UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMATICA ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICA
EXAMEN PARCIAL Semestre Académico 2017-B Curso Grupos Profesor(es) Fecha
: CALCULO III : 01 : Lic. Cesar Augusto Avila Celis. : 04 – 09 09 – 2017
Hora: 8:15 – 10:15 10:15
Indicaciones:
Apague y guarde los medios de comunicación electrónica, caso contrario será anulado su examen. No se permite el uso de copias, apuntes ni libros. Use lapicero tinta azul o negra. c elulares, préstamo de correctores. Está prohibido el uso de calculadoras, celulares, El orden y limpieza se tendrá en cuenta en la evaluación. Proporcione detalles necesarios para justificar su respuesta. Desarrollar las siguientes preguntas en forma clara, ordenada y p recisa.
PRIMERA UNIDAD DIDÁCTICA: GEOMETRIA VECTORIAL Y SUPERFICIES Problema N° 1.- (4 puntos) Determine la ecuación de la superficie cónica si la ecuación de la directriz x y z 1 es y su vértice es x y 1 0 2
2
2
V
3, 1, 2 .
SOLUCION
x ' y ' z ' 1 Sea el punto P ' x ', y ', z ' D x ' y ' 1 0 2
2
2
Sea el punto P x y z S superficie conica con vértice en ,
,
V
3, 1, 2 , entonces la Recta generatriz
verifica que: 2 x 3 y 3 x 3 y 1 x ' y x 4 x 3 y 1 z 2 x ' 3 y ' 1 x ' 3 y ' 1 z ' 2 x 3 z 2 z ' 2 x 2 y 5 z 2 x ' 3 z ' 2 y x 4
Pero, por y :
y ' x ' 1
2 x 3 y 3 y x 4
1
x 4y
1
4
y
x
Reemplazando en 2
2
2
2 x 3 y 3 x 4 y 1 2 x 2 y 5 z 2 1 4 4 4 y x y x y x 3 x
2
5y
2
7z
2
6xy 10xz
2yz 4x 4y 4z 4 0
Problema N° 2.- (4 puntos) Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en C 0 1, 1, 2 y corta en la recta L : 2 x y 2 z 12 , 4 x 7 y z 6 , una cuerda de 8 unidades de longitud. SOLUCION L : 2x y 2 z 12 , 4 x 7 y z 6 L P / P 0.0.6 t 3, 2, 2
Sean los puntos A y B intersección de la recta L con la circunferencia A
3t, 2t , 2t 6
Como la
d A, B
, B 3r , 2r , 2r 6 L C
8
9 t r
2
t r
4
2
4
t r
2
8
17 t r
2
8
t r
2
64 17
Ademas, se tiene que :
3t 1
3r 1
d C0 , A
R
d C0 , B
3t 1
3t 1
9t
2
17t
2
t
2
2t 1
2t 1
6t 1 4t 2
2
2
2
2
2t 1
2
2r 1
2t 8
2t 8
4t 1 4t 2
2
34t 17 r 34r 17
2
2
2
2t 8
2r 8 3r 1
3 r 1
2
2
r
2
t 34
2
2
2
2r 1
2r 1
32 t 64 9r
t
2
2
2
2
2r 8
6r 1 4r
r
2
2r 8
2
4r 1 4r
2
32r 64
0 t r 17 t r 34 0
0 t r 0 17t 17r 34
De donde Si
2
R
r
0 no
se cumple , es falso. Entonces
17t 17r 34 0
,
resolviendo
tenemos: t 1
4 17 17
A 3
;
12 17 17
r 1
,2
4 17 17
8 17 17
,4
8 17
12 17
17
17
, B 3
,2
8 17 17
,4
8 17
17
Radio de la circunferencia 2
2
2
8 17 8 17 8 17 R d C0 , A 3 6 2 65 17 17 17 ecuación del Plano, cuya normal es:
N
144 17 176 17 40 17 C0 A x C0 B , , 17 17 17
144 17 176 17 40 17 , , : P C0 .N 0 : x 1, y 1, z 2 . 0 17 17 17 :
8 17 17
18 x 22 y 5 z 30 0 :18 x 22 y 5 z 30
Ecuacion de la circunferencia es:
y
x 13 y 12 z 2 2 65 C : 18 x 22 y 5z 30
SEGUNDA UNIDAD DIDÁCTICA: FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL 2 2 x y 5 x determine la ecuación de la Problema N° 3.- (4 puntos) Sea C la curva descrita por 2 2 2 x y z 25
5 5 5 . 2 2 2
recta normal y del plano osculador en el punto P , , SOLUCION
5 5 x cos t 2 2 5 25 x y 5x 5 x y Como C : 2 4 y sent 2 x y z 25 x y z 25 t z sen 5 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
5
5 5 t cos t , sent , 5 sen entonces en el punto P, se tiene que 2 2 2 2
Tenemos C : f t
cos t 0 5 5 5 5 5 5 t P , , t sent sen sent t cos , , 5 1 2 2 2 2 2 2 2 2 t 1 sen 2 2
5
5 5 5 5 5 t t cos t , sent , 5sen f ' t sent, cos t, cos 2 2 2 2 2 2 2 2
Como C : f t
5 5 , 0, 2 2 2 2
De donde f '
5 5 5 5 5 t f '' t cos t , sent, sen f ' ' 0, , 2 4 2 4 2 2 2 2
El vector Normal tiene la dirección de
f
xf 2
'
125 125 125 375 ' , , 1, 6, 2 x f 16 32 16 2 2 2 32
''
5 5 5 2 y paralelo a la Normal, entonces: , , 2 2 2 2
Ecuacion de RECTA NORMAL pasa por P0 f
5 5 5 2 2 2 2 t 1, 6, 2 ; t
L N , ,
Ecuacion del PLANO OSCULADOR, cuya normal es el la dirección del vector Binormal:
O
5 5 5 2 25 2 25 2 25 , , . 0 0 O : x , y , z 2 2 2 2 8 16 4
xf 2
: P P0 . f '
''
5 5 5 2 25 2 O : x , y , z 0 . 2 2, 2, 4 0 O : 2 2 x 2 y 4 z 2 2 2 2
O
: 2 x
y 2
2z
25
: 4x
O
2
2
y 4
2 z 25
Problema N° 4.- (4 puntos) Sea la curva C descrita por r t , t . Si el vector aceleración a t es
a T t a
a t
dado por
T
N
demuestre que
N t
aT
r ' t . r '' t
y aN
r 't
r ' t x r '' t
r ' t
.
SOLUCION
, t
Si
C:r t
s' t
r' t
r ' t r ' t
T t
;
s't T t
r' t
Como el vector aceleración es dado por
r ' ' t s '' t T t s ' t T ' t ;
a t
T
' t
T
' t
N t
T
' t T ' t N t
De donde:
s '' t T t s ' t T ' t
a t
N t ;
k
s ' t
T ' t
T ' t
k
s' t
Reemplazando, tenemos
s ''t T t k s ' t
a t
2
N t
De donde tenemos la componente tangencial y la componente normal de la aceleración: aT
s '' t
Como
...
a N
k s ' t
2
...
s t T t s t T t multiplicando por T t
r '' t
y ''
'
'
s '' t T t .T t s 't T 't .T t s ''t T t .r ' 't s ''t
T t .r ' ' t
Reemplazando en
, tenemos que
r ' t .r ' ' t aT
r ' t .r ' ' t r '
.
r '
Multiplicando, ahora vectorialmente, se tiene:
s t T t xT t s t T t xT t s t T t xT t T t x r t
T t x r '' t
s '
t
''
T' t
'
T t
'
s ' t
T t x r '' t
'
2
s ' t
T ' t
'
''
s ' t
T t x r '' t
2
k
r' t x r'' t r '
Reemplazando en tenemos que
a N
r ' t x r '' t
.
r '
3 2 1 3 t , t, t at , t , a 4 4
Problema N° 5.- (4 puntos) Sea la curva C descrita por r t a) Probar que la curvatura de b) Si dado
,
t
curva en el punto
(cte)
es positiva en todos los puntos.
r t
t es el ángulo que forma el vector
v
0,0,1 con el vector binormal B t a la
, demuestre que la torsión de r t en dicho punto es t cos t . 2
r t
SOLUCION a) La curvatura es dado por
k (t )
r ' t x r '' t
r ' t
3
,
t
k (t )
0, t
b) Tenemos que
0 3 1 3 3 3 3 2 3 2 r t t , t, t at r ' t t ,1, t a r '' t , 0, t r ''' t 0 4 4 4 2 2 2 3 2 i r ' t x r '' t
3 2
3 3 t t k 2 2 3 2 9 9 3 9 3 t a t2 t2 a t2 a 4 4 8 2 8 2 3 3 3 t 2 2 2
j t
1
3
0
2
el vector binormal es dado por B(t )
r ' t x r '' t r ' t x r '' t
x r '' t
r' t
t
v, B t
cos t
B t
v.B t v
3
2cos t
Como la torsión es dado por
r ' t x r '' t . r ''' t t t 2 r ' t x r '' t
9 4
3 2cos t
2
cos2 t
v.B t
3 2
r' t xr
'' t
3 2 3 t , 1, t a 4 2
r' t
3
r
9
' t
t
2
4
1
9
t
16
4
a2
3 2
at
2
r
' t
9 16
t
4
9 2 1 a t 2 a 2 1 4 3
3
, 0, t 2 2
r '' t
t , a t 2 , 2 2 8 2 3
r ' t x r '' t
3
9
3
2 9 2 3 9 2 9 9 2 9 2 27 2 81 4 9 81 4 9 2 9 2 r ' t x r '' t t a t t a t t t t a 1 4 2 8 4 4 4 8 64 4 64 8 4
k (t )
r ' t x r '' t
r ' t
3
81 64
9 16
t
4
t
4
9 8
t
2
9
a 4
2
1
9 2 1 a t 2 a 2 1 4 3