ESTUDIO DE PERFILES BIDIMENSIONALES. TEORÍA DE CIRCULACIÓN Daniel Rodríguez Calvete, Ingeniero Naval y Oceánico Mestrado en investigación en tecnologías Navales; EPS, Universidad de la Coruña Hidrodinámica, Resistencia y Propulsión Marina
INDICE: 1. OBJETIVOS 2. HIPOTESIS DE PARTIDA 3. BASE MATEMÁTICA 4. MODELADO DEL PERFIL BIDIMENSIONAL 5. TEORÍA BIDIMENSIONAL LINEALIZADA 6. TEOREMA DE KUTTA-JOUKOWSKI PARA
defina el comportamiento del fluido alrededor del perfil bidimiensional. Las hipótesis de partida son: 1. 2. 3. 4. 5.
∞
PERFILES ESBELTOS 7. OBTENCIÓN DE LA FUNCIÓN POTENCIAL 8. MODELADO DEL ESPESOR 9. MODELADO DE LA LÍNEA MEDIA DEL PERFIL 10. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE SUSTENTACIÓN DEL PERFIL
Perfil Bidimensional de envergadura infinita Fluido Ideal No Viscoso e Incompresible Perfil esbelto Angulo de ataque pequeños (>15º) Perfil sometido a un fluido con velocidad unifrome U
Sistema de referencia: Es estudio se relaza con respecto a un sistema de referencia establecido en perfil: 1. Eje x en la dirección de la cuerda 2. Eje y perpendicular a la cuerda, que será la dirección del espesor del perfil
1. OBJETIVOS
3. BASE MATEMÁTICA
En el siguiente estudio se pretende sentar las bases para la realizar del diseño de perfiles de hélices de propulsores marinos. Para el cálculo de la distribución presiones y velocidades en perfiles bidimensionales se planteará la metodología de la teoría de circulación.
Ecuaciones del movimiento irrotacional en líquidos
2. HIPÓTESIS DE PARTIDA Para el estudio vamos a considerar flujo no viscoso y por lo tanto un fluido ideal. De esta forma se cumplen las ecuaciones de Bernoulli (flujo Potencial) y el problema se reduce, por lo tanto, a la obtención de un potencial que
Las ecuaciones que describen el movimiento irrotacional de fluidos constituyen la mayor simplificación posible de las ecuaciones generales que rigen el movimiento de un fluido. El caso más sencillo es el movimiento de líquidos, cuyas ecuaciones, cuando el vector de velocidades deriva de un potencial son: υ = ∇ϕ
Δϕ = 0 Ec.de Continuidad p ∂ϕ 1 + (∇ϕ ) 2 + + U = C (t ) Bernouilli ρ ∂t 2
Como podemos observa, en el caso de líquidos la incógnita que nos resuelve el problema es el potencial ϕ ,
1
por lo que la única ecuación que necesitamos para resolver el flujo es la ecuación de continuidad. Por lo tanto, la ecuación del movimiento irrotacional de líquidos particularizada al caso bidimensional es la ecuación de Laplace del potencial ϕ :
3º Dada la condición anterior y que estamos trabajando en 2D, se puede definir una función analítica F de variable compleja z = x + iy que contenga ambas funciones: F ( z ) = ϕ ( x, y ) + iψ ( x, y) POTENCIAL COMPLEJO
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + = 0 Ec. de Laplace ∂ x 2 ∂ y 2
Para simplificar el procedimiento de cálculo, aprovechando que vamos a trabajar en 2D, la solución de esta ecuación se realizará en el campo complejo, de tal forma que se puede llegar a soluciones analíticas en muchos casos particulares.
La función de corriente
Función Potencial Complejo. Propiedades La función potencial compleja presenta muy interesantes para el cálculo.
propiedades
Si derivamos la función F respecto de x e y: ∂F ∂ϕ ∂ψ ; ∂F ∂ϕ ∂ψ = +i = +i ∂ x ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y ∂ y
Para avanzar en la solución de la ecuación, un primer Por otro lado, F es función de la variable z que a su vez paso es definir la función de corriente que rige el es función de x,y, por lo tanto: problema. Dicha ecuación para el movimiento ∂F ∂F ∂ z dF ∂F ∂F ∂ z dF bidimensional viene dada por: = = = =i ∂ x
∂ x u
+
∂ y v
= 0 ==> vdy − udx = 0
∂ψ = −v ∂ x
∂ψ =u ∂ y
Por lo que sustituyendo estas relaciones en la ecuación de la línea de corriente resulta que d ψ = 0 , lo que implica que para la función de corriente toma un valor constante para cada línea de corriente. Teniendo en cuenta la hipótesis de fluido potencia, ∇φ = v , se tiene además que: ∂φ =u ∂ x
∂φ =v ∂ y
Y por lo tanto se deduce la siguiente relación: ∂ψ ∂φ =− ∂ x ∂ y
∂ψ ∂φ = ∂ y ∂ x
De esto se deduce que: 1º Dado que la función potencial φ es ármonica, también lo será.
dz
∂ y
∂ z ∂ y
dz
Y por lo tanto: dF
De esta ecuación diferencial se deriva la existencia de una función ψ ( x, y ) que define el vector de velocidades y denominaremos función de corriente. Esta la función de la curva cuya tangente es paralela vector velocidad, definida tal que:
∂ z ∂ x
dz
=
∂φ ∂ψ +i = u − iv ∂ x ∂ x
Por lo tanto, para obtener en campo de velocidades podemos dar la función potencial en R, o la función F en el campo complejo. Por lo tanto, para la resolución analítica del problema bastará con encontrar una función potencial que satisfaga las condiciones del problema. Esto modela bien ciertos campos de velocidades. A continuación se presentan las soluciones de casos particulares que nos servirán como herramienta para modelar el caso del perfil en 2D:
Fuente y Sumidero Una fuente o sumidero es un punto singular que emana o absorbe un determinado caudal finito de fluido en la dirección radial al punto. Esto se traduce en que existe una intensidad de campo (flujo por unidad de longitud y tiempo) en el sentido radial, que dividido por el área que atraviesa nos dará la velocidad radial, de tal forma que: 2π b b ∂φ = u r = = 2π r r ∂r
1 ∂φ r ∂θ
= uθ = 0
Donde 2π b = intensidad = q =A·v; Integrando se tiene que: φ = b ln r
Y para las líneas de corriente se tiene que: 2º La familia de curvas potenciales φ (x,y), es ortogonal a la familia de curvas de función de corriente (x,y).
2
∂ψ =0 ∂r 1 ∂ψ b = u r = r ∂θ r
Por lo tanto, vθ =
C
Integrando:
Combinando ambas en la función potencial complejo se tiene que: F ( z ) = b ln r + ibθ = b ln(r ·e i
θ
) = b ln( z )
q
; Es fuente o sumidero dependiendo del 2π signo de q (Caudal por unidad de longitud). b=
F ( z ) =
2π
vθ = r ω =
dF
−
ln( z )
ω C C = 2 r r
En este caso, la función potencial compleja no resulta tan obvia. Según la propiedad de la función potencial compleja se tiene que:
d z
Por lo tanto: q
; donde C es un constante arbitraria.
Si ω es la velocidad angular del vértice, entonces:
= b θ
Con
r
= u − iv = −
C ' r
(senθ − i cosθ ) =
C ' ⎡
π ⎞ ⎛ π ⎞⎤ cos⎛ ⎜ − θ ⎟ + isen⎜ − θ ⎟⎥ ⎢ r ⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎦
Haciendo uso de las propiedades del campo complejo i, esta última expresión se puede expresar como.
Vórtice Ideal
dF
Un torbellino o vórtice ideal es una singularidad que produce un movimiento cuyas líneas de corriente son circunferencias concéntricas y que es irrotacional en todos sus puntos salvo en su centro, donde se produce la singularidad. Es decir, la circulación a lo largo de cualquier línea cerrada vale 0 si no contiene la singularidad y toma un valor no nulo si la contiene. Para que las líneas de corriente sean circunferencias la velocidad radial debe ser igual a 0. Se debe cumplir además que el movimiento sea irrotacional:
dz
=−
C '
e
R
∇×v =
1 ∂
reθ
∂ r ∂r ∂θ vr
rvθ
e z
∂ =0 ∂ z
Desarrollando obtenemos:
1 ∂ (rvθ ) r ∂r
=0
Esto se cumple si y sólo si rvθ ≠ f (r ) , es decir, constante en la dirección radial;
C z
F = −iC ln( z )
Ahora necesitamos conocer el valor de C, y será interesante ponerlo en función de la circulación. La circulación a lo largo de cualquier línea cerrada valdrá:
∫
γ = vdl =
2π
∫0
vθ rd θ =
2π C
∫0
r
rd θ = 2π C
Entonces: C =
v z
Donde para el caso del vértice ideal (circular): vr = 0 v z = 0 Caso 2 D
= −i
Integrando:
C
er
⎛ π ⎞ −θ ⎟ ⎝ 2 ⎠
i⎜
γ
2 π
Por lo tanto, para un v´rrtice ideal la función potencial compleja es: F = −i
γ
2π
ln( z ) Vértice Ideal
Si lo comparamos con el caso de fuente-sumidero: F ( z ) =
q
2π
ln( z ) Fuente/Sumidero
Vemos que se pueden relacionar como conjugados complejos.
3
Movimiento del fluido alrededor de un cuerpo seminfinito con borde de ataque romo La bondad de los modelos anteriores es que son lineales y por lo tanto superponibles, lo que nos permite modelar problemas más complejos sumando sus expresiones en el campo complejo. Para modelar un cuerpo en el seno de un fluido, el modelo de una fuente y de un flujo libre. El caudal que sale del manantial queda confinado en una bolsa que comienza en un punto de remanso aguas arriba y continúa aguas abajo hasta el infinito. Esto también puede representar el flujo alrededor de un obstáculo sólido, ya que esta región se pude reemplazar por el sólido semiinfinito que estamos estudiando. El flujo libre es una corriente una corriente de velocidad U ∞ , por la velocidad sólo tendrá componente en la dirección del flujo, de manera que: dF ( z ) dz
= u = U ∞
Integrando:
u =
v=
q
ln( z ) + U ∞ z 2π De forma que el manantial está en el origen de coordenadas donde se sitúa el cuerpo.
∂φ q y = ∂ y π x 2 + y 2
Y el módulo de la velocidad en cada punto del espacio es, que será el campo de velicidades: 2 2 ⎡⎛ q x ⎞ ⎛ q y ⎞ ⎤ ⎟ ⎥ + U ∞ ⎟⎟ + ⎜⎜ v = ⎢⎜⎜ 2 2 2 2 ⎟ ⎢⎣⎝ π x + y ⎠ ⎝ π x + y ⎠ ⎥⎦
=
q
2π
q
2π
ln( z ) + U ∞ z = F ( z ) =
q
2π
ln(re iθ ) + U ∞ z =
(ln(r ) + iθ ) + U ∞ z =
q ⎡
⎛ ⎞⎤ ⎛ y ⎞ 2 2 ⎢[ln( x + y ) + U ∞ x ]+ i⎜⎜ arctan⎜ ⎟ + U ∞ y ⎟⎟⎥ 2π ⎣ ⎝ x ⎠ ⎝ ⎠⎦
Por lo tanto como F ( z ) = ϕ ( x, y ) + iψ ( x, y ) , ya tenemos las funciones de potencial y corriente que rigen el problema del obstáculo: φ ( x, y ) = ψ ( x, y ) =
q
2π
ln( x 2 + y 2 ) + U ∞ x
q
Operando llegamos a:
2π
2
1 q x ⎛ q ⎞ 2 v =⎜ ⎟ 2 U ∞ + U ∞ +2 2 2 2 π x + y ⎝ π ⎠ x + y 2
Buscamos a este respecto, el punto de incidencia del flujo en el cuerpo, es decir, el punto de remanso en la dirección del eje x y=0 v=0: 2
q ⎞ 1 q x 0 = ⎛ U ∞ + U 2 ∞ ⎜ ⎟ 2 +2 2 π x ⎝ π ⎠ x
O lo que es lo mismo: 2
q ⎞ q 2 2 0 = ⎛ ⎜ ⎟ + 2 xU ∞ + U ∞ x π ⎝ π ⎠
Dividiendo por U 2 ∞ : 2
⎛ q ⎞ q ⎜⎜ ⎟⎟ + 2 x + x 2 = 0 π U ∞ ⎝ π U ∞ ⎠
Resolviendo el polinomio de 2º orden se obtiene:
y ⎞ arctan⎛ ⎜ ⎟ + U ∞ y
⎝ x ⎠
Con esto ya podemos obtener el campo de velocidades, ya que: v = ∇φ
1/ 2
⎡⎛ ⎛ q ⎞ 2 ⎤ ⎞ x 2 q x ⎟ U 2 + ⎢⎜ ⎜ ⎟ 2 ⎥ ∞ 2 ⎟ ⎛ q y ⎞ 2 ⎥ π x 2 + y 2 2 ⎢⎜ ⎝ π ⎠ ( x + y 2 ) ⎟ v = ⎢⎜ ⎟ + ⎜⎜ 2 2 ⎟ ⎥ 2 ⎟ ⎝ π x + y ⎠ ⎥ y 2 ⎢⎜ + U 2 ∞ + ⎛ q ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎟ 2 ⎢⎜ ⎥ ⎝ π ⎠ ( x + y 2 ) ⎠ ⎣⎝ ⎦
Desarrollando la expresión compleja F ( z ) =
∂ φ q x = + U ∞ 2 ∂ x π x + y 2
F ( z ) = U ∞ z
Superponiendo un manantial y un flujo uniforme, obtenemos el potencial complejo del modelo: F ( z ) =
Derivando respecto de cada coordenada sus componentes son:
x = −
q
π U ∞
Que traducido es: El punto de remanso de la superposición de una fuente y un flujo uniforme se produce a una distancia x = q aguas arriba del punto π U ∞
singular del manantial.
4
Ahora nos interesa saber cual es la forma del sólido definido por la composición. Esto será la línea de corriente que pasa por el punto de remanso: ψ ( x, y ) =
q
2π
y ⎞ arctan⎛ ⎜ ⎟ + U ∞ y
⎝ x ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ q 0 ⎟ ⎜ = + U ∞ 0 = 0 arctan ⎜ q ⎟ 2π ⎜ U ⎟ ⎝ π ∞ ⎠
t =
)
d r ds
=
(dx, dy ) 2 1/ 2
(dx 2 + dy )
=
(1, y' ) (1 + y ′2 )1 / 2
Derivando la tangente respecto de la longitud de arco y desarrollado, se obtiene:
ˆ d t ds
=
(dx, dy) 2 1/ 2
(dx 2 + dy )
=
1 (1, 1 + y '+ y'2 ) 2 (1 + y ' ) y '
Queda propuesto el desarrollo anterior. ^
d t
Por lo tanto, la curva que define la pared del cuerpo es:
0=
q
2π
y ⎞ arctan⎛ ⎜ ⎟ + U ∞ y
⎝ x ⎠ De esta forma hemos obtenido la distribución de flujo (campo de velocidades) alrededor de un cuerpo con borde de ataque romo. De una forma gráfica lo podemos representar como:
) = τ = cos(α ) = t ds ^ dt
1 + y'+ y' 2 + y'3 1/ 2 (1 + y`2 )[1 + (1 + y'+ y' 2 ) 2 ]
[
]
ds
Para el caso en el que quisiéramos modelar un cuerpo finito, es necesario situar un sumidero a una distancia d de la fuente en la dirección de flujo, de manera que se defina por la línea de corriente para el punto de remanso, la forma del objeto que queremos estudiar.
4. MODELADO DEL PERFIL BIDIMENSIONAL Aplicando la teoría del potencial, el problema es lineal y admite superposición. Suponemos un perfil que induce un determinado campo de velocidades en el seno de un fluido, superpuesto al flujo uniforme en la dirección x. Considerando la el sentido de x contrario al flujo se tiene que:
Fig.1. Distribución de flujo potencial alrededor de una cuerpo seminfinito como borde de ataque romo
Entonces, si nos centramos en definir el cuerpo, resulta interesante determinar el radio de curvatura. Haciendo uso de la geometría diferencial: La curvatura es la proyección en la dirección de la tangente del vector unitario variación de la tangente a lo largo de la curva, es decir:
Si el flujo es potencial la perturbación deriva de un potencial, como ya vimos en la base matemática esto resulta trivial. Por lo tanto, el campo de velocidades definido a partir de un función potencial es para cada región:
Como ya sabemos el potencial del flujo uniforme es:
^
d t
τ = cos(α ) = ds ^ dt
Entonces:
ds
Por el teorema de conservación del movimiento: 2
2
ds = dx + dy ds dx
2
= 1 + y'2
5
Luego:
Y que cumpla las condiciones anteriores:
Para cada una de las funciones de potencia se debe cumplir también la ecuación de continuidad, por lo tanto:
5. TEORÍA BIDIMENSIONAL LINEALIZADA
O lo que es lo mismo, el Laplaciano de las funciones potenciales de velocidad debe ser nulo:
Para contar el modelo de flujo alrededor del perfil se aplica la teoría bidimensional linealizada, teniendo en cuenta la siguiente nomenclatura y referencias en el plano del perfil: 1. La curva que define la cara superior del perfil es:
Luego, el problema se reduce a obtener la función potencial que cumpla , y se superpone después el flujo libre.
2. La curva que define la cara inferior del perfil es:
Para resolver la ecuación del laplaciano debemos imponer en primer lugar las condiciones de contorno del problema:
3. La línea media del perfil, se define como el valor medio de las dos funciones para cada posición de x:
Condiciones de Contorno: 1º No penetración en la pared del perfil:
y m ( x) =
1 [ y ( x) + yl ( x)] 2 u
4. El origen se coloca en el cetro de la cuerda:
Esto es, la componente normal a la pared debe ser nula:
De esto se deduce que:
El sufijo W hace referencia a WALL .
2º La perturbación desaparece en el infinito: Es decir, no existe componente de la velocidad debida a la presencia del perfil:
3º No debe haber singularidad en el borde de salida (Condición de Kutta) Esto se traduce en que el flujo en el borde de salida no debe realizar cambios de dirección singulares (no derivables) es decir, con limite de la derivada del vector tendiente a infinito, por lo tanto: o lo que es lo mismo,
En base a las definiciones dadas, se replantea la condición de no penetración del perfil a partir de las curvas inferior y superior que lo de finen:
Como ya vimos, el vector tangente unitario es:
Consecuentemente el vector normal será, el ortogonal, t ·nˆ = 0
)
Luego el problema es encontrar la solución de:
6
El vector normal, apunta siempre hacia fuera del perfil, y el valor +- depende del si consideramos la cara superior (+) o la cara inferior (-). Desarrollando la condición de no penetración:
Se a linealizado el análisis y por lo tanto se puede concluir que la condición de contorno de cumplirá cerca de y =0; Es habitual simplicar el problema estudiando el perfil por unidad de longitud de cuerda, tal que:
Implica que:
6. TEOREMA DE KUTTA-JOUKOWSKI PARA PERFILES ESBELTOS Hemos establecido un modelo de fluido potencial, lo que presupone cumplir la ecuación de Bernoilli:
Desarrollando la igualdad: Esto es aplicable a cualquier línea de corriente. Para el caso del perfil en un flujo uniforme podemos escribir:
Entonces para la cara superior:
Y para la inferior:
Si recordamos lo que se definió anteriormente:
Si despejamos el incremento de presiones y sustituimos V 2:
En general, tanto para la cara superior como para la inferior se pude escribir: Lo que nos interesa es integrar las presiones sobre la pared. Asumimos que la velocidad en la dirección x que provoca la presencia del perfil es muy inferior a velocidad correspondiente al flujo uniforme, por lo que se desprecia el término :
Al tratarse de un perfil delgado se cumple que:
Por lo tanto, la presión en las caras del perfil son: Y la expresión para la pared y sólo para el caso del perfil es:
7
Para conocer la fuerza que actúa sobre el perfil, debemos integrar las presiones sobre la superficie del mismo (pared), pero teniendo en cuenta que el vector norma apunta ahora hacia el interior del perfil (ya que la fuerza actúa perpendicularmente a la superficie al considerar flujo no viscoso sin rozamiento). Por lo tanto:
Nota: la integral doble de superficie se traduce en una simple de línea al estar trabajando en el caso de 2 dimensiones.
7. OBTENCIÓN DE LA FUNCIÓN POTENCIAL Abordar el problema directamente, no resulta trivial, como en los ejemplos vistos anteriormente. Por lo que es necesario dividir el problema en la obtención de dos flujos potenciales que se superponen y que modelen parámetros característicos del perfil, como son la ley de espesores (e=Simétrica) y la línea media (O= Antisimétrica). Entonces:
Ahora bien, lo que nos interesa es la sustentación (L) producida por el perfil, por lo que se debe proyectar en la dirección del eje y (j):
Se llega a: Entonces, como el diferencial de superficie es ˆ nˆdS = dydziˆ + dxdz jˆ + dxdyk Con: Caso bidimensional: -No existe componente en k - dz =cte, estudio del perfil por unidad de longitud de envergadura. Entonces,
Nótese que:
nˆ dl = dyi + dx jˆ
)
Y proyectando en la dirección de y:
Es una función simétrica con respecto al eje x (y=0) (Por eso el subidice even) Y por otro lado:
En realidad, al tratarse de un flujo irrotacional (potencial), la integral es válida para cualquier curva cerrada que contenga al perfil: Si analizamos las funciones respecto a y por separado: Y se impone la condición de pared: Y en general, para cualquier cuerpo sustentador:
Con:
Los pasos a seguir para el análisis son:
8. MODELADO DEL ESPESOR En el caso del perfil esbelto, con la linealización del problema toda la sustentación se debe a la perturbación del flujo:
Derivamos la función simétrica:
8
---Vemos lo que sucede por la cara superior y+:
Siendo t la ley de espesores.
9. MODELADO DE LA LÍNEA MEDIA DEL PERFIL ---Vemos lo que sucede por la cara inferior y-: Es lo mismo pero cambiado se signo al ser una función simétrica respecto y=0.
Realizando un razonamiento análogo al anterior:
Por lo tanto:
Y en general:
Que será la condición de contorno para este modelo. Si recordando la original de φ completo, determinada anteriormente:
La conclusión en este caso es que estamos modelando la derivada de la línea media del perfil (“mean chaber line”). De lo estudiado anteriormente se deduce:
Tenemos que es un caso muy similar pero sustituyendo, y’ por (y’u-y’l)
-La solución de φ e , al ser simétrica, no genera sustentación. Pero plantea la condición de contorno que define el espesor del perfil:
-Por lo que toda la sustentación es generada por la solución φ 0 , es decir, por la “mean chaber line”. Y plantea la condición de contorno:
Observamos que: y’ es la pendiente del perfil, ya sea en la cara superior o inferior, para el campo φ .
10. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE SUSTENTACIÓN DEL PERFIL
(yu’-yl’) es la pendiente de la diferencia entre la cara superior e inferior, es decir, de la ley de espesores del perfil a lo largo de x.
Nuestro objetivo por lo tanto es plantear el problema con la función φ 0 , y modelarla para que simule la sustentación de forma adecuada.
Con lo cual tenemos φ e modela la solución del campo de velocidades que generaría el perfil simétrico, con el espesor real pero sin ángulo de ataque (Campo Simétrico) con la condición de contorno:
Partiendo de:
Entonces:
9
La estrategia a seguir es la de modelar la solución de el campo mediante vórtices elementales ideales colocados en la línea media del perfil. Como ya se demostró anterior mente un vórtice ideal se modela con la función potencial complejo:
Además, dependiendo de donde situemos el vórtice, la intensidad de circulación tendrá una un valor diferente, para ser coherente con el perfil:
Que genera un campo de velocidades:
Las velocidades que induce el vórtice en coordenadas cartesianas son:
Siguiendo la estrategia, modelamos el campo de velocidades que derivan de φ 0 . Para ello es necesario, entender la función γ (ξ ) como una densidad de circulación por unidad de longitud de cuerda: Integrando el campo a lo largo de la cuerda,
Para u:
Ahora imponemos la condición de contorno que se obtuvo para φ 0 , para puntos suficientemente próximo al punto considerado: Para v: ε << 1 ;
En el caso de que los vértices se distribuyan el eje x, estarán acotados entre:
Esta última expresión, dada una línea media conocida, arroja una distribución de circulación a lo largo del perfil. Para el caso de u en la pared:
De manera que para modelar la situación de deslocalización con respesto al origen las expresiones de la velicidades son:
10
Llegamos a que:
Luego se determina γ con la pendiente de la línea media y se puede obtener la velocidad x con ella. Notes que con la circulación se resuelve too el problema de sustentación ya que:
Si desarrollamos llegamos a que: l
∫ 2 γ ( x)dx = U ρ Γ
L = U ∞ ρ
2
−
l
∞
La sustentación producida se genera única y exclusivamente por la verticidad así modelada. De no ser así no se cumple Kutta-J. Luego el problema del cálculo de la sustentación se resuelve con vórtices distribuidos y depende, únicamente, de la configuración de la línea media del perfil. BIBLIOGRAFÍA Keith W. Bedford. Mecánica de Fluidos. Mc Graw Hill Fernado Lopez Peña. Mecánica de Fluido. Dpto Ingeniería Naval. UDC Newman, J.N , Marine Hydrodinamics. MIT Press Pablo Fariñas, Apuntes elaborados de Teoría de Circulación. Dpto Ingeniería Naval. UDC
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