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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS EXAMEN PARCIAL DE CÁLCULO 3 Semestre Académico 2014- 0 —
Indicaciones preguntas propuestas Resolver sólo 4 de las 5 preguntas Enumerar del 1 al 10 las páginas de su cuadernillo cuadernillo en la parte superior derecha derecha y desarrollar desarrollar Enumerar las preguntas, de acuerdo a la siguiente distribución: Pregunta
1
Páginas
1y2
2
3
4
3y4
5y6
7y8
5 9 y 10
apuntes ni calculadoras. No está permitido el uso de correctores líquidos, libros, apuntes 1.
x y z 4
Dado el plano plano P : x y z 4 y la rect rectaa L :
2 x y
0
0
Hallar las ecuaciones ecuaciones vectoriales vectoriales de las rectas L 1 y L 2 que están contenidas contenidas en el plano P , tales que L 1 es perpendicular a L en su punto de intersección y L 2 es la proyección ortogonal de L sobre el plano P . 5 pts 2. a. Una
esfera E de radio r 4 3 tiene tiene su centro centro en la la recta recta L : P 0,0,4 t 1,2, 1 , t R
y es tangente al plano P : x y z 0.Hallar el centro de la esfera E y el punto de tangencia.Dar todas las soluciones posibles. 3 pts b. Dada
la curva :
z e y1 x
, y
0
cartesiana de la superficie superficie 1. Hallar la ecuación cartesiana
de revolución generada por la curva alrededor de la recta L : x 0, y 1.
2 pts 3. a. Sean H y y W los
subespacios vectoriales de R 3 definidos por
H 1,1,2, 1, 1, 3 , W x, 3 x 2 y, x y : x, y
R.
Hallar una base y la dimensión de los subespacios subespacios H , W , H W . b.
Sea T :
R
3
R
3
3 pts
la transformación lineal cuyo núcleo es el conjunto NuT
x, y, z
R
3
: x 2 y z 0 .
Probar Probar que la imagen de T , Im T , es una recta que pasa por el origen. 4.
Dada la curva C : a. Parametrizar C C ,
x 2 2 x y 2
2 pts
3
x y z 3
indicando el dominio de la parametrización.
2 pts
b.
Hallar la recta tangen tangente te a la curva C en cualquier punto F t de la curva C .
c.
La recta tangente tangente a C en el punto 1,2,0 corta al plano P : x y Hallar las coordenadas de Q .
0
1 pto
en el punto Q . 2 pts
CONTINÚA
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5.
Sea T :
R
3
R
3
la transformación lineal cuya imagen es el conjunto Im T x, y, z
R
3
: x
y
z
a.
Hallar una base del núcleo de T .
b.
Determinar la matriz asociada A de la transformación lineal T respecto a la base canónica. 1 pto
c.
Calcular los valores propios de T y los vectores propios correspondientes.
1 pto
3 pts
Norberto Chau San Miguel, 6 de febrero de 2014
