EXAMEN FINAL Métodos numéricos para ingeniería Considera los siguientes indicadores para la evaluación: El desarrollo del ejercicio se fundamenta en los conocimientos conocimiento s adquiridos. Durante el desarrollo del ejercicio aplica correctamente correctam ente las ecuaciones correspondientes correspondient es a la ecuación diferencial. El desarrollo del ejercicio es claro, coherente, bien organizado, fácil de comprender y cuida la ortografía y la simbología. La respuesta de la pregunta tiene sustento sustent o con el enunciado del ejercicio.
Parte 1: Decir 1: Decir si la siguiente afirmación es verdadera o falsa, y justificar su respuesta.
1. (3 p) ¿La ecuación
u u u u 2u u 2 x es 3 x x y y x y x 2
una EDP
(F)
Parabólica? Justifique su respuesta. Desarrollo (justificación):
= 0 3 = 2 2 2 2 2 2 = 0 Entonces: = 2, = 2, = 1 1 = 4 < 0 2 421 4 = 0, por lo tanto, no es una EDP Para que sea una EDP parabólica se debe cumplir: 4
Buscamos la forma:
parabólica, en este caso se trata de una EDP elíptica. x '' 3 t 2. (3 p) La EDO
x(0)
1, x '(0) 2
, transformada a un sistema de EDO de primer orden es:
(V)
x ' y , y ' t 3 . x(0) 1 y(0) 2 Desarrollo (justificación):
= ′ = ′ 3 = = = 3 ∴ {0 = 1 , { 0 = 2
Hacemos:
’
0 = 0 = 2
Parte 2: Resolver los siguientes ejercicios:
3. (9 p) Usando RK4 resuelva y halle
z
(0.1), (0.1), z (0.2) (0.2) usando tamaño de paso h=0.1
d 2 y dy dx 2 2 dx 2 z ( x) 3 2 sin x y ' z ' z 0 z '(0) 14, y '( '(0) 8 Desarrollo: Según el método de RK-4 usaremos:
= , ,, con condiciones iniciales = , = ′ = ℎ.′ ℎ. ′ = ℎ ℎ 12 = ℎ ℎ 12 = ℎ ℎ = 16 2 2
= ℎ. ℎ. , , = ℎ. ℎ. 12 , 12 , 12 ℎ = ℎ. ℎ. 12 , 12 , 12 ℎ = ℎ. ℎ. , , ℎ ′ ′ ℎ ℎ = ′ 16 2 2
= 0 00 0 0 0 = 0 = 8 14 14 0 0 = 0 = ′ 0 = 6 Reemplazando en la ecuación: 2 2 3 3 = 2 2 sen 3 3 = 2sen 2se n = 2sen 2sen 3 3 Entonces: = 2sen 2sen 3 3 con condiciones iniciales 0 = 6, 0 = 14
Paso 1:
= = 0.1 0.114 14 = 1.4 = 0.1 14 3.9 = 1.205 = 0.1 14 3.3152 = 1.2342 = 0.114 14 3.4029 3.4029 = 1.0597
= = 0.1 0.1 ∗ 6,14,0 6,14,0 = 3.9 = 0.1 ∗ 6 6 1.4,14 3.9, 0 0.1 = 0.1 ∗ 5.3 ,12 , 12.05 .05 ,0.0 , 0.055 = 3.3152 = = 0.1 0.1 ∗ 6 1.205,14 3.3152,0 0.1 = 0.1 ∗ 5.3975 , 12.3424 12.3424 ,0.05 , 0.05 = 3.4029 = 0.1 ∗ 6 1. 1.2342 2342,14 ,14 3.4029 4029,, 0 0. 0.1 = 0.1 ∗ 4.7658 ,10.5971 ,0.1 = 2.8795
00.1 00.1 = 6 (1.42 1.421.205 1.205 21.2342 1.2342 1.0597 1.0597) 0.1 0.1 = 4.7769 ′ ′00.1 00.1 = 14 14 (3.92 3.923.3152 3.3152 23.4029 3.4029 2.8795 2.8795) ′ ′0.1 0.1 = 10.6307
Paso 2:
= = 0.1 0.1 ∗ 4.7769,10.6307,0.1 4.7769,10.6307,0.1 = 2.8896 = = 0.1 0.1 ∗ 4.7 4.7769 769 1.0631 1.0631, 10.6307 6307 2.8896 2.8896,0.1 0.1 0.1 = = 0.1 0.1 ∗ 4.2454 4.2454 ,9.1 , 9.1859 859 ,0.1 , 0.155 = 2.4563 = = 0.1 0.1 ∗ 4.7769 7769 0.9186, 0.9186,10.630 10.63077 2.4563,0.1 0.1 = = 0.1 0.1 ∗ 4.3176 4.3176 ,9.4 , 9.4026 026 ,0.1 , 0.155 = 2.5213 = = 0.1 0.1 ∗ 4.7769 0.9403 0.9403,10.6307 2.5213 ,0.1 0.1 0.1 = = 0.1 0.1 ∗ 3.8366 3.8366 ,8.1 , 8.1094 094 ,0.2 , 0.2 = 2.1335 = = 0.1 0.110.6307 10.6307 = 1.0631 = = 0.1 0.1 10.6307 2.8896 = 0.9186 = = 0.1 0.1 10.6307 2.4563 2.4563 = 0.9403 = = 0.1 0.110.6307 10.6307 2.5213 2.5213 = 0.8109
0.10.1 0.10.1 = 4.7769 (1.06312 1.063120.9186 0.9186 20.9403 0.9403 0.8109 0.8109) 0.2 0.2 = 3.8449 ′ ′0.10.1 0.10.1 = 10.6307 (2.88962 2.889622.4563 2.4563 22.5213 2.5213 2.1335 2.1335) ′ ′0.2 0.2 = 8.1343
∴ 0.1 0.1 = 4.7769 7769 , 0.2 0.2 = 3.8449
4. (5 p) Dada la E.D.P. elíptica: 2u 2u 2 2 cos x y cos x y , 0 x , 0 y x 0 y u , y cos y, u 0, y cos y, 2 0 x u x, 0, u x, 0 cos x, 2 Con una partición de
h
5
, k
12
y
2
, hallar la matriz de ensamblaje.
Desarrollo:
2cos 2cos cos cos = cos cos cos cos = 2co cos 2 coss cos = +, 2, −, , = ,+ 2, ,− ℎ Reemplazando: +, 2, −, ,+ 2, ,− = 2 2co coss cos cos 5 12 25+, 2, −,144,+ 2, ,− = 2 2 cos cos cos cos 2: 5 y = 2: 6 Ecuación de aproximación para = 2: cos 25 144 2 cos cos( cos() +, −, ,+ ,− , = 338 Sabemos:
Discretización del dominio:
= ℎ = ⁄5 = 5 = = ⁄⁄122 = 6
= 5 1, = 1: 6 = 12 1, = 1: 7
Discretización de las condiciones de contorno:
, = cos cos = 2:5 2: 5 , = 0 = 2:5 2: 5 , = cos( cos( ) = 2:6 2: 6 , = cos( cos( ) = 2.6 , = , 2 , , = , 2 , , = , 2 , , = , 2 ,
Matriz Numérica Yj
j
1.5708
7
0.1294
0
0
0
1.3090
6
0.2588
0.2107
0.0806
- 0.0806
- 0.2107
- 0.2588
1.0472
5
0.5
0.4070
0.1557
- 0.1557
- 0.4070
- 0.5
0.7854
4
0.7071
0.5752
0.2200
- 0.2200
- 0.5752
- 0.7071
0.5236
3
0.8660
0.7039
0.2692
- 0.2692
- 0.7039
- 0.8660
0.2618
2
0.9659
0.7838
0.2996
- 0.2996
- 0.7838
- 0.9659
0
1
0.8875
0.809
0.309
- 0.309
- 0.809
- 0.8875
1
2
3
4
5
6
i
0
0.6283
1.2566
1.8850
2.5133
3.1416
Xi
Rúbrica de evaluación CRITERIOS
ESCALA DE CALIFICACIÓN
0
- 0.1294
Excelente: 100%
Bueno: 80%
Determina el valor de verdad correcto. Justifica lógicamente y con las caracterizaciones válidas y llega al resultado. Determina el valor de verdad correcto. Justifica lógicamente y con las caracterizaciones válidas y llega al resultado.
Por mejorar: 30%
Deficiente: 0%
Puntos
Determina el valor de verdad correcto. Justifica con razonamiento no completo y llega al resultado.
Determina el valor de verdad incorrecto. Justifica, pero llega no llega a concluir correctamente.
Determina el valor de verdad incorrecto. No justifica nada adecuadamente.
3
Determina el valor de verdad correcto. Justifica con razonamiento no completo y llega al resultado.
Determina el valor de verdad incorrecto. Justifica, pero llega no llega a concluir correctamente.
Determina el valor de verdad incorrecto. No justifica nada adecuadamente.
3
Ejercicio 3
Usa correctamente los datos, realiza en forma ordena y secuencial las ecuaciones de Runge Kutta 4, llega a las soluciones requeridas.
Usa correctamente los datos, realiza en forma ordena y secuencial las ecuaciones de Runge Kutta 4, se equivoca en algún calculo, pero gran parte del proceso y solución está bien hecha.
Usa correctamente los datos, realiza en forma ordena y secuencial las ecuaciones de Runge Kutta 4, se equivoca en los cálculos y los procesos están mal planteados y usados.
No usa correctamente las ecuaciones de Runge Kutta 4.
9
Ejercicio 4
Usa correctamente los datos, plantea correctamente la matriz de ensamblaje, llega a la matriz numérica deseada.
Usa correctamente los datos, plantea correctamente la matriz de ensamblaje, no llega a la matriz numérica deseada.
Usa los datos inicialmente bien, pero no plantea correctamente la matriz de ensamblaje deseada.
No usa correctamente los datos ni tiene un razonamiento lógico adecuado para construir la matriz de ensamblaje.
5
Ejercicios 1
Ejercicios 2
CALIFICACIÓN DE LA TAREA TAREA
/20
