

O valor da força cortante a ser empregada, sem considerar as reduções pela proximidade ao apoio, é V = 258,6 kN (ver figura 6.16 do exemplo 3). a) Verificação do esmagamento da biela de concreto

τ wd,max =

Vd,max 1,4 ⋅ Vmax 1,4 × 258,6 = = = 1610 kN / m2 = 1,61 MPa bw ⋅ d bw ⋅ d 0,25× 0,90

f  15  15   = 2,72 MPa τ wuI = 0,27 ⋅ 1 − ck  ⋅ f cd = 0,27 ⋅ 1 − ⋅  250  1,4  250  portanto τ wd ,max < τ wuI , e não há perigo de esmagamento do concreto das bielas. b) Cálculo do espaçamento da armadura transversal

Espaçamento para a cortante V = 258,6 kN e estribos de φ = 6,3 mm: τ wd,max =


Na flexão simples Vc = Vco , resultando: τc =

Vc V 0,6 ⋅ f ctd ⋅ b w ⋅ d 0,6 × 0,7 × 0,3 2 / 3 = 0,6 ⋅ f ctd = ⋅ f ck = co = bw ⋅ d bw ⋅ d bw ⋅ d 1,4


33

2/3 τ c = 0,09 ⋅ f ck = 0,09 × 15 2 / 3 = 0,547 MPa , e então, pela equação 6.30:

τ sw = τ wd − τ c = 1,61 − 0,547 = 1,062 MPa Com a equação 6.32, para α = 90o, determina-se a taxa de armadura transversal: µ t 90 =

1,11 ⋅ τ sw 1 1,11 × 1,062 ⋅ = = 2,71 × 10 −3 f ywd 1 435

Finalmente, usando a equação 6.10 e com estribos de φ = 6,3 mm (0,32 cm2), resulta para o espaçamento: A st b w ⋅ s ⋅ sen90 s = 0,0945 m ≅ 9,5 cm µ t 90 =

→

2,71 × 10 −3 =

2 × 0,32 × 10 −4 (m 2 ) 0,25 (m) ⋅ s

→

Este resultado é bastante próximo ao obtido no exemplo 3, calculado com a treliça generalizada.

6.7.4. Modelo de cálculo II

No modelo de cálculo II, a resistência da peça é garantida por: a) Verificação da compressão diagonal nas bielas de concreto

VRd 2 = 0,54 ⋅ α v ⋅ f cd ⋅ b w ⋅ d ⋅ sen 2 θ ⋅ (cot α + cot θ)

(6.33)

Ou, em termos de tensão, conforme as equações 6.25 e 6.27: τ wuII = 0,54 ⋅ α v ⋅ f cd ⋅ sen 2 θ ⋅ (cot α + cot θ) = 2 ⋅ τ wuI ⋅ sen 2 θ ⋅ (cot α + cot θ) b) Cálculo da armadura transversal

(6.34)

A força cortante resistida pela armadura transversal em uma certa seção é dada por: A  Vsw =  sw  ⋅ 0,9 ⋅ d ⋅ f ywd ⋅ (cot α + cot θ) ⋅ sen α  s 

(6.35)

Ou, analogamente, em termos da taxa de armadura transversal: µ tα =

1,11 ⋅ τ sw 1 ⋅ f ywd sen α ⋅ (cot α + cot θ)

(6.36)


34

Para o valor de Vc (parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao de treliça), deve ser observado: •

Vc = 0 nas peças tracionadas quando a linha neutra se situa fora da seção;

•

Vc = Vc1 na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção;

•

M  ≤ 2 ⋅ V na flexo-compressão, Vc = Vc1 ⋅ 1 + o  c1 M d 

tomando-se para Vc1 os seguintes valores: Vc1 = Vco = 0,6 ⋅ f ctd ⋅ b w ⋅ d τ wd ≤ 0,6 ⋅ f ctd );

quando

Vd ≤ Vco

( τ c = τ c1 = 0,6 ⋅ f ctd

quando

Vc1 = 0 quando Vd = VRd 2 ( τ c = τ c1 = 0 quando τ wd = τ wuII ), interpolando-se linearmente para valores intermediários. O valor da inclinação θ da biela de concreto é bastante controverso e depende, entre diversas variáveis, do tipo de carregamento aplicado, porém segundo a norma deve-se considerá-lo compreendido entre 30° e 45°.

EXEMPLO 7

Calcular, usando o modelo II da NB1/99, a armadura transversal (somente estribos) da viga V101 (exemplo 6) na seção junto ao apoio central. Dados: aço CA-50; fck = 15 MPa; estribos de φ = 6,3 mm; bw = 0,25 m; d = 0,9 m. Solução O valor da força cortante, sem considerar as reduções pela proximidade ao apoio, é V = 258,6 kN (figura 6.16 do exemplo 3). a) Verificação do esmagamento da biela de concreto

τ wd,max =


No cálculo de τwuII (equação 6.34) será usado para θ (ângulo de inclinação das bielas comprimidas) o menor valor permitido (no caso 300) para se ter idéia do que ocorre quando se afasta bastante do modelo tradicional (θ = 45o); para armadura transversal vertical, α = 90o. 15  15  τ wuII = 0,54 ⋅ 1 − ⋅ sen 2 30 ⋅ (cot 90 + cot 30) = 3,71 MPa ⋅  250  1,4


35

e, portanto τ wd ,max < τ wuI , não havendo perigo de esmagamento do concreto das bielas; note-se que a tensão limite para a biela, neste caso, é menor que quando se toma θ = 450. b) Cálculo do espaçamento da armadura transversal (V = 258,6 kN, φ = 6,3 mm)

τ wd,max =

Vd,max bw ⋅ d

=

1,4 × 258,6 = 1610 kN / m2 = 1,61 MPa 0,25× 0,90

O valor de τc (τ c = Vc / b w ⋅ d ) na flexão simples será igual a zero se τ wd = τ wuII , e igual a 0,6 ⋅ f ctd se τ wd ≤ 0,6 ⋅ f ctd (igual ao do exemplo anterior, modelo I). Neste caso é preciso fazer uma interpolação linear: Valor de τ wd (MPa) 0,6 ⋅ f ctd = 0,547 1,61

Valor de τ c (MPa) 0,547

τ wd = τ wuII = 3,71

τc 0,0

resultando para τ c : τ c − 0,547 1,61 − 0,547 = 0,0 − 0,547 3,71 − 0,547

→

τc = 0,363 MPa

e, da equação 6.30: τ sw = τ wd − τ c = 1,61 − 0,363 = 1,247 MPa Com a equação 6.36 (α = 90o, θ = 30o) resulta para a taxa de armadura transversal: µ t 90 =

1,11 ⋅ τ sw 1 1,11 × 1,247 1 ⋅ = ⋅ = 1,84 × 10 −3 f ywd sen α ⋅ (cot α + cot θ) 435 1,73

Finalmente pela equação 6.10 com estribos de φ = 6,3 mm (0,32 cm2), resulta para o espaçamento: A st 2 × 0,32 × 10 −4 (m 2 ) → → 1,84 × 10 −3 = µ t 90 = b w ⋅ s ⋅ sen 90 0,25 (m) ⋅ s s = 0,139 m = 13,9 cm Este modelo de cálculo (modelo II) apresentou um espaçamento dos estribos maior que o anterior, calculado com o modelo I. 6.8. PRESCRIÇÕES PARA O DETALHAMENTO DA ARMADURA TRANSVERSAL


36

As armaduras destinadas a resistir aos esforços de tração provocados por forças cortantes podem ser constituídas por estribos, combinados ou não com barras dobradas ou barras soldadas (ver item 6.8.5 deste capítulo). Segundo o item 18.2.2.1 da NB1/99, os estribos devem ser fechados através de um ramo horizontal, envolvendo as barras da armadura longitudinal de tração, e adequadamente ancorados na face oposta. Para detalhar a armadura transversal de uma viga devem ser observadas diversas recomendações. Serão relacionadas as da NB1/80 e as modificações introduzidas pela NB1/99. Alguns aspectos sobre os estribos já foram tratados, tais como: •

cobrimento, que são os mesmos indicados para as demais armaduras, nos itens correspondentes tanto da NB1/80 quanto da NB1/99 (item 4.6 do capítulo 4);

•

ancoragem, que é tratado apenas na NB1/99 no item 8.3.6, e aqui no quinto capítulo (5.3.4.7);

•

ganchos e diâmetros internos, tratados na NB1/80 no item 6.3.4.1, e na NB1/99 em 8.3.6.1, e aqui no item 5.4.2 do quinto capítulo.

6.8.1. Quantidade mínima de estribos segundo a NB1/80

No item 6.3.1.2 da NB1/80 está indicado que nas vigas deverão ser sempre colocados estribos em toda a sua extensão, e que a seção transversal total de cada um, compreendendo todos os ramos que cortam o plano neutro, não deve ser menor que A st,min dado a seguir, em função do tipo de aço empregado: CA-25 e CA-32: A st ,min = 0,25 % ⋅ b w ⋅ s ⋅ senα

→

CA-40, CA-50 e CA-60: Ast,min = 0,14% ⋅ b w ⋅ s ⋅ senα

A st ,min b w ⋅ s ⋅ senα →

= µ tα ,min = 0,0025

Ast,min b w ⋅ s ⋅ senα

= µ tα,min = 0,0014

onde, b w ≤ d (altura útil), α é o ângulo entre o estribo e o eixo da peça e s o espaçamento entre os estribos. É possível determinar a força cortante correspondente à armadura transversal mínima para uma dada seção (bw , d); isso possibilita que se arme a viga apenas com a armadura transversal mínima, sempre que a força cortante solicitante for menor que essa. No caso de estribos verticais, de acordo com a teoria da treliça generalizada (ver equações 6.16 e 6.18), tem-se:

µ t ,G = µ t ⋅ η , sendo µ t =

1,15 ⋅ τ wd f yd

e η=

1,15 ⋅ τ wd − τ c , resultando 1,15 ⋅ τ wd


µ t ,G =

37

1,15 ⋅ τ wd τ c − f yd f yd

Vd 1,4 ⋅ V = na equação acima, encontra-se o valor de V para uma bw ⋅ d bw ⋅ d determinada taxa µ t ,G : e, colocando τ wd =

V=

(µ t ,G ⋅ f yd + τ c ) ⋅ b w ⋅ d 1,15 ⋅ 1,4

Para fyd e fck em MPa, bw e d em metros e V em kN, a expressão fica, para uma taxa qualquer de armadura transversal µ t ,G :

V = 621 ⋅ b w ⋅ d ⋅ (µ t ,G ⋅ f yd + τ c )

(6.37)

E, finalmente, substituindo µ t, G por µ t,min e tomando τ c = 0,15 ⋅ f ck (na flexão simples, NBR-7197), tem-se, para os diversos tipos de aço: •

CA-25 e CA-32 ( µ tα ,min = 0,0025 ):

(

V = 621 ⋅ b w ⋅ d ⋅ 0,0025 ⋅ f yd + 0,15 ⋅ f ck •

)

(6.38)

)

(6.39)

CA-40, CA-50 e CA-60 ( µ tα ,min = 0,0014 ):

(

V = 621 ⋅ b w ⋅ d ⋅ 0,0014 ⋅ f yd + 0,15 ⋅ f ck 6.8.2. Quantidade mínima de estribos segundo a NB1/99

Na NB1/99, de acordo com o item 17.3.1.1 a, todos os elementos lineares devem conter uma quantidade mínima de armadura transversal dada por ρ sw =

A sw f ≥ 0,2 ⋅ ctm b w ⋅ s ⋅ sen α f ywk

onde: ρsw – taxa geométrica da armadura transversal (mesmo que µ tα ); Asw – área da seção transversal dos estribos; s – espaçamento entre os estribos medido segundo o eixo longitudinal da peça;

α – inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal da peça; bw – largura média da alma; fywk – valor característico da resistência ao cisalhamento das armaduras;

(6.40)


38

2 fctm = 0,3 ⋅ 3 f ck Assim, considerando uma seção em que o concreto tenha fck = 20 MPa e a armadura transversal seja composta somente por estribos verticais (α=90) de aço CA-50A (fywk = 500 MPa), o valor da taxa geométrica mínima será:

µ tα,min

0,3 ⋅ 3 20 2 = 0,2 ⋅ = 0,00088 valor inferior ao exigido pela norma anterior (0,0014). 500 São exceções em relação à armadura mínima:

•

peças lineares com bw > 5⋅d, em que d é a altura útil seção; esses casos devem ser tratados como lajes (tratadas aqui no sétimo capítulo);

•

nervuras de lajes nervuradas, que quando espaçadas de menos de 50 cm também devem ser verificadas como lajes, tomando-se por base a soma das larguras das nervuras no trecho considerado; dispensa-se a armadura transversal só se Vd ≤ 0,7⋅VRd1, onde Vd é a força cortante de cálculo, e Vrd1 o valor de cálculo da força cortante resistente quando não existe armadura transversal;

•

pilares e elementos lineares de fundação submetidos predominantemente à compressão (tratados no capítulo 18 da NB1/99).

6.8.3. Diâmetro das barras dos estribos

De acordo com o item 6.3.1.2 da NB1/80, o diâmetro φ das barras dos estribos deve b estar compreendido dentre os seguintes limites: 5 mm ≤ φ ≤ w . 12 Já de acordo com a NB1/99 (item 18.2.2.1) o diâmetro da barra que constitui o b estribo deverá atender: 5 mm ≤ φ ≤ w . 10 Quando a barra for lisa, seu diâmetro não poderá ser superior a 12 mm. Acrescenta ainda que no caso de estribos formados por telas soldadas, o diâmetro mínimo pode ser reduzido para 4.2 mm, desde que sejam tomadas precauções contra sua corrosão.

6.8.4. Porta estribos

Estabelece a NB1/80, item 6.3.1.2 que “nos cantos dos estribos fechados e nos ganchos dos abertos, se não houver barras longitudinais determinadas pelo cálculo, devem ser colocadas barras de amarração de bitola pelo menos igual à do estribo”. Essa providência evita a possibilidade de esmagamento do concreto junto aos cantos do estribo.


39

Na NB1/99 apenas fica recomendado que quando a face oposta do estribo, em relação à armadura longitudinal de tração, puder estar em região também tracionada, ele deverá ser fechado, ou complementado por meio de barra adicional (item 18.2.2.1). 6.8.5. Constituição da armadura transversal

Tanto a NB1/80 (item 6.3.1.2) quanto a NB1/99 (item 17.3.1.1. c) permitem que a armadura transversal seja constituída de estribos e barras dobradas; se houver barras dobradas, a estas não poderá caber mais de 60% do esforço total a absorver por armadura transversal.

6.8.6. Espaçamento entre estribos segundo a NB1/80

No item 6.3.2.2 da NB1/80, está prescrito que o espaçamento (s) máximo dos estribos, medido na direção do eixo longitudinal da peça, deve ser atender a:  0,5 ⋅ d s≤ 30 cm

Se houver armadura longitudinal de compressão exigida pelo cálculo, o espaçamento dos estribos, medido ao longo daquela armadura, não pode, também, ser maior que 21 vezes o diâmetro das barras longitudinais ( 21 ⋅ φ) no caso de CA-25 ou CA32 e 12 vezes esse diâmetro (12 ⋅ φ) no caso de aço CA-40, CA-50 ou CA-60. A primeira condição deste item visa garantir pelo menos um estribo trabalhando em cada biela de concreto; para vigas de pequena dimensão, em que o próprio concreto é capaz de absorver todo o esforço cortante, esse valor parece ser exagerado. A segunda condição procura evitar a flambagem da armadura comprimida.

6.8.7. Espaçamento entre estribos segundo a NB1/99

Na NB1/99 o espaçamento entre estribos é tratado no item 18.2.2.1, onde se estabelece que o espaçamento mínimo entre estribos, medido segundo o eixo longitudinal da peça, deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador, garantindo um bom adensamento. O espaçamento máximo (smáx) deve atender às seguintes condições: 0,6 ⋅ d ≤ 300 mm se Vd ≤ 0,67 ⋅ VRd 2 s máx ≤  0,3 ⋅ d ≤ 200 mm se Vd > 0,67 ⋅ VRd 2

O espaçamento transversal (st,máx) entre ramos sucessivos de estribos não deverá exceder os seguintes valores:


40

 d ≤ 800 mm se Vd ≤ 0,20 ⋅ VRd 2 s t ,máx ≤  0,6 ⋅ d ≤ 350 mm se Vd > 0,20 ⋅ VRd 2

sendo VRd2 a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto; pode ser calculada pelas equações 6.25 e 6.33 deste capítulo. 6.8.8. Cargas próximas aos apoios De acordo com o item 4.1.4.3 da NB1/80, para o cálculo da armadura transversal, se a carga e a reação de apoio forem aplicadas em faces opostas da peça, comprimindo-a, é permitido: a) considerar a força cortante oriunda de carga distribuída, no trecho entre o apoio e a seção situada à distância h/2 da face do apoio, constante e igual à desta seção (figura 6.18 a); b) reduzir a força cortante devida a uma carga concentrada, aplicada à distância a ≤ 2⋅h do centro do apoio, nesse trecho de comprimento a, multiplicando-a por a/2⋅h (figura 6.18 b)”.

FIGURA 6.18. Redução da força cortante em regiões próximas aos apoios Observação: para a verificação da tensão no concreto, ou seja, para a comparação de τwd com τwu, não será feita a redução do valor da força cortante.

Estas mesmas reduções da força cortante estão previstas na NB1/99, item 17.3.1.2, apenas com a altura total da viga (h) sendo substituída pela altura útil (d). Também aqui, as reduções indicadas não se aplicam à verificação da resistência à compressão diagonal do concreto.

EXEMPLO 8

Detalhar a armadura transversal (somente estribos) ao longo da viga V101 da figura 6.16 (exemplo 3 e dos capítulos 4 e 5). Dados:CA-50; fck = 15 MPa; estribos de


41

φ = 6,3 mm; bw = 0,25 m; d = 0,9 m. Ressalta-se que este exemplo segue as recomendações da NB1/80. Solução a) Verificação das bielas e espaçamento dos estribos (V = 258,64 kN)

A compressão nas bielas de concreto já foi verificada no exemplo 5, e não houve problema, pois τ wd,max = 1,61MPa < τ wu = 3,21MPa. O espaçamento para a força cortante na seção mais solicitada (V = 258,64 kN ) já foi determinado no exemplo 3 e vale s = 0,087 m. O correto é escolher um espaçamento menor que o encontrado (8,7 cm), mas isso levará a uma execução trabalhosa, podendo inclusive haver problemas na concretagem; dessa maneira serão adotados estribos duplos de φ 6,3 mm a cada 17,5 cm, conforme detalhado na figura 6.19. b) Cálculo da força cortante resistida pela armadura mínima

Interessa agora verificar se a quantidade mínima de estribos exigida pela norma já não é suficiente para resistir todos os esforços cortantes. O espaçamento entre os estribos deve ser menor que (ver 6.8.6) 0,5⋅d e inferior também a 30 cm. Porém a norma recomenda que haja uma armadura mínima correspondente a 0,14% (ver 6.8.1), que conduz, para estribos de φ = 6,3 mm (As = 0,32 cm2), a um espaçamento máximo dado por 0,0014 =

2 × 0,32 25 × s máx

resultando s max = 18,28 cm

e será adotado s = 17,5 cm (arredondando para múltiplo de 2,5 cm); o valor real de µt fica: µ tα =

α

2 × 0,32 = 0,00146 25 × 17,5 O valor da força cortante resistida é então:

(

)

500   + 0,15× 15 = 170,0 kN V = 621⋅ b w ⋅ d ⋅ 0,00146⋅ f yd + 0,15 ⋅ f ck = 621× 0,25× 0,90 ×  0,00146× 1,15  

Verifica-se, nos diagramas das figuras 6.16 e 6.19, que a viga têm valores de força cortante superiores ao valor resistido pela armadura mínima (170,0 kN). Desta forma, nas


42

regiões onde a força cortante é menor que 170,0 kN, será colocada armadura mínima, e nas demais a armadura correspondente à força cortante máxima (V = 258,64 kN), ou seja: •

regiões em que a cortante é inferior a 170,0 tf → estribos simples de φ = 6,3 mm a cada 17,5 cm;

•

regiões de cortante entre 170,0 kN e 258,64 kN → estribos duplos de φ 6,3 mm a cada 17,5 cm.

c) Comprimento do trecho com armadura mínima

Pode-se determinar analiticamente, usando os valores do diagrama de forças cortantes, o comprimento c do trecho da viga em que a armadura será a mínima. De acordo com o diagrama da figura 6.19, por semelhança de triângulos tem-se (forças em kN): c 8 = 170,0 + 155,2 258,6 + 152,2

→

c = 6,33 m

d) Número de estribos em cada região

A quantidade de estribos em cada região, colocados a partir da face dos pilares, que têm dimensão de 40 cm na direção da viga, é a seguinte: •

Regiões com armadura mínima: n =

•

Demais regiões: n =

170 − 20 = 8,57 17,5

630 − 20 = 34,86 17,5 →

→ adota-se 35 estribos

adota-se 9 estribos duplos

Com todos os valores já obtidos é feito o detalhamento dos estribos apresentado na figura 6.19:


43

Φ

FIGURA 6.19. Detalhamento dos estribos da viga V101 BIBLIOGRAFIA

AMERICAN CONCRETE INSTITUTE (1995). ACI 318-95. Building code requirements for structural concrete. Farmington Hills. Detroit, 1995. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1999). NB1/99. Projeto de concreto estrutural – procedimento. Texto base do projeto de revisão da NBR-6118 e NBR-7197. Rio de Janeiro, 1999. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1978). NBR-6118/78. Projeto e execução de estruturas de concreto armado. Rio de Janeiro, 1978. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. (1989). NBR-7197/89. Projeto de estruturas de concreto protendido. Rio de Janeiro, 1989. CEB-FIP Model Code 1990 – final draft (1991). Bulletin D’Information no 203, 204 e 205. Lausanne, 1991. FURLAN JUNIOR, S. (1995). Vigas de concreto com taxas reduzidas de armadura de cisalhamento: influência do emprego de fibras curtas e da protensão. Tese de Doutorado. Escola de Engenharia de São Carlos, USP. São Carlos, 1995.


44

FUSCO, P. B. (1982). Estruturas de concreto - solicitações tangenciais. Escola Politécnica da USP. São Paulo, 1982/1984. GUERRIN, A. Tratado de concreto armado. Hemus. São Paulo. LEONHARDT, F.; MÖNNIG, E. (1977). Construções de concreto. Interciência. Rio de Janeiro, 1977. MONTOYA, P. J.; MESEGUER, A.G.; CABRÉ, F.M. (1978). Hormigón armado. Editorial Gustavo Gili. 9a ed. Barcelona, Espana, 1978. MÖRSCH, E. (1948). Teoría y practica del hormigón armado. 6 vol. Tradução espanhola. Gustavo Gili. Barcelona, Espana., 1948. RÜSCH, H. (1975). Hormigon armado y hormigon pretensado. Compañia Editorial Continental, S. A. Barcelona, España, 1975.

Usa-se a teoria de Morsche considerando dois efeitos: 3. alívio do cortante de protensão 4. efeito do esforço normal 10.2 Alívio da Protensão 10.2.1 Efeito do cortante de protensão Item 8.3.2 - se as perdas foram maiores do que 30% da tensão inicial σi deve ser considerado um coeficiente de incerteza de γf = 0,9 ou 1,1 o mais desfavorável. Item 9.22.2 – na ruptura o esforço característico de protensão será multiplicado por γp = 1,1. Assim, Vd = 1,4(Vg1+Vg2+Vqmáx ou min)+1,1 x γf x P x senαi Item 9.3.1 – se o diâmetro da bainha φo for maior que bw/8 usar para bw o valor de bw = bw – ½ x Σφi Item A.2.4.12 – para vigas com estribos τwu = 0,30 x fcd ≤ 4,5 MPa.   Vd τ wd = ≤ τ wu  bw × d   10.2.1 Efeito do Esforço Normal

A armadura é calculada com τd = 1,15 τwd - τc Item A.2.2 – com τ c = ψ 1 f ck (MPa) 

ψ 1 = 0,151 + 

M0 M d ,max

   



45

influência do normal, não considerar se > 2 M d ,max = 1,4(M g1 + M g 2 + ϕM q ,max ) ; Mo = valor do momento fletor que anula a tensão

normal na borda menos comprimida.

Exemplo de cálculo de Vqmax em So

0,8 = 0,04166 19,2 n2 = 0,737

tgα =

n3 = 0,675 n4 = 0,6125 n5 = 0,20

Vq ,max = 18,5(0,8 + 0,737 + 0,675) + 5,54 × 0,8 ×

19,2 14,7 7,4 + 1,86 × 0,6125 × + 0,2 × 4,8 × = 2 2 2


46

Vq ,max = 40,92 + 42,54 + 8,37 + 3,55 = 95,38tf Exemplos

Calcular a armadura transversal em S0 eS2 com os dados: Vg1 Vg2 ϕVqmax σi σ∞ α S0 64 202 13500 9800 0

Mg1 Mg2 ϕMqmax bw d cabos A Ws ys e -200 -31 -192 70 105 18 6,73 1,56 0,5 0,33

S2 90 51 95 13500 9000 9º 46,6 105 2 Considerar área do cabo = 11,24 cm ; fck = 26 MPa; φo (bainha) = 7 cm Resolução:

τ wu = 0,30 ×

2600 = 557 → τ wu = 450tf / m 2 1,4

Seção S2: Cálculo da cortante de protensão: ∆σ = 13500 − 9000 = 4500 4500 ∆σ = = 0,33 > 0,30 assim 13500 13500 Força em um cabo: 9000 p = 0,9 × × 11,24 = 91tf 1000 V p = −91 × 18 × sen 9º = −256

σ p = 0,9 × 9000

Vd = 1,4(90 + 51 + 95) − 282 = 48,4 (para as duas vigas) Biela: 48,4 τ wd = = 58,2 < τ wu = 450 T.C. 2 × 0,366 × 1,05 Armadura: Como τwd é baixo (0,14 de τwu) usa-se (a favor da segurança) ψ1 = 0,15 τ d = 0,582 − 0,15 26 = 0,182 usar armadura mínima b 1 Obs: φb = 7 > w , assim bw = 46,6 − 2 × × 7 = 39,6 2 8 Seção S0: Cortante de protensão é zero pois α = 0 Vd = 1,4(161 + 64 + 202) = 598tf

φb = 7 < Biela

bw = 8,75cm 2

18

0


598 = 407 < τ wu = 450 T.C. (2 × 0,7 × 1,05) Armadura M d = 1,4(200 + 31 + 192 ) = 592,2 Tensão na borda superior (supondo ser a mais tracionada) Como perda: ∆σ = 13500 − 9800 = 3700 ∆σ = 0,27 < 0,30

τ wd =

σi

σ = 9800 9800 p1cabo = × 11,24 = 110tf 1000 18 × 110 18 × 110 × 0,33 200 + 31 + 192 σs = + − = 294 + 418 − 271 = 441tf / m 2 6,73 1,56 1,56 M 0 = 1,56 × 441 = 687tf .m 

ψ 1 = 0,151 + 

M0 M dmax

 687   = 0,151 +  = 0,15 × 2 = 0,30   592  

≤2 τ d = 407 − 0,3 26 × 100 = 254tf / m 2 254 u t 90 = = 58,43 cm 2 m 2 , usando estribo duplo de φ ½” 5,0 1,15 2 × Ast × 2 58,42 = bw × t 2 × 2 × 1,25 58,42 = 0,7 × t t = 0,122 estribos de φ ½” duplo a cada 12,5 cm.

(

)

Anexo da NBR 7197/1989

A2 - τ wd =

Vd ≤7 bw × d

Item 9.3.1 – Se φo (diâmetro da bainha) > que bw/8, então bw = bw − 1

2∑

φ0

em S3 – no nosso caso φo = 7,0 ; bw = 35/8 = 4,3 em S2 – bw = 35+11,6 = 46,6 ; bw/8 = 46,6/8 = 5,8 assim bw = 46,6 – ½(2x7) = 39 cm O efeito da força de protensão deve ser considerado de acordo com o item 8.3.2, quando:

47


∆P0 ( x ) + ∆P∞ ( x ) ≥ 0,35P0 perda no tempo zero na ordenada x

perda no tempo infinito na ordenada x

Então Pk ,t ,max = Pi − 0,90(∆P0 ( x ) + ∆Pt ( x ) ) Pk ,t ,min = Pi − 1,1(∆P 0( x ) + ∆Pt ( x ) )

Pdt = γ p × Pk ,t ( x )

com γp, no item 9.22.2, igual à 1,1 Item A.2.4.12 τ wu = 0,30 × f cd ≤ 4,5MPa 26 = 5,57 MPa no nosso caso 0,30 × 1,4 τ wu = 4,5MPa

48

ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO CAP 11- Estruturas hiperestáticas protendidas ROBERTO CHUST CARVALHO-

1

CAPÍTULO 11- ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS PROTENDIDAS 11.1 Introdução As deformações causadas pela protensão em estruturas hiperestáticas não são, em geral, compatíveis com os vínculos da estrutura. Desta forma após a protensão ser efetuado os vínculos da estrutura, ao impedir a livre deformação da mesma, reagem com esforços que são chamados de hiperestáticos de protensão. Neste capítulo serão analisadas as vigas hiperestáticas, mas em pórticos e lajes podem também acontecer este tipo de esforço. 11.2 Conceito do hiperestático de protensão em uma viga contínua. Para efeito de raciocínio toma-se uma viga contínua com dois tramos, sujeita a carga uniformemente distribuída cujo esquema estrutural e de carregamento está indicada na figura 11.1. O diagrama de momento atuante na mesma está representado também na figura 11.1 (b). Uma solução interessante de trajetória de cabo de protensão para a viga em questão pode ]ser dada exatamente pela forma do diagrama de momento da viga, ou seja, um cabo representante que tem a forma parabólica como a indicada na figura 11.1c.

Figura 11.1 Viga contínua sob carga uniforme ae a ação de um cabo parabólico


2

Este provocará um carregamento uniforme para cima como está respresentado na figura 11.1.c que provocará um diagrama de momento com o formato do indicado na figura 11.1.d Imaginando agora que o apoio central B da viga é retirado tem-se a situação mostrada na figura 11.2 em que se percebe nitidamente o deslocamento vertical ∆B.

Figura 11.2 Viga da figura 11.1 sem o apoio central sob o efeito sob da protensão. Como na realidade no ponto B existe um apoio surgira, portanto um esforço RHB, ou seja uma força concentrada no apoio B devido somente o efeito da protensão. O cálculo desta força pode ser feito por meio do processo dos esforços e o princípio dos trabalhos virtuais. Na figura 11.3 mostra-se esquematicamente como o cálculo da reação no apoio B pode ser calculada. Considera-se neste apoio uma carga unitária na direção da reação do apoio em B. O deslocamento causado por esta carga é dado por : 2 l __

__

δB = ∫ M ⋅ M dx 0

Já o deslocamento causado pela protensão é dado por 2l

__

∆B = ∫ M p ⋅ M dx 0

onde M p é o momento devido à protensão (isostático)


3

Figura 11.3 Viga da figura 11.1 esquema para o cálculo do hiperestático de protensão no apoio B. Sendo Xb a reação hiperestática a se determinar e que causará uma deformação igual a ∆B pode-se, usando a superposição de efeitos e as duas equações anteriores: 2l

2l

__

2 l __

__

∫ M p ⋅ M ⋅ dx = X b ∫ M ⋅ M dx e portanto X b = 0

0

__

∫ M p ⋅ M ⋅ dx 0 2 l __

__

∫ M ⋅ M ⋅ dx 0


4

Notar que a integral do numerado pode ser nula. Quando este caso ocorre diz-se que o cabo é concordante e portanto não causa efeito hiperestático. Uma vez determinado o valor de XB resulta neste caso os valores das reações nos outros apoios, neste caso, de XA=Xc=XB/2 resultando no diagrama apresentado na figura 11.4

Figura 11.4 Esforços e diagrama hiperestático de protensão da viga da figura 11.1 Pelo que foi conceituado pode-se agora apresentar um relação muito importante em que em estruturas elásticas lineares (vigas, pórticos etc) em uma seção o momento fletor final de protensão é a soma dos momentos fletores hiperestático e isostático ou seja: Mf =Mi+Mh Com Mf – Momento final de protensão Mi – Momento isostático de Protensão Mh -Momento Hiperestático de Protensão Finalmente é preciso ainda dizer nesta introdução ao cálculo dos esforços hiperestáticos de protensão que o cabo da viga analisada precisaria ter uma parte curva próximo ao apoio central e que foi considerada desprezível as perdas ao longo do mesmo e que na seção do apoio central o momento hiperestático de protensão acabou tendo sinal contrário ao das cargas atuantes e que não ocorreu para a seção no meio do vão. Nos demais itens todos estes aspectos serão comentados mais detalhadamente.


5

EXEMPLO 11.1 Considerando a força de protensão constante ao longo do cabo calcule o esforço hiperestático de protensão para o cabo da passarela cujo esquema estrutural e a seção transversal estão dados na figura 11.5. Considere que o cabo seja formado por trechos de parábolas em cada tramo.

a) Esquema estrutural Longitudinal

1230 cm

1800 cm

1230 cm

b) Seção Transversal 10 56 30

60

120

30

60

Figura 11.5 Esquema estrutural da passarela e da sua seção transversal (Exemplo 11.1). RESOLUÇÃO A armadura é calculada com τd = 1,15 τwd - τc Item A.2.2 – com τ c = ψ 1 f ck (MPa)



ψ 1 = 0,151 + 

M0 M d ,max

   


influência do normal, não considerar se > 2

M d ,max = 1,4(M g1 + M g 2 + ϕM q ,max ) ; Mo = valor do momento fletor que anula a tensão normal na borda menos comprimida.


6

Exemplo de cálculo de Vqmax em So

0,8 = 0,04166 19,2 n2 = 0,737

tgα =

n3 = 0,675 n4 = 0,6125 n5 = 0,20

Vq ,max = 18,5(0,8 + 0,737 + 0,675) + 5,54 × 0,8 ×

7,4 14,7 19,2 + 1,86 × 0,6125 × + 0,2 × 4,8 × = 2 2 2

Vq ,max = 40,92 + 42,54 + 8,37 + 3,55 = 95,38tf Exemplos

Calcular a armadura transversal em S0 eS2 com os dados: Vg1 Vg2 ϕVqmax σi σ∞ α S0 64 202 13500 9800 0

Mg1 Mg2 ϕMqmax bw d cabos A Ws ys e -200 -31 -192 70 105 18 6,73 1,56 0,5 0,33


95 13500 9000 9º 46,6 105 S2 90 51 2 Considerar área do cabo = 11,24 cm ; fck = 26 MPa; φo (bainha) = 7 cm

Resolução:

τ wu = 0,30 ×

2600 = 557 → τ wu = 450tf / m 2 1,4

Seção S2: Cálculo da cortante de protensão: ∆σ = 13500 − 9000 = 4500 ∆σ 4500 = = 0,33 > 0,30 assim 13500 13500 Força em um cabo: 9000 p = 0,9 × × 11,24 = 91tf 1000 V p = −91 × 18 × sen 9º = −256

σ p = 0,9 × 9000

Vd = 1,4(90 + 51 + 95) − 282 = 48,4 (para as duas vigas) Biela: 48,4 τ wd = = 58,2 < τ wu = 450 T.C. 2 × 0,366 × 1,05 Armadura: Como τwd é baixo (0,14 de τwu) usa-se (a favor da segurança) ψ1 = 0,15 τ d = 0,582 − 0,15 26 = 0,182 usar armadura mínima b 1 Obs: φb = 7 > w , assim bw = 46,6 − 2 × × 7 = 39,6 2 8

Seção S0: Cortante de protensão é zero pois α = 0 Vd = 1,4(161 + 64 + 202 ) = 598tf

φb = 7 <

bw = 8,75cm 2

Biela 598 = 407 < τ wu = 450 T.C. (2 × 0,7 × 1,05) Armadura M d = 1,4(200 + 31 + 192 ) = 592,2

τ wd =

18

7 0


Tensão na borda superior (supondo ser a mais tracionada) Como perda: ∆σ = 13500 − 9800 = 3700 ∆σ = 0,27 < 0,30

σi

σ = 9800 9800 p1cabo = × 11,24 = 110tf 1000 18 × 110 18 × 110 × 0,33 200 + 31 + 192 σs = + − = 294 + 418 − 271 = 441tf / m 2 6,73 1,56 1,56 M 0 = 1,56 × 441 = 687tf .m 

ψ 1 = 0,151 + 

M0 M dmax

 687   = 0,151 +  = 0,15 × 2 = 0,30   592  

≤2 τ d = 407 − 0,3 26 × 100 = 254tf / m 2 254 u t 90 = = 58,43 cm 2 m 2 , usando estribo duplo de φ ½” 5,0 1,15 2 × Ast × 2 58,42 = bw × t 2 × 2 × 1,25 58,42 = 0,7 × t t = 0,122 estribos de φ ½” duplo a cada 12,5 cm.

(

)

Anexo da NBR 7197/1989 A2 - τ wd =

Vd ≤7 bw × d

Item 9.3.1 – Se φo (diâmetro da bainha) > que bw/8, então bw = bw − 1

2∑

φ0

em S3 – no nosso caso φo = 7,0 ; bw = 35/8 = 4,3 em S2 – bw = 35+11,6 = 46,6 ; bw/8 = 46,6/8 = 5,8 assim bw = 46,6 – ½(2x7) = 39 cm O efeito da força de protensão deve ser considerado de acordo com o item 8.3.2, quando: ∆P0 ( x ) + ∆P∞ ( x ) ≥ 0,35P0 perda no tempo zero na ordenada x

perda no tempo infinito na ordenada x

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Então Pk ,t ,max = Pi − 0,90(∆P0 ( x ) + ∆Pt ( x ) )

Pk ,t ,min = Pi − 1,1(∆P 0( x ) + ∆Pt ( x ) )

Pdt = γ p × Pk ,t ( x ) com γp, no item 9.22.2, igual à 1,1 Item A.2.4.12 τ wu = 0,30 × f cd ≤ 4,5MPa 26 no nosso caso 0,30 × = 5,57 MPa 1,4 τ wu = 4,5MPa

9

ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO CAP.12 – Verificação do estado de Deformação Excessiva ROBERTO CHUST CARVALHO --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1

12. VERIFICAÇÃO DO ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO EXCESSIVA Estado limite de deformações excessivas é o estado em que as deformações, calculadas segundo combinações de ações adequadas, atingem os limites estabelecidos para a utilização normal da construção, dados logo a seguir. Para a verificação dos estados limites de deformações excessivas, devem ser analisadas, além das combinações de ações a ser empregadas, as características geométricas das seções, os efeitos da fissuração e fluência do concreto e as flechas limites, estas diretamente ligadas à destinação ou tipo do elemento estrutural. O estado limite de deformação na NBR 6118:2003 é apresentado no item 17.3.2, que estabelece critérios para a verificação dos valores limites para a deformação da estrutura, mais especificamente rotações e deslocamentos em peças lineares, analisadas isoladamente e submetidas à combinação de serviço das ações. Os valores limites são aqueles prescritos no item 13.3 da NBR6118:2003, indicados a seguir. Os valores dos deslocamentos e rotações deverão ser determinados por meio de modelos que considerem a rigidez efetiva das seções da peça estrutural, ou seja, levem em consideração a presença da armadura, a existência de fissuras no concreto ao longo dessa armadura e as deformações diferidas no tempo. Basicamente, verificar o estado de deformação excessiva requer que se compare um deslocamento máximo, flecha, de um trecho ou de um elemento da estrutura, com um valor limite. Operacionalmente dizendo, para se verificar o estado de deformação excessiva é preciso conhecer três características básicas relacionadas entre si, como destaca JUSTE et Alli [1997]: finalidade da estrutura, combinação de ações e flecha limite respectiva. Estabelecida a finalidade da estrutura as outras duas condições podem ser obtidas nos textos normativas como será visto nos próximos itens. A determinação do estado de deformação de uma estrutura em concreto armado ou protendido é bem difícil por várias razões. Primeiro devido a própria característica do material concreto, pois a retração, fluência e a própria fissuração do mesmo na tração faz com que não haja linearidade entre as ações e deslocamentos, mesmo sob cargas de serviço. Ainda assim tanto a fissuração na flexão, que é menos prejudicial ao concreto protendido que ao concreto armado, como a fluência conduzem a um cálculo não linear que será abordado de maneira bem simples nos próximos itens. Normalmente quando um engenheiro projeta uma estrutura, seja de concreto armado ou de protendido, não é comum especificar o valor do módulo de elasticidade do concreto tampouco especificar detalhadamente o processo construtivo. A única variável fixada é a resistência mínima à compressão do concreto. Embora no capítulo dois apresente-se a relação entre a resistência a compressão e o módulo de elasticidade do concreto há uma grande variabilidade no valor deste último como mostra VASCONCELOS [ ]. Pior ainda é que o módulo de elasticidade varia com o tempo e, portanto retirar escoramento de uma estrutura em um tempo menor pode afetar razoavelmente o valor deste. Também o adensamento e o processo de cura do concreto podem afetar bastante o valor da rigidez da peça como pode ser visto em PEIXOTO []. Por último e tão importante como os outros fatores citados está a dificuldade de representar de forma próxima da realidade a complexidade das ligações entre os diversos elementos em que se subdivide a estrutura para efeito de


2

cálculo.Assim, ligações entre pilares e vigas, são simplificadas pra a consideração de elementos unindo-se em apenas em um ponto etc. Desta forma mesmo que se use programa sofisticado de computador para resolver um pavimento de edificação sempre haverá simplificações em considerar a ligação entre a ligação real entre viga e lajes e pilares e vigas. Um exemplo bem simples está no trabalho apresentado por KATOKA [2004] que mostra a diferença entre uma estrutura idealizada ensaiada em laboratório e a correspondente real. Nos processos de cálculo é comum construir-se modelos simplificados que superestimam as flechas. . Desta forma é mais correto afirma-se que, em geral, se estima um valor de flecha ao invés se “calcula” um valor de flecha. Em relações às questões executivas convém sempre tentar melhorar ao máximo a fabricação e o lançamento do concreto principalmente a vibração e a cura do mesmo, retardar ao máximo a retirada do escoramento e executar as formas com contra-flechas. Os problemas patológicos que ocorrem devido a um estado de deformação excessiva podem ser simples ou não de corrigir. Em alguns casos, como por exemplo, quando ocorrem fissuras em alvenaria fechamento, devido a deformação de fluência, pode-se fecha-las pois esta deformaç ao não continuará. Porem em alguns casos como estruturas do tipo de vigas calhas que por deformação começam a ter acúmulo de água em seus canais o conserto nem sempre é simples e tentar executar uma regularização com argamassa pode agravar o problema com o aumento da deformação do elemento. Neste trabalho não serão discutidas as soluções para estes problemas, mas fica claro que sempre é melhor fazer o projeto adequado com a verificação do estado de deformação excessiva do que tentar fazer o conserto posteriormente. Nas peças em concreto protendido há dois efeitos benéficos da protensão que serão discutidos nos itens posteriores em relação à deformação. A ação da protensão controla ou evita a fissuração do concreto na flexão e a protensão (com cabos excêntricos) cria momentos fletores contrários aos das ações. Na verdade em alguns casos indica-se a protensão exatamente porque comparada a uma peça similar de concreto armado apresenta menor deformação. 12.1 Deslocamentos limites Como definido no item 13.3 da NBR 6118:2003, “Deslocamentos limites são valores práticos utilizados para verificação em serviço do estado limite de deformações excessivas da estrutura”. Os deslocamentos excessivos e a tendência à vibração dos elementos estruturais podem ser indesejáveis por diversos motivos, que posem ser classificados em quatro grupos básicos: a) Aceitabilidade sensorial: o limite é caracterizado por vibrações indesejáveis ou efeito visual desagradável. A limitação da flecha para prevenir essas vibrações, em situações especiais de utilização, deve ser realizada como estabelecido na Seção 23 da norma; limites para esses casos são apresentados na Tabela 4.7 (Tabela 13.2, NBR 6118:2003). b) Efeitos específicos: os deslocamentos podem impedir a utilização adequada da construção; limites para esses casos são apresentados na Tabela 12.8 (Tabela 13.2, NBR 6118:2003).


3

c) Efeitos em elementos não estruturais: deslocamentos estruturais podem ocasionar o mau funcionamento de elementos que, apesar que não fazerem parte da estrutura, estão ligados a ela; limites para esses casos são apresentados na Tabela 12.9 (Tabela 13.2, NBR6118:2003). d) Efeitos em elementos estruturais: os deslocamentos podem afetar o comportamento do elemento estrutural, provocando afastamento em relação às hipóteses de cálculo adotadas. Se os deslocamentos forem relevantes para o elemento considerado, seus efeitos sobre as tensões ou sobre a estabilidade da estrutura devem ser considerados, incorporando-os ao modelo estrutural adotado. Para as tabelas 12.1 a 12.3 são necessárias as seguintes observações gerais: todos os valores limites de deslocamentos supõem elementos de vão l suportados em ambas as extremidades por apoios que não se movem; quando se tratar de balanços, o vão equivalente a ser considerado deve ser o dobro do comprimento do balanço; • para o caso de elementos de superfície, os limites prescritos consideram que l é o menor vão, exceto em casos de verificação de paredes e divisórias, em que interessa a direção na qual a parede ou divisória se desenvolve, limitando-se este valor a duas vezes o vão menor; • será obtido deslocamento total a partir da combinação das ações características ponderadas pelos coeficientes definidos na Seção 11 da norma (dados, aqui, no Capítulo 1). • deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados por contraflechas. Tabela 12.1 Limites para deslocamentos - aceitabilidade sensorial.. Razão da Deslocamento a considerar Deslocamento Exemplo •

limitação Visual Outros

Deslocamentos visíveis em elementos estruturais Vibrações sentidas no piso

Total

limite l/250

Devidos a cargas acidentais

l/350

Tabela 12.2 Limites para deslocamentos – efeitos estruturais em serviço. Razão da limitação Superfícies que devem drenar água Pavimentos que devem permanecer Planos Elementos que suportam equipamentos sensíveis Notas:

Exemplo Coberturas e varandas Ginásios e pistas de boliche Laboratórios

Deslocamento a considerar Total

Deslocamento limite

Total Ocorrido após a construção do piso Ocorrido após nivelamento do aparelho

l/350 + contra-flecha2 l/600

l/2501

Conforme definido pelo fabricante

1. As superfícies devem ser suficientemente inclinadas ou o deslocamento previsto compensado por contra-flechas, de modo a não acumular água. 2. Os deslocamentos podem ser parcialmente compensados pela especificação de contra-flechas; entretanto, a atuação isolada da contra-flecha não pode ocasionar um desvio do plano maior que l/350.


4

Tabela 12.10 Limites para deslocamentos - efeitos em elementos não estruturais. Razão da limitação

Paredes

Exemplo

Deslocamento a considerar

Deslocamento limite

Alvenaria, caixilhos e revestimentos Divisórias leves e caixilhos telescópicos Movimento lateral de edifícios

Ocorrido após a construção da parede Ocorrido após a instalação da divisória Provocado pela ação do vento para combinação freqüente (ψ1 = 0,30) Provocado por diferença de temperatura Provocado por diferença de temperatura Ocorrido após construção do forro Ocorrido após construção do forro

l/5001 ou 10 mm ou θ = 0,0017 rad2 l/2501 ou 25 mm

Movimentos térmicos verticais Movimentos térmicos horizontais Revestimentos colados Revestimentos pendurados ou com juntas Desalinhamento de trilhos

Forros

Pontes rolantes Notas:

Provocado pelas ações decorrentes da frenação

H/1700 ou Hi/8503 entre pavimentos4 l/4005 ou 15 mm Hi/500 l/350 l/175 H/400

1. 2. 3. 4.

O vão ldeve ser tomado na direção na qual a parede ou a divisória se desenvolve. Rotação nos elementos que suportam paredes. H é a altura total do edifício e Hi, o desnível entre dois pavimentos vizinhos. Este limite aplica-se ao deslocamento lateral entre dois pavimentos consecutivos devido à atuação de ações horizontais; não se devem incluir os deslocamentos devidos a deformações axiais nos pilares; o limite também se aplica para o deslocamento vertical relativo das extremidades de lintéis conectados a duas paredes de contraventamento, quando Hi representa o comprimento do lintel. 5. O valor l refere-se à distância entre o pilar externo e o primeiro pilar interno.

12.2 Cálculo de deslocamentos em vigas de concreto armado. No intuito de esclarece o leitor este item reproduz em grande parte o texto do capítulo 4 da obra (CARVALHO & FIGUEIREDO FILHO 2007) do autor e do Prof. Dr Jasson Rodrigues de Figueiredo Filho. Para vigas executadas com materiais que seguem as leis da resistência dos materiais (aqueles que têm comportamento elástico e linear), o cálculo do deslocamento a, em um ponto K (Figura 12.2), é feito pelo princípio dos trabalhos virtuais, a partir da função M0 (x) do momento fletor devido ao carregamento atuante (no caso carga uniformemente distribuída p), da função M1 (x) do momento devido uma carga concentrada (virtual) unitária, também aplicada em K, e dos valores do módulo de elasticidade do material e da inércia I da seção transversal (equação 4.7); x é a cota de uma seção genérica da viga, medida, no caso da Figura 12.2, a partir do apoio esquerdo. a=

x =l

M 0 ⋅ M1 dx E ⋅ I x =0

∫

(12.1)

ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO CAP.12 – Verificação do estado de Deformação Excessiva ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Viga simplesmente apoiada p

5

l

K a Diagrama de Momento M 0

p

x Diagrama de Momento M 1

P=1 K

x

Figura 12.1 Esquema para o cálculo do deslocamento a em um ponto K de uma viga simplesmente apoiada sob carregamento uniforme. Se o ponto K escolhido corresponder à seção em que ocorre o maior deslocamento, o deslocamento a é chamado de flecha (nomenclatura da NBR 6118:2003). Para vigas de seção constante, o produto EI, chamado de rigidez, pode ser colocado em evidencia, e a flecha passa a ser função da integral. x =l (12.2) M M dx ⋅ ∫ 0 1 x =0

Nas estruturas de concreto armado o cálculo da flecha é mais complexo, pois além da existência da armadura, que confere características de não homogeneidade ao material, há a possibilidade, mesmo sob ações de serviço, que regiões da viga tenham parte do concreto (abaixo da linha neutra) fissurado, diminuindo a rigidez das seções nessas regiões. Na viga da Figura 12.2 há dois trechos com comportamento típico do estádio I e um trecho (central) típico do estádio II. Os estádios (ver capitulo 3 de CARVALHO & FIGEUEIREDO- (2007)), são situações em que a seção transversal tem um comportamento diferenciado. No estádio I o concreto resiste às tensões de tração juntamente com a armadura, e o diagrama de tensões no concreto é linear. Para momentos maiores que Mr (momento de fissuração, a partir do qual podem surgir fissuras de flexão na seção) o concreto tracionado não tem capacidade de resistir às tensões, admitindo-se assim que toda tração seja resistida pela armadura, situação esta chamada de estádio II puro. A inércia das seções nesta situação são menores que as no estádio I. O cálculo das inércias nos estádios I e II e do momento de fissuração serão vistos adiante. Se a viga da Figura 12.2, considerada de inércia constante, estivesse solicitada apenas por momentos inferiores ao de fissuração, a expressão 12.1 poderia ser usada para cálculo da flecha, empregando-se para a inércia o valor correspondente ao da seção geométrica (com ou sem a presença da armadura), como será visto posteriormente. Porém, como o diagrama de momentos fletores apresenta trechos em que o momento atuante ora é inferior ao momento de fissuração e ora tem valores


6

superiores, o cálculo da flecha requereria, em princípio, o uso de uma integração que levasse esse fato em conta. V iga de C oncreto arm ado p

D iagram a de M om ento M

V iga sob carga de serviço

x R egião funcionado no estádio I

R egião funcionado no estádio I

R egião funcionado no estádio II (M >M )

sem fissuras de flexão

com fissuras de flexão

sem fissuras de flexão

tensão no concreto

tensão no concreto *

tensão no concreto

* c,2 > c,1

xI

* c

x II ** c

xI ** c

< f ct

< f ct

Figura 12.2 Viga de concreto armado simplesmente apoiada sob ações de serviço. O comportamento do concreto armado sob flexão, fissurando, produz uma não linearidade entre ações e deslocamentos, como pode ser visto no gráfico de carga por flecha de uma nervura pré-fabricada de concreto armado apresentado na figura 12.3. 1600

P- Carga aplicada + peso próprio (daN)

1400 1200 1000

A

B

C

800 600 400 200 0 0

2

4

6

8

10

a - flecha (mm)

Figura 12.3 Esquema do ensaio de flexão e diagrama carga × flecha de uma nervura de laje pré-moldada [FLÓRIO et all (2003)].


7

A curva A representa a peça funcionando no estádio I (trata-se de uma reta portanto), sendo possível considerar que exista linearidade entre ação e deslocamento, e as curvas B representam comportamento típico do estádio II, com apenas um pequeno trecho tendo comportamento linear. A curva corresponderia ao comportamento que a nervura teria se todas as seções trabalham no estádio II puro. Além da não linearidade devida à fissuração, há também a não linearidade provocada pela fluência do concreto. Fluência como foi visto no capítulo 4 é a deformação que o concreto apresenta, ao longo do tempo, quando submetido a ações de longa duração. Portanto, mantendo-se carga constante em uma viga de concreto armado, esta sofre uma deformação imediata e, com o passar do tempo, há um aumento deste deslocamento, causado pela fluência. Na Figura 12.4 apresenta-se a variação da flecha ao longo do tempo de um trecho de laje pré-moldada (comportamento de viga) ensaiada por ROGGE (2002); uma das curvas foi obtida unindo-se cada ponto obtido, e a outra representa a tendência de comportamento da viga; o carregamento foi aplicado aos 7 e aos 30 dias de idade do concreto da viga. A consideração do efeito da fluência será apresentada em itens posteriores. Percebe-se, pelo fato de não haver linearidade entre esforços e deslocamentos, que é preciso considerar, para as verificações dos estados limites de serviço, diversas combinações de ações (ou seus efeitos, ou seja, as solicitações) que foram apresentadas no Capítulo 7, e serão definidas conforme a verificação a ser empregada, de acordo com os limites dados nas tabelas 8.1 a 8.3. De qualquer maneira é necessário, inicialmente, determinar as inércias de seções de concreto nos estádios I e II. A abordagem que aqui será feita, fruto de diversos estudos realizados, é um pequeno roteiro para o cálculo de deslocamentos em vigas de concreto armado, dentro dos princípios e dos conceitos estabelecidos na NBR 6118:2003. 35 y = -0,0004x2 + 0,1386x + 14,479 R2 = 0,9776

30

Flecha (mm)

25 20 15 10

y = -0,0145x2 + 0,9034x + 0,2669 R2 = 0,9386

5 0 0

30

60

90

120

150

180

210

Tempo (dias)

Figura 12.4 Variação da flecha no tempo de uma nervura de laje pré-moldada [ROGGE (2002)]. Pode-se dizer, finalmente, que as seções trabalham nos estádios I ou II quando são solicitadas pelas ações de serviço, e como em uma viga existem seções


8

trabalhando nas duas situações, sua rigidez é substancialmente afetada pelo momento e pelo grau de fissuração do concreto, e, portanto, para a determinação da flecha é necessário obter uma inércia (média) que reflita essa condição e possibilite a integração da expressão 8.12. 12.3 Cálculo de deslocamentos em vigas de concreto protendido. O cálculo do deslocamento de vigas em concreto protendido pode ser mais simples que as executadas em concreto armado no que diz respeito a questão da fissuração. Isto se dá pela própria definição de concreto protendido que aquele em que através de forças externas procura-se controlar ou mesmo evitar a fissuração do concreto. Verificando a tabela 12.2 percebe-se que as peças com protensão parcial poderão fissurar a partir de ações superiores à combinação freqüente, mas as peças com protensão limitada mesmo nesta situação não estarão fissuradas. Finalmente a peças com protensão completa só poderão fissurar com ações superiores as cominação rara. Assim, para uma peça em concreto protendido pode-se ter a situação mostrada na figura 12.5, na qual não ocorrem fissuras de flexão pois em nenhum ponto o momento fletor M é superior ao momento de fissuração. Como já descrito sto ocorre em peças com protensão completa. Neste caso, em que não há fissuração a flecha instantânea (sem considerar a fluência do concreto portanto) a da estrutura pode ser calcula com a expressão 12.2 dada no item anterior, seguindo portanto os princípios do cálculo linear e funcionará como o mostrado na figura 12.5.. Viga de Concreto potendido p

Diagrama de Momento M

M

Viga sob carga de serviço

Viga funcionando no estádio I (M
xI ** c < f ct

Figura 12.5 Viga de concreto protendido simplesmente apoiada sob ações de serviço (protensão completa). Porem no caso de peças protendidas não se pode esquecer que há também o deslocamento devido a protensão que pode ser calculado de maneira similar aos deslocamentos calculados até então.


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Viga simplesmente apoiada

l Cabo

K f Diagrama de Momento M 0

p x Diagrama de Momento M 1

P=1 K

x

Figura 12.6 Viga de concreto protendido simplesmente apoiada sob ações da protensão. O deslocamento no ponto K dk pode ser dado pela expressão (12.3) M 0 ⋅ M1 dk = ∫ dx EI x =0 Considerando que: M0 – função que representa o momento final de protensão, no caso de peças isostáticas momento isostático de protensão. M1 – função que representa o momento virtual de uma carga unitária colocadas no ponto e na direção em que deseja calcular o deslocamento. x =l

12.3.1 Cálculo de deslocamentos em vigas devido a protensão- Força de protensão constante. O cálculo dos deslocamentos devido a protensão pode simplificar bastante ao se desconsiderar as perdas de protensão ao longo do cabo e ao longo do tempo. Para pré-dimensionamento e cálculos mais simples é comum este procedimento até realizado com uma força de protensão média. O cáclulo do deslocamento pode ser feito como indicado no item anterior realizando a integração do diagrama do produto do momento de integração com o do momento de carga virtual. Neste caso o fator determinante para o resultado da flecha passa a ser alem das condições de contorno a trajetória do cabo. Considerando o cabo parabólico da figura 12.6 e a força de protensão constante igual a P ao longo de todo cabo e com o cabo simétrico a flecha de protensão acaba resultando, de acordo com o BETON-KALENDER (1977):


a=

10

1 l l 1,25 × N × f × l 2 × × N × f × (1 + 0,5 × 0,5) = 3 4 EI 12 EI a=

1,25 × N × f × l 2 12 EI

(12.4)

Diversas publicações como LEONHARDT e BETON KALENDER entre outros trazem uma série de tabelas com os valores??? Diversas publicações tem tabelas para as integrais de momentos que facilita o cálculo da flecha devido a protensão. Outra possibilidade para o cálculo das flechas é o

Figura 12.7 Viga de concreto protendido simplesmente apoiada sob ação da protensão com força P constante ao longo do cabo. Como pode ser visto na figura 12.7 em que a ação de um cabo curvo corresponde à atuação de um carregamento up, conforme capítulo 1, com P constante ao longo do cabo, igual a 8.P.f up = 2 (12.7) l A partir do valor de up pode-se empregar ao conceito anterior com o valor de Mp obtido pelo diagrama de carregamento distribuído o valor de ap pela expressão x =l M p ⋅ M1 (12.8) ap = ∫ dx E⋅I x =0

Uma vez conhecido o valor de up pode-se simplesmente resolver a estrutura com este carregamento equivalente ou usar tabelas prontas de flechas.

12.3.2 Cálculo de deslocamentos em vigas devido a protensão- Força de protensão constante.


11

Na realidade o que acontece é que que no cabo de protensão com maior ou menor intensidade há perdas de protensão e assim a força de protensão varia ao longo do tempo e também ao longo do tempo. Na figura 12.7b mostra-se que a força, devido a perda por atrito, diminui ao longo do cabo e assim o valor de up passa a variar ao longo do mesmo.

Figura 12.8 Viga de concreto protendido simplesmente apoiada sob ação da protensão: a) Com força P constante ao longo do cabo e b)Força P variando ao longo do cabo (perda por atrito).

Uma maneira de realizar os cálculos levando em conta este efeito seria considerar trechos pequenos do elemento em que o valor de P poderia ser considerado constante e trabalhar portanto com diversos elementos com upi constante mas de valores diferentes entre si. A bem a verdade para que o carregamento equivalente do cabo de protensão fosse uniforme alem da força ser constante seria necessário também que a trajetória do mesmo seguisse a equação de uma catenária. O que ocorre é como o traçado da maioria dos cabos de protensão é bastante abatida (pouco variação angular), para a precisão dos cálculos realizados a aproximação é considerada razoável. Finalmente deve-se notar que o diagrama de momentos de protensão (neste caso isostático em peças continuas haverá de se considerar o hiperestático de protensão) tem sinal negativo, ou seja conduzirá a uma flecha ap de sentido contrário a flechas dos carregamentos externos, ou seja, é como se fosse uma contra-flecha que se dá quando a protensão é aplicada.


12

O efeito da perda de protensão ao longo do tempo também pode ser considerado da mesma maneira que descrito anteriormente usando, neste caso, a força de protensão no tempo infinito em cada trecho do cabo. 12.4 Momento de Fissuração Para decidir as expressões a serem usadas é preciso primeiramente verificar se quando da atuação da protensão todas as seções da estruturas estão funcionando no estádio I (não há fissura no concreto) para tanto é preciso comparar os momentos atuando na seção com o momento que causa a primeira fissura de flexão, o momento de fissuração MR. Para peças de concreto amado a norma NBR6118:2003 indica que o momento de fissuração Mr pode ser calculado por:

Mr =

α ⋅ f ct ,m ⋅ I c yt

(12.9)

sendo: α=

1,2 para seções em forma de "T" ou duplo "T" e 1,5 para seções retangulares; momento de inércia da seção bruta de concreto; Ic − fct,inf − resistência à tração direta do concreto, conforme item 8.2.5 da norma, dada por: f ct ,m = 0,30 ⋅ f ck2 / 3 ; yt −

distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada. Note-se que embora a norma (item 112.3.2.1.1) considere a rigidez da seção bruta como a representativa do estádio I, é possível, e inclusive recomendado, usar a rigidez da seção homogeneizada. Para as peças em concreto protendido não há nenhuma expressão recomendada mas pode-se dizer que momento de fissuração é bastante afetado pelo efeito da protensão. Inicialmente pela parcela de protensão dada pelo esforço Normal de protensão (Np) e outra pelo momento (total) de protensão Mp. Considerando a tensão na borda tracionada é dada por

σt =

N M p × yt M R × yt + − A I I

igualando ao valor da tensão de tração que provoca a primeira fissura

α f × f ctm =

N MP × yt MR × yt + − A I I

e isolando o valor do momento de fissuração (MR) chega-se a:

Np  I   × + M p M R =  α t f tcm + A   yt

Com Np – Força normal de protensão A – Área de concreto da seção transversal

(12.10)


13

Mp – Momento de protensão, em peças isostáticas igual ao normal vezes a excentricidade em peças hiperestáticas ao momento final (isostático mais o hiperestático). Lembra que como o momento de protensão foi considerado na expressão 12.10 para verificar se a peça está no estádio II ele não deve ser domado aos outros momentos ou de outra maneira pode-se usar a expressão 12.10 sem a parcela do momento de protensão e considerá-lo atuando junto com os outros momentos. 12.5 Características geométricas de seções no estádio I Nos próximos itens mostra-se como proceder para calcular as características geométricas no estádio I e II da seção de uma peça em concreto armado ou protendido. Apesar de no concreto protendido o efeito da fissuração ser minimizado ainda assim é preciso lembrar que a peça é composta por concreto e aço e portanto a seção resistente no estádio I deve ser considerada com a colaboração da armadura de protensão e a passiva. Para tanto é preciso considerar a seção homogeneizada como se fosse só de concreto. Também na protensão com aderência posterior no momento da protensão o correto seria considerar a seção líquida de concreto pois a armadura não está aderente ao concreto. Todos estes aspectos são discutidos neste item mas normalmente faz-se o uso da seção geométrica e concreto conduz a resultados com precisão satisfatórios para os cálculos executados.

Nas peças de concreto protendido com aderência posterior quando a protensão é efetuada os esforços (de protensão e peso próprio mobilizado) atuam na seção líquida de concreto, ou seja, a seção geométrica descontada os orifícios internos das bainhas. Na figura 12.8 a seção líquida corresponde à região achureada mostrada na parte inferior. Notar que após a protensão a peça se apresenta com uma deformação para cima mostrando que neste caso que a protensão foi suficiente para mobilizar o peso próprio da peça fazendo com que a mesma não mais se apóie no escoramento. peça de protendido escorada recebendo a protenão P

P

escoramento peça de protendido após receber a protenão P

P

escoramento seção transversal

An

=

+

Ap

Figura 12.9.- Peça em concreto protendido com aderência posterior durante a protensão. Seção transversal total composta da líquida (antes da injeção de nata de cimento) e da armadura de protensão Ap.


14

Após ancoragem dos cabos há a introdução de nata de cimento. Após a cura da nata haverá aderência entre a armadura de protensão e o concreto (aderência açonata, nata-bainha e bainha-concreto) e, portanto como nas seções de concreto armado, em que todo o detalhamento da armadura é feito com o objetivo de garantir a aderência das barras de aço ao concreto, os dois materiais trabalharão solidariamente. Notar que pelo princípio da superposição de efeitos todo esforço que for introduzido após a aderência estabelecida atuará em uma seção composta no caso mais geral de concreto, armadura passiva e armadura ativa. O centro de rotação e a rigidez da seção são afetados pelo posicionamento da armadura e, neste caso, deve ser feita a homogeneização da seção, que consiste em considerar no lugar da área de aço existente As, Ap, A’s e A’p a uma área de concreto equivalente. Considerando que As, Ap, respectivamente corresponda à área de aço passivo e ativo (protensão) na região tracionada da peça e A’s e A’p à área passiva e de protensão na região comprimida da peça. A equivalência da área de aço e de concreto é feita de forma simples. Imaginando que se deseja calcular uma área de concreto equivalente Aeq a uma de aço, As, de maneira que resista a mesma força normal tem-se então: Fs = As .σs =Aeq . σc com σs – tensão na armadura σc – tensão no concreto Considerando válida a lei de HOOKE As.εs.Es =Aeq .εc Ec Lembrando que há aderência e portanto εs =εc chega-se a: Aeq = As. ( Es / Ec)

e finalmente Aeq = As.αe

(12.11)

com αe relação entre os módulos de deformação do aço (armadura passiva) e concreto Analogamente para a armadura de protensão (12.12) Aeq = As.αp com αp relação entre os módulos de deformação do aço (armadura ativa) e concreto ( Ep / Ec) Para mostrar de maneira simples como pode ser feita a consideração da equivalência da armadura considere-se, inicialmente, uma seção transversal retangular de concreto armado, como a indicada na Figura 12.10.


h

cg

As d =

As

d

+

h

15

e

b

bw

a) seção transversal composta de seção de concreto e de aço transformada em área equivalente de concreto seção antes de deformar c

c

cg

h/2

As

d

M

h

Tc

s * c

vista lateral

Cc

xI

yh

h/2

b

* c

Ts

Tas

seção após deformar

b) seção transversal no estádio I com reações

Figura 12.10- Seção retangular homogeneizada trabalhando no estádio I.

A seção é então composta por uma área de concreto igual a b⋅h e uma seção de concreto equivalente à do aço igual a A s ⋅ (α e − 1) . Diminui-se 1 de αe para considerar que na posição da armadura a área de concreto já foi computada uma vez no produto b⋅h. Para provar isto basta considerar o equilíbrio entre as força existentes. O valor das tensões é dado por: σ c = ϕ .x I .E c

σ c* = ϕ .(h − x I ).E c σ s = ϕ ⋅ (d − x I ).E s σ cs = ϕ ⋅ (d − x I ).Ec (tensão que existiria no concreto onde está a armadura). Na Figura 12.10 b estão indicadas as resultantes Cc, Tc, -Tas e Ts das tensões que ocorrem no concreto comprimido (σc) e tracionado ( σ*c ) e na armadura tracionada (σs), respectivamente, e que são iguais a:


Cc =

σ c ⋅ b ⋅ xI

; Tc =

σ c* ⋅ b ⋅ (h − x I )

2 2 lembrando por equilíbrio deve-se ter:

16

; Ts = As ⋅ σ s ; -Tas= As .σ cs

Cc = Tc + Ts -Tas A última parcela se faz necessária pois foi considerada a área total de concreto tracionada (b.(h-xI)) e portanto é preciso descontar a área de concreto correspondente a área As. Colocando os valores das tensões nas forças chega-se a: b.(h − xi ) b.x I2 .E c = .E c + AS .(d − x I ).E s − A s .(d − x I ).E c 2 2 2

Reagrupando a expressão anterior e dividindo ambos os membros por Es e chamando de αe = Es/Ec obtêm-se: h bh. + As .(α e . − 1).d 2 xI = b.h + As .(α e − 1)

(12.13)

A expressão anterior nada mais é do a fórmula clássica de centro de gravidade dada abaixo em que a área de aço As é substituída por outra de concreto equivalente (αe1).As: yh =

∑ A . y (α − 1).∑ A . y ∑ A + (α − 1).∑ A c ,i

i

c ,i

e

s

e

s ,i

(12.14)

s ,i

Desta forma conclui-se que, após a homogeneização da seção (transformação do aço em concreto equivalente), pode-se calcular de maneira usual todas as características geométricas da seção, por exemplo, ocorre em uma seção em formato em tê, submetida a um momento positivo e mostrada na figura 12.10. Para a seção dada é possível definir já dois tipos de características da seção transversal. A seção geométrica ou bruta (Ag) formada pela seção se fosse toda de concreto e a líquida (An) que corresponderia a seção bruta descontada os orifícios das armaduras cada uma delas dada no caso por: Ag = bf . hf + (h-hf). bw

(12.15)

An = Ag – (As+A’s) - κ (Ap+A’p)

(12.16)

Com κ o coeficiente que multiplicado pela área de aço de resulta nas áreas das bainhas correspondentes.


17

bf

bf hf cg

hf

yg

d'p

A's

d'

y

yp

A'p

h

h cgs

y d

cgh Ap

s

h

As bw

bw b) seção transversal

a) seção transversal "Tê" sem armadura

"Tê" com armadura

figura 12.11.- Seção transversal em forma de Te a) sem armadura e b com armadura

Efetuada a aderência, como já foi colocado, a seção passa atuar, ainda no estádio I, conjuntamente, concreto e aço. Supondo neste caso que há linearidade entre tensão e deformação (vale a Lei de Hooke, pois as deformações são pequenas) e, como as deformações específicas do aço e do concreto são iguais (εc = εs), devido a aderência e chamando de αe, αp a relação entre os módulos de deformação longitudinal do aço passivo e ativo e do concreto( ;α e = Es Ec ;α p = E p Ec ) e estendendo o raciocínio ao caso mais geral em que diversas armaduras a área equivalente de concreto é dada por: (12.17)

Ac,que= (A’s +As).αe +(A’p +Ap).αp

Assim a seção homogeneizada Ah será a soma da seção bruta, subtraída das áreas de aço e somada com a área equivalente. Ah =Ab- ((A’s +As).+(A’p +Ap)) +(A’s +As).αe +(A’p +Ap).αp e finalmente Ah =Ab+(A’s +As).(αe-1) +(A’p +Ap).(αp-1)

(12.18)

Analogamente a posição do cg, ou da linha neutra nos estádio seria dada por:

xI =

hf

h + bw .h. + ( As . y ss + As' .d ' )(α e . − 1) + ( A p . y + A p' .d ' ).(α p − 1) 2 2 (b f − bw ).h f +b w .h + ( As + As' ).(α e − 1) + ( A p + A p' ).(α p − 1)

(b f − bw ).h f .

(12.19)

O momento de inércia em relação a linha se faz de forma análoga ao de seções composta por um único material, considerando, é claro, no lugar das armaduras d aço as áreas equivalentes de concreto.


18

bf

bf hf

hf

yg

cg

yp

x= y I

h

h

bw

cgh Ap

h

bw b) seção transversal

a) seção transversal "Tê" sem armadura

"Tê" com armadura de protenão

figura 12.12.- Seção transversal em forma de Te a) sem armadura e b) com armadura de protensão.

Para a seção Te da figura 12.12 com a armadura de protensão Ap e o valor do centro de gravidade dado por yh ou xI tem-se o valor do momento de inércia central:

Ih =

(b f − bw ) ⋅ h 3f 12

b ⋅ h3 + w + (b f − bw ) ⋅ h f 12

+ A p ⋅ (α e − 1) ⋅ ( y h − y p )

2

2

2 hf   h  ⋅  y h −  + bw ⋅ h ⋅  y h −  + 2  2   (12.20)

EXEMPLO NUMÉRICO 12.6 Características geométricas de seções no estádio II Aumentado-se o valor do momento fletor atuante na seção, as tensões de tração na maioria dos pontos abaixo da linha neutra (LN) terão valores superiores ao da resistência característica do concreto à tração (ftk), conduzindo ao estádio II (estado de fissuração) em que se admite ainda que:

• •

os esforços de tração são resistidos apenas pela armadura localizada abaixo da linha neutra; haja uma relação linear entre tensão e deformação específica no concreto para todos os pontos da seção transversal.

Cabe destacar que essa é uma situação limite do estádio II, pois todo o concreto da região fissurada está sendo desprezado, e, portanto, é usual, nesse caso, para diferenciar, nomeá-la como estádio II puro. O estádio II puro compreende a situação em que atua na seção um momento maior que o momento de fissuração, até à situação em que começa a ocorrer o escoamento da armadura e/ou a plastificação do concreto comprimido, apresentando as seguintes características: •

a distribuição das tensões de compressão no concreto é triangular;


•

19

o concreto não trabalha à tração, sendo este esforço resistido apenas pela armadura abaixo da linha neutra; não ocorre escoamento do aço nem plastificação do concreto.

•

Na Figura 12.12 indica-se o que ocorre em uma seção do tipo "T" quando atua um momento maior que o de fissuração (Mr- aquele a partir do qual surgem as primeiras fissuras de tração no concreto). bf

εc

d'

hf

A 's

xII

σc xII

F ac'

F as'

Cc

d h

Ap

M>Mr

εs

Tt

bw b) deformações

a) seção transversal

b) tensões e resultantes

Figura 12.13 Seção transversal em forma de "T" no estádio II puro.

Para o cálculo do momento de inércia no estádio ΙΙ puro é necessário conhecer a posição xII da linha neutra, obtida igualando o momento estático da seção homogeneizada a zero. O procedimento é o mesmo visto no item anterior lembrando apenas que não haverá a parcela de força de tração resistida pelo concreto e que as forças Fas’ e Fac’ podem ser escritas de uma só vez ao se usar αe-1 enquanto na parcela de Tt como o concreto tracionado não trabalha basta usar αp chegando-se a : bw 2 .x II + ( As' .(α e − 1) + A p .α p + h f (b f − bw )) x II + 2 − (d ' .( As' .(α e − 1) + d . A p .α p +

h 2f 2

(12.21)

(b f − bw )) = 0

cuja solução é − b ± b2 − 4 ⋅ a ⋅ c x II = 2⋅a

(12.22)

com os coeficientes a, b e c iguais a: a=

bw 2

b = As' .(α e − 1) + A p .α p + h f (b f − b w )

(12.23) (12.24)


c = −d .( A .(α e − 1) + d . A p .α p + '

' s

h 2f 2

20

(12.25)

(b f − bw ) = 0

Para situações em que a viga tem seção transversal retangular e não há armadura negativa, as equações também são válidas, bastando fazer b w = b f , h f = 0 e A s' = 0 . É possível, agora, calcular o momento de inércia da seção no estádio II puro I x ,II0 em relação à linha neutra, cuja posição xII foi determinada, lembrando que há

(

)

duas possibilidades: a primeira quando a profundidade da linha neutra é inferior à espessura da mesa x II < h f ; e a segunda quando x II > h f , resultando nas expressões 4.21 e 4.22, respectivamente: Ι x,ΙΙ 0 =

Ι x,ΙΙ0

b f ⋅ x 3II + α p ⋅ A p ⋅ ( x II - d) 2 + (α e − 1) ⋅ A s' ⋅ ( x II - d ' ) 2 3

(b f −b w ) ⋅ h 3f

(12.26)

2

b w ⋅ x 3II h   = + + (b f − b w ) ⋅  x II − f  + 12 3 2   2 ' ' 2 + α p ⋅ A p ⋅ (x II - d) + (α e - 1) ⋅ A s ⋅ (x II - d )

(12.27)

12.7 – Flecha instantânea – peça não fissurada e fissurada. Modelo simplificado de Branson. As expressões obtidas na seção anterior são relativas aos limites dos estádios Ι e ΙΙ.As peças de concreto protendido podem trabalhar em algumas situações com todas as seções no estádio I. Estes seriam os casos da protensão completa e limitada desde que não usada a combinação rara para a protensão limitada. Nestas situações o cálculo da flecha nas peças é feito com a teoria usual sendo, por exemplo, a flecha de uma viga bi apoiada submetida a carga uniforme p (combinação freqüente) dada pela expressão já consagrada de:

a=

αc ⋅ p ⋅ l4

(E ⋅ I )

(12.28)

onde: p− l− (E.I) − αc −

carga definida por uma certa combinação (por exemplo, freqüente); vão da viga; Rigidez da seco dada pelo produto do módulo de deformabilidade do concreto E e I a inércia da seção no estádio (se possível homogeneizada) coeficiente que depende da condição estática do sistema considerado (simplesmente apoiado, contínuo) e do tipo de ações atuantes; é encontrado em livros de resistência dos materiais e de teoria das estruturas; no caso de vigas simplesmente apoiadas e carga uniformemente distribuída, αc = (5/384).


21

Na protensão parcial porem haverá trechos da peça fissurados e outros não como ocorre nas peças de concreto armado como a da figura 12.3. Neste caso é necessário definir uma inércia ou rigidez média para evitar uma integração com a inércia variável ao longo da peça. A Norma NBR6118:2003 adota o modelo proposto por BRANSON (1968) que admite para todo o elemento de concreto uma única inércia, que representa os trechos fissurados e não fissurados. Baseia-se em um método semiprobabilístico, no qual toma a variação da tensão ao longo da seção transversal e ao longo do comprimento de uma maneira simplificada, utilizando expressões empíricas que fornecem valores médios da inércia. Desta forma, Branson procura traduzir, aproximadamente, o efeito da fissuração do concreto, quando submetido à flexão, no cálculo das deformações imediatas. Esse procedimento pode ser utilizado para obter o valor da inércia, intermediário ao valor no estádio I e no final do estádio II (estádio II puro). De forma geral, a expressão obtida por Branson é dada por: Im

M =  R  M at

n  M   ⋅ I I + 1 −  R   M at  

Im −

momento de inércia efetivo para uma seção ou para toda a peça, no caso de vigas simplesmente apoiadas; momento de inércia médio entre a seção do apoio e a seção do meio do vão, para o caso de vigas contínuas; momento de inércia da peça no estádio Ι (da seção bruta ou homogeneizada); momento de inércia da peça no estádio ΙΙ pura; momento de fissuração do concreto; momento atuante na seção mais solicitada; índice de valor igual a 4, para situações em que a análise é feita em apenas uma seção da peça, ou igual a 3, quando se faz a análise da peça ao longo de todo o seu comprimento, que é a situação em questão.

  

n

 ⋅ I II  

(12.29)

em que:

II − III − MR − Mat − n−

Na redação fial da NBR 6118:2003, item 112.3.2.1, a avaliação aproximada da flecha imediata em vigas, foi feita uma adaptação na expressão 4.23 para o cálculo da rigidez equivalente de uma viga de concreto, dada pela equação: (E ⋅ I) eq

 M  = E cs ⋅  r  M a

3  M   ⋅ I c + 1 −  r   Ma  

  

  ⋅ I II  ≤ E cs ⋅ I c   

3

(12.30)

em que: Ic − III −

momento de inércia da seção bruta de concreto; momento de inércia da seção fissurada de concreto no estádio II, E calculado com o coeficiente α e = s ; E cs


Ma −

Mr − Ecs −

22

momento fletor na seção crítica do vão considerado; momento máximo no vão para vigas biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para balanços, para a combinação de ações considerada nessa avaliação; momento de fissuração do elemento estrutural, dado pela expressão 4.25, e que deve ser reduzido à metade para barras lisas; módulo de elasticidade secante do concreto, dado por E cs = 4760 ⋅ f ck (em MPa);

Assim, a previsão da flecha imediata ou instantânea (sem o efeito da fluência), para vigas, pode ser feita a partir da equação da resistência dos materiais, válida para seções constantes ao longo da peça, considerando e inércia média:

a=

αc ⋅ p ⋅ l4 (E ⋅ I )eq

(12.31)

onde: P− l− (E.I)eq − αc −

carga definida por uma certa combinação (por exemplo, freqüente); vão da viga; rigidez equivalente dada pela expressão 12.30; coeficiente que depende da condição estática do sistema considerado (simplesmente apoiado, contínuo) e do tipo de ações atuantes; é encontrado em livros de resistência dos materiais e de teoria das estruturas; no caso de vigas simplesmente apoiadas e carga uniformemente distribuída, αc = (5/384).

Os resultados obtidos pela expressão de Branson conduzem a resultados muito bons para vigas simplesmente apoiadas e para vigas contínuas; para elementos mais complexos como lajes, a expressão pode ser usada junto com a técnica de dividir o elemento em trechos e fazer o carregamento da estrutura por etapas, avaliando em cada etapa qual o nível de fissuração de cada trecho. Maiores detalhes podem ser encontrados em CARVALHO (1994). 12.8 avaliação da flecha diferida no tempo -Efeito da fluência do concreto

Fluência é o fenômeno do aparecimento de deformações ao longo do tempo em um corpo solicitado por tensão permanente considerada, em geral, constante. Esse fenômeno é parcialmente reversível, ou seja, ao retirar o carregamento que originou a deformação, uma parcela desta deformação total é restituída imediatamente, uma outra parte é restituída com o tempo e o restante se torna permanente. Além da fluência, pode contribuir para o aumento das deformações em estruturas de concreto a ocorrência do fenômeno da retração. Retração é a variação volumétrica que uma peça de concreto sofre ao longo do tempo, principalmente pela saída de água existente nos poros do mesmo. Geralmente a parcela de deformação


23

devida à retração é pequena e, portanto, desprezada na maioria dos cálculos. As parcelas das deformações devidas à fluência podem ser caracterizadas por: deformação rápida, que ocorre nas primeiras 24 horas após a aplicação do carregamento e é irreversível, e deformação lenta, composta por uma parte reversível e outra irreversível. Considera-se que as deformações de fluência sejam oriundas das ações permanentes. Porém, para calculá-las é utilizada a combinação quase permanente, pois em edificações, parte da carga acidental atua em um longo período da vida da mesma. Nas peças de concreto, a armadura inibe a deformação do concreto ao longo do tempo, tanto na retração como na fluência. Em peças fletidas, a armadura é normalmente posicionada na região tracionada, onde a contribuição do concreto na a resistência é pequena, sendo desprezada para efeito de cálculo; admite-se, assim, que não ocorre a fluência nessa região. Há uma série de processos para se calcular deslocamentos ao longo do tempo, considerando o efeito da fluência e de retração do concreto, que podem ser encontrados, por exemplo, em TIRINTAN (2002), mas que não cabem ser aqui apresentados. Para peças d cocnreto armado pode-se considerar o prescrito no item 17.3.2.1.2 da NBR 6118:2003, em que a flecha adicional diferida de vigas, decorrente das cargas de longa duração em função da fluência, pode ser calculada, de maneira aproximada, pela multiplicação da flecha imediata por um fator αf dado por: αf =

∆ξ 1 + 50 ⋅ ρ'

(12.31)

onde: A s' ρ' = (o valor de ρ' será ponderado no vão de maneira análoga ao cálculo b⋅d de Ieq); A s' − área da armadura de compressão no trecho considerado;

ξ−

coeficiente função do tempo, sendo ∆ξ = ξ( t ) − ξ( t 0 ) ;

 0,68 ⋅ 0,996 t ⋅ t 0,32 para t ≤ 70 meses ξ (t) =  ; 2 para t ≥ 70 meses tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida; t− idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa t0 − duração; se as parcelas de cargas de longa duração forem adotadas em Σ Pi ⋅ t 0i idades variadas, então t 0 = ; Σ Pi Pi − parcelas de carga; t0i − idade (em meses) em que se aplicou cada parcela Pi.


24

O valor da flecha total no tempo infinito ( a t ,∞ ) será (1 + α f ) vezes a flecha

imediata: a t ,∞ =a t ,0 ⋅(1 + α f )

(12.32)

em que a t ,0 é a flecha imediata devido a cargas permanentes. Finalmente, pode-se afirmar que a deformação em peças fletidas devida ao efeito da fluência não deve ser desprezada, pois pode atingir valores até o triplo do valor da deformação imediata, embora pela expressão 4.27 se consiga obter no máximo o dobro. Ensaios realizados por ROGGE (2003) mostram que os resultados da expressão da norma brasileira subestimam as flechas diferidas de lajes pré-moldadas unidirecionais de pequena altura (11cm de altura), que na verdade comportam-se como uma série de vigas justapostas, como visto no Capítulo 2. Dessa maneira, devese ter bastante cuidado ao empregar a expressão 4.27 para a avaliação da parcela da flecha devida à fluência. Outra fato interessante é que neste caso a norma não emprega o valor do coeficiente da fluência apresentados no capitulo 5 para a previsão A norma NBR 6118:2003 considera que a flecha em vigas diferida no tempo, com armadura, basta multiplicar a parcela permanente da flecha imediata por (1 +ϕ), onde ϕ é o coeficiente de fluência, apresentado no capítulo 4. BIBLIOGRAFIA

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS; Projeto de Estruturas de Concreto - Procedimento; Rio de Janeiro; 2004 (NBR 6118) – revisão da NBR6118:2003. BETON-KALENDER (1977): CARVALHO R. C., Análise não-linear de pavimentos de edifícios de concreto através da analogia de grelha. Tese de Doutorado - Escola de Engenharia de São Carlos – USP Janeiro de 1994 CARVALHO, R. C.; FIGUEIREDO, J.R.F.[2007] Cálculo e detalhamento de Estruturas Usuais de Concreto Armado. Editora da Universidade Federal de São Carlos, 3ª edição, São Carlos – SP; JUSTE A. E., MORAES C. A., CARVALHO R. C., “Diretrizes para a verificação do estado limite de deformação excessiva de pavimentos de concreto armado” XXVII JORNADAS SUL-AMERICANAS DE ENGENHARIA ESTRUTURAL, São carlos - Brasil -1997, pág. 735 vol. 2 VASCONCELOS [ ]. CARVALHO (1994). ROGGE (2003)

TIRINTAN (2002),


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ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 1 CAP. 13– PISOS DE LAJES PROTENDIDAS ROBERTO CHUST CARVALHO --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

CAPÍTULO 13– PISOS DE LAJES PROTENDIDAS 13.1- INTRODUÇÃO Neste capítulo será estudado o cálculo de pisos com lajes protendidas. Existem dois tipos principais de lajes protendidas: as moldadas no local e as pré-moldadas. As moldadas no local, são executadas com pós tração e dentro destas destaca-se as lajes lisas (lajes sem vigas) e as cordoalhas engraxadas de mono cordoalhas que simplificam bem o sistema Já as pré-moldadas podem ser executadas com trilhos pré-moldados, com seção “pi”e as alveolares, todas usando a pré-tração. 13.2 LAJES PROTENDIDAS MOLDADAS NO LOCAL As lajes protendidas no local ganharam novo impulso com a introdução no mercado da cordoalha engraxada que simplifica a operação de protensão assim como a barateia. É possível também usar-se protensão com aderência posterior usando neste caso as bainhas chatas em que se pode alojar duas cordoalhas com excentricidade eficiente.. Os pisos com lajes protendidas podem ser compostos com lajes maciças e vigas, nervuradas, lisas, lisas e aliviadas e nervuradas com vigas faixas.

13.3 LAJES LISAS PROTENDIDAS. Os sistemas estruturais constituídos de lajes lisas (terminologia adotada pela nova NB1), usualmente denominadas de “sem vigas” ou “lajes-cogumelo”, apresentam algumas vantagens sobre o sistema convencional de lajes apoiadas em vigas. Considerando o aspecto construtivo permitem de uma maneira geral velocidade e repetição nas formas requisitos básicos para a racionalização e dependo da espessura do elemento permitem inclusive o embutimento de pequenas tubulações. Em relação aos aspectos estéticos permite amplos ambientes e um pé-direito livre em toda área de construção. Esta característica é muito importante quando se deseja ambientes versáteis em que divisórias ou paredes podem ser suprimidas ou acrescidas sem que apareçam vigas. No caso de passagem de tubulação entre a face inferior e o forro não haverá o obstáculo de vigas. Esta condição é muito importante, por exemplo, em hospitais em que tubulações de oxigênio e outras precisam ter trajetórias com curvas suaves em planta (raios grandes) e podem ser necessárias depois da execução da edificação. A solução alternativa a d alaje sem viga é a de se usar um andar intermediário de serviço para a passagem de todas as tubulações, fazendo-se que com isso um prédio neste sistema precisaria de uma altura maior que outro com lajes sem vigas. O uso de lajes lisas permite assim de uma maneira geral usarse pé-direitos. A inexistência de vigas permite um fluxo constante do ar melhorando os aspectos de ventilação da edificação.. Em relação as desvantagens este tipo de sistema pode ter um consumo maior de concreto e armadura mas o custo final se considerar a velocidade e a finalidade pode ser


equivalente ou menor que os outros sistemas. Também neste sistema as deformações verticais são maiores o que geralmente inviabiliza este sistema para vãos acima de um certo valor (digamos 9 m) necessitando da protensão que pode eliminar com a fissuração do concreto em serviço. Outro problema típico das lajes sem vigas é a possibilidade de punção da laje junto aos pilares. Neste caso a protensão alivia ao introduzir uma norma de compressão na região e combater o cortante atuante. Finalmente o sistema por não possuir vigas não conta com a mesma rigidez que o sistema tradicional Pilar-viga-laje possui sob esforços transversais. As vigas e os pilares formam pórticos (com as lajes trabalhando como septo horizontal). No sistema de lajes lisas deve-se considerar pilares de grandes dimensões (pilares paredes) atuante como um núcleo de enrigecimento (geralmente na caixa de elevadores e escadas) ou um sistema de vigas só no contorno do prédio que formariam junto com os pilares pórticos resistentes às ações laterais. 13. 3. 1 Determinação dos esforços solicitantes em lajes lisas. Para determinar os esforços solicitantes em lajes lisas pode-se usar em princípio: a)método dos pórticos equivalente; b) método dos elementos finitos e c) grelha equivalente. O processo do pórtico equivalente é um processo numérico empírico muito usado no Estados Unidos que só apresenta resultados bons para estruturas regulares (vãos livres semelhantes e pilares alinhados). O método dos elementos finitos conduz a bons resultados porem a maioria dos engenheiros projetistas não está acostumado a eles sendo mais usado no meio acadêmico ou por pesquisadores. O método mais empregado no Brasil é o de grelhas equivalente que permite ao engenheiro analisar os resultados de maneira simples e manipular a entrada de dados facilmente. No processo de grelha equivalente Usar o livro novo Assim pode-se com precisão considerar as cargas permanentes, sobrecargas permanentes e acidentais como aplicadas nos nós, considerando portanto que cada nó internos terá aplicado uma carga igual a Pi = p . a . b

(13.1)

Com P – igual a intensidade da ação uniformemente distribuída que se deseja considerar (g1, g2 ou q) a e b –são os espaçamentos entre os elementos da grelha considerada, por exemplo, na horizontal e na vertical A consideração do efeito de protensão pode ser feita por três processos: a) Carga equivalente Considera-se uma carga linear e uniforme distribuído em trechos (item 2.2 do anexo)e os esforços de protensão aplicados na extremidade. Este processo foi desenvolvido por Lin (1959) que resultará em um carregamento linear constante (sem considerar as perdas) aplicado à estrutura igual a :


up =

8Pe , l2

(13.2)

onde: P é a força de protensão aplicada no trecho considerando o cabo parabólico; e é a flecha da parábola; l é o vão da parábola; up é o carregamento aplicado à estrutura no trecho considerado da parábola; A figura 13.1 repetido do capítulo 1 ilustra a representação do carregamento equivalente.

Figura 13.1: Carregamento equivalente

Com esse carregamento equivalente pode-se usar programas de elementos finitos ou de barras prismáticas (grelha) e obter o momento final de protensão, sendo Mpf = Misost. + Mh . b) Forças de desviação Considera-se no nós da estrutura a resultante vertical que o cabo proporcionaria por trechos; c) Método de ação interna Utilizado pelo programa TQS, esse método considera em cada extremidade da barra um momento fletor (M) atuante devido à presença do cabo reto no elemento com o valor de excentricidade (e) e N no centro do mesmo. 13.3.2 Pré-dimensionamento dos cabos Para efetuar o pré-dimensionamento dos cabos deve-se considerar que é preciso atender os estado limites últimos e de serviço. Em relação aos estados limites de ruptura na flexão há duas situações, a da protensão em vazio (protensão no tempo zero –pt0– e carga permanente –g1–) e no tempo infinito. Para as condições de serviço será preciso atender as condições de limitações de tensões ou aberturas de fissuras em função das condições ambientais e portanto da protensão se parcial, limitada ou completa.


A seguir mostra-se um roteiro de procedimentos baseado nos trabalhos de MELLO [2004] e o manual do TQS [2003] que pode levar a uma boa solução, principalmente para os caso de protensão limitada.

12,6 5,6

2.8

11

6.3

11

h=22

1) Divisão da estrutura em faixas Na nomenclatura do manual da TQS de regiões de protensão uniforme, ou seja regiões em que os momentos fletores são da mesma ordem de grandeza e deseja-se colocar cabos com mesma trajetória e um determinado espaçamento. Quanto menores forem as larguras destas faixas mais economia se teria porem não seria pratico utilizar-se de muitos espaçamentos diferentes e traçados pois haveria dificuldade em se executar o detalhamento. A partir desta etapa todos os passos descritos referem-se aos esforços (por metro) de uma faixa e ao detalhamento da faixa como se fosse independente do restante da estrutura. Ao fim do pré-dimensionamento os esforços de protensão são introduzidos e com todos os esforços repete-se o roteiro verificando cada etapa. 2)Resolução da estrutura Resolve-se a estrutura considerando-a submetida as ações g1, g2 e q obtendo-se flechas e esforços solicitantes nas diversas seções e faixas. 3) Definição da trajetória do cabo representante O cabo em questão é aquele que representa os demais em cada faixa e poderá ser usado para toda a estrutura ou não. Em geral o formato da trajetória do cabo dele Ter a forma do diagrama de momento fletor na faixa que o cabo será lançado. Uma sugestão para se obter uma boa trajetória pode ser encontrada em MELLO [2004] que recomenda, para faixas mais solicitadas, considerar (ver figura 13.2) que o início e final do cabo esteja no centro de gravidade da peça. Após a ancoragem do cabo segue-se de um trecho reto (trecho 1) e depois um trecho curvo de concordância (trecho2) e parte central no tramo, trecho 3,em geral duas parábolas. Finalmente junto ao apoio intermediário o trecho curvo 4 que terá como cota vertical a máxima excentricidade possível. O ponto de passagem na parte inferior do tramo deve Ter também a máxima excentricidade para poder combater adequadamente a flexão e criar um carregamento equivalente de grande intensidade. No trecho 1/6 do vão próximo ao pilar (trecho 4), deve-se fazer uma concordância vertical para evitar uma concentração de tensão normal vertical junto ao pilar. Devido a grande perda por deformação da ancoragem o cabo terá, em geral, uma extremidade passiva (pré-blocada) (P) e outra ativa (A). Na prática, para se manter simetria de ações, é considerado que para cada cabo com extremidades AP haverá um simétrico com extremidades PA (principalmente para os cabos com cordoalha engraxada).

pilar de extremidade 100

L1=200

Trecho 2

pilar central L2=450

L3=450

L4=200

Trecho 3 central

Trecho 1 Figura 13.2: Traçado vertical típico de um cabo em laje lisa.

Trecho 4


4) Perdas de protensão do cabo representante.

As perdas de protensão são as diminuições dos esforços de protensão que ocorrem ao longo dos cabos, as quais devem ser calculadas pelo projetista para que em qualquer seção, combinação de carregamentos ou época na vida da estrutura tanto as condições de utilização como as de estado limite último estejam verificadas. As perdas podem ser classificadas de imediatas e diferidas ou ao longo do tempo, sendo as primeiras devidas principalmente à forma como se procede a protensão e das propriedades elásticas do aço e do concreto, e as segundas às propriedades viscoelásticas tanto do concreto como do aço. O procedimento de cálculo das mesmas pode ser visto nos capítulos 3 e 4. No caso da perda por fluência a tensão no nível dos cabos poderá ser considerada em torno de 3 MPa. 5) Consideração do carregamento equivalente do cabo e seus esforços

Considerando a trajetória do cabo, como por exemplo da figura 13.2, pode-se montar o carregamento deste para o tempo zero e infinito considerando a distribuição de um cabo por metro. Usando a expressão 13.1 obtendo-se o diagrama de ações dado na figura 13.3 AV AM S0

Ações do cabo representante um por metro t=0 S1

S2 0,57 KN/m

0,277KN/m

1,15

100

S4 S5 1,135KN/m

S3 0,555KN/m

2,35

2,35

1,15

Figura 13.3: Ações do cabo representante atuando em um metro (no caso para o temo zero). A força no cabo é considerada constante por trechos.

Considerando as ações de protensão na grelha equivalente é possível achar os esforços solicitantes nas diversas faixas e seções para o tempo zero e infinito. 6) Determinação do número de cabos a se usar em cada faixa com a condição do estado limite último no ato da protensão. Esta condição pode ser feita inicialmente para a seção mais solicitada da faixa considerando a força de um cabo representante no tempo zero sendo os limites a se impor neste caso para compressão 0,7 fcj (resistência à compressão do concreto na data da protensão) e para tração inicialmente o valor de tensão nula. conhecida como situação em vazio. Assim, na seção de um apoio intermediária aplicando-se a verificação simplificada do estado limite último (ver capítulo 5) tem-se a expressões σ s=

n.N p A

+

n.M p Ws

−

M g1 Ws

≤ 0,7 ⋅ f cj (13.3)

σi= Com

nN p A

−

nM p Wi

+

M g1 Wi

≥0


laje)

n- número de cabos a se usar na faixa em questão A, Wi e Ws – área e módulo de resistência da faixa em questão (largura b e altura h da

Np e Mp – normal e momento fletor de protensão na seção e faixa em questão para o tempo zero e para situação de um cabo por metro. Mg1 – momento fletor de carga permanente na seção e faixa em questão; A norma a respeito desta verificação, como já visto no capítulo 5, redige que a tensão máxima de compressão na peça protendida não deve ultrapassar 70% da resistência do concreto na data da protensão. Já a tensão de tração não deve ultrapassar 1,2 vez a resistência à tração fctm. Quando nas seções transversais existirem tensões de tração, deve haver armadura de tração calculada no estádio II. Para efeitos de cálculos, nessa fase da construção, a força nessa armadura pode ser considerada igual à resultante das tensões de tração no concreto no estádio I. Essa força não deve provocar, na armadura correspondente, acréscimos de tensão superiores a 150 MPa no caso de fios ou barras lisas e a 250 MPa em barras nervuradas. Ap

Tensões

As

Ap

As

Tensões

s

s

Npep Np

Mg1

Np

d

d

+

N

L

Npep

+

L

Mg1

N -

Borda oposta

a) Protensão em vazio sem tração

i

Borda oposta

i

As

b) Protensão em vazio com tração

Figura 13.4: Seção transversal em cima de um apoio intermediário com protensão em vazio a) sem tração e b)com tração.

Propositalmente foi considerado como limite à tração o valor de zero para evitar a situação de se colocar armadura passiva na borda oposta a que foi colocada armadura de protensão como o indicado na figura 13.4. Esta verificação é escolhida inicialmente pois acaba limitando a quantidade máxima de armadura ativa a ser usada na seção, pois, em geral, no caso de protensão de elementos de seção com pouca inércia (é o caso das lajes) não é possível usar toda a armadura necessária para o estado limite último como é o caso das vigas (principalmente de pontes) como foi visto no capítulo 8. No caso de lajes, em geral, a armadura resistente no estado limite último no tempo infinito é composta de duas parcelas uma ativa (Ap) e outra passiva (As). Caso o projetista queira empregar uma quantidade maior de armadura ativa é preciso considerar a situação b da figura 13.4 e portanto colocar armadura passiva no bordo oposto que devido a pequena deformação que lá ocorrerá tem sua tensão limitada por norma a 250 MPa. 7) Resolução da estrutura com o número de cabos n determinados Resolve-se a estrutura considerando agora o efeito de protensão, por faixas, com os valores de n determinados no item anterior verificando se atendem às condições de protensão em vazio. 8) Verificação em Serviço, Fissuração Deve-se verificar a fissuração que dependerá basicamente da agressividade do meio ambiente que a estrutura estará inserida. Aqui será considerada a condição de protensão limitada (ver capítulo 7). Lista-se em seguida como seriam estas verificações


considderando uma seção em cima de um pilar em que os momentos de carga permanente e acidental tracionam o bordo superior e a protensão ao contrário traciona o bordo inferior. Lembrar que nesta situação a protensão deve ser considerada com seus esforços relativos ao tempo infinito. Estado limite de formação de fissuras (E.L.S-F).→Combinação de ações Freqüente Os limites neste caso serão Tração → fct,m = -0,3. 3 f ck2 Compressão → estado limite de compressão excessiva (ELS-CE) → 0,7 fcj=0,7fck − 0,33 f ck2 ≤ σ ≤ 0,7 f cj

Levando às verificações, com os respectivos limites, indicadas na tabela 13.1 TABELA 13.1- Verificações do Estado limite de formação de fissuras (E.L.S-F).→Combinação de ações Freqüente - RESUMO BORDA MOMENTO Verificação Limite INFERIOR Máximo 0,7 fcj N p M p M g1+ g2 ψ 1 .M q σi= + − + Wi A Wi Wi INFERIOR Mínimo N p M p M g1+ g2 -0,3. 3 f ck2 σi = − + A Wi Wi SUPERIOR Máximo N p M p M g1+ g2 ψ 1 .M q -0,3. 3 f 2 ck σs= + − − A Ws Ws Ws SUPERIOR Mínimo 0,7 fcj N p M p M g1+ g2 σs= + − A Ws Ws Com Np e Mp os normais e momento de protensão provocados na faixa em questão pelos cabos atuantes na mesma. Estado limite de formação de descompressão (E.L.S-D).→Combinação de ações Quase Permanente Os limites neste caso serão Tração → σ = 0 Compressão → estado limite de compressão excessiva (ELS-CE) → 0,7 fcj 0 ≤ σ ≤ 0,7 f cj Levando às verificações, com os respectivos limites, indicadas na tabela 13.2 TABELA 13.2- Verificações do Estado limite de formação de descompressão (E.L.S-D).→Combinação de ações Quase Permanente - RESUMO BORDA MOMENTO Verificação Limite INFERIOR Máximo 0,7 fcj N p M p M g1+ g2 ψ 2 .M q σ i= + − + A Wi Wi Wi INFERIOR Mínimo 0 N p M p M g1+ g2 σi = − + A Wi Wi SUPERIOR Máximo 0 N p M p M g1+ g2 ψ 2 .M q σs= + − − A Ws Ws Wi SUPERIOR Mínimo 0,7 fcj N p M p M g1+ g2 σs= + − A Ws Ws


Caso as condições anteriores não forem atendidas pode-se proceder da mesma forma que feita no item 6 (equações 13.3) com as seguintes inequações: Estado limite de formação de fissuras (E.L.S-F).→Combinação de ações Freqüente n.N p n.M p M g1+ g2 1*) σi= − + ≥ −0,3.3 f ck2 A Wi Wi

2*) σi= 3*) σs= 4*) σs=

n.N p A n.N p A n.N p

− +

n.M p Wi n.M p Ws n.M p

+ −

M g1+ g2 Wi M g1+ g2 Ws M g1+ g2

+

ψ 1 .M q

−

Wi ψ 1 .M q

Wi

≤ 0,7. f cj ≥ −0,3.3 f ck2

+ − ≤ 0,7 f cj A Ws Ws Estado limite de formação de descompressão (E.L.S-D).→Combinação de ações Quase Permanente n.N p n.M p M g1+ g2 ψ 2 .M q 5*) σi= − + + ≤ 0,7. f cj A Wi Wi Wi n.N p n.M p M g1+ g2 6*) σi= − + ≥0 A Wi Wi n.N p n.M p M g1+ g2 ψ 2 .M q 7*) σs= + − − ≥0 A Ws Ws Ws n.N p n.M p M g1+ g2 8*) σs= + − ≤ 0,7. f cj A Ws Ws Onde n é o número que deve-se multiplicar o número de cabos encontrado anteriormente para a faixa. 9) Verificação de ruptura no tempo infinito (cálculo da armadura passiva complementar): Esta verificação é feita igual ao concreto armado, ou seja, são consideradas as seguintes relações: momento externo é igual ao momento interno; e a força de tração atuante na seção da peça é igual à de compressão., sendo a força de tração composta de duas parcelas Fp e Fs , forças devido a armadura de protensão e passiva respectivamente. Assim. Desta forma esta condição acaba por determinar se há necessidade de armadura passiva complementar e quando for o caso (que ocorre freqüentemente) cálcula-la. Md = A p f p + As f yd , onde z Md = 1,4 (Mg1+Mg2+Mq) ± 0,9 M Ht∞ ; A p - área da armadura ativa;


f p - tensão atuante na armadura ativa. O seu valor depende se a protensão é aderente

ou não, com f p = f (ε s + ε p ) . O procedimento de seu dimensionamento está no item 1.6 no anexo A. As - área da armadura passiva; f yd - tensão atuante na armadura passiva; Mg1 – Momento devido ao peso próprio; Mg2 - Momento devido à sobrecarga; Mq – Momento devido à carga acidental; MH – Momento hiperestático de protensão; ε s - deformação da armadura para o equilíbrio no estado limite último; ε p - deformação prévia da armadura de protensão (pré-alongamento).

Ap

As

Ft =Fp+Fs

d

Md Fc

Figura 13.4: Verificação no estado limite último na flexão no tempo infinito seção transversal em cima do apoio. 10) Verificação quanto à flecha: Deve-se analisar as combinações de ações, as características geométricas das seções, os efeitos da fissuração, a fluência do concreto e as flechas limites. Ver item 1.5.1 do anexo A.

Assim, de uma maneira resumida as etapas para se definir o número de cabos pode ser colocada como: 1) Divisão da estrutura em faixas 2) Resolução da estrutura 3) Definição da trajetória do cabo representante 4) Perdas de protensão do cabo representante. 5) Consideração do carregamento equivalente do cabo e seus esforços. 6) Determinação do número de cabos a se usar em cada faixa com a condição do estado limite último no ato da protensão. 7) Resolução da estrutura com o número de cabos n determinados 8) Verificação em Serviço, Fissuração 9) Verificação de ruptura no tempo infinito (cálculo da armadura passiva complementar)


10) Verificação quanto à flecha:

ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO CAP. 13– PISOS DE LAJES PROTENDIDAS ROBERTO CHUST CARVALHO --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

10

13.4 EXEMPLO NUMÉRICO: Projetar a armadura de protensão de uma laje sem viga de 16 x 16 m, apoiada em 9 pilares, cuja planta esquemática pode ser vista na figura 4, com os seguintes dados (Exemplo adaptado de MELLO [2005]: A) Laje: Espessura da laje: 26 cm; vão = 8 m; B) Armadura: Ativa cordoalha engraxada com φ=12,7 mm (Aço CP190RB), Passiva AÇO CA50; cobrimento foi adotado o valor de cnom=3.27cm; área do cabo=1 cm2, t0= ; C) Geometria do cabo (ver figura 13.5): l1 = 115cm ; l 2 = 235cm ; l3 = 235cm ; l 4 = 115cm ; D) Ações: g1 = 6,5 kN/m2; g2 = 0,5 kN/m2; q = 1,5 kN/m2; E) Características dos materiais: fck=30MPa; Ec,i = 30672MPa; Gc=12200.MPa; Ep=2,0 .105 MPa; fpyk= 1,6. 103 Mpa; fptk = 1,9 . 103 Mpa. F) Ambiente industrial. 800

P3

P2

800

P1

800

h=25 cm

P5

P6

P8

P9

800

P4

P7

Figura 13.5: Desenho esquemático da forma de laje O primeiro passo para a resolução do problema é escolher as faixas com que se irá trabalhar. Na figura 13.6 estão apresentadas as faixas que foram escolhidas totalizando 4m no caso das faixas do tipo 1 e 2 e 2m para as do tipo 3. Apesar das faixas terem estas larguras serão considerados os esforços por metro (como é usual em cálculo de lajes) e os momentos máximos de cada faixa. Não se escolheu faixas de largura de 1m pois neste caso o detalhe seria muito difícil de executar. Notar que as faixas impares contem os pilares e portanto devem possuir momentos fletores de grande magnitude enquanto a faixa 2 deve conter momento positivo grande e a maior deslocamento vertical (flecha).


P1

800

P4

P5

200

Faixa 3

Faixa 2

h=25 cm

P6

400

400

P3

P2

400

200

800

11

Faixa 1

Faixa 2

P7

P8

P9

Faixa 3

Figura 13.5: Desenho esquemático das faixas da laje Resolução da estrutura A estrutura foi resolvida usando o processo de grelha equivalente e o programa LASER [ ] na figuras 13.5 indica-se a malha com os nós e os elementos.

Figura 13.6: Desenho esquemático da grelha equivalente usada para representar a laje em questão com a numeração dos nós e elementos;


12

Usou-se o procedimento de dupla simetria considerando apenas ¼ da estrutura e portanto apenas os pilares P1 (nó 1), P2 (nó 9), Pilar P4 (nó 72) e Pilar P5 (nó 81). O giro segundo o eixo vertical no nós 9,18,27,..81 estão impedidos, assim como as rotações segundo um eixo horizontal nos nó 72,73...81 também estão impedidas. O espaçamento enter os elementos da grela é de 1 m e portanto as características dos elementos para resolver a estrutura são dados na tabela 13.3 Em seguida deve-se definir o cabo representante O cabo representante é detalhado com o perfil dado na Figura 5, e a partir desse traçado foram obtidos os valores do desvio angular e da flecha para cada trecho do mesmo. Estes valores estão tabela 3.

B

C

D

S5

F

E

3.27

A

S4

S3

12.20 5.98

S2

6.10 2.99

h=26 13 13

AV S0 S1

L1=115

S5

L2=235

S6

L3=235

3.27

6.1 2.99

H

L4=115

L4=115

S8

S7

G

12.2 5.98

F

L3=235

L2=235

AP S10

S9

J

I

L1=115

13 13 h=26

100

K

100

Figura 5: Traçado do cabo representante na laje lisa Tabela 3 – Valores do desvio angular e da flecha para cada trecho do cabo representante Trechos

S1-S2

S2-S3

S3-S4

S4-S5

Flechas (cm)

2,99

6,10

12,20

5,98

Desvio angular (°)

2,77

2,77

5,52

5,52

Com os valores encontrados do desvio angular e considerando os dados a seguir, é possível obter as perdas imediatas. Perdas imediatas: Serão calculadas as perdas por atrito e por deformação da ancoragem. A perda imediata do concreto durante a protensão é pequena, sendo assim desprezada. Perda por atrito: σs =σpi e-µ.(∆α+βx)


13

Dados: β = 0,01 rad\m, µ = 0,05 (cordoalha engraxada). Para σpi (tensão do aço na extremidade ativa por ocasião da protensão) adotar o menor valor das equações abaixo: σpi = 0,74.fytk = 14060 kgf/cm2 σpi = 0,84.fpyk = 13440 kgf/cm2 Portanto, σpi = 13440 kgf/cm2 Os valores das tensões em cada trecho após as perdas devido o atrito são mostradas na tabela 4: Tabela 4:Valores das tensões após o atrito Seção S1 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10

distância(m) 0 1,00 2,25 4,50 6,85 8,00 9,15 11,50 13,85 15,00 16,00

∆α ( O ) 0 0 2,77 5,54 11,06 16,58 22,11 27,62 30,39 33,16 33,16

∆α (rad) 0 0 0,048 0,097 0,193 0,289 0,386 0,482 0,530 0,578 0,578

e-µ.(∆α+βx) 1 0,999 0,996 0,993 0,987 0,982 0,976 0,970 0,967 0,964 0,964

Fs=Fs’ e-µ.(∆α+βx) 13440 13426 13386 13346 13265 13198 13117 13037 12996 12956 12956

Perda por deformação da ancoragem: Dados: ∆l = 6 mm (Catálogo do MAC),Ep = 1,9.106 kgf.cm2 Ω = E c .∆l Ω = 1,9.10 6.0,6 Ω = 1140000 kgf.cm

Os valores finais da protensão após a perda de ancoragem são mostrados na tabela5. Tabela 5: Tensões finais Tensão inicial 13440 13426 13386 13346 13265 13198 13117 13037 12996 12956 12956

Distância (cm) 0 100 225 450 685 800 915 1150 1385 1500 1600

Área parcial 0 1400 13000 27000 91935 99495 138915 165200 103935 115400 0

Somatória das Áreas 0 1400 14400 41400 133335 232830 371745 536945 640880 756280 756280

Tensão Final 12309,5 12323,5 12363,5 12403,5 12484,5 12551,5 12632,5 12712,5 12753,5 12793,5 12793,5


14

A Figura 6 mostra as tensões ao longo do cabo. Nota-se que todos pontos do cabo sofrem o efeito da perda por deformação da ancoragem. Variação da Tensão ao longo do cabo Perdas imediatas (atrito e ancoragem) 13600

13200 13000 12800 12600

13346

13265

Tensão (daN/cm2)

13440 13426 13400 13386

13117

12363,5

12712,5

12632,5 12551,5 12484,5

12403,5

12996

12753,5

12793,5

Distância (cm)

12309,5

12200

13037

12956

12323,5

12400

13198

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

Figura 6: Tensões finais após perdas imediatas no cabo representante Com os valores finais das tensões ao longo do cabo (σ ) e das flechas (e ) pode-se calcular as forças de protensão em cada trecho e os carregamentos respectivos (u). Sendo: Fp =

σ i + σ i +1

1,00cm 2 e w1 =

8 F p ei

2 (2l i ) 2 Os valores obtidos das forças de protensão (P) e os carregamentos provenientes da ação dos cabos (up), com apenas um cabo por metro, e com um cada 44 cm são mostrados na tabela 5. É importante informar que o cabo utilizado tem ancoragem ativa (viva) do lado esquerdo e ancoragem passiva (morta) do lado direito, deste modo o seu simétrico corresponde a um outro com ancoragem ativa à direta e passiva à esquerda. Os valores dos esforços para um cabo médio estão também na tabela 6.

Tabela 6: Tensões no cabo AP e PA, Forças de Protensão e carga uniforme Seção SO-S10

s A-P

s P-A

smedio

Ptrecho

e (m)

(MPa) 1230,95

(MPa) 1279,35

(MPa) 1255,15

(kN)

(m)

S1-S9

1233,53

1295,65

1264,59

S2-S8

1236,35

1275,35

1255,85

L(m) u (c/100cm) (m) (kN/m)

u(c/44cm) (kN/m)

125,987*

0

1

0,00

0,00

126,022*

0,0299

1,15

0,57

1,295

125,5825*

0,061

2,35

0,277

0,631

ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO CAP. 13– PISOS DE LAJES PROTENDIDAS ROBERTO CHUST CARVALHO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------S3-S4 1240,35 1271,25 1255,8 125,5825* 0,122 2,35 0,555 1,261 S4-S6 1248,45 1263,25 1255,85 125,55* 0,0598 1,15 1,135 2,580 S5-S5 1255,15 1255,15 1255,15 *Estes valores correspondem à média aritmética das seções anterior e posterior.

15

O carregamento final adotado é mostrado na figura 7. AV AM S0

Ações do cabo representante um por metro t=0 S1

S2 0,57 KN/m

100

S4 S5 1,135KN/m

S3 0,555KN/m

0,277KN/m

1,15

2,35

2,35

1,15

Ações do cabo representante um por metro t=0 usada no programa

1,00m

0,57KN/m

0,277

0,277

0,416

1,00m

1,00m

1,00m

1,00m

0,555

0,555

1,00m

1,00m

1,135

1,00m

Figura 7: Ações em uma faixa de 1m. Perdas ao longo do tempo: A seguir serão estimadas as perdas ao longo do tempo. Perda por retração do concreto: Têm-se os seguintes dados: hfic = 26 cm; Umidade: U = 75%; Tempo zero: to = 5 Com esses dados e o valor de hfic ,consultou-se a Tabela 3 do anexo A e interpolando os valores obteve-se ϕ (t,to) e εc,c (t,t0):

ϕ (t ∞ , t 0 ) = 3,0

ε cs (t ∞ , t 0 )% = −0,23.10 −4 Portanto, o valor de ∆σ p,s é: ∆σ p,s = -2,3.10-5.1,9.104 = 4,37.10 -1 = 43,7 MPa ∆σ p,s = 437 Kgf/cm2 Perda por fluência do concreto: Para a perda de fluência tem-se:

∆σ p,c = αp . σco . ϕ Adotar:


16

σco = 50 Kgf/cm2

αp =

εp Ep

; αp =

1,9.10 6 = 6,2 3,06.10 5

ϕ (t ∞ , t 0 ) = 3,0 Portanto:

∆σ p,c = 6,2 .50. 3 = 930 Kgf Perda por relaxação: Tem-se:

r=

σ pi f ptk

; r=

13440 = 0,84 = 84% 16000

Considerando relaxação baixa (RB), intercalou-se os valores obtidos na Tabela 6 em anexo e obteve-se:

ψ 1000, 0.84 = 3,9% Para o tempo infinito: Ψ1000,0.84 = 3,9.2,5 = 9,75% Portanto, ∆σ pr (∞ + 7 ) = Ψ1000,0.84 . ∆σ p,i ∆σ pr (∞ + 7 ) = 0,0975.13400 = 1306,5 Kgf/cm2 Desse modo, a perda total ao longo do tempo é obtida pela soma das forças calculadas acima: ∆σ p,s+c+r = 437 + 930 + 1306,5 = 2673,5 Kgf/cm2 = 267,35 Mpa Portanto para o cálculo das verificações no tempo infinito deve-se considerar os valores mostrados na tabela 7: Tabela 7: Tensões com perdas iniciais e no tempo infinito Seção S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10

Tensão com perdas Tensão no tempo Relação 2 Iniciais (to) daNf/cm2 Infinito (t∞) daNf/cm to/t∞ 12309,5 12323,5 12363,5 12403,5 12484,5 12551,5 12632,5 12712,5 12753,5 12793,5 12793,5

9636 9650 9690 9730 9811 9878 9959 10039 10080 10120 10120

0,78 0,78 0,78 0,78 0,79 0,79 0,79 0,79 0,79 0,79 0,79


17

Nota-se que há uma perda de 21% no tempo infinito (t∞). Imagina-se, inicialmente, a existência de um cabo por metro, para determinar através de uma condição de fissuração ou de ruptura a quantidade de cabos a se empregar no final. Neste tipo de estrutura em que a seção é retangular, aparentemente, as condições de ruptura são determinantes. Usa-se a condição em vazio (pode ser feita com análise de tensões), verificam-se as tensões em serviços e completa-se, se necessário, com armadura passiva para atendimento da ruptura no tempo infinito. Resolvendo a estrutura com os carregamentos anteriores obtêm-se os valores da tabela 8.

*

Tabela 8: Valores dos momentos considerando um cabo por metro Convenção de sinais: tensão normal de tração tem sinal positivo (+)

Ação Momento apoio pilar central KNm/m Momento meio do vão KNm/m Momento na borda KNm/m

Pg1 -156

Pg1+g2+0,3q Pg1+g2+0,4q Pg1+g2+q Pp t0 Pp tinf -179 -182 -204 62,36 49,26

18,6

21,2

21,7

24,2

-12,05

-9,52

-61,48

70,08

71,73

-80

14,95

11,81

tensão normal de compressão tem sinal negativo (-) ] Para fazer um pré-dimensionamento da quantidade de cabos na laje, impôs a condição de verificação no ato da protensão (protensão no tempo zero e ação do peso próprio) como mais desfavorável. Portanto, os limites das tensões para ELU no ato da protensão são 2100kN/m2≤ σ ≤ 0 (sem tração) ou –347.57 kN/m2 (com tração). A seguir tem-se a verificação para pilar central e para meio do vão. A) Verificação no ato da protensão para a região do pilar central (unidades kN e m): Considerando: n = número de cabos na faixa de 1 metro; w – módulo de resistência da seção; Mg1 – momento devido ao peso próprio; M1cabo – momento de protensão obtido da resolução da estrutura; σ i - tensão de protensão inicial (considerando as perdas iniciais); Acabo - área do cabo e Acabo – área do cabo de protensão. Borda inferior: nσ i Acabo nM 1cabo M g1 − + ≥ 0 (sem tração) Aconcreto Wi Wi n125,5 n.62,36 156 − + ≥0 −2 1.0,26 1.1,126.10 1,126.10 − 2

n ≤ 2,74


18

n125,5 n.62,36 156 − + ≥ −347.57 (com tração) −2 1.0,26 1.1,126.10 1,126.10 − 2

n ≤ 3,42 Borda superior: nσ s Acabo nM 1cabo M g1 + − ≤ 2100 Aconcreto Ws Ws n125,5 n.62,36 156 + − ≤ 2100 −2 1.0,26 1.1,126.10 1,126.10 − 2

n ≤ 5,79 B) Verificação no ato da protensão para a região do meio do vão: Borda superior n124,0 n.12,05 18,6 − + ≥ 0 (sem tração) −2 1.0,26 1.1,126.10 1,126.10 − 2 n ≤ 2,77 n124 n.12,05 18,6 − + ≥ −347,57 (com tração) 1.0,26 1.1,126.10 − 2 1,126.10 − 2 n ≤ 8,64 Borda inferior: 18,6 n124 n.12,05 + − ≤ 2100 −2 1.0,26 1.1,126.10 1,126.10 − 2

n ≤ 14,66

Visando um melhor estudo e comparação dos resultados dos cabos na laje, serão considerados inicialmente os cabos distribuídos de forma uniforme (mesma quantidade de cabos para toda a laje) e, posteriormente, distribuídos por faixas (quantidades diferentes de cabos para a região pilar central, meio do vão e borda). 10 Situação: Distribuição uniforme dos cabos na laje

Para a determinação da quantidade de cabos é considerada a região do pilar central, pois é a mais solicitada. Portanto o número de cabos é 2,74 cabos por metro.


19

A seguir, são feitas as verificações em serviço (ELS): ELS

combinação quase permanente ELS-D.fiss.(estado limite de serviço de descompressão)

pilar pilar vão vão borda borda

temp. inf N/A 1040,99 1040,99 1025,39 1025,39 1040,99 1040,99

g1+g2+0,3q+pinf Mp/w -11986,89 11986,89 2316,59 -2316,59 -2873,84 2873,84

combinação freqüente

limite Mg/w σ 15896,98 4951,08 -15896,98 -2869,10 -1882,771 1459,21 1882,771 591,57 6223,801 4390,95 -6223,801 -2308,98

2

0<σ<21000 kN/m inferior superior inferior superior inferior superior

ELS-F. Fiss.( estado limite de formação de fissuras)


temp. inf N/A 1040,99 1040,99 1025,39 1025,39 1040,99 1040,99

g1+g2+0,4q+pinf Mp/w -11986,89 11986,89 2316,59 -2316,59 -2873,84 2873,84

limite Mg/w σ 16163,41 5217,51 -16163,41 -3135,53 -1927,18 1414,81 1927,18 635,98 6370,337 4537,49 -6370,337 -2455,51

2


Nota-se que na seção do pilar, na borda superior, está ocorrendo tração. Portanto, essa condição será utilizada para um novo cálculo da quantidade de cabos. É sabido, que a quantidade de cabos nessa seção irá aumentar, pois necessita de mais protensão. ELS com combinação quase permanente, para a borda superior na região do pilar: n98,78 n.49,26 179 − + ≥0 −2 1.0,26 1.1,126.10 1,126.10 − 2 n ≥ 3,34 Portanto, o número de cabos utilizado é n = 3,42, que é o limite do ELU no ato da protensão considerando a tração na região do pilar central.


20

As verificações em serviço com n = 3,42 cabos são: ELS

combinação quase permanente


ELS


temp. inf N/A 1299,34 1299,34 1279,87 1279,87 1299,34 1299,34

g1+g2+0,3q+pinf Mp/w -14961,74 14961,74 2891,51 -2891,51 -3587,05 3587,05

limite Mg/w σ 15896,98 2234,58 -15896,98 364,10 -1882,771 2288,61 1882,771 271,13 6223,801 3936,09 -6223,801 -1337,41

combinação freqüente temp. inf N/A 1299,34 1299,34 1279,87 1279,87 1299,34 1299,34

g1+g2+0,4q+pinf Mp/w -14961,74 14961,74 2891,51 -2891,51 -3587,05 3587,05

ELS-D fiss. 2


ELS-F fiss.

limite Mg/w σ 16163,41 2501,01 -16163,41 97,67 -1927,18 2244,20 1927,18 315,54 6370,337 4082,62 -6370,337 -1483,95

2


Nota-se que na faixa da borda está dando tração na borda superior da seção, portanto seria necessário mais protensão nessa borda. Porém se aumentar o número de cabos na laje, esta não irá verificar o ELU no ato da protensão na região do pilar. Isso resulta na inviabilidade de uso de cabos distribuídos uniformemente para essa estrutura. Ainda assim para efeito de comparação esse exemplo será considerado com a distribuição uniforme de cabo. Portanto com n = 3,42, tem-se as verificações ELU no ato da protensão e ELS atendidas. A seguir, faz-se a verificação do ELU no tempo infinito na região do pilar e no meio do vão: A)Verificação do ELU no tempo infinito na região do pilar: Mpt = Misostático + MH 3,42.49,26 = 3,42. 98,78. 0,0846 + MH MH = 139,89 KNm/m Md = -1,4 204 + 0,9. 139,89 = -159,7 KNm/m


Ap

21

As

Ft =Fp+Fs

d

159,7 KNm/m Fc

Resolve-se o problema considerando flexão simples usando CARVALHO & FIGUEIREDO FILHO [2001] e supondo inicialmente a existência de aderência. 159,7 = 0,14 KZ = 0,909 e ε S = 10,00 %0 KMD = 2 30000 1.0,21 1,4

σ p∞

987,8 = 4,94% 0 e o E 2,0.10 5 alongamento final (desconsiderando o alongamento da descompressão) ε t = ε s + ε p = 10,00 + 4,99 = 14,99% 0 , com esse valor chega-se a uma tensão no aço de

Como σp,t=987,8 MPa o pré-alongamento será de ε p =

=

fp=1507 MPa. A Força de tração (Ft) será composta de uma parte da armadura de protensão e de outra de armadura de aço passivo então: Md Ft = = Ap.fp +As. fyd (1) Kz.d Substituindo Ap=3,42 cm2, fp=1507 Mpa, Md=1600 MPa, KZ=0,908, d=0,21m e fyd=500/1,15 Mpa chega-se a As=7,42 cm2 na borda superior (junto com o cabo protendido). Considerando agora a cordoalha engraxada, a tensão da armadura é dada por: 30 ∆σp = 70 Mpa + fck/(100ρp) = 70 + =254,2 MPa 3,42 100 x 100 x 21 Assim, a tensão na armadura fp= 987,8+254,2=1242 MPa. Substituindo este valor em (1), chega-se a As=9,51 cm2 na borda superior. B)Verificação do ELU no tempo infinito na região do meio do vão: Mpt = Misostático + MH 3,42.(-9,52) = -3,42. 97,30. 0,0846 + MH MH = -4,40 KNm/m Md = 1,4. 24,2 - 0,9. 4,40 = -29,92 KNm/m Supondo inicialmente a existência de aderência.


KMD =

29,92 = 0,025 2 30000 1.0,21 1,4

22

KZ = 0,985 e ε S = 10,00 %0

σ p∞

973 = 4,865% 0 e o E 2,0.10 5 alongamento final (desconsiderando o alongamento da descompressão) ε t = ε s + ε p = 10,00 + 4,865 = 14,865% 0 , com esse valor chega-se a uma tensão no aço de

Como σp,t=973 MPa o pré-alongamento será de ε p =

=

fp=1506,38 MPa. Substituindo estes valores em (1), tem-se: 299,2 = 3,42.1506,38 +As. 434,7 0,985.0,21 1446,46 = 5151,83 + As. 434,7, portanto não precisa de armadura passiva. Considerando agora a cordoalha engraxada, a tensão da armadura é dada por: fp= 973 +254,2=1227,2 Mpa (substituindo na equação acima). Portanto não necessita de armadura passiva. Como utilizou-se 3,42 cabos, será necessário calcular a armadura passiva na borda inferior na região do pilar, devido à presença de tração na mesma. Cálculo da armadura passiva na borda inferior (to):

x 3440,7 = , x = 0,088 m h 10172,5 3440,7 = 151,2 kN Ft=0,088. 1,0. 2 151,4 = 6,0 cm2 de armadura passiva na borda inferior da região do pilar. As= 25 Verificação das flechas:

Se se tratasse de concreto armado o momento de fissuração da seção terá o valor: Mr=1,5wfct=1,5x2900x1x 0 , 26 6

2

= 49,01kNm;

Para o caso de protendido: Mr= M p ,t∞ + w(1,5 f ct + Mr=168,5+0,01126(1,5x2900+

3,42 x98,78 =232,11KNm. 0,26

N ) , que na seção S5, tem-se A


23

Assim a situação de protendido, considerando a seção S5 (junto ao pilar central) como referencia (maior momento), não haverá fissuração nem para a combinação rara, g1+g2+q, pois M g1+g2+q= (-204) kNm< Mr=232,11KNm, bastando usar as flechas obtidas no programa linear. A fluência para a peça protendida pode ser obtida multiplicando a deformação imediata pelo coeficiente de fluência ϕ (neste caso igual a 3). Para o caso do protendido o momento de fissuração cresce bastante principalmente devido ao momento de protensão e pela tensão normal devido o efeito centrado da protensão. Assim as flechas podem ser obtidas diretamente do cálculo elástico da grelha e substitui-se α por ϕ ag1+g2+0,3q t= ∞ = ϕ x ag1+g2+0,3q + ag1+g2+0,3q - ap = 3x8,1+8,1–7,86=24,54mm < alimite = 26,6mm satisfaz. Tabela 9: Valores das flechas Situação Flecha(mm)

g1 7,11

g1+g2+0,3q 8,1

g1+g2+q 9,3

pt0 9,95

ptinf 7,86

q 1,6

No caso de concreto armado é preciso considerar a fissuração que será avaliada pela expressão de Branson que levará a uma inércia de 4,86 x10-4m4 para a combinação quase permanente, levando a uma flecha de 24,36 mm. Assim at=∞= (24,36x2)+24,36=73,08 mm >alimite=l/300=8000/250=32mm, portanto não satisfaz. Mesmo considerando uma contra flecha de 50 mm, tem-se com o carregamento próprio uma inércia de 4,98x10-4m4 e uma flecha 20,9 mm, resultando em uma flecha final de acontraflecha – ag1 =50 – 20 = 30 mm > 26,6 mm, que também não verifica. Verificação da punção

Para a verificação da punção, deve-se adotar o valor da cortante na região crítica C e C’ do pilar, que ficam respectivamente, no contorno do pilar e a distancia de 2d (neste exemplo 42 cm) do mesmo. Entretanto, neste exemplo adotou-se a cortante que fica no nó do pilar, pois a malha utilizada pelo o programa é de 1m, não tento, portanto, o valor da cortante na região crítica. A) Sem o uso de protensão: Cortante V g1+g2+q atuante no pilar central (nó 81) V g1+g2+q = 1,4 x 207,72 . 4 = 1163,23 kN F 1) Verificação na superfície C: τsd = sd < τRd2 = 0,27 α v f cd µd F 1163,23 30  30000  ; < 0,27 1 − τsd = sd =  µ .d (4 x0,42).0,21  250  1,4 3297,14 kN/cm2< 5091,4 kN/cm2 Satisfaz. 2) Verificação na superfície C’: F 20 τsd = sd < τRd1= 0,13(1+ )(100. ρ . fck)1/3 µ .d d


24

116323 20 < τRd1= 0,13(1+ )(100. 0,00966. 30)1/3 ; 21 (4.42 + π .4.21).21 2 2 Não satisfaz, seria necessário usar armadura de 12,82 daN/cm < 7,9 daN/cm punção.

τsd =

B) Com o uso da protensão: A nova norma 6118:2003 modifica as expressões de verificação de punção para a protensão, considerando os dois efeitos favoráveis à punção, sendo um deles decorrente da tensão de compressão, exercida pela protensão, que aumenta a resistência ao cisalhamento do material concreto, desprezada neste caso. O outro é devido a componente vertical da força de protensão que geralmente é ascendente na região crítica, contrabalançando uma parcela da força cortante decorrente das cargas, desprezada neste caso. Sendo assim tem-se: τsd,ef = τsd - τpd Cortante atuante no pilar central (nó 81) é V p = 604,54 kN, portanto tem-se 116323 − 60454 = 6,16 daN/cm2 < 7,9 daN/cm2 Satisfaz. τsd,ef = (42.4 + 4π 21).21 Nota-se que com apenas o efeito vertical da força de protensão a verificação foi aceita. Portanto, se considerasse o efeito decorrente da tensão de compressão o valor da tensão devida ao efeito dos cabos de protensão seria ainda menor. 20 Situação: Distribuição dos cabos na laje por faixa

No pré-dimensionamento dos cabos distribuídos por faixa, será adotada, inicialmente, a verificação no ELU no ato da protensão sem considerar tração para cada faixa. A laje fica dividida em três faixas: pilar central, meio do vão e borda (ver figura 8).

P1

P2

P4

P5

meio do vão

pilar central

800

borda

800

Figura 8: Faixas na laje


25

Os valores da quantidade de cabos adotados são 3.42, 2.77 e 5.00 para, respectivamente, a região do pilar, do meio do vão e da borda. Sendo os dois primeiros valores calculados na 10 Situação ( números de cabos uniforme) para o ELU no ato de protensão, e para a borda: C) Verificação no ato da protensão para a região da borda: É importante ressaltar, que os momentos de protensão ainda são obtidos da situação de distribuição de cabos uniformes. Borda inferior:

nσ i Acabo nM 1cabo M g1 − + ≥ 0 (sem tração) Aconcreto Wi Wi 61,48 n125,5 n.14,95 − + ≥0 −2 1.0,26 1.1,126.10 1,126.10 − 2

n ≤ 6,44 61,48 n125,5 n.14,95 − + ≥ −347.57 (com tração) −2 1.0,26 1.1,126.10 1,126.10 − 2

n ≤ 10,54 Borda superior:

nσ s Acabo nM 1cabo M g1 + − ≤ 2100 Aconcreto Ws Ws 61,48 n125,5 n.14,95 + − ≤ 2100 −2 1.0,26 1.1,126.10 1,126.10 − 2

n ≤ 14,60

Valores dos momentos considerando os cabos distribuídos por faixa: Ação Momento apoio pilar central KNm/m Momento meio do vão KNm/m Momento na borda KNm/m

Verificações ELS


Pg1 -156

Pg1+g2+0,3q Pg1+g2+0,4q Pg1+g2+q Pp t0 Pp tinf -179 -182 -204 139,8 110,44

18,6

21,2

21,7

24,2

-33,5

-26,47

-61,15

70,115

71,53

-80

55,98

44,22

combinação quase-permanente ELS-D fiss. temp. inf N/A 1299,34 1299,34 1036,62 1036,62 1899,62 1899,62

g1+g2+0,3q+pinf Mp/w -9808,17 9808,17 2350,80 -2350,80 -3927,18 3927,18

Mg/w 15896,98 -15896,98 -1882,77 1882,77 6216,70 -6216,70

limite σ 7388,15 -4789,47 1504,65 568,59 4189,14 -389,91

2



ELS



temp. inf N/A 1299,34 1299,34 10366,19 10366,19 1899,62 1899,62

g1+g2+0,4q+pinf Mp/w -9808,17 9808,17 2379,22 -2379,22 -3927,18 3927,18

26

ELS-F fiss. 2

l limite -34750<σ<21000 k/m Mg/w σ 16163,4103 7654,58 inferior -16163,4103 -5055,90 superior -1927,17584 10818,23 inferior 1927,175844 9914,15 superior 6370,337478 4342,78 inferior -6370,33748 -543,55 superior

Nota-se que na faixa da borda e do pilar, na borda superior, está ocorrendo tração. Portanto, essas condições são utilizadas para um novo cálculo da quantidade de cabos, chegando ao valor final de n = 5,30 na borda, n = 2,77 no centro e n = 6,50 na região do pilar. Os valores dos momentos para essa nova distribuição de cabos são: Ação Pg1 Pg1+g2+0,3q Pg1+g2+0,4q Pg1+g2+q Pp t0 Pp tinf Momento apoio pilar central -156 -179 -182 -204 193,52 152,88 KN/m Momento meio do vão 18,6 21,2 21,7 24,2 -37,02 -29,25 KN/m Momento na borda -61,15 70,115 71,53 -80 62,71 49,54 KN/m

Sendo assim, suas verificações em serviços são:

ELS

combinação quase-permanente pilar pilar vão vão borda borda

temp. inf N/A 2469,50 2469,50 1036,62 1036,62 2013,59 2013,59

ELS

g1+g2+0,3q+pinf Mp/w -13577,26 13577,26 2597,69 -2597,69 -4399,64 4399,64

2

Mg/w 15896,98 -15896,98 -1882,77 1882,77 6216,70 -6216,70



temp. inf N/A 2469,50 2469,50 10366,19 10366,19 2013,59 2013,59

g1+g2+0,4q+pinf Mp/w -13577,26 13577,26 2597,69 -2597,69 -4399,64 4399,64

ELS-D fiss. limite 0<σ<21000 kN/m σ 4789,22 inferior 149,78 superior 1751,54 inferior 321,70 superior 3830,64 inferior 196,54 superior

ELS-F fiss.

lim ite -34750<σ<21000 kN/m2 Mg/w σ 16163,4103 5055,65 inferior -16163,4103 -116,65 superior -1927,17584 11036,71 inferior 1927,175844 9695,68 superior 6370,337478 3984,29 inferior -6370,33748 42,90 superior


27

Portanto, as verificações de fissuras estão atendidas. A seguir, faz-se a verificação do ELU no tempo infinito para cada faixa: A) ELU no t∞ na região do pilar: Mpt = Misostático + MH 152,88 = 6,50. 98,78. 0,0846 + MH MH = 98,56 KNm/m Md = -1,4 204 + 0,9. 98,56 = -196,89 KNm/m KMD =

196,89 = 0,17 2 30000 1.0,21 1,4

KZ = 0,8873 e ε S = 8,9 %0

σ p∞

987,8 = 4,94% 0 e o E 2,0.10 5 alongamento final (desconsiderando o alongamento da descompressão) ε t = ε s + ε p = 8,9 + 4,99 = 13,84% 0 , com esse valor chega-se a uma tensão no aço de

Como σp,t=987,8 MPa o pré-alongamento será de ε p =

=

fp=1501,9 MPa. Sendo assim tem-se: 1968,9 = 6,50.1501,9 +As. 434,7 0,8873.0,21 Chega-se a As=1,85 cm2 na borda superior (junto com o cabo protendido). Considerando agora a cordoalha engraxada, a tensão da armadura é dada por: 30 ∆σp = 70 Mpa + fck/(100ρp) = 70 + =166,92 MPa 6,5 100 x 100 x 21 Assim, a tensão na armadura é fp= 987,8+166,92=1154,72 Mpa e tem-se: Ft =

1968,9 = 6,50.1154,72 +As. fyd , portanto As = 7 cm2. 0,8873.0,21

B) ELU no t∞ na região do meio do vão: Mpt = Misostático + MH -29,25 = -2,77. 97,30. 0,0846 + MH MH = -6,45 KNm/m Md = 1,4 24,2 - 0,9. 6,45 = 28 KNm/m 28 = 0,024 KZ = 0,985 e ε S = 10 %0 2 30000 1.0,21 1,4 Considerando a cordoalha engraxada (mais solicitada), a tensão da armadura é dada

KMD =

por:


28

30 =297,43 MPa 2,77 100 x 100 x 21 Assim, a tensão na armadura é fp= 973+297,43=1270,43 MPa e tem-se:

∆σp = 70 Mpa + fck/(100ρp) = 70 +

280 = 2,77.1270,43 +As. fyd , portanto não necessita de armadura passiva. 0,985.0,21 C) ELU no t∞ na região da borda: Ft =

Mpt = Misostático + MH 49,54 = 5,30. 98,78. 0,0846 + MH MH = 5,24 KNm/m Md = 1,4. 80 - 0,9. 5,24 = 107,28 KNm/m

107,28 = 0,0924 KZ = 0,942 e ε S = 10 %0 2 30000 1.0,21 1,4 Considerando a cordoalha engraxada (mais solicitada), a tensão da armadura é dada

KMD =

por: 30 =188,87 MPa 5,30 100 x 100 x 21 Assim, a tensão na armadura é fp= 973+188,87=1176,7 MPa e tem-se:

∆σp = 70 Mpa + fck/(100ρp) = 70 +

Ft =

1072,8 = 5,30.1176,7 +As. fyd , portanto não necessita de armadura passiva. 0,942.0,21

Como utilizou-se 6,50 cabos na região do pilar, será necessário calcular a armadura passiva na borda inferior, devido à presença de tração na mesma. Cálculo da armadura passiva na borda inferior (to) na região do pilar:

x 194,5 = , x = 0,0076 m h 6664,3 194,5 Ft=0,0076. 1,0. = 0,73 kN 2


As=

29

0,73 = 0,028 cm2 de armadura passiva na borda inferior da região do pilar. 25

Para melhor visualização dos resultados seguem as tabelas 10 e 11, tendo, respectivamente, as quantidades de aços (ativos e passivos) para a distribuição uniforme e por faixa. Tabela 10: Aços para a distribuição uniforme 2

2 Armadura Passiva (cm ) Armadura Passiva (cm ) Armadura Protensão borda oposta da protensão 2 Ap (cm ) Armadura Ativa Armadura Ativ As Aderente Engraxada 6 Pilar 3,42 7,42 9,51 0,2 Meio do vão 3,42 -

Tabela 11: Aços para a distribuição por faixa 2

2 A rm a d u ra P a ssiva (cm ) A rm a d u ra A rm a d u ra P a ssiva (cm ) P ro te n sã o b o rd a o p o sta d a p ro te n sã o 2 A p (c m ) A rm a d u ra A tiva A rm a d u ra A tiv As A d e re n te N ã o A d e re n te P ila r 6 ,5 1 ,8 5 7 M e io d o vã o 2 ,7 7 B o rd a 5 ,5 -

10. ASPECTOS A SEREM CONSIDERADOS Para que se alcance os objetivos a serem desejados alguns aspectos que não foram abordados serão feitos na fase final do trabalho. A seguir lista-se alguns desses aspectos: 10.1. Trajetória de cabos: No exemplo feito partiu-se da premissa de uma trajetória de cabo representante para toda laje. Propõe-se verificar as seguintes possibilidades: a) mudar a geometria em elevação tornando cabo mais eficiente. Isso pode ser feito considerando que as ações ascendentes sejam maior que as descendentes, que em última análise corresponde a diminuir os trechos convexos; b) verificar as possibilidades de geometria variável conforme a locação em planta do cabo (localização por faixas); c) verificar se cabos concordantes são mais interessantes. 10.2. Distribuição de cabos: Analisar situações de distribuição uniforme em faixas e predominantemente unidirecional.


30

10.3. Meio Ambiente: Estudar para o mesmo exemplo situações em meio ambientes diferentes. É possível que na protensão parcial as condições determinantes sejam diferentes da protensão limitada. 10.4. Interferência de pilares: Usando um modelo de ferramenta de cálculo mais completo (grelha acoplada a pórtico) do que aqui empregado (grelha), possibilitando considerar o efeito de pórtico dos pilares, que podem restringir a protensão. Considerar o efeito da dimensão do pilar nos diagramas de momentos (arredondamento do diagrama). 10.5. Estudar as diferenças de uso de protensão aderente e não aderente: mostrar a questão da diferença de excentricidade, a possibilidade de usar agrupamento de cabos e estudar as regiões ancoragem. Através de exemplos verificar o quantitativo de armadura ativa e amadura passiva. 10.6. Processo de pré-dimensionamento: ampliar o processo de pré-dimensionamento considerando as variáveis de aumento de altura da laje, condições de verificações (limitadas e completas), possibilidade de diversas soluções. Todos esses aspectos poderão ser abordados (o que não foi feito até agora) com a ferramenta do programa de módulo protendido do TQS. Para que os itens não causem confusões de entendimento ao leitor, procurar-se-á sempre que possível empregar exemplos de estrutura simples. Será resolvido um pavimento tipo de maior complexidade para um edifício residencial.

ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO-VOL.-1-CHUST

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