30 puntos
´ blica de El Al Universid Unive rsidad ad Publica u Alto to Car Carrer rera a de Ing Ingeni enier er´ ıa Civi Civil l Primer Pri mer Sem Semestr estre e 201 2014 4 La Paz - Bol Bolivi ivia. a.
Docente: Dr. Mario ξττo
Chavez Gordi Gordillo llo PhD. s Chavez
Primer Pri mer Examen Examen Par arcia cial l de Ecu Ecuaci acione ones s Dif Diferen erencia ciales les
Jueves Jue ves 22 de Ma Mayo yo del 2014
C.I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P a t e r n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M a t e r n o . . . . . . . . . . . . . . . .. . . N o m b r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
( 4 puntos) Ecuaci´ on Diferencial Homog´enea. enea. Resolver la ecuaci´ on
3
x + y
2
x2 + y 2 d x
− xy
x2 + y 2d y = 0.
´ Se trata de una ecuaci´ on homog´enea, enea, todos los t´erminos erminos tienen el mismo grado. SOLUCION.-
Hacemos el cambio de variables y = ux en esta ecuaci´ on. Como y = u x + u, sustituyendo tenemos: x3 + y 2 x2 + y 2 y = xy x2 + y 2 ′
′
u ′x + u =
x3 + (ux)2 x(ux)
√ √
x2 + (ux)2
x2 + (ux)2
1 + u2 1 + u2 u x = u 1 + u2 d u 1 x = d x u 1 + u2 ′
−
=
′
√
x3 + u 2x2 x2 + u 2x2
√
x2 u x2 + u2 x2
√
√ − √
1 + u2 1 + u2 u2 1 + u2 u = u 1 + u2
√
√ Separando de variables y Integrando respecto a x tenemos u 1 + u 2
u
3/2
y2 2 = ln x + C , de aqu aqu´´ı la soluci´ on es dada por 1+ 2 x 3
3/2
2
1
2 d u = d x, por tanto 1+ x 3
= ln x + C .
( 5 puntos) Ecuaci´ on Diferencial Exacta. Determine el valor de b , para el cual la ecuaci´ on difer2 2 2 encial (xy + bx y )d x + (x + y )x d y = 0 es exacta y determine la soluci´ on para este valor de b. ´ yx x2 . La condici´ Aqu´ı te tene nemo mos s M (x, y ) = xy 2 + bx2 y y N (x, y ) = x3 + y on para que SOLUCION.-
la ecuaci´ on diferencial sea exacta es: ∂M (x, y ) ∂N (x, y ) = 2xy + bx2 = 3x2 + 2xy = ∂y ∂x
De donde b = 3. Integremos M (x, y ) con respecto a x:
M (x, y ) d x + C (y )
f (x, y ) =
(xy 2 + 3x2 y ) d x + C (y )
=
x2
= Derivando respecto a y
2
y2 + 3
x3
3
y + C (y )
∂f (x, y ) = x 2 y + x3 + C ′ (y ) ∂y
Igualando a N (x, y ) ∂f (x, y ) = N (x, y ) = x 3 + yx2 ∂y
x2 y + x3 + C ′ (y ) =
Despejando C (y ) se obtiene C (y ) = 0, integrando este resultado respecto a y se tiene que C (y ) = C 0. Sustituyendo en f (x, y ) obtenemos ′
′
f (x, y ) =
1 2 2 x y + x3 y + C 0 2
En consecuencia, una familia uniparam´ etrica de soluciones es f (x, y ) = C 1, la cual puede escribirse 1 2 2 x y + x3 y = C 2
♣
( 4 puntos) Mediante un factor integrante adecuado resuelva las siguiente ecuaci´ on diferencial 2 2 4 3 3 (6x y 4y )d x + (2 x y 4xy )d y = 0.
−
−
´ En este caso M = 6x2 y 2 SOLUCION.-
∂N ∂x
−
∂M = 6 x2 y ∂y 3
Por otro lado N = 2x y
− 4y
3
y N = 2x3 y
2
− 4y − 12x y + 16y
− 4xy
3
∂M ∂y
2
= 2 xy x
− ∂N ∂x N
− 2y
µ ′(x) d x = µ(x)
2
3
=
=
2y 2
2xy x2
2y 2
x
2
3
=
−6y
2
x
− 2y
2
, entonces
6y x2
3
3
− 4xy , entonces
−6x y + 12y
− −
luego ln(µ(x)) =
4
3
µ ′(x) = = x µ(x)
d x = 3 ln x = ln x3
de aqu´ı µ(x) = x 3 .
Multiplicando la ecuaci´ on diferencial por x3 obtenemos la ecuaci´ on diferencial exacta (6x5 y 2
3
4
6
4
3
− 4x y ) d x + (2x y − 4x y ) d y = 0.
Usando el m´etodo descrito tenemos ∂f = 6x5 y 2 ∂x
entonces f (x, y ) =
6x5 y 2
3
− 4x y
∂f = 2 x6 y ∂y
4
4
− 4x y
3
3
4
− 4x y ,
d x + C (y ) = x 6 y 2 + C (y ) = 2x6y ′
4
−x y 4
− 4x y
4
+ C (y )
3
de aqu´ı C (y ) = 0, C (y ) = C y la soluci´ on es, por tanto, ′
f (x, y ) = x 6 y 2
4
−x y
4
+ C = 0 .
♣
( 5 puntos) Resuelva la ecuaci´ on diferencial lineal x′ = x ln 2 + 2sen t (cos t ´ Recordemos SOLUCION.
− 1)ln2
que la ecuaci´ on lineal y ′ + a(x) y = b(x)
(1)
tiene por soluci´ on a:
− a(x) d x
y = exp
b(x) exp
a(x) d x
d x + C .
(2)
Nuestra ecuaci´ on es una lienal, en efecto esta puede escribirse como sen t
x′
aqu´ı a(t) =
− ln 2 y b(t) = 2
− − − − − − − 2sen t (cos t
= e t ln 2
= 2t = 2t
2sen t (cos t
ln 2 d t
x = exp
= 2t
sen t
− (ln2)x = 2 (cos t − 1)ln2 (cos t − 1)ln2. Aplicando (2) para resolverla obtenemos:
2sen t (cos t
1)ln2 e
1)(ln2)2
ln 2
2sen t t (cos t
ln 2
2u d u + C = 2 t
−
= 2 t (2sen t
t
−
1)ln 2 exp
t ln 2
−
t
−
ln 2 d t
d t + C
d t + C
d t + C
1)d t + C ln 2
u = sen t
d u = (cos t
t
1)d t
2u + C = 2 t (2u + C ) ln 2
+ C ) = 2sen t + 2 t C.
♣
( 4 puntos) Consideremos la ecuaci´ on de Riccati y + P (x)y + Q (x)y 2 = f (x) y y p (x) es una de sus soluciones particulares. Demuestre que si y = y (x) es cualesquiera de las soluciones de la ecuaci´ on de Riccati, entonces z = y y p es una soluci´on de la Ecuaci´on de Bernoulli z + P (x) + 2yQ (x) z Q(x)z 2 = 0. ′
′
−
−
´ SOLUCION.-
−
z ′ + P (x) + 2 yQ (x) z
= (y
= y
′
= y
′
Q(x)z 2 =
2
− y ) + P (x) + 2yQ(x) (y − y ) − Q(x)(y − y ) − y + P (x)y + 2y Q(x) − P (x)y − 2yQ(x)y − Q(x)y + 2yy Q(x) − Q(x)y + P (x)y + y Q(x) − y − P (x)y − Q(x)y = f (x) − f (x) = 0 p ′
p
′
2
2
p
p
p
′
p
p
2
p
2
p
p
2
p
( 8 puntos) Use ecuaciones diferenciales para resolver este problema. Cuando una poblaci´ on llega a ser demasiado numerosa, aparecen restricciones del medio en forma de limitaciones de espacio, de recursos, etc. , que haran disminuir la tasa de crecimiento o, incluso, que la har´ an negativa provocando que la poblaci´ on disminuya. Es m´ as realista suponer que el medio s´ olo puede sostener de manera estable un m´ aximo K de poblaci´ on (la capacidad de soporte del medio), de modo que si x(t) es el tama˜ no de una poblaci´ on en el momento t entonces es razonable suponer que la raz´ on de crecimiento x (t) sea proporcional conjuntamente tanto a la poblaci´ on misma x(t) como a la cantidad faltante para llegar a la m´ axima poblaci´ on sustentable K x(t). (a) Escribe y resuelve la ecuaci´ on diferencial correspondiente cuando la poblaci´ on inicial es x(0) = x0 . (b) Encuentre e interprete l´ım x(t). (c) Obtenga conclusiones a partir de los siguientes supuestos: (i) ′
−
t→∞
x0 = K , (ii) 0 < x0 < K , (iii) x0 > K . ´ Obteniendo SOLUCION.
de este modo la ecuaci´ on diferencial con valor inicial
x˙
= rx (K
− x)
x(0) = x0
(3)
Factorizando el segundo miembro de la ecuaci´ on por K la ecuaci´ on log´ıstica se escribe x K
−
x˙ = r 0 x 1
(4)
con r0 = rK . La constante r0 se llama tasa intr´ınseca de crecimiento de la poblaci´on. La ecuaci´ on diferencial log´ıstica (4) es con variables separadas y su soluci´ on a partir de la condici´ on inicial x(0) = x 0 > 0, es la funci´ on K
x(t) =
1+
− K x0
(5)
1 e
r t
− 0
conocida en la literatura como curva log´ıstica Conclusiones del modelo. Estudiamos algunas de las caracter´ısticas de la curva (5).
Empecemos haciendo un an´ alisis respecto de la ubicaci´ on de las condiciones iniciales.
Si x0 = K , entonces es x(t) = K para t 0, es decir el tama˜ no de la poblaci´ on permanece constante. En este caso se dice que K es el tama˜ no de equilibrio de la poblaci´on
≥
Si 0 < x0 < K , de la ecuaci´ on log´ıstica y de la continuidad de x(t) ( x(t) es positivo en alguna vecindad de 0), resulta que x (t) > 0 para t > 0, y consecuentemente x(t) es creciente para t > 0, por lo tanto el tama˜ no de la poblaci´ on aumentar´ a con el tiempo. ′
Si x0 > K , es te caso no tiene sentido en nuestro estudio. Observemos ahora que el punto de equilibrio K es uno que atrae a las dem´ as soluciones (equilibrio atractor) que pasan a trav´es de x0 para cada x0 > 0, puesto que en este caso l´ım x(t) = K . t Consecuentemente, independientemente de cu´ al sea el tama˜ no inicial de la poblaci´ on su tama˜ no se aproximar´ a al valor de equilibrio K . →∞
Por favor, coloque el inicial del apellido paterno en el cuadro. Que tengas ´exito.
