Problemas Propuestos
1. Calcular Calcular la media media de las las siguien siguientes tes califica calificacione ciones: s: 13, 12, 15, 15, 16, 10 a) Añadir una constante, digamos 2, a cada calificación; volver a calcular la media. ¿Cuál es el efecto producido sobre la media? b) Restar la misma constante a cada calificación. Volver a calcular la media. ¿Cuál es el efecto producido sobre la media? c) Multiplicar cada calificación por una constante, digamos 0.8. Volver a calcular la media. ¿Cuál es el efecto producido sobre la media? d) Dividir cada calificación por 1.2. Volver a calcular la media. ¿Cuál es el efecto producido sobre la media? Resp.: a) Queda aumentada en 2 b) Queda dividida por 1.2 2. Calcular la varianza de las siguientes calificaciones: 15, 13, 12, 15, 18, 17 a) Sumar Sumar una constante, constante, digamos digamos 3, a cada cada calificac calificación, ión, recalcular recalcular la varianza. varianza. ¿Serian diferentes los resultados si hubiésemos añadido otra constante, digamos 300? 300? ¿Cuál ¿Cuál es el efecto efecto produc producido ido sobre sobre la varian varianza za al sumar sumar una constant constantee cualquiera a todas las calificaciones? b) Multip Multiplic licar ar cada cada califi calificac cación ión por una const constant ante, e, digamo digamoss 1.2 Recalc Recalcula ularr la varianza ¿Cuál es el efecto producido sobre la varianza y sobre la desviación típica? Resp.: a) No, no altera el valor. b) La desviación típica queda multiplicada multiplicada por 1.2. 3. Los siguientes datos representan el número de trabajadores ausentes en cierta mina, en 10 días consecutivos de trabajo: 5, 3, 8, 4, 3, 1, 4, 2, 20, 9 a) Calcular la media y la mediana. ¿Cuál es más representativa? b) El coeficiente de variación c) Verificar que 10
∑( x
1
− x ) = 0
i =1
Resp.: a) 5.9, 4, La mediana. b) 89.19% 4. Un grupo de 200 estudiantes, cuya estatura media es de 60.96 pulg. se divide en dos grupos, uno con una estatura media de 63.4 pulg. y otro con una de 57.3 pulg. ¿Cuántos estudiantes hay en cada grupo? Resp.: 120y 80
5. En una clase hay 35 estudiantes varones con una edad media de 17.5 años y 15 estudiantes mujeres las que, en promedio son 12% más jóvenes. ¿Cuál es la edad media en la clase? Resp.:
x
= 16.87
6. Las temperaturas registradas en una ciudad, en grados Fahrenheit (F), fueron las siguientes: 51, 60, 58, 62, 57, 49, 52, 62, 61, 63. Determine la media en grados centigrados (C), sabiendo que: C =
F − 32 9
5
Resp.:
C
= 14.17°C
7. Estudiantes de Ingeniería y Agronomía rinden conjuntamente un examen de Estadística. El promedio general es de 11.5. La media de estudiantes de Ingeniería es 12; los 20 estudiantes de Agronomía obtuvieron un promedio de 10.8. ¿Cuántos estudiantes de Ingeniería rindieron el examen? Resp.: 28 8. Se clasifico la inversión de un grupo de compañías mineras en una tabla de frecuencias. Se sabe que la máxima inversión es de 56 millones de dólares, que la amplitud de los intervalos es de 8 millones de dólares y que las frecuencias correspondientes a los intervalos son: 1, 16, 21, 9, 8, 3, 2. Con esta información calcular la varianza y la mediana. Resp.: 117.76, 20.95. 9. Los precios de cierto artículo eléctrico tiene un promedio de 4,580 dólares, con una desviación estándar de 82 dólares. Se incrementan los precios en un 3%. ¿Cuál será la nueva media y desviación típica de los precios? Resp.: 4717.40, 84.46 10. Una distribución de frecuencias sobre notas de estudiante de Matemáticas I presenta las frecuencias relativas h 3 y h5 borrosas. Si se sabe que la media fue de 7.9. Determinar el coeficiente de variación. NOTAS DE ESTUDIANTES No. DE ESTUDIANTES Frecuencias Relat. [0 .5 , 2. 5 0.02 [2 .5 , 4. 5 0.10 5 [4 .5 , 6. [6 .5 , 8. 5 [8 .5 , 10. 5 0.16 5 [10 .5 , 12. [12 .5 , 14. 5 14.5 , o más 0.10
0.02 0.00 Resp.:33.2% 11. La región A de un cierto país se divide en dos zonas: Zona I: Tiene 72 explotaciones ganaderas con un promedio de 720 cabezas de ganado y una desviación típica de 2 3 cabezas; Zona II: Tiene 28 explotaciones ganaderas con un promedio de 770 cabezas y una desviación estándar de 15 cabezas. Determinar: a) El promedio de cabezas de ganado, por explotación, para el total de la región A. b) La desviación típica para el total de la región A. Resp.: a)
x
= 734
;
b) sx = 22.734
12. Se conocen los siguientes datos del peso de un grupo de estudiantes: INTERVALO DE CLASE n i Hi 30 [20 , [30 , 40 [40 , 50 [50 , 60 [60 , 70 5 0.96 50 Además se sabe que h 1 = h5 y h2 = h4.Determinar la media, mediana y desviación típica. Resp.: x 45 ; xm = 45 ; sx = 7.21 13. En una fábrica de 3 secciones se sabe que en la sección A, con 120 trabajadores, la asistencia media anual es de 240 días; en la sección B, que tiene 180 operarios la asistencia media anual es de 216 días. Si la asistencia media en la fábrica es de 226.5 días al año: determinar cuantos trabajadores hay en la sección C cuya asistencia media es de 230 días al año. =
Resp.:52 14. Una muestra de 70 datos originales de una media de 120 y una desviación típica de 6, otra muestra de 30 datos originales de una media de 125 y una desviación típica de 5. Se reúnen las dos muestras formando una sola muestra de 100 datos. ¿Cómo podrá calcularse el coeficiente de variación de esta muestra de 100 datos? Resp.: 5.07% 15. Se han tabulado 50 datos que representan la resistencia a la tracción de un material en kg/cm2. Se obtuvo una media de 170 kg/cm 2 y una varianza de 880(kg/cm 2)2 La tabla de frecuencias que se confecciono presentaba: Intervalos de Clase Frecuencias Absolutas [100 , 120 n1 = 140 [120 , n2 = 6 [140 , 160
[160 [180 [200 [220
, , , ,
n3 = n4 = 16
180 200 220
n5 = n6 = 6
240
n7 = 3
Observe que los valores de las frecuencias absolutas: n1 ,n3 y n5 no aparecen en la tabla. Determinar dichos valores. Resp.: n1 = 2, n3 = 10, n5 = 7 16. Los salarios en una empresa son, en promedio, Bs.500 con posterioridad, se incorpora a la empresa un grupo de obreros igual al 25% de los que estaban anteriormente. El nuevo grupo ingresa a la empresa con un salario medio igual al 60% de los antiguos. Dos meses más tarde (1° de abril 2006) la empresa concede un aumento de salarios de Bs.30. Determinar: a) El promedio de salario del total de obreros. b) Si el aumento hubiera sido del 20% de los salarios. ¿Cuál habría sido la media de los salarios así ajustados? Resp.: a) 490
;
b) 552
17. En una empresa donde los salarios tienen una media de Bs.500 y una desviación estándar de Bs.1000 el sindicato solicita que cada salario x i se transforme en y i ; mediante la siguiente relación y i = 2.5x + 10. El directorio acoge parcialmente la petición rebajando los salarios propuestos por el sindicato en un 10%, lo que es aceptado. Se pide calcular la media aritmética y la varianza de la nueva distribución de salarios. Resp.:
x
1215
=
2
s x = 50625
18. En un conjunto de n valores de x se sabe que n
∑ x1 = 10 i =1
n
;
∑ x
2 i
i =1
= 260
2
; = 25
s x
Se pide encontrar n. Resp.: 10 19. En otro conjunto de n valores de y se sabe que
n
n
∑
2
yi = 1360
1
;
i =1
∑ y
= 40
i =1
n S2= 1280. Se pide encontrar n. Resp.: 20 20. De una muestra de tamaño 3, se sabe: i) La suma de los cubos de las tres observaciones es 1971 ii) La media aritmética es 7 iii) La media es 6 Calcular el valor de cada una de las observaciones si sabe que dichos valores son diferentes. Resp.: 3, 6, 12 21Dada la siguiente tabla de frecuencias: Intervalos de clase [20 , 40 [40 , 50 [50 , 80 [80 , 90 [90 , 94
Frecuencias absolutas 10 25 46 9 10
100 a) Determine Ud. la media, mediana varianza de esta distribución. b) ¿Cuál es el porcentaje de datos contenidos en el intervalo I = { x ∈ R / x −mediana < desviación típica} Resp: a) 61,59.78, 315.4
b) 62.178%
22. En una sección del curso de Probabilidad y Estadística, la distribución de calificaciones de 50 alumnos están dadas en la siguiente tabla. Calificaciones [0,5> [5, 10> [10, 12> [12, 15> [15, 20}
No. de Estudiantes 2 8 20 15 5
Se desea agrupar a los estudiantes de esta sección en 3 categorías tomando en cuenta las notas obtenidas.
El 20% de los que tienen las perores notas estarán en la categoría de deficiente; el 60% de los siguientes estarán en la categoría de normales y el 20% de los que tienen las mejores notas estarán en la categoría de excelentes. ¿Cuales son los límites de calificaciones entre las categorías? Res.: 10, 14 23. Dado el siguiente cuadro de distribuciones y sabiendo que la media es 61. hallar la varianza. Intervalos de Clase Frecuencia Relativa [20,40> 0.10 [40,60> [60,80> [80,100> 0.10 Resp.: 259 24. Dados los sueldos de 50 personas que se clasifican en una tabla de frecuencias con 4 intervalos de igual amplitud, se pide: a) Hallar la mediana y la varianza sabiendo que la marca de clase del segundo intervalo es 50; la frecuencia absoluta acumulada del segundo intervalo es 20; frecuencia absoluta del tercer intervalo es 25 y x =62.4 (en miles de bs.-) b) ¿Cuántas personas ganan un sueldo comprendido entre 26 y 65? Resp.: a) 64, 283.24, de 25 a 26 personas 25. El coeficiente de variación de los ingresos de 200 empleados de una compañía es 57%. Después de reajustar, según ley, todos los sueldos en 11 dólares, este coeficiente de variación es 50%. Sin embargo, la gerencia fija un sueldo mínimo de 71 dólares. Antes del reajuste había 35 personas que tenían un sueldo promedio de 40 dólares y todos ellos ganaban menos de 60 dólares; con la nueva política de la gerencia, sus sueldos serán llevados en promedio a 71 dólares. Determine la cantidad de dinero que necesitará mensualmente la compañía, para pagar los sueldos después de hacer efectivos los reajustes. Resp.: 21, 913.75 26. En la siguiente distribución de frecuencia calcular la desviación típica, la desviación media, cuartel y percentil 90. Intervalos [0,3> [3,6> [6,9> [9,12> [12,15> [15,18> De Clase hi 0.04 0.06 0.40 0.10 0.02 n = 100 Resp.: 2.893,
2.34,
10.97, 12.6
27. Una región se divide en dos zonas: A y B. en la zona A existen 10 cooperativas con una producción promedio de arroz de 100 T.M. con una desviación típica de 10 T.M.
En la zona B existen 15 cooperativas con una producción promedio de 120 T.M. de arroz y con una desviación típica de 9 T.M. Determinar: La producción media de la región y la varianza global. Resp.: 112,
184.6
28. El salario promedio de los obreros de una fábrica, el mes de Abril (2006), es de 3000 dólares con una desviación típica de1000 dólares, según convenio, el mes de mayo. Cada obrero recibirá un incremento del 10% de su haber anterior más una bonificación general, por costo de vida, de 1000 dólares. Determinar el salario promedio para el mes de mayo, así como su varianza. Resp.: 4300 ; 1210000 29. Un encargado de compras ha obtenido muestras de lámparas incandescentes de dos proveedores. En su propio laboratorio ha probado ambas muestras con respecto a la duración de su vida útil, obteniendo los siguientes resultados: Vida útil en horas
100 y menor que 900 900 y menor que 1100 1100 y menor que 1300 1300 y menor que 1500
Muestra de Empresa A 10 16 26 8
Empresa B 3 42 12 3
a) ¿Cuál de las empresas proveen mejores lámparas y que tipo de estas lámparas (de cuál de las empresas) presenta una mayor homogeneidad? b) Determine el coeficiente de asimetría de Pearson de la muestra global Resp.: A, B, -0.2 30. En un examen participaron cuatro grupos: A, B, C, D, con un total de 100 alumnos y promedio general de 72. (Calificación centesimal). Los puntajes medios de los grupos A, B, y C fueron 75, 62 y 80, respectivamente. Los archivos del grupo D se extraviaron pero se sabe que en el grupo A están el 40% del total de los alumnos, en el grupo B el 25% del total, en grupo C habían 15 alumnos mas que en el grupo D. en base a esta información determinar la nota media del curso D. Resp.: 65 31. Una compañía tiene 100 trabajadores; para los nombrados el haber básico máximo es de 450 mil dólares mensuales, y el mínimo es de 60 mil dólares mensuales. Año 2006. Hay un 5% de eventualidades que trabajan ad-honoren o perciben compensaciones inferiores a 60 mil; 15 trabajadores nombrado perciben haberes inferiores a 250 mil; el 85% de los trabajadores tienen haberes inferiores a 400 mil dólares.
Con esta información calcular: a) Cuartil 3 y percentil 20. b) ¿Cuantos trabajadores gana más de 200 mil dólares mensuales? c) La media, Mediana y moda, discuta la asimetría de la distribución de haberes Resp.: a) Q 3=376923 b) 84
P20=250000
x = 299,750
c) x m
= 319,231
M o = 325000 sesgada a la izquierda
32. En una revista económica se público la tabla de frecuencias y se decía en el texto del articulo que la media aritmética era 120 y la desviación estándar era 5. Desgraciadamente la publicación apareció con omisiones en la columna de frecuencias absolutas, lo cual impedía comprobar directamente lo que en el artículo se dice. ¿Son admisibles dichos valores de la media y desviación estándar, teniendo en cuenta lo que puede verse en la tabla? Contestar si o no justificando claramente su respuesta TABLA DE FRECUENCIAS Marcas de clase Frecuencias 105 110 37 115 90 120 95 125 85 130 60 135 140 TOTAL n = 400
Resp.: No son admisibles 33. El profesor del curso B afirma que el rendimiento de sus alumnos es mejor que los del curso A. Se dispone la siguiente información: Sección A 08 10 12 14 16
Ni 10 12 15 20 40
Sección B xini [06,08> 56 [08,10> 90 [10,12> 110 [12,14> 65 [14,16> 60
a) ¿Es correcto lo que afirma el profesor?
b) Puede usted decir en cual de los cursos las notas son mas homogéneas Resp.: a) No
b) Las de la sección B
34. Las distribuciones de ingreso de dos países son las siguientes: País A Ingresos anuales por habitante [80,100> [100,120> [120,140> [140,160> [160,200> [200,220>
País B Población Ingresos remunerada anuales 30000 [60,90> 80000 [90,120> 40000 [120,150> 10000 [150,180> 4000 [180,210> 1000 [210,240> [240,270>
Población remunerada 10000 20000 50000 20000 15000 10000 4000
a) Fundamente empleando el calculo de estadígrafos que crea conveniente, el grado de desarrollo comparado de ambos países b) Calculo el ingreso promedio del 30% de la población de mayores ingresos en cada país. Compare sus resultados y discuta sus conclusiones c) Suponiendo que el país B devalúa su moneda en 30% y el país A en 5%, calcule los nuevos ingresos promedio de ambos países. Resp.: a) B es más desarrollado que A b) c)
140.56
x A
=
x B
=
x A
=
x B
=
203.1346
110.143 103.6161
35. Se tiene la siguiente tabla de frecuencias correspondientes a las temperaturas de 24 días del mes de diciembre en la ciudad de Montreal (Canadá) Intervalo Marca de clase Frec. Absoluta Ii Xi ni [-17,-11> 3 5 10 4 3 2
Si las amplitudes de clase son iguales. Determinar: a) Mediana. b) Desviación estándar; de esta distribución Resp.:a) x m = −2.6 b) s = 8.47
36. El salario medio semanal es pagado a los trabajadores de un a compañía es de 200 dólares. Los salarios medios semanales pagados a hombres y mujeres de la compañía son de 210 y 150 respectivamente. Determinar el porcentaje de hombres y mujeres que trabajan en la compañía. Año 2006 Resp. h2 = 0.60 ; 60% de hombres h1 = 0.40 ; 40% de mujeres 37. Una muestra de 70 datos da una media de 120 y desviación típica de 6, otra muestra de 30 datos de una media de 125 y una desviación típica de 5. se reúnen las formando una sola muestra de 100 datos. ¿Cómo podrá calcularse la media y la varianza de esta muestra de 110 datos y que valores tienen estos estadígrafos? Resp.: x =
70 x120 + 30x125 100
= 121.5
n
∑ x
2
i
S
2
=
i =1
n
− ( x ) 2 =
1480020 100
− (121.50) 2 = 37.95
38. En una sección de estadística 24 estudiantes llevan el curso por primera vez, 6 llevan por segunda vez y 2 por tercera vez. Se sabe que 12 es el promedio de notas de los que llevan por primera vez y que las notas de los que llevan por segunda vez en promedio son superiores en un 10% de los que llevan por primera vez. Calcular el promedio de notas de los que llevan el curso por tercera vez si la suma total de notas es de 390. Resp. 11.4 39. Dado el siguiente cuadro, demostrar que la distribución de frecuencias es sesgada. Intervalos de clase 0-4 4-8 8-16 16-20 20-25
Frecuencias absolutas 2 4 6 10 8
Resp. La distribución es segada a la izquierda
40. Los datos que se dan a continuación a las edades (en años) de personas fallecidas en la Región Central de Perú durante el año 1977.
73 90 48 59 41
85 68 58 82 75
12 85 23 61 (*)
(*) 71 43 01 79
77 78 54 74 69
62 11 80 57 42
74 63 83 79 61
79 80 (**) 26 55
80 17 22 81 64
77 86 73 (*) 05
(*) : 1 mes (**) : 4 meses Con estos datos. a) Construya una tabla de frecuencias con anchos de clase iguales a 15 años y el polígono de frecuencias correspondientes Resp. 758.61 41. El coeficiente de variación de los ingresos mensuales de 100 empleados de una compañía es 0.6. Después de un aumento general de 40 dólares mensuales para todos los empleados de la Cía., el coeficiente de variación es ahora 0.5. Determinar la cantidad de dinero que necesitará mensualmente la Cía. para pagar los sueldos después de hacer efectivos los aumentos a partir del 1° de enero de 2006 Resp. 24000 42. El ingreso percápita anual de un país es de 5000 dólares. El sector obrero que constituye el 60% de la población percibe
1 5
del ingreso total. Calcular el ingreso
percápita del sector no obrero. Resp. 10000 43. El salario promedio mensual que paga una empresa es de 400 mil dólares. Con posterioridad se incorporan un grupo de obreros igual al 25% de los que había anteriormente; el nuevo grupo ingresa a la empresa con un salario medio igual al 60% de los antiguos. Dos mese mas tarde la empresa concede un aumento del 20% de los salarios más 50 mil dólares; pero al mismo tiempo el gobierno decreta un descuento de 2% del haber total por concepto de impuesto a la renta. Determinar el salario promedio mensual que recibe un obrero de la empresa después de los aumentos y descuentos de la ley y a partir del 1° de enero de 2006
Resp. 481.768 dólares 44. La producción de la fabrica A es el triple de la B y la de esta 18% inferior a la de C. Si los costos de los unitarios correspondientes, todos inferiores en 20% de sus respectivos precios de venta son: 200, 240 y 260. Se pide calcular el precio medio de venta. Resp. 277.1 45. En base a las notas de un examen para los cursos paralelos A y B con igual numero de alumnos. El profesor del curso B afirmo que el suyo era mejor. Se dispone de la siguiente información: Clase A
X1
4.5
N1 9 22 24 48 y12 n1
Clase B
24.5 [ 1 .0, [ 1 .0, [ 1 .0, [ 1 .0,
2. 4. 5 5. 5 7.0 5
183.75 600 39.0625 847.3125
d1 = x x Ot = 3.5 a) ¿Es correcta la afirmación del profesor del curso B? b) ¿En cual de las secciones las notas son más homogéneas? i
−
2
d 1 n1
36 3.25 0.125 24
