INTRODUCCIÓN El estu estudio dio de los los siste sistema mass dinám dinámic icos os es de impo importa rtanc ncia ia ya que esto estoss está están n relacionados con el mundo real. Por medio de ecuaciones diferenciales es posible describir describir el comportamiento comportamiento de una gran cantidad cantidad de fenómenos fenómenos físicos: vehículos vehículos espaciales, sistemas de guía de proyectiles, sistemas robóticos, entre otros. Cabe destacar la aplicación que las matemáticas tienen y la facilidad que produce su apli aplica caci ción ón,, como como se plan plante tea a en la solu soluci ción ón del del prob proble lema ma,, asum asumie iend ndo o la inves investig tigac ación ión y la habil habilida idad d de busca buscarr la solu soluci ción ón de form forma a coher coheren ente te y bien bien sustentada con el n de aplicar la solución de problemas.
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RESUMEN DEL ANÁLISIS REALIZADO
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"ediante el análisis del sistema y aplicación de modelo matemático del sistema lineal mediante una ecuación diferencial así como tambi#n el modelo matemático del sistema lineal en el espacio de estados mediante variables, reali$amos la representación matemática en el tiempo del sistema. El desarrollo del e%ercicio nos permitió el domino y conocimiento de los diferentes componentes del sistemas y su comportamiento cada uno dentro del sistema.
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LISTADO DE CONCEPTOS CONOCIDOS Espacio de estados: En ingeniería de control, una representación de
espacios de estados es un modelo matemático de un sistema físico descrito mediante un con%unto de entradas, salidas y variables de estado relacionadas por ecuaciones diferenciales de primer orden que se combinan en una ecuación diferencial matricial de primer orden. Modelamiento Matemático En ciencias aplicadas, un modelo matemático es uno de los tipos de modelos cientícos que emplea alg'n tipo de formulismo matemático para e(presar relaciones, proposiciones sustantivas de hechos, variables, parámetros, entidades y relaciones entre variables y)o entidades u operaciones, para estudiar comportamientos de sistemas comple%os ante situaciones difíciles de observar en la realidad. Dia!"ama de #lo$%es Es la representación gráca del funcionamiento interno de un sistema, que se hace mediante bloques y sus relaciones, y que, además, denen la organi$ación de todo el proceso interno, sus entradas y sus salidas MATLA# *istema de identicación de la ca%a de herramientas, proporciona funciones de "+-+, *imulin/ bloques, y una apli cación para la construcción de modelos matemáticos de sistemas dinámicos a partir de datos de entrada 0 salida medidos. e permite crear y utili$ar modelos de sistemas dinámicos no está modeladas fácilmente a partir de primeros principios o especicaciones. Puede utili$ar los datos de dominio de tiempo y el dominio de la frecuencia de entrada0salida para identicar modelos de espacio de estado, funciones de transferencia de tiempo discreto, o de tiempo continuo y modelos de procesos. Sistema Es una combinación de componentes que act'an con%untamente para alcan$ar un ob%etivo especíco. Sistema de cont"ol Es un con%unto de dispositivos encargados de implementar ciertas estrategias con el n de lograr un resultado esperado. Sistema m%lti&a"ia'le Es un sistema que se caracteri$a por poseer un gran n'mero de entradas y de salidas. Sistema no lineal Es cualquier sistema físico que no pueda ser representado mediante ecuaciones diferenciales o de diferencias de primer orden. Constante de tiempo Es el valor de tiempo propio de un sistema, el cual representa la rapide$ con la cual este puede responder ante cambios en su entrada. Ec%aciones di(e"enciales: *on ecuaciones que contienen las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes. Estas ecuaciones son utili$adas para representar sistemas en tiempo continuo. Mat"i): Es una colección de elementos arreglados en forma rectangular o cuadrada.
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LISTADO DE CONCEPTOS DESCONOCIDOS Dia!"ama de estado: Es una representación gráca que se construye a partir de las ecuaciones diferenciales de un sistema, con el n de determinar las variables y las ecuaciones de estado de este. O'se"&a'ilidad Es una condición que e(presa el hecho de que las variables de un sistema afectan a alguna de las salidas del mismo. Esta'ilidad: Es una noción que describe si un sistema es capa$ de seguir un comando de entrada, o en general, si dicho sistema es 'til. Lineali)aci*n: Es el proceso mediante el cual, los sistemas no lineales, se llevan a un punto de operación en el cual las características de este sean más o menos lineales, con el n de encontrar un modelo de representación más sencillo.
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RESULTADO DE LAS CONSULTAS REALIZADAS PARA DAR SOLUCIÓN A LAS TAREAS DE LA ETAPA DESCRIPCIÓN DEL PRO#LEMA -a compa3ía donde usted traba%a ha reali$ado la adquisición de un nuevo equipo industrial que permitirá incrementar los niveles de producción de la empresa. Con el n de prevenir fallas y proteger la alta inversión reali$ada, el presidente de la compa3ía ha ordenado la creación de un sistema de monitoreo que permita supervisar el buen funcionamiento de la máquina y diagnosticar la e(istencia de alguna falla. Para el dise3o del sistema de monitoreo y diagnóstico de fallas se requiere conocer de forma precisa el modelo matemático del equipo industrial4 de esta manera se dice que la máquina está funcionando correctamente si la salida real es similar a la salida de su modelo matemático4 en caso contrario es posible que la máquina est# presentando fallas. + continuación se presenta un diagrama simplicado del nuevo equipo industrial, en el cual se tiene como variable de entrada la corriente aplicada ii(t) y como variable de salida el volta%e en el condensador eo(t)=V c(t)
El condensador posee una capacitancia C567. -a resistencia es no lineal por lo que su corriente i89t depende de la raí$ cuadrada del volta%e, esto es: √ eo (t ) i R ( t )= R ;onde 85<6= 9>?)+ 9>?oltios)+mperios.
ANÁLISIS DE LA SOLUCIÓN LLU+IA DE IDEAS -a máquina describe un circuito 8C y por medio de ecuaciones diferenciales es posible hallar el modelo matemático y se empie$a por denir las variables que posee el circuito: ii( t ) 5 Corriente de entrada del circuito en el dominio del tiempo. i R ( t ) 5 Corriente en la resistencia en el dominio del tiempo. ic ( t ) 5 Corriente en el capacitor en el dominio del tiempo.
*eg'n la ley de @hm, los volta%es en paralelo son iguales, entonces: V O= eo ( t )= v c ( t )
A *e verica el comportamiento de la corriente en los elementos del circuito para proceder a encontrar la ecuación diferencial. -a corriente en el capacitor en el tiempo está denida como el valor del capacitor por la rata de cambio del volta%e en el capacitor: δe i c =C corriente del capacitor δt -a corriente en la resistencia la dene el e%ercicio propuesto: i R ( t )=
√ eo (t ) R
Con las variables denidas se utili$a la ley de nodos: Bla suma de las corrientes de entrada es igual a las suma de las corrientes de salida.” i i ( t )=i c ( t )+ i R ( t )
Con las ecuaciones denidas se reempla$an en la ecuación de la corriente de entrada para encontrar la ecuación diferencial de orden 6 y del resultado se procede a encontrar las variables de estado y aplicando la teoría de espacios de estados se obtendrá el sistema.
Te*"icas ,- E.p"ese el modelo matemático del sistema lineal mediante %na ec%aci*n di(e"encialV O= eo ( t )= v c ( t ) δe i c =C corriente del capacitor δt
+plicando ley de nodos: i i ( t )−i R ( t )=i c ( t ) i i ( t )=i c ( t )+ i R ( t )
Entonces la corriente de entrada es: δe √ e o ( t ) i i ( t )=C + δt R *e despe%a 8 de la raí$: δe R∗i i ( t ) = R∗C + √ e o ( t ) δt
D se de%a la derivada sin constantes: δe √ e o ( t ) i i ( t ) + = δt R∗C C
8eempla$ando el valor de 8 en la ecuación: δe √ e o ( t ) ii ( t ) + = Ecuación Diferencial( 1 ) δt 0.1∗C C
/- E.p"ese el modelo matemático del sistema lineal en el espacio de estados mediante &a"ia'les de estados x ( t )=e o ( t ) ; u ( t ) =ii ( t ) ; y ( t ) =e o ( t )
*e reempla$an los valores en la ecuación diferencial, √ x ( t ) = u ( t ) x´ ( t )+ C 0.1∗C ;espe%ando x´ ( t ) , x´ ( t )=
−√ x ( t ) u ( t ) + C 0.1∗C
Espacio de estados no lineal, x ( t ) u ( t ) x´ ( t )= + C 0.1∗C ∗ √ x ( t ) Con C56, x´ ( t )=
x ( t ) 0.1∗ √ x (t )
+ u (t )
Entonces, x ( t )= y ( t )
0- C%ando la ent"ada del sistema es constante
ii ( t )= I i=10 A 1 el sistema se
esta'ili)a en %n p%nto de ope"aci*n e o ( t )= E o=1 V - E.p"ese el modelo matemático lineali)ado mediante %na ec%aci*n di(e"encial•
i i ( t )= I i=10 A
•
e o ( t )= E o=1 V
•
C =1 F
*e utili$a la ecuación de la ecuación diferencial y se aplica la ley de @hm donde se obtiene que: i ( t ) δe 1 + √ = i δt 0.1∗1 1
V i( t )= v o ( t )
F δe + 10 =i i ( t ) ( 2) δt
2- E.p"ese el modelo matemático lineali)ado en el espacio de estados mediante &a"ia'les de estados*e utili$a la ecuación !: δe + 10 =i i ( t ) δt x ( t )=e o ( t ) ;u ( t ) =ii ( t ) ; y ( t ) =e o ( t )
δe , δt
*e despe%a
δe =−10 + ii ( t ) δt
8eempla$ando, x´ ( t )=−10 + u ( t ) x ( t )= y ( t )
3- Dete"mine la cont"ola'ilidad 4 la o'se"&a'ilidad del sistema lineal x´ ( t )=−10 + u ( t )
Constantes, A =−10 B=1 C =1 D =0 x´ = Ax ( t ) + Bu ( t ) y (t )=Cx (t )
-a matri$ de controlabilidad está dada por: 2
C =[ B AB A B … A
n−1
B ] 1 xn
6< ;ebido a que es una matri$ de primer orden la matri$ queda, C =B =1
"atri$ de observalidad,
[]
C CA 2 CA O= n−1 CA
;ado que se trata de un sistema de primero orden queda que, O =C =1
y que el rango es igual a 6, esto signica que es observable.
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CONCLUSIONES •
El desarrollo del traba%o colaborativo nos mostró de una forma analítica como resolver circuitos basándonos en modelamiento matemático y otras herramientas de análisis matemático como las ecuaciones diferenciales lo que nos permiten diferenciar y resolver los distintos problemas que se plantean como los sistemas de control dentro del curso de sistemas dinámicos.
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RE5ERENCIAS #I#LIO6RÁ5ICAS http:))GGG.bioingenieria.edu.ar)academica)catedras)control)archivos)material
)+ne(os)ane(oHve.pdf https:))GGG.youtube.com)GatchIv56$cP%cb-Ph https:))es.Gi/ipedia.org)Gi/i)EspacioHdeHestados https:))es.Gi/ipedia.org)Gi/i)"odeloHmatemJC&J+6tico https:))es.Gi/ipedia.org)Gi/i);iagramaHdeHbloques https:))es.Gi/ipedia.org)Gi/i)*istemaHdeHcontrol http:))GGG.bioingenieria.edu.ar)academica)catedras)control)archivos)material )+ne(os)ane(oHve.pdf https:))GGG.youtube.com)GatchIv56$cP%cb-Ph
