1,363)=0,1 El p valor es menor de 0,1 cosa que ya sabíamos ya que rechazamos la hipótesis a este nivel. También puede verse que es mayor de 0,05. Su valor exacto es 0,086 Hipótesis bilateral: Región crítica t 0 1,796 Aceptamos la hipótesis nula de que los dos tratamientos tienen la misma media. P valor: P ( t 11 1,475) 2 x0,086 0,172 7.- El porcentaje de impurezas en oxigeno producido mediante un proceso de destilación destilación se considera relacionado con el porcentaje de hidrocarburo en el condensador principal del procesador. Se dispone de los datos de un mes de operación, operación, dados a continuación. Se pide: Ajustar un modelo de regresión Hacer el contraste de regresión: Hallar la región crítica y el p valor Intervalo de confianza para la pendiente Calcular R 2 Hacer uso de los datos proporcionados y rellenar los que faltan ¿Qué se desprende del análisis de los residuos? Pureza ( %) 86,91 89,85 90,28 86,34 92,58 87,33 86,29 91,86 95,61 89,86 96,73 99,42 98,66 96,07 93,65 87,31 95 96,85 85,20 90,56
hidrocarburo (%) 1,02 1,11 1,43 1,11 1,01 ,95 1,11 ,87 1,43 1,02 1,46 1,55 1,55 1,55 1,40 1,15 1,01 ,99 ,95 ,98
n Media Varianza muestral Desviación Standard Covarianza
predicción
94,7388 90,9624 89,7823 89,0743 90,9624 88,1302 94,7388
limite inferior predicción 82,0667 83,2015 86,7868 83,2015 81,9373 81,1466 83,2015 80,0565 86,7868
limite superior predicción 97,7339 98,7233 102,691 98,7233 97,6274 97,0019 98,7233 96,2039 102,691
limite inferior estimación 87,8338 89,1914 92,2611 89,1914 87,6728 86,6758 89,1914 85,2858 92,2611
95,0928 96,1549 96,1549 96,1549 94,3847 91,4345 89,7823 89,5463 89,0743 89,4283
87,0879 87,9579 87,9579 87,9579 86,4799 83,6881 81,9373 81,6764 81,1466 81,5449
103,098 104,352 104,352 104,352 102,29 99,1808 97,6274 97,4163 97,0019 97,3117
92,4502 92,9776 92,9776 92,9776 92,0629 89,7282 87,6728 87,346 86,6758 87,1804
89,9003
Hidrocarburo 20 1,1825 0,0560513 0,236752 0,661463
limite superior estimación 91,9668 97,2164 92,7335 91,8918 91,4728 92,7335 90,9745 97,2164 97,7354 99,3322 99,3322 99,3322 96,7066 93,1407 91,8918 91,7466 91,4728 91,6762
pureza 20 91,818 20,0604 4,47888
3
Análisis de Regresión - Modelo: Y = a + b*X Variable Dependiente: pureza Variable Independiente: hidrocarburo Error Estadístico Parámetro Estimador Estándar T P-Valor Ordenada 77,8633 4,19889 18,5438 0,0000 Pendiente 3,48512 3,38612 0,0033 Análisis de la Varianza Fuente Suma de cuadrados Df Media Cuadrática F-Ratio P-Valor Modelo 148,313 1 148,313 11,47 0,0033 Residual Total (Corr.) 381,147 Coeficiente Correlación = 0,623797 R-cuadrado = Standard Error de estimación. = 3,59656 Plot del modelo ajustado
Residual Plot
100
8
97
4
a 94 z e r u 91 p
s o u d 0 i s e r
88
-4 -8
85 0.87
1.07
1.27
1.47
1.67
88
90
92
94
96
hidrocarburo
pureza estimada
Normal Probability Plot for RESIDUOS
Box-and-Whisker Plot
99.9 99 95 80 50 20 5 1 0.1
-5
-4.7 -2.7 -0.7
1.3
3.3
5.3
7.3
9.3
RESIDUOS
-2
1
4
7
98
10
RESIDUOS
Histograma para RESIDUOS 6 5
a i c 4 n e 3 u c e r 2 f 1 0 -5
-2
1
4
7
10
RESIDUOS
Solución:
4
ˆ1
Cov( X , Y ) S X 2
11,801
Modelo de Regresión: pureza = 77,8633 + 11,801x hidrocarburo 20S X 1 11,801 t 3,38612 3,48 S R Región crítica: t t 18, 0.025 2,101 Rechazamos la hipótesis. Hay relación lineal entre las variables. P valor: P t 18 3,38612 0,0033 20 S X ˆ1 1 Intervalo de confianza para la pendiente: t 18,0.025 S R
ˆ1 2,101 x3,48512 1 4,478;19,123 1 VE 148,313 2 R 0,3891228 VT 381,147 VNE= VT-VE= 232,834 Df = 18 Media Cuadrática = 232,834/18=12,.935 VT Df= 19 Predicción para hidrocarburo = 1,11: El punto central de intervalo de la predicción de pureza (98,7233+83,2015)/2=90,9624 Límite superior del intervalo de estimación: 90,9624- 89,1914=1,771; 90,9624+1,771=92,7334 Predicción para hidrocarburo = 1,02 Pureza = 77,863+11,801x1,02=89,9002 Intervalo de confianza para la estimación: Tamaño muestral 20 nˆ 13,5951 2 1,02 1,1825 1 0,236752 S 3,59656 Intervalo 89,9002 t 18,0,025 R 89,9002 2,101 89,9002 2,0493 13,5951 nˆ (87,8508; 91,9495) Intervalo para la predicción 1 89,9002 t 18,0, 025 S R 1 89,9002 2,101 x3,59656 1,036 89,9002 7,6910 nˆ (82,2091; 97,5912) El R 2 es muy bajo la regresión solo explica el 39,91 % de la variabilidad. Analizando los residuos, sobre todo el histograma vemos que éstos no son centrados, la distribución no es simétrica. El diagrama de cajas también manifiesta la falta de simetría y el plot Probabilístico nos dice que en las colas el ajuste a la normal no es demasiado bueno.
5
EXAMEN DE ESTADISTICA 2º de Ingeniería química 9 de septiembre de 1999 1.- A continuación se presentan datos de viscosidad de un lote de cierto proceso químico. 13,3 14,9 15,8 16,0 14,5 13,7 13,7 14,9 15,3 15,2 15,1 13,6 15,3 14,5 13,4 15,3 14,3 15,3 14,1 14,3 14,8 15,6 14,8 15,6 15,2 15,8 14,3 16,1 14,5 13,3 14,3 13,9 14,6 14,1 16,4 15,2 a. Construir un diagrama de tallo- hojas para los datos de viscosidad. b. Construir una tabla de distribución de frecuencias. c. Calcular los cuartiles primero, segundo y tercero y construir un diagrama de cajas. SOLUCIÓN: a. Diagrama de tallo-hojas Tallo hojas 13 3776439 14 95953138835361 15 832133366282 16 014 También podemos subdividir cada tallo Tallo hojas 3 13A 343 7 13B 7769 13 14A 313331 (8) 14B 95958856 15 15A 32133322 7 15B 8668 3 16A 014 b. Distribución de frecuencias de la variable viscosidad Intervalo Centro Frecuencia Frecuencia Frec absoluta Fre relativa Absoluta Relativa acumulada acumulada 13-13,5 13,25 3 0,083 3 0,083 13,5-14 13,75 4 0,111 7 0,194 14-14,5 14,25 6 0,166 13 0,361 14,5-15 14,75 8 0,22 21 0,583 15-15,5 15,25 8 0,22 29 0,805 15,5-16 15,75 4 0,11 33 0,916 16-16,5 16,25 3 0,083 36 1 c. Para calcular los cuartiles ordenamos los datos de menor a mayor 13,3 13,3 13,4 13,6 13,7 13,7 13,9 14,1 14,1 / 14,3 14,3 14,3 14,3 14,5 14,5 14,5 14,6 14,8 // 14,8 14,9 14,9 15,1 15,2 15,2 15,2 15,3 15,3 / 15,3 15,3 15,6 15,6 15,8 15,8 16,0 16,1 16,4 Primer cuartil (14,1+14,3)/2 = 14,2 Segundo cuartil o mediana (14,8+14,8)/2 = 14,8 Tercer cuartil 15,3 Rango intercuartílico 15,3-14,2 = 1,1 Límite superior del diagrama de cajas 15,3 + 1,5x1,1 = 16,95 Límite inferior 15,3 – 1,1x1,5 = 12,55 En nuestro caso los límites superior e inferior son 16,4 y 13,3 El diagrama de cajas queda representado por la siguiente figura
6
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14
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2.- Las cuadrillas de mantenimiento llegan al cuarto de herramientas pidiendo cierta parte de repuesto según una distribución de Poisson de parámetro 2. El cuarto de herramientas dispone de tres repuestos. Si se presentan más de tres, las cuadrillas deben recorrer una distancia considerable hasta el almacén central. En un día cualquiera a. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que realizarse dicho recorrido? b. ¿Cuál es la demanda diaria esperada de partes de repuesto? c. ¿Cuántas partes de repuesto deberán tenerse en el cuarto de herramientas para asegurar el servicio a todas las cuadrillas un 90% de las veces? d. ¿Cual es el número esperado de cuadrillas que recibirán servicio diariamente en el cuarto de herramientas? Utilizar las tablas SOLUCION: a. Probabilidad de realizar el recorrido hasta el almacén = P(X>3) = 1- P(X 3) = 1 - 0.857 = 0.143 b. demanda media diaria = E(X)= 2 c. Se busca un número a tal que P( X a ) 0.9 Buscando en las tablas P( X 4) 0.947 . Con 4 repuestos en el cuarto de herramientas se asegura el servicio el 90% de las veces. d. Se trata de calcular la distribución de la variable X condicionada por X 3 y después calcular su media. P(X=0)= 0.135 P(X=0/ X3)=0.135/0.857=0.157 P(X=1)= P(X1)-P(X=0)= (0.406-0.135) = 0.271 P(X=1/ X3)=0.271/0.857=0.316 P(X=2)= P(X2)-P(X1) =(0.676-0.406) =0.270 P(X=2/ X3)=0.270/0.857=0.315 P(X=3)= P(X3)-P(X2)=(0.857-0.676)=0.181 P(X=3/ X3)=0.181/0.857=0.211 número medio de cuadrillas que reciben servicio en el cuarto de herramientas = P(X=1/ X3)+2P(X=2/ X3)+3P(X=3/ X3)=1.569
7
3.- Un lote de 50 arandelas espaciadoras contiene 30 que son más gruesas que la dimensión requerida. Se escogen tres arandelas al azar, sin reemplazo a. Calcular la probabilidad de que las tres arandelas sean más gruesas que la dimensión requerida b. Sabiendo que las dos primeras arandelas no son más gruesas de lo requerido, calcular la probabilidad de que la tercera si lo sea. c. Calcular la probabilidad de que la tercera arandela sea más gruesa de la dimensión requerida. d. Calcular el número mínimo de arandelas que es necesario tomar del lote para que la probabilidad de que ninguna de ellas sea más gruesa de lo requerido sea menor que 0,1. e. Calcular el número mínimo de arandelas que es necesario tomar del lote para que la probabilidad de que una o más de ellas sea más gruesa de lo requerido sea al menos de 0,9. SOLUCION: a. n = 50 , m = 30 son más gruesas ; llamamos Ai al suceso la arandela i es más gruesa 30 3 30 x 29 x38 0,271 P ( A1 A2 A3 ) 50 50 x 49 x 48 3 30 b. P ( A3 / A1 A 2 ) 0,625 48 P ( A3 ) P ( A1 A 2 A3 ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A 2 A3 ) P ( A1 A2 A3 ) c. 20 19 30 20 30 29 30 20 29 30 29 28 x x x x x x x x 0.6 50 49 48 50 49 48 50 49 48 50 49 48 d. Se trata de calcular n para que P ( A1 A 2 ... An ) 0,1 . 20 Si n=1 P ( A1 ) 0,4 50 20 19 Si n=2 P ( A1 A 2 ) 0,155 50 49 20 19 18 Si n=3 P ( A1 A 2 A 3 ) 0,058 50 49 48 El n buscado es 3. e. P (una o más arandelas sean más gruesas) = 1 – P (ninguna sea más gruesa) >0,9. El n buscado es el mismo de antes, es decir, n=3. 4.- De un proceso químico se toma cada hora una muestra de 20 partes. Lo común es que el 1% de las partes requieran volver a ser procesadas. Sea X el número de partes de una muestra de 20 que necesitan ser reprocesadas. Se sospecha de un problema en el proceso si X es mayor que su media por tres desviaciones estándar. a. Calcular la probabilidad de que se sospeche de la existencia de un problema. b. Si el porcentaje de partes que necesita reprocesarse es de 4%. Calcular la probabilidad de X sea mayor que 1. c. Calcular la probabilidad de que X sea mayor que 1 en al menos una de las muestras tomadas en las próximas 5 horas. SOLUCION: 8
a. n = 20; p=0,01, la variable X sigue una distribución B (20, 0,01). E(X) = 20x0,01 = 0,2 = 2 = 20x0,01x0,99 = 0,198; = 0,4449; P (
X
3) P ( X 3 ) P ( X 3 ) P ( X 1,534) P ( X 1,13) P ( X 1)
1 P ( X 0) P ( X 1) 1 0,9919 20 x0,01 x0,9919 1 0,817 0,165 0,018 Si utilizamos aproximaciones nxp=20x0,01=0,2, podemos aproximar X por una variable de Poisson de parámetro 0,2 ; buscando en las tablas P(X>1) = 1-P(X 1) 1-0,982=0,01 b. Si p = 0,04, la variable X sigue una distribución B(20, 0,04) P(X>1) = 1 – P(X=0) – P(X=1) = 1-0,442-0,368 = 0,19. Aproximando nxp = 20x0,04 = 0,8 ; aproximamos X por una variable de Poisson de parámetro 0,8; P(X>1) = 1 - P(X1)1 - 0,808 = 0,192 c. Sean X1, X2, X3, X4, X5 las muestras obtenidas en las 5 horas siguientes. Definimos las variables Yi =1 si Xi > 1; Yi = 0 en caso contrario para i=1, 2, 3, 4, 5. Sea Y = Y 1 +Y2 + Y3 + Y4 + Y5. Nos piden calcular P (Y 1) . La variable Y sigue una distribución B (5, 0,19). Por tanto P (Y 1) 1 P (Y 0) 1 0,8105 1 0,349 0,65 5.- Se utilizan dos máquinas para llenar botellas de plástico con un volumen neto de 16 onzas. Las distribuciones de los volúmenes de llenado pueden suponerse normales con desviaciones estándar 0,02 y 0,025 onzas. Un miembro del grupo de ingeniería de calidad sospecha que el volumen de llenado de las dos maquinas es el mismo, sin importar si éste es de 16 onzas o no. Se toma una muestra aleatoria de 10 botellas Máquina 1 16,03 16,04 16,05 16,05 16,02 16,01 15,96 15,98 16,02 15,99 Máquina 2 16,02 15,97 15,96 16,01 15,99 16,03 16,04 16,02 16,01 16 a. Utilizando =0,05. ¿Tiene razón el ingeniero? b. Calcular el p-valor de la prueba. c. Calcular la potencia del contraste si la diferencia entre las medias es de 0,095. d. Suponiendo el tamaño muestral el mismo para las dos muestras, calcular el tamaño de muestra necesario para asegurar que =0,05 cuando la diferencia de las medias es de 0,08. SOLUCION: a. Dadas dos muestras de tamaño 10 de las variables X 1 N ( 1, 0.02) y X2 N ( 2, 0,025) se H 0 : 1 2 trata de realizar el siguiente contraste al nivel = 0,05. Bajo H0 el H 1 : 1 2 estadístico Z 0
X 1 X 2 12
n1 Z 0
22
N (0,1) . La región crítica al nivel 0,05 viene dada por
n2
z 0,025 ; buscando en las tablas de la normal z 0,025= 1,96. Para nuestras muestras el valor
de Z0 es 0,9871 que no cae dentro de la región crítica por tanto acepto la hipótesis nula y el ingeniero tiene razón. b. P Z z 0 2(1 z 0 ) 2(1 0,9871) 2 x (1 0,836) 0,338 , como vemos el p-valor es muy grande lo que nos apoya en nuestra decisión de aceptar la hipótesis nula de igualdad de medias.
9
2 0,095) P ( Z 0 1,96 / 1 2 0,095) P (1,96 Z 0 1,96 / 1 2 0,095) 0,095 0,095 X 1 X 2 0,095 c. P (1,96 1,96 / 1 2 0,095) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 P (aceptarH 0 / 1
n1
n2
n1
n2
n1
n2
P (11,34 Z 7,42) (7,42) (11,34) 0
La potencia viene dada por 1- P (aceptarH 0 / d. P (aceptarH 0 /
1
2
0,08) 0,05 , d =
1
2
0,095) 1
0,08 12
22
2,498 .
Buscando en las curvas OC encontramos n = 2 ó n = 3. Si n = 2 P (aceptarH 0 / 1 2 0,08) P (1,96
0,08 12
2
22
X 1 X 2 12
0,08 22
1,96
0,08 12
22
/ 1 2 0,08)
2 2 2 2 2 P (5,492 Z 1,572) (1,572) 1 (1,572) 0,059 Si n = 3 P (aceptarH 0 / 1 2 0,08) P (1,96
0,08 12
3
22
X 1 X 2 12
0,08 22
1,96
0,08 12
22
/ 1 2 0,08)
3 3 3 3 3 P (6,286 Z 2,366) (2,366) 1 (2,366) 0,01 La respuesta es n = 3. 6.- Una compañía productora de energía eléctrica está interesada en desarrollar un modelo que relacione la demanda pico por hora (y, en Kw.) con el uso de energía total al mes (x, en Kwh.). Se dispone de una muestra de 49 clientes que se ha procesado con el paquete Statgraphics y se han obtenido los siguientes resultados XKWH YKW n 49 49 Media 1083,02 3,24204 Varianza 293589,0 5,84703 Desviación típica 541,838 2,41806 Mínimo 292,0 0,17 Máximo 2316,0 9,5 Cov(X,Y)=1020,1 Análisis de Regresión - Modelo: Y = a + b*X Variable Dependiente: YKW Variable Independiente: XKWH Parámetro Estimador Error Standard Estadístico T P-Valor Intercept -0,521022 0,493678 -1,05539 0,2966 Slope 0,0034746 0,000408497 8,50582 0,0000
10
Análisis de la Varianza Fuente Suma de cuadrados Df Media cuadrática F-Ratio P-Valor Modelo 170,134 1 170,134 72,35 0,0000 Residual 110,524 47 2,35157 Total (Corr.) 280,657 48 Coeficiente de Correlación = 0,778587 R-Cuadrado = 60,6197 percent Error Standard de Estimación = 1,53348 Valores Predichos 95,00% 95,00% Predicted Prediction Limits Confidence Limits X Y Lower Upper Lower Upper 292,0 0,493561 -2,68981 3,67693 -0,291802 1,27892 582,0 1,5012 -1,64218 4,64457 0,898078 2,10431 1097,0 3,29061 0,174298 6,40693 2,84975 3,73147 1428,0 4,44071 1,31154 7,56987 3,91669 4,96473 2189,0 7,08488 3,83875 10,331 6,07478 8,09497 Plot of Fitted Model
Residual Plot l a 4,9 u d i s 2,9 e r d e z 0,9 i t n e d -1,1 u t S
15 12
W9 K Y 6 3 0 0
1
2
3
4 (X 1000)
XKWH
-3,1 0
10
20
30
40
50
row number Histogram for SRESIDUALS
Box-and-Whisker Plot 24 20
y c 16 n e 12 u q e r 8 f 4 0
-3,1
-2,1
-1,1
-0,1
0,9
SRESIDUALS
1,9
2,9
-3,3
-2,3
-1,3
-0,3
0,7
1,7
2,7
SRESIDUALS
Explicar los resultados de la salida del ordenador en los siguientes aspectos a. Modelo de regresión b. Hacer el contraste de regresión: Hallar la región crítica y el p valor c. Intervalo de confianza para el intercept d. Explicar el significado de R-cuadrado e. En la tabla de predicción ,explicar el significado de los dos intervalos proporcionados e. ¿Qué se desprende del análisis de los residuos? ¿Crees que el modelo está bien ajustado? SOLUCION a. El modelo de regresión ajustado es Y = 0,00347 X – 0,521 H : 1 0 b. Contraste de regresión 0 Contrastamos si existe relación lineal entre las H 1 : 1 0 ˆ1 S x n variables. El estadístico de contraste es T que sigue una distribución t con n-2 ˆ R S 11
grados de libertad, bajo la hipótesis nula. Según los datos proporcionados por la salida de la ˆ R S regresión 0.000408497 y ˆ1 0.0034746 . El valor del estadístico t también S x n
proporcionado es 8,5058152. La región crítica al nivel 0,05 viene dada por T t 0, 025,47 , buscando en las tablas . El valor de t está dentro de la región crítica y t 0, 025, 47 2, 021 rechazamos la hipótesis nula y admitimos que existe relación lineal entre las variables. El pvalor viene dado por la fórmula P ( t 47 8,505) 0 . ( ˆ 0 0 ) n c. El estadístico que se utiliza es que sigue una distribución t con n-2 grados de 2 ˆ R 1 X S 2 S X
libertad.
El
intervalo
de
confianza
2
ˆ0
ˆ R 1 X S 2
S X
t 0, 025, 47
n
al
nivel
0,05
viene
dado
por
2
0 ˆ 0 t 0,025, 47
ˆ R 1 X S 2
S X
n
. Las salidas nos proporcionan los
2
valores
ˆ0
ˆ R 1 X S 2
0,521022
S X
y
n
0,493686 ,
sustituyendo
obtenemos
1,5187 0 0,4767 d.
R
2
0,606197
VE
VE
; VE= Variación explicada por la regresión; VT = variación total
VT 2 (Y i Y ˆi ) ; VT
(Y Y ) . El 60% de la variación de nuestros datos está 2
i
explicada por la regresión. e. Intervalo de predicción: Estimamos el valor de la variable dependiente Y para un valor de la variable independiente X. Intervalo de estimación: Estimamos el valor de la media de la variable Y para un valor de la variable X. El intervalo de predicción es más amplio ˆ R 1 nˆ h 1 , Intervalo de estimación yˆ h t S ˆ R / nˆ h Intervalo de predicción yˆ h t S 2
donde nˆ h
n
X X 1 h S X
2
2
valor muestral equivalente. Como estos intervalos son al 95%
= 0,05 f.
Residuos. No se observa ninguna anomalía en el plot de los valores ajustados ni en el de los residuos, sin embargo en el diagrama de cajas se observa cierta asimetría y en el histograma se aprecia que los valores de los residuos se alejan de lo que cabría esperar para una variable normal. En el modelo de regresión se observa que el contraste de la ordenada en el origen tiene un p-valor cercano a 0,3 con lo que aceptaríamos la hipótesis nula de que esta vale 0. Convendría hacer un nuevo análisis de regresión con esta ordenada igual a 0 y ver si los resultados son mejores.
12
INGENIERIA QUIMICA: EXAMEN DE ESTADÍSTICA, SEGUNDO CURSO. 16 de febrero de 2000 1.- En un proceso de fabricación industrial se utilizan 10 máquinas. Estas máquinas funcionan independientemente unas de otras durante un tiempo que sigue una ley exponencial de media 100 horas. El proceso de fabricación se detiene cuando hay más de 8 máquinas sin funcionar. (La fabricación sigue si funcionan al menos dos máquinas) a) Calcular la probabilidad de que una máquina se averíe antes de 98 horas. b) Calcular la probabilidad de que se detenga el proceso de fabricación antes de 98 horas c) ¿Cuantas máquinas necesitaríamos para asegurarnos que el proceso de fabricación no se detendrá antes de 98 horas con una probabilidad mayor que 0,9? Solución: Sea X la variable que mide el tiempo de funcionamiento de una máquina cualquiera. 1 98 98 x 1 100 100 0,625 P ( X 98) e dx 1 e 100 0 El proceso de fabricación se detiene si de las 10 máquinas se averían más de 8 antes de 98 horas. Sea Xi =1 si la máquina i se avería antes de 98 horas. P(Xi=1) = 0,625. El número de 10 máquinas averiadas es Z i 1 X i . Z tiene una distribución binomial. P (se detenga el proceso) = 10 9 10 P ( Z 8) P ( Z 9) P ( Z 10) 0,625 0,375 0,625 0,055 0,009 0,0637 9 Con n=10 la probabilidad de que no se detenga el proceso es 1-0,0637=0,9363; este n nos asegura el resultado. Si n=9 P (se detenga el proceso) 9 = P ( Z 9) P ( Z 8) 0,6259 0,6258 0,375 0,015 0,079 0,0193 . 8 P (no se detenga el proceso) = 1 – 0,0193 = 0,9807 Si n=8, esta probabilidad es 8 = P ( Z 8) P ( Z 7) 0,6258 0,6257 0,375 0,023 0,111 0,135 7 Por tanto n=9.
2.- Supongamos que tres fábricas A, B y C vierten productos al río Pisuerga en una proporción 0,3 0,5 0,2. Estos vertidos son tóxicos con probabilidades 0,05 0,01 y 0,1 respectivamente. a) Calcular la probabilidad de un vertido tóxico al río Pisuerga. b) Si se detecta un vertido tóxico en el río, calcular la probabilidad de que este provenga de cada una de las tres fábricas. c) Si se han detectado en el último año 10 vertidos tóxicos, calcular la probabilidad de que 5 sean de A 3 de B y 2 de C. Solución: Por la regla de la probabilidad total. P (vertido tóxico) = P (tóxico/A) P(A) + P (tóxico/B) P (B) + P (tóxico/C) P(C) = 0,05x0,3 + 0,01x0,5 + 0,1x0,2= 0,04 Por la regla de Bayes
13
P(A/tóxico)= P (tóxico/A) x P(A)/P (tóxico) = 0,015/0,04 = 0,375; P (B/tóxico) = 0,005/0,04 = 0,125; P(C/tóxico) = 0,02/0,04 = 0,5. Si se han detectado 10 vertidos tóxicos 10 5 5 3 2 P (5deA,3deB,2deC ) 0,375 0,125 0,5 0,024 5 3 3.- El diámetro de una arandela tiene una distribución normal de media 0,2 pulgadas. Las especificaciones requieren que el diámetro está entre 0,14 y 0,26 pulgadas con probabilidad 0,9973. a) Calcular la desviación estándar. b) Si se conoce que la varianza es de 0,0016 pulgadas, calcular el valor de las especificaciones. Solución: Sea X la variable que mide el diámetro de la arandela P (0,14 < X <0,26) = 0,9973.Tipificamos la variable P (
0,14 0,2 X 0,2
0,26 0,2
) P (
0,06
Z
0,06
) P ( z Z z ) ( z ) ( z )
2 ( z ) 1 0,9973 ( z ) 1,9973 / 2 0,99865 Buscando en las tablas z = 3; 0,06 / 3 0,02 Si se conoce que la varianza es 0,0016 la desviación estándar es 0,04 P (
a 0,2
0,04
X 0,2
0,04
b 0,2
0,04
) P ( z Z z ) 2( z ) 1 0,9973 , como antes z =3
b = 0,04x3 +0,2 =0,32; a = 0,2-0,04x3 = 0,08. Las especificaciones son que el diámetro está comprendido entre 0,08 y 0,32 con probabilidad 0,9973 También seria correcto 0,14 0,2 X 0,2 0,26 0,2 P ( ) P (1,5 Z 1,5) 2(1,5) 1 2 x0,93943 1 0,87886 0,04
0,04
0,04
Las especificaciones son que el diámetro está comprendido entre 0,14 y 0,26 con probabilidad 0,87886. 4.- Dada una población N ( , 2,5). Se realiza el siguiente contraste de hipótesis H 0 : 50 obteniéndose los siguientes resultados. H :1 50 Región de aceptación 48,5 x 51,5 48 x 52 48,5 x 51,5 48 x 52
Tamaño de la muestra 10 10 0,02 16 0,02 16
para =52
para =50,5
0,2327
0,89
0,5
0,9918
a) Rellenar los datos que faltan en la tabla y dar los resultados del contraste. b) Con los datos proporcionados ¿podrías obtener un intervalo de confianza para la media? c) Para =0,05 ¿Qué tamaño de muestra nos asegura una potencia de 0.9 para =52? Solución:
14
Es un contraste de hipótesis sobre la media de una población normal con varianza conocida. El estadístico que se utiliza para el contraste es Z 0
X 0 / n
. La región de aceptación al
nivel viene dada por X 0 z / 2 / n . Para la primera fila de la tabla, z / 2 / n 1,5 de donde deducimos que z / 2 1,5 n / 1,5 10 / 2,5 1,8973 . Buscando en las tablas, (1,89)=0,97; es decir /2=0,03. Luego = 0,06. También se puede hacer 48,5 50 X 50 51,5 50 1 P (48,5 X 51,5 / 50) 1 P ( / 50) 2,5 / 10 2,5 / 10 2,5 / 10 1 (1,897) (1,897) 1 0,97 1 0,97 0,06 En la segunda fila z / 2 2 n / 2 10 / 2,5 2,529 ; (2,53)=0,99; = 2 x 0,01=0,02. En la tercera fila z / 2 1,5 n / 1,5 16 / 2,5 2,4 ; (2,4)=0,99; =2 x 0,01=0,02. En la cuarta fila z / 2 2 n / 2 16 / 2,5 3,2 ; (3,2)=0,99931; =2 x 0,00069=0,00138. Para calcular el error , este se define como la probabilidad de aceptar la hipótesis nula para un valor de . En la primera fila 48,5 52 X 52 51,5 52 / 52) P ( 48,5 X 51,5 / 52) P ( 2,5 / 10 2,5 / 10 2,5 / 10 (0,63) (4,27) 1 (0,63) 1 0,7673 0,2327 48 52 En la segunda fila (0) ( ) 1 / 2 (5,05) 1 / 2 2,5 / 10 En la tercera fila 51,5 52 48,5 52 ( ) ( ) (0,8) (5,6) 1 0,7881 0,2119 2,5 / 16 2,5 / 16 52 52 48 52 En la cuarta fila ( ) ( ) 1/ 2 2,5 / 16 2,5 / 16 Para la última columna = 50,5. En la primera fila 51,5 50,5 48,5 50,5 ( ) ( ) (1,264) (2,529) 0,8962 (1 0,9944) 0,89 2,5 / 10 2,5 / 10 En la segunda fila 52 50,5 48 50,5 ) ( ) (1,897) (3,16) 0,97062 (1 0,9992) 0,969 ( 2,5 / 10 2,5 / 10 51,5 50,5 48,5 50,5 En la tercera fila ( ) ( ) (1,6) (3,2) 0,9452 2,5 / 16 2,5 / 16 52 50,5 48 50,5 En la cuarta fila ( ) ( ) (2,4) (4) 0,9918 2,5 / 16 2,5 / 16
15
Para poder dar un intervalo de confianza para la media, necesitaríamos la media muestral y esta no se puede calcular con los datos suministrados. Para = 0,05 z / 2 1,96 , la región de aceptación es X 50 1,96 x 2,5 / n . Si la potencia es mayor de 0,9, el error es menor de 0,1 50 (4,9 / n) 52 50 (4,9 / n ) 52 ) ( ) 0,1 ( 2,5 / n 2,5 / n Calculamos la distancia entre la hipótesis nula y d (52 50) / 2,5 0,8. Buscando en las gráficas OC n está comprendido entre 15 y 30. Si n = 15 50 (4,9 / 15) 52 50 (4,9 / 15 ) 52 ) ( ) (1,138) (5,05) 1 0,87 0,13 ( 2,5 / 15 2,5 / 15 Si n =16 50 (4,9 / 16) 52 50 (4,9 / 16 ) 52 ( ) ( ) (1,24) (5,16) 1 0,8925 0,1075 2,5 / 16
2,5 / 16
Si n =17 =(-1,338)= 1- 0,908= 0,0092. Luego n =17. 5.- Se dispone de los siguientes datos que miden el porcentaje de algodón en un material utilizado para la fabricación de camisas de caballero. 34,2 33,6 33,8 34,7 37,8 32,6 35,8 34,6 33,1 34,7 34,2 33,6 33,1 37,6 36,6 33,6 34,5 35 33,4 32,5 35,4 34,6 37,3 34,1 35,6 35,4 34,7 34,1 34,6 35,9 34,6 34,7 36,3 36,2 34,6 35,1 33,8 34,7 35,5 35,7 35,1 36,8 35,2 36,8 37,1 33,6 32,8 36,8 34,7 35,1 35 37,9 34 32,9 32,1 34,3 33,6 35,3 34,9 36,4 34,1 33,5 34,5 32,7 Estos datos se han procesado con el paquete Statgraphics, y obtenido los siguientes resultados. variable: Porcentaje de algodón 64 valores desde 32,1 a 37,9 Percentiles n = 62 1,0% = 32,1 Media = 34,7984 5,0% = 32,7 Mediana = 34,7 10,0% = 33,1 Moda = 34,7 25,0% = 33,8 Varianza = 1,86079 50,0% = 34,7 Desviación Standard = 1,36411 75,0% = 35,55 Mínimo 32,1 90,0% = 36,8 Máximo = 37,9 95,0% = 37,3 Rango = entre 32,1 y 37,9 99,0% = 37,9 Primer Cuartil = 33,8 Tercer Cuartil = 35,55 Rango InterCuartilico = 1,75 Coef. Asimetría = 1,21312 Coef. Apuntamiento = -0,442764
16
Tabla de distribución de frecuencias ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Limite Limite Marca de Frecuencia Frecuencia Frecuencia Clase Inferior Superior Clase Frecuencia Relativa Acumulada Rel. Acu. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Menor 32,0 0 0,0000 0 0,0000 1 32 33,0 32,5 6 0,0938 6 0,0938 2 33,0 34,0 33,5 12 0,1875 18 0,2813 3 34,0 35,0 34,5 22 0,3438 40 0,6250 4 35 36,0 35,5 12 0,1875 52 0,8125 5 36,0 37,0 36,5 7 0,1094 59 0,9219 6 37,0 38,0 37,5 5 0,0781 64 1,0000 mayor38,0 0 0,0000 64 1,0000 igual ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Media = 34,7984 Desviación Standard = 1,36411 Diagrama de tallo-hojas: unidad = 0,1 1|2 representa 1,2 1 32|1 6 32|56789 9 33|114 17 33|56666688 24 34|0111223 (14) 34|55666667777779 26 35|001112344 17 35|56789 12 36|234 9 36|6888 5 37|13 3 37|689 Histograma
Diagrama de cajas 24 20
a i c16 n e12 u c e r 8 F 4 0
32
33
34
35
36
37
porcentaje de algodón
38
32
33
34
35
36
37
38
Porcentaje de algodón
Se pide. a) Rellenar los huecos en los estadísticos resumen y en la tabla de frecuencias. (no hace falta hacer ningún cálculo) b) Explicar brevemente las salidas de texto y los gráficos
17
INGENIERIA QUIMICA: EXAMEN DE ESTADISTICA 11 de setiembre de 2000 1.- Para cada una de las siguientes variables, indicar si son cualitativas o cuantitativas justificando la respuesta. (1 punto) El resultado de lanzar una moneda al aire. Cualitativa, dos posibles resultados cara y cruz El número de calorías de una comida. Cuantitativa, toma valores numéricos. El partido votado en las últimas elecciones. Cualitativa, toma los valores de los partidos presentados. El tiempo de duración de una película de dibujos animados. Cuantitativa. La espera en el aeropuerto para un embarque. Cuantitativa La temperatura media a la que una reacción química tiene lugar. Cuantitativa. La concentración media de ozono en el aire. Cuantitativa. La proporción de desempleados. Cuantitativa. La nota media de los exámenes de estadística. Cuantitativa. El número de goles en un partido de fútbol. Cuantitativa, discreta, toma solo valores naturales. 2.- Opina si las siguientes conclusiones son acertadas, justificando tu respuesta. (1 punto) Un agente de la propiedad observa que el precio medio de las casas del centro de Valladolid es de 30 millones y por tanto concluye que la mitad de las casa del centro cuestan menos de 30 millones. Falso, está confundiendo la media con la mediana. Un viajante calcula que el coste medio de los últimos 5 viajes ha sido de 20.000 pesetas y concluye que el coste total es de 100.000 pesetas. Verdadero, ya que coste medio = suma de todos los gastos/5. El contable de una empresa piensa que se ha confundido ya que ha llegado a la conclusión de que el 90% de los empleados gana menos que el salario medio. No se ha confundido, ya que pocos valores muy altos de la variable hacen subir la media. Una vendedora de helados concluye que más de la mitad de helados vendidos son de chocolate porque la moda cuando se elige entre 10 sabores diferentes es el sabor a chocolate. Falso, está confundiendo moda con mediana, la conclusión sería verdadera si solo hubiera dos gustos diferentes. 3.- En una factoría se producen piezas que se empaquetan en tres tipos diferentes de cajas con 15 unidades cada una en proporción 1/2 , 1/3, 1/6. Las cajas de tipo I contienen 3 unidades defectuosas, las de tipo II , 5 defectuosas y las de tipo III, 6 defectuosas. Se elige una caja al azar y se extraen 3 unidades resultando una de ellas defectuosa y 2 buenas. ¿Qué tipo de caja tiene mayor probabilidad de ser la elegida? (1.5 puntos). Solución: P (I)=1/2, P (II)=1/3, P (III)=1/6. I ={3D,12B}, II ={5D, 10B}, III ={6D,9B} 18
12 3. 2 P (1 B,2 D / I ) 0,435, P (1 B,2 D / II ) 15 3
10 5. 2 0,4945, P (1 B,2 D / III ) 15 3
9 6. 2 0,4747, 15 3
Por la regla de la probabilidad total P (1D,2B)= 0,435.1/2 + 0,4945.1/3 + 0,4747. 1/6=0,4615. Por la regla de Bayes P ( I /1 D,2 B) P (1 D,2 B / I ) P ( I ) 0,4714 P (1 D,2 B)
Análogamente P (II/1D,2B)=0,3571, P (III/1D,2B)=0,0571. Luego la respuesta es la caja 1. 4.- Si se supone que el 4% de la población es zurda. Aproximar la probabilidad de que en una clase de 71 estudiantes todos sean diestros. Aproximar la probabilidad de que haya al menos 2 zurdos. (1.5 puntos) Solución: Sean Xi variables de Bernoulli con parámetro p=0,04 . Sea X la variable que cuenta el número de personas zurdas en 71, X sigue una distribución binomial de parámetros 71 y 0,04. En nuestro caso n.p=2,84. Por lo que la podemos aproximar por una variable de Poisson de parámetro 2,84. Buscamos en las tablas la distribución de Poisson de parámetro 2,8 P(X=0)0.06, P(X2)=1-P(X1)1-0.231=0.769 5.- En un análisis de regresión se ha obtenido los siguientes resultados Análisis de Regresión – Modelo lineal: Y = a + b*X Variable Dependiente: Col_4 Variable Independiente: Col_3 Standard T Parameter Estimate Error Statistic P-Value Intercept -1967,37 259,597 -7,57857 0,0000 Slope 446,309 16,4418 27,1447 0,0000 ---------------------------------------------------------------------------------------Analysis of Variance Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value Model 7,96197E7 1 7,96197E7 736,83 0,0000 Residual 1,29668E6 12 108057,0 ---------------------------------------------------------------------------------------Total (Corr.) 8,09164E7 13 Correlation Coefficient = 0,991955 R-squared = 98,3975 percent Standard Error of Est. = 328,72 Hacer el contraste de regresión. Dar un intervalo de confianza para la ordenada en el origen al 5%. (2 puntos). Solución: H : 0 Para hacer este contraste se utiliza el estadístico Contraste de regresión 0 1 H 1 : 1
T 0
ˆ1 var( ˆ1)
0
que bajo la hipótesis nula sigue una distribución T con 12 grados de libertad.
La región crítica al nivel 0,05 viene dada por T0>t0,025,12 =2,179. De las salidas del ordenador sabemos que t =446,309/16,4418 =27,1447 que está en la región crítica, por 19
tanto rechazamos la hipótesis nula y llegamos a la conclusión de que existe relación lineal entre las variables. El intervalo de confianza para 0 viene dado por la fórmula ˆ0 t 0,025,12 var( 0 ). Es decir –1.967,372,179.259,597, dando como resultado. –2.533,0319 0 -1401,7081. 6.- Se han procesado las notas del examen y de prácticas de la asignatura de Estadística con el paquete statgraphics, obteniéndose las siguientes salidas. Se pide explicar las salidas producidas por el ordenador y las conclusiones a las que nos lleva el estudio estadístico. (3 puntos) Solución: De las tablas de distribución de frecuencias, se observa que la variable prácticas es más homogénea, tiene menos variabilidad, los valores están concentrados entre el 5 ,5 y el 7,5, mientras en las notas de junio están algo mas dispersa en torno a estos valores. También se ve esta mayor dispersión en los cuartiles y el rango intercuartilico que es mayor en junio. Mirando a los percentiles de las dos variables se podría decir que la nota de prácticas es más alta que la de junio. Frequency Tabulation for junio Lower Upper Relative Cumulative Cum. Rel. Class Limit Limit Midpoint Frequency Frequency Frequency Frequency At or below 2,0 0 0,0000 0 0,0000 1 2,0 3,0 2,5 4 0,0870 4 0,0870 2 3,0 4,0 3,5 8 0,1739 12 0,2609 3 4,0 5,0 4,5 6 0,1304 18 0,3913 4 5,0 6,0 5,5 9 0,1957 27 0,5870 5 6,0 7,0 6,5 9 0,1957 36 0,7826 6 7,0 8,0 7,5 7 0,1522 43 0,9348 7 8,0 9,0 8,5 3 0,0652 46 1,0000 Above 9,0 0 0,0000 46 1,0000 Mean = 5,55217 Standard deviation = 1,70434 Frequency Tabulation for prácticas Lower Upper Relative Cumulative Cum. Rel. Class Limit Limit Midpoint Frequency Frequency Frequency Frequency at or below 1,5 0 0,0000 0 0,0000 1 1,5 2,5 2,0 3 0,0652 3 0,0652 2 2,5 3,5 3,0 1 0,0217 4 0,0870 3 3,5 4,5 4,0 3 0,0652 7 0,1522 4 4,5 5,5 5,0 5 0,1087 12 0,2609 5 5,5 6,5 6,0 10 0,2174 22 0,4783 6 6,5 7,5 7,0 16 0,3478 38 0,8261 7 7,5 8,5 8, 0 5 0,1087 43 0,9348 8 8,5 9,5 9,0 3 0,0652 46 1,0000 above 9,5 0 0,0000 46 1,0000 Mean = 6,19565 Standard deviation = 1,73358
-One-Variable Analysis - junio Analysis Summary
One-Variable Analysis - practicas Analysis Summary 20
Data variable: junio 46 values ranging from 2,6 to 9,0 Summary Statistics for junio Count = 46 Average = 5,55217 Median = 5,45 Variance = 2,90477 Standard deviation = 1,70434 Minimum = 2,6 Maximum = 9,0 Range = 6,4 Lower quartile = 4,0 Upper quartile = 6,9 Interquartile range = 2,9 Stnd. skewness = -0,0150496 Stnd. kurtosis = -1,29393
Data variable: practicas 46 values ranging from 2,0 to 9,0 Summary Statistics for practicas Count = 46 Average = 6,19565 Median = 7,0 Variance = 3,00531 Standard deviation = 1,73358 Minimum = 2,0 Maximum = 9,0 Range = 7,0 Lower quartile = 5,0 Upper quartile = 7,0 Interquartile range = 2,0 Stnd. skewness = -2,35487 Stnd. kurtosis = 0,844995
Percentiles for junio 1,0% = 2,6 5,0% = 2,8 10,0% = 3,1 25,0% = 4,0 50,0% = 5,45 75,0% = 6,9 90,0% = 7,8 95,0% = 8,3 99,0% = 9,0
Percentiles for practicas 1,0% = 2,0 5,0% = 2,0 10,0% = 4,0 25,0% = 5,0 50,0% = 7,0 75,0% = 7,0 90,0% = 8,0 95,0% = 9,0 99,0% = 9,0
Stem-and-Leaf Display for junio: unit = 0,1 1|2 represents 1,2 3 2|668 5 3|01 10 3|55699 13 4|002 17 4|5578 23 5|033334 23 5|589 20 6|033 17 6|555589 11 7|0123 7 7|568 4 8|033 1 8| 1 9|0
Stem-and-Leaf Display for practicas: unit = 0,1 1|2 represents 1,2 3 4 7 12 22 (16) 8 3
2|000 3|0 4|000 5|00000 6|0000000000 7|0000000000000000 8|00000 9|000
Confidence Intervals for junio 95,0% confidence interval for mean: 5,55217 +/- 0,506127 [5,04605; 6,0583] 21
95,0% confidence interval for standard deviation: [1,41364; 2,14665] Confidence Intervals for practicas 95,0% confidence interval for mean: 6,19565 +/- 0,514812 [5,68084;6,71046] 95,0% confidence interval for standard deviation: [1,4379; 2,18349] Aquí tenemos intervalos de confianza al 95% para las medias y las varianzas de las dos variables. Para las medias, ambos intervalos se solapan, pero el de prácticas está mas a la derecha, evidenciando que la nota de prácticas es más alta. Para la varianza los intervalos de confianza son bastante similares con lo que la dispersión de las dos variables parece ser la misma. Box-and-Whisker Plot
Histograma de practicas 16 12 y c n e 8 u q e r f 4 0
0
2
4
6
8
10
1,5
2,5
3,5
practicas
4,5
5,5
6,5
7,5
8,5
9,5
practicas
Box-and-Whisker Plot
Histograma de junio 10
y c n e u q e r f
8 6 4 2 0
2,6
4,6
6,6
junio
8,6
10,6
2
3
4
5
6
7
8
9
junio
Aquí tenemos un histograma y un diagrama de cajas para las dos variables. De los histogramas no puede decirse que las dos variables sean normales, sobre todo la variable prácticas. Esto ya se podía haber dicho con el coeficiente de asimetría que toma el valor – 2,35 evidenciando asimetría hacia la izquierda. En los diagramas de cajas se ve el menor rango intercuartilico de la variable práctica y también el mayor valor de la media y la mediana de esta variable, así como la falta de simetría. Two-Sample Comparison - junio & prácticas Comparison of Means 95,0% confidence bound for mean of junio: 5,55217 - 0,422026 [5,13015] 95,0% confidence bound for mean of prácticas: 6,19565 - 0,429268 [5,76638] 95,0% confidence bound for the difference between the means Assuming equal variances: -0,643478 - 0,595717 [-1,23919] t test to compare means Null hypothesis: mean1 = mean2 Alt. hypothesis: mean1 > mean2 Assuming equal variances: t = -1,79521 P-value = 0,962012
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Comparison of Standard Deviations Junio prácticas Standard deviation 1,70434 1,73358 Variance 2,90477 3,00531 Df 45 45 Ratio of Variances = 0,966546 95,0% Confidence Intervals Standard deviation of junio: [1,41364;2,14665] Standard deviation of prácticas: [1,4379;2,18349] Ratio of Variances: [0,534811;1,7468] F-test to Compare Standard Deviations Null hypothesis: sigma1 = sigma2 Alt. hypothesis: sigma1 NE sigma2 F = 0,966546 P-value = 0,909639 Con estos procedimientos contrastamos lo que nos parece haber visto en los datos mediante el estudio descriptivo. Primeramente calculamos un intervalo de confianza para la diferencia de medias. Este intervalo depende de si las varianzas son iguales o distintas. El procedimiento empleado es el suponer varianzas iguales, que después se verá que es la hipótesis acertada. El intervalo de confianza es in intervalo superior dado por diferencia de medias es mayor que –1,239, ya que la hipótesis que se contrasta a continuación es si la media de junio es menor o igual que la media de practicas contra la alternativa de que es mayor. El ordenador nos da el valor del estadístico T utilizado en el contraste para nuestras muestras y el p valor. Como el p valor es muy grande, aceptamos la hipótesis nula a cualquier nivel, es decir la nota media de junio es menor o igual que la nota media de prácticas. Finalmente se hace un contraste de varianzas, las salidas nos ofrecen un intervalo de confianza para el cociente de varianzas y el valor del estadístico F para nuestra muestra y el p-valor que también en este caso es muy grande y se acepta la hipótesis nula de que las varianzas son iguales. Esta hipótesis ya la habíamos utilizado anteriormente.
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INGENIERIA QUIMICA: EXAMEN DE ESTADISTICA 10 de febrero de 2001 1.- Para cada uno de los siguientes experimentos, indicar la distribución de la variable resultante justificando la respuesta. (1 punto) El resultado del lanzamiento de un dado. Es una variable discreta que toma los valores 1,2,3,4,5 y 6 con probabilidad 1/6 cada uno de ellos Sacar una pieza de un lote y anotar si es buena o defectuosa. Es una variable de Bernoulli que toma los valores 0 o 1 según que la pieza sea buena defectuosa con probabilidades 1-p y p siendo p la proporción de piezas defectuosas. El número de piezas defectuosas al inspeccionar 20 piezas de un lote grande Es una variable que se puede aproximar por una binomial de parámetros 20 y p, siendo p la proporción de piezas defectuosas. La temperatura media nocturna de Valladolid en el mes de julio. Es una variable continua cuya distribución se podrá aproximar por una normal 2.- En una encuesta se plantea la siguiente pregunta ¿Conoces a algún hombre que vaya a la compra normalmente? Al procesarla se comprueba que el 90% de los preguntados responde que si, y por lo tanto se concluye que el 90% de los hombres realiza la compra normalmente. (1punto) A) Opina si la conclusión es acertada, justificando tu respuesta. De la pregunta de la encuesta se concluye que el 90% de los encuestados conoce a algún hombre que vaya a la compra (todos pueden conocer al mismo), por tanto la conclusión es errónea. B) Se presenta el resumen de los datos de la siguiente forma Numero de encuestados = 10000 media = 0.9008 Desviación estándar = 0.298945 ¿Es una presentación acertada? La variable que se está estudiando es una variable cualitativa con respuestas si y no, por tanto no tiene sentido calcular ni su media ni su desviación estándar. La presentación de los datos no es acertada. 3.- Tres máquinas fabrican piezas en serie siendo sus producciones horarias de 5000, 6000 y 4000 piezas respectivamente. Las proporciones de defectuosas son 0.05, 0.08 y 0.01; De la producción de un día se seleccionan dos piezas que resultaron buenas. Calcular la probabilidad de que ambas procedan de la misma máquina (1 punto). Se supone que el número de piezas de que disponemos es lo suficientemente grande como para considerar que la selección de la primera pieza es independiente de la selección de la segunda. Solución Sean M1, M2 y M3 las tres máquinas. P (M1)=5/15; P (M2)=6/15; P (M3)=4/15: Al extraer dos piezas se pueden dar las siguientes elecciones de máquinas con probabilidad P (M1, M1)= (5/15) x (5/15); P (M1, M2)= (5/15) x (6/15); P (M1, M3)= (5/15) x (4/15); P (M2, M1)= (6/15) x (5/15); P (M2, M2)= (6/15) x (6/15); P (M2, M3)= (6/15) x (4/15); P (M3, M1)= (4/15) x (5/15); P (M3, M2)= (4/15) x (6/15); P (M3, M3)= (4/15) x (4/15); El resultado de la selección de las piezas depende de la elección de las máquinas. Denotamos por B pieza buena P (BB/M1, M1) = 0.95 x0.95; P (BB/M1, M2) = 0.95 x0.92; P (BB/M1, M3) = 0.95 x0.99; P (BB/M2, M1) = 0.92 x0.95; P (BB/M2, M2) = 0.92 x0.92; P (BB/M2, M3) = 0.92x0.99; P (BB/M3, M1) = 0.99 x0.95; P (BB/M3, M2) = 0.99 x0.92; P (BB/M3, M3) = 0.99 x0.99; 24
La probabilidad de que las dos piezas extraídas sean buenas viene dada por la suma P(BB)= P(BB/M1,M1)x P(M1,M1)+ P(BB/M1,M21)x P(M1,M2)+ P(BB/M1,M3)x P(M1,M3)+P(BB/M2,M1)x P(M2,M1)+ P(BB/M2,M2)x P(M2,M2)+ P(BB/M2,M3)x P(M2,M3)+P(BB/M3,M1)x P(M3,M1)+ P(BB/M3,M2)x P(M3,M2)+ P(BB/M3,M3)x P(M3,M3)=0.899966 La probabilidad de que las dos piezas sean de la misma máquina viene dada por P (M1, M1/BB) +P (M2, M2/BB) +P (M3, M3/BB) = =(P(BB/M1,M1)x P(M1,M1)+ P(BB/M2,M2)x P(M2,M2)+ P(BB/M2,M2)x P(M2,M2))/P(BB)=0.33934 4.- Un auditor sospecha que el 25% de las facturas de una empresa son fraudulentas. Dispone de un millón de facturas para inspeccionar. Calcular el número de facturas que debe examinar para asegurarse que encontrará al menos una fraudulenta con una probabilidad mayor que 0.99. Justificar la aproximación realizada (1 punto) Solución: Si hay un millón de facturas 250.000 son fraudulentas y 750.000 correctas. Al examinar n facturas, si llamamos X el nº de facturas fraudulentas 750000 n P ( X 1) 1 P ( X 0) 1 1000000 n
Aproximamos la distribución de X por una binomial de parámetros n y 0.25 P ( X 0)
0.250 x0.75n 0.01
Tomando
logaritmos n log 0.75 log 0.01 como ambos log 0.01 16.0078 . Por lo tanto debe examinar 17 facturas. n
logaritmos
son
negativos
log 0.75
5.- Calcular los percentiles 5, 25, 50, 75 y 95 de una distribución BN (20, 0.05), para ello disponemos de las salidas proporcionadas por el statgraphics (1 punto) Parameters: Event prob. Successes Dist. 1 0.05 20 Dist. 2 0.2 5 Distribución: Negativa Binomial Lower Tail Area(<) Probability Mass (=) Upper Tail Area (>) Variable Dist. 1 Dist. 2 Variable Dist. 1 Dist. 2 Variable Dist. 1 Dist. 2 269 0.0499782 1.0 269 0.00157882 1.75174E-21 269 0.948443 0.0 338 0.247116 1.0 338 0.00408192 9.05034E-28 338 0.748802 0.0 394 0.49991 1.0 394 0.00461729 6.27861E-33 394 0.495473 0.0 455 0.74921 1.0 455 0.00332881 1.37373E-38 455 0.247461 0.0 554 0.949908 1.0 554 0.000943347 7.71827E-48 554 0.049149 0.0 Solución: Como es una distribución B (20,0.05) debemos utilizar los resultados calculados para la distribución 1. Vamos a denotar por X la variable con esta distribución. Si Percentil 5 = a por definición P ( X a) 0.05 ; P ( X a) 0.95 P ( X
269) 0.049978 0.001578 0.051556 0.05 P ( X 269) 0.948443 0.001578 0.950021 095
Por tanto el percentil 5 es 269. El percentil 25 es 338 ya que
25
P ( X 338)
0247116 0.00408192 0.25
P ( X 338)
0.748802 0.00408192 0.75
El percentil 50 es 394 ya que P ( X 394)
049991 0.0046172 0.5
P ( X 394)
0.495473 0.00461729 0.5
El percentil 75 es 455 ya que P ( X
455) 0.74921 0.00332881 0.75 P ( X 455) 0.247461 0.00332881 0.25
El percentil 95 es 554 ya que P ( X 554)
0.949908 0.000943347 0.95
P ( X 554)
0.049149 0.000943347 0.05
6.- En un análisis de regresión se han obtenido los siguientes resultados (2 puntos) Regression Analysis - Linear model: Y = a + b*X Dependent variable: accel Independent variable: weight Standard T Parameter Estimate Error Statistic P-Value -----------------------------------------------------------------------------------Intercept 16.7875 0.927477 0.0000 Slope -0.000191326 0.000338575 -0.565094 0.5728 ----------------------------------------------------------------------------------Analysis of Variance -------------------------------------------------------------------------Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value -----------------------------------------------------------------------------------Model 1 2.03717 0.5728 Residual 976.065 6.37951 --------------------------------------------------------------------------------------Total (Corr.) 978.102 154 Correlation Coefficient = -0.0456375 R-squared = Standard Error of Est. = Rellenar los huecos que faltan : El valor del estadístico T para la ordenada en el origen, la suma de los cuadrados del modelo, el valor del estadístico F, los grados de libertad de los residuos, el valor de R 2 y el valor del error estándar de estimación. Solución: T= 16.7875/0.927477=18.1001793 VT =VE + VNE; VE = VT- VNE =978.102-976.065=2.037 F =(VE/1)/(VNE/153)=2.037/6.37951=0.3193 Los residuos tienen 153 grados de libertad R 2= VE/VT =2.037/978.102=0.0020825 6.37951 2.525769 Error estándar de estimación VNE 153 ¿A la vista de los resultados, creéis que hay una relación lineal entre las dos variables analizadas? El p-valor para el contraste de hipótesis de la pendiente es 0.57, por lo tanto aceptamos la hipótesis de que la pendiente es 0 y por tanto no existe relación lineal entre las variables. El contraste F de regresión también da un p-valor de 0.57 como cabía esperar ya que ambos contrastes son equivalentes. El coeficiente R 2 da un valor muy pequeño, sólo el 0.2% de la variación de los datos está explicado por la regresión. Definitivamente si existe alguna relación entre estas dos variables, no es lineal.
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Después de realizada la regresión se ha hecho un análisis descriptivo de los residuos, obteniéndose Summary Statistics for RESIDUALS Percentiles for RESIDUALS Count = 155 Average = 8.49677E-8 1.0% = -4.97435 Variance = 6.33808 5.0% = -3.43123 Standard deviation = 2.51755 10.0% = -2.87294 Minimum = -4.99106 25.0% = -1.68098 Maximum = 8.62278 50.0% = -0.346094 Range = 13.6138 75.0% = 1.40754 Lower quartile = -1.68098 90.0% = 3.13286 Upper quartile = 1.40754 95.0% = 4.36781 Interquartile range = 3.08852 99.0% = 8.21998 Skewness = 0.780005 Kurtosis = 0.998636) Box-and-Whisker Plot
Histogram for RESIDUALS 50 40
y c n e30 u q 20 e r f 10 0 -7
-4
-1
2
5
8
11
-5
-2
RESIDUALS
1
4
7
10
RESIDUALS
¿Qué se puede decir de los residuos? De los valores muestrales presentados para los residuos, no puede decirse que se aparten demasiado de las hipótesis de normalidad necesarias para la regresión. Son centrados. El primer y tercer cuartil son casi simétricos y los coeficientes de asimetría y curtosis entran dentro de los valores normales. Puede observarse en los percentiles que los superiores (90,95 y 99) son superiores en módulo que sus correspondientes inferiores (10,5 y 1) por tanto la distribución presenta asimetría a la derecha. Esta asimetría se observa en el histograma aunque no muy marcada y en el diagrama de cajas se observan valores anormalmente altos que pueden ser los que determinen esta asimetría. 7.- Se instala un nuevo dispositivo de filtrado en una unidad química. Antes de su instalación una muestra aleatoria proporcionó la siguiente información acerca del porcentaje de impurezas: tamaño muestral, 8; media muestral, 12.5; varianza muestral, 101.17. Después de la instalación se tomó otra muestra obteniéndose: tamaño muestral, 9; media muestral, 10.2; varianza muestral, 94.73. (3puntos) a) ¿Se puede concluir que las dos varianzas son iguales? Se realiza el contraste
H 0 : 1 2 H 1 : 1 2
El estadístico utilizado es
S 12 S 22
que bajo la hipótesis nula se
distribuye según una F con 7 y 8 grados de libertad. Buscando en las tablas F 0.025,7 ,8
4.53
F 0.025,8,7
4.90
27
1 S 2 12 4.53 es 4.90 S 2
La región de aceptación es S 12 S 22
1.06 que cae dentro de la
decir
0.20
S 12 S 22
4.53 .
En nuestro caso
región de aceptación, es decir aceptamos igualdad de varianzas.
b) Calcular la potencia del contraste cuando el cociente de varianzas es 2. Dato F(2.2659) = 0.862761; F (0.1)=0.003265 1 (2) 1 P (0.20
P (2)
Si
12 22
S 12 2S 22
2
S 12 S 22
4.53 /
12 22
2) 1 P (0.20
22 12
S 12 12 S 22 22
4.53
22 12 / 12 22
2) a
sigue una distribución F con 7 y 8 grados de libertad, por tanto
P (2)= 1 P (0.10
S 12 2 S 22
2.2659) 1 F (2.2659) F (0.10) 1 0.86271 0.003265 0.140504
c) ¿Que tamaño muestral nos asegura una potencia de 0.9 cuando el cociente de varianzas es de 4? Una potencia de 0.9 corresponde a un error de segunda clase 0.1 para una distancia entre la hipótesis nula y la alternativa de 2, buscando en las curvas CO para un nivel 0.05 encontramos un tamaño maestral aproximado de 31 observaciones para las dos muestras d) Dar un intervalo de confianza para la diferencia de medias Asumiendo igualdad de varianzas la estimación de la varianza común es (7x101.17+8 x 4.73)/15=97.735.La desviación estándar es 9.886 Buscando en las tablas t 0.025,15 2.131 ; 2.131x9.886 (1/7+1/8)=10.9032. El intervalo de confianza al 95% para la diferencia de medias viene dado por (12.5-10.2) 10.9032 1 2 8.6,13.2
e) Están los datos de acuerdo en que se ha reducido el porcentaje de impurezas al colocar el filtro en al menos un 2%? H Hacemos el contraste 0 : 1 2 2 Buscando en las tablas t 0.05,15 1.753 ; H 1 : 1
2 2
La región de aceptación al nivel 0.05 es T >-1.753 , en nuestro caso 0.3 X Y 2 0.05 que está en la región de aceptación luego aceptamos la hipótesis de t s
1 1 7 8
5.116
que se ha reducido el porcentaje de impurezas en al menos un 2% f) Calcular la potencia del contraste cuando la diferencia de medias es de 0. F (1,36)=0.898 P (0)=P (Rechazar la hipótesis/ 1=2)= X Y 2 P (
5.116
X Y
1.753 / 1 2 0) P (
Si 1=2 entonces
X Y
5.116
P (0)= P ( X Y 1.753 5.116
5.116
1.753
2 / 0) 5.116 1 2
sigue una distribución T con 15 grados de libertad
2 ) P (T 15 1.36) 1 P (T 15 1.36) 1 0.898 0.102 ) 5.116
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INGENIERIA QUIMICA: EXAMEN DE ESTADISTICA.11 de setiembre de 2001 1.- Para cada uno de los siguientes experimentos, indicar la distribución de la variable resultante justificando la respuesta. (1 punto) - El resultado del lanzamiento de una moneda - Sacar una pieza de un lote grande y anotar si es aceptable o no - El número de piezas de piezas extraídas de un lote grande hasta sacar la primera defectuosa, conociendo la proporción de defectuosas - Las medidas de concentración de ozono en la calle Regalado de Valladolid 2.- Se han procesado unos datos y se han obtenido los resultados (1punto) Clase Valor Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frec.Relativa Relativa Acumulada Acumulada 1 1.0 4 0.0741 0.0741 2 2.0 0.6111 37 0.6852 3 3.0 9 0.1667 0.8519 4 4.0 5 0.0926 51 0.9444 5 5.0 2 0.0370 53 0.9815 6 6.0 1 0.0185 1.0000 Rellena los huecos, explica que tipo de variable es y dibuja un diagrama de barras o un histograma según corresponda. 3.- Tres máquinas fabrican piezas en serie siendo sus producciones horarias de 3000, 2000 y 1000 piezas respectivamente. Las proporciones de defectuosas son 0.01, 0.03 y 0.05; De la producción de un día se selecciona dos piezas que resultan buenas. Calcular la probabilidad de que ambas procedan de la misma máquina (1 punto). 4.- Un técnico de medio ambiente sospecha que el 5 % de las emisiones de gases contaminantes de una empresa química sobrepasan el mínimo de lo permitido por la ley. Calcular el número de muestras que debe tomar para asegurarse que encontrará al menos una con mayor contaminación de la permitida con una probabilidad mayor que 0.99. Justificar la aproximación realizada (1 punto). 5.- Calcular los percentiles 5, 25, 50, 75 y 95 de una distribución H (10, 15,35), para ello disponemos de las salidas proporcionadas por el statgraphics (1 punto) Distribution: Hypergeometric. Probability Mass (=) Variable Dist. 1 0 0.0178713 1 0.103104 2 0.240576 3 0.297856 4 0.215689 5 0.094903 6 0.0255116 7 0.00410007 8 0.000372734 9 0.0000170532 10 2.9234E-7
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6. - En un análisis de regresión se ha obtenido los siguientes resultados Simple Regresión - Col_2 vs. Col_1 Regresión Análisis - Linear modelo: Y = a + b*X Dependent variable: Col_2 Independent variable: Col_1 Standard T Parameter Estimate Error Statistic P-Value Intercept -0,966824 0,00484523 -199,541 0,0000 Slope 1,54376 0,00307363 502,259 0,0000 Analysis of Variance Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value Model 1,96613 1 1,96613 252263,91 0,0000 Residual 0,0000623515 8 0,00000779394 Total (Corr.) 1,96619 9 Correlation Coefficient = 0,999984 R-squared = 99,9968 percent Standard Error of Est. = 0,00279176 Explica las salidas suministradas por el programa. Dar un intervalo de confianza para la pendiente al 5%. (2 puntos) 7.- Se instala un nuevo dispositivo de filtrado en una unidad química. Antes de su instalación una muestra aleatoria proporcionó la siguiente información acerca del porcentaje de impurezas: tamaño muestral, 9; media muestral, 10.2; varianza muestral, 94.73. Después de la instalación se tomó otra muestra obteniéndose: tamaño muestral, 8; media muestral, 12.5; varianza muestral, 94.73. (3puntos) a) ¿Se puede concluir que las dos varianzas son iguales? b) Calcular la potencia del contraste cuando el cociente de varianzas es 2. c) ¿Que tamaño muestral nos asegura una potencia de 0.9 cuando el cociente de varianzas es de 4? d) Dar un intervalo de confianza para la diferencia de medias e) ¿Están los datos de acuerdo en que el nuevo dispositivo de filtrado no reduce el porcentaje de impurezas? f) Calcular la potencia del contraste cuando la diferencia de medias es de -1. Datos: Distribution: F (variance ratio) Variable Lower Tail Area (<) Probability Density Upper Tail Area (>) 0.2 0.0188324 0.273502 0.981168 0.44 0.136386 0.642464 0.863614 0.94 0.460826 0.558782 0.539174 4.55 0.96968 0.0171977 0.0303198 9.8 0.996528 0.00107239 0.00347171 Distribution: Student's t Variable Lower Tail Area (<) Probability Density Upper Tail Area (>) 0.25 0.597011 0.379517 0.402989 0.44 0.666895 0.354097 0.333105 0.94 0.818945 0.248208 0.181055 4.55 0.999808 0.000380906 0.000191598 9.8 1.0 4.35082E-8 3.25702E-8
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INGENIERÍA QUÍMICA: EXAMEN DE ESTADÍSTICA 6 DE SETIEMBRE DE 2002 1.-Tres laboratorios hacen análisis para una empresa de medio ambiente: Los datos que a continuación se expresan reflejan la experiencia a largo plazo con estos laboratorios (2 puntos) Proporción de análisis Proporción de entrega con Laboratorio correspondientes retraso de más de un mes 1 .5 .3 2 .3 .4 3 .2 .2 La empresa descubre un análisis con más de un mes de retraso. Calcular la probabilidad de que cada laboratorio sea el responsable del análisis. 2.- A continuación se presentan datos de viscosidad de un lote de cierto proceso químico. 13,3 14,9 15,8 16,0 14,5 13,7 13,7 14,9 15,3 15,2 15,1 13,6 15,3 14,5 13,4 15,3 14,3 15,3 14,1 14,3 14,8 15,6 14,8 15,6 15,2 15,8 14,3 16,1 14,5 13,3 14,3 13,9 14,6 14,1 16,4 15,2 a. Construir un diagrama de tallo- hojas para los datos de viscosidad. (0.5 punto) b. Construir una tabla de distribución de frecuencias y dibujar el histograma correspondiente. (1 punto) c. Calcular los cuartiles primero, segundo y tercero y construir un diagrama de cajas. (0.5 puntos) d. Suponiendo que todas las observaciones siguen una distribución normal con una varianza común desconocida. Calcular un intervalo de confianza para la media al nivel 0.1. (1 punto) e. Contrastar la siguiente hipótesis al nivel 0.05. (1 punto) H0: =15 H0: =16 H1: <15 H1: ≠16 f. Calcular la región crítica y el p valor para ambos contrastes. (1 punto) 3.- Un lote de 2000 piezas presenta 50 defectuosas. g. Calcular la probabilidad de que en una muestra aleatoria de tamaño 25 se encuentre al menos una defectuosa. (0.5 puntos) h. Calcular el tamaño muestral necesario para detectar tres o menos piezas defectuosas el 90% de las veces. (0.5 puntos) 4.- Un ensamble está compuesto por 10 componentes colocados uno junto al otro. La longitud de cada componente se distribuye normalmente con media 2 cm. y desviación típica 0.02 cm. Las especificaciones requieren que todos los ensambles tengan una longitud entre 9.9 y 10.1 cm. ¿Cuántos ensambles verificarán estos requerimientos? (1 punto) 5.- Calcular los percentiles 5, 25, 50, 75 y 95 de una distribución H(10,15,35), para ello disponemos de las salidas proporcionadas por el statgraphics (1 punto) Distribution: Hypergeometric Probability Mass (=) Variable Dist. 1 Variable Dist. 1 Variable Dist. 1 0 0.0178713 5 0.094903 10 2.9234E-7 1 0.103104 6 0.0255116 2 0.240576 7 0.00410007 3 0.297856 8 0.000372734 4 0.215689 9 0.0000170532
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EXAMEN DE ESTADÍSTICA: 2º de Ingeniería Química 31 de Enero de 2003. Primera parte 1.- La tabla adjunta muestra los diámetros en centímetros de una muestra de 24 bolas de cojinete manufacturados por una fábrica. 1.738 1.729 1.743 1.740 1.736 1.741 1.735 1.731 1.726 1.737 1.728 1.724 1.733 1.742 1.725 1.734 1.732 1.730 1.739 1.738 1.727 1.732 1.746 1.744 a. Calcular media, moda, mediana, rango, máximo, mínimo, desviación estándar, primer cuartil, segundo cuartil, tercer cuartil, rango intercuartílico, percentil 5 y percentil 95 muestrales (0.5) b. Hacer una tabla de distribución de frecuencias, un diagrama de tallo-hojas, un histograma y un diagrama de cajas y comenta los gráficos.(1) c. Hallar un intervalo de confianza al 95% para la media y otro para la varianza.(1) d. Para el siguiente contraste de hipótesis H0 : = 1.725 H1 : > 1.725 Calcular la región crítica, el p-valor (aproximado), la potencia en el punto 1.75. Calcular el tamaño de muestra necesario para asegurarnos una potencia mayor de 0.99 en el punto 1.73. (1.5) e. Para el siguiente contraste de hipótesis H0 : = 0.005 H1 : .0.005 Calcular la región crítica, el p-valor (aproximado), la potencia en el punto 0.004. Calcular el tamaño de muestra necesario para asegurarnos una potencia mayor de 0.9 en el punto 0.004. (1.5) Solución: n = 24 media = 1.73458 mediana = 1.7345 Moda = Hay dos 1.732; 1.738 Varianza = 0.0000402536 Desviación estándar = 0.00634457 Mínimo = 1.724 Máximo = 1.746 Rango = 0.022 Valores desde 1.724 a 1.746 Primer cuartil = 1.7295 (dato 6 + dato 7)/2 ordenados de menor a mayor Tercer cuartil = 1.7395 (dato 18 + dato 19)/2 ordenados de menor a mayor Rango intercuartílico = 0.01 percentil 5 = 1.725 dato 2 ordenados de menor a mayor percentil 95 = 1.744 dato 23 ordenados de menor a mayor Tabla de distribución de frecuencias clase menor 1 2 3 4 5 6 mayor
lim. Inf lim.Sup. 1.72 1.72 1.725 1.725 1.73 1.73 1.735 1.735 1.74 1.74 1.745 1.745 1.75 1.75
Frec.Abs. 0 1 5 6 6 5 1 0
Frec.Rel. 0 0.041 0.208 0.25 0.25 0.208 0.041 0.
Frec.Abs.Ac. 0. 1 6 12 18 23 24 24
Frec.Rel.Ac 0 0.041 0.25 0.5 0.75 0.58 1. 1
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6 5
y c 4 n e 3 u q e r 2 f 1 0 1.72 1.725 1.73 1.735 1.74 1.745 1.75
histograma
Diagrama de cajas
1.723 1.728 1.733 1.738 1.743 1.748 1.753
diametro Diagrama de tallo- hojas 1 172|4 6 172|56789 (6) 173|012234 (6) 173|567779 6 174|01234 1 174|6 Intervalo de confianza para la media. T 23,0.025= 2.069 1.73458 +/- 0.00267908 [1.7319;1.73726] Intervalo de confianza para la desviación estánda.r X 223,0.025= 38.08 X223, 0.975= 11.69 [0.00493109;0.00889992] Para la varianza [0.0000239;0.000078089]
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Contraste para la media t 23,0.05= 1.714 t0 = 7,776 Región crítica T 0 > 1.714. Rechazamos la hipótesis nula P- valor P (T23 > 7.776) < P (T 23 > 3.767) = 0.0005 Potencia P (1.75)=P (T23 > 1.714/ = 1.75)= P (T 23 > -17.286) 1 Tamaño muestral d = (1.73-1.725)/0.0063 = 0.79 (d) < 0.01 n comprendido entre 30 y 40 Si n =30 t 29, 0.05 = 1.699 P (1.73)=P (T29 > 1.699/ = 1.73)= P (T 29 > -2.65) De las tablas P (T29 > 2.75) = 0.005 P (T29 > 2.462) = 0.01 P (T29 > - 2.75) = 0.995 P (T29 > - 2.462) = 0.99 0.99 < P (1.73) < 0.995 luego n=30 Contraste para la desviación estándar X20 X223 X223,0.025 = 38.08 X 223,0.975 = 11.69 Región de aceptación 11.69 X20 38.08 x20 = 36.514. Acepto la hipótesis nula, a pesar de que estamos muy cerca de la región crítica P-valor P(X223 < 36.514) 0.05 P (0.004) = P (X 20 > 38.08/ =0.004) + P (X20 < 11.69/ =0.004) = P(X223 > 59.5)+ P(X223 < 18.26) De las tablas P(X 223 > 14.85) = 0.90 P(X 223 > 22.34) = 0.50 0.10 < P (0.004) <0.5 Tamaño muestral: d = 0.004/0.005 = 0.8 Curvas OC n >100 Si n=101 X2100,0.025 = 129.56 X2100,0.975 = 74.22 P (0.004) = P (X20 > 129.56/ =0.004) + P (X20 < 74.22)/ =0.004) = P(X223 > 202.437) + P(X223 < 115.96) > 0.5 Utilizando el statgraphics se comprueba n=110 2.- Clasifica las siguientes variables como discretas, continuas o categóricas y da su posible rango. (0.5) a. Número de acciones vendidas en la bolsa de valores. b. Temperatura media anual. c. Vida media de los tubos de TV. d. Ingresos anuales de un trabajador. e. Longitud de tornillos producidos por una empresa. f. Capacidad de un frigorífico. g. Número de libros en la Biblioteca de la Facultad. h. Suma de los puntos al lanzar 20 dados. i. Diámetro de una pieza cilíndrica. j. Países de Europa.
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EXAMEN DE ESTADÍSTICA: 2º de Ingeniería Química 31 de Enero de 2003. Segunda parte 1.- Un muestreo de 200 votantes revela la siguiente información referente a tres candidatos A, B, y C. 28 a favor de A y B; 98 a favor de A o B, pero no de C; 42 a favor de B, pero no A o C; 122 a favor de B o C pero no A; 64 a favor de C pero no A o B; 14 a favor de A y C pero no B. Se pide número de votantes a favor de los tres candidatos. (0.75) Solución: P(ABC) = 8/200. Número de votantes favorables a los tres candidatos 8 2.- Se lanza un dado 120 veces. (0.75) a. Calcular la probabilidad de que salga el 4, 18 veces o menos. b. Calcular la probabilidad de que salga el 4, 14 veces o más. Solución: Sea Xi =1 si el resultado del lanzamiento del dado i es 4 y 0 en caso contrario. Xi es una variable de Bernoulli de parámetro p =1/6 Sea Y =
120
X . La variable Y sigue una distribución B (200, 1/6) y cuenta el número de i 1
i
veces que sale el 4 en 120 lanzamientos. Esta variable la aproximamos por una normal de media 20 y desviación estándar 4.08 P (Y 18) = P (Z -0.49) = 1- 0.6879 = 0.3121; P (Y 14) = P (Z -1.47) = 0.9292 3.- Tres joyeros idénticos tienen cada uno 2 cajones. En el primer joyero los dos cajones tienen un reloj de oro, en el segundo un reloj de plata y en el tercer joyero un cajón tiene un reloj de oro y el otro cajón un reloj de plata. Seleccionamos un joyero al azar, abrimos uno de los cajones y observamos que contiene un reloj de plata. Encontrar la probabilidad de que en el otro cajón haya un reloj de oro. (1) Solución: Sean I, II, y III los tres joyeros. P (I) = P (II) = P (III) = 1/3 P (oro/I)=1 P (oro/II)=0 P (oro/III)=½ P (plata/I)=0 P (plata /II)=1 P (plata /III)=1/2 Hay que calcular P (III/plata). Por la fórmula de Bayes P ( plata / III ) P ( III ) = =1/3 P ( plata / I ) P ( I ) P ( plata / II ) P ( II ) P ( plata / III ) P ( III )
4.- Sea Z una variable N (0,1). (0.75) 35
a. -Calcular P (Z -1.64) P (-1.96 Z 1.96) P ( Z > 1) b. -Hallar z 1, z2, z3, z4, z5 en las siguientes ecuaciones: P (Z > z1) = 0.2266 P (Z < z2) = 0.0314 P (-0.23 < Z < z3) = 0.5722 P (1.15 < Z < z 4) = 0.0730 P (-z5
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EXAMEN DE ESTADÍSTICA: 2º de Ingeniería Química 3 de setiembre de 2003. Primera parte 1.- La tabla adjunta muestra los diámetros en milímetros de una muestra de 24 bolas de cojinete manufacturados por una fábrica. 17.38 17.29 17.43 17.40 17.36 17.41 17.35 17.31 17.26 17.37 17.28 17.24 17.33 17.42 17.25 17.34 17.32 17.30 17.39 17.38 17.27 17.32 17.46 17.44 a) Calcular media, moda, mediana, rango, máximo, mínimo, desviación estándar, primer cuartil, segundo cuartil, tercer cuartil, rango intercuartílico, percentil 5 y percentil 95 muestrales (0.5) b) Hacer una tabla de distribución de frecuencias, un diagrama de tallo-hojas, un histograma y un diagrama de cajas y comenta los gráficos.(1) c) Hallar un intervalo de confianza al 95% para la media y otro para la varianza.(1) d) Para el siguiente contraste de hipótesis H0 : = 17.25 H1 : ≠ 17.25 Calcular la región crítica, el p-valor (aproximado), la potencia en el punto 17.5. Calcular el tamaño de muestra necesario para asegurarnos una potencia mayor de 0.99 en el punto 17.3. (1.5) e) Para el siguiente contraste de hipótesis H0 : = 0.5 H1 : < 0.5 Calcular la región crítica, el p-valor (aproximado), la potencia en el punto 0.4. Calcular el tamaño de muestra necesario para asegurarnos una potencia mayor de 0.9 en el punto 0.4. (1.5) 2.-Define: variable discreta, variable continua y variable categórica. Clasifica las siguientes variables y da su posible rango. (0.5) a) Número de acciones vendidas en la bolsa de valores. b) Temperatura media anual. c) Vida media de los tubos de TV. d) Ingresos anuales de un trabajador. e) Longitud de tornillos producidos por una empresa. f) Capacidad de un frigorífico. g) Número de libros en la Biblioteca de la Facultad. h) Suma de los puntos al lanzar 20 dados. i) Diámetro de una pieza cilíndrica. j) Países de Europa.
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EXAMEN DE ESTADÍSTICA: 2º de Ingeniería Química 3 de setiembre de 2003. Segunda parte 1.- Un muestreo de 200 votantes revela la siguiente información referente a tres candidatos A, B, y C. 28 a favor de A y B 98 a favor de A o B, pero no de C 42 a favor de B, pero no A o C 122 a favor de B o C pero no A 64 a favor de C pero no A o B 14 a favor de A y C pero no B Se pide número de votantes a favor de los tres candidatos. (0.75) Solución: P(ABC) = 8/200 Número de votantes favorables a los tres candidatos 8 2.- Se lanza un dado 200 veces. (0.75) a) Calcular la probabilidad de que salga el 1, 30 veces o menos. b) Calcular la probabilidad de que salga el 6, 14 veces o más. 3.- Tres joyeros idénticos tienen cada uno 3 cajones. En el primer joyero dos cajones tienen un reloj de oro cada uno, y el otro está vacío, en el segundo, dos cajones tienen un reloj de plata y el tercer cajón vacío y en el tercer joyero un cajón tiene un reloj de oro otro cajón un reloj de plata y el otro cajón está vacío. Seleccionamos un joyero al azar, abrimos uno de los cajones y observamos que contiene un reloj de plata. Encontrar la probabilidad de que al abrir otro cajón encontremos un reloj de oro. (1) 4.- Sea Z una variable N (0,1). (0.75) b. Calcular P (Z -1.64) P (-1.96 Z 1.96) P ( Z > 1) b.-Hallar z 1, z2, z3, z4, z5 en las siguientes ecuaciones P (Z > z1) = 0.2266 P (Z < z2) = 0.0314 P (-0.23 < Z < z 3) = 0.5722 P (1.15 < Z < z 4) = 0.0730 P (-z5
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Examen de Estadística: Segundo de Ingeniería Química: Primera parte 26 de enero de 2004. 1.- Se realiza un experimento para comparar las características de llenado del equipo de embotellado de dos bodegas diferentes. Para ello se eligen al azar 20 botellas de cada bodega obteniendo los resultados. Bodega 1 Bodega 2 755 751 752 753 753 756 754 757 756 755 753 753 754 754 752 756 756 753 754 755 751 753 752 753 753 755 754 754 756 755 752 755 753 750 753 756 756 756 756 756 Suponiendo normalidad e igualdad de varianzas a) Calcular un intervalo de confianza al 95% para la diferencia de medias (0.5 puntos) b) ¿Apoyan los datos la afirmación de que ambas bodegas llenan las botellas con el mismo volumen? Para responder a esta cuestión, plantear el contraste de hipótesis, calcular la región crítica al nivel 0.05 y el p-valor de la prueba. (1 punto) c) Calcular la potencia si la diferencia de medias fuera de 10cl. (0.5 puntos) d) Construir un histograma, un diagrama de tallo-hojas y un diagrama de cajas para cada una de las dos muestras e interpretar las gráficas. ¿Parece razonable la hipótesis de varianzas iguales? (1 punto) e) Contrastar la hipótesis de igualdad de varianzas (1 punto) f) Con los datos de la bodega 1 contrastar la hipótesis de normalidad es decir H0: Los datos provienen de una normal H1: Los datos no provienen de una normal Calcular el valor del estadístico 2 y el p-valor de la prueba (1punto) Solución: a) algunas medidas muestrales bodega 1 bodega 2 n 20 20 Media 752,75 755,3 Mediana 753 756 Variance 1,56579 1,06316 Desviacion estandard 1,25132 1,0311 Mínimo 750 753 Máximo 755 757 Rango 5 4 Primer cuartil 752 754,5 Tercer cuartil 753 756 Rango intercuartilico 1,0 1,5 Intervalo de confianza para la diferencia de medias asumiendo normalidad y varianzas iguales y desconocidas 1 1 1 1 ( X 1 X 2 ) t S p S p 1 2 ( X 1 X 2 ) t 2
con S
2
, n1 n2 2
p
n1
n2
2
,n1 n2 2
( n 1 1) S 12 ( n 2 1) S 22 = 1,3144 n1 n 2 2
n1
n2
Sp= 1,1465
t0,025,40 = 2,021 t0,025,30 = 2,042 aproximo por el más próximo, la diferencia no es muy grande t0.025,38 ≈ t0,025,40 = 2,021 39
-3,283 ≤ μ1 - μ2 ≤-1,817
Intervalo : -2,55 +/- 0,7326 [-3,283,-1,817] b) Test para comparar las medias Ho: μ1 = μ2 H1: μ1 ≠ μ2 El estadístico usado para el contraste es T 0
X 1 X 2 s p
1 n1
1 n2
Región crítica : |T 0|>tn1+n2-2,/2 |T0|> 2,021 Para nuestros datos t 0 = -7,0334 que cae dentro de la región crítica, es decir rechazamos la hipótesis de igualdad de medias. P-valor < 0,001 ya que éste viene expresado P(|T38| > 7,0334) = 2 x P(T 38 > 7,0334) ≈ 2 x P(T40 > 7,0334) < 2 x P(T 40 > 3,551) = 2 x 0,0005 = 0,001 Este p-valor tan pequeño nos asegura de nuevo que los datos no están de acuerdo con la hipòtesis nula de igualdad en el volumen de llenado. Si miramos al intervalo de confianza calculado para la diferencia de medias, vemos que el 0 no está en este intervalo, lo que es otro punto que refuerza el rechazo de la hipótesis nula. c) Potencia en el punto 10 P(10) = P(rechazar H 0 / μ1-μ2 = 10) = P(|T0| >2,021/ μ1-μ2 = 10) = P(
X 1 X 2
s p
1 n1
X 1 X 2
1
> 2,021 / μ1-μ2 = 10) + P(
s p
n2
10
X 1 X 2
1 n1
1
< -2,021 / μ1-μ2 = 10) =
n2
10 / μ1-μ2 = 10) + 0,3625 0,3625 X X 2 10 10 P( 1 < -2,021 / μ1-μ2 = 10) = P(T38 > -25,56) + P( T38 < -29,60) ≈ 1 0,3625 0,3625 P(
> 2,021 -
d) Diagramas de tallo-hojas Bodega 1 Bodega2 1 750|0 1 753|0 3 751|00 5 754|0000 7 752|0000 9 755|0000 (9) 753|000000000 (10) 756|0000000000 4 754|00 1 757|0 2 755|00 Tratamos los datos como contínuos, por eso dibujamos un histograma en vez de un diagrama de barras ya que las medidas estan dadas en ml. Los cuartiles para el diagrama de cajas ya estan halladas, vamos a calcular los límites superior e inferior Bodega 2 Bodega 1 Q1 – 1,5 x RI = 752 – 1,5 = 750,5 Q1 – 1,5 x RI = 754,5 – 1,5 x 1,5 = 752,25 Q3 + 1,5 x RI = 753 + 1,5 = 754,5 Q3 + 1,5 x RI = 756 + 1,5 x 1,5 = 758,25 LI = 750,5 LS = 754,5 LI = 753 LS = 758
40
Histograma
Histograma
10
10
8
a i c n 6 e u c 4 e r f 2
8
a i c n 6 e u c 4 e r f 2 0 749
750
751
752
753
754
755
0 752
753
bodega 1
751
752
753
755
756
757
diagrama de cajas
diagrama de cajas
750
754
bodega 2
754
753
755
754
755
bodega 1
bodega 2
diagrama de cajas
bodega 1
756
757
10 6
a i c n 2 e u c 2 e r f 6
bodega 1
bodega 2
10
750
752
754
756
758
749
751
753
755
757
bodega 2
Mirando el histograma, los datos de la bodega 1 parecen más dispersos, tienen mayor varianza y mayor rango; pero si nos fijamos en el diagrama de cajas, el rango de la bodega 1 es menor ya que la caja es bastante más estrecha y presenta 3 datos extremos que quizá sean los que aumentan su varianza. Ambas variables presentan asimetría a la izquierda, más marcada en la bodega 2. Por tanto a la vista de los gráficos la hipótesis de varianzas iguales debería ser contrastada. e) Comparación de las Varianzas H0: σ1 = σ2 H1: σ1 ≠ σ2 Se utiliza el estadístico S 12 que bajo H0 tiene una distribución F (n1-1,n2-1) F 0 2 S 2 Región crítica {F 0>f n1-1,n2-1,/2 }{F0
Si suponemos que el volumen de llenado sigue una distribución normal, estimamos su media y su desviación típica por los valores muestrales, es decir V → N( 752,75 , 1,2196) P(X ≤ 750) = P(Z ≤ (750-752,75)/1,2196) = Φ(-2,25) = 1–0,987 = 0,013 0,013 x 20 = 0,26 P(750 < X ≤ 751)=Φ(-1,43)-Φ(-2,25)=0,077–0,013=0,064 0,064 x 20 = 1,28 P(751 < X ≤ 752)=Φ(-0,61)-Φ(-1,43)=0,271–0,077=0,194 0,194 x 20 = 3,98 P(752 < X ≤ 753)=Φ(0,20)-Φ(-0,61)=0,579–0,271=0,308 0,308 x 20 = 6,16 P(753 < X ≤ 754)=Φ(1,02)-Φ(0,20)=0,846–0,579=0,267 0,267 x 20 = 5,34 P(X > 754)=1-Φ(1,02)=1–0,846=0,154 0,154 x 20 = 3,08 Clase Oi Ei (Oi – Ei)2/Ei X≤170 1 0,26 2,106 750 < X ≤ 751 2 1,28 0,405 751 < X ≤ 752 4 3,98 0,0001 752 < X ≤ 753 9 6,16 1,309 753 < X ≤ 754 2 5,34 2,089 X > 754 2 3,08 0,378 6,287 2 0 sigue una distribucion chi- cuadrado con 3 (6-2-1) grados de libertad. x20 = 6,287 P-valor P(23 > 6,287) 0,05 < p-valor < 0,1 Ya que de las tablas obtenemos P( 23 > 7,81) = 0,05 P(23 > 6,25) = 0,1 Aceptariamos la hipótesis al nivel 0,05, aunque el valor del estadístico 20 está próximo a la región de rechazo. 2.- Resolver las ecuaciones (0.5 puntos) a) P(25 ≤ x) = 0,95 b) P(12,549 ≤ 210 ≤ y) = 0,20 c) P(T15 ≤ z) = 0,01 d) P(T8 > t) = 0.9 e) P( 1,476 ≤ T5 ≤ u) = 0,075 f) P( F10,20 ≤ 2,42) = v Solución a) P(25≤ x) = 0,95 P(25 > x) = 0,05 x = 11,07 b) P(12,549≤ 210 ≤ y) = P(210 ≤ y) - P(210 ≤ 12,549) = 0,20 P(210 >15,99) = 0,1 P(210 > 9,34 ) =0,5 0,5 < P( 210 ≤ 12,549) < 0,9 0,7 < P(210 ≤ y) < 1 P(210 > y) < 0,3 y > 15,99 c) P(T15 ≤ z) = 0,01 z ha de ser negativo P(T 15 > -z ) = 0,01 -z = 2,602 z = -2,602 d) P(T8 > t) = 0.9 t ha de ser negativo P(T 8 > -t ) = 0,1 -t = 1,397 t = -1,398 e) P( 1,476 ≤ T5 ≤ u) = P(T5 ≤ u) - P(T5 ≤ 1,476) = 0,075 P(T5 > 1,476) = 0,1 P(T5 ≤ u) = 0,975 P(T5 > u) =0,025 u= 2,57 f) P( F10,20 ≤ 2,42) P( F10,20 > 2,77) = 0,025 P( F10,20 > 2,35) = 0,05 0,025 < P( F 10,20 > 2,42) < 0,05 0,95 ≤ P( F10,20 ≤ 2,42) ≤ 0,975 3.- Contesta lo más brevemente posible a las siguientes preguntas (1punto) a) Define variable aleatoria discreta b) Da la fórmula de la probabilidad total c) Teorema de Bayes d) Diferencia entre histograma y diagrama de barras y sus usos e) Teorema Central del Límite (aproximación a la normal)
42
Examen de Estadística: Segundo Segundo de Ingeniería Química: Segunda Segunda parte 26 de enero de 2004. 1.1.- Dado que no todos los pasajeros de una aerolínea abordan el vuelo para el que han reservado, la compañía aérea vende 125 billetes para un vuelo de 100 pasajeros. Si la probabilidad de que un pasajero no aborde el vuelo es de 0,05 y los pasajeros se comportan de forma independiente independiente unos unos de otros. Calcular Calcular o aproximar aproximar (1punto) a) P (todos los pasajeros pasajeros aborden aborden el vuelo) b) P (un vuelo vuelo parta parta vacío) c) P (100 < nº de de pasajeros pasajeros ≤ 125) d) P ( nº de pasajeros ≤ 100) Solución: Sea X el nº de pasajeros pasajeros que abordan el vuelo. vuelo. X → B (125, 0,95) 125 - P(X = 125) = (0,95) = 0,00164 - P(X = 0) = (0,05) 125 = 2,35. 10-63 ≈ 0 - X puede ser aproximada por una distribución normal de media 125x0,95 = 118,75 y varianza 125x0,95x0,05 = 5,9375; desviación estándar 2,437. 100 118,75 Z 125 118,75 = Φ(2,5649)-Φ(-7,695) ≈ P(100 < X ≤ 125) ≈ P 2,437 2,437 0,99484 - P(X ≤ 100) ≈ P(Z ≤ -7,695) ≈ 0. 2.2.- Se lanza un dado n veces. Sea pˆ = (1/n) x( nº de veces que ha salido el 1). (0.75 puntos) a) Calcula la distribución de pˆ . 1 b) ¿Cuantas veces debemos lanzar el dado para ? P pˆ 0,05 0. 95 6 Solución: - pˆ es el estimador de una proporción y su distribución puede ser aproximada por una normal de media 1/6 y varianza nx(1/6)x(5/6) ˆ 1 p ˆ 1 0,05 0,05 0,05 6 - P p 0,05 = P = P Z =2Φ -1 > 0,95. 6 5 5 5 5 36n 36n 36n 36n
0,05 Despejando Φ > 0,975 . Buscando en las tablas 5 36n
0,05 = 1,96 5 36n
Resolviendo n = 213,42 y redondeando obtenemos n = 214 3.3.- El espesor de la película fotoprotectora fotoprotectora en un proceso de fabricación de semiconductores semiconductores tiene una media de 10 micrómetros y una desviación estándar de 1 micrómetro. Acotar la probabilidad de que el espesor sea menor que 6 o mayor que 14. (0.75 puntos) Solución:
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Llamemos E a la variable variable espesor
E 14 P
E 4 =
= P
E
P(E <6) <6) + P(E>14) = P
P ( E
6
+
4 ) ≤1/16 = 0,0625. Para la cota
hemos utilizado la desigualdad de Chebychev con k = 4. 4.4.- Los clientes se encargan de evaluar los diseños preliminares de varios productos. Se sabe que de los productos con éxito en el mercado el 95% recibió buenas evaluaciones, de los productos con éxito moderado el 60% recibió buenas evaluaciones y de los productos con escaso éxito el 10% recibió buena evaluación. Además el 40% de los productos han tenido éxito, el 35% éxito moderado y el 25% baja aceptación. (1punto) a) Calcular la probabilidad de que un producto obtenga buena evaluación. b) Si un nuevo diseño de un producto recibe buena evaluación. evaluación. ¿Cual es la probabilidad de que el producto alcance éxito en el mercado? Solución: Definimos los sucesos B – Recibir buena evaluación E – Producto con éxito. M – Producto con éxito moderado. F – Producto con escaso éxito. Los datos suministrados suministrados son: P(E) = 0,4 P(M) = 0,35 P(F) = 0,25 P(B/E) = 0,95 P(B/M) = 0,60 P(B/F) = 0,10 - P(B) = P(B/E) P(E) + P(B/M) P(M) + P(B/F) P(F) = 0,615 Regla de la probabilidad probabilidad total - P(E/B) = P(B/E) P(E)/ P(B) = 0,618 Fórmula de Bayes.
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Examen de Estadística Segundo de Ingeniería Química: Primera parte 13 de setiembre de 2004. 1.- Dada la siguiente tabla, que es una salida proporcionada por statgraphics. Se pide dar una explicación explicación de toda la información suministrada por esta tabla. (0.5 punto) Goodness-of-Fit Tests for Col_9 Chi-Square Test ---------------------------------------------------------------------------Lower Upper Observed Expected Limit Limit Frequency Frequency Chi-Square ---------------------------------------------------------------------------at or below 162,167 8 8,37 0,02 162,167 167,013 11 8,37 0,82 167,013 170,636 13 8,37 2,55 170,636 173,881 2 8,38 4,85 173,881 177,125 11 8,38 0,82 177,125 180,749 8 8,37 0,02 180,749 185,594 7 8,37 0,23 above 185,594 7 8,37 0,23 ---------------------------------------------------------------------------Chi-Square = 9,53741 with 5 d.f. P-Value = 0,0894551
2.- Para controlar el volumen de llenado de una planta embotelladora se toma una muestra aleatoria de tamaño 20 obteniendose las siguientes medidas en ml 750 746 747 748 748 748 748 749 749 747 746 747 747 748 748 747 750 748 745 748 Suponiendo normalidad g) Calcular un intervalo de confianza al 95% para la media (0.5 puntos) h) ¿Apoyan los datos la afirmación de que el volumen medio de llenado es de 750 ml? Para responder a esta cuestión, plantear el contraste de hipótesis, calcular la región crítica al nivel 0.05 y el p-valor de la prueba. (1 punto) i) Calcular la potencia si el volumen medio de llenado fuera de 745ml. (0.5 puntos) j) Construir un histograma, un diagrama de tallo-hojas y un diagrama de cajas para la muestra e interpretar las gráficas. ¿Parece razonable la hipótesis de normalidad? (1 punto) k) Contrastar la hipótesis hipótesis de varianza 1 frente a la alternativa alternativa <1 y calcular la potencia potencia para la varianza 1,4 (1 punto) l) Contrastar la hipótesis de normalidad. Calcular el valor del estadístico 2 y el p-valor de la prueba (0.5 punto) 3.- Resolver las ecuaciones (0.5 puntos) a) P(210 ≤ x) = 0,95 b) P(2,16 ≤ 210 ≤ y) = 0,20 c) P(T15 ≤ z) = 0,9 d) P(T8 > t) = 0.5 e) P( 2,015 ≤ T5 ≤ u) = 0,025 f) P( F10,20 ≤ 1,42) = v a) b) c) d) e)
4.- Contesta lo más brevemente posible a las siguientes preguntas (1punto) Clasifica las variables aleatorias Da la fórmula de Bayes Probabilidad a posteriori posteriori y Teorema de Bayes Bayes Diagrama de tallo-hojas Aproximaciones Aproximaciones de la distribución binomial
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Examen de Estadística.Segundo de Ingeniería Química. Segunda parte 13 de setiembre de 2004. 1.- El tiempo de duración de un ensamble mecánico en una prueba de vibración tiene una distribución exponencial con media 400 horas. (1.5 punto) a) ¿ Cual es la probabilidad de que el ensamble falle en la prueba antes de 100 horas ? b) Si el ensamble lleva probandose 400 horas sin que haya fallado ¿Cuál es la probabilidad de que falle en las proximas 100 horas ? c) Si se prueban 100 ensambles ¿ Cual es la probabilidad de que falle al menos uno de ellos en menos de 100 horas? ¿Aproxima la probabilidad de que fallen 5 o menos 2.- La alineación entre la cinta mágnetica y el cabezal de un sistema de almacenamiento de datos afecta a la lectura de los mismos. Si el 10% de las operaciones de lectura se ven afectadas por una alineación oblicua, el 5% por alineación descentrada y las demás lecturas se efectúan correctamente. La probabilidad de un error de lectura por alinezción oblicua es 0,01, por alinezción descentrada 0,02 y 0,001 cuando la alineación es correcta. (1punto) a) Probabilidad de un error de lectura b) Dado que ha habido un error de lectura. Calcular la probabilidad de que este sea debido a una alineación oblícua. 3.- En una muestra de tamaño 25, se ha obtenido una media muestral de 3,5 y una desviación estándar muestral de 1.25. (1punto) e. ¿Qué porcentaje mínimo de observaciones cae dentro del intervalo [1, 6]? f. ¿Qué porcentaje mínimo de observaciones cae dentro del intervalo [-0,25, 7,25]?
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Examen de Estadística: Segundo de Ingeniería Química: Primera parte 18 de febrero de 2005. 1.- Se han obtenido los siguientes datos del rendimiento de dos catalizadores Catalizador I: 91.5 94.18 92.18 95.39 91.79 89.07 94.72 89.21 Catalizador II: 89.19 90.95 90.46 93.21 97.19 97.04 91.07 92.75 a) Hacer un diagrama de tallo-hojas para los datos de cada catalizador (0.5 puntos) b) Calcular los percentiles 5, 15, 25, 50, 75, 85 y 95 de cada catalizador y hacer algún comentario comparando los rendimientos. (0.5 puntos) c) Realizar una tabla de distribución de frecuencias y un histograma de los rendimientos de cada catalizador en la misma gráfica. (0.5 puntos) d) Hacer los diagramas de cajas de los dos rendimientos en la misma gráfica y comentar los gráficos. (0.5 puntos) e) Calcular un intervalo de confianza para el cociente de varianzas Realizar el contraste H 0: σ1 = σ2 mediante el cálculo de la región crítica y el p-valor. H1: σ1σ2 Calcular la potencia en el punto 0.5 (1 punto) f) Calcular un intervalo de confianza para la diferencia de medias. Realizar el contraste H 0: 1 = 2 mediante el cálculo de la región crítica y el p-valor. H1: 1< 2 Calcular la potencia en el punto -0.5 (1 punto) Solución: Diagrama de tallo-hojas
2 2 4 4 3 3 1
Catalizador I
Catalizador II
89|02 90| 91|57 92|1 93| 94|17 95|3
1 3 4 4 3 2 2 2 2
Percentiles Catalizador I 5,0% = 89,07 15,0% = 89,21 25,0% = 90,355 50,0% = 91,985 75,0% = 94,45 85,0% = 94,72 95,0% = 95,39
89|1 90|49 91|0 92|7 93|2 94| 95| 96| 97|01
Catalizador II dato 1 dato 2 (dato2+dato3)/2 (dato4+dato5)/2 (dato6+dato7)/2 dato 7 dato 8
5,0% = 89,19 15,0% = 90,46 25,0% = 90,705 50,0% = 91,91 75,0% = 95,125 85,0% = 97,04 95,0% = 97,19
Los percentiles del segundo catalizador, están por encima de los percentiles del primero, indicando que quizá el rendimiento sea mayor; pero la mediana es mayor en el catalizador I. Los percentiles no son simétricos respecto de la mediana en ninguno de los dos catalizadores, la asimetría está más marcada en el segundo catalizador.
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Tabla de distribución de frecuencias Catalizador I -------------------------------------------------------------------------------Límite Límite Frecuencia Frecuencia Frecuencia Clase Inferior Superior Ma rca Frecuenc ia Relativa Acumulada R el. Acu. -------------------------------------------------------------------------------Menor o igual 89,0 0 0,0000 0 0, 0000 1 89,0 92,0 90,5 4 0,5000 4 0,5000 2 92,0 95,0 93,5 3 0,3750 7 0,8750 3 95,0 98,0 96,5 1 0,1250 8 1,0000 Mayor 98,0 0 0,0000 8 1,0000 -------------------------------------------------------------------------------Media = 92,255 Desviación estándar = 2,38502
Catalizador II -------------------------------------------------------------------------------Límite Límite Frecuencia Frecuencia Frecuencia Clase Inferior Superior Ma rca Frecuenc ia Relativa Acumulada R el. Acu. -------------------------------------------------------------------------------Menor o igual 89,0 0 0,0000 0 0, 0000 1 89,0 92,0 90,5 4 0,5000 4 0,5000 2 92,0 95,0 93,5 2 0,2500 6 0,7500 3 95,0 98,0 96,5 2 0,2500 8 1,0000 Mayor 98,0 0 0,0000 8 1,0000 -------------------------------------------------------------------------------Media = 92,7325 Desviación estándar = 2,98345
Histograma
catalizador I 4
a 2 i c n e 0 u c e r F 2 4 89
91
93
95
97
99
catalizador II Diagrama de cajas: Catalizador I RI= 94.45 – 90.35 = 4.10 Q1 – 4.10 x1.5 = 84,2 Q3 + 4.10 x1.5 = 100.65 LI = 89,07 LS= 95.39
Catalizador II RI= 95.125 – 90.70 = 4.425 Q1 – 4.425 x1.5 = 84,06 Q3 + 4.425 x1.5 = 101.76 LI = 89,18 LS= 97.19
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Diagrama de cajas Catalizador I
Catalizador II
89
91
93
95
97
99
Las medianas son similares en los dos catalizadores. Ambos catalizadores presentan asimetría a la derecha. El catalizador II presenta mayor dispersión y mayor asimetría hacia la derecha. Cociente de varianzas: Intervalo de confianza Catalizador I Catalizador II -----------------------------------------------------------n 8 8 Media 92,255 92,7325 Mediana 91,985 91,91 Varianza 5,68831 8,90099 Desviación Estándar 2,38502 2,98345 Mínimo 89,07 89,19 Máximo 95,39 97,19 Rango 6,32 8,0 Primer Cuartil 90,355 90,705 Tercer Cuartil 94,45 95,125 Rango Intercuartílico 4,095 4,42 ------------------------------------------------------------
Radio de varianzas = 0,639065 f 0.025,7,7 = 4.99 f 0.975,7,7 = 0.2 Intervalo de confianza [0,127943; 3,19207] Contraste de hipótesis: Región crítica {F 0< 0.2 } Ụ {F0 >4.99 } f 0 = 0.63 no está en la región crítica aceptamos igualdad de varianzas. P-valor P(F7,7 >0.63) De las tablas P(F 7,7 >1,7) = 0.25 P(F7,7 >0,58) = 0.75 0.25 < p-valor < 0.75 Apoya nuestra decisión de aceptar la hipótesis nula. Null hypothesis: sigma1 = sigma2 Alt. hypothesis: sigma1 NE sigma2 F = 0,639065 P-value = 0,569131
Potencia P(0.5) = P(RC/(σ1/ σ2) = 0.5) = P (F0 < 0.2 /( σ1/ σ2) = 0.5) + P (F 0 > 4.99 /( σ1/ σ2) = 0.5) = P(F 7,7 < 0.2/0.25) + P(F7,7 > 4.99/0.25) = P(F 7,7 < 0.8) +P(F7,7 >19.96) De las tablas P(F 7,7 > 6,99) = 0.01 P(F7,7 > 19,96) < 0.01 P(F7,7 > 1,7) = 0.25 luego P(F 7,7 > 1/1,7) = 0,75 P(F7,7 > 0,58) = 0,75 P(F7,7 < 0,58) = 0.25 De donde P(F 7,7 < 0.8) > P(F7,7 < 0,58) = 0.25 P(0,5) > 0,25 49
Diferencia de medias: - 0.4775 t 14,0.025 = 1,746 Intervalo de confianza asumiendo varianzas iguales S p = 2.67 -0,4775 +/- 2,89639 [-3,37389,2,41889] Contraste de hipótesis Región crítica {T 0 <-1.746} t0 = - 0.23 no está en la región crítica luego que la primera media es mayor o igual que la segunda p-valor P(T14 < -0.23) = P(T14 > 0.23) > P(T14 >0.25) = 0.4 t test to compare means Null hypothesis: mean1 = mean2 Alt. hypothesis: mean1 NE mean2 assuming equal variances: t = -0,353591
P-value = 0,728914
Potencia (-0.5) = P(T 0 < -1,746/μ1 – μ2 = -0.5) = P(T14 < -1.746 + 0.5/1.89) = P(T14 < -1.48) = P(T14 > 1.48) P(T14 > 1.34) = 0.1 P(T14 >.1.76) = 0.05 0.05 < P(-0.5) < 0.1 2.- En un proceso de fabricación de semiconductores ciertos problemas técnicos pueden generar un defecto funcional, un defecto menor o ningún defecto en la proporción 10%, 60% y 30%. Si suponemos que los efectos de 10 problemas técnicos son independientes. a) Calcular la probabilidad que 10 problemas técnicos generen 2 defectos funcionales y 5 defectos menores. b) Dar la distribución del nº de problemas técnicos entre 10 que no da como resultado defecto. Calcular su media y su varianza. (1punto) Solución: 10 8 P (2 def fun., 5 def meno, 3 sin def) = 0.12 x 0.6 5 x 0.33 = 0.0529 2 5 La variable es binomial de parámetros 10 y 0,3. Su media es 3 y su varianza 2.1 3.- En las siguientes preguntas elige la respuesta justificando la opción elegida (1 punto) 1. Si la probabilidad de error de tipo I de un contraste bilateral es de 0'02 , entonces a) La probabilidad de cometer un error de tipo II es del 0 '98. b) Se rechaza H 0 para todo nivel de significación superior a 0 '01. c) Se aceptará H 0 el 98% de las veces. xd) Ninguna de las otras respuestas. 2.- Se denomina “nivel de significación” de un test de hipótesis xa) A la probabilidad de rechazar H 0 cuando H 0 es cierto. b) A la probabilidad de aceptar H 0 cuando H 0 es cierto. c) A la probabilidad de rechazar H 0 cuando H 0 es falso. d) A la probabilidad de aceptar H 0 cuando H 0 es falso. 3.- Un test de hipótesis es “estadísticamente significativo” si a) La hipótesis nula es correcta. b) La hipótesis nula es incorrecta. xc) Si el estadístico del contraste cae en la región de aceptación. d) Ninguna de las otras tres respuestas.
50
4.- En la Figura., se representan los residuos de un modelo de regresión frente al número de orden. De él se deduce
l a u d i s e r
d e z i t n e d u t S
Residual Plot 2 1 0 -1 -2 0
10
20
30
40
50
60
row number a) Que sería mejor hacer un ajuste parabólico. b) Que los residuos no son normales. c) Que no se ha tenido en cuenta una variable de clasificación. xd) Que los datos son heterocedásticos. 5.- Del siguiente contraste se deduce a) De la aplicación de este contraste no podemos obtener una conclusión acerca de la hipótesis. xb) El p-valor del contraste nos dice que podemos rechazar la hipótesis. c) El resultado del contraste es 42,9108 y se acepta la hipótesis. d) Ninguna de las otras tres respuestas. Analysis Summary Data variable: lanzamientos 53 values ranging from 1,0 to 8,0 Fitted geometric distribution: event probability = 0,321212 Goodness-of-Fit Tests for lanzamientos Chi-Square Test ---------------------------------------------------------------------------Frecuencia Frecuencia clase valor observada esperada Chi-Square --------------------------------------------------------------------------1 0 0 17,02 17,02 2 1 25 11,56 15,64 3 2 11 7,84 1,27 4 3 11 5,32 6,05 5 4 3 3,61 0,10 6 5 1 2,45 0,86 7 6, 7 1 2,80 1,15 8 >8 1 2,39 0,81 ---------------------------------------------------------------------------Chi-Square = 42,9108 with 6 d.f. P-Value = 1,2148E-7
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Examen de Estadística: Segundo de Ingeniería Química: Segunda parte 18 de febrero de 2005. 1.- El peso de un caramelo tiene una distribución normal de media 5 gr. Y desviación estándar 0,25gr. Se empaquetan de 16 en 16 Calcular la media y la desviación estándar del paquete, así como la probabilidad de que su peso sea mayor de 85 gr. (1punto) Solución: El peso total es la suma de los pesos de los 16 caramelos P = X1 + X2 + … + X16 E(P) = 16x5 =80 gr. Var (P)= 16x 0.52 = 1 gr 2 La variable peso sigue una distribución normal de media 80 y desviación estándar 1. P 80 85 80 P (P > 85) = P P ( Z 5) 0 1 1 2.- Tres máquinas producen arandelas. El ritmo de producción de A es el doble que el de B y el mismo que el de C. Las arandelas producidas por cada máquina se van empaquetando en lotes que son colocados en un almacén a medida que se van produciendo. De las arandelas producidas por A, el 10% son defectuosas por grandes y el 5% por pequeñas. Para B, el 5% son defectuosas por grandes y el 10% por pequeñas. Para C, el 10% son defectuosas por grandes y el 10% por pequeñas. (1punto) Se extrae al azar un lote del almacén y se comprueba la validez de 20 arandelas del lote, resultando 3 defectuosas por grandes y ninguna por pequeña. a) Hallar la probabilidad de que se trate de un lote producido por la máquina A. b) Hallar la probabilidad de que de 10 arandelas elegidas al azar, 9 sean buenas y una defectuosa por grande. Solución: P(A) = 0.4 P(B) = 0.2 P(C) = 0.4 Probabilidades a priori Sea G el suceso la pieza es grande; P el suceso la pieza es pequeña ; N la pieza es buena; y H el suceso de un lote de 20 arandelas 3 son grandes, 0 pequeñas y 17 buenas. Se conocen las probabilidades condicionadas P(G/A) = 0.1 P(P/A) = 0.05 P(N/A) = 0.85 P(G/B) = 0.05 P(P/B) = 0.1 P(N/B) = 0.85 P(G/C) = 0.1 P(P/C) = 0.1 P(N/C) = 0.8 Nos piden encontrar P(A/H) una probabilidad a posteriori Aplicamos la fórmula de Bayes 20 P(H/A) = 0.13 x 0.8517 = 0.0719 3 20 P(H/B) = 0.05 3 x 0.8517 = 0.00899 3 20 P(H/C) = 0.13 x 0.817 = 0.0257 3 0.0719 x0.4 P(A/H) = = 0.704 0.0719 x0.4 0.00899 x0.2 0.0257 x0.4 Sea el suceso Y de 10 arandelas elegidas al azar, 9 son buenas y una grande Utilizamos la fórmula de la probabilidad total P Y/A) = 10 x 0,1x 0,85 9 = 0,2316 P (Y/B) = 10 x 0,05x 0.85 9 = 0,1158 52
P (Y/C) = 10 x 0,1x 0.8 9 = 0,1342 P (Y) = 0,2316 x 0,.4 + 0,1158 x 0,2,+ 0,134 x 0,4 = 0.1695 3.- En un libro de 400 páginas, el número de erratas de cada página sigue una distribución G (0.05) Aproximar la probabilidad de que el número total de erratas del libro esté comprendido entre 375 y 410. (1punto) Solución: El número total de erratas, N, es la suma de las erratas de cada página Sea Xi el número de erratas de la página i E (Xi) = 0,95/0,05 = 19 Var (Xi) = 0,95/(0,05)2 = 380 E (N) = 400x19 = 7600 Var (N) = 400x380 = 152000 Desviación estándar = 389,87 N es la suma de 400 variables independientes e igualmente distribuidas, aplicando el teorema central del límite 375 7600 Z 410 7600 P ( Z 18,44) P ( Z 18,53) 0 P (375 N 410) P 389,87 389,87 4.- La Distribución beta es una distribución de una variable aleatoria X continua. Con los datos de las siguientes salidas responder a las preguntas (1punto) P(X<0.1) P(0.1
Beta Dist. 1 0,0267632 0,0925953 0,161163 0,26445 0,38948 0,510316 0,705686
Cumulative Distribution ----------------------Distribution: Beta Lower Tail Area (<) Variable Dist. 1 0,1 0,114265 0,2 0,34464 0,3 0,579824 0,4 0,766719 0,5 0,890624
Probability Density Dist. 1 1,9683 2,4576 2,1609 1,5552 0,9375
Upper Tail Area (>) Dist. 1 0,885735 0,65536 0,420176 0,233281 0,109376
Solución P(X< 0.1) = 0,114265 P (0.1
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Examen de Estadística: Segundo de Ingeniería Química: Primera parte 13 de setiembre de 2005. 1.- Un ingeniero que trabaja para un fabricante de llantas investiga la duración promedio de un compuesto nuevo de caucho. Para ello toma una muestra de 16 llantas y las prueba en la carretera hasta alcanzar el fin de la vida útil de estas. Los datos obtenidos en kms. Son los siguientes 60613 59836 59554 60252 59784 60221 60311 59040 60545 60257 60000 59997 60947 60135 60220 60523 a) Hacer un diagrama de tallo-hojas para los datos (0.5 puntos) b) Calcular los percentiles 5, 15, 25, 50, 75, 85 y 95 (0.5 puntos) c) Realizar una tabla de distribución de frecuencias, un histograma, un diagrama de cajas de la duración y comentar los gráficos (0.5 puntos) d) Realizar el contraste de normalidad (0.5 puntos) e) Calcular un intervalo de confianza para la duración media de la llanta.(2 puntos) Calcular un intervalo de confianza para la varianza. Al ingeniero le gustaría demostrar que la duración media excede los 60000kms. Proponer y contrastar la hipótesis adecuada y obtener una conclusión.). Calcular la potencia en el punto 61000 Si la duración media fuese de 61000 Kms al ingeniero le gustaría detectarla con una probabilidad de al menos 0.90. ¿Es adecuado el tamaño muestral tomado? En caso negativo determinar el tamaño muestral 2.- En un proceso de fabricación de semiconductores ciertos problemas técnicos pueden generar un defecto en el semiconductor con probabilidad 0.4. Si suponemos que los efectos los problemas técnicos son independientes. (1punto) a) Calcular la probabilidad que 100 problemas técnicos no generen defectos. b) Dar la distribución del nº de problemas técnicos entre 10 que no da como resultado defecto. Calcular su media y su varianza. 3.- En las siguientes preguntas elige la respuesta justificando la opción elegida (1 punto) 1. Hipótesis estadística a) Una afirmación sobre la distribución de una población o poblaciones. b) Estamos dispuestos a aceptarla a no ser que los datos digan locontrario c) La hipótesis nula es una afirmación sobre la distribución de la muestra. d) Ninguna de las otras respuestas. 2.- Errores a) Error de tipo I es la prob. de rechazar Ho cuando es cierta b) Error de tipo II es la prob. de aceptar Ho cuando es cierta . c) Potencia es la prob. de rechazar Ho cuando es cierta. d) Ninguna de las otras respuestas. 3.- Región crítica a) Si el parámetro estimado cae dentro de la región crítica aceptamos Ho b) Si el parámetro estimado cae dentro de la región crítica rechazamos Ho c) La región crítica cambia con la muestra d) Ninguna de las otras tres respuestas.
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4.-Distribuciones en el muestreo a) La distribución de la media muestral es una normal b) La distribución de la media muestral es una T c) La distribución de la varianza muestral es una 2 d) Ninguna de las otras tres respuestas. 4.- Define (0.5 puntos) a) p-valor b) Muestra c) Población d) Estadístico
Examen de Estadística: Segundo de Ingeniería Química: Segunda parte 13 de setiembre de 2005. 1.- Un ensamble está compuesto por 5 componentes colocados uno junto al otro. La longitud de cada componente se distribuye normalmente con media 2 cm. y desviación típica 0.02 cm. Las especificaciones requieren que todos los ensambles tengan una longitud entre 9.9 y 10.1 cm. ¿Cuántos ensambles verificarán estos requerimientos? (1 punto) 2.- En una factoría se producen piezas que se empaquetan en tres tipos diferentes de cajas con 20 unidades cada una en proporción 4, 3, 6. Las cajas de tipo I contienen 3 unidades defectuosas, las de tipo II, 5 defectuosas y las de tipo III, 6 defectuosas. Se elige una caja al azar y se extraen 3 unidades resultando una de ellas defectuosa y 2 buenas. ¿Qué tipo de caja tiene mayor probabilidad de ser la elegida? (1punto) 3.- Un técnico de medio ambiente sospecha que el 5 % de las emisiones de gases contaminantes de una empresa química sobrepasan el mínimo de lo permitido por la ley. Calcular el número de muestras que debe tomar para asegurarse que encontrará al menos una con mayor contaminación de la permitida con una probabilidad mayor que 0.99. Justificar la aproximación realizada (1 punto). 4.- Resolver las ecuaciones (0.5 puntos) a) P(25 ≤ x) = 0,95 b) P(12,549 ≤ 210 ≤ y) = 0,20 d) P(T8 > t) = 0.9 e) P( 1,476 ≤ T5 ≤ u) = 0,075
c) P(T15 ≤ z) = 0,01 f) P(F10,20 ≤ 2,42) = v
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EXAMEN DE ESTADÍSTICA: 2º de Ingeniería Química 10 de febrero de 2006. Primera parte 1.- Se llevó a cabo un estudio para determinar la relación entre el número de años de experiencia y el salario mensual, en euros, entre los ingenieros químicos de Castilla y León. Se seleccionó una muestra aleatoria de 17 ingenieros químicos y se obtuvo la siguiente información xi 247 y i 29902 xi2 5065 y i2 52330680
x y i
i
483750
e
2 i
434772
Con los datos del Problema. Responde verdadero o falso justificando las respuestas 1) 0.5 puntos ˆ1 43,22 a) ˆ1 1072 b) ˆ 0 43,22 c) ˆ 0 1072 d) 2) 0.25 puntos a) Como t = 12,56 la variable años de experiencia es significativa b) Como t = 17,53 , tendremos dudas acerca de la influencia de la variable años de experiencia. c) Como t = 17,53 la variable años de experiencia es significativa b) Como t = 12,56 , tendremos dudas acerca de la influencia de la variable años de experiencia. 3) la predicción de salario para un ingeniero químico con diez años de experiencia es 0.25 puntos a) 1162,2 b) 1504.2 c) 1723.2 d) 1389 4) Responde verdadero o falso justificando 1 punto a) La variación no explicada es 434772 b) La variación total es 49440272 c) El coeficiente R-cuadrado es 0.99 d) El valor del estadístico F es 2314,5 e) Un I.C. al 95% para la pendiente es (35,89 50,55)
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2.- Se está estudiando el tiempo transcurrido entre dos intentos de introducir un virus informático via e-mail en el sistema informático de una empresa. Se han observado los tiempos (en cientos de horas) desde el comienzo de año para los primeros veinte intentos obteniendo los resultados expuestos en la tabla adjunta. 1punto
Al ajustar una distribución exponencial (con f. distribución F ( x) = 1 - e- ) a estas observaciones, el test chi cuadrado con puntos de división de las clases: 5, 10, 15 y 20, concluye que a. El test chi-cuadrado no se puede aplicar porque la distribución es continua. b. Se rechaza que los datos siguen una distribución exponencial con < 0'5. c. El p-valor del contraste está entre 0'1 y 0'5 y, por tanto, el contraste no es concluyente. d. Ninguna de las otras tres respuestas. x
3.- Dos máquinas A y B fabrican la misma pieza, con una producción aceptable del 70% y 80% respectivamente. Del total de la producción el 40\% corresponde a la màquina A y el resto a la B. Se elige una pieza al azar y resulta no ser aceptable. Calcular la probabilidad de que haya sido producida por cada una de las dos máquinas. 1 punto 4.- Dados los siguientes datos de pureza de un hidrocarburo. Pureza ( %) 86,91 89,85 90,28 86,34 92,58 87,33 86,29 91,86 95,61 89,86 96,73 99,42 98,66 96,07 93,65 87,31 95 96,85 85,2 90,56 a) Calcular media, moda, mediana, rango, máximo, mínimo, desviación estándar, primer cuartil, segundo cuartil, tercer cuartil, rango intercuartílico, percentil 5 y percentil 95 muestrales (0.5) b) Hacer una tabla de distribución de frecuencias, un diagrama de tallo-hojas, un histograma y un diagrama de cajas y comenta los gráficos.(1)
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EXAMEN DE ESTADÍSTICA: 2º de Ingeniería Química 10 de febrero de 2006. Segunda parte 1.- Sea X una variable con las siguientes características: E(X)=5, E(X 2)=29 Determinar una cota inferior de P (2 X 8) 0.5 puntos Si la variable tiene una distribución uniforme en el intervalo (a, b), Hallar P (2 X 8) 0.5 p. 2.- Supongamos que en un proceso de fabricación de rodamientos se aceptan las bolas de acero con diámetro comprendido entre dos valores fijos 100.1 y 100.6. Estudiado anteriormente el diámetro de las bolas, se dedujo que seguía una ley Normal de media 100.3 y desviación típica 0.2. Calcular la probabilidad de que en un lote de 100 bolas rechacemos 4 por grandes y 4 por pequeñas. 0.5 puntos Calcular la probabilidad de que un lote de tamaño 1000 contenga al menos 750 piezas aceptables.0.5 puntos 3.- Define lo más brevemente posible 1.5 puntos Población: Muestra: Tamaño muestral. Muestreo aleatorio simple Espacio muestral Parámetro Estadístico Estimador. Estimador de la media poblacional, Estimador de la varianza poblacional, Contraste hipótesis Hipótesis estadística Paramétrica No Paramétrica:
Hipótesis nula Estadístico del contraste: Error tipo I Error tipo II Nivel de significación La región de Rechazo La región de Aceptación Nivel crítico o p-valor 4.- El gráfico siguiente representa el diagrama de tallo-hojas del número de lanzamientos necesarios para que salga cruz. 0.5 puntos 19 1|0000000000000000000 (14) 2|00000000000000 15 3|000000000 6 4|000 3 5| 3 6|00 HI|14,0 Calcular los cuartiles y percentiles 40 y 60 58
Examen de Estadística: Segundo de Ingeniería Química 15 de setiembre de 2006. Apellidos Nombre Entregar con el examen 1.- Un biólogo ha tomado una muestra de tortugas y ha medido su longitud y su anchura obteniendo los siguientes diagramas de tallo-hojas longitud: 1|2 representa 12,0 anchura: 1|2 representa 12,0 2 9|34 3 9|6 1 7|4 7 10|1234 2 7|8 9 10|67 8 8|012334 12 11|234 (5) 8|56899 12 11|6779 11 9|001333 8 12|001 5 9|5556 5 12|578 1 10| 2 13|1 1 10|6 1 13|5 Se pide a) Tamaño muestral b) Calcular los percentiles 5, 15, 25, 50, 75, 85 y 95 (0.5) c) Realizar una tabla de distribución de frecuencias, un histograma, un diagrama de cajas de la longitud y comentar los gráficos (1.5) d) Realizar el contraste de normalidad de la longitud (0.5) e) Calcular un intervalo de confianza para la longitud media de la longitud.(0.25) f) Calcular un intervalo de confianza para la varianza. (0.25) g) Al ingeniero le gustaría demostrar que la longitud media excede los 100 cms. Proponer y contrastar la hipótesis adecuada y obtener una conclusión.). (0.5) h) Calcular la potencia en el punto 95 (0.5) Análisis de regresión Variable dependiente: longitud Variable independiente: anchura Parameter Intercept Slope
Estimate -26,2686 1,58162
Error 9,83848 0,11109
Standard Statistic -2,66998 14,2372
T P-Value 0,0140 0,0000
Análisis de la varianza Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value Model 2879,14 1 2879,14 202,70 0,0000 Residual 312,489 22 14,2041 --------------------------------------------------------------------------------
Total (Corr.)
3191,63
23
Coeficiente correlación = 0,949785 R-cuadrado = 90,2091 percent R-cuadrado (adjusted for d.f.) = 89,764 percent Standard Error of Est. = 3,76883 j)Explicar todo lo que aparece en las tablas de regresión y hacer el contraste de la regresión (2) (Da la vuelta a la hoja)
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2.- Explica brevemente (2) 1. Hipótesis estadística 2. Error de tipo I 3. Error de tipo II 4. Potencia 5. Región crítica 6. Relación entre región crítica y muestra 7.-Distribución en el muestreo 8. p-valor 9. Muestra 10. Población 11. Estadístico 12. Fórmula de Bayes 13. Fórmula de la probabilidad total 14. Fórmula producto 15. Parámetro poblacional 16. Parámetro muestral 17. Estimador de un parámetro 18. Estadístico utilizado en el contraste de varianzas 19. Relación entre p-valor y muestra 20. Gráficos utilizados en la descripción de datos categóricos. 3.- Resolver las ecuaciones (0.5 puntos) a) P(28 ≤ x) = 0,95 b) P(12,549 ≤ 220 ≤ y) = 0,20 d) P(T18 > t) = 0.9 e) P( 1,476 ≤ Z ≤ u) = 0,075
c) P(T35 ≤ z) = 0,01 f) P(F10,20 ≤ 2,42) = v
4.- De un proceso químico se toman cada hora una muestra de 60 partes. Lo común es que el 1% de las partes requieran volver a ser procesadas. Sea X el número de partes de una muestra de 60 que necesitan ser reprocesadas. Se sospecha de un problema en el proceso si X es mayor que su media por tres desviaciones estándar. (1) d. Calcular la probabilidad de que se sospeche de la existencia de un problema. e. Si el porcentaje de partes que necesita reprocesarse es de 5%. Calcular la probabilidad de X sea mayor que 1. f. Calcular la probabilidad de que X sea mayor que 1 en al menos una de las muestras tomadas en las próximas 5 horas. 5.- Un técnico de medio ambiente sospecha que el 5 % de las emisiones de gases contaminantes de una empresa química sobrepasan el mínimo de lo permitido por la ley. Calcular el número de muestras que debe tomar para asegurarse que encontrará al menos una con mayor contaminación de la permitida con una probabilidad mayor que 0.99. Justificar la aproximación realizada (0.5).
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Examen de prácticas: Estadística. Segundo de Ingeniería Química 12 de febrero de 2007 1.- Distribución Chi-cuadrado con parámetros: n = 23 Media = 23 Mediana =22,33 primer cuartil =18,1373 tercer cuartil =27,1423 Percentil 1 =10,197 percentil 5 = 13,0905 percentil 95 =35,1725percentil 99 =41,6384 Simular 100 valores de una distribución Chi-cuadrado : n = 23 Rellenar el siguiente cuadro para las clases 3 y 6 Comentar el diagrama de cajas observado --------------------------------------------------------------------------------
Clase
Límite Inferior
Límite Superior
Marca
Frecuencia
Frecuencia Relativa
Probabilidad
--------------------------------------------------------------------------------
Menor o igual 2 13,0 3 18,0 4 23,0 5 28,0 6 33,0 7 38,0 8 43,0 Mayor 48,0
8.0 18,0 23,0 28,0 33,0 38,0 43,0 48,0
15,5 20,5 25,5 30,5 35,5 40,5 45,5
---34----
---0,34---
---0,297----
---6----
---0,06---
---0,056----
--------------------------------------------------------------------------------
Media =23,44 Desviación estándar=6,89 Media poblacional=23 Desviación estándar pob.=6,78
2.- Datos correspondientes a la variable ¿vives? Realiza una tabulación cruzada de esta variable con el sexo Estimador de la proporción de chicas que viven en Valladolid 0,4286---------------Estimador de la proporción de chicos que viven en Valladolid 0,6923---------------Intervalos de confianza bilaterales para la diferencia de proporciones = 0,01; 0,05; 0,1 Nivel de confianza Intervalo Tamaños muestrales 90 % [0,0319 ;0,4954] 370 302 95 % [-0,0124 ;0,5398] 214 176 99 % [-0,099 ;0,626] 151 124 Tamaños muestrales necesarios para cometer un error de 0,1 para los mismos . Contrastar la hipótesis de que las proporciones son iguales p-valor = 0,069 Región crítica | Z 0|>1,959 0 =z 1,817 Resultados: Aceptamos que las proporciones son iguales al nivel 0,05; pero lo rechazaríamos al nivel 0,1. El valor de z 0 está muy cercano a la región crítica. Tamaños muestrales para detectar una diferencia de proporciones de 0,2 con una potencia de 0,9 ----205 y 155 ---------------------------------
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3.- Trabajar con la variable altura en el grupo de hombres: Estimador de la media 179,923 Estimador de la desviación estándar 4,95518 Cotas de confianza para la media y la desviación estándar para = 0,01; 0,05; 0,1 Fijar tres errores de acuerdo al valor de la media y calcular tamaño muestral necesario para la cota superior y los niveles de significación anteriores confianza Para la media Superior 90% 181,202 95 % 181,583 99 % 182,338]
inferior 178,644 178,263] 177,508
Para la desviación estándar Superior inferior 6,10433 4,22539 6,48162 4,03769] 7,29842 3,72185
confianza Error 1cm. 2cm. 3cm 90% 42 12 6 95 % 69 19 10 99 % 136 37 18 Explicar los resultados: Las cotas superiores crecen con el nivel de confianza; las cotas interiores decrecen. A igual confianza, los tamaños muestrales decrecen al aumentar el error. A igual error los tamaños muestrales crecen al aumentar la confianza 4.- Trabajar con la variable altura Contrastar la hipótesis de que las varianzas son iguales. p-valor = 0,797952 F0 = 0,902241 Región crítica F 0 > 2,07392 Resultado: Aceptamos la igualdad de varianzas a cualquier nivel Calcular tamaños muestrales para alcanzar una potencia de 0.85 en el punto 2: 88 y 70 5.- Trabajar con las variables altura y peso en las mujeres El contraste de regresión tiene un p valor de -0,64- por tanto -no- rechazamos la hipótesis nula y -no- admitimos que existe relación lineal entre las variables. El contraste para la ordenada en el origen tiene un p-valor de -0- por tanto -si- rechazamos la hipótesis nula y -si- admitimos que ésta es distinta de 0. Región crítica para este contraste …|T|>…… 2,09303 ……………………… El contraste F de regresión tiene un p valor de -0,64- por tanto -no- rechazamos la hipótesis nula y -no- admitimos que existe relación lineal entre las variables. Región crítica para este contraste……F> 4,38077 …………………….. El -1,14%- de la variabilidad de los datos queda recogida por el modelo. La relación lineal -no- recoge la dependencia entre variables VE = 6,23933 VNE = 538,046 Error estándar de la regresión = 5,3214
62
Examen de Estadística: Segundo de Ingeniería Química. 12 de febrero de 2007 Los datos siguientes muestran la salida de CD de un generador de viento (y) y la velocidad del viento(x). Velocidad viento(mph) Salida deCD Velocidad viento Salida de CD 5 1,582 3,05 0,558 6 1,822 8,15 2,166 3,4 1,057 6,2 1,866 2,7 0,5 2,9 0,653 10 2,236 6,35 1,930 9,7 2,386 4,6 1,562 9,55 2,294 5,8 1,737 7,4 2,088 9,1 2,303 3,6 1,137 10,2 2,31 7,85 2,179 4,1 1,194 8,8 2,112 3,95 1,144 7 1,8 2,45 0,123 5,45 1,501 1.- Calcular el valor de los estadísticos habituales para la variable velocidad del viento, Media, varianza, desviación estándar, máximo, mínimo, rango, mediana, cuartiles y rango intercuartílico.(0.5) n = 25 Media = 6,132 Mediana = 6,0 Varianza = 6,3981 Desviación estándar = 2,52945 Mínimo = 2,45 Máximo = 10,2 Rango = 7,75 Primer cuartil = 3,95 Tercer cuartil = 8,15 Rango intercuartílico = 4,2 2.- (1) Dibujar un diagrama de tallo-hojas 1|2 representa 1,2 3 2|479 7 3|0469 9 4|16 12 5|048 (3) 6|023 10 7|048 7 8|18 5 9|157 2 10|02 Dibujar un histograma
63
Histogram 6 5
y c 4 n e 3 u q e r 2 f 1 0 0
2
4
6
8
10
12
velocidadv
Tabla de distribución de frecuencias -------------------------------------------------------------------------------Clase
Límite Inferior
Limite Superior
Marca
frecuencia
frecuencia frecuencia relativa acumulada
frecuencia relat. Acu.
-------------------------------------------------------------------------------Menor o igual 2,4 0 0,0000 0 0,0000 1 2,4 3,7 3,05 6 0,2400 6 0,2400 2 3,7 5,0 4,35 4 0,1600 10 0,4000 3 5,0 6,3 5,65 4 0,1600 14 0,5600 4 6,3 7,6 6,95 3 0,1200 17 0,6800 5 7,6 8,9 8,25 3 0,1200 20 0,8000 6 8,9 10,2 9,55 5 0,2000 25 1,0000 Mayor 10,2 0 0,0000 25 1,0000 --------------------------------------------------------------------------------
Dibujar un diagrama de cajas. Box-and-Whisker Plot
0
2
4
6
8
10
12
velocidadv
Media = 6,132 Mediana = 6,0 Mínimo = 2,45 Máximo = 10,2 Primer cuartil = 3,95 Tercer cuartil = 8,15 Rango intercuartílico = 4,2 3,95- 1,5x4,2 = -2,35 8,15 + 1,5x4,2=14,45 LS = 10,2 LI= 2,45 Comentar gráficos obtenidos, simetría, datos atípicos, normalidad. Del gráfico del histograma se desprende que los datos no se parecen a la distribución normal, no se aprecia asimetría. En el diagrama de cajas se ve que los datos son bastante simétricos, la media es casi igual a la mediana y los cuartiles son casi simétricos respecto a la mediana. No se aprecian datos atípicos. Contraste de normalidad.Explica la tabla, el gráfico y da el resultado del contraste (0.5) 64
Plot Probabilistico Normal 99,9 99 95
a d a 80 l u 50 m u 20 c 5 a 1 0,1 0
2
4
6
8
10
12
velocidadv Goodness-of-Fit Tests for velocidadv Lower Limit Upper Limit Observed Frequency Expected Frequency at or below 3,68495 6 4,17 3,68495 5,04249 4 4,17 5,04249 6,132 3 4,17 6,132 7,22151 3 4,17 7,22151 8,57905 3 4,17 above 8,57905 6 4,17 Chi-Square = 2,60011 with 3 d.f. P-Value = 0,457466
Chi-Square 0,81 0,01 0,33 0,33 0,33 0,81
El gráfico es un plot Probabilístico normal. En el eje de las X se representa la función de distribución empírica de la muestra y en el eje de las Y la función de distribución de la normal. Si los datos proceden de una distribución normal deberían estar alineados. Se ve que los datos oscilan en torno a una línea recta por lo que podemos suponer que no se apartan mucho de la distribución normal. En la tabla tenemos el resultado de un contraste del ajuste de los datos a una distribución normal. Se ha dividido el rango de valores en 6 clases, se calcula la frecuencia esperada de cada clase y después se calcula el valor del estadístico con un valor de 2,6. Los grados de libertad son 62(parámetros estimados, media y varianza)-1, es decir 3. El p-valor es la probabilidad de que una chi cuadrado con 3 grados de libertad sea mayor que 2,6 que da 0,45; con lo que aceptamos la hipótesis nula de que los datos son normales a cualquier nivel menor que0,45. Si = 0,05 aceptamos la normalidad de los datos. 3.- (0.75) Calcula un intervalo de confianza para la media al 95%. Como la varianza es desconocida el estadístico utilizado es una T con 24 grados de libertad T24,0,025 = 2,064 El intervalo es X s t 24, 0,025 6,132 1,04411 [5,08789;7,17611] 25
Calcula el tamaño muestral necesario para estimar la media con un error de 0,75 mph. El error cometido viene dado por s t 24,0,025 2,53 2,064 0,75 n = 49 n
n
65
4.- (0.75) Realiza el siguiente contraste: Región crítica, p-valor y resultado del contraste. H0: =6 H1: >6 6,132 6 t 0 0,26 Calculamos el valor del estadístico T X 0 0 2 , 53 s 25 n p-valor P(T24 >0,26) ≈ 0,4 ya que P(T24 >0,256)= 0,4. En cualquier caso 0,25
X 6,5 6,5 6 P ( s / n s / n
X 6,5
1,711 / 6,5) P (
s / n
1,711
0,5 / 6,5) P (T 24 0,72) 2,53 / 25
0,1 < P (T24 > 0,72) < 0,25 Por lo tanto 0,1< P (6,5) < 0,25 5.De las siguientes tablas del análisis de regresión Rellenar huecos (0.5) Regression Analysis - Linear model: Y = a + b*X Dependent variable: salidaCD Independent variable: velocidadv Parameter Estimate Error Standard T Statistic P-Value Intercept 0,130875 0,125989 1,039 [0,2; 0,5] Slope 0,241149 0,0190492 12,66 0 0,130875/0,125989 = 1,039 P(|T 23| > 1,039) = 2x P(T23 > 1,039) 0,2 < p-valor < 0,5 0,241149 / 0,0190492 =12,66 P(|T 23| > 12,66) = 2x P(T23 > 12,66) ≈ 0 Analysis of Variance Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value 160,254 0 Model 8,92961 1 8,92961 1,28 0,0557 Residual 23 Total (Corr.) 10,2112 24 VNE = VT- VE = 10,2112 – 8,92961 = 1,28 S2R = VNE/(n-2) = 1,28/23 = 0,0557 F = VE/(VNE/n-2) = 8,92961/0,0557=160,254 p-valor = P(F 1,23 >160,254) ≈ 0 Calcular R-cuadrado, r, error estándar de la regresión. R-cuadrado = VE/VT = 8,92961/10,2112 = 0,87449 r = √R-cuadrado = 0,935 SR = √0,0557 = 0,236 Contraste de la regresión (los dos) (0.5) 66
En el contraste de la pendiente el valor del estadístico es 12,66 y el p-valor 0 por lo que rechazamos la hipótesis nula de que la pendiente es 0 y por tanto existe relación lineal. El contraste F tenemos un valor del estadístico de 160,254 y un p-valor 0 por lo que rechazamos la hipótesis nula de que no hay relación entre las variables Intervalo de confianza para la pendiente al 95% (0.25) bˆ t 0 ,025, 23 s b 0,2411 2,069 x 0,019 0,21 ; 0,28 Ecuación de la recta de regresión.(0.25) salidaCD = 0,130875 +0,241149 x velocidadv Comentar los siguientes gráficos y tablas del análisis de los residuos (0.5) Residual Plot
l a 4,7 u d i s 2,7 e r
d e 0,7 z i t n e -1,3 d u t S -3,3
Normal Probability Plot 99,9 99
e g a t n e c r e p 0
5
10
15
20
95 80 50 20 5 1 0,1 -0,6
25
-0,4
-0,2
0
row number
RESIDUALS
Box-and-Whisker Plot
Histogram
0,2
0,4
0,4
0,7
10 8
y c n 6 e u q 4 e r f 2
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
RESIDUALS
0,4
0 -0,8
-0,5
-0,2
0,1
RESIDUALS
En el plot de los residuos no se aprecia ninguna pauta que nos haga pensar que no son aleatorios. En el plot Probabilístico normal no parece muy claro que los residuos estén alineados. Haría falta comprobar la normalidad por otros medios. En el diagrama de cajas se aprecia una asimetría bastante marcada a la izquierda, lo mismo en el histograma. Por lo que faltaría comprobar que los residuos son normales mediante el contraste chi cuadrado.
6.- (0.5) Con ayuda de las tablas calcula 67
P( 2,06 < F10,15 < 3,8) = P( F10,15 < 3,8) - P( F10,15 < 2,06) = P( F10,15 > 2,06) - P( F10,15 > 3,8) = 0,1 – 0,01 = 0,09 P( 0,263 < F15,10 < 0,485) = P( F15,10 < 0,485) - P(F15,10 < 0,263) = P( F10,15 >1/0,485) - P(F10,15 >1/ 0,263) = P( F 10,15 >2,06) - P(F10,15 >3,8) = 0,09 P( 1,325 < T20 < 2,845) = P(T20 < 2,845)- P(T20 < 1,325) = P(T20 > 1,325) - P(T20 > 2,845) = 0,1-0,005 = 0,095 P(Z < x ) = 0,147 x es negativo P(Z <- x ) = 0,853 P( 215 < y ) = 0,5
–x = 1,05 x = -1,05
y = 14,34
P(T20 < z) = 0,025 z es negativo P(T 20 > -z) = 0,025 -z = 2,086 z =- 2,086 7.- (0.75) La irregularidad del corte de productos de papel depende del grado de uso de las cuchillas. Si las cuchillas son nuevas el 1% de los productos presentan un corte irregular; si las cuchillas tienen un uso medio, el 3% de los cortes presentan irregularidades; si las cuchillas están desgastadas, el 10% de los cortes son defectuosos. Si se conoce que de las cuchillas utilizadas en el proceso de corte, el 10% son nuevas y el 60% tienen un uso medio. Calcular la proporción de productos con cortes irregulares. Sea N el suceso, cuchilla nueva; M, cuchilla de uso medio y D, cuchilla desgastada. Sea I el suceso el corte es irregular. Por los datos del problema P(N) = 0,1 P(M) = 0,6 P(D) = 0,3 P(I/N) = 0,01 P(I/M) = 0,03 P(I/D) = 0,1; aplicando la fórmula de la probabilidad total P(I) = P(I/N) P(N) + P(I/M) P(M) + P(I/D) P(D) = 10-3 + 18x10-3 + 3x10-2 = 49x10-3 Proporción de productos con cortes irregulares 4,9 % 8.El peso de una zapatilla deportiva tiene una media de 250 g. y una desviación estándar de 5g.(0.75) Acotar la probabilidad de que el peso esté comprendido entre 235 y 265 g. Llamamos X a la variable peso de la zapatilla P ( 235
3,25
68
Examen de Estadística: Segundo de Ingeniería Química. 6 de setiembre de 2007 Nombre Apellidos Los datos siguientes muestran el índice de refracción y la densidad de 12 trozos de cristal Índice de refracción densidad 1,514 2,480 1,515 2,482 1,516 2,481 1,517 2,490 1,518 2,483 1,520 2,505 1,516 2,484 1,517 2,486 1,518 2,495 1,519 2,498 1,522 2,511 1,525 2,520 1.- Calcular el valor de los estadísticos habituales para la variable índice de refracción. Media, varianza, desviación estándar, máximo, mínimo, rango, mediana, cuartiles y rango intercuartílico. (0.5) 2.- (1) Tabla de distribución de frecuencias y dibujar un diagrama de tallo-hojas, un histograma y un diagrama de cajas para ambas variables Comentar gráficos obtenidos, simetría, datos atípicos, normalidad. Contrastar la normalidad de la variable índice de refracción 3.- (0.75) Calcula un intervalo de confianza para la media del índice de refracción al 95%. Calcula el tamaño muestral necesario para estimar la media con un error de 0,05. 4.- (0.75) Realiza el siguiente contraste: Región crítica, p-valor y resultado del contraste. H0: = 1,5 H1: >1,5 Calcula la potencia en el punto 1,4 5.-
De las siguientes tablas del análisis de regresión Rellenar huecos (0.5) Regression Analysis - Linear model: Y = a + b*X Dependent variable: densidad Independent variable: indicerefra Standard T Parameter Estimate Error Statistic P-Value ----------------------------------------------------------------------------Intercept -3,68673 -6,2112 0,0001 Slope 4,07069 10,4111 0,0000
Analysis of Variance 69
Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value Model 0,00173852 1 0,00173852 0,0000 Residual 10 Total (Corr.) 0,00189892 Correlation Coefficient = R-squared = Standard Error of Est. = Contraste de la regresión (los dos) (0.5) Intervalo de confianza para la pendiente al 95% (0.25) Ecuación de la recta de regresión.(0.25) Comentar los siguientes gráficos y tablas del análisis de los residuos (0.5) l a u d i s e r d e z i t n e d u t S
Normal Probability Plot
Residual Plot 99,9
4,1
e g a t n e c r e p
2,1 0,1 -1,9
99 95 80 50 20 5 1 0,1
-3,9 0
2
4
6
8
10
-10
12
-7
-4
-1
2
RESIDUALS
row number
5 (X 0,001)
Histogram
Box-and-Whisker Plot 8
y 6 c n e u 4 q e r f 2 0
-10
-7
-4
-1
RESIDUALS
2
5 (X 0,001)
-11
-7
-3
1
RESIDUALS
Goodness-of-Fit Tests for RESIDUALS Chi-Square Test Lower Upper Observed Expected Limit Limit Frequency Frequency at or below -0,00321376 2 2,40 -0,00321376 -0,000967417 2 2,40 -0,000967417 0,000967419 1 2,40 0,000967419 0,00321376 5 2,40 above 0,00321376 2 2,40 Chi-Square = 3,83342 with 2 d.f. P-Value = 0,14709
5 (X 0,001)
Chi-Square 0,07 0,07 0,82 2,82 0,07
6.- (0.5) Con ayuda de las tablas calcula P( 2,54 < F10,15 < 3,8) P( 4,56 < F15,10 < 2,24) P( 1,77 < T13 < 3,85) P(Z < x ) = 0,95 P( 215 < y ) = 0,05 P(T30 < z) = 0,25 7.(0.75) La irregularidad del corte de productos de papel depende del grado de uso de las cuchillas. Si las cuchillas son nuevas el 0,5% de los productos presentan un corte irregular; 70
si las cuchillas tienen un uso medio, el 5% de los cortes presentan irregularidades; si las cuchillas están desgastadas, el 20% de los cortes son defectuosos. Si se conoce que de las cuchillas utilizadas en el proceso de corte, el 10% son nuevas y el 60% tienen un uso medio. Calcular la proporción de productos con cortes irregulares. 8.-
El peso de una zapatilla deportiva tiene una media de 220 g. y una desviación estándar de 10g.(0.75) Acotar la probabilidad de que el peso esté comprendido entre 205 y 235 g. Se toma una muestra de tamaño 100. Aproximar la probabilidad de que el número de zapatillas cuyo peso no está comprendido entre los valores anteriores sea menor que10. Tomar como valor de p la cota calculada anteriormente.
71
Examen de prácticas: Estadística. Segundo de Ingeniería Química 6 de setiembre de 2007 1.- Distribución binomial: n = 150 p = 0.01 Media = Mediana = primer cuartil = tercer cuartil = Percentil 1 = percentil 5 = percentil 95 = percentil 99 = Simular 100 valores de una distribución binomial con n = 150 p=0.01 Rellenar el siguiente cuadro para las clases 3 y 6 Comentar el diagrama de cajas observado -----------------------------------------------------------------------Relative Class Value Frequency Frequency Probabilidad F. distribucion -----------------------------------------------------------------------1 0 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 Media = Desviación estándar= Media poblacional= Desviación est.pob.=
2.- Datos correspondientes a la variable venir a clase Realiza una tabulación cruzada de esta variable con el sexo Estimador de la proporción de chicas que vienen andando ---------------Estimador de la proporción de chicos que vienen andando ---------------Intervalos de confianza bilaterales para la diferencia de proporciones = 0,01; 0,05; 0,1 Nivel de confianza Intervalo Tamaños muestrales 90 % 95 % 99 % Tamaños muestrales necesarios para cometer un error de 0,1 para los mismos . Contrastar la hipótesis de que las proporciones son iguales p-valor = Región crítica 0Z= Resultado Tamaños muestrales para detectar una diferencia de proporciones de 0,2 con una potencia de 0,9 --3.- Trabajar con la variable peso en el grupo de mujeres: Estimador de la media Estimador de la desviación estándar Cotas de confianza para la media y la desviación estándar para = 0,01; 0,05; 0,1 confianza Para la media Para la desviación estándar Superior inferior Superior inferior 90% 95 % 99 %
72
Fijar tres errores de acuerdo al valor de la media y calcular tamaño muestral necesario para la cota superior y los niveles de significación anteriores confianza Error 90% 95 % 99 % Explicar los resultados:
4.- Trabajar con la variable peso Contrastar la hipótesis de que las varianzas son iguales en la población de hombres y mujeres. 2 p-valor = Región crítica 0 = f Resultado:
Calcular tamaños muestrales para alcanzar una potencia de 0.85 en el punto 2 5.- Trabajar con las variables altura y peso en hombres El contraste de regresión tiene un p valor de --- por tanto -- rechazamos la hipótesis nula y -admitimos que existe relación lineal entre las variables. El contraste para la ordenada en el origen tiene un p-valor de --- por tanto -- rechazamos la hipótesis nula y -- admitimos que ésta es distinta de 0. Región crítica para este contraste ……………………………… El contraste F de regresión tiene un p valor de --- por tanto -- rechazamos la hipótesis nula y --- admitimos que existe relación lineal entre las variables. Región crítica para este contraste………………………….. El ----- de la variabilidad de los datos queda recogida por el modelo. La relación lineal -- recoge la dependencia entre variables VE = VNE = Error estándar de la regresión =
73
Control 1: Segundo de Ingeniería Química 31 de octubre de 2007 Apellidos Nombre Entregar con el examen 1.- Un biólogo ha tomado una muestra de tortugas y ha medido su longitud obteniendo el siguiente diagrama de tallo-hojas longitud: 1|2 representa 12,0 2 9|34 3 9|6 7 10|1234 9 10|67 12 11|234 12 11|6779 8 12|001 5 12|578 2 13|1 1 13|5 Se pide a) Tamaño muestral meda cuartil 1 mínimo máximo b) Calcular los percentiles 5 15
media cuartil 3
25
50
desviación estándar rango intercuartílico
75
mediana
85
95
c) Realizar una tabla de distribución de frecuencias, un histograma, un diagrama de cajas de la longitud y comentar los gráficos
2.- En una muestra de tamaño 100, se ha obtenido una media muestral de 38,283 y una desviación estándar muestral de 1.25. g. ¿Qué porcentaje de observaciones cae dentro del rango 38,283 2.5? h. ¿Qué porcentaje de observaciones cae dentro del rango 38,283 1.5?
74
Control 2: 2º curso de Ingeniería Química 19 de diciembre de 2007 1.- La siguiente sentencia fue mantenida por un “experto” en estadística. “Si se extrajera una muestra de tamaño 64 de una población normal con media µ, se podría asegurar con una confianza del 95% que µ estaría dentro del intervalo X 1,96 s /8 ”. ¿Es correcta esta afirmación? 2.- 20 estudiantes de Ingeniería Química midieron el punto de licuación del plomo. La media y la desviación típica muestrales fueron 330,2ºC y 15,4ºC. Construir un intervalo de confianza para el punto de licuación del plomo con una confianza del 95% y del 99%. Calcular el error cometido en ambos casos. Determinar el tamaño muestral necesario para cometer un error de 5ºC en ambos casos 3.- Define: Variable aleatoria: Función de densidad Función de probabilidad Estadístico Estimador 4:- En la siguiente función de densidad de una distribución normal en cada trozo de la gráfica pon el valor del área de la región comprendida entre la gráfica y el eje de las x
función de densidad de la normal (0,1) 0,4
d 0,3 a d i s 0,2 n e d 0,1 0 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
75
Examen de estadística: Prácticas 11 de febrero de 2008 1.- Simula 100 valores de una distribución N (3,2) Nómbrala X (0.5p) Media = 3 Mediana = 3 primer cuartil = 1,65 Percentil 1 = -1,65 percentil 5 = -0,29
tercer cuartil = 4,35 percentil 95 = 6,29 percentil 99 =7,65
Media muestral = 3,14 Mediana muestral = 3,32 primer cuartil muestral = 1,73 Tercer cuartil muestral=4,49 Percentil 1 muestral =-1,78 percentil 5 muestral = -0,30 Percentil 95 muestral =6,58 percentil 99 muestral = 7,35 Rellenar el siguiente cuadro para las clases 3 y 6 Comentar el diagrama de cajas observado -------------------------------------------------------------------------------Límite Límite Frecuencia Probabilidad Clase Inferior Superior Marca Frecuencia Relativa -------------------------------------------------------------------------------Menor o igual -3.0 2 -3, 0 -1,0 -2 3 -1,0 1,0 0 -------8----------0,08------------0,136 4 1,0 3,0 2 5 3,0 5,0 4 6 5,0 7,0 6 -------13---------0,13------------0,136 7 7,0 9,0 8 Mayor 9,0 -------------------------------------------------------------------------------Media = 3,14 Desviación estándar= 1,98 Media poblacional= 3 Desviación estándar pob.= 2
2.- Trabajar con la variable simulada X: (0.5p) Estimador de la media 3,14 Estimador de la desviación estándar 1,98 Cotas de confianza para la media y la desviación estándar para = 0,01; 0,05; 0,1 Fijar tres errores de acuerdo al valor de la media y calcular tamaño muestral necesario para la cota superior y los niveles de significación anteriores confianza 90% 95 % 99 % confianza 90% 95 % 99 %
Para la media Superior
3,39 3,47 3,60
Para la desviación estándar Superior inferior
inferior
2,88 2,81 2,67
Error 0,5
2,17 2,24 2,36
0,4
28 46
90
1,81 1,77 1,69
0,3
43 70 139
75 123 244
Continúa a la vuelta
76
3.- Contrasta la normalidad de la variable simulada X (0.5p) Nº de clases 8 Valor chi-cuadrado 3,36 Grados de libertad 5 p-valor 0,64 Conclusión Aceptamos normalidad de los datos
4.- Simular 80 valores de una N (3.1 , 2) variable Y (0.5p) Contrastar la hipótesis de que las varianzas de las variables X e Y son iguales. p-valor = 0,38 F 1,21 Región crítica {F 0>f 99,790,025 }{F0
77
Examen de estadística: 2º curso de ingeniería química. 11 de febrero de 2008
Nombre Apellidos 1.- Los siguientes datos corresponden al número de trabajadores en la industria en la Comunidad de Castilla y León durante el periodo 1993-2006 (1p) 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 133.96 133.74 135.34 135.09 132.20 138.49 140.59 141.00 140.56 144.36 146.58 147.4 151.62 151.85 0 1 7 1 5 3 3 5 1 1 0 47 0 9 Calcular Media 140.918 varianza 43.671.485 máximo151.859 mínimo132.205 rango 19.654 Mediana 140.577 meda 5744,5 Primer cuartil 135.091 tercer cuartil 146.580 rango intercuartilico 11.489 percentil10 133.741 Dibujar un diagrama de cajas Q1= 135.091 Q2 = 140.577 Q3 = 146.580 Media 140.919 LI = min. = 132.205 LS = Máx. = 152.859 13
13,4
13,8
14,2
14,6
15
15,4 (X 10000)
2.- Un fabricante de pilas alcalinas sabe que la duración de las mismas se distribuye según una ley normal de varianza 3600 horas. Para estimar la media toma una muestra de su producción y un nivel de confianza del 95% obteniendo el intervalo (372,6 392,2).(1p) Calcular la media estimada y el tamaño muestral utilizado. El intervalo es X Z 0, 25 La media estimada es el centro del intervalo X 382,4 y Z 0, 25 9,8 o
n
n
o
z0,025 = 1,96 σ =60 y n = 144 Calcular el error de estimación para un tamaño muestral de 200 pilas y una confianza del 90%. El error es X
n
Z 0.05
z0,05 = 1,64 E = 6,96
3.- Las cuasivarianzas muestrales de dos muestras de tamaños 51 y 101 de dos poblaciones normales independientes son 70,2 y 76,8. (1.5p) Demostrar que puede admitirse que las varianzas poblacionales son iguales al nivel 10% H0: 12 = 22 El estadístico F 0 S 12 Bajo H0 se distribuye como una F 50,100 S 22
H1: 12 22 f 50,100,0,05 = 1,48 f 100,50, 0,05 = 1,52 f 50,100, 0,95 = 0,66 RA 0,66< F0 <1,48 f 0 = 0,91 por tanto acepto H0 Calcular la potencia de la prueba en el punto 1,5 P(0,66< F0 <1,48/ 12/22=1,5) = P(0,66< S 12 <1,48/(12/22)=1,5) = S 22
P(0,66 (22/12) <
S 12 / 12 S 22 / 22
<1,48 (22/12) /(12/22)=1,5) = P(0,44< F 50,100 < 0,98)
P(1,5) = 1 - P(0,44< F50,100 < 0,98)
78
4.-Se ha realizado un análisis de regresión tomando como variable dependiente millas por galón y variable independiente caballos de potencia del vehículo. Se ha obtenido(1.5p) Dependent variable: mpg Independent variable: horsepower Parameter Intercept Slope
Estimate 49,8706 -0,237707
Source Model Residual Total (Corr.)
Standard Error 1,403 0,0152283
T Statistic 35,5426 -15,61
Analysis of Variance Sum of Squares Df Mean Square 5030,95 5030,95 1 148 20,6475 8086,77 149
F-Ratio 243,66
P-Value 0,0000 0,0000
P-Value 0,0000
Correlation Coefficient = -0,788746 R-squared = 0,622 Standard Error of Est. = 4,54
Rellenar los huecos Ecuación de la recta de regresión Mpg = 49,87 – 0,24 x horsepower Resultado del contraste F VE / 1 H0: Modelo inadecuado F 1,148 f 0 = 243,66 p-valor 0 F VNE / 148
H1: Modelo adecuado Rechazamos y el modelo es adecuado Resultado del contraste de la pendiente H0: β1 = 0
T
ˆ1
s
T 148 t0 = -15,61 p-valor 0
H1: β1 0 Rechazamos H0 y admitimos que existe relación lineal Intervalo de confianza al 95% para la pendiente ˆ1 t 0,025,148 s -0,24 1,98x0,0152 0,24 0,03
(-0,27, -0,21)
5.- Una empresa compra cierto tipo de pieza que es suministrada por 3 proveedores: el 45% de las piezas son compradas al primer proveedor resultando defectuoso el 1%, el segundo proveedor suministra 30% de las piezas y de ellas es defectuoso el 2%. Las restantes piezas provienen del tercer proveedor, siendo defectuoso el 3% de las mismas. En un control de recepción de artículos se selecciona una pieza al azar y es defectuosa. Calcular la probabilidad de que la haya suministrado el segundo proveedor.(1p) P(1) = 0,45 P(2) = 0,3 P(3) = 0,25 P(D/1)= 0,01 P(D/2)= 0,02 P(D/3)= 0,03 P(2/D)= P(D/2)xP(2)/P(D) = 0.33 P(D) = P(D/1)xP(1)+ P(D/2)xP(2) +P(D/3)xP(3) =0,018 6.- Resuelve las ecuaciones (0.5p) P(Z < x ) = 0,1587 x = -1 P(T11< y) = 0,85 y = 1,088 P(χ 221 < z) = 0.1 z= 13,24 P(F30,19
P(Z>1) = 0,1587 =P(Z< -1) P(T11<1,088) = 0,15 P(T11<1,088) = 0,85 P( χ 221 <13,24) = 0,9 P(χ 221 <13,24) = 0,1 P(F 30,19 > 2,07) = 0,05 P(F30,19 < 2,07) = 0,95
79
7.- Elige la respuesta correcta (1p) 1. Sean X1 y X2 dos variables aleatorias independientes B(5, 0.4). La varianza de Y = (X1 + X2)es (a) 1.2 (b) 0.6 (c) Ninguna de las otras dos 2. Si dos sucesos son incompatibles, son independientes (a) Si, claro. (b) No (c) Si la intersección es el conjunto vacío. 3. Si lanzamos 3 monedas al aire, ¿cual es la probabilidad de que las 3 sean caras o las 3 sean cruces? (a) 1/4 (b) 1/8 (c) 1/2 4. Para estimar la media de una población normal, la media muestral es (a) Un estimador insesgado pero no consistente. (b) Un estimador insesgado y consistente. (c) Un estimador insesgado, consistente y con error cuadrático medio nulo. 5. Un intervalo de confianza al 90% para estimar θ es (a) Un intervalo que contiene al 90% de los posibles valores de θ. (b) Un intervalo aleatorio que contiene a θ para el 90% de las muestras aleatorias extraídas de la población. 6. En una muestra aleatoria simple (a) las observaciones son independientes (b) todos los elementos de la población son iguales (c) los valores de una muestra particular son variables aleatorias 7. La distribución en el muestreo de la media muestral (a) es una distribución normal siempre (b) es una distribución normal si las observaciones son independientes (c) de forma general, sigue aproximadamente una distribución normal 8. La probabilidad de error de tipo II de un contraste de hipótesis (a) es igual a 1-P(error tipo I) (b) siempre es mayor o igual que la probabilidad de error de tipo I (c) es 1-Potencia del test 9. El intervalo de confianza para la desviación típica de una población normal (a) no es simétrico porque los datos son siempre mayores o iguales que cero (b) no es simétrico porque la distribución normal es mayor o igual que cero (c) no es simétrico porque la distribución χ 2 es no negativa 10. Si aumentamos el valor del nivel de confianza, la longitud del intervalo de confianza seria: (a) mayor (b) menor (c) podría ser mayor o menor, dependiendo del valor desconocido del parámetro
80
Examen de estadística: Prácticas 9 de septiembre de 2008
Nombre
Apellidos
1.- Simula 100 valores de una distribución χ 295 Nómbrala X (0.5p) Media = Percentil 1 =
Mediana = primer cuartil = tercer cuartil = percentil 5 = percentil 95 = percentil 99 =
Media muestral = Mediana muestral = primer cuartil muestral = Tercer cuartil muestral = Percentil 1 muestral = percentil 5 muestral = Percentil 95 muestral = percentil 99 muestral = Rellenar el siguiente cuadro para las clases 3 y 6 Comentar el diagrama de cajas observado -------------------------------------------------------------------------------Límite Límite Frecuencia Probabilidad Clase Inferior Superior Marca Frecuencia Relativa -------------------------------------------------------------------------------Menor o igual 59,0 1 59,0 69,0 2 69,0 79,0 3 79,0 89,0 4 89,0 99,0 5 99,0 109,0 6 109,0 119,0 7 119,0 129,0 Mayor 129,0 --------------------------------------------------------------------------------
Media = Media poblacional=
Desviación estándar= Desviación estándar pob.=
2.- Trabajar con la variable simulada X: (0.5p) Estimador de la media Estimador de la desviación estándar Cotas de confianza para la media y la desviación estándar para = 0,01; 0,05; 0,1 Fijar tres errores de acuerdo al valor de la media y calcular tamaño muestral necesario para la cota superior y los niveles de significación anteriores Para la desviación estándar confianza Para la media Superior
inferior
Superior
inferior
90% 95 % 99 % confianza
Error 3
2
90% 95 % 99 %
81
3.- Contrasta la normalidad de la variable simulada X (0.5p) Nº de clases Valor chi-cuadrado Grados de libertad p-valor Conclusión
4.- Simular 150 valores de una χ 292 Variable Y (0.5p) Contrastar la hipótesis de que las varianzas de las variables X e Y son iguales. p-valor = Región crítica 0 =F Resultado: Calcular tamaños muestrales para alcanzar una potencia de 0.85 en el punto 1,5: Intervalo de confianza para la diferencia de medias al 95% 5:- Trabaja con la variable vives (0.5p) Haz una tabulación cruzada de esta variable con la variable sexo y responde Proporción de chicos que vive en Valladolid. Proporción de chicas que viven en un pueblo Proporción de chicos que viven en urbanización De los que viven en Valladolid, proporción de chicos. De los que viven en un pueblo, proporción de chicas
82
Examen de estadística: 2º curso de ingeniería química. 9 de septiembre de 2008
Nombre
Apellidos
1.- Los siguientes datos representan los días de baja por enfermedad en un grupo de 50 trabajadores (1p) 2 1
2 7
0 2
0 5
5 5
8 4
3 3
4 3
1 0
0 0
0 2
7 5
1 1
7 3
1 0
5 1
4 0
0 2
4 4
1 5
8 0
9 5
- Calcular Media varianza máximo mínimo Meda Primer cuartil tercer cuartil rango intercuartilico - Presentar los datos en forma de tabla de distribución de frecuencias - Dibujar un diagrama de cajas y un diagrama de barras - Calcular el número de trabajadores que han estado de baja al menos 1 día
7 7
0 5
0 1
Mediana percentil10
2.- Las longitudes de un tipo de cojinete de bolas se distribuyen normalmente con una desviación típica de 0,5 mm.(1p) ¿Qué tamaño de muestra se necesita si se pretende que el estimador de la media difiera de la media poblacional en ±0,1 mm. con una confianza del 95%? ¿Qué error de estimación se comete para un tamaño muestral de 100 y una confianza del 99%? 3.- Una compañía debe decidir entre dos suministradores de lámparas. La dirección ha decidido hacer el pedido al suministrador A, a menos que se pueda probar que la vida media de las lámparas del suministrador B es mayor. Para ello se prueban 31 lámparas de A y 31 lámparas de B, obteniéndose los siguientes resultados. (1.5 p) A 121 76 88 103 96 89 100 112 105 101 92 98 87 75 111 118 121 96 93 82 105 78 84 96 103 119 85 84 90 110 105 B 127 133 87 91 81 122 115 107 109 89 82 90 81 104 109 110 85 93 90 100 122 117 109 98 94 103 107 101 99 112 106 ¿Qué suministrador elegirías para un nivel de significación de 0.05? Plantea el contraste de hipótesis correspondiente y razona la respuesta. Calcula la región crítica y el p-valor. Calcula la potencia si la diferencia de medias es de 10. 4.-Se ha realizado un análisis de regresión tomando como variable dependiente Ávila y variable independiente Burgos. Se ha obtenido (1.5p) Regression Analysis - Linear model: Y = a + b*X Dependent variable: avila Independent variable: leon Standard T Parameter Estimate Error Statistic Intercept -333,414 222,269 Slope 0,317519 19,9313
P-Value 0,1351 0,0000
Analysis of Variance
83
Source Sum of Squares Df Mean Square Model 1,14214E8 1,14214E8 Residual 5,95138E7 207 287506,0 Total (Corr.) Correlation Coefficient = 0,810821 R-squared = percent R-squared (adjusted for d.f.) = 65,5776 percent Standard Error of Est. = Mean absolute error = 476,173 Durbin-Watson statistic = 0,0554521 (P=0,0000) Lag 1 residual autocorrelation = 0,97107
F-Ratio
P-Value 0,0000
- Rellenar los huecos - Ecuación de la recta de regresión - Resultado del contraste F - Resultado del contraste de la pendiente y de la ordenada en el origen - Intervalo de confianza al 95% para la pendiente 5.- Un proceso químico utiliza un catalizador con las siguientes características (1p) P(catalizador funcione más de 1000horas)= 0,8 P(catalizador funcione más de 2000horas)= 0,4 P(catalizador funcione más de 3000horas)= 0,1 Sabiendo que un catalizador ha estado funcionando 1000horas encontrar las probabilidades condicionadas P( tiempo total de funcionamiento exceda las 2000horas) P( continúe funcionando más de 2000horas) 6.- Sea X una v.a. binomial con E(X)=6 Var(X) = 2,4 (0.5p). Calcular P(X>2) P(X≤9) P(X=12) 7.- Contesta brevemente (1p) 1. Coeficiente R cuadrado 2. Hipótesis estadística 3. Estadístico 4. Región crítica 5. Nivel de significación 6. Varianza muestral 7. Función de densidad de probabilidad 8. Espacio muestral 9. Sucesos independientes 10. fórmula de Bayes
84
Control 1: Segundo de Ingeniería Química 12 de noviembre de 2008 Apellidos Nombre Entregar con el examen 1.- El siguiente gráfico de tallo-hojas refleja las presiones sanguíneas diastólicas de una muestra de personas presión: 1|2 representa 12,0 3 5|468 11 6|01223455 (10) 7|0122455678 9 8|678999 3 9|358 Se pide a) Tamaño muestral 30 media 74,13 desviación estándar 12,65 mediana 73 cuartil 1 63 cuartil 3 87 rango intercuartílico 24 mínimo 54 máximo 98 b) Calcular los percentiles 5 56 15 61 25 63 50 73 75 83 85 89 95 95 c) Realizar un diagrama de cajas de la longitud y comentar el gráfico. Q1 – 1,5xRI = 27
Q3 + 1,5xRI = 123
54
58
62
66
70
LI = 54
74
78
82
86
LS = 98
90
94
98
Los datos presentan leve asimetría a la derecha. No hay datos atípicos 2.- El tiempo de vida de un componente electrónico es una variable aleatoria de media 8 años y desviación típica 1 año. Acota el porcentaje de componentes i. Que duran mas de 10 años j. Que duran menos de 5 años k. Que duran entre 6 y 10 años P(X>10) = P(X-8>10-8) = P(X-μ > 2σ) P(|X-μ|>2σ) ¼ = 0,25 El porcentaje de componentes que duran más de 10 años es menor o igual que el 25% P(X <5) = P(X-8<5-8) = P(X- μ < -3σ) P(|X-μ|>3σ) 1/9 = 0,11 El porcentaje de componentes que duran menos de 5 años es menor o igual que el 11% P(6
85
Control 2 : 2º curso de Ingeniería Química 17 de diciembre de 2008 1.- La siguiente sentencia fue mantenida por un “experto” en estadística. “Si se extrajera una muestra de tamaño 25 de una población normal con media µ, se podría asegurar con una confianza del 95% que µ estaría dentro del intervalo X 0,392 s ”. ¿Es correcta esta afirmación? El intervalo viene dado por X t 0, 025, 24 s / 25 t 0,025,24 = 2,064 t 0,025,24 /5= 0,41 La afirmación es falsa
2.- Para estimar el contenido medio de nicotina en una marca de cigarrillos, se toma una muestra aleatoria de tamaño 44 y se miden sus contenidos de nicotina, obteniendo una media muestral de 1,74 mg. Por experimentos anteriores se considera que la desviación estándar es 0,7 mg. Calcular un intervalo de confianza al 95% y 99% para µ z 0,025 = 1,96 z 0,005= 2,57 α= 0,05 1,53≤ µ≤ 1,95
α= 0,01 1,47 ≤ µ≤ 2,01 Calcular el error cometido en ambos casos. α= 0,05 error = 0,21mg. α= 0,01 error = 0,27mg. Determinar el tamaño muestral necesario para cometer un error de 0,15mg. en ambos casos α= 0,05 z 0,025 σ / √n = 0,15 α= 0,01 z 0,00 5 σ / √n = 0,15 n= 84
n=144
3.- Define: Estadístico Variable aleatoria función de la muestra Estimador Valor del estadístico para una muestra concreta Variable estandarizada Variable obtenida de una dada cuando la restamos la media y la dividimos por la desviación estándar. Tiene media 0 y varianza 1 Media muestral Estadístico o estimador que resulta al sumar las variables que componen la muestra y dividirla por el nº de observaciones. En general se utiliza para estimar la media poblacional
¿Qué estadístico se utiliza para hallar un intervalo de confianza para la varianza? Se utiliza la varianza muestral que en el muestreo se distribuye según una ley chi cuadrado
4:- En la siguiente función de densidad de una distribución t pon el valor del área de la región comprendida entre la gráfica, el eje de las x y las líneas verticales
86
distribución de Student con 11 grados de libertad 0,4
D. F. 11
0,3 d a d i s n e d
0,2
0,1
0 -3,5
-1,796
-0,876 -1,363
0
x
0,697 1,796 1,088
3,5
De las tablas t 0, 25,11 = 0,697 t 0,2,11 =0,876 t 0,15,11 = 1,088 t 0,1,11 =1,363 t 0,05,11 = 1,796 P ( T < -1,796 ) =0,05 P (-1,796 < T < -1,363 ) = 0,1- 0,05= 0,05 P ( - 1,363 < T < -0,876 ) = 0,2-0,1= 0,1 P (-0,876< T < 0 ) =0,5 – 0,2 =0,3 P ( 0 < T < 0,697 ) =0,75 – 0,5 =0,25 P ( 0,697 < T < 1,088 ) =0,85 – 0,75 =0,1 P ( 1,088 < T < 1,796 ) =0,95 – 0,85 =0,1 P ( T > 1,1,796 ) =0,05
87
Examen de estadística: 2º curso de ingeniería química. 9 de febrero de 2009
Nombre
Apellidos
1.- Se investiga la temperatura de deflexión bajo carga para dos tipos diferentes de tubería de plástico. Para ello se toman dos muestras aleatorias anotando las temperaturas de deflexión observadas. Tipo I
20 6 17 7
Tipo II
19 3 17 6
19 2 19 8
18 8 19 7
20 7 18 5
21 0 18 8
20 5 20 6
18 5 20 0
19 4 18 9
18 7 20 1
17 9 19 7
17 8 20 3
19 4 18 0
21 3 19 2
20 5 19 3
- Calcular para tipo II (1p) Media 192,13 Varianza 89,12 Máximo 206 Mínimo 176 Mediana 193 Meda 7 Primer cuartil 185 Tercer cuartil 200 Rango intercuartilico 15 Percentil1 176 Percentil5 175 Percentil15 180 Percentil90 203 Percentil95 206 - Presentar los datos en forma de tabla de distribución de frecuencias Clase Limite inferior Limite superior Marca Frecuencia Frecuencia rel. Frecuencia ac. Frecuencia rel. ac. Menor o igual -170 0 0 0 0 1 170 180 175 3 0,2 3 0,2 2 180 190 185 3 0,2 6 0,4 3 190 200 195 6 0,4 12 0,8 4 200 210 205 3 0,2 15 1 mayor 210 0 0 15 1 Media = 192,133 desviación estándar = 9,44054
- Dibujar un diagrama de cajas, un diagrama de tallo-hojas y un histograma. Comentar las gráficas 2 6 (5) 7 4
17|67 18|0589 19|23778 19|778 20|0136
6 5 4 3 2 1 0
170
170
180
190
200
180
190
200
210
210
Diagrama tallo-hojas Histograma Diagrama de cajas Del diagrama de cajas se desprende que los datos son bastante simétricos, muestran ligera asimetría a la izda. También se observa en el histograma esta asimetría - Contrastar la igualdad de varianzas (0,5) 2
2
S 1 = 127,07 S 2 = 89,12 igualdad de varianzas
f 0 = 1,43 RC = {F 0 > 2,48} {F 0 < 0,4} f 0 RC. Acepto la
¿Los datos apoyan la afirmación de que la temperatura de deflexión para la tubería 2 es menor que la de la tubería 1? (0,5) X 1 195,73 X 2 192,13 S 1 = 11,27 S 2 = 9,44 n1 = n2 = 15 S 2 = 108,095 H 0 : μ1 = μ2 1 1 = 3,8 t 0 = 0,95 RC ={T 0 < -1,701} Los datos soportan la H 1 : μ1 < μ2 S = 10,4 S 15 15 hipótesis μ1 μ2 p-valor P(T 28<0,95)
0,8 < p-valor< 0,85 ya que P(t 28>0,85)=0,2 y P(T 28>1,05) =0,15
88
Supongamos que si la temperatura de deflexión promedio para la tubería de tipo 2 es mayor que la de la tubería de tipo 1 en 5ºF, entonces sería importante detectarlo con una probabilidad de al menos 0,9. ¿Resulta adecuada la selección del tamaño de las muestras? (0,5) P(-5)= P(RC/ μ1 - μ2 = -5) = P(T0<-1,701/ μ1 - μ2 = -5)= P(
X 1 X 2 s
P(
X 1 X 2 s
(5)
1 1 15 15
1 1 15 15
-1,701/μ1 - μ2 = -5)=
5 /μ1 - μ2 = -5=P(T28<-0,39)<0,25 1 1 s 15 15
-1,701+
No es adecuado el tamaño muestral
Calcula in intervalo de confianza para la media de la temperatura de deflexión para la tubería de tipo 1. (0,5) X 1 t 0, 025,14 s1 / 15 t 0,025,14 = 2,145 X1 6,24 189,49 μ1 201,97 ¿Error de estimación cometido? (0,25) 6,24
¿Qué tamaño de muestra se necesita si se pretende que el estimador de la media difiera de la media poblacional en ±0,5 ºF? con una confianza del 95%? (0,25) t 0, 025,14 s1 / n = 0,5 n=2337,55 n= 2338 2.- Supongamos que tres fábricas A, B y C vierten productos al río Pisuerga en una proporción 0,4 0,3 0,3. Estos vertidos son tóxicos con probabilidades 0,01 0,05 y 0,1 respectivamente. (0,75) Calcular la probabilidad de un vertido tóxico al río Pisuerga. P(tóxico) = P(tóxico/A)P(A)+ P(tóxico/B)P(B)+ P(tóxico/C)P(C) = 4.10-3+15.10-3+30.10 -3 = 49.10-3
Si se detecta un vertido tóxico en el río, calcular la probabilidad de que este provenga de cada una de las tres fábricas. P(A/tóxico)=P(tóxico/A)P(A)/P(tóxico) = 4/49 P(B/tóxico)=P(tóxico/B)P(B)/P(tóxico) = 15/49 P(C/tóxico)=P(tóxico/C)P(C)/P(tóxico) = 30/49
Si se han detectado en el último año 10 vertidos tóxicos, calcular la probabilidad de que 5 sean de A 3 de B y 2 de C. 10 5 5 3 2 -5 P= 5 3 [ P(A/tóxico]) [P(B/tóxico)] [P(C/tóxico]) =9,8.10 3.- Un proceso químico utiliza un catalizador. El tiempo de duración del catalizador es una v.a. N (500,250) (0,75p). Calcular P (catalizador funcione más de 500horas) P(X>500)= P(Z>0)= 0,5
P (catalizador funcione más de 1000horas)= P(X>1000)=P(Z>2)= 0,0228
P (catalizador funcione más de 1000horas/ha durado más de 500)= P(X>1000/X>500) = P(X>1000)/P(X>500) = 0,0456
4. - Resolver o acotar (0, 5) 89
P (2,54 < F10, 15 < 3,8)= P (F 10, 15 < 3,8)- P (F 10, 15 < 2,54)= 0,99-0,95 = 0,04 P (0,26 < F15, 10 < 0.39) = P (F 15, 10 < 0.39) - P (F 15, 10 < 0,26 ) = P (F 10, 15 >1/ 0.39) - P (F 10, 15 >1/ 0,26 )=0,04
P (1,77 < T13 < 3,85)=
P (T 13 < 3,85) -P (T 13 < 1,77)=p 0.045 p 0,0495
P (Z < x) = 0,95
X= 1,64
P ( 215 < y) = 0,05 Y = 7,26 P (T30 < z) = 0,25
P (T 30 >- z) = 0,25 -z = 0,683
z = -0,683
5.- Contesta brevemente (1p) 1. Coeficiente R cuadrado Cociente entre la variación explicada por el modelo y la variación total R cuadrado
VE VT VE
2. Variación explicada por la regresión
yˆ y
2
i
i
3. Hipótesis estadística Cualquier afirmación sobre una característica de la población 4. Hipótesis nula La que se supone cierta, a no ser que los datos la contradigan 5. Estadístico V.a. función de la muestra 6. Región crítica En un contraste de hipótesis, subconjunto de R utilizado para hacer el contraste. Si el valor del estadístico cae en la región crítica, se rechaza la hipótesis nula. 7. Nivel de significación Riesgo que el investigador está dispuesto a asumir. En porcentaje corresponde al tanto por ciento de las veces que obtendríamos un resultado no válido.
1
8. Varianza muestral
n
2
n
x x i 1
i
9. Función de densidad de probabilidad
1
n
2
xi x n 1 i 1 Para v.a. continuas .Función positiva verificando
o
f ( x)dx 1
R
10. Función de probabilidad Para v.a. discretas conjunto de valores que toma la variable con su probabilidad (x, Px) x Rango(X) 11. Espacio muestral Conjunto de todos los posibles resultados de un experimento 12. Sucesos independientes La ocurrencia de uno de ellos, no influye en la ocurrencia del otro P(A B) = P(A) P(B) P(A/B)=P(A) P(B/A)=P(B) 13. fórmula de Bayes = Ai Ai mutuamente excluyente con P(Ai) >0 y sea B el resultado de un experimento con P(B)>0. La probabilidad a posteriori de los sucesos Ai viene dada P ( B / Ai ) P ( Ai ) por la fórmula P ( Ai / B) P ( B / Ai ) P ( Ai )
i
14. Potencia de un contraste Potencia en un punto de la región crítica es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es falsa y toma el valor 15. Error de tipo I en un contraste Es la probabilidad de rechazar la hipótesis cuando es cierta.
90
Examen de Prácticas de Estadística: 9 de febrero de 2009
Nombre
Apellidos
1.- Simula 300 valores de una distribución F 12,18 Nómbrala X (0.5p) Valores poblacionales Media=1,125 Desviación estándar=0,17 Mediana=0,98 Primer cuartil=0,68 Tercer cuartil=1,4 Percentil 1 = 0,26 Percentil 5 =0,39 Percentil 95 = 2,34 Percentil 99 =3,37 Moda=0,75 Valores muestrales Media=1,091Desviación estándar=0,62Mediana=0,97Primer cuartil=0,66Tercer cuartil=1,37 Percentil 1 = 0,21 Percentil 5 =0,35 Percentil 95 = 2,43 Percentil 99 =2,95 Moda=Rellenar el siguiente cuadro para las clases 2 , 4 y 6 Comentar el diagrama de cajas observado ---------------------------------------------------------------------Límite Límite Frecuencia Probabilidad Clase Inferior Superior Marca Frecuencia Relativa ---------------------------------------------------------------------Menor o igual 0 1 0 0,5 2 0,5 1 0,75 124 0,41 0,51-0,1=0,41 3 1 1,5 4 1,5 2 1,75 31 0,103 0,91-0,79=0,12 5 2 2,5 6 2,5 3 2,75 12 0,04 0,98-0,96=0,02 7 3 3,5 8 3,5 4 Mayor 4 ----------------------------------------------------------------------
Media =1,09 Media poblacional=1,125
Desviación estándar= 0,62 Desviación estándar poblacional =0,17
2.- Trabajar con la variable simulada X: (0.5p) Estimador de la media 1,09 Estimador de la desviación estándar 0,62 Cotas de confianza para la media y la desviación estándar para = 0,01; 0,05; 0,1 y comentar resultados Para la desviación estándar confianza Para la media Superior
90% 95 % 99 %
inferior
1,14 1,15 1,18
Superior
1,04 1,03 1
inferior
0,66 0,67 0,69
0,59 0,58 0,57
Con los errores propuestos, calcular tamaño muestral necesario para un intervalo y las confianzas dadas. Comentar resultados confianza 90% 95 % 99 %
Error 0,05
0,08
418 594
1021
0,12
165 234 403
75 105 181
91
3.- Simular 150 valores de una distribución de Erlang de parámetros 4 de forma y 3,5 de escala Variable Y (0.5p) Contrastar la hipótesis de que las varianzas de las variables X e Y son iguales. p-valor = 0,07
f 0 = 1,3
Región crítica
S 12 { 2 S 2
S 12 1,33 } { 2 S 2
0,76 }
Resultado: Aceptamos igualdad de varianzas Calcular la potencia en el punto 2 S 12 P( 2 S 2
12 1,33 / 2 2
S 12
12 2 ) + P( 2 0,76 / 2 2 S 2
2 )=P(F 299,149 >0,665) + P(F 299,149 < 0,38)=0,998
Calcular de forma aproximada tamaños muestrales para alcanzar una potencia de 0.85 en el punto 1,5: 350, 175 Intervalo de confianza para la diferencia de medias al 95% -0,12 μ1- μ2 0,12 Intervalo de Confianza para el cociente de varianzas al 95%
0,98
12 22
1,71
3.- Contrasta si la variable simulada Y sigue una distribución normal (0.5p) Nº de clases 9 Valor chi-cuadrado 22,56 Parámetros estimados X = 1,1 S=0,55 Grados de libertad 9-3 = 6 p-valor 0,00096 Conclusión Rechazamos normalidad de la variable Y 5:- Trabaja con la variable deporte (0.5p) Haz una tabulación cruzada de esta variable con la variable fumas y responde Proporción de fumadores que no hace deporte 85,71%
Proporción de no fumadores que hacen deporte 100-31,71 = 68,29
68,29%
De los que juegan al baloncesto proporción de fumadores 0%
De los que no hacen deporte, proporción de fumadores 31,58%
De los que practican judo, proporción de no fumadores 100%
92
Examen de Estadística: Segundo de Ingeniería Química. 9 de setiembre de 2009 Nombre Apellidos Los datos siguientes muestran el índice de refracción y la densidad de 12 trozos de cristal Índice de refracción densidad 1,514 2,480 1,515 2,482 1,516 2,481 1,517 2,490 1,518 2,483 1,520 2,505 1,516 2,484 1,517 2,486 1,518 2,495 1,519 2,498 1,522 2,511 1,525 2,520 1.- Calcular el valor de los estadísticos habituales para la variable índice de refracción. Media , varianza, desviación estándar, máximo, mínimo, rango, mediana, cuartiles y rango inter (0.5) 2.- (0.75) Tabla de distribución de frecuencias y dibujar un diagrama de tallo-hojas, un histograma y un diagrama de cajas para ambas variables Comentar gráficos obtenidos, simetría, datos atípicos, normalidad. 3.- (0.75) Calcula un intervalo de confianza para la media del índice de refracción al 95%. Calcula el tamaño muestral necesario para estimar la media con un error de 0,05. 4.- (0.75) Realiza el siguiente contraste: Región crítica, p-valor y resultado del contraste. H0: = 1 H1: >1 Calcula la potencia en el punto 1,4 5.De las siguientes tablas del análisis de regresión Rellenar huecos (0.5) Regression Analysis - Linear model: Y = a + b*X Dependent variable: densidad Independent variable: indicerefra Standard T Parameter Estimate Error Statistic P-Value Intercept -3,68673 -6,2112 0,0001 Slope 4,07069 10,4111 0,0000 Analysis of Variance Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value Model 0,00173852 1 0,00173852 0,0000 Residual 10 Total (Corr.) 0,00189892 Correlation Coefficient = R-squared = Standard Error of Est. =
Ecuación de la recta de regresión y Contraste de la regresión (los dos) (0.5) Intervalo de confianza para la pendiente al 95% (0.25) Comentar los siguientes gráficos y tablas del análisis de los residuos (0.5)
93
l a u d i s e r
Normal Probability Plot
Residual Plot 99,9
4,1
e g a t n e c r e p
2,1
d e 0,1 z i t n e -1,9 d u t S -3,9
99 95 80 50 20 5 1 0,1
0
2
4
6
8
10
-10
12
-7
-4
-1
2
RESIDUALS
row number
5 (X 0,001)
Histogram
Box-and-Whisker Plot 8
y 6 c n e u 4 q e r f 2 0
-10
-7
-4
-1
RESIDUALS
2
5 (X 0,001)
-1 1
-7
-3
1
RESIDUALS
Goodness-of-Fit Tests for RESIDUALS Chi-Square Test Lower Upper Observed Expected Limit Limit Frequency Frequency at or below -0,00321376 2 2,40 -0,00321376 -0,000967417 2 2,40 -0,000967417 0,000967419 1 2,40 0,000967419 0,00321376 5 2,40 above 0,00321376 2 2,40 Chi-Square = 3,83342 with 2 d.f. P-Value = 0,14709
5 (X 0,001)
Chi-Square 0,07 0,07 0,82 2,82 0,07
6.- (0.5) Con ayuda de las tablas calcula P( 2,54 < F10,15 < 3,8) P( 0.26 < F15,10 < 0.39) P( 1,77 < T13 < 3,85) P(Z < x ) = 0,95 P( 215 < y ) = 0,05 P(T30 < z) = 0,25 7.(0.75) La irregularidad del corte de productos de papel depende del grado de uso de las cuchillas. Si las cuchillas son nuevas el 0,05% de los productos presentan un corte irregular; si las cuchillas tienen un uso medio, el 0.5% de los cortes presentan irregularidades; irregularidades; si las cuchillas están desgastadas, el 2% de los cortes son defectuosos. Si se conoce que de las cuchillas utilizadas en el proceso de corte, el 10% son nuevas y el 60% tienen un uso medio. Calcular la proporción de productos con cortes irregulares. 8.El peso de una barra de aluminio tiene una media de 220 g. y una desviación estándar de 10g.(0.75) Acotar la probabilidad de que el peso esté comprendido entre 205 y 235 g. Se toma una muestra de tamaño 100. Aproximar la probabilidad de que el número de zapatillas cuyo peso no está comprendido entre los valores anteriores sea menor que 10. Tomar como valor de p la cota calculada anteriormente.
94
Examen de prácticas: Estadística. Segundo de Ingeniería Química 9 de setiembre de 2009 Apellidos Nombre 1.- Distribución binomial: n = 150 150 p = 0.01 Media = Mediana = primer cuartil = tercer cuartil = Percentil 1 = percentil 5 = percentil 95 = percentil 99 Simular 200 valores valores de una distribución distribución binomial con n = 150 p=0.01 Comentar el diagrama de cajas observado Rellenar el siguiente cuadro para las clases 3 y 6 Clase Valor Frecuencia Frecuencia Probabilidad F. distribucion 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 Media = Desviación estándar= Media poblacional= Desviación estándar pob.= 2.- Datos correspondientes correspondientes a la variable variable venir a clase (fichero 2) Realiza una tabulación cruzada de esta variable con el sexo Estimador de la proporción de chicas que vienen andando ------------------------------ Estimador de la proporción de chicos chicos que vienen andando ----------------------------- -Intervalos de confianza bilaterales para la diferencia de proporciones = 0,01; 0,05; 0,1 y tamaños muestrales necesarios necesarios para cometer cometer un error de 0,1 para los mismos .
Nivel de confianza
Intervalo
Tamaños muestrales
90 % 95 % 99 % Contrastar la hipótesis de que las proporciones son iguales p-valor = Región crítica 0Z= Resultado Tamaños muestrales para detectar una diferencia de proporciones de 0,2 con una potencia de 0,9 --3.- Trabajar con la variable variable peso en el grupo de mujeres: mujeres: Estimador de la media Estimador de la desviación estándar Cotas de confianza para la media y la desviación estándar estándar para = 0,01; 0,05; 0,1 confianza Para la media Para la desviación estándar Superior inferior Superior inferior 90% 95 % 99 %
95
Fijar tres errores de acuerdo al valor de la media y calcular tamaño muestral necesario para la cota superior y los niveles de significación anteriores confianza Error 90% 95 % 99 % Explicar los resultados:
4.- Trabajar con la variable peso Contrastar la hipótesis de que las varianzas son iguales en la población de hombres y mujeres. 2 p-valor = Región crítica 0=F Resultado: Calcular tamaños muestrales muestrales para alcanzar una potencia de 0.85 en el punto 2 Calcular la potencia en el punto 2
5.- Trabajar con las variables altura y peso en hombres El contraste t de regresión tiene un p valor de --- por tanto -- rechazamos la hipótesis nula y -admitimos que existe relación lineal entre las variables. El contraste para para la ordenada en el origen tiene tiene un p-valor de de --- por tanto -- rechazamos la la hipótesis nula y -- admitimos que ésta es distinta de 0. Región crítica para este contraste ……………………………… El contraste F de regresión tiene un p valor de --- por tanto -- rechazamos la hipótesis nula y --- admitimos que que existe relación lineal lineal entre las variables. variables. Región crítica para este contraste………………………….. El ----- de la variabilidad de los datos queda recogida por el modelo. La relación lineal -- recoge la dependencia entre variables VE = VNE = Error estándar de la regresión = Rcuadrado = VT =
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Apellidos Nombre Examen de Estadística: 2º curso de Ingeniería Química. 9 de febrero de 2010 1.- Se han obtenido los siguientes datos del rendimiento de dos catalizadores Catalizador I: 91.5 94.18 92.18 95.39 91.79 89.07 94.72 89.21 Catalizador II: 89.19 90.95 90.46 93.21 97.19 97.04 91.07 92.75 Hacer un diagrama de tallo-hojas para los datos de cada catalizador (0.25 puntos) Catalizador I Catalizador II 2 8|99 1 8|9 4 9|11 4 9|001 4 9|2 4 9|23 3 94|445 2 9| 2 9|77 Calcular los percentiles 5, 15, 25, 50, 75, 85 y 95 de cada catalizador y hacer algún comentario comparando los rendimientos. (0.25 puntos) Catalizador I Catalizador II 5,0% = 89,07 dato 1 5,0% = 89,19 15,0% = 89,21 dato 2 15,0% = 90,46 25,0% = 90,355 (dato2+dato3)/2 25,0% = 90,705 50,0% = 91,985 (dato4+dato5)/2 50,0% = 91,91 75,0% = 94,45 (dato6+dato7)/2 75,0% = 95,125 85,0% = 94,72 dato 7 85,0% = 97,04 95,0% = 95,39 dato 8 95,0% = 97,19 Los percentiles del segundo catalizador, están por encima de los percentiles del primero, indicando que quizá el rendimiento sea mayor; pero la mediana es mayor en el catalizador I. Los percentiles no son simétricos respecto de la mediana en ninguno de los dos catalizadores, la asimetría está más marcada en el segundo catalizador. Realizar una tabla de distribución de frecuencias y un histograma de los rendimientos de cada catalizador en la misma gráfica. (0.25 puntos) Catalizador I Límite Límite Frecuencia Frec Frec Frec Clase Inferior Superior Marca Relativa Acu Rel. Acu. Menor o igual 89,0 0 0,0 0 0,0000 1 89,0 92,0 90,5 4 0,5 4 0,5000 2 92,0 95,0 93,5 3 0,375 7 0,8750 3 95,0 98,0 96,5 1 0,125 8 1,0000 Mayor 98,0 0 0,0 8 1,0000 Catalizador II Límite Límite Frecuencia Frec Frec Frec Clase Inferior Superior Marca Relativa Acu Rel. Acu. Menor o igual 89,0 0 0,0000 0 0,0000 1 89,0 92,0 90,5 4 0,5000 4 0,5000 2 92,0 95,0 93,5 2 0,2500 6 0,7500 3 95,0 98,0 96,5 2 0,2500 8 1,0000 Mayor 98,0 0 0,0000 8 1,0000
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Hacer los diagramas de cajas de los dos rendimientos en la misma gráfica y comentar los gráficos. (0.25 puntos) Catalizador I Catalizador II RI= 94.45 – 90.35 = 4.10 RI= 95.125 – 90.70 = 4.425 Q1 – 4.10 x1.5 = 84,2 Q1 – 4.425 x1.5 = 84,06 Q3 + 4.10 x1.5 = 100.65 Q3 + 4.425 x1.5 = 101.76 LI = 89,07 LI = 89,18 LS= 95.39 LS= 97.19
Diagrama de cajas Catalizador I
Catalizador II
89
91
93
95
97
99
Las medianas son similares en los dos catalizadores. Ambos catalizadores presentan asimetría a la derecha. El catalizador II presenta mayor dispersión y mayor asimetría hacia la derecha. Calcular un intervalo de confianza para el cociente de varianzas (0.25) Catalizador I Catalizador II n 8 8 Media 92,255 92,7325 Varianza 5,68831 8,90099 Desviación Estándar 2,38502 2,98345 Radio de varianzas = 0,639065 f 0.025,7,7 = 4.99 f 0.975,7,7 = 0.2 Intervalo de confianza [0,127943; 3,19207] Contrastar H0: σ1 = σ2 mediante el cálculo de la región crítica y el p-valor. (0.25) H1: σ1 σ2 Región crítica {F 0< 0.2 } Ụ {F0 >4.99 } f 0 = 0.63 no está en la región crítica ,aceptamos igualdad de varianzas. P-valor P(F7,7 >0.63) De las tablas P(F 7,7 >3,79) = 0.05 por tanto P(F 7,7 > 0,26) = 0.95 0.05 < p-valor < 0.95 Apoya nuestra decisión de aceptar la hipótesis nula. Calcular la potencia en el punto 0.5 (0.25) P(0.5) = P(RC/(σ1/ σ2) = 0.5) = P (F0 < 0.2 /(σ1/ σ2) = 0.5) + P (F 0 > 4.99 /(σ1/ σ2) = 0.5) = P(F7,7 < 0.2/0.25) + P(F7,7 > 4.99/0.25) = P(F 7,7 < 0.8) +P(F7,7 >19.96) De las tablas P(F 7,7 > 6,99) = 0.01 por tanto P(F 7,7 > 19,96) < 0.01 P(F7,7 > 3,79) = 0.05 luego P(F 7,7 > 0,26) = 0,95 P(F7,7 < 0,26) = 0.05 De donde P(F 7,7 < 0.8) > P(F7,7 < 0,26) = 0.05 P(0,5) > 0,05
98
Calcular un intervalo de confianza para la diferencia de medias. (0.25) Diferencia de medias: - 0.4775 t 14,0.025 = 1,746 Intervalo de confianza asumiendo varianzas iguales S p = 2.67 -0,4775 +/- 2,89639 [-3,37389,2,41889] Contrastar H0: 1 = 2 mediante el cálculo de la región crítica y el p-valor.(0.25) H1: 1< 2 Región crítica {T 0 <-1.746} t0 = - 0.23 no está en la región crítica luego aceptamos que la primera media es mayor o igual que la segunda p-valor P(T14 < -0.23) = P(T14 > 0.23) > P(T14 >0.25) = 0.4 Calcular la potencia en el punto -0.5 (0.25) Potencia (-0.5) = P(T 0 < -1,746/μ1 – μ2 = -0.5) = P(T14 < -1.746 + 0.5/1.89) = P(T14 < -1.48) = P(T14 > 1.48) P(T14 > 1.34) = 0.1 P(T14 >.1.76) = 0.05 0.05 < P(-0.5) < 0.1 2.- Dado que no todos los pasajeros de una aerolínea abordan el vuelo para el que han reservado, la compañía aérea vende 200 billetes para un vuelo de 160 pasajeros. Si la probabilidad de que un pasajero no aborde el vuelo es de 0,05 y los pasajeros se comportan de forma independiente unos de otros. Calcular o aproximar (0.5) P (todos los pasajeros aborden el vuelo) Sea X el nº de pasajeros que abordan el vuelo. X → B (200, 0,95) - P(X = 200) = (0,95)200 = 3,5.10-5 P (un vuelo parta vacío) - P(X = 0) = (0,05)200 = 6. 10-261 ≈ 0 P (100 < nº de pasajeros ≤ 125) - X puede ser aproximada por una distribución normal de media 200x0,95 = 190 y varianza 200x0,95x0,05 = 9,5; desviación estándar 3,08 125 190 100 190 P(100 < X ≤ 125) ≈ P Z = Φ(-21)-Φ(-29) ≈ 0 3 , 08 3 , 08 P ( nº de pasajeros ≤ 160) - P(X ≤ 160) ≈ P(Z ≤ -9,74) ≈ 0. 3.- Elige la respuesta correcta (1) 1. Sean X1 y X2 dos variables aleatorias independientes B (5, 0.4). La varianza de Y = (X1 + X2) es (a) 1.2 (b) 0.6 (c) Ninguna de las otras dos 2. Si dos sucesos son incompatibles, son independientes (a) Si, claro. (b) No (c) Si , porque la intersección es el conjunto vacío. 3. Si lanzamos 3 monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de que las 3 sean caras o las 3 sean cruces? (a) ¼ (b) 1/8 (c) 1/2 4. Para estimar la media de una población normal, la media muestral es (a) Un estimador insesgado pero no consistente. (b) Un estimador insesgado y consistente. (c) Un estimador insesgado, consistente y con error cuadrático medio nulo. 5. Un intervalo de confianza al 90% para estimar θ es 99
(a) Un intervalo que contiene al 90% de los posibles valores de θ. (b) Un intervalo aleatorio que contiene a θ para el 90% de las muestras aleatorias extraídas de la población. 6. En una muestra aleatoria simple (a) las observaciones son independientes (b) todos los elementos de la población son iguales (c) los valores de una muestra particular son variables aleatorias 7. La distribución en el muestreo de la media muestral (a) es una distribución normal siempre (b) es una distribución normal si las observaciones son independientes (c) de forma general, sigue aproximadamente una distribución normal 8. La probabilidad de error de tipo II de un contraste de hipótesis (a) es igual a 1-P (error tipo I) (b) siempre es mayor o igual que la probabilidad de error de tipo I (c) es 1-Potencia del test 9. El intervalo de confianza para la desviación típica de una población normal (a) no es simétrico porque los datos son siempre mayores o iguales que cero (b) no es simétrico porque la distribución normal es mayor o igual que cero (c) no es simétrico porque la distribución χ 2 es no negativa 10. Si aumentamos el valor del nivel de confianza, la longitud del intervalo de confianza seria: (a) mayor (b) menor (c) podría ser mayor o menor, dependiendo del valor desconocido del parámetro 4.- Tres máquinas producen arandelas. El ritmo de producción de A es el doble que el de B y el mismo que el de C. Las arandelas producidas por cada máquina se van empaquetando en lotes que son colocados en un almacén a medida que se van produciendo. De las arandelas producidas por A, el 10% son defectuosas por grandes y el 5% por pequeñas. Para B, el 5% son defectuosas por grandes y el 10% por pequeñas. Para C, el 10% son defectuosas por grandes y el 10% por pequeñas. (1punto) Se extrae al azar un lote del almacén y se comprueba la validez de 20 arandelas del lote, resultando 3 defectuosas por grandes y ninguna por pequeña. Hallar la probabilidad de que se trate de un lote producido por la máquina A. P(A) = 0.4 P(B) = 0.2 P(C) = 0.4 Probabilidades a priori Sea G el suceso la pieza es grande; P el suceso la pieza es pequeña; N la pieza es buena; y H el suceso de un lote de 20 arandelas 3 son grandes, 0 pequeñas y 17 buenas. Se conocen las probabilidades condicionadas P(G/A) = 0.1 P(P/A) = 0.05 P(N/A) = 0.85 P(G/B) = 0.05 P(P/B) = 0.1 P(N/B) = 0.85 P(G/C) = 0.1 P(P/C) = 0.1 P(N/C) = 0.8 Nos piden encontrar P(A/H) una probabilidad a posteriori Aplicamos la fórmula de Bayes 20 P(H/A) = 0.13 x 0.8517 = 0.0719 3 20 P(H/B) = 0.05 3 x 0.8517 = 0.00899 3
100
20 3 0.1 x 0.817 = 0.0257 3
P(H/C) =
0.0719 x0.4 = 0.704 0.0719 x0.4 0.00899 x0.2 0.0257 x0.4 5.- Resolver las ecuaciones (0.5 puntos) a) P(25 ≤ x) = 0,95 P(25 > x) = 0,05 x = 11,07 b) P(12,549 ≤ 210 ≤ y) = 0,20 P(12,549 ≤ 210 ≤ y) = P(210 ≤ y) - P(210 ≤ 12,549) = 0,20 P(210 >15,99) = 0,1 P( 210 > 9,34 ) =0,5 0,5 < P( 210 ≤ 12,549) < 0,9 0,7 < P(210 ≤ y) < 1 P(210 > y) < 0,3 y > 15,99 c) P(T15 ≤ z) = 0,01 P(T15 ≤ z) = 0,01 z ha de ser negativo P(T 15 > -z ) = 0,01 -z = 2,602 z = -2,602 d) P(T8 > t) = 0.9 P(T8 > t) = 0.9 t ha de ser negativo P(T 8 > -t ) = 0,1 -t = 1,397 t = -1,398 e) P( 1,476 ≤ T5 ≤ u) = 0,075 P( 1,476 ≤ T5 ≤ u) = P(T5 ≤ u) - P(T5 ≤ 1,476) = 0,075 P(T5 > 1,476) = 0,1 P(T5 ≤ u) = 0,975 P(T5 > u) =0,025 u= 2,57 f) P( F10,20 ≤ 2,42) = v P( F10,20 > 2,77) = 0,025 P( F10,20 > 2,35) = 0,05 0,025 < P( F 10,20 > 2,42) < 0,05 0,95 ≤ P( F10,20 ≤ 2,42) ≤ 0,975 P(A/H) =
6.- En una muestra de tamaño 25, se ha obtenido una media muestral de 3,5 y una desviación estándar muestral de 1.25. (0.5) ¿Qué porcentaje mínimo de observaciones cae dentro del intervalo [1, 6]? El 75% ¿Qué porcentaje mínimo de observaciones cae dentro del intervalo [-0,25, 7,25]? El 88%
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Apellidos Nombre Examen de prácticas: 2º de ingeniería química, 2 de febrero de 2010 1.- Distribución Chi-cuadrado con parámetros: n = 50 Media 50 Mediana 49,33 primer cuartil 42,94 tercer cuartil 56,33 Percentil 1 29,71 percentil 5 34,76 percentil 95 67,50 percentil 99 76,15 Simular 150 valores de una distribución Chi-cuadrado : n = 50 Rellenar el siguiente cuadro para las clases 3 y 6 Comentar el diagrama de cajas observado asimetría a la derecha, 4 obsevaciones atípicas a la dcha. Límite Límite Clase Inferior Menor o igual 2 30,0 3 35,0 4 40,0 5 45,0 6 50,0 7 55,0 8 60,0 Mayor 65,0
Frecuencia Superior Marca Frecuencia Relativa 30.0 35,0 37,5 18 0,12 40,0 45,0 50,0 52,5 29 0,19 55,0 60,0 65,0
Probabilidad
0,094
0,182
--------------------------------------------------------------------------------
Media 50,61 Desviación estándar 10,392 Media poblacional 50 Desviación estándar poblacional 10
2.- Trabajar con la variable altura (Fichero II) Contrastar la hipótesis de que las varianzas son iguales en hombres y mujeres p-valor = 0,89 f 0 = 0,93 Región crítica {F0 > 2,22} {F0< 0,41} Resultado: Aceptamos la hipótesis de igualdad de varianzas Calcular tamaños muestrales para alcanzar una potencia de 0.85 en el punto 2: 61; 104 Calcular la potencia en el punto 2 P(2)= P[F0>2,22/(σ1/σ2)2=2] + P[F0<0,41/(σ1/σ2)2=2] = P[F18,31>1,11] + P[F18,31<0,205] = 0,388 3.- Trabajar con las variables altura y peso en las mujeres El contraste de regresión tiene un p valor de --- 0,0008 ¿Rechazamos la hipótesis nula? ---si ¿Admitimos que existe relación lineal entre las variables?-- si El contraste para la ordenada en el origen tiene un p-valor de --0 ¿Aceptamos la hipótesis nula ? --- no ¿Decimos que es significativamente distinta de 0? --- si Región crítica para este contraste --- {|^b| > 7,4x 2,05} ---- {|^a| > 0,13x2,05} El contraste F de regresión tiene un p valor de --- 0.0008 ¿Rechazamos la hipótesis nula? --- si ¿Admitimos que existe relación lineal entre las variables.?---- si Región crítica para este contraste {F0 > 5,59} { |F0 <99x10 -5} ---Variabilidad de los datos queda recogida por el modelo---32,35% ¿Es adecuado el modelo de regresión?---- No VE = 349,07 VNE = 729,7 Error estándar de la regresión = 5,016 102
4.- Datos correspondientes a la variable venir a clase Realiza una tabulación cruzada de esta variable con el sexo Estimador de la proporción de chicas que vienen andando ---------------- 0,45 Estimador de la proporción de chicos que vienen andando ---------------- 0,63 Intervalos de confianza bilaterales para la diferencia de proporciones = 0,01; 0,05; 0,1 Tamaños muestrales necesarios para cometer un error de 0,1 para los mismos .
Nivel de confianza
Intervalo
[-0,41 ; 0,054] 90 % [-0,45 ; 0.098] 95 % [-0,54 ; 0,18] 99 % Contrastar la hipótesis de que las proporciones son iguales p-valor = 0,22 z0 = -1,23 Región crítica Resultado Aceptamos que las proporciones son iguales
Tamaños muestrales 184 260 449
108 153 264
{|Z0|>1,96}
Tamaños muestrales para detectar una diferencia de proporciones de 0,2 con una potencia de 0,9 --- 181 ; 104 5.- Trabajar con la variable peso en el grupo de hombres: Estimador de la media 74,975 Estimador de la desviación estándar 9,38 Cotas de confianza para la media y la desviación estándar para = 0,01; 0,05; 0,1 confianza Para la media Para la desviación estándar Superior inferior Superior inferior 90% 77,76 72,18 11,98 7,84 95 % 78,6 71,35 12,86 7,45 99 % 80,3 69,65 14,8 6,8 Fijar tres errores 0,5; 2 y 5 kilos y calcular tamaño muestral necesario para la cota superior y los niveles de significación anteriores confianza Error 0,5 2 5 90% 580 38 8 95 % 953 62 12 99 % 1905 123 23 Explicar los resultados: Las cotas superiores crecen con el nivel de confianza mientras que las cotas inferiores decrecen. El tamaño muestral crece con el nivel de confianza y decrece con el error.
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Examen de Estadística: Segundo de Ingeniería Química. 22 de julio de 2010 Nombre Apellidos Los datos siguientes muestran el índice de refracción y la densidad de 12 trozos de cristal Índice de refracción densidad 1,514 2,480 1,515 2,482 1,516 2,481 1,517 2,490 1,518 2,483 1,520 2,505 1,516 2,484 1,517 2,486 1,518 2,495 1,519 2,498 1,522 2,511 1,525 2,520 1.- Calcular el valor de los estadísticos habituales para la variable índice de refracción. Media, varianza, desviación estándar, máximo, mínimo, rango, mediana, meda, cuarteles, rango intercuartílico, percentil 1, percentil 95 (0.5) 2.- (1) Tabla de distribución de frecuencias y dibujar un diagrama de tallo-hojas, un histograma y un diagrama de cajas para ambas variables. Comentar gráficos obtenidos, simetría, datos atípicos, normalidad. 3.- (0.75) Calcula un intervalo de confianza para la media del índice de refracción al 95%. Calcula el tamaño muestral necesario para estimar la media con un error de 0,05. 4.- (1)Realiza el siguiente contraste: Región crítica, p-valor y resultado del contraste. H0: = 1 H1: >1 Calcula la potencia en el punto 1,4 5.- (0.5) Con ayuda de las tablas calcula P( 2,54 < F10,15 < 3,8) P( 0.26 < F15,10 < 0.39) P( 1,77 < T13 < 3,85) P(Z < x ) = 0,95 P( 215 < y ) = 0,05 P(T30 < z) = 0,25 6.(1) La irregularidad del corte de productos de papel depende del grado de uso de las cuchillas. Si las cuchillas son nuevas el 0, 5% de los productos presentan un corte irregular; si las cuchillas tienen un uso medio, el 1% de los cortes presentan irregularidades; si las cuchillas están desgastadas, el 2% de los cortes son defectuosos. Si se conoce que de las cuchillas utilizadas en el proceso de corte, el 10% son nuevas y el 60% tienen un uso medio. Calcular la proporción de productos con cortes irregulares. 7.El peso de una barra de aluminio tiene una media de 22 g. y una desviación estándar de 1g.(1,25) Acotar la probabilidad de que el peso esté comprendido entre 20,5 y 23,5 g. Se toma una muestra de tamaño 100. Aproximar la probabilidad de que el número de barras cuyo peso no está comprendido entre los valores anteriores sea menor que 10. Tomar como valor de p la cota calculada anteriormente. Responder a las mismas preguntas suponiendo que la distribución es normal
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Apellidos Nombre Examen de prácticas: 2º de ingeniería química, 22 de julio de 2010 1.- Distribución gamma con parámetros: forma =10 ; escala =3 Media Mediana primer cuartil tercer cuartil Percentil 1 percentil 5 percentil 95 percentil 99 Simular 300 valores de una distribución gamma (10,3) Rellenar el siguiente cuadro para las clases 3 , 6 y 8 Dibujar el diagrama de cajas observado Clase Limite inferior Limite sup marca Frecuencia Frec Rel Frec Acumu Probabilidad Menor o igual 0,8 1 0,8 1,4 2 1,4 2,0 3 2,0 2,6 4 2,6 3,2 5 3,2 3,8 6 3,8 4,4 7 4,4 5,0 8 5,0 5,6 9 5,6 6,2 10 6,2 6,8 mayor 6,8 Media = Desviación estándar= Media poblacional= Desviación estándar poblacional 2.- Simular 300 valores de una distribución de bernoulli de parametro 0,1 Simular 300 valores de una distribución binomial de parámetros 3 y 0,1 Realiza una tabulación de la variable binomial. Rellena Clase Valor Frecuenci Frecuencia Frecuencia Probabilidad a Relativa acumulada 1 0 2 1 3 2 4 3 Haz una tabulación cruzada de la variable bernoulli con la variable binomial Proporción de ceros de la variable de bernoulli para un valor 2 de la variable binomial----Proporción del valor 2 de la variable binomial para un valor 1 de la variable de bernoulli --- (1) Proporción del valor 2 de la variable binomial para un valor 0 de la variable de bernoulli --- (2) Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones (1) y (2) Nivel de confianza Intervalo Tamaños muestrales 90 % 95 % 99 % Contrastar la hipótesis de que las proporciones son iguales p-valor = Región crítica Resultado 0 z= Tamaños muestrales para detectar una diferencia de proporciones de 0,05 con una potencia de 0,9 – 3.- Trabajar con la variable gamma Contrastar la hipótesis de que las varianzas son iguales en los dos grupos determinados por la variable de bernoulli 105