Estudo da função seno
Definição Vamos definir a função seno
f:
----> x
y = sen x
em que x é a amplitude no sistema circular. Para cada valor x rad corresponde um e um só valor de sen x. Usando a tua calculadora, completa: Sen 3 ≈ . . . . . . ; Sen (3,14) ≈ . . . . . . Sen 0,003 ≈ . . . . . . ; Sen 123 ≈ . . . . . . ; Sen 4321 ≈ . . . . . . ; Sen ( ) ≈ . . . . . . ;
Sen ( √ 3) ≈ . . .
Domínio Como x ∈ ℜ , representa um número real que pode ser sempre tomado como a amplitude de . um ângulo no sistema circular. Portanto, o domínio da função seno é
Contradomínio Qual é o maior valor que sen x pode assumir ? . . . . . . . . . . . . . . . . . Qual é o menor valor que sen x pode assumir ? . . . . . . . . . . . Desenha um círculo trigonométrico e confirma que ∀ x ∈ ℜ , . . . . ≤ sen x ≤ Assim, o contradomínio da função seno é -1 , 1 .
.....
Periodicidade Por definição , x e x + 2π têm a mesma representação no círculo trigonométrico (verifica). Logo, sen x = sen ( x + 2 π ) . De um modo geral , ∀ x∈ ℜ , sen x = sen ( x + k.2π ) , k ∈ Z . função seno tem período período igual a 2 Ou seja, a função . Atribui valores a k e confirma que sen x = sen ( x + k.2π ) , usando a calculadora.
Paridade
Como sen (-x) = - sen (x ) , ∀ x∈ ℜ , a função seno é ímpar.
Zeros e Sinal Os zeros de uma função são as soluções da equação , k Z . f(x) = 0 ⇔ sen x = 0 ⇔ x = k. Assim , . . . .-3π , -2π , -π , 0, π , 2π , 3π , . . . . . são zeros da função seno . Desenha um círculo trigonométrico para te auxiliar a completar a tabela seguinte. Esquema
Estudo do sinal de sen x no intervalo 0 , 2 x 0 3/2 π / π 2 π sinal de 0 1 0 -1 sen x
2π 0
Monotonia Para x ∈ 1º Q , à medida que o valor de x aumenta, o valor de sen x também aumenta. Assim, concluímos que ∀ x ∈ ] 0 , π /2 [ , x1 ≤ x2 ⇒ sen x1 ≤ sen x2 , Ou seja, a função seno é crescente no 1º quadrante. Do mesmo modo, ∀ x ∈ ] 0 , π /2 [ , x1 . . . x 2 ⇒ sen x1 . . . sen x2 , Ou seja, a função seno é . . . . . . . . . . no 2º quadrante.
Observa o círculo trigonométrico anterior e completa a tabela seguinte . x 0 π /2 π 3/2 π 2π sen x 0 1 ...... ... ..... ... ......
0
A função seno é crescente em 0, /2 , . . . . , . . . , 2 ,.... , . . .. , . . .. , etc. A função seno é decrescente em /2 , , . . . . , . . . , 5/2 ,... , . .. , . .. , etc.
Extremos relativos Sabemos que -1 ≤ sen x ≤ 1 , para qualquer valor x . Para que valores de x se tem sen x = 1 ? Por exemplo, π /2 , . . . . . . , . . . . , . . . . , etc. /2 + k.2 , k Z . Ou seja, a função seno tem máximos relativos ( 1 ) para x = Para que valores de x se tem sen x = -1 ? Por exemplo, 3/2 π , . . . . , . . . . , . . . . , etc. + k.2 , k Z . Ou seja, a função seno tem mínimos relativos ( -1 ) para x = 3/2
Representação gráfica Com uma calculadora gráfica poderás facilmente verificar o que foi anteriormente estudado. No entanto, há outros processos de representar a função seno. Com base num círculo trigonométrico, Usando uma calculadora ou uma tabela de funções trigonométricas , determinamos o valor de consideram-se alguns ângulos no intervalo [0 , 2π] . Assinala-se a amplitude dos ângulos no eixo vários ângulos e desenhamos o respectivo gráfico. horizontal e o valor de sen x no eixo vertical. Unindo os pontos obtém-se o gráfico da função seno a que chamamos sinusóide .