Docente: Daniel Humberto, Mavila Hinojoza Daniel
Universidad Nacional Mayor de San Marcos Facultad de Ingeniería Industrial Duración: 105 minutos Examen Parcial de Estadística y Probabilidades 2012_2 1.- The Coca
Cola Company tiene 366 000 accionistas y efectúa una encuesta por medio de la selección aleatoria de 30 accionistas de cada uno de los 50 estados de Estados Unidos. Se registra el número de acciones de cada accionista de la muestra.
a.- ¿Los valores obtenidos son discretos o continuos? Explique b.- Identifique el nivel de medición de los datos muestrales. Explique c.- Si se calcula el número promedio (la media) de acciones, ¿el resultado
es un estadístico o un
parámetro? ¿Por qué? qué? d.- Si usted fuera el ejecutivo en jefe de la Coca Cola Company, ¿qué característica del conjunto de datos consideraría que es extremadamente importante. (2 puntos) Solución a.- Discretos b.- De razón. c.- Estadístico. d.- El valor más grande, ya que
representa a los accionistas que lograrían el control de la compañía.
La superestrella de la NBA Michael Jordan mide 78 pulgadas, en tanto que la jugadora de basquetbol de la WNBA Rebecca Lobo mide 76 pulgadas. En efecto, Jordan es más alto por dos pulgadas, pero ¿cuál de los jugadores es relativamente más alto? ¿La estatura de Jordan, entre los más hombres, excede la estatura de Lobo entre las mujeres?. Los hombres tienen estaturas con una media de 69.0 pulgadas, con una desviación estándar de 2.8 pulgadas; las mujeres tienen estaturas con una media de 63.6 pulgadas, con una desviación estándar de 2.5 pulgadas. Interpretar 2.-
(4 puntos) Solución
Para comparar las estaturas de Michael Jordan y Rebecca Lobo, en relación con las poblaciones de hombres y mujeres, necesitamos estandarizar dichas estaturas convirtiéndolas en puntuaciones z . Jordan: Lobo:
La estatura de Michael Jordan está a 3.21 desviaciones estándar por arriba de la media, pero la estatura de Rebecca Lobo está a 4.96 desviaciones desviaciones estándar por arriba de la media. La estatura de Rebecca Lobo entre las mujeres es relativamente mayor que la estatura de Michael entre los hombres. Interpretación:
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Universidad Nacional Mayor de San Marcos Facultad de Ingeniería Industrial Duración: 105 minutos El Consejo de Fondos de Inversión de la Universidad a la que asistió un padre de familia se integra con nueve miembros. Cada año, ellos eligen un comité de tres personas para supervisar los edificios y los terrenos. También cada año eligen un presidente, un vicepresidente y un secretario. a.- Cuando el Consejo elige el comité de edificios y terrenos, ¿cuántos distintos comités de tres personas son posibles? ¿Por qué? b.- Cuando el Consejo elige a los tres funcionarios (presidente, vicepresidente y secretario), ¿cuántas diferentes planillas de candidatos son posibles? ¿Por qué? 3.-
(2 puntos) Solución
Note que el orden es irrelevante cuando se elige el comité de edificios y terrenos. Sin embargo, cuando se elige a los funcionarios, los diferentes acomodos cuentan por separado. Puesto que el orden no cuenta para los comités, queremos el número de combinaciones de r = 3 personas que se seleccionarán de entre las n = 9 disponibles. Tenemos a.-
Ya que el orden si cuenta en las planillas de candidatos, queremos el número de secuencias (o permutaciones) de r = 3 personas que se seleccionarán de entre las n = 9 disponibles. Tenemos b.-
Hay 84 diferentes comités de tres miembros del consejo posibles, pero 504 diferentes planillas de candidatos posibles. Supongamos que se elijen aleatoriamente a dos personas de un grupo formado por 4 mujeres y 6 hombres. a.- ¿Cuál es la probabilidad de que ambas personas sean mujeres? b.- ¿Cuál es la probabilidad de que la pareja elegida sea de una mujer y un hombre? 4.-
(2 puntos) Solución
y B denotan los sucesos de que la primera persona seleccionada sea una mujer y de que la segunda persona seleccionada sea una mujer, respectivamente. Para calcular la probabilidad pedida , se comenzará con la identidad a.- A
Ahora bien, puesto que las 10 personas, de las que 4 son mujeres, tienen la misma probabilidad de ser el primer individuo seleccionado, se tiene que
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Universidad Nacional Mayor de San Marcos Facultad de Ingeniería Industrial Duración: 105 minutos Ahora bien, dado que la primera persona seleccionada es una mujer, se concluye que, en la siguiente selección, las 9 personas restantes, de las cuales 3 son mujeres, son igualmente probables. Por consiguiente, = Por tanto, Para determinar la probabilidad de que la pareja elegida sea de una mujer y un hombre, observe primero que esto puede ocurrir de dos formas disjuntas. La primera persona elegida es un hombre y la segunda una mujer, o bien ocurre en el orden contrario. Si A denota el suceso consistente en que la primera persona elegida sea un hombre y B denota el suceso de que la segunda persona elegida sea una mujer, se tiene que b.-
Ahora bien, puesto que las 10 personas, de las cuales 6 son hombres, tienen la misma probabilidad de ser elegida en primer lugar, se tiene que Adicionalmente, si la primera persona seleccionada es un hombre, las 9 personas restantes, de las cuales 4 son mujeres, tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas a continuación, de donde se deduce que En consecuencia, Por un razonamiento similar, la probabilidad de que la primera persona elegida sea mujer y la segunda hombre es Dado que el suceso consistente en que la pareja elegida esté compuesta por una mujer y un hombre es la unión de los dos sucesos disjuntos anteriores, se sigue que
La compañía de seguros Esther Minio realiza una investigación sobre la cantidad de partes de siniestro fraudulentos presentados por los asegurados. Clasificando los seguros en tres clases, incendio, automóvil y "otros", se obtiene la siguiente relación de datos: El 6% son partes por incendio fraudulentos; el 1% son partes de automóviles fraudulentos; el 3% son "otros" partes fraudulentos; el 14% son partes por incendio no fraudulentos; el 29% son partes por automóvil no fraudulentos y el 47% son "otros" partes no fraudulentos. 5.-
a. Haz una tabla de contingencia ordenando los datos anteriores hallando el porcentaje total de partes fraudulentos y no fraudulentos.
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Universidad Nacional Mayor de San Marcos Facultad de Ingeniería Industrial Duración: 105 minutos b. Calcula qué porcentaje total de partes corresponde a la rama de incendios, cuál a la de automóviles y cuál a "otros". Añade estos datos a la tabla. c. Calcula la probabilidad de que una parte escogida al azar sea fraudulento. ¿Cuál será, en cambio, la probabilidad de que sea fraudulento si se sabe que es de la rama de incendios? (4 puntos) Propuesta de solución
a y b. La tabla de porcentajes con los datos del enunciado y los totales es la siguiente:
INCENDIO AUTOMÓVIL OTROS TOTAL FRAUDULENTOS 6 1 3 10 NO FRAUDULENTOS 14 29 47 90 TOTAL 20 30 50 100 c. En la tabla de probabilidad se observa que de escoger al azar una parte fraudulenta es del 10%. La probabilidad condicionada que se pide es: P(FRAUDE/INCENDIO) = 6/20 = 0.3 La fábrica Abrazo Partido S.A. tiene tres máquinas, A, B y C , que producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de los brazos robot de control por Internet manejados desde cualquier computadora remota. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5% respectivamente. 6.-
a. Se selecciona una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa. b. Se toma, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B. c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la indicada pieza defectuosa del acápite a)? (6 puntos) Propuesta de soluci ón:
Sea D= "la pieza es defectuosa" y N = "la pieza no es defectuosa". Representamos el caso mediante el diagrama de árbol adjunto. a. Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedad de la probabilidad total,
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Universidad Nacional Mayor de San Marcos Facultad de Ingeniería Industrial Duración: 105 minutos P(D)
=
P(A)
·
P(D/A)
+
P(B)
·
P(D/B)
+
P(C)
·
P(D/C)
=
= 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038 b. Se pide calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,
c. Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) del ítem b). Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:
La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A. C.U., jueves 18 de octubre de 2012
