Document créé le 29 octobre 2015
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Chapitre 3 Nombres complexes et trigonométrie 3.1 Notati Notation on car cartés tésien ienne, ne, conjug conjugais aison on Exercice 3.1.1 () Mettree chacu Mettr chacunn des nombres complexes suivants suivants sous la forme a + ib avec a et b réels : z =
2 1 i 3
1 u = (1 + 2i 2i)(3
− − √
− i)
1 + 2i 2i v= 1 2i
−
√
5+i 2 w = 1+i
Exercice 3.1.2 () A quelle condition condition Z = z 2 + z + est-ilil réel? réel ? Imaginair Imaginairee pur ? + 1 estExercice 3.1.3 ()
Résoudree le systè Résoudr système me
iz
3i − 2ω = −4 + 3i
2ω ¯ + z z¯ = 3
3.2 3.2
dans C.
Module Module et et dist distan ance ce dan danss le plan plan compl complex exee
Module
d’un nombre complexe
Exercice 3.2.1 () ∈ C tel que |z | ≤ 1. Prouver que Re( Soit z ∈ Re(z z 2 + 4z 4z + + 3) ≥ 0 . Exercice 3.2.2 ( ) Pour tous a, b de C, montrer que 1 + |ab − 1| (1 + |a − 1|)(1 + |b − 1|). Exercice 3.2.3 ( ) Montrer que pour tous a, b de
C :
|a| + |b| |a + b| + |a − b|. Préciser le cas d’égalité.
Exercice 3.2.4 () Soit ABCD un parallélogramme. Montrer que AC 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 + C D2 + DA2 .
3.2 Module et distance dans le plan complexe
Chapitre 3 : Nombres
complexes et trigonométrie
Exercice 3.2.5 ( ) Montrer que : ∀ (a,b,c) ∈ C3 , | 1 + a| + |a + b| + |b + c| + |c| 1. Exercice 3.2.6 ()
Pour tout z de C, avec |z | = 1 Exercice 3.2.7 ()
z n+1 1 z n+1 . 1 z 1 z
− , et tout de , montrer que − de , montrer que n
1
N
n
n
z k
Pour tout n de
N
∗
et (z 1 , . . . , zn )
C
k=1 n
∗
z k
z k
1+
k=1
Exercice 3.2.8 (
n
k=1 n
z k
1+
− | | −| | | | | |
k=1
|z | . 1 + |z | k
k
k=1
)
, on a − || || a a2
b a b . = a b b2 z x + z x
| − | | |·| | 2. Montrer que ∀ (x,y,z ) ∈ C , | x| · |y − z | |y | · | − | | | · | − y |. 1. Montrer que pour tous a, b de
C∗
3
3. Montre l’inégalité dite de Ptolémée :
∀ (x,y,z,w) ∈ C , | x − y| · |z − w| |x − z | · |y − w| + |x − w| · |y − z |. 4
Module
et argument
Exercice 3.2.9 ()
√
Du calcul de (1 + i)( 3 + i), déduire cos Exercice 3.2.10 ()
Simplifier le nombre complexe z =
π π et sin . 12 12
√ −
1+i 3 1 i
20
Exercice 3.2.11 ()
√ 1 −√ i 1+i 3
Module et argument de : z = 1 + 2
Exercice 3.2.12 () √ √ Simplifier z = (1 + i 3)n + (1 − i 3)n . Exercice 3.2.13 () √ Trouver tous les n dans Z tels que ( 3 + i)n soit réel. Exercice 3.2.14 () (1 + i tan θ)2 1 cos θ + i sin θ Module et argument de a = et . b = 1 + tan2 θ 1 + cos θ i sin θ
−
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−
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3.2 Module et distance dans le plan complexe
Chapitre 3 : Nombres
complexes et trigonométrie
Exercice 3.2.15 () On suppose que −π < ϕ π. Module et argument des nombres complexes suivants : a = 1 + cos ϕ + i sin ϕ, b = sin ϕ + i(1 + cos ϕ), c = cos ϕ + i(1 + sin ϕ). Exercice 3.2.16 () Déterminer les complexes z tels que |z | = |z − 2| et arg z = arg (z + 3 + i) (mod 2π). Exercice 3.2.17 () Soit a dans C . Montrer que |z + a| = |z − a| ∗
⇔ ∃ λ ∈ R, z = iλa.
Exercice 3.2.18 () Soit P = {z ∈ C, Im(z ) > 0 } et D = {z ∈ C, | z | < 1 }.
Montrer que f : z →
z i est une bijection de P sur D. z + i
−
Exercice 3.2.19 () a,b,c,d étant des réels, résoudre z + |z | = a + ib, et
|z | − z = c + id
Exercice 3.2.20 () Soit z tel que |z | = 1. Montrer qu’on a |1 + z | ≥ 1 ou |1 + z 2 | ≥ 1 . Nombres
complexes de module 1
Exercice 3.2.21 ( ) Soient u et v deux nombres complexes de module 1, tels que uv = −1.
Montrer que Z =
u+v est un réel. 1 + uv
Exercice 3.2.22 (
)
Avec |a| = |b| = 1, a = b, z ∈ C, et Z =
z + abz (a + b) , montrer que Z 2 est réel négatif ou nul. a b
− −
Exercice 3.2.23 ()
Soit (a, b) ∈ C2 , avec ab = 1. Montrer que (|a| = 1 ou |b| = 1) Exercice 3.2.24 (
)
Déterminer les complexes z tels que les modules de z ,
1 et z z
⇔
a b = 1. 1 ab
− −
− 1 soient égaux.
Exercice 3.2.25 ()
| | Montrer que |
z = z = 1 2 + zz = 1
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| | |
⇒ zz = −1.
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3.3 Trigonométrie circulaire
Chapitre 3 : Nombres
complexes et trigonométrie
Exercice 3.2.26 ( ) Soit x, y,z trois complexes de module 1. Comparer |x + y + z | et |xy + yz + zx |. Exercice 3.2.27 ()
Soit a dans C tel que |a| < 1 , et ϕa : z →
z a . 1 az
− −
Montrer que U = {z ∈ C, | z | = 1} est invariant par ϕa . Exercice 3.2.28 (
| | ) Résoudre le système
x = y = z = 1 x + y + z = 1 xyz = 1
|| ||
3.3 Trigonométrie circulaire Cosinus,
sinus
Exercice 3.3.1 () n
Calculer la somme suivante, en fonction de θ et de n : S =
cos(2k
k=1
− 1)θ.
Exercice 3.3.2 () n
Calculer la somme suivante, en fonction de θ et de n : S =
cos2 kθ .
k=0
Exercice 3.3.3 () On se donne x1 , x2 , x3 dans [0, π], tels que x1 + x2 + x3 = π . On pose S = sin2 x1 + sin2 x2 + sin2 x3 .
1. Montrer que S = − cos2 x1 + cos(x2 − x3 )cos x1 + 2 . 9 4
2. En déduire S , l’égalité ayant lieu Exercice 3.3.4 (
⇔
x1 = x 2 = x 3 =
π . 3
)
a + b . 2 a + b + c + d a + b + c En déduire sin a + sin b + sin c + sin d 4sin , et sin a + sin b + sin c 3sin . 4 3
Soient a, b, c, d des éléments de [0, π]. Montrer successivement que : sin a + sin b 2sin
Exercice 3.3.5 () Transformer cos x + 2cos 2x + cos 3x en produit. Exercice 3.3.6 () π Calculer cos5a en fonction de cos a. En déduire l’expression de cos . 10
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3.3 Trigonométrie circulaire
Chapitre 3 : Nombres
Exercice 3.3.7 ()
complexes et trigonométrie
π 2
On se donne deux réels a et b positifs ou nuls tels que a + b . Montrer que sin2 a + sin2 b sin2 (a + b) et préciser quand on a l’égalité. Exercice 3.3.8 () k=n
Trouver le maximum de sin x sin2x sur [0, π] 2
. En déduire
k
sin2 x
k=0
Exercice 3.3.9 ()
n
Montrer que pour tout x de R et tout n de
N∗
on a k=1
√ . 3 2
n
2x sin x 1 + 2 cos k = x. 3 sin n 3
Exercice 3.3.10 () n−1
Montrer que : ∀ a ∈ R, ∀ h ∈ ]0, π[, ∀ n ∈ N , ∗
cos(a + 2kh) =
k=0
sin(nh)cos(a + (n sin h
− 1)h)
Exercice 3.3.11 () π π Montrer que sin3x = 4 sin x sin + x sin 3 3
− pour tout x
x.
Exercice 3.3.12 ( ) Si x + y + z = π , montrer que sin2 x + sin2 y − 2sin x sin y cos z = sin2 z . Exercice 3.3.13 (
Montrer que P = sin
)
π 3π 5π 1 sin sin = . 14 14 14 8
Exercice 3.3.14 ( ) Résoudre l’équation cosn x + sinn x = 1, où n est un entier strictement positif. Exercice 3.3.15 () Résoudre cos2 x + cos2 2x + cos2 3x = 1 sur le segment [0, π]. Exercice 3.3.16 () Transformer sin x + sin 2x + sin 7x + sin 8x en produit. Exercice 3.3.17 () Simplifier l’expression (2cos x − 1)(2cos2x − 1) · ·· 2 cos(2n 1 x) − 1 .
−
Exercice 3.3.18 ()
Simplifier l’expression Mathématiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
cos6x + 6cos 4x + 15cos 2x + 10 . cos5x + 5 cos3x + 10 cos x
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3.3 Trigonométrie circulaire
Chapitre 3 : Nombres
complexes et trigonométrie
Exercice 3.3.19 ( ) √ √ Résoudre l’équation cos x + sin x = 1. Avec
utilisation de eiθ
Exercice 3.3.20 () n
Simplifier S =
k=0
n cos(a + kb). k
Exercice 3.3.21 () n
Calculer la somme suivante, en fonction de θ et de n : S =
cosk θ cos kθ .
k=1
Exercice 3.3.22 () n
Calculer la somme suivante, en fonction de θ et de n : S =
cos kθ . kθ cos k=0
Exercice 3.3.23 () n
Calculer la somme suivante, en fonction de θ et de n : S =
exp(ikθ).
k=−n
Utilisation
de la formule du binôme
Exercice 3.3.24 ()
n n n Calculer S = + + + 0 3 6
n n n T = + + + 1 4 7
·· · ,
··· ,
et U =
n n n + + + 2 5 8
· ··
Exercice 3.3.25 ()
Calculer les sommes
n n n S = + + + 0 4 8 n n n T = + + + 1 5 9
··· · ··
Exercice 3.3.26 ()
Calculer la somme
n 0
−3
n n + 32 2 4
3
−3
n + 6
et
n n n + + + 2 6 10 n n n V = + + + 3 7 11 U =
··· · ··
···
Exercice 3.3.27 ()
Calculer S n =
− et ( 1)k
k0
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n 2k
T n =
− ( 1)k
k0
n . 2k + 1
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3.4 Équation du second degré dans C Utilisation
Chapitre 3 : Nombres
complexes et trigonométrie
du nombre j
Exercice 3.3.28 ()
Soient , et trois nombres complexes. Résoudre le système linéaire Comment choisir pour que les solutions soient réelles ? a b
x + y + z = a x + jy + j 2 z = b x + j 2y + jz = c
c
a, b, c
x, y,z
Exercice 3.3.29 () Soit Z = (x + jy + j 2 z )3 , où x, y et z sont trois nombres complexes donnés. Montrer que lorsqu’on permute x, y ou z , le nombre Z ne peut prendre que deux valeurs. A quelle condition ces deux valeurs sont-elles égales ? Exercice 3.3.30 () Soient x, y,z trois nombres réels. Montrer que : (x + y + z )(x + jy + j 2 z )(x + j 2 y + jz ) = x 3 + y3 + z 3
3.4
− 3xyz
Équation du second degré dans
Racines
C
carrées
Exercice 3.4.1 (
)
z + z z + z Soit u une racine carrée de z z . Montrer que z + z = +u + 2 2
| | | |
Exercice 3.4.2 () Calculer les racines carrées de Z = 4ab + 2(a2 − b2 )i (avec a, b réels).
−u
.
Exercice 3.4.3 () Trouver les racines quatrièmes de Z = −119 + 120i. Équation
du second degré
Exercice 3.4.4 () Dans C, résoudre l’équation (E ) : z 2 − 2iz + 2 − 4i = 0. Exercice 3.4.5 () Dans C, résoudre l’équation z 3 − i = 6(z + i). Exercice 3.4.6 () Dans C, résoudre l’équation z 4 − (5 − 14i)z 2 − 2(5i + 12) = 0.
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3.5 Racines n-ièmes
Chapitre 3 : Nombres
complexes et trigonométrie
Exercice 3.4.7 () 1. Soient a, b, c les racines dans C de P (z ) = z 3 − (3 + 2i)z 2 + (3 + 11i)z − 2(1 + 7i) = 0. Calculer a, b, c sachant que l’une d’elle est réelle. 2. Trouver l’isobarycentre du triangle de sommets A(a), B (b), C (c). Exercice 3.4.8 (
)
Montrer que ∀ x ∈ C \ [−1, 1], ∃ ! z ∈
1 1 z + , z > 1 . C, x = 2 z
||
Exercice 3.4.9 ( ) 1. Résoudre (E ) : x 2 + 4x + 1 + i(3x + 5) = 0 dans C. 2. Résoudre (E ) : (x2 + 4x + 1)2 + (3x + 5)2 = 0 dans C. 3. En déduire une factorisation de (x2 + 4x + 1)2 + (3x + 5)2 dans R[X ].
3.5
Racines n-ièmes
Exercice 3.5.1 ()
Dans C, résoudre l’équation z 8 =
√ 13+−i i .
Exercice 3.5.2 ()
Montrer que cos
π 7
− cos 2π7 + cos 3π7 = 21 .
Exercice 3.5.3 () π Résoudre (z + 1) = cos(2na) + i sin(2na). En déduire P n = sin a sin a + n n
·
· ··
Exercice 3.5.4 () Soient ω 0 , . . . , ωn 1 les n racines n-ièmes de l’unité. Pour p ∈ Z, calculer S p = −
sin a +
n−1
n
− 1 π. n
ω pk .
k=0
Exercice 3.5.5 ( ) Montrer que a = (3 + 4i)/5 n’est une racine n-ième de l’unité pour aucun entier n 1. Exercice 3.5.6 () Dans C, résoudre l’équation z 2n − 2z n cos nθ + 1 = 0. Exercice 3.5.7 ()
Dans C, résoudre l’équation (E ) :
1 iz 1 + iz
−
n
=
1 + ia (n 1 ia
−
∈ N , a ∈ R). ∗
Exercice 3.5.8 () Résoudre l’équation z 6 − 2z 3 cos3θ + 1 = 0. Mathématiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
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3.6 Interprétations géométriques
Exercice 3.5.9 (
Résoudre z¯ 7 =
Chapitre 3 : Nombres
complexes et trigonométrie
)
1 dans z 2
C.
Exercice 3.5.10 ()
Calculer les racines cubiques de Z =
−1 + i et montrer que l’une d’elles a une puissance 4-ième réelle. 4
Exercice 3.5.11 () Résoudre l’équation (E) (z − 1)3 + (z − 1)2 (z + 1) + (z − 1)(z + 1) 2 + (z + 1) 3 = 0. Exercice 3.5.12 () Résoudre (E ) : 27(z − 1)6 + (z + 1)6 = 0 dans C. Exercice 3.5.13 () On note z 1 , z 2 , . . . , zn les solutions de z n = a (avec |a| = 1, n ∈ N). Montrer que les points images de (1 + z 1 )n , (1 + z 2 )n , . . . , (1 + z n)n sont alignés. Exercice 3.5.14 (
)
n−1
Calculer
k=0
(2
− ω ), où les ω sont les racines n-ièmes de l’unité. k
k
Exercice 3.5.15 () Résoudre l’équation (z + i)n = (z − i)n , avec n dans N . ∗
Exercice 3.5.16 () Résoudre (E ) : 1 + 2z + 2z 2 + ··· + 2z k + · ·· + 2z n
−1
+ z n = 0.
Exercice 3.5.17 ()
Résoudre (E ) : z 7 +
7 5 7 3 7 z + z + z = 0. 2 4 6
3.6 Interprétations géométriques Conditions
d’alignement
Exercice 3.6.1 () Trouver une condition nécessaire et suffisante sur z pour que les points A(z ), B(z 2 ), C (z 4) soient alignés. Exercice 3.6.2 () Montrer que A(a), B(b) et C (c) sont alignés si et seulement si ab + bc + ca ∈ R.
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3.6 Interprétations géométriques Configurations
Chapitre 3 : Nombres
complexes et trigonométrie
géométriques
Exercice 3.6.3 () Trouver la condition nécessaire et suffisante sur les complexes p et q pour que les points images des racines de l’équation z 3 + pz + q = 0 forment un triangle rectangle isocèle. Exercice 3.6.4 () Condition nécessaire et suffisante spour que les points A(z ), B(z 2 ), C (z 3 ) forment un triangle isocèle. Exercice 3.6.5 () Chercher une condition nécessaire et suffisante pour que les points M (u) et N (v) soient symétriques par rapport à la droite passant par A(a) et d’angle polaire α (mod π). Exercice 3.6.6 ( ) Soit ABCD un quadrilatère. À partir de chaque coté, et vers l’extérieur, on construit un triangle rectangle isocèle. Montrer que les diagonales du quadrilatère obtenu sont orthogonales et de même longueur. Exercice 3.6.7 ( ) Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que l’orthocentre du triangle de sommets A(z ), B(z 2) C (z 3 ) soit à l’origine. Exercice 3.6.8 ( ) Déterminer une CNS pour que A(a), B (b) et C (c) forment un triangle équilatéral. Exercice 3.6.9 () Condition nécessaire et suffisante sur z pour que A(z ), B (z 2 ), C (z 3 ) forment un triangle équilatéral ? Exercice 3.6.10 ( ) Trouver la condition nécessaire et suffisante sur les complexes a,b,c pour que les points images des racines de l’équation z 4 + az 2 + bz + c = 0 forment un carré. Transformations
du plan complexe
Exercice 3.6.11 () Identifier les transformations m(z ) → M (Z ) du plan complexe définies par : 1. Z = (1 + i)z + 2 − i 2. Z = (−3 + 4i)¯z + 12 + 6i 3. Z = i¯z + 1 Exercice 3.6.12 ()
M Z = Quelle est l’image du cercle |z − 1| = 1 par la transformation m(z ) → Mathématiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
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z 2
?
− z
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