Actividad de aprendizaje
Actividad Diagnostica
Contesta las siguientes preguntas.
1.- ¿Qué es una función?
2.- ¿Qué se significa evaluar una función?
3.- Evalúa las siguientes funciones en los valores indicados.
A) f(x)= 2x - 5 en
a) x = - 2 b) x = 0 c) x = 7 d) x= m e) m + 3
B) f(x) = x2 +3x en
a) x= -4 b) x= 5 c) x= h d) x= b+2
4.- ¿Qué significa el término "razón" en el contexto de matemáticas?
5.- ¿Qué es una recta "secante"?
6.- ¿Qué es una recta "tangente"?
7.- ¿Aplicando las reglas de los exponentes, escribe las siguientes expresiones sin usar exponentes negativos: 3x-2+ x-4- 5x-1 ?
8.- Aplicando las reglas de los exponentes, escribe las siguientes expresiones utilizando exponentes fraccionarios: x3+ 63 x2- x =
Actividad de Adquisición del conocimiento
PARTE-.1 Incrementos en la variable y razón de cambio
1-.De acuerdo con las indicaciones de tu profesor, organícense en grupos o en binas y contesten las siguientes preguntas:
a) Si un día por la mañana amanece a 18°C, y por la tarde la temperatura es de 29°C ¿en cuánto se incrementó la temperatura?
b) Si la rapidez de un auto cambia de 30km/h a 80 km/h ¿Cuál es el incremento en su rapidez?
c) Si las utilidades por la producción y venta de un artículo cambia de $35,000 a $27,000 en un mes ¿Cuál es el cambio en las utilidades obtenidas? ¿El incremento es positivo o negativo?
2-.Con base en las preguntas y respuestas anteriores ¿Cómo definirías el incremento de una variable "x" que primero toma valor en x y después toma un valor en x ? Luego si "y" es una variable que depende de "x" mediante la función y = fx entonces y = fx y y = fx ¿Cuál será el incremento correspondiente en la variable y?
3-.Apoyandote en el tema de "Incrementos de la variable" de tu libro de texto, investiga las definiciones de "incremento en x" e "incremento en y", así como su notación usual. Compara estas definiciones con tus respuestas al inciso anterior y realiza las conclusiones pertinentes.
4-.Un automovilista sale de su casa; tiempo después se encuentra a 10 km, y 15 minutos después se encuentra a 30km de su punto de partida. Contesta las siguientes preguntas:
a) ¿Qué distancia recorrió entre ambos momentos?+
b) ¿Cuál es el tiempo transcurrido, en horas?
c) ¿Cuál es, en promedio, la rapidez del automovilista medida en kilómetros por hora?
Con la rapidez obtenida, acabas de calcular la razón de cambio promedio de la distancia recorrida con respecto al tiempo, lo cual se detona como v= ΔsΔt, donde Δs es el cambio en la distancia recorrida y Δt es el intervalo de tiempo transcurrido.
5-.Consultando la sección "Razón de cambio promedio" de tu libro de texto, investiga la definición formal de razón de cambio promedio, además de su interpretación grafica
6-.Para complementar tu aprendizaje, realiza los siguientes ejercicios y los que tu profesor indique del libro de texto:
Función e intervalo de valores de x
Incremento en x: Δx
Incremento en y: Δy
Razón de cambio promedio
Δy/Δx
F(x)=7x-5
en el intervalo de
x =2.5 a x =3.7
F(x)=x2-5x+1
en el intervalo de
x =1.7 a x =2.9
F(x)=4x2-x+3
En el intervalo de
x =0.5 a x = 0.2
F(x)=x2-3x+3
En el intervalo general de X =x con incremento en Δx
PARTE-.2 Definición de derivada y su interpretación geométrica
1-. Intégrate en equipos de trabajo, y con base en la función f(x)= x2-5, responda lo siguiente:
a) Calculen el incremento de la función en el intervalo entre "x" y "x+ Δx"; es decir determinen Δy=f(x+ Δx)-f(x)
b) Calculen la razón de cambio promedio en este mismo intervalo; es decir determinen ΔyΔx=
c) Determinen el límite de la razón de cambio promedio cuando Δx tiende a 0; es decir, calculen (ΔyΔx)=
x->0
Con este último paso habrán calculado la derivada de la función
2-.Consultando las secciones "Definición de derivada" e "Interpretación geométrica de la derivada" de tu libro de texto, contesten las siguientes preguntas:
a) ¿Cómo se define la derivada en una función?
b) ¿Cuáles son las notaciones mas comunes para derivar la derivada de una función?
c) ¿Qué relación existe entre la interpretación geométrica de la razón de cambio promedio y el significado de la derivada, considerando que en esta ultima el valor de Δx es cada vez mas pequeño?
3-.Para complementar su aprendizaje, resuelvan los siguientes ejercicios y los que su profesor indique de su libro de texto:
a) Determinen la derivada (mediante la definición) de f(x)=5x-7
b) Determinen la derivada (mediante la definición) de f(x)= x2-3x
PARTE-.3 Funciones derivables y reglas básicas de derivación
1-. Apoyándote en la consulta de tu libro de texto, responde las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es la condición para que una función f(x) sea derivable en un punto "a"?
b) ¿Cuándo una función es derivable en un intervalo abierto (a,b)?
c) Indica la regla para derivar en cada uno de los siguientes casos:
Caso
Función f(x)
Derivada f'(x)
Función constante
F(x)=a
Función identidad
F(x)=x
Constante por la variable
F(x)= a*x
Potencia de la variable
F(x)=x
Suma y/o resta de funciones
F(x)=u(x)±v(x)
Producto de dos funciones
F(x)=u(x)*v(x)
Cociente de dos funciones
F(x)=u(x)v(x)
Regla de la cadena
F(x)=[u(x)]
2-.Con base en las reglas anteriores, determina la derivada de las siguientes tres funciones:
a) f(x)=3x4 - 5x-2 + x3 - 8x – 9
b) f(x)=63 x2
c) f(x)=(2x – 3)-(x2-7x)
d) f(x) = x2 -93x-5
e) f(x)= (4x-5)32
Actividad de organización y jerarquización
1.- De manera individual realiza lo siguiente:
a) Determina la derivada de la función:
F (x) = -3x2+ 4x4+ 2x3+ 7x2- 8x+9
b) Observa que has obtenido una nueva función que también depende de x. Ahora encuentra la derivada de esta función.
c) La respuesta anterior es la derivada de la derivada llamada "segunda derivada" de la función original f(x). Derivando la segunda derivada se obtiene, la "tercera derivada" de la función; derivándose encuentra la "cuarta derivada" y así sucesivamente.
Actividad de aplicación
1.- en una investigación que se realizó para determinar la cantidad de desperdicios (en toneladas) que se vierten diariamente al océano pacifico en ciertas playas de Acapulco, para un periodo vacacional de una semana, se encontraron los siguientes resultados.
Responde las siguientes preguntas.
a) ¿Cuál es la razón de cambio promedio de desperdicio por día que vierte entre lunes y miércoles?
b) ¿Cuál es la razón de cambio promedio del desperdicio pro día que se arroja el océano entre miércoles y viernes?
c) ¿Cuál es la razón de cambio promedio del desperdicio por día que se arroja al océano entre viernes y domingo?
2.- Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba. Su posición en relación con el tiempo se muestra en la siguiente gráfica:
Responde a las siguientes preguntas:
¿Desde qué altura se lanzó el objeto?
¿En qué instante alcanza su altura máxima?
¿Cuál es la altura máxima que alcanza?
¿Cuál es la razón de cambio promedio de su posición con respecto al tiempo (rapidez promedio) en los 2 primeros segundos?
¿Cuál es la razón de cambio promedio de su posición con respecto al tiempo (razón promedio) en el intervalo de 1 a 3 segundos?
¿Cuál es la razón de cambio promedio de su posición con respecto al tiempo (razón promedio) en el intervalo de 2 a 4 segundos?
¿Cuál es la razón de cambio promedio de su posición con respecto al tiempo (razón promedio) en el intervalo de 3 a 6 segundos?, ¿Qué significado tiene el signo negativo?
3.- El Censo y los Conteos de la Población y Vivienda para el estado de Nuevo León muestran, desde 1960, la variación de la población total en la siguiente gráfica:
Responde las siguientes preguntas:
¿Cuál es la razón de cambio promedio de la población por año entre los años 1995 y 2000?
¿Cuál es la razón de cambio promedio de la población por año entre los años 2000 y 2005?
¿Cuál es la razón de cambio promedio de la población por año entre los años 2005 y 2010?
Investiga cómo se define y como se calcula la "tasa de crecimiento población".
Determina la tasa anual de crecimiento población de Nuevo León entre los años 2000 y 2005.
Determina la tasa anual de crecimiento población de Nuevo León entre los años 2015 y 2010.
