Examenes Facultad de Ingenieria Matematicas

INSTITUTO “NIBBLE”

1

EXAMEN PARA LA FACULTAD DE INGENIERIA

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO PREFACULTATIVO

EXAMEN DE DISPENSACION #1 PRUEBA DE SUFICIENCIA ACADEMICA

AREA: MATEMATICAS 1. El valor simplificado de la expresión:

E=

n

9n

2

+2

+ 32n

90n

2

2

+2

+1

Será: a) 10 b) 1/2 c) 1/10 d) 1 e) 5

x 6 p+2 − y 5 p+11 2. En el cociente notable: el quinto término será: xp − y3 a) x3y10 b) x4y12 c) x5y15 d) x4y15 e) x2y12

INSTITUTO “NIBBLE”, Especialistas en cursos de Nivelación: UNIVERSIDAD, Institutos Normales, Instituciones militares.

La Paz: Calle Abdón Saavedra 1915 casi Landaeta. Frente a la facultad de AGRONOMIA UMSA: Cel.: 72580364


2


3. Si tan x = 2 sen x, donde x pertenece al cuarto cuadrante. El valor de

K = senx ⋅ tanx , será: a) 1/2 b) 1 c) -1/3 d) 3/2 e) -3/2

4. Se ha cortado una porción de segmento circular de 60º de una torta, en la cual se hizo un orificio cilíndrico tal como muestra la figura. Para los datos mostrados, encontrar el volumen que queda.

π R3 a) 12 π R2 b) 36 π R3 c) 36 π R3 d) 18 e) Ninguno INSTITUTO “NIBBLE”, Especialistas en cursos de Nivelación: UNIVERSIDAD, Institutos Normales, Instituciones militares.




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5. Encontrar el valor de “n” en la ecuación x 2 - nx + 36 = 0 de tal manera que la suma de los recíprocos de las raíces sea igual a 5/12. (NOTA: DESARROLLAR EL EJERCICIO)

6. Factorizar al máximo la siguiente expresión: (10x 2 + 13xy – 29x – 3y 2 + 16y – 21) *

[

9(x - y) 2 +12(x 2 - y 2 ) + 4(x + y) 2

]

(NOTA: DESARROLLAR EL EJERCICIO)

7. Resolver el sistema logarítmico:

 4 x 2y = 128  log 2 y − x = 4 (NOTA: DESARROLLAR EL EJERCICIO)

8. Hallar la ecuación de la recta que es paralela a: 2x + 5y – 1 = 0 y pasa por el punto de intersección de las rectas: 2x + 3y + 1 = 0; 3x – 4y – 7 = 0. (NOTA: DESARROLLAR EL EJERCICIO)




4


9. Un trabajador debe llevar una carretilla de arena al pie de cada uno de los 21 árboles que están al lado de una calzada; los árboles están a 4m. de distancia y el montón de arena esta a 10m. Antes del primer árbol. ¿Qué camino habrá recorrido después de haber terminado su trabajo y vuelto la carretilla al montón de arena? (NOTA: DESARROLLAR EL EJERCICIO)

10. (20 puntos) Calcular el valor del segmento “x”

(NOTA: DESARROLLAR EL EJERCICIO)




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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO PREFACULTATIVO

EXAMEN DE DISPENSACION #2 PRUEBA DE SUFICIENCIA ACADEMICA

AREA: MATEMATICAS

1. En los incisos A, B, C y D subraye la respuesta correcta. A. Si se sabe que: log b a = 3 . Entonces el valor de la expresión

log a 2 b 4 a 3 ; es a) 1/6 b) -1/2 c) 1/8 d) 13/6 e) 5/6



B. Al simplificar la expresión: E =


6


5

n+ 2 n n

5

5n

2 n2

2

se obtiene:

5

a)

b) 25 c)

n

5

d) 5 e) 1/5

C. La ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2, -7) y B(- 8, 5) es:

a) 3x + 3y -1 = 0 b) 6x + 5y -23 = 0 c) 4x – 5y +32 = 0 d) 4x – 5y + 32 = 0 e) 6x + 5y +23 = 0

x155 − y 93 D. En el desarrollo del cociente notable: , la expresión del termino x5 − y 3 que ocupa el lugar 27 es: a) x 20 y 78 b) x81 y 20 c) x18 y 65 d) - x 20 y 81 e) x15 y 45




7


2. encontrar el área de la región sombreada de la figura si el lado del cuadrado es “L”:

Respuesta:………………………….

3. Tres números forman una progresión aritmética. Si al segundo y tercer número se les resta la unidad, los números resultantes ahora forman una progresión geométrica. Hallar los tres números originales de la progresión aritmética, sabiendo que la sumatoria de esta progresión es 9.





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4. (20 puntos) Demostrar la siguiente identidad trigonométrica:

cos 3θ = 4cos3 θ − 3cosθ





9


AREA: MATEMATICAS EXAMEN # 3 1.- Para determinar el término independiente de un polinomio, igualamos la variable a………….....

n

1 2.- En el binomio  3 x +  si existen dos términos centrales, el valor de n x 

será: A] mayor a 0 B] menor a 0 C] par D] impar

3.- En la ecuación ax 2 + bx + c = 0, las raíces serán iguales cuando A] a = c B] b2 = ac C] b2 = -4ac D] b2 = 4ac

4.- Las raíces de la ecuación x 2 − 3ax + a 2 = 0, cumple la condición x12 + x2 2 =

7 . Determine el valor de a. 4




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5.- Determinar el valor de k para que la siguiente sea una división exacta. 6k − 3 x 2 − kx − 1 : 3x − 1




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AREA: MATEMATICAS EXAMEN # 4 1. En cualquier triangulo, se puede calcular el coseno de uno de sus ángulos internos, relacionando sus lados adyacentes a) Verdadero b) falso, se relaciona un lado, Adyacente y el lado opuesto c) falso, solo se puede hacer esa relación en ciertos Triángulos d) falso, el coseno solo se puede hallar usando calculadora

2. Si se conoce que arccos(x+1)=y , la expresión del mismo ángulo en términos del arc sen será:

a) arc sin(x+1) b) arc sin(1/x+1) c) arc sin x 2 + 2 x d) arc sin

− x 2 − 2x

3.- Los números

1 1 1 , , forman una 2 4 8

a) Progresión geométrica b) Progresión armónica c) Progresión aritmética c) No forman




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4. Expresar el numero decimal periódico: N= 3.282828 en forma de fracción

5. Ana Belén y Claudia deben leer un libro para el colegio. Ana lee solo una pagina el primer día , 2 el segundo, 4 paginas el tercero y así sucesivamente Belén decide que cada día que cada día leerá 5 paginas mas que el anterior y de esa manera llega a leer 35 paginas el séptimo día . Claudia lee 5 paginas el primer día ,9 paginas el segundo día , 13 paginas el tercer día y continua así ¿Quién lee mas al cabo de una semana ?

6. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas; hallando las soluciones en la primera vuelta.  2 x  2y  2 x  2 y  2cos   cos   − 2 sin   sin   = 1 2 2 2 2  4cos x cos y = 1 



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SOLUCIONARIO EXAMEN DE DISPENSACION #1 1. SOLUCION: E =n

(32 )n 2

2

2

+2

+ 3 2n

2

+2

n 2 +1

(3 * 10)

=

n

2

+2

(1 + 32 )

2 n2 +2

n 2 +1

3 2n 3

2

* 10

2

= n 101−n

2

−1

= 10−1 =

1 10

RESPUESTA: Inciso C

2.- Para que sea cociente notable se debe cumplir:

6 p + 2 5 p + 11 = p 3

18 p + 6 = 5 p 2 + 11p 5p2 − 7 p − 6 = 0 (5p + 3)(p – 2 ) = 0 Solución p = 2

El C.N. será:

x 14 − y 21 ( x 2 )7 − ( y 3 )7 = x2 − y 3 x2 − y 3 ⇒ t 5 = ( x 2 )7−5 ( y 3 )5−1 = x 4 y 12 RESPUESTA: inciso b



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3.- Partiendo de la condición Tagx = 2senx Senx=2senxcosx Senx(1-2cosx) = 0 x =0º = 2 π

No está en el cuadrante

cosx 0 = 1/2 x =300º En el cuarto cuadrante Entonces senx = −

3 y tagx = − 3 2

3  3  Entonces: K = senx*tagx =  −  * ( − 3) = 2  2  RESPUESTA: Inciso d) 3/2

4.- Partiendo del concepto básico que:

Volumen = área * Atura

Solo es necesario hallar el área de la superficie y multiplicarlo por la altura. Para el área se tiene

De acuerdo a la figura S = S sector – S círculo =

π R2 −πr2 6

Entonces en el triangulo rectángulo: sen30º =

r R−r



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De la anterior ecuación se tiene que: r =

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R 3

Reemplazando en el área se tiene 2

πR2 π R2 R  s= −π   = 6 18 3 Entonces el volumen será:

π R2 R π R3 v= * = 18 2 36

RESPUESTA: Inciso c)

5.- Aplicando las propiedades de las raíces a la ecuación se tiene:

x 2 − nx + 36 = 0 ⇒ X1 + X 2 = n X1 * X 2 = 36 De la condición impuesta:

1 1 5 + = X1 X 2 12 X 2 + X1 5 = X1 * X 2 12 Reemplazando se tiene:

n 5 = 36 12

n = 15 RESPUESTA: n = 15



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6.- Factorizando la primera expresión por aspa doble y el segundo factor por trinomio cuadrado perfecto se tiene:

10 x 2 + 13 xy − 3 y 2 − 29 x + 16Y − 21 Por aspa doble:

10 x 2 + 13 xy − 3y 2

5x

10 x 2 − 29 x − 21

−y

+3

5x +3y

2x

10 x 2 + 13 xy − 3y 2

2x

−y

+3

−7

+3y

−7

= (5 x − y + 3)(2 x + 3 y − 7)

Entonces:

9( x − y )2 + 12( x 2 − y 2 ) + 4( x + y )2 Por otra parte:

{3( x − y )}

2

+ 2 {3( x − y ) * 2( x + y )} + {2( x − y )}

2

{3( x − y ) + 2( x + y )}

2

= (5 x − y )2

Entonces los factores son:

(5 x − y + 3)(2 x + 3 y − 7)(5 x − y )2 RESPUESTA: (5 x − y + 3)(2 x + 3 y − 7)(5 x − y )2



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7.- De la segunda ecuación

x − y = ( 2)4 y =x+4

Trabajando en la primera ecuación y reemplazando la segunda, se tiene:

22 x * 2y = 27 22 x + y = 27 2x + y = 7

2x + x + 4 = 7 x =1 y = 1+ 4 = 5 RESPUESTA: x = 1;

y =5

8.- Hallando el punto de intersección de las rectas se tiene:

2x + 3y = −1//* −3 ⇒ −6 x − 9 y = 3 ⇒ −17y = 17 3 x − 4y = 7

//* 2

6 x − 8y = 14

y = −1

⇒ x =1

La recta tendrá la misma pendiente entonces

2x + 5 y + k = 0

Reemplazando el punto

2(1) + 5( −1) + k = 0

k =3 La recta buscada es: 2x + 5 y + 3 = 0 RESPUESTA: 2x + 5 y + 3 = 0




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9.- Se trata de la sumatoria de una progresión aritmética cuyo primer término es

10 metros, la razón es 4metros y tiene 21 términos.

Como debe sumarse el camino de ida y vuelta, la sumatoria debe multiplicarse al final por dos.

Entonces:

n [2t + (n − 1) d ] 2 1 21 s = [ 2 * 10 + (21 − 1)4] 2 21 s= * 100 2 s = 1050

S=

La distancia total recorrida es:

D = 2S = 2 * 1050 = 2100 metros RESPUESTA: 2100




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10.- Del grafico se tiene:

h x h tan 45 = 2−x (1) en (2) tan60º =

2-

⇒ ⇒

h 3

(1)

2 - x=h

(2)

x=

h =h 3

1   h 1 + =2 3  h=

2 3 3 +1



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Por semejanza de triángulos

x 2 = 6−h h entonces : 2 ⋅ (6 − h) 12 ⇒x= −2 h h remplazando el valor: x=

(

)

12 3 + 1 12 x= −2= −2 2 3 2 3 3 +1 6 3 +6−2 3 4 3 +6 = 3 3 racionalizando : =

x= =

4⋅3 + 6 3 3

(

3 4+2 3

)

3

=4+2 3

(

=2 2+ 3

)

RESPUESTA: 4 + 2 3




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SOLUCIONARIO EXAMEN DE DISPENSACION #2 1. En los incisos A, B, C y D subraye la respuesta correcta. A. Si se sabe que: log b a = 3 . Entonces el valor de la expresión:

log a 2 b 4 a 3 ; es a) 1/6 b) -1/2 c) 1/8 d) 13/6 e) 5/6




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E = log a 2 b 4 a 3

1 ⋅ ( log a b 4 a 3 ) 2 1 ⋅ ( log a b 4 + log a a 3 ) 2 1 ⋅ ( 4log a b + 3log a a ) 2 1 H  G55  1 G55H 1  log b b  ⋅4* + 3*log a a  2  logb a     1  4 ⋅ + 3 2  log b a  1 4  ⋅  + 3 2 3  1 4+9 ⋅  2  3  1  13  ⋅  2 3 13 6 RESPUESTA: INCISO D




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5n + 2 5n n

B. (10 puntos )Al simplificar la expresión: E =

n

5

2 n2

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2

se obtiene:

5

a)

b) 25 c)

n

5

d) 5 e) 1/5

SOLUCION:

5n + 2 5n n

E=

E=

n

52 n

5n + 2 5 5

2

2

n2 n

2n 2 n

n+ 2 n

5 5 52 n 5 n + 2+ n E = 2n 5 52 n + 2 E = 2n 5 E = 5 2 n + 2− 2n E=

E = 52 E = 25 RESPUESTA: INCISO B




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C. La ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2, -7) y B(- 8, 5) es:

a) 3x + 3y -1 = 0 b) 6x + 5y -23 = 0 c) 4x – 5y +32 = 0 d) 4x – 5y + 32 = 0 e) 6x + 5y +23 = 0

SOLUCION: Utilizando las formulas de ecuación de la recta cuando se conocen 2 puntos A(x1,y1) B(x2,y2)

y − y1 =

y2 − y1 ( x − x1 ) x2 − x1

tambien : y − y1 y2 − y1 = x − x1 x2 − x1

Reemplazando en la formula:

y +7 5+7 = x − 2 −8 − 2 y + 7 12 = x − 2 −10 y+7 6 = x − 2 −5 −5 ( y + 7 ) = 6( x − 2) −5 y − 35 = 6 x − 12 6 x + 5 y + 35 − 12 = 0 6 x + 5 y + 23 = 0 RESPUESTA: Inciso E INSTITUTO “NIBBLE”, Especialistas en cursos de Nivelación: UNIVERSIDAD, Institutos Normales, Instituciones militares.



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x155 − y 93 D. En el desarrollo del cociente notable: , la expresión del termino x5 − y 3 que ocupa el lugar 27 es: a) x 20 y 78 b) x81 y 20 c) x18 y 65 d) - x 20 y 81 e) x15 y 45

Solución:

El termino n-esimo es:

tk = a n−k b k −1

Desarrollando la expresión:

x155 − y 93 x5 − y 3

(x ) −(y ) 5 31

3 31

x5 − y3

n=31 k=27 a= x5 b= y3 entonces:




t27 = ( x5 ) t27

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(y ) = (x ) ( y ) 31− 27

5 4

3 27 −1

3 26

t27 = x 20 y 78

RESPUESTA: INCISO A

2. encontrar el área de la región sombreada de la figura si el lado del cuadrado es “L”:





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SOLUCION:

Si observamos la figura se nota que dentro del cuadrado de L hay medias circunferencias y además la media circunferencia se puede partir en dos partes de las cuales una es la que nos interesa. Es decir la cuarta circunferencia pintada de verde. Dentro de la cuarta circunferencia hay una triangulo rectangulo amarilo de catetos L y para poder hallar la parte pintada de negro se debe hacer una resta. Y para poder hallar la dos partes pintadas que son iguales simplemente se debe multiplicar por 2 es decir:

AP= Parte pintada = ( ¼ área de la circunferencia) – (área del triangulo) Area total = 2*AP

Área de la circunferencia completa = π ⋅ r 2

π ⋅ r2 4 π Área de la ¼ circunferencia = ⋅ r 2 4 Área de la ¼ circunferencia =

Radio r =

L 2



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Entonces reemplazando los valores se tiene:

π L Área de la ¼ circunferencia = ⋅   4 2

2

π L2 Área de la ¼ circunferencia = 4⋅4 π L2 Área de la ¼ circunferencia = 16

base ⋅ altura 2 L L ⋅ 2 2 Area del triangulo = 2 2 L Area del triangulo = 4 2 L2 Area del triangulo = 8

Area del triangulo =

Restando las áreas:

Parte pintada = ( ¼ área de la circunferencia) – (área del triangulo)

π L2 L2 − 16 8 2 L π  Parte pintada =  − 1 8 2 

Parte pintada =

L2  π − 2  Parte pintada =   8 2  L2 Parte pintada = (π − 2 ) 16




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El área que queremos hallar es el área total

Área total = 2*AP

L2 Area total = 2 * ( π − 2 ) 16 2 L Area total = (π − 2 ) 8

3. Tres números forman una progresión aritmética. Si al segundo y tercer número se les resta la unidad, los números resultantes ahora forman una progresión geométrica. Hallar los tres números originales de la progresión aritmética, sabiendo que la sumatoria de esta progresión es 9.


SOLUCION:

PROGRESION ARITMETICA: t 2 - r;

t2; t2 + r

Donde r = razón 1RA CONDICIÓN DEL PROBLEMA para que esta progresión aritmética se convierte en progresión geometría: Si al segundo y tercer número se les resta la unidad, los números resultantes ahora forman una progresión geométrica. PROGRESION GEOMETRICA: t 2 - r;

t 2 -1;

t 2 + r -1




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Si es una progresión geométrica se cumple la igualdad de que la división de 2 términos consecutivos cualesquiera debe ser igual.

Entonces:

t 2 - r; r=

t 2 -1;

t 2 + r -1

t 2 -1 t 2 + r -1 = t2 - r t 2 -1

Desarrollando esta expresión:

t 2 -1 t 2 + r -1 = t2 - r t 2 -1

( t 2 -1)( t 2 -1) = ( t 2 - r )( t 2 + r -1) 2DA CONDICIÓN DEL PROBLEMA: Los tres números originales de la progresión aritmética, sabiendo que la sumatoria de esta progresión es 9. Es decir la sumatoria de los 3 términos de la progresión geométrica es 9.

t 2 - r + t 2 + t2 + r = 9 Desarrollando esta expresión:

t2 - r + t2 + t2 + r = 9 3t 2 = 9 t2 = 9 / 3 t2 = 3 Reemplazando en la expresión anterior



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( t 2 -1)( t 2 -1) = ( t 2 - r )( t 2 + r -1) ( 3-1)( 3-1) = ( 3- r )( 3+ r -1) 4 = ( 3- r )( 2+ r ) 4 = 6 + 3r − 2r − r 2 0 = 6 + 3r − 2r − r 2 − 4 0 = 2+r −r2 r2 −r −2 = 0

Resolviendo:

r2 −r −2 = 0 (r - 2)(r + 1) = 0 r=2 r=-1

entonces las progresiones buscadas son:

Para r = 2, se tiene: P.A.: 1,3,5 Para r = -1, se tiene: P.A.: 4;3;2

4. Demostrar la siguiente identidad trigonométrica:

cos 3θ = 4cos3 θ − 3cosθ INSTITUTO “NIBBLE”, Especialistas en cursos de Nivelación: UNIVERSIDAD, Institutos Normales, Instituciones militares.



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SOLUCIÓN:

Partiendo de la identidad para suma de ángulos se tiene:

cos3θ = cos ( 2θ + θ ) cos3θ = cos 2θ cos θ − sen 2θ senθ

cos3θ = ( cos 2 θ − sen 2θ ) cosθ − 2 senθ cosθ senθ cos3θ = cos3 θ − 3sen 2θ cosθ cos3θ = cos3 θ − 3(1 − cos 2 θ )cos θ cos3θ = cos3 θ − 3cosθ + 3cos3 θ cos3θ = 4cos3 θ − 3cos θ




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SOLUCIONARIO AREA: MATEMATICAS EXAMEN # 3 1.- Para determinar el término independiente de un polinomio, igualamos la variable a……CERO...

n

1 2.- En el binomio  3 x +  si existen dos términos centrales, el valor de n 

x

será: A] mayor a 0 B] menor a 0 C] par D] impar 3.- En la ecuación ax 2 + bx + c = 0, las raíces serán iguales cuando A] a = c B] b2 = ac C] b2 = -4ac D] b2 = 4ac



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4.- Las raíces de la ecuación x 2 − 3ax + a 2 = 0, cumple la condición x12 + x2 2 =

7 . Determine el valor de a. 4

Solución

Por la propiedad de raíces: 2 1{ x 2 − 3a x + a { { = 0, a

b

c

−b    x1 + x2 = a  x1 + x 2 = 3a   c  ⇒  x1 * x2 = a 2  x1 * x2 = a   7 7  2  x12 + x2 2 = 2 + = x x  4 2  1 4  x12 + x 22 + 2 x1x2 = 9a2 ⇒ ∴

a=±

(1)

 x12 + 2 x1x 2 + x2 2 = ( 3a )2 (2) ⇒  2 2 2  x1 + x2 + 2 x1x2 = 9a (3)

//(1)2 (4)

7 7 + 2a2 = 9a2 ⇒ 7 a 2 = 4 4

1 2




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5.- Determinar el valor de k para que la siguiente sea una división exacta. 6k − 3 x 2 − kx − 1 : 3x − 1

SOLUCIÓN

6k − 3 x 2 − kx − 1 3x − 1 // por el teorema del resto: 2

1  1  1 3 x − 1 = 0 ⇒ x = de ahí que: 6k − 3   − k   − 1 = resto 3 3 3 1 1 6k − − k − 1 = 0 ⇒ 18k − 1 − k − 3 = 0 3 3 ∴

k=

4 17




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SOLUCIONARIO EXAMEN # 4 1. En cualquier triangulo, se puede calcular el coseno de uno de sus ángulos internos, relacionando sus lados adyacentes

a) Verdadero b) falso, se relaciona un lado, Adyacente y el lado opuesto c) falso, solo se puede hacer esa relación en ciertos Triángulos d) falso, el coseno solo se puede hallar usando calculadora

2. Si se conoce que arccos(x+1)=y , la expresión del mismo ángulo en términos del arc sen será: a) arc sin(x+1) b) arc sin(1/x+1) c) arc sin x 2 + 2 x d) arc sin

− x 2 − 2x

SOLUCION: Como por función inversa: Cos y= x+1 ⇒ sin y= 1 − ( x + 1)2 = 1 − x 2 − 2 x − 1 = − x 2 − 2x Entonces arcsen − x 2 − 2x RESPUESTA: Inciso d)




3.- Los números

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1 1 1 , , forman una 2 4 8

a) Progresión geométrica b) Progresión armónica c) Progresión aritmética c) No forman

4. Expresar el numero decimal periódico: N= 3.282828 en forma de fracción

SOLUCION: Se puede expresar como: N=3+(28/100)+(28/10000)+(28/1000000)…………. La última expresión equivale a una PG. Infinita de razón 1/100, entonces sumando se tiene: N=3+(28/100) ÷ (1-1/100) N=3+(28/100) ÷ (99/100) N=3+28/99 N=325/99

RESPUESTA: 325/99




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5. Ana Belén y Claudia deben leer un libro para el colegio. Ana lee solo una pagina el primer día , 2 el segundo, 4 paginas el tercero y así sucesivamente Belén decide que cada día que cada día leerá 5 paginas mas que el anterior y de esa manera llega a leer 35 paginas el séptimo día . Claudia lee 5 paginas el primer día ,9 paginas el segundo día , 13 paginas el tercer día y continua así ¿Quién lee mas al cabo de una semana ?

SOLUCION: Para Ana rg =

2 4 = = 2 Entonces es una PG.;siendo n=7 días y t1 = 1 1 2

1(1 − 27 ) Sa = = 1 − 28 = 127 1− 2

Para Belén: ra1 = 5 Entonces es una PA. ; siendo n=7 y t7 = 35

Se calcula primero: t7 = t1 + (7 − 1)5 ⇒ t1 = 35 − 30 = 5




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 2 * 5 + (7 − 1)5   10 + 30  SB =  7=   7 = 140 2    2 

Para Claudia ra 2 = 9 − 5 = 13 − 9 = 4 entonces es un PA siendo n=7 días y a1 = 5

 2 * 5 + (7 − 1)4  10 + 24  Sc =  7=   7 = 119 2    2 

RESPUESTA: Belén lee más que todas.

6. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas; hallando las soluciones en la primera vuelta.  2 x  2y  2 x  2 y  2cos   cos   − 2 sin   sin   = 1 2 2 2 2  4cos x cos y = 1 

Tomando el sistema de ecuaciones y trabajando en la primera ecuación se tiene lo siguiente: x y x y x y x y 2cos2   cos2   − 2 sin2   sin2   − 2 sin2   cos2   + 2 sin2   cos2   = 1 2 2 2  2 2 2 2  2

y x 2cos2   cos x + 2 sin2   cos y = 1 2 2  1 + cos y   1 − cos x  2 cos x + 2    cos y = 1 2 2     INSTITUTO “NIBBLE”, Especialistas en cursos de Nivelación: UNIVERSIDAD, Institutos Normales, Instituciones militares.



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cos x + cos y cos x + cos y − cos x cos y = 1 cos x + cos y = 1 cos x = 1 − cos y

Reemplazando en (2) 4(1 − cos y )cos y = 1 4cos2 y − 4 cos y + 1 = 0 (2cos y − 1)2 = 0 cos y = 1/ 2 y = 600 En : cos x = 1 − 1/ 2 cos x = 1/ 2 x = 600

RESPUESTA: x = 60º



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